-
Thông tin
-
Quiz
Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn – Nguyễn Tiến
Tài liệu gồm 103 trang hướng dẫn giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Tài liệu được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Tiến.
Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng (KNTT) 58 tài liệu
Toán 10 2.8 K tài liệu
Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn – Nguyễn Tiến
Tài liệu gồm 103 trang hướng dẫn giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Tài liệu được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Tiến.
Chủ đề: Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng (KNTT) 58 tài liệu
Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
MỤC LỤC
PHẦN A.................................................................................................................................................. 3
NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ......................................................... 3
KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ..................................................... 4
PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP ................................................................................................................ 6
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ ............................................................................. 6
A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. .................................... 6
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2
ax bx c 0 ...................................................... 7
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c ............................................................................. 11 1 1
D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; 2 2
x x …) .. 11 x x 1 2 1 2
E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. ............................................... 13
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN
PHỤ ................................................................................................................................................... 15
A. Giải và biện luận phương trình. ................................................................................................ 15
B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho
trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo, (, ) ;
,…) ................................................................................................................................... 17
C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. ... 19
D. Lập hệ thức liên hệ giữa x ; x sao cho x ; x độc lập đối giá trị tham số của phương trình. . 19 1 2 1 2
E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (: x x ; ... 19 1 2
F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn
nhất, nhỏ nhất. ............................................................................................................................... 19
G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại. ........... 19
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. ....... 20
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .. 28
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG .................................................................................... 28
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC ....................................................................... 31 A 0 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: . A B 0
....................................................................... 33 B 0
IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................ 35
Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ........................................................... 35
Dạng 2: Phương trình: x a x bx cx d ,
e trong đó a+b=c+d ................................. 35
Dạng 3: Phương trình x ax bx cx d 2
ex , trong đó ab cd . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 2
x x 0 . Phương trình tương đương: .................................................... 35 Sưu tầ Trang 1
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 4 4
Dạng 4: Phương trình x a x b c . ta đưa về phương trình trùng phương .................... 35
Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai ............................................................ 37
BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ............................................ 40
HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A ........................................................................................................ 41
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ ........................................................................... 41
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2
ax bx c 0 .................................................... 41
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c ............................................................................. 42 1 1
D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( 2 2
; x x …) .. 43 x x 1 2 1 2
E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. ............................................... 44
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN
PHỤ ................................................................................................................................................... 46
BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. ............................................................ 46
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .. 79 A 0 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: . A B 0
....................................................................... 79 B 0
IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................ 81 PHẦN B
PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP .......................................... 88
I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 88
II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC................................................................................ 91
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: ......................................................................................... 92
V. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ................................................................................................... 99
VI. NHIỀU CĂN BẬC LẺ:............................................................................................................. 101
VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ ....................................... 102 Sưu tầ Trang 2
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 PHẦN A
NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phương trình bậc nhất một ẩn:
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax b 0 trong
đó x là ẩn số ; a , b là các số cho trước gọi là các hệ số a 0 . b
Phương pháp giải: ax b 0 ax b x . a Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải các phương trình: a) 2x 1 0 . b) x 2018 0 . c) 2x 3 2 0. Giải 1 a) 2x 1 0 x
. Vậy phương trình có nghiệm 1 x . 2 2 b) x 2018 0 x
2018 . Vậy phương trình có nghiệm x 2018 . c) 2x 3 2 0 2x 3 2 x
3. Vậy phương trình có nghiệm x 3 .
Bài 2: Giải các phương trình: x 1 x 1 2 x a) 1 b) x 1 x 5 c) 2 x 1 1 2 4 3 3 Giải x 1 x 1 a) 1 2x 2 4 x 1 x
1.Vậy pt có nghiệm x 1. 2 4 2 1 b) x 1 x 5 x 6 x
18 . Vậy phương trình có nghiệm x 18 . 3 3 x 9 c) 2 x 1 1 5x 9 x
. Vậy phương trình có nghiệm 9 x . 3 5 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1.
Giải các phương trình sau: a) 6 3x 9 . d) 2 x 1 4 x . g) 2 x 1 3 x . b) 3x 2 x 3 . e) 5x 6 3x . h) 3x 5 x 1 . c) 3x 4 2 . f) 2x 1 3x 5 . i) 2x 4 6 . Đáp số: a) x 5 . 2 5 d) x . g) x . 1 3 3 b) x . 2 e) x 3 . h) x 3 . c) x 2 . f) x 6 . 6 4 i) x . 2 Sưu tầ Trang 3
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Định nghĩa 2
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax bx c 0 , trong đó x là
ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 .
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 2 2
Đối với phương trình bậc hai ax bx c 0 a
( 0) và biệt thức b 4ac : b b
Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 2a 2 2a . b
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x 1 2 2a .
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
3. Công thức nghiệm thu gọn 2 2
Đối với phương trình bậc hai ax bx c 0 a
( 0) và b 2b , b ac : b b
Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 a 2 a . b
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x 1 2 a .
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet 2
Định lí Viet: Nếu x ,x
1 2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 a ( 0) thì: b c
x x ; x x 1 2 a 1 2 a
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: 2 2
X SX P 0
(Điều kiện để có hai số đó là: S 4P 0 ).
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai 2
Cho phương trình bậc hai:
ax bx c 0 a ( 0) (1)
(1) có hai nghiệm trái dấu P 0 Sưu tầ Trang 4
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 0
(1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0
(1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0
(1) có hai nghiệm âm phân biệt
P 0 S 0
Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
Nếu nhẩm được: x x m n; x x mn 1 2 1 2
thì phương trình có nghiệm
x m, x n 1 2 . c
Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x 1 2 a . c
Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x 1 2 a . Sưu tầ Trang 5
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. Phương pháp 2
: Học sinh xác định đúng dạng của phương trình bậc hai là ax bx c 0 và các hệ số , a ,
b c tương ứng với điều kiện a 0 . Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số , a ,
b c của mỗi phương trình ấy. 1 2 3 2 2
a)x 5 0 b) x 3x 6 0 c) 2x 5x 0 2 2 2
d ) x 3x 0 e) 2x - 5 = 0 f) -3x 2x 4 0
Giải: Phương trình bậc hai là các phương trình a; c; d; f Phương trình 2
x 5 0 có các hệ số a 1; b 0, c 5 Phương trình 1 1 2 2x 5x
0 có các hệ số a 2; b 5; c 2 2 Phương trình 2
x 3x 0 có các hệ số a 1; b 3; c 0 Phương trình 2
-3x 2x 4 0 có các hệ số a 3
; b 2; c 4
Lưu ý: Dạng toán này đơn giản nhưng cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải chỉ rõ
được đúng hệ số để khi giải bài toán bằng công thức nghiệm thay số chính xác.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài A.1: Chỉ ra hệ số a,b,c trong các phương trình sau:
6x2 +9x + 1= 0 8x2 -12x + 3 = 0 2x2 - 3x - 2 = 0 2x2 - (4- 5)x -2 5 = 0 1 3
5x2 + 3x - 2 = 0 x2 - x 11 = 0 x2 x = 0 - x2 2 + 4 + 3x - 4 = 0 Sưu tầ Trang 6
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2
ax bx c 0
Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó. (Lớp 8)
Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để
giải phương trình bậc hai.
Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: c
Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x 1 2 a . c
Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x 1 2 a .
Bài tập minh hoạ:
Bài 1: Giải phương trình sau: a) 2
3x 5x 2 0 b) 2
5x 6x 1 0 Giải:
a) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2 2
3x 5x 2 0 3x 6x x 2 0 3x(x 2) (x 2) 0 1 3x 1 0 x
(3x 1)(x 2) 0 3 x 2 0 x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 S 2; 3
Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.
Ta có a 3; b = 5; c = -2 2 2
b 4ac 5 4.3.( 2
) 25 24 49 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b 5 49 5 7 2 1 b 5 49 5 7 1 2 x ; x 2 1 2a 2.3 6 6 3 2 2a 2.3 6 6
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 S 2; 3 Sưu tầ Trang 7
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2
5x 6x 1 0 5x 5x x 1 0 5x(x 1) (x 1) 0 1 5x 1 0 x
(5x 1)(x 1) 0 5 x 1 0 x 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 S 1 ; 5
Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải: b 6
Ta có a 5; b = 6 b' = = = -3; c = 1 2 2 2 2
' b ac ( 3
) 5.1 9 5 4 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b ' ' ( 3 ) 4 3 2 b ' ' ( 3 ) 4 3 2 1 x 1 x 1 a 5 5 2 a 5 5 5
Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm.
Ta có a 5; b = 6; c = 1 và a b c 5 ( 6
) 1 0vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm c 1
phân biệt là x 1 và x . 1 2 a 5
* Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2
Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường. (không cần giải theo công thức ) VD : 2
x 2x 1 0 x 2 1 0 x = 1
Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình 2
ax bx c 0 rồi mới áp dụng công thức :
VD: x x 5 24 2
x 5x 24 2
x 5x 24 0 Áp dụng CT giải tiếp.............
Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn t , ẩn b , ẩn a ... tùy vào cách ta chọn biến : VD: 2
b 10b 16 0 áp dụng CT giải tiếp với ẩn là b .....................................................
PT bậc 2 chứa căn ở các hệ số , a ,
b c thì ở ∆ ta buộc phải rút căn bậc hai VD: 2
x (2 3)x 2 3 0 ( a 1; b (2 3); c 2 3 ) Sưu tầ Trang 8
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 (
2 3) 4.1.2 3 7 4 3 .....
(Xem chuyên đề căn bậc 2: Dạng biểu thức trong căn là Hằng đẳng thức)
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài B.1: Giải các phương trình: a) 2 x 5x 6 0. b) 2 x 2x 1 0 . c) 2 x 2x 10 0 . d) 2 9x 12x 4 0 .
Bài B.2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: a) 2 x 1 2 x 2 0 . b) 2 2x 3 2 x 3 0 . c) 2 x x 6 0 . d) 2 x 9x 20 0 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài B.01: Giải các phương trình sau: a) 2 x 2 5x 5 0 . b) 2 x 9x 10 0. c) 2 2x 3x 5 0 . d) 2 x 6x 14 0 . 2 e) x 3 16 . f) 2 x 8x 15 0 . g) 2 2 3x x 1 3 x 1 . h) 2 4x 4x 1 0 . i) 2 7x 8x 9 0 . j) 2 16x 40x 25 0 . k) 2 2x 2x 2 0 . l) 2 x 8x 19 0 . m) 2 x 2 3 1 x 2 3 0 . n) 2 2x 3x 27 0 . o) 2 7x 8x 9 0. p) 2 x 2 2x 4 3 x 2 . q) 2 x 3x 10 3 0 . r) 2 x 3x 0 . Đáp số: a) x 5 . 9 41 c) Vô nghiệm.. b) x . 1,2 2 d) Vô nghiệm. x 1 x 3 e) . f) . x 7 x 5 3 2 2 i) Vô nghiệm.. x h) x . 1,2 3 4 g) . 3 3 3 x 6 5 l) Vô nghiệm.. j) x . 2 2 5 k) x . 4 1,2 4 x 3 3 9 4 79 m) . x o) x . n) 2 . 1,2 x 3 1 7 x 3 x 2 1 q) Vô nghiệm... x 0 p) . r) . x 3 x 2 2 Sưu tầ Trang 9
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài B.02. Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: a) 2 3x 11x 8 0 . b) 2 x 1 3 x 3 0 . c) 2 3x 19x 22 0. d) 2 5x 24x 19 0 . e) 2 3x 19x 22 0 . f) 2 x 10x 21 0 . g) 2 2018x x 2017 0. h) 2 x 12x 27 0 . i) 2 5x 17x 12 0. j) 2 1 2 x 2 1 2 x 1 3 2 0 k) 2 1 3 x 2 3x 3 1 0 . Đáp số: x 1 x 1 x 1 b) . a) 8 . c) 22 . x x 3 x 3 3 x 1 x 1 x 3 f) . d) 19 . e) 22 . x 7 x x 5 3 x 1 x 3 x 1 h) . g) 2017 . x 9 i) 12 . x x 2018 5 x 1 x 1 k) 3 1 . x j) 1 3 2 x 1 3 1 2 Sưu tầ Trang 10
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c Phương pháp: c
Dạng khuyết b : đối với phương trình 2
ax c 0a 0 ta biến đổi 2 x . Phương a c
trình này có nghiệm khi và chỉ khi
0 . Lúc này nghiệm của phương trình là c x a a
Dạng khuyết c : Đối với phương trình 2
ax bx 0 ta có thể biến đổi về phương trình tích b 2
ax bx 0 x(ax + b) = 0 để giải. Lúc này phương trình có 2 nghiệm là x 0 và x . a
Ví dụ minh hoạ: Giải phương trình: a) 2 2x 8 b) 2 x 5x 0 Giải: 8 x 4 x 2 a) 2 2 2
2x 8 x x 4 . Kết luận nghiệm. 2 x 2 x 4 x 0 x 0 b) 2
x 5x 0 x(x 5) 0 . Kết luận nghiệm. x 5 0 x 5
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài C1: Giải các phương trình sau: 2 2 2 .
a 5x 3x 0 .
b 2x – 6x 0 .
c 7x – 5x 0 2 2 2
d. 4x – 16x 0 .
e – 0, 4x 1, 2x 0 f . 3, 4x 8, 2x 0
D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( 1 1 ; 2 2 x x x x 1 2 1 2 …)
Phương pháp: Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các
nghiệm từ đó tính được giá trị biểu thức.
Các hệ thức thường gặp:
x x x 2x .x x 2x .x x x 2 2 2 2 2 2
2x .x S 2P . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x 2 2
4x x S 4P . 1 2 1 2 1 2
x x x x 2 2
4x x S 4P . 2 1 1 2 1 2
x x x x x x x x x x 2 2 2 2
4x x S. S 4P . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 11
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 3 3
x x x x 2 2
x x .x x x x
x x 3x .x S. 2 S 3P 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 .
x x x x x x 2x .x x x 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
2x x 2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 .
S P2 2 2 2 2P . 1 1 x x S 1 2 . x x x x P 1 2 1 2 1 1 x x
x x 4x x 1 2 2 2 S 4P 1 2 2 1 . x x x x x x P 1 2 1 2 1 2 x x x x
x x x x x x x x 4x x
S. S 4P 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 x x x x x x x x P 2 1 1 2 1 2 1 2
x x x x x x .x x x x x x 2 3 3 2 2 x .x 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 .
x x 2 4x x x x 2 x .x
2S 4P 2 S P 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x
S 2P S. S 4P 1 2
1 2 1 2 1 2 Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 x x 2 2 0 . Không giải phương 1 2
trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: 1 1 A . 2 2 B x x . C x x . 3 3 D x x . x x 1 2 1 2 1 2 1 2 Giải b S x x 1 1 2 Ta có: a c P x x 2 2 1 2 a 1 1 x x 1 2 1 A . x x x x 1 2 1 2 2 2 2 2 2 B x x x x x x 1 2 2 3 2 . 1 2 1 2 1 2 2 2 C x x x x x x 4x x 1 4 2 2 2 2 1. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 D x x x x 3x x x x 1 3 2 2 7 3 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 12
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài D.1. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 x 3x 7
0 . Không giải phương trình 1 2
Tính các giá trị của các biểu thức sau: 1 1 A . 2 2 B x x . x 1 x 1 1 2 1 2 C x x . 3 3 D x x . 1 2 1 2 4 4 E x x . F 3x x 3x x . 1 2 1 2 2 1
Bài D.2. Cho phương trình 2
x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, 2 2
6x 10x x 6x tính 1 1 2 2 Q 3 3 5x x 5x x 1 2 1 2
Bài D.3: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 3x 5x 6 0 . Không giải phương 1 2
trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: x x A 3x 2x 3x 2x . 2 1 B . 1 2 2 1 x 1 x 1 1 2 x 2 x 2 C x x 1 2 D . 1 2 x x 1 2
E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm.
Phương pháp: Áp dụng: nếu x x S; x x P thì x ; x là nghiệm của phương trình 1 2 1 2 1 2 2
X SX P 0 Ví dụ minh hoạ
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 và 1 . 10 72 10 6 2 Giải: 1 1 5 S 10 72 10 6 2 7 Ta có: 1 1 1 P . 10 72 10 6 2 28 5 1
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 và 1 là : 2 X X 0 10 72 10 6 2 7 28
Bài 2: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 x 3x 7
0 . Không giải phương trình 1 2
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 và 1 . x 1 x 1 1 2 Sưu tầ Trang 13
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Giải: Ta có .
a c 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 1 1 x x 2 1 2 1 S x 1 x 1 x x x x 1 9 1 2 1 2 1 2 1 1 1 P . x 1 x 1 9 1 2 1 1 1 1
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là và là: 2 X X 0 . x 1 x 1 9 9 1 2 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài E.1. Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình: 2 3x 7x 4 0 . Không giải phương
trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là p và q . q 1 p 1
Bài E.2: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 3x 5x 6 0 . Không giải phương 1 2
trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y ; y thỏa mãn: y 2x x và 1 2 1 1 2 y 2x x . 2 2 1
Bài E.3: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 2x 3x 1 0 . Không giải phương 1 2
trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y ; y thỏa mãn: 1 2 2 x1 y y x 2 1 x a) 1 1 . b) 2 . y x 2 2 2 2 x2 y2 x1
Bài E.4: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 x x 1
0 . Không giải phương trình 1 2
hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y ; y thỏa mãn: 1 2 x x 1 2 y y 1 2 x x 2 2 y y x x a) 2 1 . b) 1 2 1 2 . y y 2 2 1 2 y y 5x 5x 0 3x 3x 1 2 2 1 1 2 y y 2 1
Bài E.5: Cho phương trình : 2
x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x ; x . Không giải phương 1 2 1 1
trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y x và y x 1 2 x 2 1 x 1 2 Sưu tầ Trang 14
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ
A. Giải và biện luận phương trình.
Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Với tham số ở hệ số của phương trình bậc 2. Cho phương trình : 2
mx – 2m 2 x m – 3 0 với m là tham số .
Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình Giải: Bước 1: 3
+ Nếu m = 0 thay vào ta có : 4x – 3 = 0 x = 4 Bước 2 2
+ Nếu m 0 .Lập biệt số /
m – 2 – mm 3 m 4 /
< 0 m 4 0 m > 4 : phương trình vô nghiệm /
= 0 m 4 0 m = 4 : phương trình có nghiệm kép / b m 2 4 2 1 x x 1 2 a m 2 2 /
> 0 m 4 0 m < 4: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
m 2 m 4
m 2 m 4 x ; x 1 m 2 m
Vậy : m > 4 : phương trình vô nghiệm 1
m = 4 : phương trình Có nghiệm kép x = 2
0 m 4 : phương trình có hai nghiệm phân biệt:
m 2 m 4
m 2 m 4 x ; x 1 m 2 m 3
m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 4
Bài 2: Với hệ số của phương trình bậc 2 đã cho khác 0. Cho phương trình: 2
x 2x m 1 0 ( m là tham số). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Giải: Ta có ’ 2
1 – m 1 2 – m
0 2 m 0 m 2 thì phương trình vô nghiệm. Sưu tầ Trang 15
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 b
0 2 m 0 m 2 thì phương trình có nghiệm kép x x 1 1 2 a
0 2 m 0 m 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt b b x 1
2 m ; x 1 2 m 1 a 2 a
Kết luận: Vậy m 2 phương trình vô nghiệm. b
m 2 thì phương trình có nghiệm kép x x 1 1 2 a b
m 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 2 m ; 1 a b x 1 2 m 2 a
Bài 3: Giải và biện luận phương trình : 2
x – 2m 1 2m 10 0 Giải. Ta có m 2 2
1 – 2m 10 m – 9 + Nếu / > 0 2
m – 9 0 m 3 hoặc m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 2
x m 1 m 9 ; 2
x m 1 m 9 1 2 + Nếu / = 0 m = 3
- Với m 3 thì phương trình có nghiệm là x 4 1.2
- Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x 2 1.2 + Nếu / < 0 3
m 3 thì phương trình vô nghiệm Kết kuận:
Với m 3 thì phương trình có nghiệm x = 4
Với m 3 thì phương trình có nghiệm x 2
Với m 3 hoặc m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 2 m 2 m 1 = m + 1 - 9 x2 = m + 1 + 9
Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Chú ý: Khi giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số ta cần lưu ý trường hợp
tham số nằm ở phần hệ số của lũy thừa bậc hai của ẩn. Sưu tầ Trang 16
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều
kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch
đảo, (, ) ; ,…)
Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x 1 x2 S x x P x x 1 2 1 2
Điều kiện chung trái dấu P < 0 0 0 ; P < 0. cùng dấu, P > 0 0 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S < 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S < 0.
Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét 0 ; còn nếu đề
bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét 0
Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình 2
ax bx c 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S > 0 b c (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a Sưu tầ Trang 17
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x – tham số m)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1, x2 của phương trình thoả mãn 2 2 x x 10 1 2 Giải 2 1 15
a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = m 2 4 2 1 15
Do m 0 với mọi m;
0 > 0 với mọi m. 2 4
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S x x (
2 m 1) và P x x m 3 1. 2 1 2
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0 ( 2 m ) 1 0 m 1 m 3 (m ) 3 0 m 3 Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S x x (
2 m 1) và P x x m 3 1. 2 1 2 Khi đó
A x x
x x 2 2x x 4m 2 2 2 1 2m 3 2
4m – 6m 10 1 2 1 2 1 2 Theo bài A 10 2
4m – 6m 0 2m2m 3 0 m 0 m 0 3 m 2m 3 3 0 2 m 3 2 Vậy m hoặc m 0 m 0 m 0 2 m 0 2m 3 0 3 m 2 Sưu tầ Trang 18
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 2: Cho phương trình: 2
x 2x m 1 0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thoả mãn 3x 2x 1 1 2 Giải
a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau ' 0 2 m 0 m 2 m 2 P 1 m 1 1 m 2 Vậy m = 2
b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x 2x 1 (3) 1 2 x x 2
2x 2x 4 x 5 x 5 Từ (1) và (3) ta có: 1 2 1 2 1 1 3x 2x 1 3x 2x 1 x x 2 x 7 1 2 1 2 1 2 2 Thế vào (2) ta có: 5 7
m 1 m 34 (thoả mãn (*))
Vậy m 34 là giá trị cần tìm.
C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình.
Phương pháp: Ta chỉ ra phương trình có .
a c 0 hoặc 0 ; 0
D. Lập hệ thức liên hệ giữa x ; x sao cho x ; x độc lập đối giá trị tham số của phương 1 2 1 2 trình.
Phương pháp: Ta thường biến đổi để đưa về dạng S P với S và P là tổng và tích 2
nghiệm. , , là các số thực.
E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (:
x x ; (x x ) x x ; x x x …) 1 2 1 2 1 2 1 1 2
F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các
nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp: Mục E và F ta thường sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi.
G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại.
Phương pháp: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình từ đó tìm ra tham số. Từ tham số
vừa tìm được áp dụng giải phương trình bậc hai tìm ra nghiệm còn lại. Sưu tầ Trang 19
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. Câu 1:
Cho phương trình m 2 2
1 x 2mx 1 0. Xác định m để phương trình trên có
nghiệm thuộc khoảng 1 ;0 . Câu 2: Cho phương trình 2
x m 2 2
1 x m 1 0 ( x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình đã cho thỏa mãn: 1 2
x x 2 x 3x . 1 2 1 2 Câu 3:
Tìm m để phương trình 2
x 5x 3m 1 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai
nghiệm x , x thỏa mãn 3 3
x x 3x x 75 1 2 1 2 1 2 Câu 4: Cho phương trình 2
x 10mx 9m 0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2
thỏa điều kiện x 9x 0 1 2 Câu 5: Cho phương trình 2 2
x 2(m 1)x m m 1 0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m 0 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 1 1 4 x x 1 2 Câu 6: Cho phương trình 2
2x (2m 1)x m 1 0 ( m là tham số). Không giải phương
trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2
3x 4x 11 1 2 Câu 7: Cho phương trình 2 2
x 2(m 1)x m 3 0 ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. 1 1 Câu 8: Cho phương trình 2 2 x mx
m 4m 1 0 ( m là tham số). 2 2
a) Giải phương trình đã cho với m 1 . 1 1
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x x 1 2 x x 1 2 Câu 9:
Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình 2 2
x m x m 1 0 ( m là tham số) có nghiệm nguyên.
Câu 10: Cho phương trình 2
x 2(m 1)x m 3 0 ( m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P x x (với x , x là nghiệm của phương trình đã 1 2 1 2 cho) Sưu tầ Trang 20
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 11: Cho phương trình 2
x mx m 1 0 ( m là tham số).
a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x . Tính giá trị của biểu thức 1 2 2 2 x x 1 1 2 M M . 2 2 x x
. Từ đó tìm m để 0 x x 1 2 1 2
b) Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2
P x x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
Câu 12: Cho phương trình 2
x 2m 2 x 2m 0 ( m là tham số). Tìm m để phương
trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn x x 2 1 2 1 2
Câu 13: Cho phương trình 2
x m
1 x m 0 ( m là tham số). Gọi x , x là hai nghiệm 1 2
của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để 2 2
A x x x x 2007 đạt giá trị 1 2 1 2
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 14: Cho phương trình 2
x 2mx 2m 1 0 ( m là tham số). Gọi x , x là hai nghiệm 1 2
của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để 2 2
A x x x x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2
Câu 15: Cho phương trình 2
x 2m
1 x 2m 5 0 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn x 1 x . 1 2 1 2
Câu 16: Cho phương trình 2
x mx m 2 0 ( m là tham số).
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 2 x 2 x 2
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình thỏa mãn 1 2 . 4 1 2 x 1 x . 1 1 2
Câu 17: Cho phương trình 2
x mx 1 0 (1) ( m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
b) Gọi x , x là các nghiệm của phương trình (1): 1 2 2 2 x x 1 x x 1
Tính giá trị của biểu thức: 1 1 2 2 P x x 1 2
Câu 18: Cho phương trình 2
x m 2 2
1 x m 1 0 1 ( m là tham số).
a) Tìm điều kiện của m để phương trình
1 có 2 nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình 1 thỏa mãn: 1 2
x x 2 x 3x . 1 2 1 2
Câu 19: Tìm m để phương trình 2
x 2x 2m 1 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân
biệt x , x thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2
x (x 1) x (x 1) 8 . 1 2 2 1 1 2
Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình 2
x 8x m 0 để 4 3 là nghiệm của
phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.
Câu 21: Cho phương trình 2
x m 2 2
1 x m m 1 0 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho 1 2
A 2x x
2x x đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. 1 2 2 1 Sưu tầ Trang 21
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 1
Câu 22: Cho phương trình 2 2
x 2mx m
0 ( m là tham số). 2
a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Câu 23: Cho phương trình 2
x 2x m 3 0 ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 . Tính nghiệm còn lại.
b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn hệ thức 3 3 x x 8 1 2 1 2
Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2
x m 2 2
1 x m 1 0 có hai
nghiệm phân biệt x , x sao cho biểu thức 2 2
P x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
Câu 25: Cho phương trình 2
x m
5 x 2m 6 0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 2 2
x x 35 . 1 2 1 2
Câu 26: Cho phương trình 2
x 2x m 2 0 1 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm
b) Tìm m để phương trình
1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại
Câu 27: Cho phương trình 2
x mx m 1 0
1 với x là ẩn số
a) Giải phương trình khi m 2
b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Gọi x , x là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức 1 2
A x 2 1 x 2 1 2016 . 1 2
Câu 28: Cho phương trình 2
x 2m
1 x 2m 0 với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để
phương trình có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm còn lại.
Câu 29: Cho phương trình 2
x m
1 x m 2 0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm x , x của phương trình theo m 1 2 c) Tính biểu thức 2 2
A x x 6x x theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2
Câu 30: Cho phương trình: 2
x 2m
1 x 4m 0 ( x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình với m 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 31: Cho phương trình 2 2
x 2x m 1 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m .
c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x 3 x 1 2
Câu 32: Cho phương trình: 2
x m 2 x m 1 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 2 2
x x 13 x x . 1 2 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 22
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 33: Cho phương trình 2
x x m 2 0 với m là tham số và x là ẩn số
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Giả sử x , x là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 3 3
x x x x 10 1 2 1 2 1 2
Câu 34: Cho phương trình 2
x 4x m 3 0 ( x là ẩn)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x , x 1 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa 2 2 2 2
x x x x 51 1 2 1 2 1 2
Câu 35: Cho phương trình: 2
x m 2 2
3 x m 3m 1 0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Tìm m để A x x 1 x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 2
Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : 2
x 2mx 2m 1 0 1
a) Chứng tỏ phương trình
1 luôn có nghiệm x , x với mọi giá trị của m 1 2 b) Đặt A 2 2 2 x x
5x x , tìm m sao cho A 27 1 2 1 2
Câu 37: Cho phương trình 2
x m
3 x m 5 0 ( x là ẩn)
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 1 2 2 2
x 4x x 4x 11 1 1 2 2
Câu 38: Cho phương trình: 2
x mx 2m 4 0 ( x là ẩn số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m
c) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Định m để 2 2 x x 5 1 2 1 2
Câu 39: Cho phương trình 2
x 2x 4m 1 0 ( x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa 2 2
x x 2x 2x 12 1 2 1 2 1 2
Câu 40: Cho phương trình bậc hai: 2
x – 2mx 4m – 4 0 ( x là ẩn)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 2
x 2mx 8m 5 0 1 2 1 2
Câu 41: Cho phương trình: 2
x 2m 4 x m 6 0
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 1 1
b) Tính theo m biểu thức A rồi tìm m để A . x x 1 2
Câu 42: Cho phương trình: 2
x 2m 2 x 2m 0
1 với x là ẩn số.
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x 1 2
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2
x x x . 2 1 1
Câu 43: Cho phương trình: 2 2
x 2x 2m 0
1 với x là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2 2 x 4x . 1 2 Sưu tầ Trang 23
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 44: Cho phương trình: 2
x m 2 3
2 x 2m m 3 0
1 ,(với x là ẩn số).
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Gọi x , x là các nghiệm của
1 . Tìm m để x 3x . 1 2 1 2
Câu 45: Cho phương trình: 2
x m 2 2
2 x m 0 1 với x là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 x 1 x 2 2
1 x x x x 2 . 1 2 1 2 2 1
Câu 46: Cho phương trình: 2
x m 2 2
1 x m 3 0
1 ( với x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện để 1 có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 2x 1 x 1 2x 1 x 2 2
1 x x 14 . 1 2 2 1 1 2
Câu 47: Tìm m để phương trình 2
x mx 3 0 ( m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x x 6 1 2
Câu 48: Cho phương trình 2
x m 2 5
1 x 6m 2m 0 1 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x , x là nghiệm của phương trình. Tìm m để 2 2 x x 1. 1 2 1 2
Câu 49: Cho phương trình: 2
x 2(m 1)x m 3 0 1
a) Chứng minh rằng phương trình
1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 thức 2 2
P x x . 1 2
c) Tìm hệ thức giữa x và x không phụ thuộc vào m . 1 2
Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ): 2 x – 2mx 2 m 1 0 1
Với giá trị nào của m thì phương trình
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn x 3x 1 2 1 2
Câu 51: Cho phương trình ẩn x : 2
x – 2mx 4 0 1
a) Giải phương trình đã cho khi m 3 .
b) Tìm giá trị của m để phương trình
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 1 2 x 2 1 x 2 1 2 . 1 2
Câu 52: Cho phương trình ẩn x : 2
x – 2mx 1 0 1
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x và x . 1 2
b) Tìm các giá trị của m để: 2 2 x x – x x 7 . 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 24
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 53: Cho phương trình ẩn x : 2
x – x 1 m 0 1
a) Giải phương trình đã cho với m 0 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 1 2
x x x x – 2 3 x x . 1 2 1 2 1 2
Câu 54: Cho phương trình 4 2 2 x (m 4 )
m x 7m 1 0 . Định m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10
Câu 55: Cho phương trình 2
2x 2m
1 x m 1 0 . Không giải phương trình, tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 3x 4x 11 . 1 2 1 2
Câu 56: Cho phương trình: 2
x m 2 2
1 x m 3 0 1 ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình
1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Câu 57: Cho phương trình: 2
x mx m 1 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1 2 2x x 3 nhất của biểu thức: 1 2 P 2 2
x x 2 x x . 1 1 2 1 2 2 2
Câu 58: Cho phương trình 2 2 x mx
m 4m 1 0 1 2 3 2 3 a) Giải phương trình 1 với m 1. 1 1 b)
Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn x x . 1 2 x x 1 2
Câu 59: Xác định các giá trị của tham số m để phương trình: 2
x m
5 x m 6 0 .
Có hai nghiệm x , x thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 1 2
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. b)
2x 3x 13. 1 2
Câu 60: Cho phương trình: 2
x 2m
1 x m 3 0 1
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không phụ thuộc vào m .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P x x (với x , x là 2 nghiệm của pt 1 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 25
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 61: Cho phương trình: 2
x m 2 2
1 m m 6 0 *
a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm.
b) Tìm m để phương trình
* có hai nghiệm x , x thỏa mãn 3 3
x x 50 . 1 2 1 2
Câu 62: Cho phương trình có ẩn x : 2
x mx m 1 0 ( m là tham số )
1. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x , x với mọi m . 1 2 2. Đặt 2 2
A x x 6x .x 1 2 1 2 a) Chứng minh 2
A m 8m 8
b) Tìm m sao cho A 8 .
c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.
d) Tìm m sao cho x 3x . 1 2
Câu 63: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : 2
x 2mx 2m 1 0
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , x với mọi m . 1 2 2. Đặt A 2 2 2 x x 5x x 1 2 1 2 a) Chứng minh 2
A 8m 18m 9
b) Tìm m sao cho A 27 .
c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm m sao cho x 3x . 1 2
Câu 64: Cho phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số ): 2
x 2m
1 x 2m 5 0 1
1. Giải và biện luận số nghiệm của x , x của m theo tham số m . 1 2
2. Tìm m sao cho x , x thỏa mãn: 1 2 x x a) 1 2 2. x x 2 1 b)
x x 2x x 6 1 2 1 2 c) 2x 3x 5 . 1 2 d) Tìm m 2 2
sao cho 12 10x x x x
đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2
Câu 65: Cho phương trình: 2
x m 2 2
1 x m 3 0 ( m là tham số )
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m để 2 2
x x 4, với x , x là hai nghiệm của phương trình. 1 2 1 2
Câu 66: Cho phương trình: 2
x mx m 1 0 (1) ( m là tham số )
a) Chứng minh phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m .
