46 trang 25 lượt tải

Chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7

49

Tài liệu gồm 46 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7, giúp các em học sinh khối lớp 6, lớp 7 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu

Môn: Toán 6 2.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Nguyễn Vân

1 năm trước
Danh sách Quiz
/46
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1
CHUYÊN ĐỀ TÌM X
DẠNG 1: TÌM X THÔNG THƯỜNG
Bài 1: Tìm x biết:
a,
3 13 7 7
2 5 5 5 10
xx
x
− − = +
b,
13 5 6
1 2 2 3 3x x x
+=
− − −
HD:
a,
3 13 7 7 3 13 7 7 3 7 7 13
2 5 5 5 10 2 5 5 5 10 2 5 10 5 5
x x x x x x x
xx
− − = + = − + = + = − − = −
=>
4 6 6 4 3
:
5 5 5 5 2
xx
− − − −
= = = =
. Vậy
3
2
x =
b,
13 5 6 78 15 12 93 12
93 12
1 2 2 3 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6x x x x x x x x
+ = = + = = = = =
− − − − − − − −
(Vô lý)
Bài 2: Tìm x biết:
a,
2 3 3 5 3 1
3 2 6 3
xx− − −
+ = −
b,
HD:
a,
( )
4 6 9
2 3 3 5 3 1 5 3 2 18
4 15 3 3 7 18
3 2 6 3 6 6 7
x
x x x
x x x x
− + −
− − − − −
+ = − = = = − = − = = = =
b,
2 3 4 7 2 1 4 7 2 7 4 1 23 61
2 2 2
3 12 5 3 4 5 3 5 4 3 20x x x x x x x

− = − − = − = − + = + = + + = =


460 460
3
61 183
xx= = = =
Bài 3: Tìm x biết:
a,
1 2 3 6 5
1 3 4 5 2 2xx
−

+ − =

−−

b,
9 13 5
15 20 16
17 17 17
x x x+ − =
HD:
a,
( ) ( )
1 3 5 1 5 3 7 3
1 10 2 2 1 2 1 10 2 1 10x x x x x
−−
+ = = + = = =
− − − − −
( )
70 35 32
2 1 1
3 3 3
x x x
−−
= − = − = − = = =
b, =>
9 13 5
15 20 16 4. 16 4
17 17 17
x x x

+ − = = − = = = −


Bài 4: Tìm x biết:
a,
( )
3
720: 41 2 5 2 .5x− − =


b,
( ) ( )
6 11 7 2 26xx+ − − =
HD:
a, =>
23 23
720: 46 2 40 46 2 18 2 46:18
9 18
x x x x− = = − = = = = = =
b, =>
6 66 14 7 26 13 26 2x x x x+ − + = = = − = = −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2
Bài 5: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
4 5 2 8 2 3x x x x− − − − = −
b,
( ) ( )
7 9 3 5 2xx− + − − =
HD:
a,
22
3
4 20 16 4 3 4 3
4
x x x x x x
−
= − + − + = − = = − = =
b, =>
7 63 15 3 2 4 78 2 4 80 20x x x x x− − − + = = − − = = − = = = −
Bài 6: Tìm x biết :
7 33 3333 333333 33333333
22
4 12 2020 303030 42424242
x

− + + + =


HD:
Ta có :
7 33 33 33 33
22
4 12 20 30 42
x

− + + + =


=>
7 1 1 1 1
.33 22
4 12 20 30 42
x

− + + + =


=>
7 1 1 7 4
.33 22 .33. 22 2
4 3 7 4 21
x x x
−

− − = = = = = −


Bài 7: Tìm x biết:
11
: 2015
2016 2015
x
−
=
HD:
1 1 1 1
: 2016
2016.2015 2015 2015 2016.2015
xx
−−
= = = = −
Bài 8: Tìm x biết :
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 2 4 2 3 16x x x− − + − + =
Bài 9: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
1 1 1 1 1 1
2 5 10 2 3 6
.
35
x x x x x x
+ − − − − +
HD :
Quy đồng trên tử ta có :
( )( )
2
1 1 1
0 10 3 1 0 2 1 5 1 0
2 5 10
x x x x x x x

+ − − = = − − = = − + =


Làm tương tự với tử còn lại
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 3
DẠNG 2: ĐƯA VỀ TÍCH BẰNG 0
Bài 1: Tìm x biết:
a,
3 3 3 3
13 14 15 16
x x x x− − − −
+ = +
b,
1 3 5 7
65 63 61 59
x x x x+ + + +
+=+
HD:
a,
( )
3 3 3 3 1 1 1 1
0 3 0
13 14 15 16 13 14 15 16
x x x x
x
− − − −

= + − − = = − + − − =


=>
3x =
vì
11
0
13 15
−
và
11
0
14 16
−
nên
1 1 1 1
0
13 14 15 16
+ − −
b,
1 3 5 7 66 66 66 66
1 1 1 1
65 63 61 59 65 63 61 59
x x x x x x x x+ + + + + + + +
= + + + = + + + = + = +
=>
( )
1 1 1 1
66 0 61
65 63 61 59
xx

+ + − − = = = −


vì
1 1 1 1
0
65 63 61 59
+ − −
Bài 2: Tìm x, biết:
a,
29 27 25 23 21
5
21 23 25 27 29
x x x x x− − − − −
+ + + + = −
b,
10 14 5 148
0
30 43 95 8
x x x x− − − −
+ + + =
HD:
a,
29 27 25 23 21
1 1 1 1 1 0
21 23 25 27 29
x x x x x− − − − −
= + + + + + + + + + =
=>
50 50 50 50 50
0
21 23 25 27 29
xxxxx−−−−−
+ + + + =
=>
( )
1 1 1 1 1
50 0
21 23 25 27 29
x

− + + + + =


b, =>
10 14 5 148
3 2 1 6 0
30 43 95 8
x x x x− − − −
− + − + − + + =
=>
100 100 100 100
0
30 43 95 8
xxxx−−−−
+ + + =
=>
( )
1 1 1 1
100 0
30 43 95 8
x

− + + + =


Bài 3, Tìm x, biết:
a,
5 4 3 100 101 102
100 101 102 5 4 3
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
b,
2 1 4 3
7 8 5 6
x x x x− − − −
+ = +
HD:
a,
5 4 3 100 101 102
1 1 1 1 1 1
100 101 102 5 4 3
x x x x x x− − − − − −
= − + − + − = − + − + −
=>
105 105 105 105 105 105
100 101 102 5 4 3
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
=>
105 0 105xx− = = =
b, =>
2 1 4 3 9 9 9 9
1 1 1 1
7 8 5 6 7 8 5 6
x x x x x x x x− − − − − − − −
− + − = − + − = + = +
=>
9 0 9xx− = = =
Bài 4, Tìm x, biết:
a,
1 2 3 4 5 6
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
b,
2 19 2 17 2 7 2 5
21 23 33 35
x x x x+ + + +
− = −
HD:
a, =>
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
94 93 94 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + + + + = + + + + +
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 4
=>
95 95 95 95 95 95
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
=>
95 0 95xx+ = = = −
b, =>
2 19 2 17 2 7 2 5
1 1 1 1
21 23 33 35
x x x x+ + + +
+ − + = + − +
2 40 2 40 2 40 2 40
21 35 33 23
x x x x+ + + +
= + = +
2 40 0 20xx= + = = = −
Bài 5, Tìm x, biết:
a,
1 2 3 4 5 6
59 58 57 56 55 54
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
b,
1 2 3 4
15 14 13 12
x x x x+ + + +
+ = +
HD:
a, =>
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
59 58 57 56 55 54
x x x x x x− − − − − −
− + − + − = − + − + −
60 60 60 60 60 60
59 58 57 56 55 54
x x x x x x− − − − − −
= + + = + +
=>
60 0 60xx− = = =
b,
1 2 3 4
1 1 1 1
15 14 13 12
x x x x+ + + +
= + + + = + + +
16 16 16 16
15 14 13 12
x x x x+ + + +
= + = +
=>
16 0 16xx+ = = = −
Bài 6, Tìm x, biết:
a,
5 15 1990 1980
1990 1980 5 15
x x x x− − − −
+ = +
b,
1 3 5 7
2015 2013 2011 2009
x x x x− − − −
+ = +
HD:
a, =>
5 15 1990 1980
1 1 1 1
1990 1980 5 15
x x x x− − − −
− + − = − + −
1995 1995 1995 1995
1990 1980 5 15
x x x x− − − −
= + = +
1995 0 1995xx= − = = =
b,
1 3 5 7
1 1 1 1
2015 2013 2011 2009
x x x x− − − −
= − + − = − + −
2016 2016 2016 2016
2016 0 2016
2015 2013 2011 2009
x x x x
xx
− − − −
= + = + = − = = =
Bài 7, Tìm x, biết:
a,
1 1 1 1 1
10 11 12 13 14
x x x x x+ + + + +
+ + = +
b,
315 313 311 309
4
101 103 105 107
x x x x− − − −
+ + + = −
HD:
a,
( )
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
10 11 12 13 14
x x x

= + + + − − = = + = = = −


b,
315 313 311 309
1 1 1 1 0
101 103 105 107
x x x x− − − −
= + + + + + + + =
=>
416 416 416 416
0 416 0 416
101 103 105 107
xxxx
xx
−−−−
+ + + = = − = = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 5
Bài 8: Tìm x, biết:
a,
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x− − − −
+ = +
b,
59 57 55 53 51
5
41 43 45 47 49
x x x x x− − − − −
+ + + + = −
HD:
a,
1 2 3 4
1 1 1 1
2009 2008 2007 2006
x x x x− − − −
= − + − = − + −
2010 2010 2010 2010
2009 2008 2007 2006
x x x x− − − −
= + = +
2010 0 2010xx= − = = =
b,
59 57 55 53 51
1 1 1 1 1 0
41 43 45 47 49
x x x x x− − − − −
= + + + + + + + + + =
100 100 100 100 100
0 100 0 100
41 43 45 47 49
xxxxx
xx
−−−−−
= + + + + = = − = = =
Bài 9: Tìm x, biết:
a,
14 15 16 17
4
86 85 84 83
x x x x+ + + +
+ + + = −
b,
90 76 58 36 15
15
10 12 14 16 17
x x x x x− − − − −
+ + + + =
HD:
a,
14 15 16 17
1 1 1 1 0
86 85 84 83
x x x x+ + + +
= + + + + + + + =
100 100 100 100
0 100 0 100
86 85 84 83
xxxx
xx
++++
= + + + = = + = = = −
b, =>
90 76 58 36 15
1 2 3 4 5 0
10 12 14 16 17
x x x x x− − − − −
− + − + − + − + − =
100 100 100 100 100
0 100 0 100
10 12 14 16 17
xxxxx
xx
−−−−−
= + + + + = = − = = =
Bài 10, Tìm x, biết:
a,
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
+ − =
b,
1 1 1 1
11 12 13 14
x x x x+ + + +
+ = +
HD:
a,
1 2 3 4
1 1 1 1 0
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
= − + − − − − − =
=>
2012 2012 2012 2012
0 2012 0 2012
2011 2010 2009 2008
x x x x
xx
− − − −
+ − − = = − = = =
b,
( )
1 1 1 1
1 0 1 0 1
11 12 13 14
x x x

= + + − − = = + = = = −


Bài 11, Tìm x, biết:
1 1 1 1 1
10 11 12 13 14
x x x x x+ + + + +
+ + = +
HD:
( )
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
10 11 12 13 14
x x x

= + + + − − = = + = = = −


Bài 12, Tìm x, biết:
a,
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 4 6
2 4 4 8 8 14 2 14
x
x x x x x x x x
+ + =
+ + + + + + + +
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 6
( )( )
1 1 1 1 1 1
2 4 4 8 8 14 2 14
x
x x x x x x x x
= − + − + − =
+ + + + + + + +
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 12
2 14 2 14 2 14 2 14
xx
x x x x x x x x
= − = = =
+ + + + + + + +
12 x= =
Bài 13: Tìm x thỏa mãn:
10 14 5 148
0
30 43 95 8
x x x x− − − −
+ + + =
HD:
10 14 5 148
3 2 1 6 0
30 43 95 8
x x x x− − − −
− + − + − + + =
Bài 14: Tìm x biết:
1 3 5 7
2015 2013 2011 2009
x x x x− − − −
+ = +
Bài 15: Tìm x biết:
2 3 4 5 349
0
327 326 325 324 5
x x x x x+ + + + +
+ + + + =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 7
DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LŨY THỪA
Bài 1: Tìm x biết:
a,
2
11
30
2 3 2
x
xx
+ − + =
b,
2
12xx+ = +
c,
( )
10
22
3 1024.125 .25x +=
Bài 2: Tìm x biết:
a,
( ) ( ) ( )
9 5 1 16 5 1 36 5 1 15x x x− − − + − =
b,
9 10 11 9
9
64 4.5 .7 5 .7
27
35 .4
x

−
=


Bài 3: Tìm x biết:
a,
( )
16 1 9 9 5xx− − − =
b,
( )
5
1 243x − = −
c,
2 4 7
3 .3 .3 3
n−
=
Bài 4: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
10 20
3 1 3 1xx− = −
b,
( ) ( )
2003 2003
66x x x− = −
c,
2
5 5 650
xx+
+=
HD:
a,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
20 10 10 10
10
1
3 1 0
3 1 3 1 0 3 1 3 1 1 0
3
3 1 1
3 1 1
x
x
x x x x
x
x
−=
=

= − − − = = − − − = = =

−=
− =
b, =>
( ) ( ) ( ) ( )
2003 2003 2003
6 0 6
6 6 0 6 1 0
1 0 1
xx
x x x x x
xx
− = =

− − − = = − − = = =

− = =

c, =>
( )
2
5 5 .5 650 5 1 25 650 5 25
x x x x
+ = = + = = =
Bài 5: Tìm x biết:
a,
2
5 5 650
xx+
+=
b,
25
3 .3 3
n
=
c,
( )
2
2 : 4 .2 4
n
=
Bài 6: Tìm x biết:
a,
1
.2 4.2 9.5
2
n n n
+=
b,
1
2 4 9.5
2
nn

+=


c,
1
2 .9 9.5
nn−
=
Bài 7: Tìm x biết:
a,
3
2 .2 144
nn+
=
b,
( ) ( )
2 12
2015 2015 0
xx
xx
++
− − − =
c,
( ) ( )
86
2 1 2 1xx− = −
Bài 8: Tìm x biết:
12
7
2 5.2
32
xx−−
+=
HD:
1 1 1 4
5 7 7 7 1
2 1 2 . 2 2 3
2 32 2 32 16
x x x
x
− − − −

= + = = = = = = = = −


Bài 9: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
1 11
7 7 0
xx
xx
++
− − − =
b,
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
c,
( ) ( )
53
2 15 2 15xx− = −
HD:
a,
( ) ( )
( )
1 10
10
70
7
7 1 7 0
71
71
x
x
x
xx
x
x
+
−=
=

− − − = = =

− =
−=
b,
( )
2
10800
2 .4.3 .3.5 10800 2 .3 .5 900 2.3.5 900 30 900 30 2
12
x
x x x x x x x
x= = = = = = = = = = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 8
c,
( ) ( ) ( ) ( )
5 3 3 2
2 15 0
2 15 2 15 0 2 15 2 15 1 0
2 15 1
x
x x x x
x
−=

− − − = = − − − = =

− =
Bài 10: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
22
5 1 3xx− = −
b,
2
0xx+=
c,
47
3 .3 3
n
=
HD:
a, =>
3
5 1 3 4 6
2
5 3 1 2 4
2
x x x
x
x x x
x
− = − =
=

= =

− = − = −

=−
b,
( )
00
10
1 0 1
xx
xx
xx
==

= + = = =

+ = = −

c,
7 4 3
3 3 :3 3 3
n
n= = = = =
Bài 11: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
42
4 3 4 3xx− = −
b, (x-1)
3
= 125 c,
2
2 2 96
xx+
−=
HD:
a,
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
4 3 0
4 3 4 3 0 4 3 4 3 1 0
4 3 1
x
x x x x
x
−=

− − − = = − − − = =

− =
b,
( )
3
3
1 5 1 5 6x x x− = = − = = =
c,
( )
25
2 2 96 2 4 1 96 2 32 2 5
x x x x
x
+
− = = − = = = = = =
Bài 12: Tìm x biết:
a,
( )
2
4 7 5 7 4xx− = −
b,
27
3 .3 3
n
=
c,
2008 2010
yy=
HD:
a, Đặt:
( )
2
2
7 4 4 7x a x a− = = − =
Khi đó ta có:
( )
22
0
5 5 0 5 0
5
a
a a a a a a
a
=
= = − = = − = =
=
b,
7 2 5
3 3 :3 3 5
n
n= = = =
c,
( )
2008
2010 2008 2008 2
2
0
0 1 0
1
y
y y y y
y
=
= − = = − = =
=
Bài 13: Tìm x biết:
a,
( )
2
2
1
9 1 0
3
xx− + − =
b,
47
1
.3 .3 3
9
n
=
c,
1
.27 3
9
nn
=
HD:
a, Vì
( )
2
1
9 1 0, 0
3
xx− −
, để
( )
2
2
2
9 1 0
1
9 1 0
1
3
0
3
x
xx
x
−=
− + − = =
−=
=>
1
1
3
1
3
3
x
x
x
=
= =
=
b,
7 4 3 3 2 5
1
3 . 3 :3 3 3 3 .3 3
9
nn
= = = = = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 9
c,
2
3 1 1 1
2
27 9 3 3
n
n
n
n

= = = = = =


Bài 14: Tìm x biết:
a,
11
3 5.3 162
xx−−
+=
b,
2
5 625
x+
=
c,
( )
50
2 1 2 1xx− = −
HD:
a, =>
( )
1 1 3
3 1 5 162 3 27 3 1 3 4
xx
xx
−−
+ = = = = = − = = =
b, =>
24
5 5 2 4 2
x
xx
+
= = + = = =
c, =>
( ) ( )
49
2 1 0
2 1 2 1 1 0
2 1 1
x
xx
x
−=

− − − = =

−=
Bài 15: Tìm x biết:
a,
11
3 5.3 486
xx−−
+=
b,
200
xx=
c,
( )
2
2 :4 .2 4
n
=
HD:
a, =>
( )
1 1 4
3 1 5 486 3 81 3 1 4 5
xx
xx
−−
+ = = = = = − = = =
b, =>
( )
199
0
10
1
x
xx
x
=
− = =
=
c,
2
2 4 2 2
n
n= = = = =
Bài 16: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
24
11
xx
xx
++
− = −
b,
2
5 5 650
nn+
+=
c,
2008 1
n
=
HD:
a,
( ) ( )
( )
( )
2
22
2
10
1 1 1 0
11
x
xx
x
x
xx
x
+
++
+
−=

= − − − = =

−=
b,
( )
22
5 1 5 650 5 25 5 2
nn
n= + = = = = = =
c, =>
0
2008 1 2008 0
n
n= = = =
Bài 17: Tìm x biết:
a,
1
.2 4.2 9.5
2
n n n
+=
b,
2000 2008
55
3
yy
x
− = −
HD:
a,
11
19
2 4 9.5 2 . 9.5 2 .9 9.5 2 5
22
n n n n n n n n−−

= + = = = = = = =


Vô lý
b,
2000 8
50
3
5 5 1 0
33
51
3
y
yy
y
−=

− − − = =



− =
Bài 18: Tìm x biết:
a,
32 .16 1024
nn−
=
b,
11
3 .3 5.3 162
nn−−
+=
c,
3
2 .2 128
nn+
=
HD:
a,
5 4 10
2 .2 1024 2 2 10
n n n
n
−−
= = = = = = −
b,
1 1 1 1 3
3 5.3 162 3 .6 162 3 27 3 1 3 4
n n n n
nn
− − − −
= + = = = = = = = − = = =
c,
2 3 7
2 128 2 2 3 7 2
x
nn
+
= = = + = = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 10
Bài 19: Tìm x biết:
a,
2 15 17
x
−=
b,
23
2.2 4 .4 1056
xx
+=
HD:
a, =>
5
2 32 2 5
x
x= = = =
b, =>
( )
2 3 2 2 2 4
2.2 4 .2 1056 2 2 64 1056 2 16 2 2 4 2
x x n n
nn+ = = + = = = = = = = =
Bài 20: Tìm x biết:
a,
21
5
1
3
3
n−

=


b,
2 1 5
32
xx+−
=
HD:
a, =>
1 2 5
3 3 1 2 5 2
n
nn
−
= = − = = = −
b,
( ) ( )
2 2 1 3 5 4 2 3 15 17x x x x x+ = − = + = − = = −
Bài 21: Tìm x biết:
a,
21
4 4 1040
xx−+
+=
b,
( )
3
2 1 8x − = −
c,
( ) ( )
24
11
xx
xx
++
− = −
HD:
a, =>
2 2 3 2 2 2
4 4 .4 1040 4 .65 1040 4 16 4 2 2
x x x x
x
− − − −
+ = = = = = = = − =
b, =>
( ) ( )
33
2 1 2 2 1 2xx− = − = − = −
c, =>
( ) ( )
( )
( )
2
22
2
10
1 1 1 0
11
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
−=

− − − = =

− =
Bài 22: Tìm x biết:
a,
15
2 .2 4.2 9.2
nn−
+=
b,
11
3 5.3 162
xx−−
+=
HD:
a,
5 5 1 5
19
2 4 9.2 2 . 9.2 2 2 6
22
n n n
n
−

= + = = = = = = =


b, =>
1 1 3
3 .6 162 3 27 3 4
nn
n
−−
= = = = = =
Bài 23: Tìm x biết:
a,
( )
2
54
nn=
b,
21
4 4 1040
xx−+
+=
HD:
a, =>
( )
108 107
0
10
1
n
n n n n
n
=
= = − = =
=
b, =>
2 2 3 2 2 2
4 4 .4 1040 4 .65 1040 4 16 4 4
x x x x
x
− − − −
+ = = = = = = = =
Bài 24: Tìm x biết:
a,
2
2 2 96
xx+
−=
b, (2x-1)
50
= 2x-1
HD:
a,
5
2 .4 2 96 3.2 96 2 32 2 5
x x x x
x− = = = = = = = =
b,
( ) ( )
49
2 1 0
2 1 2 1 1 0
2 1 1
x
xx
x
−=

− − − = =

−=
Bài 25: Tìm x biết:
a,
22
( 5) (1 3 )xx− = −
b,
32 .16 1024
nn−
=
HD:
a,
5 1 3 4 6
5 3 1 2 4
x x x
x x x
− = − =

= =

− = − = −

b,
5 4 10 10
2 .2 2 2 2 10
n n n
n
−−
= = = = = −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 11
Bài 26: Tìm x biết:
a,
( )
3
5 7 512x −=
b, (2x-15)
5
= (2x-15)
3
c,
2
( 2 2)( 4) 0xx+ − − =
HD:
a,
( )
3
3
5 7 8 5 7 8 5 15 3x x x x− = = − = = = = =
b,
( ) ( )
32
2 15 0
2 15 2 15 1 0
2 15 1
x
xx
x
−=

= − − − = =

− =
c,
2
22
22
2
40
x
x
x
x
+=
+ =
= =
=
−=
Bài 27: Tìm x biết:
a,
10 :5 20
x y y
=
b,
5 8 6xx− + − =
( với x > 5) c,
1
2 .3 12
x y x+
=
HD:
a,
2
10 20 .5 100 10 2
x y y y y
xy= = = = = =
b, Vì
5 5 5x x x = − = −
, Khi đó ta có:
19
5 8 6 2 19
2
x x x x− + − = = = = =
c,
1 2 2 1 1
10
2 .3 2 .3 2 :2 3 :3 2 3 1
0
x y x x x x y x x y x
x
xy
yx
+ + − −
−=
= = = = = = = = =
−=
Bài 28: Tìm x biết:
a,
( ) ( )
68
22xx− = −
b,
22
2
7 11 29
3 12 12
x x y
−
+ = − =
HD :
a,
( ) ( )
62
20
2 2 1 0
21
x
xx
x
−=

− − − = =

− =
b,
22
7 29 11 10 3
5
3 12 12 3 2
x x x x
= + = − = = = =
Thay vào tìm đc y
Bài 29: Tìm x,y biết rằng :
22
2
31 49
12 12
x x y
+ − = − =
HD :
22
49 31
2 10 5
12 12
x x x x
= + = − = = = =
Thay vào tìm đc y
Bài 30: Tìm x,y,z biết:
2 2 2 2 2 2
2 3 4 5
x y z x y z++
+ + =
HD :
2 2 2 2 2 2
00
2 5 3 5 4 5
x x y y z z
x y z
− + − + − = = = = =
Bài 31: Tìm x biết:
2 1 2 2 1 2 3
7 7 7 5 5 5
57 131
x x x x x x+ + + +
+ + + +
=
HD :
( ) ( )
2
7 49 7 1 5 1 5 125
7 25 0
57 131
xx
xx
x
+ + + +
= = = = = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 12
Bài 32: Tìm n biết:
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
.2
3 3 3 2 2
n
+ + + + + + + +
=
+ + +
HD :
5
55
56
55
4.4 6 .6 24 24
. 2 . 2 4 .4 2 4 2
3.3 2.2 6 6
n n n n

= = = = = = = =


12
2 2 12
n
n= = = =
Bài 33: Tìm x biết:
( )
2005
1
3 0 2005
2 . 2005 . 994 15:3 1xx+ = − +
HD :
8. 990 9 990 110x x x x= + = = = = =
Bài 34: Tìm x biết:
1 2 3
2 2 2 2 480
x x x x+ + +
+ + + =
HD :
( )
5
2 1 2 4 8 480 2 32 2 5
xx
x= + + + = = = = = =
Bài 35: Tìm các số nguyên x, y, z, t biết:
( )
2
2
2
3
27 3
4 3 4 8
t
z
x
y
−
+
−
= = = =
−
HD :
3.27 81
44
x= − = =
Làm tương tự tìm y,z,t
Bài 36: Tìm m,n thỏa mãn :
( ) ( )
4 4 9 15
7 . 5 35
mn
x y x y x y− − =
HD :
4 4 9 15
49
35. . 35. .
4 15
nm
n
x y x y
m
++
+=
= = =
+=
Bài 37: Tìm x, y nguyên biết :
2
11
2012 1006
2012 .3 9
xy− + −
=
HD :
=>
22
1 1 1 1
2012 2012 2
2012 .3 3 2012 1 1 1 0
x y x y
xy
− + − − + −
= = = = − + − =
=>
2
2
10
11
1
x
xy
y
−=
− + = =
=
hoặc
2
11
0
x
y
−=
=
Bài 38: Tìm các số x,y,z nguyên dương biết:
2 2 2 2 2 2
1: 1: 1: 6x y x x y z+ + + + + =
Bài 39: Tìm x biết:
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
.8
3 3 3 2 2
x
+ + + + + + + +
=
+ + +
HD :
5
55
3 3 5 3 6 3
55
4.4 6 .6 24 24
. 2 . 2 4 .4 2 4 2 3 6 2
3.3 2.2 6 6
n n n n
nn

= = = = = = = = = = = =


Bài 40: Tìm giá trị của biểu thức biết:
( )
( )
( )
( )
7
6
5
4
x
x
x
x
+
−
−
−
với x=7
HD :
Thay x=7 vào ta được :
( )
75
2
7 4 3 9
−
− = =
Bài 41: Tìm x biết:
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
HD :
Phân tích
4 3 2 2 1
10800 2 .3 .5 2 .3 .5 2
x x x
x
++
= = = =
Bài 42: Tìm x biết:
( ) ( ) ( )
1 1 10
7 7 7 0
xx
x x x
++
− − − − =
Bài 43: Tìm x, y nguyên biết :
2
11
2012 1006
2012 .3 9
xy− + −
=
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 13
Bài 44: Tìm x biết:
( ) ( )
22
22
3 5 5 1x x x x− − = + +
Bài 45: Tìm x biết:
( ) ( )( )
2
1 1 1 0x x x+ − + − =
Bài 46: Tìm x biết:
( ) ( )
22
22
1 2 5x x x+ = − −
Bài 47: Tìm x biết :
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
Bài 48: Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm, và 1 số bằng 0, Tìm 3 số đó biết:
( )
2
a b b c=−
HD :
Xét
( ) ( )
2
0
00
b
a b b c VL
bc
=
= = − = =
=
Xét
( )
2
0 0 0, 0, 0
0
bc
a a b b c c b a
b
= = − = = =
Bài 48: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn:
( )
3
x y z x=−
, Biết rằng trong ba số đó có 1 số bằng 0, một số âm,
một số dương, hãy chỉ rõ số nào bằng 0, số nào âm, số nào dương?
Bài 49: Tìm x,y biết:
( )
3
10
x x y−=
và
( )
3
50
y x y
−
−=
HD :
Trừ theo vế ta được :
( )( ) ( )
2
2
93
25 5
x y x y x y

− − = = − =


Bài 50: Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng:
3 3 3
3a b c abc− − =
và
( )
2
2a b c=+
HD:
Vì
( )
2
2a b c=+
=>
2
a
là 1 số chẵn => a chẵn, mà a, b, c nguyên dương nên từ
3 3 3
3a b c abc a b− − = =
và
ac
=>
( )
2
2 4 2 4 4a b c a b c a a a + = + = =
=> a = 2 và b = c = 1
Bài 51: Tìm các số nguyên dương a, b, c, d biết :
b c d a
a b c d= = =
và
20a b c d+ + + =
Bài 52: Tìm các số nguyên dương a, x, y biết:
4 19 3 ;2 5 3
ab
xx+ = + =
Bài 53: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết:
5 17 2
x y xy
−=
và
5,2 3
y
x y x xy− = + =
Bài 54: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết :
235
xyz
x y z+ − =
và
( )( )
2
2 7 19x y y x− + − =
(xyz>0)
Bài 55: Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0
HD :
Biến đổi về dạng
( )( )
2 1 1 2 1xy− − = −
Bài 56: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho:
( )
( )
2008 3 1 2008 2008 225+ + + + =
a
a b a b
HD:
Do a,b là số tự nhiên nên:
Nếu
1a
thì 2008a+2008a+b >225 (loại)
Nên a=0 khi đó (3b+1)(b+1)=225=3.75=5.45=9.25 vì 3b+1 không chia hết cho 3 và 3b+1>b+1
=>
3 1 25
8
19
b
b
b
+=
= =
+=
Bài 57: Chứng minh rằng với a, b là số nguyên thì giá trị của biểu thức:
( )( )
22
2021 2019 1 2017 2015 2018A a b a b= + + − +
là một số chẵn.
Bài 58: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho
2018 4035 2018
m
nn+ = + −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 14
Bài 59: Tìm x nguyên biết:
2015 2016
2015 2017xx+=
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 15
DẠNG 4: TÌM X DẠNG PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm x nguyên biết:
a,
1 1 1
5xy
+=
b,
21
3
xy
+=
c,
2 1 8
1
y x xy
− = +
HD:
a,
( ) ( ) ( )
5( ) 5 5 0 5 5 25 25 5 5 5 25x y xy xy x y x y y x y y= + = = − − = = − − + = = − − − =
( )( )
5 5 25xy= − − =
1.25 5.5==
b,
( ) ( )
2 2 1 2
2 3 3 2 0 3 1 2 3 1 2
3 3 3 3
y x xy xy x y x y y x y y

= + = = − − = = − − + = = − − − =


=>
( ) ( ) ( )( )
3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2x y y x y− − − = = − − =
c,
( ) ( )( )
2 8 2 8 2 2 10 1 2 10x y xy xy x y x y y x y= − = + − + = − = − + − = − = + − = −
Bài 2: Tìm x nguyên biết:
a,
14
1x
y xy
− − = −
b,
3 12
1
y xy
−
−=
c,
11
84
x
y
−=
HD:
a, =>
( )
22
4 4 0 1 1 3 0x y x xy x y xy x xy x x− − = − = + − − = = + − − − =
=>
( ) ( )
1 1 3xy x x+ − + =
=>
( )( )
1 1 3 1.3xy x− + = =
b, =>
( )
3 12 3 12 3 12 1.12 2.6 3.4x xy xy x x y− − = = + = − = + = − = − = − = −
c, =>
( )
8 2 2 8 2 8 1.8 2.4xy y xy y y x− = = − = = − = = =
Bài 3: Tìm x nguyên biết:
a,
22
1
xy
−
− = −
b,
42
1
xy
+=
c,
35
36
y
x
+=
HD:
a,
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 0 2 2 4 4 2 2 2 4y x xy xy x y x y y x y y= − − = − = − − = = − − + = = − − − =
=>
( )( )
2 2 4xy− − =
b,
( ) ( )( )
4 2 2 4 0 2 4 8 8 2 4 8y x xy xy x y x y y y x= + = = − − = = − − + = = − − =
c, =>
( )
3 5 5 2
5 2 18
6 3 6
yy
xy
x
−
= − = = − =
Bài 4: Tìm x nguyên biết:
a,
51
36
y
x
−=
b,
41
35
x
y
−=
c,
21
6 30
x
y
−=
HD:
a,
( )
5 1 5 1 2
2 1 30
6 3 6
yy
xy
xx
+
= = + = = = + =
b, =>
( )
1 4 5 3 4
5 3 60
3 5 15
xx
yx
yy
−
− = = = = − =
c, =>
( )
1 2 5 1 2
5 1 60
6 30 30
xx
yx
yy
−
− = = = = − =
Bài 5: Tìm x nguyên biết:
a,
45
36
y
x
+=
b,
31
9 18
x
y
−=
c,
2
25 5
53
x
y
−
==
−−
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 16
a,
( )
4 5 5 2
5 2 24
6 3 6
yy
xy
x
−
= = − = = − =
b,
( )
1 3 2 1 3
2 1 54
9 18 18
xx
yx
yy
−
= − = = = = − =
c,
( )( )
( )
25 3
15
5
x
−−
= = = −
−
và
( )
2
5 .5
11
25
yy
−
= = = =
−
Bài 6: Tìm x nguyên biết:
a,
7 9 2 359
15 10 5 30x y xy
+ = −
b,
11
7 2 1
x
y
−=
+
c,
51
48
y
x
+=
HD:
a, Quy đồng ta được:
( ) ( )
14 27 12 359
12 27 14 359 6 4 9 7 4 9 781
30 30
y x xy
xy y x y y
xy xy
+−
= = = − = + = − = − +
( )( )
4 9 6 7 781 11.71yx= − − = =
b, =>
( )( )
2 7 1
2 7 1 14
14 1
x
xy
y
−
= = − + =
+
c, =>
( )
5 1 1 2
1 2 40
8 4 8
yy
xy
x
−
= − = = − =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 17
DẠNG 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHẶN
Bài 1: Tìm số tự nhiên x,y biết:
( )
2
2
7 2004 23xy− = −
HD:
Từ giả thiết ta thấy
( )
2
7 2004 0x −
nên
22
23 0 23 0;1;2;3;4y y y− = =
Mà 7 là số nguyên tố nên
2
23 7 3;4yy− =
. Thay y vào ta tìm được x
Bài 2: Tìm số tự nhiên x,y biết:
( )
2
2
25 8 2002yx− = −
HD:
Từ giả thiết ta có:
( )
2
22
8 2002 0 25 0 0,1,2,3,4,5x y y− = − =
Mà
22
8( 200) 8 25 8 1;3;5x y y− = − =
. Thay y vào tính x
Bài 3: Tìm ba số tự nhiên a, b, c biết:
1 1 1 4
5abc
+ + =
HD :
Giả sử :
4 1 1 1 1 1 1 3
3
5
a b c c
a b c c c c c
= = + + + + = =
TH1 : Với
1 1 4 1 1 4
1 1 1 0
55
c
a b a b
= = + + = = + = −
( Loại)
TH2 : Với
1 1 4 1 3
2 3 10 10
5 2 10
c ab a b
ab
= = + = − = = = +
TH3 : Với
1 1 4 1 7
3 7 15 15
5 3 15
c ab a b
ab
= = + = − = = = +
Bài 4: Tìm ba số từ nhiên a, b, c khác 0 biết:
1 1 1 4
3a b c
+ + =
HD:
Không mất tính tổng quát: Giả sử:
1
1 1 1 3 4
3
2
c
a b c
a b c c
c
=
= + + = =
=
Với
64
1 1 4 1 1 2 1
1 1 6 ,
33
6 12
bb
cb
a b a b b
aa

==
= = + + = = + = = =

==

Với
1 1 1 4 1 1 5
2 3, 2
2 3 6
c b a
a b a b
= = + + = = + = = = =
Bài 5: Tìm các số nguyên a, b, c
0, biết:
3
a b c a c b
abc
b c a c b a
+ + = + + = + + =
HD:
3 9 1 1 1 9
a b c a c b a c b a c b
b c a c b a b b c c a a
= + + + + + + = = + + + + + + + + =
=>
( )
1 1 1
99
a b c a b c a b c
abc
b c a a b c
+ + + + + +

+ + = = + + + + =


=>
1 1 1
3
abc
+ + =
, do a, b, c
Z
nên
1 1 1 1 1 1
1, 1, 1 3 1abc
a b c a b c
= + + = = = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 18
Bài 6: Tìm số nguyên x, y biết:
( )
4
42 3 3 4 2012yx− − = −
HD:
=>
( )
4
42 3 3 4 2012yx= − + −
, Do
3 3 0,y y Z−
nên
( )
4
4 2012 42x−
( )
4
4
2012 11 2 2012 0xx= − = − =
hoặc
2012 x− =
1, Vì 2012 - x là số nguyên nên
+ Nếu
2012 x− =
1=> x = 2011 hoặc x = 2013 thì
38
38 3 3 3
3
yy= − = − =
(loại)
+ Nếu: 2012 - x = 0 => x = 2012 và
42 3 3 3 14yy= − = − =
=> y= 17 hoặc y = - 11
Bài 7: Tìm số tự nhiên x,y biết:
( )
2
2
25 8 2009yx− = −
(Tự luyện)
HD :
Từ giả thiết ta có:
( )
2
22
8 2009 0 25 0 0,1,2,3,4,5x y y− = − =
Mà
22
8( 2009) 8 25 8 1;3;5x y y− = − =
. Thay y vào tính x
Bài 8: CMR không tìm được hai số x, y nguyên dương sao khác nhau sao cho
1 1 1
x y x y
−=
−
HD :
Quy đồng chéo ta được :
( )( )
y x x y xy− − =
, Vì x - y và y - x là hai số đối nhau nên VT < 0,
Và nếu x, y nguyên dương thì VP > 0=> Mẫu thuẫn
Vậy không tồn tại hai số x, y nguyên dương
Bài 9: Tìm ba số nguyên dương x, y, z sao cho:
1 1 1
2
x y z
+ + =
HD :
Giả sử :
1 1 1 1 1 1 3 3
21
2
x y z z z
x y z z z z z
= = + + + + = = = =
Với
( )( )
1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1z x y xy x y
x y x y
= = + + = = + = = + = = − − =
Bài 10: Tìm bộ ba số tự nhiên khác 0 sao cho:
1 1 1
1
a a b a b c
+ + =
+ + +
HD:
Vì
1 1 1 1 1 1 3
1 3 1;2;3aa
a a b a b c a a a a
+ + = + + = = =
+ + +
TH1 : Với
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1
a
b b c b b c
= = + + = = + =
+ + + + + +
( Loại)
TH2 : Với
1 1 1 1 1 1 1 1 2
21
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a
b b c b b c b b b
= = + + = = + = + =
+ + + + + + + + +
2 4 2 1;2b b b= + = =
Nếu b=1 thì
1 1 1
3 3 2
c
c
+ = =
+
Nếu b=2 thì
1 1 1
4 4 2
c
c
+ = =
+
TH3 : Với
1 1 1 2 1 1 2
3 1 3 3 0
3 3 3 3 3 3 3
a b b
b b c b b b
= = + = − = + = = + =
+ + + + + +
(loại)
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 19
Bài 11: Tìm các số nguyên dương m, n thỏa mãn:
1 1 1
7mn
+=
HD:
1
7 7 7 7 0
7
mn
m n mn mn m n
mn
+
= = = + = = − − =
=>
( ) ( )( )
7 7 49 49 7 7 49m n n n m− − + = = − − =
Bài 12: Tìm các số nguyên a,b,c
0 biết:
3
a b c a c b
abc
b c a c b a
+ + = + + = + + =
HD:
( )
1 1 1
99
a b c a b c a b c
abc
b c a a b c
+ + + + + +

= + + = = + + + + =


1 1 1
3
abc
= + + =
. Do
1 1 1
, , 1, 1, 1 1a b c Z a b c
abc
= = = = =
Bài 13: Tìm các số x, y nguyên dương biết:
( )
22
1 1576y x x+ = +
Bài 14: Tồn tại hay không số tự nhiên m và n để
1995 18 1 0
nm
− + =
Bài 15: Tìm x, y để:
4 24 5
xy
+=
Bài 16: Tìm x,y,z nguyên dương biết:
x y z xyz+ + =
HD:
Vì x, y, z có vai trò như nhau nên ta xét:
x y z
Vì x, y, z nguyên dương nên
0, 3 3 1;2;3xyz xyz x y z z xy xy = = + + = =
Nếu
1 1 2xy x y z z= = = = = + =
vô lý
Nếu
( )
2, 1, 2 3xy x y x y z= = = = = =
Nếu
( )
3, 1, 3 2xy x y x y z= = = = = =
Bài 17: Tìm x,y thuộc Z biết
( )
2
2
25 8 2015yx− = −
Bài 18: Cho
5 4 20 12 11
17 9 31 17 31
A
−
= + − + −
và
3 7 4 8 2
7 15 7 15 3
B
− − −
= + + + −
. Tìm số nguyên x sao cho
9
x
AB
HD :
Tính A ta có :
4
9
A
−
=
và
2
3
B =
Theo bài ra ta có :
4 2 4 6
46
9 9 3 9 9 9
xx
x
−−
= = −
Bài 19 : Tìm số nguyên x sao cho :
( )( )( )( )
2 2 2 2
1 4 7 10 0x x x x− − − −
HD :
Vì tích của 4 số :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 , 4 , 7 , 10x x x x− − − −
là 1 số âm, nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm
Ta có :
2 2 2 2
10 7 4 1x x x x− − − −
, ta xét 2 TH sau :
TH1 : Có 1 số âm :=>
2 2 2 2 2 2
10 7 10 0 7 7 10 9 3x x x x x x x− − = − − = = = = =
TH2 : Có 3 số âm và 1 số dương :
2 2 2
4 0 1 1 4x x x= − − =
, Do x là số nguyên nen không tồn tại x
Vậy
3x =
là số cần tìm
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 20
Bài 20: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
22
6 5 74xy+=
HD:
Từ
2 2 2 2
74
6 5 74 6 74
6
x y x x+ = = =
mà
2
0;1;4;9x Z x =
Mặt khác ta lại có:
2 2 2 2
1 75 5 5 5 4x x y x+ = − − = =
hoặc
2
9x =
Với
22
4 10xy= = =
( loại) vì y không là số nguyên
Với
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
9 4 ; 3;2 ; 3; 2 ; 3;2 ; 3; 2x y x y= = = = − − − −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 21
DẠNG 6: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG
Bài 1: Tìm x, biết:
2 3 ... 2011 2012.2013x x x x+ + + + =
HD:
Ta có:
( )
( )
1 2011 .2011
1 2 3 ... 2011 2012.2013 . 2012.2013
2
xx
+
+ + + + = = =
=> x
Bài 2: Tìm x biết:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 100 5070x x x x+ + + + + + + + =
HD:
Ta có:
( ) ( )
... 1 2 3 ... 100 5070x x x x+ + + + + + + + + =
=>
1
100 5050 5070 100 20
5
x x x+ = = = = =
Bài 3: Tìm x biết:
1 1 1 1 1 2 3 9
... ...
2 3 4 10 9 8 7 1
x

+ + + + = + + + +


HD:
Ta có: Tách
9
1
thành 9 số 1=>
1 2 3 9 1 2 3 8
... 1 1 1 ... 1 1
9 8 7 1 9 8 7 2
+ + + + = + + + + + + + + +
10 10 10 10 10 1 1 1 1
... 10 ...
9 8 7 2 10 2 3 4 10

= + + + + + = + + + +


Khi đó
1 1 1 1 1 1 1 1
... 10 ... 10
2 3 4 10 2 2 3 10
xx
+ + + + = + + + + = =
Bài 4: Tìm x biết:
1 2 3 ... 820x+ + + + =
HD:
( )
( )
1
820 1 1640 40.41 40
2
xx
x x x
+
= = = + = = = =
Bài 5: Tìm x biết:
( )
2
3 3 3 3
1 2 3 ... 10 1x+ + + + = +
HD:
Ta có:
( )
2
33
1 2 1 8 9 1 2+ = + = = +
( )
2
3 3 3
1 2 3 9 27 36 1 2 3+ + = + = = + +
....
( ) ( )
22
3 3 3 3 2
1 45
1 2 3 ... 10 1 2 3 ... 10 1 45
1 45
x
x
x
+=
+ + + + = + + + + = + = =
+ = −
Bài 6: Tìm x biết:
( )
2
1 3 5 7 ... 99 2x+ + + + + = −
HD:
=>
( )
( )
2
2
1 99 50
2 50
50 2
2 50
2
x
x
x
+
−=
= = − =
− = −
Bài 7: Tìm x biết:
3 5 7 ... 2013 2015 3024x x x x x x− + − + + − =
HD:
=>
( ) ( ) ( )
3 5 7 ... 2013 2015 3024x x x x x x− + − + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 ... 2 3024 2 .504 3024 2x 6 x 3x x x x= − + − + + − = = − = = − = = = −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 22
Bài 8: Tìm x biết:
2 2 2 2 2
2 6 12 20 110
. . . ... . 20
1 2 3 4 10
x =−
HD:
Ta có:
1.2 2.3 3.4 4.5 10.11
. . . ... . 20
1.1 2.2 3.3 4.4 10.10
x =−
( )( )
( )( )
1.2.3...10 2.3....11
. 20
1.2....10 1.2....10
x= = −
20
11 20
11
xx
−
= = − = =
Bài 9: Tìm x biết:
( )
3 3 3 3 24
...
35 63 99 2 35xx
+ + + + =
+
HD:
Ta có: =>
( )
3 3 3 3 24
...
5.7 7.9 9.11 2 35xx
+ + + + =
+
( )
3 2 2 2 2 24
...
2 5.7 7.9 9.11 2 35xx

= + + + + =


+

3 1 1 24 1 1 24 2 16
.
2 5 2 35 5 2 35 3 35xx

= − = = − = =

++

1 16 1 9 35 35 53
22
5 35 2 35 9 9 9
xx
x
− − − −
= − = = = + = = = − =
+
Bài 10: Tìm x biết:
1 2 3 4 31
. . . ... 2
4 6 8 10 64
x
=
HD:
( )
( )( )( ) ( )
31 31 5 36
1.2.3.4.5....30.31
1.2.3....31 1 1
2 2 36
2.2 2.3 2.4 ... 2.32
2 .2.3.4...32 2 .2 2
xx
x= = = = = = = = −
Bài 11: Tìm x biết:
( )( )
1 1 1 1 49
...
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 99xx
+ + + + =
−+
HD:
( )( )
2 2 2 2 98 1 98
... 1
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 99 2 1 99x x x
= + + + + = = − =
− + +
=>
2 98
2 98 49
2 1 99
x
xx
x
= = = = =
+
Bài 12: Tìm x biết:
( )
1 1 1 2 1989
1 ... 1
3 6 10 1 1991xx
+ + + + + =
+
HD:
( )
2 2 2 2 1989
2 .... 1
6 12 20 1 1991xx
= + + + + + =
+
( )
1 1 1 1 1989
2 2 ... 1
2.3 3.4 4.5 1 1991xx

= + + + + + =


+

=>
( )
1 1 1989 1 2
2 2 1 2
2 1 1991 2 1 1991
x
xx

−−

+ − = = =



++


GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 23
=>
( ) ( )
12
1991 1 2 1 1991 1991 2 2
1 1991
x
x x x x
x
−−
= = − = − + = − = − −
+
1989
1991 2 2 1991 1993 1989
1993
x x x x= + = − + = = = =
Bài 13: Tìm x biết:
( )
1006
23
91
1 3 3 3 ... 3
4
x
+
− + − + + − =
HD:
Đặt
( )
23
1 3 3 3 ... 3
x
A = − + − + −
. Khi đó:
( )
1
2 3 4
3 3 3 3 3 ... 3
x
A
+
= − + − + + −
( )
( )
1
1
31
3 4 1 3
4
x
x
A A A A
+
+
−+
= + = = + − = =
Theo giả thiết ta có:
( )
1
2012
31
31
44
x+
−+
+
=
1 2012 2011xx= + = = =
Bài 14: Tìm x biết:
12
17 16 15 2
3 3 2 2 2 ... 2x+ − = − − − −
HD:
Đặt:
2 3 4 16
2 2 2 ... 2A = + + + +
. Tính A ta có:
3 4 5 17
2 2 2 2 ... 2A = + + + +
17 2
2 2 2A A A= − = − =
Theo giả thiết ta có:
( )
12 12
17 17 17 2 12
31
3 3 2 2 2 2 4 3 1
31
x
x A x
x
−=
+ − = − = − − = = − = =
− = −
Bài 15: Tìm x biết:
( )
1 1 1 1
...
1
2 3 4 200
20
1 2 199
2000
...
199 198 1
x
+ + + +
−=
+ + +
HD:
Đặt
1 1 1 1
...
2 3 4 200
1 2 199
...
199 198 1
A
+ + + +
=
+ + +
. Ta có mẫu của
1 2 198 200 200 200 200
1 1 ... 1 1 ...
199 198 2 199 198 2 200
A
= + + + + + + + = + + + +
Khi đó
1 1 1 1
...
1
2 3 4 200
1 1 1
200
200 ...
2 3 200
A
+ + + +
==

+ + +


Như vậy ta có:
( )
1 1 1 1 199
20 . 20 20
200 2000 10 10 10
x x x
−
− = = − = = = − =
Bài 16: Tìm x biết:
( )
4 8 12 32 16
...
3.5 5.9 9.15 16 25nn
+ + + + =
+
HD:
( )
2 4 6 16 16
2 ...
3.4 5.9 9.15 16 25nn

= + + + + =


+

1 1 16 1 1 8 1 1 8 1
2 16 75
3 16 25 3 16 25 16 3 25 75
n
n n n

= − = = − = = = − = = + =

+ + +

GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 24
Bài 17: Tìm x biết:
1 1 1 1
: : : ... : 511
2 4 8 512
x x x x+ + + + =
HD:
( )
2 4 8 ... 512 511 2 4 8 16 ... 512 511x x x x x= + + + + = = + + + + + =
Đặt
2 4 8 16 ... 512A = + + + + +
2 4 8 16 ... 1024 2 1024 2 1022A A A= = + + + + = − = − =
Khi đó ta có:
511 1
511 .1022 511
1022 2
xA x x= = = = = =
Bài 18: Tìm x biết:
1 2 3 49 49
2 2 2 ... 2 2 1
x x x x− − − −
+ + + + = −
HD:
Đặt:
1 2 3 49
2 2 2 ... 2
x x x x
A
− − − −
= + + + +
1 2 48 49
2 2 2 2 ... 2 2 2 2
x x x x x x
A A A A
− − − −
= = + + + + = − = = −
theo bài ra ta có:
( )
49
49 49 49 49
49 49
1 2 1
2 2 2 1 2 1 2 1 2 . 2 1 0
22
x x x x−
−

− = − = − = − = − − =


49
2
10
2
x
= − =
49 0
2 1 2 49 0 49
x
xx
−
= = = = − = = =
Bài 19: Tìm x biết:
1 2 3 ... 50 255x x x x x+ − + − + − + + − =
HD :
( ) ( )
... 1 2 3 ... 50 255x x x x= + + + + − + + + + =
51 1275 255 51 1530 30x x x= − = = = = =
Bài 20: Tìm x biết:
( ) ( ) ( )
1 2 ... 2010 2029099x x x x+ + + + + + + =
HD :
( ) ( )
... 1 2 3 ... 2010 2029099 2011 2021055 2029099x x x x x= + + + + + + + + + = = + =
2011 2029099 2021055 8044 4xx= = − = = =
Bài 21: Tìm x biết:
2 4 6 ... 2 210x+ + + + =
HD :
( )
( )
( )
1.
2 1 2 3 4 ... 210 2. 210 1 210 14.15
2
xx
x x x
+
= + + + + + = = = = + = =
Bài 22: Tìm x biết: (x+1) + (2x+3) + (3x+5) + … + (100x+199) = 30200
HD :
( ) ( )
2 3 ... 100 1 3 5 ... 199 30200x x x x= + + + + + + + + + =
.5050 10000 30200 5050 20200 4x x x= + = = = = =
Bài 23: Tìm x biết:
2
1 1 1 2 1
...
14 35 65 3 9xx
+ + + + =
+
HD :
=>
( )
2 2 2 2 1
...
28 70 130 3 9xx
+ + + + =
+
( )
2 2 2 2 1
...
4.7 7.10 10.13 3 9xx
= + + + + =
+
=>
( )
2 3 3 3 1
...
3 4.7 7.10 3 9xx

+ + + =


+

2 1 1 1
3 4 3 9x

= − =

+

GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 25
=>
1 1 1 1 1 1 1 1
9
4 3 6 4 6 3 12 3
x
x x x
− = = − = = = = =
+ + +
Bài 24: Tìm x biết:
3 3 3 3 24
...
35 63 99 ( 2) 35xx
+ + + + =
+
HD :
( )
3 3 3 3 24
...
5.7 7.9 9.11 2 35xx
+ + + + =
+
( )
3 2 2 2 2 24
...
2 5.7 7.9 9.11 2 35xx

= + + + + =


+

3 1 1 24 1 1 24 2 16
.
2 5 2 35 5 2 35 3 35xx

= − = = − = =

++

1 16 1 9 35 35 53
22
5 35 2 35 9 9 9
xx
x
− − − −
= − = = = + = = = − =
+
Bài 25: Tìm x biết:
2
1 3 5 7 ... 99 ( 2)x+ + + + + = −
HD:
=>
( )
( )
2
2
1 99 50
2 50
50 2
2 50
2
x
x
x
+
−=
= = − =
− = −
Bài 26: Tìm x biết:
(1.2 2.3 3.4 ... 98.99). 6 3
12 :
26950 7 2
x+ + + +
=
HD :
Đặt :
1.2 2.3 3.4 ... 98.99A = + + + +
Tính A ta được :
( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2 ... 98.99 100 97A = − + − + − + + −
( ) ( ) ( )
3 1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 ... 98.99.100 97.98.99 98.99.100A = − + − + + − =
98.99.100
3
A =
Thay vào ta có :
98.99.100. 6 3 60 5
12 : 12
3.26950 7 2 7 7
x
xx= = = = =
Bài 27: Tìm x biết:
1 1 1 1 1 2 3 9
( ... ) ...
2 3 4 10 9 8 7 1
x+ + + + = + + + +
HD :
Ta có :
1 2 3 9 1 2 3 8
... 1 1 1 ... 1 1
9 8 7 1 9 8 7 2
+ + + + = + + + + + + + + +
10 10 10 10 10 1 1 1 1
... 10 ...
9 8 7 2 10 2 3 9 10

= + + + + + = + + + +


Khi đó :
1 1 1 1 1 1 1
... . 10 ... 10
2 3 4 10 2 3 10
xx
+ + + + = + + + = =
Bài 28: Tìm x biết: x-3x+5x-7x+…+2013x-2015x = 3024
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )
3 5 7 ... 2013 2015 3024x x x x x x− + − + + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 ... 2 3024 2 .504 3024 2 6 3x x x x x x x= − + − + − + + − = = − = = − = = = −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 26
Bài 29: Tìm x biết:
7 13 21 31 43 57 73 91
2 10
6 12 20 31 42 56 72 90
x + + + + + + + + =
HD :
Ta có :
1 1 1 1
2 1 1 1 ... 1 10
6 12 20 90
x
+ + + + + + + + + =
1 1 1 1
2 8 ... 10
2.3 3.4 4.5 9.10
x= + + + + + + =
1 1 8 4
2 8 10 2
2 10 5 5
x x x= + + − = = = = =
Bài 30: Tìm x biết:
1 1 1 49
...
1.2.3 2.3.4 98.99.100 200
x

+ + + =


HD :
Ta có :
1 2 2 2 2 49
... .
2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 200
x

+ + + + =


1 1 1 1 1 1 1 49
... .
2 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 200
x

= − + − + + − =


1 1 1 49 99
.
2 1.2 99.100 200 101
xx

= − = = =


Bài 31: Tìm x biết:
1 1 1 2012 2012 2012
... ...
1.2 3.4 99.100 51 52 100
x

+ + + = + + +


HD :
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
1.2 3.4 99.100 1 2 3 4 99 100
+ + + = − + − + + −
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 2 ...
1 2 3 4 99 100 2 4 6 100
+ + + + + + − + + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
1 2 3 100 1 2 50 51 52 53 100
+ + + + − + + + = + + + +
Khi đó :
1 1 1 1 1 1 1
... . 2012 ... 2012
51 52 100 51 52 53 100
xx
+ + + = + + + + = =
Bài 32: Tìm x biết:
1 1 1 2014 2015 4025 4026
1 ... 2013 ...
2 3 2013 1 2 2012 2013
x

+ + + + + = + + + +


HD :
Ta có :
2014 2015 4025 4026
... 2013
1 2 2012 2013
+ + + + −
=
2014 2015 4025 4026
1 1 ... 1 1
1 2 2012 2013
− + − + + − + −
=
2013 2013 2013 2013 2013 1 1 1 1
... 2013 ...
1 2 3 2012 2013 1 2 3 2013

+ + + + + = + + + +


Khi đó :
1 1 1 1 1 1
1 ... . 2013 ... . 2013
2 3 2013 1 2 2013
xx
+ + + + = + + + = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 27
Bài 33: Tìm x biết: Cho
1 2 3 50 51
... 1x x x x x+ + + + + =
và
1 2 3 4 49 50
... 1x x x x x x+ = + = = + =
,
Tính
51
x
=?
HD :
Thay vào ta có :
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 49 50 51
... 1x x x x x x x+ + + + + + + =
=>
51 51 51
1 1 1 ... 1 1 25 1 24x x x+ + + + + = = + = = = −
Bài 34: Cho
2 3 100
3 3 3 ... 3A = + + + +
, Tìm số tự nhiên n sao cho
2 3 3
n
A+=
HD :
Tính A ta được :
2 3 4 101 101
3 3 3 3 ... 3 3 2 3 3A A A A= + + + + = − = = −
101
2 3 3A= + =
Theo bài ra ta có :
101
2 3 3 3 101
n
An+ = = = =
Bài 35: Tìm x biết :
30
2 . 2010 . 995 15:3xx+ = −
HD :
8. 990 9 990 110x x x x+ = = = = =
Bài 36: Tìm x biết : ( x - 1 ) + ( x - 2 ) + ... + ( x - 20) = - 610
HD :
Ta có :
( ) ( )
... 1 2 3 ... 20 610x x x x+ + + + − + + + + = −
20 210 610 20xx= − = − = = −
Bài 37: Tìm x biết : ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 100 ) = 7450
HD :
Ta có :
( ) ( )
.. 1 2 3 ... 100 7450x x x x+ + + + + + + + + =
100 5050 7450 24xx+ = = =
Bài 38: Cho
2012 2011 2010
2 2 2 ... 2 1x = − − − − −
, Tính
2010
x
HD :
Đặt :
2 2010 2011
1 2 2 ... 2 2A = + + + + +
Tính A ta có :
2 3 2012 2012
2 2 2 2 ... 2 2 2 1A A A A= + + + + = − = − =
Khi đo ta có :
( )
2012 2012 2012
2 2 2 1 1xA= − = − − =
Vậy
1
2010 2010 2010
x
==
Bài 39: Tìm x biết:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 4 6
2 4 4 8 8 14 2 14
x
x x x x x x x x
+ + =
+ + + + + + + +
HD :
( )( )
1 1 1 1 1 1
2 4 4 8 8 14 2 14
x
x x x x x x x x
= − + − + − =
+ + + + + + + +
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 12
2 14 2 14 2 14 2 14
xx
x x x x x x x x
= − = = =
+ + + + + + + +
12 x= =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 28
DẠNG 7: TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG BẰNG 0
Bài 1: Tìm a, b, c biết:
( ) ( ) ( )
2 4 2
2 1 3 5 6 0a b c+ + + + −
HD:
Vì
( ) ( ) ( )
2 4 2
2 1 0, 3 0, 5 6 0a b c+ + −
Nên để
( ) ( ) ( )
2 4 2
2 1 3 5 6 0a b c+ + + + −
thì:
1
2 1 0
2
3 0 3
5 6 0 6
5
a
a
bb
c
c
−
=
+=
+ = = = −


−=
=
Bài 2: Tìm x, y, z biết:
( ) ( )
22
3 5 3 5 0x y x y z− + + + + + =
HD:
Vì
( ) ( )
22
3 5 0, 3 5 0, 0x y x y z− + + +
nên để :
( ) ( )
22
3 5 3 5 0x y x y z− + + + + + =
thì:
3 5 0 3 5
3 5 0 3 5
00
xx
yy
x y z z

− = =


+ = = = −


+ + = =


Bài 3: Tìm a, b, c biết:
( ) ( )
22
13 6 0x y x y− + + − − =
HD:
Vì
( ) ( )
22
13 0, 6 0x y x y− + − −
Nên để:
( ) ( )
22
13 6 0x y x y− + + − − =
Thì:
19
13 0 13
2
6 0 6 7
2
x
x y x y
x y x y
y
=
− + = + =

= =
− − = − =

=
Bài 4: Tìm a, b, c biết:
( ) ( )
22
2 2 3 4xy+ + −
HD:
Vì
( ) ( )
22
2 0, 3 0A x B y= + = −
nên ta có các TH sau:
0
1:
0
A
TH
B
=
=
2 0 2
3 0 3
xx
yy
+ = = −

= =

− = =

0
2:
1
A
TH
B
=
=
20
31
x
y
+=
=
− =
1
3:
0
A
TH
B
=
=
21
30
x
y
+ =
=
−=
1
4:
1
A
TH
B
=
=
21
31
x
y
+ =
=
− =
Bài 5: Tìm x, y biết:
( )
4
42 3 3 4 2012yx− − = −
HD:
Từ giả thiết ta có:
( )
4
42 3 3 4 2012yx= − + −
,
Do
( ) ( )
44
4
3 3 0 4 2012 42 2012 11 2y x x− = − = −
=>
2012 0x−=
hoặc
2012 1x− =
Bài 6: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
2 2 6
7 3 2 4 5 0a b c− + + + −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 29
HD :
Vì :
( ) ( ) ( )
2 2 2
7 0, 3 2 0, 4 5 0a b x− + −
nên để :
( ) ( ) ( )
2 2 2
7
70
2
7 3 2 4 5 0 3 2 0
3
4 5 0
5
4
a
a
a b c b b
c
c
=
−=
−

− + + + − = + = = =


−=
=
Bài 7: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
2
2
1
9 1 0
3
xx− + − =
HD :
Vì
( )
2
2
1
9 1 0, 0
3
xx− −
nên để :
( )
2
2
2
9 1 0
11
9 1 0
1
33
3
x
x x x
x
−=
− + − = = = =
=
Bài 8: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
4 4 6
7 3 21 6 18 5 0bac− + − + +
HD :
Vì :
( )
( )
( )
4
4
6
7 3 0
21 6 0
18 5 0
b
a
c
−
−
+
Nên để :
( ) ( ) ( )
4 4 6
7 3 0
7 3 21 6 18 5 0 21 6 0
18 5 0
b
b a c a
c
−=
− + − + + = − =
+=
Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( )
100 200
3 5 2 1 0xy− + −
HD :
Vì
( )
( )
100
200
3 5 0
2 1 0
x
y
−
−
, Nên để :
( ) ( )
100 200
3 5 2 1 0xy− + −
thì
3 5 0
2 1 0
x
y
−=
−=
Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
2 4 6
2 9 8 1 19 0a b c+ + + + −
HD :
Vì
( )
( )
( )
2
4
6
2 9 0
8 1 0
19 0
a
b
c
+
+
−
, Nên để :
( ) ( ) ( )
2 4 6
2 9 8 1 19 0a b c+ + + + −
thì
2 9 0
8 1 0
19 0
a
b
c
+=
+=
−=
Bài 11: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( )
22
2 2 3 4xy+ + −
HD :
Vì
( )
( )
2
2
20
30
x
y
+
−
nên ta có các TH sau :
TH1 :
( )
( )
2
2
20
30
x
y
+=
−=
TH2 :
( )
( )
2
2
20
31
x
y
+=
−=
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 30
TH3 :
( )
( )
2
2
21
30
x
y
+=
−=
TH4 :
( )
( )
2
2
21
31
x
y
+=
−=
Bài 12: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
2008
2008
2
2 1 0
5
x y x y z

− + − + + − =


HD :
Vì:
( )
2008
2 1 0x −
, và
2008
2
0
5
y

−


và
0x y z+ −
nên để :
( )
2008
2008
2
2 1 0
5
x y x y z

− + − + + − =


thì
( )
2 1 0
2
0
5
0
x
y
x y z
−=
−=
+ − =
Bài 13: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
2
4 7 5 7 4 0xx− − − =
HD:
Đặt:
2
0
4 7 5 0
5
t
x t t t
t
=
− = = − = =
=
Bài 14: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
4
2
2
2. 0
3
k
k
x y k N

+ − =


HD:
Vì:
2
20
k
và
4
2
0
3
k
y

−


nên để :
4
2
2
2. 0
3
k
k
xy

+ − =


thì:
2
0
2
0
3
k
x
y
=
−=
Bài 15: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( )
22
13 6 0x y x y− + + − − =
HD:
Vì:
( )
( )
2
2
13 0
60
xy
xy
− +
− −
Nên để:
( ) ( )
22
13 6 0x y x y− + + − − =
thì
13 0
60
xy
xy
+ − =
− − =
Bài 16: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( ) ( )
24
2 3 3 2 0xx+ + − =
HD:
Vì:
( )
( )
2
4
2 3 0
3 2 0
x
x
+
−
Nên để:
( ) ( )
24
2 3 3 2 0xx+ + − =
thì
2 3 0
3 2 0
x
x
+=
−=
Bài 17: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
2010
5 3 4 0xy+ + − =
HD:
Vì
50x +
và
( )
2010
3 4 0y −
Nên để:
( )
2010
5 3 4 0xy+ + − =
Thì
50
3 4 0
x
y
+=
−=
Bài 18: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
4
42 3 3 4 2012yx− − = −
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 31
( )
4
42 3 3 4 2012yx= = − + −
.Do
( )
4
3 3 0 4 2012 42yx− = −
( )
4
4
2012 11 2 2012 0xx= − = − =
hoặc
2012 1x− =
Bài 19: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
( )
( )
2008
2006 2010
2
3 5 1 0x y x z− + − + − =
HD:
Vì
( )
( )
( )
2006
2008
2
2010
3 5 0
10
0
x
y
xz
−
−
−
Nên để:
( )
( )
( )
2008
2006 2010
2
3 5 1 0x y x z− + − + − =
thì
2
3 5 0
10
0
x
y
xz
−=
−=
−=
Bài 20: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
2012
2011 1 0x y y− + − =
HD:
Vì:
2011 0xy−
và
( )
2012
10y −
Nên để:
( )
2012
2011 1 0x y y− + − =
thì:
2011 0
10
xy
y
−=
−=
Bài 21: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
2
2
2 1 2 8 12 5.2x y x− + − − = −
HD:
Ta có:
( )
2
2 1 2 0x y x− + − =
, Vì
( )
2
2 1 0
20
x
yx
−
−
, Nên để:
( )
2
2 1 2 0x y x− + − =
Thì
2 1 0
20
x
yx
−=
−=
Bài 22: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
( )
( )
2
2 2 4 0xx+ − − =
HD :
Ta có :
( )
2
2
2 2 0
22
40
4
x
x
x
x
+ − =
+=
= =
−=
=
Bài 23: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
20
( 2) 0x y x− + −
HD :
Vì
( )
20
20
0
x
yx
−
−
, Nên để
20
( 2) 0x y x− + −
Thì
20
0
x
yx
−=
−=
Bài 24: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
2016 2
( 1) ( 1) 0xy+ + −
HD :
Vì :
( )
( )
2016
2
10
10
x
y
+
−
, Nên để :
2016 2
( 1) ( 1) 0xy+ + −
thì :
10
10
x
y
+=
−=
Bài 25: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
2 2016
( 2 ) ( 2001) 0x y y− + −
HD :
Vì :
( )
( )
2
2016
20
2001 0
xy
y
−
−
, Nên để :
2 2016
( 2 ) ( 2001) 0x y y− + −
thì :
20
2001 0
xy
y
−=
−=
Bài 26: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn:
10
( 2) 3 3x y x− + − +
HD :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 32
Từ giả thiết ta có :
10
( 2) 0x y x− + − =
,
Vì
( )
10
20
0
x
yx
−
−
, Nên để :
10
( 2) 0x y x− + − =
Thì :
20
0
x
yx
−=
−=
Bài 27: Tìm x biết:
1 1 1
... 100
1.2 2.3 99.100
x x x x+ + + + + + =
HD:
Vì vế trái không âm nên vế phải không âm, do đó 100x
0=>x
0
Khi đó:
1 1 1
... 100
1.2 2.3 99.100
x x x x+ + + + + + =
Bài 28: Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn:
2
11
0
23
x y x y

+ − + − + =


HD :
Vì :
2
1
0
2
1
0
3
xy
xy

+ −


− +
, Nên để :
2
11
0
23
x y x y

+ − + − + =


Thì :
1
0
2
1
0
3
xy
xy

+ − =


− + =
Bài 29: Tìm x,y,z biết:
( ) ( )
22
1 2 3 0x y z+ + − + + =
HD :
Vì :
( )
( )
2
2
10
20
30
x
y
z
+
−
+
nên để :
( ) ( )
22
1 2 3 0x y z+ + − + + =
Thì
( )
( )
2
2
10
20
30
x
y
z
+ =
−=
+=
Bài 30: Tìm x biết:
11 2 4
4
17 17 17
x x x x+ + + + + =
HD :
Vì :
11 2 4
0, 0, 0
17 17 17
xxx+ + +
=>
4 0 0xx =
Khi
11 2 4
04
17 17 17
x x x x x
= + + + + + =
1x= =
Bài 31: Tìm x biết:
0,8 5,2 9,7 4x x x x+ + + + + =
HD :
Vì
0,8 0, 5,2 0, 9,7 0x x x+ + +
=>
4 0 0xx =
Khi
( ) ( ) ( )
0 0,8 5,2 9,7 4 15,7x x x x x x = + + + + + = = =
Bài 32: Tìm x,y,z biết:
( ) ( )
22
3 5 3 5 0x y x y z− + + + + + =
HD :
Vì :
( )
2
3 5 0x −
, và
( )
2
3 5 0y +
và
0x y z+ +
, Nên để :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 33
( ) ( )
22
3 5 3 5 0x y x y z− + + + + + =
Thì :
3 5 0
3 5 0
0
x
y
x y z
−=
+=
+ + =
Bài 33: Tìm x, y biết:
a,
( ) ( )
22
13 0x y x y y− + + − − =
b,
( )
4
2
2
2. 0,
3
k
k
x y k N

+ − =


Bài 34: Tìm x biết:
( )
2016
5 3 4 0xy+ + − =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 34
DẠNG 8 : LŨY THỪA
Bài 1: Tìm số tự nhiên n, m biết :
2 2 2
m n m n+
+=
HD :
Từ giả thiết ta có :
( ) ( ) ( )
2 .2 2 2 0 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1
m n m n m n n m n n
− − = = − − + = = − − − =
=>
( )( )
2 1 2 1 1
mn
− − =
Bài 2: Tìm m, n nguyên dương biết :
2 2 256
mn
−=
HD :
Từ giả thiết ta có m > n, và =>
( )
8
2 2 256 2 2 1 2
m n n n n m n+ − −
− = = − =
Vì m>n nên
21
mn−
−
là 1 số lẻ lớn hơn 1, Vế phải chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 nên
8
2 1 1 8
9
22
mn
n
n
m
−
− = =
=

=
=
Bài 3: Tìm a, b, c nguyên dương biết :
32
3 5 5
b
aa+ + =
và
35
c
a +=
HD :
Từ giả thiết =>
( )
( )
2 2 1
3 5 5 .5 5 5 5 5 1
b c b b
a a a
−
+ + = = = − = −
=>
1
2
1
51
5
b
c
a
−
−
−
=
Vì a,b,c là các số nguyên nên
10
5 1 5 1
c
c
−
= = = =
=>
2, 2ab==
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên x, y biết :
1
2 .3 12
x y x+
=
HD :
Từ giả thiết=>
2
1 2 1
1
23
2 .3 2 .3 2 3
23
xy
x y x x x y x
xx
+ − −
+
= = = = =
Vì (2 ;3) =1 nên x=1 và y - x = 0 => y = 1
Bài 5: Tìm x, y biết:
10 :5 20
x y y
=
HD :
Từ giả thiết ta có :
2
10 10 2
xy
xy= = =
Bài 6: Tìm a, b biết:
2 124 5
ab
+=
HD :
Xét
03
0 2 124 125 5 3a VT b= = = + = = = =
Xét
1a =
VT là 1 số chẵn, VP là 1 số lẻ=> Vô lý, Vậy a=0, b=3
Bài 7: Tìm số tự nhiên a,b biết:
2
10 168
a
b+=
HD :
Xét
0 13ab= = =
Xét
1 10 168
a
a = +
có chữ số tận cùng là 8 =>
2
b
cũng có tận cùng là 8 (Vô lý)
Vậy a=0, b=13
Bài 8: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết:
35 9 2.5
xy
+=
HD :
Xét
0 10 2.5 1
y
xy= = = = =
Với
0x VT =
có tận cùng là 4, còn vế phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 0
mẫu thuẫn nên x=0 và y=1
Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết:
2 342 7
ab
+=
HD:
Xét
3
0 343 7 7 3
b
a VT b= = = = = = =
Với
0a
thì VT là 1 số chẵn, còn vế phải là 1 số lẻ (mâu thuẫn)
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 35
Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết:
3 9 183
a
b+=
HD:
Vì
183 3
nhưng
183 9
Nên
3 9 3
a
b+
và
3 9 9
a
b
+
, Mà
9 9 3 9 1
a
ba
= = =
Khi a=1 >b=20
Bài 11: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết:
2
5 323
a
b+=
HD:
Xét
22
0 1 323 324 8 8a VT b b= = = + = = = = =
Với
0a =
VT có chữ số tận cùng là 8,
Vế phải là 1 số chính phương nên không có tận cùng là 8=> Mâu thuẫn
Bài 12: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết:
2 80 3
ab
+=
HD:
Xét :
4
0 1 80 81 3 3 4
b
a VT b= = = + = = = = =
Nếu
0a =
VT là 1 cố chẵn, còn VP là 1 số lẻ ( Mâu thuẫn)
Bài 13: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết :
22
2 3 77xy+=
HD:
Do :
22
0 3 77 0 25yy =
, mà
2
2x
là 1 số chẵn nên
2
3y
là số lẻ =>
2
y
lẻ
=>
2
1;9;25yx =
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y biết :
22
21xy−=
HD:
Vì
22
12xy−=
, Nếu
3x
vì x là nguyên tố nên x=3, y=2
Nếu
2 2 2
3 1 3 2 3 3 19x x y y x
= − = = = = =
(Loại)
Bài 15: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho :
51 26 2000xy+=
HD:
Vì
( )
17.3 2 1000 13xy=−
, Do 17, 3 là số nguyên tố =>
2x
, mà x là số nguyên tố => x=2
Lại có
1000 13 51 1000 13 0yy− = −
và y nguyên tố =>Tìm y
Bài 16: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết :
2 2 2 2
5 2013 (5 )
pp
q+ = +
HD:
Ta có :
( )
2
2
2013 25 25 25 25 1
p p p p
q− = − = −
Do p là số nguyên tố =>
22
2013 25q−
và
2
2013 0q−
=> Tìm q
Bài 17: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết :
( )
( )
2008 3 1 2008 2008 225
a
a b a b+ + + + =
HD :
Do a,b là số tự nhiên :
Nếu
1 2008 2008 225
a
a a b = + +
(loại)
=>
( )( )
0 3 1 1 225 3.75 5.45 9.25a b b= = + + = = = =
Vì
3 1 25
3 1 3 3 1 1
19
b
b b b
b
+=
+ = + + =
+=
=> Tìm b
Bài 18: Tìm x,y nguyên biết:
2 624 5
xy
+=
HD:
Nếu x=0 thì y=4
Nếu x # 0 thì vế trái là số chẵn, còn vế phải là số lẻ với mọi y=> vô lý
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 36
Bài 19: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
22
2 3 77xy+=
HD:
Từ
2 3 2 2
2 3 77 0 3 77 0 25x y y y+ = = =
kết hợp với
2
2x
là số chẵn =>
2
3y
là số lẻ
=>
2
y
là số lẻ=>
2
1;9;25y
Với
2 2 2
1 2 77 3 74 37( )y x x l= = = − = = =
Với
2 2 2
9 2 77 27 50 25 5y x x x= = = − = = = = =
Với
2 2 2
25 2 77 75 2 1 1y x x x= = = − = = = = =
Bài 20: Tìm m,n nguyên dương biết:
2 2 1024
xy
−=
HD :
Ta có:
( )
10
2 2 2 2 1 2
x y y x y
xy
−
= = − =
, mà
21
xy−
−
là số lẻ,
2 1 0,
xy−
−
và là ước của
10
2
Nên
10
2 1 1 2 2 10
x y y
y
−
− = = = = =
=>x=11
Bài 21: Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn:
22
21xy−=
HD:
Từ gt =>
22
12xy−=
, Nếu x chia hết cho 3 , vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y=2, (t/m)
Nếu x không chia hết cho 3 thì
2
1x −
chi hết cho 3, do đó
2
2y
chia hết cho 3 mà (2;3)=1
Nên y chia hết cho 3, do đó:
2
19( )xl=
Vậy cặp số (x;y) duy nhất tìm được là (2;3)
Bài 22: Tìm tất cả các số tự nhiên m,n sao cho
2 2015 2016 2016
m
nn+ = − + −
HD:
Nhận xét,
Với
02x x x x = + =
Với
00x x x = + =
, Do đó
xx+
luôn là 1 số chẵn với mọi x
Áp dụng nhận xét trên ta thấy
2016 2016nn− + −
là số chẵn =>
2 2015
m
+
là số chẵn =>m=0
Khi đó
2016 2016 2016nn− + − =
Nếu
( )
2016 2016 2016 2016 0 2016n n n = − − + − = = =
(loại)
Nếu
( )
2016 2 2016 2016 3024n n n = − = = =
(t/m)
Vậy (m ;n)=(0 ;3024)
Bài 23: Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn :
2 2 72
xy
+=
HD:
Giả sử x > y thế thì ta có :
( )
3
2 2 2 1 2 9.2
x y y x y−
+ = + =
Do
12
xy−
+
là số lẻ nên
1 2 1;3;9
xy−
+=
Ta có bẳng giá trị sau :
1 2 1
xy−
+=
3
2 9.2
y
=
(Loại)
1 2 3
xy−
+=
3
2 3.2
y
=
(Loại)
1 2 9
xy−
+=
3
22
y
=
Ta thấy
3
2 2 3 6
y
yx= = = = =
Bài 24: Tìm 3 số nguyên tố x,y,z thỏa mãn :
1
y
xz+=
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 37
Bài 25: Tìm các số nguyên dương a,b,c,d biết :
= = = =
b c d e a
a b c d e
và
20+ + + + =a b c d e
Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:
2 1 7
n
−
HD :
Với
3 2 1 7
n
n
= −
Với
33n n k = =
hoặc
31nk=+
hoặc
32nk=+
Xét
( )
3
3 2 1 8 1 7 1 1 7 1 1 7
k
kk
n k A= = − = − = + − = + −
Xét
( )
31
3 1 2 1 2.8 1 2 7 1 1 7 1 7
kk
n k A A
+
= + = − = − = + − = +
Xét
( )
32
3 2 2 1 4 7 1 27 4 7
k
n k A A
+
= + = − = + = +
Vậy n=3k với
kN
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 38
DẠNG 9: TÌM X, Y DỰA VÀO TÍNH CHẤT VỀ DẤU
Bài 1: Tìm x biết:
a,
( )( )
1 2 0xx− −
b,
2 3 0x−
c,
( )( )
2 4 9 3 0xx− −
HD :
a, Để
( )( )
1 2 0xx− −
thì ta có hai trường hợp :
TH1 :
10
2
20
x
x
x
−
=
−
TH2 :
10
1
20
x
x
x
−
=
−
Vậy x>2 hoặc x<1
b, Để :
2 3 0x−
3
23
2
xx= =
c, Để :
( )( )
2 4 9 3 0xx− −
thì ta có các TH sau :
TH1:
2 4 0
9 3 0
x
x
−
−
hoặc TH2:
2 4 0
9 3 0
x
x
−
−
Bài 2: Tìm x biết:
a,
23
0
34
x
−
b,
2 5 15
4
3 3 6x

−


HD:
a,
2 3 3 3 9
.
3 4 4 2 8
x
x= = =
b,
2 15 3 3 2 11 4
4 . 3 .11 4
3 6 5 2 3 2 33
xx
xx

= − = = = =


Bài 3: Tìm x biết:
a,
( )( )
6 5 0xx− +
b,
( )( )
6 5 0xx− +
c, (2x-3) < 0
HD:
a, Để
( )( )
6 5 0xx− +
thì :
TH1 :
60
50
x
x
−
+
hoặc TH2 :
60
50
x
x
−
+
b, Để:
( )( )
6 5 0xx− +
Thì:
TH1:
60
50
x
x
−
+
Hoặc TH2:
60
50
x
x
−
+
c,
3
2 3 0 2 3
2
x x x= − = =
Bài 4: Tìm x biết:
a,
( )( )
2 4 9 3 0xx− −
b,
( )( )
22
5 25 0xx− −
c, (x+5)(9+x
2
)<0
HD:
a, Để:
( )( )
2 4 9 3 0xx− −
thì :
TH1:
2 4 0
9 3 0
x
x
−
−
hoặc
2 4 0
9 3 0
x
x
−
−
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 39
b, Để:
( )( )
22
5 25 0xx− −
thì:
TH1:
2
2
50
25 0
x
x
−
−
Hoặc
2
2
50
25 0
x
x
−
−
c, Để:
( )
( )
2
5 9 0xx+ +
, Vì
2
9 0 5 0 5x x x+ = + = −
Bài 5: Tìm x biết:
a,
( )( )
3 4 0xx+ −
b,
( )( )
22
7 49 0xx+ −
c,
( )
( )
2
2 3 0xx+ +
HD:
a, Để:
( )( )
3 4 0xx+ −
thì:
TH1:
30
40
x
x
+
−
Hoặc:
30
40
x
x
+
−
b, Để
( )( ) ( )
( )( )
2 2 2
7 49 0 7 7 7 0x x x x x+ − = + + −
Vì
( )( )
2
7 0 7 7 0x x x+ = + −
TH1:
70
70
x
x
+
−
TH2:
70
70
x
x
+
−
c, Để:
( )
( )
2
2 3 0xx+ +
thì
3 0 3xx+ = −
Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn :
a,
( )( )
2 3 0xx+ −
b,
( )( )
2 1 2 5 0xx− −
c,
( )( )
3 2 2 0xx− +
Bài 7: Tìm các số nguyên x thỏa mãn :
( )( )
3 1 5 2 0xx+ −
Bài 8: Tìm x biết:
4 5 3 11xx+ − + =
,
3x −
HD:
Với
( )
3 4 5 3 11 3 9 3x x x x x − = + − + = = = = =
Bài 9: Tìm n
N biết:
a,
3 3 234
n

b,
8.16 2 4
n

c,
15 15 16 16
4 .9 2 .3 18 .2
nn

HD:
a, Ta có:
5
3 3 234 243 3 2;3;4
n
n = =
b, Ta có:
72
8.16 2 4 2 2 2 2;3;4;5;6;7
nn
n = =
c,
15 15 16 16 15 16 30 32
4 .9 2 .3 18 .2 36 6 36 6 6 6
n n n n
= =
31n= =
Bài 10: Tìm x biết:
3
1
4
x
x
+
+
Bài 11: Tìm n
N biết:
a, 32 < 2
n
< 128 b, 2.16
2
n
> 4
HD:
a,
5 11
2 2 2048 2 6;7;8;9;10
n
n = =
b,
52
2.16 2 4 2 2 2 5;4;3
nn
n = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 40
DẠNG 10: TÌM X, Y, N NGUYÊN
Bài 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn:
a, 2n+1⋮ 16-3n b, 3n+1⋮ 11-2n c, 3n+17⋮ 2n+3 d, 3n+1⋮ 11-2n
HD:
a,
2 1 3 16 3(2 1) 3 16 6 3 3 16n n n n n n+ − + = + − + = + − +
6 32 35 3 16 2(3 16) 35 (3 16) 3 16 (35)n n n n n U− + − + = − + − − = −
b,
3 1 2 11 2(3 1) (2 11) 6 2 (2 11)n n n n n n+ − + = + − − = + − −
6 33 35 (2 11) 3(2 11) 35 (2 11) 2 11 (35)n b n n n U= − + − − = − + − − = −
c,
2(3 17) 2 3 6 34 2 3 6 9 25 2 3n n n n n n+ + = + + = + + +
3(2 3) 25 2 3 2 3 (25)n n n U= + + + = +
d,
2(3 1) (2 11) 6 1 (2 11) 6 33 34 2 11n n n n n n+ − − = + − = − + −
3(2 11) 34 2 11 2 11 (34)n n n U= − + − = −
Bài 2: Tìm số nguyên x thỏa mãn:
a, x+4⋮ x+1 b, 4x+3⋮ x- 2 c, x-15⋮ x+2 d, 3x+16⋮ x+1
HD:
Ta cần biến đổi số bị chia thành bội lần của số chia sau đó sử dụng tính chất chia hết của 1 tổng để đưa về ước
số nguyên
a,
( )
4 1 1 3 1 3 1 1 3 1; 1;3; 3x x x x x x U+ + = + + + = + = + = − −
b,
( ) ( )
4 3 2 4 8 11 2 4 2 11 2 2 11 1; 1;11; 11x x x x x x x U+ − = − + − = − + − = − = − −
c,
( )
15 2 2 17 2 17 2 2 17 1; 1;17; 17x x x x x x U− + = + − + = + = + = − −
d,
( ) ( )
3 16 1 3 3 13 1 3 1 13 1 1 13 1; 1;13; 13x x x x x x x U+ + = + + + = + + + = + = − −
Bài 3: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, x+4⋮ x b, 3n+7⋮ n c, 3n+2⋮ n-1 d, n+8⋮ n+3
HD:
Cách làm tượng tự đối với bài 1
a,
( )
4 4 4 1; 1;2; 2;4; 4x x x x U+ = = = − − −
b,
( )
3 7 7 7 1; 1;7; 7n n n n U+ = = = − −
c,
( ) ( )
3 2 1 3 3 5 1 3 1 5 1 1 5 1; 1;5; 5n n n n n n n U+ − = − + − = − + − = − = − −
d,
( )
8 3 3 5 3 5 3 3 5 1; 1; 5;5n n n n n n U+ + = + + + = + = + = − −
Bài 4: Tìm số nguyên n thỏa mãn:
a, n+6⋮ n-1 b, 4n-5⋮ 2n-1 c, 3n+2⋮ n-1 d, 3n+24⋮ n-4
HD:
a,
( )
6 1 1 7 1 1 7 1; 1;7; 7n n n n n U+ − = − + − = − = − −
b,
( ) ( )
4 5 2 1 4 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1; 1;3; 3n n n n n n n U− − = − − − = − − − = − = − −
c,
( ) ( )
3 2 1 3 3 5 1 3 1 5 1 1 5 1; 1;5; 5n n n n n n n U+ − = − + − = − + − = − = − −
d,
( ) ( )
3 24 4 3 12 36 4 3 4 36 4 4 36n n n n n n n U+ − = − + − = − + − = −
Bài 5: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, 5n-1⋮ n+2 b, 3n⋮ n-1 c, n+6⋮ n d, 4n+5⋮ n
HD:
a,
( )
5 1 2 5 10 11 2 5 2 11 2 11 2n n n n n n n− + = + − + = + − + = +
b,
( )
3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1n n n n n n n− = − + − = − + − = −
c,
66n n n+ =
d,
( )
4 5 5 5n n n n U+ = =
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 41
Bài 6: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, 38-3n⋮ n b, n+5⋮ n+1 c, 3n+4⋮ n-1 d, 27-5n⋮ n
HD:
a,
( )
38 3 38 38n n n n U− = =
b,
5 1 1 4 1 4 1n n n n n+ + = + + + = +
c,
( )
3 4 1 3 3 7 1 3 1 7 1n n n n n n+ − = − + − = − + −
d,
( )
27 5 27 27n n n n U− = =
Bài 7: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, 2n+3⋮ n-2 b, n+6⋮ n+2 c, 18n+3⋮ 7 d, 2n+5⋮ n+1
HD:
a,
( )
2 3 2 2 4 7 2 2 2 7 2 7 2n n n n n n n+ − = − + − = − + − = −
b,
6 2 2 4 2 4 2n n n n n+ + = + + + = +
c,
( )
18 3 7 14 4 3 7 4 3 7 4 3 7 7n n n n n+ = + + = + = + + −
4 4 7 1 7 7 1n n n k= − = − = = +
d,
( )
2 5 1 2 2 3 1 2 1 3 1 3 1n n n n n n n+ + = + + + = + + + = +
Bài 8: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, 3n+7⋮ n b, 27-5n⋮ n c, 2n+3⋮ n-2 d, 2n+3⋮ n-4
HD:
a,
( )
3 7 7 7n n n n U+ = =
b,
( )
27 5 27 27n n n n U− = =
c,
( )
2 3 2 2 4 7 2 2 2 7 2 7 2n n n n n n n+ − = − + − = − + − = −
d,
( )
2 3 4 2 8 11 4 2 4 11 4 11 4n n n n n n n+ − = − + − = − + − = −
Bài 9: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, 3n+2⋮ n-5 b, n
2
+4⋮ n-3 c, n
2
+1⋮ n-1 d, n
2
+5⋮ n+1
HD:
a,
( )
3 2 5 3 15 17 5 3 5 17 5 17 5n n n n n n n+ − = − + − = − + − = −
b,
( )
22
4 3 3 3 4 3 3 4 3 3 9 13 3 3 13n n n n n n n n n n n U+ − = − + + − = + − = − + − = −
c,
22
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1n n n n n n n n n n n+ − = − + + − = + − = − + − = −
d,
22
5 1 5 5 5 1 5 5 1 5 5 10 1n n n n n n n n n n+ + = + − + + = − + + = − − + +
Bài 10: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, n
2
+3⋮ n-1 b, n
2
+3n-13⋮ n+3 c, 2n
2
+n+4⋮ 2n+1 d, 3n
2
-n+1⋮3n-1
HD :
a,
22
3 1 3 1 3 1 1 4 1 4 1n n n n n n n n n n n+ − = − + + − = + − = − + − = −
b,
( )
2
3 13 3 3 13 3 13 3n n n n n n n+ − + = + − + = +
c,
( )
2
2 4 2 1 2 1 4 2 1 4 2 1n n n n n n n+ + + = + + + = +
d,
( )
2
3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1n n n n n n n− + − = − + − = −
Bài 11: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn:
a, n
2
+2n+7⋮ n+2 b, 2n+1⋮ 7-3n
HD:
b,
3(2 1) (3 7) 6 3 3 7 6 14 17 3 7n n n n n n+ − − = + − = − + −
2(3 7) 17 3 7 3 7 (17)n n n U= − + − = −
Bài 12: Cho
5a
x
a
−
=
,
( )
0a
, Tìm a nguyên để x nhận giá trị nguyên
HD :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 42
Ta có :
5
1x
a
=−
để x nguyên thì
( )
5 5 1; 1;5; 5aa= = − −U
=>a
Bài 13: Tìm m nguyên để
1 2 1mm−+
HD :
Ta có
( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1m m m m m m− − = − − = − − −
=>
1 2 1m −
=>
( )
2 1 1 1; 1mU− = −
Bài 14: Cho
3
2
a
x
a
−
=
,
( )
0a
, Tìm a để x có giá trị nguyên
HD :
Để x có giá trị nguyên thì
32aa−
=> a là 1 số lẻ và
3 3 1; 1;3; 3a a a a− = = − −
Bài 15: Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên với
12
3
x
A
x
−
=
+
HD :
Để A nguyên thì :
( )
1 2 3 2 1 3 2 6 7 3 3 7x x x x x x x U− + = − + = + − + = +
Bài 16: Tìm số nguyên a để:
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
Z
a a a
++
+ −
+ + +
HD :
Ta có :
2 9 5 17 3 4 26
3 3 3 3
a a a a
a a a a
+ + +
+ − =
+ + + +
để có giá trị nguyên thì :
( )
4 26 3 4 12 14 3 3 14a a a a a U+ + = + + + = +
Bài 17: Tìm n để
3 2 2
71n n n n− + + +
HD :
Ta có :
( )
3 2 2 3 2 2
7 1 1 8 1n n n n n n n n− + + + = + − + + +
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 8 1 1 8n n n n n U= + − + + + = +
Bài 18: Tìm x nguyên để
2
31
2
xx
Z
x
+−
+
HD :
Để :
2
31
2
xx
Z
x
+−
+
thì
22
3 1 2 2 2 3 2x x x x x x x+ − + = + + + − +
( ) ( ) ( )
2 2 3 2 2 3x x x x x U= + + + − + = +
Bài 19: Tìm số nguyên x thỏa mãn:
6 1 2 3xx+−
HD :
Ta có :
( )
6 1 2 3 6 9 10 2 3 3 2 3 10 2 3x x x x x x+ − = − + − = − + −
=>
( )
2 3 10xU−
Bài 20: Tìm số nguyên x thỏa mãn:
2012 5 1006 1xx++
HD :
Ta có :
2012 5 1006 1xx++
=>
( )
2012 2 3 1006 1 2 1006 1 3 1006 1x x x x+ + + = + + +
=>
( )
1006 1 3xU+
Bài 21: Tìm x để
2
2
32
31
x
PZ
x
−
=
+
HD :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 43
Ta có : để :
2
2
32
31
x
PZ
x
−
=
+
thì
2 2 2 2
3 2 3 1 3 1 3 3 1x x x x− + = + − +
( )
2
3 1 3xU= +
Bài 22: Tìm số nguyên a để
2
3
1
aa
a
++
+
là 1 số nguyên
HD :
Để :
2
3
1
aa
a
++
+
có gí trị nguyên thì :
( ) ( )
2
3 1 1 3 1 1 3a a a a a a a U+ + + = + + + = +
Bài 23: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau có giá trị nguyên:
( ) ( )
3 6 1
2
x x y x y
K
x
+ − + +
=
−
HD :
Để :
( ) ( )
3 6 1
2
x x y x y
K
x
+ − + +
=
−
có giá trị nguyên thì :
( )( ) ( )( )
3 6 1 3 2 1
22
x x y x x y
xx
− + + − + +
=
−−
Phải có giá trị nguyên hay
( )
1 2 2 1x x U− = −
Bài 24: Tìm giá trị nguyên của x để y nhận giá trị nguyên:
59
3
x
y
x
+
=
+
HD :
Để y có giá trị nguyên thì :
( )
5 9 3 5 15 6 3 5 3 6 3x x x x x x+ + = + − + = + − +
( )
6 3 3 6x x U+ = +
Bài 25: Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để
5 7 3 2 27
3 3 3
a a a
A
a a a
−+
= − +
+ + +
có giá trị nguyên
HD :
Ta có :
4 20
3
a
A
a
+
=
+
, để A có giá trị nguyên thì :
( )
4 20 3 4 12 8 3 4 3 8 3a a a a a a+ + = + + + = + + +
( )
8 3 3 8a a U= + = +
Bài 26: Tìm x để giá trị của biểu thức:
2
2
32
31
x
P
x
−
=
+
là số nguyên
Bài 27: Cho biểu thức:
2
2
23
1
xx
M
x
+−
=
−
a, Với giá trị nào của x thì biểu thức trên được xác định
b, Rút gọn M
c, Tính giá trị của M tại x=3
d, Tìm x khi M=4
e, Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên
Bài 28: Cho
2
1
x
M
x
+
=
−
, Biết x là số hữu tỉ âm và M là số nguyên, Tìm x
Bài 29: Cho
12 2
41
x
A
x
−
=
+
a, Tìm Giá trị thích hợp của biến x trong A
b, Tính giá trị của A khi
2
20xx+=
c, Tìm giá trị của x để A=1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 44
d, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
e, Tìm x để A<0
Bài 30: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, (x+2)(y-3)=5 b, (x+1)(y-3)=3 c, x(y-3)=-12 d, (x+1)y=3
HD :
a,
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 5 2 , 3 5x y x y U= + − = = + −
b,
( ) ( ) ( )
1 , 3 3x y U= + −
c,
( ) ( )
, 3 12x y U= −
d,
( ) ( )
1 , 3x y U= +
Bài 31: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, (x-2)(y+1)= - 2 b, (2x-1)(2y+1)= -35 c, (x-3)(y-3)=9 d, (x+3)(y+2)=1
HD :
a,
( ) ( ) ( )
2 , 1 2x y U= − +
b,
( ) ( ) ( )
2 1 , 2 1 35x y U= + +
c,
( ) ( ) ( )
3 , 3 9x y U= − −
d,
( ) ( ) ( )
3 , 2 1x y U= + +
Bài 32: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, (2x-5)(y-6)=17 b, (2x+1)(y-3)=10 c, (3x-2)(2y-3)=1 d, (x+1)(2y-1)=12
HD :
a,
( ) ( ) ( )
2 5 , 6 17x y U= − −
b,
( ) ( ) ( )
2 1 , 3 10x y U= + −
c,
( ) ( ) ( )
3 2 , 2 3 1x y U= − −
d,
( ) ( ) ( )
1 , 2 1 12x y U= + −
Bài 33: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, (x+6)=y(x-1) b, x-3=y(x+2) c, (x-1)(y+2)=7 d, 2x+xy-y=9
HD :
a,
( )
6 1 1 7 1 1 7 .... ....x x x x x U x y= + − = − + − = − = = = =
b,
( )
3 2 2 5 2 2 5 ... ...x x x x x U x y= − + = + − + = + = = = =
c,
( ) ( ) ( )
1 , 2 7x y U= − +
d,
( ) ( ) ( )
2 2 2 9 2 2 7x y y x y y= + − − + = = + − + =
( )( )
1 2 7xy= − + =
Bài 34: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, x
2
y+xy-x=4 b, xy - 3x= - 19 c, 3x+4y-xy=16 d, xy-2x-2y=0
HD :
a,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 , 1 3xy x x xy x x x xy x xy U= + − − = = + − + = = + − = = + −
b,
( ) ( ) ( )
3 19 , 3 19x y x y U= − = − = −
c,
( ) ( )( )
3 4 12 4 4 3 4x y y x y= − − + − = = − + − =
d,
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 4x y y x y y x y= − − + = = − − − = = − − =
Bài 35: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, xy+2x+3y=-6 b, xy-3x=12 c, -3x-3y+xy=9 d, y-x
2
y-xy=5
HD :
a,
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 3 6 0 2 3 2 0 3 2 0x y y x y y x y= + + + = = + + + = = + + =
b,
( ) ( ) ( )
3 12 , 3 12x y x y U= − = = −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 45
c,
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 9 18 3 3 3 18 3 3 18x y y x y y x y= − − + = = − − − = = − − =
d,
( ) ( )
( )
22
1 5 , 1 5y x x y x x U= − − = = − −
Bài 36: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, xy+3x-y=6 b, x-y+2xy=7 c, x
2
+2y=xy d, x-y+2xy=6
HD :
a,
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 3 3 3 3 1 3x y y x y y y x= + − − = = + − + = = + − =
b,
( ) ( ) ( )
1 15 2 1 15
2 1 7 2 1 2 1
2 2 2 2
y
x y y x y y x y
−

= − − = = − − + = = − − =


=>
( )( )
2 1 2 1 15xy− − =
c,
( ) ( ) ( )( )
22
2 0 2 4 4 2 2 2 4x xy y y x x y x x x= − + = = − + − = = − + − + =
( )( )
2 2 4x x y= − + − =
d,
( ) ( ) ( )( )
1 11
2 1 6 2 1 2 1 2 1 11
22
x y y x y y x y= + − = = + − − = = − + =
Bài 37: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, x+y+9=xy-7 b,(x+2)
2
(y-1)=-9 c, 8xy-3(x-y)=85 d, (x+3)(y+2)=1
HD :
a,
( ) ( ) ( ) ( )( )
16 1 1 17 1 1 17 1 1 17xy x y x y y x y y x y= − − = = − − + = = − − − = = − − =
b,
( )
10y= −
và
( ) ( ) ( )
2
2 , 1 9x y U+ −
và
( )
2
2x +
là số chính phương
c,
( ) ( )
99
8 3 3 85 8 3 3 85
88
x y y x y y= − + = = − + − = −
d,
( ) ( ) ( )
2 , 2 1x y U= + +
Bài 38: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, (2x-5)(y-6)=17 b, (x-1)(x+y)=33 c, (x+7)(x-9)=0 d, xy-3x=-19
HD :
a,
( ) ( ) ( )
2 5 , 6 17x y U= − −
b,
( ) ( ) ( )
1 , 33x x y U= − +
c,
70
90
x
x
+=
=
−=
d,
( ) ( ) ( )
3 19 , 3 19x y x y U= − = − = −
Bài 39: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, 3x+4y-xy=16 b, (x+3)(x
2
+1)=0 c, x(x+1)=0 d, (x+5)(x
2
-4)=0
HD :
a,
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 4 12 4 3 4 3 4 4 3 4x y y x y y x y= − − + − = = − − + − = = − − =
b,
( )
2
30
10
x
xl
+=
=
+=
c,
0
10
x
x
=
=
+=
d,
2
50
40
x
x
+=
=
−=
Bài 40: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a, (x-2)(x+1)=0 b, (x+1)(xy-1)=3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 46
HD :
b,
20
10
x
x
−=
=
+=
a,
( ) ( ) ( )
1 , 1 3x xy= + −
Bài 41: Tìm các số x,y sao cho:
a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1)
HD :
a,
( ) ( ) ( )
2 1 , 3 10x y U= + −
b,
( ) ( ) ( )
3 2 , 2 3 1xy= − −
c,
( ) ( ) ( )
1 , 2 1 12x y U= + −
d,
( )
6 1 1 7 1 7 1 1 7 ... ....x x x x x x U x y= + − = − + − = − = − = = = =
Bài 42: Tìm các số x,y sao cho:
a, x-3=y(x+2) b, xy=4(x+y)
HD :
a,
( )
3 2 2 5 2 5 2 2 5 ... ...x x x x x x U x y= − + = + − + = + = + = = = =
b,
( ) ( )( )
4 4 4 4 0 4 4 16 16 4 4 16xy x y xy x y x y y x y= = + = − − = = − − + = = − − =
Bài 43: Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho :
2 2 4xy x y+ − =
Bài 44: Cho hai số x,y là hai số cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1, xét dấu của:
1P x y xy= − − +
Bài 45: Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn:
a b c d+ = +
và
. 1 .a b c d+=
, Chứng minh rằng c = d
HD:
Từ
a b c d a c d b+ = + = = + −
, thay vào
. 1 .a b c d+=
ta được:
( ) ( ) ( )
2
. 1 . 1 0 1 0c d b b c d cb db cd b b c b d c b+ − + = = + − + − = = − − − + =
( )( )
1b d c b= − − = −
Vì a, b, c, d là các số nguyên nên
( ) ( )
,b d c d−−
là các số nguyên, ta có các TH sau:
TH1:
11
11
b d d b
cd
c b c b

− = − = +
= = =

− = = +

TH2:
11
11
b d d b
cd
c b c b

− = = −
= = =

− = − = −


Tài liệu khác của Toán 6

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ TÌM X
DẠNG 1: TÌM X THÔNG THƯỜNG Bài 1: Tìm x biết:
x  3x 13   7 7  13 5 6 a, − − = + x     b, + = 2  5 5   5 10  x −1 2x − 2 3x − 3 HD:
x  3x 13   7 7  x 3x 13 7 7 x 3x 7x 7 13 a, − − = + x = − + = + x = − − = −     2  5 5   5 10  2 5 5 5 10 2 5 10 5 5 4 − 6 − 6 − 4 − 3 3 => x = = x = : = . Vậy x = 5 5 5 5 2 2 13 5 6 78 15 12 93 12 b, + = = + = = = = 93 =12 x −1 2x − 2 3x − 3 6x − 6 6x − 6 6x − 6 6x − 6 6x − (Vô lý) 6 Bài 2: Tìm x biết: 2x − 3 3 − 5 − 3x 1 2 3 4  7  a, + = − b, − = − − 2   3 2 6 3 3x 12 5  x  HD: 2x − 3 3 − 5 − 3x 1 4x − 6 + ( 9 − ) 5−3x − 2 18 a, + = − = =
= 4x −15 = 3−3x = 7x =18 = x = 3 2 6 3 6 6 7 2 3 4  7  2 1 4 7 2 7 4 1 23 61 b, − = − − 2 = − = − + 2 = + = + + 2 = =   3x 12 5  x  3x 4 5 x 3x x 5 4 3x 20 460 460 = 3x = = x = 61 183 Bài 3: Tìm x biết: 1 2 −  3 6  5 9 13 5 a, + − =   b, x +15 x − 20 x = 16 x −1 3  4 5  2 − 2x 17 17 17 HD: 1 3 5 1 5 3 − 7 3 − a, + = = + = = = x −1 10 2 − 2x
x −1 2( x − ) 1 10 2( x − ) 1 10 ( − − = x − ) 70 35 32 2 1 = − = x −1 = = x = 3 3 3  9 13 5  b, => +15 − 20 x = 16 = 4
− .x =16 = x = 4 −   17 17 17  Bài 4: Tìm x biết: a,  −  ( x − ) 3 720 : 41 2 5  = 2 .5  b, 6( x +1 ) 1 − 7(2 − x) = 26 HD: a, =>  − x 23 23 720 : 46 2
= 40 = 46 − 2x =18 = 2x = 46 :18 = = x = 9 18 b,
=> 6x + 66 −14 + 7x = 26 =13x = 2 − 6 = x = 2 −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 Bài 5: Tìm x biết: a, 4
− x(x −5) − 2x(8− 2x) = 3 − b, 7
− (x +9) −3(5− x) = 2 HD: 3 − a, 2 2 = 4
− x + 20x −16x + 4x = 3 − = 4x = 3 − = x = 4 b, => 7
− x −63−15+3x = 2 = 4 − x −78 = 2 = 4
− x = 80 = x = 2 − 0
7  33 3333 333333 33333333  Bài 6: Tìm x biết : − x + + + = 22   4  12 2020 303030 42424242  HD: 7  33 33 33 33  7  1 1 1 1  Ta có : − x + + + = 22   => − . x 33 + + + = 22   4  12 20 30 42  4 12 20 30 42  7  1 1  7 − 4 => − . x 33 − = 22 = . x 33. = 22 = x = 2 −   4  3 7  4 21 1 −1 Bài 7: Tìm x biết: : 2015x = 2016 2015 HD: 1 1 − 1 − 1 x = = x = : = 2 − 016 2016.2015 2015 2015 2016.2015
Bài 8: Tìm x biết : 2 ( x − )
1 − 3(2x + 2) − 4 (2x + ) 3 = 16  1  1 1  1  1 1 x x + − x − x x − − x +     Bài 9: Tìm x để  2  5 10  2  3 6
biểu thức sau nhận giá trị bằng 0: . 3 5 HD :  1  1 1
Quy đồng trên tử ta có : 2 x x + − x −
= 0 =10x −3x −1= 0 =   (2x − ) 1 (5x + ) 1 = 0  2  5 10
Làm tương tự với tử còn lại
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2
DẠNG 2: ĐƯA VỀ TÍCH BẰNG 0 Bài 1: Tìm x biết: x − 3 x − 3 x − 3 x − 3 x +1 x + 3 x + 5 x + 7 a, + = + b, + = + 13 14 15 16 65 63 61 59 HD: x − 3 x − 3 x − 3 x − 3  1 1 1 1  a, = + − − = 0 = (x − ) 3 + − − = 0   13 14 15 16 13 14 15 16  1 1 1 1 1 1 1 1 => x = 3 vì −  0 và −  0 nên + − −  0 13 15 14 16 13 14 15 16  x +1   x + 3   x + 5   x + 7  x + 66 x + 66 x + 66 x + 66 b, = +1 + +1 = +1 + +1 = + = +          65   63   61   59  65 63 61 59   1 1 1 1 => ( x + ) 1 1 1 1 66 + − − = 0 = x = 6 − 1   vì + − −  0  65 63 61 59  65 63 61 59 Bài 2: Tìm x, biết: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21− x x −10 x −14 x − 5 x −148 a, + + + + = 5 − b, + + + = 0 21 23 25 27 29 30 43 95 8 HD:  29 − x   27 − x   25 − x   23− x   21− x  a, = +1 + +1 + +1 + +1 + +1 = 0            21   23   25   27   29  50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x   => + + + + = 0 => ( − x) 1 1 1 1 1 50 + + + + = 0   21 23 25 27 29  21 23 25 27 29   x −10   x −14   x −5   x −148  b, => −3 + − 2 + −1 + + 6 = 0          30   43   95   8  x −100 x −100 x −100 x −100   => + + + = 0 =>(x − ) 1 1 1 1 100 + + + = 0   30 43 95 8  30 43 95 8  Bài 3, Tìm x, biết: x − 5 x − 4 x − 3 x −100 x −101 x −102 x − 2 x −1 x − 4 x − 3 a, + + = + + b, + = + 100 101 102 5 4 3 7 8 5 6 HD:  x −5   x − 4   x −3   x −100   x −101   x −102  a, = −1 + −1 + −1 = −1 + −1 + −1              100   101   102   5   4   3  x −105 x −105 x −105 x −105 x −105 x −105 => + + = + + 100 101 102 5 4 3
=> x −105 = 0 = x =105  x − 2   x −1   x − 4   x −3  x − 9 x − 9 x − 9 x − 9 b, => −1 + −1 = −1 + −1 = + = +          7   8   5   6  7 8 5 6
=> x − 9 = 0 = x = 9 Bài 4, Tìm x, biết: x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 2x +19 2x +17 2x + 7 2x + 5 a, + + = + + b, − = − 94 93 92 91 90 89 21 23 33 35 HD:  x +1   x + 2   x + 3   x + 4   x + 5   x + 6  a, => +1 + +1 + +1 = +1 + +1 + +1              94   93   94   91   90   89 
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 3 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 => + + = + + 94 93 92 91 90 89
=> x + 95 = 0 = x = 9 − 5  2x +19   2x +17   2x + 7   2x + 5  b, => +1 − +1 = +1 − +1          21   23   33   35  2x + 40 2x + 40 2x + 40 2x + 40 = + = + 21 35 33 23
= 2x + 40 = 0 = x = 2 − 0 Bài 5, Tìm x, biết: x −1 x − 2 x − 3 x − 4 x − 5 x − 6 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 a, + + = + + b, + = + 59 58 57 56 55 54 15 14 13 12 HD:  x −1   x − 2   x −3   x − 4   x −5   x − 6  a, => −1 + −1 + −1 = −1 + −1 + −1              59   58   57   56   55   54  x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 = + + = + + 59 58 57 56 55 54
=> x − 60 = 0 = x = 60  x +1   x + 2   x + 3   x + 4  x +16 x +16 x +16 x +16 b, = +1 + +1 = +1 + +1         = + = +  15   14   13   12  15 14 13 12
=> x +16 = 0 = x = 1 − 6 Bài 6, Tìm x, biết: x − 5 x −15 x −1990 x −1980 x −1 x − 3 x − 5 x − 7 a, + = + b, + = + 1990 1980 5 15 2015 2013 2011 2009 HD:  x −5   x −15   x −1990   x −1980  a, => −1 + −1 = −1 + −1         1990   1980   5   15  x −1995 x −1995 x −1995 x −1995 = + = + 1990 1980 5 15
= x −1995 = 0 = x =1995  x −1   x −3   x −5   x − 7  b, = −1 + −1 = −1 + −1          2015   2013   2011   2009  x − 2016 x − 2016 x − 2016 x − 2016 = + = +
= x − 2016 = 0 = x = 2016 2015 2013 2011 2009 Bài 7, Tìm x, biết: x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 315 − x 313 − x 311− x 309 − x a, + + = + b, + + + = 4 − 10 11 12 13 14 101 103 105 107 HD:   a, = (x + ) 1 1 1 1 1 1 + + − −
= 0 = x +1= 0 = x = 1 −   10 11 12 13 14   315 − x   313− x   311− x   309 − x  b, = +1 + +1 + +1 + +1 = 0          101   103   105   107  416 − x 416 − x 416 − x 416 − x => + + +
= 0 = 416 − x = 0 = x = 416 101 103 105 107
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 4 Bài 8: Tìm x, biết: x −1 x − 2 x − 3 x − 4 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51− x a, + = + b, + + + + = 5 − 2009 2008 2007 2006 41 43 45 47 49 HD:  x −1   x − 2   x −3   x − 4  a, = −1 + −1 = −1 + −1          2009   2008   2007   2006  x − 2010 x − 2010 x − 2010 x − 2010 = + = +
= x − 2010 = 0 = x = 2010 2009 2008 2007 2006  59 − x   57 − x   55 − x   53− x   51− x  b, = +1 + +1 + +1 + +1 + +1 = 0            41   43   45   47   49  100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x = + + + +
= 0 =100 − x = 0 = x =100 41 43 45 47 49 Bài 9: Tìm x, biết: x +14 x +15 x +16 x +17 x − 90 x − 76 x − 58 x − 36 x −15 a, + + + = 4 − b, + + + + =15 86 85 84 83 10 12 14 16 17 HD:  x +14   x +15   x +16   x +17  a, = +1 + +1 + +1 + +1 = 0          86   85   84   83  x +100 x +100 x +100 x +100 = + + +
= 0 = x +100 = 0 = x = 1 − 00 86 85 84 83  x −90   x − 76   x −58   x −36   x −15  b, => −1 + − 2 + −3 + − 4 + −5 = 0            10   12   14   16   17  x −100 x −100 x −100 x −100 x −100 = + + + +
= 0 = x −100 = 0 = x =100 10 12 14 16 17 Bài 10, Tìm x, biết: x −1 x − 2 x − 3 x − 4 x +1 x +1 x +1 x +1 a, + − = b, + = + 2011 2010 2009 2008 11 12 13 14 HD:  x −1   x − 2   x −3   x − 4  a, = −1 + −1 − −1 − −1 = 0          2011   2010   2009   2008  x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012 => + − −
= 0 = x − 2012 = 0 = x = 2012 2011 2010 2009 2008   b, = (x + ) 1 1 1 1 1 + − −
= 0 = x +1= 0 = x = 1 −   11 12 13 14  x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 Bài 11, Tìm x, biết: + + = + 10 11 12 13 14 HD:   = (x + ) 1 1 1 1 1 1 + + − −
= 0 = x +1= 0 = x = 1 −   10 11 12 13 14  Bài 12, Tìm x, biết: 2 4 6 x a, ( + + =
x + 2)( x + 4) ( x + 4)( x + 8) ( x + 8)( x +14) (x+2)(x+ 14) HD:
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 5  1 1   1 1   1 1  x = − + − + − =      
x + 2 x + 4   x + 4 x +8   x +8 x +14  (x + 2)(x +14) 1 1 x 12 x = − = = = = = x + 2 x +14
(x+2)(x+14) (x+2)(x+14) (x+2)(x+ 12 x 14) x −10 x −14 x − 5 x −148 Bài 13: Tìm x thỏa mãn: + + + = 0 30 43 95 8 HD:  x −10   x −14   x −5   x −148  −3 + − 2 + −1 + + 6 = 0          30   43   95   8  x − 1 x − 3 x − 5 x − 7 Bài 14: Tìm x biết: + = + 2015 2013 2011 2009
x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349 Bài 15: Tìm x biết: + + + + = 0 327 326 325 324 5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 6
DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LŨY THỪA Bài 1: Tìm x biết: 2  1  x  1  2 a, 3 x + − x + = 0  x +1 = x + 2 x + = 2  3  2  b, c, ( )10 2 2 3 1024.125 .25     Bài 2: Tìm x biết: x 9 10 11 9  64  4.5 .7 − 5 .7 a, 9 (5x − ) 1 − 16(5x − ) 1 + 36(5x − ) 1 = 15 b, =   9  27  35 .4 Bài 3: Tìm x biết: − a, 16 ( x − ) 1 − 9x − 9 = 5 b, ( x − )5 1 = 2 − 43 c, 2 4 n 7 3 .3 .3 = 3 Bài 4: Tìm x biết: 10 20 2003 2003 a, (3x − ) 1 = (3x − ) 1 b, x (6 − x) = (6− x) c, x x+2 5 + 5 = 650 HD:  1 3x −1 = 0 = 20 10 10 10 x = − − − = = −  − −   a, (3x )1 (3x )1 0 (3x )1 (3x ) 1 1 = 0 =    ( = 3x − ) 3 10 1 =1  3x −1 = 1   − =  = 2003 2003 2003 6 x 0 x 6 b,
=> x (6 − x) −(6 − x)
= 0 = (6 − x) (x − ) 1 = 0 = =   x −1 = 0 x =1 c, => x x 2 5 5 .5 650 5x (1 25) 650 5x + = = + = = = 25 Bài 5: Tìm x biết: a, x x+2 5 + 5 = 650 b, 2 n 5 3 .3 = 3 c, ( 2 2 : 4).2n = 4 Bài 6: Tìm x biết: 1   n 1 a, .2n 4.2n 9.5n + = b, 2 + 4 = 9.5n   c, n 1 2 − .9 = 9.5n 2  2  Bài 7: Tìm x biết: + x+2 x 1 + 2 8 6 a, n 3 2 .2n = 144 b, ( x − 2015) − (x − 2015) = 0 c, (2x − ) 1 = (2x − ) 1 x− x− 7 Bài 8: Tìm x biết: 1 2 2 + 5.2 = 32 HD:   x− 5 7 x− 7 7 x− 1 1 1 1 4 = 2 1+ = = 2 . = = 2 = = 2− = x = 3 −    2  32 2 32 16 Bài 9: Tìm x biết: x 1 + x 1 + 1 5 3 a, ( + + x − 7) −(x − 7) = 0 b, x 2 x 1 2 .3 .5x = 10800
c, (2x −15) = (2x −15) HD: x − 7 = 0  = x 1 + 10 x 7 a, (x −7) 1
 −(x −7)  = 0 =    ( =  x − 7)10 = 1 x − 7 = 1  x x x x x x 10800 x b,
2 .4.3 .3.5 = 10800 = 2 .3 .5 = = 900 = (2.3.5) x 2
= 900 = 30 = 900 = 30 = x = 2 12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 7  − = 5 3 3 2 2x 15 0 c,
(2x −15) −(2x −15) = 0 = (2x −15) (2x −15) −1 = 0 =    2x −15 = 1  Bài 10: Tìm x biết: 2 2
a, ( x − 5) = (1− 3x) b, 2 x + x = 0 c, 4 n 7 3 .3 = 3 HD:  3
x − 5 =1−3x 4x = 6 x =  a, => = =   2
x − 5 = 3x −1 2x = 4 −  x = 2 − x = x = b, = x(x + ) 0 0 1 = 0 = =   x +1 = 0 x = 1 − c, n 7 4 3
= 3 = 3 : 3 = 3 = n = 3 Bài 11: Tìm x biết: 4 2 a, ( +
4x − 3) = (4x − 3) b, (x-1)3 = 125 c, x 2 2 − 2x = 96 HD:  − = 4 2 2 2 4x 3 0 a,
(4x −3) −(4x −3) = 0 = (4x −3) (4x −3) −1 = 0 =    4x −3 = 1  b, (x − )3 3 1
= 5 = x −1 = 5 = x = 6 c, x+2 x x − = = ( − ) x 5 2 2 96 2
4 1 = 96 = 2 = 32 = 2 = x = 5 Bài 12: Tìm x biết: a, ( x − )2 4 7 = 5 7 − 4x b, 2 n 7 3 .3 = 3 c, 2008 2010 y = y HD: a,
Đặt: − x = a = ( x − )2 2 7 4 4 7 = a a = 0 Khi đó ta có: 2 2
a = 5a = a − 5a = 0 = a (a − 5) = 0 =  a = 5 b, n 7 2 5
3 = 3 : 3 = 3 = n = 5 y = 0 c, = y − y = 0 = y (y − ) 2008 2010 2008 2008 2 1 = 0 =  2 y =1 Bài 13: Tìm x biết: 1 1 1 a, (9x − )2 2 1 + x − = 0 b, 4 n 7 .3 .3 = 3 c, .27n 3n = 3 9 9 HD: 2 9  x −1 = 0 1 2 1  a, Vì ( 2 9x − ) 1  0, x −  0, để ( 2 9x − ) 1 + x − = 0 =  1 3 3 x − = 0   3  1 x =   3 1 =>  = x = 1 3 x =  3 n 1 b, 7 4 3 n 3 2 5
= 3 . = 3 :3 = 3 = 3 = 3 .3 = 3 9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 8 n 3n 1  1  1 c, = = = = = n = 2   n 2 27 9  3  3 Bài 14: Tìm x biết: a, x 1 − x 1 3 5.3 − + =162 b, x+2 5 = 625 c, ( x − )50 2 1 = 2x −1 HD: a, => x 1 − ( + ) x 1 − 3 3 1 5 =162 = 3
= 27 = 3 = x −1= 3 = x = 4 b, => x+2 4 5
= 5 = x + 2 = 4 = x = 2  x − = c,
=> ( x − ) ( x − )49 2 1 0 2 1 2 1 −1 = 0 =    2x −1 =1 Bài 15: Tìm x biết: a, x 1 − x 1 3 5.3 − + = 486 b, 200 x = x c, ( 2 2 : 4).2n = 4 HD: a, => x 1 − ( + ) x 1 − 4 3 1 5 = 486 = 3
= 81= 3 = x −1= 4 = x = 5 x = 0 b, => x ( 199 x − ) 1 = 0 =  x =1 c, n 2
= 2 = 4 = 2 = n = 2 Bài 16: Tìm x biết: x+2 x+4 a, ( x − ) 1 = (x − ) 1 b, n n+2 5 + 5 = 650 c, 2008n = 1 HD: +  x − = x+ x+ ( )x 2 1 0 2 2 a, = (x − ) 1 (x − ) 1 −1 = 0 =    ( + x − )x 2 1 =1 b, n = ( 2 + ) n 2 5 1 5
= 650 = 5 = 25 = 5 = n = 2 c, => n 0
2008 = 1 = 2008 = n = 0 Bài 17: Tìm x biết: 1 2000 2008  y   y  a, .2n 4.2n 9.5n + = b, − 5 = − 5     2  3   x  HD:   n 1 n n 9 − − a, n n 1 n n 1 = 2
+ 4 = 9.5 = 2 . = 9.5 = 2 .9 = 9.5 = 2 = 5n   Vô lý  2  2  y − = 2000 8 5 0  y    y    3 b, − 5    − 5 −1    = 0 =   3   3    y   −5 = 1   3 Bài 18: Tìm x biết: a, 32− . n 16n =1024 b, 1 − n n 1 3 .3 5.3 − + =162 c, n+3 2 .2n = 128 HD: − − a, 5n 4n n 10
= 2 .2 =1024 = 2 = 2 = n = 1 − 0 − − − − b, n 1 n 1 n 1 n 1 3
= 3 + 5.3 =162 = 3 .6 =162 = 3 = 27 = 3 = n −1 = 3 = n = 4 c, 2 x+3 7 2
=128 = 2 = 2n + 3 = 7 = n = 2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 9 Bài 19: Tìm x biết: a, 2x −15 = 17 b, 2 x 3 2.2 4 .4x + =1056 HD: a, => x 5 2 = 32 = 2 = x = 5 b, => 2x 3 2x 2n + = = ( + ) 2n 4 2.2 4 .2 1056 2 2 64 =1056 = 2
=16 = 2 = 2n = 4 = n = 2 Bài 20: Tìm x biết: 2n 1 −  1  2x +1 x − 5 a, 5 = 3   b, =  3  3 2 HD: a, => 1−2n 5 3
= 3 =1− 2n = 5 = n = 2 − b, 2(2x + )
1 = 3( x −5) = 4x + 2 = 3x −15 = x = 1 − 7 Bài 21: Tìm x biết: x+2 x+4 a, x−2 x 1 4 4 + + =1040 b, ( x − )3 2 1 = 8 − c, ( x − ) 1 = (x − ) 1 HD: a, => x−2 x−2 3 x−2 x−2 2 4
+ 4 .4 =1040 = 4 .65 =1040 = 4
=16 = 4 = x − 2 = 2 3 3 b, => (2x − ) 1 = ( 2 − ) = 2x −1= 2 − +  x − = x+ ( )x 2 1 0 2 2 c, => ( x − ) 1 (x − ) 1 −1 = 0 =    ( + x − )x 2 1 = 1   Bài 22: Tìm x biết: a, 1 − n n 5 2 .2 + 4.2 = 9.2 b, x 1 − x 1 3 5.3 − + =162 HD:   n 1 n 9 − a, 5 5 n 1 5 = 2
+ 4 = 9.2 = 2 . = 9.2 = 2 = 2 = n = 6    2  2 b, => n 1 − n 1 − 3 3 .6 = 162 = 3 = 27 = 3 = n = 4 Bài 23: Tìm x biết: a, ( )2 54 n = n b, x−2 x 1 4 4 + + =1040 HD: n = 0 a, => 108 n = n = n( 107 n − ) 1 = 0 =  n =1 b, => x−2 x−2 3 x−2 x−2 2 4
+ 4 .4 =1040 = 4 .65 =1040 = 4 =16 = 4 = x = 4 Bài 24: Tìm x biết: + a, x 2 2 − 2x = 96 b, (2x-1)50 = 2x-1 HD: a, x x x x 5
2 .4 − 2 = 96 = 3.2 = 96 = 2 = 32 = 2 = x = 5  x − = b,
( x − )( x − )49 2 1 0 2 1 2 1 −1 = 0 =    2x −1 =1 Bài 25: Tìm x biết: − a, 2 2 (x −5) = (1−3 ) x b, 32 . n 16n =1024 HD:
x − 5 =1− 3x 4x = 6 − − a, = =   b, 5n 4n 10 n 10 2 .2
= 2 = 2 = 2 = n = 1 − 0
x − 5 = 3x −1 2x = 4 −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 10 Bài 26: Tìm x biết: a, ( x − )3 5 7 = 512 b, (2x-15)5 = (2x-15)3 c, 2
( x + 2 − 2)(x − 4) = 0 HD: a, ( x − )3 3 5 7
= 8 = 5x − 7 = 8 = 5x =15 = x = 3  − = 3 2 2x 15 0 b,
= (2x −15) (2x −15) −1 = 0 =    2x −15 = 1   x + 2 = 2 x + 2 = 2  c, =  =  2 x − 4 = 0 x = 2  Bài 27: Tìm x biết: a, 10x : 5y 20y = b, +
x − 5 + x −8 = 6 ( với x > 5) c, x 1 2 .3y = 12x HD: a, x y y y 2
=10 = 20 .5 =100 =10 y = x = 2y 19 b,
Vì x  5 = x − 5 = x − 5 , Khi đó ta có: x − 5 + x − 8 = 6 = 2x = 19 = x = 2 x −1 = 0 + + − − c, x 1 y 2 x x 2 x x 1 y x x 1 2 .3 = 2 .3 = 2 : 2
= 3 :3 = 2 = 3y x =  = x = y =1 y − x = 0 Bài 28: Tìm x biết: 2 2  − 6 8 7 11   29 
a, ( x − 2) = ( x − 2) b, 2 x + = − x = y     3  12   12  HD :  − = 6 2 x 2 0 a,
(x −2) (x −2) −1 = 0 =    x − 2 = 1  2 2 7  29   11  10 3 b, = x + x = − = x = 5 = x =     Thay vào tìm đc y 3  12  12  3 2 2 2  31  49 
Bài 29: Tìm x,y biết rằng : 2 x + − = − x = y      12   12  HD : 2 2  49   31 = x + x = −
= 2x =10 = x = 5     Thay vào tìm đc y  12  12  2 2 2 2 2 2 x y z x + y + z Bài 30: Tìm x,y,z biết: + + = 2 3 4 5 HD : 2 2 2 2 2 2  x x   y y   z z   −  +  −  +  −
 = 0 = x = y = z = 0  2 5   3 5   4 5  x+2 x 1 + x 2x 2x 1 + 2x+3 7 + 7 + 7 5 + 5 + 5 Bài 31: Tìm x biết: = 57 131 HD : x ( + + ) 2 7 49 7 1 5 x (1+ 5 +125) = =
= 7x = 25x = x = 0 57 131
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 11 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 + 4 + 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 Bài 32: Tìm n biết: . = 2n 5 5 5 5 5 3 + 3 + 3 2 + 2 HD : 5 5 5 4.4 6 .6   n 24 24 n 5 n 6 = . = 2 = .
= 2 = 4 .4 = 2 = 4 = 2n   12
= 2 = 2n = n =12 5 5 3.3 2.2  6  6
Bài 33: Tìm x biết: ( ) 2005 1 3 0 2005 2
.x + 2005 .x = 994 −15 : 3 +1 HD :
= 8.x + x = 990 = 9x = 990 = x =110
Bài 34: Tìm x biết: x x 1 + x+2 x+3 2 + 2 + 2 + 2 = 480 HD : x = ( + + + ) x 5
2 1 2 4 8 = 480 = 2 = 32 = 2 = x = 5 27 −x 3 (z +3)2 t − 2
Bài 35: Tìm các số nguyên x, y, z, t biết: = = = = 2 4 3 y 4 − 8 HD : 3.27 81 = −x = = Làm tương tự tìm y,z,t 4 4
Bài 36: Tìm m,n thỏa mãn : ( 4 m − x y ) ( n 4 − x y ) 9 15 7 . 5 = 35x y HD : n + 4 = 9 + + n 4 m 4 9 15 = 35.x .y
= 35.x .y =  m + 4 =15 2 − + −
Bài 37: Tìm x, y nguyên biết : x 1 y 1 2012 1006 2012 .3 = 9 HD : 2 2 − + − − + − => x 1 y 1 2012 2012 x 1 y 1 2 2012 .3 = 3 = 2012
=1 = x −1 + y −1 = 0  x −1 = 0  x −1 =1 => 2
x −1 + y = 1 =  hoặc  2 y =1 2 y = 0
Bài 38: Tìm các số x,y,z nguyên dương biết: 2 2 2 2 2 2
x + y + x +1: x +1: y +1: z = 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 + 4 + 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 Bài 39: Tìm x biết: . = 8x 5 5 5 5 5 3 + 3 + 3 2 + 2 HD : 5 5 5 4.4 6 .6   n 24 24 3 3n 5 3n 6 3 = . = 2 = .
= 2 = 4 .4 = 2 = 4 = 2 n = 3n = 6 = n = 2   5 5 3.3 2.2  6  6 x 7 + x 6 − x 5 −
Bài 40: Tìm giá trị của biểu thức biết: ( x − 4)( )( )( ) với x=7 HD : −
Thay x=7 vào ta được : ( − )7 5 2 7 4 = 3 = 9 + +
Bài 41: Tìm x biết: x 2 x 1 2 .3 .5x = 10800 HD : + + Phân tích 4 3 2 x 2 x 1 10800 = 2 .3 .5 = 2
.3 .5x = x = 2 x 1 + x 1 + 10
Bài 42: Tìm x biết: ( x − 7)
− (x − 7) (x − 7) = 0 2 − + −
Bài 43: Tìm x, y nguyên biết : x 1 y 1 2012 1006 2012 .3 = 9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 12 2 2 Bài 44: Tìm x biết: ( 2
x − x − ) = ( 2 3 5 x + 5x + ) 1 2
Bài 45: Tìm x biết: ( x + ) 1 − ( x + ) 1 ( x − ) 1 = 0 2 2 Bài 46: Tìm x biết: ( 2 x + ) = ( 2 1 x − 2x − 5)
Bài 47: Tìm x biết : x+2 x 1 2 .3 + .5x = 10800
Bài 48: Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm, và 1 số bằng 0, Tìm 3 số đó biết: 2
a = b (b − c) HD : b = 0 Xét 2
a = 0 = b (b − c) = 0 =  (VL) b = c b   c Xét 2
a  0 = a = b (b − c)  0 = 
= c = 0,b  0,a  0 b   0
Bài 48: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: 3
x = y(z − x) , Biết rằng trong ba số đó có 1 số bằng 0, một số âm,
một số dương, hãy chỉ rõ số nào bằng 0, số nào âm, số nào dương? −
Bài 49: Tìm x,y biết: x ( x − y) 3 =
và y ( x − y) 3 = 10 50 HD : 2 9 2  3 
Trừ theo vế ta được : ( x − y)( x − y) =
= (x − y) =    25  5 
Bài 50: Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng: 3 3 3
a − b − c = 3abc và 2
a = 2(b + c) HD: Vì 2
a = 2(b + c) => 2
a là 1 số chẵn => a chẵn, mà a, b, c nguyên dương nên từ 3 3 3
a − b − c = 3abc = a b và a c => a b + c = a  (b + c) 2 2 4 2
= 4a a = a  4 => a = 2 và b = c = 1
Bài 51: Tìm các số nguyên dương a, b, c, d biết : b c d a
a = b = c = d và a + b + c + d = 20
Bài 52: Tìm các số nguyên dương a, x, y biết: 4 +19 = 3a;2 + 5 = 3b x x
Bài 53: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 5x 17y 2xy − = và − = 5, 2 + 3y x y x = xy
Bài 54: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : + 2 −3 = 5xyz x y z
và ( x − y)( y + ) 2 2 7 − x =19 (xyz>0)
Bài 55: Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0 HD :
Biến đổi về dạng (2x − ) 1 (1 − 2y) = 1 −
Bài 56: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho: (2008 + 3 + ) 1 (2008a a b
+ 2008a + b) = 225 HD:
Do a,b là số tự nhiên nên:
Nếu a 1 thì 2008a+2008a+b >225 (loại)
Nên a=0 khi đó (3b+1)(b+1)=225=3.75=5.45=9.25 vì 3b+1 không chia hết cho 3 và 3b+1>b+1 3  b +1 = 25 =>  = b = 8 b  +1 = 9
Bài 57: Chứng minh rằng với a, b là số nguyên thì giá trị của biểu thức: A = ( 2 a + b + )( 2 2021 2019
1 2017a − 2015b + 2018) là một số chẵn.
Bài 58: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho 2018m + 4035 = n + n − 2018
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 13 2015 2016
Bài 59: Tìm x nguyên biết: x + 2015x = 2017
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 14
DẠNG 4: TÌM X DẠNG PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm x nguyên biết: 1 1 1 2 1 2 1 8 a, + = b, + = 3 c, − = +1 x y 5 x y y x xy HD: a,
= 5(x + y) = xy = xy −5x −5y = 0 = x( y −5)−5y + 25 = 25 = x( y −5)−5( y −5) = 25
= (x −5)( y −5) = 25 =1.25 = 5.5 2 2  1  2 b,
= 2y + x = 3xy = 3xy − x − 2y = 0 = x(3y − ) 1 − 2y +
= = x(3y − ) 1 − 2 y − =   3 3  3  3
=> 3x(3y − ) 1 − 2(3y − )
1 = 2 = (3x − 2)(3y − ) 1 = 2 c,
= 2x − y = 8+ xy xy − 2x + y = 8
− = x( y −2) + y − 2 = 1 − 0 = (x + ) 1 ( y − 2) = 1 − 0
Bài 2: Tìm x nguyên biết: 1 4 3 − 12 x 1 1 a, x − − = 1 − b, − =1 c, − = y xy y xy 8 y 4 HD: a, => 2 2
x y − x − 4 = −xy = x y + xy − x − 4 = 0 = xy (x + ) 1 − x −1− 3 = 0 => xy ( x + ) 1 − ( x + ) 1 = 3=> ( xy − ) 1 ( x + ) 1 = 3 = 1.3 b, => 3
− x −12 = xy = xy +3x = 1
− 2 = x( y + ) 3 = 1 − 2 = 1 − .12 = 2 − .6 = 3 − .4 c,
=> xy −8 = 2y = xy − 2y = 8 = y ( x − 2) = 8 =1.8 = 2.4
Bài 3: Tìm x nguyên biết: 2 − 2 4 2 3 y 5 a, − = 1 − b, + =1 c, + = x y x y x 3 6 HD: a, = 2
− y − 2x = −xy = xy − 2x − 2y = 0 = x( y − 2)− 2y + 4 = 4 = x( y − 2)− 2( y − 2) = 4
=> ( x − 2)( y − 2) = 4
b, = 4y + 2x = xy = xy − 2x − 4y = 0 = x ( y − 2) − 4y + 8 = 8 = ( y − 2)(x − 4) = 8 3 5 y 5 − 2 y c, => = − =
= x(5 − 2y) = 18 x 6 3 6
Bài 4: Tìm x nguyên biết: 5 y 1 x 4 1 x 2 1 a, − = b, − = c, − = x 3 6 3 y 5 6 y 30 HD: 5 1 y 5 1 + 2 y a, = = + = = = x(2y + ) 1 = 30 x 6 3 x 6 x 1 4 5x − 3 4 b, => − = = = = y(5x − ) 3 = 60 3 5 y 15 y x 1 2 5x −1 2 c, => − = = = = y(5x − ) 1 = 60 6 30 y 30 y
Bài 5: Tìm x nguyên biết: 4 y 5 x 3 1 2 − 5 x 5 a, + = b, − = c, = = x 3 6 9 y 18 2 5 − 3 − y HD:
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 15 4 5 y 5 − 2 y a, = = − =
= x(5 − 2y) = 24 x 6 3 6 x 1 3 2x −1 3 b, = − = = = = y(2x − ) 1 = 54 9 18 y 18 y ( 2 − 5)( 3 − ) 5 − .5 2 ( ) c, = x = ( và y = = 1 = y = 1  − ) = 15 − 5 25 −
Bài 6: Tìm x nguyên biết: 7 9 2 359 x 1 1 5 y 1 a, + = − b, − = c, + = 15x 10y 5 30xy 7 2 y +1 x 4 8 HD: a, Quy đồng ta được: 14y + 27x 12xy − 359 = =
= 12xy − 27 = 14y + 359 = 6x(4y − 9) = 7(4y − 9) + 781 30xy 30xy
= (4y −9)(6x − 7) = 781 =11.71 2x − 7 1 b, => =
= (2x − 7)( y + ) 1 = 14 14 y +1 5 1 y 1 − 2 y c, => = − =
= x(1− 2y) = 40 x 8 4 8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 16
DẠNG 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHẶN
Bài 1: Tìm số tự nhiên x,y biết: ( x − )2 2 7 2004 = 23− y HD:
Từ giả thiết ta thấy ( x − )2 7 2004  0 nên 2 2
23 − y  0 = y  23 = y 0;1;2;3;  4
Mà 7 là số nguyên tố nên 2
23 − y 7 = y 3; 
4 . Thay y vào ta tìm được x
Bài 2: Tìm số tự nhiên x,y biết: − y = (x − )2 2 25 8 2002 HD: 2
Từ giả thiết ta có: ( x − ) 2 2 8 2002
 0 = 25 − y  0 = y 0,1,2,3,4,  5 Mà 2 2
8(x − 200) 8 = 25 − y 8 = y 1;3;  5 . Thay y vào tính x 1 1 1 4
Bài 3: Tìm ba số tự nhiên a, b, c biết: + + = a b c 5 HD : 4 1 1 1 1 1 1 3
Giả sử : a b c =
= + +  + + = = c  3 5 a b c c c c c 1 1 4 1 1 4 TH1 : Với c = 1 =
+ +1 = = + = −1 0 ( Loại) a b 5 a b 5 1 1 4 1 3 TH2 : Với c = 2 = + = − =
= 3ab =10a +10b a b 5 2 10 1 1 4 1 7 TH3 : Với c = 3 = + = − =
= 7ab =15a +15b a b 5 3 15 1 1 1 4
Bài 4: Tìm ba số từ nhiên a, b, c khác 0 biết: + + = a b c 3 HD: 1 1 1 3 4 c = 1
Không mất tính tổng quát: Giả sử: a b c = + +  = = a b c c 3 c  = 2 1 1 4 1 1 2 1
b = 6 b = 4 Với c = 1 =
+ +1 = = +  = = b  6 = , a b 3 a b b 3 a  6  = a  = 12 1 1 1 4 1 1 5 Với c = 2 =
+ + = = + = = b = 3,a = 2 a b 2 3 a b 6 a b c a c b
Bài 5: Tìm các số nguyên a, b, c  0, biết:
+ + = + + = a + b + c = 3 b c a c b a HD:
a b c   a c b   a c   b a   c b  = + + + + + + 3 = 9 = + +1 + + +1 + + +1 = 9          
b c a   c b a   b b   c c   a aa + b + c a + b + c a + b + c   => + +
= = (a +b + c) 1 1 1 9 + + = 9   b c aa b c  1 1 1 1 1 1 1 1 1 =>
+ + = 3 , do a, b, c Z nên 1, 1, 1= + +  3 = a = b = c =1 a b c a b c a b c
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 17
Bài 6: Tìm số nguyên x, y biết: − y − = ( − x)4 42 3 3 4 2012 HD: => = y − + ( − x)4 42 3 3 4 2012
, Do 3 y − 3  0, y  Z nên ( − x)4 4 2012  42 = ( − x)4 4 2012
11 2 = 2012 − x = 0 hoặc 2012 − x =  1, Vì 2012 - x là số nguyên nên 38
+ Nếu 2012 − x =  1=> x = 2011 hoặc x = 2013 thì 38 = 3 y − 3 = y − 3 = (loại) 3
+ Nếu: 2012 - x = 0 => x = 2012 và 42 = 3 y − 3 = y − 3 =14 => y= 17 hoặc y = - 11
Bài 7: Tìm số tự nhiên x,y biết: − y = (x − )2 2 25 8 2009 (Tự luyện) HD : 2
Từ giả thiết ta có: ( x − ) 2 2 8 2009
 0 = 25 − y  0 = y 0,1,2,3,4,  5 Mà 2 2
8(x − 2009) 8 = 25 − y 8 = y 1;3;  5 . Thay y vào tính x
Bài 8: CMR không tìm được hai số x, y nguyên dương sao khác nhau sao cho 1 1 1 − = x y x − y HD :
Quy đồng chéo ta được : ( y − x)(x − y) = xy , Vì x - y và y - x là hai số đối nhau nên VT < 0,
Và nếu x, y nguyên dương thì VP > 0=> Mẫu thuẫn
Vậy không tồn tại hai số x, y nguyên dương
Bài 9: Tìm ba số nguyên dương x, y, z sao cho: 1 1 1 + + = 2 x y z HD : 1 1 1 1 1 1 3 3
Giả sử : x y z = 2 =
+ +  + + = = z  = z = 1 x y z z z z z 2 1 1 1 1 Với z = 1 =
+ +1 = 2 = + = 1 = x + y = xy = (x − ) 1 ( y − ) 1 = 1 x y x y 1 1 1
Bài 10: Tìm bộ ba số tự nhiên khác 0 sao cho: + + =1 a a + b a + b + c HD: 1 1 1 1 1 1 3 Vì + +
= 1  + + = = a  3 = a 1;2;  3 a a + b a + b + c a a a a 1 1 1 1 TH1 : Với a = 1 = + +1 = 1 = + = 0 b + 1 b + c + 1 b + 1 b + c + ( Loại) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 TH2 : Với a = 2 = + + = 1 = + =  + = b + 2 b + c + 2 2 b + 2 b + c + 2 2 b + 2 b + 2 b + 2
= b + 2  4 = b  2 = b1;  2 1 1 1 Nếu b=1 thì + = = c 3 c + 3 2 1 1 1 Nếu b=2 thì + = = c 4 c + 4 2 1 1 1 2 1 1 2 TH3 : Với a = 3 = + = 1− =  + =
= b + 3  3 = b  0 b + 3 b + c + 3 3 3 b + 3 b + 3 b + (loại) 3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 18 1 1 1
Bài 11: Tìm các số nguyên dương m, n thỏa mãn: + = m n 7 HD: m + n 1 =
= = 7m + 7n = mn = mn − 7m − 7n = 0 mn 7
=> m(n − 7) − 7n + 49 = 49 = (n − 7)(m − 7) = 49 a b c a c b
Bài 12: Tìm các số nguyên a,b,c  0 biết:
+ + = + + = a + b + c = 3 b c a c b a HD: a + b + c a + b + c a + b + c   = + +
= = (a + b + c) 1 1 1 9 + + = 9   b c aa b c  1 1 1 1 1 1 = + + = 3 . Do a, , b c Z =
 1,  1,  1 = a = b = c = 1 a b c a b c
Bài 13: Tìm các số x, y nguyên dương biết: 2 y ( x + ) 2 1 = 1576 + x
Bài 14: Tồn tại hay không số tự nhiên m và n để 1995n 18m − +1 = 0
Bài 15: Tìm x, y để: 4x 24 5y + =
Bài 16: Tìm x,y,z nguyên dương biết: x + y + z = xyz HD:
Vì x, y, z có vai trò như nhau nên ta xét: x y z
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz  0,= xyz = x + y + z  3z = xy  3 = xy1;2;  3
Nếu xy = 1 = x = y = 1 = 2 + z = z vô lý
Nếu xy = 2,(x y) = x = 1, y = 2 = z = 3
Nếu xy = 3,(x y) = x = 1, y = 3 = z = 2
Bài 17: Tìm x,y thuộc Z biết − y = (x − )2 2 25 8 2015 5 4 − 20 12 11 3 − 7 4 − 8 2 − x Bài 18: Cho A = + − + − và B = + + + −
. Tìm số nguyên x sao cho A   B 17 9 31 17 31 7 15 7 15 3 9 HD : −4 2 Tính A ta có : A = và B = 9 3 4 − x 2 4 − x 6 Theo bài ra ta có :   =   = 4 −  x  6 9 9 3 9 9 9 2 2 2 2
Bài 19 : Tìm số nguyên x sao cho : (x − )
1 (x − 4)(x − 7)(x −10)  0 HD : 2 2 2 2
Vì tích của 4 số : (x − )
1 ,(x − 4),(x − 7),(x −10) là 1 số âm, nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm 2 2 2 2
Ta có : x − 10  x − 7  x − 4  x − 1 , ta xét 2 TH sau : 2 2 2 2 2 2
TH1 : Có 1 số âm :=> x −10  x − 7 = x −10  0  x − 7 = 7  x  10 = x = 9 = x = 3 
TH2 : Có 3 số âm và 1 số dương : 2 2 2
= x − 4  0  x −1 = 1  x  4 , Do x là số nguyên nen không tồn tại x Vậy x = 3  là số cần tìm
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 19
Bài 20: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2 2 6x + 5y = 74 HD: 2 2 2 2 74
Từ 6x + 5y = 74 = 6x  74 = x  2
x Z = x  0;1;4;9 6 mà   2 Mặt khác ta lại có: 2 2 2 2
x +1= 75− 5x − 5y 5 = x = 4 hoặc x = 9 Với 2 2
x = 4 = y =10 ( loại) vì y không là số nguyên 2 2
Với x = 9 = y = 4 = ( ; x y) (  3;2);(3; 2 − );( 3 − ;2);( 3 − ; 2 − )
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 20
DẠNG 6: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG
Bài 1: Tìm x, biết: x + 2x + 3x +...+ 2011x = 2012.2013 HD: 1+ 2011 .2011
Ta có: x (1+ 2 + 3+...+ 201 ) ( ) 1 = 2012.2013 = . x = 2012.2013 => x 2
Bài 2: Tìm x biết: ( x + )
1 + ( x + 2) + ( x + )
3 +...+ ( x +100) = 5070 HD:
Ta có: ( x + x + x +...+ x) + (1+ 2 + 3+...+100) = 5070 1
=> 100x + 5050 = 5070 = 100x = 20 = x = 5  1 1 1 1  1 2 3 9 Bài 3: Tìm x biết: + + +...+ x = + + +...+    2 3 4 10  9 8 7 1 HD: 9 1 2 3 9  1   2   3   8 
Ta có: Tách thành 9 số 1=> + + +...+ = +1 + +1 + +1 +...+ +1 +1         1 9 8 7 1  9   8   7   2  10 10 10 10 10  1 1 1 1  = + + +...+ + =10 + + +...+   9 8 7 2 10  2 3 4 10      Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +...+ x = 10 + + +...+ = x =10      2 3 4 10   2 2 3 10 
Bài 4: Tìm x biết: 1+ 2 + 3 +... + x = 820 HD: (1+ x) x =
= 820 = x(x + )
1 = 1640 = 40.41 = x = 40 2 Bài 5: Tìm x biết: + + + + = (x + )2 3 3 3 3 1 2 3 ... 10 1 HD: Ta có: + = + = = ( + )2 3 3 1 2 1 8 9 1 2 + + = + = = ( + + )2 3 3 3 1 2 3 9 27 36 1 2 3 ....  + = 2 2 x 1 45 3 3 3 3
1 + 2 + 3 + ... + 10 = (1+ 2 + 3 + ... +10) = ( x + ) 2 1 = 45 =  x +1 = 4 − 5 Bài 6: Tìm x biết: + + + + + = (x − )2 1 3 5 7 ... 99 2 HD: (1+ 99)50 x − 2 = 50 => = 50 = (x − 2)2 2 =  2 x − 2 = 5 − 0
Bài 7: Tìm x biết: x − 3x + 5x − 7x +...+ 2013x − 2015x = 3024 HD:
=> ( x − 3x) + (5x − 7x) + ... + (2013x − 2015x) = 3024 = ( 2 − x) + ( 2 − x) +...+ ( 2 − x) = 3024 = ( 2
− x).504 = 3024 = 2 − x = 6 = x = 3 −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 21 2 6 12 20 110 Bài 8: Tìm x biết: . . . ... .x = 2 − 0 2 2 2 2 2 1 2 3 4 10 HD: 1.2 2.3 3.4 4.5 10.11 (1.2.3...10)( ) 2.3....11 Ta có: . . . ... .x = 2 − 0 = .x = 20 − 1.1 2.2 3.3 4.4 10.10 (1.2....10)(1.2....10) 20 − = 11x = 20 − = x = 11 3 3 3 3 24 Bài 9: Tìm x biết: + + +...+ = 35 63 99 x ( x + 2) 35 HD: 3 3 3 3 24 Ta có: => + + + ... + = 5.7 7.9 9.11 x ( x + 2) 35 3  2 2 2 2  24 =  + + + ... +  = 2  5.7 7.9 9.11 x  (x 2)  + 35  3  1 1  24 1 1 24 2 16 = − = = − = . =   2  5 x + 2  35 5 x + 2 35 3 35 1 16 1 9 − 3 − 5 3 − 5 5 − 3 = − = = = x + 2 = = x = − 2 = 5 35 x + 2 35 9 9 9 1 2 3 4 31 Bài 10: Tìm x biết: . . . ... 2x = 4 6 8 10 64 HD: (1.2.3.4.5....30.3 )1 x 1.2.3....31 1 1 x = ( = = = = = = x = − 2.2)(2.3)(2.4)...(2.32) 2 2 36 31 31 5 36 2 .2.3.4...32 2 .2 2 1 1 1 1 49 Bài 11: Tìm x biết: + + +...+ = 1.3 3.5 5.7
(2x− )1(2x+ )1 99 HD: 2 2 2 2 98 1 98 = + + + ...+ ( = = − = x − )( x + ) 1 1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 99 2x + 1 99 2x 98 => =
= 2x = 98 = x = 49 2x + 1 99 1 1 1 2 1989 Bài 12: Tìm x biết: 1+ + + +...+ = x ( x + ) 1 3 6 10 1 1991 HD: 2 2 2 2 1989 = 2 + + + + .... + = x ( x + ) 1 6 12 20 1 1991  1 1 1 1  1989 = 2 + 2 + + + ...+  =  x  (x ) 1 2.3 3.4 4.5 1  + 1991   1 1  1989  x −1  2 − => 2 + 2 − = 1 = 2     =  2 x 1 1991  2  (x ) 1  + + 1991 
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 22 x −1 2 − => = = 1991(x − ) 1 = 2 − (x + )
1 = 1991x −1991 = −2x − 2 x + 1 1991 1989
= 1991x + 2x = 2
− +1991 = 1993x = 1989 = x = 1993 + x 9 1
Bài 13: Tìm x biết: 1− 3 + 3 − 3 +... + ( 3 − ) 1006 2 3 = 4 HD: x x+ Đặt 2 3
A = 1 − 3 + 3 − 3 + ...( 3
− ) . Khi đó: A = − + − + + (− ) 1 2 3 4 3 3 3 3 3 ... 3 x+ ( x+ 3 − ) 1 2012 + + x+ − + 1 3 1
= A + A = A = + (− ) ( ) 1 1 3 1 3 4 1 3 = A = Theo giả thiết ta có: = 4 4 4
= x +1 = 2012 = x = 2011 12 Bài 14: Tìm x biết: 17 16 15 2 3 + x − 3 = 2 − 2 − 2 −...− 2 HD: Đặt: 2 3 4 16
A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Tính A ta có: 3 4 5 17
2A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 17 2
= 2A − A = 2 − 2 = A  − = 12 12 x 3 1 Theo giả thiết ta có: 17 17 3 + x − 3 = 2 − A = 2 − ( 17 2 2 − 2 ) 12
= 4 = x − 3 = 1 =  x − 3 = 1 − 1 1 1 1 + + +...+ 1
Bài 15: Tìm x biết: ( x − ) 2 3 4 200 20 = 1 2 199 2000 + +...+ 199 198 1 HD: 1 1 1 1 + + + ... + Đặt 2 3 4 200 A = . Ta có mẫu của 1 2 199 + + ... + 199 198 1  1   2  198  200 200 200 200 A = +1 + +1 + ... + +1 +1 = + + ...+ +       199  198   2  199 198 2 200 1 1 1 1 + + + ... + 1 Khi đó 2 3 4 200 A = =  1 1 1  200 200 + + ... +    2 3 200  −
Như vậy ta có: ( x − ) 1 1 1 1 199 20 . = = x − 20 = = x = − 20 = 200 2000 10 10 10 4 8 12 32 16 Bài 16: Tìm x biết: + + +...+ = 3.5 5.9 9.15 n (n + 16) 25 HD:  2 4 6 16  16 = 2 + + + ... +  =  3.4 5.9 9.15 n  (n 16)  + 25   1 1  16 1 1 8 1 1 8 1 = 2 − = = − = = = − = = n +16 = 75    3 n +16  25 3 n +16 25 n +16 3 25 75
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 23 1 1 1 1
Bài 17: Tìm x biết: x :
+ x : + x : +...+ x : = 511 2 4 8 512 HD:
= 2x + 4x + 8x +...+ 512x = 511 = x(2 + 4 +8+16 +...+ 512) = 511
Đặt A = 2 + 4 + 8 +16 + ... + 512
= 2A = 4 + 8 +16 +...+1024 = 2A− A =1024 − 2 =1022 511 1
Khi đó ta có: xA = 511 = .1
x 022 = 511 = x = = 1022 2
Bài 18: Tìm x biết: x 1 − x−2 x−3 x−49 49 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 −1 HD: Đặt: x 1 − x−2 x−3 x−49 A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 x x 1 − x−2 x−48 x x−49 = 2A = 2 + 2 + 2 + ... + 2
= 2A − A = A = 2 − 2 49   x x− − x 1 x 2 1 theo bài ra ta có: 49 49 49 2 − 2 = 2 −1 = 2 1− = 2 −1 = 2 . −   ( 49 2 −1 = 0 49 49 )  2  2 2x = − − 1 = 0 x 49 0 = 2
= 1 = 2 = x − 49 = 0 = x = 49 49 2
Bài 19: Tìm x biết: x + x −1+ x − 2 + x − 3+...+ x − 50 = 255 HD :
= (x + x + x +...+ x) −(1+ 2 + 3+...+ 50) = 255
= 51x −1275 = 255 = 51x =1530 = x = 30
Bài 20: Tìm x biết: x + ( x + )
1 + ( x + 2) +...+ ( x + 2010) = 2029099 HD :
= (x + x + x +...+ x) + (1+ 2 + 3+...+ 2010) = 2029099 = 2011x + 2021055 = 2029099
= 2011x = 2029099 − 2021055 = 8044 = x = 4
Bài 21: Tìm x biết: 2 + 4 + 6 +... + 2x = 210 HD : x +1 .x
= 2(1+ 2 + 3 + 4 +...+ x) ( ) = 210 = 2.
= 210 = x(x + ) 1 = 210 = 14.15 2
Bài 22: Tìm x biết: (x+1) + (2x+3) + (3x+5) + … + (100x+199) = 30200 HD :
= (x + 2x + 3x +...+100x) + (1+ 3+ 5+...+199) = 30200 = .
x 5050 +10000 = 30200 = 5050x = 20200 = x = 4 1 1 1 2 1 Bài 23: Tìm x biết: + + +...+ = 2 14 35 65 x + 3x 9 HD : 2 2 2 2 1 => + + + ... + = 28 70 130 x ( x + 3) 9 2 2 2 2 1 = + + + ...+ = 4.7 7.10 10.13 x ( x + 3) 9 2  3 3 3  1 2  1 1  1 =>  + + ... +  = = − =   3  4.7 7.10 x  (x 3)  + 9  3  4 x + 3  9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 24 1 1 1 1 1 1 1 1 => − = = − = = = = x = 9 4 x + 3 6 4 6 x + 3 12 x + 3 3 3 3 3 24 Bài 24: Tìm x biết: + + +...+ = 35 63 99 x(x + 2) 35 HD : 3 3 3 3 24 + + + ... + = 5.7 7.9 9.11 x ( x + 2) 35 3  2 2 2 2  24 =  + + + ... +  = 2  5.7 7.9 9.11 x  (x 2)  + 35  3  1 1  24 1 1 24 2 16 = − = = − = . =   2  5 x + 2  35 5 x + 2 35 3 35 1 16 1 9 − 3 − 5 3 − 5 5 − 3 = − = = = x + 2 = = x = − 2 = 5 35 x + 2 35 9 9 9 Bài 25: Tìm x biết: 2
1+ 3+ 5+ 7 +...+ 99 = (x − 2) HD: (1+ 99)50 x − 2 = 50 => = 50 = (x − 2)2 2 =  2 x − 2 = 5 − 0
(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99).x 6 3 Bài 26: Tìm x biết: =12 : 26950 7 2 HD :
Đặt : A =1.2 + 2.3 + 3.4 +... + 98.99
Tính A ta được : 3A = 1.2(3− 0) + 2.3(4 − )
1 + 3.4(5 − 2) + ... + 98.99(100 − 97)
3A = (1.2.3 − 0.1.2) + (2.3.4 −1.2. )
3 + ... + (98.99.100 − 97.98.99) = 98.99.100 98.99.100 A = 3 98.99.100.x 6 3 60 5 Thay vào ta có : = 12 : = 12x = = x = 3.26950 7 2 7 7 1 1 1 1 1 2 3 9 Bài 27: Tìm x biết: ( + + +...+ )x = + + +...+ 2 3 4 10 9 8 7 1 HD : 1 2 3 9  1   2   3   8  Ta có : + + + ... + = +1 + +1 + +1 + ... + +1 +1         9 8 7 1  9   8   7   2  10 10 10 10 10  1 1 1 1  = + + + ... + + = 10 + + ...+ +   9 8 7 2 10  2 3 9 10   1 1 1 1   1 1 1  Khi đó : + + + ... + .x = 10 + + ... + = x = 10      2 3 4 10   2 3 10 
Bài 28: Tìm x biết: x-3x+5x-7x+…+2013x-2015x = 3024 HD :
Ta có : ( x − 3x) + (5x − 7x) + ... + (2013x − 2015x) = 3024 = ( 2 − x) + ( 2 − x) + ( 2 − x) +...+ ( 2 − x) = 3024 = ( 2
− x).504 = 3024 = 2
− x = 6 = x = 3 −
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 25 7 13 21 31 43 57 73 91
Bài 29: Tìm x biết: 2x + + + + + + + + =10 6 12 20 31 42 56 72 90 HD :  1   1   1   1  Ta có : 2x + 1+ + 1+ + 1+ + ... + 1+ = 10          6   12   20   90  1 1 1 1 = 2x + 8 + + + + ... + = 10 2.3 3.4 4.5 9.10 1 1 8 4 = 2x + 8 + −
= 10 = 2x = = x = 2 10 5 5  1 1 1  49 Bài 30: Tìm x biết: + +...+ x =   1.2.3 2.3.4 98.99.100  200 HD : 1  2 2 2 2  49 Ta có : + + + ... + .x =   2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100  200 1  1 1   1 1   1 1  49 = − + − + ... + − .x =      
2 1.2 2.3   2.3 3.4   98.99 99.100  200 1  1 1  49 99 = − .x = = x =   2 1.2 99.100  200 101  1 1 1  2012 2012 2012 Bài 31: Tìm x biết: + +...+ x = + +...+   1.2 3.4 99.100  51 52 100 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : + + ... + = − + − + ... + − 1.2 3.4 99.100 1 2 3 4 99 100 1 1 1 1 1 1   1 1 1 1  = + + + + ... + + − 2 + + + ... +     1 2 3 4 99 100   2 4 6 100  1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 = + + + ... + − + + ... + = + + + ...+     1 2 3 100  1 2 50  51 52 53 100  1 1 1   1 1 1 1  Khi đó : + + ... + .x = 2012 + + + ... + = x = 2012      51 52 100   51 52 53 100   1 1 1  2014 2015 4025 4026 Bài 32: Tìm x biết: 1+ + +...+ x + 2013 = + +...+ +    2 3 2013  1 2 2012 2013 HD : 2014 2015 4025 4026 Ta có : + + ... + + − 2013 1 2 2012 2013  2014   2015   4025   4026  = −1 + −1 + ... + −1 + −1          1   2   2012   2013  2013 2013 2013 2013 2013 1 1 1 1  = + + + ... + + = 2013 + + + ...+   1 2 3 2012 2013 1 2 3 2013   1 1 1  1 1 1  Khi đó : 1+ + + ... + .x = 2013 + + ... + . = x = 2013      2 3 2013  1 2 2013 
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 26
Bài 33: Tìm x biết: Cho x + x + x +...+ x + x =1 và x + x = x + x = ... = x + x = 1, 1 2 3 50 51 1 2 3 4 49 50 Tính x =? 51 HD :
Thay vào ta có : ( x + x + x + x + ... + x + x + x =1 1 2 ) ( 3 4 ) ( 49 50 ) 51
=>1+1+1+ ... +1+ x = 1 = 25 + x = 1 = x = 2 − 4 51 51 51 Bài 34: Cho 2 3 100 A = 3 + 3 + 3 + ... + 3
, Tìm số tự nhiên n sao cho 2 3 3n A + = HD : Tính A ta được : 2 3 4 101 101
3A = 3 + 3 + 3 + ... + 3
= 3A − A = 2A = 3 − 3 101 = 2A + 3 = 3 Theo bài ra ta có : n 101 2A + 3 = 3 = 3 = n = 101 Bài 35: Tìm x biết : 3 0
2 .x + 2010 .x = 995 −15 : 3 HD :
8.x + x = 990 = 9x = 990 = x = 110
Bài 36: Tìm x biết : ( x - 1 ) + ( x - 2 ) + ... + ( x - 20) = - 610 HD :
Ta có : ( x + x + x + ... + x) − (1+ 2 + 3 + ... + 20) = 6 − 10 = 20x − 210 = 6 − 10 = x = 2 − 0
Bài 37: Tìm x biết : ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 100 ) = 7450 HD :
Ta có : ( x + x + x +..+ x) + (1+ 2 + 3+...+100) = 7450
100x + 5050 = 7450 = x = 24 Bài 38: Cho 2012 2011 2010 x = 2 − 2 − 2
−...− 2 −1, Tính 2010x HD : Đặt : 2 2010 2011 A = 1+ 2 + 2 + ... + 2 + 2 Tính A ta có : 2 3 2012 2012
2A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2A− A = 2 −1 = A Khi đo ta có : 2012 2012 x = − A = − ( 2012 2 2 2 − ) 1 = 1 Vậy x 1 2010 = 2010 = 2010 2 4 6 x Bài 39: Tìm x biết: ( + + =
x + 2)( x + 4) ( x + 4)( x + 8) ( x + 8)( x +14) (x+2)(x+ 14) HD :  1 1   1 1   1 1  x = − + − + − =      
x + 2 x + 4   x + 4 x +8   x +8 x +14  (x + 2)(x +14) 1 1 x 12 x = − = = = = = x + 2 x +14
(x+2)(x+14) (x+2)(x+14) (x+2)(x+ 12 x 14)
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 27
DẠNG 7: TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG BẰNG 0 2 4 2
Bài 1: Tìm a, b, c biết: (2a + )
1 + (b + 3) + (5c − 6)  0 HD: 2 4 2 2 4 2 Vì (2a + )
1  0,(b + 3)  0,(5c − 6)  0 Nên để (2a + )
1 + (b + 3) + (5c − 6)  0 thì:  1 − a = 2a +1 = 0  2   b  + 3 = 0 = b  = 3 −   5c − 6 = 0 6  c =  5 2 2
Bài 2: Tìm x, y, z biết: (x − 3 5) + ( y + 3 5) + x + y + z = 0 HD: 2 2
Vì ( x − 3 5)  0, ( y + 3 5)  0, x + y + z  0 nên để : x −3 5 = 0 x = 3 5 (     x − )2 + (y+ )2 3 5 3 5
+ x + y + z = 0 thì: y + 3 5 = 0 = y = 3 − 5  
x + y + z = 0 z = 0   2 2
Bài 3: Tìm a, b, c biết: ( x −13 + y) + ( x − 6 − y) = 0 HD: 2 2 2 2
Vì ( x −13 + y)  0,( x − 6 − y)  0 Nên để: ( x −13 + y) + ( x − 6 − y) = 0 Thì:  19 x =
x −13+ y = 0 x + y =13  2  =  = 
x − 6 − y = 0 x − y = 6 7 y =  2 2 2
Bài 4: Tìm a, b, c biết: ( x + 2) + 2( y − 3)  4 HD: 2 2
Vì A = ( x + 2)  0, B = ( y − 3)  0 nên ta có các TH sau: A = 0 x + 2 = 0 x = 2 − A = 0 x + 2 = 0 TH1:  =  =  TH 2 :  =  B = 0 y − 3 = 0 y = 3 B =1 y −3 = 1  A =1 x + 2 = 1  A =1 x + 2 = 1  TH 3 :  =  TH 4 :  =  B = 0 y −3 = 0 B =1 y −3 = 1  Bài 5: Tìm x, y biết: − y − = ( − x)4 42 3 3 4 2012 HD: Từ giả thiết ta có: = y − + ( − x)4 42 3 3 4 2012 , 4 4 Do y −  = ( − x)  = ( − x) 4 3 3 0 4 2012 42 2012
11 2 => 2012− x = 0 hoặc 2012− x = 1  2 2 6
Bài 6: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (a − 7) + (3b + 2) + (4c − 5)  0
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 28 HD : 2 2 2
Vì : (a − 7)  0,(3b + 2)  0,(4x − 5)  0  a = 7 a − 7 = 0    − 2 2 2 2
nên để : (a − 7) + (3b + 2) + (4c − 5)  0 = 3
b + 2 = 0 = b  = 3   4c − 5 = 0   5 c =  4 1
Bài 7: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (9x − )2 2 1 + x − = 0 3 HD : 1 Vì (9x − )2 2 1
 0, x −  0 nên để : 3 2 9  x −1 = 0 2 1  1 ( 2 9x − ) 1 + x − = 0 =  1 = x = 3 x = 3  3 4 4 6
Bài 8: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (7b − 3) + (21a − 6) + (18c + 5)  0 HD : (  7b −3)4  0  7  b −3 = 0   4 4 4 6 Vì : (
 21a − 6)  0 Nên để : (7b − 3) + (21a − 6) + (18c + 5)  0 = 21a − 6 = 0 (   + =  18c + 5)6  0 18c 5 0   100 200
Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (3x − 5) + (2y − ) 1  0 HD : (  3x −5  )100  0  − = 100 200 3x 5 0 Vì 
, Nên để : (3x −5) + (2y − ) 1  0 thì  (  2y −  − =  )200 1  0 2 y 1 0 2 4 6
Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (2a + 9) + (8b + ) 1 + (c −19)  0 HD : (  2a +9)2  0  2a + 9 = 0   4 2 4 6 Vì (  8b + ) 1
 0 , Nên để : (2a +9) +(8b + )
1 + (c −19)  0 thì 8  b +1 = 0 (   − =  c −19)6  0 c 19 0   2 2
Bài 11: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x + 2) + 2( y − 3)  4 HD : (x + 2)2  0 Vì  nên ta có các TH sau : ( y − 3)2  0 ( 2 x + 2)2 = 0 (x + 2) = 0 TH1 :  TH2 :   2 ( y − 3)2 = 0 ( y − 3) =1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 29 ( 2 x + 2)2 = 1 (  x + 2  ) =1 TH3 :  TH4 :   2 ( y − 3)2 = 0 (  y − 3  ) =1 2008 2008  2 
Bài 12: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (2x − ) 1 + y −
+ x + y − z = 0    5  HD : 2008  2  Vì: ( x − )2008 2 1  0 , và y −  0  
và x + y − z  0  5  (  2x − ) 1 = 0  2008  2008  2  2 nên để : (2x − ) 1 + y −
+ x + y − z = 0   thì  y − = 0  5  5 
x + y − z = 0 
Bài 13: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − )2 4 7 −5 7 − 4x = 0 HD: t  = 0 Đặt: 2
4x − 7 = t = t − 5t = 0 =  t  = 5 4k   k 2
Bài 14: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 2 2.x + y − = 0   (k N )  3  HD: 4k  4k 2    k 2 Vì: 2
2 k  0 và y −  0   nên để : 2 2.x + y − = 0   thì:  3   3  2kx = 0   2 y − = 0  3 2 2
Bài 15: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x −13 + y) + ( x − 6 − y) = 0 HD: (  x −13+ y  )2  0
x + y −13 = 0 2 2 Vì: 
Nên để: ( x −13 + y) + ( x − 6 − y) = 0 thì  (
x − 6 − y  − − =  )2  0 x y 6 0 2 4
Bài 16: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: (2x + 3) + (3x − 2) = 0 HD: (  2x + 3  )2  0 2x + 3 = 0 2 4 Vì: 
Nên để: (2x + 3) + (3x − 2) = 0 thì  (  3x − 2  − =  )4  0 3x 2 0
Bài 17: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: x + + ( y − )2010 5 3 4 = 0 HD: x + 5 = 0
Vì x + 5  0 và ( y − )2010 3 4
 0 Nên để: x + + ( y − )2010 5 3 4 = 0 Thì  3  y − 4 = 0
Bài 18: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: − y − = ( − x)4 42 3 3 4 2012 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 30 = = y − + ( − x)4 42 3 3 4 2012 .Do y −  = ( − x)4 3 3 0 4 2012  42 = ( − x)4 4 2012
11 2 = 2012 − x = 0 hoặc 2012 − x = 1  2008 2006 2010
Bài 19: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − ) + ( 2 3 5 y − ) 1 + (x − z) = 0 HD: (3x −5)2006  0  3  x − 5 = 0  2008 2008 2006 2010  Vì ( 2 y − ) 1
 0 Nên để: ( x − ) + ( 2 3 5 y − ) 1 + (x − z) = 0 thì 2 y −1 = 0   ( − =
x − z )2010  0 x z 0  
Bài 20: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: x −
y + ( y − )2012 2011 1 = 0 HD:
Vì: x − 2011y  0 và ( y − )2012 1  0
x − 2011y = 0 Nên để: x −
y + ( y − )2012 2011 1 = 0 thì:  y −1 = 0
Bài 21: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − )2 2 2
1 + 2 y − x − 8 = 12 − 5.2 HD: (  x − )2 2 1  0 2x −1 = 0 Ta có: ( x − )2 2
1 + 2 y − x = 0 , Vì 
, Nên để: ( x − )2 2
1 + 2 y − x = 0 Thì 
 2y − x  0  2y − x = 0
Bài 22: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x + − )( 2 2 2 x − 4) = 0 HD :  x + 2 − 2 = 0  x + 2 = 2 Ta có : =  ( =  2 x − 4) 2 = 0 x = 4
Bài 23: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 20
(x − 2) + y − x  0 HD : (  x − )20 2  0 x − 2 = 0 Vì  , Nên để 20
(x − 2) + y − x  0 Thì 
y − x  0  y − x = 0
Bài 24: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 2016 2 (x +1) +(y −1)  0 HD : (  x +  )2016 1  0 x +1= 0 Vì :  , Nên để : 2016 2 (x +1)
+(y −1)  0 thì :  (  y −  − =  )2 1  0 y 1 0
Bài 25: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 2 2016 (x − 2 ) y + (y − 2001)  0 HD : (  x − 2y  )2  0 x − 2y = 0 Vì :  , Nên để : 2 2016 (x − 2 ) y + (y − 2001)  0 thì :  (  y − 20  − =  )2016 01  0 y 2001 0
Bài 26: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 10
(x − 2) + y − x + 3  3 HD :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 31 Từ giả thiết ta có : 10
(x − 2) + y − x = 0 , (  x − )10 2  0 x − 2 = 0 Vì  , Nên để : 10
(x − 2) + y − x = 0 Thì : 
y − x  0  y − x = 0 1 1 1
Bài 27: Tìm x biết: x + + x + +...+ x + =100x 1.2 2.3 99.100 HD:
Vì vế trái không âm nên vế phải không âm, do đó 100x  0=>x  0 1 1 1 Khi đó: x + + x + +...+ x + =100x 1.2 2.3 99.100 2  1  1
Bài 28: Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn: x + y − + x − y + = 0    2  3 HD : 2  1     1 x + y −  0   x + y − = 0      2  2  1  1  2  Vì : 
, Nên để : x + y − + x − y + = 0   Thì :   1  2  3 1  x − y +  0  x − y + = 0  3  3 2 2
Bài 29: Tìm x,y,z biết: x +1 + ( y − 2) + ( z + ) 3 = 0 HD :  x +1  0  x +1 = 0   2 2 2  2
Vì :  ( y − 2)  0 nên để : x +1 + ( y − 2) + ( z + ) 3
= 0 Thì  ( y − 2) = 0 (    2 z + 3)2  0  (  z + 3) = 0  11 2 4
Bài 30: Tìm x biết: x + + x + + x + = 4x 17 17 17 HD : 11 2 4 Vì : x +  0, x +  0, x +
 0 => 4x  0 = x  0 17 17 17  11   2   4 
Khi x  0 = x + + x + + x + = 4x       = x =1  17   17   17 
Bài 31: Tìm x biết: x + 0,8 + x + 5, 2 + x + 9, 7 = 4x HD :
Vì x + 0,8  0, x + 5, 2  0, x + 9, 7  0 => 4x  0 = x  0
Khi x  0 = ( x + 0,8) + ( x + 5, 2) + ( x + 9,7) = 4x = x =15,7 2 2
Bài 32: Tìm x,y,z biết: (x − 3 5) + ( y + 3 5) + x + y + z = 0 HD : Vì : ( x − )2 3 5  0, và ( y + )2 3 5
 0 và x + y + z  0 , Nên để :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 32 x − 3 5 = 0  2 2 
(x−3 5) + (y+3 5) + x+ y+z =0 Thì : y+3 5 =0
x + y + z = 0  Bài 33: Tìm x, y biết: 4k 2 2   k 2
a, ( x −13 + y) + ( x − y − y) = 0 b, 2 2.x + y − = 0,   (k N )  3 
Bài 34: Tìm x biết: x + + ( y − )2016 5 3 4 = 0
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 33 DẠNG 8 : LŨY THỪA +
Bài 1: Tìm số tự nhiên n, m biết : 2m + 2n = 2m n HD :
Từ giả thiết ta có : 2 .
m 2n 2m 2n 0 2m (2n
)1 2n 1 1 2m (2n )1 (2n − − = = − − + = = − − − ) 1 = 1 => (2m )1(2n − − ) 1 = 1
Bài 2: Tìm m, n nguyên dương biết : 2m 2n − = 256 HD :
Từ giả thiết ta có m > n, và => m+n−n n n − = = ( m−n − ) 8 2 2 256 2 2 1 = 2 −
Vì m>n nên 2m n −1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, Vế phải chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 nên
2m−n −1=1 n = 8  =  n 8 2 = 2 m = 9
Bài 3: Tìm a, b, c nguyên dương biết : 3 2 + 3 + 5 = 5b a a và 3 5c a + = HD : − Từ giả thiết => 2 a (a + ) b 2 c b + = = a = − = ( b 1 3 5 5 .5 5 5 5 5 − ) 1 b 1 5 − −1 => 2 − a =
Vì a,b,c là các số nguyên nên c 1 0 5
=1 = 5 = c =1=> a = 2,b = 2 c 1 5 −
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên x, y biết : x 1 2 + .3y = 12x HD : 2 x+ y x x 2 x 3y Từ giả thiết=> 1 2 x 1 2 .3 = 2 .3 = =
= 2 − = 3y−x x 1 2 + 3x
Vì (2 ;3) =1 nên x=1 và y - x = 0 => y = 1
Bài 5: Tìm x, y biết: 10x : 5y 20y = HD : Từ giả thiết ta có : x 2
10 =10 y = x = 2y
Bài 6: Tìm a, b biết: 2a 124 5b + = HD : Xét 0 3
a = 0 = VT = 2 +124 = 125 = 5 = b = 3
Xét a 1 = VT là 1 số chẵn, VP là 1 số lẻ=> Vô lý, Vậy a=0, b=3
Bài 7: Tìm số tự nhiên a,b biết: a 2 10 +168 = b HD :
Xét a = 0 = b = 13 Xét 1 10a a  =
+168 có chữ số tận cùng là 8 => 2
b cũng có tận cùng là 8 (Vô lý) Vậy a=0, b=13
Bài 8: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 35x 9 2.5y + = HD : Xét = 0 =10 = 2.5y x = y =1
Với x  0 = VT có tận cùng là 4, còn vế phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 0
mẫu thuẫn nên x=0 và y=1
Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 2a 342 7b + = HD: Xét 3 = 0 = = 343 = 7 = 7b a VT = b = 3
Với a  0 thì VT là 1 số chẵn, còn vế phải là 1 số lẻ (mâu thuẫn)
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 34
Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 3a + 9b = 183 HD:
Vì 183 3 nhưng 183 9 Nên 3a + 9b 3 và 3a + 9b  9 , Mà 9 9 = 3a b  9 = a =1 Khi a=1 >b=20
Bài 11: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: a 2 5 + 323 = b HD: Xét 2 2
a = 0 = VT = 1+ 323 = 324 = 8 = b = b = 8
Với a  0 = VT có chữ số tận cùng là 8,
Vế phải là 1 số chính phương nên không có tận cùng là 8=> Mâu thuẫn
Bài 12: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 2a 80 3b + = HD: Xét : 4 = 0 = =1+80 = 81 = 3 = 3b a VT = b = 4
Nếu a  0 = VT là 1 cố chẵn, còn VP là 1 số lẻ ( Mâu thuẫn)
Bài 13: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : 2 2 2x + 3y = 77 HD: Do : 2 2
0  3y  77 = 0  y  25, mà 2
2x là 1 số chẵn nên 2
3y là số lẻ => 2 y lẻ => 2 y 1;9;2  5 = x
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y biết : 2 2 x − 2y =1 HD: Vì 2 2
x −1 = 2y , Nếu x 3 vì x là nguyên tố nên x=3, y=2 Nếu 2 2 2
x  3 = x −1 3 = 2y 3 = y = 3 = x =19 (Loại)
Bài 15: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x + 26 y = 2000 HD:
Vì 17.3x = 2(1000 −13y) , Do 17, 3 là số nguyên tố => x 2 , mà x là số nguyên tố => x=2
Lại có 1000 −13y 51 = 1000 −13y  0 và y nguyên tố =>Tìm y
Bài 16: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : 2p 2 p 2 2 5 + 2013 = (5 ) + q HD: 2 Ta có : 2 2013 −
= 25p − 25p = 25p (25p q − ) 1
Do p là số nguyên tố => 2 2 2013− q 25 và 2
2013− q  0=> Tìm q
Bài 17: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : (2008 + 3 + ) 1 (2008a a b
+ 2008a + b) = 225 HD : Do a,b là số tự nhiên : Nếu  1 = 2008a a
+ 2008a + b  225 (loại)
=> a = 0 = (3b + ) 1 (b + ) 1 = 225 = 3.75 = 5.45 = 9.25 3  b +1 = 25
Vì 3b +1 3 = 3b +1  b +1 =  => Tìm b b  +1 = 9
Bài 18: Tìm x,y nguyên biết: 2x 624 5y + = HD: Nếu x=0 thì y=4
Nếu x # 0 thì vế trái là số chẵn, còn vế phải là số lẻ với mọi y=> vô lý
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 35
Bài 19: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2 2 2x + 3y = 77 HD: Từ 2 3 2 2
2x +3y = 77 = 0  3y  77 = 0  y  25 kết hợp với 2
2x là số chẵn => 2 3y là số lẻ => 2 y là số lẻ=> 2 y 1;9;2  5 Với 2 2 2
y =1= 2x = 77 −3 = 74 = x = 37(l) Với 2 2 2
y = 9 = 2x = 77 − 27 = 50 = x = 25 = x = 5  Với 2 2 2
y = 25 = 2x = 77 − 75 = 2 = x =1= x = 1 
Bài 20: Tìm m,n nguyên dương biết: 2x 2y − =1024 HD : − − Ta có: x y y ( x y x y −  =  = − ) 10 2 2 2 2
1 = 2 , mà 2x y −1 là số lẻ, 2x y −1  0, và là ước của 10 2 − Nên x y y 10 2
−1=1= 2 = 2 = y =10 =>x=11
Bài 21: Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: 2 2 x − 2y =1 HD: Từ gt => 2 2
x −1 = 2y , Nếu x chia hết cho 3 , vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y=2, (t/m)
Nếu x không chia hết cho 3 thì 2
x −1chi hết cho 3, do đó 2
2y chia hết cho 3 mà (2;3)=1
Nên y chia hết cho 3, do đó: 2
x =19(l) Vậy cặp số (x;y) duy nhất tìm được là (2;3)
Bài 22: Tìm tất cả các số tự nhiên m,n sao cho 2m + 2015 = n − 2016 + n − 2016 HD: Nhận xét,
Với x  0 = x + x = 2x
Với x  0 = x + x = 0 , Do đó x + x luôn là 1 số chẵn với mọi x
Áp dụng nhận xét trên ta thấy n − 2016 + n − 2016 là số chẵn => 2m + 2015 là số chẵn =>m=0
Khi đó n − 2016 + n − 2016 = 2016
Nếu n  2016 = −(n − 2016) + n − 2016 = 2016 = 0 = 2016 (loại)
Nếu n  2016 = 2(n − 2016) = 2016 = n = 3024 (t/m) Vậy (m ;n)=(0 ;3024)
Bài 23: Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn : 2x 2y + = 72 HD:
Giả sử x > y thế thì ta có : x y y + = ( x− y + ) 3 2 2 2 1 2 = 9.2 −
Do 1 + 2x y là số lẻ nên 1 + 2x−y = 1;3;9
Ta có bẳng giá trị sau : 1+ 2x−y = 1 y 3 2 = 9.2 (Loại) 1 + 2x−y = 3 y 3 2 = 3.2 (Loại) 1 + 2x−y = 9 y 3 2 = 2 Ta thấy y 3
2 = 2 = y = 3 = x = 6
Bài 24: Tìm 3 số nguyên tố x,y,z thỏa mãn : y x +1 = z
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 36
Bài 25: Tìm các số nguyên dương a,b,c,d biết : b = c = d = e = a a b c d
e và a + b + c + d + e = 20
Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n −1 7 HD : Với  3 = 2n n −1 7
Với n  3 = n = 3k hoặc n = 3k +1 hoặc n = 3k + 2 k Xét 3
= 3 = 2 k −1= 8k n k −1= (7 + ) 1 −1 = 7 A +1−1 7 + Xét 3k 1 = 3 +1= 2 −1= 2.8k n k −1= 2(7A+ ) 1 −1 = 7A+1 7 + Xét 3k 2
n = 3k + 2 = 2 −1= 4(7A+ ) 1 = 27A + 4  7
Vậy n=3k với k N
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 37
DẠNG 9: TÌM X, Y DỰA VÀO TÍNH CHẤT VỀ DẤU Bài 1: Tìm x biết: a, ( x − ) 1 ( x − 2)  0 b, 2x − 3  0
2x − 4 9 − 3x  0 c, ( )( ) HD : a, Để (x − )
1 ( x − 2)  0 thì ta có hai trường hợp : x −1  0 TH1 :  = x  2 x − 2  0 x −1 0 TH2 :  = x 1 x − 2  0 Vậy x>2 hoặc x<1 3 b,
Để : 2x − 3  0 = 2x  3 = x  2 c,
Để : (2x − 4)(9 −3x)  0 thì ta có các TH sau : 2x − 4  0 2x − 4  0 TH1:  hoặc TH2:  9  −3x  0 9  − 3x  0 Bài 2: Tìm x biết: 2x 3  2  5 15 a, −  0 b, − 4    3 4  3x  3 6 HD: 2x 3 3 3 9 a, =  = x  . = 3 4 4 2 8  2  15 3 3 2 11 4 b, = − 4  . = =  = 3 .
x 11  4 = x     3x  6 5 2 3x 2 33 Bài 3: Tìm x biết:
a, ( x − 6)( x + 5)  0
b, ( x − 6)( x + 5)  0 c, (2x-3) < 0 HD: a,
Để (x −6)(x +5)  0 thì : x − 6  0 x − 6  0 TH1 :  hoặc TH2 :  x + 5  0 x + 5  0 b,
Để: (x −6)(x +5)  0 Thì: x − 6  0 x − 6  0 TH1:  Hoặc TH2:  x + 5  0 x + 5  0 3 c,
= 2x − 3  0 = 2x  3 = x  2 Bài 4: Tìm x biết:
a, (2x − 4)(9 − 3x)  0 b, ( 2 x − )( 2 5 x − 25)  0 c, (x+5)(9+x2)<0 HD: a,
Để: (2x − 4)(9 −3x)  0 thì : 2x − 4  0 2x − 4  0 TH1:  hoặc  9  −3x  0 9  − 3x  0
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 38 b, Để: ( 2 x − )( 2 5 x − 25)  0 thì: 2 x −5  0 2 x −5  0 TH1:  Hoặc  2 x − 25  0 2 x − 25  0 c, Để: (x + )( 2 5 9 + x )  0 , Vì 2
x + 9  0 = x + 5  0 = x  5 − Bài 5: Tìm x biết: a, ( x + ) 3 ( x − 4)  0 b, ( 2 x + )( 2 7 x − 49)  0 c, ( 2
x + 2)( x + 3)  0 HD: a, Để: (x + )
3 ( x − 4)  0 thì: x + 3  0 x + 3  0 TH1:  Hoặc:  x − 4  0 x − 4  0 b, Để ( 2 x + )( 2 x − )  =( 2 7 49 0
x + 7)( x + 7)( x − 7)  0 Vì 2
x + 7  0 = ( x + 7)( x − 7)  0 x + 7  0 x + 7  0 TH1:  TH2:  x − 7  0 x − 7  0 c, Để: ( 2
x + 2)( x + 3)  0 thì x + 3  0 = x  3 −
Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn :
a, ( x + 2)( x − ) 3  0 b, (2x − ) 1 (2x − ) 5  0
c, (3− 2x)( x + 2)  0
Bài 7: Tìm các số nguyên x thỏa mãn : (3x + ) 1 (5 − 2x)  0
Bài 8: Tìm x biết: 4x + 5 − x + 3 = 11, x  3 − HD: Với x  3
− = 4x +5−(x + )
3 =11 = 3x = 9 = x = 3 Bài 9: Tìm n N biết: a, 3 3n   234 b, 8.16 2n   4 c, 15 15 n n 16 16 4 .9  2 .3  18 .2 HD: a, Ta có: n 5
3  3  234  243 = 3 = n2;3;  4 b, Ta có: n 7 n 2
8.16  2  4 = 2  2  2 = n2;3;4;5;6;  7 c, 15 15 n n 16 16 15 n 16 30 n 32
4 .9  2 .3  18 .2 = 36  6  36 = 6  6  6 = n = 31 x + 3 Bài 10: Tìm x biết:  1 x + 4 Bài 11: Tìm n N biết: a, 32 < 2n < 128 b, 2.16  2n > 4 HD: a, 5 n 11
2  2  2048 = 2 = n6;7;8;9;1  0 b, n 5 n 2
2.16  2  4 = 2  2  2 = n5;4;  3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 39
DẠNG 10: TÌM X, Y, N NGUYÊN
Bài 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn: a, 2n+1⋮ 16-3n b, 3n+1⋮ 11-2n c, 3n+17⋮ 2n+3 d, 3n+1⋮ 11-2n HD: a,
2n +1 − 3n +16 = 3(2n +1) − 3n +16 = 6n + 3 − 3n +16
6n − 32 + 35 − 3n +16 = 2(3n −16) + 35 − (3n −16) = 3n −16 U (35) b,
3n +1 − 2n +11 = 2(3n +1) − (2n −11) = 6n + 2 − (2n −11)
= 6n − 33+ 35 − (2b −11) = 3(2n −11) + 35 − (2n −11) = 2n −11U(35) c,
2(3n +17) 2n + 3 = 6n + 34 2n + 3 = 6n + 9 + 25 2n + 3
= 3(2n + 3) + 25 2n + 3 = 2n + 3U (25) d,
2(3n +1) − (2n −11) = 6n +1 (2n −11) = 6n − 33 + 34 2n −11
= 3(2n −11) + 34 2n −11 = 2n −11U (34)
Bài 2: Tìm số nguyên x thỏa mãn: a, x+4⋮ x+1 b, 4x+3⋮ x- 2 c, x-15⋮ x+2 d, 3x+16⋮ x+1 HD:
Ta cần biến đổi số bị chia thành bội lần của số chia sau đó sử dụng tính chất chia hết của 1 tổng để đưa về ước số nguyên a,
x + 4 x +1 = x +1+ 3 x +1 = 3 x +1 = x +1 U  ( ) 3 = 1; 1 − ;3;−  3 b,
4x + 3 x − 2 = 4x −8 +11 x − 2 = 4( x − 2) +11 x − 2 = x − 2 U  (1 ) 1 = 1; 1 − ;11; 1 −  1 c,
x −15 x + 2 = x + 2 −17 x + 2 = 17 x + 2 = x + 2U (17) = 1; 1 − ;17; 1 −  7 d,
3x +16 x +1 = 3x + 3 +13 x +1 = 3( x + )
1 +13 x +1 = x +1 U  (13) =1; 1 − ;13; 1 −  3
Bài 3: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, x+4⋮ x b, 3n+7⋮ n c, 3n+2⋮ n-1 d, n+8⋮ n+3 HD:
Cách làm tượng tự đối với bài 1 a,
x + 4 x = 4 x = x U  (4) =1; 1 − ;2; 2 − ;4;−  4 b,
3n + 7 n = 7 n = n U  (7) =1; 1 − ;7;−  7 c,
3n + 2 n −1 = 3n − 3+ 5 n −1 = 3(n − )
1 + 5 n −1 = n −1U (5) = 1; 1 − ;5;−  5 d,
n + 8 n + 3 = n + 3+ 5 n + 3 = 5 n + 3 = n + 3 U  (5) =1; 1 − ; 5 − ;  5
Bài 4: Tìm số nguyên n thỏa mãn: a, n+6⋮ n-1 b, 4n-5⋮ 2n-1 c, 3n+2⋮ n-1 d, 3n+24⋮ n-4 HD:
a, n + 6 n −1 = n −1+ 7 n −1 = n −1 U  (7) =1; 1 − ;7;−  7
b, 4n − 5 2n −1 = 4n − 2 − 3 2n −1 = 2(2n − )
1 − 3 2n −1 = 2n −1 U  ( ) 3 = 1; 1 − ;3;−  3
c, 3n + 2 n −1 = 3n − 3 + 5 n −1 = 3(n − )
1 + 5 n −1 = n −1U (5) = 1; 1 − ;5;−  5
d, 3n + 24 n − 4 = 3n −12 + 36 n − 4 = 3(n − 4) + 36 n − 4 = n − 4 U  (36)
Bài 5: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 5n-1⋮ n+2 b, 3n⋮ n-1 c, n+6⋮ n d, 4n+5⋮ n HD: a,
5n −1 n + 2 = 5n +10 −11 n + 2 = 5(n + 2) −11 n + 2 = 11 n + 2 b,
3n n −1 = 3n − 3 + 3 n −1 = 3(n − )
1 + 3 n −1 = 3 n −1 c,
n + 6 n = 6 n d,
4n + 5 n = 5 n = n U  ( ) 5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 40
Bài 6: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 38-3n⋮ n b, n+5⋮ n+1 c, 3n+4⋮ n-1 d, 27-5n⋮ n HD: a,
38 − 3n n = 38 n = n U  (38) b,
n + 5 n +1 = n +1+ 4 n +1 = 4 n +1 c,
3n + 4 n −1 = 3n − 3 + 7 n −1 = 3(n − ) 1 + 7 n −1 d,
27 − 5n n = 27 n = n U  (27)
Bài 7: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 2n+3⋮ n-2 b, n+6⋮ n+2 c, 18n+3⋮ 7 d, 2n+5⋮ n+1 HD: a,
2n + 3 n − 2 = 2n − 4 + 7 n − 2 = 2(n − 2) + 7 n − 2 = 7 n − 2 b,
n + 6 n + 2 = n + 2 + 4 n + 2 = 4 n + 2 c,
18n + 3 7 = 14n + 4n + 3 7 = 4n + 3 7 = 4n + 3 + ( 7 − ) 7
= 4n − 4 7 = n −1 7 = n = 7k +1 d,
2n + 5 n +1 = 2n + 2 + 3 n +1 = 2(n + )
1 + 3 n +1 = 3 n +1
Bài 8: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 3n+7⋮ n b, 27-5n⋮ n c, 2n+3⋮ n-2 d, 2n+3⋮ n-4 HD: a,
3n + 7 n = 7 n = n U  (7) b,
27 − 5n n = 27 n = n U  (27) c,
2n + 3 n − 2 = 2n − 4 + 7 n − 2 = 2(n − 2) + 7 n − 2 = 7 n − 2 d,
2n + 3 n − 4 = 2n − 8 +11 n − 4 = 2(n − 4) +11 n − 4 = 11 n − 4
Bài 9: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 3n+2⋮ n-5 b, n2+4⋮ n-3 c, n2+1⋮ n-1 d, n2+5⋮ n+1 HD: a,
3n + 2 n − 5 = 3n −15 +17 n − 5 = 3(n − 5) +17 n − 5 = 17 n − 5 b, 2 2
n + 4 n − 3 = n − 3n + 3n + 4 n − 3 = 3n + 4 n − 3 = 3n − 9 +13 n − 3 = n − 3U (1 ) 3 c, 2 2
n + 1 n −1 = n − n + n + 1 n −1 = n + 1 n −1 = n −1 + 2 n −1 = 2 n −1 d, 2 2
n + 5 n + 1 = n + 5n − 5n + 5 n + 1 = 5
− n + 5 n +1 = 5
− n − 5 +10 n +1
Bài 10: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, n2+3⋮ n-1 b, n2+3n-13⋮ n+3 c, 2n2+n+4⋮ 2n+1 d, 3n2-n+1⋮3n-1 HD : a, 2 2
n + 3 n −1 = n − n + n + 3 n −1 = n + 3 n −1 = n −1 + 4 n −1 = 4 n −1 b, 2
n + 3n −13 n + 3 = n (n + )
3 −13 n + 3 = 13 n + 3 c, 2
2n + n + 4 2n +1 = n (2n + )
1 + 4 2n +1 = 4 2n +1 d, 2
3n − n +1 3n −1 = n (3n − )
1 +1 3n −1 = 1 3n −1
Bài 11: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, n2+2n+7⋮ n+2 b, 2n+1⋮ 7-3n HD: b,
3(2n +1) − (3n − 7) = 6n + 3 3n − 7 = 6n −14 +17 3n − 7
= 2(3n − 7) +17 3n − 7 = 3n − 7U (17) a − 5 Bài 12: Cho x =
, (a  0) , Tìm a nguyên để x nhận giá trị nguyên a HD :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 41 5 Ta có : x = 1−
để x nguyên thì 5 a = a U(5) = 1; 1 − ;5;−  5 =>a a
Bài 13: Tìm m nguyên để m −1 2m +1 HD :
Ta có m −1 2m −1 = 2(m − )
1 2m −1 = 2m −1−1 2m −1=> 1 2m −1 => 2m −1 U  ( ) 1 = 1;−  1 a − 3 Bài 14: Cho x =
, (a  0) , Tìm a để x có giá trị nguyên 2a HD :
Để x có giá trị nguyên thì a − 3 2a => a là 1 số lẻ và a −3 a = 3 a = a1; 1 − ;3;−  3 1− 2x
Bài 15: Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên với A = x+ 3 HD :
Để A nguyên thì : 1− 2x x + 3 = 2x −1 x + 3 = 2x + 6 − 7 x + 3 = x + 3 U  (7) 2a + 9 5a +17 3a
Bài 16: Tìm số nguyên a để: + −  Z a + 3 a + 3 a + 3 HD : 2a + 9 5a +17 3a 4a + 26 Ta có : + − = a + 3 a + 3 a + 3 a +
để có giá trị nguyên thì : 3
4a + 26 a + 3 = 4a +12 +14 a + 3 = a + 3 U  (14) Bài 17: Tìm n để 3 2 2
n − n + n + 7 n +1 HD : Ta có : 3 2 2 3
n − n + n +
n + = n + n − ( 2 n + ) 2 7 1 1 + 8 n +1 = n( 2 n + ) − ( 2 n + ) 2 2 1
1 + 8 n +1 = n +1U (8) 2 + −
Bài 18: Tìm x nguyên để x 3x 1  Z x + 2 HD : 2 x + 3x −1 Để :  Z thì 2 2
x + 3x −1 x + 2 = x + 2x + x + 2 − 3 x + 2 x + 2
= x( x + 2) + ( x + 2) −3 x + 2 = x + 2 U  ( ) 3
Bài 19: Tìm số nguyên x thỏa mãn: 6 x +1 2 x −3 HD :
Ta có : 6 x +1 2 x − 3 = 6 x − 9 +10 2 x − 3 = 3(2 x − 3) +10 2 x − 3
=> 2 x − 3U (10)
Bài 20: Tìm số nguyên x thỏa mãn: 2012 x + 5 1006 x +1 HD :
Ta có : 2012 x + 5 1006 x +1 => 2012 x + 2 + 3 1006 x +1 = 2 (1006 x + ) 1 + 3 1006 x +1
=> 1006 x +1U ( ) 3 2 − Bài 21: Tìm x để 3x 2 P = Z 2 3x +1 HD :
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 42 2 3x − 2 Ta có : để : P = Z thì 2 2 2 2
3x − 2 3x +1 = 3x +1− 3 3x +1 2 3x +1 2 = 3x +1 U  ( ) 3 2 a + a + 3
Bài 22: Tìm số nguyên a để là 1 số nguyên a +1 HD : 2 a + a + 3 Để :
có gí trị nguyên thì : 2
a + a + 3 a +1 = a (a + )
1 + 3 a +1 = a +1 U  ( ) 3 a +1
3x ( x + y) − 6( x + y) +1
Bài 23: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau có giá trị nguyên: K = x − 2 HD :
3x ( x + y) − 6( x + y) +1
(3x−6)(x+ y)+1 3(x−2)(x+ y)+1 Để : K =
có giá trị nguyên thì : = x − 2 x − 2 x − 2
Phải có giá trị nguyên hay 1 x − 2 = x − 2 U  ( ) 1 5x + 9
Bài 24: Tìm giá trị nguyên của x để y nhận giá trị nguyên: y = x +3 HD :
Để y có giá trị nguyên thì : 5x + 9 x + 3 = 5x +15− 6 x + 3 = 5(x + ) 3 − 6 x + 3
6 x + 3 = x + 3 U  (6) 5a − 7 3a 2a + 27
Bài 25: Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để A = − + a + 3 a + 3 a + có giá trị nguyên 3 HD : 4a + 20 Ta có : A =
, để A có giá trị nguyên thì : a + 3
4a + 20 a + 3 = 4a +12 + 8 a + 3 = 4(a + ) 3 + 8 a + 3
= 8 a +3 = a +3 U  (8) 2 − Bài 26: Tìm x để 3x 2
giá trị của biểu thức: P = là số nguyên 2 3x + 1 2 x + 2x − 3
Bài 27: Cho biểu thức: M = 2 x −1
a, Với giá trị nào của x thì biểu thức trên được xác định b, Rút gọn M
c, Tính giá trị của M tại x=3 d, Tìm x khi M=4
e, Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên x + 2 Bài 28: Cho M =
, Biết x là số hữu tỉ âm và M là số nguyên, Tìm x x − 1 12x − 2 Bài 29: Cho A = 4x + 1
a, Tìm Giá trị thích hợp của biến x trong A
b, Tính giá trị của A khi 2 x + 2x = 0
c, Tìm giá trị của x để A=1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 43
d, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên e, Tìm x để A<0
Bài 30: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x+2)(y-3)=5 b, (x+1)(y-3)=3 c, x(y-3)=-12 d, (x+1)y=3 HD : a,
= (x + 2)( y − )
3 = 5 = ( x + 2),( y − ) 3 U  ( ) 5 b, = (x + ) 1 ,( y − ) 3 U ( ) 3 c, = , x ( y − ) 3 U  (12) d, = (x + ) 1 , y U  ( ) 3
Bài 31: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x-2)(y+1)= - 2 b, (2x-1)(2y+1)= -35 c, (x-3)(y-3)=9 d, (x+3)(y+2)=1 HD : a,
= (x − 2),( y + ) 1 U  (2) b, = (2x + ) 1 ,(2y + ) 1 U  (3 ) 5 c, = (x − ) 3 ,( y − ) 3 U  (9) d, = (x + ) 3 ,( y + 2) U  ( ) 1
Bài 32: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (2x-5)(y-6)=17 b, (2x+1)(y-3)=10 c, (3x-2)(2y-3)=1 d, (x+1)(2y-1)=12 HD : a, = (2x − ) 5 ,( y − 6) U  (17) b, = (2x + ) 1 ,( y − ) 3 U  (10) c,
= (3x − 2),(2y − ) 3 U  ( ) 1 d, = (x + ) 1 ,(2y − ) 1 U  (12)
Bài 33: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x+6)=y(x-1) b, x-3=y(x+2) c, (x-1)(y+2)=7 d, 2x+xy-y=9 HD : a,
= x + 6 x −1 = x −1+ 7 x −1 = x −1 U
 (7) = x = .... = y = .... b,
= x − 3 x + 2 = x + 2 − 5 x + 2 = x + 2 U  ( )
5 = x = ... = y = ... c, = (x − ) 1 ,( y + 2) U  (7) d,
= x( y + 2) − y − 2 + 2 = 9 = x( y + 2) − ( y + 2) = 7 = (x − ) 1 ( y + 2) = 7
Bài 34: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, x2y+xy-x=4 b, xy - 3x= - 19 c, 3x+4y-xy=16 d, xy-2x-2y=0 HD :
a, = xy ( x + )
1 − x −1 = 3 = xy ( x + ) 1 − ( x + ) 1 = 3 = ( x + ) 1 ( xy − ) 1 = 3 = ( x + ) 1 , (xy − ) 1 U ( ) 3
b, = x ( y − ) 3 = 1 − 9 = , x ( y − ) 3 U  (19)
c, = −x ( y − )
3 + 4 y −12 = 4 = (−x + 4)( y − ) 3 = 4
d, = x ( y − 2) − 2y + 4 = 4 = x ( y − 2) − 2( y − 2) = 4 = ( x − 2)( y − 2) = 4
Bài 35: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+3y=-6 b, xy-3x=12 c, -3x-3y+xy=9 d, y-x2y-xy=5 HD : a,
= x( y + 2) + 3y + 6 = 0 = x( y + 2) + 3( y + 2) = 0 = (x + ) 3 ( y + 2) = 0 b, = x( y − ) 3 = 12 = , x ( y − ) 3 U  (12)
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 44 c, = x( y − )
3 − 3y + 9 = 18 = x ( y − ) 3 − 3( y − ) 3 = 18 = ( x − ) 3 ( y − ) 3 = 18 d, = y ( 2
− x − x) = = y ( 2 1 5
, 1− x − x)U (5)
Bài 36: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+3x-y=6 b, x-y+2xy=7 c, x2+2y=xy d, x-y+2xy=6 HD : a, = x( y + )
3 − y − 3 = 3 = x ( y + ) 3 − ( y + ) 3 = 3 = ( y + ) 3 ( x − ) 1 = 3 1 15  2y −1 15 b, = x(2y − )
1 − y = 7 = x (2 y − ) 1 − y + = = x(2y − ) 1 − =   2 2  2  2 => (2x − ) 1 (2 y − ) 1 = 15 c, 2
= x − xy + y = = y ( − x) 2 2 0 2
+ x − 4 = 4 = y (2 − x) + (x − 2)(x + 2) = 4
= (x − 2)(x + 2 − y) = 4 1 11 d, = x (2y + )
1 − y = 6 = x (2 y + ) 1 − y − = = (2x − ) 1 (2 y + ) 1 = 11 2 2
Bài 37: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, x+y+9=xy-7 b,(x+2)2(y-1)=-9 c, 8xy-3(x-y)=85 d, (x+3)(y+2)=1 HD : a,
= xy − x − y =16 = x( y − )
1 − y +1 = 17 = x ( y − ) 1 − ( y − ) 1 = 17 = (x − ) 1 ( y − ) 1 = 17 2 b, = ( y − )
1  0 và ( x + 2) ,( y − )
1 U (9) và ( x + )2 2 là số chính phương c,
= x ( y − ) + y = = x( y − ) 9 9 8 3 3 85 8 3 + 3y − = 85 − 8 8 d,
= (x + 2),( y + 2) U  ( ) 1
Bài 38: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (2x-5)(y-6)=17 b, (x-1)(x+y)=33 c, (x+7)(x-9)=0 d, xy-3x=-19 HD : a, = (2x − ) 5 ,( y − 6) U  (17) b, = ( x − )
1 ,( x + y) U  (3 ) 3 x + 7 = 0 c, =  x − 9 = 0
d, = x ( y − ) 3 = 1 − 9 = , x ( y − ) 3 U  (19)
Bài 39: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, 3x+4y-xy=16 b, (x+3)(x2+1)=0 c, x(x+1)=0 d, (x+5)(x2-4)=0 HD : a,
= −x( y − )
3 + 4 y −12 = 4 = −x ( y − ) 3 + 4( y − )
3 = 4 = (4 − x)( y − ) 3 = 4 x + 3 = 0 b, =  2 x +1 = 0  (l) x = 0 c, =  x +1 = 0 x + 5 = 0 d, =  2 x − 4 = 0
Bài 40: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x-2)(x+1)=0 b, (x+1)(xy-1)=3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 45 HD : x − 2 = 0 b, =  x +1 = 0 a, = (x + ) 1 ,( xy − ) 1 ( ) 3
Bài 41: Tìm các số x,y sao cho: a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1) HD : a, = (2x + ) 1 ,( y − ) 3 U  (10) b,
= (3x − 2),(2y − ) 3 ( ) 1 c, = (x + ) 1 ,(2y − ) 1 U  (12) d,
= x + 6 x −1 = x −1+ 7 x −1 = 7 x −1 = x −1 U
 (7) = x = ... = y = ....
Bài 42: Tìm các số x,y sao cho: a, x-3=y(x+2) b, xy=4(x+y) HD : a,
= x − 3 x + 2 = x + 2 − 5 x + 2 = 5 x + 2 = x + 2 U  ( )
5 = x = ... = y = ... b,
= xy = 4x + 4y = xy − 4x − 4y = 0 = x( y − 4) − 4y +16 =16 = (x − 4)( y − 4) =16
Bài 43: Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho : 2xy + x − 2 y = 4
Bài 44: Cho hai số x,y là hai số cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1, xét dấu của: P = 1− x − y + xy
Bài 45: Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d và . a b +1 = .
c d , Chứng minh rằng c = d HD:
Từ a + b = c + d = a = c + d − b , thay vào . a b +1 = . c d ta được: 2
(c+ d −b).b+1= .cd = cb+ db−cd +1−b = 0 = b(c−b)−d(c −b)+1= 0
= (b − d)(c − b) = 1 −
Vì a, b, c, d là các số nguyên nên (b − d),(c − d) là các số nguyên, ta có các TH sau:
b − d = −1 d = b +1 b − d = 1 d = b −1 TH1:  = 
= c = d TH2:  =  = c = d c − b = 1 c = b +1 c − b = 1 − c = b −1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 46

Tài liệu liên quan: