Bài tập Ma trận tính toán tuyến tính (Lời giải + Giải pháp) | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Bài tập Ma trận tính toán tuyến tính (Lời giải + Giải pháp) | Đại học Sư Phạm Hà Nội. Tài liệu gồm 8 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
KHOÁ HỌC: ĐẠI SỐ - KỸ THUẬT
Chương 07: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài 1. Cho ánh x tuy n tính ế
f : P x
2
P2 x th a mãn:
)
= 32 + 7x + 25x
f (1 x
2
) = −3 + 3x 6x
2
, f (3x + 2x
2
) = 17 + x + 16x
2
, f (2 + 6x + 3x
2
2
P x
f
(
1 + x
2
)
a) Tìm ma tr n c a f đ i v i c s chính t c ơ
c a 2. Tính
b) Xác đ nh m đ véc t ơ v = 1+ x +
mx
2
thu c Imf.
Lời giải:
a) G i E là c s chính t c c a ơ
P x
2
3 17 32 1 0
Ma tr n c a f đ i v i c s chính t c ơ
c a
P x
A =
3
1
7 0 3
2 là:
6
16
25
1
2
18 95 113
f
(
1 + x
2
)
E
=
(
1 + x
2
)=13
2
A. 0
= 1 3 4 0 = 5
f
5x 8x
7 6 8
v = 1 + x + mx
1
1 1
)
+ x
2
(
9 + 3x + 6x
)+ x
3
(
5
b)
2
Im f x1 , x 2 , x 3
: v = x1 (8 x 7x
2
2
8x + 9x
2
5x
3
= 1
1
x + 3x
4x
= 1
2 3
có nghi m không t m th ng ườ
1
7x
+ 6x
x
= m
2
3
1
8
9 5 1 8
9
5 1
Xét:
1
3 4 1
0 15 27 7
H có nghi m m = 0
7
6
1 m
0
0
0
8m
2
1
8 9 5
6
=
1 3
4
3
7 6
1
4x x
2
)( xi 0 )
2
Bài 2. Cho toán t tuy n tính trên ế
P x
xác đ nh b i:
2
f
(
1 + 2x
)
= −19 + 12x + 2x
2
; f
(
2 + x
)
= − 14 + 9x + x
2
; f
(
x
2
)
= 4 2x 2x
2
Tìm ma tr n c a f đ i v i c s chính t c ơ
c a
P x
và tìm
rank
(
f
)
.
2
L i gi i:
(
)
(
)
(
)
+ 2 f
= −19 + 12x + 2x
2
= 2x
3
f
1 x
f
1
2 2
T gi thuy t ta có: ế 2 f (1)+ f (x ) = −14 + 9x + x f ( x ) = x + 5x 8
f
(
x
2
) = 4 2x 2x
2
f
(
x
2
) = −2x
2
2x + 4
38 4 38 4
rank
(
f
)
= rank
(
A
)
= 2
c s chính t c là: ơ A = 2 5 2 0
1
2
0
12
000
Ma tr n c a f đ i v i
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
1
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
Bài 3. Cho ánh x f : P x P x xác đ nh nh sau: ư
f
(
p
)
= p + x
2
p, p P x
2 4 2
a) Ch ng minh f là ánh x tuy n tính. ế
c a
P x
= 1, x, x
c a
2
E2
2
, x
3
4
2
b) Tìm ma tr n c a f đ i v i c p c s chính t c ơ E1 = 1, x, x
, x
P x
4
2
c a
x
= 1, x, x
2 3
4
c a
c) Tìm ma tr n c a f đ i v i c p c s ơ E1
= 1 + x, 2x,1 + x
P2 E2
, x
, x
P x .
4
Lời giải:
1 2 2
(
1
+ p
2 )
= f
( 1 )
+ f
(
p
2 )
; f
( 1 )
= kf
(
1
)
p , p P xf p p kp p
f
là AXTT
a) D th y:
k
(
x
)
= x
b) Ta có:
f
(
1
)
= 1 + x
2
; f
(
x
)
= x + x
3
; f
2
2
+ x
4
Ma tr n c a f đ i v i c p c s ơ E
1
, E
2
là:
1
0
0
0 1
0
A =
1 0 1
0 1
0
0 0 1
(
1 + x
)
=
c) Ta có:
f (1 + x ) = 1 + x + x
2
+ x
3
; f
(
2x
)
= 2x + 2x
3
; f
2
1 + 2x
2
+ x
4
Ma tr n c a f đ i v i
c p
1 0 1
1 2
0
c sơ
E
, E
là:
B =
1 2
1 0 2
1
2
0
0
0
1
1
3 1
Bài 4. Cho
A =
2
0
5
là ma tr n c a ánh x tuy n tính ế
f : P
x
P
x
2 2 đ i v i c s ơ
6
2
4
3
B =
v, v , v
trong đó:
v
1
= 3x + 3x
2
, v
2
= −1 + 3x + 2x
2
, v
3
= 3 + 7x + 2x
2
.
2
1
a) Tìm
f
(
v
,
f
(
v
2
)
, f
(
v
3 )
1 )
b) Tìm
f
(
1 + x
2
)
a)
(
1
)
1
2
3
2
(
2
)
(
2
)
2
f
v
= v + 2v
+ 6v
= 3x + 3x
+ 21 + 3x + 2x
+ 6
3 + 7x + 2x
= 19x
+ 51x + 16
f (v
2
) = 3v
1
2v
3
= 3 (3x + 3x
2
) 2 (3 + 7x + 2x
2
) = 5x
2
5x 6
f (v
3
) = − v
1
+ 5v
2
+ 4v
3
= −3x 3x
2
+ 5 (1 + 3x + 2x
2
)+ 4 (3 + 7 x + 2x
2
) = 15x
2
+ 40x + 7
b) G i B
0
là ma tr n c a f đ i v i c s chính t c E ơ
S là ma tr n chuy n c s t B sang E ơ S
1
là ma tr n chuy n t E sang B
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ____ ___
2
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
0
1
3
1
1 3 1 0
1
3 239 / 24 161 / 24 289 / 24
B
= S
1
AS =
3
3
7
. 2
0 5
3
3
7
=
201/ 8 111 / 8 247/8
0
3
2
2
6
2
4
3
2
2 61/ 12 31 / 12 107 / 12
1 22
f
(
1 + x
2
)
= B
0
=
56
E
0
1
14
Bài 5. Cho ánh x f :
3
3
xác đ nh b i
f
(
x , x
2
, x
3
)
=
(
x
+ x
2
x
3
, x
x
2
+ x
3
, x
+ x
2
1 1 1 1
B = v1
=
(
1; 0 ; 0
)
, v
2
=
(
1; 1; 0
)
, v
3
= (1;1;1) .
L i gi i:
Ma tr n c a f đ i v i c s chính t c ơ
là:
A =
1
Ma tr n chuy n c s t E sang B ơ
là:
C =
0
0
+ x
3
)
. Tìm ma tr n c a f đ i v i c ơ
s
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
0
1
111
1
1111
V y ma tr n c a f đ i v i B là:
C
1
AC =
0 1 1 .
1 1 1
. 0
0 0 1
111
0
Bài 6. Trong
P
x
B =
u ; u ; u
3 ; trong đó
u1
= 1 + x ; u
2
=
2
, xét c sơ
1 2
1
2
tuy n tínhế
f
: P
x P x A =
1 1
2
2 có ma tr n đ i v i c s B là: ơ
2 3
2
a) Tìm ma tr n c a f đ i v i c s chính t c: ơ S = 1, x, x
(
)
= 7 + 4x
b) Xác đ nh v trong
P2 x đ
f
v
+ 2x
2
c) Xác đ nh m t c s c a ơ Kerf
L i gi i:
a) V i vecto b t kỳ
u Px
thì:
2
f (u )
= A
u
B
B
BB
1 10
1 1 = 2
1 0 1
x ; u= 1 + x +
3
3
1
2
2 0
0 0
0
1
x
2
. Cho toán t
Ta phải viết lại các biểu thức kia nhưng theo cơ sở E:
f
(
u
)
= P
f
(u)
E
EB
B
u = Puu =
P
1
u
E
EB
B B
( EB)
E
f
(
u= P
f
(
u= P A u = P A P
1
u
)
E
E B
)
B
EBBB
B
EBBB EB
E
V y rút ra công th c v ma tr n c a toán t tuy n tính khi chuy n c s : ế ơ
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ____ ___
3
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
A =P A P1
EE EBBB EB
Đối với bài này ta thay các số liệu vào được:
1
0
1 1
2
3 1
0
1
1
2 5
2
A
=
1 1
1
1
1
1
=
2 6 0
1 1 1
EE
0 0
2
3 2
0
0 1 3 0
1 1
Chú ý: có th suy ra công th c chuy n c s trên tr c ti p t quan h : ơ ế
A =P1 A P
BB EBEE EB
b) Chú ý: có m t s ý ki n cho r ng có th tìm vecto v nh sau: ế ư
f (v ) = A v v = A
1
f (v)
E E
E
E
EE EE
T t nhiên phép tìm đ y là h p lý n u ma ế
tr n AEE
là kh ngh ch, khi đó ta có quan h 1 – 1 gi a nh
ngh ch nh (Toán t tuy n tính lúc này là song ế
ánh).
Tuy nhiên ma tr n AEE trong bài này không kh ngh ch và không th làm theo cách đó. Thay vào đó ta
ph i gi s vecto v và đi gi i HPT nh sau: ư
Gi i:
Ta có:
(
v)
A
v
= f
EE
E E
Đây chính là HPT tuy n tính v i ma tr n b sung là:ế
2 5 2 7 2 5
2 7
2
5 2
7
MTBS = A
f (v)
=
2
6 0 4
0 1
2 3
0
1
2 3
EE
E
1 3 0 2 0 1 2 3 0 0 0 0
HPT đ c vi t l i:ượ ế
2x +5y +2z
=
y
2z
=
7
3
x
y
z
=
=
=
6t 11
3 + 2t
t
Chú ý: vô s nghi m nh ng KGN không ph i là KGC c a ư
3
vì đây không ph i h thu n
nh t.
Bài 7. Cho A là ma tr n kích th c ướ m n , B là ma tr n kích th c ướ n p . Ch ng minh
rank (AB )min rank (A ), rank (B) , v i
L i gi i:
rank (A) =
h ng c a ma tr n A.
Gi s : U, V, W là các không gian vect , ơ dimU = p,dimV = n,dimW = m
th a mãn:
g có ma tr n là B trong c p c s ơ
B
, B
2
c a U và V
1
f có ma tr n là A trong c p c s ơ
B
, B
c a V và W
2 3
Ta có:
Im ( f g ) Im f . Vì n u ế u Im ( f
g
)
thì t n t i v U sao cho:
u = ( f g )(v ) u = f (g (v )) Im f
rank (AB) = rank ( f g ) = dim Im ( f g ) dim Im f = rankf = rankA
và các AXTT
g f
UVW
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ____ ___
Thầy Lê Tùng Ưng ULT 4
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
V y
,
Kerg Ker ( f g ) . Vì n u:ế v Kerg g (v ) = 0 f (g (v )) = 0v Ker ( f g )
dim Kerg dim Ker ( f g ) . Theo đ nh lý v s chi u:
p = di mU = dim Im g + dim Kerg = dim Im ( f g )+ dim Ker ( fg )
rank (AB ) = rank ( f g ) = dim Im ( f g ) dim Im g = rankg = rankB
rank (AB )rankA, rankAB rankB đpcm.
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ____ ___
5
| 1/9

Preview text:

_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
KHOÁ HỌC: ĐẠI SỐ - KỸ THUẬT
Chương 07: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài 1. Cho ánh x t ạ uy n t ế f : P x ính 2P2 x th a ỏ mãn:
f (1x
) = −3 + 3x6x
) = 17 + x + 16x
, f (2 + 6x + 3x
) = 32 + 7x + 25x 2
2 , f (3x + 2x 2 2 2 2 P x 2 a) Tìm ma trận c a ủ f đ i v ố i c ớ s ơ c ở hính t c ắ c a ủ 2. Tính f (1 + x ) b) Xác đ nh ị m đ
ể véc tơ v = 1+ x + 2 mx thu c ộ Imf. Lời giải: P x a) G i E ọ là cơ s c ở hính t c ắ c a ủ 23 17 32 1 0 Ma trận c a ủ f đ i ố v i ớ c s ơ c ở hính t c ắ P x A = 3 1 7 0 3 c a ủ 2 là: −6 16 251 2
18 95 113 2 2 2
f (1 + x ) A. 0 = −1 34 0 = −5 f ) E =
(1 + x =−13 5x8x1 7 61 1 8
b) v = 1 + x + mx Im f x1 , x 2 , x 3 : v = x ( 1
8x7x )+ x ( ( 2
9 + 3x + 6x )+ x3 5 2 2 2
8x + 9x 5x = 1 1 2 3x + 3x 1 2 4x = 3 1 có nghi m ệ không t m ầ thư n ờ g
7x + 6x x = m 1 2 38 9 5 18 95 1 Xét:
1 3 4 1 015 27 7 H
ệ có nghiệmm = 07 6 1 m 0 0 0 8m 218 95 6 = −1 3 4 37 6 14xx )( xi0 ) 2 2 Bài 2. Cho toán t t ử uy n t ế ính trên P x 2 xác đ nh ị b i: ở
f (1 + 2x ) = −19 + 12x + 2x 2 ; f (2 + x ) = − 14 + 9x + x 2 ; f (x 2 ) = 42x2x2 Tìm ma trận c a ủ f đ i v ố i c ớ s ơ c ở hính t c ắ P x rank f c a ủ 2 và tìm ( ) . L i ờ giải: ( ) ( ) ( )
f 1 + 2 f x = −19 + 12x + 2x 2
f 1 = 2x 3 2 2 Từ giả thuy t ế ta có: ậ ủ ố ớ
2 f (1)+ f (x ) = −14 + 9x + x f ( x ) = x + 5x8 Ma tr n c a f đ i v i
f ( x ) = 42x2x
f (x ) = −2x 2x + 4 2 2 2 238 438 4 c ơ s
ở chính tắc là: A = 2 52 0 1
2 rank ( f ) = rank (A) = 2 0 12 000
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 1
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ Bài 3. Cho ánh x
f : P xP x xác đ nh nh ị sau ư : f =
(p p + x 2 p, p P x 2 4 ) 2 a) Ch ng ứ minh f là ánh x t ạ uy n t ế ính. P x 2 2 3 4 b) Tìm ma trận c a f đ ủ i ố v i c ớ p ặ c s ơ c ở hính t c
E1 = 1, x, x c a ủ
2 E2 = 1, x, x , x , xc a ủ P x 4 2 x 2 3 4 c) TìPm ma t x . r n c ậ a ủ f đ i ố v i c ớ p ặ c s ơ ở E1
= 1 + x, 2x,1 + c x a ủ
P2 E2 = 1, x, x , x , xc a ủ 4 Lời giải: 1 2 2 ( 1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) 1 p , p P xf p + p = f p + f p ; f kp = kf p là AXTT a) D ễ th y: ấ f k 2 3 2 2 4
b) Ta có: f (1) = 1 + x ; f (x ) = x + x ; f (x ) = x + x Ma tr n ậ c a ủ f đ i v ố i ớ c p ặ c s ơ ở E1 , E2 là: 1 0 0 0 1 0 A = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 3 3 2 2 4 Ma trận c a ủ f đ i v ố i ớ
c) Ta có: f (1 + x ) = 1 + x + x + x ; f (2x ) = 2x + 2x ; f (1 + x ) = 1 + 2x + x cặp 1 0 1 1 2 0 E , E cơ sở 1 2 là: B = 1 0 2 1 2 0 0 01 1 31 Bài 4. Cho A = 2 0 5 là ma trận c a ủ ánh x t ạ uy n t ế ính f : P xP x 2 2 đ i ố v i ớ c s ơ ở 62 4 B = v , v , v 2 2 2 1 2 3
trong đó: v1 = 3x + 3x , v 2 = −1 + 3x + 2x , v 3= 3 + 7x + 2x . f v , f v v a) Tìm (1 ) ( ) , f( ) 2 3
b) Tìm f (1 + x 2 ) a) ( ) ( 1 ) ( ) 1 2 3 2 2 2 2 f
v = v + 2v + 6v = 3x + 3x + 21 + 3x + 2x + 6 3 + 7x + 2x
= 19x + 51x + 16 f (v ) 2
= 3v12v 3 = 3 (3x + 3x 2 )− 2 (3 + 7x + 2x2 ) = 5x 25x6 f (v ) 3
= − v1 + 5v 2 + 4v 3 = −3x3x 2 + 5 (−1 + 3x + 2x2 )+ 4 (3 + 7 x + 2x2 ) = 15x 2 + 40x + 7 b) G i
B0 là ma trận c a f đ ủ i ố v i c ớ s ơ c ở hính t c ắ E S là ma trận chuy n c ể s ơ ở t B ừ sang E
S1 là ma tr n ậ chuy n ể t ừ E sang B
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 2
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 01 31 1 31 0 1 3 239 / 24161 / 24 289 / 24
B = S1AS = 3 3 7 . 2 0 5 3 3 7 = 201/ 8111 / 8 247/8 0 3 2 2 6 2 4 3 2 2 61/ 1231 / 12 107 / 12 1 22
f (1 + x ) 2 = B 0 = 56 E 0 1 14
Bài 5. Cho ánh xạ f : 3 3 xác đ nh ị b i ở
f (x , x , x ) = ( x + x x , x x + x ,x + x + x ) . Tìm ma tr n ậ c a ủ f đ i ố v i ớ c ơ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 sở
B = v1 = ( 1; 0 ; 0 ), v 2 = ( 1; 1; 0 ), v 3= (1;1;1) . L i ờ giải: Ma trận c a f đ ủ i ố v i c ớ s ơ ở chính t c ắ 1 11 là:
A = 1 1 11 1 1 1 1 1 Ma trận chuy n c ể s ơ t
ở ừ E sang B C = 0 là: 1 1 0 0 1 1111 1111 1 10 2 0 V y ậ ma trận c a ủ f đ i v ố i B ớ là: 1 1 = 2 C 1AC = 0 1 1 . 11 1 . 01 0 1 0 0 0 0 1111 0
x ; u = 1 + x + 0 1 3 P x B = u ; u ; u 3 x 2 . Cho toán tử Bài 6. Trong −1 2 , xét c ơ sở 1 2
3 ; trong đó u1 = 1 + x ; u2 = 1 2 2
tuyến tính f : P xP x A = 1 1 2 2 có ma trận đ i ố v i ớ c s ơ B ở là: 2 3 2 a) Tìm ma trận c a ủ f đ i v ố i c ớ s ơ c ở hính t c
ắ : S = 1, x, x ( ) b) Xác đ nh v ị
trong P2 x để f v = 7 + 4x + 2x2 c) Xác đ nh m ị t ộ cơ s c ở a ủ Kerf L i ờ giải: a) V i v ớ ecto bấ u Px t kỳ 2 thì: f (u ) = A u B B BB
Ta phải viết lại các biểu thức kia nhưng theo cơ sở E:
f (u ) = P f (u) E EB Bu = Puu = P 1 u ( E EBB B EB) E f u= P f
u= P A u = P A P1 u ( ) ) E EB ( B EBBB B
EBBB EBE V y ậ rút ra công th c ứ v ma t ề r n c ậ a t ủ oán t t ử uy n t ế ính khi chuy n c ể s ơ : ở
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 3
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ A =P A P1 EE
EBBB EB
Đối với bài này ta thay các số liệu vào được: 1 0 1 1 2
3 1 0 1 1 2 5 2 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = −2 6 0 EE 0 0 1 2 3 2 0 0 11 3 0 Chú ý: có th s
ể uy ra công th c chu y n ể c s ơ ở tr ở ên tr c ti p t ế q ừ uan h : A =P1 A P BB
EBEE EB b) Chú ý: có m t ộ s ý k i n ế cho r n ằ g có th tì ể m vecto v nh s ư au: f (v ) = A v v
= A f (v) 1 E E E E EE EE
Tất nhiên phép tìm đ y l ấ à h p l ợ ý n u ế ma là khả ngh ch, k
hi đó ta có quan h 1 – 1 gi a ữ n ả h tr n AEE ngh ch ị ảnh (Toán t tu ử y n
ế tính lúc này là song ánh). Tuy nhiên ma tr n
ậ AEE trong bài này không kh n ả gh ch ị và không th l
ể àm theo cách đó. Thay vào đó ta phải giả s ve
ử cto v và đi giải HPT như sau: Giải: Ta có: A v = f (v) EE E E Đây chính là HPT tuy n t ế ính v i ma t ớ r n b ậ su ổ ng là: −2 5 2 72 5 2 72 5 2 7 MTBS = A f (v) = −2 6 0 4 0
1 2 3 0
1 2 3 EE E1 3 0 2 0
1 2 3 0 0 0 0 HPT đư c ợ vi t ế l i: ạ −
x = 6t11 2x
+5y +2z = 7y = 3 + 2t y2z = −3 = t z 3 vì đây không ph i ả h ệ thuần Chú ý: vô s n ố ghi m ệ nh n ư g KGN không ph i ả là KGC c a nhất. Bài 7. Cho A là ma tr n k ậ ích thư c
m n , B là ma tr n k ậ ích thư c ớ n p . Ch ng ứ minh
rank (AB )min rank (A ), rank (B) , v i ớ
rank (A) = hạng c a ủ ma tr n A ậ . L i ờ giải: g f Giả s :
ử U, V, W là các không gian vect ,
ơ dimU = p,dimV = n,dimW = m
và các AXTT UVW th a mãn: ỏ
✓ g có ma trận là B trong c p ặ c s ơ ở B, B 12 c a U và V
✓ f có ma trận là A trong c p ặ c s ơ ở B, B 2 3 c a ủ V và W Ta có:
Im ( f g ) Im f . Vì n u ế u Im ( f g ) thì t n t ồ i ạ v U sao cho:
u = ( f g )(v ) u = f (g (v )) Im f
rank (AB) = rank ( f g ) = dim Im ( f g ) dim Im f = rankf = rankA
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 4
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ • Kerg
Ker ( f g ) . Vì n u ế : v Kerg
g (v ) = 0 f (g (v )) = 0v Ker ( f g ) dim Kerg
dim Ker ( f g ) . Theo đ nh ị lý v ề s ố chi u ề :
p = di mU = dim Im g + dim Kerg = dim Im ( f
g )+ dim Ker ( fg )
rank (AB ) = rank ( f g ) = dim Im ( f
g ) dim Im g = rankg = rankB
rank (AB )rankA, rankAB rankB đpcm. Vậy ,
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 5