Chuyên đề hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 định hướng cấu trúc mới
Tài liệu gồm 71 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo, bao gồm lý thuyết và bài tập chuyên đề hệ trục tọa độ trong không gian môn Toán 12 định hướng cấu trúc mới.
Chủ đề: Tài liệu chung 169 tài liệu
Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 12
Chuyên đề HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ OXYZ
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Chủ đề 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi
i , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,O . z
- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
- Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
- Các mặt phẳng Oxy ,Oyz ,Oxz đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
a) Tọa độ của điểm trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số x; y; z duy nhất sao cho OM . x i . y j .
z k được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz.
Khi đó, ta viết M x; y; z hoặc M x; y; z , trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.
Nhận xét. Nếu điểm M có tọa độ x; y; z đối với hệ tọa độ Oxyz thì:
- Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox,Oy và Oz có tọa độ lần lượt là
x;0;0,0;y;0,0;0;z.
- Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng Oxy ,Oyz và Oxz có tọa độ lần lượt
là x; y;0 ,0; y; z ,x;0; z.
b) Tọa độ của vectơ trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tùy ý. Bộ ba số x; y; z duy nhất sao cho a . x i . y j .
z k được gọi là tọa độ của vectơ a đối với hệ tọa độ Oxyz.
Khi đó, ta viết a x; y; z hoặc a x; y; z. Nhận xét.
- Tọa độ của vectơ a cũng là tọa độ của điểm M sao cho OM a. x x
- Trong không gian, cho hai vectơ a x; y; z và b x ; y ; z. Khi đó, a b y y. z z
c) Tọa độ của vec tơ theo tọa độ hai đầu mút
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M x ; y ; z
và N x ; y ; z Khi đó: N N N . M M M
MN x x ; y y ; z z N M N M N M
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy ?
A. Q 0; 10;0 .
B. P 10;0;0 .
C. N 0;0; 10 . D. M 10 ;0;10.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 Câu 2:
Trong không gian Oxyz , cho A0;1;0 , góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng Oxz bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 0 . Câu 3:
Trong không gian Oxyz , biết tọa độ hình chiếu của điểm A lên các trục Ox,Oy,Oz lần
lượt là M 1;0;0, N 0; 2
;0, P0;0;3 . Tọa độ của vectơ OA là
A. 1; 2;3 .
B. 1; 2;3 .
C. 1; 2;3 . D. 1 ;2; 3 . Câu 4:
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Aa;b;c; B ; m ;
n p . Điều kiện để ,
A B nằm về hai phía
của mặt phẳng Oyz là A. cp 0 . B. bn 0 . C. am 0 . D. c p 0 . Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho u 2; 4;
1 . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. u 2i 4 j k.
B. u 2i 4 j k.
C. u 2 4 1. D. 2 2 2 u 2 4 1 . Câu 6:
Trong không gian Oxyz, cho a 2i k 3 j . Tọa độ của a là A. (2;1;3) B. (2; 3;1) C. (2;1;3) . D. (2;1; 3) Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho a i 2k . Tọa độ a là A. (1; 0; 2) .
B. (1; 0; 2) . C. (1; 2; 0) .
D. (1; 2; 0) . Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho u 2 j 3i 4k . Tọa độ của u là
A. 2; 3; 4 . B. 3 ; 2; 4 .
C. 3; 2; 4 . D. 3; 2; 4 . Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ O,i, j,k , cho OM 2; 3;1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. OM 2i 3j k . B. M 2 ;3;1 . C. M 1 ; 3;2 .
D. OM 2i 3j k .
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i k. Tọa độ của điểm M là A. 2;0; 1 . B. 0; 2; 1 .
C. 1; 2;0 .
D. 2;1;0 .
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho vectơ AO 3i 4 j 2k 5 j . Tọa độ của điểm A là A. 3;17; 2 . B. 3 ; 17 ; 2 . C. 3; 5; 2 . D. 3; 2; 5 .
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ a 2 j i, b i
2k 2 j và c 2i 3k . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 2;1;0, b 1 ; 2
;2, c 2;0; 3
. B. a 2;1;0, b 1 ;2; 2 , c 2; 3 ;0 .
C. a 1; 2;0, b 1 ; 2
;2, c 2; 3 ;0 .
D. a 1; 2;0, b 1 ; 2
;2, c 2;0; 3 .
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho điểm M a; ;
b c . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Tọa độ OM là a; ; b c .
B. Tọa độ hình chiếu của M lên Ox là a;0;0 .
C. Điểm M thuộc Oz khi và chỉ khi a b 0. .
D. Khoảng cách từ M đến Oxy bằng c .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho vecto a 1;1; 3
; b 2;2; 2
; c 2i 2 j 6k và d 1;1; 1 .
