Đề 1 - Lý thuyết ma trận | Đại học Sư phạm Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Toán - Tin
Môn thi: Nhập môn lý thuyết ma trận ————–
Thời gian làm bài: 60 phút
Câu 1. (2 điểm) Cho các ma trận −1 0 3 ! 1 2 ! A = 1 2 m , B = 6 −1 , 0 −1 2 0 2
trong đó m là tham số thực.
(a) Khi m = 2, hãy xác định ma trận AB + 3B. 2 3 6!
(b) Tìm tất cả các số thực m để ma trận C = 2 2 3 là ma trận 1 1 2
nghịch đảo của ma trận A.
Câu 2. (4 điểm) Cho ma trận 1 0 0! A = 1 1 1 1 6 2
(a) Tính định thức của ma trận A2021.
(b) Tìm một ma trận P để ma trận P 1 − AP là ma trận chéo.
Câu 3. (2 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính  4x1 + 5x2 − 6x3 − 8x4 = 1   −3x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 1 x1 + 3x2 − 5x3 + 4x4 = 2   −2x1 + x2 − 4x3 + 16x4 = 3.
PHẦN TỰ CHỌN: Sinh viên chỉ cần làm một trong hai bài sau
Câu 4A. (2 điểm) Cho X là một ma trận có các giá trị riêng 1, −1, 2 và các
vectơ riêng tương ứng có dạng t(0, 1, 1), t(1, 0, 1), t(1, 1, 1) với t 6= 0. Tính ma trận X2021.
Câu 4B. (2 điểm) Cân bằng phản ứng hóa học:
Cu + HN O3 → Cu(N O3)2 + N O + H2O,
trong đó HN O là axit nitric, Cu là đồng. 3
———— Hết ———–
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa Toán - Tin
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ————– —————————
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI
Tên học phần: Nhập môn lý thuyết ma trận (Đề số: ...... )
Thời gian làm bài: 60 phút Câu Nội dung Điểm Điểm chấm −1 4! 1. (a) Khi m = 2, AB = 13 4 (0,5đ); 1 −6 5 2 10! AB + 3B = 31 1 . (0,5đ) −6 11 1 0 0 ! (b) AC = m + 6 m + 7 2m + 12 (0,5đ); 1 0 0 1
AC = I ⇐⇒ m = −6. (0,5đ) 2.
(a) det(A) = −4 (0,5đ); det(A2021) = −42021. (0,5đ) 1
(b) Các giá trị riêng của A: {1, −1, 4} nên A chéo hóa 3 được. (1đ)
Các vectơ riêng của A tương ứng với các giá trị riêng
1, −1, 4 là t(−1; 0; 1); t(0; −1; 2); t(0; 1; 3), t 6= 0
(1,5đ); viết đúng P từ 3 vectơ riêng dạng cột. (0,5đ) 3.
Nghiệm của hệ phương trình là (x 2 1, x2, x3, x4) = (−1−
a, 1 + 2a, a, 0), với a ∈ R.
Nếu biết cách làm nhưng biến đổi sai thì cho tối đa 1đ. 0 1 1! 4A.
Đặt P = 1 0 1 . Tính được 2 1 1 1 1 0 0 ! P 1 − X 2021P = 0 −1 0 (1đ); 0 0 22021  22021 22021 + 1 −22021 − 1 X2021 = 22021 − 1 22021 −22021 + 1  . (1đ)  22021 − 1 22021 + 1 −22021 4B. Gọi x
lần lượt là các hệ số tương ứng 1 1, x2, x3, x4, x5
trong phản ứng. Viết đúng hệ phương trình: x1 =
x3, x2 = 2x5, x2 = 2x3 + x4, 3x2 = 6x3 + x4 + x5.
Viết được phương trình cân bằng 1
3Cu + 8HN O3 → 3Cu(N O3)2 + 2N O + 4H2O.
Nếu ý tưởng đúng nhưng kết quả sai chỉ cho tối đa 1đ. Tổng điểm toàn bài 10,0