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x thỏa mãn hệ thức 1 2 2 2
x x x x 2 . 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 26
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 67: Cho phương trình: 2
x 2mx 2m 3 0
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m .
c) Tìm m để x x 2x x 3 ( x , x là nghiệm của phương trình trên ). 1 2 1 2 1 2
Câu 68: Cho phương trình: 2
x 2m 2 x 2m 5 0 ( x là ẩn số )
a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm x , x với mọi m . 1 2 b) Tìm m để 2 2
A x x x x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2
Câu 69: Cho phương trình: 2
x 2m
1 x m 0 ( m là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm m để 2
A x x 2mx x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 2 1 2
Câu 70: Cho phương trình: 2
x m 2 2
3 x m m 1 0 ( x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Cho 2 2
B x x 5x x tìm m để B đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2
Câu 71: Cho phương trình: 2
x m 2 2
1 x m 4m 3 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x x 2 x x và giá trị của m tương ứng. 1 2 1 2
Câu 72: Cho phương trình: 2
2x 2m
1 x m 1 0
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm x , x . 1 2
b) Viết tổng và tích hai nghiệm theo m. 4x 1 4x 1
c) Tìm m để 2 nghiệm x , x của phương trình thỏa mãn: 1 2 9 1 2 x x 2 1
Câu 73: Cho phương trình 2
x 2mx 2m 1 0
a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm x , x với mọi m . 1 2 b) Đặt A 2 2 2 x x
5x x . Tìm m sao cho A = 27. 1 2 1 2
Câu 74: Cho phương trình 2
x 2mx m 2 0 1 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình (1) thỏa mãn: 1 2
1 x 2 x 1 x 2 x 2 2
x x 2 1 2 2 1 1 2
Câu 75: Cho phương trình: 2
x mx m 2 0 1 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình
1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . 2 2 x 2 x 2
b) Định m để hai nghiệm x , x của 1 thỏa mãn: 1 2 . 4 1 2 x 1 x . 1 1 2 Sưu tầ Trang 27
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Câu 76: Cho phương trình mx 2 2 1 x 0
1 ( x lầ ẩn số).
a) Chứng minh phương trình
1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình
1 . Tính giá trị của biểu thức: 1 2 A 2
x 4x 2 2
x 4x 2 2 2 2 x x 1 1 2 2 1 2
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
Cho phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (1)
PP1: Ẩn phụ: Đặt t = x2 (t 0) Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 P 0 S 0
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có một nghiệm dương và một nghiệm 0 bằng 0 P 0 S 0
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có 0 ai nghiệm trái dấu S 0 P 0
Phương trình (1) có 1 nghiệm (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm 0 S 0
bằng không và nghiệm còn lại âm P 0 S 0 0 0
Phương trình (1) có 1 nghiệ
m (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm P 0 S 0
Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a. A 0
PP2: Giải trực tiếp: Biến đổi đưa về dạng phương trình tích . A B 0 B 0 Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình: 4 2
x 13x 36 0 (1) Giải: Sưu tầ Trang 28
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Cách 1: Đặt t = x2 t 0 phương trình (1) có dạng : 2
t 13t 36 0 Ta có 132 36 . 4 25 5 13 5 13 5 t ; 9 t 4 1 2 2 2 Với t x 1 = 9 x2 = 9 9 3 Với t x 2 = 4 x2 =4 4 2
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3. Cách 2: 4 2
x 13x 36 0 4 2 2
(x 12x 36) x 0 2 2 2
(x 6) x 0 2 2
(x 6 x)(x 6 x) 0 2
x 6 x 0 2
x 6 x 0
Giải phương trình : x2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: x 2 ; x 3 .
Giải phương trình : x2 – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm x 2; x 3 .
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x 3 ; x 2
; x 2; x 3 . 1 2 3 4
Bài 2: Giải phương trình: 4 2
x 5x 6 0 (2) Giải:
Cách 1: Đặt t = x2 t 0 phương trình (2) có dạng : 2
t 5t 6 0 Ta có: 52 6 . 4 1 1 51 51 t ; 3 t 2 1 2 2 2 Với t x 1 = 3 x2 = 3 3 Với t x 2 = 2 x2 =2 2
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 3 ; x2= - 3 ; x3= 2 ; x4 = - 2 . Cách 2: 4 2
x 5x 6 0 Sưu tầ Trang 29
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 4 2 2
x – 2x – 3x 6 0 4 2
x – 2x 2 3x 6 0 2 x 2 x – 2 3 2 x – 2 0 2 x – 2 2 x – 3 0 2 x – 2 0 2 x – 3 0
Giải phương trình : x2 –2= 0 ta được 2 nghiệm: x= 2 ; x=- 2 .
Giải phương trình : x2 –3= 0 ta được 2 nghiệm x= 3 ; x= - 3 .
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 2 ; x2=- 2 ; x3= 3 ; x4= - 3 .
Bài 3: Giải phương trình: 4 2
x –10x 9 0 3 Giải: Đặt 2 4 2 x t 0
x t , phương trình (3) có dạng 2
t 10t 9 0 3 ’
Giải phương trình (3’) , có a b c 110 9 0 t 1, t 9 1 2
Với t = t1 = 1 thì x2 = 1 x1 = 1 ; x2 = - 1
Với t = t2 = 9 thì x2 = 9 x3 = 3 ; x4 = -3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau: 4 2 4 2
1).x 3x – 4 0 2).x 4x 3 0 4 2 4 2
3).5x 3x – 2 0 4).x – 5x 6 0 4 2 4 2
5).2x – 3x – 2 0 6).x 10x 24 0 Sưu tầ Trang 30
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Cách giải: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác
định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Giải các phương trình sau 14 1 a. 1 2 x 9 3 x 2 2x x x 8 b. x 1 (x 1)(x 4) Giải : 14 1 a. 1 2 x 9 3 x ĐKXĐ : x 3 14 1 1 14 1 1 2 x 9 3 x (x 3)(x 3) x 3 14
(x 3)(x 3) (x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3)
14 = (x – 3)(x + 3) + (x + 3)
x2 – 9 + x + 3 – 14 = 0 x2 + x – 20 = 0 Ta có: = b2 – 4ac = 12 – 4.1.( – 20) = 1 + 80 = 81 > 0 81 9
PT có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt : b 1 9 x 4 (tm ĐK) 1 2a 2.1 b 1 9 x 5 (tm ĐK) 2 2.a 2.1
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x 4; x – 5 1 2 2 2x x x 8 b. x 1 (x 1)(x 4)
ĐKXĐ: x – 1 & x 4 2 2x x x 8 2 2x(x 4) x x 8 x 1 (x 1)(x 4) (x 1)(x 4) (x 1)(x 4)
2x(x – 4) = x2 – x + 8
2x2 – 8x – x2 + x – 8 = 0 x2 – 7x – 8 = 0 Sưu tầ Trang 31
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ta có:
a – b + c = 1 – (– 7) + (– 8) = 0 PT có 2 nghiệm : x1 = – 1 (không tm ĐKXĐ) c x 2 = = 8(tm ĐKXĐ) a
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 12 8 ( x 3 ; x 7 ) 1 1 2 x 1 x 1 b. 2x x 8x 8 ( vô nghiệm) 2 x 2 x 4 x 2x 8 Sưu tầ Trang 32
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 A 0
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: . A B 0 B 0
Bài tập: Giải các phương trình sau: a. 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0 b. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
c. (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2
d. (2x2 + 3)2 – 10x2 – 15x = 0 Giải:
a. 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0 12x3 – 10x2 – 2x = 0 x(12x2 – 10x – 2) = 0
x = 0 hoặc 12x2 – 10x – 2 = 0 +) x1 = 0 +) 12x2 – 10x – 2 = 0 Ta có:
a + b + c = 12 – 10 – 2 = 0 PT có 2 nghiệm: c 2 1 x 2 = 1; x3 = a 12 6 1
Vậy PT đã cho có 3 nghiệm: x 1 = 0; x2 = 1; x3 = 6 b. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0 (x + 3)(x2 – 2) = 0
x + 3 = 0 hoặc x2 – 2 = 0 +) x + 3 = 0 x1 = – 3 +) x2 – 2 = 0 x2 = 2 = ( 2 )2 x = 2 x2 = 2 ; x3 = – 2
Vậy PT đã cho có 3 nghiệm : x1 = – 3; x2 = 2 ; x3 = – 2
c. (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2
(x2 + 2x – 5)2 – (x2 – x + 5)2 = 0
(x2 + 2x – 5 + x2 – x + 5)(x2 + 2x – 5 – x2 + x – 5)= 0 (2x2 + x)(3x – 10) = 0 x(2x + 1)(3x – 10) = 0
x = 0 hoặc 2x + 1 = 0 hoặc 3x – 10 = 0 +) x1 = 0 +) 2x + 1 = 0 x 1 2 = 2 +) 3x – 10 = 0 10 x3 = 3
Vậy PT đã cho có 3 nghiệm: 1 10 x 1 = 0; x2 = ; x3 = 2 3
d. (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = 0
(2x2 + 3)2 – 5x(2x2 + 3) = 0
(2x2 + 3)(2x2 + 3 – 5x) = 0
2x2 + 3 = 0 hoặc 2x2 – 5x + 3 = 0
+) 2x2 + 3 = 0 2x2 = 0 – 3 x2 = – 1,5 (vô nghiệm) Sưu tầ Trang 33
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 +) 2x2 – 5x + 3 = 0
Ta có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 PT có 2 nghiệm: c 3 x 1 = 1 ; x2 = a 2
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: 3 x1 = 1; x2 = 2
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN:
Bài T.1: Giải các phương trình: a) 4 2
x 10x x 20 0 . b) 4 2
x 22x 8x 77 0 c) 4 3 2
x 6x 8x 2x 1 0 . d) 4 3 2
x 2x 5x 6x 3 0 . Bài T.2:
a) Giải phương trình: 4 2
x 4x 12x 9 0 (1).
b) Giải phương trình: 4 2
x 13x 18x 5 0
c) Giải phương trình: 4 3 2
2x 10x 11x x 1 0 (4) Sưu tầ Trang 34
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): 4 3 2 2
ax bx cx kbx k a 0k 0 . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 2 k k 2 k
x x 0 ta được: 2 a x b x c 0
. Đặt t x với t 2 k ta có: 2 x x x 2 2 k k 2 2 x x
2k t 2k
thay vào ta được phương trình: a 2
t 2k bt c 0 2 x x
Dạng 2: Phương trình: x ax bx cx d , e trong đó a+b=c+d Phương trình 2 2 x
a b x ab x c d x cd e . Đặt 2
t x a b x , ta có: t abt cd e
Dạng 3: Phương trình x ax bx cx d 2
ex , trong đó ab cd . Với dạng này ta
chia hai vế phương trình cho 2
x x 0 . Phương trình tương đương: ab cd 2
x a b 2
x ab x c d 2
x cd ex x
a b x
c d e x x Đặ ab cd t t x x
. Ta có phương trình: t a bt c d e x x Dạng 4: 4 4 a b
Phương trình x a x b c . Đặt x t
ta đưa về phương trình trùng 2 phương
Bài 1: Giải các phương trình: 4 4 1) 4 3 2
2x 5x 6x 5x 2 0 2) x 1 x 3 2 3) xx
1 x 2x
3 24 4) x x x x 2 2 3 4 6 6x 0 Lời giải:
1) Ta thấy x 0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho 2 x ta được: 1 1 1 1 1 2 2 x 5 x 6 0
. Đặt t x , t 2 2 2 2 x x 2 t 2 . Ta 2 x x 2 x x x t 2 1 có: 2 2 t 2 2
5t 6 0 2t 5t 2 0 1 . Với 2 t 2 x 2 x 2x 1 0 t x 2 2) Đặ 4 4
t x t 2 ta được: t t 4 2 1 1
2 t 6t 0 t 0 x 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 .
Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT: Sưu tầ Trang 35
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 4 4 4 a b a b
với a b 0 . 2 4
Áp dụng BĐT này với: a x 1,b x 3 VT VP . Đẳng thức xảy ra khi x 2 .
3) Ta có phương trình: 2 x x 2 3
x 3x 2 24 . Đặt 2
t x 3x . Ta được: t t 2
2 24 t 2t 24 0 t 6 ,t 4 * 2 t 6
x 3x 6 0 phương trình vô nghiệm * 2
t 4 x 3x 4 0 x 1; x 4
. Vậy phương trình có hai nghiệm x 1; x 4 . 4) Phương trình 2 x x
2x x 2 2 12 12 6x 0
Vì x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho 2 x ta được: 12 12 12 x 4 x 1 6 0
. Đặt t x , ta có: x x x t
t 4t 1 2
1 6 0 t 3t 2 0 t 2 12 x 4 * 2
t 1 x
1 x x 12 0 x x 3 * 2
t 2 x 2x 12 0 x 1 13
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x 3
; x 4; x 1 13 Bài 2) 2 2
a) Giải phương trình: 2
x x x 3 3 1 2 1 5 x 1
b) Giải phương trình: 6 5 4 3 2
x 3x 6x 21x 6x 3x 1 0 2
c) Giải phương trình: x
1 x 2 x 3 x 4 x 5 360
d) Giải phương trình: x x 3 3 3 5 5
5x 24x 30 0. Lời giải:
a) Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho 3 x 1 ta được: 2 x x 1 x 1 2 x x 1 2 1 3 2 . Đặt 2 t
3t 5 3t 5t 2 0 t 2,t 2 x 1 x x 1 x 1 t 3 3 13 * 2
t 2 x 3x 1 0 x 2 1 * 2 t
3x 2x 4 0 phương trình vô nghiệm 3 Sưu tầ Trang 36
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải
mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho 3 x ta được: 1 1 1 1 3 2 x 3 x 6 x 21 0
. Đặt t x , t 2 . Ta có: 3 2 x x x x 1 1 2 2 3 x
t 2; x
t 2t 3 nên phương trình trở thành: 2 3 x x 2 t 3 t 2 t 2 3
3 t 2 6t 21 0 3 2
t 3t 9t 27 0 t 3 t 3 0 t 3 1 3 5 * 2
t 3 x
3 x 3x 1 0 x x 2 3 5 * 2 t 3
x 3x 1 0 x
. Vậy phương trình có bốn nghiệm 2 3 5 3 5 x ; x . 2 2 c) Phương trình 2
x x 2
x x 2 6 5 6
8 x 6x 9 360 Đặt 2
t x 6x , ta có phương trình: y 5 y
8 y 9 360 y x 0 2
y 22 y 157 2
0 y 0 x 6x 0 x 6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x 6 . d) Ta có: 3 x x 3 5 30
5 x 5x 5 x 5 nên phương trình tương đương
x x 3 3 3 x x 3 5 5 5 24
x 24x 30 0 . Đặt 3
u x 5x 5 . Ta được hệ: 3 u
5u 5 x
u x 2 2
u ux x 6 0 u x . 3
x 5x 5 u 3
x x x 2 4 5 0
1 x x 5 0 x 1
. Vậy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai ax bx a) Phương trình:
c với abc 0 . 2 2
x mx p
x nx p
Phương pháp giải: Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình. Với x 0 , ta
chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được: Sưu tầ Trang 37
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 a b 2 k k c . Đặt 2 2 t x t x
2k 2 k 2k . Thay vào phương p p 2 x x x m x n x x
trình để quy về phương trình bậc 2 theo t . 2 ax b) Phương trình: 2 x b
với a 0, x a . x a
Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức a b a b2 2 2
2ab . Ta viết lại phương trình thành: 2 2 2 2 2 ax x x x 2 x x 2 . a b 2a
b 0 . Đặt t quy về phương trình x a x a x a x a x a bậc 2.
Bài 1) Giải các phương trình: 2 25x a) 2 x
. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013). x 5 11 2 12x 3x b)
1. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010). 2 2 x 4x 2 x 2x 2 2 x c) 2 (Trích đề x x
thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008). x 2 3 6 3 2 3 2 x 3x d) 3 x x 2 0 3 1 x 1 Giải:
a) Điều kiện x 5 2 2 2 2 2 5x 10x x 10x
Ta viết lại phương trình thành x 11 0 11 0 . Đặt x 5 x 5 x 5 x 5 2 x t 1 t
thì phương trình có dạng 2
t 10t 11 0 x 5 t 11 2 x 1 21 2 x Nếu t 1 ta có: 2
1 x x 5 0 x . Nếu t 1 1 1 1 x 5 2 x 5 2
x 11x 55 0 phương trình vô nghiệm.
b) Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x 0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì thu đượ 12 3 2 c:
1. Đặt t x 2 thì phương trình trở thành: 2 2 x x 4 x 2 x x 12 3 t 1 2 2
1 12t 3t 6 t 2t t 7t 6 0 . t 2 t t 6 Sưu tầ Trang 38
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 Với t 1 ta có: 2 x
2 1 t t 2 0 vô nghiệm. Với t 6 ta có: x 2 2 x
2 6 x 4x 2 0 x 2 2 . x 2 x 2 x x c) x 2 2x 1 0 x 3 3x 1 0 . x 2 x 2 x 2 3 3
Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là x 6; x . 3 3 d) Sử dụng HĐT 3 3
a b a b 3aba b ta viết lại phương trình thành: 3 3 2 2 2 x 3x x x x 3x 3 x hay x 2 0 x 3 x 2 0 3 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 3 2 3 2 2 2 2 2 x x 3x x x 2 3 2 0 1 1
1 1 x 2x 2 0. Suy ra x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
phương trình đã cho vô nghiệm. Sưu tầ Trang 39
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Giải các phương trình sau: 1) 2
x x 2 2
x x 3 6. 2
2) 6x 7 3x 4 x 1 1. 4 4 3) x
1 x 3 82 . 4) x
1 x 2x 4x 5 10 . 5) 2
x x 2 x x 2 2 2 2 2x .
