
















Preview text:
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực .
• Cho hàm số f xxác định trên K . Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu
F ' x f x với mọi x thuộc K .
• Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f xtrên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f x trên K đều
có dạng F x C với C là một hằng số. Vì vậy, f
x dx F xC
• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Ta có: F '
x dx F xC 2. Tính chất
Cho f x, g x là hai hàm số liên tục trên K . • kf
x dx k f
x dx với k là hằng số khác 0; • f
x gx dx f
x dx g x dx • f
x gx dx f
x dx g x dx
3. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản 1 • Với x
1ta có x dx C • 1 dx ln x C 1 x • 1
sin xdx cos x C. •
dx cot x C. 2 sin x • 1
cos xdx sin x C. •
dx tan x C. 2 cos x x a
• Với a 0;a 1 ta có x a dx C. ln a II. TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa
Cho f x là hàm số liên tục trên ;
a b. Giả sử F x là một nguyên hàm của f x trên đoạn ;
a b. Khi đó b f
xdx F b F a a 2. Tính chất
Cho các hàm số y f x, y g x liên tục trên đoạn ;
a b. Ta có: b b • kf
x dx k f
x dx (k là hằng số). a a b b b • f
x gx dx f
x dx g x dx; a a a b b b • f
x gx dx f
x dx g x dx a a a Trang 1 n c n • Giả sử , m ,
n c là ba số thực tuỳ ý thuộc đoạn ;
a b, ta có: f
x dx f
x dx f x dx. m m c
3. Tích phân một số hàm số sơ cấp cơ bản b b 1 1 1 • Với x b a
1, ta có: x dx 1 1 a a b • Với hàm số 1 b f x
liên tục trên đoạn ;
a b, ta có: 1 dx ln x ln b ln a x a x a b • b
sin x dx cos x cos a cos b a a b • b
cos x dx sin x sin b sin a a a b • Với hàm số 1 b f x 1 liên tục trên ;
a b, ta có:
dx cot x cot a cot b . 2 sin x 2 sin a x a • Với hàm số 1 f (x) liên tục trên ; a b , ta có: 2 cos x b 1 b
dx tan x tan b tan ; a 2 cos a x a x a a a
• Với a 0 , a 1, ta có x a dx . ln a ln a 4. Úng dụng
• Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn ;
a b . Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b là b S f (x) dx . a
• Cho các hàm số y f x, y g x liên tục trên đoạn ;
a b . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của các hàm số y f x, y g x và hai đường thẳng x a, x b là b S f
x gxdx . a
• Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x a và x b (a b) . Một mặt phẳng tuỳ ý
vuông góc với Ox tại x (a x b) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S (x) . Giả sử hàm số S (x) liên tục trên ;
a b . Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức b V S xd .x a
• Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn ;
a b . Hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng Trang 2 b V f
x 2 dx . a
B . MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Ví dụ 1. [MĐ1] Hàm số 3
F(x) 2x 2x 1 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. 1 f x 2 6x 2
B. f x 4 2
x x x 2
C. f x 1 4 2
x x x C .
D. f x 2
6x 2C . 2 Lời giải Chọn A
Ta có: f x F x 3 x x 2 ( ) ( ) 2 2 1 6x 2 .
Ví dụ 2. [MĐ1] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x 0, x , đồ thị hàm số y cos x và trục Ox là:
A. S cos x dx B. 2
S cos x dx . 0 0
C. S cos x dx .
D. S cos x dx . 0 0 Lời giải Chọn C
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x a, x b và các đồ thị hàm số b
y f (x), y g(x) là S
|f (x) g(x) | dx
. Khi đó, theo đề bài ta có S cos x dx . a 0
Ví dụ 3. [MĐ1] Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y e , y 0, x 0, x 2 quay quanh Ox . Phát biểu nào sau đây là đúng? 2 2 A. 2 x
V e dx . B. x
V e dx . 0 0 2 2 C. x
V e dx . D. 2 x
V e dx . 0 0 Lời giải Chọn A
Hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y e , y 0, x 0, x 2 quay quanh Ox sẽ tạo thành một khối b 2
tròn xoay có thể tích bằng V f x 2 2 x
dx e dx . a 0
Ví dụ 4. [MĐ1] Một vật chuyển động với vận tốc v(t) 1 2sin 2t ( m/s) . Quãng đường vật di chuyển trong
khoảng thời gian từ t 0 (giây) đến thời điểm 3 t
(giây) được tính theo công thức: 4 Trang 3 3 3 4 4
A. s t 1 2sin 2tdt .
B. s t 1 2sin 2t2dt . 0 0 3π 3π C. 4 s(t) (1 2sin 2t)dt .
D. s(t) v v(0) . 0 4 Lời giải Chọn A π
Gọi s(t) là quãng đường mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ t 0 (giây) đến 3 t (giây). Mà 4 3π
s '(t) v(t) nên ta có 4 s(t) (1 2sin 2t)dt . 0
Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ví dụ 5: [MĐ1] Giả sử s(t) là phương trình quãng đường chuyển động của một vật theo thời gian t (giây) và
v(t) là phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian t (giây).
a) s(t)dt v(t) C .
b) v(t)dt s(t) C .
c) s '(t)dt v(t) C .
d) s '(t)dt s(t) C . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S Đ S Đ
Vì s(t) , v(t) lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian
t (giây) nên ta có s '(t) v(t) và v(t)dt s(t) C .
a) s(t)dt v(t) C . Suy ra Sai.
b) v(t)dt s(t) C . Suy ra Đúng.
c) s '(t)dt v(t) C . Suy ra Sai.
d) s '(t)dt s(t) C . Suy ra Đúng.
Ví dụ 6: [MĐ2] Cho hàm số 3
F(x) x 2x 1 , x ¡ là một nguyên hàm của hàm số f (x) .
a) Nếu hàm số G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và G(1) 3 thì G x F x 1, x¡ .
b) Nếu hàm số H (x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và H (1) 3 thì H x
F x 3 , x¡ .
c) Nếu hàm số K (x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và K (0) 0 thì K x F x 1 , x¡ .
d) Nếu hàm số M (x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và M (2) 4 thì M x F x 1, x¡ . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S Đ S Đ
a) Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ¡ nên G(x) F (x) C , với C 1à một hằng số.
Mà G(1) 3 nên ta có G( 1 ) F( 1
) C 3 2 C C 1. Trang 4
Vậy G x F x 1, x¡ . Suy ra Sai.
b) Vì H (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ¡ nên H (x) F (x) C , với C 1à một hằng số. Mà H (1) 3
nên ta có H (1) F(1) C 3
0 C C 3 .
Vậy H x F x 3 , x¡ . Suy ra đúng.
c) Vì K (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ¡ nên K (x) F (x) C , với C 1à một hằng số. Mà
K (0) 0 nên ta có K (0) F (0) C 0 1 C C 1
. Vậy K x F x 1, x¡ . Suy ra Sai.
d) Vì M (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ¡ nên M (x) F (x) C , với C 1à một hằng số. Mà
M (2) 4 nên ta có M (2) F (2) C 4 5 C C 1
. Vậy M x F x 1, x¡ . Suy ra Đúng.
Ví dụ 7: [MĐ2] Một vật chuyển động với gia tốc a t t 2 ( ) 2 cos m / s .
a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 . Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm
số v(t) 2 sin t ( m / s) . π
b) Vận tốc của vật tại thời điềm t là 1 m / s . 2
c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 0 ( s) đến thời điểm t π (s) là 4 m . π π d) Quãng đườ 3
ng vật đi được từ thời điểm t
(s) đến thời điểm t (s) là 2 m . 2 4 Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ S
a) Ta có v(t) a(t)dt 2 cos t dt 2 sin t C .
Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có v(0) 0 hay C 0 . Vậy v(t) 2sin t . Suy ra đúng. π π π
b) Vận tốc của vật tại thời điểm t là v 2sin 2( m / s) . 2 2 2 Suy ra sai.
c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 0 ( s) đến thời điểm t π (s) là π π π
v(t)dt
2sin t dt 2cost 2 cosπ ( 2 cos0) 4( m). 0 0 0 Suy ra đúng. π π d) Quãng đườ 3
ng vật đi được từ thời điểm t
(s) đến thời điểm t (s) là 2 4 3π 3π 4 4 3π 3π π 4
v(t)dt 2sin d
t t 2 cos t 2 cos 2 cos 2 ( m). π 4 2 π π 2 2 2 Suy ra Sai.
Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Trang 5
Ví dụ 8: [MĐ2] Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2
3x 4x 1 và F 2 2. Tính F 3 . Lời giải
Ta có F x f
xdx 2x x 3 2 3 4
1 dx x 2x x C . Mà F 2 2 nên suy ra C 0 Vậy
hàm số F x 3 2
x 2x x . Suy ra F 3 12 . x
Ví dụ 9: [MĐ2] Cho đồ thị hàm số 2
y 2 và hình phẳng được tô màu như Hình 1. Hình phẳng đó được giới
hạn bởi các đường nào? Tính diện tích hình phẳng đó (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải
Hình phẳng đã cho ở Hình 1 được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y 2 , trục hoành và hai đường thẳng
x 0 , x 2 . Khi đó, diện tích hình phẳng là x 1 2 x 2 2 x 2 1 2 2 2 S 2 dx 2 dx 2,89 . 1 ln 2 0 0 2 ln 2
Ví dụ 9: [MĐ2] Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số a t t 2 5 cos
m / s . Lúc bắt đầu
chuyển động vật có vận tốc 2,5 m / s . Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong
s đầu tiên. Lời giải
Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v t a
tdt 5costdt 5sint C .
Khi bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc 2, 5 m / s nên ta có:
v0 2,5 5sin 0 C 2,5 C 2,5 .
Suy ra v t 5sin t 2,5. Mà 5sin t 2,5 7,5 . Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại t . Khi đó, gia 2
tốc của vật tại thời điểm t là a 5.cos 0 2 m / s . 2 2 2
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Dạng 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1.
[MĐ1] Phát biểu nào sau đây là đúng? Trang 6 A. F
xdx F xC . B. F
xdx FxC . C. F
xdx F xC . D. F
xdx FxC . Lời giải Chọn A Câu 2.
[MĐ1] Phát biểu nào sau đây là đúng? x 1 A. 3 x 3 x e dx e C . B. 3 3 x e dx e C . 3 x 1 x 1 C. 3 3 x e dx e C . D. 3 3 x e dx e . 3 3 Lời giải Chọn B Câu 3.
[MĐ1] Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn ;
a b. Gọi D là hình phẳng giới hạn vởi đồ thị
hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b . Tính thể tích khối tròn xoay
được tạo thành khi quay D quanh trục hoành là b b
A. V f
x 2 dx .
B. V f x 2 2 dx . a a b b C. V f x 2 2 dx . D. 2 V f xdx. a a Lời giải Chọn A Câu 4.
[MĐ2] Cho hàm số y f x có đồ thị như Hình 2. Gọi S là phần diện tích hình phẳng được tô
màu. Phát biểu nào sau đây là đúng? 0 ,5 0 A. S f xdx . B. S f xdx . 1 1 0 ,5 0,5 C. S f xdx . D. S f xdx . 1 1 Lời giải Chọn D 0,5 0,5 Ta có S 0 f
x dx f xdx. 1 1 Trang 7 Câu 5.
[MĐ1] Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y
, trục hoành và hai đường thẳng x 1 x
, x 4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là 4 1 4 1
A. V π dx . B. V dx . x 2 x 1 1 4 1 4 1
C. V π dx . D. 2 V π dx . 2 x 2 x 1 1 Lời giải Chọn C
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y , x 4
trục hoành và hai đường thẳng 1
x 1, x 4 quay quanh trục Ox là V π dx . 2 x 1 Câu 6.
[MĐ1] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y sin x , trục hoành và hai đường thẳng
x 0 , x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng D quay xung quanh trục Ox là π π
A. V π sin x dx . B. 2 V π sin d x x . 0 0 π π
C. V π sin xdx . D. 2 2 V π sin d x x . 0 0 Lời giải Chọn B
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số π
y sin x , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x quay quanh trục Ox là 2 V π sin d x x . 1 Câu 7.
[MĐ1] Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng
x 1, x 2 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay xung quanh trục Ox là 2 π
A. V π xdx . B. 2 V π d x x . 1 0 2 2 C. 2 V π xdx .
D. V π d x x . 1 1 Lời giải Chọn D
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , 2
trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 quay quanh trục Ox là V π d x x . 1 Câu 8.
[MĐ1] Gọi S là diện tích hình phẳng được tô đậm trong Hình 3. Công thức tính S là Trang 8 1 2 1 2 A. S f
xdx f xdx . B. S f
xdx f xdx. 1 1 1 1 2 2 C. S f xdx . D. S f xdx . 1 1 Lời giải Chọn B 1 2
Dựa vào đồ thị, suy ra diện tích hình phẳng là S f
xdx f xdx. 1 1 Câu 9.
[MĐTH] x 2 2 dx bằng: 2 x 2 1 2 2 2 1 2 x 2x A. C . B. C . C. C . D. 2 2x C . 2 1 2 1 ln 2x Lời giải Chọn B 1
Đặt t 2x dt 2dx dx dt . 2 1 1 t Ta có 2x 2 1 2 2 dx t dt C . 2 2 2 1 1 x 2 2 1 2 x
Thay t 2x ta có 2x 2 1 2 2 dx C C . 2 2 1 2 1 2 x x Câu 10. [MĐTH] sin cos dx bằng: 2 2 2 x x
A. x cos x C . B. cos sin C . 2 2 3 1 x x C. sin cos C .
D. x cos x C . 3 2 2 Lời giải Chọn A 2 x x x x x x Ta có: sin cos 2 2 sin 2sin .cos cos 2 2 2 2 2 2 1sin x. Trang 9 2 Khi đó x x sin cos dx
1sin xdx 2 2 dx sin d
x x x cos x C .
Câu 11. [MĐTH] x 2 x e e dx bằng: x 1 2 x 1 x 1 e e A. x 2 2 x e e C . B. x 2 x e e C . C. 2 x e e C . D. C . 2 x 1 2 x 1 Lời giải Chọn C Ta có: x 2 x x 2 d d x e e x e x e dx x 1 x 1 2 d x e x e d 2 x 2 x e e C . 2 2 2 x Câu 12. [MĐTH] cos dx bằng: 2 3 2 1 x x 1 1
A. x sin x C . B. cos C . C. sin C . D. x sin x C . 3 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 2 x 1 cos x Ta có: cos dx dx 2 2 1 1 dx cos d x x 1 1
x sin x C . 2 2 2 2 x Câu 13. [MĐTH] 2 x 2
5 6e dx bằng: x x x 1 2 x 1 x 1 25 e e A. 2 x e e C . B. 2
12e C . C. x 2 2 x e e C . D. C . 2 2 ln 5 x 1 2 x 1 Lời giải Chọn B x x x Ta có 2 x 2 x 2
5 6e dx 25 dx12 e d 2 25x x 25x x 2 2 12e C 12e C . ln 25 2 ln 5
Câu 14. [MĐVD] Cho hàm số y f x có đồ thị y f x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c
như Hình 4. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 10
A. f c f a f b .
B. f c f b f a .
C. f a f b f c .
D. f b f a f c . Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có bảng biến thiên sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có: f a f b; f c f b 1 .
Gọi S là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và các đường thẳng 1
x a; x b .
Gọi S là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và các đường thẳng 2 x ; b x c . b a Ta có: S f x dx f
xdx f a f b; 1 a b c S
f x dx f c f b . 2 b
Quan sat hình vẽ ta thấy S S f c f b f a f b 2 1
f c f a 2. Từ
1 và 2 ta có f c f a f b .
Câu 15. [MĐTH] Vi khuẩn E.coli sống chủ yếu ở đường ruột và có số lượng lớn nhất trong hệ vi sinh vật của
cơ thể . Một quần thể vi khuẩn E. coli được quan sát trong điều kiện thích hợp, có tốc độ sinh trưởng được cho
bởi hàm số 480.2t f t
ln 2. Trong đó t tính bằng giờ t 0 , f t tính bằng cá thể/giờ (Nguồn: R
Larson and B.Edwards,Calculus 10e, Cengage). Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước
tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể. Hàm số biểu thị số lượng cá thể theo thời gian t là: A. 480.2t F t ln 2 B. 480.2t F t t t
C. F t 2 480.
D. F t 2 480. C ln 2 ln 2 Trang 11 Lời giải Chọn B t Do t 2 480.2 ln 2 480.ln 2. 480.2t f t dt dt C
C F(t) ln 2
Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể nên 0
F(0) 480.2 C 480 C 0
Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 16. [MĐNB] Cho f x là hàm số liên tục trên R a) f
xdx f 'xC. b) f '
xdx f xC. c) f '
xdx f x. d) f '
xdx f 'x C. Lời giải Ý a) b) c) d)
Kết quả sai đúng sai đúng
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
Câu 17. [MĐTH] Giả sử v t là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian t (giây),
a(t) là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian t (giây). a) a
tdt vtC. b) v
tdt atC. c) v '
tdt atC. d) v '
tdt vtC. Lời giải Ý a) b) c) d)
Kết quả đúng sai sai đúng
a) Do nguyên hàm của hàm gia tốc là hàm vận tốc. Suy ra đúng.
b) Do nguyên hàm của hàm vận tốc là hàm quãng đường. Suy ra sai. c) Do v '
tdt vtC. Suy ra sai
d) Do định nghĩa nguyên hàm. Suy ra đúng.
Câu 18. [MĐTH] Giả sử v t là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian t (giây),
a(t) là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian t (giây). Xét chuyển động trong khoảng
thời gian từ c (giây) đến b (giây). Trang 12 b a) a
tdt vb vc. c b b) v
tdt ab ac. c b c) v
tdt vcvb. c b d) v
tdt vbvc. c Lời giải Ý a) b) c) d)
Kết quả Đúng Sai Sai Đúng
Do a t vt Suy ra a), d) đúng.
Câu 19. Cho vật thể tròn xoay như Hình 5.
a) Vật thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và hai đường thẳng
x a, x b quay quanh trục Ox .
b) Vậy thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường
thẳng x a, x b quay quanh trục Ox . b
c) Thể tích của vật thể được tính theo công thức V f xdx . a 2 b
d) Thể tích của vật thể được tính theo công thức V f x dx . a Lời giải Ý a) b) c) d)
Kết quả Sai Đúng Sai Đúng
Theo lý thuyết về thể tích vật tròn xoay thì b, d đúng.
Câu 20. Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn
bằng hàm số Qt 3 2
4t 72t 288t , trong đó t tính bằng giờ Trang 13
( 0 t 13) , Qt tính bằng khách/giờ . Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ
đã có 500 người có mặt.
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số Qt 4 3 2
t 24t 144t .
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm t 6 . Lời giải Ý a) b) c) d)
Kết quả Sai Đúng Sai Đúng
Ta có Q t Q t 4 3
.dt t 24t 144t C Q 2 500 C 100. Suy ra Qt 4 3
t 24t 144t 100 a) sai.
Sau 5 giờ lượng khách tham quan là Q5 1325 . Do đó b) đúng.
Ta có max Q t Q 6 1396. Do đó d) đúng, c) Sai 0;1 3
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn 1 x2 3 Câu 21. dx
có giá trị bằng bao nhiêu? (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần 2 2 x 0 mười). Lời giải Trả lời: 0,1 1 x 3 1 x2 1 x 3 1 3 4 Ta có: dx dx 2 2 x 9 4 3 0 0 9 ln 4 0 1 0,1. 3 36 ln 4
Câu 22. Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2
x 22x 1 và F 1 1 . Tính 6 1 F
(viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm). 2 Lời giải Trả lời: 0, 49
Ta có: f x 2
x 22x 1 3 2
2x x 4x 2 .
Suy ra F x f
x x 3 2 d
2x x 4x 2dx 3 2
2x dx x dx 4 d x x 2dx 1 1 4 3 2
x x 2x 2x C,C 2 3 Mà F 1 1 nên suy ra C 0 . 6 Trang 14
Vậy hàm số F x 1 1 1 47 4 3 2
x x 2x 2x F 0, 49 2 3 2 96
Câu 23. Cho đồ thị hàm số y cos x và hình phẳng được tô màu như Hình 6. Tính diện tích hình phẳng đó
(viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười). Lời giải Trả lời: 4, 7
Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y cos x, y x và hai đường thẳng
x 1, x 3 . Khi đó diện tích hình phẳng được tính theo công thức 3 S
cos x x dx . Vì x cos , x x 1; 3 nên ta có: 1 3 3 x S x cos x 2 dx
sin x 4sin3 sin1 4,7 . 2 1 1
Câu 24. Cho khối tròn xoay như Hình 7. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi hình phẳng cho
ở Hình 7 khi quay quanh trục Ox (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười). Lời giải Trả lời: 1,57
Hình phẳng đã cho giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và các đường thẳng x 0, x 1,
khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình 7. Thể tích của khối tròn xoay đó là: 1 1 1 2 2 x V x dx d x x . 1,57 2 2 0 0 0 Trang 15 x
Câu 25. Cho g x f
tdt,0 x 7 trong đó f t là hàm số có đồ thị như Hình 8. Tính g3. 0 Lời giải Trả lời: 7 3 1 2 3
Ta có: g 3 f
tdt f
tdt f
tdt f tdt 0 0 1 2 1 2 3 2dt 2 d t t
124tdt 0 1 2 2 1 2 2t t 2 12t 2t 7 . 0 3 1 2
Câu 26. Một vật được ném lên từ độ cao 300 m với vận tốc được cho bởi công thức vt 9
,81t 29,43m/s (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Gọi
htm là độ cao của vật tại thời điểm t s . Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu được ném lên thì vật đó
chạm đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)? Lời giải Trả lời: 11 9,81
Ta có: h t v
tdt 9 ,81t 29, 43 2 dt
t 29, 43t C . 2
Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên h0 300 C 300. Vậy ht 9,81 2
t 29, 43t 300 . Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với h t 0 . 2 9,81 Nên ta có: 2
t 29, 43t 300 0 t 11 hoặc t 5 . 2
Do t 0 nên t 11s.
Câu 27. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá
cho thuê của mỗi gian hàng thêm x (triệu đồng) x 0 . Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng
đó được biểu diễn bởi hàm số Tx 2
0x 300, trong đó Tx tính bằng triệu đồng (Nguồn:
R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi
gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Tìm giá trị của x để người đó có
doanh thu là cao nhất? Trang 16 Lời giải Trả lời: 15
Ta có: T x T
xdx 20
x 300dx 2 1
0x 300x C,C .
Khi người đó tăng giá cho thuê mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng.
Nên ứng với x 10 ta có T 10 12000 suy ra 2 12000 1
0.10 300.10 C C 10000 . Vậy T x 2 1
0x 300x 10000. Ta có T x là một hàm bậc hai với hệ số a 0 và đồ thị hàm số
có đỉnh là I 15;12250 .
Vậy doanh thu cao nhất mà người đó có thể thu về là 12 250 triệu đồng và khi đó mỗi gian hàng đã
tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng. Trang 17
Document Outline
- Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
- Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
- C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
- Dạng 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
- Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
- Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
- Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn