Đề cuối học kì 2 Toán 12 năm 2023 – 2024 trường THPT Chế Lan Viên – Quảng Trị
Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi cuối học kì 2 môn Toán 12 năm học 2023 – 2024 trường THPT Chế Lan Viên, tỉnh Quảng Trị; đề thi gồm 5 trang với 50 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết giúp bạn tham khảo, on tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
SỞ GD & ĐT QUẢNG TRỊ
ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II– NĂM HỌC 2023- 2024
TRƯỜNG THPT CHẾ LAN VIÊN
MÔN TOÁN - KHỐI LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 Phút; (Đề có 50 câu)
(Đề có 5 trang)
Họ tên : ............................................................... Số báo danh : ................... Mã đề
Câu 1. Cho các hàm số f (x) và g (x) liên tục trên R . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. f
∫ (x)+ g(x)dx = f ∫ (x)d .x g ∫ (x)dx . B. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g ∫ (x)dx C. f
∫ (x).g(x)dx = f ∫ (x)d .x g ∫ (x)dx.
D. f (x).g(x)dx = f (x)dx + g(x) . dx ∫ ∫ ∫
Câu 2. Số phức z = 4 + 3i có môđun bằng A. 8. B. 7. C. 5. D. 25.
Câu 3. Phần ảo của số phức z = 3− 2i là A. 3 B. 2 − i C. 2. − D. 3+ 2i
Câu 4. Cho f (x) liên tục trên R , F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên R , F(2) = 4, F(3) = 6 . 3
Tính f (x)dx ∫ 2 A. 2. − B. 2. C. 10. D. 1.
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 2 − ) và B(1; 2
− ;0) . Tọa độ của vectơ AB là A. 1 1; ; 1 − − . B. (2; 1 − ; 2 − ) . C.(0;3; 2 − ) D. (0; 3 − ;2) . 2
Câu 6. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
A. F '(x) = − f (x), x ∀ ∈ K.
B. f '(x) = F(x), x ∀ ∈ K.
C. F '(x) = f (x), x ∀ ∈ K.
D. f '(x) = −F(x), x ∀ ∈ K.
Câu 7. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (1; 2
− ;4) trên trục Oz có tọa độ là A. (0;0; 4 − ). B. (1; 2 − ;0). C. ( 1 − ;2;4). D. (0;0;4).
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b b b b A. 2 V = π f ∫ (x)dx B. 2 V = π f ∫ (x)dx C. 2 V = 2π f
∫ (x)dx D. V =π f ∫ ( 2x)dx a a a a
Câu 9. Khẳng định nào dưới đây đúng? 6 x A. x 4
5 dx = 5x + C. ∫ B. 5x x dx = + C ∫ C. x 5 5 dx = + C x x dx = + C 6 ∫ . D. 5 5 .ln 5 ln 5 ∫
Câu 10. Trong không gian − +
Oxyz , cho đường thẳng x 1 y z 2 d : = =
. Vectơ nào dưới đây là một 2 1 3 −
vectơ chỉ phương của d ? A. u = 2;1; 3 − . B. . u = 1;0; 2 − C. u = 2;1;3 . D. u = 1;0;2 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( )
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 2 : z d − − = =
. Điểm nào dưới đây thuộc 2 1 2 − đường thẳng d ? A. M ( 1; − 2 − ;0).
B. M (1;2;0). C. M (2;1; 2 − ). D. M ( 2 − ; 1; − 2). 1 1 1
Câu 12. Tính ∫( f (x)+g(x))dx , biết f (x)dx = 2, g(x)dx = 4 − . ∫ ∫ 0 0 0 A. 6 − . B. 6. C. 2 − . D. 2.
Câu 13. Cho hai số phức z =1−3i và z = 4
− + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 − − 2i . B. 5− 2i . C. 3 − + 2i . D. 5− 4i .
Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) là 0 1 0 1 1 0 1 A. S = f
∫ (x)dx − f
∫ (x)dx .B. S = f
∫ (x)dx + f
∫ (x)dx.C. S = f
∫ (x)dx − f
∫ (x)dx . D. f ∫ (x)dx . 2 − 0 2 − 0 0 2 − 2 −
Câu 15. Tìm các số thực x, y thỏa mãn x + 2i = 3+ 4y .i A. 1
x = 3, y = − . B. 1 x = 3, y = . C. 1 x = 3, − y = .
