Chuyên đề tính chất cơ bản của phân số, rút gọn phân số Toán 6

Tài liệu gồm 21 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề tính chất cơ bản của phân số, rút gọn phân số, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 6 trong quá trình học tập chương trình Toán 6 phần Số học chương 3: Phân số.

26 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Phân số (KNTT)

Môn: Toán 6

Thông tin:

21 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 3. PHÂN SỐ
BÀI 3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ.
RÚT GỌN PHÂN SỐ
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững tính chất cơ bản của phân số.
+ Nắm được cách rút gọn phân số.
+ Hiểu được khái niệm phân số tối giản.
Kĩ năng
+ Viết được phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó có mẫu dương.
+ Vận dụng tính chất của phân số để so sánh, rút gọn các phân số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Tính chất cơ bản của phân số
Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với
cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số
bằng phân số đã cho.
.
.
a a m
b b m
với
m
và
0.
m
Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho
cùng một ước chung của chúng thì ta được một
phân số bằng phân số đã cho.
:
:
a a m
b b m
với
m
ƯC(a,b).
Rút gọn phân số
Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
phân số cho một ước chung khác 1 và -1 của chúng.
Phân số tối giản
Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn
được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước
chung là 1 và -1.
Ví dụ: Một phân số tối giản:
1 7 5
; ; ;...
5 9 11
Trang 2
HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ.
RÚT GỌN PHÂN SỐ
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm số chưa biết trong đẳng thức của phân số
Phương pháp giải
Tính chất cơ
bản của phân số
Rút gọn phân số
.
.
a a m
b b m
Với m
và
0.
m
Muốn rút gọn phân số ta chia
của tử và mẫu của phân số cho
một ước chung khác 1 và -1.
:
:
a a m
b b m
Với
m
ƯC(a,b)
Phân số tối giản
Phân số tối giản là phân
số mà tử và mẫu chỉ có
ư
ớ
c chung là 1 và
-
1.
Trang 3
Nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân số
với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một
phân số bằng phân số đã cho.
Ví dụ: Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
1
;
3
b)
3 7
1 .
4 9
Hướng dẫn giải
a) Nhân cả tử và mẫu với cùng một số nguyên khác
0. Chẳng hạn:
.2
1 2
;
3 6
.2
Ta được vô số phân số thỏa mãn đề bài.
b) Ta có:
. 3
1 3
,
1 3
. 3
tương tự có:
4 7 9
1 .
4 7 9
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
:2
4
6
:2
; b)
.3
3
7
.3
;
c)
:
21 3
28
:
; d)
.
5
;
8 32
.
Hướng dẫn giải
Trang 4
a)
:2
4 2
6
3
:2
; b)
.3
9
3
7
21
.3
;
c)
: 7
21 3
28
4
: 7
; d)
. 4
5 20
;
8 32
. 4
Ví dụ 2. Tìm các số nguyên x; y biết:
3 36
.
35 84
y
x
Hướng dẫn giải
* Xét đẳng thức:
3 36
84
x
ta có
Cách 1.
Đưa về hai phân số có cùng tử bằng cách rút gọn phân số
36 : 12
36 3
.
84 84: 12 7
Khi đó:
3 3
,
7
x
suy ra
7.
x
Cách 2.
Từ đẳng thức
3 36
84
x
, ta có
. 36 3.84.
x
Suy ra
3.84
7.
36
x
* Xét đẳng thức:
36
35 84
y
:
Cách 1.
Đưa về hai phân số có cùng mẫu:
Rút gọn phân số
36 : 12
36 3
.
84 84: 12 7
Lại có:
3. 5
3 15
.
7 7 . 5 35
Khi đó:
15
,
35 35
y
suy ra
15.
y
Cách 2.
Trang 5
Từ đẳng thức
36
35 84
y
, ta có
.84 35. 36 .
y
Suy ra
35. 36
15.
84
y
Ví dụ 3. Cộng vào cả tử và mẫu của phân số
23
40
với cùng một số tự
nhiên n, rồi rút gọn ta được phân số
3
.
4
Tìm số tự nhiên n.
Hướng dẫn giải
Cách 1. Theo bài ra ta có:
23 3
.
40 4
n
n
Suy ra
4. 23 3. 40
n n
4.23 4. 3.40 3.
n n
4. 3. 3.40 4.23
n n
. 4 3 120 92
n
28.
n
Vậy số cần tìm là 28.
Cách 2. Sau khi cộng n vào cả tử và mẫu của phân số
23
40
ta được
phân số mới là:
23
.
40
n
n
Mẫu mới hơn tử mới là:
40 23 17.
n n
Mà phân số mới rút gọn bằng phân số
3
,
4
nên ta có sơ đồ:
Tử mới:
Mẫu mới:
Tử mới là:
17 : 4 3 .3 51.
Số tự nhiên n là:
51 23 28.
Vậy số cần tìm là 28.
Bình luận
Nếu cùng cộng vào tử và mẫu
của một phân số với cùng một
số tự nhiên n:
a a n
n
n
b b n

thì hiệu giữa tử và mẫu không
đổi và luôn bằng
.
a b
Nếu thêm vào tử đồng thời bớt
đi ở mẫu cùng một số tự nhiên
m (hoặc bớt đi ở tử, thêm vào ở
mẫu):
a a m
m
m
b b m

thì tổng của tử và mẫu không
đổi và luôn bằng
.
a b
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1. Điền số thích hợp vào ô trống:
Trang 6
a)
7 21
;
15
b)
22
;
11 121
c)
.
6 18
.
54
.
Câu 2. Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
5
;
7
b)
2
;
3 18
c)
4 8
1 .
3 6
Câu 3. Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
:4
8
36
:4
b)
.2
7
11
.2
c)
.
5 15
;
18
.
d)
:
33
.
11
:11
Dạng 2. Rút gọn phân số - rút gọn biểu thức dạng phân số
Phương pháp giải
Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó
cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng.
Khi nói rút gọn một phân số, ta thường hiểu là
đưa phân số đó về dạng tối giản.
Để rút gọn phân số
0
a
b
b
thành phân số tối
giản, ta làm như sau:
Bước 1. Tìm ƯCLN
, .
a b n
Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho n.
Ví dụ 1. Rút gọn
8
.
12
Hướng dẫn giải
Ta có ƯCLN
8;12 4.
Chia cả tử và mẫu của phân số
8
12
cho 4 ta được:
8: 4 2
12 : 4 3
là phân số tối giản.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Rút gọn các phân số:
a)
4
;
6
b)
12
;
20
c)
28
;
49
d)
56
.
64
Hướng dẫn giải
a) Ta có ƯCLN
4,6 2.
b) Ta có ƯCLN
12,20 4.
Trang 7
Suy ra
4 4: 2 2
.
6 6 : 2 3
Suy ra
12 12 : 4 3
.
20 20 : 4 5
c) Ta có ƯCLN
28,49 7.
d) Ta có ƯCLN
56,64 8.
Suy ra
28: 7
28 4
.
49 49: 7 7
Suy ra
56 56 :8 7
.
64 64 :8 8
Vi dụ 2. Rút gọn:
a)
4.5
;
12.25
b)
2.6.18
;
24.9
c)
7.4 7.2
;
12
d)
4 2
3 2
2 .3 .5
.
2 .3.5
Hướng dẫn giải
a)
4.5 4.5 1 1
.
12.25 3.4.5.5 3.5 15
b)
2.6.18 2.6.2.9
1.
24.9 4.6.9
c)
7. 4 2
7.4 7.2 7.2 7
.
12 12 6.2 6
d)
3
4 2
3 2
3
2 .3.5 . 2.3
2 .3 .5 2.3 6
.
2 .3.5 5 5
2 .3.5 .5
Ví dụ 3. Khi làm toán về rút gọn, bạn Mai làm như sau:
20 8 8 1
.
20 16 16 2
Mai giải thích: “Trước hết ta rút gọn cho 20, rồi rút gọn cho 8”.
Bạn Trang cho rằng bạn Mai làm sai.
Theo em bạn nào đúng, bạn nào sai?
Hướng dẫn giải
Rút gọn như bạn Mai đã làm là sai vì bạn Mai đã rút các số hạng giống nhau ở tử và mẫu chứ không
phải rút gọn thừa số chung.
