Chuyên đề Toán 12 học kì 2 theo chương trình mới – Ngô Đức Tài
Tài liệu gồm 274 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Ngô Đức Tài, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập (trắc nghiệm nhiều lựa chọn + trắc nghiệm đúng sai + tự luận) chuyên đề môn Toán 12 học kì 2 theo chương trình mới GDPT 2018.
Chủ đề: Tài liệu chung 169 tài liệu
Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
NGÔ ĐỨC TÀI Zalo: 0889 971 004 TO T ÁN O 12
THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI
( Dùng chung cho cả 4 bộ sách ) TẬP 2 E M P y y = ax N F Q y = loga x B C x O O A D π π π π π π π π π π π π π
ĐỒNG THÁP - THÁNG 10 2025 π π π π π π π MỤC LỤC Chương Nguyên hàm. Tích phân 2 IV.
Chuyên đề 1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chuyên đề 2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chuyên đề 3. Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . 48
Chuyên đề 4. Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Chương
Phương pháp tọa độ trong không gian 127 V.
Chuyên đề 1. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Chuyên đề 2. Phương trình đường thẳng trong không gian . . . . . 150
Chuyên đề 3. Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Chuyên đề 4. Ôn tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Chương Xác suất có điều kiện 231 VI.
Chuyên đề 1. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Chuyên đề 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes . 245
Chuyên đề 3. Ôn tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 ∠ 1
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 Chương 4 NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN Mục lục của chương
Chuyên đề 1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chuyên đề 2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chuyên đề 3. Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chuyên đề 4. Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004 yên đề uh 1 NGUYÊN HÀM C I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên
hàm của hàm số f (x) trên K nếu F ′(x) = f (x) với mọi x thuộc K. K Ví dụ 1 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Chứng minh:
a) Hàm số F (x) = x4 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 trên R ; 1
b) Hàm số F (x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng cos2 x π π − ; . 2 2 b Lời giải.
a) Hàm số F (x) = x4 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 trên R vì (x4)′ = 4x3
với mọi x ∈ R, nghĩa là F ′(x) = f(x) với mọi x ∈ R. 1
b) Hàm số F (x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng cos2 x π π 1 π π − , vì (tan x)′ = với mọi x ∈ − ,
nghĩa là F ′(x) = f (x) với mọi 2 2 cos2 x 2 2 π π x ∈ − , . 2 2
L 1 Chứng minh rằng hàm số F(x) = x + cosx là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 − sin x trên R.
Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. Khi đó
Với mỗi hằng số C, hàm số F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì tồn tại hằng số
C sao cho G(x) = F (x) + C với mọi x ∈ K.
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C,
với C là hằng số. Ta gọi F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của Z Z f (x) trên K, kí hiệu f (x)dx và f (x)dx = F (x) + C. ∠ 3
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân Z Từ định nghĩa ta có f ′(x)dx = f (x) + C.
LƯU Ý. • Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f(x), kí hiệu
là dF (x). Vậy dF (x) = f (x)dx.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bài toán tìm nguyên
hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm
trên từng khoảng xác định của hàm số đó. K Ví dụ 2 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Z Biết
f (x)dx = x3 − e2x + C. Tìm f (x).
b Hướng dẫn giải. Với mỗi C ∈ R, ta có x3 − e2x + C′ = f(x) ⇒ f(x) = 3x2 − 2e2x. L Z 2 Cho
f (x)dx = sin x + cos x + C. Tính f (π).
II. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP Z Z xα+1 0dx = C. xαdx = + C (α ̸= −1). α + 1 Z 1dx = x + C . Z Z
LƯU Ý. Người ta thường viết dx thay cho 1dx. K Ví dụ 3 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tìm: Z Z 1 Z √ a) x4dx. b) dx. c) xdx, x > 0. x3 b Hướng dẫn giải. Z x4+1 x5 a) x4dx = + C = + C. 4 + 1 5 4
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm Z 1 Z x−3+1 x−2 1 b) dx = x−3dx = + C = + C = − + C. x3 −3 + 1 −2 2x2 1 Z √ Z +1 √ 1 x 2 2 3 2 c) xdx = x 2 dx = + C = .x 2 + C = x3 + C. 1 + 1 3 3 2 L 3 Tìm: Z Z 1 Z √ a) x5dx. b) √ dx, x > 0. c) x xdx, x > 0. 3 x 1
Nguyên hàm của hàm số y = x Z 1 dx = ln |x| + C. x K Ví dụ 4 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 1 Cho hàm số f (x) =
, x ̸= 0. Tìm nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn F (e) = 0. x Z Z b Hướng dẫn giải. 1 Ta có F (x) = f (x)dx = dx = ln |x| + C. x
Mặt khác, F (e) = 0 ⇒ ln |e| + C = 0 ⇒ C = −1.
Vậy F (x) = ln |x| − 1 với x ̸= 0.
Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác Z Z 1 cos xdx = sin x + C. dx = tan x + C. cos2 x Z Z 1 sin xdx = − cos x + C . dx = − cot x + C. sin2 x K Ví dụ 5 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ π
Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos x thỏa F (0) + F = 0. 2 Z Z
b Hướng dẫn giải. Ta có F(x) = f(x)dx = cos xdx = sin x + C. π π 1 Ta có F (0) + F = 0 ⇒ sin 0 + C + sin
+ C = 0 ⇒ 2C = −1 ⇒ C = − . 2 2 2 1 Vậy F (x) = sin x − . 2 ∠ 5
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân L 1 π
4 Cho G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) = thỏa mãn G = 0. Tính sin2 x 3 π G . 4
Nguyên hàm của hàm số mũ Z Z ax exdx = ex + C. axdx = + C, 0 < a ̸= 1. ln a K Ví dụ 6 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tìm: Z Z a) 3xdx. b) e2xdx. b Hướng dẫn giải. Z 3x a) Ta có: 3xdx = + C. ln 3 Z Z e2x e2x b) e2xdx = e2x dx = + C = + C. ln e2 2 L 5 Tìm: Z 1 Z Z 2x a) dx. b) e−xdx. c) dx. 3x 5x L 1
6 Tìm nguyên hàm H(x) của hàm số h(x) = 7x, biết H(0) = + 2. ln 7
Tổng kết lại, ta có bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp sau: Z Z 0dx = C sin xdx = − cos x + C Z Z dx = x + C cos xdx = sin x + C Z xα+1 Z 1 xαdx = + C, α ̸= 1 dx = tan x + C α + 1 cos2 x Z 1 Z 1 dx = ln x + C dx = − cot x + C x sin2 x Z Z ax exdx = ex + C axdx = + C, 0 < a ̸= 1 ln a 6
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm
III. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của tích một số với một hàm số Z Z kf (x)dx = k
f (x)dx với k ∈ R và k ̸= 0. K Ví dụ 7 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tìm: Z Z cos x a) − dx. b) 22x+1dx. 4 b Hướng dẫn giải. Z Z cos x 1 1 a) − dx = − cos xdx = sin x + C. 4 4 4 Z Z Z Z 2.4x 4x b) 22x+1dx = 2.22xdx = 2 22xdx = 2 4xdx = + C = + C. ln 4 ln 2 L 7 Tìm: Z Z Z a) 3x2dx. c) e2x+1dx. e) 3(1 + cot2 x)dx. Z 8 Z Z x x b) dx. d) 4x+1dx. f) 4 sin cos dx. x 2 2
Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số Z Z Z f(x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx. Z Z Z f(x) − g(x)dx = f (x)dx − g(x)dx. K Ví dụ 8 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tìm: Z 2 Z 3 1 Z 2x + 1 a) 3x3 + √ dx b) − dx. c) dx. 5 x3 cos2 x sin2 x x b Hướng dẫn giải. Z 2 Z Z 3x4 5 √ a) 3x3 + √ dx = 3 x3dx + 2 x− 35 dx = + x5 + C. 5 x3 4 2 Z 3 1 Z 1 Z 1 b) − dx = 3 dx − dx = 3 tan x + cot x + C. cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x ∠ 7
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân Z 2x + 1 Z 1 Z Z 1 c) dx = 2 + dx = 2dx + dx = 2x + ln |x| + C. x x x K Ví dụ 9 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận
tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng
giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường
băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
b Hướng dẫn giải. Gọi S(t) (0 ≤ t ≤ 30) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t
giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.
Ta có v(t) = S′(t). Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t). Sử dụng tính
chất của nguyên hàm ta được: Z Z Z Z 3 S(t) = v(t) dt = (5 + 3t) dt = 5 dt + 3 t dt = 5t + t2 + C. 2 3
Theo giả thiết, S(0) = 0 nên C = 0 và ta được S(t) = t2 + 5t (m). 2
Máy bay rời đường băng khi t = 30 (giây) nên: 3 S = S(30) = · 302 + 5 · 30 = 1500 (m). 2
Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là S = 1500 m.
L 8 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Z Z Z 1 4 a) (2x2 − 3x + 5)dx. c) (2x − 1)2dx. e) − dx. x sin2 x Z Z 2 Z x4 + 2 b) (3x2 − cos x)dx. d) 3 sin x − √ dx. f) dx. 3 x x2
L 9 Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm t tháng kể từ khi
người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức
P ′(t) = 8t + 30 (con/tháng), với P (t) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm
t tháng tương ứng (nguồn: Chris Kirkpatrick, Barbara Alldred, Crystal Chilvers,
Beverly Farahani, Kristina Farentino, Angelo Lillo, Ian Macpherson, John Rodger,
Susanne Trew, Advanced Function, Nelson 2012). Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã
cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi
chúng được thả vào rừng. 8
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm
L 10 Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x)
(triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay
đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số MR(x) = R′(x).
Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại
con chíp của hãng được cho bởi MR(x) = 300 − 0, 1x; ở đó x là số lượng chíp đã
bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp. BÀI TẬP T 1 Trắc nghiệm
c Câu 1. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên R . Khẳng định nào dưới đây sai? Z Z Z h i A f (x) − g(x) dx = f (x)dx − g(x)dx. Z Z Z B f (x).g(x)dx = f (x)dx. g(x)dx . Z Z Z h i C f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx . Z Z D kf (x)dx = k f (x)dx, k ∈ R, k ̸= 0 . Z c Câu 2. x2dx bằng x3 A 2x + C. B + C. C x3 + C. D 3x3 + C. 3
c Câu 3. Cho hàm số f (x) xác định trên K và F (x) được gọi là nguyên hàm của f (x) với mọi x ∈ K nếu A F (x) = f (x). B F (x) = f ′(x). C F ′(x) = f (x). D F ′(x) = f ′(x).
c Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 1 là x3 A x3 + C. B + x + C. C 6x + C. D x3 + x + C. 3
c Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x2 là 1 1 A x5 + x3 + C. B x4 + x2 + C. 5 3 C x5 + x3 + C. D 4x3 + 2x + C. 1
c Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x2 1 1 A − + C . B −x + C. C x + C. D + C. x x ∠ 9
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân
c Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không là nguyên hàm của hàm số y = x2025? x2026 x2026 x2026 A + 1. B . C 2025.x2024. D − 1. 2026 2026 2026 √
c Câu 8. Trên khoảng (0; +∞), cho hàm số f (x) =
x3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z Z 2 5 A f (x)dx = 2x + C. B f (x)dx = x 2 + C. 5 Z 2 Z 1 5 C f (x)dx = x 2 + C. D f (x)dx = x 2 + C. 3
c Câu 9. Hàm số F (x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số dưới đây trên khoảng π 0; ? 2 1 1 A f2(x) = . B f1(x) = − . sin2 x sin2 x 1 1 C f3(x) = . D f2(x) = − . cos2 x cos2 x
c Câu 10. Họ nguyên hàm của f (x) = cos x + 6x là A sin x + 3x2 + C. B − sin x + 3x2 + C. C sin x + 6x2 + C. D − sin x + C.
c Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 sin x + 3x là 3 A −2 cos x + x2 + C . B 2 cos x + 3x2 + C. 2 3 3 C sin2 x + x + C. D sin 2x + x2 + C. 2 2 1
c Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x2 1 1 A − + C . B −x + C. C x + C. D + C. x x
c Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex là ex+1 A ex + C . B + C. C xex + C. D ln x + C. x + 1 1
c Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + sin x là x 1 A ln x − cos x + C . B − − cos x + C. x2 C ln |x| + cos x + C. D ln |x| − cos x + C.