6) x x x x 2 2 1 8 4 4x . 2 2 7)
2x x 2x x 2 3 2 1 2 3 1 5x 0 . 8) 4 3 2
3x 4x 5x 4x 3 0 . 9) 4 3 2
2x 21x 34x 105x 50 0 . 1 1 1 1 1 10) 0 . x x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 4 x 8 x 8 8 11) . x 1 x 1 x 2 x 2 3 x 1 x 6 x 2 x 5 12) x x 2 2 2 2 x 12x 35 x 4x 3 x 10x . 24 2 2 2 2 x x 1 x 2x 2 x 3x 3 x 4x 4 13) 0 . x 1 x 2 x 3 x 4 4x 3x 14) 1 2 2 4x 8x 7 4x 10x 7 15) 2
x x 2 x x 2 2 3 1 2 5 1 9x .
16) x x x x 2 2 2 5 1 4 6 1 . 17) 4 3 2
x 9x 16x 18x 4 0 . 2 x 12 18) 2 x x . x 2 3 6 3 2 2x 13x 19) 6 2 2 3x 5x 2 3x x . 2 20) 2 x 4 x 2
1 x 2 1 0 . 2 2 2 x 2 x 2 x 4 21) 20 5 20 0 . 2 x 1 x 1 x 1 Sưu tầ Trang 40
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2
ax bx c 0 Bài B.1: a) 2 x 5x 6 0 2 2 b 4ac 5 4.1.6 1 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 5 1 b 5 1 x 3 , x 2 . 1 2a 2 2 2a 2 b) 2 x 2x 1 0 2 2 b ac 1 1 2 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x 1 2 , x 1 2 . 1 a 2 a c) 2 x 2x 10 0 2 2 b ac 1 10 9 0 Phương trình vô nghiệm. d) 2 9x 12x 4 0 2 2 b ac 6 9.4 0
Phương trình có nghiệm kép: b 6 2 x x . 1 2 a 9 3 Bài B2: a) 2 x 1 2 x 2 0 Ta có: a b c 1 1 2 2
0 nên phương trình có hai nghiệm: c x 1; x 2 . 1 2 a b) 2 2x 3 2 x 3 0 Ta có: a b c 2 3 2 3
0 nên phương trình có hai nghiệm: x 1 1 c ; x 3 . 2 a c) 2 x x 6 0 b S x x 1 1 2 Ta có: a suy ra x 2 ; x 3 . c 1 2 P x x 6 1 2 a b S x x 9 1 2 a d) 2 x 9x 20 0 . Ta có: suy ra x 4 ; x 5 . c 1 2 P x x 20 1 2 a Sưu tầ Trang 41
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c Bài C.1: a. 5x2 + 3x = 0 x(5x + 3) = 0 x 0 x 0 3 5x 3 0 x 5 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 1 = 0; x2 = 5 b. 2x2 – 6x = 0 2x(x – 3) = 0 2x 0 x 0 x 3 0 x 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 c. 7x2 – 5x = 0 x(7x – 5) = 0 x 0 x 0 5 7x 5 0 x 7 5
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 7 d. 4x2 – 16x = 0 4x(x – 4) = 0 4x 0 x 0 x 4 0 x 4
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 4 e. – 0,4x2 + 1,2x = 0 – 0,4x(x – 3) = 0 0,4x 0 x 0 x 3 0 x 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 f. 3,4x2 + 8,2x = 0 0,2x(17x + 41) = 0 x 0 0,2x 0 41 1 7x 41 0 x 17 41
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 1 = 0; x2 = 17 Sưu tầ Trang 42
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 1 1
D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; 2 2 x x 1 2 x x 1 2 …) Bài D.1. b S x x 3 1 2 a) Ta có: a c P x x 7 1 2 a 1 1 x x 2 1 2 1 A . x 1 x 1 x x x x 1 9 1 2 1 2 1 2 2 2 2 B x x x x x x 23 . 1 2 1 2 1 2 2 2 C x x x x x x 4x x 37 . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 D x x x x 3x x x x 72 . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 2 2 E x x S 2P 2P 527 1 2 2 2 F 3x x 3x x 10x x 3 x x 1. 1 2 2 1 1 2 1 2 Bài D.2 2 2 2 2
6x 10x x 6x
6(x x ) 2x x 6.(4 3) 2.8 17 1 1 2 2 1 2 1 2 Q 3 3 5x x 5x x
5x x x x 2 2
2x x 5.8(4 3) 2.8 80 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Bài D.3: b 5 S x x 1 2 a) Ta có: a 3 c P x x 2 1 2 a 200 2 2 2 A 3x 2x 3x 2x 13x x 6 x x 13P 6 S 2P 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 x x x x 2x x x x 2 38 2 1 2 1 1 2 2 1 B . x 1 x 1 x x x x 1 3 1 2 1 2 1 2 2 2 97 C x x x x x x 4x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 x 2 x 2 2x x 2 x x 11 1 2 1 2 1 2 D . x x x x 3 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 43
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Bài E.1. Ta có .
a c 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. b 7 S p q a 3 c 4 P . p q a 3 4 7 2 p q 2 pq p q 15 3 3 q 1 p 1 pq p q 1 4 7 14 Suy ra: 1 3 3 p q pq 2 . q 1 p 1 pq p q 1 7 p q 15 2
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm và là : 2 X X 0 . q 1 p 1 14 7 Bài E.2: Ta có .
a c 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 5 S y y 1 2 3 Có : 176 P y y 1 2 9 5 176
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : 2 X X 0 . 1 2 3 9 Bài E3: Ta có .
a c 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 11 S y y 1 2 Ta có: 2 13 P y y 1 2 2 11 13
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : 2 X X 0 . 1 2 2 2 b) 9 S y y 1 2 Ta có: 8 1 P y y 1 2 2 9 1
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : 2 X X 0 . 1 2 8 2 Sưu tầ Trang 44
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài E.4: Ta có .
a c 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. x x 1 2 y y y y 3 1 2 1 2 x x y y 3 a) Ta có: 2 1 1 2 y y 1 2 y y 3 y y 9 1 2 1 2 3x 3x y y 1 2 2 1 y y 2 1
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : 2 X 3X 9 0 . 1 2 2 2 y y x x y y 3 y y 3 1 2 1 2 1 2 b) 1 2 . 2 2 2 2 y y 5x 5x 0 y y 5 y y 2 1 2 2 1 1 2 1 2
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : 2 X 3X 2 0 . 1 2 Bài E.5:
Ta có 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 1 1 1 1 x x 3 9 1 2
S y y x x
(x x ) (x x ) 3 1 2 2 1 1 2 1 2 x x x x x x 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 9
P y y (x )(x ) x x 11 2 11 1 2 2 1 1 2 x x x x 2 2 1 2 1 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: 2
y Sy P 0 9 9 hay 2 2 y y
0 2y 9y 9 0 2 2 Sưu tầ Trang 45
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ
BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. Câu 1: 1
Xét 2m 1 0 m
phương trình trở thành x 1 0 x 1 1 ;0 2 1
Xét 2m 1 0 m khi đó ta có: 2
m m m m m 2 2 2 ' 2 1 2 1 1 0 mọi m .
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m .
Ta thấy nghiệm x 1 không thuộc khoảng 1 ;0 1 m m 1 1 Với m
phương trình còn có nghiệm là x 2 2m 1 2m 1
Phương trình có nghiệm trong khoảng 1 ;0 suy ra 1 2m 1 1 0 0 1 0 2m 1 2m 1 m 0 2m 1 2m1 0 2m1 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng 1
;0 khi và chỉ khi m 0 . Câu 2:
m 2 2 2 1 4. m 1 5 4m
Phương trình có hai nghiệ 5
m phân biệt m 4 a) Phương trình hai nghiệm 5 m 4
x x 2m 1 1 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x x m 1 1 2 Theo đề bài:
x x 2 x 3x 1 2 1 2
x x 2 4x x x 3x 1 2 1 2 1 2 2m 2 1 4 2 m 1 x 3x 1 2
x 3x 5 4m 1 2 m 1 x 1 x x 2m 1 2 Ta có hệ phương trình: 1 2
x 3x 5 4m 3(m 1) 1 2 x 2 2 Sưu tầ Trang 46
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 m 1 3(m 1) 2 m 1 2 2 3 2 m 1 4 2 m 1 2 m 1 0 m 1
Kết hợp với điều kiện m 1 là các giá trị cần tìm Câu 3: 2
5 4.1.3m 1 29 12m Để 29
phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m 12 x x 5 Áp dụng hệ thức Vi-ét 1 2 x x 3m 1 1 2 Ta có: 3 3
x x 3x x 75 1 2 1 2
x x x x 2 x x 3x x 75 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 25 x x 3x x 75 1 2 1 2 1 2
25x x x x x x 3x x 75 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 3 1 2 5
Kết hợp x x 5 suy ra x 1 ; x 4
Thay vào x x 3m 1 suy ra m 1 2 1 2 1 2 3 5 Vậy m là giá trị cần tìm 3 Câu 4:
a) Với m 1 phương trình đã cho trở thành 2
x 10x 9 0 x 1
Ta có a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1 x 9 2 b) m2 2 ' 5
1.9m 25m 9m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 2
' 0 25m 9m 0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x x 10m 1 0x 10m x m x m 1 2 2 2 2
x 9x 0 x 9x x 9m
x 9m,(*) m 1 1 2 1 2 1 1 2 x x 9m x x 9m 9
m 9m 0 m 0 1 2 1 2 m 1 Sưu tầ Trang 47
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 5:
a) Với m 0 , phương trình đã cho trở thành: 2
x 2x 1 0 ' 2 ; x 1 2 1,2
Vậy với m 0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x 1 2 . 1,2
b) ' m 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 0 m 2 0 m 2
x x 2(m 1) 1 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2
x x m m 1 1 2 Do đó: 1 1 x x 2(m 1) 1 2 4 4 4 2 x x x x m m 1 1 2 1 2 2 2 m 1
m m 1 0
m m 1 0 3 2 2
m 1 2(m m 1)
2m m 3 0 m 2 3
Kết hợp với điều kiện m 1
; là các giá trị cần tìm. 2 Câu 6:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thì 0 1 2 m 2 2 1 4.2.m 1 0 2
4m 12m 9 0
2m 32 0 3 m 2
Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có: 2m 13 - 4m x x 1 x 1 2 1 2 7 m 1 7m 7 x .x x 1 2 2 2 26 - 8m 3x 4x 11 13- 4m 7m 7 1 2 3 4 11 7 26 - 8m 13 - 4m 7m 7 Giải phương trình 3 4 11 7 26 - 8m m 2 m 2 Ta được . Vậy
là các giá trị cần tìm m 4,125 m 4,125 Sưu tầ Trang 48
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 7:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 m 2 2 1 1. m 3 0 2m 4 0 m 2
Vậy m 2 là các giá trị cần tìm
a) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
a 3a 2m 2 2 .3 a a m 3 2 m 1 m 1 2 a 3 m 3 2 2 2
m 6m15 0 m 3
2 6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 3
2 6 là các giá trị cần tìm. Câu 8: 1 9
a) Với m 1 phương trình trở thành 2 2 x x
0 x 2x 9 0 2 2 x 1 10 1 x 1 10 2
b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì 0 m2 1 1 1 2 4. .
m 4m 1 0 8
m 2 0 m 2 2 4 Để 1
phương trình có nghiệm khác 0 2
m 4m 1 0 2 m 4 3 2 1 m 4 3 2 2 1 1 x x 0 Ta có
x x x x x x 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 0 1 2 1 2 m 0 2m 0 m 4 19 2
m 8m 3 0 m 4 19 Sưu tầ Trang 49
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 m 0
Kết hợp với điều kiện ta được m 4 19 m 0 Vậy
là các giá trị cần tìm. m 4 19 Câu 9: m 2 2 m 4 4.1.
1 m 4m 4
Phương trình có nghiệm nguyên khi 4
m 4m 4 là số chính phương m 0 Nếu thì 0 (loại) m 1 Nếu m 2 thì 2 4 2 (nhận)
Nếu m 3 thì mm 2 2
2 5 2m 4m 5 0 2
2m 4m 5 4m 4 4 2 4
m 2m 1 m m 2 1 m 2 2 2
không là số chính phương.
Vậy m 2 là giá trị cần tìm Câu 10: 2 2 3 7 a) ' m 1 1. m3 2
m 3m 4 m 0 , m 2 4
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
x x 2(m 1)
x x 2m 2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 1 2 x x m 3
2x x 2m 6 1 2 1 2
x x 2x x 4 0 không phụ thuộc vào m . 1 2 1 2 2 2 c) 2 2
P x x x x
2x x 4 m 1 2 m 3 1 2 1 2 1 2 2 5 15 15 2m , m 2 4 4 Do đó 15 5 5 15 5 P
và dấu " " xảy ra khi 2m
0 m . Vậy P với m . min 4 2 4 min 4 4 Sưu tầ Trang 50
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 11:
x x m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 x x m 1 1 2 2 2 x x 1
x x 2x x 1 m 2 m 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 Ta có M 2 2 x x x x x x x x m 1 m 1 2 1 2 1 2 1 2 m 2m 1 m 2 2 1 m m 1 m m 1 m 0 m 2 1 m 1 0 m 1 Để M 0 mm 0 mm 1 0 1 m 0 m 0 m 1 0 2 a) Ta có 2 2
P x x 1 x x 2
2x x 1 m 2 m 1 1 1 2 1 2 1 2
m m m 2 2 2 1 1 0 , m
Do đó P 0 và dấu " " xảy ra khi m 1 0 m 1 min Vậy P 0 với m 1. min Câu 12:
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x , x là 1 2 ' 0 2 m 1 0
x x 0 2(m 1) 0 m 0 1 2 x x 0 2m 0 1 2
x x 2 m 1 1 2 Theo hệ thức Vi-ét: x x 2m 1 2
Ta có x x 2 x x 2 x x 2 1 2 1 2 1 2
2m 2 2 2m 2 m 0 (thoả mãn)
Vậy m 0 là giá trị cần tìm. Câu 13: Ta có 2 2 2
[-(m+1)] 4m m 2m 1 (m 1)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m 2 0 1 0 m 1
x x m 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 x x m 1 2 Ta có 2 2
A x x x x 2007 x x x x 2007 1 2 1 2 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 51
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
mm 1 1 3 2 2
1 2007 m m 2007 m 2. . m 2006 2 4 4 2 1 8027 8027 m , m 2 4 4 1 1
Dấu " " xảy ra m 0 m 2 2 8027 1 Vậy A với m . min 4 2 Câu 14: 2 2
Ta có m m 2 2 4.1. 2
1 4m 8m 4 4m 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m 2 0 1 0 m 1 x x 2 m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 x x 2m 1 1 2 Ta có 2 2
A x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2
mm
1 2007 2m 1 2 m 1 2 2 4
m 2m 4 m m 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 m 2. . m 4 m , m 4 16 16 4 4 4 1 1 1 1
Dấu " " xảy ra m
0 m . Vậy A với m . 4 4 m ax 4 4 Câu 15: 2 Ta có m m 2 2 1 4.1. 2
5 4m 12m 22 m2 m m 2 2 2.2 .3 9 13 2 3 13 0 , m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
x x 2m 2
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2 (I) x x 2m 5 1 2 x 1 0 Theo giả thiết 1
x 1 x
x 1 x 1 0 x x x x 1 0 (II) 1 2 1 2 1 2 1 2 x 1 0 2 Thay (I) vào (II) ta có: 2m
5 2m 2 1 0 0.m 2 0 , đúng với mọi m .
Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x , x thỏa mãn x 1 x . 1 2 1 2 Sưu tầ Trang 52
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 16:
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 2 2
m 4.(m 2) m 4m 8 (m 2) 4 4 0 , m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Vì a b c 1 m m 2 1 0 , m nên phương trình có 2 nghiệm x , x 1, m . 1 2 Phương trình 2 2
x mx m 2 0 x 2 mx m 2 2 x 2 x 2
mx m mx m Ta có 1 2 1 2 . 4 . 4 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 1 2 2
m (x 1)(x 1) 1 2 2
4 m 4 m 2 (x 1)(x 1) 1 2 Vậy m 2
là các giá trị cần tìm. Câu 17: Ta có . a c 1. 1 1
0 , với m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m . 2
x mx 1 a) Ta có 1 1
do x , x là nghiệm của phương trình (1). 2 1 2 x mx 1 2 2 2 2 Do đó x x 1 x x 1 mx 1 x 1 mx 1 x 1 1 1 2 2 1 1 2 2 P x x x x 1 2 1 2 x m 1 x m 1 1 2 m 1 m
1 0 vì x , x 0 . x x 1 2 1 2 Vậy P 0 . Câu 18: m 2 2 2 1 4.1. m 1 4 m 5 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 4m 5 0 m 4
x x 2m 1 1 2
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 2 x x m 1 1 2 2 2
Ta có x x
x 3x x x
4x x x x 4x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m 2m 2 1 4 3 3 2 m
1 2m 1 4x 6m 6 4x 0 x 2 2 2 2 m 1 Suy ra x 1 2 m 1 3m 3 Do đó 2 2 .
m 1 m 1 0 m 1 (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) 2 2
Vậy m 1 là các giá trị cần tìm. Sưu tầ Trang 53
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 19: 2 2 4.1. 2 m 1 8m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 8m 0 m 0 x x 2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2 (I) x x 2 m 1 1 2
Ta có x (x 1) x (x 1) 8 2 x x 2 2 2 2 2 2 2
(x x ) 8 2 1 1 2 1 2 1 2 2x x 2 2
(x x ) 2x x 8 1 2 1 2 1 2 (II) Thay (I) vào (II) ta có: 2 m m 2 2( 2 1) 4 2 2
1 8 2m 3m 2 0 1 m 2 m 2
So với điều kiện có nghiệm m 0 .
Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu 20:
Do 4 3 là nghiệm của phương trình nên thỏa: 2 4 3
84 3 m 0
m 13 0 m 13
Thay m 13 vào phương trình ta được phương trình: 2
x 8x 13 0 * 2 ' 4 1.13 3 x 4 3 Phương trình
* có hai nghiệm phân biệt là: 1 x 4 3 2
Vậy x 4 3 là giá trị cần tìm. Câu 21: 2 Ta có
m 2 2 1
4.1. m m 1 5 0 , m .
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
x x 2m 1 1 2
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2
x x m m 1 1 2
Ta có A 2x x 2x x 5x x 2 x x 9x x 2 x x 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
m m m 2 2 2 9 1 2 2 1
m m 11 Sưu tầ Trang 54
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 1 1 1 1 45 45 2 m 2. . m 11 m , m 2 4 4 2 4 4 1 1
Dấu " " xảy ra m 0 m 2 2 45 1 Vậy A với m . min 4 2 Câu 22: 1 1 a) m2 ' 2 1. m 0 , m . 2 2
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 x m 1 2
b) Hai nghiệm của phương trình là 2 x m 2 2 Theo đề 2 2 1 1 bài ta có 2 2 m m
m 2m m 2m 2 2 2 2
2 2m 0 m 0
c) Theo định lý Pitago ta có: 2 2 2 2 m 2 2 2 m m
9 2m 8 0 m 4 0 2 2 m 2 m 2 Vậy
là các giá trị cần tìm. m 2 Câu 23: Vì phương trình 2
x 2x m 3 0 có nghiệm x 1 nên ta có: 2 ( 1 ) 2.( 1
) m 3 0 m 6 0 m 6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x x 2 1
x 2 x 3 1 2 2 2
Vậy m 6 và nghiệm còn lại là x 3 . a) 2
' 1 1.m 3 m 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt '
0 m 2 x x 2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 x x m 3 1 2 Ta có Sưu tầ Trang 55
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 3 3 x x 8 1 2 3
(x x ) 3x x (x x ) 8 1 2 1 2 1 2 3
2 3.(m 3).2 8 6(m 3) 0 m 3 0
m 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 3
là giá trị cần tìm. Câu 24:
m 2 2 2 1 4.1. m 1 4 m 5 5
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m . 4
x x 2m 1 1 2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2
x x m 1 1 2
Ta có P x x x x 2 2 2 2x x 1 2 1 2 1 2 m 2 2 m 2 2 1 2
1 2m 4m 3
m m m 2 2 2 2. .1 1 1 3 2 1 1 1 , m
Dấu " " xảy ra m 1 0 m 1 (nhận) Vậy P 1 khi m 1. min Câu 25: 2 Δ m 5 4.1. 2m 6 2
m 5 4.2m 6 2
m 10m 258m 24 2
m 2m 1 m 2 1 0; m
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm. a)
Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b
S x x m 5; 1 2 a c
P x x 2m 6 1 2 a Ta có: 2 2 x x 35 1 2
x x 2 2x x 35 1 2 1 2 m 2 5
22m 6 35 2
m 10m 25 4m12 35 0 Sưu tầ Trang 56
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2
m 6m22 0 1 2 ' 3 1. 2
2 9 22 31 0
Vì ' 0 nên phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt: m 3 31;m 3 31 1 2 Vậy m 3 31; 3 3 1 Câu 26: Phương trình 1 có nghiệm : ' 0
1m2 0 3 m 0 m 3 Vậy phương trình
1 có nghiệm khi m 3 a) Do phương trình
1 có 2 là một nghiệm nên thỏa: 2
2 2.2 m 2 0 m 6 0 m 6 Thay m 6
vào phương trình
1 ta được phương trình: 2
x 2x 8 0 * 2 ' 1 1. 8
18 9 0, ' 9 3 1 3 1 3
Do ' 0 nên phương trình
* có hai nghiệm phân biệt: x 2; x 4 1 2 1 1 Vậy m 6
và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm. Câu 27:
a) Khi m = 2, phương trình 1 trở thành: 2
x 2x 1 0 2 Ta có
a b c 1 2 1 0 nên phương
trình 2 có hai nghiệm: c 2
x 1; x 2 1 2 a 1
Vậy khi m 2 , tập nghiệm của phương trình 2 là S 1 ; 2 b) m
m m m m 2 2 2 4.1. 1 4 4 2 0; với mọi m .
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b
S x x m 1 2 a c
P x x m 1 1 2 a 2 2 Ta có: A x 1 x 1 2016 1 2
A x 1 x 2 1 2016 1 2
A x x x x 2 1 2016 1 2 1 2
A m m 2 1 1 2016 2 A 0 2016 A 2016 Sưu tầ Trang 57
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 28:
Do phương trình có nghiệm x 2 nên thỏa: 2 2 2m 1 .2 2m 0
4 4m 2 2m 0 2m 2 0 2m 2 m 1
Thay m 1vào phương trình ta được phương trình: 2
x 3x 2 0 * c 2
Ta có a b c 1
3 2 0 nên phương trình
* có hai nghiệm: x 1; x 2 1 2 a 1
Vì x 2 nên nghiệm còn lại là x 1 2 1
Vậy m 1 và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm. Câu 29: 2 m 2 1 4.1.
m 2 m 1 4m 2 2
m 2m1 4m8 2
m 2m 9 2 m 2m
1 8 m 2
1 8 0 ; với mọi m
Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 với mọi m .
a) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b
S x x m 1 1 2 a c
P x x m 2 1 2 a 2 b) Ta có 2 2
A x x 6x x x x
8x x m 1 8m 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
m 2m 18m 16 2
m 6m 17 2
m 6m 9 8 m 2 3
8 8 ; với mọi m
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA 8 khi và chỉ khi m 3 . Câu 30:
Với m 1 phương trình trở thành: 2
x 4x 4 0 * 2 ' 2 1.4 0 b ' 2
Vì ' 0 nên phương trình
* có nghiệp kép: x x 2 1 2 a 1
Vậy với m 1, tập nghiệm của phương trình * là S 2 a) Ta có m 2 ' 1 1. 4
m m 2 1 4m 2
m 2m1 4m 2
m 2m 1 m 2 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m 2 ' 0 1
0 m 1 0 m 1
Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Sưu tầ Trang 58
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 31: a) Ta có 2 2 ' 1 1. m 1 2 1 m 1 2
m 2 0 , với mọi m
Vì ' 0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2 b 2
S x x 2 1 2 a 1 2 c m 1 2 P x x m 1 1 2 a 1
c) Ta có x x 2
(do trên) và x 3
x nên ta có hệ phương trình sau: 1 2 1 2
x x 2
x x 2
x x 2 1 2 1 2 1 2 x 3 x
x 3x 0
x 3x 0 1 2 1 2 1 2
x x 2 x 1 2 x 3 1 2 1 1 * 2 x 2 x 1 x 1 2 2 2 Thay * vào biểu thức 2
x x m 1 ta được: 1 2 2 2
3 .1 m 1 m 2 m 2
Vậy m 2 là các giá trị cần tìm. Câu 32: 2
Ta có m 2 4.1.m 1 2
m 4m 4 4m 4 2
m 8 0 , với mọi m .
Vì 0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
a) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét: b m 2
S x x m 2 1 2 a 1 c m 1 P x x m 1 1 2 a 1 Theo đề bài, ta có: 2 2
x x 13 x x x x
2x x 13 x x 0 x x 3x x 13 0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m 2 2 3 m
1 13 0 m 2 3m 1 13 0 2
m 4m 43m313 0 2
m m 6 0 * 2 1 4.1. 6
1 24 25 0; 25 5
Do 0 nên phương trình
* có hai nghiệm phân biệt: 1 5 1 5 m 2; m 3 1 2 2.1 2.1
Vậy m 2; m 3
là các giá trị cần tìm . 1 2 Sưu tầ Trang 59
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 33: Ta có 2
1 4.1.m2 1 4m 8 9 4m Để 9
phương trình có nghiệm 0 9 4m 0 4m 9 m 4 9 Vậy m
thì phương trình có nghiệm . 4 9 a) Với m
thì phương trình trên có hai nghiệm x , x 4 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 1
S x x 1 1 2 a 1 c m 2
P x x m 2 1 2 a 1 Ta có 3 3
x x x x 10 x x 2 2 x x 10 1 2 2 1 1 2 1 2 x x
x x 2 2x x 10 0 1 2 1 2 1 2 2 1 .
1 2.m 2 10 0
12m410 0
1 2m 4 10 0 2m 5 0 2m 5 5 m 2 5 Vậy m
thì phương trình trên có nghiệm. 2 Câu 34: Ta có 2
' 2 1.m
3 4 m 3 1 m
Để phương trình có nghiệm x , x ' 0 1 m 0 m 1 1 2
a) Theo câu a, ta có m 1 thì phương trình có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 4
S x x 4 1 2 a 1 c m 3
P x x m 3 1 2 a 1 2 2 Ta có 2 2 2 2
x x x x 51 x x 2x x x x 51 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 m m 2 4 2. 3 3 51 0 2
16 2m6 m 6m951 0 2
m 4m 32 0 * Sưu tầ Trang 60
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 ' 2 1. 3
2 432 36 0; ' 36 6
Do ∆’ > 0 nên phương trình
* có 2 nghiệm phân biệt: 2 6 2 6 m 4 (loại); ;m 8 (nhận) 1 1 2 1
Vậy m 8 là giá trị cần tìm . Câu 35: 2
Ta có m 2 ' 3
1. m 3m 1 2 2
m 6m 9 m 3m 1 9m 8
Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m 8
' 0 9m 8 0 9m 8 m 9 8
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m . 9 8
a) Theo câu a, với mọi m
thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét: 9 b 2 m 3
S x x 2 m 3 1 2 a 1 2 c m 3m 1 2 P x x
m 3m 1 1 2 a 1
Ta có A x x 1 x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 27
m 3m 1 2m 3 2
m 3m1 2m 6 2
m m 7 2 m m 4 4 2 2 1 27 27 1 m
, với mọi m (vì m 0 , vớ i mọi m ) 2 4 4 2 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m . 2 27 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA
khi và chỉ khi m 4 2 Câu 36: 2
Ta có ' m 1.2m 1 2
m 2m 1 m 2 1 0 ; với mọi m
Do ' 0 (với mọi m) nên phương trình
1 luôn có nghiệm x , x với mọi giá trị của m . 1 2
a) Theo câu a, với mọi m thì phương trình
1 luôn có nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2 b 2m
S x x 2m 1 2 a 1 c 2m 1
P x x 2m 1 1 2 a 1 Ta có A 2 2 2 x x 5x x 2
x x 2x x 5x x 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
2 x x 2 4x x 5x x 2 x x
9x x 22m 92m 1 2
8m 18m 9 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Do A = 27 nên thỏa: 2
8m 18m 9 27 2
8m 18m 18 0 Sưu tầ Trang 61
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2
4m 9m 9 0 * 2 Ta có 9 4.4. 9
81144 225 0; 225 15 9 15 9 15 3
Do 0 nên phương trình
* có hai nghiệm phân biệt: m 3; m 1 2 2.4 2.4 4 3
Vậy m 3; m
là các giá trị cần tìm. 1 2 4 Câu 37: 2 2 Ta có
m 3 4.1.
m5 m3 4.m5 2 m 6m 9 4m 20 2 2
m 10m 25 m 52 m 10m 29 4 4 0 ; với mọi m .
Vì 0 (với mọi m ) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
a) Theo câu a, ta có với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 thỏa hệ thức Viet: b m 3
S x x m 3 1 2 a 1 c m 5
P x x m 5 1 2 a 1 Ta có 2 2
x 4x x 4x 11 2 2
x x 4 x x 11 0 1 2 1 2 1 1 2 2
x x 2 2x x 4 x x 11 0 1 2 1 2 1 2 m 2 3
2m 5 4m3 11 0 2
m 6m9 2m10 4m12 11 0 2
m 12m 20 0 * Ta có 2 ' 6
1.20 36 20 16 0; ' 16 4 6 4 6 4
Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt: m 10; m 2 1 2 1 1
Vậy m 10; m 2 là các giá trị cần tìm. 1 2 Câu 38: Ta có: 2
m 4.1.2m4 2
m 8m 16 m 42 0 ; với mọi m .
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . a)
Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét: b
S x x m 1 2 a c
P x x 2m 4 1 2 a 2 Ta có 2 2
x x 5 x x
2x x 5 0 m 2.2m 4 5 0 1 2 2 1 2 1 2 2
m 4m85 0 2
m 4m 3 0 * c 3
Vì a b c 1 4
3 0 nên phương trình
* có hai nghiệm: m 1; m 3 1 2 a 1 Sưu tầ Trang 62
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Vậy m 1; m 3 là các giá trị cần tìm. 1 2 Câu 39: 2 Ta có ' 1 1.4m
1 1 4m 1 2 4m Để 1
phương trình có nghiệm ' 0 2 4m 0 4m 2 m . 2 1 Vậy m
thì phương trình có nghiệm. 2 1 a)
Theo câu a, với 0 m
thì phương trình có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi- 2 1 2 ét: b 2
S x x 2 1 2 a 1 c 4m 1
P x x 4m 1 1 2 a 1 2 Ta có 2 2
x x 2x 2x 12 x x
2x x 2 x x 12 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 24m
1 2.2 12 0 4 8m 2 4 12 0 8m 2 1 0 m (thỏa) 4 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 Câu 40: 2
Ta có ' m 1.4m 4 2
m 4m 4 m 2 2 0, m Do ' 0, m
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . a)
Theo câu a) ' 0 m 2 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức 1 2 Vi-ét: b 2m
S x x 2m 1 2 a 1 c 4m 4
P x x 4m 4 1 2 a 1
Do x là nghiệm của phương trình nên thỏa: 2
x 2mx 4m 4 0 1 1 1 2
x 2mx 4m 4 * 1 1 Ta có 2
x 2mx 8m 5 0 1 2 2mx 4m 4 2mx 8m 5 0 1 2 (do * )
2mx x 12m9 0 1 2
2m.2m 12m 9 0 (do hệ thức Vi-ét) 2 4m 12m 9 0 2
2m 3 0 2m 3 0 3 2m 3 m 2 3 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 Câu 41: 2 Ta có: '
m 4 m6 Sưu tầ Trang 63
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 m 2 ' 4 m 6 2
' m 8m16 m 6 2
' m 9m 22 2 9 7 ' m 0, m 2 2 Do ' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a)
Theo câu a, ' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2 b x x 2
m 4 2 m 4 2m 8 1 2 a c
x .x m 6 1 2 a 1 1 x x 2m 8
2 m 6 12 8 Có: 1 2 A x x x .x m 6 m 6 1 2 1 2 2m 6 4 2m 6 4 4 2 m 6 m 6 m 6 m 6 4 Để A thì
4 m 6 hay m 6 Ư(4)= 4 ; 2 ; 1 ;1;2; 4 m suy ra 6 Lập bảng: m 6 -4 -2 -1 1 2 4 m 2 4 5 7 8 10 Vậy m 2;4;5;7;8;1 0 thì A . Câu 42: 2 Ta có: '
m 2 2
m m 2 2 2m 2
m 4m 4 2m 2
m 2m 4 m 2 1 3 0, m Do ' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a)
Theo câu a, ' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2 b
S x x 2
m 2 2 m 2 2m 4 1 2 a c
P x .x 2 m 1 2 a Ta có: 2
x x x x x 2 m 2 x 2m 2m 4 x x 2 m 2 x 2m 1 1 2 1 2 1 1 1 1 4 2 4
2x 2m 4 x x 1 1 1 2 2m 1 m Sưu tầ Trang 64
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 2 2 2 Thay x 2 m 2 2m 0 1 1 vào 1 ,ta được: m 1 m 1 m 4
4 m 21 m 2m 1 m2 1 m 0 2 1 m2 1 m2 2
m m m 2 4 4 3 2 2
1 2m m 0 2 2 3
4 4m 12m8 2m 4m 2m 0 3 2
2m 8m 14m12 0 3 2
m 4m 7m 6 0 m 2
2 m 2m 3 0 m 2
Vậy m 2 là giá trị cần tì m. Câu 43: 2
Ta có: 2 m 2 ' 1 2 1 2m 0,m Do ' 0, m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a)
Theo câu a, ' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2 b
S x x 2 2 1 2 a c 2
P x .x 2 m 3 1 2 a x 2x Có: 2 2 1 2 x 4x 1 2 x 2 x 1 2 4 x 1 x 2x 3 4 2 TH1: 1 2 thay vào 3 .Ta được: 2
2m (vô lý) x x 2 2 3 3 1 2 x 2 3 x 2 x x 4 TH2: 1 2 1 thay vào 3 . Ta được: 2 2 4 2 2
m m 4 m 2 . x x 2 x 2 1 2 2
Vậy m 2 là giá trị cần tìm . Câu 44: 2 Ta có:
m 2 3 2
4 2m m 3 m 2 2 3 2
8m 4m 12 2 2
9m 12m 4 8m 4m 12 m m m 2 2 8 16 4 0, m Do 0, m
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Sưu tầ Trang 65
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 a)
Theo câu a, 0 m 4 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức 1 2 b
S x x
3m 2 3m 2 1 2 a Vi-ét: c 2
P x .x 2m m 3 3 1 2 a
Ta có hệ phương trình sau: 9m 6 x 1 x 3x
9m 6 3m 2 1 2 4 , thay vào 3 , ta được: 2
2m m 3
x x 3m 2 3m 2 4 4 1 2 x 2 4
m m 2 9 6 3 2
16 2m m 3 2 2
27m 36m12 32m 16m 48 2
5m 20m60 0 2
m 4m12 0 m 2 ,m 6 Vậy m 2, m 6 là giá trị cần tìm. Câu 45: 2 2
Ta có: m 2
m m 2 ' 2 2 m 0, m Do ' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a)
