58 trang 3 lượt tải

Chuyên đề Toán 10 chương mệnh đề và tập hợp

6

Tài liệu gồm 58 trang, được sưu tầm và biên soạn bởi thầy giáo Ngô Đức Tài, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập chuyên đề Toán 10 chương mệnh đề và tập hợp.

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10 63 tài liệu

Môn: Toán 10 3.1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/58
44
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
1
Chương
MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP
Mục lục của chương
Bài 1. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bài 3. Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
55
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
11
C
h
u
y
ê
n
đ
ề
MỆNH ĐỀ
I. MỆNH ĐỀ
• Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
• Mỗi khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng.
• Mỗi khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai .
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
LƯU Ý. Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa P,Q, R,.. . để kí hiệu
mệnh đề.
K Ví dụ 1K Ví dụ 1
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a)
p
2 là số vô tỉ.
b)
1
p
2
+···+
1
p
3
+
1
p
10
>2.
c) 100 tỉ là số rất lớn.
d) Trời hôm nay đẹp quá!
b
Hướng dẫn giải.
a) “
p
2 là số vô tỉ” là một mệnh đề (mệnh đề đúng).
b) “
1
p
2
+···+
1
p
3
+
1
p
10
>2” là mệnh đề (mệnh đề sai).
c) Câu “100 tỉ là số rất lớn ” không có tính đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí
thế nào là số rất lớn). Do đó nó không là mệnh đề.
d) “Trời hôm nay đẹp quá! ” là câu cảm thán, không phải mệnh đề.
¤ Những mệnh đề liên quan đến toán học (như câu a, b) trong Ví dụ
1) còn được gọi là mệnh đề toán học.
¤ Những câu cảm thán, nghi vấn, cầu khiến không phải là mệnh đề.
K Ví dụ 2K Ví dụ 2
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới;
66
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
b)
p
(−5)
2
=−5.
c) 5
2
+12
2
=13
2
.
b
Hướng dẫn giải.
a) “Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới ” là mệnh đề đúng.
b) “
p
(−5)
2
=−5 ” là mệnh đề sai (vì
p
(−5)
2
) =|−5|=5).
c) “5
2
+12
2
=13
2
” là mệnh đề đúng (vì 5
2
+12
2
=169 =13
2
).
L
L
1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào không là mệnh đề?
a) 13 là số nguyên tố.
b) 0 là số tự nhiên nhỏ nhất.
c) Hình vuông là hình bình hành.
d) Bạn đã làm bài tập chưa?
e) Thời tiết hôm nay thật đẹp!
f) Chứng minh
p
2 là số vô tỉ.
g) x
2
là số tự nhiên.
L
L
2 Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:
a) P: “3
2
+4
2
=5
2
”.
b) Q: ”Ước chung lớn nhất của 8 và 12 là 2 ”.
c) R : “Số 12 có tất cả 6 ước nguyên dương ”.
II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
Câu “n chia hết cho 5 ” là một khẳng định, nhưng không phải là mệnh đề, vì khẳng
định này có thể đúng hoặc sai, tùy theo giá trị của n. Tuy vậy, khi thay n bằng một
số tự nhiên cụ thể thì ta nhận được một mệnh đề. Người ta gọi mệnh đề “n chia hết
cho 5 ” là mệnh đề chứa biến (biến n), kí hiệu P(n). Ta viết P(n) : “n chia hết cho 5
” (n là số tự nhiên).
Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.
77
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
K Ví dụ 3K Ví dụ 3
Cho mệnh đề chứa biến P(n) : “n là bội của 3 ” với n là số tự nhiên. Phát biểu các
mệnh đề P(6), P(11) và xét tính đúng sai của chúng.
b
Hướng dẫn giải. P(6) : “6 là bội của 3 ” là mệnh đề đúng.
P(11) : “11 là bội của 3 ” là mệnh đề sai.
L
L
3 Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được
một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
a) P(x): “x
2
=2 ”.
b) Q(x): “x
2
+1 >0 ”.
c) R( n) : “n +2 chia hết cho 3 ”(n là số tự nhiên).
III. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P.
Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P của nó có tính đúng sai trái ngược
nhau. Nghĩa là khi P đúng thì P sai, khi P sai thì P đúng.
Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không
” hoặc “không phải ”vào trước vị ngữ của mệnh đề P.
K Ví dụ 4K Ví dụ 4
Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh
đề và mệnh đề phủ định của nó.
a) Paris là thủ đô của nước Anh;
b) 23 là số nguyên tố;
c) 2 021 chia hết cho 3;
d) Phương trình x
2
−3x +4 =0 vô nghiệm.
b
Hướng dẫn giải.
88
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
a) Gọi A: “Paris là thủ đô của nước Anh”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là A: “Paris không là thủ đô của nước Anh”.
Mệnh đề A là mệnh đề sai và A là mệnh đề đúng.
b) Gọi B: “23 là số nguyên tố”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề B là B: “23 không là số nguyên tố”.
Ta có 23 chỉ có ước là 1 và chính nó nên 23 là số nguyên tố.
Do đó mệnh đề B là mệnh đề đúng và B là mệnh đề sai.
c) Gọi C: “2021 chia hết cho 3”.
Mệnh đề phủ định của C là C: “2021 không chia hết cho 3”.
Ta có 2 +0 +2 +1 =5 không chia hết cho 3 nên 2021 không chia hết cho 3.
Do đó C là mệnh đề sai và C là mệnh đề đúng.
d) Gọi D: “Phương tr ình x
2
−3x +4 =0 vô nghiệm”.
Mệnh đề phủ định của D là D: “Phương trình x
2
−3x +4 =0 có nghiệm”.
Xét phương trình x
2
−3x +4 =0 có ∆ =(−3)
2
−4 ·4 =9 −16 =−7 <0.
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Do đó D là mệnh đề đúng và D là mệnh đề sai.
L
L
4 Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của
mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.
a) P: “Châu Á là châu lục lớn nhất thế giới ”.
b) Q: “2 lớn hơn 1 ”.
c) R: “15 là ước của 80 ”.
d) S: “Bất phương trình 2x +1 >0 vô nghiệm ”.
IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P và Q ”được gọi là mệnh đề
kéo theo , kí hiệu là P ⇒Q.
Mệnh đề P ⇒Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
99
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
K Ví dụ 5K Ví dụ 5
Cho tứ giác ABCD, xét hai câu sau:
P : “Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
◦
”;
Q: “ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.
Phát biểu mệnh đề P ⇒Q và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.
b
Hướng dẫn giải. P ⇒ Q : “Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng
180
◦
thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.
Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.
Trong toán học, định lí là mệnh đề đúng. Các định lí trong toán học thường có dạng
P ⇒Q.
