Chuyên đề số tự nhiên theo chương trình SGK Toán 6 mới

Tài liệu gồm 117 trang, tóm tắt lý thuyết, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận chuyên đề số tự nhiên theo chương trình SGK Toán 6 mới (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống, Cánh Diều, Chân Trời Sáng Tạo), đầy đủ các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao, có đáp án và lời giải chi tiết.

Môn:

Toán 6 2.3 K tài liệu

Thông tin:
117 trang 1 năm trước
Tác giả:
N
Nguyễn Vân
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề số tự nhiên theo chương trình SGK Toán 6 mới

Tài liệu gồm 117 trang, tóm tắt lý thuyết, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận chuyên đề số tự nhiên theo chương trình SGK Toán 6 mới (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống, Cánh Diều, Chân Trời Sáng Tạo), đầy đủ các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao, có đáp án và lời giải chi tiết.

49 25 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Tập hợp các số tự nhiên (KNTT) 52 tài liệu

Môn: Toán 6 2.3 K tài liệu

Thông tin:

117 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
1
CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các kiến thức cơ bản
1. Một tập hợp (gọi tắt là tập) bao gồm những đối tượng nhất định. Các đối tượng ấy được gọi là
những phần tử của tập hợp.
2. Các kí hiệu
Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho tập hợp ví dụ:
A
,
,B
,C
...
Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc
, cách nhau bởi dấu chấm phẩy “;”.
Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý
x
là một phần tử của tập
A
, kí hiệu
xA
( đọc là
thuộc
A
)
y
không là phần tử của tập
A
, kí hiệu
yA
( đọc là
y
không thuộc
A
)
3. Cách viết một tập hợp.
Người ta thường dùng hai cách mô tả một tập hợp.
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp, tức là viết các phần tử của tập hợp trong dấu
theo thứ tự
tùy ý nhưng mỗi phần tử chỉ được viết một lần.
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
4. Giao của hai tập hợp.
Cho hai tập hợp
A
và
B
. Tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc
A
vừa thuộc
B
gọi là giao của
A
và
B
kí hiệu là:
AB
|;A B x x A x B
5. Tập hợp số tự nhiên.
Các số
0;1;2;3;4;5;...
là các số tự nhiên.
Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là , tức là
0;1;2;3;4;5;...
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là
, tức là
1;2;3;4;5;...
Trên tia số, điểm biểu diễn số tự nhiên
a
là điểm
a
. Với hai số tự nhiên khác nhau chắc chắn có một
số nhỏ hơn số kia. Điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn.
Kí hiệu
ab
là
a
nhỏ hơn
b
hoặc
b
lớn hơn
a
.
Nếu
ab
và
bc
thì
ac
Trong tập hợp số nhỏ nhất là 0, trong tập hợp số
số nhỏ nhất là số 1. Không có số tự nhiên lớn
nhất.
Các số tự nhiên liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 đơn vị.
2
6. Ghi số tự nhiên
Trong hệ thập phân, mỗi cố tự nhiên được viết dưới dnagj một dãy những chữ số lấy trong 10 chữ số
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
vị trí của các chữ số trong dãy gọi là hàng.
Cứ 10 đơn vị ở một hàng thì bằng 1 đơn vị ở hàng liền trước nó. Chẳng hạn, 10 chục thì bằng 1 trăm;
10 trăm thi bằng 1 nghìn;....
Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân đều biểu diễn được thành tổng giá trị các chữ số của nó.
Ngoài cách ghi số trong hệ thập phân gồm các chữ số từ 0 đến 9 và các hàng (đơn vị, chục, trăm,
nghìn,...) như trên, còn có cách ghi số La mã như sau:
Chữ số I giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 1
Chữ số V giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 5
Chữ số X giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 10
Ghép các chữ số I, V, X với nhau ta có thể được số mới.
2. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1. Rèn kĩ năng viết tập hợp.
Phương pháp:
Dùng một chữ cái in hoa và dấu ngoặc nhọn ta có thể viết một tập hợp theo hai cách:
Liệt kê các phần tử của tập hợp
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó
Dạng 2: Sử dụng các kí hiệu
và
Phương pháp:
Nắm vững ý nghĩa các kí hiệu
và
.
Kí hiệu
đọc “là phần tử của” hoặc “thuộc”
Kí hiệu
đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “không thuộc”
Dạng 3: Viết tất cả các số có n chữ số từ n chữ số cho trước.
Phương pháp:
Giả sử từ ba chữ số
,,abc
khác 0, ta viết các số có ba chữ số như sau:
Chọn a là chữ số hàng trăm ta có:
,;abc acb
Chọn b là chữ số hàng trăm ta có:
,;bac bca
Chọn c là chữ số hàng trăm ta có:
,.cab cba
Vậy có tất cả 6 số có ba chữ số lập được từ ba chữ số khác 0:
,,abc
Dạng 4: Bài toán liên quan đến cấu tạo số
Phương pháp:
Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên:
10ab a b
, với
0a
3
100 10 ,abc a b c
với
0a
Trong đó:
ab
là kí hiệu số tự nhiên có hai chữ số, hàng chục là
a
, hàng đơn vị là
b
.
abc
là kí hiệu số tự nhiên có ba chữ số, hàng trăm là
a
, hàng chục là
b
, hàng đơn vị là
c
.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. t tên tp hp bng
A. Chữ cái thường B. Chữ cái in hoa C. Chữ số D. Chữ số La Mã.
Câu 2. Cho tp hp
1;3;5;7;9M
ta có :
A.
3 M
B.
4 M
C.
3 M
D.
2 M
Câu 3. La chu
aA
là
A.
a
thuộc
A
B.
a
không thuộc
A
. C.
A
thuộc
a
D.
A
không thuộc
a
Câu 4. ng s d vit hoc minh ha tp hp là? Hãy Cht.
A. Liệt kê các phần tử của tập hợp
B. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
C. Cả
A
,
B
đều đúng
D. Cả
A
,
B
đều sai
Câu 5. Các phn t ca mt tp hc vit trong hai du ngoc
A.
B.
C.
D.
III. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Cách vip hp
A
gm các s t nhiên nh 
A.
1;2;3;4;5A
B.
0;1;2;3;4;5A
C.
1;2;3;4A
D.
0;1;2;3;4A
Câu 7. Cách vi tp hp
M
các s t nhiên lc bng 6 và nh c vit là
A.
5;6;7;8;9M
B.
5;6;7;8;9;10M
C.
6;7;8;9M
D.
6;7;8;9;10M
Câu 8. Tp hp
|4A x x
vii dng lit kê các phn
A.
0;1;2;3;4A
B.
0;1;2;3A
C.
1;2;3;4A
D.
1;2;3A
Câu 9. Tp hp các ch s ca s 5200 là. Cht
A.
5;2;0;0
B.
2;5
C.
2;5;0
D.
2;0;5;0
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 10. Cho tp hp
9;10;11;12;13;14A
. Vit tp hp
A
bng cách ch ra tính ch
A.
|9 14A x x
B.
|9 14A x x
C.
|9 14A x x
D.
|8 15A x x
Câu 11. Tp hp các ch cái trong cm t 
A.
; ; ; ; ; ;T O A N H O C
B.
; ; ; ;T O A N C
C.
; ; ; ; ;T O A N H C
D.
; ; ; ; ;T O N H O C
Câu 12. Cho các tp hp :
2;4;6;10;12A
,
0;2;4;6;10;12B
.
C
là tp hp các s t nhiên
thuc
B
mà không thuc
A
. Hãy tìm phn t thuc tp hp
C
. Chn 
án sau.
A. 12 B. 0 C. 6 D. 10
Câu 13. Tìm
x
, bit
x
và
x
là s chn sao cho
12 20x
A.
12;14;16;18x
B.
14;16;18;19x
C.
14;16;18;20x
D.
14;16;18x
Câu 14. Tp hp các s t nhiên có hai ch s mà tng các ch s bng 6 là
4
A.
15;24;33;42;51;60
B.
15;24;33;42;51;60;65
C.
15;33;42;51;60
D.
15;24;42;51;60
Câu 15. Gi
A
là tp hp các s t nhiên khác 0, nh t cho 3.
B
là tp hp các s t
nhiên khác 0, nh nh tp hp
AB
A.
3;9;18AB
B.
9;18;21AB
C.
3;9;18;27AB
D.
9;18;27AB
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Câu 16. Có bao nhiêu s t nhiên l  hai ch s thì giá tr ca

A. 0 B. 1 C. 8 D. 9
Câu 17. Cho ba ch s
,,abc
khác nhau và khác 0. Gi
A
là tp hp s t nhiên có ba ch s lp
bi c ba ch s trên. Tp hp
A
có bao nhiêu phn t
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 18. Trong các s t nhiên t n 100, có bao nhiêu s chia ht cho 2 mà không chia ht cho 3
A. 30 B. 31 C. 33 D. 34
Câu 19. Trong các s t nhiên có ba ch s, có bao nhiêu s chia ht cho 5, có cha ch s 5
A. 106 B. 107 C. 108 D. 109
Câu 20. Trong các s t nhiên có ba ch s, có bao nhiêu s chia ht cho 3, không cha ch s 3
A. 215 B. 216 C. 217 D. 218
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
I - MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Bài 1. 
A

Bài 2. 
a)
|12 16A x x
b)
*
|5B x x
c)
|13 16C x x
Bài 3. Vit tp hp
M
gm các s t nhiên l n ký
hiu
;
thích hp vào ô trng:
4 M
10 M
Bài 4. 
M

a) 
và
:
5 ? ; 9 ?MM
;
b) 
M

Bài 5. 
3;5;8;9

|5A x x

|5B x x
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Cho
| 2 4A x x

2A

Bài 2. 
a) “KHOA HỌC”
b) “HỌC SINH GIỎI”
Bài 3. 
a)
1;4;7;10;13;16;19A
b)
1;8;27;64;125B
Bài 4. 

Bài 5. 
0;1;2
.
III - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Bài 1. 
3;4;5;6;7;8;9;10A

5
a) 
B
 
A
.
b) 
C

A
.
Bài 2. 
,,abc

,11 15,12 15.a b c a c
Bài 3. 
| 5; ,A ab a b a b

A


A
Bài 4. 
.ab

a
l
b

.
Bài 5. 
IV - MỨC VẬN DỤNG CAO.
Bài 1. 
A
 
B


0;3;5;8.

A
và
B

.
Bài 2. 
Bài 3. 
cho.
Bài 4. 
Bài 5. 
abcd
mà
ab cd
.
6
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
C
A
D
C
C
C
A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
B
C
A
D
C
B
D
C
B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. t tên tp hp bng
A. Chữ cái thường B. Chữ cái in hoa C. Chữ số D. Chữ số La Mã.
Lời giải
Chọn B
Câu 2. Cho tp hp
1;3;5;7;9M
ta có :
A.
3 M
B.
4 M
C.
3 M
D.
2 M
Lời giải
Chọn C
Câu 3. La chu
aA
là
A.
a
thuộc
A
B.
a
không thuộc
A
. C.
A
thuộc
a
D.
A
không thuộc
a
Lời giải
Chọn B
Câu 4. ng s d vit hoc minh ha tp hp là? Hãy Cht.
A. Liệt kê các phần tử của tập hợp
B. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
C. Cả
A
,
B
đều đúng
D. Cả
A
,
B
đều sai
Lời giải
Chọn C
Câu 5. Các phn t ca mt tp hc vit trong hai du ngoc
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
III. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Cách vip hp
A
gm các s t nhiên nh 
A.
1;2;3;4;5A
B.
0;1;2;3;4;5A
C.
1;2;3;4A
D.
0;1;2;3;4A
Lời giải
Chọn D
7
Câu 7. Cách vi tp hp
M
các s t nhiên lc bng 6 và nh c vit là
A.
5;6;7;8;9M
B.
5;6;7;8;9;10M
C.
6;7;8;9M
D.
6;7;8;9;10M
Lời giải
Chọn C
Câu 8. Tp hp
|4A x x
vii dng lit kê các phn
A.
0;1;2;3;4A
B.
0;1;2;3A
C.
1;2;3;4A
D.
1;2;3A
Lời giải
Chọn C
Câu 9. Tp hp các ch s ca s 5200 là. Cht
A.
5;2;0;0
B.
2;5
C.
2;5;0
D.
2;0;5;0
Lời giải
Chọn C
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 10. Cho tp hp
9;10;11;12;13;14A
. Vit tp hp
A
bng cách ch ra tính ch
A.
|9 14A x x
B.
|9 14A x x
C.
|9 14A x x
D.
|8 15A x x
Lời giải
Chọn A
Câu 11. Tp hp các ch cái trong cm t 
A.
; ; ; ; ; ;T O A N H O C
B.
; ; ; ;T O A N C
C.
; ; ; ; ;T O A N H C
D.
; ; ; ; ;T O N H O C
Lời giải
Chọn C
Trong một tập hợp mỗi phần tử được liệt kê một lần, do đó tập hợp các chữ cái trong cụm từ “TOÁN
HỌC ” là
; ; ; ; ;T O A N H C
Câu 12. Cho các tp hp:
2;4;6;10;12A
,
0;2;4;6;10;12B
.
C
là tp hp các s t nhiên
thuc
B
mà không thuc
A
. Hãy tìm phn t thuc tp hp
C
. Chn 
án sau?
A. 12 B. 0 C. 6 D. 10
Lời giải
Chọn B
Câu 13. Tìm
x
, bit
x
và
x
là s chn sao cho
12 20x
A.
12;14;16;18x
B.
14;16;18;19x
C.
14;16;18;20x
D.
14;16;18x
Lời giải
Chọn C
8
Câu 14. Tp hp các s t nhiên có hai ch s mà tng các ch s bng 6 là
A.
15;24;33;42;51;60
B.
15;24;33;42;51;60;65
C.
15;33;42;51;60
D.
15;24;42;51;60
Lời giải
Chọn A
Goị số có hai chữ số là
ab
. Ta phải có
1; 6a a b
. Do đó:
a
1
2
3
4
5
6
b
5
3
3
2
1
0
Vậy tập hợp phải tìm là:
15;24;33;42;51;60
Câu 15. Gi
A
là tp hp các s t nhiên khác 0, nh t cho 3.
B
là tp hp các s t
nhiên khác 0, nh nh tp hp
AB
A.
3;9;18AB
B.
9;18;21AB
C.
3;9;18;27AB
D.
9;18;27AB
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3;6;9;12;15;18;21;24;27A
;
9;18;27B
9;18;27AB
IV - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Câu 16. Có bao nhiêu s t nhiên l  hai ch s thì giá tr ca

A. 0 B. 1 C. 8 D. 9
Lời giải
Chọn C
Số tự nhiên cần tìm có dạng
ab
Ta có:
10 10 9a b b a
Hay
9 9 1a b a b
Vậy có tất cả 8 số cần tìm là:
12;23;34;45;56;67;78;89
Câu 17. Cho ba ch s
,,abc
khác nhau và khác 0. Gi
A
là tp hp s t nhiên có ba ch s lp
bi c ba ch s trên. Tp hp
A
có bao nhiêu phn t
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Lời giải
Chọn B
Khi đó ta lập được 6 số là:
; ; ; ; ; .abc acb bac bca cab cba
Câu 18. Trong các s t nhiên t n 100, có bao nhiêu s chia ht cho 2 mà không chia ht cho 3
A. 30 B. 31 C. 33 D. 34
Lời giải
9
Chọn D
Các số chia hết cho 2:
2;4;6;8;....;100
Số các số chia hết cho 2 là
100 2
1 50
2

số
Các số chia hết cho 2 và 3:
6;12;18;24;...96
Số các số chia hết cho cả 2 và 3 là:
96 6
1 16
6

số
Vậy từ 1 đến 100 có 50 – 16 = 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3.
Câu 19. Trong các s t nhiên có ba ch s, có bao nhiêu s chia ht cho 5, có cha ch s 5
A. 106 B. 107 C. 108 D. 109
Lời giải
Chọn C
Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng
abc
,
a
có 8
cách chọn,
b
có 9 cách chọn,
c
có 1 cách chọn (là 0) gồm
8.9 72
số.
Vậy có
180 72 108
số chia hết cho 5 và có chứa chữ số 5.
Câu 20. Trong các s t nhiên có ba ch s, có bao nhiêu s chia ht cho 3, không cha ch s 3
A. 215 B. 216 C. 217 D. 218
Lời giải
Chọn B
Số phải tìm có dạng
.abc
Ta có:
a có 8 cách chọn.
b có 9 cách chọn.
c có 3 cách chọn (nếu
3a b k
thì
0;3;6;9,c
nếu
31a b k
thì
2;5;8c
nếu
32a b k
thì
1;4;7c
)
Có
8.9.3 216
số chia hết cho 3 và không chứa chữ số 3.
E. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN
I - MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Bài 1. 
A

Lời giải
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp.
0;1;2;3;4;5;6A
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp.
|6A x x
Bài 2. 
a)
|12 16A x x
b)
*
|5B x x
c)
|13 16C x x
Lời giải
10
a)
13;14;15A
b)
1;2;3;4B
c)
13;14;15;16C
Bài 3. Vit tp hp
M
gm các s t nhiên l n ký hiu
;
thích hp vào ô trng:
4 M
10 M
Lời giải
Cách 1:
4;5;6;7;8;9M
Cách 2: Cách 2:
3 10M x x
4 M
;
10 M
Bài 4. 
M

a) 
và
:
5 ? ; 9 ?MM
;
b) 
M

Lời giải
a)
5 ;9MM
b) Cách 1:
7;8;9 .M
Cách 2:
| 6 10M x x
Bài 5. 
3;5;8;9

|5A x x

|5B x x
Lời giải
3 ; 5 ; 8 ; 9B B A A
II - MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Cho
| 2 4A x x

2A

Lời giải
A là tập hợp, 2 là phần tử nên không thể viết
2A
. Ta phải viết
2A
Bài 2. 
a) “KHOA HỌC”
b) “HỌC SINH GIỎI”
Lời giải
a)
; ; ; ;K H O A C
b)
; ; ; ; ; ;H O C S I N G
Bài 3. 
a)
1;4;7;10;13;16;19A
b)
1;8;27;64;125B
Lời giải
a)
| 3 1, ;0 6A x x n n n
b)
3
| , ;1 5B x x n n n
Bài 4. 

Lời giải
11
Giả sử số cần tìm là
abcd
Ta thực hiện các bước sau:
Số cần tìm là số tự nhiên nên
01aa
. Như vậy, ta còn một chữ số 1 và hai chữ số 0 để xếp vào
ba vị trí còn lại.
Nếu xếp chữ số 0 vào vị trí
b
thì ta được hai số cần tìm là 1001 hoặc 1010.
Nếu xếp chữ số 1 vào vị trí
b
thì ta được số cần tìm là 1100.
Vậy, ta có ba số cần tìm
1001;1010;1100
Bài 5. 
0;1;2

Lời giải
Chữ số hàng trăm phải khác 0 để số phải viết là số có ba chữ số.
Do đó chữ số hàng trăm có thể là 1 hoặc 2.
Nếu chữ số hàng trăm là 1 ta có:
102;120
.
Nếu chữ số hàng trăm là 2 ta có:
201;210
Vậy với ba chữ số
0;1;2
ta có thể viết được tất cả bốn tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau:
102;120;201;210.
III - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Bài 1. 
3;4;5;6;7;8;9;10A

a) 
B

A
.
b) 
C

A
.
Lời giải
a)
2;3;4;5;6;7;8;9B
b)
4;5;6;7;8;9;10;11C
Bài 2. 
,,abc

,11 15,12 15.a b c a c
Lời giải
Ta có:
11 15a
và
12;13;14aa
1
12 15c
và
13;14cc
2
Vì
abc
nên từ
1
,
2
suy ra
12; 13; 14.a b c
Bài 3. 
| 5; ,A ab a b a b

A


A
.
Lời giải
Vì số cần tìm là số có hai chữ số nên chữ số hàng chục là
(
0.a
)
Vì
5ab
nên a chỉ có thể lấy các giá trị:
1;2;3;4;5.
Từ đó ta có bảng giá trị tương ứng của b như sau:
a
1
2
3
4
5
12
b
4
3
2
1
0
Số cần tìm
14
23
32
41
50
Vậy tập hợp
14;23;32;41;50 .A
Bài 4. 
.ab

a
l
b


Lời giải
Số tự nhiên
ab
có
a
là chữ số hàng chục và
là chữ số hàng đơn vị, do đó
0a
.
a
là một số lẻ không lớn hơn 3 nên
a
có thể là 1 hoặc số 3.
b
là một số đứng liền sau số 6 và đứng liền trước số 8 nên
là số 7.
Vậy, số cần tìm là 17 hoặc 37.
Bài 5. 
Lời giải
Từ
100
đến
999
có
999 100 :1 1 900
số có 3 chữ số
Từ
100
đến
999
có
999 101 : 2 1 405
số lẻ có 3 chữ số
- Xét dãy các số chẵn các dạng
aaa
:
222,444,...,888
có
888 222 :222 1 4
(số)
- Xét dãy các số chẵn các dạng
aax
với
là chữ số chẵn
xa
0x
, ta có dãy
110,220,330,...,990
có
990 110 :110 1 9
(số)
2x
, ta có dãy
112,332,442,...,992
có 8 (số). Vậy với
2;4;6;8x
có tất cả
8 4 32
(số)
Vậy có tất cả
9 32 41
số có dạng
aax
với
là chữ số chẵn
xa
- Xét dãy số dạng
xax
với x là chữ số chẵn
xa
2,x
ta có dãy
202,212,232,...,292
có
10 1 9
(số). Vậy với
2;4;6;8x
có tất cả
9 4 36
(số)
- Xét dãy số dạng
axx
với x là chữ số chẵn
xa
0x
, ta có dãy
100,200,300,...,900
có tất cả
9
(số)
2x
, ta có dãy
122,322,422,...,922
có tất cả
9 1 8
9 1 8
(số). Vậy với
2;4;6;8x
có tất cả
8 4 32
(số)
Vậy có tất cả
9 32 41
số có dạng
axx
với x là chữ số chẵn
xa
Từ đó suy ra có tất cả
900 450 4 41 36 41 328
số chẵn có ba chữ số khá nhau.
IV - MỨC VẬN DỤNG CAO.
13
Bài 1. 
A
 
B


0;3;5;8.

A
và
B

.
Lời giải
Giả sử
a
là chữ số hàng chục và
b
là chữ số hàng đơn vị của số cần tìm ta có:
Tập hợp
A
:
Số cần tìm là số có hai chữ số nên chữ số hàng chục
0.a
Vì
8ab
nên ta có thể lấy các giá trị
1;2;3;4;5;6;7;8.
Vậy, tập hợp
17;26;35;44;53;62;71;80 .A
Tập hợp
B
:
Số cần tìm là số có hai chữ số nên chữ số hàng chục
0.a
Số cần tìm được tạo thành từ hai trong bốn số
0;3;5;8.
Vậy tập hợp
30;35;38;50;53;58;80;83;85 .B
Bài 2. 
Lời giải
Bổ sung thêm các chữ số 0 vào để được dãy số
000;001;002;...;999
như vậy số các chữu số 3 không
thay đổi.
Từ
000
đến
999
ta có
1000
số có ba chữ số, gồm tất cả
3.1000 3000
(chữ số). Số các chữ số từ 0
đến 9 đều như nhau. Do đó, mỗi chữ số có mặt:
300:10 300
(lần)
Bài 3. 

Lời giải
Gọi số phải tìm là
ab
0; , ; , 10a a b a b
Theo đề bài ta có:
.18 4ab a b
10 18 18 4a b a b
19 8 4ba
Vì
84a
là số chẵn nên b chẵn
0;2;4;6;8b
0 8 4 0ba
(vô lý)
2 38:4ba
(vô lý vì
a
)
49ba
6 114:8ba
(vô lý vì
a
)
8 148:8ba
(vô lý vì
a
)
Vậy số phải tìm là 94.
Bài 4. 
Lời giải
14
Xét các trường hợp sau đây:
Số có 3 chữ số có dạng:
4.ab
Chữ số a nhận 9 giá trị, chữ số b nhận 9 giá trị (Chỉ yêu cầu
,4ab
).
Vậy có:
9.9 81
số.
Số có 3 chữ số có dạng
4.ab
Chữ số a nhận 8 giá trị
0, 4aa
, chữ số b nhận 9 giá trị
4b
.
Vậy có:
8.9 72
số
Số có 3 chữ số có dạng
4.ab
Chữ số a nhận 8 giá trị
0, 4aa
, chữ số b nhận 9 giá trị
4b
.
Vậy có:
8.9 72
số.
Vậy có:
81 72 72 225
số có chứa đúng một chữ số 4.
Bài 5. 
abcd
mà
ab cd
.
Lời giải
Ta thấy
ab
và
cd
là số có hai chữ số, nên ta có các trường hợp xảy ra như sau:
Nếu
10ab
thì
cd
có thể bằng:
11;12;13;...;99
có 89 số.
Nếu
11ab
thì
cd
có thể bằng:
12;13;14;...;99
có 88 số.
.........................
Nếu
98ab
thì
99cd 
có 1 số.
Vậy sẽ có tất cả:
1 2 3 4 ... 88 89 90.89:2 4005
số.
15
CHUYÊN ĐỀ 2:
CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các kiến thức cơ bản
1. Tổng và tích hai số tự nhiên
a) Phép cộng
Phép cộng hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tổng của chúng.
a b c
(Số hạng) + (Số hạng) = (Tổng)
b) Phép nhân
Phép nhân hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tích của chúng.
.a b d
(Thừa số) . (Thừa số) = (Tích)
2. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên
Bảng tính chất của phép cộng và phép nhân
Phép tính
Tính chất
Cộng
Nhân
Giao hoán
a b b a
..ab b a
Kết hợp
a b c a b c
. . . .a b c a b c
Cộng với số
0
00a a a
Nhân với số
1
.1 1.a a a
Phân phối của phép nhân đối
với phép cộng
a b c ab ac
a) Tính chất giao hoán:
i ch các s hng trong mt tng thì ti.
i ch các tha s trong mi.
b) Tính chất kết hợp:
Mun cng mt tng hai s vi mt s th ba, ta có th cng s th nht vi tng ca s th hai và
s th ba.
Mun nhân mt tích hai s vi mt s th ba, ta có th nhân s th nht vi tích ca s th hai và s
th ba.
16
c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
Mun nhân mt s vi tng, ta có th nhân s i tng s hng ca tng, ri cng các kt qu li.
3. Phép trừ hai số tự nhiên
Người ta dùng dấu “
” để chỉ phép trừ
Phép trừ hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là hiệu của chúng.
a b c
(Số bị trừ)
(Số trừ) = (Hiệu)
Cho hai số tự nhiên
a
và
b
, nếu có số tự nhiên
x
sao cho
b x a
thì ta có phép trừ
.a b x
4. Phép chia hết và phép chia có dư
Cho hai số tự nhiên
a
và
b
, trong đó
0b
, nếu có số tự nhiên
x
sao cho
.b x a
thì ta nói
a chia hết cho
b
và ta có phép chia hết
:a b x
Người ta dùng dấu “
:
” để chỉ phép chia.
:a b c
(Số bị chia)
:
(Số chia) = (Thương)
Tổng quát: Cho hai số tự nhiên
a
và
trong đó
0b
, ta luôn tìm được hai số tự nhiên
q
và
r
duy nhất sao cho:
.a b q r
trong đó
0 rb
.
Nếu
0r
thì ta có phép chia hết.
Nếu
0r
thì ta có phép chia có dư.
1. Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
2. Số tự nhiên
a
chia hết cho số tự nhiên
khác
nếu có số tự nhiên
sao cho
.a b q
3. Trong phép chia có dư:
Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư
.a b q r
0 rb
Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia.
4. Số chia bao giờ cũng khác
0
.
II. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Phương pháp:
* Đối với biểu thức không có dấu ngoặc
Nếu chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện phép tính từ trái sang phải.
Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa
trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng là cộng và trừ :
17
Lũy thừa nhân và chia cộng và trừ.
* Đối với biểu thức có dấu ngoặc
Nếu biểu thức có các dấu ngoặc thì ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước.
Dạng 2: Tính nhanh, tính hợp lí.
Phương pháp:
Để việc tính nhanh được thuận lời, chúng ta thường cộng trừ sao được các con số tròn trục khi đó
việc tính toán sẽ nhanh
Đôi khi chúng ta phải công thêm đơn vị vào số đã cho để được số tròn trục rồi mới thực hiện phép
trừ.
Áp dụng tính chất của phép cộng và phép nhân một cách linh hoạt.
Nếu trong dãy có cả cộng, trừ, nhân, chia cần chú ý đến thứ tự phép tính
Dạng 3: Tìm
x
.
Phương pháp:
*) Để tìm số chưa biết trong một phép tính, ta cần nắm vững quan hệ giữa các số trong phép tính.
Chẳng hạn: Muốn tìm một số hạng trong phép cộng hai số, ta lấy tổng trừ số hạng kia;
Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ;
Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu;
Muốn tìm số bị chia ta, ta lấy thương nhân với số chia;
Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương.
*) Đặc biệt cần chú ý: với mọi
aN
ta đều có
.0 0; .1a a a
Dạng 4: Tính tổng, hiệu, tích có quy luật.
Phương pháp:
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) . (số số hạng : 2)
S s hng = (S hng cui s hu) : khong cách + 1
Số đầu của dãy = tổng . 2 : số số hạng – số hạng cuối.
Số cuối của dãy = tổng . 2 : số số hạng – số đầu.
Dạng 5: Toán về phép chia có dư
Phương pháp:
Số bị chia = số chia . Thương + Số dư (0
Số dư < Số chia)
Số chia = (Số bị chia – số dư) : Thương
Thương số = (Số bị chia – Số dư) : Số chia
Số dư = Số bị chia – Số chia . Thương số
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Kt qu ca phép tính
11.9 1
là
A.
110.
B.
100.
C.
108.
D.
101.
Câu 2. Trong các phép tính sau, phép tính nào có kt qu là
120
?
18
A.
3.4.6.
B.
4.5.6.
C.
5.6.7.
D.
3.5.6.
Câu 3. Cho
567a
và
321b
, kt qu ca phép tính
ab
là
A. 888. B. 235. C. 245. D.246.
Câu 4. Trong các tính cht sau, tính cht nào không phi là tính cht ca phép cng?
A.
a b b a
. B.
00aa
.
C.
a b c a b c
. D.
..ab b a
.
Câu 5. Trong phép chia có s b chia là
30
và s chia là
5
cho kt qu  
A.
0
(dư
6
) B.
6
(dư
) C.
0
(dư
) D.
6
(dư
0
)
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Nu tích ca hai tha s bng
0
thì có ít nht mt tha s bng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 7. 
x

2. 4. 48xx
.
A.
8x
. B.
1x
. C.
6x
. D.
10x
.
Câu 8. Lan mua 15 quyn v và 12 cái bút bi. Bit giá mi quyn v là ng, và giá mt cái
ng. Tính tng s tin Lan c mua s v và s bút bi trên.
A. 52500 đồng. B. 94500 đồng.
C. 90900 đồng. D. 86400 đồng.
Câu 9. Dng tng quát ca s t nhiên chia ht cho 3 là
A.
3,kk
. B.
5 3,kk
. C.
3 1,kk
. D.
3 2,kk
.
Câu 10. Tìm
x
bit
8 4 1208xx
.
A.
203
. B.
320
. C.
302
. D.
230
.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 11. Tích ca hai s là 6210. Nu gim mt tha s  thì tích mi là 5265. Tng ca hai
s u là
A. 180 B. 181 C. 255 D. 256
Câu 12. Kt qu ca phép tính
1 3 3 3 3 3
...
3 2.5 5.8 8.11 92.95 95.98



A
là
A.
48
98
. B.
16
98
. C.
1
9
. D.
1
3
.
Câu 13. Cho
322:( 32) 5 18. x
Chn giá tr a
x

A.
45.x
B.
18.x
C.
46.x
D.
34.x
Câu 14. Kt qu ca phép tính
547.63 547.37
là
19
A. 45700. B. 54700.
C. 5470. D. 54733.
Câu 15. Hiu ca hai s là
6
. N b tr lên
4
ln, gi nguyên s tr thì hiu ca chúng là
54
. Tìm hai s 
A.
16
và
10
. B.
16
và
12
. C.
và
10
. D.
6
và
16
.
IV- MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 16. Không tính giá tr c th, hãy so sánh
và
b
bit
2020.2020a
;
2018.2022b
?
A.
ab
. B.
ab
. C.
ab
. D.
ab
.
Câu 17. Ngày
10 10 2010
 nht. Vy ngày
10 10 2020


A. thứ Năm B. thứ Sáu C. thứ Bảy D. Chủ nhật
Câu 18. M
10
, s chia là
43
và s 
26
. S b 
s sau?
A.
303.
B.
456.
C.
690.
D.
404.
Câu 19. 
k

:4xk

:7 12x

A.
134k
. B.
183k
. C.
89k
. D.
22k
.
Câu 20. Mt ông ch ca hàng kinh doanh qun áo có mt s ti mua qun áo. Nu mua 132
qun vi giá mi qung thì còn th mua 100
qun, s tin còn li mua áo vi giá mng. Hi ông có th c nhiu
nht bao nhiêu áo?
A. 44 áo. B. 48 áo. C. 46 áo. D. 50 áo.
20
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1. Thc hin các phép tính sau:
a)
503 120
b)
1000 120
c)
2 18:2
d)
21:7 3
Bài 2: Tìm
x
bit:
a)
3 21x
b)
15 .3 6x
c)
21:7 6x 
d)
44 :3 50x
Bài 3: Mt doanh nghip 138 t p 150 t ng. H
nay doanh nghip thu nhp nhin?
Bài 4: Thc hin phép tính
a)
15.(21 3.7)
b)
(4:2 2).105
c)
376 285 124 715
d)
97 998 9999 16
e)
252 139 52 39
Bài 5: Cho
3; 5ab
. Tính
a)
ba
b)
ab
c)
2ab
d)
.( 1)ab
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1: Tính nhanh các phép tính:
a)
37581 – 9999
b)
7345 – 1998
c)
485321 – 99999
d)
7593 – 1997
Bài 2: Tìm s t nhiên
x
bit:
a)
( 42) 110 0x
21
b)
2436: 12x
c)
74( 3) 0x 
d)
36:18 2x
Bài 3: Tính tt cách hp lý nht.
a)
67 135 33
b)
997 86
c)
37. 38 62. 37
d)
43. 11
e)
67. 99
Bài 4: Bn Hà mua 5 quyn v và 4 chic bút, bit mi quyn v ng và mi chic bút
ng. Hi bn Hà phi tr tng bao nhiêu tin?
Bài 5: Khng THCS Ging Võ t chch SaPa bng xe 16 ch. Bit s hc sinh khi 6
ca tng là 300 hc sinh. Hi cn ít nh tr ht s hc sinh khi 6 ?
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm
x
bit:
a)
71 (33 ) 26x
b)
97 (64 ) 44x
c)
36:18 12x 
d)
3636:(12 91) 36x 
e)
( :23 45).67 8911x 
Bài 2:
a) Tính
1 2 3 + 1998 1999
.
b) Tính tng ca tt c các s t nhiên có 3 ch s.
c) Tính tng ca tt c các s l có 3 ch s.
Bài 3: Tính nhanh
a)
53.39 47.39 53.21 47.21
b)
2.53.12 4.6.87 3.8.40
c)
47.29 13.29 24.29
d)
1754:17 74:17 20:17
e)
26.7 17.9 13.26 17.11
Bài 4: 

22
Bài 5: Mt xí nghip gia công có ch  ng pht sn phm tng
50
ngàn, mt sn phm li b pht
40
ngàn. Ch c
20
sn phm tt và
4
sn phm li. Hi
ch ng hay pht và s tin là bao nhiêu?
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1: Quán mì ca cha m Tép bán c 7 ngày trong tun. Th 7 hay ch nh
ng. Mc 300 tô. Ha nhà bn Tép bán
c bao nhiêu tô? Bi 7 và 4 ngày ch nht.
Bài 2: Mt con ch i mt cái ging sâu 10 m. Ban ngày ch nht
xung 2 m. Hi sau bao nhiêu ngày thì ch lên khi ging?
Bài 3: 



Bài 4: (Toán c) Mi mt con th cách nó 150dm. Mc nhy ca chó dài 9dm, mt
c ca th dài 7 dm và khi chó nhy mc thì th y m i kp th, chó
phi nhc?
Bài 5: Mt ông ch ca hàng kinh doanh qun áo có mt s ti mua qun áo. Nu mua 132 qun
vi giá mi qung thì còn th mua 100 qun, s tin còn
li mua áo vi giá mng. Hi ông có th c nhiu nht bao nhiêu áo?
23
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
D
D
D
D
C
C
A
C
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
B
B
C
B
A
A
C
B
D
B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Kt qu ca phép tính
11.9 1
là
A.
110.
B.
100.
C.
108.
D.
101.
Lời giải
Chọn B
Tính
11.9 1 99 1 100.
Câu 2. Trong các phép tính sau, phép tính nào có kt qu là
120
?
A.
3.4.6.
B.
4.5.6.
C.
5.6.7.
D.
3.5.6.
Lời giải
Chọn B
Tính được
4.5.6 20.6 120.
Câu 3. Cho
567a
và
321b
, kt qu ca phép tính
ab
là
A. 888. B. 235. C. 245. D.246.
Lời giải
Chọn D
567 321 246ab
Câu 4. Trong các tính cht sau, tính cht nào không phi là tính cht ca phép cng?
A.
a b b a
. B.
00aa
. C.
a b c a b c
. D.
..ab b a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
..a b b a
là tính chất giao hoán của phép nhân.
Câu 5. Trong phép chia có s b chia là
30
và s chia là
5
cho kt qu  
A.
0
(dư
6
) B.
6
(dư
) C.
(dư
) D.
6
(dư
0
)
24
Lời giải
Chọn D
Câu 6. Nu tích ca hai tha s bng
0
thì có ít nht mt tha s bng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Câu 7. 
120.13 2019.11 2020.12 . 120.11 100.11 220
là
A.
2020
. B.
2021
. C.
0
. D.
2019
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
120.11 100.11 220 120.11 100.11 11.20 11. 120 100 20 0
Do đó
120.13 2019.11 2020.12 . 120.11 100.11 220 0
Câu 8. Lan mua 15 quyn v và 12 cái bút bi. Bit giá mi quyn v ng, và giá mt cái
bút bi ng. Tính tng s tin Lan c mua s v và s bút bi trên.
A. 52500 đồng. B. 94500 đồng.
C. 90900 đồng. D. 86400 đồng.
Lời giải
Chọn C
Số tiền Lan cần thanh toán để mua số vở và số bút bi trên là:
15.3500 12.3200 90900
(đồng)
Câu 9. Dng tng quát ca s t nhiên chia ht cho 3 là ?
A.
3,kk
. B.
5 3,kk
. C.
3 1,kk
. D.
3 2,kk
.
Lời giải
Chọn A
Số tự nhiên
a
chia hết cho
3
có dạng:
3,a k k
.
Số tự nhiên
a
chia cho
3
dư
1
có dạng:
3 1,a k k
.
Số tự nhiên
a
chia cho
3
dư
có dạng:
3 2,a k k
.
Câu 10. Bit
8 4 1208xx
. Vy
x
bng
A.
203
. B.
320
. C.
302
. D.
230
.
25
Lời giải
Chọn C
Ta có
8 4 8 4 4 x x x x
.
Do đó,
4 1208x
nên
302x
.
Câu 11. Tích ca hai s là 6210. Nu gim mt tha s  thì tích mi là 5265. Tng ca hai
s u là
A. 180 B. 181 C. 255 D. 256
Lời giải
Chọn B
Gọi thừa số bị giảm là
a
, thừa số còn lại là
.
Theo đề ra ta có
7 5265 7 5265 6210 7 5265 7 945 135a b ab b b b b
6210
46
135
a
135 46 181ab
.
Câu 12. Kt qu ca phép tính
1 3 3 3 3 3
...
3 2.5 5.8 8.11 92.95 95.98



A
là
A.
48
98
. B.
16
98
. C.
1
9
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn B
Vì
1 3 3 3 3 3
...
3 2.5 5.8 8.11 92.95 95.98



A
1 1 1 1 1 1 1
...
3 2 5 5 8 95 98



A
1 1 1
3 2 98




A
1 48 16
.
3 98 98

.
Câu 13. Cho
322:( 32) 5 18. x
Chn giá tr a

A.
45x
. B.
18x
. C.
46x
. D.
34x
.
Lời giải
Chọn C
322:( 32) 5 18 x
322:( 32) 18 5 x
26
322:( 32) 23x
32 322:23x
32 14x
14 32x
Vậy
46.x
Câu 14. Kt qu ca phép tính
547.63 547.37
là
A. 45700. B. 54700.
C. 5470. D. 54733.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
()ab ac a b c
.
Ta có
547.63 547.37 547. 63 37 547.100 54700
.
Câu 15. Hiu ca hai s là
6
. N b tr lên
4
ln, gi nguyên s tr thì hiu ca chúng là
54
. Vy hai s 
A.
16
và
10
. B.
16
và
12
. C.
6
và
10
. D.
6
và
16
.
Lời giải
Chọn A
Gọi hai số đó là
a
và
b
,
, ab
.
Ta có:
6ab
. Theo đề bài ta có:
4 54ab
3 54a a b
3 6 54a 
3 48a
16, 10ab
.
Câu 16. Không tính giá tr c th, hãy so sánh
và
bit
2020.2020a
;
2018.2022b
?
A.
ab
. B.
ab
. C.
ab
. D.
ab
.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a b c ab ac
.
Ta có:
2020.2020 2020. 2018 2 2020.2018 2020.2a
2018.2022 2018. 2020 2 2018.2020 2018.2b
27
Vì
2020.2 2018.2
.
Do đó:
ab
.
Câu 17. Ngày
10 10 2010
 nht. Vy ngày
10 10 2020


A. thứ Năm B. thứ Sáu C. thứ Bảy D. Chủ nhật
Lời giải
Chọn C
Từ
10 10 2010
đến
10 10 2020
có 10 năm. T
rong đó có 3 năm nhuận: 2012, 2016, 2020. Ta thấy:
365.10 3 3653; 3653:7 521
(dư 6)
Từ
10 10 2010
đến
10 10 2020
gồm 521 tuần và còn dư 6 ngày.
Vậy ngày
10 10 2010
rơi vào thứ Bảy.
Câu 18. M
10
, s chia là
43
và s 
26
. S b 
s sau?
A.
303
. B.
456
. C.
690
. D.
404
.
Lời giải
Chọn B
Sử dụng định nghĩa của phép chia có dư và công thức:
. (0 ) a b q r r b
Với
a
là số bị chia,
b
là số chia,
q
là thương và
r
là số dư.
Ta có:
10.43 26 456 a
Vậy số bị chia cần tìm là
456.
Câu 19. 
:7 12x

k

:4xk
 
A.
134k
. B.
183k
. C.
89k
. D.
22k
.
Lời giải
Chọn D
Vì
:7 12x
dư 5 nên
12.7 5 89x
Vậy ta có
89: 4k
dư 1 nên
(89 1):4 22k
Câu 20. Mt ông ch ca hàng kinh doanh qun áo có mt s ti mua qun áo. Nu mua 132
qun vi giá mi qung thì còn th mua 100
qun, s tin còn li mua áo vi giá mng. S áo ông có th c
nhiu nht là bao nhiêu?
A. 44 áo. B. 48 áo.
C. 46 áo. D. 50 áo.
28
Lời giải
Chọn B
Số tiền để mua quần áo là
132.95000 80000 12620000
(đồng).
Số tiền mua quần là
100.95000 9500000
(đồng).
Số tiền còn để mua áo là
12620000 9500000 3120000
(đồng).
Số áo ông có thể mua là
3120000:65000 48
.
Vậy ông có thể mua được nhiều nhất 48 áo.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1 : Thc hin các phép tính sau:
a)
503 120
b)
1000 120
c)
2 18:2
d)
21:7 3
Lời giải
a)
503 120 623
b)
1000 120 880
c)
2 18:2 2 9 11
d)
21:7 3 3 3 0
Bài 2: Tìm
x
bit:
a)
3 21x
b)
15 .3 6x
c)
21:7 6x 
d)
44 :3 50x
Lời giải
a)
3 21x
21 3x 
24x
Vậy
24x
.
b)
15 .3 6x
.3 15 6x 
.3 9x
9:3x
29
3x
Vậy
3x
.
c)
21:7 6x 
36x 
63x 
3x
Vậy
3x
.
d)
44 :3 50x
:3 50 44x 
:3 6x
6.3x
18x
Vậy
18x
.
Bài 3: Mt doanh nghip 138 t p 150 t ng. H
nay doanh nghip thu nhp nhin?
Lời giải
Số tiền doanh nghiệp thu nhập năm nay nhiều hơn năm ngoái là
150 138 12
(tỉ đồng).
Bài 4: Thực hiện phép tính
a)
15.(21 3.7)
b)
(4:2 2).105
c)
376 285 124 715
d)
97 998 9999 16
e)
252 139 52 39
Lời giải
a)
15.(21 3.7) 15.(21 21) 15.0 0
b)
(4:2 2).105 (2 2).105 0.105 0
c)
376 285 124 715
(376 124) (285 715)
500 1000
1500
d)
97 998 9999 16 (97 3) (998 2) (9999 1) 10
100 1000 10000 10 11110
e)
252 139 52 39
(252 52) (139 39)
30
200 100 300
Bài 5: Cho
3; 5ab
. Tính:
a)
ba
b)
ab
c)
2ab
d)
.( 1)ab
Lời giải
a)
5 3 2ba
b)
3 5 8ab
c)
2 2.3 5 11ab
d)
.( 1) 3.(5 1) 3.6 18ab
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1: Tính nhanh các phép tính:
a)
37581 – 9999
b)
7345 – 1998
c)
485321 – 99999
d)
7593 – 1997
Lời giải
a)
37581 – 9999 37581 1 – 9999 1 37582 – 10000 89999
(cộng cùng một
số vào số bị trừ và số trừ) .
b)
7345 2 – 1998 2 7347 – 2000 5347
c)
485321 – 99999 (485321 +1) – (99999 1) 485322 100000 385322
d)
7593 – 1997 (7593 3) (1997 3) 7596 2000 5596
.
Bài 2: Tìm s t nhiên
x
bit:
a)
( 42) 110 0x
b)
2436: 12x
c)
74( 3) 0x 
d)
36:18 2x
Lời giải
a)
( 42) 110 0x
42 110x 
110 42x 
31
152x
Vậy
152x
.
b)
2436: 12x
2436:12x
203x
Vậy
203x
.
c)
74( 3) 0x 
3 0:74x
30x
03x 
3x
Vậy
3x
.
d)
36:18 2x
22x 
22x 
4x
Vậy
4x
.
Bài 3: Tính tt cách hp lý nht.
a)
67 135 33
b)
997 86
c)
37. 38 62. 37
d)
43. 11
e)
67. 99
Lời giải
a)
67 135 33 (67 33) 135 100 135 235
b)
997 3 83 997 3 83 1000 80 1083
Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng.
Nhận xét:
997 86 997 3 86 3 1000 83 1083
. Ta có thể thêm vào số hạng này đồng
thời bớt đi số hạng kia với cùng một số.
c)
37. 38 62. 37 37. 38 62 37.100 3700.
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
d)
43. 11 43. 10 1 43.10 43. 1 430 43 4373.
32
e)
67. 99 67. 100 –1 67.100 – 67 6700 – 67 6633
.
Bài 4: Bn Hà mua 5 quyn v và 4 chic bút, bit mi quyn v ng và mi chic bút
ng. Hi bn Hà phi tr tng bao nhiêu tin ?
Lời giải
Số tiền mua 5 quyển vở là 5. 8 000 = 40 000 (đồng).
Số tiền mua 4 chiếc bút là 4. 5 000 = 20 000 (đồng).
Tổng số tiền bạn Hà phải trả là: 40 000 + 20 000 = 60 000 (đồng).
Bài 5: Khng THCS Ging Võ t chch SaPa bng xe 16 ch. Bit s hc sinh khi 6
cng là 300 hc sinh. Hi cn ít nh tr ht s hc sinh khi 6 ?
Lời giải
Ta có:
300:16 18
( dư 12).
Do đó phải cần 19 xe 16 chỗ mới chở hết học sinh khối 6.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm
x
bit:
a)
71 (33 ) 26x
b)
97 (64 ) 44x
c)
36:18 12x 
d)
3636:(12 91) 36x 
e)
( :23 45).67 8911x 
Lời giải
a)
71 (33 ) 26x
33 71 26x
33 45x
12x
Vậy
12x
b)
97 (64 ) 44x
64 97 44x
64 53x
64 53x 
11x
Vậy
11x
c)
36:18 12x
2 12x 
33
12 2x 
14x
Vậy
14x
d)
3636:(12 91) 36x 
12 91 3636:36x
12 91 101x
12 101 91x 
12 192x
192:12x
16x
Vậy
16x
e)
( :23 45).67 8911x 
:23 45 8911:67x 
:23 45 133x 
:23 133 45x 
:23 88x
88.23x
2024x
Vậy
2024x
Bài 2:
a) Tính
1 2 3 + 1998 1999
.
b) Tính tng ca tt c các s t nhiên có 3 ch s.
c) Tính tng ca tt c các s l có 3 ch s.
Lời giải
a) Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng
Do đó
1 2 3 1998 1999 1 1999 . 1999:2 2000.1999: 2 1999000S
b)
1
100 101 998 999S
Tổng trên có
999 – 100 1 900
số hạng. Do đó
1
100 999 .900: 2 494550S
c)
2
101 103 997 999S
Tổng trên có
999 – 101 : 2 1 450
số hạng. Do đó
34
2
101 999 . 450 : 2 247500S
.
Bài 3: Tính nhanh
a)
53.39 47.39 53.21 47.21
b)
2.53.12 4.6.87 3.8.40
c)
47.29 13.29 24.29
d)
1754:17 74:17 20:17
e)
26.7 17.9 13.26 17.11
Lời giải
a)
53.39 47.39 53.21 47.21
(53.39 53.21) (47.39 47.21)
53(39 21) 47(39 31)
53.18 47.18
18.(53 47)
18.100
1800
b)
2.53.12 4.6.87 3.8.40
24.53 24.87 24.40
24.(53 87 40)
24.100
2400
c)
47.29 13.29 24.29 29.(47 13 24) 29.10 290
d)
1754:17 74:17 20:17 (1754 74 20):17 1700:17 100
e)
26.7 17.9 13.26 17.11
26.(7 13) 17.(9 11)
26.20 17.20
20.(26 17)
20.9 180
Bài 4: 
 
Lời giải
Ta có:
300:16 18
( dư 12).
Do đó phải cần 19 xe 16 chỗ mới chở hết học sinh khối 6.
35
Bài 5: Mt xí nghip gia công có ch  ng pht sn phm tng
50
ngàn, mt sn phm li b pht
40
ngàn. Ch c
20
sn phm tt và
4
sn phm li. Hi
ch ng hay pht và s tin là bao nhiêu?
Lời giải
20
sản phẩm tốt được thưởng số tiền là:
20.50000 1000000
(đồng).
4
sản phẩm lỗi bị phạt số tiền là:
4.40000 160000
(đồng).
Chị Mai được thưởng số tiền là:
1000000 160000 840000
(đồng).
Vậy chị Mai được thưởng
840000
đồng.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1: Quán mì ca cha m Tép bán c 7 ngày trong tun. Th 7 hay ch nht 
ng. Mc 300 tô. Ha nhà bn Tép bán
c bao nhiêu tô? Bi 7 và 4 ngày ch nht.
Lời giải
Mỗi ngày thứ 7 hay chủ nhật quán bán được:
300.2 600
(tô mì)
Vì tháng 2 năm 2019 có 28 ngày trong đó có 4 ngày thứ 7 và 4 ngày chủ nhật nên trong tháng 2 năm
2019 quán bán được:
600 600 .4 300.20 10800
(tô mì).
Vậy tháng 2 năm 2019 quán mì nhà bạn Tép bán được
10800
tô mì.
Bài 2: Mt con ch i mt cái ging sâu 10 m. Ban ngày ch nht xung
2 m. Hi sau bao nhiêu ngày thì ch lên khi ging?
Lời giải
Vì ban ngày ếch nhảy lên được 3m, ban đêm lại tụt xuống 2m nên thực tế trong 1 ngày ếch lên được
1m.
Sau 7 ngày, ếch đã lên được:
7.1 7
(m). Khi đó, ếch còn cách miệng giếng 3 m.
Sang ngày thứ 8, ếch sẽ nhảy lên 3 m để ra khỏi giếng.
Vậy sau 8 ngày thì ếch lên khỏi giếng.
Bài 3: 



Lời giải
Gọi số phòng là
x
.
Nếu xếp 25 học sinh vào một phòng thì số học sinh là:
25 5x
Nếu xếp 28 học sinh vào một phòng thì số học sinh là:
28 28x
36
Ta có:
25 5 28 28
11
xx
x
Vậy số học sinh là:
25.11 5 280
(học sinh)
Bài 4: (Toán c) Mi mt con th cách nó 150dm. Mc nhy ca chó dài 9dm, mt
c ca th dài 7 dm và khi chó nhy mc thì th y m i kp th, chó
phi nhc?
Lời giải
Mỗi bước của chó dài hơn mỗi bước của thỏ là:
9 – 7 2
(dm)
Muốn đuổi kịp thỏ thì chó phải nhảy:
150:2 75
(bước)
Vậy để đuổi kịp thỏ, chó phải nhảy 75 bước.
Bài 5: Mt ông ch ca hàng kinh doanh qun áo có mt s ti mua qun áo. Nu mua 132 qun
vi giá mi qung thì còn th mua 100 qun, s tin còn
li mua áo vi giá mng. Hi ông có th c nhiu nht bao nhiêu áo?
Lời giải
Số tiền để mua quần áo là
132.95000 80000 12620000
(đồng).
Số tiền mua quần là
100.95000 9500000
(đồng).
Số tiền còn để mua áo là
12620000 9500000 3120000
(đồng).
Số áo ông có thể mua là
3120000:65000 48
.
Vậy ông có thể mua được nhiều nhất 48 áo.
37
CHUYÊN ĐỀ 3:
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các kiến thức cơ bản
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của
a
là tích của
n
thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng
a
:
n
a a.a........a
(
thừa số
) (
0n
)
a
được gọi là cơ số.
n
được gọi là số mũ.
2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
m n m n
a .a a
(
a 0,m 0,n 0
)
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.
3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
m n m n
a :a a
(
a 0,m 0,n 0,m n
)
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.
4. Lũy thừa của lũy thừa
m n m.n
(a ) a
(
a 0,m 0,n 0
)
Lũy thừa của lũy thừa cơ số
(khác 0), cơ số giữ nguyên và lũy thừa bằng tích lũy thừa.
5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số
m m m
a .b (a.b)
(
a 0,b 0,m 0
)
Khi nhân hai cơ số (khác 0) có cùng lũy thừa, ta nhân cơ số với nhau và giữ nguyên lũy
thừa.
6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số
m m m
a :b (a :b)
(
a 0,b 0,m 0
)
Khi chia hai cơ số (khác 0) có cùng lũy thừa, ta chia cơ số với nhau và giữ nguyên lũy
thừa.
7. Một vài quy ước
n
0
11
a 1 (a 0)

II. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Khai triển lũy thừa
Phương pháp:
38
Ta sử dụng định nghĩa lũy thừa
n
a a.a........a
theo chiều xuôi.
Dạng 2: Viết số dưới dạng lũy thừa
Phương pháp:
Ta sử dụng định nghĩa lũy thừa
n
a.a........a a
theo chiều ngược lại.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức có lũy thừa
Phương pháp:
Thực hiện theo thứ tự thực hiện phép tính: Nhân chia trước, cộng trừ sau. Nếu có lũy thừa
thì thực hiện lũy thừa trước rồi đến nhân chia cộng trừ. Nếu có ngoặc thì thực hiện trong
ngoặc trước ngoài ngoặc sau.
Dạng 4: Tìm số mũ, cơ số của 1 lũy thừa
Phương pháp:
Áp dụng tính chất
mm
a b a b
và
mn
a a m n
với
a,b,m,n
là các số tự nhiên
khác 0.
Dạng 5: So sánh 2 lũy thừa
Phương pháp:
Đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. n t thích hp vào du " .... " :
th, ta gi  và .....các s 
A. Cộng B. Trừ C. Nhân D. Chia
Câu 2. a ca s t nhiên nào và có s ng bao nhiêu?
A. Lũy thừa của 2, số mũ bằng B. Lũy thừa của 4, số mũ bằng 3
C. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3 D. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3
Câu 3. Thc hin phép tính :
32
3 .4
A.
423
B.
432
C.
324
D.
323
Câu 4. a ca
4
3
s bng?
A.
9
B.
27
C.
81
D.
243
Câu 5. Lc vit là
A.
3
7
B.
7
3
C.
2
7
D.
7
2
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Tìm s t nhiên n tha mãn
n
3 81
A.
2n
B.
3n
C.
4n
D.
5n
Câu 7. Tìm s t nhiên n tha mãn
n 3 5
4 4 .4
?
A.
32n
B.
16n
C.
8n
D.
4n
Câu 8. Tìm s t nhiên m tha mãn
2020 m 2022
20 20 20
?
A.
2021m
B.
2020m
C.
2019m
D.
20m
Câu 9. Tính
4
2 16
c kt qu i da là
39
A.
20
2
B.
4
2
C.
5
2
D.
10
2
Câu 10. ChSai?
A.
35
53
B.
45
32
C.
36
42
D.
32
48
Câu 11. ChĐúng?
A.
2 3 4 10
5 .5 .5 5
B.
2 3 4
5 .5 :5 5
C.
3
5 :5 5
D.
1
51
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12. Kt qu ca phép nhân :
100.10.10.10
là
A.
5
10
B.
6
10
C.
4
10
D.
7
10
.
Câu 13.
26
(3 )
có kt qu là
A.
9
3
B.
18
3
C.
12
3
D. Kết quả khác.
Câu 14.
5
2
3
có kt qu là
A.
10
3
B.
7
3
C.
32
3
D.
5
9
Câu 15.
3
x 15 23
thì x có giá tr bng
A.
5
B.
3
C.
D.
8
Câu 16.
n3
3 2 1
thì n bng
A.
3
B.
0
C.
D.
1
Câu 17. Cho
15 29
A 9 ;B 3
kt qu 
A.
AB
B.
AB
C.
AB
D. Kết quả khác.
Câu 18. Nu
3x 1
2 16
thì giá tr ca x là
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
.
IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 19. Vit tích
12 5
9 .27
i da ca 1 s.
A.
60
243
B.
60
3
C.
40
3
D.
39
3
.
Câu 20. S t nhiên
x
thu kin
2x 1 5
100 5 5

là
A.
5x
B.
4x
C.
3x
D.
2x
.
Câu 21. Có bao nhiêu s t nhiên
x
tha mãn
5 90
x
?
A.
5
B.
3
C.
0
D.
1
.
Câu 22. S t nhiên
x
tha mãn
3 2 5
(7. 11) 5 .2 200x
là
A.
0x
B.
1x
C.
3x
D.
4x
.
Câu 23. Tng các s t nhiên
x
tha mãn
54
( 4) ( 4)xx
bng
A.
9
B.
8
C.
7
D.
6
.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1. 
a)
4 . 4 . 4 . 4 . 4
c)
2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8
b)
10 . 10 . 10 . 100
d)
x . x . x . x
40
Bài 2. 
a)
46
a .a
b)
57
(a )
c)
3 4 9
(a ) . a
d)
3435
.) (22 )(
Bài 3. Vii dng ma.
a)
8 20 12 5 4 3 5 2
4 .2 ; 9 .27 .81 ; 64 .4 .16
b)
20 4 7 4 3 6 6
25 .125 ; x .x .x ; 3 .4
c)
4 3 2 3 2 3 7
8 .2 .16 ; 2 .2 .8 ; y.y
Bài 4. Tính giá tr a sau:
a)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2
.
b)
2345
3 ; 3 ; 3 ; 3
c)
234
4 ; 4 ; 4
d)
234
5 ; 5 ; 5
.
Bài 5. Vii dng ma.
a)
9 4 8 5 10 2 10 10 5 3
4 :4 ; 17 :17 ; 2 :8 ; 18 :3 ; 27 :81
b)
6 9 3 10 3 25 4 4 4
10 :100; 5 :25 ; 4 :64 ; 2 :32 ; 18 :9
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Vit các tng sau thành m
a)
33
12
b)
3 3 3
1 2 3 
c)
3 3 3 3
1 2 3 4
Bài 2. Tìm
x
, bit.
a)
x
2 16
b)
x
2 .16 1024
c)
x8
64.4 16
d)
x
3 .3 243
Bài 3. Thc hin các phép tính sau bng cách hp lý.
a)
17 2 15 15 4 2
(2 17 ).(9 3 ).(2 4 )
b)
2017 2015 2014
(8 8 ):(8 .8)
c)
3 3 4 5 3 3 3 3 8 2
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )
d)
8 3 5 3
(2 8 ):(2 .2 )
41
Bài 4. Vit các kt qu i dng ma.
a)
35
125 : 25
b)
63
27 : 9
c)
20 15
4 : 2
d)
n 2n
24 : 2
e)
4 5 20
64 . 16 : 4
g)
46
32 : 8
Bài 5. Tìm x, bit.
a)
x
2 .4 128
b)
3
125(2.x 1)
c)
x
2 26 6
d)
x5
64.4 4
e)
x
27.3 243
g)
x
49.7 2401
h)
x 2 0
3 25 26.2 2.3
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1. So sánh
a)
6
2
và
2
8
;
3
5
và
5
3
;
2
3
và
3
2
;
6
2
và
2
6
b)
A 2009.2011
và
2
B 2010
c)
A 2015.2017
và
2
B 2016
d)
0
2021
và
2021
1
Bài 2. Cho
1 2 3 2021
A 1 2 2 2 2 
a) Tính 2A
b) Chng minh:
2022
A 2 –1
Bài 3. Cho
2 3 4 5 6 7
A 1 3 +3 3 3 3 3 3
a) Tính
3.A
b) Chng minh
8
A (3 1): 2
42
Bài 4. Cho
2 2021
B =1 3 3 ... 3
a) Tính
3.B
b) Chng minh:
2022
B =(3 -1 ): 2
Bài 5. Cho
2 3 5 6
C 1 4 4 4 4 4
a) Tính
4.C
b) Chng minh:
7
C (4 1):3
Bài 6. 
3 3 2 2
) :a 2 5 5 12.2
3 2 2
b) [(7 3 :3 ):2 99] 100 2.
432 2
c) [(5 3):11 3 . ] 2 2.10
Bài 7. Tìm
x

a)
22
5.2 ( 3) 5x
b)
3 2 3 3
2 ( 3 ) 5 4x
c)
34
4.( 5) – 2 2 .3x 
d)
3
5.( 7) –10 2 .5x 
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1. Tính tng
a)
2 3 2022
S 1 2 2 2 2
b)
2 3 . 2022
S 3 3 3 3
c)
2 3 2022
S 4 4 4 4
d)
2 3 2022
S 5 5 5 5
Bài 2. Tính tng
2 2 2 2
A 1 2 3 .... 20
Bài 3. Tìm s t nhiên
x
, bit rng:
a)
x x 3
2 2 144

b)
2022 2021
(x 5) (x 5)
c)
3
(2.x 1) 9.81
Bài 4. 
x

2x – 1
5

2x – 1 6
100 <5 5 .
43
Bài 5. 
a)
2n
3
và
3n
2
b)
20
199
và
15
2003
c)
99
3
và
21
11
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
A
C
C
A
C
D
B
A
B
C
C
C
A
A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. n t thích hp vào du " .... "
, ta gi  và ..... các s 
A. Cộng B. Trừ C. Nhân D. Chia
Lời giải
Chọn A
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
Câu 2.
16
a ca s t nhiên nào và có s ng bao nhiêu?
A. Lũy thừa của
2
, số mũ bằng
B. Lũy thừa của 4, số mũ bằng 3
C. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3 D. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3
Lời giải
Chọn A
4
16 2
Câu 3. Thc hin phép tính:
32
3 .4
A. 423 B. 432 C. 324 D. 323
Lời giải
Chọn B
32
3 .4 27.16 432
Câu 4. a ca
4
3
s bng
A. 9 B. 27 C. 81 D. 243
Lời giải
Chọn D
4
3 3.3.3.3 243
44
Câu 5. Lc vit là
A.
3
7
B.
7
3
C.
2
7
D.
7
2
Lời giải
Chọn A
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Tìm s t nhiên n tha mãn
n
3 81
A. n = 2 B. n = 3 C. n = 4 D. n = 8
Lời giải
Chọn C
n
n4
3 81
33
n4
Câu 7. Tìm s t nhiên n tha mãn
n 3 5
4 4 .4
?
A. n = 32 B. n = 16 C. n = 8 D. n = 4
Lời giải
Chọn C
n 3 5
n8
4 4 .4
44
n8
Câu 8. Tìm s t nhiên m tha mãn
2020 m 2022
20 20 20
?
A. m = 2021 B. m = 2020 C. m = 2019 D. m = 20
Lời giải
Chọn A
2020 m 2022
20 20 20
2020 m 2022

Mà
m
nên
m 2021
Câu 9. Tính
4
2 16
c kt qu i da là
A.
20
2
B.
4
2
C.
5
2
D.
10
2
Lời giải
Chọn C
Có
45
2 16 16 16 32 2
Câu 10. ChSai
A.
35
53
B.
45
32
C.
36
42
D.
32
48
Lời giải
Chọn D
Có
45
3
2
4 64
8 64
Mà 64=64 nên
32
48
Câu 11. ChĐúng
A.
2 3 4 10
5 .5 .5 5
B.
2 3 4
5 .5 :5 5
C.
3
5 :5 5
D.
1
51
Lời giải
Chọn B
2 3 4 2 3 4 5 4
5 .5 :5 5 :5 5 :5 5
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12. Kt qu ca phép nhân : 100.10.10.10 là
A.
5
10
B.
6
10
C.
4
10
D.
7
10
.
Lời giải
Chọn A
2 2 1 1 1 5
100.10.10.10 10 .10.10.10 10 10

Câu 13.
26
(3 )
có kt qu là
A.
9
3
B.
18
3
C.
12
3
D. Kết quả khác
Lời giải
Chọn B
3 6 3.6 18
(3 ) 3 3
Câu 14.
5
2
3
có kt qu là
A.
10
3
B.
7
3
C.
32
3
D.
5
9
Lời giải
Chọn C
5
2 2.2.2.2.2 32
3 3 3
Câu 15.
3
x 15 23
thì x có giá tr bng
A. 5 B. 3 C. 2 D. 8
Lời giải
Chọn C
3
x 15 23
3
x 23 15
3 3 3
x 8 x 2 x 2
Câu 16.
n3
3 2 1
thì n bng
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
46
Lời giải
Chọn C
n3
3 2 1
n3
3 1 2
n n 2
3 9 3 3 n 2
Câu 17. Cho
15 29
A 9 ;B 3
kt qu 
A.
AB
B.
AB
C.
AB
D. Cả ba kết quả
đều sai.
Lời giải
Chọn A
15 30 29
A 9 3 3
AB
Câu 18. Nu
3x 1
2 16
thì giá tr ca x là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
Lời giải
Chọn A
3x 1
2 16
3x 1 4
22

3x 1 4
3x 4 1
3x 3
1x
Câu 19. Vit tích
12 5
9 .27
i da ca 1 s là
A.
60
243
B.
60
3
C.
40
3
D.
39
3
.
Lời giải
Chọn D
12 5 2 12 3 5 24 15 39
9 .27 (3 ) .(3 ) 3 .3 3
IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 20. S t nhiên x thu kin
2x 1 5
100 5 5

là
A.
5x
B.
4x
C.
3x
D.
2x
.
Lời giải
Chọn D
2x 1 5 2 2x 1 5
100 5 5 5 100 5 5

2 2x 1 5 3 2x 6
. Mà
x
nên
2x
Câu 21. Có bao nhiêu s t nhiên x tha mãn
5 90
x
?
A.
5
B.
3
C.
D.
1
.
Lời giải
Chọn B
3
5 90 125 5 5 3
xx
x
. Mà
x
nên
0;1;2x
nên có 3 giá trị của x thỏa mãn
47
Câu 22. S t nhiên x tha mãn
3 2 5
(7. 11) 5 .2 200x
là
A.
0x
B.
1x
C.
3x
D.
4x
.
Lời giải
Chọn C
3 2 5
(7. 11) 5 .2 200x
33
(7x 11) 1000 10
7x 11 10
3x
Câu 23. Tng các s t nhiên
x
tha mãn
54
( 4) ( 4)xx
bng
A.
9
B.
8
C.
7
D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Do
54
( 4) ( 4)xx
nên
40x 
hoặc
41x 
Vậy
4x
hoặc
5x
. Suy ra tổng các giá trị của x là
5 4 9
--------------- HẾT -----------------
C. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1. 
a)
4 . 4 . 4 . 4 . 4
c)
2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8
b)
10 . 10 . 10 . 100
d)
x . x . x . x
Lời giải
a)
5
4.4.4.4.4 4
b)
5
10.10.10.100 10
c)
5 3 5 15
2.4.8.8.8.8 8.8.8.8.8 8 (2 ) 2
d)
4
x.x.x.x x
Bài 2. 
a)
46
a .a
b)
57
(a )
c)
3 4 9
(a ) . a
d)
3435
.) (22 )(
Lời giải
a)
4 6 10
a .a a
b)
5 7 5.7 35
(b ) b b
c)
3 4 9 3.4 9 12 9 12 9 21
(a ) . a a .a a .a a a
d)
3 4 3.5 3.4 15 12 15 12 2735
.(2 ) 2 .2() 2 .22 22
Bài 3. Vii dng ma.
48
a)
8 20 12 5 4 3 5 2
4 .2 ; 9 .27 .81 ; 64 .4 .16
b)
20 4 7 4 3 6 6
25 .125 ; x .x .x ; 3 .4
c)
4 3 2 3 2 3 7
8 .2 .16 ; 2 .2 .8 ; y.y
Lời giải
a)
8 20 2 8 20 16 20 36
4 .2 (2 ) .2 2 .2 2
;
12 5 4 2 12 3 5 4 4 24 15 16 24 15 16 55
9 .27 .81 (3 ) .(3 ) .(3 ) 3 .3 .3 3 3

3 5 2 6 3 2 5 4 2 18 10 8 36
64 .4 .16 (2 ) .(2 ) .(2 ) 2 .2 .2 2
b)
20 4 2 20 3 4 40 12 40 12 52
25 .125 (5 ) .(5 ) 5 .5 5 5
7 4 3 7 4 3 14
x .x .x x x


6 6 6 6
3 .4 (3.4) 12
c)
4 3 2 3 4 3 4 2 12 3 8 12 3 8 23
8 .2 .16 (2 ) .2 .(2 ) 2 .2 .2 2 2

3 2 3 3 2 9 14
2 .2 .8 2 .2 .2 2
7 1 7 8
y.y y y

Bài 4. Tính giá tr a sau:
a)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2
.
b)
2345
3 ; 3 ; 3 ; 3
c)
234
4 ; 4 ; 4
d)
234
5 ; 5 ; 5
.
Lời giải
2
a) 2 2.2 4
.
3
2 =2.2.2=8
4
2 =2.2.2.2=16
5
2 =2.2.2.2.2=32
6
2 =2.2.2.2.2.2=64
7
2 =2.2.2.2.2.2.2=128
8
2 =2.2.2.2.2.2.2.2=256
9
2 =2.2.2.2.2.2.2.2.2=512
10
2 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 1024
2
b) 3 =3.3=9
49
3
3 =3.3.3=27
4
3 =3.3.3.3=81
5
3 3.3.3.3.3 243
2
c) 4 4.4 16
3
4 =4.4.4=64
4
4 4.4.4.4 256
2
d) 5 =5.5=25
.
3
5 =5.5.5=125
4
5 5.5.5.5 625
Bài 5. Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.
a)
9 4 8 5 10 2 10 10 5 3
4 :4 ; 17 :17 ; 2 :8 ; 18 :3 ; 27 :81
b)
6 9 3 10 3 25 4 4 4
10 :100; 5 :25 ; 4 :64 ; 2 :32 ; 18 :9
Lời giải
9 4 9 4 5 10
a) 4 : 4 =4 =4 =2
8 5 8 5 3
17 :17 =17 =17
10 2 10 3 2 10 6 10 6 4
2 :8 =2 :(2 ) =2 :2 =2 =2
10 10 10 10
18 :3 =(18:3) =6
5 3 3 5 4 3 15 12 15 12 3
27 :81 (3 ) :(3 ) 3 :3 3 3
6 6 2 6 2 4
b) 10 :100 10 :10 =10 =10
9 3 9 2 3 9 6 9 6 3
5 : 25 =5 :(5 ) =5 :5 =5 =5
10 3 10 3 3 10 9 10 9 2
4 :64 =4 :(4 ) =4 :4 =4 =4=2
25 4 25 5 4 25 20 25 20 5
2 :32 =2 :(2 ) =2 :2 =2 =2
4 4 4 4
18 :9 (18:9) 2
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Vit các tng sau thành m
a)
33
12
b)
3 3 3
1 2 3 
c)
3 3 3 3
1 2 3 4
Lời giải
3 3 2
a) 1 2 1 8 9 3
3 233
b 3) 8 1 2 1 27 6 6 3 
3 3 3 3 2
c) 1 2 3 4 1 8 27 64 100 10
50
Bài 2. Tìm
x
, bit.
a)
x
2 16
b)
x
2 .16 1024
c)
x8
64.4 16
d)
x
3 .3 243
Lời giải
x
a) 2 16
x4
22
x4
Vậy
4x
x
b) 2 .16 1024
x 4 10
2 .2 2
x 4 10
22
4 10x 
10 4x 
6x
Vậy
6x
x8
c) 64.4 16
3 x 2.8
4 .4 4
3 x 16
4 4 3 x 16
x 16 3 x 13
Vậy
13x
x
d) 3 .3 243
x 1 5
33
x 1 5
x 5 1 x 4
Vậy
4x
Bài 3. Thc hin các phép tính sau bng cách hp lý.
a)
17 2 15 15 4 2
(2 17 ).(9 3 ).(2 4 )
b)
2017 2015 2014
(8 8 ):(8 .8)
c)
3 3 4 5 3 3 3 3 8 2
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )
51
d)
8 3 5 3
(2 8 ):(2 .2 )
Lời giải
17 2 15 15 4 2
a) (2 17 ).(9 3 ).(2 4 )
17 2 15 15 17 2 15 15
(2 17 ).(9 3 ).(16 16) (2 17 ).(9 3 ).0 0
2017 2015 2014 2015 2 2015
b) (8 8 ):(8 .8) 8 .(8 1):8 64 1 63
3 3 4 5 3 3 3 3 8 2
c) (1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )
3 3 4 5 3 3 3 3 8 4.2
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 3 )
3 3 4 5 3 3 3 3 8 8
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 3 )
3 3 4 5 3 3 3 3
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).0 0
8 3 5 3 8 9 8 8 8
d) (2 8 ):(2 .2 ) (2 2 ): 2 2 .(1 2):2 1 2 3
Bài 4. Vit các kt qu i dng ma.
a)
35
125 : 25
b)
63
27 : 9
c)
20 15
4 : 2
d)
n 2n
24 : 2
e)
4 5 20
64 . 16 : 4
g)
46
32 : 8
Lời giải
3 3 5 2 3 15 6 15 6 95
(5 ) :(a 5 ) 5 :) 5 125 : 5525
3 6 2 3 18 6 1263
(3 ) :b (3 ) 3 :) 27 : 9 3 3
2 20 15 40 15 2520 15
c (2 ) 2) 4 : 2 :22 :2
n 2 n n n n nn 2n
24 :(2 ) 2d) 24 2:2 4 :4 ( 4 6 :4)
6 4 4 5 2 20 24 20 40 44 40 44 5 20
e (2 ) .(2 ) :(2 ) 2) 64 . 16 . 2 : 2 2 : 4 22:
5 4 3 6 20 18 246
(2 ) :(2 )g) 32 28 :2 2:
Bài 5. Tìm
x
, bit.
a)
x
2 .4 128
52
b)
3
125(2.x 1)
c)
x
2 26 6
d)
x5
64.4 4
e)
x
27.3 243
g)
x
49.7 2401
h)
x 2 0
3 25 26.2 2.3
Lời giải
x
a) 2 .4 128
x
2 128:4
x
2 32
x5
2 2 x 5
Vậy
5x
3
5b) (2.x 1 2) 1
33
(2.x 1) 5
2.x 1 5
2.x 5 1 2.x 4
x 4:2 x 2
Vậy
2x
x
c) 2 26 6
xx
2 26 6 2 32
x5
2 2 x 5
Vậy
5x
x5
d) 64.4 4
x 5 x 5 3
4 4 :64 4 4 :4
x2
4 4 x 2
Vậy
2x
x
e) 27.3 243
x
3 243:27
x
39
x2
3 3 x 2
53
Vậy
2x
x
g) 49.7 2401
x
7 2401:49
x
7 49
x2
7 7 x 2
Vậy
2x
x 2 0
h) 3 25 26.2 2.3
x
3 25 26.4 2.1
x
3 104 2 25
x x 4
3 81 3 3 x 4
Vậy
4x
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1. So sánh
a)
6
2
và
2
8
;
3
5
và
5
3
;
2
3
và
3
2
;
6
2
và
2
6
b)
A 2009.2011
và
2
B 2010
c)
A 2015.2017
và
2
B 2016
d)
0
2021
và
2021
1
Lời giải
a) Ta có
6
2 2.2.2.2.2.2 64
và
2
8 8.8 64
. Vậy
62
28
Ta có
3
5 125
và
5
3 243
, mà
125 243
nên
35
53
Ta có
2
39
và
3
28
, mà
98
nên
23
32
Ta có
6
2 64
và
2
6 36
mà
64 36
nên
62
26
b) Ta có
2
B 2010 2010.2010 (2009 1).2010 2009.2010 2010
2009.(2011 1) 2010 2009.2011 2009 2010
2009.2011 1 A 1 A
Vậy
BA
c) Ta có
2
B 2016 2016.2016 (2015 1).2016 2015.2016 2016
2015(2017 1) 2016 2015.2017 2015 2016
54
2015.2017 1 A 1 A
Vậy
BA
d) Ta có
0
2021 1
và
2021
11
. Vậy
20210
2 1021
Bài 2. Cho
1 2 3 2021
A 1 2 2 2 2 
a) Tính 2A
b) Chng minh:
2022
A 2 –1
Lời giải
a) Ta có
1 2 3 2021
A 1 2 2 2 2 
1 2 3 2021 2022234
21 2 22.A 2 2.( 2 2 2 2 2)
b) Ta có
42 2022 1 2 3 2023 1
2)2 2 22 2 1 2 2.A ( 22A
1234 2 23 02022 22 021 2
22 12 2 1 2 2 2 2A 2 2 
Vậy
2022
A 2 –1
Bài 3. Cho
2 3 4 5 6 7
A 1 3 +3 3 3 3 3 3
a) Tính
3.A
b) Chng minh
8
A (3 1): 2
Lời giải
a) Ta có
2 3 4 5 6 7
A 1 3 +3 3 3 3 3 3
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 82
1 3 +3 3 3 3 3 3.A 3.( ) 3 33 3 3 3 3 3 3
b) Ta có
3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 62 7
3 3 3 3 3 3 (1 3 3 3 3 3 3 3 )3.A A 3 3
3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 82
2.A 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 133 
8
A (3 1):2
Vậy
8
A (3 1): 2
Bài 4. Cho
2 2021
B =1 3 3 ... 3
a) Tính 3B
b) Chng minh:
2022
B =(3 -1 ): 2
Lời giải
a) Ta có
55
2 2021
B =1 3 3 ... 3
2 2021
1 3 3 )33. ..3.( .B
232 202
3. 3 3 .B .. 33 
b) Ta có
32 2022 2 2021
()3.B B 3 3 3 ... 3 1 3 3 ... 3
232 2022 20 1 22 022
13 3 3 ... 3 1 3 3 ... 32.B 3 
2022
B (3 1):2
Vậy
2022
B =(3 -1 ): 2
Bài 5. Cho
2 3 4 5 6
C 1 4 4 4 4 4 4
a) Tính
4.C
b) Chng minh:
7
C (4 1):3
Lời giải
a) Ta có
2 3 4 5 6
C 1 +4 4 4 4 4 4
23 74 5 6 2 3 4 5 6
1 4 4 4 4 4 4.C 4.( ) 44 4 4 4 4 4 4  
b) Ta có
2 3 4 5 6 2 3 5 674
4.C C 4 4 4 4 4 4 1 444 4 4 4 4
7
3.C 4 1
7
C (4 1):3
Vây
7
C (4 1):3
Bài 6. 
3 3 2 2
) :a 2 5 5 12.2
3 2 2
b) [(7 3 :3 ):2 99] 100 2.
432 2
c) [(5 3):11 3 . ] 2 2.10
Lời giải
3 3 2 2
4a2) 5 : 125 81. 22 5.
8 5 48 =3+48=51
3 2 2
b) [(7 3 :3 ):2 99] 100 2.[(7 3): 4 99] 100 2.
2.[4:4 99] 100 2.100 100 200 100 100
56
32 24
c) [(5 3):11] 2 2.10 9.[(25 3):11] 16 2.1000 3 .
9.[22:11] 16 2000 9.2 16 2000 18 16 2000 2002
Bài 7. Tìm
x

a)
22
5.2 ( 3) 5x
b)
3 2 3 3
2 ( 3 ) 5 4x
c)
34
4.( 5) – 2 2 .3x 
d)
3
5.( 7) –10 2 .5x 
Lời giải
a)
22
5.2 ( 3) 5x
5.4 ( 3) 25x
20 ( 3) 25x
3 25 20x
35x 
53x 
2x
Vậy
2x
b)
3 2 3 3
2 ( 3 ) 5 4x
8 ( 9) 125 64x
8 ( 9) 61x
9 61 8x
9 53x 
53 9x 
62x
Vậy
62x
c)
34
4.( 5) – 2 2 .3x 
4.( 5) – 8 48x 
4.( 5) 48 8x
57
4.( 5) 56x 
5 56:4x 
14 5x 
19x
Vậy
19x
d)
3
5.( 7) –10 2 .5x 
5.( 7) –10 40x 
5.( 7) 40 10x
5.( 7) 50x 
7 50:5x 
7 10x 
10 7x 
3x
Vậy
3x
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1. Tính tng
a)
2 3 2022
S 1 2 2 2 2
b)
2 3 . 2022
S 3 3 3 3
c)
2 3 2022
S 4 4 4 4
d)
2 3 2022
S 5 5 5 5
Lời giải
a) Ta có
2 3 2022
S 1 2 2 2 2
2 20232 3 022
2 2 2 222.S
2 3 2022 2202 3 20223
2.S S 2 ( )2 2 2 2 1 2 2 2 2
2 3 2022 2 3 22 02023 2022 3
2 2 2 2 1 2 2 2 212S2
Vậy
2023
S 2 1
b) Ta có
2 3 . 2022
S 3 3 3 3
58
32 3 . 2022 2 3 202 2. 202
333.S 3 3 3 3 3 3 .( ) 3


322 3 . 2022 2 . 200 2223
3.S S 3 ( )3 3 3 3 3 3 3


22023 22 3 . 2022 2 3 . 20 22 03
32.S 3 3 33 3 3 3 3 3

 
2023
S (3 3): 2
Vậy
2023
S (3 3):2
c) Ta có
2 3 2022
S 4 4 4 4
20232 3 2022
4.S 4 444
3 22 2022 2 3 200 2223
4.S S 4 ( )4 4 4 4 4 4 4 
2 3 2022 2 3 2022023 0232 2
4 4 4 4 4 4 43.S 4 4 4 
2023
S (4 4):3
Vậy
2023
S (4 4):3
d) Ta có
2 3 2022
S 5 5 5 5
20232 3 2022
5.S 5 555
3 22 2022 2 3 200 2223
5.S S 5 ( )5 5 5 5 5 5 5 
2023
4.S 5 5
2023
S (5 5): 4
Vậy
2023
S (5 5):4
Bài 2. Tính tng
2 2 2 2
A 1 2 3 .... 20
Lời giải
Ta có
A 1 1.2 2 2.3 3 20 – 1 .20 20
A [1.2 2.3 3.4 ... (20 1).20] (1 2 3 ... 20)
(20 1).20.(20 1):3 (20 1).20:2
A 2870
59
Bài 3. Tìm s t nhiên x, bit rng:
a)
x x 3
2 2 144

b)
2022 2021
(x 5) (x 5)
c)
3
(2.x 1) 9.81
Lời giải
a) Ta có
x x 3
2 2 144

x x 3
2 2 .2 144
x3
2 .(1 2 ) 144
x
2 144:9
x
2 16
x4
2 2 x 4
Vậy
4x
b) Ta có
2022 2021
(x 5) (x 5)
2022 2021
(x 5) (x 5) 0
2021
(x 5) (x 5 1) 0
2021
(x 5) 0
x 5 1 0

x 5 0
x 6 0


x5
x6
Vậy
5x
hoặc
6x
c) Ta có
3
(2.x 1) 9.81
33
(2.x 1) 9
2.x 1 9
2.x 9 1
2.x 8 x 4
Vậy
4x
Bài 4. 
2x – 1
5

2x – 1 6
100 <5 5 .
60
Lời giải
Ta có:
2x – 1 6
100 5 5
2 2x 1 6
5 100 5 5
2 2x –1 6
2 1 2x 6 1
3 2x 7
Vì
x
nên suy ra:
x 2;3
là thỏa mãn.
Bài 5. .
2n
a) 3
và
3n
2
20
b) 199
và
15
2003
99
c) 3
và
21
11
Lời giải
a) Ta có
2n 2 n n
3 (3 ) 9
3n 3 n n
2 (2 ) 8
Mà
89
nên
nn
89
. Vậy
2n 3n
32
b) Ta có
20 20 3 2 20 60 40
199 200 (2 .5 ) 2 .5
và
15 15 4 3 15 60 45
2003 2000 (2 .5 ) 2 .5
Mà
60 40 60 45
2 .5 2 .5
. Vậy
15 20
2003 199
c) Ta có
21 21 3 21 63 99
11 27 (3 ) 3 3
Vậy
21 99
11 3
61
CHUYÊN ĐỀ 4:
TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ DẤU HIỆU CHIA HẾT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất chia hết của một tổng (hiệu).
* Tính chất 1: Nếu
am
và
bm
thì
a b m
,
;( )a b m a b
* Tính chất 2: Nếu
am
và
bm
thì
a b m
,
;( )a b m a b
* Tính chất 3: Nếu
am
thì
. ( )k a m k N
* Tính chất 4: Nếu
am
và
bm
thì a.b m.n
Đặc biệt: Nếu
am
thì
*
()
nn
a m n N
Mở rộng:
* Nếu
am
và
bm
thì
. . ( , )k a l b m k l N
* Nếu
am
và
a b m
thì
bm
* Nếu
am
và
a b m
thì
bm
2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
*
2a
khi và chỉ khi a có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
*
5a
khi và chỉ khi a có chữ số tận cùng là 0; 5.
*
3a
khi và chỉ khi tổng các chữ số của a chia hết cho 3.
*
9a
khi và chỉ khi tổng các chữ số của a chia hết cho 9.
Mở rộng:
* Nếu
4a
hoặc
25a
khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của tạo thành một số chia hết cho 4 hoặc 25
* Nếu
8a
hoặc
125a
khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của tạo thành một số chia hết cho 8 hoặc 125
* Nếu
11a
khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng lẻ của a trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn của a ( hoặc
ngược lại ) chia hết cho 11.
Ví dụ: Số
908347 11
vì
9 8 4 0 3 7 11 11
3. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Nhận biết một số chia hết cho 2; 3; 5; 9
Phương pháp:
* Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
* Tính chất chia hết của một tổng, tích, hiệu.
* Lưu ý: Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng một số chia hết cho 3 chưa chắc đã chia hết
cho 9.
Dạng 2: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia có dư
Phương pháp: Áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
Dạng 3: Chứng minh quan hệ chia hết
62
Phương pháp: -Áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
- Dấu hiệu chia hết cho cả 2 và 5 ; chia hết cho cả 3 và 9
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. 
A. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2341
B. Các số chia hết cho 3 là 2055 và 6430.
C. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2305.
D. Không có số nào chia hết cho 3.
Câu 2. Chn khnh Đúng trong các khnh sau:
A.
4 + 16
chia hết cho 4; B.
16 + 17
chia hết cho 8
C.
36 + 34
chia hết cho 6; D.
30 + 1
chia hết cho 3
Câu 3. Xét xem tng
B = 25 + 35 + 10 - 5
chia ht cho s nào?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 4. Cho tng
C = 16 + 20 + 28
không chia ht cho s nào?
A. 4 B. 6 C. 8 D .2
Câu 5. Trong các tng sau, tng nào chia ht cho 7
A.
14 + 35
B.
21 + 15
C.
17 + 49
D.
70 + 27
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. 
A. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3
B. Những số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
C. Những số có chữ số tận cùng là 3 thì chia hết cho 3
D. Những số có chữ số tận cùng là 3 hoặc 9 thì chia hết cho 9
Câu 7. 
A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3
B. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9.
C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5
D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9
Câu 8. 
A.
10 + 25 + 34 + 2000
B.
5 + 10 + 70 + 1995
C.
25 + 15 + 33 + 45
D.
12 + 25 + 2000 + 1997
Câu 9. 

63
A. 350 B. 530
C. 360 D. 560
Câu 10. Xét xem tng hiu sau có chia ht cho 6 không?
A.
60 + 18 + 3
B.
600 - 15
C.
30 + 54+132
D.
126 + 48 - 20
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 11. 
4*7

A. 3 B. 5
C. 7 D. 9
Câu 12. 
3ab

A.
a = b =0
B.
a = 6; b = 5
C.
a = 3; b = 0
D.
a= 6; b =0
Câu 13. 
A. 30 số B. 31 số
C. 32 số D. 33 số
Câu 14. Chn khnh Đúng nhất trong các khnh sau:
Nu
6a
và
b6
thì tng
a + b
chia ht cho:
A. 6 B. 2
C. 3 D. cả
2; 3; 6
Câu 15. Nu a không chia ht cho 2 và b chia ht cho 2 thì tng
a + b
. Ch
A. Chia hết cho 2 B. Không chia hết cho 2
C. Có tận cùng là chữ số 2. D. Có tận cùng là
1; 3; 5; 7; 9
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 16. Cho
A = 12 + 15 + 36 + x
,
x N

A. x chia hết cho 9 B. x không chia hết cho 9
C. x chia hết cho 4 D. x chia hết cho 3
Câu 17. 
A = 75 + 1003 + x

A.
x 5
B. x chia cho 5 dư 1
C. x chia cho 5 dư 2 D. x chia cho 5 dư 3
Câu 18. 
785A a b

A.
9;18ab
B.
0;9;18ab
C.
1;2;3ab
D.
4;5;6ab
64
Câu 19. 
3 74N a b

a - b
là:
A. 0 B. 3 C. -3 D. 1
Câu 20. 
A. Chia hết
B. Không chia hết.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Trong các s sau, s nào chia ht cho 2, s nào chia ht cho 5:
483; 572; 330; 615; 298
Câu 2. Trong các s sau:
120; 235; 476; 250; 423; 261; 735; 122; 357
a) S nào chia ht cho 2.
b) S nào chia ht cho 5.
c) S nào chia h ht cho 5.
d) S nào chia ht cho c 2 và 5.
Câu 3. Trong các s sau:
372;261;4262;7372;5426;65426;7371.
a) S nào chia htcho 3.
b) S nào chia ht cho 9.
c) S nào chia ht cho c 3 và 9.
Câu 4. Xét xem tng hiu sau có chia ht cho 6 không?
a)
30 + 54
b)
600 - 15
c)
60 + 18 + 3
d)
126 + 48 - 20
Câu 5. Không làm tính, xét xem tng sau có chia ht cho 12 không? Vì sao?
a)
120 + 36
b)
120a + 36b
( vi
a ; b N
)
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Cho s
200A 
, thay du * bi ch s :
a/ A chia ht cho 2
b/ A chia ht cho 5
c/ A chia ht cho 2 và cho 5
Câu 7. Cho s
20 5B 
, thay du * bi ch s :
a/ B chia ht cho 2
b/ B chia ht cho 5
c/ B chia ht cho 2 và cho 5
Câu 8. Thay mi ch bng mt s :
a)
972 200a
chia ht cho 9.
65
b)
3036 52 2aa
chia ht cho 3
Câu 9. n vào du * mt ch s  c mt s chia ht cho 9
a)
2002*
b)
*9984
Câu 10. Khi chia s t c s Hi a có chia ht cho 4 ; cho 9 không vì
sao ?
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 11. Tìm các ch s a và b bit rng:
a)
25 2 36ab
b)
378 72ab
Câu 12. 

Câu 13. Chng t rng tng
ab+ba
chia ht cho 11
Câu 14. Chng t rng:
ab - ba
chia ht cho 9 ( Vi
b > a
)
Câu 15. 
2 3 2012
1 4 4 4 ... 4A

IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 16. Chng t rng:
a)
100
6 - 1
chia ht cho 5.
b)
20 10
21 - 11
chia ht cho 2 và 5
Câu 17. a) Chng minh rng s
aaa
chia ht cho 3.
b) Tìm nhng giá tr c s
aaa
chia ht cho 9
Câu 18. 
(n + 3)(n + 6)

Câu 19. 
a)
12nn
b)
15 4nn

n < 4
)
Câu 20. 
a)
( n+13 ) n-5

5n
)
b)
( 15-2n ) n+1

7)n
c)
( 6n+9 ) 4n-1

n 1
)
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
66
C
A
D
B
A
A
B
B
A
C
C
D
D
D
B
B
C
A
B
A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. 
A. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2341
B. Các số chia hết cho 3 là 2055 và 6430.
C. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2305.
D. Không có số nào chia hết cho 3.
Lời giải:
Chọn C.
Câu A sai vì có số 2341 không chia hết cho 5
Câu B sai vì có số 6430 không chia hết cho 3
Câu D sai vì trong các đáp án trên đều có số 2055 chia hết cho 3
Câu 2. Chn khnh Đúng trong các khnh sau:
A.
4 + 16
chia hết cho 4; B.
16 + 17
chia hết cho 8
C.
36 + 34
chia hết cho 6; D.
30 + 1
chia hết cho 3
Lời giải
Chọn A
Vì
44
và
16 4
nên
4+16 4
Câu 3. Xét xem tng
B = 25 + 35 + 10 - 5
chia ht cho s nào?
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
Lời giải
Chọn D
Vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5; B = 65 không chia hết cho2; 3;4
Câu 4. Cho tng
C = 16 + 20 + 28
không chia ht cho s nào?
A. 4 B. 6
C. 8 D .2
Lời giải
Chọn B
Vì tổng
C = 64
không chia hết cho 6
Câu 5. Trong các tng sau, tng nào chia ht cho 7
A.
14 + 35
B.
21 + 15
C.
17 + 49
D.
70 + 27
Lời giải
67
Chọn A
Vì A đều có các số hạng chia hết cho 7
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. 
A. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3
B. Những số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
C. Những số có chữ số tận cùng là 3 thì chia hết cho 3
D. Những số có chữ số tận cùng là 3 hoặc 9 thì chia hết cho 9
Lời giải
Chọn A.
Vì 9 chia hết cho 3 nên số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3
Câu 7. 
A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3
B. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9.
C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5
D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9
Lời giải
Chọn B .
Câu B sai vì: Một số chia hết cho 3 thì chưa chắc đã chia hết cho 9. Ví dụ 3 chia hết cho 3
nhưng 3 không chia hết cho 9.
Chọn đáp án B.
Câu 8. 
A.
10 + 25 + 34 + 2000
B.
5 + 10 + 70 + 1995
C.
25 + 15 + 33 + 45
D.
12 + 25 + 2000 + 1997
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
5 5; 10 5; 70 5; 1995 5 (5 + 10 + 70 + 1995) 5
Câu 9. 

A. 350 B. 530
C. 360 D. 560
Lời giải
Chọn A.
68
Số chia hết cho 2 và 5 có tận cùng là 0 nên chữ số hàng đơn vị của các số này là 0.
Từ đó ta lập được các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 là: 560; 530; 650; 630; 350;
360.
Số nhỏ nhất trong các số trên là 350. Vậy số cần tìm là 350.
Câu 10. Xét xem tng hiu sau có chia ht cho 6 không?
A.
60 + 18 + 3
B.
600 - 15
C.
30 + 54+132
D.
126 + 48 - 20
Lời giải
Chọn C
Vì C đều có các số hạng chia hết cho 6
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 11. 
4*7

A. 3 B. 5
C. 7 D. 9
Lời giải
Chọn C.
Ta có
* 0;1;...;9
4*7 9 (4 * 7) 9 11 * 9
mà
* 0;1;...;9 => * = 7
Câu 12. 
3ab

A.
a = b =0
B.
a = 6; b = 5
C.
a = 3; b = 0
D.
a= 6; b =0
Lời giải
Chọn D.
Ta có
; 0;1;...;9 ; 0a b a
,
3 2;5 0a b b
30 3;9 3 0 9 3 9 6a a a a
Vậy với
a = 6 ; b = 0
thì
3ab
chia hết cho 2, 3, 5, 9?
Câu 13. 
A. 30 số B. 31 số
C. 32 số D. 33 số
Lời giải
Chọn D.
Từ 1 đến 100 có các số chia hết cho 3 là: 3 ; 6 ; 9 ;…; 99
Có
( 99 - 3): 3 + 1 = 96:3+1 = 32 + 1 = 33
( số )
Câu 14. Chn khnh Đúng nhất trong các khnh sau:
69
Nu
6a
và
b6
thì tng
a + b
chia ht cho:
A. 6 B. 2
C. 3 D. cả
2; 3; 6
Lời giải
Chọn D
Vì các số hạng đều chia hết cho 6 và 6 thì chia hết cho cả 2 và 3
Câu 15. Nu a không chia ht cho 2 và
chia ht cho 2 thì tng
a + b
. Ch
A. Chia hết cho 2 B. Không chia hết cho 2
C. Có tận cùng là chữ số 2. D. Có tận cùng là
1; 3; 5; 7; 9
Lời giải
Chọn B
Theo tính chất 2: Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì
a + b
không chia hết cho 2
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 16. Cho
A = 12 + 15 + 36 + x
,
x N

A. x chia hết cho 9 B. x không chia hết cho 9
C. x chia hết cho 4 D. x chia hết cho 3
Lời giải
Chọn B
Ta có:
A = (12 + 15) + 36 + x
Vì
12 + 15 = 27 9; 36 9 (12 + 15 + 36) 9
Do đó để A không chia hết cho 9 thì x không chia hết cho 9
Câu 17. 
A = 75 + 1003 + x

A.
x 5
B. x chia cho 5 dư 1 C. x chia cho 5 dư 2 D. x chia cho 5 dư 3
Lời giải
Chọn C
Vì
75 5
; 1003 chia 5 dư 3 nên để A chia hết cho 5 thì x chia 5 phải dư 2 để cộng số dư 3 thì chia hết
cho 5 nên đáp án C
Câu 18. 
785A a b

a; b

A.
9;18ab
B.
0;9;18ab
C.
1;2;3ab
D.
4;5;6ab
Lời giải
Chọn A.
70
Ta có
; 0;1;...;9 ; 0a b a
A chia9 dư 2
=> a + 7+8+5+b = 20 + a + b
chia 9 dư 2 hay
18 9ab
mà
18 9 9;18ab
Câu 19. 
3 74N a b

a - b
là:
A. 0 B. 3 C. -3 D. 1
Lời giải
Chọn B.
3 74N a b
vì N chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 nên tận cùng của N phải bằng 5.Vậy
b = 5.
Mà
N
chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của
N
phải chia hết cho 9
Do đó
3 7 4 5 9 19 9 8a a a
Vậy
a- b = 8 - 5 = 3
Câu 20. 
A. Chia hết
B. Không chia hết.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
A = 1011121314...9899
Xét các số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số
10 ; 11 ; 12 ;...;98; 99
; có
( 90 - 10 ) : 1 + 1 = 90
( số )
Tổng các chữ số hàng chục
( 1 + 2 +3+...+ 8+ 9 ) . 10 = 450
Tổng các chữ số hàng đơn vị
( 0+1 + 2 +3+...+ 8+ 9 ) . 9 = 405
Tổng các chữ số của A là:
450 + 405 = 855
mà
855 9
Vậy
A
chia hết cho 9.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Trong các s sau, s nào chia ht cho 2, s nào chia ht cho 5:
483; 572; 330; 615; 298
Lời giải.
Các số chia hết cho 2 là:
572; 330; 298
Các số chia hết cho 5 là:
330; 615
.
Câu 2. Trong các s sau:
120; 235; 476; 250; 423; 261; 735; 122; 357
a) S nào chia ht cho 2.
b) S nào chia ht cho 5.
c) S nào chia ht cho 5.
d) S nào chia ht cho c 2 và 5.
Lời giải
a) Số chia hết cho 2 là
120; 476; 250; 122
71
b) Số chia hết cho 5 là:
120; 235; 250; 735
c) Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là 476; 122
d) Số chia hết cho cả 2 và 5 là 120; 250
Câu 3. Trong các s sau:
372;261;4262;7372;5426;65426;7371.
a) S nào chia ht cho 3.
b) S nào chia ht cho 9.
c) S nào chia ht cho c 3 và 9.
Lời giải
a) Số chia hết cho 3 là: 372; 261; 7371 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 3)
b) Số chia hết cho 9 là: 7371; 261 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 9)
c) Số chia hết cho cả 3 và 9: 7371; 261 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 3)
(Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3)
Câu 4. Xét xem tng hiu sau có chia ht cho 6 không?
a)
30 + 54
b)
600 - 15
c)
60 + 18 + 3
d)
126 + 48 - 20
Lời giải.
a) vì
30 6
và
54 6
nên
30 + 54 6
b) vì
600 6
và
15 6
nên
600 - 15 6
c) vì
60 6
và
18 6
và
3 6
nên
( 60 + 18 + 3 ) 6
d) vì
126 6
và
48 6
và
20 6
nên
126 + 48 - 20 6
Câu 5. Không làm tính, xét xem tng sau có chia ht cho 12 không? Vì sao?
a)
120 + 36
b)
120a + 36b
( vi
a ; b N
)
Lời giải.
a) Ta có
120 12
và
36 12
nên
(120 + 36) 12
b)
120a=12.10.a 12
và
36b=12.3.b 12
nên
(120a + 36b) 12
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Cho s
200A 
, thay du * bi ch s :
a/ A chia ht cho 2
b/ A chia ht cho 5
c/ A chia ht cho 2 và cho 5
Lời giải
a/
2A
thì
* { 0, 2, 4, 6, 8}
72
b/
5A
thì
* { 0, 5}
c/
2A
và
5A
thì
*0
Câu 7. Cho s
20 5B 
, thay du * bi ch s :
a/ B chia ht cho 2
b/ B chia ht cho 5
c/ B chia ht cho 2 và cho 5
Lời giải
a) Vì chữ số tận cùng của B là 5 khác
0, 2, 4, 6, 8
nên không có giá trị nào của * để
2B
b) Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên
5B
nên
* 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
c) Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên không có giá trị nào của * để
2B
và
5B
Câu 8. Thay mi ch bng mt s :
a)
972 200a
chia ht cho 9.
b)
3036 52 2aa
chia ht cho 3
Lời giải
a/ Do
972 9
nên
(972+200a) 9
khi
200 9a
. Ta có
2 0 0 2 9aa
khi
a = 7
Vậy với
a = 7
thì
(972+200a) 9
b/ Do
3036 3
nên
(3036 52 2 ) 3aa
khi
52 2 3aa
. Ta có
5 2 2 9 2 3a a a
khi
2 3 0;3;6;9aa
Vậy với
0;3;6;9a
thì
3036 52 2aa
chia hết cho 3
Câu 9. n vào du * mt ch s  c mt s chia ht cho 9
a)
2002*
b)
*9984
Lời giải
a) Theo đề bài ta có
(2 0 0 2 *) (4 *) 3
;
(4 *) 9
suy ra
4 + * = 6
hoặc
4 + * = 12
nên
* = 2
hoặc
* = 8.
Vậy với
* 2;8
thì
2002*
chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
b) Tương tự
* = 3
hoặc
* = 9.
Câu 10. Khi chia s t c s Hi a có chia ht cho 4; cho 9 không vì
sao ?
Lời giải
Gọi thương là
q (q N )
Ta có
36 12aq
73
36q=4.9.q 4
và
12 4
nên
a= 36q + 12 4
36q=4.9.q 9
và
12 9
nên
a= 36q + 12 9
Vậy
a
có chia hết cho 4; không chia hết cho 9
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 11. Tìm các ch s
a
và
bit rng:
a)
25 2 36ab
b)
378 72ab
Lời giải
a) Vì
25 2 36ab
nên
25 2 4ab
và 9
mà
25 2 4ab
nên
2 4 0;4;8bb
* Nếu
b = 0
thì ta có
25 20 9 2 5 2 0 9aa
hay
9 9 0;9aa
* Nếu
b = 4
thì ta có
25 24 9 2 5 2 4 9aa
hay
13 9 5aa
* Nếu
b = 8
thì ta có
25 28 9 2 5 2 8 9aa
hay
17 9 1aa
Vậy
0;1;5;9 ; 0;4;8ab
thì
25 2 36ab
b)
378 72ab
nên
378 8ab
và 9
* Vì
378 8ab
nên
78 8 4bb
* Vì
378 9ab
nên
3 7 8 4 9 22 9 5a a a
Vậy
5a
và
5b
thì
378 72ab
Câu 12. 

Lời giải
a. Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn
Số chẵn đó chia hết cho 2
Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b. Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là
n ; n +1; n+2
+ Nếu
n = 3k 3 (k N)
n( n +1)(n+2) 3
+Nếu
n = 3k+1 (k N) n+2= 3k+3 = 3(k+1) 3 n( n +1)(n+2) 3
+Nếu
n = 3k+2 (k N) n+1= 3k+3 = 3(k+1) 3 n( n +1)(n+2) 3
Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Vậy tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
Câu 13. Chng t rng tng
ab+ba
chia ht cho 11
74
Lời giải
Ta có
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11. (a+b)
chia hết cho 11
Câu 14. Chng t rng:
ab - ba
chia ht cho 9 ( Vi
b > a
)
Lời giải
Ta có
ab - ba = (10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9.(b - a)
chia hết cho 9 (
b > a
)
Câu 15. 
2 3 2012
1 4 4 4 ... 4A

Lời giải
2 3 2012 2 3 4 5 2010 2011 2012
1 4 4 4 ... 4 (1 4 4 ) (4 4 4 ) ... (4 4 4 )A
2 3 2 2010 2
(1 4 4 ) 4 (1 4 4 ) ... 4 (1 4 4 )
3 2010 3 2010
21 21.4 ... 21.4 21.(1 4 ... 4 ) 21
Vì
21 21
Vậy
2 3 2012
1 4 4 4 ... 4 21A
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 16. Chng t rng:
a)
100
6 - 1
chia ht cho 5.
b)
20 10
21 - 11
chia ht cho 2 và 5
Lời giải
a)
100
6
có chữ số hàng đơn vị là 6 (VD
1 2 3 4
6 = 6; 6 = 36; 6 = 216; 6 = 1296; ...
)
suy ra
100
6 - 1
có chữ số hàng đơn vị là 5. Vậy
100
6 - 1
chia hết cho 5.
b) Vì
1 1( )
n
nN
nên
20
21
và
10
11
là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1, suy ra
20 10
21 - 11
là số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0. Vậy
20 10
21 - 11
chia hết cho 2 và 5
Câu 17. a) Chng minh rng s
aaa
chia ht cho 3.
b) Tìm nhng giá tr c s
aaa
chia ht cho 9
Lời giải
a)
aaa
ta có
a + a + a = 3a
chia hết cho 3. Vậy
aaa
chia hết cho 3.
b)
aaa
chia hết cho 9 khi
a + a + a = 3a
(với a = 1,2,3,…,9) chia hết cho 9 khi
a = 3
hoặc
a = 9
.
Vậy với
a = 3
hoặc
a = 9
thì
aaa
chia hết cho 9
Câu 18. 
(n + 3)(n + 6)

Lời giải
Với mọi n ta có thể viết hoặc
n = 2k + 1
hoặc
n = 2k
+ Với
n = 2k + 1
ta có:
(n + 3)(n + 6) = (2k + 1 + 3)(2k + 1 + 6) = (2k + 4) (2k + 7)
= 2(n + 2)(2k + 7)
chia hết cho 2.
+ Với
n = 2k
ta có:
(n + 3)(n + 6) = (2k + 3)(2k + 6)= 2(2k + 3)(k + 3)
chia hết cho 2.
75
Vậy với mọi
nN
thì
(n + 3)(n + 6)
chia hết cho 2.
Câu 19. 
a)
12nn
b)
15 4 4n n n
Lời giải
a) Ta có
12nn
mà
12 1;2;3;4;6;12n n n n
Vậy với
1;2;3;4;6;12n
thì
( n + 12 ) n
b)
Ta có
15 4nn
mà
4 15 1;3;5n n n n
mà
n < 4
nên
1;3n
Vậy với
1;3n
thì
( 15 - 4n ) n
( với
n < 4
)
Câu 20. 
a)
( n+13 ) n-5

5n
)
b)
( 15-2n ) n+1

7)n
c)
( 6n+9 ) 4n-1

n 1
)
Lời giải
a)
( n+13 ) n-5
( với
5n
)
Ta có
( n+13 ) n-5 ( 13) ( 5) 5n n n
13 5 5 18 5 5 1;2;3;6;9;18n n n n n
n-5
1
2
3
6
9
18
n
6
7
8
11
14
23
Vậy: với
6;7;8;11;14;23n
thì
( n+13 ) n-5
b)
( 15-2n ) n+1
( với
n 7
)
Ta có
( 15-2n ) n+1 (15 2 ) 2( 1) 1n n n
15 2 2 2 1 17 1 1 1;17n n n n n
n+1
1
17
n
0
16
Mà
n 7
Vậy: với
0n
thì
( 15-2n ) n+1
c)
( 6n+9 ) 4n-1
( với
n 1
)
Ta có
( 6n+9 ) 4n-1 2(6 9) 3(4 1) 4 1n n n
12 18 12 3 4 1 21 4 1 4 1 1;3;7;21n n n n n
76
4n-1
1
3
7
21
n
1
2
1
2
11
2
Mà
;1n N n
Vậy: với
n = 1 ; 2
thì
( 6n+9 ) 4n-1
77
CHUYÊN ĐỀ 5:
SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ.
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
I.KIẾN THỨC
1. Số nguyên tố
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn
1
có
2
ước dương là
1
và chính nó.
+ Số nguyên tố nhỏ nhất là
2
, đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.Tất cả số nguyên tố còn lại đều là số
lẻ.
2. Hợp số
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn
1
có nhiều hơn
2
ước dương.
3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
+ Là viết số đó dưới dạng tích của nhiều thừa số, mỗi thừa số là một số nguyên tố hoặc là lũy thừa của
một số nguyên tố.
+ Dù phân tích một thừa số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được một kết quả
duy nhất.
4. Số nguyên tố cùng nhau.
+ Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi UCLN của chúng bằng 1.
+ Hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
5. Hệ quả.
+ Để kiểm tra số
a
có là số nguyên tố hay không, ta có thể chia
a
lần lượt cho các số nguyên tố
2;3; ; p
, với
p
là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn
2
pa
. Nếu không có phép chia hết nào thì
a
là
số nguyên tố, trái lại
a
là hợp số.
Ví dụ. Để xét số
103
có là số nguyên tố hay không ta xác định
7
là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn
2
7 103
(vì số nguyên tố tiếp theo là
11
có
2
11 121 103
). Ta chia
103
lần lượt cho
2;3;5;7
và
thấy không có phép chia hết nào. Vậy
103
là số nguyên tố.
+ Tập hợp các số nguyên tố có vô hạn phần tử. Do vậy, không có số nguyên tố lớn nhất.
+ Nếu số tự nhiên
a
phân tích ra thừa số nguyên tố được:
12
12
.
k
n
nn
k
a p p p
, trong đó
12
, , ,
k
p p p
là các số nguyên tố khác nhau, thì số ước của
a
là
12
1 . 1 1
k
n n n
.
II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Kiểm tra số,biểu thức là sốnguyên tố hay hợp số
Phương pháp :
Với
n
N
*
, n > 1
ta kiểm tra theo các bước sau :
Tìm số nguyên tố k sao cho :
k
2
n
(k +1)
2
Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
78
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là số nguyên tố
Dạng 2. Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố
Phương pháp:
Dựa vào tính chất số nguyên tố chỉ có 2 ước dương là 1 và chính nó
Dựa vào dấu hiệu chia hết
Dạng 3. Các bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau
Phương pháp:
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1.
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1.
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau
ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) = 1.
Dạng 4. Chứng minh chia hết
Phương pháp :
Dựa trên đặc điểm dấu hiệu chia hết của số nguyên tố để tìm ra dạng tổng quát mỗi số nguyên
tố thoả mãn yêu cầu bài toán, từ đó dựa trên dấu hiệu chia hết để chứng minh
Dạng 5. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của một số, để ước lượng số ước
của số đó
Phương pháp:
Khi phân tích số ra thừa số nguyên tố, giả sử m = a.b. Lúc đó ta được các ước của m là: 1, a, b và a.b
Khi phân tích số m ra thừa số nguyên tố:
- Nếu
1
x
m a thì có x
ước
Nếu
. . 1 . 1 . 1
x y z
m a b c thì m có x y z
ước
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Câu 1: Trong các s sau, s nào là s nguyên t:
2
,
4
,
13
,
19
,
25
,
31
A.
2
,
4
,
13
,
19
,
3
. B.
4
,
13
,
19
,
25
,
31
.
C.
2
,
13
,
19
,
31
. D.
2
,
4
,
13
,
19
.
Câu 2: Kh
A. Số
2
là số nguyên tố bé nhất.
B. Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
C. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn
1
, có nhiều hơn
2
ước.
D. Có
2
số tự nhiên liên tiếp là số nguyên tố.
Câu 3: Ba s t nhiên l liên tiu là s nguyên t là?
A.
1
,
3
,
5
. B.
3
,
5
,
7
. C.
5
,
7
,
9
. D.
7
,
9
,
11
.
Câu 4: Chn phân tích thành tha s nguyên t 
79
A.
98 2.49
. B.
145 5.29
. C.
81 9.9
. D.
100 2.5.10
.
Câu 5: Phân tích s
18
ra tha s nguyên t
A.
18 18.1
. B.
18 10 8
. C.
2
18 2.3
. D.
18 6 6 6
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU.
Câu 6: Chn phát biu sai:
A. Số nguyên tố nhỏ hơn
10
là
2,3,5,7
.
B.
2
là số nguyên tố chẵn duy nhất.
C. Số
0
không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
D. Số
1
là số nguyên tố bé nhất.
Câu 7: Kh
A.
0
và
1
không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
B. Cho số
1a
,
a
có
2
ước thì
a
là hợp số.
C.
2
là số nguyên tố chẵn duy nhất.
D. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn
1
mà chỉ có hai ước
1
và chính nó.
Câu 8: Kh
A.
0;1A
là tập hợp số nguyên tố. B.
3;5A
là tập hợp số nguyên tố.
C.
1;3;5A
là tập hợp các hợp số. D.
7;8A
là tập hợp các hợp số.
Câu 9: Cho các s
21
;
71
;
77
;
101
. Chn phát biu sau?
A. Số
21
là hợp số, các số còn lại là số nguyên tố.
B. Có hai số nguyên tố và hai số là hợp số trong các số trên.
C. Chỉ có một số nguyên tố, còn lại là hợp số.
D. Không có số nguyên tố nào trong các số trên
Câu 10: Kt qu c nguyên t
A.
15 5 3
. B.
7.2 1
. C.
14.6:4
. D.
6.4 12.2
.
Câu 11: S  nguyên t?
A.
149
. B.
155
. C.
162
. D.
175
.
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
.
Câu 12: Tìm
2
s t nhiên liên tip bit rng tích ca hai s ng 42?
A.
4,5
. B.
5,6
. C.
6,7
. D
.7,8
.
Câu 13: Tính s c ca s
126?
A.
10
. B.
12
. C.
14
. D.
1
.
Câu 14:
Tìm s t nhiên
a
sao cho
6a
là s nguyên t?
A.
1a
;
3a
. B.
1a
;
5a
. C.
3a
;
7a
. D.
1a
;
7a
.
Câu 15: Tìm s t nhiên
x
 c s nguyên t
3x
80
A.
7
. B.
4
. C.
6
. D.
9
.
Câu 16: Cho
2
2 .7a
, hãy vit tp hp tt c c ca
a
A.
4;7Ö a
. B.
1;4;7Ö a
.
C.
1;2;4;7;28Ö a
. D.
1;2;4;7;14;28Ö a
.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Câu 17 : Cho
2
. .7 140,ab
vi
a
,
b
là các s nguyên t, vy
a
có giá tr bng bao nhiêu?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 18 : Cho s
2
150 2.3.5
, s c ca
150
là bao nhiêu?
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
12
Câu 19 : Tìm hai s nguyên t bit tng ca chúng là 601
A. 2, 599 B. 3, 598 C. 37, 564 D. 59, 542
Câu : Tìm s nguyên t
p
sao cho
57p
là s nguyên t.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Bài 1: 
a)
3.4.5 6.7
c)
5.7.9.11 2.3.4.7
b)
3.5.7 11.13.17
d)
16354 67541
.
Bài 2:

309
.
Bài 3: 
54

Bài 4: 
a)
33
b)
81
c)
45
Bài : Phân tích các s sau ra tha s nguyên t;
a)  ; b) 
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU.
Bài 1:
Cho
2.3.4.5.2008a
. Hi
2007
s t nhiên liên ti   u là hp s không
2, 3, 4,., 2008a a a a
.
Bài 2:
Tìm s t nhiên
k

3.k
là s nguyên t,
7.k
là s nguyên t
.
Bài 3:

n
sao cho
2
25p n n n

Bài 4: 
a)
200
b)
720
Bài : 
a)
2012
2001
b)
2.9.2012
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
.
81
Bài 1: Tìm s nguyên t
p
, sao cho
2p
 nguyên t.
Bài 2: 
a

23a

Bài 3:     
n
 
21 4n
và
14 3n
  
nhau.
Bài 4: Cho
p
và
2p

3p

16p
.
Bài 5: Cho p là s nguyên t và mt trong 2 s 8p+1 và 8p-1 là 2 s nguyên t, hi s th 3 (ngoài
2 s nguyên t, s còn li) là s nguyên t hay hp s?
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Bài 1: Cho
p
và
21p
là các s nguyên t
3p
. Hi
41p
là s nguyên t hay hp s ?
Bài 2: Cho
p
và
4p
là các s nguyên t
3p
. Chng t rng:
8p
là hp s.
Bài 3: Chng minh rng:
a) Hai s t nhiên liên tip (khác
0
) là hai s nguyên t cùng nhau.
b) Hai s l liên tip là hai s nguyên t cùng nhau.
c)
21n
và
31n
(
n
) là hai s nhuyên t cùng nhau.
Bài 4: Cho
a
và
b
là hai s nguyên t cùng nhau. Chng minh rng hai s 
nguyên t cùng nhau.
a)
a
và
ab
. b)
2
a
và
ab
c)
ab
và
ab
.
Bài 5: Chng t rng nu
p a b
là mt s nguyên t thì
a
và
b
là hai s nguyên t cùng
nhau.
Bài 6: Tìm
7 3,8 1ÖCLN nn
vi (
*
n
u kin ca
n
 hai s  cùng
nhau.
Bài 7: Tìm s t  các s
9 24n
và
34n
là các s nguyên t cùng nhau.
Bài 8: Nu
31nk
. Cho
n
là s nguyên t không chia ht cho
3
. Chng minh rng
2
n
chia cho
3

1
.
Bài 9: Cho
p
là mt s nguyên t l
3
. Hi
2
2003p
là s nguyên t hay hp s.
Bài 10: Chng t rng nu
p
là s nguyên t l
1 1 24pp
.
Bài 11: Tìm
*
n
bit:
2 4 6 2 756n
.
82
D. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
B
C
D
B
B
B
A
A
C
13
14
15
16
17
18
19
20
D
B
D
A
D
B
D
B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Câu 1: Trong các s sau, s nào là s nguyên t:
2
,
4
,
13
,
19
,
25
,
31
A.
2
,
4
,
13
,
19
,
3
. B.
4
,
13
,
19
,
25
,
31
.
C.
2
,
13
,
19
,
31
. D.
2
,
4
,
13
,
19
.
Chọn C
Câu 2: Kh
A. Số
2
là số nguyên tố bé nhất.
B. Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
C. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn
1
, có nhiều hơn
2
ước.
D. Có
2
số tự nhiên liên tiếp là số nguyên tố.
Chọn B
Câu 3: Ba s t nhiên l liên tiu là s nguyên t là?
A.
1
,
3
,
5
. B.
3
,
5
,
7
. C.
5
,
7
,
9
. D.
7
,
9
,
11
.
Chọn B
Câu 4: Chn phân tích thành tha s nguyên t 
A.
98 2.49
. B.
145 5.29
. C.
81 9.9
. D.
100 2.5.10
.
Chọn B
Câu 5: Phân tích s
18
ra tha s nguyên t
A.
18 18.1
. B.
18 10 8
. C.
2
18 2.3
. D.
18 6 6 6
Chọn C
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU.
Câu 6: Chn phát biu sai:
A. Số nguyên tố nhỏ hơn
10
là
2,3,5,7
.
B.
2
là số nguyên tố chẵn duy nhất.
C. Số
0
không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
D. Số
1
là số nguyên tố bé nhất.
83
Chọn D
Câu 7: Kh
A.
0
và
1
không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
B. Cho số
1a
,
a
có
2
ước thì
a
là hợp số.
C.
2
là số nguyên tố chẵn duy nhất.
D. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn
1
mà chỉ có hai ước
1
và chính nó.
Chọn B
Câu 8: Kh
A.
0;1A
là tập hợp số nguyên tố. B.
3;5A
là tập hợp số nguyên tố.
C.
1;3;5A
là tập hợp các hợp số. D.
7;8A
là tập hợp các hợp số.
Chọn B
Câu 9: Cho các s
21
;
71
;
77
;
101
. Chn phát biu sau?
A. Số
21
là hợp số, các ố còn lại là số nguyên tố.
B. Có hai số nguyên tố và hai số là hợp số trong các số trên.
C. Chỉ có một số nguyên tố, còn lại là hợp số.
D. Không có số nguyên tố nào trong các số trên
Chọn B
Câu 10: Kt qu c nguyên t
A.
15 5 3
. B.
7.2 1
. C.
14.6:4
. D.
6.4 12.2
.
Chọn A
Câu 11: S  nguyên t?
A.
149
. B.
155
. C.
162
. D.
175
.
Chọn A
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12: Tìm
2
s t nhiên liên tip bit rng tích ca hai s ng 42?
A.
4,5
. B.
5,6
. C.
6,7
. D
.7,8
.
Chọn C
Câu 13: Tính s c ca s
126?
A.
10
. B.
12
. C.
14
. D.
1
.
Chọn B
Câu 14:
Tìm s t nhiên
a
sao cho
6a
là s nguyên t?
A.
1a
;
3a
. B.
1a
;
5a
. C.
3a
;
7a
. D.
1a
;
7a
.
Chọn D
Câu 15: Tìm s t nhiên
x
 c s nguyên t
3x
84
A.
7
. B.
4
. C.
6
. D.
9
.
Chọn A
Câu 16: Cho
2
2 .7a
, hãy vit tp hp tt c c ca
a
A.
4;7Ö a
. B.
1;4;7Ö a
.
C.
1;2;4;7;28Ö a
. D.
1;2;4;7;14;28Ö a
.
Chọn D
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Câu 17: Cho
2
. .7 140,ab
vi
a
,
b
là các s nguyên t, vy
a
có giá tr bng bao nhiêu?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Chọn B
Câu 18: Cho s
2
150 2.3.5
, s c ca
150
là bao nhiêu?
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
12
Chọn D
Câu 19 : Tìm hai s nguyên t bit tng ca chúng là 601
A. 2, 599 B. 3, 598 C. 37, 564 D. 59, 542
Chọn A
Câu : Tìm s nguyên t
p
sao cho
57p
là s nguyên t.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Chọn B
E. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUẬN
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Bài 1: 
a)
3.4.5 6.7
c)
5.7.9.11 2.3.4.7
b)
3.5.7 11.13.17
d)
16354 67541
.
Lời giải
a) Ta có:
3.4.5 6.7 3 4.5 2.7 3
và
3
nên
3.4.5 6.7
là hợp số
b)
3.5.7
là 1 số lẻ và
11.13.17
là 1 số lẻ nên
3.5.7 11.13.17
là số chẵn nên
3.5.7 11.13.17 2
và
2
. Vậy
3.5.7 11.13.17
là hợp số
c)
5.7.9.11 2.3.4.7 7 5.9.11 2.3.4 7
và
7
nên
5.7.9.11 2.3.4.7
là hợp số
d)
16354 67541
có chữ số tận cùng là 5 nên
16354 67541 5
và
5
nên
16354 67541
là hợp số
Bài 2:

309
.
Lời giải
85
Vì tổng hai số bằng
309
nên trong hai số có một số chẵn, một số lẻ. Vì hai số đều là số nguyên tố nên
số chẵn là
2,
suy ra số lẻ là
307.
Kiểm tra lại ta có
307
là số nguyên tố.
Vậy hai số nguyên tố cần tìm là
2
và
307.
Bài 3: 
54

Lời giải
3
54 2.3
Số ước của
54
là
1 1 3 1 8
ước
Các ước của
54
là
1
;
2
;
3
;
9
;
27
;
6
;
18
;
54
Bài 4: 
a)
33
b)
81
c)
45
Lời giải
a)
33 3.11 33 1;3;11;33Ö
b)
4 2 3 4
81 3 81 1;3;3 ;3 ;3 1;3;9;27;81Ö
c)
2
45 3 .5 45 1;3;9;5;15;45Ö
Bài 5 : Phân tích các s sau ra tha s nguyên t;
󰇜 b) 
Lời giải
a) 180 2 b) 2034 2
90 2 1017 3
45 3 339 3
15 3 113 113
5 5 1
1
Vậy 
Vậy  

II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU.
Bài 1:
Cho
2.3.4.5.2008a
. Hi
2007
s t nhiên liên ti   u là hp s không
2, 3, 4,., 2008a a a a
.
Lời giải
Ta có:
2007
số trên đều là hợp số vì chúng lần lượt chia hết cho
2;3;4;...;2008
và lớn hơn
2
nên
2, 3, 4,..., 2008a a a a
là hợp số
Bài 2:
Tìm s t nhiên
k

3.k
là s nguyên t,
7.k
là s nguyên t
.
Lời giải
Vì
3.k
chia hết cho
3
, nên để là số nguyên tố th ì
3k
chỉ có
2
ước là
1
và chính nó. Vậy
1k
Vì
7.k
chia hết cho
7
, nên để là số nguyên tố thì
7k
chỉ có
2
ước là
1
và chính nó. Vậy
1k
Bài 3:

n
sao cho
2
25p n n n

86
Lời giải
Từ
2
25nnp n 
suy ra
2n
và
2
5nn
là ước của
p
.
Vì
p
là số nguyên tố nên
21n
hoặc
2
51nn
Nếu
21n
thì
3n
Khi đó
2
71. 3 3 5p 
là số nguyên tố (thỏa mãn).
Nếu
2
51nn
2
6nn
1 2.3nn
2n
Khi đó
2 2 .1 0p
không là số nguyên tố.
Vậy
3n
.
Bài 4: 
a)
200
b)
720
Lời giải
a)
32
200 2.100 2 .5
Số lượng các ước của
200
là
3 1 . 2 1 12
(ước)
b)
42
720 8.9.10 2 .3 .5
Số lượng các ước của
720
là
4 1 . 2 1 . 1 1 30
(ước)
Bài :
a)
2012
2001
b)
2.9.2012
Lời giải
a) Phân tích số
2001
ra thừa số nguyên tố ta được:
2001 3.23.29
Từ đó suy ra:
2012
2012 20 22012 12 201
2 3.23.29 3 .23 .20 901
b) Phân tích số
2012
ra thừa số nguyên tố ta được:
2
2012 2 .503
Từ đó suy ra: 


III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
.
Bài 1: Tìm s nguyên t
p
, sao cho
2p
 nguyên t.
Lời giải
Nếu
2p
thì
24p 
và
46p 
đều không phải là số nguyên tố.
Nếu
3p
thì
25p 
và
47p 
đều là số nguyên tố.
Nếu
3p
thì số nguyên tố
p
có một trong hai dạng:
3 1, 3 2kk
với
.
Nếu
31pk
thì
2 3 3 3 1p k k
23p
, mà
23p 
nên
2p
là hợp số.
87
Nếu
32pk
thì
4 3 6 3 2p k k
43p
, mà
43p 
nên
4p
là hợp số
Vậy chỉ có duy nhất một số nguyên tố
p
thỏa mãn là
3p
Bài 2: 
a

23a

Lời giải
Vì
23 239a
và
22
15 239 16
nên để
23a
là số nguyên tố thì nó phải không chia hết cho các số
nguyên tố
2;
3;
5;
7;
11;
13.
Vì
23 2a
nên
1;3;5;7;9a
Vì
23 5a
nên
1;3;7;9a
Vì
23 3a
nên
3;9a
Vậy
3;9a
Thử lại ta có
233
và
239
thỏa mãn.
Bài 3:     
n
 
21 4n
và
14 3n
  
nhau.
Lời giải
Gọi
d
là ước chung
21 4;14 3 14 21 4 21 14 3 1n n n n
chia hết cho
d
1 d
hay
1d
21 1;14 3 1ÖC nn
21 1n
và
14 3n
nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: Cho
p
và
2p

3p

16p
.
Lời giải
Vì
p
là số nguyên tố và
3p
, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng:
31k
,
32k
với
*
k
- Nếu
31pk
thì
2 3 3 3 1 2 3p k k p
và
23p 
. $
2p
là hợp số (trái với đề bài
2p
là số nguyên tố).
- Nếu
32pk
thì
1 3 3 3 1p k k
1
Do
p
là số nguyên tố và
3p
p
lẻ
k
lẻ
1k
chẵn
12k
2
Từ
1
và
2
16p
.
Bài : -

Lời giải
Với  ta có   là hợp số, còn  là số nguyên tố.
Với
3p
ta có  , 8p,  là 3 số nguyên tố liên tiếp nên có một số chia hết cho .Do p là
nguyên tố khác nên  không chia hết cho do đó  hoặc  có một số chia hết cho .
Vậy số thứ là hợp số.
88
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Bài 1: Cho
p
và
21p
là các s nguyên t
3p
. Hi
41p
là s nguyên t hay hp s ?
Lời giải
Do
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p 34p 3
.
Do
21p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
21p 3
2 2 1p3
hay
42p 3
.
Mặt khác, trong ba số tự nhiên liên tiếp
4p
;
41p
;
42p
luôn có một số chia hết cho
3
, do đó
4 1 3p
. Mà
4 1 3p 
, nên
41p
là hợp số.
Bài 2: Cho
p
và
4p
là các s nguyên t
3p
. Chng t rng:
8p
là hp s.
Lời giải
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
chia
3
dư
1
hoặc dư
2.
Nếu
32pk
thì
4 3 6 3pk
loại.
Nếu
31pk
thì
7 3 8 3pk
2 7 3p
hay
2 14 3.p
Trong ba số tự nhiên liên tiếp
2 14;p
2 15;p
2 16p
luôn có một số chia hết cho
3,
mà
2 14 3p
và
2 15 3p
nên
2 16 3p
hay
2 8 3p
8 3,p
vì
2,3 1 8p
là hợp số.
Bài 3: Chng minh rng:
a) Hai s t nhiên liên tip (khác
0
) là hai s nguyên t cùng nhau.
b) Hai s l liên tip là hai s nguyên t cùng nhau.
c)
21n
và
31n
(
n
) là hai s nhuyên t cùng nhau.
Lời giải
a) Gọi
, 1 1 1 1ÖCd n n n n d d d
.
Vậy
n
và
1n
là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi
2 1,2 3 2 3 2 1 2 1,2ÖCd n n n n d d d
.
Nhưng
2d
vì
d
là ước của số lẻ. Vậy
1d
.
c) Gọi
d
ƯC
2 1,3 1 3 2 1 2 3 1 1 1n n n n d d d
.
Bài 4: Cho
a
và
b
là hai s nguyên t cùng nhau. Chng minh rng hai s 
nguyên t cùng nhau.
a)
a
và
ab
. b)
2
a
và
ab
c)
ab
và
ab
.
Lời giải
a) Gọi
d
ƯC
,a a b a b a d b d
. Ta lại có
ad
nên
d
ƯC
,ab
, do đó
1d
(vì
a
,
b
là hai số nguyên tố cùng nhau).
89
Vậy
,1a a b
.
b) Giả sử
2
a
và
ab
cùng chia hết cho số nguyên tố
d
thì
a
chia hết cho
d
, do đó
b
cũng chia hết
cho
d
. Như vậy
a
và
b
cùng chia hết cho số nguyên tố
d
, trái với giả thiết
,1ab
.
Vậy
2
a
và
ab
là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) Giả sử
ab
và
ab
cùng chia hết cho số nguyên tố
d
. Tồn tại một trong hai thừa số
a
và
b
,
chẳng hạn là
a
, chia hết cho
d
, do đó
b
cũng chia hết cho
d
, trái với
,1ab
.
Vậy
,1ab a b
.
Bài 5: Chng t rng nu
p a b
là mt s nguyên t thì
a
và
b
là hai s nguyên t cùng
nhau.
Lời giải
Giả sử
a
và
b
là hai số không nguyên tố cùng nhau.
Ta suy ra
a
và
b
phải có ít nhất một ước số chung
1d
ad
và
bd
Do đó:
a b d
pd
Số tự nhiên
p
, ngoài
1
và
p
còn có một ước số chung
1d
nên
p
là một hợp số, trái với dề bài đã
cho.
Vậy
a
và
b
là nguyên tố cùng nhau nếu
p a b
là một số nguyên tố.
Bài 6: Tìm
7 3,8 1ÖCLN nn
vi (
*
n
u kin ca
n
 hai s  cùng
nhau.
Lời giải
Gọi ƯCLN
7 3,8 1n n d
với (
*
n
)
Ta có:
73nd
,
81nd
.
8. 7 3 – 7. 8 1n n d
31 d
1d
hoặc
31
.
Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì
31d
.
Mà
7 3 31n
7 3 31 31n
7 4 31n
– 4 31n
(vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)
31 4nk
(với
k
là số tự nhiên)
Do đó
31d
31 4nk
.
Vậy hai số
73n
,
8 –1n
nguyên tố cùng nhau khi
31 4nk
(với
k
là số tự nhiên).
Bài 7: Tìm s t  các s
9 24n
và
34n
là các s nguyên t cùng nhau.
Lời giải
Giả sử
9 24n
và
34n
cùng chia hết cho số nguyên tố
d
thì
90
9 24 3 3 4 12 2;3n n d d d
.
Điều kiện để
9 24,3 4 1nn
là
2d
và
3d
. Hiển nhiên
3d
vì
34n
không chia hết cho
3
. Muốn
2d
phải có ít nhất một trong hai số
94n
và
34n
không chia hết cho
2
. Ta thấy:
94n
là số lẻ
9n
lẻ
n
lẻ,
34n
là số lẻ
3n
lẻ
n
lẻ.
Vậy điều kiện để
9 4,3 4 1nn
là
n
là số lẻ.
Bài 8: Nu
31nk
. Cho
n
là s nguyên t không chia ht cho
3
. Chng minh rng
2
n
chia cho
3

1
.
Lời giải
Ta có
2
3 1 3 1n k k
hay
2
3 3 1 3 1n k k k
Rõ ràng
2
n
chia cho
3
dư
1
Nếu
32nk
thì
2
3 2 3 2n k k
hay
2
3 3 2 2 3 2 3 3 2 6 3 1n k k k k k k
nên
2
n
chia cho
3
dư
1
.
Bài 9: Cho
p
là mt s nguyên t l
3
. Hi
2
2003p
là s nguyên t hay hp s.
Lời giải
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên không chia hết cho
3
. Vậy
2
p
chia cho
3
dư
1
tức là
2
31pk
do đó
2
2003 3 1 2003 3 2004 3p k k
Vậy
2
2003p
là hợp số.
Bài 10: Chng t rng nu
p
là s nguyên t l
1 1 24pp
.
Lời giải
- Vì trong ba số tự nhiên liên tiếp
1;p
;p
1p
luôn có một số chia hết cho
3,
mà
p
là số nguyên
tố lớn hơn
3
nên trong hai số
1;p
1p
có một số chia hết cho
3
1 1 3pp
1
- Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
là số lẻ
1p
và
1p
là hai số chẵn liên tiếp
1 1 8pp
2
Từ
1,
2
và
3,8 1
nên
1 1 3.8pp
hay
1 1 24.pp
Bài 11: Tìm
*
n
bit:
2 4 6 2 756n
.
Lời giải
Số số hạng trong vế trái là:
2 2 : 2 1 1 1n n n
Khi đó:
12 2 2 :26 .42n n nn n 
Phân tích số
756
thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
91
23
782 .3 .756 27.2
Theo đề ra, ta có:
1 27.28nn
27n
Vậy
27n
92
CHUYÊN ĐỀ 6:
ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước chung và ước chung lớn nhất
a) Ước chung:
Số tự nhiên
n
được gọi là ước chung của hai số
a
và
b
nếu
n
vừa là ước của
a
vừa là ước của
b
Kí hiệu tập hợp ước chung của
a
và
b
là ƯC
,ab
b) Ước chung lớn nhất:
Số lớn nhất trong các ước chung của
a
và
b
được gọi là ước chung lớn nhất của
a
và
b
.
Kí hiệu ước chung lớn nhất của
a
và
b
là ƯCLN
,ab
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số, ta thực hiện 4 bước sau:
c 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
c 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
c 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất
c 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.
c) Hai số nguyên tố cùng nhau:
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
2. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
a) Bội chung:
Số tự nhiên
n
được gọi là bội chung của hai số
a
và
b
nếu
n
vừa là bội của
a
vừa là bội của
b
.
Kí hiệu tập hợp bội chung của
a
và
b
là BC
,ab
b) Bội chung nhỏ nhất:
Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của
a
và
b
được gọi là bội chung nhỏ nhất của
a
và
b
.
Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của
a
và
b
là BCNN
,ab
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số, ta thực hiện 4 bước sau:
c 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
c 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng
c 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất
c 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.
c) Ứng dụng bội chung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu:
Thực hiện quy đồng mẫu các phân số bằng cách:
Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu
93
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng rồi cộng hoặc trừ hai phân số có
cùng mẫu.
3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết một số thuộc ước chung và bội chung của hai hay nhiều số
Phương pháp giải:
* Để nhận biết một số là ước chung của hai số, ta xét:
+ Nếu hai số cùng chia hết cho
a
thì
a
là ước chung.
+ Nếu có ít nhất một trong hai số không chia hết cho
a
thì
a
không là ước chung.
* Để nhận biết một số
b
là bội chung của hai số, ta xét:
+ Nếu
b
chia hết cho cả hai số thì
b
là bội chung.
+ Nếu có ít nhất một trong hai số mà
b
không chia hết thì
b
không là bội chung.
Dạng 2: Viết tập hợp các ƯC và BC của hai hay nhiều số
Phương pháp giải:
Để viết tập hợp các ước chung (bội chung) của hai hay nhiều số ta làm như sau:
Viết tập hợp các ước (bội) của mỗi số đã cho
: Tìm giao của các tập hợp đó.
Dạng 3: Tìm ƯCLN của các số cho trước
Phương pháp giải:
Để tìm ƯCLN của các số cho trước, ta thực hiện quy tắc 3 bước phía trên.
Dạng 4: Tìm các ƯC của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
Để tìm ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm như sau:
c 1: Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước
c 2: Tìm các ước của ƯCLN này
c 3: Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
Nếu không có điều kiện gì của bài toán thì ước chung của hai hay nhiều số là các ước của
ƯCLN các số đó.
Dạng 5: Tìm BCNN của các số cho trước
Phương pháp giải:
Để tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước, ta làm như sau:
Cách 1: Thực hiện quy tắc 3 bước để tìm BCNN của hai hay nhiều số
Cách 2: Có thể nhẩm BCNN của hai hay nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với 1; 2;
3; ...
Dạng 6: Tìm các BC của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
94
Để tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm như sau:
: Tìm BCNN của các số đó
2: Tìm các bội của BCNN này
: Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.
Dạng 7: Bài toán có lời văn
Phương pháp giải:
* Để giải bài toán có lời văn đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số, ta làm như sau:
: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số
: Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó.
* Để giải bài toán có lời văn đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số, ta làm như sau:
Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số
: Thực hiện quy tắc 3 bước để tìm BCNN đó.
Dạng 8: Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau
Phương pháp giải:
Để chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau, ta làm như sau:
: Gọi
d
là ƯCLN của các số
: Dựa vào cách tìm ƯCLN và các tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh
1d
.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. S
x
gi là bi chung ca
a
,
b
,
c
nu
A.
xa
hoặc
xb
hoặc
xc
. B.
xa
và
xb
.
C.
xb
và
xc
. D.
xa
và
xb
và
xc
.
Câu 2. Chn câu tr li sai
A.
5 ÖC 55,110
. B.
24 4BC 3,
.
C.
10 ÖC 55,110
. D.
12 4BC 3,
.
Câu 3.
CLN 210,30,1Ö
là
A. 1. B. 30. C. 15. D. 21.
Câu 4.
BCNN 9,10,11
là
A. 90. B. 99. C. 110. D. 990.
Câu 5. Chn khnh sai
A. Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
B. Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các
số đó.
C. Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
D. Nếu
a
chia hết cho
m
,
a
chia hết cho
thì
không chia hết cho BCNN của
m
và
n
.
95
Câu 6. Tp hp
ÖC 4,12
là
A.
0;1;2;3;4
. B.
1;2;4
. C.
1;2;3;4
. D.
1;2;3;4;6
.
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 7. Tp hp các bi chung ca 15 và 18 nh 
A.
0;45;90;120
. B.
0;45;90;120;180
.
C.
0;90;180
. D.
0;60 ;90 ;120
.
Câu 8.
BCNN 40,28,140
là
A. 140. B. 280. C. 420. D. 560.
Câu 9.
Ö1CLN 8,60
là
A. 6. B. 12. C. 18. D. 30.
Câu 10.
Ö 16,32,112CLN
là
A. 4. B. 8. C. 16. D. 32.
Câu 11.
ÖC 12,30
là
A.
1;2;6
. B. { 3; 6}. C.
1;2;3;6
. D.
0;2;3;6
.
Câu 12. Tìm tp hp các bi chung ca 15 và 25 mà nh 
A.
0;75;150;225;300;375
. B.
0;75;150;225;300
.
C.
75;150;225;300;375
. D.
0;75;225;300;375
.
Câu 13. Tìm các bi chung có ba ch s ca 63; 35 và 105.
A. 315; 630; 945. B. 630; 945; 1260. C. 630; 945. D. 315; 630.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 14. 
x
sao cho
500 700x

10 5 ; –18 6;21 7x x x
. 
x

A. 210. B. 630. C. 420. D. 0.
Câu 15. 
a

495a

195 a

a

A. 3. B. 5. C. 15. D. 35.
Câu 16. 

A. 240. B. 300. C. 360. D. 540.
Câu 17.           

A. 12. B. 10. C. 6. D. 9.
Câu 18. 

A. 300. B. 301. C. 350. D. 251.
Câu 19. Mi thiu niên khi xp hàng 2, hàng 3, hàng 5, hàng 7 thì v. Bit s ng hc
sinh trong khon 500. Tính s hc sinh ci.
A. 210. B. 420. C. 630. D. 360.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 20. Cho hai s
31n
và
54n
là hai s không nguyên t cùng nhau. Tìm
ÖCLN 3 1,5 4nn
.
96
A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 21. Tìm hai s t nhiên bit hiu ca chúng ba chúng bng 28 và các s 
trong khong t n 440.
A. 308 và 392. B. 336 và 420. C. 354 và 438. D. 316 và 400.
Câu 22. Tìm s t nhiên nh nh 
A. 138. B. 369. C. 380. D. 396.
Câu 23. Cho
*
n
và
ÖCLN 2 1,9 4 17nn
. 
có dng là
A.
*
17 7n k k
. B.
*
17 8n k k
.
C.
*
17 9n k k
. D.
*
17 10n k k
.
Câu 24. Tìm
ÖCLN 1 2 3 ... ,2 1nn
vi
,2nn
.
A.
n
. B.
1n
. C. 2. D. 1.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1.
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 2. n kí hiu
hoc
vào ô tr
a)
3 ÖC 30,42
b)
4 ÖC 16,20,30
c)
5 ÖC 30,42
d)
8 ÖC 24,56,36 .
Bài 3. n kí hiu
hoc
vào ô tr
a)
36 BC 6,21
.
b)
30 BC 5,12,15
.
c)
42 BC 6,21
.
d)
60 BC 5,12,15
.
Bài 4. Vit các tp hp sau
a)
ÖC 24,40
.
b)
ÖC 15,27
.
c)
ÖC 20,30
.
d)
ÖC 45,15
.
Bài 5. Vit các tp hp sau
a)
BC 2,8
.
b)
BC 10,15
.
c)
BC 6,21
.
d)
BC 6,4 .
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 6. a
a) 18; 30
b) 24; 48
c) 32; 128
d) 42; 30
e) 18; 30; 15
f) 24; 48; 36
g) 16; 32; 128
h) 42; 30; 20.
Bài 7.
a) 
97
b) 
Bài 8.
a) ; 6 thông qua tìm BCNN.
b) 
Bài 9. Tìm BCNN ca
a) 15; 18 e) 33; 44; 55
b) 8; 18; 30 f) 10; 12
c) 4; 14; 26 g) 24; 10
d) 6; 8; 10 h) 84; 108.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 10.
a)   nhiên
x

90 ; 150xx
và
5 30.x
b)   nhiên
x

144 ; 420xx
và
2x
.
Bài 11.
a)   nhiên 
20; 35xx
và
500x
.
b)   nhiên
x

14; 15; 20x x x
và
400 1200.x
Bài 12. Hc sinh lc nhn phng cng và mc nhn phng
t 129 quyn v và 215 bút chì màu. Hi s hc sinh lp 6A là bao
nhiêu?
Bài 13. Hai lp 6A và 6B tham gia phong trào "Tt trng cây". Mi em trng mt s 
Kt qu lp 6A trc 132 cây, lp 6B trc 135 cây. Hi mi lp có bao nhiêu hc
sinh? Bit mi hc sinh trc nhi
Bài 14. Mt hình ch nht có chiu dài 150 m và chiu rc chia thành các hình vuông có
din tích b dài cnh hình vuông ln nht trong cách chia trên (bit s nh là
s t nhiên v là m).
Bài 15. Tính s hc sinh ca mng bit rng mi ln xu va
 hàng và s hc sinh cng trong khong t n 421.
Bài 16. Cô giáo ch nhim mun chia 24 quyn v, 48 bút bi và 36 gói bánh thành mt s phn
 trao trong dt hc kì I. Hi có th c nhiu nht bao nhiêu phn
i phng có bao nhiêu quyn v, bút bi và gói bánh?
Bài 17. Hai bn Long và Hoàng cùng hc m hai lp khác nhau. Long c 10 ngày li
trc nht, Hoàng c 12 ngày li trc nht. Lu tiên hai bn cùng trc nht vào mt ngày. Hi
sau ít nht bao nhiêu ngày thì hai bn li cùng trc nht?
Bài 18.  ca mt lp 6 có ba bu tháng c i trc cùng mt
ngày. C sau 7 ngày An li trc mt ln, sau 4 ngày Bình li trc mt ln và sau 6 ngày Mai li
trc mt ln. Hi sau bao nhiêu ngày thì c i li cùng trc vào mt ngày ln ti
mi bc bao nhiêu ln?
Bài 19. Mng hc có s ng hc sinh không quá 1000. Khi x
p hàng 41 thì v. Tính s hc sinh cng.
Bài 20. Chng minh rng: Vi mi s t nhiên n các s sau là các s nguyên t cùng nhau
x
98
a)
4; 5nn
b)
2 5; 2nn
c)
2;3 7nn
d)
2 1;3 1nn
.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 21. Cho
m
là s t nhiên l,
n
là s t nhiên. Chng minh rng
m
và
4mn
là hai s nguyên t
cùng nhau.
Bài 22. Tìm các s t nhiên
n
 các s sau nguyên t cùng nhau.
a)
43n
và
23n
b)
7 13n
và
24n
.
Bài 23. Tìm s t nhiên nh nht, bit rng khi chia s  t là 11, 17, 9.
Bài 24. Mt s t nhiên khi chia s 7, 17, 23 thì s t là 3, 12, 7. Hi s 

Bài 25. Bit s
A
gm 2021 cha s 2 và s
B
gm 8 ch s 
,AB
.
Bài 26. 
ÖCLN , 95ab

ÖCLN ,a b a b
.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
A
D
D
B
C
B
A
C
C
A
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
A
B
C
C
A
B
B
D
A
B
C
D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Số
x
gọi là bội chung của
a
,
,
c
nếu
A.
xa
hoặc
xb
hoặc
xc
. B.
xa
và
xb
.
C.
xb
và
xc
. D.
xa
và
xb
và
xc
.
Lời giải
Chọn D
BC , ,
xa
x a b c x b
xc

Câu 2. Chn câu tr li sai
A.
5 ÖC 55,110
. B.
24 4BC 3,
.
C.
10 ÖC 55,110
. D.
12 4BC 3,
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
.12 BC 3,4
Câu 3.
CLN 210,30,1Ö
là
A. 1. B. 30. C. 15. D. 21.
Lời giải
Chọn A
CLN 210, 130,1Ö
.
Câu 4.
BCNN 9,10,11
là
A. 90. B. 99. C. 110. D. 990.
Lời giải
Chọn D
Ta có 9, 10, 11 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau
BCNN 9,10,11 9.10.11 990
.
Câu 5. Chn khnh sai
A. Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
B. Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các
số đó.
C. Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
D. Nếu
a
chia hết cho
m
,
a
chia hết cho
thì
không chia hết cho BCNN của
m
và
n
.
Lời giải
Chọn D
Ví dụ:
BCNN 4,6 12;12 4;12 6;12 BCNN 4,6 .
Câu 6. Tp hp
ÖC 4,12
là
A.
0;1;2;3;4
. B.
1;2;4
. C.
1;2;3;4
. D.
1;2;3;4;6
.
Lời giải
Chọn B

Ö 4 1;2;4
Ö 12 1;2;3;4;6;12
ÖC 4;12 1;2;4 .
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 7. Tp hp các bi chung ca 15 và 18 nh 
A.
0;45;90;120
. B.
0;45;90;120;180
.
C.
0;90;180
. D.
0;60 ;90 ;120
.
Lời giải
Chọn C
B 15 0;15;30;45;60;75;90;105;120;135;150;165;180;195;210;
B 18 0;18;36;54;72;90;108;126;144;162;180;198;216;


Tập hợp các
BC 15,18
nhỏ hơn 200 là
0;90;180;
.
Câu 8.
BCNN 40,28,140
là
A. 140. B. 280. C. 420. D. 560.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
2
2
3
40 2 .5
28 2 .7
140 2 .5.7
BCNN 40,28,140 2 .5.7 280.
Câu 9.
Ö1CLN 8,60
là
A. 6. B. 12. C. 18. D. 30.
Lời giải
Chọn A
Ta có

2
2
18 2.3 
60 2 .3.5
CLN 18,60 2.3Ö 6.
Câu 10. Tìm
Ö 16,32,112CLN
là
A. 4. B. 8. C. 16. D. 32.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Ö 16,32,112 16.
32 16
11216
CLN
Câu 11.
ÖC 12,30
là
A.
1;2;6
. B. { 3; 6}. C.
1;2;3;6
. D.
0;2;3;6
.
Lời giải
Chọn C

Ö 12 1;2;3;4;6;12
Ö 30 1;2;3;5;6;10;15;30
ÖC 12,30 1;2;3;6 .
Câu 12. Tìm tp hp các bi chung ca 15 và 25 mà nh 
A.
0;75;150;225;300;375
. B.
0;75;150;225;300
.
C.
75;150;225;300;375
. D.
0;75;225;300;375
.
Lời giải
Chọn A
Ta có


2
2
1
.5 B7
5
5
5 3.5
C
0;75
5
;15
,
0;B 2
1
22 5
N
;
2
3
N
0
5
0
3
;
5
31 7, 5
5
;
2
4
5
5C 0
.7
5 ;..
B
Vậy tập hợp các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là
0;75;150;225;300;375
.
Câu 13. Tìm các bi chung có ba ch s ca 63; 35 và 105.
A. 315; 630; 945. B. 630; 945; 1260. C. 630; 945. D. 315; 630.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2
63 3 .7
35 5.7
105 3.5.7
BCNN 63,35,105 3 .5.7 315
BC 63,35,105 315 0;315;630;945;1260;...B
Vậy các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105 là 315; 630; 945.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 14. 
x
sao cho
500 700x

10 5 ; –18 6;21 7x x x
. 
x

A. 210. B. 630. C. 420. D. 0.
Lời giải
Chọn B
Vì
10 5 ; –18 6;21 7x x x
nên
5 ; 6; 7x x x
BC 5,6,7x
BCNN 5,6,7 5.6.7 210
BC 5,6,7 B 210 0;210;420;630;

Vì
500 700x
nên
630x
.
Câu 15. 
a

495a

195 a


A. 3. B. 5. C. 15. D. 35.
Lời giải
Chọn C
Vì
495a
và
195 a
đều là bội của
a
nên 495 và 195 đều chia hết cho
a
Mà
a
là số lớn nhất nên
a
ÖCLN 195,495

2
195 3.5.13
495 3 .5.11
ÖCLN 195,495 3.5 15
15a
.
Câu 16. 
h.
A. 240. B. 300. C. 360. D. 540.
Lời giải
Chọn C
Số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó nên số sách là bội
chung của 10, 12, 15, 18.
2
2
22
10 2.5
12 2 .3
15 3.5
18 2. 3
BCNN 10,12,15,18 2 .3 .5 180
BC 10,12,15,18 B 180 0;180;360;540;

Mà số sách trong khoảng từ 200 đến 500 nên số sách cần tìm là 360 cuốn.
Câu 17.           

A. 12. B. 10. C. 6. D. 9.
Lời giải
Chọn A
Cạnh của miếng đất có diện tích lớn nhất là
Ö6CLN 0,24
2
3
2
.
60 2 .3.5
24 2 .3
C1Ö 60,24LN 2 .3 2
Câu 18. 

A. 300. B. 301. C. 350. D. 251.
Lời giải
Chọn B
Gọi
a
là số học sinh cần tìm
*
.;250 350a a
Số học sinh khi xếp hàng 4, 5, 6 đều thừa 1 người nên
1 BC 4,5,6a 
2
BCNN 4,5,6 2 .3.5 60
BC 4,5,6 60 0;60;120;180;240;300;360;420;
1 0;60;120;180;240;300;360;420;
1;61;121;181;241;301;361; 2
B
4 1;
a
a


Mà
250 350a
nên
301.a
Câu 19. Mi thiu niên khi xp hàng 2, hàng 3, hàng 5, hàng 7 thì v. Bit s ng hc
sinh trong khon 500. Tính s hc sinh ci.
A. 210. B. 420. C. 630. D. 360.
Lời giải
Chọn B
Gọi số học sinh của liên đội là
*
400 500;x x x
Theo đề bài ta có
2
3
BC 2,3,5,7
5
7
x
x
x
x
x
Mà 2, 3, 5, 7 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên
BCNN 2,3,5,7 2.3.5.7 210
BCNN 2,3 .B 210 0;210;420;630;84 ;,5 0 ..,7


Vì
400 500 x
và
B 210x
420x
Vậy liên đội thiếu niên có 420 học sinh.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 20. Cho hai s
31n
và
54n
là hai s không nguyên t cùng nhau. Tìm
ÖCLN 3 1,5 4nn
.
A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải
Chọn D
ÖCLN 3 1,5 4
5 3 1
31
3 5 4 5 3 1 7 1;7
54
3 5 4
n n d
nd
nd
n n d d d
nd
nd
mà
31n
và
54n
là hai số không nguyên tố cùng nhau nên
7.d
Câu 21. Tìm hai s t nhiên bit hiu ca chúng ba chúng bng 28 và các s 
trong khong t n 440.
A. 308 và 392. B. 336 và 420. C. 354 và 438. D. 316 và 400.
Lời giải
Chọn A
Gọi hai số phải tìm là
a
và
b
*
,;a b a b
Ta có
ÖCLN , 28ab
nên
28ak
và
28bq
. Trong đó
*
,kq
và
,kq
nguyên tố cùng nhau.
Ta có
84 3a b k q
Mà
300 440 10 16b a q k
.
Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15.
Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau
11 28.11 308
14 28.14 392
qa
kb




Vậy hai số phải tìm là 308 và 392.
Câu 22. Tìm s t nhiên nh nh 
A. 138. B. 369. C. 380. D. 396.
Lời giải
Chọn B
Gọi số cần tìm là
*
aa
Ta có
6 11 6 33 11 27 11
1 4 1 28 4 27 4
11 19 11 38 19 27 19
a a a
a a a
a a a
Mà
a
nhỏ nhất
27 BCNN 11,4,19a
Do 11, 4, 19 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên
BCNN 11,4,19 11.4.19 396
27 396
369.
a
a


Câu 23. Cho
*
n
và
ÖCLN 2 1,9 4 17nn
. 
có dng là
A.
*
17 7n k k
. B.
*
17 8n k k
.
C.
*
17 9n k k
. D.
*
17 10n k k
.
Lời giải
Chọn C
*
ÖCLN 2 1,9 4
9 2 1
21
2 9 4 9 2 1 17 1;17
94
2 9 4
n n d d
nd
nd
n n d d d
nd
nd
*
17 9 4 4 2 1 8 17 17 9
9 4 9 17 9 4 9.17 85 17
2 1 2 17 9 1
K
2.17 7
h
17 1
i
d n n n n k k
n k k
n k k
Vậy nếu
*
17 9n k k
thì
ÖCLN 2 1,9 4 17nn
.
Câu 24. Tìm
UCLN 1 2 3 ... ,2 1nn
vi
,2nn
.
A.
n
. B.
1n
. C. 2. D. 1.
Lời giải
Chọn D
1
UCLN 1 2 3 ... ,2 1 CLN ,2 1
2
nn
n n U n d



1
1
2
21
21
nn
n n d
d
nd
nd

Giả sử
1d
,
p
là ước nguyên tố của
d
1 1 1
1
np
n n d n n p p
np
(vô lí)
Vậy
1.d
E. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1.
a) 
b) 4 không? Vì sao?
c) 
d) 
Lời giải
a) Số 12 không phải là ước chung của 24 và 40 vì
40 12.
b) Số 124 là bội chung của 31; 62 và 4 vì 124 chia hết cho các số đã cho.
c) Số 13 là ước chung của 65; 117 và 130 vì
65 13; 117 13; 130 13.
d) Số 88 không phải là bội chung của 22 và 40 vì
88 40.
Bài 2. 


a)
3 ÖC 30,42
b)
4 ÖC 16,20,30
c)
5 ÖC 30,42
d)
8 ÖC 24,56,36 .
Lời giải
a)
3 ÖC 30,42
b)
4 ÖC 16,20,30
c)
5 ÖC 30,42
d)
8 Ö C 24,56,36 .
Bài 3. n kí hiu
hoc
vào ô tr
a)
36 BC 6,21
.
b)
30 BC 5,12,15
.
c)
42 BC 6,21
.
d)
60 BC 5,12,15
.
Lời giải
a)
36 BC 6,21
.
b)
30 BC 5,12,15
.
c)
42 BC 6,21
.
d)
60 BC 5,12,15
.
Bài 4. Vit các tp hp sau
a)
ÖC 24,40
.
b)
ÖC 15,27
.
c)
ÖC 20,30
.
d)
ÖC 45,15
.
Lời giải
a)
Ö 24 1;2;3;4;6;8;12;24
Ö 40 1;2;4;5;8;10;20;40
ÖC 24,40 1;2;4;8
b)
Ö 15 1;3;5;15
Ö 27 1;3;9;27
ÖC 15,27 1;3
c)
Ö 20 1;2;4;5;10;20
Ö 30 1;2;3;5;6;10;15;30
ÖC 20,30 1;2;5;10
d)
Ö 45 1;3;5;9;15;45
Ö 15 1;3;5;15
ÖC 45,15 1;3;5;15
Bài 5. Vit các tp hp sau
a)
BC 2,8
.
b)
BC 10,15
.
c)
BC 6,21
.
d)
BC 6,4 .
Lời giải
a)
B 2 0;2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;...
B 8 0;8;16;24;32;40;...
BC 2,8 0;8;16;24;32;...
b)
B 10 0;10;20;30;40;50;60;...
B 15 0;15;30;45;60;...
BC 10,15 0;30;60;...
c)
B 6 0;6;12;18;24;30;36;42;48;...
B 21 0;21;42;63;...
BC 6,21 0;42;63;84;...
d)
B 6 0;6;12;18;24;30;36;42;...
B 4 0;4;8;12;16;20;24;28;32;36;...
BC 6,4 0;12;24;48;... .
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 6. Ta
a) 18; 30
b) 24; 48
c) 32; 128
d) 42; 30
e) 18; 30; 15
f) 24; 48; 36
g) 16; 32; 128
h) 42; 30; 20.
Lời giải
a)
2
18 2.3 ;30 2.3.5 ÖCLN 18,30 2.3 6
b)
3 4 3
24 2 .3;48 2 .3 ÖCLN 24,48 2 .3 24
c)
5 7 5
32 2 ; 128 2 ÖCLN 32,128 2 32
d)
42 2.3.7; 30 2.3.5 ÖCLN 42,30 2.3 6
e)
2
18 2.3 ;30 2.3.5;15 3.5 ÖCLN 18,30,15 3
f)
3 4 2 2 2
24 2 .3;48 2 .3;36 2 .3 ÖCLN 24,48,36 2 .3 12
g)
4 5 7 4
16 2 ; 32 2 ; 128 2 ÖCLN 16,32,128 2 16
h)
2
42 2.3.7; 30 2.3.5; 20 2 .5 ÖCLN 42,30,20 2.
Bài 7.
a) 
b) Tìm 
Lời giải
a)
ÖCLN 24,180 12
ÖC 24,180 Ö 12 1;2;3;4;6;12
b)
ÖCLN 42,30 6
ÖC 42,30 Ö 6 1;2;3;6
.
Bài 8. Tìm BCNN ca
a) 15; 18
b) 10; 12
c) 24; 10
d) 84; 108
e) 33; 44; 55
f) 8; 18; 30
g) 4; 14; 26
h) 6; 8; 10.
Lời giải
a)
22
15 3.5;18 2.3 BCNN 15,18 2.3 .5 90
b)
22
10 2.5;12 2 .3 BCNN 10,12 2 .3.5 60
c)
33
24 2 .3; 10 2.5 BCNN 24,10 2 .3.5 120
d)
2 2 3 2 3
84 2 .3.7; 108 2 .3 BCNN 84,108 2 .3 .7 756
e)
2
33 3.11;44 2 .11;55 5.11 BCNN 33,44,55 660
f)
3 2 3 2
8 2 ;18 2.3 ;30 2.3.5 BCNN 8,18,30 2 .3 .5 360
g)
22
4 2 ; 14 2.7; 26 2.13 BCNN 4,14,26 2 .7.13 364
h)
33
6 2.3;8 2 ;10 2.5 BCNN 6,8,10 2 .3.5 120.
Bài 9.
a) ; 6 thông qua tìm BCNN.
b) 
Lời giải
a)
BCNN 7 ,9,6 126
BC 7,9,6 B 126 0;126;252;378;504;...
b) Ta có
32
3
8 2 ;12 2 .3;15 3.5
BCNN 8,12,15 2 .3.5 120
BC 8,12,15 B 120 0;120;240;360;480;... .
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 10.
a)   nhiên
x

90 ; 150xx
và
5 30x
.
b)   nhiên
x

144 ; 420xx
và
2x
.
Lời giải
a) Ta có
90
150
x
x
x
ÖC 90,150
2
2
90 2.3 .5
150 2.3.5
ÖCLN 90,150 2.3.5 30
ÖC 90,150 Ö 30 1;3;5;6;10;15;30
Vì
5 30x
nên
6;10;15x
b) Ta có
144
420
x
x
x
ÖC 144,420
42
2
2
144 2 .3
420 2 .3.5.7
ÖCLN 144,420 2 .3 12
ÖC 144,420 Ö 12 1;2;3;4;6;12
Vì
2x
nên
3;4;6;12 .x
Bài 11.
a)   nhiên
x

20; 35xx
và
500x
.
b)   nhiên
x

14; 15; 20x x x
và
400 1200.x
Lời giải
a) Ta có
20
35
x
x
x
BC 20,35
2
20 2 .5
35 5.7
2
20,35 2 .5.7 140BCNN
20,35 140 0;140;280;420;560;...BC B
mà
500x
Vậy
0;140;280;420 .x
b) Ta có
14
15
20
x
x
x
x
BC 14,15,20
2
14 2.7
15 3.5
20 2 .5
2
14,15,20 2 .3.5.7 420BCNN
14,15,20 420 0;420;840;1260;...BC B
mà
400 1200x
Vậy
420;840 .x
Bài 12. Hc sinh lp 6A c nhn phng ca nhà ng và mc nhn phng
t 129 quyn v và 215 bút chì màu. Hi s hc sinh lp 6A là bao
nhiêu?
Lời giải
Ta thấy số phần thưởng phải là ước chung của 129 và 215.
129 3.43
215 5.43
129,215 43UCLN
129,215 43 1;43UC U
Vì số học sinh của lớp 6A không thể bằng 1 nên lớp 6A có 43 học sinh.
Bài 13. Hai lp 6A và 6B tham gia phong trào "Tt trng cây". Mi em trng mt s 
Kt qu lp 6A trc 132 cây, lp 6B trc 135 cây. Hi mi lp có bao nhiêu hc sinh?
Bit mi hc sinh trc nhi
Lời giải
Số cây trồng của mỗi học sinh là ước chung của 132 và 135.
2
3
132 2 .3.11
135 3 .5
132,135 3ÖCLN
132,135 3 1;3ÖC ÖC
Mà mỗi học sinh trồng được nhiều hơn 2 cây nên số cây mỗi học sinh trồng được là 3 cây.
Do đó, lớp 6A có
132:3 44
(học sinh).
Lớp 6B có
135:3 45
(học sinh).
Bài 14. Mt hình ch nht có chiu dài 150 m và chiu rng 90 m c chia thành các hình vuông có


Lời giải
Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh của hình vuông
phải là ước chung của 150 và 90.
Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là
ÖCLN 150,90
2
2
150 2.3.5
90 2.3 .5
150,90 2.3.5 30ÖCLN
Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia của bài toán là 30 m.
Bài 15. Tính s hc sinh ca mt ng bit rng mi ln xp hàng 4, hàng 5, hàng u va
 hàng và s hc sinh cng trong khong t n 421.
Lời giải
Gọi số học sinh của trường là
a
*
415 421;aa
Vì mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa đủ hàng nên
a
chia hết cho 4; 5; 6; 7.
Tức là
BC 4,5,6,7 .a
Ta có
BC 4,5,6,7 0;420;840;...
mà
415 421a
nên
420a
.
Vậy số học sinh của trường là 420 học sinh.
Bài 16. Cô giáo ch nhim mun chia 24 quyn v, 48 bút bi và 36 gói bánh thành mt s phn
 trao trong dt hc kì I. Hi có th c nhiu nht bao nhiêu phn
i phng có bao nhiêu quyn v, bút bi và gói bánh?
Lời giải
Gọi
a
là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì I
*
24;aa
Để số phần thưởng là nhiều nhất thì
a
phải là số lớn nhất sao cho
24 a
;
48 a
;
36 a
.
Tức là
a
ÖCLN 24,48,36
Ta có
3
4
22
24 2 .3
48 2 . 3
36 2 .3
2
2 .3 12.a
Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 phần thưởng. Trong đó, mỗi phần thưởng có 2 quyển vở, 4 bút bi
và 3 gói bánh.
Bài 17. Hai bn Long và Hoàng cùng hc m hai lp khác nhau. Long c 10 ngày li
trc nht, Hoàng c 12 ngày li trc nht. Lu tiên hai bn cùng trc nht vào mt ngày. Hi sau
ít nht bao nhiêu ngày thì hai bn li cùng trc nht ?
Lời giải
Số ngày ít nhất hai bạn lại cùng trực nhật là bội chung nhỏ nhất của 10 và 12.
Ta có
2
10 2.5
12 2 .3
2
BCNN(10,12) 2 .3.5 60.
Vậy sau ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 18.  ca mt lp 6 có ba bu tháng c i trc cùng mt



Lời giải
Số ngày ít nhất ba bạn lại cùng trực là bội chung nhỏ nhất của 7; 4; 6.
Ta có
2
42
6 2.3
2
BCNN(7,4,6) 7.2 .3 84.
Vậy sau 84 ngày ba bạn lại cùng trực vào một ngày ở lần tiếp theo.
Bạn An đã trực 12 lần, bạn Bình đã trực 21 lần, bạn Mai đã trực 14 lần.
Bài 19. Mng hc có s ng hc sinh không quá 1000. Khi xp hàng 20, 25, 30 thì u 
p hàng 41 thì v. Tính s hc sinh cng.
Lời giải
Gọi số học sinh của trường là
a
*
1000;aa
Vì mỗi lần xếp hàng 20, hàng 25, hàng 30 đều dư 15 nên
15a
chia hết cho 20; 25; 30 và khi xếp
hàng 41 thì vừa đủ nên
15 BC 20,25,
41
30a
a

Ta có
2
2
20 2 .5
25 5
30 2.3.5
22
BCNN 20,25,30 2 .3.5 300
15 B 300 0;300;600;900;1200;...a
do 1000 15 985aa
15 0;300;600;900a
15;315;615;915a
mà
41 615aa
Vậy số học sinh của trường là 615 học sinh.
Bài 20. Chng minh rng: Vi mi s t nhiên
n
các s sau là các s nguyên t cùng nhau.
a)
4; 5nn
b)
2 5; 2nn
c)
2;3 7nn
d)
2 1;3 1nn
.
Lời giải
a) Gọi
d
ƯCLN
1, 2nn
4
5
nd
nd
5 4 1 1n n d d d
Vậy
4; 5nn
là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi
d
ƯCLN
2 5, 2nn
25
2
nd
nd
25
22
nd
nd
2 5 2 2 1 1n n d d d
Vậy
2 5; 2nn
là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) Gọi
d
ƯCLN
2,3 7nn
2
37
nd
nd
32
37
nd
nd
3 7 3 2 1 1n n d d d
Vậy
2;3 7nn
là hai số nguyên tố cùng nhau.
d) Gọi
d
ƯCLN
2 1,3 1nn
21
31
nd
nd
3 2 1
2 3 1
nd
nd
3 2 1 2 3 1n n d
11dd
Vậy
2 1;3 1nn
là hai số nguyên tố cùng nhau.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 21. Cho
m
là s t nhiên l,
n
là s t nhiên. Chng minh rng
m
và
.4mn
là hai s nguyên t
cùng nhau.
Lời giải
Giả sử
m
và
.4mn
cùng chia hết cho số tự nhiên
d
4
md
mn d
4
mn d
mn d
4mn mn d
4 1;2;4dd
Mà
m
lẻ nên
1d
Vậy
m
và
.4mn
là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 22. Tìm các s t nhiên
n
 các s sau nguyên t cùng nhau.
a)
43n
và
23n
b)
7 13n
và
24n
.
Lời giải
a) Gọi ƯCLN
*
4 2,2 3 n n d d
43
23
nd
nd
43
2 2 3
nd
nd
2 2 3 4 3n n d
3 1;3dd
Để
43n
và
23n
nguyên tố cùng nhau thì
3d
2 3 3 2 3 3 3 n n n n k k
Vậy
3 n k k
thì
43n
và
23n
nguyên tố cùng nhau
b) Gọi ƯCLN
*
7 13,2 4 n n d d
7 13
24
nd
nd
2 7 13
7 2 4
nd
nd
7 2 4 2 7 13 2 1;2n n d d d
Để
7 13n
và
24n
nguyên tố cùng nhau thì
2d
Mà
24n
luôn chia hết cho 2
7 13n
không chia hết cho 2 khi
n
chẵn
Vậy
n
chẵn thì
7 13n
và
24n
nguyên tố cùng nhau.
Bài 23. Tìm s t nhiên nh nht, bit rng khi chia s  t là 11, 17, 9.
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
a
a
Theo bài ta có
12 11 18 17 23 9 , ,a k q p k q p
37 12 48 12
37 18 54 18
37 23 46 23
ak
aq
ap
37 BC 12,18,23a
Vì
a
nhỏ nhất nên
37 BCNN 12,18,23a 
2
2
12 2 .3
18 2.3
23 23
22
BCNN 12,18,23 2 .3 .23 828
37 828a
791a
Vậy số tự nhiên cần tìm là 791.
Bài 24. Mt s t nhiên khi chia s 7, 17, 23 thì s t là 3, 12, 7. Hi s 

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
a
a
Theo bài ta có
7 3 17 12 23 7 , ,a k q p k q p
39 7 42 7
39 17 51 17
39 23 46 23
ak
aq
ap
39 BC 7,17,23a
BCNN 7,17,23 7.17.23 2737
39 2737.a m m
2737. 39 2737 1 2698a m m
Vậy số dư của
a
cho 2737 là 2698.
Bài 25. Bit s
A
gm 2021 cha s 2 và s
B
gm 8 ch s 
,AB
.
Lời giải
2021 2 2003 2 7 0 7 2
222...2 222...2 000...0 222...2
chöõsoá chöõsoá chöõsoá chöõsoá
A
Vì
2003 2 7 0 8 2
222...2 000...0 222...2
chöõsoá chöõsoá chöõsoá
7 2 8 2
CLN , CLN 222...2 ,222...2
chöõsoá chöõsoá
U A B U



Ta có
8 2 7 2
7 2 7 2
222...2 222...20 2
222...20 222...2
chöõsoá chöõsoá
chöõsoá chöõsoá

8 2 7 2 7 2
CLN 222...2,222...2 CLN 2,222...2 2
chöõsoá chöõ soá chöõsoá
UU
Vậy
ÖCLN , 2.AB
Bài 26. 
ÖCLN , 95ab

ÖCLN ,a b a b
.
Lời giải
Gọi
*
ÖCLN ,a b a b d d
2
2
a b d a d
a b d b d
2dU
d U a
d U b

