Chuyên đề so sánh

Tài liệu gồm 105 trang, trình bày kiến thức trọng tâm cần đạt, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề so sánh, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 6 trong quá trình ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán 6.

Chủ đề:

Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu

Môn:

Toán 6 2.4 K tài liệu

Thông tin:
105 trang 1 năm trước
Tác giả:
N
Nguyễn Vân
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề so sánh

Tài liệu gồm 105 trang, trình bày kiến thức trọng tâm cần đạt, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề so sánh, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 6 trong quá trình ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán 6.

49 25 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu

Môn: Toán 6 2.4 K tài liệu

Thông tin:

105 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
HSG TOÁN 6
1
CHUYÊN ĐỀ .SO SÁNH
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA.
I. Phương pháp 1:
Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn
1
) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
mn
aa
1a
mn
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn
0
) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
nn
ab
0n
II. Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
ab
và
bc
thì
ac
. . 0a c b c c
ab
II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Dạng 1. III. BÀI TẬP
Bài 1: So sánh các số sau đây:
a)
19
16
và
25
8
c)
11
27
và
8
81
e)
13
7.2
và
16
2
b)
23
5
và
22
6.5
d)
5
625
và
7
125
f)
20
199
và
15
2003
Phân tích:
Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn.
Lời giải
a)
19
16
và
25
8
TOÁN 6
2
Ta có:
19 4 19 76
16 (2 ) 2
và
25 3 25 75
8 (2 ) 2
nên
19 25
16 8
(vì
76 75
22
)
b)
23
5
và
22
6.5
Ta có:
23 22 22
5 5.5 6.5
nên
22 23
6.5 5
c)
11
27
và
8
81
Ta có:
11 3 11 33
27 (3 ) 3
và
4 8 32
81 (3 ) 3
nên
11 8
27 81
(vì
33 32
33
)
d)
5
625
và
7
125
Ta có:
5 4 5 20
625 (5 ) 5
và
3 7 21
125 (5 ) 5
nên
57
625 125
(vì
20 21
55
)
e)
13
7.2
và
16
2
Ta có:
16 3 13 13 13
2 2 .2 8.2 7.2
nên
13 16
7.2 2
f)
20
199
và
15
2003
Ta có:
20 20 20 3 2 20 60 40
199 200 (8.25) (2 .5 ) 2 .5
và
15 15 15 4 3 15 4 3 15 60 45
2003 2000 (16.125) (2 .5 ) (2 .5 ) 2 .5
nên
20 15
199 2003
( vì
60 40 60 45
2 .5 2 .5
)
Bài 2: So sánh các số sau đây:
a)
100
5
và
500
3
c)
21
1
2
và
35
1
5
e)
30 30 30
234
và
10
3.24
b)
39
3
và
21
11
d)
2
3
n
và
3
2
n
*
n
f)
1979
11
và
1320
37
Phân tích:
Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn.
Lời giải
a)
100
5
và
500
3
HSG TOÁN 6
3
Ta có:
300 3 100 100
5 (5 ) 125
và
500 5 100 100
3 (3 ) 243
nên
300 500
53
(vì
125 243
100 100
125 243
)
b)
39
3
và
21
11
Ta có: 3
39 40 4 10 10
3 (3 ) 81
và
21 20 2 10 10
11 11 (11 ) 121
nên
39 21
3 11
(vì
20 10
81 121
)
c)
21
1
2
và
35
1
5
Ta có:
21 3 7 7
2 (2 ) 8
và
35 5 7 7
5 (5 ) 3125
nên:
21 35
25
( do
77
8 3125
)
Suy ra:
21 35
11
25
d)
2
3
n
và
3
2
n
*
n
Ta có:
22
3 3 9
n
nn
và
33
2 2 8
n
nn
nên:
23
32
nn
(vì
98
nn
)
e)
30 30 30
234
và
10
3.24
Ta có:
30 30 30 3 10 2 15 10 15 10 15 10 10 10 10
4 2 .2 (2 ) .(2 ) 8 .4 8 .3 8 .3 .3 (8.3) .3 24 .3
nên:
30 30 30 10
2 3 4 3.24
f)
1979
11
và
1320
37
Ta có:
660
1979 1980 3 660
11 11 11 1331
và
660
1320 2 660
37 37 1369
nên
1979 1320
11 37
(vì
660 660
1331 1369
)
TOÁN 6
4
Bài 3: So sánh các số sau:
a)
45 44
72 72A
và
44 43
72 72B
c)
10
10
và
5
48.50
e)
91
2
và
35
5
b)
20
99
và
10
9999
d)
50
107
và
75
73
f)
10 9
1990 1990
và
10
1991
Lời giải
a)
45 44
72 72A
và
44 43
72 72B
Ta có:
44 44
72 72 1 72 .71A
43 43
72 72 1 72 .71B
nên
AB
b)
20
99
và
10
9999
Ta có:
2
99 99.101 9999
10
10
2
99 9999
nên:
20 10
99 9999
c)
10
10
và
5
48.50
Ta có:
10 10 10 9 10
10 2 .5 2.2 .5
và
5 4 5 10 9 10
48.50 3.2 . 2 .5 3.2 .5
suy ra:
10 5
10 48.50
(vì
9 10 9 10
2.2 .5 3.2 .5
)
nên:
10 5
10 48.50
d)
50
107
và
75
73
Ta có:
50
50 50 100 150
107 108 4.27 2 .3
và
75
75
75 225 150
73 72 8.9 2 .3
HSG TOÁN 6
5
nên:
50 75
107 73
( vì
100 150 225 150
2 .3 2 .3
)
e)
91
2
và
35
5
Ta thấy:
18
91 90 5 18
2 2 2 32
và
18
35 36 2 18
5 5 5 25
nên:
91 35
25
(do
91 18 18 35
2 32 25 5
)
f)
10 9
1990 1990
và
10
1991
Ta có:
10 9 9 9
1990 1990 1990 1990 1 1991.1990
và:
10 9
1991 1991.1991
nên
09 10 10
1990 1990 1991
(do
99
1990 1991
)
Bài 4: So sánh các số sau
a)
2009 2008
1102 1102
và
2008 2007
1102 1102
b)
2007 2008
2007 2007A
và
2009
2008B
Lời giải
a)
2009 2008
1102 1102
và
2008 2007
1102 1102
Ta có:
2009 2008 2008 2008
1102 1102 1102 1102 1 1102 .1101
và
2008 2007 2007 2007
1102 1102 1102 1102 1 1102 .1101
suy ra:
2008 2007
1102 .1101 1102 .1101
TOÁN 6
6
nên:
2009 2008 2008 2007
1102 1102 1102 1102
b)
2007 2008
2007 2007A
và
2009
2008B
Ta có:
2007 2008 2007 2007
2007 2007 2007 1 2007 2008.2007A
và
2009 2008
2008 2008.2008B
suy ra:
2007 2008
2008.2007 2008.2008
2007 2008
2007 2008
nên
AB
Bài 5: Chứng tỏ rằng :
27 63 28
5 2 5
Lời giải
Ta có:
9
63 7 9
2 2 128
và
9
27 3 9
5 5 125
nên
63 27
25
(vì
99
125 125
)
mà
7
63 9 7
2 2 512
và
7
28 4 7
5 5 625
nên
63 28
25
(vì
77
512 625
)
Nên:
27 63 28
5 2 5
Bài 6: Chứng minh rằng:
a)
1993 714
27
b)
1995 863
25
Lời giải
a)
1993 714
27
Ta có:
14 5
2 16384 7 16807
và:
1993 9965 714 9996
=
14 90 5 90
nên
1993 714
1993 14 5 114
14 5
2 2 7 7
Vậy:
1993 714
27
HSG TOÁN 6
7
b)
1995 863
25
Ta có:
15 7
2 32468 5 78125
và:
1993 13951 12945
=
15 105 5
863
7 10
nên
1995 863
1995 15 7 863
15 7
2 2 5 5
Vậy:
1995 863
25
Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn:
100
2
75
;3
và
50
5
Lời giải
Ta có:
100 4 25 25
25
75 3 75 100 50 75
50 2 25 25
2 (2 ) 16
3 3 27 2 5 3
5 (5 ) 25
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
Bài 1: So sánh biểu thức
15
16
13 1
13 1
A
và
16
17
13 1
13 1
B
Lời giải
Ta có:
15 16 16
16 16 16 16
13.(13 1) 13 13 13 1 12 12
13 1
13 1 13 1 13 1 13 1
A
và
16 16 17 17
17 17 17 17 17
13 1 13.(13 1) 13 13 13 1 12 12
13 1
13 1 13 1 13 1 13 1 13 1
B
Vì
17 16
12 12
13 1 13 1
17 16
12 12
11
13 1 13 1
nên
13 13AB
Vậy
AB
Bài 2: So sánh biểu thức
100
99
10 1
10 1
A
và
98
97
10 1
10 1
B
Lời giải
TOÁN 6
8
Ta có:
100 100
99 100 100
1 10 1 10 10 9 9
1
10
10.(10 1) 10 10 10 10
A
98 98 98
97 98 98 98
1 10 1 10 1 10 10 9 9
1
10
10.(10 1) 10 10 10 10 10 10
B
Vì
100 98
99
10 10 10 10
nên
100 98
99
11
10 10 10 10
Vậy
AB
Bài 3: So sánh biểu thức
20
20
19 5
10 8
A
và
21
21
19 6
10 7
B
Lời giải
Ta có:
20 20
20 20 20
19 5 19 8 13 13
1
19 8 19 8 19 8
A
21 21
21 21 21
19 6 19 7 13 13
1
19 7 19 7 19 7
B
Vì
20 21
13 13
19 8 19 7
nên
20 21
13 13
11
19 8 19 7
Vậy
AB
Bài 4: So sánh biểu thức
3
33
33.10
2 .5.10 7000
A
và
3774
5217
B
Lời giải
Ta có:
3 3 3
3 3 3 3 3
33.10 33.10 10 .33 33
47
2 .5.10 7000 8.5.10 7.10 10 .(40 7)
A
và:
3774 33
5217 47
B
Vậy
AB
HSG TOÁN 6
9
Bài 5: So sánh biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1
....
2 3 4 100
A
và
1B
Lời giải
Ta có:
2
1 1 1 1
2.1 1 2
2
2
1 1 1 1
2.3 2 3
3
2
1 1 1 1
3.4 3 4
4
………………..
2
1 1 1 1
99.100 99 100
100
Lấy vế cộng vế ta có
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
.... ... 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100 100 100
2 3 4 100
A
Vậy:
AB
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết
Bài 1. Tìm
x
biết
25 5 125
x
.
Lời giải
Ta có:
25
25 5 3125 5 5 5 2 5
xx
x
.
Do
x
nên
3;4x
.
Bài 2. Tìm
x
biết
27 9 81
x
.
Lời giải
Ta có:
3 2 5
27 9 243 3 3 3 3 2 5
xx
x
.
TOÁN 6
10
Do
2xx
nên
2 4 2xx
.
Vậy
2x
.
Bài 3. Tìm
x
biết
4
16 128
x
.
Lời giải
Ta có:
44
16 2 2 ;
x
xx
4
4 7 28
128 2 2
.
Do
4
16 128
x
nên
4 28
4 28 722
x
xx
.
mà
0;1;2;3;4;5;6xx
.
Bài 4. Tìm
x
biết
64 48 72
35x
.
Lời giải
Ta giải
64 48
3 x
và
48 72
5x
.
Ta có
16 16
48 64 3 4 3
3 3 81 4x x x x
(1)
24 24
48 72 2 3 2
5 5 125 11 11x x x x
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
4 11x
.
Vì
5,6,7,8,9,10xx
.
Bài 5. Tìm
x
biết
1 2 18
18 0
5 5 5 100 0 : 2
x x x
so
Lời giải
Ta có:
1
3
1 2 18
80
18 1x 8+3
5 5 5 100 0 : 2
5 10 : 2
x x x
so
HSG TOÁN 6
11
3 3 18
3 3 18
5
55
x
x
x
.
Vậy
0;1;2;3;4;5x
DẠNG 4: Một số bài toán khác.
Bài 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một
lần và chỉ một lần ?
Lời giải
1. TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321
2. TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị
này quá nhỏ so với 321)
* Xét các luỹ thừa có số mũ một chữ số đươc 4 số :
233322
312121,12,31,13 =
* Xét các luỹ thừa mà số mũ có hai chữ số được 4 số :
21123113
3,3,2,2
=>
21
331101033031101022021
28.2)2(22.22&9.3)3.(33.33
=======
So sánh
21
3
và
3 21 9 3 3 3 3
21 3 3 (3 ) 27 21= = =
Vậy số lớn nhất là
21
3
.
Bài 2:
a. Số
8
5
có bao nhiêu chữ số ?
b. Hai số
2003
2
và
2003
5
viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?
Lời giải
Bài 1. Phương pháp: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của
số đó.
a.
TOÁN 6
12
8 4 2 2 2
8
8
8
8
5 (5 ) 625 600 360000
10 100000000 100000000
5 400000
2 256 250
360000 5 400000.
= = =
= = =
=
Do đó
8
5
có 6 chữ số.
b.
Giả sử
2003
2
có a chữ số và
2003
5
có b chữ số thì khi viết 2 chữ số liền nhau ta được 1 số có (a + b)
chữ số.
Vì 10
bbaa
10510&102
2003120031
−−
Nên 10
babababa +−+−−
= 10101010.105.210.
200322003200311
Do đó:
2003 1ab= + −
Vậy
2004ab+=
suy ra số đó có 2004 chữ số.
Bài 3: Tìm các chữ số của các số
n
và
m
trong các trường hợp sau:
a.
35
8 .15n =
b.
16 25
4 .5m =
Lời giải
Phương pháp: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận
tìm số chữ số của số đó.
Bài 2. a. Ta có
( )
( ) ( )
3
55
3 5 3 9 5 5 4 5 5 5
8 .15 2 . 3.5 2 .3 .5 2 .3 . 2.5 16.243.10 3888.10n = = = = = =
Số
5
3888.10
gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy n có 9 chữ số.
Bài 3. b. Ta có:
( )
( )
16
25
16 25 2 25 32 25 7 25
4 .5 2 .5 2 .5 2 . 2.5 128.10m = = = = =
Bài 4. Số
25
128.10
gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy m có 28 chữ số.
Bài 4: Tìm các số nguyên dương
m
và
n
sao cho:
2 2 256
mn
−=
.
HSG TOÁN 6
13
Lời giải
Ta có:
( )
−
− = = = − =
88
2 2 256 2 2 (2 1) 2 1
m n n m n
Dễ thấy
mn
, ta xét
2
trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu
1mn−=
thì từ
( )
1
ta có:
88
2 .(2 1) 2 2 2 8
nn
n− = = =
và
9m =
.
Trường hợp 2: Nếu
2mn−
21
mn−
−
là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của
( )
1
chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra
thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn
nhau.
Vậy
8n =
và
9m =
là đáp số duy nhất.
CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH PHÂN SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn
- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu
dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn
Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau:
- Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0.
- Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0.
- Hai phân số có cùng mẫu âm, phân số nào có tử lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại
II. CÁC DẠNG TOÁN
PHƯƠNG PHÁP 1: Quy đồng mẫu dương
Ví dụ 1: So sánh các phân số sau
TOÁN 6
14
a.
42
63−
và
180
216−
b.
136
476
−
và
306
816
−
Lời giải
a.
42 2 4
63 3 6
==
− − −
và
180 5
216 6
=
−−
Mà
60−
và
45
nên
42 180
63 216
−−
b.
136 2 16
476 7 56
−−
==
−
và
306 3 21
816 8 56
−−
==
−
Mà
56 0−
và
16 21
nên
136 306
476 816
−−
Ví dụ 2: So sánh các phân số sau
a.
69
665
−
và
2019
2020
b.
287
9111
và
2476
3007−
Lời giải
a.
69 2019
0
665 2020
−

b.
287 2476
0
9111 3007

−
Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần
7
6−
;
7
8−
;
40
32
;
4
15−
;
3
10
;
7
24−
Lời giải
7 140
6 120
=
−−
7 105
8 120
=
−−
40 150
32 120
−
=
−
4 32
15 120
=
−−
3 36
10 120
−
=
−
7 35
24 120
=
−−
Mà
120 0−
và
150 36 32 35 105 140− −
Nên
40
32
3
10
4
15−
7
24−
7
8−
7
6−
Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần
5
12
;
19
27−
;
1
2−
;
1
3
;
7
18
;
1
33
−
Lời giải
5 495
12 1188
−
=
−
19 836
27 1188
=
−−
1 594
2 1188
=
−−
HSG TOÁN 6
15
1 396
3 1188
−
=
−
7 462
18 1188
−
=
−
1 36
33 1188
−
=
−
Mà
1188 0−
và
495 462 396 36 594 836− − −
Nên
19
27−
1
2−
1
33
−
1
3
7
18
5
12
Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên
,ab
sao cho
21
21 9 7 3
ab
− − − −
Lời giải
21
21 9 7 3
ab
− − − −
hay
6 7 9 21
63 63 63 63
ab

−−−−
suy ra
6 7 9 21ab
Vậy: a = 1, b = 1 hoặc a = 1, b = 2 hoặc a = 2, b = 2
PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương
Ví dụ 1: So sánh các phân số:
a)
17
21−
và
51
31
;
−
b)
4
9
−
và
3
13
;
−
Lời giải
17
21
51 51 51 17 51
);
63 63 31 21 31
a
−
=
− − − − −
4 12 3 12 12 12 4 3
) ; ;
9 27 13 52 27 52 9 13
b
− − − −
= =
− − − −
Ví dụ 2: So sánh các phân số:
a)
7
421
và
5
531
b)
4
93
−
và
3
134−
Lời giải
TOÁN 6
16
7 35 5 35 35 35 7 5
) ; ;
421 2105 531 3717 2105 3717 421 531
a = =
4 12 3 12 12 12 4 3
) ; ;
93 279 134 536 273 536 93 134
b
−−
= =
− − − − − −
PHƯƠNG PHÁP 3: Tích chéo với các mẫu dương
A. Lý thuyết:
+ Nếu a.d > b.c thì
ac
bd
+ Nếu a.d < b.c thì
ac
bd
+ Nếu a.d = b.c thì
ac
bd
=
B. Ví dụ
Ví dụ 1: So sánh
5
6
và
7
8
Lời giải
57
68
vì 5.8 < 7.6
Ví dụ 2: So sánh
4
5
−
và
4
8
−
Lời giải
44
58
−−
vì
4.8 4.5− −
Ví dụ 3: So sánh
3
4−
và
4
5−
HSG TOÁN 6
17
Lời giải
Ta viết
33
44
−
=
−
và
44
55
−
=
−
; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên
34
45
−−
Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương chẳng hạn
34
45
−
−
do 3.5 < -4.(-4)
là sai
Ví dụ 4: So sánh
12
13
và
13
14
Lời giải
Ta có:
12 13
13 14
vì
12.14 13.13
Ví dụ 5: So sánh
7
4−
và
10
3
−
Lời giải
Ta viết
77
44
−
=
−
và
10
3
−
Vì
( ) ( )
7 .3 10 .4− −
nên
7 10
43
−
−
PHƯƠNG PHÁP 4: DNG S HOC PHÂN S LM TRUNG GIAN
4.1. DÙNG S 1 LM TRUNG GIAN ( Chuyên đề so sánh số, phân số).
Bài 1. So sánh các cặp phân số
a)
7
9
và
19
17
.
b)
8
7
và
2019
2020
.
Lời giải
a) Ta có:
7
1
9
và
19
1
17
nên
7 19
97
.
b) Ta có:
8
1
7
và
2019
1
2020
nên
8 2019
7 2020
.
TOÁN 6
18
Bình luận:
Một trong các phương pháp so sánh hai phân số là ta so sánh các phân số đó với số
1
, nếu một phân
số nhỏ hơn
1
và một phân số lớn hơn
1
thì chúng ta có đánh giá được ngay về hai phân số đó.
Bài toán tổng quát
Cho
,a
,b
,m
n
là các số tự nhiên khác
0
. So sánh hai phân số
a
am+
và
bn
b
+
. Khi đó ta rất dễ
dàng đánh giá
1
a b n
a m b
+

+
.
Bài 2. So sánh các cặp phân số
a)
19
18
và
2005
2004
.
b)
1011
1010
và
2023
2021
.
c)
30
31
19 5
19 5
A
+
=
+
và
31
32
19 5
19 5
B
+
=
+
.
Lời giải
a) Ta có:
19 1
1
18 18
=+
và
2005 1
1
2004 2004
=+
. Vì
11
18 2004
nên
19 2005
18 2004
.
b) Ta có
1011 1
1
1010 1010
=+
và
2023 2
1
2021 2021
=+
. Vì
122
1010 2020 2021
=
nên
1011 2023
1010 2021
.
c) Theo giả thiết
30
31
19 5
19 5
A
+
=
+
suy ra
31
31
19 95
19
19 5
A
+
=
+
( )
31
31
19 5 90
19 5
++
=
+
31
90
1
19 5
=+
+
.
Ta lại có
32
32
19 95
19
19 5
B
+
=
+
( )
32
32
19 5 90
19 5
++
=
+
32
90
1
19 5
=+
+
.
Vì
31 32
19 5 19 5+ +
nên
31 32
90 90
19 5 19 5
++
. Suy ra
19 19AB
AB
.
Bình luận:
Một số bài toán so sánh hai phân số
a
b
và
c
d
mà ta chỉ ra được
1 ; 1
ac
MN
bd
= + = +
trong đó
MN
thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong
thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là
ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân
số ban đầu.
HSG TOÁN 6
19
Bài toán tương tự
Bài tập 1: Cho hai phân số
7
7
10 5
10 8
A
+
=
−
và
8
8
10 6
10 7
B
+
=
−
So sánh
A
và
B
.
Bài tập 2: Cho hai phân số
8
8
10 2
10 1
A
+
=
−
và
8
8
10
10 3
B =
−
.
So sánh và .
Bài tập 3: Cho hai phân số
20
20
19 5
19 8
A
+
=
−
và
21
21
19 6
19 7
B
+
=
−
.
So sánh và .
Bài tập 4: Cho hai phân số
10
10
10 1
10 1
A
+
=
−
và
10
10
10 1
10 3
B
−
=
−
.
So sánh và .
Bài 3. So sánh các cặp phân số
a)
72
73
và
98
99
.
b)
2017
2019
và
1009
1010
.
c)
2008
2007
23
21
A
−
=
−
và
2007
2006
23
21
B
−
=
−
.
Lời giải
a) Ta có
72 1
1
73 73
=−
và
98 1
1
99 99
=−
. Vì
11
73 99
nên
72 98
73 99
b) Ta có
2017 2
1
2019 2019
=−
và
1009 1
1
1010 1010
=−
. Vì
1 2 2
1010 2020 2019
=
nên
2017 1009
2019 1010
.
c) Theo giả thiết
2008
2007
23
21
A
−
=
−
suy ra
2008
2008 2008
1 2 3 1
1
2 2 2 2 2
A
−
= = −
−−
.
Ta lại có
2007
2006
23
21
B
−
=
−
nên
2007
2007
1 2 3
2 2 2
B
−
=
−
2007
1
1
22
=−
−
.
Vì
2008 2007
2 2 2 2− −
nên
22
1
22
1
20072008
−
−
suy ra
11
22
A B A B
Bình luận:
A
B
A
B
A
B
TOÁN 6
20
Một số bài toán so sánh hai phân số
a
b
và
c
d
mà ta chỉ ra được
1;1
ac
MN
bd
= − = −
trong đó
MN
thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong
thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là
ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân
số ban đầu.
Bài toán tương tự.
Bài tập: Cho hai phân số
18
20
23
23
A
−
=
−
và
20
22
23
23
B
−
=
−
. So sánh
A
và
B
.
Bài 4. Cho hai phân số:
2008
2009
2008 1
2008 1
A
+
=
+
và
2007
2008
2008 1
2008 1
B
+
=
+
. So sánh
A
và
B
.
Lời giải
Cách 1: Với bài toán này chúng ta có thể làm theo phương pháp so sánh với số 1, cách làm tương
tự bài số 2 như sau :
Ta có
2009
2009
2008 2008
2008
2008 1
A
+
=
+
2009
2009
2008 1 2007
2008 1
++
=
+
2009
2007
1
2008 1
=+
+
.
Ta lại có
2008
2008
2008 2018
2018
2008 1
B
+
=
+
2008
2008
2008 1 2017
2008 1
++
=
+
2008
2017
1
2008 1
=+
+
.
Vì
2009 2008
2 1 2 1+ +
nên
2009 2008
2017 2017
2 1 2 1
++
suy ra
2018 2018A B A B
.
Ngoài ra bài toán này có thể giải bằng các cách sau:
Cách 2: Với mọi số tự nhiên a, b, c ≠ 0, ta chứng minh được:
+) Nếu
a
b
> 1 thì
+
+
a a c
b b c
.
+) Nếu
a
b
< 1 thì
+
+
a a c
b b c
.
Áp dụng tính chất trên vào bài, ta có:
Vì
2008 2009
2009 2009
2008 1 2008 1
1
2008 1 2008 1
A
++
= =
++
nên
HSG TOÁN 6
21
2008 2008
2009 2009
2008 1 2008 1 2017
2008 1 2008 1 2017
A
+ + +
=
+ + +
( )
( )
2007
2008
2018 2008 1
2018 2008 1
+
=
+
2007
2008
2008 1
2008 1
B
+
==
+
.
Vậy
AB
Cách 3:
Ta có:
2009
2008
1 2008 1
2008 1A
+
=
+
2009
2008
2008 2008 2007
2008 1
+−
=
+
+−
=
+
2008
2008
2008.(2008 1) 2007
2008 1
2008
2007
2018
2008 1
=−
+
Ta lại có:
2008
2007
1 2008 1
2008 1B
+
=
+
2008
2007
2008 2008 2007
2008 1
+−
=
+
2007
2007
2008.(2008 1) 2007
2008 1
+−
=
+
2007
2007
2008
2008 1
=−
+
Vì
2008 2007
2008 1 2008 1+ +
nên
++
2008 2008
2007 2007
2008 1 2008 1
Suy ra
− −
++
2008 2008
2007 2007
2008 2008
2008 1 2008 1
. Do đó
11
AB
AB
( vì
,0AB
).
Cách 4: Quy đồng
Ta có:
2008 2007
2009 2008
2008 1 2008 1
2008 1 2008 1
AB
++
− = −
++
( )( ) ( )( )
( )( )
2008 2008 2009 2007
2009 2008
2008 1 2008 1 2008 1 2008 1
2008 1 2008 1
+ + − + +
=
++
( )
( )( )
4016 2008 4016 2009 2007
2009 2008
2008 2.2008 1 2008 2008 2008 1
2008 1 2008 1
+ + − + + +
=
++
( )
( )( )
2007 2
2009 2008
2008 2.2008 2008 1
0
2008 1 2008 1
−−
=
++
Bài toán tổng quát
Cho hai phân số:
1
n
n
ab
A
ab
+
+
=
+
và
1
2
n
n
ab
B
ab
+
+
+
=
+
. So sánh và .
Bài toán tương tự.
Bài tập 1: Cho hai phân số
19
20
10 1
10 1
A
+
=
+
và .
A
B
20
21
10 1
10 1
B
+
=
+
TOÁN 6
22
So sánh và .
Bài tập 2: Cho hai phân số
15
16
10 1
10 1
A
+
=
+
và
16
17
10 1
10 1
B
+
=
+
.
So sánh và .
Bài tập 3: Cho hai phân số
2008
2009
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2009
2010
2009 1
2009 1
B
+
=
+
.
So sánh và .
Bài tập 4: Cho hai phân số
19
20
10 1
10 1
A
+
=
+
và .
So sánh và .
4.2 Dùng một phân số làm trung gian
Dạng 2. + So sánh hai phân số
a
b
và
;( , , , 0)
c
a b c d
d
Nếu
ac
còn
bd
(hoặc
ac
còn
bd
) thì ta có thể chọn phân số trung gian là
c
b
(hoặc
a
d
)
Bài 1: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.:
40
57
và
41
55
Phân tích: Ta có tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai (
40 41
); Mẫu số
của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai (57 > 55).
Lời giải.
Chọn phân số trung gian là
41
57
Ta có:
40 41
57 57
mà
41 41
57 55
Vậy
40 41
57 55
.
Đôi khi bài toán không cho ta nhìn thấy ngay phân số trung gian mà phải biến đổi chúng về
các phân số tương đương có tính chất như trên. Các bạn có thể tham khảo một trong những
cách biến đổi nó như sau:
+ Nếu hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số
phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp
A
B
A
B
A
B
20
21
10 1
10 1
B
+
=
+
A
B
HSG TOÁN 6
23
2 hoặc 3 lần,…hay bằng
12
; ;...
23
thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số
lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất”. Các bạn
lưu ý đây không phải là các tối ưu có thể áp dụng trong các trường hợp mà chỉ là một cách để
tham khảo.
Bài 2: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.
67
101
và
15
29
Lời giải:
Ta có:
15 15 4 60
29 29 4 116
==
Ta so sánh
60
116
và
67
101
. Ta thấy 60 < 67; 116 > 101
Chọn phân số trung gian là
60
101
Ta có
60 60 60 67
;
116 101 101 101

. Vậy
15 67
29 101
+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và
a
b
<1 thì chọn phân số trung gian là
am
bm
+
+
(m>0) sao cho
a
b
<
am
bm
+
+
<
Bài 3: So sánh hai phân số sau:
33
101
và
15
29
Nếu theo cách trên các bạn sẽ có: Hiệu giữa hai mẫu số là: 101 – 29 =72
Hiệu giữa hai tử số là: 33-15 = 18
Tỉ số giữa hiệu của hai mẫu số và hiệu của hai tử số là: 72 : 18 = 4
Nhân cả tử số và mẫu số của phân số
15
29
với 4 để có hiệu hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu
số của hai phân số là nhỏ nhất. Ta có:
15 15 4 60
29 29 4 116
==
Khi đó việc so sánh hai phân số
33
101
và
15
29
thành so sánh
60
116
và
33
101
TOÁN 6
24
Vì
33
1
101
, nên ta chọn phần tử trung gian là
33 15 48
101 15 116
+
=
+
<
60
116
, suy ra
33
101
<
33 15
101 15
+
+
<
60
116
.
Nếu các bài toán so sánh sử dụng phương pháp tìm phần tử trung gian chỉ đơn giản như các ví dụ
phía trên thì thật là nhàm chán. Chúng ta có thể mở rộng hay nói vui là nâng cấp bài toán sử dụng
phương pháp dùng phần tử trung gian để nó trở lên hấp dẫn hơn. Chúng ta có thể sử dụng một trong
các cách sau. (Tuy nhiên, tác giả mong muốn trước khi xem lời giải thì người đọc tự giải thử trước).
Bài 4:: So sánh
2015 2013 2011
2020 2018 2016
++
và
2016 2014 2012
2019 2017 2015
++
Phân tích: Chắc chắn sẽ không ai ngốc nghếch đến mức quy đồng rồi so sánh. ^_^. Nhiều bạn sẽ sử
dụng phần bù vì nhìn thấy quy luật của hiệu giữa tử và mẫu nhưng mình thấy cách đó dài hơn.
Vậy nên chúng ta sử dụng kết hợp tính chất
1 1 2 2
; ;....;
nn
a b a b a b
thì
1 2 3 1 2 3
... ...
nn
a a a a b b b b+ + + + + + + +
và phân số trung gian.
Lời giải:
Ta so sánh
2015
2020
và
2016
2019
;
2013
2018
và
2014
2017
;
2011
2016
và
2012
2015
Ta thấy đã xuất hiện dạng bài dùng phân số trung gian
2015
2020
và
2016
2019
chọn
2015
2019
làm phân số trung gian. Dễ thấy
2015 2015 2016
2020 2019 2019

(1)
2013
2018
và
2014
2017
chọn
2013
2017
làm phân số trung gian. Dễ thấy
2013 2013 2014
2018 2017 2017

(2)
2011
2016
và
2012
2015
chọn
2011
2015
làm phân số trung gian. Dễ thấy
2011 2011 2012
2016 2015 2015

(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
2015 2013 2011
2020 2018 2016
++
<
2016 2014 2012
2019 2017 2015
++
.
Để tăng độ khó hơn một ít, chúng ta có thể mở rộng bài này thêm một chút
HSG TOÁN 6
25
Bài 5:: Chứng mình rằng
2011 2007 2003
2020 2018 2016
++
<
503 502 501
504 503 502
++
Phân tích: Ta đưa bài toán về bài toán so sánh
2011 2007 2003
2020 2018 2016
++
và
503 502 501
504 503 502
++
(I)
Ta chia thành các cặp
2011
2020
và
503
504
;
2007
2018
và
502
503
;
2003
2016
và
501
502
Hiệu giữa các mẫu số của phân sô bên vế trái lớn hơn nhiều so với mẫu số của các phân số bên vế
phải. Vậy để đưa về dạng có thể tìm được phần tử trung gian thì ta phải nhân vào cả tử và mẫu của
vế phải một số để cho hiệu giữa các mẫu của phân số bên vế trái và mẫu của các phân số bên vế
phải là nhỏ nhất.
Lời giải:
Ta xét
503 502 501 4 503 502 501 4 503 4 502 4 501
()
504 503 502 4 504 503 502 4 504 4 503 4 502
+ + = + + = + +
=
2012 2008 2004
2016 2012 2008
++
(I) Trở thành so sánh
2011 2007 2003
2020 2018 2016
++
và
2012 2008 2004
2016 2012 2008
++
So sánh
2011
2020
và
2012
2016
;
2007
2018
và
2008
2012
;
2003
2016
và
2004
2008
Khi đó:
2011 2007 2003
2020 2018 2016
++
<
2011 2007 2003
2016 2012 2008
++
<
2012 2008 2004
2016 2012 2008
++
=
503 502 501
504 503 502
++
(ĐFCM)
Chúng ta lại có thể tăng thêm độ khó 1 chút. Ví dụ như bài sau:
Bài 6:: So sánh
899 895
999 997
+
và
225 299
249 332
+
Hướng dẫn:
TOÁN 6
26
Phân số
225
249
nhân cả tử và mẫu với 2
Phân số
299
332
nhân cả tử và mẫu với 3.
Bài 7:: So sánh
2008
2009
2008 1
2008 1
A
+
=
+
và
2007
2008
2008 2
2008 1
B
+
=
+
Lời giải:
Ta xét
2008 2008 2008 2007 2007
2009 2009 2009 2008 2008
2008 1 2008 1 2007 2008 2008 2008 1 2008 2
2008 1 2008 1 2007 2008 2008 2008 1 2008 1
+ + + + + +
= =
+ + + + + +
Tổng quát:
So sánh
1n
n
ak
am
−
+
+
và
1
n
n
am
am
+
+
+
, với
km
Ta có
11
1 1 1
..
..
n n n n n
n n n n n
a m a m m a m a ma a m a k
a m a m ma m a ma a m a m
−−
+ + +
+ + + − + + +
= =
+ + + − + + +
+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và
a
b
>1 thì chọn phân số trung gian là
am
bm
+
+
(m>0) sao cho
a
b
>
am
bm
+
+
>
Bài tập tương tự
Bài tập 1: So sánh
899 895
999 997
+
và
225 223
249 247
+
Một số cách mở rộng khác:
Bài 7:: So sánh
1 1 1 1
...
2.4 4.6 6.8 98.100
+ + + +
và
50
198
HSG TOÁN 6
27
Lời giải:
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 49
... ( .... ) ( )
2.4 4.6 6.8 98.100 2 2 4 4 6 98 100 2 2 100 400 200
+ + + + = − + − + + − = − = =
So sánh
49
200
và
50
198
Chọn phân số trung gian là
49
198
, khi đó:
49
200
<
49
198
<
50
198
Vậy
1 1 1 1
...
2.4 4.6 6.8 98.100
+ + + +
<
50
198
Bài tập tương tự
Bài tập 1: So sánh
A=
1 1 1 1
141 ( )
256 289 324 361
+ + +
và B=
1 1 1
...
101 102 200
+ + +
Bài tập 2: So sánh
1 1 1
...
31 32 90
+ + +
và
61
89
Bài 3: Cho tổng
A =
3 3 3 3
1 1 1 1
...
2 3 3 4 4 5 2018 2019
+ + + +
+ + + +
. So sánh A với
1
6
4.3.dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Bài tập 1: So sánh và
Hướng dẫn
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là .
Ta có : và
Bài tập 2: Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
12
47
19
?
77
1
4
12 12 1
47 48 4
=
19 19 1 12 19
77 76 4 47 77
=
TOÁN 6
28
và b) và c) và
d) và e) và f) và
g) và
Hướng dẫn
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng tính chất sau với m 0 :
;
;
Bài tập 1: So sánh và
Hướng dẫn
Ta có : (vì tử < mẫu)
Vậy A < B .
Bài tập 2: So sánh và
Hướng dẫn
Ta có : => Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
11
)
32
a
16
49
58
89
36
53
12
37
19
54
18
53
26
78
13
79
34
204
25
103
74
295
58
63
36
.
55
*0 1
a a a m
b b b m
+
+
a a m
b b m
−
−
* 1 .
a a a m
b b b m
+
= =
+
*1
a a a m
b b b m
+
+
a a m
b b m
−
−
*.
a c a c
b d b d
+
==
+
11
12
10 1
10 1
−
=
−
A
10
11
10 1
?
10 1
+
=
+
B
11
12
10 1
1
10 1
A
−
=
−
11 11 11 10
12 12 12 11
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
AB
− − + + +
= = = =
− − + + +
2004 2005
2005 2006
=+M
2004 2005
?
2005 2006
+
=
+
N
2004 2004
2005 2005 2006
2005 2005
2006 2005 2006
+
+
HSG TOÁN 6
29
Bài tập 3: So sánh và ?
Hướng dẫn
(áp dụng )
PHƯƠNG PHÁP 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh
Phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì phân số đó lớn hớn
Hai phân số có cùng phân nguyên thì so sánh các phân số kèm theo.
Bài 1: So sánh các phân số sau
5 12
8 15
vµ
Lời giải
5 12
0,625; 0,8
8 15
5 12
8 15
Ta
==
cã
V × 0,625 < 0,8 nª n
Bài 2: So sánh các phân số sau
34
45−−
vµ
Lời giải
Ta cã
34
0,75; 0,8
45
34
45
=− = −
−−
−
−−
V × 0,75 > -0,8 nª n
Bài 3: So sánh các phân số sau
2003.2004 1
2003.2004
A
−
=
và
2004.2005 1
2004.2005
B
−
=
Lời giải
Ta có :
37
39
3737
3939
37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939
+
= = =
+
.
a c a c
b d b d
+
==
+
TOÁN 6
30
1
1
2003.2004
A
−
=+
,
1
1
2004.2005
B
−
=+
, Mà:
11
2003.2004 2004.2005
AB
−−
=
Bài 4: So sánh các phân số sau
a)
2010
2007
21
21
A
+
=
+
và
2012
2009
21
21
B
+
=
+
b,
123
125
31
31
A
+
=
+
và
122
124
3
31
B =
+
Lời giải
a, Ta có :
2010 3
3
2007 2002
2 2 7 7
2
2 1 2 1
A
+−
= = −
++
2012 3
3
2009 2009
2 2 7 7
2
2 1 2 1
B
+−
= = −
++
Vậy
BA
b,Ta có :
( )
123 125
22
125 125 2 125
1 8 1 8 8
3 3 1
1
3 9 3 9 9
3 1 3 1 3 3 1
A
+ + + +
= = = +
+ + +
Tương tự :
2 124
8
1
9
3 3 1
B =+
+
Vậy,
AB
Bài 5 : So sánh phân số :
11ab
ab
−+
vµ
với a, b là số nguyên cùng dấu và
ab
Lời giải
Ta có :
1 1 1 1
11
ab
a a b b
−+
= − = +vµ
*Nếu
0a
và
0b
thì
11
00
ab
 vµ
11ab
ab
−+
*Nếu
0a
và
0b
thì
11
00
ab
 vµ
11ab
ab
−+
Bài 6 : So sánh
2006 2007 2008 2009
2007 2008 2009 2006
A = + + +
với B=4
Lời giải
Ta có :
2007 1 2008 1 2009 1 2006 3 1 1 1 1 1 1
44
2007 2008 2009 2006 2006 2007 2006 2008 2006 2009
A
− − − +
= + + + = + − + − + −
HSG TOÁN 6
31
Suy ra
AB
Dạng 3. III.CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. So sánh tổng S =
1
5
+
1
9
+
1
10
+
1
41
+
1
42
với
1
2
Lời giải
1
9
+
1
10
<
1
8
+
1
8
=
1
4
và
1
41
+
1
42
<
1
40
+
1
40
=
1
20
Suy ra S =
1
5
+
1
9
+
1
10
+
1
41
+
1
42
<
1
5
+
1
4
+
1
20
=
4 5 1
20
++
=
1
2
Bài toán tương tự: Không tính ra kết quả cụ thể hãy so sánh :
a)
1 1 1 1 1
7 13 25 49 97
A = + + + +
với
1
3
b)
1 1 1 1 1
...
11 12 13 19 20
B = + + + + +
với
1
2
Bài 2. a)So sánh P và Q, biết rằng:
31 32 33 60
. . ....
2 2 2 2
=P
và
1.3.5.7....59=Q
?
b) So sánh
1.3.5.7.....39
21.22.23.24.....40
U =
và
20
1
21
V =
−
Lời giải
a)
30 30
31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.....60).(1.2.3....30)
. . ....
2 2 2 2 2 2 .(1.2.3....30)
P = = =
(1.3.5....59).(2.4.6....60)
1.3.5....59
2.4.6....60
= = = Q
Vậy
PQ=
b) Ta có :
3 2 5 3
1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.39
21.2.11.23.3.2 .25.2.13.27.2 .7.29.2.15.31.2 .33.2.17.35.2 .9.37.2.19.39.2 .5
U
=
3 2 5 2 3 20
11
2.2 .2.2 .2.2 .2.2 .2.2 2
==
TOÁN 6
32
Vì
20 20
11
2 2 1
−
UV
Bài toán tương tự: c) So sánh :
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 3 4 20
C
= − − − −
với
1
21
d) So sánh :
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
4 9 16 100
D
= − − − −
với
11
9
Bài 3. a) So sánh A =
42
3
1
3
1
−
+ ... +
24
3
1
−n
-
n4
3
1
+ ... +
98
3
1
-
100
3
1
với
1
10
b) So sánh :
2 3 2013 2014
2 3 4 2014 2015
1 ...
2 2 2 2 2
B = + + + + + +
vói 4
Lời giải
a)
24
11
33
A =−
+ ... +
24
3
1
−n
-
n4
3
1
+ ... +
98
3
1
-
100
3
1
2 4 4 4 2 96 98
1 1 1 1 1
9 1 ...
3 3 3 3 3
nn
A
−−
= − + + − + −
100
11
9 1 1 10 1
3 10
A A A A+ = −
b) Đặt
2 3 2013 2014
3 4 2014 2015
...
2 2 2 2
S = + + + +
Ta có :
2 2012 2013
3 4 2014 2015
2 ...
2 2 2 2
S = + + + +
2 3 2013 2014
3 4 3 5 4 2015 2014 2015
2 ...
2 2 2 2 2
SS
− − −
− = + + + + −
2 2013 2014
1 1 1 2015
1 ...
2 2 2 2
S