Theo câu a, ' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2 b
S x x 2
m 2 4 2m 1 2 a c 2
P x .x m 3 1 2 a Ta có: x 1 x 2 2
1 x x x x 2 1 2 1 2 2 1
x x x x 1 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 m
4 2m1 m 42m 2 2 2 3 2 m 2m 5 4
m 2m 2m 3 2
2m 5m 2m5 0 2
m 2m52m5 0 m 2 2 5 m 1 0 5 m 2 5 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 Câu 46: Sưu tầ Trang 66
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 Ta có: m 2 ' 1
m 3 m 2 2 1 m 3 2 2
m 2m 1 m 3 2m 4 Để
1 có nghiệm thì ' 2m 4 0 m 2 a)
Theo câu a) ' 0 m 2 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức 1 2 Vi-ét: b
S x x 2
m 1 2m 2 1 2 a c 2
P x .x m 3 3 1 2 a Ta có:
2x 1x 12x 1x 2 2
1 x x 14 1 2 2 1 1 2
2x x 2x x 1 2x x 2x x 1 x x 2 2x x 14 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
4x x x x 2 x x 2 2x x 14 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 2 6x x x x 16 0 1 2 1 2 1 2 2 2
2m 2 6m 32m 216 0 2 2
4m 8m 4 6m 18 2m 2 16 0 2
2m 6m36 0 2
m 3m18 0 m 3 ,m 6
Vậy m 6 là giá trị cần tìm. Câu 47: Ta có: 2 m 12
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì 0 m 2 3 hoặc m 2 3
x x m (1) 1 2
Kết hợp với hệ thức Viét ta có : 3
x x 6 (2) 1 2 x x 3 (3) 1 2 6 m 3m 6 Giải hệ
1 ,2 ta được x ; x 1 2 2 2 6 m 3m 6 Thay x , x vào 3 ta được : 1 2 2 2 6 m 3m 6
3 6m3m6 12 m 4 2 2
Vậy m 4 là giá trị cần tìm . Câu 48: Sưu tầ Trang 67
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 Ta có:
m 2 5 1 4 6m 2m 2 2
25m 10m 1 24m 8m 2
m 2m 1 m 2 1 0, m Vì 0, m
nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. a)
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 1 2
5m 1 m 1
5m 1 m 1 Ta có: x
3m 1 ; x 2m 1 2 2 2 Theo đề 2 2 bài: 2 2 x x 1 3m 1 2m 1 2 2
9m 6m 1 4m 1 0 1 2 2
13m 6m 0 m 6 0 ; m 13 6
Vậy m 0 ; m là giá trị cần tìm. 13 Câu 49: 2 Ta có: ' (
m 1) m3 2
' m 2m1 m3 2
' m 3m 4 2 2 3 3 3 2 ' m 2. . m
4 2 2 2 2 3 7 ' m 0, m 2 4 Do ' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a)
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 1 1 2 b
S x x 2 m 1 2 1 2 a
Áp dụng định lý Vi-ét: c
P x x m 3 3 1 2 a Theo đề bài ta có: 2 2
P x x 1 2 P 2 2
x x 2x x 2x x 1 2 1 2 1 2
P x x 2 2x x 1 2 1 2
P m 2 4 1 2m 3 2
P 4m 8m 4 2m 6 2
P 4m 10m 10 Sưu tầ Trang 68
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 2
P m2 5 5 5 2 2.2 . m
10 2 2 2 2 5 15 15 P 2m , m 2 2 2 5 5
Dấu " " xảy ra 2m 0 m 2 4 15 5 Vậy Min 2 2 x x khi m . 1 2 2 4 b) Từ
3 m x x 3 1 2
Thay m x x 3 vào 2 , ta được: x x 2 x x 31 x x 2x x 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 50: 2
Ta có: ' m 2m 1 2
' m 2m1 m 2 ' 1 0, m
Với m 1 thì phương trình
1 có hai nghiệm x , x 1 2 b
S x x 2m 2 1 2 a
Áp dụng Định lý Vi-ét: c
P x x 2m 1 3 1 2 a m x
x x 2m 4x 2m 2 2 Giải hệ: 1 2 2 4 x 3x 0 x 3x 0 3m 1 2 1 2 x 1 2 2 3m Thay 4 vào 3 , ta được: 2m 1 2
3m 8m 4 0 * 4 2 ' 4 3.4 ' 4 ' 2 0 2 Nên phương trình
* có 2 nghiệm phân biệt: m 2; m 1 2 3 2
Vậy m 2; m là giá trị cần tìm. 1 2 3 Sưu tầ Trang 69
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 51:
Với m = 3 phương trình 1 trở thành: 2
x – 6x 4 0 2
Giải 2 ra ta được hai nghiệm: x 3 5, x 3 5 . 1 2 a) Ta có: 2 ' m 4 . m Phương trình 1 có nghiệm 2 ' 0 * m -2 b
S x x 2m 1 2 a
Theo hệ thức Vi-ét ta có: c
P x x 4 1 2 a 2 2
Ta có : x 1 x 1 2 2 2 x 2
x 1 x 2 x 1 2 2 2
x x 2 x x 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
x x 2 2x x 2 x x 0 m2 2 2.4 2.2m 0 2
4m 4m8 0 1 2 1 2 1 2 m 1 2
m m 2 0 1 . m 2 2
Đối chiếu với điều kiện
* ta thấy chỉ có nghiệm m 2 thỏa mãn. 2 Vậy m 2
là giá trị cần tìm. Câu 52: Ta có: 2
' m 1 0, m
Do đó phương trình
1 luôn có hai nghiệm phân biệt x và x . 1 2 b
S x x 2m 1 2 a a) Theo định lí Vi-ét: c
P x x 1 1 2 a 2 Ta có: 2 2 x x
– x x 7 x x
3x x 7 2m 3 1 7 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
4m 3 7 m 1
Vậy m 1là giá trị cần tìm. Câu 53:
Với m 0 phương trình 1 trở thành 2
x – x 1 0 2 Ta có : 2 1 4.1.1 3
0 , nên phương trình 2 vô nghiệm. 2 a) Ta có:
1 – 41 m 3 – 4m 4
Để phương trình có nghiệm thì 0 3
m 4 0 m * 3
Theo hệ thức Vi-ét ta có: Sưu tầ Trang 70
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 b
S x x 1 1 2 a c
P=x x 1 m 1 2 a
Thay vào đẳng thức: x x x x – 2 3 x x ta được: 1 m1 m – 2 . 3 1 1 2 1 2 1 2
1 mm – 1 3 2 m 1 3 2
m 4 m 2
Đối chiếu với điều kiện
* suy ra chỉ có m 2 thỏa mãn. Vậy m 2
là giá trị cần tìm. Câu 54: Đặt 2
X x X 0 Phương trình trở thành 4 2 2 X (m 4 )
m X 7m 1 0 (1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 0 2 2
(m 4m) 4(7m 1) 0 S 0 2
m 4m 0 (I) P 0 7m 1 0
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X , X . 1 2
Phương trình đã cho có 4 nghiệm x X ; 1,2 1 x X 3,4 2 2 2 2 2 2
x x x x 2(X X ) 2(m 4m) 1 2 3 4 1 2 m 1 Vậy ta có 2 2
2(m 4m) 10 m 4m 5 0 m 5
Với m 1, (I) thỏa mãn Với m 5 , (I) không thỏa mãn.
Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Câu 55:
Phương trình có hai nghiệ 2
m phân biệt x , x khi 0 2m 1 4.2.m 1 0 1 2 2
4m 4m18m8 0 2
4m 12m9 0 m 2 2 3 0 3
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi m 1 . 1 2 2 Sưu tầ Trang 71
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2m 1 13 4m x x x 1 2 1 2 7 Theo đị m 1 7m 7
nh lí Vi-et, ta có: x x x * 1 2 2 2 26 8m 3
x 4x 11 13 4m 7m 7 1 2 3. 4. 11 7 26 8m Giải phương trình * ta được: m 2 m 4,125.
So với điều kiện
1 , ta được: m 2 m 4,125. Câu 56:
Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. Phương trình
1 có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 2 2 2 1 4. m 3 0 2 2
4m 8m 4 4m 12 0 m 2 .
Vậy với m 2 phương trình 1 luôn có nghiệm. a)
Tìm m để phương trình
1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Với m 2 phương trình 1 có 2 nghiệm.
Gọi a là một nghiệm thì nghiệm kia là 3a .
a 3a 2m 1 Theo Vi-et, ta có: 2 .
a 3a m 3
Giải hệ phương trình trên, ta được: m 3
2 6 thỏa mãn điều kiện. Vậy m 3
2 6 phương trình
1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Câu 57:
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi 0 2
m 4m
1 0 m 2 2 0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 2x x 3 a)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 P 2 2
x x 2 x x . 1 1 2 1 2
x x m Theo Vi-et, ta có: 1 2 .
x .x m 1 1 2 2m 1 Khi đó: P 2 m 2
Tìm điều kiện để P có nghiệm theo ẩn 1 1 Suy ra
P 1. Vậy giá trị lớn nhất bằng 1 khi m 1, giá trị nhỏ nhất bằng khi 2 2 m 2 . Sưu tầ Trang 72
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 58: Giải phương trình 1 với m 1.
Thế m 1 vào phương trình 1 ta được 2
x 2x 9 0 . x 1 10
Giải phương trình này ta được: 1 . x 1 10 2 1 1 a)
Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn x x . 1 2 x x 1 2 Để 1
phương trình có 2 nghiệm thì 0 8m 2 0 m * . 4 Để 2
phương trình có nghiệm khác 0 thì: 2
m 4m 1 0 2 3 m 4 3 2 Hay 1 ** . m 4 3 2 2 x x 0 Theo đề 1 1 bài, ta có:
x x x x x x 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 0 1 2 1 2 m 0 2m 0 m 4 19 . 2
m 8m 3 0 m 4 19
Kết hợp với điều kiện * và
** , ta được m 0 m 4 19 . Câu 59:
Để phương trình có hai nghiệm x , x thì 0 1 2 m 2 5
4m 6 0 2
m 14m 1 0 m 7 4 3 m 7 4 3 * a)
Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. x x 1 2 1
Giả sử x x , theo Vi-et, ta có: x x m 5 . 1 2 1 2
x x m 6 1 2
Giải hệ trên ta được: m 0 m 14 thỏa mãn * .
2x 3x 13 1 2 b)
Theo giả thiết ta có: x x m 5 1 2
x x m 6 1 2
Giải hệ trên ta được: m 0 m 1 thỏa mãn * . Sưu tầ Trang 73
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 60: Để phương trình
1 luôn có hai nghiệm phân biệt thì: 0 2 3 7 m 2
1 m 3 0 2
m 3m 4 0 m 0
luôn đúng với mọi m . 2 4 Vậy phương trình
1 luôn có hai nghiệm với mọi m .
x x 2 m 1
x x 2m 2 1 2 a) Theo Vi-ét: 1 2 .
x .x m 3
2x .x 2m 6 1 2 1 2 d)
Suy ra x x 2x x 4 hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà 1 2 1 2
không phụ thuộc vào m . 2
P x x x x 2 2x x 2m 22 5 2 2 2
2m 6 4m 10m 10 2m 4 4 1 2 1 2 1 2 2 5 Vậy P
4 khi và chỉ khi m . min 4 Câu 61: Để 2 phương trình
* có hai nghiệm thì: 0 m 2 2 1
4 m m 6 0 25 0 Vậy phương trình
* luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . x .x 0 2
m m 6 0 Để phương trình * có hai nghiệm âm thì: 1 2 x x 0 2m 1 0 1 2 m 3 m 2 1 m 3 m 2 Vậy với m 3
thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm. a)
Với 25 suy ra x m 2; x m 3 1 2 3 3 Theo giả thiết, ta có: 3 3
x x 50 m 2 m 3 50 2
5 3m 3m 7 50 1 2 1 5 m 1 2 2
m m 1 0 . 1 5 m 2 2 Câu 62:
Để phương trình có hai nghiệm x , x thì 0 2
m 4m
1 0 m 2 2 0 1 2
Vậy với m 2 phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. 1. 2 2
A x x 6x .x 1 2 1 2 a) 2 2 A
x x 6x .x x x 8x x 2
m 8m 1 2
m 8m 8 1 2 2 1 2 1 2 1 2 b) Với A 8 2
m 8m 8 8 m 8 m 0 Sưu tầ Trang 74
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 c)
A m m m 2 2 8 8 4 8 8 Vậy A 8
khi và chỉ khi m 4 . min
x x m 1 2 m 4 1 d)
Theo Vi-et, ta có: x x m 1 . 1 2 4 m x 3x 2 3 1 2 Câu 63:
Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , x với mọi m . 1 2
Để phương trình có 2 nghiệm thì 0 2
4m 42m
1 0 m 2 2 2 0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x , x với mọi m . 1 2 1. A 2 2 2 x x
5x x A 2
x x 2x x 5x x A 2 x x 9x x 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
x x 2m Theo Vi-et, ta có: 1 2 . x x 2m 1 1 2 2 a)
A m m 2 2 2 9 2
1 8m 18m 9 (đpcm). m 3 1 b)
Theo giả thiết, ta có: A 27 2
8m 18m 9 27 2
4m 9m9 0 3 . m 2 4 2 9 9 9 c)
Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất: 2
A 8m 18m 9 2 2m 2 2 8 8 9 9 Vậy A
khi m . min 8 8 d)
Tìm m sao cho x 3x . 1 2
x x 2m 1 2 m 2 1
Theo Vi-et, ta có: x x 2m 1 . 1 2 2 m x 3x 2 3 1 2 Câu 64:
Giải và biện luận số nghiệm của x , x của 1 theo tham số m . 1 2 m 2 2
1 2m 5 m 4 . - Nếu 0 2
m 4 0 2 m 2 Phương trình 1 vô nghiệm. m 2 - Nếu 0 2
m 4 0 m 2 Phương trình
1 có nghiệm duy nhất x 1 . - Nếu 0 2
m 4 0 2 m 2 Phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt. Sưu tầ Trang 75
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 1.
Tìm m sao cho x , x thỏa mãn 1 2 x x 2 m 1 1 2 - Theo Vi-et, ta có: x x 2 m 5 1 2 5 -
Điều kiện nghiệm khác 0 m * 2 x x a) 1 2 2 x x 2 1 2 2
x x 2x x x x 4x x 0 m 2 4
1 8m 20 0 m 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 b)
x x 2x x 6 2 m
1 4m 10 6 m 1 1 2 1 2 x x 2 m 1 1 2 13 c)
Theo giả thiết, ta có: x x 2 m 5 m m 2 1 2 1 2 6 2x 3x 5 1 2 d) Tìm m 2 2
sao cho 12 10x x x x
đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2
Ta có:12 10x x 2 2 x x
12 8x x x x
m m 2 12 8 2 5 4 1 1 2 1 22 1 2 1 2 2 4
m 24m32 m 2 4 3 23 9 2
Đẳng thức đạt giá trị lớn nhất bằng 92 khi m 3 . Câu 65:
Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 2
m 4 m 2
x x 2 m 1 1 2 a) Theo Vi-et, ta có: 2
x x m 3
m 1 m 3 1 2 2 2 x x 4 1 2 Câu 66:
m m m 2 2 4 4 2 0 với mọi m . a) 2 2
x x x x 2 x x x x 2 m 1 m 2 2
m m 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2
m 1 m 2 . Câu 67:
m m m 2 2 2 3 1 2 0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
x x 2m a) Theo Vi-et, ta có: 1 2 x x 2m 3 1 2 b)
x x 2x x 3 2m 3 3 m . 1 2 1 2 2 Sưu tầ Trang 76
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 68:
m 2 m m 2 2 2 5 3 0
Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x , x . 1 2 2 2 2 9 3 3 a) 2 2
A x x x x x x x x
2m 5 4 m 2 2m 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 3 9 Vậy A khi m . max 4 4 Câu 69:
m 2 m m m m 2 2 2 1 4 4 8 4 4 1 0
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
a) Theo Vi-et, ta có: x x 2m 1 và x x m 1 2 1 2 3 3 3 Khi đó: 2 A 4m
. Vậy A khi m 0 . 2 2 min 2 Câu 70:
m 2 2 2 3
4 m m 1 8m 5
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 5 0 m . 8 a)
B x x 2 7x x 1 2 1 2
B m 2 2 2 3
7 m m 1 2 5 49 49 B 3 m 6 36 12 49 5 Vậy B khi m . max 12 6 Câu 71:
m 2 2 1
m 4m 3 2 m 2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 m 1 . a)
Theo Vi-et, ta có: x x 2 m 1 và 2
x x m 4m 3 1 2 1 2 Khi đó: 2
A m 4m 3 4m 1 2
A m 1 1 Vậy A 1 khi m 0 . min Sưu tầ Trang 77
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 72: m 2 2 1 4.2.m 1 m 2 2 3 0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x , x . 1 2 2m 1 m 1 a)
Theo Vi-et, ta có: x x và x x \. 1 2 2 1 2 2 b)
Điều kiện để x và x khác 0 là m 1 1 2 4x 1 4x 1 2 Theo giả thiết, ta có: 1 2 9
4x x x x x x 0 1 2 1 2 x x 1 2 2 1
m 2 2m 1 2 1 m 1 0 2
8m 4m 0 m 0 m 2 thỏa điều kiện m 1. 2 Câu 73: 2 1 7 2
m m 2 m 0 2 4
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm với mọi m . a)
A 2 x x 5x x 2 x x 2 2 2 2
9x x 8m 18m 9 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Theo giả thiết, có: A 27 2
8m 18m9 27 2
8m 18m 18 0 m 3 m . 4 Câu 74: 2 1 3 2
m m 2 m 0 2 2 Vậy phương trình
1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . a)
Theo Vi-et, ta có: x x 2m và x x m 2 1 2 1 2
Theo giả thiết, ta có: 1 x 2 x 1 x 2 x 2 2
x x 2 1 2 2 1 1 2
x x 2 x x 2 0 2
4m 2m 2 1
0 m 1 m . 1 2 1 2 2 Câu 75: m m
m m m 2 2 2 4.( 2) 4 8 2 4 0 Vậy phương trình
1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . a)
Theo Vi-et, ta có: x x m và x x m 2 . 1 2 1 2 2 2 x 2 x 2 2 2 Theo giả thiết: 1 2 .