Cặp vecto nào sau đây cùng phương?
A. a và b .
B. a và d .
C. a và c .
D. b và c .
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm M 1; 2;3 , N 1 ;0;4, P2; 3
;1 , Q 2;1; 2 . Cặp véctơ
nào sau đây là véc tơ cùng phương ?
A. MN và PQ .
B. OM và NP .
C. MQ và NP .
D. MP và NQ .
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ,
A B với OA 2; 1;3 , OB 5; 2; 1 . Tìm tọa độ của vectơ . AB A. AB 3; 3; 4 .
B. AB 3; 3; 4 .
C. AB 7;1; 2 .
D. AB 2; 1 ;3 .
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2
;3;5 . Toạ độ của vectơ OA là A. 2;3;5 . B. 2; 3;5 2 ; 3 ;5 2; 3 ; 5 . C. . D. .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ; a ;
b c . Tọa độ của vectơ OM là A. a; ; b c .
B. a; ; b c . C. ; a ; b c . D. ; a ; b c .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 1
; 2;3 . Tìm tọa độ của véctơ b 2; y; z , biết
rằng vectơ b cùng phương với vectơ a .
A. b 2; 4; 6 .
B. b 2; 4;6 .
C. b 2; 4;6 .
D. b 2; 3;3 .
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1; 2 và B 2; 2;
1 . Vectơ AB có tọa độ là A. 3;3; 1 B. 1 ;1; 3 C. 3;1; 1 D. 1;1;3
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ BA có tọa độ là A. 1; 2; 3. B. 3; 4; 1 .
C. 1; 2;3 . D. 3 ; 4; 1 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M , N thỏa mãn hệ thức OM 2i j và
ON i j 2k . Tọa độ của vectơ MN là
A. M 1; 2; 2 .
B. M 1; 1; 2 . C. M 1
; 2;2 . D. M 2;0; 1 .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A1; 2;5 lên trục Ox có tọa độ là A. 0; 2;0 . B. 0;0;5 . C. 1;0;0 . D. 0; 2;5 .
Câu 24: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1
;1 trên trục Oz có tọa độ là A. 3;0;0 . B. 3; 1;0 . C. 0;0; 1 . D. 0; 1;0 .
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3; 2;5 . Điểm đối xứng của điểm M qua trục Oz là A. M 3 ; 2 ; 5 . B. M 0; 0; 5 . C. M 2;3;5 . D. M 0; 0;5 . 4 3 2 1
Câu 26: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1;
1 trên trục Oy có tọa độ là A. 0;0; 1 . B. 2;0; 1 . C. 0;1;0 . D. 2;0;0 .
Câu 27: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2
;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 A. 2;0; 1 . B. 2; 2;0 . C. 0; 2; 1 . D. 0;0; 1 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 4
;5 . Tọa độ điểm A đối xứng với
điểm A qua mặt phẳng Oxz là A. 1; 4;5 . B. 1; 4;5 . C. 1; 4;5 . D. 1; 4; 5 .
Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 5
;4 . Tọa độ của điểm M ' đối xứng với M qua
mặt phẳng Oyz là A. 2;5; 4 . B. 2; 5 ; 4 .
C. 2;5; 4 . D. 2 ; 5 ;4 .
Câu 30: Trong không gian Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto a 1;1; 3 và b 2 1; m ; 3 bằng nhau. A. m 2 .
B. m 1.
C. m 1.
D. m 1.
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u 1; m 1; 4 và v 1;3; 2n . Biết u v khi đó giá trị của ; m n là
A. m 4; n 2 .
B. m 2; n 2 .
C. m 4; n 4 .
D. m 2; n 4 .
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a 1; 2x 1;1 3z và b 2 3y; 1 ; 2
. Khi a b thì tổng 2 3
T x 2 y 3z bằng A. 2 . B. 5 . C. 1. D. 4 .
Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 3;1;0 và MN 1 ; 1
;0. Tìm tọa độ của điểm N.
A. N 4; 2;0 . B. N 4 ; 2 ;0 . C. N 2 ;0;0 .
D. N 2;0;0 .
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho a 3 ;2
;1 và điểm A4;6; 3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn AB a . A. 7; 4; 4 . B. 1;8; 2 . C. 7 ; 4 ;4 . D. 1 ; 8 ;2 .
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 0;1; 2 , N 7;3; 2 , P 5; 3; 2 . Tìm tọa độ điểm Q
thỏa mãn MN QP . A. Q 12 ; 5;2 . B. Q 12 ;5;2 .