D. x = 3, y = 2. 2 2 2
Câu 16. Trong không gian cho A(1;2;3) và B(2; 1;
− 2) . Đường thẳng đi qua hai điểm AB có phương trình là.
A. x − 2 y +1 z − 2 − − − − − − − − + = = .
B. x 1 y 2 z 3 = = .
C. x 1 y 2 z 3 = =
. D. x 1 y 2 z 3 = = . 1 3 1 1 3 − 1 − 1 − 3 1 − 1 3 − 1 −
Câu 17. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(P):3x − y − 2 = 0? A. n = (3; 1 − ; 2
− ) . B. n = (3;1;2). C. n = (3; 1; − 0) . D. n = (3;1;0).
Câu 18. Phươngtrình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;1;0),C (0;0;2) là A. x y z + + = 1. B. x y z − + =1. C. x y z + + = 1 − . D. x y z + + = 0 . 3 1 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 3 Câu 19. Nếu f
∫ (x)dx = 2 thì ( f (x)- )1dx ∫ bằng 1 1 A. -2. B. -3. C.1 . D. 0.
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho u = ( 1
− ;2;2);v = (3;4;0) . Tính a = u + v A. a = (4;2; 2 − ).
B. a = (5;10;2). C.a = (2;6;2). D. a = (1;3;1). Câu 21. Hàm số 2
F(x) = 3x là một nguyên hàm của hàm số nào? A. 3
f (x) = x + C
B. f (x) = 6x C. 3
f (x) = x .
D. f (x) = 6x +1.
Câu 22. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = cos5x là A. sin5x + C .
B. 1 sin5x + C . C. − + . D. 1
− sin 5x + C . 5 5sin5x C 5
Câu 23. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2 z + 4 = 0 là A. 2i . B. 2i; 2 − i . C. 4i; 4 − i . D. 2
Câu 24. Cho số phức z = 2i . Số phức nghịch đảo của số phức z là A. 1 − .i B. − C. 1 .i D. 3 − .i 2 2 .i 2 2
Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = −x + 3x ; trục hoành, trục tung là A. 11 B. 9 C. 4 D. 5 2 2 3 3
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho ba điểm ( A 1;1;2), ( B 2;0; 1 − ),
C(3;2;0). Mặt phẳng (ABC) nhận
một vec tơ pháp tuyến là vec tơ nào dưới đây? A. n = (5; 4; − 3) . B. n = ( 4 − ;3;5) . C. n = (1; 1; − 3 − ) . D. n = (3;5; 4 − ) .
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn .iz = 5− 2i . Tìm z A. 2 − − 5 .i B. 5 − − 2 .i C. 2 − + 5 .i D. 5 − + 2 .i
Câu 28. Cho z =1−i; z = 2 + i . Phần thực của số phức z1 là 1 2 z2 A. 1. B. 3 − .i C. 3 − . D. 1 − 5 5 5 5 2024
Câu 29. Tính tích phân 2x I = e dx ∫ . 0 A. 1 1 1 I = ( 4048 e − ) 1 . B. I = ( 4048 e − ) 1 . C. 4048 I = e . D. 4048 I = e −1. 2 2 2
Câu 30. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị 2
y = 2x − x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho (H ) quay quanh Ox . 2 2 2 0 A. 2 2
V = (2x − x ) dx ∫ . B. 2 2
V = π (2x − x ) dx ∫ . C. 2
V = 2x − x dx ∫ . D. 2 2
V = (2x − x ) dx ∫ . 0 0 0 2 −
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A, B (như hình vẽ) lần lượt là điểm biểu diễn
của các số phức z , z . Tìm phần ảo của số phức z = z .z . 1 2 1 2 y 3 A B 2 -2 O 1 2 x A. 10 − B. 2 − i C. 2 − D. 10 − − 2 .i
Câu 32. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 −5i = 6
là đường tròn có tâm là A. I(2; 5 − ) . B. I(5; 2 − ) . C. I( 5; − 2) . D. I( 2; − 5) .