Khi mệnh đề P ⇒Q là định lí, ta nói:
P là giả thiết, Q là kết luận của định lý;
P là điều kiện đủ để có Q;
Q là điều kiện cần để có P.
K Ví dụ 6K Ví dụ 6
Xét hai mệnh đề:
P: “Hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
bằng nhau ”;
Q : “Hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
có diện tích bằng nhau ”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒Q.
b) Mệnh đề P ⇒Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều
kiện cần”, “điều kiện đủ”để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.
b
Hướng dẫn giải.
a) Mệnh đề P ⇒Q được phát biểu như sau: “Nếu hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
bằng
nhau thì hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
có diện tích bằng nhau”.
b) Mệnh đề P ⇒Q là mệnh đề đúng. Do đó, mệnh đề P ⇒Q là một định lí.
Hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác ABC
và A
′
B
′
C
′
có diện tích bằng nhau.
Hai tam giác AB C và A
′
B
′
C
′
có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai
tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
bằng nhau.
1010
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
L
L
5 Trong mỗi cặp mệnh đề P và Q sau đây, hãy phát biểu mệnh đề P ⇒Q và
xét tính đúng sai của nó. P có phải là điều kiện đủ để có Q không?
a) P : “a và b là hai số chẵn ”, Q : “ a +b số chẵn ”(a, b là hai số tự nhiên);
b) P : “Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau ”, Tứ giác ABCD là hình
vuông ”.
V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG
1) Mệnh đề đảo
Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đảo của P ⇒Q.
LƯU Ý. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết phải là đúng.
2) Hai mệnh đề tương đương
Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là
hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔Q (đọc là “P tương đương Q ”
hoặc “P khi và chỉ khi Q ”).
Khi đó, ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều
kiện cần và đủ để có P).
LƯU Ý. Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng
sai.
K Ví dụ 7K Ví dụ 7
Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình vuông ”;
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒Q và mệnh đề đảo của nó.
b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều
kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔Q theo hai cách.
1111
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
b
Hướng dẫn giải.
a) Mệnh đề P ⇒Q được phát biểu như sau:
“Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai
đường chéo vuông góc với nhau ”.
Mệnh đề đảo Q ⇒P được phát biểu như sau:
“Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì
tứ giác ABCD là hình vuông ”.
b) Xét mệnh đề P ⇒Q:
Nếu ABCD là hình vuông thì
b
A =
b
B =
b
C =
b
D =90
◦
, do đó ABCD là hình chữ nhật.
Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Vậy ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ⇒ mệnh đề
P ⇒Q đúng. (1)
Xét mệnh đề Q ⇒P:
Nếu ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì theo dấu
hiệu nhận biết, ABCD là hình vuông.
Vậy mệnh đề Q ⇒ P đúng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra P ⇔Q, được phát biểu như sau:
“Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là
hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.
“Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật
có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.
K Ví dụ 8K Ví dụ 8
a) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu lại mệnh đề
đúng sau đây: “Nếu một tứ giác là hình thoi thì tứ giác đó có hai đường chéo
vuông góc ”.
b) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu lại mệnh đề đúng sau
đây: “Một tam giác có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác
đều ”.
b
Hướng dẫn giải.
1212
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
a) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là điều kiện cần để nó là hình thoi. Tứ giác
là hình thoi là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo vuông góc.
b) Một tam giác có ba góc bằng nhau là điều kiện cần và đủ để nó là tam giác đều.
L
L
6
a) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ để phát biểu lại mệnh đề đúng
sau đây; để phát biểu lại mệnh đề đúng sau đây: “Nếu một số tự nhiên
chia hết cho 4 thì bình phương của nó cũng chi hết cho 4 ”
b) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu lại mệnh đề đúng
sau đây: “Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi AB
2
+ AC
2
=BC
2
”.
L
L
7 Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.
VI. MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ∀, ∃
Cho các mệnh đề sau
(1) Với mọi số tự nhiên x,
p
x là số vô tỉ;
(2) Bình phương của mọi số thực đều không âm;
(3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;
(4) Có số tự nhiên n sao cho 2n −1 =0.
Trong toán học để ngắn gọn, người ta dùng các kí hiệu ∀ (đọc là với mọi) và ∃ (đọc là
tồn tại) để phát biểu những mệnh đề như trên. Chẳng hạn:
(1) ∀x ∈N,
p
x là số vô tỉ;
(2) ∀x ∈R, x
2
⩾ 0 ;
(3) ∃x ∈Z, x +x =0;
(4) ∃n ∈N,2n −1 =0.
Ta nói (1), (2) là mệnh đề chứa kí hiệu ∀ ; (3), (4) là mệnh đề chứa kí hiệu ∃.
Tổng quát hơn, có thể phát biểu hai mệnh đề này như sau:
“∀x ∈ M, P(x) ” và “∃x ∈ M, P(x) ”
với M là một tập hợp, P(x) là một mệnh đề chứa biến nào đó.
•Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x) ” đúng nếu với mọi x
0
∈ M, P(x
0
) là mệnh đề đúng.
•Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x) ” đúng nếu có x
0
∈ M sao cho P(x
0
) là mệnh đề đúng.
1313
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
K Ví dụ 9K Ví dụ 9
Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;
b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.
b
Hướng dẫn giải. Bằng cách sử dụng kí hiệu, các mệnh đề được viết:
a) “∀x ∈R, x +(−x) =0 ”;
b) “∃x ∈N, x
2
=9 ”.
K Ví dụ 10K Ví dụ 10
Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) ∀x ∈R, x
2
>0;
b) ∃x ∈R, x
2
=5x −4;
c) ∃x ∈Z, 2x +1 =0.
b
Hướng dẫn giải.
a) Gọi P: “∀x ∈R, x
2
>0 ”.
Chọn x =0 ∈R, ta có x
2
=0
2
=0 >0 (vô lí).
Do đó mệnh đề P sai.
Mệnh đề phủ định của P là: P: “∃x ∈R, x
2
≤0 ”.
b) Gọi Q: “∃x ∈R, x
2
=5x −4 ”.
Xét phương trình x
2
=5x −4. Ta có x
2
−5x +4 =0 ⇔
x =1
x =4
Ta thấy x =1 và x =4 đều là các số thực.
Do đó mệnh đề Q đúng.
Mệnh đề phủ định của Q là: Q: “∀x ∈R, x
2
=5x −4 ”.
c) Gọi H: “∃x ∈Z, 2x +1 =0 ”.
Xét phương trình 2x +1 =0 ⇔ x =−
1
2
∉Z.
Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x để 2x +1 =0.
Vậy mệnh đề H là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định của H là: H: “∀x ∈Z, 2x +1 =0 ”.
1414
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
L
L
8 Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương
khác 1 ”.
Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1 ”.
a) Hãy cho biết phát biểu của bạn nào đúng.
b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng
mệnh đề.
L
L
9 Lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
a) ∀x ∈R, x =2x −2;
b) ∀x ∈R, x
2
⩽ 2x −1;
c) ∃x ∈R, x +
1
x
⩾ 2;
d) ∃x ∈R, x
2
−x +1 <0.
BÀI TẬP
BÀI TẬP
1
1 Bài tập tự luận
Bài 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) 2
100
có 50 chữ số khi viết trong hệ thập phân;
d) 2x +1 >0;
e)
p
3 là số hữu tỉ;
f) Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại tr ung điểm mỗi đường.
Bài 2. Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Các số nguyên tố đều là số lẻ;
b) Phương trình x
2
+1 =0 có hai nghiệm nguyên phân biệt;
c) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.
Bài 3. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) 106 là hợp số;
b)
p
2 là số vô tỉ;
c) Tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180
◦
.
1515
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
Bài 4. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi
mệnh đề phủ định đó:
a) A: “Tr ục đối xứng của đồ thị hàm số y =−x
2
là trục tung ”;
b) B: “Phương trình 3x
2
+1 =0 có nghiệm ”;
c) C: “Hai đường thẳng y =2x +1 và y =−2x +1 không song song với nhau ”;
d) D: “Số 2024 không chia hết cho 4 ”.
Bài 5. Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành ”;
Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒Q và xét tính đúng sai của nó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒Q.
Bài 6. Cho hai câu sau:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông ”;
Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại ”.
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh
đề này.
Bài 7. Cho các định lí:
P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau ”;
Q: “Nếu a < b thì a +c < b +c với a, b, c ∈R ”.
a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí;
b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều
kiện đủ”;
c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?
Bài 8. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu các định lí sau:
a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của
nó dương;
b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau
và ngược lại.
1616
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
Bài 9. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh
đề đảo đó.
a) Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3;
b) Nếu x > y thì x
3
> y
3
;
c) Nếu tam giác ABC có AB = AC thì tam giác ABC cân;
d) Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60
◦
thì tam giác ABC đều.
Bài 10. Cho các mệnh đề sau:
P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó ”;
Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10 ”;
R: “Có số thực x sao cho x
2
+2x −1 =0 ”.
S: “Có ba số tự nhiên khác 0 sao cho tổng bình phương của hai số bằng bình
phương của số còn lại ”.
a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.
b) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các mệnh đề đã cho.
Bài 11. Xét tính đúng, sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:
a) ∃x ∈N, x +3 =0;
b) ∀x ∈R, x
2
+1 ≥2x;
c) ∀a ∈R,
p
a
2
=a;
d) ∀n ∈N, n(n +1) chia hết cho 2;
e) ∃n ∈N, n
2
có chữ số tận cùng là 4;
f) ∀x ∈N, x
2
+2x +2 >0;
g) ∃x ∈Q, x
2
−x −1 =0;
h) ∀x ∈R, x
4
< x
2
.
Bài 12. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi số tự nhiên có chữ số tạn
cùng bằng 0 đều chia hết cho 10 ”.
Bài 13. Mệnh đề “∃n ∈N, n(n +1) =2
100
+1 ”đúng hay sai? Vì sao.
2
2 Câu hỏi trắc nghiệm
c Câu 1. Câu nào dưới đây không là mệnh đề?
A Phương trình x
2
+x −1 =0 vô nghiệm .
B x + y >1.
C 12 là số nguyên tố .
D Hai phương trình x
2
−4x +3 =0 và x −1 =0 có nghiệm chung .
1717
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
c Câu 2. Câu nào dưới đây không là mệnh đề?
A 3 <1. B 4 −5 =1.
C Bạn học giỏi quá! . D π là số vô tỉ .
c Câu 3. Câu nào dưới đây là mệnh đề?
A 2 +3 =9. B 5 −x =7.
C Cố lên, sắp có tiền rồi! . D Bây giờ là mấy giờ?.
c Câu 4. Phát biểu nào dưới đây là mệnh đề toán học?
A Việt Nam là một quốc gia thuộc Châu Á .
B x
2
+2x −3 ⩾ 0.
C x
n
= x ·x . .. ·x
| {z }
n thừa số
.
D Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động .
c Câu 5. Phát biểu nào dưới đây là mệnh chứa biến?
A T ích của hai số thực trái dấu là một số thực âm .
B Mọi số nguyên lẻ đều chia hết cho 2 .
C 3n chia hết cho 9 .
D 17 là số chính phương .
c Câu 6. Cho mệnh đề A: “Nghiệm của phương trình x
2
−5 = 0 là số hữu tỉ”. Mệnh
đề phủ định của mệnh đề trên là:
A “Nghiệm của phương trình x
2
−5 =0 không là số hữu tỉ”.
B “Nghiệm của phương trình x
2
−5 =0 không là số vô tỉ”.
C “Phương trình x
2
−5 =0 vô nghiệm”.
D “Nghiệm của phương trình x
2
−5 =0 không là số nguyên”.
c Câu 7. Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 4 thì n
chia hết cho 2”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n không chia hết cho 4”.
B “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 2”.
C “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4”.
D “Nếu số tự nhiên n không chia hết cho 2 thì n không chia hết cho 4”.
1818
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
c Câu 8. Cho tứ giác ABCD. Xét mệnh đề “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì
tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD không có hai đường chéo
bằng nhau”.
B “Nếu tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD không
là hình chữ nhật”.
C “Nếu tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD không
là hình chữ nhật”.
D “Nếu tứ giác AB CD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ
nhật”.
c Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A 6
2
là số hữu tỉ.
B Phương trình 2x
2
+7x −2 =0 có 2 nghiệm trái dấu.
C 17 là số chẵn.
D Phương trình x
2
+7x +20 =0 có nghiệm.
c Câu 10. Với giá trị nào của x thì mệnh đề chứa biến P(x) : “x +1 < x
2
” là đúng?
A x =0 . B x =2 . C x =1 . D x =
1
2
.
c Câu 11. Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “x +10 ⩾ x
2
” với x là số tự nhiên. Mệnh đề
nào sau đây sai?
A P(1). B P(2). C P(3). D P(4).
c Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A
Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng
nhau.
B Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông.
C Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
D Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau
và có một góc bằng 60
◦
.
c Câu 13. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈R, x
2
−x +1 <0” là mệnh đề:
A “∀x ∈R, x
2
−x +1 ⩾ 0”. B “∀x ∈R, x
2
−x +1 <0”.
C “∀x ∈R, x
2
−x +1 >0”. D “∃x ∈R, x
2
−x +1 ⩾ 0”.
1919
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 1. Mệnh đề
c Câu 14. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈Q, x =
1
x
” là mệnh đề:
A “∃x ∈Q, x =
1
x
”. B “∀x ∈Q, x =
1
x
”.