= + + + + −


Ta có :
2014
2 2013 2013
1
1
1 1 1 1
2
1 ... 2
1
2 2 2 2
1
2

−


+ + + = = −
−
. Do đó :
2013 2014 2 3 2013 2014
1 2015 2 3 4 2014 2015
2 2 1 ... 4
2 2 2 2 2 2 2
S = − − + + + + + +
. Vậy
4A
Bài 4 a) So sánh
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 100
+ + + +
với 1
b) Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 9
A = + + + +
. Chứng minh :
28
59
A
.
HSG TOÁN 6
33
c) Cho
3 8 15 2499
...
4 9 16 2500
B = + + + +
(
B
có 49 số hạng ). So sánh
B
với 48 .
Lời giải
a) Ta có
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 , , , ...,
2 1.2 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 100 99.100 99 100
= − = − = − = −
Do đó :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
... 1 ... 1 1
2 3 4 100 2 2 3 3 4 99 100 100 100
+ + + + − + − + − + + − = − =
.
Vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
... 1
2 3 4 100
+ + + +
.
b) Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 4 5 9 10
A + + + + = − + − + − + + −
1 1 4 2
2 10 10 5
A − = =
(1)
Mặt khác :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ...
1.2 2.3 3.4 8.9 2 2 3 3 4 8 9
A + + + + = − + − + − + + −
18
1
99
A − =
(2) . Từ (1) và (2) suy ra:
28
59
A
c) Ta có :
3 8 15 2499 1 1 1 1
49 1 1 1 ... 1 ...
4 9 16 2500 4 9 16 2500
B
− = − − + − + − + + − = − + + + +
1 1 1 1
49 ... 49
4 9 16 2500
BC

= − + + + + = −


.
Xét
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
4 9 16 2500 2 3 4 50
C = + + + + = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ... 1 1
1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 3 3 4 49 50 50
C + + + + = − + − + − + + − = −
1 49 49 1 48CC − − =
48B
.
TOÁN 6
34
Bài 5. So sánh
P
và
Q
. Biết
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P = + +
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Lời giải:
Ta có:
2010 2011 2012 2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Q
++
= = + +
+ + + + + + + +
Vì :
2010 2010
2011 2011 2012 2013
++
,
2011 2011
2012 2011 2012 2013
++
,
2012 2012
2013 2011 2012 2013
++
Do đó :
PQ
Cách 2: Có thể so sánh với 1
Bài toán tương tự: So sánh :
2006 2007 2008 2009
2007 2008 2009 2006
D = + + +
với 4
Bài 6. Cho
1 1 1 1 1
...
3 4 5 31 32
A = + + + + +
. So sánh A với
2
.
Lời giải:
1 1 1 1 1
...
3 4 5 31 32
A = + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ... ... ...
3 4 5 8 9 12 13 18 19 27 28 32
= + + + + + + + + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1
2. 4. 4. 6. 9. 5.
4 8 12 18 27 32
+ + + + +
1 1 1 1 1 5 5
2
2 2 3 3 3 32 32
= + + + + + = +
Bài 7. So sánh
2019
2020
2019 2
2019 1
A
+
=
+
và
2018
2019
2019 2
2019 1
B
+
=
+
.
Lời giải:
2020
2020 2020
2019 4038 4037
2019 1
2019 1 2019 1
A
+
= = +
++
;
2019
2019 2019
2019 4038 4037
2019 1
2019 1 2019 1
B
+
= = +
++
.
HSG TOÁN 6
35
Vì
2020 2019
4037 4037
2019 1 2019 1
++
nên
2019 2019AB
. Vậy
AB
.
Bài 8. Cho
2 3 99
1 1 1 1
...
3 3 3 3
A = + + + +
. Chứng tỏ
1
2
A
.
Lời giải:
2 3 98
1 1 1 1
3 1 ...
3 3 3 3
A = + + + + +
99
1
2 3 1 1
3
A A A = − = −
1
2
A
Bài 9. Cho
,,abc
là các số tự nhiên khác
0
và
a b c
M
b c c a a b
=++
+ + +
. Chứng tỏ
M
không có giá
trị là số tự nhiên.
Lời giải:
1
a b c a b c
M
b c c a a b a b c a b c a b c
= + + + + =
+ + + + + + + + +
(1)
Mặc khác: sử dụng tính chất nếu
0 , 0x y z
thì
x x z
y y z
+
+
.
Khi đó
2
a b c a a b b c c
M
b c c a a b b c a c a b a b c
+++
= + + + + =
+ + + + + + + + +
(2)
Từ (1) và (2):
12M
. Vậy
M
không có giá trị là số tự nhiên.
Bài 10. Cho
2 3 4 2019 2020
1 2 3 4 2019 2020
...
2 2 2 2 2 2
A = + + + + +
. Chứng minh
2A
.
Lời giải:
Nhận xét: Với
2n
thì
( )
1
2 2 2
12
2 2 2 2
n n n n
nn
n n n
−
+ − +
++
= = −
.
2 3 4 2019 2020
1 2 3 4 2019 2020
...
2 2 2 2 2 2
A = + + + + +
2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020
1 3 4 4 5 5 6 2020 2021 2021 2022
...
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A
= + − + − + − + + − + −
TOÁN 6
36
2020 2020
1 3 2022 2022
22
2 2 2 2
AA= + − = −
Bài 11. Cho
2 3 4 12
1 2 3 11
...
5 5 5 5
A = + + + +
. Chứng minh
1
16
A
.
Lời giải:
2 3 11
1 2 3 11
5 ...
5 5 5 5
A = + + + +
2 3 10 11 12
1 1 1 1 1 11
4 5 ...
5 5 5 5 5 5
A A A= − = + + + + + −
11 12 11
1 11 11
16 20 4 1 1
5 5 5
A A A= − = − + −
Vậy
1
16
A
.
Bài 12. Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
...
5 6 7 100
B = + + + +
. Chứng minh
11
64
B
.
Lời giải:
1 1 1 1
...
4.5 5.6 6.7 99.100
B + + + +
1 1 1
4 100 4
B = −
1 1 1 1
...
5.6 6.7 7.8 100.101
B + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
...
5 6 6 7 7 8 100 101
B − + − + − + + −
Vậy
1 1 1
5 101 6
B −
2 10 11
1 1 1 11
20 1 ...
5 5 5 5
A = + + + + −
HSG TOÁN 6
37
PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG TOÁN 6
Bài 1. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 11)
Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 3 4 100
+ + + +
Lời giải
Ta có:
;
2
1
1
1
2.1
1
2
1
2
−=
;
3
1
2
1
3.2
1
3
1
2
−=
;100
1
99
1
100.99
1
100
1
;...;
4
1
3
1
4.3
1
4
1
22
−=−=
Vậy
++++
2222
010
1
4
1
3
1
2
1
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 99.100
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4 99 100
= − + − + − + + −
1 99
1 1.
2 100
= − =
Bài 2. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12)
Chứng minh rằng:
a)
3
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−
b)
16
3
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
10099432
−++−+−
Lời giải
a) Đặt A=
65432
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−=−+−+−
2A=
5432
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 −+−+−
2A+A =3A = 1-
1
2
12
2
1
6
6
6
−
=
3A < 1 A <
3
1
b) Đặt A=
10099432
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
−++−+−
3A= 1-
9998332
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
3
3
2
−++−+−
4A = 1-
100999832
3
100
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−−++−+
4A< 1-
999832
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−++−+
(1)
Đặt B= 1-
999832
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−++−+
3B= 2+
98972
3
1
3
1
...
3
1
3
1
−++−
TOÁN 6
38
4B = B+3B= 3-
99
3
1
< 3 B <
4
3
(2)
Từ (1)và (2) 4A < B <
4
3
A <
16
3
Bài 3. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 14)
Chứng minh rằng
234
1 1 1 1
... 1
2 2 2 2
n
+ + + +
.
Lời giải
Ta có :
( )
2
1 1 1 1
.
11n n n n n
= −
−−
Áp dụng :
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ; ;...; .
2 2 3 2 3 1n n n
− − −
−
234
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n
+ + + +
<
1
1 1.
n
−
Bài 4. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12)
Cho phân số
b
a
( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn
b
a
?
Theo bài toán cho a <b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m)
Lời giải
ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab)
a(b+m) < b( a+m)
mb
ma
b
a
+
+
Bài 5. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12)
Chứng tỏ rằng:
41
1
+
42
1
+
43
1
+ …+
79
1
+
80
1
>
12
7
Lời giải
Ta thấy:
41
1
đến
80
1
có 40 phân số.
Vậy
80
1
79
1
78
1
......
43
1
42
1
41
1
++++++
=
1 1 1 1
......
41 42 59 60

+ + + +


1 1 1 1
...
61 62 79 80

+ + + + +


(1)
Vì
.
42
1
41
1
…..>
60
1
và
61
1
>
62
1
>…>
80
1
(2)
Ta có
1 1 1 1
...
60 60 60 60

+ + + +


+
1 1 1 1
...
80 80 80 80

+ + + +


HSG TOÁN 6
39
=
12
7
12
34
4
1
3
1
80
20
60
20
=
+
=+=+
(3)
Từ (1) , (2), (3) Suy ra:
80
1
79
1
78
1
......
43
1
42
1
41
1
++++++
>
12
7
Bài 6. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau:
53
25
;
5353
2525
;
535353
252525
.
Lời giải
53
25
101.53
101.25
5353
2525
==
53
25
10101.53
10101.25
535353
252525
==
Vậy
535353
252525
5353
2525
53
25
==
.
Bài 7. (Đề thi HSG 6)
Không quy đồng mẫu hãy so sánh hai phân số sau:
67
37
và
677
377
.
Lời giải
677
300
670
300
mà
677
300
67
30
67
30
670
300
=
(1)
Ta có :
67
30
67
37
1 =−
và
677
300
677
377
1 =−
(2)
Từ (1) và (2)
67
37
677
377
.
Bài 8. (Đề thi HSG 6)
So sánh: A =
12005
12005
2006
2005
+
+
và B =
12005
12005
2005
2004
+
+
.
Lời giải
A =
12005
12005
2006
2005
+
+
<
200412005
200412005
2006
2005
++
++
=
)12005(2005
)12005(2005
2005
2004
+
+
=
12005
12005
2005
2004
+
+
= B.
Vậy A < B.
Bài 9. (Đề thi HSG 6)
So sánh: A =
12007
12006
2007
2006
+
+
và B =
2005
2006
2006 1
.
2006 1
+
+
Lời giải
TOÁN 6
40
Ta có nếu
1
a
b
thì
*
()
a a n
nN
b b n
+

+
2006 2006
2007 2007
2006 1 2006 1 2005
2006 1 2006 2005 1
A
+ + +
=
+ + +
2006 2005 2005
2007 2006 2006
2006 2006 2006(2006 1) 2006 1
2006 2006 2006(2006 1) 2006 1
B
+ + +
= = = =
+ + +
Vậy A < B.
Bài 10. (Đề thi HSG 6)
So sánh các biểu thức :
a. 3
200
và 2
300
.
b.
A
=
1717
404
17
2
171717
121212
−+
với
B
=
17
10
.
Lời giải
a.Ta có : 3
200
=(3
2
)
100
= 9
100
2
300
=(2
3
)
100
=8
100
Vì 9
100
> 8
100
Nên 3
200
> 2
300
b.
A
=
101:1717
101:404
17
2
10101:171717
10101:121212
1717
404
17
2
171717
121212
−++−+
17
4212
17
4
17
2
17
12 −+
=−+= A
Vậy
A
=
17
10
hay
A
=
B
=
17
10
.
Bài 11. (Đề thi HSG 6)
Cho: A=
2001 2002
2002 2003
10 1 10 1
; B =
10 1 10 1
++
++
.Hãy so sánh A và B.
Lời giải
Ta có: 10A =
2002
2002 2002
10 10 9
= 1 +
10 1 10 1
+
++
(1)
Tương tự: 10B =
2003
2003 2003
10 10 9
= 1 +
10 1 10 1
+
++
(2)
Từ (1) và (2) ta thấy :
2002 2003
99
10 1 10 1
++
10A > 10B
A > B.
Bài 12.
a) So sánh phân số:
301
15
Với
499
25
b) So sánh tổng S =
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2 2 2 2 2
n
n
+ + + + + +
với 2. ( n
N
*
)
HSG TOÁN 6
41
Lời giải
a) So sánh phân số:
301
15
Với
499
25
499
25
500
25
20
1
300
15
301
15
==
. Vậy
301
15
<
499
25
b) So sánh tổng S =
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2 2 2 2 2
n
n
+ + + + + +
với 2. ( n
N
*
)
Với
n
2 ta có:
n1nn
2
2n
2
1n
2
n +
−
+
=
+
. Từ đó ta có:
S =
2
2
2009
2)
2
2009
2
2008
(.....)
2
5
2
4
()
2
4
2
3
(
2
1
200720072006322
−=−++−+−+
. Vậy S < 2
Bài 13.
So sánh giá trị của biểu thức: A =
000.10
9999
...
9
8
4
3
+++
với số 99
Lời giải
Biến đổi:
A =
)
10000
1
1(...)
9
1
1()
4
1
1( −++−+−
=
)
100
1
1(...)
3
1
1()
2
1
1(
222
−++−+−
= 99 -
)
100
1
...
3
1
2
1
(
222
+++
= 99 - B
Trong đó B =
)
100
1
...
4
1
3
1
2
1
(
2222
++++
Vì B > 0 nên A < 99
Bài 14.
So sánh 2 số: 2
2
3
2
và 3
2
3
2
Lời giải
Ta có
10124482
228933
3
===
Từ đó:
2
399910
3
2
2222..223
334222 ===
Suy ra:
2
3
3
2
23
32
Bài 15.
Chứng minh rằng: A =
2
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
9932
++++
TOÁN 6
42
Lời giải
Ta có: 3A =
9832
3
1
...
3
1
3
1
3
1
1 +++++
Nên 3A - A = 1 -
99
3
1
Hay 2A = 1 -
99
3
1
A =
2
1
3.2
1
2
1
99
−
Vậy A <
1
2
Bài 16.
Số 2
50
viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ?
Lời giải
Nhận xét: Số a có n chữ số khi và chỉ khi:
n1n
10a10
−
Ta thấy:
50 16 34 16 9 3 7 16 3
2 2 . 2 2 . (2 ) . 2 2 . 512 .128 (1)= = =
)2(625.2)5(.25.210
4164416161616
===
Từ (1) và (2) suy ra:
1650
102
Mặt khác:
)3(128.2)2(.22.22
5155715351550
===
15 15 15 15 3 5 15 5
10 2 . 5 2 . (5 ) 2 .125 (4)= = =
Từ (3) và (4) suy ra:
5015
210
Vậy ta có:
5015
210
16
10
; Nên số 2
50
có 16 chữ số viết trong hệ thập phân
Bài 17.
Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:
29
23
17
11
b
a
và 8b - 9a = 31
Lời giải
8b - 9a = 31 b =
8
8132
8
931 aaa ++−
=
+
N (a-1) 8 a = 8q + 1(q N)
b =
29
23
59
18
17
11
59
8
)18(931
+
+
+=
++
q
q
q
q
11(9q+5) < 17(8q+1) 37q > 38 q > 1
29(8q+1) < 23(9q+5) 25q < 86 q < 4 q {2; 3}
q = 2
17
23
=
b
a
q = 3
25
32
=
b
a
.
HSG TOÁN 6
43
Bài 18.
Chứng minh rằng: 2
1995
< 5
863
Lời giải
Có: 2
10
=1024, 5
5
=3025 2
10
. 3 <5
5
2
1720
. 3
172
<5
860
Có 3
7
=2187; 2
10
=1024 3
7
>2
11
3
172
= (3
7
)
24
. 3
4
> (2
11
)2
4
> (2
11
). 2
6
= 2
270
2
1720
.2
270
< 2
1720
. 3
172
< 5
860
Vậy 2
1990
<5
860
Mà 2
5
< 5
3
2
1995
<5
863
.
Bài 19.
Chứng minh rằng: 2
1993
< 7
714
Lời giải
( ) ( )
10
238 238
10 3 10 238 3 2380 238 714
3
8
58
5
2 1025
2 3.7 2 3 . 7 2 3 .7
7 343
2 256
32
3 243
=
=
=

=
Mặt khác
( ) ( )
47 47
238 3 235 3 5 3 8 5 376 381 238 381
3 3 .3 3 . 3 3 2 2 .2 2 3 2= = =
1994 4 1994 4
7 4 1994
77
b a b
a b a
bb
−−
+ = = =
4 1994 4 2 1994 4 14
4
7 7 3 3
bb
bb
−−
1994 1994 1994 1
4 4 8 294
84
1994 14 1994 26 1
4 230
3 3 13
bb
bb
b
bb
−
−
231 249b
( )
76
7 4 1994 4 7 6 ; 4 2( ) 7 5
4
236 244
231 7 5 249 34 243 146
77
k
a b b k k N b b N k l l N b l
l l l b a
+
+ = = + = = + = +
+ = = =
2380 238 714 2380 381 714 1999 714
2 3 .7 2 2 .7 2 7
Bài 20. (Đề thi HSG 6 trường THCS Lê Ngọc Hân năm học 1997-1998)
So sánh:
1999
2000
1999 1
1999 1
M
+
=
+
và
1989
2009
1999 1
1999 1
N
+
=
+
Lời giải
Ta có :
1999 1989
1999 1 1999 1+ +
TOÁN 6
44
2000 2009
1999 1 1999 1+ +
1999 1989
2000 2009
1999 1 1999 1
1999 1 1999 1
++
++
Vậy
MN
Bài 21. (Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1999 - 2000)
Hãy so sánh hai phân số sau bằng tất cả các cách có thể được:
a)
1999 19992000
;
2000 20002000
b)
1 1 1
2
3 4 32
+ + +
Lời giải
a) Cách 1 : Qui đồng mẫu số rồi so sánh tử.
Cách 2:
20002000
19992000
20002000
19991999
2000
1999
=
Cách 3:
20002000
19992000
2000
1999
1
20002000
10000
20002000
19992000
2000
1
2000
1999
=+=+
b)
( )
2
1 1 4 1 1
;2
2 1 2 4 2
n
nn
n n n n n
−
+ =
−−
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12
3 4 32 2 3 16 2 2 8 2 3 4
+ + + + + + + + + + + +
Bài 22. HSG LÊ QUÝ ĐÔN - HƯNG HÀ
Cho
1 2 3 4 5 6 7 8 9
M
2 3 4 5 6 7 8 9 10
. So sánh
M
với
1
.
Lời giải
2 1 3 1 4 1 9 1 10 1
M ...
2! 3! 4! 9! 10!
1 1 1 1 1 1 1 1 1
M 1 ...
2! 2! 3! 3! 4! 8! 9! 9! 10!
1
M1
10!
Vậy
M1
(vì
1
01
10!
.
Bài 23. HSG 2012 – 2013
Cho
1 3 5 9999
A . . .....
2 4 6 10000
. So sánh
A
với
0,01
.
Lời giải
1 3 5 9999
A . . .....
2 4 6 10000
. Đặt
2 4 6 10000
B . . .....
3 5 7 10001
.
Vì
1 2 3 4 5 6 9999 10000
; ; ;...;
2 3 4 5 6 7 10000 10001
Nên
AB
mà
2
1 3 5 9999 2 4 6 10000
A 0;B 0 A A.B . . ..... . . . .....
2 4 6 10000 3 5 7 10001
2
2
2
1 2 3 4 5 6 9999 10000 1 1 1
A . . . . . ..... . 0,01
2 3 4 5 6 7 10000 10001 10001 10000 100
.
Hay
A 0,01
.
HSG TOÁN 6
45
Bài 24. HSG 2006 – 2007
a) Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
A ....
2 3 4 100
. Chứng minh rằng
3
A
4
.
b) So sánh
20
17
và
15
31
.
Lời giải
a)
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
A ... ...
2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100
2
1 1 1 1 1 1 1
A ...
2 2 3 3 4 99 100
2
1 1 1 1 1 1 3
AA
2 2 100 4 2 100 4
b)
20 15
20 20 4 80 15 15 5 75
17 16 2 2 ;31 32 2 2
15 75 80 20 15 20
31 2 2 17 31 17
Bài 25. HSG 2013 – 2014
Thực hiện so sánh:
a)
2008
2009
2009 1
A
2009 1
với
2009
2010
2009 1
B
2009 1
b)
C 1.3.5.7.....99
với
51 52 53 100
D . . .....
2 2 2 2
.
Lời giải
a) Thực hiện qui đồng mẫu số:
2008 2010
4018 2010 2008
2009 2010 2009 2010
2009 1 2009 1
2009 2009 2009 1
A
2009 1 2009 1 2009 1 2009 1
2009 2009
4018 2009 2009
2010 2009 2010 2009
2009 1 2009 1
2009 2009 2009 1
B
2009 1 2009 1 2009 1 2009 1
2010 2008 2
2009 2009 2008
2009 2009 2008 2009 1
2009 2009 2009 2009 2009
Do
2
2009 1 2009 2009
nên
AB
.
(Có thể chứng tỏ
A B 0
để kết luận
AB
).
Cách khác: Có thể so sánh
2009A
với
2009B
trước.
b)
1.3.5.7.....99.2.4.6.....100 1.3.5.7.....99.2.4.6.....100
C 1.3.5.7.....99
2.4.6.....100 1.2 2.2 3.2 4.2 ..... 50.2
50cs2
1.2.3.....50.51.52.53.....100 51 52 53 100
. . ..... D
1.2.3.....50.2.2.2.....2 2 2 2 2
Vậy
CD
.
Bài 26. HSG THANH OAI 2013 – 2014
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 3
.
TOÁN 6
46
Lời giải
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6
6
66
1 1 1 1 1 1
2A 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1
2A A 3A 1 1
22
1
3A 1 A .
3
Bài 27. HSG THANH OAI 2013 – 2014
So sánh:
2012
2013
2013 1
2013 1
với
2013
2014
2013 1
B
2013 1
.
Lời giải
2012 2014
4026 2012 2014
2013 2014 2013 2014
2013 2013
4026 2013 2013
2014 2013 2014 2013
2013 1 2013 1
2013 2013 2013 1
A
2013 1 2013 1 2013 1 2013 1
2013 1 2013 1
2013 2013 2013 1
B
2013 1 2013 1 2013 1 2013 1
2014 2012 2012 2
2013 2013 2012
2013 2013 2013 2013 1
2013 2013 2013 2013 2013
Do
2
2013 1 2013 2013
nên
AB
.
(Có thể chứng tỏ
A B 0
để kết luận
AB
).
Cách khác: Có thể so sánh
2013A
với
2013B
trước.
Bài 28.
So sánh
10 9
2004 2004
và
10
2005
.
Lời giải
10 9 9 9
2004 2004 2004 2004 1 2004 .2005
10 9
2005 2005 .2005
Ta thấy
9 9 10 9 10
2005 .2005 2005 .2005 2004 2004 2005
.
Bài 29. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2013 - 2014)
So sánh 2
2013
và 3
1344
Lời giải
2
2013
= (2
3
)
671
= 8
671
; 3
1344
= (3
2
)
672
= 9
672
Ta có 8 < 9; 671 < 672 nên 8
671
< 9
672
hay 2
2013
< 3
1344
HSG TOÁN 6
47
Bài 30. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014)
So sánh A và B biết: A = ; B =
Lời giải
Ta có:
A =
B =
Do > nên B > A.
Bài 31. (Đề thi HSG 6)
So sánh C và D
C =






D =






Lời giải
C =






2013C =






= 1 +




D =






2013D =






= 1 +




Vì




<




nên 2013C < 2013D
Vậy C < D
Bài 32. (Đề số 88 Trường THCS Trực Ninh 2013-2014)
So sánh:
C = với D =
Lời giải
Thực hiện qui đồng mẫu số:
C =
D =
Do > nên C > D
Bài 33. So sánh
a) 10³º và 2
100
; b) 8
5
và 3.4
7
; c) 125
5
và 25
7
2012 2011
2011 2011−
2013 2012
2011 2011−
( )
2012 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011 1 2011 .2010− = − =
( )
2013 2012 2012 2012
2011 2011 2011 2011 1 2011 .2010− = − =
2012
2011
2011
2011
12009
12009
2009
2008
+
+
12009
12009
2010
2009
+
+
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20102009
200820104018
20102009
20102008
++
+++
=
++
++
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20092010
200920094018
20092010
20092009
++
+++
=
++
++
)12009(200920092009
2200820082010
+=+
)20092009(200920092009
200820092009
+=+
)12009(
2
+
)20092009( +
TOÁN 6
48
Lời giải
a, 10³º và 2
100
Ta có 10³º=(10³)
10
=1000
10
; 2
100
=(2³)
10
=1024
10
=> 10³º< 2
100
b,
8
5
và 3.4
7
8
5
=2
15
; 3.4
7
=3. 2
14
=> 8
5
< 3.4
7
c, 125
5
và 25
7
125
5
= 5
15
; 25
7
= 5
14
=> 125
5
và 25
7
Bài 34.
a) So sánh:
22
45
và
51
103
;
b) So sánh:
2009
2010
2009 1
2009 1
A
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
.
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
2010
2011
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2009
2010
2010
2009 2
)1
2009 2
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
bB
B
A
Vậy
AB
Bài 35.
So sánh A = với B =
Lời giải
Thực hiện qui đồng mẫu số:
A =
B =
37 2012
38
2012 37 1
2012
++
38 2012
39
2012 37 2
2012
++
37 2012 76 2012 39 39
38 39 38
2012 37 1 2012 37 .2012 2012
2012 2012 .2012
+ + + +
=
38 2012 76 2012 38 38
39 39 38
2012 37 2 2012 37 .2012 2.2012
2012 2012 .2012
+ + + +
=
( )
2012 39 39 38 2012
37 .2012 2012 2012 37 .2012 2012+ = +
HSG TOÁN 6
49
Từ đó suy ra A > B
Bài 36. (Đề thi HSG 6 – Mã B1)
a) Cho
a
,
b
,
*
n
. Hãy so sánh
an
bn
+
+
và
a
b
b) Cho
11
12
1
10 1
10
A =
−
−
;
10
11
10 1
10 1
B
+
=
+
. So sánh
A
và
B
.
Lời giải
Ta xét 3 trường hợp
1
a
b
=
1
a
b
1
a
b
TH1:
1
a
b
=
ab=
thì
1
a n a
b n b
+
==
+
.
TH2:
1
a
b
ab
a m b n + +
.
Mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
−
+
a
b
có phần thừa so với 1 là
ab
a
−
, vì
a b a b
b n b
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
TH3:
1
a
b
ab
a n b n + +
Khi đó
an
bn
+
+
có phần bù tới 1 là
ab
a
−
, vì
a b b a
b b n
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
b) Cho
11
12
1
10 1
10
A =
−
−
Rõ ràng
1A
nên theo a, nếu
1
a
b
thì
a n a
b n b
+
+
( )
( )
11
11
12
12
10 1 11
10 10
10 10
10 1 11
A
−+
+
=
+
−+
Do đó
( )
( )
10
11 10
12 11
11
10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10 10 1
A
+
++
= =
++
+
Vậy
AB
.
Bài 37. (Đề thi HSG 6 – Mã B5)
a) So sánh:
333
222
và
222
333
Lời giải
( )
2012 38 38 38 2012
37 .2012 2.2012 2012 37 2+ = +
TOÁN 6
50
Ta có
( )
( )
2
3.111
333 111 111 111
222 2.111 8 . 111 .111==
( )
( )
2
2.111
222 111 111
333 3.111 9 . 111==
Suy ra :
333 222
222 333
Bài 38. (Đề thi HSG 6 – Mã B6)
Chứng minh rằng:
a)
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 3
− + − + −
; b)
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100 3
...
3 3 3 3 3 3 16
− + − + + −
Lời giải
a) Đặt
1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64
A = − + − + −
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
= − + − + −
2 3 4 5
1 1 1 1 1
21
2 2 2 2 2
A = − + − + −
6
66
1 2 1
2 3 1 1
22
A A A
−
+ = = − =
1
31
3
AA
b) Đặt
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
...
3 3 3 3 3 3
A = − + − + + −
2 3 98 99
2 3 4 99 100
3 1 ...
3 3 3 3 3
A = − + − + + −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
4 1 ...
3 3 3 3 3 3
A = − + − + + − −
2 3 98 99
1 1 1 1 1
4 1 ...
3 3 3 3 3
A − + − + + −
(1)
Đặt
2 3 98 99
1 1 1 1 1
1
3 3 3 3 3
B = − + − + −
2 97 98
1 1 1 1
3 2 ...
3 3 3 3
B = + − + + −
99
1
4 3 3 3
3
B B B= + = −
3
4
B
(2)
Từ (1) và (2)
33
4
4 16
A B A
Bài 39. (Đề thi HSG 6 – Mã B10)
So sánh :
20
9
và
13
27
Lời giải
Có :
( )
20
20 2 40
9 3 3==
HSG TOÁN 6
51
( )
13
13 3 39
27 3 3==
Vì
40 39
33
20 13
9 27
.
Bài 40. (Đề thi HSG 6)
Cho phân số
( )
a
ab
b
cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn
b
a
?
Lời giải
Theo bài toán cho
ab
nên
am bm
( nhân cả hai vế với m)
ab am ab bm+ +
( cộng hai vế với ab)
( ) ( )
a b m b a m+ +
mb
ma
b
a
+
+
Bài 41. (Đề thi HSG 6)
Chứng tỏ rằng:
1 1 1 1 1 7
...
41 42 43 79 80 12
+ + + + +
Lời giải
Ta thấy:
41
1
đến
80
1
có 40 phân số.
Vậy
80
1
79
1
78
1
......
43
1
42
1
41
1
++++++
=
1 1 1 1
......
41 42 59 60

+ + + +


+
1 1 1 1
...
61 62 79 80

+ + + +


(1)
Vì
1 1 1
...
41 42 60
và
1 1 1
...
61 62 80
(2)
Ta có
1 1 1 1
...
60 60 60 60

+ + + +


+
1 1 1 1
...
80 80 80 80

+ + + +


=
12
7
12
34
4
1
3
1
80
20
60
20
=
+
=+=+
(3)
Từ (1) , (2), (3) Suy ra:
1 1 1 1 1 1 7
......
41 42 43 78 79 80 12
+ + + + + +
Bài 42. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng các phân số sau đây bằng nhau.
TOÁN 6
52
a)
41
88
;
4141
8888
;
414141
888888
b)
27425 27
99900
−
;
27425425 27425
99900000
−
Lời giải
a) Ta có
4141 41.101 41
8888 88.101 88
==
;
414141 41.10101 41
888888 88.10101 88
==
Vậy
41 4141 414141
88 8888 888888
==
b) Ta có:
27425425 27425
99900000
−
( ) ( )
27425425 425 27425 425
99900.1000
− − −
=
( )
1000 27425 27
27425000 27000 27425 27
99900.1000 99900.1000 99900
−
−−
= = =
Bài 43. (Đề thi HSG 6)
Điền dấu x vào ô trống thích hợp:
Lời
giải
Bài 44.
Cho S =
14
3
13
3
12
3
11
3
10
3
++++
. Chứng minh rằng : 1< S < 2
Lời giải
a) M = =
1400
10
...
260
10
140
10
56
10
++++
28.25
5
...
13.10
5
10.7
5
7.4
5
++++
Câu
Đúng
Sai
a) Số -5 bằng –5 +
b) Số 11 bằng
c) Số -11 bằng –11-
d) Tổng -3 + 2 bằng -1
Câu
Đúng
Sai
a) Số -5 bằng –5 +
X
b) Số 11 bằng
X
c) Số -11 bằng –11-
X
d) Tổng -3 + 2 bằng -1
X
5
1
5
1
7
3
7
80
4
5
4
5
5
1
3
2
15
13
5
1
5
1
7
3
7
80
4
5
4
5
5
1
3
2
15
13
HSG TOÁN 6
53
=
=
b. S = => S > (1)
S = => S < (2)
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2
Bài 45. (Đề thi HSG 6 huyện ABC 2019-2020)
Cho: A= .
Hãy so sánh A và B.
Lời giải
Ta có: 10A = (1)
Tương tự: 10B = (2)
Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B A > B
Bài 46.
Không quy đồng mẫu hãy so sánh hai phân số sau:
67
37
và
677
377
Lời giải
677
300
670
300
mà
677
300
67
30
67
30
670
300
=
(1)
Ta có :
67
30
67
37
1 =−
và
677
300
677
377
1 =−
(2)
Từ (1) và (2)
67
37
677
377
Bài 47. ( Bài 4 - Đề 22)
So sánh: A =
12005
12005
2006
2005
+
+
và B =
12005
12005
2005
2004
+
+
Lời giải
−++−+−+−
28
1
25
1
...
13
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
.
3
5
14
5
28
6
.
3
5
28
1
4
1
.
3
5
==
−
15
3
15
3
15
3
15
3
15
3
14
3
13
3
12
3
11
3
10
3
++++++++
1
15
15
=
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
14
3
13
3
12
3
11
3
10
3
++++++++
2
10
20
10
15
=
2001 2002
2002 2003
10 1 10 1
; B =
10 1 10 1
++
++
2002
2002 2002
10 10 9
= 1 +
10 1 10 1
+
++
2003
2003 2003
10 10 9
= 1 +
10 1 10 1
+
++
2002 2003
99
10 1 10 1
++
TOÁN 6
54
A =
12005
12005
2006
2005
+
+
<
200412005
200412005
2006
2005
++
++
=
)12005(2005
)12005(2005
2005
2004
+
+
=
12005
12005
2005
2004
+
+
= B
Vậy A < B
Bài 48. ( Bài 1b - Đề 23)
So sánh: A =
12007
12006
2007
2006
+
+
và B =
12006
12006
2006
2005
+
+
Lời giải
Ta có nếu
1
a
b
thì
*
()
a a n
nN
b b n
+

+
2006 2006
2007 2007
2006 1 2006 1 2005
2006 1 2006 2005 1
A
+ + +
=
+ + +
2006 2005 2005
2007 2006 2006
2006 2006 2006(2006 1) 2006 1
2006 2006 2006(2006 1) 2006 1
B
+ + +
= = = =
+ + +
Vậy A < B
Bài 49. ( Bài 2 - Đề 25)
So sánh các biểu thức :
a) 3
200
và 2
300
b) A =
1717
404
17
2
171717
121212
−+
với B =
17
10
.
Lời giải
Ta có : 3
200
=(3
2
)
100
= 9
100
2
300
=(2
3
)
100
=8
100
Vì 9
100
> 8
100
Nên 3
200
> 2
300
A =
101:1717
101:404
17
2
10101:171717
10101:121212
1717
404
17
2
171717
121212
−++−+
17
4212
17
4
17
2
17
12 −+
=−+= A
Vậy A =
17
10
hay A =B =
17
10
Bài 50. Đề thi HSG 6 Kinh Môn 2017 - 2018
So sánh:
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
và
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
Lời giải
Ta có:
99 100
100 100 100
2018 1 2018 2018 2017
2018 2018. 1
2018 1 2018 1 2018 1
E E E
−−
= = = −
− − −
HSG TOÁN 6
55
98 99
99 99 99
2018 1 2018 2018 2017
2018. 2018. 1
2018 1 2018 1 2018 1
F F F
−−
= = = −
− − −
Vì
100 99 100 99
2017 2017 2017 2017
11
2018 1 2018 1 2018 1 2018 1
− −
− − − −
Hay
2018 2018E F E F
Vậy E > F
Bài 51. Đề HSG Toán 6 năm học 2019-2020
So sánh :
22
45
−
và
51
103
−
So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
−−
= =
( )
( )
2010
2011
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2009
2010
2010
2009 2
)1
2009 2
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
bB
B
A
−
=
−
− − + +
= =
− − + +
+
+
= = =
+
+
Vậy
AB
Bài 52. Đề HSG Toán 6 Ba Vì năm 2017-2018
Cho
1 1 1 1 1
...
31 32 33 59 60
A = + + + + +
Chứng tỏ rằng:
4
5
A
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1
..... .... ....
31 32 40 41 42 50 51 60
1 1 1 1 1 1 10 10 10
... .... ...
30 30 40 40 50 50 30 40 50
1 1 1 47 48 4
3 4 5 60 60 5
A
= + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + = + +
= + + = =
Bài 53. (Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2018- 2019 )
a) So sánh :
22
45
−
và
51
103
−
b) So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Lời giải
TOÁN 6
56
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
−−
= =
b)
2010
2011
2009 2
1
2009 2
B
−
=
−
( )
( )
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2009
2010
2010
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
B
A
− − + +
= =
− − + +
+
+
= = =
+
+
Vậy
AB
Bài 54. (Đề thi HSG 6 TP BUÔN MÊ THUỘT 2018- 2019 )
Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1
......
4 6 8 4
2n
+ + + +
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
.....
4 6 8
2
1 1 1 1
......
2.2 2.3 2.4 2.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. ..... . .....
4 2 3 4 4 1.2 2.3 1
1 1 1 1 1 1 1
. .....
4 1 2 2 3 1
1 1 1
.1
44
A
n
A
n
A
n n n
A
nn
A
n
= + + + +
= + + + +


= + + + + + + +



−



− + − + + −

−


−


Bài 55. (Đề thi HSG 6 huyện QUỲNH LƯU 2018- 2019 )
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
...... 1
2 3 4 100
+ + + +
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
...... .....
2 3 4 100 1.2 2.3 99.100
1 1 1 1 1 1 1
..... 1 1
1 2 2 3 99 100 100
+ + + + + + +
= − + − + + − = −
Bài 56. (Đề thi HSG 6 Tỉnh ĐỒNG THÁP 2018- 2019 )
So sánh
P
và Q
Biết :
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P = + +
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Lời giải
Ta có:
HSG TOÁN 6
57
2010 2011 2012 2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Q
++
= = + +
+ + + + + + + +
Lần lượt
so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy :
Ta có:
2010 2010
2011 2012 2013 2011
++
2011 2011
2011 2012 2013 2012
2012 2012
2011 2012 2013 2013
++
++
PQ
Bài 57. (Đề thi HSG 6 huyện VĨNH LỘC 2018- 2019 )
Cho tổng
1 2 3 2015 2016
2 3 4 2016 2017
........
2 2 2 2 2
T = + + + + +
So sánh
T
với
3
Lời giải
1 2 3 2015 2016
1 2 2014 2015
2 3 4 2016 2017
......
2 2 2 2 2
3 4 2016 2017
2 2 ......
2 2 2 2
T
T
= + + + + +
= + + + + +
1 1 2 2 2014 2014 2015 2015 2016
3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017
2 2 ....
2 2 2 2 2 2 2 2 2
TT− = + − + − + + − + − −
1 2 2015 2016
1 1 1 2017
2 ......
2 2 2 2
T = + + + + −
Đặt
1 2 2015 1 2 2014
1 1 1 1 1 1
...... 2 1 ......
2 2 2 2 2 2
NN= + + + = + + + +
2015
1
2 1 1
2
N N N− = −
Nên
2016 2016
2017 2017
2 1 3 3
22
TT + − = −
Bài 58. (Đề thi HSG 6 huyện Duy Xuyên 2019-2020)
So sánh các phân số sau:
23 23232323 2323 232323
; ; ;
99 99999999 9999 999999
Lời giải
23 23.101 2323
99 99.101 9999
23 23.10101 232323
99 99.10101 999999
23 23.1010101 23232323
99 99.1010101 99999999
23 2323 232323 23232323
99 9999 999999 99999999
==
==
==
= = =
TOÁN 6
58
Bài 59. (Đề thi HSG 6 cấp trường 2019-2020)
So sánh không qua quy đồng:
2005 2006 2005 2006
7 15 15 7
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
2005 2006 2005 2006 2006
2005 2006 2005 2005 2006
2006 2005
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
88
10 10
A
B
AB
− − − − −
= + = + +
− − − − −
= + = + +
−−
Bài 60. (Đề thi HSG 6 cấp trường 2018-2019)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2010 2011 2011
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
− − − − −
= + = + +
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
B
− − − − −
= + = + +
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
Bài 61. (Đề thi HSG 6 huyện Bạch Thông 2018-2019)
So sánh
A
và
B
biết:
2013.2014 1
2013.2014
A
−
=
và
2014.2015 1
2014.2015
B
−
=
Lời giải
Ta có:
2013.2014 1 1
1
2013.2014 2013.2014
A
−
= = −
2014.2015 1 1
1
2014.2015 2014.2015
B
−
= = −
Vì
11
2013.2014 2014.2015
nên
AB
Bài 62. (Đề thi HSG 6 Trung Nguyên – Huyện Yên Lạc 2018-2019)
So sánh các số sau:
39
3
và
21
11
;
20
199
và
15
2003
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
10 10
39 40 4 10 21 20 2 10
3 3 3 81 ;11 11 11 121 = = = =
Vì
10 10
121 81
nên
21 39
11 3
Ta có:
( )
20
20 20 60 40
199 200 8.25 2 .5 = =
HSG TOÁN 6
59
( )
15
15 15 4 3 60 45
2003 2000 2 .5 2 .5 = =
Vì
60 40 60 45
2 .5 2 .5
nên
20 15
199 2003
Bài 63. (Đề thi HSG 6 huyện Sơn Tây 2019-2020)
a) Cho
, , *.a b n
Hãy so sánh:
an
bn
+
+
và
a
b
b)Cho
11 10
12 11
10 1 10 1
;.
10 1 10 1
AB
−+
==
−+
So sánh
A
và B
Lời giải
a)Ta xét 3 trường hợp:
1; 1; 1
a a a
b b b
=
Trường hợp 1:
1
a
ab
b
= =
thì
1
a n a
b n b
+
==
+
Trường hợp 2:
1
a
a b a n b n
b
+ +
Mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
−
+
a
b
có phần thừa so với 1là
ab
b
−
Vì
a b a b
b n b
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
Trường hợp 3:
1
a
a b a n b n
b
+ +
Khi đó :
an
bn
+
+
có phần bù tới 1 là
,
b a a
b n b
−
+
có phần bù tới 1 là
ba
b
−
Vì
b a b a
b n b
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
b)
11
12
10 1
;
10 1
A
−
=
−
rõ ràng
1A
nên theo a, nếu
1
a
b
thì
a n a
b n b
+
+
( )
( )
11
11
12
12
10 1 11
10 10
10 10
10 1 11
A
−+
+
=
+
−+
Do đó:
( )
( )
10
11 10
12 11
11
10. 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10. 10 1
A
+
++
= =
++
+
TOÁN 6
60
Vậy
AB
Bài 64. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
Hãy chọn kết quả đúng
Cho 2 số:
222221
222222
x =
;
444443
444445
y =
ta có:
a.
xy=
.b x y
c.
xy
Lời giải
Chọn đáp án C
Bài 65. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
So sánh giá trị của biểu thức :
3 8 9999
.....
4 9 10000
A = + + +
với số
99
Lời giải
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 ...... 1
4 9 10000
1 1 1
1 1 ....... 1
2 3 100
1 1 1
99 ...... 99
2 3 100
A
B
= − + − + + −
= − + − + + −

= − + + + = −


Trong đó,
2 2 2 2
1 1 1 1
......
2 3 4 100
B = + + + +
Vì
0 99BA
Bài 66. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
So sánh hai số:
3
2
2
2
và
2
3
2
3
Lời giải
Ta có:
3
2 8 4 4 12 10
3 3 9 8 2 2= = =
Từ đó
32
2 10 9 9 9 3
3 2 2.2 2 2 2
2 2 2 4 3 3 = = =
Suy ra :
32
23
32
23
Bài 67. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
Chứng minh rằng:
2 3 99
1 1 1 1 1
......
3 3 3 3 2
A = + + + +
Lời giải
Ta có:
2 3 98
1 1 1 1
3 1 .....
3 3 3 3
A = + + + + +
HSG TOÁN 6
61
Nên
99
1
31
3
AA− = −
hay
99 99
1 1 1 1
21
3 2 2.3 2
AA= − = −
Vậy
1
2
A
Bài 68. (Đề HSG cấp trường 2018 - 2019)
Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1
......
4 6 8 4
2n
+ + + +
Lời giải
Ta có:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
.....
4 6 8
2
A
n
= + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
......
2.2 2.3 2.4 2.
A
n
= + + + +
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. ..... . .....
4 2 3 4 4 1.2 2.3 1
A
n n n


= + + + + + + +



−


1 1 1 1 1 1 1
. .....
4 1 2 2 3 1
A
nn

− + − + + −

−

1 1 1
. 1 ( )
44
A dfcm
n

−


Bài 69. (Đề thi HSG 6 huyện Lương Tài 2105 – 2016)
So sánh
A
và B biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
==
++
Lời giải
Vì
( )
( )
17
18 18 18 17
19 19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
17. 17 1
A A B
+
+ + + + +
= = = = =
+ + + + +
+
Bài 70. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019)
Cho biểu thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2! 2! 2! 2! 2!
.....
1 3 5 7 2015
D = + + + + +
So sánh
D
với 6. Biết
( )
! 1.2.3....n n n=
Lời giải
Ta có:
TOÁN 6
62
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2! 2! 2! 2! 2!
.....
1 3 5 7 2015
2 2 2 2 2
......
1 3 5 7 2015
D
D
= + + + + +
= + + + + +
2 2 2 2
2 2 2 2
4 2. .....
3 5 7 2015
D

= + + + + +


2 2 2 2
4 2. .....
1.3 3.5 5.7 2013.2015
D

+ + + + +


1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 .....
1 3 3 5 5 7 2013 2015
12
4 2 1 4 2 6
2015 2015
6D

= + − + − + − + + −



= + − = + −



Bài 71. (Đề thi HSG 6 THCS Nguyễn Khuyến 2018-2019)
So sánh :
22
45
−
và
51
103
−
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
45 44 2 102 101 45 101 45 101
−−
= =
Bài 72. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2018-2019)
So sánh
P
và Q
Biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P = + +
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Q
++
=
++
= + +
+ + + + + +
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là:
2010;2011;2012
thấy được các phân thức
của P đều lớn hơn các phân thức của Q.
Vậy
PQ
Bài 73. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2017-2018)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
HSG TOÁN 6
63
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2010 2011 2011
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
B
− − − − −
= + = + +
− − − − −
= + = + +
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
Bài 74. (Đề thi HSG 6 huyện Lập Thạch 2018-2019)
So sánh S với 3, biết
2011 2012 2013
2012 2013 2011
S = + +
Lời giải
2011 2012 2013 1 1 1 1
1 1 1
2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011
1 1 1 1
3
2011 2012 2011 2013
1 1 1 1
;
2011 2012 2011 2013
S
Do
= + + = − + − + + +
= + − + −

Nên:
1 1 1 1 1 1 1 1
0, 0 3 3
2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013
− − + − + −
Vậy S>320
Bài 75. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020)
So sánh:
2005 2006
5 11
10 10
N =+
và
2005 2006
11 5
10 10
M =+
Lời giải
Ta có:
2005 2006 2005 2006 2006 2005
5 11 11 5 6 6
10 10 10 10 10 10
NM− = + − − = −
2006 2005
11
60
10 10
NM

= −


Bài 76. (Đề thi HSG 6 huyện Lương Tài 2015-2016)
So sánh A và B biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
==
++
Lời giải
TOÁN 6
64
Vì
( )
( )
17
18 18 18 17
19 19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
17. 17 1
A A B
+
+ + + + +
= = = = =
+ + + + +
+
Bài 77. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2019-2020)
So sánh :
2013
2
và
1344
3
Lời giải
( ) ( )
671 672
2013 3 671 1344 2 672
671 672 2013 1344
2 2 8 ;3 3 9
8 9,671 672 8 9 2 3Do
= = = =
Bài 78. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2018 - 2019)
Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
a)
1717
8585
và
1313
5151
b)
8 16
9 .5
và
20
19
Lời giải
8 16 16 16 16 16 20 8 16 20
1717 17 1 13 13 1313 1717 1313
)
8585 85 5 65 51 5151 8585 5151
)9 .5 3 .5 15 19 19 9 .5 19
a
b
= = = =
= =
Bài 79. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019)
Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A = + + + + + + +
và
73
2012 1.B =−
So sánh A và B
Lời giải
Ta có:
2 3 4 72 73
2012 2012 2012 2012 2012 .... 2012 2012A = + + + + + +
Lấy
73
2012 2012 1AA− = −
,
Vậy
73
73
2012 1
2012 1
2011
AB
−
= = −
Bài 80. (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 )
So sánh
A
và B biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
==
++
Lời giải
Vì
( )
( )
17
18 18 18 17
19 19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
17. 17 1
A A B
+
+ + + + +
= = = = =
+ + + + +
+
Bài 81. (NGA SƠN, 2018-2019)
So sánh:
HSG TOÁN 6
65
200
)3a
và
300
2
b)
50
71
và
75
37
c)
201201
202202
và
201201201
202202202
Lời giải
So sánh
200
3
và
300
2
Ta có:
( ) ( )
100 100
200 2 100 300 3 100
3 3 9 ;2 2 8= = = =
Mà
100 100
89
nên
300 200
23
So sánh
50
71
và
75
37
Ta thấy :
( )
50
50 50 150 100
71 72 8.9 2 .3 (1) = =
( )
75
75 75 2 2 150 150
37 36 2 .3 2 .3 (2) = =
Mà
150 150 150 100
2 .3 2 .3 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
75 50
37 71
So sánh
201201
202202
và
201201201
202202202
Ta có:
201201 201 1001 201 201201201 201 1001001 201
. ; .
202202 202 1001 202 202202202 202 1001001 202
= = = =
Vậy 2 phân số trên bằng nhau.
Bài 82. (ĐỒNG THÁP, 2018-2019)
So sánh P và Q
Biết :
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P = + +
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
++
=
++
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Q
++
=
++
= + +
+ + + + + +
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy
PQ
TOÁN 6
66
Bài 83. ( LÝ NHÂN, 2018-2019)
So sánh
A
và
B
biết:
2010 2011 2012
2011 2012 2010
A = + +
và
1 1 1 1
....
3 4 5 17
B = + + + +
Lời giải
1 1 2
1 1 1
2011 2012 2010
1 1 1 1
3
2010 2011 2010 2012
3
1 1 1 1 1 1
..... .....
3 4 5 9 10 17
1 1 1
.2 .5 .8 3
2 5 8
A
A
A
B
BB
= − + − + +
= + − + −

= + + + + + + +
+ +
Từ đó suy ra
AB
Bài 84. (HSG6, 2017-2018)
Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
..... 1
2 3 4 100
+ + + +
Lời giải
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ;.....;
2 2.1 1 2 3 2.3 2 3 100 99.100 99 100
= − = − = −
Vậy
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
.... .... 1
2 3 100 1 2 2 3 99 100 100
+ + + − + − + + − =
Bài 85. ( BẠCH LIÊU, 2018-2019)
Cho
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
.....
2 3 4 2009 2010
M = + + + + +
. Chứng minh rằng
1M
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
.....
1.2 2.3 2008.2009 2009.2010
1 1 1 1 1 1 1
1 .....
2 2 3 2008 2009 2009 2010
1
11
2010
M
M
MM
+ + + +
− + − + + − + −
−
HSG TOÁN 6
67
Bài 86. (THẠCH THÀNH, 2018-2019)
Cho
1 1 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + + +
+ + + + + + + + + + +
.
Chứng minh
3
4
A
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + + +
+ + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
.....
1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2017 .1009
2 2 2 2
2 2 2 2 1 1 1 1
..... ....
2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009
A = + + + +
+ + + +
= + + + + = + + + +
1 1 1 1
......
2.2 2.3 3.4 1008.1009
1 1 1 1 1 1 1
.....
4 2 3 3 4 1008 1009
1 1 1 1 1 3
()
4 2 1009 4 2 4
A
A
A A A dfcm

+ + + +



+ − + − + + −



+ − +


Bài 87. (NGA SƠN, 2018-2019)
Cho
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
..... .
1 2 3 4 50
A = + + + + +
Chứng minh :
2A
Lời giải
Ta có:
2
1 1 1
1
2 1.2 2
= −
2
2
2
1 1 1 1
3 2.3 2 3
1 1 1 1
......
4 3.4 3 4
1 1 1 1
50 49.50 49 50
= −
= −
= −
Vậy
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
....
1 2 3 4 50
A = + + + + +
TOÁN 6
68
1 1 1 1 1
.....
1 1.2 2.3 3.4 49.50
+ + + + +
1 1 1 1 1 1
1 ...
1 2 2 3 49 50
1 99
1 1 2
50 50
= + − + − + + −
= + − =
Bài 88. (Đề thi HSG HUYỆN TÌNH GIA 2018 - 2019)
So sánh 2 phân số:
20072007
20082008
và
200720072007
200820082008
Lời giải
Ta có:
20072007 2007.1001 2007
20082008 2008.1001 2008
==
200720072007 2007.100010001 2007
200820082008 2008.100010001 2008
==
Vậy hai phân số trên bằng nhau
Bài 89. (Đề thi HSG cấp trường)
So sánh hai phân số
1a
a
−
và
1b
b
+
(với a, b là số nguyên cùng dấu và
; 0)ab
Lời giải
Có
11
1
a
aa
−
=−
và
11
1
b
bb
+
=+
*Nếu
1
0, 0 0ab
a
và
1 1 1
0 1 1
b a b
− +
hay
11ab
ab
−+
*Nếu
1 1 1 1 1 1
0, 0 0; 0 1 1
ab
ab
a b a b a b
−+
− +
Bài 90. (Đề thi HSG 6 Cấp trường)
Cho
2 3 98 99 100
1 4 4 4 ..... 4 4 , 4AB= + + + + + + =
Chứng minh rằng:
.
3
B
A
Lời giải
( )
2 3 4 98 99
2 3 4 98 99 100
100
100
4 4. 1 4 4 4 4 .....4 4
4 4 4 4 .....4 4 4
41
4 4 1
3
A
A A A
= + + + + + +
= + + + + + +
−
− = − =
Vì
100 100
100 100
4 1 4
4 1 4
33
−
−
Vậy
3
B
A
Bài 91. (Đề thi HSG 6 Cấp trường)
a) Cho
, , *a b n
. Hãy so sánh
an
bn
+
+
và
a
b
HSG TOÁN 6
69
b) Cho
11 10
12 11
10 1 10 1
;
10 1 10 1
AB
−+
==
−+
. So sánh A và B.
Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp
Th1:
11
a a n a
ab
b b n b
+
= = = =
+
Th2:
1
a
a b a m b n
b
+ +
, mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
−
+
a
b
có phần thừa so với 1 là
,
ab
b
−
vì
a b a b
b n b
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
Th3:
1
a
a b a n b n
b
+ +
Khi đó
an
bn
+
+
có phần bù tới 1 là
,
ab
b
−
vì
a b b a
b b n
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
−
=
−
rõ ràng
1A
nên theo câu a,
( )
( )
11
11
12
12
10 1 11
10 10
1
10 10
10 1 11
a a n a
A
b b n b
−+
++
=
+
+
−+
Do đó
( )
( )
10
11 10
12 11
11
10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10. 10 1
A
+
++
= =
++
+
Vậy A < B.
Bài 92. (Đề thi HSG 6 2018 - 2019 )
Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1
..... 1
234
+ + + +
n
Lời giải
Ta có:
( )
2
1 1 1 1
. 1 1
= −
−−n n n n n
Áp dụng :
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ; ;......;
2 2 3 2 3 1
− − −
−n n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1
..... 1 1
234
+ + + + −
nn
Bài 93. (Đề thi HSG6 năm 2019 - 2020 )
So sánh:
2016
2017
2016 1
2016 1
+
=
+
A
và
2015
2016
2016 1
2016 1
+
=
+
B
Lời giải
( )
( )
2015
2016 2016
2017 2017
2016
2016. 2016 1
2016 1 2016 1 2015
2016 1 2016 1 2015
2016 2016 1
+
+ + +
= = =
+ + +
+
A B A B
TOÁN 6
70
Bài 94. (Đề thi HSG 6 - 2019 - 2020)
So sánh
2006
2007
2006 1
2007 1
+
=
+
A
và
2005
2006
2006 1
2006 1
+
=
+
B
Lời giải
Ta có nếu
( )
1*
+
+
a a a n
n
b b b n
( )
( )
2006 2006 2006
2007 2007 2007
2005
2005
2006
2006
2006 1 2006 1 2005 2006 2006
2006 1 2006 2005 1 2006 2006
2006. 2006 1
2006 1
2006 1
2006. 2006 1
+ + + +
= =
+ + + +
+
+
= = =
+
+
A
B
Vậy
AB
Bài 95. (Đề thi HSG6 - 2018-2019 )
So sánh các biểu thức:
a)
200
3
và
300
2
b)
121212 2 404
171717 17 1717
= + −A
với
10
17
=B
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
100 100
200 2 100 100 3 300 200 300
3 3 9 8 2 2 3 2= = = =
b)
121212 2 404 12 2 4 10
171717 17 1717 17 17 17 17
= + − = + − = =A A B
Bài 96. (Đề thi HSG 6 - huyện Thanh Oai - 2018 -2019 )
Cho biết
1 1 1
...... .
101 102 130
= + + +S
Chứng minh rằng
1 91
4 330
S
Lời giải
*Chứng minh
91
330
S
1 1 1 1 1 1 1
.... .... .....
101 102 110 111 120 121 130
1 1 1 1 1 1 1
..... ..... .....
100 100 100 110 110 120 120
1 1 1 1 1 1 181 182 91
.10 .10 .10
100 110 120 10 11 12 660 660 330
= + + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + = + + =
S
S
S
91
(1)
330
S
*Chứng minh
1
4
S
HSG TOÁN 6
71
1 1 1 1 1 1
..... .... ....
110 110 120 120 130 130
1 1 1 1 1 1
.10 .10 .10
110 120 130 11 12 13
431 429 1
(2)
1716 1716 4
+ + + + + + + +
+ + = + +
S
S
SS
Từ (1) và (2)
1 91
4 330
S
Bài 97. (Đề thi HSG 6 cấp Huyện 2018 -2029 )
Thực hiện so sánh:
20132013
)
20142014
=aA
với
131313
141414
=B
9 10
) 2013 2013=+bC
với
10
2014=D
Lời giải
2013.10001 2013 13.10101 13
);
2014.10001 2014 14.10101 14
a A B= = = =
2013 1 13 1
1 1 ;1 1
2014 2014 14 14
AB− = − = − = − =
11Do A B A B− −
( )
99
9
) 2013 . 1 2013 2013 .2014
2014 .2014
2013 2014
= + =
=
bC
D
CD
Bài 98. (Đề thi HSG 6 )
So sánh
10 9
2004 2004+
và
10
2005
Lời giải
( )
10 9 9 9
2004 2004 2004 . 2004 1 2004 .2005+ = + =
10 9
9 9 10 9 10
2005 2005 .2005
2004 .2005 2005 .2005 2004 2004 2005
=
+ Do
Bài 99. (Đề thi HSG 6 - Việt Yên 2019-2020)
So sánh
2014
2015
10 2016
10 2016
+
=
+
A
và
2015
2016
10 2016
10 2016
+
=
+
B
Lời giải
Ta có:
TOÁN 6
72
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2014 2016
2014
2015
2015 2016
4030 2014 2016 2
4030 2014 2
2015 2016 2015 2016
10 2016 . 10 2016
10 2016
10 2016
10 2016 . 10 2016
10 2016. 10 10 2016
10 2016.10 .101 2016
(1)
10 2016 . 10 2016 10 2016 . 10 2016
++
+
==
+
++
+ + +
++
==
+ + + +
A
Lại có
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2015 2015
2015
2016
2016 2015
4030 2015 2 4030 2014 2
2015 2016 2015 2016
10 2016 . 10 2016
10 2016
10 2016
10 2016 . 10 2016
10 2.2016.10 2016 10 20.2016.10 2016
(2)
10 2016 10 2016 10 2016 10 2016
++
+
==
+
++
+ + + +
==
+ + + +
B
Từ (1) và (2)
AB
Bài 100. (THCS Duy Xuyên năm học 2018- 2019)
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.... 1
2 3 100
+ + +
Lời giải
Ta có:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.... .... 1 .....
2 3 100 1.2 2.3 99.100 2 2 3 99 100
1 1 1 1 99
.... 1 1
2 3 100 100 100
+ + + + + + = − + − + + −
+ + + − =
Bài 101. (Đề thi HSG Thanh Chương năm học 2018- 2019)
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1 1
3 30 32 35 45 47 50 2
+ + + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1
30 32 35 30 30 30 10
1 1 1 1 1 1 1
45 47 50 45 45 45 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 30 32 35 45 47 50 3 10 15 2
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + + + + + =
Bài 102. (Đề thi HSG 6 Duy Xuyên năm học 2019- 2020)
So sánh các phân số:
23 23232323 2323 232323
; ; ;
99 99999999 9999 999999
Lời giải
HSG TOÁN 6
73
23 23.101 2323
99 99.101 9999
23 23.10101 232323
99 99.10101 999999
23 23.1010101 23232323
99 99.1010101 99999999
23 2323 232323 23232323
99 9999 999999 99999999
==
==
==
= = =
Bài 103. (Đề thi HSG 6 Thanh Chương năm học 2018- 2019)
So sánh :
2012
2013
2012 1
2012 1
A
+
=
+
và
2011
2012
2012 1
2012 1
B
+
=
+
Lời giải
Vì
2012
2012 2013
2013
2012 1
2012 1 2012 1 1
2012 1
+
+ +
+
( )
( )
2012 2012
2013 2013
2011
2012 2011
2013 2012
2012
2012 1 2012 1 2011
2012 1 2012 1 2011
2012. 2012 1
2012 2012 2012 1
2012 2012 2012 1
2012. 2012 1
B
AB
+ + +

+ + +
+
++
= = = =
++
+

Bài 104.
a) Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
..... .
2 3 4 100
A = + + + +
Chứng minh rằng
3
4
A
b) So sánh
20
17
và
15
31
Lời giải
( )
2 2 2 2 2
2
2
20
20 20 4 80
15 15 15 75
15 75 80 20 15 20
1 1 1 1 1 1 1 1
) ...... ....
2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100
1 1 1 1 1 1 1
......
2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 3
2 2 100 4
)17 16 2 2
31 32 25 2
31 2 2 17 31 17
aA
A
AA
b
= + + + + + + + +
+ − + − + + −
+ −
= =
= =
Bài 105. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018)
So sánh :
2008
2009
2009 1
)
2009 1
aA
+
=
+
với
2009
2010
2009 1
2009 1
B
+
=
+
TOÁN 6
74
b)
11
31
và
14
17
Lời giải
a)Thực hiện quy đồng mẫu số:
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2008 2010
4018 2010 2008
2009 2010 2009 2010
2009 2009
4018 2010 2008
2010 2009 2010 2009
2010 2008
2009 1 2009 1
2009 2009 2009 1
2009 1 2009 1 2009 1 2009 1
2009 1 2009 1
2009 2009 2009 1
2009 1 2009 1 2009 1 2009 1
2009 2009
A
B
++
+ + +
==
+ + + +
++
+ + +
==
+ + + +
+=
( )
( )
( )
( )
2008 2
2009 2009 2008
2
2009 . 2009 1
2009 2009 2009 . 2009 2009
2009 1 2009 2009Do A B
+
+ = +
+ +
( ) ( )
11 14
11 11 5 55 56 4 14 14 11 14
31 32 2 2 2 2 16 17 31 17 = = = =
Bài 106. So sánh hai phân số:
2012
2013
10 10
10 10
B
−
=
−
và
2011
2012
10 10
10 10
A
+
=
+
Lời giải
Vì
1B
nên
( )
( )
2011
2012 2012 2011
2013 2013 2012
2012
10 10 10
10 10 110 10 100 10 10
10 10 110 10 100 10 10
10 10 10
BA
+
− + + +
= = = =
− + + +
+
Bài 107. So sánh không qua quy đồng:
2005 2006 2005 2006
7 15 15 7
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
2005 2006 2005 2006 2006
2005 2006 2005 2005 2006
2006 2005
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
88
10 10
A
B
AB
− − − − −
= + = + +
− − − − −
= + = + +
−−
Bài 108. Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
Ta có:
HSG TOÁN 6
75
2010 2011 2010 2011 2011
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
B
− − − − −
= + = + +
− − − − −
= + = + +
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
Bài 109.
a) Cho
, , *a b n
. Hãy so sánh
an
bn
+
+
và
a
b
b) Cho
11 10
12 11
10 1 10 1
;
10 1 10 1
AB
−+
==
−+
. So sánh A và B.
Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp
Th1:
11
a a n a
ab
b b n b
+
= = = =
+
Th2:
1
a
a b a m b n
b
+ +
, mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
−
+
a
b
có phần thừa so với 1 là
,
ab
b
−
vì
a b a b
b n b
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
Th3:
1
a
a b a n b n
b
+ +
Khi đó
an
bn
+
+
có phần bù tới 1 là
,
ab
b
−
vì
a b b a
b b n
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
−
=
−
rõ ràng
1A
nên theo câu a,
( )
( )
11
11
12
12
10 1 11
10 10
1
10 10
10 1 11
a a n a
A
b b n b
−+
++
=
++
−+
Do đó
( )
( )
10
11 10
12 11
11
10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10. 10 1
A
+
++
= =
++
+
Bài 110. (Đề thi HSG 6 THCS Kim Trực- Kim Bài 2017-2018)
Cho
,,x y z
là các số nguyên dương. Chứng minh rằng biểu thức sau không có giá trị nguyên.
x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + +
Lời giải
TOÁN 6
76
Chứng minh được:
1
xx
x y x y z
yy
A
y z x y z
zz
z x x y z
+ + +
+ + +
+ + +
2
x x z
x y x y z
y y x
A
y z x y z
z z y
z x x y z
+
+ + +
+
+ + +
+
+ + +
Vậy
12A
nên A không là số nguyên.
Bài 111. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018)
So sánh
11 8
) 27 & 81a
36 24
) 5 & 11b
39 21
) 3 & 11c
Lời giải
( ) ( )
11 8
11 3 33 8 4 32
) 27 3 3 ; 81 3 3a = = = =
33 32 11 8
3 3 27 81Do
( ) ( )
12 12
36 3 12 24 2 12
) 5 5 125 ;11 11 121b = = = =
12 12 36 24
125 121 5 11Do
( ) ( )
10 10
39 40 4 10 21 20 2 10
) 3 3 3 81 ; 11 11 11 121c = = = =
10 10 21 39
121 81 11 3Do
Bài 112. (Đề thi HSG 6 trường….. 2018 - 2019)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
Ta có:
2010 2011 2010 2011 2011
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
− − − − −
= + = + +
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
B
− − − − −
= + = + +
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
Bài 113. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019)
Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012A = + + + + + + +
và
73
2012 1.B =−
So sánh A và B
HSG TOÁN 6
77
Lời giải
Ta có:
2 3 4 72 73
2012 2012 2012 2012 2012 .... 2012 2012A = + + + + + +
Lấy
73
2012 2012 1AA− = −
, Vậy
73
73
2012 1
2012 1
2011
AB
−
= = −
Bài 114. (Đề thi HSG 6 huyện ….. 2019 - 2020)
a) So sánh :
22
45
−
và
51
103
−
b) So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
−−
= =
2010
2011
2009 2
) 1
2009 2
bB
−
=
−
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
B
− − + +
= =
− − + +
( )
( )
2009
2009
2010
2010
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
A
+
+
= = =
+
+
Vậy
AB
Bài 115. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 20… - 20…)
So sánh phân số:
2012
2013
2012 1
2012 1
A
+
=
+
và
2011
2012
2012 1
2012 1
B
+
=
+
Lời giải
Ta có:
2013
2013 2013
2012 2012 2011
2012. 1 (1)
2012 1 2012 1
A
+
= = +
++
2012
2012 2012
2012 2012 2011
2012 1 (2)
2012 1 2012 1
B
+
= = +
++
Từ (1) và (2) ta thấy:
2013 2012
2011 2011
2012 1 2012 1
++
Suy ra
2012 2012A B A B
Bài 116. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Nguyễn Khuyến 2017-2018)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2012 2011 2011 2012
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
2012 2011 2012 2011 2011
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
− − − − −
= + = + +
9 19 9 10 9
2011 2012 2011 2012 2012
B
− − − − −
= + = + +
Mà
2011 2012
10 10
10 10
−−
nên
AB
TOÁN 6
78
Bài 117. (Đề thi HSG 6 Huyện Lương Tài 2015-2016)
So sánh
A
và B biết:
18 17
19 18
17 1 17 1
,
17 1 17 1
AB
++
==
++
Lời giải
Vì
( )
( )
17
18 18 18 17
19 19 19 18
18
17. 17 1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
1
17 1 17 1 17 1 16 17 1
17. 17 1
A A B
+
+ + + + +
= = = = =
+ + + + +
+
Bài 118. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019)
So sánh hai số
66
55
và
55
66
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
11 11
66 6 55 5
55 55 ; 66 66==
Vì
6 6 6 5
55 5 .11 15625.11.11==
;
5 5 5 5 6 5
66 6 .11 7776.11 55 66= =
Suy ra
66 55
55 66
Bài 119. (HSG Toán 6 cấp trường)
So sánh:
a)
91
2
và
35
5
b)
( )
2008 2008 2005 2011
, , , *
m n m n
B A x m n
x x x x
= + = +
Lời giải
91 90 18 18 36 35 91 35
)2 2 32 25 5 5 2 5a = =
b) Tách rồi so sánh:
33
,
mn
xx
Xét
1x A B= =
Xét
1:
A B m n
x A B m n
A B m n
= =
Bài 120. (HSG Toán 6 cấp trường)
Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số
1;2;3
với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ
một lần
Lời giải
*Trường hợp không dùng lũy thừa
Số lớn nhất có thể viết được: 321
*Trường hợp dùng lũy thừa
- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số:
2 2 3 3
13 ,31 ,12 ,21
So sánh
3
21
và
2
31
, ta có:
32
21 31
HSG TOÁN 6
79
Xét các lũy thừa mà số mũ có 2 chữ số:
13 31 12 21
2 ,2 ,3 ,3
So sánh
21
3
và
31
2
ta có:
( )
10
21 20 2 10
3 3.3 3. 3 3.9= = =
( )
10
31 30 3 10
2 2.2 2. 2 2.8= = =
Từ đó suy ra
21 31
32
So sánh
21
3
với
3
21
ta có:
( )
3
21 9 3 3 3
3 3 3 27 21 = =
Vậy số lớn nhất là
21
3
Bài 121. (Đề HSG Toán 6_Đặng Chánh Kỷ_2018-2019)
Cho 2 phân số
12
73
a
b

