Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn chính xác nhất

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn chính xác nhất 1. Cấp số nhân là?
Cấp số nhân là một dãy số (hữu ạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q
Định nghĩa: Dãy dố (Un) được xác định bởi:
thì dãy số này được gọi là
cấp số nhân, q là công bội.
Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a, aq, aq2, aq3, aq4, .... . với a
là số hạn đầu tiên và q là công bội
Ví dụ: Cấp số có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ..... 2. Số hạng tổng quát
Cấp số nhân bắt đầu là phần tử u1 và công bội thì số hạng thứ n của cấp số
cộng được tính theo công thức:
3. Tổng của một cấp số nhân
Tổng số hạng đầu của cấp số nhân:
Nhân cả 2 vế với: ( 1 - q)
Vì tất cả cá số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau:
4. Cấp số nhân lùi vô hạn
(Un) có công bội q, |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, .... là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/2
5. Công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ minh hoạ
Tổng của tất cả các số hạng trong một cấp số nhân lùi vô hạn là một giá trị
hữu hạn và hoàn toàn có thể tính được.
Giả sử ta có cấp số nhân lùi vô hạn Un
Khi đó tổng của các số hạng thuộc Un là:
Sn = u1 + u2 + u3 + .... + un-1 + un
Giới hạn hai vế ta sẽ được:
Đây cũng chính là công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Un với Lời giải: Ta có:
Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là 4, công bội là
. Hãy tính tổng tất cả các số hạng thuộc cấp số nhân đó. Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức ta tính được tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó là:
6. Một số bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1 . Nối 4 trung
điểm A1, B1, C1, D1 ta được hình vuông thứ 2 có diện tích S2. Tiếp tục như
thế, ta được hình vuông A1B2C2D2 có diện tích S3 .... Tiếp tục quá trình trên
ta được hình vuông lần lượt có diện tích là S4, S5, S6, ..... , S100. Tính tổng Hướng dẫn giải: Có Là cấp số nhân có công bội bằng Do
Bài 2: Chi cấp số nhân (un) có u3 = 24 và u4 = 48. Hãy tính tổng 5 số hạng
đầu tiên của cấp số đó Hướng dẫn giải:
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có: q = 48/24 = 2
Do đó, theo định lý 2, ta được: 24 = u3 = u1.22
Suy ra u1 = 6. Vì thế, theo định lý 3, ta được S5 = 6. (1-25) / (1-2) = 186 Bài 3: Cho dãy số (Un) với . Tính tổng của dãy Un Hướng dẫn giải:
Vì Un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có U1 = 1/2 và q = (- 1)/2
Bài 4: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (Vn) với số hạng đầu V1 = -1 và công bội q
= x2. Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn trên và bốn số hạng đầu: Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức
Từ đó bốn số hạng đầu của dãy là -1; -x2; -x4; -x6
Bài 5: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (Vn) với số hạng đầu v1 = 2 và công bội q
= x3 . Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn trên và bốn hạng đầu Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức S =
Từ đó bốn số hạng đầu của dãy là 2; 2x3; 2x6; 2x9
Bài 6: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình
phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là? Hướng dẫn giải:
Bài 7: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 2; -1; 1/2; -1/4; 1/8; ... ; .... Hướng dẫn giải:
Un chính là cấp số nhân có : U1 = 2, q = -1/2
Bài 8: Câu nào sau đây là đáp án đúng
A. Cấp số nhân lùi vô hạn có U1 = 15, S = 60 ⇒ q = 3/4
B. Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q thì tổng
C. Cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = -4, S = -169 ⇒ q = -5/4 D. u1 = 3; q = - 1/3
Đáp án cần chọn là A. Vì q = 3/4 < 1 ⇒ Đây là cấp sô nhân lùi vô hạn có
Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = -50, S = 100. Tìm 5 số hạng đầu của cấp số đó A. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,025 B. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25 C. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,125 D. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125 Chọn đáp án D
Bài 10: Cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = -1; q=x. Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó A. 1; x; -x2 B. -1; x; x2 C. -1; x; x2 D. -1; -x; -x2 Đáp án cần chọn là D Bài 11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: A. B. C. D. Hướng dẫn giải:
Un chính là cấp số nhân có u1 = 5, Đáp án cần chọn là: C
Bài 12: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: -3; 0; 3; -0,03; 0,003; ... A. 11/30 B. 30/11 C. -11/30 D. Hướng dẫn giải:
Un chính là cấp số nhân có : u1 = -3; q = 0,1 Đáp án cần chọn là D
Bài 13: Tổng của một số nhân lùi vô hạn có kết quả là trong đó
tổng 3 số hạng đầu bằng
. Hãy tìm u1 và q cấp số đó A. u1 = 1; q = -2/5 B. u1 = -1; q = -2/5 C. u1 = -1; q = 2/5 D. u1 = 1; q= 2/5 Hướng dẫn giải:
u1 + u2 + u3 = u1(1 + q + q2) = 39/25 ⇒ q = 2/5 ⇒ u1 = 1 Đáp án cần chọn là: D
Bài 14: Tính tổng S = 16 + 4 + 1 + ... + + .... A. S = 62/3 B. S = 64/5 C. S = 16/3 D. S = 64/3 Hướng dẫn giải:
+ Bước 1: ta ta kiểm tra xem tổng trên có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?
+ Bước 2: Áp dụng công thức phù hợp để tính tổng Ta có:
Mà |q| = |1/4| < 1 nên tổng trên là cấp số nhân lùi vô hạn Ta có Chọn đáp án D
Bài 15: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (vn) có v1 = 20, S = 100. Tìm 6 số hạng đầu tiên của dãy (vn):
A. 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536
B. 20; 16; 12,8; 10,25; 8,192; 6,5536
C. 20; 16,25; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536
D. 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5 Hướng dẫn giải:
Ta áp dụng công thức tính tổng số hạng lùi vô hạn: , với
số hạng đầu v1 = 20 và tổng S = 100 ⇒ công bội q. Từ đó ta viết được 6 số
hạng đầu của cấp số trên
Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Từ đó suy ra 6 số hạng đầu tiên của dãy số (vn): 20; 16; 12,8; 10, 24; 8,192; 6,5536 Chọn đáp án A
Bài 16: Cho số b = 3,13131313.. ( chu kỳ 13) là số thập phân vô hạn tuần
hoàn, số b dược biểu diễn dưới dạng phân số tối giản b = x/y, trong đó x, y là
các số nguyên dương. Tìm tổng x + y A. x + y = 211 B. x + y = 409 C. x + y = 130 D. x + y = 490 Hướng dẫn giải: Cách 1: Ta có b = 3,13131313.. .= là
tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu v1 = 13/100 và công bội q =
1/100 nên ta áp dụng công thức tính cấp số nhân lùi vô hạn ⇒ x = 310; y = 99 Vậy x + y = 310 + 99 = 409
Cách 2: Đặt d = 0,113131313... ⇒ 100d = 13 + d ⇔ d = 13/99
⇒ b = 3 + d = 3 + 13/99 = 310/99 ⇒ x = 310; y = 99 Vậy x + y = 310 + 99 = 409
Cách 3: Sử dụng MTCT. Ta nhập số 3,1313131313 vào máy ( nhiều bộ số 13,
cho tràn màn hình) rồi bấm =
Ta thu được kết quả trên máy tính 3,(13) = 310/99 ⇒ x = 310; y = 99 Vậy x + y = 310 + 99 = 409 Chọn đáp án B
Document Outline

• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn chính x
  • 1. Cấp số nhân là?
  • 2. Số hạng tổng quát
  • 3. Tổng của một cấp số nhân
  • 4. Cấp số nhân lùi vô hạn
  • 5. Công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn
  • 6. Một số bài tập vận dụng