Vậy bạn Trang đúng, bạn Mai sai.
Cách làm đúng là
20 8 28 28: 4 7
.
20 16 36 36: 4 9
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1. Rút gọn các phân số sau:
a)
24
;
36
b)
72
;
81
c)
3.7
;
6.14
d)
2 2
7
.
9.10 2.10
Câu 2. Rút gọn các phân số sau:
a)
4
;
18
b)
30
;
75
c)
18
;
90
d)
300
;
360
e)
50
;
150
f)
1515
;
1717
g)
2727
;
4242
h)
120120
.
240240
Trang 8
Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3. 5
;
15. 6
b)
6 .11
;
11 . 8
c)
21. 5
;
25. 7
d)
32.9.11
.
12.24.22
Câu 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
5 2
2
2 .3
;
2 .3
b)
3
2
5 .6
;
5.2
c)
2 2
2 2
8.5 8.4
;
2 .3
d)
4 2 4 2
7 .2 7 .3
.
49.26
Câu 5. Rút gọn các biểu thức:
a)
4116 14
;
10290 35
b)
2929 101
.
2.1919 404
Câu 6. Nếu thêm vào cả tử và mẫu của phân số
13
21
với cùng một số tự nhiên n rồi rút gọn ta được phân
số
5
.
7
Tìm số tự nhiên n.
Câu 7. Nếu thêm vào tử đồng thời bớt đi ở mẫu cùng một số tự nhiên a của phân số
11
23
rồi rút gọn thì
được phân số
8
.
9
Tìm số tự nhiên a.
Câu 8. Cộng cả tử và mẫu của phân số
19
35
với cùng một số nguyên a rồi rút gọn, ta được phân số
3
.
5
Tìm
số nguyên a.
Dạng 3. Phân số bằng nhau
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất:
.
, 0 ;
.
a a m
m m
b b m
:
:
a a n
b b n
(
n
ƯC
,
a b
).
Ví dụ.
2 2.2 4
;
3 3.2 6
6 6 : 2 3
.
8 8: 2 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết năm phân số
a) bằng phân số
3
;
4
b) bằng phân số
24
.
30
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng tính chất:
.
, 0
.
a a m
m m
b b m
ta có:
3 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
4 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Vậy năm phân số bằng phân số
3
4
là:
6 9 12 15 18
; ; ; ; .
8 12 16 20 24
Bình luận
Mỗi phân số có vô số
phân số bằng nó.
Trang 9
b) Áp dụng tính chất:
:
:
a a n
b b n
(
n
ƯC
,
a b
).
Ta có ƯCLN
24,30 6
ƯC
24,30
Ư
6 1; 2; 3; 6 .
Khi đó
24 : 2 24 : 3
24 24 : 2 24 :3 24 : 6
.
30 30 : 2 30 : 2 30 :3 30 : 3 30 :6
Vậy năm phân số bằng phân số
24
30
là:
12 12 8 8 4
; ; ; ; .
15 15 10 10 5
Ví dụ 2. Viết các phân số bằng phân số
12
26
có tử và mẫu là các số tự nhiên có
hai chữ số.
Hướng dẫn giải
Rút gọn phân số
12 12 : 2 6
.
26 26 : 2 13
Nhân cả tử và mẫu của phân số
6
13
lần lượt với 3; 4; 5; 6; 7 ta được năm phân
số thỏa mãn là:
18 24 30 36 42
; ; ; ; .
39 52 65 78 91
Ví dụ 3. Tìm các cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau đây:
9 15 3 12 5 60
; ; ; ; ; .
33 9 11 19 3 95
Hướng dẫn giải
Ta có
9 9: 3 3 3
;
33 33 :3 11 11
15 15: 3 5
;
9 9:3 3
60 60 : 5 12 12
.
95 95: 5 19 19
Vậy các cặp phân số bằng nhau là:
9 3 15 5 60 12
; ; .
33 11 9 3 95 19
Ví dụ 4. Giải thích tại sao các cặp phân số sau đây bằng nhau?
a)
16 28
;
36 63
b)
60 12
;
185 37
c)
123 123123
.
237 237237
Hướng dẫn giải
Bình luận:
Sai lầm thường gặp!
Nhân cả tử và mẫu
của phân số
12
26
lần
lượt 2; 3 ta được hai
phân số thỏa mãn là:
24 36
; .
52 78
Như vậy ta đã sót ba
phân số
18 30 42
; ;
39 65 91
cũng thỏa mãn đề bài.
Trang 10
a) Cách 1. (Rút gọn phân số)
Ta có:
16 16 : 4 4
;
36 36 : 4 9
28 28:7 4
.
63 63: 7 9
Vậy
16 28
.
36 63
Cách 2. (Dùng định nghĩa phân số bằng nhau)
Chỉ ra
16.63 36.28.
Suy ra
16 28
.
36 63
b) Ta có
60 60: 5 12
.
185 185:5 37
Vậy
60 12
.
185 37
c) Ta có
123 123.1001 123123
.
237 237.1001 237237
Vậy
123 123123
.
237 237237
Ví dụ 5. Cho đoạn thẳng AB:
Hãy vẽ các đoạn thẳng:
a)
1
;
5
CD AB
b)
1
;
2
EF AB
c)
4
;
5
GH AB
d)
3
.
2
IK AB
Hướng dẫn giải
a) AB gồm 10 đơn vị độ dài. Từ đó tính được
1
2
5
CD AB
(đơn vị độ dài).
b)
1
5
2
EF AB
(đơn vị độ dài).
c)
4
8
5
GH AB
(đơn vị độ dài).
d)
3
15
2
IK AB
(đơn vị độ dài).
Bình luận:
Tổng quát:
.101 ;
ab abab
.1001 .
abc abcabc
Bài tập tự luyện dạng 3
Trang 11
Câu 1. Viết các phân số bằng các phân số sau và có mẫu dương:
2 7 4
; ; .
3 5 9
Câu 2. Viết dạng tổng quát của các phân số bằng
a)
15
;
20
b)
35
.
56
Câu 3.
a) Viết năm phân số bằng phân số
2
;
3
b) Viết tất cả các phân số bằng phân số
15
39
có tử và mẫu là các số tự nhiên có hai chữ số.
c) Tìm tất cả các phân số bằng phân số
21
28
và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 19.
Câu 4. Giải thích vì sao các cặp phân số sau đây bằng nhau:
a)
21 39
;
28 52
b)
13 91
;
17 119
c)
1313 131313
;
2121 212121
d)
234 567
.
234234 567567
Câu 5.
a) Tìm các cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau:
8 35 88 12 11 5
; ; ; ; ; .
18 14 56 27 7 2
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
3 15
.
4 12 1
x
y
Câu 6. Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
a)
12
;
5 10
x
b)
1
;
2 3
x x
c)
7 42
.
27 54
y
x
Dạng 4. Biểu diễn các số đo dưới dạng phân số với đơn vị cho trước
Phương pháp giải
Dựa vào tỉ lệ của các đại lượng mà ta chuyển về
dạng phân số. Chẳng hạn:
1kg=1000g;1
tấn
=1000kg;.........
1giờ = 60 phút; 1 phút = 60 giây;……
Ví dụ: Các phút sau đây chiếm bao nhiêu phần của
giờ?
a) 10 phút; b) 15 phút;
c) 20 phút; d) 45 phút.
Hướng dẫn giải
a) 10 phút
10
60
giờ
10 :10
60 : 60
giờ
1
6
giờ;
b) 15 phút
15
60
giờ
15:15
60 :15
giờ
1
4
giờ;
c) 20 phút
20
60
giờ
20 : 20
60 : 20
giờ
1
3
giờ;
Trang 12
d) 45 phút
45
60
giờ
45 :15
60 :15
giờ
3
4
giờ.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Đổi ra mét vuông (viết dưới dạng phân số tối giản):
a)
2
24dm ;
b)
2
320cm ;
c)
2
5250mm .
Hướng dẫn giải
a)
2 2 2 2
24 24: 4 6
24dm m m m ;
100 100 : 4 25
b)
2 2 2 2
320 320 :80 4
320cm m m m ;
10000 10000:80 125
c)
2 2 2 2 2
5250 525 525: 25 21
5250mm m m m m .
1000000 100000 100000 : 25 4000
Ví dụ 2. Một vòi nước chảy trong 4 giờ thì đầy bể. Hỏi lượng nước chiếm bao nhiêu phần bể nếu
vòi chảy trong
a) 2 giờ; b) 3 giờ;
c) 30 phút; d) 1 giờ 20 phút.
Hướng dẫn giải
a) Trong 2 giờ vòi chảy được:
2
4
bể
2 : 2
4 : 2
bể
1
2
bể;
b) Trong 3 giờ vòi chảy được:
3
4
bể.
c) Đổi 4 giờ = 240 phút.
Trong 30 phút vòi chảy được:
30
240
bể
30 :30
240 :30
bể
1
8
bể.
d) Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút.
Trong 80 phút vòi chảy được:
80
240
bể
80 :80
240 :80
bể
1
3
bể.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1. Các phút sau đây chiếm bao nhiêu phần của giờ?
a) 6 phút; b) 24 phút; c) 30 phút; d) 48 phút;
Câu 2. Biểu thị các số sau dưới dạng phân số (chú ý rút gọn nếu có thể) với đơn vị:
a) mét: 24cm; 8dm; b) mét vuông:
2 2
320cm ;63dm ;
c)
3 3 3
dm :50cm ;450cm ;
d) ki-lô-gam: 72g; 420g.
Câu 3. Một bể nước có dung tích 5000 lít. Người ta đã bơm 3500 lít nước vào bể. Hỏi lượng nước
cần bơm tiếp cho đầy bể bằng bao nhiêu phần của dung tích bể?
Câu 4. Một vòi nước chảy trong 3 giờ thì đầy bể. Hỏi khi chảy trong 1 giờ; 48 phút; 120 phút thì
lượng nước đã chảy chiếm bao nhiêu phần bể?
Trang 13
Dạng 5. Phân số tối giản
Phương pháp giải
Phân số
a
b
tối giản nếu
a
và
b
là hai số
nguyên tố cùng nhau, hay ƯC
, 1;1 .
a b
Chứng minh phân số
a
b
tối giản:
Ta chứng minh ƯCLN
, 1.
a b
Ví dụ: Phân số là phân số
3
7
tối giản vì
ƯC
3;7 1;1 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong các phân số sau đây, phân số nào là tối giản?
2 3 15 2
; ; ; .
3 6 20 5
Hướng dẫn giải
ƯCLN
2,3 1;
ƯCLN
3,6
ƯCLN
3,6 3;
ƯCLN
15, 20
ƯCLN
15,20 5;
ƯCLN
2,5
ƯCLN
2,5 1;
Vậy các phân số tối giản là:
2
3
và
2
.
5
Ví dụ 2. Tìm tất cả các số nguyên a để phân số
74
a
là phân số tối giản.
Hướng dẫn giải
Ta có
74 2.37
a a
là phân số tối giản khi
a
2
và
a
37.
Ví dụ 3. Chứng minh phân số
1
n
n
tối giản
, 0 .
n n
Hướng dẫn giải
Gọi
d d
là ước chung của n và n+1
, 0 .
n n
Ta có
n d
và
1 .
n d
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có:
1
n n d
hay
1
d
Do đó
1.
d
Suy ra ƯCLN
, 1 1.
n n
Vậy phân số
1
n
n
tối giản.
Trang 14
Ví dụ 4. Chứng minh phân số
12 1
30 2
n
n
là phân số tối giản.
Hướng dẫn giải
Gọi
d d
là ước chung của 12n+1 và 30n+2
.
n
Ta có
12 1
n d
suy ra
5. 12 1 60 5
n n d
và
30 2
n d
suy ra
2. 30 2 60 4 .
n n d
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có:
60 5 60 4
n n d
hay
1 ,
d
suy ra
1.
d
Do đó ƯCLN
12 1,30 2 1.
n n
Vậy phân số
12 1
30 2
n
n
là phân số tối giản.
Bình luận
Để tìm được d, ta cần cân
bằng được hệ số của n ở
12 1
n
và
30 2 .
n
5
12n 1 5. 12n 1
2
30n 2 2. 30n 2

(12,30) 60
BCNN
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1. Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản?
9 26 17 8
; ; ; .
25 84 32 81
Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho
225
x
là phân số tối giản.
Câu 3. Chứng minh rằng phân số
2 1
2 3
n
n
n
là phân số tối giản.
Câu 4. Chứng minh rằng với
*,
n
các phân số sau là phân số tối giản:
a)
3
;
3 1
n
n
b)
1
;
2 3
n
n
c)
3 2
;
4 3
n
n
d)
4 1
.
6 1
n
n
CÁC EM CÓ THỂ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 1
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1. Tìm số chưa biết trong đẳng thức của phân số
Câu 1. Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
7 21
;
15
45
b)
2 22
;
11 121
c)
. 3
6 18
.
54
18
. 3
Trang 15
Câu 2.
a) Có vô số phân số bằng
5
.
7
Chẳng hạn:
5 10 15
.....
7
14 21
b)
2 12
.
3 18
c)
3 4 6 8
1 .
3 6
4 8
Câu 3.
a)
:4
8 2
;
36
9
:4
b)
.2
7 14
11
22 ;
.2
c)
. 3
5 15
;
18
6
. 3
d)
:11
33 3
.
11
121
:11
Dạng 2. Rút gọn phân số - Rút gọn biểu thức dạng phân số
Câu 1.
a) ƯCLN
24,36 12.
Ta có:
24 24 :12 2
.
36 36 :12 3
b) ƯCLN
72,81 9.
Ta có:
72 72: 9 8
.
81 81: 9 9
c) Ta có:
3.7 3.7 3.7 1
.
6.14 2.3 . 2.7 3.7 .2.2 4
d) Ta có:
2 2 2 2 2
7 7 7 1 1
.
9.10 2.10 10 . 9 2 10 .7 10 100
Câu 2.
a)
4 2
18 9
. b)
30 2
.
75 5
c)
18 1
.
90 5
d)
300 5
.
360 6
e)
50 1
.
150 3
f)
1515 15
.
1717 17
g)
2727 9
.
4242 14
h)
120120 1
.
240240 2
Câu 3.
a)
3. 5 3. 1 .5
1
.
15. 6 3.5 . 1 .6 6
b)
6 .11 6 .11
6 6 : 2 3
.
11 . 8 11. 1 . 1 .8 8 8: 2 4
c)
21. 5 3.7 . 1 .5
3
.
25. 7 5.5. 1 .7 5
Trang 16
d)
5 2
2 3
32.9.11 2 .3 .11 1
.
12.24.22 2
2 .3 . 2 .3 . 2.11
Câu 4.
a)
2 3
5 2
3
2 2
2 .3 . 2 .3
2 .3
2 .3 24.
2 .3 2 .3
b)
3
3 2
2 2
5 . 2.3
5 .6 5 .3 75
.
5.2 5.2 2 2
c)
2 2
2 2
2 2 2 2
8 5 4
8.5 8.4 8.9
2.
2 .3 2 .3 4.9
d)
4 2 2
2
4 2 4 2 2 2
2
7 . 2 3
7 4 9
7 .2 7 .3 7 .13 7 49
.
49.26 7 .26 2.13 2.13 2 2
Câu 5. Rút gọn các biểu thức:
a)
14 294 1
4116 14 14.294 14 14 14 : 7 2
.
10290 35 35.294 35 35 294 1 35 35: 7 5
b)
101. 29 1
2929 101 29.101 101 29 1 28 28:14 2
.
2.1919 404 2.19.101 4.101 101. 2.19 4 2.19 4 42 42
:14 3
Câu 6.
Theo đề bài ta có:
13 5
.
21 7
n
n
Suy ra
7. 13 5. 21
n n
7.13 7. 5.21 5.
n n
91 7. 105 5.
n n
7. 5. 105 91
n n
. 7 5 14
n
.2 14
n
14 : 2
n
7.
n
Vậy số cần tìm là 7.
Câu 7.
Theo đề bài ta có:
11 8
.
23 9
a
a
Suy ra
9. 11 8. 23
a a
9.11 9. 8.23 8.
a a
99 9. 184 8.
a a
9. 8.a 184 99
a
a. 9 8 85
.17 85
a
Trang 17
85 :17
a
5.
a
Vậy số cần tìm là 5.
Câu 8.
Theo đề bài ta có:
19 3
.
35 5
a
a
Suy ra
5. 19 3. 35
a a
5.19 5. 3.35 3.
a a
95 5. 105 3.
a a
5. 3. 105 95
a a
. 5 3 10
a
2. 10
a
10 : 2
a
5.
a
Vậy số cần tìm là 5.
Dạng 3. Phân số bằng nhau
Câu 1.
2 7 4
; ; .
3 5 9
Câu 2.
a) Ta có:
15 15 :5 3
.
20 20 : 5 4
Vậy dạng tổng quát của các phân số bằng
15
20
là
3
, 0 .
4
k
k k
k
b) Ta có:
35 35: 7 5
.
56 56 : 7 8
Vậy dạng tổng quát của các phân số bằng
35
56
là
5
, 0 .
8
k
k k
k
Câu 3.
a) Năm phân số bằng phân số
2
3
là:
2 4 4 6 6
; ; ; ; .
3 6 6 9 9
b) Ta có:
15 15 :3 5
.
39 39 : 3 13
Nhân cả tử và mẫu của phân số
5
13
lần lượt với 2; 3; …; 7 ta được các phân số
thỏa mãn là:
10 20 25 30 35
; ; ; ; .
26 52 65 78 91
Ta có:
21 21: 7 3
.
28 28:7 4
Nhân cả tử và mẫu của phân số
3
4
lần lượt với
1; 2; 3; 4 ta được các phân số thỏa mãn là:
3 6 9 12
; ; ; .
4 8 12 16
Câu 4.
a) Ta có:
21: 7
21 3 39 39 :13 3
; .
28 28 : 7 4 52 52:13 4
Vậy
21 39
.
28 52
Trang 18
b) Ta có:
91 91: 7 13
.
119 119: 7 17
Vậy
13 91
.
17 119
c) Ta có:
1313 13.101 13 131313 13.10101 13
; .
2121 21.101 21 212121 21.10101 21
Vậy
1313 131313
.
2121 212121
d) Ta có:
234 234 1 567 567 1
; .
234234 234.1001 1001 567567 567.1001 1001
Vậy
234 567
.
234234 567567
Câu 5.
a) Ta có:
8 8: 2 4
;
18 18: 2 9
35 35 : 7 5
;
14 14 : 7 2
88 88 :8 11
;
56 56 :8 7
12 : 3
12 4
;
27 27 : 3 9
Vậy các cặp phân số bằng nhau là:
8
18
và
12 35
;
27 14
và
5 88
;
2 56
và
11
.
7
b) Từ đẳng thức
3 x
4 12
ta có
4.x 3 .12
suy ra
3.12
x 9.
4
Từ đẳng thức
3 15
4 y 1
ta có
3. y 1 4. 15
suy ra
4. 15
y 1 20
3
hay
y 21.
Vậy
x 9; y 21.
Câu 6.
a) Ta có:
12 12: 2 6
.
10 10: 2 5
Khi đó
x 6
5 5
suy ra
x 6.
b) Từ đẳng thức
x 1 x
2 3
ta có
3. x 1 2.x
suy ra
x 3.
c) Xét đẳng thức
7 42
.
x 54
Ta có:
42 : 6
42 7
.
54 54 : 6 9
Khi đó
7 7
x 9
suy ra
x 9.
Xét đẳng thức
y 42
27 54
ta có
y.54 42 .27
suy ra
42.27
y 21.
54
Dạng 4. Biểu diễn các số đo dưới dạng phân số với đơn vị cho trước
Câu 1.
a) 6 phút
6
60
giờ
6 : 6
60 : 6
giờ
1
10
giờ.
b) 24 phút
24
60
giờ
24 :12
60 :12
giờ
2
5
giờ.
Trang 19
c) 30 phút
30
60
giờ
30 :10
60 :30
giờ
1
2
giờ.
d) 48 phút
48
60
giờ
48:12
60 :12
giờ
4
5
giờ.
Câu 2.
a)
24 24 : 4 6 8 8: 2 4
24cm m m m; 8dm m m m.
100 100 : 4 25 10 10 : 2 5
b)
2 2 2 2
320 320 :80 4
320cm m m m ;
10000 10000:80 125
2 2
63
63dm m .
100
c)
3 3 3 3
50 50 : 50 1
50 ;
1000 1000:50 20
cm dm dm dm
3 3 3 3
450 450: 50 9
450 ;
1000 1000:50 20
cm dm dm dm
d)
72 72:8 9
72g ;
1000 1000 :8 125
kg kg
420 420: 20 21
420g .
1000 1000 : 20 50
kg kg
Câu 3.
Lượng nước cần bơm tiếp cho đầy bể là:
5000 3500 1500
(lít)
Lượng nước cần bơm tiếp cho đầy bể chiếm số phần của dung tích bể là:
1500 1500 :500 3
.
5000 5000 :500 10
Câu 4.
Trong 1 giờ vòi chảy được số phần bể là:
1
3
bể.
Đổi 3 giờ
3.60 180
phút.
Trong 48 phút vòi chảy được số phần bể là:
48 48:12 4
180 180:12 15
bể.
Trong 120 phút vòi chảy được số phần bể là:
120 120 : 60 2
180 180 : 60 3
bể.
Dạng 5. Phân số tối giản
Câu 1.
ƯCLN
9,25 1;
ƯCLN
26,84 2;
ƯCLN
17, 32 1;
ƯCLN
8,81 1;
Trang 20
Vậy các phân số tối giản là:
9 17
;
25 32
và
8
.
81
Câu 2.
Ta có
2 2
.
225 3 .5
x x
Để
225
x
là phân số tối giản thì ƯCLN
,225 1.
x
Mà Ư
225 1; 3; 5; 9; 15; 25; 45; 75; 225
suy ra x không chia hết cho các số 3; 5; 9; 15;
25; 45; 75 và 225 thì
225
x
là phân số tối giản.
Câu 3.
Gọi
d d
là ước chung của 2n+1 và 2n+3
.
d
Ta có
2 1
n d
và
2 3 .
n d
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có:
2 3 2 1
n n d
hay
2 .
d
Suy ra
2
d
hoặc
1.
d
Nhận thấy 2n+1 và 2n+3 là hai số lẻ nên ước chung của chúng không thể bằng 2.
Do đó
1
d
. Suy ra ƯCLN
2 1,2 3 1.
n n
Vậy phân số
2 1
2 3
n
n
n
là phân số tối giản.
Câu 4.
a) Gọi
d d
là ước chung của 3n và 3n+1
* .
n
Khi đó 3
n d
và
3 1 .
n d
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta được:
3 1 3 1 .
n n d d
Suy ra
1.
d
Do đó ƯCLN
3 ;3 1 1.
n n
Vậy
3
3 1
n
n
là phân số tối giản.
b) Gọi
d d
là ước chung của n+1 và 2n+3
* .
n
Khi đó
1
n d
suy ra
2 1
n d
hay
2 2 ;
n d
và
2 3 .
n d
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được:
2 3 2 2 1 .
n n d d
Suy ra
1.
d
Do đó ƯCLN
1, 2 3 1.
n n
Vậy
1
2 3
n
n
là phân số tối giản.
c) Gọi
d d
là ước chung của 3n-2 và 4n-3
* .
n
Trang 21
Khi đó
3 2
n d
suy ra
4 3 2
n d
hay
12 8 ;
n d
và
4 3
n d
suy ra
3. 4 3
n d
hay
12 9 .
n d
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được:
12 9 12 8 1 .
n n d d
Suy ra
1.
d
Do đó ƯCLN
3 2,4 3 1.
n n
Vậy
3 2
4 3
n
n
là phân số tối giản.
d) Gọi
d d
là ước chung của 4n+1 và 6n+1
* .
n
Khi đó
4 1
n d
suy ra
3 4 1
n d
hay
12 3
n d
; và
6 1
n d
suy ra
2. 6 1
n d
hay
12 2 .
n d
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được:
12 3 12 2 1 .
n n d d
Suy ra
1.
d
Do đó ƯCLN
4 1,6 1 1.
n n
Vậy
4 1
6 1
n
n
là phân số tối giản.
| 1/21
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 3. PHÂN SỐ
BÀI 3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ. RÚT GỌN PHÂN SỐ Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm vững tính chất cơ bản của phân số.
+ Nắm được cách rút gọn phân số.
+ Hiểu được khái niệm phân số tối giản.  Kĩ năng
+ Viết được phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó có mẫu dương.
+ Vận dụng tính chất của phân số để so sánh, rút gọn các phân số. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Tính chất cơ bản của phân số
 Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với
cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho. a . a m  với m   và m  0. b . b m
 Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho
cùng một ước chung của chúng thì ta được một
phân số bằng phân số đã cho. a a : m  với m ƯC(a,b). b b : m Rút gọn phân số
Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
phân số cho một ước chung khác 1 và -1 của chúng. Phân số tối giản 1 7 5
Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn Ví dụ: Một phân số tối giản: ; ; ;... 5 9 11
được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. Trang 1 HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ. RÚT GỌN PHÂN SỐ Tính chất cơ Rút gọn phân số bản của phân số a . a m
Muốn rút gọn phân số ta chia  a a : m  b . b m
của tử và mẫu của phân số cho b b : m Với m   và m  0.
một ước chung khác 1 và -1. Với m ƯC(a,b) Phân số tối giản
Phân số tối giản là phân
số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm số chưa biết trong đẳng thức của phân số Phương pháp giải Trang 2
Nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân số Ví dụ: Điền số thích hợp vào ô trống:
với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một 1  a)  ;
phân số bằng phân số đã cho. 3 3 7 b) 1     . 4 9  Hướng dẫn giải
a) Nhân cả tử và mẫu với cùng một số nguyên khác 0. Chẳng hạn: .2 1  2   ; 3 6 .2
Ta được vô số phân số thỏa mãn đề bài.  . 3   1 3  4 7 9  b) Ta có:  , tương tự có: 1    . 1 3  4 7 9  . 3   Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Điền số thích hợp vào ô trống: :2 .3 4  3 a)  ; b)  ; 6 7 :2 .3 : . 21 3  5 c) 2  8 ; d)  ; 8 32 : . Hướng dẫn giải Trang 3 :2 .3 4  2 3 9 a)  ; b)  ; 6 3 7 21 :2 .3 : 7 . 4 21 3  5 20 c) 2  8 4  ; d)  ; 8 32 : 7 . 4 3 y 36
Ví dụ 2. Tìm các số nguyên x; y biết:   . x 35 84 Hướng dẫn giải 3 3  6 * Xét đẳng thức:  ta có x 84 Cách 1. 3  6 3  6 :  1  2 3
Đưa về hai phân số có cùng tử bằng cách rút gọn phân số      . 84 84 : 12 7  3 3 Khi đó:  , suy ra x  7  . x 7  Cách 2. 3 36 Từ đẳng thức  , ta có . x 36  3.84. x 84 3.84 Suy ra x   7  . 36 y 3  6 * Xét đẳng thức:  : 35 84 Cách 1.
Đưa về hai phân số có cùng mẫu: 3  6 36 :  1  2 3 Rút gọn phân số      . 84 84 : 12 7 3 3. 5   15 Lại có:        . 7 7 . 5 35 y 15 Khi đó:  , suy ra y  15. 35 35 Cách 2. Trang 4 y 3  6 Từ đẳng thức  , ta có . y 84  35.36. 35 84 35. 3  6 Suy ra y   15. 84 23
Ví dụ 3. Cộng vào cả tử và mẫu của phân số với cùng một số tự 40 Bình luận 3
nhiên n, rồi rút gọn ta được phân số . Tìm số tự nhiên n.
Nếu cùng cộng vào tử và mẫu 4
của một phân số với cùng một Hướng dẫn giải số tự nhiên n: 23  n 3 Cách 1. Theo bài ra ta có:  . a n a  n 40  n 4   b n b  n
Suy ra 4.23  n  3.40  n
thì hiệu giữa tử và mẫu không 4.23  4.n  3.40  3.n
đổi và luôn bằng a  b.
4.n  3.n  3.40  4.23
Nếu thêm vào tử đồng thời bớt . n 4  3 120  92
đi ở mẫu cùng một số tự nhiên n  28.
m (hoặc bớt đi ở tử, thêm vào ở Vậy số cần tìm là 28. mẫu): 23 a m a  m
Cách 2. Sau khi cộng n vào cả tử và mẫu của phân số ta được   40 b m b  m 23  n
thì tổng của tử và mẫu không phân số mới là: . 40  n
đổi và luôn bằng a  b.
Mẫu mới hơn tử mới là: 40  n  23  n  17. 3
Mà phân số mới rút gọn bằng phân số , nên ta có sơ đồ: 4 Tử mới: Mẫu mới:
Tử mới là: 17 : 4  3.3  51.
Số tự nhiên n là: 51 23  28. Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1. Điền số thích hợp vào ô trống: Trang 5 . 7 2  1 22 6 18 a)  ; b)  ; c)  . 15 11 121 54 .
Câu 2. Điền số thích hợp vào ô trống: 5 2  4 8 a)   ; b)  ; c) 1     . 7  3 18 3  6
Câu 3. Điền số thích hợp vào ô trống: :4 .2 . : 8  7 5  15 33 a)  b)  c)  ; d)  . 36 11 18 11 :4 .2 . :11
Dạng 2. Rút gọn phân số - rút gọn biểu thức dạng phân số Phương pháp giải
 Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó 8 Ví dụ 1. Rút gọn .
cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng. 12
 Khi nói rút gọn một phân số, ta thường hiểu là Hướng dẫn giải
đưa phân số đó về dạng tối giản. a
 Để rút gọn phân số b  0 thành phân số tối b giản, ta làm như sau:
Bước 1. Tìm ƯCLN a,b  . n
Ta có ƯCLN 8;12  4.
Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho n. 8
Chia cả tử và mẫu của phân số cho 4 ta được: 12 8 : 4 2
 là phân số tối giản. 12 : 4 3 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Rút gọn các phân số: 4  12 28 56 a) ; b) ; c) ; d) . 6 20 4  9 64 Hướng dẫn giải
a) Ta có ƯCLN 4,6  2.
b) Ta có ƯCLN 12, 20  4. Trang 6 4  4 : 2 2 12 12 : 4 3 Suy ra   . Suy ra   . 6 6 : 2 3 20 20 : 4 5
c) Ta có ƯCLN 28,49  7.
d) Ta có ƯCLN 56,64  8. 28 2  8 : 7 4 56 56 : 8 7 Suy ra  Suy ra   .      . 49 49 : 7 7 64 64 : 8 8 Vi dụ 2. Rút gọn: 4.5 2.6.18 7.4  7.2 4 2 2 .3 .5 a) ; b) ; c) ; d) . 12.25 24.9 12 3 2 2 .3.5 Hướng dẫn giải 4.5 4.5 1 1 a)    . 12.25 3.4.5.5 3.5 15 2.6.18 2.6.2.9 b)   1. 24.9 4.6.9 7.4  7.2 7.4  2 7.2 7 c)    . 12 12 6.2 6 2 .3 .5  3 4 2 2 .3.5.2.3 2.3 6 d)    . 3 2 2 .3.5  32.3.5.5 5 5 20  8 8 1
Ví dụ 3. Khi làm toán về rút gọn, bạn Mai làm như sau:   . 20 16 16 2
Mai giải thích: “Trước hết ta rút gọn cho 20, rồi rút gọn cho 8”.
Bạn Trang cho rằng bạn Mai làm sai.
Theo em bạn nào đúng, bạn nào sai? Hướng dẫn giải
Rút gọn như bạn Mai đã làm là sai vì bạn Mai đã rút các số hạng giống nhau ở tử và mẫu chứ không
phải rút gọn thừa số chung.
Vậy bạn Trang đúng, bạn Mai sai. 20  8 28 28 : 4 7 Cách làm đúng là    . 20 16 36 36 : 4 9
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1. Rút gọn các phân số sau: 24 7  2 3.7 7 a) ; b) ; c) ; d) . 36 81 6.14 2 2 9.10  2.10
Câu 2. Rút gọn các phân số sau: 4 3  0 18 300 a) ; b) ; c) ; d) ; 18 75 9  0 360 5  0 1515 2  727 120120 e) ; f) ; g) ; h) . 150 1717 4242 240240 Trang 7
Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau: 3.5  6  .11 21. 5   32.9.11 a)  b) ; c) ; d) .   ; 15. 6  1   1 .8 25.7 12.24.22
Câu 4. Rút gọn các biểu thức sau: 5 2 2 .3 3 5 .6 2 2 8.5  8.4 4 2 4 2 7 .2  7 .3 a) ; b) ; c) ; d) . 2 2 .3 2 5.2 2 2 2 .3 49.26
Câu 5. Rút gọn các biểu thức: 4116 14 2929 101 a) ; b) . 10290  35 2.1919  404 13
Câu 6. Nếu thêm vào cả tử và mẫu của phân số
với cùng một số tự nhiên n rồi rút gọn ta được phân 21 5
số . Tìm số tự nhiên n. 7 11
Câu 7. Nếu thêm vào tử đồng thời bớt đi ở mẫu cùng một số tự nhiên a của phân số rồi rút gọn thì 23 8
được phân số . Tìm số tự nhiên a. 9 19 3
Câu 8. Cộng cả tử và mẫu của phân số
với cùng một số nguyên a rồi rút gọn, ta được phân số . Tìm 35 5 số nguyên a.
Dạng 3. Phân số bằng nhau Phương pháp giải  Áp dụng tính chất: 2 2.2 4 Ví dụ.   ; a . a m 3 3.2 6  m,m  0; b . b m 6 6 : 2 3   . 8 8 : 2 4 a a : n  ( n ƯC a,b ). b b : n Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết năm phân số Bình luận 3  24 Mỗi phân số có vô số a) bằng phân số ; b) bằng phân số . 4 30 phân số bằng nó. Hướng dẫn giải a . a m
a) Áp dụng tính chất:  m,m  0 ta có: b . b m 3  3  .2 3  .3 3  .4 3  .5 3  .6      4 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 3  6  9 1  2 15 18
Vậy năm phân số bằng phân số là: ; ; ; ; . 4 8 12 16 20 24 Trang 8 a a : n
b) Áp dụng tính chất:  ( n ƯC a,b ). b b : n
Ta có ƯCLN 24,30  6  ƯC24,30  Ư6   1  ; 2  ;3;  6 . 24 24 : 2
24 : 2 24 :3 24 : 3 24 : 6 Khi đó           . 30 30 : 2 30 : 2 30 : 3 30 : 3 30 : 6 24 12 1  2 8 8  4
Vậy năm phân số bằng phân số là: ; ; ; ; . 30 15 1  5 10 1  0 5 12
Ví dụ 2. Viết các phân số bằng phân số
có tử và mẫu là các số tự nhiên có 26 Bình luận: hai chữ số. Sai lầm thường gặp! Hướng dẫn giải Nhân cả tử và mẫu 12 12 : 2 6 Rút gọn phân số   . 12 của phân số lần 26 26 : 2 13 26 6
Nhân cả tử và mẫu của phân số
lần lượt với 3; 4; 5; 6; 7 ta được năm phân lượt 2; 3 ta được hai 13 phân số thỏa mãn là: số thỏa mãn là: 24 36 ; . 18 24 30 36 42 ; ; ; ; . 52 78 39 52 65 78 91 Như vậy ta đã sót ba 18 30 42 phân số ; ;
Ví dụ 3. Tìm các cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau đây: 39 65 91 9  15 3 12 5 60 ; ; ; ; ; . cũng thỏa mãn đề bài. 33 9 11 19 3 9  5 Hướng dẫn giải 9  9 : 3 3 3 Ta có    ; 33 33 : 3 11 1  1 15 15 : 3 5   ; 9 9 : 3 3 60 60 : 5 12 1  2    . 9  5 9  5: 5 19 19 9  3 15 5 60 1  2
Vậy các cặp phân số bằng nhau là:  ;  ;  . 33 1  1 9 3 9  5 19
Ví dụ 4. Giải thích tại sao các cặp phân số sau đây bằng nhau? 16 28 6  0 12 a)  ; b)  ; 36 63 185 37 123 123123 c)  . 237 237237 Hướng dẫn giải Trang 9
a) Cách 1. (Rút gọn phân số) 16 16 : 4 4 28 28 : 7 4 Ta có:   ;   . 36 36 : 4 9 63 63: 7 9 16 28 Vậy  . 36 63
Cách 2. (Dùng định nghĩa phân số bằng nhau) Chỉ ra 16.63  36.28. 16 28 Suy ra  . 36 63 6  0 60 : 5 1  2 6  0 12 b) Ta có   . Vậy  . 185 185 : 5 37 185 37 Bình luận: 123 123.1001 123123 123 123123 c) Ta có   . Vậy  . 237 237.1001 237237 237 237237 Tổng quát:
Ví dụ 5. Cho đoạn thẳng AB: a . b 101  aba ; b ab . c 1001  abcab . c
Hãy vẽ các đoạn thẳng: 1 1 a) CD  AB; b) EF  A ; B 5 2 4 3 c) GH  A ; B d) IK  A . B 5 2 Hướng dẫn giải 1
a) AB gồm 10 đơn vị độ dài. Từ đó tính được CD  AB  2 (đơn vị độ dài). 5 1
b) EF  AB  5 (đơn vị độ dài). 2 4
c) GH  AB  8 (đơn vị độ dài). 5 3
d) IK  AB  15 (đơn vị độ dài). 2
Bài tập tự luyện dạng 3 Trang 10 2  7 4
Câu 1. Viết các phân số bằng các phân số sau và có mẫu dương: ; ; . 3  5  9 
Câu 2. Viết dạng tổng quát của các phân số bằng 1  5 35 a) ; b) . 20 56 Câu 3. 2 
a) Viết năm phân số bằng phân số ; 3 15
b) Viết tất cả các phân số bằng phân số
có tử và mẫu là các số tự nhiên có hai chữ số. 39 21
c) Tìm tất cả các phân số bằng phân số
và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 19. 28
Câu 4. Giải thích vì sao các cặp phân số sau đây bằng nhau: 21 39 13 91 1313 131313 234 567 a)  ; b)  ; c)  ; d)  . 2  8 52 17 119 2121 212121 234234 567567 Câu 5.
a) Tìm các cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau: 8 35 88 12 11 5  ; ; ; ; ; . 18 14 56 27 7 2 3  x 15
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:   . 4 12 y 1
Câu 6. Tìm các số nguyên x thỏa mãn: x 12 x 1 x 7 y 4  2 a)  ; b)  ; c)   . 5 10 2 3 x 27 54
Dạng 4. Biểu diễn các số đo dưới dạng phân số với đơn vị cho trước Phương pháp giải
Dựa vào tỉ lệ của các đại lượng mà ta chuyển về Ví dụ: Các phút sau đây chiếm bao nhiêu phần của
dạng phân số. Chẳng hạn: giờ?
1kg=1000g;1 tấn =1000kg;......... a) 10 phút; b) 15 phút;
1giờ = 60 phút; 1 phút = 60 giây;…… c) 20 phút; d) 45 phút. Hướng dẫn giải 10 10 :10 1 a) 10 phút  giờ  giờ  giờ; 60 60 : 60 6 15 15 :15 1 b) 15 phút  giờ  giờ  giờ; 60 60 :15 4 20 20 : 20 1 c) 20 phút  giờ  giờ  giờ; 60 60 : 20 3 Trang 11 45 45 :15 3 d) 45 phút  giờ  giờ  giờ. 60 60 :15 4 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Đổi ra mét vuông (viết dưới dạng phân số tối giản): a) 2 24dm ; b) 2 320cm ; c) 2 5250mm . Hướng dẫn giải 24 24 : 4 6 a) 2 2 2 2 24dm  m  m  m ; 100 100 : 4 25 320 320 : 80 4 b) 2 2 2 2 320cm  m  m  m ; 10000 10000 : 80 125 5250 525 525 : 25 21 c) 2 2 2 2 2 5250mm  m  m  m  m . 1000000 100000 100000 : 25 4000
Ví dụ 2. Một vòi nước chảy trong 4 giờ thì đầy bể. Hỏi lượng nước chiếm bao nhiêu phần bể nếu vòi chảy trong a) 2 giờ; b) 3 giờ; c) 30 phút; d) 1 giờ 20 phút. Hướng dẫn giải 2 2 : 2 1
a) Trong 2 giờ vòi chảy được: bể  bể  bể; 4 4 : 2 2 3
b) Trong 3 giờ vòi chảy được: bể. 4
c) Đổi 4 giờ = 240 phút. 30 30 : 30 1
Trong 30 phút vòi chảy được: bể  bể  bể. 240 240 : 30 8
d) Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút. 80 80 : 80 1
Trong 80 phút vòi chảy được: bể  bể  bể. 240 240 :80 3
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1. Các phút sau đây chiếm bao nhiêu phần của giờ? a) 6 phút; b) 24 phút; c) 30 phút; d) 48 phút;
Câu 2. Biểu thị các số sau dưới dạng phân số (chú ý rút gọn nếu có thể) với đơn vị: a) mét: 24cm; 8dm; b) mét vuông: 2 2 320cm ;63dm ; c) 3 3 3 dm : 50cm ; 450cm ; d) ki-lô-gam: 72g; 420g.
Câu 3. Một bể nước có dung tích 5000 lít. Người ta đã bơm 3500 lít nước vào bể. Hỏi lượng nước
cần bơm tiếp cho đầy bể bằng bao nhiêu phần của dung tích bể?
Câu 4. Một vòi nước chảy trong 3 giờ thì đầy bể. Hỏi khi chảy trong 1 giờ; 48 phút; 120 phút thì
lượng nước đã chảy chiếm bao nhiêu phần bể? Trang 12
Dạng 5. Phân số tối giản Phương pháp giải a 3   Phân số
tối giản nếu a và b là hai số Ví dụ: Phân số là phân số tối giản vì b 7
nguyên tố cùng nhau, hay ƯC a,b1;  1 . ƯC 3;7 1  ;  1 . a
 Chứng minh phân số tối giản: b
Ta chứng minh ƯCLN a,b 1. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong các phân số sau đây, phân số nào là tối giản? 2 3 15 2 ; ; ; . 3 6 2  0 5 Hướng dẫn giải ƯCLN 2,3  1;
ƯCLN 3,6  ƯCLN3,6  3;
ƯCLN 15,20  ƯCLN15, 20  5;
ƯCLN 2,5  ƯCLN2,5  1; 2 2 
Vậy các phân số tối giản là: và . 3 5 a
Ví dụ 2. Tìm tất cả các số nguyên a để phân số là phân số tối giản. 74 Hướng dẫn giải a a Ta có 
là phân số tối giản khi a  2 và a37. 74 2.37 n
Ví dụ 3. Chứng minh phân số
tối giản n , n  0. n 1 Hướng dẫn giải
Gọi d d  là ước chung của n và n+1 n ,n  0. Ta có nd và n   1 d.
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có: n   1  nd hay 1d
Do đó d  1. Suy ra ƯCLN  , n n   1  1. n Vậy phân số tối giản. n 1 Trang 13 12n 1 Bình luận
Ví dụ 4. Chứng minh phân số là phân số tối giản. 30n  2
Để tìm được d, ta cần cân Hướng dẫn giải
bằng được hệ số của n ở
Gọi d d  là ước chung của 12n+1 và 30n+2n. 12n   1 và 30n  2. Ta có 12n   1 d suy ra 5.12n   1  60n  5d 5
12 n15.12n  1
và 30n  2d suy ra 2.30n  2  60n  4d. 2
30 n 2  2.30n 2
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có: BCNN (12,30)  60
60n 560n  4d hay 1d, suy ra d  1.
Do đó ƯCLN 12n 1,30n  2 1. 12n 1 Vậy phân số là phân số tối giản. 30n  2
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1. Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản? 9  26 17 8 ; ; ; . 25 84 3  2 81 x
Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho là phân số tối giản. 225 2n 1
Câu 3. Chứng minh rằng phân số
n là phân số tối giản. 2n  3
Câu 4. Chứng minh rằng với n  *
 , các phân số sau là phân số tối giản: 3n n 1 3n  2 4n 1 a) ; b) ; c) ; d) . 3n 1 2n  3 4n  3 6n 1
CÁC EM CÓ THỂ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 1
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1. Tìm số chưa biết trong đẳng thức của phân số
Câu 1. Điền số thích hợp vào ô trống: . 3 7 2  1 2 22 6 18 a)  ; b)  ; c)  . 15 4  5 11 121 18 54 . 3 Trang 14 Câu 2. 5 5 10 15
a) Có vô số phân số bằng . Chẳng hạn:    ..... 7  7  14 2  1 2  1  2 b)  . 3 18 3 4 6 8 c) 1     . 3 4 6 8  Câu 3. :4 .2 . 3 :11 8  2 7 14 5  15 33 3 a)  ; b)  c)  ; d)  . 36 9 11 22 ; 6  18 121 11 :4 .2 . 3 :11
Dạng 2. Rút gọn phân số - Rút gọn biểu thức dạng phân số Câu 1. a) ƯCLN 24,36 12. 24 24 :12 2 Ta có:   . 36 36 :12 3 b) ƯCLN 72,8  1  9. 7  2 72 : 9 8  Ta có:   . 81 81: 9 9 3.7 3.7 3.7 1 c) Ta có:
         . 6.14 2.3 . 2.7 3.7 .2.2 4 7 7 7 1 1 d) Ta có:     . 2 2 2 9.10  2.10 10 .9  2 2 2 10 .7 10 100 Câu 2. 4 2 3  0 2 18 1 300 5 a)  . b)  . c)  . d)  . 18 9 75 5 9  0 5 360 6 5  0 1 1515 15 2  727 9  120120 1 e)  . f)  . g)  . h)  . 150 3 1717 17 4242 14 240240 2 Câu 3. 3.5 3.  1 .5 1 a) 
        . 15. 6 3.5 . 1 .6 6 6.11  6  .11 6  6  : 2 3  b)              . 11 . 8 11. 1 . 1 .8 8 8 : 2 4
21.5 3.7.  1 .5 3 c)         . 25. 7 5.5. 1 .7 5 Trang 15 5 2 32.9.11 2 .3 .11 1 d)   12.24.22  . 2 2 .3. 3 2 .3.2.1  1 2 Câu 4. 2 .3  22.3. 3 5 2 2 .3 a) 3   2 .3  24. 2 2 2 .3 2 .3 3 3 5 .6 5 .2.3 2 5 .3 75 b)    . 2 2 5.2 5.2 2 2 8.5  8.4 8 2 2 2 2 5  4  8.9 c)    2. 2 2 2 2 2 .3 2 .3 4.9 4 4 2 4 2 7 .2  7 .3 7 . 2 2 2  3  2 7 4  9 2 2 7 .13 7 49 d)      . 2 49.26 7 .26 2.13 2.13 2 2
Câu 5. Rút gọn các biểu thức: 4116 14 14.294 14 14294   1 14 14 : 7 2 a)           . 10290 35 35.294 35 35 294 1 35 35 : 7 5 2929 101 29.101101 101.29   1 29 1 28 28 :14 2 b)            . 2.1919 404 2.19.101 4.101 101. 2.19 4 2.19  4 42 42 :14 3 Câu 6. 13  n 5 Theo đề bài ta có:  . 21 n 7
Suy ra 7.13 n  5.21 n 7.13  7.n  5.21 5.n 91 7.n  105  5.n 7.n  5.n  105  91 . n 7  5 14 . n 2  14 n  14 : 2 n  7. Vậy số cần tìm là 7. Câu 7. 11 a 8 Theo đề bài ta có:  . 23  a 9
Suy ra 9.11 a  8.23  a 9.11 9.a  8.23  8.a 99  9.a  184  8.a 9.a  8.a  184  99 a .9  8  85 . a 17  85 Trang 16 a  85 :17 a  5. Vậy số cần tìm là 5. Câu 8. 19  a 3 Theo đề bài ta có:  . 35  a 5
Suy ra 5.19  a  3.35  a 5.19  5.a  3.35  3.a 95  5.a  105  3.a 5.a  3.a  105  95 . a 5  3 10 2.a  10 a  10 : 2 a  5. Vậy số cần tìm là 5.
Dạng 3. Phân số bằng nhau Câu 1. 2 7 4 ; ; . 3 5 9 Câu 2. 1  5 1  5 : 5 3  a) Ta có:   . 20 20 : 5 4 1  5 3  k
Vậy dạng tổng quát của các phân số bằng là k ,k  0. 20 4k 35 35 : 7 5 b) Ta có:   . 56 56 : 7 8 35 5k
Vậy dạng tổng quát của các phân số bằng là k ,k  0. 56 8k Câu 3. 2  2 4 4 6  6
a) Năm phân số bằng phân số là: ; ; ; ; . 3 3  6 6  9 9  15 15 : 3 5 5 b) Ta có:  
. Nhân cả tử và mẫu của phân số
lần lượt với 2; 3; …; 7 ta được các phân số 39 39 : 3 13 13 10 20 25 30 35 21 21: 7 3 3 thỏa mãn là: ; ; ; ; . Ta có: 
 . Nhân cả tử và mẫu của phân số lần lượt với 26 52 65 78 91 28 28 : 7 4 4 3 6 9 12
1; 2; 3; 4 ta được các phân số thỏa mãn là: ; ; ; . 4 8 12 16 Câu 4. 21 21:  7   3 3  9 39 :13 3 21 3  9 a) Ta có:  Vậy  .      ;   . 28 28 : 7 4 52 52 :13 4 2  8 52 Trang 17 91 91: 7 13 13 91 b) Ta có:   . Vậy  . 119 119 : 7 17 17 119
1313 13.101 13 131313 13.10101 13 1313 131313 c) Ta có:   ;   . Vậy  .
2121 21.101 21 212121 21.10101 21 2121 212121 234 234 1 567 567 1 234 567 d) Ta có:   ;   . Vậy  . 234234 234.1001 1001 567567 567.1001 1001 234234 567567 Câu 5. 8 8 : 2 4 a) Ta có:   ; 18 18 : 2 9 3  5 35 : 7 5    ; 14 14 : 7 2 88 88 : 8 11   ; 56 56 :8 7 12 12 : 3 4       ; 27 27 : 3 9 8 12 35 5  88 11
Vậy các cặp phân số bằng nhau là: và ; và ; và . 18 2  7 14 2 56 7 3  x 3  .12 b) Từ đẳng thức  ta có 4.x   3  .12 suy ra x   9  . 4 12 4 3  1  5 4. 1  5 Từ đẳng thức  ta có 3.y   1  4. 1  5 suy ra y 1   20 hay y  21. 4 y 1 3 Vậy x  9; y  21. Câu 6. 1  2 12 : 2 6 x 6 a) Ta có:   . Khi đó  suy ra x  6  . 10 10 : 2 5 5 5 x 1 x b) Từ đẳng thức  ta có 3.x   1  2.x suy ra x  3. 2 3 7 4  2 4  2 4  2 : 6 7 c) Xét đẳng thức  . Ta có:   . x 54 54 54 :  6   9 7 7 Khi đó  suy ra x  9. x 9 y 4  2 42.27 Xét đẳng thức 
ta có y.54  42.27 suy ra y   2  1. 27 54 54
Dạng 4. Biểu diễn các số đo dưới dạng phân số với đơn vị cho trước Câu 1. 6 6 : 6 1 a) 6 phút  giờ  giờ  giờ. 60 60 : 6 10 24 24 :12 2 b) 24 phút  giờ  giờ  giờ. 60 60 :12 5 Trang 18 30 30 :10 1 c) 30 phút  giờ  giờ  giờ. 60 60 : 30 2 48 48 :12 4 d) 48 phút  giờ  giờ  giờ. 60 60 :12 5 Câu 2. 24 24 : 4 6 8 8 : 2 4 a) 24cm  m  m  m; 8dm  m  m  m. 100 100 : 4 25 10 10 : 2 5 320 320 : 80 4 b) 2 2 2 2 320cm  m  m  m ; 10000 10000 : 80 125 63 2 2 63dm  m . 100 50 50 : 50 1 c) 3 3 3 3 50cm  dm  dm  dm ; 1000 1000 : 50 20 450 450 : 50 9 3 3 3 3 450cm  dm  dm  dm ; 1000 1000 : 50 20 72 72 : 8 9 d) 72g  kg   kg; 1000 1000 : 8 125 420 420 : 20 21 420 g  kg   kg. 1000 1000 : 20 50 Câu 3.
Lượng nước cần bơm tiếp cho đầy bể là: 5000  3500  1500 (lít)
Lượng nước cần bơm tiếp cho đầy bể chiếm số phần của dung tích bể là: 1500 1500 : 500 3   . 5000 5000 : 500 10 Câu 4. 1
Trong 1 giờ vòi chảy được số phần bể là: bể. 3
Đổi 3 giờ  3.60  180 phút. 48 48 :12 4
Trong 48 phút vòi chảy được số phần bể là:   bể. 180 180 :12 15 120 120 : 60 2
Trong 120 phút vòi chảy được số phần bể là:   bể. 180 180 : 60 3
Dạng 5. Phân số tối giản Câu 1. ƯCLN 9, 25 1; ƯCLN 26,84  2; ƯCLN 17, 3  2 1; ƯCLN 8,8  1  1; Trang 19 9  17 8
Vậy các phân số tối giản là: ; và . 25 3  2 81 Câu 2. x x Ta có  . 2 2 225 3 .5 x Để
là phân số tối giản thì ƯCLN  x, 225  1. 225 Mà Ư 225   1  ; 3  ;5; 9  ; 1  5; 2  5; 4  5; 7  5; 2  2 
5 suy ra x không chia hết cho các số 3; 5; 9; 15; x 25; 45; 75 và 225 thì là phân số tối giản. 225 Câu 3.
Gọi d d  là ước chung của 2n+1 và 2n+3d  . Ta có 2n  
1 d và 2n  3d.
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có: 2n  3  2n   1 d hay 2d.
Suy ra d  2 hoặc d  1.
Nhận thấy 2n+1 và 2n+3 là hai số lẻ nên ước chung của chúng không thể bằng 2.
Do đó d  1. Suy ra ƯCLN 2n 1,2n  3  1. 2n 1 Vậy phân số
n là phân số tối giản. 2n  3 Câu 4.
a) Gọi d d  là ước chung của 3n và 3n+1n  * .
Khi đó 3nd và 3n   1 d.
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta được: 3n   1  3nd 1d.
Suy ra d  1. Do đó ƯCLN 3 ; n 3n   1  1. 3n Vậy là phân số tối giản. 3n 1
b) Gọi d d  là ước chung của n+1 và 2n+3n  * . Khi đó n   1 d suy ra 2n  
1 d hay 2n  2d; và 2n  3d.
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được: 2n  3  2n  2d 1d.
Suy ra d  1. Do đó ƯCLN n 1, 2n  3 1. n 1 Vậy là phân số tối giản. 2n  3
c) Gọi d d  là ước chung của 3n-2 và 4n-3 n   * . Trang 20
Khi đó 3n  2d suy ra 43n  2d hay 12n 8d; và 4n  3d suy ra 3.4n  3d hay 12n 9d.
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được: 12n  9  12n 8d  1  d.
Suy ra d  1. Do đó ƯCLN 3n  2,4n  3  1. 3n  2 Vậy là phân số tối giản. 4n  3
d) Gọi d d  là ước chung của 4n+1 và 6n+1n  * . Khi đó 4n   1 d suy ra 34n  
1 d hay 12n  3d ; và 6n   1 d suy ra 2.6n   1 d hay 12n  2d.
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được: 12n  3  12n  2d 1d.
Suy ra d  1. Do đó ƯCLN 4n 1,6n   1  1. 4n 1 Vậy là phân số tối giản. 6n 1 Trang 21