Chuyên Đề Vectơ Và Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua hai đầu mút của vectơ; độ dài của vectơ là khoảng cách giữa hai đầu mút của vectơ; hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 278 tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. VECTƠ
1. Vectơ và các phép toán vectơ
a) Các khái niệm
• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua hai đầu mút của vectơ; độ dài của vectơ là khoảng cách giữa hai
đầu mút của vectơ; hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau; hai
vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài; vectơ-không (kí hiệu 0 ) là vectơ có điểm
đầu và điểm cuối trùng nhau; hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
b) Các phép toán vectơ trong không gian
• Tổng và hiệu của hai vectơ:
Cho hai vectơ a, b . -
Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB a, BC b . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a,b , kí
hiệu là AC a b (Hình 1). -
Hiệu của vectơ a và vectơ b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b , kí hiệu là a b . Chú ý -
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC (Quy tắc hình bình hành). - Nếu ABC . D A B C D
là hình hộp thì AB AD AA AC (Quy tắc hình hộp). - Với ba điểm O, ,
A B trong không gian, ta có: OA OB BA (Quy tắc hiệu).
• Tích của một số với một vectơ:
Cho số thực k 0 và vectơ a 0 . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: -
Cùng hướng với vectơ a nếu k 0 , ngược hướng với vectơ a nếu k 0 ; k a - Có độ dài bằng . Chú ý: -
Ta có ka 0 khi và chỉ khi k 0 hoặc a 0 . -
Với hai vectơ bất kì a, b và hai số thực h, k , ta có:
k a b ka kb;k a b ka kb ; h ka ha k ;
a hka hk a;
1 a a;
1 a a . -
Hai vectơ a,b khác 0 là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k 0 sao cho a k b . -
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA IB 0 . -
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC 0 . -
Điều kiện cần và đủ để ba điểm ,
A B, C thẳng hàng là có số thực k 0 sao cho AB k AC .
• Tích vô hướng của hai vectơ: Trang 1
Cho hai vectơ a,b khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ a và b , kí hiệu a b , là một số thực được xác
định bởi công thức: a b a b cosa,b, ở đó a,b là góc giữa hai vectơ a,b .
Chú ý: Với các vectơ bất kì a, b , c và số thực k tuỳ ý, ta có:
a b b a
a b c a b a c
kab k ab akb 2 a 0 , trong đó 2
a a a . Ngoài ra, 2
a 0 a 0 .
II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Xét không gian với hệ trục tọa độ Oxyz .
1. Toạ độ của vectơ
• OM a;b;c M a;b;c ;
• Toạ độ của một vectơ u là toạ độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OA u .
• Nếu u a;b;c thì u ai bj ck . Ngược lại, nếu u ai bj ck thì u a;b;c. x x 1 2
• Với a x ; y ; z và b x ; y ; z , ta có: a b y y . 2 2 2 1 1 1 1 2 z z 1 2
• Cho hai điểm Ax ; y ; z và Bx ; y ; z . Khi đó, ta có: B B B A A A
AB x x ; y y ; z z . B A B A B A
2. Biểu thức tọa độ của phép toán vec tơ.
• Cho hai vec tơ u (x ; y ; z ) và v x ; y ; z . Khi đó: 2 2 2 1 1 1
u v (x x ; y y ; z z ) ; 1 2 1 2 1 2
u v (x x ; y y ; z z ) ; 1 2 1 2 1 2
mu (mx ; my ; mz ) với m ; 1 1 1 .
u v x x y y z z ; 1 2 1 2 1 2 y z z x x y 1 1 1 1 1 1
u,v ; ; y z z x x y 2 2 2 2 2 2
y z y z ;z x x z ;x y x y 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 Chú ý
- Hai vectơ u (x ; y ; z ) và v x ; y ; z ( v 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực m 2 2 2 1 1 1 x mx 1 2
sao cho y my 1 2 z mz 1 2 - Nếu a ( ; x y; z) thì 2 2 2
a a.a
x y z - Nếu (
A x ; y ; z ) và B(x ; y ; z ) thì AB AB (x x ) ( y y ) z z . 2 1 2 1 2 12 2 2 1 1 1 2 2 2
- Với hai vectơ u (x ; y ; z ) và v x ; y ; z khác vectơ 0 ta có 2 2 2 1 1 1 u v
x x y y z z u v . cos , 1 2 1 2 1 2 u . v 2 2 2 2 2 2
x y z . x y z 1 1 1 2 2 2 Trang 2 - Cho hai điểm (
A x ; y ; z ) và B(x ; y ; z ) . Nếu M (x ; y ; z ) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì A A A B B B M M M x x y y z z A B x ; A B y ; A B z . M 2 M 2 M 2
- Cho tam giác ABC có (
A x ; y ; z ) , B(x ; y ; z ) , C(x ; y ; z ) . Nếu G x ; y ; z là trọng tâm tam G G G A A A B B B C C C
x x x
y y y
z z z giác ABC thì: A B C x ; A B C y ; A B C z . G 3 G 3 G 3
3. Phương trình mặt phẳng
a) Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Nếu vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì n được gọi là vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (P) .
• Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc thuộc mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ
phương của mặt phẳng (P) .
Chú ý: Nếu hai vectơ a (a ; a ; a ) , b b ;b ;b là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) thì 1 2 3 1 2 3
n a,b
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .
b) Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (P) đi qua điểm I (x ; y ; z ) và nhận n ( ; a ;
b c) làm vectơ pháp tuyến có phương trình 0 0 0
tổng quát là: ax by cz d 0 với d ax by cz . 0 0 0
• Mặt phẳng đi qua ba điểm (
A a ; 0; 0), B(0;b ; 0), C(0; 0; c) với abc 0 có phương trình chính tắc là: x y z 1. a b c
c) Điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P , P lần lượt có phương trình tổng quát là: 1 2
A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 . 1 1 1 1 ; 2 2 2 2
Gọi n A ; B ;C , n A ; B ;C lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng P , P . 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n k n •
P // P Tồn tại số thực k 0 sao cho 1 2 . 1 2 D kD 1 2 • (P ) (P ) A A B B C C 0 1 2 1 2 1 2 1 2 .
d) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M (x ; y ; z ) đến mặt phẳng (P) : 2 2 2
Ax By Cz D 0 (A B C 0) được 0 0 0 0
Ax By Cz D
tính theo công thức: d M ,(P) 0 0 0 . 0 2 2 2
A B C
4. Phương trình đường thẳng
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Nếu vectơ u khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng thì u được gọi là vectơ chỉ
phương của đường thẳng .
b) Phương trình đường thẳng
x x at 0
• Hệ phương trình y y bt , trong đó a,b,c không đồng thời bằng 0, t 0
là tham số, được gọi là
z z ct 0
phương trình tham số của đường thẳng đi qua M x ; y ; z 0 0 0
0 và có vectơ chỉ phương r
u a;b;c . Trang 3 r
• Đường thẳng đi qua M x ; y ; z
u a ;b ;c ( với abc 0 ) thì có phương 0 0 0
0 và có vectơ chỉ phương x x y y z z trình chính tắc là 0 0 0 . a b c
c) Vị trí tương đối của hai đường thẳng ur uur
Cho hai đường thẳng phân biệt , M , M u , u 1
2 lần lượt đi qua các điểm 1 2 và tương ứng có 1 2 là hai
vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có: ur uur r u ,u 0 1 2 // 1 2 ur uuuuuur r
u , M M 0 ; • 1 1 2 ur uur r u ,u 0 1 2 • 1 cắt 2 ur uur uuuuuur
u ,u .M M 0; 1 2 1 2 ur uur uuuuuur • 1
và 2 chéo nhau u ,u .M M 0. 1 2 1 2
5. Phương trình mặt cầu 2 2 2
I a;b;c
x a y b z c 2
• Phương trình mặt cầu tâm R bán kính R là: • Phương trình 2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 xác định một mặt cầu khi và chỉ khi 2 2 2
a b c d 0 . Ngoài ra, nếu 2 2 2
a b c d 0 thì phương trình đó xác định mặt cầu
tâm I a;b;c và bán kính 2 2 2
R a b c d . 6. Góc
a) Cosin của góc giữa hai đường thẳng ur uur
Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là u a ; b ;c ,u a ; b ;c . Khi đó, 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
a a b b c c ta có: cos , 1 2 1 2 1 2 . 1 2 2 2 2 2 2 2
a b c . a b c 1 1 1 2 2 2
Nhận xét: a a b b c c 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2
b) Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng r
Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương u a ; b ;c và mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến 1 1 1 r
n a ; b ;c . Khi đó, ta có: 2 2 2
a a b b c c sin , P 1 2 1 2 1 2 . 2 2 2 2 2 2
a b c . a b c 1 1 1 2 2 2
c) Cosin của góc giữa hai mặt phẳng ur uur
Cho hai mặt phẳng P và P có vectơ pháp tuyến lần lượt là n A ; B ;C , n A ; B ;C . 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 Khi đó, ta có:
A A B B C C
cos P , P 1 2 1 2 1 2 . 1 2 2 2 2 2 2 2
A B C . A B C 1 1 1 2 2 2 Trang 4 B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. r r r r r r r r
Ví dụ 1. Cho hai vectơ u ,v có u 2, v 3 và u, v 60 . Khi đó, u.v bằng: A. 3 . B. 6 . C. 3 3 . D. 12 . Lời giải r r r r r r
Ta có: u.v u . v .cos u,v 2.3.cos60 3 .Chọn A. Ví dụ 2 2 2
2. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 3 z 4 9 có bán kính bằng: A. 81. B. 9 . C. 3 . D. 6 . Lời giải
Bán kính mặt cầu S bằng R 9 3.Chọn C.
Dạng 2: Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ví dụ 3. Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m
sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt
phẳng Oxy trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây,
trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên
(Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét).
Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với
tháp trung tâm kiểm soát không lưu
a) Ra đa ở vị trí có toạ độ 0;0;0
b) Vị trí A có toạ độ 300;200;10
c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí A Lời giải
Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có toạ độ 0;0;0,08 ; điểm A 3 00; 200;10 Trang 5
Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là:
2 2 2 300 0 200 0 10 0, 08 360,69 (km).
Vì 360, 69 500 nên ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A .
Đáp án: a) S, b) S, c) Đ, d) S
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện
thoại di động được đặt ở vị trí A1;3;7 . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km.
a) Phương trình mặt cầu (S ) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phù sóng trong không gian là
x 2 y 2 z 2 1 3 7 9 .
b) Điểm A2;2;7 nằm ngoài mặt cầu S .
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ 2;2;7 thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ 5;6;7 thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Lời giải
Phương trình mặt cầu (S) tâm I (1;3;7) bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng 2 2 2
trong không gian là x 1
y 3 z 7 9 . 2 2 2
Ta có: IA 2 1 2
3 7 7 2 3 nên điểm A nằm trong mặt cầu. Vì điểm A nằm trong
mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ 2;2;7 có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. 2 2 2
Ta có: IB 5
1 6 3 7 7 5 3 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện
thoại ở vị trí có toạ độ 5;6;7 không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đáp án: ) a S, ) b S, )
c Đ, d) Đ
⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ng
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A1;1; 3 , B 1 ;1;2 và C 3
; 2;2. Tính cos ABC . Lời giải
Ta có: BA 2;0; 1 , BC 2 ;1;0 . Suy ra
cos ABC cos B , A BC 2. 2 0. 1 1.0 0 ,8 2 0 1 . 2 2 2 2 2 2 2 1 0
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1.
[MĐ2] Cho tứ diện ABCD. LấyG là trọng tâm của tam giác ABC . Phát biểu nào sau đây là sai?
A. GA GB GC 0 .
B. GA GB GC GD 0 .
C. GD GA AD .
D. DA DB DC 3DG . Trang 6 Lời giải Chọn B
Tính chất trọng tâm: GAGB GC 0.
Câu B chỉ đúng khi G là tâm tứ diện ABCD. Câu 2.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho điểm M thỏa mãn OM 2i 3 j 4k .Tọa độ của điểm M là A. ( 4 ; 3 ; 2) . B. (2 ; 3 ; 4 ) . C. (3 ; 4 ; 2) . D. ( 2 ; 3 ; 4) Lời giải Chọn B Với i 1;0;0 j 0;1;0 k 0;0 ;1
Khi đó OM 2i 3 j 4k 2;3; 4 . Câu 3.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 3 ; 2 ; 1 , v 5 ; 4
; 2. Tọa độ của vectơ
u v là: A. 2 ;6 ; 3 . B. 2 ; 6 ; 3 . C. 2 ; 2 ; 3 . D. 2 ;2 ; 1 Lời giải Chọn A
u v 3 5;2 4 ; 1 2 2 ;6; 3 . Câu 4.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho vectơ u 1 ; 2
; 3 . Tọa độ của vectơ 3 u là: A. 3 ; 6 ; 9 . B. 3 ; 6 ; 9 . C. 3 ; 6 ; 9 . D. 3 ; 6 ; 9 . Lời giải Chọn D 3 u ( 3 .1 ; 3 . 2 ; 3 .3) 3 ;6; 9 . Câu 5.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho tam giác MNP có M 2; 3
;4, N 1;2; 3 và P3; 2 ;2 .
Trọng tâm của tam giác MNP có tọa độ là: A. 2; 1 ;3. B. 6; 3 ;9. C. 2 ;1; 3 . D. 6 ;3; 9 . Lời giải Chọn A
Gọi G là trọng tâm tam giác MNP , khi đó:
x x x 2 1 3 M N P x 2 G 3 3
y y y 3 2 2 M N P y 1 . G 3 3
z z z 4 3 2 M N P z 3 G 3 3 Câu 6.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của hai vectơ u 2;3; 3 và v 3 ; 2 ;4 bằng: A. 22. 29 . B. 22. 29 . C. 24 . D. 24 . Lời giải Trang 7 Chọn D Ta có: .
u v 2. 3 3. 2 3 .4 2 4. Câu 7.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai điểm I 3;5; 7 và K 5 ;5; 1 bằng A. 100. B. 20 . C. 10 . D. 17 . Lời giải Chọn C
Khoảng cách giữa hai điểm I và K là độ dài đoạn thẳng IK . Ta có:
IK 2 2 2 5 3 5 5 1 7 10 . Câu 8.
[MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 3;1; 2 và v 2
;1;5 . Tọa độ của vectơ
u,v là: A. 5;7; 1 1 . B. 7 ;11; 5 . C. 7; 1 1;5. D. 5 ; 7 ;1 1 . Lời giải Chọn C Ta có:
u,v 1.5 2 .1;3.5 2 . 2 ;3.11. 2 7; 1 1;5.
Câu 9. [MĐ1] Cho hình hộp chữ nhật . ¢ ¢ ¢ ¢
ABCD A B C D Cặp vectơ nào sau đây là cặp vectơ chỉ phương của mặt phắng ( ¢ )¢ ABB A ? uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
A. AB và AD . B. AB và ¢ AD . C. AB và ¢ ¢ A B D. AB và ¢ CC Lời giải Chọn D uuur
AB có giá nắm trên ( ¢ )¢ ABB A (1) uuur¢
CC có giá song song với ( ¢ )¢ ABB A (2) uuur uuur
Từ (1) và (2) suy ra AB và ¢
CC là cặp vectơ chỉ phương của mặt phắng ( ¢ )¢ ABB A .
Câu 10. [MĐ1] Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(P) : x + 3y - 4z + 5 = 0 ? r r r r A. n = 3;4;5 .
B. n = 1;3; - 4 . C. n = 1;3;4 .
D. n = 3;- 4;5 . 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) Lời giải Chọn B r
Mặt phẳng (P) : x +3y - 4z +5 = 0 có 1 VTPT là n = 1;3;- 4 . 2 ( ) r r
Câu 11. [MĐ1] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm K (1;1;1) nhận u = (1;0;1) , v = (1;1;0)
lả căp vectơ chỉ phương có phương trình tồng quát là:
A. x + y + z - 3 = 0 .
B. x - y + z - 1 = 0 .
C. x + y - z - 1 = 0 .
D. - x + y + z - 1 = 0 . Lời giải Chọn D r r Ta có: éu, ù v = êë úû (- 1;1; )
1 là 1 VTPT của mp cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn.
Câu 12. [MĐ2] Trong kho̊ng gian Oxyz , mặt phẳng cắt ba trục toa độ tại ba điểm D(3;0;0) ,
E(0; - 2;0),G(0;0; - 7) có phương trình chính tắc là: Trang 8 x y z x y z x y z x y z A. - - +1 = 0 . B. + + =1. C. - - =1 . D. - + = 1. 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 Lời giải Chọn C
Phương trình mặt chắn là: x y z - - =1 . 3 2 7 r
Câu 13. [MĐ1] Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm I (15; - 16;17) và nhận u = (- 7;8; - 9)
là vecto chi phương có phương trinh tham số là: ì x =15 - 7t ì x =15 - 7t 2 ì x =15 - 7t ì x = - 7 +15t ïï ïï ïï ïï
A. í y =16 +8t .
B. í y = - 16 +8t .
C. í y = - 16 +8t .
D. í y = 8 - 16t . ï ï ï ï ï z =17 - 9 î t 2 ï z =17 - 9 î t ï z =17 - 9 î t ï z = - 9 +17 î t Lời giải Chọn A
Câu 14. [MĐ1] Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là vectơ chi phương cùa đường thằng x 5 y 9 z 12 - - - : = = . 8 6 3 r r r
A. u = (8;6;3) .
B. u = (8;6; - 3) .
C. u = (- 8;6; - 3) .
D. u = (5;9;12) . 1 2 3 4 Lời giải Chọn A r Đường x y z thẳng 5 9 12 - - - : = =
có một VTCP là u = (8; 6 ; ) 3 8 6 3 Câu 15.
[MĐ1] Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I 6 ; 9
;15 và đường kính bằng 10 có phương trình là: 2 2 2 2 2 2
A. x 6 y 9 z 15 100 .
B. x 6 y 9 z 15 25 . 2 2 2 2 2 2
C. x 6 y 9 z 15 100 .
D. x 6 y 9 z 15 25 . Lời giải Chọn B
Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.
Phương trình mặt cầu tâm I 6 ; 9
;15 và đường kính bằng 10 có phương trình là:
x 2 y 2 z 2 6 9 15 25 .
Câu 16. [MĐ1] Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt cầu S 2 2 2
: x y z 50 ?
A. M 3;4;6 .
B. N 4;4;5. C. P3;4; 5 . D. Q 3 ;3; 5 . Lời giải Chọn C
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu S 2 2 2
: x y z 50 ta thấy tọa độ điểm P3;4; 5 thỏa mãn.
⮲Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a .
a) Tứ giác ABCD là hình vuông.
b) Tam giác SBD cân tại S . Trang 9 uur uuur c) SB BD 0 , 45 . uur uuur d) 2
SB.BD a . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S Đ
a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông. Suy ra a) đúng.
b) Do S.ABCD là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng a SB SD a . Suy ra b) đúng.
c) Do tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên độ dài đường chéo BD a 2 .
Tam giác SBD có SB SD a và BD a 2 nên tam giác SBD vuông cân tại S , suy ra · 0 SBD 45 . uur uuur Vậy SB BD 0 · 0 ,
180 SBD 135 . Suy ra c) sai. uur uuur uur uuur
d) Ta có SB BD SB BD SB BD 0 2 . . .cos , .
a a 2.cos135 a . Suy ra d) đúng.
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A1; 2 ; 3 , B 2 ;1;2, C3; 1 ;2 . uuur a) AB 3 ;3 1 . uuur
b) AC 2; 1 ;1 . uuur uuur c) AB 3AC . d) Ba điểm ,
A B, C không thẳng hàng. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S S Đ uuur a) Ta có A1; 2 ; 3 , B 2
;1;2 AB 3 ;3; 1 . Suy ra a) đúng. uuur b) Ta có A1; 2 ; 3 , C 3; 1
;2 AC 2;1; 1 . Suy ra b) sai. uuur uuur c) Do 3AC 6;3; 3 ; AB 3 ;3; 1 . Suy ra c) sai.. uuur uuur 3 3 uuur uuur d) Ta có AB 3 ;3;
1 ; AC 2;1; 1
AB , AC không cùng phương. Suy ra ba điểm 2 1 ,
A B, C không thẳng hàng. Suy ra d) đúng.
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD có A2; 1 ; 2
, B3;1;2, C1; 1 ; 1 và
D x ; y ; z . D D D uuur
a) AB 1; 2; 4 . Trang 10 uuur
b) DC 1 x ; 1
y ;1 z . D D D uuur uuur c) DC AB .
d) Tọa độ điểm D là 0;3;3 . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ Đ S uuur a) Ta có A2; 1 ; 2
, B3;1;2 AB 1;2;4 . Suy ra a) đúng. uuur b) Ta có C 1; 1 ;
1 ; D x ; y ; z
DC 1 x ; 1
y ;1 z . Suy ra b) đúng. D D D D D D uuur uuur
c) Do hình bình hành ABCD có AB DC . Suy ra c) đúng. uuur uuur
d) Do hình bình hành ABCD có AB DC . uuur uuur
Mà AB 1; 2; 4
DC 1 x ; 1
y ;1 z D D D ; 1 1 x x 0 D D 2 1
y y 3 . D D 4 1 z z 3 D D Vậy D0; 3 ; 3 . Suy ra d) sai.
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D' có A0;0;0 , B2;0;0 ,
D 0;2;0 , A'0;0;2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AA' (Hình 3).
a) Toạ độ của điểm M là 1;0;0 .
b) Toạ độ của điểm N là 0;1;0 . x y z
c) Phương trình mặt phẳng DMN là 1. 1 2 1
d) Khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng DMN bằng 8 . 3 Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ Đ
a) Do A0;0;0 , B2;0;0 và M là trung điểm của AB nên M 1;0;0 . Suy ra a) Đúng
b) Do A0;0;0 , A'0;0;2 và N là trung điểm của AA' nên N 0;0; 1 . Suy ra b) Sai.
c) Do M 1;0;0 , N 0;0;
1 , D 0;2;0 . Phương trình mặt phẳng DMN là Trang 11 x y z
1 ( phương trình đoạn chắn ). Suy ra c) Đúng 1 2 1
d) Ta có: Phương trình mặt phẳng DMN là x y z
1 2x y 2z 2 0 . Mà điểm C '2;2;2 từ đó ta có: 1 2 1
d C DMN 2.2 2 2.2 2 8 '; . Suy ra d) Đúng 2 2 2 3 2 1 2
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : y 0,Q : 3x y 2024 0 . Xét các véc tơ
n 0;1;0 , n 3; 1 ;0 . 2 1
a) n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P . 1
b) n không là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Q . 2 c) n . n 1 . 1 2
d) Góc giữa hai mặt phẳng P,Q bằng 30 . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ D
a) Do P : 0.x 1.y 0.z 0 nên n 0;1;0 là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P . 1 Suy ra a) Đúng.
b) Do Q : 3x y 0.z 2024 0 nên n 3; 1
;0 là một véctơ pháp tuyến của mặt 2
phẳng P . Suy ra b) Sai.
c) n . n 0. 3 1 1 0.0 1 . Suy ra c) Đúng. 1 2 n .n 1
d) cos P,Q 1 2 n . n 2 2 1 2 2 2 2 0 1 0 3 2 1 0 1
P,Q 60 2 Suy ra d) Sai x y z
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 2024 2025 : 2 1 2 và mặt phẳng
P:2x2y z 1 0 . Xét các vectơ u 2;1; 2
, n 2;2; 1 .
a) u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .
b) n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . c) P 8 cos , . 9
d) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng P bằng khoảng 63 (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S Đ Trang 12 x 2024 y z 2025 a) Do : u 2;1; 2
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 2 1 2 nên . Suy ra a) Đúng.
b) Do P : 2x 2y z 1 0 nên n 2;2;
1 là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng P . Suy ra b) Đúng. u n 2.2 1.2 2 1 8 c) Ta có P . sin , u . n 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 64 17 17 2 cos , P 2
1 sin ,P 1
cos,P . Suy ra c) Sai 81 81 9
d) Từ ý c) suy ra P 0 , 63 . Suy ra d) Đúng.
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x y 3 z 3 x 4 y 2 z 4 : , : 1 2 1 1 2 2 1 1
Xét các vectơ u 1; 1 ;2 và u 2;1; 1 . 2 1
a) Đường thẳng đi qua điểm 0;3; 3 và có u 1; 1
;2 là một vectơ chỉ phương. 1 1 1
b) Đường thẳng đi qua điểm M 4 ; 2
;4 và có u 2;1; 1
là một vectơ chỉ phương. 2 2 2
c) u ,u 1; 5 ; 3 1 2 .
d) hai đường thẳng và chéo nhau. 1 2 Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S Đ x y 3 z 3 a) Do :
đi qua điểm M 0;3; 3 và có u 1; 1 ;2 là một vectơ 1 1 1 1 1 Nên 2 1
chỉ phương. Suy ra a) Đúng. x 4 y 2 z 4 b) Do : đi qua điểm M 4 ; 2
;4 và có u 2;1; 1 là một 2 2 2 2 1 1 Nên 1
vectơ chỉ phương. Suy ra b) Đúng. 1 2 2 1 1 1 c) Do u ,u ; ; 1 ;5;3 . Suy ra c) Sai. 1 2 1 1 1 2 2 1 d) M M 4 ; 5 ;7 u
,u .M M 4 25 21 0 và 1 2 1 2 1 2
suy ra hai đường thẳng 1 2
không chéo nhau. Suy ra d) Sai.
Câu 24. Trong không gian Oxyz ( đơn vị trên mỗi trục tính theo mét ), một ngọn hải đăng được đặt ở vị
trí I 17;20;45 . Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km .
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: 2 2 2 2
(x 17) ( y 20) (z 45) 4000 .
b) Nếu người đi biển ở vị trí M 18;21;50 thì không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
c) Nếu người đi biển ở vị trí N 4019;21;44 thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Trang 13
d Nếu hai người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng
cách giữa hai người đó không quá 8 km . Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S S Đ
a) Do phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: 2 2 2 2
(x 17) ( y 20) (z 45) 4000 suy ra đúng. b) Do ta có: 2 2 2 IM
(18 17) (21 20) (50 45)
27 4000 nên người đi biển ở vị trí
M (18; 21;50) có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng suy ra sai. c) Do ta có: 2 2 2 IN
(4019 17) (21 20) (44 45) 4002 4000 nên người đi biển ở vị
trí N (4019; 21; 44) không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng suy ra sai.
d) Do đường kính của mặt cầu trên bằng 8000 m hay 8 km nên hai người đi biển ở vị trí có thể
nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá 8 km suy ra đúng.
⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 25. [MĐ3] Cho hình lập phương ABCD ABCD
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A D và
CD . Gọi là góc giữa hai vectơ MN và A B . Số đo của góc bằng bao nhiêu độ? Lời giải Trả lời: 60
(Hinh 5). Vì MN / / AC nên MN, A B AC , A B C A B .
Tam giác C AB là tam giác đều vì AB .
CD ABCD ' là hình lập phương.
Suy ra C AB 60 .
Vậy MN, AB CA B 60 .
Câu 26. [MĐ3] Cho hình lâp phương ABCD ABCD
có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và
CD . Tích vô hướng 2
MN C B na ( n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? Lời giải
Trả lời: n 0,5
(Hinh 5). Vì MN / / AC nên MN,C B AC ,C B 180 AC B 120 . Trang 14 a 2 Ta có: MN
,C B a 2 . Suy ra 2
MN CB | MN | CB cos MN,C B a 2 2
a 2 cos120 0,5a . 2 Vậy n 0,5.
Câu 27. [MĐ3] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có (
A 1;3;5), B(1;1;3), C(4; 2 ;3) . Số đo của
góc ABC bằng bao nhiêu độ? Lời giải
Trả lời: ABC 120
Ta có: BA (0; 2; 2), BC (3; 3 ;0) . Suy ra BA BC
cos ABC cos(B , A BC)
| BA | | BC | 0.3 2 ( 3 ) 20 1 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 ( 3) 0 Suy ra góc ABC 120 .
Câu 28. [MĐ3] Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của
đài truyền hình. Flycam I ở vị trí A cách vị trí điều khiển 150 m về phía nam và 200 m về phía
đông, đồng thời cách mặt đất 50 m. Flycam II ở vị trí B cách vị trí điều khiển 180 m về phía
bắc và 240 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O
là vị trí người điều khiển, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với
hướng nam, trục Oy trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời,
đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm
tròn đến hàng đơn vị )? Lời giải
Trả lời: 550 m Ta có: Vị trí ,
A B có tọa độ lần lượt là: (150; 200;50), ( 1 80; 2
40;60) . Suy ra khoảng cách
giữa hai flycam đó bằng: 2 2 2 AB ( 1 80 150) ( 2
40 200) (60 50) 550( m).
Câu 29: [MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 3x y 4z 2024 0 và
Q: x3y 4z 2025 0. Góc giữa hai mặt phẳng P,Q bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết
quả đến hàng đơn vị)? Lời giải Trả lời: 67
Hai mặt phẳng P và Q lần lượt có vectơ pháp tuyến là n 3;1;4 và n 1;3; 4 2 1 3113 4 ( 4 ) 5
Ta có: cos (P),(Q) . 2 2 2 2 2 2 13 3 1 4 1 3 ( 4) Suy ra ( ) P , ( ) Q 67 . Trang 15 x 24 y 25 z
Câu 30: [MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng : 1 3 4 5 và x 26 y z :
. Góc giữa hai đường thẳng , bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến 2 5 3 4 1 2 hàng đơn vị)? Lời giải Trả lời: 82
Hai đường thẳng và lần lượt có vectơ chỉ phương là u (3;4; 5) và u (5;3;4) . 1 2 1 2 35 4 3 ( 5 )4 Тa có: 7 cos , . 1 2 2 2 2 2 2 2 50 3 4 ( 5) 5 3 4 Suy ra , 82 . 1 2 x y z
Câu 31: [MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 2 5 : 1 2 2 và mặt phẳng
P:12y 5z 1 0. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng P bằng bao nhiêu độ (làm tròn
kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải Trả lời: 21
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u (1;2; 2) và mặt phẳng (P) có một vectơ
pháp tuyến là n (0;12;5) . 1 0 2 12 ( 2 )5 14
Ta có: sin , (P) . 2 2 2 2 2 2 39 1 2 ( 2) 0 12 5 Suy ra , ( ) P 21 .
Câu 32: [MĐ2] Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A5;3;6 , B1;1;4 , C 2;1;2 và
D 0;0;4 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD bằng bao nhiêu? Lời giải Trả lời: 2
Ta có: BC (1; 0; 2) , BD ( 1 ; 1
;0) nên BC, BD 2 ;2; 1
là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng BCD .
Vậy phương trình mặt phẳng BCD là: 2
x 2y z 4 0 . 2 5 23 6 4
Khi đó, khoảng cách từ điểm (
A 5;3; 6) đến mặt phẳng (BCD) bằng: 2 . 2 2 2 ( 2 ) 2 ( 1 )
Câu 33: [MĐ3] Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho
nên nhà thuộc mặt phẳng Oxy, ngươi ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí ,
A B, C ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ 2;0;4 , 4;0;3 và 4;9;3. Góc giữa
mái nhà bên phải và nên nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải Trả lời: 27
Mặt phẳng ( ABC) và (Oxy) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: n (1;0; 2) , n (0; 0;1) . 1 2 2
Từ đó, góc có giữa mái nhà bên phải và nền nhà có cos . 5 Suy ra 27. Trang 16
Câu 34: [MĐ3] Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt
phẳng Oxy trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A3; 2; 3
đến vị trí B8;8;0. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB và sân bay (một phần
của mặt phẳng Oxy) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải Trả lời: 15
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là u (5;10; 3) , mặt phẳng Oxy có vectơ pháp
tuyến là n (0; 0;1) .
Từ đó, góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB ) và sân bay (một phần của mặt 3
phẳng (Oxy)) có sin . 134 Suy ra 15.
Câu 35: [MĐ3] Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt
phẳng Oxy trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A5;0;5 đến
vị trí B10;10;
3 và hạ cánh tại vị trí M ; a ;
b 0 . Giá trị của a b bằng bao nhiêu (viết kết
quả dưới dạng số thập phân)? Lời giải Trả lời: 42,5 x 5 y z 5
Phương trình đường thẳng AB là: 5 10 2 .
Vì M thuộc AB nên tồn tại số thực t sao cho M (5t 5;10t; 2t 5) . 5
Ngoài ra, M thuộc mặt phẳng Oxy nên 2
t 5 0 t . Suy ra M (17,5;25;0) . 2
Vậy a b 17,5 25 42,5 . Trang 17
Document Outline
- CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- I. VECTƠ
- B. MỘT SỐ VÍ DỤ
- Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
- Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
- Dạng 2: Câu trắc nghiệm đúng sai
- Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
- ⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ng
- Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
- C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
- ⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
- Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
- ⮲Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
- Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
- ⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
- ⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn