-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Nguyễn Bảo Vương
Tài liệu gồm 165 trang với lý thuyết, phân dạng và bài tập trắc nghiệm các dạng toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tài liệu do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn.
+ Phần 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Phần 2. Phương trình tham số của đường thẳng
+ Phần 3. Khoảng cách và góc
+ Phần 4. Đường tròn
Toán 10 2.8 K tài liệu
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Nguyễn Bảo Vương
Tài liệu gồm 165 trang với lý thuyết, phân dạng và bài tập trắc nghiệm các dạng toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tài liệu do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn.
+ Phần 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Phần 2. Phương trình tham số của đường thẳng
+ Phần 3. Khoảng cách và góc
+ Phần 4. Đường tròn
Chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (KNTT) 78 tài liệu
Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Định nghĩa : Cho đường thẳng . Vectơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
nếu giá của n vuông góc với . Nhận xét :
- Nếu n là VTPT của thì kn k 0 cũng là VTPT của .
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M (x ;y ) và có VTPT n (a;b) . 0 0 0
Khi đó M(x;y) MM n MM .n 0 a(x x ) (
b y y ) 0 0 0 0 0
ax by c 0 (c a
x by ) (1) 0 0
(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng . Chú ý :
- Nếu đường thẳng :ax by c 0 thì n (a;b) là VTPT của .
c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
song song hoặc trùng với trục Ox : by c 0
song song hoặc trùng với trục Oy : ax c 0
đi qua gốc tọa độ : ax by 0 x y
đi qua hai điểm Aa;0, B 0;b : 1 với ab 0 a b
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y kx m với k tan , là góc
hợp bởi tia Mt của ở phía trên trục Ox và tia Mx
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng d : a x b y c 0; d : a x b y c 0 1 1 1 1 2 2 2 2 a b
d cắt d khi và chỉ khi 1 1 0 1 2 a b 2 2 a b b c a b
d / /d khi và chỉ khi 1 1 0 và 1 1 0, hoặc 1 1 0 và 1 2 a b b c a b 2 2 2 2 2 2 c a 1 1 0 c a 2 2 a b b c c a
d d khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 0 1 2 a b b c c a 2 2 2 2 2 2
Chú ý: Với trường hợp a .b .c 0 khi đó 2 2 2 + Nếu a a 1 2
thì hai đường thẳng cắt nhau. b b 1 2 + Nếu a a c 1 2 1
thì hai đường thẳng song song nhau. b b c 1 2 2 + Nếu a a c 1 2 1
thì hai đường thẳng trùng nhau. b b c 1 2 2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định - Điểm ( A x ;y ) 0 0
- Một vectơ pháp tuyến n a;b của
Khi đó phương trình tổng quát của là a x x b y y 0 0 0
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Chú ý:
o Đường thẳng có phương trình tổng quát là 2 2
ax by c 0, a b 0 nhận
na;b làm vectơ pháp tuyến.
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là
VTPT của đường thẳng kia.
o Phương trình đường thẳng qua điểm M x ;y có dạng 0 0
: a x x b y y 0 với 2 2 a b 0 0 0
hoặc ta chia làm hai trường hợp
+ x x : nếu đường thẳng song song với trục Oy 0
+ y y k x x
: nếu đường thẳng cắt trục Oy 0 0 x y
o Phương trình đường thẳng đi qua Aa; 0,B 0;b với ab 0 có dạng 1 a b
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A2;0, B 0;4, C(1;3). Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH
A. x 2y 2 0
B. x y 3 0
C. x y 4 0
D. x y 2 0
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC .
A. x y 6 0
B. x y 3 0
C. x y 5 0
D. x y 4 0
c) Đường thẳng AB .
A. 2x y 14 0 B. 2x y 3 0
C. 2x y 5 0 D. 2x y 4 0
d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB .
A. 2x y 5 0
B. 2x y 4 0
C. 2x y 6 0 D. 2x y 7 0 Lời giải
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a) Vì AH BC nên BC là vectơ pháp tuyến của AH
Ta có BC 1;1 suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ pháp tuyến có
phương trình tổng quát là 1.x 2 1.y 0 0 hay x y 2 0 .
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. Gọi x x y y
I là trung điểm BC khi đó 1 7 1 7 B C x , B C y I ; I 2 2 I 2 2 2 2
Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC là 1 7 1.x 1. y 0 2 2
hay x y 3 0
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng x y AB có dạng 1 hay 2 4
2x y 4 0 .
d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n 2;1 do đó vì đường thẳng cần tìm song
song với đường thẳng AB nên nhận n 2;1 làm VTPT do đó có phương trình tổng
quát là 2.x 1 1.y 3 0 hay 2x y 5 0 .
Cách 2: Đường thẳng song song với đường thẳng AB có dạng 2x y c 0 .
Điểm C thuộc suy ra 2.1 3 c 0 c 5 .
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x y 5 0 .
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x 2y 3 0 và điểm M 1;2 . Viết phương trình
tổng quát của đường thẳng biết:
a) đi qua điểm M và có hệ số góc k 3
A. 3x y 6 0
B. 3x y 7 0
C. 3x y 5 0 D. 3x y 4 0
b) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. 2x y 4 0
B. 2x y 3 0
C. 2x y 2 0 D. 2x y 1 0
c) đối xứng với đường thẳng d qua M
A. x 2y 4 0
B. x 2y 5 0
C. 2x 2y 7 0 D. x 2y 7 0 Lời giải:
a) Đường thẳng có hệ số góc k 3 có phương trình dạng y 3x m . Mặt khác
M 2 3.1 m m 5
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng là y 3x 5 hay 3x y 5 0 . b) Ta có 1 3
x 2y 3 0 y x
do đó hệ số góc của đường thẳng d là 1 k . 2 2 d 2
Vì d nên hệ số góc của là k thì k .k 1 k 2 d
Do đó : y 2x m , M 2 2.1 m m 2
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng là y 2x 2 hay 2x y 2 0 .
c) Cách 1: Ta có 1 2.2 3 0 do đó M d vì vậy đường thẳng đối xứng với
đường thẳng d qua M sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng có
VTPT là n 1;2.
Ta có A1;2 d , gọi A' đối xứng với A qua M khi đó A'
Ta có M là trung điểm của AA' . x x A A' x M
x 2x x 2. 1 1 3 A' M A 2 A'3;2 y y
y 2y y 2.2 2 2 A A' A' M A y M 2
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng là 1.x 3 2y 2 0 hay
x 2y 7 0 .
Cách 2: Gọi Ax ;y là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d , A'x;y là điểm đối xứng 0 0 với A qua M .
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Khi đó M là trung điểm của AA' suy ra x x x x 0 0 x 1 M
x 2 x 0 2 2 y y y y
y 4 y 0 0 0 y 2 M 2 2
Ta có A d x 2y 3 0 suy ra 2 x 2.4 y 3 0 x 2y 7 0 0 0
Vậy phương trình tổng quát của đối xứng với đường thẳng d qua M là
x 2y 7 0 .
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x y 0 và
x 3y 8 0 , tọa độ một đỉnh của hình bình hành là 2;2. Viết phương trình các
cạnh còn lại của hình bình hành.
A. x y 4 0
B. x 3y 3 0
C. x 3y 2 0 D. x y 1 0 Lời giải
Đặt tên hình bình hành là ABCD với A2;2, do tọa độ điểm A không là nghiệm của
hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử BC : x y 0 , CD : x 3y 8 0
Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận n 1;3 làm VTPT do đó có phương trình là CD
1.x 2 3.y 2 0 hay x 3y 4 0
Tương tự cạnh AD nhận n 1;1 làm VTPT do đó có phương trình là BC
1.x 2 1.y 2 0 hay x y 4 0
Ví dụ 4: Cho điểm M 1;4 . Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia
Ox , tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất .
A. 4x y 6 0
B. 4x y 2 0
C. 4x y 4 0 D. 4x y 8 0 Lời giải:
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Giả sử Aa;0, B 0;b với a 0, b 0 . Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng x y
1. Do M AB nên 1 4 1 a b a b Mặt khác 1 1 S O . AOB ab . OAB 2 2 Áp dụng BĐT Côsi ta có 1 4 4 1 2
ab 16 S 8 OAB a b ab Suy ra S nhỏ nhất khi 1 4 và 1 4
1 do đó a 2;b 8 OAB a b a b
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là x y
1 hay 4x y 8 0 2 8
DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
d : a x b y c 0; d : a x b y c 0. 1 1 1 1 2 2 2 2
a x b y c 0 Ta xét hệ 1 1 1 (I)
a x b y c 0 2 2 2
+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra d / /d . 1 2
+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra d d 1 2
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.
Chú ý: Với trường hợp a .b .c 0 khi đó 2 2 2 + Nếu a b 1 1
thì hai đường thẳng cắt nhau. a b 2 2 + Nếu a b c 1 1 1
thì hai đường thẳng song song nhau. a b c 2 2 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] + Nếu a b c 1 1 1
thì hai đường thẳng trùng nhau. a b c 2 2 2 2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau
a) : x y 2 0; : 2x y 3 0 1 2 A. cắt B. trùng 1 2 1 2 C. / /
D. Không xác định được 1 2 b) : x
2y 5 0; : 2x 4y 10 0 1 2 A. cắt B. trùng 1 2 1 2 C. / /
D. Không xác định được 1 2
c) : 2x 3y 5 0; : x 5 0 1 2 A. cắt B. trùng 1 2 1 2 C. / /
D. Không xác định được 1 2
d) : 2x 3y 4 0;
: 4x 6y 0 1 2 A. cắt B. trùng 1 2 1 2 C. / /
D. Không xác định được 1 2 Lời giải: a) Ta có 1 1 suy ra cắt 2 1 1 2 b) Ta có 1 2 5 suy ra trùng 2 4 10 1 2 c) Ta có 1 0 suy ra cắt 2 3 1 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] d) Ta có 4 6 0 suy ra / / 2 3 4 1 2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng A , B BC,CA là
AB : 2x y 2 0 ; BC : 3x 2y 1 0 ; CA : 3x y 3 0 .
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng
: 3x y 2 0 A. cắt B. trùng C. Song song
D. Không xác định được Lời giải
2x y 2 0 x 1
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A1;0
3x y 3 0 y 0
Ta xác định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là M 1;1, N 1;2
Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ MN 2;3 làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình là 2x 1 3y 0 hay 2x 3y 2 0 Ta có 3 1
suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 2 3
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 2
: (m 3)x 2y m 1 0 và 1 2 : x
my (m 1) 0 . 2
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của và trong các 1 2
trường hợp m 0, m 1 A. cắt B. trùng 1 2 1 2 C. / /
D. Không xác định được 1 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau. A. m 2 B. m 5 C. m 4 D. m 3 Lời giải:
3x 2y 1 0 x 1
a) Với m 0 xét hệ
suy ra cắt tại điểm có tọa độ x 1 0 y 2 1 2 1;2
2x 2y 0 x 0
Với m 1 xét hệ
suy ra cắt tại gốc tọa độ x y 0 y 0 1 2
b) Với m 0 hoặc m 1 theo câu a hai đường thẳng cắt nhau nên không thỏa mãn
Với m 0 và m 1 hai đường thẳng song song khi và chỉ khi 2 m 3 2 m 1 m 2 1 m m 12
Vậy với m 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau
a) Biết A2;2 và hai đường cao có phương trình
d : x y 2 0 ; d : 9x 3y 4 0 . 1 2
A. B 2;4 và 13 C 1;
B. B 0;2 và 22 C 2; 3 3
C. B 1;3 và 2 2 C ;
D. B 1;1 và 31 C 3; 3 3 3 b) Biết (
A 4;1) , phương trình đường cao kẻ từ B là : 2x 3y 0 ; phương trình
trung tuyến đi qua đỉnh C là ' : 2x 3y 0.
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 2 B 1; và 2 C 1; . B. 4
B 2; và C 6;4. 3 3 3 C. 1 1 B ; và 4 C 2; . D. 5 5
B ; và C 6;4. 2 3 3 4 6 Lời giải
a) Tọa độ điểm A không là nghiệm của phương trình d ,d suy ra A d , A d nên ta 1 2 1 2
có thể giả sử B d , C d 1 2
Ta có AB đi qua A và vuông góc với d nên nhận u 3;9 làm VTPT nên có phương 2 trình là
3x 2 9y 2 0 hay 3x 9y 24 0 ; AC đi qua A và vuông góc với d nên 1
nhận v 1;1 làm VTPT nên có phương trình là 1.x 2 1.y 2 0 hay x y 0
B là giao điểm của d và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ 1
x y 2 0 x 1 B 1;3
3x 9y 24 0 y 3 2 9 3 4 0 x x y
Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ 2 2 3 C ; x y 0 2 3 3 y 3
Vậy A2;2, B 1;3 và 2 2 C ; 3 3 b) Ta có AC đi qua (
A 4;1) và vuông góc với nên nhận u 3;2 làm VTPT nên có phương trình là
3x 4 2y 1 0 hay 3x 2y 10 0
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
3x 2y 10 0 x 6
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ C 6;4
2x 3y 0 y 4 Giả sử x y B x ;y suy ra trung điểm 4 1 B I ; B
của AB thuộc đường thẳng ' B B 2 2 do đó x 4 y 1 2. B 3. B
0 hay 2x 3y 5 0 (1) 2 2 B B
Mặt khác B suy ra 2x 3y 0 (2) B B Từ (1) và (2) suy ra 5 5 B ; 4 6 Vậy ( A 4;1) , 5 5 B ; và C 6;4. 4 6
§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :
a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :
Cho đường thẳng . Vectơ u 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
nếu giá của nó song song hoặc trùng với . Nhận xét :
- Nếu u là VTCP của thì ku k 0 cũng là VTCP của .
- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP u (a;b) thì n ( ; b a) là một VTPT của .
b. Phương trình tham số của đường thẳng :
Cho đường thẳng đi qua M (x ;y ) và u (a;b) là VTCP. 0 0 0
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
x x at
Khi đó M(x;y) . 0
MM tu t R . (1) 0
y y bt 0
Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số
Nhận xét : Nếu có phương trình tham số là (1) khi đóA (
A x at;y bt) 0 0
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.
Cho đường thẳng đi qua M (x ;y ) và u (a;b) (với a 0, b 0 ) là vectơ chỉ 0 0 0
phương thì phương trình x x y y 0 0
được gọi là phương trình chính tắc của a b đường thẳng .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định - Điểm ( A x ;y ) 0 0
- Một vectơ chỉ phương u a;b của
x x at
Khi đó phương trình tham số của là 0 , t R .
y y bt 0
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định - Điểm ( A x ;y ) 0 0
- Một vectơ chỉ phương u a;b, ab 0 của
Phương trình chính tắc của đường thẳng x x y y là 0 0 a b
(trường hợp ab 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc) Chú ý:
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của
đường thẳng kia và ngược lại
o Nếu có VTCP u (a;b) thì n ( ;
b a) là một VTPT của . 2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho điểm A1;3 và B 2;3. Viết phương trình tham số của đường thẳng
trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua A và nhận vectơ n 1;2 làm vectơ pháp tuyến
x 2 2t
x 1 1t A. : B. : y 3 t
y 3 2t
x 1 2t
x 1 2t C. : D. : y 3 t
y 3 t
b) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB
x 1 t
x 2t
x 4t x t A. : B. : C. : D. : y 2t y 2t y 2t y 2t
c) là đường trung trực của đoạn thẳng AB 1 1 A.
x 2t x t : 2 B. : 2 y 2t
y 1 2t 1 1 C.
x t x t : 2 D. : 2
y 3 2t y 2t Lời giải:
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a) Vì nhận vectơ n 1;2 làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là u 2;1.
x 1 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là :
y 3 t
b) Ta có AB 3;6 mà song song với đường thẳng AB nên nhận u 1;2 làm VTCP x t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là :
y 2t
c) Vì là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB3;6 làm VTPT và đi
qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . Ta có 1 I ;0
và nhận u 1
;2 làm VTCP nên phương trình tham số của đường 2 1 thẳng là x t : 2 . y 2t
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng
trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua điểm A3;0 và B 1;3
A. 3x 2y 6 0
B. 3x 2y 7 0
C. 3x 2y 9 0
D. 3x 2y 8 0
x 1 3t
b) đi qua N 3;4 và vuông góc với đường thẳng d ' : .
y 4 5t A. x 3 y 4 x y x y x y B. 3 4 C. 3 4 D. 3 4 5 3 5 3 5 3 5 3
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Lời giải:
a) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên nhận AB 2;3 làm vectơ chỉ phương do đó
x 3 2t
phương trình tham số là x y
; phương trình chính tắc là 3 ; phương y 3t 2 3
trình tổng quát là 3x 3 2y hay 3x 2y 9 0
b) d ' nên VTCP của d ' cũng là VTPT của nên đường thẳng nhận u 3;5
làm VTPT và v 5;3 làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là
x 3 5t
3x 3 5y 4 0 hay 3x 5y 11 0; phương trình tham số là ;
y 4 3t
phương trình chính tắc là x 3 y 4 5 3
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A2;1, B 2;3 và C 1;5.
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
x 2 3t
x 2 4t
x 2 t
x 2 t A. B. C. D. y 3 8t
y 3 8t
y 3 2t
y 3 8t
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. 7 7 7 7
A. x 3 t
x 2 t
x 2 t
x 2 t 2 B. C. D. 2 2 2
y 1 2t
y 1 2t
y 1 2t
y 1 2t
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác
trong góc A và G là trọng tâm của ABC .
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 1 1 1
x 9t
x 1 9t
x 19t
x 19t A. 3 B. C. 3 D. 3 1
y 1 2t 1 1
y 2t y 2t y 2t 3 3 3 Lời giải:
x 2 t
a) Ta có BC 1;8 suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là y 3 8t
b) M là trung điểm của BC nên 3 M ;1
do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến 2 7 AM nhận 7
x 2 t AM ;2
làm VTCP nên có phương trình là 2 2
y 1 2t
c) Gọi D(x ;y ) là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC D D Ta có AB BD DC AC
MàAB 2 2 2 2 3 1 2 5 và
AC 2 2 1 2 5 1 3 5 suy ra 2 8
x 2 (1 x ) AB 2 x D D D 8 1 3 5 1 1 BD
DC DC
D( ; ) G ; AC 3 2 1 5 5 3 3
y 3 (5 y ) y D 3 D D 5
là trọng tâm của tam giác ABC Ta có 19 2 DG ;
suy ra đường thẳng DG nhận u 19;2 làm VTCP nên có phương 15 15 1
x 19t trình là 3 . 1
y 2t 3
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết AB : x y 1 0 , AC : x y 3 0 và trọng tâm
G 1;2. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. x 2 x 4 x 2 x 2 A. B. C. D.
y 1 6t
y 1 6t
y 1 5t
y 1 6t Lời giải:
x y 1 0 x 1
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A1;2
x y 3 0 y 2
Gọi M x;y là trung điểm của BC
Vì G là trọng tâm nên AG 2.GM , AG 2;0, GM x 1;y 2 suy ra 2 2.(x 1) M 2;2 0 2.(y 2)
B x ;y AB x y 1 0 y 1 x do đó B x ;1 x B B B B B B B B
C x ;y AC x y 3 0 y x 3 do đó C x ;x 3 C C C C C C C C x x B C x M x x 4 x 2
Mà M là trung điểm của BC nên ta có 2 B C B y y x x 0 x 2 B C C B C y M 2
Vậy B 2;1, C 2;5 BC 0;6 suy ra phương trình đường thẳng BC là x 2 .
y 1 6t
DẠNG 2. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp giải.
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
x x at
Điểm A thuộc đường thẳng 0 x x y y :
, t R ( hoặc 0 0 : ) có
y y bt a b 0
dạng Ax at; y bt 0 0
Điểm A thuộc đường thẳng : ax by c 0 (ĐK: 2 2
a b 0 ) có dạng a t c b t c At;
với b 0 hoặc A
;t với a 0 b a 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3x 4y 12 0
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn A. 28 96 A 4;0 B. A ; 1 2 25 25 C. 28 96
A 4;0 và A ; D. A 0;3 1 1 2 25 25
b) Tìm điểm B thuộc và cách đều hai điểm E 5;0 , F 3;2 A. B 4;0
B. B 0;3 C. 28 96 B ; D. 24 3 B ; 25 25 7 7
c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 1;2 lên đường thẳng A. H 4;0
B. H 0;3 C. 28 96 H ; D. 76 18 H ; 25 25 25 25 Lời giải:
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a) Dễ thấy M 0;3 thuộc đường thẳng và u 4;3 là một vectơ chỉ phương của x 4t
nên có phương trình tham số là .
y 3 3t
Điểm A thuộc nên tọa độ của điểm A có dạng A4t;3 3t suy ra t 1
OA 4 4t 2 3 3t 2 2
4 25t 18t 7 0 7 t 25
Vậy ta tìm được hai điểm là 28 96
A 4;0 và A ; 1 2 25 25
b) Vì B nênB 4t;3 3t
Điểm B cách đều hai điểm E 5;0 , F 3;2 suy ra
EB FB 4t 52 3t 32 4t 32 3t 12 6 2 2 t 7 Suy ra 24 3 B ; 7 7
c) Gọi H là hình chiếu của M lên khi đó H nên H 4t;3 3t
Ta có u 4;3là vectơ chỉ phương của và vuông góc với HM 4t 1;3t 5 nên HM u
t t 19 . 0 4 4 1 3 3 5 0 t 25 Suy ra 76 18 H ; 25 25
x 1 t
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng : x 2y 6 0 và ' : . y t
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A1;0 qua đường thẳng
A. A'2;4
B. A'3;5
C. A'2;5
D. A'3;4
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với ' qua
x 1 t
x 3 2t
x 3 5t
x 3 t A. B. C. D. y 4 7t
y 4 7t
y 4 7t
y 4 7t Lời giải:
a) Gọi H là hình chiếu của A lên khi đó H 2t 6;t
Ta có u 2;1 là vectơ chỉ phương của và vuông góc với AH 2t 5;t nên
AH.u 0 22t 5 t 0 t 2 H 2;2
A' là điểm đối xứng với A qua suy ra H là trung điểm của AA' do đó
x 2x x x 3 A' H A A'
y 2y y y 4 A' H A A'
Vậy điểm cần tìm là A'3;4
x 1 t b) Thay
vào phương trình ta được 5
1 t 2t 6 0 t suy ra y t 3
giao điểm của và ' là 8 5 K ; 3 3
Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng ' do đó đường thẳng đối xứng với ' qua đi
qua điểm A' và điểm K do đó nhận 1 7 1 A' K ;
1;7 nên có phương trình là 3 3 3
x 3 t
y 4 7t
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên ta có thể làm cách khác như sau: ta có
đường thẳng AH nhận u 2;1 làm VTPT nên có phương trình là 2x y 2 0 do đó
x 2y 6 0
tọa độ H là nghiệm của hệ H 2;2
2x y 2 0
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A1;4, B 1;4, đường thẳng BC đi qua điểm 7 K ;2
3 . Tìm toạ độ đỉnh C.
A. C 2;4 B. C 3;5
C. C 2;5
D. C 3;4 Lời giải: Ta có 4 BK ;6
suy ra đường thẳng BC nhận u 2;9 làm VTCP nên có phương trình là 3
x 1 2t
y 4 9t
C BC C 1 2t;4 9t
Tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC 0 , AB 2;8, AC 2 2t; 8 9t suy ra
22 2t 89t 8 0 t 1 Vậy C 3;5
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD . Biết 7 5 I ;
là trung điểm của cạnh CD, 3 D 3; và 2 2 2
đường phân giác góc BAC có phương trình là : x y 1 0 . Xác định tọa độ đỉnh B. Lời giải:
A. B 2;4 B. B 3;5
C. B 2;5 D. B 2;4
x 2x x 4 C I D
Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên 7 C 4; 7
y 2x y 2 C I D 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Vì A nên tọa độ điểm A có dạng Aa;a 1
Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với D ,
A DC không cùng phương và AB DC
x a 4 3 B
x a 1 B
AB DC
B a 1;a 3 7 3
y a 1 y a 3 2 2 B B 3 a 1 a 3 11 D ,
A DC không cùng phương khi và chỉ khi 2 a 1 2 2
Đường thẳng là phân giác góc BAC nhận vectơ u 1;1 làm vec tơ chỉ phương nên AB u
AC u AB.u AC.u cos ; cos ;
(*) AB u AC u Có AB 5
1;2 , AC 4 a; a nên 2 13 2a a 1 * 3 2 2
2a 13a 11 0 11 2 5 a (l) 4 a 2 5 a 2 2
Vậy tọa độ điểm B 2;4 Cách 2: Ta có 7 C 4; . 2
Đường thẳng d đi qua C vuông góc với nhận u 1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có
phương trình là x 7 1. 4 1. y 0
hay 2x 2y 15 0 2
Tọa độ giao điểm H của và d là nghiệm của hệ:
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 13 1 0 x x y 13 17 4 H ;
2x 2y 15 0 17 4 4 y 4
Gọi C' là điểm đối xứng với C qua thì khi đó C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H 5
x 2x x
là trung điểm của CC' do đó C ' H C x 5 C ' 2 C ' ;5
y 2y y C H C 2 ' y 5 C '
Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận DC 1;2 làm vectơ chỉ phương nên 5
có phương trình là x t 2
y 5 2t
Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng ta được 5 3
t 5 2t 1 0 t suy ra A1;2 2 2 x 1 1 x 2
ABCD là hình bình hành nên B B
AB DC y 2 2 y 4 B B Suy ra B 2;4
Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét " là
đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và khi đó điểm đối xứng với 1 2
điểm M qua thuộc " 1 2
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d : x 2y 2 0 và 2 điểm A0;1 và B 3;4. Tìm tọa độ
điểm M trên d sao cho MA 2MB là nhỏ nhất. A. 1 M 1; B. M0;1 C. M2;0 D. 16 3 M ; 2 5 5 Lời giải:
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
M d M 2t 2;t , MA2t 2;1 t , MB 1 2t;4 t do đó
MA 2MB 6t;3t 9 Suy ra MA MB t 2 t 2 3 314 314 2 6 3 9 45 t 5 5 5
MA 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi 3 t do đó 16 3
M ; là điểm cần tìm. 5 5 5
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm M x ;y . Khi đó khoảng cách từ M đến ( ) được 0 0
ax by c tính bởi công thức: 0 0 d(M,( ) ) . 2 2 a b
b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng. Cho đường thẳng :
ax by c 0 và M x ;y ,
N x ;y . Khi đó: M M N N
- M, N cùng phía với ax by c ax by c 0 M M N N
- M, N khác phía với ax by c ax by c 0 M M N N
Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :
: a x b y c 0 và : a x b y c 0 là: 1 1 1 1 2 2 2 2
a x b y c
a x b y c 1 1 1 2 2 2 . 2 2 2 2 a b a b 1 1 2 2
2. Góc giữa hai đường thẳng:
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được
gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là góc giữa a và b . Khi a song song
hoặc trùng với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 0 .
b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.
Góc xác định hai đường thẳng và có phương trình : a x b y c 0 và 1 2 1 1 1 1 a a b b
: a x b y c 0 được xác định bởi công thức cos ; . 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 1 1 2 2
DẠNG 1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
1.Phương pháp giải.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Để tính khoảng cách từ điểm M x ;y đến đường thẳng :
ax by c 0 ta dùng công thức 0 0
ax by c 0 0 d(M , ) 0 2 2 a b 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 5x 3y 5 0
a) Tính khoảng cách từ điểm A1;3 đến đường thẳng A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 34 34 34 34
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và '
: 5x 3y 8 0 A. 13 B. 12 C. 11 D. 15 34 34 34 34 Lời giải: 5.(1) 3.3 5 1
a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có: d( , B ) 2 2 5 3 34 5.1 3.0 8 13
b) Do M 1;0 nên ta có d ;
' d(M,') 2 2 5 3 34
Ví dụ 2: (ĐH – 2006A): Cho 3 đường thẳng có phương trình
: x y 3 0; : x y 4 0; : x 2y 0 1 2 3
Tìm tọa độ điểm M nằm trên sao cho khoảng cách từ M đến bằng 2 lần khoảng cách từ M đến . 3 1 2
A. M 22;11 B. M 2;1
C. M 22;11 , M 2;1 D. M 0;0 1 2 Lời giải:
M M 2t;t 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Khoảng cách từ M đến bằng 2 lần khoảng cách từ M đến nên ta có 1 2 d 2t t 3 2t t 4
M; 2d M; 2 1 2 2 2
3t 3 2t 4 t 11 3t 3 2 t 4 t 1
Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 22;11 , M 2;1 1 2
Ví dụ 3: Cho ba điểm A2;0, B 3;4 và P 1;1. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B
A. : 2x 3y 1 0
B. : 4x y 3 0 và : 2x 3y 21 0 1 2
C. : 4x y 3 0 và : 2x 3y 3 0 1 2
D. : 4x y 3 0 và : 2x 3y 1 0 1 2 Lời giải:
Đường thẳng đi qua P có dạng a x b y 2 2 1 1
0 a b 0 hay
ax by a b 0
cách đều A và B khi và chỉ khi
A d B a b 2a 3b d ; ; 2 2 2 2 a b a b
a b 2a 3b a 4b b a 2a 3b 3a 2b
+ Nếu a 4b , chọn a 4, b 1 suy ra : 4x y 3 0
+ Nếu 3a 2b . chọn a 2, b 3 suy ra : 2x 3y 1 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là : 4x y 3 0 và : 2x 3y 1 0 1 2
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có (
A 1;2), B(5;4), C(2, 0) . Hãy viết phương trình đường phân giác trong góc A.
A. 5x y 3 0
B. 2x y 0
C. 3x y 1 0
D. 4x y 2 0 Lời giải:
Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình
AB: 3x 2y 7 0 , AC:2x 3y 4 0
Ta có phương trình đường phân giác góc A là 3x 2y 7 2x 3y 4 : 1
: x 5y 11 0 1 13 13 3x 2y 7 2x 3y 4
: 5x y 3 0 2 : 2 13 13
Ta thấy (5 5.4 11)(2 5.0 11) 0 nên 2 điểm B,C nằm về cùng 1 phía đối với đường
thẳng . Vậy : 5x y 3 0 là phương trình đường phân giác trong cần tìm. 1 2
Cách 2: Gọi D(x;y) là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC AB Ta có BD DC AC
MàAB 2 13, AC 13 1 AB 5 2(2 ) x x x 3 1 4 BD DC suy ra D( ; ) AC
y 4 2(0 y) 4 3 3 y 3 y 2 x 1
Ta có phương trình đường phân giác AD:
hay 5x y 3 0 4 1 2 1 3 3
Cách 3: Gọi M(x;y) thuộc đường thẳng là đường phân giác góc trong góc A
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Ta có (AB,AM ) (AC,AM )
Do đó cos(AB,AM ) cos(AC,AM ) (*)
Mà AB (4;6); AC (3;2) ;AM (x 1;y 2) thay vào (*) ta có
4(x 1) 6(y 2)
3(x 1) 2(y 2) 2 2 2 2 2 2 2 2
4 6 (x 1) (y 2)
(3) 2 (x 1) (y 2)
2(x 1) 3(y 2) 3(x 1) 2(y 2) 5x y 3 0
Vậy đường phân giác trong góc A có phương trình là: 5x y 3 0
Ví dụ 5: Cho điểm C 2
;5 và đường thẳng :3x 4y 4 0 . Tìm trên hai điểm , A B đối xứng với nhau qua 5 I 2;
và diện tích tam giác ABC bằng 15 . 2 A. 52 50 8 5 A ; , B ; hoặc 8 5 52 50 A ; , B ; . 12 12 12 12 12 12 12 12 B. 52 50 8 5 A ; , B ; hoặc 8 5 52 50 A ; , B ; . 11 11 11 11 12 12 12 12 C. 52 50 8 5 A ; , B ; hoặc 8 5 52 50 A ; , B ; . 13 13 11 11 11 11 13 13 D. 52 50 8 5 A ; , B ; hoặc 8 5 52 50 A ; , B ; . 11 11 11 11 11 11 11 11 Lời giải:
Dễ thấy đường thẳng đi qua M 0;
1 và nhận u 4;3 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình x 4t
tham số là y 13t
Vì A nên A4t;1 3t, t R .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 4t xB 2
x 4 4t Hai điểm 2 ,
A B đối xứng với nhau qua 5 I 2; suy ra B 2 5 1 3t y y 4 3t B B 2 2
Do đó B 4 4t;4 3t 3. 2 4.5 4 Ta có 22
AB t 2 t 2 4 8 3 6
5 2t 1 và d C; 5 5 Suy ra 1 S AB d C t t ABC 1 22 . ; .5 2 1 . 11 2 1 2 2 5
Diện tích tam giác ABC bằng 15 13
15 11 2t 1 15 2t 1 t hoặc 2 t . 12 11 11 Với 13 52 50 8 5 t A ; , B ; 11 11 11 11 11 Với 2 8 5 52 50 t A ; , B ; 11 11 11 11 11 Vậy 52 50 8 5 A ; , B ; hoặc 8 5 52 50 A ; , B ; . 11 11 11 11 11 11 11 11
DẠNG 2: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng.
1.Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , góc giữa hai đường thẳng ; có phương trình 1 2
( ) : a x b y c 0, 2 2 a b 0 1 1 1 1 1 1
( ) : a x b y c 0, 2 2 a b 0 2 2 2 2 2 2
được xác định theo công thức: a a b b cos , 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 a b a b 1 1 2 2
Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phương( hoặc vectơ pháp tuyến )
của chúng cos , cos u ,u cos n ,n . 1 2 1 2 1 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau: x t a) : 3x 2y 1 0; : t R 1 2
y 7 5t A. ; 0 45 B. ; 55 C. ; 60 D. ; 30 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
x 1 t
x 2 4t ' b) : t R : t ' R 1 2
y 1 2t
y 5 2t ' A. ; 0 90 B. ; 55 C. ; 60 D. ; 30 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 Lời giải:
a) n 3;2 , n 5;1 lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng và suy ra 1 2 1 2 3.5 2.1 2 cos , do đó ; 45 1 2 0 1 2 13. 26 2
b) u 1;2 , u 4;2 lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng và suy ra 1 2 1 2 cos , 1. 4 2. 2
0 do đó ; 90 1 2 0 1 2 17. 8
Ví dụ 2: Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng : 3x y 7 0 và 1
: mx y 1 0 một góc bằng 0 30 2 2 6 4 1 A. m B. m C. m D. m 3 3 3 3 Lời giải:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] m 3 1 Ta có: cos( , ) 1 2 2 2 2 2
( 3) (1) . m 1
Theo bài ra góc hợp bởi hai đường thẳng , bằng 0 30 nên 1 2 m 3 1 m 3 1 3 0 2 cos 30
3(m 1) m 3 1 2 2 2. m 1 2 2. m 1 1 Hay 2 2 2 2
3(m 1) (m 3 1) 3m 3 3m 2m 3 1 m 3 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 3
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : 3x 2y 1 0 và M 1;2. Viết phương trình đường thẳng đi
qua M và tạo với d một góc 45o .
A. : 2x y 0 và : 5x y 7 0 1 2
B. : x 5y 9 0 và : 3x y 5 0 1 2
C. : 3x 2y 1 0 và : 5x y 7 0 1 2
D. : x 5y 9 0 và : 5x y 7 0 1 2 Lời giải.
Đường thẳng đi qua M có dạng a x b y 2 2 : 1
2 0, a b 0 hay
ax by a 2b 0
Theo bài ra tạo với d một góc 0 45 nên: 3a (2b) 2 3a 2b 0 cos 45 2 2 2 2 2 2
3 (2) . a b 2 13. a b a 5b 2 2 2 2 26(a b ) 2 3a 2b 5a 24ab 5b 0 5a b
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
+ Nếu a 5b , chọn a 5, b 1 suy ra : 5x y 7 0 + Nếu 5a b
, chọn a 1, b 5 suy ra : x 5y 9 0
Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn : x 5y 9 0 và : 5x y 7 0 1 2
Ví dụ 4: Cho 2 đường thẳng : 2x y 1 0; : x 2y 7 0 . Viết phương trình đường 1 2
thẳng qua gốc toạ độ sao cho tạo với và tam giác cân có đỉnh là giao điểm và . 1 2 1 2
A. : 3x y 0 và : x 3y 1 0 1 2
B. : 3x y 1 0 và : x 3y 0 1 2
C. : 3x y 1 0 và : x 3y 1 0 1 2
D. : 3x y 0 và : x 3y 0 1 2 Lời giải:
Đường thẳng qua gốc toạ độ có dạng ax by 0 với 2 2 a b 0
Theo giả thiết ta có cos ; cos ; hay 1 2 2a b a 2b
2a b a 2b a 3b 2 2 2 2 b 2a a 2b 3 5. 5. a b a b a b
+ Nếu a 3b , chọn a 3, b 1 suy ra : 3x y 0 + Nếu 3a b
, chọn a 1, b 3 suy ra : x 3y 0
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x y 0 và : x 3y 0 1 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] §4. ĐƯỜNG TRÒN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Phương trình đường tròn.
Phương trình đường tròn (C) tâm I a;b , bán kính R là : 2 2 2
(x a) (y b) R
Dạng khai triển của (C) là : 2 2
x y 2ax 2by c 0 với 2 2 2
c a b R Phương trình 2 2
x y 2ax 2by c 0 với điều kiện 2 2
a b c 0 , là phương
trình đường tròn tâm I a;b bán kính 2 2
R a b c
2. Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : 2 2 2
(x a) (y b) R
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x ;y là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM 0 0 nên phương trình : 2
: (x a)(x a) (y a)(y a) R 0 0
: ax by c 0 là tiếp tuyến của (C) d(I, ) R Đường tròn (C) : 2 2 2
(x a) (y b) R có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là
x a R . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y kx m
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn. 1. Phương pháp giải.
Cách 1: + Đưa phương trình về dạng: C 2 2
: x y 2ax 2by c 0 (1) + Xét dấu biểu thức 2 2
P a b c
Nếu P 0 thì (1) là phương trình đường tròn C có tâm I a;b và bán kính 2 2
R a b c
Nếu P 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: 2 2
(x a) (y b) P (2).
Nếu P 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I a;b và bán kính R P
Nếu P 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. 2 2
a) x y 2x 4y 9 0 (1)
A. tâm I 2;4 bán kính R 3
B. tâm I 2;2 bán kính R 9
C. tâm I 1;2 bán kính R 3
D. Không phải là đường tròn 2 2
b) x y 6x 4y 13 0 (2)
A. tâm I 3;2 bán kính R 3
B. tâm I 3;2 bán kính R 13
C. tâm I 6;4 bán kính R 3
D. Không phải là đường tròn 2 2
c) 2x 2y 6x 4y 1 0 (3)
A. Không phải là đường tròn B. Tâm 3 I ;1 bán kính 3 R 2 2
C. Tâm I 3;2 bán kính 10 R D. tâm 3
I ;1 bán kính 10 R 2 2 2 2 2
d) 2x y 2x 3y 9 0 (4)
A. tâm I 3;2 bán kính R 3
B. tâm I 3;2 bán kính R 13
C. tâm I 6;4 bán kính R 3
D. Không phải là đường tròn Lời giải:
a) Phương trình (1) có dạng 2 2
x y 2ax 2by c 0 với a 1; b 2; c 9
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Ta có 2 2
a b c 1 4 9 0
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn. b) Ta có: 2 2
a b c 9 4 13 0
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn. 2 c) Ta có: 3 1 3 x y 3x 2y 0 x y 12 5 2 2 2 2 2
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm 3 I ;1 bán kính 10 R 2 2
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của 2 x và 2 y khác nhau.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2 2
x y 2mx 4m 2y 6 m 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. A. m 2 B. m 2 C. m 1 D.1 m 2 m 1
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m
A. I 2m;2m 2 , 2
R 5m 15m 10
B. I m;2m 2 , 2
R 5m 15m 10
C. I m;2m 2, 2
R 5m 15m 9
D. I m;2m 2, 2
R 5m 15m 10 Lời giải:
a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi 2 2
a b c 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Với a m; b 2m 2; c 6 m m 2 Hay m 4m 22 2 2 6 m 0 5m 15m 10 0 m 1
b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I m;2m 2 và bán kính: 2
R 5m 15m 10
Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong (C ): 2 2
x y m 2x m 4y m 1 0 m (2)
a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi
A. : x y 2 0
B. : 2x y 1 0
C. : x 2y 1 0
D. : x y 1 0
c) Tìm điểm khi m thay đổi họ các đường tròn (C ) luôn đi qua điểm cố định đó m
A. M 1;0 và M 1;2
B. M 1;1 và M 1;2 2 1 2 1
C. M 1;1 và M 1;2
D. M 1;1 và M 1;1 2 1 2 1 Lời giải: m 2 m 4 m 2 4 2 2 2 2 2
a) Ta có a b c m 1 0 2 2 2
Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m m 2 x I
b) Đường tròn có tâm I : 2
suy ra x y 1 0 m 4 I I y I 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng : x y 1 0
c) Gọi M x ;y là điểm cố định mà họ (C ) luôn đi qua. 0 0 m Khi đó ta có: 2 2
x y m 2 x m 4 y m 1 0, m o 0 0 0
x y 1 2 2
m x y 2x 4y 1 0, m 0 0 o 0 0 0
x y 1 0 x 1 x 1 0 0 0 hoặc 0 2 2
x y 2x 4y 1 0 y 0 y 2 0 0 0 0 0 0
Vậy có hai điểm cố định mà họ (C ) luôn đi qua với mọi m là M 1;0 và M 1;2 2 1 m
DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn
1. Phương pháp giải.
Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I a;b của đường tròn (C)
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
+ Viết phương trình của (C) theo dạng 2 2 2
(x a) (y b) R .
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: 2 2
x y 2ax 2by c 0 (Hoặc 2 2
x y 2ax 2by c 0 ).
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý:
* A C IA R
* C tiếp xúc với đường thẳng tại A IA d I; R
* C tiếp xúc với hai đường thẳng và d I; d I; R 2 1 2 1 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a) Có tâmI 1;5 và đi qua O 0;0.
A. x 2 y 2 1 5 26
B. x 2 y 2 1 5 10
C. x 2 y 2 1 5 26
D. x 2 y 2 1 5 26
b) Nhận AB làm đường kính với A1;1, B 7;5.
A. x 2 y 2 4 3 5
B. x 2 y 2 4 3 7
C. x 2 y 2 4 3 13
D. x 2 y 2 4 3 13
c) Đi qua ba điểm: M 2;4, N 5;5, P 6;2. A. 2 2
x y 4x 2y 10 0 B. 2 2
x y 4x 2y 20 0 C. 2 2
x y 4x 2y 10 0 D. 2 2
x y 4x 2y 20 0 Lời giải:
a) Đường tròn cần tìm có bán kính là 2 2
OI 1 5 26 nên có phương trình là
x 2 y 2 1 5 26
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I 4;3
AI 2 2 4 1 3 1 13
Đường tròn cần tìm có đường kính làAB suy ra nó nhận I 4;3 làm tâm và bán kính
R AI 13 nên có phương trình là x 2 y 2 4 3 13
c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: 2 2
x y 2ax 2by c 0 .
Do đường tròn đi qua ba điểm M,N,P nên ta có hệ phương trình:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
4 16 4a 8b c 0 a 2
25 25 10a 10b c 0 b 1
36 4 12a 4b c 0 c 20
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2
x y 4x 2y 20 0
Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau
Gọi I x;y và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm 2 2 IM IN Vì IM IN IP nên ta có hệ 2 2 IM IP
x 22 y 42 x 52 y 52 x 2
x 2 y 2 x 2 y 2 y 1 2 4 6 2
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I 1;2 và tiếp xúc với đường thẳng : x 2y 7 0
A. x 2 y 2 7 1 2
B. x 2 y 2 4 1 2 5 5
C. x 2 y 2 4 1 2
D. x 2 y 2 4 1 2 5 5
b) (C) đi qua A2;1 và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy
A. x 2 y 2 5 5 25
B. x 2 y 2 1 1 1
C. x 2 y 2 5 5
25 , x 2 y 2 1 1 1
D. x 2 y 2 5 5 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : x 6y 10 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có
phương trình d : 3x 4y 5 0 và d : 4x 3y 5 0 1 2
A. C x 2 2 : 10 y 49 2 2 2 B. C 10 70 7 : x y 43 43 43 2 2 2 C. C 10 70 7 : x y
và C x 2 2 : 10 y 49 43 43 43
D. C x 2 2 : 10 y 25 Lời giải:
a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng nên
R d I 1 4 7 2 ; 1 4 5
Vậy phương trình đường tròn (C) là : x 2 y 2 4 1 2 5
b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của
đường tròn có dạng I ; R R
trong đó R là bán kính đường tròn (C). R 1 Ta có:R IA R
2 R2 1 R2 2 2 2 2 R 6R 5 0 R 5
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: x 2 y 2 1 1 1 và
x 2 y 2 5 5 25
c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K 6a 10;a
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d , d nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này 1 2
bằng nhau và bằng bán kính R suy ra
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
3(6a 10) 4a 5
4(6a 10) 3a 5 a 0
22a 35 21a 35 5 5 70 a 43
- Với a 0 thì K 10;0 và R 7 suy ra C x 2 2 : 10 y 49 2 2 2 - Với 70 10 70 7 a thì 10 70 K ; và 7 R
suy ra C : x y 43 43 43 43 43 43 43
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là 2 2 2 10 70 7
C x 2 2 :
10 y 49 và C : x y 43 43 43
Ví dụ 3: Cho hai điểm A8;0 và B 0;6.
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
A. x 2 y 2 4 3 16
B. x 2 y 2 4 3 9
C. x 2 y 2 4 3 36
D. x 2 y 2 4 3 25
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
A. x 2 y 2 2 2 9
B. x 2 y 2 7 5 4
C. x 2 y 2 3 4 4
D. x 2 y 2 2 2 4 Lời giải:
a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm
của cạnh huyền AB suy ra I 4;3 và Bán kính R IA 2 2 8 4 0 3 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: x 2 y 2 4 3 25
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] b) Ta có 2 2
OA 8; OB 6; AB 8 6 10 Mặt khác 1O .
AOB pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC ) 2 Suy ra O . AOB r 2
OA OB AB
Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên
tâm của đường tròn có tọa độ là 2;2
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: x 2 y 2 2 2 4
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng
d : 3x y 0 . và d : 3x y 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp d2 A 1 2
xúc với d tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC 1 2 d1
vuông tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện B
tích bằng 3 và điểm A có hoành độ dương. C 2 Hình 3.1 2 2 A. C 3 3 : x x 2 B. 6 2 2 2 C 3 3 : x x 4 6 2 2 2 2 2 C. 3 3 C 3 3 : x x 9
D. C : x x 1 6 2 6 2
Lời giải (hình 3.1)
Vì A d A a; 3a , a 0; B, C d B ;
b 3b , C ; c 3c 1 2
Suy ra AB b a; 3a b, AC c a; 3c a
Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.
Do đó AC d AC.u 0 1. c a 3. 3 a c 0 2a c 0 (1) 1 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
AB d AB.u 0 1. b a 3 a b 0 2b a 0 (2) 2 2 2 3a Mặt khác 1 S d A d BC c b c b ABC 1 2 2 3 ; . . 3 2 2 2 2 2
2a c b 1 (3)
Từ (1), (2) suy ra 2c b 3a thế vào (3) ta được 3
a 3a 1 a 3 Do đó 3 2 3 b , c 3 2 3 A ;1, C ;2 6 3 3 3 Suy ra (C) nhận 3 3 AC I ;
là trung điểm AC làm tâm và bán kính là R 1 6 2 2 2 2
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là C 3 3 : x x 1 6 2
DẠNG 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn
1. Phương pháp giải.
Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM
+ Nếu IM R suy ra M nằm trong đường tròn
+ Nếu IM R suy ra M thuộc đường tròn
+ Nếu IM R suy ra M nằm ngoài đường tròn
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d I;
+ Nếu d I; R suy ra cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
+ Nếu d I; R suy ra tiếp xúc với đường tròn
+ Nếu d I; R suy ra không cắt đường tròn
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng và đường tròn (C)
bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C')
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn (C') và tính
II ' , R R ', R R '
+ Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau
+ Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
+ Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau
+ Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
+ Nếu R R ' II ' R R ' suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn
(C') bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ. 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : x y 1 0 và đường tròn C 2 2
: x y 4x 2y 4 0
a) Chứng minh điểm M 2;1 nằm trong đường tròn
b) Xét vị trí tương đối giữa và C
A. cắt C tại hai điểm phân biệt.
B. tiếp xúcC
C. không cắtC .
D. Không xác định được.
c) Viết phương trình đường thẳng ' vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân
biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.
A. ' : 2x y 1 0
B. ' : x 2y 1 0
C. ' : x y 2 0
D. ' : x y 1 0 Lời giải:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a) Đường tròn (C) có tâm I 2;1 và bán kính R 3 .
Ta có IM 2 2 2 2 1 1
2 3 R do đó M nằm trong đường tròn.
b) Vì d I 2 1 1 ;
2 2 3 R nên cắt C tại hai điểm phân biệt. 1 1
c) Vì ' vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của
chúng là lớn nhất nên ' vuông góc với và đi qua tâm I của đường tròn (C).
Do đó ' nhận vectơ u
làm vectơ pháp tuyến suy ra ' : 1x 2 1y 1 0 1;1
hay x y 1 0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ' : x y 1 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn C 2 2
: x y 2x 6y 15 0 và C 2 2
' : x y 6x 2y 3 0
a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
x 1 5t
x 1 4t
x 1 5t
x 1 4t A. B. C. D.
y 2 5t
y 2 4t
y 2 4t
y 2 5t
c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O A. 2 2
x y 7x y 1 0 B. 2 2
x y 7x y 2 0 C. 2 2
x y 7x y 4 0 D. 2 2
x y 7x y 0 Lời giải
a) Cách 1: C có tâm I 1;3 và bán kính R 5 , C có tâm I '3;1 và bán kính R 13
II 2 2 ' 3 1 1 3 2 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Ta thấy R R I I R R suy ra hai đường tròn cắt nhau. 1 2 1 2 1 2
Cách 2: Xét hệ phương trình 2 2 2 2
x y 2x 6y 15 0
x y 2x 6y 15 0 2 2
x y 6x 2y 3 0
x y 3 0 y 2
y 32 y 2y 3 2 2 6y 15 0
y y 6 0 y 3 x y 3
x y 3
x y 3
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là A1;2 và B 6;3
b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận AB 5;5 làm vectơ chỉ phương suy ra phương
x 1 5t
trình đường thẳng cần tìm là y 2 5t
c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng 2 2
x y 2ax 2by c 0 7 a
1 4 2a 4b c 0 2
(C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ 1 36 9 12a 6b c 0 b 2 c 0 c 0 Vậy (C") : 2 2
x y 7x y 0
Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình 2 2
x y x y m 2 2 2 6 15
x y 6x 2y 3 0 (*)
Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi 15 m.3 0 m 5
Khi đó phương trình (*) trở thành 2 2
x y 7x y 0
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là 2 2
x y 7x y 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Ví dụ 3: Cho đường tròn 2 2
(C ) : x y 2x 4y 4 0 có tâm I và đường thẳng
: 2x my 1 2 0
a) Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B A. m 2 B. m2;9 C. m 9 D. m
b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất A. m 2 B. m 4 C. m 2 D. m 9
Lời giải (hình 3.2)
a) Đường tròn (C) có tâm I 1;2, bán kính R 3
cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 2m 1 2
d I; R 3 2 2 m I 2
5m 5m 17 0 (đúng với mọi m) B H A 1 9 b) Ta có 9 S I .
A IB.sin AIB sin AIB IAB 2 2 2 Hình 3.2 Suy 9 max S khi và chỉ khi 0
sin AIB 1 AIB 90 IAB 2
Gọi H là hình chiếu của I lên 3 khi đó 0 0
AIH 45 IH I . A cos 45 2 1 2m
Ta có d I; 3 2 IH
m 8m 16 0 m 4 2 2 m 2
Vậy với m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
1. Phương pháp giải.
Cho đường tròn (C) tâm I a;b , bán kính R
Nếu biết tiếp điểm là M x ;y thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ 0 0
IM x a;y b làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 0 0
x a x x y b y y 0 0 0 0 0
Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (C)
khi và chỉ khi d I; R để xác định tiếp tuyến. 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình 2 2
x y 6x 2y 6 0 và điểm hai điểm
A1;1; B 1;3
a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A A. y 1 B. x 1
C. x y 0
D. x y 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.
A. y 3 và 3x 4y 15 0
B. x 1 và 2x 4y 14 0
C. x 1 và x 4y 13 0
D. x 1 và 3x 4y 15 0 Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I 3;1 bán kính 2
R 3 1 6 2 .
a) Ta có: IA 2 ;
R IB 2 5 R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA 2;0 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
là 2x 1 0y 1 0 hay x 1
b) Phương trình đường thẳng đi qua B có dạng:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a x 1 b y 3 0 (với 2 2
a b 0 ) hay ax by a 3b 0
Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn d I; R
3a b a 3b b 2 a 2b2 0 2 2 2 a b 3b 4ab 0 2 2 3b 4a a b
+ Nếu b 0 , chọn a 1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x 1.
+ Nếu 3b 4a , chọn a 3, b 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x 4y 15 0
Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là x 1 và 3x 4y 15 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C 2 2
: x y 4x 4y 1 0 trong trường
a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng ' : 2x 3y 4 0
A. : 3x 2y 10 0
B. : 3x 2y 10 2 13 0
C. : 3x 2y 8 3 13 0
D. : 3x 2y 10 3 13 0
b) Đường thẳng hợp với trục hoành một góc 0 45
A. : x y 3 2 4 0
B. : x y 3 2 0 1,2
C. : x y 3 2 0, : x y 3 2 4 0 1,2 3
D. : x y 3 2 0, : x y 3 2 4 0 , : x y 3 2 4 0 1,2 3 Lời giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I 2;2, bán kính R 3
Vì ' nên nhận u 3;2 làm VTPT do đó phương trình có dạng
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
3x 2y c 0
Đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi 10 c d I; 3
3 c 10 3 13 13
Vậy có hai tiếp tuyến là : 3x 2y 10 3 13 0
b) Giả sử phương trình đường thẳng 2 2
: ax by c 0, a b 0
Đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi
2a 2b c d I; 3
3 2a 2b c 2 9 2 2 a b (*) 2 2 a b
Đường thẳng hợp với trục hoành một góc 0 45 suy ra b b cos ; Ox 0 cos 45
a b hoặc a b 2 2 2 2 a b a b
TH1: Nếu a b thay vào (*) ta có 2 2
18a c c
3 2a , chọn a b 1 c 3 2
suy ra : x y 3 2 0 2 c 3 2 4 a 2
TH2: Nếu a b
thay vào (*) ta có 18a 4a c c 3 2 4a
Với c 3 2 4a , chọn a 1, b 1, c 3 2 4 : x y 3 2 4 0
Với c 3 2 4a , chọn a 1, b 1, c 3 2 4 : x y 3 2 4 0
Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là : x y 3 2 0, : x y 3 2 4 0 và 1,2 3
: x y 3 2 4 0 4
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: C 2 2
: x y 4y 5 0 và C : x y 6x 8y 16 0 2 2 2 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. 4x 3y 9 0
B. 2x y 2 3 5 0
C. 2x y 2 3 5 0,y 1 0
D. 2x y 2 3 5 0,y 1 0, 4x 3y 9 0 Lời giải:
Đường tròn C có tâm I 0;2 bán kính R 3 1 1 1
Đường tròn C có tâm I 3;4 bán kính R 3 2 2 2
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình : ax by c 0 với 2 2 a b 0 d(I , ) 3 2 2
2b c 3 a b *
là tiếp tuyến chung của C và C 1 2 1 d(I , ) 3 2 2 2
3a 4b c 3 a b a 2b
Suy ra 2b c 3a 4b c 3a 2b c 2
TH1: Nếu a 2b chọn a 2, b 1 thay vào (*) ta được c 2 3 5 nên ta có 2 tiếp
tuyến là 2x y 2 3 5 0 TH2: Nếu 3a 2b c thay vào (*) ta được 2 2
2b a 2 a b a 0 hoặc 2 3a 4b 0
+ Với a 0 c b , chọn b c 1 ta được : y 1 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
+ Với 3a 4b 0 c 3b , chọn a 4, b 3, c 9 ta được : 4x 3y 9 0
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là :
2x y 2 3 5 0,y 1 0, 4x 3y 9 0 §5. ĐƯỜNG ELIP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F , F với F F 2c c 0 và hằng số a c . Elip(E) là 1 2 1 2
tập hợp các điểm M thỏa mãn MF MF 2a . 1 2
Các điểm F , F là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F F 2c là tiêu cự của (E). MF , MF 1 2 1 2 1 2
được gọi là bán kính qua tiêu. y
2) Phương trình chính tắc của elip: B2 Với F ; c 0 , F ; c 0 : 1 2 A M 1 A2 2 2 F O F2 x x y 1
M x;y E 1 1 trong đó 2 2 2
b a c 2 2 a b B1
(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)
3) Hình dạng và tính chất của elip: Hình 3.3
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F ; c
0 , tiêu điểm phải F ; c 0 2 1 + Các đỉnh : A a
;0 , A a;0 , B 0; b , B 0;b 1 2 1 2
+ Trục lớn : A A 2a , nằm trên trục Ox; trục nhỏ :B B 2b , nằm trên trục Oy 1 2 1 2
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x a ,y b
gọi là hình chữ nhật cơ sở. + Tâm sai : c e 1 a
+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm M x ;y thuộc (E) là: M M
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] c c
MF a ex a x , MF a ex a x 1 M M 2 M M a a
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng a,b và 2 2 2
b a c ta tìm được c elip từ
đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm. 2. Các ví dụ. 2 2
Ví dụ 1. Elip có phương trình sau x y 1 . 4 1 a) Xác định các đỉnh
A. A 1;0 ; A 1;0 ; B 0;1 ; B 0;1 1 2 1 2
B. A 2;0 ; A 2;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
C. A 1;0 ; A 1;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
D. A 2;0 ; A 2;0 ; B 0;1 ; B 0;1 1 2 1 2
b) Xác định độ dài trục
A. trục lớn A A 2 , độ dài trục bé B B 1 1 2 1 2
B. trục lớn A A 3 , độ dài trục bé B B 2 1 2 1 2
C. trục lớn A A 4 , độ dài trục bé B B 3 1 2 1 2
D. trục lớn A A 4 , độ dài trục bé B B 2 1 2 1 2 c) Xác định tiêu cự A. F F 3 B. F F 5 1 2 1 2 C. F F 3 3 D. F F 2 3 1 2 1 2 d) Xác định tiêu điểm
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. tiêu điểm là F 2;0 ; F 2;0 ,
B. tiêu điểm là F 7;0 ; F 7;0 , 1 2 1 2
C. tiêu điểm là F 5;0 ; F 5;0 ,
D. tiêu điểm là F 3;0 ; F 3;0 , 1 2 1 2 e) Xác định tâm sai A. 3 e B. 5 e C. 7 e D. 3 e 3 2 2 2 Elip có phương trình sau 2 2
4x 25y 100 a) Xác định các đỉnh
A. A 5;0 ; A 5;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
B. A 5;0 ; A 5;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
C. A 5;0 ; A 5;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
D. A 5;0 ; A 5;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
b) Xác định độ dài trục
A. Độ dài trục lớn A A 12 , độ dài trục bé B B 4 1 2 1 2
B. Độ dài trục lớn A A 10 , độ dài trục bé B B 2 1 2 1 2
C. Độ dài trục lớn A A 12 , độ dài trục bé B B 2 1 2 1 2
D. Độ dài trục lớn A A 10 , độ dài trục bé B B 4 1 2 1 2 c) Xác định tiêu cự A. F F 21 B. F F 3 21 1 2 1 2 C. F F 2 21 D. F F 5 21 1 2 1 2 d) Xác định tiêu điểm
A. F 2 21;0 ; F 2 21;0
B. F 3 21;0 ; F 3 21;0 1 2 1 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
C. F 4 21;0 ; F 4 21;0
D. F 21;0 ; F 21;0 1 2 1 2 e) Xác định tâm sai A. 21 e B. 21 e C. 21 e D. 21 e 5 4 3 2 Lời giải:
a) Từ phương trình của (E) ta có 2 2
a 2, b 1 c a b 3 .
Suy ra tọa độ các đỉnh là A 2;0 ; A 2;0 ; B 0;1 ; B 0;1 1 2 1 2
Độ dài trục lớn A A 4 , độ dài trục bé B B 2 1 2 1 2
Tiêu cự F F 2c 2 3 , tiêu điểm là F 3;0 ; F 3;0 , 1 2 1 2 Tâm sai của (E) là c 3 e a 2 2 2 b) Ta có x y 2 2
4x 25y 100 1 suy ra 2 2
a 5; b 2 c a b 21 25 4
Do đó tọa độ các đỉnh là A 5;0 ; A 5;0 ; B 0;2 ; B 0;2 1 2 1 2
Độ dài trục lớn A A 10 , độ dài trục bé B B 4 1 2 1 2
Tiêu cự F F 2c 2 21 , tiêu điểm là F 21;0 ; F 21;0 , 1 2 1 2 Tâm sai của (E) là c 21 e a 5
DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.
1. Phương pháp giải.
Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau: 2 2
+ Gọi phương trình chính tắc elip là x y
1 a b 0 2 2 a b
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài
toán để tìm các đại lượng a,b của elip từ đó viết được phương trình chính tắc của nó. 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai 2 e 3 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 16 5 9 4 16 4 9 5
b) (E)có tọa độ một đỉnh là 0; 5 và đi qua điểm 4 10 M ;1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 16 5 8 5 16 4 4 5
c) (E) có tiêu điểm thứ nhất 3;0 và đi qua điểm 4 33 M(1; ) . 5 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 25 22 8 5 16 4 4 5
d) Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng y 2 0 và có diện tích bằng 48. 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 25 22 8 5 16 4 36 4
e) (E) có tâm sai bằng 5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. 3 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 25 22 8 5 16 4 9 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2
Lời giải: Phương trình chính tắc của (E) có dạng: x y
1 a b 0 2 2 a b
a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a 6 a 3 , Tâm sai 2 e nên 3 c 2 2 2 2
c 2, b a c 5 a 3 2 2
Vậy phương trình chính tắc (E) là x y 1 9 5
b) (E) có một đỉnh có tọa độ là 0; 5 nằm trên trục tung nên b 5 do đó phương trình 2 2
chính tắc của (E) có dạng: x y 1 a 5 . 2 a 5
Mặt khác (E) đi qua điểm 4 10 160 1 M ;1 nên 2 1 a 8 5 2 25a 5 2 2
Vậy phương trình chính tắc (E) là x y 1 8 5
c) (E) có tiêu điểm F ( 3;0) nên c 3 suy ra 2 2 2 2
a b c b 3 (1) 1 Mặt khác 4 33 1 528 M(1; ) (E) 1 (2) 2 2 5 a 25b Thế (1) vào (2) ta được 1 528 4 2
1 25b 478b 1584 0 2 2
b 22 a 25 2 2 b 3 25b 2 2
Vậy phương trình chính tắc (E) là x y 1 25 22
d) (E) có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng y 2 0 suy ra b 2
Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên 2a.2b 48 b 6 2 2
Vậy phương trình chính tắc (E) là x y 1 36 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2
e) (E) có tâm sai bằng 5 suy ra a b 5 hay 2 2 4a 9b (3) 3 a 3
Hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 suy ra 4a b 20 (4).
Từ (3) và (4) suy ra a 3, b 2 2 2
Vậy phương trình chính tắc (E) là x y 1 9 4
DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là 2 2 x y E :
1 a b 0 ta làm như sau 2 2 a b 2 2 x y
Giả sử M x ;y , điểm M E M M
1 ta thu được phương trình thứ M M 2 2 a b nhất.
Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương
trình ẩn x , y ta tìm được tọa độ của điểm M M M 2. Các ví dụ: 2 2
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng x y Oxy , cho elip (E):
1 có tiêu điểm F và F . 25 9 1 2
Tìm điểm M trên (E) sao cho
a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ A. 5 15 5 15 M ; và M ; 1 26 26 2 26 26 B. 5 15 M ; 26 26 C. 5 15 M ; 26 26 D.Không tồn tại
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] b) MF 2MF 1 2 A. 25 119 M ; và 25 119 M ; 12 4 12 4 B. 25 119 M ; 12 4 C. 25 119 M ; 12 4 D.Không tồn tại c) 0 F MF 60 1 2 A. 5 13 3 3 M ; 4 4 B. 5 13 3 3 M ; 4 4 C. 5 13 3 3 5 13 3 3 M ; ,M ; 4 4 4 4 D. 5 13 3 3 5 13 3 3 5 13 3 3 5 13 3 3 M ; ,M ; ,M ; và M ; 1 4 4 2 3 4 4 4 4 4 4 4
d) Diện tích tam giác OAM lớn nhất với A1;1 A. 25 9 M ; 34 34 B. 25 9 M ; 34 34
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. 25 9 M ; và 25 9 M ; 34 34 34 34 D.Không tồn tại Lời giải 2 2 x y
Giả sử M x ;y E suy ra M M 1(*) M M 25 9
a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ do đó y 3x thay vào (*) ta được M M x 3x M M 2 2 5 2
1 26x 25 x 25 9 M M 26
Vậy có hai điểm thỏa mãn là 5 15 5 15 M ; và M ; 1 26 26 2 26 26
b) Từ phương trình (E) có 2 2
a 25, b 9 nên 2 2
a 5, b 3,c a b 4
Theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : c 4 c 4
MF a x 5 x
và MF a x 5 x 1 M a 5 M 2 M a 5 M Theo giải thiết 25
MF 2MF suy ra 4 4 5 x 2
5 x x 1 2 5 M 5 M M 12 2 y Thay vào (*) ta có : 25 119 M 1 y 144 9 M 4
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là: 25 119 25 119 M ; và M ; 1 12 4 2 12 4
c) Ta có F 4;0 , F 4;0 MF x 4;y , MF x 4;y 1 2 1 M M 2 M M
2 2 MF .MF x y 16 Vì 0 F MF 60 nên 0 1 2 cos 60 M M
1 2 4 4 MF . MF 1 2 5 x 5 x 5 M 5 M 1 16 2 2 2 x y 16 25 x M M 2 25 M
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 x y 2 2 y y Suy ra 57 57 3 3 M M thế vào (*) ta được M M 1 y và 25 66 33 66 33 9 M 4 5 13 x M 4
Vậy có bốn điểm thỏa mãn là 5 13 3 3 M ; , 1 4 4 5 13 3 3 5 13 3 3 5 13 3 3 M ; ,M ; và M ; 2 3 4 4 4 4 4 4 4
d) Ta có OA1;1 nên đường thẳng đi qua hai điểm O, A nhận n 1;1 làm vectơ pháp tuyến
có phương trình là x y 0 1 x y S OAd M OA x y OAM 1 M M 1 . ; 2 2 2 2 2 M M
Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacốpxki ta có 2 2 1 x y 1 x y 34 S
5. M 3. M .34. M M OAM 2 5 3 2 25 9 2 x y
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M M
kết hợp với (*) ta được 25 9 25 25 x x M 34 M hoặc 34 9 9 y y M 34 M 34 Vậy có hai điểm 25 9 25 9 M ; và M ;
thỏa mãn yêu cầu bài toán 1 34 34 2 34 34 2 2
Ví dụ 2: Cho elip (E) : x y
1 và C 2;0. Tìm ,
A B thuộc (E) biết , A B đối xứng nhau 4 1
qua trục hoành và tam giác ABC đều. A. 2 4 3 A ; , 2 4 3 B ; hoặc 2 4 3 A ; , 2 4 3 B ; . 7 7 7 7 7 7 7 7
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] B. 2 4 3 A ; , 2 4 3 B ; 7 7 7 7 C. 3 4 3 A ; , 3 4 3 B ; . 7 7 7 7 D. 3 4 3 A ; , 3 4 3 B ; hoặc 3 4 3 A ; , 3 4 3 B ; . 7 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải
Giả sử Ax ;y . Vì ,
A B đối xứng nhau qua trục hoành nên B x ; y với y 0 . 0 0 0 0 0 2 2 2 x y x
Vì A E nên 0 0 2 0 1 y 1 (1) 0 4 1 4
Vì tam giác ABC đều nên AB AC 2y 2 2 x 2 y 2 2 2 0 0 0 2 2
3y 4 4x x (2) 0 0 0 Thay (1) vào (2) ta có 2 x 2 0 x 0 2 2 31
4 4x x 7x 16x 4 0 0 0 0 0 2 4 x 0 7
+ Nếu x 2 thay vào (1) ta cóy 0 . Trường hợp này loại vì A C 0 0 + Nếu 2 4 3 x
thay vào (1) ta có y 0 7 0 7 Vậy 2 4 3 A ; , 2 4 3 B ; hoặc 2 4 3 A ; , 2 4 3 B ; . 7 7 7 7 7 7 7 7
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] §6. ĐƯỜNG HYPEBOL
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F , F với F F 2c c 0 và y 1 2 1 2
hằng số a c .Hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn
MF MF 2a . Kí hiệu (H) 1 2
Ta gọi : F , F là tiêu điểm của (H). Khoảng cách F F 2c là tiêu cự A F 1 1 O A x 2 F 1 2 1 2 2 của (H).
2.Phương trình chính tắc của hypebol: Hình 3.4 Với F ; c 0 , F ; c 0 1 2 2 2 x y
M x;y H 1 với 2 2 2
b c a (2) 2 2 a b
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol
3.Hình dạng và tính chất của (H):
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F ; c
0 , tiêu điểm phải F ; c 0 2 1 + Các đỉnh : A a ;0 , A a;0 1 2
+ Trục Ox gọi là trục thực, Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh
gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.
+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x a ,y b
gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai
đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệp cận của
hypebol và có phương trình là b y x a + Tâm sai : c e 1 a
+ M x ;y thuộc (H) thì: M M c c
MF a ex
a x , MF a ex a x 1 M M 2 M M a a
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
DẠNG 1. Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình chính tắc của chúng.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc của hypebol ta xác định các đại lượng a,b và 2 2 2
b c a ta tìm
được c từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm. 2. Các ví dụ. 2 2
Ví dụ 1.Cho hypebol x y 1 6 8
a) Xác định tọa độ các đỉnh
A. A 8;0 ; A 8;0
B. A 3;0 ; A 3;0 1 2 1 2
C. A 6;0 ; A 6;0
D. A 7;0 ; A 7;0 1 2 1 2
b) Xác định các tiêu điểm
A. F 6;0 ; F 6;0
B. F 10;0 ; F 10;0 1 2 1 2
C. F 8;0 ; F 8;0
D. F 5;0 ; F 5;0 1 2 1 2 c); tính tâm sai A. 8 e B. 4 e C. 10 e D. 5 e 6 6 6 6
d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo
A. Độ dài trục thực a 2 6 , độ dài trục ảo b 4 2
B. . Độ dài trục thực a 6 , độ dài trục ảo b 2 2
C. . Độ dài trục thực a 6 6 , độ dài trục ảo b 8 2
D. . Độ dài trục thực a 3 6 , độ dài trục ảo b 6 2
e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H) A. 4 y x B. 5 y x 3 3 C. 3 y x D. 2 y x 3 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] b) cho hypebol 2 2 5x 4y 20
a) Xác định tọa độ các đỉnh
A. A 8;0 ; A 8;0
B. A 2;0 ; A 2;0 1 2 1 2
C. A 6;0 ; A 6;0
D. A 7;0 ; A 7;0 1 2 1 2
a) Xác định các tiêu điểm
A. F 3;0 ; F 3;0
B. F 10;0 ; F 10;0 1 2 1 2
C. F 8;0 ; F 8;0
D. F 5;0 ; F 5;0 1 2 1 2 a); tính tâm sai A. 3 e B. 1 e C. 10 e D. 5 e 2 2 6 6
a) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo
A. Độ dài trục thực 2a 3 , độ dài trục ảo 2b 2 5
B. Độ dài trục thực a 2 , độ dài trục ảo b 5
C. Độ dài trục thực 2a 8 , độ dài trục ảo 2b 7
D. Độ dài trục thực 2a 12 , độ dài trục ảo 2b 14
a) viết phương trình các đường tiệm cận của (H) A. 1 y x B. 7 y x C. 2 y x D. 5 y x 3 2 2 2 Lời giải: a) Ta có 2 2
a 6, b 8 nên 2 2
a 6, b 2 2, c a b 10 Do đó ta có hypebol có:
Tọa độ các đỉnh là A 6;0 ; A 6;0 1 2
Tiêu điểm là F 10;0 ; F 10;0 1 2 Tâm sai của (H) là c 10 e a 6
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Độ dài trục thực 2a 2 6 , độ dài trục ảo 2b 4 2
Đường tiệm cận có phương trình là b 2
y x x a 3 2 2
b) Viết lại phương trình (H) là: x y 1, có 2 2
a 4, b 5 nên 4 5 2 2
a 2, b 5, c a b 3 Do đó ta có hypebol có:
Tọa độ các đỉnh là A 2;0 ; A 2;0 1 2
Tiêu điểm là F 3;0 ; F 3;0 1 2 Tâm sai của (H) là c 3 e a 2
Độ dài trục thực 2a 4 , độ dài trục ảo 2b 2 5
Đường tiệm cận có phương trình là 5 y x 2
DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol.
1. Phương pháp giải.
Để viết phương trình chính tắc của hypebol ta làm như sau: 2 2
+ Gọi phương trình chính tắc hypebol là x y 1 a,b 0 2 2 a b
+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài
toán để tìm các đại lượng a,b của hypebol từ đó viết được phương trình chính tắc của nó. 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau:
a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là 4;0 và độ dài trục ảo bằng 28 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 8 7 9 8 9 4 9 7
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
b) (H) có tiêu cự bằng 10 và đường tiệm cận là 4 y x 3 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 12 16 9 4 25 16 9 16
c) (H) có tâm sai bằng 13 và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 48 3 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 18 9 12 8 10 8 18 8
d) (H) đi qua hai điểm M 2;2 2 và N 1; 3 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 5 2 2 3 2 4 2 2 5 5 5
e) (H) đi qua M 2;1 và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 0 60 . 2 2 2 2 A. x y x y 1 . B. 1. 11 11 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 C. x y x y x y 1 và 1. D. 1 11 11 1 1 1 3 3 3 2 2
Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của (H) là: x y 1 với 2 2 2
b c a 2 2 a b
a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là 4;0 suy ra c 4 ; độ dài trục ảo bằng 28 suy ra 2 2 2 2
2b 28 b 7, a c b 9 2 2
Vậy phương trình (H) là x y 1 9 7
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
b) (H) có tiêu cự bằng 10 suy ra 2 2
2c 10 a b 25 (1); đường tiệm cận là 4 y x suy 3 ra b 4 16 hay 2 2 b a (2) a 3 9 Thế (2) vào (1) 16 2 2 2 2 a
a 25 a 9 b 16 9 2 2
Vậy phương trình (H) là x y 1 9 16 2 2
c) Tâm sai bằng 13 suy ra c 13 a b 13 hay 2 2 4a 9b (3) 3 a 3 a 3
Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 24 suy ra 2a.2b 48 ab 12 (4) Từ (3) và (4) suy ra 2 2 a 18;b 8 2 2
Vậy phương trình (H) là x y 1 18 8
d) (H) đi qua hai điểm M 2;2 2 và N 1; 3 nên ta có hệ 2 8 1 2 2 2 2 a a b 5 1 3 2 1 b 2 2 2 a b 2 2
Vậy phương trình (H) là x y 1 2 2 5 e) 4 1
M 2;1 H nên 1 (*) 2 2 a b
Phương trình hai đường tiệm cận là: b b
: y x hay bx ay 0 ; : y x hay bx ay 0 1 a 2 a 2 2 b a
Vì góc giữa hai đường tiệm cận bằng 0 60 nên 0 cos 60 2 2 b a
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 b a Hay 1 2 2 2 2
2 b a a b 2 2 2 b a 2 2 2 2 2 2
2(b a ) b a b 3a 2 2 2 2 2 2
2(b a ) ( b a ) a 3b + Với 11 2 2
b 3a thay vào (*) được 2 2 a , b 11 3 2 2
Suy ra phương trình hypebol là (H): x y 1 11 11 3 + Với 1 2 2
a 3b thay vào (*) được 2 2 a 1, b 3 2 2
Suy ra phương trình hypebol là (H): x y 1 1 1 3 2 2 2 2
Vậy có có hai hypebol thỏa mãn có phương trình là x y x y 1 và 1. 11 11 1 1 3 3
DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên hypebol thỏa mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình chính tắc là 2 2 x y H :
1,a 0,b 0 ta làm như sau 2 2 a b 2 2 x y
Giả sử M x ;y , điểm M H M M
1 ta thu được phương trình thứ M M 2 2 a b nhất.
Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương
trình ẩn x , y ta tìm được tọa độ của điểm M M M 2. Các ví dụ: 2 2
Ví dụ 1. Cho hypebol (H): x y
1 có tiêu điểm F và F . 9 6 1 2
Tìm điểm M trên (H) trong trường hợp sau:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
a) Điểm M có hoành độ là 4 A. 42 M 4; B. 42 M 4; 3 3 C. 42 42 42 42 M 4; ;M 4; D. M 5; ;M 5; 1 2 3 3 1 2 3 3
b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông. A. 63 12 M ; 5 5 B. 63 12 M ; 5 5 C. 63 12 M ; 5 5 D. 63 12 63 12 63 12 63 12 M ; , M ; , M ; và M ; 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5
c) Khoảng cách hai điểm M và F bằng 3 1 A. 18 210 M ; 15 5 B. 18 210 M ; 15 5 C. 18 210 18 210 M ; và M ; 1 15 5 2 15 5 D. 1 210 1 210 M ; và M ; 1 15 5 2 15 5
d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 24 2 5
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 12 330 M ; , 12 330 M ; 5 5 5 5 B. 12 330 M ; , 12 330 M ; 5 5 5 5 C. 12 330 M ; , 12 330 M ; 5 5 5 5 D. 12 330 12 330 12 330 12 330 M ; , M ; , M ; và M ; 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 Lời giải 2 2 x y
Giả sử M x ;y H suy ra M M 1 (*) M M 9 6 2 x a) Ta có 42
x 4 suy ra y 6 M 1 M M 9 3 42 42 M 4; ;M 4; 1 2 3 3
b) Từ phương trình (H) có 2 2
a 9, b 6 nên 2 2
a 3, b 6,c a b 15
Suy ra F ( 15;0);F ( 15;0) 1 2
Ta có: F M (x 15;y );F M (x 15;y ) 1 M M 2 M M
Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông nên
2 2 2
F M.F M 0 (x 15)(x 15) y 0 y 15 x thế vào (*) ta được 1 2 M M M M M 2 2 x 15 x 63 M M 1 x suy ra 12 y 9 6 M 5 M 5
Vậy có bốn điểm thỏa mãn là
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 63 12 63 12 63 12 63 12 M ; , M ; , M ; và M ; 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 x 0(l) M c) Ta có c 15
MF a x nên 3 3 x 1 M a M 18 210 3 x y M 15 M 5 Vậy có 2 điểm: 18 210 18 210 M ; và M ; 1 15 5 2 15 5
d) Phương trình hai tiệm cận là : 6 6 d : y
x;d : y x . 1 2 3 3
Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 24 2 suy ra 5 6 6 x y x y 3 M M 3 M M 24 2 2 2 5 1 1 3 3 24 30 6x 3y 6x 3y M M M M * * 5
Mặt khác * 6x 3y 6x 3y 54 0 suy ra M M M M (**) 24 30 12 330
6x 3y 6x 3y x y M M M M 5 M 5 M 5 Vậy có bốn điểm 12 330 12 330 12 330 M ; , M ; , M ; và 1 5 5 2 5 5 3 5 5 12 330 M ;
thỏa mãn yêu cầu bài toán 4 5 5 §7. ĐƯỜNG PARABOL
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không đi qua F. Parabol(P) là tập
hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của parabol y
p d F;được gọi là tham số tiêu của parabol.
2.Phương trình chính tắc của parabol: K
Mx;y Với p p F ;0
và : x p 0 2 2 P O F x
M x y P 2 ;
y 2px (3)
(3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol Hình 3.5
3.Hình dạng và tính chất của parabol: + Tiêu điểm p F ;0 2
+ Phương trình đường chuẩn: p : x 2
+ Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol
+ Ox được gọi là trục đối xứng + p M x ;y thuộc (P) thì:
MF d M; x M M M 2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1. Xác định các yếu tố của parabol khi biết phương trình chính tắc.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc của parabol ta xác định các đại lượng p từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm. 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho parabol (P) có phương trình 2 y 4x a) Tìm tiêu điểm A. F 2;0 B. F 3;0 C. F 4;0 D. F 1;0
b) Đường chuẩn của (P).
A. 2x 1 0
B. 3x 1 0
C. 4x 1 0 D. x 1 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Lời giải:
Từ phương trình của (P) có 2p 4 nên p 2
Suy ra (P) có tiêu điểm là F 1;0 và đường chuẩn là x 1 0 .
DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của (E), (H), (P).
1. Phương pháp giải.
Ta thiết lập phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm p của parabol từ đó viết được
phương trình chính tắc của nó. 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của parabol (P)
a) (P) có tiêu điểm là F 0;5 A. 2 y 5x B. 2 y 10x C. 2 y 30x D. 2 y 20x
b) Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng : x y 12 0 là 2 2 A. 2 y 32x B. 2 y 64x C. 2
y 32x hoặc 2 y 64x D. 2
y 16x hoặc 2 y 64x
Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: 2 y 2px
a) Do tọa độ tiêu điểm p F 0;5 nên 5 p 10 2
Vậy phương trình của (P) : 2 y 20x
b) Ta có tọa độ tiêu điểm p F ;0 2
Khoảng cách từ F đến đường thẳng bằng 2 2 nên: p 12 d F 2 ;
2 2 suy ra p 16 hoặc p 32 . 2
Vậy phương trình của (P): 2
y 32x hoặc 2 y 64x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên parabol thỏa mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc parabol có phương trình chính tắc là 2
y 2px ta làm như sau
Giả sử M x ;y , điểm M P 2
y 2px ta thu được phương trình thứ nhất. M M M M
Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương
trình ẩn x , y ta tìm được tọa độ của điểm M M M 2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): 2
y 8x có tiêu điểm F
a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 3 A. M 1;2 2
B. M 1;2 2
C. M 1;2 2 , M 1;2 2
D. M 2;2 2 , M 2;2 2 1 2 1 2
b) Tìm điểm M trên (P) sao cho S 8 O MF A. M 8;8 B. M 3;8 C. M 8;3 D. M 3;3
c) Tìm một điểm A nằm trên parabol và một điểm B nằm trên đường thẳng
: 4x 3y 5 0 sao cho đoạn AB ngắn nhất A. A 209 153 1;3 , B ; B. A 9 153 2;3 , B ; 200 50 8 50 C. 9 209 153
A ;3, B ; D. A 209 4;3 , B ;3 8 200 50 200
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Lời giải:
a) Giả sử M x ;y P suy ra 2 y 8x (*) M M M M
Từ phương trình (P) có p 4 nên F 2;0 Ta có p FM
x suy ra x 1 kết hợp (*) ta có y 2 2 2 M M M
Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 1;2 2 , M 1;2 2 1 2 2 b) Ta có a M P M ;a với a 0 8 1 S
8 OF.d M OF a O MF ; 8 8 2
Vậy điểm M cần tìm là M 8;8
c) Với mọi điểm A P , B ta luôn có AB d ; A 2 a 4. 3.a 5 2 2 a 8 a 3 1 1 A P A ;a
với a 0 , khi đó d ; A 8 5 10 10
Suy ra AB nhỏ nhất khi và chỉ khi 9 A ;3
và B là hình chiếu của A lên 8
Đường thẳng đi qua A vuông góc với nhận u 3;4 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 9 3x 4
y 3 0. hay 24x 32y 123 0 8 209 4 3 5 0 x x y
Do đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 200
24x 32y 123 0 153 y 50 Vậy 9 209 153
A ;3, B ;
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 8 200 50
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
§8. BA ĐƯỜNG CÔNIC
I. Đường chuẩn của elip và hypebol.
Không chỉ có parabol mới có đường chuẩn, elip và hypebol cũng có đường chuẩn được định nghĩa tương tự như sau
1. Đường chuẩn của elip. 2 2
a. Định nghĩa: Cho (E): x y a
1 . Khi đó đường thẳng : x 0 được gọi là đường 2 2 a b 1 e
chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm a F ; c
0 ; Đường thẳng : x 0 được gọi là đường 1 2 e
chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F ; c 0 . 2 MF MF
b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có 1 2 d e e 1 M; d M; 1 2
2. Đường chuẩn của hypebol. 2 2
a. Định nghĩa: Cho (H): x y a
1. các đường thẳng : x 0 và 2 2 a b 1 e a
: x 0 gọi là các đường chuẩn của (H) lần lượt tương ứng với các tiêu điểm F ; c 0 1 2 e và F ; c 0 2 MF MF
b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có 1 2 d e e 1 M; d M; 1 2
II. Định nghĩa ba đường cônic
Cho điểm F cố định và đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là ba đường cônic d M;
Điểm F gọi là tiêu điểm, được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường cônic.
Chú ý: Elip là đường cônic có tâm sai e 1; parabol là đường cônic có tâm sai e 1 ; hypebol
là đường cônic có tâm sai e 1
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1. Nhận dạng cônic và xác định tiêu điểm, đường chuẩn của các đường cônic.
1. Phương pháp giải.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Để nhận dạng đường cônic ta dựa vào tâm sai: đường cônic có tâm sai e 1 là elip;
đường cônic có tâm sai e 1 là parabol; đường cônic có tâm sai e 1 là hypebol.
Từ phương trình của đường cônic ta xác định được dạng của nó từ đó xác định được tiêu
điểm và đường chuẩn của nó. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: 2 2
a) Xác định tiêu điểm của x y 1 . 5 4 A. F 1;0 B. F 1;0 2 1
C. F 1;0 ,F 1;0
D. F 2;0 ,F 2;0 1 2 1 2 2 2
Xác định đường chuẩn của x y 1 5 4
A. x 6 0 hoặc x 5 0
B. x 6 0 hoặc x 6 0
C. x 7 0 hoặc x 7 0
D. x 5 0 hoặc x 5 0 2 2
b) Xác định tiêu điểm của x y 1. 7 10 A. F 17;0 B. F 17;0 2 1 C. F 17;0 ,F 17;0
D. F 2;0 ,F 2;0 1 2 1 2 2 2
Xác định đường chuẩn của x y 1 7 10 A. 7 x 0 hoặc 7 x 0
B. x 6 0 hoặc x 6 0 17 17
C. x 7 0 hoặc x 7 0
D. x 5 0 hoặc x 5 0
c) Xác định tiêu điểm của 2 y 18x . A. 9 F ;0 B. 9 F ;0 2 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. F 17;0 ,F 17;0
D. F 2;0 ,F 2;0 1 2 1 2
Xác định đường chuẩn của 2 y 18x A. 9 x 0 B. x 7 0 C. x 7 0 D. x 5 0 2 Lời giải:
a) Dễ thấy đây là phương trình chính tắc của đường elip 2 a 5 a 5 Ta có c 2 2 2
c a b 5 4 1 do đó c 1, tâm sai 1 e 2 b 4 b 2 a 5
Vậy ta có tiêu điểm là F 1;0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình là 5 x 0 1 1 5
hay x 5 0 và tiêu điểm là F 1;0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình là 2 5 x
0 hay x 5 0 . 1 5
b) Đây là phương trình chính tắc của đường hypebol 2 a 7 a 7 Ta có c 2 2 2
c a b 17 do đó c 17 , tâm sai 17 e 2 b 10 b 10 a 7
Vậy ta có tiêu điểm là F 17;0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình là 1 7 x 0 hay 7 x
0 và tiêu điểm là F
17;0 tương ứng có đường chuẩn có 2 17 17 7 phương trình là 7 x 0 hay 7 x 0 . 17 17 7
c) Đây là phương trình chính tắc của parabol
Ta có 2p 18 p 9
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Vậy tiêu điểm là 9 F ;0
, đường chuẩn có phương trình là 9 x 0 . 2 2
Ví dụ 2: Cho cônic có tiêu điểm F 1;1, đi qua điểm M 1;1 và đường chuẩn
: 3x 4y 5 0 . Cônic này là elip, hypebol hay là parabol? A.elip B.hypebol C.parabol D.Đường tròn Lời giải: 3 4 5 Ta có 2
MF 2 , d M; 2 2 3 4 5 Suy ra MF suy ra đây là elip d M 5 1 ;
DẠNG 2. Viết phương trình đường cônic.
1. Phương pháp giải.
Dựa vào các dạng của đường cônic mà giả thiết đã cho để viết phương trình
Dựa vào định nghĩa của ba đường cônic 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : x y 1 0 và điểm F 1;0. Viết phương trình của đường
cônic nhận F làm tiêu điểm và là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau a) Tâm sai e 3 A. 2 2
2x y xy 10x 6y 1 0 B. 2 2
x y 6xy 10x 6y 1 0 C. 2 2
x y xy 10x 6y 1 0 D. 2 2
2x y 6xy 10x 6y 1 0 b) Tâm sai 1 e 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 2 2
3x 3y 2xy x y 3 0 B. 2 2
3x y xy 10x 2y 3 0 C. 2 2
x y xy 10x 2y 3 0 D. 2 2
3x 3y 2xy 10x 2y 3 0 c) Tâm sai e 1
A. 2xy 4x 2y 3 0
B. 2xy 4x 2y 2 0
C. 2xy x 2y 0
D. 2xy 4x 2y 0 Lời giải:
Gọi M x;y là điểm thuộc đường cônic cần tìm. Khi đó theo định nghĩa ta có MF
e MF e d M (*). d M; . ; x y
Ta có MF x 2 2 1
y , d M 1 ; 2 x y 1
a) Tâm sai e 3 thì * 1 x 2 2 y 3. 2 2 2 2
x 2x 1 y 3 2 2
x y 1 2xy 2x 2y 2 2
2x y 6xy 10x 6y 1 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2 2
2x y 6xy 10x 6y 1 0 1 x y 1 b) Tâm sai 1 e
thì * 1 x 2 2 y . 2 2 2 4 2 2
x 2x 1 y 2 2
x y 1 2xy 2x 2y 2 2
3x 3y 2xy 10x 2y 3 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2 2
3x 3y 2xy 10x 2y 3 0 . x y 1
c) Tâm sai e 1 thì * 1 x 2 2 y 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 2 2
x 2x 1 y x y 1 2xy 2x 2y
2xy 4x 2y 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2xy 4x 2y 0 .
Ví dụ 2: Cho điểm A0; 3 và hai đường thẳng : x 2 0, ' : 3x y 0
a) Viết phương trình chính tắc đường elip có A là một đỉnh và một đường chuẩn là 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 7 3 8 3 9 3 6 3
b) Viết phương trình chính tắc đường hypebol có là một đường chuẩn và ' là tiệm cận. 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 36 4 360 40 36 40 360 Lời giải: 2 2
a) Gọi phương trình chính tắc elip là x y
1, a b 0 2 2 a b
Vì A0; 3 là một đỉnh của elip nên b 3 2
elip có một đường chuẩn là a a nên 2 2
2 a 2c (*) e c Ta lại có 2 2 2 2
b a c 3 a c c a 3 thay vào (*) ta có 2 a 2 a 2 2 3 a 6 2 2
Vậy phương trình chính tắc elip cần tìm là x y 1 . 6 3 2 2
b) Gọi phương trình chính tắc elip là x y
1,a 0,b 0 2 2 a b
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2
Hypebol có một đường chuẩn là a a a nên 2 2 c (1) e c 2
Hypebol có một đường tiệm cận là b ' nên
3 b 3a (2) a Mặt khác 2 2 2
b c a (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta được 2 2 4 a 2 a a 2 2 2
a a a 2 a 2 3 10 40 0 a 40 2 4 Suy ra 2 2 b 9a 360 2 2
Vậy phương trình chính tắc hypebol cần tìm là x y 1 . 40 360
DẠNG 3. Sự tương giao gữa các đường cônic và với các đường khác.
1. Phương pháp giải.
Cho hai đường cong f x;y a, g x;y b khi đó
Số giao điểm của hai đường cong trên chính là số nghiệm của hệ phương trình
f x;y a g
x;y b
f x;y a
Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường cong là nghiệm của hệ g
x;y b 2. Các ví dụ. 2 2
Ví dụ 1: Cho đường thẳng x y
: 2x y m 0 , elip (E): 1 và hypebol (H): 6 3 2 2 x y 1 1 8
a) Với giá trị nào của m thì cắt (E) tại hai điểm phân biệt ?
A. 3 m 3
B. 3 m 3
C. 3 3 m 3 3
D. 3 3 m 3 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
b) Chứng minh rằng với mọi m thì cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (H)
c) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). A. 2 62 2 62 2 2 x y B. 2 2 x y C. 2 2 x y D. 2 2 x y 17 7 7 17 Lời giải:
2x y m 0
y x m
a) Xét hệ phương trình 2 2 x y 2 2 1
9x 8mx 2m 6 0 6 3
Do đó cắt (E) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 2
9x 8mx 2m 6 0
có hai nghiệm phân biệt hay 2 m 2 ' 16
9 2m 6 0 3 3 m 3 3 .
2x y m 0
y x m
b) Xét hệ phương trình 2 2 x y 2 2 1
7x 2mx m 8 0 * 1 8 Do ac 2
7. m 8 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu suy ra cắt (H) tại
hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu nhau
Vậy cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (H) 2 2 x y 1
c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ: 6 3 I 2 2 x y 1 1 8 22 x
Giải hệ (I) ta được 17 10 y 2 17
Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ (I) nên thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 x y x y 62 27 4 31 hay 2 2 x y 6 3 1 8 17
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Vậy tọa độ giao điểm của (E) và (H) là 22 10 22 10 22 10 22 10 M ;2 , M ;2 , M và phương ;2 ,M ;2 1 2 3 4 17 17 17 17 17 17 17 17
trình đường tròn đi qua các điểm đó phương trình là 62 2 2 x y 17 2 2
Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (E) x y 1 , (H) 2 2 a b 2 2 x y 1 2 2 a ' b ' ta chọn , sao cho
k 0, 0 khi đó phương trình đường 2 2 2 2 a a ' b b ' tròn cần tìm là 2 2 x y k 2 2
Ví dụ 2: Cho elip (E): x y
1 và điểm I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua I biết 16 9
rằng đường thẳng đó cắt elip tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
A. x 32y 73 0
B. 9x 3y 73 0
C. 9x 32y 3 0
D. 9x 32y 73 0 Lời giải:
x 1 at
Cách 1: Đường thẳng đi qua I nhận u a;b làm vectơ chỉ phương có dạng (với
y 2 bt 2 2 a b 0 ) ,
A B suy ra tọa độ ,
A B có dạng A (1 at ;2 bt ) , B (1 at ;2 bt ) . 1 1 2 2
2x x x
a t t I A B 0 1 2
I là trung điểm của AB khi và chỉ khi t t (1)
2x x x b t t I A B 0 1 2 0 1 2 (do 2 2 a b 0 ) ,
A B E nên t , t là nghiệm của phương trình 1 2 2 2 (1 at) (2 bt) 1 2 2 9a 16b 2
t 29a 32b t 139 0 16 9
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Theo định lý Viet ta có t t 0 9a 32b 0 1 2
Ta có thể chọn b 9 và a 32 .
Vậy đường thẳng d có phương trình x 1 y 2
hay 9x 32y 73 0 32 9
Cách 2: Vì I thuộc miền trong của elip (E ) nên lấy tùy ý điểm (
A x;y) (E) thì đường thẳng IM
luôn cắt (E) tại điểm thứ hai là B x ';y ' .
I là trung điểm điểm AB khi và chỉ khi
2x x x
x ' 2 x I A B
M '2 x;4 y
2x x x
y ' 4 y I A B 2 2 x y 1 16 9
M,M ' (E) 2 2 (2 x) (4 y) 1 16 9 Suy ra 4 4x 16 8y
0 hay 9x 32y 73 0 (*) 16 9
Tọa độ điểm M, I thỏa mãn phương trình (*) nên đường thẳng cần tìm là 9x 32y 73 0 2 2
Nhận xét: Bài toán tổng quát " Cho elip (E ) : x y
1 a b 0 và điểm I(x ;y ) với 2 2 a b 0 0 2 2 x y 0 0
1 (nghĩa là điểm I thuộc miền trong của elíp ) . Viết phương trình đường thẳng đi 2 2 a b
qua I , biết rằng đường thẳng đó cắt elíp tại hai điểm M , M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ ". 2 2 4x 4x x 4y 4y y
Làm tương tự cách 2 ta có phương trình đường thẳng cần tìm là 0 0 0 0 0 2 2 a b 2 2
Ví dụ 3: Cho hypebol (H): x y
1 và hai đường thẳng 4 9
: x my 0, ' : mx y 0
a) Tìm m để và ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 1 2 2 3 m ; ; B. 3 2 1 3
m ; ; 2 3 3 2 2 3 3 2 C. 3 1 2 3 m ; ; D. 3 2 2 3
m ; ; 2 3 3 2 2 3 3 2
b) Xác định m diện tích tứ giác tạo bởi bốn giao điểm của , ' và (H) đạt giá trị nhỏ nhất. A. m 2 B. m 3 C. m 1 D. m 0 Lời giải: 2 a) Từ phương trình m 1
thế x m
y vào phương trình (H) ta được 2 y 1 (*) 4 9
Suy ra cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 2 hay m 1 4 2 2 2 0 m m ; ; 4 9 9 3 3 2
Tương tự từ phương trình 1 m
thế y mx vào phương trình (H) ta được 2 x 1 4 9
Suy ra ' cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 1 m 9 3 3 2 0 m m ; 4 9 4 2 2
Vậy và ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 3 2 2 3 m ; ; 2 3 3 2 b. Với 3 2 2 3 m ;
; thì và ' cắt (H) tại bốn điểm phân biệt (**) 2 3 3 2
Dễ dàng tìm được giao điểm và (H) là 6m 6 6m 6 A ; ; C ;
và giao điểm ' và (H) là 2 2 2 2 9m 4 9m 4 9m 4 9m 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 6 6m 6 6m B ; ; D ;
A đối xứng với C và B đối xứng với D 2 2 2 2 9 4m 9 4m 9 4m 9 4m
qua gốc toạ độ O. Mặt khác ' do đó tứ giác ABCD là hình thoi. 1 72 2 m 1 Suy ra S AC.BD ABCD 2 2 9m 4 2 9 4m
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 72 2 m 1 144. 2 m 1 144 S ABCD
9m 49 4m 2 9m 4 2 2 2 9 4m 5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2
9m 4 9 4m m 1(thỏa mãn (**))
Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): 2
y 8x . Đường thẳng không trùng với
trục Ox đi qua tiêu điểm F của (P) sao cho góc hợp bởi hai tia Fx và Ft là tia của nằm phía
trên trục hoành một góc bằng 0
90 . Chứng minh rằng Cắt (P) tại hai điểm phân biệt
M, N và tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi thay đổi. Lời giải:
Theo giả thiết ta có F 2; 0, đường thẳng có hệ số góc k tan
y x 2tan
Suy ra : y x 2.tan . Xét hệ phương trình (*) 2 y 8x Suy ra 2 tan .
y 8y 16 tan 0 (**) 2
' 16 16 tan 0 do đó phương trình (**) luôn có hai nghiệm phân biệt, hệ phương
trình (*) có hai nghiệm phân biệt điều này chứng tỏ rằng Cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Gọi tọa độ hai giao điểm đó là M x ;y , N x ;y ; I x ;y là trung điểm của MN I I M M N N
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Theo định lý Viét ta có: 8 y y 4 y y 0 M N y . M N tan I 2 tan x x
Mặt khác từ (*) ta có y y x x x M N M N 4 4 tan M N 2 I 2 2 tan 2 y
Suy ra x 4. I 2 hay 2 y 4x 8 I 4 I I 2
Vậy tập hợp điểm I là đường cong có phương trình : p 2 y px .(Cũng gọi là Parapol) 2
Dạng 4. Các bài toán định tính về ba đường cônic.
1. Phương pháp giải.
Dựa vào phương trình chính tắc của ba đường cônic và giả thiết để thiết lập và chứng minh một số các
tính chất của ba đường cônic. 2. Các ví dụ. 2 2
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng x y Oxy cho (E):
1 và hai điểm M, N thuộc (E) sao cho OM 2 2 a b
vuông góc với ON. Chứng minh rằng a) 1 1 1 1 2 2 2 2 OM ON a b
b) Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Lời giải.
a) + Dễ thấy một trong hai điểm trùng với bốn đỉnh của (E) thì đẳng thức hiển nhiên đúng
+ Nếu cả hai điểm không trùng với các đỉnh của (E):
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Gọi M x ;y , N x ;y , k k 0 là hệ số góc của đường thẳng OM thì hệ số góc của M M N N ON là 1
(vì OM vuông góc với ON ). k 2 2 x y 2 2 x y
Do M, N E nên M M 1 (1), N N 1 (2) 2 2 a b 2 2 a b
Đường thẳng OM có phương trình là y kx suy ra y kx (3) M M
Đường thẳng ON có phương trình là 1
y x suy ra 1 y x (4) k N N k Thay (3) vào (1) suy ra 2 2 2 2 2 2 x k x 1 k a b M M 2 2 1 x 1 x 2 2 M 2 2 M 2 2 2 a b a b a k b 2 2 2 k a b 2 2 2
y k x M M 2 2 2 a k b 2 2 a b 2 k 1 2 2 2
Do đó OM x y M M 2 2 2 a k b
Tương tự thay (4) vào (2) suy ra 1 2 2 x 2 2 2 x 2 N 1 1 a k b N k 2 2 1 x 1 x 2 2 N 2 2 2 N 2 2 2 a b a k b a k b 2 2 1 a b 2 2 y x N 2 N 2 2 2 k a k b 2 2 a b 2 k 1 2 2 2
Do đó ON x y N N 2 2 2 a k b
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 1 1 b k a a k b 2 2 a b 2 2 2 2 2 2 2 k 1 Suy ra 1 1 . 2 2 2 2 OM ON a b 2 k 1 2 2 a b 2 k 1 2 2 a b 2 k 1 2 2 a b Vậy 1 1 1 1 2 2 2 2 OM ON a b
b) Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng MN khi đó OH là đường cao của tam giác vuông
MON. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 1 1 1 1 1 ab OH 2 2 2 2 2 2 2 OH OM ON a b a b
Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính ab . 2 2 a b 2 2
Ví dụ 2. Cho hypebol (H): x y
1 có các tiêu điểm F , F . Lấy M là điểm bất kì trên (H). 2 2 a b 1 2
Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng số. Lời giải.
Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là: b
: y x hay bx ay 0 1 a b
: y x hay bx ay 0 2 a
Giả sử M x ;y
khi đó theo công thức khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng ta có M M bx ay bx ay d M; M M ; d M; M M 2 1 2 2 a b 2 2 a b 2 2 2 2 bx ay bx ay b x a y
Suy ra d M; d M; M M . M M M M 1 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b 2 2 x y
Mặt khác M thuộc (H) nên : M M 1 hay 2 2 2 2 2 2
b x a y a b 2 2 a b M M
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 Do đó a .b d M; d M; là hằng số 1 2 2 2 a b
Ví dụ 3. Cho parabol (P): 2
y 2ax . Đường thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc
k k 0 cắt (P) tại M và N. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M và N đến trục Ox là hằng số. Lời giải
Tiêu điểm F a;0. Vì đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k 0 nên có phương trình: a : y k x 2
Hoành độ giao điểm của và (P) là nghiệm của phương trình: 2 a 2 2 2
k x ax k x 2 a k a 2 2 2 4 4 2
x k a 0 (*) 2
a k a 2 2 4 2 2 k a a 2 ' 4 2 4 16 1 k 0 2 Theo định lý Viet có a x .x M N 4
Mặt khác ta có d M;Ox y ; d N;Ox y M N
Suy ra d M Ox d N Ox 2 2 ; . ; y .y 4a x .x a M N M N
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Chương 3: HÌNH GIẢI TÍCH Câu 1.
Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;0), B(8;0),C(0;4) . Tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác A. 2 6. B. 26. C. 6. D. 5. Câu 2.
Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(100;0), B(0;75),C(72;96) . Tính bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A. 6. B. 62,5. C. 7,15. D. 7,5. Câu 3.
Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(4;0), B(0;2),C(1,6;3, 2) . Tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác A. 2 5. B. 4,75. C. 2 5. D. 4,5. Câu 4.
Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(0;3), B(0;12),C(6;0) . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp A. (4,5;0,5). B. (0;4,5). C. (4;0). D. (5;1). Câu 5.
Đường thẳng nào sau đây song với đường thẳng y 3x 2. A. 1 y x 2.
B. y x 2.
C. y 3x 2. D. 3 y 3x 2. Câu 6.
Hai vectơ u và v được gọi là cùng phương khi và chỉ khi?
A. giá chúng trùng với nhau.
B. tồn tại một số k sao cho u kv
C. hai vectơ vuông góc với nhau.
D. góc giữa hai vectơ là góc nhọn. Câu 7.
Chọn phương án đúng điền vào chỗ trống
Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ....song song hoặc trùng với .
A. vectơ u vuông góc với .
B. vectơ u bằng 0 .
C. nếu u 0 và giá của u .
D. nếu u 0 .
Câu 8. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. Một vectơ. B. Hai vectơ. C. Ba vectơ. D. Vô số vectơ.
Câu 9. Cho đường thẳng có phương trình tham số x 2 3t có tọa độ vectơ chỉ
y 3 t phương là. A.2; –3. B.3; –1 . C.3; 1 . D. 3; –3.
Câu 10. Cho đường thẳng có phương trình tham số x 1 3t có hệ số góc là
y 6 3t A. k 1. B. k 2. C. k –1. D. k –2.
Câu 11. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A2; 3 và B3; 1 là: A. x 2 2t x t x t x t . B. 3 2 . C. 2 . D. 2 . y 3 t y 1 t
y 3 2t
y 3 2t
Câu 12. Hãy chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống
Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu . . . .với véctơ
chỉ phương của đường thẳng A. n 0 .
B. n vuông góc.
C. n 0 và n vuông góc. D. n song song.
Câu 13. Hai vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng
A. Song song với nhau.
B. Vuông góc vơí nhau. C. Trùng nhau. D. Bằng nhau.
Câu 14. Phương trình tổng quát cuả đường thẳng đi qua hai điểm A2;
1 , B –1; –3 là
A. 4x – 3y – 5 0 .
B. 3x – 4y – 5 0 .
C. 4x 3y – 5 0 .
D. –3x 4y 5 0 .
Câu 15. Cho hai đường thẳng d : 4x – 3y 5 0 và d : x 2y – 4 0 . Khi đó cosd d 1, 2 1 2 là:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . 5 5 5 5 5 5
Câu 16. Khoảng cách từ điểm M 2; –3 đến đường thẳng d có phương trình
2x 3y – 7 0 là: A. 12 . B. 12 . C. 12 . D. 12 . 13 13 13 13
Câu 17. Hãy chọn phương án đúng. Đường thẳng đi qua hai điểm A1; 1 , B 3; 1 có véctơ chỉ phương là A.4;2. B.2; 1 . C.2;0. D. (0;2).
Câu 18. Phương trình nào sau đây đi qua hai điểm A2; –1 , B –3; 4 A. x 2 t x t x t x t . B. 3 . C. 3 . D. 3 .
y 1 t
y 1 t
y 1 t y 1 t
Câu 19. Các số sau đây, số nào là hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A2;
–1 , B –3; 4 là A. 2. B. –2. C.1. D. –1.
Câu 20. Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A1;2, B3;
1 và C 5; 4. Phương trình nào
sau đây là phương trình đường cao của tam giác vẽ từ A ?
A. 2x 3y – 8 0.
B.3x – 2y – 5 0.
C.5x – 6y 7 0. D.
3x – 2 y 5 0.
Câu 21. Cho phương trình tham số của đường thẳng x 5 t d : . Trong các phương
y 9 2t
trình sau, phương trình nào trình tổng quát củad ?
A. 2x y –1 0.
B. 2x y 4 0.
C. x 2y – 2 0. D.
x – 2 y 3 0.
Câu 22. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quátt: 3x 5y 2017 0 .Tìm mệnh
đề sai trong các mệnh đề sau
A. d có vectơ pháp tuyến n 3;5 .
B. d có véctơ chỉ phương a 5;3.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
C. d có hệ số góc 5 k .
D.d song sog với đường thẳng 3
3x 5 y 0 .
Câu 23. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến n 2;3 . Vectơ nào sau là vectơ chỉ
phương của đường thẳng đó A.u ; 2 3. B.u – ( 2; ) 3 . C.u ; 3 2. D. u – ;33.
Câu 24. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến n 2;0 .Vectơ nào không là vectơ
chỉ phương của đường thẳng đó. A.u ; 0 3.
B.u 0; –7. C.u ; 8 0. D. u 0;–5.
Câu 25. Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: –2x 3y –1 0 . Vectơ nào sau
đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng . A.3;2. B.2;3. C.–3;2. D. 2; –3.
Câu 26. Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: –2x 3y –1 0 . Những điểm
sau, điểm nào thuộc . A.3;0. B.1; 1 . C.–3;0. D. 0; –3.
Câu 27. Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: –2x 3y –1 0 . Vectơ nào
sau đây không là vectơ chỉ phương của A. 2 1; . B.3;2. C.2;3. D. –3; –2. 3
Câu 28. Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: –2x 3y –1 0 . Đường
thẳng nào sau đây song song với
A. 2x – y –1 0 .
B. 2x 3y 4 0 .
C. 2x y 5 . D. 3 x y 7 0 2 .
Câu 29. Trong các đường sau đây , đường thẳng nào song song với đường thẳng
: x – 4y 1 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. y 2x 3.
B. x 2y 0.
C. 2x 8y 0. D.
– x 4 y – 2 0.
Câu 30. Đường nào sau đây cắt đường thẳng có phương trình : x – 4y 1 0
A. y 2x 3.
B. –2x 8y 0.
C. 2x – 8y 0. D.
– x 4 y – 2 0.
Câu 31. Khi biết một đường thẳng có phươg trình tổng quát ax by c 0 , thì ta có
vectơ pháp tuyến có tọa độ bằng A. ; a b. B. ; b a. C. – ; a b. D. – ; b a.
Câu 32. Cho hai điểm A1; –2, B 3;6 . Phương trình đường trung trực của của đoạn thẳng AB là
A. x 4y – 10 0.
B. 2x 8y – 5 0.
C. x 4y 10 0.
D. 2x 8y 5 0.
Câu 33. Góc giữa hai đường thẳng d : x 2y 4 0; d : x – 3y 6 0 1 2 A. 30o . B. 60 .o C. 45 .o D. 23 1 o 2 ' .
Câu 34. Tính khoảng cách từ điểm M –2;2 đến đường thẳng : 5x –12y –10 0 A. 24 B. 44 C. 44 D. 14 13 . 13 . 169 . 169 .
Câu 35. Tìm x sao cho u v trong đó u(2;3) , v(2; x) . Đáp số là :
A. x 1. B. x –1. C. 3 x . D. 4 x . 4 3
Câu 36. Cho u 12;4,v 1;0 . Có một mệnh đề sau SAI , Hãy chỉ ra
A. u v 13;4.
B. u v 1;4 .
C. u.v 2.
D. u 2v .
Câu 37. Cho A4;0, B2; –3, C 9;6. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC A. (3;5). B. (5;1). C. (15;9). D. (9;15).
Câu 38. Bán kính đường tròn tâm C –2; –2
tiếp xúc với đương thẳng
d : 5x 12 y – 10 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 44 . B. 43 . C. 42 . D. 41 . 13 13 13 13
Câu 39. Khoảng cách từ C 1;2 đến đường thẳng :3x 4y –11 0 là : A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 40. Hãy chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống. Phương trình 2 2 2
(x a) ( y b) R được gọi là phương trình đường tròn tâm …
A. I –a; – b.
B. I –a; b bán kính . R
C. I a; b bán kính R . D. I ;
a – b bán kính R .
Câu 41. Tâm của đường tròn 2 2
C có phương trình x 3 y 4 12 A. (3;4). B. (4;3). C. (3 ;–4). D. (–3;4).
Câu 42. Cho đường cong có phương trình 2 2
x y 5x 4 y 4 0 . Tâm của đường tròn có tọa độ là: A. (–5;4). B. (4;–5). C. 5 ; 2 . D. 5 ;2 . 2 2
Câu 43. Cho đường cong có phương trình 2 2
x y 5x 4 y 4 0 . Bán kính của đường tròng là: A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . 2 2 2 2
Câu 44. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn A. 2 2
x 2 y 4x 8 y 1 0 . B. 2 2
4x y 10x 6 y 2 0 . C. 2 2
x y 2x 8 y 20 0 . D. 2 2
x y 4x 6 y 12 0 .
Câu 45. Cho đường trịn C 2 2
: x y 2x 4 y 20 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. C có tâm I 1;2.
B.C có bán kính R 5 .
C. C đi qua điểm M 2;2.
D. C không đi qua điểm A1; 1 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 46. Phương trình đường trịn C có tâm I –2;3 và đi qua M 2; –3 là: A. 2 2
x 2 y 2 3 4 12 .
B. x 3 y 4 5 . C. 2 2
x 2 y 2 2 3 52 .
D. x 2 y 3 52 .
Câu 47. Phương trình đường tròn C có tâm I 1;3 và đi qua M 3; 1 là A. 2 2
x 2 y 2 1 3 8 . B. x
1 y 3 10. C. 2 2
x 2 y 2 3 1 10 .
D. x 3 y 1 8 .
Câu 48. Phương trình đường tròn C có tâm I 2
;0 và tiếp xúc với đường thẳng
d : 2x y 1 0 . A. x 2 2 2 y 5. B. x 2 2 2 y 5.
C. x y 2 2 2 5. D.
x y 2 2 2 5.
Câu 49. Tọa độ tâm và bán kính 2 2
R đường tròn có phương trình x 2 y 3 25 . A. I 2; 3 và R 5. B. I 2 ;3 và R 5. C. I 2; 3 và R 25 . D. I 2 ;3 và R 5.
Câu 50. Tọa độ tâm và bán kính R đường tròn C có phương trình 2 2
x y 2x 2 y 2 0 . A. I 2; 3 và R 3. B. I 2; 3 và R 4 . C. I 1; 1 và R 2 .
D. I 1; 1 và R 2 .
Câu 51. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn C có phương trình : 2 2
x y 4x 8 y 5 0 . Đi qua điểm A 1 ;0 .
A. 3x – 4y 3 0 .
B. 3x 4y 3 0 .
C. 3x 4y 3 0 . D.
3x 4 y 3 0 .
Câu 52. Đường thẳng d : 4x 3y m 0 tiếp xúc với đường tròn C 2 2
: x y 1 khi : A. m 3 . B. m 5 . C. m 1. D. m 4 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 53. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 3; 4 với đường tròn C 2 2
: x y 2x 4 y 3 0 là:
A. x y 7 0
B. x y 7 0
C. x y 7 0 D.
x y 3 0 .
Câu 54. Cho đường tròn C 2 2
: x y 4x 2 y 0 và đường thẳng : x 2 y 1 0 .
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :
A. đi qua tâm C.
B. cắt C và không đi qua tâm C.
C. tiếp xúc với C.
D. không có điểm chung với C.
Câu 55. Cho hai điểm A1;
1 , B 7;5 . Phương trình đường tròn đường kính AB là: A. 2 2
x y 8x 6 y 12 0 . B. 2 2
x y 8x 6 y 12 0 . C. 2 2
x y 8x 6 y 12 0 . D. 2 2
x y 8x 6 y 12 0 .
Câu 56. Cho điểm M 0;4 và đường tròn C 2 2
: x y 8x 6 y 21 0 .Tìm phát biểu
đúng trong các phát biểu sau:
A. M nằm ngoài C.
B. M nằm trên C.
C. M nằm trong C.
D. M trùng với tâm C.
Câu 57. Hãy chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống
1 . Cho hai điểm cố định F , F và 1 2
một độ dài không đổi 2a lớn hơn F F . Elip là tập hợp các điểm M trong 1 2
mặt phẳng sao cho . .
1 . . . Các điểm F và F gọi là các tiêu điểm của elip 1 2
. Độ dài F F 2c gọi là tiêu cự của elip. 1 2
A. F M F M 2a . B. F M F M 2a .
C. F M F M 2a . D. 1 2 1 2 1 2
F M F M 2c 1 2
Câu 58. Tọa độ các tiêu điểm của Elip là A. F ; c 0 và F ; c 0 . B. F ; c 0 và F ; c 0 . 2 1 2 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. F ;
c 0 và F 0;c . D. F ;
c 0 và F 0; c . 2 1 2 1
Câu 59. Phương trình chính tắc của elip là : 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 2 2 a b 2 2 a b 2 2 a b 2 2 x y 1 2 2 a b
Câu 60. Tìm các tiêu điểm của 2 2 x y E : 1. 9 1 A. F 3 ;0 và F 0; 3 .
B. F 3;0 và F 0; 3 . 2 1 2 1
C. F 8;0 và F 0; 8 . D. F 8; 0 và F 0; 8 . 2 1 2 1
Câu 61. Đường elip 2 2 x y E : 1 có tiêu cự bằng? 6 2 A. 2 3. B. 2 2 . C. 4 . D. –2
Câu 62. Phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn 2a 10 và tiêu cự 2c 6 là: 2 2 2 2 2 2 A. x y x y x y 1. B. 1. C. 1. D. 5 3 5 3 25 16 2 2 x y 1. 25 16
Câu 63. Viết phương trình đường tròn C có đường kính AB với A1; 1 , B 7;5 . A. C 2 2
: (x 4) ( y 2) 13. B. C 2 2
: (x 4) ( y 3) 13 . C. C 2 2
: (x 4) ( y 3) 13 . D. C 2 2
: (x 4) ( y 3) 13 .
Câu 64. Đường 2 2 x y E : 1 có tiêu cự bằng? 4 2 A. 2 2. B. 2 2. C. 3. D. 2 3.
Câu 65. Viết phương trình chính tắc của elip E biết trục lớn 2a 8 , trục bé 2b 6 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. 2 2 x y x y x y E : 1. B. E 2 2 :
1. C. E 2 2 : 1. D. 16 9 25 9 25 16 2 2 x y E : 1. 9 16
Câu 66. Viết phương trình chính tắc của elip E biết trục lớn 2a 10 , trục bé 2b 8 . A. 2 2 x y x y x y E : 1. B. E 2 2 :
1. C. E 2 2 : 1. D. 16 9 25 9 25 16 2 2 x y E : 1. 9 16
Câu 67. Viết phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn 2a 8 và tiêu cự 2c 6 . A. 2 2 x y x y x y E : 1. B. E 2 2 :
1. C. E 2 2 : 1. D. 16 7 25 7 25 16 2 2 x y E : 1. 7 16
Câu 68. Đường thẳng x 3y 5 0 có vectơ chỉ phương là: A. 2;2 . B. 2 ;3 . C. 3;2. D. 3 ; 1 .
Câu 69. Đường thẳng 2x y 5 0 song song với đường thẳng nào sau đây
A. y x 2.
B. y 2x 5.
C. y 2x 5.
D. y .x .
Câu 70. Một elip có trục lớn bằng c 26 , tỉ số 12
. Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu ? a 13 A. 5 . B. 10. C. 12. D. 24 .
Câu 71. Phương trình chính tắc của elip E có hai đỉnh 3
;0;3;0 và hai tiêu điểm 1 ;0;1;0 là A. 2 2 x y x y x y E : 1. B.E 2 2 : 1. C. E 2 2 : 1. 9 1 8 9 9 8 D. 2 2 x y E : 1. 1 9
Câu 72. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x 5y 2017 0 . Tìm
khẳng định SAI trong các khẳng định sau :
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. d có véctơ pháp tuyến n (3;5) .
B. d có véctơ chỉ phương.
C. d có hệ số góc 5 k .
D. d song song với đường thẳng 3
3x 5 y 0 .
Câu 73. Bán kính của đường tròn tâm I 2;5 và tiếp xúc với đường thẳng
d : 4x 3y 1 0 là A. 10. B. 5 . C. 22 . D. 21 . 5 5
Câu 74. Cho hai đường thẳng d : x 2y 4 0 và d : 2x y 6 0. Tính góc giữa 2 1
hai đường thẳng d và d là : 2 1 A. 0 30 . B. 0 60 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Câu 75. Cho hai đường thẳng d : x y 5 0 và d : y 10 . Tính góc giữa hai 2 1
đường thẳng d và d là : 2 1 A. 0 45 . B. 0 75 . C. 0 30 . D. 0 ' 30 25 .
Câu 76. Tính khoảng cách h từ điểm A3;0 tới đường thẳng d : 2
x y 5 0 . A. 5 h . B. 15 h . C. 10 h . D. 1 h . 5 5 5 5
Câu 77. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d : 2
x 3y 5 0 là :
A. u 2; 1 .
B. u 3;2 .
C. u 3;2 .
D. u 2;3 .
Câu 78. Viết phương trình chính tắc của elip E biết tiêu cự 2c 6 và trục bé 2b 8 là: A. 2 2 x y x y x y E : 1. B. E 2 2 :
1. C. E 2 2 : 1. D. 16 25 16 9 16 9 2 2 x y E : 1 25 16
Câu 79. Cho elíp có phương trình 2 2 x y E :
1 và đường thẳng d : y 3 0 . Tính 16 9
tích các khoảng cách h từ hai tiêu điểm của elip E tới đường thẳng d .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. h 81. B. h 16 . C. h 9 . D. h 7 .
Câu 80. Cho phương trình elip E 2 2
: 4x 9 y 36 . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A.E có trục lớn bằng 6
B. E có trục nhỏ bằng 4. C. c
E có tiêu cự bằng 5 .
D. E có tỉ số 5 . a 3
Câu 81. Cho elip 2 2 x y E :
1 và các mệnh đề sau 25 9
I :Elip E có các tiêu điểm F 4 ;0 và F 4;0 . 2 1 c
II : Elip E có tỉ số 4 . a 5
III :Elip E có đỉnh A 5 ;0 . 1
IV : Elip E có độ dài trục nhỏ bằng 3
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. I và II .
B. II và III .
C. I và III D. IV .
Câu 82. Cho elip E 2 2
: x 4 y 1 và cho các mệnh đề:
I :E có trục lớn bằng 1.
II : E có trục nhỏ bằng 4 . 3
III : E có tiêu điểm F 0; .
IV :E có tiêu cự bằng 3 . 1 2 2
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. I .
B. II và IV .
C. I và III . D. IV .
Câu 83. Tìm phương trình đường tròn C đi qua ba điểm A 1 ; 1 , B 3; 1 , C 1;3 . A. C 2 2
: x y 2x 2 y 2 0 . B. C 2 2
: x y 2x 2 y 2 0 . C. C 2 2
: x y 2x 2 y 0 . D. C 2 2
: x y 2x 2 y 2 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 84. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A1;2, B 2 ;3,C 4; 1 . A. 0; 1 . B. 1 3; . C. 0;0 . D. Không 2 có.
Câu 85. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn C 2 2 : x y 4 và 1
C :x 102 y 162 1. 2
A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc trong. D. Tiếp xúc ngoài.
Câu 86. Đường thẳng : 4x 3y m 0 tiếp xúc với đường tròn C 2 2
: x y 1 khi: A. m 3 . B. m 5 . C. m 1. D. m 0 .
Câu 87. Tìm phương trình chính tắc của elip E có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm 2; 2 . A. 2 2 x y x y x y E : 1. B. E 2 2 : 1. C. E 2 2 : 1. 16 4 20 5 36 9 D. 2 2 x y E : 1 . 24 6
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 8. Cho tam giác ABC có A2;0 ,B 0;3 ,C –3; –
1 . Đường thẳng đi qua B và
song song với AC có phương trình?
A. 5x y 3 0 .
B. 5x y 3 0 .
C. x 5y 15 0 .
D. x 5y 15 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Câu 9.
Cho đường thẳng d : 2x y – 2 0 và điểm A6;5. Điểm A' đối xứng với
A qua d có toạ độ? A. –6;–5 . B. –5;–6 . C. –6; –1 . D. 5;6.
Câu 10. Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc đường thẳng () : 4x – 3y 0 ? A. A1; 1 . B. B0; 1 . C. C –1; –1 . D. 1 D ;0 . 2
Câu 11. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?
A. Đường thẳng song song với trục Oy có phương trình x m m .
B. Đường thẳng có phương trình 2
x m – 1 song song với trục Ox .
C. Đường thẳng đi qua hai điểm M 2;0 và N 0;3 có phương trình x y 1. 2 3
D. Đường thẳng vuông góc với trục Oy có phương trình x m m .
Câu 12. Tìm hệ số góc của đường thẳng : 3x y 4 0 ? A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 3 . 3 3
Câu 13. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A –4;3 và song song với đường
thẳng x 4 t : . y 3t
A. 3x – y 9 0.
B. –3x – y 9 0.
C. x – 3y 3 0 .
D. 3x y 9 0. x t
Câu 14. Cho đường thẳng 4 :
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? y 3 t
A. Điểm A2;0 thuộc .
B. Điểm B3;–3 không thuộc .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
C. Điểm C –3;3 thuộc .
D. Phương trình x 2 y
là phương trình chính tắc của . 1 3
Câu 15. Phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng d : x y 2 0 ? A. x t x x t x t . B. 2 . C. 3 . D. . y 2 t y t y 1 t y 3 t
Câu 16. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường thẳng? x m A.
m , m . B. xy 1. C. 2
x y 1 0 . D. 1 1 4. y 1 x y 2
Câu 17. Cho A5;3, B –2;
1 . Đường thẳng có phương trình nào sau đây đi qua , A B ?
A. 2x – 2y 11 0 .
B. 7x – 2y 3 0.
C. 2x 7y – 5 0 . D. Đường thẳng khác.
Câu 18. Các cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau? A. x 2t x
và 2x y –1 0 .
B. x – 2 0 và 0 . y 1 t y t
C. y 2x 3 và 2y x 1.
D. 2x – y 3 0 và x 2y –1 0 .
Câu 19. Đường thẳng nào qua A2;
1 và song song với đường thẳng
d :2x 3y – 2 0?
A. x – y 3 0.
B. 2x 3y – 7 0.
C. 3x – 2y – 4 0. D.
4x 6 y – 11 0 . x 3 2k
Câu 20. Cho phương trình tham số của đường thẳng d :
k . Phương y 1 k
trình nào sau đây là phương trình tổng quát của d ?
A. x 2y – 5 0 .
B. x 2y 1 0 .
C. x – 2y –1 0 . D.
x – 2 y 5 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 21. Viết trình tham số của đường thẳng d đi qua M –2;3 và có VTCP u 1; 4 A. x 2 3t x t x t . B. 2 3 . C. 1 2 . D. y 1 4t
y 3 4t y 4 3t
x 3 2t . y 4 t
Câu 22. Tìm toạ độ điểm đối xứng của điểm A3;5 qua đường thẳng d : y x . A. –3;5 . B. –5;3 . C. 5;–3 . D. 5;3 .
Câu 23. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm M 1; 2 và N 3;4 .
A. x y 1 0 .
B. x y –1 0 .
C. x – y –1 0 . D. Đường thẳng khác.
Câu 24. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A1; 2, B 5;6 . A. n (4;4) B. n (1;1) . C. n ( 4 ;2) . D. n ( 1 ;1) .
x 2 3t
Câu 25. Hai đường thẳng d : x 3y – 3 0 và d : là hai đường thẳng 2 1 y 2t A. cắt nhau B. song song C. trùng nhau D.
Câu 26. Họ đường thẳng d : m – 2 x m
1 y – 3 0 luôn đi qua một điểm cố m
định. Đó là điểm có toạ độ nào trong các điểm sau? A. A–1; 1 . B. B0; 1 .
C. C –1;0 . D. D1; 1 .
Câu 27. Viết phương trình đường trung trực của AB với A1;3 và B –5; 1 . A. x t x y
x – y 1 0 . B. 2 3 . C. 2 2 . D. y 1 t 3 2 x 2 3t .
y 2 2t
Câu 28. Cho 2 điểm A –1; 2, B –3; 2 và đường thẳng d : 2x – y 3 0 . Tìm tọa độ
điểm C trên đường thẳng d sao cho ABC là tam giác cân tại C .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. C –2; –1 . B. C 0;0 .
C. C –1; 1 . D. C 0;3.
Câu 29. Cho đường thẳng d : y 2 và hai điểm A1; 2,C 0;3 . Tìm điểm B trên
đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại C . A. B5;2. B. B4;2 . C. B1;2 .
D. B–2;2 .
Câu 30. Cho ba điểm A1; 2, B 0; 4,C 5;3 . Tìm tọa độ điểm D trong mặt phẳng toạ
độ sao cho ABCD là hình bình hành. A. D1;2 . B. D4;5 . C. D3;2 . D. D0;3.
Câu 31. Cho hai điểm A0;
1 và điểm B 4; –5 . Tìm toạ độ tất cả các điểm C trên trục
Oy sao cho tam giác ABC là tam giác vuông. A. 0; 1 . B. 7 0;1 , 0; . 3
C. 0;2 2 7,0;2 2 7. D. 7 0;1 , 0; ,
0;2 2 7 ,0;2 2 7 . 3
Câu 32. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d : m – 1 x – y 3 0 và 1
d :2mx – y – 2 0 song song với nhau? 2 A. m 0 . B. m –1.
C. m a , a là hằng số. D. m 2.
Câu 33. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 và song
song với đường thẳng d : 4x 2y 1 0 ?
A. 4x 2y 3 0.
B. 2x y 4 0 .
C. 2x y 4 0. D.
x 2 y 3 0 .
Câu 34. Tính khoảng cách từ điểm M –2; 2 đến đường thẳng : 5x – 12 y – 10 0 ? A. 24 . B. 43 . C. 44 . D. 14 . 13 13 169 169
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Câu 35. Tính khoảng cách từ điểm M 0; 3 đến đường thẳng
: xcos ysin 32 – sin 0 A. 6 . B. 6. C. 3sin . D. 3 . sin o c s
Câu 36. Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M 1; 4 qua đường thẳng
d : x – 2y 2 0 .
A. M '0; 3 .
B. M '2; 2 .
C. M '4; 4 .
D. M '3; 0 .
Câu 37. Tính góc nhọn giữa hai đường thẳng d : x 2 y 4 0, d : x 3y 6 0 . 1 2 A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 23 12 ' . x t
Câu 38. Cho phương trình tham số của đường thẳng d 5 : . Trong các y 9 2t
phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình tổng quát của d ?
A. 2x+y –1 0 .
B. 2x y 1 0 .
C. x 2y 2 0 . D.
x 2 y 2 0 .
Câu 39. Cho hai đường thẳng d : 4x my 4 m 0, d : 2m 6 x y 2m 1 0 . 1 2
Với giá trị nào của m thì d song song với d ? 2 1 A. m 1. B. m 1. C. m 2.
D. m 1 hoặc m 2.
Câu 40. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M 1; 4 xuống đường thẳng
d : x 2y 2 0 . A. H 3;0 .
B. H 0; 3 .
C. H 2; 2 . D. H 2; – 2 .
Câu 41. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
d : x 2y 4 0 và hợp với 2 trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 1?
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. 2x+y 2 0 .
B. 2x y 1 0 .
C. x 2y 2 0. D.
2x y 2 0 .
Câu 42. Tính góc giữa hai đường thẳng : x 5y 11 0 và
: 2x 9y 7 0? 2 1 A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 88 57 '52 ' . D. 0 1 13'8 ' .
Câu 43. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 3x 5y 2003 0 . Trong các
mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
A. d có vectơ pháp tuyến n 3;5.
B. d có vectơ chỉ phương u 5;–3.
C. d có hệ số góc 5 k .
D. d song song với 3x 5y 0 . 3
Câu 44. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng
d : x 3y – 1 0 ,
d : x – 3y – 5 0
và vuông góc với đường thẳng 1 2
d : 2x – y 7 0 ? 3
A. 3x 6y – 5 0 .
B. 6x 12y – 5 0 . C. 6x 12y 10 0 . D.
x 2 y 10 0 .
Câu 45. Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A1; 2, B 3;
1 ,C 5; 4 . Viết phương
trình đường cao vẽ từ A của tam giác?
A. 2x 3y – 8 0 .
B. 3x – 2y – 5 0 .
C. 5x – 6y 7 0. D.
3x – 2 y 5 0 .
Câu 46. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 và vuông
góc với vectơ n 2; 3 ?
A. x 1 y 2 .
B. x 1 y 2 .
C. x 1 y 2 . D. 2 3 3 2 2 3 x 1 y 2 . 3 2
Câu 47. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm N –2; 1 và có hệ số góc 2 k ? 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. 2x – 3y 7 0 .
B. 2x – 3y – 7 0 .
C. 2x 3y 1 0 . D.
3x – 2 y 8 0 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C D A D D A A A D D B B B D D D A A C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A C B C B C A B D B B B C D D C B A B D
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Cho A2;
1 ; B 3; –2 . Tập hợp những điểm M ; x y sao cho 2 2
MA MB 30 là
một đường tròn có phương trình: A. 2 2
x y – 10x – 2 y – 12 0 . B. 2 2
x y – 5x y – 6 0 . C. 2 2
x y 5x – y – 6 0 . D. 2 2
x y – 5x y – 6 0 . Câu 2.
Cho hai đường tròn có phương trình: C 2 2
: x y – 6x 4 y 9 0 và 1 C 2 2
: x y 9 . Tìm câu trả lời đúng: 2
A. C và C tiếp xúc nhau.
B. C và C nằm ngoài nhau. 2 1 2 1
C. C và C cắt nhau.
D. C và C có 3 tiếp tuyến 2 1 2 1 chung. Câu 3.
Cho đường tròn C và đường thẳng d có phương trình: C 2 2
: x y 6x – 2 y 5 0 , d : x 2 y 2 0 . Hai tiếp tuyến của C song song
với đường thẳng d có phương trình là:
A. x 2y 6 0 và x 2y – 4 0 .
B. x 2y – 24 0 và x 2y 26 0 .
C. x 2y 6 0 và x 2y 4 0 .
D. x 2y – 7 0 và x 3y 3 0 . Câu 4.
Cho đường tròn C 2 2
: x y – 4 0 . Hỏi phương trình đường thẳng nào sau
đây là phương trình tiếp tuyến của đường tròn C .
A. x y – 2 0 .
B. x 3y – 4 0 .
C. 2x 3y – 5 0 . D.
4x – y 6 0 . Câu 5. Phương trình: 2 2
x y mx m 2 2 2
– 1 y 2m 0 là phương trình đường tròn khi
m thoả điều kiện: A. 1 m . B. 1 m . C. m 1. D. Một giá 2 2 trị khác. Câu 6.
Đường thẳng d : 2x 3y – 5 0 và đường tròn C 2 2
: x y 2x – 4 y 1 0 có bao nhiêu điểm chung? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Câu 7.
Hai đường tròn C 2 2
: x y – 4x 6 y – 3 0 và C : x y 2x – 4 y 1 0 có bao 2 2 2 1 nhiêu tiếp tuyến chung? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 8. Cho họ đường tròn có phương trình: C 2 2
x y m x m 2 : 2 1 – 4
– 2 y 4m – 4m 0 . Với giá trị nào của m thì đường m
tròn có bán kính nhỏ nhất? A. m 0 . B. m 1. C. m 2 . D. m 3 . Câu 9.
Đường thẳng nào có phương trình sau đây tiếp xúc với đường tròn C 2 2
: x y – 4x 6 y – 3 0 ?
A. x – 2y 7 0 .
B. x 15y 14 3 15 0 .
C. x 2 3t x y . D. 2 2 . y 1 t 3 2
Câu 10. Cho hai đường tròn: C 2 2
: x y 2x – 6 y 6 0 và C : x y – 4x 2 y – 4 0 . 2 2 2 1
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
A. C cắt C .
B. C không có điểm chung với 1 2 1 C . 2
C. C tiếp xúc trong vớiC .
D. C tiếp xúc ngoài với C . 2 1 2 1
Câu 11. Cho 2 điểm A1;
1 , B 7;5 . Phương trình đường tròn đường kính AB là: A. 2 2
x y 8x 6 y 12 0 . B. 2 2
x y – 8x – 6 y 12 0 . C. 2 2
x y – 8x – 6 y – 12 0 . D. 2 2
x y 8x 6 y – 12 0 .
Câu 12. Cho ba điểm A3;5, B2;3,C 6;2 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: A. 2 2
x y – 25x – 19 y 68 0 . B. 2 2
x y 25x 19 y – 68 0 . C. 2 2 25 19 68 x y – x – y 0 . D. 2 2 25 19 68 x y x y 0 . 3 3 3 3 3 3
Câu 13. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M 3;4 với đường tròn: C 2 2
: x y – 2x – 4 y – 3 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. x y – 7 0 .
B. x y 7 0 .
C. x – y – 7 0 . D.
x y – 3 0 .
Câu 14. Đường tròn đi qua 3 điểm A –2;4, B 5 ; 5 ,C 6
;2 có phương trình là: A. 2 2
x y 4x 2 y 20 0 . B. 2 2
x y 4x 2 y 20 0 . C. 2 2
x y – 4 x – 2 y 20 0 . D. 2 2
x y – 4x – 2 y – 20 0 .
Câu 15. Tính bán kính của đường tròn tâm I 1; –2 và tiếp xúc với đường thẳng
:3x – 4y – 26 0 . A. 12. B. 5. C. 3 . D. 3. 5
Câu 16. Tìm tiếp điểm của đường thằng
d : x 2 y – 5 0 với đường tròn
C x 2 y 2 : – 4 – 3 5 . A. A3; 1 . B. B6;4. C. C 5;0 . D. D1;20 .
Câu 17. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn: A. 2 2
x 2 y – 4x – 8 y 1 0 . B. 2 2
4x y – 10x – 6 y – 2 0 . C. 2 2
x y – 2x – 8 y 20 0 . D. 2 2
x y – 4x 6 y – 12 0 . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C A B A C C B B D B C A B D A D
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP c Câu 1.
Elip có tiêu cự bằng 8; tỉ số 4
có phương trình chính tắc là: a 5 2 2 2 2 2 2
A. x y x y x y 1 . B. 1 . C. 1 . D. 9 25 25 16 25 9 2 2 x y 1. 16 25 2 2 x y Câu 2.
Đường tròn C 2 2
: x y – 9 0 và elip E :
1 có bao nhiêu giao điểm? 9 4 A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 2 2 x y Câu 3. Cho elip E:
1 và cho các mệnh đề: 25 9
(I) E có tiêu điểm F –4;0 và F 4;0 . 2 1 (II) c E có tỉ số 4 . a 5
(III) E có đỉnh A –5;0 . 1
(IV) E có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai? A. I. B. II. C. III. D. IV. c Câu 4.
Một elip có trục lớn bằng 26, tỉ số 12
. Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu? a 13 A. 5. B. 10. C. 12. D. 24. x y Câu 5.
Dây cung của elip E 2 2 :
1 0 b a vuông góc với trục lớn tại tiêu 2 2 a b điểm có độ dài là: 2 2 2 2 A. 2c . B. 2b . C. 2b . D. a . a a c c Câu 6.
Lập phương trình chính tắc của elip có 2 đỉnh là –3;0,3;0 và hai tiêu điểm là
–1;0,1;0 ta được:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 2 2 2 2
A. x y x y x y 1 . B. 1 . C. 1 . D. 9 1 8 9 9 8 2 2 x y 1. 1 9 Câu 7. Cho elip E 2 2
: x 4 y 1 và cho các mệnh đề:
(I) (E) có trục lớn bằng 1.
(II) (E) có trục nhỏ bằng 4. (III) (E) có tiêu điểm 3 F 0; . 1 2
(IV) (E) có tiêu cự bằng 3 .
Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng? A. (I). B. (II) và (IV). C. (I) và (III). D. (IV). ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C D B B C D
§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương ? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số
Câu 2/.Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến ? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số.
Câu 3/.Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 2) và B(1 ; 4)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. (4 ; 2) B. (2 ; 1) C. (1 ; 2) D. (1 ; 2).
Câu 4/.Tìm vectơ pháp tuyến của đ. thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A(a ; 0) và B(0 ; b) A. (b ; a) B. (b ; a) C. (b ; a) D. (a ; b).
Câu 5/.Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox. A. (1 ; 0) B. (0 ; 1) C. (1 ; 0) D. (1 ; 1).
Câu 6/.Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy. A. (1 ; 0) B. (0 ; 1) C. (1 ; 0) D. (1 ; 1).
Câu 7/.Tìm vectơ pháp tuyến của đường phân giác của góc xOy. A. (1 ; 0) B. (0 ; 1) C. (1 ; 1) D. (1 ; 1).
Câu 8/.Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và điểm (a ; b) (với a, b khác không). A. (1 ; 0) B. (a ; b) C. (a ; b) D. (b ; a).
Câu 9/.Cho 2 điểm A(1 ; 4) , B(3 ; 2). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB. A. 3x + y + 1 = 0 B. x + 3y + 1 = 0 C. 3x y + 4 = 0 D. x + y 1 = 0
Câu 10/.Cho 2 điểm A(1 ; 4) , B(3 ; 4 ). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB. A. x 2 = 0 B. x + y 2 = 0 C. y + 4 = 0 D. y 4 = 0
Câu 11/.Cho 2 điểm A(1 ; 4) , B(1 ; 2 ). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB. A. x 1 = 0 B. y + 1 = 0 C. y 1 = 0 D. x 4y = 0
Câu 12/.Cho 2 điểm A(4 ; 7) , B(7 ; 4 ). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. x + y = 0 B. x + y = 1 C. x y = 0 D. x y = 1
Câu 13/.Cho 2 điểm A(4 ; 1) , B(1 ; 4 ). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB. A. x + y = 0 B. x + y = 1 C. x y = 0 D. x y = 1
Câu 14/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 1) và B(1 ; 5) A. 3x y + 10 = 0 B. 3x + y 8 = 0 C. 3x y + 6 = 0 D. x + 3y + 6 = 0
Câu 15/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(2 ; 1) và B(2 ; 5) A. x 2 = 0 B. 2x 7y + 9 = 0 C. x + 2 = 0 D. x + y 1 = 0
Câu 16/.Viết phương trình tổng quát của đ. thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 7) và B(1 ; 7) A. x + y + 4 = 0 B. x + y + 6 = 0 C. y 7 = 0 D. y + 7 = 0
Câu 17/.Viết phương trình tổng quát của đ. thẳng đi qua 2 điểm O(0 ; 0) và M(1 ; 3) A. x 3y = 0 B. 3x + y + 1 = 0 C. 3x y = 0 D. 3x + y = 0.
Câu 18/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(0 ; 5) và B(3 ; 0) A. x y x y x y x y 1 B. 1 C. 1 D. 1 5 3 5 3 3 5 5 3
Câu 19/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 1) và B(6 ; 2) A. x + 3y = 0 B. 3x y = 0 C. 3x y + 10 = 0 D. x + y 2 = 0
Câu 20/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm O(0 ; 0) và song
song với đường thẳng có phương trình 6x 4y + 1 = 0. A. 4x + 6y = 0 B. 3x 2y = 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. 3x y 1 = 0 D. 6x 4y 1 = 0
Câu 21/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(1 ; 1) và song
song với đường thẳng : ( 2 1)x y 1 0 .
A. x ( 2 1)y 2 2 0
B. ( 2 1)x y 2 0
C. ( 2 1)x y 2 2 1 0 D. ( 2 1)x y 0
Câu 22/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I(1 ; 2) và vuông
góc với đường thẳng có phương trình 2x y + 4 = 0. A. x + 2y = 0 B. x 2y + 5 = 0
C. x +2y 3 = 0 D. x +2y 5 = 0
Câu 23/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M( 2 ; 1) và vuông
góc với đường thẳng có phương trình ( 2 1)x ( 2 1)y 0 A. 1
( 2)x ( 2 1)y 1 2 2 0 B. x 3 ( 2 2)y 3 2 0 C. 1
( 2)x ( 2 1)y 1 0 D. x 3 ( 2 2)y 2 0
Câu 24/.Cho ABC có A(1 ; 1), B(0 ; 2), C(4 ; 2). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM. A. 2x + y 3 = 0 B. x + 2y 3 = 0 C. x + y 2 = 0 D. x y = 0
Câu 25/.Cho ABC có A(1 ; 1), B(0 ; 2), C(4 ; 2). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến BM. A. 7x +7 y + 14 = 0 B. 5x 3y +1 = 0 C. 3x + y 2 = 0 D. 7x +5y + 10 = 0
Câu 26/.Cho ABC có A(1 ; 1), B(0 ; 2), C(4 ; 2). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến CM. A. 5x 7y 6 = 0 B. 2x + 3y 14 = 0 C. 3x + 7y 26 = 0 D. 6x 5y 1 = 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 27/.Cho ABC có A(2 ; 1), B(4 ; 5), C(3 ; 2). Viết phương trình tổng quát của đường cao AH. A. 3x + 7y + 1 = 0 B. 3x + 7y + 13 = 0 C. 7x + 3y +13 = 0 D. 7x + 3y 11 = 0
Câu 28/.Cho ABC có A(2 ; 1), B(4 ; 5), C(3 ; 2). Viết phương trình tổng quát của đường cao BH. A. 5x 3y 5 = 0 B. 3x + 5y 20 = 0 C/. 3x + 5y 37 = 0 D. 3x 5y 13 = 0 .
Câu 29/.Cho ABC có A(2 ; 1), B(4 ; 5), C(3 ; 2). Viết phương trình tổng quát của đường cao CH. A. 3x y + 11 = 0 B. x + y 1 = 0 C. 2x + 6y 5 = 0 D. x + 3y 3 = 0 .
Câu 30/.Đường thẳng 51x 30y + 11 = 0 đi qua điểm nào sau đây ? A. 3 4 3 3 1; B. 1; C. 1; D. 1; 4 3 4 4
Câu 31/.Đường thẳng 12x 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây ? A. (1 ; 1) B. (1 ; 1) C. 5 17 ; 0 D. 1; 12 7
Câu 32/.Phần đường thẳng x y
: 1 nằm trong góc xOy có độ dài bằng bao nhiêu ? 3 4 A. 12 B. 5 C. 7 D. 5
Câu 33/.Đường thẳng : 5x + 3y = 15 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu ? A. 15 B. 7,5 C. 3 D. 5
Câu 34/.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 5x + 2y 10 = 0 và trục hoành Ox.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. (0 ; 5) B. (2 ; 0) C. (2 ; 0) D. (0 ; 2).
Câu 35/.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 15x 2y 10 = 0 và trục tung Oy. A. ( 2 ; 5) B. (0 ; 5) C. (0 ; 5) D. (5 ; 0). 3
Câu 36/.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 7x 3y + 16 = 0 và đường thẳng D : x + 10 = 0. A. (10 ; 18) B. (10 ; 18) C. (10 ; 18) D. (10 ; 18).
Câu 37/.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 5x 2y + 12 = 0 và đường thẳng D : y + 1 = 0. A. (1 ; 2) B. ( 14 ; 14 1) C. 1; D. (1 ; 3). 5 5
Câu 38/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đ.thẳng : 4x 3y 26 = 0 và đường thẳng D : 3x + 4y 7 = 0. A. (2 ; 6) B. (5 ; 2) C. (5 ; 2) D. Không giao điểm.
Câu 39/.Cho 4 điểm A(1 ; 2), B(1 ; 4), C(2 ; 2), D(3 ; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD A. (1 ; 2) B. (3 ; 2) C. (0 ; 1) D. (5 ; 5).
Câu 40/.Cho 4 điểm A(3 ; 1), B(9 ; 3), C(6 ; 0), D(2 ; 4). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD A. (6 ; 1) B. (9 ; 3) C. (9 ; 3) D. (0 ; 4).
Câu 41/.Cho 4 điểm A(0 ; 2), B(1 ; 0), C(0 ; 4), D(2 ; 0). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD A. (2 ; 2) B. (1 ; 4)
C. Không giao điểm D. 3 1 ; . 2 2
Câu 42/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây :
1 : x 2y + 1 = 0 và 2 : 3x + 6y 10 = 0.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 43/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây : x y 1 :
1 và 2 : 6x 2y 8 = 0. 2 3 A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 44/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây :
1: 11x 12y + 1 = 0 và 2: 12x + 11y + 9 = 0. A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 45/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây : x y 1 :
1 và 2 : 3x + 4y 10 = 0. 3 4 A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 46/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây :
1: ( 3 1)x y 1 0 và 2 : 2x ( 3 1)y 1 3 0 . A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 47/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây : x y 1:
2 0 và 2 : 2x 2( 2 ) 1 y 0 . 2 1 2 A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 48/.Cho 4 điểm A(1 ; 2), B(4 ; 0), C(1 ; 3), D(7 ; 7). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD. A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 49/.Cho 4 điểm A(0 ; 2), B(1 ; 1), C(3 ; 5), D(3 ; 1). Xác định vị trí tương đối của
hai đường thẳng AB và CD. A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 50/.Cho 4 điểm A(0 ; 1), B(2 ; 1), C(0 ; 1), D(3 ; 1). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD. A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 51/.Cho 4 điểm A(4 ; 3), B(5 ; 1), C(2 ; 3), D(2 ; 2). Xác định vị trí tương đối của
hai đường thẳng AB và CD. A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 52/.Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 2) và B(1 ; 4) A. (2 ; 1) B. (1 ; 2) C. (2 ; 6) D. (1 ; 1).
Câu 53/.Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A(a ; 0) và B(0 ; b). A. (a ; b) B. (a ; b) C. (b ; a) D. (b ; a).
Câu 54/.Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox. A. (0 ; 1) B. (0 ; 1) C. (1 ; 0) D. (1 ; 1).
Câu 55/.Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy. A. (0 ; 1) B. (1 ; 1) C. (1 ; 0) D. (1 ; 1).
Câu 56/.Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc xOy. A. (0 ; 1) B. (1 ; 1) C. (1 ; 1) D. (1 ; 0).
Câu 57/.Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M(a ; b). A. (a ; b) B. (a ; b) C. (a ; b) D. (0 ; a + b).
Câu 58/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 1) và B(1 ; 5). A. x 3 t x 3 t x 1 t x 3 t B. C. D. . y 1 t 3 y 1 t 3 y 5 t 3 y 1 t 3
Câu 59/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(2 ; 1) và B(2 ; 5). A. x 2t x 2 t x x B. C. 2 D. 1 . y 6t y 5 6t y t y 2 6t
Câu 60/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 7) và B(1 ; 7). A. x t x t x 3 7t x t B. C. D. . y 7 y 7 t y 1 7t y 7
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 61/.Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường
thẳng đi qua 2 điểm O(0 ; 0) và M(1 ; 3). A. x 1 t x 1 2t x t x 1 t B. C. D. . y 3 t 3 y 3 6t y t 3 y t 3
Câu 62/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 0) và B(0 ; 5). A. x 3 t x 3 t x 3 t x 3 t 3 B. 3 C. 3 D. 3 . y 5 5t y 5 5t y 5t y 5t
Câu 63/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 1) và B(6 ; 2). x 3 x 3 x 3 x 1 A. 3t 3t 3t t 3 B. C. D. . y 1 t y 1 t y 6 t y 2t
Câu 64/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm O(0 ; 0) và song song
với đường thẳng : 3x 4y 1 0 . A. x t x t x 4t x 4t 3 B. 3 C. D. . y 4t y 4t y t 3 y 1 t 3
Câu 65/.Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm A(1 ; 2) và song
song với đường thẳng : 5x 13y 31 0 . A. x 1 t x 1 t 13 B. 13 y 2 5t y 2 5t C. x 1 t 5
D. Không có đường thẳng (D). y 2 t 13
Câu 66/.Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm A(1 ; 2) và
vuông góc với đường thẳng : 2x y 4 0 . A. x t x 1 2t x 1 2t x 1 2t B. C. D. . y 4 2t y 2 t y 2 t y 2 t
Câu 67/.Cho đường thẳng : x 12 t
5 . Điểm nào sau đây nằm trên ? y 3 6t A. (7 ; 5) B. (20 ; 9) C. (12 ; 0) D. (13 ; 33).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 68/.Cho đường thẳng : x 3 1 t 3
. Điểm nào sau đây không nằm trên ? y 2 1 2t A. (1 ;1) B. (1 3 ;1 2 ) C. (12 3 ; 2 ) D. (1 3 ;1 2 )
Câu 69/.Cho đường thẳng : x 3 5t
. Viết phương trình tổng quát của . y 1 4t A. 4x + 5y 17 = 0 B. 4x 5y + 17 = 0 C. 4x + 5y + 17 = 0 D. 4x 5y 17 = 0.
Câu 70/.Cho đường thẳng : x 15
. Viết phương trình tổng quát của . y 6 7t A. x + 15 = 0 B. 6x 15y = 0 C. x 15 = 0 D. x y 9 = 0.
Câu 71/.Cho đường thẳng : x 3 t
5 . Viết phương trình tổng quát của . y 14 A. x + y 17 = 0 B. y + 14 = 0 C. x 3 = 0 D. y 14 = 0.
Câu 72/.Phương trình tham số của đường thẳng : x y 1 là : 5 7 A. x 5 5t x 5 5t x 5 7t x 5 7t B. C. D. . y 7t y 7t y 5t y 5t
Câu 73/.Phương trình tham số của đường thẳng : 2x 6y 23 0 là : x 5 t 3 x 5 t 3 x 5 t 3 A. x , 0 5 t 3 11 B. 11 C. 11 D. . y t y t y t y 4 t 2 2 2
Câu 74/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 1 (1 2t) x 2 ( 2 2)t' 1: và 2 : y 2 2t y 1 2t' A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. Trùng nhau. D. Vuông góc.
Câu 75/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 2 ( 3 2)t x 3 t' 1: và 2 : y 2 ( 3 2)t
y 3 (5 2 6)t' A. Song song.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc.
Câu 76/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : 3 9 x 3 t x 9t' 1: 2 và 2 : 2 y 4 1 1 t y t 8 ' 3 3 A/. Song song nhau.
B/. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C/. Trùng nhau. D/. Vuông góc nhau.
Câu 77/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 2 5t x 7 t 5 ' 1: và 2 : y 3 6t y 3 6t' A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 78/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 3 4t x 1 2t' 1: và 2 : y 2 6t y 4 t 3 ' A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 79/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 36 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] x 3 2t x 2 t 3 ' 1: và 2 : y 1 t 3 y 1 2t' A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 80/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 3 2t x 2 t 3 ' 1: và 2 : y 1 t 3 y 1 2t' A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 81/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 4 2t 1:
và 2 : 3x 2y 14 0 y 1 t 3 A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 82/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 4 2t 1: 5x 2y 14 0 và 2 : y 15t A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 83/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 4 t 1: 7x 2y 1 0 và 2 : y 15t A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 84/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : x 4 t 1:
và 2 : 2x 10y 15 0 y 1 5t A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 85/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đây : x 3 4t x 1 4t' 1: và 2 : y 2 5t y 7 t 5 ' A. (3 ; 2) B. (1 ; 7) C. (1 ; 3) D. (5 ; 1)
Câu 86/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đây : x 1 2t x 1 4t' 1: và 2 : y 7 5t y 6 t 3 ' A. (3 ; 3) B. (1 ; 7) C. (1 ; 3) D. (3 ; 1)
Câu 87/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đây : x 12 4t' x 22 2t 1: và 2 : y 55 5t y 15 5t' A. (2 ; 5) B. (5 ; 4) C. (6 ; 5) D. (0 ; 0)
Câu 88/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đây : x 22 2t 1:
và 2 : 2x 3y 19 0 . y 55 5t A. (10 ; 25) B. (1 ; 7) C. (2 ; 5) D. (5 ; 3)
Câu 89/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song ? 1: 2 2
x (m 1)y 3 0 và 2 : x my 100 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A. m = 1 hoặc m = 2 B. m = 1 hoặc m = 0 C. m = 2 D/. m = 1
Câu 90/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song ? 1: 2 2
x (m 1)y 50 0 và 2 : mx y 100 0 . A. Không m nào B. m = 1 C. m = 1 D. m = 0
Câu 91/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song ? x 8 (m ) 1 t 1:
và 2 : mx 2y 14 0 . y 10 t A. m = 1 B. m = 2 C. m = 1 hoặc m = 2 D. Không m nào.
Câu 92/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song ? x 8 (m ) 1 t 1:
và 2 : mx 6y 76 0 . y 10 t A. m = 2 B. m = 2 hoặc m = 3 C. Không m nào D. m = 3
Câu 93/. Với giá trị nào của m thì 2 đường thẳng sau đây vuông góc ?
1 : (2m 1)x my 10 0 và 2 : 3x 2y 6 0 A. 3 m B. Không m nào C. m = 2 D. m = 0. 8
Câu 94/. Với giá trị nào của m thì 2 đường thẳng sau đây vuông góc ? x 1 (m2 ) 1 t x 2 t 3 ' 1 : và 2 : y 2 mt y 1 4mt' A. Không m nào B. m 3 C. m 3 D. m 3 .
Câu 95/. Định m để 2 đường thẳng sau đây vuông góc : x 2 t 3
1 : 2x 3y 4 0 và 2 : y 1 4mt A. m = 9 B. m = 9 C. m = 1 D. m = 1 8 8 2 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 96/.Định m để 1 : 3mx 2y 6 0 và 2 : 2
(m 2)x 2my 6 0 song song nhau : A. m = 1 B. m = 1
C. m = 1 và m = 1 D. Không có m.
Câu 97/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây cắt nhau ?
1 : 2x 3my 10 0 và 2 : mx 4y 1 0 A. Mọi m B. Không có m nào C. m = 1 D. 1 < m < 10.
Câu 98/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau ?
1 : mx y 19 0 và 2 : (m 1)x (m 1)y 20 0 A. Không có m nào B. m = 1 C. Mọi m D. m = 2.
Câu 99/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau ?
1 : 3x 4y 1 0 và 2 :(2m 1 2 )x m y 1 0 A. Không có m nào B. m = 1 C. Mọi m D. m = 2.
Câu 100/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau ? x 2 2t
1 : 2x 3y m 0 và 2 : y 1 mt A. m = 3 B. m = 4 1 C. Không m nào D. m = . 3
Câu 101/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây trùng nhau ? x m 2t x 1 mt 1 : và 2 : y 1 (m2 1 t ) y m t A. m = 3 B. m = 4 1 C. Không m nào D. m = . 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 40 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] §.2 KHOẢNG CÁCH
Câu 102/. Khoảng cách từ điểm M(1 ; 1) đến đường thẳng : 3x 4y 17 0 là : A/. 2 B/. 18 C/. 2 D/. 10 . 5 5 5
Câu 103/. Khoảng cách từ điểm M(1 ; 1) đến đường thẳng : 3x y 4 0 là : A/. 1 B/. 5 10 C/. D/. 2 10 . 2
Câu 104/. Khoảng cách từ điểm M(5 ; 1) đến đường thẳng : 3x 2y 13 0 là : A/. 28 B/. 2 C/. 13 2 13 D/. . 13 2
Câu 105/. Tìm khoảng cách từ điểm O(0 ; 0) tới đường thẳng : x y 1 6 8 A/. 4,8 B/. 1 C/. 1 D/. 48 10 14 14
Câu 106/. Khoảng cách từ điểm M(0 ; 1) đến đường thẳng : 5x 12y 1 0 là : A/. 11 B/. 13 13 C/. 1 D/. 13 17
Câu 107/. Khoảng cách từ điểm M(2 ; 0) đến đường thẳng : x 1 t 3 là : y 2 4t A/. 2 B/. 10 C/. 5 D/. 2 5 5 2
Câu 108/. Khoảng cách từ điểm M(15 ; 1) đến đường thẳng : x 2 t 3 là : y t A/. 1 16 10 B/. C/. D/. 5 10 5
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 109/. ABC với A(1 ; 2), B(0 ; 3), C(4 ; 0). Chiều cao tam giác ứng với cạnh BC bằng : A/. 3 B/. 0,2 C/. 1 D/. 3 . 25 5
Câu 110/. Tính diện tích ABC biết A(2 ; 1), B(1 ; 2), C(2 ; 4) : A/. 3 B/. 3 C/. 1,5 D/. 3 . 37
Câu 111/. Tính diện tích ABC biết A(3 ; 4), B(1 ; 5), C(3 ; 1) : A/. 26 B/. 2 5 C/. 10 D/. 5.
Câu 112/. Tính diện tích ABC biết A(3 ; 2), B(0 ; 1), C(1 ; 5) : A/. 5,5 B/. 11 C/. 11 D/. 17 . 17
Câu 113/. Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 1), B(0 ; 3), tìm tọa độ điểm M thuộc
Ox sao cho khoảng cách từ M tới đường thẳng AB bằng 1. A/. (2 ; 0) B/. (4 ; 0) C/. (1 ; 0) và (3,5 ; 0) D/. ( 13 ; 0).
Câu 114/. Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A(1 ; 2), B(4 ; 6), tìm tọa độ điểm M thuộc Oy
sao cho diện tích MAB bằng 1. A/. (1 ; 0) B/. (0 ; 1) C/. (0 ; 0) và (0 ; 4 ) D/. (0 ; 2). 3
Câu 115/. Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 0), B(0 ; 4), tìm tọa độ điểm M thuộc
Oy sao cho diện tích MAB bằng 6. A/. (0 ; 1) B/. (0 ; 8) C/. (1 ; 0) D/.(0 ; 0) và (0 ;8).
Câu 116/. Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng 1 : 3x 2y 6 0 và 2 : 3x 2y 3 0 A/. (1 ; 0) B/. (0,5 ; 0) C/. (0 ; 2 ) D/. ( 2 ; 0).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 42 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 117/. Cho 2 điểm A(1 ; 2), B(1 ; 2). Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là : A/. x 2y 1 0 B/. 2x y 0 C/. x 2y 0 D/. x 2y 0
Câu 118/. Cho 2 điểm A(2 ; 3), B(1 ; 4). Đường thẳng nào sau đây cách đều 2 điểm A, B ? A/. x y 100 0 B/. x y 1 0 C/. x 2y 0 D/. 2x 2y 10 0
Câu 119/. Cho 3 điểm A(0 ; 1), B(12 ; 5), C(3 ; 5). Đường thẳng nào sau đây cách đều 3 điểm A, B, C ? A/. x y 10 0 B/. x 3y 4 0 C/. 5x y 1 0 D/. x y 0
Câu 120/. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1 : 3x 4y 0 và 2 : 6x 8y 101 0 A/. 10,1 B/. 1,01 C/. 101 D/. 101 . Giải Điểm M (4 ; 3) 6.4 8.3 101 101
1 d(1 , 2) = d(M, 2) = 1 , 10 36 64 10
Câu 121/. cách giữa 2 đường thẳng 1 : 7x y 3 0 và 2 : 7x y 12 0 A/. 15 B/. 9 C/. 9 D/. 3 2 . 50 2
Câu 122/. Cho đường thẳng : 7x 10y 15 0 . Trong các điểm M(1 ; 3), N(0 ; 4), P(8 ;
0), Q(1 ; 5) điểm nào cách xa đường thẳng nhất ? A/. M B/. N C/. P D/. Q
Câu 123/. Cho đường thẳng : 21x 11y 10 0 . Trong các điểm M(21 ; 3), N(0 ; 4), P(-
19 ; 5), Q(1 ; 5) điểm nào cách xa đường thẳng nhất ? A/. M B/. N C/. P D/. Q.
§.3 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 124/. Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 : x 3y 0 và 2 : x 10 0 . A/. 300 B/. 450 C/. 600 D/. 1250.
Câu 125/. Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2x 2 3y 5 0 và 2 : y 6 0 A/. 300 B/. 1450 C/. 600 D/. 1250.
Câu 126/. Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2x y 10 0 và 2 : x 3y 9 0 A/. 900 B/. 00 C/. 600 D/. 450.
Câu 127/. Tìm góc hợp bởi hai đường thẳng x 10 6t
1 : 6x 5y 15 0 và 2 : y 1 t5 . A/. 900 B/. 00 C/. 600 D/. 450.
Câu 128/. Tìm cosin của góc giữa 2 đường thẳng 1 : x 2y 2 0 và 2 : x y 0 . A/. 2 10 3 2 B/. C/. D/. . 3 10 3
Câu 129/. Tìm cosin của góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2x 3y 10 0 và 2 : 2x 3y 4 0 . A/. 5 B/. 5 C/. 6 13 D/. . 13 13 13
Câu 130/. Tìm cosin của góc giữa 2 đường thẳng 1 : x 2y 7 0 và 2 : 2x 4y 9 0 . A/. 3 B/. 2 C/. 1 D/. 3 . 5 5 5 5
Câu 131/. Tìm cosin của góc giữa 2 đường thẳng x 15 12t
1 : 3x 4y 1 0 và 2 : . y 1 5t A/. 56 B/. 6 C/. 33 D/. 63 . 65 65 65 13
Câu 132/. Tìm cosin của góc giữa 2 đường thẳng x 2 t
1 : 10x 5y 1 0 và 2 : . y 1 t
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 44 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 3 10 B/. 3 C/. 10 D/. 3 . 10 5 10 10
Câu 133/. Cho đường thẳng d : 3x 4y 5 0 và 2 điểm A(1 ; 3), B(2 ; m). Định m để A
và B nằm cùng phía đối với d. A. m < 0 B. m > 1 C. 1 m D. 1 m . 4 4
Câu 134/. Cho đường thẳng d : x 2 t
và 2 điểm A(1 ; 2), B(2 ; m). Định m để A và B y 1 t 3
nằm cùng phía đối với d. A. m < 13 B. m = 13 C. m 13 D. m 13 .
Câu 135/. Cho đoạn thẳng AB với A(1 ; 2), B(3 ; 4) và đường thẳng d : 4x 7y m 0 .
Định m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung. A. m > 40 hoặc m < 10. B. 10 m 40 C. m 40 D. m 10 .
Câu 136/. Cho đoạn thẳng AB với A(1 ; 2), B(3 ; 4) và đường thẳng d : x m 2t . Định y 1 t
m để d cắt đoạn thẳng AB. A. m > 3 B. m < 3 C. m 3 D. Không có m nào.
Câu 137/. Cho ABC với A(1 ; 3), B(2 ; 4), C(1 ; 5) và đường thẳng d : 2x 3y 6 0 .
Đường thẳng d cắt cạnh nào của ABC ? A. Cạnh AB. B. Cạnh BC.
C. Cạnh AC. D. Không cạnh nào.
Câu 138/. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng
1 : x 2y 3 0 và 2 : 2x y 3 0. A. 3x y 6 0 và x 3y 6 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] B. 3x y 0 và x 3y 6 0. C. 3x y 0 và x 3y 0 . D. 3x y 0 và x 3y 6 0 .
Câu 139/. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng
: x y 0 và trục hoành Ox. A. x 1 ( 2)y 0 và x 1 ( 2)y 0 . B. 1 ( 2)x y 0 và x 1 ( 2)y 0 . C. 1 ( 2)x y 0 và x 1 ( 2)y 0 . D. 1 ( 2)x y 0 và x 1 ( 2)y 0 .
Câu 140/. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng
1 : 3x 4y 1 0 và 2 : x 2y 4 0 . A. 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 và 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 . B. 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 và 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 . C. 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 và 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 . D. 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 và 3 ( 5 x ) 2(2 5 y ) 1 4 5 0 .
§.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 141/. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ? A/. 2 2
x y x y 9 0. B/. 2 2 x y x 0 . C/. 2 2 x y 2xy 1 0 D/. 2 2
x y 2x 3y 1 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 46 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 142/. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn ? A/. 2 2 x y 100y 1 0 . B/. 2 2 x y 2 0 . C/. 2 2
x y x y 4 0 D/. 2 2 x y y 0
Câu 143/. Đường tròn x2 y2 2x 10y 1 0 đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây ? A/. (2 ; 1) B/. (3 ; 2) C/. (4 ; 1) D/. (1 ; 3)
Câu 144/. Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A(4 ; 2) A/. 2 2
x y 6x 2y 9 0 . B/. 2 2 x y 2x 6y 0 . C/. 2 2
x y 4x 7y 8 0 D/. 2 2 x y 2x 20 0
Câu 145/. Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0), B(3 ; 4) ? A/. 2 2
x y 4x 4y 3 0 . B/. 2 2
x y 8x 2y 9 0 . C/. 2 2 x y 3x 16 0 D/. 2 2 x y x y 0
Câu 146/. Đường tròn nào dưới đây đi qua 3 điểm A(2 ; 0), B(0 ; 6), O(0 ; 0)? A/. 2 2
x y 2x 6y 1 0 . B/. 2 2 x y 2x 6y 0 . C/. 2 2 x y 2x 3y 0 D/. 2 2 x y 3y 8 0
Câu 147/. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O(0 ; 0), A(a ; 0), B(0 ; b). A/. 2 2
x y ax by xy 0 . B/. 2 2 x y 2ax by 0 . C/. 2 2 x y ax by 0 D/. 2 2 x y ay by 0
Câu 148/. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(1 ; 1), B(3 ; 1), C(1 ; 3). A/. 2 2
x y 2x 2y 2 0 . B/. 2 2
x y 2x 2y 2 0 . C/. 2 2 x y 2x 2y 0 D/. 2 2
x y 2x 2y 2 0
Câu 149/. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 2), B(2 ; 2), C(1 ; 1 2 ).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 2 2
x y 2x 2y 2 0 . B/. 2 2 x y 2x 2y 0 . C/. 2 2
x y 2x 2y 2 0 D/. 2 2
x y 2x 2y 2 0
Câu 150/. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 5), B(3 ; 4), C(4 ; 3). A/. (3 ; 1) B/. (6 ; 2) C/. (0 ; 0) D/. (1 ; 1)
Câu 151/. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1 ; 2), B(2 ; 3), C(4 ; 1). A/. (0 ; 1) B/. (3 ; 0,5) C/. (0 ; 0) D/. Không có.
Câu 152/. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 4), B(2 ; 4), C(4 ; 0). A/. (1 ; 0) B/. (3 ; 2) C/. (1 ; 1) D/. (0 ; 0).
Câu 153/. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(11 ; 8), B(13 ; 8), C(14 ; 7). A/. 1 B/. 2 C/. 5 D/. 2.
Câu 154/. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 4), B(3 ; 4), C(3 ; 0). A/. 2,5 B/. 3 C/. 5 D/. 10.
Câu 155/. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 0), B(0 ; 6), C(8 ; 0). A/. 10 B/. 5 C/. 5 D/. 6.
Câu 156/. Cho đường tròn 2 2
x y 5x 7y 3 0 . Tìm khoảng cách từ tâm đường tròn tới trục Ox. A/. 5 B/. 3, 5 C/. 2, 5 D/. 7.
Câu 157/. Tâm đường tròn 2 2
x y 10x 1 0 cách trục Oy bao nhiêu ? A/. 5 B/. 0 C/. 5 D/. 10.
Câu 158/. Đường tròn 2x2 2y2 8x 4y 1 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ? A/. ( 8 ; 4) B/. (2 ; 1) C/. (2 ; 1) D/. (8 ; 4).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 48 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 159/. Đường tròn x 2 2 x y
3 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ? 2 A/. ( 2 1 3 2 ; 3 ) B/. ( ; 0) C/. ( ; 0) D/. (0 ; ). 4 2 2 2
Câu 160/. Đường tròn 2 2
x y 6x 8y 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? A/. 10 B/. 5 C/. 25 D/. 10 .
Câu 161/. Đường tròn 2 2
x y 10x 11 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? A/. 36 B/. 6 C/. 6 D/.2.
Câu 162/. Đường tròn 2 2
x y 5y 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? A/. 2,5 B/. 25 C/. 25 5 D/. . 2
Câu 163/. Đường tròn 3 2 x 3 2
y 6x 9y 9 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? A/. 2,5 B/. 7,5 C/. 25 5 D/. . 2
Câu 164/. Đường tròn 2 2 2
(x a) (y b) R cắt đường thẳng x + y a b = 0 theo một
dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A/. R B/. 2R C/. R R 2 2 D/. 2
Câu 165/. Đường tròn 2 2
x y 2x 2y 23 0 cắt đường thẳng x y + 2 = 0 theo một
dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A/. 10 B/. 6 C/. 5 D/. 5 2
Câu 166/. Đường tròn 2 2
x y 2x 2y 23 0 cắt đường thẳng x + y 2 = 0 theo một dây
cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A/. 6 B/. 3 2 C/. 4 D/. 8
Câu 167/. Đường tròn 2 2
x y 1 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây ?
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 3x 4y + 5 = 0 B/. x + y 1 = 0
C/. x + y = 0 D/. 3x + 4y 1 = 0
Câu 168/. Đường tròn 2 2
x y 4x 2y 1 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây ? A/. Trục tung B/. Trục hoành C/. 4x + 2y 1 = 0 D/. 2x + y 4 = 0
Câu 169/. Đường tròn 2 2
x y 6x 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây ? A/. Trục tung B/. x 6 = 0 C/. 3 + y = 0 D/. y 2 = 0
Câu 170/. Đường tròn 2 2
x y 4y 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây ? A/. x + 2 = 0 B/. x 2 = 0 C/. x + y 3 = 0 D/. Trục hoành.
Câu 171/. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox ? A/. 2 2 x y 5 0 . B/. 2 2 x y 2x 10y 0 . C/. 2 2 x y 10y 1 0 D/. 2 2
x y 6x 5y 9 0
Câu 172/. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ? A/. 2 2 x y 5 0 . B/. 2 2 x y 2x 0 . C/. 2 2 x y 10y 1 0 D/. 2 2
x y 6x 5y 1 0
Câu 173/. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ? A. 2 2
x y 10x 2y 1 0 . B. 2 2
x y x y 3 0 . C. 2 2 x y 1 0 D. 2 2 x y 4y 5 0 .
Câu 174/. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng : 4x 3y m 0 tiếp xúc với đường tròn (C) : 2 2 x y 9 0 . A. m = 3 B. m = 3 C. m = 3 và m = 3 D. m = 15 và m = 15.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 50 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 175/. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng : 3x 4y 3 0 tiếp xúc với đường tròn (C) : 2 2 (x m) y 9 A. m = 2 B. m = 6 C. m = 4 và m = 6 D. m = 0 và m = 1.
Câu 176/.Một đường tròn có tâm là điểm (0 ; 0)và tiếp xúc với đường thẳng
: x y 4 2 0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? A. 4 2 B. 4 ` C. 2 D. 1
Câu 177/. Một đường tròn có tâm I(1 ; 3) tiếp xúc với đường thẳng : 3x 4y 0 . Hỏi
bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? A. 3 B. 3 C. 15 D. 1 5
Câu 178/. Một đường tròn có tâm I( 3 ; 2) tiếp xúc với đường thẳng : x 5y 1 0 . Hỏi
bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? A. 14 7 26 B. C. D. 6 26 13
Câu 179/. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : x y 7 0 và đường tròn (C) : 2 2 x y 25 0 . A. ( 3 ; 4) B. (4 ; 3) C. ( 3 ; 4) và (4 ; 3) D. ( 3 ; 4) và (4 ; 3).
Câu 180/. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : x 2y 3 0 và đường tròn (C) : 2 2 x y 2x 4y 0 . A. ( 3 ; 3) và (1 ; 1) B. (1 ; 1) và (3 ; 3) C. ( 2 ; 1) và (2 ; 1) D. ( 3 ; 3) và (1 ; 1).
Câu 181:/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : y x và đường tròn (C) : 2 2 x y 2x 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A. ( 0 ; 0) B. (1 ; 1) C. ( 2 ; 0) D. ( 0 ; 0) và (1 ; 1).
Câu 182/. Tìm tọa độ giao điểm của đường tròn (C) : 2 2
x y 2x 2y 1 0 và đường thẳng : x 1 t y 2 2t A. ( 1 ; 0) và (0 ; 1). B. ( 1 ; 2) và (2 ; 1). C. ( 1 ; 2) và 1 2 ; . D. (2 ; 5). 5 5
Câu 183/. Đường tròn (C) : (x 2 2 ) (y 1 2
) 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây ?
A. Đường thẳng đi qua điểm (3 ; 2) và điểm (19 ; 33).
B. Đường thẳng đi qua điểm (2 ; 6) và điểm (45 ; 50).
C. Đường thẳng có phương trình x 8 = 0.
D/. Đường thẳng có phương trình y – 4 = 0.
Câu 184/. Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1) : 2 2
x y 4 0 và (C2) : 2 2
x y 4x 4y 4 0 A. ( 2 ; 2 ) và ( 2 ; 2 ) B. (2 ; 0) và (2 ; 0). C. (0 ; 2) và (0 ; 2). D. (2 ; 0) và (0 ; 2).
Câu 185/. Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1) : 2 2
x y 2 0 và (C2) : 2 2 x y 2x 0 A. (1; 0) và (0 ; 1) B. (2 ; 0) và (0 ; 2). C. (1 ; 1) và (1 ; 1). D. ( 2 ; 1) và (1 ; 2 ).
Câu 186/. Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1) : 2 2 x y 5 và (C2) : 2 2
x y 4x 8y 15 0 A. (1; 2) và (2 ; 1) B. (1 ; 2) và ( 2 ; 3 ).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 52 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C. (1 ; 2) và ( 3 ; 2 ). D. (1 ; 2).
Câu 187/. Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : 2 2 x y 4 và (C2) : (x 3 2 ) (y 4 2 ) 25 . A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc trong. D. Tiếp xúc ngoài.
Câu 188/. Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : 2 2 x y 4 và (C2) : (x 10 2 ) (y 16 2 ) 1. A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc trong. D. Tiếp xúc ngoài.
Câu 189/. Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : 2 2 x y 4x 0 và (C2) : 2 2 x y 8y 0 . A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc trong. D. Tiếp xúc ngoài. §.5 ELIP 2 2
Câu 190/. Đường Elip x y 1 có tiêu cự bằng : 5 4 A/. 1 B/. 9 C/. 2 D/. 4 2 2
Câu 191/. Đường Elip x y 1 có tiêu cự bằng : 16 7 A/. 6 B/. 18 C/. 3 D/. 9
Câu 192/. Đường Elip 2 2 x y
1 có 1 tiêu điểm là : 9 6
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. (3 ; 0) B/. (0 ; 3) C/. ( 3 ; 0) D/. (0 ; ) 3
Câu 193/. Cho Elip (E) : 2 2 x y
1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ 16 12
bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng : A/. 3 và 5 B/. 3,5 và 4, 5 C/. 2 4 2 D/. 4 2
Câu 194/. Cho Elip (E) : 2 2 x y
1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ 169 144
bằng 13 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng : A/. 13 5 B/. 13 10 C/. 8 và 18 D/. 10 và 16
Câu 195/. Tâm sai của Elip 2 2 x y 1 bằng : 5 4 A/. 0,2 B/. 0, 4 C/. 5 D/. 4 4
Câu 196/. Đường Elip 2 2 x y 1 có tiêu cự bằng : 16 7 A/. 6 B/. 6 C/. 3 D/. 9 . 7 16
Câu 197/. Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip 2 2 x y 1 16 12 A/. x+ 4 3 0 B/. x 0 C/. x + 2 = 0 D/. x + 8 = 0 3 4
Câu 198/. Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip 2 2 x y 1 20 15 A/. x+ 4 5 0 B/. x 4 0 C/. x 4 = 0 D/. x + 2 = 0
Câu 199.Q. Tìm Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10 A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 25 9 100 81
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 54 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 15 16 25 16
Câu 200/ .Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A(0; 5) A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 25 9 100 81 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 15 16 25 16
Câu 201/ .Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(4; 3) A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 4 3 16 9 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 16 9 16 4
Câu 202/. Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm (2; 1) và có tiêu cự bằng 2 3 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 1 8 2 8 5 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 6 3 9 4
Câu 203/.Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm (6 ; 0) và có tâm sai bằng 12 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 1 6 3 36 27 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 36 18 6 2
Câu 204/. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng 1 và trục lớn bằng 6 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 1 9 8 9 5 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 6 5 9 3
Câu 205/. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 4 = 0 và một
tiêu điểm là điểm (1 ; 0) 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 0 4 3 16 9 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 16 15 9 8
Câu 206/. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 5 = 0 và đi qua điểm (0 ; 2) 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 1 20 4 16 12 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 20 16 16 10
Câu 207/. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 1 36 9 16 4 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 36 24 24 6
Câu 208/. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm (2 ; 2)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 56 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2 2 2 A/. x y x y 1 B/. 1 16 4 24 6 2 2 2 2 C/. x y x y 1 D/. 1 36 9 20 5 §.6 HYPERBOL
Câu 209/. Đường Hyperbol 2 2 x y 1 có tiêu cự bằng : 5 4 A/. 1 B/. 2 C/. 3 D/. 6
Câu 210/. Đường Hyperbol 2 2 x y 1 có tiêu cự bằng : 16 7 A/. 6 B/. 2 23 C/. 3 D/. 9
Câu 206/. Đường Hyperbol 2 2 x y
1 có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ? 16 9 A/. (5 ; 0) B/. (0 ; 7 ) C/. ( 7 ; 0) D/. (0 ; 5)
Câu 207/. Cho điểm M nằm trên Hyperbol (H) : 2 2 x y
1 . Nếu điểm M có hoành độ 16 20
bằng 12 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là bao nhiêu ? A/. 8 B/. 10 và 6 C/. 4 7 D/. 14 và 22
Câu 208/. Cho điểm M nằm trên Hyperbol (H) : 2 2 x y
1 . Nếu hoành độ điểm M bằng 16 9
8 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của (H) là bao nhiêu ? A/. 6 và 14 B/. 5 và 13 C/. 8 5 D/. 8 4 2
Câu 209/. Tâm sai của Hyperbol 2 2 x y 1 bằng : 5 4 A/. 5 B/. 3 C/. 3 D/. 4 5 5 5 5
Câu 210/. Đường Hyperbol 2 2 x y 1 có tiêu cự bằng : 20 16
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 4 B/. 2 C/. 12 D/. 6.
Câu 211/. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol 2 2 x y 1 ? 16 12 A/. x + 8 = 0 B/. 3 x 8 7 0 C/. x + 2 = 0 D/. x 0 4 7
Câu 212/. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol 2 2 x y 1 ? 20 15 A/. x 4 35 4 5 0 B/. x + 4 = 0 C/. x 0 D/. x + 2 = 0. 7
Câu 213/. Điểm nào trong 4 điểm M(5 ; 0), N(10 ; 3 3 ), P(5 2 ; 3 2 ), Q(5 ; 4) nằm trên
một đường tiệm cận của hyperbol x2 y2 1 ? 25 9 A/. M B/. N C/. P D/. Q.
Câu 214/. Tìm góc giữa 2 đường tiệm cận của hyperbol 2 x 2 y 1 . 3 A/. 300 B/. 600 C/. 450 D/. 900.
Câu 215/. Hyperbol (H) có 2 đường tiệm cận vuông góc nhau thì có tâm sai bằng bao nhiêu ? A/. 2 B/. 3 C/. 2 D/. 2 2
Câu 216/. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng 12 và độ dài trục thực bằng 10. A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 25 9 100 125 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 25 11 25 16
Câu 217/. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng 10 và đi qua điểm A(4 ; 0).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 58 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 25 9 16 81 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 16 9 16 4
Câu 218/. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu một đỉnh của hình chữ nhựt cơ
sở của hyp. đó là M(4 ; 3). A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 4 3 16 9 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 16 9 16 4
Câu 219/. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó đi qua điểm (4 ; 1) và có tiêu cự bằng 2 15 A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 14 7 12 3 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 11 4 9 4
Câu 220/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó đi qua điểm (6 ; 0) và có tâm sai bằng 76 A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 36 13 36 27 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 36 18 6 1
Câu 221/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó có tâm sai bằng 2 và tiêu cự bằng 4 A/. 2 x 2 2 x y 2 y 1 B/. 1 3 2 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] C/. 2 2 x y 2 y 1 D/. 2 x 1 6 5 3
Câu 222/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó có một đường chuẩn là 2x+ 2 A/. 2 2 x x 1 B/. 2 2 x y 1 1 4 C/. 2 2 x y 2 y 1 D/. 2 x 1 2 2 2
Câu 223/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó đi qua điểm (2 ; 1) và có một đường chuẩn là 2 x 0 3 A/. 2 2 x y 2 y 1 B/. 2 x 1 3 3 2 C/. 2 x 2 x 2 y 1 D/. 2 y 1 2 2
Câu 224/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó có trục thực dài gấp đôi trục
ảo và có tiêu cự bằng 10 A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 16 4 20 5 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 16 9 20 10
Câu 225/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó tiêu điểm là (3 ; 0) và một
đường tiệm cận có phương trình là : 2x y 0 A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 6 3 3 6 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 1 2 1 8
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 60 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 226/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó tiêu điểm là (1 ; 0) và một
đường tiệm cận có phương trình là : 3x y 0 A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 1 3 1 6 C/. 2 2 x y 2 y 1 D/. 2 x 1 1 9 9
Câu 227/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2 ; 3) A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 2 3 2 3 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 9 3 4 9
Câu 228/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó có một đường tiệm cận là
x 2y 0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng 24. A/. 2 2 x y 2 2 x y 1 B/. 1 12 3 3 12 C/. 2 2 x y 2 2 x y 1 D/. 1 48 12 12 48
Câu 229/. Tìm phương trình chính tắc của Hyp. (H) biết nó đi qua điểm là (5 ; 4) và một
đường tiệm cận có phương trình là : x y 0 A/. 2 2 x y 1 B/. 2 2 x y 9 5 4 C/. 2 2 x y 1 D/. Không có. §.7 PARABOL
Câu 230/. Viết phương trình chính tắc của Parabol đi qua điểm A(1 ; 2). A/. y2 4x B/. y2 2x C/. y = 2x2 D/. 2 y x 2x 1.
Câu 231/. Viết phương trình chính tắc của Parabol đi qua điểm A(5 ; 2).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 2 y x 3x 12 B/. 2 y x 27 C/. 4x 2 y D/. 2 y 5x 21. 5
Câu 232/. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết tiêu điểm F(2 ; 0). A/. y 1 2 2x B/. y2 4x C/. y2 = 8x D/. 2 y x . 6
Câu 233/. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết tiêu điểm F(5 ; 0). A/. y 1 2 5x B/. y2 10x C/. y2 = x D/. y2 20x . 5
Câu 234/. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương trình x + 1 = 0. A/. y2 2x B/. y2 4x C/. y = 4x2 D/. y2 8x .
Câu 235/. Viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương trình x + 1 = 0. 4 A/. y x 2 x B/. y2 x C/. y2 = 2x D/. 2 y . 2
Câu 236/. Cho Parabol (P) có phương trình chính tắc y2 4x . Một đường thẳng đi qua
tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại 2 điểm A và B, Nếu A(1 ; 2) thì tọa độ của B bằng bao nhiêu ? A/. (4 ; 4) B/. (2 ; 2 2 ) C/. (1 ; 2) D/. (1 ; 2).
Câu 237/. Một điểm A thuộc Parabol (P): y2 4x . Nếu khoảng cách từ A đến đường
chuẩn bằng 5 thì khoảng cách từ A đến trục hoành bằng bao nhiêu ? A/. 3 B/. 8 C/. 5 D/. 4
Câu 238/. Một điểm M thuộc Parabol (P): y2 x . Nếu khoảng cách từ đến tiêu điểm F
của (P) bằng 1 thì hoành độ của điểm M bằng bao nhiêu ?
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 62 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A/. 3 B/. 3 C/. 3 D/. 3. 4 2 TỔNG HỢP 1
Câu 1. Cho đường thẳng x 5 t
có phương trình tham số 2 . Một vec tơ chỉ
y33t phương của có tọa độ là: A) ( -1; 6) ; B) ( 1 ;3); C)(5;-3) ; D) (-5 ; 3); 2
Câu 2. Trong các điểm có tọa độ sau đây, điểm nào nằm trên đường thẳng có x t
phương trình tham số là ? y 2t A) ( 1; 1); B) (0 ;-2); C)(1;-1) ; D) (-1 ; 1);.
Câu 3. Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1), B(2;2) có phương trình tham số là:
x 1t
x 2 2t
x 1t x t A) B) C) D) y 2 2t y 1t y 12t y t
x 12t
Câu 4. Cho đường thẳng có phương trình tham số
. Hệ số góc của là: y 3t A) -2 ; B) 1 ; C) 2 ; D) 1 . 2 2
x 2 5t
Câu 5. Cho đường thẳng d có phương trình tham số y43t
một vec tơ pháp tuyến của d có tọa độ là: A) ( 5; -3) ; B) (-3 ; 5); C)(3 ; 5) ; D) (3 ; -5).
Câu 6. Đường thẳng đi qua hai điểm A(-1; 1) , B( 1; -1) có phương trình tổng quát là:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A) x + y = 0 ; B) x – y + 2 = 0; C) x + y + 1 = 0; D) x – y – 2 = 0 .
Câu 7. Cho đường thằng d có phương trình tổng quát là x + 2y + 2 = 0 đường thẳng d có hệ số góc là: A) 2 ; B) 1 ; C) – 2 ; D) 1 . 2 2
Câu 8. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là : 2x + 3y – 5 = 0. Trong các vec
tơ sau đây, vec tơ nào là vec tơ chỉ phương của d : A) ( 2; 3) ; B) (3 ; 2); C)(3 ; - 2 ) ; D) (2 ; -5).
Câu 9. Cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng d có
phương trình là x – 2y + 2006 = 0. Đường thẳng có phương trình tổng quát là: A) x + 2y = 0 ; B) 2x + y = 0; C) 2x + y + 2006 = 0; D)2x – y + 2006 = 0 .
Câu 10. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của AD, BC.Biết phương trình hai đường thẳng AB,CD lần lượt là x + y + 1 =0 và x + y
+ 9 = 0 . phương trình đường thẳng MN là: A)2x + 2y + 5 = 0 ; B) x + y + 5 = 0; C) x + y + 10 = 0; D)x + y + 8 = 0 .
Câu 11. Cho đường thằng d cắt hai trục tọa độ lần lượt tại hai điểm M( - 3 ; 0), N ( 2 ; 0).
Phương trình tổng quát của d là: A)2x - 3y + 6 = 0 ; B) 2x - 3y = 0; x y C) 2x - 3y + 1 = 0; D) 1 3 2 = 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 64 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
x 1t
Câu 12. Cho đường thẳng d
1 có phương trình tham số là y và đường thẳng 2 t
d2 có phương trình tổng quát là x – y + 3 = 0. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng : A) d d d d 1 không cắt 2 ; B) 1 trùng 2 ; C) d d d / /d 1 2 ; D) 1 2 .
Câu 13. Cho hai đường thẳng và lần lượt có phương trình x – y = 0 và 1 2
3x y 0 . Góc giữa hai đường thẳng và là: 1 2 A) 150 ; B) 300; C)450; D) 750 .
Câu 14. Cho hai đường thẳng và lần lượt có phương trình 1 2
là: 3x y 2006 0 và x 3y 2007 0 . Góc giữa hai đường thẳng và là: 1 2 A) 150 ; B) 300; C)450; D) 600 .
Câu 15. Cho hai đường thẳng d d
1 , 2 lần lượt có phương trình
3x + 4y + 20 = 0 và 3x + 4y + 80 =0. Đường tròn ( C ) tiếp xúc đồng thời với d d 1 và 2 có bán kính là: A) 60 ; B) 40 ; C) 5 ; D) 6.
Câu 16. Trong số các đường tròn có phương trình dưới đây, đường tròn nào đi qua gốc tọa độ O ( 0;0) ? A) 2 2 x y 1 ; B) 2 2
(x3) (y4) 25 ; C 2 2
x y 4x4y 8 0 ; D) 2 2
x y xy 2 0 .
Câu 17. Đường tròn ( C) 2 2
x y 4x2y20 0 có tâm I và bán kính R là:
A)I( 2 ; 1) , R = 20 ;
B)I( 2 ; 1) , R = 25;
C)I( -2 ; -1) , R = 25;
DI( -2 ;- 1) , R = 5.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 18. Cho điểm A( -2 ; 0) , B ( 2 ; 2 ) và C (2; 0). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: A) 2 2
x y 4 0 ; B) ; 2 2
x y 4x4 0 C) 2 2
x y 4x4y 4 0 ; D) . 2 2 x y 2 .
Câu 19. Cho hai điểm A ( 3; 0) và B ( 0 ; 4). Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình là: A) 2 2 x y 1 ; B) 2 2 x y 2 ; C) 2 2
x y 2x2y 1 0 ; D) 2 2
x y 6x8y 25 0..
Câu 20. Tiếp tuyến với đường tròn ( C ) x2 + y2 = 2 tại điểm M ( 1 ;1 ) có phương trình là: A)x + y - 2 = 0 ; B) x + y + 1 = 0; C)2 x + y – 3 = 0; D)x - y = 0 .
Câu 21. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A ( 5; 6 ) đồng thời tiếp xúc với đường tròn (C ) Có phương trình 2 2
(x1) (y2) 1 A) 0 ; B) 1 ; C) 2 ; D) 3.
Câu 22. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường tròn ( C) 2 2
x y 8x4y 0 đi qua gốc tọa độ ? cA) 0 ; B) 1 ; C) 2 ; D) 3.
Câu 23. Từ điểm A ( 4 ; 0 ) ta kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn (C ) 2 2 x y 4
Tiếp xúc với ( C ) lần lượt tại B và C. Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là: A) ( 2; 0) ; B) (1 ; 0); C)(2 ; 2 ) ; D) (1 ; 1).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 66 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 24. Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 – 2 = 0 và đường thẳng d: x – y + 2 = 0. Đường
thẳng tiếp xúc với ( C ) và song song với d có phương trình là: A)x - y + 4 = 0 ; B) x – y – 2 = 0; C)x – y – 1 = 0; D)x – y + 1 = 0 .
Câu 25. Cho hai đường tròn (C ) 2 2
(x1) (y1) 1 (C ) 2 2
(x4) (y1) 4 1 và 2
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A) (C ) (C ) (C ) (C ) 1 chứa trong 2 B) 1 cắt 2 C)(C ) (C ) (C ) (C ) 1 tiếp xúc với 2 D) 1 và 2 không có điểm chung.
Câu 26. Cho đường tròn ( C) 2 2
x y 2x4y 4 0
Và đường thẳng d: 4x + 3y + 5 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A) ( C ) cắt d ; B) (C ) tiếp xúc với d; C) d đi qua tâm của ( C);
D) d và ( C ) không có điểm chung. Câu 27. Cho elip ( E)
có hai tiêu điểm là F F 1
và 2 và có độ dài trục lớn là 2a.
Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng? A) 2a = F F F F F F F F 1 2 ; B) 2a > 1 2 C)2a < 1 2 D) 4a = 1 2
Câu 28. Cho elip (E ) có tiêu cự là 2c, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A) c < b < a;
B) c < a < b; C) c > b > a ; D) c < a và b < a.
Câu 29. Cho điểm M nằm trên đường elip ( E) có hai tiêu điểm F F
1 và 2 và có độ dài trục
lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
A) F M F M 2a
F M F M 2a 1 2 ; B) 1 2 ;
C) F M F M 2a
F M F M 2a 1 2 ; D) 1 2 . 2 2 x y
Câu 30. Cho elip ( E) có phương trình chính tắc là 1 2 2 a b
. Gọi 2c là tiêu cự của ( E).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 2 2 2
A)c a b ; 2 2 2
B)b a c ; 2 2 2
C)a b c ;
D)c a b . 2 2 x y
Câu 31. Cho điểm M ( 2;3) nằm trên đường elip có phương trình chính tắc là 1 2 2 a b
Trong các điểm sau đây, điểm nào không nằm trên ( E) ? A) ( -2; 3) ; B) (2 ; -3); C)(-2 ; -3 ) ; D) ( 3 ; 2).
Câu 32. Số trục đối xứng của đường elip là : A) 0 ; B) 1 ; C) 2 ; D) vô số 2 2
Câu 33. Cho elip có phương trình chính tắc là x y 1 2 2 a b
Trong các điểm có tọa độ sau đây, điểm nào là tiêu điểm của elip? A) ( 10; 0) ; B) (6 ; 0); C)(4 ; 0 ) ; D) ( - 8 ; 0).
Câu 34. Cho elip chính tắc ( E) có tiêu điêm F1 ( 4 ; 0) và một điểm là A( 5 ; 0)
Phương trình chính tắc của ( E) là: 2 2 2 2 A) x y x y 1 B) 1 25 16 5 4 2 2 x y C) x y 1 A) 1 25 9 5 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 68 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] 2 2
Câu 35. Cho elip ( E) có phương trình chính tắc là B) x y
1. Tiêu cự của elip ( E) là: 4 1 A)2 3 ; B) 4 ; C) 2 ; D)2 15 . 2 2
Câu 36. Cho elip ( E) x y
1 và đường tròn ( C) : x2 + y2 = 25. 25 16
Số điểm chung của ( E) và (C ) là: A) 0 ; B) 1 ; C) 2 ; D) 4. 2 2
Câu 37. Elip ( E) x y
1 và đường tròn ( C) x2 + y2 = 144 có bao nhiêu điểm 169 144 chung? A) 0 ; B) 1 ; C) 2 ; D) 4.
Câu 38. Cho elip (E) có phương trình 4x2 + 9y2 = 36. Độ dài trục lớn của (E) là: A) 4 ; B) 6 ; C) 9 ; D) 18.
Câu 39. Cho elip (E) có phương trình 4x2 + 9y2 = 1. Độ dài trục nhỏ của (E) là: A) 1 ; B)2 ; C) 4 ; D) 6.
Câu 40. Cho elip (E) :9x2 + 25y2 = 225. Tiêu cự của ( E) là: A) 8 ; B) 10 ; C) 18 ; D) 50.
Câu 41. Cho hypebol (H) :9x2 - 16y2 = 144. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI ?
A) (H) có độ dài trục thực bằng 8.
B) (H) có độ dài trục ảo bằng 6.
C) (H) có tiêu cự bằng 10.
D) (H) có hai tiệm cận là 4 y x 3
Câu 42. Cho hypebol (H) x2 - y2 = 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A) (H) có tâm sai 2 e . 2
B) (H) có tiêu điểm nằm trên trục Oy.
C) Khoảng cách giữa hai đỉnh của (H) bằng 2 2
D) (H) có hai tiệm cận vuông góc với nhau. 2 2
Câu 43. Góc giữa hai tiệm cận của hypebol (H) : x y
1 bằng giá trị nào sau đây? 99 33 A) 300; B) 450 ; C) 600 ; D) 900.
Câu 44. Cho hypebol (H) có độ dài trục thực bằng 8 và tâm sai 5 e . Phương trình 2 chính tắc của (H) là: 2 2 2 2 A) x y x y 1 B) 1 16 84 84 16 2 2 2 2 C) x y x y 1 D) 1. 100 84 16 100
Câu 45. Hypebol (H) : x2 – y2 = 1 có tâm sai là: A) 2 ; ) B 2 ; C) 4 ; 2 D) . 2
Câu 46. Cho parabol (P) có đỉnh là gốc tọa độ và nhận F( 2;0) là tiêu điểm. Phương
trình chính tắc của (P) là: 2
A)y 2x; 2 ) B y 4x; 2
C)y 6x; 2 D)x 4 . y
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 70 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]
Câu 47. Parabol (P) :y2 = 16x có tiêu điểm là: A) F( 1;0); B) F( 4; 0 ) ; C) F( 2 ; 0) ; D) F( -2;0).
Câu 48. Cho parabol (P) đi qua ba điểm O( 0;0) , A( 2 ; 2) và B( 2 ; -2 ). Tâm sai của (P) là: A) 1 ; B) 1 ; C) 1 ; D) 2 . 2 4
Câu 49. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của cônic (C): x2 – y2 = 4 là: A) 2 ; B) 4 ; C) 2 ; D) 2 2 .
Câu 50. Cho cônic chính tắc(C) có một đỉnh là A( 1;0) và hai tiệm cận là y = x và y = - x.
Phương trình chính tắc của (C) là: 2 2
A)x y 1; 2 ) B y x; 2
C)y x ; 2 2
D)x y 1.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 71
Document Outline
- OXY. PHẦN 1.pdf
- OXY.PHAN2.pdf
- OXY.PHAN3.pdf
- OXY.PHAN4.pdf
- OXY.PHAN5.pdf
- BÀI TẬP CHƯƠNG 3OXY..pdf