c Câu 15. Cho hàm số f (x) = ex + 2x. Khẳng định nào dưới đây đúng? Z Z A f (x)dx = ex + x2 + C . B f (x)dx = ex + C. Z Z C f (x)dx = ex − x2 + C. D f (x)dx = ex + 2x2 + C. 10
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm
c Câu 16. Khẳng định nào dưới đây đúng? Z Z A 7xdx = 7x ln 7 + C . B 7xdx = 7x+1 + C. Z 7x Z 7x+1 C 7xdx = + C. D 7xdx = + C. ln 7 x + 1
c Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 − 2 là Z Z x3 A f (x)dx = 2x + C . B f (x)dx = − 2x + C. 3 Z Z C f (x)dx = x2 − 2x + C. D f (x)dx = x3 − 2x + C.
c Câu 18. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là A 2x2 + 4x + C . B x2 + 4x + C. C x2 + C. D 2x2 + C.
c Câu 19. Cho hàm số f (x) = 3x2 + 2x. Trong các hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của f (x) trên R? x3 x2 A F1(x) = x3 + x2 − 4 . B F2(x) = + . 3 2 C F3(x) = x3 − x2 + 1. D F4(x) = 3x3 + x2.
c Câu 20. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex và F (0) = 0. Tính F (ln 3). A 2 . B 6. C 8. D 4. π
c Câu 21. Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + cos x thỏa F = 2. 2
A F (x) = − cos x + sin x + 3 .
B F (x) = − cos x + sin x + 1.
C F (x) = − cos x + sin x − 1.
D F (x) = − cos x + sin x − 3. 3
c Câu 22. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = . 2 Tính F (1). A F (0) = 1 + e . B F (0) = − 1 − e. 2 2 C F (0) = 3 + e. D F (0) = − 3 − e. 2 2
c Câu 23. Họ các nguyên hàm của hàm số 2ex là A 2xex + C. B −2ex + C . C 2ex . D 2ex + C .
c Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x là A − sin x + C. B − cos x + C . C cos x + C . D sin x + C . ∠ 11
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân x3
c Câu 25. Biết hàm số f (x) = (x − 1)2 có nguyên hàm dạng F (x) = + bx2 + cx + C với a
a, b, c ∈ R. Giá trị biểu thức T = a + b + c là A 1 . B 3. C 5. D 10. 7
c Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 − x2 thỏa mãn F (2) = . 3 x3 1 x3 19 A F (x) = 2x − + . B F (x) = 2x − + . 3 3 3 3 x3 x3 C F (x) = 2x − + 3. D F (x) = 2x − + 1. 3 3
c Câu 27. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f ′(x) = 12x2 + 2, ∀x ∈ R và f(1) = 3. Biết
F (x) là một nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F (0) = 2, khi đó F (1) bằng A −3 . B 1. C 2. D 7.
c Câu 28. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′(x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A f (x) = 3x − 5 cos x + 5 . B f (x) = 3x − 5 cos x + 2. C f (x) = 3x + 5 cos x + 15. D f (x) = 3x + 5 cos x + 2.
c Câu 29. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số π
y = F (x) đi qua điểm M (0; 1). Tính F . 2 A 2 . B −1. C 0. D 1.
c Câu 30. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
A f (x) = −F (x), ∀x ∈ K.
B F ′(x) = f (x), ∀x ∈ K .
C F ′(x) = −f (x), ∀x ∈ K . D F (x) = f (x), ∀x ∈ K .
c Câu 31. Cho hàm số f (x) = 2x + cos x. Một nguyên hàm của f (x) trên R là 2x A F (x) = − sin x. B F (x) = 2x ln 2 + sin x . ln 2 2x C F (x) = 2x + sin x . D F (x) = + sin x . ln 2 Z c Câu 32. Tìm nguyên hàm (2x2 + 5x + 3)dx. 2x3 5x2 2x3 5x2 A + + 3x + C. B + + 11x + C . 3 2 3 2 2x3 23x2 C + + 3x + C . D 4x + 5 + C . 3 2
c Câu 33. Nguyên hàm của hàm số f (x) = π4 là π5 π5x π4x A + C. B + C . C + C . D π4x + C. 5 5 4 12
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm
c Câu 34. Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số F (x) = x ln x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A f (x) = ln x + 1. B f (x) = x ln x + 1 . C f (x) = ln x − 1 . D f (x) = 2 ln x . Z c Câu 35. Nếu
f (x)dx = − cos x + C. Khẳng định nào dưới đây đúng? A f (x) = − sin x. B f (x) = − cos x . C f (x) = sin x . D f (x) = cos x .
c Câu 36. Khẳng định nào dưới đây đúng? Z ′ Z ′ A f (x)dx = f ′(x). B f (x)dx = −f (x) . Z ′ Z ′ C f (x)dx = −f ′(x) . D f (x)dx = f (x).
c Câu 37. Nguyên hàm của hàm số f (x) = π4 là π5 π5x π4x A + C. B + C . C + C . D π4x + C. 5 5 4 Z c Câu 38. Tìm nguyên hàm (u4 + 3u)du. u4 3 A + u2 + C. B 4u3 + 3 + C . 4 2 u5 u5 3u2 C + 3u2 + C . D + + C. 5 5 2
c Câu 39. Cho hàm số f (x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x2 − 4x + 5. Tính f ′(2). A 8. B 9 . C 10 . D 4. Z c Câu 40. Biết rằng
f (x)dx = −2x3 + x2 − 4x + C. Tính f (1) + f ′(1). A −18. B −9 . C −12 . D −13. Z f (x) c Câu 41. Biết rằng
dx = 4x3 − 3x2 + C. Tính f (2). x A 72. B 8 . C 16 . D 40. Z
c Câu 42. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x).g(x), biết F (2) = 5 và f (x)dx = Z x2 x + C, g(x)dx = + C. 4 x2 x3 A F (x) = + 5. B F (x) = + 3 . 4 4 x2 x3 C F (x) = + 4 . D F (x) = + 5. 4 4 ∠ 13
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân Z c Câu 43. Biết rằng
x(mx2 + nx + p)dx = x4 − 2x3 + 3x2 + C, (m, n, p ∈ R). Tính giá trị của m + n + p. A 4. B 0, 7 . C 2 . D 0, 9.
c Câu 44. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn Z h i
2f ′(x) + x2 dx = f (x) + 4x2 − x + C.
Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x = 1 là A 6. B 8 . C 5 . D 9.
c Câu 45. Sau một trận động đất, một hồ chứa nước bị rò rỉ. Giả sử lượng nước thất
thoát kể từ khi hồ bị rò rỉ đến thời điểm t (phút) là s(t) (lít), biết rằng s′(t) = (t + 1)2. Tính
lượng nước thất thoát sau 2 giờ kể từ khi hồ bị rò rỉ. A 590520 lít . B 1590520 lít . C 11590520lít . D 890121 lít . Z x2 + x − 2 c Câu 46. Tìm nguyên hàm dx. x x2 x3 x2 A + x − 2 ln |x| + C . B + − 2x ln |x| + C . 2 3 2 x2 + 2 x2 C + C . D − 2 ln |x| + C . x2 2 Z x − 9 c Câu 47. Tìm nguyên hàm √ dx. x + 3 2 √ 3 √ A x x + 3x + C . B x x + 3x + C . 3 4 3 √ 2 √ C x x − 3x + C . D x x − 3x + C . 4 3
c Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x là A F (x) = 2 cos 2x . B F (x) = − cos 2x . 1 1 C F (x) = cos 2x . D F (x) = − cos 2x . 2 2 Z 3 1 c Câu 49. − dx bằng cos2 x sin2 x A 3 tan x + cot x + C . B −3 tan x + cot x + C . C tan x + 3 cot x + C . D 3 tan x − cot x + C . Z 1 c Câu 50. dx bằng 1 + cos 2x 1 1 A cot x + C . B cot x + C . 2 4 1 C tan x + C . D tan x + C . 2 14
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm 2
Trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) học sinh điền đúng hoặc sai.
c Câu 1. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: Phát biểu Đ S Z A Nếu
f (x) dx = 3x2 + 2x + C thì f (x) = x3 + x2 . Z B Nếu F (x) + C =
(x2 + 3x) dx thì F ′(1) = 4 . Z p x − 1 C Nếu f (x) dx =
x2 − 2x + 3 + C thì f (x) = √ . x2 − 2x + 3 Z D Nếu
f (x) dx = xex + C thì f (x) = (x + 1)ex .