C “∀x ∉Q, x =
1
x
”. D “∀x ∈Q, x =
1
x
”.
c Câu 15. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈R, x
2
⩾ 0” là mệnh đề:
A “∃x ∈R, x
2
⩾ 0”. B “∃x ∈R, x
2
>0”.
C “∃x ∈R, x
2
⩽ 0”. D “∃x ∈R, x
2
<0”.
c Câu 16. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈R, |x|⩾ x” là mệnh đề:
A “∀x ∈R, |x|< x”. B “∃x ∈R, |x|⩽ x”.
C “∃x ∈R, |x|< x”. D “∃x ∈R, |x|> x”.
c Câu 17. Cho mệnh đề chứa biến P(n) : “n
2
−1 chia hết cho 4” với n là số nguyên.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A P(5) đúng và P(2) đúng. B P(5) sai và P(2) sai.
C P(5) đúng và P(2) sai. D P(5) sai và P(2) đúng.
c Câu 18. Cho x, y là hai số thực cùng khác −1. Kết luận nào sau đây là đúng?
A x + y +x y =−1. B x + y +x y =−1.
C x + y =−2. D x y =−1.
c Câu 19. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
B T ích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
C Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
D Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
c Câu 20. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a+b <2. Kết luận nào sau đây là đúng?
A Cả hai số a, b đều nhỏ hơn 1.
B Có ít nhất một trong hai số a, b nhỏ hơn 1.
C Có ít nhất một trong hai số a, b lớn hơn 1.
D Cả hai số a, b không vượt quá 1.
2020
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
22
C
h
u
y
ê
n
đ
ề
TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
I. NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP
Trong toán học, người ta dừng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn
toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm được gọi là một phần tử của tập hợp đó.
K Ví dụ 1K Ví dụ 1
a) Các bạn học sinh lớp 10A tạo thành một tập hợp. Các bạn học sinh nữ của lớp
này cũng tạo thành một tập hợp.
b) Các nghiệm của phương trình x
2
−4 = 0 tạo thành một tập hợp (gọi là tập
nghiệm của phương trình x
2
−4 =0). Tập này có hai phần tử là −2 và 2.
Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa như A, B, C . .. và kí hiệu
phần tử của tập hợp bằng các chữ cái in thường như a, b, c .. .
LƯU Ý. Đôi khi, để ngắn gọn người ta dùng từ “tập ”thay cho “tập hợp ”.
Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là “a thuộc
A”). Để chỉ a không là phân tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là “a
không thuộc A”)
Một tập hợp có thể không chứa phần tử nào. Tập hợp như vậy gọi là
tập rỗng, kí hiệu ∅.
K Ví dụ 2K Ví dụ 2
a) Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, khi đó 0 ∈ A,1 ∉ A,10 ∉ A.
b) Nếu gọi B là tập hợp nghiệm của phương trình x
2
+1 =0, khi đó B là tập rỗng.
Ghi nhớ
N là tập các số tự nhiên,
Z là tập hợp các số nguyên,
Q là tập hợp các số hữu tỉ,
R là tập hợp các số thực.
2121
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
II. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT TẬP HỢP
Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
K Ví dụ 3K Ví dụ 3
Xét tập hợp A các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 15. Ta có thể viết tập hợp A dưới dạng
liệt kê các phần tử: A = {0;2; 4; 6; 8;10;12; 14} hoặc dưới dạng chỉ ra tính chất đặc
trưng cho các phần tử:
A =
©
x
¯
¯
x ∈N, x chẵn và x <15
ª
.
LƯU Ý. Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:
a) Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.
Chẳng hạn, để viết tập hợp A các nghiệm của phương trình x(x −1) =0,
ta có thể viết A ={0; 1} hoặc A ={1; 0}.
b) Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.
Chẳng hạn, nếu kí hiệu B là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ
“mathematics” thì B ={m; a; t ; h; e; i; c; s}.
c) Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “. . . ” mà không
nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên không quá 100 có thể viết là
{0; 1; 2; . . .; 100}.
K Ví dụ 4K Ví dụ 4
Viết mỗi tập hợp sau dưới dạng thích hợp:
a) Tập hợp A các ước dương của 18;
b) Tập hợp B các nghiệm của phương trình x
2
+3x −4 =0;
c) Tập hợp C các số tự nhiên lẻ;
d) Tập hợp D các nghiệm của phương trình x +3 y =1.
b
Lời giải.
2222
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
a) Số 18 có các ước dương là 1; 2; 3; 6; 9; 18. Do đó A ={1; 2; 3; 6; 9; 18}.
b) Giải phương trình x
2
+3x−4 =0 nhận được hai nghiệm 1 và −4. Do đó B ={1; −4}.
Ta cũng có thể viết B ={x ∈R | x
2
+3x −4 =0}.
c) Ta có thể liệt kê dạng liệt kê các phần tử: C = {1; 3; 5; 7; .. .}. Ta cũng có thể
viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:
C ={x ∈N | x là số lẻ} hoặc C ={x | x =2n +1, n ∈N}.
d) Ta viết D ={(x, y) | x, y ∈R, x +3y =1}.
LƯU Ý. Có những tập hợp, như A và B ở Ví dụ 3, ta có thể đếm hết các phần
tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.
Nếu E là tập hợp hữu hạn thì số phần tử của nó được kí hiệu là n(E). Chẳng
hạn, trong Ví dụ 4, ta có: n(A) =6 và n(B) =2.
Đặc biệt, n(∅) =0.
L
L
1 Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử và tìm số phần tử
của mỗi tập hợp đó:
a) Tập hợp A các ước của 24;
b) Tập hợp B gồm các chữ số trong số 1113305;
c) C ={n ∈N | n là bội của 5 và n ⩽ 30};
d) D ={x ∈R | x
2
−2x +3 =0}.
L
L
2 Gọi S là tập nghiệm của phương trình x
2
−24x +143 =0. Các mệnh đề sau
đúng hay sai? Vì sao?
a) 13 ∈ S; b) 11 ∉ S; c) n(S) =2.
L
L
3 Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần
tử:
a) A ={x ∈N | x là số lẻ và x ⩽ 15};
b) B ={x ∈N | x là bội của 5};
c) C ={x ∈R |2x +5 >0}.
2323
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
III. TẬP CON VÀ HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU
1) Tập con
Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì
ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B và kí hiệu A ⊂B (đọc là “A chứa
trong B”), hoặc B ⊃ A (đọc là “B chứa A”).
Nhận xét:
A ⊂ A và ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.
Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu A ⊈ B (đọc là “A không chứa
trong B ” hoặc “B không chứa A ”).
Nếu A ⊂B hoặc B ⊂ A thì ta nói A và B có quan hệ bao hàm.