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;0;− ) 1 , B(2;2; )
1 . Phương trình mặt phẳng đi qua
A và vuông góc với AB là
A. x + 2y + 2z −1= 0. B. x + z = 0.
C. x − z − 2 = 0 .
D. x+ 2y + 2z +1= 0
Câu 34. Cho số phức 3
z = 2 − i . Tìm phần ảo của z . A.-1. B. 2 C. 1 D. i
Câu 35. Cho z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z − 2z + 2 = 0 (z ∈) . Tính giá trị của biểu 1 2
thức P = 2 z + z + z − z . 1 2 1 2
A. P = 3.
B. P = 2 2 + 2 . C. P = 2 + 4 . D. P = 6 .
Câu 36. Hàm số y = f (x) có một nguyên hàm là ( ) 2 e x F x =
. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) +1. ex
A. f (x) +1dx +
= ex − e−x + C ∫ .
B. f (x) 1dx = 2ex − e−x + C ex ∫ . ex
C. f (x) +1dx +
= 2ex + e−x + C ∫ . D. f (x) 1 1
dx = ex − e−x + C ex ∫ . ex 2 1
Câu 37. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và f (−x) + f (x) 2
= 3x . Tính I = f ∫ (x)dx. 1 − A. 2 I . B. I 4. C. I 1. D. 1 I . 3 2 1
Câu 38. Cho tích phân ( − 2) x x
e dx = a + be ∫ , với ;
a b∈ . Tính P = . a b 0 A. P =1. B. P = −6 . C. P = 5. D. P = 1 − .
Câu 39. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z − i = 5 và 2
z là số thuần ảo? A. 4 B. 0 C. 2 D. 3
Câu 40. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): 2x − 2y + z − 2 = 0 và
(Q):2x − 2y + z −8 = 0 bằng A. 143. B. 2. − C. 6. D. 2.
Câu 41. Trong không gian Oxyz , đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x − y + 2z −9 = 0 và mặt cầu (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 2z − 23 = 0 có bán kính bằng A. 23 . B. 4 . C. 2 . D. 2 .
Câu 42. Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình 1 2
y = x . Gọi S , S lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình 4 1 2 vẽ bên dưới. Tỉ số S2 bằng S1 A. 3 . B. 3. C. 2 . D. 1 . 2 2
Câu 43. . Cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 5 = 0 và đường thẳng x 1 y 1 : z d − − = = . Đường thẳng 2 2 1
∆ nằm trên mặt phẳng (P) , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d có phương trình là
A. x +1 y +1 z +1 + + + − − − − + − = = .
B. x 1 y 1 z 1 = =
C. x 1 y 1 z 1 = =
. D. x 1 y 1 z 1 = = . 2 3 2 2 3 − 2 2 − 3 2 − 2 3 − 2
Câu 44. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x −1 (H ) : y =
và các trục tọa độ. Khi đó x +1
giá trị của S bằng A. S = ln 2 +1. B. S = 2ln 2 +1. C. S = ln 2 −1. D. S = 2ln 2 −1.
Câu 45. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z −i = (1+ i) z là một đường tròn, tâm của
đường tròn đó có tọa độ là A. (1; ) 1 . B. (0;− ) 1 . C. (0 ) ;1 . D. ( 1; − 0) .
Câu 46. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn f (ln x) + f (1− ln x) = x . Khi đó 1 I = f
∫ (x)dx bằng 0 A. e −1 . B. e +1. C. e . D. 2 . 2 2 2 e −1
Câu 47. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m, chiều rộng AB = 4m ,
AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1000000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền
để làm hai phần nói trên ứng với với số tiền nào dưới đây?
A. 11445000 đồng
B. 12544000 đồng. C. 10213800 đồng. D. 115540000 đồng.
Câu 48. Cho hai số phức z , z thỏa mãn = − − = + −
Giá trị nhỏ nhất của 1 2 z − 4 3 z 3 3i z 1 6i 1 và 2 2
biểu thức z − z bằng 1 2 A. 81 B. 21 C. 51 D. 3. 10 10 10
Câu 49. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;1; )
1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0), C (0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a + 2b + 3c bằng A. 12. B. 21. C. 15. D. 18.
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại C , ABC = 60° , − − + AB x y z
= 3 2, đường thẳng AB có phương trình 3 4 8 = =
, đường thẳng AC nằm trên mặt 1 1 4 −
phẳng (α ): x + z −1= 0 . Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi ( ; a ;
b c) là tọa độ điểm C , giá trị
của a + b + c bằng A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 7 .
----------HẾT--------------- ĐÁP ÁN
1B 2C 3C 4B 5D 6C 7D 8B 9C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A B C A A B B C A
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
D C B B A A B A C A B B C D D C D B
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C B A D B D B D B A C B D C
Giải chi tiết VD và VDC
Câu 36. Hàm số y = f (x) có một nguyên hàm là ( ) 2 e x F x =
. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) +1. ex
A. f (x) +1dx +
= ex − e−x + C ∫ .
B. f (x) 1dx = 2ex − e−x + C ex ∫ . ex
C. f (x) +1dx +
= 2ex + e−x + C ∫ . D. f (x) 1 1
dx = ex − e−x + C ex ∫ . ex 2 Chọn B
Vì hàm số y = f (x) có một nguyên hàm là ( ) 2 e x F x = nên ( ) ( ( )) 2 2e x f x F x ′ = = . 2x
Do đó: f (x) +1 2e +1 dx = dx ∫
= 2ex + e−x dx = 2ex − e−x + C . ex ∫ ∫( ) ex 1
Câu 37. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và f (−x) + f (x) 2
= 3x . Tính I = f ∫ (x)dx. 1 − A. 2 I . B. I 4. C. I 1. D. 1 I . 3 2 Chọn C 1 1 1
Ta có: f (−x) + f (x) 2 = x ⇒ f
∫ (−x)dx + f ∫ (x) 2 dx = 3x dx ∫ 1 − 1 − 1 − 1 1 1 1 Mà f
∫ (−x)dx = f
∫ (x)dx Nên 2 f
∫ (x)dx = 2 ⇔ f ∫ (x)dx =1 1 − 1 − 1 − 1 − 1
Câu 38. Cho tích phân ( − 2) x x
e dx = a + be ∫ , với ;
a b∈ . Tính P = . a b 0
A. P =1. B. P = −6 . C. P = 5. D. P = 1 − . Chọn B 1 1 u = x − 2 du = x d Đặt 1 1 ⇒ ⇒ (x − 2) x
e dx = (x − 2) x x e − e x= d − e + 2 x
− e = 3− 2e = a + be ∫ ∫ x x 0 0 dv = e dx v = e 0 0
Với a;b∈ ⇒ a = 3,b = 2 − ⇒ ab = 6 − .
Câu 39. Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z − i = 5 và 2 z là số thuần ảo? A. 4 B. 0 C. 2 D. 3 Chọn A. Giả sử 2 2 2
z = a + bi ⇒ z = a − b + 2abi
Vì z − i = 5 và 2
z là số thuần ảo ta có: a = b a = b = 4 2 2 2 2
a + (b −1) = 25 b (b 1) 25 + − = a = b = 3 − ⇔ ⇔ . 2 2 a − b = 0 a = − b b = −a = 4 2 2
b +(b− 1) = 25 b = −a = 3 −
Do đó có 4 số phức z thoả mãn điều kiện
Câu 40.Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): 2x − 2y + z − 2 = 0 và
(Q):2x − 2y + z −8 = 0 bằng A. 143. B. 2. − C. 6. D. 2. Chọn D.
Nhận thấy mp (P) // mp(Q).
Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là khoảng cách từ điểm A(1;1;2) nằm trong mặt
phẳng (P) tới mặt phẳng (Q) Vậy − + − d A (Q) 2.1 2.1 2 8 ( : ) = = 2 2 2 2 2 + ( 2) − +1
Câu 41. Trong không gian Oxyz , đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x − y + 2z −9 = 0 và mặt cầu (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 2z − 23 = 0 có bán kính bằng A. 23 . B. 4 . C. 2 . D. 2 . Chọn B.
Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1) và bán kính R = 1+1+ 23 = 5
+) Khoảng cách từ tầm I đến mp(P) là: 2 − 2 − 9 d = = 3 4 +1+ 4
Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính là 2 2
r = R − d = 4.
Câu 42. Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình 1 2
y = x . Gọi S , S lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch 4 1 2 như hình vẽ bên dưới. Tỉ số S2 bằng S1 A. 3 . B. 3. C. 2 . D. 1 . 2 2 Chọn D. Ta có: S = S + S = . ABCD 16 1 2 16 4 1 2 16 S = x dx = S S 3 1 ⇒ = = = 2 ∫ 2 2 4 3 S 16 − S 16 2 0 1 2 16 − 3
Câu 43. Cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2x + 5 = 0 và đường thẳng x 1 y 1 : z d − − = = . Đường thẳng ∆ 2 2 1
nằm trên mặt phẳng (P) , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d có phương trình là
A. x +1 y +1 z +1 + + + − − − − + − = =
.B. x 1 y 1 z 1 = =
C. x 1 y 1 z 1 = =
.D. x 1 y 1 z 1 = = . 2 3 2 2 3 − 2 2 − 3 2 − 2 3 − 2 Chọn B.
Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1;2;2) .
Vectơ chỉ phương của d là u = (2; 2; ) 1 . u;n = ( 2 − ;3; 2 − )
là vectơ chỉ phương của ∆ .
Mặt khác, do ∆ cắt d nên ∆ đi qua giao điểm M của d và mặt phẳng (P) .
Tọa độ giao điểm M của d và (P) là nghiệm hệ phương trình sau: x =1+ 2t t = 1 − y 1 2t = + x = 1 − ⇔ ⇒ M ( 1; − −1; − ) 1 . z t = y = 1 −
x + 2y + 2z +5 = 0 z = 1 −
Vậy phương trình đường thẳng + + +
∆ là x 1 y 1 z 1 = = . 2 3 − 2
Câu 44. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x −1 (H ) : y =
và các trục tọa độ. Khi đó x +1
giá trị của S bằng A. S = ln 2 +1. B. S = 2ln 2 +1. C. S = ln 2 −1. D. S = 2ln 2 −1. Chọn D
Phương trình trục Ox và Oy lần lượt là y = 0 và x = 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số (H) và trục Ox: x −1 = 0 ⇔ x =1. x +1 1 Ta có: x −1 − S x 1 = dx ∫ . Vì ≤ 0, x ∀ ∈[0; ]
1 nên diện tích cần tìm là: x +1 x +1 0 1 1 x −1 2 S dx 1 = − = − + dx = ∫ ∫
(−x + 2ln x +1) 1 = 2ln2− 1. x +1 x +1 0 0 0
Câu 45. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z −i = (1+ i) z là một đường tròn, tâm của
đường tròn đó có tọa độ là A. (1; ) 1 . B. (0;− ) 1 . C. (0 ) ;1 . D. ( 1; − 0) . Chọn B
Đặt z = x + yi (x, y ∈).
Ta có z −i = (1+ i) z . ⇔ x + ( y − )
1 i = (1+ i)(x + yi) ⇔ x + ( y − )
1 i = (x − y) + (x + y)i
⇔ x + ( y − )2 = (x − y)2 + (x + y)2 2 1 2 2
⇔ x + y + 2y −1 = 0 ⇔ x + ( y + )2 2 1 = 2 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(0;− ) 1 .
Câu 46. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn f (ln x) + f (1− ln x) = x . Khi đó 1 I = f
∫ (x)dx bằng 0 A. e −1 . B. e +1. C. e . D. 2 . 2 2 2 e −1 Chọn A Ta có 1 1
f (ln x) + f (1− ln x) = x ⇔ f (ln x) + f (1− ln x) =1 (∗) x x e e
Lấy tích phân từ 1 đến 1 1
e cả hai vế của (∗) , ta được f ∫ (ln x) f (1 ln x) + − dx = dx ∫ x x 1 1 e e e e ⇔ 1 f ∫ ( x) 1 ln dx + f
∫ (1−ln x)dx = e−1 ⇔ f
∫ (ln x)d(ln x)− f
∫ (1−ln x)d(1−ln x) = e−1(∗∗) x x 1 1 1 1 = → = Đặt x t
t = ln x . Đổi cận 1 0
x = e → t =1 1 1 Khi đó (∗∗) ⇔ f
∫ (x)dx− f
∫ (1−t)d(1−t) = e−1 0 0 1 1 1 e 1 ⇔ f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = e−1 ⇔ f (x)dx − = ∫ . 2 0 0 0
Câu 47. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m, chiều rộng AB = 4m ,
AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1000000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền
để làm hai phần nói trên ứng với số tiền nào dưới đây?
A. 11445000 đồng
B. 12544000 đồng. C. 10213800 đồng. D. 115540000 đồng. Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh G(2;4) và đi qua gốc tọa độ.
Phương trình của parabol có dạng 2
y = ax + bx + c ( 0 a ≠ ) . c = 0 a = −1
Vì parabol có đỉnh là G(2;4) và đi qua điểm O(0;0) nên ta có b − = 2 ⇔ b = 4 . 2a 2 c = 0 .2 a + .2 b + c = 4
Do đó phương trình parabol là 2
y = f (x) = −x + 4x . 4 4 3
Diện tích của cả cổng là S = ∫( 2 −x + x) x 2 32
4 dx =− + 2x = ( 2 m ). 3 3 0 0
Mặt khác chiều cao CF = DE = f (0,9) = 2,79(m); CD = 4 − 2.0,9 = 2,2 (m) .
Diện tích hai cánh cổng là S = CD CF = . CDEF ( 2 . 6,138 m )
Diện tích phần xiên hoa là 32 6793
S = S − S = − = . xh CDEF 6,138 ( 2 m ) 3 1500
Vậy tổng số tiền để làm cổng là 6793 6,138.1000000 + .900000 =10213800 đồng. 1500
Câu 48. Cho hai số phức z , z thỏa mãn = − − = + −
Giá trị nhỏ nhất của 1 2 z − 4 3 z 3 3i z 1 6i 1 và 2 2
biểu thức z − z bằng 1 2 A. 81 B. 21 C. 51 D. 3. 10 10 10 Chọn B
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − 4 = 3 là tập hợp các điểm 1 1
M (x; y) thoả mãn phương trình: (x − )2 2 4 + y = 9( )
1 là đường tròn tâm I (4;0), R = 3
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z −3−3i = z +1− 6i 2 2 2 là tập hợp các điểm
N (x; y) thỏa mãn phương trình (x − )2 + ( y − )2 = (x + )2 + ( y − )2 3 3 1
6 ⇔ 8x + 6y −19 = 0(2)
Khi đó z − z là khoảng cách từ một điểm thuộc ∆ :8x + 6y −19 = 0 tới một điểm thuộc đường tròn 1 2 (C) (x − )2 2 : 4 + y = 9 . Vì d (I d ) 51 , = > R 51 21 ⇒ z − z = MN
= d I,d − R = − 3 = . 1 2 min min ( ) 10 10 10
Câu 49. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;1; )
1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0), C (0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a + 2b + 3c bằng A. 12. B. 21. C. 15. D. 18. Chọn D
Từ giả thiết ta có a > 0,b > 0,c > 0 và thể tích khối tứ diện OABC là 1 V = abc . OABC 6
Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) có dạng x y z + + = 1. a b c
Mà M ∈(P) 1 1 1 ⇒ + + = 1. a b c
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có: 1 1 1 1 = + + ≥ 3 1 3 ⇒ abc ≥ 27 . a b c abc Do đó 1 9 V
= abc ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 . OABC 6 2 Vậy 9 min
= ⇔ a = b = c = . Khi đó a + 2b + 3c =18 . V 3 OABC 2
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại C , ABC = 60° , − − + AB x y z
= 3 2, đường thẳng AB có phương trình 3 4 8 = =
, đường thẳng AC nằm trên mặt 1 1 4 −
phẳng (α ): x + z −1= 0 . Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi ( ; a ;
b c) là tọa độ điểm C , giá trị
của a + b + c bằng A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 7 . Chọn C
Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (α ) . Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
x − 3 y − 4 z + 8 x = 1 = = 1 1 4 −
⇔ y = 2. Vậy điểm A(1;2;0) .
x + z −1= 0 z = 0
Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B(3+ t;4 + t;−8− 4t) .
Theo giả thiết thì t + 3 > 0 ⇔ t > 3 − .
Do AB = 3 2 , ta có (t + )2 + (t + )2 + (t + )2 2 2 16 2 =18 ⇒ t = 1
− nên B(2;3;− 4) . Theo giả thiết thì 3 6
AC = ABsin 60° = ; 3 2 BC = A . B cos60° = . 2 2 a + c =1 a + c =1 Vậy ta có hệ (
a − )2 + (b − )2 2 27 1 2 + c =
⇔ 2a + 2b −8c = 33 2 2 2 27 ( 2
a − )2 + (b − )2 + (c + )2 9 2 3 4 = ( a − )
1 + (b − 2) + c = 2 2 7 a = 2 ⇔ b = 3 . Vậy 7 5 C ;3;−
nên a + b + c = 4 . 2 2 5 c = − 2