4 2x x x x 4 x x 0 1 2 1 2 1 2 x 1 x 1 1 2
m m 2 2 2 2
4m 0 m 2 . Sưu tầ Trang 78
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 76: Phương trình 2
1 x 2mx 2 0 a) 2
m 2 0. Vậy phương trình
1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b)
Theo Vi-et, ta có: x x 2m và x x 2 . 1 2 1 2
Theo giả thiết, ta có: A 2
x 4x 2 2
x 4x 2 2 2 2 x x 1 1 2 2 1 2
A x x 2 4x x x x 8 x x 16x x 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
A 4m 16m16m32 4 2
A 4m 32m 28.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A 0
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: . A B 0 B 0 Bài T.1: a) 4 2 4 2
x 10x x 20 0 x 10x x 20
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2 2 2mx m
Khi đó phương trình trở thành: 4 2 2 2 2
x 2mx m (10 2 )
m x x m 20 9 Ta có 2
1 4(m 20)(10 2m) 0 m VP
. Ta viết lại phương trình thành: 2 2 2 2 9 1 9 1 4 2 2 2 x 9x
x x x x 0 2 4 2 2 1 17 2 2
(x x 5)(x x 4) 0 x 1 21 . và x . 2 2 b) 4 2 4 2
x 22x 8x 77 0 x 22x 8x 77
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2 2 2mx m
Khi đó phương trình trở thành: 4 2 2 2 2
x 2mx m (22 2 )
m x 8x m 77 . Ta có 2 1 4(22 2 )
m (m 77) 0 m 9 VP .
Ta viết lại phương trình thành: 2 2 4 2 2 x x
x x 2 18 81 4 8 4
x 9 2x 2 0 x 1 2 2 2 2
(x 2x 7)(x 2x 11) 0 x 1 2 3
c) Phương trình có dạng: 4 3 2 4 3 2
x 6x 8x 2x 1 0 x 6x 8
x 2x 1
Ta tạo ra vế trái dạng: 2 2 4 3 2 2 (x 3x ) m
x 6x (9 2 )
m x 6mx m
Tức là thêm vào hai vế một lượng là: 2 2 (9 2 )
m x 6mx m phương trình trở thành: 2 2 2 2 (x 3x ) m
(2m 1)x (6m 2)x m 1 . Ta cần Sưu tầ Trang 79
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2
' (3m 1) (2m 1)(m 1) 0 m 0 2 2 2
(x 3x) (x 1) VP
. Phương trình trở thành: x 2 3 x 2 3 2 2
(x 4x 1)(x 2x 1) 0 x 1 2 x 1 2
d) Phương trình đã cho được viết lại như sau: 4 3 2
x 2x 5x 6x 3 Ta tạo ra phương trình: 2 2 2 2 (x x ) m
(2m 6)x (2m 6)x m 3 2m 6 0 Ta cần: m 1 2 2
' (m 3) (2m 6)(m 3) 0 VP
Phương trình trở thành: 2 2 2
(x x 1) (2x 2) 3 21 x 2 2 2
(x 3x 3)(x x 1) 0 3 21 x 2 Bài T.2:
a) Ta có phương trình x x 2 4 2 3 0 (1.1)
x x
x 2x 3x 2x 3 2 2 3 0 2 2 0
x 1; x 3 . Vậy phương trình có hai 2
x 2x 3 0
nghiệm x 1; x 3 b) Phương trình 4 2
x x 2 4 4
9x 18x 9 0
x 2 x 2 2 2
x x 2 2 3 3 0 3 5 x 3x 1 0 3 29 2 x
x 3x 5 0 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 2
x 3x 1 0 3 5 x 2 3 29 3 5 x ; x . 2 2 c) Ta có phương trình 2 2 5 1 1 3 9 1 3 1 2 2 2 x x x x x x 2x 2 x 3x 1 0 2 4 4 4 16 2 4 2 2 2 2 x
2x 4x 1 0 2 . 2
x 3x 1 0 3 13 x 2 Sưu tầ Trang 80
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO t 1) Đặt 2
x x 2 t . Phương trình đã cho thành t t 2 1 6 . t 3 Với t 2 thì 2 2
x x 2 2 x x 0 x 0 hoặc x 1 . 1 21 Với t 3 thì 2 2
x x 2 3
x x 5 0 x . 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 21 1 21 S 1 ;0; ; . 2 2
2) Biến đổi phương trình thành 2 x x 2 36 84
49 36x 84x 48 12 . t Đặt 2
t 36x 84x 48 thì phương trình trên thành t t 3 1 12 . t 4 3 5 Với t 3 thì 2 2
36x 84x 48 3 36x 84x 45 0 x hoặc x . Với 2 6 t 4 thì 2 2
36x 84x 48 4
36x 84x 52 0 , phương trình này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 3
S ; . 6 2
3) Đặt y x 1 thì phương trình đã cho thành y 1 x 0 4 2
24 y 48 y 216 82 . y 1 x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2 ; 0 .
x 1 x 2 x 4 x 5 4) Đặt y
x 3 thì phương trình trở thành: 4 y 6 x 6 3 2 y 4 2 y 4 2
1 10 y 5 y 6 0 . y 6 x 6 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6 3; 6 3 .
5) Do x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho 2 x ta được 2 2 2 x 1 x 2 2
. Đặt y x thì phương trình trở thành x x x 2 x 0 y y 0 x 1 x y 1 2 2 . y 3 2 x 2 x 3 x Sưu tầ Trang 81
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
6) Biến đổi phương trình thành
x x x x 2 x 2
x x 2 x x 2 2 4 1 8 4 6 8 9 8 4x .
Do x 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2 x ta được: 8 8 8 x 6 x 9 4
. Đặt y x thì phương trình trở thành x x x y 8
y 6 y 9 5 2
4 y 15y 50 0 . Với y 5 thì 2 x
5 x 5x 8 0 y 10 x 8 x 5 17
(vô nghiệm). Với y 10 thì 2 x
10 x 10x 8 0 . x x 5 17
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 17;5 17 .
7) Do x 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho 2 x ta 2 2 đượ 1 1 1 c 3 x
2 2 x 3 5 0
. Đặt y x , phương trình trở thành: x x x 1 1 5 x 1 x y x 2
3 y 22 2 y 32 1 2
5 0 y 1 0 . Suy ra . y 1 1 1 5 x 1 x x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 S ; . 2 2
8) Phương trình không nhận x 0 là nghiệm, chia hai vế cho 2 x được 1 1 1 2 3 x 4 x 5 0
. Đặt t x thì phương trình trở thành 2
3t 4t 1 0 2 x x x 1 2
3t 4t 1 0 t 1 hoặc t . 3 1 1 5 1 5 Với t 1 thì 2 x
1 x x 1 0 x hoặc x . x 2 2 1 1 1 1 37 1 37 Với t thì 2 x
3x x 3 0 x hoặc x . 3 3 x 3 2 4 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 1 37 1 37 S ; ; ; . 2 2 2 2 9) 4 3 2
2x 21x 34x 105x 50 0 (8). Lời giải: Sưu tầ Trang 82
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 105 50 Ta thấy k 5 và 2 k
25 nên phương trình (8) là phương trình bậc bốn có hệ số 21 2 đố 25 5 5 25 i xứng tỉ lệ. 8 2 2 x 21 x 34 0
. Đặt t x suy ra 2 2 t x 10 . 2 x x x 2 x Phương trình (9) trở 9 thành 2
2t 21t 54 0 t 6 hoặc t . Với t 6 thì 2 5 2 2 x
6 x 6x 5 x 6x 5 0 . Phương trình có hai nghiệm x 9 5 9
x 3 14; x 3 14 . Với x thì 2 x
2x 9x 10 0 . Phương trình có hai 1 2 2 x 2 9 161 9 161 nghiệm x ; x
. Vậy PT (8) có tập nghiệm 3 4 4 4 9 161 9 161 S 3 14;3 14; ; . 4 4
10) Điều kiện x 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
0 . Ta biến đổi phương trình thành 1 1 1 1 1 2 x 2 2 x 2 1 0 0 2 2
x x 4 x 1 x 3 x 2 x 4x x 4x 3 x 2 1 1 1 0. Đặt 2
u x 4x , phương trình trở thành 2 2 2 x 4x x 4x 3
2(x 4x 4) 25 145 u 1 1 1 2
5u 25u 24 10 0 . u u u 0 3 2 4
2u u 3u 4 25 145 u 10 25 145 2 x 4x Do đó 10
. Tìm được tập nghiệm của phương trình là 25 145 2 x 4x 10 15 145 15 145 15 145 15 145 S 2 ; 2 ; 2 ; 2 . 10 10 10 10 5 5 10 10 8 10 40 8
11) Biến đổi phương trình thành . 2 2 x 1 x 1 x 2 x 2 3 x 1 x 4 3 Đặt 2
u x u 1,u 4;u 0 dẫn đến phương trình u 16 2 4u 65u 16 0 1
. bTìm được tập nghiệm của phương trình là 1 1 S ; 4; ; 4 . u 2 2 4 Sưu tầ Trang 83
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 12) Điều kiện x 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ;
0 . Biến đổi phương trình thành x 1 x 6 x 2 x 5
x x 2 x 5 x 7 x
1 x 3 x 4 x 6 x 1 1 1 x 6 1 1 x 2 1 1 x 5 1 1 2 x x 2 2 x 5 x 7
2 x 1 x 3 x x 4 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 2 x 5 x 7 x 1 x 3 x 4 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1
x x 7 x 2 x 5 x 1 x 6x x 3 x 4 x 1 1 1 1 2 7 0 2 2 2 2
x 7 x 7x 10 x 7x 6 x 7x 12 7 x 2 . 1 1 1 1 0(*) 2 2 2 2
x 7x x 7x 10 x 7x 6 x 7x 12 Đặt 2
u x 7x thì phương trình (*) có dạng 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2
u 18u 90 0. u u 10 u 6 u 12
u u 6 u 10 u 12 Mặt khác u u u 2 2 18 90 9
9 0 với mọi u . Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy
phương trình đã cho có nghiệ 7 m duy nhất x . 2 13) . Lời giải: Điều kiện x 4 ; 3 ; 2 ;
1 . Biến đổi phương trình thành 1 2 3 4 1 4 2 3 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4
x 1 x 4 x 2 x 3 x 0 3 1 x 0 3 1 . 2 2
x 5x 4 x 5x 6 0(*) 2 2
x 5x 4 x 5x 6 Đặ 3 1 11 t 2
u x 5x thì phương trình (*) trở thành 0 u . Từ đó ta có u 4 u 6 2 5 3 2
2x 10x 11 0 x . 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 5 3 5 3 S 0; ; . 2 2 Sưu tầ Trang 84
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 14)
Do x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế 7
trái của phương trình cho x , rồi đặt y 4x ta được x 4 3 1. y 8 y 10
Phương trình trên có 2 nghiệm y 16, y 9. 7 Với y 9 thì 2 4x
9 4x 9x 7 0 . Phương trình này vô nghiệm. x 7 Với y 16 thì 2 4x
16 4x 16x 7 0 . Phương trình này có hai nghiệm x 1 7 x ; x . 1 2 2 2 1 7
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S ; . 2 2 15) Đặt 2
t 2x x 1, phương trình (1) thành
t xt x 2 2 2 2 2 2 4 4
9x t 16x 9x t 25x t 5
x hoặc t 5x . 3 7
Với t 5x thì 2 2
2x x 1 5
x 2x 6x 1 0 x . 2 2 2
Với t 5x thì 2 2
2x x 1 5x 2x 4x 1 0 x . 2
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 3 7 2 2 ; . 2 2 16) Lời giải:
Đặt u x 1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát 2
u u 2 u u 2 7 3 2 3 6u .
Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau
Viết phương trình đã cho về dạng x x x x 2 2 2 4 5 5 4 6 1 0 . Đặt 2
t x 4 , phương trình thành 2 t 5 x 5 t 6
x 6x
1 0 t 6x 6t x 1 0 2 2 x 3 7
t 6x 6
x 4 6x 6
x 6x 2 0 . 2 2 1 21
t x 1
x 4 x 1
x x 5 0 x 2 Sưu tầ Trang 85
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 1 21 1 21
Vậy tập nghiệm của PT(2) là S ;3 7; ;3 7 . 2 2
17) PTtương đương với 4 x x 2 x 2 9 2 16x 4 0 . Đặt 2
t x 2 thì 2 4 2
t x 4x 4 , PT trên thành 2 2
t 9xt 20x 0 t 4xt 5x 0 2 2 x 2 6 t 4x
x 2 4x
x 4x 2 0 . 2 2 5 33 t 5x
x 2 5x
x 5x 2 0 x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 33 5 33 2 6; ; 2 6; . 2 2
18) Điều kiện x 2 . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương: 4 3 2 4 x x x x
x x 2 x 2 3 6 16 36 12 0 3 6 6 16x 12 0 . đặt 2
t x 6 thì 2 4 2
t x 12x 36 , suy ra 4 2 2
3x 3t 36x 108 , PT trên thành 2
3t 6xt 20t 0 t 3t 6x 20 0 t 0 hoặc 3t 6x 20 . Với t 0 thì 2
x 6 0 , suy ra x 6 (thỏa mãn đk). Với 3t 6x 20 ta có 2 3x 18 6 x 20 hay 3 3 2
3x 6x 2 0 suy ra x
(thỏa mãn đk). Vậy tập nghiệm của PT(4) là 3 3 3 3 3 S ; 6; ; 6 . 3 3 2x 13x 19) 6 (5). 2 2 3x 5x 2 3x x 2 Lời giải: Đặt 2
t 3x 2 PT(5) trở thành 2x 13x 6 . ĐK: t 5 , x t x . t 5x t x
Khử mẫu thức ta được PT tương đương 2 2
2t 13tx 11x 0 t x2t 11x 0 11
t x hoặc t x (thỏa mãn ĐK) 2
Với t x thì 2 2
3x 2 x 3x x 2 0 phương trình vô nghiệm. 11 11 1 4 Với t x thì 2 3x 2
x 6x 11x 2 0 x hoặc x .Vậy tập nghiệm của 2 2 2 3 1 4 PT(5) là ; . 2 3 Sưu tầ Trang 86
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 20) PT 2 x 2 x 2 x 2 1
1 x 2 1 0 4 2 x x 4 2
x x 2 1 0
x x 2 4 2 4 2
2 x x 1 0
x x 2 4 2 4 2 1
0 x x 1 0.
Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là 5 1 5 1 . ; 2 2 21) Lời giải:
Điều kiện x 1. Đặ x 2 x 2 t y; z , PT có dạng: y z yz
y z2 2 2 20 5 20 0 5 2
0 2y z x 1 x 1 x 2 x 2 Dẫn đến 2.
2 x 2 x
1 x 2 x 1 x 1 x 1 9 73 9 73 2 2 2
2x 6x 4 x 3x 2 x 9x 2 0 x hoặc x (thỏa mãn 2 2 điề 9 73 9 73
u kiện). Vậy tập nghiệm của PT(2) là ; . 2 2 Sưu tầ Trang 87
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP
I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1). Dạng có bản
A B A B A 0 B 0
A B
A B 2 A B A 0
A B 2). Các dạng khác
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt
đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
- Có thể đặt ẩn phụ
3). Một số bài tập mẫu
Bài 1: Giải phương trình: 2
x x 1 1 Giải 2
x x 1 1 x 1 1 2 x 1 x 1 1 x 1 1 2 x 0 x 2 1
x 1 1 x
x 0 x 1 2 x 1 1 ( x ) x 2 0
x 1 1 x
x 1 x 2 Vậy x=1; x= 0
Bài2 :Giải phương trình 2
x x 2x 4 3 1 Giải:
+ Xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp: x 0 Trường hợp 1: ta có: 1 x 2 3 5 2 2
(1) x 3x 4 3 x 3x 1 0 x . 2
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm. Sưu tầ Trang 88
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Trường hợp 2: 0 x 1 ta có 1 5 1 5 2 2
(1) x x 4 3 x x 1 0 x . Ta thấy x thỏa mãn. 2 2
Trường hợp 3: x > 2 ta có 1 29 1 29 2 2
(1) x x 4 3 x x 7 0 x . Ta thấy x thỏa mãn. 2 2 1 5 x 2
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm . 1 29 x 2
Bài 3: Giải phương trình: x 6 2
x 5x 9 Giải x 6 2
x 5x 9 x 6 2 x 5x 9 x 6 2 x 5x 9 x 1 x 3 Vậy: x= 1; x= 3
Bài 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9 Giải (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
Đặt t= |x| với t 0 PT: (t+ 1)2 = 4t + 9 t 4 2
t 2t 8 0
t 2 (loai)
Với t= 4 thì |x|= 4 x 4 Vậy x= 4; x= – 4 Sưu tầ Trang 89
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 5: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0 Giải |x2 – 2x +m|+x=0
x2 2x m x x 0 x 0
x2 3x m 0 ) 1 (
x2 2x m x
x2 x m 0 ( ) 2
Ta có 9 4m 1 1 4m 2 Biện luận 3 9 4m 1 1 4m + m 0 x x 2 2 + m> 0: Vô nghiệm
4). Bài tập tự luyện.
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1). 2x 1 2x 1 4 (x 1 ) 7). 2 x 1 2
x 2x 8 9 (x ) 2 x2 1
2). x 2 x 3 4 1 9 (x ; ) 8). x 1 3 (x ) 2 2 x 2 2 3 2x x
3). 2 x 2 2 x 1 5 (PTVN) 9). 5 23 3 (x ; )
2 3x x 2 9 23 2 1 x 1 x 1
4). 3x 4 x 2 (x 3 ; ) 10). 2 2 x (x (x=5) 2) 6). 2
x 1 x 1 (x=0; – 1; 1) 11). 2
x 3x 2 2x 1 (x 5 21)
Bài 2: Giải các phương trình sau 2 1 17 1 2 2 2 2
1) x x 2 x 2x (x ; )
5) x 2x 2x 1
(x 1; ; 1 2) 3 4 3 2
2) 2 2 x 1 (x 1 ;3;5)
6) x 3x 2 2x 1 (x 5 21) 2 2 2
3) x 4x 3 x 3 (x 0; 5)
7) x x 12 x x 2 (x 5; 7 ) 1 1 3 17 4) 2x 3 (x 1; ; ) x 2 4 Sưu tầ Trang 90
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau ).
1 3x m x 1 ). 2 2
x 4x 2 x m 2 m 0
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1
II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
1). Các dạng cơ bản
A 0 (hay B 0)
A B A B B 0
A B 2 A B 3 3
A B A B 2). Các dạng khác
- Đặt điều kiện cho 2n A là A 0 , nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức Lưu ý: . A B 0 A B 2n 2 A n B 2n 1 2n 1
A B A B
- Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
3). Các bài tập mẫu
Bài 1: Giải các phương trình sau 2
1). 4 2x x x 2 2
2). 25 x x 1 2
3). 3x 9x 1 2 x Giải 2
1). 4 2x x x 2 x 2 0 x 2 2 2 2
4 2x x (x 2)
x 3x 0 x 2 x 3
x 0 x 3 2
2). 25 x x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 4 2 2 2
25 x (x 1)
2x 2x 24 0
x 4 x 3 Sưu tầ Trang 91
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 2
3). 3x 9x 1 2 x
3x 9x 1 x 2 x 2 x 2 0 x 2 1 x 3 2 2 2 3
x 9x 1 (x 2)
2x 5x 3 0
x 3 x 2
Bài 2: Giải các phương trình : x 0 x 0
1)x 2x 3 0
2x 3 x x 3 2
2x 3 x x 1 x 3
2) x 4 1 x 1 2x
x 4 1 2x 1 x 1 1 4 x 4 x 2 2
x 4 1 x 2 (1 x)(1 2x) 1 2x
(1 x)(1 2x) 2x 1 1 4 x 2 1 1 x 1 2 2 x x 0 2 7
x 0 x 2
(1 x)(1 2x) 4x 4x 1 2
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình,
bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
1. Các bài tập mẫu x
Bài 1: Cho phương trình : 1
(x 3)(x 1) 4(x 3) m (1) x . 3
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 Giải: Đặt 2 X (x 3)
X (x 3)(x 1) x
nên pt (1) đưa về :X2+4X-m=0 (2) 3 X 1
a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành 2
X 4 X 3 0 X 3 + Nếu x 1 x 3 x 3 X 1 1 (x 3) 2 x 3 1
(x 3)(x 1)
x 2x 4 0 x 3 x 1 5 x 1 5 Sưu tầ Trang 92
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 + Nếu x 1 x 3 x 3 X 3 3 (x 3) 2 x 3 9
(x 3)(x 1)
x 2x 12 0 x 3 x 1 13 x 1 13
b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm 0 4 m 0 m 4 . x 1 Giả sử nghiệm là X 0 thì ( x 3) X 0 x . 3 + Nếu X0 = 0 thì x = – 1 x 3 + Nếu X 0 > 0 thì 2 x 1 4 X 0 2
(x 3)(x 1) X 0 x 3 + Nếu X 0 < 0 thì 2 x 1 4 X 0 2
(x 3)(x 1) X 0 Vậy với m 4
thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình 3 x 6 x (3 ) x (6 ) x 3.
Hướng dẫn: Đặt X 3 x 6 x .Đưa về phương trình:X2 – 2X – 3 = 0
Bài 3: Giải phương trình 3 3
x 1 2 2x 1 . 3
x 1 2y Hướ 1 5 ng dẫn: Đặt 3 3 y
2x 1 y 1 2x .Đáp số: x=1; x 3
y 1 2x 2
Bài 4: Giải bất phương trình 5 1 5 x 2x 4 . 2 x 2x t 2 Hướ 1 ng dẫn: Đặt t x
. Bất phương trình trở thành 2
2t 5t 2 0 1 2 x t 2 3 x 2 Trườ 2
ng hợp 1: t 2 3 0 x 2 2 1
Trường hợp 2: t .Bất phương trình vô nghiệm. 2 Sưu tầ Trang 93
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 5: Giải phương trình – 4 4 ( x 2 )( ) x = 2 x – 2x – 8 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = 4 ( x 2 )( ) x (t 0) t 0
(1) trở thành: – 4t = – 2 t t 4
* Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại
cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2
(cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể:
+ Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức chính phương ( = g2 (x) ,
g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình
đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty.
Bài 6: Giải phương trình (4x – 1) x 2 1 = 2 2 x + 2x + 1 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = x 2 1 (t 1)
(1) trở thành (4x – 1)t = 2 2 t + 2x – 1 = 2 (4x ) 3 (chính phương) 2 1 x 1 (4x ) 1 (4x ) 3 t = 2 4 x2 1 2x 1
Bài 7: Giải phương trình 2 2 x – 3x + 2 = x x 3 2 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = x 3 2 (t 0) (1) trở thành 2 t + xt – 2 2 x = 0. 3x 2 x 3x x Cách 1: = 9 2 x (chính phương) t = 2 3x 2 2x
Cách 2: phương trình đẳng cấp đặt x = ty: 2 t + y 2 t – 2 2 y 2 t = 0 2 t (1 + y – 2 2 y ) = 0.
Bài 8: Giải phương trình 2(1 – x) x 2 2x 1 = 2 x – 2x – 1.
+ Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và cũng không chính phương thì coi t
và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình. Sưu tầ Trang 94
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 9: Giải phương trình 2 x + x 5 = 5 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = x 5 (t 0) x2 t 5
Ta có hệ phương trình t2 x 5
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0. t x 5 x x t x 1 x 5 x 1
Bài 10: Giải phương trình 2 x + 4x = x 6 (1) Hướng dẫn: x2 4x t
Nếu đặt t = x 6 (t 0) ta được hệ khó khăn t2 x 6
Ta dự kiến đặt x 6 = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng: 2 x 4x at b
Ta có hệ phương trình: 2 2 a t a 2 bt x 6 2 b 2 a 1 ab 2 4 a 1
hệ này đối xứng nếu a 1 b 2 b 6 2b
. Như vậy ta đặt t + 2 = x 6 (t – 2) x2 4x t 2 3 17 5 13
Khi đó có hệ pt đối xứng: (ĐS x ; ) t2 4t x 2 2 2
Bài 11: Giải phương trình 4x 9 7 2 x + 7x = (x > 0) 28 Hướng dẫn: 4x 9 1 Dự đoán đặt
= at + b ta tìm được a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng. 28 2 1 Như vậ 4x 9 y sẽ đặt t + = . 2 28 Sưu tầ Trang 95
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 12: Giải phương trình x x 1 3 = (1) x + 1 x 2 Hướng dẫn: Đặ x x 1 1 t t = = (t > 0) x 1 x t 1 3 (1) trở thành: t + = 2 2 t – 3t + 2 = 0. t 2
Bài 13: Giải phương trình x 1 + 4 x + (x 4 )( 1 x) = 5 (1) Hướng dẫn: Đặ t 2 5
t t = x 1 + 4 x (x 4 )( 1 x) = 2 t 2 5 (1) trở thành: t + = 5. 2
Bài 14: Giải phương trình x 2 x + 7 x 1 ( x) = 3 + 2 (1) Hướng dẫn:
Đặt x 2 x = t (t 0)
(1) trở thành: t + t 2 7 = 3 + 2 t 2 7 = 3 + 2 – t (dạng 1 căn) 3 2 0 2t 7 3 ( 2 2 t)
Bài 15: Giải phương trình
x 2 x + x2 x 7 = 3 + 2 (1) Hướng dẫn: u x2 x Đặt v x2 x 7
(1) trở thành: u + v = 3 + 2 . u v 3 2
Ta có hệ phương trình v2 u2 7 Sưu tầ Trang 96
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 16: Giải phương trình
3(2 + x 2 ) = 2x + x 6 Hướng dẫn: u 3 x 2 Đặt v x 6
2). Bài tập tự luyện
Bài 1:Giải các phương trình 27583
1)3 x 34 3 x 3 1 kq : x 9 1 1 1 1 2 2)x x 5 5 kq : x 17; x 21 2 2 2 2 1 2
3) 3x 9x 1 x 2 0 kq : x 2 11 4) 2x 9
4 x 3x 1 kq : x ; x 0 3
5) 5x 1 3x 2 x 1 0 kq : x 2 2
6) 2x 3 5 2x x 4x 6 0 kq : x 2 7). 3x 1 x 4 1 kq : x 5 47 8). x 3 x 4 x 2
x 7 kq : x 24 ). 9
x 4 1 x 1 2x x=0
Bài 2: Giải các phương trình
1) x 2 x 4 (x=6) 1 2) 3 2
x 9x 1 x 2 0 (x ) 2 14 3) 2
x 4x 3 2x 5 ( x ) 5
4) 2x 2x 1 7 ( x 5 ) 3 15 5) 2
x 2x 3 2x 1 ( x ) 3 2 2 x x 4) 4 ( x 2 2 ) 4 4 2 Sưu tầ Trang 97
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 3: Giải các phương trình sau 11 1) 2x 9
4 x 3x 1 ( x 0 x ) 3
2) 5x 1 3x 2 x 1 0 (x=2) 3) 3x 2
x 7 1 ( x 9 ) 4) x 8 x
x 3 ( x 1) 3 2 3 5) x x 1 x 2 ( x ) 3 6) x 1 3
x 4 ( x 0 )
Bài 4: Giải các phương trình
1) (x + 5)(2 – x) = 3 x 2 x 3 . (x=1;x=-4)
2) 3 x + x 1 – 4 4x x2 3 = – 2. (x=2) 1 1 3) 2
x + x 7 = 7. x=2 ; ( x 29 ) 2 2 4) 3 2 (2 x) + 3 2 7 ( x) – 3 (2 x 7 )( x) = 3. ptvn 5) 2 x x 7 2
x x 2 3 2
x 3x 19 (x=1;x=-2) 6) 2 x 3x 3 2
x 3x 6 3 (x=1;x=2) 1 1 7) 3 2
x x 2 2
x x 1 ( x 5 ) 2 2 7 8) 2 2
x 5x 2 2 2 2
x 5x 6 1 ( x 1; x ) 2 9) x 26 2 x x 26 2 x 11 (x=1;x=5) 2 1 10) 2 2
x 4 x 2 3x 4 x (x=2;x=0; x 14 ) 3 3
11) 3x 2 x 1 4x 9 2 3 2
x 5x 2 (x=2) 4 12) 4x 1 2 x 1 2 2
x 2x 1 ( x ) 3 Sưu tầ Trang 98
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 5: Giải các phương trình 1) (x 2 )( 5
x) 3 x2 3x (x 1 x 4 )
2) x 1 4 x (x 4 )( 1 )
x 5 (x 0 x 3) 3) 2x 1 2
x 3x 1 0 (x 1 x 2 2) 4) 3 2 x 1
x 1 (x 1 x 2 x 10) 3 3 5
5) x 2 5 x (x 5 )( 2 ) x 4 ( x ) 2
6) x 4 x 4 2x 12 2 2 x 16 (x=5) 7) 2 x 3x 3 2
x 3x 6 3 (x=1;x=2)
8) 3x 2 x 1 4x 9 2 3 2
x 5x 2 (x=2)
V. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
1). Một số bài tập mẫu
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y
x 2 4 x và áp dụng để giải phương trình: 2
x 2 4 x x 6x 11.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2 2 2
2(a b ) (a b) .ta có:
x x x x 2 2( 2 4 ) 2 4
2 y . Do đó y lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi: x 2
4 x x 3 .Mặt khác 2 2
x 6x 11 (x 3) 2 2. x nên:
x 2 4 x 2 2
x 2 4 x x 6x 11 x 3 2
x 6x 11 2
Bài 2: Giải phương trình 1 3 x + = 4 8 x (1) x Giải. MXĐ: x > 0 1 1 1 3 x
x x x x x x Có x = x
x 8 x (2) x > 0 (BĐT Côsi) 4 8 1
Vậy (1) dấu “=” ở (2) xảy ra x = x = 1. x Sưu tầ Trang 99
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 3: Giải phương trình x 2 + 4 x = 2 x – 6x + 11. (1) Giải. * Cách 1 VT 2 ) 1 ( ( 2 1 + 2
1 )(x – 2 + 4 – x) = 4. (BĐT Bunhiacopxki) VT 2. VP(1) = 2 (x ) 3 + 2 2. x 2 4 x VT ) 1 ( 2 Vậy (1) 1 1 x = 3. VP ) 1 ( 2 x 3 0 * Cách 2
Đặt A x 2 4 x 2 2 2
A 2 2 (x 2)(4 x) A 2 (x 2) (4 x) A 4 (BĐT Côsi)
VT 2 với 2 x 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 4 – x x = 3 Mặt khác VP = 2 2
x 6x 11 (x 3) 2 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
x 2 4 x 2
Suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ x 3 2 x 6x 11 2
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 4: Giải phương trình x 3 2 7x 3 + x2 x 3 4 = x 2 2 + x 3 2 x 5 1 (1) Giải. Viết x 3 2 7x 3 = x 3 2 x 5 1 ( 2 x ) 2 x2 x 3 4 = x 2 2 ( 3 x ) 2 x 2 0
Vậy (1) x 2 2 0 x = 2. 3x 2 5x 1 0 Sưu tầ Trang 100
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
Bài 5: Giải phương trình 2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x (1) Giải. 2 2 2
(1) 3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)
VT(1) 5, VP(1) 5, x VT(1) 5 (1) x 1 0 x 1 VP(1) 5
Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình
VI. NHIỀU CĂN BẬC LẺ:
* Nâng lũy thừa:
3 A + 3 B = 3 C A + B + 3 3 AB ( 3 A + 3 B ) = C
A + B + 3 3 AB 3 C = C (Bước này không tương đương)
3 3 ABC = C – A – B 27ABC = 3 (C A ) B
Bài 1. Giải phương trình 3 2x 1 + 3 x 1 = 3 x 3 1 . (1) Giải: (1) 2 3 3 3 2 3
2x 1 x 1 3 (2x 1) . x 1 3 2x 1. (x 1) 3x 1
3x 2 3 (2x 1)(x 1) 3 3 3
2x 1 x 1 3x 1 3 (2x 1)(x 1) 3 3 3 2x 1 x 1 1 3 3
(2x 1)(x 1). 3x 1 1
(2x 1)(x 1)(3x 1) 1 3 2 6x 7x 0 x 0 (loai) 7 7 x x (nhan) 6 6
Bài 2. Giải phương trình
3 x 1 + 3 x 2 = 3 2x 3 (1) Giải.
(1) x – 1 + x – 2 + 3 3 x 1 3 x 2 ( 3 x 1 + 3 x 2 ) = 2x – 3 Sưu tầ Trang 101
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2x – 3 + 3 3 (x x )( 1 ) 2 3 2x 3 = 2x – 3 x 1 x 2 3 x (loai) 2 Vậy x= 1; x=2
* Đặt ẩn phụ:
Bài 1. Giải phương trình
3 10 x + 3 x 1 = 3. (1) Giải. Đặt u = 3 10 x v = 3 x 1 u v 3 Ta có hệ (ĐS x= 9; x= 2) u3 v3 9
VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ
* Cách 1: Làm mất căn lần 1: đặt 1 ẩn phụ.
Làm mất căn lần 2: nâng lũy thừa.
* Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ. 1). Bài tập mẫu
Bài 1. Giải phương trình 3 x 7 – x = 1 (1) Hướng dẫn
+Cách 1: Đặt t = x (t 0) (1) trở thành 3 2 t 7 = t + 1 2 t + 7 = 3 t + 3 2 t + 3t + 1 (t – 1)( 2 t + 3t + 6) = 0 (ĐS x=1) u 3 x 7 u v 1 +Cách 2: Đặt có hệ 3 2 v x u v 7
Bài 2. Giải phương trình x 3 – 3 x = 1 (1) Sưu tầ Trang 102
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Hướng dẫn
+ Cách 1: Đặt t = 3 x , (1) trở thành: t3 1 = t + 1 u x 3 u v 1 + Cách 2: Đặt có hệ
(ĐS x 1; x 2 2) 2 3 v 3 x u v 3
TÀI LIỆU ĐƯỢC SOẠN LÀ TỔNG HỢP KIẾN THỨC TẤT CẢ CÁC NGUỒN CỦA
SÁCH VÀ CÁC TÁC GIẢ TRÊN CẢ NƯỚC.
Với năng lực có hạn, bài viết chưa được test lại kết quả nên rất mong các thầy cô giáo,
các em học sinh đóng góp bổ sung.
Xin chân thành cảm ơn! Sưu tầ Trang 103
m – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960