C. Q 12;5; 2 . D. Q 2 ;1;2 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2
;1 trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là A. 2;0; 1 . B. 2; 2;0 . C. 0; 2; 1 . D. 0;0; 1 .
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho A1;1; 2 , B 2; 1 ;1 và C 3; 2; 3
. Tìm tọa độ điểm D để
ABCD là hình bình hành. A. 4;0; 4 .
B. 0; 2;6 . C. 4; 2; 4 . D. 2; 4; 2 .
Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;
1 , B 2;1;3 , C 3 ;5 ;1 . Tìm tạo độ điểm
D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D 2 ;8; 3 . B. D 4 ;8; 3 . C. D 2 ;2;5 . D. D 4 ;8; 5 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC, với A1; 2 ;1 , B 3
;0;3, C 2;4; 1 . Tìm tọa độ
điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. A. D 6; 6 ;3 .
B. D 2 ;2 ;1 .
C. D 6; 6 ; 3 .
D. D 6;6; 3 .
Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCE với A3;1; 2 , B 1;0;
1 , C 2;3;0 . Tọa độ đỉnh E là A. 4; 4; 1 .
B. 0; 2; 1 .
C. 1;1; 2 .
D. 1;3; 1 .
Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 1 , B 2;1; 3 ,C 2;3; 3 . Điểm M ; a ; b c là
đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó 2 2 2
P a b c có giá trị bằng A. 42. B. 50. C. 48. D. 44.
Câu 42: Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABC . D AB C D
biết A1,0,
1 , B 2,1, 2 , D 1, 1 , 1 , C4,5, 5
. Tọa độ A lả
A. A4, 6, 5 . B. A 3 ,4, 1 . C. A3,5, 6 .
D. A3,5, 6 .
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABC .
D A' B ' C ' D ' với các đỉnh ( A 1 ;1;2) B( 3 ;2;1) , D(0; 1
;2) và A'(2;1;2) . Tìm tọa độ đỉnh C ' .
A. C '(1;3;1) .
B. C '(3;0;3) .
C. C '(0;1;0) . D. C '(1;0;1) .
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D AB C D
. Biết tọa độ các đỉnh ( A 3 ; 2;1) , C(4; 2; 0) , B ( 2
;1;1) , D (3; 5; 4) . Tìm tọa độ điểm A của hình hộp. A. A ( 3 ; 3; 3) . B. A ( 3; 3; 3) . C. A ( 3 ; 3; 3) . D. A ( 3 ; 3;1) .
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D AB C D
có A1;0;
1 , B 2;1; 2 , D 1; 1 ;1 , C4;5;
5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp đã cho.
A. A4;6; 5 .
B. A2;0; 2 .
C. A3;5; 6 .
D. A3; 4; 6 .
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy ?
A. Q 0; 10;0 .
B. P 10;0;0 .
C. N 0;0; 10 . D. M 10 ;0;10. Câu 2:
Trong không gian Oxyz , cho A0;1;0 , góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng Oxz bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 0 . Lời giải:
Ta có OA Oxz nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng Oxz bằng 90 . Câu 3:
Trong không gian Oxyz , biết tọa độ hình chiếu của điểm A lên các trục Ox,Oy,Oz lần
lượt là M 1;0;0, N 0; 2
;0, P0;0;3 . Tọa độ của vectơ OA là
A. 1; 2;3 .
B. 1; 2;3 .
C. 1; 2;3 . D. 1 ;2; 3 . Lời giải: Ta có A1; 2
;3 và O0;0;0 nên OA1; 2;3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 Câu 4:
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Aa;b;c; B ; m ;
n p . Điều kiện để ,
A B nằm về hai phía
của mặt phẳng Oyz là A. cp 0 . B. bn 0 . C. am 0 . D. c p 0 . Lời giải:
Ta có phương trình mặt phẳng Oyz là x 0.
Do vậy A và B nằm về hai phía của mặt phẳng Oyz khi và chỉ khi hoành độ của điểm A
và hoành độ của điểm B trái dấu. Điều này xảy ra khi am 0. Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho u 2; 4;
1 . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. u 2i 4 j k.
B. u 2i 4 j k.
C. u 2 4 1. D. 2 2 2 u 2 4 1 . Lời giải:
Ta có u 2; 4;
1 u 2i 4 j k. Câu 6:
Trong không gian Oxyz, cho a 2i k 3 j . Tọa độ của a là A. (2;1;3) B. (2; 3;1) C. (2;1;3) . D. (2;1; 3) Lời giải:
a 2i k 3 j a 2; 3 ;1 . Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho a i 2k . Tọa độ a là A. (1; 0; 2) .
