Chuyên đề số thập phân ôn thi học sinh giỏi Toán 6

CHUYÊN ĐỀ SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM:
Khi viết phân số a dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và gặp một trong hai trường b hợp sau:
- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước.
Ví dụ: 3 = 0,75; 37 =1,48 ; … 4 25
Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn.
- Phép chia a cho b không bao giờ chấm dứt. Ví dụ: 2 − = 0,6666...; 17 = 1 − ,5454...; … 3 11
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số
lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số
lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN:
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân.
I.Phương pháp giải:
Để viết một tỉ số hoặc một phân số a dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a :b b II.Bài toán: − Bài 1: 124 63 139
Viết phân số sau dưới dạng số thập phân 97 ; ; − ; . 200 25 20 50 Lời giải:
Cách 1: Thực hiện phép tính chia tử cho mẫu ta được:
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1
97 = 0,485 200 124 = 4,96 25 63 − = 3 − 15 , 20 139 − = 2 − ,78 50
Cách 2: Phân tích mẫu ra thừa số rồi bổ sung các thừa số phụ đề mẫu là lũy thừa của 10: 97 97.5 485 = = = 0,485 200 200.5 1000 124 124.4 496 = = = 4,96 25 25.4 100 63 63.5 315 − − = − = = 3 − 15 , 20 20 5 . 100 139 − 139 − .2 278 − = = = 2 − ,78 50 50.2 100
Bài 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 1 1 1 a) A = + +...+ 5.6 6.7 24.25 2 2 2 2 b) B = + + +...+ 2.4 4.6 6.8 98.100 Lời giải: 1 1 1 a) A = + +...+ 5.6 6.7 24.25 1 1 1 1  1 1 A        ...  = − + − + + −  5 6 6 7  24 25       1 1 4 A = − = = 0,16 5 25 25 Vậy A = 0 16 , . 2 2 2 2 b) B = + + +...+ 2.4 4.6 6.8 98.100
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2 1 1 1 1 1 1  1 1 B            ...  = − + − + − + + −  2 4 4 6 6 8  98 100         1 1 B = − 2 100 49 B = = 0,49 100
Vậy B = 0,49 .
Bài 3: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 1 1 1 1 a) A = + + +...+ 5.10 10.15 15.20 395.400 33 33 33 33 b) B = + + +...+ 11.16 16.21 21.26 61.66 Lời giải: 1 1 1 1 a) A = + + +...+ 5.10 10.15 15.20 395.400 5 5 5 5 5A = + + +...+ 5.10 10.15 15.20 395.400 1 1 1 1 1 1 1 1 5A = − + − + − ...+ − 5 10 10 15 15 20 395 400 1 1 5A = − 5 400 79 A = = 0,0395 2000 33 33 33 33 b) B = + + +...+ 11.16 16.21 21.26 61.66  5 5 5 5 5B 33. ...  = + + + + 11.16 16.21 21.26 61.66     1 1 1 1 1 1 5B 33. ...  = − + − + + − 11 16 16 21 61 66     1 1 5B 33  = −  11 66   
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3 5 5B = 33. 66 1 B = = 0,5 2 Vậy B = 0,5 .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng số thập phân: 3 3 3 3   25 25 25  48 A  = + + + ...+ − + +   ...+ −  1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100      113 Lời giải: 3 3 3 3 Ta có : B = + + +...+ 1.8 8.15 15.22 106.113  7 7 7 7 7B 3 ...  = + + + + 1.8 8.15 15.22 106.113    1 1 1 1 1 1 1 1 7B 3 ...  = − + − + − + + −  1 8 8 15 15 22 106 113     1 B 3 1  = −  113    112 3.112 48 B = 3. ⇒ B = = . 113 7.113 113 25 25 25 C = + +...+ 50.55 55.60 95.100  5 5 5 C 5 ...  = + + +  50.55 55.60 95.100     1 1  1 C = 5 − =  50 100 .   20 48 48 1 48
Khi đó : A = B − C − = − − = 0,05 . 131 113 20 113
Bài 5: Kết quả của biểu thức sau biểu diễn số thập phân nào? 2 2 2 2 a) 2 3 4 24 A = . . ... 1.3 2.4 3.5 23.25 2 2 2 2 b) 1 2 3 99 B = . . ... 1.2 2.3 3.4 99.100
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 4 Lời giải: 2 2 2 2 a, 2 3 4 24 A = . . ... 1.3 2.4 3.5 23.25 2.2 3.3 4.4 24.24 A = . . .... 1.3 2.4 3.5 23.25 (2.3.4...24)(2.3.4...24)
A = (1.2.3....23)(3.4.5...25) 24.2 48 A = = =1,92 25 25
Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 1,92 . 2 2 2 2 b) 1 2 3 99 B = . . ... 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 . 2.2 3.3 99.99 B = . . .... 1 2 . 2 3 . 3 4 . 99 1 . 00 (1.2.3....99)(1.2.3...99) B = ( 1.2.3...99)(2.3.4...100) 1 B = = 0,01 100
Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 0,01.
Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên :  1999  1999   1999 1 1 ... 1  + + +      a)  1  2   1000 A  =  1000  1000   1000 1 1 ...1  + + +  1 2 1999       b) 1  1  1   1 B  1 1 1... 1 = + + + +  2 3 4 999        Lời giải:
2000 2001 2002 2999  1001 1002 1003 2999 A  . . ...  :  . . ....  =  1 2 3 1000 1 2 3 1999      2000.2001.2002...2999  1.2.3...1999 A   .  =  1.2.3.4...1000 1001.1002....2999     
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 5 1001.1002....1999 A = =1 1001.1002...1999
Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên. b) 1  1  1   1 B  1 1 1... 1 = + + + +  2 3 4 999        3 4 5 1000 1000 B = . . .... = = 500 2 3 4 999 2
Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.
Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không? 1  1  1   1 A 1 1 1 ...1  = − − − −  4 9 16 400        Lời giải: 1  1  1   1 A 1 1 1 ...1  = − − − −  4 9 16 400        3 8 15 399 A = . . .... 4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21 A = . . ... 2.2 3.3 4.4 20.20 (1.2.3...19)( ) 3.4.5...21
A = (2.3.4...20)(2.3.4.5...20) 21 21 A = = = 0,525 20.2 40
Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân : 2 2 2 2 2 2 2 2 a) 2 3 4 5 6 7 8 9 A = . . . . . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 8 15 24 2499 b) B = . . ... 9 16 25 2500 Lời giải: 2.2 3.3 4.4 8.8 9.9 a) A = . . .... . 1.3 2.4 3.5 7.9 8.10
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 6 (2.3.4...8.9)(2.3.4...8.9) A = ( 1.2.3...7.8)(3.4.5...9.10) 9.2 9 A = = =1,8 10 5 8 15 24 2499 b) B = . . ... 9 16 25 2500 2.4 3.5 4.6 49.51 B = . . .... 3.3 4.4 5.5 50.50 (2.3.4...49)( ) 4.5.6...51 B = ( 3.4.5...50)(3.4.5...50) 2.51 17 B = = = 0,68 50.3 25
Bài 9: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 3 8 15 99 a) A = . . ... b) 1  1  1   1  2 2 2 2 = − − − − 2 3 4 10 B  1 1 1... 1  2  3  4  1000  Lời giải: 1.3 2.4 3.5 9.11 a) A = . . .... 2.2 3.3 4.4 10.10 (1.2.3...9)( ) 3.4.5...11 A = ( 2.3.4...10)(2.3.4...10) 1.11 A = = 0,55 10.2 b) 1  1  1   1 B  1 1 1... 1 = − − − −  2 3 4 1000        1 2 − 3 − 999 − 1 B − = . . .... = − = 0 − ,001 2 3 4 1000 1000
Dạng 2: Kiểm tra xem một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
I.Phương pháp giải:
-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.
- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. II.Bài toán:
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 7
Bài 10: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới dạng đó: 6 9 39 121 204 378 1 − ;− ; ; ; ; 8 25 60 220 160 − 375 Lời giải: Các phân số 6 9 39 121 204 378 1 − ;− ; ; ; ;
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì các mẫu không 8 25 60 220 160 − 375
có ước nguyên tố khác 2 và 5. 6 1 − 4 7 1 − − = = = 1, − 75 (mẫu 2 4 = 2 ) 8 8 4 9 − = 0, − 36 ( mẫu 2 25 = 5 ) 25 39 13 = = 0,65 (mẫu 2 20 = 2 .5) 60 20 121 11 = = 0,55 (mẫu 2 20 = 2 .5) 220 20 204 51 − = = 1 − ,275 (mẫu 3 40 = 2 .5 ) 160 − 40 378 126 = = 1,008 (mẫu 3 125 = 5 ) 375 125
Bài 13: Chứng tỏ rằng các số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn với n∈ . a) 36n −9 6 b) 28n +14 35 c) 8 − n + 24 100 2
d) 6n −12n +18 120 Lời giải:
36n − 9 3.12n − 3.3 3.(12n − 3) a) 12n − 3 = = = . 6 2.3 2.3 2
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 2 nên số đó là số thập phân hữu hạn.
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 8
28n+14 7.4n+7.2 7.(4n+2) b) 4n + 2 = = = . 35 7.5 7.5 5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 5 nên số đó là số thập phân hữu hạn. 8 − n + 24 4.( 2 − n + 6) c) 2 − n + 6 = = 100 4.25 25 Có 2 25 = 5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 25 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 5.
Vậy số đó là số thập phân hữu hạn. 6n −12n +18 ( 2 2 n − n + ) 2 6. 2 3 n − 2n + 3 d) = = 120 6.20 20 Có 2 20 = 2 .5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 20 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.
Vậy số đó là số thập phân hữu hạn.
Bài 11: Mỗi phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không? Vì sao? 2
a) 3n + 3n (n∈) 12n 2
b) 12n + 24n (n∈) 20n 3 c) 18
− n +12n − 30n (n∈) 60n Lời giải: 2 3n + 3n 3 . n n + 3 .
n 1 3n(n + ) a) 1 n +1 = = = 12n 3 .4 n 3 .4 n 4 Có 2 4 = 2
Mẫu có ước nguyên tố là 2 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 2 12n + 24n 4 . n (3n + 6) b) 3n + 6 = = (n∈) 20n 4 .5 n 5
Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 3 2 2 c) 18
− n +12n − 30n 6 .( n 3
− n + 2n − 5) 3 − n + 2n − 5 = = 60n 6 .10 n 10 Có 10 = 2.5
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 9
Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 10, mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên phân số đó viết được dưới
dạng số thập phân hữu hạn.
Bài 12: Các phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không? vì sao?
a) 3n +1 (n∈) 3n
b) 14n + 6 (n∈) 7n Lời giải: a) 3n +1 3n 1 1 = + = 1+ 3n 3n 3n 3n
Vì 1 có mẫu là 3n có ước nguyên tố là 3 3n
Nên 1 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 3n 3n +1 ⇒
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 3n b) 14n + 6 14n 6 6 = + = 2 + 7n 7n 7n 7n
Vì 6 có mẫu là 7n có ước nguyên tố là 7 7n
Nên 6 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 7n 14n + 6 ⇒
không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 7n
Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:
a) 48n + 5 (n∈) 42n
b) 6n + 5 (n∈) 18n Lời giải:
a) 48n + 5 (n∈) 42n
ta có: 48n3;    ⇒ 48n + 5 3
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 và: 42n3
Do đó 48n + 5 khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3. 42n
Vậy 48n + 5 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 42n
b) 6n + 5 (n∈) 18n
ta có: 6n  6;    ⇒ 6n + 5  6 và: 18n6
Do đó 6n + 5 khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3. 18n
Vậy 6n + 5 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 18n
Dạng 3: Tìm điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
I.Phương pháp giải:
-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.
- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. II.Bài toán
Bài 14: Tìm số tự nhiên x <10 sao cho phân số x + 2 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 6 Lời giải:
Ta có: x + 2 x + 2 = 6 2.3
Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số x + 2 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 2.3 thì (x + 2)3
⇒ (x + 2)∈ B(3) = {0;3;6;9;12;. }. và x <10
x + 2 = 0 ⇒ x = 2 − (loại);
x + 2 = 3 ⇒ x =1 (thoả mãn);
x + 2 = 6 ⇒ x = 4 (thoả mãn);
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11
x+2=9⇒ x=7 (thoả mãn);
x + 2 =12 ⇒ x =10 (loại).
Các trường hợp còn lại không thoả mãn Vậy x ∈{1; 4 } ; 7 . 2
Bài 15: Tìm số tự nhiên x ; 0 < x < 20 để phân số x + 3x viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 14x Lời giải: 2
x + 3x x( x + 3) Ta có: x + 3 = = 14x .7.2 x 7.2
Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số x + 3 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 7.2 thì (x + 3)7
⇒ (x + 3)∈ B(7) = {0;7;14;21; }
... và 0 < x < 20
x + 3 = 0 ⇒ x = 3 − (loại);
x + 3 = 7 ⇒ x = 4 (thoả mãn);
x + 3 =14 ⇒ x =11 (thoả mãn);
x + 3 = 21⇒ x =18(thoả mãn);
x + 3 = 28 ⇒ x = 25 (loại).
Các trường hợp còn lại không thoả mãn. Vậy x ∈{4; 11; } 18 .
Bài 16: Cho x và y là các số nguyên tố có một chữ số. Tìm x và y để các phân số sau viết được dưới
dạng số thập phân hữu hạn. a) x M = 5.7.y b) 7x N = 48y Lời giải: a) x M = 5.7.y
Để M viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12
Nên số nguyên tố x = 7 và số nguyên tố y ∈{2; } 5
Vậy x = 7 ; y ∈{2; } 5 . b) 7x 7.x N = = 4 48y 2 .3.y
Để N viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x = 3 và số nguyên tố y ∈{2;5; } 7
Vậy x = 3; y ∈{2;5; } 7 .
Bài 17: Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp, biết 1: 0,ab = a + b − c . Lời giải:
1: 0,ab = a + b − c
⇒ 1: ab = a + b − c 100 100 ⇒
= a + b − c ab
⇒100 chia hết cho ab ⇒ ab ¦ ∈ (100)
Mà a,b là các chữ số khác 0 nên: ab = 25 100
⇒ a + b − c = 25
⇒ 2 + 5 − c = 4 ⇒ c = 3
Vậy a = 2 ; b = 5 ; c = 3.
Bài 18: Thay các chữ cái bằng các số thích hợp:
a) 1: 0,abc = a + b + c
b) 1: 0,0abcd = a + b + c + d Lời giải:
a) Có a ; b ; c là các chữ số
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 0≤a≤9  0 ≤ b ≤ 9 ⇒  0 < c ≤ 9 
a,b,c∈
⇒1≤ a + b + c ≤ 27 1000 1: 0,abc =
= a + b + c abc ⇒1000 = .(
abc a + b + c)
⇒ a + b + c là ước của 1000 không vượt quá 27 ⇒1: 0,125 =1+ 2 + 5
Vậy a =1;b = 2 ; c = 5 .
b) Có a ; b ; c ; d là các chữ số 0 ≤ a ≤ 9 0 ≤ b ≤ 9  ⇒ 0 ≤ c ≤ 9 0 < d ≤ 9  a, , b c,d ∈
⇒1≤ a + b + c ≤ 27 10000 1: 0,0abcd =
= a + b + c + d abcd
⇒10000 = abcd(a + b + c + d)
⇒ a + b + c + d là ước của 1000 và
10 < a + b + c + d ≤ 36 ⇒1: 0,06235 = 6 + 2 + 3+ 5
Vậy a  6 ; b  2; c  3; d  5.
Bài 19: Có bao nhiêu số thập phân + +
a,bc thoả mãn phân số a b c viết được dưới dạng số thập phân 4
hữu hạn là a,bc với c ≠ 0 . Lời giải:
Vì a ; b ; c là các chữ số và c ≠ 0
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 0≤a≤9  0 ≤ b ≤ 9 ⇒  0 < c ≤ 9 
a, ,bc∈N
⇒1≤ a + b + c ≤ 27
Phân số a + b + c viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là a,bc 4 a + b + c ⇒ = a,bc 4
Vì a,bc là số thập phân nên a + b + c chia cho 4 dư 1 hoặc chia 4 dư 3 Ta có bảng sau:
a + b + c 1 3 5 7 9 11 13 a,bc 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25
a + b + c 15 17 19 21 23 25 27 a,bc 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75
Vậy ta được 14 số cần tìm.
Bài 20: Tìm các phân số tối giản có có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết rằng tích của
tử và mẫu bằng 1260 và phân số này có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Lời giải:
Gọi phân số tối giản phải tìm là a với a,b +
∈ ,ƯCLNa,b1 b Ta có: 2 2 ab =1260 = 2 .3 .5.7
Để phân số a có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là 2 và b 5
Mà a là phân số tối giản và ƯCLNa,b1 b
⇒ b không chứa thừa số 2
3 ; 7 và b ≠ 1 nên b∈{4;5;2 } 0 Ta có bảng sau:
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 a 4 5 20 b 315 252 63 a 315 252 63 b 4 5 20
Vậy các phân số thoả mãn là 315 ; 252 ; 63 . 4 5 20
Bài 21: Tìm các phân số tối giản có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết tích của tử và mẫu
là 4200 và phân số này viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Lời giải:
Gọi phân số tối giản phải tìm là a với a,b +
∈ , ƯCLNa,b1 b Ta có: 3 2 ab = 4200 = 2 .3.5 .7
Để phân số a có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là 2 b và 5
Mà a là phân số tối giản và ƯCLNa,b1 b
⇒ b không chứa thừa số 3; 11 và b ≠1 nên b∈{8; 25; } 200 Ta có bảng sau b 8 25 200 a 525 168 21 a 525 168 21 b 8 25 200
Vậy các phân số thoả mãn là 525 ; 168 ; 21 . 8 25 200 2005
Bài 22: So sánh  9 0,81 − 1  và . 11    4010 10 Lời giải:
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 2005 2005 2005 2005  9   9 81   9   9 1 0,81      .  − = − = =  11 11 100 1100 11 100          2005 2005 2005  9   1   9  1 1 = . = . <       4010 4010 11 100  11 10 10 2005 Vậy  9  1 − 0,81 <   4010 11  10  HẾT 
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17
CHUYÊN ĐỀ SỐ THẬP PHÂN
CHUYÊN ĐỀ SỐ THẬP PHÂN
CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM a) Khái niệm:
Khi viết phân số a dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b, nếu phép chia a cho b b
không bao giờ chấm dứt Ví dụ: 2 − = 0,6666...; 17 = 1 − ,5454...; … 3 11
Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi
lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp
đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó. b) Cách viết:
Để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn: 2 = 0,6666...= 0,(6); 3 17 − = 1 − ,5454... = 1 − ,(54) ; … 11 7 = 0,2121...= 0,( ) 21 ; 33 7 = 0,31818...= 0,3(18) 22
Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy. VD: 0,(6) ; 0,(2 ) 1 ; 1, − (54)
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập
phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường,
VD: 0,3(18) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN ĐƠN HAY TẠP.
- Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập phân
vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1
CHUYÊN ĐỀ SỐ THẬP PHÂN
+) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn.
+) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
+) Ví dụ: khi chia 7 cho 33 được số thập phân vô hạn, Ta có: 7 = 0,212121... = 0,(2 ) 1 33
Số 7 cũng có thể viết dưới dạng 0,( )
2121 hoặc 0,2(12) . So với cách viết 0,(2 ) 1 có chu kì 21 thì 33
cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số cuối
cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này.
+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ 0,(2 ) 1 ;
gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần
bất thường, ví dụ 0,3(18) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.
3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ:
- Quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu
kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ: ( ) 6 2 = = ( ) 21 7 0, 6 ; 0, 21 = = 9 3 99 33
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số
gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm
theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. Chẳng hạn: ( ) 16−1 1 5,1 6 = 5 = 5 ; 90 6 ( ) 318−3 315 7 0,3 18 = = = 990 990 22 - Tổng quát: 0,( ... a a a a a a = . n ) ... 1 2 n 1 2 99...9   n
0,b b ...b a a a b b ...b a a a −b b b k ... n ... 1 2 1 2 1 2 k k ... 1 2 ( 1 2 n ) =  99...9  00...0 n k
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
I.Phương pháp giải:
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2
CHUYÊN ĐỀ SỐ THẬP PHÂN
Để viết một tỉ số hoặc một phân số a dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a :b b II.Bài toán: Bài 1:
Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Tại sao? Hãy viết các
phân số dưới dạng đó. 10 ; 5 ; 2 ; 13 ; 5 . 15 11 13 22 24 Lời giải: a) Xét phân số 10 5 = 15 3
⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên 10 viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 15 Vậy: 10 = 0,666... = 0,(6) 15 b) Xét phân số 5 11
⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên 5 viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 11
Vậy: 5 = 0,454545... = 0,(45) 11 c) Xét phân số 2 13
⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 13 nên 2 viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 13
Vậy: 2 = 0,153846153846... = 0,(153846) 13 d) Xét phân số 13 13 = 22 2.11
⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên 13 viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 22
Vậy: 13 = 0,590909... = 0,5(90) 22 e) Xét phân số 5 5 = 3 24 2 .3
TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3