c Câu 2. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: Phát biểu Đ S
A Hàm số F (x) = cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x . 3 B Hàm số F (x) =
x4 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 . 4
C Hàm số F (x) = ex + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex . 1 D Hàm số F (x) = −
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cot x . sin2 x
c Câu 3. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: Phát biểu Đ S
A Hàm số F (x) = cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x . 3 B Hàm số F (x) =
x4 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 . 4
C Hàm số F (x) = ex + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex . 1 D Hàm số F (x) = −
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cot x . sin2 x
c Câu 4. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Z π4 A π3 dx = + C . 4 Z xn+1 B xn dx = + C (∀n ∈ N) . n + 1 Z C x(3x + 2) dx = x3 + x2 + C . Z sin6 x D sin5 x dx = + C . 6 ∠ 15
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân
c Câu 5. Biết hàm số f (x) thỏa mãn các điều kiện f ′(x) = 2x+3 và đồ thị hàm số y = f (x)
đi qua điểm M (0; 1). Khi đó: Phát biểu Đ S
A Hàm số f (x) đồng biến trên (−∞; ∞) .
B Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm M là y = 3x + 1 . C Giá trị f (2) = 11 . Z 1 3 D f (x) dx = x3 + x2 − x + C . 3 2
c Câu 6. Cho hàm số f (x) = x3 + 1. Phát biểu Đ S
A Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và F (0) = 0 thì F (2) = 4 . 1 B Hàm số G(x) =
x4 + 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) . 4
C Hàm số H(x) = 3x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Z 1 D f (x) dx = x4 + x + C . 4
c Câu 7. Cho hàm số f (x) = 2x3 − 3x + 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Phát biểu Đ S A F ′(x) = 2x3 − 3x + 1 . Z x4 3x2 B f (x) dx = − + x + C . 4 2
C Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) = G(x) .
D Nếu F (1) = 2 thì F (2) = 6 .
c Câu 8. Cho hàm số F (x) = x3 − 2x + 1, ∀x ∈ R là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Xét tính đúng sai các khẳng định sau: A F ′(x) = f (x) . Z x4 B f (x) dx = − x2 + x + C . 4 C
Nếu hàm số G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và G(−1) = 3 thì G(x) = F (x) − 1 . D
Nếu hàm số H(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và H(1) = −3 thì H(x) = F (x) − 3 . 16
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm
c Câu 9. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: Z A cos x dx = sin x + C . Z 2 B dx = ln x2 + C . x Z x + 1 C dx = x + ln |x| + C . x Z 1 D Nếu
f (x) dx = cos x + ln |x| + C thì f (x) = sin x + . x
c Câu 10. Cho hàm số y = f (x). Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: Z 1 A Nếu f (x) dx = + C thì f (x) = ln |x| . x Z B Nếu
f (x) dx = cos 2x + C thì f (x) = − sin 2x . 1 C
Nếu f ′(x) = x2 − 4 cos x và f (0) = 3 thì f (x) = x3 + 4 sin x + 3 . 3 π 1 √ D
Nếu f ′(x) = 2 cos x − 3 sin x và f = √
thì f (x) = 2 sin x + 3 cos x − 2 2 . 4 2
c Câu 11. Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc
độ tăng trưởng của cây đó trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h′(t) = 1, 5t + 5,
trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm). Cây con khi được trồng cao 12 cm. Phát biểu Đ S
A h(t) là một nguyên hàm của hàm số h′(t) = 1, 5t + 5. 3 B h(t) =
t2 + 5t + C với C là một hằng số. 4
C Chiều cao của cây đó không đổi trong 6 năm được trồng.
D Chiều cao của cây đó khi được bán là 70 cm.
c Câu 12. Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn
bằng hàm số B′(t) = 20t3 − 300t2 + 1000t, trong đó t tính bằng giờ (0 ⩽ t ⩽ 15), B′(t) tính
bằng khách/giờ. Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội. Phát biểu Đ S
A B(t) = 5t4 − 100t3 + 500t2 + 95 với 0 ⩽ t ⩽ 15 .
B Sau 3 giờ sẽ có 1300 khách tham dự lễ hội.
C Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất 28 220 người .
D Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất tại thời điểm 15 giờ . ∠ 17
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân
c Câu 13. Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số
ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi
công dự án). Gọi M (t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công
dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M ′(t) = m(t). Một công trình xây
dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm
số m(t) = 800 − 2t, trong đó t tính theo ngày (0 ⩽ t ⩽ 400), m(t) tính theo người. Đơn giá
cho một ngày công lao động là 400 000 đồng. A
M (t) là một nguyên hàm của hàm số m(t) = 800 − 2t. B
M (t) = 800t − t2 + C với 0 ⩽ t ⩽ 400 và C là một hằng số. C
Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là 160 000. D
Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là 640 000 000 đồng.
c Câu 14. Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà
chua sau khi trồng được cho bởi hàm số v(t) = −0,1t3 + t2, trong đó t tính theo tuần, v(t)
tính bằng cm/tuần. Gọi h(t) (tính bằng cm) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (t ≥ 0). t4 A h(t) = − + t3 + 5, t ⩾ 0 . 40 B
Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài trong 10 tuần . C
Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là 83,3 (cm) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). D
Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao 53,4
(cm) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
c Câu 15. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng.
Gọi P (t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t, trong đó t tính theo ngày √
(0 ≤ t ≤ 10). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số P ′(t) = k t,
trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn. √ A
P (t) là một nguyên hàm của hàm số f (t) = k t. 2k √ B P (t) =
t3 + C với 0 ≤ t ≤ 10 và k, C là hằng số. 3 √ C
P (t) = 100 t3 + 500 với 0 ≤ t ≤ 10. D
Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là 3352 con.
c Câu 16. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm,
từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Latic, 18
∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004
L Chuyên đề 1. Nguyên hàm
những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế
bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm t giờ được kí hiệu là N (t). Ban đầu (t = 0), mật
độ vi khuẩn đo được là N (0) = 12 (triệu tế bào/ml). Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng
(đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn N ′(t)
(đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức N ′(t) = 18t − 3t2 với t
tính bằng giờ, 0 ⩽ t ⩽ 7. A N ′(1) = 15. B N (t) = 9t2 − t3. C
So với lúc ban đầu, tại thời điểm t = 5 giờ, mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 112 triệu tế bào/ml. D
Mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua lớn nhất là 120 (triệu tế bào/ml).
c Câu 17. Một công ty A sở hữu một khu khai thác dầu, bắt đầu khai thác tại thời
điểm t = 0. Dựa trên ước tính trữ lượng dầu, giả sử tốc độ khai thác dự kiến được cho bởi Q′(t) = 3t2(40 − t)2,
0 ≤ t ≤ 40, trong đó Q được đo bằng triệu thùng, t tính theo năm. A
Q′′(t) = 6t(40 − t)(40 − 2t). 3 B Q(t) = 2400t3 − 60t4 + t5. 5 C
Tại thời điểm t = 30 năm thì tốc độ khai thác lớn nhất. D
Lượng dầu được khai thác trong 30 năm đầu tiên là Q(30) = 9180000 thùng.
c Câu 18. Một quần thể vi khuẩn (A) có số lượng cá thể là P (t) sau t phút quan sát được
phát hiện thay đổi với tốc độ là P ′(t) = ae0,1t + 150e−0,03t (vi khuẩn/phút) (a ∈ R). Biết
rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có 200 000 vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trưởng là 350 vi khuẩn/phút. A Giá trị của a = 200. B
P (t) = 2 000e0,1t − 5 000e−0,03t + 200 000. C
Sau 12 phút số lượng vi khuẩn trong quần thể là 206 152 con (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). D
Sau 12 phút, một quần thể vi khuẩn (B) có tốc độ tăng trưởng là G′(t) = 500e0,2t
(vi khuẩn/phút) bắt đầu cạnh tranh nguồn thức ăn trực tiếp với quần thể (A), một cá thể
tại quần thể (B) triệt tiêu một cá thể tại quần thể (A). Sau 5 phút cạnh tranh quần thể
(A) bị triệt tiêu hoàn toàn. Số lượng vi khuẩn của quần thể (B) ở thời điểm bắt đầu cạnh
tranh là 191 967 con (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). ∠ 19
Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004