B. (1; 0; 2) . C. (1; 2; 0) .
D. (1; 2; 0) . Lời giải:
Tọa độ của a (1; 0; 2) . Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho u 2 j 3i 4k . Tọa độ của u là
A. 2; 3; 4 . B. 3 ; 2; 4 .
C. 3; 2; 4 . D. 3; 2; 4 . Lời giải:
Ta có u 2 j 3i 4k suy ra tọa độ của u 3 ;2; 4 . Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ O,i, j,k , cho OM 2; 3;1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. OM 2i 3j k . B. M 2 ;3;1 . C. M 1 ; 3;2 .
D. OM 2i 3j k .
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i k. Tọa độ của điểm M là A. 2;0; 1 . B. 0; 2; 1 .
C. 1; 2;0 .
D. 2;1;0 . Lời giải:
Ta có OM (2;0;1) nên điểm M có tọa độ là 2;0; 1 .
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho vectơ AO 3i 4 j 2k 5 j . Tọa độ của điểm A là A. 3;17; 2 . B. 3 ; 17 ; 2 . C. 3; 5; 2 . D. 3; 2; 5 . Lời giải:
Ta có: AO 3i 4 j 2k 5 j 3i 17 j 2k A 3 ; 1 7;2.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ a 2 j i, b i
2k 2 j và c 2i 3k . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 2;1;0, b 1 ; 2
;2, c 2;0; 3
. B. a 2;1;0, b 1 ;2; 2 , c 2; 3 ;0 .
C. a 1; 2;0, b 1 ; 2
;2, c 2; 3 ;0 .
D. a 1; 2;0, b 1 ; 2
;2, c 2;0; 3 . Lời giải:
Ta có a 2 j i i 2 j 0k a 1; 2;0 ; b i
2k 2 j i
2 j 2k b 1 ; 2 ;2 ;
c 2i 3k 2i 0 j 3k c 2;0; 3 .
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho điểm M a; ;
b c . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Tọa độ OM là a; ; b c .
B. Tọa độ hình chiếu của M lên Ox là a;0;0 .
C. Điểm M thuộc Oz khi và chỉ khi a b 0. .
D. Khoảng cách từ M đến Oxy bằng c . Lời giải:
Ta có: d M ,Oxy |
c |, nên mệnh đề B sai.
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho vecto a 1;1; 3
; b 2;2; 2
; c 2i 2 j 6k và d 1;1; 1 .
Cặp vecto nào sau đây cùng phương?
A. a và b .
B. a và d .
C. a và c .
D. b và c . Lời giải: 1 1 3 Vì 2 2 2
nên hai vecto a và b không cùng phương. Chọn A sai. 1 1 3 Vì 1 1 1
nên hai vecto a và d không cùng phương. Chọn B sai. Ta có c 2; 2; 6 21;1; 3
2a suy ra a và c cùng phương. 2 2 2 Vì 2 2 6
nên hai vecto b và c không cùng phương. Chọn D sai.
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm M 1; 2;3 , N 1 ;0;4, P2; 3
;1 , Q 2;1; 2 . Cặp véctơ
nào sau đây là véc tơ cùng phương ?
A. MN và PQ .
B. OM và NP .
C. MQ và NP .
D. MP và NQ . Lời giải: Ta có.
OM 1; 2;3, NP 3; 3 ; 3 ; MP 1; 5 ; 2
, NQ 3;1; 2 ; MQ 1; 1 ; 1 ; .
MN 2; 2; 1 , PQ 0; 4; 1 1 1 1 Xét đáp án C ta thấy
MQ và NP cùng phương. 3 3 3
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ,
A B với OA 2; 1;3 , OB 5; 2; 1 . Tìm tọa độ của vectơ . AB
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 A. AB 3; 3; 4 .
B. AB 3; 3; 4 .
C. AB 7;1; 2 .
D. AB 2; 1 ;3 . Lời giải:
Từ giả thiết ta có A2; 1;3 , B 5; 2; 1 nên AB 3;3; 4 .
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2
;3;5 . Toạ độ của vectơ OA là A. 2;3;5 . B. 2; 3;5 2 ; 3 ;5 2; 3 ; 5 . C. . D. . Lời giải: Ta có A 2
;3;5 nên toạ độ của vectơ là OA =2;3;5 .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ; a ;
b c . Tọa độ của vectơ OM là A. a; ; b c .
B. a; ; b c . C. ; a ; b c . D. ; a ; b c . Lời giải:
Ta có OM a; ; b c .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 1
; 2;3 . Tìm tọa độ của véctơ b 2; y; z , biết
rằng vectơ b cùng phương với vectơ a .
A. b 2; 4; 6 .
B. b 2; 4;6 .
C. b 2; 4;6 .
D. b 2; 3;3 . Lời giải: 2 y z y 4
Véctơ b cùng phương với véctơ a . 1 2 3 z 6
Vậy b 2; 4; 6 .
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1; 2 và B 2; 2;
1 . Vectơ AB có tọa độ là A. 3;3; 1 B. 1 ;1; 3 C. 3;1; 1 D. 1;1;3 Lời giải:
AB 2 1;2 1;1 2
hay AB 1;1;3.
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ BA có tọa độ là A. 1; 2; 3. B. 3; 4; 1 .
C. 1; 2;3 . D. 3 ; 4; 1 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M , N thỏa mãn hệ thức OM 2i j và
ON i j 2k . Tọa độ của vectơ MN là
A. M 1; 2; 2 .
B. M 1; 1; 2 . C. M 1
; 2;2 . D. M 2;0; 1 . Lời giải:
Điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i j nên tọa độ điểm M 2;1;0 .
Điểm N thỏa mãn hệ thức ON i j 2k nên tọa độ điểm N 1;1;2 .
Khi đó MN 1 ; 2;2 .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A1; 2;5 lên trục Ox có tọa độ là A. 0; 2;0 . B. 0;0;5 . C. 1;0;0 . D. 0; 2;5 . Lời giải:
Hình chiếu vuông góc của điểm A1; 2;5 lên trục Ox có tọa độ là 1;0;0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Câu 24: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1
;1 trên trục Oz có tọa độ là A. 3;0;0 . B. 3; 1;0 . C. 0;0; 1 . D. 0; 1;0 . Lời giải:
Gọi M là hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1
;1 lên trục Oz . Ta có M 0;0 ;1 .
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3; 2;5 . Điểm đối xứng của điểm M qua trục Oz là A. M 3 ; 2 ; 5 . B. M 0; 0; 5 . C. M 2;3;5 . D. M 0; 0;5 . 4 3 2 1 Lời giải:
Điểm đối xứng của điểm M 3; 2;5 qua trục Oz là M 3 ;2;5 . 1
Câu 26: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1;
1 trên trục Oy có tọa độ là A. 0;0; 1 . B. 2;0; 1 . C. 0;1;0 . D. 2;0;0 .
Câu 27: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2
;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 2;0; 1 . B. 2; 2;0 . C. 0; 2; 1 . D. 0;0; 1 . Lời giải:
Hình chiếu của M 2; 2
;1 lên mặt phẳng Oxy thì cao độ bằng 0 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 4
;5 . Tọa độ điểm A đối xứng với
điểm A qua mặt phẳng Oxz là A. 1; 4;5 . B. 1; 4;5 . C. 1; 4;5 . D. 1; 4; 5 . Lời giải:
Đối xứng của điểm A1; 4
;5 qua mặt phẳng Oxz là điểm A1;4;5 .
Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 5
;4 . Tọa độ của điểm M ' đối xứng với M qua
mặt phẳng Oyz là A. 2;5; 4 . B. 2; 5 ; 4 .
C. 2;5; 4 . D. 2 ; 5 ;4 . Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của M 2; 5
;4 lên mặt phẳng Oyz , ta có H 0; 5 ;4 .
Vì M ' đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz nên H là trung điểm MM ' . Khi đó
x 2x x 2 M ' H M
y 2y y 5 M ' 2 ; 5 ;4 . M ' H M
z 2z z 4 M ' H M
Câu 30: Trong không gian Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto a 1;1; 3 và b 2 1; m ; 3 bằng nhau. A. m 2 .
B. m 1.
C. m 1.
D. m 1. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 1 1 Ta có 2
a b m 1 m 1 . 3 3
Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u 1; m 1; 4 và v 1;3; 2n . Biết u v khi đó giá trị của ; m n là
A. m 4; n 2 .
B. m 2; n 2 .
C. m 4; n 4 .
D. m 2; n 4 . Lời giải: 1 1 m 4
Ta có u v m 1 3 . n 2 4 2n
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a 1; 2x 1;1 3z và b 2 3y; 1 ; 2
. Khi a b thì tổng 2 3
T x 2 y 3z bằng A. 2 . B. 5 . C. 1. D. 4 . Lời giải: 1 2 3y y 1
Ta có a b 2x 1 1
x 0 T 0 2. 2 3 1 3.1 5 . 1 3z 2 z 1
Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 3;1;0 và MN 1 ; 1
;0. Tìm tọa độ của điểm N.
A. N 4; 2;0 . B. N 4 ; 2 ;0 . C. N 2 ;0;0 .
D. N 2;0;0 . Lời giải: Gọi N ;
x y; z là điểm cần tìm. Ta có: MN x 3; y 1; z . x 3 1 x 2
Khi đó theo giả thiết ta có y 1 1
y 0 N 2;0;0. z 0 z 0
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho a 3 ;2
;1 và điểm A4;6; 3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn AB a . A. 7; 4; 4 . B. 1;8; 2 . C. 7 ; 4 ;4 . D. 1 ; 8 ;2 . Lời giải:
Giả sử B ; a ;
b c khi đó AB a 4;b 6;c 3 . a 4 3 a 1
Khi đó AB a b 6 2 b
8 B1;8; 2 . c 3 1 c 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 0;1; 2 , N 7;3; 2 , P 5; 3; 2 . Tìm tọa độ điểm Q
thỏa mãn MN QP . A. Q 12 ; 5;2 . B. Q 12 ;5;2 .
C. Q 12;5; 2 . D. Q 2 ;1;2 . Lời giải:
x x x x 7 5 x x 1 2 N M P Q Q Q
Ta có: MN QP y y y y 2 3 y y 5 . N M P Q Q Q z z z z 0 2 z z 2 N M P Q Q Q
Câu 36: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2
;1 trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là A. 2;0; 1 . B. 2; 2;0 . C. 0; 2; 1 . D. 0;0; 1 .
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho A1;1; 2 , B 2; 1 ;1 và C 3; 2; 3
. Tìm tọa độ điểm D để
ABCD là hình bình hành. A. 4;0; 4 .
B. 0; 2;6 . C. 4; 2; 4 . D. 2; 4; 2 . Lời giải: B C D A Giả sử D ;
x y; z ta có AD x 1; y 1; z 2 , BC 1;3; 4 . x 1 1 x 2
Tứ giác ABCD là hình bình hành AD BC y 1 3 y 4 . z 2 4 z 2 Vậy D 2; 4; 2 .
Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;
1 , B 2;1;3 , C 3 ;5 ;1 . Tìm tạo độ điểm
D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D 2 ;8; 3 . B. D 4 ;8; 3 . C. D 2 ;2;5 . D. D 4 ;8; 5 . Lời giải: B C D A Ta có: BA 1
;3; 4 và 3 điểm A, B ,C không thẳng hàng.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 x 3 1 x 4 D D
Tứ giác ABCD là hình bình hành BA CD y 5 3 y 8 D . D D 4;8; 3 z 1 4 z 3 D D
Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC, với A1; 2 ;1 , B 3
;0;3, C 2;4; 1 . Tìm tọa độ
điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. A. D 6; 6 ;3 .
B. D 2 ;2 ;1 .
C. D 6; 6 ; 3 .
D. D 6;6; 3 . Lời giải: B D A C Gọi D ; x y; z . Ta có: AB 4 ; 2
;2, CD x 2; y 4; z 1 . x 2 4 x 2
Tứ giác ABDC là hình bình hành AB CD y 4 2
y 2 D 2 ;2 ;1 . z 1 2 z 1
Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCE với A3;1; 2 , B 1;0;
1 , C 2;3;0 . Tọa độ đỉnh E là A. 4; 4; 1 .
B. 0; 2; 1 .
C. 1;1; 2 .
D. 1;3; 1 . Lời giải:
Ta gọi E ; x y; z . Và có AB 2 ; 1 ; 1 . EC 2 ;
x 3 y; z . 2 x 2 x 4
Mà ABCE là hình bình hành AB EC 3 y 1 y 4 . z 1 z 1 Vậy E 4; 4 ;1 .
Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 1 , B 2;1; 3 ,C 2;3; 3 . Điểm M ; a ; b c là
đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó 2 2 2
P a b c có giá trị bằng A. 42. B. 50. C. 48. D. 44. Lời giải: a 2 1 2 a 3
Tứ giác ABCM là hình bình hành khi và chỉ khi: CM BA b 3 2 1 b 6. c 3 1 3 c 1 2 2 Suy ra: 2 2 2
P a b c 2 3 6 1 44.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Câu 42: Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABC . D AB C D
biết A1,0,
1 , B 2,1, 2 , D 1, 1 , 1 , C4,5, 5
. Tọa độ A lả
A. A4, 6, 5 . B. A 3 ,4, 1 . C. A3,5, 6 .
D. A3,5, 6 . Lời giải: A' D' B' C' A D B C
Gọi C x, y, z . D A 0, 1
,0 ; BC x 2, y 1, z 2 . x 2 0 Ta có D A
BC y 1 1
C 2,0,2 .Do đó AC 1,0, 1 . z 2 0 4 a 1
Gọi Aa, ,
b c ; AC 4 a,5 , b 5
c ; mà AC A C 5
b 0 A3,5, 6 . 5 c 1
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABC .
D A' B ' C ' D ' với các đỉnh ( A 1 ;1;2) B( 3 ;2;1) , D(0; 1
;2) và A'(2;1;2) . Tìm tọa độ đỉnh C ' .
A. C '(1;3;1) .
B. C '(3;0;3) .
C. C '(0;1;0) . D. C '(1;0;1) . Lời giải: Ta có AB ( 2 ;1; 1 ), AD (1; 2 ;0).
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025 x 2 1 C '
AC AB AD A'C ' A'C ' ( 1 ; 1 ; 1
) y 1 1 C '(1;0;1). C ' z 2 1 C'
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D AB C D
. Biết tọa độ các đỉnh ( A 3 ; 2;1) , C(4; 2; 0) , B ( 2
;1;1) , D (3; 5; 4) . Tìm tọa độ điểm A của hình hộp. A. A ( 3 ; 3; 3) . B. A ( 3; 3; 3) . C. A ( 3 ; 3; 3) . D. A ( 3 ; 3;1) . Lời giải:
Gọi A x ; y ; z , C x ; y ; z . 2 2 2 1 1 1 5
Tâm của hình bình hành AB C D là I 1; 3; . 2 A/ D/ C/ B/ A D B C . x x 1 1 2
Do I là trung điểm của AC nên y y 6 . 1 2 z z 5 1 2
Ta có AC 7;0; 1 và A C
x x ; y y ; z z . 2 1 2 1 2 1 x x 7 2 1 Do ACC A
là hình bình hành nên y y 0 . 2 1 z z 1 2 1
Xét các hệ phương trình: x x 1 x 3 y y 6 y 3 z z 5 z 3 1 2 1 . 1 2 1 . 1 2 1 . x x 7 x 4 y y 0 y 3 z z 1 z 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Vậy A 3 ;3;3.
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D AB C D
có A1;0;
1 , B 2;1; 2 , D 1; 1 ;1 , C4;5;
5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp đã cho.
A. A4;6; 5 .
B. A2;0; 2 .
C. A3;5; 6 .
D. A3; 4; 6 . Lời giải:
Theo quy tắc hình hộp ta có: AB AD AA AC .
Suy ra AA AC AB AD .
Lại có: AC 3;5; 6 , AB 1;1
;1 , AD 0; 1;0 .
Do đó: AA 2;5; 7 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025
Suy ra A3;5; 6 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 12 – KNTT
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Định hướng cấu trúc 2025
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 01_TrNg 2025 Líp To¸n thÇy L£ B¸ B¶O
Trường THPT Đặng Huy Trứ
S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o
116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch, TP HuÕ Trung tâm Km10- Hương Trà – Huế NỘI DUNG ĐỀ BÀI
Trong quá trình sưu tầm và biên soạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì rất mong nhận được sự góp ý của
quý thầy cô cùng các em học sinh! Xin chân thành cảm ơn!
PHẦN I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu
hỏi, thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1:
Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy ?
A. Q (0; −10;0) . B. P (10;0;0) .
C. N (0;0; −10) . D. M ( 10 − ;0;10). Câu 2:
Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;0) , góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 0 . Câu 3:
Trong không gian Oxyz , biết tọa độ hình chiếu của điểm A lên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M (1;0;0), N (0; 2
− ;0), P(0;0;3) . Tọa độ của vectơ OA là
A. (−1; 2;3) . B. (1; 2;3) .
C. (1; − 2;3) . D. ( 1 − ;2;− 3) . Câu 4:
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(a;b;c); B( ; m ;
n p) . Điều kiện để ,
A B nằm về hai phía
của mặt phẳng (Oyz) là A. cp 0 . B. bn 0 . C. am 0 . D. c p 0 . Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho u = (2; 4; − )
1 . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. u = 2i + 4 j − k.
B. u = −2i − 4 j + k.
C. u = 2 + 4 −1. D. 2 2 2 u = 2 + 4 −1 . Câu 6:
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm M (1; 2;3) , N ( 1 − ;0;4), P(2; 3 − )
;1 , Q(2;1;2) . Cặp vectơ
nào sau đây là vectơ cùng phương ?
A. MN và PQ .
B. OM và NP .
C. MQ và NP .
D. MP và NQ . Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 2
− ;3;5) . Toạ độ của vectơ OA là A. (−2;3;5) . B. (2; −3;5) ( 2 − ; 3 − ;5) (2; 3 − ; 5 − ) . C. . D. . Câu 8:
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; − 2) và B (2; 2; )
1 . Vectơ AB có tọa độ là A. (3;3; − ) 1 B. ( 1 − ;−1;− 3) C. (3;1; ) 1 D. (1;1;3) Câu 9:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3; 2; 5
− ) . Điểm đối xứng của điểm M qua trục Oz là A. M 3 − ; 2 − ; 5 − M 0;0; 5 − M 2;3;5 M 0;0;5 1 ( ). B. 2 ( ). C. 3 ( ) . D. 4 ( ).
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u = (1; m −1; 4) và v = (1;3; 2n) . Biết u = v khi đó giá trị của ; m n là
A. m = 4; n = 2 .
B. m = 2; n = 2 .
C. m = 4; n = 4 .
D. m = 2; n = 4 .
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M (0;1; 2), N (7;3; 2), P ( 5
− ; − 3;2) . Tìm tọa độ điểm Q
thỏa mãn MN = QP . A. Q ( 12 − ;− 5;2) . B. Q ( 12 − ;5;2) .
C. Q (12;5; 2) . D. Q ( 2 − ;−1;2) .
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho A(1;1; 2) , B (2; 1 − ) ;1 và C (3;2; 3
− ) . Tìm tọa độ điểm D để
ABCD là hình bình hành.
A. (4;0; −4) .
B. (0; −2;6) .
C. (4; 2; −4) .
D. (2; 4; −2) .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu,
thí sinh chọn đúng hoặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2 − ;1;− ) 1 . Khẳng định Đúng Sai a)
Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng
(Oxz) có tọa độ là M 2 − ;0; 1 − 1 ( ). b)
Hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy có tọa độ là M 0;0; 1 − 2 ( ) . c)
Điểm đối xứng của điểm M qua mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là M 2; 1 − ;1 3 ( ). d)
Điểm đối xứng của điểm M qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là M 2;1; 1 − 4 ( ) . Câu 2:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0; 3 − ;5) . Khẳng định Đúng Sai a)
Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oz có tọa độ là A 0;0;5 1 ( ) . b)
Điểm A thuộc trục hoành. c)
AO = −3 j + 5k. d)
Gọi I Oy sao cho AI nhỏ nhất, khi đó I (0; 3 − ;0) . Câu 3:
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2 − ;1; 3 − ),b = ( 1 − ; 3
− ;2) và điểm A(4;6; 3 − ) . Khẳng định Đúng Sai a) a = 2
− i + j − 3k. b)
Tọa độ điểm B (2;7; 6
− ) thì a = A . B c)
Hai vectơ a và b cùng phương. d)
Cho M (2;4;0) thì AM = 2
− i − 2 j + 3k. Câu 4:
Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D AB C D
. Biết A(2;4;0) , B(4;0;0) , C ( 1
− ;4;− 7) và D(6;8;10) . Khẳng định Đúng Sai a) BA = ( 2 − ;4;0). b)
Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm C xuống trục hoành là (−1;0;0) . c)
Tọa độ của tâm hình hộp ABC . D AB C D là (1;1;−2) . d)
Toạ độ của điểm B(13;0;17) .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1:
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( 1
− ;2x −1;1− 3z) và b = (2 + 3y; 1 − ; 2
− ) . Khi a = b thì tổng 2 3
T = x + 2y + 3z bằng bao nhiêu? Kết quả: Trình bày:
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 2:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( 1 − ;0;2) ; B( 3
− ;2;4) và C (1;3;0). Giả sử D( ; a ; b c) là
đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD , tính 2 2 2
T = a + b + c . Kết quả: Trình bày:
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 3:
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O′A′B′C′ như hình vẽ, biết B′(2; 3; 5). z O′ C′ A′ B′ O A C y B x
Biết tọa độ đỉnh B là (a;b;c). Tính a + b + c. Kết quả: Trình bày:
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 4:
Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D AB C D có A(1;0; )
1 , B (2;1;2) , D(1;−1 ) ;1 ,
C(4;5;− 5) . Biết đỉnh A ( ; a ;
b c), tính a + b + c. Kết quả: Trình bày:
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 5:
Một chiếc khinh khí cầu bay lên từ điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông,
đồng thời cách mặt đất 0,5 km . Chọn hệ trục Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai
khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với tia Ox hướng về phía nam, tia Oy
hướng về phía đông và tia Oz hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet.
Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu đã cho là (a; ;
b c), tính a + b + 2c. Kết quả: Trình bày:
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….
………………………………………………………………………………….………………………….