Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Toán 10 Cánh Diều

Tài liệu gồm 353 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy trong chương trình SGK Toán 10 Cánh Diều (viết tắt: Toán 10 CD), có đáp án và lời giải chi tiết.

Môn:

Toán 10 2.8 K tài liệu

Thông tin:
353 trang 9 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Toán 10 Cánh Diều

Tài liệu gồm 353 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy trong chương trình SGK Toán 10 Cánh Diều (viết tắt: Toán 10 CD), có đáp án và lời giải chi tiết.

80 40 lượt tải Tải xuống
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 1: TA Đ CA VEC
BÀI 2: BIU THC TA Đ CA CÁC PHÉP TOÁN VEC
Nhc li h tọa độ: H trc ta đ
( )
O;i , j

gm hai trc
( )
O;i
( )
O; j
vuông góc vi nhau.
Đim gc
O
chung ca hai trc gi là gc ta đ. Trc
(
)
O;i
được gi là trc hoành và kí
hiu là
Ox,
trc
(
)
O; j
được gi là trc tung và kí hiu là
.
Oy
Các vectơ
i
j
là các vectơ
đơn vị trên
Oy
1
ij.= =

H trc ta đ
( )
O;i , j

còn được kí hiu là
Oxy.
Mt phẳng mà trên đó đã cho một h trc ta đ
Oxy
còn được gi là mt phng ta đ
Oxy
Hay gi tt là mt phng
Oxy.
I. TA Đ CA MT ĐIM
Trong mt phng ta đ
Oxy
cho một điểm
M
tùy ý.
T
M
k đường thng vuông góc vi trc hoành và ct trc hoành tại điểm
H
ng vi s
a
.
S
a
là hoành độ của điểm
M
.
T
M
k đường thng vuông góc vi trc tung và ct trc tung tại điểm
K
ng vi s
b
. S
b
là tung độ ca điểm
M
.
Cp s
( )
;ab
là ta đ của điểm
M
trong mt phng ta đ
Oxy
. Ta kí hiu là
( )
;M ab
.
x
y
b
a
H
K
-1
-1
O
M
1
1
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUYT.
I
1
1
y
x
O
O
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
I. TA Đ VECTƠ
Ta đ của điểm
M
là ta đ ca vectơ
OM

.
Trong mt phng
Oxy
cho mt vectơ
u
tùy ý. V
OA u=

. Vi mi vectơ
u
ta xác định được
duy nht một điểm
A
sao cho
OA u=

.
Vi mi vectơ
u
trong mt phng ta đ
Oxy
, ta đ ca
u
là ta đ ca điểm
A
sao cho
OA u=

.
Trong mt phng ta đ
Oxy
, nếu
( )
u x; y=
thì
u xi y j= +

. Ngược li nếu
u xi y j= +

thì
( )
u x; y=
Do đó:
(
)
u x; y u xi y j= ⇔= +


Nhn xét. T định nghĩa tọa đ của vectơ, ta thấy hai vectơ bng nhau khi và ch khi chúng có
hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu
( )
u x; y=
( )
u x;y
′′
=

thì
xx
uu .
yy
=
=
=

Như vy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết ta đ ca nó.
III. LIÊN H GIA TO ĐỘ CA ĐIM VÀ TO ĐỘ CA VECTƠ
Cho
(; ), (; )
AA BB
Axy Bxy
thì
;
B AB A
AB x x y y


IV. BIU THC TA Đ CA PHÉP TOÁN VECTƠ
Cho
(; )u xy
;
;v xy

và s thc
k
. Khi đó ta có :
1)
;u v x xy y



2)
. (;)k u kx ky
3)
.. .uv xx yy



4)
xx
uv
yy


5)
v
cùng phương
u
(
0u

) khi và ch khi có s
k
sao cho
x kx
y ky
V. TA Đ TRUNG ĐIM CA ĐON THNG. TA Đ TRNG TÂM CA TAM GIÁC
Cho đoạn thng
AB
( ) ( )
;, ;.
AA BB
Axy Bxy
Ta d dàng chứng minh được ta đ trung điểm
( )
;
II
Ix y
của đoạn thng
AB
Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
AA BB CC
A x ;y ,B x ;y ,C x ;y .
Khi đó tọa đ ca trng tâm
22
AB AB
II
xx yy
x ,y .
++
= =
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
( )
GG
G x ;y
ca tam giác
ABC
được tính theo công thc
33
ABC A B C
GG
xxx yyy
x ,y .
++ ++
= =
VI. BIU THC TA Đ CA TÍCH VÔ HƯNG
Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho hai vectơ
(
) (
)
12 12
; , ;
a aa b bb= =

.
Khi đó
11 2 2
. . .ab ab ab= +

ng dng biu thc tọa độ ca các phép toán vecto
Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho hai vectơ
( )
( )
12 12
; , ;a aa b bb
= =

hai điểm
( ) ( )
;, ;.
AA BB
Axy Bxy
Ta có:
1)
11 2 2
.0 0a b ab ab a b⊥⇔ =⇔ + =

2)
,ab

cùng phương
11 2 2
0ab ab⇔− =
3)
22
12
a aa= +
4)
22
BA BA
AB AB x x y y 

5)
( )
11 2 2
2222
1 21 2
.
cos ;
.
.
ab a b
ab
ab
ab
aabb
+
= =
++



(
( )
12
;a aa=
(
)
12
;b bb=
đều khác
0
)
Câu 1. Trên trc
( )
;
Oi
cho các điểm
A
,
B
,
C
lần lượt có ta đ
1
;
2
;
3
.
Tính độ dài đại s ca các vectơ

AB
;

BC
. T đó suy ra hai vectơ

AB
;

BC
ngược hướng?
Li gii
Ta có
21 3AB =−−=
,
( )
3 25BC = −− =
. Do đó vectơ

AB
ngược hướng vi vectơ
i
vectơ

BC
cùng hướng với vectơ
i
.
Câu 2. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
2=
ai
,
3=
bj
,
34=

ci j
.
a) Tìm ta đ ca các vectơ
a
,
b
,
c
,
32=

mab
.
b) Phân tích vectơ
c
theo hai vectơ
a
,
b
.
Li gii
a) Ta có
( )
2;0
=
a
,
(
)
0; 3=
b
,
(
)
3; 4=
c
.
Khi đó
( )
3 6;0
=
a
,
( )
2 0;6−=
b
nên
( ) ( )
3 2 6 0;0 6 6;6= =+ +=

mab
.
b) Ta có hai vectơ
a
,
b
không cùng phương.
Theo yêu cu ca đ bài ta cần tìm bộ s
x
,
y
tha mãn
= +

c xa yb
Suy ra
( )
( ) ( )
2;0 0; 3 3; 4+ −= xy
2 03
03 4
+=
−=
x
y
3
2
4
3
=
=
x
y
.
VÍ D MINH HA.
II
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Vy ta viết được
34
23
= +

c ab
.
Câu 3. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( )
2;1
A
,
( )
1; 2−−B
,
( )
3;2C
.
a) Tìm ta đ trung điểm của đoạn thng
AC
.
b) Chứng minh ba điểm
A
,
B
,
C
to thành mt tam giác.
c) Tìm ta đ trng tâm tam giác
ABC
.
Li gii
a) Gi
M
là trung điểm
AC
thì
2 31 2
;
22
−+



M
hay
13
;
22



M
.
b) Tính được
( )
3; 3=−−

AB
,
( )
5;1=

AC
dẫn đến hai vectơ đó không cùng phương. Nói cách
khác ba điểm
A
,
B
,
C
to thành mt tam giác.
c) Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
thì
213122
;
33
−− +



G
hay
21
;
33



G
.
Câu 4. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( )
2;1A
,
( )
1; 2−−B
,
( )
3;2C
.
a) Tìm ta đ điểm
E
sao cho
C
là trung điểm của đoạn thng
EB
.
b) Xác định ta đ điểm
D
sao cho t giác
ABCD
là hình bình hành.
Li gii
a) Do
C
là trung điểm ca đon thng
EB
nên
2
2
= +
= +
C EB
C EB
xxx
yyy
5
6
=
=
E
E
x
y
.
Vy
( )
5;6E
.
b) Gọi
( )
;
DD
Dx y
( )
3 ;2 =−−

DD
DC x y
.
Do t giác
ABCD
là hình bình hành nên
33
23
−− =
=
−=
 
D
D
x
AB DC
y
0
5
=
=
x
y
.
Ta thy
A
,
B
,
C
,
D
không thng hàng. Vy
( )
0;5D
là đáp án bài toán.
Câu 5. Trong mt phng
Oxy
, cho các điểm
( )
1;3A
,
( )
4;0B
. Tìm ta đ điểm
M
tha
30AM AB+=
 
?
Li gii
Giả sử
( )
;
MM
Mx y
suy ra
( )
1; 3=−−

MM
AM x y
(
)
3; 3
AB =

.
Ta có:
30+=
 
AM AB
( )
( )
3 1 30
3 3 30
+=
−=
M
M
x
y
0
4
=
=
M
M
x
y
( )
0;4 M
.
Câu 6. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho hình bình hành
ABCD
( )
3;4A
,
( )
8;1C
. Gi
M
là trung
điểm ca cnh
BC
,
N
là giao điểm ca
BD
AM
. Xác định các đỉnh còn li của hình bình
hành
ABCD
, biết
13
;2
3



N
.
Li gii
N
I
A
D
B
C
M
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Do
I
là tâm của hình bình hành
ABCD
, ta có
I
là trung điểm của đoạn thng
AC
nên
11 5
;
22



I
.
Xét tam giác
ABC
thì
BI
,
AM
là hai đường trung tuyến nên
N
là trng tâm tam giác
ABC
.
Do đó
38
13
2
33
41 1
2
3
B
B
BB
x
x
yy
++
=
=

++ =
=
, vy
( )
2;1B
.
Gi
( )
;
DD
Dx y
. Do
I
trung điểm ca
BD
nên
2 11 9
15 4
+= =


+= =

DD
DD
xx
yy
nên
( )
9;4D
.
Vy
( )
2;1B
,
( )
9;4D
.
Câu 1. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho các điểm
( ) ( )
1; 3 , 4; 2NM
.
a) Tính độ dài ca các đon thng
OM
,
ON
,
MN
.
b) Chứng minh rng tam giác
OMN
vuông cân.
Câu 2. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho các vectơ
( )
3 2 , 4; 1a i jb=−=

và các đim
( )
( )
3; 6 , 3; 3
MN−−
a) Tìm mi liên h gia các vectơ
MN

2ab

.
b) Các điểm
,,OM N
có thng hàng hay không?
c) Tìm điềm
( )
;Pxy
để
OMNP
là một hình bình hành.
Câu 3. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho các điềm
(
) (
) ( )
1;3 , 2;4 , 3;2AB C
.
a) Hãy chng minh rng
,,ABC
là ba đỉnh ca mt tam giác.
b) Tìm toạ độ trung điểm
M
của đoạn thng
AB
.
c) Tìm to độ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
.
d) Tìm điểm
( )
;D xy
để
( )
0;0O
là trng tâm ca tam giác
ABD
.
Câu 4. S chuyển động ca mt tàu thủy được th hin trên mt mt phng to độ như sau: Tàu khời
hành t v trí
( )
1; 2A
chuyền động thng đu vi vn tc (tính theo giờ) được biểu th bời vectơ
( )
3; 4v =
. Xác định v trí ca tàu (trên mt phng to độ) ti thời điểm sau khi khi hành
1, 5
gi.
Câu 5. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở v trí có to độ
( )
1; 2
. Hi sau một nước đi, quân mã có thể đến
nhng v trí nào?
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
DNG 1: TÌM TA Đ ĐIM, TA Đ VECTƠ TRÊN MT PHNG
Câu 1: Trong mt phng ta đ
Oxy
. Cho điểm
( )
M x; y
. Tìm ta đ ca các đim
1
M
đối xng vi
M
qua trc hoành?
Câu 2: Trong không gian
Oxy
, cho hai điểm
( )
1; 2A
,
( )
2;3B
. Tìm ta đ ca vectơ
AB

?
Câu 3: Vectơ
( )
4;0a =
được phân tích theo hai vectơ đơn vị
( )
;ij

như thế nào?
Câu 4: Trong h trc ta đ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
tâm I và
(1; 3)A
. Biết điểm
B
thuc trc
Ox
BC

cùng hướng vi
i
. Tìm ta đ các vectơ
AC

?
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
. Cho hình thoi
ABCD
cnh a và
0
60BAD =
. Biết
A
trùng vi
gc ta đ
O
;
C
thuc trc
Ox
00
BB
x ,y≥≥
. Tìm ta đ các đnh
B
C
ca hình thoi
ABCD
.
Câu 1: Trong mt phng ta đ
Oxy
, ta đ
i
A.
( )
0; 0i =
. B.
( )
0; 1i =
. C.
( )
1; 0i =
. D.
( )
1; 1i =
.
Câu 2: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( )
5; 2A
,
( )
10; 8B
Tìm tọa độ của vectơ
?AB

A.
( )
15; 10
. B.
( )
2; 4
. C.
( )
5; 6
. D.
( )
50; 16
.
Câu 3: Trong mt phng
Oxy
cho
( ) ( )
,5; 2 10;8BA =−=
. Ta đ vectơ
AB

là:
A.
( )
15;10AB

. B.
( )
2; 4AB

. C.
( )
5;10AB

. D.
( )
50;16AB

.
Câu 4: Trong mt phng to độ
Oxy
cho hai điểm
( )
1; 4A
( )
3; 5B
. Khi đó:
A.
( )
2; 1AB =−−

. B.
( )
1; 2BA =

. C.
( )
2;1AB =

. D.
( )
4;9AB =

.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
5;3A
,
( )
7;8B
. Tìm ta đ ca véctơ
AB

Oxy
H THNG BÀI TP.
III
BÀI TP T LUN.
1
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
A.
( )
15;10
. B.
( )
2;5
. C.
( )
2;6
. D.
( )
2; 5−−
.
Câu 6: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( )
9; 7 , 11; 1BC
. Gọi
,MN
lần lượt trung
điểm của
,.AB AC
Tìm tọa độ vectơ
MN

?
A.
( )
2; 8
. B.
( )
1; 4
. C.
( )
10; 6
. D.
( )
5; 3
.
Câu 7: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho hình vuông
ABCD
gốc
O
làm tâm hình vuông các cạnh của
nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng?
A.
.OA OB AB+=
 
B.
, OA OB DC

 
cùng hướng.
C.
,.
A CA C
x xy y=−=
D.
,.
B CB C
x xy y=−=
Câu 8: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( )
3; 4M
Gọi
12
,MM
lần lượt hình chiếu vuông góc của
M
trên
,.Ox Oy
Khẳng định nào đúng?
A.
1
3.OM =
B.
2
4.OM =
C.
( )
12
3; 4OM OM =−−
 
. D.
( )
12
3; 4OM OM+=
 
.
Câu 9: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho hình bình hành
, .OABC C Ox
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
AB

có tung độ khác
0.
B.
, AB
có tung độ khác nhau.
C.
C
có hoành độ khác
0.
D.
0.
AC B
xxx+−=
Câu 10: Trong h trc ta đ
( )
O,i, j

, cho tam giác đều
ABC
cnh
a
, biết
O
là trung điểm
BC
,
i
cùng hướng vi
OC

,
j
cùng hướng
OA

. Tìm ta đ ca các đnh ca tam giác
ABC
.Gi
A
x
,
B
x
,
C
x
lần lượt là hoành độ các đim
A
,
B
,
C
. Giá tr của biểu thc
ABC
xxx++
bằng:
A.
0
. B.
2
a
. C.
3
2
a
. D.
2
a
.
Câu 11: Trong h trc ta đ
( )
O,i, j

, cho tam giác đều
ABC
cnh
a
, biết
O
là trung điểm
BC
,
i
cùng hướng vi
OC

,
j
cùng hướng
OA

. Tìm ta đ tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
.
A.
3
0
6
a
G;




. B.
3
0
4
a
G;




. C.
3
0
6
a
G;




. D.
3
0
4
a
G;



.
Câu 12: Trong h trc ta đ
( )
O,i, j

, cho hình thoi
ABCD
tâm O có
86AC , BD= =
. Biết
OC

i
cùng hướng,
OB

j
cùng hướng. Tính ta đ trng tâm tam giác
ABC
A.
( )
0;1G
. B.
( )
1; 0G
. C.
1
;0
2



. D.
3
0;
2



.
DẠNG 2: XÁC ĐNH TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ LIÊN QUAN ĐẾN BIU THC DẠNG
u v, u v, k u+−

BÀI TP T LUN.
1
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Câu 1: Trong không gian
Oxy
, cho hai vectơ
( )
1; 3a
,
( )
3; 4b
. Tìm ta đ vectơ
ab

?
Câu 2: Cho
( ) ( ) ( )
; 2 , 5;1 , ; 7ax b cx= =−=

. Tìm
x
để Vec tơ
23c ab
= +

.
Câu 3: Cho hai điểm
( )
1; 0A
(
)
0; 2
B
.Ta đ điểm
D
sao cho
3AD AB=
 
là:
Câu 4: Trong mt phng
Oxy
, cho các điểm
( ) ( )
1; 3 , 4; 0AB
. Ta đ điểm
M
tha
30AM AB+=
 
Câu 5: Trong mt phng
Oxy
, cho các đim
( ) (
)
( )
3; 3 , 1; 4 , 2; 5A BC−−
. Ta đ điểm
M
tha mãn
24
MA BC CM
−=
  
là:
Câu 1: Cho
(
)
1; 2a =
,
(
)
5; 7
b =
Tìm tọa độ của
.
ab

A.
( )
6; 9
B.
( )
4; 5
C.
(
)
6; 9
D.
( )
5; 14
−−
.
Câu 2: Cho
( ) ( )
3; 4 , 1; 2ab=−=

Tìm tọa độ của
.
ab+

A.
(
)
4; 6
B.
( )
2; 2
C.
(
)
4; 6
D.
( )
3; 8−−
Câu 3: Trong hệ trục tọa độ
( )
; ; Oi j

tọa độ
ij+

là:
A.
(
)
0; 1
. B.
(1; 1)
C.
( 1; 1)
D.
(1; 1)
Câu 4: Trong mt phng
Oxy
cho
( )
1; 3a =
,
( )
5; 7b =
. Ta đ vectơ
3 2ba

là:
A.
( )
6; 19
. B.
( )
13; 29
. C.
( )
6;10
. D.
( )
13;23
.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( ) ( )
1; 2 , 3; 4ab= =

. Ta đ
4c ab=

A.
( )
1; 4c =−−
. B.
( )
4; 1c =
. C.
(
)
1; 4c =
. D.
( )
1; 4c =
.
Câu 6: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
(
) ( )
2; 1 , 3; 2ab= =

23c ab= +

. Ta đ của vectơ
c
A.
( )
13; 4
. B.
(
)
13; 4
. C.
( )
13; 4
. D.
( )
13; 4−−
.
Câu 7: Cho
( )
2;7a
,
( )
3; 5b
. Ta đ ca véctơ
ab

là.
A.
(
)
5; 2
. B.
( )
1; 2
. C.
(
)
5; 2−−
. D.
( )
5; 2
.
Câu 8: Cho
( )
3; 4a
,
( )
1; 2b
. Ta đ ca véctơ
2ab+
A.
( )
4;6
. B.
( )
4; 6
. C.
( )
1; 0
. D.
( )
0;1
.
Câu 9: Trong h trc
( )
,,Oi j

, ta đ ca
ij

A.
(
)
0;1
. B.
( )
1;1
. C.
( )
1; 1
. D.
( )
1;1
.
Câu 10: Cho
( )
1; 2a =
( )
3; 4b =
vi
4c ab=

thì ta đ ca
c
là:
A.
( )
1; 4c =
. B.
( )
4; 1c =
. C.
( )
1; 4c =
. D.
( )
1; 4c =−−
.
Câu 11: Cho
( )
1; 5a =
,
( )
2;1b
=
. Tính
32cab= +

.
A.
( )
7; 13c =
. B.
( )
1; 17c =
. C.
( )
1; 17c =
. D.
( )
1; 16c =
.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Câu 12: Cho
23aij=

2bij=−+

. Tìm ta đ ca
c ab=

.
A.
( )
1; 1c =
. B.
( )
3; 5c =
. C.
( )
3;5c =
. D.
( )
2;7c =
.
Câu 13: Cho hai vectơ
( )
1; 4a =
;
( )
6;15
b =
. Tìm ta đ vectơ
u
biết
uab+=

A.
( )
7;19
. B.
( )
–7;19
. C.
( )
7; –19
. D.
( )
–7; –19
.
Câu 14: Tìm ta đ vectơ
u
biết
0ub
+=

,
( )
2; 3b =
.
A.
( )
2; 3
. B.
( )
–2; –3
. C.
(
)
2;3
. D.
(
)
2;3
.
Câu 15: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( ) ( ) ( )
2; 5 , 1; 1 , 3; 3A BC
. Tìm tọa độ đỉểm
E
sao cho
32AE AB AC=
  
A.
( )
3; 3
. B.
( )
3; 3
. C.
( )
3; 3−−
. D.
( )
2; 3−−
.
Câu 16: Cho
(
)
2; 4a
=
,
( )
5; 3b =
. Tìm tọa độ của
2
u ab=

A.
( )
7; 7u =
. B.
( )
9; 11u =
C.
( )
9; 5u =
. D.
( )
1; 5u =
.
Câu 17: Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
4;0 ,5;0 , 3;0ABC
. Tìm điểm
M
trên trc
Ox
sao cho
0
MA MB MC
++ =
  
.
A.
(
)
2;0
. B.
(
)
2;0
. C.
( )
4;0
. D.
( )
5; 0
.
Câu 18: Trong h trc
( )
,,Oi j

cho 2 vectơ
( )
3;2a =
,
5
bij=−+

. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
32ai j
= +

. B.
(
)
1; 5b
=
. C.
( )
2;7ab+=

. D.
( )
2; 3ab−=

.
Câu 19: Cho
23
uij=

,
5v ij=−−

. Gi
( )
;XY
là ta đ ca
23w uv=

thì tích
XY
bằng:
A.
57
. B.
57
. C.
63
. D.
63
.
DNG 3: XÁC ĐNH TA Đ CÁC ĐIM CA MT HÌNH
Câu 1: Trong h ta đ
Oxy,
cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
35 12 52A ; , B ; , C ; .
Tìm ta đ trng tâm
G
ca tam giác
?ABC
Câu 2: Trong h ta đ
Oxy,
cho tam giác
ABC
( ) ( )
22 35A ; , B ;
và trng tâm là gc ta đ
( )
00O;.
Tìm ta đ đỉnh
C
?
Câu 3: Cho
( ) ( ) (
)
2;0 , 2; 2 , 1;3MNP
ln lưt là trung đim các cnh
,,BC CA AB
ca
ABC
. Ta đ
B
là:
Câu 4: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
MNP
( ) ( )
1;1, 5;3MN−−
và
P
thuc trc
Oy
,
trng tâm
G
ca tam giác nm trên trc
Ox
.To độ ca đim
P
Câu 5: Cho tam giác
ABC
vi
5AB =
1AC =
. Tính to độ điểm
D
là ca chân đưng phân giác
trong góc
A
, biết
7 2 14B( ; ),C( ; )
.
Câu 6: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( ) ( )
3 1 12A ; ,B ;−−
( )
11I;
. Xác định ta đ các đim
C
,
D
sao cho t giác
ABCD
hình bình hành biết
I
là trng tâm tam giác
ABC
. Tìm ta tâm
O
của hình bình hành
ABCD
.
BÀI TP T LUN.
1
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 1: Cho
( )
4; 0A
,
( )
2; 3B
,
( )
9; 6C
. Ta đ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
là:
A.
( )
3; 5
. B.
(
)
5; 1
. C.
( )
15; 9
. D.
( )
9; 15
.
Câu 2: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( )
3; 5A
,
( )
1; 2B
,
( )
5; 2C
. Tìm tọa độ trng tâm
G
của tam giác
?ABC
A.
(
)
3; 4
. B.
( )
4; 0
. C.
( )
2; 3
. D.
( )
3; 3
.
Câu 3: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( )
2; 3A
,
( )
4; 7B
. Tìm tọa độ trung điểm
I
của đoạn thẳng
AB
A.
( )
6; 4
. B.
( )
2; 10
. C.
( )
3; 2
. D.
( )
8; 21
.
Câu 4: Trong mt phng
Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( ) (
)
3; 5 1; 2,,5; 2
BCA = = =
. Trng tâm
G
ca
tam giác
ABC
có ta đ là:
A.
( )
3; 4
. B.
( )
4;0
. C.
( )
2;3
. D.
( )
3; 3
.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có ta đ ba đỉnh lần lượt là
( )
2; 3 ,A
( )
5; 4B
,
( )
1; 1C −−
. Ta đ trng tâm
G
ca tam giác có ta đ là:
A.
( )
3; 3 .
B.
( )
2; 2
. C.
( )
1; 1
. D.
( )
4; 4
.
Câu 6: Cho tam giác
ABC
có ta đ ba đỉnh lần lượt là
( )
2;3A
,
( )
5; 4
B
,
( )
2; 2C
. Ta đ trng tâm
G
ca tam giác có ta đ
A.
( )
3; 3
B.
( )
2; 2
C.
( )
1;1
D.
(
)
4; 4
.
Câu 7: Cho hai điểm
( )
3; 2B
,
( )
5; 4C
. To độ trung điểm
M
ca
BC
A.
( )
8;3
M =
. B.
( )
4;3M
. C.
( )
2; 2M
. D.
( )
2; 2M =
.
Câu 8: Trong mt phng to độ
Oxy
cho ba điểm
( )
5; 2A
,
( )
0;3B
,
( )
5; 1C −−
. Khi đó trọng
tâm
ABC
là:
A.
(
)
0;11G
. B.
( )
1; 1G
. C.
( )
10;0G
. D.
( )
0;0G
.
Câu 9: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
(
)
2; 3A
,
( )
4;7B
. Ta đ trung điểm
I
của đoạn thng
AB
là:
A.
( )
6; 4
I
B.
( )
2;10I
. C.
( )
3; 2I
. D.
( )
8; 21I
.
,Oxy
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Câu 10: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
3; 5A
,
( )
1; 2B
( )
2;0C
. Tìm ta đ trng tâm
G
ca
tam giác
ABC
A.
(
)
3, 7
G
. B.
( )
6;3G
. C.
7
3,
3
G



D.
7
2;
3
G



.
Câu 11: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
3; 5A
,
( )
1; 2B
. Tìm ta đ trung điểm
I
của đoạn thng
AB
.
A.
( )
4;7I
. B.
( )
2;3I
. C.
7
2;
2
I



. D.
7
2;
2
I



.
Câu 12: Cho tam giác
ABC
vi
( )
3; 6A
;
( )
9; 10B
1
;0
3
G



là trng tâm. Ta đ
C
là:
A.
( )
5; 4C
. B.
(
)
5; 4C
. C.
( )
5; 4C
. D.
( )
5; 4C −−
.
Câu 13: Trong mt phng
Oxy
cho
( ) ( )
4; 2 , 1; 5 .AB
Tìm trng tâm G ca tam giác
OAB
.
A.
5
;1
3
G



. B.
5
;2
3
G



. C.
( )
1; 3G
. D.
51
;
33
G



.
Câu 14: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( )
2; 2 , 3; 5AB
trọng tâm là gốc
O
. Tìm
tọa độ đỉnh
C
?
A.
( )
1; 7
−−
. B.
(
)
2; 2
. C.
( )
3; 5−−
. D.
( )
1; 7
.
Câu 15: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) (
)
6; 1 , 3; 5AB
trọng tâm
( )
1; 1G
. Tìm
tọa độ đỉnh
C
?
A.
(
)
6; 3
. B.
( )
6; 3
. C.
( )
6; 3−−
. D.
( )
3; 6
.
Câu 16: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
2; 3 , 0; 4 , 1; 6MN P−−
lần lượt là trung
điểm của các cạnh
,,
BC CA AB
. Tìm tọa độ đỉnh
A
?
A.
( )
1; 5
. B.
( )
3; 1−−
. C.
( )
2; 7−−
. D.
( )
1; 10
.
Câu 17: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1; 1 , 3; 2 , 6; 5AB C
. m tọa độ điểm
D
đ
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
4; 3
. B.
(
)
3; 4
. C.
( )
4; 4
. D.
( )
8; 6
.
Câu 18: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho ba điểm
( )
2; 1A
,
( )
0; 3B
,
( )
3; 1C
. Tìm tọa độ điểm
D
để
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
5; 5
. B.
( )
5; 2
. C.
( )
5; 4
. D.
( )
1; 4−−
.
Câu 19: Trong mt phng
Oxy
cho
3
điểm
( ) ( ) ( )
1; 3 2; 0,,6; 2BCA =−= =
. Tìm ta đ
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
9; 1
. B.
( )
3; 5
. C.
( )
5;3
. D.
( )
1; 9
.
Câu 20: Cho hình bình hành
ABCD
. Biết
( )
1;1A
,
( )
1; 2B
,
( )
0;1C
. Ta đ điểm
D
là:
A.
( )
2;0
. B.
( )
2;0
C.
( )
2; 2
. D.
( )
2; 2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
Câu 21: Cho tam giác.
ABC
. Gi
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm
BC
,
CA
,
AB
. Biết
( )
1; 3A
,
( )
3; 3
B
,
( )
8; 0
C
. Giá tr ca
MNP
xxx++
bằng:
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
6
.
Câu 22: Cho hình bình hành
ABCD
( )
2;0A
;
( )
0; 1
B
,
( )
4; 4C
. To độ đỉnh
D
là:
A.
( )
2;3D
. B.
( )
6;3D
. C.
( )
6;5D
D.
( )
2;5D
.
Câu 23: Cho tam giác
ABC
vi
(
)
5; 6A
,
( )
4; 1B −−
( )
4;3C
. Tìm
D
để
ABCD
là hình bình
hành:
A.
( )
3;10D
. B.
( )
3; 10D
. C.
( )
3;10D
. D.
( )
3; 10D −−
.
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐN S CÙNG PHƯƠNG CỦA HAI VECTƠ. PHÂN
TÍCH MỘT VECTƠ QUA HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
Câu 1: Cho
( ) ( )
1; 2 , 2; 6AB
. Tìm tạo độ điểm
M
trên trc
Oy
sao cho ba điểm
,,ABM
thng hàng.
Câu 2: Cho các vectơ
( ) ( ) ( )
4; 2 , 1; 1 , 2;5ab c= =−− =

. Phân tích vectơ
b
theo hai vectơ
ac

.
Câu 3: Trong mt phng
Oxy
, cho
( ) ( ) ( )
1; 1 , 2; 2 2 , 3; 3Am B m Cm−− +
. Tìm giá tr
m
để
,,
ABC
ba điểm thng hàng?
Câu 4: Trong mt phng tọa độ
Oxy
, cho ba điểm
63 36 1 2A( ; ), B( ; ), C( ; )−−
. Xác định điểm
E
trên
trục hoành sao cho ba điểm
A,B,E
thng hàng.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho 4 điểm
( ) ( ) ( )
01 13 27A ; ,B ; ,C ;
;D 03
. Tìm giao điểm
của 2 đường thng
AC
BD
.
Câu 1: Cho
23ai j=

,
b mj i= +

. Nếu
,
ab
cùng phương thì:
A.
6m =
. B.
6m =
. C.
2
3
m =
. D.
3
2
m =
.
Câu 2: Hai vectơ nào có toạ độ sau đây là cùng phương?
A.
( )
1; 0
( )
0; 1
. B.
( )
2; 1
(
)
2; 1
. C.
( )
1; 0
( )
1; 0
. D.
( )
3; 2
( )
6; 4
.
Câu 3: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) (
) ( )
1; 1 , 2; 2 , 7; 7AB C
−− −−
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
( )
2; 2G
là trng tâm tam giác
.ABC
B.
B
giữa hai điểm
A
.C
C.
A
giữa hai điểm
B
.C
D.
,AB AC
 
cùng hướng.
BÀI TP T LUN.
1
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Câu 4: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( )
1; 5A
,
( )
5; 5B
,
( )
1; 11C
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
, , ABC
thng hàng. B.
,
AB AC
 
cùng phương.
C.
,
AB AC
 
không cùng phương. D.
,
AB AC
 
cùng hướng.
Câu 5: Trong hệ tọa độ
,
Oxy
cho bốn điểm
( )
3; 2
A
,
( )
7; 1B
,
(
)
0; 1
C
,
( )
8; 5D −−
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
, AB CD
 
là hai vectơ đối nhau. B.
, AB CD
 
ngược hướng.
C.
, AB CD
 
cùng hướng. D.
, , , ABCD
thng hàng.
Câu 6: Cho
( ) (
)
,
3; 2 1; 6 .uv=−=

Chọn khẳng định đúng?
A.
uv+

( )
4; 4 a
=
ngược hướng. B.
, uv

cùng phương.
C.
uv

..c ka hb= +

cùng hướng. D.
2 , u vv+

cùng phương.
Câu 7: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
( ) (
)
, 5; 0 4; 0ab=−=

cùng hướng. B.
( )
7; 3c =
là vectơ đi ca
( )
; 7 3d =

.
C.
( ) (
)
, 4; 2 8; 3uv= =

cùng phương. D.
( ) ( )
, 6; 3 2; 1ab= =

ngưc hướng.
Câu 8: Các điểm và các vectơ sau đây cho trong hệ trc
( )
;,Oij

(gi thiết
,, ,mnpq
là nhng s
thc khác
0
). Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
(
)
; 0 //a m ai=

. B.
( )
0 ; //b n bj=

.
C. Đim
( )
;0A n p x Ox n
⇔=
. D.
(
)
(
)
0; , ;
A p Bq p
thì
//AB x Ox
.
Câu 9: Hai vectơ nào sau đây không cùng phương:
A.
( )
3;5a =
6 10
;
77
b

=−−


. B.
c
4c
.
C.
( )
1;0i =
5
;0
2
m

=



. D.
( )
3;0m =

( )
0; 3n =
.
Câu 10: Cho
(
)
2 1; 3
ux
=
,
( )
1; 2vx= +
. Có hai giá tr
12
,xx
ca
x
để
u
cùng phương với
v
. Tính
12
.xx
.
A.
5
3
. B.
5
3
. C.
5
2
. D.
5
3
.
Câu 11: Trong mt phng
Oxy
, cho ba vectơ
(1; 2), ( 3;1), ( 4;2)ab c= =−=

. Biết
324uabc
=++

.
Chn khẳng định đúng.
A.
u
cùng phương với
i
. B.
u
không cùng phương với
i
.
C.
u
cùng phương với
j
. D.
u
vuông góc vi
i
.
Câu 12: Cho bốn điểm
( )
2;5A
,
( )
1; 7B
,
( )
1; 5C
,
( )
0;9D
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng:
A.
,,ABC
. B.
,,AC D
. C.
,,BCD
. D.
,,ABD
.
Câu 13: Trong h ta đ Oxy, cho 4 đim
(
) ( ) ( ) ( )
3; 0 , 4; 3 , 8; 1 , 2;1 .AB C D −−
Ba điểm nào trong bốn
điểm đã cho thẳngng ?
A.
, , BCD
. B.
, , ABC
. C.
, , ABD
. D.
, , ACD
.
Câu 14: Trong mt phng
Oxy
cho
( ) ( )
2; , 2; .A m m B mm−−
Vi giá tr nào ca
m
thì đường thng AB
đi qua O ?
A.
3m =
. B.
5m
=
. C.
.m∀∈
. D. Không
m
.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
Câu 15: Cho 2 điểm
( )
(
)
2; 3 , 4; 7 .AB−−
Tìm điểm
M y Oy
thng hàng vi
A
B
.
A.
4
;0
3
M



. B.
1
;0
3
M



. C.
( )
1; 0M
. D.
1
;0 .
3
M



Câu 16: Ba điểm nào sau đây không thng hàng ?
A.
( )
( ) ( )
2; 4 , 2; 7 , 2; 2MNP −−
. B.
( ) ( )
( )
2;4 , 5;4 , 7;4M NP
.
C.
( )
( ) ( )
3;5 , 2;5 , 2;7MN P−−
. D.
( ) ( )
( )
5;5, 7;7, 2;2MNP −−
.
Câu 17: Cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2; 4 , 6;0 , ;4A B Cm
. Định
m
để
,,ABC
thng hàng?
A.
10m =
. B.
6m =
. C.
2m =
. D.
10m =
.
Câu 18: Cho
( )
0; 2A
,
( )
3;1B
. Tìm ta đ giao điểm
M
ca
AB
vi trc
x Ox
.
A.
( )
2;0M
. B.
( )
2;0M
. C.
1
;0
2
M



. D.
( )
0; 2M
.
u 19: Cho bn đim
(1; 1), (2;4), ( 2; 7), (3;3)
A BC D −−
. Ba đim o trong bn đim đã cho thng hàng?
A.
,,ABC
. B.
,,
ABD
. C.
,,BCD
. D.
,,AC D
.
Câu 20: Cho hai điểm
( ) ( )
2; 2 , 1; 1MN
. Tìm ta đ điểm
P
trên
Ox
sao cho 3 điểm
,,MNP
thng
hàng.
A.
( )
0; 4P
. B.
( )
0; 4P
. C.
( )
4;0P
. D.
( )
4;0P
.
Câu 21: Cho 3 vectơ
( )
5; 3a =
;
( )
4; 2b =
;
( )
2;0c =
. Hãy phân tích vectơ
c
theo 2 vectơ
a
b
.
A.
23c ab=

. B.
23c ab=−+

. C.
cab=

. D.
2ca b=

.
Câu 22: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho bốn điểm
( )
2; 1A
,
( )
2; 1B
,
( )
2; 3C −−
,
( )
2; 1
D −−
. Xét ba
mệnh đề:
( )
I ABCD
là hình thoi.
( )
II ABCD
là hình bình hành.
(
)
III AC
ct
BD
ti
( )
0; 1M
.
Chn khẳng định đúng
A. Ch
( )
I
đúng. B. Ch
( )
II
đúng.
C. Ch
( )
II
( )
III
đúng. D. C ba đều đúng.
Câu 23: Trong htọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( )
( )
2; 3 , 3; 4
AB
. Tìm tọa độ điểm
M
trên trục hoành
sao cho
,,ABM
thẳng hàng.
A.
( )
1; 0M
. B.
( )
4; 0M
. C.
51
;
33
M

−−


. D.
17
; 0
7
M



.
Câu 24: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho ba điểm
63 36 1 2A( ; ), B( ; ), C( ; )−−
. Xác định điểm
E
trên
cnh
BC
sao cho
2BE EC=
.
A.
12
33
E;



. B.
12
33
E;

−−


. C.
21
33
E;



. D.
21
33
E;



.
Câu 25: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho ba điểm
12
63 1 2 150
33
A( ; ), B ; , C( ; ), D( ; )

−−


. Xác định
giao điểm
I
hai đường thng
BD
AC
.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
A.
71
22
I;



. B.
71
22
I;



. C.
71
22
I;

−−


. D.
71
22
I;



.
Câu 26: Cho ba điểm
1 1 01 30
A( ; ), B( ; ), C( ; )
−−
. Xác đnh ta đ điểm
D
biết
D
thuc đon thng
BC
25BD DC=
.
A.
15 2
77
;



. B.
15 2
77
;



. C.
2 15
77
;



. D.
15 2
77
;



.
Câu 27: Cho tam giác
ABC
34 21 1 2A( ; ), B( ; ), C( ; )−−
. Tìm điểm
M
trên đường thng
BC
sao
cho
3
ABC ABM
SS
=
.
A.
( ) ( )
12
01 32M ; ,M ;
. B.
( ) ( )
12
10 32M ; ,M ;
. C.
( ) ( )
12
10 23M ; ,M ;
. D.
( ) ( )
12
01 23M ; ,M ;
.
Câu 28: Cho hình bình hành
ABCD
;
A
23
và tâm
;I 11
. Biết điểm
;K 12
nm trên
đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh
B,D
của hình bình
hành.
A.
( ) ( )
21 01B ; ,D ;
. B.
(
)
01 4 1B ; ; D( ; ).
C.
( ) ( )
01 21B ; ;D ;
. D.
( ) ( )
21 4 1B ; ,D ;
.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 1: TA Đ CA VEC
BÀI 2: BIU THC TA Đ CA CÁC PHÉP TOÁN VEC
Nhc li h tọa độ: H trc ta đ
( )
O;i , j

gm hai trc
( )
O;i
( )
O; j
vuông góc vi nhau.
Đim gc
O
chung ca hai trc gi là gc ta đ. Trc
(
)
O;i
được gi là trc hoành và kí
hiu là
Ox,
trc
(
)
O; j
được gi là trc tung và kí hiu là
.
Oy
Các vectơ
i
j
là các vectơ
đơn vị trên
Oy
1
ij.= =

H trc ta đ
( )
O;i , j

còn được kí hiu là
Oxy.
Mt phẳng mà trên đó đã cho một h trc ta đ
Oxy
còn được gi là mt phng ta đ
Oxy
Hay gi tt là mt phng
Oxy.
I. TA Đ CA MT ĐIM
Trong mt phng ta đ
Oxy
cho một điểm
M
tùy ý.
T
M
k đường thng vuông góc vi trc hoành và ct trc hoành tại điểm
H
ng vi s
a
.
S
a
là hoành độ của điểm
M
.
T
M
k đường thng vuông góc vi trc tung và ct trc tung tại điểm
K
ng vi s
b
. S
b
là tung độ của điểm
M
.
Cp s
( )
;ab
là ta đ của điểm
M
trong mt phng ta đ
Oxy
. Ta kí hiu là
( )
;M ab
.
x
y
b
a
H
K
-1
-1
O
M
1
1
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUYT.
I
1
1
y
x
O
O
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
I. TA Đ VECTƠ
Ta đ của điểm
M
là ta đ ca vectơ
OM

.
Trong mt phng
Oxy
cho mt vectơ
u
tùy ý. V
OA u=

. Vi mi vectơ
u
ta xác định được
duy nht một điểm
A
sao cho
OA u=

.
Vi mi vectơ
u
trong mt phng ta đ
Oxy
, ta đ ca
u
là ta đ ca điểm
A
sao cho
OA u=

.
Trong mt phng ta đ
Oxy
, nếu
( )
u x; y=
thì
u xi y j= +

. Ngược li nếu
u xi y j= +

thì
( )
u x; y=
Do đó:
(
)
u x; y u xi y j= ⇔= +


Nhn xét. T định nghĩa tọa đ của vectơ, ta thấy hai vectơ bng nhau khi và ch khi chúng có
hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu
( )
u x; y=
( )
u x;y
′′
=

thì
xx
uu .
yy
=
=
=

Như vy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết ta đ ca nó.
III. LIÊN H GIA TO ĐỘ CA ĐIM VÀ TO ĐỘ CA VECTƠ
Cho
(; ), (; )
AA BB
Axy Bxy
thì
;
B AB A
AB x x y y


IV. BIU THC TA Đ CA PHÉP TOÁN VECTƠ
Cho
(; )u xy
;
;v xy

và s thc
k
. Khi đó ta có :
1)
;u v x xy y



2)
. (;)k u kx ky
3)
.. .uv xx yy



4)
xx
uv
yy


5)
v
cùng phương
u
(
0u

) khi và ch khi có s
k
sao cho
x kx
y ky
V. TA Đ TRUNG ĐIM CA ĐON THNG. TA Đ TRNG TÂM CA TAM GIÁC
Cho đoạn thng
AB
( ) ( )
;, ;.
AA BB
Axy Bxy
Ta d dàng chứng minh được ta đ trung điểm
( )
;
II
Ix y
của đoạn thng
AB
Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
AA BB CC
A x ;y ,B x ;y ,C x ;y .
Khi đó tọa đ ca trng tâm
22
AB AB
II
xx yy
x ,y .
++
= =
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
( )
GG
G x ;y
ca tam giác
ABC
được tính theo công thc
33
ABC A B C
GG
xxx yyy
x ,y .
++ ++
= =
VI. BIU THC TA Đ CA TÍCH VÔ HƯNG
Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho hai vectơ
(
) (
)
12 12
; , ;
a aa b bb= =

.
Khi đó
11 2 2
. . .ab ab ab= +

ng dng biu thc tọa độ ca các phép toán vecto
Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho hai vectơ
( )
( )
12 12
; , ;a aa b bb
= =

hai điểm
( ) ( )
;, ;.
AA BB
Axy Bxy
Ta có:
1)
11 2 2
.0 0a b ab ab a b⊥⇔ =⇔ + =

2)
,ab

cùng phương
11 2 2
0ab ab⇔− =
3)
22
12
a aa= +
4)
22
BA BA
AB AB x x y y 

5)
( )
11 2 2
2222
1 21 2
.
cos ;
.
.
ab a b
ab
ab
ab
aabb
+
= =
++



(
( )
12
;a aa=
(
)
12
;b bb=
đều khác
0
)
Câu 1. Trên trc
( )
;
Oi
cho các điểm
A
,
B
,
C
lần lượt có ta đ
1
;
2
;
3
.
Tính độ dài đại s ca các vectơ

AB
;

BC
. T đó suy ra hai vectơ

AB
;

BC
ngược hướng?
Li gii
Ta có
21 3AB =−−=
,
( )
3 25BC = −− =
. Do đó vectơ

AB
ngược hướng vi vectơ
i
vectơ

BC
cùng hướng với vectơ
i
.
Câu 2. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
2=
ai
,
3=
bj
,
34=

ci j
.
a) Tìm ta đ ca các vectơ
a
,
b
,
c
,
32=

mab
.
b) Phân tích vectơ
c
theo hai vectơ
a
,
b
.
Li gii
a) Ta có
( )
2;0=
a
,
( )
0; 3=
b
,
( )
3; 4=
c
.
Khi đó
( )
3 6;0=
a
,
(
)
2 0;6−=
b
nên
( ) ( )
3 2 6 0;0 6 6;6= =+ +=

mab
.
b) Ta có hai vectơ
a
,
b
không cùng phương.
VÍ D MINH HA.
II
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Theo yêu cu ca đ bài ta cần tìm bộ s
x
,
y
tha mãn
= +

c xa yb
Suy ra
( ) (
) ( )
2;0 0; 3 3; 4+ −= xy
2 03
03 4
+=
−=
x
y
3
2
4
3
=
=
x
y
.
Vy ta viết được
34
23
= +

c ab
.
Câu 3. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( )
2;1A
,
( )
1; 2−−B
,
( )
3;2C
.
a) Tìm ta đ trung điểm của đoạn thng
AC
.
b) Chứng minh ba điểm
A
,
B
,
C
to thành mt tam giác.
c) Tìm ta đ trng tâm tam giác
ABC
.
Li gii
a) Gi
M
là trung điểm
AC
thì
2 31 2
;
22
−+



M
hay
13
;
22



M
.
b) Tính được
( )
3; 3=−−

AB
,
( )
5;1=

AC
dẫn đến hai vectơ đó không cùng phương. Nói cách
khác ba điểm
A
,
B
,
C
to thành mt tam giác.
c) Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
thì
213122
;
33
−− +



G
hay
21
;
33



G
.
Câu 4. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( )
2;1A
,
(
)
1; 2
−−B
,
( )
3;2C
.
a) Tìm ta đ điểm
E
sao cho
C
là trung điểm của đoạn thng
EB
.
b) Xác định ta đ điểm
D
sao cho t giác
ABCD
là hình bình hành.
Li gii
a) Do
C
là trung điểm ca đon thng
EB
nên
2
2
= +
= +
C EB
C EB
xxx
yyy
5
6
=
=
E
E
x
y
.
Vy
( )
5;6E
.
b) Gọi
(
)
;
DD
Dx y
( )
3 ;2 =−−

DD
DC x y
.
Do t giác
ABCD
là hình bình hành nên
33
23
−− =
=
−=
 
D
D
x
AB DC
y
0
5
=
=
x
y
.
Ta thy
A
,
B
,
C
,
D
không thng hàng. Vy
( )
0;5D
là đáp án bài toán.
Câu 5. Trong mt phng
Oxy
, cho các điểm
( )
1;3A
,
( )
4;0B
. Tìm ta đ điểm
M
tha
30AM AB+=
 
?
Li gii
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Giả sử
( )
;
MM
Mx y
suy ra
( )
1; 3=−−

MM
AM x y
( )
3; 3AB
=

.
Ta có:
30+=
 
AM AB
( )
( )
3 1 30
3 3 30
+=
−=
M
M
x
y
0
4
=
=
M
M
x
y
(
)
0;4
M
.
Câu 6. Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho hình bình hành
ABCD
( )
3;4A
,
( )
8;1C
. Gi
M
là trung
điểm ca cnh
BC
,
N
là giao điểm ca
BD
AM
. Xác định các đỉnh còn li của hình bình
hành
ABCD
, biết
13
;2
3



N
.
Li gii
Do
I
là tâm của hình bình hành
ABCD
, ta có
I
là trung điểm của đoạn thng
AC
nên
11 5
;
22



I
.
Xét tam giác
ABC
thì
BI
,
AM
là hai đường trung tuyến nên
N
là trng tâm tam giác
ABC
.
Do đó
38
13
2
33
41 1
2
3
B
B
BB
x
x
yy
++
=
=

++ =
=
, vy
( )
2;1B
.
Gi
( )
;
DD
Dx y
. Do
I
trung điểm ca
BD
nên
2 11 9
15 4
+= =


+= =

DD
DD
xx
yy
nên
( )
9;4D
.
Vy
(
)
2;1B
,
( )
9;4D
.
Câu 1. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho các điểm
( ) (
)
1; 3 , 4; 2NM
.
a) Tính độ dài ca các đon thng
OM
,
ON
,
MN
.
b) Chứng minh rng tam giác
OMN
vuông cân.
Li gii
a)
22
1 3 10OM = +=
,
22
4 2 25ON = +=
.
b)
( )
( )
22
4 1 2 3 10MN
= +− =
.
22 2
20OM MN ON+==
nên tam giác
OMN
vuông ti
M
, mà
OM MN=
nên tam giác
OMN
vuông cân ti
M
N
I
A
D
B
C
M
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Câu 2. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho các vectơ
( )
3 2 , 4; 1a i jb=−=

và các đim
( )
( )
3; 6 , 3; 3MN
−−
a) Tìm mi liên h gia các vectơ
MN

2ab

.
b) Các điểm
,,OM N
có thng hàng hay không?
c) Tìm điềm
(
)
;Pxy
để
OMNP
là một hình bình hành.
Li gii
a)
( )
6; 9
MN =

;
( )
( )
3;2 2 6;4aa= −⇒ =

;
( )
2 2; 3
ab−=

.
Suy ra
( )
32MN a b=

.
b) Ta có:
( ) (
)
3; 6 , 3; 3
OM ON=−=
 
.
36
33
nên
,
OM ON
 
không cùng phương, suy ra
,,OM N
không thng hàng.
c) Ta có:
(
) (
)
3; 6 , 3 ; 3OM PN x y=− = −−
 
.
Do đó:
OMNP
là một hình bình hành khi và ch khi
( )
33 6
6; 9
63 9
xx
OM PN P
yy
−= =

= ⇒−

=−− =

 
.
Câu 3. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho các điềm
( )
( )
(
)
1;3 , 2;4 , 3;2AB C
.
a) Hãy chng minh rng
,,ABC
là ba đỉnh ca mt tam giác.
b) Tìm toạ độ trung điểm
M
của đoạn thng
AB
.
c) Tìm to độ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
.
d) Tìm điểm
( )
;D xy
để
( )
0;0O
là trng tâm ca tam giác
ABD
.
Li gii
a) Ta có:
( ) ( )
1;1 ; 4; 1AB AC= =−−
 
11
41
−−
nên
;AB AC
 
không cùng phương, suy ra
,,ABC
là ba đỉnh ca mt tam giác.
b)
12 3
37
22
;
34 7
22
22
M
M
x
M
y
+
= =


+

= =
.
c)
( )
( )
12 3
0
3
0;3
342
3
3
G
G
x
G
y
+ +−
= =
++
= =
d) Gi
( )
;
DD
Dx y
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Ta có:
( )
12
0
3
3
3; 7
34 7
0
3
D
D
DD
x
x
D
yy
++
=
=
−−

++ =
=
.
Câu 4. S chuyển động ca mt tàu thủy được th hin trên mt mt phng to độ như sau: Tàu khời
hành t v trí
(
)
1; 2A
chuyền động thng đu vi vn tc (tính theo giờ) được biểu th bời vectơ
(
)
3; 4v =
. Xác định v trí ca tàu (trên mt phng to độ) ti thời điểm sau khi khi hành
1, 5
gi.
Li gii
Gi
(
)
,( 0)
;
yBy
x
>
;
22
34 5
v = +=
;
( )
1; 2AB x y=−−

Quảng đường tàu thy chy đưc sau
1, 5
gi là:
1,5.5 7,5=
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
22 22
2
1 2 7,5 1 2 7,5 (1)ABxy xy= +− = +− =

AB

v
cùng phương nên
1 2 31
(2)
3 4 42
xy
xy
−−
= ⇔=
Thay
( )
2
vào
( )
1
ta có:
( )
2
2
22
11
8
31
1 2 7,5 25 100 800 0
2
42
4(loai)
yx
y y yy
y
=⇒=

−− + = =⇔


=
.
Vy
11
8;
2
B



.
Câu 5. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở v trí có to độ
(
)
1; 2
. Hi sau một nước đi, quân mã có thể đến
nhng v trí nào?
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Li gii
Quân mã di chuyn theo hình ch L, mỗi nước đi gm tng cng 3 ô: tiến 1 ô ri quo trái
hoc quo phải 2 ô và ngược li; tiến 2 ô ri quo trái hoc quo phải 1 ô và ngược li. Khác
với toàn bộ quân c trong bàn c vua, không bị cản bởi bất c quân nào và có th nhy
qua tt c các quân khác trên đường đi của mình.
Theo cách đi như trên thì Quân mã có thể các v trí sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2;4,2;0,3;3,3;1,0;4,0;0
DNG 1: TÌM TA Đ ĐIM, TA Đ VECTƠ TRÊN MT PHNG
Câu 1: Trong mt phng ta đ
Oxy
. Cho điểm
( )
M x; y
. Tìm ta đ ca các đim
1
M
đối xng vi
M
qua trc hoành?
Li gii
1
M
đối xng vi
M
qua trc hoành suy ra
( )
1
M x; y
.
Câu 2: Trong không gian
Oxy
, cho hai điểm
( )
1; 2A
,
( )
2;3B
. Tìm ta đ ca vectơ
AB

?
Li gii
Ta có
( ) ( )
2 1; 3 2 3;1AB =−− =

.
Câu 3: Vectơ
( )
4;0a =
được phân tích theo hai vectơ đơn vị
( )
;ij

như thế nào?
Li gii
Ta có:
( )
4;0 4 0 4a a ij i= =−+ =

.
Oxy
H THNG BÀI TP.
III
BÀI TP T LUN.
1
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Câu 4: Trong h trc ta đ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
tâm I và
(1; 3)A
. Biết điểm
B
thuc trc
Ox
BC

cùng hướng vi
i
. Tìm ta đ các vectơ
AC

?
Li gii
T gi thiết ta xác định được hình vuông trên mt
phng ta đ
Oxy
như hình vẽ bên.
Vì điểm
13
A( ; )
suy ra
31AB , OB= =
Do đó
( ) ( ) ( )
10 40 43
B;,C;,D;
Vy
(
)
33AC ;=

.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
. Cho hình thoi
ABCD
cnh a và
0
60BAD =
. Biết
A
trùng vi
gc ta đ
O
;
C
thuc trc
Ox
00
BB
x ,y≥≥
. Tìm ta đ các đnh
B
C
ca hình thoi
ABCD
.
Li gii
T gi thiết ta xác định được hình thoi trên mt
phng ta đ
Oxy
Gi I là tâm hình thoi ta có
0
30
2
a
BI AB sin BAI a sin= = =
2
22 2
3
42
aa
AI AB BI a
= = −=
Suy ra
( )
( )
33
00 30
22 2 2
aa a a
A ; ,B ; ,C a ; ,D ;




.
Câu 1: Trong mt phng ta đ
Oxy
, ta đ
i
A.
( )
0; 0i
=
. B.
( )
0; 1i =
. C.
( )
1; 0i =
. D.
( )
1; 1i =
.
Li gii
Chn C.
Câu 2: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( )
5; 2A
,
( )
10; 8B
Tìm tọa độ của vectơ
?AB

A.
( )
15; 10
. B.
( )
2; 4
. C.
( )
5; 6
. D.
( )
50; 16
.
Li gii
Chn C
Ta có
(
)
5; 6AB =

.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
x
y
O
C
O
A
D
B
x
y
I
C
A
B
D
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 3: Trong mt phng
Oxy
cho
(
) ( )
,5; 2 10;8BA =−=
. Ta đ vectơ
AB

là:
A.
( )
15;10AB

. B.
(
)
2; 4AB

. C.
( )
5;10AB

. D.
( )
50;16AB

.
Li gii
Chn C
( ) ( ) ( )
5; 2 10;8 5;, 10AAB B=−= =

.
Câu 4: Trong mt phng to độ
Oxy
cho hai điểm
( )
1; 4A
( )
3; 5B
. Khi đó:
A.
( )
2; 1AB =−−

. B.
( )
1; 2BA =

. C.
(
)
2;1
AB
=

. D.
( )
4;9AB =

.
Li gii.
Chn C.
Ta có :
( )
2;1AB =

.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
5;3A
,
( )
7;8B
. Tìm ta đ ca véctơ
AB

A.
( )
15;10
. B.
( )
2;5
. C.
(
)
2;6
. D.
(
)
2; 5−−
.
Li gii.
Chn B.
Ta có :
( )
2;5AB =

.
Câu 6: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( )
9; 7 , 11; 1BC
. Gọi
,
MN
lần lượt trung
điểm của
,.AB AC
Tìm tọa độ vectơ
MN

?
A.
( )
2; 8
. B.
(
)
1; 4
. C.
( )
10; 6
. D.
( )
5; 3
.
Li gii
Chn B
Ta có
( ) ( )
11
2; 8 1; 4
22
MN BC= = −=
 
.
Câu 7: Trong htọa độ
,Oxy
cho hình vuông
ABCD
gốc
O
làm tâm hình vuông các cạnh của
nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng?
A.
.OA OB AB+=
 
B.
, OA OB DC
  
cùng hướng.
N
M
B
C
A
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
C.
,.
A CA C
x xy y
=−=
D.
,.
B CB C
x xy y=−=
Li gii
Chn A
Ta có
.OA OB CO OB CB AB
+=+= =
    
(do
OA CO=
 
).
Câu 8: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( )
3; 4M
Gọi
12
,MM
lần lượt hình chiếu vuông góc của
M
trên
,.Ox Oy
Khẳng định nào đúng?
A.
1
3.OM =
B.
2
4.OM =
C.
( )
12
3; 4
OM OM =−−
 
. D.
( )
12
3; 4OM OM+=
 
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
1
3; 0M =
,
( )
2
0; 4M
=
A. Sai vì
1
3.
OM =
B. Sai vì
2
4.OM =
C. Sai vì
( )
1 2 21
3; 4OM OM M M−= =
  
.
Câu 9: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho hình bình hành
, .OABC C Ox
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
AB

có tung độ khác
0.
B.
, AB
có tung độ khác nhau.
C.
C
có hoành độ khác
0.
D.
0.
AC B
xxx+−=
Li gii
Chn C
Ta có
OABC
là hình bình hành
( )
; 0
C
AB OC x⇒==
 
.
Câu 10: Trong h trc ta đ
( )
O,i, j

, cho tam giác đu
ABC
cnh
a
, biết
O
là trung đim
BC
,
i
cùng
hướng vi
OC

,
j
cùng hướng
OA

. Tìm ta đ ca các đnh ca tam giác
ABC
.Gi
A
x
,
B
x
,
C
x
lần lượt là hoành độ các đim
A
,
B
,
C
. Giá tr của biểu thc
ABC
xxx++
bằng:
A.
0
. B.
2
a
. C.
3
2
a
. D.
2
a
.
Li gii
Chn A
Ta có
; , ;, ;
a aa
A BC










3
0 00
2 22
suy ra
0
ABC
xxx++=
.
Câu 11: Trong h trc ta đ
( )
O,i, j

, cho tam giác đu
ABC
cnh
a
, biết
O
là trung đim
BC
,
i
cùng
hướng vi
OC

,
j
cùng hướng
OA

. Tìm ta đ tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
.
A.
3
0
6
a
G;




. B.
3
0
4
a
G;




. C.
3
0
6
a
G;




. D.
3
0
4
a
G;




.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
Li gii
Chn A
Tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác đều trùng vi trng tâm
3
0
6
a
G;




Câu 12: Trong h trc ta đ
( )
O,i, j

, cho hình thoi
ABCD
tâm O có
86AC , BD= =
. Biết
OC

i
cùng hướng,
OB

j
cùng hướng. Tính ta đ trng tâm tam giác
ABC
A.
( )
0;1G
. B.
( )
1; 0G
. C.
1
;0
2



. D.
3
0;
2



.
Li gii
Chn A
Ta có
;, ;, ;, ; ;A CBD G 40 40 03 0 3 01
.
DẠNG 2: XÁC ĐNH TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ LIÊN QUAN ĐẾN BIU THC DẠNG
Câu 1: Trong không gian
Oxy
, cho hai vectơ
( )
1; 3a
,
( )
3; 4b
. Tìm ta đ vectơ
ab

?
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
1 3; 3 4 2; 7ab = −− =

.
Câu 2: Cho
( ) ( ) ( )
; 2 , 5;1 , ; 7ax b cx= =−=

. Tìm
x
để Vec tơ
23c ab= +

.
Li gii
Ta có
( )
2. 3. 5xx= +−
15x⇔=
.
Câu 3: Cho hai điểm
( )
1; 0A
( )
0; 2B
.Ta đ điểm
D
sao cho
3AD AB=
 
là:
Li gii
Ta có
( )
( )
1 30 1
0 3 20
D
D
x
y
−=
= −−
4
6
D
D
x
y
=
=
( )
4;6D
.
Câu 4: Trong mt phng
Oxy
, cho các điểm
( ) ( )
1; 3 , 4; 0AB
. Ta đ điểm
M
tha
30AM AB+=
 
Li gii
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 1 41 0
0
3 0 0; 4
4
3 3 03 0
M
M
M
M
x
x
AM AB M
y
y
−+ =
=
+=

=
+−=
 
.
Câu 5: Trong mt phng
Oxy
, cho các đim
( ) ( ) ( )
3; 3 , 1; 4 , 2; 5A BC−−
. Ta đ điểm
M
tha mãn
24MA BC CM−=
  
là:
Li gii
u v, u v, k u+−

BÀI TP T LUN.
1
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Ta có:
( )
(
) (
)
(
) (
)
( )
1
2 3 21 4 2
15
6
24 ;
5
66
23 5 4 4 5
6
M
MM
MM
M
x
xx
MA BC CM M
yy
y
=
−− =


−=


−− = +

=
  
.
Câu 1: Cho
( )
1; 2
a
=
,
(
)
5; 7
b =
Tìm tọa độ của
.ab

A.
( )
6; 9
B.
( )
4; 5
C.
( )
6; 9
D.
( )
5; 14−−
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
( )
( )
1 5; 2 7 6; 9ab = −− =

.
Câu 2: Cho
( ) ( )
3; 4 , 1; 2ab=−=

Tìm tọa độ của
.
ab+

A.
( )
4; 6
B.
( )
2; 2
C.
( )
4; 6
D.
(
)
3; 8
−−
Li gii
Chn B
Ta có
( )
( )
( )
3 1 ; 4 2 2; 2ab+ = +− + =

.
Câu 3: Trong hệ trục tọa độ
( )
; ; Oi j

tọa độ
ij+

là:
A.
( )
0; 1
. B.
(1; 1)
C.
( 1; 1)
D.
(1; 1)
Li gii
Chn D
Ta có
(
) ( )
( )
1; 0 , 0; 1 1; 1i j ij
= = ⇒+ =

Câu 4: Trong mt phng
Oxy
cho
( )
1; 3a =
,
( )
5; 7b =
. Ta đ vectơ
3
2ba

là:
A.
(
)
6; 19
. B.
(
)
13; 29
. C.
( )
6;10
. D.
( )
13;23
.
Li gii
Chn D
( )
( )
( )
( )
( )
1;3 3 3;9
3 13;23
5; 7 2 10; 14
2b
aa
b
a
b

=−=

⇒−

=−=
=



.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( ) ( )
1; 2 , 3; 4ab= =

. Ta đ
4c ab=

A.
( )
1; 4c =−−
. B.
( )
4; 1c =
. C.
( )
1; 4c =
. D.
( )
1; 4c =
.
Li gii
Chn C.
Ta có:
( )
( ) ( )
4 2 4 1;2 3;4 1;4c ab=−= =

.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
Câu 6: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho
( ) ( )
2; 1 , 3; 2ab= =

23c ab= +

. Ta đ của vectơ
c
A.
( )
13; 4
. B.
( )
13; 4
. C.
( )
13; 4
. D.
( )
13; 4−−
.
Li gii
Chn A.
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 2 2;1 3 3; 2 13; 4c ab= + = + −=

.
Câu 7: Cho
( )
2;7a
,
( )
3; 5b
. Ta đ ca véctơ
ab

là.
A.
( )
5; 2
. B.
( )
1; 2
. C.
( )
5; 2−−
. D.
( )
5; 2
.
Li gii.
Chn A.
Ta có:
( ) ( ) ( )
2; 7 3; 5 5; 2ab = −− =

.
Câu 8: Cho
( )
3; 4a
,
( )
1; 2b
. Ta đ ca véctơ
2ab+

A.
(
)
4;6
. B.
( )
4; 6
. C.
( )
1; 0
. D.
( )
0;1
.
Li gii.
Chn C.
( )
( ) ( )
3; 4
1;2 2 2;4
a
bb
=
= ⇒=

( )
2 1; 0ab⇒+ =

.
Câu 9: Trong h trc
(
)
,,
Oi j

, ta đ ca
ij

A.
(
)
0;1
. B.
( )
1;1
. C.
( )
1; 1
. D.
( )
1;1
.
Li gii.
Chn C.
Ta có :
( )
( )
( )
1; 0
1; 1
0;1
i
ij
j
=
⇒− =
=

.
Câu 10: Cho
( )
1; 2a =
( )
3; 4b =
vi
4c ab=

thì ta đ ca
c
là:
A.
( )
1; 4c =
. B.
( )
4; 1c =
. C.
( )
1; 4c =
. D.
( )
1; 4
c =−−
.
Li gii.
Chn C.
Ta có:
( ) ( ) ( )
4 2 4 1;2 3;4 1;4c ab=−= =

.
Câu 11: Cho
( )
1; 5a =
,
( )
2; 1b =
. Tính
32cab= +

.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
A.
( )
7; 13c =
. B.
( )
1; 17
c
=
. C.
( )
1; 17c =
. D.
( )
1; 16c =
.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
(
)
(
)
( )
( )
1; 5 3 3; 15
3 2 1; 17
2; 1 2 4; 2
aa
cab
bb
= =

⇒= + =

=−=





.
Câu 12: Cho
23aij
=

2bij=−+

. Tìm ta đ ca
c ab=

.
A.
( )
1; 1c =
. B.
( )
3; 5c =
. C.
( )
3;5c =
. D.
( )
2;7c
=
.
Li gii
Chn B
( ) ( )
( )
2 3 2 3 5 3; 5c ab i j i j i j c= = −+ = =

.
Câu 13: Cho hai vectơ
( )
1; 4a
=
;
(
)
6;15
b =
. Tìm ta đ vectơ
u
biết
uab+=

A.
( )
7;19
. B.
( )
–7;19
. C.
( )
7; –19
. D.
( )
–7; –19
.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
7;19ua b u ba+=⇔=−=

.
Câu 14: Tìm ta đ vectơ
u
biết
0ub+=

,
( )
2; 3b =
.
A.
( )
2; 3
. B.
( )
–2; –3
. C.
( )
2;3
. D.
( )
2;3
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
0 2;3ub u b+ = =−=

.
Câu 15: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
( ) ( ) ( )
2; 5 , 1; 1 , 3; 3A BC
. Tìm tọa độ đỉểm
E
sao cho
32AE AB AC=
  
A.
(
)
3; 3
. B.
( )
3; 3
. C.
( )
3; 3−−
. D.
( )
2; 3−−
.
Li gii
Chn C
Gi
( )
; Exy
.
Ta có
( )
32 2 2AE AB AC AE AB AB AC BE CB= −= =
        
( ) ( )
14 3
1; 1 2 2; 2
14 3
xx
xy
yy
−= =

−=

−= =

Vy
( )
3; 3E −−
.
Câu 16: Cho
( )
2; 4a =
,
( )
5; 3b =
. Tìm tọa độ của
2u ab=

CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
A.
( )
7; 7u =
. B.
(
)
9; 11
u =
C.
( )
9; 5u =
. D.
( )
1; 5u =
.
Li gii
Chn B
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2; 4 5; 3 9; 11u = −− =
.
Câu 17: Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
4;0 ,5;0 , 3;0ABC
. Tìm điểm
M
trên trc
Ox
sao cho
0MA MB MC++ =
  
.
A.
( )
2;0
. B.
( )
2;0
. C.
( )
4;0
. D.
( )
5; 0
.
Li gii
Chn A
Ta có
M Ox
nên
( )
;0Mx
. Do
0MA MB MC++ =
  
nên
453
2
3
x
−− +
= =
.
Câu 18: Trong h trc
( )
,,
Oi j

cho 2 vectơ
(
)
3;2
a
=
,
5bij=−+

. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
32ai j= +

. B.
( )
1; 5b
=
. C.
( )
2;7ab+=

. D.
( )
2; 3ab−=

.
Li gii
Chn D
( ) ( ) ( )
3;2 , 1;5 4; 3a b ab= = −=

.
Câu 19: Cho
23uij=

,
5v ij=−−

. Gi
( )
;XY
là ta đ ca
23
w uv=

thì tích
XY
bằng:
A.
57
. B.
57
. C.
63
. D.
63
.
Li gii
Chn A
( ) ( )
2 3 223 35 193wuv ij ij ij= = −− =
 
.
19, 3 57X Y XY
= =−⇒ =
.
DNG 3: XÁC ĐNH TA Đ CÁC ĐIM CA MT HÌNH
Câu 1: Trong h ta đ
Oxy,
cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
35 12 52A ; , B ; , C ; .
Tìm ta đ trng tâm
G
ca tam giác
?ABC
Li gii
Ta có
( )
315
3
3
33
522
3
3
G
G
x
G;.
y
++
= =
→
++
= =
Câu 2: Trong h ta đ
Oxy,
cho tam giác
ABC
( ) ( )
22 35A ; , B ;
và trng tâm là gc ta đ
( )
00O;.
Tìm ta đ đỉnh
C
?
Li gii
BÀI TP T LUN.
1
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
Gi
;Cxy
.
O
là trng tâm tam giác
ABC
nên
23
0
1
3
25 7
0
3
x
x
.
yy
−++
=
=

++ =
=
Câu 3: Cho
( ) ( )
(
)
2;0 , 2; 2 , 1;3MNP
ln lưt là trung đim các cnh
,,BC CA AB
ca
ABC
. Ta đ
B
là:
Li gii
Ta có: BPNM là hình bình hành nên
2 2 ( 1) 1
203 1
BN PM
BB
BN PM B B
xx xx
xx
yy yy y y
+=+
+ = +− =

⇔⇔

+ = + +=+ =

.
Câu 4: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
MNP
( ) ( )
1;1, 5;3MN−−
và
P
thuc trc
Oy
,
trng tâm
G
ca tam giác nm trên trc
Ox
.To độ ca đim
P
Li gii
Ta có:
P
thuc trc
( )
0;Oy P y
,
G
nm trên trc
( )
;0
Ox G x
G
là trng tâm tam giác
MNP
nên ta có:
150
2
3
(1) (3) 4
0
3
x
x
yy
++
=
=

+− + =
=
Vy
( )
0; 4P
.
Câu 5: Cho tam giác
ABC
vi
5AB =
1AC =
. Tính to độ điểm
D
là ca chân đưng phân giác
trong góc
A
, biết
7 2 14B( ; ),C( ; )
.
Li gii
Theo tính chất đường phân giác:
55 5
DB AB
DB DC DB DC.
DC AC
= =⇒= ⇒=
 
Gi
( ) ( ) ( )
7 2 14D x; y DB x; y ;DC x; y = −− =
 
.
P
N
M
C
B
A
D
A
B
C
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
Suy ra:
( )
( )
7 51
2
3
2 54
xx
x
y
yy
−=
=

=
−− =
.
Vy
( )
23
D;
.
Câu 6: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( ) ( )
3 1 12A ; ,B ;−−
( )
11I;
. Xác định ta đ các đim
C
,
D
sao cho t giác
ABCD
hình bình hành biết
I
là trng tâm tam giác
ABC
. Tìm ta tâm
O
của hình bình hành
ABCD
.
Li gii
Vì I là trng tâm tam giác
ABC
nên
31
3
ABC
I C I AB
xxx
x x xxx
++
= = −−=
34
2
ABC
I C I AB
yyy
y y yyy
++
= = −−=
Suy ra
( )
14C;
T giác
ABCD
là hình bình hành suy ra
131 5
57
21 4 7
DD
DD
xx
AB DC D( ; )
yy
−− = =

= ⇒−

+=−− =

 
Đim O của hình bình hành
ABCD
suy ra O là trung điểm AC do đó
55
22
2 22 2
AC A C
OO
xx yy
x ,y O ;
++

= = = =−⇒


Câu 1: Cho
( )
4; 0A
,
(
)
2; 3B
,
( )
9; 6C
. Ta đ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
là:
A.
( )
3; 5
. B.
(
)
5; 1
. C.
( )
15; 9
. D.
( )
9; 15
.
Li gii
Chn B
Trng tâm
G
ca tam giác
ABC
có to độ tho mãn:
( )
429
5
33
5; 1
1
36
3
3
ABC
GG
G
G
ABC
G
G
xxx
xx
x
G
y
yyy
y
y
++
++
= =
=

⇔⇒

=
+ + −+

=
=
.
Câu 2: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( )
3; 5A
,
( )
1; 2B
,
( )
5; 2C
. Tìm tọa độ trng tâm
G
của tam giác
?ABC
A.
( )
3; 4
. B.
( )
4; 0
. C.
( )
2; 3
. D.
( )
3; 3
.
Li gii
Chn D
BÀI TP TRC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
Ta có ta đ
( )
315 52 2
; 3; 3
33
G
++ + +

= =


.
Câu 3: Trong hệ tọa độ
,
Oxy
cho
( )
2; 3A
,
(
)
4; 7
B
. Tìm tọa độ trung điểm
I
của đoạn thẳng
AB
A.
( )
6; 4
. B.
( )
2; 10
. C.
( )
3; 2
. D.
( )
8; 21
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
24 37
; 3; 2
22
I
+ −+

= =


.
Câu 4: Trong mt phng
Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
3; 5 1; 2,,5; 2BCA = = =
. Trng tâm
G
ca
tam giác
ABC
có ta đ là:
A.
( )
3; 4
. B.
( )
4;0
. C.
( )
2;3
. D.
(
)
3; 3
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
;
GG
Gx y
là trng tâm tam giác ABC nên:
(
)
315
3
33
522
3
33
3; 3
ABC
G
ABC
G
xxx
x
yyy
y
G
++
++
= = =
++
++
= = =
=
.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có ta đ ba đnh ln lưt là
( )
2; 3 ,A
( )
5; 4B
,
( )
1; 1C
−−
. Ta đ trng tâm
G
ca tam giác có ta đ là:
A.
( )
3; 3 .
B.
(
)
2; 2
. C.
( )
1; 1
. D.
( )
4; 4
.
Li gii
Chn B.
Để
G
là trng tâm tam giác
ABC
3
3
ABC
G
ABC
G
xxx
x
yyy
y
++
=
++
=
( )
2; 2G
.
Câu 6: Cho tam giác
ABC
có ta đ ba đnh lần lượt là
( )
2;3A
,
( )
5; 4B
,
( )
2; 2C
. Ta đ trng tâm
G
ca tam giác có ta đ
A.
(
)
3; 3
B.
( )
2; 2
C.
( )
1;1
D.
( )
4; 4
.
Li gii.
Chn A.
Ta có :
3
3
ABC G
ABC G
xxx x
yyy y
++=
++=
(
)
3; 3G
.
Câu 7: Cho hai điểm
( )
3; 2B
,
( )
5; 4C
. To độ trung điểm
M
ca
BC
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
A.
(
)
8;3M =
. B.
( )
4;3M
. C.
( )
2; 2M
. D.
( )
2; 2M =
.
Li gii.
Chn B.
Ta có :
2
2
CB
M
CB
M
xx
x
yy
y
+
=
+
=
( )
4;3
M
.
Câu 8: Trong mt phng to độ
Oxy
cho ba điểm
(
)
5; 2A
,
( )
0;3B
,
( )
5; 1C −−
. Khi đó trọng tâm
ABC
là:
A.
(
)
0;11
G
. B.
( )
1; 1G
. C.
( )
10;0G
. D.
( )
0;0G
.
Li gii.
Chn D.
Ta có :
3
3
ABC G
ABC G
xxx x
yyy y
++=
++=
( )
0;0G
.
Câu 9: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
2; 3A
,
( )
4;7B
. Ta đ trung điểm
I
ca đon thng
AB
là:
A.
(
)
6; 4I
B.
( )
2;10I
. C.
( )
3; 2I
. D.
( )
8; 21I
.
Li gii.
Chn C.
Ta có :
2
2
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
+
=
+
=
( )
3; 2I
.
Câu 10: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
3; 5A
,
( )
1; 2B
( )
2;0C
. Tìm ta đ trng tâm
G
ca tam
giác
ABC
A.
(
)
3, 7G
. B.
( )
6;3G
. C.
7
3,
3
G



D.
7
2;
3
G



.
Li gii.
Chn D.
Để
G
là trng tâm tam giác
ABC
3
3
ABC G
ABC G
xxx x
yyy y
++=
++=
7
2;
3
G



.
Câu 11: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
( )
3; 5A
,
( )
1; 2B
. Tìm ta đ trung điểm
I
ca đon thng
AB
.
A.
(
)
4;7I
. B.
( )
2;3I
. C.
7
2;
2
I



. D.
7
2;
2
I



.
Li gii.
,Oxy
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
Chn C.
Ta có :
2
2
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
+
=
+
=
7
2;
2
I



.
Câu 12: Cho tam giác
ABC
vi
( )
3; 6A
;
( )
9; 10B
1
;0
3
G



là trng tâm. Ta đ
C
là:
A.
( )
5; 4C
. B.
( )
5; 4C
. C.
( )
5; 4C
. D.
(
)
5; 4C −−
.
Li gii.
Chn C.
Ta có :
3
3
ABC G
ABC G
xxx x
yyy y
++=
++=
( )
( )
3
3
C G AB
C G AB
x x xx
y y yy
= −+
= −+
( )
5; 4C⇒−
.
Câu 13: Trong mt phng
Oxy
cho
( ) ( )
4; 2 , 1; 5 .AB
Tìm trng tâm G ca tam giác
OAB
.
A.
5
;1
3
G



. B.
5
;2
3
G



. C.
( )
1; 3G
. D.
51
;
33
G



.
Li gii
Chn A
041 5
5
3 33
;0
025
3
1
33
OAB
G
OAB
G
xxx
x
G
yyy
y
++
++
= = =


++
+−

= = =
.
Câu 14: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( )
2; 2 , 3; 5AB
trọng tâm là gốc
O
. Tìm
tọa độ đỉnh
C
?
A.
( )
1; 7−−
. B.
( )
2; 2
. C.
( )
3; 5−−
. D.
( )
1; 7
.
Li gii
Chn A
Gi
( )
;
C xy
. Ta có
O
là trng tâm
23
0
1
3
25 7
0
3
x
x
yy
−++
=
=
⇔⇔

++ =
=
Vy
( )
1; 7C −−
.
Câu 15: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( )
6; 1 , 3; 5AB
trọng tâm
( )
1; 1G
. Tìm
tọa độ đỉnh
C
?
A.
( )
6; 3
. B.
( )
6; 3
. C.
( )
6; 3−−
. D.
( )
3; 6
.
Li gii
Chn C
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Gi
( )
; Cxy
. Ta có
G
là trng tâm
( )
63
1
6
3
3
15
1
3
x
x
y
y
+− +
=
=
⇔⇔

=
++
=
Vy
( )
6; 3C −−
.
Câu 16: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
( ) ( ) (
)
2; 3 , 0; 4 , 1; 6MN P−−
lần lượt là trung
điểm của các cạnh
,,BC CA AB
. Tìm tọa độ đỉnh
A
?
A.
( )
1; 5
. B.
( )
3; 1
−−
. C.
( )
2; 7−−
. D.
( )
1; 10
.
Li gii
Chn B
Gi
( )
; Ax y
. Ta có
( ) ( )
1; 6 2; 7PA MN x y= + −=
 
.
12 3
67 1
xx
yy
+= =

⇔⇔

−= =

. Vy
(
)
3; 1A −−
.
Câu 17: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho ba điểm
( ) (
) ( )
1; 1 , 3; 2 , 6; 5AB C
. m tọa độ điểm
D
đ
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
4; 3
. B.
(
)
3; 4
. C.
( )
4; 4
. D.
( )
8; 6
.
Li gii
Chn C
Gi
( )
; Dxy
,
ABCD
hình bình hành
( ) ( )
1; 1 3; 3AD BC x y = −=
 
.
13 4
13 4
xx
yy
−= =

⇔⇔

−= =

Vy
(
)
4; 4D
.
Câu 18: Trong htọa độ
,Oxy
cho ba điểm
( )
2; 1A
,
(
)
0; 3B
,
( )
3; 1C
. Tìm tọa độ điểm
D
để
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
5; 5
. B.
( )
5; 2
. C.
( )
5; 4
. D.
( )
1; 4−−
.
Li gii
Chn A
M
N
P
B
C
A
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
Gi
( )
;,Dxy
ABCD
hình bình hành
( ) ( )
2; 1 3; 4AD BC x y = −=
 
23 5
14 5
xx
yy
−= =

⇔⇔

−= =

Vy
( )
5; 5D
.
Câu 19: Trong mt phng
Oxy
cho
3
đim
( ) (
) (
)
1; 3 2; 0,,
6; 2
BC
A
=−= =
. Tìm ta đ
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
9; 1
. B.
( )
3; 5
. C.
( )
5;3
. D.
( )
1; 9
.
Li gii
Chn B
ABCD
là hình bình hành khi
AB DC=
 
.
Ta có
( ) ( ) ( )
3; 3 , 6 ; 2 , ;AB DC x y D x y= =−−
 
.
Nên
(
)
63 3
3; 5
23 5
xx
AB DC D
yy
−= =

= ⇔⇒

−= =

 
.
Câu 20: Cho hình bình hành
ABCD
. Biết
( )
1;1A
,
(
)
1; 2B
,
( )
0;1
C
. Ta đ điểm
D
là:
A.
( )
2;0
. B.
( )
2;0
C.
( )
2; 2
. D.
( )
2; 2
Li gii.
Chn A.
Gi
( )
,Dxy
là điểm cn tìm
Ta có :
( )
2;1AB =

,
( )
;1DC x y=−−

Để
ABCD
là hình bình hành
AB DC⇔=
 
2
11
x
y
−=
−=
( )
2;0D
.
Câu 21: Cho tam giác.
ABC
. Gi
M
,
N
,
P
lần lượt trung điểm
BC
,
CA
,
AB
. Biết
( )
1; 3A
,
( )
3; 3B
,
( )
8; 0C
. Giá tr ca
MNP
xxx++
bằng:
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
6
.
Li gii.
Chn D.
C
A
B
D
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
Ta có :
M
là trung điểm
BC
5
2
M
x⇒=
N
là trung điểm
AC
9
2
N
x⇒=
P
là trung điểm
AB
1
P
x⇒=
59
16
22
MNP
xxx
+ + = + −=
Câu 22: Cho hình bình hành
ABCD
( )
2;0A
;
( )
0; 1B
,
( )
4; 4C
. To độ đỉnh
D
là:
A.
( )
2;3D
. B.
(
)
6;3D
. C.
( )
6;5D
D.
( )
2;5D
.
Li gii.
Chn D.
Gi
( )
,Dxy
là điểm cn tìm
Ta có :
( )
2; 1AB =

,
( )
4 ;4
DC x y=−−

Để
ABCD
là hình bình hành
AB DC⇔=
 
42
41
x
y
−=
−=
( )
2;5D
.
Câu 23: Cho tam giác
ABC
vi
( )
5; 6A
,
( )
4; 1B −−
( )
4;3C
. Tìm
D
để
ABCD
hình bình hành:
A.
(
)
3;10
D
. B.
(
)
3; 10D
. C.
( )
3;10D
. D.
( )
3; 10D −−
.
Li gii.
Chn A.
Gi
( )
,Dxy
là điểm cn tìm
Ta có :
( )
1; 7AB =

,
( )
4 ;3DC x y=−−

Để
ABCD
là hình bình hành
AB DC⇔=
 
41
37
x
y
−=
−=
( )
3;10D
.
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐN S CÙNG PHƯƠNG CỦA HAI VECTƠ. PHÂN
TÍCH MỘT VECTƠ QUA HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
Câu 1: Cho
( ) ( )
1; 2 , 2; 6AB
. Tìm tạo độ điểm
M
trên trc
Oy
sao cho ba điểm
,,ABM
thng hàng.
Li gii
Ta có:
M
trên trc
( )
0;Oy M y
Ba điểm
,,ABM
thng hàng khi
AB

cùng phương với
AM

BÀI TP T LUN.
1
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
Ta có
( ) ( )
3; 4 , 1; 2AB AM y
= =−−
 
. Do đó,
AB

cùng phương với
12
10
34
y
AM y
−−
= ⇒=

. Vy
( )
0;10M
.
Câu 2: Cho các vectơ
(
) ( ) ( )
4; 2 , 1; 1 , 2;5ab c= =−− =

. Phân tích vectơ
b
theo hai vectơ
ac

.
Li gii
Gi s
1
14 2
8
12 5
1
4
m
mn
b ma nc
mn
n
=
−= +
= +⇔

−= +
=

. Vy
11
84
b ac
=−−

.
Câu 3: Trong mt phng
Oxy
, cho
( ) ( ) ( )
1; 1 , 2; 2 2 , 3; 3Am B m Cm−− +
. Tìm giá tr
m
để
,,ABC
ba điểm thng hàng?
Li gii
Ta có:
(
)
3 ;3 2AB m m
=−−

,
( )
4; 4AC =

Ba điểm
,,
ABC
thng hàng khi và ch khi
AB

cùng phương với
AC

3 32
0
44
mm
m
−−
= ⇔=
.
Câu 4: Trong mt phng tọa độ
Oxy
, cho ba điểm
63 36 1 2A( ; ), B( ; ), C( ; )−−
. Xác định điểm
E
trên
trục hoành sao cho ba điểm
A,B,E
thng hàng.
Li gii
E
thuộc đoạn
BC
BE EC
2
suy ra
BE EC
2
 
Gi
( )
E x; y
khi đó
( ) ( )
36 1 2BE x ; y , EC x; y+ −−
 
Do đó
( )
( )
1
3 21
3
622
2
3
x
xx
yy
y
=
+=


= −−
=
Vy
12
33
E;



.
Câu 5: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho 4 điểm
( ) ( )
( )
01 13 27A ; ,B ; ,C ;
;D 03
. Tìm giao điểm
của 2 đường thng
AC
BD
.
Li gii
Gi
( )
I x; y
là giao điểm
AC
BD
suy ra
AI ; AC
 
cùng phương và
BI ; BD
 
cùng phương
Mt khác
1 26AI ( x ; y ), AC ( ; )=−=
 
suy ra
1
62 2
26
xy
xy
= ⇔−=
(1)
1 3 10BI ( x ; y ), BD ( ; )=−− =
 
suy ra
3y =
thế vào (1) ta có
2
3
x =
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 26
Vy
3
2
I;
3



là điểm cn tìm.
Câu 1: Cho
23ai j=

,
b mj i= +

. Nếu
,
ab
cùng phương thì:
A.
6m =
. B.
6
m
=
. C.
2
3
m =
. D.
3
2
m
=
.
Li gii
Chn D
( )
2; 3a =
( )
1;bm=
cùng phương
13
23 2
m
m⇔= =
.
Câu 2: Hai vectơ nào có toạ độ sau đây là cùng phương?
A.
( )
1; 0
( )
0; 1
. B.
(
)
2; 1
( )
2; 1
. C.
( )
1; 0
( )
1; 0
. D.
(
)
3; 2
(
)
6; 4
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
1; 0i
=
(
)
1; 0i
−=
cùng phương.
Câu 3: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
(
) ( )
( )
1; 1 , 2; 2 , 7; 7
AB C−−
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
( )
2; 2G
là trng tâm tam giác
.ABC
B.
B
giữa hai điểm
A
.C
C.
A
giữa hai điểm
B
.C
D.
,AB AC
 
cùng hướng.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
( )
3; 3 , 6; 6AB AC=−− =
 
2AC AB=
 
Vy
A
giữa hai điểm
B
.C
Câu 4: Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho
(
)
1; 5A
,
( )
5; 5B
,
(
)
1; 11C
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
, , ABC
thng hàng. B.
, AB AC
 
cùng phương.
C.
, AB AC
 
không cùng phương. D.
, AB AC
 
cùng hướng.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
6; 0
AB =

,
( )
0; 6AC =

, AB AC
 
không cùng phương.
Câu 5: Trong hệ tọa độ
,
Oxy
cho bốn điểm
( )
3; 2A
,
( )
7; 1B
,
( )
0; 1C
,
( )
8; 5D −−
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
, AB CD
 
là hai vectơ đối nhau. B.
, AB CD
 
ngược hướng.
C.
, AB CD
 
cùng hướng. D.
, , , ABCD
thng hàng.
Li gii
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 27
Chn B
Ta có
( )
4; 3AB =

,
(
)
8; 6 2
CD AB
=−=
 
,
AB CD
 
ngưc hưng.
Câu 6: Cho
(
) ( )
, 3; 2 1; 6 .
uv
=−=

Chọn khẳng định đúng?
A.
uv+

(
)
4; 4
a =
ngược hướng. B.
, uv

cùng phương.
C.
uv

..c k a hb= +

cùng hướng. D.
2 , u vv
+

cùng phương.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
4; 4uv+=

(
)
2; 8
uv−=

Xét t s
44
44
≠⇒
uv
+

(
)
4; 4
a =
không cùng phương. Loại A
Xét t s
32
16
≠⇒
, uv

không cùng phương. Loại B
Xét t s
28
30
6 24
= =>⇒
uv

( )
6; 24 b =
cùng hướng.
Câu 7: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
( ) ( )
, 5; 0 4; 0ab=−=

cùng hướng. B.
(
)
7; 3c
=
là vectơ đi ca
( )
; 7 3d =

.
C.
(
) ( )
,
4; 2 8; 3uv= =

cùng phương. D.
(
)
( )
,
6; 3 2; 1ab
= =

ngưc hướng.
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( )
5; 0 4;
55
44
0 , a b ab= −==

cùng hướng.
Câu 8: Các đim và các vectơ sau đây cho trong h trc
( )
;,Oij

(gi thiết
,, ,mnpq
là nhng s thc
khác
0
). Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
; 0 //a m ai=

. B.
( )
0 ; //b n bj=

.
C. Đim
( )
;0A n p x Ox n
⇔=
. D.
( )
( )
0; , ;A p Bq p
thì
//AB x Ox
.
Li gii
Chn C
( )
;0A n p x Ox p
⇔=
.
Câu 9: Hai vectơ nào sau đây không cùng phương:
A.
(
)
3;5a =
6 10
;
77
b

=−−


. B.
c
4c
.
C.
( )
1;0i =
5
;0
2
m

=



. D.
(
)
3;0m =

( )
0; 3n =
.
Li gii
Chn D
( )
3;0m =

( )
0; 3n =
. Ta có:
( )( )
12 21
3 3 030
ab a b = −=≠
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 28
Vy
m

n
không cùng phương.
Câu 10: Cho
( )
2 1; 3ux=
,
( )
1; 2vx= +
. Có hai giá tr
12
,xx
ca
x
để
u
cùng phương với
v
. Tính
12
.
xx
.
A.
5
3
. B.
5
3
. C.
5
2
. D.
5
3
.
Li gii
Chn C
,uv

cùng phương
21 3
12
x
x
⇔=
+
(vi
2x ≠−
)
( )( )
2
2 1 2 3 2 3 50x x xx + = + −=
. Vy
12
5
.
2
xx =
.
Câu 11: Trong mt phng
Oxy
, cho ba vectơ
(1; 2), ( 3;1), ( 4;2)ab c= =−=

. Biết
324uabc=++

. Chn
khẳng định đúng.
A.
u
cùng phương với
i
. B.
u
không cùng phương với
i
.
C.
u
cùng phương với
j
. D.
u
vuông góc vi
i
.
Li gii
Chn B
Gi
(; )u xy=
. Ta có
3.1 2.( 3) 4.( 4) 19
( 19;16)
3.2 2.1 4.2 16
x
u
y
= +−+−=
⇒=
=++ =
.
Câu 12: Cho bốn điểm
( )
2;5A
,
( )
1; 7B
,
(
)
1; 5C
,
( )
0;9D
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng:
A.
,,ABC
. B.
,,AC D
. C.
,,
BCD
. D.
,,ABD
.
Li gii.
Chn D.
Ta có:
( )
1; 2AB

,
( )
1; 0AC

,
( )
2; 4AD

2AD AB⇒=
 
,,
ABD
thng hàng.
Câu 13: Trong h ta đ Oxy, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
3; 0 , 4; 3 , 8; 1 , 2;1 .AB C D −−
Ba điểm o trong bốn
điểm đã cho thẳngng ?
A.
, , BCD
. B.
, , ABC
. C.
, , ABD
. D.
, , ACD
.
Li gii
Chn D
Ta có
( ) ( )
5; 1 ; 5; 1AC AD AC AD= =⇒=
   
. Vậy ba điểm
, , ACD
thng hàng.
Câu 14: Trong mt phng
Oxy
cho
( ) ( )
2; , 2; .A m m B mm−−
Vi giá tr nào ca
m
thì đường thng AB
đi qua O ?
A.
3m =
. B.
5
m =
. C.
.m∀∈
. D. Không
m
.
Li gii
Chn C
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 29
Ta có
( )
2;OA m m=−−

,
(
)
2;
OB m m=

. Đưng thng
AB
đi qua
O
khi
OA

,
OB

cùng phương
Mt khác ta thy
( ) ( )
2; 2; ,OA m m m m OB m= = = ∀∈
 
nên
AB
đi qua
O
,
m∀∈
.
Câu 15: Cho 2 điểm
( )
(
)
2; 3 , 4; 7 .
AB−−
Tìm điểm
M y Oy
thng hàng vi
A
B
.
A.
4
;0
3
M



. B.
1
;0
3
M



. C.
( )
1; 0M
. D.
1
;0 .
3
M



Li gii
Chn B
( )
0;M y Oy M m
∈⇒
.
( )
( )
2; 3 ; 6; 10
AM m AB=+=
 
.
Để
A
,
B
,
M
thng hàng thì
( )
23 1
3 3 10
6 10 3
m
mm
+
= += ⇔=
.
Câu 16: Ba điểm nào sau đây không thng hàng ?
A.
( )
(
) ( )
2; 4 , 2; 7 , 2; 2MNP −−
. B.
( ) ( ) ( )
2;4 , 5;4 , 7;4M NP
.
C.
( ) ( ) ( )
3;5 , 2;5 , 2;7MN P−−
. D.
( ) (
) ( )
5;5, 7;7, 2;2MNP −−
.
Li gii
Chn C
C.
( ) ( )
5; 0 , 5; 2MN MP MN= =
  
,
MP

không cùng phương
M
,
N
,
P
không thng hàng.
Câu 17: Cho ba điểm
(
) ( )
( )
2; 4 , 6;0 , ;4
A B Cm
. Định
m
để
,,ABC
thng hàng?
A.
10m =
. B.
6m =
. C.
2m =
. D.
10
m =
.
Li gii
Chn A
( ) ( )
4;4 ; 2;8 .AB AC m= =
 
,,ABC
thng hàng
,AB AC
 
cùng phương
28
10
44
m
m
=⇔=
.
Câu 18: Cho
( )
0; 2A
,
( )
3;1
B
. Tìm ta đ giao điểm
M
ca
AB
vi trc
x Ox
.
A.
(
)
2;0M
. B.
( )
2;0M
. C.
1
;0
2
M



. D.
( )
0; 2M
.
Li gii
Chn A
(
) ( )
( )
;0 ;2 ; 3;3 .M x x Ox AM x AB
⇒= =
 
,,ABM
thng hàng
,AB AM
 
cùng phương
2
2
33
x
x =⇔=
.
Vy,
( )
2;0M
.
u 19: Cho bn đim
(1; 1), (2;4), ( 2; 7), (3;3)A BC D −−
. Ba đim o trong bn đim đã cho thng hàng?
A.
,,ABC
. B.
,,ABD
. C.
,,BCD
. D.
,,AC D
.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 30
Li gii
Chn D
3
(1;5), ( 3; 6), (2;4)
2
AB AC AD AC AD= =−− = =
    
,,AC D
thng hàng.
Câu 20: Cho hai điểm
( ) ( )
2; 2 , 1; 1MN
. Tìm ta đ điểm
P
trên
Ox
sao cho 3 điểm
,,MNP
thng
hàng.
A.
(
)
0; 4P
. B.
( )
0; 4P
. C.
( )
4;0P
. D.
( )
4;0P
.
Li gii
Chn D
Do
P Ox
nên
( )
;0Px
, mà
(
) (
)
2;2; 3;1
MP x MN= +− =
 
Do
,,
MNP
thng hàng nên
22
4
31
x
x
+−
= ⇔=
.
Câu 21: Cho 3 vectơ
(
)
5; 3a
=
;
( )
4; 2b =
;
( )
2;0c =
. Hãy phân tích vectơ
c
theo 2 vectơ
a
b
.
A.
23c ab=

. B.
23c ab
=−+

. C.
cab=

. D.
2ca b=

.
Li gii
Chn B
Gi s
c ma nb= +

, ta có:
542 2
320 3
mn m
mn n
+= =


+= =

.
Câu 22: Trong hệ tọa độ
,
Oxy
cho bốn điểm
( )
2; 1A
,
( )
2; 1B
,
( )
2; 3C −−
,
( )
2; 1D −−
. Xét ba
mệnh đề:
( )
I ABCD
hình thoi.
( )
II ABCD
là hình bình hành.
( )
III AC
ct
BD
ti
( )
0; 1M
.
Chn khẳng định đúng
A. Ch
( )
I
đúng. B. Ch
( )
II
đúng.
C. Ch
( )
II
(
)
III
đúng. D. C ba đều đúng.
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( )
0; 2 , 0; 2
AB DC
AB DC ABCD
=
= = →
 
 
là hình bình hành.
Trung điểm
AC
( ) ( )
0; 1 III−⇒
đúng.
( ) ( )
4; 4 , 4; 0 . 16 0 , AC BD AC BD AC BD= = = ≠⇔
   
không vuông góc nhau.
Câu 23: Trong htọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( ) ( )
2; 3 , 3; 4AB
. Tìm tọa độ điểm
M
trên trục hoành
sao cho
,,ABM
thẳng hàng.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 31
A.
( )
1; 0M
. B.
( )
4; 0M
. C.
51
;
33
M

−−


. D.
17
; 0
7
M



.
Li gii
Chn D
Đim
( )
; 0M Ox M m
∈⇒
.
Ta có
( )
1; 7
AB
=

( )
2; 3AM m=

.
Để
,,
ABM
thng hàng
2 3 17
.
17 7
m
m
=⇔=
Câu 24: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho ba điểm
63 36 1 2A( ; ), B( ; ), C( ; )−−
. Xác đnh điểm
E
trên
cnh
BC
sao cho
2BE EC=
.
A.
12
33
E;



. B.
12
33
E;

−−


. C.
21
33
E;



. D.
21
33
E;



.
Li gii
Chn A
Vì E thuộc đoạn BC và
BE EC 2
suy ra
BE EC
2
 
Gi
( )
E x; y
khi đó
(
) ( )
36 1 2BE x ; y , EC x; y+ −−
 
Do đó
( )
( )
1
3 21
3
622
2
3
x
xx
yy
y
=
+=


= −−
=
Vy
12
33
E;



.
Câu 25: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho ba điểm
12
63 1 2 150
33
A( ; ), B ; , C( ; ), D( ; )

−−


. Xác đnh
giao điểm
I
hai đường thng
BD
AC
.
A.
71
22
I;



. B.
71
22
I;



. C.
71
22
I;

−−


. D.
71
22
I;



.
Li gii
Chn D
Gi
( )
I x; y
là giao điểm ca
BD
AC
.
Do đó
( )
46 2
15
33
DI x ; y ,DB ;

−−


 
cùng phương suy ra
( )
3 15
3
23 15 0
46 2
x
y
xy
= ⇒+ =
(1)
( ) ( )
6 3 55AI x ; y , AC ; −−
 
cùng phương suy ra
63
30
55
xy
xy
−−
= ⇒−−=
−−
(2)
T (1) và (2) suy ra
7
2
x =
1
2
y =
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 32
Vy giao điểm hai đường thng
BD
AC
71
22
I;



.
Câu 26: Cho ba điểm
1 1 01 30A( ; ), B( ; ), C( ; )−−
. Xác đnh ta đ điểm
D
biết
D
thuc đon thng
BC
25BD DC=
.
A.
15 2
77
;



. B.
15 2
77
;



. C.
2 15
77
;



. D.
15 2
77
;



.
Li gii
Chn A
Ta có
( )
( )
25 1 3
DD D D
BD DC, BD x ; y ,DC x ; y
= −−
   
Do đó
( )
( ) ( )
15
2 53
15 2
7
2 15
2
77
7
D
DD
DD
D
x
xx
D;
yy
y
=
=


⇔⇒


−=

=
.
Câu 27: Cho tam giác
ABC
34 21 1 2
A( ; ), B( ; ), C( ; )
−−
. Tìm đim
M
trên đường thng
BC
sao cho
3
ABC ABM
SS=
.
A.
( ) ( )
12
01 32M ; ,M ;
. B.
( ) (
)
12
10 32M ; ,M ;
. C.
(
) ( )
12
10 23M ; ,M ;
. D.
( ) ( )
12
01 23M ; ,M ;
.
Li gii
Chn B
Ta có
333
ABC ABM
S S BC BM BC BM= = ⇒=±
 
Gi
( ) ( ) ( )
2 1 33M x; y BM x ; y ; BC ; −−
 
Suy ra
( )
( )
33 2
1
33 1
0
x
x
y
y
−=
=

−=
=
hoc
( )
(
)
33 2
3
33 1
2
x
x
y
y
−=
=

−=
=
Vậy có hai điểm thỏa mãn
( ) ( )
12
10 32M ; ,M ;
.
Câu 28: Cho hình bình hành
ABCD
;A
23
và tâm
;I
11
. Biết đim
;K 12
nm trên đưng
thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đnh
B,D
của hình bình hành.
A.
(
) ( )
21 01B ; ,D ;
. B.
( )
01 4 1
B ; ; D( ; ).
. C.
( ) ( )
01 21B ; ;D ; ,
. D.
(
) ( )
21 4 1B ; ,D ;
.
Li gii
Chn C
Ta có
I
là trung điểm
AC
nên
( )
41C;
Gi
( ) ( )
2 222D a;a B a; a⇒−
( ) ( )
11 42 1
AK ; , AB a; a −−
 
AK , AB
 
cùng phương nên
( ) ( )
42 1
1 21 01
11
aa
a D ; ,B ;
−−
= ⇒=
.
CHUYÊN Đ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 33
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CA ĐƯNG THNG
1. Véc tơ chỉ phương của đường thng
1.1. Định nghĩa Vectơ
0u

được gi là vectơ ch phương (VTCP) của đưng thẳng
nếu giá của nó song song hoặc trùng với
.
1.2. Nhận xét:
a) Nếu
u
là mt vtcp ca đưng thng
d
thì
( )
., 0ku k
cũng mt véc ch
phương của
d
.
b) Một đường thẳng xác định khi biết mt vtcp và một điểm mà nó đi qua.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng
đi qua điểm
( )
00
;Ax y
và có vectơ chỉ phương
( )
;u ab
. Khi đó
điểm
( )
;M xy
thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi tồn tại số thc
t
sao cho
AM tu
=

,
hay
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
(2)
H (2) được gi là phương trình tham số của đường thng
(t là tham số).
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
2.1. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
vtcp
(
)
;
u ab=
thì phương trình
tham s
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
. ( Mỗi điểm
M
bt k thuc đưng thng
( )
d
tương ng vi
duy nht mt s thc
t
và ngược li).
Nhận xét :
00
( ; ), tA A x at y bt
2.2. Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, mọi phương trình dạng
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
vi
22
0ab+≠
đều là phương trình của đường thẳng
d
có một vtcp là
( )
;u ab=
.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng (b sung thêm)
Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
vtcp
( )
;u ab=
vi
0, 0ab≠≠
có phương
trình chính tắc là:
00
xx yy
ab
−−
=
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CA ĐƯNG THNG
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
1.1. Định nghĩa: Vectơ
0n

gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) ca
nếu giá ca
vuông góc với
.
1.2. Nhận xét:
a) Nếu
n
là mt vtpt của đường thẳng
d
thì
( )
., 0kn k
cũng là một vtpt ca
d
.
b) Nếu
n
là mt VTPT ca đưng thng
d
u
là mt VTCP ca đưng thẳng
d
thì
.0nu=

.
c) Một đường thng xác định khi biết một VTPT và mộ điểm nó đi qua.
2. Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều phương trình tổng quát dạng
0ax by c+ +=
, vi
a
b
không đồng thi bng
0
. Ngưc li, mỗi phương trình dạng
0ax by c+ +=
, vi
a
b
không đồng thi bằng
0
, đều phương trình của một đường
thẳng, nhận
( )
;n ab
là một vectơ pháp tuyến.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
2.1. Đưng thẳng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
VTPT
( )
A;Bn =
thì phương trình
tổng quát là
(
)
( )
00
0
Ax x By y
−+ =
.
2.2. Ngưc lại, trong mặt phẳng vi h ta đ
Oxy
mọi phương trình dạng
( )
22
00Ax By C A B+ += +
đều là phương trình tổng quát ca đưng thng
d
có VTPT
( )
A;Bn =
.
2.3. Một số trường hợp đặc bit ca PTTQ
(
)
22
00
Ax By C A B
+ += +
.
a) Nếu
0A
=
phương trình trở thành
0
C
By C y
B
+=⇔=
đường thẳng song song
vi trục hoành
Ox
và ct trục tung
Oy
tại điểm
0;
C
M
B



.
b) Nếu
0
B
=
phương trình trở thành
0
C
Ax C x
A
+=⇔=
đường thẳng song song
vi trục tung
Oy
và ct trục hoành
Ox
ti
;0
C
M
A



.
c) Nếu
0C =
phương trình trở thành
0Ax By+=
đường thẳng đi qua gốc ta đ
( )
0;0
O
.
d) Đưng thng dạng
y ax b
= +
, (trong đó
a
được gi h số c ca đường
thẳng ) VTPT là
( )
;1
na=
. Ngược lại đường thẳng VTPT
( )
;n AB
=
thì
hệ số góc là
A
B
.
e) Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
;0Aa
( )
0;Bb
có phương trình là
1.
xy
ab
+=
CHÚ Ý: LIÊN H GIA VTCP VÀ VTPT
1. Từ nhận xét “Nếu
n
là mt VTPT ca đưng thng
d
u
là mt VTCP ca đưng thẳng
d
thì
.0nu=

ta rút ra được: nếu
( )
;n AB=
là mt VTPT ca đường thẳng
d
thì mt VTCP
ca
d
( )
;
u BA=
( hoặc
( )
;
u BA=
).
2. Từ nhận xét “Nếu
n
là mt VTPT ca đưng thng
d
u
là mt VTCP ca đưng thẳng
d
thì
.0nu =

ta rút ra được: nếu
( )
;u ab=
là mt VTCP ca đưng thng
d
thì mt VTPT
ca
d
( )
;
n ba=
(hoc
( )
;n ba=
).
Hai nhn xét trên giúp ích rất nhiều trong việc chuyển đổi qua li gia các dạng phương trình
đường thẳng. Từ PTTQ ta có thể chuyển sang PTTS và ngược li.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Câu 1. Trong mặt phẳng ta độ, cho
(
) (
)
( ) ( )
2;1 , 3;2 , 1;3 , 2;1 .
n v AB= =

a) Lập phương trình tổng quát của đường thng
1
đi qua
A
và có vectơ pháp tuyến
.n
b) Lập phương trình tham số của đường thng
2
đi qua
B
và có vectơ ch phương
.v
c) Lập phương trình tham số của đường thng
.AB
Câu 2. Lập phương trình tổng quát của các trc ta đ.
Câu 3. Cho hai đường thẳng
1
12
:
35
xt
yt
= +
= +
2
:2 x 3y 5 0. + −=
a) Lập phương trình tổng quát của
1
.
b) Lập phương trình tham số ca
2
.
Câu 4. Trong mặt phẳng ta độ, cho tam giác
ABC
( )
( )
1; 2 , 3; 0
AB
( )
2; 1 .C −−
a) Lập phương trình đường cao kẻ t
.A
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ t
B.
Câu 5. (Phương trình đọan chắn của đường thẳng )
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
a;0 , 0; bAB
vi
( )
0 .7.3ab H
có phương
trình là:
1.+=
xy
ab
Câu 6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có đ
0
21, 2
Bc, kinh độ
0
105,8
Đông, sân bay Đà
Nng có vĩ đ
0
16,1
Bắc, kinh độ
0
108, 2
Đông. Mộty bay, bay t Ni Bài đến sân bay Đà
Nng. Ti thời điểm
t
giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay v trí có vĩ đ
0
x
Bắc, kinh độ
0
y
Đông được tính theo công thức
153
21, 2
40
9
105,8
5
xt
yt
=
= +
a) Hỏi chuyến từ Hà Ni đến Đà Nẵng mt my gi?
b) Tại thời điểm
1
gi kể t lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến
17
(
0
17
Bc) chưa?
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH VTCP, VTPT CA ĐƯNG THNG
{ Tích vô hướng hai vt, góc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường cao, din
tích tam giác, chu vi tam giác…}
1. Trong mặt phẳng vi h ta đ
Oxy
phương trình dạng
( )
22
00Ax By C A B+ += +
có VTPT
( )
A;Bn
=
.
2. Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, mọi phương trình dạng
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
vi
22
0ab+≠
đều là phương trình của đường thẳng
d
có một vtcp là
( )
;u ab=
.
3. Nếu đường thng
d
( )
;n AB=
là mt VTPT thì mt VTCP ca
d
( )
;u BA=
(hoc
(
)
;
u BA=
).
4. Nếu đường thng
d
( )
;u ab=
là mt VTCP thì mt VTPT ca
d
( )
;n ba=
(hoc
(
)
;n ba
=
).
5. Đường thẳng đi qua 2 điểm
, AB
thì nhận
AB

làm VTCP.
Câu 1: Mt vectơ ch phương của đường thẳng
23
3
xt
yt
= +
=−−
là:
A.
( )
1
2; 3 .u =

B.
(
)
2
3; 1 .u =

C.
( )
3
3; 1 .u =

D.
(
)
4
3; 3u
=

Câu 2: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
2 3 60
xy +=
:
A.
( )
4
2; 3n =

B.
( )
2
2;3n =

C.
( )
3
3; 2
n =

D.
( )
1
3; 2n =

Câu 3: Vectơ ch phương của đường thẳng
1
32
xy
+=
là:
A.
(
)
4
2;3u =
B.
(
)
2
3; 2u
=
C.
( )
3
3; 2u =
D.
(
)
1
2;3u =
Câu 4: Vectơ nào i đây là mt vectơ ch phương của đưng thẳng đi qua hai điểm
( )
3; 2A
và
( )
?1; 4B
A.
( )
1
1; 2 .u =

B.
( )
2
2 .;1u =

C.
(
)
3
2;6 .u =

D.
( )
4
1;1 .u =

H THỐNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Câu 5: Vectơ nào dưi đây là một vectơ pháp tuyến của đưng thẳng đi qua hai điểm
(
)
2;3
A
( )
4;1 ?B
A.
( )
1
22
.;n =

B.
( )
2
2; 1 .n
=

C.
( )
3
1 .;1n =

D.
( )
4
1; 2 .n =

Câu 6: Cho phương trình:
( )
01ax by c+ +=
vi
22
0+>ab
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
1
là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
( )
;=
n ab
.
B.
0
=a
( )
1
là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trc
ox
.
C.
0=b
( )
1
là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trc
oy
.
D. Đim
( )
0 00
;
M xy
thuộc đường thng
( )
1
khi và chỉ khi
00
0+ +≠ax by c
.
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng
( )
d
được xác định khi biết.
A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương.
B. H số góc và một điểm thuộc đường thẳng.
C. Một điểm thuộc
( )
d
và biết
( )
d
song song với một đường thẳng cho trước.
D. Hai điểm phân biệt thuc
( )
d
.
Câu 8: Đường thẳng
( )
d
có vecto pháp tuyến
( )
;=
n ab
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
1
;=
u ba
là vecto ch phương của
( )
d
.
B.
( )
2
;=
u ba
là vecto ch phương của
( )
d
.
C.
( )
;
=

n ka kb k R
là vecto pháp tuyến của
( )
d
.
D.
( )
d
có hệ số góc
( )
0
=
b
kb
a
.
Câu 9: Cho đường thẳng (d):
2 3 40+ −=xy
. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?
A.
( )
1
3; 2=

n
. B.
( )
2
4; 6=−−

n
. C.
( )
3
2; 3=

n
. D.
( )
4
2;3=

n
.
Câu 10: Cho đường thẳng
( )
:3 7 15 0dxy +=
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
7;3=
u
là vecto ch phương của
( )
d
.
B.
( )
d
có hệ số góc
3
7
=k
.
C.
( )
d
không đi qua góc tọa đ.
D.
( )
d
đi qua hai điểm
1
;2
3



M
( )
5; 0N
.
Câu 11: Cho đường thẳng
( )
23
:
12
=
=−+
xt
d
yt
và điểm
7
;2.
2



A
Đim
( )
Ad
ng vi giá tr nào của t?
A.
3
.
2
=t
B.
1
.
2
=t
C.
1
.
2
= t
D.
2t =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Câu 12: Cho
( )
23
:
54
= +
=
xt
d
yt
. Điểm nào sau đây không thuộc
( )
?d
A.
( )
5;3 .A
B.
( )
2;5 .B
C.
( )
1; 9 .C
D.
( )
8; 3 .D
Câu 13: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 14: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số.
Câu 15: Vectơ nào dưi đây là mt vectơ ch phương ca đưng thng
2
:
16
x
d
yt
=
=−+
?
A.
( )
1
6;0u =

. B.
( )
2
6;0u =

. C.
( )
3
2;6u =

. D.
( )
4
0;1u =

.
Câu 16: Vectơ nào dưi đâymt vectơ ch phương ca đưng thng
1
5
:
2
33
xt
yt
=
=−+
?
A.
( )
1
1; 3u =

B.
2
1
;3
2
u

=



C.
2
23
xy
−=
D.
6 2 80xy −=
Câu 17: Cho đường thẳng
có phương trình tổng quát: . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ
phương của đường thẳng .
A. B. C. D.
Câu 18: Cho đường thẳng phương trình tổng quát: . Vectơ nào sau đây không
vectơ ch phương của
A. B. C. D.
Câu 19: Đường thẳng
:5 3 15xy +=
tạo với các trc ta đ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
A.
7,5
. B.
5
. C.
15
. D.
3
.
–2 3 1 0xy+=
( )
3; 2 .
( )
2;3 .
( )
3; 2 .
( )
2; 3 .
–2 3 1 0xy+=
2
1;
3
.



( )
3; 2 .
( )
2;3 .
( )
–3; –2 .
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
DNG 2: VIT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG THỎA MÃN MỘT S TÍNH CHT CHO
TRƯC
{ Tính chất cho trước giúp tìm được: một điểm thuộc đường thng và mt VTCP (hay VTPT);
tìm được các h s A, B, C trong phương trình tổng quát; …}
1. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
vtcp
( )
;u ab=
thì phương trình tham
số là
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
. ( Mỗi điểm
M
bt k thuc đưng thng
( )
d
ơng ng vi duy nht
mt s thc
t
và ngược li).
2. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
và có vtcp
( )
;u ab=
vi
0, 0ab≠≠
phương
trình chính tắc là:
00
xx yy
ab
−−
=
3. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
và có VTPT
( )
A;Bn =
thì có phương trình tổng
quát là
( ) ( )
00
0Ax x By y−+ =
.
2.1. Viết PTTS của đường thẳng.
Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thng
qua
( )
3; 1A
và có VTCP
( )
2;3u =
.
Câu 2: Viết PTTS của đường thẳng
AB
biết
( ) ( )
3;1 , 1; 3AB
.
Câu 3: Viết PTTS của đường thẳng
qua
( )
1; 7M
và song song với trc
.Ox
Câu 4: Cho đường thng
2
:
35
xy
d
=
. Viết PTTS ca đường thẳng qua song
song với đường thng .
Câu 5: Cho . Viết PTTS của đường thẳng là trung trực của đoạn thẳng .
2.2. Viết PTTQ của đường thẳng
Câu 1: Viết PTTQ của đường thng
d
đi qua
( )
1; 5K
và có VTPT
( )
2;1n =
.
Câu 2: Viết PTTQ ca đưng thng
đi qua
( )
3; 2K
song song với đường thẳng
: 5 2017 0dx y−+ =
.
Câu 3: Viết PTTQ ca
là đường trung trực của đoạn thng
AB
vi
( ) ( )
4; 1 , 2;3AB−−
.
Câu 4: Viết PTTQ của đường thẳng qua hai điểm
( )
5; 0A
( )
0; 2B
.
Câu 5: Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
2; 1 ; 4;5 ; 3; 2A BC−−
. Viết phương trình tổng quát ca đưng cao
AH
ca tam giác
ABC
.
2.3. Bài toán chuyển đổi qua lại giữa các dạng phương trình.
( )
2017;2018I
d
( )
3;1A
( )
3; 5B
AB
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Câu 1: Cho đường thẳng
12
3
xt
yt
=
= +
. Viết PTTQ của đường thng.
Câu 2: Cho đường thẳng
:2 3 3 0xy −=
. Viết PTTS ca đường thẳng.
2.4. Bài tập tổng hợp v viết phương trình đưng thẳng
Câu 1: Cho tam giác
ABC
vi
( )
(
) (
)
2;3 ; 4;5 ; 6; 5
AB C−−
.
,MN
lần lượt trung điểm ca
AB
AC
. Phương trình tham số của đường trung bình
MN
là:
Câu 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
5; 3M
và ct hai trc ta đ tại hai điểm A và B sao
cho M là trung điểm ca AB là:
Câu 3: Cho ba điểm
( ) (
)
( )
1;1;2;0;3;4AB C
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
cách đu hai
điểm
,BC
.
Câu 4: Đưng thng
:1
xy
d
ab
+=
, vi
0a
,
0b
, đi qua điểm
( )
1; 6M
và tạo với các tia
Ox
,
Oy
một tam giác có diện tích bằng
4
. Tính
2Sa b= +
.
Câu 5: Cho tam giác
ABC
biết trc tâm
( )
1; 1
H
phương trình cạnh
:5 2 6 0AB x y +=
, phương
trình cạnh
: 4 7 21 0
AC x y+−=
. Phương trình cạnh
BC
Câu 6: Gọi
H
trc tâm ca tam giác
ABC
. Phương trình các cạnh và đường cao ca tam giác
AB
:
7 40xy−+=
;
BH
:
2 40xy+−=
;
AH
:
20xy−=
. Phương trình đường cao
CH
ca tam
giác
ABC
Câu 7: Trong mặt phẳng vi h trc ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
: 1 0,xy +=
2
:2 1 0
xy
+ −=
điểm
( )
2;1P
.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
P
cắt hai
đường thẳng
1
,
2
lần lượt tại hai điểm
A
,
B
sao cho
P
trung điểm
AB
.
Câu 8: Trong mặt phng ta đ vuông c
Oxy
, cho hai đường thng
1
d
2
d
ln lưt có phương trình:
12
: 1, : 3 3 0
dxy d x y
+= +=
. Hãy viết phương trình đường thẳng
d
đối xng vi
2
d
qua
đường thẳng
1
d
.
Câu 9: Trong mặt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho
ΔABC
có đỉnh
( )
3; 0A
phương trình hai đường
cao
( )
' :2 2 9 0BB x y+ −=
( )
' :3 12 1 0CC x y −=
. Viết phương trình cạnh
BC
.
Câu 10: Cho tam giác
ABC
, đỉnh
( )
2; 1B
, đường cao
:3 4 27 0AA x y
−+=
và đường phân giác trong
ca góc
C
: 2 50CD x y+ −=
. Khi đó phương trình cạnh
AB
Câu 11: Trong mặt phng vi h trc ta đ Descarter vuông góc
Oxy
, cho
ABC
có điểm
( )
2; 1A
hai đường phân giác trong ca hai góc
,BC
lần lượt có phương trình
(
)
: 2 1 0,
B
xy +=
( )
: 30
C
xy ++=
. Viết phương trình cạnh
BC
.
Câu 12: Trong mặt phng vi h trc ta đ Descarter vuông góc
Oxy
, cho
ABC
vuông cân tại
( )
4;1A
và cạnh huyền
BC
có phương trình:
3 50xy+=
. Viết phương trình hai cạnh góc vuông
AC
.AB
Câu 13: Trong mặt phẳng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vuông ti
A
, đỉnh
( )
4;1C
, phân giác
trong góc
A
phương trình
50xy+−=
. Viết phương trình đường thng
BC
, biết diện tích
tam giác
ABC
bng
24
và đỉnh
A
có hoành độ dương.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 14: Cho
ABC
( )
4; 2A
. Đưng cao
:2 4 0
BH x y+−=
đường cao
: 30CK x y
−=
. Viết
phương trình đường cao kẻ t đỉnh A
Câu 15: Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
2; 3M
và cắt hai trục ta đ tại hai điểm A và B
sao cho tam giác OAB vuông cân.
Câu 16: Gọi H là trc tâm ca tam giác
ABC
. Phương trình các cạnh đường cao ca tam giác là:
:7 40; :2 40; : 20
−+= +−= −−=AB x y BH x y AH x y
. Phương trình đường cao CH ca tam
giác ABC là:
Câu 17: Cho tam giác
ABC
biết trc tâm
(1;1)H
phương trình cạnh
:5 2 6 0 +=AB x y
, phương trình
cạnh
: 4 7 21 0+−=
AC x y
. Phương trình cạnh
BC
Câu 18: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
( )
3; 4A
và có vectơ ch phương
( )
3; 2u =
A.
33
24
xt
yt
= +
=−+
. B.
36
24
xt
yt
=
=−+
. C.
32
43
xt
yt
= +
= +
. D.
33
42
xt
yt
= +
=
.
Câu 19: Phương trình tham số của đường thẳng qua
(
)
1; 1
M
,
( )
4;3N
A.
3
4
xt
yt
= +
=
. B.
13
14
xt
yt
= +
= +
. C.
33
43
xt
yt
=
=
. D.
13
14
xt
yt
= +
=−+
.
Câu 20: Phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua
( )
1; 2A
nhận
(
)
1; 2
=
n
làm véc-pháp
tuyến có phương trình là
A.
20−+ =xy
. B.
2 40+ +=xy
. C.
2 50
−=
xy
. D.
2 40 +=xy
.
Câu 21: Đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2A
nhận
( )
2; 4n =
làm véctơ pháp tuyến phương trình
A.
2 40xy+ +=
. B.
2 40xy +=
. C.
2 50xy −=
. D.
24 0xy
−+ =
.
Câu 22: Đường thng
d
qua
( )
1; 1A
và có véctơ ch phương
( )
2;3
u =
có phương trình tham số
A.
1
3
xt
yt
=
=
. B.
12
13
xt
yt
= +
= +
. C.
2
3
xt
yt
= +
= +
. D.
2
3
xt
yt
=
=
.
Câu 23: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( )
2; 4A
,
( )
6;1B
A.
3 4 10 0xy+−=
. B.
3 4 22 0xy−+=
. C.
3 4 80xy +=
. D.
3 4 22 0xy−=
.
Câu 24: Đường thẳng đi qua
( )
1; 2A
, nhận
( )
2; 4n =
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A.
2 40xy −=
. B.
40xy++=
. C.
2 50xy +=
. D.
2 40xy−+ =
.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Câu 25: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
( )
2; 1A
và nhận
( )
3; 2=
u
làm vectơ ch
phương là
A.
32
2
=−+
=
xt
yt
. B.
23
12
=
=−+
xt
yt
. C.
23
12
=−−
= +
xt
yt
. D.
23
12
=−−
= +
xt
yt
.
Câu 26: Đường thẳng đi qua
( )
1; 2A
, nhận
( )
2; 4n =
làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là:
A.
2 40xy −=
B.
40xy++=
C.
2 40
xy
−+ =
D.
2 50xy +=
Câu 27: Cho hai điểm
(
)
1; 2
A
,
( )
1; 2B
. Đường trung trực của đoạn thẳng
AB
có phương trình là
A.
20xy+=
. B.
20
xy+=
. C.
20xy−=
. D.
2 10xy +=
.
Câu 28: Lập phương trình tổng quát đường thẳng đi qua điểm
( )
2;1A
song song với đường thẳng
2 3 20
xy
+ −=
.
A.
3 2 80xy+ −=
. B.
2 3 70xy+ −=
. C.
3 2 40xy =
. D.
2 3 70
xy
+ +=
.
Câu 29: Cho đường thẳng
23
:
1
xt
yt
= +
=−+
( )
t
điểm
( )
1; 6M
. Phương trình đường thẳng đi qua
M
và vuông góc với
A.
3 90xy+=
. B.
3 17 0xy+−=
. C.
3 30
xy+−=
. D.
3 19 0xy+=
.
Câu 30: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thng
: 2 10dx y
+=
. Nếu đường thng
qua điểm
( )
1; 1M
song song với
d
thì
có phương trình
A.
2 30xy +=
. B.
2 30xy −=
. C.
2 50xy +=
. D.
2 10xy+ +=
.
Câu 31: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
2
điểm
( )
0; 5A
( )
3; 0B
A.
1
53
xy
+=
. B.
1
35
xy
−+ =
. C.
1
35
xy
−=
. D.
1
53
xy
−=
.
Câu 32: Trong mặt phng
Oxy
cho hai điểm
( )
1; 3A
,
( )
2;5B
. Viết phương trình tng quát ca đưng
thẳng đi qua hai điểm
, AB
.
A.
8 3 10xy+ +=
. B.
8 3 10xy+ −=
. C.
3 8 30 0xy
−+ =
. D.
3 8 30 0xy
++=
.
Câu 33: Cho
( )
2;3A
,
( )
4; 1B
. Viết phương trình đường trung trục của đoạn
AB
.
A.
10xy+ +=
. B.
2 3 50xy+ −=
. C.
3 2 10xy −=
. D.
2 3 10xy +=
.
Câu 34: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
cho đường thng
: 2 10dx y +=
điểm
( )
2;3M
. Phương
trình đường thẳng
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
d
A.
2 80xy+ −=
. B.
2 40xy +=
. C.
2 10xy
−=
. D.
2 70xy+−=
.
Câu 35: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
cho hai điểm
( )
0; 1A
,
( )
3; 0B
. Phương trình đưng thẳng
AB
A.
3 10xy +=
. B.
3 30xy+ +=
. C.
3 30xy −=
. D.
3 10xy+ +=
.
Câu 36: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
2; 4 ; 6;1−−AB
là:
A.
3 4 10 0.+ −=xy
B.
3 4 22 0.−+=xy
C.
3 4 8 0. +=xy
D.
3 4 22 0xy−=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
Câu 37: Cho đường thẳng
( )
:3 5 15 0dxy+−=
. Phương trình nào sau đây không phải là mt dng khác
ca (d).
A.
1
53
+=
xy
. B.
3
3
5
=−+yx
C.
( )
5
=
=
xt
tR
y
D.
( )
5
5
3
=
=
xt
tR
yt
.
Câu 38: Cho đường thẳng
( )
: 2 10dx y +=
. Nếu đường thng
( )
đi qua
( )
1; 1M
song song với
( )
d
thì
( )
có phương trình
A.
2 30 −=
xy
B.
2 50 +=xy
C.
2 30 +=
xy
D.
2 10
+ +=xy
Câu 39: Cho ba điểm
(
) ( ) ( )
1; 2 , 5; 4 , 1; 4 −−AB C
. Đường cao
AA
của tam giác ABC có phương trình
A.
3 4 80 +=xy
B.
3 4 11 0 −=xy
C.
6 8 11 0−+ +=xy
D.
8 6 13 0+ +=
xy
Câu 40: Cho hai đim
( ) ( )
4;0 , 0;5AB
. Phương trình nào sau đây không phi là phương trình ca đưng
thẳng AB?
A.
(
)
44
5
=
=
xt
tR
yt
B.
1
45
+=
xy
C.
4
45
=
xy
D.
5
15
4
= +yx
Câu 41: Cho đường thẳng
( )
:4 3 5 0d xy +=
. Nếu đường thng
(
)
đi qua gốc ta đ vuông góc
vi
( )
d
thì
( )
có phương trình:
A.
43 0+=xy
B.
34 0−=xy
C.
34 0+=xy
D.
43 0
−=xy
Câu 42: Viết phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2I
vuông góc với đường
thẳng có phương trình
2 40
xy−+=
A.
2 50xy−+ =
B.
2 30xy+ −=
C.
20
xy+=
D.
2 50xy +=
Câu 43: Phương trình tham số ca đưng thng (d) đi qua đim
( )
2;3M
vuông góc với đưng thng
( )
:3410
+=d xy
A.
24
33
=−+
= +
xt
yt
B.
23
34
=−+
=
xt
yt
C.
23
34
=−+
= +
xt
yt
D.
54
63
= +
=
xt
yt
Câu 44: Cho
ABC
( ) ( ) ( )
2; 1 ; 4;5 ; 3; 2A BC−−
. Viết phương trình tổng quát của đường cao
AH
.
A.
3 7 10xy+ +=
B.
7 3 13 0xy
++=
C.
3 7 13 0xy−+ +=
D.
7 3 11 0
xy+ −=
Câu 45: Viết phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua điểm
( )
2;1
M
vuông góc với đường
thẳng có phương trình
( ) ( )
21 21 0
xy++ =
.
A.
( ) ( )
1 2 2 1 122 0xy + + +− =
B.
( )
3 22 3 2 0xy−+ + =
C.
( ) (
)
1 2 21 10xy
+ + +=
D.
( )
3 22 2 0xy−+ + =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Câu 46: Cho đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
1; 3M
vecto ch phương
( )
1; 2=
a
. Phương trình
nào sau đây không phải là phương trình của
( )
d
?
A.
1
3 2.
=
= +
xt
yt
B.
13
.
12
−−
=
xy
C.
2 5 0.+−=xy
D.
2 5.=−−yx
Câu 47: Cho tam giác ABC có
( ) ( ) ( )
2;3, 1; 2, 5;4. −−A BC
Đưng trung trc trung tuyến AM phương
trình tham số
A.
2
3 2.
=
x
t
B.
24
3 2.
=−−
=
xt
yt
C.
2
2 3.
=
=−+
xt
yt
D.
2
3 2.
=
=
x
yt
Câu 48: Cho hai điểm
( ) ( )
2;3 ; 4; 1 .−−AB
viết phương trình trung trực đoạn AB.
A.
1 0. −=xy
B.
2 3 1 0. +=xy
C.
2 3 5 0.+ −=xy
D.
3 2 1 0. −=xy
Câu 49: Đường thẳng đi qua cắt ; tại
M
,
N
sao cho
I
là trung điểm của
MN
. Khi
đó độ dài
MN
bằng
A.
52
. B.
13
. C.
10
. D.
2 13
.
Câu 50: Cho tam giác
ABC
vi
( )
2; 4A
; ; . Trung tuyến đi qua điểm nào dưi đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 51: Cho đường thng : , : ,
( )
3
d
:
3 4 10xy+ −=
. Viết
phương trình đường thng
( )
d
đi qua giao điểm ca
( )
1
d
,
( )
2
d
và song song với
( )
3
d
.
A.
24 32 53 0xy+ −=
. B.
24 32 53 0xy+ +=
.
C.
24 32 53 0xy +=
. D.
24 32 53 0xy −=
.
Câu 52: Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
1; 2 ; 0;2 ; 2;1A BC−−
. Đường trung tuyến
BM
phương trình là:
A.
5 3 60xy +=
B.
3 5 10 0xy+=
C.
3 60xy +=
D.
3 20xy−−=
Câu 53: Cho tam giác
ABC
vi
( ) ( ) ( )
2; 1 ; 4;5 ; 3;2A BC−−
. Phương trình tổng quát của đường cao đi
qua
A
ca tam giác là
A.
3 7 10xy+ +=
B.
7 3 13 0xy++=
C.
3 7 13 0xy−+ +=
D.
7 3 11 0xy+ −=
( )
d
( )
3; 2I
Ox
Oy
( )
2;1B
( )
5; 0C
CM
9
14;
2



5
10;
2



( )
7; 6−−
( )
1; 5
3
( )
1
d
3 2 50xy +=
( )
2
d
2 4 70xy+ −=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CA ĐƯNG THNG
1. Véc tơ chỉ phương của đường thng
1.1. Định nghĩa Vectơ
0u

được gi là vectơ ch phương (VTCP) của đưng thẳng
nếu giá của nó song song hoặc trùng với
.
1.2. Nhận xét:
a) Nếu
u
là mt vtcp ca đưng thng
d
thì
( )
., 0ku k
cũng mt véc ch
phương của
d
.
b) Một đường thẳng xác định khi biết mt vtcp và một điểm mà nó đi qua.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng
đi qua điểm
( )
00
;Ax y
và có vectơ chỉ phương
( )
;u ab
. Khi đó
điểm
( )
;M xy
thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi tồn tại số thc
t
sao cho
AM tu
=

,
hay
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
(2)
H (2) được gi là phương trình tham số của đường thng
(t là tham số).
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
2.1. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
vtcp
(
)
;
u ab=
thì phương trình
tham s
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
. ( Mỗi điểm
M
bt k thuc đưng thng
( )
d
tương ng vi
duy nht mt s thc
t
và ngược li).
Nhận xét :
00
( ; ), tA A x at y bt
2.2. Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, mọi phương trình dạng
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
vi
22
0ab+≠
đều là phương trình của đường thẳng
d
có một vtcp là
( )
;u ab=
.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng (b sung thêm)
Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
vtcp
( )
;u ab=
vi
0, 0ab≠≠
có phương
trình chính tắc là:
00
xx yy
ab
−−
=
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CA ĐƯNG THNG
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
1.1. Định nghĩa: Vectơ
0n

gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) ca
nếu giá ca
vuông góc với
.
1.2. Nhận xét:
a) Nếu
n
là mt vtpt của đường thẳng
d
thì
( )
., 0kn k
cũng là một vtpt ca
d
.
b) Nếu
n
là mt VTPT ca đưng thng
d
u
là mt VTCP ca đưng thẳng
d
thì
.0nu=

.
c) Một đường thng xác định khi biết một VTPT và mộ điểm nó đi qua.
2. Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều phương trình tổng quát dạng
0ax by c+ +=
, vi
a
b
không đồng thi bng
0
. Ngưc li, mỗi phương trình dạng
0ax by c+ +=
, vi
a
b
không đồng thi bằng
0
, đều phương trình của một đường
thẳng, nhận
( )
;n ab
là một vectơ pháp tuyến.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
2.1. Đưng thẳng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
VTPT
( )
A;Bn =
thì phương trình
tổng quát là
(
)
( )
00
0
Ax x By y
−+ =
.
2.2. Ngưc lại, trong mặt phẳng vi h ta đ
Oxy
mọi phương trình dạng
( )
22
00Ax By C A B+ += +
đều là phương trình tổng quát ca đưng thng
d
có VTPT
( )
A;Bn =
.
2.3. Một số trường hợp đặc bit ca PTTQ
(
)
22
00
Ax By C A B
+ += +
.
a) Nếu
0A
=
phương trình trở thành
0
C
By C y
B
+=⇔=
đường thẳng song song
vi trục hoành
Ox
và ct trục tung
Oy
tại điểm
0;
C
M
B



.
b) Nếu
0
B
=
phương trình trở thành
0
C
Ax C x
A
+=⇔=
đường thẳng song song
vi trục tung
Oy
và ct trục hoành
Ox
ti
;0
C
M
A



.
c) Nếu
0C =
phương trình trở thành
0Ax By+=
đường thẳng đi qua gốc ta đ
( )
0;0
O
.
d) Đưng thng dạng
y ax b
= +
, (trong đó
a
được gi h số c ca đường
thẳng ) VTPT là
( )
;1
na=
. Ngược lại đường thẳng VTPT
( )
;n AB
=
thì
hệ số góc là
A
B
.
e) Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
;0Aa
( )
0;Bb
có phương trình là
1.
xy
ab
+=
CHÚ Ý: LIÊN H GIA VTCP VÀ VTPT
1. Từ nhận xét “Nếu
n
là mt VTPT ca đưng thng
d
u
là mt VTCP ca đưng thẳng
d
thì
.0nu=

ta rút ra được: nếu
( )
;n AB=
là mt VTPT ca đường thẳng
d
thì mt VTCP
ca
d
( )
;
u BA=
( hoặc
( )
;
u BA=
).
2. Từ nhận xét “Nếu
n
là mt VTPT ca đưng thng
d
u
là mt VTCP ca đưng thẳng
d
thì
.0nu =

ta rút ra được: nếu
( )
;u ab=
là mt VTCP ca đưng thng
d
thì mt VTPT
ca
d
( )
;
n ba=
(hoc
( )
;n ba=
).
Hai nhn xét trên giúp ích rất nhiều trong việc chuyển đổi qua li gia các dạng phương trình
đường thẳng. Từ PTTQ ta có thể chuyển sang PTTS và ngược li.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Câu 1. Trong mặt phẳng ta độ, cho
(
) (
)
( ) ( )
2;1 , 3;2 , 1;3 , 2;1 .
n v AB= =

a) Lập phương trình tổng quát của đường thng
1
đi qua
A
và có vectơ pháp tuyến
.n
b) Lập phương trình tham số của đường thng
2
đi qua
B
và có vectơ ch phương
.v
c) Lập phương trình tham số của đường thng
.AB
Li gii
a) Phương trình tổng quát của đường thng
1
đi qua
A
và có vectơ pháp tuyến
n
2( 1) ( 3) 0 2 5 0.+ = +−=x y xy
b) Phương trình tham số của đường thng
2
đi qua
B
và có vectơ chỉ phương
v
2
23
:
1 2.
=−+
= +
xt
yt
c) Lập phương trình tham số của đường thng
.AB
Đường thẳng
AB
đi qua điểm
A
và có vectơ chỉ phương
( )
3; 2AB
=−−

13
3 2.
=
=
xt
yt
Câu 2. Lập phương trình tổng quát của các trc ta đ.
Li gii
- Phương trình trục
Ox
đi qua điểm
( )
0;0O
nhận
(0;1)j =
làm vectơ pháp tuyến có phương
trình là
0.=y
- Phương trình trục
Oy
đi qua điểm
( )
0;0O
và nhận
(1; 0)i
=
làm vectơ pháp tuyến có phương
trình là
0.=x
Câu 3. Cho hai đường thẳng
1
12
:
35
xt
yt
= +
= +
2
:2 x 3y 5 0.
+ −=
a) Lập phương trình tổng quát của
1
.
b) Lập phương trình tham số ca
2
.
Li gii
a) Lập phương trình tổng quát của
1
.
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Đường thẳng
1
đi qua điểm
( )
1; 3M
, có vectơ chỉ phương
(
)
2,5
u =
nên
1
có vectơ pháp
tuyến là
(5; 2).
=
n
Khi đó phương trình tổng quát của
1
là:
5 2 1 0. +=xy
b) Lập phương trình tham số ca
2
.
Đường thẳng
2
đi qua điểm
( )
1;1N
, có vectơ pháp tuyến là
(2;3)n =
nên
2
có vectơ ch
phương
( )
3; 2 .= u
Khi đó phương trình tham số ca
2
là:
13
1 2.
= +
=
xt
yt
Câu 4. Trong mặt phẳng ta độ, cho tam giác
ABC
( ) ( )
1; 2 , 3; 0AB
( )
2; 1 .C −−
a) Lập phương trình đường cao kẻ t
.
A
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ t
Li gii
a) Lập phương trình đường cao kẻ t
.A
Đường cao kẻ t
A
đi qua
( )
1; 2A
và nhận
( )
5;1
CB =

là vectơ pháp tuyến có phương trình là
5 7 0.+−=xy
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ t
Gi
M
là trung điểm ca
AC
thì
11
;
22
M



.
Đường trung tuyến kẻ t
B
nhận
71
;
22
MB

=



là vectơ ch phương nên có vectơ pháp tuyến
(1; 7 )n
=
và đi qua
( )
3; 0B
nên có phương trình là:
7 30xy+ −=
.
Câu 5. (Phương trình đọan chắn của đường thẳng )
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
a;0 , 0; bAB
vi
( )
0 .7.3ab H
có phương
trình là
1.+=
xy
ab
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Li gii
Đường thẳng đi qua hai điểm
(
)
(
)
a;0 , 0; b
AB
nhận
( )
;AB a b=

làm vectơ ch phương thì có
vectơ pháp tuyến là
( )
;.=n ba
Khi đó phương trình đường thẳng là:
0.
+−=bx ay ab
0ab
nên chia cả hai vế của phương trình cho
ab
ta được phương trình là
1
xy
ab
+=
.
Câu 6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có đ
0
21, 2
Bc, kinh độ
0
105,8
Đông, sân bay Đà
Nng có vĩ đ
0
16,1
Bắc, kinh độ
0
108, 2
Đông. Mộty bay, bay t Ni Bài đến sân bay Đà
Nng. Ti thời điểm
t
giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay v trí có vĩ đ
0
x
Bắc, kinh độ
0
y
Đông được tính theo công thức
153
21, 2
40
9
105,8
5
xt
yt
=
= +
a) Hỏi chuyến từ Hà Ni đến Đà Nẵng mt my gi?
b) Tại thời điểm
1
gi kể t lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến
17
(
0
17
Bc) chưa?
Li gii
a) Hỏi chuyến từ Hà Ni đến Đà Nẵng mt my gi?
Thay
0
16,1x =
,
0
108, 2y =
vào công thức trên ta có
153
16,1 21, 2
4
40
9
3
108, 2 105,8
5
t
t
t
=
⇒=
= +
Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mt
4
3
gi.
b) Tại thời điểm
1
gi kể t lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến
17
(
0
17
Bc) chưa?
Tại thời điểm 1 gi kể t lúc cất cánh thì máy bay đã bay đến
0
17,375
Bắc nên máy bay đã bay
qua vĩ tuyến
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH VTCP, VTPT CA ĐƯNG THNG
{ Tích vô hướng hai vt, góc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường cao, din
tích tam giác, chu vi tam giác…}
1. Trong mặt phẳng vi h ta đ
Oxy
phương trình dạng
( )
22
00
Ax By C A B+ += +
có VTPT
(
)
A;B
n =
.
2. Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, mọi phương trình dạng
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
vi
22
0ab
+≠
đều là phương trình của đường thẳng
d
có một vtcp là
( )
;u ab=
.
3. Nếu đường thng
d
( )
;n AB=
là mt VTPT thì mt VTCP ca
d
( )
;u BA=
(hoc
( )
;u BA
=
).
4. Nếu đường thng
d
( )
;u ab=
là mt VTCP thì mt VTPT ca
d
( )
;n ba=
(hoc
(
)
;n ba
=
).
5. Đường thẳng đi qua 2 điểm
, AB
thì nhận
AB

làm VTCP.
Câu 1: Mt vectơ ch phương của đường thẳng
23
3
xt
yt
= +
=−−
là:
A.
( )
1
2; 3 .u =

B.
( )
2
3; 1 .
u =

C.
( )
3
3; 1 .
u =

D.
( )
4
3; 3u
=

Li gii
Chọn B
Từ phương trình tham số của đường thẳng ta có một VTCP của đường thẳng là
( )
2
3; 1 .u =

Câu 2: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
2 3 60xy +=
:
A.
( )
4
2; 3n =

B.
( )
2
2;3n
=

C.
( )
3
3; 2n
=

D.
( )
1
3; 2n =

Li gii
Chọn A
H THỐNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Từ PTTQ ta thy mt VTPT của đường thng là
(
)
4
2; 3n
=

Câu 3: Vectơ ch phương của đường thẳng
1
32
xy
+=
là:
A.
( )
4
2;3u =
B.
( )
2
3; 2u =
C.
( )
3
3; 2u =
D.
( )
1
2;3u =
Li gii
Chọn B
1 2 3 60
32
xy
xy+ = + −=
nên đường thẳng có VTPT là
( )
2;3n =
.
Suy ra VTCP là
( )
3; 2u
=
.
Câu 4: Vectơ nào i đây là mt vectơ ch phương của đưng thẳng đi qua hai điểm
(
)
3; 2
A
và
(
)
?1; 4
B
A.
( )
1
1; 2 .u =

B.
( )
2
2 .;1u =

C.
( )
3
2;6 .u =

D.
( )
4
1;1 .u =

Li gii
Chọn B
Ta có
( )
4; 2AB =

một VTCP của đường thẳng
AB
cùng phương với
( )
4; 2AB =

.
Ta thy
( )
2
1
2
2;1u AB
= =

vy
(
)
2
2;1u
=

là một VTCP của
AB
Câu 5: Vectơ nào dưi đây là một vectơ pháp tuyến của đưng thẳng đi qua hai điểm
( )
2;3A
( )
4;1 ?B
A.
( )
1
22.;n =

B.
( )
2
2; 1 .n =

C.
( )
3
1
.
;1n
=

D.
( )
4
1; 2 .
n =

Li gii
Chọn C
Ta có
(
)
2; 2AB =

mt VTPT
n
của đường thẳng
AB
thì vuông góc với
AB
Suy ra
( )
. 0 .2 . 2 0n AB x y= + −=

chọn
( )
1, 1 1;1xy n= =⇒=
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng nhận xét nêu ở mc 2.3.2 để giải quyết nhanh bài toán này.
Câu 6: Cho phương trình:
( )
01ax by c+ +=
vi
22
0+>ab
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
1
là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
( )
;=
n ab
.
B.
0=a
( )
1
là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trc
ox
.
C.
0=b
( )
1
là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trc
oy
.
D. Đim
( )
0 00
;M xy
thuộc đường thng
( )
1
khi và chỉ khi
00
0
+ +≠ax by c
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Chọn D
Ta có điểm
(
)
0 00
;M xy
thuộc đường thng
( )
1
khi và chỉ khi
00
0ax by c+ +=
.
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng
( )
d
được xác định khi biết.
A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương.
B. H số góc và một điểm thuộc đường thẳng.
C. Một điểm thuộc
( )
d
và biết
( )
d
song song với một đường thẳng cho trước.
D. Hai điểm phân biệt thuc
( )
d
.
Li gii
Chọn A.
Nếu ch vecto pháp tuyến hoặc mt vecto ch phương thì thiếu điểm đi qua để viết đường
thng.
Câu 8: Đường thẳng
( )
d
có vecto pháp tuyến
( )
;=
n ab
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
1
;=
u ba
là vecto ch phương của
( )
d
.
B.
( )
2
;=
u ba
là vecto ch phương của
( )
d
.
C.
( )
;
=

n ka kb k R
là vecto pháp tuyến của
( )
d
.
D.
(
)
d
có hệ số góc
( )
0
=
b
kb
a
.
Li gii
Chọn D.
Phương trình đường thng vecto pháp tuyến
( )
;=
n ab
( )
00
ac
ax by c y x b
bb
+ += =
Suy ra hệ số góc
a
k
b
=
.
Câu 9: Cho đường thẳng (d):
2 3 40+ −=xy
. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?
A.
( )
1
3; 2=

n
. B.
( )
2
4; 6=−−

n
. C.
( )
3
2; 3=

n
. D.
( )
4
2;3=

n
.
Li gii
Chọn B.
Ta có
( ) ( ) ( )
: 2 3 4 0 2;3 4; 6d x y VTPT n+ = = =−−
Câu 10: Cho đường thẳng
( )
:3 7 15 0dxy +=
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
7;3=
u
là vecto ch phương của
( )
d
.
B.
( )
d
có hệ số góc
3
7
=k
.
C.
( )
d
không đi qua góc tọa đ.
D.
( )
d
đi qua hai điểm
1
;2
3



M
( )
5; 0N
.
Li gii
Chọn D.
Gi sử
( ) ( )
5;0 :3 7 15 0 3.5 7.0 15 0N d x y vl += +=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 11: Cho đường thẳng
(
)
23
:
12
=
=−+
xt
d
yt
và điểm
7
;2.
2



A
Đim
( )
Ad
ng vi giá tr nào của t?
A.
3
.
2
=t
B.
1
.
2
=t
C.
1
.
2
= t
D.
2t =
Li gii
Chọn C
Ta có
(
)
1
7
23
71
2
;2
2
1
22
2 12
2
t
t
Ad t
t
t
=
=


⇒=




=−+
=
Câu 12: Cho
( )
23
:
54
= +
=
xt
d
yt
. Điểm nào sau đây không thuộc
( )
?d
A.
( )
5;3 .A
B.
( )
2;5 .B
C.
( )
1; 9 .C
D.
( )
8; 3 .
D
Li gii
Chọn B.
Thay
( )
2 23 0
2;5 0
554 0
tt
Bt
tt
=+=

⇒=

=−=

Câu 13: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Li gii
Chọn D
Câu 14: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số.
Li gii
Chọn D
Câu 15: Vectơ nào dưi đây là mt vectơ ch phương ca đưng thng
2
:
16
x
d
yt
=
=−+
?
A.
( )
1
6;0u =

. B.
(
)
2
6;0u =

. C.
(
)
3
2;6u
=

. D.
( )
4
0;1u =

.
Li gii
Chọn D
Từ PTTS ta thy mt VTCP ca
d
là
( ) ( )
0;6 6 0;1u = =
nên ta th chọn một VTCP
4
0;1u

Câu 16: Vectơ nào dưi đâymt vectơ ch phương ca đưng thng
1
5
:
2
33
xt
yt
=
=−+
?
A.
( )
1
1; 3u =

B.
2
1
;3
2
u

=



C.
2
23
xy
−=
D.
6 2 80xy −=
Li gii
Chọn D
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Từ PTTS ta thy mt VTCP ca
( )
1
; 3 2 1; 6
2
uu

= ⇒− =



nên ta th chn mt VTCP
4
1; 6u 

Câu 17: Cho đường thẳng
có phương trình tổng quát: . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ
phương của đường thẳng .
A. B. C. D.
Li gii
Chọn A
Từ PTTQ ta thy mt VTPT ca suy ra một VTCP là
Câu 18: Cho đường thẳng phương trình tổng quát: . Vectơ nào sau đây không
vectơ ch phương của
A. B. C. D.
Li gii
Chọn C
Từ PTTQ ca đưng thng ta thy mt VTPT là suy ra mt VTCP ca đưng thng
vậy vec tơ có tọa đ không phải là VTCP của .
Câu 19: Đường thẳng
:5 3 15xy +=
tạo với các trc ta đ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
A.
7,5
. B.
5
. C.
15
. D.
3
.
Li gii
Chọn A
( )
3; 0Ox A∆∩ =
,
( )
0;5Oy B∆∩ =
.
Vy
1 15
7,5
22
OAB
S OA OB
= ⋅==
.
DNG 2: VIT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG THỎA MÃN MỘT S TÍNH CHT CHO
TRƯC
{ Tính chất cho trước giúp tìm được: một điểm thuộc đường thng và mt VTCP (hay VTPT);
tìm được các h s A, B, C trong phương trình tổng quát; …}
1. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
vtcp
( )
;u ab=
thì phương trình tham
số là
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
. ( Mỗi điểm
M
bt k thuc đưng thng
( )
d
ơng ng vi duy nht
mt s thc
t
và ngược li).
–2 3 1 0xy+=
( )
3; 2 .
( )
2;3 .
( )
3; 2 .
( )
2; 3 .
( )
2;3n =
( )
3; 2u =
–2 3 1 0xy+=
2
1;
3
.



( )
3; 2 .
( )
2;3 .
( )
–3; –2 .
( )
2;3n =
( ) ( )
2
3; 2 1 3; 2 3 1;
3
u

= =−− =


( )
2;3
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
2. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
và có vtcp
(
)
;
u ab=
vi
0, 0
ab≠≠
phương
trình chính tắc là:
00
xx yy
ab
−−
=
3. Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
00
;Mx y
và có VTPT
( )
A;Bn =
thì có phương trình tổng
quát là
( ) ( )
00
0Ax x By y−+ =
.
2.1. Viết PTTS của đường thẳng.
Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thng
qua
( )
3; 1A
và có VTCP
( )
2;3u =
.
Li gii
Đưng thng
qua
( )
3; 1A
và VTCP
( )
2;3u =
PTTS
(
)
32
32
13
13
xt
xt
yt
yt
= +−
=

=−+
=−+
Câu 2: Viết PTTS của đường thẳng
AB
biết
( ) (
)
3;1 , 1; 3AB
.
Li gii
Ta có
( ) ( ) ( )
4; 2 2 2; 1 2; 1AB u= = ⇒=

là một VTCP của đường thẳng
AB
.
Vy
AB
đi qua
( )
3;1A
và có VTCP
(
)
2; 1
u
=
nên có PTTS
32
1
xt
yt
= +
=
.
Lưu ý. Ta hoàn toàn có thể dùng
( )
4; 2AB =

làm VTCP của đường thẳng
AB
.
Câu 3: Viết PTTS của đường thẳng
qua
( )
1; 7M
và song song với trc
.Ox
Li gii
Ta thy trục hoành
Ox
có VTCP chính là vec tơ đơn vị
(
)
1; 0i =
. Vì đường thng
song song
vi trục hoành
Ox
nên cũng nhận
( )
1; 0i =
làm VTCP. Suy ra phương trình tham số ca
1
7
xt
y
=−+
=
Nhận xét. Hai đường thng song song có cùng VTCP.
Câu 4: Cho đường thng
2
:
35
xy
d
=
. Viết PTTS ca đường thẳng qua song
song với đường thng .
Li gii
( )
2017;2018
I
d
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Ta thy đưng thng mt VTCP , vì đường thng nên cũng nhận
làm VTCP. Vậy PTTS ca là .
Câu 5: Cho . Viết PTTS của đường thẳng là trung trực của đoạn thẳng .
Li gii
Gi trung điểm ca đoạn thẳng suy ra . Đưng trung trc ca đoạn thẳng
đi qua
( )
0;3I
có mt VTPT
( )
6; 4AB =

nên có một VTCP là
( )
2;3u =
. Vy PTTS ca
AB
2
33
xt
yt
=
= +
.
2.2. Viết PTTQ của đường thẳng
Câu 1: Viết PTTQ của đường thng
d
đi qua
( )
1; 5K
và có VTPT
( )
2;1n =
.
Li gii
d
đi qua
( )
1; 5K
và có VTPT
( )
2;1n =
có PTTQ là
( ) ( )
2 11 5 0xy++ =
2 30xy +−=
Câu 2: Viết PTTQ ca đưng thng
đi qua
( )
3; 2K
song song với đường thẳng
: 5 2017 0dx y−+ =
.
Li gii
Đường thẳng
d
mt VTPT
( )
1; 5n =
,
//d
nên
cũng nhận
( )
1; 5n =
làm mt
VTPT vy PTTS ca
( ) ( )
1 3 5 2 0 5 13 0x y xy + =⇔− =
Lưu ý. Ta hoàn toàn có thể giải theo cách khác như sau.
//d
nên
, d
cùng VTCP, PTTQ của
dng
( )
5 0 2017x yC C +=
, mà
đi
qua
( )
3; 2K
nên ta có
( )
3 5 2 0 13CC−+==
Câu 3: Viết PTTQ ca
là đường trung trực của đoạn thng
AB
vi
( ) ( )
4; 1 , 2;3AB−−
.
Li gii
Gi
I
trung điểm ca đon thng
( )
1;1AB I⇒−
,
( ) ( )
6;4 2 3;2AB = =

AB∆⊥
nên
mt VTPT là
( )
3; 2n =
vy PTTQ ca
( ) ( )
3 1 2 1 0 3 2 10x y xy+ + = + +=
Câu 4: Viết PTTQ của đường thẳng qua hai điểm
( )
5; 0A
( )
0; 2B
.
Li gii
Phương trình đường thng
AB
1 2 5 10 2 5 10 0
52
xy
xy xy+ =⇔−=⇔−=
.
d
( )
3; 5u =
//d
( )
3; 5u =
2017 3
2018 5
xt
yt
= +
=
( )
3;1A
( )
3; 5B
AB
I
AB
( )
0;3I
AB
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
Câu 5: Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
2; 1 ; 4;5 ; 3; 2A BC−−
. Viết phương trình tổng quát ca đưng cao
AH
ca tam giác
ABC
.
Li gii
Gi
AH
là đường cao của tam giác.
AH
đi qua
( )
2; 1A
và nhận
( ) ( )
7; 3 7;3BC =−− =

làm VTPT
( ) ( )
: 7 2 3 1 0 7 3 11 0AH x y x y + += + =
2.3. Bài toán chuyển đổi qua lại giữa các dạng phương trình.
Câu 1: Cho đường thẳng
12
3
xt
yt
=
= +
. Viết PTTQ của đường thng.
Li gii
Cách 1.
Từ phương trình tham số ta thy
đi qua
( )
1; 3M
và có
( )
2;1u =
suy ra VTPT là
( )
1; 2n =
,
PTTQ là
( ) ( )
1 1 2 3 0 2 70x y xy+ =+ −=
.
Cách 2.
12 12
2 7 2 70
3 2 62
xtxt
xy xy
yt y t
=−=

⇔+ =⇔+ =

=+=+

.
Câu 2: Cho đường thẳng
:2 3 3 0
xy −=
. Viết PTTS của đường thẳng.
Li gii
Cách 1.
Để tìm một điểm mà ĐT đi qua ta cho
x
mt giá tr bất kỳ tính
y
hoặc nc li.
Cho
0x =
thế vào PT đt
ta được.
3 30 1yy −= =
vậy đt
đi qua điểm
( )
0; 1A
. Và
có VTPT
( )
2; 3n
=
suy ra VTCP
( )
3; 2u =
. Vy PTTS ca
3
12
xt
yt
=
=−+
.
Cách 2.
Từ PTTQ
2
:2 3 3 0 3 2 3 1
3
xy y x y x −= = + = +
Đặt
xt=
ta thu được PTTS
2
1
3
xt
yt
=
=
2.4. Bài tập tổng hợp v viết phương trình đưng thẳng
Câu 1: Cho tam giác
ABC
vi
( ) ( )
( )
2;3 ; 4;5 ; 6; 5AB C−−
.
,MN
lần lượt trung điểm ca
AB
AC
. Phương trình tham số của đường trung bình
MN
là:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
Li gii
Ta có:
( ) ( )
1; 4 ; 4; 1MN−−
.
MN
đi qua
( )
1; 4M
và nhận
( )
5; 5MN =

làm
VTCP
15
:
45
xt
MN
yt
=−+
=
Câu 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
5; 3M
và ct hai trc ta đ tại hai điểm A và B sao
cho M là trung điểm ca AB là:
Li gii
Gi
(
) ( )
;0 ; 0;
AB
A Ox A x B Oy B y∈⇒ ∈⇒
Ta có
M
là trung điểm
AB
2 10
26
AB M A
AB M B
xx x x
yy y y
+= =

⇒⇒

+= =

Suy ra
( )
: 1 3 5 30 0
10 6
xy
AB x y
+ =−−=
.
Câu 3: Cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1;1;2;0;3;4AB C
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
và cách đều hai
điểm
,BC
.
Li gii
Gi
( )
d
là đường thẳng đi qua
A
và cách đều
,
BC
. Khi đó ta có các trưng hợp sau
TH1:
d
đi qua trung điểm ca
BC
.
5
;2
2
I



trung điểm ca
BC
.
3
;1
2
AM

=



là VTCP ca
đường thẳng
d
. Khi đó
(
)
( )
( )
:2 1 3 1 0
dx y −+ =
2 3 10
xy
⇔− + =
.
TH2:
d
song song với
BC
, khi đó
d
nhận
( )
1; 4BC
=

làm VTCP, phương trình đường thng
( ) ( )
:4 1 1 0dxy + −=
4 30xy⇔− + + =
.
Câu 4: Đường thẳng
:1
xy
d
ab
+=
, vi
0a
,
0
b
, đi qua điểm
( )
1; 6M
và tạo với các tia
Ox
,
Oy
một tam giác có diện tích bằng
4
. Tính
2Sa b= +
.
Li gii
:1
xy
d
ab
+=
đi qua điểm
( )
1; 6M
(
)
16
11
ab
+=
.
Đường thẳng
:1
xy
d
ab
+=
tạo với các tia
Ox
;
Oy
tam giác có diện tích bằng
4
( )
82ab⇒=
Từ
( )
1
;
( )
2
16
1
8
ab
ab
+=
=
16
1
8
ab
ab
+=
=
6
1
8
8
b
b
ab
+=
=
4
2
b
a
=
=
(nhận) hoặc
12
3
2
b
a
=
=
(Loi)
2 10ab⇒+ =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
Câu 5: Cho tam giác
ABC
biết trc tâm
( )
1; 1H
phương trình cạnh
:5 2 6 0
AB x y +=
, phương
trình cạnh
: 4 7 21 0AC x y+−=
. Phương trình cạnh
BC
Li gii
Phương trình
:5 2 6 0
AB x y +=
( )
5; 2
AB
n⇒=

.
Phương trình
: 4 7 21 0AC x y
+−=
( )
4; 7
AC
n⇒=

.
Ta có
BH AC
( )
. 0 7; 4
BH AC BH
nn n =⇒=
  
.
Suy ra phương trình đường thẳng
BH
(
)
(
)
VTPT 7; 4
qua 1;1
BH
n
H
=

.
( ) ( )
:7 1 4 1 0 7 4 3 0BH x y x y = −=
.
Ta có điểm
B
là giao điểm của hai đường thng
AB
BH
, suy ra tọa đ điểm
B
là nghiệm
ca h phương trình
5
5 2 60
19
7 4 30
2
x
xy
xy
y
=
+=

−=
=
19
5;
2
B

−−


.
Ta lại có
( )
. 0 2; 5
CH AB CH
CH AB n n n
⊥⇒ = =
  
.
Suy ra phương trình đường thẳng
CH
( )
( )
VTPT 2; 5
qua 1;1
CH
n
H
=

.
( ) ( )
:2 1 5 1 0 2 5 7 0CH x y x y+ = + −=
.
Ta có điểm
C
là giao điểm của hai đường thng
AC
CH
, suy ra ta đ điểm
C
là nghiệm
ca h phương trình
28
4 7 21 0
3
2 5 70 7
3
x
xy
xy
y
=
+−=

+ −=
=
28 7
;
33
C

⇒−


.
Ta có
43 43
;
36
BC

=



( )
1; 2
BC
n⇒=

.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
Phương trình cạnh
BC
( )
VT PT 1; 2
28 7
qua ;
33
BC
n
C
=




.
28 7
: 2 0 2 14 0
33
BC x y x y

+ =⇔− =


.
Vy
: 2 14 0BC x y −=
.
Câu 6: Gi
H
là trc tâm ca tam giác
ABC
. Phương trình các cạnh và đường cao ca tam giác là
AB
:
7 40xy−+=
;
BH
:
2 40xy+−=
;
AH
:
20xy−−=
. Phương trình đường cao
CH
ca tam
giác
ABC
Li gii
Gi
( )
;H xy
.
Ta có
H AH BH=
.
Nên tọa đ điểm
H
là nghiệm ca h phương trình:
24
2
xy
xy
+=
−=
2
0
x
y
=
=
, suy ra
( )
2;0H
.
Đường thẳng
AB
có vectơ chỉ phương là
( )
1; 7u =
.
Đưng cao
CH
vuông góc với cạnh
AB
nên nhận
u
làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của đường cao
CH
(
) ( )
27 00xy−+ =
7 20
xy+ −=
.
Câu 7: Trong mặt phẳng vi h trc ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
: 1 0,xy +=
2
:2 1 0xy + −=
điểm
( )
2;1P
.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
P
cắt hai
đường thẳng
1
,
2
lần lượt tại hai điểm
A
,
B
sao cho
P
trung điểm
AB
.
Li gii
Ta có
( )
12
0;1I ∩∆ =
.
( )
1
;1A Aaa∈∆ +
. Vì
( )
2;1P
là trung điểm ca đoạn
AB
( )
4 ;1B aa −−
.
Mặt khác
2
8 8 11
;
3 33
B aA

∈∆ =


H
A
C
B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
28
;
33
AP

=



Đường thẳng
:2 5 0AP x y+−=
có pt là:
4 70xy
−−=
.
Câu 8: Trong mặt phng ta đ vuông c
Oxy
, cho hai đường thng
1
d
2
d
ln lưt có phương trình:
12
: 1, : 3 3 0
dxy d x y
+= +=
. Hãy viết phương trình đường thẳng
d
đối xng vi
2
d
qua
đường thẳng
1
d
.
Li gii
Gi
(
)
12
;
I xy d d=
. Khi đó tọa đ điểm
I
là nghiệm ca h phương trình
( )
10
0;1 .
3 30 1
xy x
I
xy y
+= =

⇔⇒

+= =

Chọn
( )
2
3; 0Md−∈
. Gi
đi qua
M
và vuông góc với
1
d
.
Suy ra
có dạng
0xyc
+=
.
( )
3; 0 3Mc ∈∆ =
: 30xy⇒∆ + =
Gi
( )
1
;
H xy d
= ∩∆
. Khi đó tọa đ điểm
H
là nghiệm ca h phương trình
30
1
xy
xy
+=
+=
1
2
x
y
=
=
(
)
1; 2 .H⇒−
Gi
N
là điểm đối xứng của
M
qua
1
d
. Khi đó
H
là trung điểm ca
.MN
21
24
N HM
N HM
x xx
y yy
= −=
= −=
( )
1; 4 .N
Vậy đường thng
d
chính là đường thẳng
IN
, ta có
01
3 10
13
xy
xy
−−
= +=
.
Câu 9: Trong mặt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho
Δ
ABC
có đỉnh
( )
3; 0A
phương trình hai đường
cao
( )
' :2 2 9 0BB x y+ −=
( )
' :3 12 1 0CC x y
−=
. Viết phương trình cạnh
BC
.
Li gii
Gi
( )
;H xy
là trc tâm ca tam giác
ΔABC
. Khi đó tọa đ điểm
(
)
;H xy
là nghiệm ca h
phương trình
2 2 90
3 12 1 0
xy
xy
+ −=
−=
11
3
5
6
x
y
=
=
11 5
;.
36
H



Phương trình cạnh
AC
đi qua
(
)
3; 0A
và vuông góc với
BB
nên
( )
AC
có dạng
22 0x yc +=
.
(
) ( )
3; 0A AC
nên
6 0 6.cc+==
Do đó
(
)
:2 2 6 0 3 0AC x y x y =−=
.
Ta có
C AC CC
=
nên tọa đ điểm
( )
;C xy
là nghiệm ca h phương trình
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
3 12 1 0
30
xy
xy
−=
−=
35
9
8
9
x
y
=
=
35 8
;.
99
C



Phương trình cạnh
BC
đi qua điểm
35 8
;
99
C



nhận
( )
25 1
; 4;5 .
36 6
AH

= =



làm véctơ pháp
tuyến
( )
: 4 5 20 0.BC x y +−=
Câu 10: Cho tam giác
ABC
, đỉnh
( )
2; 1B
, đường cao
:3 4 27 0
AA x y
−+=
và đường phân giác trong
ca góc
C
: 2 50CD x y+ −=
. Khi đó phương trình cạnh
AB
Li gii
Phương trình cạnh
BC
đi qua
(
)
2; 1
B
và vuông góc với
AA
4 3 5 0.
xy+ −=
Gi
( )
;C xy
, ta đ điểm
( )
;C xy
tha mãn
2 50
4 3 50
xy
xy
+ −=
+ −=
1
3
x
y
=
=
( )
1; 3C⇒−
Gi
M
là điểm đối xứng của
B
qua
CD
. Khi đó tọa đ điểm
( )
;M xy
tha mãn
( ) ( )
2 2 10
21
2 50
22
xy
xy
+=
+−

+ −=


2 50
2 10 0
xy
xy
−=
+ −=
( )
4;3 .M
Phương trình cạnh
AC
chính là
MC
, ta có
: 3.AC y =
Gi
( )
;Axy
, ta đ điểm
( )
;
Axy
tha mãn
3 4 27 0
3
xy
y
−+=
=
5
3
x
y
=
=
( )
5;3 .A⇒−
Phương trình cạnh
AB
53
4 7 1 0.
74
xy
xy
+−
= + −=
Câu 11: Trong mặt phng vi h trc ta đ Descarter vuông góc
Oxy
, cho
ABC
có điểm
( )
2; 1A
hai đường phân giác trong ca hai góc
,BC
lần lượt có phương trình
( )
: 2 1 0,
B
xy +=
( )
: 30
C
xy ++=
. Viết phương trình cạnh
BC
.
Li gii
+) Gi
( )
;
H
H
Hx y
là hình chiếu ca đim
A
lên
B
. 0.
BB
AH u AH u
∆∆
⊥⇔ =
 
Ta có
( )
2 1; ;
H HB
Hy y ∈∆
C'
B'
K
H
N
M
A
B
C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
(
) (
)
2 3; 1 ; 2;1 .
B
HH
AH y y u
= −+ =

.0
B
AH u
⇒=

( ) ( )
22 3 1 0
HH
yy + +=
( )
1 1;1 .
H
yH⇔=
Gi
M
là điểm đối xứng của
A
qua
B
.
Khi đó
H
là trung điểm ca
AM
20
23
M HA
M HA
x xx
y yy
= −=
= −=
( )
0;3 .M
+) Gi
(
)
;
K
K
Kx y
là hình chiếu ca đim
A
lên
C
. 0.
CC
AK u AK u
∆∆
⊥⇔ =
 
Ta có
( )
; 3;
KK C
Kx x ∈∆
(
) ( )
2; 2 ; 1; 1 .
C
KK
AK x x u
= −− =

.0
C
ADK u
⇒=

2 20 0
KK K
xx x
−+ += =
( )
0; 3 .K⇒−
Gi
N
là điểm đối xứng của
A
qua
C
.
Khi đó
K
là trung điểm ca
AN
22
25
N KA
M KA
x xx
y yy
= −=
= −=
( )
2; 5 .N −−
Phương trình đường thng
BC
chính là phương trình đường thẳng
MN
.
đường thẳng
BC
:
03
4 30
28
xy
xy
−−
= +=
−−
Câu 12: Trong mặt phng vi h trc ta đ Descarter vuông góc
Oxy
, cho
ABC
vuông cân tại
( )
4;1A
và cạnh huyền
BC
có phương trình:
3 50xy
+=
. Viết phương trình hai cạnh góc vuông
AC
.AB
Li gii
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
tạo với đường thẳng
BC
một góc
45 .°
Cách 2:
Gi
( )
;H xy
là hình chiếu ca
( )
4;1A
lên
BC
.
d
đi qua
( )
4;1A
và vuông góc với
BC
nên
d
có dạng
3 0.x yc+ +=
( )
4;1 7 0 7Adc c+==
nên
: 3 7 0.dx y+ −=
Khi đó tọa đ điểm
( )
;H xy
là nghiệm ca h phương trình
3 50
3 70
xy
xy
+=
+ −=
4
5
13
5
x
y
=
=
4 13
;.
55
H

⇒−


ABC
vuông cân tại
A
nên
,,ABC
thuộc đường tròn
( )
C
ngoi tiếp
ABC
có tâm
4 13
;
55
H



và bán kính
8 10
.
5
R AH= =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
Phương trình đường tròn
( )
C
:
22
4 13 128
.
5 55
xy

+ +− =


Tọa đ điểm
,BC
là nghiệm ca h phương trình
22
3 50
4 13 128
5 55
xy
xy
+=

+ +− =


22
35
4 13 128
35
5 55
yx
xx
= +

+ + +− =


2
35
25 40 48 0
yx
xx
= +
+ −=
4 37
55
12 11
55
xy
xy
=⇒=
= ⇒=
Suy ra 2 điểm
4 37 12 11
;; ;
55 5 5
BC

−−


hoặc
4 37 12 11
;; ; .
55 5 5
CB

−−


Vậy phương trình hai cạnh
AB
AC
( )
41
:
4 37
41
55
xy
AB
−−
=
−−
2 90xy +−=
;
( )
41
:
12 11
41
55
xy
AC
−−
=
−−
2 20xy −=
.
Hoc
(
)
41
:
4 37
41
55
xy
AC
−−
=
−−
2 90xy
+−=
;
( )
41
:
12 11
41
55
xy
AB
−−
=
−−
2 20xy −=
.
Câu 13: Trong mặt phẳng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đỉnh
(
)
4;1C
, phân giác
trong góc
A
phương trình
50
xy+−=
. Viết phương trình đường thng
BC
, biết diện tích
tam giác
ABC
bng
24
và đỉnh
A
có hoành độ dương.
Li gii
Cách 1:
Gi
D
là điểm đối xứng của
( )
4;1C
qua đường thng
50xy+−=
suy ra tọa đ điểm
( )
;D xy
là nghiệm ca
hệ phương trình
( ) ( )
4 10
41
50
22
xy
xy
+ −=
−+
+ −=
( )
4;9 .D
Đim
A
thuộc đường tròn đường kính
CD
nên tọa đ điểm
( )
;Axy
tha mãn
( )
2
2
50
5 32
xy
xy
+−=
+− =
vi
0,x >
suy ra điểm
( )
4;1 .A
B
A
C
D
d
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Ta có
1
. 24
2
ABC
S AB AC= =
2
6
ABC
S
AB
AC
⇔= =
B
thuộc đường thẳng
: 4,AD x =
suy ra ta đ
( )
4;By
tha mãn
( )
2
1 36y
−=
( )
4;7
B
hoặc
( )
4; 5 .B
Do
d
là phân giác trong góc
A
, nên
AB

AD

cùng hướng, suy ra
( )
4;7 .B
Do đó, đường thẳng
BC
có phương trình:
3 4 16 0.xy+=
Cách 2:
Gọi đường thẳng
AC
đi qua điểm
( )
4;1
C
có véctơ pháp tuyến
( )
22
; , 0.n ab a b= +≠
(
)
, 45
AC d = °
( )
2
cos ,
2
AC d
nn⇔=

22
2
2
2
ab
ab
+
=
+
0; 1
0; 1
ab
ba
= =
= =
Vi
0; 1ba= =
suy đường thng
( )
: 4 0 4; 9AC x A AC d A+=⇒ =
( loại vì
0
A
x >
)
Vi
0; 1ab= =
suy đường thng
( )
: 1 0 4; 1
AC y A AC d A−= =
.
nên tọa đ điểm
( )
;Axy
tha mãn
( )
2
2
50
5 32
xy
xy
+−=
+− =
vi
0,x >
suy ra điểm
( )
4;1 .A
Gọi điểm
( )
;Bxy
.
Ta có
ABC
vuông tại
A
nên
.0AB AC =
 
( )
4 4; .x By⇔=
Lại có
1
. 24
2
ABC
S AB AC= =
2
6
ABC
S
AB
AC
⇔= =
( )
2
1 36y⇔−=
.
( )
4;7B
hoặc
( )
4; 5 .B
Do
d
là phân giác trong góc
A
, nên hai điểm
A
B
nằm khác phía đối với đường thẳng
d
,
suy ra
( )
4;7 .B
Do đó, đường thẳng
BC
có phương trình:
3 4 16 0.xy+=
Câu 14: Cho
ABC
( )
4; 2A
. Đưng cao
:2 4 0BH x y+−=
đường cao
: 30CK x y−=
. Viết
phương trình đường cao kẻ t đỉnh A
Li gii
Gi
AI
là đường cao kẻ t đỉnh
A
. Gi
1
H
là trc tâm ca
ABC
, khi đó tọa đ điểm
H
tha
mãn hệ phương trình
7
2 40
3
30 2
3
x
xy
xy
y
=
+−=

−=
=
.
1
54
;
33
AH

=



AI
qua
1
72
;
33
H



và nhận
( )
4;5n =
làm VTPT
B
A
C
d
45°
45
°
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
72
:4 5 0 4 5 6 0
33
AI x y x y

+ + = + −=


Câu 15: Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
2; 3M
và cắt hai trục ta đ tại hai điểm A và B
sao cho tam giác OAB vuông cân.
Li gii
Phương trình đoạn chắn
( )
:1
xy
AB
ab
+=
Do
OAB
vuông cân tại
O
ba
ab
ba
=
⇔=
=
TH1:
ba
=
1
xy
xya
aa
+ =⇔+=
( ) ( )
2; 3 2 3 1 1M AB a a b = =−⇒ =
Vy
( )
: 10AB x y+ +=
TH2:
ba=
1
xy
xya
aa
=⇔−=
( ) ( )
2; 3 2 3 5 5M AB a a b += ==
Vy
(
)
: 50
AB x y−=
Câu 16: Gi H là trc tâm ca tam giác ABC. Phương trình các cạnh đường cao ca tam giác là:
:7 40; :2 40; : 20−+= +−= −−=AB x y BH x y AH x y
. Phương trình đường cao CH ca tam
giác ABC là:
Li gii
Ta
H BH AH H=∩⇒
là nghim ca h phương trình
(
)
2 40 2
2;0
20 0
xy x
H
xy y
+−= =

⇔⇒

−−= =

Ta có
:7 0CH AB CH x y c
+ +=
( )
2;0 2 7.0 0 2H CH c c + +==
Suy ra
: 7 20CH x y
+ −=
.
Câu 17: Cho tam giác
ABC
biết trc tâm
(1;1)H
phương trình cạnh
:5 2 6 0 +=
AB x y
, phương trình
cạnh
: 4 7 21 0+−=AC x y
. Phương trình cạnh
BC
Li gii
Ta có
( )
0;3A AB AC A=∩⇒
( )
1; 2AH⇒=

Ta có
( )
:7 4 0BH AC BH x y d +=
( ) ( )
1;1 3H BH d ⇒=
suy ra
( )
:7 4 3 0BH x y −=
19
5;
2
B AB BH B

= −−


Phương trình
( )
BC
nhận
( )
1; 2
AH =

là VTPT và qua
19
5;
2
B

−−


Suy ra
( ) ( )
19
: 5 2 0 2 14 0
2
BC x y x y

+ + =⇔− =


Câu 18: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
( )
3; 4A
và có vectơ ch phương
( )
3; 2u =
BÀI TP TRC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
A.
33
24
xt
yt
= +
=−+
. B.
36
24
xt
yt
=
=−+
. C.
32
43
xt
yt
= +
= +
. D.
33
42
xt
yt
= +
=
.
Li gii
Chọn D
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua
( )
3; 4A
và có vectơ chỉ phương
( )
3; 2u =
có dạng:
33
42
xt
yt
= +
=
.
Câu 19: Phương trình tham số của đường thẳng qua
( )
1; 1M
,
( )
4;3N
A.
3
4
xt
yt
= +
=
. B.
13
14
xt
yt
= +
= +
. C.
33
43
xt
yt
=
=
. D.
13
14
xt
yt
= +
=−+
.
Li gii
Chọn D
Đường thẳng đi qua hai điểm
( )
1; 1M
,
( )
4;3N
có một véctơ ch phương
(
)
3; 4MN
=

.
Phương trình tham số của đường thẳng qua
( )
1; 1M
,
( )
4;3
N
13
14
xt
yt
= +
=−+
.
Câu 20: Phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua
( )
1; 2A
nhận
(
)
1; 2
=
n
làm véc-pháp
tuyến có phương trình là
A.
20−+ =xy
. B.
2 40+ +=xy
. C.
2 50 −=
xy
. D.
2 40 +=xy
.
Li gii
Chọn C
Phương trình đường thng là
( ) ( )
1 12 2 0 −+ + =xy
hay
2 50 −=xy
.
Câu 21: Đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2A
nhận
(
)
2; 4n =
làm véctơ pháp tuyến có phương trình
A.
2 40xy+ +=
. B.
2 40xy +=
. C.
2 50xy −=
. D.
24 0xy−+ =
.
Li gii
Chọn C
Đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2A
nhận
( )
2; 4n =
làm véctơ pháp tuyến phương trình
( ) ( )
2 14 2 0xy −+ + =
2 4 10 0
xy
⇔− + + =
2 50xy −=
.
Câu 22: Đường thng
d
qua
( )
1; 1A
và có véctơ ch phương
( )
2;3u =
có phương trình tham số
A.
1
3
xt
yt
=
=
. B.
12
13
xt
yt
= +
= +
. C.
2
3
xt
yt
= +
= +
. D.
2
3
xt
yt
=
=
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
Chọn B
Đường thẳng
d
qua
( )
1; 1A
và có véctơ ch phương
( )
2;3u =
có phương trình tham số
12
13
xt
yt
= +
= +
.
Câu 23: Phương trình đường thng đi qua hai điểm
( )
2; 4A
,
( )
6;1B
A.
3 4 10 0xy
+ −=
. B.
3 4 22 0
xy−+=
. C.
3 4 80xy +=
. D.
3 4 22 0xy−=
.
Li gii
Chọn B
Ta có
( )
4; 3AB =−−

.
Đường thẳng
AB
qua điểm
( )
2; 4A
và nhận
1
VTPT là
( )
3; 4n =
nên có phương trình:
( ) ( )
3 24 40xy+− =
3 4 22 0xy
⇔−+=
.
Câu 24: Đường thẳng đi qua
(
)
1; 2
A
, nhận
(
)
2; 4
n
=
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A.
2 40xy
−=
. B.
40xy++=
. C.
2 50xy +=
. D.
2 40xy−+ =
.
Li gii
Chọn C
Phương trình đường thng cn tìm:
( ) ( )
2 1 4 2 0 2 50x y xy+ = +=
.
Câu 25: Phương trình tham số ca đưng thng đi qua đim
(
)
2; 1A
nhận
( )
3; 2=
u
làm vectơ ch
phương là
A.
32
2
=−+
=
xt
yt
. B.
23
12
=
=−+
xt
yt
. C.
23
12
=−−
= +
xt
yt
. D.
23
12
=−−
= +
xt
yt
.
Li gii
Chọn B
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
( )
2; 1A
và nhận
(
)
3; 2=
u
làm vectơ ch
phương có dạng:
23
12
=
=−+
xt
yt
.
Câu 26: Đường thẳng đi qua
( )
1; 2A
, nhận
( )
2; 4n =
làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là:
A.
2 40xy −=
B.
40xy++=
C.
2 40xy−+ =
D.
2 50xy +=
Li gii
Chọn D.
Gi
( )
d
là đường thẳng đi qua và nhận
( )
2; 4
n =
làm VTPT
( ) ( )
: 12 2 0 2 5 0dx y x y +− = + =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 26
Câu 27: Cho hai điểm
(
)
1; 2
A
,
( )
1; 2B
. Đường trung trực của đoạn thẳng
AB
có phương trình là
A.
20
xy+=
. B.
20
xy+=
. C.
20xy−=
. D.
2 10
xy +=
.
Li gii
Chọn C.
Gi là
M
trung điểm của đoạn
AB
( )
0;0M
.
Đường trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua điểm
M
và có vtpt
( )
2; 4AB

nên có phương
trình là:
20xy−=
Câu 28: Lập phương trình tổng quát đường thẳng đi qua điểm
( )
2;1A
song song với đường thẳng
2 3 20xy
+ −=
.
A.
3 2 80xy+ −=
. B.
2 3 70xy+ −=
. C.
3 2 40xy =
. D.
2 3 70xy+ +=
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
là đường thẳng cần tìm.
*
song song với đường thẳng
2 3 20xy+ −=
nên
có dạng:
( )
23 0 2
x ym m+ + = ≠−
.
*
đi qua điểm
( )
2;1A
nên ta có
2.2 3.1 0m
+ +=
7m⇔=
:2 3 7 0xy
+ −=
.
Câu 29: Cho đường thẳng
23
:
1
xt
yt
= +
=−+
( )
t
điểm
( )
1; 6
M
. Phương trình đường thẳng đi qua
M
và vuông góc với
A.
3 90xy
+=
. B.
3 17 0xy+−=
. C.
3 30xy+−=
. D.
3 19 0xy+=
.
Lời giải
Chọn C
có một vectơ chỉ phương
(
)
3;1
u =
.
Vì đường thẳng
d
vuông góc với
nên
d
có véctơ pháp tuyến
(
)
3;1
nu= =

.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
d
( ) ( )
3 1 6 0 3 30x y xy+ + = +−=
.
Câu 30: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thng
: 2 10dx y +=
. Nếu đường thng
qua điểm
( )
1; 1M
song song với
d
thì
có phương trình
A.
2 30xy +=
. B.
2 30xy −=
. C.
2 50xy +=
. D.
2 10xy+ +=
.
Li gii
Chọn B
Đường thẳng
d
1
vectơ pháp tuyến là
( )
1; 2n =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 27
Đường thẳng
đi qua điểm
( )
1; 1M
song song với
d
nên
nhận
( )
1; 2n =
làm vectơ
pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
( )
( )
12 10
xy−− +=
2 30xy −=
.
Câu 31: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
2
điểm
( )
0; 5A
( )
3; 0B
A.
1
53
xy
+=
. B.
1
35
xy
−+ =
. C.
1
35
xy
−=
. D.
1
53
xy
−=
.
Li gii
Chọn C
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
( )
0; 5
A
( )
3; 0B
1
35
xy
+=
1
35
xy
⇔−=
.
Câu 32: Trong mặt phng
Oxy
cho hai điểm
( )
1; 3A
,
(
)
2;5
B
. Viết phương trình tổng quát của đưng
thẳng đi qua hai điểm
, AB
.
A.
8 3 10xy+ +=
. B.
8 3 10xy+ −=
.
C.
3 8 30 0xy−+ =
. D.
3 8 30 0xy++=
.
Li gii
Chọn A
Ta có
( )
3;8AB =

là vectơ ch phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A
,
B
.
( )
8;3n⇒=
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm
A
,
B
.
Phương trình tổng quát đường thẳng cn tìm là
(
) ( )
8 13 3 0xy
−+ + =
8 3 10xy + +=
.
Câu 33: Cho
( )
2;3A
,
( )
4; 1B
. Viết phương trình đường trung trục của đoạn
AB
.
A.
10xy+ +=
. B.
2 3 50xy+ −=
. C.
3 2 10xy −=
. D.
2 3 10xy +=
.
Li gii
Chọn C
Gi
M
là trung điểm
AB
( )
1;1M
.
Phương trình đường trung trc ca đoạn
AB
qua
( )
1;1M
nhận
( )
6; 4AB =

vectơ pháp tuyến
có dạng:
( ) ( )
6 14 10xy−− =
3 2 10xy −=
.
Câu 34: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
cho đường thng
: 2 10dx y +=
điểm
( )
2;3M
. Phương
trình đường thẳng
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
d
A.
2 80xy+ −=
. B.
2 40xy +=
. C.
2 10xy −=
. D.
2 70xy+−=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 28
Li gii
Chọn D
vuông góc
: 2 10dx y +=
⇒∆
có VTPT là
( )
2;1n =
.
qua
(
)
2;3
M
nên có phương trình là
( )
( )
2 2 30
xy
−+−=
2 70xy +−=
.
Câu 35: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
cho hai điểm
( )
0; 1A
,
( )
3; 0B
. Phương trình đưng thẳng
AB
A.
3 10
xy
+=
. B.
3 30xy
+ +=
. C.
3 30
xy −=
. D.
3 10
xy
+ +=
.
Li gii
Chọn C
Ta
( )
3;1AB =

véctơ ch phương của đưng thng
AB
. Nên
( )
1; 3
n =
véctơ pháp tuyến
của đường thng
AB
.
Khi đó phươn trình đường thẳng
AB
( )
3 10xy +=
3 30xy
−=
.
Câu 36: Phương trình đường thng đi qua hai điểm
( ) ( )
2; 4 ; 6;1−−AB
là:
A.
3 4 10 0.+ −=
xy
B.
3 4 22 0.+=xy
C.
3 4 8 0. +=
xy
D.
3 4 22 0xy
−=
Li gii
Chọn B.
Ta có
( )
24
: 3 4 22 0
43
AA
BA B A
xx yy
xy
AB x y
xx yy
−−
+−
= = ⇔−+=
−−
Câu 37: Cho đường thẳng
( )
:3 5 15 0dxy+−=
. Phương trình nào sau đây không phải là mt dng khác
ca (d).
A.
1
53
+=
xy
. B.
3
3
5
=−+yx
C.
( )
5
=
=
xt
tR
y
D.
( )
5
5
3
=
=
xt
tR
yt
.
Li gii
Chọn C.
Ta có đường thng
(
)
:3 5 15 0dxy+−=
có VTPT
( )
( )
3;5
5;0
n
qua A
=
( )
( )
5
5
;1
5
3
:
3
5;0
VTCP u
xt
d
yt
qua A

=
=


⇒⇒



=
Suy ra D đúng.
( )
:3 5 15 0 3 5 15 1
53
xy
dxy xy
+ = + = ⇔+=
Suy ra A đúng.
( )
3
:3 5 15 0 5 3 15 1
5
dxy yx y x+−==−⇔= +
Suy ra B đúng.
Câu 38: Cho đường thng
(
)
: 2 10dx y
+=
. Nếu đường thng
( )
đi qua
( )
1; 1M
song song với
( )
d
thì
( )
có phương trình
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 29
A.
2 30 −=xy
B.
2 50 +=
xy
C.
2 30 +=
xy
D.
2 10+ +=xy
Li gii
Chọn A.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
// 2 1 0 : 2 0 1dxy xyc c −+= −+=
Ta lại có
( ) ( ) ( )
1; 1 1 2 1 0 3M cc ∈∆ + = =
Vy
( )
: 2 30xy −=
Câu 39: Cho ba điểm
(
) ( ) ( )
1; 2 , 5; 4 , 1; 4
−−AB C
. Đường cao
AA
của tam giác ABC có phương trình
A.
3 4 80 +=xy
B.
3 4 11 0 −=
xy
C.
6 8 11 0−+ +=
xy
D.
8 6 13 0+ +=
xy
Li gii
Chọn B.
Ta có
( )
6;8BC =

Gi
'AA
là đường cao của tam giác
ABC
'AA
nhận
( )
( )
6;8
1; 2
VTPT n BC
qua A
= =

Suy ra
(
) ( )
': 6 1 8 2 0 6 8 22 0 3 4 11 0AA x y x y x y + + = ⇔− + + = =
.
Câu 40: Cho hai đim
( ) ( )
4;0 , 0;5AB
. Phương trình nào sau đây không phi là phương trình ca đưng
thẳng AB?
A.
(
)
44
5
=
=
xt
tR
yt
B.
1
45
+=
xy
C.
4
45
=
xy
D.
5
15
4
= +yx
Li gii
Chọn D.
Phương trình đoạn chắn
( )
:1
45
xy
AB +=
loi B
(
)
( ) ( )
( )
5; 4 4;5
: 154200
45
4;0
VTPT n VTCP u
xy
AB x y
qua A
=⇒=
+= + =

( ) ( )
44
:
5
xt
AB t
yt
=
⇒∈
=
loi A
(
)
4
: 11
45 5 4 5 4
xy y x yx
AB
+=⇔=⇔=
loại C
(
)
5
: 11 5
45 5 4 4
xy y x
AB y x+= =−⇔= +
chọn D
Câu 41: Cho đường thẳng
( )
:4 3 5 0d xy +=
. Nếu đường thng
( )
đi qua gốc ta đ vuông góc
vi
( )
d
thì
( )
có phương trình:
A.
43 0+=xy
B.
34 0−=xy
C.
34 0+=xy
D.
43 0−=xy
Li gii
Chọn C.
Ta có
( ) ( ) ( )
:4 3 5 0 :3 4 0d x y x yc += + +=
Ta lại có
( ) ( )
0;0 0Oc∈∆ =
Vy
( )
:3 4 0xy +=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 30
Câu 42: Viết phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2I
vuông góc với đường
thẳng có phương trình
2 40xy−+=
A.
2 50
xy
−+ =
B.
2 30xy
+ −=
C.
20xy+=
D.
2 50
xy
+=
Li gii
Chọn B.
Gi
( )
d
là đường thẳng đi qua
( )
1; 2I
và vuông góc với đường thẳng
( )
1
:2 4 0d xy−+=
Ta có
(
) (
)
(
)
( )
( )
1
1
1; 2
dd
d d nu ⇔==
 
( ) (
)
: 12 2 0 2 3 0dx y x y ++ = + =
Câu 43: Phương trình tham số ca đưng thng (d) đi qua đim
( )
2;3M
vuông góc với đưng thng
( )
:3410
+=d xy
A.
24
33
=−+
= +
xt
yt
B.
23
34
=−+
=
xt
yt
C.
23
34
=−+
= +
xt
yt
D.
54
63
= +
=
xt
yt
Li gii
Chọn B.
Ta có
( ) ( )
:3410d d xy
+=
(
)
3; 4
d
VTCP u⇒=

và qua
( )
2;3
M
Suy ra
( ) ( )
23
:
34
xt
dt
yt
=−+
=
Câu 44: Cho
ABC
( ) ( )
( )
2; 1 ; 4;5 ; 3; 2A BC−−
. Viết phương trình tổng quát của đường cao
AH
.
A.
3 7 10
xy+ +=
B.
7 3 13 0
xy++=
C.
3 7 13 0xy
−+ +=
D.
7 3 11 0xy+ −=
Li gii
Chọn C.
Ta có:
(
)
7; 3BC
=−−

. Vì
AH BC
nên
( )
( )
2; 1
:
3; 7 lam VTPT
qua A
AH
n
−
=
( ) ( )
:3 2 7 1 0 3 7 13 0AH x y x y += =
Câu 45: Viết phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua điểm
(
)
2;1M
vuông góc với đường
thẳng có phương trình
(
) ( )
21 21 0xy++ =
.
A.
( ) ( )
1 2 2 1 122 0xy + + +− =
B.
( )
3 22 3 2 0xy−+ + =
C.
( ) (
)
1 2 21 10xy
+ + +=
D.
( )
3 22 2 0xy−+ + =
Li gii
Chọn A.
Ta có đường thẳng vuông góc đường thng vi đường thẳng đã cho
Suy ra
( )
( ) ( )
:1 2 2 1 0d x yc + + +=
( )
( )
2,1 1 2 2M dc ⇒=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 31
Vy
( )
( )
1 2 2 1 122 0xy + + +− =
Câu 46: Cho đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
1; 3M
vecto ch phương
( )
1; 2=
a
. Phương trình
nào sau đây không phải là phương trình của
( )
d
?
A.
1
3 2.
=
= +
xt
yt
B.
13
.
12
−−
=
xy
C.
2 5 0.+−=xy
D.
2 5.=−−yx
Li gii
Chọn D.
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1; 2
11
:::
32 32
1; 3
VTCP a
x
t xt
d d
td t
yt yt
qua M
=
=+=

∈⇒

=−=+


loi A
Ta có
( ) ( )
1
13
:
32
12
xt
xy
dt
yt
=
−−
∈⇒ =
= +
loi B
( ) ( )
1; 2 2;1VTCP a VTPT n= −⇒ =

suy ra
( ) ( ) ( )
:211302350d x x xy + = + −=
loi
C
Câu 47: Cho tam giác ABC có
( ) ( ) ( )
2;3, 1; 2, 5;4. −−A BC
Đưng trung trc trung tuyến AM phương
trình tham số
A.
2
3 2.
=
x
t
B.
24
3 2.
=−−
=
xt
yt
C.
2
2 3.
=
=−+
xt
yt
D.
2
3 2.
=
=
x
yt
Li gii
Chọn D.
Gi
M
trung điểm
BC
( )
2;1M⇒−
( ) ( )
2
0; 2 :
32
x
AM AM
yt
=
= −⇒
=

Câu 48: Cho hai điểm
( ) ( )
2;3 ; 4; 1 .−−AB
viết phương trình trung trực đoạn AB.
A.
1 0. −=xy
B.
2 3 1 0. +=xy
C.
2 3 5 0.+ −=xy
D.
3 2 1 0. −=xy
Li gii
Chọn D.
Gi
M
trung điểm
Ta có
Gi là đường thẳng trung trực ca .
Phương trình nhận và qua
Suy ra
Câu 49: Đường thẳng đi qua cắt ; tại
M
,
N
sao cho
I
là trung đim ca
MN
. Khi
đó độ dài
MN
bằng
A.
52
. B.
13
. C.
10
. D.
2 13
.
Lời giải
Chọn D
AB
( )
1;1M
( )
6; 4AB =

d
AB
d
( )
6; 4VTPT n =
( )
1;1M
( ) ( ) ( )
:6 1 4 1 0 6 4 2 0 3 2 1 0d x y xy xy =⇔−−=−−=
( )
d
( )
3; 2I
Ox
Oy
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 32
Dễ thấy tam giác
OMN
vuông tại
O
suy ra
22
2 2 3 2 2 13MN OI= = +=
.
Câu 50: Cho tam giác
ABC
vi
( )
2; 4A
; ; . Trung tuyến đi qua điểm nào dưi đây?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chọn D
là trung điểm ca nên ; .
Phương trình tham số của đường thẳng .
Vi thì .
Câu 51: Cho đường thng : , : ,
( )
3
d
:
3 4 10xy+ −=
. Viết
phương trình đường thng
( )
d
đi qua giao điểm ca
( )
1
d
,
( )
2
d
và song song với
( )
3
d
.
A.
24 32 53 0xy+ −=
. B.
24 32 53 0xy+ +=
.
C.
24 32 53 0xy +=
. D.
24 32 53 0xy −=
.
Li gii
Chọn A
Tọa đ giao điểm
M
ca
( )
1
d
( )
2
d
là nghiệm ca h
32 5
24 7
xy
xy
−=
+=
3
8
31
16
x
y
=
=
3 31
;
8 16
M

⇒−


.
Phương trình đường thng
( )
song song với
( )
3
d
qua
3 31
;
8 16
M



có dạng
( )
:
3 31
34 0
8 16
xy

++ =


53
34 0
8
xy⇔+=
24 32 53 0xy + −=
.
( )
2;1B
( )
5; 0C
CM
9
14;
2



5
10;
2



( )
7; 6−−
( )
1; 5
M
AB
5
2;
2
M



5
3;
2
CM




CM
53
5
2
xt
yt
=
=
2t =
1
5
x
y
=
=
3
( )
1
d
3 2 50xy +=
( )
2
d
2 4 70xy+ −=
O
N
I
M
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 33
Câu 52: Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
1; 2 ; 0; 2 ; 2;1A BC−−
. Đưng trung tuyến
BM
phương trình
là:
A.
5 3 60xy +=
B.
3 5 10 0xy
+=
C.
3 60xy +=
D.
3 20xy−−=
Li gii
Chọn A.
Gi
M
là trung điểm
AC
31
;
22
M

−−


.
35
;
22
BM

=−−



BM
qua
( )
0;2B
và nhận
( )
5; 3n =
làm VTPT
( )
:53 205360BM x y x y = +=
Câu 53: Cho tam giác
ABC
vi
(
) (
)
( )
2; 1 ; 4;5 ; 3; 2A BC
−−
. Phương trình tổng quát của đường cao đi
qua
A
ca tam giác là
A.
3 7 10xy
+ +=
B.
7 3 13 0xy++=
C.
3 7 13 0xy−+ +=
D.
7 3 11 0
xy
+ −=
Li gii
Chọn C.
Gi
AH
là đường cao của tam giác.
(
)
7; 3BC
=−−

.
AH
đi qua
(
)
2; 1A
và nhận
(
)
3; 7n =
làm VTPT
( ) ( )
:3 2 7 1 0 3 7 13 0AH x y x y
+= =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG, VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG,
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Trong mt phng
Oxy
, đường thng
( )
( )
22
: 0, 0d ax by c a b+ += +
. Vectơ nào sau đây
một vectơ pháp tuyến của đường thng
( )
d
?
A.
( )
;n ab=
. B.
( )
;n ba=
. C.
( )
;n ba=
. D.
( )
;n ab=
.
Câu 2: Cho đường thng
d
có một vectơ pháp tuyến là
( )
;n ab=
,
,ab
. Xét các khẳng đnh sau:
1. Nếu
0b
=
thì đường thng
d
không có hệ số góc.
2. Nếu
0b
thì h số góc ca đưng thng
d
a
b
.
3. Đường thng
d
có mt vectơ ch phương là
( )
;u ba
=
.
4. Vectơ
kn
,
k
là vectơ pháp tuyến ca
d
.
Có bao nhiêu khẳng đnh sai?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 3: Trong mt phng ta đ Oxy, cho đường thng
: 2 30dx y +=
. Vectơ pháp tuyến của đường
thng
d
A.
( )
1; 2n =
B.
( )
2;1n =
C.
( )
2;3n =
D.
( )
1; 3n =
Câu 4: Cho đường thng
( )
:3 2 10 0dxy+ −=
. Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của
( )
d
?
A.
( )
3;2u =
. B.
( )
3; 2u =
. C.
( )
2; 3u
=
. D.
( )
2; 3u =−−
.
Câu 5: Cho đường thng
1
5
:
2
33
xt
yt
=
=−+
một vectơ pháp tuyến ca đưng thng
có ta đ
A.
( )
5; 3
. B.
( )
6;1
. C.
1
;3
2



. D.
( )
5;3
.
Câu 6: Trong h trc ta đ
Oxy
, Véctơ nào là mt véctơ pháp tuyến của đường thng
2
:
12
xt
d
yt
=−−
=−+
?
A.
( )
2; 1
n −−
. B.
( )
2; 1n
. C.
(
)
1; 2n
. D.
( )
1; 2n
.
Câu 7: Vectơ ch phương của đường thng
d
:
14
23
xt
yt
=
=−+
là:
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
H THỐNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
A.
(
)
4;3
u =
. B.
( )
4;3u =
. C.
( )
3; 4u =
. D.
( )
1; 2
u
=
.
Câu 8: Vector nào dưới đây là 1 vector chỉ phương của đường thẳng song song với trc
Ox
:
A.
( )
1; 0u =
. B.
(1; 1)u =
. C.
(1;1)u =
. D.
(0;1)u =
.
Câu 9: Cho đường thng
:7 3 1 0dx y+ −=
. Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d?
A.
( )
7;3u =
. B.
( )
3; 7
u =
. C.
( )
3; 7u =
. D.
( )
2;3u =
.
Câu 10: Cho đường thng
:2 3 4 0dx y+ −=
. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của đường thng
d
?
A.
( )
1
3;2n =

. B.
(
)
1
4; 6
n =−−

. C.
( )
1
2; 3n =

. D.
( )
1
2;3n =

.
Câu 11: Cho đường thng
: 5 3 7 0.
dxy+ −=
Vectơ nào sau đây mt vec ch phương của đưng
thng
?d
A.
( )
1
3; 5n =

. B.
( )
2
3; 5n =

. C.
( )
3
5;3n =

. D.
( )
4
5; 3n =−−

.
Câu 12: Cho đường thng
: 2 30xy +=
. Véc tơ nào sau đây không véc tơ ch phương của
?
A.
( )
4; 2u =
. B.
( )
2; 1v =−−
. C.
( )
2;1m =

. D.
(
)
4;2q
=
.
Câu 13: Cho hai điểm
( )
1; 2A =
( )
5; 4
B
=
. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
AB
A.
( )
1; 2−−
. B.
(
)
1; 2
. C.
( )
2;1
. D.
( )
1; 2
.
Câu 14: Cho đường thng
:7 3 1 0dx y
+ −=
. Vectơ nào sau đây là Vec ch phương ca đưng thng d?
A.
( )
7;3u =
. B.
( )
3; 7u
=
. C.
( )
3; 7u =
. D.
( )
2;3u =
.
Câu 15: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến ca
: 2 2018 0dx y−+ =
?
A.
( )
1
0; 2n
. B.
( )
3
2;0n
. C.
( )
4
2;1
n
. D.
( )
2
1; 2n
.
Câu 16: Vectơ nào trong các vectơ dưới đây là vectơ pháp tuyến của đường thng
2 10yx+ −=
?
A.
( )
2; 1
. B.
(
)
1; 2
. C.
( )
2;1
. D.
( )
2; 1−−
.
Câu 17: Trong mt phng
Oxy
, cho đường thng
:2 1 0d xy +=
, một véctơ pháp tuyến ca
d
A.
( )
2; 1−−
. B.
(
)
2; 1
. C.
( )
1; 2−−
. D.
( )
1; 2
.
Câu 18: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
cho đường thng
:2 3 4 0dx y +=
. Vectơ nào sau đây là
mt vectơ ch phương của d.
A.
( )
4
3; 2u =

. B.
(
)
2
2;3u =

. C.
( )
1
2; 3u =

. D.
( )
3
3; 2u =

Câu 19: Vectơ nào sau đây là một Vectơ ch phương của đưng thng
:6 2 3 0
xy +=
?
A.
( )
1; 3
u
. B.
( )
6; 2
u
. C.
( )
1; 3
u
. D.
( )
3; 1
u
.
Câu 20: Cho hai điểm
( )
2;3M
( )
2;5N
. Đường thng
MN
có mt vectơ ch phương là:
A.
( )
4; 2u =
. B.
(
)
4; 2u
=
. C.
( )
4; 2u =−−
. D.
(
)
2; 4u =
.
Câu 21: Trong mt phng vi h ta đ
,Oxy
cho đường thng
: 2 1 0.dx y
+=
Mt vectơ ch phương
của đường thng
d
A.
(
)
1; 2u =
. B.
( )
2; 1u =
. C.
( )
2; 1u =
. D.
( )
1; 2u =
.
Câu 22: Đưng thng
d
mt vectơ ch phương là
( )
2; 1u =
. Trong các vectơ sau, vectơ nào một
vectơ pháp tuyến ca
d
?
A.
( )
1
.1; 2n =

B.
( )
2
1; 2 .
n =

C.
( )
3
.3; 6n =

D.
( )
4
3; 6 .n =

CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Câu 23: Đưng thng
d
một vectơ pháp tuyến
(
)
4; 2
n =
. Trong các vectơ sau, vectơ nào mt
vectơ ch phương của
d
?
A.
( )
1
.
2; 4u =

B.
( )
2
2; 4 .u
=

C.
( )
3
.1; 2
u =

D.
( )
4
2;1 .u =

Câu 24: Đưng thng
d
có mt vectơ ch phương là
( )
3; 4u =
. Đưng thng
vuông góc với
d
một vectơ pháp tuyến là:
A.
( )
1
.4;3n =

B.
( )
2
4; 3 .n = −−

C.
( )
3
.3; 4n =

D.
( )
4
3; 4 .n =

Câu 25: Đưng thng
d
một vectơ pháp tuyến là
( )
2; 5n =−−
. Đưng thng
vuông góc với
d
mt vectơ ch phương là:
A.
( )
1
.5; 2u =

B.
(
)
2
5; 2 .
u
=

C.
( )
3
.2;5u =

D.
( )
4
2; 5 .u =

Câu 26: Đưng thng
d
có mt vectơ ch phương
( )
3; 4u =
. Đưng thng
song song với
d
một vectơ pháp tuyến là:
A.
( )
1
.
4;3
n =

B.
(
)
2
4;3 .n
=

C.
( )
3
.3; 4n =

D.
( )
4
3; 4 .n =

Câu 27: Đưng thng
d
có một vectơ pháp tuyến
( )
2; 5n =−−
. Đưng thng
song song với
d
mt vectơ ch phương là:
A.
( )
1
.5; 2u =

B.
(
)
2
5; 2 .
u =
−−

C.
( )
3
.
2;5u =

D.
(
)
4
2; 5 .
u
=

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Dạng 2.1 Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP, HỆ SỐ GÓC và 1 điểm đi qua
Câu 28: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho hai điểm
(
)
2;3A
( )
4; 1B
. Phương trình nào sau đây
phương trình đường thng
AB
?
A.
30xy
+−=
. B.
21yx= +
. C.
41
64
xy−−
=
. D.
13
12
xt
yt
= +
=
.
Câu 29: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
( )
2; 1A
( )
2;5B
A.
2
6
xt
yt
=
=
. B.
2
56
xt
yt
= +
= +
. C.
1
26
x
yt
=
= +
. D.
2
16
x
yt
=
=−+
.
Câu 30: Trong mt phng to độ
Oxy
, cho hai điểm
( )
3; 1A
( )
6;2B
. Phương trình nào dưới đây
không phải là phương trình tham số của đường thng
AB
?
A.
33
1
xt
yt
= +
=−−
. B.
33
1
xt
yt
= +
=−+
. C.
3xt
yt
=
=
. D.
63
2
xt
yt
=−−
= +
.
Câu 31: Phương trình tham số của đường thẳng qua
( )
1; 2M
,
( )
4;3N
A.
4
32
xt
yt
= +
=
. B.
15
23
xt
yt
= +
=−−
. C.
33
45
xt
yt
= +
= +
. D.
13
25
xt
yt
= +
=−+
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
3; 1 , 6; 2AB−−
A.
13
2
xt
yt
=−+
=
. B.
33
1
xt
yt
= +
=−−
. C.
33
6
xt
yt
= +
=−−
. D.
33
1
xt
yt
= +
=−+
.
Câu 33: Trong mt phng ta độ, cho hai điểm
( ) ( )
3; 0 , 0; 2AB
đường thng
:0dx y+=
. Lập phương
trình tham số của đường thng
qua
A
và song song với
d
.
A.
3
xt
yt
=
=
. B.
3
xt
yt
=
= +
. C.
3
xt
yt
=
=
. D.
3
xt
yt
=
= +
.
Câu 34: Cho đường thẳng
d
phương trình tham số
5
92
xt
yt
= +
=−−
.
Phương trình tổng quát của đường
thẳng
d
A.
2 10
xy+ −=
. B.
2 10xy + −=
. C.
2 10xy+ +=
. D.
2 3 10xy+ −=
.
Câu 35: Trong mt phng
Oxy
cho điểm
(1; 2)M
. Gi
,AB
hình chiếu của
M
lên
,Ox Oy
. Viết
phương trình đường thng
AB
.
A.
2 10xy
+ −=
. B.
2 20
xy++=
. C.
2 20xy+−=
. D.
30
xy+−=
.
Câu 36: Trong mt phng ta đ Oxy, cho đường thng
35
: ()
14
xt
dt
yt
=
= +
. Phương trình tổng quát
của đường thng d
A.
4 5 7 0.xy −=
. B.
4 5 17 0.xy
+−=
. C.
4 5 17 0.xy
−=
. D.
4 5 17 0.xy++=
Câu 37: Trong mt phng với hệ trc ta đ
Oxy
, cho đường thng d cắt hai trục
Ox
Oy
lần lượt ti
hai điểm
( )
;0Aa
( )
0;Bb
( )
0; 0ab≠≠
. Viết phương trình đường thng d.
A.
:0
xy
d
ab
+=
. B.
: 1.
xy
d
ab
−=
C.
: 1.
xy
d
ab
+=
D.
: 1.
xy
d
ba
+=
.
Câu 38: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( ) (
)
0; 4 , 6;0
AB
là:
A.
1
64
xy
+=
. B.
1
46
xy
+=
. C.
1
46
xy
+=
. D.
1
64
xy
+=
.
Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc hoặc với đường thẳng cho trước
Câu 39: Phương trình đường thng
d
đi qua
( )
1; 2A
và vuông góc với đường thng
:3210xy +=
là:
A.
3 2 70xy −=
. B.
2 3 40
xy+ +=
. C.
3 50xy+ +=
. D.
2 3 30xy+ −=
.
Câu 40: Cho đường thng
:8 6 7 0dx y +=
. Nếu đường thng
đi qua gc ta đ vuông góc với
đường thng d thì
có phương trình là
A.
43 0xy−=
. B.
43 0xy+=
. C.
34 0xy+=
. D.
34 0xy−=
.
Câu 41: Đưng thng đi qua điểm
( )
1;11A
và song song với đường thng
35yx= +
có phương trình là
A.
3 11yx= +
. B.
( )
3 14yx
=−+
. C.
38yx= +
. D.
10
yx= +
.
Câu 42:
Lập phương trình đường đi qua
( )
2;5A
và song song với đường thng
( )
: 3 4?dy x= +
A.
( )
: 32yx∆=
. B.
( )
: 31yx∆=
. C.
( )
1
:1
3
yx
=−−
. D.
( )
: 31yx =−−
.
Câu 43: Trong hệ trục
Oxy
, đường thẳng
d
qua
( )
1;1M
và song song với đường thẳng
': 1 0dxy+ −=
có phương trình là
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
A.
10xy
+ −=
. B.
0xy−=
. C.
10
xy
−+ −=
. D.
20xy+−=
.
Câu 44: Viết phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2I
vuông góc với đường
thẳng có phương trình
2 40xy−+=
.
A.
20xy+=
. B.
2 30xy+ −=
. C.
2 30xy+ +=
. D.
2 50
xy
+=
.
Câu 45: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba điểm
( )
2;0A
¸
( )
0;3B
( )
3; 1C −−
. Đưng thng
đi qua điểm
B
và song song với
AC
có phương trình tham số là:
A.
5
.
3
xt
yt
=
= +
B.
5
.
13
x
yt
=
= +
C.
.
35
xt
yt
=
=
D.
35
.
xt
yt
= +
=
Câu 46: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba điểm
( )
3; 2A
¸
( )
4;0P
( )
0; 2Q
. Đưng thng
đi qua điểm
A
và song song với
PQ
có phương trình tham số là:
A.
34
.
22
xt
yt
= +
=
B.
32
.
2
xt
yt
=
= +
C.
12
.
xt
yt
=−+
=
D.
12
.
2
xt
yt
=−+
=−+
Câu 47: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hình bình nh
ABCD
đnh
( )
–2;1
A
phương
trình đường thng cha cnh
CD
14
3
xt
yt
= +
=
. Viết phương trình tham s ca đưng thng
cha cnh
AB
.
A.
23
22
xt
yt
=−+
=−−
. B.
24
13
xt
yt
=−−
=
. C.
23
14
xt
yt
=−−
=
. D.
23
14
xt
yt
=−−
= +
.
Câu 48: Viết phương trình tham số của đường thng
d
đi qua điểm
( )
3; 5M
song song với đường
phân giác của góc phần tư thứ nht.
A.
3
5
xt
yt
=−+
=
. B.
3
5
xt
yt
=−+
= +
. C.
3
5
xt
yt
= +
=−+
. D.
5
3
xt
yt
=
=−+
.
Câu 49: Viết phương trình tham s ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
4; 7M
song song với trc
Ox
.
A.
14
7
xt
yt
= +
=
. B.
4
7
x
yt
=
=−+
. C.
7
4
xt
y
=−+
=
. D.
7
xt
y
=
=
.
Câu 50: Đưng thng
d
đi qua điểm
(
)
1; 2
M
song song với đường thng
: 2 3 12 0xy +−=
có
phương trình tổng quát là:
A.
2380xy
+ −=
. B.
2 3 80xy+ +=
. C.
4 6 10xy
+ +=
. D.
4 3 80xy
−=
.
Câu 51: Phương trình tổng quát của đưng thng
d
đi qua
O
song song với đường thng
:6 4 1 0xx +=
là:
A.
3 2 0.xy−=
B.
4 6 0.xy+=
C.
3 12 1 0.
xy+ −=
D.
6 4 1 0.xy −=
Câu 52: Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2M
và vuông góc với đường thng
:2 3 0xy +−=
có phương trình tổng quát là:
A.
20xy+=
. B.
2 30xy −=
. C.
10
xy+ −=
. D.
2 50xy
+=
.
Câu 53: Viết phương trình đường thng
đi qua điểm
( )
4; 3A
song song với đường thng
32
:
13
xt
d
yt
=
= +
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
A.
3 2 60xy+ +=
. B.
2 3 17 0xy
−+ +=
. C.
3 2 60xy+ −=
. D.
3 2 60
xy
+=
.
Câu 54: Cho tam giác
ABC
(
)
( )
( )
2;0 , 0;3 , 3;1ABC
. Đường thng
d
đi qua
B
và song song với
AC
có phương trình tổng quát là:
A.
5– 3 0
xy
+=
. B.
5 –3 0xy+=
. C.
5 15 0xy+=
. D.
15 15 0xy+=
.
Câu 55: Viết phương trình tổng quát ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 0M
vuông góc với đưng
thng
:.
2
xt
yt
=
=
A.
2 20
xy++=
. B.
2 20
xy−+=
. C.
2 10
xy +=
. D.
2 10xy+ +=
.
Câu 56: Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
2;1M
vuông góc với đưng thng
13
:
25
xt
yt
=
=−+
phương
trình tham số là:
A.
23
.
15
xt
yt
=−−
= +
B.
25
.
13
xt
yt
=−+
= +
C.
13
.
25
xt
yt
=
= +
D.
15
.
23
xt
yt
= +
= +
Câu 57: Viết phương trình tham số ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2A
song song với đường
thng
:3 13 1 0xy +=
.
A.
1 13
23
xt
yt
=−+
= +
. B.
1 13
23
xt
yt
= +
=−+
. C.
1 13
23
xt
yt
=−−
= +
. D.
13
2 13
xt
yt
= +
=
.
Câu 58: Viết phương trình tham số ca đưng thng
d
qua đim
( )
1; 2A
vuông góc với đưng thng
:2 4 0xy −+=
.
A.
12
2
xt
yt
=−+
=
. B.
42
xt
yt
=
= +
. C.
12
2
xt
yt
=−+
= +
. D.
12
2
xt
yt
= +
=
.
Câu 59: Viết phương trình tổng quát ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
2; 5M −−
song song với đưng
phân giác góc phần tư thứ nht.
A.
30
xy+−=
. B.
30xy
−=
. C.
30xy++=
. D.
2 10xy −=
.
Câu 60: Viết phương trình tổng quát ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
3; 1M
vuông góc với đưng
phân giác góc phần tư thứ hai.
A.
40xy+−=
. B.
40xy−−=
. C.
40xy++=
. D.
40xy−+=
.
Câu 61: Viết phương trình tham s của đường thng
d
đi qua điểm
( )
4;0
M
vuông góc với đường
phân giác góc phần tư thứ hai.
A.
4
xt
yt
=
=−+
. B.
4xt
yt
=−+
=
. C.
4
xt
yt
=
= +
. D.
4
xt
yt
=
=
.
Câu 62: Viết phương trình tổng quát của đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2M
song song với trc
Ox
.
A.
20y +=
. B.
10x +=
. C.
10x −=
. D.
20
y −=
.
Câu 63: Viết phương trình tham s của đường thng
d
đi qua điểm
( )
6; 10M
vuông góc với trc
Oy
.
A.
10
6
xt
y
= +
=
. B.
2
:
10
xt
d
y
= +
=
. C.
6
:
10
x
d
yt
=
=−−
. D.
6
:
10
x
d
yt
=
=−+
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Dạng 2.3 Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác
Dạng 2.3.1 Phương trình đường cao của tam giác
Câu 64: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho tam gc
ABC
( ) ( ) ( )
1;2 , 3;1 , 5;4ABC
. Phương trình nào
sau đây là phương trình đường cao kẻ t
A
ca tam giác
ABC
?
A.
2380
xy+ −=
. B.
2 3 80xy+ +=
. C.
3210xy +=
. D.
2 3 20
xy+ −=
.
Câu 65: Cho
ABC
( ) ( ) ( )
2; 1 , 4;5 , 3; 2A BC−−
. Đường cao
AH
ca
ABC
có phương trình là
A.
7 3 11 0xy+ −=
. B.
3 7 13 0
xy
−+ +=
. C.
3 7 17 0xy++=
. D.
7 3 10 0xy
++=
.
Câu 66: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
1;2 , 3;1 , 5;4ABC
. Phương trình nào
sau đây là phương trình đường cao kẻ t
A
ca tam giác
ABC
?
A.
2380
xy+ −=
. B.
2 3 80xy+ +=
.
C.
3210
xy
+=
. D.
2 3 20xy+ −=
.
Câu 67: Trong mặt phẳng cho tam giác
ABC
cân tại
C
( )
2; 1B
,
( )
4;3A
. Phương trình đường cao
CH
A.
2 10
xy −=
. B.
2 10xy +=
. C.
2 20xy+−=
. D.
2 50xy
+ −=
.
Câu 68: Cho
ABC
( ) ( ) ( )
2; 1 , 4;5 , 3; 2A BC−−
. Phương trình tổng quát của đường cao
BH
A.
3 5 37 0xy+−=
. B.
5 3 50xy
−=
. C.
35130xy
−=
. D.
3 5 20 0xy+−=
.
Câu 69: Đường trung trực của đoạn thng
AB
vi
( )
3; 2A =
,
( )
3; 3B =
có một vectơ pháp tuyến là:
A.
( )
1
6;5
n
=

. B.
( )
2
0;1n =

. C.
(
)
3
3; 5n =

. D.
(
)
4
1; 0n
=

.
Câu 70: Cho tam giác
ABC
( ) ( )
1;1 , 0; 2 , 4 .() ;2AB C
Lập phương trình đường trung tuyến ca tam
giác
ABC
kẻ t
.
A
A.
2 0.xy+−=
B.
2 3 0.xy
+−=
C.
2 3 0.xy
+ −=
D.
0.
xy−=
Câu 71: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
1; 4A
( )
5; 2B
có phương trình là:
A.
2 3 3 0.xy+ −=
B.
3 2 1 0.xy+ +=
C.
3 4 0.xy−+=
D.
1 0.xy+ −=
Câu 72: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
4; 1A
( )
1; 4
B
có phương trình là:
A.
1.xy+=
B.
0.xy+=
C.
0.yx
−=
D.
1.
xy−=
Câu 73: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
1; 4A
( )
1; 2B
có phương trình là:
A.
1 0.y +=
B.
1 0.x +=
C.
1 0.y −=
D.
4 0.xy−=
Câu 74: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
1; 4A
( )
3; 4B
có phương trình là :
A.
4 0.y +=
B.
2 0.
xy+−=
C.
2 0.x −=
D.
4 0.y −=
Câu 75: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( )
2; 1 , 4;5AB
( )
3; 2C
. Lp
phương trình đường cao của tam giác
ABC
kẻ t
.A
A.
7 3 11 0.xy+ −=
B.
3 7 13 0.
xy−+ +=
C.
3 7 1 0.xy+ +=
D.
7 3 13 0.xy++=
Câu 76: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( )
2; 1 , 4;5AB
( )
3; 2 .C
Lp
phương trình đường cao của tam giác
ABC
kẻ t
.B
A.
3 5 13 0.xy−=
B.
3 5 20 0.xy+−=
C.
3 5 37 0.xy+−=
D.
5 3 5 0.xy −=
Câu 77: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
( )
2; 1 , 4;5AB
( )
3; 2 .C
Lp
phương trình đường cao của tam giác
ABC
kẻ t
.C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
A.
1 0.xy
+ −=
B.
3 3 0.xy
+ −=
C.
3 11 0.xy
++ =
D.
3 11 0.
xy
−+ =
Dạng 2.3.2 Phương trình đường trung tuyến ca tam giác
Câu 78: Cho tam giác
ABC
với
( )
1;1A
,
( )
0; 2B
,
( )
4; 2C
. Phương trình tổng quát của đường trung
tuyến đi qua điểm
B
của tam giác
ABC
A.
7 7 14 0
++=xy
. B.
5 3 10xy
+=
. C.
3 20
xy
+−=
. D.
7 5 10 0xy−+ +=
.
Câu 79: Trong h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
2; 3 , 1; 0 , 1; 2A BC−−
. Phương trình đường
trung tuyến kẻ t đỉnh
A
ca tam giác
ABC
là:
A.
2 10xy −=
. B.
2 40xy +=
. C.
2 80xy+ −=
. D.
2 70xy+−=
.
Câu 80: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
1; 4A
,
( )
3; 2B
(
)
7;3 .
C
Viết
phương trình tham số của đường trung tuyến
CM
ca tam giác.
A.
7
.
35
x
yt
=
= +
B.
35
.
7
xt
y
=
=
C.
7
.
3
xt
y
= +
=
D.
2
.
3
x
yt
=
=
Câu 81: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
2; 4A
,
( )
5; 0B
( )
.2;1C
Trung
tuyến
BM
của tam giác đi qua điểm
N
có hoành độ bng
20
thì tung độ bng:
A.
12.
B.
25
.
2
C.
13.
D.
27
.
2
Dạng 2.3.3 Phương trình cạnh của tam giác
Câu 82: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
(
)
2;0
M
trung điểm ca cnh
AB
. Đường trung tuyến đường cao qua đnh A lần lượt phương trình là
7 2 30xy −=
6 40xy−=
. Phương trình đường thng
AC
A.
3 4 50
xy −=
. B.
3 4 50
xy+ +=
. C.
3 4 50xy +=
. D.
3 4 50xy+ −=
.
Câu 83: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có phương trình cạnh
AB
2 0,xy−−=
phương trình cạnh
AC
2 50xy+ −=
. Biết trng tâm ca tam giác đim
( )
3; 2G
và phương trình đường thng
BC
có dạng
0.
x my n+ +=
Tìm
.mn+
A.
3
. B.
2
. C.
5
. D.
4
.
Dạng 2.3.4 Phương trình đường phân giác của tam giác
Câu 84: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:0ax by c + +=
hai điểm
( )
;
mm
Mx y
,
(
)
;
nn
Nx y
không thuộc
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
, MN
khác phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +>
B.
, MN
cùng phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +≥
C.
, MN
khác phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +≤
D.
,
MN
cùng phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +>
Câu 85: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đưng thng
:3 4 5 0
dx y+ −=
hai điểm
( )
1; 3A
,
( )
2;Bm
. Tìm tt c các giá tr của tham số
m
để
A
B
nằm cùng phía đối với
d
.
A.
0m <
. B.
1
4
m
>−
. C.
1m >−
. D.
1
4
m
=
.
Câu 86: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
2
:
13
xt
d
yt
= +
=
hai điểm
( )
1; 2A
,
( )
2;Bm
. Tìm tt c các giá tr của tham số
m
để
A
B
nằm cùng phía đối với
d
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
A.
13.
m >
B.
13m
. C.
13.
m <
D.
13m =
.
Câu 87: Cặp đường thng nào i đây phân giác ca các góc hp bi hai đường thng
1
: 2 30xy + −=
2
:2 3 0
xy
+=
.
A.
30xy+=
30xy−=
. B.
30xy+=
3 60xy
+ −=
.
C.
30
xy+=
3 60xy−+ =
. D.
3 60
xy++=
3 60xy −=
.
Câu 88: Cặp đường thẳng nào i đây phân giác ca các góc hp bởi đường thng
:0xy +=
trục hoành.
A.
( )
12 0
xy+ +=
;
( )
12 0xy−− =
. B.
( )
12 0xy+ +=
;
( )
12 0
xy+− =
.
C.
( )
12 0xy+ −=
;
(
)
12 0xy
+− =
. D.
(
)
12 0
xy++ =
;
(
)
12 0
xy+− =
.
Câu 89: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
7
;3
4
A



,
( )
1; 2
B
(
)
4;3C
.
Phương trình đường phân giác trong của góc
A
là:
A.
4 2 13 0.xy+ −=
B.
4 8 17 0.xy+=
C.
4 2 1 0.xy −=
D.
4 8 31 0.xy+−=
Câu 90: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
(
)
1; 5A
,
( )
4; 5B −−
(
)
4; 1C
.
Phương trình đường phân giác ngoài của góc
A
là:
A.
5 0.y +=
B.
5 0.y −=
C.
1 0.
x
+=
D.
1 0.x −=
Câu 91: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
:3 4 3 0dxy −=
2
:12 5 12 0
d xy+−=
. Phương trình đường phân giác góc nhọn to bi hai đưng thng
1
d
2
d
là:
A.
3 11 3 0.
xy+ −=
B.
11 3 11 0.xy
−=
C.
3 11 3 0.xy −=
D.
11 3 11 0.
xy+ −=
Câu 92: Cho tam giác ABC phương trình cạnh
:3 4 9 0 −=
AB x y
, cnh
:8610 +=
AC x y
, cnh
: 50+−=
BC x y
. Phương trình đường phân giác trong của góc
A
là:
A.
14 14 17 0+ −=xy
. B.
2 2 19 0 −=xy
. C.
2 2 19 0++=xy
. D.
14 14 17 0
−=xy
.
Câu 93: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1; 2 ,A
( )
2; 3 ,B
( )
3; 0C
. Phương trình
đường phân giác ngoài góc
A
ca tam giác
ABC
A.
1x =
. B.
2
y
=
. C.
20xy+=
. D.
4 20xy+−=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG, VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG,
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Trong mt phng
Oxy
, đường thng
( )
( )
22
: 0, 0d ax by c a b+ += +
. Vectơ nào sau đây
một vectơ pháp tuyến của đường thng
( )
d
?
A.
( )
;n ab=
. B.
( )
;n ba=
. C.
( )
;n ba
=
. D.
( )
;n ab=
.
Li gii
Chn D
Ta có một vectơ pháp tuyến của đường thng
( )
d
( )
;n ab=
.
Do đó chọn đáp án D.
( )
1
;.n ab
=

Câu 2: Cho đường thng
d
có một vectơ pháp tuyến là
( )
;n ab=
,
,ab
. Xét các khẳng đnh sau:
1. Nếu
0b =
thì đường thng
d
không có hệ số góc.
2. Nếu
0b
thì h số góc của đưng thng
d
a
b
.
3. Đường thng
d
có một vectơ ch phương là
( )
;u ba=
.
4. Vectơ
kn
,
k
là vectơ pháp tuyến ca
d
.
Có bao nhiêu khẳng đnh sai?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Chn B
d
có một vectơ pháp tuyến là
( )
;n ab=
phương trình
:0d ax by c+ +=
.
Nếu
0b =
thì đường thng
:0d ax c+=
không có hệ số góc
khẳng định 1 đúng.
Nếu
0b
thì đường thng
:
ac
dy x
bb
=−−
có h số c là
a
b
khẳng định 2 sai.
Vi
( )
; .0u b a un u n= =⇒⊥

u
là mt vectơ ch phương của
d
khẳng định 3 đúng.
Chn
( )
0 0;0k kn
=∈⇒ =
không phải là vectơ pháp tuyến ca
d
khẳng định 4 sai.
Vậy có 2 mệnh đề sai.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
H THỐNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
Câu 3: Trong mt phng ta đ Oxy, cho đường thng
: 2 30dx y
+=
. Vectơ pháp tuyến của đường
thng
d
A.
( )
1; 2n
=
B.
(
)
2;1
n
=
C.
( )
2;3n
=
D.
( )
1; 3n =
Li gii
Chọn A
Câu 4: Cho đường thng
(
)
:3 2 10 0
dxy
+ −=
. Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của
( )
d
?
A.
( )
3;2u =
. B.
(
)
3; 2u =
. C.
( )
2; 3u =
. D.
( )
2; 3u =−−
.
Li gii
Chọn C
Đưng thng
( )
d
một véctơ pháp tuyến
( )
3;2n =
nên
( )
d
một véctơ ch phương
( )
2; 3u =
.
Câu 5: Cho đường thng
1
5
:
2
33
xt
yt
=
=−+
một vectơ pháp tuyến ca đưng thng
có tọa đ
A.
( )
5; 3
. B.
( )
6;1
. C.
1
;3
2



. D.
( )
5;3
.
Li gii
Chn B
1
5
:
2
33
xt
yt
=
=−+
có một vectơ ch phương là
1
;3
2
u

=


suy ra có một vectơ pháp tuyến là
1
3;
2
n

=


. Do đó đường thng
cũng có một vectơ pháp tuyến có tọa đ
( )
6;1
.
Câu 6: Trong h trc ta đ
Oxy
, Véctơ nào mt véctơ pháp tuyến ca đưng thng
2
:
12
xt
d
yt
=−−
=−+
?
A.
( )
2; 1n −−
. B.
( )
2; 1n
. C.
( )
1; 2n
. D.
(
)
1; 2n
.
Li gii
Chọn A
Mt VTCP của đường thng
d
( )
1; 2u
mt VTPT ca
d
( )
2; 1n −−
.
Câu 7: Vectơ ch phương của đường thng
d
:
14
23
xt
yt
=
=−+
là:
A.
( )
4;3u =
. B.
( )
4;3u =
. C.
( )
3; 4u =
. D.
( )
1; 2u =
.
Li gii
Chọn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Đưng thng
d
:
14
23
xt
yt
=
=−+
có vectơ ch phương là
( )
4;3u =
.
Câu 8: Vector nào dưới đây là 1 vector chỉ phương của đường thẳng song song với trc
Ox
:
A.
( )
1; 0u =
. B.
(1; 1)u =
. C.
(1;1)u =
. D.
(0;1)u =
.
Li gii
Chọn A
Vector
(1; 0)i =
là mt vector ch phương của trc
Ox
Các đưng thẳng song song với trc
Ox
có 1 vector chỉ phương là
(1; 0)
ui= =

Câu 9: Cho đường thng
:7 3 1 0
dx y+ −=
. Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d?
A.
( )
7;3u =
. B.
( )
3; 7u =
. C.
( )
3; 7u =
. D.
( )
2;3u =
.
Li gii
Chọn C
Đưng thng d có 1 VTPT là
( )
7;3n =
nên d có 1 VTCP là
( )
3; 7
u =
.
Câu 10: Cho đường thng
:2 3 4 0dx y
+ −=
. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của đường thng
d
?
A.
( )
1
3;2n =

. B.
(
)
1
4; 6
n =−−

. C.
(
)
1
2; 3n
=

. D.
( )
1
2;3n =

.
Li gii
Chn B
Véctơ pháp tuyến của đường thng
d
:
(
)
1
4; 6n
=−−

.
Câu 11: Cho đường thng
: 5 3 7 0.dxy
+ −=
Vectơ nào sau đây mt vec ch phương của đưng
thng
?d
A.
( )
1
3; 5n =

. B.
( )
2
3; 5n =

. C.
( )
3
5;3n =

. D.
( )
4
5; 3n
=−−

.
Li gii
Chn D
Đưng thng
: 5 3 7 0
dxy+ −=
có vec tơ pháp tuyến là:
( )
5;3 .n =
Ta có:
2
. 0.nn =

d
có một vec tơ chỉ phương là
(
)
2
3; 5 .n =

Câu 12: Cho đường thng
: 2 30xy
+=
. Véc tơ nào sau đây không véc tơ ch phương của
?
A.
( )
4; 2u =
. B.
( )
2; 1v =−−
. C.
( )
2;1m =

. D.
( )
4;2q =
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Nếu
u
là một véc tơ chỉ phương của đường thng
thì
., 0ku k∀≠
cũng là véc tơ chỉ phương
của đường thng
.
T phương trình đường thng
ta thấy đường thng
có một véc tơ chỉ phương có toạ độ
( )
2;1
. Do đó véc tơ
( )
4; 2u =
không phải là véc tơ ch phương của
.
Câu 13: Cho hai điểm
( )
1; 2A =
( )
5; 4B =
. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
AB
A.
( )
1; 2−−
. B.
(
)
1; 2
. C.
( )
2;1
. D.
(
)
1; 2
.
Li gii
Chn D
Ta có
( ) (
)
4; 2 2 2;1AB = =

suy ra vectơ pháp tuyến của đường thng
AB
( )
1; 2
AB
n =

.
Câu 14: Cho đường thng
:7 3 1 0dx y+ −=
. Vectơ nào sau đây là Vec ch phương ca đưng thng d?
A.
( )
7;3u =
. B.
( )
3; 7u =
. C.
( )
3; 7u =
. D.
( )
2;3u =
.
Li gii
Chọn C
Đưng thng d có 1 VTPT là
( )
7;3n =
nên d có 1 VTCP là
( )
3; 7u
=
Câu 15: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến ca
: 2 2018 0dx y−+ =
?
A.
( )
1
0; 2n
. B.
( )
3
2;0n
. C.
( )
4
2;1n
. D.
( )
2
1; 2n
.
Li gii
Chn D
Đưng thng
: 2 2018 0dx y
−+ =
có vectơ pháp tuyến là
( )
2
1; 2n
.
Câu 16: Vectơ nào trong các vectơ dưới đây là vectơ pháp tuyến của đường thng
2 10yx+ −=
?
A.
(
)
2; 1
. B.
(
)
1; 2
. C.
( )
2;1
. D.
( )
2; 1−−
.
Li gii
Chn D
( )
: 2 10
dy x+ −=
2 10
xy +−=
;
( )
d
có VTPT là
( )
2;1n =
hay
( )
/
2; 1n =−−
Câu 17: Trong mt phng
Oxy
, cho đường thng
:2 1 0d xy +=
, một véctơ pháp tuyến ca
d
A.
( )
2; 1−−
. B.
(
)
2; 1
. C.
( )
1; 2−−
. D.
( )
1; 2
.
Li gii
Chn B
Một véctơ pháp tuyến của đường thng
d
( )
2; 1n =
.
Câu 18: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
cho đường thng
:2 3 4 0dx y +=
. Vectơ nào sau đây là
mt vectơ ch phương của d.
A.
( )
4
3; 2u =

. B.
( )
2
2;3u =

.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
C.
(
)
1
2; 3
u =

. D.
( )
3
3; 2u =

Li gii
Chn D
Ta thy đường thng
d
có một vectơ pháp tuyến là
( )
2; 3
. Do đó
(
)
3
3; 2
u =

là mt vectơ ch
phương của d.
Câu 19: Vectơ nào sau đây là một Vectơ ch phương của đưng thng
:6 2 3 0xy
+=
?
A.
( )
1; 3
u
. B.
(
)
6; 2
u
. C.
( )
1; 3
u
. D.
( )
3; 1
u
.
Li gii
Chọn A
+) Mt véctơ pháp tuyến của đường thng
( )
6; 2n
nên véctơ ch phương của đường
thng
( )
1; 3
u
.
Câu 20: Cho hai điểm
( )
2;3M
( )
2;5N
. Đường thng
MN
có một vectơ ch phương là:
A.
( )
4; 2u =
. B.
( )
4; 2u =
. C.
( )
4; 2
u =−−
. D.
( )
2; 4u
=
.
Li gii
Chn B
( )
4; 2
MN =

. Do đó vectơ chỉ phương của
MN
( )
4; 2u =
.
Câu 21: Trong mt phng vi h ta đ
,Oxy
cho đường thng
: 2 1 0.dx y +=
Mt vectơ ch phương
của đường thng
d
A.
( )
1; 2u =
. B.
( )
2; 1u =
. C.
( )
2; 1u =
. D.
( )
1; 2u =
.
Li gii
Chn B
Đưng thng
: 2 1 0.dx y +=
có vectơ pháp tuyến là
(1; 2)n = −⇒
Vectơ ch phương của
d
(2;1)u =
.
Câu 22: Đưng thng
d
mt vectơ ch phương là
( )
2; 1
u =
. Trong các vectơ sau, vectơ nào một
vectơ pháp tuyến ca
d
?
A.
( )
1
.1; 2n
=

B.
( )
2
1; 2 .n =

C.
( )
3
.3; 6n
=

D.
( )
4
3; 6 .n =

Li gii
Đưng thng d VTCP:
( )
2; 1u →
VTPT
( )
1; 2n
hoc
( )
3 3; 6 .n =
Chn D
Câu 23: Đưng thng
d
một vectơ pháp tuyến là
( )
4; 2n =
. Trong các vectơ sau, vectơ nào mt
vectơ ch phương của
d
?
A.
( )
1
.2; 4u =

B.
( )
2
2; 4 .u
=

C.
( )
3
.1; 2u =

D.
( )
4
2;1 .u =

Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Đưng thng d VTPT:
( )
4; 2
n →
VTCP
( )
2; 4u
hoc
(
)
.
1
;2
2
1
u
=
Chn C
Câu 24: Đưng thng
d
mt vectơ ch phương là
( )
3; 4u =
. Đưng thng
vuông góc với
d
một vectơ pháp tuyến là:
A.
(
)
1
.
4;3n
=

B.
( )
2
4; 3 .n = −−

C.
(
)
3
.
3; 4n
=

D.
( )
4
3; 4 .n =

Li gii
( )
(
)
3; 4
3; 4 .
d
d
u
nu
d
→
=
=
=

Chn D
Câu 25: Đưng thng
d
một vecpháp tuyến
( )
2; 5n =−−
. Đưng thng
vuông góc với
d
mt vectơ ch phương là:
A.
( )
1
.5; 2u =

B.
( )
2
5; 2 .u =

C.
( )
3
.2;5u =

D.
( )
4
2; 5 .u =

Li gii
(
)
(
)
2; 5
2; 5
d
d
n
un
d
→
=−−
= =−−
∆⊥

hay chn
(
)
2;5 .
n
−=
Chọn C
Câu 26: Đưng thng
d
mt vectơ ch phương
(
)
3; 4u
=
. Đưng thng
song song với
d
một vectơ pháp tuyến là:
A.
(
)
1
.
4;3n
=

B.
( )
2
4;3 .n =

C.
(
)
3
.3; 4n
=

D.
(
)
4
3; 4 .
n =

Li gii
( )
( )
( )
3; 4
3; 4 4;3 .
||
d
d
u
uu n
d
∆∆
→
=
= = 
→=

Chọn A
Câu 27: Đưng thng
d
một vectơ pháp tuyến là
(
)
2; 5n =−−
. Đưng thng
song song với
d
mt vectơ ch phương là:
A.
( )
1
.5; 2u =

B.
( )
2
5; 2 .u
= −−

C.
( )
3
.2;5
u =

D.
( )
4
2; 5 .u =

Li gii
( )
( ) ( )
2; 5
2;5 5;2.
||
d
d
n
nu u
d
∆∆

=−−
= = → =

Chọn A
DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Dạng 2.1 Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP, HỆ SỐ GÓC và 1 điểm đi qua
Câu 28: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
2;3A
( )
4; 1B
. Phương trình nào sau đây
phương trình đường thng
AB
?
A.
30xy+−=
. B.
21yx= +
. C.
41
64
xy−−
=
. D.
13
12
xt
yt
= +
=
.
Li gii
Chn D
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Bốn phương trình đã cho trong bốn phương án đều là phương trình của đường thng.
Thay lần lượt ta đ ca
A
,
B
vào từng phương án ta thấy ta đ ca
A
B
đều thỏa
phương án
D
.
Câu 29: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
(
)
2; 1A
( )
2;5B
A.
2
6
xt
yt
=
=
. B.
2
56
xt
yt
= +
= +
. C.
1
26
x
yt
=
= +
. D.
2
16
x
yt
=
=−+
.
Lời giải
Chọn D
Vectơ ch phương
( )
0;6AB =

.
Phương trình đường thng
AB
đi qua
A
và có vecto chỉ phương
( )
0;6AB =

2
16
x
yt
=
=−+
Câu 30: Trong mt phng to độ
Oxy
, cho hai điểm
( )
3; 1A
( )
6;2B
. Phương trình nào dưới đây
không phải là phương trình tham số của đường thng
AB
?
A.
33
1
xt
yt
= +
=−−
. B.
33
1
xt
yt
= +
=−+
. C.
3xt
yt
=
=
. D.
63
2
xt
yt
=−−
= +
.
Li gii
Chn B
Cách 1: Thay ta đ các đim
A
,
B
lần lượt vào các phương trình trong các phương án trên thì
thấy phương án B không thỏa mãn.
Cách 2: Nhn thy rằng các phương trình ở các phương án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các
đường thẳng đó cùng phương, riêng chỉ có phương án B thì không. Do đó lựa Chn B
Câu 31: Phương trình tham số của đường thẳng qua
( )
1; 2
M
,
(
)
4;3N
A.
4
32
xt
yt
= +
=
. B.
15
23
xt
yt
= +
=−−
. C.
33
45
xt
yt
= +
= +
. D.
13
25
xt
yt
= +
=−+
.
Li gii
Chn D
Đưng thng có véctơ ch phương
(
)
3; 5MN =

đi qua
( )
1; 2M
nên có phương trình tham
số
13
25
xt
yt
= +
=−+
.
Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
(
) ( )
3; 1 , 6; 2AB−−
A.
13
2
xt
yt
=−+
=
. B.
33
1
xt
yt
= +
=−−
. C.
33
6
xt
yt
= +
=−−
. D.
33
1
xt
yt
= +
=−+
.
Li gii
Chn B
Ta có
( ) ( )
9; 3 3; 1 .
AB
AB u=⇒=
 
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Suy ra phương trình tham số của đường thng
AB
33
1
xt
yt
= +
=−−
.
Câu 33: Trong mt phng ta độ, cho hai điểm
( ) ( )
3; 0 , 0; 2AB
đường thng
:0dx y
+=
. Lập phương
trình tham số của đường thng
qua
A
và song song với
d
.
A.
3
xt
yt
=
=
. B.
3
xt
yt
=
= +
. C.
3
xt
yt
=
=
. D.
3
xt
yt
=
= +
.
Li gii
Chọn A
Ta có
song song với
d
nên
( )
: 00x yC C ++ =
.
qua
( )
3; 0A
, suy ra
30 0 3CC++ = =
Như vy
: 30xy +−=
Vy
có phương trình tham số:
3
xt
yt
=
=
.
Câu 34: Cho đường thẳng
d
phương trình tham số
5
92
xt
yt
= +
=−−
.
Phương trình tổng quát của đường
thẳng
d
A.
2 10xy+ −=
. B.
2 10xy + −=
. C.
2 10xy+ +=
. D.
2 3 10xy+ −=
.
Li gii
Chọn A
Đưng thng
( )
5
:
92
xt
d
yt
= +
=−−
5
92
tx
yt
=
=−−
( )
92 5yx =−−
2 10xy
+ −=
.
Câu 35: Trong mt phng
Oxy
cho điểm
(1; 2)M
. Gi
,AB
hình chiếu của
M
lên
,Ox Oy
. Viết
phương trình đường thng
AB
.
A.
2 10xy+ −=
. B.
2 20xy++=
. C.
2 20xy+−=
. D.
30xy+−=
.
Li gii:
Chọn C
Ta có hình chiếu của điểm
(1; 2)M
lên
,Ox Oy
lần lượt là A và B. Do đó phương
trình đường thẳng AB là
1 2 20
12
xy
xy+ = +−=
.
Câu 36: Trong mt phng ta đ Oxy, cho đường thng
35
: ()
14
xt
dt
yt
=
= +
. Phương trình tổng quát
của đường thng d
A.
4 5 7 0.xy −=
. B.
4 5 17 0.xy+−=
. C.
4 5 17 0.xy−=
. D.
4 5 17 0.xy++=
Li gii
Chọn.B.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
3
35
31
5
: ( ) 4 5 17 0
14
1
54
4
x
t
xt
xy
d t xy
yt
y
t
=
=
−−
= +−=

= +
=
Đáp án B.
Câu 37: Trong mt phng với hệ trc ta đ
Oxy
, cho đường thng d cắt hai trục
Ox
Oy
lần lượt ti
hai điểm
( )
;0
Aa
( )
0;Bb
( )
0; 0ab≠≠
. Viết phương trình đường thng d.
A.
:0
xy
d
ab
+=
. B.
: 1.
xy
d
ab
−=
C.
: 1.
xy
d
ab
+=
D.
: 1.
xy
d
ba
+=
.
Li gii
Phương trình đoạn chn của đường thng
: 1.
xy
d
ab
+=
Câu 38: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
0; 4 , 6;0AB
là:
A.
1
64
xy
+=
. B.
1
46
xy
+=
. C.
1
46
xy
+=
. D.
1
64
xy
+=
.
Li gii
Chn D
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
;0 , 0;Ma N b
với
,0ab
1
xy
ab
+=
.
Áp dụng phương trình trên ta chọn phương án
D
.
Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc hoặc với đường thẳng cho trước
Câu 39: Phương trình đường thng
d
đi qua
( )
1; 2A
và vuông góc với đường thng
:3210
xy +=
là:
A.
3 2 70xy
−=
. B.
2 3 40xy+ +=
. C.
3 50xy+ +=
. D.
2 3 30xy
+ −=
.
Li gii
Chn B
Do
( )
2;3
d
dn⊥∆⇒

Mà đường thng
d
đi qua
( )
1; 2
A
nên ta có phương trình:
(
) ( )
2 1 3 2 0 2 3 40x y xy+ + = + +=
.
Vậy phương trình đường thng
:2 3 4 0dx y
+ +=
.
Câu 40: Cho đường thng
:8 6 7 0dx y +=
. Nếu đường thng
đi qua gc ta đ vuông góc với
đường thng d thì
có phương trình là
A.
43 0xy−=
. B.
43 0xy+=
. C.
34 0xy+=
. D.
34 0xy−=
.
Li gii
Chọn C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
vuông góc với đường thng
:8 6 7 0dx y +=
nên phương trình
:6 8 0x yC + +=
đi qua gốc ta đ nên ta có:
6.0 8.0 0 0CC+ +==
.
Vậy phương trình
:6 8 0xy +=
hay
:3 4 0xy +=
Câu 41: Đưng thng đi qua điểm
(
)
1;11
A
và song song với đường thng
35
yx= +
có phương trình là
A.
3 11yx= +
. B.
( )
3 14
yx
=−+
. C.
38yx= +
. D.
10yx
= +
.
Li gii
Chọn C
Gi
( )
d
là đường thng cn tìm. Vì
(
)
d
song song với đường thng
35
yx
= +
nên
( )
d
phương trình
3y xa= +
,
5a
.
( )
d
đi qua điểm
( )
1;11A
nên ta có
11 3 1 8aa= ⋅+ =
.
Vậy phương trình đường thng
( )
d
cn tìm là
38yx= +
.
Câu 42:
Lập phương trình đường đi qua
( )
2;5A
và song song với đường thng
( )
: 3 4?dy x= +
A.
( )
: 32yx∆=
. B.
( )
: 31yx∆=
. C.
( )
1
:1
3
yx
=−−
. D.
( )
: 31yx =−−
.
Li gii
Chn B
Gi
( )
là đường thng cn tìm.
+)
( ) (
)
// : 3 4dy x
∆=+
. Suy ra phương trình
( )
có dạng
3y xb= +
,
4b
.
(
)
2;5 5 6
Ab∈∆ = +
1b⇔=
Vy
( )
: 31yx∆=
.
Câu 43: Trong hệ trục
Oxy
, đường thẳng
d
qua
( )
1;1M
và song song với đường thẳng
': 1 0
dxy+ −=
phương trình là
A.
10xy+ −=
. B.
0xy
−=
. C.
10xy−+ −=
. D.
20xy+−=
.
Li gii
Chn D
Do đường thng
d
song song với đường thẳng
': 1 0dxy+ −=
nên đường thẳng
d
nhận véc
( )
1;1n =
làm véc tơ pháp tuyến.
Khi đó đường thẳng
d
qua
( )
1;1M
và nhận véc tơ
( )
1;1n =
làm véc tơ pháp tuyến có phương
trình là
20xy+−=
.
Câu 44: Viết phương trình tổng quát của đưng thẳng đi qua điểm
( )
1; 2I
vuông góc với đường
thẳng có phương trình
2 40xy−+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
A.
20xy+=
. B.
2 30
xy
+ −=
. C.
2 30xy+ +=
. D.
2 50xy +=
.
Li gii
Chn B
Ta đưng thng vng c vi
2 40xy−+=
phương trình
20
x ym
+ +=
, đường
thẳng này đi qua điểm
( )
1; 2I
, suy ra
1 2.2 0 3mm−+ + = =
.
Vậy đường thng cần tìm có phương trình
2 30
xy
+ −=
.
Câu 45: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba điểm
( )
2;0A
¸
( )
0;3B
( )
3; 1C −−
. Đưng thng
đi qua điểm
B
và song song với
AC
có phương trình tham số là:
A.
5
.
3
xt
yt
=
= +
B.
5
.
13
x
yt
=
= +
C.
.
35
xt
yt
=
=
D.
35
.
xt
yt
= +
=
Li gii
Gi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có
( )
( ) ( )
( )
5; 1 1. 5;1
0;3
5
:
3
d
B
d
d
C
xt
t
A
yt
u
=
 
=

= +
= −− =

Chọn A
Câu 46: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba điểm
( )
3; 2A
¸
( )
4;0P
( )
0; 2Q
. Đưng thng
đi qua điểm
A
và song song với
PQ
có phương trình tham số là:
A.
34
.
22
xt
yt
= +
=
B.
32
.
2
xt
yt
=
= +
C.
12
.
xt
yt
=−+
=
D.
12
.
2
xt
yt
=−+
=−+
Li gii
Gi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.
Ta có:
( )
( ) ( )
4; 2 2 2;
3; 2
32
:
1
2
d
A d
uP
xt
d
yt
Q
= +

= +
=
= −=

(
) (
)
2
12
:.1; 0
t
xt
dd t
y
M
t
=
=
+
∈→
=

Chọn C
Câu 47: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hình bình nh
ABCD
đnh
( )
–2;1A
phương
trình đường thng cha cnh
CD
14
3
xt
yt
= +
=
. Viết phương trình tham s ca đưng thng
cha cnh
AB
.
A.
23
22
xt
yt
=−+
=−−
. B.
24
13
xt
yt
=−−
=
. C.
23
14
xt
yt
=−−
=
. D.
23
14
xt
yt
=−−
= +
.
Li gii
( ) ( )
( )
( )
, 4;3
|| 4; 3
2;1
24
:.
13
CD
AB CD
A AB u
AB CD u
A
xt
Bt
yt
u
=
∈=
=−=
−−
→

=

Chn B
Câu 48: Viết phương trình tham số của đường thng
d
đi qua điểm
( )
3; 5M
song song với đường
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
phân giác của góc phần tư thứ nht.
A.
3
5
xt
yt
=−+
=
. B.
3
5
xt
yt
=−+
= +
. C.
3
5
xt
yt
= +
=−+
. D.
5
3
xt
yt
=
=−+
.
Li gii
Góc phần tư:
( ) (
)
:
3
1;1 : .
5
0
d
x
xt
uud t
yt
y VTCP
=
−+
= →
= +
→
=

Chn B
Câu 49: Viết phương trình tham s ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
4; 7M
song song với trc
Ox
.
A.
14
7
xt
yt
= +
=
. B.
4
7
x
yt
=
=−+
. C.
7
4
xt
y
=−+
=
. D.
7
xt
y
=
=
.
Li gii
( ) (
) ( )
4
4
:.:
7
1; 0 1; 0 0; 7
7
t
Ox d
xt
uu dd
y
xt
A
y
d
=
= +
=  =  
=
=
=

Chn D
Câu 50: Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2M
song song với đường thng
: 2 3 12 0xy +−=
có
phương trình tổng quát là:
A.
2380xy+ −=
. B.
2 3 80
xy+ +=
. C.
4 6 10xy+ +=
. D.
4 3 80xy −=
.
Li gii
( )
( )
( )
1; 2
1; 2
:2 3 0
: 2 3 12 0
12
||
M
M
x yc c
xy
d
d
d
d


+ +=
+−=
/
=
2.1 3.2 0 8.cc + +==
Vy
:2380.dx y+ −=
Chọn A
Câu 51: Phương trình tổng quát của đưng thng
d
đi qua
O
song song với đường thng
:6 4 1 0xx
+=
là:
A.
3 2 0.xy−=
B.
4 6 0.xy+=
C.
3 12 1 0.xy+ −=
D.
6 4 1 0.xy
−=
Li gii
( )
( )
( )
0;0
0;0
6.0 4.0 0 0.
:6 4 0 1
|| : 6 4 1 0
d
d
dx
x
O
O
c
d
cc
xc
x

→ + = =

+= =
−+
=
/
Vy
:640 :320.dxy dxy−= −=
Chọn A
Câu 52: Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2M
và vuông góc với đường thng
:2 3 0xy +−=
có phương trình tổng quát là:
A.
20xy+=
. B.
2 30xy
−=
. C.
10xy+ −=
. D.
2 50xy
+=
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
( ) ( )
1; 2 1; 2
1 2.2 0 5.
:2 3 0 : 2 0
ddMM
cc
x y dx y cd
−−


→ → + = =

+−= +=

∈∈
Vy
: 2 5 0.dx y +=
Chn D
Câu 53: Viết phương trình đường thng
đi qua điểm
( )
4; 3A
song song với đường thng
32
:
13
xt
d
yt
=
= +
.
A.
3 2 60xy+ +=
. B.
2 3 17 0xy−+ +=
. C.
3 2 60xy+ −=
. D.
3 2 60xy +=
.
Li gii
Ta có:
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2;3
2; 3 3; 2
||
:3 4 2 3 0 :3 2 6 0.
4; 3
4; 3
d
A d
d
u
un
d
x y xy
A
∆∆
=
=−→
=
−+ +=
⇔∆ + =

Câu 54: Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
2;0 , 0;3 , 3;1ABC
. Đường thng
d
đi qua
B
và song song với
AC
có phương trình tổng quát là:
A.
5– 3 0xy+=
. B.
5 –3 0xy+=
. C.
5 15 0
xy
+=
. D.
15 15 0
xy
+=
.
Li gii
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0;3
0;3
:1 0 .
5;1
5 30
|
: 51
1; 5
5
|
0
AC
d
d
d
B
B
dd
u AC
n
x y xy
d AC
= =


−+ −= + =
=

Câu 55: Viết phương trình tổng quát ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 0M
vuông góc với đưng
thng
:.
2
xt
yt
=
=
A.
2 20xy++=
. B.
2 20xy−+=
. C.
2 10
xy +=
. D.
2 10xy+ +=
.
Li gii
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
.1; 2
1
1; 0
1; 0
:1 1
;2
2 0 0 : 2 10
d
M
y
d
d
u
n
M
dx x
d
dy
+ = +=
=
=
Chọn C
Câu 56: Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
2;1M
vuông góc với đưng thng
13
:
25
xt
yt
=
=−+
phương
trình tham số là:
A.
23
.
15
xt
yt
=−−
= +
B.
25
.
13
xt
yt
=−+
= +
C.
13
.
25
xt
yt
=
= +
D.
15
.
23
xt
yt
= +
= +
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
.3; 5
3;
2
5 5;
2;1
;1
25
1
3
:
3
dd
dM
t
d
u
u
M
x
d
n
t
d
yt
=−+
→→

= +
=−∈
= →=

Chn B
Câu 57: Viết phương trình tham số ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2A
song song với đường
thng
:3 13 1 0
xy
+=
.
A.
1 13
23
xt
yt
=−+
= +
. B.
1 13
23
xt
yt
= +
=−+
. C.
1 13
23
xt
yt
=−−
= +
. D.
13
2 13
xt
yt
= +
=
.
Li gii
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
.3; 13
3; 1
2
3 13; 3
1; 2
1;
1 13
:
2
|
3
|
dd
d
d
n
A
A
xt
d
nu
t
t
d
y
=−+
→→

= +
=−∈
=−=

Chọn A
Câu 58: Viết phương trình tham số ca đưng thng
d
qua đim
( )
1; 2
A
vuông góc với đưng thng
:2 4 0xy
−+=
.
A.
12
2
xt
yt
=−+
=
. B.
42
xt
yt
=
= +
. C.
12
2
xt
yt
=−+
= +
. D.
12
2
xt
yt
= +
=
.
Li gii
( )
( )
(
)
( )
( )
1
2; 1
2;
1; 2
;2
12
.
2
1
:
d
A
A
x
n
t
d
t
d
t
y
d
u
d
=−+
→→

=
=−∈
=
Chọn A
Câu 59: Viết phương trình tổng quát ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
2; 5M −−
song song với đưng
phân giác góc phần tư thứ nht.
A.
30xy+−=
. B.
30xy
−=
. C.
30xy++=
. D.
2 10xy
−=
.
Li gii
( )
( )
( )
(
)
( )
2; 5
2; 5 0
2 5 0 3.:
:
(I) 0
0
||
0
d
x
M
M
cc
dx y c c
y
d
−=
=+
−−
−− =
→− + = =−

/
=
Vy
: 3 0.
dx y
−=
Chn B
Câu 60: Viết phương trình tổng quát ca đưng thng
d
đi qua điểm
( )
3; 1M
vuông góc với đưng
phân giác góc phần tư thứ hai.
A.
40xy+−=
. B.
40xy−−=
. C.
40xy++=
. D.
40xy
−+=
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
( )
( ) ( )
( )
( )
3; 1
3; 1
:0
31 0 4 .
II : 0
: 40
M
M
dx y c
c
d
x
dx y
y
c
d
+=

+=
−− + =
=−→
=
Câu 61: Viết phương trình tham s của đường thng
d
đi qua điểm
( )
4;0M
vuông góc với đường
phân giác góc phần tư thứ hai.
A.
4
xt
yt
=
=−+
. B.
4xt
yt
=−+
=
. C.
4
xt
yt
=
= +
. D.
4
xt
yt
=
=
.
Li gii
( )
( ) (
) ( )
(
)
(
)
( )
4
II : 0 1;1
.
4
4;0 0; 4
1;1
:
4
t
d
x
M dd
xy n
d
t
u
xt
dt
A
yt
yt
=
=
=
−+
→
=
=
∈∈
+ ∆→ =
⊥∆→
=
→∈
= +
Câu 62: Viết phương trình tổng quát của đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 2M
song song với trc
Ox
.
A.
20
y +=
. B.
10x
+=
. C.
10x −=
. D.
20
y −=
.
Li gii
(
)
.
|| : 0
1; 2
:2
M
d
d Ox y
dy
→ =
=
Chn D
Câu 63: Viết phương trình tham s của đường thng
d
đi qua điểm
( )
6; 10M
vuông góc với trc
Oy
.
A.
10
6
xt
y
= +
=
. B.
2
:
10
xt
d
y
= +
=
. C.
6
:
10
x
d
yt
=
=−−
. D.
6
:
10
x
d
yt
=
=−+
.
Li gii
(
)
( )
( )
4
6; 10
6
:2
.
; 10
10
: 0 1; 0
2
:
10
d
t
M
A
d
d
d Oy x u
xt
d
y
xt
d
y
=
= +
 
=
=→=
=
→

+
=
Dạng 2.3 Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác
Dạng 2.3.1 Phương trình đường cao của tam giác
Câu 64: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho tam gc
ABC
có
( ) ( ) ( )
1;2 , 3;1 , 5;4ABC
. Phương trình nào
sau đây là phương trình đường cao kẻ t
A
ca tam giác
ABC
?
A.
2380xy+ −=
. B.
2 3 80
xy+ +=
. C.
3210xy +=
. D.
2 3 20xy+ −=
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
Chọn A
Gi
AH
đường cao kẻ t
A
ca
ABC
. Ta có:
AH BC vtpt AH⊥⇒
(
)
2;3
BC =

.
Phương trình
( ) ( )
:2 13 202380.AH x y x y + = + −=
.
Câu 65: Cho
ABC
( )
( ) ( )
2; 1 , 4;5 , 3; 2A BC−−
. Đường cao
AH
ca
ABC
có phương trình là
A.
7 3 11 0xy
+ −=
. B.
3 7 13 0xy−+ +=
. C.
3 7 17 0xy++=
. D.
7 3 10 0xy
++=
.
Li gii
Đưng cao
AH
đi qua điểm
(
)
2; 1A
và có VTPT là
( )
7; 3BC =−−

.
Vậy phương trình
AH
( )
( )
7 2 3 1 0 7 3 11 0x y xy
+= + =
.
Câu 66: Trên mt phng ta đ
Ox
y
, cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
1;2 , 3;1 , 5;4ABC
. Phương trình nào
sau đây là phương trình đường cao kẻ t
A
ca tam giác
ABC
?
A.
2380xy
+ −=
. B.
2 3 80xy+ +=
.
C.
3210
xy +=
. D.
2 3 20xy+ −=
.
Li gii
Chọn A
Ta có:
(
)
2;3
BC =

Đường cao kẻ t
A
ca tam giác
ABC
nhn
(
)
2;3BC
=

làm vectơ pháp tuyến và đi qua
điểm
A
nên có phương trình:
(
) ( )
2 1 3 2 0 2 3 80x y xy + = + −=
.
Câu 67: Trong mặt phẳng cho tam giác
ABC
cân tại
C
( )
2; 1B
,
( )
4;3
A
. Phương trình đường cao
CH
A.
2 10xy −=
. B.
2 10xy +=
. C.
2 20xy+−=
. D.
2 50xy
+ −=
.
Li gii
Chn D
Tam giác
ABC
cân ti
C
nên
H
là trung điểm ca
AB
CH AB
.
(
)
3;1H
( ) ( )
2; 4 2 1; 2AB =−− =

.
Vậy phương trình đường cao
CH
( ) ( )
1 32 10
xy+ −=
2 50xy
+ −=
.
Câu 68: Cho
ABC
có
( ) ( ) ( )
2; 1 , 4;5 , 3; 2A BC−−
. Phương trình tổng quát của đường cao
BH
A.
3 5 37 0xy+−=
. B.
5 3 50xy −=
. C.
35130xy−=
. D.
3 5 20 0xy+−=
.
Li gii
Chn B
Do
BH AC⊥⇒
Chn VTPT ca
BH
( )
5; 3 .
BH
n CA= =
 
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
Phương trình tổng quát ca
( ) ( )
: 5 4 3 5 0 5 3 5 0.BH x y x y =⇔ −=
Câu 69: Đường trung trực của đoạn thng
AB
vi
( )
3; 2A =
,
( )
3; 3B =
có một vectơ pháp tuyến là:
A.
( )
1
6;5n =

. B.
( )
2
0;1n =

. C.
( )
3
3; 5
n
=

. D.
( )
4
1; 0
n
=

.
Li gii
Gi
d
là trung trực đoạn AB, ta có:
( )
(
)
0;1
0;1 .
d
AB
n AB
d AB
→ =
=
=


Chn B
Câu 70: Cho tam giác
ABC
( ) ( )
1;1 , 0; 2 , 4 .() ;2AB C
Lập phương trình đường trung tuyến ca tam
giác
ABC
kẻ t
.A
A.
2 0.
xy+−=
B.
2 3 0.xy
+−=
C.
2 3 0.xy
+ −=
D.
0.
xy−=
Li gii
Gi M là trung điểm ca BC. Ta cần viết phương trình đường thng AM.
Ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )
1; 1 1;1 : 2 0.
0; 2
2;0
4; 2
AMAM
B
u AM n AM x yM
C
→=
= −→ = + =


Chọn A
Câu 71: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
1; 4
A
(
)
5; 2B
có phương trình là:
A.
2 3 3 0.
xy+ −=
B.
3 2 1 0.
xy+ +=
C.
3 4 0.xy
−+=
D.
1 0.xy+ −=
Li gii
Gi I là trung điểm ca AB
d
là trung trực đoạn AB. Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1;4, 5;2 3;1
: 2 3 3 0.
4;6 2 2;3
d
A
x
d
AB n
BI
dy
d AB
−
→ + =
=
⊥→ =
=

Chọn A
Câu 72: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
4; 1A
( )
1; 4B
có phương trình là:
A.
1.xy+=
B.
0.xy
+=
C.
0.yx
−=
D.
1.xy−=
Li gii
Gi I là trung điểm ca AB
d
là trung trực đoạn AB. Ta có
( ) (
)
( )
( )
55
4;1, 1;4 ;
22
: 0.
13 ; 3 3 ; 1
d
A
B
B
d
d
n
I
xy
d AB A
=

−→


=−− =
→ + =

Chn B
Câu 73: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
1; 4A
( )
1; 2B
có phương trình là:
A.
1 0.y +=
B.
1 0.x +=
C.
1 0.y −=
D.
4 0.xy−=
Li gii
Gi I là trung điểm ca AB
d
là trung trực đoạn AB. Ta có
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
( ) ( ) (
)
( )
(
)
1; 4 , 1; 2 1; 1
: 1 0.
10; 6 6 0;
d
A
d
d
BI
dy
AB n AB
− →−
→ + =
→= = =

Chọn A
Câu 74: Đường trung trực của đoạn
AB
vi
( )
1; 4A
( )
3; 4B
có phương trình là :
A.
4 0.y
+=
B.
2 0.
xy
+−=
C.
2 0.x −=
D.
4 0.y −=
Li gii
Gi I là trung điểm ca AB
d
là trung trực đoạn AB. Ta có
( )
(
)
( )
( )
( )
1;4, 3;4 2;4
: 2 0.
2;0 2 1;0
d
d
AB n AB
AB I
dx
d
−→
→ =
=
⊥==

Chọn C
Câu 75: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( )
2; 1 , 4;5AB
( )
3; 2C
. Lp
phương trình đường cao của tam giác
ABC
kẻ t
.A
A.
7 3 11 0.xy+ −=
B.
3 7 13 0.xy−+ +=
C.
3 7 1 0.
xy
+ +=
D.
7 3 13 0.xy++=
Li gii
Gi
A
h
là đường cao kẻ t A ca tam giác ABC. Ta có
( )
( ) (
)
.
7;
2; 1
: 7 3 11
3 7;
0
3
A
A
Ah
A
A
h
h
h BC n BC
xy
= =−−
−
+ −=
=

Chọn A
Câu 76: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) (
)
2; 1 , 4;5AB
( )
3; 2 .C
Lp
phương trình đường cao của tam giác
ABC
kẻ t
.B
A.
3 5 13 0.xy−=
B.
3 5 20 0.xy
+−=
C.
3 5 37 0.xy
+−=
D.
5 3 5 0.
xy −=
Li gii
Gi
B
h
là đường cao kẻ t B ca tam giác ABC. Ta có
( )
( ) ( )
.
5;3
4;5
;
:
5
5 3 50
3
B
B
Bh
B
h
h
B
AC n C
y
A
hx
−=
→= = =

Chn D
Câu 77: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( )
2; 1 , 4;5AB
( )
3; 2 .
C
Lp
phương trình đường cao của tam giác
ABC
kẻ t
.C
A.
1 0.xy+ −=
B.
3 3 0.xy+ −=
C.
3 11 0.xy++ =
D.
3 11 0.xy−+ =
Li gii
Gi
C
h
là đường cao kẻ t C ca tam giác ABC. Ta
( )
( ) ( )
.
2;
3
6
;2
:
21
3 30
;3
C
C
C
Ch
C
h
h
h AB
xy
n AB
−
==
+ −=
→=

Chn B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
Dạng 2.3.2 Phương trình đường trung tuyến của tam giác
Câu 78: Cho tam giác
ABC
với
( )
1;1A
,
( )
0; 2B
,
( )
4; 2C
. Phương trình tổng quát của đường trung
tuyến đi qua điểm
B
của tam giác
ABC
A.
7 7 14 0
++=
xy
. B.
5 3 10xy +=
. C.
3 20xy+−=
. D.
7 5 10 0
xy
−+ +=
.
Li gii
Chn D
Gi
M
là trung điểm ca cnh
53 57
;;
22 22
AC M BM
 
⇒=
 
 

.
Đường trung tuyến
BM
nhn
( )
7;5n =
làm một véctơ pháp tuyến. Vy phương trình tổng
quát của đường trung tuyến qua điểm
B
của tam giác
ABC
là:
7 5( 2) 0 7 5 10 0x y xy
−+ +=−+ +=
.
Câu 79: Trong h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
2; 3 , 1; 0 , 1; 2A BC−−
. Phương trình đường
trung tuyến kẻ t đỉnh
A
ca tam giác
ABC
là:
A.
2 10
xy −=
. B.
2 40xy +=
. C.
2 80xy+ −=
. D.
2 70xy+−=
.
Li gii
Chọn A
Gi
I
là trung điểm ca
(
)
0; 1
BC I⇒−
Ta có
( )
( )
2; 4 2; 1AI n=−− =

là vectơ pháp tuyến của đường thng
AI
.
Phương trình đường thng
AI
là:
( ) ( )
2 2 3 0 2 10x y xy−−−= =
Câu 80: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
1; 4A
,
( )
3; 2B
( )
7;3 .C
Viết
phương trình tham số của đường trung tuyến
CM
ca tam giác.
A.
7
.
35
x
yt
=
= +
B.
35
.
7
xt
y
=
=
C.
7
.
3
xt
y
= +
=
D.
2
.
3
x
yt
=
=
Li gii
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1; 4
7
5;0 5 1;0 : .
3
2
2;3
3;
A
C
x
MM
t
t
y
B
M C
= +
==→∈
=

Chọn C
Câu 81: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
2; 4A
,
( )
5; 0B
( )
.2;1C
Trung
tuyến
BM
của tam giác đi qua điểm
N
có hoành độ bằng
20
thì tung độ bằng:
A.
12.
B.
25
.
2
C.
13.
D.
27
.
2
Li gii
( )
( )
( )
56
51
3; 6; 5 : .
5
2
2; 4
5
2;
2
2;1
2
A
xt
MB MB
y
M
C
t

→


= +

= = →

=

CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
Ta có:
( )
5
20 5 6
2
5
25
2
20;
N
N
N
N
t
t
BM
yt
y
y
=
= +
→ →

=
=
Chn B
Dạng 2.3.3 Phương trình cạnh của tam giác
Câu 82: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
2;0M
trung điểm ca cnh
AB
. Đường trung tuyến đường cao qua đnh A lần lượt phương trình là
7 2 30xy −=
6 40xy−=
. Phương trình đường thng
AC
A.
3 4 50xy −=
. B.
3 4 50xy
+ +=
. C.
3 4 50xy
+=
. D.
3 4 50xy+ −=
.
Li gii
Chọn C
+) Gi
AH
AD
lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ t
A
ca tam giác
ABC
.
+) Ta đ
A
là nghiệm của hệ
( )
7 2 30 1
1; 2
6 40 2
xy x
A
xy y
−= =

⇒⇒

−−= =

.
+)
M
là trung điểm ca
AB
nên
( )
23
3; 2
22
B MA
B MA
x xx
B
y yy
= −=
⇒−
= −=
.
+) Đưng thng
BC
đi qua
( )
3; 2B
và vuông góc với đường thng
AH
:
6 40xy−=
nên
có phương trình
( )
–3 6 2 0 6 9 0x y xy+ + =+ +=
.
+)
D
là giao điểm ca
BC
AN
nên tọa đ
D
là nghiệm ca h
0
7 2 30
3
0;
3
6 90
2
2
x
xy
D
xy
y
=
−=

⇒−


+ +=
=

mà D là trung điểm ca BC suy ra
( )
3; 1C −−
+) Đưng thng
AC
đi qua
( )
1; 2A
( )
3; 1C −−
có phương trình là
3 4 50xy +=
.
Câu 83: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có phương trình cạnh
AB
2 0,xy
−−=
phương trình cạnh
AC
2 50xy+ −=
. Biết trng tâm ca tam giác đim
( )
3; 2G
và phương trình đường thng
BC
có dạng
0.x my n+ +=
Tìm
.mn
+
A.
3
. B.
2
. C.
5
. D.
4
.
Li gii
Chọn A
E
D
M
C
B
A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
Ta đ điểm
A
là nghiệm ca h
20 3
2 50 1
xy x
xy y
−−= =


+ −= =

nên
( )
3;1A
Gi
( )
;2B bb
( )
5 2;C cc
,
G
là trng tâm tam giác
ABC
nên
,
bc
là nghiệm ca h
52 39 5
216 2
cb b
cb c
++= =


+−+= =

.
Vy
(5;3); (1;2)BC
(
)
4; 1BC
=−−

chn một véctơ pháp tuyến của đường thng
BC
( )
1; 4
BC
n =

suy ra phương trình đường thng
( ) ( )
:1 1 4 2 0 : 4 7 0.BC x y BC x y = +=
Dạng 2.3.4 Phương trình đường phân giác của tam giác
Câu 84: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:0
ax by c + +=
hai điểm
( )
;
mm
Mx y
,
(
)
;
nn
Nx y
không thuộc
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
, MN
khác phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +>
B.
,
MN
cùng phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +≥
C.
, MN
khác phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +≤
D.
,
MN
cùng phía so với
khi
( ) ( )
. 0.
mm nn
ax by c ax by c+ + + +>
Li gii
Chn D
Câu 85: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đưng thng
:3 4 5 0
dx y+ −=
hai điểm
( )
1; 3A
,
( )
2;Bm
. Tìm tt c các giá tr của tham số
m
để
A
B
nằm cùng phía đối với
d
.
A.
0m <
. B.
1
4
m >−
. C.
1m >−
. D.
1
4
m =
.
Li gii
(
)
1; 3
A
,
( )
2;Bm
nằm cùng phía với
:3 4 5 0dx y
+ −=
khi và chỉ khi
( )( ) ( )
1
34534501014 0 .
4
AA BB
xy xy m m+ + >⇔ + >⇔ >
Chn B
Câu 86: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
2
:
13
xt
d
yt
= +
=
hai điểm
( )
1; 2A
,
( )
2;Bm
. Tìm tt c các giá tr của tham số
m
để
A
B
nằm cùng phía đối với
d
.
A.
13.m >
B.
13m
. C.
13.m <
D.
13m =
.
Li gii
2
: : 3 7 0.
13
xt
d d xy
yt
= +
→ + =
=
Khi đó điều kiện bài toán trở thành
( )( ) ( )
3 7 3 7 0 2 13 0 13.
AA BB
xy xy m m+ + >⇔ >⇔ <
Chọn C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Câu 87: Cặp đường thng nào i đây phân giác ca các góc hợp bởi hai đường thng
1
: 2 30xy + −=
2
:2 3 0
xy
+=
.
A.
30xy+=
30xy
−=
. B.
30xy+=
3 60xy+ −=
.
C.
30xy
+=
3 60xy−+ =
. D.
3 60xy++=
3 60xy −=
.
Li gii
Đim
( )
;M xy
thuc đưng phân giác ca các góc to bi
12
;∆∆
khi ch khi
( ) (
)
12
30
232 3
;; .
3 60
55
xy
x y xy
dM dM
xy
+=
+ −+
=⇔=⇔
+=
Chọn C
Câu 88: Cặp đường thẳng nào i đây phân giác ca các góc hợp bởi đường thng
:0
xy +=
trục hoành.
A.
( )
12 0xy+ +=
;
( )
12 0xy−− =
. B.
( )
12 0xy+ +=
;
( )
12 0xy+− =
.
C.
( )
12 0xy+ −=
;
( )
12 0xy+− =
. D.
( )
12 0xy++ =
;
( )
12 0xy+− =
.
Li gii
Đim
( )
;M xy
thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi
;:0
Ox y
∆=
khi và chỉ khi
( ) ( )
( )
( )
12 0
;; .
21
12 0
xy
xy y
dM dMOx
xy
++ =
+
= ⇔=
+− =
Chn D
Câu 89: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
7
;3
4
A



,
( )
1; 2B
( )
4;3C
.
Phương trình đường phân giác trong của góc
A
là:
A.
4 2 13 0.xy
+ −=
B.
4 8 17 0.xy+=
C.
4 2 1 0.xy −=
D.
4 8 31 0.xy+−=
Li gii
( )
(
)
7
; 3 , 1; 2 : 4 3 2 0
4
.
7
;3 , 4;3 : 3 0
4
A B AB x y
A C AC y

+=



−=


Suy ra các đường phân giác góc
A
là:
( )
( )
( )
( )
( )
4 2 13 0 ; 4 2 13
432 3
51
48170
1; 2 5 0
4;3 23 0
xy fxy xy
xy y
xy
fB
fC
+−= =+−
−+
=
+=
=−<
=−<
suy ra đường phân giác trong góc
A
4 8 17 0.xy
+=
Chn B
Câu 90: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
1; 5A
,
( )
4; 5B −−
( )
4; 1C
.
Phương trình đường phân giác ngoài của góc
A
là:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
A.
5 0.
y +=
B.
5 0.y −=
C.
1 0.x +=
D.
1 0.x −=
Li gii
( ) ( )
( ) ( )
1; 5 , 4; 5 : 2 3 0
.
1; 5 , 4; 1 : 2 7 0
A B AB x y
A C AC x y
−− +=
+−=
Suy ra các đường phân giác góc
A
là:
( )
( )
( )
(
)
( )
4; 5 5 0
10 ; 1
2 32 7
50
55
4; 1 3 0
fB
x f xy x
xy xy
y
fC
=−<
−= =
−+ +
=⇔→
−=
−=>
suy ra đường phân giác trong góc
A
5 0.y −=
Chn B
Câu 91: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
:3 4 3 0dxy −=
2
:12 5 12 0d xy+−=
. Phương trình đường phân giác góc nhọn to bi hai đưng thng
1
d
2
d
là:
A.
3 11 3 0.
xy
+ −=
B.
11 3 11 0.xy −=
C.
3 11 3 0.
xy −=
D.
11 3 11 0.xy+ −=
Li gii
Các đường phân giác của các góc tạo bởi
1
:3 4 3 0dxy
−=
2
:12 5 12 0d xy+−=
là:
3 11 3 0
3 4 3 12 5 12
.
11 3 11 0
5 13
xy
xy xy
xy
+ −=
+−
=
−=
Gi
(
) ( )
1
2
3 11 3
1; 0 ; : ,
0 10;3
Id x y M
dI d d
+
= −=
Gi
H
là hình chiếu của
M
lên
1
.d
Ta có:
30 12 3
130, 9,
5
IM MH
−−
= = =
suy ra
9
sin 52 2 90 .
130
MH
MIH MIH MIH
IM
= = >→ >

Suy ra
:3 11 3 0dx y+ −=
đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn
11 3 11 0xy −=
. Chn B
Câu 92: Cho tam giác ABC phương trình cnh
:3 4 9 0 −=AB x y
, cnh
:8610 +=
AC x y
, cnh
: 50+−=BC x y
. Phương trình đường phân giác trong của góc
A
là:
A.
14 14 17 0+ −=xy
. B.
2 2 19 0 −=xy
. C.
2 2 19 0++=xy
. D.
14 14 17 0 −=xy
.
Li gii
Chn D
:3 4 9 0 −=AB x y
:8610
+=AC x y
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
Phương trình các đường phân giác của góc
A
ca
ABC
là:
349 861
5 10
−− −+
= ±
xy xy
( )
(
)
2349 861
−=± +xy xy
( )
( )
1
2
2 2 19 0
14 14 17 0
++=
−=
xy
xy
{ }
= B AB BC
. Suy ra
29 6
;
77



B
.
{ }
=
C AC BC
. Suy ra
29 41
;
14 14



C
.
Xét
( )
1
: 2 2 19 0 + +=xy
29 6 29 41
. 2. 2 19 2. 2 19 0
7 7 14 14

= ++ + + >


Bc
tt
.
Suy ra
,BC
nm v cùng một phía đối với
( )
1
, nên
( )
1
là đường phân giác ngoài của góc
A
.
Vậy đường phân giác trong của góc
A
(
)
2
:14 14 17 0 −=xy
.
Câu 93: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1; 2 ,A
( )
2; 3 ,B
( )
3; 0C
. Phương trình
đường phân giác ngoài góc
A
ca tam giác
ABC
A.
1x =
. B.
2y =
. C.
20xy+=
. D.
4 20xy+−=
.
Li gii
Chn A
Bài toán tổng quát:
Gi
d
là phân giác ngoài góc
A
ca tam giác
ABC
.
Đặt
1
.AE AB
AB
=
 
,
1
.AF AC
AC
=
 
AD AE AF= +
  
.
Khi đó tứ giác
AEDF
là hình thoi.
.
Suy ra tia
AD
là tia phân giác trong góc
EAF
.
Do đó:
AD d
. Nên
AD

là vectơ pháp tuyến ca đưng thng
d
.
Áp dụng:
( )
( )
1; 1 , 2
2;2 , 2 2
AB AB
AC AC
=−=
= =


( )
( )
2;0 2 1;0AD⇒= =

.
Xem đáp án chỉ có đáp án A có vectơ pháp tuyến là
( )
1; 0
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 4. V TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯNG
THNG, GÓC VÀ KHONG CÁCH
I. V TRÍ TƯƠNG ĐI GIA HAI ĐƯNG THNG
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0
d ax by c
+ +=
22 2 2
:0
d ax by c+ +=
.
Nếu
󰇍
1
󰇍
2
cùng phương thì 
1

2
song song hoc trùng nhau. Ly một điểm P tu ý trên

1
.
Nếu P 
2
thì 
1

2
.
Nếu P 
2
thì 
1
// 
2
.
Nếu
󰇍
1
󰇍
2
không cùng phương thì 
1

2
ct nhau ti một điểm M(x
0
; y
0
) vi (x
0
; y
0
)
nghim ca h phương trình:
+
+ 
= 0
+
+ 
= 0
.
Chú ý 1:
a) Nếu
󰇍
1
.
󰇍
2
= 0 thì
󰇍
1
󰇍
2,
suy ra 
1

2
.
b) Đề xét hai vectơ
󰇍
1
(a
1
; b
1
) và
󰇍
2
(a
2
; b
2
) cùng phương hay không cùng phương, ta xét biu
thc a
1
b
1
– a
2
b
2
:
Nếu a
1
b
1
– a
2
b
2
= 0 thì hai vectơ cùng phương.
Nếu a
1
b
1
– a
2
b
2
0 thì hai vectơ không cùng phương.
Chú ý 2: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0d ax by c+ +=
22 2 2
:0
d ax by c+ +=
.
Để xét v trí tương đi ca hai đưng thng này ta xét s nghim ca h phương trình
111
222
0
0
ax by c
ax by c
+ +=
+ +=
(0.1)
+ Nếu h
( )
1.1
có duy nht 1 nghim ta nói hai đưng thng trên ct nhau ta đ giao điểm chính
là nghim ca h phương trình nói trên.
+ Nếu h
( )
1.1
vô nghiệm ta nói hai đường thng nói trên song song vi nhau.
+ Nếu h
( )
1.1
nghiệm đúng với mi
x
thì hai đường thng trên trùng nhau.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
+ Tuy nhiên để thun tin cho vic xét nhanh v trí tương đối của hai đường thẳng ta chú ý nhận
xét sau
Nhn xét. Nếu
222
0
abc
ta có
a)
{
}
11
12
22
ab
dd I
ab
⇔∩=
b)
111
12
222
//
abc
dd
abc
=≠⇔
c)
111
12
222
abc
dd
abc
==⇔≡
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯNG THNG
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0ax by c + +=
22 2 2
:0ax by c + +=
.
Khái niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thng 
1

2
ct nhau to thành bn góc.
Nếu 
1
không vuông góc vi 
2
thì góc nhọn trong bốn góc đó được gi là góc gia hai
đường thng 
1

2
.
Nếu 
1
vuông góc vi 
2
thì ta nói góc giữa 
1

2
bng 90
0
.
Ta quy ước: Nếu 
1

2
song song hoặc trùng nhau thì góc giữa 
1

2
bng 0
0
. Như vy
góc gia hai đường thng luôn tho mãn: 0
0
90
0
.
Góc giữa hai đường thng 
1

2
được kí hiu là ( 1, 2
) hoc (
1
, 
2
).
Khi hai đường thng ct nhau góc giữa hai đường thng được tính theo công thc:
( )
12
12 12
12
2222
12
1122
.
cos ;
.
nn
aa bb
nn
abab
+
∆∆ = =
++


III. KHOẢNG CÁCH
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:0ax by c + +=
điểm
( )
0 00
;M xy
.
Khi đó khoảng cách t điểm
0
M
đến đường thng
được tính theo công thc:
( )
00
0
22
;
ax by c
dM
ab
++
∆=
+
Câu 1. Xét v trí tương đi gia các cặp đường thng sau:
a)
+ −=
1
:3 2 2 3 0xy
+− =
2
:6 2 6 0xy
.
b)
+=
1
: 3 20dx y
+=
2
:3320d xy
.
c)
+=
1
: 2 10mx y
+−=
2
:3 2 0m xy
.
Câu 2. Tính góc gia các cặp đường thng sau:
a)
+−=
1
:3 4 0xy
+ +=
2
: 3 30xy
.
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
b)
=−+
= +
1
12
:
34
xt
d
yt
= +
=
2
3
:
1 3s
xs
d
y
(
, ts
là các tham s).
Câu 3. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho điểm
(
)
A 0; 2
và đường thng
+−=: 40xy
.
a) Tính khong cách từ điểm
A
đến đường thng
.
b) Viết phương trình đường thng
a
đi qua điểm
(
)
M
1; 0
và song song vi
.
c) Viết phương trình đường thng
b
đi qua điểm
( )
N 0;3
và vuông góc vi
.
Câu 4. Trong mt phng to độ, cho tam giác
ABC
( ) ( )
A 1; 0 , B 3; 2
( )
−−
C 2; 1
.
a) Tính độ dài đường cao k t đỉnh
A
ca tam giác
ABC
.
b) Tính din tích tam gc
ABC
.
Câu 5. Chng minh rằng hai đường thng
( )
=+≠: 0d y ax b a
( )
′′
=+≠: 0d y ax b a
vuông
góc vi nhau khi và ch khi
=
1
aa
.
Câu 6. Trong mt phng to độ, mt tín hiệu âm thanh phát đi từ mt v trí và được ba thiết b ghi
tín hiệu đặt ti ba v trí
( ) ( ) ( )
O ,A0; 0 1; 0 , B 1; 3
nhận được cùng mt thời điểm. Hãy xác định
v trí phát tín hiu âm thanh.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
DNG 1: XÉT V TRÍ TƯƠNG ĐI CỦA HAI ĐƯỜNG THNG
{các bài toán xét v trí tương đối của hai đường thẳng, tìm điều kin (có chứa tham số m) đ hai đường
thẳng song song, cắt, trùng,….}
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0d ax by c+ +=
22 2 2
:0
d ax by c+ +=
. Để xét v trí tương đi ca hai đưng thng này ta xét s nghim ca h
phương trình
111
222
0
0
ax by c
ax by c
+ +=
+ +=
(0.2)
Nếu h
( )
1.1
có duy nht 1 nghiệm ta nói hai đường thng trên ct nhau ta đ giao điểm chính
là nghim ca h phương trình nói trên. Nếu h
( )
1.1
vô nghiệm ta nói hai đường thng nói trên
song song vi nhau. Nếu h
(
)
1.1
nghiệm đúng với mi
x
thì hai đường thng trên trùng
nhau. Tuy nhiên để thun tin cho vic xét nhanh v trí tương đi ca hai đưng thng ta chú ý
nhn xét sau
Nhn xét. Nếu
222
0abc
ta có
a)
{ }
11
12
22
ab
dd I
ab
⇔∩=
b)
111
12
222
//
abc
dd
abc
=≠⇔
c)
111
12
222
abc
dd
abc
==⇔≡
Câu 1: Xét v trí tương đối của hai đường thng lần lượt có phương trình
2
23
xy
−=
6 2 80xy −=
Câu 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1
:2 15 0
d xy++ =
2
: 2 30dx y −=
.
Câu 3: Tìm ta đ giao điểm của hai đường thng
4 3 26 0
xy−−=
3 4 70xy
+ −=
.
Câu 4: Cho hai đường thng
( )
1
: 1 20d mx m y m+− + =
2
:2 1 0d xy+ −=
. Tìm
m
để
12
//dd
.
Câu 5: Cho ba đường thng
( )
12
: 1 2 0, : 4 3 26 0dmxm ym dxy+ + = −−=
3
:3 4 7 0dxy+ −=
Tìm
m
để ba đường thẳng trên đồng quy.
Câu 1: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
: 2 10dx y +=
2
: 3 6 10 0d xy−+ =
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 2: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
:3 2 6 0dxy −=
2
:6 2 8 0dxy −=
.
H THNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 3: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
:1
34
xy
d −=
2
:3 4 10 0dxy+ −=
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 4: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
34
:
26
xt
d
yt
=−+
=
2
22
:
84
xt
d
yt
=
=−+
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 5: Cho hai đường thng
( )
( )
12
: 1, : 2
+=+ + =
d mx y m d x my
ct nhau khi và ch khi :
A.
2.m
B.
1.≠±m
C.
1.m
D.
1.≠−m
Câu 6: Đưng thng
( )
:
3 2 70 −=xy
cắt đường thẳng nào sau đây?
A.
( )
1
:3 2 0+=d xy
B.
( )
2
:3 2 0−=d xy
C.
(
)
3
: 3 2 7 0.
+ −=d xy
D.
( )
4
: 6 4 14 0. −=d xy
Câu 7: Giao điểm
M
ca
( )
12
:
35
=
=−+
xt
d
yt
(
)
:3 2 1 0
−=d xy
. To độ ca
M
A.
11
2; .
2



M
B.
1
0; .
2



M
C.
1
0; .
2



M
D.
1
;0 .
2
M



Câu 8: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thng không song song với đường thng
(
)
: 21dy x=
?
A.
2 5 0.+=xy
B.
2 5 0.−=xy
C.
2 0. +=xy
D.
2 5 0.+−=xy
Câu 9: Hai đường thng
( )
1
25
:
2
=−+
=
xt
d
yt
( )
2
: 4 3 18 0+−=
d xy
. Ct nhau tại điểm có ta đ:
A.
(
)
2;3 .
B.
( )
3; 2 .
C.
( )
1; 2 .
D.
( )
2;1 .
Câu 10: Cho hai đường thng
( ) ( )
12
: 1, : 2+=+ + =
d mx y m d x my
song song nhau khi và ch khi
A.
2.=m
B.
1.= ±m
C.
1.=m
D.
1.= m
Câu 11: Cho 4 đim
( )
( ) ( )
( )
1; 2 , 4; 0 , 1; 3 , 7; 7AB C D−−
. Xác đnh v trí tương đi ca hai đưng thng
AB
CD
.
A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Câu 12: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
( )
1
:3 4 1 0xy + −=
( ) ( )
2
2
:2 1 1 0m x my + +=
trùng nhau.
A.
2m =
B. mi
m
C. không có
m
D.
1m = ±
Câu 13: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba đưng thng ln lưt có phương trình
1
:34150dxy+=
,
2
:5 2 1 0dxy+ −=
( )
3
: 21 9130d mx m y m + −=
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để
ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
A.
1
.
5
m =
B.
5.m =
C.
1
.
5
m =
D.
5.m =
Câu 14: Nếu ba đường thng
1
: 2 4 0d xy+=
,
2
:5 2 3 0dxy+=
3
: 3 –2 0d mx y+=
đồng quy thì
m
nhn giá tr nào sau đây?
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
A.
12
.
5
B.
12
.
5
C.
12.
D.
12.
Câu 15: Vi giá tr nào ca
m
thì ba đưng thng
1
:3 4 15 0dx y+=
,
2
:5 2 –1 0dxy+=
3
: 4 15 0d mx y +=
đồng quy?
A.
5m =
. B.
5m =
. C.
3m =
. D.
3m =
.
Câu 16: Vi giá tr nào ca
m
thì ba đưng thng
1
:2 –1 0d xy
+=
,
2
: 2 10dx y+ +=
3
: –7 0d mx y =
đồng quy?
A.
6m =
. B.
6m
=
. C.
5m =
. D.
5m =
.
Câu 17: Cho
ABC
vi
( )
1; 3 , 2; 4 , 1; 5( )( )AB C−−
đường thng
:2 3 6 0dx y +=
. Đưng thng
d
ct cnh nào ca
ABC
?
A. Cnh
AC
. B. Không cnh nào. C. Cnh
AB
. D. Cnh
BC
.
Câu 18: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thẳng sau đây vuông góc
(
)
(
)
2
1
11
:
2
x mt
y mt
=++
=
( )
2
2 3'
:
14 '
xt
y mt
=
=
A.
3m = ±
B.
3m =
C.
3m =
D. không có
m
Câu 19: Cho 4 điểm
( ) (
) (
) ( )
3;1 , 9; 3 , 6;0 , 2; 4AB C D −−
. Tìm ta đ giao điểm của 2 đường thng
AB
CD
.
A.
( )
6; 1−−
B.
(
)
9; 3−−
C.
( )
9;3
D.
( )
0; 4
DẠNG 2: TÍNH GÓC, KHOẢNG CÁCH
{Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng,…}
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0d ax by c+ +=
22 2 2
:0d ax by c+ +=
. Khi đó góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thc.
(
)
12
12 12
12
2222
12
1122
.
cos ;
.
nn
aa bb
dd
nn
abab
+
= =
++


Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:0
ax by c + +=
điểm
( )
0 00
;M xy
.
Khi đó khoảng cách t điểm
0
M
đến đường thng
được tính theo công thc:
( )
00
0
22
;
ax by c
dM
ab
++
∆=
+
Câu 1: Tính khong cách t đim
( )
1; 1M
đến đường thng
:3 4 17 0xy
−=
Câu 2: Cho hai đường thng
1
:2 4 3 0dxy −=
2
:3 17 0d xy−+ =
. Tính s đo góc giữa
1
d
2
d
.
Câu 3: Cho hai đường thng song
1
:5 7 4 0dxy +=
2
:5 7 6 0.dxy +=
Phương trình đường thng
song song và cách đều
1
d
2
d
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Câu 4: Tính din tích tam giác
ABC
vi
( )
3; 4A
,
( )
1; 5B
,
( )
3;1C
Câu 5: Cho đường thẳng đi qua hai điểm
( )
3, 0A
,
( )
0; 4B
. Tìm ta đ đim
M
nm trên
Oy
sao cho
din tích tam giác
MAB
bng
6
Câu 6: Xác đnh tt c các giá tr ca
a
để góc to bi đưng thng
9
72
x at
yt
= +
=
( )
t
đường thng
3 4 20xy+ −=
bng
45°
.
Câu 7: Đưng thng
đi qua giao điểm ca hai đưng thng
1
:2 3 0d xy
+−=
2
: 2 10dx y +=
đồng thi to với đường thng
3
: 10dy−=
mt góc
0
45
có phương trình:
Câu 8: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
1; 1M
hai đường thẳng có phương trình
( ) ( )
12
: 1 0, : 2 5 0d xy d xy −= + =
. Gi
A
là giao đim ca hai đưng thng trên. Biết rng
hai đường thng
(
)
d
đi qua
M
cắt hai đường thng trên lần lượt tại hai đim
,BC
sao cho
ABC
là tam giác có
3BC AB=
dng:
0ax y b
++=
và
0cx y d++=
, giá tr ca
T abcd=+++
Câu 9: Trong mt phẳng Oxy, cho hai đường thng
1
:2 5 0d xy
2
: 30d xy
ct nhau
ti
I
. Phương trình đường thẳng đi qua
2;0
M
ct
12
,dd
ti
A
B
sao cho tam giác
IAB
cân ti
A
có phương trình dạng
20ax by

. Tính
5Ta b
.
Câu 10: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
,1;1A
( )
2; 4B
đường thng
: 30
mx y +=
. Tìm tất c các giá tr ca tham s
m
để
cách đều hai điểm
, AB
.
Câu 11:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
d
là đưng thảng đi qua
(4;2)M
cách đim
(1; 0)A
khong
cách
3 10
10
. Biết rằng phương trình đường thng
d
có dng
0
x by c+ +=
vi
,bc
là hai s
nguyên. Tính
.bc+
Câu 12: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
: 10xy +=
hai điểm
( ) ( )
2; 1 , 9; 6 .AB
Đim
( )
;M ab
nằm trên đường
sao cho
MA MB+
nh nht. Tính
.ab+
Câu 13: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
: 4 15 0dx y+=
điểm
( )
2;0A
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
d
để đoạn
AM
có độ dài nh nht.
Câu 14: Cho 3 điểm
( 6;3); (0; 1); (3;2)A BC−−
. Tìm
M
trên đường thng
:2 3 0d xy−=
mà
MA MB MC++
  
nh nht là
Câu 15: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
đnh
( )
2; 2A
,
( )
1; 3B
,
( )
2; 2C
.
Đim
M
thuc trc tung sao cho
MA MB MC++
  
nh nhất có tung độ là?
Câu 16: Trong mt phng ta đ Oxy cho
:x y 1 0 +=
hai đim
(2;1)A
,
(9;6)B
. Đim
(;)M ab
nằm trên đường
sao cho
+MA MB
nh nht. Tính
+ab
ta được kết qu là:
Câu 17: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
,cho tam giác
ABC
có đỉnh
( )
2; 2A
và trung điểm ca
BC
( )
1; 2I −−
. Điểm
( )
;M ab
tha mãn
20MA MB MC++ =
  
. Tính
S ab= +
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Câu 18: Trên mt phng
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Gi
M
là trung đim ca cnh
BC
,
N
đim
trên cnh
CD
sao cho
2CN ND=
. Gi s
11 1
;
22
M



đường thng
AN
phương trình
2 30xy
−=
. Gi
( )
;P ab
là giao điểm ca
AN
BD
. Giá tr
2ab+
bng:
Câu 19: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho t giác
ABCD
ni tiếp đường tròn đường kính
BD
. Gi
M
,
N
lần lượt hình chiếu vuông góc ca
A
lên
BC
BD
; gi
P
giao đim ca
MN
AC
. Biết đường thng
AC
phương trình
10xy −=
,
( )
0; 4M
,
( )
2; 2
N
hoành độ điểm
A
nh hơn
2
. Tìm tọa đ các đim
P
,
A
,
B
.
Câu 20: Đưng thng
(
)
: 1 , 0; 0
xy
d ab
ab
+=
đi qua
( )
1; 6M
to vi tia
,Ox Oy
mt tam giác có
din tích bng 4. Tính
2.Sa b= +
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 4. V TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯNG
THNG, GÓC VÀ KHONG CÁCH
I. V TRÍ TƯƠNG ĐI GIA HAI ĐƯNG THNG
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0
d ax by c+ +=
22 2 2
:0d ax by c
+ +=
.
Nếu
󰇍
1
󰇍
2
cùng phương thì 
1

2
song song hoc trùng nhau. Ly một điểm P tu ý trên

1
.
Nếu P 
2
thì 
1

2
.
Nếu P 
2
thì 
1
// 
2
.
Nếu
󰇍
1
󰇍
2
không cùng phương thì 
1

2
ct nhau ti một điểm M(x
0
; y
0
) vi (x
0
; y
0
)
nghim ca h phương trình:
+
+ 
= 0
+
+ 
= 0
.
Chú ý 1:
a) Nếu
󰇍
1
.
󰇍
2
= 0 thì
󰇍
1
󰇍
2,
suy ra 
1

2
.
b) Đề xét hai vectơ
󰇍
1
(a
1
; b
1
) và
󰇍
2
(a
2
; b
2
) cùng phương hay không cùng phương, ta xét biu
thc a
1
b
1
– a
2
b
2
:
Nếu a
1
b
1
– a
2
b
2
= 0 thì hai vectơ cùng phương.
Nếu a
1
b
1
– a
2
b
2
0 thì hai vectơ không cùng phương.
Chú ý 2: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0d ax by c+ +=
22 2 2
:0d ax by c+ +=
.
Để xét v trí tương đi ca hai đưng thng này ta xét s nghim ca h phương trình
111
222
0
0
ax by c
ax by c
+ +=
+ +=
(0.1)
+ Nếu h
( )
1.1
có duy nht 1 nghim ta nói hai đưng thng trên ct nhau ta đ giao điểm chính
là nghim ca h phương trình nói trên.
+ Nếu h
( )
1.1
vô nghiệm ta nói hai đường thng nói trên song song vi nhau.
+ Nếu h
( )
1.1
nghiệm đúng với mi
x
thì hai đường thng trên trùng nhau.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
+ Tuy nhiên để thun tin cho vic xét nhanh v trí tương đối của hai đường thẳng ta chú ý nhận
xét sau
Nhn xét. Nếu
222
0
abc
ta có
a)
{
}
11
12
22
ab
dd I
ab
⇔∩=
b)
111
12
222
//
abc
dd
abc
=≠⇔
c)
111
12
222
abc
dd
abc
==⇔≡
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯNG THNG
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0ax by c + +=
22 2 2
:0ax by c + +=
.
Khái niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thng 
1

2
ct nhau to thành bn góc.
Nếu 
1
không vuông góc vi 
2
thì góc nhọn trong bốn góc đó được gi là góc gia hai
đường thng 
1

2
.
Nếu 
1
vuông góc vi 
2
thì ta nói góc giữa 
1

2
bng 90
0
.
Ta quy ước: Nếu 
1

2
song song hoặc trùng nhau thì góc giữa 
1

2
bng 0
0
. Như vy
góc gia hai đường thng luôn tho mãn: 0
0
90
0
.
Góc giữa hai đường thng 
1

2
được kí hiu là ( 1, 2
) hoc (
1
, 
2
).
Khi hai đường thng ct nhau góc giữa hai đường thng được tính theo công thc:
( )
12
12 12
12
2222
12
1122
.
cos ;
.
nn
aa bb
nn
abab
+
∆∆ = =
++


III. KHOẢNG CÁCH
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:0ax by c + +=
điểm
( )
0 00
;M xy
.
Khi đó khoảng cách t điểm
0
M
đến đường thng
được tính theo công thc:
( )
00
0
22
;
ax by c
dM
ab
++
∆=
+
Câu 1. Trong mt phng ta đ, cho
( ) ( ) ( ) ( )
2;1 , 3;2 , 1;3 , 2;1 .n v AB= =

a) Lập phương trình tổng quát của đường thng
1
đi qua
A
và có vectơ pháp tuyến
.n
b) Lập phương trình tham số của đường thng
2
đi qua
B
và có vectơ ch phương
.v
c) Lập phương trình tham số của đường thng
.AB
Lời giải
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
a) Phương trình tổng quát của đường thng
1
đi qua
A
và có vectơ pháp tuyến
n
2( 1) ( 3) 0 2 5 0.+ = +−=x y xy
b) Phương trình tham số của đường thng
đi qua
B
và có vectơ chỉ phương
v
2
23
:
1 2.
=−+
= +
xt
yt
c) Lập phương trình tham số của đường thng
.AB
Đưng thng
AB
đi qua điểm
A
và có vectơ chỉ phương
( )
3; 2AB =−−

13
3 2.
=
=
xt
yt
Câu 2. Lập phương trình tổng quát ca các trc ta đ.
Lời giải
- Phương trình trục
Ox
đi qua điểm
(
)
0;0O
và nhn
(0;1)j =
làm vectơ pháp tuyến có phương
trình là
0.=y
- Phương trình trục
Oy
đi qua điểm
( )
0;0O
và nhn
(1; 0)
i =
làm vectơ pháp tuyến có phương
trình là
0.=
x
Câu 3. Cho hai đường thng
1
12
:
35
xt
yt
= +
= +
2
:2 x 3y 5 0.
+ −=
a) Lập phương trình tổng quát ca
1
.
b) Lập phương trình tham số ca
2
.
Lời giải
a) Lập phương trình tổng quát ca
1
.
Đưng thng
1
đi qua điểm
( )
1; 3M
, có vectơ chỉ phương
( )
2,5u =
nên
1
có vectơ pháp
tuyến là
(5; 2).= n
Khi đó phương trình tổng quát ca
1
là:
5 2 1 0. +=xy
b) Lập phương trình tham số ca
2
.
Đưng thng
đi qua điểm
( )
1;1N
, có vectơ pháp tuyến là
(2;3)
n
=
nên
2
có vectơ ch
phương
( )
3; 2 .= u
Khi đó phương trình tham số ca
là:
13
1 2.
= +
=
xt
yt
Câu 4. Trong mt phng ta đ, cho tam giác
ABC
( ) ( )
1; 2 , 3; 0AB
( )
2; 1 .C −−
a) Lập phương trình đường cao k t
.A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
b) Lập phương trình đường trung tuyến k t
Lời giải
a) Lập phương trình đường cao k t
.A
Đưng cao k t
A
đi qua
( )
1; 2A
và nhn
( )
5;1CB =

là vectơ pháp tuyến có phương trình là
5 7 0.+−=xy
b) Lập phương trình đường trung tuyến k t
Gi
M
là trung điểm ca
AC
thì
11
;
22
M



.
Đưng trung tuyến k t
B
nhn
71
;
22
MB

=



là vectơ ch phương nên có vectơ pháp tuyến
(1; 7 )n =
và đi qua
( )
3; 0B
nên có phương trình là:
7 30
xy+ −=
.
Câu 5. (Phương trình đọan chn của đường thng )
Chng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm
( ) (
)
a;0 , 0; b
AB
vi
( )
0 .7.3ab H
có phương
trình là
1.+=
xy
ab
Lời giải
Đưng thẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
a;0 , 0; bAB
nhn
( )
;AB a b=

làm vectơ ch phương thì có
vectơ pháp tuyến là
( )
;.=n ba
Khi đó phương trình đường thng là:
0.+−=bx ay ab
0ab
nên chia c hai vế ca phương trình cho
ab
ta được phương trình là
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
1
xy
ab
+=
.
u 6. Theo Google Maps, sân bay Ni Bài có đ
0
21, 2
Bc, kinh độ
0
105,8
Đông, sân bay Đà
Nng có vĩ đ
0
16,1
Bắc, kinh độ
0
108, 2
Đông. Một máy bay, bay t Ni Bài đến sân bay Đà
Nng. Ti thời điểm
t
gi, tính t lúc xut phát, máy bay v trí vĩ đ
0
x
Bắc, kinh độ
0
y
Đông được tính theo công thc
153
21, 2
40
9
105,8
5
xt
yt
=
= +
a) Hi chuyến t Hà Ni đến Đà Nẵng mt my gi?
b) Ti thời điểm
1
gi k t lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến
17
(
0
17
Bc) chưa?
Lời giải
a) Hi chuyến t Hà Ni đến Đà Nẵng mt my gi?
Thay
0
16,1x =
,
0
108, 2y =
vào công thc trên ta có
153
16,1 21, 2
4
40
9
3
108, 2 105,8
5
t
t
t
=
⇒=
= +
Vy chuyến bay t Hà Nội đến Đà Nẵng mt
4
3
gi.
b) Ti thời điểm
1
gi k t lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến
17
(
0
17
Bc) chưa?
Ti thời điểm 1 gi k t lúc cất cánh thì máy bay đã bay đến
0
17,375
Bắc nên máy bay đã bay
qua vĩ tuyến
.
Câu 7. Xét v trí ơng đi gia các cặp đường thng sau:
a)
+ −=
1
:3 2 2 3 0xy
+− =
2
:6 2 6 0xy
.
b)
+=
1
: 3 20dx y
+=
2
:3320d xy
.
c)
+=
1
: 2 10mx y
+−=
2
:3 2 0m xy
.
Gii:
a) Xét h phương trình
+ −=
+− =
32 2 3 0
6 2 60
xy
xy
có vô s nghim
Vy
1
trùng nhau.
b) Xét h phương trình
+=
+=
3 20
3320
xy
xy
vô nghim
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Vy
1
d
2
d
song song.
c) Xét h phương trình
+=
+−=
2 10
3 20
xy
xy
=
=
3
7
5
7
x
y
. H phương trình có nghiệm duy nht.
Vy
2
m
ct nhau ti



35
;
77
A
.
Câu 8. Tính góc gia các cặp đường thng sau:
a)
+−=
1
:3 4 0xy
+ +=
2
: 3 30
xy
.
b)
=−+
= +
1
12
:
34
xt
d
yt
= +
=
2
3
:
1 3s
xs
d
y
(
, ts
là các tham s).
Gii:
a) Đưng thng
1
có vectơ pháp tuyến
(
)

1
3;1
n
.
Đưng thng
có vectơ pháp tuyến
( )

2
1; 3n
.
Gi
α
là góc giữa 2 đường thng
1
2
. Ta có
(
)
(
)
(
)
α
+
= = = =
++
 
 
 
12
12
22
22
12
3.1 1. 3
.
3
,
2
.
3 1. 1 3
nn
cos cos n n
nn
.
Do đó, góc giữa 2 đường thng
1
α
=
0
30
.
b) Đưng thng
1
d
có vectơ chỉ phương
( )

1
2;4u
nên có vectơ pháp tuyến
( )

1
2; 1n
.
Đưng thng
2
d
có vectơ chỉ phương
( )

2
1; 3u
nên có vectơ pháp tuyến
( )

2
3;1n
.
Gi
ϕ
là góc giữa 2 đường thng
1
d
2
d
. Ta có
( )
( )
( )
ϕ
+−
= = = =
+− +
 
 
 
12
12
2
2 22
12
.
2.3 1 .1
2
,
2
.
2 1 .3 1
nn
cos cos n n
nn
.
Do đó, góc giữa 2 đường thng
1
d
2
d
ϕ
=
0
45
.
Câu 9. Trong mt phng to độ
Oxy
, cho điểm
( )
A 0; 2
đường thng
+−=: 40xy
.
a) Tính khong cách từ điểm
A
đến đường thng
.
b) Viết phương trình đường thng
a
đi qua điểm
( )
M
1; 0
và song song vi
.
c) Viết phương trình đường thng
b
đi qua điểm
( )
N 0;3
và vuông góc vi
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Gii:
a) Áp dng công thc tính khong cách từ điểm
A
đến đường thng
, ta có:
( )
−−
∆= =
+
22
024
, 32
11
dA
.
Vy khong cách từ điểm
A
đến đường thng
32
.
b) Đường thng
+−=: 40xy
có vectơ pháp tuyến
( )

1;1n
.
Vì đường thng
a
song song vi
nên
( )
1;1
a
nn
= =

là vectơ pháp tuyến ca
a
.
Li có
a
đi qua điểm
( )
M 1; 0
nên phương trình tổng quát của đường thng
a
( ) ( )
++ =1. 1 1. 0 0xy
hay
++=10xy
.
c) Đưng thng
+−=: 40xy
có vectơ pháp tuyến
( )

1;1
n
.
Vì đường thng
b
vuông góc vi
nên
( )
=

1; 1
b
n
là vectơ pháp tuyến ca
b
.
Li có
b
đi qua điểm
( )
N 0;3
nên phương trình tổng quát của đường thng
b
( ) ( )
−− =1. 0 1. 3 0xy
hay
−+=
30xy
.
Câu 10. Trong mt phng to độ, cho tam giác
ABC
( ) ( )
A 1; 0 , B 3; 2
( )
−−
C 2; 1
.
a) Tính độ dài đường cao k t đỉnh
A
ca tam giác
ABC
.
b) Tính din tích tam gc
ABC
.
Gii:
a) Ta có:
( )
−−

5; 3BC
.
BC
có vectơ chỉ phương
( )
=−−

5; 3BC
nên có vectơ
pháp tuyến
( )
3; 5n
và đi qua điểm
(
)
B 3; 2
nên
phương trình tổng quát ca
BC
( ) ( )
−− =3 35 2 0xy
hay
+=3 5 10xy
.
Gi
H
là hình chiếu ca
A
lên
BC
. Khi đó độ dài đường cao k t đỉnh
A
ca tam giác
ABC
chính là độ dài
AH
.
( )
( )
−+
= = =
+−
2
2
3.1 5.0 1
2 34
,
17
35
AH d A BC
.
b) Ta có:
( ) ( )
= +− =
22
5 3 34BC
.
Din tích tam giác
ABC
là:
= = =
1 1 2 34
. . . . 34 2
2 2 17
ABC
S AH BC
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Câu 11. Chng minh rằng hai đường thng
( )
=+≠: 0d y ax b a
( )
′′
=+≠: 0
d y ax b a
vuông
góc vi nhau khi và ch khi
= 1aa
.
Gii:
Ta có: +)
( )
= + −+=: 0 0
d y ax b a ax y b
nên đường thng
d
có vectơ pháp tuyến
( )

1
;1na
.
+)
( )
′′
= + −+ =: 0 0d y ax b a ax y b
nên đường thng
d
có vectơ pháp tuyến
( )

2
;1na
.
Ta li có:
′′
= += =

12
. 0 1 0 1.d d n n aa aa
Câu 12. Trong mt phng to độ, mt tín hiệu âm thanh phát đi từ mt v trí và được ba thiết b ghi
tín hiệu đặt ti ba v trí
( ) ( ) ( )
O ,A0; 0 1; 0 , B 1; 3
nhận được cùng mt thời điểm. Hãy xác định
v trí phát tín hiu âm thanh.
Gii:
V trí phát tín hiu âm thanh mà ba thiết b ghi tín hiệu đặt ti ba v trí
( ) ( ) ( )
O ,A0; 0 1; 0 , B 1; 3
nhận được cùng mt thời điểm thì vị trí đó phải cách đều 3 điểm
,,OAB
.
Gi
I
là v trí phát tín hiệu âm thanh, khi đó
I
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
OAB
.
Nhn xét:
OAB
vuông ti
I
(biu din lên h tc to độ), nên
I
là trung điểm ca
OB
.
Vy v trí phát tín hiu âm thanh



13
;
22
I
.
DNG 1: XÉT V TRÍ TƯƠNG ĐI CỦA HAI ĐƯỜNG THNG
{các bài toán xét v trí tương đối của hai đường thẳng, tìm điều kin (có chứa tham số m) đ hai đường
thẳng song song, cắt, trùng,….}
H THNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0d ax by c+ +=
22 2 2
:0
d ax by c
+ +=
. Để xét v trí tương đi ca hai đưng thng này ta xét s nghim ca h
phương trình
111
222
0
0
ax by c
ax by c
+ +=
+ +=
(0.2)
Nếu h
( )
1.1
có duy nht 1 nghiệm ta nói hai đường thng trên ct nhau ta đ giao điểm chính
là nghim ca h phương trình nói trên. Nếu h
( )
1.1
vô nghiệm ta nói hai đường thng nói trên
song song vi nhau. Nếu h
( )
1.1
nghiệm đúng với mi
x
thì hai đường thng trên trùng
nhau. Tuy nhiên để thun tin cho vic xét nhanh v trí tương đi ca hai đưng thng ta chú ý
nhn xét sau
Nhn xét. Nếu
222
0abc
ta có
a)
{ }
11
12
22
ab
dd I
ab
⇔∩=
b)
111
12
222
//
abc
dd
abc
=≠⇔
c)
111
12
222
abc
dd
abc
==⇔≡
Câu 1: Xét v trí tương đối của hai đường thng lần lượt có phương trình
2
23
xy
−=
6 2 80xy −=
Lời giải
Ta có
2
23
xy
−=
3 2 60xy
−=
. Do
62
32
nên hai đường thng ct nhau.
Mt khác
( ) ( )
6.3 2 . 2 0+−
nên hai đường thng không vuông góc
Câu 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1
:2 15 0d xy++ =
2
: 2 30dx y −=
.
Lời giải
1
d
có vectơ pháp tuyến
( )
1
2;1n =
.
2
d
có vectơ pháp tuyến
( )
2
1; 2n =
.
Ta có
( )
12
. 2.1 1. 2 0nn = + −=

.
Vậy
1
d
2
d
vuông góc với nhau.
Câu 3: Tìm ta đ giao điểm của hai đường thng
4 3 26 0
xy−−=
3 4 70xy+ −=
.
Lời giải
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
To độ giao điểm của hai đường thng là nghim h phương trình:
4 3 26 0 5
3 4 70 2
xy x
xy y
−−= =


+ −= =

. Vy to độ giao điểm là
( )
5; 2
.
Câu 4: Cho hai đường thng
( )
1
: 1 20d mx m y m+− + =
2
:2 1 0d xy
+ −=
. Tìm
m
để
12
//
dd
.
Lời giải
Ta có
12
//dd
12
21 1
mm m
⇔=
2m⇔=
.
Câu 5: Cho ba đường thng
( )
12
: 1 2 0, : 4 3 26 0dmxm ym dxy+ + = −−=
3
:3 4 7 0dxy+ −=
Tìm
m
để ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải
giao điểm của hai đường thng là nghim h phương trình:
4 3 26 0 5
3 4 70 2
xy x
xy y
−−= =


+ −= =

. Vy to độ giao điểm là
( )
5; 2I
.
Để ba đường thng đồng quy thì
1
d
phải đi qua
( )
5; 2I
suy ra
( )( )
2
.5 1 2 2 0
5
mm m m+ −+ = =
Câu 1: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
: 2 10dx y +=
2
: 3 6 10 0d xy−+ =
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn B
1
2
12
1
|| .
: 2 10
12
: 3 6 10
10
0
36
dx y
d xy
dd
+=
→=
−+ =
/
= →
Câu 2: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
:3 2 6 0
dxy −=
2
:6 2 8 0dxy −=
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn D
( )
( )
1
11
2
12
2
2
3
: 3 2 6 0 3; 2
6
: 6 2 8 0 6;
2
0
2
2
,
dxy n
dd
n
n
x
n
dy
=
/
→
⋅=
/
−= =


−= =

cắt nhau nhưng không vuông góc.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Câu 3: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
:1
34
xy
d −=
2
:3 4 10 0dxy+ −=
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn C
( )
11
1
2
2 12
2
11
:1 ;
34 3 4
:3
0.
4 10 0 3; 4
xy
d
dx ny
n
nn d d

−==


+ −==
⋅=

Câu 4: Xét v trí tương đối của hai đường thng
1
34
:
26
xt
d
yt
=−+
=
2
22
:
84
xt
d
yt
=
=−+
.
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc vi nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn B
( )
( )
( )
1 11
12
2
2
2
34
: 3; 2 , 2; 3
23
26
|| .
23
12
: 2;3
43
xt
dA
yt
d
d
d
x
u
t
d
y
d
u
t
A
=−+
→− =
/
=
=

→→

=

→=
= +
Câu 5: Cho hai đường thng
( ) ( )
12
: 1, : 2+=+ + =d mx y m d x my
ct nhau khi và ch khi :
A.
2.m
B.
1.≠±m
C.
1.m
D.
1.≠−m
Lời giải
Chọn C
( ) ( )
12
dd
( )
( )
11
22
mx y m
x my
+=+
+=
có mt nghim
Thay
( )
2
vào
( )
1
(
)
( )
(
)
2
2 11 1 *m my y m m y m
+ = +⇔ =−
H phương trình có một nghim
( )
*
có mt nghim
2
10
1
10
m
m
m
−≠
⇔≠
−≠
.
Câu 6: Đưng thng
( )
:
3 2 70
−=xy
cắt đường thẳng nào sau đây?
A.
( )
1
:3 2 0+=d xy
B.
( )
2
:3 2 0
−=d xy
C.
( )
3
: 3 2 7 0. + −=d xy
D.
( )
4
: 6 4 14 0. −=d xy
Lời giải
Chọn A
Ta nhn thy
( )
song song vi các đưng
( ) ( ) ( )
234
;;ddd
Câu 7: Giao điểm
M
ca
( )
12
:
35
=
=−+
xt
d
yt
( )
:3 2 1 0
−=d xy
. To độ ca
M
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
A.
11
2; .
2



M
B.
1
0; .
2



M
C.
1
0; .
2



M
D.
1
;0 .
2
M



Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) (
)
12
: :5 2 1 0
35
xt
d dxy
yt
=
+ +=
=−+
Ta có
( ) ( )
'Md d M=∩⇒
là nghim ca h phương trình
0
3 2 10
1
5 2 10
2
x
xy
xy
y
=
−=

+ +=
=
Câu 8: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thng không song song với đường thng
( )
: 21dy x=
?
A.
2 5 0.
+=xy
B.
2 5 0.−=xy
C.
2 0. +=xy
D.
2 5 0.+−=xy
Lời giải
Chọn D
Ta có
(
)
( )
: 2 1 :2 1 0
dy x d xy
= −⇒ =
chn D
Câu 9: Hai đường thng
( )
1
25
:
2
=−+
=
xt
d
yt
( )
2
: 4 3 18 0+−=d xy
. Ct nhau tại điểm có ta đ:
A.
( )
2;3 .
B.
( )
3; 2 .
C.
( )
1; 2 .
D.
( )
2;1 .
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
11
25
: :2 5 4 0
2
xt
d d xy
yt
=−+
+=
=
Gi
( ) ( )
12
Md d=
M
là nghim ca h phương trình
2 5 40 2
4 3 18 0 3
xy x
xy y
+= =


+−= =

Câu 10: Cho hai đường thng
(
) ( )
12
: 1, : 2+=+ + =d mx y m d x my
song song nhau khi và ch khi
A.
2.
=m
B.
1.= ±m
C.
1.
=m
D.
1.= m
Lời giải
Chọn D.
( )
( )
12
;
dd
song song nhau
2
2
1
1
1
1
1
2
2
m
m
m
m
m
mm
m
=
=
=

⇔=

+≠
≠−
Câu 11: Cho 4 đim
( ) ( ) ( ) ( )
1; 2 , 4; 0 , 1; 3 , 7; 7AB C D−−
. Xác đnh v trí tương đi ca hai đưng thng
AB
CD
.
A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Ta có
(
) ( )
3;2, 6;4
AB CD
=−=
 
Ta có
32
64
=
Suy ra
//AB CD
Câu 12: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
(
)
1
:3 4 1 0
xy + −=
( ) ( )
2
2
:2 1 1 0m x my + +=
trùng nhau.
A.
2m =
B. mi
m
C. không có
m
D.
1m = ±
Lời giải
Chọn C
( ) ( )
( )
2
12
32 1
4
11
=
≡∆ =
−=
m
m
VL
Câu 13: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba đưng thng ln t phương trình
1
:34150dxy+=
,
2
:5 2 1 0dxy
+ −=
( )
3
: 21 9130d mx m y m + −=
. Tìm tt c các giá
tr ca tham s
m
để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
A.
1
.
5
m =
. B.
5.m
=
. C.
1
.
5
m
=
. D.
5.m =
Lời giải
Chọn.D
Ta có:
( )
23
1
1
2
:34150
1
:5 2 1 0
1; 3
3
dxy
x
d
dxy y
dA d
+=
=
⇔→

+ −= =
∩=
6 3 9 13 0 5.
mm m m−++−==
.
Câu 14: Nếu ba đường thng
1
: 2 4 0d xy+=
,
2
:5 2 3 0dxy+=
3
: 3 –2 0d mx y+=
đồng quy thì
m
nhn giá tr nào sau đây?
A.
12
.
5
B.
12
.
5
C.
12.
D.
12.
Lời giải
Chọn.D
.
2
1
1 3
2
5
: 2 4 0
9
:5 2 3 0
5
2
26
9
6
;
9
9
x
d xy
d
dxy
dA d
y
=
+=
⇔→

+=
=

∩=


5 26
2 0 12.
93
m
m + −= =
.
Câu 15: Vi giá tr nào ca
m
t ba đưng thng
1
:3 4 15 0dx y+=
,
2
:5 2 –1 0dxy+=
3
: 4 15 0d mx y +=
đồng quy?
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
A.
5m =
. B.
5m =
. C.
3m =
. D.
3m =
.
Lời giải
Chọn.C
(
)
1
12
2
:3 4 15 0
1
1; 3
:5 2 –1 0 3
dxy
x
dd A d
dxy y
+=
=
→∩=

+= =
12 15 0 3mm→− + = =
.
Câu 16: Vi giá tr nào ca
m
t ba đưng thng
1
:2 –1 0
d xy
+=
,
2
: 2 10dx y+ +=
3
: –7 0d mx y =
đồng quy?
A.
6m =
. B.
6
m =
. C.
5m =
. D.
5m =
.
Lời giải
Chọn.B
( )
1
12 3
2
:2 –1 0
1
1; 1 1 7 0 6.
: 2 10 1
d xy
x
ddA d m m
dx y y
+=
=
= +− = =

+ += =
Câu 17: Cho
ABC
vi
( )
1; 3 , 2; 4 , 1; 5( )( )AB C−−
đường thng
:2 3 6 0dx y +=
. Đưng thng
d
ct cnh nào ca
ABC
?
A. Cnh
AC
. B. Không cnh nào. C. Cnh
AB
. D. Cnh
BC
.
Lời giải
Chọn B
Thay điểm
A
vào phương trình đường thng
d
ta được
1
Thay điểm
B
vào phương trình đường thng
d
ta được
10
Thay điểm
C
vào phương trình đường thng
d
ta được
11
Suy ra điểm
A
B
nằm cùng phía đối vi
d
nên
d
không ct cnh
.AB
điểm
A
C
nằm cùng phía đối vi
d
nên
d
không ct cnh
AC
điểm
C
B
nằm cùng phía đối vi
d
nên
d
không ct cnh
.BC
Câu 18: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thẳng sau đây vuông góc
( )
( )
2
1
11
:
2
x mt
y mt
=++
=
( )
2
2 3'
:
14 '
xt
y mt
=
=
A.
3m = ±
B.
3m =
C.
3m =
D. không có
m
Lời giải
Chọn A
( )
1
( )
2
1
1;um m= +−

;
( )
2
( )
2
3; 4um=−−

( ) ( )
( )
222
1 2 12
3 14 0 3 3uu m m m m ⇔− + + = = =±

CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
Câu 19: Cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
3;1 , 9; 3 , 6;0 , 2; 4AB C D −−
. Tìm ta đ giao điểm của 2 đường thng
AB
CD
.
A.
(
)
6; 1
−−
B.
( )
9; 3−−
C.
( )
9;3
D.
(
)
0; 4
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( ) (
) ( )
6; 4 2; 3 : 2 3 9
AB
AB VTPT n AB x y=−− = =
 
Ta có
( ) (
) (
)
4; 4 1; 1 : 6
CD
CD VTPT n CD x y= = −=
 
Gi
N AB CD=
Suy ra
N
là nghim ca h
(
)
23 9 9
9; 3
63
xy x
N
xy y
−= =

−−

−= =

DNG 2: TÍNH GÓC, KHOẢNG CÁCH
{Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng,…}
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
11 1 1
:0
d ax by c+ +=
22 2 2
:0d ax by c+ +=
. Khi đó góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thc.
(
)
12
12 12
12
2222
12
1122
.
cos ;
.
nn
aa bb
dd
nn
abab
+
= =
++


Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:0ax by c + +=
điểm
( )
0 00
;M xy
.
Khi đó khoảng cách t điểm
0
M
đến đường thng
được tính theo công thc:
( )
00
0
22
;
ax by c
dM
ab
++
∆=
+
Câu 1: Tính khong cách t đim
( )
1; 1M
đến đường thng
:3 4 17 0xy −=
Lời giải
Áp dng công thc tính khong cách ta có
(
)
( )
( )
2
3
3.1 4 1 17
,
34
dM
−−
∆=
+−
10
5
=
2=
.
Câu 2: Cho hai đường thng
1
:2 4 3 0
dxy −=
2
:3 17 0d xy−+ =
. Tính s đo góc giữa
1
d
2
d
.
Lời giải
Ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
12
22
23
2.3 4 . 1
cos ,
2 4 .3 1
dd
+−
=
+− +−
10 2
2
10 2
= =
Suy ra s đo góc gia
1
d
2
d
0
45
.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
Câu 3: Cho hai đường thng song
1
:5 7 4 0dxy +=
2
:5 7 6 0.dxy +=
Phương trình đường thng
song song và cách đều
1
d
2
d
Lời giải
Cách 1: Tự lun.
Gi là
d
đường thẳng song song và cách đều
1
d
2
d
.
Suy ra phương trình
d
có dng:
( )
5 7 0 4, 6x yc c c +=
Mt khác:
(
) ( )
12
;;
d dd d dd=
( ) ( )
22
22
46
57 57
cc−−
⇔=
+− +−
46
46
cc
cc
−=
=−+
5
c
⇔=
Cách 2: Trắc nghiệm.
Phương trình đường thẳng song song và cách đều
1
d
2
d
64
57 05750
2
xy xy
+
−+ =⇔−+=
Câu 4: Tính din tích tam giác
ABC
vi
( )
3; 4A
,
( )
1; 5B
,
( )
3;1C
Lời giải
Ta có
(
)
2;9
AB =

85AB⇒=

.
Phương trình đường thng
AB
34
29
xy−+
=
9 2 19 0xy + −=
.
Khong cách t điểm
C
đến đường thng
AB
( )
22
9.3 2.1 19
,
92
d C AB
+−
=
+
10
85
=
.
Din tích tam giác
ABC
1 10
85.
2
85
ABC
S =
5=
.
Câu 5: Cho đường thẳng đi qua hai điểm
( )
3, 0A
,
( )
0; 4B
. Tìm ta đ đim
M
nm trên
Oy
sao cho
din tích tam giác
MAB
bng
6
Lời giải
Ta có
( )
3; 4AB =

5AB⇒=

.
Phương trình đường thng
AB
1
34
xy
+=
4 3 12 0xy +−=
.
Gi
( )
0;M m Oy
( )
22
3 12
,
34
m
d M AB
⇒=
+
3 12
5
m
=
.
Din tích tam giác
MAB
bng
6
nên
3 12
1
.5 6
25
m
=
3 12 12m −=
30
3 24
m
m
=
=
( )
( )
0 0; 0
8 0;8
mM
mM
=
=
.
Câu 6: Xác đnh tt c các giá tr ca
a
để góc to bi đưng thng
9
72
x at
yt
= +
=
( )
t
đường thng
3 4 20xy+ −=
bng
45°
.
Lời giải
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
Gi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đưng thng
9
72
x at
yt
= +
=
( )
t
có vectơ chỉ phương là
( )
;2
ua
=
.
Đưng thng
3 4 20xy+ −=
có vectơ chỉ phương là
( )
4; 3v =
.
Ta có
(
)
cos cos ,uv
ϕ
=

.
cos45
.
uv
uv
°=


2
46
1
2
54
a
a
+
⇔=
+
2
5 4 24 6aa += +
22
25 100 32 96 72
a aa += ++
2
7 96 28 0aa + −=
2
7
14
a
a
=
=
.
Câu 7: Đưng thng
đi qua giao điểm ca hai đưng thng
1
:2 3 0d xy+−=
2
: 2 10dx y +=
đồng thi to với đường thng
3
: 10dy−=
mt góc
0
45
có phương trình:
Lời giải
(
)
1
1
2
2
:2 3 0
1
: 21 1
1;1 .
0
d xy
x
d
dx y y
dA
+−=
=
⇔→

+= =
= ∈∆
Ta có
( )
33
: 1 0 0;1 ,d ny −= =
gi
( ) ( )
3
;, ;a dbn
ϕ
= =
. Khi đó
22 2
22
.
1
1 : 20
2
1, 1 : 0
1
2
0
o
.
cs
ab ab xy
b
ab b
a b a b xy
ab
ϕ
= = = →∆ + =
= +=
=− = =− →∆ =
++
=
Câu 8: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
1; 1
M
hai đường thẳng có phương trình
( ) ( )
12
: 1 0, : 2 5 0d xy d xy −= + =
. Gi
A
là giao đim ca hai đưng thng trên. Biết rng
hai đường thng
( )
d
đi qua
M
cắt hai đường thng trên lần lượt tại hai đim
,
BC
sao cho
ABC
là tam giác có
3BC AB=
dng:
0ax y b
++=
và
0cx y d++=
, giá tr ca
T abcd=+++
Lời giải
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
Ta đ
( )
2;1A
Gi
α
là góc giữa hai đường thng
( )
1
d
( )
2
d
,
1
cos
10
α
=
3
sin
10
α
⇒=
Xét tam giác
ABC
ta có:
1
sin
sin sin
10
AB BC
C
CA
=⇒=
Gi
β
là góc giữa hai đường thng
( )
d
( )
1
d
, suy ra:
13
sin cos
10 10
ββ
=⇒=
( )
1
Gi s
( )
d
có vec tơ pháp tuyến là
( )
;n ab
T
( )
1
ta có:
22
22
2
33
cos 8 0
10 10
5
ab
a ab b
ab
β
+
= = +=
+
7
ab
ab
=
=
Vi
ab=
một vec tơ pháp tuyến
( )
1;1 : 0n dx y= +=
Vi
7ab=
một vec tơ pháp tuyến
(
)
7;1 : 7 6 0n d xy +−=
Vy:
10762
T =++=
Câu 9: Trong mt phẳng Oxy, cho hai đường thng
1
:2 5 0d xy
2
: 30
d xy
ct nhau
ti
I
. Phương trình đường thẳng đi qua
2;0M
ct
12
,dd
ti
A
B
sao cho tam giác
IAB
cân ti
A
có phương trình dạng
20ax by 
. Tính
5Ta b
.
Lời giải
Đưng thng
12
,dd
có véc tơ pháp tuyến lần lượt là
12
2; 1 , 1;1nn

.
Gi
là đường thng cần tìm có véc tơ pháp tuyến là
;n ab
.
Góc giữa 2 đường thng
12
,dd
2
, d
xác đnh bi:
12
12
2
2 22
12
.
2.1 1.1
1
,
10
.
2 1 .1 1
nn
cos d d
nn




.
2
2
2222 22
2
.
,
.
. 1 1 2.
nn
ab ab
cos d
nn
ab ab





.
ct
12
,dd
ti
A
B
to thành tam giác
IAB
cân ti
A
nên
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
22
12 2
22
1
,, 5
10
2.
ab
cos d d cos d a b a b
ab

2
22 2 2
2
5 25 0
1
2
ab
a b a b a ab b
ab



.
+
2ab
: chn
21ab 
: phương trình đường thng là:
2 2 0 2 40x y xy L 
.
+
1
2
ab
: chn
12ab 
: phương trình đường thng là:
2 2 0 2 20 /x y x y Tm 
. Do đó
5 1 5 2 11Ta b 
.
Câu 10: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
,1;1A
( )
2; 4B
đường thng
: 30mx y +=
. Tìm tất c các giá tr ca tham s
m
để
cách đều hai điểm
, AB
.
Lời giải
Gi
I
là trung điểm đoạn
( ) (
)
15
;
22
.
3; 3 1;1
AB
I
AB
AB n



=→=

Khi đó:
( )
( )
: 3 0 ;1nmx y m
+= =
cách đu
,AB
5
1
30
.
2
1
1
2
1
1
1
Im
m
m
m
m

=
+=

∈∆
⇔⇔

=
=
=

Câu 11:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
d
là đưng thảng đi qua
(4;2)M
cách đim
(1; 0)A
khong
cách
3 10
10
. Biết rằng phương trình đường thng
d
có dng
0x by c+ +=
vi
,bc
là hai s
nguyên. Tính
.bc+
Lời giải
Ta có:
(4;2) 4 2 0 4 2 .M d bc c b + + = =−−
(1)
22
2
1
3 10
( , ) 10(1 ) 9(1 ).
10
1
c
d Ad c b
b
+
= = +=+
+
(2)
Thay
42cb=−−
vào PT
(2)
ta được PT:
2
3( )
31 120 81 0
27
()
31
b tmdk
bb
b ktmdk
=
+ +=
=
3, 2 1.b c bc= =⇒+=
.
Câu 12: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
: 10xy +=
hai điểm
( ) ( )
2; 1 , 9; 6 .AB
Đim
( )
;M ab
nằm trên đường
sao cho
MA MB+
nh nht. Tính
.ab+
Lời giải
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
Gi
A
đối xng
A
qua
d
ta có
'(0;3)A
khi đó điểm
M AB d
=
Tìm được
(3; 4)M
.
Câu 13: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường thng
: 4 15 0dx y+=
điểm
(
)
2;0
A
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
d
để đoạn
AM
có độ dài nh nht.
Lời giải
Đim
( )
4 15;Md Mt t
∈⇔
Ta có:
(
)
( )
( )
22
22
4 17 17 8 17 17 4 1 17AM t t t t t

= += −+ = +


,
t
∀∈
.
⇒=
min
AM
17
, đạt được ti
4t =
. Khi đó
(
)
1; 4M
.
Câu 14: Cho 3 điểm
( 6;3); (0; 1); (3;2)A BC−−
. Tìm
M
trên đường thng
:2 3 0d xy
−=
mà
MA MB MC
++
  
nh nht là
Lời giải
Cách 1:
Tìm ta đ điểm
( )
;I xy
sao cho
0IA IB IC++ =
  
. Suy ra
4
1;
3
I



Ta có:
3MA MB MC MI IA IB IC+ + = +++
      
3MA MB MC MI++ =
   
. Vy
MA MB MC++
  
nh nht khí
MI

nh nht.
MI

nh nht khi
M
là hình chiếu vuông góc ca
I
xuống đưng thng
d
.
Đưng thng
d
đi qua
I
và vuông góc vi
d
có phương trình:
5
2
3
xy+=
M
là giao điểm ca
d
d
nên
M
là nghim ca h:
23
13 19
;
5
15 15
2
3
xy
M
xy
−=


+=

Cách 2:
M
thuc
d
suy ra
( )
;2 3Mt t+
( 3 3 ; 6 5)MA MB MC t t+ + =−−
  
( )
( )
22
33 65MA MB MC t t
+
+ + = +−
  
2
2
13 1
45 78 34 45
15 5
MA MB MC t t t

+ + = + += + +


  
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
MA MB MC++
  
nh nht khi
13
15
t
=
. Suy ra
13 19
;
15 15
M



.
Câu 15: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
đnh
( )
2; 2
A
,
( )
1; 3
B
,
( )
2; 2
C
.
Đim
M
thuc trc tung sao cho
MA MB MC++
  
nh nhất có tung độ là?
Lời giải
Gi
( )
;G ab
là trng tâm tam giác
ABC
. Suy ra
212 1
11
3 33
;
232 1
33
33
3
ABC
ABC
xxx
a aa
G
yyy
bb
b
++
+−

= = =



⇔⇒


+ + −+


= =
=


.
Ta có:
33MA MB MC MG GA MG GB MG GC MG MG++ = +++++= =
         
.
Suy ra
MA MB MC++
  
nh nht khi
MG
nh nht.
Mt khác
M
thuc trc tung nên
MG
nh nht khi
M
là hình chiếu ca
G
lên trc tung.
Vy
1
0;
3
M



.
Câu 16: Trong mt phng ta đ Oxy cho
:x y 1 0
+=
hai đim
(2;1)A
,
(9;6)B
. Đim
(;)M ab
nằm trên đường
sao cho
+MA MB
nh nht. Tính
+ab
ta được kết qu là:
Lời giải
Gọi A’ là điểm đối xng của A qua đường thng
Ta có:
''
+=+≥MA MB MA MB A B
Đẳng thc xy ra
M trùng vi M
0
(M
0
là giao điểm ca
và A’B)
Ta có:
AA '
nên
( )
AA'
n a 1;1
= =
 
(
)
AA ' : x y 3 0+−=
Gi
( )
H=AA ' H 1; 2∆⇒
Vì A’ đi xng vi A qua
nên H là trung điểm AA’
( )
A ' 0;3
Đưng thng A’B qua B có VTCP
( ) ( ) ( )
A'B
A ' B 9; 3 3 3;1 n 1; 3= = ⇒=
 
A'B: x 3y 9 0 +=
H
A
A'
B
M
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Ta đ M
0
tha h:
( )
0
x y10
M 3; 4
x 3y 9 0
+=
+=
( )
M 3; 4
. Vy
7
+=
ab
Câu 17: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
,cho tam giác
ABC
có đỉnh
( )
2; 2A
và trung điểm ca
BC
( )
1; 2I −−
. Điểm
(
)
;M ab
tha mãn
20MA MB MC++ =
  
. Tính
S ab= +
.
Lời giải
Gi
K
trung điểm
1
;0
2
AI K



.
Ta có
2 02 2 04 0+ + = + = =⇔≡
     
MA MB MC MA MI MK M K
11
0
22
ab+= +=
.
Câu 18: Trên mt phng
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Gi
M
trung điểm ca cnh
BC
,
N
là đim
trên cnh
CD
sao cho
2CN ND=
. Gi s
11 1
;
22
M



đường thng
AN
phương trình
2 30
xy−=
. Gi
( )
;P ab
là giao điểm ca
AN
BD
. Giá tr
2ab+
bng:
Lời giải
Ta chứng minh được
MP AN
, nên
P
là hình chiếu ca
M
trên
AN
.
(Tht vy gn h trc to độ
Dxy
,
( ) ( ) ( ) ( )
0; 0 , 1; 0 , 1;1 , 0;1D C BA
. Khi đó
11
1; ; ; 0
23
MN



.
Phương trình đường thng
:
BD y x=
. Phương trình đường thng
:3 1AN x y+=
.
Đim
11
;
44
P



. Khi đó
31 1
; ; ;1 . 0
44 3
MP AN MP AN MP AN
−−

= = −⇒ =


   
(đpcm).
Phương trình đường thng
MP
qua
M
và vuông góc vi
AN
13
20
2
xy+−=
.
P
là giao điểm
MP
AN
nên to độ
P
là nghim h
23 5
2
13
2
2
2
xy
x
xy
y
−=

=


+=

=

.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
T đó:
5
2
a =
,
22 7b ab= +=
.
Câu 19: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho t giác
ABCD
ni tiếp đường tròn đường kính
BD
. Gi
M
,
N
lần lượt hình chiếu vuông góc ca
A
lên
BC
BD
; gi
P
giao đim ca
MN
AC
. Biết đường thng
AC
phương trình
10xy −=
,
( )
0; 4M
,
(
)
2; 2
N
hoành độ điểm
A
nh hơn
2
. Tìm tọa đ các đim
P
,
A
,
B
.
Lời giải
* Ta chng minh
P
là trung điểm ca
AC
.
Tht vy: do các t giác
ABMN
,
ABCD
là các t giác ni tiếp nên
AMP ABN ACD= =
Li do :
//AM CD
(cùng vuông góc vi
BC
) nên
ACD CAM PAM PMA=⇒=
PAM⇒∆
cân ti
P
PA PM⇒=
. Đồng thi
PCM
cân ti
P
nên
PC PM=
PA PC⇒=
hay
P
là trung điểm ca
AC
.
- Ta có :
(
)
2; 2MN = −⇒

đường thng
MN
có phương trình:
40xy
+−=
Đim
P
có ta đ là nghim ca h
5
10
53
2
;
40 3
22
2
x
xy
P
xy
y
=
−=

⇒=


+−=

=
- Do
( )
: 10 ; 1A AC x y A a a −= =
(vi
2a
<
)
- Do
22 2
5 5 25 5 25
2 22 24
PA PM a a a
 
= ⇔− + = ⇔− =
 
 
( ) ( )
55
5
22
0 0; 1 5;4
55 0
22
a
a
aA C
a
a
−=
=
⇒= = =
=
−=
- Do
BC
đi qua
( )
0; 4M
( )
5; 4C
nên
BC
có phương trình:
40y −=
.
- Li có:
( )
2;3
AN =

là vectơ pháp tuyến ca
BD
nên phương trình
BD
là:
2 3 10 0xy+−=
.
P
N
M
B
D
A
C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
Ta đ điểm
B
là nghim ca h phương trình:
( )
40 1
1;4
2 3 10 0 4
yx
B
xy y
−= =

⇒=

+−= =

.
Vy
(
) (
)
53
; , 0; 1 , 1;4
22
PAB

−−


.
Câu 20: Đưng thng
( )
: 1 , 0; 0
xy
d ab
ab
+=
đi qua
( )
1; 6M
to vi tia
,
Ox Oy
mt tam giác có
din tích bng 4. Tính
2.Sa b= +
Lời giải
d
đi qua
( )
1; 6M −⇔
16
1 (1).
ab
+=
Đưng thng ct tia
Ox
ti
( ;0), 0 .A a a OA a
>⇒ =
Đưng thng ct tia
Oy
ti
(0; ), 0 .B b b OB b>⇒ =
OAB
vuông ti O nên có din tích là
11
..
22
OA OB ab=
Theo đề
1
4 8 (2).
2
ab ab=⇔=
T
( ) (
)
1,2
suy ra:
2; 4 2 10
a b Sa b= =⇒=+ =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 4. V TRÍ TƯƠNG ĐI GIA HAI ĐƯNG THNG,
GÓC VÀ KHONG CÁCH
DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Có bao nhiêu cặp đường thẳng song song trong các đường thng sau?
( )
1
1
: 2;
2
dy x=−−
(
)
2
1
: 3;
2
dy x=−+
( )
3
1
: 3;
2
dy x= +
( )
4
2
:2
2
dy x=−−
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 2: Phương trình nào sau đây phương trình đường thng không song song với đường thng
: 32dy x=
A.
30xy +=
. B.
3 60xy−−=
. C.
3 60xy−+=
. D.
3 60xy
+−=
.
Câu 3: Trong mt phng
Oxy
, đường thng
: 2 10dx y −=
song song với đường thẳng phương
trình nào sau đây?
A.
2 10xy+ +=
. B.
20
xy−=
. C.
2 10xy−+ +=
. D.
2 4 10xy + −=
.
Câu 4: Cho các đường thng sau.
1
3
:2
3
dy x=
2
1
:1
3
dy x= +
3
3
:1 2
3
dy x

=−− +



4
3
:1
3
dy x=
Khng định nào đúng trong các khẳng đnh sau?
A.
234
,,ddd
song song vi nhau. B.
2
d
4
d
song song vi nhau.
C.
1
d
4
d
vuông góc vi nhau. D.
2
d
3
d
song song vi nhau.
Câu 5: Tìm các giá tr thc ca tham s
m
để đường thng
( )
2
3 31
ym xm= ++
song song vi đưng
thng
5yx=
.
A.
2m
= ±
. B.
2m = ±
. C.
2m =
. D.
2m =
.
Câu 6: Ta đ giao điểm của hai đường thng
3 60xy −=
3 4 10xy+ −=
A.
27 17
;
13 13



. B.
( )
27;17
. C.
27 17
;
13 13



. D.
( )
27; 17
.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
H THNG BÀI TP TRC NGHIỆM.
III
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
Câu 7: Cho đường thng
1
: 2 3 15 0
dxy
++=
2
: 2 30dx y
−=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
d
2
d
cắt nhau và không vuông góc với nhau.
B.
1
d
2
d
song song vi nhau.
C.
1
d
2
d
trùng nhau.
D.
1
d
2
d
vuông góc vi nhau.
Câu 8: Hai đường thng
12
: 5, : 9d mx y m d x my
+= + =
cắt nhau khi và chỉ khi
A.
1m ≠−
. B.
1m
. C.
1m ≠±
. D.
2m
.
Câu 9: Vi giá tr o của
m
thì hai đường thng
1
:3 4 10 0dx y++=
( )
2
2
: 2 1 10 0
d m x my
+ +=
trùng nhau?
A.
2m ±
. B.
1m = ±
. C.
2m =
. D.
2m =
.
Câu 10: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thẳng phương trình
( )
1
: 1 20d mx m y m+− + =
2
:2 1 0
d xy+ −=
. Nếu
1
d
song song
2
d
thì:
A.
2.
m =
B.
1.m =
C.
2.m =
D.
1.m =
Câu 11: Tìm
m
để hai đường thng
1
:2 3 4 0dxy +=
2
23
:
14
xt
d
y mt
=
=
ct nhau.
A.
1
.
2
m ≠−
B.
2.m
C.
1
.
2
m
D.
1
.
2
m =
Câu 12: Vi giá tr nào của
a
thì hai đường thng
1
:2 4 1 0dxy+=
( )
2
1
:
31
x at
d
y at
=−+
=−+
vuông góc vi nhau?
A.
2.a =
B.
2.
a =
C.
1.a =
D.
1a
=
.
Câu 13: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
22
:
3
xt
d
yt
=−+
=
( )
2
2
:
6 12
x mt
d
y mt
= +
=−+
trùng nhau?
A.
1
2
m =
. B.
2m =
. C.
2
m =
. D.
2
m ≠±
.
Câu 14: Tìm tt c các giá tr ca
m
để hai đường thng
1
22
:
1
xt
d
y mt
= +
= +
2
:4 3 0d x ym +=
trùng nhau.
A.
3m =
. B.
1m =
. C.
4
3
m =
. D.
m ∈∅
.
Câu 15: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
:2 4 0
d xy m++− =
( )
2
: 3 2 10d m xy m+ + + −=
song song?
A.
1.m =
B.
1.m =
C.
2.m =
D.
3.m =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Câu 16: Tìm tt c các giá tr ca
m
để hai đường thng
1
: 2 3 10 0x my +=
2
: 4 10mx y
+ +=
ct nhau.
A.
1 10m
<<
. B.
1m =
. C. Không có
m
. D. Vi mi
m
.
Câu 17: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
: 19 0mx y
+− =
(
) ( )
2
: 1 1 20 0m xm y ++ −=
vuông góc?
A. Vi mi
m
. B.
2
m
=
. C. Không có
m
. D.
1m
= ±
.
Câu 18: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
:3 2 6 0
d mx y+ +=
( )
2
2
: 2 2 60d m x my+ + +=
ct nhau?
A.
1m
≠−
. B.
1m
. C.
m
. D.
1 1mm ≠−
.
Câu 19: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
: 2 3 10 0
dxy
−=
2
23
:
14
xt
d
y mt
=
=
vuông góc?
A.
1
2
m =
. B.
9
8
m
=
. C.
9
8
m =
. D.
5
4
m =
.
Câu 20: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
:4 3 3 0dxym−+ =
2
12
:
4
xt
d
y mt
= +
= +
trùng nhau?
A.
8
3
m =
. B.
8
3
m
=
. C.
4
3
m =
. D.
4
3
m =
.
Câu 21: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
1
:3 2 6 0d mx y+ −=
(
)
2
2
: 2 2 30d m x my+ + −=
song song?
A.
1; 1.mm= =
B.
m ∈∅
. C.
2m =
. D.
1m =
.
Câu 22: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
( )
1
81
:
10
x mt
d
yt
=−+
= +
2
: 2 14 0d mx y+ −=
song song?
A.
1
2
m
m
=
=
. B.
1m =
. C.
2m =
. D.
m ∈∅
.
Câu 23: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
( )
2
1
: 3 2 10d m x ym + + −=
2
2
: 2 10d x my m m−+ + +=
ct nhau?
A.
1m
. B.
1
2
m
m
. C.
2m
. D.
1
2
m
m
.
Câu 24: Vi giá tr nào của
m
thì hai đường thng
( )
1
2
2
:
11
xm t
y mt
= +
=++
2
1
:
x mt
y mt
= +
= +
trùng nhau?
A. Không có
m
. B.
4
3
m =
. C.
1m =
. D.
3m =
.
Câu 25: Tìm ta đ giao điểm của hai đường thng
7 3 16 0xy+=
10 0x +=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
A.
( )
10; 18
−−
. B.
( )
10;18
. C.
( )
10;18
. D.
(
)
10; 18
.
Câu 26: Tìm to độ giao điểm của hai đường thng
1
34
:
25
xt
d
yt
=−+
= +
2
14
:.
75
xt
d
yt
= +
=
A.
( )
1; 7 .
B.
(
)
3; 2 .
C.
(
)
2; 3 .
D.
( )
5;1 .
Câu 27: Cho hai đường thng
1
: 2 3 19 0dxy
+−=
và
2
22 2
:
55 5
xt
d
yt
= +
= +
. Tìm to độ giao điểm ca hai
đường thẳng đã cho.
A.
(
)
2;5 .
B.
( )
10;25 .
C.
( )
1; 7 .
D.
(
)
5; 2 .
Câu 28: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
(
)
( )
–2;0 , 1;4AB
đường thng
:
2
xt
d
yt
=
=
. Tìm tọa đ giao điểm của đường thng
AB
d
.
A.
( )
2;0
. B.
( )
–2;0
. C.
( )
0;2
. D.
(
)
0;2
.
Câu 29: Xác đnh
a
để hai đường thng
1
: 3 –4 0d ax y+=
2
1
:
33
xt
d
yt
=−+
= +
ct nhau ti mt đim nm
trên trục hoành.
A.
1.a =
B.
1.a =
C.
2.a =
D.
2.a =
Câu 30: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hai đưng thng
2
1
:4 3 0d x my m+=
2
2
:
62
xt
d
yt
= +
= +
ct nhau ti một điểm thuc trc tung.
A.
0m
=
hoc
6m =
. B.
0
m =
hoc
2
m =
.
C.
0m =
hoc
2m =
. D.
0m
=
hoc
6m
=
.
Câu 31: Cho ba đưng thng
1
:3 2 5 0dx y+=
,
2
:2 4 7 0
dxy+=
,
3
:3 4 –1 0dxy+=
. Phương trình
đưng thng
d
đi qua giao đim ca
1
d
2
d
, song song vi
3
d
là:
A.
24 32 53 0xy
+=
. B.
24 32 53 0xy+ +=
. C.
24 32 53 0
xy+=
. D.
24 32 53 0xy=
.
Câu 32: Lp phương trình ca đưng thng
đi qua giao đim ca hai đưng thng
1
: 3 10dx y
+ −=
,
2
: 3 50
dx y −=
vuông góc vi đưng thng
3
:2 7 0d xy
−+=
.
A.
3 6 50xy+ −=
. B.
6 12 5 0xy
+ −=
. C.
6 12 10 0xy+ +=
. D.
2 10 0xy++=
.
Câu 33: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba đưng thng ln lưt phương trình
1
:34150dxy+=
,
2
:5 2 1 0dxy+ −=
( )
3
: 21 9130d mx m y m + −=
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
A.
1
.
5
m =
B.
5.m =
C.
1
.
5
m =
D.
5.m =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Câu 34: Nếu ba đường thng:
1
: 2 4 0
d xy
+=
,
2
:5 2 3 0dxy
+=
3
: 3 –2 0d mx y+=
đồng quy thì
m
nhn giá tr nào sau đây?
A.
12
.
5
B.
12
.
5
C.
12.
D.
12.
Câu 35: Vi giá tr nào ca
m
thì ba đưng thng
1
:3 4 15 0dx y+=
,
2
:5 2 –1 0dxy+=
3
: 4 15 0d mx y +=
đồng quy?
A.
5
m =
. B.
5m =
. C.
3m =
. D.
3
m =
.
Câu 36: Vi giá tr nào ca
m
thì ba đưng thng
1
:2 –1 0d xy
+=
,
2
: 2 10dx y+ +=
3
: –7 0d mx y =
đồng quy?
A.
6m
=
. B.
6m =
. C.
5m
=
. D.
5m
=
.
Câu 37: Đưng thng
:51 30 11 0dx y +=
đi qua điểm nào sau đây?
A.
4
1; .
3
M

−−


B.
4
1; .
3
N



C.
3
1; .
4
P



D.
3
1; .
4
Q

−−


DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Tính góc của hai đường thẳng cho trước
Câu 38: Tính góc giữa hai đường thng
: 3 20xy +=
: 3 10xy
+ −=
.
A.
90
. B.
120
. C.
60
. D.
30
.
Câu 39: c giữa hai đường thng
:3 7 0a xy−+=
: 3 10bx y
−=
là:
A.
30
°
. B.
90°
. C.
60°
. D.
45°
.
Câu 40: Cho hai đường thng
1
:2 5 2 0
dxy+ −=
2
:3 7 3 0dxy +=
. Góc to bởi đường thng
1
d
2
d
bng
A.
0
30
. B.
0
135
. C.
0
45
. D.
0
60
.
Câu 41: Tìm côsin góc giữa hai đường thng
1
:2 1 0xy + −=
2
2
:
1
xt
yt
= +
=
A.
10
10
. B.
3
10
. C.
3
5
. D.
3 10
10
.
Câu 42: m góc giữa hai đường thng
1
: 2 15 0xy +=
( )
2
2
:.
42
=
∆∈
= +
xt
t
yt
A.
5
°
. B.
60
°
. C.
0
°
. D.
90
°
.
Câu 43: Tìm cosin góc giữa
2
đường thng
12
:270,:2490dx y d x y
+ = +=
.
A.
3
5
. B.
2
5
. C.
1
5
. D.
3
5
.
Câu 44: Tính góc giữa hai đường thẳng
: 3 2 0 ': 3 1 0 x y x y + = + −=
?
A. 90
o
. B. 120
o
. C. 60
o
. D. 30
o
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Câu 45: Tính góc to bi gia hai đường thng:
1
: 2 10 0d xy
−− =
2
: 3 9 0.dx y +=
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
135 .
Câu 46: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
:7 3 6 0dxy
+=
2
: 2 5 4 0.d xy −=
A.
4
π
. B.
3
π
. C.
2
3
π
. D.
3
4
π
.
Câu 47: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
:22350dx y+ +=
2
: 6 0.dy−=
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Câu 48: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
: 30dx y+=
2
.10 0: xd +=
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Câu 49: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
: 6 5 15 0
dxy
+=
2
10 6
:.
15
xt
d
yt
=
= +
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Câu 50: Cho đường thng
1
: 2 70dx y+ −=
2
:2 4 9 0dxy +=
. Tính cosin ca góc to bi gia hai
đường thẳng đã cho.
A.
3
5
. B.
2
5
. C.
3
5
. D.
3
5
.
Câu 51: Cho đường thng
1
2 20:
xy
d + −=
2
0:
d
xy−=
. Tính cosin ca góc to bi giữa hai đường
thẳng đã cho.
A.
10
10
. B.
2
3
. C.
3
3
. D.
3
.
Câu 52: Cho đường thng
1
0
:10 5 1d xy+ −=
2
2
:
1
xt
d
yt
= +
=
. Tính cosin ca góc to bi gia hai
đường thẳng đã cho.
A.
3 10
10
. B.
3
5
. C.
10
10
. D.
3
10
.
Câu 53: Cho đường thng
1
:3 4 1 0dx y+ +=
2
15 12
:
15
xt
d
yt
= +
= +
.
Tính cosin ca góc to bi giữa hai đường thẳng đã cho.
A.
56
65
. B.
33
65
. C.
6
65
. D.
33
65
.
Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
Câu 54: Xác đnh tt c các giá tr ca
a
để góc to bi đưng thng
9
72
x at
yt
= +
=
( )
t
đường thng
3 4 20xy+ −=
bng
45°
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
A.
1a =
,
14a =
. B.
2
7
a =
,
14a =
. C.
2a =
,
14a =
. D.
2
7
a =
,
14a =
.
Câu 55: Đưng thng
đi qua giao điểm ca hai đưng thng
1
:2 3 0d xy
+−=
2
: 2 10dx y
+=
đồng thi to với đường thng
3
: 10dy−=
mt góc
0
45
có phương trình:
A.
(1 2 ) 0xy+− =
hoc
: 10xy −=
. B.
:20xy∆+ =
hoc
:40xy∆− =
.
C.
:0xy −=
hoc
: 20xy +−=
. D.
:2 1 0x +=
hoc
5 0.
y
+=
.
Câu 56: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, có bao nhiêu đường thẳng đi qua đim
(
)
2;0A
to vi
trục hoành một góc
45 ?°
A. Có duy nhất. B.
2
. C. Vô s. D. Không tn ti.
Câu 57: Đưng thng
to vi đưng thng
: 2 60
dx y
+ −=
mt góc
0
45
. Tìm h s góc
k
ca đưng
thng
.
A.
1
3
k
=
hoc
3.
k =
B.
1
3
k =
hoc
3.k =
C.
1
3
k =
hoc
3.k =
D.
1
3
k =
hoc
3.k =
Câu 58: Biết rằng đúng hai giá trị ca tham s
k
để đường thng
:d y kx
=
to với đường thng
: yx
∆=
mt góc
0
60
. Tng hai giá tr ca
k
bng:
A.
8.
B.
4.
C.
1.
D.
1.
Câu 59: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho điểm
(
)
1; 1
M
hai đưng thẳng phương trình
( ) ( )
12
: 1 0, : 2 5 0d xy d xy −= + =
. Gi
A
là giao đim ca hai đưng thng trên. Biết rng
hai đường thng
( )
d
đi qua
M
ct hai đường thng trên ln lượt tại hai điểm
,BC
sao cho
ABC
là tam giác
3BC AB=
dng:
0ax y b++=
và
0cx y d
++=
, giá tr ca
T abcd=+++
A.
5T =
. B.
6T
=
. C.
2T =
. D.
0
T =
.
Câu 60: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác cân
ABC
có cạnh đáy
: 3 10BC x y −=
, cnh
bên
: 50AB x y−−=
. Đưng thng
AC
đi qua
( 4;1)M
. Gi s to độ đỉnh
,
C mn
.Tính
T mn
.
A.
5
9
T =
. B.
3T =
. C.
9
5
T =
. D.
9
5
T =
.
Câu 61: Trong mt phẳng Oxy, cho hai đường thng
1
:2 5 0d xy
2
: 30d xy
ct nhau
ti
I
. Phương trình đường thẳng đi qua
2;0M
ct
12
,dd
ti
A
B
sao cho tam giác
IAB
cân ti
A
có phương trình dạng
20ax by 
. Tính
5Ta b
.
A.
1T 
. B.
9T
. C.
9T 
. D.
11T
.
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH
Dạng 3.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng cho trước
Câu 62: Khong cách t điểm
( )
1;1A
đến đường thng
5 12 6 0xy −=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
A.
13
. B.
13
. C.
1
. D.
1
.
Câu 63: Khong cách t điểm
5; 1
M
đến đường thng
3 2 13 0xy

là:
A.
2 13
. B.
28
13
. C.
26
. D.
13
2
.
Câu 64: Khong cách t điểm
1(1; )M
đến đường thng
:3 4 0
xy
++=
A.
1
. B.
3 10
5
. C.
5
2
. D.
2 10
.
Câu 65:
Trong mt phng
Oxy
, khoảng cách t điểm
( )
3; 4M
đến đường thng
:3 4 1 0
xy
−=
.
A.
8
5
. B.
24
5
. C.
12
5
. D.
24
5
.
Câu 66: Khong cách t điểm
( 3; 2)A
đến đường thng
:3 1 0
xy +=
bng:
A.
10.
B.
11 5
.
5
C.
10 5
.
5
D.
11
.
10
Câu 67: Trong mt phng
Oxy
, khoảng cách t gc ta đ
O
đến đường thng
:4 3 1 0dx y +=
bng
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
1
5
.
Câu 68: Mt đường tròn tâm
( )
3; 2I
tiếp xúc vi đưng thng
: 5 1 0.xy +=
Hỏi bán kính đường
tròn bng bao nhiêu?
A.
14
.
26
B.
7
.
13
C.
26.
D.
6.
Câu 69: Trong mt phng
Oxy
, khoảng cách từđiểm
( )
0; 4M
đến đường thng
( )
: 42 0
x cos y sin sin
αα α
+ +− =
bng
A.
8
. B.
4sinα
. C.
4
cos sinα+ α
. D.
8
.
Câu 70: Khoảng cách từ
(1; 2)I
đến đường thẳng
:3 4 26 0xy 
bằng
A.
3
. B.
12
. C.
5
. D.
5
3
.
Câu 71: Khong cách t giao điểm ca hai đưng thng
3 40xy +=
2 3 10xy+ −=
đến đường thng
:3 4 0xy
++=
bng:
A.
2 10
. B.
3 10
5
. C.
10
5
. D.
2
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Câu 72: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
,1; 2A
(
)
0;3
B
( )
4;0
C
. Chiu
cao ca tam giác k t đỉnh
A
bng:
A.
1
5
. B.
3
. C.
1
25
. D.
3
5
.
Câu 73: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
3; 4
,A
( )
1; 5
B
( )
3;1
C
. Tính
din tích tam giác
ABC
.
A.
10.
B.
5.
C.
26.
D.
2 5.
Câu 74: Khong cách t điểm
( )
0;3M
đến đường thng
( )
: cos sin 3 2 sin 0xy
αα α
+ +− =
bng:
A.
6.
B. 6. C.
3sin .
α
D.
3
.
cos sin
αα
+
Câu 75: Khong cách t điểm
( )
2;0M
đến đường thng
13
:
24
xt
yt
= +
= +
bng:
A.
2.
B.
2
.
5
C.
10
.
5
D.
5
.
2
Câu 76: Khong cách nh nht t điểm
( )
15;1
M
đến một đim bất kì thuộc đưng thng
23
:
xt
yt
= +
=
bng:
A.
10.
B.
1
.
10
C.
16
.
5
D.
5.
Câu 77: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để khoảng cách t điểm
( )
1; 2
A
đến đường thng
: 40
mx y m + +=
bng
25
.
A.
2.m
=
B.
2
1
2
m
m
=
=
. C.
1
2
m =
. D. Không tn ti
m
.
Câu 78: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để khoảng cách t giao điểm của hai đường thng
1
:
2
xt
d
yt
=
=
2
:2 0d x ym
+=
đến gc to độ bng
2
.
A.
4
.
2
m
m
=
=
B.
4
.
2
m
m
=
=
C.
4
.
2
m
m
=
=
D.
4
.
2
m
m
=
=
Câu 79: Đưng tròn
( )
C
có tâm là gốc ta đ
( )
0;0O
và tiếp xúc với đưng thng
:8 6 100 0xy ++ =
. Bán kính
R
của đường tròn
( )
C
bng:
A.
4R =
. B.
6R =
. C.
8R =
. D.
10R =
.
Câu 80: Đưng tròn
( )
C
tâm
( )
2; 2I −−
tiếp xúc với đưng thng
:5 12 10 0xy + −=
. Bán kính
R
của đường tròn
( )
C
bng:
A.
44
13
R =
. B.
24
13
R =
. C.
44R =
. D.
7
13
R =
.
Câu 81: Cho đường thng
: 21 11 10 0.dx y −=
Trong các điểm
( )
21; 3M
,
( )
0; 4N
,
(
)
19;5P
và
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
( )
1; 5Q
điểm nào gần đường thng
d
nht?
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
Q
.
Câu 82: Cho đường thng
: 7 10 15 0.dx y+ −=
Trong các đim
( )
1; 3
M
,
(
)
0; 4N
,
( )
19;5
P
( )
1; 5
Q
điểm nào cách xa đường thng
d
nht?
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
Q
.
Câu 83: Khong cách giữa hai đưng thng song song
1
:6 –8 3 0xy
+=
2
:3 4 6 0xy∆=
bng:
A.
1
2
. B.
3
2
. C.
2
. D.
5
2
.
Câu 84: Tính khoảng cách giữa hai đường thng
:7 3 0
d xy
+−=
2
:
27
xt
yt
=−+
=
.
A.
32
2
. B.
15
. C.
9
. D.
9
50
.
Câu 85: Khong cách giữa hai đưng thng song song
1
: 6 8 101 0dxy−=
2
:3 4 0dxy=
bng:
A.
10,1
. B.
1, 01
. C.
101
. D.
101
.
Dạng 3.2 Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 86: Cho hai điểm
( ) ( )
3;1 , 4; 0AB
. Đường thẳng nào sau đây cách đều
A
B
?
A.
2 2 3 0.
xy + −=
B.
2 2 3 0.xy
−=
C.
2 3 0.
xy+ −=
D.
2 2 3 0.xy+ −=
Câu 87: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
2;3
A
( )
1; 4B
. Đưng thẳng nào sau đây
cách đều hai điểm
A
B
?
A.
2 0.xy−+=
B.
2 0.xy+=
C.
2 2 10 0.xy+=
D.
100 0.
xy
−+ =
Câu 88: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba điểm
( )
,0;1A
( )
12;5B
( )
3; 0 .C
Đưng thng
nào sau đây cách đều ba điểm
,A
B
C
.
A.
3 40xy +=
. B.
10 0xy−+ + =
. C.
0xy+=
. D.
5 10xy +=
.
Câu 89: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đim
( )
,
1;1A
( )
2; 4B
đường thng
: 30mx y +=
. Tìm tất c các giá tr ca tham s
m
để
cách đều hai điểm
, AB
.
A.
1
.
2
m
m
=
=
B.
1
.
2
m
m
=
=
C.
1
.
1
m
m
=
=
D.
2
.
2
m
m
=
=
Câu 90: Đưng thng
song song vi đưng thng
:3410
dx y +=
và cách
d
một khoảng bng
1
phương trình:
A.
3 4 60xy +=
hoc
3 4 40xy −=
. B.
3 4 60xy −=
hoc
3 4 40xy +=
.
C.
3 4 60xy +=
hoc
3 4 40xy +=
. D.
3 4 60xy −=
hoc
3 4 40xy
−=
.
Câu 91: Tp hp các đim cách đưng thng
:3 4 2 0xy +=
một khoảng bng
2
hai đưng thng
có phương trình nào sau đây?
A.
3 4 80xy +=
hoc
34120xy+=
. B.
3 4 80xy −=
hoc
34120xy+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
C.
3 4 80xy −=
hoc
3 4 12 0
xy−=
. D.
3 4 80xy +=
hoc
3 4 12 0
xy−=
.
Câu 92: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
:5 3 3 0dxy+ −=
2
:5 3 7 0
dxy
+ +=
song song nhau. Đường thng vừa song song và cách đều vi
12
, dd
là:
A.
5 3 2 0.xy+ −=
B.
5 3 4 0.xy+ +=
C.
5 3 2 0.xy+ +=
D.
5 3 4 0.
xy+ −=
Câu 93: Trên h trc ta đ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Đim
thuc cnh
CD
sao cho
=
 
2MC DM
,
(
)
0;2019
N
trung điểm ca cnh
BC
,
K
giao đim ca hai đưng thng
AM
BD
.
Biết đường thng
AM
phương trình
−+ =10 2018 0xy
. Khong cách t gc ta đ
O
đến
đường thng
NK
bng
A.
2019
. B.
2019 101
. C.
2018
11
. D.
2019 101
101
.
Câu 94:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
d
là đưng thảng đi qua
(4;2)
M
cách đim
(1; 0)
A
khoảng
cách
3 10
10
. Biết rằng phương trình đường thng
d
có dng
0x by c+ +=
vi
,
bc
hai s
nguyên. Tính
.bc+
A.
4
. B.
5
. C.
1.
D.
5
.
Câu 95: Trong mt phng vi h ta đ
,Oxy
cho đường thng
( )
:1 0x m ym+ +=
(
m
tham s
bất kì) và điểm
( )
5;1A
. Khong cách ln nht t điểm
A
đến
bng
A.
2 10
. B.
10
. C.
4 10
. D.
3 10
.
Câu 96: Đưng thng
12 5 60xy
+=
to vi hai trc to độ mt tam giác. Tng đ dài các đưng cao ca
tam giác đó là
A.
60
13
. B.
281
13
. C.
360
17
. D.
20
.
Câu 97: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho các điểm
( )
1; 1A
( )
3; 4B
. Gi
( )
d
một đường thng bt
kì luôn đi qua B. Khi khoảng cách t A đến đường thng
( )
d
đạt giá tr lớn nhất, đường
thng
( )
d
có phương trình nào dưới đây?
A.
10xy +=
. B.
3 4 25xy+=
. C.
5 2 70xy −=
. D.
2 5 26 0xy+−=
.
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM
Câu 98: Cho đường thng
:3 5 15 0
dx y+−=
. Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuc đưng
thng
d
A.
( )
1
5; 0
M
. B.
(
)
4
5; 6M
. C.
( )
2
0;3
M
. D.
( )
3
5;3M
.
Dạng 4.1 Xác định tọa hình chiếu, điểm đối xứng
Câu 99: Trong mt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
4;3A
,
( )
2;7B
,
( )
3; 8C −−
.
Ta đ chân đường cao k t đỉnh
A
xung cnh
BC
là:
A.
( )
1; 4
. B.
( )
1; 4
. C.
( )
1; 4
. D.
( )
4;1
.
Câu 100: Cho đường thng
:3 5 0d xy +−=
điểm
( )
2;1M
. Ta đ hình chiếu vuông góc ca
M
trên
d
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
A.
74
;
55



. B.
74
;
55



. C.
74
;
55

−−


. D.
54
;
75



.
Câu 101: Ta đ hình chiếu vuông góc của điểm
(
)
1; 2
M
lên đường thng
:0
xy −=
A.
33
;
22



. B.
( )
1;1
. C.
( )
2; 2
. D.
33
;
22

−−


.
Câu 102: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vi đnh
2;4A
, trọng tâm
2
2;
3
G


. Biết
rng đnh
B
nm trên đưng thng
d
phương trình
20xy
và đnh
C
hình chiếu
vuông góc trên
d
là điểm
2; 4H
. Gi s
;Bab
, khi đó
3Ta b
bng
A.
4T
. B.
2
T

. C.
2T
. D.
0
T
.
Câu 103: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho hình chữ nht
ABCD
có đim
C
thuc đưng thng d:
2 50xy++=
điểm
( 4;8)
A
. Gi
M
đối xng vi
B
qua
C
, điểm
(5; 4)N
hình chiếu
vuông góc ca
B
lên đường thng
MD
. Biết ta đ
(;)Cmn
, giá tr ca
mn
A.
6
. B.
6
. C.
8
. D.
7
Dạng 4.2 Xác định điểm liên quan đến yếu tố khoảng cách, góc
Câu 104: Cho hai điểm
( ) (
)
3; 1 , 0; 3AB
. Tìm ta đ điểm
M
thuc
Ox
sao khoảng cách t
M
đến đường
thng
AB
bng
1
.
A.
7
;0
2
M



( )
1; 0M
. B.
( )
13;0M
.
C.
( )
4;0M
. D.
( )
2;0M
.
Câu 105: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đim
( )
1;1
A
,
( )
4; 3B
đường thng
: 2 10dx y
−=
. Tìm điểm
M
thuc
d
có ta đ nguyên và thỏa mãn khoảng cách t
M
đến
đường thng
AB
bng
6
.
A.
(
)
3; 7 .
M
B.
( )
7;3 .M
C.
( )
43; 27 .M −−
D.
.
27
11
3;M



CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Câu 106: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
0;1A
đường thng
2
:
2
3y
d
xt
t
= +
= +
. Tìm đim
M
thuc
d
và cách
A
một khoảng bng
5
, biết
M
có hoành độ âm.
A.
( )
4; 4 .
M
B.
( )
4; 4
.
24 2
;
55
M
M

−−


C.
24 2
;.
55
M

−−


D.
( )
4; 4 .M
Câu 107: Biết rng có đúng hai đim thuc trục hoành và cách đường thng
:2 5 0xy +=
một khoảng
bng
25
. Tích hoành độ của hai điểm đó bằng:
A.
75
.
4
B.
25
.
4
C.
225
.
4
D. Đáp số khác.
Câu 108: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
3; 1
A
( )
0;3B
. Tìm đim
M
thuc trc
hoành sao cho khong cách t
M
đến đưng thng
AB
bng
1
.
A.
( )
7
;0
2
.
1; 0
M
M



B.
14
;0
3
.
4
;0
3
M
M






C.
( )
7
;0
2
.
1; 0
M
M



D.
14
;0
3
.
4
;0
3
M
M






Câu 109: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
3; 0A
( )
0; 4B
. Tìm điểm
M
thuc
trc tung sao cho din tích tam giác
MAB
bng
6.
A.
( )
( )
0;0
.
0; 8
M
M
B.
(
)
0; 8 .
M
C.
( )
6;0 .M
D.
( )
( )
0;0
.
0;6
M
M
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 4. V TRÍ TƯƠNG ĐI GIA HAI ĐƯNG THNG,
GÓC VÀ KHONG CÁCH
DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Có bao nhiêu cặp đường thẳng song song trong các đường thng sau?
( )
1
1
: 2;
2
dy x=−−
( )
2
1
: 3;
2
dy x=−+
( )
3
1
: 3;
2
dy x= +
( )
4
2
:2
2
dy x=−−
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Li gii
Chn D
Hai đường thng
11
y ax b= +
22
y ax b
= +
song song vi nhau khi và ch khi
12
12
.
aa
bb
=
Trong các đường thng trên không có đường nào tha mãn. Vy không có cặp đường thng nào
song song.
Câu 2: Phương trình nào sau đây phương trình đường thng không song song với đường thng
: 32dy x=
A.
30xy +=
. B.
3 60xy−−=
. C.
3 60xy
−+=
. D.
3 60xy
+−=
.
Li gii
Chn D
: 3 2 3 20dy x x y= −⇔ −=
.
( )
d
có VTPT
(
)
3; 1n =
.
Đưng thng
3 60xy+−=
có VTPT
( )
1
3;1n kn=

nên
n
1
n

không cùng phương. Do đó
đường thng
3 60xy+−=
không song song với đường thng
( )
d
.
Câu 3: Trong mt phng
Oxy
, đường thng
: 2 10dx y −=
song song với đường thẳng phương
trình nào sau đây?
A.
2 10xy
+ +=
. B.
20xy
−=
. C.
2 10xy−+ +=
. D.
2 4 10xy
+ −=
.
Li gii
Chn D
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
H THNG BÀI TP TRC NGHIỆM.
III
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
Ta kiểm tra lần lượt các đưng thng
.+) Vi
1
: 2 10dx y+ +=
12
12
d≠⇒
ct
1
d
.
.+) Vi
2
:2 0d xy
−=
21
12
d
≠⇒
ct
2
d
.
.+) Vi
3
: 2 10d xy−+ +=
12 1
1 21
d
=≠⇒
−−
trùng
3
d
.
.+) Vi
4
:2 4 1 0d xy + −=
1 21
24 1
d
−−
=≠⇒
−−
song song
4
d
.
Câu 4: Cho các đường thng sau.
1
3
:2
3
dy x=
2
1
:1
3
dy x
= +
3
3
:1 2
3
dy x

=−− +



4
3
:1
3
dy x=
Khng định nào đúng trong các khẳng đnh sau?
A.
234
,,ddd
song song vi nhau. B.
2
d
4
d
song song vi nhau.
C.
1
d
4
d
vuông góc vi nhau. D.
2
d
3
d
song song vi nhau.
Li gii
Chn B
3 32
31
:1 2 1
3
3
dy x x d d

= + = +⇒



. Đường thng
2
d
4
d
có h s c bng
nhau;h s t do khác nhau nên chúng song song.
Câu 5: Tìm các giá tr thc ca tham s
m
để đường thng
( )
2
3 31
ym xm
= ++
song song vi đưng
thng
5yx=
.
A.
2m = ±
. B.
2m = ±
. C.
2m =
. D.
2m =
.
Li gii
Chn D
Để đường thng
( )
2
3 31
ym xm= ++
song song với đường thng
5yx=
thì điều kiện là
2
2
31
2
2
315
m
m
m
m
m
= ±
−=
⇔=

≠−
+ ≠−
.
Câu 6: Ta đ giao điểm của hai đường thng
3 60xy −=
3 4 10xy+ −=
A.
27 17
;
13 13



. B.
( )
27;17
. C.
27 17
;
13 13



. D.
( )
27; 17
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Ta có ta đ giao đim ca hai đưng thng
3 60xy −=
3 4 10xy+ −=
nghiệm ca h
phương trình
3 60
3 4 10
xy
xy
−=
+ −=
27
13
17
3
x
y
=
=
.
Câu 7: Cho đường thng
1
: 2 3 15 0dxy++=
2
: 2 30
dx y
−=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
d
2
d
ct nhau và không vuông góc vi nhau.
B.
1
d
2
d
song song vi nhau.
C.
1
d
2
d
trùng nhau.
D.
1
d
2
d
vuông góc vi nhau.
Li gii
Chn A
Đưng thng
1
: 2 3 15 0dxy++=
có một vectơ pháp tuyến
( )
1
2;3n =

đường thng
2
: 2 30dx y −=
có một vectơ pháp tuyến là
( )
2
1; 2n
=

.
Ta thy
23
12
12
. 2.1 3.( 2) 4 0nn = + =−≠

.
Vy
1
d
2
d
ct nhau và không vuông góc vi nhau.
Câu 8: Hai đường thng
12
: 5, : 9d mx y m d x my+= + =
ct nhau khi và ch khi
A.
1m ≠−
. B.
1m
. C.
1m ≠±
. D.
2m
.
Li gii
Chọn C
CÁCH 1
-Xét
0m =
thì
12
5 9d :y , d :x=−=
. Rõ ràng hai đường thngy ct nhau nên
0m =
tha
mãn .
-Xét
0m
thì
1
:5d y mx m= +−
2
:9
x
dy
m
=−+
Hai đường thng
1
d
2
d
ct nhaut
0
1
(2)
1
m
m
m
m
⇔− ≠−
≠±
.
T và ta có
1m ≠±
.
CÁCH 2
1
d
2
d
theo th t nhn các vectơ
12
1 1n ( m; ), n ( ;m )= =

làm vec tơ pháp tuyến.
1
d
2
d
ct nhau
1
n
2
n
không cùng phương
11 1
m.m . m . ≠±
Câu 9: Vi giá tr o ca
m
thì hai đường thng
1
:3 4 10 0
dxy++=
( )
2
2
: 2 1 10 0d m x my + +=
trùng nhau?
A.
2m ±
. B.
1m = ±
. C.
2m =
. D.
2m =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
( )
12
2
2
2
1
2
: 2 1 10 0
2 1 10
3 4 10
:3 4 10 0
2 13
2.
4
dd
d m x my
mm
dxy
m
m
m
+ +=
→ = =
++=
−=
⇔=
=
Câu 10: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thẳng phương trình
( )
1
: 1 20d mx m y m+− + =
2
:2 1 0d xy+ −=
. Nếu
1
d
song song
2
d
thì:
A.
2.m =
B.
1.m =
C.
2.m =
D.
1.m =
Li gii
( )
12
1
||
2
2
1
12
2
0
.
: 12
1
2
21
:2 1 0
2
dd
dm
m
mx y m
mm
dx
m
m
y
m
+− + =
=
=
→ =
+−
/
−=
/
⇔⇔
=
=
Câu 11: Tìm
m
để hai đường thng
1
:2 3 4 0dxy +=
2
23
:
14
xt
d
y mt
=
=
ct nhau.
A.
1
.
2
m ≠−
B.
2.m
C.
1
.
2
m
D.
1
.
2
m =
Li gii
( )
( )
21
1
1
2
2
:2 3 4 0
2;
.
3
4
23
:
2
4;
3
3
14
1
32
dd M
dxy
m
xt
d
n
m
n m
y mt
∩=
+=
=

 
=

=
= ⇔=
//
=
Chọn C
Câu 12: Vi giá tr nào ca
a
thì hai đường thng
1
:2 4 1 0dxy+=
( )
2
1
:
31
x at
d
y at
=−+
=−+
vuông góc vi nhau?
A.
2.a =
B.
2.a =
C.
1.a =
D.
1a
=
.
Li gii
( )
( )
( )
12
2
1
1
12
2
:2 4 1 0
1; 2
0 1 2 0 1.
:
1;
1
31
dd
dxy
n
nn a a a
n aa
x at
d
y at
+=
=
 
=
= +− = =

= +
=−+
−+

Chn D
Câu 13: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
1
22
:
3
xt
d
yt
=−+
=
( )
2
2
:
6 12
x mt
d
y mt
= +
=−+
trùng nhau?
A.
1
2
m =
. B.
2m =
. C.
2
m
=
. D.
2m ≠±
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
(
)
( )
( )
( )
12
1
22
11
2
2.
6
1
22
: 2;
;
12
,
2
3
3
2
: 26
1
;2
2
3
dd
xt
d
m
yt
x mt
dA
ym
u
Ad
m
mm
t
du m
=−+
→=
=
= +
=−+
→ =

=

∈=
Chọn C
Câu 14: Tìm tt c các giá tr ca
m
để hai đường thng
1
22
:
1
xt
d
y mt
= +
= +
2
:4 3 0
d x ym +=
trùng nhau.
A.
3
m =
. B.
1
m =
. C.
4
3
m =
. D.
m
∈∅
.
Li gii
( ) ( )
( )
12
2
2
11 1
2
22
50
: 2;1
1
8
:4 3 0 3
.
;
, 2;
2
34
4
3
dd
xt
A
m
dA
y
d
mt
m
m
d
d
um
m
ux ym
=+
+=

= +
→

=

+= =
=
=
Chn D
Câu 15: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
1
:2 4 0d xy m++− =
( )
2
: 3 2 10d m xy m+ + + −=
song song?
A.
1.m =
B.
1.m
=
C.
2.m =
D.
3.m =
Li gii
Vi
2
2
1
1
:2 0
4
:7 7 0
d xy
md
d xy
d
+=
= →
+
=∅→
/
+=
loi
4.m =
Vi
4m =
/
thì
( )
12
1
||
2
:2 4 0
31
: 3 2 10
1
21
1.
5
421
dd
d xy m
m
dm y
m
m
m
m
m
xm
++− =
=
+
→ =
+ + −=
−−
= ⇔=
/
/
=
Chn B
Câu 16: Tìm tt c các giá tr ca
m
để hai đường thng
1
: 2 3 10 0x my +=
2
: 4 10mx y + +=
ct nhau.
A.
1 10m
<<
. B.
1
m
=
. C. Không có
m
. D. Vi mi
m
.
Li gii
12
1
1
2
2
: 50
0 0(
: 2 3 10 0
:4 1 0
)
.
:
23
0
00
41
4
M
m
mm
m
x
mm
x my
y
mx y
∩∆ =
+=
= →=
= 
= ⇔∀ =
/
+=
+=
+ +=
//
thoaû maõn
Chn D
Câu 17: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
1
: 19 0mx y +− =
(
) (
)
2
: 1 1 20 0
m xm y ++ −=
vuông góc?
A. Vi mi
m
. B.
2
m =
. C. Không có
m
. D.
1
m = ±
.
Li gii
Ta có :
(
)
( ) (
)
( )
( )
( )
11
11
22
1
.
: 19 0 ;1
: 1 20 0 1; 1
11 1 0
n
n
mx y m
m xm y m m
mm m m
⊥∆
+− =→ =
++ =→= +
→ + + = ∈∅
Câu 18: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
1
:3 2 6 0
d mx y+ +=
( )
2
2
: 2 2 60d m x my+ + +=
ct nhau?
A.
1
m ≠−
. B.
1m
. C.
m
. D.
1 1mm ≠−
.
Ta có:
( )
( ) (
)
11
22
22
:3 2 6 0 3 ;2
: 2 2 6 0 2; 2
d mx y m
d m x my m m
n
n
+ +=→ =
+ + += = +
(
)
12
1
2
2
: 30
00
: 30
.
22
01
32
ddM
dy
mm
dxy
m
mm
m
m
∩=
+
= 
/
+=
=→→
= ⇔=±
/
=
++=
/
thoaû maõn
Chn D
Câu 19: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
1
: 2 3 10 0dxy−=
2
23
:
14
xt
d
y mt
=
=
vuông góc?
A.
1
2
m =
. B.
9
8
m =
. C.
9
8
m =
. D.
5
4
m =
.
Li gii
( )
( )
11
22
: 2 3 10 0 2; 3
23
: 4;3
14
dxy
xt
t
n
n
dm
ym
=→=
=
→=
=
( ) ( )
21
9
2.4 3 . 3 0 .
8
d d
mm
→ + = =
Chọn C
Câu 20: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
1
:4 3 3 0dxym−+ =
2
12
:
4
xt
d
y mt
= +
= +
trùng nhau?
A.
8
3
m =
. B.
8
3
m =
. C.
4
3
m =
. D.
4
3
m =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
( )
( ) ( )
2
11
2 2
: 4 3 3 0 4; 3
12
: 1; 4 ,2
4
;
dxym
xt
dA
y
dn m
mt
n + =→=
= +
=
∈=
+
12
1
4
3 80
8
.
8
3
3
3
2
dd
A
m
m
m
d
m
−=

→ =

=

=
Chn B
Câu 21: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
1
:3 2 6 0d mx y
+ −=
( )
2
2
: 2 2 30d m x my
+ + −=
song song?
A.
1; 1.mm
= =
B.
m ∈∅
. C.
2m =
. D.
1m =
.
Li gii
Ta có
( )
( ) ( )
( )
12
1
2
|
1
22
22
1
2
|
:3 2 6 0 3 ;2
: 2 2 3 0 2; 2
: 30
0
3
2
0
23
01
3
0
:2 2
2
.
6
dd
d
m
n
n
mx y m
dm x y m m
dy
mm
dx
m
mm
m
m
y
+−
= → = = =
+ −= =
+ + −= = +
−=
= →=
+ −=
±
//
Choïn A.
khng thoaû maõn
Câu 22: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
( )
1
81
:
10
x mt
d
yt
=−+
= +
2
: 2 14 0d mx y+ −=
song song?
A.
1
2
m
m
=
=
. B.
1m =
. C.
2m =
. D.
m ∈∅
.
Li gii
Ta có:
( )
(
) ( )
( )
1 11
22
81
: 8;10 , 1; 1
10
: 2 14 0 ;2
n
x mt
d
y
dAm
yt
d mx m
n
=−+
→=+
= +
+ −==
( )
( )
12
2
||
2
1
0
1;1
0
0
0; 2
1
11
.
0
2
86
1
2
dd
A
m
m
d
n
m
m
n
m
m
m
m
m
/
=
=
/
=→→
=
/
=
=
+
=

→

=

/
=
+
→=
khng thoaû maõn
Chn A
Câu 23: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
( )
2
1
: 3 2 10d m x ym + + −=
2
2
: 2 10d x my m m−+ + +=
ct nhau?
A.
1m
. B.
1
2
m
m
. C.
2m
. D.
1
2
m
m
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Li gii
( )
2
1
2
2
: 3 2 10
: 2 10
d m x ym
d x my m m
+ + −=
−+ + +=
21
1
2
:3 2 1 0
0
: 10
.
1
32
0
2
1
d dM
m
dx
x
m
m
m
y
m
m
d
∩=
=
/
=→=
/
+ −=
=→→
−+=

/
=
/
thoaû maõn
Chn B
Câu 24: Vi giá tr nào ca
m
thì hai đường thng
( )
1
2
2
:
11
xm t
y mt
= +
=++
2
1
:
x mt
y mt
= +
= +
trùng nhau?
A. Không có
m
. B.
4
3
m =
. C.
1
m
=
. D.
3m =
.
Li gii
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
12
1
2
2
2
22
2
3
2
11
2
2
: ;1
11
1
1
21
: ;1
1
11
10
1 1.
10
1 20
2
, 2; 1
0
dd
du m
d
xm t
Am
A
y mt
m
x mt
m
m
y mt
m mt
m mm
m
mt m
m
m mm
m
u
m
=+
∆→
=++
→

=
= +

+
→=
= +
= +
=+−
−=

=+ ⇔=

−=
++ =

+−
=
= +
. Chọn C
Câu 25: Tìm ta đ giao điểm của hai đường thng
7 3 16 0xy+=
10 0x +=
.
A.
(
)
10; 18−−
. B.
( )
10;18
. C.
(
)
10;18
. D.
(
)
10; 18
.
Li gii
1
2
: 7 3 16 0
10
.
: 10 0 18
dxy
x
dx y
+=
=

+= =
Chn A
Câu 26: Tìm to độ giao điểm của hai đường thng
1
34
:
25
xt
d
yt
=−+
= +
2
14
:.
75
xt
d
yt
= +
=
A.
( )
1; 7 .
B.
( )
3; 2 .
C.
( )
2; 3 .
D.
( )
5;1 .
Li gii
1
1
2
34
:
1
25
1
34 14 1
.
7
25 75 1
14
:
0
75
d
xt
d
x
yt
t
t t tt
y
t t tt
xt
d
t
yt
=−+
=

= +
′′
= →
−+ =+ =


⇔⇔
=

′′
+ = +=
= +


=
=
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Câu 27: Cho hai đường thng
1
: 2 3 19 0
dxy
+−=
và
2
22 2
:
55 5
xt
d
yt
= +
= +
. Tìm to độ giao điểm ca hai
đường thẳng đã cho.
A.
( )
2;5 .
B.
(
)
10;25 .
C.
( )
1; 7 .
D.
(
)
5; 2 .
Li gii
( ) ( )
1
2
1
2
: 2 3 19 0
2
2 22 2 3 55 5 19 0 10 .
22 2
:
5
55 5
d d
dxy
x
tt t
xt
d
y
yt
+−=
=
→ + + + = =
= +

=
= +
Chn A
Câu 28: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( ) ( )
–2;0 , 1;4AB
đường thng
:
2
xt
d
yt
=
=
. Tìm tọa đ giao điểm của đường thng
AB
d
.
A.
( )
2;0
. B.
( )
–2;0
. C.
( )
0;2
. D.
( )
0;2
.
Li gii
( ) ( )
–2;0 , 1;4 : 4 3 8 0
4 3 80 2
.
20 0
: : 20
2
AB d
A B AB x y
xy x
xt
xy y
d dx y
yt
+=
+= =

→
=

−+= =
−+=

=
Chn B
Câu 29: Xác đnh
a
để hai đường thng
1
: 3 –4 0
d ax y+=
2
1
:
33
xt
d
yt
=−+
= +
ct nhau ti mt đim nm
trên trc hoành.
A.
1.a =
B.
1.a =
C.
2.a =
D.
2.a =
Li gii
( )
212
12
30
2;0
30
xt x
d
O dx d Ox
yt
A
y
=−+ =

⇔→

=+= =
=−∈
2 4 0 2.aa
→− = =
Chn D
Câu 30: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hai đưng thng
2
1
:4 3 0d x my m+=
2
2
:
62
xt
d
yt
= +
= +
ct nhau ti một điểm thuc trc tung.
A.
0
m =
hoc
6m =
. B.
0m =
hoc
2m =
.
C.
0
m =
hoc
2m =
. D.
0m
=
hoc
6m =
.
Li gii
( )
12 2
20 0
6
0; 2
22
xt x
dOy d Oy
y
A
ty
d
= += =

⇔→

=
=
=
+
2
0
60 .
6
m
mm
m
=
−=
=
Chn D
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 31: Cho ba đưng thng
1
:3 2 5 0
dxy
+=
,
2
:2 4 7 0dxy+=
,
3
:3 4 –1 0dxy
+=
. Phương trình
đưng thng
d
đi qua giao đim ca
1
d
2
d
, và song song vi
3
d
là:
A.
24 32 53 0xy+=
. B.
24 32 53 0xy+ +=
.
C.
24 32 53 0xy+=
. D.
24 32 53 0xy=
.
Li gii
1
1
2
2
3 31
;.
3
8
:3 2 5 0
8
: 2 4 7 0 31
1
16
6
x
dxy
d
dx
d
y
y
A
=
+=
⇔→

+=
=

∩=

Ta có
( )
3
9 31 53
0.
4:3 4 –1
8
|| :3 00
84
1
d
d
d d x yc
A
A
cc
dxy c
→− + + = =

+=
+ += =
/
Vy
3
53
:3 4 0 : 24 32 53 0.
8
dx y d x y+ = + −=
Chn A
Câu 32: Lp phương trình ca đưng thng
đi qua giao đim ca hai đưng thng
1
: 3 10dx y+ −=
,
2
: 3 50dx y −=
và vuông góc vi đưng thng
3
:2 7 0d xy−+=
.
A.
3 6 50xy+ −=
. B.
6 12 5 0xy+ −=
.
C.
6 12 10 0xy
+ +=
. D.
2 10 0xy+ +=
.
Li gii
2
1
1
2
3
: 3 10
2
: 3 50
3
2
3; .
3
x
dx y
d
dx y
y
dA
=
+ −=
⇔→

−=
=

∩=


Ta có
3
25
3 2. 0 .
0
:2
:
70
33
2
d
d
d
dx y c
A
A
cc
d xy

→+ +==


+ +=
+=

Vy
5
: 2 0 :3 6 5 0.
3
dx y d x y+ = + −=
Chn A
Câu 33: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba đưng thng ln lưt phương trình
1
:34150dxy+=
,
2
:5 2 1 0dxy+ −=
( )
3
: 21 9130d mx m y m + −=
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
A.
1
.
5
m =
B.
5.m
=
C.
1
.
5
m =
D.
5.m =
Li gii
Ta có:
( )
1 23
1
2
:34150
1
:5 2 1
3
3
1;
0
dxy
x
d
dxy y
dA d
+=
=
⇔→

+ −= =
∩=
6 3 9 13 0 5.mm m m−++−==
Chn D
Câu 34: Nếu ba đường thng
1
: 2 4 0d xy+=
,
2
:5 2 3 0dxy+=
3
: 3 –2 0d mx y+=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
đồng quy thì
m
nhn giá tr nào sau đây?
A.
12
.
5
B.
12
.
5
C.
12.
D.
12.
Li gii
23
1
1
2
5
: 2 4 0
9
:5 2 3 0 26
9
;
5 26
99
x
d xy
d
dx
d
y
y
dA
=
+=
⇔→
=
∩=

+=

5 26
2 0 12.
93
m
m
+ −= =
Chn D
Câu 35: Vi giá tr nào ca
m
thì ba đưng thng
1
:3 4 15 0dx y
+=
,
2
:5 2 –1 0dxy+=
3
: 4 15 0d mx y +=
đồng quy?
A.
5
m =
. B.
5
m =
. C.
3m =
. D.
3
m =
.
Li gii
( )
1
12
2
:3 4 15 0
1
1; 3
:5 2 –1 0 3
dxy
x
dd A d
dxy y
+=
=
→∩=

+= =
12 15 0 3.mm→− + = =
Chọn C
Câu 36: Vi giá tr nào ca
m
thì ba đưng thng
1
:2 –1 0d xy+=
,
2
: 2 10dx y+ +=
3
: –7 0d mx y =
đồng quy?
A.
6m =
. B.
6m =
. C.
5m =
. D.
5m
=
.
Li gii
( )
1
12 3
2
:2 –1 0
1
1; 1 1 7 0 6.
: 2 10 1
d xy
x
dd A d m m
dx y y
+=
=
= +− = =

+ += =
Chn B
Câu 37: Đưng thng
:51 30 11 0dx y +=
đi qua điểm nào sau đây?
A.
4
1; .
3
M

−−


B.
4
1; .
3
N



C.
3
1; .
4
P



D.
3
1; .
4
Q

−−


Li gii
Đặt
( )
( )
( )
( )
( )
4
1; 0
3
4
1; 80 0
; 51 30 11 .
3
0
0
fM f M d
fN f N d
f xy x y
fP
fQ

= −− =



= ==→∈
/
/
= + →


=
/
=
/
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Tính góc của hai đường thẳng cho trước
Câu 38: Tính góc giữa hai đường thng
: 3 20
xy +=
: 3 10
xy
+ −=
.
A.
90
. B.
120
. C.
60
. D.
30
.
Li gii
Chọn C
Đưng thng
có vectơ pháp tuyến
( )
1; 3n =
, đường thng
có vectơ pháp tuyến
( )
1; 3n
=

.
Gi
α
là góc giữa hai đường thng
,.
∆∆
( )
13
1
cos cos , 60
2
13.13
nn
αα
= = =⇒=
++

.
Câu 39: c giữa hai đường thng
:3 7 0a xy−+=
: 3 10bx y −=
là:
A.
30
°
. B.
90°
. C.
60°
. D.
45°
.
Li gii
Chn A
Đưng thng
a
có vectơ pháp tuyến là:
( )
1
3; 1n =

;
Đưng thng
b
có vectơ pháp tuyến là:
( )
2
1; 3n
=

.
Áp dng công thc tính góc giữa hai đường thng có:
( )
( )
(
)
12
12
1. 3 1 3
.
3
cos ,
2.2 2
.
nn
ab
nn
+−
= = =


. Suy rac giữa hai đường thng bng
30°
.
Câu 40: Cho hai đường thng
1
:2 5 2 0d xy+ −=
2
:3 7 3 0
dxy +=
. Góc to bởi đường thng
1
d
2
d
bng
A.
0
30
. B.
0
135
. C.
0
45
. D.
0
60
.
Li gii
Chọn C
Đưng thng
1
:2 5 2 0d xy+ −=
có vectơ pháp tuyến
(
)
1
2;5n
=
.
Đưng thng
2
:3 7 3 0dxy +=
có vectơ pháp tuyến
( )
2
3; 7n =
.
Góc giữa hai đường thẳng được tính bng công thc
( )
(
)
( )
12
12
12
12
2
222
.
2.3 5.( 7)
29 1
cos , cos ,
29 2 2
.
2 5. 3 7
nn
dd nn
nn
+−
= = = = =
+ +−



( )
0
12
; 45dd⇒=
Vy c to bởi đường thng
1
d
2
d
bng
0
45
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Câu 41: Tìm côsin góc giữa hai đường thng
1
:2 1 0xy + −=
2
2
:
1
xt
yt
= +
=
A.
10
10
. B.
3
10
. C.
3
5
. D.
3 10
10
.
Li gii
Chn D
Véctơ pháp tuyến của đường thng
1
(
)
2;1n =
nên véctơ ch phương
( )
1; 2u =
Véctơ ch phương của đường thng
( )
1; 1u
=

Khi đó
( )
(
)
12
.
3 3 10
cos ; cos ;
10
5. 2
.
uu
uu
uu
∆∆ = = = =



Câu 42: m góc giữa hai đường thng
1
: 2 15 0
xy
+=
( )
2
2
:.
42
=
∆∈
= +
xt
t
yt
A.
5
°
. B.
60
°
. C.
0
°
. D.
90
°
.
Li gii
Chn D
Đưng thng
1
có VTPT là
( ) (
)
1
1; 2 1 2;1−⇒n VTCP

Đưng thng
( )
1 1; 2VT CP
.
Nhn xét:
(
)
12 1 2 1 2 1 2
. 0 , 90
°
= ⇒∆ ⊥∆ =uu u u
   
.
Câu 43: Tìm cosin góc giữa
2
đường thng
12
:270,:2490
dx y d x y
+ = +=
.
A.
3
5
. B.
2
5
. C.
1
5
. D.
3
5
.
Li gii
Chn D
Ta có
( ) ( )
12
1; 2 ; 2; 4
dd
vtptn vtptn
= =

( )
12
12
.
1.2 2.4
3
;.
5
5.2 5
.
dd
dd
nn
cos d d
nn
= = =


Câu 44: Tính góc giữa hai đường thẳng
: 3 2 0 ': 3 1 0 x y x y
+ = + −=
?
A. 90
o
. B. 120
o
. C. 60
o
. D. 30
o
.
Li gii
Chọn C
vectơ pháp tuyến
( )
1
1; 3n =

.
'
vectơ pháp tuyến
( )
2
1; 3n =

.
Khi đó:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
( )
(
)
( )
( )
12
'
12
22
22
12
1.1 3 3
.
2
1
cos ; cos( ; )
2
4. 4
| |.
1 3 .1 3
nn
nn
nn
+−
∆∆ = = = = =
+− +




.
Vậy góc giữa hai đường thẳng
, '
∆∆
0
60
.
Câu 45: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
: 2 10 0d xy
−− =
2
: 3 9 0.dx y
+=
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
135 .
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
12
;
22
2
1
2
1
22
2.1 1 . 3
1
2
0
2
: 2 10 0 2; 1
cos
: 3 9 1;
.1 3
3
1
dd
d
n
xy
dy
n
x
ϕ
ϕ
=
+
−− = =

+= =
−−
= =
+−
+−
45 .
ϕ
→=
Chn B
Câu 46: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
:7 3 6 0dxy +=
2
: 2 5 4 0.d xy −=
A.
4
π
. B.
3
π
. C.
2
3
π
. D.
3
4
π
.
Li gii
Ta có
( )
(
)
( )
12
11
;
22
14 15
1
.
3
4
49 9.
: 7 6 0 7; 3
cos
: 2 5 4 0 2; 5
4 25 2
dd
d nxy
d nxy
ϕ
π
ϕϕ
=
+= =

+
= =
−= =
→=
++
Chn A
Câu 47: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
:22350dx y+ +=
2
: 6 0.dy
−=
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
12
1
;
1
22
;
3
3
30 .
6
2
1 3. 0
.
1
:22350 13
cos
: 0 0;1
dd
d
y
n
n
xy
d
ϕ
ϕϕ
=
=
+ += =
= →
−= =
→=
++
Chn A
Câu 48: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
: 30dx y+=
2
.10 0: x
d +=
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
( )
( )
( )
12
1
;
2
1
2
: 3 0 1; 3
cos
0
10
1
2
1 3. 1
0:
0
10 1;
dd
d
d
n
x
xy
n
ϕ
ϕ
=
+
+ =→=

=
= =
++
+ →=
60 .
ϕ
→=
Chọn C
Câu 49: Tính góc to bi gia hai đường thng
1
: 6 5 15 0dxy
+=
2
10 6
:.
15
xt
d
yt
=
= +
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Li gii
(
)
( )
( )
12
2
;
2
1
1
2
1
: 6 5 15 0 6; 5
10 6
:
1
0 90 .
5; 6
5
dd
d n
nn
n
xy
xt
d
yt
ϕ
ϕ
=
⋅= =
+=→=

=
= +
=

Chn D
Câu 50: Cho đường thng
1
: 2 70dx y
+ −=
2
:2 4 9 0
dxy +=
. Tính cosin ca góc to bi gia hai
đường thẳng đã cho.
A.
3
5
. B.
2
5
. C.
3
5
. D.
3
5
.
Li gii
( )
( )
( )
12
11
2
;
2
: 2 7 0 1; 2
cos
;
.
:2 4 9
1
0
4
3
5
12
14.14
dd
d
x
n
n
xy
dy
ϕ
ϕ
=
+ −= =

= =
→=+
++
=
Chọn C
Câu 51: Cho đường thng
1
2 20: xyd + −=
2
0:
d
xy−=
. Tính cosin ca góc to bi giữa hai đường
thẳng đã cho.
A.
10
10
. B.
2
3
. C.
3
3
. D.
3
.
Li gii
( )
( )
( )
12
11
;
22
: 1; 2
1
.c
2 20
12
1
0 1;
1 4. 1 1 10
os
:
dd
d
d
xy n
xy n
ϕ
ϕ
=
+ −=
= =
→=

=→=
++
Chn A
Câu 52: Cho đường thng
1
0:10 5 1d xy+ −=
2
2
:
1
xt
d
yt
= +
=
. Tính cosin ca góc to bi gia hai
đường thng đã cho.
A.
3 10
10
. B.
3
5
. C.
10
10
. D.
3
10
.
Li gii
( )
( )
( )
12
11
;
22
: 2;
.
1
cos
10 5 1 0
21
3
1;1
41
2
.1
:
1
11 0
dd
d
x
xy n
n
t
d
yt
ϕ
ϕ
=
+ −=
+
= =
→=
→=

= +
+
=
+
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
Câu 53: Cho đường thng
1
:3 4 1 0dx y
+ +=
2
15 12
:
15
xt
d
yt
= +
= +
.
Tính cosin ca góc to bi giữa hai đường thẳng đã cho.
A.
56
65
. B.
33
65
. C.
6
65
. D.
33
65
.
Li gii
( )
( )
( )
12
11
2
;
2
: 3 4 1 0 3; 4
cos
1
2
.
5 12
:
15
15 48
33
65
5; 1
9 16. 25 144
dd
d
y
n
n
xy
xt
d
t
ϕ
ϕ
=
+ += =

= +
+
= =
→=
+
+
=
Chn D
Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
Câu 54: Xác đnh tt c các giá tr ca
a
để góc to bi đưng thng
9
72
x at
yt
= +
=
(
)
t
đường thng
3 4 20xy
+ −=
bng
45°
.
A.
1
a =
,
14a =
. B.
2
7
a =
,
14a =
. C.
2a =
,
14a =
. D.
2
7
a =
,
14a
=
.
Li gii
Chn B
Gi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đưng thng
9
72
x at
yt
= +
=
( )
t
có vectơ chỉ phương là
( )
;2ua=
.
Đưng thng
3 4 20xy+ −=
có vectơ chỉ phương là
( )
4; 3v =
.
Ta có
(
)
cos cos ,uv
ϕ
=

.
cos45
.
uv
uv
°=


2
46
1
2
54
a
a
+
⇔=
+
2
5 4 24 6aa += +
22
25 100 32 96 72a aa += ++
2
7 96 28 0aa
+ −=
2
7
14
a
a
=
=
.
Câu 55: Đưng thng
đi qua giao điểm ca hai đưng thng
1
:2 3 0d xy+−=
2
: 2 10dx y +=
đồng thi to với đường thng
3
: 10dy−=
mt góc
0
45
có phương trình:
A.
(1 2 ) 0xy+− =
hoc
: 10xy −=
. B.
:20xy∆+ =
hoc
:40xy∆− =
.
C.
:0xy −=
hoc
: 20xy +−=
. D.
:2 1 0x +=
hoc
5 0.y +=
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
( )
1
1
2
2
:2 3 0
1
: 21 1
1;1 .
0
d xy
x
d
dx y y
dA
+−=
=
⇔→

+= =
= ∈∆
Ta có
(
)
33
: 1 0 0;1 ,d ny −= =
gi
( ) ( )
3
;, ;a dbn
ϕ
= =
. Khi đó
22 2
22
.
1
1 : 20
2
1, 1 : 0
1
2
0
o
.
cs
ab ab xy
b
ab b
a b a b xy
ab
ϕ
= = = →∆ + =
= +=
=− = =− →∆ =
++
=
Chọn C
Câu 56: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, có bao nhiêu đường thẳng đi qua đim
( )
2;0A
và to vi
trc hoành mt góc
45 ?°
A. Có duy nht. B.
2
.
C. Vô s. D. Không tn ti.
Li gii
Chn B
Cho đường thng
d
và một điểm
.A
Khi đó.
Có duy nht một đường thẳng đi qua
A
song song hoc trùng hoc vuông góc vi
.d
Có đúng hai đường thẳng đi qua
A
và to vi
d
mt góc
.0 90
α
< <
Câu 57: Đưng thng
to vi đưng thng
: 2 60dx y
+ −=
mt góc
0
45
. Tìm h s góc
k
ca đưng
thng
.
A.
1
3
k =
hoc
3.k
=
B.
1
3
k =
hoc
3.k =
C.
1
3
k =
hoc
3.k =
D.
1
3
k =
hoc
3.k =
Li gii
(
)
: 2 6 0 1; 2 ,
d
dx y
n+ −= =
gi
(
)
;.
a
ab kn
b
∆∆
= →=
Ta có
( )
22 2 2
22
2
1
cos45 5 2 8 8
2
.5
ab
a b a ab b
ab
+
= = += ++
+
22
11
3830 .
33
33
a bk
a ab b
abk
= →=
−=
=→=
Chn A
Câu 58: Biết rằng đúng hai giá trị ca tham s
k
để đường thng
:d y kx=
to với đường thng
: yx∆=
mt góc
0
60
. Tng hai giá tr ca
k
bng:
A.
8.
B.
4.
C.
1.
D.
1.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
( )
( )
12
2
sol
2
:,
22
12
: ;1
1
1
cos60 1 2 4 2
2
: 1; 1
1. 2
4 1 0 4.
k
d
kk k
d y kx k
k
k kk
yx
n
n
k
k k kk
= =
=→=
+
→ = = + = + +
∆=→=
+
+ + =  + =
Chn B
Câu 59: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
1; 1M
hai đưng thẳng phương trình
( ) (
)
12
: 1 0, : 2 5 0d xy d xy −= + =
. Gi
A
là giao đim ca hai đưng thng trên. Biết rng
hai đường thng
( )
d
đi qua
M
cắt hai đường thng trên lần lượt tại hai điểm
,BC
sao cho
ABC
là tam giác
3
BC AB=
dng:
0ax y b++=
và
0cx y d++=
, giá tr ca
T abcd=+++
A.
5T =
. B.
6
T =
. C.
2T =
. D.
0T =
.
Li gii
Chọn C
Ta đ
( )
2;1A
Gi
α
là góc giữa hai đường thng
( )
1
d
( )
2
d
,
1
cos
10
α
=
3
sin
10
α
⇒=
Xét tam giác
ABC
ta có:
1
sin
sin sin
10
AB BC
C
CA
=⇒=
Gi
β
là góc giữa hai đường thng
(
)
d
( )
1
d
, suy ra:
13
sin cos
10 10
ββ
=⇒=
( )
1
Gi s
( )
d
có vec tơ pháp tuyến là
( )
;n ab
T
( )
1
ta có:
22
22
2
33
cos 8 0
10 10
5
ab
a ab b
ab
β
+
= = +=
+
7
ab
ab
=
=
Vi
ab=
một vec tơ pháp tuyến
( )
1;1 : 0n dx y= +=
Vi
7ab=
một vec tơ pháp tuyến
( )
7;1 : 7 6 0n d xy +−=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
Vy:
10762
T =++=
Câu 60: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác cân
ABC
có cạnh đáy
: 3 10BC x y
−=
, cnh
bên
: 50AB x y−−=
. Đưng thng
AC
đi qua
( 4;1)M
. Gi s to độ đỉnh
,C mn
.Tính
T mn

.
A.
5
9
T =
. B.
3T
=
. C.
9
5
T =
. D.
9
5
T
=
.
Li gii
Chọn C
Gi
(;)nab

vi
22
( 0)
ab+≠
là véc tơ pháp tuyến ca
AC
,
véctơ
1
(1; 3 )
n

là véc tơ pháp tuyến của đường thng
BC
,
2
(1; 1)n

véc tơ pháp tuyến của đường thng
AB
.
Ta có:
1 21
cos co s |cos( , )||cos( , )|B C nn n n
=⇔=
  
1 21
22
1 21
|,||,|
| 3 | |1 3|
10. 2
..
10.
nn n n
ab
nn n n
ab
−+
⇔= =
+
  
  
(
)
22 2 2
22 7 0
7
63b ab b
ab
a ab a
ab
=
=−⇔ =+
=
+−
+ Vi
ab=
chn
1, 1 (1; 1)ab n= =−⇒

loại vì
//AC AB
+ Vi
7
b
a =
chn
1; 7 : 7 3 0
a b AC x y= = + −=
. Điểm
81
;
55
C AC BC C

=∩⇒


Câu 61: Trong mt phẳng Oxy, cho hai đường thng
1
:2 5 0d xy
2
: 30d xy
ct nhau
ti
I
. Phương trình đường thẳng đi qua
2;0M
ct
12
,dd
ti
A
B
sao cho tam giác
IAB
cân ti
A
có phương trình dạng
20ax by 
. Tính
5Ta b
.
A.
1T 
. B.
9T
. C.
9T 
. D.
11T
.
Li gii
Chn D
Đưng thng
12
,dd
có véc tơ pháp tuyến lần lượt là
12
2; 1 , 1;1nn

.
Gi
là đường thng cần tìm có véc tơ pháp tuyến là
;
n ab
.
Góc giữa 2 đường thng
12
,dd
2
, d
xác đnh bi:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
12
12
2
2 22
12
.
2.1 1.1
1
,
10
.
2 1 .1 1
nn
cos d d
nn




.
2
2
2222 22
2
.
,
.
. 1 1 2.
nn
ab ab
cos d
nn
ab ab





.
ct
12
,dd
ti
A
B
to thành tam giác
IAB
cân ti
A
nên
22
12 2
22
1
,, 5
10
2.
ab
cos d d cos d a b a b
ab

2
22 2 2
2
5 25 0
1
2
ab
a b a b a ab b
ab



.
+
2ab

: chn
21ab

: phương trình đường thng là:
2 2 0 2 40x y xy L 
.
+
1
2
ab
: chn
12ab 
: phương trình đường thng là:
2 2 0 2 20 /
x y x y Tm 
. Do đó
5 1 5 2 11
Ta b

.
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH
Dạng 3.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng cho trước
Câu 62: Khong cách t điểm
( )
1;1A
đến đường thng
5 12 6 0xy −=
A.
13
. B.
13
. C.
1
. D.
1
.
Li gii
Chn D
Khong cách t điểm
( )
1;1A
đến đường thng
:5 12 6 0xy −=
( )
( )
2
2
5.1 12.1 6
,1
5 12
dA
−−
∆= =
+−
.
Câu 63: Khong cách t điểm
5; 1M
đến đường thng
3 2 13 0xy 
là:
A.
2 13
. B.
28
13
. C.
26
. D.
13
2
.
Li gii
Chn A
Khong cách
22
3.5 2. 1 13
26
2 13
13
32
d


.
Câu 64: Khong cách t điểm
1(1; )M
đến đường thng
:3 4 0xy
++=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
A.
1
. B.
3 10
5
. C.
5
2
. D.
2 10
.
Li gii
Chn B
Khong cách t điểm
1(1; )M
đến đường thng
:3 4 0xy ++=
(
)
22
3.1 1 4
6 3 10
;.
5
10
31
dM
−+
∆= = =
+
Câu 65:
Trong mt phng
Oxy
, khong cách t điểm
( )
3; 4M
đến đường thng
:3 4 1 0xy −=
.
A.
8
5
. B.
24
5
. C.
12
5
. D.
24
5
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
3.3 4. 4 1
24
,
5
34
dM
−−
∆= =
+−
.
Câu 66: Khong cách t điểm
( 3; 2)A
đến đường thng
:3 1 0
xy +=
bng:
A.
10.
B.
11 5
.
5
C.
10 5
.
5
D.
11
.
10
Li gii
Chn A
Ta có
( )
( )
( )
2
2
3. 3 2 1
10
; 10.
10
31
dA
−+
∆= = =
+−
Câu 67: Trong mt phng
Oxy
, khong cách t gc ta đ
O
đến đường thng
:4 3 1 0dx y +=
bng
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
1
5
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
22
4.0 3.0 1
1
,
5
43
d Od
−+
= =
+
.
Câu 68: Mt đường tròn tâm
( )
3; 2I
tiếp xúc vi đưng thng
: 5 1 0.xy +=
Hỏi bán kính đường
tròn bng bao nhiêu?
A.
14
.
26
B.
7
.
13
C.
26.
D.
6.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Gi bán kính của đường tròn là
.R
Khi đó:
( )
( )
( )
2
2
3 5. 2 1
14
,.
26
15
R dI
−+
= ∆= =
+−
Câu 69: Trong mt phng
Oxy
, khong cách từđiểm
(
)
0; 4
M
đến đường thng
( )
: 42 0x cos y sin sin
αα α
+ +− =
bng
A.
8
. B.
4
sinα
. C.
4
cos sinα+ α
. D.
8
.
Li gii
Chn D
Ta có:
(
)
(
)
22
0. 4. 4 2
,8
cos sin sin
dM
cos sin
α+ α+ α
∆= =
α+ α
.
Câu 70: Khoảng cách từ
(1; 2)I
đến đường thẳng
:3 4 26 0xy

bằng
A.
3
. B.
12
. C.
5
. D.
5
3
.
Li gii
Chn A
Khong cách t điểm
00
(; )Mx y
đến đường thng
: 0ax by c

là:
00
22
(,)
ax by c
dM
ab


Vy khong cách t
(1; 2)I
đến đường thng
:3 4 26 0xy

bng
22
3.1 4.( 2) 26
(, ) 3
3 ( 4)
dI



Câu 71: Khong cách t giao điểm ca hai đưng thng
3 40xy +=
2 3 10xy+ −=
đến đường thng
:3 4 0
xy ++=
bng:
A.
2 10
. B.
3 10
5
. C.
10
5
. D.
2
.
Li gii
(
) ( )
3 40 1
314
2
1;1 ; .
2 3 10 1
9 1 10
xy x
A dA
xy y
+= =
−++

→− = =

+ −= =
+

Chọn C
Câu 72: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
,1; 2A
( )
0;3B
(
)
4;0C
. Chiu
cao ca tam giác k t đỉnh
A
bng:
A.
1
5
. B.
3
. C.
1
25
. D.
3
5
.
Li gii
( )
( )
( )
( )
3 8 12
1
;.
5
, :3 4 12 0
91
;
6
1; 2
0 3 4;0
A
A
h d A BC
BCBC xy
+−
→= = =
+ −=
+
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
Câu 73: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
3; 4 ,A
(
)
1; 5B
(
)
3;1C
. Tính
din tích tam giác
ABC
.
A.
10.
B.
5.
C.
26.
D.
2 5.
Li gii
Cách 1:
(
)
( ) (
)
( )
( )
3; 4
1; 5 3;1
2
3; 4
25
5
,
;5
:2 7 0
A
x
A
B
A
BC
BC
h d A BC
BC y
C
=

→=

= =
=
+−
1
.2 5. 5 5.
2
ABC
S→= =
Chn B
Cách 2:
( )
2
22
1
..
2
ABC
S AB AAB AC
C
=
 
Câu 74: Khong cách t điểm
( )
0;3M
đến đường thng
( )
: cos sin 3 2 sin 0xy
αα α
+ +− =
bng:
A.
6.
B. 6. C.
3sin .
α
D.
3
.
cos sin
αα
+
Li gii
( )
( )
2 2
.
3 2 sin3sin
;6
cos sin
dM
αα
αα
+
=
=
+
Chn B
Câu 75: Khong cách t điểm
( )
2;0M
đến đường thng
13
:
24
xt
yt
= +
= +
bng:
A.
2.
B.
2
.
5
C.
10
.
5
D.
5
.
2
Li gii
( )
802
: 4 3 2 0 ; 2.
6
13
:
9
4
1
2
xt
yt
x y dM
++
+=
= +
= +
∆= =
+
Chn A
Câu 76: Khong cách nh nht t điểm
( )
15;1M
đến một đim bất kì thuộc đưng thng
23
:
xt
yt
= +
=
bng:
A.
10.
B.
1
.
10
C.
16
.
5
D.
5.
Li gii
( )
min
15 3 2
: 3 2 0 ; 10.:
19
23
N
x y MN d M
xt
yt
∈∆
= +
∆→
−−
= → =
=
=
=
+
Chn A
Câu 77: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để khong cách t điểm
( )
1; 2A
đến đường thng
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
: 40mx y m +− +=
bng
25
.
A.
2.m
=
B.
2
1
2
m
m
=
=
. C.
1
2
m =
. D. Không tn ti
m
.
Li gii
( )
22
2
24
; 2 5 3 5. 1 4 6 4 0
1
mm
dA m m m m
m
+− +
= = = +⇔ + −=
+
2
.
1
2
m
m
=
=
Chn B
Câu 78: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để khong cách t giao điểm của hai đường thng
1
:
2
xt
d
yt
=
=
2
:2 0
d x ym
+=
đến gc to độ bng
2
.
A.
4
.
2
m
m
=
=
B.
4
.
2
m
m
=
=
C.
4
.
2
m
m
=
=
D.
4
.
2
m
m
=
=
Li gii
1
1
2
2
:
: 20
4
2
:2 0 2
:2 0
xt
d
dxy
xm
yt
d x ym y m
d x ym
=
+−=
=
→⇔
=

+= =
+=
( )
1 2
.4; 2M mm
dd −=
Khi đó:
( ) ( )
22
2
2
2 4 2 4 6 80 .
4
m
OM m m m m
m
=
= + = +=
=
Chọn C
Câu 79: Đưng tròn
( )
C
có tâm là gốc ta đ
( )
0;0O
và tiếp xúc với đưng thng
:8 6 100 0
xy ++ =
. Bán kính
R
của đường tròn
(
)
C
bng:
A.
4R
=
. B.
6R =
. C.
8R =
. D.
10
R =
.
Li gii
(
)
100
; 10.
64 36
R dO
+
= = =
Chn D
Câu 80: Đưng tròn
( )
C
tâm
( )
2; 2I −−
và tiếp xúc với đường thng
:5 12 10 0
xy + −=
. Bán kính
R
của đường tròn
( )
C
bng:
A.
44
13
R =
. B.
24
13
R =
. C.
44R =
. D.
7
13
R =
.
Li gii
( )
10 24 10
44
;.
13
25 144
R dI
−−
= = =
+
Chn A
Câu 81: Cho đường thng
: 21 11 10 0.dx y −=
Trong các điểm
( )
21; 3M
,
( )
0; 4N
,
( )
19;5P
và
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
( )
1; 5Q
điểm nào gần đường thng
d
nht?
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
Q
.
Li gii
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
21; 3 464
0; 4 54
; 21 11 10 .
19;5 464
1; 5 44
fM
fN
f xy x y
fP
fQ
−=
=
= −→
−=
=
Chn D
Câu 82: Cho đường thng
: 7 10 15 0.dx y+ −=
Trong các đim
( )
1; 3M
,
( )
0; 4N
,
( )
19;5P
( )
1; 5Q
điểm nào cách xa đường thng
d
nht?
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
Q
.
Li gii
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1; 3 38
0; 4 25
; 7 10 15 .
19;5 98
1; 5 42
fM
fN
f xy x y
fP
fQ
−=
=
= + −→
−=
=
Chọn C
Câu 83: Khong cách giữa hai đưng thng song song
1
:6 –8 3 0xy +=
2
:3 4 6 0xy∆=
bng:
A.
1
2
. B.
3
2
. C.
2
. D.
5
2
.
Li gii
( )
( ) ( )
1
1
2
21
2
|| : 6
2;0
12 3
3
;; .
8 30
2
100
A
y
d dA
x
∈∆
∆∆
+=
+
→===
Chn B
Câu 84: Tính khong cách giữa hai đường thng
:7 3 0d xy+−=
2
:
27
xt
yt
=−+
=
.
A.
32
2
. B.
15
. C.
9
. D.
9
50
.
Li gii
( ) ( )
( )
2; 2 , 7;1
: 7 3 0 7;1
d
An
d xy n
∈∆ =
+−= =
( ) ( )
14 2 3
3
;; .
50 2
d d d d Ad
+−
→∆↑ = = =
Chn A
Câu 85: Khong cách giữa hai đưng thng song song
1
: 6 8 101 0dxy−=
2
:3 4 0dxy=
bng:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 26
A.
10,1
. B.
1, 01
. C.
101
. D.
101
.
Li gii
( )
(
)
2
12
21
4;3
24 24 101
101
; 10,1.
10
|| : 6 8 101 0
100
Ad
ddd
dd x y
∈
−−
→= ==
−=
Chn A
Dạng 3.2 Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 86: Cho hai điểm
(
) ( )
3;1 , 4; 0
AB
. Đường thẳng nào sau đây cách đều
A
B
?
A.
2 2 3 0.xy
+ −=
B.
2 2 3 0.
xy
−=
C.
2 3 0.
xy
+ −=
D.
2 2 3 0.
xy
+ −=
Li gii
Chn D
Gi
d
là đường thng đưc cho trong các phương án. Khi đó:
+) Phương án A.
( )
(
)
( )
( )
(
) (
)
22
22
2.3 2.1 3 2.4 2.0 3
7 11
, ;, , ,
22 22
22 22
d Ad d Bd d Ad d Bd
−+ +
= = = =⇒≠
−+ −+
.
Loại phương án A.
+) Phương án B.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
22
22
2.3 2.1 3 2.4 2.0 3
15
, ;, , ,
22 22
22 22
d Ad d Bd d Ad d Bd
−−
= = = =⇒≠
+− +−
.
Loại phương án B.
+) Phương án C.
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
3 2.1 3 4 2.0 3
21
, ;, , ,
55
12 12
d Ad d Bd d Ad d Bd
+− +
= = = =⇒≠
++
.
Loại phương án C.
+) Phương án D.
( ) ( )
( )
( ) ( )
22 2
2
2.3 2.1 3 2.4 2.0 3
55
, ;, , ,
22 22
22
22
d Ad d Bd d Ad d Bd
+− +
= = = =⇒=
+
+−
Chọn phương án D.
Câu 87: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
2;3A
( )
1; 4B
. Đưng thẳng nào sau đây
cách đều hai điểm
A
B
?
A.
2 0.xy−+=
B.
2 0.xy+=
C.
2 2 10 0.xy+=
D.
100 0.
xy−+ =
Li gii
Đưng thng cách đều hai điểm
,AB
thì đường thẳng đó hoặc song song vi
AB
, hoặc đi qua trung
điểm
I
của đoạn
AB
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 27
Ta có:
( )
( )
(
)
( )
37
;
22
|| : 2 0.
11
2;3
1; 4
;1 1;
AB
A
n
I
AB d x y
B
AB




−−=

−→=
=

Chn A
Câu 88: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho ba điểm
( )
,0;1A
(
)
12;5
B
( )
3; 0 .
C
Đưng thng
nào sau đây cách đều ba điểm
,A
B
C
.
A.
3 40
xy
+=
. B.
10 0xy−+ + =
. C.
0xy+=
. D.
5 10xy +=
.
Li gii
Dễ thy ba đim
,,ABC
thẳng hàng nên đường thẳng cách điều
,,ABC
khi và ch khi chúng song
song hoc trùng vi
AB
.
Ta có:
( ) ( )
.12; 4 1; 3 || 3: 40
AB
AAB n x yBd= →= +=

Chn A
Câu 89: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đim
( )
,1;1A
( )
2; 4B
đường thng
: 30mx y +=
. Tìm tất c các giá tr ca tham s
m
để
cách đều hai điểm
, AB
.
A.
1
.
2
m
m
=
=
B.
1
.
2
m
m
=
=
C.
1
.
1
m
m
=
=
D.
2
.
2
m
m
=
=
Li gii
Gi
I
là trung điểm đoạn
(
) ( )
15
;
22
.
3; 3 1;1
AB
I
AB
AB n



=→=

Khi đó:
( )
( )
: 3 0 ;1nmx y m
+= =
cách đu
,AB
5
1
30
.
2
1
1
2
1
1
1
Im
m
m
m
m

=
+=

∈∆
⇔⇔

=
=
=

Chọn C
Câu 90: Đưng thng
song song vi đưng thng
:3410dx y +=
và cách
d
mt khong bng
1
phương trình:
A.
3 4 60xy +=
hoc
3 4 40xy
−=
.
B.
3 4 60xy −=
hoc
3 4 40xy +=
.
C.
3 4 60xy +=
hoc
3 4 40xy +=
.
D.
3 4 60xy −=
hoc
3 4 40xy −=
.
Li gii
(
)
( ) ( )
:3410 1;1
4
1
1; ; .
6
5
|| :3 4 0
dx y M d
c
c
dd dM
c
d x yc
+=
=
= ∆= ∆=
=
→∆ + =
Chn A
Câu 91: Tp hp các đim cách đưng thng
:3 4 2 0xy +=
mt khong bng
2
hai đưng thng
có phương trình nào sau đây?
A.
3 4 80xy +=
hoc
34120xy+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 28
B.
3 4 80xy −=
hoc
34120
xy+=
.
C.
3 4 80
xy
−=
hoc
3 4 12 0xy −=
.
D.
3 4 80
xy
+=
hoc
3 4 12 0xy −=
.
Li gii
( )
( )
34120
342
;; 2 2 .
3 4 80
5
xy
xy
d M xy
xy
+=
−+
∆= =
−=
Chn B
Câu 92: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
:5 3 3 0
dxy
+ −=
2
:5 3 7 0dxy+ +=
song song nhau. Đường thng vừa song song và cách đều vi
12
, dd
là:
A.
5 3 2 0.xy+ −=
B.
5 3 4 0.xy+ +=
C.
5 3 2 0.
xy+ +=
D.
5 3 4 0.xy+ −=
Li gii
( )
(
)
( )
( )
12
533537
;; ;; 5 3 20.
34 34
xy xy
d M xy d d M xy d x y
+− ++
= = + +=
Chọn C
Câu 93: Trên h trc ta đ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Đim
thuc cnh
CD
sao cho
=
 
2MC DM
,
(
)
0;2019
N
trung điểm ca cnh
BC
,
K
giao đim ca hai đưng thng
AM
BD
.
Biết đường thng
AM
phương trình
−+ =10 2018 0
xy
. Khong cách t gc ta đ
O
đến
đường thng
NK
bng
A.
2019
. B.
2019 101
. C.
2018
11
. D.
2019 101
101
.
Li gii
Chn D
Gi cạnh hình vuông bằng
a
. Do
==⇒=
11
34
MD DK DK
ABK MDK
AB KB DB
.
Ta có
=+=+
    
1
3
AM AD DM AD DC
( )
==−= +−=+
         
313 131
424 244
NK BK BN BD BC BA BC BC BA BC
T và suy ra
= + =⇒⊥
     
11
. . .0
44
AM NK AD BC BA DC AM NK
.
AM NK
nên NK có phương trình tổng quát:
+− =10 2019 0xy
.
Khong cách t O đến NK là
( )
= =
+
22
2019
2019 101
,
101
10 1
d O NK
.
a
M
K
N
C
A
D
B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 29
Câu 94:
Trong mt phng ta đ
Ox
y
, gi
d
là đưng thảng đi qua
(4;2)M
cách đim
(1; 0)A
khong
cách
3 10
10
. Biết rằng phương trình đường thng
d
có dng
0x by c+ +=
vi
,bc
hai s
nguyên. Tính
.bc+
A.
4
. B.
5
. C.
1.
D.
5
.
Li gii
Chọn C
Ta có:
(4;2) 4 2 0 4 2 .M d bc c b
+ + = =−−
(1)
22
2
1
3 10
( , ) 10(1 ) 9(1 ).
10
1
c
d Ad c b
b
+
= = +=+
+
(2)
Thay
42cb=−−
vào PT
(2)
ta được PT:
2
3( )
31 120 81 0
27
()
31
b tmdk
bb
b ktmdk
=
+ +=
=
3, 2 1.
b c bc= =⇒+=
.
Câu 95: Trong mt phng vi h ta đ
,
Oxy
cho đường thng
( )
:1 0x m ym+ +=
(
m
tham s
bất kì) và điểm
( )
5;1A
. Khong cách ln nht t điểm
A
đến
bng
A.
2 10
. B.
10
. C.
4 10
. D.
3 10
.
Li gii
Chn A
( ) ( )
1
: 1 01 0
1
x
x m ym y mxy m
y
=
+ + = + +−=
=
.
Suy ra
luôn đi qua điểm c định
(
)
1; 1
H −−
.
Khi đó, với mi
M ∈∆
, ta có
( )
;d A AM AH∆=
.
Giá tr lớn nht ca
( )
;d A AH∆=
khi
( )
max , 2 10M H d A AH ∆= =
.
Câu 96: Chuyên Hng Phong-Nam Định Đưng thng
12 5 60
xy+=
to vi hai trc to độ mt tam
giác. Tng đ dài các đường cao của tam giác đó là
A.
60
13
. B.
281
13
. C.
360
17
. D.
20
.
Li gii
Chn B
Gi
A
,
B
lần lượt là giao điểm của đường thẳng đã cho với
Ox
,
Oy
.
Ta có
12 5 60xy+=
0
5 12
xy
⇔+ =
. Do đó
( )
5;0A
,
( )
0;12
B
.
Gi
H
là hình chiếu ca
O
lên
AB
. Khi đó:
( )
22
12.0 5.0 60
60
;
13
12 5
OH d O AB
+−
= = =
+
.
Tam giác
OAB
là tam giác vuông tại
O
nên tổng độ dài các đường cao là
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 30
OA OB OH
++
60
5 12
13
=++
281
13
=
.
Câu 97: Trên mt phng ta đ
Oxy
, cho các điểm
( )
1; 1A
( )
3; 4B
. Gi
(
)
d
một đường thng bt
kì luôn đi qua B. Khi khong cách t A đến đường thng
(
)
d
đạt giá tr lớn nhất, đường
thng
( )
d
có phương trình nào dưới đây?
A.
10xy +=
. B.
3 4 25xy+=
. C.
5 2 70xy −=
. D.
2 5 26 0xy+−=
.
Li gii
Chn D
Gi
H
là hình chiếu của điểm
A
lên đường thng
( )
d
. Khi đó ta có:
( )
( )
(
)
( )
22
, 3 1 4 1 29d A d AH AB= = ++ =
. Do đó khoảng cách t
A
đến đường thng
( )
d
đạt giá tr lớn nht bng
29
khi
HB
hay
( )
d AB
ti
B
.
Vì vy
( )
d
đi qua
B
và nhn
( )
2;5AB =

làm VTPT.
Do đó phương trình của đưng thng
(
)
d
( ) ( )
2 3 5 4 0 2 5 26 0x y xy−+ = + =
.
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM
Câu 98: Cho đường thng
:3 5 15 0dx y+ −=
. Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuc đưng
thng
d
A.
( )
1
5; 0M
. B.
( )
4
5; 6M
. C.
( )
2
0;3M
. D.
( )
3
5;3M
.
Li gii
Chn D
Thay ta đ các điểm vào phương trình đường thng
d
, ta có
142
,,MMM d
3
Md
.
Dạng 4.1 Xác định tọa hình chiếu, điểm đối xứng
Câu 99: Trong mt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
( )
4;3A
,
( )
2;7B
,
(
)
3; 8
C −−
.
Ta đ chân đường cao k t đỉnh
A
xung cnh
BC
là:
A.
( )
1; 4
. B.
( )
1; 4
. C.
( )
1; 4
. D.
( )
4;1
.
Li gii
Chọn C
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
B
C
có dng:
38
23 78
xy++
=
++
3 10xy +=
.
Đưng thẳng đi qua
A
và vuông góc vi
BC
có phương trình:
( ) ( )
1 43 30xy−+ −=
3 13 0xy⇔+ =
Ta đ chân đường cao k t đỉnh
A
xung cnh
BC
là nghiệm ca h phương
trình:
3 10
3 13 0
xy
xy
+=
+−=
1
4
x
y
=
=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 31
Câu 100: Cho đường thng
:3 5 0
d xy +−=
điểm
( )
2;1M
. Ta đ hình chiếu vuông góc ca
M
trên
d
A.
74
;
55



. B.
74
;
55



. C.
74
;
55

−−


. D.
54
;
75



.
Li gii
Chn B
Gi
là đường thẳng đi qua
M
và vuông góc vi
d
.
Ta có phương trình của
là:
3 10xy+ −=
Ta đ hình chiếu vuông góc ca
M
trên
d
nghiệm ca h phương trình:
7
3 50
5
3 10 4
5
x
xy
xy
y
=
+−=

+ −=
=
.
Câu 101: Ta đ hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1; 2
M
lên đường thng
:0xy
−=
là
A.
33
;
22



. B.
( )
1;1
. C.
( )
2; 2
. D.
33
;
22

−−


.
Li gii
Chn A
Đưng thng
có 1 VTPT là
( )
1; 1
n =
nên
có 1 VTCP là
( )
1;1u =
Gi H là hình chiếu vuông góc ca
( )
1; 2M
lên đường thng
, ta đ
( )
;H tt
Vì
3
. 0 1 20
2
MH MH u MH u t t t∆⇒ = + = =
 
33
;
22
H



Câu 102: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vi đnh
2;4A
, trọng tâm
2
2;
3
G


. Biết
rng đnh
B
nm trên đưng thng
d
phương trình
20xy
và đnh
C
hình chiếu
vuông góc trên
d
là điểm
2; 4H
. Gi s
;Bab
, khi đó
3
Ta b
bng
A.
4T
. B.
2
T 
. C.
2T
. D.
0
T
.
Li gii
Chọn C
Gi
M
là trung điểm ca cnh
BC
. Ta có
A
B
C
G
M
H
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 32
3
2 22
2
3
32
2
44
23
M
M
x
AM AG
y





 
, suy ra
2; 1M
.
0;3HM

suy ra
HM
không vuông góc vi
d
nên
B
không trùng với
.
H
;2Bab d b a 
.
Tam giác
BHC
vuông ti
H
CM
là trung tuyến nên ta
22
2
1
2 1 9 20
2
a
MB MH a a a a
al


Suy ra
1; 1
B 
32Ta b
.
Câu 103: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho hình chữ nht
ABCD
có đim
C
thuc đưng thng d:
2 50
xy++=
điểm
( 4;8)A
. Gi
M
đối xng vi
B
qua
C
, điểm
(5; 4)N
hình chiếu
vuông góc ca
B
lên đường thng
MD
. Biết ta đ
(;)Cmn
, giá tr ca
mn
A.
6
. B.
6
. C.
8
. D.
7
Li gii
Chọn C
Gi
( ; 2 5) ( )Ct t d−−
.
Dễ thy hai t giác
BCND
ADNB
ni tiếp.
Suy ra
BNC BDC
BNA BDA
=
=
o
90ANC CN AN =⇔⊥
.
Do đó
. 0 9(5 ) 12(2 1) 0CN AN t t= −− +=
 
1
t⇔=
( )
1; 7C⇒−
.
Vy
17 8mn−=+=
Dạng 4.2 Xác định điểm liên quan đến yếu tố khoảng cách, góc
Câu 104: Cho hai điểm
( ) ( )
3; 1 , 0; 3AB
. Tìm ta đ điểm
M
thuc
Ox
sao khong cách t
M
đến đường
thng
AB
bng
1
.
A.
7
;0
2
M



( )
1; 0M
. B.
( )
13;0M
.
C.
( )
4;0M
. D.
( )
2;0M
.
N
M
B
D
A
C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 33
Li gii
Chn A
Gi
( )
;0Mx
.
Ta có
( )
3; 4AB =

Phương trình đường thng
( )
:4 3 3 0AB x y+ −=
4 3 90xy + −=
.
( )
49
; 54 9
5
x
d M AB x
= ⇔=
7
2
1
x
x
=
=
Vy
( )
7
;0 ; 1;0
2
MM



.
Câu 105: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đim
( )
1;1A
,
( )
4; 3B
đường thng
: 2 10dx y −=
. Tìm điểm
M
thuc
d
có ta đ nguyên và tha mãn khong cách t
M
đến
đường thng
AB
bng
6
.
A.
( )
3; 7 .
M
B.
( )
7;3 .
M
C.
( )
43; 27 .M −−
D.
.
27
11
3;M



Li gii
( )
: 2 1 0 2 1; ,
.
:4 3 7 0
M dx y M m m m
AB x y
−= +
+ −=
Khi đó
( )
(
)
(
)
3
8 43 7
6 ; 11 3 30 7;3 .
27
5
l
11
m
mm
d M AB m M
m
=
++
= = −=
=
Chn B
Câu 106: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
0;1A
đường thng
2
:
2
3y
d
xt
t
= +
= +
. Tìm đim
M
thuc
d
và cách
A
mt khong bng
5
, biết
M
có hoành độ âm.
A.
( )
4; 4 .M
B.
( )
4; 4
.
24 2
;
55
M
M

−−


C.
24 2
;.
55
M

−−


D.
( )
4; 4 .M
( )
22
2 23: ;
3
xt
M tt
yt
Md
= +
= +
++
vi
2 2 0 1.tt+ < <−
Khi đó
( ) ( )
( )
22
2
1
24 2
5 2 2 2 25 5 12 17 0 ;; .
17
55
5
tl
AM t t t t M
t
=

= + ++ = + =

=

Chọn C
Câu 107: Biết rng có đúng hai đim thuc trục hoành và cách đường thng
:2 5 0xy +=
mt khong
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 34
bng
25
. Tích hoành độ của hai điểm đó bằng:
A.
75
.
4
B.
25
.
4
C.
225
.
4
D. Đáp số khác.
Li gii
Gi
( )
;0
Mx
Ox
thì hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của phương trình:
( )
1
1
2
2
5
25
2
; 25 25
15
5
2
75
.
4
xx
x
dxxM
xx
= =
+
= = →
=
=
−=
Chn A
Câu 108: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
3; 1A
( )
0;3B
. Tìm đim
M
thuc trc
hoành sao cho khong cách t
M
đến đưng thng
AB
bng
1
.
A.
( )
7
;0
2
.
1; 0
M
M



B.
14
;0
3
.
4
;0
3
M
M






C.
( )
7
;0
2
.
1; 0
M
M



D.
14
;0
3
.
4
;0
3
M
M






Li gii
( )
(
)
( )
77
;0
;0
49
22
1; .
5
:4 3 9 0
1 1; 0
xM
Mx
x
d M AB
AB x y
xM

=

→= =

+ −=
=
Chn A
Câu 109: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai điểm
( )
3; 0
A
( )
0; 4B
. Tìm điểm
M
thuc
trc tung sao cho din tích tam giác
MAB
bng
6.
A.
( )
( )
0;0
.
0; 8
M
M
B.
(
)
0; 8 .
M
C.
( )
6;0 .M
D.
( )
( )
0;0
.
0;6
M
M
Li gii
Ta có
( ) ( )
( )
( )
: 4 3 12 0
0 0; 0
3 12
1
5 6 .5. .
25
8 0; 8
3 12
0; ;
5
MAB
M
AB x y
yM
y
AB S
yM
y
M y h d M AB
−=
=
+
= →= =
=−→
+
→= =
Chn A
Câu 110: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho hai đường thng
1
:3 2 6 0xy
−=
2
:3 2 3 0xy +=
. Tìm điểm
M
thuc trc hoành sao cho
M
cách đều hai đường thẳng đã
cho.
A.
1
0; .
2
M



B.
1
;0 .
2
M



C.
1
;0 .
2
M



D.
( )
2;0 .M
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1.Dng 1: Phương trình đường tròn
(
)
C
có tâm
( )
;I ab
bán kính
R
Phương trình có dạng :
( ) ( )
22
2
+− =xa yb R
2.Dng 2: Phương trình
22
22 0+ +=x y ax by c
vi
22
0abc+ −>
là phương trình đường tròn
tâm
( )
;I ab
bán kính
22
R abc= +−
.
3. Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYN CA ĐƯNG TRÒN
1.Viết phương trình tiếp tuyến
( )
D
vi
( )
C
tại điểm
( )
0
MC
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
ca
( )
C
.
ớc 2: Tiếp tuyến
( )
D
là đường thẳng đi qua
0
M
và có VTPT là
0
MI

( )( ) ( )( )
00 0 0
0ax xx by yy +− =
2. Viết phương trình tiếp tuyến
(
)
D
vi
( )
C
tại điểm
( )
0
MC
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
và bán kính
R
ca
( )
C
.
ớc 2:
( )
D
là đường thẳng đi qua
0
M
nên có dạng
( ) ( )
00
0ax x by y−+ =
ớc 3:
( )
D
tiếp xúc với
( ) ( )
( )
( )
;*C dI D R⇔=
. Giải
( )
*
tìm đưc mối liên hệ
gia
&ab
. Chọn
&ab
phù hợp để kết luận.
3.Viết phương trình tiếp tuyến
( )
D
vi
( )
C
biết
( )
D
song song vi
( )
1
:0D Ax By C+ +=
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
và bán kính
R
ca
( )
C
.
ớc 2:
( )
D
( )
1
:0D Ax By C+ +=
nên phương trình có dạng
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUY
T.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
' 0( ' )Ax By C C C++=
ớc 3:
( )
D
tiếp xúc với
( ) ( )
( )
( )
;*C dI D R⇔=
. Giải
( )
*
tìm đưc
so với đk
để kết luận.
4. Viết phương trình tiếp tuyến
( )
D
vi
( )
C
biết
( )
D
vuông góc với
( )
1
:0D Ax By C
+ +=
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
và bán kính
R
ca
( )
C
.
ớc 2:
( )
D
( )
1
:0
D Ax By C
+ +=
nên phương trình có dạng
'0
Bx Ay C
+=
ớc 3:
( )
D
tiếp xúc với
( ) ( )
( )
( )
;*C dI D R⇔=
. Giải
( )
*
tìm đưc
so với đk
để kết luận.
V TRÍ TƯƠNG ĐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn
( )
1
C
có tâm
1
I
, bán kính
1
R
và đường tròn
(
)
2
C
có tâm
2
I
, bán kính
2
R
. Giả
s
12
RR>
. Ta có:
Hai đường tròn tiếp xúc
12 1 2
II R R⇔=±
Hai đường tròn cắt nhau
1 2 12 1 2
R R II R R< <+
Câu 1. Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn:
22
( 3) ( 3) 36xy+ +− =
.
Câu 2. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính
của đường tròn tương ứng.
a)
22
4 20x y xy x+ + + −=
;
b)
22
2 4 50xy xy+ +=
;
c)
22
6810xy xy
++−+=
.
Câu 3. Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm
( )
2;5I
và bán kính
7R =
;
b) Có tâm
( )
1; 2I
và đi qua điểm
( )
2; 2A
;
c) Có đường kính
AB
, với
( ) ( )
1; 3 , 3; 5AB−−
;
d) Có tâm
( )
1; 3I
và tiếp xúc với đường thẳng
2 30xy+ +=
.
Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác
ABC
, với
( ) ( ) ( )
6; 2 , 4; 2 , 5; 5A BC−−
. Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Câu 5. Cho đường tròn
( )
22
: 2 4 40Cx y x y+ + +=
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
ca
( )
C
tại điểm
( )
0; 2M
.
Câu 6. Chuyển động ca một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thhiện trong mặt phẳng ta
độ. Theo đó, tại thời điểm
( )
0 180tt≤≤
vt thể ở vị trí có tọa đ
( )
2 sin ;4 costt++

.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vt th.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vt th.
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
DNG 1: NHN DNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN. TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯNG
TRÒN
Cách 1: + Đưa phương trình về dạng:
( )
22
: 2 2 0 C x y ax by c+ +=
(1)
+ Xét dấu biểu thức
22
Pa b c
=+−
Nếu
0P
>
thì (1) là phương trình đường tròn
(
)
C
có tâm
( )
;I ab
và bán kính
22
R abc= +−
Nếu
0
P
thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng:
22
( )( )xa yb P +− =
(2).
Nếu
0P
>
thì (2) là phương trình đường tròn có tâm
( )
;I ab
và bán kính
RP=
Nếu
0
P
thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?m tâm và bán kính
nếu có.
1)
22
2 4 90xy xy+ + +=
(1) 2)
22
6 4 13 0xy xy++ +=
(2)
3)
22
2 2 6 4 10x y xy+ −=
(3) 4)
22
2 2 3 90xy xy+ + +=
(4)
Câu 2: Cho phương trình
( )
22
24 26 0x y mx m y m+ +− =
(1)
a) Tìm điều kiện của
m
để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m
Câu 3: Cho phương trình đường cong
()
m
C
:
( ) ( )
22
2 4 10x y m x m ym+ + + + + +=
(2)
a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn
()
m
C
luôn đi qua hai điểm cố định.
Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I)
22
4 15 12 0
xy x y++ −=
.
(II)
22
3 4 20 0xy xy+−++=
.
(III)
22
2 2 4 6 10x y xy+ + +=
.
A. Ch( I). B. Ch(II). C. Ch(III). D. Ch(I) và (III).
Câu 2: Để
22
0 (1)x y ax by c+ +=
là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ
A.
22
0abc+ −>
. B.
22
0abc+ −≥
. C.
22
40ab c+−>
. D.
22
40ab c++>
.
H THỐNG BÀI TP
.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
A.
22
90x y xy+ −−+=
. B.
22
0xyx
+ −=
.
C.
22
2 1 0.x y xy+ −=
D.
22
2 3 1 0.xy xy + −=
Câu 4: Phương trình
22
2( 1) 2( 2) 6 7 0xy m x m ym+−+−+++=
phương trình đưng tròn khi ch khi
A.
0.m <
B.
1
m <
. C.
1m >
. D.
1m <−
hoc
1
m
>
.
Câu 5: Cho đường cong
( )
22
: 8 10 0
m
C x y x ym+ + +=
. Vi giá trị nào của
m
thì
( )
m
C
là đưng tròn
có bán kính bằng
7
?
A.
4m =
. B.
8m =
. C.
–8
m
=
. D.
= 4m
.
Câu 6: Đường tròn
22
3 3 –6 9 9 0x y xy+ + −=
có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
15
2
. B.
5
2
. C.
25
. D.
5
.
Câu 7: Đường tròn
22
2 2 –8 4 1 0x y xy+ + −=
có tâm là điểm nào sau đây?
A.
( )
8; 4
. B.
( )
2; 1
. C.
( )
8; 4
. D.
( )
2;1
.
Câu 8: Cho hai đim
( )
2;1
A
,
( )
3; 5B
. Tp hợp điểm
( )
;M xy
nhìn
AB
dưới một góc vuông nằm trên
đường tròn có phương trình là
A.
22
6 10xyxy
+ −=
. B.
22
6 10xyx y
+ + + −=
.
C.
22
5 4 11 0
xy xy
++ +=
. D. Đáp án khác.
Câu 9: Cho hai điểm
( 4; 2)A
(2; 3)B
. Tập hợp điểm
(; )
Mxy
tha mãn
22
31
MA MB+=
phương trình là
A.
22
2 10x y xy+ + + +=
. B.
22
6 5 1 0.xy xy+ +=
C.
22
2 6 22 0xy xy+−=
. D.
22
2 6 22 0.xy xy+++=
Câu 10: Cho
(
) ( )
1; 0 , 2; 4AB
(
)
4;1C
. Chứng minh rằng tập hợp các đim
M
thoả n
22 2
32MA MB MC+=
là một đường tròn
( )
.C
Tìm tính bán kính của (C).
A.
107
2
. B.
5
. C.
25
2
. D.
25
4
.
DNG 2: VIT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN
Cách 1: + Tìm toạ độ m
( )
;I ab
của đường tròn (C)
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
+ Viết phương trình của (C) theo dạng
2 22
( )( )xa yb R +− =
.
Cách 2: Gisử phương trình đường tròn (C) là:
22
2 2 0 x y ax by c+ +=
(Hoc
22
2 2 0
x y ax by c+ + + +=
).
+ Từ điều kiện của đbài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý:
*
( )
A C IA R ⇔=
*
( )
C
tiếp xúc với đường thẳng
tại
( )
;A IA d I R = ∆=
*
( )
C
tiếp xúc với hai đường thẳng
1
( ) ( )
2 12
;;dI dI R∆⇔ = =
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Câu 1: Viết phương trình đường tròn trong mỗi trưng hợp sau:
a) Có tâm
( )
1; 5I
và đi qua
( )
0;0 .O
b) Nhận
AB
làm đường kính với
( ) ( )
1;1 , 7; 5AB
.
c) Đi qua ba điểm:
( ) ( ) ( )
2; 4 , 5;5 , 6; 2M NP−−
Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trưng hợp sau:
a) (C) có tâm
( )
1; 2I
và tiếp xúc với đường thẳng
: 2 70xy +=
b) (C) đi qua
( )
2; 1A
và tiếp xúc với hai trục toạ độ
Ox
Oy
c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng
: 6 10 0dx y
−=
và tiếp xúc với hai đường thẳng
phương trình
1
:3 4 5 0
dxy+ +=
2
:4 3 5 0d xy −=
Câu 3: Cho hai điểm
( )
8; 0
A
( )
0;6B
.
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
OAB
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
Câu 4: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho hai đưng thng
1
:3 0d xy+=
. và
2
:3 0d xy−=
. Gi (C)
là đưng tn tiếpc vi
1
d
tại A, ct
2
d
tại hai đim B, C sao cho tam giác
ABC
vuông tại B.
Viết phương trình của (C), biết tam giác
ABC
diện tích bằng
3
2
điểm A hoành độ
dương.
Câu 1: Đường tròn tâm
(3; 1)
I
và bán kính
2R
=
có phương trình là
A.
22
( 3) ( 1) 4xy+ +− =
. B.
22
( 3) ( 1) 4xy +− =
.
C.
22
(3)(1)4xy ++ =
. D.
22
( 3) ( 1) 4xy+ ++ =
.
Câu 2: Đường tròn tâm
( 1; 2)I
và đi qua điểm
(2;1)M
có phương trình là
A.
22
2 4 50xy xy+ + −=
. B.
22
2 4 3 0.xy xy
+ + −=
C.
22
2 4 50xy xy+ −=
. D.
22
2 4 5 0.xy xy+ + + −=
Câu 3: Cho hai điểm
(5; 1)
A
,
( 3; 7)B
. Đường tròn có đường kính
AB
có phương trình là
A.
22
2 6 22 0xy xy+−=
. B.
22
2 6 22 0.xy xy+ −+=
C.
22
2 10x y xy+ +=
. D.
22
6 5 1 0.
xy xy+ + + +=
Câu 4: Đường tròn
()C
tâm
( 4;3)I
và tiếp xúc với trục tung có phương trình là
A.
22
304 9xy xy+++=
. B.
22
( 4) ( 3) 16
xy+ +− =
.
C.
22
( 4) ( 3) 16xy ++ =
. D.
22
8 6 12 0.xy xy++−=
Câu 5: Đường tròn
()C
tâm
(4; 3)I
và tiếp xúc với đườngthng
:3 4 5 0xy +=
có phương trình là
A.
22
( 4) ( 3) 1xy+ +− =
. B.
22
( 4) ( 3) 1xy−+−=
.
C.
22
( 4) ( 3) 1xy+++=
. D.
22
( 4) ( 3) 1xy ++ =
Câu 6: Đường tròn
( )
C
đi qua điểm
( )
2; 4A
và tiếp xúc với các trc ta độ có phương trình là
A.
22
( 2) ( 2) 4xy +− =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy +− =
BÀI TP T LUẬN.
2
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
B.
22
( 2) ( 2) 4xy+ ++ =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy +− =
C.
22
( 2) ( 2) 4xy+ ++ =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy+ ++ =
D.
22
( 2) ( 2) 4xy +− =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy+ ++ =
Câu 7: Đường tròn
()C
đi qua hai điểm
(1; 3)A
,
(3;1)B
và có tâm nằm trên đường thẳng
:2 7 0d xy−+=
có phương trình là
A.
22
( 7) ( 7) 102xy +− =
. B.
22
( 7) ( 7) 164xy+ ++ =
.
C.
22
( 3) ( 5) 25xy +− =
. C.
22
( 3) ( 5) 25xy+ ++ =
.
Câu 8: Đường tròn
()C
tiếp xúc với trục tung tại điểm
(0; 2)A
đi qua điểm
(4; 2)B
phương
trình là
A.
22
( 2) ( 2) 4xy ++ =
. B.
22
( 2) ( 2) 4xy+ +− =
C.
22
( 3) ( 2) 4xy +− =
D.
22
( 3) ( 2) 4xy ++ =
Câu 9: Tâm ca đưng tròn qua ba đim
( )
2; 1A
,
( )
2; 5B
,
( )
2; 1C
thuc đưng thng có phương trình
A.
30
xy+=
. B.
30
xy−=
C.
30
xy−+ + =
D.
30xy++=
Câu 10: Đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( )
0; 2 , 2; 2 , 1; 2()1ABC+
có phương trình là
A.
22
2 2 20xy xy
+++ =
. B.
22
22 0xy xy+−=
.
C.
22
2 2 20xy xy
+ −=
. D.
22
2 2 20xy xy
+++ =
.
Câu 11: Đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
11;8 , 13;8 , 14;7ABC
có bán kính
R
bng
A.
2
. B.
1
. C.
5
. D.
2
.
DNG 3: V TRÍ TƯƠNG ĐI CA ĐIM; ĐƯNG THNG; ĐƯNG TRÒN VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1 V trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính
IM
+ Nếu
IM R<
suy ra M nằm trong đường tròn
+ Nếu
IM R=
suy ra M thuộc đường tròn
+ Nếu
IM R>
suy ra M nằm ngoài đường tròn
2 V trí tương đối giữa đường thẳng
và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính
( )
;dI
+ Nếu
( )
;dI R∆<
suy ra
cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
+ Nếu
( )
; dI R∆=
suy ra
tiếp xúc với đường tròn
+ Nếu
( )
;dI R∆>
suy ra
không cắt đường tròn
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thng
và đường tròn (C)
bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của h.
3 V trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C')
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn (C') và
tính
'II
,
', 'RRRR+−
+ Nếu
''II R R>+
suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau
+ Nếu
' 'II R R= +
suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
+ Nếu
' 'II R R<−
suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
+ Nếu
' 'II R R=
suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
+ Nếu
'' '
R R II R R < <+
suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn
(C') bng sgiao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của h.
Câu 1: Cho đường thẳng
: 10
xy +=
và đường tròn
( )
22
: 4 2 40Cx y x y+ + −=
a) Chứng minh điểm
(
)
2;1M
nằm trong đường tròn
b) Xét vị trí tương đối gia
( )
C
c) Viết phương trình đường thẳng
vuông góc với
và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.
Câu 2: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai đường tròn
( )
22
: 2 6 15 0Cx y x y+ −=
( )
22
': 6 2 3 0Cxy x y+ −=
a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O
Câu 3: Cho đường tròn
22
( ): 2 4 4 0Cx y x y+ + −=
tâm I đưng thng
:2 1 2 0x my + +− =
a) Tìm
m
để đường thng
cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Tìm m để diện tích tam giác
IAB
là lớn nhất
Câu 1: Cho đưng tròn
22
( ) : ( 1) ( 3) 4Cx y+ +− =
đưng thng
:3 4 5 0
dx y +=
. Phương trình ca
đưng thng
d
song song vi đưng thng
d
chn trên
()C
mt y cung có đ dài ln nht
A.
4 3 13 0xy
++=
. B.
3 4 25 0xy+=
. C.
34150xy
+=
. D.
4 3 20 0xy++=
.
Câu 2: Tìm ta đ giao đim ca đưng thng
: 2 30
xy +=
đưng tròn
22
( ): 2 4 0
Cx y x y+−−=
A.
( )
3; 3
( )
1;1
. B.
( )
1;1
( )
3; 3
. C.
( )
3; 3
(
)
1;1
. D.
( )
2;1
( )
2; 1
.
Câu 3: Cho đường tròn
22
( ): 4 6 5 0Cx y x y
+ +=
. Đường thẳng
d
đi qua
(3; 2)A
ct
()C
theo
một dây cung ngắn nhất có phương trình là
A.
2 20xy−+=
. B.
10xy+ −=
. C.
10xy −=
. D.
10xy +=
.
Câu 4: Cho đường tròn
22
( ): 6 2 5 0Cx y x y+ + +=
và đường thẳng
d
đi qua điểm
( 4; 2)A
, cắt
()C
tại hai điểm
,MN
sao cho
A
là trung điểm ca
MN
. Phương trình của đường thng
d
A.
60xy−+=
. B.
7 3 34 0xy−+=
. C.
7 3 30 0xy−+=
. D.
7 35 0
xy−+ =
.
BÀI TP T LUẬN.
2
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Câu 5: Cho đường tròn
22
( ): 4 6 3 0Cx y x y
+ + −=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(I) Đim
(1;1)
A
nằm ngoài
()C
.
(II) Đim
(0; 0)
O
nằm trong
()C
.
(III)
()C
ct trục tung tại hai điểm phân biệt.
A. Ch( I). B. Ch(II). C. Ch(III). D. Cả (I), (II) và (III).
Câu 6: Cho đường tròn
22
( ): 2 6 6 0
Cx y x y+ + +=
đường thng
:4 3 5 0dx y
+=
. Đưng thẳng
d
song song với đưng thng
d
chắn trên
()C
một dây cung có đdại bng
23
phương
trình là
A.
4 3 80xy +=
. B.
4 3 80xy −=
hoc
4 3 18xy−−
.
C.
4 3 80xy −=
. D.
4 3 80xy+ +=
.
Câu 7: Cho đường tròn
22
( ): 6 2 5 0Cx y x y+ + +=
và đường thẳng
d
đi qua điểm
( 4; 2)A
, cắt
()C
tại hai điểm
,
MN
sao cho
A
là trung điểm ca
MN
. Phương trình của đường thng
d
A.
60
xy+=
. B.
7 3 34 0xy−+=
. C.
7 3 30 0xy−+=
. D.
7 35 0xy−+ =
.
Câu 8: Đường tròn
22
2 2 23 0
xy xy+−−−=
ct đưng thẳng
20
xy+−=
theo một dây cung có đdài
bằng bao nhiêu?
A.
10
. B.
8
. C.
6
. D.
32
.
Câu 9: Tìm giao điểm 2 đường tròn
( )
22
1
: 40Cx y+ −=
( )
22
2
: 4 4 40Cxy xy+ +=
A.
(
)
2; 2
và (
( )
2; 2
. B.
(
)
0; 2
( )
0; 2
.
C.
( )
2;0
( )
0; 2
. D.
( )
2;0
( )
2;0
.
Câu 10: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
( )
22
1
:4Cx y
+=
( )
22
2
: ( 10) ( 16) 1Cx y+ +− =
.
A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
Câu 11: Với những giá trị nào ca
m
t đường thng
:4 3 0x ym
+ +=
tiếp xúc với đường tròn
( )
22
: 90
Cx y+ −=
.
A.
3m =
. B.
3m =
3m =
. C.
3m =
. D.
15m =
15m =
.
Câu 12: Một đường tròn tâm
(1; 3)I
tiếp xúc với đường thng
:3 4 0xy
+=
. Hỏi bán kính đường
tròn bằng bao nhiêu?
A.
3
5
. B.
1
. C.
3
. D.
15
.
Câu 13: Đường tròn
2 22
( )( )xa yb R +− =
cắt đường thng
0
x yab+−−=
theo một dây cung độ
dài bằng bao nhiêu?
A.
2R
. B.
2R
. C.
2
2
R
. D.
R
.
Câu 14: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
22
1
( ): 4 0Cx y x+−=
22
2
( ): 8 0
Cxy y++=
.
A. Tiếp xúc trong. B. Không cắt nhau. C. Cắt nhau. D. Tiếp xúc ngoài.
Câu 15: Đường tròn
()C
tâm
( 1; 3)
I
và tiếp xúc với đưng thng
:3 4 5 0dx y +=
tại điểm
H
tọa đ
A.
17
;
55

−−


. B.
17
;
55



. C.
17
;
55



. D.
17
;
55



.
Câu 16: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
( )
22
1
:4Cx y+=
( )
22
2
: ( 3) ( 4) 25Cx y +− =
.
A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
DNG 4: VIT PHƯƠNG TRÌNH TIP TUYN VI ĐƯNG TRÒN
Cho đường tròn (C) tâm
(
)
;
I ab
, bán kính R
1. Nếu biết tiếp điểm là
( )
00
;Mx y
thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ
( )
00
;IM x a y b−−

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
( )( ) (
)(
)
0 00 0
0x axx y byy
−+ =
2. Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng
tiếp xúc đường tròn (C) khi và
chỉ khi
( )
;dI R
∆=
để xác định tiếp tuyến.
Câu 1: Cho đường tròn (C) phương trình
22
6 2 60xy xy+ + +=
điểm hai đim
( ) ( )
1; 1 ; 1; 3AB
a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến
của đường tròn
( )
22
: 4 4 10Cx y x y+ + −=
trong trường
a) Đưng thng
vuông góc với đường thẳng
':2 3 4 0xy
+ +=
b) Đường thng
hợp với trục hoành một góc
0
45
Câu 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
( )
22
1
: 4 50Cx y y+ −=
( )
22
2
: 6 8 16 0Cxy xy+++=
Câu 1: Cho đưng tròn
22
( ) : ( 3) ( 1) 10
Cx y +− =
. Phương trình tiếp tuyến ca
()C
ti đim
(4;4)A
A.
3 50xy
+=
. B.
3 40xy
+ −=
. C.
3 16 0
xy+=
. D.
3 16 0
xy+−=
.
Câu 2: Cho đường tròn
22
( ) : ( 2) ( 2) 9Cx y +− =
. Phương trình tiếp tuyến ca
()C
đi qua điểm
( 5;1)A
A.
40xy+−=
20
xy−=
. B.
5
x =
1y =
.
C.
2 30xy−=
3 2 20xy
+ −=
. D.
3 2 20xy −=
2 3 50xy+ +=
.
Câu 3: Cho đường tròn
22
( ): 2 6 5 0Cx y x y+ + +=
. Phương trình tiếp tuyến của
()C
song song với
đường thẳng
: 2 15 0Dx y+ −=
A.
20xy+=
2 10 0xy+ −=
. B.
20xy−=
2 10 0xy++=
.
C.
2 10xy+ −=
2 30xy+ −=
. D.
2 10xy −=
2 30
xy −=
.
Câu 4: Cho đường tròn
22
( ): 6 2 5 0Cx y x y
+ + +=
và đường thẳng
: 2 ( 2) 7 0d x m ym+ −=
. Với
giá trị nào của
m
thì
d
là tiếp tuyến của
()C
?
A.
3m =
. B.
15m =
. C.
13m =
. D.
3m =
hoc
13m =
.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 5: Cho đường tròn
( )
22
: 2 8 23 9Cx y x y
+−+−=
điểm
( )
8; 3M
. Độ dài đoạn tiếp tuyến của
( )
C
xuất phát từ
M
:
A.
10
. B.
2 10
. C.
10
2
. D.
10
.
Câu 6: Nếu đường tròn
( ) ( ) ( )
22
2
:1 3
Cx y R
+− =
tiếp xúc với đường thng
:5 12 60 0
dx y+ −=
thì
giá trca
R
là:
A.
22R =
. B.
19
13
R
=
. C.
5R =
. D.
2R =
.
Câu 7: Cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 3 15Cx y ++ =
. Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
song song với
đường thẳng
:2 7 0d xy++=
A.
2 0; 2 10 0
xy xy+= +− =
. B.
2 10;2 10xy xy++= +−=
.
C.
2 10 0; 2 10 0
xy xy
−+ = + =
. D.
2 0; 2 10 0xy x y
+= + =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1.Dng 1: Phương trình đường tròn
(
)
C
có tâm
( )
;I ab
bán kính
R
Phương trình có dạng :
( ) ( )
22
2
+− =xa yb R
2.Dng 2: Phương trình
22
22 0+ +=x y ax by c
vi
22
0abc+ −>
là phương trình đường tròn
tâm
(
)
;
I ab
bán kính
22
R abc= +−
.
3. Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYN CA ĐƯNG TRÒN
1.Viết phương trình tiếp tuyến
( )
D
vi
( )
C
tại điểm
( )
0
MC
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
ca
( )
C
.
ớc 2: Tiếp tuyến
( )
D
là đường thẳng đi qua
0
M
và có VTPT là
0
MI

( )(
) ( )(
)
00 0 0
0ax xx by yy +− =
2. Viết phương trình tiếp tuyến
(
)
D
vi
( )
C
tại điểm
(
)
0
MC
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
và bán kính
R
ca
( )
C
.
ớc 2:
( )
D
là đường thẳng đi qua
0
M
nên có dạng
( ) ( )
00
0ax x by y−+ =
ớc 3:
( )
D
tiếp xúc với
( ) ( )
( )
( )
;*C dI D R⇔=
. Giải
( )
*
tìm đưc mối liên hệ
gia
&ab
. Chọn
&ab
phù hợp để kết luận.
3.Viết phương trình tiếp tuyến
( )
D
vi
( )
C
biết
( )
D
song song vi
( )
1
:0D Ax By C+ +=
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
và bán kính
R
ca
( )
C
.
ớc 2:
( )
D
( )
1
:0D Ax By C+ +=
nên phương trình có dạng
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUY
T.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
' 0( ' )Ax By C C C++=
ớc 3:
( )
D
tiếp xúc với
( ) ( )
( )
( )
;*C dI D R⇔=
. Giải
( )
*
tìm đưc
so với đk
để kết luận.
4. Viết phương trình tiếp tuyến
( )
D
vi
( )
C
biết
( )
D
vuông góc với
( )
1
:0D Ax By C
+ +=
ớc 1: Tìm tọa đtâm
I
và bán kính
R
ca
( )
C
.
ớc 2:
( )
D
( )
1
:0
D Ax By C
+ +=
nên phương trình có dạng
'0
Bx Ay C
+=
ớc 3:
( )
D
tiếp xúc với
( ) ( )
( )
( )
;*C dI D R⇔=
. Giải
( )
*
tìm đưc
so với đk
để kết luận.
V TRÍ TƯƠNG ĐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn
( )
1
C
có tâm
1
I
, bán kính
1
R
và đường tròn
(
)
2
C
có tâm
2
I
, bán kính
2
R
. Giả
s
12
RR>
. Ta có:
Hai đường tròn tiếp xúc
12 1 2
II R R⇔=±
Hai đường tròn cắt nhau
1 2 12 1 2
R R II R R< <+
Câu 1. Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn:
22
( 3) ( 3) 36xy+ +− =
.
Lời giải
Đường tròn
22
( 3) ( 3) 36xy+ +− =
có tâm là điểm
( )
3; 3I
, có bán kính
6R =
.
Câu 2. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính
của đường tròn tương ứng.
a)
22
4 20x y xy x+ + + −=
;
b)
22
2 4 50xy xy
+ +=
;
c)
22
6810xy xy++−+=
.
Lời giải
a)
22
4 20x y xy x+ + + −=
không phải là phương trình của một đường tròn vì có
xy
.
b)
( ) ( )
22
22
2 4 50 1 2 0xy xy x y+ += + =
không phải là phương trình của một đường
tròn vì
0R =
.
c)
( ) ( )
( )
2
22
22
6810 3 4 26xy xy x y++−+=+ + =
là phương trình của đường tròn tâm
( )
3; 4I
, bán kính
26R =
.
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Câu 3. Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm
( )
2;5I
và bán kính
7R =
;
b) Có tâm
( )
1; 2I
và đi qua điểm
( )
2; 2A
;
c) Có đường kính
AB
, với
( ) ( )
1; 3 , 3; 5AB−−
;
d) Có tâm
( )
1; 3
I
và tiếp xúc với đường thẳng
2 30xy+ +=
.
Lời giải
a) Phương trình của đường tròn là
( ) ( )
22
2 5 49xy++−=
.
b) Ta có
( )
3; 4
AI
=

, bán kính của đường tròn là
( )
2
2
3 45R = +− =
.
Phương trình của đường tròn là
( ) ( )
22
1 2 25xy ++ =
.
c) Toạ độ trung điểm
I
ca
AB
( )
2;1I
. Ta có
( )
1; 4AI =

.
Bán kính của đường tròn là
(
)
2
2
1 4 17R =−+=
.
Phương trình của đường tròn là
(
) ( )
22
2 1 17xx
+ +− =
.
d) Có tâm
(
)
1; 3
I
và tiếp xúc với đường thẳng
2 30
xy+ +=
.
Khoảng cách từ tâm
I
đến đường thẳng
2 30
xy+ +=
bằng bán kính
|1 2.3 3|
25
5
R
++
= =
.
Phương trình đường tròn tâm
I
bán kính
R
( )
( )
22
1 3 20xy +− =
.
Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác
ABC
, với
( ) ( ) ( )
6; 2 , 4; 2 , 5; 5A BC−−
. Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Lời giải
Gọi phương trình đường tròn
( )
C
có dạng
22
2 2 0.x y ax by c+ +=
Vì đường tròn
(
)
C
đi qua ba điểm
( )
6; 2A
,
( )
4; 2B
,
( )
5; 5C
nên ta có hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
2
2
22
2
2
6 2 2 .6 2 . 2 0
4 2 2 .4 2 .2 0
5 5 2 .5 2 . 5 0
ab c
a bc
ab c
+− + =
+ +=
+− + =
12 4 40 1
8 4 20 2
10 10 50 20.
a bc a
a bc b
a bc c
+ += =


⇔− += =


+ += =

Vậy phương trình đường tròn
( )
C
là:
22
2 4 20 0xy xy+−+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Câu 5. Cho đường tròn
( )
22
: 2 4 40Cx y x y
+ + +=
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
ca
( )
C
tại điểm
( )
0; 2M
.
Lời giải
Ta có đường tròn
( )
C
:
22
2 4 40
xy xy+ + +=
( ) ( )
22
1 21xy+ +− =
có tâm là điểm
( )
1; 2I
.
Do
( ) ( )
22
01 22 1+ +− =
nên điểm
M
thuộc đường tròn (C).
Tiếp tuyến của
( )
C
tại
( )
0; 2M
có vectơ pháp tuyến
( )
1; 0MI =

, nên có phương trình
(
) (
)
1 1 0 2 0 10
xy x + + = +=
.
Câu 6. Chuyển động ca một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thhiện trong mặt phẳng ta
độ. Theo đó, tại thời điểm
( )
0 180tt≤≤
vt thể ở vị trí có tọa đ
( )
2 sin ;4 costt++

.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vt th.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vt th.
Lời giải
a) Vị trí ban đầu của vt thể tại thời điểm
0t =
có tọa đ
( )
2;5M
.
Vị trí kết thúc của vật thể tại thi đim
180t
=
có tọa độ
( )
2;3M
.
b) Quỹ đạo chuyển độ ca vt thlà các đim
( )
;M xy
tha mãn
( ) ( )
22
2 sin
2 41
4 cos
xt
xy
yt
=
⇔− +− =
=
.
Vậy quỹ đạo chuyển độ ca vt thể là đường tròn
(
) ( )
( )
22
: 2 4 1Cx y
+− =
, có tâm
( )
2; 4I
,
bán kính
1R =
.
DNG 1: NHN DNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN. TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯNG
TRÒN
H THỐNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Cách 1: + Đưa phương trình về dạng:
( )
22
: 2 2 0 C x y ax by c+ +=
(1)
+ Xét dấu biểu thức
22
Pa b c
=+−
Nếu
0P >
thì (1) là phương trình đường tròn
( )
C
có tâm
( )
;I ab
và bán kính
22
R abc
= +−
Nếu
0P
thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng:
22
( )( )xa yb P +− =
(2).
Nếu
0P >
thì (2) là phương trình đường tròn có tâm
( )
;I ab
và bán kính
RP=
Nếu
0P
thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?m tâm và bán kính
nếu có.
1)
22
2 4 90xy xy+ + +=
(1) 2)
22
6 4 13 0xy xy
++ +=
(2)
3)
22
2 2 6 4 10x y xy
+ −=
(3) 4)
22
2 2 3 90xy xy+ + +=
(4)
Lời giải
1) Phương trình (1) có dạng
22
2 2 0 x y ax by c+ +=
vi
1; 2; 9a bc
=−= =
Ta có
22
149 0abc+ −=+−<
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
2) Ta có:
22
9 4 13 0abc+ −=+− =
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
3) Ta có:
(
)
22
1
3 32 0
2
xy xy + −=
Suy ra:
2
22 2
3 1 15
10
2 24
Pa b c

= + = + −− = >


Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm
3
;1
2
I



bán kính
15
2
R =
4) Phương trình (4) không phi phương trình đưng tròn h s ca
2
x
khác nhau.
Câu 2: Cho phương trình
( )
22
24 26 0x y mx m y m+ +− =
(1)
a) Tìm điều kiện của
m
để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m
Lời giải
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
22
0abc+ −>
Với
(
)
; 2 2; 6a mb m c m==−=
Hay
( )
2
22
2
4 2 6 0 5 15 10 0
1
m
m m m mm
m
>
+ + >⇔ + >⇔
<
b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm
( )
( )
;2 2Im m
và bán kính:
2
5 15 10Rmm= −+
Câu 3: Cho phương trình đường cong
()
m
C
:
(
) (
)
22
2 4 10x y m x m ym
+ + + + + +=
(2)
a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn
()
m
C
luôn đi qua hai điểm cố định.
Lời giải
a) Ta có
( )
2
22
22
24
24
10
22 2
m
mm
abc m
++
++

+ = + −= >


Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m
b) Đường tròn có tâm I:
2
2
4
2
I
I
m
x
m
y
+
=
+
=
suy ra
10
II
xy+ −=
Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thng
: 10xy + −=
c) Gi
( )
00
;Mx y
là điểm cố định mà họ
()
m
C
luôn đi qua.
Khi đó ta có:
( )
(
)
22
000
2 4 1 0,
o
x y m x m ym m+ + + + + +=
( )
22
00 0 0 0
1 2 4 1 0,
o
x y mx y x y m
+ + + +=
00
0
22
0
00 0 0
10
1
0
2 4 10
xy
x
y
xy x y
+=
=
⇔⇔

=
+ + +=
hoc
0
0
1
2
x
y
=
=
Vy hai đim c đnh h
()
m
C
luôn đi qua vi mi m
( )
1
1; 0M
( )
2
1; 2M
.
Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I)
22
4 15 12 0xy x y++ −=
.
(II)
22
3 4 20 0xy xy+−++=
.
(III)
22
2 2 4 6 10x y xy+ + +=
.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
A. Ch(I). B. Ch(II). C. Ch(III). D. Ch(I) và (III).
Lời giải
Chn D
( )
I
có:
2
22
15 289
4 12 0
24
abc

+ −=+ + = >


( )
II
có:
22
22
3 4 55
20 0
22 4
abc
 
+ −= + = <
 
 
( )
22
1
23 0
2
III x y x y⇔+−−+=
, phương trình này có:
2
22
3 1 11
10
2 24
abc

+ −=+ = >


Vậy ch
(
)
I
(
)
III
là phương trình đường tròn.
Câu 2: Để
22
0 (1)
x y ax by c+ +=
là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ
A.
22
0abc+ −>
. B.
22
0abc+ −≥
. C.
22
40ab c
+−>
. D.
22
40ab c
++>
.
Lời giải
Chn C
Ta có:
( )
22
22
22
22
22
22
0 1
2. . 2. . 0
2 2 2 2 44
2 2 44
x y ax by c
a a b b ab
xx yy c
a b ab
xy c
+ +=

+ + + +=



⇔− +− =+−


Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:
22
22
0 40
44
ab
c ab c+ −> + >
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
A.
22
90x y xy+ −−+=
. B.
22
0xyx+ −=
.
C.
22
2 1 0.x y xy+ −=
D.
22
2 3 1 0.
xy xy
+ −=
Lời giải
Chn B
Loại C vì có số hng
2xy
.
Câu A:
22
1
,9 0
2
ab c a b c== = + −<
nên không phải phương trình đường tròn.
Câu D: loại vì có
2
y
.
Câu B:
22
1
, 0, 0 0
2
a b c abc= = = + −>
nên là phương trình đường tròn.
Câu 4: Phương trình
22
2( 1) 2( 2) 6 7 0xy m x m ym+−+−+++=
phương trình đưng tròn khi ch khi
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
A.
0.m <
B.
1m <
. C.
1m >
. D.
1m <−
hoc
1
m
>
.
Lời giải
Chn D
Ta có:
(
) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
22
2 22 2
22
22
2
2 1 2 2 6 7 0 1
2 1 1 2 2 2 1 2 6 70
1 2 22
xy m x m ym
x m xm y m ym m m m
xm ym m
+−+−+++=
+ +++ + ++ −+−+ + +=
−+ +−+ =


Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:
2
1
2 20
1
m
m
m
<−
−>
>
Câu 5: Cho đường cong
( )
22
: 8 10 0
m
C x y x ym+ + +=
. Vi giá trị nào của
m
thì
(
)
m
C
là đưng tròn
có bán kính bằng
7
?
A.
4m =
. B.
8m =
. C.
–8m =
. D.
= 4m
.
Lời giải
Chn C
Ta có
22
45 7 8R mm
= +−=⇔=
.
Câu 6: Đường tròn
22
3 3 –6 9 9 0x y xy+ + −=
có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
15
2
. B.
5
2
. C.
25
. D.
5
.
Lời giải
Chn B
22
3 3 –6 9 9 0x y xy+ + −=
22
–2 3 3 0xy xy + + −=
.
Suy ra
( )
2
2
3 25
1 30
24
P

= + −− = >


. Vậy bán kính là:
5
2
R =
.
Câu 7: Đường tròn
22
2 2 –8 4 1 0x y xy+ + −=
có tâm là điểm nào sau đây?
A.
( )
8; 4
. B.
( )
2; 1
. C.
( )
8; 4
. D.
( )
2;1
.
Lời giải
Chn B
22
2 2 –8 4 1 0x y xy+ + −=
22
1
–4 2 0
2
xy xy + + −=
.
Vậy tâm là:
( )
2; 1I
.
Câu 8: Cho hai đim
(
)
2;1A
,
( )
3; 5B
. Tp hợp điểm
( )
;M xy
nhìn
AB
dưới một góc vuông nằm trên
đường tròn có phương trình là
A.
22
6 10xyxy+ −=
. B.
22
6 10xyx y+ + + −=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
C.
22
5 4 11 0xy xy++ +=
. D. Đáp án khác.
Lời giải
Chn A
Tập hợp điểm
(
)
;M xy
nhìn
AB
dưới một góc vuông nằm trên đường tròn đường kính
AB
tâm là trung điểm ca
AB
.
Tọa độ tâm đường tròn là trung điểm của
AB
:
1
;3
2
I



.
Bán kính đường tròn:
22
5 4 41
22 2
AB
R
+
= = =
.
Phương trình đường tròn:
( )
2
2
1 41
3
24
xy

+− =


22
6 10xyxy + −=
.
Câu 9: Cho hai điểm
( 4; 2)
A
(2; 3)B
. Tập hợp điểm
(; )Mxy
tha mãn
22
31MA MB+=
phương trình là
A.
22
2 10x y xy+ + + +=
. B.
22
6 5 1 0.xy xy+ +=
C.
22
2 6 22 0xy xy+−=
. D.
22
2 6 22 0.xy xy+++=
Lời giải
Chn A.
Ta có:
22
31MA MB+=
( ) ( ) ( ) ( )
2222
22
4 2 2 3 31 2 1 0x y x y x y xy⇔+ +− + ++ =++++=
.
Câu 10: Cho
( ) ( )
1; 0 , 2; 4AB
( )
4;1C
. Chứng minh rằng tập hợp các đim
M
thoả n
22 2
32MA MB MC+=
là một đường tròn
(
)
.
C
Tìm tính bán kính của (C).
A.
107
2
. B.
5
. C.
25
2
. D.
25
4
.
Lời giải
Chn A
22 2
32MA MB MC+=
( ) ( ) ( ) ( ) (
)
2 22 2 2
2
3 13 2 4 2 42 1x yx y x y ++ +−+= −+
22
11
92 0
2
xy xy⇔++=
. Bán kính của (C) là:
107
2
R =
.
DNG 2: VIT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN
Cách 1: + Tìm toạ độ m
( )
;I ab
của đường tròn (C)
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
+ Viết phương trình của (C) theo dạng
2 22
( )( )xa yb R +− =
.
Cách 2: Gisử phương trình đường tròn (C) là:
22
2 2 0 x y ax by c+ +=
(Hoc
22
2 2 0 x y ax by c+ + + +=
).
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý:
*
( )
A C IA R ⇔=
*
( )
C
tiếp xúc với đường thẳng
tại
( )
;A IA d I R
= ∆=
*
( )
C
tiếp xúc với hai đường thẳng
1
( ) ( )
2 12
;;dI dI R∆⇔ = =
Câu 1: Viết phương trình đường tròn trong mỗi trưng hợp sau:
a) Có tâm
( )
1; 5I
và đi qua
( )
0;0 .O
b) Nhận
AB
làm đường kính với
( ) ( )
1;1 , 7; 5AB
.
c) Đi qua ba điểm:
( ) ( ) ( )
2; 4 , 5;5 , 6; 2M NP−−
Lời giải
a) Đường tròn cần tìm có bán kính là
22
1 5 26OI = +=
nên có phương trình là
( ) ( )
22
1 5 26xy++ =
b) Gọi I là trung điểm của đoạn
AB
suy ra
( )
4;3I
(
) ( )
22
4 1 3 1 13AI
= +− =
Đường tròn cần tìm có đường kính là
AB
suy ra nó nhận
( )
4;3
I
làm tâm và bán kính
13R AI= =
nên có phương trình là
( ) ( )
22
4 3 13xy
−+−=
c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là:
22
2 2 0 x y ax by c+ +=
.
Do đường tròn đi qua ba điểm
,,MNP
nên ta có hệ phương trình:
4 16 4 8 0 2
25 25 10 10 0 1
36 4 12 4 0 20
a bc a
a bc b
a bc c
+ + += =


+ += =


+− + += =

BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
22
4 2 20 0 xy xy
+−−=
Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau
Gọi
(
)
;I xy
và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm
22
22
IM IN
IM IN IP
IM IP
=
= =
=
nên ta có hệ
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
) (
)
2222
222 2
2455
2
1
2462
xy xy
x
y
xyxy
+ +− =− +−
=

=
+ +− =− ++
Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm
( )
1; 2
I
và tiếp xúc với đường thẳng
: 2 70xy
+=
b) (C) đi qua
( )
2; 1A
và tiếp xúc với hai trục toạ độ
Ox
Oy
c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng
: 6 10 0dx y−=
và tiếp xúc với hai đường thẳng
phương trình
1
:3 4 5 0dx y+ +=
2
:4 3 5 0d xy
−=
Lời giải
a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách tI tới đường thng
nên
(
)
147
2
;
14 5
R dI
−−
= ∆= =
+
Vậy phương trình đường tròn (C) là:
( )
( )
22
4
12
5
xy+ +− =
b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của
đường tròn có dạng
( )
;IR R
trong đó R là bán kính đường tròn (C).
Ta có:
( ) (
)
22
22 2 2
1
2 1 6 50
5
R
R IA R R R R R
R
=
= = +−+ + =
=
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là:
( ) ( )
22
1 11xy ++ =
( )
( )
22
5 5 25
xy ++ =
c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi
( )
6 10;Ka a+
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với
12
,dd
nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này
bằng nhau và bằng bán kính R suy ra
3(6 10) 4 5 4(6 10) 3 5
55
aa aa+++ +−
=
0
22 35 21 35
70
43
a
aa
a
=
+= +⇔
=
- Với
0a =
thì
( )
10;0K
7R =
suy ra
( ) ( )
2
2
: 10 49Cx y +=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
- Với
70
43
a
=
thì
10 70
;
43 43
K



7
43
R =
suy ra
( )
2 22
10 70 7
:
43 43 43
Cx y

++ =


Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là
( ) ( )
2
2
: 10 49Cx y +=
( )
2 22
10 70 7
:
43 43 43
Cx y

++ =


Câu 3: Cho hai điểm
(
)
8; 0A
( )
0;6B
.
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
OAB
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
Lời giải
a) Ta có tam giác
OAB
vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm
ca cạnh huyền AB suy ra
(
)
4;3
I
và Bán kính
(
)
( )
22
84 03 5R IA= = +− =
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
(
) ( )
22
4 3 25
xy−+−=
b) Ta có
22
8; 6; 8 6 10OA OB AB= = = +=
Mặt khác
1
.
2
OA OB pr=
(vì cùng bằng diện tích tam giác
ABC
)
Suy ra
.
2
OA OB
r
OA OB AB
= =
++
Dthấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục ta đ
nên
tâm của đường tròn có tọa đlà
( )
2; 2
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
là:
( )
( )
22
2 24xy +− =
Câu 4: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho hai đưng thng
1
:3 0d xy
+=
. và
2
:3 0d xy−=
. Gi (C)
đường tròn tiếp xúc vi
1
d
tại A, ct
2
d
tại hai đim B, C sao cho tam giác
ABC
vuông ti
B. Viết phương trình của (C), biết tam giác
ABC
diệnch bng
3
2
điểm A hoành
độ dương.
Lời giải
d
1
d
2
C
B
A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
(
)
(
)
(
)
12
; 3 , 0; , ;3 , ;3
A d Aa a a BC d Bb b Cc c
∈⇒ >
Suy ra
(
)
( )
(
)
(
)
;3 , ;3AB b a a b AC c a c a+ −+
 
Tam giác
ABC
vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.
Do đó
1
AC d⊥⇒
( ) ( )
1
. 0 1. 3. 3 0 2 0ACu ca ac ac= −+ += +=

(1)
2
AB d⊥⇒
( ) ( )
2
. 0 1. 3 0 2 0ABu ba ab ba=⇔ + + =⇔ +=

(2)
Mặt khác
( ) ( ) ( )
22
2
23
11 3
;. . 3
2 22 2
ABC
a
S dAd BC cb cb= −+ =
21ac b −=
(3)
Từ (1), (2) suy ra
( )
23cb a−=
thế vào (3) ta được
3
31
3
aa a =⇔=
Do đó
3 23
,
63
bc= =−⇒
3 23
;1, ;2
33
AC

−−



Suy ra (C) nhận
33
;
62
I

−−



là trung điểm AC làm tâm và bán kính là
1
2
AC
R = =
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
( )
2
2
33
:1
62
Cx x


+ ++ =





.
Câu 1: Đường tròn tâm
(3; 1)I
và bán kính
2
R =
có phương trình là
A.
22
( 3) ( 1) 4xy+ +− =
. B.
22
( 3) ( 1) 4xy +− =
.
C.
22
(3)(1)4xy ++ =
. D.
22
( 3) ( 1) 4xy+ ++ =
.
Lời giải
Chn C.
Phương trình đường tròn có tâm
(
)
3; 1I
, bán kính
2R =
là:
(
) ( )
22
3 14xy ++ =
Câu 2: Đường tròn tâm
( 1; 2)I
và đi qua điểm
(2;1)M
có phương trình là
A.
22
2 4 50xy xy+ + −=
. B.
22
2 4 3 0.xy xy+ + −=
C.
22
2 4 50xy xy+ −=
. D.
22
2 4 5 0.xy xy+ + + −=
Lời giải
Chn A.
Đường tròn có tâm
( )
1; 2I
và đi qua
( )
2;1M
thì có bán kính là:
( )
2
2
3 1 10R IM
= = +− =
Khi đó có phương trình là:
( ) ( )
22
22
1 2 10 2 4 5 0x y xy xy+ + = + + −=
Câu 3: Cho hai điểm
(5; 1)A
,
( 3; 7)B
. Đường tròn có đường kính
AB
có phương trình là
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
A.
22
2 6 22 0xy xy+−=
. B.
22
2 6 22 0.xy xy
+ −+=
C.
22
2 10x y xy+ +=
. D.
22
6 5 1 0.xy xy
+ + + +=
Lời giải
Chn A.
Tâm
I
của đường tròn là trung điểm
AB
nên
( )
1; 3I
.
Bán kính
( ) ( )
22
11
35 71 42
22
R AB= = −− + + =
Vậy phương trình đường tròn là:
( ) ( )
22
22
1 3 32 2 6 22 0x y xy xy +− =+=
Câu 4: Đường tròn
()C
tâm
( 4;3)I
và tiếp xúc với trục tung có phương trình là
A.
22
304 9xy xy+++=
. B.
22
( 4) ( 3) 16xy+ +− =
.
C.
22
( 4) ( 3) 16xy ++ =
. D.
22
8 6 12 0.xy xy++−=
Lời giải
Chn B.
( )
C
tiếp xúc với
'y Oy
và có tâm
( )
4; 3I
nên:
4, 3, 4
a b Ra=−= ==
.
Do đó,
( )
C
có phương trình
( ) ( )
22
4 3 16xy
+ +− =
.
Câu 5: Đường tròn
()C
tâm
(4; 3)I
và tiếp xúc với đườngthng
:3 4 5 0
xy +=
có phương trình là
A.
22
( 4) ( 3) 1xy+ +− =
. B.
22
( 4) ( 3) 1xy−+−=
.
C.
22
( 4) ( 3) 1xy+++=
. D.
22
( 4) ( 3) 1xy ++ =
Lời giải
Chn B.
(
)
C
có bán kính
( )
( )
2
2
3.4 4.3 5
,1
34
R dI
−+
= ∆= =
+−
.
Do đó,
( )
C
có phương trình
22
( 4) ( 3) 1xy−+−=
.
Câu 6: Đường tròn
( )
C
đi qua điểm
( )
2; 4A
và tiếp xúc với các trc ta độ có phương trình là
A.
22
( 2) ( 2) 4xy +− =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy +− =
B.
22
( 2) ( 2) 4xy+ ++ =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy +− =
C.
22
( 2) ( 2) 4xy+ ++ =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy+ ++ =
D.
22
( 2) ( 2) 4xy +− =
hoc
22
( 10) ( 10) 100xy+ ++ =
Lời giải
Chn A.
( ) ( ) ( )
22
2
:
C xa yb R +− =
tiếp xúc với các trc ta độ nên
a bR= =
và điểm
( ) ( )
2; 4AC
nằm trong góc phần tư thứ nhất nên
( )
;I ab
cũng ở góc phần tư thứ nhất. Suy ra
abR= =
. Vậy
( ) ( ) ( )
22
2
xa ya aC +− =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
(
) (
)
( )
22
22
2 4 12 20 0
AC a a a a a +− = + =
( )
(
)
( ) ( )
22
22
2 24
2
10
10 10 100
xy
a
a
xy
+− =
=
⇒⇒
=
+− =
Câu 7: Đường tròn
()C
đi qua hai điểm
(1; 3)
A
,
(3;1)
B
và có tâm nằm trên đường thẳng
:2 7 0
d xy−+=
có phương trình là
A.
22
( 7) ( 7) 102xy +− =
. B.
22
( 7) ( 7) 164xy+ ++ =
.
C.
22
( 3) ( 5) 25xy +− =
. C.
22
( 3) ( 5) 25xy+ ++ =
.
Lời giải
Chn B.
( )
;I ab
là tâm của đường tròn
(
)
C
, do đó:
( )
( )
( ) ( )
2 2 22
22
13 31AI BI a b a b= +− = +−
Hay:
(1)ab
=
. Mà
( )
; : 2 7 0 nên 2 7 0 (2)
I ab d x y a b
−+= +=
.
Thay (1) vào (2) ta có:
22
7 7 164a b R AI=−⇒ =−⇒ = =
.
Vậy
( ) ( ) ( )
22
: 7 7 164
Cx y+ ++ =
.
Câu 8: Đường tròn
()C
tiếp xúc với trục tung tại điểm
(0; 2)A
đi qua điểm
(4; 2)B
phương
trình là
A.
22
( 2) ( 2) 4xy ++ =
. B.
22
( 2) ( 2) 4xy+ +− =
C.
22
( 3) ( 2) 4xy +− =
D.
22
( 3) ( 2) 4xy ++ =
Lời giải
Chn A.
2 nên '
AB
y y AB y Oy==−⊥
AB
là đường kính của
( )
C
. Suy ra
( )
2; 2I
và bán kính
2R IA= =
. Vậy
(
)
( )
( )
22
:2 24
Cx y ++ =
.
Câu 9: Tâm ca đưng tròn qua ba đim
( )
2; 1A
,
( )
2; 5B
,
( )
2; 1C
thuc đưng thng có phương trình
A.
30xy+=
. B.
30xy−=
C.
30xy
−+ +=
D.
30xy++=
Lời giải
Chn A.
Phương trình
( )
C
có dạng:
2 2 22
2 2 0 ( 0)x y ax by c a b c+ += + +>
. Tâm
( )
;Iab
.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
2; 1
414 2 0 0
2; 5 4 25 4 10 0 3 0; 3
414 2 0 1
2; 1
AC
a bc a
B C a bc b I
a bc c
CC
+− + = =


+ += =


++ + = =
−∈

Lần lượt thế tọa đ
I
vào các phương trình để kiểm tra.
Câu 10: Đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( )
0; 2 , 2; 2 , 1; 2()1ABC+
phương trình là
A.
22
2 2 20xy xy+++ =
. B.
22
22 0xy xy+−=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
C.
22
2 2 20xy xy+ −=
. D.
22
2 2 20xy xy+++ =
.
Lời giải
Chn B.
Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng:
(
)
2 2 22
22 0 0x y ax by c a b c
+ += + −>
.
Đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( )
0; 2 , 2; 2 , 1; 2()1ABC+
nên ta có:
( )
44 0 1
84 4 0 1
0
4 2 2 2 21 2 0
bc a
a bc b
c
a bc
+= =

+= =


=
+ + +=
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( )
0; 2 , 2; 2 , 1; 2()1ABC+
22
22 0xy xy+−=
Câu 11: Đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
11;8 , 13;8 , 14;7ABC
có bán kính
R
bng
A.
2
. B.
1
. C.
5
. D.
2
.
Lời giải
Chn C.
Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng:
( )
2 2 22
22 0 0x y ax by c a b c+ += + −>
.
Đường tròn đi qua 3 điểm
( ) (
) ( )
11;8 , 13;8 , 14;7
ABC
nên ta có:
121 64 22 16 0 12
169 64 26 16 0 6
196 49 28 14 0 175
a bc a
a bc b
a bc c
+ += =


+ += =


+ += =

Ta có
22
5
R abc= + −=
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
11;8 , 13;8 , 14;7ABC
có bán kính là
5R =
DNG 3: V TRÍ TƯƠNG ĐI CA ĐIM; ĐƯNG THNG; ĐƯNG TRÒN VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1 V trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính
IM
+ Nếu
IM R<
suy ra M nằm trong đường tròn
+ Nếu
IM R=
suy ra M thuộc đường tròn
+ Nếu
IM R>
suy ra M nằm ngoài đường tròn
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
2 V trí tương đối giữa đường thẳng
và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính
( )
;dI
+ Nếu
( )
;dI R∆<
suy ra
cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
+ Nếu
( )
; dI R∆=
suy ra
tiếp xúc với đường tròn
+ Nếu
( )
;
dI R
∆>
suy ra
không cắt đường tròn
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thng
và đường tròn (C)
bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của h.
3 V trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C')
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn (C') và
tính
'
II
,
', 'RRRR+−
+ Nếu
''II R R>+
suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau
+ Nếu
' '
II R R= +
suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
+ Nếu
' 'II R R<−
suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau
+ Nếu
' 'II R R=
suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
+ Nếu
'' 'R R II R R < <+
suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn
(C') bng sgiao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của h.
Câu 1: Cho đường thẳng
: 10xy
+=
và đường tròn
( )
22
: 4 2 40Cx y x y+ + −=
a) Chứng minh điểm
( )
2;1M
nằm trong đường tròn
b) Xét vị trí tương đối gia
( )
C
c) Viết phương trình đường thẳng
vuông góc với
và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.
Lời giải
a) Đường tròn (C) có tâm
( )
2; 1I
và bán kính
3R =
.
Ta có
( ) ( )
22
2 2 11 2 3IM R= + + =<=
do đó M nằm trong đường tròn.
b) Vì
( )
211
; 22 3
11
dI R
++
∆= = < =
+
nên
ct
( )
C
tại hai điểm phân biệt.
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
c) Vì
'
vuông góc với
và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của
chúng là lớn nhất nên
'
vuông góc với
và đi qua tâm I của đường tròn (C).
Do đó
'
nhận vectơ
(
)
1;1
u
=

làm vectơ pháp tuyến suy ra
( ) ( )
':1 2 1 1 0xy + +=
hay
10xy+ −=
Vậy phương trình đường thng cn tìm là
': 1 0xy + −=
Câu 2: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai đường tròn
( )
22
: 2 6 15 0Cx y x y+−=
( )
22
': 6 2 3 0Cxy x y+ −=
a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O
Lời giải
a) Cách 1:
( )
C
có tâm
( )
1; 3I
và bán kính
5R =
,
( )
C
có tâm
( )
' 3;1I
và bán kính
13R
=
( ) ( )
22
' 31 13 22II = +− =
Ta thy
1 2 12 1 2
R R II R R< <+
suy ra hai đường tròn cắt nhau.
Cách 2: Xét hệ phương trình
( ) ( )
22 22
22
2
2
2
2 6 15 0 2 6 15 0
6 2 30 30
2
60
3 2 3 6 15 0
3
3
3
3
xy xy xy xy
x y x y xy
y
yy
y yy y
y
xy
xy
xy

+ −= + −=

+ −= −=

=
−=
+ + +− =

⇔⇔
=

= +
= +
= +
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa đ
( )
1; 2A
( )
6;3B
b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận
( )
5;5AB

làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình
đường thẳng cn tìm là
15
25
xt
yt
= +
=−+
c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng
22
22 0x y ax by c+ +=
(C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ
7
2
142 4 0
1
36 9 12 6 0
2
0
0
a
a bc
a bc b
c
c
=
+− + +=

+− += =


=
=
Vậy (C"):
22
70x y xy+ −=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn phương
trình
(
)
22 22
2 6 15 6 2 3 0xy xy mxy xy+−−+ +−−=
(*)
Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi
( )
15 . 3 0 5mm+ −= =
Khi đó phương trình (*) trở thành
22
70x y xy+ −=
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
22
70
x y xy+ −=
Câu 3: Cho đường tròn
22
( ): 2 4 4 0Cx y x y+ + −=
tâm I đưng thng
:2 1 2 0x my
+ +− =
a) Tìm
m
để đường thng
cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Tìm m để diện tích tam giác
IAB
là lớn nhất
Lời giải
a) Đường tròn (C) có tâm
( )
1; 2
I
, bán kính
3R =
ct (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
( )
2
22 1 2
;3
2
m
dI R
m
+−
∆< <
+
2
5 5 17 0mm + +>
(đúng với mọi m)
b) Ta có
1 99
. .sin sin
2 22
IAB
S IA IB AIB AIB= =
Suy
9
max
2
IAB
S =
khi và chỉ khi
0
sin 1 90AIB AIB=⇔=
Gọi H là hình chiếu của I lên
khi đó
00
3
45 .cos 45
2
AIH IH IA= ⇒= =
Ta có
( )
2
2
12
3
; 8 16 0 4
2
2
m
d I IH m m m
m
∆= = + + = =
+
Vậy vi
4m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A
I
B
H
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
Câu 1: Cho đưng tròn
22
( ) : ( 1) ( 3) 4
Cx y
+ +− =
đưng thng
:3 4 5 0dx y
+=
. Phương trình ca
đưng thng
d
song song vi đưng thng
d
chn trên
()C
mt y cung có đ dài ln nht
A.
4 3 13 0xy++=
. B.
3 4 25 0
xy−+=
. C.
34150xy +=
. D.
4 3 20 0xy++=
.
Lời giải
Chn C.
( )
C
có tâm
( )
1; 3I
2. // : 3 4 0R d d d x yc
′′
= +=
.
Yêu cầu bài toán có nghĩa là
d
qua tâm
(
)
1; 3
I
ca
( )
C
, tức là :
3 12 0 1cc−− + = =
Vậy
:34150dx y
+=
.
Câu 2: Tìm ta đ giao đim ca đưng thng
: 2 30xy +=
đưng tròn
22
( ): 2 4 0Cx y x y+−−=
A.
( )
3; 3
( )
1;1
. B.
( )
1;1
( )
3; 3
. C.
(
)
3; 3
( )
1;1
. D.
( )
2;1
( )
2; 1
.
Lời giải
Chn A.
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau
( ) ( )
2
22
2
23
2 30
24 0
23 2234 0
xy
xy
xy xy
y yy y
=
+=

+−− =
+ −− =
2
1
4 30
1
23
y
yy
x
xy
=
+=
⇔⇔

=
=
hoc
3
3
y
x
=
=
Vậy ta đgiao điểm là
( )
3; 3
( )
1;1
.
Câu 3: Cho đường tròn
22
( ): 4 6 5 0Cx y x y+ +=
. Đường thẳng
d
đi qua
(3; 2)A
ct
()C
theo
một dây cung ngắn nhất có phương trình là
A.
2 20xy−+=
. B.
10xy+ −=
. C.
10xy
−=
. D.
10xy +=
.
Lời giải
Chn C.
( )
22
; 4 6 5.
(3;2) 9 4 12 12 5 6 0.
f xy x y x y
f
=+−−+
=+−−+=<
H
I
M
N
A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
Vậy
(
)
3; 2A
ở trong
( )
C
.
Dây cung
MN
ngắn nhất
IH
lớn nhất
HA⇔≡
MN
có vectơ pháp tuyến là
( )
1; 1IA
=

. Vậy
d
có phương trình:
1( 3) 1( 2) 0 1 0x y xy = −=
.
Câu 4: Cho đường tròn
22
( ): 6 2 5 0Cx y x y
+ + +=
và đường thẳng
d
đi qua điểm
( 4; 2)
A
, cắt
()C
tại hai điểm
,MN
sao cho
A
là trung điểm ca
MN
. Phương trình của đường thng
d
A.
60xy+=
. B.
7 3 34 0xy
−+=
. C.
7 3 30 0xy
−+=
. D.
7 35 0xy−+ =
.
Lời giải
Chn A.
( )
C
có tâm
( )
3; 1 , 5IR−=
. Do đó,
2IA R A= <⇒
ở trong
( )
C
.
A
là trung điểm ca
( )
1; 1MN IA MN IA⇒⊥ ⇒=

là vectơ pháp tuyến của
d
, nên
d
phương trình:
1( 4) 1( 2) 0 6 0x y xy + + + =−+=
.
Câu 5: Cho đường tròn
22
( ): 4 6 3 0Cx y x y
+ + −=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(I) Đim
(1;1)A
nằm ngoài
()C
.
(II) Đim
(0; 0)
O
nằm trong
()C
.
(III)
()C
ct trục tung tại hai điểm phân biệt.
A. Ch(I). B. Ch(II). C. Ch(III). D. C(I), (II) và (III).
Lời giải
Chn D.
Đặt
( )
22
; 463f xy x y x y=+−+
( )
1;1 1 1 4 6 3 1 0fA=+−+−=>
ở ngoài
( )
C
.
( ) ( )
0;0 3 0 0; 0fO=−<
ở trong
( )
C
.
2
0 6 30x yy= + −=
. Phương trình này có hai nghiệm, suy ra
( )
C
ct
'y Oy
tại 2 điểm.
Câu 6: Cho đường tròn
22
( ): 2 6 6 0Cx y x y
+ + +=
đường thng
:4 3 5 0dx y +=
. Đưng thẳng
d
song song với đưng thng
d
chắn trên
()C
một dây cung có đdại bng
23
phương
trình là
A.
4 3 80xy +=
. B.
4 3 80xy −=
hoc
4 3 18xy−−
.
C.
4 3 80xy −=
. D.
4 3 80xy+ +=
.
Lời giải
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
( )
C
có tâm
(
)
1; 3 , 2IR
−=
//
dd d
′′
có phương trình
( )
43 0 5x ym m +=
.
Vẽ
22 2
3 431IH MN HM IH R HM
= = =−=
.
( )
8
4.1 3.( 3)
, 1 13 5
18.
16 9
m
m
d I d IH m
m
=
−+
= =⇔+=
=
+
Vậy:
:4 3 8 0
: 4 3 18 0
dxy
dxy
−=
−=
.
Câu 7: Cho đường tròn
22
( ): 6 2 5 0Cx y x y+ + +=
và đường thẳng
d
đi qua điểm
( 4; 2)
A
, cắt
()C
tại hai điểm
,
MN
sao cho
A
là trung điểm ca
MN
. Phương trình của đường thng
d
A.
60xy
−+=
. B.
7 3 34 0xy
−+=
. C.
7 3 30 0xy−+=
. D.
7 35 0xy
−+ =
.
Lời giải
Chn A.
( )
C
có tâm
(
)
3; 1 , 5
IR
−=
. Do đó,
2IA R A= <⇒
ở trong
(
)
C
.
A
là trung điểm ca
(
)
1; 1MN IA MN IA⇒⊥ ⇒=

là vectơ pháp tuyến của
d
, nên
d
phương trình:
1( 4) 1( 2) 0 6 0x y xy + + + =−+=
.
Câu 8: Đường tròn
22
2 2 23 0xy xy
+−−−=
ct đưng thẳng
20xy+−=
theo một dây cung có đdài
bằng bao nhiêu?
A.
10
. B.
8
. C.
6
. D.
32
.
Lời giải
Chn A.
Giải hệ PT
22
2 2 23 0
20
xy xy
xy
+−−−=
+−=
2
2 4 23 0
2
xx
yx
−−=
=
2 52 2 52
22
2 52 2 52
22
xx
hay
yy

+−
= =



−+

= =


Độ dài dây cung
10AB =
.
Câu 9: Tìm giao điểm 2 đường tròn
( )
22
1
: 40Cx y+ −=
( )
22
2
: 4 4 40Cxy xy+ +=
A.
( )
2; 2
và (
( )
2; 2
. B.
( )
0; 2
( )
0; 2
.
H
I
M
N
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
C.
(
)
2;0
(
)
0; 2
. D.
(
)
2;0
(
)
2;0
.
Lời giải
Chn C.
Giải hệ PT
22
22
40
4 4 40
xy
xy xy
+ −=
+ +=
22
40
44 4 40
xy
xy
+ −=
+=
22
40
2
xy
xy
+ −=
+=
(
)
2
2
2 40
2
xx
yx
+ −=
=
( )
2
2
2 40
2
xx
yx
+ −=
=
02
20
xx
hay
yy
= =


= =

.
Vậy giao điểm
(
)
0; 2
A
,
(
)
2;0
B
.
Câu 10: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
( )
22
1
:4Cx y+=
( )
22
2
: ( 10) ( 16) 1Cx y+ +− =
.
A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
Lời giải
Chn B.
( )
1
C
có tâm và bán kính:
( )
1
0;0I
,
1
2
R =
;
( )
2
C
có tâm và bán kính:
( )
2
10;16I
,
2
1
R =
;
khoảng cách giữa hai tâm
22
12 1 2
10 16 2 89
II R R= + = >+
.
Vậy
( )
1
C
( )
2
C
không có điểm chung.
Câu 11: Với những giá trị nào ca
m
t đường thng
:4 3 0x ym
+ +=
tiếp xúc với đường tròn
( )
22
: 90Cx y+ −=
.
A.
3m =
. B.
3m =
3m =
.
C.
3m =
. D.
15m =
15m
=
.
Lời giải
Chn D.
Đường tròn
( )
C
có tâm và bán kính là
(
)
0;0I
,
3R =
.
tiếp xúc
( )
C
( )
,dI R∆=
3
5
m
=
15
15
m
m
=
=
Câu 12: Một đường tròn tâm
(1; 3)
I
tiếp xúc với đường thng
:3 4 0xy +=
. Hỏi bán kính đường
tròn bằng bao nhiêu?
A.
3
5
. B.
1
. C.
3
. D.
15
.
Lời giải
Chn C.
22
3.1 3.4
(; ) 3
34
ycbt R d I
+
= ∆= =
+
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
Câu 13: Đường tròn
2 22
( )( )
xa yb R
+− =
cắt đường thng
0x yab+−−=
theo một dây cung độ
dài bằng bao nhiêu?
A.
2
R
. B.
2R
. C.
2
2
R
. D.
R
.
Lời giải
Chn A.
Vì đường tròn có tâm
(;)I ab
, bán kính
R
và tâm
(;)I ab
thuộc đường thẳng
0x yab
+−−=
.
Nên độ dài của dây cung bằng độ dài đường kính bằng
2R
.
Câu 14: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
22
1
( ): 4 0
Cx y x
+−=
22
2
( ): 8 0
Cxy y
++=
.
A. Tiếp xúc trong. B. Không cắt nhau. C. Cắt nhau. D. Tiếp xúc ngoài.
Lời giải
Chn C.
Đường tròn
22
1
( ): 4 0Cx y x+−=
có tâm
1
(2;0)I
, bán kính
1
2
R =
.
Đường tròn
22
2
( ): 8 0Cxy y++=
có tâm
2
(0; 4)I
, bán kính
2
4R =
.
Ta có
2 1 12 2 1
25R R II R R−< = <+
nên hai đường tròn cắt nhau.
Câu 15: Đường tròn
()C
tâm
( 1; 3)I
và tiếp xúc với đưng thng
:3 4 5 0
dx y +=
tại điểm
H
tọa đ
A.
17
;
55

−−


. B.
17
;
55



. C.
17
;
55



. D.
17
;
55



.
Lời giải
Chn B.
:4 3 0IH IH x y cd + +=
. Đường thẳng
IH
qua
( )
1; 3I
nên
4( 1) 3.3 0 5cc+ +==
. Vậy
:4 3 5 0
IH x y+ −=
.
Giải hệ:
1
4 3 50
17
5
;
3 4 50 7
55
5
x
xy
H
xy
y
=
+ −=

⇔⇒


+=

=
.
Câu 16: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
( )
22
1
:4Cx y+=
( )
22
2
: ( 3) ( 4) 25Cx y +− =
.
A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
ớng dẫn gii
Chn B.
Ta có: tâm
( ) ( )
12
0; 0 , 3; 4II
, bán kính
12
2, 5RR= =
nên
2 1 12 2 1
35 7R R II R R−=< =< +=
nên 2 đường tròn trên cắt nhau.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 26
DNG 4: VIT PHƯƠNG TRÌNH TIP TUYN VI ĐƯNG TRÒN
Cho đường tròn (C) tâm
( )
;I ab
, bán kính R
1. Nếu biết tiếp điểm là
( )
00
;Mx y
thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ
( )
00
;
IM x a y b−−

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
( )( )
( )( )
0 00 0
0x axx y byy −+ =
2. Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng
tiếp xúc đường tròn (C) khi và
chỉ khi
( )
;dI R∆=
để xác định tiếp tuyến.
Câu 1: Cho đường tròn (C) phương trình
22
6 2 60xy xy+ + +=
điểm hai đim
( ) ( )
1; 1 ; 1; 3AB
a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm
( )
3; 1I
bán kính
2
3 16 2R = +− =
.
a) Ta có:
2 ; 25IA R IB R= = = >
suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài
đường tròn
b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận
( )
2;0IA
=

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
( )
( )
2 10 10xy
−+ +=
hay
1x =
b) Phương trình đường thng
đi qua B có dạng:
(
) ( )
1 30ax by−+ =
(vi
22
0ab+≠
) hay
30ax by a b
+ −− =
Đường thẳng
là tiếp tuyến của đường tròn
( )
;dI R ∆=
(
)
2
22 2
22
0
33
2 2 34 0
34
b
aba b
a b a b b ab
ba
ab
=
−−
=⇔− =+⇔ =
=
+
+ Nếu
0b =
, chọn
1a =
suy ra phương trình tiếp tuyến là
1x =
.
+ Nếu
34ba=
, chọn
3, 4ab= =
suy ra phương trình tiếp tuyến là
3 4 15 0xy+ −=
Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là
1x =
3 4 15 0xy+ −=
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến
của đường tròn
( )
22
: 4 4 10Cx y x y+ + −=
trong trường
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUẬN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 27
a) Đưng thng
vuông góc với đường thẳng
':2 3 4 0xy
+ +=
b) Đường thng
hợp với trục hoành một góc
0
45
Lời giải
a) Đường tròn (C) có tâm
(
)
2; 2
I
, bán kính
3R =
'∆⊥∆
nên
nhận
( )
3; 2u
làm VTPT do đó phương trình có dạng
32 0x yc + +=
Đường thẳng
là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi
( )
10
; 3 3 10 3 13
13
c
dI c
−+
∆= = = ±
Vậy có hai tiếp tuyến là
: 3 2 10 3 13 0xy
∆− + + ± =
b) Giả sử phương trình đường thẳng
22
: 0, 0ax by c a b + += +
Đường thẳng
là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi
( ) ( )
( )
2
22
22
22
; 3 3 2 2 9 (*)
a bc
dI a b c a b
ab
−+
∆= = + = +
+
Đường thẳng
hợp với trục hoành một góc
0
45
suy ra
( )
0
22 22
cos ; cos 45
bb
Ox a b
ab ab
= = ⇔=
++
hoc
ab=
TH1: Nếu
ab=
thay vào (*) ta có
22
18 3 2
ac c a= ⇔± =
, chọn
1 32
ab c==⇒=±
suy ra
: 32 0xy =
TH2: Nếu
ab=
thay vào (*) ta có
( )
(
)
( )
2
2
32 4
18 4
32 4
ca
a ac
ca
=
= +⇔
=−+
Với
( )
32 4ca=
, chọn
(
)
1, 1, 3 2 4 : 3 2 4 0a b c xy= =− = ⇒∆ + =
Với
(
)
32 4ca=−+
, chọn
( )
1, 1, 3 2 4 : 3 2 4 0a b c xy= =− =− + ⇒∆ =
Vậy có bốn đường thng tha mãn là
1,2 3
: 32 0, : 32 4 0xy xy
+± = −+ −=
4
: 32 4 0xy −=
Câu 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
( )
22
1
: 4 50Cx y y+ −=
( )
22
2
: 6 8 16 0Cxy xy+++=
Lời giải
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 28
Đường tròn
( )
1
C
có tâm
( )
1
0; 2I
bán kính
1
3
R =
Đường tròn
( )
2
C
có tâm
( )
2
3; 4I
bán kính
2
3
R =
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình
:0ax by c
+ +=
vi
22
0
ab
+≠
là tiếp tuyến chung của
(
)
1
C
( )
2
C
1
2
(,) 3
(,) 3
dI
dI
∆=
∆=
(
)
22
22
23 *
34 3
bc a b
a bc a b
+= +
+= +
Suy ra
2
2 34
32
2
ab
bc a bc
ab
c
=
+= +⇔
−+
=
TH1: Nếu
2ab=
chọn
2, 1ab= =
thay vào (*) ta được
2 35c =−±
nên ta có 2 tiếp tuyến là
2 2 35 0xy+−± =
TH2: Nếu
32
2
ab
c
−+
=
thay vào (*) ta được
22
22ba a b−= +
0a =
hoc
340ab+=
+ Vi
0a cb=⇒=
, chọn
1bc= =
ta được
: 10y +=
+ Vi
340 3ab cb+ =⇒=
, chọn
4, 3, 9
ab c= =−=
ta được
:4 3 9 0xy −=
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là:
2 2 3 5 0, 1 0, 4 3 9 0xy y x y+ ± = += =
Câu 1: Cho đưng tròn
22
( ) : ( 3) ( 1) 10Cx y +− =
. Phương trình tiếp tuyến ca
()C
ti đim
(4;4)A
A.
3 50xy +=
. B.
3 40xy
+ −=
. C.
3 16 0xy+=
. D.
3 16 0xy+−=
.
Lời giải
Chn D.
( )
C
có tâm
( ) ( )
3; 1 1; 3I IA⇒=

là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến
Suy ra
( ) ( )
:1 4 3 4 0 3 16 0Dx y xy + =⇔+ =
.
Câu 2: Cho đường tròn
22
( ) : ( 2) ( 2) 9Cx y
+− =
. Phương trình tiếp tuyến ca
()C
đi qua điểm
( 5;1)A
A.
40xy+−=
20xy
−−=
. B.
5x =
1y =
.
C.
2 30xy−=
3 2 20xy+ −=
. D.
3 2 20xy −=
2 3 50
xy+ +=
.
Lời giải
Chn B.
( )
C
có tâm
( )
2; 2I
và bán kính
3R =
.
( )
;n AB=
là vectơ pháp tuyến nên
( ) ( )
: 5 10D Ax By+ +=
.
BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 29
D
là tiếp tuyến của
( )
C
khi và chỉ khi :
( )
( ) ( )
22
25 21
, 3 .0
AB
d I R AB
AB
−+ +
∆= = =
+
0 chon 0 1
0 chon 0 5
A By
B Ax
= =⇒=
= =⇒=
.
Câu 3: Cho đường tròn
22
( ): 2 6 5 0Cx y x y+ + +=
. Phương trình tiếp tuyến của
()C
song song với
đường thẳng
: 2 15 0Dx y
+ −=
A.
20xy+=
2 10 0xy+ −=
. B.
20xy
−=
2 10 0xy++=
.
C.
2 10xy
+ −=
2 30
xy+ −=
. D.
2 10xy
−=
2 30xy −=
.
Lời giải
Chn A.
( )
C
có tâm
( )
1; 3I
và bán kính
1 9 5 5, : 2 0R dx y m= +−= + =
.
d
là tiếp tuyến của
( )
C
khi và chỉ khi:
( )
16
, 5 55
14
m
dId R m
−+
= = −=
+
55 0 :20
5 5 10 : 2 10 0
m m dx y
m m dx y
−= = + =

⇔⇔

−= = + =

.
Câu 4: Cho đường tròn
22
( ): 6 2 5 0Cx y x y+ + +=
và đường thẳng
: 2 ( 2) 7 0d x m ym+ −=
. Với
giá trị nào của
m
thì
d
là tiếp tuyến của
()C
?
A.
3
m =
. B.
15m =
. C.
13
m =
. D.
3m =
hoc
13m =
.
Lời giải
Chn D.
(
)
C
có tâm
( )
3; 1I
và bán kính
5R =
.
d
là tiếp tuyến của
( )
C
khi va chỉ khi:
(
)
2
2
3
627
, 5 16 39 0 .
13
4 ( 2)
m
mm
dId R m m
m
m
=
−+−−
= = +=
=
+−
Câu 5: Cho đường tròn
( )
22
: 2 8 23 9Cx y x y+−+−=
điểm
( )
8; 3M
. Độ dài đoạn tiếp tuyến của
( )
C
xuất phát từ
M
:
A.
10
. B.
2 10
. C.
10
2
. D.
10
.
Lời giải
Chn D.
Đường tròn
(
)
22
: 2 8 23 9Cx y x y
+−+−=
có tâm
( )
1; 4I
bán kính
40R =
.
Độ dài tiếp tuyến là
22
10IM R−=
.
Câu 6: Nếu đường tròn
( ) ( ) (
)
22
2
:1 3Cx y R +− =
tiếp xúc với đường thng
:5 12 60 0dx y+ −=
thì
giá trca
R
là:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 30
A.
22R =
. B.
19
13
R =
. C.
5R =
. D.
2R =
.
Lời giải
Chn B.
Đường tròn
( ) ( ) ( )
22
2
:1 3Cx y R +− =
có tâm
( )
1; 3I
bán kính
R
.
Đường thẳng
:5 12 60 0dx y+ −=
tiếp xúc với đường tròn
( )
C
khi
( )
33
5.1 12.3 60
19
,
13
5 12
d d Id
+−
= = =
+
Câu 7: Cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 3 15Cx y ++ =
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
song song với
đường thẳng
:2 7 0d xy++=
A.
2 0; 2 10 0xy xy+= +− =
. B.
2 10;2 10xy xy++= +−=
.
C.
2 10 0; 2 10 0xy xy−+ = + =
. D.
2 0; 2 10 0
xy x y
+= + =
.
Lời giải
Chn A.
Phương trình tiếp tuyến có dạng
:2 0
xym ++ =
vi
7m
.
Đường tròn
( )
( ) (
)
22
: 3 15Cx y ++ =
có tâm
(
)
3; 1
I
và bán kính
5R =
Đường thẳng
tiếp xúc với đường tròn
( )
C
khi
( )
0
2.3 1
;5
10
5
m
m
dI R
m
=
−+
∆= =
=
Vậy
12
:2 0; :2 10 0xy xy
+= +− =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN
DẠNG 1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để phương trình
( )
22
2 2 4 19 6 0x y m x my m+ + + + −=
phương trình đường tròn.
A.
1 2.
m
<<
B.
2m <−
hoc
1m >−
.
C.
2m <−
hoc
1m >
. D.
1m <
hoc
2m
>
.
Câu 2: Trong mặt phng
Oxy
, phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A.
22
2 4810x y xy+ −−+=
. B.
22
4 6 12 0xy xy++ −=
.
C.
22
2 8 20 0xy xy
+−−+=
. D.
22
4 10 6 2 0xy xy+ −=
.
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A.
22
2 6 6 80xy xy+ −=
. B.
22
2 4 8 12 0x y xy
+ −−−=
.
C.
22
28180xy xy
+−−+=
. D.
22
2 2 4 6 12 0
x y xy
+ + −=
.
Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
A.
22
4 2830x y xy x y 
. B.
22
2 4 5 10x y xy 
.
C.
22
14 2 2018 0xy xy
. D.
22
4 5 20xy xy 
.
Câu 5: Cho phương trình
(
)
22
2 4 2 6 0 (1)
x y mx m y m+ +− =
. Điều kiện của
m
để
(1)
phương
trình của đường tròn.
A.
2m =
. B.
1
2
m
m
<
>
. C.
12m<<
. D.
1
2
m
m
=
=
.
DẠNG 2. TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 6: Trong mặt phng
Oxy
, đường tròn
( )
22
: 4 6 12 0Cx y x y
+++ −=
có tâm là.
A.
( )
2; 3I −−
. B.
( )
2;3I
. C.
(
)
4;6I
. D.
( )
4; 6I −−
.
Câu 7: Đường tròn
22
10 24 0xy y+− =
có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
49
. B.
7
. C.
1
. D.
29
.
Câu 8: Xác định tâm và bán kính của đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 1 2 9.Cx y+ +− =
A. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
3R =
. B. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
9R =
.
C. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
3R =
. D. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
9R =
.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
H THỐNG BÀI TP
. TR
C NGHI
M
III
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
Câu 9: Tìm ta đ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn
(
)
C
:
22
2 4 10
xy xy
+ + +=
.
A.
( )
1; 2 ; 4IR−=
. B.
( )
1; 2 ; 2IR−=
. C.
( )
1; 2 ; 5IR−=
. D.
(
)
1; 2 ; 4IR
−=
.
Câu 10: Trong mt phng
Oxy
, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 2 39Cx y ++ =
. Đường tròn tâm bán
kính là
A.
( )
2;3 , 9
IR=
. B.
(
)
2; 3 , 3
IR
−=
. C.
(
)
3; 2 , 3
IR
−=
. D.
(
)
2;3 , 3IR−=
.
Câu 11: Tìm ta đ tâm
I
và tính bán kính
R
của đường tròn
(
) (
)
22
( ): 2 5 9Cx y
++−=
.
A.
( 2;5), 81.IR
−=
. B.
(2; 5), 9.
IR−=
. C.
(2; 5), 3.
IR−=
. D.
( 2;5), 3.
IR−=
Câu 12: Đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ + −=
có tâm
I
, bán kính
R
A.
( )
1; 2 , 2IR−=
. B.
( )
1; 2 , 2 2IR−=
. C.
( )
1; 2 , 2
IR−=
. D.
( )
1; 2 , 2 2IR−=
.
DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính
Câu 13: Phương trình đường tròn có tâm
(
)
1; 2I
và bán kính
5
R
=
A.
22
2 4 20 0xy xy+−−=
. B.
22
2 4 20 0xy xy++++=
.
C.
22
2 4 20 0xy xy+++=
. D.
22
2 4 20 0xy xy+−−+=
.
Câu 14: Đường tròn tâm
( )
1; 2I
, bán kính
3R =
có phương trình là
A.
22
2 4 40
xy xy+ + + −=
. B.
22
2 4 40xy xy+ −=
.
C.
22
2 4 40xy xy+ + −=
. D.
22
2 4 40xy xy+ + −=
.
Câu 15: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm
( )
1; 2I
, bán kính bằng
3
?
A.
(
) ( )
22
1 29xy ++ =
. B.
(
) ( )
22
1 29xy
+ ++ =
.
C.
( )
( )
22
1 29xy +− =
. D.
( ) ( )
22
1 29xy+ +− =
.
Dạng 3.2 Khi biết các điểm đi qua
Câu 16: Đường tròn
( )
C
đi qua hai điểm
( )
1;1A
,
( )
5;3B
và có tâm
I
thuộc trục hoành có phương trình
A.
( )
2
2
4 10xy+ +=
. B.
( )
2
2
4 10xy +=
. C.
( )
2
2
4 10xy +=
. D.
( )
2
2
4 10
xy+ +=
.
Câu 17: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, tìm ta đ tâm
I
ca đường tròn đi qua ba điểm
( )
0; 4A
,
( )
2; 4B
,
( )
2;0C
.
A.
( )
1;1I
. B.
( )
0;0I
. C.
( )
1; 2I
. D.
( )
1; 0I
.
Câu 18: Cho tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
1;1, 3;2, 5;5A BC−−
. To độ tâm đưng tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
A.
47 13
;
10 10



. B.
47 13
;
10 10



. C.
47 13
;
10 10

−−


. D.
47 13
;
10 10



.
Câu 19: Trong mặt phng
Oxy
, đường tròn đi qua ba điểm
( )
1; 2A
,
( )
5; 2B
,
(
)
1; 3C
phương trình
là.
A.
22
25 19 49 0xy x y++ + =
. B.
22
2 6 30x y xy+ +−=
.
C.
22
6 10x y xy+ + −=
. D.
22
6 10x y x xy+ + −=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Câu 20: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm
( ) ( )
3; 0 , 0; 2AB
tâm thuc đưng thẳng
:0
dx y
+=
.
A.
22
1 1 13
2 22
xy

++ =


. B.
22
1 1 13
2 22
xy

+ ++ =


.
C.
22
1 1 13
2 22
xy

+− =


. D.
22
1 1 13
2 22
xy

+ +− =


.
Câu 21: Cho tam giác
ABC
biết
( )
3; 2H
,
58
;
33
G



ln lưt là trc tâm và trng tâm ca tam giác, đường
thẳng
BC
phương trình
2 20xy+ −=
. Tìm phương trình đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
?
A.
( ) ( )
22
1 1 20xy+ ++ =
. B.
( ) ( )
22
2 4 20xy ++ =
.
C.
( )
( )
22
1 31xy ++ =
. D.
(
)
( )
22
1 3 25xy
+− =
.
Câu 22: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
trc tâm
H
, trng tâm
( )
1; 3G
. Gọi
,,
KMN
lần lượt trung điểm ca
,,
AH AB AC
. Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác
ABC
biết đường tròn ngoại tiếp tam giác
KMN
( )
22
: 4 4 17 0Cx y x y++ −=
.
A.
( ) ( )
22
1 5 100xy +− =
. B.
(
)
( )
22
1 5 100
xy
+ +− =
.
C.
( ) ( )
22
1 5 100xy ++ =
. D.
( ) ( )
22
1 5 100xy+ ++ =
.
Câu 23: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có trc tâm
O
. Gi
M
là trung đim ca
BC
;
N
,
P
lần lượt chân đường cao kẻ t
B
C
. Đường tròn đi qua ba điểm
M
,
N
,
P
phương trình
( ) ( )
2
2
1 25
:1
24
Tx y

++ =


. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
là:
A.
( ) ( )
22
1 2 25xy
++ =
. B.
( )
2
2
1 25xy+− =
.
C.
( )
2
2
1 50xy+− =
. D.
( )
( )
22
2 1 25xy ++ =
.
Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Câu 24: Trong mt phng ta đ
Oxy
, phương trình của đường tròn tâm là gc ta đ
O
và tiếp xúc
với đường thẳng
:
20xy+−=
A.
22
2xy
. B.
22
2xy
.
C.
22
1 12xy 
. D.
22
1 12
xy 
.
Câu 25: Trong mặt phng ta đ
( )
Oxy
, cho đường tròn
( )
S
tâm
I
nằm trên đưng thng
yx=
,
bán kính
3R =
và tiếp xúc với các trc ta độ. Lập phương trình của
( )
S
, biết hoành độ tâm
I
là s dương.
A.
( ) ( )
22
3 39
xy +− =
. B.
( )
(
)
22
3 39xy ++ =
.
C.
( ) ( )
22
3 39xy −− =
. D.
( ) ( )
22
3 39xy+ ++ =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Câu 26: Một đường tròn tâm
( )
3;4I
tiếp xúc với đường thng
:3 4 10 0xy
+ −=
. Hỏi bán kính
đường tròn bằng bao nhiêu?
A.
5
3
. B.
5
. C.
3
. D.
3
5
.
Câu 27: Trong hệ trc ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
1;1I
đường thng
( )
:3 4 2 0dxy+ −=
. Đường tròn
tâm
I
và tiếp xúc với đường thẳng
( )
d
có phương trình
A.
(
) ( )
22
1 15xy +− =
. B.
( )
(
)
22
1 1 25xy+− =
.
C.
(
)
( )
22
1 11
xy +− =
. D.
( ) ( )
22
1
11
5
xy +− =
.
Câu 28: Trên h trc ta đ
Oxy
, cho đường tròn
()
C
tâm
( )
3; 2I
mt tiếp tuyến của
phương trình là
3 4 90xy+ −=
. Viết phương trình của đường tròn
()C
.
A.
( ) ( )
22
3 22xy+ +− =
. B.
( ) ( )
22
3 22xy ++ =
.
C.
( )
( )
22
3 24xy +− =
D.
( ) ( )
22
3 24xy+ +− =
.
Câu 29: Trên mt phng to độ
Oxy
, cho các đim
( )
3;0A
( )
0;4B
. Đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
có phương trình
A.
22
1xy
+=
. B.
22
4 40xy x+ +=
.
C.
22
2xy+=
. D.
( ) ( )
22
1 11xy+− =
.
Câu 30: Cho hai điểm
( )
3; 0A
,
( )
0;4B
. Đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
có phương trình là
A.
22
1xy+=
. B.
22
2 2 10xy xy+ +=
.
C.
22
6 8 25 0xy xy+−+=
. D.
22
2xy+=
.
DẠNG 4. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 4.1. Phương trình tiếp tuyến
Câu 31: Đường tròn
22
10
xy+ −=
tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
A.
3 4 50xy +=
B.
0xy+=
C.
3 4 10xy+ −=
D.
10xy+ −=
Câu 32: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trc Ox:
A.
22
10 0
xy x+− =
. B.
22
50xy+ −=
.
C.
22
10 2 1 0xy xy
+ +=
. D.
22
6 5 90xy xy+ + + +=
.
Câu 33: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ +=
. Viết phương
trình tiếp tuyến
d
ca đường tròn
()C
biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
:3 4 1 0xy
+ +=
.
A.
3 4 5 2 11 0xy+ + −=
;
3 4 5 2 11 0xy+ +=
.
B.
3 4 5 2 11 0xy+ + −=
,
3 4 5 2 11 0xy
+ −=
.
C.
3 4 5 2 11 0xy+ + −=
,
3 4 5 2 11 0xy+ + +=
.
D.
3 4 5 2 11 0xy+ +=
,
3 4 5 2 11 0xy
+ −=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Câu 34: Cho đường tròn
(
)
22
: 2 4 40Cx y x y+ −=
điểm
( )
1; 5A
. Đưng thẳng nào trong các
đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn
( )
C
tại điểm
A
.
A.
50
y −=
. B.
50
y +=
. C.
50xy+−=
. D.
50xy−=
.
Câu 35: Cho đường tròn
( )
22
: 40Cx y+ −=
điểm
( )
1; 2A
. Đưng thng nào trong các đưng thẳng
dưới đây đi qua
A
và là tiếp tuyến của đường tròn
( )
C
?
A.
4 3 10 0xy+=
. B.
6 40xy++=
. C.
3 4 10 0xy++=
. D.
34110xy +=
.
Câu 36: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:1 44Cx y+− =
. Phương trình tiếp tuyến với
đường tròn
( )
C
song song với đường thẳng
:4 3 2 0xy +=
A.
4 3 18 0xy+=
. B.
4 3 18 0
xy
+=
.
C.
43180;4320xy xy−+= −−=
. D.
43180;4320xy xy−−= −+=
.
Câu 37: S tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
( )
22
: 2 4 10Cx y x y+ + +=
( )
22
' : 6 8 20 0Cxy x y++−+=
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Câu 38: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
22
( ) : ( 2) ( 4) 25Cx y ++ =
, biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thng
:3 4 5 0dx y
+=
.
A.
4 3 29 0xy++=
. B.
4 3 29 0xy
++=
hoc
4 3 21 0xy
+−=
.
C.
4 3 50xy +=
hoc
4 3 45 0xy−−=
D.
4 3 50
xy+ +=
hoc
4 3 30xy
+ +=
.
Câu 39: Trong mặt phng ta đ Oxy, cho đường tròn
( )
C
phương trình
22
2 2 30xy xy+ + −=
. Từ
điểm
( )
1;1A
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn
( )
C
A. 1. B. 2. C. vô số. D. 0.
Câu 40: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:1 44Cx y +− =
. Phương trình tiếp tuyến với
đường tròn
( )
C
, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
:4 3 2 0xy +=
A.
4 3 18 0xy+=
4 3 20
xy −=
. B.
4 3 18 0xy+=
4 3 20xy
−=
.
C.
4 3 18 0xy−− +=
4 3 20xy −=
. D.
4 3 18 0xy−+ =
4 3 20xy
−=
.
Câu 41: Tn mt phng to độ
Oxy
, cho điểm
( )
3; 2P −−
và đường tròn
( ) (
) ( )
22
: 3 4 36
Cx y +− =
. T
điểm
P
kẻ các tiếp tuyến
PM
PN
ti đường tròn
( )
C
, vi
M
,
N
là các tiếp điểm. Phương
trình đường thẳng
MN
A.
10xy+ +=
. B.
10xy −=
. C.
10xy +=
. D.
10xy+ −=
.
u 42: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đim
( 3;1)M
đưng tròn
( )
22
: 2 6 60Cx y x y+ +=
. Gi
1
T
,
2
T
là các tiếp đim ca các tiếp tuyến k t
M
đến. Tính
khong cách t
O
đến đưng thng
12
.TT
A.
5
. B.
5
. C.
3
5
. D.
22
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Dạng 4.2 Bài toán tương giao
Câu 43: Trong mặt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho hai đường tròn
( ) ( )
12
,CC
có phương trình lầnt
22 22
( 1) ( 2) 9 ( 2) ( 2) 4xy x y+ ++ = +− =
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Đường tròn
( )
1
C
có tâm
( )
1
1; 2I −−
và bán kính
1
3R
=
.
B. Đường tròn
( )
2
C
có tâm
( )
2
2; 2I
và bán kính
2
2R =
.
C. Hai đường tròn
(
)
( )
12
,
CC
không có điểm chung.
D. Hai đường tròn
( ) ( )
12
,CC
tiếp xúc với nhau.
Câu 44: Tìm giao điểm
2
đường tròn
22
1
( ):x 4 0
Cy+ −=
22
2
( ) : x 4 4 4 0.C y xy+ +=
A.
( )
2; 2
( )
2; 2−−
. B.
( )
0; 2
( )
0; 2
. C.
( )
2;0
(
)
2;0
. D.
(
)
2;0
( )
0; 2 .
Câu 45: Trong mặt phng vi h trc
Oxy
, cho hai đường tròn
( ) ( )
2
2
:1 4Cx y+=
( ) ( ) ( )
22
: 4 3 16Cx y
−+−=
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A
B
. Lập phương trình đường
thng
AB
A.
20xy
+−=
. B.
2. 0xy
−+ =
C.
20xy
++=
. D.
20
xy
−−=
.
Câu 46: Cho đường thng
:3 4 19 0xy −=
đường tròn
( )
( )
( )
22
: 1 1 25
Cx y +− =
. Biết đường
thng
ct
( )
C
tại hai điểm phân biệt
A
B
, khi đó độ dài đọan thẳng
AB
A. 6. B. 3. C. 4. D. 8.
Câu 47: Trong mặt phng ta đ
Oxy
cho đường tròn
( )
C
tâm
( )
1; 1I
bán kính
5R =
. Biết rằng
đường thng
( )
:3 4 8 0dxy +=
ct đường tròn
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
. Tính độ dài
đoạn thẳng
AB
.
A.
8AB =
. B.
4AB =
. C.
3.AB =
. D.
6AB =
.
Câu 48: Trong mặt phng vi h trc ta đ
,Oxy
cho đường tròn
( )
C
phương trình
( ) ( )
22
2 24xy ++ =
và đường thẳng
:3 4 7 0
dx y+ +=
. Gọi
,
AB
là các giao đim của đường
thng
d
với đường tròn
( )
C
. Tính độ dài dây cung
AB
.
A.
3AB =
. B.
25AB =
. C.
23AB =
. D.
4AB =
.
Câu 49: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
3;1A
, đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ +=
. Viết phương trình tổng quát của đưng thng
d
đi qua
A
và cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm
B
,
C
sao cho
22BC =
.
A.
: 2 50dx y+ −=
. B.
: 2 50dx y −=
. C.
: 2 50dx y+ +=
. D.
: 2 50dx y +=
.
Câu 50: Trong mặt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho hai đường tròn
( ) ( )
12
,CC
có phương trình lầnt
22 22
( 1) ( 2) 9 ( 2) ( 2) 4xy x y+ ++ = +− =
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua gốc
ta đ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bng
45°
.
A.
:70dx y
−=
hoc
:7 0d xy
+=
. B.
:70dx y
+=
hoc
:7 0d xy
+=
.
C.
:70dx y
+=
hoc
:7 0d xy
−=
. D.
:70dx y
−=
hoc
:7 0d xy
−=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Câu 51:
Trong mặt phng ta đ
Oxy
cho điểm
( )
1; 2I
và đường thẳng
( )
: 2 5 0.d xy+−=
Biết rng
hai điểm
12
,MM
thuộc
( )
d
sao cho
12
10.IM IM= =
Tổng các hoành độ ca
1
M
2
M
A.
7
.
5
B.
14
.
5
C.
2.
D.
5.
Câu 52: Trong hệ ta đ
Ox ,y
cho đường tròn
(
)
C
phương trình:
22
4 2 15 0.xy xy I
++ −=
là tâm
( )
C
, đường thng
d
đi qua
( )
1; 3M
ct
( )
C
ti
,.AB
Biết tam giác
IAB
có din tích
8.
Phương trình đường thng
d
là:
0.x by c+ +=
Tính
bc+
A.
8.
B.
2.
C.
6.
D.
1.
Câu 53: Trong mặt phng
Oxy
cho tam giác
ABC
có đỉnh
( )
5;5A
, trc tâm
( )
1;13H
, đường tròn ngoài
tiếp tam giác phương trình
22
50xy+=
. Biết ta đ đỉnh
(
)
;C ab
, với
0a <
. Tổng
ab+
bằng
A.
8
. B.
8
. C.
6
. D.
6
.
Câu 54: Trong mặt phng
Oxy
, cho
ABC
nội tiếp đường tròn tâm
(
)
2; 2
I
, điểm
D
là chân đường
phân giác ngoài ca góc
BAC
. Đưng thng
AD
ct đường tròn ngoại tiếp
ABC
ti đim th
hai là M. Biết đim
( )
2; 2J
tâm đường tròn ngoại tiếp
ACD
phương trình đường thẳng
CM là:
2 0.xy+−=
Tìm tổng hoành độ ca các đỉnh
, ,
ABC
ca tam giác
ABC
.
A.
9
5
. B.
12
5
. C.
3
5
. D.
6
5
.
Câu 55: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho hai đưng thng
: 3 80xy 
;
:3 4 10 0xy

và điểm
2;1A
. Đường tròn có tâm
;I ab
thuộc đường thng
,đi qua
A
và tiếp xúc với
đường thẳng
. Tính
ab
.
A.
4
. B.
4
. C.
2
. D.
2
.
Câu 56: Trong mặt phẳng với h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:3 4 1 0dx y −=
và điểm
( )
1; 2I
. Gọi
( )
C
là đưng tròn có tâm I cắt đường thng d ti hai đim A B sao cho tam giác IAB
diện tích bằng 4. Phương trình đường tròn
( )
C
A.
( ) ( )
22
1 28xy ++ =
. B.
( ) (
)
22
1 2 20xy ++ =
.
C.
( ) ( )
22
1 25xy++ =
. D.
( ) ( )
22
1 2 16xy++ =
.
DẠNG 5. CÂU HỎI MIN-MAX
Câu 57: Cho đường tròn
( )
22
: 2 4 40Cx y x y+ −=
và điểm
( )
2;1M
. Dây cung ca
( )
C
đi qua điểm
Mđội ngắn nhất là
A.
6
. B.
7
. C.
37
. D.
27
.
Câu 58: Trong mặt phẳng tọa đ Oxy, cho hai điểm
(0; 3), (4;1)AB
điểm M thay đi thuc đường
tròn
22
( ) : ( 1) 4Cx y+− =
. Gọi
min
P
là giá tr nhỏ nhất ca biểu thức
2P MA MB= +
. Khi đó ta
min
P
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
( )
7, 7;8,1 .
. B.
( )
7,3;7,7 .
. C.
( )
8,3;8, 5 .
. D.
( )
8,1;8, 3 .
Câu 59: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ +=
. Tìm ta đ
điểm
( )
00
;Mx y
nằm trên đường tròn
( )
C
sao cho
00
Tx y= +
đạt giá tr lớn nhất.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
A.
( )
2;3M
. B.
( )
0;1M
. C.
( )
2;1M
. D.
( )
0;3M
.
Câu 60: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
M
nằm trên đường tròn
( )
22
: 86160Cx y x y+++=
. Tính
độ dài nhỏ nhất ca
OM
?
A.
3
. B.
1
. C.
5
. D.
2
.
Câu 61: Gọi
I
là tâm ca đường tròn
( )
C
:
( )
(
)
22
1 14
xy+− =
. Số các giá tr nguyên ca
m
để đường
thng
0xym+− =
cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,
AB
sao cho tam giác
IAB
diện tích lớn nhất là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 62: Đim nm trên đường tròn
( )
22
: 2 4 10Cx y x y+ + +=
khoảng cách ngắn nhất đến đường
thng
: 30
dx y+=
có to độ
( )
;M ab
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2ab
=
. B.
ab
=
. C.
2ab
=
. D.
ab=
.
Câu 63: Cho tam giác
ABC
có trung điểm ca
BC
( )
3; 2M
, trng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ln lượt là
( )
22
; , 1; 2
33
GI



. Tìm tọa đ đỉnh
C
, biết
C
có hoành độ lớn hơn
2
.
A.
(
)
9;1C
. B.
( )
5;1C
. C.
(
)
4; 2C
. D.
( )
3; 2C
.
Câu 64: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho đường tròn
( )
22
: 2 4 25 0Cx y x y
+−−−=
và điểm
( )
2;1M
.
Dây cung của
( )
C
đi qua
M
có độ dài ngắn nhất là:
A.
27
. B.
16 2
. C.
82
. D.
47
.
Câu 65: Cho các s thc
,,,
abcd
thay đổi, luôn thỏa mãn
( ) ( )
22
1 21ab +− =
4 3d 23 0c −−=
. Giá
tr nhỏ nhất ca biểu thức
( ) ( )
22
P ac bd= +−
là:
A.
min
28
P =
. B.
min
3P =
. C.
min
4P
=
. D.
min
16P =
.
Câu 66: Trong mặt phng ta đ
,Oxy
cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 1 24 +− =Cx y
các đưng thẳng
1
: 1 0,+ −=d mx y m
2
: 1 0. + −=d x my m
Tìm các giá tr ca tham s m để mi đưng thẳng
12
,dd
ct
( )
C
tại 2 điểm phân biệt sao cho 4 điểm đó lập thành 1 t giác có diện tích lớn nhất.
Khi đó tổng của tt c các giá tr tham s m là:
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG TRÒN
DẠNG 1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để phương trình
( )
22
2 2 4 19 6 0x y m x my m+ + + + −=
phương trình đường tròn.
A.
1 2.m<<
B.
2m <−
hoc
1m >−
.
C.
2m <−
hoc
1m >
. D.
1
m <
hoc
2m >
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
( )
22
2 2 4 19 6 0 1x y m x my m+ + + + −=
2; 2 ; 19 6.
a m b mc m⇒=+ = =
Phương trình
( )
1
là phương trình đường tròn
22
0abc + −>
2
5 15 10 0 1mm m + >⇔ <
hoc
2m >
.
Câu 2: Trong mặt phng
Oxy
, phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A.
22
2 4810x y xy+ −−+=
. B.
22
4 6 12 0xy xy
++ −=
.
C.
22
2 8 20 0xy xy+−−+=
. D.
22
4 10 6 2 0xy xy+ −=
.
Li gii
Chn B
Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ s ca
2
x
phi bằng nhau nên loại
được đáp án A và D.
Ta có:
(
) (
)
22
22
2 8 20 0 1 4 3 0xy xy x y
+−−+=+ +=
vô lý.
Ta có:
( ) ( )
22
22
4 6 12 0 2 3 25xy xy x y++ −= ++ =
là phương trình đường tròn tâm
( )
2; 3I
, bán kính
5R =
.
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A.
22
2 6 6 80xy xy+ −=
. B.
22
2 4 8 12 0x y xy+ −−−=
.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
H THỐNG BÀI TP
. TR
C NGHI
M
III
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
C.
22
28180xy xy+−−+=
. D.
22
2 2 4 6 12 0x y xy
+ + −=
.
Li gii
Chn D
Biết rng
22
22 0
x y ax by c+ +=
là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi
22
0abc+ −>
.
Ta thy phương trình trong phương án
A
B
có h s ca
2
x
,
không bằng nhau nên đây
không phải là phương trình đường tròn.
Với phương án
C
22
1 16 18 0abc
+ −=+ <
nên đây không phải là phương trình đường
tròn. Vậy ta chọn đáp án
D
.
Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
A.
22
4 2830x y xy x y 
. B.
22
2 4 5 10x y xy 
.
C.
22
14 2 2018 0xy xy
. D.
22
4 5 20
xy xy 
.
Li gii
Chn D
Phương án A: có tích
xy
nên không phải là phương trình đường tròn.
Phương án B: có hệ s bậc hai không bằng nhau nên không phải là phương trình đường tròn.
Phương án C: ta có
22
22
14 2 2018 0 7 1 1968 0xy xy x y 
không tồn
ti
,xy
nên cũng không phải phương trình đường tròn.
Còn lại, Chn D
Câu 5: Cho phương trình
( )
22
2 4 2 6 0 (1)x y mx m y m+ +− =
. Điều kiện của
m
để
(1)
phương
trình của đường tròn.
A.
2m
=
. B.
1
2
m
m
<
>
. C.
12m<<
. D.
1
2
m
m
=
=
.
Li gii
Chn B
(
)
22
2 4 2 6 0 (1)x y mx m y m+ +− =
là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi
( ) (
) ( )
2
2
2
1
2 2 6 0 5 15 10 0
2
m
m m m mm
m
<
+ >⇔ + >⇔


>
.
DẠNG 2. TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 6: Trong mặt phng
Oxy
, đường tròn
( )
22
: 4 6 12 0Cx y x y+++ −=
có tâm là.
A.
( )
2; 3I −−
. B.
( )
2;3I
. C.
( )
4;6I
. D.
( )
4; 6I −−
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Ta có phương trình đường tròn là:
(
) (
)
22
2 3 25
xy
+++=
.
Vậy tâm đường tròn là:
( )
2; 3I −−
.
Câu 7: Đường tròn
22
10 24 0xy y+− =
có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
49
. B.
7
. C.
1
. D.
29
.
Li gii
Chn B
Đường tròn
22
10 24 0xy y
+− =
có tâm
( )
0;5I
, bán kính
( )
22
0 5 24 7R = + −− =
.
Câu 8: Xác định tâm và bán kính của đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 1 2 9.Cx y+ +− =
A. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
3R =
. B. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
9R =
.
C. Tâm
( )
1; 2 ,
I
bán kính
3R =
. D. Tâm
( )
1; 2 ,I
bán kính
9R =
.
Li gii
Chn A
Câu 9: Tìm ta đ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn
( )
C
:
22
2 4 10xy xy
+ + +=
.
A.
( )
1; 2 ; 4IR−=
. B.
( )
1; 2 ; 2IR−=
. C.
( )
1; 2 ; 5IR−=
. D.
( )
1; 2 ; 4IR−=
.
Li gii
Chn B
( )
C
có tâm
(
)
1; 2
I
, bán kính
( )
2
2
1 2 12R = +− =
.
Câu 10: Trong mt phng
Oxy
, cho đường tròn
( )
( ) ( )
22
: 2 39Cx y ++ =
. Đường tròn tâm bán
kính là
A.
( )
2;3 , 9
IR=
. B.
( )
2; 3 , 3IR−=
. C.
( )
3; 2 , 3IR−=
. D.
( )
2;3 , 3IR−=
.
Li gii
Chn B
Đường tròn
( )
C
có tâm
( )
2; 3I
và bán kính
3R =
.
Câu 11: Tìm ta đ tâm
I
và tính bán kính
R
của đường tròn
( ) ( )
22
( ): 2 5 9Cx y++−=
.
A.
( 2;5), 81.IR−=
. B.
(2; 5), 9.
IR−=
. C.
(2; 5), 3.
IR−=
. D.
( 2;5), 3.
IR−=
Li gii
Chn D
Theo bài ra ta có ta đ tâm
( 2;5)I
và bán kính
3R =
.
Câu 12: Đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ + −=
có tâm
I
, bán kính
R
A.
( )
1; 2 , 2IR−=
. B.
( )
1; 2 , 2 2IR−=
. C.
( )
1; 2 , 2IR−=
. D.
( )
1; 2 , 2 2IR−=
.
Li gii
Chn D
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Tâm
( )
1; 2I
, bán kính
( ) ( )
2
2
1 2 3 8 22R = + −− = =
.
DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính
Câu 13: Phương trình đường tròn có tâm
( )
1; 2I
và bán kính
5R =
A.
22
2 4 20 0
xy xy
+−−=
. B.
22
2 4 20 0xy xy++++=
.
C.
22
2 4 20 0xy xy
+++=
. D.
22
2 4 20 0xy xy+−−+=
.
Li gii
Chn A
Phương trình đường tròn có tâm
( )
1; 2I
và bán kính
5
R =
( ) ( )
22
2
1 25xy +− =
22
2 1 4 4 25xx yy ++ + =
22
2 4 20 0
xy xy
⇔+−−=
.
Câu 14: Đường tròn tâm
(
)
1; 2I
, bán kính
3R =
có phương trình là
A.
22
2 4 40xy xy+ + + −=
. B.
22
2 4 40xy xy+ −=
.
C.
22
2 4 40
xy xy+ + −=
. D.
22
2 4 40xy xy+ + −=
.
Li gii
Chn C
Đường tròn tâm
( )
1; 2I
, bán kính
3R =
phương trình
( )
( )
22
22
1 2 9 2 4 40
x y xy xy
+ + = + + −=
.
Câu 15: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm
( )
1; 2I
, bán kính bằng
3
?
A.
( ) ( )
22
1 29xy ++ =
. B.
( ) ( )
22
1 29xy+ ++ =
.
C.
(
) ( )
22
1 29
xy +− =
. D.
( ) ( )
22
1 29xy+ +− =
.
Li gii
Chn D
Phương trình đường tròn tâm
(
)
1; 2I
và bán kính
3R =
là:
( ) ( )
22
1 29xy+ +− =
.
Dạng 3.2 Khi biết các điểm đi qua
Câu 16: Đường tròn
( )
C
đi qua hai điểm
( )
1;1A
,
( )
5;3B
và có tâm
I
thuộc trục hoành có phương trình
A.
( )
2
2
4 10xy
+ +=
. B.
( )
2
2
4 10
xy +=
. C.
( )
2
2
4 10xy +=
. D.
( )
2
2
4 10xy+ +=
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Gi
( )
;0I x Ox
;
22
IA IB=
(
) (
)
22
22
1 15 3
xx−+=−+
22
2 1 1 10 25 9xx x x ++= + +
4
x
⇔=
. Vậy tâm đường tròn là
( )
4;0I
và bán kính
( )
2
2
1 4 1 10R IA= = +=
.
Phương trình đường tròn
(
)
C
có dng
( )
2
2
4 10xy +=
.
Câu 17: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, tìm ta đ tâm
I
ca đường tròn đi qua ba điểm
( )
0; 4A
,
( )
2; 4B
,
( )
2;0C
.
A.
(
)
1;1
I
. B.
( )
0;0I
. C.
( )
1; 2I
. D.
( )
1; 0I
.
Li gii
Chn C
Gi s phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
,,
ABC
có dng
( )
22
: 22 0C x y ax by c+ + + +=
Thay tọa đ 3 điểm
( )
0; 4A
,
( )
2; 4B
,
( )
2;0C
ta được:
( )
22
8 16 1
4 8 20 2 : 2 4 0
44 0
bc a
a bc b C x y x y
ac c
+= =


+ + = =−⇒ + =


+= =

.
Vy
( )
C
có tâm
( )
1; 2I
và bán kính
5R =
.
Câu 18: Cho tam giác
ABC
( ) (
) (
)
1;1, 3;2, 5;5A BC
−−
. To độ tâm đưng tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
A.
47 13
;
10 10



. B.
47 13
;
10 10



. C.
47 13
;
10 10

−−


. D.
47 13
;
10 10



.
Li gii
Chn A
Gi
( )
;Ixy
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Ta có:
( ) (
) ( ) (
)
(
) ( ) ( ) ( )
22 2 2
22
22 2 2 2 2
47
113 2
4 6 11
10
8 8 48 13
115 5
10
x
xyx y
AI BI x y
xy
AI CI
xyx y
y
=
++ =− +−
= +=

⇔⇔

−=
=
++ =− ++

=
.
47 13
;
10 10
I



.
Câu 19: Trong mặt phng
Oxy
, đường tròn đi qua ba điểm
(
)
1; 2A
,
(
)
5; 2B
,
( )
1; 3
C
phương trình
là.
A.
22
25 19 49 0xy x y
++ + =
. B.
22
2 6 30x y xy+ +−=
.
C.
22
6 10x y xy+ + −=
. D.
22
6 10x y x xy+ + −=
.
Li gii
Chn C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Phương trình đường tròn có dạng
22
22 0x y ax by c
+ +=
. Đường tròn này qua
,,ABC
nên
3
142 4 0
1
25 4 10 4 0
2
192 6 0
1
a
a bc
a bc b
a bc
c
=
+− +=

+− += =


+− + +=
=
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
22
6 10x y xy+ + −=
.
Câu 20: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm
( ) ( )
3; 0 , 0; 2AB
tâm thuc đưng thẳng
:0dx y+=
.
A.
22
1 1 13
2 22
xy

++ =


. B.
22
1 1 13
2 22
xy

+ ++ =


.
C.
22
1 1 13
2 22
xy

+− =


. D.
22
1 1 13
2 22
xy

+ +− =


.
Li gii
Chn A
( )
3; 0A
,
( )
0; 2B
,
:0dx y+=
.
Gi
I
là tâm đường tròn vậy
( )
;Ix x
Id
.
22
IA IB=
( ) ( )
22
22
32x xx x⇔− +=++
6 94 4
xx⇔− + = +
1
2
x⇔=
. Vậy
11
;
22
I



.
22
1 1 26
3
22 2
IA

=−+ =


là bán kính đường tròn.
Phương trình đường tròn cần lập là:
22
1 1 13
2 22
xy

++ =


.
Câu 21: Cho tam giác
ABC
biết
(
)
3; 2H
,
58
;
33
G



ln lưt là trc tâm và trng tâm ca tam giác, đường
thẳng
BC
phương trình
2 20xy+ −=
. Tìm phương trình đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
?
A.
( ) ( )
22
1 1 20xy+ ++ =
. B.
( ) ( )
22
2 4 20xy ++ =
.
C.
( ) ( )
22
1 31xy ++ =
. D.
( ) ( )
22
1 3 25xy +− =
.
Li gii
Chn D
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
*) Gi
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
3
2
HI HG
⇒=
 
35
33
23
38
22
23
I
I
x
y

−=



−=


1
3
I
I
x
y
=
=
.
.
*) Gi
M
là trung điểm ca
BC
IM BC⇒⊥
:2 1 0IM x y +=
.
M IM BC=
21
22
xy
xy
−=
+=
0
1
x
y
=
=
( )
0;1M
.
Li có:
3MA MG=
 
5
3.
3
8
1 3. 1
3
A
A
x
y
=

−=


5
6
A
A
x
y
=
=
.
Suy ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
5R IA= =
.
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
( ) ( )
22
1 3 25xy +− =
.
Câu 22: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
trc tâm
H
, trng tâm
( )
1; 3G
. Gọi
,,KMN
lần lượt trung điểm ca
,,AH AB AC
. Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác
ABC
biết đường tròn ngoại tiếp tam giác
KMN
( )
22
: 4 4 17 0Cx y x y
++−=
.
A.
( ) ( )
22
1 5 100xy
+− =
. B.
( ) ( )
22
1 5 100xy+ +− =
.
C.
( )
( )
22
1 5 100xy ++ =
. D.
( ) ( )
22
1 5 100xy+ ++ =
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Gi
E
là trung điểm
BC
,
J
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Ta có
MK BH
ME AC
BH AC
MK ME⇒⊥
( )
1
,
KN CH
NE AB
CH AB
( )
2KN NE⇒⊥
T
( ) ( )
1,2
KMEN
là t giác ni tiếp đường tròn đường kính
KE
.
Đường tròn
( )
22
: 4 4 17 0Cx y x y
++−=
tâm
(
)
2; 2I
bán kính
5r =
I
trung điểm
KE
.
KHEJ
là hình bình hành
I
là trung điểm
JH
Ta có:
3IJ IG=
 
( )
( )
2 3 12
2 33 2
J
J
x
y
+ = −+
−=
1
5
J
J
x
y
=
=
( )
1; 5J
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
2 2 10R JA IK r= = = =
.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
là:
( ) (
)
22
1 5 100xy +− =
.
Câu 23: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có trc tâm
O
. Gi
M
là trung đim ca
BC
;
N
,
P
lần lượt chân đường cao kẻ t
B
C
. Đường tròn đi qua ba điểm
M
,
N
,
P
phương trình
( )
( )
2
2
1 25
:1
24
Tx y

++ =


. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
là:
A.
( ) ( )
22
1 2 25
xy ++ =
. B.
( )
2
2
1 25xy+− =
.
C.
( )
2
2
1 50xy+− =
. D.
( )
(
)
22
2 1 25xy ++ =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
Ta có
M
là trung điểm ca
BC
;
N
,
P
lần lượt là chân đưng cao k t
B
C
. Đường tròn
đi qua ba điểm
M
,
N
,
P
là đường tròn Euler. Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
chính là ảnh của đường tròn Euler qua phép vị t tâm là
O
, t s
2
k =
.
Gi
I
I
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
MNP
và tam giác
ABC
.
Gi
R
R
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
MNP
và tam giác
ABC
.
Ta có
1
1;
2
I



và do đó
(
)
2 2; 1OI OI I
′′
=⇒−
 
.
Mặt khác
5
5
2
RR
=⇒=
.
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
là:
(
) ( )
22
2 1 25xy ++ =
.
Nhận xét: Đề bài này rất khó đối vi học sinh nếu không biết đến đường tròn Euler.
Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Câu 24: Trong mt phng ta đ
Oxy
, phương trình của đường tròn tâm là gc ta đ
O
và tiếp xúc
với đường thẳng
:
20xy+−=
A.
22
2xy
. B.
22
2
xy
.
C.
22
1 12xy 
. D.
22
1 12xy 
.
Li gii
Chn A
Đường tròn
( )
C
có tâm
O
, bán kính
R
tiếp xúc với
nên có:
( )
2
;2
2
R dO
= ∆= =
.
Phương trình đường tròn
( )
C
:
22
2xy
.
Câu 25: Trong mặt phng ta đ
( )
Oxy
, cho đường tròn
( )
S
tâm
I
nằm trên đưng thng
yx=
,
bán kính
3R =
và tiếp xúc với các trc ta độ. Lập phương trình của
( )
S
, biết hoành độ tâm
I
là s dương.
A.
( ) ( )
22
3 39xy +− =
. B.
( ) ( )
22
3 39xy ++ =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
C.
( ) ( )
22
3 39xy −− =
. D.
( ) ( )
22
3 39xy+ ++ =
.
Li gii
Chn B
Do tâm
I
nằm trên đường thng
( )
;y x Ia a=−⇒
, điều kiện
0a >
.
Đường tròn
( )
S
có bán kính
3R =
và tiếp xúc với các trc ta đ nên:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ; 3 3 3 3 3; 3d I Ox d I Oy a a n a l I= = == ∨=
.
Vậy phương trình
( )
(
) (
)
22
:3 39
Sx y ++ =
.
Câu 26: Một đường tròn tâm
( )
3;4I
tiếp xúc với đường thng
:3 4 10 0xy +−=
. Hỏi bán kính
đường tròn bằng bao nhiêu?
A.
5
3
. B.
5
. C.
3
. D.
3
5
.
Li gii
Chn C
Đường tròn tâm
(
)
3;4I
tiếp xúc với đường thẳng
:3 4 10 0xy
+ −=
nên bán kính đường tròn
chính là khoảng cách từ tâm
( )
3;4I
tới đường thẳng
:3 4 10 0xy + −=
.
Ta có:
( )
32
3.3 4.4 10
15
,3
5
34
R dI
+−
= ∆= = =
+
.
Câu 27: Trong hệ trc ta đ
Oxy
, cho điểm
(
)
1;1I
đường thng
( )
:3 4 2 0dxy+ −=
. Đường tròn
tâm
I
và tiếp xúc với đường thẳng
( )
d
có phương trình
A.
(
) ( )
22
1 15
xy +− =
. B.
( )
( )
22
1 1 25xy
+− =
.
C.
( ) ( )
22
1 11xy +− =
. D.
( ) ( )
22
1
11
5
xy +− =
.
Li gii
Chn C
Đường tròn tâm
I
và tiếp xúc với đường thẳng
( )
d
có bán kính
( )
22
3.1 4.1 2
,1
34
R d Id
+−
= = =
+
Vậy đường tròn có phương trình là:
( ) ( )
22
1 11xy +− =
.
Câu 28: Trên h trc ta đ
Oxy
, cho đường tròn
()
C
tâm
( )
3; 2I
và mt tiếp tuyến của
phương trình là
3 4 90xy+ −=
. Viết phương trình của đường tròn
()C
.
A.
( ) ( )
22
3 22xy+ +− =
. B.
( ) ( )
22
3 22xy ++ =
.
C.
( ) ( )
22
3 24xy +− =
D.
( ) ( )
22
3 24xy+ +− =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Chn D
Vì đường tròn
()
C
có tâm
(
)
3; 2I
và mt tiếp tuyến của nó là đường thẳng
có phương
trình là
3 4 90xy+ −=
nên bán kính của đường tròn là
22
3.( 3) 4.2 9
(, ) 2
34
R dI
−+
= ∆= =
+
Vậy phương trình đường tròn là:
( ) ( )
22
3 24xy
+ +− =
Câu 29: Trên mt phng to độ
Oxy
, cho các đim
( )
3;0A
( )
0;4B
. Đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
có phương trình
A.
22
1
xy+=
. B.
22
4 40xy x+ +=
.
C.
22
2
xy
+=
. D.
(
) (
)
22
1 11xy+− =
.
Li gii
Chn D
các đim
( )
3; 0A
( )
0;4B
nằm trong góc phần th nhất nên tam giác
OAB
cũng nằm
trong góc phần tư thứ nhất. Do vậy gọi tâm đường tròn nội tiếp là
( )
,I ab
thì
0, 0ab
>>
.
Theo đề ra ta có:
(
) ( ) ( )
;;;dIOx dIOy dIAB= =
.
Phương trình theo đoạn chắn của AB là:
1
34
xy
+=
hay
4 3 12 0xy+−=
.
Do vậy ta có:
( )
0
6
7 12 5
4 3 12 5
1
7 12 5
ab
ab
ab
al
aa
ab a
a
aa
= >
=
=
⇔=
−=

+− =

=
−=
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( ) ( )
22
1 11xy+− =
.
Câu 30: Cho hai điểm
( )
3; 0A
,
( )
0;4B
. Đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
có phương trình là
A.
22
1xy+=
. B.
22
2 2 10xy xy+ +=
.
C.
22
6 8 25 0xy xy+−+=
. D.
22
2xy+=
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
Ta có
3, 4, 5.OA OB AB
= = =
Gi
(; )
II
Ix y
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
.
T h thc
. . .0AB IO OB IA OA IB++=
  
ta được
. . . 4.3
1
543
(1;1)
.y .y .y 3.4
1
543
O AB
I
O AB
I
AB x OB x OA x
x
AB OB OA
I
AB OB OA
y
AB OB OA
++
= = =
+ + ++
++
= = =
+ + ++
Mt khác tam giác
OAB
vuông tại O vi
r
là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thì
1
.
3.4
2
1
345
2
OA OB
S
r
OA OB AB
p
= = = =
++
++
(
,Sp
lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác).
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
22
( 1) ( 1) 1xy+− =
hay
22
2 2 1 0.xy x y+ +=
DẠNG 4. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 4.1. Phương trình tiếp tuyến
Câu 31: Đường tròn
22
10xy+ −=
tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
A.
3 4 50xy
+=
B.
0xy+=
C.
3 4 10xy+ −=
D.
10xy+ −=
Li gii
Chn A
22
10xy+ −=
có tâm
( )
0;0 , 1OR=
.
Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là khong cách t tâm tới đường thng bng
bán kính.
Xét đáp án A:
( )
22
| 3.0 4.0 5 |
:3 4 5 0 , 1
34
x y dO R
−+
+ = = = = ⇒∆
+
tiếp xúc với đường tròn.
Câu 32: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trc Ox:
A.
22
10 0xy x+− =
. B.
22
50xy+ −=
.
C.
22
10 2 1 0xy xy+ +=
. D.
22
6 5 90xy xy+ + + +=
.
Li gii
Chn D
Đường tròn
( )
C
tiếp xúc với trục Ox khi
( )
,OxdI R=
vi
I
R
lần lượt là tâm và bán kính
của đường tròn
( )
C
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Đường tròn:
22
10 0xy x+− =
22
( 5) 25
xy
⇔− +=
có tâm
( )
5; 0I
, bán kính
5
R
=
,
( )
I,Ox 0d =
. Suy ra:
( )
,Ox
dI R
. Vậy
( )
C
không tiếp xúc với trc Ox.
không phải là phương trình đường tròn.
.Xét phương trình đường tròn:
22
50xy+ −=
( )
0;0I
5R =
,
( )
I,Ox 0
d =
.
Suy ra:
( )
,OxdI R
. Vậy
( )
C
không tiếp xúc với trc Ox.
Xét phương trình đường tròn:
22
10 2 1 0xy xy+ +=
( )
5;1I
5
R =
,
(
)
I,Ox 1
d =
.
Suy ra:
( )
,OxdI R
. Vậy
(
)
C
không tiếp xúc với trc Ox.
Xét phương trình đường tròn:
22
6 5 90xy xy+ + + +=
5
3;
2
I

−−


5
2
R =
,
( )
5
I,Ox
2
d =
. Suy ra:
( )
,OxdI R=
. Vậy
( )
C
tiếp xúc với trc Ox
Câu 33: Trong mặt phng vi h ta đ
Ox
y
, cho đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ +=
. Viết phương
trình tiếp tuyến
d
ca đường tròn
()C
biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
:3 4 1 0
xy + +=
.
A.
3 4 5 2 11 0xy+ + −=
;
3 4 5 2 11 0xy+ +=
.
B.
3 4 5 2 11 0xy+ + −=
,
3 4 5 2 11 0
xy+ −=
.
C.
3 4 5 2 11 0xy
+ + −=
,
3 4 5 2 11 0xy+ + +=
.
D.
3 4 5 2 11 0
xy+ +=
,
3 4 5 2 11 0xy+ −=
.
Li gii
Chn B
( )
22
: 2 4 30
Cx y x y+ +=
(
) ( )
22
1 2 2.
xy⇔− +− =
Do đó đường tròn có tâm
(
)
1; 2I
=
và bán kính
2R =
.
Do
d
song song với đường thẳng
nên
d
có phương trình là
34 0x yk+ +=
,
( )
1k
.
Ta có
( )
22
11 5 2 5 2 11
11
; 2 11 5 2
34
11 5 2 5 2 11
kk
k
d Id R k
kk

+= =
+
= = +=

+
+= =


.
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là
3 4 5 2 11 0xy
+ + −=
,
3 4 5 2 11 0
xy+ −=
.
Câu 34: Cho đường tròn
( )
22
: 2 4 40Cx y x y+ −=
điểm
( )
1; 5A
. Đưng thẳng nào trong các
đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn
( )
C
tại điểm
A
.
A.
50y −=
. B.
50y +=
. C.
50xy+−=
. D.
50xy−=
.
Li gii
Chn A
Đường tròn
( )
C
có tâm
( )
1; 2I
( )
0;3IA⇒=

.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
Gi
d
là tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
A
, khi đó
d
đi qua
A
và nhận vectơ
IA

là mt VTPT.
Chọn một VTPT ca
d
( )
0;1
d
n =

.
Vậy phương trình đường thng
d
50y −=
.
Câu 35: Cho đường tròn
( )
22
: 40Cx y+ −=
điểm
( )
1; 2A
. Đưng thng nào trong các đưng thẳng
dưới đây đi qua
A
và là tiếp tuyến của đường tròn
( )
C
?
A.
4 3 10 0xy+=
. B.
6 40
xy++=
. C.
3 4 10 0
xy++=
. D.
34110
xy +=
.
Li gii
Chn A
Đường tròn
( )
C
có tâm là gc ta đ
( )
0;0O
và có bán kính
2
R =
.
Họ đường thẳng
qua
( ) ( ) ( )
1; 2 : 1 2 0A ax by ++ =
, vi
22
0ab+≠
.
Điều kiện tiếp xúc
( )
;dO R∆=
hay
22
2
2
ab
ab
=
+
( )
( )
2
22
24ab ab⇔− = +
2
0
34 0
34
a
a ab
ab
=
⇔+=
=
.
Vi
0a =
, chọn
1b =
ta có
1
: 20
y −=
.
Vi
34ab=
, chọn
4a =
3b
=
ta có
( ) ( )
2
: 4 1 3 2 0 4 3 10 0
x y xy +− = + =
.
Nhn xét: Thực ra bài này khi thay tọa đ điểm
( )
1; 2A
vào các đưng thng các phương án
thì ta loi
C.
Tính khoảng cách t tâm ca đường tròn đến đưng thng thì ch phương
án
tha.
Câu 36: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:1 44
Cx y+− =
. Phương trình tiếp tuyến với
đường tròn
( )
C
song song với đường thẳng
:4 3 2 0
xy +=
A.
4 3 18 0xy+=
. B.
4 3 18 0xy
+=
.
C.
43180;4320xy xy−+= −−=
. D.
43180;4320xy xy−−= −+=
.
Li gii
Chn C
Đường tròn
(
) ( ) ( )
22
:1 44Cx y +− =
có tâm
( )
1; 4I
và bán kính
2R
=
.
Gi
d
là tiếp tuyến của
( )
C
.
//d
nên đường thng
( )
:4 3 0 2d x ym m +=
.
d
là tiếp tuyến của
( )
C
( )
( )
( )
2
2
4.1 3.4
;2
43
m
dI d R
−+
⇔= =
+−
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
18
8 10
2
m
m
m
=
−=
=
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm :
43180;4320xy xy−+= −−=
.
Câu 37: S tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
( )
22
: 2 4 10Cx y x y+ + +=
( )
22
' : 6 8 20 0
Cxy xy++−+=
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Li gii
Chn C
Đường tròn
( )
22
: 2 4 10Cx y x y+ + +=
có tâm
( )
1; 2I
bán kính
2R =
.
Đường tròn
( )
22
' : 6 8 20 0Cxy x y++−+=
có tâm
( )
' 3; 4I
bán kính
'5
R =
.
' 2 13II =
.
Vy
''II R R
>+
nên 2 đường tròn không có điểm chung suy ra 2 đường tròn có 4 tiếp tuyến
chung.
Câu 38: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
22
( ) : ( 2) ( 4) 25Cx y ++ =
, biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thng
:3 4 5 0
dx y +=
.
A.
4 3 29 0xy++=
. B.
4 3 29 0xy++=
hoc
4 3 21 0xy+−=
.
C.
4 3 50xy
+=
hoc
4 3 45 0xy−−=
D.
4 3 50
xy+ +=
hoc
4 3 30xy+ +=
.
Li gii
Chn B
Đường tròn
22
( ) : ( 2) ( 4) 25
Cx y ++ =
có tâm
(2; 4)I
, bán kính
5R =
.
Đưng thng
vuông góc với đường thng
:3 4 5 0
dx y +=
phương trình dạng:
43 0x yc+ +=
là tiếp tuyến của đưng tròn
()C
khi chỉ khi:
(; )dI R∆=
22
4.2 3.( 4)
5
43
c+ −+
=
+
4 25 29
4 25
4 25 21
cc
c
cc
−= =

⇔−=

−= =

. Vy có hai tiếp tuyến cn tìm là:
4 3 29 0xy++=
4 3 21 0xy+−=
.
Câu 39: Trong mặt phng ta đ Oxy, cho đường tròn
( )
C
phương trình
22
2 2 30xy xy+ + −=
. Từ
điểm
( )
1;1A
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn
( )
C
A. 1. B. 2. C. vô số. D. 0.
Li gii
Chn D
( )
C
có tâm
( )
1; 1I
bán kính R=
22
1 (1) (3) 5+− −− =
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
2IA R= <
nên A nằm bên trong
( )
C
.Vì vậy không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn
( )
C
.
Câu 40: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:1 44Cx y
+− =
. Phương trình tiếp tuyến với
đường tròn
( )
C
, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
:4 3 2 0xy +=
A.
4 3 18 0
xy+=
4 3 20xy −=
. B.
4 3 18 0xy+=
4 3 20xy −=
.
C.
4 3 18 0xy−− +=
4 3 20xy −=
. D.
4 3 18 0xy−+ =
4 3 20xy −=
.
Li gii
Chn B
Đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:1 44Cx y +− =
có tâm
( )
1; 4I
và bán kính
2R
=
.
Gi
d
là tiếp tuyến của
( )
C
.
//d
nên đường thng
( )
:4 3 0 2d x ym m
+=
.
d
là tiếp tuyến của
( )
C
( )
( )
( )
2
2
4.1 3.4
;2
43
m
dI d R
−+
⇔= =
+−
18
8 10
2
m
m
m
=
−=
=
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm :
43180;4320
xy xy
−+= −−=
.
Câu 41: Tn mt phng to độ
Oxy
, cho điểm
( )
3; 2P −−
và đường tròn
( ) (
) ( )
22
: 3 4 36Cx y +− =
. T
điểm
P
kẻ các tiếp tuyến
PM
PN
ti đường tròn
( )
C
, vi
M
,
N
là các tiếp điểm. Phương
trình đường thẳng
MN
A.
10xy+ +=
. B.
10xy −=
. C.
10xy +=
. D.
10xy
+ −=
.
Li gii
Chn D
Gi
I
là tâm của đường tròn, ta có tọa đ tâm
( )
3; 4I
.
x
y
D
1
-2
4
3
K
N
P
M
I
O
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
Theo đề ra ta có t giác
IMPN
là hình vuông, nên đường thẳng
MN
nhận
( )
6; 6IP =−−

làm
VTPT, đồng thời đường thng
MN
đi qua trung điểm
( )
0;1K
ca
IP
. Vậy phương trình
đường thẳng MN:
( ) ( )
1. 0 1. 1 0xy+ −=
hay
10xy+ −=
.
u 42: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đim
( 3;1)M
đưng tròn
( )
22
: 2 6 60Cx y x y+ +=
. Gi
1
T
,
2
T
là các tiếp đim ca các tiếp tuyến k t
M
đến. Tính
khong cách t
O
đến đưng thng
12
.TT
A.
5
. B. 5 . C.
3
5
. D.
22
.
Li gii
Chn C
+
( ) ( ) ( )
22
22
: 2 6 60 1 3 4Cx y x y x y+ += + =
suy ra có tâm I và R = 2
+ Phương trình đường thng
d
đi qua
( 3;1)
M
phương trình:
( ) ( )
3 10Ax By++ −=
.
d
tiếp tuyến với đường tròn khi và ch khi
( )
;d Id R=
.
ta có phương trình:
2
22
0
33
23 4 0
34
A
A B AB
A AB
AB
AB
=
++−
=⇔+ =
=
+
+ Vi
0
A =
, chọn
1
B
=
, phương trình tiếp tuyến thứ nhất là
( )
1
:1dy=
.
Thế
1
y =
vào
( )
22
: 2 6 60Cx y x y+ +=
, ta đưc tiếp đim là
( )
1
1;1T
.
+ Vi
34AB=
, chọn
4; 3
AB=−=
, phương trình tiếp tuyến thứ hai là
( )
2
: 4 3 15 0d xy−+ =
Tiếp điểm
( )
2
4
;5
3
x
Tx C

+∈


nên
( )
2
2
43
1 53 4
35
x
xx

+ +− = =


2
3 21
;
55
T



.
+ Phương trình đường thng
( ) ( )
12
:2 1 1 1 0 2 3 0TT x y x y + = +−=
.
+ Khong cách t
O
đến đưng thng
12
TT
là:
( )
12
22
3
3
0;
5
21
d TT
= =
+
.
Dạng 4.2 Bài toán tương giao
Câu 43: Trong mặt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho hai đường tròn
(
) ( )
12
,CC
có phương trình lầnt
22 22
( 1) ( 2) 9 ( 2) ( 2) 4xy x y
+ ++ = +− =
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Đường tròn
(
)
1
C
có tâm
( )
1
1; 2I −−
và bán kính
1
3R =
.
B. Đường tròn
( )
2
C
có tâm
( )
2
2; 2I
và bán kính
2
2R
=
.
C. Hai đường tròn
( ) ( )
12
,CC
không có điểm chung.
D. Hai đường tròn
( ) ( )
12
,CC
tiếp xúc với nhau.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
Chn D
Ta thy đường tròn
(
)
1
C
có tâm
( )
I 1; 2−−
và bán kính
1
3R
=
. Đường tròn
( )
2
C
có tâm
( )
2
2; 2I
và bán kính
2
2R =
.
Khi đó:
( )
22
1 2 12 1
5 (2 1) (2 2) 5R R II C
=+ = = + ++ =
( )
2
C
tiếp xúc nhau.
Câu 44: Tìm giao điểm
2
đường tròn
22
1
( ):x 4 0Cy+ −=
22
2
( ) : x 4 4 4 0.C y xy+ +=
A.
( )
2; 2
( )
2; 2−−
. B.
( )
0; 2
( )
0; 2
. C.
( )
2;0
( )
2;0
. D.
( )
2;0
( )
0; 2 .
Li gii
Chn D
Giao điểm
2
đường tròn là nghiệm ca h phương trình sau:
22 22 22
22
40 4 4
4 4 40 4 4 8 2
xy xy xy
x y x y x y xy

+= += +=
⇔⇔

+ += + = +=

( )
2
22 2
2
0
2
4 2 40
24
22
2
2
0
y
x
xy y y
yy
xy xy
y
xy
x
=
=

+= =
+=

⇔⇔

=−=
=
=

=
Vậy giao điểm 2 đường tròn là:
( )
2;0
(
)
0; 2 .
Câu 45: Trong mặt phng vi h trc
Oxy
, cho hai đường tròn
( )
( )
2
2
:1 4Cx y+=
( ) ( ) ( )
22
: 4 3 16Cx y
−+−=
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A
B
. Lập phương trình đường
thng
AB
A.
20xy
+−=
. B.
2. 0xy−+ =
C.
20xy
++=
. D.
20xy
−−=
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
Cách 1: Xét h
( )
( ) ( )
2
2
22
22
22
14
2 30
8 6 90
4 3 16
xy
xy x
xy xy
xy
+=
+ −=

+ +=
−+−=
( )
2
2
2
37 17
,
2
2
22
2 6 10
2 2 30
37 17
,
22
xy
yx
yx
xx
x xx
xy
+−
= =
=
=

⇔⇔

+=
+ −=
−+
= =
Suy ra
3 71 7
,
22
A

+−



,
3 71 7
,
22
B

−+



.
(
)
C
có tâm
( )
1; 0
O
,
( )
C
có tâm
( )
4;3O
( )
3; 3OO
⇒=

Nên đường thng
AB
qua
A
và nhận
( )
1;1n
là vécto pháp tuyến.
Phương trình:
37 17
1 1 0 20
22
x y xy

+−
+ =+−=



. Chọn
A
.
Cách 2: Gi s hai đường tròn
(
) ( )
2
2
:1 4Cx y+=
( ) ( ) ( )
22
: 4 3 16Cx y
−+−=
cắt nhau
tại hai điểm phân biệt
A
B
khi đó tọa đ ca
A
và thỏa mãn hệ phương trình:
( )
( ) ( )
2
2
22
22
22
14
2 3 0 (1)
8 6 9 0 (2)
4 3 16
xy
xy x
xy xy
xy
+=
+ −=

+ +=
−+−=
Ly
(1)
tr
(2)
ta được:
6 6 120 20x y xy
+ =+−=
là phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm
A
B
Câu 46: Cho đường thng
:3 4 19 0xy −=
đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 1 1 25Cx y +− =
. Biết đường
thng
ct
( )
C
tại hai điểm phân biệt
A
B
, khi đó độ dài đọan thẳng
AB
A. 6. B. 3. C. 4. D. 8.
Li gii
Chn A
T
(
)
3 19
:3 4 19 0 1
44
xy y x =⇒=
.
Thế
( )
1
vào
( )
C
ta được
( )
2
2
3 23
1 25
44
xx

−+ =


2
1
25 85 145
0.
29
16 8 16
5
x
xx
x
=
+=
=
+)
( )
1 4 1; 4 .
AA
xy A= =−⇒
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
+)
29 2 29 2
;.
5 5 55
BB
xyB

= =−⇒


Độ dài đoạn thẳng
22
29 2
1 46
55
AB

= +− + =


.
Câu 47: Trong mặt phng ta đ
Oxy
cho đường tròn
( )
C
tâm
( )
1; 1I
bán kính
5R =
. Biết rằng
đường thng
( )
:3 4 8 0
dxy +=
ct đường tròn
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,
AB
. Tính độ dài
đoạn thẳng
AB
.
A.
8AB =
. B.
4AB
=
. C.
3.AB =
. D.
6AB =
.
Li gii
Chn A
Gi
H
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
. Ta có
IH AB
( )
( )
( )
2
2
3.1 4. 1 8
;3
34
IH d I AB
−+
= = =
+−
.
Xét tam giác vuông
AHI
ta có:
2 2 2 22
5 3 16HA IA IH= =−=
4 28HA AB HA⇒== =
Câu 48: Trong mặt phng vi h trc ta đ
,Oxy
cho đường tròn
( )
C
phương trình
( ) ( )
22
2 24xy ++ =
và đường thẳng
:3 4 7 0dx y
+ +=
. Gọi
,AB
là các giao đim của đường
thng
d
với đường tròn
( )
C
. Tính độ dài dây cung
AB
.
A.
3AB
=
. B.
25AB =
. C.
23AB =
. D.
4AB =
.
Li gii
Chn C
Đường tròn
( )
C
có tâm
( )
2; 2I
bán kính
2R =
.
( )
( )
22
3.2 4. 2 7
, 12
34
d Id R
+ −+
= =<=
+
nên
d
ct
( )
C
tại hai điểm phân biệt.
Gi
,AB
là các giao đim của đường thẳng
d
với đường tròn
( )
C
.
( )
22
2 , 23AB R d I d=−=
.
H
I
A
B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
Câu 49: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, cho điểm
( )
3;1A
, đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y
+ +=
. Viết phương trình tổng quát của đưng thng
d
đi qua
A
và cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm
B
,
C
sao cho
22
BC =
.
A.
: 2 50dx y+ −=
. B.
: 2 50dx y
−=
. C.
: 2 50dx y
+ +=
. D.
: 2 50dx y
+=
.
Li gii
Chn A
Đường tròn
(
)
C
có tâm
( )
1; 2I
và bán kính
22
123 2R = + −=
.
Theo gi thiết đường thng
d
đi qua
A
và cắt đường tròn
(
)
C
tại hai điểm
B
,
C
sao cho
22BC
=
.
22 2BC R= =
nên
BC
là đường kính của đường tròn
( )
C
suy ra đường thng
d
đi qua
tâm
( )
1; 2I
Ta chọn:
( )
2; 1
d
u IA
= =
 
( )
1; 2
d
n
⇒=

.
Vậy đường thng
d
đi qua
( )
3;1A
và có VTPT
( )
1; 2
d
n =

nên phương trình tổng quát của
đường thẳng
d
là:
( ) ( )
1 32 10xy+ −=
2 50xy+ −=
.
Câu 50: Trong mặt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho hai đường tròn
( ) ( )
12
,CC
có phương trình lầnt
22 22
( 1) ( 2) 9 ( 2) ( 2) 4xy x y
+ ++ = +− =
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua gốc
ta đ và to với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bng
45°
.
A.
:70
dx y
−=
hoc
:7 0d xy
+=
. B.
:70
dx y
+=
hoc
:7 0d xy
+=
.
C.
:70dx y
+=
hoc
:7 0d xy
−=
. D.
:70
dx y
−=
hoc
:7 0d xy
−=
.
Li gii
Chn A
Ta đ tâm
1
I
của đường tròn
( )
1
C
là:
(
)
1
1; 2I −−
.
Ta đ tâm
2
I
của đường tròn
( )
1
C
là:
( )
2
2; 2I
.
Ta có:
( )
12
3; 4II

. Gọi
,dd
lần lượt là đường thẳng ni tâm của hai đường tròn đã cho và
đường thẳng cần lập. Chọn một vectơ pháp tuyến của đường thng
d
là:
( )
4; 3
d
n

. Gọi
( )
;
d
n ab

,
22
0ab+≠
là một vectơ pháp tuyến của đường thng
d
.
Theo đề
(
)
( )
22 22
43
22 2
cos , ' cos ,
22 2
3 4.
dd
ab
dd n n
ab
=⇔= =
++
 
.
22
70
7 48 7 0
1
0
7
ab
a ab b
ab
=
−=
=−≠
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Vi
1
0
7
ab
=−≠
, chọn
71ba=−⇒ =
. Phương trình đường thẳng
:70
dx y
−=
.
Vi
70ab=
, chọn
17ba=⇒=
. Phương trình đường thẳng
:7 0d xy
+=
.
Câu 51:
Trong mặt phng ta đ
Oxy
cho điểm
( )
1; 2I
và đường thẳng
(
)
: 2 5 0.
d xy+−=
Biết rng
hai điểm
12
,MM
thuộc
( )
d
sao cho
12
10.IM IM= =
Tổng các hoành độ ca
1
M
2
M
A.
7
.
5
B.
14
.
5
C.
2.
D.
5.
Li gii
Chn B
( )
( ) ( ) ( )
22
12
12
10
, : 1 2 10.
1; 2
IM IM
MM C x y
I
= =
+− =
Mặt khác,
1
M
,
2
M
thuộc
( )
:2 5 0d xy+−=
nên ta có tọa đ
1
M
,
2
M
là nghiệm ca h
( ) ( )
(
)
(
)
22
1 2 10 1
.
2 50 2
xy
xy
+− =
+−=
( )
2 2 5,yx
⇔= +
thay vào
( )
1
ta có
2
0
5 14 0 .
14
5
x
xx
x
=
−=
=
Gi
12
,xx
lần lượt là hoành độ ca
1
M
2 12
14 14
0.
55
M xx⇒+=+ =
Câu 52: Trong hệ ta đ
Ox ,y
cho đường tròn
( )
C
phương trình:
22
4 2 15 0.xy xy I++ −=
là tâm
( )
C
, đường thng
d
đi qua
( )
1; 3M
ct
( )
C
ti
,.AB
Biết tam giác
IAB
có din tích
8.
Phương trình đường thng
d
là:
0.
x by c
+ +=
Tính
bc+
A.
8.
B.
2.
C.
6.
D.
1.
Li gii
Chn B
( )
C
có tâm
( )
2; 1 ,I
bán kính
2 5.R =
Đặt
( )
,h d I AB=
. Ta có:
1
. 8 . 16.
2
IAB
S h AB h AB= =⇒=
R
(C)
d
h
M
I
H
B
A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
Mặt khác:
2
22
20
4
AB
Rh=+=
Suy ra:
42
;
48
hh
AB AB
= =


= =

d
đi qua
(
)
1; 3
M
nên
13 0 3 1 3 1
bc bc c b += −==
Vi
2 22
2 2 3 1 12
4
1 11
bc b b b
hb
b bb
−+ −+ +
= = = = ∈Φ
+ ++
Vi
2 22
2 2 3 1 12
35
2 2.
44
1 11
bc b b b
h b c bc
b bb
−+ −+ +
== = = = = ⇒+=
+ ++
Câu 53: Trong mặt phng
Oxy
cho tam giác
ABC
có đỉnh
( )
5;5A
, trc tâm
( )
1;13H
, đường tròn ngoài
tiếp tam giác phương trình
22
50xy+=
. Biết ta đ đỉnh
(
)
;
C ab
, vi
0a <
. Tổng
ab
+
bằng
A.
8
. B.
8
. C.
6
. D.
6
.
Li gii
Chn D
Gi
K
là chân đường cao hạ t
A
ca tam giác
ABC
, gi
E
là điểm đối xứng với
H
qua
K
suy ra
E
thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Ta có
(
)
6;8AH =

, chọn
( )
3; 4
AH
u =

.
Phương trình đường thng
AH
qua
A
dạng tham số
53
54
xt
yt
= +
=
K AH
suy ra tọa đ điểm
K
có dng
( )
5 3 ;5 4K tt+−
H
E
đối xứng nhau qua
K
suy ra tọa đ
E
theo
t
( )
116;38Ett+ −−
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
( ) ( )
22
2
( ) 11 6 3 8 50
5 94 0
1
4
5
EC t t
tt
t
t
+ +− =
++ =
=
=
Vi
1t =
,
( )
5;5E
Vi
4
5
t
=
,
31 17
;
55
E



,
13 41
;
55
K



Phương trình đường thng
BC
( )
4;3
BC AH
un= =
 
và qua điểm
K
có phương trình tham s
13
4
13 41
5
4; 3
41
55
3
5
xt
C BC C t t
yt
= +

⇒∈ + +


= +
.
(
)
( ) (
)
( )
22
2
13 41
4 3 50
55
25 70 24 0
2
1; 7
5
12
7;1
5
CC t t
tt
t C KTM
tC

+ ++ =


++ =
=−⇒
= ⇒−
Vy
( ) ( )
; 7;1 6C ab C a b= +=
.
Câu 54: Trong mặt phng
Oxy
, cho
ABC
nội tiếp đường tròn tâm
( )
2; 2I
, điểm
D
là chân đường
phân giác ngoài ca góc
BAC
. Đưng thng
AD
ct đường tròn ngoại tiếp
ABC
ti đim th
hai là M. Biết đim
( )
2; 2J
tâm đường tròn ngoại tiếp
ACD
phương trình đường thng
CM là:
2 0.xy+−=
Tìm tổng hoành độ ca các đỉnh
, ,
ABC
ca tam giác
ABC
.
A.
9
5
. B.
12
5
. C.
3
5
. D.
6
5
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
Ta có:
BCM BAM=
(
)
1
BAM MAT DAC= =
( )
2
T
(
) (
)
1, 2
suy ra
DAC BCM=
, mà
,BCM CDA AMC DAC ACM AMC=+=+
t đó suy ra
CDA ACM=
, do đó
MC
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ACD
có tâm
J
nên
JC MC
. Hay
C
là hình chiếu của
J
lên đường thẳng
CM
.
Đường thẳng qua
J
và vuông góc với
CM
có phương trình:
( ) ( )
2 2 0 40x y xy+ =⇔−+=
Ta đ điểm
C
là nghiệm ca h:
( )
21
1; 3
43
xy x
C
xy y
+= =

⇒−

−= =

.
AC
là đường thẳng qua
C
và vuông góc với
(
)
4; 0IJ

nên có phương trình:
10x +=
.
Do đó tọa đ điểm
A
có dng
( )
1;Aa
. Ta có
( )
2
22
1
9 2 91
3
a
IA IC a
a
=
= + =+⇔
=
.
AC
nên
( )
1; 1A
.
Ta đ điểm
M
có dng
( )
;2Mm m
. Ta có
( )
2
22 2 2
1
2 10 2 3 0
3
m
IM IC m m m m
m
=
= + = −=
=
.
MC
nên
( )
3; 1M
.
BC
là đường thẳng qua
C
và vuông góc với
( )
1; 3MI

nên có phương trình:
( ) ( )
1 3 3 0 3 10 0x y xy ++ =⇔− + =
.
Ta đ điểm
B
có dng
( )
3 10;Bb b
. Ta có
( ) ( )
22
22
3
3 12 2 10
23
5
b
IB IC b b
b
=
= +− =
=
.
5
4
3
2
1
1
4
2
2
4
T
D
M
J
B
I
A
C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 26
BC
nên
19 23
;
55
B



.
Vy tổng hoành độ ca các đỉnh
,,ABC
19 9
11
55
−−+ =
.
Câu 55: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho hai đưng thng
: 3 80xy 
;
:3 4 10 0xy

và điểm
2;1A
. Đường tròn có tâm
;I ab
thuộc đường thng
,đi qua
A
và tiếp xúc với
đường thẳng
. Tính
ab
.
A.
4
. B.
4
. C.
2
. D.
2
.
Li gii
Chn D
.
I

nên
3 8 0 83ab a b 
.
Vì đường tròn đi qua
A
và tiếp xúc với đường thẳng
nên:
;d I IA

22
3 4 10
211
5
ab
ab


.
Thay
83ab
vào
ta có:
22
3 8 3 4 10
283 1
5
bb
bb


2
14 13 5 10 34 37b bb
2
2
14 13 25 10 34 37b bb
2
81 486 729 0bb

3b 
.
Vi
31ba
.
2
ab 
.
Câu 56: Trong mặt phẳng với h ta đ
Oxy
, cho đường thng
:3 4 1 0dx y
−=
và điểm
( )
1; 2I
. Gọi
( )
C
là đưng tròn có tâm I và cắt đường thng d ti hai đim A B sao cho tam giác IAB
diện tích bằng 4. Phương trình đường tròn
( )
C
A.
(
) ( )
22
1 28xy ++ =
. B.
( ) ( )
22
1 2 20xy ++ =
.
C.
( ) ( )
22
1 25xy ++ =
. D.
( ) ( )
22
1 2 16xy ++ =
.
Li gii
Chn A
R
R
'
I
A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 27
Ta có:
( )
;2IH d I d= =
.
2
1 2.4
. 42
22
IAB
IAB
S
S IH AB AB AH
IH
= ⇒= == =
.
2 2 22
2 2 22R IA AH IH⇒= = + = + =
.
( ) ( ) ( )
22
:1 28Cx y ++ =
.
DẠNG 5. CÂU HỎI MIN-MAX
Câu 57: Cho đường tròn
( )
22
: 2 4 40Cx y x y+ −=
điểm
( )
2;1M
. Dây cung ca
( )
C
đi qua điểm
Mđội ngắn nhất là
A.
6
. B.
7
. C.
37
. D.
27
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
( ) ( )
( )
22
22
: 2 4 40 : 1 2 9
Cx y x y C x y+ −= + =
nên có tâm
( )
1; 2 , 3IR=
23IM R= <=
.
Gi d đường thẳng đi qua M cắt đường tròn
( )
C
ti các điểm A, B. Gi
J
là trung điểm
ca
AB
. Ta có:
Ta có:
22 2 2
2 2 2 29 2 27AB AJ R IJ R IM= = = −=
.
d
B
A
H
I( 1;-2)
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 28
Câu 58: Trong mặt phẳng tọa đ Oxy, cho hai điểm
(0; 3), (4;1)AB
điểm M thay đi thuc đường
tròn
22
( ) : ( 1) 4Cx y+− =
. Gọi
min
P
là giá tr nhỏ nhất ca biểu thức
2P MA MB
= +
. Khi đó ta
min
P
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
( )
7, 7;8,1 .
. B.
( )
7,3;7,7 .
. C.
( )
8,3;8, 5 .
. D.
( )
8,1;8, 3 .
Li gii:
Chn. D.
Đường tròn
22
( ) : ( 1) 4Cx y+− =
có tâm
I(0;1)
bán kính
2R =
.
IA IB 4
R= = >
nên
,
AB
nằm ngoài đường tròn.
Gi
N
là giao điểm ca
IA
và đường tròn
( )
C
Trên đoạn
IN
lấy điểm
P
sao cho
11
24
IP IN IP IA P
= ⇒=
 
trùng với gc ta độ.
Ta có
22
MA IM IN
IAM IMP MA MP
MP IP IP
===⇒=
.
Do đó
( )
min min
2 2 2 2 2 2 17 8,1;8,3P MA MB MP MB PB P PB P=+ = + = = ⇒∈
.
Chọn. D.
Câu 59: Trong mặt phng vi h ta đ
Oxy
, cho đường tròn
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ +=
. Tìm ta đ
điểm
(
)
00
;
Mx y
nằm trên đường tròn
( )
C
sao cho
00
Tx y= +
đạt giá tr lớn nhất.
A.
( )
2;3M
. B.
( )
0;1M
. C.
(
)
2;1M
. D.
( )
0;3M
.
Li gii
Chn A
N
I
M
A
B
P
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 29
( )
22
: 2 4 30Cx y x y+ +=
,
(
)
C
có tâm
( )
1; 2I
,
2R =
.
Suy ra
(
)
( )
( )
22
: 1 2 20Cx y + −=
.
00
Tx y= +
( ) ( )
00
1 23xy
= −+ +
.
Áp dụng bất đẳng thc B. C. S cho
2
b s
(
)
(
) (
)
(
)
00
1;1 , 1 ; 2xy
−−
.
( ) ( )
( ) ( )
22
00 0 0
1 22 1 2xy x y

+− +−


2=
, do
(
)
( )
22
00
1 22
xy−+ =
.
( ) (
)
00
2 1 22
xy⇒− +
( ) ( )
00
1 1 2 35 1 5
xy T⇒≤ + +⇒≤
.
Dấu đẳng thc xy ra khi
( ) ( )
( ) ( )
00
22
00
12
1 22
xy
xy
−=
−+ =
.
( )
2
0
11x
−=
0
0
11
11
x
x
−=
−=
00
00
2, 3, 5
0, 1, 1
x yT
x yT
= = =
= = =
.
Vy
max T 5=
khi
00
2, 3xy= =
.
Câu 60: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
M
nằm trên đường tròn
( )
22
: 86160Cx y x y+++=
. Tính
độ dài nhỏ nhất ca
OM
?
A.
3
. B.
1
. C.
5
. D.
2
.
Li gii 1
Chn D
Đường tròn
( )
C
có tâm
( )
4;3I
, bán kính
3R =
.
Ta có
( )
4;3OI =

suy ra phương trình đường thẳng
OI
4
3
xt
yt
=
=
.
( ) { }
OI C M∩=
Ta đ
( )
;xy
ca
M
là nghiệm h
4
2
3
2
1
O
M
I
1
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 30
22 2
82
55
8 6 16 0 25 50 16 0
32 8
44
55
33
24 6
55
tt
xy xy t t
xt xt x x
yt yt
yy

= =


++−+= +=

−−


= ⇔= ⇔= =


= =


= =


Suy ra
12
32 24 8 6
;, ;
5 5 55
MM

−−


Ta có
2 2 22
1 2 min 2
32 24 8 6
8, 2 2
5 5 55
OM OM OM OM
 
= + = =−+ = = =
 
 
.
Cách 2
Đường tròn
( )
C
có tâm
( )
4;3I
, bán kính
22
4 3 16 3R = +− =
.
Phương trình đường thng
OI
đi qua
( )
0;0O
có vtpt
( )
3; 4n
là:
34 0xy+=
.
Ta đ
( )
M OI C=
là nghiệm ca h:
22
34 0
86160
xy
xy xy
+=
++−+=
32 8
55
24 6
55
xx
yy

=−=


⇔∨


= =


Ta có
22
1
32 24
55
OM

= +


8
=
;
22
2
86
2
55
OM

= +=


. Vậy
min
2OM =
.
Câu 61: Gi
I
là tâm ca đường tròn
( )
C
:
( ) (
)
22
1 14
xy+− =
. Số các giá tr nguyên ca
m
để đường
thng
0
xym+− =
cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
sao cho tam giác
IAB
diện tích lớn nhất là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Li gii
Chn C
Gi:
: 0;dx y m+− =
tâm ca
( )
C
( )
1;1I
, để
( )
dC
ti
2
phân biệt khi đó:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 31
( )
( )
2
0 ; 2 0 2 2 22 2 22*
2
m
d Id m
<↔≤ <↔ < <+
Xét
IAB
có:
22
1 11
. . .sin . .sin .
2 22
AIB
S IA IB AIB R AIB R
= =
Dấu “=” xảy ra khi:
0
sin 1 90 2 2
AIB AIB AB= =⇒=
( )
0( )
2
;2 2
4( )
2
m TM
m
d Id
m TM
=
=↔=
=
.
Câu 62: Đim nm trên đường tròn
( )
22
: 2 4 10Cx y x y+ + +=
khoảng cách ngắn nhất đến đường
thng
: 30
dx y+=
có to độ
( )
;
M ab
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
ab=
. B.
ab=
. C.
2ab=
. D.
ab=
.
Li gii
Chn C
Đường tròn
( )
C
có tâm
(
)
1; 2I
, bán kính
2
R =
.
Gi
là đường thẳng qua
I
và vuông góc với
.d
Khi đó, điểm
M
cần tìm là một trong hai
giao điểm ca
( )
C
.
Ta có phương trình
: 10xy
+ +=
.
Xét h:
( ) ( )
22
22
1
10
2 4 10
1 24
yx
xy
xy xy
xy
=−−
+ +=

+ + +=
++ =
( )
2
12
1
1
22
214
12
12
22
x
yx
yx
y
x
x
x
y
= +
=−−
=−−
=−−

⇔⇔

−=
= ±
=
=−+
Vi
( )
( )
1 2; 2 2 , 2 3 2B d Bd+ −− =+
Vi
(
)
( ) ( )
1 2; 2 2 , 2 3 2 ,C d Cd d Bd
+ =−+ <
Suy ra
( ) ( )
12;22 12; 22 212 2M ab a + = =−+ = =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 32
Câu 63: Cho tam giác
ABC
có trung điểm ca
BC
( )
3; 2M
, trng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ln lượt là
( )
22
; , 1; 2
33
GI



. Tìm tọa đ đỉnh
C
, biết
C
có hoành độ lớn hơn
2
.
A.
(
)
9;1
C
. B.
( )
5;1C
. C.
( )
4; 2C
. D.
(
)
3; 2C
.
Li gii
Chn B
2GA GM=
 
nên
A
ảnh của đim
M
qua phép vị
t tâm
G
, t s
2
, suy ra
( )
4; 2A −−
.
Đường tròn ngoại tiếp
ABC
tâm
I
, bán kính
5R IA= =
có phương trình
( )
(
)
22
3 2 25xy +− =
.
Ta có
(
)
2; 4IM
=

.
Đưng thng
BC
đi qua
M
nhận vectơ
IM

làm vectơ
pháp tuyến, phương trình
BC
là:
( ) (
)
1 3 2 2 0 2 70x y xy + =+ −=
.
Đim
C
là giao điểm ca đường thẳng
BC
và đường tròn
( )
;IR
nên tọa đ điểm
C
là nghiệm
ca h phương trình:
( ) ( )
22
1, 3
3 2 25
5, 1
2 70
xy
xy
xy
xy
= =
+− =
= =
+ −=
Đối chiếu điều kiện đề bài ta có ta đ điểm
( )
5;1C
.
Câu 64: Trong mặt phng ta đ
Oxy
, cho đường tròn
(
)
22
: 2 4 25 0Cx y x y+−−=
và điểm
( )
2;1M
.
Dây cung của
( )
C
đi qua
M
có độ dài ngắn nhất là:
A.
27
. B.
16 2
. C.
82
. D.
47
.
Li gii
Chn D
+)
( )
C
có tâm
( )
1; 2I
, bán kính
30R =
+)
AB
là dây cung của
( )
C
đi qua
M
R
R
K
C
D
B
A
I
M
B
C
A
I
G
M
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 33
+) Ta có
minAB AB IM⇔⊥
.
Tht vy, gi s
CD
là dây cung qua
M
và không vuông góc với
IM
.
Gi
K
là hình chiếu của
I
lên
CD
ta có:
22 22
22 2AB AM IA IM R IM= = −=
2 2 22
22 2CD KD ID KD R IK== −=
Do tam giác
IMK
vuông tại
K
nên
IM IK>
.
Vy
CD AB>
.
+) Ta có:
( ) ( )
22
21 12 2IM = +− =
22
30 2 28 2 7MA R IM= = −= =
2 47AB MA⇒= =
.
Câu 65: Cho các số thc
,,,
abcd
thay đổi, luôn thỏa mãn
( )
( )
22
1 21ab +− =
4 3d 23 0c −−=
. Giá
tr nhỏ nhất ca biểu thức
( ) ( )
22
P ac bd= +−
là:
A.
min
28P
=
. B.
min
3P =
. C.
min
4
P =
. D.
min
16P =
.
Li gii
Chn D
Xét tp hợp điểm
(;)M ab
tha mãn
( ) (
)
22
1 21ab +− =
thì M thuộc đường tròn tâm
(1; 2); 1IR=
Xét điểm
(; )Ncd
tha mãn
4 3d 23 0c −−=
thì N thuộc đường thẳng có phương trình
4 3 23 0xy−−=
.
Ta thy
4 6 23
(; ) 5 1
5
dId R
−−
= =>=
. Do đó đường thẳng không cắt đường tròn.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 34
Đường thẳng qua
I
vuông góc với
d
ti
L
và cắt đường tròn ở
,TK
(
K
gia
T
L
)
V tiếp tuyến tại
K
ct
MN
ti
P
.
KL PN MN
≤≤
, mà
( )
,KL d I d R
=
Do đó
MN
ngắn nhất khi
MN KL=
T đây ta suy ra
( ) ( )
22
2
P ac bd MN= +− =
bé nhất khi và chỉ khi
(; ) 5 1 4MN d I d R= = −=
. Vậy giá tr nhỏ nhất
min
16P =
Câu 66: Trong mặt phng ta đ
,Oxy
cho đường tròn
(
) (
)
( )
22
: 1 24 +− =Cx y
các đưng thẳng
1
: 1 0,+ −=d mx y m
2
: 1 0. + −=d x my m
Tìm các giá tr ca tham s m để mi đưng thẳng
12
,dd
ct
( )
C
tại 2 điểm phân biệt sao cho 4 điểm đó lập thành 1 t giác có diện tích lớn nhất.
Khi đó tổng của tt c các giá tr tham s m là:
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Li gii
Chn A
Ta có
(1; 2)
()
2
=
I
C
R
Ta d thy đưng thng
1
d
2
d
cắt nhau tại điểm
( )
1;1M
c định nằm trong đường tròn
( )
C
12
dd
. Gọi
,AB
giao đim ca
1
d
( )
C
,
,CD
giao đim ca
2
d
( )
C
.
,HK
lần
ợt là hình chiếu của
I
trên
1
d
2
d
Khi đó
( )
( )
( )( )
22
22
12
22
2 22
22 2 2
1
. 2. 2 , . ,
2
4334
1 4334
2 4 4 =2 7
11 1 1
===−−


++
++ +
=−− =
++ + +
ABCD
S AB CD AH CK R d I d R d I d
mm
m mm
mm m m
Do đó
max 7=
ABCD
S
khi
1= ±m
. Khi đó tổng các giá tr ca
m
bng
0.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 6. BA ĐƯNG CONIC
I. ĐƯNG ELIP
1. Định nghĩa đưng elip: Cho hai điểm c định và phân bit
1
F
,
2
F
. Đặt
12
20FF c= >
. Cho
s thc
a
lớn hơn
c
. Tp hp các đim
M
sao cho
12
2MF MF a+=
được gi là đường elip .
Hai điểm
1
F
,
2
F
được gi là hai tiêu điểm
12
2FF c=
được gi là tiêu c của elip đó.
2. Phương trình chính tt ca đưng elip: Trong mt phng ta đ
Oxy
, elip có hai tiêu điểm
thuc trc hoành sao cho
O
là trung đim ca đan thng nối hai tiêu điểm đó thì phương trình
elip được viết dưới dng:
22
22
1
xy
ab
+=
, vi
0
ab>>
.
( )
2
Ngưc li, mỗi phương trình dạng
( )
2
đều phương trình của elip hai tiêu điểm
(
)
22
1
;0F ab−−
,
(
)
22
2
;0F ab
, tiêu c
22
22c ab
=
và tng các khong cách t mi
điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bng
2a
.
- Phương trình
( )
2
được gi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.
*Tính chất và hình dạng của Elip: Cho elip có phương trình chính tắc
22
22
1
xy
ab
+=
, vi
0ab>>
.
● Trc đi xng
Ox
,
Oy
● Tâm đối xng
O
.
● Tiêu điểm
( ) ( )
12
;0 , ;0F c Fc
.
● Tọa đ các đnh
( ) ( )
( ) ( )
1212
;0 , ;0 , 0; , 0;AaAaB bBb−−
.
● Độ dài trc ln
2a
. Độ dài trc bé
2b
.
● Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là
2a
2b
.
● Tâm sai
1
c
e
a
= <
.
● Hai đường chun
a
x
e
=
a
x
e
=
.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUY
T.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
( ) ( )
;M xy E
. Khi đó
1
MF a ex= +
: bán kính qua tiêu điểm trái.
2
MF a ex=
: bán kính qua tiêu điểm phi.
II. ĐƯNG HYPEBOL
Trên mt phng, nếu hai thiết b đặt ti các v trí
1
F
,
2
F
nhận được một tín hiệu âm thanh cùng
lúc thì vị trí phát ra tín hiệu cách đều hai điểm
1
F
,
2
F
, và do đó, nằm trên đường trung trc ca
đoạn thng
12
FF
.
Cho hai điểm phân bit c định
1
F
,
2
F
. Đặt
12
2FF c
=
. Cho s thực dương
a
nh hơn
c
. Tp
hợp các điểm
M
sao cho
12
2MF MF a−=
được gi là đưng hypebol . Hai điểm
1
F
,
2
F
được
gi là hai tiêu điểm
12
2FF c=
được gi là tiêu c của hypebol đó.
Trong mt phng ta đ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuc trục hoành sao cho O trung điểm
của đoạn thng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình
22
22
1
xy
ab
−=
, vi
,0ab>
.
Ngưc li, mỗi phương trình dạng
(
)
4
đều phương trình của hypebol hai tiêu điểm
(
)
22
1
;0F ab
−+
,
(
)
22
2
;0F ab+
, tiêu c
22
22x ab= +
và giá tr tuyt đi ca hiu các
khong cách t mi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bng
2a
.
Phương trình được gi là phương trình chính tắc ca hypebol tương ng.
III. ĐƯNG PARABOL
Cho một điểm
F
cố định một đường thẳng
cố định không đi qua
F
. Tập hợp các điểm
M
cách đều
F
và
được gọi là đường parabol . Điểm
F
được gọi là tiêu điểm,
được gọi
là đường chuẩn, khoảng cách từ
F
đến
được gọi là tham số tiêu của parabol đó.
Xét
( )
P
là mt parabol vi tiêu đim
F
, đường chun
. Gi
H
là hình chiếu vuông góc của
F
trên
. Khi đó, trong h trc ta đ
Oxy
vi gc
O
là trung đim ca
HF
, tia
Ox
trùng vi
tia
OF
, parabol
( )
P
có phương trình
2
2y px=
( )
5
Phương trình
( )
5
được gọi là phương trình chính tắc của parabol
( )
P
.
Ngược lại, mỗi phương trình dạng
( )
5
, với
0p >
, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu
điểm
;0
2
p
F



và đường chuẩn
:
2
p
x∆=
.
IV. MT S NG DNG CA BA ĐƯNG CONIC. TÍNH CHT QUANG HC
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Tương tự ơng cu li thưng đt những khúc đường cua, ngưi ta cũng những gương
elip, hypebol, parabol. Tia sáng gp các gương này, đều được phn x theo mt quy tc đưc xác
định rõ bằng hình học, chng hn:
Tia sáng phát ra t mt tiêu đim ca elip, hypebol sau khi gp elip, hypebol s b ht li theo mt
tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu đim còn li .
Ba đường conic xut hiện và có nhiều ng dng trong khoa hc và trong cuc sng, chng hn:
Tiac bn ra t đài phun nước, đường đi bng ca qu bóng những hình ảnh v đường parabol;
Khi nghiêng cc tròn, mặt nước trong cc có hình elip. Tương tự,i ánh sáng mt tri, bóng của
một quả bóng, nhìn chung, là mt elip;
Ánh sáng phát ra t một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh hypebol;
Câu 1. Cho elip có phương trình

+
= 1.Tìm tiêu điểm và tiêu c ca elip
Câu 2. Cho hypebol có phương trình:
= 1. Tìm tiêu điểm và tiêu c ca hypebol.
Câu 3. Cho parabol có phương trình:
= 8. Tìm tiêu điểm và đường chun ca parabol.
Câu 4. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A và có một tiêu điềm là F
2
.
Câu 5. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm
Câu 6. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt ti hai v trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng mt
thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu vi vn tốc 292 000 km/s để mt tàu thu thu và đo độ
lch thời gian. Tín hiệu t A đến sớm hơn tín hiệu t B là 0,0005 s. T thông tin trên, ta có thể
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
xác định được tàu thu thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó
theo đơn vị kilômét.
Câu 7. Khúc cua ca một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A điểm cui
là B, khong cách  = 400. Đỉnh parabol của khúc cua cách đường thng  mt khong
20 m và cách đều A, B .
a).Lập phương trình chính tắc ca , với 1 đơn vị đo trong mặt phng to độ ơng ng 1 m trên
thc tế.
b). Lập phương trình chính tắc cùa , với 1 đơn vị đo trong mặt phng to độ tương ng 1 km
trên thc tế.
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YU T CA ELÍP
{ Xác định các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm. ca elip}
Cho Elip phương trình chính tc:
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
vi
2 22
b ac=
.
● Tiêu điểm
(
) (
)
12
;0 , ;0F c Fc
.
● Tọa đ các đnh
( ) ( ) ( ) ( )
1212
;0 , ;0 , 0; , 0;AaAaB bBb−−
.
● Độ dài trc ln
2a
.
● Độ dài trc bé
2b
.
● Tiêu cự
2c
Câu 1: Tìm ta đ các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai ca elip:
(
)
22
:1
41
xy
E
+=
.
Câu 2: Tìm ta đ các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai ca elip:
( )
22
:4 25 100Ex y+=
.
Câu 3: Tìm ta đ các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai ca elip:
( )
22
:4 9 1Ex y+=
.
Câu 4: Tìm tâm sai của Elíp biết:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nh dưới một góc 60
0
.
b) Đỉnh trên trc nh nhìn hai tiêu điểm dưới mt góc 60
0
.
c) Khong cách gia hai đnh trên hai trc bng hai ln tiêu c:
H THNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
Câu 1: Cặp điểm nào là các tiêu điểm ca elip
( )
E
:
22
1
54
xy
+=
?
A.
( )
1,2
0; 1F = ±
. B.
( )
1,2
1; 0F = ±
. C.
( )
1,2
3; 0F = ±
. D.
( )
1,2
1; 2F = ±
.
Câu 2: Cho Elip
( )
22
: 4 9 36Ex y+=
. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A.
( )
E
có tỉ s
5
3
c
a
=
. B.
( )
E
có trục ln bng
6
.
C.
(
)
E
có trục nh bng
4
. D.
( )
E
có tiêu cự
5
.
Câu 3: Cho elip
22
1
31
xy
+=
. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. T s gia trc ln và trc nh bng
3
. B. Tiêu c bng
4
.
C. Tâm sai
2
3
e =
. D. Hai tiêu điểm
( )
1
2;0F
( )
2
2;0
F
.
Câu 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc ca elip
A.
22
4 8 32xy+=
. B.
22
1
11
52
xy
+=
. C.
22
1
64 16
xy
+=
. D.
22
1
84
xy
−=
.
Câu 5: Cho elip
²²
( ): 1
94
xy
E +=
. Chn khng đnh sai
A. Đim
(3; 0) ( )AE
. B.
()
E
có tiêu cự bng
25
.
C. Trc ln ca
()E
có độ dài bng
6
. D.
()
E
có tâm sai bằng
35
5
.
Câu 6: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc ca elip
A.
22
2xy−=
. B.
22
2xy+=
. C.
22
22xy+=
. D.
22
2
xy=
.
Câu 7: Trong mt phng
( )
Oxy
, cho elip
( )
E
có phương trình
22
1
36 16
xy
+=
. Tìm tiêu c ca
( )
E
.
A.
12
12FF =
B.
12
8FF =
C.
12
25FF =
D.
12
45FF =
Câu 8: Trong mt phng
Oxy
, tìm tiêu cự ca elip
( )
22
:1
25 16
xy
E +=
.
A.
3
B.
6
C.
4
D.
5
Câu 9: Tìm các tiêu điểm của Elip
22
1
91
xy
+=
A.
( )
1
3; 0 ;F
( )
2
0; 3F
. B.
(
)
1
8;0 ;F
( )
2
0; 8F
.
C.
( )
1
3; 0 ;F
( )
2
0; 3F
. D.
( )
1
8;0 ;F
( )
2
8;0F
.
BÀI TP TRC NGHIM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Câu 10: Elíp có độ dài trc ln bng:
A.
25
. B.
. C.
10
. D.
5
.
Câu 11: Cho
22
9 25 225xy+=
. Hi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoi tiếp
( )
E
A.
15
. B.
. C.
40
. D.
60
.
Câu 12: Cho
( )
E
có độ dài trc ln bng
26
, tâm sai
12
.
13
e =
Độ dài trc nh ca
( )
E
bng
A.
5
. B.
10
. C.
12
D.
24
.
Câu 13: Cho
( )
22
:16 25 100Ex y+=
điểm
M
thuc
( )
E
hoành độ bng
2
. Tng khong cách
t
M
đến
2
tiêu điểm ca
( )
E
bng
A.
5
. B.
22
. C.
43
. D.
3
.
Câu 14: Cho elip
( )
22
:1
54
xy
E +=
. T s gia tiêu c và độ dài trc ln bng
A.
5
4
. B.
5
5
. C.
35
5
. D.
25
5
.
Câu 15: Phương trình chính tắc ca
( )
E
đ dài trc ln gp
2
lần độ dài trc nh đi qua điểm
( )
2; 2A
A.
22
1
24 16
xy
+=
. B.
22
1
36 9
xy
+=
. C.
22
1
16 4
xy
+=
. D.
22
1
20 5
xy
+=
Câu 16: Phương trình chính tắc ca
( )
E
nhận điểm
( )
4;3M
là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở
A.
22
1
16 9
xy
+=
. B.
22
1
16 4
xy
+=
. C.
22
1
16 3
xy
+=
. D.
22
1
94
xy
+=
Câu 17: Phương trình chính tắc ca
( )
E
khoảng cách gia các đưng chun bng
50
3
và tiêu c bng
6
A.
22
1
64 25
xy
+=
. B.
22
1
89 64
xy
+=
. C.
22
1
25 16
xy
+=
. D.
22
1
16 7
xy
+=
Câu 18: Trong mt phng
Oxy
, cho đường elip
( )
22
:1
94
xy
E +=
hai tiêu điểm
1
F
,
2
F
.
M
đim
thuc
( )
E
. Tính
12
MF MF+
.
A.
5
B.
6
C.
3
D.
2
Câu 19: Trong mt phng Oxy cho elip
( )
22
:36Ex y+=
. Giá tr nào sau đây là tiêu cự ca elip?
A.
2
B.
3
C.
6
D.
4
Câu 20: Trong h trc ta đ
( )
Oxy
, cho elip
( )
22
44
:1
25 9
xy
E +=
. Độ dài tiêu c ca
( )
E
bng
A.
4
. B.
8
. C.
16
. D.
2
.
22
( ): 1
25 9
xy
E +=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
Câu 21: Cho elip
(
)
22
:1
25 9
xy
E +=
. Trong các khẳng định sau, khng đnh nào sai?
A.
( )
E
có các tiêu điểm
( )
1
4;0F
( )
2
4;0F
.
B.
( )
E
có tỉ s
4
5
c
a
=
.
C.
( )
E
có đỉnh
( )
1
5; 0A
.
D.
( )
E
có độ dài trc nh bng
3
.
Câu 22: Trong mt phng
Oxy
cho
( )
E
có phương trình:
22
1
94
xy
+=
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
E
có tâm sai
5
3
e =
.
B.
(
) ( )
12
0; 5 , 0; 5FF
là các tiêu điểm ca
( )
E
.
C. Độ dài trc ln là
9
.
D. Các đnh nm trên trc ln là
( )
1
0;3A
( )
2
0; 3A
.
Câu 23: Cho Elip có phương trình
2
2
1
4
x
y+=
. Một tiêu điểm ca Elip có tọa đ là:
A.
( )
3;0A
. B.
( )
0; 3B
. C.
( )
5;0C
. D.
(
)
0; 5D
.
Câu 24: Cho Elip có phương trình
22
41xy+=
. Tiêu c ca Elip là:
A.
5
. B.
3
. C.
25
. D.
23
.
Câu 25: Diện tích của t giác to nên bi các đnh ca elip
( )
2
2
:1
4
x
Ey+=
A.
8
. B.
4
. C.
2
. D.
6
.
Câu 26: Trong mt phng
Oxy
cho elip phương trình
(
)
22
:1
25 9
xy
E
+=
. Đưng thng
:4x
∆=
ct
elip
( )
E
tại hai điểm
,M
N
. Tính độ dài đoạn thng
MN
?
A.
18
25
MN =
. B.
9
25
MN =
. C.
18
5
MN
=
. D.
9
5
MN =
.
Câu 27: Trong h ta đ
( )
Oxy
, cho elip
( )
22
:1
25 16
xy
E +=
. Bán kính qua tiêu của
(
)
E
đạt giá tr nh nht
bng
A.
0
B.
1
C.
3
5
D.
2
Câu 28: Mt elip
( )
E
phương trình
22
22
1
xy
ab
+=
, trong đó
0ab>>
. Biết
( )
E
đi qua điểm
( )
2; 2A
( )
2 2;0B
thì
( )
E
có độ dài trc bé là
A.
4.
B.
2 2.
C.
2.
D.
6.
Câu 29: Cho
( )
E
hai tiêu điểm
( )
1
4;0F
,
( )
2
4;0F
điểm
M
thuc
( )
E
. Biết chu vi tam giác
12
MF F
bng
18
. Khi đó tâm sai của
( )
E
bng
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
A.
4
18
. B.
4
5
. C.
4
5
. D.
4
9
.
Câu 30: Cho
( )
E
có hai tiêu điểm
( )
1
7;0F
,
(
)
2
7;0
F
và điểm
9
7;
4
M



thuc
( )
E
. Gi
N
điểm đối xng vi
M
qua gốc ta đ
.O
Khi đó
A.
12
9
2
NF MF+=
. B.
21
9
2
NF MF+=
. C.
21
7
2
NF NF−=
D.
12
8
NF MF+=
.
DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP
{ Phương trình chính tắc ca Elip có dạng:
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
vi
2 22
b ac
=
; …}
Câu 1: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip đi qua điểm
5
2;
3
M



và có một tiêu điểm
( )
1
2;0
F
.
b) Elip nhn
( )
2
5; 0F
là một tiêu điểm và có độ dài trc nh bng
46
.
c) Elip có độ dài trc ln bng
25
và tiêu c bng 2.
d) Elip đi qua hai điểm
(
)
2; 2M
( )
6;1N
.
Câu 2: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip có tổng đ dài hai trc bng 8 và tâm sai
1
2
e =
.
b) Elip có tâm sai
5
3
e =
và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20.
c) Elip có tiêu điểm
( )
1
2;0F
và hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
12 5
.
Câu 3: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip đi qua điểm
( )
5;2M
và khong cách giữa hai đường chun bng 10.
b) Elip có tâm sai
3
5
e =
và khong cách t tâm đi xng của nó đến một đường chun bng
25
3
.
c) Elip có độ dài trc ln bằng 10 và phương trình một đường chun là
25
4
x =
.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
d) Khong cách gia các đưng chun bằng 36 bán kính qua tiêu điểm của điểm
M
thuc
Elip là 9 và 15.
Câu 4: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip có hình chữ nhật cơ sở ni tiếp đường tròn
( )
22
: 41Cx y+=
và đi qua điểm
( )
0;5A
.
b) Elip hình chữ nht cơ s ni tiếp đường tròn
( )
22
: 21Cx y+=
điểm
( )
1; 2M
nhìn hai
tiêu điểm của Elip dưới một góc
0
60
.
c) Mt cạnh hình chữ nht s ca Elip nm trên
: 50dx−=
và đ dài đường chéo hình chữ
nht bằng 6.
d) T giác
ABCD
hình thoi có bốn đnh trùng vi các đnh của Elip. Bán kính của đưng tròn
ni tiếp hình thoi bằng
2
và tâm sai ca Elip bng
1
2
.
Câu 5: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết
a) T giác
ABCD
là hình thoi có bốn đỉnh trùng vi các đnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc vi
các cnh của hình thoi có phương trình
( )
22
:4Cx y
+=
2AC BD=
,
A
thuc
Ox
.
b) Elip có đ dài trc ln bằng 8 và giao điểm ca Elip vi đưng tròn
( )
22
:8
Cx y+=
to thành
bốn đỉnh ca một hình vuông.
c) Elip có tâm sai
1
3
e =
và giao điểm ca Elip với đường tròn
( )
22
:9Cx y+=
ti bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
sao cho
AB
song song vi
Ox
3AB BC=
.
d) Elip có độ dài trc ln bng
42
, các đỉnh trên trc nh và các tiêu điểm ca Elip cùng nm
trên một đường tròn.
Câu 6: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết
a) Elip có hai đnh trên trc nh cùng vi hai tiêu đim to thành một hình vuông diện tích
bằng 32.
b) Elip một đnh và hai tiêu đim to thành mt tam giác đều chu vi hình chữ nht cơ s
ca Elip bng
( )
12 2 3+
.
c) Elip đi qua điểm
( )
2 3;2M
M
nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông.
d) Elip đi qua điểm
3
1;
2
M




và tiêu điểm nhìn trục nh dưới một góc
0
60
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Câu 7: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết
a) Elip có mt tiêu đim
( )
1
3;0F
và đi qua đim
M
, biết tam giác
12
F MF
có diện tích bng
1 và vuông tại
M
.
b) Elip đi qua ba đỉnh ca tam giác đu
ABC
. Biết tam giác
ABC
trc đi xng là
Oy
,
( )
0; 2A
và có diện tích bằng
49 3
12
.
c) Khi
M
thay đi trên Elip thì đ dài nh nht ca
OM
bng 4 và đ dài ln nht ca
1
MF
bng 8 vi
1
F
là tiêu điểm có hoành độ âm ca Elip.
Câu 1: Phương trình chính tắc của Elip là
A.
22
22
1
xy
ab
+=
. B.
22
22
1
xy
ab
−=
.
C.
( )
22
22
10
xy
ab
ab
+ = >>
. D.
22
22
1
xy
ab
−=
.
Câu 2: Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bng
6
và trc ln bng
10
.
A.
22
1
25 9
xy
+=
. B.
22
1
100 81
xy
+=
. C.
22
1
25 16
xy
−=
. D.
22
1
25 16
xy
+=
.
Câu 3: Phương trình của Elip
( )
E
có độ dài trc ln bng
8
, độ dài trc nh bng
6
là:
A.
22
9 16 144xy+=
. B.
22
9 16 1xy
+=
. C.
22
1
9 16
xy
+=
. D.
22
1
64 36
xy
+=
.
Câu 4: Cho
( )
E
có hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng
8
, chu vi bng
6
thì phương trình chính tắc là:
A.
22
1
21
xy
+=
. B.
22
1
41
xy
+=
. C.
22
1
42
xy
+=
. D.
22
1
16 4
xy
+=
.
Câu 5: Cho
( )
E
có tiêu điểm
( )
1
4;0F
,
( )
2
4;0F
, tâm sai
4
5
e =
thì phương trình là:
A.
22
4 5 20xy+=
. B.
22
16 25 400xy+=
.
C.
22
9 25 225xy+=
. D.
22
9 16 144xy
+=
.
Câu 6: Trong mt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho elip
( )
E
có độ dài trc ln bằng 12 và độ dài trc
bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip
( )
E
A.
22
1
144 36
xy
+=
. B.
22
1
9 36
xy
+=
. C.
22
1
36 9
xy
+=
. D.
22
0
144 36
xy
+=
.
Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng
1
3
và trc ln bng
6
.
A.
22
1
93
xy
+=
. B.
22
1
98
xy
+=
. C.
22
1
95
xy
+=
. D.
22
1
65
xy
+=
.
Câu 8: Phương trình Elip có trục ln bng
25
và một tiêu điểm
( )
1
1; 0F
là:
BÀI TP TRC NGHIM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
A.
22
4 5 20xy+=
. B.
22
4 5 12xy
+=
. C.
22
5 4 20xy
+=
D.
22
5 4 12xy
+=
.
Câu 9: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có độ dài trc ln bng
8
, trc nh bng
6
A.
22
1
64 36
xy
+=
. B.
22
1
9 16
xy
+=
. C.
22
9 16 1
xy
+=
. D.
22
1
16 9
xy
+=
.
Câu 10: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có tâm sai
4
5
e =
, độ dài trc nh bng
12
A.
22
1
25 36
xy
+=
. B.
22
1
64 36
xy
+=
. C.
22
1
100 36
xy
+=
. D.
22
1
36 25
xy
+=
.
Câu 11: Phương trình chính tc ca
(
)
E
đ dài trc ln bng
6
, t s gia tiêu c đ dài trc ln
bng
1
3
A.
22
1
93
xy
+=
. B.
22
1
98
xy
+=
. C.
22
1
19 5
xy
+=
. D.
22
1
65
xy
+=
.
Câu 12: Elip có hai đỉnh
(
)
3; 0
;
( )
3; 0
và hai tiêu điểm
(
)
1; 0
( )
1; 0
có phương trình chính tắc là
A.
22
1
89
xy
+=
. B.
22
1
98
xy
+=
. C.
22
1
94
xy
+=
. D.
22
1
92
xy
+=
.
Câu 13: Phương trình chính tắc ca
( )
E
đ dài trc ln gp
2
lần độ i trc nh và tiêu c bng
43
A.
22
1
36 9
xy
+=
. B.
22
1
36 24
xy
+=
. C.
22
1
24 6
xy
+=
. D.
22
1
16 4
xy
+=
.
Câu 14: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có đường chun
40x +=
và tiêu điểm
( )
1; 0F
A.
22
1
43
xy
+=
. B.
22
1
16 15
xy
+=
. C.
22
1
16 9
xy
+=
. D.
22
1
98
xy
+=
.
Câu 15: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có tiêu cự bng
6
và đi qua điểm
( )
5; 0A
A.
22
1
100 81
xy
+=
. B.
22
1
15 16
xy
+=
. C.
22
1
25 9
xy
+=
. D.
22
1
25 16
xy
+=
.
Câu 16: Elip có hai tiêu điểm
( )
1
1; 0F
;
( )
2
1; 0F
và tâm sai
1
5
e =
có phương trình là
A.
22
1
25 24
xy
+=
. B.
22
1
24 25
xy
+=
. C.
22
1
24 25
xy
+=
. D.
22
1
25 24
xy
+=
.
Câu 17: Trong h trc ta đ
Oxy
, mt elip có đ dài trc ln là
8
, đ dài trc bé là
6
thì có phương trình
chính tắc là.
A.
22
1
9 16
xy
+=
. B.
22
1
64 36
xy
+=
. C.
22
1
16 9
xy
+=
. D.
22
1
16 7
xy
+=
.
Câu 18: Các đnh ca Elip
( )
E
có phương trình
22
22
1
xy
ab
+=
;
( )
0ab
>>
tạo thành hình thoi có một góc
đỉnh là
60°
, tiêu c ca
( )
E
8
, thế thì
22
ab+=
?
A.
16
. B.
. C.
64
. D.
128
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
Câu 19: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
E
đi qua điểm
( )
0;3M
. Biết khong cách ln nht
giữa hai điểm bt kì trên
(
)
E
bng
8
. Phương trình chính tc ca Elip là
A.
22
1
9 16
xy
+=
B.
22
1
16 9
xy
+=
C.
22
1
9 64
xy
+=
D.
22
1
64 9
xy
+=
Câu 20: Trong mt phng vi h trc ta đ
Oxy
cho đường elip
22
( ): 1
16 5
xy
E +=
hai điểm
( ) ( )
5; 1 , 1;1MN−−
. Điểm
K
thay đổi trên elip
()E
. Diện tích tam giác
MNK
ln nht bng
A.
95
. B.
9
2
. C.
9
. D.
18
.
Câu 21: Cho elip
(
)
22
:1
16 9
xy
E
+=
. Xét các đim
,MN
lần lượt thuc các tia
,Ox Oy
sao cho đường
thng
MN
tiếp xúc vi
( )
E
. Hỏi độ dài ngn nht ca
MN
là bao nhiêu?
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
DNG 3: TÌM ĐIM THUC ELIP THA ĐIU KIN CHO TRƯC
Cho Elip có phương trình chính tắc:
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
vi
2 22
b ac
=
.
( ) ( )
;M xy E
. Khi đó
1
MF a ex= +
: bán kính qua tiêu điểm trái.
2
MF a ex=
: bán kính qua tiêu điểm phi.
Câu 1: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
25 16
xy
E +=
. Gi
1
F
,
2
F
hai tiêu đim
ca Elip;
A
,
B
là hai điểm thuc
( )
E
sao cho
12
8AF BF+=
. Tính
21
AF BF+
.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
95
xy
E +=
. Gi
1
F
,
2
F
hai tiêu đim
của Elip trong đó
1
F
có hoành độ âm. Tìm tọa đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho
12
2MF MF=
.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
84
xy
E +=
. Gi
1
F
,
2
F
hai tiêu đim
của Elip trong đó
1
F
có hoành độ âm. Tìm tọa đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho
12
2
MF MF−=
.
Câu 2: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
9
:1
1
xy
E +=
. Tìm những điểm
M
thuc
( )
E
sao cho nó nhìn hai tiêu điểm ca
( )
E
dưới một góc vuông.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
2
2
:1
4
x
Ey+=
vi hai tiêu đim
1
F
,
2
F
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho góc
0
12
60
F MF
=
.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
100 25
xy
E
+=
vi hai tiêu đim
1
F
,
2
F
.
Tìm ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho góc
0
12
120F MF =
.
d) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
25 9
xy
E +=
vi hai tiêu đim
1
F
,
2
F
trong
đó
1
F
có hoành độ âm. Tìm tọa đ điểm
M
thuc
(
)
E
sao cho góc
0
12
120
MF F =
.
Câu 3: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
41
xy
E
+=
và điểm
( )
2;0C
. Tìm ta đ
các đim
A
,
B
thuc
( )
E
, biết rng
A
,
B
đối xng với nhau qua trục hoành và tam giác
ABC
là tam giác đu.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
41
xy
E +=
. Tìm ta đ các đim
A
B
thuc
( )
E
có hoành độ dương sao cho tam giác
OAB
cân ti
O
và có diện tích lớn nht.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
91
xy
E +=
và đim
( )
3; 0A
. Tìm ta đ
các đim
B
,
C
thuc
( )
E
sao cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, biết
B
có tung độ dương.
Câu 4: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
16 5
xy
E +=
hai đim
( )
5; 1A −−
,
( 1;1)B
. Xác đinh tọa đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho diện tích tam giác
MAB
ln nht.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
82
xy
E +=
và hai đim
( )
3; 4A
,
(5; 3)B
.
Tìm trên
( )
E
điểm
C
sao cho tam giác
ABC
có diện tích bằng 4,5.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
21
xy
E +=
. Tìm trên
( )
E
nhng đim sao
cho khong cách t điểm đó đến đường thng
:2 3 1 0
dx y +=
là ln nht.
Câu 5: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
94
xy
E +=
các đim
( )
3; 0A
,
( )
1; 0I
. Tìm tọa đ các đim
B
,
C
thuc
( )
E
sao cho
I
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
25 9
xy
E
+=
có hai tiêu đim
1
F
,
2
F
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
(
)
E
sao cho bán kính đường tròn ni tiếp tam giác
12
MF F
bng
4
3
.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
25 9
xy
E +=
có hai tiêu đim
1
F
,
2
F
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho đường phân giác trong góc
12
F MF
đi qua điểm
48
;0
25
N



.
Câu 1: Cho Elip
( )
22
: 1
16 9
xy
E +=
. Vi
M
đim bt nm trên
( )
E
, khng định nào sau đây
khẳng định đúng?
A.
4 5.OM≤≤
B.
5.OM
C.
3.OM
D.
3 4.OM≤≤
Câu 2: Elip đi qua điểm
3
1;
2
M




và có tiêu cự bng
23
thì có phương trình chính tắc là:
A.
22
1
43
xy
+=
. B.
22
1
41
xy
+=
. C.
22
1
31
xy
+=
. D.
22
1
1
4
4
xy
+=
.
Câu 3: Cho Elip
( )
22
:1
169 144
xy
E +=
điểm
M
nm trên
( )
E
. Nếu điểm
M
hoành độ bng
13
thì các khoảng cách t
M
ti
2
tiêu điểm ca
(
)
E
bng:
A.
8; 18
. B.
13 5±
. C.
10;16
. D.
13 10±
.
Câu 4: Cho Elíp phương trình
22
16 25y 100
x +=
. Tính tng khong cách t điểm thuc elíp
hoành độ
2x =
đến hai tiêu điểm.
A.
10
. B.
22
. C.
5
. D.
43
.
Câu 5: Cho Elip
( )
22
: 1
25 9
+=
y
E
x
. Đường thng
( )
:4= dx
ct
( )
E
tại hai điểm
,MN
. Khi đó:
A.
9
25
=MN
. B.
18
25
=MN
. C.
18
5
=
MN
. D.
9
5
=MN
.
BÀI TP TRC NGHIM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
Câu 6: Cho Elip phương trình:
22
1
16 4
xy
+=
.
M
là đim thuc
( )
E
sao cho
12
MF MF=
. Khi đó ta
độ điểm
M
là:
A.
( ) ( )
12
0;1 , 0; 1MM
. B.
12
(0;2) , (0; 2)MM
.
C.
12
( 4; 0) , (4;0)MM
. D.
12
(0;4) , (0; 4)MM
.
Câu 7: Dây cung ca Elip
(
) ( )
22
22
: 10
xy
E ba
ab
+ = <<
. vuông c vi trc ln ti tiêu điểm độ dài là
A.
2
2
c
a
. B.
2
2
b
a
. C.
2
2a
c
. D.
2
a
c
.
Câu 8: Cho
( )
E
:
22
1
16 9
xy
+=
và điểm
M
thuc
( )
E
. Khi đó độ dài
OM
tha mãn
A.
3OM
B.
34OM≤≤
. C.
45OM
≤≤
. D.
5OM
.
Câu 9: Cho
(
)
22
: 1.
25 9
xy
E
+=
Đưng thng
:4dx=
ct
( )
E
ti hai đim
M
,
N
. Khi đó, độ dài đon
MN
bng
A.
9
5
. B.
9
25
. C.
18
5
. D.
18
25
.
Câu 10: Đưng thng
y kx
=
ct
(
)
E
:
22
22
1
xy
ab
+=
tại hai điểm
M
,
N
phân biệt. Khi đó
M
,
N
A. Đối xứng nhau qua
( )
0;0O
. B. Đối xứng nhau qua
Oy
.
C. Đối xứng nhau qua
Ox
. D. Đối xứng nhau qua
(
)
0;1I
.
Câu 11: Cho elip
(
)
22
:1
169 144
xy
E +=
điểm
M
thuc
(
)
E
có hoành độ
13
M
x =
. Khong cách t
M
đến hai tiêu điểm ca
( )
E
lần lượt là
A.
10
6
. B.
8
18
. C.
13
5±
. D.
13
10±
Câu 12: Cho elip
²²
( ): 1
25 16
xy
E +=
, vi tiêu đim
12
,FF
. Lấy hai điểm
, ()AB E
sao cho
11
A 8.F BF+=
Khi đó,
22
A?F BF+=
A.
6
. B.
8
. C.
12
. D.
10
.
Câu 13: Cho elip
²²
( ): 1
25 9
xy
E
+=
. Tìm to độ điểm
()ME
sao cho M nhìn
12
,FF
dưới một góc vuông:
A.
( 5; 0)
. B.
9
4;
5



. C.
(0; 4)
. D.
579
;
44




.
Câu 14: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
(
)
22
:1
16 5
xy
E +=
và hai đim
(
) ( )
5; 1 , 1;1AB−−
. Đim
M
bt
kì thuộc
( )
E
, diện tích lớn nht ca tam giác
MAB
là:
A.
18
. B.
9
. C.
92
2
. D.
42
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
Câu 15: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho elip
( )
E
:
22
4 40xy+ −=
. Tìm tất c những điểm
N
trên elip
( )
E
sao cho:
0
12
60F NF =
(
1F
,
2F
là hai tiêu điểm ca elip
( )
E
)
A.
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




hoc
42 1
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
B.
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
C.
421
;
33
N




hoc
42 1
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
D.
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




.
Câu 16: Các hành tinh và các sao chi khi chuyển động xung quanh mặt tri qu đạo là một đường
elip trong đó tâm mt tri là mt tiêu đim. Đim gn mt tri nht gi là điểm cn nht, điểm
xa mt tri nht gi là đim vin nht. Trái đt chuyn động xung quanh mt trời theo quỹ đạo
là một đường elip độ dài na trc ln bng
93.000.000
dm. T s khong cách gia đim
cn nht và đim vin nht đến mt tri là
59
.
61
Tính khoảng cách t trái đt đến mt tri khi trái
đất điểm cn nhật. Lấy giá tr gần đúng.
A. Xp x
91.455.000
dm. B. Xp x
91.000.000
dm.
C. Xp x
91.450.000
dm. D. Xp x
91.550.000
dm.
Câu 17: Ông Hoàng một mảnh vườn hình elip chiều dài trc ln và trc nh lần lượt là
60m
30m
. Ông chia thành hai na bng một đường tn
tiếp xúc trong vi elip đ làm mc đích s dng khác
nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu
năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu.
Tính tỉ s din tích T gia phn trngy lâum so
vi diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được
tính theo công thức
S ab
π
=
trong đó
,ab
ln lưt là
đọ dài na trc ln và na trc bé ca elip. Biết đ
rng của đường elip không đáng kể.
A.
2
3
T =
. B.
1T =
. C.
1
2
T =
. D.
3
2
T =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 1
BÀI 6. BA ĐƯNG CONIC
I. ĐƯNG ELIP
1. Định nghĩa đưng elip: Cho hai điểm c định và phân bit
1
F
,
2
F
. Đặt
12
20FF c= >
. Cho
s thc
a
lớn hơn
c
. Tp hp các đim
M
sao cho
12
2MF MF a+=
được gi là đường elip .
Hai điểm
1
F
,
2
F
được gi là hai tiêu điểm
12
2FF c=
được gi là tiêu c của elip đó.
2. Phương trình chính tt ca đưng elip: Trong mt phng ta đ
Oxy
, elip có hai tiêu điểm
thuc trc hoành sao cho
O
là trung đim ca đan thng nối hai tiêu điểm đó thì phương trình
elip được viết dưới dng:
22
22
1
xy
ab
+=
, vi
0
ab>>
.
( )
2
Ngưc li, mỗi phương trình dạng
( )
2
đều phương trình của elip hai tiêu điểm
(
)
22
1
;0F ab−−
,
(
)
22
2
;0F ab
, tiêu c
22
22c ab
=
và tng các khong cách t mi
điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bng
2a
.
- Phương trình
( )
2
được gi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.
*Tính chất và hình dạng của Elip: Cho elip có phương trình chính tắc
22
22
1
xy
ab
+=
, vi
0ab>>
.
● Trc đi xng
Ox
,
Oy
● Tâm đối xng
O
.
● Tiêu điểm
( ) ( )
12
;0 , ;0F c Fc
.
● Tọa đ các đnh
( ) ( )
( ) ( )
1212
;0 , ;0 , 0; , 0;AaAaB bBb−−
.
● Độ dài trc ln
2a
. Độ dài trc bé
2b
.
● Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là
2a
2b
.
● Tâm sai
1
c
e
a
= <
.
● Hai đường chun
a
x
e
=
a
x
e
=
.
CHƯƠNG
VII
PHƯƠNG PHÁP TA Đ
TRONG MT PHNG
LÝ THUY
T.
I
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 2
( ) ( )
;M xy E
. Khi đó
1
MF a ex= +
: bán kính qua tiêu điểm trái.
2
MF a ex=
: bán kính qua tiêu điểm phi.
II. ĐƯNG HYPEBOL
Trên mt phng, nếu hai thiết b đặt ti các v trí
1
F
,
2
F
nhận được một tín hiệu âm thanh cùng
lúc thì vị trí phát ra tín hiệu cách đều hai điểm
1
F
,
2
F
, và do đó, nằm trên đường trung trc ca
đoạn thng
12
FF
.
Cho hai điểm phân bit c định
1
F
,
2
F
. Đặt
12
2FF c
=
. Cho s thực dương
a
nh hơn
c
. Tp
hợp các điểm
M
sao cho
12
2MF MF a−=
được gi là đưng hypebol . Hai điểm
1
F
,
2
F
được
gi là hai tiêu điểm
12
2FF c=
được gi là tiêu c của hypebol đó.
Trong mt phng ta đ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuc trục hoành sao cho O trung điểm
của đoạn thng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình
22
22
1
xy
ab
−=
, vi
,0ab>
.
Ngưc li, mỗi phương trình dạng
(
)
4
đều phương trình của hypebol hai tiêu điểm
(
)
22
1
;0F ab
−+
,
(
)
22
2
;0F ab+
, tiêu c
22
22x ab= +
và giá tr tuyt đi ca hiu các
khong cách t mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bng
2a
.
Phương trình được gi là phương trình chính tắc ca hypebol tương ng.
III. ĐƯNG PARABOL
Cho một điểm
F
cố định một đường thẳng
cố định không đi qua
F
. Tập hợp các điểm
M
cách đều
F
và
được gọi là đường parabol . Điểm
F
được gọi là tiêu điểm,
được gọi
là đường chuẩn, khoảng cách từ
F
đến
được gọi là tham số tiêu của parabol đó.
Xét
( )
P
là mt parabol vi tiêu đim
F
, đường chun
. Gi
H
là hình chiếu vuông góc của
F
trên
. Khi đó, trong h trc ta đ
Oxy
vi gc
O
là trung đim ca
HF
, tia
Ox
trùng vi
tia
OF
, parabol
( )
P
có phương trình
2
2y px=
( )
5
Phương trình
( )
5
được gọi là phương trình chính tắc của parabol
( )
P
.
Ngược lại, mỗi phương trình dạng
( )
5
, với
0p >
, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu
điểm
;0
2
p
F



và đường chuẩn
:
2
p
x∆=
.
IV. MT S NG DNG CA BA ĐƯNG CONIC. TÍNH CHT QUANG HC
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 3
Tương tự ơng cu li thưng đt những khúc đường cua, ngưi ta cũng những gương
elip, hypebol, parabol. Tia sáng gp các gương này, đều được phn x theo mt quy tc đưc xác
định rõ bằng hình học, chng hn:
Tia sáng phát ra t mt tiêu đim ca elip, hypebol sau khi gp elip, hypebol s b ht li theo mt
tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn li .
Ba đường conic xut hiện và có nhiều ng dng trong khoa hc và trong cuc sng, chng hn:
Tiac bn ra t đài phun nước, đường đi bng ca qu bóng những hình ảnh v đường parabol;
Khi nghiêng cc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự,i ánh sáng mt tri, bóng của
một quả bóng, nhìn chung, là mt elip;
Ánh sáng phát ra t một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh hypebol;
Câu 1. Cho elip có phương trình

+
= 1.Tìm tiêu điểm và tiêu c ca elip
Li gii
Ta có:

+
= 1 󰇥
= 36
= 9
Mt khác 
=
= 36 9 = 27  = ±
27.
Vậy ta có hai tiêu điểm

27; 0
27; 0,có tiêu cự bng 2 = 2
27.
Câu 2. Cho hypebol có phương trình:
= 1. Tìm tiêu điểm và tiêu c ca hypebol.
Li gii
BÀI TP.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 4
Ta có:
= 1 󰇥
= 7
= 9
Mt khác 
=
+
= 49 + 81 = 130  = ±
130.
Vậy ta có hai tiêu điểm

130; 0
130; 0; có tiêu cự bng 2 = 2
130.
Câu 3. Cho parabol có phương trình:
= 8. Tìm tiêu điểm và đường chun ca parabol.
Li gii
Ta có :
2 = 8 = 4 nên tiêu điểm ca parabol
󰇡
; 0󰇢 = và đường chun :: =
=
=
2.
Câu 4. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A và có một tiêu điềm là F
2
.
Li gii
Ta có:Phương trình elip có dạng:
+
= 1
Do đi qua
(
5; 0
)
nên:

+
= 1
= 25
Mặc khác: tiêu điểm
(
3; 0
)
nên  = 3 => 
= 9 =
+
T và =>
= 16nên :

+

= 1
Câu 5. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm
Li gii
Giả sử :
= 2
Vì đi qua nên:16 = 2. 2 => = 4.Vy
= 8
Câu 6. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt ti hai v trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng mt
thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu vi vn tốc 292 000 km/s để mt tàu thu thu và đo độ
lch thời gian. Tín hiệu t A đến sớm hơn tín hiệu t B là 0,0005 s. T thông tin trên, ta có thể
xác định được tàu thu thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó
theo đơn vị kilômét.
Li gii
Ta có:
Do tín hiệu A đến sớm hơn tín hiệu t B nên tàu thu thuộc đường hepebol nhánh A.
Gi v trí tàu thuỷ là điểm M.
Phương trình hyperbol có dạng: :
= 1
|

|
= 2 = 2920 000,0005 = 146 = 73
 = 300 = 2  = 150
T đó,
= 
= 17171
Vậy phương trình hyperbol :


= 1
Câu 7. Khúc cua ca một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A điểm cui
là B, khong cách  = 400. Đỉnh parabol của khúc cua cách đường thng  mt khong
20 m và cách đều A, B .
a).Lập phương trình chính tắc ca , với 1 đơn vị đo trong mt phng to độ ơng ng 1 m trên
thc tế.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 5
b). Lập phương trình chính tắc cùa , với 1 đơn vị đo trong mặt phng to độ tương ng 1 km
trên thc tế.
Li gii
a) Phương trình chính tắc :
= 2
Theo đề ta có , ,
Do đi qua nên suy ra 20
= 2 = 400 = 1
Vy :
= 2
b) Phương trình chính tắc :
= 2
Theo đề ta có , ,
Do đi qua nên suy ra 0, 02
= 2 = 0,4 = 0,001
Vy :
= 0,002
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YU T CA ELÍP
{ Xác định các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm. ca elip}
Cho Elip phương trình chính tc:
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
vi
2 22
b ac=
.
● Tiêu điểm
( ) ( )
12
;0 , ;0F c Fc
.
● Tọa đ các đnh
( ) ( ) ( ) ( )
1212
;0 , ;0 , 0; , 0;AaAaB bBb−−
.
● Độ dài trc ln
2a
.
● Độ dài trc bé
2b
.
● Tiêu cự
2
c
Câu 1: Tìm ta đ các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai ca elip:
(
)
22
:1
41
xy
E +=
.
Li gii
T phương trình của
22
3c ab= −=
( )
E
, ta có
2, 1ab= =
. Suy ra
22
3
c ab= −=
.
Suy ra ta đ các đnh là
( ) ( ) ( ) ( )
1 21 2
2;0 ; 2;0 ; 0; 1 ; 0;1A AB B−−
.
Độ dài trc ln
12
4AA =
, độ dài trc bé
12
2BB =
.
H THNG BÀI TP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 6
Tiêu c
12
2 23FF c= =
, tiêu điểm là
( )
(
)
12
3;0 ; 3;0
FF
.
Tâm sai ca
22
3c ab
= −=
3
2
c
e
a
= =
.
Câu 2: Tìm ta đ các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai ca elip:
( )
22
:4 25 100Ex y+=
.
Li gii
Ta có
22
22
4 25 100 1
25 4
xy
xy+ = ⇔+=
suy ra
5; 2
ab
= =
nên
22
21
c ab= −=
.
Do đó tọa đ các đnh là
( ) ( ) ( ) ( )
1 21 2
5;0; 5;0; 0; 2; 0;2A AB B−−
.
Độ dài trc ln
12
10AA =
, độ dài trc bé
12
4BB =
.
Tiêu c
12
2 2 21FF c= =
, tiêu điểm là
( ) ( )
12
21;0 ; 21; 0FF
.
Tâm sai ca
(
)
E
21
5
c
e
a
= =
.
Câu 3: Tìm ta đ các đỉnh, độ dài các trc, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai ca elip:
( )
22
:4 9 1Ex y
+=
.
Li gii
Ta có
22
22
491 1
11
49
xy
xy+ =⇔+=
suy ra
11
;
23
ab= =
nên
22
5
6
c ab= −=
.
Do đó tọa đ các đnh là
1 21 2
1 1 11
;0 ; ; 0 ; 0; ; 0;
2 2 33
A AB B
 
−−
 
 
.
Độ dài trc ln
12
1AA =
, độ dài trc bé
12
2
3
BB =
.
Tiêu c
12
25
2
6
FF c= =
, tiêu điểm là
12
55
;0 ; ;0
66
FF




.
Tâm sai ca
( )
E
5
3
c
e
a
= =
.
Câu 4: Tìm tâm sai của Elíp biết:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nh dưới một góc 60
0
.
b) Đỉnh trên trc nh nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60
0
.
c) Khong cách gia hai đnh trên hai trc bng hai ln tiêu c:
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 7
a) T gi thiết, ta có:
t an30 .tan 30
b
bc
c
°= = °
Suy ra:
c
e
a
=
22 2
22
2 22 2 2 2 2
1
cos 30
.tan 30 tan 30 1
cc c
e
a bc c c
⇔= = = = = °
+ °+ °+
3
cos30
2
e = °=
b) T gi thiết, ta có
cot30 .cot 30
b
bc
c
°= = °
Suy ra:
c
e
a
=
22 2
22
2 22 2 2 2 2
1
sin 30
.cot 30 cot 30 1
cc c
e
a bc c c
⇔= = = = = °
+ °+ °+
1
sin 30
2
e = °=
c) T gi thiết, ta có:
22
4AB c=
22 22 2
4 16ab c ab c +=+=
2
222 2 2
15
16
2
c
cbb c b++= =
.
Suy ra:
c
e
a
=
22 2
2
2
2 22
2
2
15
17
2
cc c
e
c
a bc
c
⇔= = = =
+
+
34
2
e⇔=
Câu 1: Cặp điểm nào là các tiêu điểm ca elip
( )
E
:
22
1
54
xy
+=
?
A.
( )
1,2
0; 1F = ±
. B.
( )
1,2
1; 0F = ±
. C.
( )
1,2
3; 0F = ±
. D.
(
)
1,2
1; 2F = ±
.
Li gii
Chn B.
Ta có:
2 2 2 22
5; 4 1a b c ab= ==−=
1c⇒=
(
)
1,2
1; 0F⇒=±
.
BÀI TP TRC NGHIM.
3
F
2
B
1
B
2
O
c
b
b
B
2
O
A
a
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 8
Câu 2: Cho Elip
( )
22
: 4 9 36Ex y+=
. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A.
(
)
E
có tỉ s
5
3
c
a
=
. B.
( )
E
có trục ln bng
6
.
C.
(
)
E
có trục nh bng
4
. D.
( )
E
có tiêu cự
5
.
Li gii
Chn D.
( )
22
22
: 4 9 36 1
94
xy
Ex y+ =⇔+=
Suy ra:
3, 2, 5abc= = =
Tiêu c ca
( )
E
2 25c =
.
Câu 3: Cho elip
22
1
31
xy
+=
. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. T s gia trc ln và trc nh bng
3
. B. Tiêu c bng
4
.
C. Tâm sai
2
3
e =
. D. Hai tiêu điểm
( )
1
2;0
F
( )
2
2;0F
.
Li gii
Chn A.
Ta có
2
22
2
2 22
33
( ): 1 1 1
31
22
aa
xy
E bb
c ab c
=⇒=
+ = =⇒=
= =⇒=
.
Câu 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc ca elip
A.
4 ² 8 ² 32xy+=
. B.
²²
1
11
52
xy
+=
.
C.
²²
1
64 16
xy
+=
. D.
²²
1
84
xy
−=
.
Li gii
Chn A.
4 ² 8 ² 32xy+=
²²
1
84
xy
⇔+=
.
Câu 5: Cho elip
²²
( ): 1
94
xy
E
+=
. Chn khng đnh sai
A. Đim
(3; 0) ( )AE
. B.
()E
có tiêu cự bng
25
.
C. Trc ln ca
()E
có độ dài bng
6
. D.
()E
có tâm sai bằng
35
5
.
Li gii
Chn D.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 9
²9 3
²²
( ): 1 ² 4 2
94
² ² ²5 5
aa
xy
E bb
c ab c
=⇒=
+ = =⇒=
= =⇒=
.
Khi đó
()
E
có tâm sai bằng
5
3
c
e
a
= =
.
Câu 6: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc ca elip
A.
22
2
xy
−=
. B.
22
2xy+=
.
C.
22
22xy+=
. D.
22
2xy
=
.
Li gii
Chn C.
22
22
xy+=
²²
1
21
xy
⇔+=
.
Câu 7: Trong mt phng
( )
Oxy
, cho elip
( )
E
có phương trình
22
1
36 16
xy
+=
. Tìm tiêu c ca
( )
E
.
A.
12
12FF =
B.
12
8FF =
C.
12
25FF =
D.
12
45FF =
Li gii
Chn D
22
1
36 16
xy
+=
6
4
a
b
=
=
222
cab⇒=−
20=
25
c⇒=
12
45FF⇒=
.
Câu 8: Trong mt phng
Oxy
, tìm tiêu cự ca elip
(
)
22
:1
25 16
xy
E +=
.
A.
3
B.
6
C.
4
D.
5
Li gii
Chn B
Ta có
2
2
2
25
25 16 9 3
16
a
cc
b
=
= =⇒=
=
.
Vy tiêu c
26c =
.
Câu 9: Tìm các tiêu điểm của Elip
22
1
91
xy
+=
A.
( )
1
3; 0 ;F
( )
2
0; 3F
. B.
(
)
1
8;0 ;
F
( )
2
0; 8F
.
C.
( )
1
3; 0 ;F
( )
2
0; 3F
. D.
( )
1
8;0 ;F
(
)
2
8;0F
.
Li gii
Chn D.
( )
E
:
22
1
91
xy
+=
3a =
;
1b =
22
8c ab⇒= =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 10
Vy
( )
E
có các tiêu điểm là:
( )
1
8;0 ;F
( )
2
8;0F
.
Câu 10: Elíp có độ dài trc ln bng:
A.
25
. B.
. C.
10
. D.
5
.
Li gii
Chn C
T phương trình
( )
22
:1
25 9
xy
E +=
5a⇒=
.
Do đó
( )
E
có độ dài trc ln là
2 10a =
.
Câu 11: Cho
22
9 25 225xy+=
. Hi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoi tiếp
( )
E
A.
15
. B.
. C.
40
. D.
60
.
Li gii
Chn D.
Phương trình chính tắc ca
( )
E
:
22
1
25 9
xy
+=
.
Ta có
2
2
25
9
a
b
=
=
5
3
a
b
=
=
.
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoi tiếp
( )
E
4S ab=
60=
.
Câu 12: Cho
( )
E
có độ dài trc ln bng
26
, tâm sai
12
.
13
e =
Độ dài trc nh ca
( )
E
bng
A.
5
. B.
10
. C.
12
D.
24
.
Li gii
Chn B.
Ta có
2 26 13aa= ⇒=
.
12
12
13
c
ec
a
= = ⇒=
.
22
169 144 5b ac= −= =
.
Độ dài trc nh
2 10b =
.
Câu 13: Cho
( )
22
:16 25 100Ex y+=
điểm
M
thuc
( )
E
hoành độ bng
2
. Tng khong cách
t
M
đến
2
tiêu điểm ca
( )
E
bng
A.
5
. B.
22
. C.
43
. D.
3
.
Li gii
Chn A.
22
( ): 1
25 9
xy
E +=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 11
Ta có:
( )
22
:1
100 100
16 25
xy
E +=
2
2
100
16
100
25
a
b
=
=
5
2
2
a
b
=
=
Theo định nghĩa Elip thì với mọi điểm
( )
ME
ta có:
12
25MF MF a+==
.
Câu 14: Cho elip
( )
22
:1
54
xy
E +=
. T s gia tiêu c và độ dài trc ln bng
A.
5
4
. B.
5
5
. C.
35
5
. D.
25
5
.
Li gii
Chn B.
Ta có:
2
55aa=⇒=
;
2
42
bb
=⇒=
22
1c ab⇒= =
.
Vy t s gia tiêu c và đ dài trc ln bng
25
25
c
a
=
.
Câu 15: Phương trình chính tắc ca
( )
E
đ dài trc ln gp
2
lần độ dài trc nh đi qua điểm
( )
2; 2A
A.
22
1
24 16
xy
+=
. B.
22
1
36 9
xy
+=
. C.
22
1
16 4
xy
+=
. D.
22
1
20 5
xy
+=
Li gii
Chn D.
Gọi phương trình elip là
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
.
Theo bài ra ta có:
22
22
4
44
1
ab
ab
=
+=
22
22
4
44
1
4
ab
bb
=
+=
2
2
20
5
a
b
=
=
.
Vậy phương trình elip là
( )
22
:1
20 5
xy
E +=
.
Câu 16: Phương trình chính tắc ca
( )
E
nhận điểm
( )
4;3M
là một đỉnh của hình chữ nht cơ s
A.
22
1
16 9
xy
+=
. B.
22
1
16 4
xy
+=
. C.
22
1
16 3
xy
+=
. D.
22
1
94
xy
+=
Li gii
Chn A.
Gọi phương trình elip là
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 12
( )
4;3M
là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên
4a =
,
3b
=
.
Vậy phương trình elip là
( )
22
:1
16 9
xy
E +=
.
Câu 17: Phương trình chính tắc ca
(
)
E
khoảng cách gia các đưng chun bng
50
3
tiêu c bng
6
A.
22
1
64 25
xy
+=
. B.
22
1
89 64
xy
+=
. C.
22
1
25 16
xy
+=
. D.
22
1
16 7
xy
+=
Li gii
Chn C.
Gọi phương trình elip là
22
22
1
xy
ab
+=
.
Theo bài ra ta có
2
2
25
25
3
3
26
a
a
c
c
c
=
=

=
=
2 22
16b ac=−=
.
Vậy phương trình elip là
22
1
25 16
xy
+=
.
Câu 18: Trong mt phng
Oxy
, cho đường elip
( )
22
:1
94
xy
E +=
hai tiêu đim
1
F
,
2
F
.
M
đim
thuc
( )
E
. Tính
12
MF MF+
.
A.
5
B.
6
C.
3
D.
2
Li gii
Chn B
Phương trình của
( )
E
có dạng
22
22
1
xy
ab
+=
(
2 22
abc
= +
). Suy ra
2
9a =
3a
⇒=
.
Do
M
thuc
( )
E
nên
12
2MF MF a
+=
6
=
.
Câu 19: Trong mt phng Oxy cho elip
( )
22
:36Ex y+=
. Giá tr nào sau đây là tiêu cự ca elip?
A.
2
B.
3
C.
6
D.
4
Li gii
Chn D
Ta có
( )
22
: 1,
62
xy
E +=
dó đó
6, 2, 2ab c= = =
. Độ dài tiêu c
2 4.c =
Câu 20: Trong h trc ta đ
( )
Oxy
, cho elip
( )
22
44
:1
25 9
xy
E +=
. Độ dài tiêu c ca
( )
E
bng
A.
4
. B.
8
. C.
16
. D.
2
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 13
Li gii
Chn A.
Ta có
(
)
22
44
:1
25 9
xy
E
+=
22
1
25 9
44
xy
+=
22
22
1
53
22
xy
⇔+=
 
 
 
.
Do đó
22
5
2
2
3
2
a
c ab
b
=
⇒= =
=
. Vy đ dài tiêu c
12
24FF c= =
.
Câu 21: Cho elip
(
)
22
:1
25 9
xy
E
+=
. Trong các khẳng định sau, khng đnh nào sai?
A.
( )
E
có các tiêu điểm
( )
1
4;0
F
( )
2
4;0F
.
B.
( )
E
có tỉ s
4
5
c
a
=
.
C.
( )
E
có đỉnh
( )
1
5; 0A
.
D.
( )
E
có độ dài trc nh bng
3
.
Li gii
Chn D
Phương trình elip
( )
22
:1
25 9
xy
E
+=
nên ta có:
5; 3 4
ab c= =⇒=
.
Nên các đáp án A;B;C đúng.
Đáp án D sai vì độ dài trc nh bng
26b =
.
Câu 22: Trong mt phng
Oxy
cho
( )
E
có phương trình:
22
1
94
xy
+=
khng định nào sau đây đúng?
A.
( )
E
có tâm sai
5
3
e =
.
B.
( )
(
)
12
0; 5 , 0; 5FF
là các tiêu đim ca
( )
E
.
C. Độ dài trc ln là
9
.
D. Các đnh nm trên trc ln là
( )
1
0;3A
( )
2
0; 3A
.
Li gii
Chn A
Ta có:
2
2
93
2
4
aa
b
b
= =

=
=
2 22
945 5c ab c= =−==
A.
( )
E
có tâm sai
5
3
c
e
a
= =
. Đúng
B. Tiêu điểm ca
( )
E
là:
( )
( )
12
5;0 , 5;0FF
. Sai
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 14
C. Độ dài trc ln là :
12
26AA a
= =
. Sai
D. Các đnh trên trc ln là :
( )
( )
12
3; 0 , 3; 0AA
. Sai
Câu 23: Cho Elip có phương trình
2
2
1
4
x
y+=
. Một tiêu điểm của Elip có tọa đ là:
A.
( )
3;0A
. B.
(
)
0; 3B
. C.
( )
5;0
C
. D.
( )
0; 5D
.
Li gii
Chn A.
Ta có:
2 22
413c ab= = −=
.
Nên tiêu điểm của Elip có tọa đ là:
( )
( )
12
3;0 , 3;0FF
.
Câu 24: Cho Elip có phương trình
22
41xy+=
. Tiêu c ca Elip là:
A.
5
. B.
3
. C.
25
. D.
23
.
Li gii
Chn B
2
22 2
41 1
1
4
y
xy x+ =⇔+ =
.
Ta có :
2 22
13
1
44
c ab
= =−=
3
2
c⇔=
.
Tiêu c
23c =
.
Câu 25: Diện tích của t giác to nên bi các đnh ca elip
( )
2
2
:1
4
x
Ey+=
A.
8
. B.
4
. C.
2
. D.
6
.
Li gii
Chn B.
* Ta đ các đnh ca elip
( )
2
2
:1
4
x
Ey+=
( )
1
2;0A
,
( )
2
2;0A
;
( )
1
0; 1B
,
( )
2
0;1B
.
* Vì tứ giác
112 2
ABAB
là hình thoi có hai đường chéo
12
4AA =
12
2BB =
.
* Vy diện tích tứ giác cn tìm là
12 12
1
.4
2
S AA BB=⋅=
.
Câu 26: Trong mt phng
Oxy
cho elip phương trình
(
)
22
:1
25 9
xy
E +=
. Đưng thng
:4x∆=
ct
elip
( )
E
tại hai điểm
,M
N
. Tính độ dài đoạn thng
MN
?
A.
18
25
MN =
. B.
9
25
MN =
. C.
18
5
MN =
. D.
9
5
MN =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 15
Chn C
Thế
4x
=
vào phương trình elip
( )
E
ta được:
2
16
1
25 9
y
+=
9
5
y⇒=±
.
9
4; ,
5
M

−−


9
4;
5
N



Do đó:
18
5
MN
=
.
Câu 27: Trong h ta đ
( )
Oxy
, cho elip
(
)
22
:1
25 16
xy
E +=
. Bán kính qua tiêu của
( )
E
đạt giá tr nh
nht bng
A.
0
B.
1
C.
3
5
D.
2
Li gii
Chn D.
T phương trình elip ta
22
5
3
4
a
c ab
b
=
⇒= =
=
. Bán kính qua tiêu
1
c
MF a x
a
= +
vi
axa−≤
. Suy ra
1
a c MF a c
−≤ =+
hay
( )
1
min
53 2MF a c=−=−=
.
Câu 28: Mt elip
( )
E
phương trình
22
22
1
xy
ab
+=
, trong đó
0ab>>
. Biết
( )
E
đi qua điểm
( )
2; 2A
( )
2 2;0B
thì
( )
E
có độ dài trc bé là
A.
4.
B.
2 2.
C.
2.
D.
6.
Li gii
Chn A.
( )
E
đi qua
( )
2 2;0B
nên ta có
( )
2
2
22
22
0
1
ab
+=
suy ra
22a =
.
( )
E
đi qua
( )
2; 2A
nên ta có
(
)
( )
2
2
2
2
2
1
8 b
+=
suy ra
2b =
.
Do đó độ dài trc bé
24b =
.
Câu 29: Cho
( )
E
hai tiêu điểm
( )
1
4;0F
,
( )
2
4;0F
điểm
M
thuc
( )
E
. Biết chu vi tam giác
12
MF F
bng
18
. Khi đó tâm sai của
( )
E
bng
A.
4
18
. B.
4
5
. C.
4
5
. D.
4
9
.
Li gii
Chn B.
Ta có
12
8FF =
4c =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 16
12
1212 12
18 10 2 5
MF F
C MF MF F F MF MF a a
= + + = + = = ⇒=
.
Tâm sai ca elip:
4
5
c
e
a
= =
.
Câu 30: Cho
( )
E
có hai tiêu điểm
(
)
1
7;0
F
,
( )
2
7;0F
và điểm
9
7;
4
M



thuc
( )
E
. Gi
N
điểm đối xng vi
M
qua gốc ta đ
.O
Khi đó
A.
12
9
2
NF MF+=
. B.
21
9
2
NF MF+=
. C.
21
7
2
NF NF−=
D.
12
8
NF MF
+=
.
Li gii
Chn B.
N
đối xng vi
M
qua gốc ta đ
O
nên
9
7;
4
N



.
Ta có:
12 1 2
9 23 23 9
; ;;
44 44
MF MF NF NF
= = = =
.
Do đó
21
9
.
2
NF MF+=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 17
DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP
{ Phương trình chính tắc ca Elip có dạng:
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
vi
2 22
b ac=
; …}
Câu 1: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip đi qua điểm
5
2;
3
M



và có một tiêu điểm
( )
1
2;0F
.
b) Elip nhn
( )
2
5; 0
F
là một tiêu điểm và có độ dài trc nh bng
46
.
c) Elip có độ dài trc ln bng
25
và tiêu c bng 2.
d) Elip đi qua hai điểm
(
)
2; 2M
( )
6;1N
.
Li gii
a) Do
( )
E
có một tiêu điểm
( )
1
2;0F
nên
2c =
. Suy ra
2222
4
abcb=+=+
.
Mt khác,
( )
E
đi qua điểm
5
2;
3
M



nên
2
2
22 2 2
5
2 4 25
3
11
49ab b b



+ = +=
+
42 2
9 25 100 0 5bb b
=⇔=
hoc
2
20
9
b
=
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
(
)
22
:1
95
xy
E +=
.
b) Do
( )
E
có một tiêu điểm
( )
2
5; 0F
nên
5c
=
.
Theo gi thiết độ dài trc nh bng
46
nên
2 46 26bb= ⇔=
.
Suy ra
( )
2
2 22 2
5 2 6 49a bc=+=+ =
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
49 24
xy
E +=
.
c) Đ dài trc ln bng
25
nên
2 25 5aa= ⇔=
. Tiêu c bng 2 nên
22 1cc=⇔=
.
T h thc
2 22
abc= +
, suy ra
2 22
51 4b ac= = −=
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
54
xy
E +=
.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 18
d) Do
( )
E
đi qua
(
)
2; 2
M
(
)
6;1
N
nên ta h phương trình
2
22 2
2
22 2
42 11
1
8
8
61 11
4
1
4
a
ab a
b
ab b

+= =

=

⇔⇔

=

+= =


.
Vy Elip cn tìm có phương trình
(
)
22
:1
84
xy
E +=
.
Câu 2: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip có tổng đ dài hai trc bng 8 và tâm sai
1
2
e =
.
b) Elip có tâm sai
5
3
e =
và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20.
c) Elip có tiêu điểm
( )
1
2;0F
và hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
12 5
.
Li gii
a) Tng đ dài hai trc bng 8 nên
228ab+=
.
( )
1
Tâm sai
11
2
22
c
e ac
a
= = ⇔=
.
( )
2
T
( )
1
(
)
2
, ta có
228
4
2 4 42
1
2
22
2
ab
ab
cb b c
c
e
ac
ac ac
a
+=

+=
+= =−

⇔⇔

= =
=
= =


.
Thay vào h thc
2 22
abc= +
, ta được
( )
2
2 22
2 4 2 8 2 16 0 4 2 4c cc c c c= + + =⇔= ±
.
● Với
42 4c = +
, suy ra
8 42
4 42
a
b
= +
=−−
: không thỏa mãn.
Vi
42 4c =
, suy ra
8 42
4 42
a
b
=
=−+
. Do đó Elip cần tìm phương trình
( )
( )
( )
22
22
:1
8 42 42 4
xy
E +=
−−
.
b) Elip có tâm sai
5 53
33
5
c
e ac
a
= = ⇔=
.
( )
1
Mặt khác, Elip hình chữ nht cơ s chu vi bằng 20 nên
( )
2 2 2 20 5 5a b ab b a+ = +==
.
( )
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 19
Thay
(
)
1
( )
2
vào h thc
2 22
abc= +
, ta được
( )
2 22
2
2 22
55
3 3 3 30
5 5 25 0
5 55 5
5
c
c ac c cc c c
c
=
 
= +⇔ = +⇔− +=
 
 
=
.
● Với
55c =
, suy ra
15
10
a
b
=
=
: không thỏa mãn.
● Với
5c
=
, suy ra
3
2
a
b
=
=
. Do đó Elip cần tìm có phương trình
( )
22
:1
94
xy
E
+=
.
c) Elip có một tiêu điểm
( )
1
2;0F
nên
2c =
.
Diện tích hình chữ nhật cơ sở
22
2 .2 12 5 3 5 45S a b ab a b= = ⇔= =
.
( )
1
Mặt khác, ta có
2222
4
abcb
=+=+
.
(
)
2
Kết hp
( )
1
( )
2
, ta được
( )
22 2 2 4 2 2
45 4 45 4 45 0 5ab b b b b b= + =⇔+ ==
hoc
2
9
b =
.
Vi
2
5b =
, suy ra
2
9a =
. Do đó Elip cần tìm có phương trình
( )
22
:1
95
xy
E +=
.
Câu 3: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip đi qua điểm
( )
5;2M
và khong cách giữa hai đường chun bng 10.
b) Elip có tâm sai
3
5
e =
và khong cách t tâm đi xng của nó đến một đường chun bng
25
3
.
c) Elip có độ dài trc ln bằng 10 và phương trình một đường chun là
25
4
x =
.
d) Khong cách gia các đưng chun bằng 36 bán kính qua tiêu điểm của điểm
M
thuc
Elip là 9 và 15.
Li gii
a) Elip đi qua điểm
( )
5;2
M
nên
22
54
1
ab
+=
.
( )
1
Khong cách gia hai đưng chun ca Elip bng 10 nên
2
2
2. 10 5 5 5
a aa
ac
e ec
= ⇔= = =
.
( )
2
T
( )
2
, kết hp vi h thc
2 22
abc= +
, ta được
2 22 2
5b a c cc=−=
.
( )
3
Thay
( )
2
,
( )
3
vào
( )
1
, ta được
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 20
2
2
54
1 6 90 3
55
cc c
c cc
+ = +==
.
Vi
3
c =
, suy ra
2
2
15
6
a
b
=
=
. Do đó Elip cần tìm có phương trình
( )
22
:1
15 6
xy
E +=
.
b) Ta có
3 33
5 55
c
e ca
a
= =⇔=
.
Elip có khoảng cách t tâm đi xng
O
đến một đường chun mt khong bng
25
3
nên
22
25 25 25
5
3
33 3
5
aa a
a
ec
a
= = = ⇔=
.
Vi
5a =
, suy ra
3c =
2 22
16b ac=−=
.
Do đó Elip cần tìm có phương trình
( )
22
:1
25 16
xy
E +=
.
c) Elip có độ dài trc ln bng 10 nên
2 10 5aa= ⇔=
.
Mặt khác, Elip có phương trình một đường chun
22
25 25 25 5 25
4
44 4 4
aa
xc
ec c
= = = = ⇔=
.
Suy ra
2 22
25 16 9bac=−==
. Do đó Elip cần tìm có phương trình
( )
22
:1
25 9
xy
E
+=
.
d) Elip có khoảng cách giữa hai đường chun bằng 36 nên
22
2. 36 2. 36 18
a aa
e cc
= =⇔=
.
Mặt khác, ta có
1
2
9
15
MF a ex
MF a ex
=+=
=−=
suy ra
2 24 12aa
= ⇔=
.
Vi
12a =
, suy ra
8c =
2 22
144 64 80b ac=−= =
. Do đó Elip cần tìm phương trình
( )
22
:1
144 80
xy
E +=
.
Câu 4: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết:
a) Elip có hình chữ nhật cơ sở ni tiếp đường tròn
( )
22
: 41Cx y+=
và đi qua điểm
( )
0;5A
.
b) Elip hình chữ nht cơ s ni tiếp đường tròn
( )
22
: 21Cx y+=
điểm
( )
1; 2M
nhìn hai
tiêu điểm của Elip dưới một góc
0
60
.
c) Mt cạnh hình chữ nht s ca Elip nm trên
: 50dx−=
và đ dài đường chéo hình chữ
nht bng 6.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 21
d) T giác
ABCD
hình thoi có bốn đnh trùng vi các đnh của Elip. Bán kính của đưng tròn
ni tiếp hình thoi bằng
2
và tâm sai ca Elip bng
1
2
.
Li gii
a) Elip đi qua
( )
0;5A Oy
, suy ra
5b
=
.
Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
;5x ay=±=±
.
Suy ra một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở
( )
;5a
. Theo gi thiết
( )
;5a
thuộc đường tròn
(
)
C
22
25 41 16
aa⇔+==
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
16 25
xy
E +=
.
b) Theo gi thiết bài toán, ta có
0
12
60F MF =
suy ra
222 0
12 1 2 1 2
2 . .cos 60
F F MF MF MF MF=+−
( ) ( ) ( )
( )
22 22
2
1
4 1 4 1 4 2 1 4. 1 4.
2
cc c c c = + ++ +− + + +
( ) (
) (
)
( )
22 22
22 2
4 2 10 1 4. 1 4 1 4. 1 4 10 2
cc cc cc c = + + + +⇔ + + +=
(
) (
)
( )
2
2
2
22
2
42
10 2 0
05
23 4 19
.
3
1 4 . 1 4 10 2
3 46 75 0
c
c
c
cc c
cc
−≥
<≤
±

⇔=


+ + +=
+=

Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
;x ay b=±=±
.
Suy ra mt đnh của hình chữ nht s
( )
;ab
. Theo gi thiết
( )
;ab
thuc đưng tròn
(
)
C
nên
22
21ab+=
.
Lại có
2 22
abc= +
, suy ra
22 2
ab c−=
.
● Với
2
23 4 19
3
c
+
=
, ta có
22
2
22
2
43 2 19
21
3
23 4 19
20 2 19
3
3
ab
a
ab
b
+
+=
=


+
−=

=
.
Suy ra
( )
22
:1
43 2 19 20 2 19
33
xy
E +=
+−
.
● Với
2
23 4 19
3
c
=
, ta có
22
2
22
2
43 2 19
21
3
23 4 19
20 2 19
3
3
ab
a
ab
b
+=
=


−=
+

=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 22
Suy ra
( )
22
:1
43 2 19 20 2 19
33
xy
E
+=
−+
.
Vậy có hai Elip cần tìm tha yêu cu bài toán:
(
)
22
:1
43 2 19 20 2 19
33
xy
E +=
+−
hoc
( )
22
:1
43 2 19 20 2 19
33
xy
E
+=
−+
.
c) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
;x ay b=±=±
.
Theo gi thiết, mt cạnh hình chữ nhật cơ sở
: 50dx−=
, suy ra
5a
=
.
Độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bng 6 nên
22 22 2 2
4 4 6 4 4 36 20 4 36 4ab ab b b
+=+=+==
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
54
xy
E +=
.
d) Elip có tâm sai
11
2
22
c
e ac
a
= =⇔=
.
Elip có các đnh
( ) (
) (
) ( )
1212
;0 , ;0 , 0; , 0;AaAaB bBb−−
. Gi
H
hình chiếu ca
O
lên
22
AB
.
Theo gi thiết suy ra bán kính của đường tròn đã cho bằng
OH
. Ta có
2
2222222222
1 1 1 111 11 1 11 1 7
2 24 24 3 6
c
OH OA OB a b c a c c c
= + ⇔= + ⇔= + ⇔= + =
.
Suy ra
22
14
4
3
ac= =
2 22
7
2
b ac=−=
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
14 7
32
xy
E +=
.
Câu 5: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết
a) T giác
ABCD
là hình thoi có bốn đỉnh trùng vi các đnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc vi
các cnh của hình thoi có phương trình
( )
22
:4Cx y+=
2AC BD=
,
A
thuc
Ox
.
b) Elip có đ dài trc ln bằng 8 và giao điểm ca Elip vi đưng tròn
( )
22
:8Cx y+=
to thành
bốn đỉnh ca một hình vuông.
c) Elip có tâm sai
1
3
e =
và giao điểm ca Elip với đường tròn
(
)
22
:9Cx y+=
ti bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
sao cho
AB
song song vi
Ox
3AB BC=
.
d) Elip có độ dài trc ln bng
42
, các đỉnh trên trc nh và các tiêu điểm ca Elip cùng nm
trên mt đường tròn.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 23
Li gii
a) Gi s một đỉnh của hình thoi là
( )
;0Aa
. Suy ra
2AC a=
2BD b=
.
Theo gi thiết
2 2 2.2 2
AC BD a b a b= = ⇔=
.
Đưng tròn
(
)
C
2R =
. Gi
H
là hình chiếu ca
O
lên
AB
vi
( )
0;Bb
. Khi đó ta có
2 2 22
1 1 1 11
4OA OB OH R
+= ==
2
22 22
111 1 11
5
44 4
b
ab bb
+= +==
.
Suy ra
2
20a =
. Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
20 5
xy
E
+=
.
b) Elip có độ dài trc ln bng 8 nên
28 4aa=⇔=
.
Do
( )
E
( )
C
đều có tâm đi xng là
O
và hai trc đi xng là
Ox
Oy
nên hình vuông
to bi giữa chúng cũng tính chất tương tự. Do đó ta giả s gi mt đnh của hình vuông
(
)
;
M xx
vi
0x
>
. Vì
( )
MC
22 2
84xx x+==
suy ra
(
)
2 2; 2xM=
.
Ta có
( )
2
22 2
4 4 4 4 16
11
16 3
ME b
ab b
+=⇔+==
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
16
16
3
xy
E +=
.
c) Elip có tâm sai
11
3
33
c
e ac
a
= =⇔=
.
Đặt
BC x=
vi
0x
>
, suy ra
3AB x=
. Gi s một đỉnh
31
;
22
A xx



. Ta có
( )
22 2
9 1 18
9
44 5
AC x x x + =⇔=
suy ra
3 10 9 10 3 10
;
5 10 10
xA

=



.
Mt khác,
( )
( )
( )
2
2
22 22
22
81 9 81 9 9 9 81
1 11
10 10 10 80 80
10
10 3
AE c
ab cc
ac
c
+ = + = + =⇔=
.
Suy ra
22
729
9
80
ac= =
2 22
81
10
b ac=−=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 24
Vy Elip cn tìm có phương trình
(
)
22
:1
729 81
80 10
xy
E +=
.
d) Độ dài trc ln bng
42
nên
2 42 22
aa
= ⇔=
.
Các đnh trên trc nh và các tiêu điểm cùng thuộc đường tròn nên
bc
=
.
T h thc
2 22 2 2
82 4a bc b b= + ⇔= =
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
84
xy
E +=
.
Câu 6: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết
a) Elip có hai đnh trên trc nh cùng vi hai tiêu đim to thành một hình vuông diện tích
bng 32.
b) Elip một đỉnh hai tiêu điểm to thành mt tam giác đều chu vi hình chữ nht cơ s
ca Elip bng
( )
12 2 3+
.
c) Elip đi qua điểm
( )
2 3;2M
M
nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông.
d) Elip đi qua điểm
3
1;
2
M




và tiêu điểm nhìn trục nh dưới một góc
0
60
.
Li gii
a) Hai đnh trên trc nh và hai tiêu điểm to thành một hình vuông nên
bc=
.
Mt khác, diện tích hình vuông bằng 32 nên
2
2 .2 32 8cb b=⇔=
.
Suy ra
2 22
16abc=+=
. Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
16 8
xy
E
+=
.
b) Chu vi hình chữ nhật cơ sở
( )
( )
( )
( )
1223 222 1223 323C a b ab= +⇔ += +⇔+=+
.
( )
1
Gi s tam giác
12 2
FFB
đều cnh
12
2FF c=
mà
2 12
BO FF
suy ra
2 12
33
.2 3
22
OB F F b c c= ⇔= =
.
( )
2
T
( )
1
( )
2
, suy ra
( ) ( )
32 3 32 3 3ab c=+−=+−
.
Thay vào h thc
2 22
abc= +
, ta được
( )
( ) ( )
2
2
22 2
6 33 3 3 632 3 6 33 0 3c cc c c c

+−=++ ++==

hoc
12 3 21c =−−
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 25
Vi
3
c =
, suy ra
6a =
33b =
. Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
36 27
xy
E +=
.
c) T gi thiết, ta suy ra
0
12
90
F MF
=
hay
12
MF MF
( )( )
2
12
. 0 23 23 4 0 16MF MF c c c = ⇔−− + = =
 
.
Hơn nữa
(
)
E
qua
M
nên
22 4 2 4 2
22 2 2
12 4 12 4
1 1 12 4 64 16 64 8
16
bb b bb b
ab b b
+= += + +=+ ⇔=⇔=
+
.
Suy ra
2 22
24
abc=+=
. Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
24 8
xy
E +=
.
d) T gi thiết, ta suy ra
0
11 2
60BFB =
mà
11 12
FB FB=
. Suy ra tam giác
112
FBB
đều cnh
12
2BB b=
nên
1 12
33
23
22
FO B B c b c b= ⇔= ⇔=
.
( )
1
Hơn nưa
( )
E
qua
3
1;
2
M




nên
2
22 22
13 1 3
1 11
4 44
b
ab bb
+=⇔+==
.
( )
2
T
( )
1
( )
2
, kết hp vi h thc
2 22
abc= +
, ta được
2
4a =
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
41
xy
E
+=
.
Câu 7: Lập phương trình chính tắc ca Elip, biết
a) Elip có mt tiêu đim
( )
1
3;0F
và đi qua đim
M
, biết tam giác
12
F MF
có diện tích bng
1 và vuông tại
M
.
b) Elip đi qua ba đỉnh ca tam giác đu
ABC
. Biết tam giác
ABC
trc đi xng là
Oy
,
( )
0; 2
A
và có diện tích bằng
49 3
12
.
c) Khi
M
thay đi trên Elip thì đ dài nh nht ca
OM
bng 4 và đ dài ln nht ca
1
MF
bng 8 vi
1
F
là tiêu điểm có hoành độ âm ca Elip.
Li gii
a) Elip có tiêu điểm
( )
1
3;0F
, suy ra
3c =
.
Gi
(
) ( )
;M xy E
. Theo gi thiết, ta có
12
12
1
1 .1
2
F MF
S MF MF
=⇔=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 26
( )( )
2
2 22 2 2
2
1
1 2 .2
2
c
a ex a ex a e x a x
a
+ =⇔− =⇔− =
( )
22
22 2
2
2
3
.2
3
aa
ax x
a
⇔− ==
.
( )
1
Cũng từ
12
MF MF
, ta có
( )( ) ( )( )
12
.0 0MF MF c x c x y y
= +− =
 
222
3xyc⇔+==
.
(
)
2
T
(
)
1
( )
2
, ta có
(
)
22
42
22
2
92
33
33
aa
aa
yx
−+
=−= =
.
Do đó
( )
( )
( )
22 2 4 2
22
2
29 2
;1 1
3
33
xy a a a
M xy E
ab
a
−+
⇔+= + =
( )( )
2 2 422 2
2 39 2 3 9 4a a aaa a +− + = =
.
Suy ra
2
1
b =
. Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
41
xy
E
+=
.
b) Tam giác
ABC
đều, điểm
( )
0; 2A Oy
và trc đi xng là
Oy
nên hai điểm
,
BC
đối
xứng nhau qua
Oy
.
Gi s
(
)
;B xy
vi
0, 2xy><
, suy ra
( )
;C xy
. Độ dài cnh ca tam giác là
2x
.
Theo gi thiết, ta có
( )
2
23
49 3 49 3
12 4 12
ABC
x
S
=⇔=
, suy ra
7
23
x
=
.
Đưng cao ca tam giác đu
23 7 7 3
32
2 2 22
x
h x yy= = = ⇔−= =
.
Suy ra
73
;
2
23
B



.
Đến đây bài toán trở thành viết phương trình Elip đi qua hai điểm
( )
0; 2A
73
;
2
23
B



.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
28
4
5
xy
E +=
.
c) Đ dài nh nht ca
OM
bng 4 nên
4b =
.
Mt khác, ta lại có độ dài ln nht ca
1
MF
bng
8
nên
8ac+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 27
T đó ta có hệ phương trình
2 22 2 2
88
16
ac ac
abc a c
+= +=


=+=+

suy ra
5
3
a
c
=
=
.
Vy Elip cn tìm có phương trình
( )
22
:1
25 16
xy
E
+=
.
Câu 1: Phương trình chính tắc của Elip là
A.
22
22
1
xy
ab
+=
. B.
22
22
1
xy
ab
−=
.
C.
( )
22
22
10
xy
ab
ab
+ = >>
. D.
22
22
1
xy
ab
−=
.
Li gii
Chn C
Câu 2: Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bng
6
và trc ln bng
10
.
A.
22
1
25 9
xy
+=
. B.
22
1
100 81
xy
+=
. C.
22
1
25 16
xy
−=
. D.
22
1
25 16
xy
+=
.
Li gii
Chn D
Gọi phương trình elip là
22
22
1
xy
ab
+=
.
Vì trc ln bng
10
nên
2 10 5aa= ⇒=
.
Elip có tiêu cự bng
6
nên
22
26 3 3 4c c ab b=⇒= ==
.
Vậy phương trình Elip là:
22
1
25 16
xy
+=
.
Câu 3: Phương trình của Elip
( )
E
có độ dài trc ln bng
8
, độ dài trc nh bng
6
là:
A.
22
9 16 144xy+=
. B.
22
9 16 1
xy+=
. C.
22
1
9 16
xy
+=
. D.
22
1
64 36
xy
+=
.
Li gii
Chn A
Gi
( ) (
)
22
22
: 1;
xy
E ab
ab
+= >
Độ dài trc ln là:
12
28 4AA a a= =⇒=
Độ dài trc nh là:
12
26 3BB b b= =⇒=
Vậy phương trình Elip là:
( )
22
22
: 1 9 16 144
16 9
xy
E xy+= + =
Câu 4: Cho
( )
E
hình chữ nht cơ s din tích bng
8
, chu vi bng
6
thì phương trình chính tắc là:
A.
22
1
21
xy
+=
. B.
22
1
41
xy
+=
.
BÀI TP TRC NGHIM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 28
C.
22
1
42
xy
+=
. D.
22
1
16 4
xy
+=
.
Li gii
Chn B
Ta có:
22 8
226
ab
ab
⋅=
+=
2
1
a
b
=
=
. Vy PTCT ca
(
)
E
:
22
1
41
xy
+=
.
Câu 5: Cho
( )
E
có tiêu điểm
( )
1
4;0F
,
( )
2
4;0F
, tâm sai
4
5
e =
thì phương trình là:
A.
22
4 5 20xy+=
. B.
22
16 25 400xy+=
.
C.
22
9 25 225xy+=
. D.
22
9 16 144xy+=
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
1
4;0
4
5
F
e
=
4
5
c
a
=
=
2
25 16 9b=−=
Vy PTCT ca
( )
E
:
22
1
25 9
xy
+=
22
1
25 9
xy
+=
22
9 25 225xy⇔+ =
.
Câu 6: Trong mt phng vi h trc ta đ
Oxy
, cho elip
( )
E
có đ dài trc ln bng 12 và đ dài trc
bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip
( )
E
A.
22
1
144 36
xy
+=
. B.
22
1
9 36
xy
+=
. C.
22
1
36 9
xy
+=
. D.
22
0
144 36
xy
+=
.
Li gii
Chn C
Phương trình chính tắc của elip có dạng
(
)
( )
22
22
: 1 , 0
xy
E ab
ab
+= >
.
Ta có
6a =
,
3b =
, vậy phương trình của Elip là:
22
1
36 9
xy
+=
.
Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng
1
3
và trc ln bng
6
.
A.
22
1
93
xy
+=
. B.
22
1
98
xy
+=
. C.
22
1
95
xy
+=
. D.
22
1
65
xy
+=
.
Li gii
Chn B
Phương trình chính tắc của Elip có dạng
( )
22
22
10
xy
ab
ab
+ = >>
.
Theo gi thiết:
11
33
c
e
a
=⇒=
3
ac⇒=
26 3aa=⇔=
1c⇒=
Khi đó:
222 22
31a bc b=+⇔=+
2
8b⇔=
22b⇔=
Vậy phương trình chính tắc ca Elip là:
22
1
98
xy
+=
.
Câu 8: Phương trình Elip có trục ln bng
25
và một tiêu điểm
( )
1
1; 0F
là:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 29
A.
22
4 5 20xy+=
. B.
22
4 5 12xy
+=
. C.
22
5 4 20xy
+=
D.
22
5 4 12xy
+=
.
Li gii
Chn A
Ta có:
2 25 5aa= ⇔=
.
2
2 22 2
514
b ac= = −=
.
Vậy phương trình Elip có dạng:
22
22
1 4 5 20
54
xy
xy
+= + =
.
Câu 9: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có độ dài trc ln bng
8
, trc nh bng
6
A.
22
1
64 36
xy
+=
. B.
22
1
9 16
xy
+=
. C.
22
9 16 1xy+=
. D.
22
1
16 9
xy
+=
.
Li gii
Chn B
Ta có:
28
26
a
b
=
=
4
3
a
b
=
=
.
Vậy phương trình chính tắc ca
( )
E
:
22
1
16 9
xy
+=
Câu 10: Phương trình chính tắc ca
(
)
E
có tâm sai
4
5
e =
, độ dài trc nh bng
12
A.
22
1
25 36
xy
+=
. B.
22
1
64 36
xy
+=
. C.
22
1
100 36
xy
+=
. D.
22
1
36 25
xy
+=
.
Li gii
Chn C
Ta có:
4
5
2 12
e
b
=
=
54
6
ca
b
=
=
22
25 16
6
ca
b
=
=
( )
22 2
25 16
6
ab a
b
−=
=
10
6
a
b
=
=
.
Vậy phương trình của
( )
E
:
22
1
100 36
xy
+=
.
Câu 11: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có độ dài trc ln bng
6
, t s gia tiêu c và đ dài trc ln
bng
1
3
A.
22
1
93
xy
+=
. B.
22
1
98
xy
+=
. C.
22
1
19 5
xy
+=
. D.
22
1
65
xy
+=
.
Li gii
Chn B
* Do độ dài trc ln bng 6 nên
26a =
3.a⇒=
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 30
* Do t s gia tiêu c và đ dài trc ln bng
1
3
nên
21
23
cc
aa
= =
3
ac
⇒=
1c⇒=
.
* Ta có:
2 22
918b ac= = −=
(
)
22
:1
98
xy
E
+=
.
Câu 12: Elip có hai đỉnh
( )
3; 0
;
( )
3; 0
và hai tiêu điểm
( )
1; 0
( )
1; 0
có phương trình chính tắc là
A.
22
1
89
xy
+=
. B.
22
1
98
xy
+=
. C.
22
1
94
xy
+=
. D.
22
1
92
xy
+=
.
Li gii
Chn B
Theo đề bài ta có
2 22
3
8
1
a
b ac
c
=
=−=
=
.
Vậy phương trình chính tắc của Elip đã cho là
22
1
98
xy
+=
Câu 13: Phương trình chính tắc ca
(
)
E
đ dài trc ln gp
2
lần độ dài trc nh và tiêu c bng
43
A.
22
1
36 9
xy
+=
. B.
22
1
36 24
xy
+=
. C.
22
1
24 6
xy
+=
. D.
22
1
16 4
xy
+=
.
Li gii
Chn D
* Do độ dài trc ln gp
2
lần độ dài trc nh nên
2 2.2ab
=
2.
ab⇒=
* Do tiêu c bng
43
nên
2 43c =
23
c⇒=
.
* Ta có:
2 22
b ac=
22
4 12
bb⇔=
2
b⇒=
4a⇒=
( )
22
:1
16 4
xy
E +=
.
Câu 14: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có đường chun
40x +=
và tiêu điểm
( )
1; 0F
A.
22
1
43
xy
+=
. B.
22
1
16 15
xy
+=
. C.
22
1
16 9
xy
+=
. D.
22
1
98
xy
+=
.
Li gii
Chn A
* Do đường chun là
40x +=
4x⇔=
nên
4
a
e
=
2
4
a
c
⇔=
2
4ac⇒=
.
* Do có tiêu điểm
( )
1; 0F
nên
1c =
2,a⇒=
2 22
3b ac=−=
.
* Phương trình chính tắc ca
( )
E
( )
22
:1
43
xy
E +=
.
Câu 15: Phương trình chính tắc ca
( )
E
có tiêu cự bng
6
và đi qua điểm
( )
5; 0A
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 31
A.
22
1
100 81
xy
+=
. B.
22
1
15 16
xy
+=
. C.
22
1
25 9
xy
+=
. D.
22
1
25 16
xy
+=
.
Li gii
Chn D
* Do
( )
E
có tiêu cự bng
6
nên
26c
=
3.c⇒=
* Do
( )
E
đi qua điểm
( )
5; 0A
nên
5a =
2 22
25 9 16b ac = = −=
.
* Phương trình chính tắc ca
(
)
E
( )
22
:1
25 16
xy
E +=
.
Câu 16: Elip có hai tiêu điểm
(
)
1
1; 0
F
;
( )
2
1; 0F
và tâm sai
1
5
e =
có phương trình là
A.
22
1
25 24
xy
+=
. B.
22
1
24 25
xy
+=
. C.
22
1
24 25
xy
+=
. D.
22
1
25 24
xy
+=
.
Li gii
Chn A
Phương trình chính tắc ca
( )
E
( )
22
22
10
xy
ab
ab
+ = >>
Tiêu điểm
(
)
1
1; 0 1
Fc
⇒=
Tâm sai
1
5
e =
1
55
5
c
ac
a
=⇔= =
2 22
25 1 24b ac = = −=
.
Vy
( )
22
:1
25 24
xy
E +=
.
Câu 17: Trong h trc ta đ
Oxy
, mt elip có đ i trc ln là
8
, độ dài trc bé là
6
thì có phương
trình chính tắc là.
A.
22
1
9 16
xy
+=
. B.
22
1
64 36
xy
+=
. C.
22
1
16 9
xy
+=
. D.
22
1
16 7
xy
+=
.
Li gii
Chn C
Độ dài trc ln là
828 4aa =⇔=
Độ dài trc nh
626 3bb =⇔=
Phương trình chính tắc ca elip là
22 22
22
11
16 9
xy xy
ab
+=+=
.
Câu 18: Các đnh ca Elip
( )
E
phương trình
22
22
1
xy
ab
+=
;
( )
0ab
>>
tạo thành hình thoi có mộtc
đỉnh là
60°
, tiêu c ca
( )
E
8
, thế thì
22
ab+=
?
A.
16
. B.
. C.
64
. D.
128
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 32
Li gii
Chn D
Gọi hình thoi là
ABCD
60A = °
.
Tiêu c
8
22
64ab−=
( )
1
.
Mt khác xét tam giác
AOB
vuông tại
O
có góc
30BAO = °
nên
tan 30OB OA= °
.tan 30ba⇔= °
3
3
a=
thay vào phương trình
( )
1
ta được
2
2
64
3
a =
2
96a =
2
32b⇒=
. Vy
22
128ab+=
.
Câu 19: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
E
đi qua điểm
( )
0;3M
. Biết khong cách ln nht
giữa hai điểm bt kì trên
( )
E
bng
8
. Phương trình chính tc ca Elip là
A.
22
1
9 16
xy
+=
B.
22
1
16 9
xy
+=
C.
22
1
9 64
xy
+=
D.
22
1
64 9
xy
+=
Li gii
Chn B
( ) ( )
0;3ME
3b⇒=
.
khong cách ln nht giữa hai điểm bt kì trên
( )
E
bng
8
4a⇒=
.
Phương trình chính tc ca
( )
E
:
22
1
16 9
xy
+=
.
Câu 20: Trong mt phng vi h trc ta đ
Oxy
cho đường elip
22
( ): 1
16 5
xy
E +=
hai điểm
( ) ( )
5; 1 , 1;1MN−−
. Điểm
K
thay đổi trên elip
()E
. Diện tích tam giác
MNK
ln nht bng
A.
95
. B.
9
2
. C.
9
. D.
18
.
Li gii
Chn C
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 33
+ Ta có
( )
. 4; 2 2 5MN MN= ⇒=

13
. : 2 3 0 hay :
22
MN x y MN y x += = +
( )
1
. .. ,
2
KMN
S MN d K MN
=
23
1
.2 5. 2
3
2
5
oo
oo
xy
xy
−+
= =
−+
vi
( )
;
oo
Kx y
KMN
S
ln nht khi
( )
,d K MN
ln nht.
+ Nhn thy
()E
có hai tiếp tuyến song song vi
MN
, gi
,AB
là hai tiếp điểm tươngng. Khi
đó
( )
,d K MN
ln nht khi
KB
.
+ Mà tiếp tuyến ti
( )
;
oo
Kx y
có phương trình là:
5
5
1
16 5 16
oo o
oo
xx yy x
hay y x
yy
+= = +
.
+ T đó ta có:
22
5
1
16 2
1
16 5
o
o
oo
x
y
xy
=
+=
5
8
8
3
oo
o
yx
x
=
= ±
85
;
33
K

⇒−


9
KMN
S
⇒=
Câu 21: Cho elip
( )
22
:1
16 9
xy
E +=
. Xét các đim
,MN
lần lượt thuc các tia
,Ox Oy
sao cho đường
thng
MN
tiếp xúc vi
( )
E
. Hỏi độ dài ngn nht ca
MN
là bao nhiêu?
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
Li gii
Chn B
Gi
( ) ( )
;0 , 0;Mm N n
vi
2 22
,0m n MN m n>⇒ = +
. Đường thng
:1
xy
MN
mn
+=
.
Cách 1: Dùng điều kin tiếp tuyến của elip chính tắc
+) Elip chính tắc
22
( ): 1
xy
E
ab
+=
và đường thẳng
:0Ax By C + +=
tiếp xúc vi nhau khi và
ch khi
22 22 2
aA bB C+=
.
+) Phương trình tiếp tuyến của elip chính tắc ti
00
(; )Mx y
là:
00
22
1
xy
xy
ab
+=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 34
MN
tiếp xúc vi
22
16 9
() 1E
mn
+=
. Ta có
2
2 2 22
16 9 (4 3)
1
m n mn
+
= +≥
+
22
min
49 7
m n MN
+≥ =
.
Cách 2: Dùng điều kin tiếp xúc
Đưng thng
:1
xy n
MN y x n
mn m
+=⇒= +
tiếp xúc vi elip khi và ch khi phương trình
2
2
1
16 9
n
xn
x
m

−+


+=
có nghiệm kép
2 22
2
2
12
10
16 9 9 9
n nn
xx
mm

+ + −=


có nghiệm kép
22 2
2
22
19
'0
9 144 6 16
nn m
n
mm
⇔∆ = + = =
.
Khi đó
2 4 2 22
22 2
22 2
9 56 784 ( 28)
49 49 7.
16 16 16
m mm m
MN m n m
mm m
−+
= += + = += +
−−
Nhận xét: C 2 cách làm trên hin tại không có trong chương trình ph thông, người ra bài
toán này không nắm được chương trình mới.
DNG 3: TÌM ĐIM THUC ELIP THA ĐIU KIN CHO TRƯC
Cho Elip có phương trình chính tắc:
( )
22
22
:1
xy
E
ab
+=
vi
2 22
b ac=
.
( )
( )
;M xy E
. Khi đó
1
MF a ex= +
: bán kính qua tiêu điểm trái.
2
MF a ex
=
: bán kính qua tiêu điểm phi.
Câu 1: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
(
)
22
:1
25 16
xy
E
+=
. Gi
1
F
,
2
F
hai tiêu đim
ca Elip;
A
,
B
là hai điểm thuc
( )
E
sao cho
12
8AF BF+=
. Tính
21
AF BF+
.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
95
xy
E
+=
. Gi
1
F
,
2
F
hai tiêu đim
của Elip trong đó
1
F
có hoành độ âm. Tìm tọa đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho
12
2MF MF=
.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
84
xy
E
+=
. Gi
1
F
,
2
F
hai tiêu đim
của Elip trong đó
1
F
có hoành độ âm. Tìm tọa đ điểm
M
thuc
(
)
E
sao cho
12
2MF MF−=
.
Li gii
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TP T LUN.
2
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 35
a) Ta có
2
25 5aa= ⇒=
. Do
( )
, AB E
nên
12
2 10AF AF a+==
12
2 10BF BF a+==
.
Suy ra
1212 21 21
20 8 20 12AF AF BF BF AF BF AF BF
+++=++= +=
.
b) Ta có
2
93aa
=⇒=
2
55
bb
=⇒=
. Suy ra
2 22
42c ab c= =⇒=
.
Gi
(
) (
)
;
M xy E
. Ta
( )
2
12
3
22
332
aa
MF MF a ex a ex x
ec
= ⇔+ = = = =
. Thay vào
( )
E
, ta được
2
2
9 15 15
1
4.9 5 4 2
y
yy
+ = = ⇔=±
.
Vy
3 15
;
22
M




hoc
3 15
;
22
M




.
c) Ta có
2
8 22aa=⇒=
2
42bb=⇒=
. Suy ra
2 22
42
c ab c= =⇒=
.
Gi
(
) ( )
;M xy E
. Ta
( )
12
1 22
22 2
2
a
MF MF a ex a ex x
ec
=⇔+ =⇔== = =
.
Thay vào
( )
E
, ta được
2
2
2
13 3
84
y
yy+ = =⇔=±
.
Vy
(
)
2; 3
M
hoc
(
)
2; 3M
.
Câu 2: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
9
:1
1
xy
E +=
. Tìm những điểm
M
thuc
( )
E
sao cho nó nhìn hai tiêu điểm ca
( )
E
dưới một góc vuông.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
2
2
:1
4
x
Ey
+=
vi hai tiêu đim
1
F
,
2
F
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho góc
0
12
60
F MF
=
.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
100 25
xy
E
+=
vi hai tiêu đim
1
F
,
2
F
.
Tìm ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho góc
0
12
120F MF
=
.
d) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
25 9
xy
E
+=
vi hai tiêu đim
1
F
,
2
F
trong
đó
1
F
có hoành độ âm. Tìm tọa đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho góc
0
12
120MF F =
.
Li gii
a) Ta có
2
93aa=⇒=
2
11bb=⇒=
. Suy ra
2 22
2 22c ab c= =⇒=
.
Gi
( ) ( )
;M xy E
. Ta có
0
12
90F MF =
nên
222
12 1 2
F F MF MF= +
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 36
(
)
(
)
22
2 2 22
22
4 32 2 2
8 63 3 7
32 18 2. .
98
22
c a ex a ex a e x
xx x
=+ +− = +
= + = ⇔=±
Thay vào
( )
E
, ta được
2
11
8
22
yy
=⇔=±
.
Vy
37 1
;
2222
M




,
37 1
;
22 22
M




,
37 1
;
2222
M




hoc
37 1
;
22 22
M

−−



.
b) Ta có
2
42aa
=⇒=
2
11bb=⇒=
. Suy ra
2 22
33c ab c= =⇒=
.
Gi
( )
(
)
;M xy E
. Ta có
222 0
12 1 2 1 2
2 . .cos 60
F F MF MF MF MF=+−
( ) ( ) ( )( )
22
2 2 22 2 22
2
2
2
1
4 2 . 12 2 2
2
12 32 4 2
.
39 3
c a ex a ex a ex a ex a e x a e x
a
xx
e
=+ +− + = + +
= = ⇔=±
Thay vào
( )
E
, ta được
22
32 1 1
1
9.4 9 3
yy y+ = =⇔=±
.
Vy
421
;
33
M




,
42 1
;
33
M




,
421
;
33
M




hoc
42 1
;
33
M

−−



.
c) Ta có
2
100 10aa= ⇒=
2
25 5bb= ⇒=
. Suy ra
2 22
75 5 3c ab c= = ⇒=
.
Gi
( ) ( )
;M xy E
. Ta có
222 0
12 1 2 1 2
2 . cos120F F MF MF MF MF=+−
( ) ( ) ( )(
)
22
2 2 22 2 22
2 22 22 2
1
4 2 300 2 2
2
300 3 300 300 0 0.
c a ex a ex a ex a ex a e x a e x
a ex ex x x

=+ +− + = + +


⇔=+ ⇔=+ ==
Thay vào
( )
E
, ta được
2
2
0
1 25 5
100 25
y
yy+ = = ⇔=±
.
Vy
( )
0;5M
hoc
(
)
0; 5M
.
d) Ta có
2
25 5aa= ⇒=
2
93
bb=⇒=
. Suy ra
2 22
16 4c ab c= = ⇒=
.
Gi
( ) ( )
;M xy E
. Ta có
222 0
2 1 12 1 12
2 . cos120MF MF F F MF F F=+−
( ) ( ) ( )
22
2
2
1
42 2
2
65
4 422 0 .
14
a ex a ex c a ex c
aex c ac ecx x

⇔− =+ + +


+ + + =⇔=
Thay vào
( )
E
, ta được
2
243 9 3
196 14
yy= ⇔=±
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 37
Vy
65 9 3
;
14 14
M




hoc
65 9 3
;
14 14
M

−−



.
Câu 3: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
(
)
22
:1
41
xy
E +=
và điểm
(
)
2;0C
. Tìm ta đ
các đim
A
,
B
thuc
( )
E
, biết rng
A
,
B
đối xng với nhau qua trục hoành và tam giác
ABC
là tam giác đu.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
41
xy
E +=
. Tìm ta đ các đim
A
B
thuc
( )
E
có hoành độ dương sao cho tam giác
OAB
cân ti
O
và có diện tích lớn nht.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
91
xy
E +=
và đim
( )
3; 0A
. Tìm ta đ
các đim
B
,
C
thuc
( )
E
sao cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, biết
B
có tung độ dương.
Li gii
a) a có
2
42
aa=⇒=
2
11bb=⇒=
. Suy ra
2 22
33c ab c
= =⇒=
.
Gi s
(
)
;Axy
suy ra
( )
;Bx y
. Theo gi thiết, tam giác
ABC
đều
( ) ( )
22
2 2 22 2
2 42 3AC AB x y y x y= ⇔− += ⇔− =
.
( )
1
Hơn nữa
( )
22
22
1 44
41
xy
AE x y + =⇔+ =
.
( )
2
T
( )
1
( )
2
, ta có
( )
2
2
2
2
22
2
2
23
1
4
0
44
7 16 4 0
x
x
xy
y
y
xy
xx
=
−=
=

⇔⇔

=
+=
+=
hoc
2
7
43
7
x
y
=
=
hoc
2
7
43
7
x
y
=
=
.
, AB
khác
C
nên
243
;
77
A




,
2 43
;
77
B




hoc
2 43
;
77
A




243
;
77
B




.
b) Do tam giác
OAB
cân ti
O
A
,
B
đều hoành độ dương nên
A
,
B
đối xng nhau
qua
Ox
.
Gi s
( )
;Axy
vi
0x >
, suy ra
( )
;Bx y
. Gi
H
hình chiếu ca
O
lên
AB
. Khi đó ta
11
.2
22
OAB
S AB OH y x x y
= = =
.
Áp dng bất đẳng thc
Cauchy
, ta có
2
2
1 2. .
42
xx
y y xy=+≥ =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 38
Do đó
1
OAB
S
. Du
'' ''=
xy ra khi và ch khi:
2
2
4
x
y=
.
Thay vào
( )
E
, ta được
22
22
2
1
4
1
1 1
1 2
2
yy
xy
yy + = =⇔=±+=
.
Suy ra
2
22xx
=⇒=
.
Vy
1
2;
2
A



1
2;
2
B



hoc
1
2;
2
A



1
2;
2
B



.
c) Gi
(
)
;B xy
vi
0x >
.
Do tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, suy ra
B
C
đối xứng nhau qua
Ox
nên
( )
;Cx y
.
Ta có
(
)
2
2
.0 3 0
AB AC AB AC x y =⇔− =
 
.
(
)
1
Hơn nữa,
( )
22
1
91
xy
BE ⇔+=
.
(
)
2
T
(
)
1
( )
2
, ta có
( )
( )
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
30
1
1
3
9
9
0
10
1
6 80
31 0
91
9
9
x
x
xy
y
y
x
xy
y
x
xx
x
−=
=
=
=

⇔⇔

=
+=

+=
−+ =

hoc
12
5
3
5
x
y
=
= ±
.
, AB
khác
C
nên
12 3
;
55
B



,
12 3
;
55
C



.
Câu 4: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
16 5
xy
E +=
hai đim
( )
5; 1
A −−
,
( 1;1)
B
. Xác đinh tọa đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho diện tích tam giác
MAB
ln nht.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
82
xy
E +=
và hai đim
( )
3; 4A
,
(5; 3)B
.
Tìm trên
( )
E
điểm
C
sao cho tam giác
ABC
có diện tích bằng 4,5.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
21
xy
E
+=
. Tìm trên
( )
E
nhng đim sao
cho khong cách t điểm đó đến đường thng
:2 3 1 0dx y +=
là ln nht.
Li gii
a) Gi
( ) ( )
;M xy E
nên
22
1
16 5
xy
+=
. Phương trình đường thng
: 2 30AB x y +=
.
Ta có
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 39
(
)
23
11
. , .2 5 2 3
22
5
MAB
xy
S AB d M AB x y
−+
= = =−+
.
Áp dng bất đẳng thc
Bunhiacopxki
, ta được
( )
( )
22
2
22
2
2
2
11
2 4. 2 5. 4 2 5 .36 1.36 36
4 4 16 5
55
y y xy
xy x x





−= + + =+ ==











.
Suy ra
26xy
−≤
nên
2 39xy +≤
.
Du
'' ''=
xy ra khi và ch khi:
8
1
5
3
4
4
25
5
2 39
3
y
x
x
y
xy
=

=


=
− + =
.
Vy
85
;
33
M



tha yêu cu bài toán.
b) Gi
( ) ( )
22
;1
82
xy
C xy E ⇔+=
.
( )
1
Phương trình đường thng
: 2 11 0AB x y+ −=
. Ta có
( )
2 11
11
. , 4,5 5 4,5 2 11 9
22
5
ABC
xy
S AB d C AB x y
+−
= = = ⇔+ =
2 11 9
2 11 9
xy
xy
+ −=
+ −=
.
( )
( )
2
3
T
( )
1
( )
2
, ta
( )
2
22
2
2
20 2
2 11 9
20 2
20 2
2 20 100 0
1
_1
82
82
xy
xy
xy
xy
y
y
yy
=
+ −=
=

⇔⇔

+=
+=
=

:
nghim.
T
( )
1
( )
3
, ta có
( )
2
22
2
22
2 11 9
13
22
13
1
_1
82
82
2
xy
xy
x
xy
y
y
y
=
+ −=
=

⇔⇔

+
+=
=
=

hoc
13
13
2
x
y
= +
=
.
Vy
13
1 3;
2
C

+



hoc
13
1 3;
2
C

+



.
c) Gi
( ) ( )
22
22
; 1 22
21
xy
M xy E x y + =⇔+ =
. Ta có
(
)
231
,
13
xy
dMd
−+
=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 40
Áp dng bất đẳng thc
Bunhiacopxki
, ta có
( )
( )
2
2
2
2
3 9 17
2 3 2. . 2 2 4 2. 17
22
2
xy x y x y



= + += =






.
Suy ra
2 3 17xy−≤
nên
2 3 1 17 1xy +≤ +
.
Du
'' ''=
xy ra khi và ch khi:
4
2
3
2
17
2
3
17
2 3 17
xy
x
y
xy
=
=



=

−=
.
Vy
( )
,dMd
ln nht bng
17 1
13
+
khi
43
;
17 17
M



.
Câu 5: a) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
94
xy
E +=
các đim
(
)
3; 0A
,
(
)
1; 0I
. Tìm tọa đ các đim
B
,
C
thuc
( )
E
sao cho
I
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
.
b) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
(
)
22
:1
25 9
xy
E +=
có hai tiêu đim
1
F
,
2
F
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho bán kính đường tròn ni tiếp tam giác
12
MF F
bng
4
3
.
c) Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho Elip
( )
22
:1
25 9
xy
E +=
có hai tiêu đim
1
F
,
2
F
. Tìm
ta đ điểm
M
thuc
( )
E
sao cho đường phân giác trong góc
12
F MF
đi qua điểm
48
;0
25
N



.
Li gii
a) Phương trình đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
có tâm
( )
1; 0I
, bán kính
2R IA= =
là:
( ) (
)
2
2
:1 4Cx y++=
.
Theo gi thiết, ta có
( ) ( )
,BC E C∈∩
nên ta đ điểm
,BC
là nghim ca h
( )
( ) ( )
22
22 22
22
22
2
22
2
2
4 9 36 4 9 36
1
4 9 36
94
5 18 9 0
919 36 914 0
14
xy
xy xy
xy
xx
xy xx
xy

+= +=
+=
+=

⇔⇔

+ +=
++ = +− =


++=
3
0
x
y
=
=
hoc
3
5
46
5
x
y
=
=
hoc
3
5
46
5
x
y
=
=
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 41
Vy
3 46
;
55
B

−−



,
346
;
55
C




hoc
346
;
55
B




,
3 46
;
55

−−



.
b) Ta có
2
25 5aa= ⇒=
2
93bb=⇒=
. Suy ra
2 22
16 4c ab c= = ⇒=
.
Hai tiêu điểm ca Elip là:
( )
1
4;0F
( )
2
4;0F
.
Gi
( ) ( )
;M xy E
. Ta có
12
.
MF F
S pr
=
(
)
( )
1 2 12
12 12
1
., .
22
1 44
.2 . . 4 9. 3 3.
2 33
MF MF F F
FF d M FF r
cy a c y y y
++
⇔=
= + = =⇔=±
Thay vào phương trình
( )
E
, ta được
2
9
10
25 9
x
x+=⇔=
.
Vy
( )
0;3M
hoc
( )
0; 3M
.
c) Ta có
2
25 5aa= ⇒=
2
93bb
=⇒=
. Suy ra
2 22
16 4c ab c= = ⇒=
.
Hai tiêu điểm ca Elip là:
( )
1
4;0F
( )
2
4;0F
.
Gi
( ) ( )
;M xy E
. Theo gi thiết
MN
là phân giác trong ca
12
F MF
, suy ra
11
22
52 4
12 25 0 12.5 25. 0 3
148 5
FN FM
a ex
a ex x x
F N F M a ex
+
= = + = + =⇔=
.
Thay vào phương trình
( )
E
, ta được
2
9 12
1
25 9 5
y
y+ =⇔=±
.
Vy
12
3;
5
M



hoc
12
3;
5
M

−−


.
Câu 1: Cho Elip
( )
22
: 1
16 9
xy
E +=
. Vi
M
đim bt nm trên
( )
E
, khng định nào sau đây
khẳng định đúng?
A.
4 5.OM≤≤
B.
5.OM
C.
3.OM
D.
3 4.OM≤≤
Li gii
Chn D.
T
( )
22
: 1
16 9
xy
E +=
, suy ra
4, 3ab= =
.
Vi một điểm bất kì trên
( )
E
, ta luôn có
3 4.b OM a OM≤≤≤≤
BÀI TP TRC NGHIM.
3
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 42
Câu 2: Elip đi qua điểm
3
1;
2
M




và có tiêu cự bng
23
thì có phương trình chính tắc là:
A.
22
1
43
xy
+=
. B.
22
1
41
xy
+=
. C.
22
1
31
xy
+=
. D.
22
1
1
4
4
xy
+=
.
Li gii
Chn B.
Gi s
( )
E
có PTCT là:
( )
²²
1 0
²²
xy
ab
ab
+ = >>
.
Ta có:
( )
3
1;
2
2 23
ME
c

−∈



=
22
22
13
1
4
3
ab
ab
+=
−=
2
2
4
1
a
b
=
=
Vy PTCT ca
( )
E
:
22
1
41
xy
+=
Câu 3: Cho Elip
(
)
22
:1
169 144
xy
E +=
điểm
M
nm trên
( )
E
. Nếu điểm
M
hoành độ bng
13
thì các khoảng cách t
M
ti
2
tiêu điểm ca
(
)
E
bng:
A.
8; 18
. B.
13 5±
. C.
10;16
. D.
13 10±
.
Li gii
Chn A
Ta có
=13a
,
= ⇒=12 5bc
Vy
1
8
M
c
MF a x
a
=+=
2
18
M
c
MF a x
a
=−=
Câu 4: Cho Elíp phương trình
22
16 25y 100x +=
. Tính tổng khong cách t điểm thuc elíp có
hoành độ
2x =
đến hai tiêu điểm.
A.
10
. B.
22
. C.
5
. D.
43
.
Li gii
Chn C
Phương trình chính tắc của elip có dạng
( )
(
)
22
22
: 1 , 0
xy
E ab
ab
+= >
.
Ta có :
5
2
a =
,
2b =
,
6c =
.
S dụng công thức bán kính qua tiêu
1
5 46
25
MF =
,
2
5 46
25
MF = +
12
5MF MF+=
.
ch 2: d thy
12
2a 5MF MF+==
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 43
Câu 5: Cho Elip
( )
22
: 1
25 9
+=
y
E
x
. Đường thng
( )
:4= dx
ct
( )
E
tại hai điểm
,
MN
. Khi đó:
A.
9
25
=MN
. B.
18
25
=MN
. C.
18
5
=MN
. D.
9
5
=MN
.
Li gii
Chn C
Theo gi thiết:
4= x
nên ta có phương trình:
( )
2
22
4
9
1
25 9 9 25
yy
+==
2
81
25
y⇔=
99
4;
55
99
4;
55
yM
yN

=⇒−



= −−


Khi đó:
( )
2
2
99
5 5
4
18
4
5

= −+ + + =


MN
.
Câu 6: Cho Elip phương trình:
22
1
16 4
xy
+=
.
M
đim thuc
( )
E
sao cho
12
MF MF=
. Khi đó
ta đ điểm
M
là:
A.
( ) ( )
12
0;1 , 0; 1MM
. B.
12
(0;2) , (0; 2)MM
.
C.
12
( 4; 0) , (4;0)MM
. D.
12
(0;4) , (0; 4)MM
.
Li gii
Chn B
Phương trình chính tắc của elip có dạng
( )
( )
22
22
: 1 , 0
xy
E ab
ab
+= >
.
Nên
4; 2ab= =
12
MF MF=
nên
M
thuộc đường trung trc ca
12
FF
chính là trục
Oy
M
là điểm thuc
( )
E
nên
M
là giao điểm ca elip và trc
Oy
Vy
12
(0;2) , (0; 2)MM
.
Câu 7: Dây cung ca Elip
( ) ( )
22
22
: 10
xy
E ba
ab
+ = <<
. vuông góc với trc ln ti tiêu điểm có độ dài là
A.
2
2
c
a
. B.
2
2b
a
. C.
2
2a
c
. D.
2
a
c
.
Li gii
Chn B
Gọi dây cung đó là
12
MM
như hình vẽ.
Gi s
( )( )
1
;0M cy y>
,
( )
22
1
22
1
cy
ME
ab
⇒+=
22 4
22
22
ac b
yb
aa
⇒= =
2
b
y
a
⇒=
Khi đó,
2
1
;
b
Mc
a



,
2
2
;
b
Mc
a



2
12
2
b
MM
a
⇒=
.
Câu 8: Cho
( )
E
:
22
1
16 9
xy
+=
và điểm
M
thuc
( )
E
. Khi đó độ dài
OM
tha mãn
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 44
A.
3OM
B.
34
OM≤≤
. C.
45OM≤≤
. D.
5OM
.
Li gii
Chn B
(
)
( )
;M xy E
nên
22
1
16 9
xy
+=
22
OM x y= +
.
Ta có
222222
16 16 16 9 9 9
xyxyxy
+≤+≤+
22
1
16 9
OM OM
≤≤
2
9 16OM⇔≤
34OM
⇔≤
.
Câu 9: Cho
( )
22
: 1.
25 9
xy
E +=
Đưng thng
:4dx=
ct
( )
E
tại hai điểm
M
,
N
. Khi đó, độ dài
đoạn
MN
bng
A.
9
5
. B.
9
25
. C.
18
5
. D.
18
25
.
Li gii
Chn C
Thay
4x =
vào phương trình đường elip ta được:
2
16 9
1
25 9 5
y
y+ =⇔=±
.
Ta đ hai giao điểm là
99
4; , 4;
55
MN

−−


.
Do đó,
18
5
MN =
.
Câu 10: Đưng thng
y kx=
ct
(
)
E
:
22
22
1
xy
ab
+=
tại hai điểm
M
,
N
phân biệt. Khi đó
M
,
N
A. Đối xứng nhau qua
( )
0;0O
. B. Đối xứng nhau qua
Oy
.
C. Đối xứng nhau qua
Ox
. D. Đối xứng nhau qua
( )
0;1I
.
Li gii
Chn A
Đưng thng
y kx=
đi qua
( )
0;0O
(
)
E
nhn gc ta đ làm tâm đi xứng. Do đó khi đường
thng
y kx=
ct
( )
E
ti
M
,
N
phân bit thì
M
,
N
đối xứng nhau qua
( )
0;0O
.
Câu 11: Cho elip
( )
22
:1
169 144
xy
E +=
điểm
M
thuc
( )
E
hoành độ
13
M
x
=
. Khong cách t
M
đến hai tiêu điểm ca
( )
E
lần lượt là
A.
10
6
. B.
8
18
. C.
13
5±
. D.
13
10±
Li gii
Chn B
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 45
Ta có
( )
( )
13
0 13; 0
M
M
x
yM
ME
=
⇒=
.
Ta có
2
169a =
;
2
144
b =
2
25 5cc = ⇒=
.
Các tiêu điểm ca
( )
E
( )
1
5; 0F
,
( )
2
5; 0F
, suy ra
1
8MF =
,
2
18
MF =
.
Câu 12: Cho elip
²²
( ): 1
25 16
xy
E +=
, vi tiêu đim
12
,FF
. Ly hai đim
, ()AB E
sao cho
11
A 8.F BF
+=
Khi đó,
22
A?F BF+=
A.
6
. B.
8
. C.
12
. D.
10
.
Li gii
Chn C
²²
Do ( ) : 1 ² 25 5
25 16
xy
E aa+ = = ⇒=
.
12
Do ( ) 2 10A E AF AF a∈⇔ + ==
.
12
Do ( ) 2 10B E BF BF a∈⇔ + ==
.
11 2 2
( ) ( ) 20AF BF AF BF
++ + =
22 22
8 ( ) 20 12AF BF AF BF⇔+ + = + =
.
Câu 13: Cho elip
²²
( ): 1
25 9
xy
E +=
. Tìm to độ điểm
()ME
sao cho M nhìn
12
,
FF
dưới mt góc
vuông:
A.
( 5; 0)
. B.
9
4;
5



. C.
(0; 4)
. D.
579
;
44




.
Li gii
Chn D
(; )
MM
Mx y
nhìn
12
,FF
dưới một góc vuông khi và chỉ khi
1
OM OF=
.
Do
22
²²
( ) : 1 25; 9 ² 25 9 16 4
25 9
xy
E ab c c
+ = = = = −= =
.
Để
22 22
1
4 16
MM MM
OM OF x y x y= +=⇔+=
.
Mt khác
22
22
( ) 1 9 25 225
25 9
MM
MM
xy
ME x y∈⇒+= + =
.
Ta có hệ:
2
22
22
2
175
57
16
16
4
81
9
9 25 225
16
4
M
M
MM
MM
M
M
x
x
xy
xy
y
y
=
= ±
+=

⇔⇒

+=

=
= ±
.
Câu 14: Trong mt phng ta đ
Oxy
cho
(
)
22
:1
16 5
xy
E +=
và hai đim
( ) ( )
5; 1 , 1;1AB−−
. Đim
M
bất kì thuộc
( )
E
, diện tích lớn nht ca tam giác
MAB
là:
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 46
A.
18
. B.
9
. C.
92
2
. D.
42
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
4; 2AB =

,
25AB =
.
Phương trình đường thng
đi qua
A
,
B
:
2 30xy +=
.
( )
( )( )
4cos ; 5 sin 0 2ME
ϕ ϕ ϕπ
≤≤
.
( )
1
.,
2
MAB
S AB d M
=
. Diện tích lớn nht khi và ch khi
( )
,dM
ln nht.
Ta có:
( )
,
4cos 2 5 sin 3 4cos 2 5 sin 3
55
M
d
ϕϕ ϕϕ
−+ +
=
( )
(
)
2
2
4 25 3
9
,
55
dM
+− +
∆≤ =
. Vy
( )
1
.,9
2
MAB
S AB d M
= ∆=
.
Câu 15: Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, cho elip
(
)
E
:
22
4 40
xy+ −=
. Tìm tt c nhng đim
N
trên elip
( )
E
sao cho:
0
12
60F NF =
(
1F
,
2
F
là hai tiêu điểm ca elip
( )
E
)
A.
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




hoc
42 1
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
B.
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
C.
421
;
33
N




hoc
42 1
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
D.
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




.
Li gii
Chn A
( )
2
2
1:
4
x
E y+=
22
4, 1ab⇒= =
2
3c⇔=
3c⇒=
.
Gi
( ) ( )
22
00
00 1 0
12
44
3
;2
2
23
xy
N x y E NF x
FF
+=
∈⇒ =+
=
;
20
3
2
2
NF x=
. Xét tam giác
12
F NF
theo h thc
ợng trong tam giác ta có:
( )
2
22 0
12 1 2 1 2
2 os60F F NF NF NF NF c=+−
( )
22
2
0000
3333
23 2 2 2 2
2222
xxxx

=+ + −+



CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 47
22
00
33
12 8 4
24
xx

=+ −−


2
0
9
8
4
x⇔=
2
0
32
9
x⇔=
0
0
42
3
42
3
x
x
=
=
2
0
1
9
y⇒=
0
0
1
3
1
3
y
y
=
=
.
Vậy có tất c 4 điểm tha
42 1
;
33
N

−−



hoc
421
;
33
N




hoc
42 1
;
33
N




hoc
421
;
33
N




.
Câu 16: Các hành tinh và các sao chi khi chuyển động xung quanh mặt tri có qu đạo là một đường
elip trong đó tâm mt tri là mt tiêu đim. Đim gn mt tri nht gi là điểm cn nht, điểm
xa mt tri nht gi là đim vin nht. Trái đt chuyn động xung quanh mt trời theo quỹ đạo
là một đường elip độ dài na trc ln bng
93.000.000
dm. T s khong cách gia đim
cn nht và đim vin nht đến mt tri là
59
.
61
Tính khoảng cách t trái đt đến mt tri khi trái
đất điểm cn nhật. Lấy giá tr gần đúng.
A. Xp x
91.455.000
dm. B. Xp x
91.000.000
dm.
C. Xp x
91.450.000
dm. D. Xp x
91.550.000
dm.
Li gii
Chn C
Ta có
93.000.000a =
59 93.000.000
61 61 59 59 1.550.000
61 60
60
ac a
a c a cc
ac
= = + ⇔= = =
+
Suy ra khong cách t trái đất đến mt trời khi trái đất điểm cn nht là:
91.450.000
Câu 17: Ông Hoàng có mt mảnh vườn hình elip chiu dài trc ln và trc nh lần lượt là
60m
và
30m
. Ông chia thành hai na bng một đường tn
tiếp xúc trong vi elip đ làm mc đích s dng khác
nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu
năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu.
Tính tỉ s din tích T gia phn trngy lâum so
vi diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được
tính theo công thức
S ab
π
=
trong đó
,ab
ln lưt là
đọ dài na trc ln và na trc bé ca elip. Biết đ
rng của đường elip không đáng kể.
A.
2
3
T =
. B.
1T =
. C.
1
2
T =
. D.
3
2
T =
.
CHUYÊN Đ VII TOÁN 10 – CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MT PHNG
Page 48
Li gii
Chn B
Diện tích hình tròn:
2
.15
T
S
π
=
, diện tích elip là
.15.30
E
S
π
=
.
T s diện tích
2
2
.15 15
1
.15.30 .15 30 15
T
ET
S
T
SS
π
ππ
= = = =
−−
.
| 1/353