Đáp án bài minitest số 1 môn Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
ĐÁP ÁN MINITEST SỐ 1 √x
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số sau: f (x) = sin(πx) Hướng dẫn     x ≥ 0  x ≥ 0  x ≥ 0 +) Hàm số xác định ⇔ ⇔ ⇔  sin(πx) ̸= 0  πx ̸= kπ(k ∈ Z)  x ̸= k(k ∈ Z)
Vậy TXĐ của hàm số trên là: {x ≥ 0|x / ∈ Z} Nhận xét:
1) Bài này cần phải chú ý rằng, những biểu thức trong dấu căn bậc chẵn thì đều phải lớn hơn hoặc bằng 0 và
dưới mẫu phải khác 0, sin(πx) ̸= 0 Khi x không phải sô nguyên, vì thế ta có đáp án như trên   x ≥ 0
2) Kết luận tập xác định phải để ở dạng tập hợp không để dạng  x ̸= k(k ∈ Z)
Câu 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ (nếu có) của hàm số f (x) = 6 sin(4x) + 8 cos(4x). Hướng dẫn +) Tập xác định: D = R.
+) Giả sử T > 0 là số thực thỏa mãn f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R
⇔ 6 sin(4x) + 8 cos(4x) = 6 sin[4(x + T )] + 8 cos[4(x + T )], ∀x ∈ R
⇔ 6 sin(4x) + 8 cos(4x) = 6 sin(4x + 4T ) + 8 cos(4x + 4T ), ∀x ∈ R
⇔ 6 sin(4x)+8 cos(4x) = 6[sin(4x). cos(4T )+cos(4x). sin(4T )]+8[cos(4x). cos(4T )−sin(4x). sin(4T )], ∀x ∈ R
⇔ [6 − 6 cos(4T ) + 8 sin(4T )]. sin(4x) + [8 − 6 sin(4T ) − 8 cos(4T )]. cos(4x) = 0, ∀x ∈ R  
 6 − 6 cos(4T ) + 8 sin(4T ) = 0  cos(4T ) = 1 2π π ⇔ ⇔ ⇔ T = = 4 2
 8 − 6 sin(4T ) − 8 cos(4T ) = 0  sin(4T ) = 0 π
+) Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T = 2 Nhận xét:
1) Đầu tiên, chúng ta cần tìm tập xác định của hàm số, đây là một bước khá quan trọng, vì đơn giản nên nhiều bạn không để ý. 
 6 − 6 cos(4T ) + 8 sin(4T ) = 0
2) Lưu ý cần trình bày ∀x ∈ R như bài trình bày vì đó là điều kiện quan trọng để có
 8 − 6 sin(4T ) − 8 cos(4T ) = 0 2π
3) Một hướng giải khác của bài toán là với hàm sin(ax + b) hay cos(ax + b) có chu kỳ T = |a| 6
4) Một hướng giải khác của bài toán là f (x) = 10. sin(α + 4x) với cos α =
, ∀x ∈ R từ đó ta cũng thu 10 π
được hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập p1 + sin3(x) − 1 Câu 3: Tính lim
x→0 (etan(x) − 1) (1 − cos(2x)) Hướng dẫn giải p1 + sin3(x) − 1 1 + sin3(x)1/2 − 1 Xét I = lim = lim
x→0 (etan(x) − 1) (1 − cos(2x))
x→0 (etan(x) − 1) (1 − cos(2x)) 1 1 1 + sin3(x)1/2 − 1 ∼ sin3(x) ∼ x3 2 2 Khi x → 0,ta có: etan(x) − 1 ∼ tan(x) ∼ x (2x)2 (1 − cos(2x)) ∼ = 2x2 2 1 x3 1
Thay vào I ta được: I = lim 2 = x→0 x.2x2 4
Nhận xét: Với các bài toán tính giới hạn sử dụng VCL hoặc VCB thì chúng ta nên chỉ rõ khi x tiến đến x0
thì các biểu thức đã cho sẽ tương đương với biểu thức nào rồi sau đó mới nên thay vào. x2 xα
Câu 4: Khi x → 0, tìm α, β để hai vô cùng bé sau là tương đương: A = ln (1 + sin x) − x + , B = . 2 β Hướng dẫn Khi x → 0, ta có: x3 ln (1 + sin x) = ln (1 + x − + o(x4)) 6 2 3 4 x3 x3 x3 x3 x − + o(x4) x − + o(x4) x − + o(x4) = x − + o(x4) − 6 + 6 − 6 + o(x4) 6 2 3 4 x3 x2 x3 = x − − + + o(x4) 6 2 3 x2 x3 = x − + + o(x4) 2 6 x2 x3 x2 x3 x3 ⇒ A = x − + + o(x4) − x + = + o(x4) ∼ 2 6 2 6 6
Vậy để A và B là hai vô cùng bé tương đương khi x → 0 thì α = 3, β = 6
Nhận xét: Thay thế VCB tương đương một cách "máy móc" dẫn đến sai kết quả:
1) Khi x → 0, ln (1 + sin x) ∼ ln (1 + x) ∼ x x2 x2 ⇒ A ∼ x − x + ∼ 2 2 x2 x3
2) Khi x → 0, ln (1 + sin x) ∼ ln (1 + x) = x − + + o(x3) 2 3 x2 x3 x2 x3 x3 ⇒ A = x − + + o(x3) − x + = + o(x3) ∼ 2 3 2 3 3 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Câu 5: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số: 1 y = tan arccot x Hướng dẫn 1 1 +) Ta thấy
xác định trên R \ {0}. Mà khác 0. x x 1 π π ⇒ arccot
∈ (0, π) \ { } với mọi x ∈ R \ {0}. Do arccot (0) = . x 2 2 π
+) Lại có: tan x xác định với mọi x ∈ (0, π) \ { } 2
⇒ Hàm số xác định trên R \ {0}.
Do đó x = 0 là điểm gián đoạn duy nhất của hàm số. 1 +) Ta có: lim tan arccot = tan 0 = 0 x→0+ x 1 lim tan arccot = tan π = 0 x→0− x 1 1 1 ⇒ lim tan arccot = lim tan arccot
nhưng không tồn tại giá trị của tan arccot x→0+ x x→0− x x
tại x = 0 nên x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số.
Nhận xét: Với dạng bài tìm điểm gián đoạn của hàm lượng giác ta cần phải nắm rõ tập xác định và miền xác
định, đặc biệt là các hàm lượng giác ngược. Ở đây hàm arccot x có tập xác định là R và miền giá trị là (0, π). π 1
Ngoài ra cần chú ý tan x gián đoạn tại các điểm
+ kπ(k ∈ Z) nên ta cần kiểm tra xem hàm arccot 2 x
có thể đạt những giá trị có dạng đó hay không để tìm được đầy đủ các điểm gián đoạn. 3