Chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật

Tài liệu gồm 103 trang, trình bày kiến thức trọng tâm cần đạt, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 6 trong quá trình ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán 6.

Chủ đề:

Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu

Môn:

Toán 6 2.4 K tài liệu

Thông tin:
103 trang 1 năm trước
Tác giả:
N
Nguyễn Vân
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật

Tài liệu gồm 103 trang, trình bày kiến thức trọng tâm cần đạt, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 6 trong quá trình ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán 6.

37 19 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 340 tài liệu

Môn: Toán 6 2.4 K tài liệu

Thông tin:

103 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
1
CHUYÊN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT.
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều
1 2 3
...
n
S a a a a
Cần tính tổng:
1 2 3
...
n
S a a a a
. (1)
Với
2 1 3 2 1
...
nn
a a a a a a d
(các số hạng cách đều nhau một giá trị
d
)
Số số hạng của tổng là
( )
1
:1
n
n a a d= − +
với
1
a
là số hạng thứ nhất
là số hạng thứ
n
.
Tổng
( )
1
:2
n
S n a a=+
.
Số hạng thứ
n
của dãy là
( )
1
1
n
a a n d= + −
.
Ví dụ 1: Tính tổng
1 2 3 4 ... 2019 2020S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
1d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
2020 1 :1 1 2020
.
Tổng
1 2020 .2020:2 2041210S
.
Bài toán tổng quát: Tính tổng
1 2 3 ...Sn
.
Số số hạng của dãy là
1 :1 1nn
.
Tổng
1 :2S n n
.
Ví dụ 2: Tính tổng
1 3 5 ... 2019 2021S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
2d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
2021 1 :2 1 1011
.
Tổng
1 2021 .1011:2 1022121S
.
Ví dụ 3: Tính tổng
5 10 15 ... 2015 2020S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
5d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
2020 5 :5 1 404
.
Tổng
5 2020 .404:2 409050S
.
2
Ví dụ 4: Tính tổng
3 5 4039
1 2 ... 2020
2 2 5
S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
1
2
d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
1
2020 1 : 1 4039
2
.
Tổng
1 2020 .4039:2 4081409,5S
.
Ví dụ 5: Tính tổng
10,11 11,12 12,13 98,99 100S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
1,01d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
100 10,1 :1,01 1 90
.
Tổng
10,11 100 .90:2 4954,95S
.
Dạng 2: Tổng có dạng
23
1 ...
n
S a a a a= + + + + +
(1)
Phương pháp
TH 1: Nếu
1a =
thì
1Sn=+
.
TH 2: Nếu
1a
để tính tổng
S
ta làm như sau
Bước 1: Nhân hai vế của
( )
1
với số
a
ta được
( )
234
... 2
n
aS a a a a a= + + + + +
Bước 2: Lấy
( )
2
trừ
( )
1
vế theo vế ta được
1
1
1
1
1
n
n
a
aS S a S
a
+
+
−
− = − =
−
Ví dụ 1: Tính tổng
2 3 4 20
2 2 2 2 ... 2S = + + + + +
.
Lời giải
Ta có
2 3 4 5 21
2 2 2 2 2 ... 2S = + + + + +
Vậy
21
2 2 2S S S− = = −
.
Ví dụ 2: Tính tổng
2 3 4 100
1 2 2 2 2 ... 2S = + + + + + +
.
Lời giải
Ta có
2 3 4 5 101
2 2 2 2 2 2 ... 2S = + + + + + +
Vậy
101
2 2 1S S S− = = −
.
Ví dụ 3: Tính tổng
2 3 4 99
6 6 6 6 ... 6S = + + + + +
.
3
Lời giải
Ta có
2 3 4 5 100
6 6 6 6 6 ... 6S = + + + +
.
Vậy
100
6 5 6 6S S S− = = −
.
Suy ra
100
66
5
S
−
=
.
Dạng 3: Tính tổng có dạng
2 4 6 2
1 .......
n
A a a a a= + + + + +
(1)
Phương pháp:
Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với
2
a
ta được:
2 2 4 6 8 2 2
. .......
n
a A a a a a a
+
= + + + + +
(2)
Bước 2: Lấy
( ) ( )
21−
theo vế ta được:
( ) ( )
( )
2 2 4 6 8 2 2 2 4 6 2
22
2 2 2
2
. ....... 1 .......
1
11
1
nn
n
n
a A A a a a a a a a a a
a
A a a A
a
+
+
+
− = + + + + + − + + + + +
−
− = − =
−
Ví dụ 1: Tính tổng sau:
2 4 6 98 100
1 2 2 2 .. 2 2A = + + + + + +
(1)
Lời giải
Nhân vào hai vế với
2
2
ta được:
2 2 4 6 8 100 102
2 . 2 2 2 2 .. 2 2A = + + + + + +
(2)
Lấy
( ) ( )
21−
theo vế :
( ) ( )
2 2 4 6 8 100 102 2 4 6 98 100
102
102
2 . 2 2 2 2 .. 2 2 1 2 2 2 .. 2 2
21
3 2 1
3
AA
AA
− = + + + + + + − + + + + + +
−
= − =
Ví dụ 2: Tính tổng sau:
2018
1 1 1 1 1
....
9 9 81 729 3
B = + + + + +
(1)
Lời giải
Đặt
2018
1 1 1 1 1
....
9 81 729 3 9
C B C= + + + + = +
Ta có:
2 4 6 2018
1 1 1 1
....
3 2 3 3
C = + + + +
2 4 6 8 2020
1 1 1 1 1
. ....
3 3 2 3 3
C = + + + +
2 2 4 6 2018 4 6 8 2020
2018
2 2020 2 2020 2018
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. .... ....
3 3 2 3 3 3 2 3 3
8 1 1 9 1 1 3 1
..
9 3 3 8 3 3 8.3
CC
CC
− = + + + + − + + + +
−

= − = − =


4
Ví dụ 3: Tìm giá trị của
x
biết:
4
6
22
4
1 5 5 .....
5
5
21
2
x
+=
−
+ + +
Lời giải
Đặt
2 4 2
1 5 5 ..... 5
x
A = + + + +
(1)
Nhân vào hai vế với
2
5
ta được:
2 2 4 6 8 2 2
5 . 5 5 5 5 .. 5
x
A
+
= + + + + +
(2)
Lấy
( ) ( )
21−
theo vế :
( ) ( )
22 2 8 2246
2
2
2
22
4
1 5 5
4
5 . 5 .5 5 5 .
5
....2
51
24. 1
2
.5
x
x
x
x
AA
AA
+
+
+
− = + + + + + −
−
=
+
−
++
=
Vì
6 12
2
2
2
2 12
4
25 1 5 1 5 1 5 1
51 5 5 ...
4
..5
24 24 2 24
x
x
x
+
+++
−
==
− − −
= =
. Vậy
5x =
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Tìm giá trị của
x
biết:
( ) ( ) ( )
( )
2022
2 4 2020
2
17 1
1 1 1 ..... 1
11
x x x
x
−
+ − + − + + − =

−−

, với
2x
Lời giải
Đặt
( ) ( ) ( )
2 4 2020
1 1 1 ..... 1B x x x= + − + − + + −
(1).
Nhân cả hai vế của (1) cho
( )
2
1x −
ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 6 2022
. 1 1 1 1 ....... 1B x x x x x− = − + − + − + + −
(2).
Lấy
( ) ( )
21−
theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 4 6 2022 2 4 2020
2022
2 2022
2
. 1 1 1 1 ....... 1 1 1 1 ..... 1
11
. 1 1 1 1
11
B x B x x x x x x x
x
B x x B
x
− − = − + − + − + + − − + − + − + −
−−

− − = − − =

−−
Theo bài cho:
( )
( )
( )
( )
2022
2022 2022
2
22
11
17 1 17 1
1 17 18
11
1 1 1 1
x
B x x
x
xx
−−
−−
= = − = =
−−
− − − −
( thỏa mãn) .
Vậy
18x =
.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
2 4 40
1 5 5 ..... 5+ + + +
chia hết cho 26.
Lời giải
Phân tích: Ta nhóm 2 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 26.
Ta có:
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 40 2 4 6 38 40
2 4 2 38 2
4 38
1 5 5 ..... 5 1 5 5 5 ..... 5 5
1 5 5 . 1 5 ......5 . 1 5
26 5 .26 ......5 .26
+ + + + = + + + + +
= + + + + +
= + +
Vậy
2 4 40
1 5 5 .....5+++
chia hết cho 26.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
2 4 100
1 2 2 ..... 2+ + + +
chia hết cho 21.
Lời giải
Phân tích: Ta nhóm 3 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 21.
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 100 2 4 6 8 10 96 98 100
2 4 6 2 4 96 2 4
6 96
1 2 2 ..... 2 1 2 2 2 2 2 ..... 2 2 2
1 2 2 2 . 1 2 2 .... 2 . 1 2 2
21 2 .21 ...... 2 .21
+ + + + = + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
= + + +
Do đó:
2 4 100
1 2 2 ..... 2+ + + +
chia hết cho 21
Ví dụ 7: Chứng minh rằng:
2 4 100
1 3 3 ..... 3+ + + +
chia hết cho 82.
Lời giải
Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách đều để làm xuất hiện thừa số 82.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 100 4 2 6 90 94 96 100
4 2 4 90 4 96 4
2 90 96
1 3 3 ..... 3 1 3 3 3 ..... 3 3 3 3
1 3 3 . 1 3 ....... 3 . 1 3 3 . 1 3
82 3 .82 ..... 3 .82 3 .82
+ + + + = + + + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + +
Vậy
2 4 100
1 3 3 ..... 3+ + + +
chia hết cho 82.
Ví dụ 8: So sánh:
2 4 40
1 5 5 ..... 5+ + + +
với
42
52
23
−
.
Lời giải
Đặt
2 4 40
1 5 5 ..... 5A = + + + +
( ) ( )
2 2 4 6 42
2 2 4 6 42 2 4 40
42 42 42
42
5 . 5 5 5 ..... 5
5 . 5 5 5 ..... 5 1 5 5 ..... 5
5 1 5 2 5 2
24. 5 1
24 24 23
A
AA
AA
= + + + +
− = + + + + − + + + +
− − −
= − =
Vậy
42
2 4 40
52
1 5 5 ..... 5
23
−
+ + + +
.
Ví dụ 9: So sánh:
2 4 100
1 7 7 ..... 7+ + + +
với
102
7 2019
2021
−
.
Lời giải
6
Đặt
2 4 100
1 7 7 ..... 7A = + + + +
( ) ( )
2 2 4 6 102
2 2 4 6 102 2 4 100
102 102 102
102
7 . 7 7 7 .... 7
7 . 7 7 7 .... 7 1 7 7 ..... 7
7 1 7 2019 7 2019
48. 7 1
48 48 2021
A
AA
AA
= + + + +
− = + + + + − + + + +
− − −
= − =
Dạng 4: Tính tổng
3 5 2 1
...
n
S a a a a
−
= + + + +
, với
1, ; 1n n N a
.
Phương pháp:
( )
3 5 2 1
... 1
n
S a a a a
−
= + + + +
Bước 1: Nhân cả 2 vế của
( )
1
với
2
a
ta được :
( )
2 3 5 2 1 2 1
... 2
nn
a S a a a a
−+
= + + + +
Bước 2: Lấy
( ) ( )
21−
ta được :
( )
21
2 2 1
2
1
1
n
n
aa
a S a a S
a
+
+
−
− = − =
−
Vậy
21
3 5 2 1
2
...
1
n
n
aa
a a a a
a
+
−
−
+ + + + =
−
Ví dụ 1: Tính tổng
3 5 51
1
2 2 2 ... 2S = + + + +
.
Lời giải
Áp dụng công thức
21
3 5 2 1
2
...
1
n
n
aa
a a a a
a
+
−
−
+ + + + =
−
với
26; 2na==
ta được :
52 52
3 5 51
1
2
2 2 2 2
2 2 2 ... 2
2 1 3
S
−−
= + + + + = =
−
.
Ví dụ 2: Tính tổng
3 5 99
2
1 1 1 1
...
3 3 3 3
S
= + + + +
.
Lời giải
Áp dụng công thức
21
3 5 2 1
2
...
1
n
n
aa
a a a a
a
+
−
−
+ + + + =
−
với
1
50;
3
na==
ta được :
101
3 5 99
100
2
2
99
11
1 1 1 1 3 1
33
...
3 3 3 3 8.3
1
1
3
S


−


−

= + + + + = =


−



.
Ví dụ 3:
3
15 so 9
9 999 99999 ... 999...9S = + + + +
.
7
Phân tích:
+ )
9 10 1=−
;
3
999 10 1=−
;
5
99999 10 1=−
;….;
15
15 so 9
999...9 10 1=−
.
+) Tổng trên có 8 số hạng.
Lời giải
Ta có:
( )
3 5 15
3
15 so 9
9 999 99999 ... 999...9 10 10 10 ... 10 8S = + + + + = + + + + −
Áp dụng công thức
21
3 5 2 1
2
...
1
n
n
aa
a a a a
a
+
−
−
+ + + + =
−
với
8; 10na==
ta được :
17 17
3 5 15
2
10 10 10 10
10 10 10 ... 10
10 1 99
−−
+ + + + = =
−
Vậy
17 17
3
10 10 10 802
8
99 99
S
−−
= − =
.
Dạng 5: Tổng có dạng:
( )
1.2 2.3 3.4 ... 1S n n= + + + + +
.
Ví dụ 1: Tính tổng:
1.2 2.3 3.4 ... 98.99A= + + + +
.
Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1.
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
A
với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng
( )
30−
ở số
hạng thứ nhất,
( )
41−
ở số hạng thứ hai,
( )
52−
ở số hạng thứ ba, …,
( )
100 97−
ở số hạng cuối
cùng.
Lời giải:
Ta có:
3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... 98.99.3A= + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... 98.99. 100 97A= − + − + − + + −
( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... 98.99. 100 97A= − + − + − + + −
( ) ( )
3 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 97.98.99 98.99.100 0.1.2 1.2.3 2.3.4 ... 97.98.99A= + + + + + − + + + +
3 98.99.100A=
.
Suy ra:
98.99.100
323400
3
A ==
.
Bình luận:
Ta thấy:
3 98.99.100A=
là tích của ba thừa số, trong đó
98.99
là hai thừa số của số hạng lớn nhất
trong tổng, còn thừa số 100 bằng
99 1+
(bằng thừa số lớn nhất của
A
cộng với khoảng cách giữa
hai thừa số của mỗi số hạng trong
A
).
8
Bài toán tổng quát:
( )
( )( )
12
1.2 2.3 3.4 ... 1
3
n n n
S n n
++
= + + + + + =
Ví dụ 2: Tính tổng:
1.3 3.5 5.7 ... 99.101B = + + + +
.
Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
B
với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 6 này được viết dưới dạng
( )
51+
ở số hạng
thứ nhất,
( )
71−
ở số hạng thứ hai,
( )
93−
ở số hạng thứ ba, …,
( )
103 97−
ở số hạng cuối cùng.
Lời giải:
Ta có:
6 1.3.6 3.5.6 5.7.6 ... 99.101.6B = + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
6 1.3. 5 1 3.5. 7 1 5.7. 9 3 ... 99.101. 103 97B = + + − + − + + −
( ) ( )
1.3.1 1.3.5 3.5.7 5.7.9 ... 97.99.101 99.101.103 1.3.5 3.5.7 ... 97.99.101= + + + + + + − + + +
3 99.101.103=+
1029900=
.
Suy ra:
1029900
171650
6
B ==
.
Bài toán tổng quát:
( ) ( )( ) ( ) ( )
1
1. 1 1 1 2 ...
n
n
S k k k n n k n n k
=
= + + + + + + + = +
,
,*nk
.
(khoảng cách giữa các thừa số của mỗi số hạng là
k
)
* Nhân
S
với ba lần khoảng cách ta được:
( )
1
33
n
n
kS kn n k
=
=+
.
* Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau:
( ) ( )( ) ( ) ( )
32kn n k n n k n k n k n n k+ = + + − − +
Từ đó tính được tổng
S
.
Dạng 6: Tổng có dạng:
2 2 2 2
1 2 3 .... n+ + + +
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :
( )( )
2 2 2 2
. 1 2 1
1 2 3
6
n n n
n
++
+ + + + =
Lời giải
2 2 2 2 2
S=1 2 3 4 ... n+ + + + +
1.1 2.2 3.3 4.4 ... .S nn= + + + + +
9
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2. 3 1 3. 4 1 ... 1 1nn= − + − + − + + + −


( ) ( )
1.2 2.3 3.4 ... 1 1 2 3 4 5 ...n n n= + + + + + − + + + + + +
Mà
( )
( )( )
12
1.2 2.3 3.4 4.5 ... 1
3
n n n
nn
++
+ + + + + + =
(Theo dạng bài trước)
( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 1
1 1 2 4 3
11
3 2 3 2 6
n n n n n
nn
S n n n n
+ + +
+ + −

= − = + − = +


Vậy
( )( )
1 2 1
6
n n n
S
++
=
Do đó, ta có công thức tính dãy số:
( )( )
2 2 2 2
. 1 2 1
1 2 3
6
n n n
Sn
++
= + + + + =
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 99N = + + + + ++
1 4 9 16 25 36 ... 10000A = + + + + + + +
Lời giải
Tính
Áp dụng bài toán tổng quát
( )( )
2 2 2 2
. 1 2 1
1 2 3
6
n n n
Sn
++
= + + + + =
Ta thấy
99n =
nên
( )( ) ( )( )
1 2 1 99. 99 1 2.99 1
328350
66
n n n
N
+ + + +
= = =
Tính
A
Ta biến đổi
A
về dạng tương tự như biểu thức
N
ta có:
1 4 9 16 25 36 ... 10000A = + + + + + + +
=
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 ... 100+ + + + + + +
=
( )( )
100. 100 1 2.100 1
338350
6
++
=
(với
100n =
)
Ví dụ 2. Tính tổng sau:
2 2 2 2 2 2
1 2 – 3 4 19 20 .B = − + + − − +
Lời giải
Tính
B
Ta biến đổi
B
về dạng quen thuộc như biểu thức
N
bằng cách thêm bớt tổng
2 2 2
2 4 ... 100+ + +
.
2 2 2 2 2 2
1 2 – 3 4 19 20B = − + + − − +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 ... 20 2 2 4 6 ... 20B = − + + + + + + + + +
10
( )( )
( )
2 2 2 2 2
20. 20 1 2.20 1
2.2 1 2 3 ... 10
6
B
++
= − + + + + +
( )( )
10. 10 1 2.10 1
2870 8.
6
B
++
= − +
2870 3080 210B = − + =
Dạng 7 : Tính tổng có dạng
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
với
k
.
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Ta sẽ tính tổng
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
dựa vào tổng dạng
( )
1.2 2.3 3.4 ... 1nn+ + + + −
.
Trước hết ta xét tổng
( )
1.2 2.3 3.4 ... 2 1 .2A k k= + + + + −
( )
3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... 2 1 .2 .3A k k = + + + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... 2 1 .2 . 2 1 2 2A k k k k = − + − + − + + − + − −


.
( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 2 1 .2 . 2 1 2 2 . 2 1 .2A k k k k k k = − + − + − + + − + − − −
( ) ( )
3 2 1 .2 . 2 1A k k k = − +
( ) ( )
2 1 .2 . 2 1
3
k k k
A
−+
=
.
Mặt khác
( )
0.1 1.2 2.3 3.4 ... 2 1 .2A k k= + + + + + −
.
( ) ( ) ( )( ) ( )
0.1 1.2 2.3 3.4 ... 2 2 2 1 2 1 .2A k k k k = + + + + + − − + −


( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2 3. 2 4 ... 2 1 . 2 2 2A k k k = + + + + + − − +


( ) ( )
1.2 3.6 ... 2 1 . 4 2A k k = + + + − −
( ) ( )
1.1.2 3.3.2 ... 2 1 . 2 1 .2A k k = + + + − −
( )
2
22
2. 1 3 ... 2 1 2.A k S

= + + + − =

.
Vậy
( ) ( )
2 1 .2 . 2 1
26
k k k
A
S
−+
==
.
Cách 2: Ta sẽ tính tổng
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
dựa vào tổng dạng
( )
2.4 4.6 ... 2 2 .2kk+ + + −
và công thức
( ) ( )
2
1 1 . 1n n n− = − +
.
11
Ta chứng minh công thức như sau:
( ) ( ) ( ) ( )
22
1 1 1 1 1 . 1n n n n n n n n n− = − + − = − + − = − +
(đpcm).
Nhận thấy tổng
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
có
( )
2 1 1 :2 1kk− − + =
số hạng, từ đó ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
1 1 3 1 5 1 ... 2 1 1S k k

− = − + − + − + + − −

.
( )
2.4 4.6 ... 2 2 .2S k k k − = + + + −
.
( ) ( )
6. 2.4.6 4.6.6 ... 2 2 .2 .6S k k k − = + + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6. 2.4. 6 0 4.6. 8 2 ... 2 2 .2 . 2 2 2 4S k k k k k − = − + − + + − + − −


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6. 2.4.6 0.2.4 4.6.8 2.4.6 ... 2 2 .2 . 2 2 2 4 . 2 2 .2S k k k k k k k − = − + − + + − + − − −
( ) ( ) ( )
6. 2 2 .2 . 2 2S k k k k − = − +
( ) ( )
2 2 .2 . 2 2
6
k k k
Sk
−+
− =
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2 2 2 3
2 2 .2 . 2 2 2 2 .2 . 2 2
6
6 6 6 6
k k k
k k k k k k
k
Sk
− + +

− + − +

= + = + =
( ) ( )
2
2 4 4 4 4 3
2 2 2 2 2 2 2 3
66
k k k k
k k k k
S

+ − − +
+ − + +

= =
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
22
2 4 2 2 1
2 4 1 2 4 2 2 1
2 2 2 1 2 1
6 6 6 6
k k k k
k k k k k k
k k k k
S

− + −
− − + −
− + −

= = = =
( ) ( )
2 1 .2 . 2 1
6
k k k
S
−+
=
.
Cách 3: Ta sẽ tính tổng
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
dựa vào tổng dạng
( ) ( )
1.3 3.5 ... 2 1 . 2 1kk+ + + − +
và tổng dạng
( )
1 3 5 ... 2 1k+ + + + −
.
Ta có
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1. 3 2 3. 5 2 5. 7 2 ... 2 1 . 2 1 2S k k = − + − + − + + − + −


( ) ( ) ( )
1.3 3.5 5.7 ... 2 1 . 2 1 1.2 3.2 5.2 ... 2 1 .2S k k k = + + + + − + − + + + + −
( ) ( ) ( )
1.3 3.5 5.7 ... 2 1 . 2 1 2. 1 3 5 ... 2 1S k k k = + + + + − + − + + + + −
.
Đặt
( ) ( )
1
1.3 3.5 5.7 ... 2 1 . 2 1S k k= + + + + − +
và
( )
2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
.
Ta có:
( ) ( )
1
1.3 3.5 5.7 ... 2 1 . 2 1S k k= + + + + − +
12
( ) ( )
1
6 1.3.6 3.5.6 5.7.6 ... 2 1 . 2 1 .6S k k = + + + + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
6 1.3.6 3.5. 7 1 5.7. 9 3 ... 2 1 . 2 1 . 2 3 2 3S k k k k = + − + − + + − + + − −


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
6 1.3.6 3.5.7 1.3.5 5.7.9 3.5.7 ... 2 1 . 2 1 . 2 3 2 3 . 2 1 . 2 1S k k k k k k = + − + − + + − + + − − − +
( ) ( ) ( )
1
6 1.3.6 2 1 . 2 1 . 2 3 1.3.5S k k k = + − + + −
( ) ( ) ( )
1
2 1 . 2 1 . 2 3 3
6
k k k
S
− + + +
=
.
Ta có:
( )
2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
.
Số số hạng của tổng
2
S
là:
( )
2 1 1 :2 1kk− − + =
.
( ) ( )
2
2
1 3 5 ... 2 1 1 2 1 . :2S k k k k = + + + + − = + − =
.
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
12
2 1 . 2 1 . 2 3 3
1 3 5 ... 2 1 2 2
6
k k k
S k S S k
− + + +
= + + + + − = − = −
.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 1 . 2 1 . 2 3 12 3
2 1 . 2 1 . 2 3 3 12
66
k k k k
k k k k
S
− + + − −
− + + + −
= =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 1 . 2 1 . 2 3 3 4 2 2 1
2 1 . 2 1 . 2 3 3 4 1
66
k k k k k k
k k k k
S

− + + − − + −
− + + − −

= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 . 2 1 . 2 3 3 2 2 1 2 1
6
k k k k k k
S
− + + − − + −


=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 1 2 1 2 3 3
2 1 . 2 1 . 2 3 3 2 1 2 1
66
k k k
k k k k k
S
− + + −

− + + − − +

= =
.
Vậy
( ) ( )
2 1 .2 . 2 1
6
k k k
S
−+
=
.
Cách 4: Ta sẽ tính tổng
( )
2
2 2 2
1 3 5 ... 2 1Sk= + + + + −
dựa vào tổng dạng
2 2 2 2
1 2 3 ... n+ + + +
và
tổng dạng
1 2 3 ... n+ + + +
.
Đặt
2 2 2 2
1 2 3 ...
n
An= + + + +
.
( ) ( ) ( ) ( )
1. 2 1 2. 3 1 3. 4 1 ... . 1 1
n
A n n= − + − + − + + + −
.
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 ... . 1 1 2 3 ...
n
A n n n= + + + + + − + + + +


.
Đặt
( )
1.2 2.3 3.4 ... . 1
n
B n n= + + + + +
13
( )
3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... . 1 .3
n
B n n = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... . 1 . 2 1
n
B n n n n = − + − + − + + + + − −


.
( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... . 1 . 2 1 . .1
n
B n n n n n n = − + − + − + + + + − − +
( ) ( )
3 . 1 . 2
n
B n n n = + +
( ) ( )
. 1 . 2
3
n
n n n
B
++
=
.
Đặt
1 2 3 ...
n
Cn= + + + +
.
Ta có
n
C
là tổng của n số nguyên dương đầu tiên nên
( )
.1
2
n
nn
C
+
=
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. 1 . 2 . 1 . 1 . 2 4 3 . 1 . 1 . 2 4 3
3 2 6 6
n n n
n n n n n n n n n n n n n
A B C
+ + + + + − + + + −
= − = − = =
Vậy
( ) ( )
. 1 . 2 1
6
n
n n n
A
++
=
.
Xét
2 2 2 2
1 2 3 ...
k
Ak= + + + +
( )
2
2 2 2
4 2 4 6 ... 2
k
Ak = + + + +
( ) ( )
22
2 2 2 2
2
4 1 2 3 4 ... 2 1 2
kk
S A k k A + = + + + + + − + =
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 . 2 1 . 4 1 . 1 . 2 1
4 4.
66
kk
k k k k k k
S A A
+ + + +
= − = −
( ) ( ) ( )
( )
22
2 1 . 8 2 4 4
2 1 . 2 . 4 1 4. 1
66
k k k k k
k k k k k
S

+ + − −
+ + − +

= =
( )
( )
( ) ( )
2
2 1 . 4 2
2 1 .2 . 2 1
66
k k k
k k k
S
+−
+−
= =
Vậy
( ) ( )
2 1 .2 . 2 1
6
k k k
S
−+
=
.
Ví dụ 1. Tính tổng
2 2 2 2
1 3 5 ... 49S = + + + +
.
Phân tích: Đây là bài toán cụ thể của dạng này với
25k =
.
Lời giải
2 2 2 2
1 3 5 ... 49S = + + + +
.
14
Ta chứng minh công thức sau:
( ) ( ) ( )( )
22
1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n− = − + − = − + − = − +
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
25 1 1 3 1 5 1 ... 49 1S − = − + − + − + + −
.
25 2.4 4.6 ... 48.50S − = + + +
.
( )
6. 25 2.4.6 4.6.6 ... 48.50.6S − = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
6. 25 2.4. 6 0 4.6. 8 2 ... 48.50. 52 46S − = − + − + + −
( )
6. 25 2.4.6 0.2.4 4.6.8 2.4.6 ... 48.50.52 46.48.50S − = − + − + + −
( )
6. 25 48.50.52S − =
48.50.52
25
6
S − =
48.50.52
25 20825
6
S = + =
Ví dụ 2: Tính tổng
2 2 2 2
1 3 5 99+ + ++
Lời giải
Áp dụng công thức ở trên với
50k =
ta được:
2 2 2 2
50.99.101
1666501 3 5 99
3
=+ + ++ =
Ví dụ 3: Tính tổng
2 2 2 2
53 5 91 95 5S + += ++
Lời giải
Ta tính 2 tổng
2 2 2 2
1 3 5 ... 99A = + + + +
và
2 2 2 2
1 3 5 ... 49B = + + + +
Theo công thức thu được
2 2 2 2
50.99.101
01 3 5
3
99 16665A =+ + + == +
và
2 2 2 2
25.49.51
20825
3
1 3 5 49B + + + =+==
Ta có
166650 20825 145825S A B= − = − =
Dạng 8: Tổng có dạng:
( )
2
2 2 2
S 2 4 6 ... k 1= + + + + −
(k lẻ và
k
)
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :
( )
( ) ( )
−+
= + + + + − =
2
2 2 2
k 1 .k. k 1
S 2 4 6 ... k 1
6
Ta có:
( )( ) ( )
A 1.2 2.3 3.4 4.5 ... k 2 k 1 k 1 .k= + + + + + − − + −
( )( ) ( )
3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 4.5.3 .... k 2 k 1 .3 k 1 .k.3= + + + + + − − + −
15
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3A 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... k 1 .k. k 1 k 2

= + − + − + + − + − −

( ) ( )
3A k 1 .k. k 1= − +
Suy ra:
( ) ( )
k 1 .k. k 1
A
3
−+
=
Áp dụng tổng
( )( ) ( )
A 1.2 2.3 3.4 4.5 ... k 2 k 1 k 1 .k= + + + + + − − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 4 3 5 6 5 7 ... k 1 . k 2 k

= + + + + + + + − − +

( ) ( )
2.4 4.8 6.12 ... k 1 . 2k 2= + + + + − −
( ) ( )
2.2.2 4.4.2 6.6.2 ... k 1 .2 k 1 .2= + + + + − −
( )
2
2 2 2
2 2 4 6 ... k 1

= + + + + −


=2.S
Suy ra:
A
S
2
=
mà
( ) ( )
k 1 k. k 1
A
3
−+
=
Vậy
( ) ( )
k 1 .k. k 1
S
6
−+
=
Áp dụng tính:
2 2 2 2
1 2 3 ...Pn= + + + +
Xét:
( )
2
2 2 2
2 4 6 ... 2Sn= + + + +
Suy ra:
2 2 2 2
2
1 2 3 ...
24
SS
n= = + + + +
.
Nên:
4
S
P =
( ) ( )
. 1 . 2 1
6
n n n++
=
.
Ví dụ 1: Tính tổng
2 2 2 2
2 4 6 ... 100B = + + + +
Phân tích: Tổng B có dạng
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 . . 1
2 4 6 ... 1
6
k k k
Sk
−+
= + + + + − =
với
101k =
Lời giải
Áp dụng công thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 . . 1
2 4 6 ... 1
6
k k k
Sk
−+
= + + + + − =
với
101k =
.
Ta được:
2 2 2 2
100.101.102
2 4 6 ... 100 171700
6
B = + + + + = =
.
Ví dụ 2: Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 ... 100C = + + + +
.
16
Phân tích: Tổng C có dạng
( ) ( )
2 2 2 2
. 1 . 2 1
1 2 3 ...
6
n n n
Pn
++
= + + + + =
với
100n =
.
Lời giải
Áp dụng công thức:
( ) ( )
2 2 2 2
. 1 . 2 1
1 2 3 ...
6
n n n
Pn
++
= + + + + =
với
100n =
.
Ta được:
2 2 2 2
100.101.201
1 2 3 ... 100 338350
6
C = + + + + = =
.
Dạng 9: Tổng có dạng
5
1 2 2 3 3 4 4 1
. . . . . .
n
n
S a a a a a a a a a a
−
= + + + + +
Phương pháp giải: Đặt
2 1 3 2 1
= .
n
n
k a a a a a a
−
= − − = = −
Nhân cả hai vế với
3k
, rồi tách
3k
ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.
Ví dụ 1: Tính tổng
1.3 3.5 5. 7 .. 99.101S = + + + +
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
Ta có:
6 1.3.6 3.5.6 5.7.3 .. 99.101.6S = + + + +
( ) ( )
1.3.(5 1) 3.5. 7 – 1 5. ..7. 9 – 3 9.101.(103 97).9++= + + + −
1 .3.1 + 1.3.5 3.5.7 1.3.5 5.7.9 3.5.7 ... + 99.101.103 97.99.101= + − + − +
3 99.101.103=+
3 99.101.103
171650
6
S
+
= =
Vậy
171650.S =
Ví dụ 2: Tính tổng
1.4 4.7 7. 10 .. 2017.2020S = + + + +
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 3. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 9) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
Ta có:
9 1.4.9 4.7.9 7.10.9 .. 2017.2020.9S = + + + +
( ) ( )
1.4.(7 2) 4.7. 10 – 1 7.10. 13 – 4 2017.2020.(2023 2. ). 014.= + + + −++
1 .4.7 + 1.4.2 4.7.10 1.4.7 7.10.13 4.7.10. ... + 2017.2020.2023 - 2014.2017.2020= + − + −
8 2017.2020.2023=+
17
8 2017.2020.2023
915821092
9
S
+
= =
Vậy
915821092.S =
Dạng 10: Tổng có dạng
2 3 2 3 4 3 4 5 2 1
1. ...
n n n
S a a a a a a a a a a a
−−
= + + + +
Trong đó
2 3 2 4 3 1
1 ...
nn
a a a a a a a k
−
− = − = − = = − =
1 ( 1)
n
a n k = + −
.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhân hai vế với
4k
, rồi tách
4k
ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo
thành những số tự triệt tiêu nhau.
2 3 2 3 4 3 4 5 2 1
1. ...
n n n
S a a a a a a a a a a a
−−
= + + + +
2 3 2 3 4 5 3 4 5 6 2 2 1 1 3
4 1. .4 ( 1) ( ) ... ( )
n n n n n
kS a a k a a a a a a a a a a a a a a
− − + −
= + − + − + + −
2 3 2 3 4 5 2 3 4 3 4 5 6 2 3 4 5 2 1 1 3 2 1
4 4 . ...
n n n n n n n n
kS k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
− − + − − −
= + − + − + + −
2 1 1 2 3 2 3 4
4 4 .
n n n n
kS a a a a k a a a a a
− − +
= + −
2 1 1 2 3 2 3 4
4.
(*)
4
n n n n
a a a a k a a a a a
S
k
− − +
+−
=
.
Ví dụ: Tính tổng
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 98.99.100S = + + + +
Phân tích
Vì khoảng cách giữa các số trong một số hạng là
1
nên ta nhân
4
vào hai vế để tính S.
Lời giải
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 98.99.100S = + + + +
4 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) ... 98.99.100.(101 97)S = + − + − + + −
4 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 ... 98.99.100.101 97.98.99.100S = + − + − + + −
4 98.99.100.101S =
4 97990200S =
24497550S =
Ví dụ 2: Tính tổng
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 17.18.19S
.
Lời giải
Ta có:
4 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 3.4.5 6 2 ... 17.18.19 20 16S
1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 ... 17.18.19.20 16.17.18.19
17.18.19.20 116280
.
Do vậy
116280
29070
4
S
.
18
Ví dụ 3: Tính tổng
1.3.5 3.5.7 5.7.9 ... 95.97.99S
.
Lời giải
Ta có:
8 1.3.5 7 1 3.5.7 9 1 5.7.9 11 3 ... 95.97.99 101 93S
1.3.5.7 1.3.5 3.5.7.9 1.3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 ... 95.97.99.101 93.95.97.99
1.3.5 95.97.99.101 92140800
.
Do vậy
92140800
11517600
8
S
.
Ví dụ 4: Tính tổng
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 ... 19.20.21.22S
.
Lời giải
Ta có:
5 1.2.3.4 5 0 2.3.4.5 6 1 3.4.5.6 7 2 ... 19.20.21.22 23 18S
1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 1.2.3.4.5 3.4.5.6.7 2.3.4.5.6 ... 19.20.21.22.23 18.19.20.21.22
19.20.21.22.23 4037880
Do vậy
4037880
807576
5
S
.
Ví dụ 5: Tính tổng
1 1 1 1
...
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10
S
.
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
...
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10
S
1 1 1 1 1 1 1
...
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10
1 1 1 119
3 1.2.3 8.9.10 2160
.
Dạng 11: Tổng có dạng
3 3 3
1 2 3 ...An= + + + +
( )
*n
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phân tích công thức của từng số hạng trong tổng thành
( ) ( )
11n n n−+
để thành tổng quen thuộc:
( ) ( )
1.2.3 2.3.4 ... 1 1S n n n= + + + − +
Cụ thể:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

= − + = − + = − + − + = − + − + = − + +



Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 3 ... 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 . . 14 .1A n n n n n= + + + + = + + + + + + + + − + +
19
( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 1 1n n n n= + + + + + + + + + − +


Đặt
( )
1
1 2 3 ...
2
nn
Bn
+
= + + + + =
( ) ( )
1.2.3 2.3.4 4.5.6 ... 1 1C n n n= + + + + − +
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 1.2.3.4 2.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 .. 1 1 . 2 2C n n n n n= + − + − + − + + − −


( ) ( )( )
4 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 .... 1 1 2C n n n n= + + + + − + +


( ) ( ) ( )
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 .... 2 . 1 1n n n n− + + + + − − +


( ) ( )( )
1 1 2n n n n= − + +
( ) ( )( )
1 1 2
4
n n n n
C
− + +
=
( ) ( ) ( )( )
1 1 1 2
24
n n n n n n
A B C
+ − + +
= + = +
( )
2
2
1
4
nn+
=
.
Tổng quát:
3 3 3
1 2 3 ...An= + + + +
( )
2
2
1
4
nn+
=
với
*n
.
Ví dụ 1: Tính tổng
3 3 3
1 2 3 ... 10A = + + + +
Phân tích
Ta áp dụng dạng toán trên với
10n =
Lời giải
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

= − + = − + = − + − + = − + − + = − + +



Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 3 ... 10 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 ... 9.10.11 104A= + + + + = + + + + + + + + +
( ) ( )
1 2 3 ... 10 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 9.10.11= + + + + + + + + +
Đặt
10.11
1 2 3 ... 10 5.11 55
2
B = + + + + = = =
1.2.3 2.3.4 4.5.6 ... 9.10.11C = + + + +
Khi đó,
4 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) ... 9.10.11.(12 8)C = + − + − + + −
( )
4 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 .... 9.10.11.12C = + + + +
( )
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 .... 8.9.10.11− + + + +
9.10.11.12=
9.10.11.12
2970
4
C ==
55 2970 3025A B C= + = + =
.
Ví dụ 2: Tính tổng
3 3 3
1 2 3 ... 100A = + + + +
20
Phân tích
Ta áp dụng dạng toán trên với
100n =
Lời giải
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

= − + = − + = − + − + = − + − + = − + +



Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 3 ... 100 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 ... 99.100.101 1004A= + + + + = + + + + + + + + +
( ) ( )
1 2 3 ... 100 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 99.100.101= + + + + + + + + +
Đặt
100.101
1 2 3 ... 100 50.101 5050
2
B = + + + + = = =
1.2.3 2.3.4 4.5.6 ... 99.100.101C = + + + +
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 99.100.101
4 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) ... 99.100.101.(102 98)
C
C
= + + + +
= + − + − + + −
( )
4 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 .... 99.100.101.102C = + + + +
( )
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 .... 98.99.100.101− + + + +
99.100.101.102=
99.100.101.102
99.25.101.102 25497450
4
C = = =
5050 25497450 25502500A B C= + = + =
.
Ví dụ 3: Tính tổng
3 3 3 3
2 4 6 ... 200A = + + + +
Phân tích
Phân tích
3 3 3
2 2 .1=
;
3 3 3
4 2 .2=
;
3 3 3
6 2 .3=
;...;
3 3 3
200 2 .100=
.
Khi đó
( )
3 3 3 3
2 . 1 2 3 ... 100A = + + + +
Lời giải
Ta có
( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 4 6 ... 200 2 .1 2 .2 2 .3 ... 2 .100 2 . 1 2 3 ... 100A = + + + + = + + + + = + + + +
Theo kết quả ví dụ 2 thì
3
2 .25497450 203979600A ==
.
Ví dụ 4: Tìm số nguyên x, biết:
( )
2
3 3 3 3
2 2 1 2 3 ... 6x − = + + + +
Phân tích
Tính giá trị vế phải rồi thay vào tìm
x
.
Lời giải
Đặt
3 3 3 3
1 2 3 ... 6A = + + + +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

= − + = − + = − + − + = − + − + = − + +



21
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 3 ... 11 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 3 ... 10.11.12 11A= + + + + = + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 3 ... 11 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 4 4.5.6 5 5.6.7 6A= + + + + = + + + + + + + + + +
( ) ( )
1 2 3 ... 11 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 10.11.12= + + + + + + + + +
11.12
1 2 3 ... 11 66
2
B = + + + + = =
1.2.3 2.3.4 4.5.6 ... 10.11.12C = + + + +
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 10.11.12
4 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) ... 10.11.12.(13 9)
C
C
= + + + +
= + − + − + + −
( )
34 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4. .5.6 .... 10.11.12 1C = + + + +
( )
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4. 2.5.6 .... 10.11 19.− + + + +
10.11.12.13=
10.11.12
0429
4
.13
C ==
66 4290 4356A B C= + = + =
Phân tích
A
ra thừa số nguyên tố ta có:
2 2 2
2 .3 .11A =
nên
2
66A =
Theo bài toán ta có
( )
2
2
2 2 66x −=
2 2 66x − =
hoặc
2 2 66x− = −
34x=
hoặc
32x =−
Vậy
34;x =
32x =−
Ví dụ 5: Không tính ra kết quả hãy so sánh
3 3 3 3
1 2 3 ... 99A = + + + +
và
1.2.3 2.3.4 ... 98.99.100B = + + +
Phân tích
Biến đổi biểu thức
A
theo biểu thức
B
dựa vào cách làm trong hướng dẫn của các ví dụ 1,2,3.
Lời giải
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

= − + = − + = − + − + = − + − + = − + +



Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 3 ... 99 1 1.2.3 2 2.3.4 3 3.4.5 ... 98.99.100 93 9A= + + + + = + + + + + + + + +
( ) ( )
1 2 3 ... 99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 98.99.100= + + + + + + + + +
( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 98.99.100 + + + +
AB
22
A. Dạng 13: Liên phân số
Ví dụ 1: Viết kết quả các biểu thức sau dưới dạng phân số
20
1
2
1
3
1
4
5
A =
+
+
+
.
Lời giải
Ta có
20 20 20 20 20 20 1360
1 1 1 1 21 157
157
2 2 2 2 2
1 1 5 68
68 68
3 3 3
1 21
21 21
4
55
A = = = = = = =
+ + + + +
+ + +
+
.
Ví dụ 2: Tính nhanh
5 5 4
10101.
111111 222222 3.7.11.13.37

+−


.
Lời giải
Ta có
5 5 4
10101.
111111 222222 3.7.11.13.37

+−


5 5 4
10101.
11 10101 22 10101 11 10101

= + −


5 5 4 1 5 7
.
11 22 11 11 22 22
= + − = + =
Ví dụ 3: Tìm
*
,ab
, biết
329 1
1
1051
3
1
5
1
a
b
=
+
+
+
.
Lời giải
Ta có
329 1 1 1
1 1051 1
1051
33
11
329
55
11
aa
bb
= =
++
++
++
1051 1 64 1
3 3 3
11
329 329
55
11
aa
bb
= + + = +
++
++
11
329 1
5
1
64
a
b
=
+
+
329 1
5
1
64
a
b
= +
+
91
55
1
64
a
b
+ = +
+
91
1
64
a
b
=
+
11
64 1
9
a
b
=
+
64 1
9
a
b
= +
11
7.
9
a
b
+ = +
Vậy
7; 9ab==
.
23
Ví dụ 4: Tìm
x
biết
2 85
7
2
11
7
2
7
2
7
2
7
1
3x
+=
+
+
+
+
−
.
Lời giải
Ta có
2 85
7
2
11
7
2
7
2
7
2
7
1
3x
+=
+
+
+
+
−
28
2
11
7
2
7
2
7
2
7
1
3x
=
+
+
+
+
−
2 11
7
2
4
7
2
7
2
7
1
3x
+ =
+
+
+
−
2 17
2
4
7
2
7
2
7
1
3x
−
=
+
+
+
−
28
7
2
17
7
2
7
1
3x
−
+ =
+
+
−
2 127
2
17
7
2
7
1
3x
−
=
+
+
−
2 34
7
2
127
7
1
3x
−
+ =
+
−
2 923
2
127
7
1
3x
−
=
+
−
2 254
7
1
923
3x
−
+ =
−
2 6715
1
923
3x
−
=
−
1 1846
3 6715x
−
=
−
6715
3
1846
x
−
− =
1177
1846
x
−
=
.
Ví dụ 5: Rút gọn
1 1 1
100 1 ...
2 3 100
1 2 3 99
...
2 3 4 100

− + + + +


+ + + +
.
Lời giải
Ta có
( )
1 1 1 1 1 1
100 1 ... 1 1 1 1 ... 1
2 3 100 2 3 100
1 2 3 99 1 2 3 99
... ...
2 3 4 100 2 3 4 100
− + + + + − + − + − + + −
=
+ + + + + + + +
.
24
1 2 3 99
...
2 3 4 100
1
1 2 3 99
...
2 3 4 100
+ + + +
==
+ + + +
III. BÀI TẬP
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều
Bài 1: Tính tổng
1 2 3 4 ... 2000S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
1d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
2000 1 :1 1 2000
.
Tổng
1 2000 .2000:2 2001000S
.
Bài 2: Tính tổng
2 4 6 ... 2020 2022S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
2d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
2022 2 :2 1 1011
.
Tổng
2 2022 .1011:2 1023132S
.
Bài 3: Tính tổng
4 14 24 ... 1004 1014S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
10d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
1014 4 :10 1 102
.
Tổng
4 1014 .102:2 51918S
.
Bài 4: Tính tổng
4 5 101
1 2 ... 34
3 3 3
S
.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với
1
3
d
.
Lời giải
Số số hạng của dãy là
1
34 1 : 1 100
3
.
Tổng
1 34 .100:2 1750S
.
Dạng 2: Tổng có dạng
23
1 ...
n
S a a a a= + + + + +
Bài 1. Tính tổng
2 3 1000
1 4 4 4 ... 4S = + + + + +
.
25
Lời giải
Ta có
2 3 4 1001
4 4 4 4 4 ... 4S = + + + + +
.
Vậy
1001
4 3 4 1S S S− = = −
.
Suy ra
1001
41
3
S
−
=
.
Bài 2. Tính tổng
2 3 4 99 100
1 1 1 1 1 1
1 ...
2 2 2 2 2 2
S = + + + + + +
.
Lời giải
Ta có
2 3 98 99
1 1 1 1 1
2 2 1 ...
2 2 2 2 2
S = + + + + + + +
.
Vậy
100
1
22
2
S S S− = = −
.
Bài 3. Tính tổng
2 3 4 99 100
1 1 1 1 1 1
...
3 3 3 3 3 3
S = + + + + +
.
Lời giải
Ta có
2 3 98 99
1 1 1 1 1
3 1 ...
3 3 3 3 3
S = + + + + + +
.
Vậy
100
1
3 2 1
3
S S S− = = −
.
Suy ra
100
11
1
23
S