Trong toán học, người ta thường minh họa một tập hợp
bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong
kín, gọi là biểu đồ Ven. Ta có thể minh họa A là tập con
của B bằng biểu đồ Ven như hình bên.
A
B
Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên,
tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có
quan hệ bao hàm:
N ⊂Z ⊂Q ⊂R.
R
QZN
K Ví dụ 5K Ví dụ 5
Xét tập hợp A ={a, b}. Tìm tất cả các tập con của A.
b
Lời giải. Tập A có các tập con là ∅,{a},{b}, A.
L
L
4 Tìm tất cả các tập con có ba phần tử của tập B =
{
x ∈N |0 ⩽ x ⩽ 12 và x
.
.
. 3
}
.
2) Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, kí hiệu A =B nếu A ⊂ B và B ⊂ A.
Nói cách khác, hai tập hợp A và B bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này
cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại.

Tài liệu khác của Toán 10

Preview text:

Chương 1 MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Mục lục của chương
Bài 1. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bài 3. Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 yên đề uh 1 MỆNH ĐỀ C I. MỆNH ĐỀ
• Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
• Mỗi khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng.
• Mỗi khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai .
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
LƯU Ý. Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa P,Q, R,... để kí hiệu mệnh đề. K Ví dụ 1 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? p a) 2 là số vô tỉ.
c) 100 tỉ là số rất lớn. 1 1 1 b) p + ··· + p + p > 2. 2 3 10
d) Trời hôm nay đẹp quá! b Hướng dẫn giải. p
a) “ 2 là số vô tỉ” là một mệnh đề (mệnh đề đúng). 1 1 1 b) “ p + ··· + p + p
> 2” là mệnh đề (mệnh đề sai). 2 3 10
c) Câu “100 tỉ là số rất lớn ” không có tính đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí
thế nào là số rất lớn). Do đó nó không là mệnh đề.
d) “Trời hôm nay đẹp quá! ” là câu cảm thán, không phải mệnh đề.
¤ Những mệnh đề liên quan đến toán học (như câu a, b) trong Ví dụ
1) còn được gọi là mệnh đề toán học.
¤ Những câu cảm thán, nghi vấn, cầu khiến không phải là mệnh đề. K Ví dụ 2 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới; ∠ 5
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp p b) (−5)2 = −5. c) 52 + 122 = 132. b Hướng dẫn giải.
a) “Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới ” là mệnh đề đúng. p p b) “
(−5)2 = −5 ” là mệnh đề sai (vì (−5)2) = | − 5| = 5).
c) “52 + 122 = 132 ” là mệnh đề đúng (vì 52 + 122 = 169 = 132).
L 1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào không là mệnh đề? a) 13 là số nguyên tố.
b) 0 là số tự nhiên nhỏ nhất.
c) Hình vuông là hình bình hành.
d) Bạn đã làm bài tập chưa?
e) Thời tiết hôm nay thật đẹp! p f) Chứng minh 2 là số vô tỉ. g) x2 là số tự nhiên.
L 2 Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau: a) P: “32 + 42 = 52”.
b) Q: ”Ước chung lớn nhất của 8 và 12 là 2 ”.
c) R : “Số 12 có tất cả 6 ước nguyên dương ”. II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
Câu “n chia hết cho 5 ” là một khẳng định, nhưng không phải là mệnh đề, vì khẳng
định này có thể đúng hoặc sai, tùy theo giá trị của n. Tuy vậy, khi thay n bằng một
số tự nhiên cụ thể thì ta nhận được một mệnh đề. Người ta gọi mệnh đề “n chia hết
cho 5 ” là mệnh đề chứa biến (biến n), kí hiệu P(n). Ta viết P(n) : “n chia hết cho 5 ” (n là số tự nhiên).
Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến. 6
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề K Ví dụ 3 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Cho mệnh đề chứa biến P(n) : “n là bội của 3 ” với n là số tự nhiên. Phát biểu các
mệnh đề P(6), P(11) và xét tính đúng sai của chúng.
b Hướng dẫn giải. P(6) : “6 là bội của 3 ” là mệnh đề đúng.
P(11) : “11 là bội của 3 ” là mệnh đề sai.
L 3 Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được
một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a) P(x): “x2 = 2 ”. b) Q(x): “x2 + 1 > 0 ”.
c) R(n) : “n + 2 chia hết cho 3 ”(n là số tự nhiên).
III. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P.
Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P của nó có tính đúng sai trái ngược
nhau. Nghĩa là khi P đúng thì P sai, khi P sai thì P đúng.
Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không
” hoặc “không phải ”vào trước vị ngữ của mệnh đề P. K Ví dụ 4 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh
đề và mệnh đề phủ định của nó.
a) Paris là thủ đô của nước Anh; b) 23 là số nguyên tố; c) 2 021 chia hết cho 3;
d) Phương trình x2 − 3x + 4 = 0 vô nghiệm. b Hướng dẫn giải. ∠ 7
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
a) Gọi A: “Paris là thủ đô của nước Anh”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là A: “Paris không là thủ đô của nước Anh”.
Mệnh đề A là mệnh đề sai và A là mệnh đề đúng.
b) Gọi B: “23 là số nguyên tố”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề B là B: “23 không là số nguyên tố”.
Ta có 23 chỉ có ước là 1 và chính nó nên 23 là số nguyên tố.
Do đó mệnh đề B là mệnh đề đúng và B là mệnh đề sai.
c) Gọi C: “2021 chia hết cho 3”.
Mệnh đề phủ định của C là C: “2021 không chia hết cho 3”.
Ta có 2 + 0 + 2 + 1 = 5 không chia hết cho 3 nên 2021 không chia hết cho 3.
Do đó C là mệnh đề sai và C là mệnh đề đúng.
d) Gọi D: “Phương trình x2 − 3x + 4 = 0 vô nghiệm”.
Mệnh đề phủ định của D là D: “Phương trình x2 − 3x + 4 = 0 có nghiệm”.
Xét phương trình x2 − 3x + 4 = 0 có ∆ = (−3)2 − 4 · 4 = 9 − 16 = −7 < 0.
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Do đó D là mệnh đề đúng và D là mệnh đề sai.
L 4 Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của
mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.
a) P: “Châu Á là châu lục lớn nhất thế giới ”. b) Q: “2 lớn hơn 1 ”.
c) R: “15 là ước của 80 ”.
d) S: “Bất phương trình 2x + 1 > 0 vô nghiệm ”. IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P và Q ”được gọi là mệnh đề
kéo theo , kí hiệu là P ⇒ Q.
Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. 8
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề K Ví dụ 5 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Cho tứ giác ABCD, xét hai câu sau:
P : “Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180◦ ”;
Q: “ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.
Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.
b Hướng dẫn giải. P ⇒ Q : “Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng
180◦ thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.
Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.
Trong toán học, định lí là mệnh đề đúng. Các định lí trong toán học thường có dạng P ⇒ Q.
Khi mệnh đề P ⇒ Q là định lí, ta nói:
P là giả thiết, Q là kết luận của định lý;
P là điều kiện đủ để có Q;
Q là điều kiện cần để có P. K Ví dụ 6 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Xét hai mệnh đề:
P: “Hai tam giác ABC và A′B′C′ bằng nhau ”;
Q : “Hai tam giác ABC và A′B′C′ có diện tích bằng nhau ”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.
b) Mệnh đề P ⇒ Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều
kiện cần”, “điều kiện đủ”để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau. b Hướng dẫn giải.
a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu hai tam giác ABC và A′B′C′ bằng
nhau thì hai tam giác ABC và A′B′C′ có diện tích bằng nhau”.
b) Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng. Do đó, mệnh đề P ⇒ Q là một định lí.
Hai tam giác ABC và A′B′C′ bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác ABC
và A′B′C′ có diện tích bằng nhau.
Hai tam giác ABC và A′B′C′ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai
tam giác ABC và A′B′C′ bằng nhau. ∠ 9
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
L 5 Trong mỗi cặp mệnh đề P và Q sau đây, hãy phát biểu mệnh đề P ⇒Q và
xét tính đúng sai của nó. P có phải là điều kiện đủ để có Q không?
a) P : “a và b là hai số chẵn ”, Q : “a + b số chẵn ”(a, b là hai số tự nhiên);
b) P : “Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau ”, Tứ giác ABCD là hình vuông ”.
V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG 1) Mệnh đề đảo
Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đảo của P ⇒ Q.
LƯU Ý. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết phải là đúng.
2) Hai mệnh đề tương đương
Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là
hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔ Q (đọc là “P tương đương Q ”
hoặc “P khi và chỉ khi Q ”).
Khi đó, ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều
kiện cần và đủ để có P).
LƯU Ý. Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai. K Ví dụ 7 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình vuông ”;
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó.
b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều
kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔ Q theo hai cách. 10
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề b Hướng dẫn giải.
a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:
“Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai
đường chéo vuông góc với nhau ”.
Mệnh đề đảo Q ⇒ P được phát biểu như sau:
“Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì
tứ giác ABCD là hình vuông ”. b) Xét mệnh đề P ⇒ Q:
Nếu ABCD là hình vuông thì b A = B D b = b
C = b = 90◦, do đó ABCD là hình chữ nhật.
Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Vậy ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ⇒ mệnh đề P ⇒ Q đúng. (1) Xét mệnh đề Q ⇒ P:
Nếu ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì theo dấu
hiệu nhận biết, ABCD là hình vuông.
Vậy mệnh đề Q ⇒ P đúng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra P ⇔ Q, được phát biểu như sau:
“Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là
hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.
“Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật
có hai đường chéo vuông góc với nhau ”. K Ví dụ 8 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
a) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu lại mệnh đề
đúng sau đây: “Nếu một tứ giác là hình thoi thì tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc ”.
b) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu lại mệnh đề đúng sau
đây: “Một tam giác có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác đều ”. b Hướng dẫn giải. ∠ 11
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
a) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là điều kiện cần để nó là hình thoi. Tứ giác
là hình thoi là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo vuông góc.
b) Một tam giác có ba góc bằng nhau là điều kiện cần và đủ để nó là tam giác đều. L 6
a) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ để phát biểu lại mệnh đề đúng
sau đây; để phát biểu lại mệnh đề đúng sau đây: “Nếu một số tự nhiên
chia hết cho 4 thì bình phương của nó cũng chi hết cho 4 ”
b) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu lại mệnh đề đúng
sau đây: “Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi AB2 + AC2 = BC2 ”.
L 7 Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.
VI. MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ∀,∃ Cho các mệnh đề sau p
(1) Với mọi số tự nhiên x, x là số vô tỉ;
(2) Bình phương của mọi số thực đều không âm;
(3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;
(4) Có số tự nhiên n sao cho 2n − 1 = 0.
Trong toán học để ngắn gọn, người ta dùng các kí hiệu ∀ (đọc là với mọi) và ∃ (đọc là
tồn tại) để phát biểu những mệnh đề như trên. Chẳng hạn: p
(1) ∀x ∈ N, x là số vô tỉ; (3) ∃x ∈ Z, x + x = 0; (2) ∀x ∈ R, x2 ⩾ 0 ; (4) ∃n ∈ N,2n − 1 = 0.
Ta nói (1), (2) là mệnh đề chứa kí hiệu ∀ ; (3), (4) là mệnh đề chứa kí hiệu ∃.
Tổng quát hơn, có thể phát biểu hai mệnh đề này như sau:
“∀x ∈ M, P(x) ” và “∃x ∈ M, P(x) ”
với M là một tập hợp, P(x) là một mệnh đề chứa biến nào đó.
•Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x) ” đúng nếu với mọi x0 ∈ M, P(x0) là mệnh đề đúng.
•Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x) ” đúng nếu có x0 ∈ M sao cho P(x0) là mệnh đề đúng. 12
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề K Ví dụ 9 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;
b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.
b Hướng dẫn giải. Bằng cách sử dụng kí hiệu, các mệnh đề được viết:
a) “∀x ∈ R, x + (−x) = 0 ”; b) “∃x ∈ N, x2 = 9 ”. K Ví dụ 10 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) ∀x ∈ R, x2 > 0; b) ∃x ∈ R, x2 = 5x − 4; c) ∃x ∈ Z, 2x + 1 = 0. b Hướng dẫn giải.
a) Gọi P: “∀x ∈ R, x2 > 0 ”.
Chọn x = 0 ∈ R, ta có x2 = 02 = 0 > 0 (vô lí). Do đó mệnh đề P sai.
Mệnh đề phủ định của P là: P: “∃x ∈ R, x2 ≤ 0 ”.
b) Gọi Q: “∃x ∈ R, x2 = 5x − 4 ”.  x = 1
Xét phương trình x2 = 5x − 4. Ta có x2 − 5x + 4 = 0 ⇔   x = 4
Ta thấy x = 1 và x = 4 đều là các số thực. Do đó mệnh đề Q đúng.
Mệnh đề phủ định của Q là: Q: “∀x ∈ R, x2 ̸= 5x − 4 ”.
c) Gọi H: “∃x ∈ Z, 2x + 1 = 0 ”. 1
Xét phương trình 2x + 1 = 0 ⇔ x = − ∉ Z. 2
Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x để 2x + 1 = 0.
Vậy mệnh đề H là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định của H là: H: “∀x ∈ Z, 2x + 1 ̸= 0 ”. ∠ 13
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
L 8 Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương khác 1 ”.
Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1 ”.
a) Hãy cho biết phát biểu của bạn nào đúng.
b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.
L 9 Lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a) ∀x ∈ 1 R, x ̸= 2x − 2; c) ∃x ∈ R, x + ⩾ 2; x
b) ∀x ∈ R, x2 ⩽ 2x − 1;
d) ∃x ∈ R, x2 − x + 1 < 0. BÀI TẬP T 1 Bài tập tự luận
Bài 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới; b) Bạn học trường nào?
c) 2100 có 50 chữ số khi viết trong hệ thập phân; d) 2x + 1 > 0; p e) 3 là số hữu tỉ;
f) Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Bài 2. Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Các số nguyên tố đều là số lẻ;
b) Phương trình x2 + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt;
c) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.
Bài 3. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) 106 là hợp số; p b) 2 là số vô tỉ;
c) Tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180◦. 14
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề
Bài 4. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi
mệnh đề phủ định đó:
a) A: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = −x2 là trục tung ”;
b) B: “Phương trình 3x2 + 1 = 0 có nghiệm ”;
c) C: “Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = −2x + 1 không song song với nhau ”;
d) D: “Số 2024 không chia hết cho 4 ”. Bài 5. Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành ”;
Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. Bài 6. Cho hai câu sau:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông ”;
Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại ”.
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này. Bài 7. Cho các định lí:
P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau ”;
Q: “Nếu a < b thì a + c < b + c với a, b, c ∈ R ”.
a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí;
b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”;
c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?
Bài 8. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu các định lí sau:
a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương;
b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại. ∠ 15
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
Bài 9. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.
a) Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3;
b) Nếu x > y thì x3 > y3;
c) Nếu tam giác ABC có AB = AC thì tam giác ABC cân;
d) Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60◦ thì tam giác ABC đều.
Bài 10. Cho các mệnh đề sau:
P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó ”;
Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10 ”;
R: “Có số thực x sao cho x2 + 2x − 1 = 0 ”.
S: “Có ba số tự nhiên khác 0 sao cho tổng bình phương của hai số bằng bình
phương của số còn lại ”.
a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.
b) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các mệnh đề đã cho.
Bài 11. Xét tính đúng, sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây: a) ∃x ∈ N, x + 3 = 0;
e) ∃n ∈ N, n2 có chữ số tận cùng là 4; b) ∀x ∈ R, x2 + 1 ≥ 2x;
f) ∀x ∈ N, x2 + 2x + 2 > 0; p c) ∀a ∈ R, a2 = a;
g) ∃x ∈ Q, x2 − x − 1 = 0;
d) ∀n ∈ N, n(n + 1) chia hết cho 2; h) ∀x ∈ R, x4 < x2.
Bài 12. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi số tự nhiên có chữ số tạn
cùng bằng 0 đều chia hết cho 10 ”.
Bài 13. Mệnh đề “∃n ∈ N, n(n + 1) = 2100 + 1 ”đúng hay sai? Vì sao. 2
Câu hỏi trắc nghiệm
c Câu 1. Câu nào dưới đây không là mệnh đề?
A Phương trình x2 + x − 1 = 0 vô nghiệm . B x + y > 1. C 12 là số nguyên tố .
D Hai phương trình x2 − 4x + 3 = 0 và x − 1 = 0 có nghiệm chung . 16
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề
c Câu 2. Câu nào dưới đây không là mệnh đề? A 3 < 1. B 4 − 5 = 1. C Bạn học giỏi quá! .
D π là số vô tỉ .
c Câu 3. Câu nào dưới đây là mệnh đề? A 2 + 3 = 9. B 5 − x = 7.
C Cố lên, sắp có tiền rồi! . D Bây giờ là mấy giờ?.
c Câu 4. Phát biểu nào dưới đây là mệnh đề toán học?
A Việt Nam là một quốc gia thuộc Châu Á . B x2 + 2x − 3 ⩾ 0. C xn = x · x . . . · x . | {z } n thừa số
D Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động .
c Câu 5. Phát biểu nào dưới đây là mệnh chứa biến?
A Tích của hai số thực trái dấu là một số thực âm .
B Mọi số nguyên lẻ đều chia hết cho 2 . C 3n chia hết cho 9 .
D 17 là số chính phương .
c Câu 6. Cho mệnh đề A: “Nghiệm của phương trình x2 − 5 = 0 là số hữu tỉ”. Mệnh
đề phủ định của mệnh đề trên là:
A “Nghiệm của phương trình x2 − 5 = 0 không là số hữu tỉ”.
B “Nghiệm của phương trình x2 − 5 = 0 không là số vô tỉ”.
C “Phương trình x2 − 5 = 0 vô nghiệm”.
D “Nghiệm của phương trình x2 − 5 = 0 không là số nguyên”.
c Câu 7. Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 4 thì n
chia hết cho 2”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n không chia hết cho 4”.
B “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 2”.
C “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4”.
D “Nếu số tự nhiên n không chia hết cho 2 thì n không chia hết cho 4”. ∠ 17
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
c Câu 8. Cho tứ giác ABCD. Xét mệnh đề “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì
tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau”.
B “Nếu tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD không là hình chữ nhật”.
C “Nếu tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD không là hình chữ nhật”.
D “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
c Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A 62 là số hữu tỉ.
B Phương trình 2x2 + 7x − 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. C 17 là số chẵn.
D Phương trình x2 + 7x + 20 = 0 có nghiệm.
c Câu 10. Với giá trị nào của x thì mệnh đề chứa biến P(x) : “x + 1 < x2” là đúng? 1 A x = 0 . B x = 2 . C x = 1 . D x = . 2
c Câu 11. Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “x + 10 ⩾ x2” với x là số tự nhiên. Mệnh đề nào sau đây sai? A P(1). B P(2). C P(3). D P(4).
c Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.
B Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông.
C Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
D Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau
và có một góc bằng 60◦.
c Câu 13. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 − x + 1 < 0” là mệnh đề:
A “∀x ∈ R, x2 − x + 1 ⩾ 0”.
B “∀x ∈ R, x2 − x + 1 < 0”.
C “∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0”.
D “∃x ∈ R, x2 − x + 1 ⩾ 0”. 18
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 L Bài 1. Mệnh đề 1
c Câu 14. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q, x = ” là mệnh đề: x 1 1 A “∃x ∈ Q, x ̸= ”. B “∀x ∈ Q, x = ”. x x 1 1 C “∀x ∉ Q, x ̸= ”. D “∀x ∈ Q, x ̸= ”. x x
c Câu 15. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, x2 ⩾ 0” là mệnh đề: A “∃x ∈ R, x2 ⩾ 0”. B “∃x ∈ R, x2 > 0”. C “∃x ∈ R, x2 ⩽ 0”. D “∃x ∈ R, x2 < 0”.
c Câu 16. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, |x| ⩾ x” là mệnh đề:
A “∀x ∈ R, |x| < x”. B “∃x ∈ R, |x| ⩽ x”.
C “∃x ∈ R, |x| < x”.
D “∃x ∈ R, |x| > x”.
c Câu 17. Cho mệnh đề chứa biến P(n) : “n2 − 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên.
Khẳng định nào dưới đây đúng? A P(5) đúng và P(2) đúng. B P(5) sai và P(2) sai. C P(5) đúng và P(2) sai. D P(5) sai và P(2) đúng.
c Câu 18. Cho x, y là hai số thực cùng khác −1. Kết luận nào sau đây là đúng? A x + y + x y ̸= −1. B x + y + x y = −1. C x + y ̸= −2. D x y ̸= −1.
c Câu 19. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
B Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
C Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
D Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
c Câu 20. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a+b < 2. Kết luận nào sau đây là đúng?
A Cả hai số a, b đều nhỏ hơn 1.
B Có ít nhất một trong hai số a, b nhỏ hơn 1.
C Có ít nhất một trong hai số a, b lớn hơn 1.
D Cả hai số a, b không vượt quá 1. ∠ 19
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 yên đề
uh 2 TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP C
I. NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP
Trong toán học, người ta dừng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn
toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm được gọi là một phần tử của tập hợp đó. K Ví dụ 1 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
a) Các bạn học sinh lớp 10A tạo thành một tập hợp. Các bạn học sinh nữ của lớp
này cũng tạo thành một tập hợp.
b) Các nghiệm của phương trình x2 − 4 = 0 tạo thành một tập hợp (gọi là tập
nghiệm của phương trình x2 − 4 = 0). Tập này có hai phần tử là −2 và 2.
Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa như A, B, C . . . và kí hiệu
phần tử của tập hợp bằng các chữ cái in thường như a, b, c . . .
LƯU Ý. Đôi khi, để ngắn gọn người ta dùng từ “tập ”thay cho “tập hợp ”.
Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là “a thuộc
A”). Để chỉ a không là phân tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là “a không thuộc A”)
Một tập hợp có thể không chứa phần tử nào. Tập hợp như vậy gọi là
tập rỗng, kí hiệu ∅. K Ví dụ 2 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
a) Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, khi đó 0 ∈ A,1 ∉ A,10 ∉ A.
b) Nếu gọi B là tập hợp nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0, khi đó B là tập rỗng. Ghi nhớ
N là tập các số tự nhiên,
Z là tập hợp các số nguyên,
Q là tập hợp các số hữu tỉ,
R là tập hợp các số thực. 20
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
II. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT TẬP HỢP
Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. K Ví dụ 3 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Xét tập hợp A các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 15. Ta có thể viết tập hợp A dưới dạng
liệt kê các phần tử: A = {0;2;4;6;8;10;12;14} hoặc dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:
A = ©x¯¯x ∈ N, x chẵn và x < 15ª.
LƯU Ý. Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:
a) Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.
Chẳng hạn, để viết tập hợp A các nghiệm của phương trình x(x − 1) = 0,
ta có thể viết A = {0; 1} hoặc A = {1; 0}.
b) Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.
Chẳng hạn, nếu kí hiệu B là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ
“mathematics” thì B = {m; a; t; h; e; i; c; s}.
c) Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “. . . ” mà không
nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên không quá 100 có thể viết là {0; 1; 2; . . . ; 100}. K Ví dụ 4 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Viết mỗi tập hợp sau dưới dạng thích hợp:
a) Tập hợp A các ước dương của 18;
b) Tập hợp B các nghiệm của phương trình x2 + 3x − 4 = 0;
c) Tập hợp C các số tự nhiên lẻ;
d) Tập hợp D các nghiệm của phương trình x + 3y = 1. b Lời giải. ∠ 21
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
a) Số 18 có các ước dương là 1; 2; 3; 6; 9; 18. Do đó A = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.
b) Giải phương trình x2+3x−4 = 0 nhận được hai nghiệm 1 và −4. Do đó B = {1; −4}.
Ta cũng có thể viết B = {x ∈ R | x2 + 3x − 4 = 0}.
c) Ta có thể liệt kê dạng liệt kê các phần tử: C = {1; 3; 5; 7; ...}. Ta cũng có thể
viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:
C = {x ∈ N | x là số lẻ} hoặc C = {x | x = 2n + 1, n ∈ N}.
d) Ta viết D = {(x, y) | x, y ∈ R, x + 3y = 1}.
LƯU Ý. Có những tập hợp, như A và B ở Ví dụ 3, ta có thể đếm hết các phần
tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.
Nếu E là tập hợp hữu hạn thì số phần tử của nó được kí hiệu là n(E). Chẳng
hạn, trong Ví dụ 4, ta có: n(A) = 6 và n(B) = 2. Đặc biệt, n(∅) = 0.
L 1 Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử và tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:
a) Tập hợp A các ước của 24;
b) Tập hợp B gồm các chữ số trong số 1 113 305;
c) C = {n ∈ N | n là bội của 5 và n ⩽ 30};
d) D = {x ∈ R | x2 − 2x + 3 = 0}.
L 2 Gọi S là tập nghiệm của phương trình x2−24x+143=0. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Vì sao? a) 13 ∈ S; b) 11 ∉ S; c) n(S) = 2.
L 3 Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:
a) A = {x ∈ N | x là số lẻ và x ⩽ 15};
b) B = {x ∈ N | x là bội của 5};
c) C = {x ∈ R | 2x + 5 > 0}. 22
∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
III. TẬP CON VÀ HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU 1) Tập con
Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì
ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B (đọc là “A chứa
trong B”), hoặc B ⊃ A (đọc là “B chứa A”). Nhận xét:
A ⊂ A và ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.
Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu A ⊈ B (đọc là “A không chứa
trong B ” hoặc “B không chứa A ”).
Nếu A ⊂ B hoặc B ⊂ A thì ta nói A và B có quan hệ bao hàm.
Trong toán học, người ta thường minh họa một tập hợp B
bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong A
kín, gọi là biểu đồ Ven. Ta có thể minh họa A là tập con
của B bằng biểu đồ Ven như hình bên.
Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên,
tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có N Z Q R quan hệ bao hàm: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. K Ví dụ 5 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Xét tập hợp A = {a, b}. Tìm tất cả các tập con của A.
b Lời giải. Tập A có các tập con là ∅,{a},{b}, A. L .
4 Tìm tất cả các tập con có ba phần tử của tập B = {x ∈ . N | 0 ⩽ x ⩽ 12 và x . 3}. 2) Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu A ⊂ B và B ⊂ A.
Nói cách khác, hai tập hợp A và B bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này
cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại. ∠ 23
Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

Tài liệu liên quan: