con bò cười toán học 12 cấp số nhân

BÀI 2
DẠNG 4: SO SÁNH QUÃNG ĐƯỜNG/ THỜI GIAN DI CHUYỂN GIỮA CÁC PHƯƠNG ÁN Câu 1:
Anh An muốn di chuyển từ vị trí A đến điểm B càng nhanh càng tốt (như hình vẽ). Để di
chuyển từ vị trí A đến điểm B anh An có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để
đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể
chèo thuyền đến một điểm D nằm giữa B và C sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể
chèo thuyền với tốc độ 6 km / h , chạy với tốc độ 8 km / h , AC  3 km, BC  8 km và tốc
độ dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của anh An. Tìm khoảng thời
gian nhanh nhất (đơn vị: giờ) để anh An đến B (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Trả lời: 1,33
Đặt CD  x km  x   2 0 8 , AD  9  x
Giả sử để đi từ A đến B anh An bơi thuyền từ A tới D sau đó chạy đến B . 2 9  x 8  x
Thời gian bơi thuyền từ A tới D là:
, thời gian đi từ D tới B là: . 6 8 2 9  x 8  x
Tổng thời gian là: f  x   ; 6 8 x 1 9 f  x 
 ; f x  0  x  0;  8 2 6 9  x 8 7 7
Từ bảng biến thiên, ta có min f x  1 . 0;8     8 7
Vậy thời gian nhanh nhất để anh An đi từ A đến B là 1  1,33 . 8 Câu 2:
Một người nông dân đang đứng ở góc A của một cánh đồng hình chữ nhật ABCD có chiều
rộng AD  2 km và chiều dài AB  6 km . Người đó muốn đi đến góc đối diện C . Người
nông dân có thể đi bộ trên cánh đồng cỏ với tốc độ 4 km / h và đi bộ trên đường dọc theo
cạnh CD với tốc độ 8 km / h . Để đến C nhanh nhất, người đó nên đi theo đường thẳng từ
A đến một điểm E nào đó trên cạnh CD , sau đó đi bộ dọc theo đường từ E đến C . Hỏi
điểm E phải cách điểm D bao xa để tổng thời gian di chuyển là ít nhất?(kết quả được làm
tròn đến hàng phần trăm) Lời giải Trả lời: 1,16
Gọi E là điểm trên cạnh CD mà người nông dân đi tới từ A .
Gọi x là khoảng cách DE 0  x  6 .
Khoảng cách đi bộ trên đường là EC  DC  DE  6  x . Ta có 2 2 2 2 2 2
AE  AD  DE  2  x  4  x Suy ra 2 AE  4  x  km
Lại có EC  6  x  km 2 4  x
Thời gian người nông dân đi từ A tới E là t  (giờ) AE 4 6  x
Thời gian người nông dân đi từ E tới C là t  (giờ) EC 8
Tổng thời gian người nông dân đi từ A đến C là tổng của hai khoảng thời gian trên: 2 4  x 6  x T  x   4 8 x 1 Ta có: T  x   . 2 4 4  x 8 2 3 T x x 1 2 3  0    0  x  
. Vì 0  x  6 nên suy ra x  . 2 4 4  x 8 3 3 Bảng biến thiên
Vậy để tổng thời gian di chuyển ít nhất thì điểm E phải cách điểm D một khoảng là 2 3 km 1,16 km. 3 Câu 3:
Hai người ban đầu ở các vị trí A và B trên hai con đường thẳng A D
song song nhau và cách nhau đoạn l = 540m, AB vuông góc với
hai con đường. Giữa hai con đường là một cánh đồng. Người I
chuyển động trên đường từ A với vận tốc v1 = 4 m/s. Người II
khởi hành từ B cùng lúc với người I và muốn chuyển động đến
gặp người này. Vận tốc chuyển động của người II khi đi trên cánh B M
đồng là v2 = 5 m/s và khi đi trên đường là v 13m / s .Người II 2
đi trên đường từ B đến M rồi đi trên cánh đồng từ M đến D và gặp người I tại D như hình,
sao cho thời gian chuyển động của hai người lúc gặp nhau là ngắn nhất. Tìm thời gian chuyển động này. Lời giải Trả lời: 144
Gọi thời gian người II chuyển động trên đoạn đường BM là x + Ta có: 2 MD  AD  BM2 2
   v t  x 2    v t  v x2 2    2 1 2
+ Thay số và thu gọn ta được phương trình: 2 2
144x  54tx  291600  9t  0
+ Điều kiện để phương trình có nghiệm x:    2   2 27t 144 291600  9t   0  t 144s hay tmin = 144s
DẠNG 5: TÌM KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT/ LỚN NHẤT
GIỮA 2 VẬT CÙNG DI CHUYỂN Câu 4:
Chào đón năm mới 2025, Thành phố trang trí đèn led biểu tượng hình chữ V được ghép
từ các thanh AB  4m, AC  5m sao cho tam giác ABC vuông tại B . Để tăng hiệu ứng,
các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ B xuống A với tốc độ 4 m / phút và một chuỗi
led chạy từ A lên C với tốc độ 10 m / phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led
đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa
hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất? Lời giải Đáp án: 16
Gọi x (phút) là khoảng thời gian cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát đến M và N là
hai điểm sáng đầu tiên BM  4x  
 AM  4  4x với 0  x  4 AN  10x AB 4
Xét tam giác ABC vuông tại B  cosMAN   AC 5 Xét tam giác AMN ta có: 2 2 2
MN  AM  AN  2 AM  AN  cosMAN 4 2 2 2
MN  (4  4x)  (10x)  2 4  4x 2
10x   180x  96x 16  f  x 5
Để khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led nhỏ nhất 2  MN  MN min min Xét f  x 2
180x  96x 16 với x 0;4 4 4 f  x 2
 360x  96  0  x 
 MN đạt giá trị nhỏ nhất  x  (phút)  16 (giây) 15 15
Vậy sau 16 giây thì hai điểm sáng đầu tiên của chuỗi led có khoảng cách nhỏ nhất. Câu 5:
Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Tàu thứ nhất chạy theo hướng
Nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu thứ hai chạy theo hướng về vị trí ban đầu của tàu thứ
nhất với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai con tàu là ngắn nhất
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? Lời giải Trả lời: 0,41 Giả sử ,
A A 'ần lượt là vị trí ban đầu và vị trí lúc sau của tàu 1, B, B lần lượt là vị trí ban
đầu và vị trí lúc sau của tàu 2. 
Vì tàu 1 đi về hướng Nam (hướng AA ) mà hai con tàu lúc đầu lại ở cùng vĩ tuyến nên 
hướng AA là hướng xuống dưới và vuông góc với AB . Tàu 2 đi về phía tàu 1, nên đi 
theo hướng BA (như hình vẽ).
Gọi d (hải lí) là khoảng cách ngắn nhất giữa hai con tàu và t (giờ) là thời gian từ ban
đầu đến lúc đạt khoảng cách đó. Ta có:         2 '2 '2 '2 d A B AB AA AB BB  AA , trong đó,
AB  5, BB  7t, AA  6t , BB và AA 'lần lượt là quãng đường của tàu 2 và tàu 1 đi
được trong thời gian t . Khi đó, 2 2 2
d  (5  7t)  (6t)  85t  70t  25 với t  0 . Xét hàm số f t 2
 85t  70t  25 trên 0;    ta có  f t 85t 35 7   0  t  . 2 85t  70t  25 17 Ta có bảng biến thiên: 7
Ta có f t đạt giá trị nhỏ nhất khi t  . 17 7
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai con tàu là ngắn nhất sau  0, 41 giờ. 17 Câu 6:
Hai xe ô tô (1) và ô tô (2) xuất phát cùng lức với cùng
tốc độ 40 km / h , chuyển động thẳng đêu trên hai con
đường vuông góc tại O (Hình vẽ). Xe (1) xuất phát từ
A, cách O một khoảng 3 km. Xe (2) xuất phát từ B,
cách O một khoảng 4 km. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật Lời giải Trả lời: 0,7
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ: x  0
Tọa độ của xe đi từ A: 1  A0;3 y  3  40t  1 x  4   40t
Tọa độ của xe đi từ B: 1  y  0  B 4;0 1 O
Khoảng cách giữa hai xe là d    t2    t2 4 40 3 40 . 2 Tìm được d  km  0,7km . min 2 Câu 7:
Trong hệ tọa độ xOy (hình bên), có hai vật nhỏ A và B chuyển động
thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A ở O và cách vật B một y
đoạn 100m. Biết vận tốc của vật A là vA = 6m/s theo hướng Ox, vận
tốc của vật B là vB = 2m/s theo hướng Oy. x A
a) Viết phương trình chuyển động của mỗi vật theo trục tọa độ riêng O của chúng.
b) Sau thời gian bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động, hai vật A và B B lại cách nhau 100m.
c) Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B. Lời giải y
a) Phương trình chuyển động của vật A: x  6t A
+ Phương trình chuyển động của vật B: x B  100  2t A O A x
b) Khoảng cách giữa A và B sau t giây: 1 2 2 2 2 2 2 d  x  x
 d  100  2t  36t * A   B      B1
+ Khi khoảng cách d = 100 m B 1
 00  100  2t2 2 2  36t Ta có:  2
 40t  400t  0  t 10s  c) Biến đổi (*): 2 2 2
40t  400t 100  d *  * 2
40t  2.2 10t.10 10 2 2
10 .10  9000  d ** Ta có:    2 10t 10 102 2  9000  d  d  30 10 m min  
 Chú ý: Có thể tính theo biệt thức đenta ở lớp 9 từ phương trình bậc 2 như sau:   b2 2  ac    2 2  d  2 200 40 100  40d  36000
Điều kiện có nghiệm là: / 2
  0  40d  360000  0  d  30 10  d  30 10 m min   Câu 8:
Có hai xe chuyển động thẳng đều, từ hai vị trí A, B cách nhau 10,2 km. Lúc 8h xe thứ nhất
khởi hành từ A đi đến B với vận tốc v1 = 12 m/s. Đến 8h 5 phút xe thứ hai khởi hành từ B
đi đến A với vận tốc v2 = 10 m/s.
a) Thiết lập phương trình chuyển động của hai xe?
b) Tìm vị trí (so với gốc toạ độ) và thời điểm mà hai xe gặp nhau.
c) Tìm vị trí (so với gốc toạ độ) và thời điểm mà hai xe cách nhau 4,4 km Lời giải
Chọn trục tọa độ Ox có phương là phương chuyển động, gốc O trùng với A, chiều dương
từ A đến B. Gốc thời gian là lúc xe A bắt đầu xuất phát. x 12t 
a) Phương trình chuyển động của mỗi xe: 1 
x 10200 10 t  300 13200 10t  2  
(Với x đo bằng m và t đo bằng s)
b) Khi hai xe gặp nhau: x  x  12t  13200 10t  t  600s  x  7200m 1 2
c) Vị trí và thời điểm mà hai xe cách nhau 4,4 km
Cách nhau 4,4 km trước khi gặp nhau: lúc này x2 > x1 nên: x  x  4,4km 2 1  
 13200 10t 12t  4400 m x 4800m 1  t  400s   x  9200m  2
Cách nhau 4,4 km sau khi gặp nhau: lúc này x1 > x2 nên: x  x  4,4km 1 2  
 12t  13200 10t  4400 m x 9600m 1  t  800s   x  5200m  2
DẠNG 6: LẬP HÀM TOẠ ĐỘ CỦA VẬT ĐƯỢC NỐI VỚI MỘT VẬT KHÁC Câu 9:
Một vật nặng được treo bởi một sợi dây dài 13,5 m. Sợi dây đi qua một ròng rọc tại điểm
P cao 7 m so với mặt đất. Đầu dây còn lại được gắn vào điểm Q trên xe tải, Q cách mặt
đất 1 m . Xe chạy ra xa vật theo phương ngang với tốc độ 3 m/s (tham khảo hình vẽ). Giả
sử ròng rọc có kích thước và ma sát không đáng kể, dây không dãn và luôn căng, xe chuyển
động trên mặt đất phẳng và nằm ngang. Vận tốc của vật khi nó ở vị trí cách 1 m so với mặt
đất bằng bao nhiêu m/s (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết
quả cuối cùng đến hàng phần mười)? Lời giải Trả lời: 1,8
Chọn t  0 khi vật ở mặt đất. Khi đó đoạn dây phía vật dài 7 m , đoạn dây phía xe dài 6,5 m .
Khoảng cách từ xe đến ròng rọc theo phương ngang ban đầu: 2 2 d  6,5  6  2,5 . 0
Xe chạy ra xa vật theo phương ngang với tốc độ 3 m/s, suy ra khoảng cách từ xe đến ròng
rọc theo phương ngang tại thời điểm t là: d t  2,5  3t .
Độ dài đoạn dây phía xe tại thời điểm t :   t2 2,5 3  36 .
Độ dài đoạn dây phía vật tại thời điểm t :    t2 13,5 2,5 3  36 .
Khoảng cách của vật so với mặt đất tại thời điểm t : x t   t2          t2 7 13,5 2,5 3 36 2,5 3  36  6,5  .  
Tại thời điểm vật ở độ cao 1 m so với mặt đất ta có:   t 2 2 2,5 3
 36  6,5  1  t  . 3  2   2  2,53t3
Vận tốc của vật khi đó là: v  x   1,8     m/s .  3   3  2,53t2 36