Chuyên Đề Vectơ Và Hệ Toạ Độ Trong Không Gian Ôn Thi Tốt Nghiệp Giải Chi Tiết
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 278 tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1 Vectơ trong không gian
Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là
khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB .
Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a,b, x, y,
Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (Hình 1).
Hình 1. Đường thẳng d là giá của vectơ a
Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:
Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a
Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như A ,
A BB, gọi là các vectơ-không.
Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ.
Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .
2 Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian Trang 1
a) Tổng của hai vectơ trong không gianTrong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A
tùy ý, vẽ AB a , BC b . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b , kí hiệu a b . Vậy
a b AB BC AC . Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình chất sau:
Tính chất giao hoán: a b b a .
Tính chất kết hợp: a bc a b c .
Tính chất của vectơ-không: a 0 0 a a .
Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm ,
A B, C ta luôn có: AB BC AC .
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC .
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABC .
D A' B'C ' D' , ta có: AB AD AA' AC '
b. Hiệu của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Hiệu của vectơ a và vectơ b là tổng vectơ a và vectơ
đối của vectơ b , kí hiệu a b .
Phép lấy hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. Trang 2
Chú ý: Trong không gian, với ba điểm O, ,
A B tùy ý, ta luôn có: OB OA AB .
3. Tích của một số với một vectơ trong không gian a. Định nghĩa:
Cho số k 0 và một vectơ a 0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu ka .
Vectơ ka cùng hướng với a nếu k 0 , ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k a .
Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
Quy ước: 0.a 0 và k.a 0 . b.Tính chất:
Với hai vectơ a , b bất kỳ, với mọi số thực h và k , ta có:
k a b ka kb;k a b ka kb
h ka ha ka
hka hka
1a a , 1 a a . Chú ý:
Hai vectơ a và b ( b khác 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a kb . Ba điểm phân biệt ,
A B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 sao cho AB k AC .
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M tuỳ ý, ta có:
IA IB 0; MA MB 2MI .
Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC , M tuỳ ý, ta có:
GA GB GC 0; MA MB MC 3MG
Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, M tuỳ ý. Ta có:
GA GB GC GD 0;
MA MB MC MD 4MG
4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ Trang 3
Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a và
OB b . Góc cho hai vectơ a và b trong không gian, kí hiệu a,b , là góc giữa hai vectơ , OA OB . Chú ý: o a b o 0 , 180 Nếu a b 0 ,
90 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a b .
Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng o 0 .
Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng o 180 .
b. Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của hai vectơ a và b
là một số thực, kí hiệu .
a b , được xác định bởi công thức sau: .
a b a . b cos a,b Chú ý:
Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 , ta quy ước . a b 0 .
Với hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 , ta có a b . a b 0 .
Khi a b thì tích vô hướng .
a b được kí hiệu là 2
a và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a . 2 Ta có 2 o
a a . a cos 0 a . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k , ta có: + . a b .
b a (tính chất giao hoán)
+ a b c . a b .
a c (tính chất phân phối)
+ ka.b k . a b . a kb
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
a b2 2 2 a 2 . a b b 2 2 a b 2 a 2 . a b b Trang 4
a a 2 2 b
b a b DẠNG 1
VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hình tứ diện ABCD . Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu A và điểm cuối là các đỉnh
còn lại của hình tứ diện ? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 2. . Cho hình hộp ABC .
D A' B'C ' D' . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AB DC .
B. AB CD . C. AB B' A' .
D. AB C ' D ' .
Câu 3. Cho hình hộp ABC . D A B C D
. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và
cùng phương véctơ AB là véctơ nào sau đây? A. D C .
B. DC .
C. CD . D. CD .
Câu 4. Trong không gian, cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AB AC BC .
B. AB CB AC .
C. AB BC AC .
D. AB CA AB .
Câu 5. Trong không gian, cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AB AC BC .
B. AB CB CA.
C. AB BC AC .
D. AB AC CB .
Câu 6. Trong không gian, cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. AC 2AO .
B. AC 2OA . C. AB 2AO .
D. BD 2AO .
Câu 7. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai. 2 1 A. AG
AB AC AD. B. AG
AB AC AD. 3 4 1 C. OG
OAOBOC OD.
D. GA GB GC GD 0 . 4
Câu 8. Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng? 1 1 A. PQ
BC AD. B. PQ
BC AD. 4 2 1 C. PQ
BC AD.
D. PQ BC AD . 2 Trang 5
Câu 9. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm ,
A B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ,
A B, C, D tạo thành hình bình hành là: 1 1 1 1 A. OA OB OC OD . B. OA OC OB OD . 2 2 2 2
C. OA OC OB OD .
D. OA OB OC OD 0 .
Câu 10. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần
và đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là
A. OA OB OC OD 0 .
B. OA OC OB OD . 1 1 1 1 C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2 2 2
Câu 11. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của
MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. MA MB MC MD 4MG
B. GA GB GC GD
C. GA GB GC GD 0
D. GM GN 0 .
Câu 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .
Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. GA GB GC GD 0
B. GA GB GC GD 2IJ
C. GA GB GC GD JI
D. GA GB GC GD 2 JI
Câu 13. Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 1 1
A. AC AC 2AC .
B. AC CA 2C C 0. 1 1 1 1 1
C. AC AC AA .
D. CA AC CC . 1 1 1 1 1
Câu 14. Cho hình hộp ABC . D A B C D
với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
A. AB BC CC AD D O OC
B. AB AA AD DD
C. AB BC CD D A 0
D. AC AB AD AA .
Câu 15. Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Chọn đẳng thức sai? 1 1 1 1
A. BC BA B C B A .
B. AD D C D A DC . 1 1 1 1 1 1 1 1
C. BC BA BB BD . D. BA DD BD BC . 1 1 1 1
Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Đặt AA , a AB , b AC ,
c BC d, trong các đẳng 1 1 1 1
thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. a b c d 0 .
B. a b c d .
C. b c d 0 .
D. a b c . Trang 6
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17. Cho hình hộp ABC .
D A' B'C ' D' .
A. AB A' B ' DC D'C '
B. AC A'C '
C. AB A' D' CC ' AC .
D. AB BC CC ' C ' D' AD' .
Câu 18. Cho hình hộp ABC .
D A' B'C ' D'
A. AB B 'C ' DD' AC '
B. BD DD ' B ' D ' BB '
C. AC BA' DB C ' D 0 .
D. AB ' C ' D .
Câu 19. Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA O .
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD .
C. Cho hình chóp S.ABCD . Nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD .
Câu 20. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O .
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC OD 0 .
B. Nếu ABCD là hình thang thì OA OB 2OC 2OD 0
C. Nếu OA OB OC OD 0 thì ABCD là hình bình hành.
D. Nếu OA OB 2OC 2OD 0 thì ABCD là hình thang.
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a ; SB b ; SC c ; SD d .
A. a c d b .
B. a b c d .
C. a d b c .
D. a b c d 0.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD .
A. Nếu SA SB 2SC 2SD 6SO thì ABCD là hình thang.
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4SO .
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA SB 2SC 2SD 6SO . Trang 7
D. Nếu SA SB SC SD 4SO thì ABCD là hình bình hành.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC . D
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB SD SA SC .
B. Nếu SB SD SA SC thì ABCD là hình bình hành.
C. Nếu ABCD là hình thang thì SB 2SD SA 2SC .
D. Nếu SB 2SD SA 2SC thì ABCD là hình thang.
Câu 24. Cho hình hộp ABC .
D A B C D với tâm O . 1 1 1 1
A. AB AA AD DD . 1 1
B. AC AB AD AA . 1 1
C. AB BC CD D A 0 . 1 1
D. AB BC CC AD D O OC . 1 1 1 1
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 25. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN k AC BD
Câu 26. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là
trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào
đẳng thức vectơ: PI k PA PB PC PD . DẠNG 2
PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 27. Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC ,
b AD c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 1 1
A. AG a b c . B. AG
abc. C. AG abc. D. 3 2 1 AG
abc. 4
Câu 28. Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC ,
b AD c, gọi M là trung điểm của . BC Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Trang 8 1 1 A. DM
ab2c B. DM 2
a b c 2 2 1 1 C. DM
a2bc. D. DM
a2bc 2 2
Câu 29. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b ,
AC c , AD d . Khẳng định nào sau đây đúng. 1 1 A. MP
(c d b) . B. MP
(d b c) . 2 2 1 1 C. MP
(c b d ) . D. MP
(c d b) . 2 2
Câu 30. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức 1 1 1 1 đúng? 1 1 A. AO
AB AD AA B. AO
AB AD AA 1 1 3 2 1 2 C. AO
AB AD AA D. AO
AB AD AA . 1 1 4 3
Câu 31. Cho lăng trụ tam giác AB . C A B C
có AA a, AB ,
b AC c . Hãy phân tích (biểu thị)
vectơ BC qua các vectơ a,b, c .
