Dạng bài tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ THỰC
ÔN HÈ MÔN: TOÁN - LỚP 7
Dạng 7. Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A. Lý thuyết Đánh giá biểu thức A:
+ Nếu A a (với a là số đã biết) thì giá trị nhỏ nhất của A là a.
+ Nếu A b (với b là số đã biết) thì giá trị lớn nhất của A là b.
* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa luỹ thừa
chẵn Biểu thức an với n là số chẵn (2;4;6;…) thì an 0 với mọi giá trị của a.
* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
Sử dụng kiến thức của căn bậc hai:
a 0 với mọi a 0 ;
a 0 với mọi a 0 .
* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Dựa vào tính chất x 0 .
+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a.
+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A b (với b là số đã biết) để suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
- Nếu biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối, ta dùng tính chất: Với mọi x, y , ta có: x y x y ; x y x y . Chú ý:
+ Ta có: kx 0 thì: kx a a ; kx a a
Dấu “=” xảy ra khi kx 0 .
+ Ta có: kx b 0 thì kx b a a ; kx b a a
Dấu “=” xảy ra khi kx b 0 . + Ta có: a b a b
Dấu “=” xảy ra khi ab 0 . B. Bài tập
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 5 a) A x 3 . b) A x 2 .
Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 6 a) D 2 x . b) D 3 x .
Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) x A 1 2 x 1 b) B 2 y 2 5 22
Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 8 6 x 2 b) B 1 2 x 13
Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 12 x .
Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A x 236 2025 .
Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 3 x 2025 với x 0.
Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 169 2025 .
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 3x 5 3x 9 .
Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax 3y 1 2 x 34 2 A. 0. B. -2. C. 2. D. 3. 2
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2 4 y 5 1 A. 2. B. 3. C. 1. D. -1.
Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức C 10 xx 2 y 1 2 với x 0 là: A. 10. B. 11. C. 1. D. -10. --------Hết--------
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 2 . b) A 5 . x 3 x 2 Phương pháp Sử dụng kiến thức
a 0 với mọi a 0 .
Đánh giá biểu thức A k với mọi k
nên giá trị lớn nhất của A là k. Lời giải
a) Vì x 0 với mọi x 0 nên
x 30 3 3 với mọi x 0 Do đó 2 2 với mọi x 0 . x 3 3 Dấu “=” xảy ra khi x 0 hay x 0
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x 0 . 3
b) Vì x 0 với mọi x 0 nên
x 20 2 2 với mọi x 0 Do đó 5 5 với mọi x 0 . x 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x 0 hay x 0
Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 khi x 0 . 2
Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) D 3 . b) D 6 . 2 x 3 x Phương pháp
k b D - Sử dụng kiến thức a 0 với mọi a 0 .
- Nếu a b thì k a
với mọi k 0 . k Đánh giá biểu thức với mọi k
nên giá trị nhỏ nhất của D là k. Lời giải a) Vì x 0 với mọi x 0
nên 2 x 2 với mọi x 0 . Do đó 3 3 3 với mọi x 0. 2 x 2 2
Dấu “=” xảy ra khi x 0 hay x 0 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của D 3 là 3 khi x 0 . 2 x 2 6
b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 3 x . b) Vì x
0 với mọi x 0 nên 3 x 3 với mọi x 0 . Do đó 6 6 2 với mọi x 0 . 3 x 3
Dấu “=” xảy ra khi x 0 hay x 0 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của D 6 là 2 khi x 0 . 3 x
Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 1 2 x 1 b) B x 2 y 2 5 2 2 Phương pháp
Sử dụng kiến thức: a 0 với mọi a
; a 2 0 với mọi a . Lời giải a) A 1 2 x 1 2 2
Ta có: x 1 0 với mọi x . 2 Do đó A 12 x 1 1 0 1 với mọi x . 2 2 2 2
Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của A, khi đó x 1 0 hay x 1 0 , suy ra 1 x . 2 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x 1 . 2 2 b) B x 2 y 2 5
Ta có: x 2 0 , y 2 0 với mọi x, y.
Do đó B x 2 y 2 5 0 0 55 x 0
Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của B, khi đó 2 và y 2 0
Suy ra x 0 và y 2 0 nên y 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 5 khi x 0; y 2 .
Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 8 6 x 2 b) B 1 2 x 1 3 Phương pháp
- Sử dụng kiến thức:
a 0 với mọi a . - Nếu a b thì 1 1 . a b Lời giải
a) Ta có: x 2 0 với mọi x . Suy ra 6 x 2 0 với mọi x .
Do đó 8 6 x 2 8 với mọi x .
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của A, khi đó x 2
0 , do đó x 2 0 , suy ra x 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của A là 8 khi x 2 . b) Ta có: x 1 0 với mọi x .
Do đó 2 x 1 0 , suy ra 2 x 1 3 3 với mọi x . Suy ra B 1 1 với mọi x . 2 x 13 3
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của B, khi đó x 1 0, do đó x 1 0, suy ra x 1 .
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x 1 . 3
Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 x . 2 Phương pháp
Sử dụng kiến thức a 0 với mọi a 0 .
Đánh giá biểu thức P k với mọi k
nên giá trị nhỏ nhất của P là k. Lời giải
Ta có: x 0 với mọi x 0. Suy ra 1 x 1 . 2 2 1
Dấu “=” xảy ra, tức là P
là giá trị nhỏ nhất của P khi x 0 suy ra x 0 . 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x 0 . 2
Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A x2 36 2025 . Phương pháp
Sử dụng kiến thức a 0 với mọi a 0 .
Đánh giá biểu thức A k với mọi k
nên giá trị lớn nhất của A là k. Lời giải
Ta có: x 2 0 với mọi số thực x nên x 236 36 với mọi số thực x . Suy ra x 249
49 7 với mọi số thực x . Suy ra A
x2 49 20257 2025 2018 hay A 2018 với mọi số thực x .
Dấu “=” xảy ra khi x2 0 suy ra x 0 .
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2018 khi x 0 .
Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 3 x 2025 với x 0 . Phương pháp
Sử dụng kiến thức x 20 với mọi x . x 0 với mọi x 0 .
Đánh giá các số hạng của tổng để tìm giá trị nhỏ nhất của A . Lời giải Ta có: x x 0 . 2 0;
x 0 với mọi số thực x 0 , suy ra x 2 3 x 0 với mọi số thực
Suy ra x 2 3 x 20252025 với mọi số thực x 0 .
Do đó A2025 với mọi số thực x 0 .
Dấu “=” xảy ra khi x 2 0; x 0 , suy ra x 0 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -2025 khi x 0 .
Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 169 2025 . Phương pháp
Sử dụng kiến thức với mọi a 0 . a 0 với mọi k
nên giá trị nhỏ nhất của M là k. Đánh giá biểu thức M k Lời giải
Vì x 20 với mọi x
nên x 2 169 169 , suy ra x 2 169 169 13.
Do đó x2 169 2025 13 20252012 .
Dấu “=” xảy ra khi x 2 0 , suy ra x 0 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2012 khi x 0 .
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 3x 53x 9 . Phương pháp
Sử dụng kiến thức: a b a b
Dấu “=” xảy ra khi ab 0 .
Đánh giá biểu thức C k với mọi k
nên giá trị nhỏ nhất của C là k. Lời giải Ta có:
C 3 x 53 x 93 x 59 3x3 x 5 9 3 x 4 4 Do đó C 4
Dấu “=” xảy ra khi 3x 5 . 9 3x 0 Ta có 2 trường hợp:
TH1: 3 x 5 0 và 9 3 x 0
Suy ra x 5 và x 3 hay 5 x 3 . 3 3
TH2: 3 x 5 0 và 9 3 x 0
Suy ra x 5 và x 3 (loại do không có giá trị nào của x thoả mãn). 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi 5 x 3 . 3
Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax 3 y 1 2 x 3 42 A. 0. B. -2. C. 2. D. 3. Phương pháp
Đánh giá biểu thức A k với mọi k
nên giá trị nhỏ nhất của A là k.
Sử dụng kiến thức: | a | 0 với mọi a ;
b 20, b 4 0 với mọi b Lời giải Vì x 3 0; y 1 2 0;
x 3 40 với mọi x, y ; Ax 3 y 1 2 x 3 4200 0 2 2
Dấu “ = “ xảy ra khi –x – 3 = 0 ; y – 1 = 0 ; x + 3 =
0 suy ra x 3; y 1
Vậy min A = 2 khi x = -3; y = 1 Đáp án: C
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2 4 2 y 5 1 A. 2. B. 3. C. 1. D. -1. Phương pháp
Đánh giá biểu thức P k | với mọi k
nên giá trị nhỏ nhất của P là k.
Sử dụng kiến thức: a | 0 với mọi a
; b 2 0 với mọi b Lời giải 2 4 2 y 5 1001 1 Ta có: x 2 4
0 ; y 5 0 với mọi x, y nên P x 2 với mọi x, y .
Dấu “=” xảy ra khi x2 4 0 và y 5 0 * x 2 4 0 x 2 4 x 2 hoặc x2 * y 5 0 y 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -1 khi x 2; 2 và y 5 . Đáp án: D
Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức C 10
xx 2 y 1 2 với x 0 là: A. 10. B. 11. C. 1. D. -10. Phương pháp
Đánh giá biểu thức C k với mọi k
nên giá trị lớn nhất của C là k.
Sử dụng kiến thức: a 0 với mọi a 0 ; b 2 0với mọi b
Dẫn đếna 0 với mọi
a 0 ; b 20 với mọi b Lời giải
Ta có: x 0 với mọi x 0 , x 2 y 1 2 0 với mọi x , y . Suy ra
x 0 với mọi x 0 , x 2 y 1
20 với mọi x , y . 2 Do đó x x 2 y 1
0với mọi x 0, y . Suy ra C 10 xx 2 y 1 2 10010
với mọi x 0, y .
Giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi x 0 và x2 y 1 2 0
Suy ra x 0 và 0 2 y 1 2 0 1 2 y 2 0 1 2 y 0 2 y 1 y 12
Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi x 0; y 1 . 2 Đáp án: A