Mà
ÖCLN , 95ab
95
2
d
d
Vậy
ÖCLN ,a b a b
bằng 95 hoặc 2.
| 1/117

Tài liệu khác của Toán 6

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các kiến thức cơ bản
1. Một tập hợp (gọi tắt là tập) bao gồm những đối tượng nhất định. Các đối tượng ấy được gọi là
những phần tử của tập hợp.
2. Các kí hiệu
Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho tập hợp ví dụ: A , , B C, ...
Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc   , cách nhau bởi dấu chấm phẩy “;”.
Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý
x là một phần tử của tập A , kí hiệu x A ( đọc là x thuộc A )
y không là phần tử của tập A , kí hiệu y A ( đọc là y không thuộc A )
3. Cách viết một tập hợp.
Người ta thường dùng hai cách mô tả một tập hợp.
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp, tức là viết các phần tử của tập hợp trong dấu   theo thứ tự
tùy ý nhưng mỗi phần tử chỉ được viết một lần.
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
4. Giao của hai tập hợp.
Cho hai tập hợp A và B . Tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi là giao của A và
B kí hiệu là: A B
A B  x | x  ; A x   B
5. Tập hợp số tự nhiên.
Các số 0;1;2;3;4;5;... là các số tự nhiên.
Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là , tức là  0;1;2;3;4;5;..  .
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là  , tức là   1;2;3;4;5;..  .
Trên tia số, điểm biểu diễn số tự nhiên a là điểm a . Với hai số tự nhiên khác nhau chắc chắn có một
số nhỏ hơn số kia. Điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn.
Kí hiệu a b là a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a .
Nếu a b và b c thì a c
Trong tập hợp số nhỏ nhất là 0, trong tập hợp số  số nhỏ nhất là số 1. Không có số tự nhiên lớn nhất.
Các số tự nhiên liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 đơn vị. 1
6. Ghi số tự nhiên
Trong hệ thập phân, mỗi cố tự nhiên được viết dưới dnagj một dãy những chữ số lấy trong 10 chữ số
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 vị trí của các chữ số trong dãy gọi là hàng.
Cứ 10 đơn vị ở một hàng thì bằng 1 đơn vị ở hàng liền trước nó. Chẳng hạn, 10 chục thì bằng 1 trăm;
10 trăm thi bằng 1 nghìn;....
Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân đều biểu diễn được thành tổng giá trị các chữ số của nó.
Ngoài cách ghi số trong hệ thập phân gồm các chữ số từ 0 đến 9 và các hàng (đơn vị, chục, trăm,
nghìn,...) như trên, còn có cách ghi số La mã như sau:
Chữ số I giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 1
Chữ số V giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 5
Chữ số X giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 10
Ghép các chữ số I, V, X với nhau ta có thể được số mới.
2. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1. Rèn kĩ năng viết tập hợp. Phương pháp:
Dùng một chữ cái in hoa và dấu ngoặc nhọn ta có thể viết một tập hợp theo hai cách:
Liệt kê các phần tử của tập hợp
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó
Dạng 2: Sử dụng các kí hiệu và Phương pháp:
Nắm vững ý nghĩa các kí hiệu  và  .
Kí hiệu  đọc “là phần tử của” hoặc “thuộc”
Kí hiệu  đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “không thuộc”
Dạng 3: Viết tất cả các số có n chữ số từ n chữ số cho trước. Phương pháp:
Giả sử từ ba chữ số a, ,
b c khác 0, ta viết các số có ba chữ số như sau:
Chọn a là chữ số hàng trăm ta có: ab , c ac ; b
Chọn b là chữ số hàng trăm ta có: ba , c bc ; a
Chọn c là chữ số hàng trăm ta có: ca , b cb . a
Vậy có tất cả 6 số có ba chữ số lập được từ ba chữ số khác 0: a, , b c
Dạng 4: Bài toán liên quan đến cấu tạo số Phương pháp:
Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên:
ab  10a b , với a 0 2
abc 100 a 10b  , c với a 0
Trong đó: ab là kí hiệu số tự nhiên có hai chữ số, hàng chục là a , hàng đơn vị là b .
abc là kí hiệu số tự nhiên có ba chữ số, hàng trăm là a , hàng chục là b , hàng đơn vị là c .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Người ta thường đặt tên tập hợp bằng
A. Chữ cái thường B. Chữ cái in hoa C. Chữ số D. Chữ số La Mã. Câu 2.
Cho tập hợp M  1;3;5;7;  9 ta có :
A. 3 M
B. 4  M
C. 3 M
D. 2  M Câu 3.
Lựa chọn cách đọc đúng cho kí hiệu a A là
A. a thuộc A
B. a không thuộc A . C. A thuộc a
D. A không thuộc a Câu 4.
Cách thường sử dụng để viết hoặc minh họa tập hợp là? Hãy Chọn đáp án đúng nhất.
A. Liệt kê các phần tử của tập hợp
B. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
C. Cả A , B đều đúng
D. Cả A , B đều sai Câu 5.
Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc A.   B.   C.   D.
III. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Cách viết đúng tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là
A. A  1; 2;3; 4;  5
B. A  0;1; 2;3; 4; 
5 C. A  1; 2;3;  4
D. A  0;1; 2;3;  4 Câu 7.
Cách viết đúng tập hợp M các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 6 và nhỏ hơn 10 được viết là
A. M  5;6;7;8;  9
B. M  5;6;7;8;9;1  0
C. M  6;7;8;  9
D. M  6;7;8;9;1  0  Câu 8.
Tập hợp A  x  | x  
4 viết dưới dạng liệt kê các phần
A. A  0;1; 2;3;  4
B. A  0;1;2;  3
C. A  1;2;3;  4
D. A  1; 2;  3 Câu 9.
Tập hợp các chữ số của số 5200 là. Chọn đáp án đúng nhất A. 5;2;0;  0 B. 2;  5 C. 2;5;  0 D. 2;0;5;  0
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 10. Cho tập hợp A  9;10;11;12;13;1 
4 . Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là
A. A  x  | 9  x  1  4
B. A  x  | 9  x   14
C. A  x  | 9  x  1  4
D. A  x  | 8  x  1  5
Câu 11. Tập hợp các chữ cái trong cụm từ “TOÁN HỌC” là A. T; ; O ; A N; H ; ; O CB. T; ; O ; A N;CC. T; ; O ;
A N; H ;CD. T; ; O N; H ; ; O C
Câu 12. Cho các tập hợp : A  2; 4;6;10;1 
2 , B  0; 2; 4;6;10;1 
2 . C là tập hợp các số tự nhiên
thuộc B mà không thuộc A . Hãy tìm phần tử thuộc tập hợp C . Chọn đáp án đúng trong các phương án sau. A. 12 B. 0 C. 6 D. 10
Câu 13. Tìm x , biết x
và x là số chẵn sao cho 12  x  20
A. x 12;14;16;1  8
B. x 14;16;18;1  9
C. x 14;16;18; 2  0 D. x 14;16  ;18
Câu 14. Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 6 là 3
A. 15; 24;33; 42;51;6  0
B. 15; 24;33; 42;51;60;6  5
C. 15;33; 42;51;6  0
D. 15; 24; 42;51;6  0
Câu 15. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 3. B là tập hợp các số tự
nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 9. Hãy xác định tập hợp A B
A. A B  3;9;1  8
B. A B  9;18;2  1
C. A B  3;9;18; 2  7
D. A B  9;18; 2  7
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Câu 16. Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100, khi hoán vị hai chữ số thì giá trị của nó tăng lên 9? A. 0 B. 1 C. 8 D. 9
Câu 17. Cho ba chữ số a, ,
b c khác nhau và khác 0. Gọi A là tập hợp số tự nhiên có ba chữ số lập
bởi cả ba chữ số trên. Tập hợp A có bao nhiêu phần tử A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 18. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3 A. 30 B. 31 C. 33 D. 34
Câu 19. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 5, có chứa chữ số 5 A. 106 B. 107 C. 108 D. 109
Câu 20. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 3, không chứa chữ số 3 A. 215 B. 216 C. 217 D. 218
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
I - MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Bài 1. Viết tập A các số tự nhiên không vượt quá 6 bằng hai cách.
Bài 2. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
a) A  x  |12  x  1  6 b) B   * x  | x   5
c) C  x  |13  x  1  6
Bài 3. Viết tập hợp M gồm các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 10 bằng 2 cách, sau đó điền ký hiệu ;
  thích hợp vào ô trống: 4 M 10 M
Bài 4. Gọi M là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 6 và nhỏ hơn 10.
a) Thay thế “?” bằng dấu và : 5 ? M; 9 ? M ;
b) Mô tả tập hợp M bằng hai cách.
Bài 5. Trong các số 3;5;8;9 , số nào thuộc tập hợp A  x  | x  
5 , số nào thuộc tập hợp B  x  | x   5 II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Cho A  x  | 2x  
4 . Viết A  2 có được không? Tại sao?
Bài 2. Viết tập hợp các chữ cái trong cụm từ: a) “KHOA HỌC” b) “HỌC SINH GIỎI”
Bài 3. Viết các tập hợp sau đây bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
a) A  1; 4;7;10;13;16;1  9
b) B  1;8; 27;64;12  5
Bài 4. Viết các số tự nhiên 4 chữ số được lập nên từ hai chữ số 0 và 1 mà trong đó mỗi chữ số xuất hiện 2 lần.
Bài 5. Dùng ba chữ số 0;1; 2 hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số khác nhau.
III - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Bài 1. Cho tập hợp A 3; 4;5;6;7;8;9;1 
0 . Bằng cách liệt kê các phần tử hãy viết: 4
a) Tập hợp B gồm các số là số liền trước mỗi số của tập hợp A .
b) Tập hợp C gồm các số là số liền sau mỗi số của tập hợp A .
Bài 2. Tìm các số tự nhiên a, ,
b c đồng thời thỏa mãn ba điều kiện a bc,11 a 15,12c 15.
Bài 3. Cho tập hợp A  ab  |a b  5; a, b   . Hãy viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các
phần tử của tập hợp A
Bài 4. Tìm số tự nhiên .
ab Biết a là một số lẻ không lớn hơn 3 và b là một số đứng liền sau số 6 và
đứng liền trước số 8.
Bài 5. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số, các chữ số khác nhau?
IV - MỨC VẬN DỤNG CAO.
Bài 1. Cho tập hợp A gồm các số có hai chữ số mà tổng bằng 8, B là tập hợp các số có hai chữ số
được tạo thành từ hai trong bốn số: 0;3;5;8.Viết tập hợp A và B dưới dạng liệt kê các phần tử theo thứ tự tăng dần.
Bài 2. Viết 1000 số tự nhiên đầu tiên. Hỏi chữ số 3 có mặt bao nhiêu lần?
Bài 3. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó
thì được thương là 18 và dư 4. Tìm số đã cho.
Bài 4. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 4?
Bài 5. Có bao nhiêu số abcd mà ab cd . 5
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C A D C C C A
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B C A D C B D C B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Người ta thường đặt tên tập hợp bằng
A. Chữ cái thường B. Chữ cái in hoa C. Chữ số D. Chữ số La Mã. Lời giải Chọn B Câu 2.
Cho tập hợp M  1;3;5;7;  9 ta có :
A. 3 M
B. 4  M
C. 3 M
D. 2  M Lời giải Chọn C Câu 3.
Lựa chọn cách đọc đúng cho kí hiệu a A là
A. a thuộc A
B. a không thuộc A . C. A thuộc a
D. A không thuộc a Lời giải Chọn B Câu 4.
Cách thường sử dụng để viết hoặc minh họa tập hợp là? Hãy Chọn đáp án đúng nhất.
A. Liệt kê các phần tử của tập hợp
B. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
C. Cả A , B đều đúng
D. Cả A , B đều sai Lời giải Chọn C Câu 5.
Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc A.   B.   C.   D. Lời giải Chọn A
III. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Cách viết đúng tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là
A. A  1; 2;3; 4;  5
B. A  0;1; 2;3; 4; 
5 C. A  1; 2;3;  4
D. A  0;1; 2;3;  4 Lời giải Chọn D 6 Câu 7.
Cách viết đúng tập hợp M các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 6 và nhỏ hơn 10 được viết là
A. M  5;6;7;8;  9
B. M  5;6;7;8;9;1  0
C. M  6;7;8;  9
D. M  6;7;8;9;1  0 Lời giải Chọn C Câu 8.
Tập hợp A  x  | x  
4 viết dưới dạng liệt kê các phần
A. A  0;1; 2;3;  4
B. A  0;1;2;  3
C. A  1;2;3;  4
D. A  1; 2;  3 Lời giải Chọn C Câu 9.
Tập hợp các chữ số của số 5200 là. Chọn đáp án đúng nhất A. 5;2;0;  0 B. 2;  5 C. 2;5;  0 D. 2;0;5;  0 Lời giải Chọn C
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 10. Cho tập hợp A  9;10;11;12;13;1 
4 . Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là
A. A  x  | 9  x  1  4
B. A  x  | 9  x   14
C. A  x  | 9  x  1  4
D. A  x  | 8  x  1  5 Lời giải Chọn A
Câu 11. Tập hợp các chữ cái trong cụm từ “TOÁN HỌC” là A. T; ; O ; A N; H ; ; O CB. T; ; O ; A N;CC. T; ; O ;
A N; H ;CD. T; ; O N; H ; ; O C Lời giải Chọn C
Trong một tập hợp mỗi phần tử được liệt kê một lần, do đó tập hợp các chữ cái trong cụm từ “TOÁN HỌC ” là T; ; O ;
A N; H ;C
Câu 12. Cho các tập hợp: A  2; 4;6;10;1 
2 , B  0; 2; 4;6;10;1 
2 . C là tập hợp các số tự nhiên
thuộc B mà không thuộc A . Hãy tìm phần tử thuộc tập hợp C . Chọn đáp án đúng trong các phương án sau? A. 12 B. 0 C. 6 D. 10 Lời giải Chọn B
Câu 13. Tìm x , biết x
và x là số chẵn sao cho 12  x  20
A. x 12;14;16;1  8
B. x 14;16;18;1  9
C. x 14;16;18; 2  0 D. x 14;16  ;18 Lời giải Chọn C 7
Câu 14. Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 6 là
A. 15; 24;33; 42;51;6  0
B. 15; 24;33; 42;51;60;6  5
C. 15;33; 42;51;6  0
D. 15; 24; 42;51;6  0 Lời giải Chọn A
Goị số có hai chữ số là ab . Ta phải có a 1; a b  6 . Do đó: a 1 2 3 4 5 6 b 5 3 3 2 1 0
Vậy tập hợp phải tìm là: 15; 24;33; 42;51;6  0
Câu 15. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 3. B là tập hợp các số tự
nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 9. Hãy xác định tập hợp A B
A. A B  3;9;1  8
B. A B  9;18; 2  1
C. A B  3;9;18; 2  7
D. A B  9;18; 2  7 Lời giải Chọn D
Ta có: A  3;6;9;12;15;18; 21; 24; 2 
7 ; B  9;18; 2  7
AB  9;18;2  7
IV - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Câu 16. Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100, khi hoán vị hai chữ số thì giá trị của nó tăng lên 9? A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 Lời giải Chọn C
Số tự nhiên cần tìm có dạng ab
Ta có: 10a b 10b a  9
Hay 9a b  9  a b  1
Vậy có tất cả 8 số cần tìm là: 12; 23;34; 45;56;67;78;89
Câu 17. Cho ba chữ số a, ,
b c khác nhau và khác 0. Gọi A là tập hợp số tự nhiên có ba chữ số lập
bởi cả ba chữ số trên. Tập hợp A có bao nhiêu phần tử A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Lời giải Chọn B
Khi đó ta lập được 6 số là: ab ; c ac ; b ba ; c bc ; a ca ; b cb . a
Câu 18. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3 A. 30 B. 31 C. 33 D. 34 Lời giải 8 Chọn D
Các số chia hết cho 2: 2; 4;6;8;....;100 100 2
Số các số chia hết cho 2 là 1  50 số 2
Các số chia hết cho 2 và 3: 6;12;18; 24;...96 96 6
Số các số chia hết cho cả 2 và 3 là: 1  16 số 6
Vậy từ 1 đến 100 có 50 – 16 = 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3.
Câu 19. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 5, có chứa chữ số 5 A. 106 B. 107 C. 108 D. 109 Lời giải Chọn C
Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng abc , a có 8
cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 1 cách chọn (là 0) gồm 8.9  72 số.
Vậy có 180  72 108 số chia hết cho 5 và có chứa chữ số 5.
Câu 20. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 3, không chứa chữ số 3 A. 215 B. 216 C. 217 D. 218 Lời giải Chọn B Số phải tìm có dạng . abc Ta có: a có 8 cách chọn. b có 9 cách chọn.
c có 3 cách chọn (nếu a b 3k thì c  0;3;6;9, nếu a b 3k 1 thì c  2;5;8 nếu a b 3k  2 thì
c 1; 4;7 )  Có 8.9.3 216 số chia hết cho 3 và không chứa chữ số 3.
E. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN
I - MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT.
Bài 1. Viết tập A các số tự nhiên không vượt quá 6 bằng hai cách. Lời giải
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp. A  0;1; 2;3; 4;5;  6
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp. A  x  | x   6
Bài 2. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
a) A  x  |12  x  1  6 b) B   * x  | x   5
c) C  x  |13  x  1  6 Lời giải 9 a) A  13;14;1 
5 b) B  1;2;3; 
4 c) C  13;14;15;1  6
Bài 3. Viết tập hợp M gồm các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 10 bằng 2 cách, sau đó điền ký hiệu ;
  thích hợp vào ô trống: 4 M 10 M Lời giải
Cách 1: M  4;5;6;7;8;  9
Cách 2: Cách 2: M  x  3  x  1  0
4 M ; 10  M
Bài 4. Gọi M là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 6 và nhỏ hơn 10.
a) Thay thế “?” bằng dấu và : 5 ? M; 9 ? M ;
b) Mô tả tập hợp M bằng hai cách. Lời giải a)
5  M ;9  M b)
Cách 1: M  7;8;  9 .
Cách 2: M  x  | 6  x  1  0
Bài 5. Trong các số 3;5;8;9 , số nào thuộc tập hợp A  x  | x  
5 , số nào thuộc tập hợp
B  x  | x   5 Lời giải 3 ; B 5 ; B 8 ; A 9  A
II - MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Cho A  x  | 2x  
4 . Viết A  2 có được không? Tại sao? Lời giải
A là tập hợp, 2 là phần tử nên không thể viết A  2 . Ta phải viết A    2
Bài 2. Viết tập hợp các chữ cái trong cụm từ: a) “KHOA HỌC” b) “HỌC SINH GIỎI” Lời giải a) K; H; ; O ;
A C b) H; ;
O C; S; I; N;  G
Bài 3. Viết các tập hợp sau đây bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
a) A  1; 4;7;10;13;16;1  9
b) B  1;8; 27;64;12  5 Lời giải
a) A  x | x  3n 1, n  ;0  n   6 b) B   3
x | x n , n  ;1  n   5
Bài 4. Viết các số tự nhiên 4 chữ số được lập nên từ hai chữ số 0 và 1 mà trong đó mỗi chữ số xuất hiện 2 lần. Lời giải 10
Giả sử số cần tìm là abcd
Ta thực hiện các bước sau:
Số cần tìm là số tự nhiên nên a  0 a 1. Như vậy, ta còn một chữ số 1 và hai chữ số 0 để xếp vào ba vị trí còn lại.
Nếu xếp chữ số 0 vào vị trí b thì ta được hai số cần tìm là 1001 hoặc 1010.
Nếu xếp chữ số 1 vào vị trí b thì ta được số cần tìm là 1100.
Vậy, ta có ba số cần tìm 1001;1010;1100
Bài 5. Dùng ba chữ số 0;1; 2 hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số khác nhau Lời giải
Chữ số hàng trăm phải khác 0 để số phải viết là số có ba chữ số.
Do đó chữ số hàng trăm có thể là 1 hoặc 2.
Nếu chữ số hàng trăm là 1 ta có: 102;120.
Nếu chữ số hàng trăm là 2 ta có: 201;210
Vậy với ba chữ số 0;1;2 ta có thể viết được tất cả bốn tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau: 102;120; 201; 210.
III - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Bài 1. Cho tập hợp A 3; 4;5;6;7;8;9;1 
0 . Bằng cách liệt kê các phần tử hãy viết:
a) Tập hợp B gồm các số là số liền trước mỗi số của tập hợp A .
b) Tập hợp C gồm các số là số liền sau mỗi số của tập hợp A . Lời giải
a) B 2;3; 4;5;6;7;8; 
9 b) C 4;5;6;7;8;9;10;1  1
Bài 2. Tìm các số tự nhiên a, ,
b c đồng thời thỏa mãn ba điều kiện a b c ,11 a 15,12  c 15. Lời giải Ta có:
11 a 15 và a  a   12;13;1  4   1
12  c 15 và c  c   13;1  4 2
Vì a b c nên từ  
1 , 2 suy ra a 12;b 13;c 14.
Bài 3. Cho tập hợp A  ab  |a b  5; a, b   . Hãy viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các
phần tử của tập hợp A . Lời giải
Vì số cần tìm là số có hai chữ số nên chữ số hàng chục là a ( a  0. )
Vì a b  5 nên a chỉ có thể lấy các giá trị: 1; 2;3; 4;5.
Từ đó ta có bảng giá trị tương ứng của b như sau: a 1 2 3 4 5 11 b 4 3 2 1 0 Số cần tìm 14 23 32 41 50
Vậy tập hợp A  14;23;32;41;5  0 .
Bài 4. Tìm số tự nhiên .
ab Biết a là một số lẻ không lớn hơn 3 và b là một số đứng liền sau số 6 và
đứng liền trước số 8. Lời giải
Số tự nhiên ab có a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị, do đó a  0 .
a là một số lẻ không lớn hơn 3 nên a có thể là 1 hoặc số 3.
b là một số đứng liền sau số 6 và đứng liền trước số 8 nên b là số 7.
Vậy, số cần tìm là 17 hoặc 37.
Bài 5. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số, các chữ số khác nhau? Lời giải
Từ 100 đến 999 có 999 100 :11  900 số có 3 chữ số
Từ 100 đến 999 có 999 10 
1 : 2 1  405 số lẻ có 3 chữ số
- Xét dãy các số chẵn các dạng aaa : 222, 444,...,888 có 888  222 : 222 1  4 (số)
- Xét dãy các số chẵn các dạng aax với x là chữ số chẵn  x a
x  0 , ta có dãy 110, 220,330,...,990 có 990 110 :110 1  9 (số)
x  2 , ta có dãy 112,332, 442,...,992 có 8 (số). Vậy với x 2; 4;6; 
8 có tất cả 8 4  32 (số)
Vậy có tất cả 9  32  41số có dạng aax với x là chữ số chẵn  x a
- Xét dãy số dạng xax với x là chữ số chẵn  x a
x  2, ta có dãy 202, 212, 232,..., 292 có 10 1  9 (số). Vậy với x 2; 4;6; 
8 có tất cả 9 4  36 (số)
- Xét dãy số dạng axx với x là chữ số chẵn  x a
x  0 , ta có dãy 100, 200,300,...,900 có tất cả 9 (số)
x  2 , ta có dãy 122,322, 422,...,922 có tất cả 9 1  8 9 1  8 (số). Vậy với x 2; 4;6;  8 có tất cả 8 4  32 (số)
Vậy có tất cả 9  32  41số có dạng axx với x là chữ số chẵn  x a
Từ đó suy ra có tất cả 900  450  4  41 36  41  328 số chẵn có ba chữ số khá nhau. IV - MỨC VẬN DỤNG CAO. 12
Bài 1. Cho tập hợp A gồm các số có hai chữ số mà tổng bằng 8, B là tập hợp các số có hai chữ số
được tạo thành từ hai trong bốn số: 0;3;5;8.Viết tập hợp A và B dưới dạng liệt kê các phần tử theo thứ tự tăng dần. Lời giải
Giả sử a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị của số cần tìm ta có: Tập hợp A :
Số cần tìm là số có hai chữ số nên chữ số hàng chục a  0.
Vì a b 8 nên ta có thể lấy các giá trị 1; 2;3; 4;5;6;7;8.
Vậy, tập hợp A  17;26;35;44;53;62;71;8  0 . Tập hợp B :
Số cần tìm là số có hai chữ số nên chữ số hàng chục a  0.
Số cần tìm được tạo thành từ hai trong bốn số 0;3;5;8.
Vậy tập hợp B  30;35;38;50;53;58;80;83;8  5 .
Bài 2. Viết 1000 số tự nhiên đầu tiên. Hỏi chữ số 3 có mặt bao nhiêu lần? Lời giải
Bổ sung thêm các chữ số 0 vào để được dãy số 000;001;002;...;999 như vậy số các chữu số 3 không thay đổi.
Từ 000 đến 999 ta có 1000 số có ba chữ số, gồm tất cả 3.10003000 (chữ số). Số các chữ số từ 0
đến 9 đều như nhau. Do đó, mỗi chữ số có mặt: 300:10300 (lần)
Bài 3. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của
nó thì được thương là 18 và dư 4. Tìm số đã cho? Lời giải
Gọi số phải tìm là ab a  0;a,b ;a,b10
Theo đề bài ta có: ab a b.184
10a b 18a 18b  4 1
 9b 8a  4
Vì 8a  4 là số chẵn nên b chẵn b   0;2;4;6;  8
b  08a  4  0 (vô lý)
b  2 a 38: 4 (vô lý vì a )
b  4 a  9
b  6 a 114: 8 (vô lý vì a )
b 8 a 148: 8 (vô lý vì a )
Vậy số phải tìm là 94.
Bài 4. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 4? Lời giải 13
Xét các trường hợp sau đây:
Số có 3 chữ số có dạng: 4 .
ab Chữ số a nhận 9 giá trị, chữ số b nhận 9 giá trị (Chỉ yêu cầu , a b  4 ). Vậy có: 9.9  81 số.
Số có 3 chữ số có dạng a4 .
b Chữ số a nhận 8 giá trị a  0, a  4 , chữ số b nhận 9 giá trị b  4 . Vậy có: 8.9  72 số
Số có 3 chữ số có dạng ab4. Chữ số a nhận 8 giá trị a  0,a  4 , chữ số b nhận 9 giá trị b  4 . Vậy có: 8.9  72 số.
 Vậy có: 81 72  72  225 số có chứa đúng một chữ số 4.
Bài 5. Có bao nhiêu số abcd mà ab cd . Lời giải
Ta thấy ab và cd là số có hai chữ số, nên ta có các trường hợp xảy ra như sau:
Nếu ab  10 thì cd có thể bằng: 11;12;13;...;99  có 89 số.
Nếu ab  11 thì cd có thể bằng: 12;13;14;...;99  có 88 số. .........................
Nếu ab  98 thì cd  99  có 1 số.
Vậy sẽ có tất cả: 1 2  3 4 ...88 89  90.89: 2  4005 số. 14 CHUYÊN ĐỀ 2:
CÁC PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các kiến thức cơ bản
1. Tổng và tích hai số tự nhiên a) Phép cộng
Phép cộng hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tổng của chúng. abc
(Số hạng) + (Số hạng) = (Tổng) b) Phép nhân
Phép nhân hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là tích của chúng. a . bd
(Thừa số) . (Thừa số) = (Tích)
2. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên
Bảng tính chất của phép cộng và phép nhân Phép tính Cộng Nhân Tính chất Giao hoán
a b b a . a b  . b a Kết hợp
a bc a b c
 .ab.c  .a .bc Cộng với số 0
a  0  0  a a Nhân với số 1 .
a 1  1.a a
Phân phối của phép nhân đối ab c  ab ac với phép cộng
a) Tính chất giao hoán:
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi.
Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.
b) Tính chất kết hợp:
Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. 15
c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
Muốn nhân một số với tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại.
3. Phép trừ hai số tự nhiên
Người ta dùng dấu “ ” để chỉ phép trừ
Phép trừ hai số tự nhiên bất kì cho ta một số tự nhiên duy nhất gọi là hiệu của chúng. abc
(Số bị trừ)  (Số trừ) = (Hiệu)
Cho hai số tự nhiên a và b , nếu có số tự nhiên x sao cho b x a thì ta có phép trừ a b  . x
4. Phép chia hết và phép chia có dư
Cho hai số tự nhiên a và b , trong đó b  0 , nếu có số tự nhiên x sao cho .
b x a thì ta nói
a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b x
Người ta dùng dấu “:” để chỉ phép chia. a : bc
(Số bị chia) : (Số chia) = (Thương)
Tổng quát: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b  0 , ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r
duy nhất sao cho: a  .
b q r trong đó 0  r b .
Nếu r  0 thì ta có phép chia hết.
Nếu r  0 thì ta có phép chia có dư.
1. Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
2. Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên q sao cho a  . b q 3. Trong phép chia có dư:
Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư a  .
b q r 0  r b
Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia.
4. Số chia bao giờ cũng khác 0 .
II. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Thực hiện phép tính Phương pháp:
* Đối với biểu thức không có dấu ngoặc
 Nếu chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện phép tính từ trái sang phải.
 Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa
trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng là cộng và trừ : 16 Lũy thừa nhân và chia cộng và trừ.
* Đối với biểu thức có dấu ngoặc
Nếu biểu thức có các dấu ngoặc thì ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước.
Dạng 2: Tính nhanh, tính hợp lí. Phương pháp:
Để việc tính nhanh được thuận lời, chúng ta thường cộng trừ sao được các con số tròn trục khi đó việc tính toán sẽ nhanh
Đôi khi chúng ta phải công thêm đơn vị vào số đã cho để được số tròn trục rồi mới thực hiện phép trừ.
Áp dụng tính chất của phép cộng và phép nhân một cách linh hoạt.
Nếu trong dãy có cả cộng, trừ, nhân, chia cần chú ý đến thứ tự phép tính
Dạng 3: Tìm x . Phương pháp:
*) Để tìm số chưa biết trong một phép tính, ta cần nắm vững quan hệ giữa các số trong phép tính.
Chẳng hạn: Muốn tìm một số hạng trong phép cộng hai số, ta lấy tổng trừ số hạng kia;
Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ;
Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu;
Muốn tìm số bị chia ta, ta lấy thương nhân với số chia;
Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương.
*) Đặc biệt cần chú ý: với mọi a N ta đều có . a 0  0; . a 1  a
Dạng 4: Tính tổng, hiệu, tích có quy luật. Phương pháp:
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) . (số số hạng : 2)
Số số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Số đầu của dãy = tổng . 2 : số số hạng – số hạng cuối.
Số cuối của dãy = tổng . 2 : số số hạng – số đầu.
Dạng 5: Toán về phép chia có dư Phương pháp:
Số bị chia = số chia . Thương + Số dư (0  Số dư < Số chia)
Số chia = (Số bị chia – số dư) : Thương
Thương số = (Số bị chia – Số dư) : Số chia
Số dư = Số bị chia – Số chia . Thương số
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Kết quả của phép tính 11.9 1 là A. 110. B. 100. C. 108. D. 101.
Câu 2. Trong các phép tính sau, phép tính nào có kết quả là 120 ? 17 A. 3.4.6. B. 4.5.6. C. 5.6.7. D. 3.5.6.
Câu 3. Cho a  567 và b  321, kết quả của phép tính a b là A. 888. B. 235. C. 245. D.246.
Câu 4. Trong các tính chất sau, tính chất nào không phải là tính chất của phép cộng?
A. a b b a .
B. a  0  0  a .
C. a  b c  a b  c . D. . a b  . b a . Câu 5.
Trong phép chia có số bị chia là 30 và số chia là 5 cho kết quả thương và số dư là A. 0 (dư 6 ) B. 6 (dư 6 ) C. 0 (dư 0 ) D. 6 (dư 0 )
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Nếu tích của hai thừa số bằng 0 thì có ít nhất một thừa số bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 7.
Tìm số tự nhiên x biết 2.x  4.x  48 . A. x  8 . B. x 1 . C. x  6 . D. x 10 . Câu 8.
Lan mua 15 quyển vở và 12 cái bút bi. Biết giá mỗi quyển vở là 3500 đồng, và giá một cái
bút bi là 3200 đồng. Tính tổng số tiền Lan cần thanh toán để mua số vở và số bút bi trên. A. 52500 đồng.
B. 94500 đồng. C. 90900 đồng. D. 86400 đồng. Câu 9.
Dạng tổng quát của số tự nhiên chia hết cho 3 là
A. 3k, k   .
B. 5k  3, k   .
C. 3k 1, k   .
D. 3k  2, k   .
Câu 10. Tìm x biết 8x  4x  1208 . A. 203. B. 320 . C. 302 . D. 230 .
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 11. Tích của hai số là 6210. Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265. Tổng của hai số ban đầu là A. 180 B. 181 C. 255 D. 256 1  3 3 3 3 3 
Câu 12. Kết quả của phép tính A    ...    là 3  2.5 5.8 8.11 92.95 95.98  48 16 1 1 A. . B. . C. . D. . 98 98 9 3
Câu 13. Cho 322 : (x  32)  5  18. Chọn giá trị đúng của x trong các đáp án sau? A. x  45. B. x  18. C. x  46. D. x  34.
Câu 14. Kết quả của phép tính 547.63  547.37 là 18 A. 45700. B. 54700. C. 5470. D. 54733.
Câu 15. Hiệu của hai số là 6 . Nếu tăng số bị trừ lên 4 lần, giữ nguyên số trừ thì hiệu của chúng là
54 . Tìm hai số đó. A. 16 và 10 . B. 16 và 12 . C. 6 và 10 . D. 6 và 16 .
IV- MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 16. Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh a và b biết a  2020.2020 ; b  2018.2022 ?
A. a b .
B. a b .
C. a b .
D. a b .
Câu 17. Ngày 10 10  2010 rơi vào Chủ nhật. Vậy ngày 10 10  2020 rơi vào ngày nào trong các ngày sau đây? A. thứ Năm
B. thứ Sáu C. thứ Bảy D. Chủ nhật
Câu 18. Một phép chia có thương là 10 , số chia là 43 và số dư là 26 . Số bị chia nào đúng trong các số sau? A. 303. B. 456. C. 690. D. 404.
Câu 19. Tìm số tự nhiên k thỏa mãn x : k  4 dư 1, biết x : 7  12 dư 5? A. k  134 . B. k  183. C. k  89 . D. k  22 .
Câu 20. Một ông chủ cửa hàng kinh doanh quần áo có một số tiền để mua quần áo. Nếu mua 132
quần với giá mỗi quần là 95000 đồng thì còn thừa 80000 đồng. Nhưng ông chỉ mua 100
quần, số tiền còn lại mua áo với giá mỗi áo là 65000 đồng. Hỏi ông có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu áo? A. 44 áo. B. 48 áo. C. 46 áo. D. 50 áo. 19
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) 503 120 b) 1000 120 c) 2 18 : 2 d) 21: 7  3
Bài 2: Tìm x biết: a) x  3  21 b) 15  . x 3  6 c) x  21: 7  6 d) 44  x : 3  50
Bài 3: Một doanh nghiệp năm ngoái thu nhập 138 tỉ đồng, năm nay thu nhập 150 tỉ đồng. Hỏi năm
nay doanh nghiệp thu nhập nhiều hơn năm ngoái bao nhiêu tiền?
Bài 4: Thực hiện phép tính a) 15.(21 3.7) b) (4 : 2  2).105 c) 376  285 124  715 d) 97  998  9999 16 e) 252 139  52  39
Bài 5: Cho a  3;b  5 . Tính a) b a b) a b c) 2a b d) . a (b 1)
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1: Tính nhanh các phép tính: a) 37581 – 9999 b) 7345 – 1998 c) 485321 – 99999 d) 7593 – 1997
Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết:
a) (x  42) 110  0 20
b) 2436 : x  12
c) 74(x  3)  0
d) x  36 :18  2
Bài 3: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất. a) 67  135  33 b) 997  86 c) 37. 38  62. 37 d) 43. 11 e) 67. 99
Bài 4: Bạn Hà mua 5 quyển vở và 4 chiếc bút, biết mỗi quyển vở có giá 8 000 đồng và mỗi chiếc bút
có giá 5 000 đồng. Hỏi bạn Hà phải trả tổng bao nhiêu tiền?
Bài 5: Khối 6 trường THCS Giảng Võ tổ chức đi du lịch SaPa bằng xe 16 chỗ. Biết số học sinh khối 6
của trường là 300 học sinh. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu xe để trở hết số học sinh khối 6 ?
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm x biết:
a) 71 (33  x)  26
b) 97  (64  x)  44 c) x  36 :18 12
d) 3636 : (12x  91)  36
e) (x : 23  45).67  8911 Bài 2:
a) Tính 1 2  3 +  1998 1999 .
b) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số.
c) Tính tổng của tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
Bài 3: Tính nhanh
a) 53.39  47.39  53.21 47.21
b) 2.53.12  4.6.87  3.8.40 c) 47.29 13.29  24.29
d) 1754 :17  74 :17  20 :17
e) 26.7 17.9  13.26 17.11
Bài 4: Khối 6 trường THCS Giảng Võ tổ chức đi du lịch SaPa bằng xe 16 chỗ. Biết số học sinh khối 6
của trường là 300 học sinh. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu xe để trở hết số học sinh khối 6. 21
Bài 5: Một xí nghiệp gia công có chế độ thưởng phạt như sau: Một sản phẩm tốt được thưởng 50
ngàn, một sản phẩm lỗi bị phạt 40 ngàn. Chị Mai làm được 20 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm lỗi. Hỏi
chị Mai được thưởng hay phạt và số tiền là bao nhiêu?
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1: Quán mì của cha mẹ Tép bán cả 7 ngày trong tuần. Thứ 7 hay chủ nhật thì quán đông gấp đôi
ngày thường. Mỗi ngày thường bán được 300 tô. Hỏi tháng 2 năm 2019 quán mì của nhà bạn Tép bán
được bao nhiêu tô? Biết tháng 2 năm 2019 có 28 ngày trong đó có 4 ngày thứ 7 và 4 ngày chủ nhật.
Bài 2: Một con ếch ở dưới một cái giếng sâu 10 m. Ban ngày ếch nhảy lên được 3 m, ban đêm tụt
xuống 2 m. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì ếch lên khỏi giếng?
Bài 3: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán.
Nếu xếp 25 học sinh vào một ph ng thì c n thừa 5 học sinh chưa có chỗ.
Nếu xếp 28 học sinh vào một ph ng thì thừa 1 ph ng.
Tìm số học sinh dự thi?
Bài 4: (Toán cổ) Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150dm. Một bước nhảy của chó dài 9dm, một
bước của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ cũng nhảy một bước. Để đuổi kịp thỏ, chó
phải nhảy bao nhiêu bước?
Bài 5: Một ông chủ cửa hàng kinh doanh quần áo có một số tiền để mua quần áo. Nếu mua 132 quần
với giá mỗi quần là 95000 đồng thì còn thừa 80000 đồng. Nhưng ông chỉ mua 100 quần, số tiền còn
lại mua áo với giá mỗi áo là 65000 đồng. Hỏi ông có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu áo? 22
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D D D D C C A C
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 B B C B A A C B D B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Kết quả của phép tính 11.9 1 là A. 110. B. 100. C. 108. D. 101. Lời giải Chọn B Tính 11.9 1 99 1 100.
Câu 2. Trong các phép tính sau, phép tính nào có kết quả là 120 ? A. 3.4.6. B. 4.5.6. C. 5.6.7. D. 3.5.6. Lời giải Chọn B
Tính được 4.5.6  20.6 120. Câu 3.
Cho a  567 và b  321, kết quả của phép tính a b là A. 888. B. 235. C. 245. D.246. Lời giải Chọn D
a b  567  321  246 Câu 4.
Trong các tính chất sau, tính chất nào không phải là tính chất của phép cộng?
A. a b b a .
B. a  0  0  a .
C. a  b c  a b  c . D. . a b  . b a . Lời giải Chọn D Ta có . a b  .
b a là tính chất giao hoán của phép nhân. Câu 5.
Trong phép chia có số bị chia là 30 và số chia là 5 cho kết quả thương và số dư là? A. 0 (dư 6 ) B. 6 (dư 6 ) C. 0 (dư 0 ) D. 6 (dư 0 ) 23
Lời giải Chọn D Câu 6.
Nếu tích của hai thừa số bằng 0 thì có ít nhất một thừa số bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn D Câu 7.
Kết quả của phép tính 120.13 2019.11 2020.12.120.11100.11 220 là A. 2020 . B. 2021. C. 0 . D. 2019 . Lời giải Chọn C Ta có:
120.11100.11 220  120.11100.1111.20 11.120100 20  0
Do đó 120.13 2019.11 2020.12.120.11100.11 220  0 Câu 8.
Lan mua 15 quyển vở và 12 cái bút bi. Biết giá mỗi quyển vở là 3500 đồng, và giá một cái
bút bi là 3200 đồng. Tính tổng số tiền Lan cần thanh toán để mua số vở và số bút bi trên. A. 52500 đồng.
B. 94500 đồng. C. 90900 đồng. D. 86400 đồng. Lời giải Chọn C
Số tiền Lan cần thanh toán để mua số vở và số bút bi trên là:
15.3500 12.3200  90900 (đồng) Câu 9.
Dạng tổng quát của số tự nhiên chia hết cho 3 là ?
A. 3k,k   .
B. 5k  3, k   .
C. 3k 1, k   .
D. 3k  2, k   . Lời giải Chọn A
Số tự nhiên a chia hết cho 3 có dạng: a  3k, k  .
Số tự nhiên a chia cho 3 dư 1 có dạng: a  3k 1, k   .
Số tự nhiên a chia cho 3 dư 2 có dạng: a  3k  2, k   .
Câu 10. Biết 8x  4x  1208 . Vậy x bằng A. 203. B. 320 . C. 302 . D. 230 . 24 Lời giải Chọn C
Ta có 8x  4x  8  4 x  4x .
Do đó, 4x 1208 nên x  302 .
Câu 11. Tích của hai số là 6210. Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265. Tổng của hai số ban đầu là A. 180 B. 181 C. 255 D. 256 Lời giải Chọn B
Gọi thừa số bị giảm là a , thừa số còn lại là b . Theo đề ra ta có
a7b  5265  ab7b  5265  62107b  5265 7b  945  b 135 6210  a   46 135
a b 135 46 181. 1  3 3 3 3 3 
Câu 12. Kết quả của phép tính A    ...    là 3  2.5 5.8 8.11 92.95 95.98  48 16 1 1 A. . B. . C. . D. . 98 98 9 3 Lời giải Chọn B 1  3 3 3 3 3  Vì A    ...    3  2.5 5.8 8.11 92.95 95.98  1  1 1 1 1 1 1  A     ...    3  2 5 5 8 95 98  1  1 1  1 48 16 A      .  . 3  2 98  3 98 98
Câu 13. Cho 322 : (x  32)  5  18. Chọn giá trị đúng của x trong các đáp án sau? A. x  45 . B. x  18. C. x  46 . D. x  34 . Lời giải Chọn C
322 : (x  32)  5  18
322 : (x  32)  18  5 25
322 : (x  32)  23 x  32  322 : 23 x  32  14 x  14  32 Vậy x  46.
Câu 14. Kết quả của phép tính 547.63  547.37 là A. 45700. B. 54700. C. 5470. D. 54733. Lời giải Chọn B
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ab ac a(b c) .
Ta có 547.63  547.37  547.63  37  547.100  54700 .
Câu 15. Hiệu của hai số là 6 . Nếu tăng số bị trừ lên 4 lần, giữ nguyên số trừ thì hiệu của chúng là
54 . Vậy hai số đó là A. 16 và 10 . B. 16 và 12 . C. 6 và 10 . D. 6 và 16 . Lời giải Chọn A
Gọi hai số đó là a và b , a,b   .
Ta có: a b  6 . Theo đề bài ta có: 4a b  54
3a a b  54 3a  6  54 3a  48
a  16, b  10 .
Câu 16. Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh a và b biết a  2020.2020 ; b  2018.2022 ?
A. a b .
B. a b .
C. a b .
D. a b . Lời giải Chọn A
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a b c  ab ac .
Ta có: a  2020.2020  2020.2018  2  2020.2018  2020.2
b  2018.2022  2018.2020  2  2018.2020  2018.2 26 Vì 2020.2  2018.2 .
Do đó: a b .
Câu 17. Ngày 10 10  2010 rơi vào Chủ nhật. Vậy ngày 10 10  2020 rơi vào ngày nào trong các ngày sau đây? A. thứ Năm
B. thứ Sáu C. thứ Bảy D. Chủ nhật Lời giải Chọn C
Từ 10 10  2010 đến 10 10  2020 có 10 năm. T
rong đó có 3 năm nhuận: 2012, 2016, 2020. Ta thấy: 365.10  3  3653; 3653: 7  521 (dư 6)
Từ 10 10  2010 đến 10 10  2020 gồm 521 tuần và còn dư 6 ngày.
Vậy ngày 10 10  2010 rơi vào thứ Bảy.
Câu 18. Một phép chia có thương là 10 , số chia là 43 và số dư là 26 . Số bị chia nào đúng trong các số sau? A. 303 . B. 456 . C. 690 . D. 404 . Lời giải Chọn B
Sử dụng định nghĩa của phép chia có dư và công thức: a  .
b q r (0  r  ) b
Với a là số bị chia, b là số chia, q là thương và r là số dư.
Ta có: a 10.43  26  456
Vậy số bị chia cần tìm là 456.
Câu 19. Biết x : 7  12 dư 5. Số tự nhiên k thỏa mãn x : k  4 dư 1 là số nào sau đây ? A. k  134 . B. k  183. C. k  89 . D. k  22 . Lời giải Chọn D
Vì x : 7 12 dư 5 nên x 12.7  5  89
Vậy ta có 89 : k  4 dư 1 nên k  (89 1) : 4  22
Câu 20. Một ông chủ cửa hàng kinh doanh quần áo có một số tiền để mua quần áo. Nếu mua 132
quần với giá mỗi quần là 95000 đồng thì còn thừa 80000 đồng. Nhưng ông chỉ mua 100
quần, số tiền còn lại mua áo với giá mỗi áo là 65000 đồng. Số áo ông có thể mua được
nhiều nhất là bao nhiêu? A. 44 áo. B. 48 áo. C. 46 áo. D. 50 áo. 27 Lời giải Chọn B
Số tiền để mua quần áo là 132.95000  80000  12620000 (đồng).
Số tiền mua quần là 100.95000  9500000 (đồng).
Số tiền còn để mua áo là 12620000  9500000  3120000 (đồng).
Số áo ông có thể mua là 3120000 : 65000  48.
Vậy ông có thể mua được nhiều nhất 48 áo.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau: a) 503 120 b) 1000 120 c) 2 18 : 2 d) 21: 7  3 Lời giải a) 503 120  623
b) 1000 120  880
c) 2 18 : 2  2  9 11
d) 21: 7  3  3  3  0
Bài 2: Tìm x biết: a) x  3  21 b) 15  . x 3  6 c) x  21: 7  6 d) 44  x : 3  50 Lời giải a) x  3  21 x  21 3 x  24 Vậy x  24 . b) 15  . x 3  6 . x 3 15  6 . x 3  9 x  9 : 3 28 x  3 Vậy x  3. c) x  21: 7  6 x  3  6 x  6  3 x  3 Vậy x  3. d) 44  x : 3  50 x : 3  50  44 x : 3  6 x  6.3 x  18 Vậy x  18.
Bài 3: Một doanh nghiệp năm ngoái thu nhập 138 tỉ đồng, năm nay thu nhập 150 tỉ đồng. Hỏi năm
nay doanh nghiệp thu nhập nhiều hơn năm ngoái bao nhiêu tiền? Lời giải
Số tiền doanh nghiệp thu nhập năm nay nhiều hơn năm ngoái là 150 138  12 (tỉ đồng).
Bài 4: Thực hiện phép tính a) 15.(21 3.7) b) (4 : 2  2).105 c) 376  285 124  715 d) 97  998  9999 16 e) 252 139  52  39 Lời giải
a) 15.(21 3.7)  15.(21 21)  15.0  0
b) (4 : 2  2).105  (2  2).105  0.105  0
c) 376  285 124  715
 (376 124)  (285 715)  500 1000 1500
d) 97  998  9999 16  (97  3)  (998  2)  (9999 1) 10
10010001000010 11110
e) 252 139  52  39
 (252  52)  (139  39) 29
 200 100  300
Bài 5: Cho a  3;b  5 . Tính: a) b a b) a b c) 2a b d) . a (b 1) Lời giải
a) b a  5  3  2
b) a b  3  5  8
c) 2a b  2.3  5 11 d) .
a (b 1)  3.(5 1)  3.6  18
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1: Tính nhanh các phép tính: a) 37581 – 9999 b) 7345 – 1998 c) 485321 – 99999 d) 7593 – 1997 Lời giải
a) 37581 – 9999  37581  1  – 9999  
1  37582 – 10000  89999 (cộng cùng một
số vào số bị trừ và số trừ) .
b) 7345  2 – 1998  2  7347 – 2000  5347
c) 485321 – 99999  (485321 +1) – (99999 1)  485322 100000  385322
d) 7593 – 1997  (7593  3)  (1997  3)  7596  2000  5596 .
Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết:
a) (x  42) 110  0
b) 2436 : x  12
c) 74(x  3)  0
d) x  36 :18  2 Lời giải
a) (x  42) 110  0 x  42 110 x 110  42 30 x  152
Vậy x  152 .
b) 2436 : x  12 x  2436 :12 x  203
Vậy x  203 .
c) 74(x  3)  0 x  3  0 : 74 x  3  0 x  0  3 x  3 Vậy x  3 .
d) x  36 :18  2 x  2  2 x  2  2 x  4
Vậy x  4 .
Bài 3: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất. a) 67  135  33 b) 997  86 c) 37. 38  62. 37 d) 43. 11 e) 67. 99 Lời giải
a) 67 135  33  (67  33) 135  100 135  235
b) 997  3  83  997  3  83  1000  80  1083
Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng.
Nhận xét: 997  86  997  3  86  3  1000  83  1083. Ta có thể thêm vào số hạng này đồng
thời bớt đi số hạng kia với cùng một số.
c) 37. 38  62. 37  37.38  62  37.100  3700.
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. d) 43. 11  43.10  
1  43.10  43. 1  430  43  4373. 31
e) 67. 99  67.100 – 
1  67.100 – 67  6700 – 67  6633 .
Bài 4: Bạn Hà mua 5 quyển vở và 4 chiếc bút, biết mỗi quyển vở có giá 8 000 đồng và mỗi chiếc bút
có giá 5 000 đồng. Hỏi bạn Hà phải trả tổng bao nhiêu tiền ? Lời giải
Số tiền mua 5 quyển vở là 5. 8 000 = 40 000 (đồng).
Số tiền mua 4 chiếc bút là 4. 5 000 = 20 000 (đồng).
Tổng số tiền bạn Hà phải trả là: 40 000 + 20 000 = 60 000 (đồng).
Bài 5: Khối 6 trường THCS Giảng Võ tổ chức đi du lịch SaPa bằng xe 16 chỗ. Biết số học sinh khối 6
của trường là 300 học sinh. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu xe để trở hết số học sinh khối 6 ? Lời giải
Ta có: 300 :16 18 ( dư 12).
Do đó phải cần 19 xe 16 chỗ mới chở hết học sinh khối 6.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm x biết:
a) 71 (33  x)  26
b) 97  (64  x)  44 c) x  36 :18 12
d) 3636 : (12x  91)  36
e) (x : 23  45).67  8911 Lời giải
a) 71 (33  x)  26 33  x  71 26 33 x  45 x 12 Vậy x 12
b) 97  (64  x)  44 64  x  97  44 64  x  53 x  64  53 x  11 Vậy x  11 c) x  36 :18 12 x  2 12 32 x 12  2 x 14 Vậy x 14
d) 3636 : (12x  91)  36
12x  91  3636 : 36 12x  91 101 12x 101 91 12x 192 x 192 :12 x 16 Vậy x 16
e) (x : 23  45).67  8911
x : 23  45  8911: 67 x : 23  45 133 x : 23 133  45 x : 23  88 x  88.23 x  2024 Vậy x  2024 Bài 2:
a) Tính 1 2  3 +  1998 1999 .
b) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số.
c) Tính tổng của tất cả các số lẻ có 3 chữ số. Lời giải
a) Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng Do đó
S  1 2  3 1998 1999  11999. 1999 : 2  2000.1999 : 2  1999000
b) S  100  101    998  999 1
Tổng trên có 999 – 100  1  900số hạng. Do đó
S  100  999 .900 : 2  494550 1  
c) S  101 103    997  999 2
Tổng trên có 999 – 10 
1 : 2  1  450 số hạng. Do đó 33
S  101  999 . 450 : 2  247500 . 2  
Bài 3: Tính nhanh
a) 53.39  47.39  53.21 47.21
b) 2.53.12  4.6.87  3.8.40 c) 47.29 13.29  24.29
d) 1754 :17  74 :17  20 :17
e) 26.7 17.9  13.26 17.11 Lời giải
a) 53.39  47.39  53.21 47.21
 (53.39 53.21)  (47.39  47.21)
 53(39  21)  47(39 31)  53.18 47.18 18.(53 47) 18.100 1800
b) 2.53.12  4.6.87  3.8.40
 24.53 24.87  24.40  24.(5387  40)  24.100  2400
c) 47.29 13.29  24.29  29.(47 13  24)  29.10  290
d) 1754 :17  74 :17  20 :17  (1754  74  20) :17 1700 :17 100
e) 26.7 17.9  13.26 17.11
 26.(7 13) 17.(9 11)  26.20 17.20  20.(26 17)  20.9  180
Bài 4: Khối 6 trường THCS Giảng Võ tổ chức đi du lịch SaPa bằng xe 16 chỗ. Biết số học sinh khối 6
của trường là 300 học sinh. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu xe để trở hết số học sinh khối 6. Lời giải
Ta có: 300 :16 18 ( dư 12).
Do đó phải cần 19 xe 16 chỗ mới chở hết học sinh khối 6. 34
Bài 5: Một xí nghiệp gia công có chế độ thưởng phạt như sau: Một sản phẩm tốt được thưởng 50
ngàn, một sản phẩm lỗi bị phạt 40 ngàn. Chị Mai làm được 20 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm lỗi. Hỏi
chị Mai được thưởng hay phạt và số tiền là bao nhiêu? Lời giải
20 sản phẩm tốt được thưởng số tiền là:
20.50000 1000000 (đồng).
4 sản phẩm lỗi bị phạt số tiền là: 4.40000 160000(đồng).
Chị Mai được thưởng số tiền là:
1000000 160000  840000 (đồng).
Vậy chị Mai được thưởng 840000 đồng.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1: Quán mì của cha mẹ Tép bán cả 7 ngày trong tuần. Thứ 7 hay chủ nhật thì quán đông gấp đôi
ngày thường. Mỗi ngày thường bán được 300 tô. Hỏi tháng 2 năm 2019 quán mì của nhà bạn Tép bán
được bao nhiêu tô? Biết tháng 2 năm 2019 có 28 ngày trong đó có 4 ngày thứ 7 và 4 ngày chủ nhật. Lời giải
Mỗi ngày thứ 7 hay chủ nhật quán bán được: 300.2  600 (tô mì)
Vì tháng 2 năm 2019 có 28 ngày trong đó có 4 ngày thứ 7 và 4 ngày chủ nhật nên trong tháng 2 năm
2019 quán bán được: 600  600.4  300.20 10800 (tô mì).
Vậy tháng 2 năm 2019 quán mì nhà bạn Tép bán được 10800 tô mì.
Bài 2: Một con ếch ở dưới một cái giếng sâu 10 m. Ban ngày ếch nhảy lên được 3 m, ban đêm tụt xuống
2 m. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì ếch lên khỏi giếng? Lời giải
Vì ban ngày ếch nhảy lên được 3m, ban đêm lại tụt xuống 2m nên thực tế trong 1 ngày ếch lên được 1m.
Sau 7 ngày, ếch đã lên được: 7.1  7 (m). Khi đó, ếch còn cách miệng giếng 3 m.
Sang ngày thứ 8, ếch sẽ nhảy lên 3 m để ra khỏi giếng.
Vậy sau 8 ngày thì ếch lên khỏi giếng.
Bài 3: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán.
Nếu xếp 25 học sinh vào một ph ng thì c n thừa 5 học sinh chưa có chỗ.
Nếu xếp 28 học sinh vào một ph ng thì thừa 1 ph ng.
Tìm số học sinh dự thi ? Lời giải
Gọi số phòng là x .
Nếu xếp 25 học sinh vào một phòng thì số học sinh là: 25x  5
Nếu xếp 28 học sinh vào một phòng thì số học sinh là: 28x  28 35 Ta có:
25x  5  28x  28 x  11
Vậy số học sinh là: 25.11 5  280 (học sinh)
Bài 4: (Toán cổ) Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150dm. Một bước nhảy của chó dài 9dm, một
bước của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ cũng nhảy một bước. Để đuổi kịp thỏ, chó
phải nhảy bao nhiêu bước? Lời giải
Mỗi bước của chó dài hơn mỗi bước của thỏ là: 9 – 7  2 (dm)
Muốn đuổi kịp thỏ thì chó phải nhảy: 150 : 2  75 (bước)
Vậy để đuổi kịp thỏ, chó phải nhảy 75 bước.
Bài 5: Một ông chủ cửa hàng kinh doanh quần áo có một số tiền để mua quần áo. Nếu mua 132 quần
với giá mỗi quần là 95000 đồng thì còn thừa 80000 đồng. Nhưng ông chỉ mua 100 quần, số tiền còn
lại mua áo với giá mỗi áo là 65000 đồng. Hỏi ông có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu áo? Lời giải
Số tiền để mua quần áo là 132.95000  80000  12620000 (đồng).
Số tiền mua quần là 100.95000  9500000 (đồng).
Số tiền còn để mua áo là 12620000  9500000  3120000 (đồng).
Số áo ông có thể mua là 3120000 : 65000  48.
Vậy ông có thể mua được nhiều nhất 48 áo. 36 CHUYÊN ĐỀ 3:
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các kiến thức cơ bản
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a : n
a  a.a........a ( n thừa số a ) ( n  0 )
a được gọi là cơ số.
n được gọi là số mũ.
2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số m n m n a .a a  
( a  0, m  0, n  0 )
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.
3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số m n m n a : a a  
( a  0, m  0, n  0, m  n )
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.
4. Lũy thừa của lũy thừa m n m.n (a )  a
( a  0, m  0, n  0 )
Lũy thừa của lũy thừa cơ số a (khác 0), cơ số giữ nguyên và lũy thừa bằng tích lũy thừa.
5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số m m m
a .b  (a.b) ( a  0,b  0,m  0 )
Khi nhân hai cơ số (khác 0) có cùng lũy thừa, ta nhân cơ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa.
6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số m m m
a : b  (a : b) ( a  0,b  0,m  0 )
Khi chia hai cơ số (khác 0) có cùng lũy thừa, ta chia cơ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa.
7. Một vài quy ước n 1  1 0 a  1 (a  0)
II. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Khai triển lũy thừa Phương pháp: 37
Ta sử dụng định nghĩa lũy thừa n
a  a.a........a theo chiều xuôi.
Dạng 2: Viết số dưới dạng lũy thừa Phương pháp:
Ta sử dụng định nghĩa lũy thừa n
a.a........a  a theo chiều ngược lại.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức có lũy thừa Phương pháp:
Thực hiện theo thứ tự thực hiện phép tính: Nhân chia trước, cộng trừ sau. Nếu có lũy thừa
thì thực hiện lũy thừa trước rồi đến nhân chia cộng trừ. Nếu có ngoặc thì thực hiện trong
ngoặc trước ngoài ngoặc sau.
Dạng 4: Tìm số mũ, cơ số của 1 lũy thừa Phương pháp: Áp dụng tính chất m m a  b  a  b và m n
a  a  m  n với a, b, m, n là các số tự nhiên khác 0.
Dạng 5: So sánh 2 lũy thừa Phương pháp:
Đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Điền từ thích hợp vào dấu " .... " :
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và .....các số mũ. A. Cộng B. Trừ C. Nhân D. Chia
Câu 2. 16 là lũy thừa của số tự nhiên nào và có số mũ bằng bao nhiêu?
A. Lũy thừa của 2, số mũ bằng
B. Lũy thừa của 4, số mũ bằng 3
C. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3
D. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3
Câu 3. Thực hiện phép tính : 3 2 3 .4 A. 423 B. 432 C. 324 D. 323
Câu 4. Lũy thừa của 4 3 sẽ bằng? A. 9 B. 27 C. 81 D. 243
Câu 5. Lập phương của 7 được viết là A. 3 7 B. 7 3 C. 2 7 D. 7 2
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n 3  81 A. n  2 B. n  3 C. n  4 D. n  5
Câu 7. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n 3 5 4  4 .4 ? A. n  32 B. n  16 C. n  8 D. n  4
Câu 8. Tìm số tự nhiên m thỏa mãn 2020 m 2022 20  20  20 ? A. m  2021 B. m  2020 C. m  2019 D. m  20 Câu 9. Tính 4
2  16 ta được kết quả dưới dạng lũy thừa là 38 A. 20 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 10 2
Câu 10. Chọn đáp án Sai? A. 3 5 5  3 B. 4 5 3  2 C. 3 6 4  2 D. 3 2 4  8
Câu 11. Chọn đáp án Đúng? A. 2 3 4 10 5 .5 .5  5 B. 2 3 4 5 .5 : 5  5 C. 3 5 : 5  5 D. 1 5  1
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12. Kết quả của phép nhân : 100.10.10.10 là A. 5 10 B. 6 10 C. 4 10 D. 7 10 . Câu 13. 2 6
(3 ) có kết quả là A. 9 3 B. 18 3 C. 12 3 D. Kết quả khác. 5 Câu 14. 2 3 có kết quả là A. 10 3 B. 7 3 C. 32 3 D. 5 9 Câu 15. 3
x 15  23 thì x có giá trị bằng
A. 5 B. 3 C. 2 D. 8 Câu 16. n 3
3  2  1 thì n bằng
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Câu 17. Cho 15 29
A  9 ;B  3 kết quả so sánh nào là đúng?
A. A  B B. A  B C. A  B D. Kết quả khác.
Câu 18. Nếu 3x 1
2   16 thì giá trị của x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 .
IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 19. Viết tích 12 5
9 .27 dưới dạng lũy thừa của 1 số. A. 60 243 B. 60 3 C. 40 3 D. 39 3 .
Câu 20. Số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện 2x 1  5 100  5  5 là A. x  5 B. x  4 C. x  3 D. x  2 .
Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 5x  90 ? A. 5 B. 3 C. 0 D. 1.
Câu 22. Số tự nhiên x thỏa mãn 3 2 5
(7.x 11)  5 .2  200 là A. x  0 B. x  1 C. x  3 D. x  4 .
Câu 23. Tổng các số tự nhiên x thỏa mãn 5 4
(x  4)  (x  4) bằng A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 .
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8 b)10 . 10 . 10 . 100 d) x . x . x . x 39
Bài 2. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) 4 6 a .a b) 5 7 (a ) c) 3 4 9 (a ) . a d) 3 5 3 4 (2 ) .(2 )
Bài 3. Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa. a) 8 20 12 5 4 3 5 2 4 .2 ; 9 .27 .81 ; 64 .4 .16 b) 20 4 7 4 3 6 6 25 .125 ; x .x .x ; 3 .4 c) 4 3 2 3 2 3 7 8 .2 .16 ; 2 .2 .8 ; y.y
Bài 4. Tính giá trị các lũy thừa sau: a) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 . b) 2 3 4 5 3 ; 3 ; 3 ; 3 c) 2 3 4 4 ; 4 ; 4 d) 2 3 4 5 ; 5 ; 5 .
Bài 5. Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa. a) 9 4 8 5 10 2 10 10 5 3
4 : 4 ; 17 :17 ; 2 : 8 ; 18 : 3 ; 27 : 81 b) 6 9 3 10 3 25 4 4 4
10 :100; 5 : 25 ; 4 : 64 ; 2 : 32 ; 18 : 9
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Viết các tổng sau thành một bình phương. a) 3 3 1  2 b) 3 3 3 1  2  3 c) 3 3 3 3 1  2  3  4
Bài 2. Tìm x  , biết. a) x 2  16 b) x 2 .16  1024 c) x 8 64.4  16 d) x 3 .3  243
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý. a) 17 2 15 15 4 2
(2 17 ).(9  3 ).(2  4 ) b) 2017 2015 2014 (8  8 ) : (8 .8) c) 3 3 4 5 3 3 3 3 8 2
(1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).(3  81 ) d) 8 3 5 3 (2  8 ) : (2 .2 ) 40
Bài 4. Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa. a) 5 3 125 : 25 b) 6 3 27 : 9 c) 20 15 4 : 2 d) n 2n 24 : 2 e) 4 5 20 64 . 16 : 4 g) 4 6 32 : 8
Bài 5. Tìm x, biết. a) x 2 .4  128 b) 3 (2.x  1)  125 c) x 2  26  6 d) x 5 64.4  4 e) x 27.3  243 g) x 49.7  2401 h) x 2 0 3  25  26.2  2.3
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1. So sánh a) 6 2 và 2 8 ; 3 5 và 5 3 ; 2 3 và 3 2 ; 6 2 và 2 6 b) A  2009.2011và 2 B  2010 c) A  2015.2017 và 2 B  2016 d) 0 2021 và 2021 1 Bài 2. Cho 1 2 3 2021
A  1  2  2  2   2 a) Tính 2A b) Chứng minh: 2022 A  2 – 1 Bài 3. Cho 2 3 4 5 6 7 A  1  3 +3 3  3  3  3  3  a) Tính 3.A b) Chứng minh 8 A  (3 1) : 2 41 Bài 4. Cho 2 2021 B =1  3  3  ...  3 a) Tính 3.B b) Chứng minh: 2022 B =(3 -1 ) : 2 Bài 5. Cho 2 3 5 6 C  1  4  4 4  4  4  a) Tính 4.C b) Chứng minh: 7 C  (4 1) : 3
Bài 6. Thực hiện phép tính: 3 3 2 2 a) 2  5 : 5 12.2 3 2 2 b) 2 [(
. 7  3 : 3 ) : 2  99] 100 2 2 4 3 c) 3 [(
. 5  3) :11]  2  2.10
Bài 7. Tìm x , biết: a) 2 2
5.2  (x  3)  5 b) 3 2 3 3
2  (x  3 )  5  4 c) 3 4
4.(x  5) – 2  2 .3 d) 3
5.(x  7) –10  2 .5
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1. Tính tổng a) 2 3 2022
S  1  2  2  2   2 b) 2 3 .  2022 S  3  3  3  3  c) 2 3 2022
S  4  4  4   4 d) 2 3 2022
S  5  5  5   5
Bài 2. Tính tổng 2 2 2 2
A  1  2  3  ....  20
Bài 3. Tìm số tự nhiên x , biết rằng:  a) x x 3 2  2  144 b) 2022 2021 (x  5)  (x  5) c) 3 (2.x 1)  9.81
Bài 4. Tìm tập hợp các số tự nhiên x , biết rằng lũy thừa 2x – 1 5
thỏa mãn điều kiện 2x – 1 6 100 <5  5 . 42
Bài 5. So sánh các số sau. a) 2n 3 và 3n 2 b) 20 199 và 15 2003 c) 99 3 và 21 11
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C A C C A C D B A B C C C A A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Điền từ thích hợp vào dấu " .... "
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và ..... các số mũ. A. Cộng B. Trừ C. Nhân D. Chia Lời giải Chọn A
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
Câu 2. 16 là lũy thừa của số tự nhiên nào và có số mũ bằng bao nhiêu?
A. Lũy thừa của 2 , số mũ bằng 4
B. Lũy thừa của 4, số mũ bằng 3
C. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3
D. Lũy thừa của 2, số mũ bằng 3 Lời giải Chọn A 4 16  2
Câu 3. Thực hiện phép tính: 3 2 3 .4 A. 423 B. 432 C. 324 D. 323 Lời giải Chọn B 3 2 3 .4  27.16  432
Câu 4. Lũy thừa của 4 3 sẽ bằng A. 9 B. 27 C. 81 D. 243 Lời giải Chọn D 4 3  3.3.3.3  243 43
Câu 5. Lập phương của 7 được viết là A. 3 7 B. 7 3 C. 2 7 D. 7 2 Lời giải Chọn A
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n 3  81 A. n = 2 B. n = 3 C. n = 4 D. n = 8 Lời giải Chọn C n 3  81 n 4 3  3 n  4
Câu 7. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n 3 5 4  4 .4 ? A. n = 32 B. n = 16 C. n = 8 D. n = 4 Lời giải Chọn C n 3 5 4  4 .4 n 8 4  4 n  8
Câu 8. Tìm số tự nhiên m thỏa mãn 2020 m 2022 20  20  20 ? A. m = 2021 B. m = 2020 C. m = 2019 D. m = 20 Lời giải Chọn A 2020 m 2022 20  20  20  2020  m  2022 Mà m  nên m  2021 Câu 9. Tính 4
2  16 ta được kết quả dưới dạng lũy thừa là A. 20 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 10 2 Lời giải Chọn C Có 4 5
2 16  16 16  32  2
Câu 10. Chọn đáp án Sai A. 3 5 5  3 B. 4 5 3  2 C. 3 6 4  2 D. 3 2 4  8 Lời giải Chọn D Có 44 3 4  64 2 8  64 Mà 64=64 nên 3 2 4  8
Câu 11. Chọn đáp án Đúng A. 2 3 4 10 5 .5 .5  5 B. 2 3 4 5 .5 : 5  5 C. 3 5 : 5  5 D. 1 5  1 Lời giải Chọn B 2 3 4 23 4 5 4 5 .5 : 5  5 : 5  5 : 5  5
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12. Kết quả của phép nhân : 100.10.10.10 là A. 5 10 B. 6 10 C. 4 10 D. 7 10 . Lời giải Chọn A 2 2 1  1  1  5
100.10.10.10  10 .10.10.10  10 10 Câu 13. 2 6
(3 ) có kết quả là A. 9 3 B. 18 3 C. 12 3 D. Kết quả khác Lời giải Chọn B 3 6 3.6 18 (3 )  3  3 5 2
Câu 14. 3 có kết quả là A. 10 3 B. 7 3 C. 32 3 D. 5 9 Lời giải Chọn C 5 2 2.2.2.2.2 32 3  3  3 Câu 15. 3
x 15  23 thì x có giá trị bằng A. 5 B. 3 C. 2 D. 8 Lời giải Chọn C 3 x 15  23 3 x  23 15 3 3 3
x  8  x  2  x  2 Câu 16. n 3
3  2  1 thì n bằng A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 45 Lời giải Chọn C n 3 3  2  1 n 3 3  1 2 n n 2
3  9  3  3  n  2 Câu 17. Cho 15 29
A  9 ;B  3 kết quả so sánh nào là đúng? A. A  B B. A  B C. A  B D. Cả ba kết quả đều sai. Lời giải Chọn A 15 30 29 A  9  3  3  A  B
Câu 18. Nếu 3x 1
2   16 thì giá trị của x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. Lời giải Chọn A 3x 1 2   16 3x 1  4  2  2  3x 1  4
 3x  4 1  3x  3  x 1
Câu 19. Viết tích 12 5
9 .27 dưới dạng lũy thừ a của 1 số là A. 60 243 B. 60 3 C. 40 3 D. 39 3 . Lời giải Chọn D 12 5 2 12 3 5 24 15 39
9 .27  (3 ) .(3 )  3 .3  3
IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 20. Số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện 2x 1  5 100  5  5 là A. x  5 B. x  4 C. x  3 D. x  2 . Lời giải Chọn D 2x 1  5 2 2x 1  5 100  5  5  5 100  5  5
 2  2x 1 5  3  2x  6 . Mà x nên x  2
Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 5x  90 ? A. 5 B. 3 C. 0 D. 1. Lời giải Chọn B x x 3
5  90  125  5  5  x  3 . Mà x
nên x  0;1;2 nên có 3 giá trị của x thỏa mãn 46
Câu 22. Số tự nhiên x thỏa mãn 3 2 5
(7.x 11)  5 .2  200 là A. x  0 B. x  1 C. x  3 D. x  4 . Lời giải Chọn C 3 2 5
(7.x 11)  5 .2  200 3 3 (7x 11)  1000  10 7x 11  10 x  3
Câu 23. Tổng các số tự nhiên x thỏa mãn 5 4
(x  4)  (x  4) bằng A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 . Lời giải Chọn C Do 5 4
(x  4)  (x  4) nên x  4  0 hoặc x  4  1
Vậy x  4 hoặc x  5 . Suy ra tổng các giá trị của x là 5  4  9
--------------- HẾT -----------------
C. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8 b) 10 . 10 . 10 . 100 d) x . x . x . x Lời giải a) 5 4.4.4.4.4  4 b) 5 10.10.10.100  10 c) 5 3 5 15
2.4.8.8.8.8  8.8.8.8.8  8  (2 )  2 d) 4 x.x.x.x  x
Bài 2. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) 4 6 a .a b) 5 7 (a ) c) 3 4 9 (a ) . a d) 3 5 3 4 (2 ) .(2 ) Lời giải a) 4 6 10 a .a  a b) 5 7 5.7 35 (b )  b  b  c) 3 4 9 3.4 9 12 9 12 9 21
(a ) . a  a .a  a .a  a  a  d) 3 5 3 4 3.5 3.4 15 12 15 12 27 (2 ) .(2 )  2 .2  2 .2  2  2
Bài 3. Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa. 47 a) 8 20 12 5 4 3 5 2 4 .2 ; 9 .27 .81 ; 64 .4 .16 b) 20 4 7 4 3 6 6 25 .125 ; x .x .x ; 3 .4 c) 4 3 2 3 2 3 7 8 .2 .16 ; 2 .2 .8 ; y.y Lời giải a) 8 20 2 8 20 16 20 36 4 .2  (2 ) .2  2 .2  2 ; 12 5 4 2 12 3 5 4 4 24 15 16 24 1  5 1  6 55
9 .27 .81  (3 ) .(3 ) .(3 )  3 .3 .3  3  3 3 5 2 6 3 2 5 4 2 18 10 8 36
64 .4 .16  (2 ) .(2 ) .(2 )  2 .2 .2  2  b) 20 4 2 20 3 4 40 12 40 12 52
25 .125  (5 ) .(5 )  5 .5  5  5 7 4 3 743 14 x .x .x  x  x 6 6 6 6 3 .4  (3.4)  12   c) 4 3 2 3 4 3 4 2 12 3 8 12 3 8 23
8 .2 .16  (2 ) .2 .(2 )  2 .2 .2  2  2 3 2 3 3 2 9 14 2 .2 .8  2 .2 .2  2  7 1 7 8 y.y  y  y
Bài 4. Tính giá trị các lũy thừa sau: a) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 . b) 2 3 4 5 3 ; 3 ; 3 ; 3 c) 2 3 4 4 ; 4 ; 4 d) 2 3 4 5 ; 5 ; 5 . Lời giải 2 a) 2  2.2  4 . 3 2 =2.2.2=8 4 2 =2.2.2.2=16 5 2 =2.2.2.2.2=32 6 2 =2.2.2.2.2.2=64 7 2 =2.2.2.2.2.2.2=128 8 2 =2.2.2.2.2.2.2.2=256 9 2 =2.2.2.2.2.2.2.2.2=512 10
2  2.2.2.2.2.2.2.2.2.2  1024 2 b) 3 =3.3=9 48 3 3 =3.3.3=27 4 3 =3.3.3.3=81 5 3  3.3.3.3.3  243 2 c) 4  4.4  16 3 4 =4.4.4=64 4 4  4.4.4.4  256 2 d) 5 =5.5=25 . 3 5 =5.5.5=125 4 5  5.5.5.5  625
Bài 5. Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa. a) 9 4 8 5 10 2 10 10 5 3
4 : 4 ; 17 :17 ; 2 : 8 ; 18 : 3 ; 27 : 81 b) 6 9 3 10 3 25 4 4 4
10 :100; 5 : 25 ; 4 : 64 ; 2 : 32 ; 18 : 9 Lời giải 9 4 94 5 10 a) 4 : 4 =4 =4 =2 8 5 85 3 17 :17 =17 =17 10 2 10 3 2 10 6 106 4 2 : 8 =2 :(2 ) =2 :2 =2 =2 10 10 10 10 18 : 3 =(18:3) =6 5 3 3 5 4 3 15 12 15 1  2 3
27 : 81  (3 ) : (3 )  3 : 3  3  3 6 6 2 62 4 b) 10 :100  10 :10 =10 =10 9 3 9 2 3 9 6 96 3 5 : 25 =5 :(5 ) =5 :5 =5 =5 10 3 10 3 3 10 9 109 2 4 : 64 =4 :(4 ) =4 :4 =4 =4=2 25 4 25 5 4 25 20 25 20 5 2 : 32 =2 :(2 ) =2 :2 =2 =2 4 4 4 4 18 : 9  (18 : 9)  2
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 1. Viết các tổng sau thành một bình phương. a) 3 3 1  2 b) 3 3 3 1  2  3 c) 3 3 3 3 1  2  3  4 Lời giải 3 3 2
a) 1  2  1  8  9  3 3 3 3 2
b) 1  2  3  1  8  27  36  6 3 3 3 3 2
c) 1  2  3  4  1  8  27  64  100  10 49
Bài 2. Tìm x  , biết. a) x 2  16 b) x 2 .16  1024 c) x 8 64.4  16 d) x 3 .3  243 Lời giải x a) 2  16 x 4 2  2  x 4 Vậy x  4 x b) 2 .16  1024 x 4 10 2 .2  2 x  4 10 2  2 x  4  10 x  10  4 x  6 Vậy x  6 x 8 c) 64.4  16 3 x 2.8 4 .4  4 3 x 16  4  4  3  x 16 x  16  3  x  13 Vậy x  13 x d) 3 .3  243 x 1  5 3  3 x 1  5 x  5 1 x  4 Vậy x  4
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý. a) 17 2 15 15 4 2
(2 17 ).(9  3 ).(2  4 ) b) 2017 2015 2014 (8  8 ) : (8 .8) c) 3 3 4 5 3 3 3 3 8 2
(1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).(3  81 ) 50 d) 8 3 5 3 (2  8 ) : (2 .2 ) Lời giải 17 2 15 15 4 2
a) (2 17 ).(9  3 ).(2  4 ) 17 2 15 15 17 2 15 15
 (2 17 ).(9  3 ).(16 16)  (2 17 ).(9  3 ).0  0 2017 2015 2014 2015 2 2015 b) (8  8 ) : (8 .8)  8 .(8 1) : 8  64 1  63 3 3 4 5 3 3 3 3 8 2
c) (1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).(3  81 ) 3 3 4 5 3 3 3 3 8 4.2
 (1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).(3  3 ) 3 3 4 5 3 3 3 3 8 8
 (1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).(3  3 ) 3 3 4 5 3 3 3 3
 (1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).0  0 8 3 5 3 8 9 8 8 8
d) (2  8 ) : (2 .2 )  (2  2 ) : 2  2 .(1  2) : 2  1  2  3
Bài 4. Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa. a) 5 3 125 : 25 b) 6 3 27 : 9 c) 20 15 4 : 2 d) n 2n 24 : 2 e) 4 5 20 64 . 16 : 4 g) 4 6 32 : 8 Lời giải 5 3 3 5 2 3 15 6 156 9
a) 125 : 25  (5 ) : (5 )  5 : 5  5  5 6 3 3 6 2 3 18 6 12
b) 27 : 9  (3 ) : (3 )  3 : 3  3 20 15 2 20 15 40 15 25
c) 4 : 2  (2 ) : 2  2 : 2  2 n 2n n 2 n n n n n d) 24 : 2
 24 : (2 )  24 : 4  (24 : 4)  6 4 5 20 6 4 4 5 2 20 24 20 40 44 40 4 e) 64 . 16 : 4
 (2 ) .(2 ) : (2 )  2 .2 : 2  2 : 2  2 4 6 5 4 3 6 20 18 2
g) 32 : 8  (2 ) : (2 )  2 : 2  2
Bài 5. Tìm x , biết. a) x 2 .4  128 51 b) 3 (2.x  1)  125 c) x 2  26  6 d) x 5 64.4  4 e) x 27.3  243 g) x 49.7  2401 h) x 2 0 3  25  26.2  2.3 Lời giải x a) 2 .4  128 x 2  128 : 4 x 2  32 x 5 2  2  x  5 Vậy x  5 3 b) (2.x  1)  1 5 2 3 3 (2.x  1)  5 2.x 1  5 2.x  5 1  2.x  4 x  4 : 2  x  2 Vậy x  2 x c) 2  26  6 x x 2  26  6  2  32 x 5 2  2  x  5 Vậy x  5 x 5 d) 64.4  4 x 5 x 5 3 4  4 : 64  4  4 : 4 x 2 4  4  x  2 Vậy x  2 x e) 27.3  243 x 3  243 : 27 x 3  9 x 2 3  3  x  2 52 Vậy x  2 x g) 49.7  2401 x 7  2401: 49 x 7  49 x 2 7  7  x  2 Vậy x  2 x 2 0 h) 3  25  26.2  2.3 x 3  25  26.4  2.1 x 3  104  2  25 x x 4 3  81  3  3  x  4 Vậy x  4
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Bài 1. So sánh a) 6 2 và 2 8 ; 3 5 và 5 3 ; 2 3 và 3 2 ; 6 2 và 2 6 b) A  2009.2011và 2 B  2010 c) A  2015.2017 và 2 B  2016 d) 0 2021 và 2021 1 Lời giải a) Ta có 6 2  2.2.2.2.2.2  64 và 2 8  8.8  64 . Vậy 6 2 2  8 Ta có 3 5  125 và 5
3  243 , mà 125  243 nên 3 5 5  3 Ta có 2 3  9 và 3 2  8 , mà 9  8 nên 2 3 3  2 Ta có 6 2  64 và 2 6  36 mà 64  36 nên 6 2 2  6 b) Ta có 2
B  2010  2010.2010  (2009 1).2010  2009.2010  2010
 2009.(20111)  2010  2009.2011 2009  2010
 2009.20111 A 1 A Vậy B  A c) Ta có 2
B  2016  2016.2016  (2015 1).2016  2015.2016  2016       2015(2017 1) 2016 2015.2017 2015 2016 53
 2015.2017 1 A 1 A Vậy B  A d) Ta có 0 2021  1 và 2021 1  1. Vậy 0 2021 2021  1 Bài 2. Cho 1 2 3 2021
A  1  2  2  2   2 a) Tính 2A b) Chứng minh: 2022 A  2 – 1 Lời giải a) Ta có 1 2 3 2021
A  1  2  2  2   2 1 2 3 2021 2 3 4 2022  2.A  2 1
.(  2  2  2   2
)  2  2  2  2   2 b) Ta có 2 3 4 2022 1 2 3 2021
2.A  A  2  2  2  2   2  1
(  2  2  2   2 ) 2 3 4 2022 1 2 3 2021 20 2 2
 A  2  2  2  2  2
1 2  2  2  2  2 1 Vậy 2022 A  2 – 1 Bài 3. Cho 2 3 4 5 6 7 A  1  3 +3 3  3  3  3  3  a) Tính 3.A b) Chứng minh 8 A  (3 1) : 2 Lời giải a) Ta có 2 3 4 5 6 7 A  1  3 +3 3  3  3  3  3  2 3 4 5  3.A  3. 1 (  3 +3 3  3  3  6 7 2 3 4 5 6 7 8 3  3  )  3  3  3 3  3  3  3   3 b) Ta có 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 3.A  A  3  3  3 3  3  3  3
  3  (1 3  3  3 3  3  3  3  ) 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8  2.A  3  3  3 3  3  3  3
  3 1 3  3  3 3  3  3  3   3 1 8  A  (3 1) : 2 Vậy 8 A  (3 1) : 2 Bài 4. Cho 2 2021 B =1  3  3  ...  3 a) Tính 3B b) Chứng minh: 2022 B =(3 -1 ) : 2 Lời giải a) Ta có 54 2 2021 B =1  3  3  ...  3 2 2021  3.B  3. 1 (  3  3  ...  3 ) 2 3 20 2 2  3.B  3  3  3  ...  3 b) Ta có 2 3 2022 2 2021
3.B  B  3  3  3  ...  3
 (1  3  3  ...  3 ) 2 3 2022 2 20 1 2 2022
 2.B  3  3  3  ...  3 1  3  3  ...  3  3 1 2022  B  (3 1) : 2 Vậy 2022 B =(3 -1 ) : 2 Bài 5. Cho 2 3 4 5 6 C  1  4  4 4   4  4 4  a) Tính 4.C b) Chứng minh: 7 C  (4 1) : 3 Lời giải a) Ta có 2 3 4 5 6 C  1 +4  4 4  4   4 4  2 3  4.C  4. 1 (  4  4 4  4  4 5 6 2 3 4 5 6 7  4 4  )  4  4 4  4   4 4   4 b) Ta có 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 4.C  C  4  4 4  4   4 4
  4 1 4  4  4 4   4 4  7  3.C  4 1 7  C  (4 1) :3 Vây 7 C  (4 1) : 3
Bài 6. Thực hiện phép tính: 3 3 2 2 a) 2  5 : 5 12.2 3 2 2 b) 2 [(
. 7  3 : 3 ) : 2  99] 100 2 2 4 3 c) 3 [(
. 5  3) :11]  2  2.10 Lời giải 3 3 2 2 a) 2  5 : 5  2 1 .2  8  5  12 4 .  8  5  48 =3+48=51 3 2 2 b) 2 [(
. 7  3 : 3 ) : 2  99] 100  2.[(7  3) : 4  99] 100
 2.[4 : 4  99] 100  2.100 100  200 100 100 55 2 2 4 3 c) 3 [(
. 5  3) :11]  2  2.10  9.[(25  3) :11] 16  2.1000
 9.[22 :11] 16  2000  9.2 16  2000 18 16  2000  2002
Bài 7. Tìm x , biết: a) 2 2
5.2  (x  3)  5 b) 3 2 3 3
2  (x  3 )  5  4 c) 3 4
4.(x  5) – 2  2 .3 d) 3
5.(x  7) –10  2 .5 Lời giải a) 2 2
5.2  (x  3)  5
5.4  (x  3)  25
20  (x  3)  25 x  3  25  20 x  3  5 x  5  3 x  2 Vậy x  2 b) 3 2 3 3
2  (x  3 )  5  4
8  (x  9)  125  64 8  (x  9)  61 x  9  61 8 x  9  53 x  53  9 x  62 Vậy x  62 c) 3 4
4.(x  5) – 2  2 .3
4.(x  5) – 8  48
4.(x  5)  48  8 56 4.(x  5)  56 x  5  56 : 4 x  14  5 x  19 Vậy x 19 d) 3
5.(x  7) –10  2 .5
5.(x  7) –10  40
5.(x  7)  40 10 5.(x  7)  50 x  7  50 : 5 x  7  10 x  10  7 x  3 Vậy x  3
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 1. Tính tổng a) 2 3 2022
S  1  2  2  2   2 b) 2 3 .  2022 S  3  3  3  3  c) 2 3 2022
S  4  4  4   4 d) 2 3 2022
S  5  5  5   5 Lời giải a) Ta có 2 3 2022
S  1  2  2  2   2 2 3 20
 2.S  2  2  2   2 22 2023  2 2 3 2022
 2.S  S  2  2  2   2  2023 2 3 2022 2
 (1 2  2  2   2 ) 2 3 2022 2023 2 3 2022 2023
 S  2  2  2   2  2 1 2  2  2    2  2 1 Vậy 2023 S  2 1 b) Ta có 2 3 .  2022 S  3  3  3  3  57 2 3 .  2022 2 3 .  20 2 2 20 3 2  3.S  3. 3 (  3  3  3  )  3  3  3   3 2 3 .  2022 2023 2 3 .  2022             3.S S 3 3 3 3 (3 3 3 3 ) 2 3 .  2022 2023 2 3 .  20 2 2 2 2 0 3  2.S  3  3  3   3  3  3  3  3   3  3 2023  S  (3  3) : 2 Vậy 2023 S  (3  3) : 2 c) Ta có 2 3 2022
S  4  4  4   4 2 3 20
 4.S  4  4  4 22 2023  4 2 3 2022
 4.S  S  4  4  4  2023 2 3 2022 4  (4  4  4  4 ) 2 3 2022 2023 2 3 2022 0 2 23
 3.S  4  4  4  4  4  4  4  4  4  4 2023  S  (4  4) : 3 Vậy 2023 S  (4  4) : 3 d) Ta có 2 3 2022
S  5  5  5   5 2 3 2022 2023
 5.S  5  5  5  5 2 3 2022 2023 2 3 2022
 5.S  S  5  5  5  5  (5  5  5  5 ) 2023  4.S  5  5 2023  S  (5  5) : 4 Vậy 2023 S  (5  5) : 4
Bài 2. Tính tổng 2 2 2 2
A  1  2  3  ....  20 Lời giải
Ta có A  1  1.2  2  2.3  3   20 –  1 .20  20
A  [1.2  2.3  3.4  ...  (20 1).20]  (1  2  3  ...  20)
 (20 1).20.(20 1) : 3  (20 1).20 : 2  A  2870 58
Bài 3. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:  a) x x 3 2  2  144 b) 2022 2021 (x  5)  (x  5) c) 3 (2.x 1)  9.81 Lời giải a) Ta có x x 3 2  2  144 x x 3 2  2 .2  144 x 3 2 .(1  2 )  144 x 2  144 : 9 x 2  16 x 4 2  2  x  4 Vậy x  4 b) Ta có 2022 2021 (x  5)  (x  5) 2022 2021 (x  5)  (x  5)  0 2021 (x  5) (x  5 1)  0 2021 (x  5)  0  x510 x  5  0   x  6  0 x  5   x  6
Vậy x  5 ho ặc x  6 c) Ta có 3 (2.x 1)  9.81 3 3 (2.x  1)  9 2.x 1  9 2.x  9 1 2.x  8   x 4 Vậy x  4
Bài 4. Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 2x – 1 5
thỏa mãn điều kiện 2x – 1 6 100 <5  5 . 59 Lời giải Ta có: 2x – 1 6 100  5  5 2 2x 1  6  5  100  5  5  2  2x –1 6  2 1 2x  6 1  3  2x  7 Vì x  nên suy ra: x 2;  3 là thỏa mãn.
Bài 5. So sánh các số sau. 2n a) 3 và 3n 2 20 b) 199 và 15 2003 99 c) 3 và 21 11 Lời giải a) Ta có 2n 2 n n 3  (3 )  9 3n 3 n n 2  (2 )  8 Mà 8  9 nên n n 8  9 . Vậy 2n 3n 3  2 b) Ta có 20 20 3 2 20 60 40 199  200  (2 .5 )  2 .5 và 15 15 4 3 15 60 45
2003  2000  (2 .5 )  2 .5 Mà 60 40 60 45 2 .5  2 .5 . Vậy 15 20 2003  199 c) Ta có 21 21 3 21 63 99
11  27  (3 )  3  3 Vậy 21 99 11  3 60 CHUYÊN ĐỀ 4:
TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ DẤU HIỆU CHIA HẾT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất chia hết của một tổng (hiệu).
* Tính chất 1: Nếu a m và b m thì a bm , a b ;
m (a b)
* Tính chất 2: Nếu a m và b m thì a b  m , a b  ;
m (a b)
* Tính chất 3: Nếu a m thì k.a ( m k N )
* Tính chất 4: Nếu a m và b m thì a.b m.n
Đặc biệt: Nếu a m thì n n *
a m (n N ) Mở rộng:
* Nếu a m và b m thì k.a l.b (
m k,l N )
* Nếu a m và a bm thì b m
* Nếu a m và a b  m thì b m
2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
* a 2 khi và chỉ khi a có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
* a 5 khi và chỉ khi a có chữ số tận cùng là 0; 5.
* a 3khi và chỉ khi tổng các chữ số của a chia hết cho 3.
* a 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của a chia hết cho 9. Mở rộng:
* Nếu a 4 hoặc a 25 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của tạo thành một số chia hết cho 4 hoặc 25
* Nếu a 8 hoặc a 125 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của tạo thành một số chia hết cho 8 hoặc 125
* Nếu a 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng lẻ của a trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn của a ( hoặc
ngược lại ) chia hết cho 11.
Ví dụ: Số 908347 11 vì 9  8  4  0  3  7  11 11
3. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Nhận biết một số chia hết cho 2; 3; 5; 9 Phương pháp:
* Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
* Tính chất chia hết của một tổng, tích, hiệu.
* Lưu ý: Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng một số chia hết cho 3 chưa chắc đã chia hết cho 9.
Dạng 2: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia có dư
Phương pháp: Áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
Dạng 3: Chứng minh quan hệ chia hết 61
Phương pháp: -Áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
- Dấu hiệu chia hết cho cả 2 và 5 ; chia hết cho cả 3 và 9
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Chọn câu trả lời đúng. Trong các số 2055; 6430; 5041; 2341; 2305
A. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2341
B. Các số chia hết cho 3 là 2055 và 6430.
C. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2305.
D. Không có số nào chia hết cho 3. Câu 2.
Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định sau:
A. 4 + 16 chia hết cho 4;
B. 16 + 17 chia hết cho 8
C. 36 + 34 chia hết cho 6;
D. 30 + 1 chia hết cho 3 Câu 3.
Xét xem tổng B = 25 + 35 + 10 - 5 chia hết cho số nào?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 4.
Cho tổng C = 16 + 20 + 28 không chia hết cho số nào? A. 4 B. 6 C. 8 D .2
Câu 5. Trong các tổng sau, tổng nào chia hết cho 7 A. 14 + 35 B. 21 + 15 C. 17 + 49 D. 70 + 27
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
A. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3
B. Những số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
C. Những số có chữ số tận cùng là 3 thì chia hết cho 3
D. Những số có chữ số tận cùng là 3 hoặc 9 thì chia hết cho 9 Câu 7. Hãy chọn câu sai
A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3
B. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9.
C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5
D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9 Câu 8.
Tổng chia hết cho 5 là A. 10 + 25 + 34 + 2000 B. 5 + 10 + 70 + 1995 C. 25 + 15 + 33 + 45
D. 12 + 25 + 2000 + 1997 Câu 9.
Từ 3 trong 4 sô 5; 6; 3; 0, hãy ghép thành số có 3 chữ số khác nhau là số nhỏ nhất chia hết cho 2 và 5. 62 A. 350 B. 530 C. 360 D. 560 Câu 10.
Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? A. 60 + 18 + 3 B. 600 - 15 C. 30 + 54+132 D. 126 + 48 - 20
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 11.
Tìm giá trị của * để 4*7 chia hết cho 9 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 Câu 12.
Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho a3b chia hết cho 2, 3, 5, 9? A. a = b =0 B. a = 6; b = 5 C. a = 3; b = 0 D. a = 6; b = 0 Câu 13.
Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 3? A. 30 số B. 31 số C. 32 số D. 33 số Câu 14.
Chọn khẳng định Đúng nhất trong các khẳng định sau:
Nếu a 6 và b 6 thì tổng a + b chia hết cho: A. 6 B. 2 C. 3 D. cả 2; 3; 6 Câu 15.
Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì tổng a + b . Chọn đáp án đúng
A. Chia hết cho 2
B. Không chia hết cho 2
C. Có tận cùng là chữ số 2.
D. Có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16.
Cho A = 12 + 15 + 36 + x , x  N . Tìm điều kiện của x để A không chia hết cho 9.
A. x chia hết cho 9
B. x không chia hết cho 9 C. x chia hết cho 4 D. x chia hết cho 3 Câu 17.
Tìm số tự nhiên x để A = 75 + 1003 + x chia hết cho 5 A. x 5 B. x chia cho 5 dư 1 C. x chia cho 5 dư 2 D. x chia cho 5 dư 3 Câu 18.
Cho số A a785b . Tìm tổng các chữ số a,b sao cho A chia 9 dư 2
A. a b 9;1  8
B. a b 0;9  ;18
C. a b 1; 2;  3
D. a b 4;5;  6 63 Câu 19.
Cho số N  3a74b chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2. Khi đó a - b là: A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 Câu 20.
Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 9 không. A. Chia hết B. Không chia hết.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, số nào chia hết cho 5:
483; 572; 330; 615; 298 Câu 2.
Trong các số sau: 120; 235; 476; 250; 423; 261; 735; 122; 357
a) Số nào chia hết cho 2.
b) Số nào chia hết cho 5.
c) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
d) Số nào chia hết cho cả 2 và 5. Câu 3.
Trong các số sau: 372; 261; 4262;7372;5426;65426;7371.
a) Số nào chia hếtcho 3.
b) Số nào chia hết cho 9.
c) Số nào chia hết cho cả 3 và 9. Câu 4.
Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không?
a) 30 + 54 b) 600 - 15 c) 60 + 18 + 3 d)126 + 48 - 20 Câu 5.
Không làm tính, xét xem tổng sau có chia hết cho 12 không? Vì sao? a) 120 + 36
b) 120a + 36b ( với a ; b  N )
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Cho số A  200  , thay dấu * bởi chữ số nào để: a/ A chia hết cho 2 b/ A chia hết cho 5
c/ A chia hết cho 2 và cho 5 Câu 7.
Cho số B  20  5 , thay dấu * bởi chữ số nào để: a/ B chia hết cho 2 b/ B chia hết cho 5
c/ B chia hết cho 2 và cho 5 Câu 8.
Thay mỗi chữ bằng một số để:
a) 972  200a chia hết cho 9. 64
b) 3036  52a2a chia hết cho 3 Câu 9.
Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 a) 2002 * b) *9984 Câu 10.
Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư 12. Hỏi a có chia hết cho 4 ; cho 9 không vì sao ?
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Câu 11.
Tìm các chữ số a và b biết rằng:
a) 25a2b 36 b) a378b 72 Câu 12.
Chứng minh rằng: a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b. Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. Câu 13.
Chứng tỏ rằng tổng ab+ba chia hết cho 11 Câu 14.
Chứng tỏ rằng: ab - ba chia hết cho 9 ( Với b > a ) Câu 15. Chứng tỏ rằng: 2 3 2012
A  1 4  4  4  ...  4 chia hết cho 21
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16. Chứng tỏ rằng: a) 100 6 - 1 chia hết cho 5. b) 20 10
21 - 11 chia hết cho 2 và 5 Câu 17.
a) Chứng minh rằng số aaa chia hết cho 3.
b) Tìm những giá trị của a để số aaa chia hết cho 9 Câu 18.
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2. Câu 19.
Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) n 12 n
b) 15  4nn ( với n < 4 ) Câu 20.
Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) ( n+13 ) n-5 ( với n  5) b) ( 15-2n ) n+ 
1 ( Với n  7) c) ( 6n+9 ) 4n- 
1 ( với n  1 )
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 65 C A D B A A B B A C C D D D B B C A B A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Chọn câu trả lời đúng. Trong các số 2055; 6430; 5041; 2341; 2305
A. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2341
B. Các số chia hết cho 3 là 2055 và 6430.
C. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2305.
D. Không có số nào chia hết cho 3. Lời giải: Chọn C.
Câu A sai vì có số 2341 không chia hết cho 5
Câu B sai vì có số 6430 không chia hết cho 3
Câu D sai vì trong các đáp án trên đều có số 2055 chia hết cho 3 Câu 2.
Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định sau:
A. 4 + 16 chia hết cho 4;
B. 16 + 17 chia hết cho 8
C. 36 + 34 chia hết cho 6;
D. 30 + 1 chia hết cho 3 Lời giải Chọn A Vì 4 4 và 16 4 nên 4+16 4 Câu 3.
Xét xem tổng B = 25 + 35 + 10 - 5 chia hết cho số nào? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải Chọn D
Vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5; B = 65 không chia hết cho2; 3;4 Câu 4.
Cho tổng C = 16 + 20 + 28 không chia hết cho số nào? A. 4 B. 6 C. 8 D .2 Lời giải Chọn B
Vì tổng C = 64 không chia hết cho 6
Câu 5. Trong các tổng sau, tổng nào chia hết cho 7 A.14 + 35 B. 21 + 15 C.17 + 49 D. 70 + 27 Lời giải 66 Chọn A
Vì A đều có các số hạng chia hết cho 7
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
A. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3
B. Những số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
C. Những số có chữ số tận cùng là 3 thì chia hết cho 3
D. Những số có chữ số tận cùng là 3 hoặc 9 thì chia hết cho 9 Lời giải Chọn A.
Vì 9 chia hết cho 3 nên số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 Câu 7. Hãy chọn câu sai
A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3
B. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9.
C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5
D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9 Lời giải Chọn B .
Câu B sai vì: Một số chia hết cho 3 thì chưa chắc đã chia hết cho 9. Ví dụ 3 chia hết cho 3
nhưng 3 không chia hết cho 9. Chọn đáp án B. Câu 8.
Tổng chia hết cho 5 là A. 10 + 25 + 34 + 2000 B. 5 + 10 + 70 + 1995 C. 25 + 15 + 33 + 45
D. 12 + 25 + 2000 + 1997 Lời giải Chọn B. Ta có:
5 5; 10 5; 70 5; 1995 5  (5 + 10 + 70 + 1995) 5 Câu 9.
Từ 3 trong 4 sô 5; 6; 3; 0, hãy ghép thành số có 3 chữ số khác nhau là số nhỏ nhất chia hết cho 2 và 5. A. 350 B. 530 C. 360 D. 560 Lời giải Chọn A. 67
Số chia hết cho 2 và 5 có tận cùng là 0 nên chữ số hàng đơn vị của các số này là 0.
Từ đó ta lập được các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 là: 560; 530; 650; 630; 350; 360.
Số nhỏ nhất trong các số trên là 350. Vậy số cần tìm là 350. Câu 10.
Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? A. 60 + 18 + 3 B. 600 - 15 C. 30 + 54+132 D. 126 + 48 - 20 Lời giải Chọn C
Vì C đều có các số hạng chia hết cho 6
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 11.
Tìm giá trị của * để 4*7 chia hết cho 9 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 Lời giải Chọn C. Ta có *0;1;...;  9
4*7 9  (4  * 7) 9 11* 9 mà *0;1;...;  9 => * = 7 Câu 12.
Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho a3b chia hết cho 2, 3, 5, 9? A. a = b =0 B. a = 6; b = 5 C. a = 3; b = 0 D. a= 6; b =0 Lời giải Chọn D. Ta có ; a b 0;1;...;  9 ; a  0 , 3
a b 2;5  b  0 3
a 0 3;9  a  3 0 9  a  3 9  a  6
Vậy với a = 6 ; b = 0 thì a3b chia hết cho 2, 3, 5, 9? Câu 13.
Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 3? A. 30 số B. 31 số C. 32 số D. 33 số Lời giải Chọn D.
Từ 1 đến 100 có các số chia hết cho 3 là: 3 ; 6 ; 9 ;…; 99
Có ( 99 - 3): 3 + 1 = 96:3+1 = 32 + 1 = 33 ( số ) Câu 14.
Chọn khẳng định Đúng nhất trong các khẳng định sau: 68
Nếu a 6 và b 6 thì tổng a + b chia hết cho: A. 6 B. 2 C. 3 D. cả 2; 3; 6 Lời giải Chọn D
Vì các số hạng đều chia hết cho 6 và 6 thì chia hết cho cả 2 và 3 Câu 15.
Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì tổng a + b . Chọn đáp án đúng
A. Chia hết cho 2
B. Không chia hết cho 2
C. Có tận cùng là chữ số 2.
D. Có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 Lời giải Chọn B
Theo tính chất 2: Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì a + b không chia hết cho 2
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16.
Cho A = 12 + 15 + 36 + x , x  N . Tìm điều kiện của x để A không chia hết cho 9.
A. x chia hết cho 9
B. x không chia hết cho 9 C. x chia hết cho 4 D. x chia hết cho 3 Lời giải Chọn B
Ta có: A = (12 + 15) + 36 + x
Vì 12 + 15 = 27 9; 36 9  (12 + 15 + 36) 9
Do đó để A không chia hết cho 9 thì x không chia hết cho 9 Câu 17.
Tìm số tự nhiên x để A = 75 + 1003 + x chia hết cho 5 A. x 5 B. x chia cho 5 dư 1 C. x chia cho 5 dư 2 D. x chia cho 5 dư 3 Lời giải Chọn C
Vì 75 5 ; 1003 chia 5 dư 3 nên để A chia hết cho 5 thì x chia 5 phải dư 2 để cộng số dư 3 thì chia hết cho 5 nên đáp án C Câu 18.
Cho số A a785b . Tìm tổng các chữ số a; b sao cho A chia 9 dư 2
A. a b 9;1  8
B. a b 0;9  ;18
C. a b 1; 2;  3
D. a b 4;5;  6 Lời giải Chọn A. 69 Ta có ; a b 0;1;...; 
9 ; a  0 A chia9 dư 2 => a + 7+8+5+b = 20 + a + b chia 9 dư 2 hay
a b 18 9 mà 18 9  a b9;1  8 Câu 19.
Cho số N  3a74b chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2. Khi đó a - b là: A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 Lời giải Chọn B.
N  3a74b vì N chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 nên tận cùng của N phải bằng 5.Vậy b = 5.
Mà N chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của N phải chia hết cho 9
Do đó 3 a  7  4  5 9  a 19 9  a  8 Vậy a- b = 8 - 5 = 3 Câu 20.
Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 9 không. A. Chia hết B. Không chia hết. Lời giải Chọn A. Ta có A = 1011121314...9899
Xét các số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số 10 ; 11 ; 12 ;...;98; 99 ; có ( 90 - 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số )
Tổng các chữ số hàng chục ( 1 + 2 +3+...+ 8+ 9 ) . 10 = 450
Tổng các chữ số hàng đơn vị ( 0+1 + 2 +3+...+ 8+ 9 ) . 9 = 405
Tổng các chữ số của A là: 450 + 405 = 855 mà 855 9 Vậy A chia hết cho 9.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.
Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, số nào chia hết cho 5:
483; 572; 330; 615; 298 Lời giải.
 Các số chia hết cho 2 là: 572; 330; 298
 Các số chia hết cho 5 là: 330; 615 . Câu 2.
Trong các số sau: 120; 235; 476; 250; 423; 261; 735; 122; 357
a) Số nào chia hết cho 2.
b) Số nào chia hết cho 5.
c) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
d) Số nào chia hết cho cả 2 và 5. Lời giải
a) Số chia hết cho 2 là 120; 476; 250; 122 70
b) Số chia hết cho 5 là: 120; 235; 250; 735
c) Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là 476; 122
d) Số chia hết cho cả 2 và 5 là 120; 250 Câu 3.
Trong các số sau: 372; 261; 4262;7372;5426;65426;7371.
a) Số nào chia hết cho 3.
b) Số nào chia hết cho 9.
c) Số nào chia hết cho cả 3 và 9. Lời giải
a) Số chia hết cho 3 là: 372; 261; 7371 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 3)
b) Số chia hết cho 9 là: 7371; 261 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 9)
c) Số chia hết cho cả 3 và 9: 7371; 261 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 3)
(Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3) Câu 4.
Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? a) 30 + 54
b) 600 - 15 c) 60 + 18 + 3 d)126 + 48 - 20 Lời giải.
a) vì 30 6 và 54 6 nên 30 + 54 6
b) vì 600 6 và 15  6 nên 600 - 15  6
c) vì 60 6 và 18 6 và 3  6 nên ( 60 + 18 + 3 )  6
d) vì 126 6 và 48 6 và 20  6 nên 126 + 48 - 20  6 Câu 5.
Không làm tính, xét xem tổng sau có chia hết cho 12 không? Vì sao? a) 120 + 36
b) 120a + 36b ( với a ; b  N ) Lời giải.
a) Ta có 120 12 và 36 12 nên (120 + 36) 12
b) 120a=12.10.a 12 và 36b=12.3.b 12 nên (120a + 36b) 12
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6.
Cho số A  200  , thay dấu * bởi chữ số nào để: a/ A chia hết cho 2 b/ A chia hết cho 5
c/ A chia hết cho 2 và cho 5 Lời giải
a/ A 2 thì *  { 0, 2, 4, 6, 8} 71
b/ A 5 thì *  { 0, 5}
c/ A 2 và A 5 thì *  0 Câu 7.
Cho số B  20  5 , thay dấu * bởi chữ số nào để: a/ B chia hết cho 2 b/ B chia hết cho 5
c/ B chia hết cho 2 và cho 5 Lời giải
a) Vì chữ số tận cùng của B là 5 khác 0, 2, 4, 6, 8 nên không có giá trị nào của * để B 2
b) Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên B 5 nên *0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;  9
c) Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên không có giá trị nào của * để B 2 và B 5 Câu 8.
Thay mỗi chữ bằng một số để:
a) 972  200a chia hết cho 9.
b) 3036  52a2a chia hết cho 3 Lời giải
a/ Do 972 9 nên (972+200a) 9 khi 200a 9 . Ta có 2  0  0  a  2  a 9 khi a = 7
Vậy với a = 7 thì (972+200a) 9
b/ Do 3036 3 nên (3036  52a2 )
a 3 khi 52a2a 3 . Ta có 5  2  a  2  a  9  2a 3 khi
2a 3  a  0;3;6;9
Vậy với a  0;3;6;9 thì 3036  52a2a chia hết cho 3 Câu 9.
Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 a) 2002 * b) *9984 Lời giải
a) Theo đề bài ta có (2  0  0  2 *)  (4 *) 3 ; (4  *)  9
suy ra 4 + * = 6 hoặc 4 + * = 12 nên * = 2 hoặc * = 8. Vậy với *2; 
8 thì 2002 * chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
b) Tương tự * = 3 hoặc * = 9. Câu 10.
Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư 12. Hỏi a có chia hết cho 4; cho 9 không vì sao ? Lời giải
Gọi thương là q (q  N )
Ta có a  36q 12 72
36q=4.9.q 4 và12 4 nên a= 36q + 12 4
36q=4.9.q 9 và 12  9 nên a= 36q + 12  9
Vậy a có chia hết cho 4; không chia hết cho 9
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Câu 11.
Tìm các chữ số a và b biết rằng:
a) 25a2b 36
b) a378b 72 Lời giải
a) Vì 25a2b 36 nên 25a2b 4 và 9
mà 25a2b 4 nên 2b 4  b 0;4;  8
* Nếu b = 0 thì ta có 25a20 9  2  5  a  2  0 9 hay a  9 9  a 0;  9
* Nếu b = 4 thì ta có 25a24 9  2  5  a  2  4 9 hay a 13 9  a  5
* Nếu b = 8 thì ta có 25a28 9  2  5  a  2  8 9 hay a 17 9  a  1
Vậy a 0;1;5;9; b 0;4;8  thì 25a2b 36
b) a378b 72 nên a378b 8 và 9
* Vì a378b 8 nên 78b 8  b  4
* Vì a378b 9 nên a  3  7  8  4 9  22  a 9  a  5
Vậy a  5 và b  5 thì a378b 72 Câu 12.
Chứng minh rằng: a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b. Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. Lời giải
a. Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn
 Số chẵn đó chia hết cho 2
Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b. Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n ; n +1; n+2
+ Nếu n = 3k 3 (k  N) n( n +1)(n+2) 3
+Nếu n = 3k+1 (k  N) n+2= 3k+3 = 3(k+1) 3  n( n +1)(n+2) 3
+Nếu n = 3k+2 (k  N) n+1= 3k+3 = 3(k+1) 3  n( n +1)(n+2) 3
 Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Vậy tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. Câu 13.
Chứng tỏ rằng tổng ab+ba chia hết cho 11 73 Lời giải
Ta có ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11. (a+b) chia hết cho 11 Câu 14.
Chứng tỏ rằng: ab - ba chia hết cho 9 ( Với b > a ) Lời giải
Ta có ab - ba = (10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9.(b - a) chia hết cho 9 ( b > a ) Câu 15. Chứng tỏ rằng: 2 3 2012
A  1 4  4  4  ...  4 chia hết cho 21 Lời giải 2 3 2012 2 3 4 5 2010 2011 2012
A  1 4  4  4  ...  4
 (1 4  4 )  (4  4  4 ) ... (4 4  4 ) 2 3 2 2010 2
 (1 4  4 )  4 (1 4  4 ) ... 4 (1 4  4 ) 3 2010 3 2010  21 21.4 ... 21.4  21.(1 4  ... 4 ) 21 Vì 21 21 Vậy 2 3 2012
A  1 4  4  4  ... 4 21
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16. Chứng tỏ rằng: a) 100 6 - 1 chia hết cho 5. b) 20 10
21 - 11 chia hết cho 2 và 5 Lời giải a) 100 6
có chữ số hàng đơn vị là 6 (VD 1 2 3 4
6 = 6; 6 = 36; 6 = 216; 6 = 1296; ... ) suy ra 100 6
- 1 có chữ số hàng đơn vị là 5. Vậy 100 6 - 1 chia hết cho 5.
b) Vì 1n  1(n N ) nên 20 21 và 10
11 là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1, suy ra 20 10
21 - 11 là số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0. Vậy 20 10
21 - 11 chia hết cho 2 và 5 Câu 17.
a) Chứng minh rằng số aaa chia hết cho 3.
b) Tìm những giá trị của a để số aaa chia hết cho 9 Lời giải
a) aaa ta có a + a + a = 3a chia hết cho 3. Vậy aaa chia hết cho 3.
b) aaa chia hết cho 9 khi a + a + a = 3a (với a = 1,2,3,…,9) chia hết cho 9 khi a = 3 hoặc a = 9 .
Vậy với a = 3hoặc a = 9 thì aaa chia hết cho 9 Câu 18.
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2. Lời giải
Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1hoặc n = 2k
+ Với n = 2k + 1 ta có: (n + 3)(n + 6) = (2k + 1 + 3)(2k + 1 + 6) = (2k + 4) (2k + 7)
= 2(n + 2)(2k + 7) chia hết cho 2.
+ Với n = 2k ta có: (n + 3)(n + 6) = (2k + 3)(2k + 6)= 2(2k + 3)(k + 3) chia hết cho 2. 74
Vậy với mọi nN thì (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2. Câu 19.
Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) n 12 n
b) 15  4nn n  4 Lời giải
a) Ta có n 12 n mà n n  12 n n 1; 2;3; 4;6;1  2
Vậy với n 1;2;3;4;6;1  2 thì ( n + 12 ) n
b) Ta có 15  4n n mà 4n n  15 n n 1;3; 
5 mà n < 4 nên n 1;  3
Vậy với n 1; 
3 thì ( 15 - 4n ) n ( với n < 4 ) Câu 20.
Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) ( n+13 ) n-5 ( với n  5) b) ( 15-2n ) n+ 
1 ( Với n  7) c) ( 6n+9 ) 4n- 
1 ( với n  1 ) Lời giải
a) ( n+13 ) n-5 ( với n  5)
Ta có ( n+13 ) n-5  (n 13)  (n  5) n  5
n 13 n  5 n  5  18 n  5  n  51;2;3;6;9;1  8 n-5 1 2 3 6 9 18 n 6 7 8 11 14 23
Vậy: với n 6;7;8;11;14;2  3 thì ( n+13 ) n-5 b) ( 15-2n ) n+  1 ( với n  7 ) Ta có ( 15-2n ) n+ 
1  (15  2n)  2(n 1) n 1
 15  2n  2n  2 n 1  17 n 1 n 11;1  7 n+1 1 17 n 0 16 Mà n  7
Vậy: với n  0 thì ( 15-2n ) n+  1 c) ( 6n+9 ) 4n-  1 ( với n  1 ) Ta có ( 6n+9 ) 4n- 
1  2(6n  9)  3(4n 1) 4n 1
12n 18 12n  3 4n 1  21 4n 1 4n 11;3;7;2  1 75 4n-1 1 3 7 21 1 11 n 1 2 2 2
Mà n N; n  1 Vậy: với n = 1 ; 2 thì ( 6n+9 ) 4n-  1 76 CHUYÊN ĐỀ 5:
SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ.
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. I.KIẾN THỨC 1. Số nguyên tố
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 có 2 ước dương là 1 và chính nó.
+ Số nguyên tố nhỏ nhất là 2 , đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.Tất cả số nguyên tố còn lại đều là số lẻ. 2. Hợp số
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn 2 ước dương.
3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
+ Là viết số đó dưới dạng tích của nhiều thừa số, mỗi thừa số là một số nguyên tố hoặc là lũy thừa của một số nguyên tố.
+ Dù phân tích một thừa số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được một kết quả duy nhất.
4. Số nguyên tố cùng nhau.
+ Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi UCLN của chúng bằng 1.
+ Hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. 5. Hệ quả.
+ Để kiểm tra số a có là số nguyên tố hay không, ta có thể chia a lần lượt cho các số nguyên tố 2;3;
; p , với p là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn 2
p a . Nếu không có phép chia hết nào thì a là
số nguyên tố, trái lại a là hợp số.
Ví dụ. Để xét số 103 có là số nguyên tố hay không ta xác định 7 là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn 2
7  103 (vì số nguyên tố tiếp theo là 11 có 2
11  121  103 ). Ta chia 103 lần lượt cho 2;3;5; 7 và
thấy không có phép chia hết nào. Vậy 103 là số nguyên tố.
+ Tập hợp các số nguyên tố có vô hạn phần tử. Do vậy, không có số nguyên tố lớn nhất.
+ Nếu số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố được: 1 n 2 a p . n k n p p
, trong đó p , p , , p là các số nguyên tố khác nhau, thì số ước của a là 1 2 k 1 2 k
n 1 . n 1 n 1 . 1   2   k II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Kiểm tra số,biểu thức là sốnguyên tố hay hợp số Phương pháp :
Với n N*, n > 1 ta kiểm tra theo các bước sau :
Tìm số nguyên tố k sao cho : k 2 n (k +1)2
Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ? 77
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là số nguyên tố
Dạng 2. Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố Phương pháp:
Dựa vào tính chất số nguyên tố chỉ có 2 ước dương là 1 và chính nó
Dựa vào dấu hiệu chia hết
Dạng 3. Các bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau Phương pháp:
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau  ƯCLN(a, b) = 1.
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau  ƯCLN(a, b, c) = 1.
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau
 ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) = 1.
Dạng 4. Chứng minh chia hết Phương pháp :
Dựa trên đặc điểm dấu hiệu chia hết của số nguyên tố để tìm ra dạng tổng quát mỗi số nguyên
tố thoả mãn yêu cầu bài toán, từ đó dựa trên dấu hiệu chia hết để chứng minh
Dạng 5. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của một số, để ước lượng số ước của số đó Phương pháp:
Khi phân tích số ra thừa số nguyên tố, giả sử m = a.b. Lúc đó ta được các ước của m là: 1, a, b và a.b
Khi phân tích số m ra thừa số nguyên tố: - Nếu  x m
a thì có x  1 ước x y z
Nếu ma .b .c thì m cóx   1 . y   1 . z   1 ước
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Câu 1:
Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 2 , 4 , 13 , 19 , 25 , 31
A. 2 , 4 , 13 , 19 , 3 .
B. 4 , 13 , 19 , 25 , 31. C. 2 , 13 , 19 , 31. D. 2 , 4 , 13 , 19 . Câu 2:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số 2 là số nguyên tố bé nhất.
B. Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
C. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.
D. Có 2 số tự nhiên liên tiếp là số nguyên tố. Câu 3:
Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là? A. 1, 3 , 5 . B. 3 , 5 , 7 . C. 5 , 7 , 9 . D. 7 , 9 , 11. Câu 4:
Chọn phân tích thành thừa số nguyên tố đúng 78 A. 98  2.49 . B. 145  5.29 . C. 81  9.9 . D. 100  2.5.10. Câu 5:
Phân tích số 18 ra thừa số nguyên tố A. 18  18.1. B. 18  10  8 . C. 2 18  2.3 .
D. 18  6  6  6
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU. Câu 6:
Chọn phát biểu sai:
A. Số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2,3,5, 7 .
B. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
C. Số 0 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
D. Số 1 là số nguyên tố bé nhất. Câu 7:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
B. Cho số a 1, a có 2 ước thì a là hợp số.
C. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
D. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước 1 và chính nó. Câu 8:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A  0 
;1 là tập hợp số nguyên tố.
B. A  3; 
5 là tập hợp số nguyên tố.
C. A  1;3; 
5 là tập hợp các hợp số.
D. A  7; 
8 là tập hợp các hợp số. Câu 9:
Cho các số 21 ; 71 ; 77 ; 101. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?
A. Số 21 là hợp số, các số còn lại là số nguyên tố.
B. Có hai số nguyên tố và hai số là hợp số trong các số trên.
C. Chỉ có một số nguyên tố, còn lại là hợp số.
D. Không có số nguyên tố nào trong các số trên
Câu 10: Kết quả của phép tính nào sau đây là số nguyên tố A. 15  5  3. B. 7.2 1. C. 14.6 : 4 . D. 6.4 12.2 .
Câu 11: Số nào sau đây là số nguyên tố? A. 149 . B. 155 . C. 162 . D. 175 .
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Câu 12: Tìm 2 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tích của hai số đó bằng 42? A. 4, 5. B. 5, 6 . C. 6, 7 . D.7,8 .
Câu 13: Tính số ước của số 126? A. 10 . B. 12 . C. 14 . D. 1.
Câu 14: Tìm số tự nhiên a sao cho 6a là số nguyên tố?
A. a 1; a  3.
B. a 1 ; a  5 .
C. a  3; a  7 .
D. a 1 ; a  7 .
Câu 15: Tìm số tự nhiên x để được số nguyên tố 3x 79 A. 7 . B. 4 . C. 6 . D. 9 . Câu 16: Cho 2
a  2 .7 , hãy viết tập hợp tất cả các ước của a
A. Ö a  4;  7 .
B. Ö a  1; 4;  7 .
C. Ö a  1; 2; 4;7; 2  8 .
D. Ö a  1; 2; 4;7;14; 2  8 .
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Câu 17 : Cho 2 a . .
b 7  140, với a , b là các số nguyên tố, vậy a có giá trị bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 18 : Cho số 2
150  2.3.5 , số lượng ước của 150 là bao nhiêu? A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 12
Câu 19 : Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601
A. 2, 599 B. 3, 598 C. 37, 564 D. 59, 542
Câu : Tìm số nguyên tố p sao cho 5 p  7 là số nguyên tố. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Bài 1:
Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5  6.7 c) 5.7.9.11 2.3.4.7 b) 3.5.7 11.13.17 d) 16354  67541. Bài 2:
Tìm hai số nguyên tố có tổng bằng 309. Bài 3:
Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó. Bài 4:
Tìm các ước của số sau: a) 33 b) 81 c) 45
Bài : Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố; a) ; b)
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU. Bài 1:
Cho a  2.3.4.5.2008 . Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không
a  2, a  3, a  4,., a  2008 . Bài 2:
Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố. Bài 3:
Tìm số tự nhiên n sao cho p  n   2
2 n n  5 là số nguyên tố. Bài 4:
Mỗi số sau có bao nhiêu ước? a) 200 b) 720
Bài : Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: a) 2012 2001 b) 2.9.2012
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. 80 Bài 1:
Tìm số nguyên tố p , sao cho p  2 và cũng là các số nguyên tố. Bài 2:
Tìm chữ số a để 23a là số nguyên tố. Bài 3:
Chứng minh rằng: Mọi số nguyên dương n , các số 21n  4 và 14n  3 nguyên tố cùng nhau. Bài 4:
Cho p và p  2 là các số nguyên tố ( p  3 ). Chứng minh rằng p  1 6 . Bài 5:
Cho p là số nguyên tố và một trong 2 số 8p+1 và 8p-1 là 2 số nguyên tố, hỏi số thứ 3 (ngoài
2 số nguyên tố, số còn lại) là số nguyên tố hay hợp số?
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Bài 1:
Cho p và 2 p 1 là các số nguyên tố p  3 . Hỏi 4 p 1 là số nguyên tố hay hợp số ? Bài 2:
Cho p và p  4 là các số nguyên tố p  3 . Chứng tỏ rằng: p  8 là hợp số. Bài 3:
Chứng minh rằng:
a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0 ) là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) 2n 1 và 3n 1 ( n
) là hai số nhuyên tố cùng nhau. Bài 4:
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau cũng là hai số
nguyên tố cùng nhau.
a) a và a b . b) 2 a và a b
c) ab và a b . Bài 5:
Chứng tỏ rằng nếu p a b là một số nguyên tố thì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 6:
Tìm ÖCLN 7n  3,8n   1 với ( * n
). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. Bài 7:
Tìm số tự nhiên n để các số 9n  24 và 3n  4 là các số nguyên tố cùng nhau. Bài 8:
Nếu n  3k 1. Cho n là số nguyên tố không chia hết cho 3 . Chứng minh rằng 2 n chia cho 3 dư 1. Bài 9:
Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 . Hỏi 2
p  2003 là số nguyên tố hay hợp số.
Bài 10: Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p   1  p   1 24 . Bài 11: Tìm * n
biết: 2  4  6  2n  756 . 81
D. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B B C D B B B A A C
13 14 15 16 17 18 19 20 D B D A D B D B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Câu 1:
Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 2 , 4 , 13 , 19 , 25 , 31
A. 2 , 4 , 13 , 19 , 3 .
B. 4 , 13 , 19 , 25 , 31. C. 2 , 13 , 19 , 31. D. 2 , 4 , 13 , 19 . Chọn C Câu 2:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số 2 là số nguyên tố bé nhất.
B. Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
C. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.
D. Có 2 số tự nhiên liên tiếp là số nguyên tố. Chọn B Câu 3:
Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là? A. 1, 3 , 5 . B. 3 , 5 , 7 . C. 5 , 7 , 9 . D. 7 , 9 , 11. Chọn B Câu 4:
Chọn phân tích thành thừa số nguyên tố đúng A. 98  2.49 . B. 145  5.29 . C. 81  9.9 . D. 100  2.5.10. Chọn B Câu 5:
Phân tích số 18 ra thừa số nguyên tố A. 18  18.1. B. 18  10  8 . C. 2 18  2.3 .
D. 18  6  6  6 Chọn C
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU. Câu 6:
Chọn phát biểu sai:
A. Số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2,3,5, 7 .
B. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
C. Số 0 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
D. Số 1 là số nguyên tố bé nhất. 82 Chọn D Câu 7:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
B. Cho số a 1, a có 2 ước thì a là hợp số.
C. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
D. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước 1 và chính nó. Chọn B Câu 8:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A  0 
;1 là tập hợp số nguyên tố.
B. A  3; 
5 là tập hợp số nguyên tố.
C. A  1;3; 
5 là tập hợp các hợp số.
D. A  7; 
8 là tập hợp các hợp số. Chọn B Câu 9:
Cho các số 21 ; 71 ; 77 ; 101. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?
A. Số 21 là hợp số, các ố còn lại là số nguyên tố.
B. Có hai số nguyên tố và hai số là hợp số trong các số trên.
C. Chỉ có một số nguyên tố, còn lại là hợp số.
D. Không có số nguyên tố nào trong các số trên Chọn B
Câu 10: Kết quả của phép tính nào sau đây là số nguyên tố A. 15  5  3. B. 7.2 1. C. 14.6 : 4 . D. 6.4 12.2 . Chọn A
Câu 11: Số nào sau đây là số nguyên tố? A. 149 . B. 155 . C. 162 . D. 175 . Chọn A
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12: Tìm 2 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tích của hai số đó bằng 42? A. 4, 5. B. 5, 6 . C. 6, 7 . D.7,8 . Chọn C
Câu 13: Tính số ước của số 126? A. 10 . B. 12 . C. 14 . D. 1. Chọn B
Câu 14: Tìm số tự nhiên a sao cho 6a là số nguyên tố?
A. a 1; a  3.
B. a 1 ; a  5 .
C. a  3; a  7 . D. a 1 ; a  7 . Chọn D
Câu 15: Tìm số tự nhiên x để được số nguyên tố 3x 83 A. 7 . B. 4 . C. 6 . D. 9 . Chọn A Câu 16: Cho 2
a  2 .7 , hãy viết tập hợp tất cả các ước của a
A. Ö a  4;  7 .
B. Ö a  1; 4;  7 .
C. Ö a  1; 2; 4;7; 2  8 .
D. Ö a  1; 2; 4;7;14; 2  8 . Chọn D
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Câu 17: Cho 2 a . .
b 7  140, với a , b là các số nguyên tố, vậy a có giá trị bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Chọn B
Câu 18: Cho số 2
150  2.3.5 , số lượng ước của 150 là bao nhiêu? A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 12 Chọn D
Câu 19 : Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601 A. 2, 599 B. 3, 598 C. 37, 564 D. 59, 542 Chọn A
Câu : Tìm số nguyên tố p sao cho 5 p  7 là số nguyên tố. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Chọn B
E. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUẬN
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Bài 1:
Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5  6.7 c) 5.7.9.11 2.3.4.7 b) 3.5.7 11.13.17 d) 16354  67541. Lời giải
a) Ta có: 3.4.5  6.7  34.5  2.7 3 và  3 nên 3.4.5  6.7 là hợp số
b) 3.5.7 là 1 số lẻ và 11.13.17 là 1 số lẻ nên 3.5.7 11.13.17 là số chẵn nên 3.5.7 11.13.17 2 và  2 . Vậy 3.5.7 1  1.13.17 là hợp số
c) 5.7.9.11 2.3.4.7  7 5.9.11 2.3.4 7 và  7 nên 5.7.9.11 2.3.4.7 là hợp số
d) 16354  67541 có chữ số tận cùng là 5 nên 16354  67541 5 và  5 nên 16354  67541 là hợp số Bài 2:
Tìm hai số nguyên tố có tổng bằng 309. Lời giải 84
Vì tổng hai số bằng 309 nên trong hai số có một số chẵn, một số lẻ. Vì hai số đều là số nguyên tố nên
số chẵn là 2, suy ra số lẻ là 307. Kiểm tra lại ta có 307 là số nguyên tố.
Vậy hai số nguyên tố cần tìm là 2 và 307. Bài 3:
Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó. Lời giải 3 54  2.3
Số ước của 54 là 1  1 3   1  8 ước
Các ước của 54 là 1; 2 ; 3 ; 9 ; 27 ; 6 ; 18 ; 54 Bài 4:
Tìm các ước của số sau: a) 33 b) 81 c) 45 Lời giải
a) 33  3.11  Ö 33  1;3;11;3  3 b) 4   Ö     2 3 4 81 3 81
1;3;3 ;3 ;3   1;3;9;27;8  1 c) 2
45  3 .5  Ö 45  1;3;9;5;15; 4  5
Bài 5 : Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố; b) Lời giải a) 180 2 b) 2034 2 90 2 1017 3 45 3 339 3 15 3 113 113 5 5 1 1 Vậy Vậy
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU. Bài 1:
Cho a  2.3.4.5.2008 . Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không
a  2, a  3, a  4,., a  2008 . Lời giải
Ta có: 2007 số trên đều là hợp số vì chúng lần lượt chia hết cho 2;3; 4;...; 2008 và lớn hơn 2 nên
a  2, a  3, a  4,..., a  2008 là hợp số Bài 2:
Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố. Lời giải
Vì 3.k chia hết cho 3 , nên để là số nguyên tố th ì 3k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Vậy k 1
Vì 7.k chia hết cho 7 , nên để là số nguyên tố thì 7k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Vậy k 1 Bài 3:
Tìm số tự nhiên n sao cho p  n   2
2 n n  5 là số nguyên tố. 85 Lời giải
Từ p  n   2
2 n n  5 suy ra n  2 và 2
n n  5 là ước của p .
Vì p là số nguyên tố nên n  2 1 hoặc 2
n n  5  1
Nếu n  2 1 thì n  3 Khi đó p  1. 2
3  3  5  7 là số nguyên tố (thỏa mãn). Nếu 2
n n  5  1 2
n n  6  nn   1  2.3  n  2
Khi đó p  2  2.1  0 không là số nguyên tố. Vậy n  3 . Bài 4:
Mỗi số sau có bao nhiêu ước? a) 200 b) 720 Lời giải a) 3 2 200  2.100  2 .5
Số lượng các ước của 200 là 3   1 .2   1  12 (ước) b) 4 2 720  8.9.10  2 .3 .5
Số lượng các ước của 720 là 4   1 .2   1 .1  1  30 (ước)
Bài :Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: a) 2012 2001 b) 2.9.2012 Lời giải
a) Phân tích số 2001 ra thừa số nguyên tố ta được: 2001  3.23.29 Từ đó suy ra: 2012 001   2012 2012 2012 20 21 2 3.23.29  3 .23 .29
b) Phân tích số 2012 ra thừa số nguyên tố ta được: 2 2012  2 .503 Từ đó suy ra:
III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Bài 1:
Tìm số nguyên tố p , sao cho p  2 và cũng là các số nguyên tố. Lời giải
Nếu p  2 thì p  2  4 và p  4  6 đều không phải là số nguyên tố.
Nếu p  3 thì p  2  5 và p  4  7 đều là số nguyên tố.
Nếu p  3 thì số nguyên tố p có một trong hai dạng: 3k 1, 3k  2 với .
Nếu p  3k 1 thì p  2  3k  3  3k   1
  p  2 3, mà p  2  3 nên p  2 là hợp số. 86
Nếu p  3k  2 thì p  4  3k  6  3k  2
  p  4 3, mà p  4  3 nên p  4 là hợp số
Vậy chỉ có duy nhất một số nguyên tố p thỏa mãn là p  3 Bài 2:
Tìm chữ số a để 23a là số nguyên tố. Lời giải Vì 23a  239 và 2 2
15  239  16 nên để 23a là số nguyên tố thì nó phải không chia hết cho các số
nguyên tố 2; 3; 5; 7; 11; 13.
Vì 23a 2 nên a 1;3;5;7;  9
Vì 23a 5 nên a 1;3;7;  9
Vì 23a 3 nên a 3;  9 Vậy a 3;  9
Thử lại ta có 233 và 239 thỏa mãn. Bài 3:
Chứng minh rằng: Mọi số nguyên dương n , các số 21n  4 và 14n  3 nguyên tố cùng nhau. Lời giải
Gọi d là ước chung 21n  4;14n  3  1421n  4  2114n  3  1 chia hết cho d
 1 d hay d 1
ÖC21n 1;14n  3 1  21n 1 và 14n 3 nguyên tố cùng nhau. Bài 4:
Cho p và p  2 là các số nguyên tố ( p  3 ). Chứng minh rằng p  1 6 . Lời giải
Vì p là số nguyên tố và p  3 , nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k 1, 3k  2 với * k
- Nếu p  3k 1 thì p  2  3k  3  3k  
1  p  2 3 và p  2  3 . $
p  2 là hợp số (trái với đề bài p  2 là số nguyên tố).
- Nếu p  3k  2 thì p 1  3k  3  3k   1   1
Do p là số nguyên tố và p  3  p lẻ  k lẻ  k 1 chẵn  k 1 2 2 Từ  
1 và 2  p 1 6 .
Bài : Cho p là số nguyên tố và một trong 2 số 8p+1 và 8p-1 là 2 số nguyên tố, hỏi số thứ 3 (ngoài 2
số nguyên tố, số c n lại) là số nguyên tố hay hợp số? Lời giải
Với ta có là hợp số, còn là số nguyên tố.
Với p  3 ta có , 8p, là 3 số nguyên tố liên tiếp nên có một số chia hết cho .Do p là
nguyên tố khác nên không chia hết cho do đó hoặc có một số chia hết cho .
Vậy số thứ là hợp số. 87
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Bài 1:
Cho p và 2 p 1 là các số nguyên tố p  3 . Hỏi 4 p 1 là số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 3  4 p 3 .
Do 2 p 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2 p 1 3  22p   1 3 hay 4 p  2 3.
Mặt khác, trong ba số tự nhiên liên tiếp 4 p ; 4 p 1; 4 p  2 luôn có một số chia hết cho 3 , do đó
4 p 1 3 . Mà 4 p 1  3, nên 4 p 1 là hợp số. Bài 2:
Cho p và p  4 là các số nguyên tố p  3 . Chứng tỏ rằng: p  8 là hợp số. Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2.
Nếu p  3k  2 thì p  4  3k  6 3  loại.
Nếu p  3k 1 thì p  7  3k  8 3
 2 p  7 3 hay 2p 14 3.
Trong ba số tự nhiên liên tiếp 2 p 14; 2 p 15; 2 p 16 luôn có một số chia hết cho 3, mà
2 p 14 3 và 2 p 15 3 nên 2 p 16 3 hay 2 p  8 3
  p 8 3, vì 2,3 1 p 8 là hợp số. Bài 3:
Chứng minh rằng:
a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0 ) là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) 2n 1 và 3n 1 ( n
) là hai số nhuyên tố cùng nhau. Lời giải a) Gọi d  ÖC , n n   1  n  
1  n d  1 d d  1.
Vậy n và n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi d  ÖC2n 1, 2n  3  2n  3  2n  
1 d  2 d d 1,  2 .
Nhưng d  2 vì d là ước của số lẻ. Vậy d 1.
c) Gọi d ƯC 2n 1,3n   1  32n   1  23n  
1 d  1 d  1 d . Bài 4:
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau cũng là hai số
nguyên tố cùng nhau.
a) a và a b . b) 2 a và a b
c) ab và a b . Lời giải
a) Gọi d ƯC a, a b  a b  a d b d . Ta lại có a d nên d ƯC a,b , do đó d 1 (vì a ,
b là hai số nguyên tố cùng nhau). 88
Vậy a, a b  1. b) Giả sử 2
a và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d thì a chia hết cho d , do đó b cũng chia hết
cho d . Như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết a,b  1. Vậy 2
a và a b là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) Giả sử ab và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d . Tồn tại một trong hai thừa số a và b ,
chẳng hạn là a , chia hết cho d , do đó b cũng chia hết cho d , trái với a,b  1. Vậy a ,
b a b  1. Bài 5:
Chứng tỏ rằng nếu p a b là một số nguyên tố thì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải
Giả sử a và b là hai số không nguyên tố cùng nhau.
Ta suy ra a và b phải có ít nhất một ước số chung d  1  a d và b d
Do đó: a b d p d
Số tự nhiên p , ngoài 1 và p còn có một ước số chung d  1 nên p là một hợp số, trái với dề bài đã cho.
Vậy a và b là nguyên tố cùng nhau nếu p a b là một số nguyên tố. Bài 6:
Tìm ÖCLN 7n  3,8n   1 với ( * n
). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. Lời giải
Gọi ƯCLN 7n  3,8n   1  d với ( * n  )
Ta có: 7n  3 d , 8n 1 d .
 8.7n  3 – 7.8n  
1 d  31 d d 1 hoặc 31 .
Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d  31 .
Mà 7n  3 31  7n  3  31 31  7 n  4 31
n – 4 31 (vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)
n  31k  4 (với k là số tự nhiên)
Do đó d  31  n  31k  4 .
Vậy hai số 7n  3 , 8n –1 nguyên tố cùng nhau khi n  31k  4 (với k là số tự nhiên). Bài 7:
Tìm số tự nhiên n để các số 9n  24 và 3n  4 là các số nguyên tố cùng nhau. Lời giải
Giả sử 9n  24 và 3n  4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì 89
9n  24  33n  4 d 12 d d 2;  3 .
Điều kiện để 9n  24,3n  4 1 là d  2 và d  3 . Hiển nhiên d  3 vì 3n  4 không chia hết cho
3 . Muốn d  2 phải có ít nhất một trong hai số 9n  4 và 3n  4 không chia hết cho 2 . Ta thấy:
9n  4 là số lẻ  9n lẻ  n lẻ,
3n  4 là số lẻ  3n lẻ  n lẻ.
Vậy điều kiện để 9n  4,3n  4  1 là n là số lẻ. Bài 8:
Nếu n  3k 1. Cho n là số nguyên tố không chia hết cho 3 . Chứng minh rằng 2 n chia cho 3 dư 1. Lời giải Ta có 2
n  3k   1 3k   1 hay 2
n  3k 3k   1  3k 1 Rõ ràng 2 n chia cho 3 dư 1
Nếu n  3k  2 thì 2
n  3k  23k  2 hay 2
n  3k 3k  2  23k  2  3k 3k  2  6k  3 1 nên 2 n chia cho 3 dư 1. Bài 9:
Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 . Hỏi 2
p  2003 là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3 . Vậy 2
p chia cho 3 dư 1 tức là 2 p  3k 1 do đó 2
p  2003  3k 1 2003  3k  2004 3 Vậy 2
p  2003 là hợp số.
Bài 10: Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p   1  p   1 24 . Lời giải
- Vì trong ba số tự nhiên liên tiếp p 1; p; p 1 luôn có một số chia hết cho 3, mà p là số nguyên
tố lớn hơn 3 nên trong hai số p 1; p 1 có một số chia hết cho 3   p   1  p   1 3   1
- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ  p 1 và p 1 là hai số chẵn liên tiếp   p   1  p   1 8 2 Từ  
1 , 2 và 3,8  1 nên  p   1  p   1 3.8 hay  p   1  p   1 24. Bài 11: Tìm * n
biết: 2  4  6  2n  756 . Lời giải
Số số hạng trong vế trái là: 2n  2 : 2 1  n   1 1  n
Khi đó: 2  4  6  2n  2n  2n : 2  . n n   1
Phân tích số 756 thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp: 90 2 3 756  2 .3 .7  27. 8 2
Theo đề ra, ta có: nn  
1  27.28  n  27 Vậy n  27 91 CHUYÊN ĐỀ 6:
ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước chung và ước chung lớn nhất a) Ước chung:
Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b
Kí hiệu tập hợp ước chung của a và b là ƯC a ,b b) Ước chung lớn nhất:
Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b .
Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN a ,b
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số, ta thực hiện 4 bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất
Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.
c) Hai số nguyên tố cùng nhau:
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
2. Bội chung và bội chung nhỏ nhất a) Bội chung:
Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b .
Kí hiệu tập hợp bội chung của a và b là BC a ,b b) Bội chung nhỏ nhất:
Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b .
Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN a ,b
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số, ta thực hiện 4 bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất
Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.
c) Ứng dụng bội chung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu:
Thực hiện quy đồng mẫu các phân số bằng cách:
Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu 92
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng rồi cộng hoặc trừ hai phân số có cùng mẫu.
3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết một số thuộc ước chung và bội chung của hai hay nhiều số Phương pháp giải:
* Để nhận biết một số là ước chung của hai số, ta xét:
+ Nếu hai số cùng chia hết cho a thì a là ước chung.
+ Nếu có ít nhất một trong hai số không chia hết cho a thì a không là ước chung.
* Để nhận biết một số b là bội chung của hai số, ta xét:
+ Nếu b chia hết cho cả hai số thì b là bội chung.
+ Nếu có ít nhất một trong hai số mà b không chia hết thì b không là bội chung.
Dạng 2: Viết tập hợp các ƯC và BC của hai hay nhiều số Phương pháp giải:
Để viết tập hợp các ước chung (bội chung) của hai hay nhiều số ta làm như sau:
Bước 1: Viết tập hợp các ước (bội) của mỗi số đã cho
Bước 2: Tìm giao của các tập hợp đó.
Dạng 3: Tìm ƯCLN của các số cho trước Phương pháp giải:
Để tìm ƯCLN của các số cho trước, ta thực hiện quy tắc 3 bước phía trên.
Dạng 4: Tìm các ƯC của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:
Để tìm ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước
Bước 2: Tìm các ước của ƯCLN này
Bước 3: Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lưu ý: Nếu không có điều kiện gì của bài toán thì ước chung của hai hay nhiều số là các ước của ƯCLN các số đó.
Dạng 5: Tìm BCNN của các số cho trước Phương pháp giải:
Để tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước, ta làm như sau:
Cách 1: Thực hiện quy tắc 3 bước để tìm BCNN của hai hay nhiều số
Cách 2: Có thể nhẩm BCNN của hai hay nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với 1; 2; 3; ...
Dạng 6: Tìm các BC của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: 93
Để tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm BCNN của các số đó
Bước 2: Tìm các bội của BCNN này
Bước 3: Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.
Dạng 7: Bài toán có lời văn Phương pháp giải:
* Để giải bài toán có lời văn đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số, ta làm như sau:
Bước 1: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó.
* Để giải bài toán có lời văn đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số, ta làm như sau:
Bước 1: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số
Bước 2: Thực hiện quy tắc 3 bước để tìm BCNN đó.
Dạng 8: Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau Phương pháp giải:
Để chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau, ta làm như sau:
Bước 1: Gọi d là ƯCLN của các số
Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN và các tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh d 1.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Số x gọi là bội chung của a , b , c nếu
A. x a hoặc x b hoặc x c . B. x a và x b .
C. x b và x c .
D. x a và x b và x c .
Câu 2. Chọn câu trả lời sai
A. 5 ÖC55,110 .
B. 24  BC 3, 4 .
C. 10  ÖC 55,110 .
D. 12  BC3, 4 .
Câu 3. ÖCLN 210,30,  1 là
A. 1. B. 30. C. 15. D. 21.
Câu 4. BCNN 9,10,1  1 là
A. 90. B. 99. C. 110. D. 990.
Câu 5. Chọn khẳng định sai
A. Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
B. Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
C. Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
D. Nếu a chia hết cho m , a chia hết cho n thì a không chia hết cho BCNN của m và n . 94
Câu 6. Tập hợp ÖC4,12 là A.0;1; 2;3;  4 . B.1; 2;  4 . C. 1; 2;3;  4 . D.1; 2;3; 4;  6 .
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 7. Tập hợp các bội chung của 15 và 18 nhỏ hơn 200 là A.0; 45;90;12  0 .
B. 0; 45;90;120;18  0 . C.0;90;18  0 . D. 0;60 ;90 ;12  0 .
Câu 8. BCNN 40, 28,140 là
A. 140. B. 280. C. 420. D. 560.
Câu 9. ÖCLN 18,60 là
A. 6. B. 12. C. 18. D. 30.
Câu 10. ÖCLN 16,32,112 là
A. 4. B. 8. C. 16. D. 32.
Câu 11. ÖC12,30 là A.1; 2; 
6 . B. { 3; 6}. C. 1; 2;3;  6 . D. 0; 2;3;  6 .
Câu 12. Tìm tập hợp các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400.
A.0;75;150; 225;300;37 
5 . B.0;75;150; 225;30  0 .
C.75;150; 225;300;37  5 .
D.0;75; 225;300;37  5 .
Câu 13. Tìm các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105.
A. 315; 630; 945. B. 630; 945; 1260. C. 630; 945. D. 315; 630.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 14. Cho số tự nhiên x sao cho 500  x  700 và x 10 5 ; x – 18 6; 21 x 7 . Khi đó x bằng A. 210. B. 630. C. 420. D. 0.
Câu 15. Số tự nhiên a lớn nhất sao cho a  495 và 195  a đều là bội của a có giá trị bằng A. 3. B. 5. C. 15. D. 35.
Câu 16. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số
sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách. A. 240. B. 300. C. 360. D. 540.
Câu 17. Một thửa đất chiều dài là 60 cm, chiều rộng là 24 cm. Người ta chia thửa đất thành các
miếng đất hình vuông bằng nhau để mỗi miếng có diện tích lớn nhất. Khi đó cạnh của miếng đất là A. 12. B. 10. C. 6. D. 9.
Câu 18. Một khối học sinh khi xếp hàng 4, 5, 6 đều thừa 1 người. Biết số học sinh trong khoảng từ
250 đến 350. Tính số học sinh. A. 300. B. 301. C. 350. D. 251.
Câu 19. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 5, hàng 7 thì vừa đủ. Biết số lượng học
sinh trong khoảng 400 đến 500. Tính số học sinh của liên đội. A. 210. B. 420. C. 630. D. 360.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 20. Cho hai số 3n 1và 5n  4 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm ÖCLN 3n 1,5n  4 . 95 A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 21. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó
trong khoảng từ 300 đến 440. A. 308 và 392. B. 336 và 420. C. 354 và 438. D. 316 và 400.
Câu 22. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11. A. 138. B. 369. C. 380. D. 396. *
Câu 23. Cho n
và ÖCLN 2n 1,9n  4  17. Khi đó n có dạng là A. n k   * 17 7 k  . B. n k   * 17 8 k  . C. n k   * 17 9 k  . D. n k   * 17 10 k  .
Câu 24. Tìm ÖCLN 1 2  3  ...  n,2n  
1 với n ,n  2 . A. n . B. n 1. C. 2. D. 1.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài 1.
a) Số 12 có là ước chung của 24 và 40 không? Vì sao?
b) Số 124 có là bội chung của 31; 62 và 4 không? Vì sao?
c) Số 13 có là ước chung của 65; 117 và 130 không? Vì sao?
d) Số 88 có là bội chung của 22 và 40 không? Vì sao?
Bài 2. Điền kí hiệu hoặcvào ô trống cho đúng. a) 3 ÖC30,42 d) 8 ÖC24,56,36. b) 4 ÖC16,20,30 c) 5 ÖC30,42
Bài 3. Điền kí hiệu hoặcvào ô trống cho đúng. a) 36 BC6, 2  1 . c) 42 BC6,2  1 . b) 30 BC5,12,15 . d) 60 BC5,12,15 .
Bài 4. Viết các tập hợp sau a) ÖC24,40 . c) ÖC20,30 . b) ÖC15,27 . d) ÖC45,15 .
Bài 5. Viết các tập hợp sau a) BC2,8 . c) BC 6,2  1 . b) BC10,15 . d) BC 6,4.
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 6. Tìm ƯCLN của a) 18; 30 e) 18; 30; 15 b) 24; 48 f) 24; 48; 36 c) 32; 128 g) 16; 32; 128 d) 42; 30 h) 42; 30; 20. Bài 7.
a) Tìm các ước chung của 24 và 180 thông qua tìm ƯCLN. 96
b) Tìm các ước chung của 42 và 30 thông qua tìm ƯCLN. Bài 8.
a) Tìm các bội chung của 7; 9; 6 thông qua tìm BCNN.
b) Tìm các bội chung của 8; 12; 15 thông qua tìm BCNN.
Bài 9. Tìm BCNN của a) 15; 18 e) 33; 44; 55 b) 8; 18; 30 f) 10; 12 c) 4; 14; 26 g) 24; 10 d) 6; 8; 10 h) 84; 108.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Bài 10.
a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 90 x ; 150 x và 5  x  30.
b) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 144 x ; 420 x và x  2 . Bài 11.
a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x 20; x 35 và x  500 .
b) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x 14; x 15; x 20 và 400  x 1200.
Bài 12. Học sinh lớp 6A được nhận phần thưởng của nhà trường và mỗi em được nhận phần thưởng
như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu?
Bài 13. Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào "Tết trồng cây". Mỗi em trồng một số cây như nhau.
Kết quả lớp 6A trồng được 132 cây, lớp 6B trồng được 135 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học
sinh? Biết mỗi học sinh trồng được nhiều hơn 2 cây.
Bài 14. Một hình chữ nhật có chiều dài 150 m và chiều rộng 90 m được chia thành các hình vuông có
diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên (biết số đo cạnh là
số tự nhiên với đơn vị là m).
Bài 15. Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa
đủ hàng và số học sinh của trường trong khoảng từ 415 đến 421.
Bài 16. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần
thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì I. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần
thưởng? Khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh?
Bài 17. Hai bạn Long và Hoàng cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. Long cứ 10 ngày lại
trực nhật, Hoàng cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu tiên hai bạn cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi
sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật?
Bài 18. Đội sao đỏ của một lớp 6 có ba bạn là An, Bình, Mai. Ngày đầu tháng cả đội trực cùng một
ngày. Cứ sau 7 ngày An lại trực một lần, sau 4 ngày Bình lại trực một lần và sau 6 ngày Mai lại
trực một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì cả đội lại cùng trực vào một ngày ở lần tiếp theo? Khi đó
mỗi bạn đã trực bao nhiêu lần?
Bài 19. Một trường học có số lượng học sinh không quá 1000. Khi xếp hàng 20, 25, 30 thì đều dư 15.
Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường.
Bài 20. Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n các số sau là các số nguyên tố cùng nhau 97
a) n  4; n  5
b) 2n  5; n  2
c) n  2;3n  7
d) 2n 1;3n 1.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 21. Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m và mn  4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 22. Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau.
a) 4n  3 và 2n  3
b) 7n 13 và 2n  4 .
Bài 23. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho 12, 18, 23 thì số dư lần lượt là 11, 17, 9.
Bài 24. Một số tự nhiên khi chia số đó cho 7, 17, 23 thì số dư lần lượt là 3, 12, 7. Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
Bài 25. Biết số A gồm 2021 chữa số 2 và số B gồm 8 chữ số 2. Tìm ƯCLN A, B.
Bài 26. Biết ÖCLN a,b  95. Tìm ÖCLNa b,a b. 98
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A D D B C B A C C A
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A B C C A B B D A B C D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Số x gọi là bội chung của a , b , c nếu
A. x a hoặc x b hoặc x c . B. x a và x b .
C. x b và x c .
D. x a và x b và x c . Lời giải Chọn Dx a
x  BC a ,b , c  x b x c
Câu 2. Chọn câu trả lời sai
A. 5 ÖC55,110 .
B. 24  BC 3, 4 .
C. 10  ÖC 55,110 .
D. 12  BC3, 4 . Lời giải Chọn D Ta có 12  BC 3, 4.
Câu 3. ÖCLN 210,30,  1 là A. 1.
B. 30. C. 15. D. 21. Lời giải Chọn A ÖCLN210,30,  1  1.
Câu 4. BCNN 9,10,1  1 là
A. 90. B. 99. C. 110. D. 990. Lời giải Chọn D
Ta có 9, 10, 11 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau  BCNN9,10, 
11  9.10.11  990 .
Câu 5. Chọn khẳng định sai
A. Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
B. Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
C. Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
D. Nếu a chia hết cho m , a chia hết cho n thì a không chia hết cho BCNN của m và n . Lời giải Chọn D
Ví dụ: BCNN 4,6 12;12 4;12 6;12 BCNN4,6.
Câu 6. Tập hợp ÖC4,12 là A.0;1; 2;3;  4 . B. 1;2;  4 . C. 1; 2;3;  4 . D.1; 2;3; 4;  6 . Lời giải Chọn B Ö 4 1;2;  4
Ö 12  1;2;3;4;6;  12
 ÖC4;12  1;2;  4 .
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 7. Tập hợp các bội chung của 15 và 18 nhỏ hơn 200 là A.0; 45;90;12  0 .
B. 0; 45;90;120;18  0 . C.0;90;18  0 . D. 0;60 ;90 ;12  0 . Lời giải Chọn C
B15  0;15;30; 45;60;75;90;105;120;135;150;165;180;195; 210;  
B18  0;18;36;54;72;90;108;126;144;162;180;198; 216;  
Tập hợp các BC 15,18 nhỏ hơn 200 là 0;90;180;   .
Câu 8. BCNN 40, 28,140 là A. 140. B. 280. C. 420. D. 560. Lời giải Chọn B Ta có 3 40  2 .5 2 28  2 .7 2 140  2 .5.7  BCNN 40,28,140 3  2 .5.7  280.
Câu 9. ÖCLN 18,60 là
A. 6. B. 12. C. 18. D. 30. Lời giải Chọn A Ta có 18  2 2.3 60  2 2 .3.5 C
Ö LN18,60  2.3  6.
Câu 10. Tìm ÖCLN 16,32,112 là
A. 4. B. 8. C. 16. D. 32. Lời giải Chọn C Ta có 32 1 6  112 16
 ÖCLN16,32,112 16.
Câu 11. ÖC12,30 là A.1; 2; 
6 . B. { 3; 6}. C. 1; 2;3;  6 . D. 0; 2;3;  6 . Lời giải Chọn C
Ö 12 1;2;3;4;6;  12
Ö 30 1;2;3;5;6;10;15;  30
 ÖC12,30  1;2;3;  6 .
Câu 12. Tìm tập hợp các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400.
A.0;75;150; 225;300;37  5 .
B.0;75;150; 225;30  0 .
C.75;150; 225;300;37  5 .
D.0;75; 225;300;37  5 . Lời giải Chọn A Ta có 15  3.5 25  2 5 C B NN15,25  2 3.5  75
 BC15,25  B75  0;75;150;225;300;375;450;.. .
Vậy tập hợp các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là 0;75;150;225;300;37  5 .
Câu 13. Tìm các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105.
A. 315; 630; 945. B. 630; 945; 1260. C. 630; 945. D. 315; 630. Lời giải Chọn A Ta có 2 63  3 .7 35  5.7 105  3.5.7  BCNN63,35,105 2  3 .5.7  315 
BC 63,35,105  B 315  0;315;630;945;1260;  ...
Vậy các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105 là 315; 630; 945.
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 14. Cho số tự nhiên x sao cho 500  x  700 và x 10 5 ; x – 18 6; 21 x 7 . Khi đó x bằng A. 210. B. 630. C. 420. D. 0. Lời giải Chọn B
Vì x 10 5 ; x –18 6; 21 x 7 nên x 5 ; x 6; x 7  x BC5,6,7
BCNN 5, 6, 7  5.6.7  210
 BC5,6,7  B210  0;210;420;630;  
Vì 500  x  700 nên x  630 .
Câu 15. Số tự nhiên a lớn nhất sao cho a  495 và 195  a đều là bội của a có giá trị bằng A. 3. B. 5. C. 15. D. 35. Lời giải Chọn C
Vì a  495 và 195  a đều là bội của a nên 495 và 195 đều chia hết cho a
Mà a là số lớn nhất nên a  ÖCLN 195,495 1953.5.13 495  2 3 .5.11
ÖCLN195,495  3.5 15  a 15 .
Câu 16. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số
sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách. A. 240. B. 300. C. 360. D. 540. Lời giải Chọn C
Số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó nên số sách là bội chung của 10, 12, 15, 18. 10  2.5 2 12  2 .3 15  3.5 2 18  2. 3 BCNN10,12,15,18 2 2  2 .3 .5  180
 BC10,12,15,18  B180  0;180;360;540;  
Mà số sách trong khoảng từ 200 đến 500 nên số sách cần tìm là 360 cuốn.
Câu 17. Một thửa đất chiều dài là 60 cm, chiều rộng là 24 cm. Người ta chia thửa đất thành các
miếng đất hình vuông bằng nhau để mỗi miếng có diện tích lớn nhất. Khi đó cạnh của miếng đất là A. 12. B. 10. C. 6. D. 9. Lời giải Chọn A
Cạnh của miếng đất có diện tích lớn nhất là ÖCLN 60,24 2 60  2 .3.5 3 24  2 .3 ÖCLN60,24 2  2 .3  12.
Câu 18. Một khối học sinh khi xếp hàng 4, 5, 6 đều thừa 1 người. Biết số học sinh trong khoảng từ
250 đến 350. Tính số học sinh. A. 300. B. 301. C. 350. D. 251. Lời giải Chọn B
Gọi a là số học sinh cần tìm  * a
; 250  a  350.
Số học sinh khi xếp hàng 4, 5, 6 đều thừa 1 người nên a 1 BC4,5,6   2
BCNN 4 , 5, 6  2 .3.5  60
 BC4,5,6  B60  0;60;120;180;240;300;360;420;   
a 10;60;120;180; 240;300;360; 420;  
a 1;61;121;181;241;301;361; 2 4 1;  
Mà 250  a  350nên a  301.
Câu 19. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 5, hàng 7 thì vừa đủ. Biết số lượng học
sinh trong khoảng 400 đến 500. Tính số học sinh của liên đội. A. 210. B. 420. C. 630. D. 360. Lời giải Chọn B
Gọi số học sinh của liên đội là x  *
400  x  500; x   Theo đề bài ta có x 2  x 3
  x  BC2,3,5,7 x 5 x 7 
Mà 2, 3, 5, 7 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên
 BCNN2,3,5,7  2.3.5.7  210
 BCNN2,3,5,7  B210  0;210;420;630;840;.. .
Vì 400  x  500 và x  B210  x  420
Vậy liên đội thiếu niên có 420 học sinh.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 20. Cho hai số 3n 1và 5n  4 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm ÖCLN 3n 1,5n  4 . A. 1. B. 3. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn D
ÖCLN3n 1,5n  4  d  3n 1 d 53n   1 d    
3 5n 4 5 3n 1 d 7 d d 1;7 5n  4 d
35n  4             d
mà 3n 1và 5n  4 là hai số không nguyên tố cùng nhau nên d  7.
Câu 21. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó
trong khoảng từ 300 đến 440. A. 308 và 392. B. 336 và 420. C. 354 và 438. D. 316 và 400. Lời giải Chọn A
Gọi hai số phải tìm là a và b  *
a,b ;a b
Ta có ÖCLN a,b  28nên a  28k và b  28q . Trong đó * k ,q
và k ,q nguyên tố cùng nhau.
Ta có a b  84  k q  3
Mà 300  b a  440  10  q k  16 .
Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. q  11 a  28.11  308
Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau    k 14   b  28.14  392
Vậy hai số phải tìm là 308 và 392.
Câu 22. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11. A. 138. B. 369. C. 380. D. 396. Lời giải Chọn B Gọi số cần tìm là  * a a   Ta có a  6 11 a  6  33 11 a  27 11   
a 1 4  a 1 28 4  a  27 4    a 11 19 a 11 38 19 a  27 19   
Mà a nhỏ nhất  a  27  BCNN 11, 4,19
Do 11, 4, 19 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên
BCNN 11, 4,19  11.4.19  396  a  27  396  a  369. *
Câu 23. Cho n
và ÖCLN 2n 1,9n  4  17. Khi đó n có dạng là A. n k   * 17 7 k  . B. n k   * 17 8 k  . C. n k   * 17 9 k  . D. n k   * 17 10 k  . Lời giải Chọn C
nn   d  * ÖCLN 2 1,9 4 d   2n 1 d 9  2n   1 d             n d   n  
29n 4 92n  1 d 17 d d 1;1  7 9 4 2 9 4 d Khi d
  n     n    n
n k   * 17 9 4 4 2 1 8 17 17 9 k   9  n  4  9 
17k 9 4  9.17k 85 17  2n12 
17k 91 2.17k 17 7 1 Vậy nếu n k   * 17 9 k
thì ÖCLN2n1,9n4 17.
Câu 24. Tìm UCLN 1 2  3  ...  n, 2n  
1 với n  , n  2 . A. n . B. n 1. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn D n n  
     n n    1 UCLN 1 2 3 ... , 2 1  CL U N 
, 2n 1  d 2   nn   1  d
nn   1 d   2    2n 1 d 2n 1 d
Giả sử d  1, p là ước nguyên tố của d    n p n n 1 d    n  
1  n p  1 p (vô lí) n 1 p Vậy d  1.
E. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài 1.
a) Số 12 có là ước chung của 24 và 40 không? Vì sao?
b) Số 124 có là bội chung của 31; 62 và 4 không? Vì sao?
c) Số 13 có là ước chung của 65; 117 và 130 không? Vì sao?
d) Số 88 có là bội chung của 22 và 40 không? Vì sao? Lời giải
a) Số 12 không phải là ước chung của 24 và 40 vì 40 12.
b) Số 124 là bội chung của 31; 62 và 4 vì 124 chia hết cho các số đã cho.
c) Số 13 là ước chung của 65; 117 và 130 vì 65 13; 117 13; 130 13.
d) Số 88 không phải là bội chung của 22 và 40 vì 88  40.
Bài 2. Điền kí hiệu hoặc vào ô trống cho đúng a) 3 ÖC30,42 c) 5 ÖC30,42 b) 4 ÖC16,20,30 d) 8 ÖC24,56,36. Lời giải a) 3  ÖC30,42 c) 5  ÖC30,42 b) 4  ÖC16,20,30 d) 8  ÖC24,56,36.
Bài 3. Điền kí hiệu hoặcvào ô trống cho đúng. a) 36 BC6, 2  1 . c) 42 BC6,2  1 . b) 30 BC5,12,15 . d) 60 BC5,12,15 . Lời giải a) 36  BC6, 2  1 . c) 42  BC6,2  1 .
b) 30  BC 5,12,15 .
d) 60  BC 5,12,15 .
Bài 4. Viết các tập hợp sau a) ÖC24,40 . c) ÖC20,30 . b) ÖC15,27 . d) ÖC45,15 . Lời giải
a) Ö 24  1;2;3;4;6;8;12;  24
Ö 40  1;2;4;5;8;10;20;  40
 ÖC24,40  1;2;4;  8
b) Ö 15  1;3;5;  15 Ö 27  1;3;9;2  7
 ÖC15,27  1;  3
c) Ö 20  1;2;4;5;10;2  0
Ö 30  1;2;3;5;6;10;15;  30
 ÖC20,30  1;2;5;  10
d) Ö 45  1;3;5;9;15;  45 Ö 15 1;3;5;  15
 ÖC45,15  1;3;5;  15
Bài 5. Viết các tập hợp sau a) BC2,8 . c) BC 6,2  1 . b) BC10,15 . d) BC 6,4. Lời giải
a) B2  0;2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;..  .
B8  0;8;16;24;32;40;.. .
 BC2,8  0;8;16;24;32;.. .
b) B10  0;10;20;30;40;50;60;..  .
B15 0;15;30;45;60;.. .
 BC10,15  0;30;60;.. .
c) B6  0;6;12;18;24;30;36;42;48;..  . B  21  0;21;42;63;.. .  BC6,  21  0;42;63;84;.. .
d) B6  0;6;12;18;24;30;36;42;..  .
B4 0;4;8;12;16;20;24;28;32;36;.. .
 BC6,4  0;12;24;48;.. ..
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Bài 6. Tìm ƯCLN của a) 18; 30 e) 18; 30; 15 b) 24; 48 f) 24; 48; 36 c) 32; 128 g) 16; 32; 128 d) 42; 30 h) 42; 30; 20. Lời giải 2
a) 18  2.3 ;30  2.3.5  ÖCLN 18,30  2.3  6 3 4 3
b) 24  2 .3; 48  2 .3  ÖCLN 24,48  2 .3  24 5 7 5
c) 32  2 ; 128  2  ÖCLN 32,128  2  32
d) 42  2.3.7; 30  2.3.5 ÖCLN 42,30  2.3  6 2
e) 18  2.3 ;30  2.3.5;15  3.5 ÖCLN 18,30,15  3 3 4 2 2 2
f) 24  2 .3; 48  2 .3;36  2 .3  ÖCLN 24,48,36  2 .3 12 4 5 7 4
g) 16  2 ; 32  2 ; 128  2  ÖCLN 16,32,128  2  16 2
h) 42  2.3.7; 30  2.3.5; 20  2 .5  ÖCLN 42,30,20  2. Bài 7.
a) Tìm các ước chung của 24 và 180 thông qua tìm ƯCLN.
b) Tìm các ước chung của 42 và 30 thông qua tìm ƯCLN. Lời giải a) ÖCLN 24,180  12
 ÖC24,180  Ö 12  1;2;3;4;6;  12 b) ÖCLN 42,30  6
 ÖC42,30  Ö 6  1;2;3;  6 .
Bài 8. Tìm BCNN của a) 15; 18 b) 10; 12 c) 24; 10 d) 84; 108 e) 33; 44; 55 f) 8; 18; 30 g) 4; 14; 26 h) 6; 8; 10. Lời giải 2 2
a) 15  3.5;18  2.3  BCNN 15,18  2.3 .5  90 2 2
b) 10  2.5;12  2 .3  BCNN 10,12  2 .3.5  60 3 3
c) 24  2 .3; 10  2.5 BCNN 24,10  2 .3.5  120 2 2 3 2 3
d) 84  2 .3.7; 108  2 .3  BCNN 84,108  2 .3 .7  756 2
e) 33  3.11; 44  2 .11; 55  5.11 BCNN 33,44,55  660 3 2 3 2
f) 8  2 ;18  2.3 ;30  2.3.5 BCNN 8,18,30  2 .3 .5  360 2 2
g) 4  2 ; 14  2.7; 26  2.13 BCNN 4,14,26  2 .7.13  364 3 3
h) 6  2.3;8  2 ;10  2.5  BCNN 6,8,10  2 .3.5  120. Bài 9.
a) Tìm các bội chung của 7; 9; 6 thông qua tìm BCNN.
b) Tìm các bội chung của 8; 12; 15 thông qua tìm BCNN. Lời giải a) BCNN 7 ,9,6  126
 BC7,9,6  B126  0;126;252;378;504;.. . b) Ta có 8  3 2 ;12  2 2 .3;15  3.5  BCNN8,12,15  3 2 .3.5  120
 BC8,12,15  B120  0;120;240;360;480;.. ..
III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Bài 10.
a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 90 x ; 150 x và 5  x  30 .
b) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 144 x ; 420 x và x  2 . Lời giải a) Ta có 90 x
  x  ÖC90,150 150 x 90  2 2.3 .5 150  2 2.3.5
 ÖCLN90,150  2.3.5  30
 ÖC90,150  Ö 30  1;3;5;6;10;15;3  0
Vì 5  x  30 nên x 6;10;  15 b) Ta có 144 x
  x  ÖC144,420 420 x 144  4 2 2 .3 420  2 2 .3.5.7  ÖCLN144,420  2 2 .3 12
 ÖC144,420  Ö 12  1;2;3;4;6;1  2
Vì x  2 nên x 3;4;6;1  2 . Bài 11.
a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x 20; x 35 và x  500 .
b) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x 14; x 15; x 20 và 400  x 1200. Lời giải a) Ta có x 20
  x  BC20,35 x 35  2 20  2 .5 35  5.7  BCNN   2 20 , 35  2 .5.7  140
BC 20,35  B140  0;140;280;420;560;.. . mà x  500
Vậy x 0;140;280;42  0 . b) Ta có x 14  
x 15   x  BC14,15,20  x 20 14  2.7 15  3.5 2 20  2 .5  BCNN   2
14,15, 20  2 .3.5.7  420
BC 14,15, 20  B 420  0; 420;840;1260;..  . mà 400  x 1200
Vậy x 420;84  0 .
Bài 12. Học sinh lớp 6A được nhận phần thưởng của nhà trường và mỗi em được nhận phần thưởng
như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu? Lời giải
Ta thấy số phần thưởng phải là ước chung của 129 và 215. 129  3.43 215  5.43
UCLN 129,215  43
UC 129,215 U 43  1;4  3
Vì số học sinh của lớp 6A không thể bằng 1 nên lớp 6A có 43 học sinh.
Bài 13. Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào "Tết trồng cây". Mỗi em trồng một số cây như nhau.
Kết quả lớp 6A trồng được 132 cây, lớp 6B trồng được 135 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Biết mỗi học sinh trồng được nhiều hơn 2 cây. Lời giải
Số cây trồng của mỗi học sinh là ước chung của 132 và 135. 2 132  2 .3.11 3 135  3 .5
ÖCLN 132,135  3
ÖC 132,135  ÖC 3  1;  3
Mà mỗi học sinh trồng được nhiều hơn 2 cây nên số cây mỗi học sinh trồng được là 3 cây.
Do đó, lớp 6A có 132 : 3  44 (học sinh).
Lớp 6B có135 : 3  45 (học sinh).
Bài 14. Một hình chữ nhật có chiều dài 150 m và chiều rộng 90 m được chia thành các hình vuông có
diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên (biết số đo cạnh là số
tự nhiên với đơn vị là m). Lời giải
Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh của hình vuông
phải là ước chung của 150 và 90.
Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ÖCLN150,90 2 150  2.3.5 2 90  2.3 .5
ÖCLN 150,90  2.3.5  30
Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia của bài toán là 30 m.
Bài 15. Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa
đủ hàng và số học sinh của trường trong khoảng từ 415 đến 421. Lời giải
Gọi số học sinh của trường là a  *
415  a  421; a  
Vì mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa đủ hàng nên a chia hết cho 4; 5; 6; 7.
Tức là a  BC4,5,6,7.
Ta có BC4,5, 6, 7  0; 420;840;..  .
mà 415  a  421 nên a  420 .
Vậy số học sinh của trường là 420 học sinh.
Bài 16. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần
thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì I. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần
thưởng? Khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh? Lời giải
Gọi a là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì I  * a  24; a  
Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho
24 a ; 48 a ; 36 a .
Tức là a  ÖCLN24,48,36 Ta có 3 24  2 .3 4 48  2 . 3 2 2 36  2 .3 2  a  2 .3 12.
Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 phần thưởng. Trong đó, mỗi phần thưởng có 2 quyển vở, 4 bút bi và 3 gói bánh.
Bài 17. Hai bạn Long và Hoàng cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. Long cứ 10 ngày lại
trực nhật, Hoàng cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu tiên hai bạn cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau
ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật ? Lời giải
Số ngày ít nhất hai bạn lại cùng trực nhật là bội chung nhỏ nhất của 10 và 12. Ta có 10  2.5 2 12  2 .3 2
 BCNN(10,12)  2 .3.5  60.
Vậy sau ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 18. Đội sao đỏ của một lớp 6 có ba bạn là An, Bình, Mai. Ngày đầu tháng cả đội trực cùng một
ngày. Cứ sau 7 ngày An lại trực một lần, sau 4 ngày Bình lại trực một lần và sau 6 ngày Mai lại trực
một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì cả đội lại cùng trực vào một ngày ở lần tiếp theo? Khi đó mỗi bạn
đã trực bao nhiêu lần? Lời giải
Số ngày ít nhất ba bạn lại cùng trực là bội chung nhỏ nhất của 7; 4; 6. Ta có 2 4  2 6  2.3 2
 BCNN(7,4,6)  7.2 .3  84.
Vậy sau 84 ngày ba bạn lại cùng trực vào một ngày ở lần tiếp theo.
Bạn An đã trực 12 lần, bạn Bình đã trực 21 lần, bạn Mai đã trực 14 lần.
Bài 19. Một trường học có số lượng học sinh không quá 1000. Khi xếp hàng 20, 25, 30 thì đều dư 15.
Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường. Lời giải
Gọi số học sinh của trường là a  *
a  1000; a  
Vì mỗi lần xếp hàng 20, hàng 25, hàng 30 đều dư 15 nên a 15 chia hết cho 20; 25; 30 và khi xếp
hàng 41 thì vừa đủ nên
a 15 BC20,25,30  a 41 Ta có 2 20  2 .5 2 25  5 30  2.3.5    2 2
BCNN 20, 25,30  2 .3.5  300
a 15B300  0;300;600;900;1200;.. .
do a 1000  a 15  985
a 150;300;600;90  0
a 15;315;615;91  5
mà a 41  a  615
Vậy số học sinh của trường là 615 học sinh.
Bài 20. Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n các số sau là các số nguyên tố cùng nhau.
a) n  4; n  5
b) 2n  5; n  2
c) n  2;3n  7
d) 2n 1;3n 1. Lời giải n d
a) Gọi d  ƯCLN n 1, n  4 2  
 n  5 n  4 d 1 d d 1 n  5 d
Vậy n  4;n  5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi d  ƯCLN 2n  5, n  2 2n  5 d 2n  5 d     
 2n  5  2n  2 d 1 d d 1 n  2 d 2
 n  2 d
Vậy 2n  5;n  2là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) Gọi d  ƯCLN n  2,3n  7 n  2 d 3  n  2  d   
 3n  7 3n  2 d 1 d d 1 3  n  7 d 3  n  7 d
Vậy n  2;3n  7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
d) Gọi d  ƯCLN 2n 1,3n   1 2n 1 d 3  2n   1 d      32n   1  23n  
1 d  1 d d  1 3  n 1 d 2  3n   1 d
Vậy 2n 1;3n 1là hai số nguyên tố cùng nhau.
IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Bài 21. Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m và .
m n  4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải Giả sử m và .
m n  4cùng chia hết cho số tự nhiên d m d   mn d   
 mn  4  mn d  4 d d 1;2;  4 mn  4 dmn  4 d
Mà m lẻ nên d  1 Vậy m và .
m n  4là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 22. Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau.
a) 4n  3 và 2n  3
b) 7n 13 và 2n  4 . Lời giải
a) Gọi ƯCLN  n
n    d  * 4 2, 2 3 d   4n  3 d 4n  3 d     
 22n  3 4n  3 d  3 d d 1;  3 2n  3 d 2
 2n  3 d
Để 4n  3 và 2n  3 nguyên tố cùng nhau thì d  3
 2n  3 3  2n  3  n  3  n  3kk  
Vậy n  3k k   thì 4n  3 và 2n  3 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi ƯCLN  n
n    d  * 7 13, 2 4 d   7n 13 d 2
 7n 13 d    
 72n  4  27n 13 d  2 d d 1;  2 2n  4 d 7
 2n  4 d
Để 7n 13 và 2n  4 nguyên tố cùng nhau thì d  2
Mà 2n  4 luôn chia hết cho 2
7n 13 không chia hết cho 2 khi n chẵn
Vậy n chẵn thì 7n 13 và 2n  4 nguyên tố cùng nhau.
Bài 23. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho 12, 18, 23 thì số dư lần lượt là 11, 17, 9. Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là a a  
Theo bài ta có a  12k 11  18q 17  23 p  9 k, q, p  
a  37 12k  48 12 
 a  37 18q  54 18  a  37BC12,18,23
a 37  23p  46 23 
Vì a nhỏ nhất nên a  37  BCNN 12,18, 23 2 12  2 .3 2 18  2.3 23  23    2 2
BCNN 12,18, 23  2 .3 .23  828  a 37  828  a  791
Vậy số tự nhiên cần tìm là 791.
Bài 24. Một số tự nhiên khi chia số đó cho 7, 17, 23 thì số dư lần lượt là 3, 12, 7. Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là a a  
Theo bài ta có a  7k  3  17q 12  23 p  7 k, , q p  
a  39  7k  42 7 
 a  39 17q  51 17  a  39BC7,17,23
a 39  23p  46 23 
BCNN 7,17, 23  7.17.23  2737
a  39  2737.m m  
a  2737.m  39  2737m   1  2698
Vậy số dư của a cho 2737 là 2698.
Bài 25. Biết số A gồm 2021 chữa số 2 và số B gồm 8 chữ số 2. Tìm ƯCLN A, B. Lời giải
A  222...2  222...2 000...0  222...2 2021 chöõsoá 2
2003 chöõsoá 2 7chöõsoá 0 7 chöõsoá 2  
Vì 222...2 000...0 222...2  C
U LN  A, B  C
U LN  222...2 , 222...2   
2003 chöõ soá 2 7 chöõ soá 0 8 chöõ soá 2
 7 chöõsoá2 8 chöõsoá2 Ta có 222...2  222...2 0  2 8 chöõ soá 2 7 chöõ soá 2 222...2 0 222...2 7 chöõ soá 2 7 chöõ soá 2      C
U LN  222...2 , 222...2   C
U LN  2, 222...2   2    
8 chöõsoá2 7 chöõsoá2  7 chöõsoá2
Vậy ÖCLN A,B  2.
Bài 26. Biết ÖCLN a,b  95. Tìm ÖCLNa b,a b. Lời giải Gọi
ab ab  d  * ÖCLN , d  
d U 2 a b d 2a d     
 d U a a b d 2b dd U  b
Mà ÖCLN a,b  95 d  95   d  2
Vậy ÖCLNa b,a b bằng 95 hoặc 2.