CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
BÀI 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa số hữu tỉ, mối quan hệ giữa các tập hợp số đã học với tập số hữu tỉ.
+ Nắm được cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
+ Nắm được phương pháp so sánh hai số hữu tỉ; khái niệm số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương.  Kĩ năng
+ Nhận biết số hữu tỉ và biểu diễn được số hữu tỉ trên trục số.
+ Biểu diễn được số hữu tỉ thành nhiều phân số bằng nhau.
+ Biết cách so sánh các số hữu tỉ với nhau.
+ Nhận biết được số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và tìm điều kiện để số hữu tỉ là số âm (dương) hoặc số nguyên. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa
Ở Pháp vào mùa đông, nhiệt độ có khi là âm: 3  C hoặc 1  0 C  , có khi là dương
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a với b 2 C  . , a b  ;  b  0
Các số 3;10;2 là các số hữu tỉ thể hiện
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là  . nhiệt độ không khí. 1 3 Các số 0; 2
 ; ;2 đều là các số hữu tỉ. 2 2
Thật vậy, các số đều được viết dưới dạng a b 0 4  1 2 3 7 như sau: 0  ...; 2   ;  ;2  . 1 2 2 4 2 2
Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Trên trục số, ta biểu diễn các điểm:
Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới 3 1 5 1; ; ;1; 4 3 3
dạng phân số có mẫu dương.
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. So sánh hai số hữu tỉ
Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có hoặc x  y hoặc x  y hoặc
x  y . Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng
dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
 Nếu x  y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y.
số hữu tỉ âm số hữu tỉ dương
 Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
 Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm.
Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA SỐ HỮU TỈ a  ,ab ;b  0 b Số hữu tỉ âm < 0 < Số hữu tỉ dương Trang 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số Phương pháp giải
Mối quan hệ giữa các tập hợp số đã biết với tập hợp
số hữu tỉ:      . Sử dụng các kí hiệu ,  ,  ,  ,  ,  ,
  để biểu diễn Ví dụ. Điền các kí hiệu thích hợp
mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập  ,  ,  ,  ,  ,  ,   vào ô trống: hợp với nhau. 1  3   ;  2 7  ;    . 9 Hướng dẫn giải 1  3   ;  2
7   ;      . 9 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Điền các kí hiệu thích hợp  ,  ,  ,  ,  ,  ,   vào ô trống:     10  3 1 ; 1 ; ;  ; 2 8 4  1  2 ; ;  ;   . 9 4 5 Hướng dẫn giải       10    10 1 ; 1 ; do =  5 ; 2 2 3    4   1    2 ; ; , ;   ;   ; . 8 9 4 5 Chú ý:
- Kí hiệu  là “thuộc”.
- Kí hiệu  là “không thuộc”.
- Kí hiệu  là “tập hợp con”.
- Kí hiệu  là “chứa trong” hoặc “chứa”.
- Kí hiệu  là “tập hợp các số tự nhiên”.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Điền kí hiệu  ,  ,
  thích hợp và ô trống: Trang 3 5  2  4  ;  ; 8  ;  ; 3 9 1 2 2   ;   ;   ;   . 11 7 19
Câu 2: Điền các kí hiệu ;; thích hợp vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể): 2  6 ; 22  ;  ;   ; 23 5  3   ;  ;  21 ;; 1  . 7 4
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số 19 là một số tự nhiên. B. Số 5
 là một số nguyên âm. 15 C. Số  là một số hữu tỉ.
D. Số 0 là một số hữu tỉ dương. 19
Câu 4: Viết Đ vào ô có khẳng định đúng và S vào ô có khẳng định sai:
1. Số nguyên là số hữu tỉ;
2. Số nguyên âm không là số hữu tỉ âm;
3. Tập hợp  gồm các số hữu tỉ âm và các số hữu tỉ dương; 1
4. Số 1 là số hữu tỉ; 2 1  5. Số không là số hữu tỉ. 5 
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ
Bài toán 1: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số Phương pháp giải
Để biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số, ta thường 2
Biểu diễn phân số  trên trục số. làm như sau: 3
Bước 1. Ta viết số đó dưới dạng phân số có mẫu Bước 1. Chia các đoạn thẳng đơn vị làm 3 phần bằng
dương. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết nhau.
đoạn thẳng đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị. 1
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng 3 đơn vị cũ).
Bước 3. Số hữu tỉ dương (âm) nằm bên phải (trái) Bước 3. Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0
điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị một đoạn bằng 2 đơn vị mới.
tuyệt đối của số hữu tỉ đó.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm. Trang 4 Ví dụ mẫu 3
Ví dụ 1. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 4 Hướng dẫn giải
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 4 phần bằng nhau. 1
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng đơn vị cũ). 4
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm. 3
Ví dụ 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 5 Hướng dẫn giải 3 3 Ta có  5  5
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 5 phần bằng nhau. 1
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng đơn vị cũ). 5
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Bài toán 2: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng các phân số bằng nhau Phương pháp giải
Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số Ví dụ: 1 1 2 3 tối giản a với , a b  ;  b  0 .     ... b 2 2 4 6 1 2 3  1     ... 1 2 3  2 5 10 1    ... 3 3 6 Ví dụ mẫu 6 4 4 20
Ví dụ. Cho các phân số sau: ; ; ; 15 1  2 1  0 8 2
Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 5 Hướng dẫn giải Trang 5 2 2  6  2  4 1 4 2  20 5  Ta có 
. Rút gọn các phân số đã cho ta được:  ;  ;  ;  5 5 15 5 1  2 3 10 5 8  2 2 6 4
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và . 5 15 10
Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: 3 1 1 ; ; 2 3 4 9  1  4 4 12 2
Câu 2: Cho các phân số sau ; ; ;
. Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 6 21 6 20 3 Câu 3: 2  1 1  4 4  2 35 5  2  8 7  a) Cho các phân số ; ; ; ; ;
. Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 27 19 5  4 4  5 7 36 9 7 
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 9 3
Câu 4: Trong các phân số sau, phân số nào không bằng phân số ? 5 6 9 6  3  A. B. C. D. 11 15 1  0 5  1 25 5
Câu 5: Biểu diễn các số: ;0,25; ;
bởi các điểm trên cùng một trục số ta được bao nhiêu điểm 4 1  00 20 phân biệt? A. Một điểm. B. Hai điểm. C. Ba điểm. D. Bốn điểm. 14 24 26 2  8 72 12 Câu 6: Trong các phân số ; ; ; ;
có bao nhiêu phân số bằng phân số ? 18 26 2  8 30 78 13 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Dạng 3: So sánh hai số hữu tỉ Phương pháp giải
Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước 1  1 8
Ví dụ. So sánh các số hữu tỉ sau: và . sau: 6 9 Hướng dẫn giải
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương. 8 8   9 9
Bước 2. Đưa các phân số ở bước một về cùng mẫu số 1  1 3  3 8 8  1  6 Ta có:  ;   (quy đồng). 6 18 9 9 18
Bước 3. So sánh các tử của các phân số ở bước hai, phân 3  3 1  6 1  1 8 Vì 3  3  1  6 nên  hay 
số nào có tử lớn hơn thì sẽ lớn hơn. 18 18 6 9 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. So sánh các số sau: 2  5 20 15 21 19 2  3 a) và ; b) và ; c) và . 20 25 21 49 49 47 Hướng dẫn giải Trang 6 2  5 20 2  5 20 a) Ta có  0 và  0 nên  . 20 25 20 25 15 5 21 3 5 3 15 21 b) Ta có  ;  . Vì  nên  21 7 49 7 7 7 21 49 1  9 2  3 23 2  3 1  9 2  3 c) Ta có:  và  . Do đó  49 49 49 47 49 47
Ví dụ 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 998 999 315 316 2020 2018 a) và ; b) và ; c) và . 555 556 380 381 2019 2019 Hướng dẫn giải
a) Ta thấy 998  555  999  556  443 nên ta so sánh hai phân số qua phần bù 998 443 999 443 Ta có 1  ; 1  555 555 556 556 443 443 999 998 999 998 Vì  nên 1  1 hay  556 555 556 555 556 555 b) Ta thấy 380   3  15  381  3
 16  65 nên ta so sánh hai phân số bằng cách cộng thêm 1. 3  15 65 3  16 65 Ta có 1  ; 1  380 380 381 381 65 65 3  15 3  16 3  15 3  16 Vì  nên 1  1 hay  . 380 381 380 381 380 381 2020 c) Ta có 2020  2019 nên  1 2019 2018 Lại có 2018  2019 nên  1 2019 2020 2018 Do đó  . 2019 2019 Chú ý:
Ngoài phương pháp so sánh bằng cách quy đồng mẫu số, ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:
 So sánh qua một phân số trung gian.  So sánh qua phần bù.
 Đưa về so sánh hai phân số có cùng tử số.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: So sánh các số hữu tỉ sau: 7 11 5 7 24 19 9 27 a) và ; b) và ; c) và ; d) và . 8 12 8 10 35 30 21 6  3
Câu 2: So sánh các số hữu tỉ sau: 9 5 4 15 13 9 9 20 a) và ; b) và ; c) và ; d) và . 70 42 27 6  3 15 11 17 2  1 Trang 7 1  2 3  1  6 1  1  1 1  4 9 
Câu 3: Sắp xếp các số hữu tỉ ; ; ; ; ; ;
theo thứ tự giảm dần. 19 19 19 19 19 19 19 16 1  6 19
Câu 4: Sắp xếp các số hữu tỉ ; ; theo thứ tự tăng dần. 27 29 27
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số âm (dương) hay số nguyên Phương pháp giải
- Số hữu tỉ âm là những số hữu tỉ nhỏ hơn 0. 2a 1
Ví dụ. Cho số hữu tỉ x  . Với giá trị nào
- Số hữu tỉ dương là những số hữu tỉ lớn hơn 0. 2
- Số 0 không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ của a thì: dương.
a) x là số hữu tỉ dương? b) x là số hữu tỉ âm?
c) x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm? d) x là số nguyên? Hướng dẫn giải 2a 1
- Số hữu tỉ a là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu.
a) Để x là số dương thì  0 b 2 1
Mà 2  0 nên 2a 1  0  a  2 1
Vậy a  thì x là số hữu tỉ dương. 2 2a 1
- Số hữu tỉ a là số hữu tỉ âm khi a, b khác dấu. b) Để x là số âm thì  0 b 2 1
Mà 2  0 nên 2a 1  0  a  2 1
Vậy a  thì x là số hữu tỉ âm. 2
c) Để x không là số dương cũng không là số âm
- Số hữu tỉ a bằng 0 khi a  0 và b  0 . b 2a 1 thì  0
Chú ý: 0 không là số âm cũng không là số dương. 2 1
Mà 2  0 nên 2a 1  0  a  2 1
Vậy a  thì x không là số hữu tỉ dương, cũng 2
không là số hữu tỉ âm.
- Số hữu tỉ a là số nguyên khi . Suy ra:
ab hay b là ước của a. d) Để x là số nguyên thì 2a   1 2 b 2a 1  2k,k  1
 2a  2k 1  a  k  ,k  2 1
Vậy a  k  ,k  thì x là số nguyên. 2 Ví dụ mẫu Trang 8
Ví dụ 1. Cho số hữu tỉ a x 
. Với giá trị nào của a thì 2 a 1 a) x là số hữu tỉ âm?
b) x không là số hữu tỉ âm, x cũng không là số hữu tỉ dương? Hướng dẫn giải Ta có 2 a  0, a  nên 2 a 1  1  0 hay 2 a 1  0 a  . Do đó:
a) x là số hữu tỉ nếu a  0 , suy ra a  0 2 a 1
b) x không là số hữu tỉ âm, x cũng không là số hữu tỉ dương nếu a  0 , suy ra a  0 . 2 a 1 7
Ví dụ 2. Cho số hữu tỉ x 
. Xác định số nguyên a để x là số nguyên dương. a 1 Hướng dẫn giải
Để x  thì 7a   1 hay a  
1  ¦ 7  7; 1  ;1;  7 . Ta có bảng sau: a 1 7  1  1 7 a 8  2  0 6 7
Mà x là số nguyên dương nên  0 a 1
Mà 7  0 nên a 1  0  a  1 a0;  6 7 Với a  0 ta có x   7 0  1 7 Với a  6 ta có x   1 6 1 Vậy a 0; 
6 thì x là số nguyên dương.
Bài tập tự luyện dạng 4 3a  7
Câu 1: Cho số hữu tỉ x 
. Với giá trị nào của a thì 5 
a) x là số hữu tỉ dương? b) x là số hữu tỉ âm?
c) x không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm? 3n 1
Câu 2: Cho số hữu tỉ x 
. Với giá trị nào của a thì 4
a) x là số hữu tỉ dương? b) x là số hữu tỉ âm?
c) x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm? 7
Câu 3: Cho số hữu tỉ x 
. Tìm số nguyên n để x nhận giá trị là số nguyên. n 1 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số Trang 9 Câu 1. 5  2  4    ;   ; 8  ;   ; 3 9 1 2 2    ;    ;    ;    . 11 7 19 Câu 2. 2  6 ;   ; 22 ;  ;   ;   ;   ;   ; 23 5  3    ;  ;
  ;  21  ; 1  ;   . 7 4 Câu 3. Chọn D.
Vì số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương. Câu 4. 1. Đ 2. S 3. S 4. Đ 5. S
Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ Câu 1. 3  1 1
Biểu diễn các số hữu tỉ ; ; trên trục số như sau: 2 3  4 Câu 2. 2 2  Ta có:  . 3 3 9  3  1  4 2  4 2  12 3 
Rút gọn các phân số đã cho ta được:  ;  ;  ;  6 2 21 3 6  3 2  0 5 2 14 4
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và . 3 21 6  Câu 3. 2  1 7  2  8 7  35 3  5 7  a) Ta có:  ;  ;   27 9 36 9 4  5 45 9 7 2  1 2  8 35
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: ; và . 9 27 36 4  5 7
b) Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số như sau: 9 Câu 4. Chọn A. Trang 10 3
Các đáp án B, C, D sau khi rút gọn ta đều được phân số . 5 Câu 5. Chọn A. 1 1 2  5 1 5 1
Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản, ta có: ; 0,25  ;  ;  . 4 4 100 4 20 4 1
Vậy các số trên cùng biểu diễn bởi điểm trên trục số. 4 Câu 6. Chọn B. 14 7 24 12 26 13 2  8 1  4 72 12  ;  ;   ;  ;  . 18 9 26 13 2  8 14 30 15 78 13 12
Vậy có hai phân số biểu diễn phân số . 13
Dạng 3. So sánh hai số hữu tỉ Câu 1. 7 21 11 22 a) Ta có  ;  8 24 12 24 21 22 7 11 Vì 21  22 nên  hay  . 24 24 8 12 5  3 7  3 b) Ta có 1  ; 1  8 8 10 10 3 3 5  7  5  7 Vì  nên 1  1 hay  8 10 8 10 8 10 24 11 19 11 c) Ta có  1 ;  1 35 35 30 30 11 11 24 19 Vì 11  11 nên 1  1 hay  35 30 35 30 35 30 9  3  27 27 3  d) Ta có  ;   21 7 6  3 63 7 9  27 Suy ra  . 21 6  3 Câu 2. 9 27 5 25 a) Ta có  ;  70 210 42 210 27 25 9 5 Vì 27  25 nên  hay  210 210 70 42 4  2  8 15 1  5 4  5 b) Ta có  ;   27 189 6  3 63 189 2  8 4  5  Vì 4 15 2  8  4  5 nên  hay  189 189 27 63 13 2 9 2 c) Ta có  1 ;  1 15 15 11 11 2 2 2 2 13 9 Vì  nên 1  1 hay  15 11 15 11 15 11 Trang 11 9  2  0 20 9  2  0 d) Ta có  0;   0 nên  . 17 2  1 21 17 21 Câu 3. 1  6 1  4 1  2 1  1 9  3  1  Vì 16  1  4  1  2  1  1  9   3   1  nên       19 19 19 19 19 19 19 1  3  9  1  1 1  2 1  4 1  6
Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: ; ; ; ; ; ; 19 19 19 19 19 19 19 Câu 4. 16 16 1  6 1  6 Có 27  29 nên  . Suy ra  27 29 27 29 16  Lại có  19 16  19 nên  27 27 19 1  6 1  6 Vậy    . 27 27 29 19 16 16
Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần:  ; ; 27 27 29
Dạng 4. Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số âm (dương) hay số nguyên Câu 1. 3a  7 7 
a) Để x là số hữu tỉ dương thì
 0 . Mà 5  0 nên 3a  7  0 suy ra a  5  3 3a  7 7 
b) Để x là số hữu tỉ âm thì
 0 . Mà 5  0 nên 3a  7  0 suy ra a  . 5  3 3a  7
c) Để x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm thì
 0 . Mà 5  0 nên 3a  7  0 suy 5  7  ra a  . 3 Câu 2. 3n 1 1
a) Để x là số hữu tỉ dương thì
 0  3n 1  0 do 4  0  3n 1 n  . 4 3 3n 1 1
b) Để x là số hữu tỉ âm thì
 0  3n 1  0  3n  1 n  . 4 3 3n 1 1
c) Để x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm thì
 0  3n 1  0  3n  1 n  4 3 Câu 3. 7 Để x 
 thì n 1¦ 7   1  ;  7 n 1 Ta lập bảng: n 1 7  1  1 7 n 6  0 2 8 Vậy n6;0;2; 
8 thì x nhận giá trị nguyên. Trang 12