Tìm 10 phân số có dạng
a
b
sao cho
12
73
a
b

Có thể tìm được bao nhiêu phân số
a
b
thỏa mãn điều kiện trên ?
Lời giải
a)
3 14
10
21 21
a
b
phân số là:
4 5 13
; ;.....;
21 21 21
b) Có vô số phân số thỏa mãn điều kiện trên vì các phân số cần tìm phụ thuộc vào mẫu chung. Nếu
mẫu chung càng lớn thì phân số càng nhiều
Bài 122. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2018-2019)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
2010 2011 2010 2011 2011
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
B
− − − − −
= + = + +
− − − − −
= + = + +
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
Bài 123. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2019-2020)
So sánh không qua quy đồng:
2005 2006 2005 2006
7 15 15 7
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
TOÁN 6
80
2005 2006 2005 2006 2006
2005 2006 2005 2005 2006
2006 2005
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
88
10 10
A
B
AB
− − − − −
= + = + +
− − − − −
= + = + +
−−
Bài 124. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2019-2020)
a)So sánh phân số:
15
301
với
25
499
b)So sánh tổng
2 3 2007
1 2 3 2007
..... ......
2 2 2 2 2
n
n
S = + + + + + +
với 2.
( )
*n
Lời giải
a)
15 15 1 25 25
.
301 300 20 500 499
= =
Vậy
15 25
301 499
b)Với mọi
2,n
ta có:
1
12
.
2 2 2
n n n
n n n
+
++
=−
Từ đó ta có:
2 2 3 2006 2007 2007
1 3 4 4 5 2008 2009 2009
..... 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
S
= + − + − + + − = −
. Vậy
2S
Bài 125. Đề HSG Toán 6_cấp huyện_2018-2019
Cho
1 3 5 9999
. . .....
2 4 6 10000
A =
. So sánh A với
0,01
Lời giải
1 3 5 9999
. . ......
2 4 6 10000
A =
,đặt
2 4 6 10000
. . ......
3 5 7 10001
B =
Vì
1 2 3 4 9999 10000
; ;......;
2 3 4 5 10000 10001
nên
AB
mà
0; 0AB
( ) ( )
2
22
2
1 3 5 9999 2 4 6 10000
. . . ...... . . . ......
2 4 6 10000 3 5 7 10001
1 2 3 9999 10000 1 1
. . ...... . 0,01 0,01 0,01
2 3 4 10000 10001 10001 10000
A A B
AA
=
= = =
Bài 126. Đề HSG Toán 6_Nga Sơn_2018-2019
200
)3a
và
300
2
b)
50
71
và
75
37
c)
201201
202202
và
201201201
202202202
Lời giải
a) So sánh
200
3
và
300
2
Ta có:
( ) ( )
100 100
200 2 100 300 3 100
3 3 9 ;2 2 8= = = =
Mà
100 100
89
nên
300 200
23
b) So sánh
50
71
và
75
37
HSG TOÁN 6
81
Ta thấy :
( )
50
50 50 150 100
71 72 8.9 2 .3 (1) = =
( )
75
75 75 2 2 150 150
37 36 2 .3 2 .3 (2) = =
Mà
150 150 150 100
2 .3 2 .3 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
75 50
37 71
c) Ta có:
201201 201 1001 201 201201201 201 1001001 201
. ; .
202202 202 1001 202 202202202 202 1001001 202
= = = =
Vậy 2 phân số trên bằng nhau.
Bài 127. Đề HSG Toán 6_Nga Sơn_2018-2019
Cho
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
..... .
1 2 3 4 50
A = + + + + +
Chứng minh :
2A
Lời giải
Ta có:
2
1 1 1
1
2 1.2 2
= −
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ......;
3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 50 49.50 49 50
= − = − = −
Vậy
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
....
1 2 3 4 50
A = + + + + +
1 1 1 1 1
.....
1 1.2 2.3 3.4 49.50
1 1 1 1 1 1
1 ...
1 2 2 3 49 50
1 99
1 1 2
50 50
+ + + + +
= + − + − + + −
= + − =
Bài 128. (ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 6- THANH OAI- 2018-2019)
Cho
5 5 5 5 5
....... .
20 21 22 23 49
S = + + + + +
Chứng minh rằng
38S
Lời giải
Xét tổng
5 5 5 5 5 5 5 5 5
...... ..... 30. 3
20 21 48 49 50 50 50 50 50
S = + + + + + + + + = =
3S
5 5 5 5 5 5 5 5 5 15
...... ..... 30. 8
20 21 48 49 20 20 20 20 20 2
S = + + + + + + + + = =
8S
38S
Bài 129. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- HẢI HẬU)
Với
n
là số tự nhiên, hãy so sánh bội chung nhỏ nhất của
2
2nn++
và 3 với
2
2nn++
TOÁN 6
82
Lời giải
Với mọi số tự nhiên
n
thì
2
2nn++
không chia hết cho 3, thật vậy:
( )
2
2 1 2n n n n+ + = + +
Nếu
3n
thì
( ) ( )
1 3 1 2n n n n+ + +
chia cho 3 dư 2
Nếu
n
chia cho 3 dư 1 thì
( )
31n k k= +
khi đó
( )( )
( )
22
2 3 1 3 2 2 3 3 5 1n n k k k k+ + = + + + = + +
chia cho 3 dư 1
Nếu
n
chia cho 3 dư 2 thì
1n +
chia hết cho 3 khi đó
2
2nn++
chia cho 3 dư 2
Như vậy
2
2nn++
không chia cho 3 với mọi
,n
mà 3 là số nguyên tố nên
2 2 2
( 2;3) 3( 2) 2BCNN n n n n n n+ + = + + + +
Bài 130. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- THANH CHƯƠNG)
Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:
a)
1717
8585
và
1313
5151
b)
8 16
9 .5
và
20
19
Lời giải
1717 17 1 13 13 1313 1717 1313
)
8585 85 5 65 51 5151 8585 5151
a = = = =
8 16 16 16 16 16 20 8 16 20
)9 .5 3 .5 15 19 19 9 .5 19b = =
Bài 131. (Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2019 - 2020)
a)So sánh :
22
45
−
và
51
101
−
b)So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
−−
= =
( )
( )
2010
2011
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2009
2010
2010
2009 2
)1
2009 2
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
bB
B
A
−
=
−
− − + +
= =
− − + +
+
+
= = =
+
+
Vậy
BA
Bài 132. (Đề thi HSG 6 huyện HOÀI NHƠN 2018-2019)
So sánh M và N biết:
30 31
31 32
19 5 19 5
;
19 5 19 5
MN
++
==
++
HSG TOÁN 6
83
Lời giải
( )
( )
30
30 31
31 31 31 31
31
31 32
32 32 32 32
31 32 31 32
19. 19 5
19 5 19 95 90
19 1
19 5 19 5 19 5 19 5
19. 19 5
19 5 19 95 90
19 1
19 5 19 5 19 5 19 5
90 90 90 90
1 1 19 19
19 5 19 5 19 5 19 5
MM
NN
MN
+
++
= = = = +
+ + + +
+
++
= = = = +
+ + + +
+ +
+ + + +
Vậy
MN
Bài 133. ( HSG 6 Huyện Vĩnh Tường năm 2019 – 2020 )
So sánh :
9
123456789
và
123456789
9
Lời giải
( )
10
123456789 100.000.000 50.000.000 50.000.000 100 10 9
9 9 81 10 10 10 123456789 = =
Bài 134. ( HSG 6 năm 2018 – 2019 )
So sánh không qua quy đồng:
2005 2006 2005 2006
7 15 15 7
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
2005 2006 2005 2006 2006
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
A
− − − − −
= + = + +
2005 2006 2005 2005 2006
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
B
− − − − −
= + = + +
2006 2005
88
10 10
AB
−−
Bài 135. ( HSG 6 năm 2018 – 2019 ):
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:
2010 2011 2011 2010
9 19 9 19
;
10 10 10 10
AB
− − − −
= + = +
Lời giải
2010 2011 2010 2011 2011
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
A
− − − − −
= + = + +
2011 2010 2011 2010 2010
9 19 9 10 9
10 10 10 10 10
B
− − − − −
= + = + +
Ta thấy
2011 2010
10 10
10 10
AB
−−
TOÁN 6
84
Bài 136. (Đề thi HSG 6 huyện VIỆT YÊN 2019-2020)
So sánh
2014
2015
10 2016
10 2016
A
+
=
+
và
2015
2016
10 2016
10 2016
B
+
=
+
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2014 2016
2014
2015
2015 2016
10 2016 . 10 2016
10 2016
10 2016
10 2016 . 10 2016
A
++
+
==
+
++
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4030 2014 2016 2
4030 2014 2
2015 2016 2015 2016
10 2016. 10 10 2016
10 2016.10 .101 2016
(1)
10 2016 . 10 2016 10 2016 . 10 2016
+ + +
++
==
+ + + +
Lại có
( ) ( )
( ) ( )
2015 2015
2015
2016
2016 2015
10 2016 . 10 2016
10 2016
10 2016
10 2016 . 10 2016
B
++
+
==
+
++
( )( ) ( )( )
4030 2015 2 4030 2014 2
2015 2016 2015 2016
10 2.2016.10 2016 10 20.2016.10 2016
(2)
10 2016 10 2016 10 2016 10 2016
+ + + +
==
+ + + +
Từ (1) và (2)
AB
Bài 137. (Đề thi HSG 6 THCS XUÂN DƯƠNG 2019-2020)
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
...... 1
2 3 4 5 2011 2012
+ + + + + +
Lời giải
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
; ;.......;
2 1.2 3 2.3 2012 2011.2012
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... .....
2 3 4 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012
1 1 1 1 1 1 1 1 2011
.....
1 2 2 3 3 4 2011 2012 2012
1 1 1 1 1
..... 1
2 3 4 2011 2012
+ + + + + + + + +
= − + − + − + + − =
+ + + + +
Bài 138. (Đề thi HSG 6 THCS HỒNG DƯƠNG 2019-2020)
So sánh
A
và
B
biết:
2012 2011 2013 2012
2011 2011 ; 2011 2011AB= − = −
Lời giải
Ta có:
( )
2012 2011 2011 2011
2011 2011 2011 . 2011 1 2011 .2010A = − = − =
HSG TOÁN 6
85
( )
2013 2012 2012 2012
2011 2011 2011 . 2011 1 2011 .2010B = − = − =
Do
2012 2011
2011 2011 BA
.
Bài 139. (Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019)
Cho
2 3 99 100
1 4 4 4 .... 4 ; 4AB= + + + + + =
Chứng minh rằng:
3
B
A
Lời giải
2 3 4 100
2 3 99
4 4 4 4 4 ..... 4
1 4 4 4 ..... 4
A
A
= + + + + +
= + + + + +
100
3 4 4 1A A A= − = −
100 100
4 1 4
3 3 3
B
A
−
= =
Vậy
3
B
A
Bài 140. (Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019)
So sánh C và D:
2013 2012
2014 2013
2013 1 2013 1
;
2013 1 2013 1
CD
++
==
++
Lời giải
2013 2014
2014 2014 2014
2012 2013
2013 2013 2013
2013 1 2013 2013 2012
2013 1
2013 1 2013 1 2013 1
2013 1 2013 2013 2012
2013 1
2013 1 2013 1 2013 1
CC
DD
++
= = = +
+ + +
++
= = = +
+ + +
Vì
2014 2013
2012 2012
2013 2013
2013 1 2013 1
C D C D
++
Bài 141. (Đề thi HSGH 6, 2018-2019)
Thực hiện so sánh:
a)
20132013
20142014
A =
với
131313
141414
B =
b)
9 10
2013 2013C =+
với
10
2014D =
Lời giải
a)
2013.10001 2013 13.10101 13
;
2014.10001 2014 14.10101 14
AB= = = =
2013 1 13 1
1 1 ;1 1
2014 2014 14 14
AB− = − = − = − =
TOÁN 6
86
Do
1 1 .A B A B− −
b)
( )
99
2013 . 1 2013 2013 .2014C = + =
9
2014 .2014D =
Mà
2013 2014 CD
Bài 142.
a) Cho
, , *a b n
. Hãy so sánh
an
bn
+
+
và
a
b
b) Cho
11 10
12 11
10 1 10 1
;
10 1 10 1
AB
−+
==
−+
. So sánh A và B.
Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp
Th1:
11
a a n a
ab
b b n b
+
= = = =
+
Th2:
1
a
a b a m b n
b
+ +
, mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
−
+
a
b
có phần thừa so với 1 là
,
ab
b
−
vì
a b a b
b n b
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
Th3:
1
a
a b a n b n
b
+ +
Khi đó
an
bn
+
+
có phần bù tới 1 là
,
ab
b
−
vì
a b b a
b b n
−−
+
nên
a n a
b n b
+
+
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
−
=
−
Rõ ràng
1A
nên theo câu a,
( )
( )
11
11
12
12
10 1 11
10 10
1
10 10
10 1 11
a a n a
A
b b n b
−+
++
=
++
−+
Do đó
( )
( )
10
11 10
12 11
11
10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10. 10 1
A
+
++
= =
++
+
Bài 143.
Cho phân số
( )
a
ab
b
cùng thêm
m
đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn
?
a
b
Lời giải
HSG TOÁN 6
87
Theo bài toán cho
a b am bm
( ) ( )
ab am ab bm
a b m b a m
a a m
b b m
+ +
+ +
+

+
Bài 144.
Chứng minh rằng:
a)
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 3
− + − + −
b)
2 2 4 99 100
1 2 3 4 99 100 3
......
3 3 3 3 3 3 16
− + − + + −
Lời giải
a) Đặt
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2
A = − + − + − = − + − + −
2 3 4 5
6
66
1 1 1 1 1
21
2 2 2 2 2
1 2 1
2 3 1 1
22
1
31
3
A
A A A
AA
= − + − + −
−
+ = = − =
b) Đặt
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
.....
3 3 3 3 3 3
A = − + − + + −
2 3 4 98 99
2 3 3 3 99 100
3 1 ......
3 3 3 3 3 3
A = − − + − + + −
2 3 98 99 100
2 3 98 99
1 1 1 1 1 100
4 1 ......
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
4 1 ...... (1)
3 3 3 3 3
A
A
= − + − + + − −
− + − + + −
Đặt
2 3 98 99 2 97 98
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ..... 3 2 ....
3 3 3 3 3 3 3 3 3
BB= − + − + + − = + − + + −
99
13
4 3 3 3 (2)
34
B B B B= + = −
Từ (1) và (2)
33
4
4 16
A B A
Bài 145.
Tìm phân số lớn hơn
4
17
, nhỏ hơn
6
17
và có mẫu số bằng 20.
TOÁN 6
88
Lời giải
Gọi phân số phải tìm là
20
a
, a là số tự nhiên
46
80 17 120 5 7 6
17 20 17
a
a a a =
Bài 146.
So sánh
2010 2009
2009 2009+
với
2010
2010
Lời giải
( )
2010 2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009 1 2009 .2010+ = + =
Bài 147.
Cho
2001 2002
2002 2003
10 1 10 1
;.
10 1 10 1
AB
Hãy so sánh A và B.
Lời giải
Ta có:
2002
2002 2002
10 10 9
10 1 1
10 1 10 1
A
Tương tự:
2003
2003 2003
10 10 9
10 1 (2)
10 1 10 1
B
Từ (1) và (2) ta thấy:
2002 2003
99
10 10
10 1 10 1
A B A B
Bài 148.
a) So sánh:
22
45
và
51
103
;
b) So sánh:
2009
2010
2009 1
2009 1
A
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
.
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
2010
2011
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2009
2010
2010
2009 2
)1
2009 2
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
bB
B
A
Vậy
AB
HSG TOÁN 6
89
Bài 149.
a) Cho
, , *a b n
. Hãy so sánh
an
bn
và
a
b
b) Cho
11 10
12 11
10 1 10 1
;
10 1 10 1
AB
. So sánh A và B.
Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp
Th1:
11
a a n a
ab
b b n b
Th2:
1
a
a b a m b n
b
, mà
an
bn
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
a
b
có phần thừa so với 1 là
,
ab
b
vì
a b a b
b n b
nên
a n a
b n b
Th3:
1
a
a b a n b n
b
Khi đó
an
bn
có phần bù tới 1 là
,
ab
b
vì
a b b a
b b n
nên
a n a
b n b
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
rõ ràng
1A
nên theo câu a,
11
11
12
12
10 1 11
10 10
1
10 10
10 1 11
a a n a
A
b b n b
Do đó
10
11 10
12 11
11
10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10. 10 1
A
Bài 150. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019)
Chứng minh rằng:
1999 714
27
Lời giải
( ) ( )
10
238 238
10 3 10 238 3 2380 238 714
3
8
58
5
2 1024
2 3.7 2 3 . 7 2 3 .7
7 343
2 256
32
3 243
=
=
=

=
Mặt khác:
TOÁN 6
90
( ) ( )
47 47
238 3 235 3 5 3 8 5 376 381 238 381
2380 238 714 2380 381 714 1999 714
3 3 .3 3 . 3 3 . 2 2 .2 2 3 2
2 3 .7 2 2 .7 2 7
= = =
Bài 151. (Đề thi HSG 6 THCS HOẰNG PHỤ 2019-2020)
a) So sánh
99
100
2018 1
2018 1
E
−
=
−
và
98
99
2018 1
2018 1
F
−
=
−
b) Tìm số nguyên tố
( )
0.ab a b
Biết
ab ba−
là số chính phương
c) Cho
abc
là số tự nhiên có ba chữ số
Tìm giá trị lớn nhất của
1918
abc
A
abc
=+
++
Lời giải
a) Ta có:
99 100
100 100 100
99 99
99 99 99
2018 1 2018 2018 2017
2018 2018 1
2018 1 2018 1 2018 1
2018 1 2018 2018 2017
2018 2018 1
2018 1 2018 1 2018 1
E E E
F F F
−−
= = = −
− − −
−−
= = = −
− − −
Vì
100 99 100 99
2017 2017 2017 2017
11
2018 1 2018 1 2018 1 2018 1
− −
− − − −
Hay
2018 2018E F E F
b) Ta có:
( )
9ab ba a b− = −
Do
,ab
là các chữ số,
ab
là số nguyên tố nên
( )
39b a b −
là số chính phương khi
1;4ab−
Với
1ab−=
mà
ab
là số nguyên tố
ta được số
43ab =
Với
4ab−=
mà
ab
là số nguyên tố
ta được số
73ab =
Vậy
43;73ab
a)
100 10
1918 1918
abc a b c
A
a b c a b c
++
= + = +
+ + + +
Nếu
0bc==
thì
100 1918 2018A = + =
Nếu
b
hoặc c khác 0 thì
100 100 100
1918 100 1918 2018 2018
abc
AA
abc
++
+ = + =
++
HSG TOÁN 6
91
Giá trị lớn nhất của A là
2018
khi
1;2;....;9 ; 0a b c = =
(Hai ý b,c này thầy cô tự chuyển nha, GV tách nhầm chuyên đề rồi)
Bài 152. (Đề thi HSG 6 huyện BÌNH THUẬN 2018-2019)
So sánh:
25
36
và
36
25
Lời giải
( )
25
25 25 25 25 6 19
36 25 11 25 22 25 3 19
3 6 3 6 25 25 19 19
25 3 19 25 6 19 25 36
36 18.2 18 .2 18 .2 .2
25 25 .25 25 .5 25 .5 .5
5 125;2 64 5 2 25 18 ;5 2
25 .5 .5 18 .2 .2 36 25hay
= = =
= = =
= =
Bài 153. (Đề thi HSG 6 TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020)
Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1
......
4 6 8 4
2n
+ + + +
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
.....
4 6 8
2
1 1 1 1
......
2.2 2.3 2.4 2.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. ..... . .....
4 2 3 4 4 1.2 2.3 1
1 1 1 1 1 1 1
. .....
4 1 2 2 3 1
1 1 1
. 1 ( )
44
A
n
A
n
A
n n n
A
nn
A dfcm
n
= + + + +
= + + + +


= + + + + + + +



−



− + − + + −

−


−


Bài 154. (Đề thi HSG 6 HUYỆN LÂM THAO 2019-2020)
Cho
( ) ( ) ( )
.M a b b c a c a= − + − + − + −
Trong đó
,bc
còn
a
là một số nguyên âm. Chứng minh
rằng biểu thức M luôn dương và tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của
chúng.
Lời giải
Ma=−
mà a là số nguyên âm nên M luôn dương
0, 0xy==
hoặc
2, 2xy==
(câu này cũng nhầm vị trí)
Bài 155. (Đề thi HSG 6 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA 2018-2019)
Cho biết
1 1 1
...... .
101 102 130
S = + + +
Chứng minh rằng
1 91
4 330
S
TOÁN 6
92
Lời giải
*Chứng minh
91
330
S
1 1 1 1 1 1 1
.... .... .....
101 102 110 111 120 121 130
1 1 1 1 1 1 1
..... ..... .....
100 100 100 110 110 120 120
1 1 1 1 1 1 181 182 91
.10 .10 .10
100 110 120 10 11 12 660 660 330
S
S
S
= + + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + = + + =
91
(1)
330
S
*Chứng minh
1
4
S
1 1 1 1 1 1
..... .... ....
110 110 120 120 130 130
S
+ + + + + + + +
1 1 1 1 1 1
.10 .10 .10
110 120 130 11 12 13
S + + = + +
431 429 1
(2)
1716 1716 4
SS
Từ (1) và (2)
1 91
4 330
S
Bài 156. (Đề thi HSG 6 huyện HOÀI NHƠN 2018-2019)
So sánh M và N biết:
30 31
31 32
19 5 19 5
;
19 5 19 5
MN
++
==
++
Lời giải
( )
( )
30
30 31
31 31 31 31
31
31 32
32 32 32 32
31 32 31 32
19. 19 5
19 5 19 95 90
19 1
19 5 19 5 19 5 19 5
19. 19 5
19 5 19 95 90
19 1
19 5 19 5 19 5 19 5
90 90 90 90
1 1 19 19
19 5 19 5 19 5 19 5
MM
NN
MN
+
++
= = = = +
+ + + +
+
++
= = = = +
+ + + +
+ +
+ + + +
Vậy
MN
Bài 157.
a)So sánh :
22 51
45 101
−−
b)So sánh :
2009
2010
2009 1
2009 1
A
+
=
+
và
2010
2011
2009 2
2009 2
B
−
=
−
Lời giải
22 22 1 51 51 22 51 22 51
)
45 44 2 102 101 45 101 45 101
a
−−
= =
HSG TOÁN 6
93
( )
( )
2010
2011
2010 2010 2010
2011 2011 2011
2009
2009
2010
2010
2009 2
)1
2009 2
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2 2009 2 2011 2009 2009
2009 2009 1
2009 1
2009 1
2009 2009 1
bB
B
A
−
=
−
− − + +
= =
− − + +
+
+
= = =
+
+
Vậy
BA
Bài 158. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020)
Hãy so sánh :
9
123456789
và
123456789
9
Lời giải
( )
10
123456789 100.000.000 50.000.000 50.000.000 100 10 9
9 9 81 10 10 10 123456789 = =
Bài 159. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020)
Cho
a,b
là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
ab
2
ba
+
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử
a b a b m,m = +
a b b m b m b m b
1 1 2
b a b b m b b m b m b m
+
+ = + = + + + + =
+ + + +
Bài 160. (Đề thi HSG 6 huyện 282 năm học 2018-2019)
So sánh:
20132013
a)A
20142014
=
với
131313
B
141414
=
9 10
b)C 2013 2013=+
với
10
D 2014=
Lời giải
2013.10001 2013 13.10101 13
a)A ;B
2014.10001 2014 14.10101 14
2013 1 13 1
1 A 1 ; 1 B 1
2014 2014 14 14
11
Do 1 A 1 B A B
2014 14
= = = =
− = − = − = − =
− −
( )
99
9
b)C 2013 . 1 2013 2013 .2014
D 2014 .2014
2013 2014 C D
= + =
=
Bài 161. (Đề thi HSG 6)
Cho S =
14
3
13
3
12
3
11
3
10
3
++++
. Chứng minh rằng : 1< S < 2.
TOÁN 6
94
Lời giải
S =
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
10 11 12 13 15 15 15 15 15 15
+ + + + + + + +
=> S >
15
1
15
=
(1)
S=
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
14
3
13
3
12
3
11
3
10
3
++++++++
=> S <
2
10
20
10
15
=
(2)
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2.
Bài 162.
Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1 1 1 1 1
...
4 6 8 (2 ) 4n
+ + + +
Lời giải
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 1
...
4 6 8 (2 )
A
n
= + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1
...
(2.2) (2.3) (2.4) (2. )
A
n
= + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1)
A
n n n


= + + + + + + +


−


1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
4 1 2 2 3 3 4 ( 1)
A
nn

− + − + − + + −

−

1 1 1
1
44
A
n

−


(Đpcm)
Bài 163.
So sánh A và B biết A =
2010 2011 2012
2011 2012 2010
++
và B =
1 1 1 1
...
3 4 5 17
+ + + +
Lời giải
Ta có
3
8.
8
1
5.
5
1
2.
2
1
17
1
...
10
1
9
1
...
5
1
4
1
3
1
3
2012
1
2010
1
2011
1
2010
1
3
2010
2
1
2012
1
1
2011
1
1
++
+++
+++
+=
−+
−+=
++
−+
−=
B
B
B
A
A
A
Từ đó suy ra A > B
HSG TOÁN 6
95
Bài 164.
Không tính giá trị biểu thức. Hãy so sánh:
a,
1717
8585
và
1313
5151
b, 9
8
. 5
16
và 19
20
Lời giải
a,
1717 17 1 13 13 1313 1717 1313
8585 85 5 65 51 5151 8585 5151
b, 9
8
. 5
16
= 3
16
.5
16
= 15
16
<19
16
< 19
20
=> 9
8
. 5
16
< 19
20
Bài 165.
Chứng minh rằng:
a)
3
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−
;
b)
16
3
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
10099432
−++−+−
Lời giải
a) Đặt A=
65432
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−=−+−+−
2A=
5432
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 −+−+−
2A+A =3A = 1-
1
2
12
2
1
6
6
6
−
=
3A < 1 A <
3
1
b) Đặt A=
10099432
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
−++−+−
3A= 1-
9998332
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
3
3
2
−++−+−
4A = 1-
100999832
3
100
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−−++−+
4A< 1-
999832
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−++−+
(1)
Đặt B= 1-
999832
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−++−+
3B= 2+
98972
3
1
3
1
...
3
1
3
1
−++−
4B = B+3B= 3-
99
3
1
< 3 B <
4
3
(2)
Từ (1)và (2) 4A < B <
4
3
A <
16
3
TOÁN 6
96
Bài 166.
Các phân số sau có bằng nhau hay không? Vì sao?
99
23
;
99999999
23232323
;
9999
2323
;
999999
232323
Lời giải
Ta thấy;
9999
2323
101.99
101.23
99
23
==
999999
232323
10101.99
10101.23
99
23
==
99999999
23232323
1010101.99
1010101.23
99
23
==
Vậy;
99999999
23232323
999999
232323
9999
2323
99
23
===
Bài 167.
Cho phân số
002000200020
991999199919
=A
và phân số
2000
1999
=B
. So sánh A và B.
Lời giải
Ta có
2000200000002000000000
1999199900001999000000
002000200020
991999199919
++
++
==A
B===
++
++
=
2000
1999
100010001.2000
100010001.1999
)110000100000000(2000
)110000100000000(1999
Vậy A = B.
Bài 168.
a. chứng tỏ rằng
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản.
b. Chứng minh rằng :
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+...+
2
100
1
<1
Lời giải
a. Gọi d là ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có
5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản b. Ta có
2
2
1
<
1.2
1
=
1
1
-
2
1
HSG TOÁN 6
97
2
3
1
<
3.2
1
=
2
1
-
3
1
...
2
100
1
<
100.99
1
=
99
1
-
100
1
Vậy
2
2
1
+
2
3
1
+...+
2
100
1
<
1
1
-
2
1
+
2
1
-
3
1
+ ...+
99
1
-
100
1
2
2
1
+
2
3
1
+...+
2
100
1
<1-
100
1
=
100
99
<1
Bài 169.
Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng
7
6
số thứ nhất bằng
11
9
số thứ 2 và bằng
3
2
số thứ 3.
Lời giải
Số thứ nhất bằng:
11
9
:
7
6
=
22
21
(số thứ hai)
Số thứ ba bằng:
11
9
:
3
2
=
22
27
(số thứ hai)
Tổng của 3 số bằng
22
272122 ++
(số thứ hai) =
22
70
(số thứ hai)
Số thứ hai là : 210 :
22
70
= 66 ; số thứ nhất là:
22
21
. 66 = 63 ; số thứ 3 là:
22
27
.66 = 81
Bài 170.
So sánh: 222
333
và 333
222
Lời giải
Ta có 222
333
= (2.111)
3.111
= 8
111
.(111
111
)
2
.111
111
333
222
= (3.111)
2.111
= 9
111
.(111
111
)
2
Suy ra: 222
333
> 333
222
Bài 171.
So sánh
2005 2006
7 15
10 10
N
−−
=+
và
2005 2006
15 7
10 10
M
−−
=+
Lời giải
So sánh:
Xét:
2005 2006 2005 2006 2006
7 15 7 8 7
10 10 10 10 10
N
− − − − −
= + = + +
TOÁN 6
98
Và
2005 2006 2005 2005 2006
15 7 7 8 7
10 10 10 10 10
M
− − − − −
= + = + +
Ta có:
2006 2005
88
10 10
−−
Vậy
NM
Bài 172. (Đề thi HSG 6)
Cho
, , ,a b c d
là các số tự nhiên khác 0 và biểu thức:
a b c d
M
a b c a b d a c d b c d
= + + +
+ + + + + + + +
.
Hỏi
M
có giá trị là số tự nhiên hay không? Vì sao ?
Lời giải
Vì
*
, , ,a b c d
a b c a b c d+ + + + +
aa
a b c a b c d

+ + + + +
Tương tự :
bb
a b d a b c d
+ + + + +
cc
a c d a b c d
+ + + + +
dd
b c d a b c d
+ + + + +
ra M > 1
a b c d
Suy
a b c d
+ + +
=
+ + +
Vì
*
, , ,a b c d
a b c a b+ + +
aa
a b c a b

+ + +
Tương tự :
bb
a b d a b
+ + +
cc
a c d c d
+ + +
;
dd
b c d c d
+ + +
;
ra M < 2
a b c d
Suy
a b c d
++
+=
++
Vậy
12M
nên
M
không là số tự nhiên.
HSG TOÁN 6
99
Bài 173. (Đề thi HSG 6 huyện 2006-2007)
a) So sánh phân số:
15
301
với
25
499
b) So sánh tổng
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2 2 3 2 2
n
n
S = + + + + + +
với 2.
( )
*
n
Lời giải
a) So sánh phân số:
15
301
với
25
499
15 15 1 25 25
301 300 20 500 499
= =
.
Vậy
15
301
<
25
499
.
b) So sánh tổng
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2 2 3 2 2
n
n
S = + + + + + +
với 2.
( )
*
n
Với
2n
ta có:
1
12
2 2 2
n n n
n n n
+
++
=−
. Từ đó ta có:
2 2 3 2006 2007
1 3 4 4 5 2008 2009
...
2 2 2 2 2 2 2
S
= + − + − + + −
2007
2009
22
2
= −
Vậy
2S
Bài 174. (Đề thi HSG 6)
So sánh giá trị của biểu thức:
3 8 9999
...
4 9 10000
A = + + +
với số 99.
Lời giải
Biến đổi:
1 1 1
1 1 ... 1
4 9 10000
A
= − + − + + −
2 2 2
1 1 1
1 1 ... 1
2 3 100
A
= − + − + + −
2 2 2
1 1 1
99 ...
2 3 100
A

= − + + +


99AB=−
TOÁN 6
100
Trong đó
2 2 2
1 1 1
...
2 3 100
B ++= +
Vì
0B
nên
99A
Bài 175. (Đề thi HSG 6)
So sánh 2 số:
3
2
3
2
và
2
3
2
3
Lời giải
Ta có
3
2 8 4 4 12 10
3 3 9 8 2 2= = =
Từ đó:
32
2 10 9 9 9 3
3 2 2.2 2 2 2
2 2 2 4 3 3 = = =
Suy ra:
3
2
3
2
>
2
3
2
3
Bài 176. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng:
2 3 99
1 1 1 1 1
...
3 3 3 3 2
A = + + + +
Lời giải
Ta có:
2 3 98
1 1 1 1
3 1 ...
3 3 3 3
A = + + + + +
Nên
99
1
31
3
AA− = −
Hay
99
1
21
3
A =−
99
1 1 1
2 2.3 2
A = −
Vậy
1
2
A
Bài 177. (Đề thi HSG 6 )
a) Cho
*
,,a b n
. Hãy so sánh
an
bn
+
+
và
a
b
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
−
=
−
,
10
11
10 1
10 1
B
+
=
+
. So sánh
A
và
B
.
Lời giải
Ta xét 3 trường hợp
1
a
b
=
,
1
a
b
,
1
a
b
TH1:
1
a
b
=
ab=
thì
1
a n a n
b n a n
++
==
++
HSG TOÁN 6
101
TH2:
1
a
b
ab
.a n b n + +
Mà
an
bn
+
+
có phần thừa so với 1 là
ab
bn
−
+
a
b
có phần thừa so với 1 là
ab
b
−
,
vì
ab
bn
−
+
<
ab
b
−
nên
an
bn
+
+
<
a
b
TH3:
1
a
b
ab
.a n b n + +
Khi đó
an
bn
+
+
có phần bù tới 1 là
ba
bn
−
+
,
a
b
có phần bù tới 1 là
ba
b
−
,
vì
b a b a
b n b
−−
+
nên
an
bn
+
+
>
a
b
b) Cho
11
12
10 1
10 1
A
−
=
−
rõ ràng
1A
nên theo a, nếu
1
a
b
thì
an
bn
+
+
>
a
b
Do đó
( )
( )
( )
( )
11 10
11 10
12 11
12 11
10 1 11 10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10 1 11 10 10 1
A
− + +
++
= = =
++
− + +
Vây
AB
.
Bài 178.
Cho
2 3 4 1 12
1 2 3 11
... ...
5 5 5 5 5
n
n
A
+
= + + + + + +
với n N. Chứng minh rằng
16
1
A
Lời giải
Xét
2 3 11
1 2 3 11
5 ... ...
5 5 5 5 5
n
n
A = + + + + + +
Suy ra:
2 3 11 2 3 4 1 12
2 3 11 12
12
1 2 3 11 1 2 3 11
4 5 ... ... ... ...
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 11
4 ... ...
5 5 5 5 5 5
11
4
5
nn
n
nn
A A A
A
AB
+
= − = + + + + + + − + + + + + +
= + + + + + + −
=−
TOÁN 6
102
Với biểu thức:
2 3 11
1 1 1 1 1
... ...
5 5 5 5 5
n
B = + + + + + +
2 3 1 10
1 1 1 1 1
5 1 ... ...
5 5 5 5 5
n
B
−
= + + + + + + +
45B B B = −
2 3 10 2 3 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ... ...
5 5 5 5 5 5 5 5 5
n
= + + + + + − + + + + + +
11 11
11 11 11
1 5 1 5 1
41
5 5 4.5
BB
−−
= − = =
16
1
5
49
1
16
1
5
495
16
1
5.4
4455
5
11
5.4
15
4
1212
12
12
12
1211
11
−•=
−
•=
−−
=−
−
= AA
Bài 179. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2013 - 2014)
Cho A = 1 + 4 + 4
2
+ 4
3
+ … + 4
99
; B = 4
100
Chứng minh rằng: A <
3
B
Lời giải
4A = 4 + 4
2
+ 4
3
+ 4
4
+…+ 4
100
A = 1 + 4 + 4
2
+ 4
3
+…+ 4
99
3A = 4A – A = 4
100
– 1
100 100
4 1 4
3 3 3
B
A
−
= = =
Vậy A <
3
B
Bài 180. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014)
Cho
5 5 5 5
...
20 21 22 49
S = + + + +
. Chứng minh rằng 3 < S < 8.
Lời giải
Xét tổng
5 5 5 5
...
20 21 22 49
S = + + + +
có 30 số hạng
Mà
5 5 5 5 5 5 5 5
; ; ;...;
20 50 21 50 22 50 49 50
5
30. 3
50
S= =
(1)
HSG TOÁN 6
103
Lại có :
5 5 5 5 5 5 5 5
; ; ;...;
20 20 21 20 22 20 49 20
5
30 8(2)
20
S
=
= =
Từ (1) và (2)
38S
.
Bài 181. (Đề số 82 Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013-2014)
Cho biết S = . Chứng minh rằng
1 91
4 330
S
Lời giải
* Chứng minh S <
S =
S <
S <
S<
S < < hay S < (1)
* Chứng minh < S
S >
S >
S >
1 1 1
...
101 102 130
+ + +
91
330
1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
101 102 110 111 120 121 130
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
100 100 100 110 110 120 120
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1
10 10 10
100 110 120 10 11 12
+ + = + +
66 60 55
660
++
181
660
182
660
91
330
1
4
1 1 1 1 1 1
... ... ...
110 110 120 120 130 130
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1
10 10 10
110 120 130 11 12 13
+ + = + +
156 143 132
1716
++
TOÁN 6
104
S > > Hay S >
Từ (1) và (2) ta có
1 91
4 330
S
Bài 182. (Đề số 84)
Chứng minh rằng : 1 +
Lời giải
1 + + ( ) + ( ) + ( ) + …+( )
> 1 + = 1+ . 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM)
Bài 183. (Đề số 85 Trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai 2013-2014)
Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có ; ; ; … ;
= < 1
Bài 184. (Đề số 86 Trường THCS Phương Trung)
Chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có:
431
1716
429
1716
1
4
1999
1 1 1
... 1000
2 3 2
+ + +
1999
1 1 1
1 ...
2 3 2
+ + + + =
1
2
2
11
32
+
3
11
...
52
++
4
11
...
92
++
1998 1999
11
...
2 1 2
++
+
2 3 1998
2 3 4 1999
1 1 1 1 1
.2 .2 .2 ... .2
2 2 2 2 2
+ + + + +
1
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
... 1
2 3 4 5 2011 2012
+ + + + + +
2
11
2 1.2
2
11
3 2.3
2
11
4 3.4
2
11
2012 2011.2012
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 4 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012
+ + + + + + + + +
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 4 2011 2012 1 2 2 3 3 4 2011 2012
+ + + + + − + − + − + + −
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
...
2 3 4 2011 2012 1 2012
+ + + + + −
2011
2012
1
100
1
4
1
3
1
2
1
2222
++++
;
2
1
1
1
2.1
1
2
1
2
−=
;
3
1
2
1
3.2
1
3
1
2
−=
HSG TOÁN 6
105
Vậy
;100
1
99
1
100.99
1
100
1
;...;
4
1
3
1
4.3
1
4
1
22
−=−=
++++
2222
010
1
4
1
3
1
2
1
=++++
100.99
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4 99 100
= − + − + − + + −
1 99
1 1.
2 100
= − =
1
100
1
4
1
3
1
2
1
2222
++++
| 1/105

Tài liệu khác của Toán 6

Preview text:

HSG TOÁN 6
CHUYÊN ĐỀ .SO SÁNH
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA. I. Phương pháp 1:
Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. m n a a a 1 m n
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. n n a b n 0 a b
II. Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân a b và b c thì a c . a c . b c c 0 a b II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Dạng 1. III. BÀI TẬP
Bài 1: So sánh các số sau đây: a) 19 16 và 25 8 c) 11 27 và 8 81 e) 13 7.2 và 16 2 b) 23 5 và 22 6.5 d) 5 625 và 7 125 f) 20 199 và 15 2003 Phân tích:
Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải a) 19 16 và 25 8 1 TOÁN 6 Ta có: 19 4 19 76 16 (2 ) 2 và 25 3 25 75 8 (2 ) 2 nên 19 25 16 8 (vì 76 75 2 2 ) b) 23 5 và 22 6.5 Ta có: 23 22 22 5 5.5 6.5 nên 22 23 6.5 5 c) 11 27 và 8 81 Ta có: 11 3 11 33 27 (3 ) 3 và 4 8 32 81 (3 ) 3 nên 11 8 27 81 (vì 33 32 3 3 ) d) 5 625 và 7 125 Ta có: 5 4 5 20 625 (5 ) 5 và 3 7 21 125 (5 ) 5 nên 5 7 625 125 (vì 20 21 5 5 ) e) 13 7.2 và 16 2 Ta có: 16 3 13 13 13 2 2 .2 8.2 7.2 nên 13 16 7.2 2 f) 20 199 và 15 2003 Ta có: 20 20 20 3 2 20 60 40 199 200 (8.25) (2 .5 ) 2 .5 và 15 15 15 4 3 15 4 3 15 60 45 2003 2000 (16.125) (2 .5 ) (2 .5 ) 2 .5 nên 20 15 199 2003 ( vì 60 40 60 45 2 .5 2 .5 )
Bài 2: So sánh các số sau đây: 1 1 a) 100 5 và 500 3 c) và e) 30 30 30 2 3 4 và 10 3.24 21 2 35 5 b) 39 3 và 21 11 d) 2 3 n và 3 2 n * n f) 1979 11 và 1320 37 Phân tích:
Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải a) 100 5 và 500 3 2 HSG TOÁN 6 Ta có: 300 3 100 100 5 (5 ) 125 và 500 5 100 100 3 (3 ) 243 nên 300 500 5 3 (vì 125 243 100 100 125 243 ) b) 39 3 và 21 11 Ta có: 3 39 40 4 10 10 3 (3 ) 81 và 21 20 2 10 10 11 11 (11 ) 121 nên 39 21 3 11 (vì 20 10 81 121 ) 1 1 c) và 21 2 35 5 Ta có: 21 3 7 7 2 (2 ) 8 và 35 5 7 7 5 (5 ) 3125 nên: 21 35 2 5 ( do 7 7 8 3125 ) 1 1 Suy ra: 21 35 2 5 d) 2 3 n và 3 2 n * n n n Ta có: 2n 2 3 3 9n và 3n 3 2 2 8n nên: 2n 3 3 2 n (vì 9n 8n ) e) 30 30 30 2 3 4 và 10 3.24 Ta có: 30 30 30 3 10 2 15 10 15 10 15 10 10 10 10 4 2 .2 (2 ) .(2 ) 8 .4 8 .3 8 .3 .3 (8.3) .3 24 .3 nên: 30 30 30 10 2 3 4 3.24 f) 1979 11 và 1320 37 Ta có: 660 660 1979 1980 3 660 11 11 11 1331 và 1320 2 660 37 37 1369 nên 1979 1320 11 37 (vì 660 660 1331 1369 ) 3 TOÁN 6
Bài 3: So sánh các số sau: a) 45 44 A 72 72 và 44 43 B 72 72 c) 10 10 và 5 48.50 e) 91 2 và 35 5 b) 20 99 và 10 9999 d) 50 107 và 75 73 f) 10 9 1990 1990 và 10 1991 Lời giải a) 45 44 A 72 72 và 44 43 B 72 72 Ta có: 44 44 A 72 72 1 72 .71 43 43 B 72 72 1 72 .71 nên A B b) 20 99 và 10 9999 10 10 Ta có: 2 99 99.101 9999 2 99 9999 nên: 20 10 99 9999 c) 10 10 và 5 48.50 Ta có: 10 10 10 9 10 10 2 .5 2.2 .5 và 5 4 5 10 9 10 48.50 3.2 . 2 .5 3.2 .5 suy ra: 10 5 10 48.50 (vì 9 10 9 10 2.2 .5 3.2 .5 ) nên: 10 5 10 48.50 d) 50 107 và 75 73 50 Ta có: 50 50 100 150 107 108 4.27 2 .3 75 75 và 75 225 150 73 72 8.9 2 .3 4 HSG TOÁN 6 nên: 50 75 107 73 ( vì 100 150 225 150 2 .3 2 .3 ) e) 91 2 và 35 5 18 Ta thấy: 91 90 5 18 2 2 2 32 18 và 35 36 2 18 5 5 5 25 nên: 91 35 2 5 (do 91 18 18 35 2 32 25 5 ) f) 10 9 1990 1990 và 10 1991 Ta có: 10 9 9 9 1990 1990 1990 1990 1 1991.1990 và: 10 9 1991 1991.1991 nên 09 10 10 1990 1990 1991 (do 9 9 1990 1991 )
Bài 4: So sánh các số sau a) 2009 2008 1102 1102 và 2008 2007 1102 1102 b) 2007 2008 A 2007 2007 và 2009 B 2008 Lời giải a) 2009 2008 1102 1102 và 2008 2007 1102 1102 Ta có: 2009 2008 2008 2008 1102 1102 1102 1102 1 1102 .1101 và 2008 2007 2007 2007 1102 1102 1102 1102 1 1102 .1101 suy ra: 2008 2007 1102 .1101 1102 .1101 5 TOÁN 6 nên: 2009 2008 2008 2007 1102 1102 1102 1102 b) 2007 2008 A 2007 2007 và 2009 B 2008 Ta có: 2007 2008 2007 2007 A 2007 2007 2007 1 2007 2008.2007 và 2009 2008 B 2008 2008.2008 suy ra: 2007 2008 2008.2007 2008.2008 2007 2008 2007 2008 nên A B
Bài 5: Chứng tỏ rằng : 27 63 28 5 2 5 Lời giải 9 9 Ta có: 63 7 9 2 2 128 và 27 3 9 5 5 125 nên 63 27 2 5 (vì 9 9 125 125 ) 7 7 mà 63 9 7 2 2 512 và 28 4 7 5 5 625 nên 63 28 2 5 (vì 7 7 512 625 ) Nên: 27 63 28 5 2 5 Bài 6: Chứng minh rằng: a) 1993 714 2 7 b) 1995 863 2 5 Lời giải a) 1993 714 2 7 Ta có: 14 5 2 16384 7 16807 1993 9965 714 9996 1993 714 và: = nên 1993 14 14 5 5 114 2 2 7 7 14 90 5 90 Vậy: 1993 714 2 7 6 HSG TOÁN 6 b) 1995 863 2 5 Ta có: 15 7 2 32468 5 78125 1993 13951 863 12945 1995 863 và: = nên 1995 15 15 7 7 863 2 2 5 5 15 105 7 5 10 Vậy: 1995 863 2 5
Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 100 2 75 ;3 và 50 5 Lời giải Ta có: 100 4 25 25 2 (2 ) 16 25 75 3 75 100 50 75 3 3 27 2 5 3 50 2 25 25 5 (5 ) 25
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) 15 13 1 16 13 1
Bài 1: So sánh biểu thức A và B 16 13 1 17 13 1 Lời giải 15 16 16 13.(13 1) 13 13 13 1 12 12 Ta có: 13A 1 16 16 16 16 13 1 13 1 13 1 13 1 16 16 17 17 13 1 13.(13 1) 13 13 13 1 12 12 và 13B 1 17 17 17 17 17 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 12 12 12 12 Vì 1 1 nên 13A 13B 17 16 13 1 13 1 17 16 13 1 13 1 Vậy A B 100 10 1 98 10 1
Bài 2: So sánh biểu thức A và B 99 10 1 97 10 1 Lời giải 7 TOÁN 6 100 100 1 10 1 10 10 9 9 Ta có: A 1 99 100 100 10 10.(10 1) 10 10 10 10 98 98 98 1 10 1 10 1 10 10 9 9 B 1 97 98 98 98 10 10.(10 1) 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 Vì nên 1 1 100 98 10 10 10 10 100 98 10 10 10 10 Vậy A B 20 19 5 21 19 6
Bài 3: So sánh biểu thức A và B 20 10 8 21 10 7 Lời giải Ta có: 20 20 19 5 19 8 13 13 A 1 20 20 20 19 8 19 8 19 8 21 21 19 6 19 7 13 13 B 1 21 21 21 19 7 19 7 19 7 13 13 13 13 Vì nên 1 1 20 21 19 8 19 7 20 21 19 8 19 7 Vậy A B 3 33.10 3774
Bài 4: So sánh biểu thức A và B 3 3 2 .5.10 7000 5217 Lời giải 3 3 3 33.10 33.10 10 .33 33 Ta có: A 3 3 3 3 3 2 .5.10 7000 8.5.10 7.10 10 .(40 7) 47 3774 33 và: B 5217 47 Vậy A B 8 HSG TOÁN 6 1 1 1 1
Bài 5: So sánh biểu thức A .... và B 1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: 2 2 2.1 1 2 1 1 1 1 2 3 2.3 2 3 1 1 1 1 2 4 3.4 3 4 ……………….. 1 1 1 1 2 100 99.100 99 100 Lấy vế cộng vế ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 A .... ... 1 1 2 2 2 2 2 3 4 100 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 Vậy: A B
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết Bài 1. Tìm x biết 25 5x 125 . Lời giải Ta có: x 2 x 5 25 5 3125 5 5 5 2 x 5 . Do x nên x 3;4 . Bài 2. Tìm x biết 27 9x 81 . Lời giải Ta có: x 3 2x 5 27 9 243 3 3 3 3 2x 5 . 9 TOÁN 6 Do x 2x nên 2x 4 x 2 . Vậy x 2 . Bài 3. Tìm x biết x 4 16 128 . Lời giải x 4 Ta có: x 4 4 16 2 2 x; 4 7 28 128 2 2 . Do x 4 16 128 nên 4x 28 2 2 4x 28 x 7 . mà x x 0;1;2;3;4;5;6 . Bài 4. Tìm x biết 64 48 72 3 x 5 . Lời giải Ta giải 64 48 3 x và 48 72 x 5 . 16 16 Ta có 48 64 3 4 3 x 3 x 3 x 81 x 4 (1) 24 24 48 72 2 3 2 x 5 x 5 x 125 11 x 11 (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 x 11. Vì x x 5,6,7, 8,9,10 . Bài 5. Tìm x biết x x 1 x 2 18 5 5 5 100 0 : 2 18so 0 Lời giải Ta có: x x 1 x 2 18 5 5 5 100 0 : 2 18so 0 3x+3 18 18 5 10 : 2 10 HSG TOÁN 6 3x 3 18 5 5 3x 3 18 . x 5 Vậy x 0;1;2;3;4;5
DẠNG 4: Một số bài toán khác.
Bài 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một
lần và chỉ một lần ? Lời giải
1. TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321
2. TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị này quá nhỏ so với 321)
* Xét các luỹ thừa có số mũ một chữ số đươc 4 số : 2 2 3 3 3 2 13 31 , 12 , 21 , = 21  31
* Xét các luỹ thừa mà số mũ có hai chữ số được 4 số : 13 31 12 21 2 2 , 3 , 3 , 21  => 21 20 2 10 10 31 30 3 10 10 31 3 3 = 3 . 3 = 3 .( 3 ) = 9 . 3 & 2 = 2 . 2 = ( 2 2 ) = 8 . 2 = 2 So sánh 21 3 và 3 21 9 3 3 3 3
21 = 3  3 = (3 ) = 27  21 Vậy số lớn nhất là 21 3 . Bài 2: a. Số 8 5 có bao nhiêu chữ số ? b. Hai số 2003 2 và 2003 5
viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Lời giải
Bài 1. Phương pháp: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó. a. 11 TOÁN 6 8 4 2 2 2
5 = (5 ) = 625  600 = 360000 8 10 100000000 100000000 8 5 = =  = 400000 8 2 256 250 8
= 360000  5  400000. Do đó 8 5 có 6 chữ số. b. Giả sử 2003 2 có a chữ số và 2003 5
có b chữ số thì khi viết 2 chữ số liền nhau ta được 1 số có (a + b) chữ số. − − Vì 10 a 1 2003 a b 1 2003 b  2  10 &10  5  10 Nên 10 a−1 b−1 2003 2003 a b a+b−2 2003 a+b 10 .  2 5 .  10 10 . =10  10  10
Do đó: 2003 = a + b −1
Vậy a + b = 2004 suy ra số đó có 2004 chữ số.
Bài 3: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: a. 3 5 n = 8 .15 b. 16 25 m = 4 .5 Lời giải
Phương pháp: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận
tìm số chữ số của số đó. 3 5 5 Bài 2. a. Ta có 3 5 n = = ( 3 ) ( ) 9 5 5 4 5 = = ( ) 5 5 8 .15 2 . 3.5 2 .3 .5 2 .3 . 2.5 = 16.243.10 = 3888.10 Số 5
3888.10 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy n có 9 chữ số. 16 25 Bài 3. b. Ta có: 16 25 m = = ( 2 ) 25 32 25 7 = = ( ) 25 4 .5 2 .5 2 .5 2 . 2.5 =128.10 Bài 4. Số 25
128.10 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy m có 28 chữ số.
Bài 4: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m 2n − = 256 . 12 HSG TOÁN 6 Lời giải Ta có: m n 8 n m− − = = = n − = 8 2 2 256 2 2 (2 1) 2 ( )1
Dễ thấy m n , ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m− n = 1 thì từ ( ) 1 ta có: n 8 n 8
2 .(2 −1) = 2  2 = 2  n = 8 và m = 9 .
Trường hợp 2: Nếu m−n  2
 2m−n − 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của ( )
1 chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra
thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.
Vậy n = 8 và m = 9 là đáp số duy nhất.
CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH PHÂN SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT -
Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn -
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu
dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn
Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau: -
Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0. -
Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0. -
Hai phân số có cùng mẫu âm, phân số nào có tử lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại II. CÁC DẠNG TOÁN
PHƯƠNG PHÁP 1: Quy đồng mẫu dương
Ví dụ 1: So sánh các phân số sau 13 TOÁN 6 42 180 −136 −306 a. − và và 63 − b. 216 476 816 Lời giải 42 2 4 180 5 a. = = = 6 − 3 3 − 6 − và 2 − 16 6 − 42 180 Mà 6 −  0 và 4  5 nên  6 − 3 2 − 16 136 − 2 − 16 306 − 3 − 21 b. = = = = 476 7 56 − và 816 8 56 − 1 − 36 3 − 06 Mà 5
− 6  0 và 16  21 nên  476 816
Ví dụ 2: So sánh các phân số sau −69 2019 287 2476 a. và b. và 665 2020 9111 − 3007 Lời giải 6 − 9 2019 287 2476 a.  0   0  665 2020 b. 9111 3 − 007 7 7 40 4 3 7
Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần ; ; 6 − ; 8 − ; 32 − ; 15 10 − 24 Lời giải 7 140 − = 7 105 = 40 150 = 6 − 1 − 20 8 − 1 − 20 32 1 − 20 4 32 − = 3 36 = 7 35 = 1 − 5 1 − 20 10 1 − 20 2 − 4 1 − 20 Mà 1 − 20  0 và 1 − 50  3
− 6  32  35 105 140 40 Nên  3  4  7  7  7 32 10 −15 −24 8 − 6 − 5 19 1 1 7 −1
Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần ; ; ; 12 − ; 27 2 − ; 3 18 33 Lời giải 5 495 − = 19 836 = 1 594 = 12 118 − 8 2 − 7 1 − 188 2 − 1 − 188 14 HSG TOÁN 6 1 3 − 96 − − = 7 462 = 1 36 = 3 1 − 188 18 118 − 8 33 118 − 8 Mà 1 − 188  0 và 4 − 95  4 − 62  3 − 96  36  594  836 19 − Nên  1  1  1  7  5 − 27 2 − 33 3 18 12 2 a b 1
Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên a, b sao cho    2 − 1 9 − 7 − 3 − Lời giải 2 a b 1    6 7a 9b 21   
6  7a  9b  21 2 − 1 9 − 7 − 3 − hay 6 − 3 6 − 3 6 − 3 6 − 3 suy ra
Vậy: a = 1, b = 1 hoặc a = 1, b = 2 hoặc a = 2, b = 2
PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương
Ví dụ 1: So sánh các phân số: 17 51 4 − − ; 3; a) 21 − và 31 − b) 9 và 13 Lời giải 17 51 51 51 17 51 ) a = ;    21 − 6 − 3 6 − 3 3 − 1 2 − 1 3 − 1 4 − 12 3 − 12 12 12 4 − 3 − ) b = ; = ;    9 2 − 7 13 5 − 2 2 − 7 5 − 2 9 13
Ví dụ 2: So sánh các phân số: 7 5 − a) và b) 4 và 3 421 531 93 134 − Lời giải 15 TOÁN 6 7 35 5 35 35 35 7 5 ) a = ; = ;    421 2105 531 3717 2105 3717 421 531 4 − 12 3 12 12 12 4 − 3 ) b = ; = ;    93 2 − 79 1 − 34 5 − 36 2 − 73 5 − 36 93 1 − 34
PHƯƠNG PHÁP 3: Tích chéo với các mẫu dương A. Lý thuyết: a c
+ Nếu a.d > b.c thì b d a c
+ Nếu a.d < b.c thì b d a c + Nếu a.d = b.c thì = b d B. Ví dụ 5 7
Ví dụ 1: So sánh và 6 8 Lời giải 5 7  vì 5.8 < 7.6 6 8 4 − 4 − Ví dụ 2: So sánh và 5 8 Lời giải −4 −4  vì 4 − .8  4 − .5 5 8 3 4 Ví dụ 3: So sánh 4 − và 5 − 16 HSG TOÁN 6 Lời giải 3 −3 4 −4 3 4 Ta viết = =  − và 4 4 −
; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 5 5 −4 − 5 3 −4
Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương chẳng hạn  − do 3.5 < -4.(-4) 4 5 là sai 12 13 Ví dụ 4: So sánh và 13 14 Lời giải 12 13 Ta có:  vì12.14  13.13 13 14 7 −10 Ví dụ 5: So sánh 4 − và 3 Lời giải 7 −7 −10 Ta viết = − và 4 4 3 7 −10 Vì ( 7 − ).3  ( 1 − 0).4 nên  −4 3
PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG SỐ HOẶC PHÂN SỐ LÀM TRUNG GIAN
4.1. DÙNG SỐ 1 LÀM TRUNG GIAN ( Chuyên đề so sánh số, phân số).
Bài 1. So sánh các cặp phân số 7 19 a) và . 9 17 8 2019 b) và . 7 2020 Lời giải 7 19 7 19 a) Ta có:  1 và 1 nên  . 9 17 9 7 8 2019 8 2019 b) Ta có:  1 và  1 nên  . 7 2020 7 2020 17 TOÁN 6 Bình luận:
Một trong các phương pháp so sánh hai phân số là ta so sánh các phân số đó với số 1, nếu một phân
số nhỏ hơn 1 và một phân số lớn hơn 1 thì chúng ta có đánh giá được ngay về hai phân số đó.
Bài toán tổng quát a b + n Cho a, b, ,
m n là các số tự nhiên khác 0 . So sánh hai phân số và . Khi đó ta rất dễ a + m b + dàng đánh giá a b n 1 . a + m b
Bài 2. So sánh các cặp phân số 19 2005 a) và . 18 2004 1011 2023 b) và . 1010 2021 30 19 + 5 31 19 + 5 c) A = và B = . 31 19 + 5 32 19 + 5 Lời giải 19 1 2005 1 1 1 19 2005 a) Ta có: =1+ và = 1+ . Vì  nên  . 18 18 2004 2004 18 2004 18 2004 1011 1 2023 2 1 2 2 1011 2023 b) Ta có = 1+ và = 1+ . Vì =  nên  . 1010 1010 2021 2021 1010 2020 2021 1010 2021 31 30 (19 +5) 19 + 5 31 19 + 95 + 90 90 c) Theo giả thiết A = suy ra 19A = = =1+ 31 19 + 5 31 19 + 5 31 19 + 5 31 19 + . 5 32 32 + (19 +5)+90 Ta lại có 19 95 90 19B = = = 1+ 32 19 + 5 32 19 + 5 32 19 + . 5 90 90 Vì 31 32 19 + 5  19 + 5 nên  A
B A B . 31 32 19 + 5 19 + . Suy ra 19 19 5 Bình luận: a c a c
Một số bài toán so sánh hai phân số và mà ta chỉ ra được
=1+ M ; =1+ N trong đó b d b d
M N thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong
thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là
ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân số ban đầu. 18 HSG TOÁN 6
Bài toán tương tự 7 10 + 5 8 10 + 6
Bài tập 1: Cho hai phân số A = và B = 7 10 − 8 8 10 − 7
So sánh A và B . 8 10 + 2 8 10
Bài tập 2: Cho hai phân số A = và B = . 8 10 −1 8 10 − 3
So sánh A và B . 20 19 + 5 21 19 + 6
Bài tập 3: Cho hai phân số A = và B = . 20 19 − 8 21 19 − 7
So sánh A và B . 10 10 +1 10 10 −1
Bài tập 4: Cho hai phân số A = và B = . 10 10 −1 10 10 − 3
So sánh A và B .
Bài 3. So sánh các cặp phân số 72 98 a) và . 73 99 2017 1009 b) và . 2019 1010 2008 2 −3 2007 2 −3 c) A = và B = . 2007 2 −1 2006 2 −1 Lời giải 72 1 98 1 1 1 72 98 a) Ta có =1− và =1− . Vì  nên  73 73 99 99 73 99 73 99 2017 2 1009 1 1 2 2 2017 1009 b) Ta có = 1− và =1− . Vì =  nên  . 2019 2019 1010 1010 1010 2020 2019 2019 1010 2008 2 −3 2008 1 2 −3 1 c) Theo giả thiết A = suy ra A = =1− . 2007 2 −1 2008 2008 2 2 − 2 2 − 2 2007 − 2007 − Ta lại có 2 3 1 2 3 1 B = nên B = = 1− 2006 2 −1 2007 2 2 − 2 2007 2 − . 2 1 1 1 1 Vì 2008 2007 2 − 2  2 − 2 nên  suy ra A
B A B 22008 − 2 22007 − 2 2 2 Bình luận: 19 TOÁN 6 a c a c
Một số bài toán so sánh hai phân số và mà ta chỉ ra được
=1− M ; =1− N trong đó b d b d
M N thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong
thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là
ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân số ban đầu.
Bài toán tương tự. 18 2 − 3 20 2 − 3
Bài tập: Cho hai phân số A = và B =
. So sánh A và B . 20 2 − 3 22 2 − 3 2008 2008 +1 2007 2008 +1
Bài 4. Cho hai phân số: A = và B =
. So sánh A và B . 2009 2008 +1 2008 2008 +1 Lời giải
Cách 1: Với bài toán này chúng ta có thể làm theo phương pháp so sánh với số 1, cách làm tương tự bài số 2 như sau : 2009 2008 + 2008 2009 2008 +1+ 2007 2007 Ta có 2008A = = = 1+ 2009 2008 +1 2009 2008 +1 2009 2008 + . 1 2008 2008 + 2018 2008 2008 +1+ 2017 2017 Ta lại có 2018B = = = 1+ 2008 2008 +1 2008 2008 +1 2008 2008 + . 1 2017 2017 Vì 2009 2008 2 +1  2 +1 nên  A
B A B . 2009 2008 2 +1 2 + suy ra 2018 2018 1
Ngoài ra bài toán này có thể giải bằng các cách sau:
Cách 2: Với mọi số tự nhiên a, b, c ≠ 0, ta chứng minh được: a a a + c +) Nếu > 1 thì  . b b b + c a a a + c +) Nếu < 1 thì  . b b b + c
Áp dụng tính chất trên vào bài, ta có: 2008 2009 2008 +1 2008 +1 Vì A =  =1 nên 2009 2009 2008 +1 2008 +1 20 HSG TOÁN 6 2008 2008 2018( 2007 2008 + ) 2008 +1 2008 +1+ 2017 1 2007 2008 +1 A =  = = = B . 2009 2009 2008 +1 2008 +1+ 2017 2018( 2008 2008 + ) 1 2008 2008 +1 Vậy A B Cách 3: 2009 1 2008 +1 2009 2008 + 2008− 2007 Ta có: = = 2008 A 2008 +1 2008 2008 +1 2008 2008.(2008 +1) − = 2007 2007 = 2018 − 2008 2008 +1 2008 2008 +1 2008 1 2008 +1 2008 2008 + 2008− 2007 Ta lại có: = = 2007 B 2008 +1 2007 2008 +1 2007 2008.(2008 +1) − 2007 = 2007 = 2008 − 2007 2008 +1 2007 2008 +1 2007 2007 Vì 2008 2007 2008 +1  2008 +1 nên  2008 2008 + 2008 1 2008 +1 2007 2007 Suy ra 2008 −  2008 − . Do đó 1 1 
A B ( vì , A B  0 ). 2008 2008 + 2008 1 2008 +1 A B Cách 4: Quy đồng 2008 2007 ( 2008 2008 + ) 1 ( 2008 2008 + ) 1 − ( 2009 2008 + ) 1 ( 2007 2008 + ) 2008 +1 2008 +1 1
Ta có: A − B = − = 2009 2008 2008 +1 2008 +1 ( 2009 2008 + ) 1 ( 2008 2008 + ) 1 4016 2008 2008 + 2.2008 +1− ( 4016 2009 2007 2008 + 2008 + 2008 + ) 1 2007 2008 ( 2 2.2008 − 2008 − ) 1 = ( =  0 2009 2008 + ) 1 ( 2008 2008 + ) 1 ( 2009 2008 + ) 1 ( 2008 2008 + ) 1
Bài toán tổng quát n a + b n 1 a + + b Cho hai phân số: A = và B =
. So sánh A và B . n 1 a + + b n+2 a + b
Bài toán tương tự. 19 10 +1 20 10 +1
Bài tập 1: Cho hai phân số A = và B = . 20 10 +1 21 10 +1 21 TOÁN 6
So sánh A và B . 15 10 +1 16 10 +1
Bài tập 2: Cho hai phân số A = và B = . 16 10 +1 17 10 +1
So sánh A và B . 2008 2009 +1 2009 2009 +1
Bài tập 3: Cho hai phân số A = và B = . 2009 2009 +1 2010 2009 +1
So sánh A và B . 19 10 +1 20 10 +1
Bài tập 4: Cho hai phân số A = và B = . 20 10 +1 21 10 +1
So sánh A và B .
4.2 Dùng một phân số làm trung gian Dạng 2. c
+ So sánh hai phân số a và ; (a, ,
b c, d  0) b d c a
Nếu a c còn b d (hoặc a c còn b d ) thì ta có thể chọn phân số trung gian là (hoặc ) b d 40 41
Bài 1: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.: và 57 55
Phân tích: Ta có tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai ( 40  41 ); Mẫu số
của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai (57 > 55). Lời giải. 41
Chọn phân số trung gian là 57 40 41 41 41 Ta có:  mà  57 57 57 55 40 41 Vậy  . 57 55
Đôi khi bài toán không cho ta nhìn thấy ngay phân số trung gian mà phải biến đổi chúng về
các phân số tương đương có tính chất như trên. Các bạn có thể tham khảo một trong những
cách biến đổi nó như sau:
+ Nếu hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số
phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 22 HSG TOÁN 6
2 hoặc 3 lần,…hay bằng 1 2
; ;... thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số 2 3
lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất”. Các bạn
lưu ý đây không phải là các tối ưu có thể áp dụng trong các trường hợp mà chỉ là một cách để
tham khảo. 67 15
Bài 2: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất. và 101 29 Lời giải: 15 15 4 60 Ta có: = = 29 29  4 116 60 67 Ta so sánh và
. Ta thấy 60 < 67; 116 > 101 116 101 60
Chọn phân số trung gian là 101 60 60 60 67 15 67 Ta có  ;  . Vậy  116 101 101 101 29 101 a a + m a
+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và
<1 thì chọn phân số trung gian là b b + (m>0) sao cho m b a + m < b + < m 33 15
Bài 3: So sánh hai phân số sau: và 101 29
Nếu theo cách trên các bạn sẽ có: Hiệu giữa hai mẫu số là: 101 – 29 =72
Hiệu giữa hai tử số là: 33-15 = 18
Tỉ số giữa hiệu của hai mẫu số và hiệu của hai tử số là: 72 : 18 = 4 15
Nhân cả tử số và mẫu số của phân số
với 4 để có hiệu hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu 29 15 15 4 60
số của hai phân số là nhỏ nhất. Ta có: = = 29 29  4 116 Khi đó việ 33 15 60 33 c so sánh hai phân số và thành so sánh và 101 29 116 101 23 TOÁN 6 33 + 60 Vì
 1, nên ta chọn phần tử trung gian là 33 15 48 = < , suy ra 101 101+15 116 116 33 33 +15 60 < < . 101 101+15 116
Nếu các bài toán so sánh sử dụng phương pháp tìm phần tử trung gian chỉ đơn giản như các ví dụ
phía trên thì thật là nhàm chán. Chúng ta có thể mở rộng hay nói vui là nâng cấp bài toán sử dụng
phương pháp dùng phần tử trung gian để nó trở lên hấp dẫn hơn. Chúng ta có thể sử dụng một trong
các cách sau. (Tuy nhiên, tác giả mong muốn trước khi xem lời giải thì người đọc tự giải thử trước). Bài 4:: So sánh 2015 2013 2011 + + 2016 2014 2012 và + + 2020 2018 2016 2019 2017 2015
Phân tích: Chắc chắn sẽ không ai ngốc nghếch đến mức quy đồng rồi so sánh. ^_^. Nhiều bạn sẽ sử
dụng phần bù vì nhìn thấy quy luật của hiệu giữa tử và mẫu nhưng mình thấy cách đó dài hơn.
Vậy nên chúng ta sử dụng kết hợp tính chất a b ;a b ;....;a b thì 1 1 2 2 n n
a + a + a +...+ a b + b + b +...+ b và phân số trung gian. 1 2 3 n 1 2 3 n Lời giải: 2015 2016 2013 2014 2011 2012 Ta so sánh và ; và ; và 2020 2019 2018 2017 2016 2015
Ta thấy đã xuất hiện dạng bài dùng phân số trung gian 2015 2016 2015 2015 2015 2016 và chọn
làm phân số trung gian. Dễ thấy   (1) 2020 2019 2019 2020 2019 2019 2013 2014 2013 2013 2013 2014 và chọn
làm phân số trung gian. Dễ thấy   (2) 2018 2017 2017 2018 2017 2017 2011 2012 2011 2011 2011 2012 và chọn
làm phân số trung gian. Dễ thấy   (3) 2016 2015 2015 2016 2015 2015 2015 2013 2011 2016 2014 2012 Từ (1), (2), (3) ta có + + < + + . 2020 2018 2016 2019 2017 2015
Để tăng độ khó hơn một ít, chúng ta có thể mở rộng bài này thêm một chút 24 HSG TOÁN 6
Bài 5:: Chứng mình rằng 2011 2007 2003 + + 503 502 501 < + + 2020 2018 2016 504 503 502
Phân tích: Ta đưa bài toán về bài toán so sánh 2011 2007 2003 + + 503 502 501 và + + (I) 2020 2018 2016 504 503 502 Ta chia thành các cặp 2011 503 2007 502 2003 501 và ; và ; và 2020 504 2018 503 2016 502
Hiệu giữa các mẫu số của phân sô bên vế trái lớn hơn nhiều so với mẫu số của các phân số bên vế
phải. Vậy để đưa về dạng có thể tìm được phần tử trung gian thì ta phải nhân vào cả tử và mẫu của
vế phải một số để cho hiệu giữa các mẫu của phân số bên vế trái và mẫu của các phân số bên vế phải là nhỏ nhất. Lời giải: 503 502 501 4 503 502 501 4 503 4 502 4 501 2012 2008 2004 Ta xét + + = ( + + ) = + + + + 504 503 502 4 504 503 502 4 504 4 503 4 = 502 2016 2012 2008 2012 2008 2004 (I)
Trở thành so sánh 2011 2007 2003 + + và + + 2020 2018 2016 2016 2012 2008 2011 2012 2007 2008 2003 2004 So sánh và ; và ; và 2020 2016 2018 2012 2016 2008 Khi đó: 2011 2007 2003 + + 2011 2007 2003 2012 2008 2004 503 502 501 < + + < + + = + + 2020 2018 2016 2016 2012 2008 2016 2012 2008 504 503 502 (ĐFCM)
Chúng ta lại có thể tăng thêm độ khó 1 chút. Ví dụ như bài sau: Bài 6:: So sánh 899 895 + 225 299 và + 999 997 249 332 Hướng dẫn: 25 TOÁN 6 225 Phân số
nhân cả tử và mẫu với 2 249 299 Phân số
nhân cả tử và mẫu với 3. 332 Bài 7:: So sánh 2008 2008 +1 2007 2008 + 2 A = và B = 2009 2008 +1 2008 2008 +1 Lời giải: 2008 2008 2008 2007 2007 2008 +1 2008 +1+ 2007 2008 + 2008 2008 +1 2008 + 2 Ta xét  = =  2009 2009 2009 2008 2008 2008 +1 2008 +1+ 2007 2008 + 2008 2008 +1 2008 +1 Tổng quát: n 1 a − + k n a + m So sánh và
, với k m n a + m n 1 a + + m Ta có n n n n 1 − n 1 a + m a + m + . m a − m a + . m a a + m a − + k  = =  n 1 + n 1 + n 1 a + m a + m + . m a − m a + + . n n m a a + m a + m a a + m a
+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và
>1 thì chọn phân số trung gian là b b + (m>0) sao cho m b a + m > b + > m Bài tập tương tự Bài tập 1: So sánh 899 895 + 225 223 và + 999 997 249 247
Một số cách mở rộng khác: Bài 7:: So sánh 1 1 1 1 + + + 50 ... + và 2.4 4.6 6.8 98.100 198 26 HSG TOÁN 6 Lời giải: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 49 + + +...+ = ( − + − +....+ − ) = ( − ) = = 2.4 4.6 6.8 98.100 2 2 4 4 6 98 100 2 2 100 400 200 49 50 So sánh và 200 198 49 49 50
Chọn phân số trung gian là , khi đó: 49 < < 198 200 198 198 1 1 1 1 50 Vậy + + +...+ < 2.4 4.6 6.8 98.100 198
Bài tập tương tự Bài tập 1: So sánh 1 1 1 1 1 1 1 A= 141 ( + + + ) và B= + +...+ 256 289 324 361 101 102 200 1 1 1 61 Bài tập 2: So sánh + + ...+ và 31 32 90 89 Bài 3: Cho tổng 1 1 1 1 1 A = + + +...+ 3 3 3 3 2 + 3 3 + 4 4 + 5 2018 + . So sánh A với 2019 6
4.3.dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. 12 19 Bài tập 1: So sánh và ? 47 77 Hướng dẫn 1
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là . 4 12 12 1 Ta có :  = 19 19 1 12 19 và  =   47 48 4 77 76 4 47 77
Bài tập 2: Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 27 TOÁN 6 11 16 58 36 12 19 a) và b) và c) và 32 49 89 53 37 54 18 26 13 34 25 74 d) và e) và f) và 53 78 79 204 103 295 58 36 g) và . 63 55 Hướng dẫn
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng tính chất sau với m 0 : a a a + m a a − m *0  1  ; b b b + m b b − m a a a + m * =1 = . b b b + m a a a + m a a − m * 1  ; b b b + m b b − m a c a + c * = = . b d b + d 11 10 −1 10 10 +1
Bài tập 1: So sánh A = và B = ? 12 10 −1 11 10 +1 Hướng dẫn 11 10 −1 11 11 11 10 10 −1 (10 −1) +11 10 +10 10 +1 Ta có : A =
1 (vì tử < mẫu)  A =  = = = B 12 10 −1 12 12 12 11 10 −1 (10 −1) +11 10 +10 10 +1 Vậy A < B . 2004 2005 2004 + 2005
Bài tập 2: So sánh M = + và N = ? 2005 2006 2005 + 2006 Hướng dẫn 2004 2004    2005 2005 + 2006  Ta có :
 => Cộng theo vế ta có kết quả M > N. 2005 2005   2006 2005 + 2006   28 HSG TOÁN 6 37 3737 Bài tập 3: So sánh và ? 39 3939 Hướng dẫn 37 3700 3700 + 37 3737 + = = = a c a c (áp dụng = = . ) 39 3900 3900 + 39 3939 b d b + d
PHƯƠNG PHÁP 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh
Phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì phân số đó lớn hớn
Hai phân số có cùng phân nguyên thì so sánh các phân số kèm theo. 5 12
Bài 1: So sánh các phân số sau vµ 8 15 Lời giải Ta cã 5 12 =0,625; = 0,8 8 15 5 12 V × 0,625 < 0,8 nª n  8 15 3 4
Bài 2: So sánh các phân số sau vµ 4 − 5 − Lời giải Ta cã 3 4 = − 0,75; = 0 − ,8 4 − 5 − 3 4 V × − 0,75 > -0,8 nª n  4 − 5 −
Bài 3: So sánh các phân số sau 2003.2004 −1 2004.2005 −1 A = và B = 2003.2004 2004.2005 Lời giải Ta có : 29 TOÁN 6 1 − 1 − 1 − 1 − A = 1+ , B = 1+ , Mà:  = A B 2003.2004 2004.2005 2003.2004 2004.2005
Bài 4: So sánh các phân số sau 2010 2 +1 2012 2 +1 123 3 +1 122 3 a) A = và B = b, A = và B = 2007 2 +1 2009 2 +1 125 124 3 +1 3 +1 Lời giải 2010 3 2 + 2 − 7 7 2012 3 2 + 2 − 7 7 a, Ta có : 3 A = = 2 − 3 B = = 2 − 2007 2002 2 +1 2 +1 2009 2009 2 +1 2 +1 Vậy B A 1 8 1 8 8 123 3 + + ( 125 3 +1 + 2 2 ) 1 b,Ta có : 3 9 3 9 9 A = = = + 125 125 2 125 3 +1 3 +1 3 3 + 1 8 Tương tự 1 : 9 B = + 2 124 3 3 + 1 Vậy, A B a −1 b +1
Bài 5 : So sánh phân số : vµ
với a, b là số nguyên cùng dấu và a b a b Lời giải a −1 1 b +1 1 Ta có : =1− vµ =1+ a a b b 1 1 a − b +
*Nếu a  0 và b  0 thì  0 vµ  0  1 1  a b a b 1 1 a − b +
*Nếu a  0 và b  0 thì  0 vµ  0  1 1  a b a b 2006 2007 2008 2009
Bài 6 : So sánh A = + + + với B=4 2007 2008 2009 2006 Lời giải Ta có : 2007 −1 2008 −1 2009 −1 2006 + 3 1 1 1 1 1 1 A = + + + = 4 + − + − + −  4 2007 2008 2009 2006 2006 2007 2006 2008 2006 2009 30 HSG TOÁN 6 Suy ra A B
Dạng 3. III.CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP 1 1 1 1 1 1
Bài 1. So sánh tổng S = + + + + với 5 9 10 41 42 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + < + = và + < + = 9 10 8 8 4 41 42 40 40 20 1 1 1 1 1 1 1 1 4 + 5 +1 1 Suy ra S = + + + + < + + = = 5 9 10 41 42 5 4 20 20 2
Bài toán tương tự: Không tính ra kết quả cụ thể hãy so sánh : 1 1 1 1 1 1 a) A = + + + + với 7 13 25 49 97 3 1 1 1 1 1 1 b) B = + + +...+ + với 11 12 13 19 20 2 31 32 33 60
Bài 2. a)So sánh P và Q, biết rằng: P = . . ....
và Q = 1.3.5.7....59 ? 2 2 2 2 1.3.5.7.....39 1 b) So sánh U = và V = 21.22.23.24.....40 20 2 − 1 Lời giải 31 32 33 60 31.32.33....60
(31.32.33.....60).(1.2.3....30) a) P = . . .... = = 30 30 2 2 2 2 2 2 .(1.2.3....30) (1.3.5....59).(2.4.6....60) = =1.3.5....59 = Q 2.4.6....60 Vậy P = Q b) Ta có :
1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.39 U = 3 2 5  3
21.2.11.23.3.2 .25.2.13.27.2 .7.29.2.15.31.2 .33.2.17.35.2 .9.37.2.19.39.2 .5 1 1 = = 3 2 5 2 3 20 2.2 .2.2 .2.2 .2.2 .2.2 2 31 TOÁN 6 1 1 Vì  U V 20 20 2 2 −1       Bài toán tương tự 1 1 1 1 1
: c) So sánh : C = 1− 1− 1− ... 1−       với  2  3  4   20  21  1  1  1   1  11 d) So sánh : D = 1− 1− 1− ... 1−       với  4  9  16   100  9 1 1 1 1 1 1 1
Bài 3. a) So sánh A = − + ... + - + ... + - với 2 4 3 3 4n−2 3 4 n 3 98 3 100 3 10 2 3 4 2014 2015 b) So sánh : B = 1+ + + +...+ + vói 4 2 3 2013 2014 2 2 2 2 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) A = − + ... + - + ... + - 2 4 3 3 4n−2 3 4 n 3 98 3 100 3 1 1 1 1 1  9A =1− +...+ − + − 2 4n−4 4n−2 96 98 3 3 3 3 3 1 1 9A + A = 1−
 110A 1 A  100 3 10 b) Đặ 3 4 2014 2015 3 4 2014 2015 t S = + + ...+ + Ta có : 2S = + +...+ + 2 3 2013 2014 2 2 2 2 2 2012 2013 2 2 2 2 3 4 − 3 5 − 4 2015 − 2014 2015  1 1 1  2015 2S − S = + + +...+ −  S = 1+ + +...+ −   2 3 2013 2014 2 2 2 2 2 2 2013 2014  2 2 2  2 2014  1  1−   1 1 1  2  1 Ta có : 1+ + +... = = 2 − . Do đó : 2 2013 2013 2 2 2 1 2 1− 2 1 2015 2 3 4 2014 2015 S = 2 − −  2 1+ + + +...+ +  4 . Vậy A  4 2013 2014 2 3 2013 2014 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
Bài 4 a) So sánh + + +...+ với 1 2 2 2 2 2 3 4 100 1 1 1 1 2 8 b) Cho A = + + +...+ . Chứng minh :  A  . 2 2 2 2 2 3 4 9 5 9 32 HSG TOÁN 6 3 8 15 2499 c) Cho B = + + +...+
( B có 49 số hạng ). So sánh B với 48 . 4 9 16 2500 Lời giải a) Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  =1− ,  = − ,  = − , ...,  = − 2 2 2 2 2 1.2 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 100 99.100 99 100 Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + + +...+ 1− + − + − + ...+ − = 1− =  1. 2 2 2 2 2 3 4 100 2 2 3 3 4 99 100 100 100 1 1 1 1 Vậy + + +...+  1. 2 2 2 2 2 3 4 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Ta có : A  + + +...+ = − + − + − + ...+ − 2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 4 5 9 10 1 1 4 2  A  − = = (1) 2 10 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác : A  + + + ...+ = 1− + − + − + ...+ − 1.2 2.3 3.4 8.9 2 2 3 3 4 8 9 1 8  2 8 A  1−
= (2) . Từ (1) và (2) suy ra:  A  9 9 5 9  3 8 15 2499   1 1 1 1 
c) Ta có : B − 49 = − 1− +1− +1− +...+1− = − + + +...+      4 9 16 2500   4 9 16 2500   1 1 1 1  B = 49 − + + +...+ = 49 − C   .  4 9 16 2500  1 1 1 1 1 1 1 1 Xét C = + + +...+ = + + + ...+ 2 2 2 2 4 9 16 2500 2 3 4 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C  + + +...+ =1− + − + − + ...+ − = 1−  1 1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 3 3 4 49 50 50
C 1 49 − C  49 −1 = 48  B  48 . 33 TOÁN 6 2010 2011 2012 2010 + 2011+ 2012
Bài 5. So sánh P và Q . Biết P = + + và Q = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013 Lời giải: Ta có: 2010 + 2011+ 2012 2010 2011 2012 Q = = + + 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 Vì : 2010 2010  2011 2011  2012 2012  2011 2011+ 2012 + , 2013 2012 2011+ 2012 + , 2013 2013 2011+ 2012 + 2013
Do đó : P Q
Cách 2: Có thể so sánh với 1 Bài toán tương tự 2006 2007 2008 2009 : So sánh : D = + + + với 4 2007 2008 2009 2006 1 1 1 1 1 Bài 6. Cho A = + + +...+ + . So sánh A với 2 . 3 4 5 31 32 Lời giải: 1 1 1 1 1 A = + + + ... + + 3 4 5 31 32  1 1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1  = + + + ... + + + ... + + + ... + + + ... + + + ... +              3 4   5 8   9 12   13 18   19 27   28 32  1 1 1 1 1 1  2. + 4. + 4. + 6. +9. +5. 4 8 12 18 27 32 1 1 1 1 1 5 5 = + + + + + = 2 + 2 2 3 3 3 32 32 2019 2019 + 2 2018 2019 + 2
Bài 7. So sánh A = và B = . 2020 2019 +1 2019 2019 +1 Lời giải: 2020 2019 + 4038 4037 2019 2019 + 4038 4037 2019A = = 1+ ; 2019B = =1+ . 2020 2020 2019 +1 2019 +1 2019 2019 2019 +1 2019 +1 34 HSG TOÁN 6 4037 4037 Vì 
nên 2019A  2019B . Vậy A B . 2020 2019 2019 +1 2019 +1 1 1 1 1 1 Bài 8. Cho A = + + +...+ . Chứng tỏ A  . 2 3 99 3 3 3 3 2 Lời giải: 1 1 1 1 1 3A = 1 + + + + ... +
 2A = 3A − A = 1−  1 1  A  2 3 98 3 3 3 3 99 3 2 a b c
Bài 9. Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0 và M = + +
. Chứng tỏ M không có giá b + c c + a a + b trị là số tự nhiên. Lời giải: a b c a b c M = + +  + + = 1 (1) b + c c + a a + b a + b + c a + b + c a + b + c x x + z
Mặc khác: sử dụng tính chất nếu 0  x y, z  0 thì  . y y + z + + + Khi đó a b c a a b b c c M = + +  + + = 2 b + c c + a a + b b + c + a c + a + b a + b + (2) c
Từ (1) và (2): 1 M  2 . Vậy M không có giá trị là số tự nhiên. 1 2 3 4 2019 2020 Bài 10. Cho A = + + + ... + +
. Chứng minh A  2 . 2 3 4 2019 2020 2 2 2 2 2 2 Lời giải: n
2n + 2 − (n + 2) n +1 n + 2
Nhận xét: Với n  2 thì = = − . n n n 1 2 2 2 − 2n 1 2 3 4 2019 2020 A = + + + ... + + 2 3 4 2019 2020 2 2 2 2 2 2 1  3 4   4 5   5 6 
 2020 2021  2021 2022  A = + − + − + − + ... + − + −           2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 2  2 2   2 2   2 2   2 2   2 2  35 TOÁN 6 1 3 2022 2022 A = + − = 2 −  A  2 2020 2020 2 2 2 2 1 2 3 11 1 Bài 11. Cho A = + + + ...+ . Chứng minh A  . 2 3 4 12 5 5 5 5 16 Lời giải: 1 2 3 11 5A = + + + ...+ 2 3 11 5 5 5 5 1 1 1 1 1 11
4 A = 5A − A = + + + ... + + − 2 3 10 11 12 5 5 5 5 5 5 1 1 1 11 20 A = 1+ + + ...+ − 2 10 11 5 5 5 5 1 11 11
16A = 20A − 4 A = 1 − + −  1 11 12 11 5 5 5 1 Vậy A  . 16 1 1 1 1 1 1 Bài 12. Cho B = + + +...+ . Chứng minh  B  . 2 2 2 2 5 6 7 100 6 4 Lời giải: 1 1 1 1 B  + + + ... +  1 1 1 B = −  4.5 5.6 6.7 99.100 4 100 4 1 1 1 1 B  + + + ... + 5.6 6.7 7.8 100.101 1 1 1 1 1 1 1 1
B  − + − + − + ... + − 5 6 6 7 7 8 100 101 1 1 1 Vậy B  −  5 101 6 36 HSG TOÁN 6
PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG TOÁN 6 Bài 1.
(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 11) 1 1 1 1 Chứng minh rằng + + + + 1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải Ta có: 1 1 1 1  = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;  = − ;  = − ;...;  = − Vậy 22 1.2 1 2 32 2 3 . 2 3 42 4 . 3 3 4 1002 100 . 99 99 ; 100 1 + 1 + 1 ++ 1  1 1 1 1 + + + + 2 2 2 2 2 3 4 10 0 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 = 1 99 1− + − + − + + − = 1− = 1. 2 2 3 3 4 99 100 2 100 Bài 2.
(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) − + − + −  2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − + − + ...+ −  3 32 33 34 399 3100 16 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A= − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2  1 1 1 1 1 2A= 1 − + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 −  1 2 1 2A+A =3A = 1- = 1 26 26  1 3A < 1  A < 3 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A= − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3  2 3 3 4 99 100 3A= 1- − + − + ...+ − 2 3 3 98 99 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- + − + ...+ − −  4A< 1- + − + ...+ − (1) 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- + − + ...+ −  3B= 2+ − + ...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 2 97 98 3 3 3 3 37 TOÁN 6 1 3 4B = B+3B= 3- < 3  B < (2) 99 3 4 3 3
Từ (1)và (2)  4A < B <  A < 4 16 Bài 3.
(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 14) 1 1 1 1 Chứng minh rằng + + +...+ 1 . 2 3 4 2 2 2 2n Lời giải 1 1 1 1 Ta có :  = − . 2 n n (n − ) 1 n −1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Áp dụng : 1− ;  − ;...;  − . 2 2 2 2 2 3 2 3 n n − 1 n  1 1 1 1 + + + 1 ... + < 1−  1. 2 3 4 2 2 2 2n n Bài 4.
(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12) a a Cho phân số ( a? b b
Theo bài toán cho a Lời giải
 ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab)  a(b+m) < b( a+m) +  a a mb b + m Bài 5.
(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12) 1 1 1 1 1 7 Chứng tỏ rằng: + + + …+ + > 41 42 43 79 80 12 Lời giải 1 1 Ta thấy: đến có 40 phân số. 41 80 1 1 1 1 1 1 Vậy + + + ......+ + + 41 42 43 78 79 80  1 1 1 1   1 1 1 1  = + +......+ +   + + +...+ +   (1)  41 42 59 60   61 62 79 80  1 1 1 1 1 1 Vì  .  …..> và > >…> (2) 41 42 60 61 62 80  1 1 1 1   1 1 1 1  Ta có + +...+ +   + + +...+ +    60 60 60 60   80 80 80 80  38 HSG TOÁN 6 20 20 1 1 4 + 3 7 = + = + = = (3) 60 80 3 4 12 12 Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 + + + 7 ......+ + + > 41 42 43 78 79 80 12 Bài 6. (Đề thi HSG 6) 25 2525 252525
Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau: ; ; . 53 5353 535353 Lời giải 2525 101 . 25 25 = = 5353 101 . 53 53 252525 1 . 25 0101 25 = = 535353 1 . 53 0101 53 25 2525 252525 Vậy = = . 53 5353 535353 Bài 7. (Đề thi HSG 6) Không quy đồ 37 377
ng mẫu hãy so sánh hai phân số sau: và . 67 677 Lời giải 300 300  300 30 30 300 mà =   (1) 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 Ta có : 1 − = và 1 − = (2) 67 67 677 677 377 37 Từ (1) và (2)   . 677 67 Bài 8. (Đề thi HSG 6) 20052005 +1 20052004 +1 So sánh: A = và B = . 20052006 +1 20052005 +1 Lời giải 20052005 +1 20052005 +1+ 2004 200 ( 5 20052004 + ) 1 20052004 +1 A = < = = = B. 20052006 +1 20052006 +1+ 2004 200 ( 5 20052005 + ) 1 20052005 +1 Vậy A < B. Bài 9. (Đề thi HSG 6) 20062006 + 1 2005 2006 +1 So sánh: A = và B = . 20072007 + 1 2006 2006 +1 Lời giải 39 TOÁN 6 a a a + n 2006 2006 2006 +1 2006 +1+ 2005 Ta có nếu  1 thì * 
(n N ) A =  b b b + n 2007 2007 2006 +1 2006 + 2005+1 2006 2005 2005 2006 + 2006 2006(2006 +1) 2006 +1 = = = = B 2007 2006 2006 2006 + 2006 2006(2006 +1) 2006 +1 Vậy A < B. Bài 10. (Đề thi HSG 6)
So sánh các biểu thức : a. 3200 và 2300 . 121212 2 404 10 b. A = + − với B = . 171717 17 1717 17 Lời giải
a.Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100
Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 2 404 121212 :10101 2 404 :101 b. A = + − + + − 171717 17 1717 171717 :10101 17 1717 :101 12 2 4 12 + 2 − 4  A = + − = 17 17 17 17 10 10 Vậy A = hay A = B = 17 17 .
Bài 11. (Đề thi HSG 6) 2001 2002 10 +1 10 +1 Cho: A= ; B = .Hãy so sánh A và B. 2002 2003 10 +1 10 +1 Lời giải 2002 10 +10 9 Ta có: 10A = = 1 + (1) 2002 2002 10 +1 10 +1 2003 + Tương tự 10 10 9 : 10B = = 1 + (2) 2003 2003 10 +1 10 +1 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy :   10A > 10B A > B. 2002 2003 10 +1 10 +1 Bài 12. 15 25 a) So sánh phân số: Với 301 499 1 2 3 n 2007 b) So sánh tổng S = + + + ...+ + ...+ với 2. ( n N*) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2 40 HSG TOÁN 6 Lời giải 15 25
a) So sánh phân số: Với 301 499 15 15 1 25 25  = =  15 25 . Vậy < 301 300 20 500 499 301 499 1 2 3 n 2007 b) So sánh tổng S = + + + ...+ + ...+
với 2. ( n N*) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2 n n + 1 n + 2 Với  n  2 ta có: = − n n 1 + . Từ đó ta có: n 2 2 2 1 3 4 4 5 2008 2009 2009 S = + ( − ) + ( − ) + .....+ ( − ) = 2 −  2 . Vậy S < 2 2 2 22 22 23 22006 22007 22007 Bài 13. 3 8 9999
So sánh giá trị của biểu thức: A = + + ...+ với số 99 4 9 000 . 10 Lời giải Biến đổi: 1 1 1 A = 1 ( − ) + 1 ( − ) + ...+ 1 ( − ) 4 9 10000 1 1 1 = 1 ( − ) + 1 ( − ) + ...+ 1 ( − ) 22 32 1002 1 1 1 = 99 - ( + + ...+ ) = 99 - B 22 32 1002 Trong đó B = 1 1 1 1 ( + + + ...+ ) 22 32 42 1002 Vì B > 0 nên A < 99 Bài 14. 3 2 2 3 So sánh 2 số: 22 và 3 2 Lời giải 3 Ta có 2 8 4 4 12 10 3 = 3 = 9  8 = 2  2 3 2 2 10 9 9 9 3 Từ đó: 3 2 2 .. 2 2 2 2 2  2 = 2 = 4  3 = 3 3 2 2 3 Suy ra: 3 2 2  3 Bài 15. 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: A = + + + ...+  3 32 33 399 2 41 TOÁN 6 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: 3A = 1 + + + + ...+ 2 3 98 3 3 3 3 1 Nên 3A - A = 1 - 99 3 1 1 1 1 Hay 2A = 1 -  A = −  99 3 2 3 . 2 99 2 1 Vậy A < 2 Bài 16.
Số 250 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ? Lời giải −
Nhận xét: Số a có n chữ số khi và chỉ khi: n 1 n 10  a  10 Ta thấy: 50 16 34 16 9 3 7 16 3
2 = 2 . 2 = 2 . (2 ) . 2 = 2 . 512 . 128 (1) 1016 = 216 . 516 = 216 . 5 ( 4 )4 = 216 . 6254 ) 2 ( Từ (1) và (2) suy ra: 50 16 2 10
Mặt khác: 250 = 215 . 235 = 215 . 2 ( 7 )5 = 215 . 1285 ) 3 ( 15 15 15 15 3 5 15 5
10 = 2 . 5 = 2 . (5 ) = 2 . 125 (4) Từ (3) và (4) suy ra: 15 50 10  2 Vậy ta có: 15 50 10  2 16
10 ; Nên số 250 có 16 chữ số viết trong hệ thập phân Bài 17.
Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện: 11 a 23   và 8b - 9a = 31 17 b 29 Lời giải 31+ 9a 32 −1 + 8a + a 8b - 9a = 31  b = =
 N  (a-1)  8  a = 8q + 1(q  N) 8 8 31+ 8 ( 9 q + ) 1 11 8q +1 23 b = = 9q + 5    8 17 9q + 5 29
11(9q+5) < 17(8q+1)  37q > 38  q > 1
29(8q+1) < 23(9q+5)  25q < 86  q < 4  q  {2; 3} a 23 a 32 q = 2  = q = 3  = . b 17 b 25 42 HSG TOÁN 6 Bài 18.
Chứng minh rằng: 21995 < 5863 Lời giải
Có: 210 =1024, 55 =3025  210. 3 <55  21720. 3172 <5860
Có 37 =2187; 210 =1024  37 >211
3172 = (37)24. 34 > (211)24 > (211). 26 = 2270
 21720.2270 < 21720. 3172 < 5860 Vậy 21990 <5860
Mà 25 < 53  21995 <5863. Bài 19.
Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714 Lời giải 10 2 =1025 
2  3.7  (2 )238  3 .(7 )238 10 3 10 238 3 2380 238 714  2  3 .7 3 7  =343 8 2 =256 5 8  3  2 5 3  = 243 Mặt khác 47 47 238 3 235 3 = = ( 5) 3  ( 8 ) 5 376 381 238 381 3 3 .3 3 . 3 3 2
 2 .2 = 2  3  2 1994 − 4b a 1994 − 4b − b − b
7a + 4b =1994  a =  = 4 1994 4 2 1994 4 14     4   7 b 7b 7 7b 3 b 3 1  994 1994 1994 1 − 4  4   8 b   b  294  b b 8 4   1994 14 1994 26 1  − 4     b  230  b 3 b 3 13  231  b  249 + a + b =
b = k + (k N ) 7k 6 7 4 1994 4 7 6 b =
;bN k = 4l + 2 (lN )  b = 7l + 5 4 236 244
 231  7l +5  249   l
l =34  b = 243  a =146 7 7 2380 238 714 2380 381 714 1999 714 2  3 .7 2  2 .7 2  7
Bài 20. (Đề thi HSG 6 trường THCS Lê Ngọc Hân năm học 1997-1998) 1999 1999 +1 1989 1999 +1 So sánh: M = và N = 2000 1999 +1 2009 1999 +1 Lời giải Ta có : 1999 1989 1999 + 1  1999 + 1 43 TOÁN 6 2000 2009 1999 + 1  1999 + 1 1999 1989 1999 +1 1999 +1   2000 2009 1999 +1 1999 + 1 Vậy M N
Bài 21. (Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1999 - 2000)
Hãy so sánh hai phân số sau bằng tất cả các cách có thể được: 1999 19992000 1 1 1 a) ; b) + + +  2 2000 20002000 3 4 32 Lời giải a)
Cách 1 : Qui đồng mẫu số rồi so sánh tử. 1999 19991999 19992000 Cách 2: =  2000 20002000 20002000 1999 1 19992000 10000 1999 19992000 Cách 3: + = + = 1   2000 2000 20002000 20002000 2000 20002000 1 1 4n −1 1 b) + =  n  ; n  2 2 ( ) 2n −1 2n 4n − 2n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  + + +  + + +  + + + 1+ + +  2 3 4 32 2 3 16 2 2 8 2 3 4
Bài 22. HSG LÊ QUÝ ĐÔN - HƯNG HÀ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cho M . So sánh M với 1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lời giải 2 1 3 1 4 1 9 1 10 1 M ... 2! 3! 4! 9! 10! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M 1 ... 2! 2! 3! 3! 4! 8! 9! 9! 10! 1 M 1 10! 1 Vậy M 1 (vì 0 1 . 10!
Bài 23. HSG 2012 – 2013 1 3 5 9999 Cho A . . ..... . So sánh A với 0, 01 . 2 4 6 10000 Lời giải 1 3 5 9999 2 4 6 10000 A . . ..... . Đặt B . . ..... . 2 4 6 10000 3 5 7 10001 1 2 3 4 5 6 9999 10000 Vì ; ; ;...; 2 3 4 5 6 7 10000 10001 1 3 5 9999 2 4 6 10000 Nên A B mà 2 A 0; B 0 A A.B . . ..... . . . ..... 2 4 6 10000 3 5 7 10001 2 1 2 3 4 5 6 9999 10000 1 1 1 2 2 A . . . . . ..... . 0, 01 . 2 3 4 5 6 7 10000 10001 10001 10000 100 Hay A 0, 01. 44 HSG TOÁN 6
Bài 24. HSG 2006 – 2007 1 1 1 1 3 a) Cho A .... . Chứng minh rằng A . 2 2 2 2 2 3 4 100 4 b) So sánh 20 17 và 15 31 . Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A ... ... 2 2 2 2 2 2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 A ... 2 2 2 3 3 4 99 100 1 1 1 1 1 1 3 A A 2 2 2 100 4 2 100 4 20 15 b) 20 20 4 80 15 15 5 75 17 16 2 2 ;31 32 2 2 15 75 80 20 15 20 31 2 2 17 31 17
Bài 25. HSG 2013 – 2014 Thực hiện so sánh: 2008 2009 1 2009 2009 1 a) A với B 2009 2009 1 2010 2009 1 51 52 53 100 b) C 1.3.5.7.....99 với D . . ..... . 2 2 2 2 Lời giải a)
Thực hiện qui đồng mẫu số: 2008 2010 4018 2010 2008 2009 1 2009 1 2009 2009 2009 1 A 2009 2010 2009 2010 2009 1 2009 1 2009 1 2009 1 2009 2009 4018 2009 2009 2009 1 2009 1 2009 2009 2009 1 B 2010 2009 2010 2009 2009 1 2009 1 2009 1 2009 1 2010 2008 2 2009 2009 2008 2009 1 2009 2009 2008 2009 2009 2009 2009 2009 Do 2 2009 1 2009 2009 nên A B .
(Có thể chứng tỏ A B 0 để kết luận A B ).
Cách khác: Có thể so sánh 2009A với 2009B trước. 1.3.5.7.....99.2.4.6.....100 1.3.5.7.....99.2.4.6.....100 b) C 1.3.5.7.....99 2.4.6.....100 1.2 2.2 3.2 4.2 ..... 50.2 1.2.3.....50.51.52.53.....100 51 52 53 100 . . ..... D 1.2.3.....50.2.2.2.....2 2 2 2 2 50cs2 Vậy C D .
Bài 26. HSG THANH OAI 2013 – 2014 1 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: . 2 4 8 16 32 64 3 45 TOÁN 6 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2A 1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 6 1 2 1 2A A 3A 1 1 6 6 2 2 1 3A 1 A . 3
Bài 27. HSG THANH OAI 2013 – 2014 2012 2013 1 2013 2013 1 So sánh: với B . 2013 2013 1 2014 2013 1 Lời giải 2012 2014 4026 2012 2014 2013 1 2013 1 2013 2013 2013 1 A 2013 2014 2013 2014 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 2013 4026 2013 2013 2013 1 2013 1 2013 2013 2013 1 B 2014 2013 2014 2013 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2014 2012 2012 2 2013 2013 2013 2013 1 2013 2013 2012 2013 2013 2013 2013 2013 Do 2 2013 1 2013 2013 nên A B . (Có thể chứng tỏ A B 0 để kết luận A B ).
Cách khác: Có thể so sánh 2013A với 2013B trước. Bài 28. So sánh 10 9 2004 2004 và 10 2005 . Lời giải 10 9 9 9 2004 2004 2004 2004 1 2004 .2005 10 9 2005 2005 .2005 Ta thấy 9 9 10 9 10 2005 .2005 2005 .2005 2004 2004 2005 . Bài 29.
(Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2013 - 2014) So sánh 22013 và 31344 Lời giải
22013 = (23)671 = 8671 ; 31344= (32)672 = 9672
Ta có 8 < 9; 671 < 672 nên 8671< 9672 hay 22013 < 31344 46 HSG TOÁN 6 Bài 30.
(Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) So sánh A và B biết: A = 2012 2011 2011 − 2011 ; B = 2013 2012 2011 − 2011 Lời giải Ta có: 2012 2011 2011 2011 A = 2011 −2011 = 2011 (2011− ) 1 = 2011 .2010 2013 2012 2012 2012 B = 2011
−2011 = 2011 (2011− )1 = 2011 .2010 Do 2012 2011 > 2011 2011 nên B > A. Bài 31. (Đề thi HSG 6) So sánh C và D 20132013 + 1 20132012 + 1 C = D = 20132014 + 1 20132013 + 1 Lời giải 20132013 + 1 20132014 + 2013 2012 C = → 2013C = = 1 + 20132014 + 1 20132014 + 1 20132014 + 1 20132012 + 1 20132013 + 2013 2012 D = → 2013D = = 1 + 20132013 + 1 20132013 + 1 20132013 + 1 2012 2012 Vì <
nên 2013C < 2013D 20132014 + 1 20132013 + 1 Vậy C < D
Bài 32. (Đề số 88 Trường THCS Trực Ninh 2013-2014) So sánh: 20092008 +1 20092009 +1 C = với D = 20092009 +1 20092010 +1 Lời giải
Thực hiện qui đồng mẫu số: (20092008 + 20 )( 1 092010 + ) 1
20094018 + 20092010 + 20092008 + 1 C = = (20092009 + 20 )( 1 092010 + ) 1 (20092009 + 20 )( 1 092010 + ) 1 (20092009 + 20 )( 1 092009 + ) 1
20094018 + 20092009 + 20092009 + 1 D = = (20092010 + 20 )( 1 092009 + ) 1 (20092010 + 20 )( 1 092009 + ) 1
20092010 + 20092008 = 20092008 2 ( 0092 + ) 1
20092009 + 20092009 = 20092008 2 ( 009 + 200 ) 9 Do 2 ( 0092 + ) 1 > (2009 + 20 ) 09 nên C > D Bài 33. So sánh
a) 10³º và 2100 ; b) 85và 3.47 ; c) 1255và 257 47 TOÁN 6 Lời giải a, 10³º và 2100
Ta có 10³º=(10³)10=100010; 2100=(2³)10=102410 => 10³º< 2100 b, 85và 3.47
85=215 ; 3.47 =3. 214 => 85< 3.47 c, 1255và 257
1255= 515; 257= 514 => 1255và 257 Bài 34. 22 51 a) So sánh: và ; 45 103 2009 2009 1 2010 2009 2 b) So sánh: A và B . 2010 2009 1 2011 2009 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 22 51 a) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 2010 2009 2 b)B 1 2011 2009 2 2010 2010 2010 2009 2 2009 2 2011 2009 2009 B 2011 2011 2011 2009 2 2009 2 2011 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 2009 1 A 2010 2010 2009 2009 1 2009 1 Vậy A B Bài 35. 37 2012 2012 + 37 +1 38 2012 2012 + 37 + 2 So sánh A = với B = 38 2012 39 2012 Lời giải
Thực hiện qui đồng mẫu số: 37 2012 76 2012 39 39 2012 + 37 +1 2012 +37 .2012 + 2012 A = = 38 39 38 2012 2012 .2012 38 2012 76 2012 38 38 2012 + 37 + 2 2012 + 37 .2012 + 2.2012 B = = 39 39 38 2012 2012 .2012 2012 39 39 38 + = ( 2012 37 .2012 2012 2012 37 .2012 + 2012) 48 HSG TOÁN 6 2012 38 38 38 + = ( 2012 37 .2012 2.2012 2012 37 + 2) Từ đó suy ra A > B
Bài 36. (Đề thi HSG 6 – Mã B1) a + n a a) Cho a , b , * n  . Hãy so sánh b + và n b 11 10 −1 10 10 +1 b) Cho A = ; B =
. So sánh A và B . 12 10 −1 11 10 +1 Lời giải a a a Ta xét 3 trường hợp = 1  1  1 b b b a a + n a TH1:
= 1  a = b thì = = 1 b b + . n b a TH2:
 1  a b a + m b + n . b a + n a − b
Mà b + có phần thừa so với 1 là n b + n a a − b a − b a − b a + n a
có phần thừa so với 1 là , vì   b a b + nên n b b + n b a TH3:
 1  a ba + n b + n b a + n a − b a − b b − a a + n a Khi đó , vì   b + có phần bù tới 1 là n a b b + nên n b + n b 11 10 −1 b) Cho A = 12 10 −1 11 a a + n a (10 − ) 11 1 +11 10 +10
Rõ ràng A  1 nên theo a, nếu  1 thì   A  = b b + n b ( 12 10 − ) 12 1 +11 10 +10 + 10 10 10 ( 10 11 10 + ) 10 1 + Do đó 10 1 A  = = 12 10 +10 10( 11 10 + ) 11 1 10 +1 Vậy A B .
Bài 37. (Đề thi HSG 6 – Mã B5) a) So sánh: 333 222 và 222 333 Lời giải 49 TOÁN 6 Ta có = ( ) = ( )2 3.111 333 111 111 111 222 2.111 8 . 111 .111 = ( ) = ( )2 2.111 222 111 111 333 3.111 9 . 111 Suy ra : 333 222 222  333
Bài 38. (Đề thi HSG 6 – Mã B6) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3 a) − + − + −  ; b) − + − +...+ −  2 4 8 16 32 64 3 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A = − + − + − = − + − + − 2 4 8 16 32 64 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1  2A =1− + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 1 2 −1
 2A+ A = 3A =1− = 1 6 6 2 2 1
 3A 1 A  3 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 b) Đặt A = − + − +...+ −  3A =1− + − +...+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100  4A =1− + − +...+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4A 1− + − +...+ − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B = 1− + − + −  3B = 2 + − +...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 2 97 98 3 3 3 3 1
4B = B + 3B = 3 −  3 3  B  (2) 99 3 4 3 3
Từ (1) và (2)  4 A B   A  4 16
Bài 39. (Đề thi HSG 6 – Mã B10) So sánh : 20 9 và 13 27 Lời giải Có : = ( )20 20 2 40 9 3 = 3 50 HSG TOÁN 6 = ( )13 13 3 39 27 3 = 3 Vì 40 39 3  3 20 13  9  27 .
Bài 40. (Đề thi HSG 6) a a Cho phân số ( a b) b
cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ? b Lời giải
Theo bài toán cho ab nên ambm ( nhân cả hai vế với m)
ab + amab + bm ( cộng hai vế với ab)
a(b + m)  b( a + m) +  a a mb b + m
Bài 41. (Đề thi HSG 6) 1 1 1 1 1 7 Chứng tỏ rằng: + + +...+ +  41 42 43 79 80 12 Lời giải 1 1 Ta thấy: đến có 40 phân số. 41 80 1 1 1 1 1 1 Vậy + + + ......+ + + 41 42 43 78 79 80  1 1 1 1   1 1 1 1  = + + ......+ +  + + ...+ + 41 42 59 60  +   (1)    61 62 79 80  1 1 1 1 1 1 Vì   ...    ...  41 42 60 và 61 62 80 (2)  1 1 1 1   1 1 1 1  Ta có + + ...+ +  + + ...+ + 60 60 60 60  +     80 80 80 80  20 20 1 1 4 + 3 7 = + = + = = (3) 60 80 3 4 12 12 Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 7 + + +......+ + +  41 42 43 78 79 80 12 Bài 42. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng các phân số sau đây bằng nhau. 51 TOÁN 6 41 4141 414141 a) ; ; 88 8888 888888 27425 − 27 27425425 − 27425 b) ; 99900 99900000 Lời giải 4141 41.101 41 414141 41.10101 41 a) Ta có = = ; = = 8888 88.101 88 888888 88.10101 88 41 4141 414141 Vậy = = 88 8888 888888 b) Ta có: 27425425 − 27425 (27425425−425)−(27425− ) 425 = 99900000 99900.1000 27425000 − 27000 1000(27425 − 27) 27425 − 27 = = = 99900.1000 99900.1000 99900 Bài 43. (Đề thi HSG 6)
Điền dấu x vào ô trống thích hợp: Lời giải Câu Đúng Sai 1 1 a) CâS u ố -5 bằng –5 + Đúng Sai 5 5 1 1 X a) Số -5 bằng –5 + 3 80 b) Số 115 bằng 5 7 7 3 80 X b) Số 11 bằng 5 5 7 7 c) Số -11 bằng –11- 4 4 5 5 X c) Số -11 bằng –11- 1 2 13 d) Tổng -3 4 + 2 bằng 4 -1 5 3 15 1 2 13 X d) Tổng -3 + 2 bằng -1 5 3 15 Bài 44. 3 3 3 3 3 Cho S = + + + +
. Chứng minh rằng : 1< S < 2 10 11 12 13 14 Lời giải 10 10 10 10 5 5 5 5 a) M = + + + ...+ = + + + ...+ 56 140 260 1400 . 4 7 7 10 . . 10 13 . 25 28 52 HSG TOÁN 6 5  1 1 1 1 1 1 1 1  = . − + − + − + ...+ −  3  4 7 7 10 10 13 25 28  5  1 1  5 6 5 = . −  = . = 3  4 28  3 28 14 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 b. S = + + + +  + + + + => S > = 1 (1) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 S = + + + +  + + + + => S <  = 2 (2) 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2
Bài 45. (Đề thi HSG 6 huyện ABC 2019-2020) 2001 2002 10 +1 10 +1 Cho: A= ; B = . 2002 2003 10 +1 10 +1 Hãy so sánh A và B. Lời giải 2002 10 +10 9 Ta có: 10A = = 1 + (1) 2002 2002 10 +1 10 +1 2003 + Tương tự 10 10 9 : 10B = = 1 + (2) 2003 2003 10 +1 10 +1 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy :   10A > 10B A > B 2002 2003 10 +1 10 +1 Bài 46.
Không quy đồng mẫu hãy so sánh hai phân số sau: 37 377 và 67 677 Lời giải 300 300  300 30 30 300 mà =   (1) 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 Ta có : 1 − = và 1 − = (2) 67 67 677 677 Từ (1) và (2)  377 37  677 67
Bài 47. ( Bài 4 - Đề 22) 20052005 +1 20052004 +1 So sánh: A = và B = 20052006 +1 20052005 +1 Lời giải 53 TOÁN 6 20052005 +1 20052005 +1+ 2004 200 ( 5 20052004 + ) 1 20052004 +1 A = < = = = B 20052006 +1 20052006 +1+ 2004 200 ( 5 20052005 + ) 1 20052005 +1 Vậy A < B
Bài 48. ( Bài 1b - Đề 23) 20062006 + 1 20062005 + 1 So sánh: A = và B = 20072007 + 1 20062006 + 1 Lời giải + Ta có nếu a a a n 1 thì *  (n N ) b b b + n 2006 2006 2006 +1 2006 +1+ 2005 A =  2007 2007 2006 +1 2006 + 2005+1 2006 2005 2005 2006 + 2006 2006(2006 +1) 2006 +1 = = = = B 2007 2006 2006 2006 + 2006 2006(2006 +1) 2006 + 1 Vậy A < B
Bài 49. ( Bài 2 - Đề 25)
So sánh các biểu thức : a) 3200 và 2300 121212 2 404 10 b) A = + − với B = . 171717 17 1717 17 Lời giải
Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100
Vì 9100> 8100 Nên 3200> 2300 121212 2 404 121212 :10101 2 404 :101 12 2 4 12 + 2 − 4 A = + − + + −  A = + − = 171717 17 1717 171717 :10101 17 1717 :101 17 17 17 17 10 10 Vậy A = hay A =B = 17 17
Bài 50. Đề thi HSG 6 Kinh Môn 2017 - 2018 99 2018 −1 98 2018 −1 So sánh: E = và F = 100 2018 −1 99 2018 −1 Lời giải 99 100 2018 −1 2018 − 2018 2017 Ta có: E =  2018E =  2018.E =1− 100 100 100 2018 −1 2018 −1 2018 −1 54 HSG TOÁN 6 98 99 2018 −1 2018 − 2018 2017 F =  2018.F =  2018.F =1− 99 99 99 2018 −1 2018 −1 2018 −1 2017 2017 2017 2017 Vì  1− 1− 100 99 100 99 2018 −1 2018 −1 2018 −1 2018 − 1
Hay 2018E  2018F E F Vậy E > F
Bài 51. Đề HSG Toán 6 năm học 2019-2020 −22 51 So sánh : và − 45 103 2009 2009 +1 2010 2009 − 2 So sánh : A = và B = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 2 − 2 5 − 1 a)  = =      45 44 2 102 101 45 101 45 101 2010 2009 − 2 b)B = 1 2011 2009 − 2 2010 2010 2010 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009  B =  = 2011 2011 2011 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 2009( 2009 2009 + ) 2009 1 2009 +1 = = = A 2009( 2010 2009 + ) 2010 1 2009 +1 Vậy A B
Bài 52. Đề HSG Toán 6 Ba Vì năm 2017-2018 1 1 1 1 1 Cho A = + + +...+ + 31 32 33 59 60 4
Chứng tỏ rằng: A  5 Lời giải  1 1 1   1 1 1   1 1  A = + +.....+ + + + ....+ + + ....+        31 32 40   41 42 50   51 60   1 1   1 1   1 1  10 10 10  +...+ + + ....+ + + ...+ = + +        30 30   40 40   50 50  30 40 50 1 1 1 47 48 4 = + + =  = 3 4 5 60 60 5
Bài 53. (Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2018- 2019 ) −22 51 a) So sánh : và − 45 103 2009 2009 +1 2010 2009 − 2 b) So sánh : A = và B = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2 Lời giải 55 TOÁN 6 22 22 1 51 51 22 51 2 − 2 5 − 1 a)  = =      45 44 2 102 101 45 101 45 101 2010 2009 − 2 b) B = 1 2011 2009 − 2 2010 2010 2010 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009  B =  = 2011 2011 2011 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 2009( 2009 2009 + ) 2009 1 2009 +1 = = = A 2009( 2010 2009 + ) 2010 1 2009 +1 Vậy A B
Bài 54. (Đề thi HSG 6 TP BUÔN MÊ THUỘT 2018- 2019 ) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 + + +......+  2 2 2 4 6 8 (2n)2 4 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + +.....+ 2 2 2 4 6 8 (2n)2 1 1 1 1 A = + + + + (2.2) ...... 2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 1  1 1 1 1  1  1 1 1  A = . + + +.....+  .    + + .....+  2 2 2 2 4  2 3 4 n  4  1.2 2.3  (n ) 1 n  −  1  1 1 1 1 1 1  A  . − + − + .....+ −   4 1 2 2 3 n −1 n  1  1  1 A  . 1−    4  n  4
Bài 55. (Đề thi HSG 6 huyện QUỲNH LƯU 2018- 2019 ) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + ......+  1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 + + +......+  + +.....+ 2 2 2 2 2 3 4 100 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 = − + − +.....+ − =1− 1 1 2 2 3 99 100 100
Bài 56. (Đề thi HSG 6 Tỉnh ĐỒNG THÁP 2018- 2019 ) So sánh P và Q + + Biết : 2010 2011 2012 2010 2011 2012 P = + + và Q = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013 Lời giải Ta có: 56 HSG TOÁN 6 2010 + 2011+ 2012 2010 2011 2012 Q = = + + Lần lượt 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013
so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy : 2010 2010 Ta có:  2011+ 2012 + 2013 2011 2011 2011  2011+ 2012 + 2013 2012 2012 2012  2011+ 2012 + 2013 2013  P Q
Bài 57. (Đề thi HSG 6 huyện VĨNH LỘC 2018- 2019 ) Cho tổng 2 3 4 2016 2017 T = + + +........+ + 1 2 3 2015 2016 2 2 2 2 2 So sánh T với 3 Lời giải 2 3 4 2016 2017 T = + + +......+ + 1 2 3 2015 2016 2 2 2 2 2 3 4 2016 2017 2T = 2 + + +......+ + 1 2 2014 2015 2 2 2 2 3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017 2T − T = 2 + − + − +....+ − + − − 1 1 2 2 2014 2014 2015 2015 2016 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2017 T = 2 + + +......+ − 1 2 2015 2016 2 2 2 2 Đặt 1 1 1 1 1 1 N = + +......+  2N = 1+ + + ......+ 1 2 2015 1 2 2014 2 2 2 2 2 2 1 2N − N = 1−  N 1 2015 2 2017 2017 Nên T  2 +1− = 3−  T  3 2016 2016 2 2
Bài 58. (Đề thi HSG 6 huyện Duy Xuyên 2019-2020) 23 23232323 2323 232323 So sánh các phân số sau: ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Lời giải 23 23.101 2323 = = 99 99.101 9999 23 23.10101 232323 = = 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 = = 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323  = = = 99 9999 999999 99999999 57 TOÁN 6
Bài 59. (Đề thi HSG 6 cấp trường 2019-2020) − − − − So sánh không qua quy đồ 7 15 15 7 ng: A = + ; B = + 2005 2006 2005 2006 10 10 10 10 Lời giải 7 − 1 − 5 7 − 8 − 7 − A = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 1 − 5 7 − 7 − 8 − 7 − B = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 8 − 8 −   A B 2006 2005 10 10
Bài 60. (Đề thi HSG 6 cấp trường 2018-2019) − − − − Không quy đồ 9 19 9 19
ng mẫu số hãy so sánh: A = + ; B = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10 Lời giải 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − Ta có: A = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 1 − 0 1 − 0 Ta thấy   A B 2011 2010 10 10
Bài 61. (Đề thi HSG 6 huyện Bạch Thông 2018-2019) 2013.2014 −1 2014.2015 −1
So sánh A và B biết: A = và B = 2013.2014 2014.2015 Lời giải 2013.2014 −1 1 Ta có: A = =1− 2013.2014 2013.2014 2014.2015 −1 1 B = =1− 2014.2015 2014.2015 1 1 Vì 
nên A B 2013.2014 2014.2015
Bài 62. (Đề thi HSG 6 Trung Nguyên – Huyện Yên Lạc 2018-2019) So sánh các số sau: 39 3 và 21 11 ; 20 199 và 15 2003 Lời giải 10 10 Ta có: 39 40  = ( 4 ) 10 21 20 =  = ( 2 ) 10 3 3 3 81 ;11 11 11 =121 Vì 10 10 121  81 nên 21 39 11  3 Ta có:  = ( )20 20 20 60 40 199 200 8.25 = 2 .5 58 HSG TOÁN 6  = ( )15 15 15 4 3 60 45 2003 2000 2 .5 = 2 .5 Vì 60 40 60 45 2 .5  2 .5 nên 20 15 199  2003
Bài 63. (Đề thi HSG 6 huyện Sơn Tây 2019-2020) a + n a a) Cho a, , b n  *.Hãy so sánh: và b + n b 11 10 10 −1 10 +1 b)Cho A = ; B = . So sánh A và B 12 11 10 −1 10 +1 Lời giải a)Ta xét 3 trườ a a a ng hợp: =1; 1; 1 b b b + Trườ a a n a ng hợp 1:
=1  a = b thì = = 1 b b + n b Trườ a ng hợp 2:
1  a b a + n b + n b a + n a − b Mà b +
có phần thừa so với 1 là n b + n a a − b
có phần thừa so với 1là b b a − b a − b a + n a Vì   b + nên n b b + n b Trườ a ng hợp 3:
1  a b a + n b + n b + − − Khi đó : a n b a a b a b + có phần bù tới 1 là , n b + có phần bù tới 1 là n b b b − a b − a a + n a Vì   b + nên n b b + n b 11 10 −1 a a + n a b) A =
; rõ ràng A  1nên theo a, nếu  1thì  12 10 −1 b b + n b ( 11 10 − ) 11 1 +11 10 +10  A  ( = 12 10 − ) 12 1 +11 10 +10 + 10. 10 10 ( 10 11 10 + ) 10 1 + Do đó: 10 1 A  = = 12 10 +10 10.( 11 10 + ) 11 1 10 +1 59 TOÁN 6 Vậy A B
Bài 64. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
Hãy chọn kết quả đúng 222221 444443 Cho 2 số: x = ; y = ta có: 222222 444445 a. x = y . b x y c. x y Lời giải Chọn đáp án C
Bài 65. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
So sánh giá trị của biểu thức : 3 8 9999 A = + +.....+ với số 99 4 9 10000 Lời giải  1   1   1  A = 1− + 1− +......+ 1−        4   9   10000   1   1   1  = 1− + 1− +.......+ 1−       2 2 2  2   3   100   1 1 1  = 99 − + +......+ = 99 − B   2 2 2  2 3 100  Trong đó, 1 1 1 1 B = + + +......+ 2 2 2 2 2 3 4 100
Vì B  0  A  99
Bài 66. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) 3 2 2 3 So sánh hai số: 2 2 và 2 3 Lời giải 3 Ta có: 2 8 4 4 12 10 3 = 3 = 9  8 = 2  2 3 2 2 10 9 9 9 3 Từ đó 3 2 2.2 2 2 2 2  2 = 2 = 4  3 = 3 3 2 2 3 Suy ra : 3 2 2  3
Bài 67. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) 1 1 1 1 1
Chứng minh rằng: A = + + + ......+  2 3 99 3 3 3 3 2 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: 3A = 1+ + + + .....+ 2 3 98 3 3 3 3 60 HSG TOÁN 6 1 1 1 1 1
Nên 3A − A = 1− hay 2A = 1−  A = −  99 3 99 99 3 2 2.3 2 1 Vậy A  2
Bài 68. (Đề HSG cấp trường 2018 - 2019) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + +......+  2 2 2 4 6 8 (2n)2 4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A = + + +.....+ 2 2 2 4 6 8 (2n)2 1 1 1 1 A = + + + + ( 2.2) ...... 2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 1  1 1 1 1  1  1 1 1  A = . + + +.....+  .    + +.....+  2 2 2 2 4  2 3 4 n  4 1.2 2.3  (n )1n  −  1 1 1 1 1 1 1  A  . − + − +.....+ −   4 1 2 2 3 n −1 n  1  1  1 A  . 1−  (dfc ) m   4  n  4
Bài 69. (Đề thi HSG 6 huyện Lương Tài 2105 – 2016)
So sánh A và B biết: 18 17 17 +1 17 +1 A = , B = 19 18 17 +1 17 +1 Lời giải + + + + 17.( 17 18 18 18 17 + ) 17 1 17 1 17 1 17 1 16 17 +1 Vì A = 1 A =  = = = B 19 19 19 17 +1 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1
Bài 70. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019) (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! Cho biểu thức D = + + + +.....+ 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2015
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3....n(n ) Lời giải Ta có: 61 TOÁN 6 (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! D = + + + +.....+ 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D = + + + +......+ 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2015  2 2 2 2  D = 4 + 2. + + +.....+   2 2 2 2  3 5 7 2015   2 2 2 2  D  4 + 2. + + +.....+   1.3 3.5 5.7 2013.2015  1 1 1 1 1 1 1 1  = 4 + 2 − + − + − +.....+ −   1 3 3 5 5 7 2013 2015   1  2 = 4 + 2 1− = 4 + 2 −  6    2015  2015  D  6
Bài 71. (Đề thi HSG 6 THCS Nguyễn Khuyến 2018-2019) −22 −51 So sánh : và 45 103 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 2 − 2 5 − 1  = =      45 44 2 102 101 45 101 45 101
Bài 72. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2018-2019) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 + 2011+ 2012 Biết: P = + + và Q = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013 Lời giải Ta có: 2010 + 2011+ 2012 Q = 2011+ 2012+ 2013 2010 2011 2012 = + + 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức
của P đều lớn hơn các phân thức của Q. Vậy P Q
Bài 73. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2017-2018)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 62 HSG TOÁN 6 9 − 1 − 9 9 − 1 − 9 A = + ; B = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10 Lời giải Ta có: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − A = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 1 − 0 1 − 0 Ta thấy 
A B 2011 2010 10 10
Bài 74. (Đề thi HSG 6 huyện Lập Thạch 2018-2019) 2011 2012 2013
So sánh S với 3, biết S = + + 2012 2013 2011 Lời giải 2011 2012 2013  1   1   1 1  S = + + = 1− + 1− + 1+ +       2012 2013 2011  2012   2013   2011 2011  1 1   1 1  = 3+ − + −    
 2011 2012   2011 2013  1 1 1 1 Do  ;  2011 2012 2011 2013 1 1 1 1  1 1   1 1  Nên: −  0, −  0  3+ − + −  3     2011 2012 2011 2013
 2011 2012   2011 2013  Vậy S>320
Bài 75. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020) 5 11 11 5 So sánh: N = + và M = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10 Lời giải 5 11 11 5 6 6
Ta có: N − M = + − − = − 2005 2006 2005 2006 2006 2005 10 10 10 10 10 10  1 1  = 6 −
 0  N M   2006 2005 10 10 
Bài 76. (Đề thi HSG 6 huyện Lương Tài 2015-2016) 18 17 17 +1 17 +1
So sánh A và B biết: A = , B = 19 18 17 +1 17 +1 Lời giải 63 TOÁN 6 + + + + 17.( 17 18 18 18 17 + ) 17 1 17 1 17 1 17 1 16 17 +1 Vì A = 1 A =  = = = B 19 19 19 17 +1 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1
Bài 77. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2019-2020) So sánh : 2013 2 và 1344 3 Lời giải 2 = (2 )671 = 8 ;3 = (3 )672 2013 3 671 1344 2 672 = 9 671 672 2013 1344
Do8  9, 671  672  8  9  2  3
Bài 78. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2018 - 2019)
Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 1717 1313 a) và b) 8 16 9 .5 và 20 19 8585 5151 Lời giải 1717 17 1 13 13 1313 1717 1313 a) = = =  =   8585 85 5 65 51 5151 8585 5151 8 16 16 16 16 16 20 8 16 20
b)9 .5 = 3 .5 = 15  19  19  9 .5  19
Bài 79. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019) Cho 2 3 4 71 72
A = 1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + ..... + 2012 + 2012 và 73 B = 2012 −1. So sánh A và B Lời giải Ta có: 2 3 4 72 73
2012A = 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + .... + 2012 + 2012 Lấy 73
2012A − A = 2012 −1, 73 2012 −1 Vậy 73 A =  B = 2012 −1 2011
Bài 80. (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 )
So sánh A và B biết: 18 17 17 + 1 17 +1 A = , B = 19 18 17 +1 17 +1 Lời giải + + + + 17.( 17 18 18 18 17 + ) 17 1 17 1 17 1 17 1 16 17 +1 Vì A = 1 A =  = = = B 19 19 19 17 +1 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1
Bài 81. (NGA SƠN, 2018-2019) So sánh: 64 HSG TOÁN 6 201201 201201201 200 a)3 300 và 2 b) 50 71 và 75 37 c) và 202202 202202202 Lời giải 300 So sánh 200 3 và 2 100 100 Ta có: 200 = ( 2 ) 100 300 = = ( 3) 100 3 3 9 ;2 2 = 8 Mà 100 100 8  9 nên 300 200 2  3 So sánh 50 71 và 75 37 Ta thấy :  = ( )50 50 50 150 100 71 72 8.9 = 2 .3 (1)  = ( )75 75 75 2 2 150 150 37 36 2 .3 = 2 .3 (2) Mà 150 150 150 100 2 .3  2 .3 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 75 50 37  71 201201 201201201 So sánh và 202202 202202202 201201 201 1001 201 201201201 201 1001001 201 Ta có: = . = ; = . = 202202 202 1001 202 202202202 202 1001001 202
Vậy 2 phân số trên bằng nhau.
Bài 82. (ĐỒNG THÁP, 2018-2019) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 + 2011+ 2012 Biết : P = + + và Q = 2011 2012 2013 2011+ 2012 + 2013 Lời giải Ta có: 2010 + 2011 + 2012 Q = 2011+ 2012+ 2013 2010 2011 2012 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy P Q 65 TOÁN 6
Bài 83. ( LÝ NHÂN, 2018-2019) 2010 2011 2012 1 1 1 1
So sánh A và B biết: A = + + và B = + + + ....+ 2011 2012 2010 3 4 5 17 Lời giải  1   1   2  A = 1 − + 1− + 1+        2011  2012   2010   1 1   1 1  A = 3 + − + −    
 2010 2011  2010 2012   A  3  1 1   1 1   1 1  B = + + + ..... + + + ..... +        3 4   5 9   10 17  1 1 1
B  .2 + .5 + .8  B  3 2 5 8
Từ đó suy ra A B
Bài 84. (HSG6, 2017-2018) 1 1 1 1 Chứng minh rằng + + + .....+ 1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có:  = − ;  = − ;.....;  = − 2 2 2 2 2.1 1 2 3 2.3 2 3 100 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 Vậy + + .... +  − + − + ....+ − = 1 2 2 2 2 3 100 1 2 2 3 99 100 100
Bài 85. ( BẠCH LIÊU, 2018-2019) 1 1 1 1 1 Cho M = + + + .....+ +
. Chứng minh rằng M  1 2 2 2 2 2 2 3 4 2009 2010 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 M  + + ..... + + 1.2 2.3 2008.2009 2009.2010 1 1 1 1 1 1 1 M  1− + − + ..... + − + − 2 2 3 2008 2009 2009 2010 1 M  1−  M 1 2010 66 HSG TOÁN 6
Bài 86. (THẠCH THÀNH, 2018-2019) 1 1 1 1 Cho A = + + + ....+ 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1+ 3 + 5 + 7 + ... + . 2017 3 Chứng minh A  4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A = + + + ....+ 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1+ 3 + 5 + 7 + ... + 2017 1 1 1 1
A = ( + ) + ( + ) + ( + ) +.....+ 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 (1+ 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + .....+ = + + + ....+ 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1  1 1 1  A  + + + ...... +   2.2  2.3 3.4 1008.1009  1  1 1 1 1 1 1  A  + − + − + .....+ −   4  2 3 3 4 1008 1009  1  1 1  1 1 3 A  + −
A  +  A  (dfcm)   4  2 1009  4 2 4
Bài 87. (NGA SƠN, 2018-2019) 1 1 1 1 1 Cho A = + + + + .....+
.Chứng minh : A  2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 50 Lời giải 1 1 1 Ta có:  =1− 2 2 1.2 2 1 1 1 1  = − 2 3 2.3 2 3 1 1 1 1  = − ...... 2 4 3.4 3 4 1 1 1 1  = − 2 50 49.50 49 50 1 1 1 1 1 Vậy A = + + + + .... + 2 2 2 2 2 1 2 3 4 50 67 TOÁN 6 1 1 1 1 1  + + + + .....+ 1 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 1 =1+ − + − + ...+ − 1 2 2 3 49 50 1 99 =1+1− =  2 50 50
Bài 88. (Đề thi HSG HUYỆN TÌNH GIA 2018 - 2019) 20072007 200720072007 So sánh 2 phân số: và 20082008 200820082008 Lời giải Ta có: 20072007 2007.1001 2007 = = 20082008 2008.1001 2008 200720072007 2007.100010001 2007 = = 200820082008 2008.100010001 2008
Vậy hai phân số trên bằng nhau
Bài 89. (Đề thi HSG cấp trường) a − 1 b + 1 So sánh hai phân số và
(với a, b là số nguyên cùng dấu và ; a b  0) a b Lời giải a −1 1 b + 1 1 Có = 1− và = 1+ a a b b 1 1 1 1 a −1 b + 1
*Nếu a  0,b  0 
 0 và  0  1−  1+ hay  a b a b a b 1 1 1 1 a −1 b + 1
*Nếu a  0,b  0 
 0;  0  1−  1+   a b a b a b
Bài 90. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) B Cho 2 3 98 99 100
A = 1+ 4 + 4 + 4 + ..... + 4 + 4 , B = 4
Chứng minh rằng: A  . 3 Lời giải 4A = 4.( 2 3 4 98 99
1 + 4 + 4 + 4 + 4 + .....4 + 4 ) 2 3 4 98 99 100
= 4 + 4 + 4 + 4 + .....4 + 4 + 4 100 4 −1 100
 4A − A = 4 −1 A = 3 100 100 4 −1 4 Vì 100 100 4 −1  4   3 3 B Vậy A  3
Bài 91. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) a + n a a) Cho a, , b n  * . Hãy so sánh b + và n b 68 HSG TOÁN 6 11 10 10 −1 10 +1 b) Cho A = ; B = . So sánh A và B. 12 11 10 −1 10 +1 Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp a a + n a Th1:
= 1  a = b  = = 1 b b + n b a a + n a − b Th2:
 1  a b a + m b + n , mà
có phần thừa so với 1 là b b + n b + n a a − b a − b a − b a + n a
có phần thừa so với 1 là , vì   b b b + nên n b b + n b a Th3:
 1  a b a + n b + n b a + n a − b a − b b − a a + n a Khi đó có phần bù tới 1 là , vì   b + n b b b + nên n b + n b 11 10 −1 b) Cho A = 12 10 −1 a a + n a ( 11 10 − ) 11 1 + 11 10 + 10
rõ ràng A  1nên theo câu a,  1    A  = b b + n b ( 12 10 − ) 12 1 + 11 10 + 10 + 10 10 10 ( 10 11 10 + ) 10 1 + Do đó 10 1 A  = = 12 10 + 10 10.( 11 10 + ) 11 1 10 + 1 Vậy A < B.
Bài 92. (Đề thi HSG 6 2018 - 2019 ) 1 1 1 1 Chứng minh + + + .....+  1 2 2 2 2 2 3 4 n Lời giải 1 1 1 1 Ta có:  = − 2 n . n (n − ) 1 n −1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Áp dụng : 1− ;  − ;......;  − 2 2 2 2 2 3 2 3 n n −1 n 1 1 1 1 1  + + +.....+ 1−  1 2 2 2 2 2 3 4 n n
Bài 93. (Đề thi HSG6 năm 2019 - 2020 ) 2016 2016 +1 2015 2016 +1 So sánh: A = và B = 2017 2016 +1 2016 2016 +1 Lời giải + + + 2016.( 2015 2016 2016 2016 + ) 1 2016 1 2016 1 2015 A =  =
= B A B 2017 2017 2016 +1 2016 +1+ 2015 2016( 2016 2016 + ) 1 69 TOÁN 6
Bài 94. (Đề thi HSG 6 - 2019 - 2020) 2006 2006 +1 2005 2006 +1 So sánh A = và B = 2007 2007 +1 2006 2006 +1 Lời giải a a a + n Ta có nếu 1  (n ) * b b b + n 2006 2006 2006 2006 +1 2006 +1+ 2005 2006 + 2006 A =  = 2007 2007 2007 2006 +1 2006 + 2005 +1 2006 + 2006 2006.( 2005 2006 + ) 2005 1 2006 +1 = = = B 2006.( 2006 2006 + ) 2006 1 2006 +1 Vậy A B
Bài 95. (Đề thi HSG6 - 2018-2019 )
So sánh các biểu thức: a) 200 3 và 300 2 121212 2 404 10 b) A = + − với B = 171717 17 1717 17 Lời giải 100 100 a) Ta có: 200 = ( 2 ) 100 100 =  = ( 3) 300 200 300 3 3 9 8 2 = 2  3  2 121212 2 404 12 2 4 10 b) A = + − = + − =  A = B 171717 17 1717 17 17 17 17
Bài 96. (Đề thi HSG 6 - huyện Thanh Oai - 2018 -2019 ) 1 1 1 1 91 Cho biết S = + +......+ . Chứng minh rằng  S  101 102 130 4 330 Lời giải 91 *Chứng minh S  330  1 1 1   1 1   1 1  S = + +....+ + +....+ + + .....+       101 102 110  111 120  121 130   1 1 1   1 1   1 1  S  + +.....+ + +.....+ + +.....+       100 100 100  110 110  120 120  1 1 1 1 1 1 181 182 91 S  .10 + .10 + .10 = + + =   100 110 120 10 11 12 660 660 330  91 S  (1) 330 1 *Chứng minh  S 4 70 HSG TOÁN 6  1 1   1 1   1 1  S  +.....+ + +....+ + +....+       110 110   120 120   130 130  1 1 1 1 1 1 S  .10 + .10 + .10 = + + 110 120 130 11 12 13 431 429 1 S    S  (2) 1716 1716 4 1 91 Từ (1) và (2)   S  4 330
Bài 97. (Đề thi HSG 6 cấp Huyện 2018 -2029 ) Thực hiện so sánh: 20132013 131313 a) A = với B = 20142014 141414 9 10 )
b C = 2013 + 2013 với 10 D = 2014 Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13 a) A = = ; B = = 2014.10001 2014 14.10101 14 2013 1 13 1 1− A = 1− = ;1− B = 1− = 2014 2014 14 14
Do1− A  1− B A B 9
b) C = 2013 .(1+ 2013) 9 = 2013 .2014 9 D = 2014 .2014
2013  2014  C D
Bài 98. (Đề thi HSG 6 ) So sánh 10 9 2004 + 2004 và 10 2005 Lời giải 10 9 9 + = ( + ) 9 2004 2004 2004 . 2004 1 = 2004 .2005 10 9 2005 = 2005 .2005 9 9 10 9 10
Do 2004 .2005  2005 .2005  2004 + 2004  2005
Bài 99. (Đề thi HSG 6 - Việt Yên 2019-2020) 2014 10 + 2016 2015 10 + 2016 So sánh A = và B = 2015 10 + 2016 2016 10 + 2016 Lời giải Ta có: 71 TOÁN 6 + ( 2014 10 + 2016).( 2016 2014 10 + 2016 10 2016 ) A = = 2015 10 + 2016 ( 2015 10 + 2016).( 2016 10 + 2016) 4030 10 + 2016.( 2014 2016 10 +10 ) 2 4030 2014 2 + 2016 10 + 2016.10 .101+ 2016 = ( = (1) 2015 10 + 2016).( 2016 10 + 2016) ( 2015 10 + 2016).( 2016 10 + 2016) Lại có + ( 2015 10 + 2016).( 2015 2015 10 + 2016 10 2016 ) B = = 2016 10 + 2016 ( 2016 10 + 2016).( 2015 10 + 2016) 4030 2015 2 4030 2014 2 10 + 2.2016.10 + 2016 10 + 20.2016.10 + 2016 = ( = (2) 2015 10 + 2016)( 2016 10 + 2016) ( 2015 10 + 2016)( 2016 10 + 2016)
Từ (1) và (2)  A B
Bài 100. (THCS Duy Xuyên năm học 2018- 2019) 1 1 1 Chứng minh rằng: + + ....+  1 2 2 2 2 3 100 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +....+  + +....+ = 1− + − + .....+ − 2 2 2 2 3 100 1.2 2.3 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99  + +....+ 1− = 1 2 2 2 2 3 100 100 100
Bài 101. (Đề thi HSG Thanh Chương năm học 2018- 2019) 1 1 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + + + + +  3 30 32 35 45 47 50 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 + +  + + = 30 32 35 30 30 30 10 1 1 1 1 1 1 1 + +  + + = 45 47 50 45 45 45 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  + + + + + +  + + = 3 30 32 35 45 47 50 3 10 15 2
Bài 102. (Đề thi HSG 6 Duy Xuyên năm học 2019- 2020) 23 23232323 2323 232323 So sánh các phân số: ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Lời giải 72 HSG TOÁN 6 23 23.101 2323 = = 99 99.101 9999 23 23.10101 232323 = = 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 = = 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323  = = = 99 9999 999999 99999999
Bài 103. (Đề thi HSG 6 Thanh Chương năm học 2018- 2019) 2012 2012 +1 2011 2012 +1 So sánh : A = và B = 2013 2012 +1 2012 2012 +1 Lời giải 2012 2012 +1 Vì 2012 2013 2012 +1 2012 +1 1 2013 2012 +1 2012 2012 2012 +1 2012 +1+ 2011   2013 2013 2012 +1 2012 +1+ 2011 + 2012.( 2011 2012 2012 + ) 2011 1 2012 2012 2012 +1 = = = = B 2013 2012 + 2012 2012.( 2012 2012 + ) 2012 1 2012 +1  A B Bài 104. 1 1 1 1 3 a) Cho A = + + +.....+
. Chứng minh rằng A  2 2 2 2 2 3 4 100 4 b) So sánh 20 17 và 15 31 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A = + + +......+  + + + ....+ 2 2 2 2 2 2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1  A  + − + − + ......+ − 2 2 2 3 3 4 99 100 1 1 1 3  A  + −  A 2 2 2 100 4 b)17 16 = (2 )20 20 20 4 80 = 2 15 15 15 75 31  32 = 25 = 2 15 75 80 20 15 20 31  2  2  17  31 17
Bài 105. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) So sánh : 2008 2009 +1 2009 2009 +1 a) A = với B = 2009 2009 +1 2010 2009 +1 73 TOÁN 6 b) 11 31 và 14 17 Lời giải
a)Thực hiện quy đồng mẫu số: ( 2008 2009 + ) 1 ( 2010 2009 + ) 4018 2010 2008 1 2009 + 2009 + 2009 +1 A = ( = 2009 2009 + ) 1 ( 2010 2009 + ) 1 ( 2009 2009 + ) 1 ( 2010 2009 + ) 1 ( 2009 2009 + ) 1 ( 2009 2009 + ) 4018 2010 2008 1 2009 + 2009 + 2009 +1 B = ( = 2010 2009 + ) 1 ( 2009 2009 + ) 1 ( 2010 2009 + ) 1 ( 2009 2009 + ) 1 2010 2008 2009 + 2009 = 2008 2009 .( 2 2009 + ) 1 2009 2009 2008 2009 + 2009 = 2009 .(2009 + 2009) Do ( 2 2009 + )
1  (2009 + 2009)  A B  = ( )11 =  = ( )14 11 11 5 55 56 4 14 14 11 14 31 32 2 2 2 2 =16 17  31 17
Bài 106. So sánh hai phân số: 2012 10 −10 2011 10 +10 B = và A = 2013 10 −10 2012 10 +10 Lời giải Vì B  1nên − + + 10( 2011 2012 2012 10 +10 10 10 110 10 100 ) 2011 10 +10 B  = = = = A 2013 2013 10 −10 +110 10 +100 10( 2012 10 +10) 2012 10 +10 7 − 1 − 5 1 − 5 7 −
Bài 107. So sánh không qua quy đồng: A = + ; B = + 2005 2006 2005 2006 10 10 10 10 Lời giải 7 − 1 − 5 7 − 8 − 7 − A = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 1 − 5 7 − 7 − 8 − 7 − B = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 8 − 8 −   A B 2006 2005 10 10
Bài 108. Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 9 A = + ; B = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10 Lời giải Ta có: 74 HSG TOÁN 6 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − A = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 1 − 0 1 − 0 Ta thấy   A B 2011 2010 10 10 Bài 109. a + n a a) Cho a, , b n  * . Hãy so sánh và b + n b 11 10 10 −1 10 +1 b) Cho A = ; B = . So sánh A và B. 12 11 10 −1 10 +1 Lời giải
a) Ta xét 3 trường hợp a a + n a Th1: =1 a = b  = =1 b b + n b a a + n a − b Th2:
1  a b a + m b + n , mà
có phần thừa so với 1 là b b + n b + n a a − b a − b a − b a + n a
có phần thừa so với 1 là , vì   b b b + nên n b b + n b a Th3:
1 a b a + n b + n b + − − − + Khi đó a n a b a b b a a n a vì   b + có phần bù tới 1 là , n b b b + nên n b + n b 11 10 −1 b) Cho A = 12 10 −1 a a + n a ( 11 10 − ) 11 1 +11 10 +10
rõ ràng A  1nên theo câu a, 1   A  = b b + n b ( 12 10 − ) 12 1 +11 10 +10 + 10 10 10 ( 10 11 10 + ) 10 1 + Do đó 10 1 A  = = 12 10 +10 10.( 11 10 + ) 11 1 10 +1
Bài 110. (Đề thi HSG 6 THCS Kim Trực- Kim Bài 2017-2018) Cho , x ,
y z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng biểu thức sau không có giá trị nguyên. x y z A = + + x + y y + z z + x Lời giải 75 TOÁN 6 Chứng minh được:  x x  +  x x z    x + y x + y + zx + y x + y + z   y yy y + x    A 1    A  2 y + z x + y + zy + z x + y + z   z zz z + y    
z + x x + y + z
z + x x + y + z
Vậy 1 A  2nên A không là số nguyên.
Bài 111. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) So sánh 11 8 ) a 27 & 81 36 24 ) b 5 & 11 39 21 ) c 3 & 11 Lời giải a = ( )11 = = ( )8 11 3 33 8 4 32 ) 27 3 3 ; 81 3 = 3 33 32 11 8
Do3  3  27  81 b = ( )12 = = ( )12 36 3 12 24 2 12 ) 5 5 125 ;11 11 =121 12 12 36 24 1
Do 25 121  5 11 c  = ( )10 =  = ( )10 39 40 4 10 21 20 2 10 ) 3 3 3 81 ; 11 11 11 =121 10 10 21 39 1
Do 21  81 11  3
Bài 112. (Đề thi HSG 6 trường….. 2018 - 2019)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 9 A = + ; B = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10 Lời giải Ta có: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − A = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 1 − 0 1 − 0 Ta thấy   A B 2011 2010 10 10
Bài 113. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019) Cho 2 3 4 71 72
A = 1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + ..... + 2012 + 2012 và 73 B = 2012 −1. So sánh A và B 76 HSG TOÁN 6 Lời giải Ta có: 2 3 4 72 73
2012A = 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + .... + 2012 + 2012 73 − Lấy 73 2012 1
2012A − A = 2012 −1, Vậy 73 A =  B = 2012 −1 2011
Bài 114. (Đề thi HSG 6 huyện ….. 2019 - 2020) −22 51 a) So sánh : và − 45 103 2009 2009 +1 2010 2009 − 2 b) So sánh : A = và B = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 2 − 2 5 − 1 a)  = =      45 44 2 102 101 45 101 45 101 2010 2009 − 2 ) b B = 1 2011 2009 − 2 2010 2010 2010 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009  B =  = 2011 2011 2011 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 2009( 2009 2009 + ) 2009 1 2009 +1 = = = A 2009( 2010 2009 + ) 2010 1 2009 +1 Vậy A B
Bài 115. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 20… - 20…) 2012 + 2011 + So sánh phân số: 2012 1 2012 1 A = và B = 2013 2012 +1 2012 2012 +1 Lời giải 2013 2012 + 2012 2011 Ta có: 2012.A = =1+ (1) 2013 2013 2012 +1 2012 +1 2012 2012 + 2012 2011 2012B = =1+ (2) 2012 2012 2012 +1 2012 +1 2011 2011 Từ (1) và (2) ta thấy:  2013 2012 2012 +1 2012 + 1
Suy ra 2012A  2012B A B
Bài 116. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Nguyễn Khuyến 2017-2018)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 9 A = + ; B = + 2012 2011 2011 2012 10 10 10 10 Lời giải 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − A = + = + + 2012 2011 2012 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2012 2011 2012 2012 1 − 0 1 − 0 Mà  nên A B 2011 2012 10 10 77 TOÁN 6
Bài 117. (Đề thi HSG 6 Huyện Lương Tài 2015-2016)
So sánh A và B biết: 18 17 17 +1 17 +1 A = , B = 19 18 17 +1 17 +1 Lời giải + + + + 17.( 17 18 18 18 17 + ) 17 1 17 1 17 1 17 1 16 17 +1 Vì A = 1 A =  = = = B 19 19 19 17 +1 17 +1 17 +1+16 17.( 18 17 + ) 18 1 17 +1
Bài 118. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019) So sánh hai số 66 55 và 55 66 Lời giải 11 11 Ta có: 66 = ( 6 ) 55 = ( 5 55 55 ; 66 66 ) Vì 6 6 6 5 55 = 5 .11 = 15625.11.11 ; 5 5 5 5 6 5
66 = 6 .11 = 7776.11  55  66 Suy ra 66 55 55  66
Bài 119. (HSG Toán 6 cấp trường) So sánh: 91 2008 2008 2005 2011 a) 2 và 35 5 b) B = + , A = + (x, , m n  * m n m n ) x x x x Lời giải 91 90 18 18 36 35 91 35
a)2  2 = 32  25 = 5  5  2  5 3 3 b) Tách rồi so sánh: , m n x x
Xét x =1 A = B
A = B m = n
Xét x  1: A B m n
A B m n
Bài 120. (HSG Toán 6 cấp trường)
Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1;2;3với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần Lời giải
*Trường hợp không dùng lũy thừa
Số lớn nhất có thể viết được: 321
*Trường hợp dùng lũy thừa
- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 2 2 3 3 13 ,31 ,12 ,21 3 So sánh 21 và 2 31 , ta có: 3 2 21  31 78 HSG TOÁN 6
Xét các lũy thừa mà số mũ có 2 chữ số: 13 31 12 21 2 ,2 ,3 ,3 31 So sánh 21 3 và 2 ta có: = = ( )10 21 20 2 10 3 3.3 3. 3 = 3.9 = = ( )10 31 30 3 10 2 2.2 2. 2 = 2.8 Từ đó suy ra 21 31 3  2 So sánh 21 3 với 3 21 ta có:  = ( )3 21 9 3 3 3 3 3 3 = 27  21 Vậy số lớn nhất là 21 3
Bài 121. (Đề HSG Toán 6_Đặng Chánh Kỷ_2018-2019) Cho 2 phân số 1 a 2   7 b 3 a 1 a 2
Tìm 10 phân số có dạng sao cho   b 7 b 3 a
Có thể tìm được bao nhiêu phân số thỏa mãn điều kiện trên ? b Lời giải 3 a 14 a)   10 phân số là: 4 5 13 ; ;.....; 21 b 21 21 21 21
b) Có vô số phân số thỏa mãn điều kiện trên vì các phân số cần tìm phụ thuộc vào mẫu chung. Nếu
mẫu chung càng lớn thì phân số càng nhiều
Bài 122. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2018-2019)
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 9 A = + ; B = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10 Lời giải 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − A = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 1 − 0 1 − 0 Ta thấy   A B 2011 2010 10 10
Bài 123. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2019-2020) 7 − 1 − 5 1 − 5 7 −
So sánh không qua quy đồng: A = + ; B = + 2005 2006 2005 2006 10 10 10 10 Lời giải 79 TOÁN 6 7 − 1 − 5 7 − 8 − 7 − A = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 1 − 5 7 − 7 − 8 − 7 − B = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 8 − 8 −   A B 2006 2005 10 10
Bài 124. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2019-2020) 15 25 a)So sánh phân số: với 301 499 1 2 3 n 2007 b)So sánh tổng S = + + +.....+ +......+ với 2. (n ) * 2 3 n 2007 2 2 2 2 2 Lời giải 15 15 1 25 25 15 25 a)  = =  .Vậy  301 300 20 500 499 301 499 n n +1 n + 2
b)Với mọi n  2, ta có: = − . Từ đó ta có: n n 1 2 2 + 2n 1  3 4   4 5   2008 2009  2009 S = + − + − +.....+ − = 2 −  2       . Vậy S  2 2 2 3 2006 2007 2007 2  2 2   2 2   2 2  2
Bài 125. Đề HSG Toán 6_cấp huyện_2018-2019 1 3 5 9999 Cho A = . . ..... . So sánh A với 0,01 2 4 6 10000 Lời giải 1 3 5 9999 2 4 6 10000 A = . . ...... ,đặt B = . . ...... 2 4 6 10000 3 5 7 10001 1 2 3 4 9999 10000 Vì  ;  ;......; 
nên A B mà A  0; B  0 2 3 4 5 10000 10001  1 3 5 9999   2 4 6 10000  2  A  . A B = . . ...... . . . ......      2 4 6 10000   3 5 7 10001  1 2 3 9999 10000 1 1 = . . ...... . =  = (0,0 )2 1  A  (0,0 )2 2 1  A  0,01 2 3 4 10000 10001 10001 10000
Bài 126. Đề HSG Toán 6_Nga Sơn_2018-2019 201201 201201201 200 )3 a và 300 2 b) 50 71 và 75 37 c) và 202202 202202202 Lời giải a) So sánh 200 3 và 300 2 100 100 Ta có: 200 = ( 2 ) 100 300 = = ( 3) 100 3 3 9 ; 2 2 = 8 Mà 100 100 8  9 nên 300 200 2  3 b) So sánh 50 71 và 75 37 80 HSG TOÁN 6 Ta thấy :  = ( )50 50 50 150 100 71 72 8.9 = 2 .3 (1)  = ( )75 75 75 2 2 150 150 37 36 2 .3 = 2 .3 (2) 150 150 150 100 Mà 2 .3  2 .3 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 75 50 37  71 201201 201 1001 201 201201201 201 1001001 201 c) Ta có: = . = ; = . = 202202 202 1001 202 202202202 202 1001001 202
Vậy 2 phân số trên bằng nhau.
Bài 127. Đề HSG Toán 6_Nga Sơn_2018-2019 1 1 1 1 1 Cho A = + + + +.....+
. Chứng minh : A  2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 50 Lời giải 1 1 1 Ta có:  =1− 2 2 1.2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = − ;  = − ......;  = − 2 2 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 50 49.50 49 50 Vậy 1 1 1 1 1 A = + + + +....+ 2 2 2 2 2 1 2 3 4 50 1 1 1 1 1  + + + + .....+ 1 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 1 =1+ − + − + ...+ − 1 2 2 3 49 50 1 99 =1+1− =  2 50 50
Bài 128. (ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 6- THANH OAI- 2018-2019) 5 5 5 5 5 Cho S = + + + + .......+
.Chứng minh rằng 3  S  8 20 21 22 23 49 Lời giải 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Xét tổng S = + +......+ +  + + .....+ + = 30. = 3 20 21 48 49 50 50 50 50 50  S  3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 15 S = + +......+ +  + +.....+ + = 30. =  8 20 21 48 49 20 20 20 20 20 2  S 8  3 S  8
Bài 129. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- HẢI HẬU)
Với n là số tự nhiên, hãy so sánh bội chung nhỏ nhất của 2
n + n + 2 và 3 với 2 n + n + 2 81 TOÁN 6 Lời giải
Với mọi số tự nhiên n thì 2
n + n + 2 không chia hết cho 3, thật vậy: 2
n + n + 2 = n(n + ) 1 + 2
Nếu n 3 thì n(n + ) 1 3  n(n + ) 1 + 2 chia cho 3 dư 2
Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + ( 1 k  ) khi đó 2 n + n +
= ( k + )( k + ) + = ( 2 2 3 1 3 2 2 3 3k + 5k ) +1 chia cho 3 dư 1
Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n + 1chia hết cho 3 khi đó 2
n + n + 2 chia cho 3 dư 2 Như vậy 2
n + n + 2 không chia cho 3 với mọi n
, mà 3 là số nguyên tố nên 2 2 2
BCNN(n + n + 2;3) = 3(n + n + 2)  n + n + 2
Bài 130. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- THANH CHƯƠNG)
Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 1717 1313 a) và b) 8 16 9 .5 và 20 19 8585 5151 Lời giải 1717 17 1 13 13 1313 1717 1313 a) = = =  =   8585 85 5 65 51 5151 8585 5151 8 16 16 16 16 16 20 8 16 20 )
b 9 .5 = 3 .5 =15 19 19 9 .5 19
Bài 131. (Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2019 - 2020) −22 51 a)So sánh : và − 45 101 2009 2009 +1 2010 2009 − 2 b)So sánh : A = và B = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 2 − 2 5 − 1 a)  = =      45 44 2 102 101 45 101 45 101 2010 2009 − 2 b)B = 1 2011 2009 − 2 2010 2010 2010 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009  B =  = 2011 2011 2011 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 2009 ( 2009 2009 + ) 2009 1 2009 +1 = = = A 2009 ( 2010 2009 + ) 2010 1 2009 +1 Vậy B A
Bài 132. (Đề thi HSG 6 huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) 30 31 19 + 5 19 + 5
So sánh M và N biết: M = ; N = 31 32 19 + 5 19 + 5 82 HSG TOÁN 6 Lời giải + 19.( 30 30 19 + 5 19 5 ) 31 19 + 95 90 M = 19M = = =1+ 31 31 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 + 19.( 31 31 19 + 5 19 5 ) 32 19 + 95 90 N = 19N = = =1+ 32 32 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 90 90  1+ 1+ 19M 19N 31 32 31 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 Vậy M N
Bài 133. ( HSG 6 Huyện Vĩnh Tường năm 2019 – 2020 ) 123456789 So sánh : 9 123456789 và 9 Lời giải  =   = ( )10 123456789 100.000.000 50.000.000 50.000.000 100 10 9 9 9 81 10 10 10 123456789
Bài 134. ( HSG 6 năm 2018 – 2019 ) − − − − So sánh không qua quy đồ 7 15 15 7 ng: A = + ; B = + 2005 2006 2005 2006 10 10 10 10 Lời giải 7 − 1 − 5 7 − 8 − 7 − A = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 1 − 5 7 − 7 − 8 − 7 − B = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 8 − 8 −   A B 2006 2005 10 10
Bài 135. ( HSG 6 năm 2018 – 2019 ):
Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 9 − 1 − 9 9 − 1 − 9 A = + ; B = + 2010 2011 2011 2010 10 10 10 10 Lời giải 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − A = + = + + 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 9 − 1 − 9 9 − 1 − 0 9 − B = + = + + 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 1 − 0 1 − 0 Ta thấy   A B 2011 2010 10 10 83 TOÁN 6
Bài 136. (Đề thi HSG 6 huyện VIỆT YÊN 2019-2020) 2014 10 + 2016 2015 10 + 2016 So sánh A = và B = 2015 10 + 2016 2016 10 + 2016 Lời giải + ( 2014 10 + 2016).( 2016 2014 10 + 2016 10 2016 ) Ta có: A = = 2015 10 + 2016 ( 2015 10 + 2016).( 2016 10 + 2016) 4030 10 + 2016.( 2014 2016 10 +10 ) 2 4030 2014 2 + 2016 10 + 2016.10 .101+ 2016 = ( = (1) 2015 10 + 2016).( 2016 10 + 2016) ( 2015 10 + 2016).( 2016 10 + 2016) + ( 2015 10 + 2016).( 2015 2015 10 + 2016 10 2016 ) Lại có B = = 2016 10 + 2016 ( 2016 10 + 2016).( 2015 10 + 2016) 4030 2015 2 4030 2014 2 10 + 2.2016.10 + 2016 10 + 20.2016.10 + 2016 = ( = (2) 2015 10 + 2016)( 2016 10 + 2016) ( 2015 10 + 2016)( 2016 10 + 2016)
Từ (1) và (2)  A B
Bài 137. (Đề thi HSG 6 THCS XUÂN DƯƠNG 2019-2020) 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + + + ...... + + 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 2011 2012 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Ta có:  ;  ;.......;  2 2 2 2 1.2 3 2.3 2012 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + .....+ +  + + + .....+ 2 2 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 = − + − + − + .....+ − = 1 2 2 3 3 4 2011 2012 2012 1 1 1 1 1  + + + .....+ + 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2011 2012
Bài 138. (Đề thi HSG 6 THCS HỒNG DƯƠNG 2019-2020) 2012 2011 2013 2012
So sánh A và B biết: A = 2011 − 2011 ; B = 2011 − 2011 Lời giải Ta có: 2012 2011 2011 A = − = ( − ) 2011 2011 2011 2011 . 2011 1 = 2011 .2010 84 HSG TOÁN 6 2013 2012 2012 B = − = ( − ) 2012 2011 2011 2011 . 2011 1 = 2011 .2010 2012 2011 Do 2011
 2011  B A.
Bài 139. (Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019) Cho 2 3 99 100
A =1+ 4 + 4 + 4 + .... + 4 ; B = 4 B
Chứng minh rằng: A  3 Lời giải 2 3 4 100
4 A = 4 + 4 + 4 + 4 + ..... + 4 2 3 99
A = 1+ 4 + 4 + 4 + ..... + 4 100
3A = 4A − A = 4 −1 100 100 4 −1 4 BA =  = 3 3 3 B Vậy A  3
Bài 140. (Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019) 2013 2012 2013 +1 2013 +1 So sánh C và D: C = ; D = 2014 2013 2013 +1 2013 +1 Lời giải 2013 2014 2013 +1 2013 + 2013 2012 C =  2013C = =1+ 2014 2014 2014 2013 +1 2013 +1 2013 +1 2012 2013 2013 +1 2013 + 2013 2012 D =  2013D = =1+ 2013 2013 2013 2013 +1 2013 +1 2013 +1 2012 2012 Vì 
 2013C  2013D C D 2014 2013 2013 +1 2013 +1
Bài 141. (Đề thi HSGH 6, 2018-2019) Thực hiện so sánh: 20132013 131313 a) A = với B = 20142014 141414 b) 9 10 C = 2013 + 2013 với 10 D = 2014 Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13 a) A = = ; B = = 2014.10001 2014 14.10101 14 2013 1 13 1 1− A = 1− = ;1− B = 1− = 2014 2014 14 14 85 TOÁN 6
Do 1− A 1− B A  . B b) 9 C = ( + ) 9 2013 . 1 2013 = 2013 .2014 9 D = 2014 .2014
Mà 2013  2014  C D Bài 142. a + n a
a) Cho a,b, n  *. Hãy so sánh và b + n b 11 10 10 −1 10 +1 b) Cho A = ; B = 12 11 10 −1 10 + . So sánh A và B. 1 Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp a a + n a Th1: =1 a = b  = =1 b b + n b a a + n a − b Th2:
1  a b a + m b + n , mà b b +
có phần thừa so với 1 là n b + n a a − b a − b a − b a + n a
có phần thừa so với 1 là , vì   b b b + nên n b b + n b a Th3:
1 a b a + n b + n b a + n − − − + Khi đó a b a b b a a n a vì   b + có phần bù tới 1 là , n b b b + nên n b + n b 11 10 −1 b) Cho A = 12 10 − 1 a a + n a ( 11 10 − ) 11 1 +11 10 +10
Rõ ràng A  1nên theo câu a, 1   A  = b b + n b ( 12 10 − ) 12 1 +11 10 +10 + 10 10 10 ( 10 11 10 + ) 10 1 + Do đó 10 1 A  = = 12 10 +10 10.( 11 10 + ) 11 1 10 +1 Bài 143. a Cho phân số
(a b)cùng thêm mđơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn b a ? b Lời giải 86 HSG TOÁN 6
Theo bài toán cho a b am bm
ab + am ab + bm
a(b + m)  b(a + m) a a + m   b b + m Bài 144. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) − + − + −  2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − + − +......+ −  2 2 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A = − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1  2A =1− + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 1 2 −1
 2A + A = 3A =1− = 1 6 6 2 2 1
 3A 1 A  3 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A = − + − +.....+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 99 100  3A =1− − + − +......+ − 2 3 4 98 99 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100  4A =1− + − +......+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4A 1− + − +......+ − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B = 1− + − +.....+ −  3B = 2 + − +....+ − 2 3 98 99 2 97 98 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3
4B = B + 3B = 3 −  3  B  (2) 99 3 4 3 3
Từ (1) và (2)  4 A B   A  4 16 Bài 145. 4 6 Tìm phân số lớn hơn , nhỏ hơn và có mẫu số bằng 20. 17 17 87 TOÁN 6 Lời giải a
Gọi phân số phải tìm là , a là số tự nhiên 20 4 a 6  
 80 17a 120  5  a  7  a = 6 17 20 17 Bài 146. So sánh 2010 2009 2009 + 2009 với 2010 2010 Lời giải 2010 2009 2009 + = ( + ) 2009 2009 2009 2009 2009 1 = 2009 .2010 Bài 147. 2001 2002 10 1 10 1 Cho A ; B . Hãy so sánh A và B. 2002 2003 10 1 10 1 Lời giải 2002 10 10 9 Ta có: 10A 1 1 2002 2002 10 1 10 1 2003 10 10 9 Tương tự: 10B 1 (2) 2003 2003 10 1 10 1 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy: 10A 10B A B 2002 2003 10 1 10 1 Bài 148. 22 51 a) So sánh: và ; 45 103 2009 2009 1 2010 2009 2 b) So sánh: A và B . 2010 2009 1 2011 2009 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 22 51 a) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 2010 2009 2 b)B 1 2011 2009 2 2010 2010 2010 2009 2 2009 2 2011 2009 2009 B 2011 2011 2011 2009 2 2009 2 2011 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 2009 1 A 2010 2010 2009 2009 1 2009 1 Vậy A B 88 HSG TOÁN 6 Bài 149. a n a a) Cho , a , b n *. Hãy so sánh và b n b 11 10 10 1 10 1 b) Cho A ; B . So sánh A và B. 12 11 10 1 10 1 Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp a a n a Th1: 1 a b 1 b b n b a a n a b Th2: 1 a b a m b n , mà
có phần thừa so với 1 là b b n b n a a b a b a b a n a
có phần thừa so với 1 là , vì nên b b b n b b n b a Th3: 1 a b a n b n b a n a b a b b a a n a Khi đó có phần bù tới 1 là , vì nên b n b b b n b n b 11 10 1 b) Cho A 12 10 1 11 11 10 1 11 a a n a 10 10 rõ ràng A 1nên theo câu a, 1 A 12 12 b b n b 10 1 11 10 10 10 11 10 10 10 1 10 10 10 1 Do đó A 12 11 11 10 10 10. 10 1 10 1
Bài 150. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019) Chứng minh rằng: 1999 714 2  7 Lời giải 10 2 =1024 
 2  3.7  (2 )238  3 .(7 )238 10 3 10 238 3 2380 238 714  2  3 .7 3 7 = 343 8 2 = 256 5 8   3  2 5 3  = 243 Mặt khác: 89 TOÁN 6 3
= 3 .3 = 3 .(3 )47  3 .(2 )47 238 3 235 3 5 3 8 5 376 381 238 381  2 .2 = 2  3  2 2380 238 714 2380 381 714 1999 714 2  3 .7  2  2 .7  2  7
Bài 151. (Đề thi HSG 6 THCS HOẰNG PHỤ 2019-2020) 99 2018 −1 98 2018 −1 a) So sánh E = và F = 100 2018 −1 99 2018 −1
b) Tìm số nguyên tố ab(a b  0). Biết ab − ba là số chính phương
c) Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số abc
Tìm giá trị lớn nhất của A = +1918 a + b + c Lời giải a) Ta có: 99 100 2018 −1 2018 − 2018 2017 E =  2018E =  2018E =1− 100 100 100 2018 −1 2018 −1 2018 −1 99 99 2018 −1 2018 − 2018 2017 F =  2018F =  2018F =1− 99 99 99 2018 −1 2018 −1 2018 −1 2017 2017 2017 2017 Vì  1− 1− 100 99 100 99 2018 −1 2018 −1 2018 −1 2018 − 1
Hay 2018E  2018F E F
b) Ta có: ab − ba = 9(a − b)
Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố nên 3  b  9(a − b)là số chính phương khi a − b1;  4
Với a − b =1mà ab là số nguyên tố ta được số ab = 43
Với a − b = 4mà ab là số nguyên tố ta được số ab = 73 Vậy ab 43;7  3 abc
100a +10b + c a) A = +1918 = +1918 a + b + c a + b + c
Nếu b = c = 0 thì A =100 +1918 = 2018
Nếu b hoặc c khác 0 thì
100a +100b +100c A
+1918 =100 +1918 = 2018  A  2018 a + b + c 90 HSG TOÁN 6
Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a 1;2;....;  9 ;b = c = 0
(Hai ý b,c này thầy cô tự chuyển nha, GV tách nhầm chuyên đề rồi)
Bài 152. (Đề thi HSG 6 huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) So sánh: 25 36 và 36 25 Lời giải 36 = (18.2)25 25 25 25 25 6 19 =18 .2 =18 .2 .2 36 25 11 25 22 25 3 19 25 = 25 .25 = 25 .5 = 25 .5 .5 3 6 3 6 25 25 19 19
5 = 125; 2 = 64  5  2  25 18 ;5  2 25 3 19 25 6 19 25 36  25 .5 .5 18 .2 .2 hay 36  25
Bài 153. (Đề thi HSG 6 TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + +......+  2 2 2 4 6 8 (2n)2 4 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + +.....+ 2 2 2 4 6 8 (2n)2 1 1 1 1 A = + + + + (2.2) ...... 2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 1  1 1 1 1  1  1 1 1  A = . + + +.....+  .    + + .....+  2 2 2 2 4  2 3 4 n  4  1.2 2.3  (n ) 1 n  −  1  1 1 1 1 1 1  A  . − + − + .....+ −   4 1 2 2 3 n −1 n  1  1  1 A  . 1−  (dfcm)   4  n  4
Bài 154. (Đề thi HSG 6 HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho M = ( a
− +b)−(b+ c − a)+(c − a).Trong đó , b c
còn a là một số nguyên âm. Chứng minh
rằng biểu thức M luôn dương và tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Lời giải M = a
− mà a là số nguyên âm nên M luôn dương x = 0, y = 0 hoặc x = 2, y = 2
(câu này cũng nhầm vị trí)
Bài 155. (Đề thi HSG 6 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA 2018-2019) 1 1 1 1 91 Cho biết S = + +......+ . Chứng minh rằng  S  101 102 130 4 330 91 TOÁN 6 Lời giải 91 *Chứng minh S  330  1 1 1   1 1   1 1  S = + +....+ + +....+ + + .....+       101 102 110  111 120  121 130   1 1 1   1 1   1 1  S  + +.....+ + +.....+ + +.....+       100 100 100  110 110  120 120  1 1 1 1 1 1 181 182 91 S  .10 + .10 + .10 = + + =   100 110 120 10 11 12 660 660 330  91 S  (1) 330 1 *Chứng minh  S 4  1 1   1 1   1 1  S  +.....+ + +....+ + +....+       110 110  120 120  130 130  1 1 1 1 1 1 S  .10 + .10 + .10 = + + 110 120 130 11 12 13 431 429 1 S    S  (2) 1716 1716 4 1 91 Từ (1) và (2)   S  4 330
Bài 156. (Đề thi HSG 6 huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) 30 31 19 + 5 19 + 5
So sánh M và N biết: M = ; N = 31 32 19 + 5 19 + 5 Lời giải + 19.( 30 30 19 + 5 19 5 ) 31 19 + 95 90 M = 19M = = =1+ 31 31 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 + 19.( 31 31 19 + 5 19 5 ) 32 19 + 95 90 N = 19N = = =1+ 32 32 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 90 90  1+ 1+ 19M 19N 31 32 31 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 Vậy M N Bài 157. 2 − 2 5 − 1 a)So sánh :  45 101 2009 2009 +1 2010 2009 − 2 b)So sánh : A = và B = 2010 2009 +1 2011 2009 − 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 2 − 2 5 − 1 a)  = =      45 44 2 102 101 45 101 45 101 92 HSG TOÁN 6 2010 2009 − 2 b)B = 1 2011 2009 − 2 2010 2010 2010 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009  B =  = 2011 2011 2011 2009 − 2 2009 − 2 + 2011 2009 + 2009 2009( 2009 2009 + ) 2009 1 2009 +1 = = = A 2009( 2010 2009 + ) 2010 1 2009 +1 Vậy B A
Bài 158. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Hãy so sánh : 9 123456789 và 123456789 9 Lời giải  =   = ( )10 123456789 100.000.000 50.000.000 50.000.000 100 10 9 9 9 81 10 10 10 123456789
Bài 159. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020) a b
Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng +  2 b a Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử a  b  a = b + m, m  a b b + m b m b m b  + = + =1+ + 1+ + = 2 b a b b + m b b + m b + m b + m
Bài 160. (Đề thi HSG 6 huyện 282 năm học 2018-2019) So sánh: 20132013 131313 a)A = với B = 9 10 b)C = 2013 + 2013 với 10 D = 2014 20142014 141414 Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13 a) A = = ; B = = 2014.10001 2014 14.10101 14 2013 1 13 1 1− A = 1− = ; 1− B = 1− = 2014 2014 14 14 1 1 Do 
1− A 1− B  A  B 2014 14 9 b) C = 2013 .(1+ 2013) 9 = 2013 .2014 9 D = 2014 .2014 2013  2014  C  D
Bài 161. (Đề thi HSG 6) 3 3 3 3 3 Cho S = + + + +
. Chứng minh rằng : 1< S < 2. 10 11 12 13 14 93 TOÁN 6 Lời giải 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S = + + + +  + + + + => S > =1 (1) 10 11 12 13 15 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 S= + + + +  + + + + => S <  = 2 (2) 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2. Bài 162. 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng : + + +...+  2 2 2 2 4 6 8 (2 ) n 4 Lời giải Ta có 1 1 1 1 A = + + +...+ 2 2 2 2 4 6 8 (2 ) n 1 1 1 1 A = + + +...+ 2 2 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2. ) n 1  1 1 1 1  1  1 1 1 1  A = + + +...+  + + +     2 2 2 2 4  2 3 4 n
4 1.2 2.3 3.4 (n −1)n  1  1 1 1 1 1 1 1 1  A  − + − + − +...+ −   4 1 2 2 3 3 4 (n −1) n  1  1  1 A  1−    (Đpcm) 4  n  4 Bài 163. 2010 2011 2012 1 1 1 1 So sánh A và B biết A = + + và B = + + +...+ 2011 2012 2010 3 4 5 17 Lời giải Ta có  1   1   2  A = 1 −  + 1−  + 1+   2011  2012   2010   1 1   1 1  A = 3 +  −  +  − 
 2010 2011  2010 2012 A  3  1 1   1 1   1 1 
B =  +  +  + ...+  +  + ...+   3 4   5 9  10 17  1 1 1 B  2 . + 5 . + 8 . 2 5 8 B  3 Từ đó suy ra A > B 94 HSG TOÁN 6 Bài 164.
Không tính giá trị biểu thức. Hãy so sánh: 1717 1313 a, và b, 98 . 516 và 1920 8585 5151 Lời giải 1717 17 1 13 13 1313 1717 1313 a, 8585 85 5 65 51 5151 8585 5151
b, 98 . 516 = 316.516 = 1516 <1916 < 1920 => 98 . 516 < 1920 Bài 165. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) − + − + −  ; 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − + − + ...+ −  3 32 33 34 399 3100 16 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A= − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2  1 1 1 1 1 2A= 1 − + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 −  1 2 1 2A+A =3A = 1- = 1 26 26  1 3A < 1  A < 3 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A= − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3  2 3 3 4 99 100 3A= 1- − + − + ...+ − 2 3 3 98 99 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1 1 100 4A = 1- + − + ...+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1 1 4A< 1- + − + ...+ − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- + − + ...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3  1 1 1 1 3B= 2+ − + ...+ − 2 97 98 3 3 3 3 1 3 4B = B+3B= 3- < 3  B < (2) 99 3 4 3 3
Từ (1)và (2)  4A < B <  A < 4 16 95 TOÁN 6 Bài 166.
Các phân số sau có bằng nhau hay không? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Lời giải Ta thấy; 23 1 . 23 01 2323 = = 99 1 . 99 01 9999 23 1 . 23 0101 232323 = = 99 1 . 99 0101 999999 23 1010101 . 23 23232323 = = 99 1010101 . 99 99999999 23 2323 232323 23232323 Vậy; = = = 99 9999 999999 99999999 Bài 167. 99 1999199919 1999 Cho phân số A = và phân số B =
. So sánh A và B. 00 2000200020 2000 Lời giải Ta có 199919991 99 9 1999000000+ 19990000+ 1999 A = = 200020002 00 0 2000000000+ 20000000+ 2000 1 ( 1999 00000000+10000 + = ) 1 = 1 .
1999 00010001 = 1999 = B 1 ( 2000 00000000+10000 + ) 1 1 . 2000 00010001 2000 Vậy A = B. Bài 168. 12n + 1 a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản. 30n + 2 1 1 1 1 b. Chứng minh rằng : + + +...+ <1 2 2 2 3 2 4 2 100 Lời giải
a. Gọi d là ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có
5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d 12n + 1
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó
là phân số tối giản b. Ta có 30n + 2 1 1 1 1 < = - 2 2 2.1 1 2 96 HSG TOÁN 6 1 1 1 1 < = - 2 3 2.3 2 3 ... 1 1 1 1 < = - 2 100 . 99 100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy + +...+ < - + - + ...+ - 2 2 2 3 2 100 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99 + +...+ <1- = <1 2 2 2 3 2 100 100 100 Bài 169. 6 9 2
Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3. 7 11 3 Lời giải 9 6 21 Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 11 7 22 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 3 22 22 + 21 + 27 70 Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai là : 210 :
= 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là: .66 = 81 22 22 22 Bài 170. So sánh: 222333 và 333222 Lời giải
Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111
333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 Suy ra: 222333 > 333222 Bài 171. 7 − 1 − 5 1 − 5 7 − So sánh N = + và M = + 2005 2006 10 10 2005 2006 10 10 Lời giải So sánh: 7 − 1 − 5 7 − 8 − 7 − Xét: N = + = + + 2005 2006 2005 2006 2006 10 10 10 10 10 97 TOÁN 6 1 − 5 7 − 7 − 8 − 7 − Và M = + = + + 2005 2006 2005 2005 2006 10 10 10 10 10 8 − 8 − Ta có:  2006 2005 10 10 Vậy N M
Bài 172. (Đề thi HSG 6)
Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0 và biểu thức: a b c d M = + + + a + b + c a + b + d a + c + d b + c + . d
Hỏi M có giá trị là số tự nhiên hay không? Vì sao ? Lời giải Vì * , a , b , c d
a +b + c a +b + c + a a d   a + b + c
a + b + c + d b b Tương tự :  a + b + d
a + b + c + d c ca + c + d
a + b + c + d d db + c + d
a + b + c + d
a + b + c + d Suy ra M > =1
a + b + c + d Vì * , a , b , c d
a +b + c a + a a b   a + b + c a + b b b Tương tự :  a + b + d a + b c ca + c + d c + ; d d db + c + d c + ; d a + b c + d Suy ra M < + = 2 a + b c + d
Vậy 1 M  2 nên M không là số tự nhiên. 98 HSG TOÁN 6
Bài 173. (Đề thi HSG 6 huyện 2006-2007) 15 25 a) So sánh phân số: với 301 499 1 2 3 n 2007 b) So sánh tổng S = + + +...+ +...+ với 2. ( * n  ) 2 3 n 2007 2 2 3 2 2 Lời giải 15 25 a) So sánh phân số: với 301 499 15 15 1 25 25  = =  . 301 300 20 500 499 15 25 Vậy < . 301 499 1 2 3 n 2007 b) So sánh tổng S = + + +...+ +...+ với 2. ( * n  ) 2 3 n 2007 2 2 3 2 2 n n +1 n + 2 Với n   2 ta có: = − . Từ đó ta có: n n 1 2 2 + 2n 1  3 4   4 5   2008 2009  S = + − + − +...+ −       2 2 3 2006 2007 2  2 2   2 2   2 2  2009 = 2 −  2 2007 2 Vậy S  2
Bài 174. (Đề thi HSG 6) 3 8 9999
So sánh giá trị của biểu thức: A = + +...+ với số 99. 4 9 10000 Lời giải Biến đổi:  1   1   1  A = 1− + 1− +...+ 1−        4   9   10000   1   1   1  A = 1− + 1− +...+ 1−       2 2 2  2   3   100   1 1 1  A = 99 − + +...+   2 2 2  2 3 100  A = 99 − B 99 TOÁN 6 1 1 1 Trong đó B = + +...+ 2 2 2 2 3 100
Vì B  0 nên A  99
Bài 175. (Đề thi HSG 6) 3 2 2 3 So sánh 2 số: 3 2 và 2 3 Lời giải 3 Ta có 2 8 4 4 12 10 3 = 3 = 9  8 = 2  2 3 2 2 10 9 9 9 3 Từ đó: 3 2 2.2 2 2 2 2  2 = 2 = 4  3 = 3 3 2 2 3 Suy ra: 3 2 > 2 3
Bài 176. (Đề thi HSG 6) 1 1 1 1 1
Chứng minh rằng: A = + + + ...+  2 3 99 3 3 3 3 2 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: 3A = 1+ + + + ...+ 2 3 98 3 3 3 3 1
Nên 3A − A = 1− 99 3 1 Hay 2 A = 1− 99 3 1 1 1 A = −  99 2 2.3 2 1 Vậy A  2
Bài 177. (Đề thi HSG 6 ) a + n a a) Cho * , a , b n . Hãy so sánh b + và n b 11 10 −1 10 10 +1 b) Cho A = , B =
. So sánh A và B . 12 10 −1 11 10 +1 Lời giải a a a
Ta xét 3 trường hợp = 1,  1,  1 b b b a a + n a + n TH1:
= 1  a = b thì = =1 b b + n a + n 100 HSG TOÁN 6 a TH2:
 1  a b a + n b + . n b a + n a − b
Mà b + có phần thừa so với 1 là n b + n a a − b
có phần thừa so với 1 là , b b a − b a − b a + n a vì nên b + < n b b + < n b a TH3:
 1  a b a + n b + . n b a + n b − a
Khi đó b+ có phần bù tới 1 là n b + , n a b − a có phần bù tới 1 là , b b b − a b − a a + n a vì  b + nên n b b + > n b 11 10 −1 b) Cho A = 12 10 −1 a a + n a
rõ ràng A  1nên theo a, nếu  1 thì b b + > n b ( 11 10 − ) 1 +11 + 10 10 10 ( 10 11 10 + ) 10 1 + Do đó 10 1 A  ( = = = 12 10 − ) 12 1 +11 10 +10 10( 11 10 + ) 11 1 10 +1 Vây A B . Bài 178. 1 2 3 n 11 1 Cho A = + + + ...+ + ...+
với n  N. Chứng minh rằng A  2 3 4 n 1 + 12 5 5 5 5 5 16 Lời giải 1 2 3 n 11 Xét 5A = + + +...+ + ...+ Suy ra: 2 3 n 11 5 5 5 5 5  1 2 3 n 11   1 2 3 n 11 
4A = 5A − A = + + +...+ +...+ − + + +...+ +...+     2 3 n 11 2 3 4 n 1 + 12  5 5 5 5 5   5 5 5 5 5  1 1 1 1 1 11 4A = + + +...+ +...+ − 2 3 n 11 12 5 5 5 5 5 5 11 4A = B − 12 5 101 TOÁN 6 Với biểu thức: 1 1 1 1 1 B = + + +...+ +...+ 2 3 n 11 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1  5B =1+ + + + ...+ + ...+ 2 3 n 1 − 10 5 5 5 5 5   1 1 1 1   1 1 1 1 1 
4B = 5B − B = 1+ + + +...+ − + + +...+ +...+     2 3 10 2 3 n 11  5 5 5 5   5 5 5 5 5  11 11 1 5 −1 5 −1  4B =1− =  B = 11 11 11 5 5 4.5 511 −1 11 512 − 5 − 44 1 512 − 49 1  49  1  4A = − =  A = • = • 1  −   5 . 4 11 512 5 . 4 12 16 512 16  512  16
Bài 179. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2013 - 2014)
Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + … + 499 ; B = 4100
Chứng minh rằng: A < B 3 Lời giải
4A = 4 + 42 + 43 + 44 +…+ 4100
A = 1 + 4 + 42 + 43 +…+ 499 3A = 4A – A = 4100 – 1 100 100 4 −1 4 B = A =  = 3 3 3 B Vậy A < 3
Bài 180. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) 5 5 5 5 Cho S = + + + ...+
. Chứng minh rằng 3 < S < 8. 20 21 22 49 Lời giải 5 5 5 5 Xét tổng S = + + + ...+ có 30 số hạng 20 21 22 49 5 5 5 5 5 5 5 5 Mà  ;  ;  ;...;  20 50 21 50 22 50 49 50 5 = S  30. = 3 (1) 50 102 HSG TOÁN 6 5 5 5 5 5 5 5 5 = ;  ;  ;...;  20 20 21 20 22 20 49 20 Lại có : 5 = S  30 = 8(2) 20
Từ (1) và (2)  3  S  8.
Bài 181. (Đề số 82 Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013-2014) 1 1 1 1 91 Cho biết S = + +...+
. Chứng minh rằng  S  101 102 130 4 330 Lời giải 91 * Chứng minh S < 330  1 1 1   1 1   1 1  S = + +...+ + +... + +...       101 102 110  111 120  121 130   1 1 1   1 1   1 1  S < + +...+ + +... + +...       100 100 100  110 110  120 120  1 1 1 1 1 1 S < 10 + 10 + 10 = + + 100 110 120 10 11 12 66 + 60 + 55 S< 660 181 182 91 S < < hay S < (1) 660 660 330 1 * Chứng minh < S 4  1 1   1 1   1 1  S > +...+ + +...+ + +...       110 110  120 120  130 130  1 1 1 1 1 1 S > 10 + 10 + 10 = + + 110 120 130 11 12 13 156 +143 +132 S > 1716 103 TOÁN 6 431 429 1 S > > Hay S > 1716 1716 4 1 91
Từ (1) và (2) ta có  S  4 330
Bài 182. (Đề số 84) 1 1 1 Chứng minh rằng : 1 + + +...+ 1000 1999 2 3 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + ...+ = 1 1 + + ( + ) + ( + ...+ ) + ( +...+ ) + …+( +...+ ) 1999 2 3 2 2 2 3 2 3 5 2 4 9 2 1998 1999 2 +1 2 1 1 1 1 1 > 1 + 2 3 1998 + .2 + .2 + .2 + ... + 1 .2 = 1+
. 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM) 2 3 4 1999 2 2 2 2 2 2
Bài 183. (Đề số 85 Trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai 2013-2014) 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng + + + + ... + +  1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 2011 2012 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có  ;  ;  ; … ;  2 2 1.2 2 3 2.3 2 4 3.4 2 2012 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + +  + + +...+ 2 2 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + +  − + − + − +...+ − 2 2 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1 2 2 3 3 4 2011 2012 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + +  − 2011 = < 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1 2012 2012
Bài 184. (Đề số 86 Trường THCS Phương Trung) 1 1 1 1 + + ++  Chứng minh rằng : 1 22 32 42 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1  = − 1 1 1 1 ;  = − ; 22 1.2 1 2 32 2 3 . 2 3 104 HSG TOÁN 6 1 1 1 1 1 1 1 1  = −  = − ;...; 42 4 . 3 3 4 1002 100 . 99 99 ; 100  1 1 1 1 1 1 1 1 + + ++  + + ++ = 2 2 2 2 2 3 4 10 0 2 . 1 3 . 2 4 . 3 100 . 99 1 1 1 1 1 1 1 =1− + − + − + + − 1 99 = 1− = 1. 2 2 3 3 4 99 100 2 100 1 1 1 1 + + ++  Vậy 1 2 2 2 2 2 3 4 100 105