A. BC a b c
B. BC a b c
C. BC a b c
D. BC a b c .
Câu 32. Cho lăng trụ tam giác AB . C A B C
có AA a, AB ,
b AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ B C
qua các vectơ a, b, c . A. B C
a b . c B. B C a b . c C. B C
a b . c D. B C a b . c
PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 33. Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Phân tích vectơ SI theo ba vectơ , SA SB, SC .
Câu 34. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x AB ; y AC ; z AD . Phân
tích vectơ AG theo ba vectơ x, y, z .
Câu 35. Cho hình lăng trụ AB . C A B C
, M là trung điểm của BB . Đặt CA a , CB b , AA c .
Phân tích vectơ AM theo ba vectơ a,b, c .
DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TIỄN ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Trang 9
Câu 36. Một tấm sắt tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn
xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm ,
A B,C trên tấm sắt tròn sao cho các
lực căng F , F , F OA OB OC 1 2
3 lần lượt trên mỗi dây , ,
đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng
nhau F F F . Biết trọng lượng P
2024 3 N (xem hình vẽ). 1 2 3
của tấm sắt tròn đó bằng
Tính lực căng của dây treo tấm sắt tròn đó.
ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1 DẠNG 1
CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 7.Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai. 2 1 A. AG
AB AC AD. B. AG
AB AC AD. 3 4 1 C. OG
OAOBOC OD.
D. GA GB GC GD 0 . 4 Lời giải Chọn A.
Theo giả thuyết trên thì với 1
O là một điểm bất kỳ ta luôn có: OG
OAOBOC OD. 4
Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có: Trang 10 1 AG
AA AB AC AD 1
AG AB AC AD 4 4 Do vậy 2 AG
AB AC AD là sai. 3
Câu 8.Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng? 1 1 A. PQ
BC AD. B. PQ
BC AD. 4 2 1 C. PQ
BC AD.
D. PQ BC AD . 2 Lời giải Chọn B.
Ta có : PQ PB BC CQ và PQ PA AD DQ 1
nên 2PQ PA PB BC AD CQ DQ BC AD . Vậy PQ BC AD 2
Câu 9.Trong không gian cho điểm O và bốn điểm ,
A B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ,
A B, C, D tạo thành hình bình hành là: 1 1 1 1 A. OA OB OC OD . B. OA OC OB OD . 2 2 2 2
C. OA OC OB OD .
D. OA OB OC OD 0 . Lời giải Chọn C. B A D C
OA OC OB OD OA OA AC OA AB OA BC AC AB BC
Câu 10.Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và
đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là
A. OA OB OC OD 0 .
B. OA OC OB OD . 1 1 1 1 C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. Trang 11 O A D B C
Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
BD BA BC .
Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có:
BD BA BC OD OB OA OB OC OB
OA OC OB OD.
Câu 11.Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của
MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. MA MB MC MD 4MG
B. GA GB GC GD
C. GA GB GC GD 0
D. GM GN 0 . Lời giải Chọn B.
M , N , G lần lượt là trung điểm của AB, C ,
D MN theo quy tắc trung điểm :
GA GB 2GM ;GC GD 2GN;GM GN 0
Suy ra: GA GB GC GD 0 hay GA GB GC G D .
Câu 12.Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .
Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. GA GB GC GD 0
B. GA GB GC GD 2IJ
C. GA GB GC GD JI
D. GA GB GC GD 2 JI Lời giải Chọn A.
GA GB GC GD GA GB GC GD 2GI 2GJ 2GI GJ 0 .
Câu 13.Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 1 1
A. AC AC 2AC .
B. AC CA 2C C 0. 1 1 1 1 1
C. AC AC AA .
D. CA AC CC . 1 1 1 1 1 Lời giải Chọn A. Trang 12 D C A B O D1 C 1 A B1 1
+ Gọi O là tâm của hình hộp ABC . D A B C D . 1 1 1 1
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Câu 14.Cho hình hộp ABC . D A B C D
với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
A. AB BC CC AD D O OC
B. AB AA AD DD
C. AB BC CD D A 0
D. AC AB AD AA . Lời giải Chọn B.
Ta có : AB AA AD DD AB AD (vô lí)
Câu 15.Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Chọn đẳng thức sai? 1 1 1 1
A. BC BA B C B A .
B. AD D C D A DC . 1 1 1 1 1 1 1 1
C. BC BA BB BD . D. BA DD BD BC . 1 1 1 1 Lời giải Chọn D. B1 C1 D1 A1 B C A D
Ta có : BA DD BD BA BB BD BA BD BC nên D sai. 1 1 1 1 1 1
Do BC B C và BA B A nên BC BA B C B A . A đúng 1 1 1 1 1 1 1 1
Do AD D C D A AD D B A D D B A B DC nên 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AD D C D A DC nên B đúng. 1 1 1 1
Do BC BA BB BD DD BD nên C đúng. 1 1 1
Câu 16.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Đặt AA , a AB , b AC ,
c BC d, trong các đẳng 1 1 1 1
thức sau, đẳng thức nào đúng? Trang 13
A. a b c d 0 .
B. a b c d .
C. b c d 0 .
D. a b c . Lời giải Chọn C. A C B A1 C1 B1
+ Dễ thấy: AB BC CA 0 b d c 0 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17.Cho hình hộp ABC .
D A' B'C ' D' .
A. AB A' B ' DC D'C '
B. AC A'C '
C. AB A' D' CC ' AC .
D. AB BC CC ' C ' D' AD' . Lời giải
A. AB A' B ' DC D'C ' ĐÚNG
B. AC A'C ' ĐÚNG
C. AB A' D' CC ' AC . ĐÚNG
D. AB BC CC ' C ' D' AD' . ĐÚNG A B D C A' B' D' C' Ta có:
AB A' B ' DC D'C ' ,
AC A'C '
AB A' D' CC ' AB BC CC ' AC Trang 14
AB BC CC ' C ' D' AD'
Câu 18.Cho hình hộp ABC .
D A' B'C ' D'
A. AB B 'C ' DD' AC '
B. BD DD ' B ' D ' BB '
C. AC BA' DB C ' D 0 .
D. AB ' C ' D . Lời giải
A. AB B 'C ' DD' AC ' ĐÚNG
B. BD DD ' B ' D ' BB ' ĐÚNG
C. AC BA' DB C ' D 0 . ĐÚNG
D. AB ' C ' D SAI B C A D B' C' A' D'
AB B'C ' DD' AB AD AA' AC '
BD DD ' B ' D ' DD ' BB '
AC BA' DB C 'D AC BA'C 'B AC C ' A' 0
AB ' DC ' C ' D
Câu 19.Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA O .
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD .
C. Cho hình chóp S.ABCD . Nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD . Lời giải
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA O SAI
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD . SAI
C. Cho hình chóp S.ABCD . Nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐÚNG
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD . SAI Trang 15 B A D C
SB SD SA SC SA AB SA AD SA SA A . C
AB AD A .
C ABCD là hình bình hành
Câu 20.Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O .
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC OD 0 .
B. Nếu ABCD là hình thang thì OA OB 2OC 2OD 0
C. Nếu OA OB OC OD 0 thì ABCD là hình bình hành.
D. Nếu OA OB 2OC 2OD 0 thì ABCD là hình thang. Lời giải
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC OD 0 . SAI
B. Nếu ABCD là hình thang thì OA OB 2OC 2OD 0 ĐÚNG
C. Nếu OA OB OC OD 0 thì ABCD là hình bình hành. SAI
D. Nếu OA OB 2OC 2OD 0 thì ABCD là hình thang. SAI
Câu 21.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a ; SB b ; SC c ; SD d .
A. a c d b .
B. a b c d .
C. a d b c .
D. a b c d 0. Lời giải
A. a c d b . ĐÚNG
B. a b c d . SAI
C. a d b c . SAI
D. a b c d 0. SAI S d a b c A D O B C Trang 16
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:
SA SC 2SO
(do tính chất của đường trung tuyến)
SB SD 2SO
SA SC SB SD a c d b .
Câu 22.Cho hình chóp S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD .
A. Nếu SA SB 2SC 2SD 6SO thì ABCD là hình thang.
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4SO .
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA SB 2SC 2SD 6SO .
D. Nếu SA SB SC SD 4SO thì ABCD là hình bình hành. Lời giải
A. Nếu SA SB 2SC 2SD 6SO thì ABCD là hình thang. ĐÚNG
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4SO . ĐÚNG
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA SB 2SC 2SD 6SO . SAI
D. Nếu SA SB SC SD 4SO thì ABCD là hình bình hành. ĐÚNG S A D O B C
A. Đúng vì SA SB 2SC 2SD 6SO OA OB 2OC 2OD 0. Vì O, ,
A C và O, B, D thẳng hàng nên đặt OA kOC;OB mOD k
1 OC m 1 OD 0 . OA OB
Mà OC, OD không cùng phương nên k 2 và m 2
2 AB / /C . D OC OD
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chiêm điểm O vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k 1
, m 1 O là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 23.Cho hình chóp S.ABC . D
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB SD SA SC .
B. Nếu SB SD SA SC thì ABCD là hình bình hành.
C. Nếu ABCD là hình thang thì SB 2SD SA 2SC .
D. Nếu SB 2SD SA 2SC thì ABCD là hình thang. Trang 17 Lời giải
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB SD SA SC . ĐÚNG
B. Nếu SB SD SA SC thì ABCD là hình bình hành. ĐÚNG
C. Nếu ABCD là hình thang thì SB 2SD SA 2SC . SAI
D. Nếu SB 2SD SA 2SC thì ABCD là hình thang. ĐÚNG
Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có
SD 2SB SC 2S . A
Câu 24.Cho hình hộp ABC .
D A B C D với tâm O . 1 1 1 1
A. AB AA AD DD . 1 1
B. AC AB AD AA . 1 1
C. AB BC CD D A 0 . 1 1
D. AB BC CC AD D O OC . 1 1 1 1 Lời giải
A. AB AA AD DD . SAI 1 1
B. AC AB AD AA . ĐÚNG 1 1
C. AB BC CD D A 0 . ĐÚNG 1 1
D. AB BC CC AD D O OC . ĐÚNG 1 1 1 1
Ta có AB AA AB , AD DD AD mà AB AD nên AB AA AD DD sai. 1 1 1 1 1 1 1 1
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 25.Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN k AC BD Lời giải Đáp án: 1 k . 2 1 1 MN
MC MD(quy tắc trung điểm) MA AC MB BD 2 2 1
Mà MA MB 0 (vì M là trung điểm AB ) MN
AC BD. 2 Vậy 1 k . 2 Trang 18
Câu 26.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung
điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng
thức vectơ: PI k PA PB PC PD . Lời giải Đáp án: 1 k . 4
Ta có PA PC 2PM , PB PD 2PN
nên PA PBPC PD 2PM 2PN 2(PM PN ) 2.2.PI 4PI . Vậy 1 k 4 DẠNG 2
PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 27.Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC ,
b AD c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 1 1
A. AG a b c . B. AG
abc. C. AG abc. D. 3 2 1 AG
abc. 4 Lời giải Chọn C. A B D G M C
Gọi M là trung điểm BC . 2 2 1
AG AB BG a BM a
. BC BD 3 3 2 1
a AC AB AD AB 1
a a b c 1 2
a b c. 3 3 3
Câu 28.Cho tứ diện ABCD . Đặt AB a, AC ,
b AD c, gọi M là trung điểm của . BC Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Trang 19 1 1 A. DM
ab2c B. DM 2
a b c 2 2 1 1 C. DM
a2bc. D. DM
a2bc 2 2 Lời giải Chọn A. 1 1
Ta có: DM DA AB BM AB AD
BC AB AD BA AC 2 2 1 1 1 1 1
AB AC AD a b c a b 2c. 2 2 2 2 2
Câu 29.Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b , AC c ,
AD d . Khẳng định nào sau đây đúng. 1 1 A. MP
(c d b) . B. MP
(d b c) . 2 2 1 1 C. MP
(c b d ) . D. MP
(c d b) . 2 2 Lời giải Chọn D.
Ta có c d b AC AD AB AP AM MP 1 2 2 2
MP (c d b) . 2
Câu 30.Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức 1 1 1 1 đúng? 1 1 A. AO
AB AD AA B. AO
AB AD AA 1 1 3 2 1 2 C. AO
AB AD AA D. AO
AB AD AA . 1 1 4 3 Lời giải Chọn B.
Theo quy tắc hình hộp: AC AB AD AA 1 1 1 1 Mà AO AC nên AO
AB AD AA . 1 1 2 2
Câu 31.Cho lăng trụ tam giác AB . C A B C
có AA a, AB ,
b AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ
BC qua các vectơ a, b, c .
A. BC a b c
B. BC a b c
C. BC a b c
D. BC a b c . Lời giải Chọn D. Trang 20