=−


.
Bài 4. Chứng minh
234
1 1 1 1
... 1
2 2 2 2
n
+ + +
.
Lời giải
Ta có
2 3 1
1 1 1 1
2 ...
2 2 2 2
n
S
−
= + + + +
.
Vậy
11
21
22
n
S S S− = = −
.
Bài 5. Chứng minh
2 3 100
3 3 3 ... 3S = + + + +
chia hết cho 40.
Phân tích:
+ ) Ta thấy
234
3 3 3 3 40+ + + =
+) Tổng trên có
100 1
1 100
1
−
+=
số hạng.
Lời giải
26
Ta có
( ) ( )
2 3 4 97 98 99 101
3 3 3 3 ... 3 3 3 3S = + + + + + + + +
.
( ) ( ) ( )( )
2 3 97 2 3 2 3 97
3 1 3 3 3 ... 3 1 3 3 3 1 3 3 3 3 ... 3S = + + + + + + + + = + + + + +
Suy ra
S
chia hết cho 40 vì
23
1 3 3 3 40+ + + =
.
Dạng 3: Tính tổng có dạng
2 4 6 2
1 .......
n
A a a a a= + + + + +
Bài 1: Tính tổng sau:
2 4 6 98 100
1 1 1 1 1 1
1 ...
2 2 2 2 2 2
B = + + + + + + +
Lời giải
Ta có:
2 4 6 98 100
1 1 1 1 1 1
1 ...
2 2 2 2 2 2
B = + + + + + + +
Đặt
2 4 6 98 100
1 1 1 1 1
1 ...
2 2 2 2 2
C = + + + + + +
Ta có:
2 2 4 6 8 100 102
2 2 4 6 98 100 2 4 6 8 100 102
102 102 102
102 102 102 100
1 1 1 1 1 1 1
. ...
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ... ...
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 3 2 1
. 1 :
4 2 2 2 4 3.2
C
CC
CC
= + + + + + +
− = + + + + + + − + + + + + +
− − −
= − = = =
Do đó:
102 99 102 99 102 99
100 100 100 100 99
1 1 2 1 3.2 2 1 3.2 2 1 7.2 1
2 2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2
BC
− − + − −
= + = + = + = =
Bài 2. Chứng minh rằng:
2 4 4
4 6 2 2
77
7 7 .....7
48
n
n
+
+
−
+ + =
Lời giải
Đặt
4 6 2 2
7 7 .....7
n
A
+
= + +
(1). Nhân cả hai vế của (1) với
2
7
ta được:
2 6 8 2 4
7 . 7 7 .....7
n
A
+
= + +
(2).
Lấy
( ) ( )
21−
theo vế ta được:
( ) ( )
2 6 8 2 4 4 6 2 2
2 4 4
2 4 4
7 . 7 7 .....7 7 7 .....7
77
48. 7 7
48
nn
n
n
AA
AA
++
+
+
− = + + − + +
−
= − =
Bài 3. Chứng minh rằng:
( )
2
2 4 6 100 2
100
1
..... .
1
x
x x x x x
x
−
+ + + =
−
Lời giải
Đặt
2 4 6 100
.....A x x x x= + + +
27
( ) ( )
( )
( )
2 4 6 8 102
2 4 6 8 102 2 4 6 100
2 100
102 2
2 102 2
22
. .....
. ..... .....
1
.1
11
x A x x x x
x A A x x x x x x x x
xx
xx
A x x x A
xx
= + + +
− = + + + − + + +
−
−
− = − = =
−−
Do đó
( )
( )
2 100
22
2 4 6 100 2
100 2 100
1
11
..... . .
1 1 1
xx
xx
x x x x x
x x x
−
−−
+ + + = =
− − −
(đpcm)
Bài 4. So sánh:
2 4 90
1 8 8 ..... 8+ + + +
với
40
63 1
63
−
.
Lời giải
Đặt
2 4 90
1 8 8 ..... 8D = + + + +
( ) ( )
2 2 4 92
2 2 4 92 2 4 90
92 46 40
92
8 . 8 8 ...8
8 . 8 8 ...8 1 8 8 ..... 8
8 1 64 1 63 1
63. 8 1
63 63 63
D
DD
DD
= + +
− = + + − + + + +
− − −
= − = =
Vậy
40
2 4 90
63 1
1 8 8 ..... 8
63
−
+ + + +
.
Bài 5. Chứng minh rằng:
2 4 200
1 6 6 ..... 6+ + + +
chia hết cho 37.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 200 2 4 6 198 200
2 4 2 198 2
4 198
1 6 6 ..... 6 1 6 6 6 ..... 6 6
1 6 6 . 1 6 .... 6 . 1 6
37 6 .37 ...... 6 .37
+ + + + = + + + + + +
= + + + + + +
= + + +
Vậy
2 4 200
1 6 6 ..... 6+ + + +
chia hết cho 37
Dạng 4: Tính tổng
3 5 2 1
...
n
S a a a a
−
= + + + +
, với
1, ; 1n n N a
.
Bài 1. Cho
3 5 27
5 5 5 ... 5A = + + + +
a) Tính giá trị của
A
b) Chứng minh
A
chia hết cho
26
.
Lời giải
a) Áp dụng công thức
21
3 5 2 1
2
...
1
n
n
aa
a a a a
a
+
−
−
+ + + + =
−
với
14; 5na==
ta được :
29 29
3 5 27
2
5 5 5 5
5 5 5 ... 5
5 1 24
A
−−
= + + + + = =
−
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 27 3 5 7 25 27 2 5 2 25 2
5 5 5 ... 5 5 5 5 5 ... 5 5 5 1 5 5 1 5 ... 5 1 5A = + + + + = + + + + + + = + + + + + +
28
( )( ) ( )
2 5 9 25 5 9 25
1 5 5 5 5 ... 5 26 5 5 5 ... 5A = + + + + + = + + + +
Vậy
A
chia hết cho
26
.
Bài 2. Cho biểu thức
3 5 2 1
3 5 2 1
2 2 2 ... 2
3 3 3 ... 3
x
x
B
−
−
+ + + +
=
+ + + +
. Chứng minh
( )
( )
2
2
16 2 1
9 3 1
x
x
B
−
=
−
,
1,x x N
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
3 5 2 1 2 1 2 2 1
3 5 2 1 2 2 1 2 1
2
16 2 1
2 2 2 ... 2 2 2 3 1 2 2 8
..
3 3 3 ... 3 2 1 3 3 3 3 3
9 3 1
x
x x x
x x x
x
B
− + +
− + +
−
+ + + + − − −
= = = =
+ + + + − − −
−
.
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức
27 so 1
1 111 11111 ... 111...1C = + + + +
Lời giải
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
3 27 3 27
27 so 9
9 9 999 999 ... 999...9 10 1 10 1 ... 10 1 10 10 ... 10 14= + + + + = − + − + + − = + + + −C
29 29 29
2
10 10 10 1396 10 1396
9 14
10 1 99 891
CC
− − −
= − = =
−
Bài 4. Cho
3 5 2 1
8 8 8 ... 8
x
D
+
= + + + +
,
1,x x N
. Tìm
x
để
51
63 8 2+=D
.
Lời giải
Ta có:
2 3 2 3
3 5 2 1
2
8 8 8 8
8 8 8 ... 8
8 1 63
++
+
−−
= + + + + = =
−
xx
x
D
.
Do đó
51 2 3 17 2 3 17
63 8 2 8 8 8 8 8 8 2 3 17 7
++
+ = − = − = + = =
xx
D x x
.
Bài 5. Cho
3 5 101
7 7 7 ... 7E = + + + +
. Chứng minh
103
77−
chia hết cho
48
và
E
chia hết cho
19
.
Lời giải
+ Ta có
103 103
103
2
7 7 7 7
.48 7 7
7 1 48
EE
−−
= = = −
−
Vậy
103
77−
chia hết cho
48
+ Ta có
( ) ( ) ( )
3 5 101 2 4 7 2 4 97 2 4
7 7 7 ... 7 7 1 7 7 7 1 7 7 ... 7 1 7 7E = + + + + = + + + + + + + + +
( )( ) ( ) ( )
2 4 7 13 97 7 13 97 7 13 97
1 7 7 7 7 7 ... 7 2451 7 7 7 ... 7 3.19.43 7 7 7 ... 7E = + + + + + + = + + + + = + + + +
Vậy
A
chia hết cho
19
.
Dạng 5: Tổng có dạng:
( )
1.2 2.3 3.4 ... 1S n n= + + + + +
.
Bài 1. Tính tổng:
1.4 4.7 7.10 ... 37.40 40.43D = + + + + +
Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 3.
29
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
D
với 9 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 9 này được viết dưới dạng
( )
72+
ở số
hạng thứ nhất,
( )
10 1−
ở số hạng thứ hai,
( )
13 4−
ở số hạng thứ ba, …,
( )
46 37−
ở số hạng cuối
cùng.
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9 1.4. 7 2 4.7. 10 1 7.10. 13 4 ... 37.40. 43 34 40.43. 46 37D = + + − + − + + − + −
( ) ( )
1.4.2 1.4.7 4.7.10 7.10.13 ... 37.40.43 40.43.46 1.4.7 4.7.10 ... 37.40.43= + + + + + + − + + +
9 8 40.43.46 79128D = + =
.
Suy ra:
79128
8792
9
D ==
.
Bài tập tương tự:
Tính tổng:
1.5 5.9 9.13 ... 201.205T = + + + +
.
Hướng dẫn: Nhân
T
với 12.
Đáp số:
717655T =
.
Bài 2. Tính tổng:
2.4 4.6 6.8 ... 98.100E = + + + +
Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
E
với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số).
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
6 2.4. 6 0 4.6. 8 2 6.8. 10 4 ... 98.100. 102 96E = − + − + − + + −
( ) ( )
2.4.6 4.6.8 6.8.10 ... 98.100.102 0.2.4 2.4.6 4.6.8 ... 96.98.100= + + + + − + + + +
98.100.102=
.
Suy ra:
98.100.102
166600
6
E ==
.
Bài 3. Tính tổng:
1.99 2.98 3.97 ... 98.2 99.1F = + + + + +
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1.99 2. 99 1 3. 99 2 ... 98. 99 97 99. 99 98F = + − + − + + − + −
( ) ( )
1.99 2.99 3.99 ... 98.99 99.99 1.2 2.3 ... 97.98 98.99= + + + + + − + + + +
98.99.100
99(1 2 3 ... 99)
3
= + + + + −
30
99.100 98.99.100
99.
23
=−
99 98
99.100.
23

=−


99.100.101
6
=
.
Bình luận:
Trong bài tập 3, thừa số trong số hạng đứng trước không được lặp lại trong số hàng đứng sau, nên ta
không nhân
F
với ba lần khoảng cách giữa hai thừa số nữa mà tách một thừa số trong tích làm xuất
hiện các tổng mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Bài toán tổng quát:
( ) ( ) ( )
( )( )
12
1. 2 1 3 2 ... 1 .2 .1
6
n n n
n n n n n
++
+ − + − + + − + =
Bài 4. Tính tổng:
1.2 3..4 5.6 ... 99.100G = + + + +
.
Lời giải:
• Cách 1:
Ta có:
( ) ( ) ( )
1.2 2 1 .4 4 1 .6 ... 98 1 .100G = + + + + + + +
( ) ( )
2.4 4.6 ... 98.100 2 4 6 ... 100= + + + + + + + +
98.100.102 102.50
62
=+
169150=
.
• Cách 2:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1. 3 1 3. 5 1 5. 7 1 ... 99. 101 1G = − + − + − + + −
( ) ( )
1.3 3.5 5.7 ... 99.101 1 3 5 7 ... 99= + + + + − + + + + +
3 99.101.103 100.50
62
+
=−
169150=
.
Bài tập tương tự:
Tính tổng:
1
1.4 2.5 3.6 ... 99.102G = + + + +
;
Hướng dẫn:
( ) ( ) ( ) ( )
1
1. 2 2 2. 3 2 3. 4 2 ... 99. 100 2G = + + + + + + + +
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 ... 99.100 2. 1 2 3 4 ... 99= + + + + + + + + + +
343200=
.
31
Dạng 6: Tổng có dạng:
2 2 2 2
1 2 3 .... n+ + + +
Bài 1. Tính
2 2 2 2 2
101 102 103 ... 199 200C = + + + + +
Lời giải:
Ta có:
Đặt:
2 2 2 2
1
2 2 2 2
2
1 2 3 ... 200
1 2 3 ... 100
C
C
= + + + +
= + + + +
Khi đó ta áp dụng công thức tổng quát để tính
12
;CC
Từ đó:
12
C C C=−
Ta có:
( )
1
200.201. 2.200 1
2686700
6
C
+
==
( )
2
100.101. 2.100 1
338350
6
C
+
==
12
2686700 338350 2348350C C C = − = − =
Bài 2. Tìm số tự nhiên
n
biết tổng các bình phương các số tự nhiên từ
1
đến
n
là 506.
Lời giải:
Vì tổng tổng các bình phương các số tự nhiên từ
1
đến
n
là 506 nên
2 2 2
1 2 ... 506n+ + + =
( )( )
1 2 1
506
6
n n n++
=
( )( )
1 2 1 22.23.6n n n + + =
( )( )
1 2 1 11.2.23.6n n n + + =
( )( )
1 2 1 11.12.23n n n + + =
( )( ) ( )( )
1 2 1 11 11 1 2.11 1n n n + + = + +
11n=
Dạng 7: Tổng có dạng
2 2 2 2
1 3 5 (2 1)Sk= + + ++ −
Bài 1 : Tính tổng
2 3 4 99 100
1 2 2 2 2 ... 2 2A = − + − + − − +
Lời giải :
2 3 4 99 100
1 2 2 2 2 ... 2 2A = − + − + − − +
32
2 3 4 5 100 101
2 2 2 2 2 2 2 2A = − + − + − +
101
101
21
2 2 1
3
A A A
+
+ = + =
Bài 2. Tìm n nhỏ nhất sao cho tổng của n số chính phương lẻ đầu tiên chia hết cho 3
Lời giải :
Ta có
2 2 2 2
(2 1)(2 1)
1 3 5 (2 1)
3
n n n
An
−+
= + + ++ − =
Mà
(2 1,2 1) 2;( ,2 1) 1;( ,2 1) 1n n n n n n− + = − = + =
nên trong 3 số
,2 1,2 1n n n−+
chỉ có 1 số chia
hết cho 3 , mà muốn A chia hết cho 3 thì 1 trong 3 số trên phải chia hết cho 9. Để
n
nhỏ nhất thì
2 1 9n+=
. Suy ra
4n =
.
Vậy
4n =
là số cần tìm
Bài 3 : Tính tổng
1.3 3.7 5.11 ... 99.199A= + + + +
Lời giải :
Ta có
2
(2 1)(4 1) 2(2 1) 2 1n n n n− − = − + −
2 2 2 2
2(1 3 5 ... 99 ) (1 3 5 ... 99)A = + + + + + + + + +
2
50(100 1)(100 1)
50 166650 2500 164150
3
A
−+
= − = − =
Bài 4 : Tính tổng
1.2 3.4 ... 2(2 1)( 1)A n n= + + + + +
Lời giải :
Ta có
22
(2 1)(2 2) 4 6 2 (2 1) 2 1n n n n n n+ + = + + = + + +
2 2 2
(1 3 ... (2 1) ) (1 3 ... (2 1))A n n = + + + + + + + + +
2
( 1)(2 1)(2 3)
( 1)
3
nnn
An
+++
= + +
2
( 1)(4 8 3 3 3)
3
n n n n
A
+ + + + +
=
( 1)(4 3)( 2)
3
n n n
A
+ + +
=
Dạng 8: Tổng có dạng:
( )
2
2 2 2
S 2 4 6 ... k 1= + + + + −
(k lẻ và
k
)
Bài 1. Tính tổng
2 2 2 2
D 6 8 10 ... 102= + + + +
Phân tích: Sử dụng công thức
( )
2
2 2 2
S 2 4 6 ... k 1= + + + + −
( ) ( )
k 1 .k. k 1
6
−+
=
với
k 103=
33
Lời giải
Áp dụng công thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
k 1 .k. k 1
S 2 4 6 ... k 1
6
−+
= + + + + − =
với
k 103=
. Ta được:
2 2 2 2
102.103.104
S 2 4 6 ... 102 182104
6
= + + + + = =
.
Mặt khác:
2 2 2 2 2
S 2 4 6 8 ... 102= + + + + +
22
24D= + +
Suy ra:
22
D S 2 4= − −
22
182104 2 4= − −
182084=
.
Bài 2. Tính tổng
2 2 2
E 12 14 ... 2010= + + +
.
Phân tích: Sử dụng công thức
( )
( ) ( )
2
2 2 2
k 1 .k. k 1
S 2 4 6 ... k 1
6
−+
= + + + + − =
.
Tính
( )
2
22
1
E 2 4 ... k 1= + + + −
với
k 11=
.
Tính
( )
2
2 2 2
2
E 2 4 6 k 1= + + + −
với
k 2010=
.
Khi đó:
21
E E E=−
.
Lời giải
Áp dụng công thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
k 1 .k. k 1
S 2 4 6 ... k 1
6
−+
= + + + + − =
.
Đặt
2 2 2 2
1
10.11.12
E 2 4 6 ... 10
6
= + + + + =
.
Đặt
2 2 2 2
2
E 2 4 6 2010= + + +
2010.2011.2012
6
=
.
Khi đó:
21
2010.2011.2012 10.11.12
E E E
66
= − = −
1355454000=
.
Bài 3. Tính tổng:
2 2 2 2
F 1 2 3 ... 101= + + + +
.
Phân tích: Tổng F có dạng
( ) ( )
2 2 2 2
n. n 1 . 2n 1
P 1 2 3 ... n
6
++
= + + + + =
với
n 101=
.
Lời giải
Áp dụng công thức:
( ) ( )
2 2 2 2
n. n 1 . 2n 1
P 1 2 3 ... n
6
++
= + + + + =
với
n 101=
.
Ta được:
2 2 2 2
101.102.203
F 1 2 3 ... 101 348551
6
= + + + + = =
.
Bài 4. Tính tổng:
G 1 4 9 16 25 ... 10000= + + + + + +
.
Phân tích: Tổng
2 2 2 2 2
G 1 2 3 4 5 ... 100= + + + + + +
.
34
Áp dụng dạng
( ) ( )
2 2 2 2
n. n 1 . 2n 1
P 1 2 3 ... n
6
++
= + + + + =
với
n 100=
.
Lời giải
Áp dụng công thức:
( ) ( )
2 2 2 2
n. n 1 . 2n 1
P 1 2 3 ... n
6
++
= + + + + =
với
n 100=
. Ta được:
2 2 2 2 2
100.101.201
1 2 3 4 5 ... 100 338350
6
+ + + + + + = =
.
Suy ra:
1 4 9 16 25 ... 10000 338350+ + + + + + =
.
Vậy
G 338350=
.
Bài 5. Tính tổng
2 2 2 2 2 2 2
K 1 2 3 4 5 ... 19 20= − + − + − + − +
.
Phân tích: Tính
2 2 2 2
1
K 1 3 5 ... 19= + + + +
.
Tính
2 2 2 2
2
K 2 4 6 .... 20= + + + +
.
Tính
12
K K K= − +
.
Lời giải
Đặt
2 2 2 2
1
19.20.21
K 1 3 5 ... 19
6
= + + + + =
.
Đặt
2 2 2 2
2
20.21.22
K 2 4 6 ... 20
6
= + + + + =
.
Khi đó:
2 2 2 2 2 2 2
12
K K K 1 2 3 4 5 ... 19 20= − + = − + − + − + − +
19.20.21 20.21.22
66
= − +
210=
.
Bài 6. Biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 ... 10 385+ + + + =
. Tính tổng
2 2 2 2
M 2 4 6 ... 20= + + + +
.
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2
M 2 4 6 ... 20= + + + +
.
Suy ra:
2 2 2
2
M
1 2 3 ... 10
2
= + + + +
.
Mà
2 2 2 2
1 2 3 ... 10 385+ + + + =
.
Nên
2
M
385
2
=
.
Vậy
2
M 2 .385 1540==
.
Dạng 9: Tổng có dạng
5
1 2 2 3 3 4 4 1
. . . . . .
n
n
S a a a a a a a a a a
−
= + + + + +
Bài 1. Tính tổng
1.2 2.3 3.4 .. 99.100S = + + + +
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
35
Ta có:
3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 .. 99.100.3S = + + + +
( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 – 1 3.4. 5 – 2 99.100(... 101 98)+= + + −+
1 .2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ... 98.99.100 99.100.101= − + − + − − +
99.100.101
33. 100 . 101 333300.
3
S = = =
Vậy
333300.S =
Bài toán tổng quát:
Tính tổng
1.2 2.3 3.4 .. ( 1).S n n= + + + + −
Ta có:
3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 .. ( 1) .3S n n= + + + + −
( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 – 1 3.4. 5 – 2 ( 1) . (. 1) (.. 2)n n n n= + + − −+ +−+
1 .2( 1). .( 1).3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ... ( 2).( 1). ( 1). .( 1)n n n n n n n n n= − + − + − + − − − − + − +
( 1). .( 1)n n n= − +
( ) ( )
– 1 . . 1
3
n n n
S
+
=
Vậy:
( 1) ( 1)
1.2 2.3 3.4 .. ( 1).
3
n n n
S n n
−+
= + + + + − =
.
Bài 2. Tính tổng
2.6 6.10 10. 14 .. 46.50S = + + + +
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
Ta có:
12 2.6.12 6.10.12 10.14.12 .. 46.50.12S = + + + +
( ) ( )
2.6.(10 2) 6.10. 14 – 2 1 ..0.14. 18 – 6 46.50.(54 42).= + + + −++
2.6.10 + 2.6.2 6.10.14 2.6.10 10.14.18– 6.10.14 +....+46.50.54 42.46.50= + − + −
24 46.50.54=+
24 46.50.54
10352
12
S
+
= =
Vậy
10352.S =
Bài 3. Tính tổng
4.9 9.14 ... 44.49S = + + +
36
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 5. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 15) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
Ta có:
15 4.9.15 9.14.15 ... 44.49.15S = + + +
4.9.(14 1) 9.14.(19 4) ... 44.49.(54 39)= + + − + + −
4.9.14 4.9.1 9.14.19 4.9.= + + −
14 .... 44.49.54 39.44.49+ + −
36 44.49.54=+
36 44.49.54
7764
15
S
+
= =
Vậy
7764.S =
Bài 4. Tính tổng
2.4 4.6 .. 48.50S = + + +
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
Ta có:
6 2.4.6 4.6.6 .. 48.50.6S = + + +
2.4.6 4.6. (8-2) .. 48.50.(52 46)= + + + −
2.4.6 4.6.8 - 4.6.2 .. 48.50.52 46.48.50= + + + −
48.50.52=
48.50.52
20800.
6
S = =
Vậy
20800.S =
Bài 5. Tính tổng
`1.5 5.9 .... 97.101S = + + +
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.
Lời giải
Ta có:
12 1.5.12 5.9.12 ... 97.101.12S = + + +
1.5.(9 3) 5.9.(13 1) ... 97.101.105 93.97.101= + + − + + −
37
1.5.9 1.5.3 5.9.13 1.5.9 ... 97.101.105 93.97.101= + + − + + −
97.101.105 1.5.3=+
1028700=
1028700
85725.
12
S = =
Vậy
85725.S =
Dạng 10: Tổng có dạng
2 3 2 3 4 3 4 5 2 1
1. ...
n n n
S a a a a a a a a a a a
−−
= + + + +
Trong đó
2 3 2 4 3 1
1 ...
nn
a a a a a a a k
−
− = − = − = = − =
1 ( 1)
n
a n k = + −
.
Bài 1. Tính tổng
1.3.5 3.5.7 7.9.11 ... 99.101.103M = + + + +
Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với
2
3, 2ak==
Lời giải
1.3.5 3.5.7 5.7.9 ... 99.101.103M = + + + +
8 1.3.5.8 3.5.7.(9 1) 5.7.9.(11 3) ... 99.101.103.(105 97)M = + − + − + + −
8 1.3.5.8 3.5.7.9 3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 ... 99.101.103.105 97.99.101.103M = + − + − + + −
8 1.3.5.8 3.5.7 99.101.103.105M = − +
8 108139200M =
13517400M =
Bài 2. Tính tổng
1.4.7 4.7.10 7.10.13 ... 100.103.106N = + + + +
Phân tích
Ta áp dụng dạng toán trên với
2
4, 3ak==
Khi đó
106
n
a =
106 1 ( 1)nk= + −
105 ( 1).3n=−
35 1n=−
36n =
Lời giải
1.4.7 4.7.10 7.10.13 ... 100.103.106N = + + + +
12 1.4.7.12 4.7.10.(13 1) 7.10.13.(16 4) ... 100.103.106.(109 97)N = + − + − + + −
12 1.4.7.12 4.7.10.13 4.7.10 7.10.13.16 4.7.10.13 ... 100.103.106.109 97.100.103.106N = + − + − + + −
12 100.103.106.109 1.4.7.12 4.7.10N = + −
12 119006256N =
9917188N =
Bài 3. Tính tổng
50.51.52 51.52.53 52.53.54 ... 98.99.100P = + + + +
38
Phân tích
Ta có
50.51.52 52.53.54 ... 98.99.100
(1.2.3 2.3.4 .... 98.99.100) (1.2.3 2.3.4 ... 49.50.51)
P = + + +
= + + + − + + +
Ta tính hai tổng sau
1.2.3 2.3.4 .... 98.99.100A= + + +
1.2.3 2.3.4 ... 49.50.51B = + + +
Lời giải
+) Tính tổng
1.2.3 2.3.4 .... 98.99.100A= + + +
.
Áp dụng ví dụ, ta tính được
24497550A=
1.2.3 2.3.4 ... 49.50.51B = + + +
Tương tự áp dụng công thức (*) với
1, , 51
k
k a k n= = =
ta có
49.50.51.52 4.1.2.3 2.3.4
1624350
4.1
B
+−
==
+) Tính
50.51.52 52.53.54 ... 98.99.100P = + + +
(1.2.3 2.3.4 .... 98.99.100) (1.2.3 2.3.4 ... 49.50.51)= + + + − + + +
AB=−
24497550 1624350=−
22873200=
Bài 4. Tính tổng
1.2.3 3.4.5 5.6.7 ... 99.100.101A= + + + +
Phân tích
Trong bài toán này, ta không nhân
A
với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm
xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Lời giải
1.2.3 3.4.5 5.6.7 ... 99.100.101A= + + + +
1.3.(5 3) 3.5.(7 3) 5.7.(9 3) ... 99.101.(103 3)A = − + − + − + + −
39
1.3.5 1.3.3 3.5.7 3.5.5 5.7.9 5.7.3 ... 99.101.103 99.101.3A= − + − + − + + −
(1.3.5 3.5.7 5.7.9 ... 99.101.103) 3.(1.3 3.5 5.7 ... 99.101)A = + + + + − + + + +
Từ đó ta có,
1.3.5 3.5.7 7.9.11 ... 99.101.103M = + + + +
1.3 3.5 5.7 ... 99.101N = + + + +
Áp dụng bài 1, ta tính được
13517400M =
Ta chỉ cần đi tính
1.3 3.5 5.7 ... 99.101N = + + + +
6 1.3.6 3.5.(7 1) 5.7.(9 3) ... 99.101.(103 97)N = + − + − + + −
6 1.3.6 3.5.7 3.5 5.7.9 3.5.7 ... 99.101.103 97.99.101N = + − + − + + −
6 1.3.6 3.5 99.101.103N = − +
6 1029900N =
171650N =
Do đó
3.A M N=−
13517400 3.171650A =−
13002450A=
Bình luận
Ta nhận thấy rằng cách tính
M
là nhân
M
với
4k
ở đó
k
là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi
số hạng của
M
có 3 thừa số, còn cách tính
N
cũng tương tự. Tuy nhiên để tính
N
ta nhân
N
với
3 lần khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi số hạng của N có 2 thừa số.
Bài toán tổng quát
*
1.2.3 3.4.5 ..... (2 1).2 .(2 1) ( , 2)A n n n n N n= + + + − +
.
Bài tập tương tự
Tính
1.2.3 3.4.5 ..... 49.51.53A= + + +
27.28.29 28.29.30 ..... 59.60.61B = + + +
.
40
Bài 5. Tính tổng
2 2 2
1.2 2.3 ... 99.100K = + + +
Phân tích
Trong bài toán này, tương tự bài 4 ta không nhân
K
với một số mà tách ngay một thừa số trong
mỗi số hạng làm xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Ở bài này ta tách
( )
2
. 1 1n n n= + −


với mỗi bình phương.
Lời giải
2 2 2
1.2 2.3 ... 98.99K = + + +
1.2.(3 1) 2.3.(4 1) .... 98.99.(100 1)K = − + − + + −
1.2.3 1.2 2.3.4 2.3 ... 98.99.100 98.99K = − + − + + −
(1.2.3 2.3.4 ... 98.99.100) (1.2 2.3 ... 98.99)K = + + + − + + +
Từ đó ta tính
1.2.3 2.3.4 ... 98.99.100
1.2 2.3 ... 98.99
A
B
= + + +
= + + +
+) Tính tổng
1.2.3 2.3.4 .... 98.99.100A= + + +
Áp dụng ví dụ , ta tính được
24497550A=
.
+) Tính tổng
1.2 2.3 ... 98.99B = + + +
.
Áp dụng Lý thuyết với
Áp dụng Lý thuyết, với
1, 99
k
k n a k= = =
(với mọi
1 kn
), ta tính được
98.99.100 3.1.2 2.3 98.99.100
323400
33
B
+−
= = =
Vậy
K A B=−
24497550 323400K =−
41
24174150K =
Bài toán tổng quát
2 2 2 *
1.2 2.3 ... ( 1). ( , 2)A n n n N n= + + + −
Bài tập tương tự
Tính
2 2 2
1.2 2.3 ..... 49.50A = + + +
Dạng 11: Tổng có dạng
3 3 3
1 2 3 ...An= + + + +
( )
*n
Bài 1: Tính tổng
3 3 3 3
1 2 3 ... (2 )An= + + + +
Lời giải :
3 3 3 3
1 2 3 ... (2 )An= + + + +
3 3 3 3 3 3
(1 (2 ) ) (2 (2 1) ) ... ( ( 1) )A n n n n= + + + − + + + +
2 2 2 2 2 2
(2 1)(1 2 (2 ) ) (2 1)(2 2.(2 1) (2 1) ) ... (2 1)( (2 ( 1)) ( 1) )A n n n n n n n n n n n n= + − + + + − − + − + + + − − − + +
2 2 2 2
(2 1)(1 2 3 ... (2 ) [2 (1 2 3 ... ) (1.2 2.3 ... ( 1) )]A n n n n n n= + + + + + − + + + + − + + + −
2
(2 1)(4 1) ( 1)( 1)
(2 1) ( 1)
33
n n n n n n
A n n n
+ + − +

= + − + +


2 2 2
8 6 1 3 3 1
(2 1).
3
n n n n n
A n n
+ + − − + −
=+
2
2
63
(2 1) ( (2 1))
3
nn
A n n n n

+
= + = +


Dạng 13: Liên phân số
Bài 1. Viết kết quả các biểu thức sau dưới dạng phân số
2
1
5
1
6
1
7
8
B =
+
+
+
.
Lời giải
2 2 2 2 2 2 700
1 1 1 1 57 1807
1807
5 5 5 5 5
1 1 8 350
350 350
6 6 6
1 57
57 57
7
88
B = = = = = = =
+ + + + +
+ + +
+
.
42
Bài 2. Tính nhanh
1 1 1 3 3 3 3
5
3 7 13 4 16 64 256
.
2 2 2 1 1 1
8
1
3 7 13 4 16 64
+ − − + −
+
+ − − + −
Lời giải
3 1 1 1
1 1 1 3 3 3 3 1 1 1
.1
5 5 1 3 5
4 4 16 64
3 7 13 4 16 64 256 3 7 13
. . . 1
2 2 2 1 1 1 1 1 1
1 1 1
8 8 2 4 8
11
2.
3 7 13 4 16 64 4 16 64
3 7 13

− + −
+ − − + − + −


+ = + = + =

+ − − + − − + −
+−


.
Bài 3. Tìm
*
, , ,a b c d
biết :
30 1
1
43
1
1
a
b
c
d
=
+
+
+
.
Lời giải
30 1 1 1
1 43 1
43
11
30
11
aa
bb
cc
dd
= =
++
++
++
1
13 1
43 1 13 1
1
1
30
11
30 30
1
11
a
aa
b
bb
c
cc
d
dd
=
=
= + + = +
+
++
+
++
2
13 1 30 1 4 1
41
2
1 1 1
30 13 13
1
13
1
b
bb
b c c
c
dd
d
c
d
=
= = + + = +
=
+ + +
+
+
3
4 1 13 1 1 1
3
1
4
13 4 4
c
cc
d
dd
c
d
=
= = + + = +
=
+
Vậy
1, 2, 3, 4a b c d= = = =
.
Bài 4. Rút gọn
1 1 1 1
...
2 3 4 200
1 2 3 198 199
...
199 198 197 2 1
+ + + +
+ + + + +
Lời giải
43
1 1 1 1
...
2 3 4 200
1 2 3 198 199
...
199 198 197 2 1
+ + + +
+ + + + +
1 1 1 1
...
2 3 4 200
1 2 3 198 199
1 1 1 ... 1 1 199
199 198 197 2 1
+ + + +
=
+ + + + + + + + + + −
1 1 1 1
...
2 3 4 200
1 1 1 1 1
200. ... 199
199 198 197 2 1
+ + + +
=

+ + + + + −


1 1 1 1
...
2 3 4 200
1 1 1 1
200. ... 1
199 198 197 2
+ + + +
=

+ + + + +


1 1 1 1
...
1
2 3 4 200
1 1 1 1 1
200
200. ...
200 199 198 197 2
+ + + +
==

+ + + + +


Bài 5. Tìm nghiệm của phương trình sau
11
2
1
41
32
61
53
81
74
10 1
95
11 6
x
x
=
+−
++
++
++
++
Lời giải
11
2
1
41
32
61
53
81
74
10 1
95
11 6
x
x
=
+−
++
++
++
++
------
2
1
41
32
61
53
81
74
10 1
95
11 6
x
x + = −
++
++
++
++
---------
44
9818 421 1393 8313
1
18131 972 972 18131
xx
x + = − =
----
8313 972 8080236
.
18131 1393 25256483
x = =
45
B.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG 6
Bài 1. (Đề thi HSG 6 huyện)
Chứng minh : Với k
N
*
ta luôn có :
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 3. 1k k k k k k k k+ + − − + = +
.
Áp dụng tính tổng :S =
( )
1.2 2.3 3.4 ... . 1nn+ + + + +
.
Lời giải
Biến đổi :
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 1 2 1 3 1k k k k k k k k k k k k

+ + − − + = + + − − = +

Áp dụng tính :
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
3. 1.2 1.2.3 0.1.2.
3. 2.3 2.3.4 1.2.3.
3. 3.4 3.4.5 2.3.4.
...................................
3. 1 1 2 1 1n n n n n n n n
=−
=−
=−
+ = + + − − +
Cộng lại ta có :
( )( )
( )( )
12
3. 1 2
3
n n n
S n n n S
++
= + + =
.
Bài 2. (Đề thi HSG 6 huyện)
Cho
2 3 2006
5 5 5 5S = + + + +
a) Tính S
b) Chứng minh S 126
Lời giải
a) Ta có
2 3 4 2007
5 5 5 5 5S = + + ++
( ) ( )
2 3 4 2007 2 3 2006
5 – 5 5 5 5 – 5 5 5 5SS= + + ++ + + + +
2007
4 5 5S =−
Vậy S =
2007
55
4
−
b)
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 5 3 6 2003 2006
5 5 5 5 5 5 .. 5 5S = + + + + + + + +
Biến đổi được
( )
2 3 2003
126. 5 5 5 5S = + + ++
Vì 126 126 S 126
Bài 3. (Đề thi HSG 6)
Cho số: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …….58 59 60.
- Số A có bao nhiêu chữ số?
- Hãy xóa đi 100 chữ số trong số A sao cho số còn lại là:
+ Nhỏ nhất
+ Lớn nhất
Lời giải
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 58 59 60.
* Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số
Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số.
Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ)
46
* Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ
số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 …. 58 59 60.
Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước số nhỏ nhất là số có 6 chữ số.
Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ).
* Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960
Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn.
Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999….
Các chữ số còn lại 78 59 60.
Vậy số lớn nhất: 99999785860.
Bài 4. (Đề thi HSG 6)
Cho:
1 1 1 1
3.8 8.13 13.18 33.38
A = + + + +
;
1 1 1 1 1
3.10 10.17 17.24 24.31 31.38
B = + + + +
Tìm
x
biết:
( )
( )
26 12
8
35
28 27 2 5.4
79
84
B
xA

−+


=
−
Lời giải
Ta có: A =
1
3 8
1
8 13
1
13 18
1
33 38
1
5
1
3
1
38. . .
...
.
+ + + + = −
B =
1
3 10
1
10 17
1
31 38
1
7
1
3
1
38. .
...
.
+ + + = −
7
5
5
7
7
1
:
5
1
===
A
B
B
A
( )
7
5
42
2.9.
63
55
24
24
=
−x
( )
151
4
11
7
5
47
55
==
−
=
−
x
xx
.
Bài 5. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng: A= ( 1999 + 1999
2
+ 1999
3
+.+ 1999
1998
) 2000.
Lời giải
( ) ( ) ( )
3 1997
1999 1 1999 1999 1 1999 . 1999 1 1999A= + + + + + +
( )
3 1997
2000 1999 1999 1999 2000 2000A= + ++
.
Bài 6. (Đề thi HSG 6)
Tính tỷ số
B
A
biết
4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57
A = + + +
,
7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B = + + +
Lời giải
1 4 6 9 7 1 1
1 1 5
5 7.31 35.41 50.41 50.57 31 57
1 7 5 3 11 1 1
5 2 2
2 19.31 19.43 23.43 23.57 31 57
A
A
AB
B
B
= + + + = −
= =
= + + + = −
.
47
Bài 7. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng :
2 2 2 2
1 1 1 1
... 1
2 3 4 100
+ + + +
Lời giải
Ta có
2
1 1 1 1
2 2.1 1 2
= −
2
1 1 1 1
3 2.3 2 3
= −
…………….
2
1 1 1 1
100 99.100 99 100
= −
Vậy
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 100 1 2 2 3 99 100
+ + + − + − + + −
2 2 2
1 1 1 1 99
... 1 1
2 3 100 100 100
+ + + − =
Bài 8. (Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014)
Tính tổng:
29
3 3 3
S 3 ...
2 2 2
.
Lời giải
29
28
3 3 3
S 3 ...
2 2 2
1 3 3 3
S 3 3 ...
2 2 2 2
Mà
2 8 9
3 3 3 3
3 ... S
2 2 2 2
Suy ra
9
13
S 3 S
22
Hay
9
3
2S 6 S
2
.Suy ra
9
3 3 3069
S 6 6 .
2 512 512
Bài 9. (Đề thi HSG 6 huyện Hưng Hà)
a) Tính giá trị của biểu thức:
2 3 4 2014
A 1 1 1 1 ... 1
1 555 4444 33333 11 13
B
7 222 12221 244442 330 60
b) Cho
1 2 3 92 1 1 1 1
E 92 ... ;F ...
9 10 11 100 45 50 55 500
. Tính
E
F
.
Lời giải
a) Ta thấy A là tích các luỹ thừa cơ số là
1
với các số mũ tự nhiên liên tiếp tăng dần từ
1
tới
2014
.
Số các thừa số của
A
là:
2014 1 1 2014
(thừa số)
A 1 .1. 1 .1. ... . 1 .1
A
có
2014:2 1007
thừa số
1
và
1007
thừa số
1
.
Vậy
A1
.
48
1 555 444 33333 11 13 1 5 4 3 1 13
B
7 222 12221 24444 330 60 7 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
5 4 3 1 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28
Vậy
1 1 13
B.
2 28 28
b)
1 2 3 92
E 92 ...
9 10 11 100
Số các số hạng của
A
là:
1 92 1 1 93
(số hạng)
1 2 3 92
E 1 1 1 ... 1
9 10 11 100
(Có
92
nhóm)
8 8 8 8 1 1 1 1
E ... 8 ...
9 10 11 100 9 10 11 100
Mà
1 1 1 1 1 E 1
F ... 8: 40
5 9 10 11 100 F 5
.
Bài 10. (Đề thi HSG 6 huyện 2012 - 2013)
Cho
1 2 3 100
S 2 2 2 ... 2
.
a) Chứng minh rằng
S 15
b) Tìm chữ số tận cùng của
S
.
c) Tính tổng
S
.
Lời giải
a)
1 2 3 100
2 2 2 ... 2S = + + + +
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có:
1 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100
S 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2
2 3 5 2 3 97 2 3
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2
5 97
2 . 15 2 . 15 ... 2 . 15
5 97
15 2 2 ... 2 15
(đpcm)
b) Vì
S 15 S 5
(1)
Lại có tất cả các số hạng của
S
đều chia hết cho
2
nên
S 2
(2)
Từ (1) và (2)
S 10
hay
S
có chữ số tận cùng là
0
.
c)
1 2 3 100 1 2 3 100
2S S 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2
2 3 4 101 1 2 3 100
S 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2
hay
101
S 2 2
.
Bài 11. (Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014)
Chứng minh rằng:
49
a)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 4 199 200 101 102 200
b)
51 52 100
. ..... 1.3.5.....99
2 2 2
Lời giải
a) Ta có
1 1 1 1 1
1 ...
2 3 4 199 200
1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
3 5 199 2 4 6 200
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 2 ...
2 3 4 5 6 199 200 2 4 6 200
1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1 ...
2 3 199 200 2 3 100
1 1 1 1
...
101 102 103 200
(ĐPCM).
b) Ta có:
1.3.5.....99 2.4.6.....100
1.2.3.4.5.6.....99.100
1.3.5.....99
2.4.6.....100 1.2 2.2 2.3 ..... 2.50
50cs2 50cs2
1.2.3.....99.100 51.52.53.....99.100 51 52 53 100
. . .....
1.2.3.....49.50 2.2.2.....2 2.2.2.....2 2 2 2 2
Bài 12. (Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014)
Cho
2 3 4 5 6 2012
S 5 5 5 5 5 5 5 .
Chứng tỏ
S
chia hết cho
65
.
Lời giải
2 3 4 5 6 2012
S 5 5 5 5 5 5 5
2 3 4 5 2 3 4 2009 2( 34
S 5 5 5 5 5 5 5 5 5 .... 5 )5 5 5 5
Vì
234
5 5 5 5 780 65
.Vậy
S
chia hết cho
65
.
Bài 13. (Đề thi HSG 6 huyện 2006 - 2007)
a) Cho tổng gồm
2014
số hạng:
2 3 4 2014
1 2 3 4 2014
S ...
4 4 4 4 4
.
Chứng minh rằng:
1
S
2
.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên
n
, biết rằng:
n S n 2014
, trong đó
Sn
là tổng các chữ số của
n
.
Lời giải
a) Ta có
2 2013
2 3 2014
4S 1 ...
4 4 4
Suy ra:
2 3 2013 2014
1 1 1 1 2014
3S 4S S 1 ...
4 4 4 4 4
50
2 3 2013
1 1 1 1
3S 1 ...
4 4 4 4
. Đặt
2 3 2013
1 1 1 1
M 1 ...
4 4 4 4
2 3 2012
1 1 1 1
4M 4 1 ...
4 4 4 4
.
Ta có:
2013
14
3M 4M M 4 M
43
.
Do đó:
4 4 4 1
3S S
3 9 8 2
.
b) Nếu
n
là số có ít hơn
4
chữ số thì
n 999
và
S n 27
.
Suy ra:
n S n 999 27 1026 2014
( không thỏa mãn ).
Mặt khác
n n S n 2014
nên
n
là số có ít hơn
5
chữ số.
Vậy
n
là số có
4
chữ số, suy ra
S n 9.4 36
. Do vậy
n 2014 36 1978
.
Vì
1978 n 2014
nên
n 19ab
hoặc
n 20cd
.
* Nếu
n 19ab
. Ta có:
19ab 1 9 a b 2014
1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a 2
và
11a 104 2b 104 2.9 86 8 a 10
, mà
a2
nên
a 8
.
b 8 n 1988
(thỏa mãn).
* Nếu
n 20cd
. Ta có:
20cd 2 0 c d 2014
2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c 2
Và
11c 12
, nên
c0
hoặc
c1
.
+ Với
c0
thì
d6
, ta có
n 2006
(thỏa mãn)
+ Với
c1
thì
2d 1
( không thỏa mãn).
Vậy
n 1988;2006
.
Bài 14. (Đề thi HSG 6 huyện)
Tính:
2 3 4 20
4 2 2 2 ... 2A = + + + + +
Lời giải
Ta có :
3 4 21
2 8 2 2 ... 2A = + + + +
( ) ( ) ( )
21 2 3 3 20 20 21
2 – 2 8 – 4 2 2 – 2 ... 2 – 2 2AA = + + + + + =
Bài 15. (Đề thi HSG 6 huyện)
Cho :
0 2 4 6 2002
3 3 3 3 ... 3S = + + + + +
a) Tính
S
b) Chứng minh
7S
Lời giải
a) Ta có
2 2 4 2002 2004
3 3 3 ... 3 3S = + + + +
Suy ra :
2004
8 3 1S =−
2004
31
8
S
−
=
b)
( ) ( ) ( )
0 2 4 6 0 2 4 1998 0 2 4
3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3S = + + + + + + + + +
51
( )( )
0 2 4 6 1998
3 3 3 1 3 ... 3= + + + + +
( )
6 1998
91 1 3 ... 3= + + +
Suy ra :
7S
Bài 16. (Đề thi HSG 6 huyện)
Chứng minh tổng sau chia hết cho 7.
1 2 3 4 59 60
2 2 2 2 ... 2 2A = + + + + + +
Lời giải
Ta có:
1 2 3 4 59 60
2 2 2 2 ... 2 2A = + + + + + +
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5 6 58 59 60
2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2= + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
1 2 3 3 1 2 3 57 1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2= + + + + + + + + +
( )( ) ( )
1 2 3 3 57 3 57
2 2 2 1 2 ... 2 14. 1 2 ... 2 7= + + + + + = + + +
Vậy
7A
Bài 17. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng:
a)
3
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−
b)
16
3
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
10099432
−++−+−
Lời giải
a) Đặt A=
65432
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−=−+−+−
2A=
5432
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 −+−+−
2A+A =3A =
6
66
1 2 1
11
22
−
− =
3A < 1 A <
b) Đặt
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
...
3
3 3 3 3 3
A = − + − + + −
2 3 3 98 99
2 3 3 4 99 100
3 1 ...
3
3 3 3 3 3
A = − − + − + + −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
4 1 ...
3
3 3 3 3 3
A = − + − + + − −
2 3 98 99
1 1 1 1 1
4 1 ...
3
3 3 3 3
A − + − + + −
(1)
Đặt B=
2 3 98 99
1 1 1 1 1
1 ...
3
3 3 3 3
− + − + + −
3B=
2 97 98
1 1 1 1
2 ...
3
3 3 3
+ − + + −
4B = B+3B=
99
1
3
3
−
< 3 B <
4
3
(2)
Từ (1)và (2) 4A < B <
4
3
A <
16
3
52
Bài 18. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh :
234
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n
+ + + +
< 1.
Lời giải
Ta có :
( )
2
1 1 1 1
.
11n n n n n
= −
−−
Áp dụng :
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ; ;...; .
2 2 3 2 3 1n n n
− − −
−
234
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n
+ + + +
<
1
1 1.
n
−
Bài 19. (Đề thi HSG 6)
Tính tổng: B =
100.97
2
....
10.7
2
7.4
2
4.1
2
++++
Lời giải
Ta có
1 1 1 1 2 2 1 1
1.4 3 1 4 1.4 3 1 4
= − = −
2 2 1 1 2 2 1 1
; ;....
4.7 3 4 7 7.10 3 7 10
= − = −
......;
2 2 1 1
97.100 3 99 100

=−


B=
2 1 1 1 1 1 1 1 1
.....
3 1 4 4 7 7 10 99 100

− + − + − + + −


B=
2 1 1 2 99 33
.
3 1 100 3 100 50

− = =


Bài 20. (Đề thi HSG62019-2020)
Tính tổng
2 3 100
1 1 1 1
...
3 3 3 3
A = + + + +
Lời giải
Ta có
2 3 99
1 1 1 1
3 1 ...
3 3 3 3
= + + + + +A
2 3 99 2 3 100
1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 ... ...
3 3 3 3 3 3 3 3
− = + + + + + − + + + +
AA
100
100 100
1 3 1
2A 1
33
−
= − =
suy ra
100
100
31
A
2.3
−
=
Bài 21. (Đề thi HSG 6 2019-2020)
a) Tính tổng: M =
1400
10
....
260
10
140
10
56
10
++++
b) Cho S =
14
3
13
3
12
3
11
3
10
3
++++
. Chứng minh rằng : 1< S < 2
Lời giải
53
a)
10 10 10 10 5 5 5 5
56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28
M = + + + + = + + + +
5 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 5
3 4 7 7 10 10 13 25 28 3 4 28 14
− + − + − + + − = − =
b)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
1
10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15
SS= + + + + + + + + =
(1)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20
2
10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10
SS= + + + + + + + + =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
12S
Bài 22. (Đề thi HSG 6)
Cho
1 2 3 2006
3 3 3 3A = + + + +
a) Thu gọn A
b) Tìm x để 2A+3 = 3
x
Lời giải
a) A = 3
1
+3
2
+3
3
+ .....+ 3
2006
3A =3
2
+3
3
+3
4
+ .....+ 3
2007
3A – A = 3
2007
-3
A =
2
33
2007
−
b) Ta có : 2.
2
33
2007
−
+3 = 3
x
=>
3
2007
-3 +3 = 3
x
=> 3
2007
= 3
x
=> x = 2007
Bài 23. (Đề thi HSG 6)
Cho B = 3 + 3
2
+ 3
3
+ ... + 3
100
Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3
n
Lời giải
B = 3 + 3
2
+ 3
3
+ ... + 3
99
+ 3
100
(1)
3B = 3
2
+ 3
3
+ ... + 3
100
+ 3
101
(2)
Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3
101
- 3
Do đó: 2B + 3 = 3
101
Theo đề bài 3B + 3 = 3
n
. Vậy n = 101
Bài 24. (Đề thi HSG 6)
Tính
a) C =
101 100 99 98 ... 3 2 1
101 100 99 98 ... 3 2 1
+ + + + + + +
− + − + + − +
b) D =
3737.43 4343.37
2 4 6 ... 100
−
+ + + +
Lời giải
+ + + + + + +
=
− + − + + − +
101 100 99 98 ... 3 2 1
)
101 100 99 98 ... 3 2 1
aC
54
Ta có:
*) 101 + (100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1)
=101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151
*) 101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - + 1
=
50 cap
(101 - 100) + (99 - 98) + ... + (3 - 2) + 1
= 50 + 1 = 51
Vậy C =
5151
101
51
=
b) B =
3737.43 4343.37
2 4 6 ... 100
−
+ + + +
Ta có: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0
Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + ...+ 100 0)
Bài 25. (Đề thi HSG 6)
Tính tổng S =
181614....642
2.550135450027
+++++
+++
Lời giải
S =
270.450 270.550 270(450 550) 270000
3000
(2 18).9
90 90
2
++
= = =
+
Bài 26. (Đề thi HSG 6 huyện Hương Sơn 2018 - 2019)
Cho tổng gồm 2014 số hạng,
2 3 4 2014
1 2 3 4 2014
..... .
4 4 4 4 4
S = + + + + +
Chứng minh
1
2
S
Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng
( )
2014,n S n+=
trong đó
( )
Sn
là tổng các chữ số của n
Lời giải
Ta có:
2 3 2013
2 3 4 2014
4 1 ...... .
4 4 4 4
S = + + + + +
2 3 2013 2014
1 1 1 1 2014
3 4 1 .....
4 4 4 4 4
S S S = − = + + + + + −
2 3 2013 2 3 2013
1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 ..... . 1 ..... .
4 4 4 4 4 4 4 4
S Dat M + + + + + = + + + + +
2 3 2012
1 1 1 1
4 4 1 .....
4 4 4 4
M = + + + + + +
Ta có:
2013
14
3 4 4 4
43
M M M M= − = −
Do đó
4 4 4 1
3
3 9 8 2
SS =
Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì
999n
và
( )
27Sn
Suy ra
( )
999 27 1026 2014( )n S n ktm+ + =
Mặt khác
( ) 2014n n S n + =
nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra
( )
9.4 36.Sn=
Do vậy
2014 36 1978n − =
55
Vì
19
1978 2014
20
n ab
n
n cd
=
=
*Nếu
19 .n ab=
Ta có:
( )
19 1 9 2014ab a b+ + + + =
1910 11 2 2014 11 2 104 2a b a b a + + = + =
và
11 104 2 104 2.9 86 8 10 , 2 8 8 1988( )a b a a a b n tm= − − = = = =
*Nếu
( )
20 20 2 0 2014n cd cd c d= + + + + =
2002 11 2 2014 11 2 12 2c d c d c + + = + =
Và
0 6, 2006( )
11 12
1 2 1( )
c d n tm
c
c d ktm
= = =

= =
Vậy
1988;2006n
Bài 27. (Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019)
a) Tính tổng
1.2 2.3 3.4 ..... 98.99A = + + + +
b) Cho biểu thức :
2 2 2 2
1 1 1 1
......
5 6 7 100
B = + + + +
. Chứng tỏ rằng
11
64
B
Lời giải
a) Ta có:
3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ..... 98.99.3A= + + + +
( ) ( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 1 3.4 . 5 2 ..... 98.99. 100 97= + − + + − + + −
1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 .... 98.99.100 97.98.99
98.99.100 98.33.100 323400A
= + − + − + + −
= = =
b) Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.... .... ....
5 6 100 4.5 5.6 99.100 4 5 5 6 99 100
B = + + + + + + = − + − + + −
1 1 1
(1)
4 100 4
B −
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.... .... ....
5 6 100 5.6 6.7 100.101 5 6 6 7 100 101
B = + + + + + + = − + − + + −
1 1 96 96 1 1
(2)
5 101 505 576 6 6
BB − = =
Từ (1) và (2)
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
.....
6 5 6 7 100 4
+ + + +
Bài 28. (Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2017-2018)
Tìm hiệu
,ab−
biết rằng:
1.2 2.3 3.4 ..... 98.99a = + + + +
và
2 2 2 2
1 2 3 ........ 98b = + + + +
Lời giải
Ta có:
1.2 2.3 3.4 ....... 98.99a = + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1. 1 1 2 1 2 3 1 3 ..... 98. 1 98= + + + + + + + +
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 ....... 98 98= + + + + + + + +
( )
( )
2 2 2 2
1 2 3 ..... 98 1 2 3 .... 98= + + + + + + + + +
( )
1 2 3 .... 98b= + + + + +
( )
1 98 .98:2 4851bb= + + = +
56
Vậy
4851ab−=
Bài 29. (Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2017-2018)
Cho
2 100
5 5 ..... 5 .A = + + +
Tìm số tự nhiên
,n
biết rằng:
4. 5 5
n
A+=
Lời giải
Ta có:
2 3 101
5 5 5 .... 5A = + + +
( ) ( )
2 3 101 2 100 101
5 5 5 ..... 5 5 5 ..... 5 5 5AA − = + + + − + + + = −
101
4 5 5A + =
Lại có:
101
4 5 5 5 5 101
nn
An+ = = =
Bài 30. (Đề thi HSG 6 Trường Nguyễn Chích – Huyện Đông Sơn 2017-2018)
Tìm số tự nhiên
n
và chữ số
a
biết rằng:
1 2 3 ..... n aaa+ + + + =
Lời giải
Dãy số
1;2;......;n
có n số hạng
( )
1.
1 2 ....
2
nn
n
+
+ + + =
Mà
1 2 3 .... n aaa+ + + + =
Suy ra
( )
( )
1.
.111 .3.37 1 2.3.37.
2
nn
aaa a a n n a
+
= = = + =
Vì tích
( )
1nn+
chia hết cho số nguyên tố
37
nên
37n
hoặc
1 37n+
Vì số
( )
1
2
nn+
có 3 chữ số
1 74 37nn + =
hoặc
1 37n+=
Với
37n =
thì
37.38
703
2
=
(loại)
Với
36.37
1 37 666
2
n + = =
(thỏa mãn)
Vậy
6,n =
6a =
. Ta có:
1 2 3 .... 36 666+ + + + =
Bài 31. (Đề thi HSG 6)
Cho
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 ..... 5 5 5 1A = − + − + + − + −
a) Tính A
b) Tìm số tự nhiên
n
biết
26 1 5
n
A+=
c) Tìm số dư trong phép chia
A
cho 100.
Lời giải
50 48 46 44 6 4 2
) 5 5 5 5 .... 5 5 5 1aA= − + − + + − + −
( )
2 50 48 46 44 6 4 2
25 5 . 5 5 5 5 .... 5 5 5 1A = − + − + + − + −
52 50 48 46 8 6 4 2
5 5 5 5 ..... 5 5 5 5= − + − + + − + −
52
52
51
25 5 1
26
A A A
−
+ = − =
b) Ta có:
26 1 5
n
A+=
mà
52
26 5 1A =−
nên
52
5 1 1 5 52
n
n− + = =
c)
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 ..... 5 5 5 1A = − + − + + − + −
(có 26 số hạng)
57
( ) ( ) ( ) ( )
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 .... 5 5 5 1= − + − + + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
48 2 44 2 4 2 2
5 . 5 1 5 . 5 1 .... 5 . 5 1 5 1= − + − + + − + −
48 44 4 46 42 2
5 .24 5 .24 ...... 5 .24 24 5 .25.24 5 .25.24 ..... 5 .25.24 24= + + + + = + + + +
( )
46 42 2
6.100. 5 5 ..... 5 24= + + + +
Suy ra A chia cho 100 dư 24.
Bài 32. (Đề HSG)
Tìm số tự nhiên
,x
biết:
( )
)1 3 5 7 9 ..... 2 1 225ax+ + + + + + − =
1 2 3 2015 2019
)2 2 2 2 .... 2 2 8
x x x x x
b
+ + + +
+ + + + + = −
Lời giải
a) Với mọi
x
ta có
21x −
là số lẻ
Đặt
( )
1 3 5 7 9 ..... 2 1Ax= + + + + + + −
A
là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến
21x −
Số số hạng của A là:
( )
2 1 1 :2 1xx− − + =
(số hạng)
( )
2
2 1 1 . :2 225 15A x x x x = − + = = =


1 2 3 15 2019
)2 2 2 2 ..... 2 2 8
x x x x x
b
+ + + +
+ + + + + = −
( ) ( )
2 3 2015 3 2016
2 1 2 2 2 ...... 2 2 . 2 1
x
+ + + + + = −
Đặt
2 3 2015
1 2 2 2 ..... 2M = + + + + +
Ta được:
2 3 2016 2016
2 2 2 2 .... 2 2 1MM= + + + + = −
Vậy ta có:
( ) ( )
2016 3 2016 3
2 . 2 1 2 . 2 1 2 2 3
xx
x− = − = =
Bài 33. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
Hãy chọn kết quả đúng
Tìm
x
biết rằng:
( )
1 1 1 1
....
5.8 8.11 . 3 6xx
+ + + =
+
A.
27x =
B.
35x =
C.
25x =
. 205Dx=
Lời giải
Chọn đáp án A
Bài 34. (Đề HSG huyện Gia Viên 2018 – 2019)
Cho
2 3 4 2012
1 3 3 3 3 3
.....
2 2 2 2 2 2
A
= + + + + + +
và
2013
3
:2
2
B

=


Tính
BA−
Lời giải
Ta có:
58
2 3 4 2012
1 3 3 3 3 3
.... (1)
2 2 2 2 2 2
A
= + + + + + +
2 3 4 2013
3 3 3 3 3 3
.... (2)
2 4 2 2 2 2
A
= + + + + +
Lấy (2) trừ (1) ta được:
2013
3 3 3 1 3
2 2 4 2 2
AA

− = + − −


2013
2013
2012
1 3 5 3 1
2 2 4 2 2
AA

= − = +


Vậy
2013 2013
2014 2012
3 3 5
2 2 2
BA− = − +
Bài 35. (Đề thi HSG 6 THCS Nguyễn Khuyến 2018-2019)
Tính:
1 2 3 92 1 1 1 1
92 .... : .....
9 10 11 100 45 50 55 500
− − − − − + + + +
Lời giải
1 2 3 92 1 1 1 1
92 ..... : .....
9 10 11 100 45 50 55 500
B
= − − − − − + + + +
1 2 92
8 8 8
1 1 ..... 1
.....
1
9 10 100
9 10 100
8: 40
1 1 1 1
1 1 1 1
5
.....
. ....
45 50 55 500
5 9 10 100
B
− + − + + −
+ + +
= = = =

+ + + +
+ + +


Bài 36. (Đề thi HSG 6 Bắc Ninh 2018-2019)
Cho
( )( )( )( )
2 4 8 16
3. 2 1 2 1 2 1 2 1A = + + + +
Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của
.A
Lời giải
( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )
2 4 8 16 2 2 4 8 16
3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1A = + + + + = − + + + +
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
4 4 8 16 8 8 16 16 16 32
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1= − + + + = − + + = − + = −
Vì
32
2
tận cùng là 2 nên
32
21A =−
tận cùng là 1.
Bài 37. (Đề thi HSG 6 huyện Thạch Thành 2018-2019)
Cho
1 1 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + + +
+ + + + + + + + + + +
.
Chứng minh
3
4
A
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + + +
+ + + + + + + + + + +
59
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
.....
1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2017 .1009
2 2 2 2
A = + + + +
+ + + +
2 2 2 2 1 1 1 1
..... ....
2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009
= + + + + = + + + +
1 1 1 1
......
2.2 2.3 3.4 1008.1009
A

+ + + +


1 1 1 1 1 1 1
.....
4 2 3 3 4 1008 1009
A

+ − + − + + −


1 1 1 1 1 3
4 2 1009 4 2 4
A A A

+ − +


Bài 38. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020)
Cho
2 3 98 99
1 3 3 3 ..... 3 3S = − + − + + −
a) Chứng minh rằng
S
là bội của
20−
b) Tính S, từ đó suy ra
100
3
chia cho 4 dư 1
Lời giải
a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng
2 3 98 99
1 3 3 3 ...... 3 3S = − + − + + −
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 96 97 98 99
1 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 3= + + − + − + − + + − + −
( ) ( ) ( )
4 96
20 3 . 20 ...... 3 . 20 20S= − + − + + − −
2 3 98 99
) 1 3 3 3 ...... 3 3bS= − + − + + −
100
2 3 4 99 100
13
3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 4
4
S S S S
−
= − + − + + − + = =
100 100
3 1 4 3 −
chia cho 4 dư 1.
Bài 39. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) 1 2 3 4 5 6 7 8 ....... 2013 2014 2015 2016− − + + − − + + − − − + +
1 1 1 1 1 1 1
2) 1 : 1 : 1 : 1 :.......: 1 : 1 : 1
2 3 4 5 98 99 100
B
= − − − − − − −
Lời giải
1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ..... 2013 2014 2015 2016A = − − + + − − + + − − + − − + +
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
2013 2014 2015 2016
= − − + + + − − + + + − − + + +
+ − − + +
Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có
2016:4 504=
nhóm
4 4 4 ...... 4A= + + + +
(tổng có 504 số 4)
4.504 2016A==
60
1 1 1 1 1 1 1
2) 1 : 1 : 1 : 1 :.......: 1 : 1 : 1
2 3 4 5 98 99 100
B
= − − − − − − −
1 2 3 98 99
: : :.......: :
2 3 4 99 100
B
−−
= − − −
1 3 99 100
. ........ .
2 2 98 99
B
−
= − − −
Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên mang dấu âm
1.3.4.5.6......98.99.100 100
25
2.2.3.4.5......97.98.99 2.2
B
−
= − = = −
Bài 40. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019)
Cho
1 1 1 1
......
1.101 2.102 3.103 10.110
E = + + + +
Và
1 1 1 1
...... .
1.11 2.12 3.13 100.110
F = + + + +
Tính tỉ số
E
F
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1 100 100 100
...... . .....
1.101 2.102 10.110 100 1.10 2.102 10.110
E

= + + + = + + +


1 1 1 1 1 1
. 1 .....
100 101 2 102 10 110

= − + − + + −


1 1 1 1 1 1 1
. 1 ..... ......
100 2 3 10 101 102 110

= + + + + − + + +


1 1 1 1 10 10 10
..... . .......
1.11 2.12 100.110 10 1.11 2.12 100.110
F

= + + + = + + +


1 1 1 1 1 1
. 1 ....
10 11 2 12 100 110

= − + − + + −


1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ...... ......
10 2 3 100 11 12 13 110

= + + + + − + + + +


1 1 1 1 1 1 1
. 1 ..... .....
10 2 3 10 101 102 110
F

= + + + + − + + +


1
1
100
1
10
10
E
F
= =
61
Bài 41. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019)
Cho biểu thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2! 2! 2! 2! 2!
.....
1 3 5 7 2015
D = + + + + +
So sánh
D
với 6. Biết
( )
! 1.2.3....n n n=
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2! 2! 2! 2! 2!
.....
1 3 5 7 2015
D = + + + + +
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
...... 4 2. .....
1 3 5 7 2015 3 5 7 2015
D

= + + + + + = + + + + +


2 2 2 2
4 2. .....
1.3 3.5 5.7 2013.2015
D

+ + + + +


1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 .....
1 3 3 5 5 7 2013 2015

= + − + − + − + + −


12
4 2 1 4 2 6 6
2015 2015
D

= + − = + −


Bài 42. (Đề thi HSG 6 THCS Tiền Hải 2015-2016)
Tính giá trị biểu thức
1 3 5 .... 19
21 23 25 .... 39
A
+ + + +
=
+ + + +
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)1 3 5 .... 19 1 19 3 17 ..... 9 11
20 20 ... 20 100
)21 23 25 .... 39 21 39 23 27 ... 29 31
60 60 ... 60 300
100 1
300 3
A
+ + + + + = + + + + + +
= + + + =
+ + + + + = + + + + + +
= + + + =
= =
Bài 43. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2019-2020)
Tính:
1 1 1 1
......
4.9 9.14 14.19 64.69
A = + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... . ....
4.9 9.14 14.19 64.69 5 4 9 9 14 64 69
A

= + + + + = − + − + + −


1 1 1 13
.
5 4 69 4.69

= − =


Bài 44. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 -2019)
Cho
1 2 3 4 ... 99 100A = − + − + + −
62
a) Tính
A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c)
A
có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
Lời giải
a)
50A=−
b)
2 5,A cho A
không chia hết cho 3
c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
Bài 45. (Đề thi HSG 6 THCS Tân Lập 2018-2019)
a) Cho
2 3 4 20
4 2 2 2 ..... 2A = + + + + +
. Hỏi
A
có chia hết cho
128
không ?
b) Cho
2 3 2009
3 3 3 ..... 3A = + + + +
. Tìm số tự nhiên
n
biết rằng
2 3 3
n
A+=
Lời giải
21 7
)2 2 2 128a A A A− =
b) Tìm được
2010n =
Bài 46. (Đề thi HSG 6 THCS Hà Huy Tập)
Thực hiện các phép tính
1 2 3 4 5 6 7 8 .... 2013 2014 2015− + − + − + − + + − +
Lời giải
1 2 3 4 5 6 7 8 ..... 2013 2014 2015− + − + − + − + + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 ....... 1 2015= − + − + − + − + + − +
( )
1 .1007 2015 1008= − + =
Bài 47. (Đề thi HSG 6 THCS Hà Huy Tập )
Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1
.....
4 6 8 4
2n
+ + + +
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
......
2.2 2.3 2.4 2n
+ + + +
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. .... . .....
4 2 3 4 4 1.2 2.3 1 .n n n


= + + + + + + +



−


1 1 1
.1
44n

= −


Bài 48. (Đề thi HSG 6 2018 - 2019 )
Chứng minh: Với
*k
ta luôn có:
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 3 1+ + − − + = +k k k k k k k k
Áp dụng tính tổng:
( )
1.2 2.3 3.4 ... 1= + + + + +S n n
Lời giải
63
Biến đổi:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 1 2 1 3 1+ + − − + = + + − − = +


k k k k k k k k k k k k
Áp dụng tính:
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
3. 1.2 1.2.3 0.1.2
3. 2.3 2.3.4 1.2.3
3. 3.4 3.4.5 2.3.4
.......................
3 1 1 2 1 1
=−
=−
=−
+ = + + − − +n n n n n n n n
Cộng lại ta có:
( )( )
( )( )
12
3 1 2
3
++
= + + =
n n n
S n n n S
Bài 49. (Đề thi HSG6 huyện 2019 - 2020 )
Cho
1 2 3 2006
3 3 3 ...... 3= + + + +A
Thu gọn A
Tìm
x
để
2 3 3+=
x
A
Lời giải
1 2 3 2006 2 3 4 2007
2007
2007
) 3 3 3 ..... 3 3 3 3 3 ..... 3
33
3 3 3
2
= + + + + = + + + +
−
− = − =
a A A
A A A
b) Ta có:
2007
2007 2007
33
2. 3 3 3 3 3 3 3 3 2007
2
−
+ = − + = = =
x x x
x
Bài 50. (Đề thi HSG huyện 2019 - 2020)
a) Chứng minh rằng:
2 3 99 100
2 2 2 ..... 2 2= + + + + +C
chia hết cho 31
b) Tính tổng C. Tìm
x
để :
21
22
−
−=
x
C
Lời giải
2 3 99 100
) 2 2 2 ...... 2 2= + + + + +aC
( ) ( ) ( )
( )
2 3 4 6 2 3 4 96 2 3 4
6 96
2. 1 2 2 2 2 2 . 1 2 2 2 2 ..... 2 . 1 2 2 2 2
31. 2 2 ..... 2 31
= + + + + + + + + + + + + + + +
= + + +
2 3 99 100
) 2 2 2 .... 2 2= + + + + +bC
2 3 99 100 101
2 2 2 .... 2 2 2 = + + + + +C
101
22 + =C
101 2 1
22
2 1 101
51
−
=
− =
=
x
x
x
Bài 51. (Đề thi HSG 6 huyện 2018 -2029 )
Thực hiện tính:
( ) ( ) ( )
1 1 1
) 1 1 2 1 2 3 ..... . 1 2 .... 2013
2 3 2013
1 3 2 4 3 5 4 6 2011 2013 2012 2014 2013.2014
) ....
1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014
= + + + + + + + + + +
− − − − − −
= + + + + + + −
aA
bB
Lời giải
64
( )
1
1 2 3 ....
2
+
+ + + + =
nn
n
1 2.3 1 3.4 1 2013.2014 3 4 2014
1 . . ..... . 1 ......
2 2 3 2 2013 2 2 2 2
A = + + + + = + + + +
( )
1 1 2 3 2014 1
...... . 1 2 3 ..... 2014
2 2 2 2 2 2
A+ = + + + + = + + + +
( )
11
. 1 2 3 ..... 2014 1014552
22
A = + + + + − =
1 1 1 1 1 1 1 1
2 .... .....
1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014 2013 2014

= − + + + + + + + − −


B
Thấy :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ;.......;
1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2011.2013 2 2011 2013
= − = − = −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ;......;
2.4 2 2 4 4.6 2 4 6 2012.2014 2 2012 2014
= − = − = −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ....... ......
3 3 5 2011 2013 2 4 2012 2014 2013 2014
3
2

= − − + − + + − + − + + − − −


=−
B
B
Bài 52. (Đề thi HSG 6 huyện 2016 - 2017 )
Cho
2 3 2006
5 5 5 ....... 5= + + + +S
a) Tính S
b) Chứng minh S chia hết cho 126
Lời giải
a) Ta có:
2 3 2007
2007
2007
5 5 5 ...... 5
55
5 5 5
4
= + + +
−
− = − =
S
S S S
b)
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 5 3 6 2003 2006
5 5 5 5 5 5 ..... 5 5= + + + + + + + +S
Biến đổi được:
( )
2 3 2003
126. 5 5 5 ..... 5 126= + + + +S
Bài 53. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020)
Tính:
) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ..... 2013 2014 2015 2016aA= + − − + + − − + + + + − −
2.4.10 4.6.8 14.16.20
)
3.6.15 6.9.12 21.24.30
bB
++
=
++
Lời giải
) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .... 2013 2014 2015 2016= + − − + + − − + + + + − −aA
Tính được số số hạng của A là:
( )
2016 1 :1 1 2016− + =
(số hạng)
Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào 1 nhóm:
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5 6 7 8 .... 2013 2014 2015 2016= + − − + + − − + + + − −A
( ) ( )
504
4 4 ..... 4 4.504 2016= − + − + + − = − = −
co so
Vậy
2016=−A
65
( )
( )
8. 1.2.5 2.3.4 7.8.10
2.4.10 4.6.8 14.16.20 8
)
3.6.5 6.9.12 21.24.30 27. 1.2.5 2.3.4 7.8.10 27
++
++
= = =
+ + + +
bB
Vậy
8
27
=B
Bài 54. (Đề thi HSG 6 THCS Tam Hưng 2019-2020)
Cho
1 5 9 13 17 21 ....A= − + − + − +
Biết
2013.A =
Hỏi A có bao nhiêu số hạng? Giá trị của số hạng
cuối cùng là bao nhiêu ?
Lời giải
Số số hạng của A là
( )
2013 1 :4 .2 1 1007− + =


(số hạng)
Số hạng cuối cùng là:
( )
1007 1 .4 1 4025− + =
Bài 55. (Đề thi HSG 6 THCS Duy Phú 2018-2019)
Tính tổng:
2 2 2 2
.....
1.2 2.3 3.4 99.100
S = + + + +
Lời giải
2 2 2 2 2
......
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
S = + + + + +
1 1 1 1 1
2. .....
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

= + + + + +


1 1 1 1 1
2. 1 .....
2 2 3 99 100

= − + − + + −


1 99 99
2. 1 2.
100 100 50

= − = =


Bài 56. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018)
Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 ...... 100S = + + + +
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 3 2 1 4 3 1 .... 100. 99 1S = + + + + + + + + +
1 1.2 2 2.3 3 3.4 .... 99.100 100= + + + + + + + +
( ) ( )
1.2 2.3 .... 99.100 1 2 3 ..... 100= + + + + + + + +
Đặt
1.2 2.3 3.4 ...... 99.100M = + + + +
( ) ( ) ( )
3 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ..... 99.100. 101 98M = + − + − + + −
3 99.100.101 333300MM= =
333300 5050 338350A = + =
Bài 57. (Đề thi HSG 6)
Tính tổng
1.2 2.3 3.4 ..... 99.100S = + + + +
Lời giải
66
1.2 2.3 3.4 ..... 99.100S = + + + +
( )
3 1.2 2.3 3.4 ..... 99.100 .3S = + + + +
1.2.3 2.3.3 3.4.3 ..... 99.100.3= + + + +
( ) ( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 .... 99.100. 101 98= + − + − + + −
1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 .... 98.99.100 99.100.101= − + − + − − +
Bài 58. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Nam 2018 - 2019)
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.....
4 16 36 64 100 144 196 10000 2
+ + + + + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1
.....
4 16 36 64 100 144 196 10000
S = + + + + + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1
.....
2 4 6 100
= + + + +
2 2 2
1 1 1 1
. 1 .....
4 2 3 50

= + + + +


Do
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... 1 .....
2 3 50 2 2 3 3 4 2499 2500
+ + + − + − + − + + −
1
11
2500
= −
( )
11
11
42
S + =
Bài 59. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018)
Tính nhanh
1 1 1 1
.....
10 15 21 120
C = + + + +
Lời giải
2 2 2
....
20 30 240
C = + + +
1 1 1
2. .....
4.5 5.6 15.16

= + + +


1 1 3
2.
4 16 8

= − =


Bài 60. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019)
Cho
1 2 3 4 ... 99 100A= − + − + + −
a) Tính
A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c)
A
có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
67
Lời giải
a)
50A =−
b)
2 5,A cho A
không chia hết cho 3
c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
Bài 61. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2018 - 2019)
Tính tổng
2 2 2 2 2
......
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
S = + + + + +
Lời giải
2 2 2 2 2
.....
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
S = + + + + +
1 1 1 1 1
2. .....
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

= + + + + +


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. .....
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100

= − + − + − + + − + −


1 1 99 99
2. 2.
1 100 100 50

= − = =


Bài 62. (Đề thi HSG 6 huyện Hòa An 2018 - 2019)
Cho
2 3 4 2004
5 5 5 5 ..... 5S = + + + + +
.
Chứng minh
S
chia hết cho
126
và chi hết cho
65.
Lời giải
Có
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 3 2 3 3 3
5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 . 1 5 5 1 5+ + + + + = + + + + +
23
5.126 5 .126 5 .126= + +
2 3 4 5 6
5 5 5 5 5 5 + + + + +
chia hết cho 126
( ) ( )
( )
2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6
1998 2 3 4 5 6
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 .....
5 5 5 5 5 5 5
S = + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + +
Tổng trên có
2004:6 334=
số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
Có:
( )
2 3 4 3 3
5 5 5 5 5 5 5 5 5 130 5.130+ + + = + + + = +
234
5 5 5 5 + + +
chia hết cho 130
( ) ( )
2 3 4 4 2 3 4 2000 2 3 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 . 5 5 5 5S = + + + + + + + + + + + +
Tổng trên có
2004:4 501=
số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65
Bài 63. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên )
1. Cho
2 3 48 49
1 3 3 3 ..... 3 3S = + + + + + +
a) Chứng tỏ S chia hết cho 4
68
b) Tìm chữ số tận cùng của
S
c) Chứng tỏ
50
31
2
S
−
=
2. Cho
1.2 2.3 3.4 ..... 99.100C = + + + +
a) Tính giá trị của biểu thức C
b) Dùng kết quả câu a, tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2
2 4 6 ...... 98D = + + + +
Lời giải
1. Ta có:
( )
( ) ( )
2 3 48 49
1 3 3 3 ...... 3 3S = + + + + + +
( ) ( )
2 48
4 3 . 1 3 ...... 3 . 1 3= + + + + +
( )
2 48
4. 1 3 ...... 3 4= + + +
( ) ( )
2 3 4 5 6 7 48 49
) 1 3 3 3 3 3 3 3 .... 3 3bS= + + + + + + + + + +
Các tổng có 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó có tận cùng bằng 0
Mặt khác
48 49 4.12 48
3 3 3 3 .3 ......1 ......1.3 .......4+ = + = + =
Vậy S có chữ số tận cùng bằng
4
2 3 48 49
) 1 3 3 3 ...... 3 3cS= + + + + + +
2 3 48 49 50
3 3 3 3 ....... 3 3 3S = + + + + + +
50
3 3 1SS− = −
50
50
31
2 3 1
2
SS
−
= − =
2.
) 1.2 2.3 3.4 .... 99.100aC= + + + +
3 3.1.2 3.2.3 .... 3.99.100C = + + +
( )
1.2.3 0.1.2 (2.3.4 1.2.3) .... (99.100.101 98.99.100)= − + − + + −
99.100.101=
99.100.101:3 36300C = =
) 1.2 2.3 3.4 .... 99.100bC= + + + +
( ) ( ) ( )
1.2 2.3 3.4 4.5 ...... 97.98 98.99 99.100= + + + + + + +
( ) ( ) ( )
1 3 .2 3 5 .4 ...... 97 99 .98 99.100= + + + + + + +
2.2.2 2.4.4 ..... 2.98.98 9900= + + + +
2 2 2 2
2(2 4 ..... 96 98 ) 9900= + + + + +
2 2 2 2
(2 4 ..... 96 98 ) 9900 36300 9900 26400C + + + + = − = − =
2 2 2 2
2 4 ..... 96 98 13200 + + + + =
Bài 64. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên )
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý
1 1 1 1 1 1
A= .....
2 6 12 20 2352 2450
+ + + + +
2 3 20
4 2 2 .... 2C = + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1
.....
2 6 12 20 2352 2450
A = + + + + + +
1 1 1 1 1
.......
1.2 2.3 3.4 48.49 49.50
= + + + + +
69
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ......
2 2 3 3 4 48 49 49 50
= − + − + − + + − + −
1 49
1
50 50
= − =
2 3 20
4 2 2 .... 2C = + + + +
3 4 21
2 8 2 2 ..... 2C = + + + +
21 21
2 2 2C C C− = =
Bài 65. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên )
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 3
− + − + −
Lời giải
Đặt
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2
A = − + − + − = − + − + −
2 3 4 5
1 1 1 1 1
21
2 2 2 2 2
A = − + − + −
6
66
1 2 1 1
2 1 3 1
2 2 3
A A A A
−
+ = − =
(ĐPCM)
99.11.101:3 33.100.101S ==
Bài 66. (Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2019-2020)
a) Cho
,ab
nếu
7 3 23ab+
thì
4 5 23ab+
, điều ngược lại có đúng không
b) Cho
2 3 1997 1998
3 3 3 ..... 3 3S = + + + + +
Chứng minh rằng:
26S
Lời giải
a) Vì
( ) ( ) ( )
6. 7 3 4 5 46 23 23 2 23a b a b a b a b+ + + = + = +
Do đó:
Nếu
( )
7 3 23 4 5 23a b a b+ +
Nếu
4 5 23 7 3 23a b a b+ +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 4 1997 1998
2 4 1996
2 3 1996 1997 1998
1995
) 3 3 3 3 ..... 3 3
12. 1 3 3 ..... 3 2
3 3 3 ..... 3 3 3
39. 1 ...... 3 13
bS
S
= + + + + + +
= + + + +
= + + + + + +
= + +
Vì
26 13.2=
và
( )
2;13 1 26S=
Bài 67. (Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2015-2016)
Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể)
2 2 2 2 2
.....
15 35 63 99 899
B = + + + + +
1.2 2.3 ... 99.100C = + + +
70
Lời giải
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 28
..... ......
3.5 5.7 29.31 3 5 5 7 29 31 3 31 93
B = + + + = − + − + + − = − =
( ) ( ) ( )
3 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 .... 99.100. 101 98C = + − + − + + −
1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ..... 99.100.101 98.99.100= + − + − + + −
99.100.101
99.100.101 333300
3
C= = =
Bài 68. (Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2015-2016)
Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
...... 1
2 3 2011 2012
+ + + +
Lời giải
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
...... .....
2 3 2011 2012 1.2 2.3 2011.2012
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 2011
..... 1
1 2 2 3 2011 2012 1 2012 2012
= − + − + + − = − =
Bài 69. (Đề thi Olympic Toán 6 2017-2018)
Tính
1 1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 . 1 ..... 1 . 1
4 9 16 25 196 225
A
= − − − − − −
Lời giải
3 8 15 24 195 224 1.3 2.4 3.5 4.6 13.15 14.16
. . . ......... . . . . ....... .
4 9 16 25 196 225 2.2 3.3 4.4 5.5 14.14 15.15
A ==
( ) ( )
( ) ( )
1.2.3.4.......13.14 . 3.4.5.6.......15.16
16 8
2.3.4.....14.15 . 2.3.4.......15 15.2 15
= = =
Bài 70. (Đề thi Olympic Toán 6 2017-2018)
a) Cho
2 3 2009 2010
2010 2010 2010 .... 2010 2010S = + + + + +
Chứng tỏ rằng
S
chia hết cho 2011
b) Tìm kết quả của phép nhân:
20
20
33..33 999...9
chuso
chuso
B =
Lời giải
a) Ta có:
2 3 4 9 10
2010 2010 2010 2010 ....... 2010 2010S = + + + + + +
( ) ( ) ( )
3 2009
2010 1 2010 2010 1 2010 ...... 2010 . 1 2010= + + + + + +
3 2009
2010.2011 2010 .2011 .... 2010 .2011= + + +
( )
3 2009
2011. 2010 2010 ...... 2010 2011= + + +
( )
21
20 20 20
) 333.....3.999.....9 333.....3. 10 1
chuso chuso chu so
bB= = −
71
20
20 20 20 20 20 20 19 6
333.....3.10 333.....3 33333....300000...0 333.....3 333.....32666.....67
chuso chuso chuso chuso chuso chuso chuso
= − = − =
Bài 71. (Đề thi HSG 6 huyện Đức Phổ 2018-2019)
Tính:
1 1 1 1
.....
10 15 21 120
A = + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1
.... ......
10 15 120 2.5 5.3 15.7 15.8
A = + + + = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... . ...... .
2.5 5.3 15.7 15.8 5 2 3 15 7 8
= + + + + = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... ..... ....
6 12 56 2.3 3.4 7.8 2 3 3 4 7 8
= + + + = + + + = − + − + + −
1 1 3
2 8 8
= − =
Bài 72. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Nguyễn Khuyến 2017-2018)
a) Chứng minh rằng:
( )
2 3 2010
2012 2012 2012 ..... 2012 2013M = + + + +
b) Cho
4 6 9 7 7 5 3 11
;
7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57
AB= + + + = + + +
Tính tỉ số
A
B
Lời giải
2 3 2010
) 2012 2012 2012 .... 2012aM= + + + +
( ) ( ) ( )
2 3 4 2009 2010
2012 2012 2012 2012 ..... 2012 2012= + + + + + +
( ) ( ) ( )
3 2009
2012 1 2012 2012 . 1 2012 ..... 2012 1 2012= + + + + + +
( )
3 2009
2013. 2012 2012 ..... 2012 2013 2013M= + + +
4 6 9 7
)
7.31 7.41 10.41 10.57
bA= + + +
Nên
1 4 6 9 7
5 35.31 35.41 50.41 50.57
A = + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 26
31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 1767
= − + − + − + − = − =
7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B = + + +
72
Nên
1 7 5 3 11
2 38.31 38.43 46.43 46.57
B = + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
31 38 38 43 43 46 46 57 31 57
= − + − + − + − = −
Do đó
1 1 5
5 2 2
A
AB
B
= =
Bài 73. (Đề thi HSG 6 Năm 2019-2020)
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:
a)
2
1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.8−−
b)
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + −
Lời giải
( )
2
) 1.2.3....9 1.2.3...7.8 1.2.3...7.8 1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3...7.8... 0 0a − − = − − = =
) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1b − + + − + − − + − + + −
( ) ( ) ( )
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13= − − − + + − − + − − − − =
Bài 74. (Đề thi HSG 6 Huyện Lương Tài 2015-2016)
M có là một số chính phương không , nếu:
( )
1 3 5 ..... 2 1Mn= + + + + −
(với
, 0)nn
Lời giải
( )( )
1 3 5 ... 2 1 , 0M n n n= + + + + −
Tính số số hạng:
( )
2 1 1 :2 1nn− − + =
Tính tổng:
( )
22
2 1 1 . :2 2 :2n n n n= − + = =
Vậy M là số chính phương.
Bài 75. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019)
Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1 1
1 ......
3 6 10 15 120
A = + + + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 15 15
....... 1
2 1.2 2.3 3.4 15.16 2 16 16 8
A A A= + + + + = − = =
Bài 76. (Đề HSG Toán 6 huyện Tam Đảo 2019-2020)
Cho dãy số
6;7;9;12;16;....
Hỏi số hạng thứ 61 của dãy là số nào ?
Lời giải
Ta có:
73
( )
( )
( )
66
7 6 1
9 6 1 2
12 6 1 2 3
16 6 1 2 3 4
=
=+
= + +
= + + +
= + + + +
Do đó số hạng thứ 61 là:
( )
6 1 2 3 ..... 60 1836+ + + + + =
Bài 77. (Đề HSG Toán 6 huyện Thanh Oai)
Cho
2 3 98 99
1 3 3 3 ....... 3 3S = − + − + + −
a) Chứng minh rằng S là bội của
20−
b) Tính S, từ đó suy ra
100
3
chia cho 4 dư 1.
Lời giải
2 3 98 99
) 1 3 3 3 ...... 3 3aS= − + − + + −
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 96 97 98 99
1 3 3 3 3 3 3 3 ...... 3 3 3 3= − + − + − + − + + − + −
( ) ( ) ( )
4 96
20 3 . 20 ..... 3 . 20 20= − + − + + − −
20S−
2 3 98 99
) 1 3 3 3 ...... 3 3bS= − + − + + −
2 3 4 99 100
3 3 3 3 3 ..... 3 3S = − + − + + −
100
13
4
4
S
−
=
S là một số nguyên nên
100 100 100
1 3 4 3 1 4 3− −
chia cho 4 dư 1.
Bài 78. (Đề HSG Toán 6 huyện Tam Kỳ)
Cho
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 ..... 5 5 5 1A = − + − + + − + −
a) Tính
A
b) Tìm số tự nhiên
n
biết
26 1 5
n
A+=
c) Tìm số dư trong phép chia
A
cho
100.
Lời giải
50 48 46 44 6 4 2
) 5 5 5 5 .... 5 5 5 1aA= − + − + + − + −
( )
2 50 48 46 44 6 4 2
25 5 5 5 5 5 .... 5 5 5 1A = − + − + + − + −
52 50 48 46 8 6 4 2
5 5 5 5 ..... 5 5 5 5= − + − + + − + −
52 52
25 5 1 26 5 1A A A + = − = −
52
51
26
A
−
=
b) Ta có:
26 1 5
n
A+=
mà
52
26 5 1A =−
nên
52
5 1 1 5 52
n
n− + = =
c) Ta có:
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 .... 5 5 5 1A = − + − + + − + −
(có 26 số hạng)
( ) ( ) ( )
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 .... 5 5 5 1= − + − + + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
50 48 46 44 6 4 2
5 5 5 5 .... 5 5 5 1= − + − + + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
48 2 44 2 4 2 2
5 . 5 1 5 . 5 1 ..... 5 . 5 1 5 1= − + − + + − + −
48 44 4
5 .24 5 .24 ...... 5 .24 24= + + + +
46 42 2
5 .25.24 5 .25.24 ..... 5 .25.24 24= + + + +
( )
46 42 2 46 42 2
5 .600 5 .600 ....... 5 .600 24 6.100. 5 5 ..... 5 24= + + + + = + + + +
74
Suy ra
A
chia cho 100 dư 24.
Bài 79. (Đề HSG Toán 6 huyện Giao Thủy 2018 - 2019)
1. Tính tổng :
1.2 2.3 3.4 .... 98.99A= + + + +
2. Cho biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1
......
5 6 7 100
B = + + + +
Chứng tỏ rằng
11
64
B
Lời giải
1)3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ..... 98.99.3A = + + + +
( ) ( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ..... 98.99. 100 97= + − + − + + −
1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ...... 98.99.100 97.98.99= + − + − + + −
98.99.100 98.99.100:3 323400A= = =
2.
2 2 2 2
1 1 1 1
......
5 6 7 100
B = + + + +
1 1 1
.....
4.5 5.6 99.100
B + + +
1 1 1 1 1 1
.....
4 5 5 6 99 100
B − + − + + −
1 1 1
(1)
4 100 4
B −
1 1 1
....
5.6 6.7 100.101
B + + +
1 1 1 1 1 1
....
5 6 6 7 100 101
B − + − + + −
1 1 96 96 1 1
(2)
5 101 505 576 6 6
BB − = =
Từ (1) (2)
11
64
B
Bài 80. (Đề HSG Toán 6 trường)
1) Rút gọn các biểu thức sau:
2 3 4 2015 2016
3 3 3 3 ...... 3 3M = − + − + + −
2) Chứng tỏ rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1 3
......
2 3 99 100 4
+ + + +
Lời giải
2 3 4 2015 2016
1) 3 3 3 3 ...... 3 3M = − + − + + −
2017
2 3 4 2016 2017 2017
33
3 3 3 3 ...... 3 3 3 3 3
4
M M M M
−
= − + − + − + = − =
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2) ...... ......
2 3 99 100 4 2.3 3.4 98.99 99.100
+ + + + + + + + +
75
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3
.....
4 2 3 3 4 99 100 4 2 100 4 100 4
= + − + − + + − = + − = −
2 2 2 2
1 1 1 1 3
......
2 3 99 100 4
+ + + +
Bài 81. (Đề HSG Toán 6 trường)
Cho
2 3 48 49 100
1 4 4 4 ...... 4 4 ; 4AB= + + + + + + =
Chứng minh rằng:
3
B
A
Lời giải
( )
2 3 98 99 2 3 99 100
4 4. 1 4 4 4 ...... 4 4 4 4 4 ...... 4 4A = + + + + + + = + + + + +
100
100
41
4 4 1
3
A A A
−
− = − =
Vì
100 100
100 100
4 1 4
4 1 4
3 3 3
B
A
−
−
Bài 82. (Đề thi HSG Toán 6 trường Trần Phú 2018 - 2019)
Cho
2 3 4 2017 2018
2 2 2 2 ...... 2 2M = + + + + + +
a) Tính M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3
Lời giải
a) Ta có
2 3 4 2018 2019
2 2 2 2 ...... 2 2M = + + + + +
Lấy
2019
2 2 2MM− = −
. Vậy
2019
22M =−
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 2017 2018
) 2 2 2 2 2 2 ...... 2 2bM= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
3 5 2017
2 1 2 2 . 1 2 2 .(1 2) ....... 2 . 1 2M = + + + + + + + +
( )
3 5 2017
3. 2 2 2 ...... 2M = + + + +
Vậy
3M
Bài 83. ( Đề thi HSG 6 Liên Châu 2018 – 2019 )
Cho tổng
2 4 6 2006
A=1+3 +3 +3 +......+3
. Tính
2008
8A-3
Lời giải
( )
2 4 2006 3 5 2007
3A= 3 1+3 +3 +.....+3 = 3+3 +3 +.....+3
2 3 2006 2007
3A+A=4A=1+3+3 +3 +.....+3 +3
( )
2 3 2006 2007
12A = 3. 1+3+3 +3 +.....+3 +3
2 3 2006 2007 2008
=3+3 +3 +.....+3 +3 +3
2008
12 4 8 3 1A A A− = = −
76
2008 2008 2008
8 3 3 1 3 1A − = − − =−
Bài 84. (Đề thi HSG 6 Huyện Vĩnh Tường 2019 – 2020 )
a) Chứng minh rằng:
2 2009
1 2 2 ...... 2 3A = + + + +
b)
Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia
hết cho
2010
Lời giải
( ) ( ) ( )
2 3 2009
2 2008
) 1 2 2 2 .... 2
1 2 2 1 2 ..... 2 . 1 2 3
aA= + + + + +
= + + + + + +
b) Xét
2011
số:
2;22;222;.....;222....2
số cuối cùng có 2011 chữ số 2. Các số này khi chia cho
2010 ta được 2011 số dư.Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2010 chỉ có thể có số dư là:
0;1;2;.....;2009
có 2010 khả năng dư. Do đó theo nguyên lý Dirichle tồn tại hai số trong các số
trên có cùng số dư khi chia cho 2010. Hiệu của chúng có dạng
222...2000....0
chia hêt cho 2010
Bài 85. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019 – 2020 )
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1 1
...... : ..... 1
51 52 53 100 1.2 3.4 5.6 99.100
+ + + + + + + + =
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...... ......
1.2 3.4 5.6 99.100 1 2 3 4 5 6 99 100

+ + + + = − + − + − + + −


1 1 1 1 1 1 1
1 .... 2 .....
2 3 100 2 4 6 100

= + + + + − + + + +


1 1 1 1 1 1 1
1 .... .....
2 3 100 1 2 3 50

= + + + + − + + + +


1 1 1 1
.....
51 52 53 100
= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
..... : ...... 1
51 52 53 100 1.2 3.4 5.6 99.100
+ + + + + + + + =
Bài 86. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Nghi Phú 2018 – 2019 )
a)Tính tổng:
2 2 2 2
.....
1.2 2.3 3.4 99.100
S = + + + +
b)Chứng minh rằng:
( )
2 3 4 100
3 3 3 3 ...... 3 40+ + + + +
Lời giải
a)
2 2 2 2 2
......
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
S = + + + + +
1 1 1 1 1
2. .....
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

= + + + + +


1 1 1 1 1
2. .....
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

= + + + + +


1 99 99
2. 1 2.
100 100 50

= − = =


77
b)
( )
2 3 4 100
3 3 3 3 ...... 3A = + + + + +
2 3 97 2 3
3 1 3 3 3 ... 3 1 3 3 3
97
3.40 ... 3 .40 40
( )
2 3 4 100
3 3 3 3 ...... 3 40 + + + + +
Bài 87. (Đề thi HSG 6 )
Cho
1 1 1 1 1
.....
2 3 4 308 309
A = + + + + +
308 307 306 3 2 1
.....
1 2 3 306 307 308
B = + + + + + +
Tính
A
B
Lời giải
308 307 306 3 2 1
......
1 2 3 306 307 308
B = + + + + + +
307 306 2 1
1 1 ..... 1 1 1
2 3 307 308
= + + + + + + + + +
309 309 309 309 309 309
.....
2 3 4 307 308 309
= + + + + + +
1 1 1 1 1
309. ......
2 3 4 308 309

= + + + + +


309BA=
1
309
A
B
=
Bài 88. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường )
Tìm
x
biết:
1 5 9 13 17 ...... 501501x+ + + + + + =
Lời giải
Ta có:
5 2 3;9 4 5;13 6 7;17 8 9= + = + = + = +
Do vậy
( )( )
1x a a a= + +
Nên:
1 5 9 13 16 ..... 1 2 3 4 5 6 7 ..... ( 1) 501501x a a+ + + + + + = + + + + + + + + + + =
Hay
( )( )
1 1 1 :2 501501aa+ + + =
( )( )
1 2 1003002 1001.1002aa+ + = =
( )
1000 1000 1000 1 2001ax = = + + =
Bài 89. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường 2019- 2020 )
Tìm x biết
( ) ( ) ( )
1 2 .... 30 1240x x x x+ + + + + + + =
Lời giải
78
( ) ( ) ( )
1 2 .... 30 1240x x x x+ + + + + + + =
( ) ( )
31.. ... ..
... 1 2 .... 30 1240
so hang x
x x x x + + + + + + + + =
31 1240 31.15x = −
775
25
31
x = =
Bài 90. ( HSG 6 Cấp Trường 2019- 2020 )
Cho
2 3 4 2004
5 5 5 5 ..... 5S = + + + + +
. Chứng minh
S
chia hết cho
126
và chi hết cho
65.
Lời giải
Có
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 3 2 3 3 3
5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 . 1 5 5 1 5+ + + + + = + + + + +
23
5.126 5 .126 5 .126= + +
2 3 4 5 6
5 5 5 5 5 5 + + + + +
chia hết cho 126
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6 1998 2 3 4 5 6
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 5 5 5 5 5 5S = + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Tổn
g trên có
2004:6 334=
số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
Có:
( )
2 3 4 3 3
5 5 5 5 5 5 5 5 5 130 5.130+ + + = + + + = +
234
5 5 5 5 + + +
chia hết cho 130
( ) ( )
2 3 4 4 2 3 4 2000 2 3 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 . 5 5 5 5S = + + + + + + + + + + + +
Tổng trên có
2004:4 501=
số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65
Bài 91. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường 2019- 2020 )
Tìm số tự nhiên
,x
biết:
( ) ( ) ( )
) 1 2 .... 2010 2029099a x x x x+ + + + + + + =
)2 4 6 8 ..... 2 210bx+ + + + + =
Lời giải
( ) ( ) ( )
) 1 2 .... 2010 2029099a x x x x+ + + + + + + =
2011 1 2 ..... 2010 2029099x + + + + =
2010.2011
2011 2029099
2
x + =
2010.2011
2011 2029099
2
x = −
2010.2011
2029099 :2011 4
2
x

= − =


)2 4 6 8 ..... 2 210bx+ + + + + =
( )
( )
1
2 1 2 3 ... 210 2. 210
2
xx
x
+
+ + + + = =
( )
1 210 14.15xx + = =
14x=
79
Bài 92. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường 2018- 2019 )
Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau
1 1 1 1 1 1
)
20 30 42 56 72 90
aA
− − − − − −
= + + + + +
5 4 3 1 13
)
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
bB= + + + +
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1
) .... .....
20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10
aA
− − − −

= + + + + = − + + + +


1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
....
4 5 5 6 7 9 10 4 10 20
= − − + − + + + − = − − = −
5 4 3 1 13
)
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
bB= + + + +
5 4 3 1 13
7.
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

= + + + +


1 1 13
7.
2 28 4

= − =


Bài 93. (Đề thi HSG 6 2018-2019)
Cho
( )
2 3 4 1 12
1 2 3 11
..... ..... .
5 5 5 5 5
n
n
An
+
= + + + + + +
Chứng minh
1
16
A
Lời giải
Xét
2 11
1 2 11
5 ....... ......
5 5 5 5
n
n
A = + + + +
2 11
2 3 4 1 12
1 2 11
4 5 ....... ......
5 5 5 5
1 2 3 11
..... .....
5 5 5 5 5
n
n
n
A A A
n
+

= − = + + + +



− + + + + + +


2 3 11 12
1 1 1 1 1 11
4 ...... ....
5 5 5 5 5 5
n
A = + + + + + + −
2 2 3 11
11 1 1 1 1 1
4 ...... ....
5 5 5 5 5 5
n
A B vs B= − = + + + + + +
2 3 1 10
1 1 1 1 1
5 1 ..... .....
5 5 5 5 5
n
B
−
= + + + + + + +
2 3 1 10
2 3 1 11
1 1 1 1 1
4 5 1 ..... .....
5 5 5 5 5
1 1 1 1 1
1 ..... .....
5 5 5 5 5
n
n
B B B
−
−

= − = + + + + + + +



− + + + + + + +


11
11 11
1 5 1
41
5 4.5
BB
−
= − =
11 12
11 12 12
5 1 11 5 49
4
4.5 5 4.5
A
−−
= − =
80
Bài 94. (Đề thi HSG 6 2017-2018)
Chứng minh rằng:
a)
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 3
− + − + −
b)
2 2 4 99 100
1 2 3 4 99 100 3
......
3 3 3 3 3 3 16
− + − + + −
Lời giải
a) Đặt
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2
A = − + − + − = − + − + −
2 3 4 5
6
66
1 1 1 1 1
21
2 2 2 2 2
1 2 1
2 3 1 1
22
1
31
3
A
A A A
AA
= − + − + −
−
+ = = − =
b) Đặt
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
.....
3 3 3 3 3 3
A = − + − + + −
2 3 4 98 99
2 3 3 3 99 100
3 1 ......
3 3 3 3 3 3
A = − − + − + + −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
4 1 ......
3 3 3 3 3 3
A = − + − + + − −
2 3 98 99
1 1 1 1 1
4 1 ...... (1)
3 3 3 3 3
A − + − + + −
Đặt
2 3 98 99 2 97 98
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ..... 3 2 ....
3 3 3 3 3 3 3 3 3
BB= − + − + + − = + − + + −
99
13
4 3 3 3 (2)
34
B B B B= + = −
Từ (1) và (2)
33
4
4 16
A B A
Bài 95. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020)
Tìm
x
biết:
1 1 1 1 119
..... .
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720
x

+ + + + =


Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
.....
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1
. ....
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10

= − + − + + −


1 1 1 1 119
..
3 6 720 3 720

= − =


81
Nên từ đề suy ra :
1 119 119
. . 3
3 720 720
xx= =
Vậy
3.x =
Bài 96. (Đề thi HSG 6 THCS Hồng Dương 2019-2020)
Tính giá trị biểu thức
1 1 1 1 1
1 1 1 1 ... 1
3 6 10 15 190
P
= − − − − −
Lời giải
2 5 9 14 189
. . . .......
3 6 10 15 190
P =
, ta tìm quy luật các mẫu:
2.3 3.4 4.5 5.6 19.20
; ; ; ;......;
2 2 2 2 2
Thay vào P ta được:
2.2 2.5 9.2 14.2. 2.189 1.4 2.5 3.6 4.7 18.21
. . . ....... . . . ......
2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20
P ==
( )
( )
1.2.3.4....18. 4.5.6.7...21
1 21 7
.
2.3.4.5....19. 3.4.5.6.....20 19 3 19
= = =
Bài 97. (Đề thi HSG 6 THCS Mỹ Hưng 2018-2019)
Cho
2 3 4 2004
5 5 5 5 ..... 5S = + + + + +
.
Chứng minh
S
chia hết cho
126
và chi hết cho
65.
Lời giải
Có
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 3 2 3 3 3
5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 . 1 5 5 1 5+ + + + + = + + + + +
23
5.126 5 .126 5 .126= + +
2 3 4 5 6
5 5 5 5 5 5 + + + + +
chia hết cho 126
( ) ( )
( )
2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6
1998 2 3 4 5 6
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 .....
5 5 5 5 5 5 5
S = + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + +
Tổng trên có
2004:6 334=
số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
Có:
( )
2 3 4 3 3
5 5 5 5 5 5 5 5 5 130 5.130+ + + = + + + = +
234
5 5 5 5 + + +
chia hết cho 130
( ) ( )
2 3 4 4 2 3 4 2000 2 3 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 . 5 5 5 5S = + + + + + + + + + + + +
Tổng trên có
2004:4 501=
số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65
Bài 98. (Đề thi HSG 6 THCS Mỹ Hưng 2018-2019)
Tìm số tự nhiên
,x
biết:
a)
( ) ( ) ( )
1 2 .... 2010 2029099x x x x+ + + + + + + =
b)
2 4 6 8 ..... 2 210x+ + + + + =
Lời giải
a)
2011 1 2 ..... 2010 2029099x + + + + =
2010.2011
2011 2029099
2
x + =
2010.2011
2011 2029099
2
x = −
2010.2011
2029099 :2011 4
2
x

= − =


82
b)
( )
( )
1
2 1 2 3 ... 210 2. 210
2
xx
x
+
+ + + + = =
( )
1 210 14.15xx + = =
14x=
Bài 99. (Đề thi HSG 6)
Cho
2 3 4 100
3 3 3 3 ..... 3 .C = + + + + +
Chứng tỏ C chia hết cho 40
Lời giải
C
( ) ( )
2 3 4 97 98 99 100
3 3 3 3 ....... 3 3 3 3= + + + + + + + +
( ) ( )
2 3 97 2 3
3 1 3 3 3 ....... 3 . 1 3 3 3= + + + + + + + +
( )
5 9 97
40. 3 3 3 ...... 3 40= + + + +
Bài 100. (Đề thi HSG 6)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ:
1 2 10
, ,....., .a a a
Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng
một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10.
Lời giải
Lập dãy số
Đặt
11
Ba=
2 1 2
3 1 2 3
10 1 2 10
..........................
.....
B a a
B a a a
B a a a
=+
= + +
= + + +
Nếu tồn tại
( )
1,2,3....10
i
Bi=
nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh
Nếu không tồn tại
i
B
nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đem
i
B
chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư
1,2,3,...,9
). Theo nguyên tắc Dirichle, phải
có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số
mn
BB−
chia hết cho 10
( )
mn
Bài 101. (Đề thi HSG 6)
Tính nhanh
a)
2 2 2 2
3 3 3 3
.....
1.4 4.7 7.10 97.100
A
b)
2 2 2 2 2 2
20 30 42 56 72 90
B
Lời giải
a) Ta có:
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
..... 3. ....
1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100
A
83
1 1 1 1 1 1 99 297
3. .... 3.
1 4 4 7 97 100 100 100
b) Ta có
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
2
20 30 42 56 72 90 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
2. 2.
4 5 5 6 8 9 9 10 4 10 10
Bài 102. (Đề thi HSG 6 THCS Hồng Lĩnh 2017-2018)
Tính tổng:
2 3 100
1 1 1 1
......
3
3 3 3
A
Lời giải
Ta có:
2 99 2 100
1 1 1 1 1 1
3 1 ..... .....
33
3 3 3 3
AA
100
100 100
1 3 1
21
3 2.3
AA
Bài 103. (Đề thi HSG 6)
Tính:
5 5 5
....
11.16 16.21 61.66
A
1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 30 42
B
1 1 1 1
.... ....
1.2 2.3 1980.1990 2006.2007
C
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1 5
.....
11 16 16 21 61 66 11 66 66
A
1 1 1 1 1 1 6
1 ..... 1
2 2 3 6 7 7 7
B
1 1 1 1 1 1 1 1 2006
1 ..... .... 1
2 2 3 1989 1990 2006 2007 2007 2007
C
Bài 104. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng:
2 2 4 99 100
1 1 1 1 1 1 1
)
2 4 8 16 32 64 3
1 2 3 4 99 100 3
) ......
3 16
3 3 3 3 3
a
b
Lời giải
84
a) Đặt
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 2
2 2 2 2 2
A
2 3 4 5
1 1 1 1 1
21
2
2 2 2 2
A
6
66
1 2 1 1
2 3 1 1 3 1
3
22
A A A A A
b) Đặt
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
.....
3
3 3 3 3 3
A
2 3 4 98 99
2 3 3 3 99 100
3 1 ......
3
3 3 3 3 3
A
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
4 1 ......
3
3 3 3 3 3
A
2 3 98 99
1 1 1 1 1
4 1 ...... (1)
3
3 3 3 3
A
Đặt
2 3 98 99 2 97 98
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ..... 3 2 ....
33
3 3 3 3 3 3 3
BB
99
13
4 3 3 3 (2)
4
3
B B B B
Từ (1) và (2)
33
4
4 16
A B A
.
Bài 105. (Đề thi HSG 6 huyện Nga Sơn 2018-2019)
a) Cho
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
..... .
1 2 3 4 50
A = + + + + +
Chứng minh:
2A
b) Cho
1 2 3 30
2 2 2 ...... 2 .B = + + + +
Chứng minh rằng
B
chia hết cho
21.
Lời giải
a) Ta có:
2
1 1 1
1
2 1.2 2
= −
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ......;
3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 50 49.50 49 50
= − = − = −
Vậy
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.... .....
1 2 3 4 50 1 1.2 2.3 3.4 49.50
A = + + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 99
1 ... 1 1 2
1 2 2 3 49 50 50 50
= + − + − + + − = + − =
b)
1 2 3 30
2 2 2 ..... 2B = + + + +
Ta có:
1 2 3 30
2 2 2 ..... 2B = + + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 29 30 3 29
2 2 2 2 .... 2 2 2. 1 2 2 . 1 2 ..... 2 . 1 2= + + + + + + = + + + + + +
( )
3 29
3. 2 2 .... 2 3 (1)B= + + +
Ta có:
1 2 3 30
2 2 2 ..... 2B = + + + +
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5 6 28 29 30
2 2 2 2 2 2 .... 2 2 2= + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 4 2 28 2
2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ... 2 . 1 2 2= + + + + + + + + +
85
( )
4 28
7. 2 2 .... 2 7 (2)B= + + +
Mà
3
và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra :
3.7B
hay
21B
Bài 106. (Đề thi HSG 6 cấp trường 2018-2019)
Cho
2 3 98 99 100
1 4 4 4 ..... 4 4 , 4AB= + + + + + + =
Chứng minh rằng:
.
3
B
A
Lời giải
( )
2 3 4 98 99
4 4. 1 4 4 4 4 .....4 4A = + + + + + +
2 3 4 98 99 100
4 4 4 4 .....4 4 4= + + + + + +
100
100
41
4 4 1
3
A A A
−
− = − =
Vì
100 100
100 100
4 1 4
4 1 4
33
−
−
Vậy
3
B
A
Bài 107. (Đề thi HSG toán 6 cấp trường 2018-2019)
Cho
2 3 48 49
1 3 3 3 ..... 3 3S = + + + + + +
a) Chứng tỏ S chia hết cho 4
b) Tìm chữ số tận cùng của S
c) Chứng tỏ
50
31
2
S
−
=
Lời giải
a) Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 48 49 2 48
1 3 3 3 ..... 3 3 4 3 . 3 1 ..... 3 1 3S = + + + + + + = + + + + +
( )
2 48
4. 1 3 ...... 3 4= + + +
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 44 45 46 47 48 49
) 1 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 3 3 3bS= + + + + + + + + + + + + + +
Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó tận cùng bằng 0
Mặt khác:
48 49 4.12 48
3 3 3 3 .3 ....1 ....1.3 ....4+ = + = + =
Vậy S có tận cùng bằng 4
2 48 49 2 3 49 50
) 1 3 3 ..... 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3c S S= + + + + + = + + + + +
50
50
31
3 3 1
2
S S S
−
− = − =
Bài 108. (Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2018-2019)
Chứng minh rằng:
( )
2018 2017 2
75. 4 4 .... 4 5A = + + + +
chia hết cho
2019
4
Lời giải
2018 2017 2 2018 2017 2
4 4 ..... 4 5 4 4 ..... 4 4 1M = + + + + = + + + + +
( )
2018 2017 2 2019 2018 3 2
4 4. 4 4 ..... 4 4 1 4 4 ...... 4 4 4M = + + + + + = + + + + +
2019
2019
41
4 4 1
3
M M M
−
− = − =
( ) ( )
2019 2019
75. 4 1 :3 25 25. 4 1 25A = − + = − +
2019 2019 2019
25.4 25 25 25.4 4= − + =
86
Bài 109. (Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2018-2019)
Chứng minh rằng
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100 3
......
3 3 3 3 3 3 16
A = − + − + + −
Lời giải
2 3 4 99 100 2 3 98 99
1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100
...... 3 1 ......
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
AA= − + − + + − = − + − + + −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
4 1 .....
3 3 3 3 3 3
A = − + − + + − −
2 3 98 99
1 1 1 1 1
4 1 ..... (1)
3 3 3 3 3
A − + − + + −
99
13
4 3 3 3 (2)
34
B B B B= + = −
33
(1),(2) 4
4 16
Tu A B A
Đặt:
2 3 98 99
1 1 1 1 1
1 .....
3 3 3 3 3
B = − + − + + −
2 3 97 98
1 1 1 1 1
3 2 .......
3 3 3 3 3
B = + − + + + −
Bài 110. (Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2018-2019)
Cho
2012 2012
2012 2A =+
và
2012
2012B =
a) Chứng tỏ rằng khi biểu diễn
,AB
dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của
A
và số chữ số của
B là bằng nhau
b) Ký hiệu
( )
n
S
là tổng các chữ số của số tự nhiên
n
Tìm
n
sao cho
( )
2
2013 6
n
S n n= − +
Lời giải
a) Giả sử số
2012
2012B =
khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có
n
chữ số, ta có:
2012 2012 6036
1000 2012 10 10 10 6036
nn
n
Giả sử khi số
2012 2012
2012 2A =+
biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A có nhiều hơn n chữ số, tức
là A ít nhất có
1n+
chữ số, suy ra:
2012 2012 2012 2012 2012
2012 2 10 2012 10 2012 2
nn
+ +
( )
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2 .1006 2 .2 .5 2 . 1006 1
nn−
+
, do
6036n
2012 2012 2012
1006 2 .5 1006 1
nn−
+
2012 2012
2 .5 1006 1.
nn−
= +
Điều này là vô lý vì
2012
1006 1+
là số lẻ, còn
2012
2 .5
nn−
là số chẵn
Do đó số chữ số của
A
không nhiều hơn số chữ số của B
dfcm
b) Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân, ta có:
1
1 1 0
.10 .10 .... .10
mm
mm
n a a a a
−
−
= + + + +
(với
i
a
là các chữ số,
0,1,2,..., ; )i m m=
1 1 0
....
mm
n a a a a
−
+ + + +
( )
n
nS
2
2013 6n n n − +
2
6 2014nn +
6
2014 2014 (1)nn
n
+
Mà
( )
2
0 2013 6 0
n
S n n − +
87
2
6
6 2013 2013 2013 (2)n n n n
n
+ +
Từ (1) và (2) suy ra
2013n =
Thử với
2013n =
ta có :
( )
2
2013
2013 2013.2013 6 6S = − + =
(thỏa mãn)
Vậy số tự nhiên
n
cần tìm là
2013.
Bài 111. (Đề thi HSG 6 huyện Thạch Thành 2018-2019)
Cho
1 1 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + + +
+ + + + + + + + + + +
.
Chứng minh
3
4
A
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
....
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
A = + + + +
+ + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
.....
1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2017 .1009
2 2 2 2
A = + + + +
+ + + +
2 2 2 2 1 1 1 1
..... ....
2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009
= + + + + = + + + +
1 1 1 1
......
2.2 2.3 3.4 1008.1009
A

+ + + +


1 1 1 1 1 1 1
.....
4 2 3 3 4 1008 1009
A

+ − + − + + −


1 1 1 1 1 3
4 2 1009 4 2 4
A A A

+ − +


Bài 112. (Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019)
a) Tính tổng :
1.2 2.3 3.4 .... 98.99A= + + + +
b) Cho biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1
......
5 6 7 100
B = + + + +
Chứng tỏ rằng
11
64
B
Lời giải
)3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ..... 98.99.3aA= + + + +
( ) ( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ..... 98.99. 100 97= + − + − + + −
1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ...... 98.99.100 97.98.99 98.99.100= + − + − + + − =
98.99.100:3 323400A = =
b)
2 2 2 2
1 1 1 1
......
5 6 7 100
B = + + + +
1 1 1
.....
4.5 5.6 99.100
B + + +
88
1 1 1 1 1 1
.....
4 5 5 6 99 100
B − + − + + −
1 1 1
(1)
4 100 4
B −
1 1 1
....
5.6 6.7 100.101
B + + +
1 1 1 1 1 1
....
5 6 6 7 100 101
B − + − + + −
1 1 96 96 1 1
(2)
5 101 505 576 6 6
BB − = =
Từ (1) (2)
11
64
B
Bài 113. (Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019)
Cho
2 3 48 49 100
1 4 4 4 ...... 4 4 ; 4AB= + + + + + + =
Chứng minh rằng:
3
B
A
Lời giải
( )
2 3 98 99 2 3 99 100
4 4. 1 4 4 4 ...... 4 4 4 4 4 ...... 4 4A = + + + + + + = + + + + +
100
100
41
4 4 1
3
A A A
−
− = − =
Vì
100 100
100 100
4 1 4
4 1 4
3 3 3
B
A
−
−
Bài 114. (Đề thi HSG 6 trường Trần Phú 2018-2019)
Cho
2 3 4 2017 2018
2 2 2 2 ...... 2 2M = + + + + + +
a) Tính M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3
Lời giải
a) Ta có
2 3 4 2018 2019
2 2 2 2 ...... 2 2M = + + + + +
Lấy
2019
2 2 2MM− = −
. Vậy
2019
22M =−
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 2017 2018
2 2 2 2 2 2 ...... 2 2M = + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
3 5 2017
2 1 2 2 . 1 2 2 .(1 2) ....... 2 . 1 2M = + + + + + + + +
( )
3 5 2017
3. 2 2 2 ...... 2M = + + + +
Vậy
3M
Bài 115. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020)
Chứng minh rằng:
2 2009
A 1 2 2 ...... 2 3= + + + +
Lời giải
89
( ) ( ) ( )
2 3 2009 2 2008
A 1 2 2 2 .... 2 1 2 2 1 2 ..... 2 . 1 2 3= + + + + + = + + + + + +
Bài 116. ( Đề thi HSG 6 huyện Nga Sơn 2016-2017)
Không sử dụng máy tính hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
A 2 4 6 ..... 98= + + + +
Lời giải
2 2 2 2
A 2 4 6 ..... 98= + + + +
( )
2 2 2 2
2A 2. 2 4 ..... 96 98= + + + +
( ) ( ) ( )
2.2.2 2.4.4 .... 2.98.98 1 3 .2 3 5 .4 ..... 97 99 .98= + + + = + + + + + +
1.2 2.3 3.4 4.5 ..... 97.98 98.99= + + + + + +
6A 3.1.2 3.2.3 ..... 3.98.99= + + +
1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 ..... 98.99.100 97.98.99= − + − + + −
98.99.100 A 98.99.100:6 167100= = =
Bài 117. ( Đề thi HSG 6 huyện Nga Sơn 2016-2017)
Cho tổng
1 1 1
S ...... .
31 32 60
= + + +
Chứng minh
34
S
55

Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1 1
*)S ..... ..... ....
31 32 40 41 42 50 51 52 60
= + + + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
S .... ..... .....
30 30 30 40 40 40 50 50 50
+ + + + + + + + + + +
10 10 10 47 48 4
S S S (1)
30 40 50 60 60 5
+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
*)S ..... ..... ....
40 40 40 50 50 50 60 60 60
+ + + + + + + + + + +
10 10 10 37 36 3
S S S (2)
40 50 60 60 60 5
+ +
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Bài 118. ( Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Lộc 2017-2018)
Cho tổng
1 2 3 2015 2016
2 3 4 2016 2017
T ........
2 2 2 2 2
= + + + + +
. So sánh
T
với
3
Lời giải
1 2 3 2015 2016
2 3 4 2016 2017
T ......
2 2 2 2 2
= + + + + +
1 2 2014 2015
3 4 2016 2017
2T 2 ......
2 2 2 2
= + + + + +
1 1 2 2 2014 2014 2015 2015 2016
3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017
2T T 2 ....
2 2 2 2 2 2 2 2 2
− = + − + − + + − + − −
1 2 2015 2016
1 1 1 2017
T 2 ......
2 2 2 2
= + + + + −
Đặt
1 2 2015 1 2 2014
1 1 1 1 1 1
N ...... 2N 1 ......
2 2 2 2 2 2
= + + + = + + + +
2015
1
2N N 1 N 1
2
− = −
Nên
2016 2016
2017 2017
T 2 1 3 T 3
22
+ − = −
90
Bài 119. (Đề thi HSG 6 huyện 2018-2019)
1) Cho tổng gồm 2014 số hạng:
2 3 4 2014
1 2 3 4 2014
S ......
4 4 4 4 4
= + + + + +
.
Chứng minh rằng
1
S
2
2) Tìm tất cả các số tự nhiên
n,
biết rằng
n S(n) 2014,+=
trong đó S(n) là tổng các chữ số của
n.
Lời giải
2 2013
2 3 2014
1) 4S 1 .....
4 4 4
= + + + +
2 2013 2014
1 1 1 2014
3S 4S S 1 .....
4 4 4 4
= − = + + + + −
2 2013 2 2013
1 1 1 1 1 1
3S 1 ..... .DatM 1 .....
4 4 4 4 4 4
+ + + + = + + + +
2 2012
1 1 1
4M 4 1 .....
4 4 4
= + + + + +
2013
14
3M 4M M 4 4 M
43
= − = −
4 4 4 1
3S S
3 9 8 2
=
2) Nếu
n
là số có ít hơn 4 chữ số thì
n 999
và
S(n) 27
Suy ra
n S(n) 999 27 1026 2014(ktm)+ + =
Mặt khác
n n S(n) 2014 + =
nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số tự nhiên có 4 chữ số, suy ra
( )
S n 9.4 36=
. Do vậy,
n 2014 36 1978 − =
Vì
n 19ab
1978 n 2014
n 20cd
=
=
*Nếu
n 19ab.=
Ta có:
( )
19ab 1 9 a b 2014+ + + + =
1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a 2 + + = + =
Và
11a 104 2b 104 2.9 86 8 10 a,a 2 a 8 b 8= − − = = =
n 1988(tm)=
*Nếu
n 20cd.=
Ta có:
( )
20cd 2 0 c d 2014+ + + + =
2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c 2 + + = + =
Và
c 0 d 6 n 2006(tm)
11c 12
c 1 2d 1(ktm)
= = =

= =
Vậy
n 1988;2006
Bài 120. (Đề thi HSG 6 huyện Hậu Lộc 2017-2018)
Thực hiện phép tính:
1 1 1 1
A 1 1 1 .... 1
1.3 2.4 3.5 2017.2019
= + + + +
Lời giải
1 1 1 1
A 1 1 1 .... 1
1.3 2.4 3.5 2017.2019
= + + + +
2
4 9 16 2018
. . ........
1.3 2.4 3.5 2017.2019
=
2.2 3.3 4.4 2018.2018
. . ........
1.3 2.4 3.5 2017.2019
=
91
2.3.4.......2018.2.3.4........2018
1.2.3.......2017.3.4.5........2019
=
2018.2 4036
1.2019 2019
==
Bài 121. (Đề thi HSG 6 huyện 2018-2019)
Thực hiện tính:
( ) ( ) ( )
1 1 1
a)A 1 1 2 1 2 3 ..... . 1 2 .... 2013
2 3 2013
= + + + + + + + + + +
1 3 2 4 3 5 4 6 2011 2013 2012 2014 2013.2014
b)B ....
1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014
− − − − − −
= + + + + + + −
Lời giải
( )
+
+ + + + =
n n 1
a)Ta coù1 2 3 .... n
2
= + + + + = + + + +
1 2.3 1 3.4 1 2013.2014 3 4 2014
A 1 . . ..... . 1 ......
2 2 3 2 2013 2 2 2 2
( )
+ = + + + + = + + + +
1 1 2 3 2014 1
A ...... . 1 2 3 ..... 2014
2 2 2 2 2 2
( )
= + + + + − =
11
A . 1 2 3 ..... 2014 1014552
22
1 1 1 1 1 1 1 1
b)B 2 .... .....
1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014 2013 2014

= − + + + + + + + − −


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ;.......;
1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2011.2013 2 2011 2013
Thay:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ;......;
2.4 2 2 4 4.6 2 4 6 2012.2014 2 2012 2014
= − = − = −
= − = − = −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B 1 ....... ......
3 3 5 2011 2013 2 4 2012 2014 2013 2014

= − − + − + + − + − + + − − −


3
B
2
=−
Bài 122. (Đề thi HSG 6 huyện Cẩm Thủy 2017-2018)
Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
S ...
2 3 4 9
= + + + +
. Chứng minh
8
S
9
Lời giải
2 2 2 2
1 1 1 1
S ...
2 3 4 9
= + + + +
Ta có
92
2
2
2
2
11
2 1.2
11
3 2.3
11
4 3.4
...........
11
9 8.9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8
S ... ... 1
1.2 2.3 3.4 8.9 1 2 2 3 3 4 8 9 9 9
+ + + + = − + − + − + + − = − =
Vậy
8
S
9
Bài 123. (Đề thi HSG 6 huyện Cẩm Thủy 2017-2018)
Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng:
1 2 3 ... n aaa+ + + + =
Lời giải
( ) ( )
1 2 3 ... n aaa 1 n .n :2 111.a n n 1 2.3.37.a+ + + + = + = + =
Mà 37 là số nguyên tố
* nếu n > 37 suy ra
n 37.2 74=
khi đó
n 1 3.a 3.9 27 n 26+ =
vô lý
Nên
n 37
suy ra chỉ xảy ra n = 37 hoặc n + 1 = 37
+) Với n = 37
38
37.38 2.3.37.a 38 6.a a N
6
= = =
(loại)
+) Với n + 1 = 37
36.37 2.3.37.a 36 6.a a 6 N = = =
thỏa mãn
Vậy n = 36, a = 6
Bài 124. (Đề thi HSG 6 )
Tính:
A
=
2 3 4 20
4 2 2 2 ... 2+ + + + +
Lời giải:
2A
=
3 4 5 21
8 2 2 2 ... 2+ + + + +
.
⇒
2AA−
=
( ) ( ) ( )
21 2 3 3 20 20
2 8 4 2 2 2 ... 2 2+ − + + − + −
=
21
2
Bài 125. (Đề thi HSG 6 )
Cho :
S =
0 2 4 6 2002
3 3 3 3 ... 3+ + + + +
a) Tính
S
b) Chứng minh
S
7
.
Lời giải:
a) Ta có
S =
0 2 4 6 2002
3 3 3 3 ... 3+ + + + +
2
3 S =
2 4 6 8 2004
3 3 3 3 ... 3+ + + + +
(0,5đ)
Suy ra:
8S =
2004
31−
⇒ S =
8
13
2004
−
(0,5đ)
93
b)
S =
( ) ( ) ( )
0 2 4 6 0 2 4 1998 0 2 4
3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3+ + + + + + + + +
=
( )( )
0 2 4 6 1998
3 3 3 1 3 ... 3+ + + + +
=
( )
6 1998
91 1 3 ... 3+ + +
(0,75đ) suy ra:
S
7
(0,25đ)
Bài 126. (Đề thi HSG 6 )
Cho A = 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
………+ 3
100
chứng minh A chia hết cho 120
Lời giải:
Ta nhóm làm 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau:
A = (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
) +……+ (3
97
+3
98
+3
99
+3
100
)
= 3 (1 + 3 + 3
2
+3
3
)+…….+ 3
97
(1+3+3
2
+3
3
) 0,5 đ
Ta lại thấy: 1 + 3 + 3
2
+3
3
= 40
Nên A = 40. (3 + 3
5
+3
9
+………+3
97
) 0,5đ
= 40.3 (3
0
+ 3
4
+3
8
+………+3
96
) 0,5đ
= 120. (3
0
+ 3
4
+3
8
+………+3
96
)
Điều này chứng tỏ
120A
(đpcm) 0,5đ
Bài 127. (Đề thi HSG 6 )
Cho A = 7 + 7
3
+ 7
5
+ ... + 7
1999
. Chứng minh rằng A chia hết cho 35
Lời giải:
A = 7 + 7
3
+ 7
5
+ ... + 7
1999
= (7 + 7
3
) + (7
5
+ 7
7
) + ..... + (7
1997
+7
1999
)
A = 7(1 + 7
2
) + 7
5
(1 + 7
2
) + ... + 7
1997
(1 + 7
2
)
A = 7.50 + 7
5
.50 + 7
9
.50 + ... + 7
1997
.50
A Chia hết cho 5 (1)
A = 7 + 7
3
+ 7
5
+ ... + 7
1999
= 7.( 7
0
+ 7
2
+ 7
4
+ ... + 7
1998
)
A Chia hết cho 7 (2)
Mà ƯCLN(5,7) = 1
A Chia hết cho 35.
Bài 128. (Đề thi HSG 6 )
Cho
1998
1
...........
3
1
2
1
1 ++++=
n
m
với m, n là số tự nhiên
Lời giải:
1998
1
...........
3
1
2
1
1 ++++=
n
m
. Từ 1 đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta ghép
thành 999 cặp như sau:
+++
++
++
+=
1000
1
999
1
...........
1996
1
3
1
1997
1
2
1
1998
1
1
n
m
1000.999
1999
.......
1996.3
1999
1997.2
1999
.
1998.1
1999
++++=
Quy đồng tất cả 999 phân số này ta được:
1998.19978.1996............................................9.8.7.6.5.4.3.2.1
.1999.1999.1999.........1999.1999.1999
999998997321
aaaaaa
n
m
++++++
=
Với a
1
, a
2
, a
3
, ........... , a
998
, a
999
N
94
1998.1997.1996..............................3.2.1
)..........(1999
999998997321
aaaaaa
n
m
++++++
=
Vì 1999 là số nguyên tố. Nên sau khi rút gọn, đưa về dạng phân số tối giản thì tử số vẫn còn thừa số
1999. Vậy m Chia hết cho 1999.
Bài 129. (Đề thi HSG 6 huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi 2007-2008)
Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất:
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 49.50
A = + + + +
2 2 2 2
...
3.5 5.7 7.9 37.39
B = + + + +
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 49.50
A = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 4 4 49 50
A = − + − + − + + −
1 1 49
1 50 50
A = − =
Ta còn có:
2 2 2 2
...
3.5 5.7 7.9 37.39
B = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
...
3 5 5 7 7 9 37 39
B = − + − + − + + −
1 1 12 4
3 39 39 13
B = − = =
.
Bài 130. (Đề thi HSG 6 huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi 2007-2008)
Tìm
*
n
biết:
( )
1 3 5 2 –1 225n+ + ++ =
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
2
1 2 1 .
2
1 3 5 2 –1
22
nn
n
nn
+−
+ + ++ = = =
suy ra
2
225n =
Vậy
15n =
Bài 131. (Đề thi HSG 6)
Tính giá trị các biểu thức sau:
16 14 7 7 1
15.31 31.45 45.52 52.65 13.70
C = + + + +
.
Lời giải
16 14 7 7 1
15.31 31.45 45.52 52.65 13.70
C = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 5
15 31 31 45 45 52 52 65 65.70
= − + − + − + − +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
15 31 31 45 45 52 52 65 65 70
= − + − + − + − + −
11
15 70
=−
14 3 11
15.14 210
−
==
95
Bài 132. (Đề thi HSG 6 huyện Ngọc Lạc trường Cao Thịnh 2006-2007)
Tính giá trị của biểu thức :
a)
( ) ( ) ( )
1 2 3 2 ... 2003 2004 2005A = + − + + − + + + − +
b)
1 7 13 19 25 31 ...B = − + − + − +
(
B
có 2005 số hạng)
Lời giải
a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 3 4 ... 2002 2003 2004 2005A= + − + + − + + + − + + − +
1 1 1 .... 1 1 1= + + + + + +
( có 1002 số hạng)
1003=
b)
1 7 13 19 25 31 ...B = − + − + − +
(
B
có 2005 số hạng)
1 C=+
Ta còn có:
( ) ( ) ( )
7 13 19 25 31 37 ....C = − + + − + + − + +
(
C
có 1002 cặp)
6 6 6 ....= + + +
6012=
Vậy
6013B =
Bài 133. (Đề thi HSG 6 Phòng GD-ĐT Tam Dương 2018-2019)
Cho
1 1 1 1 1 1 1
1 ..... ; ..... .
2 3 4 2012 1007 1008 2012
AB= − + − + − = + + +
Tính
2013
A
B



Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
1 ...
2 3 4 2012
A = − + − + −
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ..... 2 .....
2 3 4 2012 2 4 6 2012

= + + + + + − + + + +


1 1 1 1 1 1 1 1
1 ..... 1 .....
2 3 4 2012 2 3 4 1006

= + + + + + − + + + + +


1 1 1
......
1007 1008 2012
B= + + + =
Suy ra:
2013
2013
1 1 1
AA
BB

= = =


Vậy
2013
1
A
B

=


Bài 134. (Đề thi HSG cấp trường)
Chứng minh rằng:
2 2 4 99 100
1 1 1 1 1 1 1
)
2 4 8 16 32 64 3
1 2 3 4 99 100 3
) ......
3 16
3 3 3 3 3
a
b
− + − + −
− + − + + −
Lời giải
a) Đặt
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 2
2 2 2 2 2
A = − + − + − = − + − + −
96
2 3 4 5
1 1 1 1 1
21
2
2 2 2 2
A = − + − + −
6
66
1 2 1
2 3 1 1
22
A A A
−
+ = = − =
1
31
3
AA
b) Đặt
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
.....
3
3 3 3 3 3
A = − + − + + −
2 3 4 98 99
2 3 3 3 99 100
3 1 ......
3
3 3 3 3 3
A = − − + − + + −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
4 1 ......
3
3 3 3 3 3
A = − + − + + − −
2 3 98 99
1 1 1 1 1
4 1 ...... (1)
3
3 3 3 3
A − + − + + −
Đặt
2 3 98 99
1 1 1 1 1
1 .....
3
3 3 3 3
B = − + − + + −
2 97 98
1 1 1 1
3 2 ....
3
3 3 3
B = + − + + −
99
13
4 3 3 3 (2)
4
3
B B B B= + = −
Từ (1) và (2)
33
4
4 16
A B A
Bài 135. (Đề thi HSG cấp trường)
Tính tổng
1.2 2.3 3.4 ..... 99.100S = + + + +
Lời giải
1.2 2.3 3.4 ..... 99.100S = + + + +
( )
3 1.2 2.3 3.4 ..... 99.100 .3S = + + + +
1.2.3 2.3.3 3.4.3 ..... 99.100.3= + + + +
( ) ( ) ( )
1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 .... 99.100. 101 98= + − + − + + −
1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 .... 98.99.100 99.100.101= − + − + − − +
99.11.101:3 33.100.101S ==
Bài 136. (Đề thi HSG cấp trường)
Chứng tỏ rằng
1 1 1 1 1 7
.....
41 42 43 79 80 12
+ + + + +
Lời giải
Ta thấy
1
41
đến
1
80
có 40 phân số
Vậy
1 1 1 1 1 1
......
41 42 43 78 79 80
+ + + + + +
97
1 1 1 1 1 1 1 1
..... ...... (1)
41 42 59 60 61 62 79 80
= + + + + + + + + +
Vì
1 1 1
......
41 42 60
và
1 1 1
...... (2)
61 62 80
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
...... .....
60 60 60 60 80 80 80 80
+ + + + + + + + +
20 20 1 1 7
(3)
60 80 3 4 12
= + = + =
Từ
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 7
1 , 2 , 3 ......
41 42 43 78 79 80 12
+ + + + + +
Bài 137. (Đề thi HSG cấp trường)
Tính tổng
6 6 6 6
......
2.5 5.8 8.11 29.32
S = + + + +
và chứng tỏ
1S
Lời giải
Ta có
3 3 3
2. .....
2.5 5.8 29.32
S

= + + +


1 1 1 1 1 1 1 1 30
2. ..... 2. 1
2 5 5 8 29 32 2 32 32
= − + − + + − = − =
Vậy
1S
Bài 138. (Đề thi HSG cấp trường)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ:
1 2 10
, ,....., .a a a
Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng
một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10.
Lời giải
Lập dãy số
Đặt
11
Ba=
2 1 2
3 1 2 3
10 1 2 10
..........................
.....
B a a
B a a a
B a a a
=+
= + +
= + + +
Nếu tồn tại
( )
1,2,3....10
i
Bi=
nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh
Nếu không tồn tại
i
B
nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đem
i
B
chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư
1,2,3,...,9
). Theo nguyên tắc Dirichle, phải
có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số
mn
BB−
chia hết ch10
( )
mn
(đpcm)
Bài 139. (Đề thi HSG cấp trường)
Tìm số tự nhiên
n
và chữ số
a
biết rằng:
1 2 3 ...... n aaa+ + + + =
Lời giải
98
Từ 1; 2;……;n có n số hạng
Suy ra
.( 1)
1 2 .....
2
nn
n
+
+ + + =
Mà theo bài ta có:
1 2 3 ..... n aaa+ + + + =
Suy ra
( )
1
.111 .3.37
2
nn
aaa a a
+
= = =
( )
1 2.3.37.n n a + =
Vì tích
( )
1nn+
chia hết cho số nguyên tố 37 nên
n
hoặc
1n +
chia hết cho 37
Vì số
( )
1
2
nn+
có 3 chữ số nên
37
1 74
1 37
n
n
n
=
+
+=
Với
37n =
thì
37.38
703( )
2
ktm=
Với
36.37
1 37 666( )
2
n tm+ = =
Vậy
36, 6 1 2 3 ..... 36 666na= = + + + + =
Bài 140. (Đề thi HSG cấp trường)
Cho
1 1 1 1 1 1
.....
2 3 4 48 49 50
S = + + + + + +
và
1 2 3 48 49
.....
49 48 47 2 1
P = + + + + +
. Hãy tính
S
P
Lời giải
1 2 3 48 49
.....
49 48 47 2 1
P = + + + + +
1 2 3 48
1 2 1 ..... 1 1
49 48 47 2
= + + + + + + + + +
50 50 50 50 50 50 50
..... 1 ......
49 48 2 50 49 48 2

= + + + + = + + + +


1 1 1 1
50. ....
50 49 2 50
S
P

= + + + =


Bài 141. (Đề thi HSG cấp trường)
Cho
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
..... .
2 3 4 2009 2010
M = + + + + +
Chứng minh
1M
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1
....
1.2 2.3 2008.2009 2009.2010
M + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
.....
1 2 2 3 2008 2009 2009 2010
M − + − + + − + −
1
11
2010
MM −
99
Bài 142. (Đề thi HSG cấp trường Bắc Nghĩa)
Tính
3 3 3 3
.....
5.7 7.9 9.11 59.61
M = + + + +
b) Cho
1 2 3 99
.....
99 98 97 1
1 1 1 1
......
2 3 4 100
A
+ + + +
=
+ + + +
và
1 2 3 92
92 ........
9 10 11 100
1 1 1 1
....
45 50 55 500
B
− − − − −
=
+ + + +
. Tính
A
B
Lời giải
3 3 3 3
) .....
5.7 7.9 9.11 59.61
aM= + + + +
3 2 2 2
. .......
2 5.7 7.9 59.61

= + + +


3 1 1 1 1 1 1
. ......
2 5 7 7 9 59 61

= − + − + + −


3 1 1 3 56 84
..
2 5 61 2 305 305

= − = =


1 2 3 98
1 2 3 99
... 99
.....
99 98 97 2
99 98 97 1
)
1 1 1 1 1 1 1 1
...... ......
2 3 4 100 2 3 4 100
bA

+ + + + +
+ + + +


==
+ + + + + + + +
Tử số
100 100 100 99
1 1 ..... 1
99 98 2 1
= − + − + + − +
( )
100 100 100 100 99
...... 1 1 1 .... 1
99 98 97 2 1

= + + + + − + + + + +


100 100 100 100 100
.....
99 98 97 2 100
= + + + + +
1 1 1 1
100. ......
100 99 98 2

= + + + +


Vậy
1 1 1
100. ....
100 99 2
100 (1)
1 1 1
.......
2 3 100
A

+ + +


==
+ + +
1 2 3 92
92 ........
9 10 11 100
1 1 1 1
....
45 50 55 500
B
− − − − −
=
+ + + +
Tử số
=
1 2 3 92
92 .....
9 10 11 100
− − − − −
100
8 8 8 8
92 1 1 1 ....... 1
9 10 11 100
= − − − − − − − − −
( )
8 8 8 8
92 1 1 1 1 ..... 1 .....
9 10 11 100

= − + + + + + + + + + +


1 1 1 1
0 40. ......
45 50 55 500

= + + + + +


Vậy
1 1 1 1
40 ......
45 50 55 500
40 (2)
1 1 1 1
......
45 50 55 500
B

+ + + +


==
+ + + +
Từ (1) và (2)
100
250%
40
A
B
= =
Bài 143. (Đề thi HSG huyện Việt Yên)
Cho
2 3 4 2012
1 3 3 3 3 3
.....
2 2 2 2 2 2
A
= + + + + + +
và
2013
3
:2
2
B

=


Lời giải
Ta có:
2 3 4 2012
1 3 3 3 3 3
.....
2 2 2 2 2 2
A
= + + + + + +
(1)
2 3 4 2013
3 3 3 3 3 3
.....
2 4 2 2 2 2
A
= + + + + +
(2)
Lấy (2) trừ (1) ta được:
2013
3 3 3 1 3
2 2 4 2 2
AA

− = + − −


2013
2013
2012
1 3 5 3 1
2 2 4 2 2
AA

= + = +


Vậy
2013 2013
2014 2012
335
2 2 2
BA− = − +
Bài 144. (Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu)
Cho biểu thức :
2 3 80
5 5 5 ...... 5M = + + + +
. Chứng tỏ rằng:
a) M chia hết cho 6
b)
M
không phải là số chính phương.
Lời giải
2 3 80
) 5 5 5 ..... 5aM= + + + +
( ) ( ) ( )
2 3 4 79 80
5 5 5 5 .... 5 5= + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 78 2
5 5 5 . 5 5 ...... 5 . 5 5= + + + + + +
101
( )
2 78
30. 1 5 ..... 5 30= + + +
b) Ta thấy :
2 3 80
5 5 5 ..... 5M = + + + +
chia hết cho 5 (1)
Mặt khác, do
2 3 80
5 5 ..... 5+ + +
chia hết cho
2
5
Suy ra
2 3 80
5 5 5 ...... 5M = + + + +
không chia hết cho 25 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
M
không là số chính phương.
Bài 145. (Đề thi HSG 6 quận Ba Đình 1990-1991)
Cho
4 6 9 7
31.7 7.42 10.41 10.57
A = + + +
7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B = + + +
Tính tỉ số
?
A
B
Lời giải
4 6 9 7 1 4 6 1 9 7 50 80 130
31.7 7.41 10.41 10.57 7 31 41 10 41 57 31.41 41.57 31.57
A
= + + + = + + + = + =
7 5 3 11 1 7 5 1 3 11 24 28 52
19.31 19.43 23.43 23.57 19 31 43 23 43 57 31.43 43.57 31.57
B
= + + + = + + + = + =
Vậy
52
130
=
B
A
Bài 146. (Đề thi HSG 6 trường THCS Lê Ngọc Hân 1997-1998)
Tính tổng:
1 1 1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30
A = + + + +
4 4 4 4
5.8 8.11 11.14 305.308
B = + + + +
Lời giải:
Ta có :
1
( 1)( 2)( 3)n n n n+ + +
3
3 ( 1)( 2)( 3)n n n n
=
+ + +
3
3 ( 1)( 2)( 3)
nn
n n n n
+−
=
+ + +
13
3 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
nn
n n n n n n n n

+
=−

+ + + + + +

1 1 1
3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)n n n n n n

=−

+ + + + +

Nên : A =
30.29.28.27
1
...............
6.5.4.3
1
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
++++
102
1 1 1 1 4059 451
.
3 1.2.3 28.29.30 3 28.29.30 8120

= − = =


B =
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4.303 101
.......
3 5 8 3 8 11 3 305 308 3 5 308 3.5.308 385
− + − + + + = − = =
Vậy
451 101 28390
8120 385 89320
AB+ = + =
Bài 147. (Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1996 - 1997)
Cho dãy phân số được viết theo qui luật:
2 2 2
; ; ;
11.16 16.21 21.26
a) Tìm phân số thứ 45 của dãy số này.
b) Tính tổng của 45 phân số này.
Lời giải:
a) Phân số thứ 45 của dãy số là :
2
231.236
b) Tổng của 45 phân số này là :
2 5 5 5 2 1 1 1 1 1 1 45
5 11.16 16.21 231.236 5 11 16 16 21 231 236 1298
+ + + = − + − + + − =
Bài 148. (Đề thi HSG 6)
a) Tính tổng:
2 2 2 2 2
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
S = + + + + +
b) Chứng minh rằng:
( )
2 3 4 100
3 3 3 3 3 40+ + + + +
Lời giải:
a)
2 2 2 2 2
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
S = + + + + +
1 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
2

=
++
++
+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100
2 − + − +
− + +

= −
−
+
1 1 99 99 49
2 2. 1
1 100 100 50 50

= − = = =


b)
2 3 4 100
3 3 3 3 3+ + + + +
( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3= + + + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 3 4 4 2 3 4 96 2 3 4
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3= + + + + + + + + + + + +
0 4 96
120.3 3 .120 3 .120= + + +
( )
0 4 96
120. 3 3 3 40= + + +
Bài 149. (Đề thi HSG 6)
Một dãy số cộng có 45 số hạng. Biết số hạng ở chính giữa là 50. Hãy xác định dãy số cộng.
103
Lời giải:
Trước số hạng chính giữa có 22 số hạng , sau số hạng chính giữa có 22 số hạng.
* Nếu công sai
1d =
thì
1
50 22 28 u = − =
Dãy số đó là 28, 29, 30,...50,...71, 72.
* Nếu công sai
2d =
thì
1
50 22.2 6u = − =
45
50 22.2 94u = + =
Dãy số đó là 6, 8, 10,...50,...92, 94.
Dễ thấy công sai d không thể lớn hơn 2.
| 1/103

Tài liệu khác của Toán 6

Preview text:

1
CHUYÊN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT.
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều S a a a ... a 1 2 3 n Cần tính tổng: S a a a ... a . (1) 1 2 3 n Với a a a a ... a a
d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d ) 2 1 3 2 n n 1
Số số hạng của tổng là n = (a − a : d +1 với a là số hạng thứ nhất n 1 ) 1
a là số hạng thứ n . n
Tổng S = n(a + a : 2 . 1 n )
Số hạng thứ n của dãy là a = a + n −1 d . n 1 ( )
Ví dụ 1: Tính tổng S 1 2 3 4 ... 2019 2020 .
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 1. Lời giải
Số số hạng của dãy là 2020 1 :1 1 2020 . Tổng S 1 2020 .2020 : 2 2041210 .
Bài toán tổng quát: Tính tổng S 1 2 3 ... n .
Số số hạng của dãy là n 1 :1 1 n . Tổng S n 1 n : 2 .
Ví dụ 2: Tính tổng S 1 3 5 ... 2019 2021.
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 2 . Lời giải
Số số hạng của dãy là 2021 1 : 2 1 1011. Tổng S 1 2021 .1011: 2 1022121.
Ví dụ 3: Tính tổng S 5 10 15 ... 2015 2020 .
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 5. Lời giải
Số số hạng của dãy là 2020 5 :5 1 404 . Tổng S 5 2020 .404 : 2 409050 . 2 3 5 4039
Ví dụ 4: Tính tổng S 1 2 ... 2020 . 2 2 5 1
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d . 2 Lời giải 1
Số số hạng của dãy là 2020 1 : 1 4039 . 2 Tổng S 1 2020 .4039 : 2 4081409,5 .
Ví dụ 5: Tính tổng S 10,11 11,12 12,13 98,99 100 .
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 1, 01. Lời giải
Số số hạng của dãy là 100 10,1 :1,01 1 90 . Tổng S 10,11 100 .90 : 2 4954,95 .
Dạng 2: Tổng có dạng 2 3 =1+ + + +... n S a a a + a (1) Phương pháp
TH 1: Nếu a =1 thì S = n +1.
TH 2: Nếu a  1 để tính tổng S ta làm như sau
Bước 1: Nhân hai vế của ( )
1 với số a ta được 2 3 4 = + + + +... n aS a a a a + a (2)
Bước 2: Lấy (2) trừ ( ) 1 vế theo vế ta được n 1 + a + − n 1 1
aS − S = a −1 S = a −1
Ví dụ 1: Tính tổng 2 3 4 20
S = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Lời giải Ta có 2 3 4 5 21
2S = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 Vậy 21
2S − S = S = 2 − 2 .
Ví dụ 2: Tính tổng 2 3 4 100
S = 1+ 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Lời giải Ta có 2 3 4 5 101
2S = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 Vậy 101
2S − S = S = 2 −1.
Ví dụ 3: Tính tổng 2 3 4 99
S = 6 + 6 + 6 + 6 + ... + 6 . 3 Lời giải Ta có 2 3 4 5 100
6S = 6 + 6 + 6 + 6 ... + 6 . Vậy 100
6S − S = 5S = 6 − 6 . 100 6 − 6 Suy ra S = . 5
Dạng 3: Tính tổng có dạng 2 4 6 2 =1+ + + +....... n A a a a + a (1) Phương pháp:
Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với 2 a ta được: 2 2 4 6 8 2 2 . ....... n a A a a a a a + = + + + + + (2)
Bước 2: Lấy (2) −( ) 1 theo vế ta được: 2
a .A − A = ( 2 4 6 8 2n+2
a + a + a + a + ....... + a )−( 2 4 6 2
1+ a + a + a + ....... n + a ) + −  A(a − ) 2n 2 + a n 1 2 2 2 1 = a −1 A = 2 a −1
Ví dụ 1: Tính tổng sau: 2 4 6 98 100 A = 1+ 2 + 2 + 2 + .  .+ 2 + 2 (1) Lời giải Nhân vào hai vế với 2 2 ta được: 2 2 4 6 8 100 102 2 .A = 2 + 2 + 2 + 2 + .  .+ 2 + 2 (2) Lấy (2) −( ) 1 theo vế : 2 2 .A − A = ( 2 4 6 8 100 102 2 + 2 + 2 + 2 + .  .+ 2 + 2 )−( 2 4 6 98 100 1+ 2 + 2 + 2 + .  .+ 2 + 2 ) 102 2 −1 102 3A = 2 −1 A = 3
Ví dụ 2: Tính tổng sau: 1 1 1 1 1 B = + + + + ....+ (1) 2018 9 9 81 729 3 Lời giải Đặt 1 1 1 1 1 C = + + +....+  B = + C 2018 9 81 729 3 9 1 1 1 1 Ta có: C = + + +....+ 2 4 6 2018 3 2 3 3 1 1 1 1 1  .C = + + +....+ 2 4 6 8 2020 3 3 2 3 3 1  1 1 1 1   1 1 1 1   C − .C = + + +....+ − + + +....+     2 2 4 6 2018 4 6 8 2020 3  3 2 3 3   3 2 3 3  2018 8 1 1 9  1 1  3 −1  .C = −  C = . − =   2 2020 2 2020 2018 9 3 3 8  3 3  8.3 4 6 −
Ví dụ 3: Tìm giá trị của x 5 2 1 x biết: 2 4 2 1+ 5 + 5 + ..... + 5 = 4 2 Lời giải Đặt 2 4 2 1 5 5 ..... 5 x A = + + + + (1) Nhân vào hai vế với 2 5 ta được: 2 2 4 6 8 2 2 5 . 5 5 5 5 .. 5 x A + = + + + +  + (2) Lấy (2) −( ) 1 theo vế : 2 5 . − = ( 2 4 6 8 2 x+2 5 + 5 + 5 + 5 + .  .+ 2 )−( 2 4 2 1+ 5 + 5 + .....5 x A A ) 2 x+2 − x+ 5 1 2 2 24.A = 5 −1 A = 4 2 6 12 2x+2 12 − − − − x 25 1 5 1 5 1 5 1 Vì 2 4 2 1+ 5 + 5 +.....5 = =  =
x = 5 . Vậy x = 5 là giá trị cần tìm. 24 24 4 2 24 2022 −
Ví dụ 4: Tìm giá trị của 2 4 2020 17 1
x biết: 1+ ( x − ) 1 + ( x − ) 1 + ..... + ( x − ) 1 = , với x  2 (x − )2 1 −1   Lời giải
Đặt B = + (x − )2 + (x − )4 + + (x − )2020 1 1 1 ..... 1 (1).
Nhân cả hai vế của (1) cho ( x − )2 1 ta được:
B ( x − )2 = ( x − )2 + ( x − )4 + ( x − )6 + + (x − )2022 . 1 1 1 1 ....... 1 (2). Lấy (2) −( ) 1 theo vế ta được: . B ( x − )2
1 − B = ( x − )2 1 + ( x − )4 1 + ( x − )6
1 + ....... + ( x − )2022 1  − 1  +(x − )2 1 + ( x − )4 1 + .....( x − )2020 1      2022 − −
B ( x − )2 −  = ( x − )2022 (x )1 1 . 1 1 1 −1 B =   (x − )2 1 −1 17 −1 (x − )2022 2022 2022 1 −1 17 −1 Theo bài cho: B =  =  − =  = ( thỏa mãn) . (x − ) x 1 17 x 18 2 1 −1 (x − )2 1 −1 (x − )2 1 −1     Vậy x =18.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng: 2 4 40
1+ 5 + 5 + ..... + 5 chia hết cho 26. Lời giải
Phân tích: Ta nhóm 2 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 26. Ta có: 5 2 4 40 1+ 5 + 5 + ..... + 5 = ( 2 1+ 5 ) + ( 4 6 5 + 5 ).....+ ( 38 40 5 + 5 ) = ( 2 1+ 5 ) 4 + 5 .( 2 1+ 5 ) 38 +......5 .( 2 1+ 5 ) 4 38 = 26 + 5 .26 +......5 .26 Vậy 2 4 40
1+ 5 + 5 + .....5 chia hết cho 26.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: 2 4 100 1+ 2 + 2 + ..... + 2 chia hết cho 21. Lời giải
Phân tích: Ta nhóm 3 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 21. Ta có: 2 4 100 1+ 2 + 2 + ..... + 2 = ( 2 4 1+ 2 + 2 ) + ( 6 8 10 2 + 2 + 2 ).....+ ( 96 98 100 2 + 2 + 2 ) = ( 2 4 1+ 2 + 2 ) 6 + 2 .( 2 4 1+ 2 + 2 ) 96 +....+ 2 .( 2 4 1+ 2 + 2 ) 6 96 = 21+ 2 .21 +...... + 2 .21 Do đó: 2 4 100 1+ 2 + 2 + ..... + 2 chia hết cho 21
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: 2 4 100 1+ 3 + 3 + ..... + 3 chia hết cho 82. Lời giải
Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách đều để làm xuất hiện thừa số 82. Ta có: 2 4 100 1+ 3 + 3 + ..... + 3 = ( 4 1+ 3 ) + ( 2 6 3 + 3 ) +.....+ ( 90 94 3 + 3 ) + ( 96 100 3 + 3 ) = ( 4 1+ 3 ) 2 + 3 .( 4 1+ 3 ) 90 + .......+ 3 .( 4 1+ 3 ) 96 + 3 .( 4 1+ 3 ) 2 90 96
= 82 + 3 .82 + ..... + 3 .82 + 3 .82 Vậy 2 4 100 1+ 3 + 3 + ..... + 3 chia hết cho 82. 42 − Ví dụ 8: 5 2 So sánh: 2 4 40 1+ 5 + 5 + ..... + 5 với . 23 Lời giải Đặt 2 4 40
A = 1+ 5 + 5 + ..... + 5 2 2 4 6 42
 5 .A = 5 + 5 + 5 +.....+ 5 2
 5 .A − A = ( 2 4 6 42 5 + 5 + 5 + ..... + 5 ) − ( 2 4 40 1+ 5 + 5 + ..... + 5 ) 42 42 42 5 −1 5 − 2 5 − 2 42
 24.A = 5 −1 A =   24 24 23 42 − Vậy 5 2 2 4 40 1+ 5 + 5 + ..... + 5  . 23 102 − Ví dụ 9: 7 2019 So sánh: 2 4 100 1+ 7 + 7 + ..... + 7 với . 2021 Lời giải 6 Đặt 2 4 100
A = 1+ 7 + 7 + ..... + 7 2 2 4 6 102
 7 .A = 7 + 7 + 7 +....+ 7 2
 7 .A − A = ( 2 4 6 102 7 + 7 + 7 + .... + 7 )−( 2 4 100 1+ 7 + 7 + ..... + 7 ) 102 102 102 7 −1 7 − 2019 7 − 2019 102
 48.A = 7 −1 A =   48 48 2021 Dạng 4: Tính tổng 3 5 2 1 ... n S a a a a − = + + + +
, với n  1, nN;a  1. Phương pháp: 3 5 2n 1 S a a a ... a − = + + + + ( )1
Bước 1: Nhân cả 2 vế của ( ) 1 với 2 a ta được : 2 3 5 2n 1 − 2n 1 a S a a ... a a + = + + + + (2)
Bước 2: Lấy (2) −( ) 1 ta được : ( + − a − ) 2n 1 + a a 2 2n 1 1 S = a − a S  = 2 a −1 2n 1 a + − − a Vậy 3 5 2n 1
a + a + a + ... + a = 2 a −1
Ví dụ 1: Tính tổng 3 5 51
S = 2 + 2 + 2 +...+ 2 . 1 Lời giải 2n 1 + − Áp dụng công thức − a a 3 5 2n 1
a + a + a + ... + a =
với n = 26; a = 2 ta được : 2 a −1 52 52 2 − 2 2 − 2 3 5 51
S = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = = . 1 2 2 −1 3 3 5 99       Ví dụ 1 1 1 1      
2: Tính tổng S = + + +...+ . 2       3  3  3  3 Lời giải 2n 1 + − 1 Áp dụng công thức − a a 3 5 2n 1
a + a + a + ... + a =
với n = 50; a = ta được : 2 a −1 3 101  1 1   − 3 5 99         100 1 1 1 1        3 3 3 −1 S = + + +...+ = = . 2       2 99 3 3 3 3  1       8.3   −1    3
Ví dụ 3: S = 9 + 999 + 99999 +...+ 999...9 . 3 15 so 9 7 Phân tích: + ) 9 = 10 −1; 3 999 = 10 −1 ; 5 99999 = 10 −1;….; 15 999...9 = 10 −1. 15 so 9
+) Tổng trên có 8 số hạng. Lời giải
Ta có: S = 9 + 999 + 99999 + ... + 999...9 = ( 3 5 15 10 +10 +10 + ... +10 −8 3 ) 15 so 9 2n 1 + − Áp dụng công thức − a a 3 5 2n 1
a + a + a + ... + a =
với n = 8; a = 10 ta được : 2 a −1 17 17 10 −10 10 −10 3 5 15 10 +10 +10 + ... +10 = = 2 10 −1 99 17 17 − − Vậy 10 10 10 802 S = −8 = . 3 99 99
Dạng 5: Tổng có dạng: S =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ n(n + ) 1 .
Ví dụ 1: Tính tổng: A =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+98.99 . Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1.
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
A với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng (3− 0) ở số hạng thứ nhất, (4 − )
1 ở số hạng thứ hai, (5 − 2) ở số hạng thứ ba, …, (100 − 97) ở số hạng cuối cùng. Lời giải: Ta có:
3A =1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+...+ 98.99.3
3A =1.2.(3− 0) + 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5 − 2) +...+98.99.(100 −97)
3A =1.2.(3− 0) + 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5 − 2) +...+98.99.(100 −97)
3A = (1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+...+ 97.98.99 + 98.99.100) − (0.1.2 +1.2.3+ 2.3.4 +...+ 97.98.99) 3A = 98.99.100 . 98.99.100 Suy ra: A = = 323400 . 3 Bình luận:
Ta thấy: 3A = 98.99.100 là tích của ba thừa số, trong đó 98.99 là hai thừa số của số hạng lớn nhất
trong tổng, còn thừa số 100 bằng 99 +1(bằng thừa số lớn nhất của A cộng với khoảng cách giữa
hai thừa số của mỗi số hạng trong A ). 8
Bài toán tổng quát: n n + n +
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 +... + n(n + ) ( ) 1 ( 2) 1 = 3
Ví dụ 2: Tính tổng: B =1.3+3.5+5.7 +...+99.101. Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
B với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 6 này được viết dưới dạng (5 + ) 1 ở số hạng thứ nhất, (7 − )
1 ở số hạng thứ hai, (9 − )
3 ở số hạng thứ ba, …, (103− 97) ở số hạng cuối cùng. Lời giải: Ta có:
6B =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 +... + 99.101.6 6B =1.3.(5 + ) 1 + 3.5.(7 − ) 1 + 5.7.(9 − ) 3 +... + 99.101.(103−97)
= (1.3.1+1.3.5+3.5.7 +5.7.9+...+97.99.101+99.101.10 )
3 − (1.3.5+ 3.5.7 +...+ 97.99.10 ) 1 = 3+99.101.103 =1029900 . 1029900 Suy ra: B = =171650 . 6
Bài toán tổng quát: n
S = 1.(1+ k ) + (1+ k )(1+ 2k ) +...+ n(n + k ) = n(n + k ) , , n k  * . n 1 =
(khoảng cách giữa các thừa số của mỗi số hạng là k ) n
* Nhân S với ba lần khoảng cách ta được: 3kS = 3kn(n + k) . n 1 =
* Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau:
3kn(n + k ) = n(n + k )(n + 2k ) −(n − k )n(n + k )
Từ đó tính được tổng S .
Dạng 6: Tổng có dạng: 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + .... + n . n n + 1 2n + 1 2 2 2 2 ( )( )
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng : 1 + 2 + 3 +  + n = 6 Lời giải 2 2 2 2 2
S =1 + 2 + 3 + 4 +...+ n
S =1.1+ 2.2 + 3.3+ 4.4 +...+ . n n 9 = ( 1 2 − ) 1 + 2.(3 − ) 1 + 3.(4 − ) 1 + ...+ n (  n + ) 1 −1   1
= .2+ 2.3+3.4+... + n(n+ )
1 − (1+ 2 + 3+ 4 + 5+ ... + n) n n +1 n + 2
Mà 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 +... + n(n + ) ( )( ) 1 =
(Theo dạng bài trước) 3 n(n + )
1 (n + 2) n(n + ) 1  +  + −  S = −
= n(n + ) n 1 1 − = n(n +   ) 2n 4 3 1 1 3 2  3 2  6 n(n + ) 1 (2n + ) 1 Vậy S = 6
Do đó, ta có công thức tính dãy số: . n n + 1 2n + 1 2 2 2 2 ( )( )
S = 1 + 2 + 3 +  + n = 6
Ví dụ 1: Tính các tổng sau: 2 2 2 2 2
N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ++ 99
A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000 Lời giải Tính N . n n + 1 2n + 1 2 2 2 2 ( )( )
Áp dụng bài toán tổng quát S =1 + 2 + 3 +  + n = 6 n(n + ) 1 (2n + ) 1 99.(99 + ) 1 (2.99 + ) 1
Ta thấy n = 99 nên N = = = 328350 6 6 Tính A
Ta biến đổi A về dạng tương tự như biểu thức N ta có:
A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000= 2 2 2 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...+100 100.(100 + ) 1 (2.100 + ) 1 =
= 338350 (với n =100 ) 6
Ví dụ 2. Tính tổng sau: 2 2 2 2 2 2
B = − 1 + 2 – 3 + 4 −  − 19 + 20 . Lời giải Tính B
Ta biến đổi B về dạng quen thuộc như biểu thức N bằng cách thêm bớt tổng 2 2 2 2 + 4 +...+100 . 2 2 2 2 2 2
B = − 1 + 2 – 3 + 4 −  − 19 + 20 B = −( 2 2 2 2 + + + + )+ ( 2 2 2 2 1 2 3 ... 20
2 2 + 4 + 6 + ... + 20 ) 10 20.(20 + ) 1 (2.20 + ) 1 2 B = − + 2.2 ( 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + ... +10 ) 6 10.(10 + ) 1 (2.10 + ) 1 B = 2 − 870 +8. 6 B = 2 − 870+3080 = 210
Dạng 7 : Tính tổng có dạng S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2 1 với k   . PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Ta sẽ tính tổng S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2
1 dựa vào tổng dạng
1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (n − ) 1 n.
Trước hết ta xét tổng A =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ (2k − ) 1 .2k
 3A =1.2.3+ 2.3.3+3.4.3+...+(2k − ) 1 .2 . k 3
 3A =1.2.(3−0) + 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5 − 2) +...+ (2k − ) 1 .2k. (  2k + ) 1 − (2k − 2)   .
 3A =1.2.3−0.1.2+ 2.3.4−1.2.3+3.4.5− 2.3.4+...+ (2k − ) 1 .2k.(2k + )
1 − (2k − 2).(2k − ) 1 .2k
 3A = (2k − ) 1 .2k.(2k + ) 1
(2k − )1.2k.(2k + )1  A = . 3
Mặt khác A = 0.1+1.2 + 2.3 + 3.4 +... + (2k − ) 1 .2k .
A = (0.1+1.2) +(2.3+3.4) +...+ (
 2k − 2)(2k − ) 1 + (2k − ) 1 .2k     A = (
1 0 + 2) + 3.(2 + 4) +...+ (2k − ) 1 . (
 2k − 2) + 2k  
A =1.2+3.6+...+(2k − ) 1 .(4k − 2)
A =1.1.2+3.3.2+...+(2k − ) 1 .(2k − ) 1 .2
A =  + + + ( k − )2 2 2 2. 1 3 ... 2 1  = 2.S   . A
(2k − )1.2k.(2k + )1 Vậy S = = . 2 6
Cách 2: Ta sẽ tính tổng S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2
1 dựa vào tổng dạng
2.4 + 4.6 +... + (2k − 2).2k và công thức 2
n −1 = (n − ) 1 .(n + ) 1 . 11
Ta chứng minh công thức như sau: 2 2
n −1 = n − n + n −1 = n(n − ) 1 + (n − ) 1 = (n − ) 1 .(n + ) 1 (đpcm).
Nhận thấy tổng S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2 1 có (2k −1− )
1 : 2 +1 = k số hạng, từ đó ta có:
S − k = ( − ) + ( − ) + ( − ) + + (  k − )2 2 2 2 1 1 3 1 5 1 ... 2 1 −1  .
S − k = 2.4+ 4.6+...+(2k −2).2k .
 6.(S −k) = 2.4.6+ 4.6.6+...+(2k −2).2 . k 6
 6.(S − k) = 2.4.(6−0) + 4.6.(8− 2)+...+ (2k − 2).2k. (
 2k + 2)−(2k − 4)  
 6.(S −k) = 2.4.6−0.2.4+ 4.6.8−2.4.6+...+(2k −2).2 .
k (2k + 2) −(2k − 4).(2k − 2).2k
 6.(S −k) = (2k −2).2k.(2k + 2)
(2k −2).2k.(2k +2)  S − k = 6
(2k −2).2k.(2k +2)
(2k −2).2k.(2k +2) 6k 2k (2k −2  )(2k +2)+3  S = + k = + = 6 6 6 6 2k 2k
 (2k + 2) − 2(2k + 2) 2
+ 3 2k 4k + 4k − 4k − 4 + 3     S = = 6 6 2k ( 2 4k − ) 1 2k ( 2
4k − 2k + 2k − ) 1 2k ( 2
4k − 2k ) + (2k − ) 1 
2k 2k (2k − ) 1 + (2k − ) 1       S = = = = 6 6 6 6
(2k − )1.2k.(2k + )1  S = . 6
Cách 3: Ta sẽ tính tổng S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2
1 dựa vào tổng dạng
1.3+ 3.5 +... + (2k − ) 1 .(2k + )
1 và tổng dạng 1+ 3 + 5 + ...+ (2k − ) 1 . Ta có S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2 1
S =1.(3− 2) +3.(5− 2) +5.(7 − 2) +...+(2k − ) 1 . (  2k + ) 1 − 2    S = 1
 .3+ 3.5+ 5.7 +...+ (2k − ) 1 .(2k + ) 1  − 1
 .2 + 3.2 + 5.2 +...+ (2k − ) 1 .2      S = 1
 .3+ 3.5+ 5.7 +...+ (2k − ) 1 .(2k + ) 1  − 2. 1
 + 3+ 5+...+ (2k − ) 1      .
Đặt S =1.3+ 3.5+ 5.7 +...+ 2k −1 . 2k +1 và S =1+ 3+ 5 +...+ 2k −1 . 2 ( ) 1 ( ) ( )
Ta có: S =1.3 + 3.5 + 5.7 +... + 2k −1 . 2k +1 1 ( ) ( ) 12
 6S =1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+ 2k −1 . 2k +1 .6 1 ( ) ( )
 6S =1.3.6 + 3.5. 7 −1 + 5.7. 9 −3 +...+ 2k −1 . 2k +1 . 2k + 3 − 2k −3  1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 6S =1.3.6+3.5.7 −1.3.5+5.7.9−3.5.7 +...+ 2k −1 . 2k +1 . 2k +3 − 2k −3 . 2k −1 . 2k +1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 6S =1.3.6+ 2k −1 . 2k +1 . 2k +3 −1.3.5 1 ( ) ( ) ( )
(2k − )1.(2k + )1.(2k +3)+3  S = . 1 6
Ta có: S =1+ 3 + 5 +... + 2k −1 . 2 ( )
Số số hạng của tổng S là: (2k −1− ) 1 : 2 +1 = k . 2
S =1+3+5+...+(2k − ) 1 = (1+ 2k − ) 2 1 .k : 2 = k . 2 k − k + k + +
S =1 + 3 + 5 +...+ (2k − )2 2 1 . 2 1 . 2 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 = S − 2S = − 2k . 1 2 6 (2k − ) 1 .(2k + )
1 .(2k + 3) + 3 −12k
( k − ) ( k + ) ( k + )−( 2 2 2 1 . 2 1 . 2 3 12k − 3)  S = = 6 6 (2k − ) 1 .(2k + ) 1 .(2k + 3) − 3( 2 4k − ) 1 (2k − ) 1 .(2k + )
1 .(2k + 3) − 3 ( 2
4k − 2k ) + (2k − ) 1   S = = 6 6 (2k − ) 1 .(2k + )
1 .(2k + 3) − 32k (2k − ) 1 + (2k − ) 1     S = 6 (2k − ) 1 .(2k + )
1 .(2k + 3) − 3(2k − ) 1 (2k + ) 1 (2k − ) 1 (2k + ) 1 (  2k + 3  )−3  S = = . 6 6
(2k − )1.2k.(2k + )1 Vậy S = . 6
Cách 4: Ta sẽ tính tổng S = + + + + ( k − )2 2 2 2 1 3 5 ... 2
1 dựa vào tổng dạng 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + ... + n và
tổng dạng 1+ 2 + 3 + ... + n . Đặt 2 2 2 2
A =1 + 2 + 3 +...+ n . n A =1.(2 − ) 1 + 2.(3− ) 1 + 3.(4 − ) 1 +...+ . n (n +1− ) 1 . n A = 1  .2 + 2.3+ 3.4 +...+ . n  (n+ )1 −  (1+ 2 + 3+...+ n . n )
Đặt B =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ . n (n + ) 1 n 13
 3.B =1.2.3+ 2.3.3+3.4.3+...+ . n (n + ) 1 .3 n
 3B =1.2.(3−0) + 2.3.(4 − ) 1 + 3.4.(5 − 2) +...+ . n (n + ) 1 . (  n + 2  )−(n− ) 1  n  .
 3B =1.2.3−0.1.2+ 2.3.4−1.2.3+3.4.5− 2.3.4+...+ . n (n + )
1 .(n + 2) − (n − ) 1 . . n (n + ) 1 n  3B = . n (n + ) 1 .(n + 2 n ) . n (n + ) 1 .(n + 2)  B = . n 3
Đặt C =1+ 2+3+...+ n . n . n (n + ) 1
Ta có C là tổng của n số nguyên dương đầu tiên nên C = . n n 2 Suy ra . n (n + ) 1 .(n + 2) . n (n + ) 1 . n (n + ) 1 .(2n + 4) − 3 . n (n + ) 1 . n (n + ) 1 .(2n + 4 −3)
A = B − C = − = = n n n 3 2 6 6 . n (n + ) 1 .(2n + ) 1 Vậy A = . n 6 Xét 2 2 2 2
A =1 + 2 + 3 +...+ k kA = + + + + ( k)2 2 2 2 4 2 4 6 ... 2 k
S + 4A =1 + 2 + 3 + 4 +...+ (2k − )2 1 + (2k = A k )2 2 2 2 2 2k 2k.(2k + ) 1 .(4k + ) 1 k.(k + ) 1 .(2k + ) 1
S = A − 4A = − 4. 2k k 6 6 (2k + ) 1 .2k.  (4k + ) 1 − 4.k (k + ) 1  ( k + ) 2 2 2 1 . 8
k + 2k − 4k − 4k     S = = 6 6 ( k + ) ( 2 2
1 . 4k − 2k ) (2k + ) 1 .2k.(2k − ) 1  S = = 6 6
(2k − )1.2k.(2k + )1 Vậy S = . 6
Ví dụ 1. Tính tổng 2 2 2 2
S = 1 + 3 + 5 + ... + 49 .
Phân tích: Đây là bài toán cụ thể của dạng này với k = 25 . Lời giải 2 2 2 2
S = 1 + 3 + 5 + ... + 49 . 14
Ta chứng minh công thức sau: 2 2
n −1 = n − n + n −1 = n(n − ) 1 + (n − ) 1 = (n − ) 1 (n + ) 1 . Ta có: S −
= ( 2 − )+( 2 − )+( 2 − )+ +( 2 25 1 1 3 1 5 1 ... 49 − ) 1 .
S − 25 = 2.4+ 4.6+...+ 48.50.
 6.(S −25) = 2.4.6+ 4.6.6+...+ 48.50.6
 6.(S −25) = 2.4.(6−0)+ 4.6.(8−2)+...+ 48.50.(52−46)
 6.(S −25) = 2.4.6−0.2.4+ 4.6.8−2.4.6+...+ 48.50.52−46.48.50
 6.(S − 25) = 48.50.52 48.50.52  S − 25 = 6 48.50.52  S = + 25 = 20825 6
Ví dụ 2: Tính tổng 2 2 2 2 1 + 3 + 5 ++ 99 Lời giải 50.99.101
Áp dụng công thức ở trên với k = 50 ta được: 2 2 2 2 1 + 3 + 5 ++ 99 = =166650 3
Ví dụ 3: Tính tổng 2 2 2 2 S = 1 5 + 53 + 55 ++ 99 Lời giải Ta tính 2 tổng 2 2 2 2
A = 1 + 3 + 5 + ... + 99 và 2 2 2 2
B = 1 + 3 + 5 + ... + 49
Theo công thức thu được 50.99.101 2 2 2 2
A = 1 + 3 + 5 ++ 99 = = 0 16665 3 25.49.51 và 2 2 2 2
B = 1 + 3 + 5 ++ 49 = = 20825 3
Ta có S = A − B =166650 − 20825 = 145825
Dạng 8: Tổng có dạng: = + + + + ( − )2 2 2 2 S 2 4 6
... k 1 (k lẻ và k ) 2 k −1 .k. k +1
Bài toán tổng quát: 2 2 2
Chứng minh rằng : S = 2 + 4 + 6 + . . + (k − ) ( ) ( ) 1 = 6
Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + (k − 2)(k − ) 1 + (k − ) 1 .k
3A =1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+ 4.5.3+....+ (k −2)(k − ) 1 .3+ (k − ) 1 .k.3 15 3A = 1.2.3+ 2.3.(4 − ) 1 + 3.4.(5−2)+...+ (k − )
1 .k.(k + )1−(k −2) 3A = (k − ) 1 .k.(k + ) 1 (k− )1.k.(k+ )1 Suy ra: A = 3
Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ...+ (k −2)(k − ) 1 + (k − ) 1 .k
= 2(1+3) + 4(3+ 5) + 6(5+ 7)+...+ (k − ) 1 .(k −2)+ k
= 2.4 + 4.8+ 6.12 +...+ (k − ) 1 .(2k −2)
= 2.2.2 + 4.4.2 + 6.6.2 +...+ (k − ) 1 .2(k − ) 1 .2  ( )2 2 2 2 2 2 4 6 ... k 1  = + + + + −   =2.S A (k− )1k.(k+ )1 Suy ra: S = A = 2 mà 3 (k− )1.k.(k+ )1 Vậy S = 6 Áp dụng tính: 2 2 2 2
P = 1 + 2 + 3 + ... + n Xét: S = + + + + ( n)2 2 2 2 2 4 6 ... 2 S S Suy ra: 2 2 2 2 = = 1 + 2 + 3 +...+ n . 2 2 4 S . n (n + ) 1 .(2n + ) 1 Nên: P = = . 4 6
Ví dụ 1: Tính tổng 2 2 2 2
B = 2 + 4 + 6 + ... +100 − + 2
k 1 .k. k 1
Phân tích: Tổng B có dạng 2 2 2
S = 2 + 4 + 6 + ... + (k − ) ( ) ( ) 1 = với k = 101 6 Lời giải
k −1 .k. k +1
Áp dụng công thức: S = 2 + 4 + 6 +...+ (k − )2 2 2 2 ( ) ( ) 1 = với k = 101. 6 Ta được: 100.101.102 2 2 2 2
B = 2 + 4 + 6 + ... +100 = =171700. 6
Ví dụ 2: Tính tổng 2 2 2 2
C = 1 + 2 + 3 + ... +100 . 16 . n n +1 . 2n +1 2 2 2 2 ( ) ( )
Phân tích: Tổng C có dạng P = 1 + 2 + 3 + ... + n = với n =100 . 6 Lời giải . n n +1 . 2n +1 2 2 2 2 ( ) ( )
Áp dụng công thức: P =1 + 2 + 3 +...+ n = với n =100 . 6 Ta được: 100.101.201 2 2 2 2
C = 1 + 2 + 3 + ... +100 = = 338350 . 6
Dạng 9: Tổng có dạng S = a .a + a .a + a .a + a .a + .
 + a . a 1 2 2 3 3 4 4 5 n 1 − n
Phương pháp giải: Đặt k = a − a = a − a = .  = a −a 2 1 3 2 n n 1 −
Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.
Ví dụ 1: Tính tổng S =1.3 + 3.5 + 5. 7 + .  . + 99.101
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải Ta có:
6S =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.3 + .  .+ 99.101.6 = 1.3.(5+1) + 3.5.(7 – ) 1 + 5.7.(9 – ) 3 +...+ 9 9 .101.(103 − 97) 1
= .3.1 + 1.3.5 + 3.5.7 − 1.3.5 + 5.7.9 −3.5. 7 ... + 99.101.103 + 97.99.101 = 3+99.101.103 3 + 99.101.103  S = =171650 6
Vậy S = 171650.
Ví dụ 2: Tính tổng S = 1.4 + 4.7 + 7. 10 + .  . + 2017.2020
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 3. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 9) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải Ta có:
9S =1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + .  .+ 2017.2020.9 = 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 – )
1 + 7.10.(13 – 4) +...+ 2017.2020.(2023− 2 ) 014 1
= .4.7 + 1.4.2 + 4.7.10 − 1.4.7 + 7.10.13 −4.7.1 0. ... + 2017.2020.2023 - 2014.2017.2020 = 8+ 2017.2020.2023 17 8 + 2017.2020.2023  S = = 915821092 9
Vậy S = 915821092.
Dạng 10: Tổng có dạng S =1.a a + a a a + a a a +...+ a a a 2 3 2 3 4 3 4 5 n 2 − n 1 − n
Trong đó a −1= a − a = a − a = ... = a − a
= k a =1+(n−1)k . 2 3 2 4 3 n n 1 − n PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhân hai vế với 4k , rồi tách 4k ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo
thành những số tự triệt tiêu nhau.
S =1.a a + a a a + a a a +...+ a a a 2 3 2 3 4 3 4 5 n 2 − n 1 − n
4kS =1.a a .4k + a a a (a −1) + a a a (a − a ) +...+ a a a (a −a ) 2 3 2 3 4 5 3 4 5 6 2 n 2 − n 1 − n n 1 + n 3 − 4kS = 4 .
k a a + a a a a − a a a + a a a a −a a a a +...+ a a a a −a a a a 2 3 2 3 4 5 2 3 4 3 4 5 6 2 3 4 5 n 2 − n 1 − n n 1 + n 3 − n 2 − n 1 − n 4kS = a a a a +4 .
k a a − a a a n−2 n 1 − n n 1 + 2 3 2 3 4 a a a a
+ 4k.a a − a a a n−2 n 1 − n n 1 + 2 3 2 3 4 S = (*) . 4k
Ví dụ: Tính tổng S =1.2.3+ 2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 Phân tích
Vì khoảng cách giữa các số trong một số hạng là 1nên ta nhân 4 vào hai vế để tính S. Lời giải
S =1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 +...+ 98.99.100
4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 −1) + 3.4.5.(6 − 2) + ... + 98.99.100.(101− 97)
4S =1.2.3.4 + 2.3.4.5 −1.2.3.4 + 3.4.5.6 − 2.3.4.5 +... +98.99.100.101− 97.98.99.100 4S = 98.99.100.101 4S = 97990200 S = 24497550
Ví dụ 2: Tính tổng S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 17.18.19 . Lời giải Ta có: 4S 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 3.4.5 6 2 ... 17.18.19 20 16 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 ... 17.18.19.20 16.17.18.19 17.18.19.20 116280. 116280 Do vậy S 29070 . 4 18
Ví dụ 3: Tính tổng S 1.3.5 3.5.7 5.7.9 ... 95.97.99 . Lời giải Ta có: 8S 1.3.5 7 1 3.5.7 9 1 5.7.9 11 3 ... 95.97.99 101 93 1.3.5.7 1.3.5 3.5.7.9 1.3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9 ... 95.97.99.101 93.95.97.99 1.3.5 95.97.99.101 92140800 . 92140800 Do vậy S 11517600 . 8
Ví dụ 4: Tính tổng S 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 ... 19.20.21.22. Lời giải Ta có: 5S 1.2.3.4 5 0 2.3.4.5 6 1 3.4.5.6 7 2 ... 19.20.21.22 23 18 1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 1.2.3.4.5 3.4.5.6.7 2.3.4.5.6 ... 19.20.21.22.23 18.19.20.21.22 19.20.21.22.23 4037880 4037880 Do vậy S 807576 . 5 1 1 1 1
Ví dụ 5: Tính tổng S ... . 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: S ... 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10 1 1 1 119 . 3 1.2.3 8.9.10 2160
Dạng 11: Tổng có dạng 3 3 3
A = 1+ 2 + 3 + ... + n (n ) * PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phân tích công thức của từng số hạng trong tổng thành (n − ) 1 n(n + )
1 để thành tổng quen thuộc:
S =1.2.3+ 2.3.4 +... + (n − ) 1 n(n + ) 1 Cụ thể: 3 n = ( 3
n − n) + n = n( 2 n − ) 2
1 + n = n n − n + n −1 + n = n n    (n − )
1 + n −1 + n =  (n− ) 1 n (n + ) 1 + n Do đó 3 3 3
A =1+ 2 + 3 +... + n =1+ (1.2.3+ 2) + (2.3.4 + 3) + (3.4.5 + 4) +. ..+ (n − ) 1 n(n + ) 1 + n 19 = (1+ 2+3+...+ n) + 1
 .2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+...+ (n − ) 1 n(n + ) 1    n(n + ) 1
Đặt B =1+ 2 + 3+...+ n = 2
C =1.2.3+ 2.3.4 + 4.5.6 +...+ (n − ) 1 n(n + ) 1
Khi đó 4C =1.2.3.4 + 2.3.4.(5− )
1 + 3.4.5.(6 − 2)..+ (n − ) 1 n(n + ) 1 . (
n + 2)−(n − 2)   4C = 1
 .2.3.4 + 2.3.4.5+ 3.4.5.6 +....+ (n − ) 1 n (n + ) 1 (n + 2)   − 1
 .2.3.4 + 2.3.4.5+ 3.4.5.6 +....+ (n − 2).(n − ) 1 n (n + ) 1    = (n − ) 1 n(n + ) 1 (n + 2) (n− ) 1 n(n + ) 1 (n + 2) C = 4 n(n + ) 1 (n− ) 1 n(n + ) 1 (n + 2) n (n + )2 2 1
A = B + C = + = . 2 4 4 n (n + )2 2 1 Tổng quát: 3 3 3
A = 1+ 2 + 3 + ... + n = với n  *. 4
Ví dụ 1: Tính tổng 3 3 3
A = 1+ 2 + 3 + ... +10 Phân tích
Ta áp dụng dạng toán trên với n =10 Lời giải 3 n = ( 3
n − n) + n = n( 2 n − ) 2
1 + n = n n − n + n −1 + n = n n    (n − )
1 + n −1 + n =  (n− ) 1 n (n + ) 1 + n Do đó 3 3 3
A =1+ 2 + 3 +... +10 =1+ (1.2.3+ 2) + (2.3.4 +3) + (3.4.5 + 4) +...+ (9.10.11+10)
= (1+ 2+3+...+10)+(1.2.3+ 2.3.4+3.4.5+...+9.10.1 ) 1 Đặt 10.11
B = 1+ 2 + 3 + ... +10 = = 5.11 = 55 2
C =1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 +... + 9.10.11
Khi đó, 4C =1.2.3.4 + 2.3.4.(5 −1) + 3.4.5.(6 − 2) +... + 9.10.11.(12 −8)
4C = (1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 +....+ 9.10.11.12) −(1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 +....+8.9.10.1 ) 1 = 9.10.11.12 9.10.11.12 C = = 2970 4
A = B + C = 55 + 2970 = 3025 .
Ví dụ 2: Tính tổng 3 3 3
A = 1+ 2 + 3 + ... +100 20 Phân tích
Ta áp dụng dạng toán trên với n =100 Lời giải 3 n = ( 3
n − n) + n = n( 2 n − ) 2
1 + n = n n − n + n −1 + n = n n    (n − )
1 + n −1 + n =  (n− ) 1 n (n + ) 1 + n Do đó 3 3 3
A =1+ 2 + 3 +... +100 =1+ (1.2.3+ 2) + (2.3.4 +3) + (3.4.5 + 4) +...+ (99.100.101+100)
= (1+ 2+3+...+100)+(1.2.3+ 2.3.4+3.4.5+...+99.100.10 ) 1 Đặt 100.101
B = 1+ 2 + 3 + ... +100 = = 50.101 = 5050 2
C =1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 +... + 99.100.101
C = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 99.100.101
4C = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 −1) + 3.4.5.(6 − 2) + ... + 99.100.101.(102 − 98)
4C = (1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 +....+ 99.100.101.102)
−(1.2.3.4+ 2.3.4.5+3.4.5.6+....+98.99.100.10 ) 1 = 99.100.101.102 99.100.101.102 C = = 99.25.101.102 = 25497450 4
A = B + C = 5050 + 25497450 = 25502500.
Ví dụ 3: Tính tổng 3 3 3 3
A = 2 + 4 + 6 + ... + 200 Phân tích Phân tích 3 3 3 2 = 2 .1 ; 3 3 3 4 = 2 .2 ; 3 3 3 6 = 2 .3 ;...; 3 3 3 200 = 2 .100 . Khi đó 3 A = ( 3 3 3 2 . 1+ 2 + 3 + ... +100 ) Lời giải Ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A = + + + + = + + + + = ( 3 3 3 2 4 6 ... 200 2 .1 2 .2 2 .3 ... 2 .100
2 . 1+ 2 + 3 + ... +100 )
Theo kết quả ví dụ 2 thì 3
A = 2 .25497450 = 203979600 .
Ví dụ 4: Tìm số nguyên x, biết: ( x − )2 3 3 3 3 2 2 =1 + 2 + 3 +...+ 6 Phân tích
Tính giá trị vế phải rồi thay vào tìm x . Lời giải Đặt 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ... + 6 3 n = ( 3
n − n) + n = n( 2 n − ) 2
1 + n = n n − n + n −1 + n = n n    (n − )
1 + n −1 + n =  (n− ) 1 n (n + ) 1 + n 21 Do đó 3 3 3
A =1+ 2 + 3 +...+11 =1+ (1.2.3+ 2) + (2.3.4 + ) 3 + (3.4.5+ ) 3 +...+ (10.11.12 +1 ) 1 3 3 3
A =1+ 2 + 3 +... +11 =1+ (1.2.3+ 2) + (2.3.4 + )
3 + (3.4.5 + 4) + (4.5.6 + 5) + (5.6.7 + 6) = (1+ 2+3+...+1 )
1 + (1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 +...+10.11.12) 11.12
B = 1+ 2 + 3 + ... +11 = = 66 2
C =1.2.3+ 2.3.4 + 4.5.6 +... +10.11.12
C = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... +10.11.12
4C = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 −1) + 3.4.5.(6 − 2) + ... +10.11.12.(13 − 9)
4C = (1.2.3.4 + 2.3.4.5 +3.4.5.6 +....+10.11.1 . 2 1 )
3 −(1.2.3.4 + 2.3.4.5+ 3.4.5.6 +....+ 1 9. 0.1 . 1 2 1 ) =10.11.12.13 10.11.12.13 C = = 42 0 9 4
A = B + C = 66 + 4290 = 4356
Phân tích A ra thừa số nguyên tố ta có: 2 2 2 A = 2 .3 .11 nên 2 A = 66 Theo bài toán ta có ( x − )2 2 2 2
= 66  2x − 2 = 66 hoặc 2x − 2 = 6 − 6
x = 34 hoặc x = 32 −
Vậy x = 34; x = 32 −
Ví dụ 5: Không tính ra kết quả hãy so sánh 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ... + 99 và
B =1.2.3+ 2.3.4 +... + 98.99.100 Phân tích
Biến đổi biểu thức A theo biểu thức B dựa vào cách làm trong hướng dẫn của các ví dụ 1,2,3. Lời giải 3 n = ( 3
n − n) + n = n( 2 n − ) 2
1 + n = n n − n + n −1 + n = n n    (n − )
1 + n −1 + n =  (n− ) 1 n (n + ) 1 + n Do đó 3 3 3
A =1+ 2 + 3 +... + 99 =1+ (1.2.3+ 2) + (2.3.4 + ) 3 + (3.4.5 + )
3 +...+ (98.99.100 + 99)
= (1+ 2+3+...+99)+(1.2.3+ 2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)  (1.2.3+ 2.3.4+3.4.5+...+98.99.100) A B 22
A. Dạng 13: Liên phân số 20
Ví dụ 1: Viết kết quả các biểu thức sau dưới dạng phân số A = . 1 2 + 1 3 + 1 4 + 5 Lời giải 20 20 20 20 20 20 1360 Ta có A = = = = = = = . 1 1 1 1 21 157 157 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 1 5 68 68 68 3 + 3 + 3 + 1 21 21 21 4 + 5 5   Ví dụ 2: 5 5 4 Tính nhanh 10101. + −  
111111 222222 3.7.11.13.37 . Lời giải  5 5 4  Ta có 10101. + −  
111111 222222 3.7.11.13.37   5 5 4  = 5 5 4 1 5 7 10101. + −   = + − = + = .
1110101 2210101 1110101 11 22 11 11 22 22 329 1 Ví dụ 3: Tìm * , a b , biết = . 1051 1 3 + 1 5 + 1 a + b Lời giải Ta có 329 1 1 1 =  = 1051 1 64 1  = 3+  3+ = 3+ 1051 1 1051 1 329 1 329 1 3 + 3 + 5 + 5 + 1 329 1 1 1 5 + 5 + a + a + 1 1 a + a + b b b b 1 1  = 329 1  = 9 1 9 1 1 1 5 +  5 + = 5 +  =  = 329 1 64 1 64 1 64 1 64 1 5 + a + a + a + a + 64 1 b b b 9 b a + b 64 1  = a + 1 1  7 + = a + . 9 b 9 b
Vậy a = 7;b = 9 . 23
Ví dụ 4: Tìm x biết 2 85 7 + = . 2 11 7 + 2 7 + 2 7 + 2 7 + 1 x − 3 Lời giải 2 85 2 8 Ta có 7 + =  = 2 11 2 11 7 + 7 + 2 2 7 + 7 + 2 2 7 + 7 + 2 2 7 + 7 + 1 1 x − 3 x − 3 2 11 −  2 17 2 8 − 7 + =  =  7 + = 2 4 2 4 2 7 + 7 + 17 7 + 2 2 2 7 + 7 + 7 + 2 2 1 7 + 7 + 1 1 x − 3 x − 3 x − 3 2 1 − 27 −  = 2 34  7 + = 2 17 2 127 7 + 7 + 2 1 7 + 1 x − 3 x − 3 2 9 − 23 − −  = 2 254  2 6715 7 + =  = 2 127 1 923 1 923 7 + 1 x − 3 x − 3 x − 3 1 184 − 6 − −  = 6715  x − 3 = 1177  x = . x − 3 6715 1846 1846  1 1 1  100 − 1+ + +...+   Ví dụ 5: Rút gọn  2 3 100  . 1 2 3 99 + + +...+ 2 3 4 100 Lời giải  1 1 1  − + + + + ( − )  1   1  1  100 1 ... 1 1 + 1− + 1− +...+ 1−          2 3 100   2   3   100  Ta có = . 1 2 3 99 1 2 3 99 + + +...+ + + +...+ 2 3 4 100 2 3 4 100 24 1 2 3 99 + + +...+ 2 3 4 100 = =1 1 2 3 99 + + +...+ 2 3 4 100 III. BÀI TẬP
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều
Bài 1: Tính tổng S 1 2 3 4 ... 2000 .
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 1. Lời giải
Số số hạng của dãy là 2000 1 :1 1 2000 . Tổng S 1 2000 .2000 : 2 2001000 .
Bài 2: Tính tổng S 2 4 6 ... 2020 2022 .
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 2 . Lời giải
Số số hạng của dãy là 2022 2 : 2 1 1011. Tổng S 2 2022 .1011: 2 1023132 .
Bài 3: Tính tổng S 4 14 24 ... 1004 1014 .
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d 10 . Lời giải
Số số hạng của dãy là 1014 4 :10 1 102 . Tổng S 4 1014 .102 : 2 51918 . 4 5 101
Bài 4: Tính tổng S 1 2 ... 34 . 3 3 3 1
Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với d . 3 Lời giải 1
Số số hạng của dãy là 34 1 : 1 100 . 3 Tổng S 1 34 .100 : 2 1750 .
Dạng 2: Tổng có dạng 2 3 =1+ + + +... n S a a a + a Bài 1. Tính tổng 2 3 1000
S = 1+ 4 + 4 + 4 + ... + 4 . 25 Lời giải Ta có 2 3 4 1001
4S = 4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4 . Vậy 1001
4S − S = 3S = 4 −1. 1001 4 −1 Suy ra S = . 3 1 1 1 1 1 1
Bài 2. Tính tổng S = 1+ + + + ... + + . 2 3 4 99 100 2 2 2 2 2 2 Lời giải 1 1 1 1 1 Ta có 2S = 2 +1+ + + +...+ + . 2 3 98 99 2 2 2 2 2 Vậy 1
2S − S = S = 2 − . 100 2 1 1 1 1 1 1
Bài 3. Tính tổng S = + + + ... + + . 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 Lời giải 1 1 1 1 1 Ta có 3S = 1+ + + +...+ + . 2 3 98 99 3 3 3 3 3 Vậy 1
3S − S = 2S = 1− . 100 3 1  1  Suy ra S = 1−   . 100 2  3  1 1 1 1 Bài 4. Chứng minh + + ... +  1. 2 3 4 2 2 2 2n Lời giải 1 1 1 1 Ta có 2S = + + +...+ . 2 3 1 2 2 2 2n− Vậy 1 1
2S − S = S = −  1. 2 2n Bài 5. Chứng minh 2 3 100 S = 3 + 3 + 3 + ... + 3 chia hết cho 40. Phân tích: + ) Ta thấy 2 3 4 3 + 3 + 3 + 3 = 40 −
+) Tổng trên có 100 1 +1 = 100 số hạng. 1 Lời giải 26 Ta có S = ( 2 3 4 + + + )+ +( 97 98 99 101 3 3 3 3 ... 3 + 3 + 3 + 3 ). S = ( 2 3 + + + ) 97 + + ( 2 3 + + + ) = ( 2 3 + + + )( 97 3 1 3 3 3 ... 3 1 3 3 3 1 3 3 3 3 + ... + 3 )
Suy ra S chia hết cho 40 vì 2 3 1+ 3 + 3 + 3 = 40 .
Dạng 3: Tính tổng có dạng 2 4 6 2 =1+ + + +....... n A a a a + a 1 1 1 1 1 1
Bài 1: Tính tổng sau: B = 1+ + + + +...+ + 2 4 6 98 100 2 2 2 2 2 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Ta có: B = +1+ + + +...+ + 2 4 6 98 100 2 2 2 2 2 2 Đặt 1 1 1 1 1 C = 1+ + + +...+ + 2 4 6 98 100 2 2 2 2 2 Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 .C = + + + +...+ + 2 2 4 6 8 100 102 2 2 2 2 2 2 2 1  1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1  C − .C = 1+ + + +...+ + − + + + +...+ +     2 2 4 6 98 100 2 4 6 8 100 102 2  2 2 2 2 2   2 2 2 2 2 2  102 102 102 3 1 2 −1 2 −1 3 2 −1 .C = 1− =  C = : = 102 102 102 100 4 2 2 2 4 3.2 102 99 102 99 102 99 − − + − − Do đó: 1 1 2 1 3.2 2 1 3.2 2 1 7.2 1 B = + C = + = + = = 100 100 100 100 99 2 2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 2n+4 4 − n+ 7 7
Bài 2. Chứng minh rằng: 4 6 2 2 7 + 7 + .....7 = 48 Lời giải Đặt 4 6 2 2 7 7 .....7 n A + = + +
(1). Nhân cả hai vế của (1) với 2 7 ta được: 2 6 8 2 4 7 . 7 7 .....7 n A + = + + (2). Lấy (2) −( ) 1 theo vế ta được: 2 7 .A − A = ( 6 8 2n+4 7 + 7 + .....7 )−( 4 6 2n+2 7 + 7 + .....7 ) 2n+4 4 − n+ 7 7 2 4 4 48.A = 7 − 7  A = 48 x −1
Bài 3. Chứng minh rằng: (x + x + x +.....x ) 2 2 4 6 100 2 . = x 100 x −1 Lời giải Đặt 2 4 6 100
A = x + x + x + .....x 27 2 4 6 8 102
x .A = x + x + x +.....x 2
x .A − A = ( 4 6 8 102
x + x + x + .....x )−( 2 4 6 100
x + x + x + .....x ) − x x x x − . A ( x − ) 2 ( 100 102 2 1 2 102 2 ) 1 = x − x A = = 2 2 x −1 x −1 2 100 2 2 − x x −1 − Do đó ( x 1 x 1 2 4 6 100
x + x + x + .....x ) ( ) 2 . = . = x (đpcm) 100 2 100 x −1 x −1 x −1 40 63 −1 Bài 4. So sánh: 2 4 90 1+ 8 + 8 + ..... + 8 với . 63 Lời giải Đặt 2 4 90
D = 1+ 8 + 8 + ..... + 8 2 2 4 92  8 .D = 8 + 8 +...8 2
 8 .D − D = ( 2 4 92 8 + 8 + ...8 ) − ( 2 4 90 1+ 8 + 8 + ..... + 8 ) 92 46 40 8 −1 64 −1 63 −1 92
 63.D = 8 −1 D = =  63 63 63 40 − Vậy 63 1 2 4 90 1+ 8 + 8 + ..... + 8  . 63
Bài 5. Chứng minh rằng: 2 4 200 1+ 6 + 6 + ..... + 6 chia hết cho 37. Lời giải Ta có: 2 4 200 1+ 6 + 6 + ..... + 6 = ( 2 1+ 6 ) + ( 4 6 6 + 6 ) +.....+ ( 198 200 6 + 6 ) = ( 2 1+ 6 ) 4 + 6 .( 2 1+ 6 ) 198 +....+ 6 .( 2 1+ 6 ) 4 198 = 37 + 6 .37 +...... + 6 .37 Vậy 2 4 200 1+ 6 + 6 + ..... + 6 chia hết cho 37 Dạng 4: Tính tổng 3 5 2 1 ... n S a a a a − = + + + +
, với n  1, nN;a  1. Bài 1. Cho 3 5 27
A = 5 + 5 + 5 + ... + 5 a)
Tính giá trị của A b)
Chứng minh A chia hết cho 26 . Lời giải 2n 1 + − a) Áp dụng công thức − a a 3 5 2n 1
a + a + a + ... + a =
với n = 14; a = 5 ta được : 2 a −1 29 29 5 − 5 5 − 5 3 5 27 A = 5 + 5 + 5 + ... + 5 = = 2 5 −1 24 b) 3 5 27 A = + + + + = ( 3 + )+( 5 7 + )+ +( 25 27 + ) = ( 2 + ) 5 + ( 2 + ) 25 + + ( 2 5 5 5 ... 5 5 5 5 5 ... 5 5 5 1 5 5 1 5 ... 5 1+ 5 ) 28 A = ( 2 + )( 5 9 25 + + + + ) = ( 5 9 25 1 5 5 5 5 ... 5 26 5 + 5 + 5 + ... + 5 )
Vậy A chia hết cho 26 . 2 x 3 5 2x 1 16(2 − ) 2 + 2 + 2 + ... + 2 − 1
Bài 2. Cho biểu thức B = . Chứng minh B =
, x  1, xN . 3 5 2x 1 3 + 3 + 3 + ... + 3 − 9( 2 3 x − ) 1 Lời giải − + + + + + + − − − 16( 2 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 x x x x − ) 1 2 2 2 ... 2 2 2 3 1 2 2 8 Ta có B = = . = . = . 3 5 2 x 1 − 2 2 x 1 + 2 x 1 3 + 3 + 3 + ... + 3 2 −1 3 −3 3 3 + − 3 9( 2 3 x − ) 1
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C = 1+111+11111+... +111...1 27 so 1 Lời giải
Ta có 9C = 9 + 999 + 999 + ... + 999...9 = (10 − ) 1 + ( 3 10 − ) 1 + ... + ( 27 10 − ) 1 = ( 3 27 10 +10 + ... +10 ) −14 27 so 9 29 29 29 10 −10 10 −1396 10 −1396 9C = −14 = C  = 2 10 −1 99 891 Bài 4. Cho 3 5 2 1 8 8 8 ... 8 x D + = + + + +
, x  1, xN . Tìm x để 51 63D + 8 = 2 . Lời giải 2 x+3 2 x+3 x+ 8 −8 8 −8 Ta có: 3 5 2 1 D = 8 + 8 + 8 + ... + 8 = = . 2 8 −1 63 Do đó 51 2x 3 + 17 2x 3 + 17 63D +8 = 2  8 −8 = 8 −8  8
= 8  2x +3 =17  x = 7. Bài 5. Cho 3 5 101 E = 7 + 7 + 7 + ... + 7 . Chứng minh 103 7
− 7 chia hết cho 48 và E chia hết cho 19. Lời giải 103 103 7 − 7 7 − 7 + Ta có 103 E = =  . E 48 = 7 − 7 2 7 −1 48 Vậy 103 7 − 7 chia hết cho 48 + Ta có 3 5 101 E = + + + + = ( 2 4 + + ) 7 + ( 2 4 + + ) 97 + + ( 2 4 7 7 7 ... 7 7 1 7 7 7 1 7 7 ... 7 1+ 7 + 7 ) E = ( 2 4 + + )( 7 13 97 + + + + ) = ( 7 13 97 + + + + ) = ( 7 13 97 1 7 7 7 7 7 ... 7 2451 7 7 7 ... 7 3.19.43 7 + 7 + 7 + ... + 7 )
Vậy A chia hết cho 19 .
Dạng 5: Tổng có dạng: S =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ n(n + ) 1 .
Bài 1. Tính tổng: D =1.4 + 4.7 + 7.10 +...+ 37.40 + 40.43 Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 3. 29
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
D với 9 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 9 này được viết dưới dạng (7 + 2) ở số hạng thứ nhất, (10 − )
1 ở số hạng thứ hai, (13− 4) ở số hạng thứ ba, …, (46 −37) ở số hạng cuối cùng. Lời giải: Ta có:
9D =1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 − )
1 + 7.10.(13− 4) +...+ 37.40.(43−34) + 40.43.(46 − 37)
= (1.4.2+1.4.7 + 4.7.10+7.10.13+...+37.40.43+40.43.46)−(1.4.7+ 4.7.10+...+37.40.43)
9D = 8 + 40.43.46 = 79128. 79128 Suy ra: D = = 8792 . 9
Bài tập tương tự:
Tính tổng: T =1.5+ 5.9 + 9.13+...+ 201.205 .
Hướng dẫn: Nhân T với 12.
Đáp số: T = 717 655.
Bài 2. Tính tổng: E = 2.4 + 4.6 + 6.8 +... + 98.100 Phân tích:
Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của
E với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Lời giải: Ta có:
6E = 2.4.(6 − 0) + 4.6.(8 − 2) + 6.8.(10 − 4) +...+ 98.100.(102 −96)
= (2.4.6+ 4.6.8+6.8.10+...+98.100.102)−(0.2.4+2.4.6+4.6.8+...+96.98.100) = 98.100.102 . 98.100.102 Suy ra: E = =166600 . 6
Bài 3. Tính tổng: F =1.99 + 2.98 + 3.97 + ...+ 98.2 + 99.1 Lời giải: Ta có: F =1.99 + 2.(99 − )
1 + 3.(99 − 2) +...+ 98.(99 −97) + 99.(99 −98)
= (1.99+ 2.99+3.99+...+98.99+99.99)−(1.2+ 2.3+...+97.98+98.99) 98.99.100 = 99(1+ 2 + 3+...+ 99) − 3 30 99.100 98.99.100 = 99. − 2 3  99 98  = 99.100. −    2 3  99.100.101 = . 6 Bình luận:
Trong bài tập 3, thừa số trong số hạng đứng trước không được lặp lại trong số hàng đứng sau, nên ta
không nhân F với ba lần khoảng cách giữa hai thừa số nữa mà tách một thừa số trong tích làm xuất
hiện các tổng mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Bài toán tổng quát: n n + n + 1.n + 2(n − )
1 + 3(n − 2) +...+ (n − ) ( ) 1 ( 2) 1 .2 + . n 1 = 6
Bài 4. Tính tổng: G =1.2 + 3..4 + 5.6 +...+ 99.100 . Lời giải: • Cách 1: Ta có: G =1.2 + (2 + ) 1 .4 + (4 + ) 1 .6 +... + (98 + ) 1 .100
= (2.4+ 4.6+...+98.100)+(2+ 4+6+...+100) 98.100.102 102.50 = + 6 2 =169150 . • Cách 2: Ta có: G =1.(3− ) 1 + 3.(5 − ) 1 + 5.(7 − ) 1 +... + 99.(101− ) 1 = (1.3+3.5+5.7 +...+99.10 ) 1 − (1+ 3+ 5 + 7 +...+ 99) 3 + 99.101.103 100.50 = − 6 2 =169150 . Bài tập tương tự:
Tính tổng: G =1.4+ 2.5+3.6+...+99.102 ; 1 Hướng dẫn:
G =1. 2 + 2 + 2. 3 + 2 + 3. 4 + 2 +... + 99. 100 + 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )
= (1.2+ 2.3+3.4+...+99.100)+ 2.(1+ 2+3+ 4+...+99) = 343200 . 31
Dạng 6: Tổng có dạng: 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + .... + n Bài 1. Tính 2 2 2 2 2
C =101 +102 +103 + ... +199 + 200 Lời giải: Ta có: Đặt: 2 2 2 2
C = 1 + 2 + 3 + ... + 200 1 2 2 2 2
C = 1 + 2 + 3 + ... +100 2
Khi đó ta áp dụng công thức tổng quát để tính C ;C 1 2
Từ đó: C = C −C 1 2 200.201.(2.200 + ) 1 Ta có: C = = 2686700 1 6 100.101.(2.100 + ) 1 C = = 338350 2 6
C = C −C = 2686700−338350 = 2348350 1 2
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết tổng các bình phương các số tự nhiên từ 1 đến n là 506. Lời giải:
Vì tổng tổng các bình phương các số tự nhiên từ 1 đến n là 506 nên 2 2 2
1 + 2 + ... + n = 506 n(n + ) 1 (2n + ) 1  = 506 6  n(n + ) 1 (2n + ) 1 = 22.23.6 n(n+ ) 1 (2n + ) 1 =11.2.23.6 n(n + ) 1 (2n + ) 1 =11.12.23 n(n + ) 1 (2n + ) 1 = 1 ( 1 11+ ) 1 (2.11+ ) 1 n =11 2 2 2 2 Dạng 7: = + + ++ − Tổng có dạng S 1 3 5 (2k 1) Bài 1 : Tính tổng 2 3 4 99 100
A = 1− 2 + 2 − 2 + 2 − ... − 2 + 2 Lời giải : 2 3 4 99 100
A = 1− 2 + 2 − 2 + 2 − ... − 2 + 2 32 2 3 4 5 100 101
2A = 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 101 2 +1 101
 2A+ A = 2 +1 A = 3
Bài 2. Tìm n nhỏ nhất sao cho tổng của n số chính phương lẻ đầu tiên chia hết cho 3 Lời giải :
n(2n −1)(2n +1) Ta có 2 2 2 2
A = 1 + 3 + 5 ++ (2n −1) = 3
Mà (2n −1, 2n +1) = 2;( ,
n 2n −1) = 1;( ,
n 2n +1) = 1 nên trong 3 số ,
n 2n −1, 2n +1 chỉ có 1 số chia
hết cho 3 , mà muốn A chia hết cho 3 thì 1 trong 3 số trên phải chia hết cho 9. Để n nhỏ nhất thì
2n +1 = 9 . Suy ra n = 4 .
Vậy n = 4 là số cần tìm
Bài 3 : Tính tổng A =1.3+ 3.7 + 5.11+... + 99.199 Lời giải : Ta có 2
(2n −1)(4n −1) = 2(2n −1) + 2n −1 2 2 2 2
A = 2(1 +3 +5 +...+99 ) +(1+3+5+...+99) 50(100 −1)(100 +1) 2  A =
− 50 =166650 − 2500 = 164150 3
Bài 4 : Tính tổng A = 1.2 + 3.4 + ... + 2(2n +1)(n +1) Lời giải : Ta có 2 2
(2n +1)(2n + 2) = 4n + 6n + 2 = (2n +1) + 2n +1 2 2 2
A = (1 +3 +...+(2n+1) ) +(1+3+...+(2n+1))
(n +1)(2n +1)(2n + 3) 2 A = + (n +1) 3 2
(n +1)(4n + 8n + 3 + 3n + 3) A = 3
(n +1)(4n + 3)(n + 2) A = 3
Dạng 8: Tổng có dạng: = + + + + ( − )2 2 2 2 S 2 4 6
... k 1 (k lẻ và k ) Bài 1. Tính tổng 2 2 2 2 D = 6 + 8 +10 + ...+102 (k− )1.k.(k+ )1
Phân tích: Sử dụng công thức = + + + + ( − )2 2 2 2 S 2 4 6 ... k 1 = = 6 với k 103 33 Lời giải 2 k −1 .k. k +1 Áp dụng công thức: 2 2 2 S = 2 + 4 + 6 +...+ (k − ) ( ) ( ) 1 = = . Ta được: 6 với k 103 2 2 2 2 102.103.104 S = 2 + 4 + 6 +...+102 = =182104 6 . Mặt khác: 2 2 2 2 2 S = 2 + 4 + 6 + 8 + ...+102 2 2 = 2 + 4 + D 2 2 2 2
Suy ra: D = S − 2 − 4 = 182104 − 2 − 4 = 182084 . Bài 2. Tính tổng 2 2 2 E =12 +14 +...+ 2010 . 2 k −1 .k. k +1 2 2 2
Phân tích: Sử dụng công thức S = 2 + 4 + 6 + ... + (k − ) ( ) ( ) 1 = 6 .
Tính E = 2 + 4 + ... + (k − )2 2 2 1 = 1 với k 11.
Tính E = 2 + 4 + 6 + (k − )2 2 2 2 1 = 2 với k 2010 . Khi đó: E = E − E 2 1 . Lời giải 2 k −1 .k. k +1 Áp dụng công thức: 2 2 2 S = 2 + 4 + 6 +...+ (k − ) ( ) ( ) 1 = 6 . 10.11.12 Đặt 2 2 2 2 E = 2 + 4 + 6 +...+10 = 1 6 . 2010.2011.2012 Đặt 2 2 2 2 E = 2 + 4 + 6 + 2010 = 2 6 . 2010.2011.2012 10.11.12 Khi đó: E = E − E = − =1355454000 2 1 6 6 . Bài 3. Tính tổng: 2 2 2 2 F =1 + 2 + 3 +...+101 . n. n +1 . 2n +1 2 2 2 2 ( ) ( )
Phân tích: Tổng F có dạng P = 1 + 2 + 3 + ... + n = = 6 với n 101 . Lời giải n. n +1 . 2n +1 2 2 2 2 ( ) ( )
Áp dụng công thức: P = 1 + 2 + 3 + ...+ n = = 6 với n 101 . Ta được: 2 2 2 2 101.102.203 F =1 + 2 +3 +...+101 = = 348551 6 .
Bài 4. Tính tổng: G = 1+ 4 + 9 +16 + 25 + ... +10000 . Phân tích: Tổng 2 2 2 2 2
G = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ...+100 . 34 n. n +1 . 2n +1 2 2 2 2 ( ) ( )
Áp dụng dạng P = 1 + 2 + 3 + ...+ n = = 6 với n 100 . Lời giải n. n +1 . 2n +1 2 2 2 2 ( ) ( )
Áp dụng công thức: P = 1 + 2 + 3 + ...+ n = = . Ta được: 6 với n 100 2 2 2 2 2 100.101.201 1+ 2 +3 + 4 + 5 +...+100 = = 338350 6 .
Suy ra: 1+ 4 + 9 +16 + 25 +... +10000 = 338350 . Vậy G = 338350. 2 2 2 2 2 2 2
Bài 5. Tính tổng K = 1
− + 2 − 3 + 4 − 5 + ...−19 + 20 . Phân tích: Tính 2 2 2 2 K =1 +3 + 5 +...+19 1 . Tính 2 2 2 2 K = 2 + 4 + 6 +....+ 20 2 . Tính K = K − + K 1 2 . Lời giải 19.20.21 Đặt 2 2 2 2 K =1 +3 + 5 +...+19 = 1 6 . 20.21.22 Đặt 2 2 2 2 K = 2 + 4 + 6 +...+ 20 = 2 6 . 19.20.21 20.21.22 Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 K = K − + K = 1
− + 2 −3 + 4 −5 +...−19 + 20 = − + = 210 1 2 6 6 . Bài 6. Biết rằng 2 2 2 2
1 + 2 + 3 +...+10 = 385 . Tính tổng 2 2 2 2 M = 2 + 4 + 6 + ...+ 20 . Lời giải 2 2 2 2
Ta có: M = 2 + 4 + 6 + ... + 20 . M Suy ra: 2 2 2 =1+ 2 + 3 +...+10 . 2 2 2 2 2 2
Mà 1 + 2 + 3 + ... +10 = 385 . M Nên = 385 . 2 2 Vậy 2 M = 2 .385 =1540 .
Dạng 9: Tổng có dạng S = a .a + a .a + a .a + a .a + .
 + a . a 1 2 2 3 3 4 4 5 n 1 − n
Bài 1. Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .  . + 99.100
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải 35 Ta có:
3S =1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .  .+ 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – )
1 + 3.4.(5 – 2) +...+99.100(101−98) 1
= .2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + 3.4.5 − ... − 98.99.100 + 99.100.101 99.100.101  S =
= 33. 100 . 101 = 333300. 3
Vậy S = 333300.
Bài toán tổng quát:
Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .
 . + (n −1).n
Ta có: 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .  .+ (n −1) . n 3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – )
1 + 3.4.(5 – 2) +...+(n −1) .
n (n +1) − (n − 2) 1 = .2(n −1). .
n (n +1).3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + 3.4.5 − ... − (n − − + − +
2).(n 1).n (n 1). . n (n 1) = (n −1). . n (n +1) (n – ) 1 . . n (n + ) 1 S = 3
(n − 1)n(n + 1)
Vậy: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..
 + (n −1).n = . 3
Bài 2. Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10. 14 + .  . + 46.50
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải Ta có:
12S = 2.6.12 + 6.10.12 +10.14.12 + .  .+ 46.50.12
= 2.6.(10 + 2) + 6.10.(14 – 2) + 10.14.(18 – 6) +...+ 46.50.(54−42)
= 2.6.10 + 2.6.2+ 6.10.14− 2.6.10+10.14.18 – 6.10. 14 +....+46.50.54− 42.46.50 = 24+ 46.50.54 24 + 46.50.54  S = =10352 12
Vậy S = 10352.
Bài 3. Tính tổng S = 4.9 + 9.14 + ... + 44.49 36
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 5. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 15) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải Ta có:
15S = 4.9.15 + 9.14.15 + . . + 44.49.15
= 4.9.(14 +1) + 9.14.(19 − 4) +...+ 44.49.(54 −39)
= 4.9.14+ 4.9.1+9.14.19 −4.9.
14 +....+ 44.49.54 − 39.44.49 = 36+ 44.49.54 36 + 44.49.54  S = = 7764 15
Vậy S = 7764.
Bài 4. Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + .  . + 48.50
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải Ta có: 6S = 2.4.6 + 4.6.6 + .  . + 48.50.6 = 2.4.6 + 4.6. (8-2) + .  . + 48.50. (52 − 46) = 2.4.6 + 4.6.8 - 4.6.2 + .  . + 48.50.52 − 46.48.50 = 48.50.52 48.50.52  S = = 20800. 6
Vậy S = 20800.
Bài 5. Tính tổng S `
= 1.5+ 5.9 +.... + 97.101
Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng
thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau. Lời giải Ta có:
12S = 1.5.12 + 5.9.12 + ... + 97.101.12
= 1.5.(9 + 3) + 5.9.(13−1) + ... + 97.10 1.105 − 93.97.101 37
=1.5.9 +1.5.3+ 5.9.13−1.5.9 +... + 97.101.105− 93.97.101 = 97.101.105+1.5.3 =1028700 1028700  S = = 85725. 12
Vậy S = 85725.
Dạng 10: Tổng có dạng S =1.a a + a a a + a a a +...+ a a a 2 3 2 3 4 3 4 5 n 2 − n 1 − n
Trong đó a −1= a − a = a − a = ... = a − a
= k a =1+(n−1)k . 2 3 2 4 3 n n 1 − n
Bài 1. Tính tổng M =1.3.5+3.5.7 + 7.9.11+...+ 99.101.103
Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với a = 3, k = 2 2 Lời giải
M =1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 +... + 99.101.103
8M = 1.3.5.8 + 3.5.7.(9 −1) + 5.7.9.(11− 3) + ... + 99.101.103.(105 − 97)
8M =1.3.5.8 + 3.5.7.9 − 3.5.7 + 5.7.9.11− 3.5.7.9 +... + 99.101.103.105 − 97.99.101.103
8M =1.3.5.8 − 3.5.7 + 99.101.103.105 8M =108139200 M =13517400
Bài 2. Tính tổng N =1.4.7 + 4.7.10 + 7.10.13+...+100.103.106 Phân tích
Ta áp dụng dạng toán trên với a = 4,k = 3 2 Khi đó a =106 n
106 = 1+ (n −1)k
105 = (n −1).3 35 = n −1 n = 36 Lời giải
N =1.4.7 + 4.7.10 + 7.10.13+... +100.103.106
12N = 1.4.7.12 + 4.7.10.(13 −1) + 7.10.13.(16 − 4) + ... +100.103.106.(109 − 97)
12N =1.4.7.12 + 4.7.10.13− 4.7.10 + 7.10.13.16 − 4.7.10.13+...+100.103.106.109 − 97.100.103.106
12N =100.103.106.109 +1.4.7.12 − 4.7.10 12N = 119006256 N = 9917188
Bài 3. Tính tổng P = 50.51.52+51.52.53+52.53.54+...+ 98.99.100 38 Phân tích Ta có
P = 50.51.52 + 52.53.54 +... + 98.99.100
= (1.2.3+ 2.3.4 +....+ 98.99.100) −(1.2.3+ 2.3.4 +...+ 49.50.51) Ta tính hai tổng sau
A =1.2.3+ 2.3.4 +....+ 98.99.100
B =1.2.3+ 2.3.4 +... + 49.50.51 Lời giải +) Tính tổng
A =1.2.3+ 2.3.4 +....+ 98.99.100.
Áp dụng ví dụ, ta tính được A = 24497550
B =1.2.3+ 2.3.4 +... + 49.50.51
Tương tự áp dụng công thức (*) với k =1,a = k,n = 51 ta có k
49.50.51.52 + 4.1.2.3 − 2.3.4 B = =1624350 4.1 +) Tính
P = 50.51.52 + 52.53.54 +...+ 98.99.100
= (1.2.3+ 2.3.4 +....+ 98.99.100) − (1.2.3+ 2.3.4 +...+ 49.50.51) = A − B = 24497550 −1624350 = 22873200
Bài 4. Tính tổng A =1.2.3+3.4.5+5.6.7 +...+99.100.101 Phân tích
Trong bài toán này, ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm
xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Lời giải
A =1.2.3+ 3.4.5 + 5.6.7 +... + 99.100.101
A = 1.3.(5 − 3) + 3.5.(7 − 3) + 5.7.(9 − 3) + ... + 99.101.(103 − 3) 39
A =1.3.5 −1.3.3+ 3.5.7 − 3.5.5 + 5.7.9 − 5.7.3+...+ 99.101.103− 99.101.3
A = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + ... + 99.101.103) − 3.(1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 99.101) Từ đó ta có,
M =1.3.5 + 3.5.7 + 7.9.11+...+ 99.101.103
N =1.3+ 3.5 + 5.7 +... + 99.101
Áp dụng bài 1, ta tính được M =13517400 Ta chỉ cần đi tính
N =1.3 + 3.5 + 5.7 +... + 99.101
6N = 1.3.6 + 3.5.(7 −1) + 5.7.(9 − 3) + ... + 99.101.(103 − 97)
6N =1.3.6 + 3.5.7 − 3.5 + 5.7.9 − 3.5.7 +... + 99.101.103− 97.99.101
6N =1.3.6 − 3.5 + 99.101.103 6N =1029900 N = 171650 Do đó
A = M − 3.N
A =13517400 − 3.171650 A =13002450 Bình luận
Ta nhận thấy rằng cách tính M là nhân M với 4k ở đó k là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi
số hạng của M có 3 thừa số, còn cách tính N cũng tương tự. Tuy nhiên để tính N ta nhân N với
3 lần khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi số hạng của N có 2 thừa số.
Bài toán tổng quát *
A =1.2.3+ 3.4.5+.....+ (2n 1 − ).2 .
n (2n +1) (nN , n  2) .
Bài tập tương tự Tính
A =1.2.3+ 3.4.5 +..... + 49.51.53
B = 27.28.29 + 28.29.30 +.....+ 59.60.61. 40 Bài 5. Tính tổng 2 2 2
K = 1.2 + 2.3 + ... + 99.100 Phân tích
Trong bài toán này, tương tự bài 4 ta không nhân K với một số mà tách ngay một thừa số trong
mỗi số hạng làm xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Ở bài này ta tách 2 n = . n (  n + ) 1 −1 
 với mỗi bình phương. Lời giải 2 2 2
K = 1.2 + 2.3 + ... + 98.99
K = 1.2.(3 −1) + 2.3.(4 −1) + .... + 98.99.(100 −1)
K =1.2.3−1.2 + 2.3.4 − 2.3+... + 98.99.100 − 98.99
K = (1.2.3 + 2.3.4 + ... + 98.99.100) − (1.2 + 2.3 + ... + 98.99) Từ đó ta tính
A = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 98.99.100
B = 1.2 + 2.3 + ... + 98.99 +) Tính tổng
A =1.2.3+ 2.3.4 +....+ 98.99.100
Áp dụng ví dụ , ta tính được A = 24497550 .
+) Tính tổng B =1.2 + 2.3+...+98.99 . Áp dụng Lý thuyết với
Áp dụng Lý thuyết, với k =1,n = 99  a = k (với mọi 1 k n ), ta tính được k 98.99.100 + 3.1.2 − 2.3 98.99.100 B = = = 323400 3 3 Vậy
K = A− B
K = 24497550 − 323400 41 K = 24174150
Bài toán tổng quát 2 2 2 *
A =1.2 + 2.3 +...+ (n −1).n (nN ,n  2)
Bài tập tương tự Tính 2 2 2
A = 1.2 + 2.3 + ..... + 49.50
Dạng 11: Tổng có dạng 3 3 3
A = 1+ 2 + 3 + ... + n (n ) * Bài 1: Tính tổng 3 3 3 3 A =1 + 2 + 3 +...+ (2 ) n Lời giải : 3 3 3 3 A =1 + 2 + 3 +...+ (2 ) n 3 3 3 3 3 3 A = (1 + (2 )
n ) + (2 + (2n −1) ) +...+ (n + (n +1) ) 2 2 2 2 2 2
A = (2n +1)(1 − 2n + (2 )
n ) + (2n +1)(2 − 2.(2n −1) + (2n −1) ) +...+ (2n +1)(n − (
n 2n − (n −1)) + (n +1) ) 2 2 2 2
A = (2n +1)(1 + 2 + 3 +...+ (2 ) n −[2 ( n 1+ 2 + 3+...+ )
n − (1.2 + 2.3+...+ (n −1) ) n ]  (
n 2n +1)(4n +1) (
n n −1)(n +1)  2 A = (2n +1) − n (n +1) +    3 3  2 2 2
8n + 6n +1− 3n − 3n + n −1 A = ( n 2n +1). 3 2  6n + 3n  2
A = n(2n +1) 
 = (n(2n +1))  3 
Dạng 13: Liên phân số
Bài 1. Viết kết quả các biểu thức sau dưới dạng phân số 2 B = 1 5 + 1 6 + 1 7 + 8 . Lời giải 2 2 2 2 2 2 700 B = = = = = = = 1 1 1 1 57 1807 1807 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 1 8 350 350 350 6 + 6 + 6 + 1 57 57 57 7 + 8 8 . 42 1 1 1 3 3 3 3 + − − + − 5 Bài 2. Tính nhanh 3 7 13 4 16 64 256 . + 2 2 2 1 1 1 8 + − 1− + − 3 7 13 4 16 64 Lời giải 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 3  1 1 1  + − − + − + − . 1− + −   5 3 7 13 4 16 64 256 3 7 13 4  4 16 64  5 1 3 5 . + = . + = . + =1 2 2 2 1 1 1 8  1 1 1  1 1 1 8 2 4 8 + − 1− + − 2. + − 1− + −   3 7 13 4 16 64  3 7 13  4 16 64 . 30 1 Bài 3. Tìm * , a , b , c d  biết : = 43 1 a + 1 b + 1 c + d . Lời giải 30 1 1 1 =  = 43 1 43 1 a + a + 1 30 1 b + b + 1 1 c + c + d da =1 13 1 43 1 13 1  =  = a + 1+ = a +  30 1 30 1 30 1 b + b + b +  1 1 1  c + c + c +  d d d b  = 2 13 1 30 1 4 1  4 1 =  = b +  2 + = b +   = 30 1 13 1 13 1 13 1 b + c + c +  + 1 c d d  d c + d 4 1 13 1 1 1 c  = 3 = 
= c +  3+ = c +   13 1 4 d 4 dd = 4 c + d
Vậy a = 1,b = 2,c = 3, d = 4 . 1 1 1 1 + + +...+
Bài 4. Rút gọn 2 3 4 200 1 2 3 198 199 + + +...+ + 199 198 197 2 1 Lời giải 43 1 1 1 1 + + +...+ 2 3 4 200 1 2 3 198 199 + + +...+ + 199 198 197 2 1 1 1 1 1 + + +...+ 2 3 4 200
=  1   2   3  198  199  +1 + +1 + +1 +...+ +1 + +1 −199           199  198  197   2   1  1 1 1 1 + + +...+ 2 3 4 200 =  1 1 1 1 1 200. + + +...+ + −199   199 198 197 2 1  1 1 1 1 + + +...+ 2 3 4 200 =  1 1 1 1  200. + + +...+ +1   199 198 197 2  1 1 1 1 + + +...+ 1 2 3 4 200 = =  1 1 1 1 1  200 200. + + + +...+    200 199 198 197 2  1 1
Bài 5. Tìm nghiệm của phương trình sau = 2 x x + 1− 4 1 3 + 2 + 6 1 5 + 3 + 8 1 7 + 4 + 10 1 9 + 5 + 11 6 Lời giải 1 1 = ------ 2 x x + 1− 4 1 3 + 2 + 6 1 5 + 3 + 8 1 7 + 4 + 10 1 9 + 5 + 11 6 2 xx + =1− --------- 4 1 3 + 2 + 6 1 5 + 3 + 8 1 7 + 4 + 10 1 9 + 5 + 11 6 44 9818 421x 1393x 8313  x + =1−  = ---- 18131 972 972 18131 8313 972 8080236  x = . = 18131 1393 25256483 45
B.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG 6
Bài 1. (Đề thi HSG 6 huyện)
Chứng minh : Với kN* ta luôn có : k (k + )
1 (k + 2) −(k − ) 1 k (k + ) 1 = 3.k (k + ) 1 .
Áp dụng tính tổng :S = 1.2 + 2.3+ 3.4 +... + . n (n + ) 1 . Lời giải Biến đổi : k (k + )
1 (k + 2) − (k − ) 1 k (k + ) 1 = k (k + ) 1 (
k + 2)−(k − ) 1  = 3k (k +   ) 1 Áp dụng tính : 3.(1.2) = 1.2.3 − 0.1.2. 3.(2.3) = 2.3.4 −1.2.3. 3.(3.4) = 3.4.5 − 2.3.4.
................................... 3.n (n + ) 1 = n (n + )
1 (n + 2) − (n − ) 1 n (n + ) 1 Cộng lại ta có : n n + n +
3.S = n(n + ) 1 (n + 2) ( )1( 2)  S = . 3
Bài 2. (Đề thi HSG 6 huyện) 2 3 2006
Cho S = 5 + 5 + 5 + + 5 a) Tính S b) Chứng minh S 126 Lời giải a) Ta có 2 3 4 2007
5S = 5 + 5 + 5 ++ 5 S S = ( 2 3 4 2007 + + ++ ) ( 2 3 2006 5 – 5 5 5 5 – 5 + 5 + 5 + + 5 ) 2007 4S = 5 − 5 2007 5 − 5 Vậy S = 4 b) S = ( 4 + ) + ( 2 5 + )+( 3 6 + ) + + ( 2003 2006 5 5 5 5 5 5 .. 5 +5 )
Biến đổi được S = ( 2 3 2003 126. 5 + 5 + 5 ++ 5 ) Vì 126 126  S 126 Bài 3. (Đề thi HSG 6)
Cho số: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …….58 59 60.
- Số A có bao nhiêu chữ số?
- Hãy xóa đi 100 chữ số trong số A sao cho số còn lại là: + Nhỏ nhất + Lớn nhất Lời giải
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 58 59 60.
* Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số
Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số.
Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ) 46
* Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ
số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 …. 58 59 60.
 Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước  số nhỏ nhất là số có 6 chữ số.
 Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ).
* Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960
 Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn.
 Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999….
 Các chữ số còn lại 78 59 60.
Vậy số lớn nhất: 99999785860.
Bài 4. (Đề thi HSG 6) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cho: A = + + + + ; B = + + + + 3.8 8.13 13.18 33.38 3.10 10.17 17.24 24.31 31. 38  3 5  28 − 27  ( 26 12 2 +5.4 )  7 9  B
Tìm x biết: = 8 8 ( x − 4) A Lời giải 1 1 1 1 1 1 1  Ta có: A = + + +...+ = − 3 . 8 8 . 13 13 . 18 33 . 38 5 3 38 1 1 1 1  1 1  B = + . + ..+ = − 3 . 10 10 . 17 31 . 38 7  3 38  A 1 1 7 B 5 = : =  = B 5 7 5 A 7 55 2. 9 . 24 5 63 = 224(x − 4) 7 55 5 11 =  = x= . 7 (x − 4) 1 15 7 x − 4
Bài 5. (Đề thi HSG 6)
Chứng minh rằng: A= ( 1999 + 19992 + 19993 +.+ 19991998 )  2000. Lời giải A = ( + ) 3 + ( + ) 1997 1999 1 1999 1999 1 1999 + .  +1999 (1+1999) = ( 3 1997 2000 1999 +1999 ++1999 )2000 A 2000.
Bài 6. (Đề thi HSG 6)
Tính tỷ số A 7 5 3 11 biết 4 6 9 7 A = + + + , B = + + + B 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 Lời giải 1 4 6 9 7 1 1  A = + + + = −  5 7.31 35.41 50.41 50.57 31 57  1 1 A 5   A= B  = . 1 7 5 3 11 1 1 5 2 B 2 B  = + + + = − 2 19.31 19.43 23.43 23.57 31 57   47
Bài 7. (Đề thi HSG 6) 1 1 1 1 Chứng minh rằng : + + +...+ 1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải 1 1 1 1 Ta có  = − 2 2 2.1 1 2 1 1 1 1  = − 2 3 2.3 2 3 ……………. 1 1 1 1  = − 2 100 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy + +...+  − + − + ...+ − 2 2 2 2 3 100 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99 + +...+ 1− = 1 2 2 2 2 3 100 100 100
Bài 8. (Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014) 3 3 3 Tính tổng: S 3 ... . 2 9 2 2 2 Lời giải 3 3 3 S 3 ... 2 9 2 2 2 1 3 3 3 S 3 3 ... 2 8 2 2 2 2 3 3 3 3 Mà 3 ... S 2 8 9 2 2 2 2 1 3 Suy ra S 3 S 9 2 2 3 3 3 3069 Hay 2S 6 S .Suy ra S 6 6 . 9 2 9 2 512 512
Bài 9. (Đề thi HSG 6 huyện Hưng Hà)
a) Tính giá trị của biểu thức: 2 3 4 2014 A 1 1 1 1 ... 1 1 555 4444 33333 11 13 B 7 222 12221 244442 330 60 1 2 3 92 1 1 1 1 E b) Cho E 92 ... ; F ... . Tính . 9 10 11 100 45 50 55 500 F Lời giải
a) Ta thấy A là tích các luỹ thừa cơ số là
1 với các số mũ tự nhiên liên tiếp tăng dần từ 1tới 2014 .
Số các thừa số của A là: 2014 1 1 2014 (thừa số) A 1 .1. 1 .1. ... . 1 .1 A có 2014 : 2 1007 thừa số 1 và 1007 thừa số 1. Vậy A 1. 48 1 555 444 33333 11 13 1 5 4 3 1 13 B 7 222 12221 24444 330 60 7 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 5 4 3 1 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 1 1 13 Vậy B . 2 28 28 1 2 3 92 b) E 92 ... 9 10 11 100
Số các số hạng của A là: 1 92 1 1 93 (số hạng) 1 2 3 92 E 1 1 1 ... 1 (Có 92 nhóm) 9 10 11 100 8 8 8 8 1 1 1 1 E ... 8 ... 9 10 11 100 9 10 11 100 1 1 1 1 1 E 1 Mà F ... 8 : 40. 5 9 10 11 100 F 5
Bài 10. (Đề thi HSG 6 huyện 2012 - 2013) Cho 1 2 3 100 S 2 2 2 ... 2 . a) Chứng minh rằng S 15
b) Tìm chữ số tận cùng của S . c) Tính tổng S . Lời giải a) 1 2 3 100
S = 2 + 2 + 2 + ... + 2
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: 1 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100 S 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 3 5 2 3 97 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2 5 97 2 . 15 2 . 15 ... 2 . 15 5 97 15 2 2 ... 2 15 (đpcm) b) Vì S 15 S 5 (1)
Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2 (2) Từ (1) và (2)
S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0 . c) 1 2 3 100 1 2 3 100 2S S 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 3 4 101 1 2 3 100 S 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 hay 101 S 2 2 .
Bài 11. (Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014) Chứng minh rằng: 49 1 1 1 1 1 1 1 1 a) 1 ... ... 2 3 4 199 200 101 102 200 51 52 100 . ..... 1.3.5.....99 b) 2 2 2 Lời giải 1 1 1 1 1 a) Ta có 1 ... 2 3 4 199 200 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 3 5 199 2 4 6 200 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 ... 2 3 4 5 6 199 200 2 4 6 200 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 3 199 200 2 3 100 1 1 1 1 ... (ĐPCM). 101 102 103 200 b) Ta có: 1.3.5.....99 2.4.6.....100 1.2.3.4.5.6.....99.100 1.3.5.....99 2.4.6.....100 1.2 2.2 2.3 ..... 2.50 1.2.3.....99.100 51.52.53.....99.100 51 52 53 100 . . ..... 1.2.3.....49.50 2.2.2.....2 2.2.2.....2 2 2 2 2 50cs2 50cs2
Bài 12. (Đề thi HSG 6 huyện 2013 - 2014) Cho 2 3 4 5 6 2012 S 5 5 5 5 5 5 5
.Chứng tỏ S chia hết cho 65 . Lời giải 2 3 4 5 6 2012 S 5 5 5 5 5 5 5 2 3 4 5 2 3 4 2009( 2 3 4 S 5 5 5 5 5 5 5 5 5 .... 5 5 5 5 5 ) Vì 2 3 4 5 5 5 5
780 65 .Vậy S chia hết cho 65 .
Bài 13. (Đề thi HSG 6 huyện 2006 - 2007) 1 2 3 4 2014
a) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S ... . 2 3 4 2014 4 4 4 4 4 1 Chứng minh rằng: S . 2
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n , biết rằng: n S n
2014 , trong đó S n là tổng các chữ số của n . Lời giải 2 3 2014 a) Ta có 4S 1 ... 2 2013 4 4 4 1 1 1 1 2014 Suy ra: 3S 4S S 1 ... 2 3 2013 2014 4 4 4 4 4 50 1 1 1 1 1 1 1 1 3S 1 ... . Đặt M 1 ... 2 3 2013 4 4 4 4 2 3 2013 4 4 4 4 1 1 1 1 4M 4 1 ... . 2 3 2012 4 4 4 4 1 4 Ta có: 3M 4M M 4 M . 2013 4 3 4 4 4 1 Do đó: 3S S . 3 9 8 2
b) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n 999 và S n 27 . Suy ra: n S n 999 27 1026 2014 ( không thỏa mãn ). Mặt khác n n S n
2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số.
Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra S n 9.4 36 . Do vậy n 2014 36 1978 . Vì 1978 n 2014 nên n 19ab hoặc n 20cd . * Nếu n 19ab . Ta có: 19ab 1 9 a b 2014 1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a 2 và 11a 104 2b 104 2.9 86 8 a 10 , mà a 2 nên a 8 . b 8 n 1988 (thỏa mãn). * Nếu n 20cd . Ta có: 20cd 2 0 c d 2014 2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c 2 Và 11c 12 , nên c 0 hoặc c 1. + Với c 0 thì d 6 , ta có n 2006 (thỏa mãn) + Với c 1thì 2d 1( không thỏa mãn). Vậy n 1988; 2006 . Bài 14.
(Đề thi HSG 6 huyện) Tính: 2 3 4 20
A = 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 Lời giải Ta có : 3 4 21
2A = 8 + 2 + 2 + ... + 2 21  A A = + ( 2 + )+( 3 3 ) + + ( 20 20 ) 21 2 – 2 8 – 4 2 2 – 2 ... 2 – 2 = 2 Bài 15.
(Đề thi HSG 6 huyện) Cho : 0 2 4 6 2002
S = 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 a) Tính S b) Chứng minh S 7 Lời giải a) Ta có 2 2 4 2002 2004 3 S = 3 + 3 + ... + 3 + 3 2004 3 −1 Suy ra : 2004 8S = 3 −1  S = 8 b) S = ( 0 2 4 + + ) 6 + ( 0 2 4 + + ) 1998 + + ( 0 2 4 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 + 3 + 3 ) 51 = ( 0 2 4 + + )( 6 1998 3 3 3 1+ 3 + ... + 3 ) = ( 6 1998 91 1+ 3 + ... + 3 ) Suy ra : S 7 Bài 16.
(Đề thi HSG 6 huyện)
Chứng minh tổng sau chia hết cho 7. 1 2 3 4 59 60
A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 Lời giải Ta có: 1 2 3 4 59 60
A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = ( 1 2 3 + + )+( 4 5 6 + + )+ +( 58 59 60 2 2 2 2 2 2 ... 2 + 2 + 2 ) = ( 1 2 3 + + ) 3 + ( 1 2 3 + + ) 57 + + ( 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 + 2 + 2 ) = ( 1 2 3 + + )( 3 57 + + + ) = ( 3 57 2 2 2 1 2 ... 2 14. 1+ 2 + ... + 2 ) 7 Vậy A 7 Bài 17. (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) − + − + −  2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − + − + ...+ −  3 32 33 34 399 3100 16 Lời giải a) Đặt A= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2  1 1 1 1 1 2A= 1 − + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6  1 2 −1 2A+A =3A = 1− = 1 6 6 2 2  3A < 1  A < 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A = − + − +...+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3  2 3 3 4 99 100 3A =1− − + − + ...+ − 2 3 3 98 99 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1 1 100 4A = 1− + − +...+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1 1 4A  1− + − +...+ − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1− + − +...+ −  3B= 2 + − +...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 2 97 98 3 3 3 3 1 3 4B = B+3B= 3 − < 3  B < (2) 99 3 4 Từ (1)và (2)  3 3 4A < B <  A < 4 16 52 Bài 18. (Đề thi HSG 6) Chứng minh : 1 1 1 1 + + +...+ < 1. 2 3 4 2 2 2 2n Lời giải 1 1 1 1 Ta có :  = − . 2 n n (n − ) 1 n −1 n Áp dụng : 1 1 1 1 1 1 1 1 1− ;  − ;...;  − . 2 2 2 2 2 3 2 3 n n −1 n  1 1 1 1 1 + + +...+ < 1−  1. 2 3 4 2 2 2 2n n Bài 19. (Đề thi HSG 6) Tính tổng: B = 2 2 2 2 + + +....+ 4 . 1 7 . 4 10 . 7 1 . 97 00 Lời giải 1 1 1 1  2 2 1 1  2 2  1 1  2 2  1 1  Ta có = −  = −  = − ; = − ;.... 1.4 3 1 4  1.4 3 1 4         
4.7 3  4 7  7.10 3  7 10  2 2  1 1  ......; = − 97.100 3  99 100     2 1 1 1 1 1 1 1 1  B= − + − + − + .....+ − 3 1 4 4 7 7 10 99 100     2 1 1  2 99 33 B= − = . = 3 1 100    3 100 50
Bài 20. (Đề thi HSG62019-2020) 1 1 1 1 Tính tổng A = + + +...+ 2 3 100 3 3 3 3 Lời giải 1 1 1 1  1 1 1 1   1 1 1 1  Ta có 3A = 1+ + + + ...+ 3A −A = 1+ + + +...+ − + + +...+     2 3 99 3 3 3 3 2 3 99 2 3 100  3 3 3 3   3 3 3 3  100 1 3 −1 2A = 1− = 100 100 3 3 100 3 −1 suy ra A = 100 2.3
Bài 21. (Đề thi HSG 6 2019-2020) 10 10 10 10 a) Tính tổng: M = + + + ....+ 56 140 260 1400 3 3 3 3 3 b) Cho S = + + + +
. Chứng minh rằng : 1< S < 2 10 11 12 13 14 Lời giải 53 10 10 10 10 5 5 5 5 a) M = + + + + = + + + + 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 5  1 1 1 1 1 1 1 1  5  1 1  5 − + − + − + + − = − =     3  4 7 7 10 10 13 25 28  3  4 28  14 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 b) S = + + + +  + + + +  S  = 1 (1) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 S = + + + +  + + + +  S   = 2 (2) 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10
Từ (1) và (2) suy ra 1  S  2
Bài 22. (Đề thi HSG 6) Cho 1 2 3 2006 A = 3 + 3 + 3 + + 3 a) Thu gọn A b) Tìm x để 2A+3 = 3x Lời giải
a) A = 31 +32+33 + .....+ 32006
 3A =32+33 +34+ .....+ 32007 3A – A = 32007 -3  32007 − 3 A = 2 32007 − 3 b) Ta có : 2. +3 = 3x => 2
32007 -3 +3 = 3x => 32007 = 3x => x = 2007
Bài 23. (Đề thi HSG 6)
Cho B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100
Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3n Lời giải
B = 3 + 32 + 33 + ... + 399 + 3100 (1)
3B = 32 + 33 + ... + 3100 + 3101 (2)
Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - 3 Do đó: 2B + 3 = 3101
Theo đề bài 3B + 3 = 3n . Vậy n = 101
Bài 24. (Đề thi HSG 6) Tính
101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 a) C =
101 − 100 + 99 − 98 + ... + 3 − 2 + 1 3737.43 − 4343.37 b) D = 2 + 4 + 6 + ... + 100 Lời giải
101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + a C = 1 )
101 −100 + 99 − 98 + ... + 3 − 2 + 1 54 Ta có:
*) 101 + (100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1)
=101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151
*) 101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - + 1
= (101 - 100) + (99 - 98) + ... + (3 - 2) + 1 = 50 + 1 = 51 50 cap Vậy C = 5151 = 101 51 3737.43 − 4343.37 b) B = 2 + 4 + 6 + ... + 100 Ta có:
3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0
Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + ...+ 100  0)
Bài 25. (Đề thi HSG 6) + + + Tính tổng S = 27 4500 135 2 . 550 2 + 4 + 6 + 14 .... + 16 + 18 Lời giải 270.450 + 270.550 270(450 + 550) 270000 S = = = = 3000 (2 +18).9 90 90 2
Bài 26. (Đề thi HSG 6 huyện Hương Sơn 2018 - 2019) 1 2 3 4 2014 1
Cho tổng gồm 2014 số hạng, S = + + + + .....+ . Chứng minh S  2 3 4 2014 4 4 4 4 4 2
Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n + S (n) = 2014, trong đó S (n) là tổng các chữ số của n Lời giải 2 3 4 2014 Ta có: 4S = 1+ + + + ......+ . 2 3 2013 4 4 4 4 1 1 1 1 2014
 3S = 4S − S =1+ + + + .....+ − 2 3 2013 2014 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1  3S 1+ + + +.....+ .Dat M = 1+ + + + .....+ . 2 3 2013 2 3 2013 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1  4M = 4 +1+ + + +.....+ 2 3 2012 4 4 4 4 1 4
Ta có: 3M = 4M − M = 4 −  4  M  2013 4 3 4 4 4 1
Do đó 3S   S   = 3 9 8 2
Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n  999 và S (n)  27
Suy ra n + S (n)  999 + 27 =1026  2014(kt ) m
Mặt khác n n + S(n) = 2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra
S (n)  9.4 = 36.Do vậy n  2014 −36 =1978 55 n =19ab
Vì 1978  n  2014   n = 20cd *Nếu n = 19a .
b Ta có: 19ab + (1+ 9 + a + b) = 2014
1910 +11a + 2b = 2014 11a + 2b =104  a 2
và 11a = 104 − 2b  104 − 2.9 = 86  8  10  ,
a a 2  a = 8  b = 8  n = 1988( ) tm
*Nếu n = 20cd  20cd + (2 + 0 + c + d ) = 2014
 2002 +11c + 2d = 2014 11c + 2d =12  c 2
c = 0  d = 6,n = 2006(t ) m Và 11c  12  
c =1 2d =1(kt ) m
Vậy n 1988;200  6
Bài 27. (Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019)
a) Tính tổng A =1.2 + 2.3+ 3.4 +.....+ 98.99 b) Cho biểu thức : 1 1 1 1 B = + + +......+ . Chứng tỏ rằng 1 1  B 2 2 2 2 5 6 7 100 6 4 Lời giải
a) Ta có: 3A =1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+.....+ 98.99.3 =1.2.3+ 2.3.(4− )
1 + 3.4 +.(5− 2) +.....+ 98.99.(100 − 97)
=1.2.3+ 2.3.4 −1.2.3+ 3.4.5 − 2.3.4 + ....+ 98.99.100 − 97.98.99
= 98.99.100  A = 98.33.100 = 323400 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Ta có: B = + +....+  + + ....+ = − + − + ....+ − 2 2 2 5 6 100 4.5 5.6 99.100 4 5 5 6 99 100 1 1 1 B  −  (1) 4 100 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B = + +....+  + + ....+ = − + − + ....+ − 2 2 2 5 6 100 5.6 6.7 100.101 5 6 6 7 100 101 1 1 96 96 1 1 B  − =  =  B  (2) 5 101 505 576 6 6 Từ (1) và (2) 1 1 1 1 1 1   + + +.....+  2 2 2 2 6 5 6 7 100 4
Bài 28. (Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2017-2018)
Tìm hiệu a − b, biết rằng: a =1.2 + 2.3+3.4 +.....+98.99 và 2 2 2 2
b = 1 + 2 + 3 + ........ + 98 Lời giải
Ta có: a =1.2 + 2.3+ 3.4 +.......+ 98.99 =1.(1+ ) 1 + 2(1+ 2) + 3(1+ ) 3 +..... + 98.(1+ 98) 2 2 2 2
=1+1 + 2 + 2 + 3+ 3 +.......+ 98 + 98 = ( 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + ..... + 98 ) + (1+ 2 + 3+....+ 98) = b +(1+ 2+3+....+98)
= b +(1+98).98: 2 = b+ 4851 56
Vậy a − b = 4851
Bài 29. (Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2017-2018) Cho 2 100
A = 5 + 5 + ..... + 5 .Tìm số tự nhiên n, biết rằng: 4. 5 5n A + = Lời giải Ta có: 2 3 101 5A = 5 + 5 + .... + 5
A− A = ( 2 3 101 + + + )−( 2 100 + + + ) 101 5 5 5 ..... 5 5 5 ..... 5 = 5 − 5 101  4A + 5 = 5 Lại có: n n 101 4A + 5 = 5  5 = 5  n =101
Bài 30. (Đề thi HSG 6 Trường Nguyễn Chích – Huyện Đông Sơn 2017-2018)
Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2 + 3 + .....+ n = aaa Lời giải (n+ ) 1 .n
Dãy số 1;2;......; n có n số hạng 1+ 2 +....+ n = 2
Mà 1+ 2 + 3 + .... + n = aaa (n+ ) 1 .n Suy ra = aaa = . a 111 = .
a 3.37  n(n + ) 1 = 2.3.37.a 2
Vì tích n(n + )
1 chia hết cho số nguyên tố 37 nên n 37 hoặc n +1 37 (n + ) 1 n Vì số
có 3 chữ số  n +1 74  n = 37 hoặc n +1 = 37 2 Với 37.38 n = 37 thì = 703(loại) 2 Với 36.37 n +1 = 37  = 666 (thỏa mãn) 2
Vậy n = 6, a = 6 . Ta có: 1+ 2 + 3+....+ 36 = 666
Bài 31. (Đề thi HSG 6) Cho 50 48 46 44 6 4 2
A = 5 − 5 + 5 − 5 + ..... + 5 − 5 + 5 −1 a) Tính A
b) Tìm số tự nhiên n biết 26 1 5n A + =
c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100. Lời giải 50 48 46 44 6 4 2 )
a A = 5 −5 + 5 −5 +....+ 5 −5 + 5 −1 2  A = ( 50 48 46 44 6 4 2 25
5 . 5 − 5 + 5 − 5 + .... + 5 − 5 + 5 − ) 1 52 50 48 46 8 6 4 2
= 5 −5 + 5 −5 +.....+ 5 −5 + 5 −5 52 5 −1 52
 25A+ A = 5 −1 A = 26 b) Ta có: 26 1 5n A + = mà 52 26A = 5 −1 nên 52
5 −1+1 = 5n n = 52 c) 50 48 46 44 6 4 2
A = 5 − 5 + 5 − 5 + ..... + 5 − 5 + 5 −1(có 26 số hạng) 57 = ( 50 48 − )+( 46 44 − )+ +( 6 4 − )+( 2 5 5 5 5 .... 5 5 5 − ) 1 48 = ( 2 − ) 44 + ( 2 − ) 4 + + ( 2 − )+( 2 5 . 5 1 5 . 5 1 .... 5 . 5 1 5 − ) 1 48 44 4 46 4 = + + + + = + 2 2 5 .24 5 .24 ...... 5 .24 24
5 .25.24 5 .25.24 + ..... + 5 .25.24 + 24 = ( 46 42 2
6.100. 5 + 5 + ..... + 5 ) + 24 Suy ra A chia cho 100 dư 24. Bài 32. (Đề HSG) Tìm số tự nhiên x, biết: )
a 1+ 3+ 5 + 7 + 9 +.....+ (2x − ) 1 = 225 x x 1 + x+2 x 3 + x+2015 2019 ) b 2 + 2 + 2 + 2 +....+2 = 2 −8 Lời giải
a) Với mọi x  ta có 2x −1là số lẻ
Đặt A =1+ 3+ 5+ 7 + 9 +.....+ (2x − )
1  A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x −1
Số số hạng của A là: (2x −1− )
1 : 2 +1 = x (số hạng)  A = (  x −  ) 2 2
1 +1.x : 2 = x = 225  x = 15  x x 1 + x+2 x 3 + x 1 + 5 2019 ) b 2 + 2 + 2 + 2 +.....+ 2 = 2 −8 x ( 2 3 2015 + + + + + ) 3 = ( 2016 2 1 2 2 2 ...... 2 2 . 2 − ) 1 Đặt 2 3 2015
M = 1+ 2 + 2 + 2 + ..... + 2 Ta được: 2 3 2016 2016
2M = 2 + 2 + 2 + .... + 2  M = 2 −1
Vậy ta có: x ( 2016 − ) 3 = ( 2016 − ) x 3 2 . 2 1 2 . 2 1  2 = 2  x = 3
Bài 33. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019)
Hãy chọn kết quả đúng 1 1 1 1 Tìm x biết rằng: + +....+ = 5.8 8.11 . x ( x + 3) 6 A. x = 27 B. x = 35 C. x = 25 . D x = 205 Lời giải Chọn đáp án A
Bài 34. (Đề HSG huyện Gia Viên 2018 – 2019) 2 3 4 2012 2013 1 3  3   3   3   3   3  A = + + + + +.....+         B = : 2   Cho 2 2  2   2   2   2  và  2  Tính B − A Lời giải Ta có: 58 2 3 4 2012 1 3  3   3   3   3  A = + + + + +....+ (1)         2 2  2   2   2   2  2 3 4 2013 3 3  3   3   3   3   A = + + + +....+ (2)         2 4  2   2   2   2 
Lấy (2) trừ (1) ta được: 2013 3  3  3 1 3 A − A = + − −   2  2  4 2 2 2013 2013 1  3  5 3 1 A = −  A = +   2012 2  2  4 2 2 2013 2013 3 3 5 Vậy B − A = − + 2014 2012 2 2 2
Bài 35. (Đề thi HSG 6 THCS Nguyễn Khuyến 2018-2019)  1 2 3 92   1 1 1 1  Tính: 92 − − − −....− : + + +.....+      9 10 11 100  45 50 55 500  Lời giải  1 2 3 92   1 1 1 1  B = 92 − − − −.....− : + + +.....+      9 10 11 100  45 50 55 500   1   2   92  8 8 8 1− + 1− +.....+ 1−       + +.....+  9   10   100  9 10 100 1 B = = = 8: = 40 1 1 1 1 1  1 1 1  5 + + +.....+ . + +....+   45 50 55 500 5  9 10 100 
Bài 36. (Đề thi HSG 6 Bắc Ninh 2018-2019)
Cho A = ( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 3. 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1
Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của . A Lời giải
A = ( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 + ) = ( 2 − )( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1
= ( 4 − )( 4 + )( 8 + )( 16 + ) = ( 8 − )( 8 + )( 16 + ) = ( 16 − )( 16 + ) 32 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = 2 −1 − Vì 32 2 tận cùng là 2 nên 32 A = 2 1tận cùng là 1.
Bài 37. (Đề thi HSG 6 huyện Thạch Thành 2018-2019) 1 1 1 1 Cho A = + + +....+ . 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1+ 3 + 5 + 7 + ... + 2017 3 Chứng minh A  4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A = + + +....+ 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1+ 3 + 5 + 7 + ... + 2017 59 1 1 1 1
A = ( + ) + ( + ) + ( + ) +.....+ 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 (1+ 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + +.....+ = + + +....+ 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1  1 1 1  A  + + +......+   2.2  2.3 3.4 1008.1009  1  1 1 1 1 1 1  A  + − + − +.....+ −   4  2 3 3 4 1008 100 9  1  1 1  1 1 3 A  + −
A  +  A    4  2 1009  4 2 4
Bài 38. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020) Cho 2 3 98 99
S = 1− 3 + 3 − 3 + ..... + 3 − 3 a)
Chứng minh rằng S là bội của 20 − b) Tính S, từ đó suy ra 100 3 chia cho 4 dư 1 Lời giải
a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng 2 3 98 99
S = 1− 3 + 3 − 3 + ...... + 3 − 3 = ( 2 3 + + − )+( 4 5 6 7 − + − )+ +( 96 97 98 99 1 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 − 3 + 3 − 3 ) = (− ) 4 + (− ) 96 20 3 . 20 +...... + 3 .( 2 − 0)  S −20 2 3 98 99 )
b S =1−3+ 3 −3 +......+ 3 −3 100 1− 3 2 3 4 99 100
3S = 3 − 3 + 3 − 3 + ..... + 3 − 3
 3S + S = 4S = 4 100 100
 3 −1 4  3 chia cho 4 dư 1.
Bài 39. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) −1− 2 + 3 + 4 − 5 − 6 + 7 + 8 −....... − 2013 − 2014 + 2015 + 2016  1   1   1   1   1   1   1  2)B = −1 : −1 : −1 : −1 :.......: −1 : −1 : −1                2   3   4   5   98   99  100  Lời giải 1) A = 1
− − 2 + 3+ 4 −5 − 6 + 7 +8 −9 −10 +.....− 2013− 2014 + 2015 + 2016 = ( 1 − − 2 + 3+ 4) + ( 5 − − 6 + 7 +8)+ ( 9 − −10 +11+12)+... +( 2 − 013− 2014 + 2015+ 2016)
Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 = 504 nhóm
A = 4 + 4 + 4 +......+ 4 (tổng có 504 số 4) A = 4.504 = 2016 60  1   1   1   1   1   1   1  2)B = −1 : −1 : −1 : −1 :.......: −1 : −1 : −1                2   3   4   5   98   99  100   1   2   3   9 − 8   9 − 9  B = − : − : − :.......: :            2   3   4   99   100   1   3   9 − 9   100  B = − . − ........ . −          2   2   98   99 
Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên mang dấu âm 1.3.4.5.6......98.99.100 1 − 00 B = − = = 25 − 2.2.3.4.5......97.98.99 2.2
Bài 40. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019) 1 1 1 1 Cho E = + + +......+ 1.101 2.102 3.103 10.110 1 1 1 1 E Và F = + + +......+ . Tính tỉ số 1.11 2.12 3.13 100.110 F Lời giải Ta có: 1 1 1 1  100 100 100  E = + +......+ = . + +.....+   1.101 2.102 10.110 100 1.10 2.102 10.110  1  1 1 1 1 1  = . 1− + − +.....+ −   100  101 2 102 10 110  1  1 1 1   1 1 1  = . 1+ + +.....+ − + +......+     100  2 3 10  101 102 110   1 1 1 1  10 10 10  F = + +.....+ = . + +.......+   1.11 2.12 100.110 10 1.11 2.12 100.110  1  1 1 1 1 1  = . 1− + − +....+ −   10  11 2 12 100 110  1  1 1 1   1 1 1 1  = . 1+ + +......+ − + + +......+     10  2 3 100  11 1  2 13 110  1  1 1 1   1 1 1  F = . 1+ + +.....+ − + +.....+     10  2 3 10  101 102 110  1 E 1 100  = = F 1 10 10 61
Bài 41. (Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019) (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! Cho biểu thức D = + + + +.....+ 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2015
So sánh D với 6. Biết n! =1.2.3....n(n ) Lời giải Ta có: (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! (2 )2 ! D = + + + +.....+ 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 2 2 2  D = + + + +......+ = 4 + 2. + + +.....+   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2015  3 5 7 2015   2 2 2 2  D  4 + 2. + + +.....+   1.3 3.5 5.7 2013.2015  1 1 1 1 1 1 1 1 
= 4 + 2 − + − + − +.....+ −   1 3 3 5 5 7 2013 2015   1  2 = 4 + 2 1− = 4 + 2 −  6  D  6    2015  2015
Bài 42. (Đề thi HSG 6 THCS Tiền Hải 2015-2016) 1+ 3 + 5 + .... +19
Tính giá trị biểu thức A = 21+ 23+ 25+....+ 39 Lời giải Ta có:
+)1+ 3+ 5 +....+19 = (1+19) + (3+17) +.....+ (9 +1 ) 1 = 20 + 20 +...+ 20 =100
+) 21+ 23+ 25 +....+ 39 = (21+ 39) + (23+ 27) +...+ (29 + 3 ) 1 = 60 + 60 +...+ 60 = 300 100 1  A = = 300 3
Bài 43. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2019-2020) 1 1 1 1 Tính: A = + + +......+ 4.9 9.14 14.19 64.69 Lời giải 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1  A = + + +.....+ = . − + − +....+ −   4.9 9.14 14.19 64.69 5  4 9 9 14 64 69  1  1 1  13 = . − =   5  4 69  4.69
Bài 44. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 -2019)
Cho A =1− 2 + 3 − 4 +... + 99 −100 62 a) Tính A b)
A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c)
A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? Lời giải a) A = 50 −
b) A 2 cho 5, A không chia hết cho 3
c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
Bài 45. (Đề thi HSG 6 THCS Tân Lập 2018-2019) 2 3 4 20
a) Cho A = 4 + 2 + 2 + 2 + ..... + 2 . Hỏi A có chia hết cho 128 không ? 2 3 2009
b) Cho A = 3 + 3 + 3 + ..... + 3
. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 3 3n A + = Lời giải 21 7 )
a 2A− A = 2 2  A 128
b) Tìm được n = 2010
Bài 46. (Đề thi HSG 6 THCS Hà Huy Tập)
Thực hiện các phép tính
1− 2 + 3− 4 + 5 − 6 + 7 −8 +.... + 2013− 2014 + 2015 Lời giải
1− 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 −8 +..... + 2013 − 2014 + 2015 = (− ) 1 + (− ) 1 + (− ) 1 + (− ) 1 +.......+ (− ) 1 + 2015 = (− ) 1 .1007 + 2015 =1008
Bài 47. (Đề thi HSG 6 THCS Hà Huy Tập ) Chứng minh rằn 1 1 1 1 1 g: + + +.....+  2 2 2 4 6 8 (2n)2 4 Lời giải 1 1 1 1 + + + + (2.2) ...... 2 (2.3)2 (2.4)2 (2n)2 1  1 1 1 1  1  1 1 1  = . + + +....+  .    + +.....+  2 2 2 2  4  2 3 4 n  4 1.2 2.3  (n ) 1 .n  −  1  1  1 = . 1−    4  n  4
Bài 48. (Đề thi HSG 6 2018 - 2019 ) Chứng mi k k k + k +
− k − k k + = k k + nh: Với *ta luôn có: ( ) 1 ( 2) ( ) 1 ( ) 1 3 ( ) 1
Áp dụng tính tổng: S =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ n(n + ) 1 Lời giải 63 Biến đổi: k (k + )
1 (k + 2) − (k − ) 1 k (k + ) 1 = k (k + ) 1 (  k + 2  )−(k − ) 1  = 3  k (k + ) 1 Áp dụng tính: 3.(1.2) = 1.2.3 − 0.1.2 3.(2.3) = 2.3.4 −1.2.3 3.(3.4) = 3.4.5 − 2.3.4 ....................... 3n (n + ) 1 = n (n + )
1 (n + 2) − (n − ) 1 n (n + ) 1 Cộng lại ta có: + + 3 = ( + ) 1 ( + 2) ( ) 1 ( 2)  = n n n S n n n S 3
Bài 49. (Đề thi HSG6 huyện 2019 - 2020 ) Cho 1 2 3 2006
A = 3 + 3 + 3 + ...... + 3 Thu gọn A
Tìm x để 2 + 3 = 3x A Lời giải 1 2 3 2006 2 3 4 2007
a) A = 3 + 3 + 3 + ..... + 3
 3A = 3 + 3 + 3 +.....+ 3 2007 3 − 3 2007  3A − A = 3 − 3  A = 2 2007 3 −3 b) Ta có: x 2007 x 2007 2. + 3 = 3  3 −3+ 3 = 3  3
= 3x x = 2007 2
Bài 50. (Đề thi HSG huyện 2019 - 2020) a) Chứng minh rằng: 2 3 99 100
C = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 + 2 chia hết cho 31
b) Tính tổng C. Tìm x x− để : 2 1 2 − 2 = C Lời giải 2 3 99 100 )
a C = 2 + 2 + 2 +......+ 2 + 2 = 2.( 2 3 4 1+ 2 + 2 + 2 + 2 ) 6 + 2 .( 2 3 4 1+ 2 + 2 + 2 + 2 ) 96 +.....+ 2 .( 2 3 4 1+ 2 + 2 + 2 + 2 ) = 31.( 6 96 2 + 2 + ..... + 2 ) 31 2 3 99 100 )
b C = 2 + 2 + 2 +....+ 2 + 2 2 3 99 100 101
 2C = 2 + 2 +....+ 2 + 2 + 2 101  C + 2 = 2 101 2 x 1 2 2 −  =  2x −1 =101  x = 51
Bài 51. (Đề thi HSG 6 huyện 2018 -2029 ) Thực hiện tính: 1 a A = + ( + ) 1 + ( + + ) 1 ) 1 1 2 1 2 3 + ..... + .(1+ 2 + ....+ 2013) 2 3 2013 1− 3 2 − 4 3 − 5 4 − 6 2011− 2013 2012 − 2014 2013.2014 b) B = + + + +....+ + − 1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014 Lời giải 64 ( + ) 1 1+ 2 + 3 + .... + = n n n 2 1 2.3 1 3.4 1 2013.2014 3 4 2014  A =1+ . + . +.....+ . =1+ + +......+ 2 2 3 2 2013 2 2 2 2 1 1 2 3 2014 1 A + = + + +......+ = .(1+ 2 + 3+.....+ 2014) 2 2 2 2 2 2 1 A = ( + + + + ) 1 . 1 2 3 ..... 2014 − = 1014552 2 2  1 1 1 1 1 1  1 1 B = 2 − + +....+ + + +.....+ − −   1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014  2013 2014 Thấy : 1 1 1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  = − ; = − ;.......; = −       1.3 2 1 3  3.5 2  3 5  2011.2013 2  2011 2013  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  = − ; = − ;......; = −       2.4 2  2 4  4.6 2  4 6  2012.2014 2  2012 2014   1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1
B = − 1− + − +.......+ − + − +......+ − − −    3 3 5 2011 2013 2 4 2012 2014  2013 2014 3 B = − 2
Bài 52. (Đề thi HSG 6 huyện 2016 - 2017 ) Cho 2 3 2006
S = 5 + 5 + 5 + ....... + 5 a) Tính S
b) Chứng minh S chia hết cho 126 Lời giải a) Ta có: 2 3 2007 5S = 5 + 5 + ...... + 5 2007 5 − 5 2007  5S − S = 5 − 5  S = 4 b) S = ( 4 + )+( 2 5 + )+( 3 6 + )+ +( 2003 2006 5 5 5 5 5 5 ..... 5 + 5 )
Biến đổi được: S = ( 2 3 2003 126. 5 + 5 + 5 + ..... + 5 ) 126
Bài 53. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020) Tính:
a) A = 1+ 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ..... + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 2.4.10 + 4.6.8 +14.16.20 = b)B 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30 Lời giải
a) A = 1+ 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + .... + 2013 + 2014 − 2015 − 2016
Tính được số số hạng của A là: (2016 − ) 1 :1+1 = 2016 (số hạng)
Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào 1 nhóm:
A = (1+ 2 −3− 4) + (5 + 6 − 7 −8) +....+ (2013+ 2014 − 2015 − 2016) = 4 − + ( 4 − ) +.....+( 4 − ) = 4 − .504 = 2 − 016 co504so Vậy A = 2016 − 65 2.4.10 + 4.6.8 +14.16.20 8.(1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10) 8 b)B = = = 3.6.5 + 6.9.12 + 21.24.30 27.(1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10) 27 Vậy 8 B = 27
Bài 54. (Đề thi HSG 6 THCS Tam Hưng 2019-2020)
Cho A =1− 5 + 9 −13+17 − 21+.... Biết A = 2013.Hỏi A có bao nhiêu số hạng? Giá trị của số hạng cuối cùng là bao nhiêu ? Lời giải
Số số hạng của A là (2013− ) 1 : 4.2 +1 = 1007  (số hạng)
Số hạng cuối cùng là: (1007 − ) 1 .4 +1 = 4025
Bài 55. (Đề thi HSG 6 THCS Duy Phú 2018-2019) 2 2 2 2 Tính tổng: S = + + +.....+ 1.2 2.3 3.4 99.100 Lời giải 2 2 2 2 2 S = + + +......+ + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100  1 1 1 1 1  = 2. + + +.....+ +   1.2 2.3 3.4 98.99 99.100   1 1 1 1 1  = 2. 1− + − +.....+ −    2 2 3 99 100   1  99 99 = 2. 1− = 2. =    100  100 50
Bài 56. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) Tính tổng 2 2 2 2
S = 1 + 2 + 3 + ...... +100 Lời giải S =1+ 2(1+ ) 1 + 3(2 + ) 1 + 4(3+ ) 1 +.... +100.(99 + ) 1
=1+1.2 + 2 + 2.3+3+3.4 +....+99.100 +100
= (1.2+ 2.3+....+99.100)+(1+ 2+3+.....+100)
Đặt M =1.2 + 2.3+ 3.4 +......+ 99.100 3M =1.2.3+ 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5 − 2) +.....+ 99.100.(101− 98)
3M = 99.100.101 M = 333300
A = 333300 +5050 = 338350
Bài 57. (Đề thi HSG 6)
Tính tổng S =1.2 + 2.3+ 3.4 +.....+ 99.100 Lời giải 66
S =1.2 + 2.3+ 3.4 +..... + 99.100
3S = (1.2 + 2.3+ 3.4 +.....+ 99.100).3
=1.2.3+ 2.3.3+3.4.3+.....+99.100.3 =1.2.3+ 2.3.(4− )
1 + 3.4.(5 − 2) +....+ 99.100.(101−98)
=1.2.3−1.2.3+ 2.3.4− 2.3.4 +3.4.5−....−98.99.100+99.100.101
Bài 58. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Nam 2018 - 2019) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + + + + + +.....+  4 16 36 64 100 144 196 100 00 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 S = + + + + + + + .....+ 4 16 36 64 100 144 196 10000 1 1 1 1 = + + +.....+ 2 2 2 2 2 4 6 100 1  1 1 1  = . 1+ + +.....+   2 2 2 4  2 3 50  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do + +.....+ 1− + − + − + .....+ − 2 2 2 2 3 50 2 2 3 3 4 2499 2500 1 =1− 1 2500 1  S  ( + ) 1 1 1 = 4 2
Bài 59. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) Tính nhanh 1 1 1 1 C = + + +.....+ 10 15 21 120 Lời giải 2 2 2 C = + +....+ 20 30 240  1 1 1  = 2. + +.....+    4.5 5.6 15.16   1 1  3 = 2. − =    4 16  8
Bài 60. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019)
Cho A =1− 2 + 3 − 4 +... + 99 −100 a) Tính A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 67 Lời giải a) A = 50 −
b) A 2 cho 5, A không chia hết cho 3
c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
Bài 61. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2018 - 2019) 2 2 2 2 2 Tính tổng S = + + +......+ + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 Lời giải 2 2 2 2 2 S = + + +.....+ + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100  1 1 1 1 1  = 2. + + +.....+ +   1.2 2.3 3.4 98.99 99.100  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = 2. − + − + − +.....+ − + −   1 2 2 3 3 4 98 99 99 100  1 1  99 99 = 2. − = 2. =   1 100  100 50
Bài 62. (Đề thi HSG 6 huyện Hòa An 2018 - 2019) Cho 2 3 4 2004
S = 5 + 5 + 5 + 5 + ..... + 5 .
Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho 65. Lời giải Có 2 3 4 5 6 + + + + + = ( 3 + ) 2 + ( 3 + ) 3 + ( 3 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 . 1 5 5 1+ 5 ) 2 3 = 5.126 + 5 .126 + 5 .126 2 3 4 5 6
 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 126 S = ( 2 3 4 5 6 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) 6 + 5 ( 2 3 4 5 6
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) + .....+ 1998 5 + ( 2 3 4 5 6 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 )
Tổng trên có 2004 : 6 = 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126. Có: 2 3 4 3 + + + = + + ( 3 5 5 5 5 5 5 5 5 + 5 ) =130 + 5.130 2 3 4
 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 130 2 3 4 4 S = + + + + ( 2 3 4 + + + ) 2000 + + ( 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 . 5 + 5 + 5 + 5 )
Tổng trên có 2004 : 4 = 501số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65
Bài 63. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên ) 1. Cho 2 3 48 49
S = 1+ 3 + 3 + 3 + ..... + 3 + 3
a) Chứng tỏ S chia hết cho 4 68
b) Tìm chữ số tận cùng của S 50 3 −1 c) Chứng tỏ S = 2
2. Cho C =1.2 + 2.3+ 3.4 +.....+ 99.100
a) Tính giá trị của biểu thức C
b) Dùng kết quả câu a, tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2
D = 2 + 4 + 6 + ...... + 98 Lời giải 1. Ta có: S = ( + ) + ( 2 3 + )+ + ( 48 49 1 3 3 3 ...... 3 + 3 ) 2 = + ( + ) 48 4 3 . 1 3 +...... + 3 .(1+ 3) = ( 2 48 4. 1+ 3 + ...... + 3 ) 4 b S = ( 2 3 + + + )+( 4 5 6 7 + + + ) 48 49 ) 1 3 3 3 3 3 3 3 + .... + 3 + 3
Các tổng có 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó có tận cùng bằng 0 Mặt khác 48 49 4.12 48 3 + 3 = 3
+ 3 .3 = ......1+......1.3 = .......4
Vậy S có chữ số tận cùng bằng 4 2 3 48 49 )
c S =1+ 3+ 3 + 3 +......+ 3 + 3 2 3 48 49 50
3S = 3 + 3 + 3 + ....... + 3 + 3 + 3 50
3S − S = 3 −1 50 3 −1 50
2S = 3 −1 S = 2 2.
a)C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 99.100
3C = 3.1.2 + 3.2.3 +.... + 3.99.100
= (1.2.3−0.1.2)+(2.3.4−1.2.3) +....+(99.100.101−98.99.100) = 99.100.101
C = 99.100.101:3 = 36300 )
b C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 99.100 = (1.2+ 2. )
3 + (3.4 + 4.5) +......+ (97.98 + 98.99) + 99.100 = (1+ )
3 .2 + (3+ 5).4 +......+ (97 + 99).98+ 99.100
= 2.2.2+ 2.4.4 +.....+ 2.98.98+9900 2 2 2 2
= 2(2 + 4 +.....+96 +98 )+9900 2 2 2 2
(2 + 4 +.....+96 +98 ) = C −9900 = 36300−9900 = 26400 2 2 2 2
 2 + 4 +.....+ 96 + 98 =13200
Bài 64. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên )
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý 1 1 1 1 1 1 A= + + + +..... + 2 6 12 20 2352 2450 2 3 20
C = 4 + 2 + 2 + .... + 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 A = + + + +.....+ + 2 6 12 20 2352 2450 1 1 1 1 1 = + + +.......+ + 1.2 2.3 3.4 48.49 49.50 69 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1− + − + − +......+ − + − 2 2 3 3 4 48 49 49 50 1 49 =1− = 50 50 2 3 20
C = 4 + 2 + 2 + .... + 2 3 4 21
2C = 8 + 2 + 2 + ..... + 2 21 21
2C − C = 2  C = 2
Bài 65. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên ) 1 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: − + − + −  2 4 8 16 32 64 3 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt A = − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1  2A =1− + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 1 2 −1 1  A+ 2A =1−  3A =
1 A  (ĐPCM) 6 6 2 2 3
S = 99.11.101: 3 = 33.100.101 Bài 66.
(Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2019-2020) a) Cho a,b
nếu 7a + 3b 23 thì 4a + 5b 23 , điều ngược lại có đúng không b) Cho 2 3 1997 1998
S = 3 + 3 + 3 + ..... + 3 + 3
Chứng minh rằng: S 26 Lời giải a)
Vì 6.(7a + 3b) + (4a + 5b) = 46a + 23b = 23(2a + b) 23 Do đó:
Nếu (7a + 3b) 23  4a + 5b 23
Nếu 4a + 5b 23  7a + 3b 23 b)S = ( 2 3 + 3 ) + ( 2 4 3 + 3 ) +.....+ ( 1997 1998 3 + 3 ) =12.( 2 4 1996 1+ 3 + 3 + ..... + 3 ) 2 S = ( 2 3 3 + 3 + 3 ) +.....+ ( 1996 1997 1998 3 + 3 + 3 ) = 39.( 1995 1+ ...... + 3 ) 13 Vì 26 =13.2 và (2;1 ) 3 = 1 S 26 Bài 67.
(Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2015-2016)
Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể) 2 2 2 2 2 B = + + + +.....+ 15 35 63 99 899
C =1.2 + 2.3+... + 99.100 70 Lời giải 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 28 B = + +.....+ = − + − +......+ − = − = 3.5 5.7 29.31 3 5 5 7 29 31 3 31 93 3C =1.2.3+ 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5− 2) +....+ 99.100.(101− 98)
=1.2.3+ 2.3.4 −1.2.3+3.4.5− 2.3.4 +.....+99.100.101−98.99.100 99.100.101 = 99.100.101 C = = 333300 3 Bài 68.
(Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2015-2016) 1 1 1 1 Chứng minh rằng + +......+ + 1 2 2 2 2 2 3 2011 2012 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 + +......+ +  + +.....+ 2 2 2 2 2 3 2011 2012 1.2 2.3 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 = − + − +.....+ − = − = 1 1 2 2 3 2011 2012 1 2012 2012 Bài 69.
(Đề thi Olympic Toán 6 2017-2018)  1   1   1   1   1   1  Tính A = 1− . 1− . 1− . 1− ..... 1− . 1−              4   9   16   25   196   225  Lời giải 3 8 15 24 195 224 1.3 2.4 3.5 4.6 13.15 14.16 A = . . . ......... . = . . . ....... . 4 9 16 25 196 225 2.2 3.3 4.4 5.5 14.14 15.15
(1.2.3.4.......13.14).(3.4.5.6.......15.16) 16 8 = ( = =
2.3.4.....14.15).(2.3.4.......15) 15.2 15 Bài 70.
(Đề thi Olympic Toán 6 2017-2018) 2 3 2009 2010
a) Cho S = 2010 + 2010 + 2010 + .... + 2010 + 2010
Chứng tỏ rằng S chia hết cho 2011
b) Tìm kết quả của phép nhân: B = 33..33 999...9 20chu so 20chu so Lời giải a) Ta có: 2 3 4 9 10
S = 2010 + 2010 + 2010 + 2010 + ....... + 2010 + 2010 = ( + ) 3 + ( + ) 2009 2010 1 2010 2010 1 2010 +......+ 2010 .(1+ 2010) 3 2009
= 2010.2011+ 2010 .2011+....+ 2010 .2011 = ( 3 2009
2011. 2010 + 2010 + ...... + 2010 ) 2011
b)B = 333.....3.999.....9 = 333.....3.( 21 10 − ) 1 20chu so 20chu so 20chu so 71 20
= 333.....3.10 − 333.....3 = 33333....300000...0 − 333.....3 = 333.....32666.....67 20chu so 20chu so 20chu so 20chu so 20chu so 20chu so 19chu so6
Bài 71. (Đề thi HSG 6 huyện Đức Phổ 2018-2019) 1 1 1 1 Tính: A = + + +.....+ 10 15 21 120 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 A = + +....+ = + +......+ + 10 15 120 2.5 5.3 15.7 15.8  1 1   1 1  1  1 1  1  1 1  = + +.....+ + = . + +......+ . +          2.5 5.3  15.7 15.8  5  2 3    15 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + +.....+ = + + .....+ = − + − + ....+ − 6 12 56 2.3 3.4 7.8 2 3 3 4 7 8 1 1 3 = − = 2 8 8 Bài 72.
(Đề thi HSG 6 Trường THCS Nguyễn Khuyến 2017-2018)
a) Chứng minh rằng: M = ( 2 3 2010
2012 + 2012 + 2012 +..... + 2012 ) 2013 4 6 9 7 7 5 3 11 b) Cho A = + + + ; B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A Tính tỉ số B Lời giải 2 3 2010 )
a M = 2012 + 2012 + 2012 +....+ 2012 = ( 2 + )+( 3 4 + )+ +( 2009 2010 2012 2012 2012 2012 ..... 2012 + 2012 ) = ( + ) 3 + ( + ) 2009 2012 1 2012 2012 . 1 2012 +..... + 2012 (1+2012) = ( 3 2009
2013. 2012 + 2012 + ..... + 2012 ) 2013 M 2013 4 6 9 7 b) A = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 1 4 6 9 7 Nên A = + + + 5 35.31 35.41 50.41 50.57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 26 = − + − + − + − = − = 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 1767 7 5 3 11 B = + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 72 1 7 5 3 11 Nên B = + + + 2 38.31 38.43 46.43 46.57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − = − 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57 1 1 A 5 Do đó A = B  = 5 2 B 2 Bài 73.
(Đề thi HSG 6 Năm 2019-2020)
Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: a) 2
1.2.3...9 −1.2.3....8 −1.2.3....7.8
b) 13−12 +11+10 −9 +8 − 7 − 6 + 5 − 4 + 3+ 2 −1 Lời giải 2 )
a 1.2.3....9 −1.2.3...7.8 −1.2.3...7.8 =1.2.3...7.8.(9 −1−8) =1.2.3...7.8...0 = 0 )
b 13 −12 +11+10 − 9 + 8 − 7 − 6 + 5 − 4 + 3 + 2 −1
=13−(12−11−10+9)+(8−7 −6+5)−(4−3−2− ) 1 =13 Bài 74.
(Đề thi HSG 6 Huyện Lương Tài 2015-2016)
M có là một số chính phương không , nếu:
M =1+ 3 + 5 +..... + (2n − )
1 (với n  , n  0) Lời giải
M = 1+ 3 + 5 +... + (2n − )
1 (n , n  0)
Tính số số hạng: (2n −1− ) 1 : 2 +1 = n
Tính tổng: = ( n − + ) 2 2 2
1 1 .n : 2 = 2n : 2 = n
Vậy M là số chính phương.
Bài 75. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019) 1 1 1 1 1
Tính giá trị của biểu thức A = 1+ + + + +......+ 3 6 10 15 120 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 15 15 A = + + +.......+  A = 1− =  A = 2 1.2 2.3 3.4 15.16 2 16 16 8
Bài 76. (Đề HSG Toán 6 huyện Tam Đảo 2019-2020)
Cho dãy số 6;7;9;12;16;.... Hỏi số hạng thứ 61 của dãy là số nào ? Lời giải Ta có: 73 6 = 6 7 = 6 +1 9 = 6 + (1+ 2) 12 = 6 + (1+ 2 + 3) 16 = 6 + (1+ 2 + 3 + 4)
Do đó số hạng thứ 61 là: 6 + (1+ 2 + 3+.....+ 60) =1836
Bài 77. (Đề HSG Toán 6 huyện Thanh Oai) Cho 2 3 98 99
S = 1− 3 + 3 − 3 + ....... + 3 − 3 a)
Chứng minh rằng S là bội của 20 − b) Tính S, từ đó suy ra 100 3 chia cho 4 dư 1. Lời giải 2 3 98 99 )
a S =1−3+ 3 −3 +......+ 3 −3 = ( 2 3 − + − )+( 4 5 6 7 − + − )+ + ( 96 97 98 99 1 3 3 3 3 3 3 3 ...... 3 − 3 + 3 − 3 ) = (− ) 4 + (− ) 96 20 3 . 20 +.....+ 3 .( 2 − 0) − 20  S − 20 2 3 98 99 )
b S =1−3+ 3 −3 +......+ 3 −3 2 3 4 99 100
3S = 3 − 3 + 3 − 3 + ..... + 3 − 3 100 1− 3  4S = 4 S là một số nguyên nên 100 100 100 1− 3 4  3
−1 4  3 chia cho 4 dư 1.
Bài 78. (Đề HSG Toán 6 huyện Tam Kỳ) Cho 50 48 46 44 6 4 2
A = 5 − 5 + 5 − 5 + ..... + 5 − 5 + 5 −1 a) Tính A b)
Tìm số tự nhiên n biết 26 1 5n A + = c)
Tìm số dư trong phép chia A cho 100. Lời giải 50 48 46 44 6 4 2 )
a A = 5 −5 + 5 −5 +....+ 5 −5 + 5 −1 2  A = ( 50 48 46 44 6 4 2 25
5 5 − 5 + 5 − 5 + .... + 5 − 5 + 5 − ) 1 52 50 48 46 8 6 4 2
= 5 −5 + 5 −5 +.....+ 5 −5 + 5 −5 52 52
 25A+ A = 5 −1 26A = 5 −1 52 5 −1  A = 26 b) Ta có: 26 1 5n A + = mà 52 26A = 5 −1 nên 52
5 −1+1 = 5n n = 52 c) Ta có: 50 48 46 44 6 4 2
A = 5 − 5 + 5 − 5 + .... + 5 − 5 + 5 −1(có 26 số hạng) = ( 50 48 − )+( 46 44 − )+ +( 6 4 − ) 2 5 5 5 5 .... 5 5 + 5 −1 = ( 50 48 − )+( 46 44 − )+ +( 6 4 − )+( 2 5 5 5 5 .... 5 5 5 − ) 1 48 = ( 2 − ) 44 + ( 2 − ) 4 + + ( 2 − )+( 2 5 . 5 1 5 . 5 1 ..... 5 . 5 1 5 − ) 1 48 44 4
= 5 .24 + 5 .24 +......+ 5 .24 + 24 46 42 2
= 5 .25.24 + 5 .25.24 +.....+ 5 .25.24 + 24 46 42 2 = + + + + = ( 46 42 2
5 .600 5 .600 ....... 5 .600 24
6.100. 5 + 5 +..... + 5 ) + 24 74
Suy ra A chia cho 100 dư 24.
Bài 79. (Đề HSG Toán 6 huyện Giao Thủy 2018 - 2019) 1.
Tính tổng : A =1.2 + 2.3+ 3.4 +....+ 98.99 1 1 1 1 2. Cho biểu thức B = + + +......+ 2 2 2 2 5 6 7 100 1 1 Chứng tỏ rằng  B  6 4 Lời giải
1)3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ..... + 98.99.3 =1.2.3+ 2.3.(4− )
1 + 3.4.(5− 2) +.....+ 98.99.(100 −97)
=1.2.3+ 2.3.4−1.2.3+ 3.4.5− 2.3.4+......+ 98.99.100−97.98.99
= 98.99.100  A = 98.99.100:3 = 323400 1 1 1 1 2. B = + + +......+ 2 2 2 2 5 6 7 100 1 1 1  B  + +.....+ 4.5 5.6 99.100 1 1 1 1 1 1 B  − + − +.....+ − 4 5 5 6 99 1 00 1 1 1 B  −  (1) 4 100 4 1 1 1 B  + +....+ 5.6 6.7 100.101 1 1 1 1 1 1 B  − + − +....+ − 5 6 6 7 100 101 1 1 96 96 1 1 B  − =  =  B  (2) 5 101 505 576 6 6 Từ (1) (2)  1 1  B  6 4
Bài 80. (Đề HSG Toán 6 trường)
1) Rút gọn các biểu thức sau: 2 3 4 2015 2016
M = 3 − 3 + 3 − 3 + ...... + 3 − 3 1 1 1 1 3 2) Chứng tỏ rằng: + +......+ +  2 2 2 2 2 3 99 100 4 Lời giải 2 3 4 2015 2016
1) M = 3−3 + 3 −3 +......+ 3 −3 2017 3 − 3 2 3 4 2016 2017 2017
3M = 3 − 3 + 3 −...... + 3 −3
 3M + M = 3−3  M = 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2) + +......+ +  + + +......+ + 2 2 2 2 2 3 99 100 4 2.3 3.4 98.99 99.100 75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 = + − + − +.....+ − = + − = −  4 2 3 3 4 99 100 4 2 100 4 100 4 1 1 1 1 3  + +......+ +  2 2 2 2 2 3 99 100 4
Bài 81. (Đề HSG Toán 6 trường) Cho 2 3 48 49 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4 ; B = 4 Chứng minh rằng: B A  3 Lời giải A = ( 2 3 98 99 + + + + + + ) 2 3 99 100 4 4. 1 4 4 4 ...... 4 4 = 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4 100 4 −1 100 4A − A = 4 −1 A = 3 100 100 4 −1 4 B Vì 100 100 4 −1 4    A  3 3 3
Bài 82. (Đề thi HSG Toán 6 trường Trần Phú 2018 - 2019) Cho 2 3 4 2017 2018
M = 2 + 2 + 2 + 2 + ...... + 2 + 2 a) Tính M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 Lời giải 2 3 4 2018 2019
a) Ta có 2M = 2 + 2 + 2 + ...... + 2 + 2 Lấy 2019 2M − M = 2 − 2 . Vậy 2019 M = 2 − 2 b M = ( 2 + )+( 3 4 + )+( 5 6 + )+ + ( 2017 2018 ) 2 2 2 2 2 2 ...... 2 + 2 ) M = ( + ) 3 + ( + ) 5 2017 2 1 2
2 . 1 2 + 2 .(1+ 2) +....... + 2 .(1+ 2) M = ( 3 5 2017 3. 2 + 2 + 2 + ...... + 2 ) Vậy M 3
Bài 83. ( Đề thi HSG 6 Liên Châu 2018 – 2019 ) Cho tổng 2 4 6 2006
A = 1+ 3 + 3 + 3 + ......+ 3 . Tính 2008 8A - 3 Lời giải ( 2 4 2006 ) 3 5 2007
3A= 3 1+ 3 + 3 + .....+ 3 = 3 + 3 + 3 + .....+ 3 2 3 2006 2007
3A+ A= 4A=1+3+3 +3 +.....+3 +3  ( 2 3 2006 2007
12 A = 3. 1 + 3 + 3 + 3 + ..... + 3 + 3 ) 2 3 2006 2007 2008 = 3+3 +3 +.....+3 +3 +3 2008
12A − 4A = 8A = 3 −1 76 2008 2008 2008 8A−3 = 3 −1−3 = 1 −
Bài 84. (Đề thi HSG 6 Huyện Vĩnh Tường 2019 – 2020 ) 2 2009
a) Chứng minh rằng: A = 1+ 2 + 2 + ...... + 2 3
b) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2010 Lời giải 2 3 2009
a) A = 1 + 2 + 2 + 2 + .... + 2 = (1+ 2) 2 + 2 (1+ 2) 2008 + ..... + 2 .(1+ 2) 3
b) Xét 2011số: 2;22;222;.....;222....2 số cuối cùng có 2011 chữ số 2. Các số này khi chia cho
2010 ta được 2011 số dư.Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2010 chỉ có thể có số dư là:
0;1;2;.....;2009 có 2010 khả năng dư. Do đó theo nguyên lý Dirichle tồn tại hai số trong các số
trên có cùng số dư khi chia cho 2010. Hiệu của chúng có dạng 222...2000....0 chia hêt cho 2010
Bài 85. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019 – 2020 ) Chứng minh rằng:  1 1 1 1   1 1 1 1  + + +......+ : + + +.....+ =1      51 52 53 100  1.2 3.4 5.6 99.100  Lời giải  1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 + + +......+ = − + − + − +......+ −   1.2 3.4 5.6 99.100  1 2 3 4 5 6 99 100 1 1 1  1 1 1 1  =1+ + +....+ − 2 + + +.....+   2 3 100  2 4 6 100  1 1 1 1 1 1 1  =1+ + +....+ − + + +.....+   2 3 100 1 2 3 50  1 1 1 1 = + + +.....+ 51 52 53 100  1 1 1 1   1 1 1 1   + + +.....+ : + + +......+ =1      51 52 53 100  1.2 3.4 5.6 99.100 
Bài 86. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Nghi Phú 2018 – 2019 ) 2 2 2 2 a)Tính tổng: S = + + + .....+ 1.2 2.3 3.4 99.100 b)Chứng minh rằng: ( 2 3 4 100 3 + 3 + 3 + 3 + ...... + 3 ) 40 Lời giải 2 2 2 2 2 a) S = + + +......+ + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100  1 1 1 1 1  = 2. + + +.....+ +   1.2 2.3 3.4 98.99 99.100   1 1 1 1 1  = 2. + + +.....+ +   1.2 2.3 3.4 98.99 99.100   1  99 99 = 2. 1− = 2. =    100  100 50 77 b) A = ( 2 3 4 100 3 + 3 + 3 + 3 + ...... + 3 ) 2 3 97 2 3 3 1 3 3 3 ... 3 1 3 3 3 97 3.40 ... 3 .40 40  ( 2 3 4 100 3 + 3 + 3 + 3 + ...... + 3 ) 40
Bài 87. (Đề thi HSG 6 ) 1 1 1 1 1 Cho A = + + +.....+ + 2 3 4 308 309 308 307 306 3 2 1 B = + + +.....+ + + 1 2 3 306 307 308 A Tính B Lời giải 308 307 306 3 2 1 B = + + +......+ + + 1 2 3 306 307 308  307   306   2   1  = 1+ + 1+ +.....+ 1+ + 1+ +1          2   3   307   308  309 309 309 309 309 309 = + + +.....+ + + 2 3 4 307 308 309  1 1 1 1 1  = 309. + + +......+ +    2 3 4 308 309  B = 309A A 1  = B 309
Bài 88. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường )
Tìm x biết: 1+ 5 + 9 +13 +17 + ...... + x = 501501 Lời giải
Ta có: 5 = 2 + 3;9 = 4 + 5;13 = 6 + 7;17 = 8 + 9
Do vậy x = a + (a + ) 1 (a  )
Nên: 1+ 5 + 9 +13 +16 + ..... + x = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ..... + a + (a +1) = 501501 Hay (a + ) 1 (a +1+ ) 1 : 2 = 501501 (a+ )
1 (a + 2) =1003002 =1001.1002
a =1000  x =1000 + (1000+ ) 1 = 2001
Bài 89. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường 2019- 2020 ) Tìm x biết x + ( x + )
1 + ( x + 2) +....+ ( x + 30) =1240 Lời giải 78 x + ( x + )
1 + ( x + 2) +....+ ( x + 30) =1240
 (x + x + x +...+ x) +(1+ 2+....+30) =1240 31..s .
o ..hang..x  31x =1240−31.15 775  x = = 25 31
Bài 90. ( HSG 6 Cấp Trường 2019- 2020 ) Cho 2 3 4 2004
S = 5 + 5 + 5 + 5 + ..... + 5
. Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho 65. Lời giải Có 2 3 4 5 6 + + + + + = ( 3 + ) 2 + ( 3 + ) 3 + ( 3 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 . 1 5 5 1+ 5 ) 2 3 = 5.126 + 5 .126 + 5 .126 2 3 4 5 6
 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 126 S = ( 2 3 4 5 6 + + + + + ) 6 + ( 2 3 4 5 6 + + + + + ) 1998 + + ( 2 3 4 5 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) Tổn
g trên có 2004 : 6 = 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126. Có: 2 3 4 3 + + + = + + ( 3 5 5 5 5 5 5 5 5 + 5 ) =130 + 5.130 2 3 4
 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 130 2 3 4 4 S = + + + + ( 2 3 4 + + + ) 2000 + + ( 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 . 5 + 5 + 5 + 5 )
Tổng trên có 2004 : 4 = 501số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65
Bài 91. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường 2019- 2020 )
Tìm số tự nhiên x, biết:
a)x + ( x + )
1 + ( x + 2) +....+ ( x + 2010) = 2029099 )
b 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + 2x = 210 Lời giải
a)x + ( x + )
1 + ( x + 2) +....+ ( x + 2010) = 2029099
 2011x +1+ 2+.....+ 2010 = 2029099 2010.2011  2011x + = 2029099 2 2010.2011  2011x = 2029099 − 2  2010.2011  x = 2029099 − : 2011 = 4    2  )
b 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + 2x = 210 ( +  + + + + x) x ( x ) 1 2 1 2 3 ... = 210  2. = 210 2  x(x + ) 1 = 210 =14.15  x =14 79
Bài 92. ( Đề thi HSG 6 Cấp Trường 2018- 2019 )
Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − a) A = + + + + + 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 b)B = + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Lời giải 1 − 1 − 1 − 1 −  1 1 1 1  a)A = + + +....+ = − + + +.....+   20 30 42 90  4.5 5.6 6.7 9.10   1 1 1 1 1 1 1   1 1  3 = − − + − + +....+ − = − − = −      4 5 5 6 7 9 10   4 10  20 5 4 3 1 13 b)B = + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4  5 4 3 1 13  =  1 1  13 7. + + + +   = 7. − =  
 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28   2 28  4
Bài 93. (Đề thi HSG 6 2018-2019) 1 2 3 n 11 1 Cho A = + + + .....+ + .....+ n .Chứng minh A  2 3 4 n 1 + 12 ( ) 5 5 5 5 5 16 Lời giải 1 2 n 11 Xét 5A = + + ....... + + ......  2 n 11 5 5 5 5  1 2 n 11 
4 A = 5A − A = + + ....... + + ......   2 n 11  5 5 5 5   1 2 3 n 11  − + + + ..... + + ..... +   2 3 4 n 1 + 12  5 5 5 5 5  1 1 1 1 1 11 4A = + + + ...... + + .... + − 2 3 n 11 12 5 5 5 5 5 5 11 1 1 1 1 1 4A = B − vs B = + + + ......+ + ....+ 2 2 3 n 11 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1  5B =1+ + + + .....+ + .....+ 2 3 n 1 − 10 5 5 5 5 5  1 1 1 1 1 
 4B = 5B − B = 1+ + + + ..... + + .....+   2 3 n 1 − 10  5 5 5 5 5   1 1 1 1 1  − 1+ + + + ..... + + ..... +   2 3 n 1 − 11  5 5 5 5 5  11 1 5 −1  4B =1−  B = 11 11 5 4.5 11 12 5 −1 11 5 − 49  4A = − = 11 12 12 4.5 5 4.5 80
Bài 94. (Đề thi HSG 6 2017-2018) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) − + − + −  2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − + − + ...... + −  2 2 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A = − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1  2A =1− + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 1 2 −1
 2A + A = 3A =1− = 1 6 6 2 2 1
 3A 1 A  3 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A = − + − + .....+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 99 100  3A =1− − + − + ......+ − 2 3 4 98 99 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100  4A =1− + − + ......+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4A 1− + − + ...... + − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B =1− + − + .....+ −  3B = 2 + − + ....+ − 2 3 98 99 2 97 98 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3
4B = B + 3B = 3 −  3  B  (2) 99 3 4 3 3
Từ (1) và (2)  4A B   A  4 16
Bài 95. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020)  1 1 1 1  119 Tìm x biết: + + + ..... + .x =   1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10  720 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 + + + .....+ 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 1  1 1 1 1 1 1  = . − + − + .... + −   3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10  1  1 1  1 119 = . − = .   3  6 720  3 720 81 1 119 119 Nên từ đề suy ra : . .x =  x = 3 3 720 720 Vậy x = 3.
Bài 96. (Đề thi HSG 6 THCS Hồng Dương 2019-2020)  1  1  1  1   1 
Tính giá trị biểu thức P = 1 − 1 − 1 − 1 − ... 1 −         3  6  10  15   190  Lời giải 2 5 9 14 189 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 P = . . . .......
, ta tìm quy luật các mẫu: ; ; ; ;......; 3 6 10 15 190 2 2 2 2 2 Thay vào P ta được: 2.2 2.5 9.2 14.2. 2.189 1.4 2.5 3.6 4.7 18.21 P = . . . ....... = . . . ...... 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 2.3 3.4 4.5 5.6 19.20 1.2.3.4....18.(4.5.6.7...2 ) 1 1 21 7 = ( ) = . = 2.3.4.5....19. 3.4.5.6.....20 19 3 19
Bài 97. (Đề thi HSG 6 THCS Mỹ Hưng 2018-2019) Cho 2 3 4 2004
S = 5 + 5 + 5 + 5 + ..... + 5 .
Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho 65. Lời giải Có 2 3 4 5 6 + + + + + = ( 3 + ) 2 + ( 3 + ) 3 + ( 3 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 . 1 5 5 1+ 5 ) 2 3 = 5.126 + 5 .126 + 5 .126 2 3 4 5 6
 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 126 S = ( 2 3 4 5 6 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) 6 + 5 ( 2 3 4 5 6
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) + .....+ 1998 5 + ( 2 3 4 5 6 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 )
Tổng trên có 2004 : 6 = 334số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126. Có: 2 3 4 3 + + + = + + ( 3 5 5 5 5 5 5 5 5 + 5 ) =130 + 5.130 2 3 4
 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 130 2 3 4 4 S = + + + + ( 2 3 4 + + + ) 2000 + + ( 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ..... 5 . 5 + 5 + 5 + 5 )
Tổng trên có 2004: 4 = 501số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65
Bài 98. (Đề thi HSG 6 THCS Mỹ Hưng 2018-2019)
Tìm số tự nhiên x, biết: a) x + ( x + )
1 + ( x + 2) +....+ ( x + 2010) = 2029099
b) 2 + 4 + 6 + 8 +..... + 2x = 210 Lời giải
a)  2011x +1+ 2 +..... + 2010 = 2029099 2010.2011  2011x + = 2029099 2 2010.2011  2011x = 2029099 − 2  2010.2011  x = 2029099 − : 2011 = 4    2  82 x x + b)  ( + + + + x) ( ) 1 2 1 2 3 ... = 210  2. = 210 2  x(x + ) 1 = 210 =14.15 x =14
Bài 99. (Đề thi HSG 6) Cho 2 3 4 100
C = 3 + 3 + 3 + 3 + ..... + 3 . Chứng tỏ C chia hết cho 40 Lời giải C = ( 2 3 4 + + + )+ + ( 97 98 99 100 3 3 3 3 ....... 3 + 3 + 3 + 3 ) = ( 2 3 + + + ) 97 + + ( 2 3 3 1 3 3 3 ....... 3 . 1+ 3 + 3 + 3 ) = ( 5 9 97
40. 3 + 3 + 3 + ...... + 3 ) 40 Bài 100. (Đề thi HSG 6)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a ,a ,.....,a .Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng 1 2 10
một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10. Lời giải Lập dãy số Đặt B = a 1 1 B = a + a 2 1 2
B = a + a + a 3 1 2 3 ..........................
B = a + a + ..... + a 10 1 2 10
Nếu tồn tại B (i =1, 2,3....10 nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh i )
Nếu không tồn tại B nào chia hết cho 10 ta làm như sau: i
Ta đem B chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư 1,2,3,..., 
9 ). Theo nguyên tắc Dirichle, phải i
có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số B − B chia hết cho 10 (m n) m n Bài 101. (Đề thi HSG 6) Tính nhanh 2 2 2 2 3 3 3 3 a) A ..... 1.4 4.7 7.10 97.100 2 2 2 2 2 2 b) B 20 30 42 56 72 90 Lời giải a) Ta có: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 A ..... 3. .... 1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100 83 1 1 1 1 1 1 99 297 3. .... 3. 1 4 4 7 97 100 100 100 b) Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B 2 20 30 42 56 72 90 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2. 2. 4 5 5 6 8 9 9 10 4 10 10 Bài 102.
(Đề thi HSG 6 THCS Hồng Lĩnh 2017-2018) 1 1 1 1 Tính tổng: A ...... 2 3 100 3 3 3 3 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Ta có: 3A A 1 ..... ..... 2 99 2 100 3 3 3 3 3 3 100 1 3 1 2A 1 A 100 100 3 2.3 Bài 103. (Đề thi HSG 6) Tính: 5 5 5 A .... 11.16 16.21 61.66 1 1 1 1 1 1 B 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1 C .... .... 1.2 2.3 1980.1990 2006.2007 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 5 A ..... 11 16 16 21 61 66 11 66 66 1 1 1 1 1 1 6 B 1 ..... 1 2 2 3 6 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2006 C 1 ..... .... 1 2 2 3 1989 1990 2006 2007 2007 2007 Bài 104. (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) ...... 2 2 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải 84 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2A 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 1 2 1 1 2A A 3A 1 1 3A 1 A 6 6 2 2 3 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A ..... 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 99 100 3A 1 ...... 2 3 4 98 99 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100 4A 1 ...... 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 4A 1 ...... (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B 1 ..... 3B 2 .... 2 3 98 99 2 97 98 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 4B B 3B 3 3 B (2) 99 3 4 3 3 Từ (1) và (2) 4A B A . 4 16 Bài 105.
(Đề thi HSG 6 huyện Nga Sơn 2018-2019) 1 1 1 1 1 a) Cho A = + + + +.....+
. Chứng minh: A  2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 50 b) Cho 1 2 3 30
B = 2 + 2 + 2 + ...... + 2 . Chứng minh rằng B chia hết cho 21. Lời giải 1 1 1 a) Ta có:  =1− 2 2 1.2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = − ;  = − ......;  = − 2 2 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 50 49.50 49 50 Vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = + + + +....+  + + + + .....+ 2 2 2 2 2 1 2 3 4 50 1 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 1 1 99 =1+ − + − +...+ − = 1+1− =  2 1 2 2 3 49 50 50 50 b) 1 2 3 30
B = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 Ta có: 1 2 3 30
B = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 = ( 1 2 + )+( 3 4 + )+ +( 29 30 + ) = ( + ) 3 + ( + ) 29 2 2 2 2 .... 2 2 2. 1 2 2 . 1 2 + ..... + 2 .(1+ 2) = ( 3 29
3. 2 + 2 + .... + 2 )  B 3 (1) Ta có: 1 2 3 30
B = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 = ( 1 2 3 + + )+( 4 5 6 + + )+ +( 28 29 30 2 2 2 2 2 2 .... 2 + 2 + 2 ) = ( 2 + + ) 4 + ( 2 + + ) 28 + + ( 2 2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ... 2 . 1+ 2 + 2 ) 85 = ( 4 28
7. 2 + 2 + .... + 2 )  B 7 (2)
Mà 3 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B 3.7 hay B 21 Bài 106.
(Đề thi HSG 6 cấp trường 2018-2019) Cho 2 3 98 99 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +.....+ 4 + 4 , B = 4 Chứng minh rằng: B A  . 3 Lời giải A = ( 2 3 4 98 99 4
4. 1+ 4 + 4 + 4 + 4 + .....4 + 4 ) 2 3 4 98 99 100
= 4 + 4 + 4 + 4 +.....4 + 4 + 4 100 4 −1 100
 4A− A = 4 −1 A = 3 100 100 4 −1 4 Vì 100 100 4 −1 4   3 3 Vậy B A  3 Bài 107.
(Đề thi HSG toán 6 cấp trường 2018-2019) Cho 2 3 48 49
S = 1+ 3 + 3 + 3 + ..... + 3 + 3
a) Chứng tỏ S chia hết cho 4
b) Tìm chữ số tận cùng của S 50 − c) Chứng tỏ 3 1 S = 2 Lời giải a) Ta có: S = ( + ) + ( 2 3 + )+ +( 48 49 + ) 2 = + ( + ) 48 1 3 3 3 ..... 3 3 4 3 . 3 1 + ..... + 3 (1+ 3) 2 48 = + + + 4.(1 3 ...... 3 ) 4 b S = ( 2 3 + + + )+( 4 5 6 7 + + + )+ +( 44 45 46 47 + + + ) 48 49 ) 1 3 3 3 3 3 3 3 ..... 3 3 3 3 + 3 + 3
Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó tận cùng bằng 0 Mặt khác: 48 49 4.12 48 3 + 3 = 3
+ 3 .3 = ....1+....1.3 = ....4
Vậy S có tận cùng bằng 4 2 48 49 2 3 49 50 )
c S =1+ 3+ 3 +.....+ 3 + 3  3S = 3+ 3 + 3 +.....+ 3 + 3 50 3 −1 50
 3S − S = 3 −1 S = 2 Bài 108.
(Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2018-2019)
Chứng minh rằng: A = ( 2018 2017 2 75. 4 + 4
+....+ 4 + 5) chia hết cho 2019 4 Lời giải 2018 2017 2 2018 2017 2 M = 4 + 4 +.....+ 4 + 5 = 4 + 4 +.....+ 4 + 4 +1 M = ( 2018 2017 2 + + + + + ) 2019 2018 3 2 4 4. 4 4 ..... 4 4 1 = 4 + 4 +......+ 4 + 4 + 4 2019 4 −1 2019 4M − M = 4 −1 M = 3 2019 2019  = − + = − + A 75.(4 )1:3 25 25.(4 )1 25 2019 2019 2019 = 25.4 − 25 + 25 = 25.4 4 86 Bài 109.
(Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2018-2019) Chứng minh rằng 1 2 3 4 99 100 3 A = − + − +......+ −  2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 A = − + − +......+ −  3A =1− + − +......+ − 2 3 4 99 100 2 3 98 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100  4A =1− + − +.....+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4A 1− + − +.....+ − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 3
4B = B + 3B = 3 −  3  B  (2) 99 3 4 3 3
Tu (1), (2)  4 A B   A 4 16 1 1 1 1 1 B = 1− + − +.....+ − Đặt: 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  3B = 2 + − + +.......+ − 2 3 97 98 3 3 3 3 3 Bài 110.
(Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2018-2019) Cho 2012 2012 A = 2012 + 2 và 2012 B = 2012
a) Chứng tỏ rằng khi biểu diễn ,
A B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và số chữ số của B là bằng nhau b) Ký hiệu (
S là tổng các chữ số của số tự nhiên n n) Tìm n sao cho 2 (
S ) = n − 2013n + 6 n Lời giải a) Giả sử số 2012 B = 2012
khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có: 2012 2012 n n 6036 1000  2012 10 10 10  n  6036 Giả sử khi số 2012 2012 A = 2012 + 2
biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A có nhiều hơn n chữ số, tức
là A ít nhất có n +1chữ số, suy ra: 2012 2012 n 2012 n 2012 2012 2012 + 2 10  2012 10  2012 + 2 2012 2012 2012 n−2012 n 2012    ( 2012 2 .1006 2 .2 .5 2 . 1006 + ) 1 , do n  6036 2012 n−2012 n 2012 1006  2 .5  1006 +1 n−2012 n 2012  2 .5 = 1006
+1.Điều này là vô lý vì 2012 1006
+1là số lẻ, còn n−2012 2 .5n là số chẵn
Do đó số chữ số của A không nhiều hơn số chữ số của B  dfcm
b) Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân, ta có: m m 1
n = a .10 + a
.10 − +....+ a .10 + a (với a là các chữ số, i = 0,1, 2,..., ; m m  ) m m 1 − 1 0 i
n a + a +....+ a + a m m 1 − 1 0  n  (Sn) 2
n − 2013n + 6  n 2
n + 6  2014n 6
n +  2014  n  2014 (1) n 2 Mà (
S )  0  n − 2013n + 6  0 n 87 6 2
n + 6  2013n n +  2013  n  2013 (2) n
Từ (1) và (2) suy ra n = 2013
Thử với n = 2013 ta có : 2 ( S
) = 2013 − 2013.2013+ 6 = 6 (thỏa mãn) 2013
Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013. Bài 111.
(Đề thi HSG 6 huyện Thạch Thành 2018-2019) 1 1 1 1 Cho A = + + +....+ . 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1+ 3 + 5 + 7 + ... + 2017 3 Chứng minh A  4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A = + + +....+ 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1+ 3 + 5 + 7 + ... + 2017 1 1 1 1
A = ( + ) + ( + ) + ( + ) +.....+ 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 (1+ 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + +.....+ = + + +....+ 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1  1 1 1  A  + + +......+   2.2  2.3 3.4 1008.1009  1  1 1 1 1 1 1  A  + − + − +.....+ −   4  2 3 3 4 1008 1009  1  1 1  1 1 3 A  + −
A  +  A    4  2 1009  4 2 4 Bài 112.
(Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019)
a) Tính tổng : A =1.2 + 2.3+ 3.4 +....+ 98.99 1 1 1 1 B = + + +......+ b) Cho biểu thức 2 2 2 2 5 6 7 100 1 1 Chứng tỏ rằng  B  6 4 Lời giải
a)3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ..... + 98.99.3 =1.2.3+ 2.3.(4− )
1 + 3.4.(5− 2) +.....+ 98.99.(100 −97)
=1.2.3+ 2.3.4−1.2.3+ 3.4.5− 2.3.4+......+ 98.99.100−97.98.99 = 98.99.100
A = 98.99.100:3 = 323400 1 1 1 1 b) B = + + +......+ 2 2 2 2 5 6 7 100 1 1 1  B  + +.....+ 4.5 5.6 99.100 88 1 1 1 1 1 1 B  − + − +.....+ − 4 5 5 6 99 100 1 1 1 B  −  (1) 4 100 4 1 1 1 B  + +....+ 5.6 6.7 100.101 1 1 1 1 1 1 B  − + − +....+ − 5 6 6 7 100 101 1 1 96 96 1 1 B  − =  =  B  (2) 5 101 505 576 6 6 Từ (1) (2)  1 1  B  6 4 Bài 113.
(Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019) Cho 2 3 48 49 100
A =1+ 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4 ; B = 4 Chứng minh rằng: B A  3 Lời giải A = ( 2 3 98 99 + + + + + + ) 2 3 99 100 4 4. 1 4 4 4 ...... 4 4 = 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4 100 4 −1 100 4A − A = 4 −1 A = 3 100 100 4 −1 4 B Vì 100 100 4 −1 4    A  3 3 3 Bài 114.
(Đề thi HSG 6 trường Trần Phú 2018-2019) Cho 2 3 4 2017 2018
M = 2 + 2 + 2 + 2 + ...... + 2 + 2 a) Tính M b)
Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 Lời giải a) Ta có 2 3 4 2018 2019
2M = 2 + 2 + 2 + ...... + 2 + 2 Lấy 2019 2M − M = 2 − 2 . Vậy 2019 M = 2 − 2 b) M = ( 2 + )+( 3 4 + )+( 5 6 + )+ + ( 2017 2018 2 2 2 2 2 2 ...... 2 + 2 ) M = ( + ) 3 + ( + ) 5 2017 2 1 2
2 . 1 2 + 2 .(1+ 2) +....... + 2 .(1+ 2) M = ( 3 5 2017 3. 2 + 2 + 2 + ...... + 2 ) Vậy M 3 Bài 115.
(Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Chứng minh rằng: 2 2009 A = 1+ 2 + 2 + ...... + 2 3 Lời giải 89 2 3 2009 = + + + + + = ( + ) 2 + ( + ) 2008 A 1 2 2 2 .... 2 1 2 2 1 2 +..... + 2 .(1+ 2) 3 Bài 116.
( Đề thi HSG 6 huyện Nga Sơn 2016-2017)
Không sử dụng máy tính hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 A = 2 + 4 + 6 + ..... + 98 Lời giải 2 2 2 2 A = 2 + 4 + 6 + ..... + 98 = ( 2 2 2 2 2A 2. 2 + 4 + ..... + 96 + 98 )
= 2.2.2+ 2.4.4 +....+ 2.98.98 = (1+ )
3 .2 + (3+ 5).4 +.....+ (97 +99).98
=1.2 + 2.3+3.4 + 4.5+.....+97.98+98.99 6A = 3.1.2 + 3.2.3+..... + 3. 98.99
=1.2.3−0.1.2+ 2.3.4−1.2.3+.....+ − 98.99.100 97.98.99
= 98.99.100  A = 98.99.100: 6 =167100 Bài 117.
( Đề thi HSG 6 huyện Nga Sơn 2016-2017) 1 1 1 3 4 Cho tổng S = + +......+ .   Chứng minh S 31 32 60 5 5 Lời giải  1 1 1   1 1 1   1 1 1  *)S = + +.....+ + + +.....+ + + +....+        31 32 40   41 42 50   51 52 60   1 1 1   1 1 1   1 1 1   S  + +....+ + + +.....+ + + +.....+        30 30 30   40 40 40   50 50 50  10 10 10 47 48 4  S  + +  S    S  (1) 30 40 50 60 60 5  1 1 1   1 1 1   1 1 1  *)S  + +.....+ + + +.....+ + + +....+        40 40 40   50 50 50   60 60 60  10 10 10 37 36 3  S  + +  S    S  (2) 40 50 60 60 60 5
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Bài 118.
( Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Lộc 2017-2018) 2 3 4 2016 2017 Cho tổng T = + + +........+ + . So sánh T với 3 1 2 3 2015 2016 2 2 2 2 2 Lời giải 2 3 4 2016 2017 T = + + +......+ + 1 2 3 2015 2016 2 2 2 2 2 3 4 2016 2017 2T = 2 + + +......+ + 1 2 2014 2015 2 2 2 2 3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017 2T − T = 2 + − + − +....+ − + − − 1 1 2 2 2014 2014 2015 2015 2016 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2017 T = 2 + + +......+ − 1 2 2015 2016 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Đặt N = + +......+  2N =1+ + +......+ 1 2 2015 1 2 2014 2 2 2 2 2 2 1 2N − N = 1−  N 1 2015 2 2017 2017 Nên T  2 +1− = 3−  T  3 2016 2016 2 2 90 Bài 119.
(Đề thi HSG 6 huyện 2018-2019) 1 2 3 4 2014 1)
Cho tổng gồm 2014 số hạng: S = + + + +......+ . 2 3 4 2014 4 4 4 4 4 1 Chứng minh rằng S  2 2)
Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n + S(n) = 2014, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n. Lời giải 2 3 2014 1) 4S = 1+ + +.....+ 2 2013 4 4 4 1 1 1 2014  3S = 4S−S =1+ + +.....+ − 2 2013 2014 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1  3S 1+ + +.....+ .Dat M = 1+ + +.....+ 2 2013 2 2013 4 4 4 4 4 4 1 1 1  4M = 4 +1+ + +.....+ 2 2012 4 4 4 1 4  3M = 4M − M = 4 −  4  M  2013 4 3 4 4 4 1
 3S   S   = 3 9 8 2
2) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n  999 và S(n)  27
Suy ra n + S(n)  999 + 27 = 1026  2014(ktm)
Mặt khác n  n + S(n) = 2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số tự nhiên có 4 chữ số, suy ra
S(n)  9.4 = 36 . Do vậy, n  2014 − 36 =1978 n =19ab
Vì 1978  n  2014   n = 20cd
*Nếu n = 19ab.Ta có:19ab + (1+ 9 + a + b) = 2014
1910 +11a + 2b = 2014 11a + 2b =104  a 2
Và 11a = 104 − 2b  104 − 2.9 = 86  8  10  a, a 2  a = 8  b = 8  n =1988(tm)
*Nếu n = 20cd. Ta có: 20cd + (2 + 0 + c + d) = 2014
 2002 +11c + 2d = 2014 11c + 2d =12  c 2
c = 0  d = 6  n = 2006(tm) Và 11c  12   c =1 2d =1(ktm) Vậy n 1988;200  6 Bài 120.
(Đề thi HSG 6 huyện Hậu Lộc 2017-2018)       Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 A = 1+ 1+ 1+ .... 1+        1.3  2.4  3.5   2017.2019  Lời giải  1  1  1   1  A = 1+ 1+ 1+ .... 1+        1.3  2.4  3.5   2017.2019  2 4 9 16 2018 = 2.2 3.3 4.4 2018.2018 . . ........ = . . ........ 1.3 2.4 3.5 2017.2019 1.3 2.4 3.5 2017.2019 91
2.3.4.......2018.2.3.4........2018 = 2018.2 4036 = =
1.2.3.......2017.3.4.5........2019 1.2019 2019 Bài 121.
(Đề thi HSG 6 huyện 2018-2019) Thực hiện tính: 1 = + ( + ) 1 + ( + + ) 1 a) A 1 1 2 1 2 3 + ..... + .(1+ 2 + .... + 2013) 2 3 2013 1− 3 2 − 4 3 − 5 4 − 6 2011− 2013 2012 − 2 014 2013.2014 b) B = + + + +....+ + − 1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014 Lời giải n(n + ) 1 a)Ta coù 1+ 2 + 3+. . + n = 2 1 2.3 1 3.4 1 2013.2014 3 4 2014  A =1+ . + . +. . .+ . =1+ + +. . . + 2 2 3 2 2013 2 2 2 2 1 1 2 3 2014 1 A + = + + +. . . + = .(1+2+3+. . .+2014) 2 2 2 2 2 2 1 1
A = .(1+2+3+. . .+2014)− =1014552 2 2  1 1 1 1 1 1  1 1 b) B = 2 − + +....+ + + +.....+ − −   1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014  2013 2014  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  = − ; = − ;.......; = −        1
 .3 2 1 3  3.5 2  3 5  2011.2013 2  2011 2013  Thay :  1 1   1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  = − ; = − ;......; = −      
2.4 2  2 4  4.6 2  4 6  2012.2014 2  2012 2014   1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1
 B = − 1− + − +.......+ − + − +......+ − − −    3 3 5 2011 2013 2 4 2012 2014  2013 2014 3 B = − 2 Bài 122.
(Đề thi HSG 6 huyện Cẩm Thủy 2017-2018) 1 1 1 1 8 Cho S = + + +...+ . Chứng minh S  2 2 2 2 2 3 4 9 9 Lời giải 1 1 1 1 S = + + +...+ 2 2 2 2 2 3 4 9 Ta có 92 1 1  2 2 1.2 1 1  2 3 2.3 1 1  2 4 3.4 ........... 1 1  2 9 8.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8  S  + + +...+
= − + − + − +...+ − =1− = 1.2 2.3 3.4 8.9 1 2 2 3 3 4 8 9 9 9 8 Vậy S  9 Bài 123.
(Đề thi HSG 6 huyện Cẩm Thủy 2017-2018)
Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2 + 3 + ...+ n = aaa Lời giải
1+ 2 + 3 + ... + n = aaa  (1+ n).n : 2 =111.a  n (n + ) 1 = 2.3.37.a Mà 37 là số nguyên tố
* nếu n > 37 suy ra n  37.2 = 74 khi đó n +1 3.a  3.9 = 27  n  26 vô lý
Nên n  37 suy ra chỉ xảy ra n = 37 hoặc n + 1 = 37 38
+) Với n = 37 37.38= 2.3.37.a  38 = 6.a  a =  N (loại) 6
+) Với n + 1 = 37 36.37 = 2.3.37.a  36 = 6.a  a = 6 N thỏa mãn
Vậy n = 36, a = 6 Bài 124. (Đề thi HSG 6 ) Tính: A = 2 3 4 20 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 Lời giải: 2A = 3 4 5 21 8 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 .
⇒ 2A− A = 21 + − ( 2 + )+( 3 3 − )+ ( 20 20 2 8 4 2 2 2 ... 2 − 2 ) = 21 2 Bài 125. (Đề thi HSG 6 ) Cho : S = 0 2 4 6 2002 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 a) Tính S
b) Chứng minh S  7 . Lời giải: a) Ta có S = 0 2 4 6 2002 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 2 3 S = 2 4 6 8 2004 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 (0,5đ) 32004 −1 Suy ra: 8S = 2004 3 −1 ⇒ S = (0,5đ) 8 93 b) S = ( 0 2 4 + + ) 6 + ( 0 2 4 + + ) 1998 + + ( 0 2 4 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 + 3 + 3 ) = ( 0 2 4 + + )( 6 1998 3 3 3 1+ 3 + ... + 3 ) = ( 6 1998 91 1+ 3 + ... + 3
) (0,75đ) suy ra: S  7 (0,25đ) Bài 126. (Đề thi HSG 6 )
Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng minh A chia hết cho 120 Lời giải:
Ta nhóm làm 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau:
A = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)
= 3 (1 + 3 + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ
Ta lại thấy: 1 + 3 + 32+33 = 40
Nên A = 40. (3 + 35 +39 +………+397 ) 0,5đ
= 40.3 (30 + 34 +38 +………+396 ) 0,5đ
= 120. (30 + 34 +38 +………+396 )
Điều này chứng tỏ A 120 (đpcm) 0,5đ Bài 127. (Đề thi HSG 6 )
Cho A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 . Chứng minh rằng A chia hết cho 35 Lời giải:
A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = (7 + 73) + (75 + 77) + ..... + (71997 +71999)
A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + ... + 71997(1 + 72)
A = 7.50 + 75 .50 + 79.50 + ... + 71997.50  A Chia hết cho 5 (1)
A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + ... + 71998)  A Chia hết cho 7 (2)
Mà ƯCLN(5,7) = 1  A Chia hết cho 35. Bài 128. (Đề thi HSG 6 ) m 1 1 1 Cho = 1+ + + ........ . +
với m, n là số tự nhiên n 2 3 1998 Lời giải: m 1 1 1 = 1+ + + ........ . +
. Từ 1 đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta ghép n 2 3 1998 thành 999 cặp như sau: m  1   1 1   1 1   1 1  = 1+  +  +  +  +  + . ......... + .  +  n
1998  2 1997   3 1996  999 1000 1999 1999 1999 1999 = . + + + .......+ 1 . 1 998 1 . 2 997 1 . 3 996 99 . 9 1000
Quy đồng tất cả 999 phân số này ta được: m 199 . 9 a + 199 . 9 a + 199 . 9 a + ........+ 199 . 9 a +199 . 9 a +199 . 9 a 1 2 3 997 998 999 = n 1 .... .......... .......... .......... .......... 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 996 1 . 9978 1 . 998
Với a1 , a2 , a3 , ........... , a998 , a999 N 94 m 199 .(
9 a + a + a + .........+ a + a + a ) 1 2 3 997 998 999 = n 1 . 3 . 2 . ....... ........ ........ 1 .. 996 1 . 997 1 . 998
Vì 1999 là số nguyên tố. Nên sau khi rút gọn, đưa về dạng phân số tối giản thì tử số vẫn còn thừa số
1999. Vậy m Chia hết cho 1999. Bài 129.
(Đề thi HSG 6 huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi 2007-2008)
Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất: 1 1 1 1 A = + + +...+ 1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 2 2 B = + + +...+ 3.5 5.7 7.9 37.39 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = + + +...+ 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 1 1 1 A = − + − + − + ...+ − 1 2 2 3 4 4 49 50 1 1 49 A = − = 1 50 50 Ta còn có: 2 2 2 2 B = + + +...+ 3.5 5.7 7.9 37.39 1 1 1 1 1 1 1 1 B = − + − + − + ...+ − 3 5 5 7 7 9 37 39 1 1 12 4 B = − = = . 3 39 39 13 Bài 130.
(Đề thi HSG 6 huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi 2007-2008) Tìm * n
biết: 1+ 3+ 5++ (2n – ) 1 = 225 . Lời giải 1+ 2n −1 .n 2n
Ta có: 1+ 3 + 5 ++ (2n – ) ( ) 2 2 1 = = = n 2 2 suy ra 2 n = 225 Vậy n =15 Bài 131. (Đề thi HSG 6)
Tính giá trị các biểu thức sau: 16 14 7 7 1 C = + + + + . 15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 Lời giải 16 14 7 7 1 C = + + + + 15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 1 1 1 1 1 1 1 1 5 = − + − + − + − + 15 31 31 45 45 52 52 65 65.70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − 15 31 31 45 45 52 52 65 65 70 1 1 − = − 14 3 11 = = 15 70 15.14 210 95 Bài 132.
(Đề thi HSG 6 huyện Ngọc Lạc trường Cao Thịnh 2006-2007)
Tính giá trị của biểu thức : a) A =1+ ( 2 − )+3+( 2 − )+...+ 2003+( 2 − 004)+ 2005
b) B =1− 7 +13−19 + 25 − 31+... ( B có 2005 số hạng) Lời giải a) A =1+ ( 2 − + ) 3 + ( 3 − + 4)+...+( 2 − 002+ 200 ) 3 + ( 2 − 004+ 2005)
=1+1+1+....+1+1+1( có 1002 số hạng) =1003
b) B =1− 7 +13−19 + 25 − 31+... ( B có 2005 số hạng) =1+ C Ta còn có: C = ( 7 − +1 ) 3 + ( 1 − 9 + 25)+( 3
− 1+37)+....(C có 1002 cặp) = 6 + 6 + 6 +.... = 6012 Vậy B = 6013 Bài 133.
(Đề thi HSG 6 Phòng GD-ĐT Tam Dương 2018-2019) 1 1 1 1 1 1 1 Cho A = 1 − + − + ..... − ; B = + + ..... + . 2 3 4 2012 1007 1008 2012 2013  A  Tính    B Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A = 1 − + − + ... − 2 3 4 2012 1 1 1 1  1 1 1 1  =1+ + + +..... + − 2 + + +..... +   2 3 4 2012  2 4 6 2012  1 1 1 1  1 1 1 1  =1+ + + +..... + − 1+ + + +.....+   2 3 4 2012  2 3 4 1006  1 1 1 = + + ...... + = B 1007 1008 2012 2013 AA  Suy ra: 2013 =1  =1 =1   BB  2013   Vậy A =1    B
Bài 134. (Đề thi HSG cấp trường) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) − + − + −  2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − + − + ...... + −  2 2 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải a) Đặ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t A = − + − + − = − + − + − 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 96 1 1 1 1 1  2A = 1− + − + − 2 3 4 5 2 2 2 2 2 6 1 2 −1
 2A + A = 3A = 1− = 1 6 6 2 2 1
 3A  1  A  3 b) Đặ 1 2 3 4 99 100 t A = − + − + ..... + − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 99 100  3A = 1− − + − + ...... + − 2 3 4 98 99 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100  4A = 1− + − + ...... + − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4A  1− + − + ...... + − (1) 2 3 98 99 3 3 3 3 3 Đặt 1 1 1 1 1 B = 1 − + − + ..... + − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1  3B = 2 + − + .... + − 2 97 98 3 3 3 3 1 3
4B = B + 3B = 3 −  3  B  (2) 99 3 4 Từ (1) và (2) 3 3
 4A B   A  4 16
Bài 135. (Đề thi HSG cấp trường)
Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100 Lời giải
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100
3S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100).3
=1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+.....+ 99.100.3 =1.2.3+ 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5 − 2) + .... + 99.100.(101− 98)
=1.2.3−1.2.3+ 2.3.4 − 2.3.4 + 3.4.5−....− 98.99.100 + 99.100.101
S = 99.11.101: 3 = 33.100.101
Bài 136. (Đề thi HSG cấp trường) 1 1 1 1 1 7 Chứng tỏ rằng + + + ..... + +  41 42 43 79 80 12 Lời giải 1 1 Ta thấy đến có 40 phân số 41 80 1 1 1 1 1 1 Vậy + + + ...... + + + 41 42 43 78 79 80 97  1 1 1 1   1 1 1 1  = + + ..... + + + + + ...... + + (1)      41 42 59 60   61 62 79 80  1 1 1 1 1 1 Vì   ......  và   ......  (2) 41 42 60 61 62 80  1 1 1 1   1 1 1 1  Ta có: + + ...... + + + + + .....+ +      60 60 60 60   80 80 80 80  20 20 1 1 7 = + = + = (3) 60 80 3 4 12 Từ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 7 1 , 2 , 3  + + + ...... + + +  41 42 43 78 79 80 12
Bài 137. (Đề thi HSG cấp trường) 6 6 6 6 Tính tổng S = + + + ...... +
và chứng tỏ S  1 2.5 5.8 8.11 29.32 Lời giải  3 3 3  Ta có S = 2. + + ..... +    2.5 5.8 29.32   1 1 1 1 1 1   1 1  30 = 2. − + − + ..... + − = 2. − =  1      2 5 5 8 29 32   2 32  32 Vậy S  1
Bài 138. (Đề thi HSG cấp trường)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a , a ,....., a . Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng 1 2 10
một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10. Lời giải Lập dãy số Đặt B = a 1 1 B = a + a 2 1 2
B = a + a + a 3 1 2 3 ..........................
B = a + a + ..... + a 10 1 2 10
Nếu tồn tại B (i = 1, 2,3....10 nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh i )
Nếu không tồn tại B nào chia hết cho 10 ta làm như sau: i
Ta đem B chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư 1,2,3,..., 
9 ). Theo nguyên tắc Dirichle, phải i
có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số B − B chia hết ch10 (m n) (đpcm) m n
Bài 139. (Đề thi HSG cấp trường)
Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2 + 3 + ...... + n = aaa Lời giải 98
Từ 1; 2;……;n có n số hạng .( n n + 1)
Suy ra 1 + 2 + ..... + n = 2
Mà theo bài ta có: 1 + 2 + 3 + ..... + n = aaa (n + )1n Suy ra = aaa = . a 111 = .
a 3.37  n(n + ) 1 = 2.3.37.a 2
Vì tích n (n + )
1 chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n +1chia hết cho 37 (n + )1nn = 37 Vì số
có 3 chữ số nên n + 1  74   2 n +1 = 37 37.38 Với n = 37 thì = 703(ktm) 2 36.37 Với n + 1 = 37  = 666(tm) 2
Vậy n = 36, a = 6  1 + 2 + 3 + ..... + 36 = 666 Bài 140.
(Đề thi HSG cấp trường) 1 1 1 1 1 1 1 2 3 48 49 S Cho S = + + +.....+ + + và P = + + +.....+ + . Hãy tính 2 3 4 48 49 50 49 48 47 2 1 P Lời giải 1 2 3 48 49 P = + + +.....+ + 49 48 47 2 1  1   2   3   48  = +1 + + 2 + +1 +.....+ +1 +1          49   48   47   2   50 50 50  50 50 50 50 = + +.....+ +1= + + +......+    49 48 2  50 49 48 2  1 1 1  S 1 = 50. + +....+  =    50 49 2  P 50
Bài 141. (Đề thi HSG cấp trường) 1 1 1 1 1 Cho M = + + +.....+ + .Chứng minh M 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2009 2010 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 M  + +....+ + 1.2 2.3 2008.2009 2009.2010 1 1 1 1 1 1 1 1 M  − + − +.....+ − + − 1 2 2 3 2008 2009 2009 2010 1 M  1−  M  1 2010 99
Bài 142. (Đề thi HSG cấp trường Bắc Nghĩa) 3 3 3 3 Tính M = + + +.....+ 5.7 7.9 9.11 59.61 1 2 3 99 + + + 1 2 3 92 ..... + 92 − − − −........− A b) Cho 99 98 97 1 A = và 9 10 11 100 B = . Tính 1 1 1 1 + + + 1 1 1 1 B ...... + + + +....+ 2 3 4 100 45 50 55 500 Lời giải 3 3 3 3 a)M = + + +.....+ 5.7 7.9 9.11 59.61 3  2 2 2  = . + +.......+   2  5.7 7.9 59.61 3  1 1 1 1 1 1  = . − + − +......+ −   2  5 7 7 9 59 61 3  1 1  3 56 84 = . − = . =   2  5 61 2 305 305 1 2 3 99  1 2 3 98  + + +.....+ + + +...+ + 99   99 98 97 1  99 98 97 2  b) A = = 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +......+ + + +......+ 2 3 4 100 2 3 4 100 Tử số 100  100  100  99 = −1 + −1 +.....+ −1 +        99   98   2  1 100 100 100 100  = + + + + −( + + + + ) 99 ...... 1 1 1 .... 1 +    99 98 97 2  1 100 100 100 100 100 = + + + .....+ + 99 98 97 2 100  1 1 1 1  =100. + + +......+   100 99 98 2   1 1 1  100. + +....+   Vậy 100 99 2  A = =100 (1) 1 1 1 + +.......+ 2 3 100 1 2 3 92 92 − − − −........− 9 10 11 100 B = 1 1 1 1 + + +....+ 45 50 55 500 Tử số 1 2 3 92 = 92 − − − −.....− 9 10 11 100 100  8   8   8   8  = 92 − 1− − 1− − 1− −.......− 1−          9   10   11  100  −( + + + + + )  8 8 8 8  = 92 1 1 1 1 ..... 1 + + + +.....+    9 10 11 100   1 1 1 1  = 0 + 40. + + +......+    45 50 55 500   1 1 1 1  40 + + +......+   Vậy  45 50 55 500  B = = 40 (2) 1 1 1 1 + + +......+ 45 50 55 500 Từ (1) và (2) A 100  = = 250% B 40
Bài 143. (Đề thi HSG huyện Việt Yên) 2 3 4 2012 2013 1 3  3   3   3   3   3  Cho A = + + + + +.....+         và B = : 2   2 2  2   2   2   2   2  Lời giải Ta có: 2 3 4 2012 1 3  3   3   3   3  A = + + + + +.....+         (1) 2 2  2   2   2   2  2 3 4 2013 3 3  3   3   3   3   A = + + + +.....+         (2) 2 4  2   2   2   2 
Lấy (2) trừ (1) ta được: 2013 3  3  3 1 3 A − A = + − −   2  2  4 2 2 2013 2013 1  3  5 3 1 A = +  A = +   2012 2  2  4 2 2 2013 2013 3 3 5 Vậy B − A = − + 2014 2012 2 2 2
Bài 144. (Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu) Cho biểu thức : 2 3 80
M = 5 + 5 + 5 + ...... + 5 . Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 6
b) M không phải là số chính phương. Lời giải 2 3 80 )
a M = 5 + 5 + 5 +.....+ 5 = ( 2 + )+( 3 4 + )+ +( 79 80 5 5 5 5 .... 5 + 5 ) = ( 2 + ) 2 + ( 2 + ) 78 + + ( 2 5 5 5 . 5 5 ...... 5 . 5 + 5 ) 101 = ( 2 78
30. 1+ 5 + ..... + 5 ) 30 b) Ta thấy : 2 3 80
M = 5 + 5 + 5 + ..... + 5 chia hết cho 5 (1) Mặt khác, do 2 3 80
5 + 5 + ..... + 5 chia hết cho 2 5 Suy ra 2 3 80
M = 5 + 5 + 5 + ...... + 5 không chia hết cho 25 (2)
Từ (1) và (2) suy ra M không là số chính phương. Bài 145.
(Đề thi HSG 6 quận Ba Đình 1990-1991) 4 6 9 7 Cho A = + + + 31.7 7.42 10.41 10.57 7 5 3 11 B = + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 A Tính tỉ số ? B Lời giải 4 6 9 7 1  4 6  1  9 7  50 80 130 A = + + + = + + + = + =     31.7 7.41 10.41 10.57
7  31 41 10  41 57  31.41 41.57 31.57 7 5 3 11 1  7 5  1  3 11  24 28 52 B = + + + = + + + = + =     19.31 19.43 23.43 23.57
19  31 43  23  43 57  31.43 43.57 31.57 A 130 Vậy = B 52 Bài 146.
(Đề thi HSG 6 trường THCS Lê Ngọc Hân 1997-1998) 1 1 1 1 Tính tổng: A = + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 4 4 4 4 B = + + + + 5.8 8.11 11.14 305.308 Lời giải: 1 Ta có : (
n n +1)(n + 2)(n + 3) 3
= 3 (nn+1)(n+2)(n+3) 3 + n − n
= 3 (nn+1)(n+2)(n+3) 1  n + 3 n  = −  
3  n(n +1)(n + 2)(n + 3) n(n +1)(n + 2)(n + 3)   1 1 1  = −  
3  n(n +1)(n + 2) (n +1)(n + 2)(n + 3)  1 1 1 1 Nên : A = + + + ..... .......... + 4 . 3 . 2 . 1 5 . 4 . 3 . 2 6 . 5 . 4 . 3 30 . 29 . 28 . 27 102 1  1 1  1 4059 451 = − = . =   3 1
 .2.3 28.29.30 3 28.29.30 8120 4  1 1  4  1 1  4  1 1  4  1 1  4.303 101 B = − + − +.......+ + = − = =         3  5 8  3  8 11 3  305 308  3  5 308  3.5.308 385 451 101 28390 Vậy A + B = + = 8120 385 89320 Bài 147.
(Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1996 - 1997) 2 2 2
Cho dãy phân số được viết theo qui luật: ; ; ; 11.16 16.21 21.26
a) Tìm phân số thứ 45 của dãy số này.
b) Tính tổng của 45 phân số này. Lời giải: 2
a) Phân số thứ 45 của dãy số là : 231.236
b) Tổng của 45 phân số này là : 2  5 5 5  2  1 1 1 1 1 1  45 + + + = − + − + + − =     5 11.16 16.21 231.236  5 11 16 16 21 231 236  1298 Bài 148. (Đề thi HSG 6) 2 2 2 2 2
a) Tính tổng: S = + + + + + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
b) Chứng minh rằng: ( 2 3 4 100 3 + 3 + 3 + 3 + + 3 ) 40 Lời giải: 2 2 2 2 2 a) S = + + + + + 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100  1 1 1 1 1  = 2 + + + + +   1.2 2.3 3.4 98.99 99.100  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = 2 − + − + − + + − + −   1 2 2 3 3 4 98 99 99 100  1 1  99 99 49 = 2 − = 2. = =1   1 100  100 50 50 b) 2 3 4 100 3 + 3 + 3 + 3 + + 3 = ( 2 3 4 + + + )+( 5 6 7 8 + + + )+ +( 97 98 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + 3 + 3 + 3 ) = ( 2 3 4 + + + ) 4 + ( 2 3 4 + + + ) 96 + + ( 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + 3 + 3 + 3 ) 0 4 96 =120.3 + 3 .120 + + 3 .120 0 4 96 =120.(3 +3 + +3 ) 40 Bài 149. (Đề thi HSG 6)
Một dãy số cộng có 45 số hạng. Biết số hạng ở chính giữa là 50. Hãy xác định dãy số cộng. 103 Lời giải:
Trước số hạng chính giữa có 22 số hạng , sau số hạng chính giữa có 22 số hạng.
* Nếu công sai d =1thì u = 50 − 22 = 28 1
Dãy số đó là 28, 29, 30,...50,...71, 72.
* Nếu công sai d = 2 thì u = 50−22.2 = 6 1 u = 50 + 22.2 = 94 45
Dãy số đó là 6, 8, 10,...50,...92, 94.
Dễ thấy công sai d không thể lớn hơn 2.