_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
KHOÁ HỌC: ĐẠI SỐ - KỸ THUẬT
Chương 07: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài 1. Cho ánh x t ạ uy n t ế f : P x ính 2 → P2 x th a ỏ mãn:
f (1 − x
) = −3 + 3x − 6x
) = 17 + x + 16x
, f (2 + 6x + 3x
) = 32 + 7x + 25x 2
2 , f (3x + 2x 2 2 2 2 P x 2 a) Tìm ma trận c a ủ f đ i v ố i c ớ s ơ c ở hính t c ắ c a ủ 2. Tính f (1 + x ) b) Xác đ nh ị m đ
ể véc tơ v = 1+ x + 2 mx thu c ộ Imf. Lời giải: P x a) G i E ọ là cơ s c ở hính t c ắ c a ủ 2 −3 17 32 1 0 Ma trận c a ủ f đ i ố v i ớ c s ơ c ở hính t c ắ P x A = 3 1 7 0 3 c a ủ 2 là: −6 16 25 −1 2
1 −8 9 −5 1 −13 2 2 2
f (1 + x ) A. 0 = −1 3 −4 0 = −5 f ) E =
(1 + x =−13 − 5x − 8x − 1 7 6 −1 1 −8
b) v = 1 + x + mx Im f x1 , x 2 , x 3 : v = x ( 1
−8 − x − 7x )+ x ( ( 2
9 + 3x + 6x )+ x3 −5 2 2 2
−8x + 9x − 5x = 1 1 2 3 − x + 3x − 1 2 4x = 3 1 có nghi m ệ không t m ầ thư n ờ g
−7x + 6x − x = m 1 2 3 −8 9 −5 1 −8 9 −5 1 Xét:
−1 3 −4 1 → 0 −15 27 −7 H
ệ có nghiệmm = 0 −7 6 −1 m 0 0 0 −8m 2−1 −8 9 −5 6 = −1 3 −4 3 −7 6 −1 − 4x − x )( xi0 ) 2 2 Bài 2. Cho toán t t ử uy n t ế ính trên P x 2 xác đ nh ị b i: ở
f (1 + 2x ) = −19 + 12x + 2x 2 ; f (2 + x ) = − 14 + 9x + x 2 ; f (x 2 ) = 4 − 2x − 2x2 Tìm ma trận c a ủ f đ i v ố i c ớ s ơ c ở hính t c ắ P x rank f c a ủ 2 và tìm ( ) . L i ờ giải: ( ) ( ) ( )
f 1 + 2 f x = −19 + 12x + 2x 2
f 1 = 2x − 3 2 2 Từ giả thuy t ế ta có: ậ ủ ố ớ
2 f (1)+ f (x ) = −14 + 9x + x f ( x ) = x + 5x − 8 Ma tr n c a f đ i v i
f ( x ) = 4 − 2x − 2x
f (x ) = −2x − 2x + 4 2 2 2 2 −3 −8 4 −3 −8 4 c ơ s
ở chính tắc là: A = 2 5 −2 →0 1
−2 → rank ( f ) = rank (A) = 2 0 1 −2 000
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 1
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ Bài 3. Cho ánh x
ạ f : P x → P x xác đ nh nh ị sau ư : f =
(p p + x 2 p, p P x 2 4 ) 2 a) Ch ng ứ minh f là ánh x t ạ uy n t ế ính. P x 2 2 3 4 b) Tìm ma trận c a f đ ủ i ố v i c ớ p ặ c s ơ c ở hính t c
ắ E1 = 1, x, x c a ủ
2 và E2 = 1, x, x , x , xc a ủ P x 4 2 x 2 3 4 c) TìPm ma t x . r n c ậ a ủ f đ i ố v i c ớ p ặ c s ơ ở E1
= 1 + x, 2x,1 + c x a ủ
P2 và E2 = 1, x, x , x , xc a ủ 4 Lời giải: 1 2 2 ( 1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) 1 p , p P xf p + p = f p + f p ; f kp = kf p là AXTT a) D ễ th y: ấ f k 2 3 2 2 4
b) Ta có: f (1) = 1 + x ; f (x ) = x + x ; f (x ) = x + x Ma tr n ậ c a ủ f đ i v ố i ớ c p ặ c s ơ ở E1 , E2 là: 1 0 0 0 1 0 A = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 3 3 2 2 4 Ma trận c a ủ f đ i v ố i ớ
c) Ta có: f (1 + x ) = 1 + x + x + x ; f (2x ) = 2x + 2x ; f (1 + x ) = 1 + 2x + x cặp 1 0 1 1 2 0 E , E cơ sở 1 2 là: B = 1 0 2 1 2 0 0 01 1 3 −1 Bài 4. Cho A = 2 0 5 là ma trận c a ủ ánh x t ạ uy n t ế ính f : P x→ P x 2 2 đ i ố v i ớ c s ơ ở 6 −2 4 B = v , v , v 2 2 2 1 2 3
trong đó: v1 = 3x + 3x , v 2 = −1 + 3x + 2x , v 3= 3 + 7x + 2x . f v , f v v a) Tìm (1 ) ( ) , f( ) 2 3
b) Tìm f (1 + x 2 ) a) ( ) ( 1 ) ( ) 1 2 3 2 2 2 2 f
v = v + 2v + 6v = 3x + 3x + 2 −1 + 3x + 2x + 6 3 + 7x + 2x
= 19x + 51x + 16 f (v ) 2
= 3v1 − 2v 3 = 3 (3x + 3x 2 )− 2 (3 + 7x + 2x2 ) = 5x 2 − 5x − 6 f (v ) 3
= − v1 + 5v 2 + 4v 3 = −3x − 3x 2 + 5 (−1 + 3x + 2x2 )+ 4 (3 + 7 x + 2x2 ) = 15x 2 + 40x + 7 b) G i
ọ B0 là ma trận c a f đ ủ i ố v i c ớ s ơ c ở hính t c ắ E S là ma trận chuy n c ể s ơ ở t B ừ sang E
S−1 là ma tr n ậ chuy n ể t ừ E sang B
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 2
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 0 −1 3−1 1 3 −1 0 −1 3 239 / 24 −161 / 24 289 / 24
B = S−1AS = 3 3 7 . 2 0 5 3 3 7 = 201/ 8 −111 / 8 247/8 0 3 2 2 6 −2 4 3 2 2 61/ 12 −31 / 12 107 / 12 1 22
f (1 + x ) 2 = B 0 = 56 E 0 1 14
Bài 5. Cho ánh xạ f : 3 → 3 xác đ nh ị b i ở
f (x , x , x ) = ( x + x − x , x − x + x , − x + x + x ) . Tìm ma tr n ậ c a ủ f đ i ố v i ớ c ơ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 sở
B = v1 = ( 1; 0 ; 0 ), v 2 = ( 1; 1; 0 ), v 3= (1;1;1) . L i ờ giải: Ma trận c a f đ ủ i ố v i c ớ s ơ ở chính t c ắ 1 1 −1 là:
A = 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 Ma trận chuy n c ể s ơ t
ở ừ E sang B C = 0 là: 1 1 0 0 1 111−1 11−11 1 10 2 0 V y ậ ma trận c a ủ f đ i v ố i B ớ là: 1 1 = 2 − C 1AC = 0 1 1 . 1 −1 1 . 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 −111 0
x ; u = 1 + x + 0 1 3 P x B = u ; u ; u 3 x 2 . Cho toán tử Bài 6. Trong −1 2 , xét c ơ sở 1 2
3 ; trong đó u1 = 1 + x ; u2 = 1 2 2
tuyến tính f : P x → P x A = 1 1 2 2 có ma trận đ i ố v i ớ c s ơ B ở là: 2 3 2 a) Tìm ma trận c a ủ f đ i v ố i c ớ s ơ c ở hính t c
ắ : S = 1, x, x ( ) b) Xác đ nh v ị
trong P2 x để f v = 7 + 4x + 2x2 c) Xác đ nh m ị t ộ cơ s c ở a ủ Kerf L i ờ giải: a) V i v ớ ecto bấ u Px t kỳ 2 thì: f (u ) = A u B B BB
Ta phải viết lại các biểu thức kia nhưng theo cơ sở E:
f (u ) = P f (u) E E →B B − u = Puu = P 1 u ( E E→BB B E→B) E f u= P f
u= P A u = P A P −1 u ( ) ) E E → B ( B E→BBB B
E→BBB E→BE V y ậ rút ra công th c ứ v ma t ề r n c ậ a t ủ oán t t ử uy n t ế ính khi chuy n c ể s ơ : ở
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 3
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ A =P A P−1 EE
E→BBB E→B
Đối với bài này ta thay các số liệu vào được: 1 0 1 1 2
3 1 0 1 −1 − 2 5 2 A = 1 1 1 1 1 −1 1 1 1 = −2 6 0 EE 0 0 1 2 3 2 0 0 1 −1 3 0 Chú ý: có th s
ể uy ra công th c chu ứ y n ể c s ơ ở tr ở ên tr c ti ự p t ế q ừ uan h : ệ A =P−1 A P BB
E→BEE E→B b) Chú ý: có m t ộ s ý k ố i n ế cho r n ằ g có th tì ể m vecto v nh s ư au: f (v ) = A v v
= A − f (v) 1 E E E E EE EE
Tất nhiên phép tìm đ y l ấ à h p l ợ ý n u ế ma là khả ngh ch, k ị
hi đó ta có quan h 1 – 1 gi ệ a ữ n ả h tr n ậ AEE và ngh ch ị ảnh (Toán t tu ử y n
ế tính lúc này là song ánh). Tuy nhiên ma tr n
ậ AEE trong bài này không kh n ả gh ch ị và không th l
ể àm theo cách đó. Thay vào đó ta phải giả s ve
ử cto v và đi giải HPT như sau: Giải: Ta có: A v = f (v) EE E E Đây chính là HPT tuy n t ế ính v i ma t ớ r n b ậ su ổ ng là: −2 5 2 7 −2 5 2 7 −2 5 2 7 MTBS = A f (v) = −2 6 0 4 → 0
1 −2 −3 → 0
1 −2 −3 EE E −1 3 0 2 0
1 −2 −3 0 0 0 0 HPT đư c ợ vi t ế l i: ạ −
x = 6t − 11 2x
+5y +2z = 7 − y = 3 + 2t y −2z = −3 = t z 3 vì đây không ph i ả h ệ thuần Chú ý: vô s n ố ghi m ệ nh n ư g KGN không ph i ả là KGC c a ủ nhất. Bài 7. Cho A là ma tr n k ậ ích thư c
ớ m n , B là ma tr n k ậ ích thư c ớ n p . Ch ng ứ minh
rank (AB )min rank (A ), rank (B) , v i ớ
rank (A) = hạng c a ủ ma tr n A ậ . L i ờ giải: g f Giả s :
ử U, V, W là các không gian vect ,
ơ dimU = p,dimV = n,dimW = m
và các AXTT U→V →W th a mãn: ỏ
✓ g có ma trận là B trong c p ặ c s ơ ở B, B 1 ủ 2 c a U và V
✓ f có ma trận là A trong c p ặ c s ơ ở B, B 2 3 c a ủ V và W Ta có:
• Im ( f g ) Im f . Vì n u ế u Im ( f g ) thì t n t ồ i ạ v U sao cho:
u = ( f g )(v ) u = f (g (v )) Im f
rank (AB) = rank ( f g ) = dim Im ( f g ) dim Im f = rankf = rankA
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___
Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 4
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ • Kerg
Ker ( f g ) . Vì n u ế : v Kerg
g (v ) = 0 f (g (v )) = 0v Ker ( f g ) dim Kerg
dim Ker ( f g ) . Theo đ nh ị lý v ề s ố chi u ề :
p = di mU = dim Im g + dim Kerg = dim Im ( f
g )+ dim Ker ( fg )
rank (AB ) = rank ( f g ) = dim Im ( f
g ) dim Im g = rankg = rankB
rank (AB )rankA, rankAB rankB đpcm. Vậy ,
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
_______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ___ 5