Đề cương HK2 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa

Đề cương HK2 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK2 Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

30 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
1
PHẦN 1. ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
CHỦ ĐỀ I. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên Hiệu số
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số kí hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số . Vậy .
2. Tính chất của tích phân
1. 2.
3. ( ) 4.
5. .
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Phương pháp 1: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
. Để tính
b
a
f x dx
, đôi khi ta chọn hàm số
u u x
làm biến số mới, trong đó trên đoạn
;
a b
,
u x
có đạo hàm liên tục và
;
u x
.
Giả sử có thể viết
' , ;
f x g u x u x x a b
, với
g u
liên tục trên đoạn
;
. Khi đó
u b
b
a u a
f x dx g u du
.
Phương pháp 2: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
. Giả sử hàm số
x t
có đạo hàm liên tục trên
đoạn
*
;
sao cho
,
a b
và
a t b
với
;
t
. Khi đó
'
b
a
f x dx f t t dt
.
(*) Nếu
thì ta xét đoạn
;
.
2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên
;
a b
thì
' '
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
Hay
.
b b
b
a
a a
udv uv vdu
II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x
liên tục trên đoạn
;
a b
, trục hoành và hai
đường thẳng
x a
,
x b
được tính theo công thức
f
[ ; ].
a b
F
f
[ ; ].
a b
( ) ( )
F b F a
[ ; ]
a b
( ),
f x
( ) .
b
a
f x dx
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
( ) ( )
F b F a
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
( ) 0
a
a
f x dx
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
a b c
. ( ) . ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx k
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
u u x
v v x
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
2
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
y f x
,
2
y f x
liên tục trên đoạn
;a b
và hai
đường thẳng
x a
,
x b
được tính bởi công thức
1
2
:
y f x
y f x
H
x a
x b
Chú ý
- Nếu trên đoạn
[ ; ]a b
, hàm số
( )f x
không đổi dấu thì:
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
.
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
a. Thể tích vật thể
Cắt một vật thể
V
bởi hai mặt phẳng
P
và
Q
vuông góc với trục
Ox
lần lượt tại
x a
,
x b
.a b
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với
Ox
tại điểm
x
a x b
cắt
V
theo thiết diện có diện tích
( )S x
(hình
vẽ). Giả sử
( )S x
là hàm số liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
.
Khi đó, thể tích
V
của vật thể
V
được tính bởi công thức
b. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )y f x
, trục hoành và
hai đường thẳng
x a
,
x b
quanh trục Ox:
Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )y f x
,
( )y g x
( ): ( )
( ) :
C y f x
Ox y 0
x a
x b
2
( )
b
x
a
V f x dx
a
( )
y f x
y
O
b
x
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
3
và hai đường thẳng
x a
,
x b
quanh trục Ox:
2 2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
2
3 1
1
e d
x
x
bằng
A.
5 2
1
e e
3
. B.
5 2
1
e e
3
. C.
5 2
e e
. D.
5 2
1
e e
3
.
Câu 2. Biết
5
1
d 4
f x x
. Giá trị của
5
1
3 d
f x x
bằng
A.
7
. B.
4
3
. C.
64
. D.
12
.
Câu 3. Cho
6
0
( ) 12f x dx
. Tính
2
0
(3 )I f x dx
.
A.
6I
B.
36I
C.
2I
D.
4I
Câu 4. Biết
3
F x x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
. Giá trị của
2
1
2 ( ) df x x
bằng
A.
23
4
. B.
7
. C.
9
. D.
15
4
.
Câu 5. Biết
4
0
(1 )cos2x xdx
1
a b
. Giá trị của
.a b
là
A.
32
B.
12
C.
24
D.
2
Câu 6. Biết
1
2
1
2ln
d .
e
x
x a b e
x
, với
,a b
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
6a b
. B.
6a b
. C.
3a b
. D.
3a b
.
Câu 7. Cho
55
16
ln 2 ln 5 ln11
9
dx
a b c
x x
, với
, ,a b c
là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a b c
. B.
a b c
. C.
3a b c
. D.
3a b c
.
Câu 8. Gọi
S
là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
x
y e
,
0y
,
0x
,
2x
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
2
2
0
π e
x
S dx
. B.
2
0
e
x
S dx
. C.
2
0
π e
x
S dx
. D.
2
2
0
e
x
S dx
.
Câu 9. Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
,y f x
0,y
1x
và
5x
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10. Cho hình phẳng
( )D
được giới hạn bởi các đường
0, , 0x x y
và
sin .y x
Thể tích
V
của
khối tròn xoay tạo thành khi quay
( )D
xung quanh trục
Ox
được tính theo công thức
1 5
1 1
S f x dx f x dx
1 5
1 1
S f x dx f x dx
1 5
1 1
S f x dx f x dx
1 5
1 1
S f x dx f x dx
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
4
A.
0
sin .
V xdx
B.
2
0
sin .
V xdx
C.
2
0
sin .
V xdx
D.
0
sin .
V x dx
Câu 11. Biết với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho
2
2
1
2 1 1
d ln ln
4 4 1 2
x
x a b c
x x
, với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ. Giá trị của
3 10
a b c
bằng
A.
15
. B.
15
. C.
14
. D.
9
.
Câu 13. Cho
2
0
( )d 4
f x x
. Tính tích phân
12
2
0
(2tan3 )
d .
cos 3
f x
I x
x
A.
1
.
3
I
B.
2
.
3
I
C.
8
.
3
I
D.
4
.
3
I
Câu 14. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
0
( 3) '( ) 50
x f x dx
và
5 2 3 0 60
f f
. Tính.
2
0
( )
f x dx
A.
12
I
. B.
8
I
. C.
10
I
. D.
12
I
.
Câu 15. Biết rằng
2
1
2016
f x dx
. Tính tích phân
1
0
1
3 1
3 1
J f x dx
x
A.
2016
J
. B.
1008
J
. C.
1344
J
. D.
3024
J
.
Câu 16. Biết
ln6
ln3
d
3ln ln
2 3
x x
x
I a b
e e
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
.
P ab
A.
10
P
. B.
15
P
. C.
20
P
. D.
10
P
.
Câu 17. Biết
3
2
ln ln 3 ln 2 1; ,xdx a b a b
. Khi đó, giá trị của
a b
là
A.
5
B.
5
C.
1
D.
6
Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
2 cos
y x
, trục hoành và các đường thẳng
0,
2
x x
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A.
1
V
B.
( 1)
V
C.
( 1)
V
D.
1
V
Câu 19. Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật
2
1 11
180 18
v t t t
m/s
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ
trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
, nhưng chậm
hơn
5
giây so với
A
và có gia tốc bằng
a
2
m/s
(
a
là hằng số) . Sau khi
B
xuất phát được
10
giây thì
đuổi kịp
A
. Vận tốc của
B
tại thời điểm đuổi kịp
A
bằng
A.
22
m/s
. B.
15
m/s
. C.
10
m/s
. D.
7
m/s
.
Câu 20. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
9
f
,
2
2
f x x f x
x R
,
3
1
2
f
. Giá trị
(1)
f
bằng:
A.
35
36
. B.
2
3
. C.
19
36
. D.
2
15
.
Câu 21. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó
bằng
2
3
2
1
5 2
1 1
x dx
a b c
x
P a b c
5
2
P
7
2
P
5
2
P
2
P
f x
5 1
f
1
0
5 d 1
xf x x
5
2
0
d
x f x x
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
5
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
1
,
A
2
A
,
1
B
,
2
B
như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là
200.000
đồng/
2
m và phần còn lại là
100.000
đồng/
2
m . Hỏi
số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây,
biết
1 2
8 mA A
,
1 2
6 mB B
và tứ giác
MNPQ
là hình chữ
nhật có
3 mMQ
?
A.
7.322.000
đồng. B.
7.213.000
đồng.
C.
5.526.000
đồng. D.
5.782.000
đồng.
Câu 23. Cho đường thẳng và parbol ( là
tham số thực dương). Gọi , lần lượt là diện tích của hai hình
phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 24. Cho hai hàm số
3 2
1
2
f x ax bx cx
và
2
1g x dx ex
, , , ,a b c d e
. Biết rằng đồ thị của hàm số
y f x
và
y g x
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là
3; 1;1
(tham khảo hình vẽ) .
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
9
2
. B.
8
.
C.
4
. D.
5
.
Câu 25. Cho hàm số
( )y f x
. Đồ thị của hàm số
( )y f x
như hình bên. Đặt
2
( ) 2 ( )h x f x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
(4) ( 2) (2)h h h
B.
(4) ( 2) (2)h h h
C.
(2) (4) ( 2)h h h
D.
(2) ( 2) (4)h h h
CHỦ ĐỀ II. SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng
z a bi
, trong đó
, ,a b
2
1i
được gọi là một số phức.
i
được gọi là đơn vị ảo.
15
23
123
5
25
3
4
y x
2
1
2
y x a
a
1
S
2
S
1 2
S S
a
1 9
;
4 32
3 7
;
16 32
3
0;
16
7 1
;
32 4
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
6
Đối với số phức
z a bi
, ta nói
a
là phần thực và
b
là phần ảo của
z
.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
.
Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a c
a bi c di
b d
.
Chú ý: Mỗi số thực
a
được coi là số phức với phần ảo bằng 0 và viết là
0 .
a a i
Ta có
.
Số phức
0
bi
được gọi là số ảo và viết đơn giản là
bi
.
Biểu diễn hình học số phức
Điểm
;
M a b
trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được
gọi là điểm biểu diễn số phức
z a bi
.
Môđun của số phức
Giả sử số phức
z a bi
được biểu diễn bởi điểm
;
M a b
trên mặt
phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ
OM
được gọi là môđun của số
phức
z
và kí hiệu là
z
.
2 2
a bi a b
Số phức liên hợp
Cho số phức
z a bi
. Ta gọi
a bi
là số phức liên hợp của
z
và kí hiệu là
z a bi
.
Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn
z
và
z
đối xứng nhau
qua trục
Ox
.
Nhận xét. ,
z z z z
.
Phép cộng và phép trừ số phức
a bi c di a c b d i
;
a bi c di a c b d i
.
Phép nhân số phức
a bi c di ac bd ad bc i
.
Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Cho số phức
z a bi
. Ta có
2 .
z z a bi a bi a
2
2 2
. .
z z a bi a bi a b z
Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.
Phép chia hai số phức
2 2 2 2
a bi c di
a bi ac bd ad bc
i
c di c di c di c d c d
.
Căn bậc hai của số thực âm
Các căn bậc hai của số thực
0
a
là
i a
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
7
Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
với , ,a b c
,
0
a
. Xét biệt số
2
4
b ac
của phương trình.
Ta thấy
Khi
0
, phương trình có một nghiệm thực
2
b
x
a
;
Khi
0
, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức
2
b
x
a
;
Khi
0
, phương trình không có nghiệm thực. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức được xác định
bởi công thức
2
b i
x
a
.
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
B. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1.
Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
1 2
z i
?
A.
N
. B.
P
.
C.
M
. D.
Q
.
Câu 2. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.
2 3
z i
. B.
3
z i
. C.
2
z
. D.
3
z i
.
Câu 3. Cho hai số phức
1
7 4
z i
và
2
2 3
z i
. Tìm số phức
1 2
z z z
.
A.
5
z i
. B.
9 7
z i
. C.
5 7
z i
. D.
9
z i
.
Câu 4. Cho hai số phức
1
3 2
z i
và
2
2
z i
. Số phức
1 2
z z
bằng
A.
5
i
. B.
5
i
. C.
5
i
. D.
5
i
.
Câu 5. Số phức liên hợp của số phức
2 5
i
là
A.
2 5
z i
. B.
2 5
z i
. C.
2 5
z i
. D.
2 5
z i
.
Câu 6. Cho số phức
2
z i
. Tính
z
.
A.
3
z
. B.
5
z
. C.
2
z
. D.
5
z
.
Câu 7. Gọi
A
là điểm biểu diễn của số phức
3 2
z i
và
B
là điểm biểu diễn của số phức
' 2 3
z i
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai điểm
A
và
B
đối xứng nhau qua đường thẳng
y x
.
B. Hai điểm
A
và
B
đối xứng nhau qua gốc tọa độ
O
.
C. Hai điểm
A
và
B
đối xứng nhau qua trục tung.
D. Hai điểm
A
và
B
đối xứng nhau qua trục hoành.
Câu 8. Cho số phức
1 2
z i
. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
w iz
trên mặt phẳng tọa
độ?
A.
(1;2)
Q
. B.
(2;1)
N
. C.
(1; 2)
M
. D.
( 2;1)
P
.
Câu 9. Tìm số phức
z
thỏa mãn
2 3 3 2
z i i
.
A.
1 5
z i
. B.
1
z i
. C.
5 5
z i
. D.
1
z i
.
Câu 10. Cho số phức
1 2
1 2 , 3
z i z i
. Tìm điểm biểu diễn của số phức
1 2
z z z
trên mặt phẳng tọa độ.
A.
(4; 3)
N
. B.
(2; 5)
M
. C.
( 2; 1)
P
. D.
( 1;7)
Q
.
Câu 11. Cho hai số phức
2 2
z i
và
2
w i
. Mô đun của số phức
zw
A.
40
. B.
8
. C.
2 2
. D.
2 10
.
Câu 12. Cho số phức
z a bi
( , )
a b
thỏa mãn
1 3 0
z i z i
. Tính
3
S a b
A.
7
3
S
. B.
5
S
. C.
5
S
. D.
7
3
S
.
Câu 13. Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
6 13 0
z z
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm biểu diễn số phức
0
1
z
là
A.
2;2
M . B.
4; 2
Q
. C.
4;2
N . D.
2; 2
P
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
8
Câu 14. Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức phương trình
2
6 10 0
z z
. Giá trị
2 2
1 2
z z
bằng
A.
16
. B.
56
. C.
20
. D.
26
.
Câu 15. Kí hiệu
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4 0
z
. Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu
diễn của
1 2
,
z z
trên mặt phẳng tọa độ. Tính
T OM ON
với O là gốc tọa độ.
A.
2 2
T . B.
2
T
C.
8
T
. D.
4
T
.
Câu 16. Kí hiệu
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
3 5 0
z z
. Giá trị của
1 2
z z
là
A.
2 5
. B.
5
. C.
3
. D.
3
2
.
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn
5
z
và
3 3 10
z z i
. Tìm số phức
4 3
w z i
.
A.
3 8
w i
B.
1 3
w i
C.
1 7
w i
D.
4 8
z i
Câu 18. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2
z i z
là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn số phức
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
1
. B.
5
4
. C.
5
2
. D.
3
2
.
Câu 19. Có bao nhiêu số phức
z
thỏa mãn
4 2 5
z z i i i z
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
10
.
Câu 20. Xét các số phức
z
thỏa mãn
3 3
z i z
là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn các số phức
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
9
2
. B.
3 2
. C.
3
. D.
3 2
2
.
Câu 21. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2
z
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn các số
phức
3
1
iz
w
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
2 3.
B.
12.
C.
20.
D.
2 5.
Câu 22. Có bao nhiêu số phức
z
thỏa mãn
2
2 4
z z z
và
1 3 3
z i z i
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 23. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để tồn tại duy nhất số phức
z
thỏa mãn
. 1
z z
và
3
z i m
. Tìm số phần tử của
S
.
A.
2.
B.
4.
C.
1
. D.
3
.
Câu 24.Cho số phức
z
thỏa
10
(1 2 ) 2
i z i
z
.Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
2
2
z
. B.
2
z
. C.
1
2
z
. D.
1 3
2 2
z
.
Câu 25. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
3 5
z i
và
4
z
z
là số thuần ảo ?
A.
0
. B. Vô số. C.
1
. D.
2
.
CHỦ ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm và của vectơ
a. Tọa độ của một điểm
Trong không gian
Oxyz
cho một điểm
M
tùy ý. Ta có
OM xi y j zk
, ta gọi
; ;
x y z
là tọa độ của
điểm
M
và viết
; ;
M x y z
hoặc
; ;
M x y z
.
b. Tọa độ của vectơ
Trong không gian
Oxyz
cho vectơ
a
. Ta có
1 2 3
a a i a j a k
, ta gọi
1 2 3
; ;
a a a
là tọa độ của vectơ
a
và
viết
1 2 3
; ;
a a a a
hoặc
1 2 3
; ;
a a a a
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
9
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lý. Trong không gian
Oxyz
cho hai vectơ
1 2 3
; ;
a a a a
và
1 2 3
; ;
b b b b
. Ta có
1 1 2 2 3 3
; ;
a b a b a b a b
,
1 1 2 2 3 3
; ;
a b a b a b a b
,
1 2 3 1 2 3
; ; ; ;
ka k a a a ka ka ka
với
k
là một số thực.
Hệ quả.
Cho hai vectơ
1 2 3
; ;
a a a a
và
1 2 3
; ;
b b b b
. Ta có
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
.
Vectơ
0
có tọa độ là
0;0;0
.
Với
0
b
thì hai vectơ
a
và
b
cùng phương khi và chỉ khi có một số
k
sao cho
1 1
2 2
3 3
a kb
a kb
a kb
.
Trong không gian
Oxyz
, nếu cho hai điểm
; ;
A A A
A x y z
và
; ;
B B B
B x y z
thì
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
.
3. Tích vô hướng
a. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Trong không gian
Oxyz
cho hai vectơ
1 2 3
; ;
a a a a
và
1 2 3
; ;
b b b b
. Ta có
1 1 2 2 3 3
.
a b a b a b a b
.
b. Ứng dụng
Độ dài của một vectơ. Cho vectơ
1 2 3
; ;
a a a a
. Khi đó
2 2 2
1 2 3
a a a a
.
Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian
Oxyz
, nếu cho hai điểm
; ;
A A A
A x y z
và
; ;
B B B
B x y z
thì
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
.
Góc giữa hai vectơ. Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
1 2 3
; ;
a a a a
và
1 2 3
; ;
b b b b
. Ta có
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos ,
.
.
a b a b a b a b
a b
a b
a a a b b b
.
Đặc biệt,
1 1 2 2 3 3
. 0 0
a b a b a b a b a b
.
4. Phương trình mặt cầu
Định lý. Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
S
có tâm
; ;
I a b c
và bán kính
R
có phương trình là
2 2 2
2
x a y b z c R
.
Nhận xét. Phương trình dạng
2 2 2
2 2 2 0
x y z Ax By Cz D
với điều kiện
2 2 2
0
A B C D
là
phương trình của mặt cầu tâm
; ;
I A B C
có bán kính
2 2 2
R A B C D
.
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Cho mặt phẳng
. Nếu vectơ
n
khác
0
và có giá vuông góc với mặt phẳng
thì
n
được gọi là vectơ
pháp tuyến của
.
Chú ý:
● Nếu
n
là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì
kn
với
0
k
, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
đó.
2. Tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
1 2 3
; ;
a a a a
và
1 2 3
; ;
b b b b
. Tích có hướng của hai vectơ
a
và
b
, kí hiệu là
a b
hoặc
,
a b
, là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ
a
và
b
, có tọa độ được tính bởi công
thức
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ; ;
a b a b a b a b a b a b a b
.
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
10
Định nghĩa. Phương trình có dạng
0
Ax By Cz D
trong đó
, ,
A B C
không đồng thời bằng
0
được gọi
là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét.
Nếu mặt phẳng
có phương trình tổng quát là
0
Ax By Cz D
thì nó có một vectơ pháp tuyến là
; ;
n A B C
.
Phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
0 0 0 0
; ;
M x y z
nhận vectơ
; ;
n A B C
khác
0
làm vectơ pháp
tuyến là
0 0 0
0
A x x B y y C z z
.
Các trường hợp riêng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ:
0
Ax By Cz
.
+ Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục
Ox
:
0
By Cz D
.
Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục
Oy
:
0
Ax Cz D
.
Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục
Oz
:
0
Ax By D
.
+ Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng
Oxy
:
0
Cz D
.
Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng
Oxz
:
0
By D
.
Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng
Oyz
:
0
Ax D
.
+ Phương trình mặt phẳng cắt các trục
,
Ox
,
Oy
Oz
lần lượt tại các điểm
;0;0 ,
a
0; ;0 ,
b
0;0;
c
(với
0
abc
):
1
x y z
a b c
.
4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, cắt nhau, vuông góc
Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
1
và
2
có phương trình
1 1 1 1 1
: 0
A x B y C z D
,
2 2 2 2 2
: 0
A x B y C z D
.
Khi đó
1
và
2
có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là
1 1 1 1
; ;
n A B C
,
2 2 2 2
; ;
n A B C
.
1
//
2
1 2
1 2
n kn
D kD
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;
A B C k A B C
D kD
.
1
2
1 2
1 2
n kn
D kD
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;
A B C k A B C
D kD
.
1
cắt
2
1 2
n kn
1 1 1 2 2 2
; ; ; ;
A B C k A B C
.
1
2
1 2
. 0
n n
1 2 1 2 1 2
0
A A B B C C
.
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
có phương trình
0
Ax By Cz D
và điểm
0 0 0 0
; ;
M x y z
.
Khoảng cách từ điểm
0
M
đến mặt phẳng
, kí hiệu là
0
,d M
, được tính bởi công thức
0 0 0
0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
.
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa. Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
0 0 0 0
; ;
M x y z
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
; ;
a a a a
là phương trình có dạng
0 1
0 2
0 3
1
x x ta
y y ta
z z ta
,
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
11
trong đó là tham số.
● Nếu
1 2 3
; ;
a a a
đều khác
0
thì người ta còn có thể viêt phương trình của đường thẳng dưới dạng chính tắc
như sau
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
.
2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
a. Điều kiện để hai đường thẳng song song
d
song song với
'
d
khi và chỉ khi chúng không có điểm chung và hai vectơ
, '
a a
cùng phương
Ta có
d
song song với
'
d
khi và chỉ khi
'
.
'
a ka
M d
M d
Đặc biệt
d
trùng với
'
d
khi và chỉ khi
'
.
'
a ka
M d
M d
b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Gọi phương trình tham số của hai đường thẳng
d
vàới
'
d
lần lượt là
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
và
' '
0 1
' '
0 2
' '
0 3
'
': '
'
x x t a
d y y t a
z z t a
Hai đường thẳng
d
và
'
d
cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn
, '
t t
sau
' '
0 1 0 1
' '
0 2 0 2
' '
0 3 0 3
'
'
'
x ta x t a
y ta y t a I
z ta z t a
có đúng một nghiệm.
Chú ý. Giả sử hệ (I) có nghiệm
'
0 0
;
t t
, để tìm giao điểm
0
M
của
d
và
'
d
ta có thể thay
0
t
vào phương trình
tham số
d
hoặc thay
'
0
t
vào phương trình tham số
'.
d
c. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng
d
và
'
d
chéo nhau khi và chỉ khi
a
và
'
a
không cùng phương và hệ phương trình ẩn
, '
t t
sau
' '
0 1 0 1
' '
0 2 0 2
' '
0 3 0 3
'
'
'
x ta x t a
y ta y t a I
z ta z t a
vô nghiệm (
d
và
'
d
có phương trình như ở mục 2).
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 0
Ax By Cz D
và đường thẳng
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
.
Xét phương trình
0 1 0 2 0 3
0
A x ta B y ta C z ta D
(
t
là ẩn). (1)
+ Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì
d
và
không có điểm chung, vậy
d
//
+ Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm
0
t t
thì
d
cắt
tại điểm
0 0 1 0 0 2 0 0 3
; ;
M x t a y t a z t a
+ Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì
d
chứa trong
.
4. Góc
a. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
t
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
12
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
và
' '
0 1
' '
0 2
' '
0 3
'
': '
'
x x t a
d y y t a
z z t a
Ta có
d
có vectơ chỉ phương
1 2 3
; ;
u a a a
,
'
d
có vectơ chỉ phương
' ' '
1 2 3
; ;
v a a a
' ' '
1 1 2 2 3 3
2 2 2 '2 '2 '2
1 2 3 1 2 3
.
cos , ' cos ,
.
.
u v
a a a a a a
d d u v
u v
a a a a a a
.
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 0
P Ax By Cz D
và đường thẳng
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
.
P
có vectơ pháp tuyến
; ;
n A B C
,
d
có vectơ chỉ phương
1 2 3
; ;
u a a a
.
Gọi
là góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
P
. Khi đó
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
.
sin cos ,
.
.
u n
a A a B a C
u n
u n
a a a A B C
.
5. Khoảng cách.
a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng
d
đi qua , có VTCP và điểm
M
. Tính khoảng cách từ đến
d
.
Cách 1:
Gọi
U
là điểm sao cho
0
M U u
(hình vẽ).
Nếu điểm
M d
thì diện tích
S
của hình bình hành có hai cạnh
0
M M
và
0
M U
là
0 0 0
, ,
S M M M U M M u

.
Vì khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
d
là chiều cao của
hình bình hành nói trên nên ta có
0
,
,
M M u
d M d
u
Nếu
M d
thì hiển nhiên
, 0
d M d
và công thức nói trên đúng.
Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua vuông góc với
d
. Tìm giao điểm của với
d
.
Khi đó độ dài là khoảng cách cần tìm.
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau
1
d
và
2
d
, biết
1
d
đi qua điểm
1
M
và có vectơ chỉ phương
1
u
;
2
d
đi qua điểm
2
M
và có vectơ chỉ phương
2
u
. Tính khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
.
Cách 1:
0
M
u
M
P
M
H
P
MH
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
13
Lấy các điểm
1
U
và
2
U
sao cho
1 1 1
M U u
;
2 2 2
M U u
. Xét
hình hộp có ba cạnh là
1 1
M U
,
2 2
M U
,
1 2
M M
. Ta biết rằng thể
tích
V
của hình hộp đó là
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
, . , .
V M U M U M M u u M M
.
Nếu ta xem
1 2
M M
là cạnh bên của hình hộp đó thì diện tích
đáy của hình hộp là
1 2
,
S u u
. Khi đó chiều cao của hình
hộp chính là khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
. Vậy ta có
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M
d d d
u u

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung . Khi đó độ dài là khoảng cách cần tìm.
B. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
2; 4;3
A và
2;2;7
B . Trung điểm của đoạn
AB
có tọa độ
là
A.
1;3;2
. B.
2;6;4
. C.
2; 1;5
. D.
4; 2;10
.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
(2;3; 1), ( 1;1;1)
M N
và
(1; 1;2)
P m
. Tìm m để
tam giác MNP vuông tại N.
A.
6
m
. B.
0
m
. C.
4
m
. D.
2
m
.
Câu 3. Trong không gian
,
Oxyz
cho mặt cầu
2
2 2
: 2 16
S x y z
. Bán kính của mặt cầu
S
bằng
A.
4
. B.
32
. C.
16
. D.
8
.
Câu 4. Trong không gian
,
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 2 7 0
S x y z x z
. Bán kính của mặt cầu đã cho
bằng
A.
7
. B.
9
. C.
3
. D.
15
.
Câu 5. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 1 0
P x y z
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của
P
?
A.
3
1;2; 1
n
. B.
4
1;2;3
n
. C.
1
1;3; 1
n
. D.
2
2;3; 1
n
.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua
điểm
(1;2; 3)
M
và có một vectơ pháp tuyến
(1; 2;3)
n
?
A.
2 3 12 0
x y z
. B.
2 3 6 0
x y z
. C.
2 3 12 0
x y z
. D.
2 3 6 0
x y z
.
Câu 7. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;3;0
A và
5;1; 2
B
. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
có phương trình là
A.
2 5 0
x y z
. B.
2 5 0
x y z
. C.
2 3 0
x y z
. D.
3 2 14 0
x y z
.
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng đi qua điểm
2; 1;2
A
và song song với mặt phẳng
: 2 3 2 0
P x y z
có phương trình là
A.
2 3 9 0
x y z
. B.
2 3 11 0
x y z
. C.
2 3 11 0
x y z
. D.
2 3 11 0
x y z
.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba
điểm
(2;3;3), (2; 1; 1), ( 2; 1;3)
M N P
và có tâm thuộc mặt phẳng
( ) : 2 3 2 0
x y z
.
A.
2 2 2
2 2 2 10 0
x y z x y z
. B.
2 2 2
4 2 6 2 0
x y z x y z
.
C.
2 2 2
4 2 6 2 0
x y z x y z
. D.
2 2 2
2 2 2 2 0
x y z x y z
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
2;0;0
A
,
0; 1;0
B
,
0;0;3
C
. Mặt phẳng
ABC
có
phương trình là
A.
1
2 1 3
x y z
. B.
1
2 1 3
x y z
. C.
1
2 1 3
x y z
. D.
1
2 1 3
x y z
.
MN
MN
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
14
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
4 2 3
:
3 1 2
x y z
d
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ chỉ phương của
d
?
A.
2
4; 2;3
u
. B.
4
4;2; 3
u
. C.
3
3; 1; 2
u
. D.
1
3;1;2
u
.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;1;0)
A
và
(0;1;2)
B
. Vectơ nào dưới đây là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?
A.
( 1;0;2)
b
. B.
(1;2;2)
c
. C.
( 1;1;2)
d
. D.
( 1;0; 2)
a
.
Câu 13. Trong không gian
Oxyz
,
hình chiếu vuông góc của điểm
(8;1;2)
A
trên trục
Ox
có tọa độ là
A.
(0;1;0)
. B.
(8;0;0)
. C.
(0;1;2)
. D.
(0;0;2)
.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(1;2;3)
M
. Gọi
1 2
,
M M
lần lượt là hình chiếu vuông
góc của M trên các trục tọa Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
1 2
M M
?
A.
2
(1;2;0)
u
. B.
3
(1;0;0)
u
. C.
4
( 1;2;0)
u
D.
1
(0;2;0)
u
Câu 15. Trong gian gian
,
Oxyz
cho điểm
3; 2;2
M
và đường thẳng
3 1 1
:
1 2 2
x y z
d
. Mặt phẳng
đi qua
M
và vuông góc với
d
có phương trình là
A.
2 2 5 0
x y z
. B.
3 2 2 17 0
x y z
. C.
3 2 2 17 0
x y z
. D.
2 2 5 0
x y z
.
Câu 16. Trong không gian
Ox
yz
, cho ba điểm
1;1;0 , 1;0;1 , 3;1;0
A B C
. Đường thẳng đi qua A và song
song với BC có phương trình là:
A.
1 1
2 1 1
x y z
. B.
1 1
2 1 1
x y z
. C.
1 1
2 1 1
x y z
. D.
1 1
4 1 1
x y z
.
Câu 17. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
1;2;0
A
,
2;0;2
B
,
2; 1;3
C
và
1;1;3
D
. Đường
thẳng đi qua
C
và vuông góc với mặt phẳng
ABD
có phương trình là
A.
2 4
2 3
2
x t
y t
z t
. B.
2 4
1 3
3
x t
y t
z t
. C.
2 4
4 3
2
x t
y t
z t
. D.
4 2
3
1 3
x t
y t
z t
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
A
và đường thẳng
3 1 7
:
2 1 2
x y z
d
. Đường thẳng
đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Ox
có phương trình là
A.
1 2
2
3
x t
y t
z t
. B.
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
. C.
1 2
2
x t
y t
z t
. D.
1 2
2 2
3 3
x t
y t
z t
.
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 1;2), ( 1;2;3)
A B
và đường thẳng
1 2 1
:
1 1 2
x y z
d
. Tìm điểm
( ; ; )
M a b c
thuộc d sao cho
2 2
28
MA MB
biết
0
c
.
A.
( 1;0; 3)
M
. B.
(2;3;3)
M
. C.
1 7 2
; ;
6 6 3
M
. D.
1 7 2
; ;
6 6 3
M
.
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 1 1 9
S x y z
và điểm
2;3; 1
A
. Xét
các điểm
M
thuộc
S
sao cho đường thẳng
AM
tiếp xúc với
S
.
M
luôn thuộc mặt phẳng có phương
trình là
A.
6 8 11 0
x y
. B.
3 4 2 0
x y
. C.
3 4 2 0
x y
. D.
6 8 11 0
x y
.
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
0;4; 3
A
. Xét đường thẳng
d
thay đổi, song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ
A
đến
d
nhỏ nhất,
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
3;0; 3
P
. B.
0; 3; 5
M
. C.
0;3; 5
N
. D.
0;5; 3
Q
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
15
Câu 22. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2
2 2
: 2 3
S x y z
. Có tất cả bao nhiêu điểm
; ;
A a b c
(
, ,
a b c
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng
Oxy
sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của
S
đi
qua
A
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A.
12
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Câu 23. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
2;1;2
I
và đi qua điểm
1; 2; 1
A
. Xét các
điểm
, ,
B C D
thuộc
S
sao cho
, ,
AB AC AD
đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện
ABCD
có giá trị lớn nhất bằng
A.
72
. B.
216
. C.
108
. D.
36
.
Câu 24. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 3
: 1 4
1
x t
d y t
z
. Gọi
là đường thẳng qua
1;1;1
A
và
có vectơ chỉ phương
(1; 2; 2)
u
. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi
d
và
có phương trình là
A.
1 7
1
1 5
x t
y t
z t
. B.
1 2
10 11
6 5
x t
y t
z t
. C.
1 2
10 11
6 5
x t
y t
z t
. D.
1 3
1 4
1 5
x t
y t
z t
.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
( 2;0;0), (0; 2;0)
A B
và
(0;0; 2)
C
. Gọi D là
điểm khác 0 sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và
( ; ; )
I a b c
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD. Tính
S a b c
.
A.
4
S
. B.
1
S
. C.
2
S
. D.
3
S
.
PHẦN 2. ĐỀ ÔN TẬP THAM KHẢO
ĐỀ 1 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2017-2018 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)
Câu 1. Giả sử hàm số f (x) xác định trên
và có một nguyên hàm là F(x) . Cho các mệnh đề sau :
Nếu
(x) ( )
f dx F x C
thì
( ) ( )
f t dx F t C
/
(x) ( )
f dx f x
(x) '( )
f dx f x C
Trong số các mệnh đề trên , số mệnh đề sai là
A.0. B. 1. C. 2. D. 3 .
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số
2
3
2
f x x x
x
là
A.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x C
. B.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x
.
C.
3
3
4
3lnx
3 3
x
x C
. D.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x C
.
Câu 3. Hàm số
ln
F x x
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ( 0 ; +∞) ?
A.
1
f x
x
. B.
1
f x
x
. C.
ln
f x x x x C
. D.
2
1
f x
x
.
Câu 4. Giá trị tham số m để hàm số
3 2
3 2 4 3
F x mx m x x
là một nguyên hàm của hàm số
2
3 10 4
f x x x
là
A. Không có giá trị m . B.
0
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Câu 5. Biết
F x
là một nguyên hàm của
2 3 ln
f x x x
và
1 0
F
. Khi đó phương trình
2
2 6 5 0
F x x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 . B. 4 . C. 3. D. 2.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
16
Câu 6. Cho
F x
là một nguyên hàm của
2
cos
x
f x
x
thỏa
0 0
F
. Tính
F
.
A.
1
F
. B.
1
F
. C.
0
F
. D.
1
2
F
.
Câu 7. Cho
0;
2
π
a
. Tính
2
0
29
x
cos
a
J d
x
theo
a
.
A.
1
tan
29
J a
. B.
29cot
J a
. C.
29tan
J a
. D.
29tan
J a
.
Câu 8. Tính
1
2
0
d
x
I e x
.
A.
1
2
e
. B.
1
e
. C.
2
1
e . D.
2
1
2
e
.
Câu 9. Tính tích phân
2
2
1
4
d
x x
I x
x
.
A.
29
2
I
. B.
29
2
I . C.
11
2
I
. D.
11
2
.
Câu 10. Tính
2
6
0
sin cos d .
I x x x
A.
1
7
. B.
1
7
I
. C.
1
6
I
. D.
1
6
I
.
Câu 11. Biết
1
2
1
2ln
d .
e
x
x a b e
x
, với
,a b
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
3
a b
. B.
6
a b
. C.
3
a b
D.
6
a b
.
Câu 12. Cho
5
1
(x)dx 5
f
,
5
4
(t)dt 2
f
và
4
1
1
g(u)du
3
. Tính
4
1
( (x) g(x))dx
f
bằng
A.
8
3
. B.
10
3
. C.
22
3
. D.
20
3
.
Câu 13. Tính tích phân:
5
1
d
3 1
x
I
x x
được kết quả
ln3 ln 5
I a b
. Tổng
a b
là.
A.
1
. B. 1. C.
3
. D.
2
.
Câu 14. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
( liên tục trên
;
a b
) ,
trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a , x = b. Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây ?
A. S =
( )
b
a
f x dx
. B. S =
( )
b
a
f x dx
. C. S =
( )
b
a
f x dx
. D. S =
2
( )
b
a
f x dx
.
Câu 15. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
. Khi cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
,
0
y
,
x
,
x e
, quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V. Khi đó V được
xác định bằng công thức nào sau đây ?
A.
( )
e
V f x dx
. B.
2
(x)
e
V f dx
. C.
(x)
e
V f dx
. D.
2
(x)
e
V f dx
.
Câu 16. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
3 2
2 5
y x x x
và
2
5
y x x
bằng
A.
0
S
. B.
1
S
. C.
S
. D.
1
2
S
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
17
Câu 17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
4
y
x
, trục
hoành, và các đường thẳng
1
x
,
4
x
quanh Ox .
A.
ln 256
V
. B.
12
V
. C.
2
12
V
. D.
6
V
.
Câu 18. Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian
2
3 6
v t t t
( m/s).
Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm
1
0
t
đến
2
4
t
(s).
A. 16m. B.
1536
5
m . C. 96m . D. 24m .
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn izii 24)1)(2( . Tính mô đun của
z
A.
2 2
z . B.
3 2
z . C.
3
z
. D.
10
z .
Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:
(
1 − 2𝑖
)
𝑧 + 3
(
1 + 𝑖
)
𝑧
= 2 + 7𝑖. Tìm phần thực, phần ảo của số
phức z.
A. Phần thực của
z
là -3, phần ảo của
z
là 2 . B. Phần thực của
z
là 3, phần ảo của
z
là -2.
C. Phần thực của
z
là -3, phần ảo của
z
là -2. D. Phần thực của
z
là 3, phần ảo của
z
là 2.
Câu 21. Tìm số phức z sao cho |z – 4| = |z| và (𝑧 + 4) (𝑧
+ 2𝑖) là số thực
A.
2 3
z i
. B.
2 3
z i
. C.
2 3
z i
. D.
2 3
z i
.
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 1
z i z i
A.
2 2
2 1 4
x y
. B.
2 2
2 1 4
x y
.
C.
2 2
2 1 4
x y
. D.
2 2
2 1 4
x y
.
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
1
z i
là
A.Một đường thẳng . B.Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng . D.Một hình vuông.
Câu 24. Tìm số phức z biết
2 5
z
và phần thực gấp đôi phần ảo
A.
1 2
4 2 ; 4 2
z i z i
. B.
1 2
4 2 ; 4 2
z i z i
.
C.
1 2
2 4 ; 2 4
z i z i
. D.
1 2
4 2 ; 4 2
z i z i
.
Câu 25. Cho x, y là các số thực. Hai số phức
1
3
z i
và
2
z x y yi
bằng nhau khi
A.
5; 1
x y
. B.
1; 1
x y
. C.
3; 0
x y
. D.
2; 1
x y
.
Câu 26. Cho x, y là các số thực. Số phức
1 2
z xi y i
bằng 0 khi
A.
2; 1
x y
. B.
2; 1
x y
. C.
2; 1
x y
. D.
2; 1
x y
.
Câu 27. Có bao nhiêu số phức z thỏa
2
0
z z
?
A.0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
1 3 2
z i z i
A. Đường thẳng. B. Elip. C. Đoạn thẳng . D. Đường tròn.
Cây 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn 2 nghiệm phức của phương
trình
2
4 13 0
z z
. Diện tích tam giác OAB bằng
A.16. B. 8. C. 6. D. 2.
Câu 30. Phần thực và phần ảo của số phức
2018
1z i
bằng
A.Phần thực bằng 0, phần ảo bằng
1009
2
. B. Phần thực bằng 0, phần ảo bằng
1009
2
.
C. Phần thực bằng
1009
2
, phần ảo bằng 0. D. Phần thực bằng
1009
2
, phần ảo bằng 0.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
18
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
3 1 2
:
4 3 1
x y z
và điểm
0;0; 2
M
. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
.
A.
4 3 7 0
x y z
. B.
4 3 2 0
x y z
. C.
3 2 13 0
x y z
. D.
3 2 4 0
x y z
.
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
P
song song với hai đường thẳng
1
2 1
:
2 3 4
x y z
,
2
2
: 3 2
1
x t
y t
z t
. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của
P
?
A.
5;6; 7
n
. B.
5; 6;7
n
. C.
5; 6;7
n
. D.
5;6;7
n
.
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
2;1;3
M . Gọi
1 2 3
, ,
M M M
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
1 2 3
, ,
M M M
có
phương trình
A.
: 3x 6 y 2z 0
P
. B.
: 6 3 2 0
P x y z
. C.
: 3 6 2 6
P x y z
. D.
: 6 3 2 6
P x y z
.
Câu 34. Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 1 3
:
2 1 2
x y z
d
. Vectơ chỉ phương của đường
thẳng d là
A.
2;1;2
u
. B.
1; 1; 3
u
. C.
2; 1; 2
u
. D.
2;1; 2
u
.
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
1;3;2 ,
A
2;0;5 ,
B
0; 2;1
C .
Viết phương trình đường trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
.
A.
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
. B.
2 4 1
:
1 1 3
x y z
AM
.
C.
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
. D.
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
.
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho
d
là đường thẳng đi qua
1; 2;3
A và vuông góc với
mặt phẳng
:3 4 5 1 0
P x y z
. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
d
.
A.
1 2 3
3 4 5
x y z
. B.
1 2 3
3 4 5
x y z
. C.
1 2 3
3 4 5
x y z
. D.
1 2 3
3 4 5
x y z
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
1; 1;3
A
và hai đường thẳng
1
4 2 1
:
1 4 2
x y z
d
,
2
2 1 1
:
1 1 1
x y z
d
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
,
A
vuông góc với đường thẳng
1
d
và cắt đường thẳng
2
.
d
A.
1 1 3
:
2 1 3
x y z
d
. B.
1 1 3
:
2 2 3
x y z
d
.
C.
1 1 3
:
4 1 4
x y z
d
. D.
1 1 3
:
2 1 1
x y z
d
.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai điểm
2;1;1
A và
0; 1;1 .
B Viết phương trình
mặt cầu đường kính
.
AB
A.
2 2
2
1 1 2
x y z
. B.
2 2
2
1 1 8
x y z
.
C.
2 2
2
1 1 2
x y z
. D.
2 2
2
1 1 8
x y z
.
Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 4 2 6 2 0
S x y z x y z
. Mặt
cầu
( )
S
có tâm
I
và bán kính
R
là.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
19
A.
( 2;1;3), 2 3
I R . B.
(2; 1; 3), 12
I R .
C.
(2; 1; 3), 4
I R
. D.
( 2;1;3), 4
I R
.
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
. Mặt cầu
S
có tâm
1;2;1
I và tiếp xúc với mặt phẳng
: 2 2 2 0
P x y z
có phương trình
A.
2 2 2
1 2 1 3
x y z
. B.
2 2 2
1 2 1 9
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 1 3
x y z
. D.
2 2 2
1 2 1 9
x y z
.
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
2; 1;5 , 5; 5;7
A B
và
; ;1
M x y
. Với giá
trị nào của
,
x y
thì
A
,
B
,
M
thẳng hàng ?
A.
4; 7
x y
. B.
4; 7
x y
. C.
4; 7
x y
. D.
4; 7
x y
.
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
; 1; 6
A a
,
3; 1; 4
B
,
5; 1; 0
C
và
1; 2;1
D
. Nếu bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
thì giá trị của
a
là.
A.
17
a
B.
32
a
. C.
1
a
. D.
2
a
.
Câu 43. Tìm giá trị
m
để góc giữa hai vectơ
3
1;log 5;log 2 ,
m
u
5
3;log 3;4
v
là góc nhọn.
A.
1
0
2
m
. B.
1
m
hoặc
1
0
2
m
. C.
1
, 1
2
m m
. D.
1
m
.
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
2 3
: 3
4 2
x t
d y t
z t
và
4 1
':
3 1 2
x y z
d
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
thuộc mặt phẳng chứa
d
và
'
d
, đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
A.
3 2 2
3 1 2
x y z
. B.
3 2 2
3 1 2
x y z
.
C.
3 2 2
3 1 2
x y z
. D.
3 2 2
3 1 2
x y z
.
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
1 2 3
:
1 2 1
x y z
d
và
2
1
: .
1 2
x kt
d y t
z t
Tìm giá trị của
k
để
1
d
cắt
2
.
d
A.
1
k
. B.
1
k
. C.
1
2
k
. D.
0
k
.
Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
gọi
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình
lần lượt là
2 2017 0
x y z
và
5 0.
x y z
Tính số đo độ góc giữa đường thẳng
d
và trục
.
Oz
A.
O
45
. B.
O
0
. C.
O
30
. D.
O
60
.
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:3 4 2 4 0
P x y z
và hai điểm
1; 2; 3 ,
A
1;1; 2
B
. Gọi
1 2
,
d d
lần lượt là khoảng cách từ điểm
A
và
B
đến mặt phẳng
P
. Trong các
khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A.
2 1
2
d d
. B.
2 1
3
d d
. C.
2 1
d d
. D.
2 1
4
d d
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
20
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 2 0
S x y z x y z
.
Viết phương trình mặt phẳng
chứa
Oy
cắt mặt cầu
S
theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng
8 .
A.
: 3 0
x z
. B.
:3 2 0
x z
. C.
:3 0
x z
. D.
:3 0
x z
.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 4 0
x y z
và đường
thẳng
2 2 2
:
1 2 1
x y z
d
. Tam giác
ABC
có
( 1;2;1)
A
, các điểm
B
,
C
nằm trên
và trọng
tâm
G
nằm trên đường thẳng
d
. Tọa độ trung điểm
M
của
BC
là.
A.
(0;1; 2)
M
. B.
(2;1;2)
M . C.
(1; 1; 4)
M
. D.
(2; 1; 2)
M
.
Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
đồng thời đi qua điểm
và cắt đường thẳng . Một
vectơ chỉ phương của
là
A.
1; 1; 2
u
. B.
1;0; 1
u
. C.
1; 2;1
u
. D.
1; 2;1
u
.
ĐỀ 2 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2018-2019 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)
Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 3 9
S x y z
và đường thẳng
2 1 2
:
1 2 3
x y z
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
tiếp xúc với mặt cầu
?
S
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt phẳng
: 3 4 5 0
P x y z
và điểm
2; 1; 3
A
. Phương trình mặt phẳng
Q
đối xứng với mặt phẳng
P
qua điểm
A
là:
A.
: 3 4 23 0
Q x y z
. B.
: 3 4 23 0
Q x y z
.
C.
: 3 4 31 0
Q x y z
. D.
: 3 4 31 0
Q x y z
.
Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hai vec tơ
2;1;3
a
và
3; 2;1
b
. Góc giữa
các vec tơ
a
và
b
bằng
A. 60
0
. B. 120
0
.
C. 30
0
. D. 45
0
.
Câu 4. Cho các số phức
4 3
z i
và
2019
12 5
.
13 13
w z i
. Hãy chọn khẳng định đúng
A.
w
là số thuần ảo. B.
5
w
.
C.
5
w . D.
w
là số thực.
Câu 5. Hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số
f x
x x
2
1
2 1
?
A.
2 3
1
x
F x
x
. B.
x
F x
x
1
.
C.
x
F x
x
1
1
. D.
x
F x
x
2
1
.
Oxyz
: 3 0
x y z
1;2;0
M
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
21
Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y x
cos
và các đường thẳng
y
0
;
x
0
;
x
bằng
A. 1. B. 2. C.
. D. 2
.
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
1; 2; 3
M
. Phương trình mặt phẳng đi qua
điểm
M
cắt các trục toạ độ
x' Ox; y' Oy; z' Oz
lần lượt tại các điểm
; ;
A B C
sao cho
M
là trực tâm tam giác
ABC
là:
A.
: 2 3 12 0
ABC x y z
. B.
: 2 3 14 0
ABC x y z
.
C.
: 2 3 12 0
ABC x y z
. D.
: 2 3 14 0
ABC x y z
.
Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
1 2 3
:
2 3 4
x y z
và
2
4 3 5
:
1 2 2
x y z
. Toạ độ giao điểm
M
của hai đường thẳng đã cho là:
A.
2; 3; 7
M . B.
3; 5; 7
M . C.
0; 1; 1
M
. D.
5;1; 3
M .
Câu 9. Kết quả của phép tính tích phân
2 3
2
2
3
3
I dx
x x
bằng
A.
2
. B.
6
. C.
4
. D.
3
.
Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho các điểm
1; 1; 3
A
;
2; 2;1
B
và
1;2;1 .
C
Mặt phẳng
ABC
có một vec tơ pháp tuyến là:
A.
8; 6;1
n
. B.
8; 6;1
n
. C.
8; 6;1
n
. D.
8; 6; 1
n
.
Câu 11. Cho các số phức
1
3 2
z i
và
2
6 5
z i
. Tìm số phức liên hợp của số phức
1 2
2 3
z z z
.
A.
12 11
z i
. B.
11 12
z i
. C.
11 12
z i
. D.
12 11
z i
.
Câu 12. Kết quả phép tính tích phân
1
0
1 1
1 2
I dx
x x
được viết dưới dạng
ln ln
I a b c
với a,b,c là các số dương. Tính giá trị biểu thức
6
S ab c
.
A.
1
S
. B.
4
S
. C.
6
S
. D.
3
S
.
Câu 13. Khi tính tích phân
2
2
1
2 1
I x x dx
bằng cách đặt
2
1
u x
ta được tích phân nào bên dưới?
A.
3
0
1
2
I udu
. B.
2
1
I udu
. C.
3
0
I udu
. D.
3
0
2
I udu
.
Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 2 7 0
P x y z
và điểm
2; 1;1
I
. Phương trình mặt cầu
S
có tâm
I
tiếp xúc với mặt phẳng
P
là:
A.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
. B.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
.
C.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
. D.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hai mặt phẳng
( ) : 2 3 6 0
P x y z
và mặt phẳng
( ) : 2 4 0
Q x y z
. Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho là
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
22
A.
1
: 1
1 2
x t
y t
z t
. B.
1 2
: 1 3
1
x t
y t
z t
. C.
6 5
: 2 3
x t
y t
z t
. D.
6 5
: 2 3
x t
y t
z t
.
Câu 16. Cho các số phức
1 2
;
z z
thoả
1
2
z
;
2
7
z
;
1 2
5
z z
. Tính
1 2
z z
A.
1 2
17
z z
. B.
1 2
3 2
z z
. C.
1 2
19
z z
. D.
1 2
2 2
z z
.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho vec tơ
5 3 2 3 2 3 2
MO i j j k k i

. Toạ độ điểm
M
là:
A.
14;1; 7
M
. B.
14; 1;7
M
. C.
14; 1; 7
M
. D.
14; 1; 7
M
.
Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho các vec tơ
3; 2; 5
AB

và
1; 4; 1
AC

.
Độ dài trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
là:
A.
3 2
AM
. B.
6 2
AM
. C.
6
AM
. D.
3
AM
.
Câu 19. Biết rằng
f
2 3
; hàm số
f x
'
liên tục và
f x dx
5
2
' 1
thì giá trị của
f
5
là:
A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
2; 3; 4
A
. Mặt cầu tâm
A
tiếp xúc với trục
toạ độ
'
x Ox
có bán kính
R
bằng
A.
4
R
. B.
5
R
. C.
2
R
. D.
3
R
.
Câu 21. Số phức
z
nào thoả phương trình
z
z
z i
?
A.
1
z i
. B.
1
z i
. C.
1
z i
. D.
1
z i
.
Câu 22. Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
x y
3; 2
; trục hoành và trục tung. Thể tích
khối tròn xoay sinh bởi
H
quay quanh trục hoành bằng
A.
V
12
. B.
V
24
. C.
V
36
. D.
V
18
.
Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
viết phương trình mặt phẳng
P
chứa điểm
2;2;1
M
và trục hoành.
A.
: 2 2 0
P x y z
B.
: 1 0
P x y z
.
C.
: 2 4 0
P y z
. D.
: 2 0
P y z
.
Câu 24. Kết quả của phép tính tích phân
1
0
5
x
I dx
bằng
A.
4 ln 5
I
. B.
5 ln 5
I
. C.
5
ln 5
I . D.
4
ln 5
I .
Câu 25. Cho hàm số
y f x
thoả
' 2 3 sin
f x x
và
0 10
f
. Hãy chọn khẳng định đúng
A.
2 3 cos 11
f x x x
. B.
2 3 cos 7
f x x x
.
C.
2 3 sin 7
f x x x
. D.
2 3 sin 11
f x x x
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
23
Câu 26. Cho hàm số liên tục
y f x
có đồ thị hàm số
'
y f x
như hình bên cạnh. Biết rằng đồ thị hàm số
'
y f x
cắt trục
hoành tại các điểm có hoành độ theo thứ tự là a,b,c. Hãy chọn khẳng
định đúng
A.
f c f a f b
. B.
f a f c f b
C.
f a f b f c
. D.
f c f b f a
Câu 27. Biết
f x dx
3
0
6
và
f x dx
10
0
10
.Tính
I f x dx
10
3
A. 6. B. -4. C. 16. D. 4.
Câu 28. Cho hàm số
y f x
liên tục và
f x dx
2
0
12
. Tính
I f x dx
1
0
2
A. 24. B. 18. C. 12. D. 6.
Câu 29. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
f x
x
và
1 5
F
. Tính
4
F
A.
4 6
F
. B.
4 7
F
. C.
4 8
F
. D.
4 5
F
.
Câu 30. Cho các số phức
1 1 1
z a b i
và
2 2 2
z a b i
. Số phức
1 2
.
z z z
là số thực thì
A.
1 2 1 2
0
a b b a
. B.
1 2 1 2
0
a a b b
. C.
1 2 1 2
0
a b b a
. D.
1 2 1 2
0
a a b b
.
Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
phương trình của trục tung
'
y Oy
viết là:
A.
0
x
y t
z t
. B.
0
x t
y
z t
. C.
0
0
x
y t
z
. D.
0
x t
y t
z
.
Câu 32. Cho các số phức
1
3
z a bi
và
2
2
z b ai
. Tìm a và b sao cho
1 2
6
z z i
A.
4
1
a
b
. B.
4
1
a
b
. C.
4
1
a
b
. D.
4
1
a
b
.
Câu 33. Gọi
1 2 3
; ;
z z z
là các nghiệm của phương trình
3
1 0
z
. Tính giá trị của biểu thức
2019 2019 2019
1 2 3
P z z z
.
A.
3
P i
. B.
3
P
. C.
3
P
. D.
3
P i
.
Câu 34. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
6; 3;4
A . Mặt cầu tâm
A
tiếp xúc với mặt
phẳng toạ độ
yOz
có bán kính
R
bằng
A.
5
R
. B.
3
R
. C.
4
R
. D.
6
R
.
Câu 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt phẳng
: 5 14 0
P x y z
và điểm
1; 4; 2
M
. Toạ độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
lên mặt phẳng
P
là:
A.
2;2;2
H
. B.
1; 6; 12
H
.
C.
4; 0;2
H
. D.
2; 3;3
H
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
24
Câu 36. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho đường thẳng
có phương trình
1 2 3
:
2 3 4
x y z
. Đường thẳng
đi qua điểm
M
nào bên dưới?
A.
5; 4; 7
M
. B.
5; 7; 12
M
.
C.
5; 4; 7
M
. D.
5;11; 15
M
.
Câu 37. Biết
3
1
( ) 8
f x dx
. Khi đó kết quả của phép tính tích phân
3
1
2 ( ) 3
I f x dx
bằng
A. 9. B. 13. C. 16. D. 10.
Câu 38. Hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số
f x
x
1
2 7
?
A.
F x x C
ln 2 7
. B.
1 7
ln
2 2
F x x C
.
C.
F x x C
2 ln 2 7
. D.
7
2 ln
2
F x x C
.
Câu 39. Gọi m,n là các số nguyên thoả
2
1
2 1
.ln
e
m
e
x xdx
n
. Hãy chọn kết quả đúng
A.
m n
6
. B.
m n
6
. C.
n m
6
. D.
m n
. 6
.
Câu 40. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
y f x
x
1
2018
. Biết rằng
F F
2020 2015 ln 6
. Tính
S F F
2022 2016
.
A.
S
ln72
. B.
S
ln 24
. C.
S
ln 36
. D.
S
ln 48
.
Câu 41. Kết quả của phép tính tích phân
2
4 3
1
( 4 )
x
I x x e dx
bằng
A.
(16 1)
e e
. B.
2
16 1
e
. C.
2
16
e e
. D.
2
16
e e
.
Câu 42. Trong mặt phẳng phức gọi
, ,
A B C
lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
1
3 14
z i ;
2
7 10
z i và
3
3 14
z i . Hãy chọn khẳng định đúng
A. Tam giác
ABC
là tam giác đều. B. Tam giác
ABC
là tam giác vuông tại
A
.
C. Tam giác
ABC
là tam giác vuông tại
B
. D. Tam giác
ABC
là tam giác vuông tại
C
.
Câu 43. Cho các số thực x,y thoả
2
3 5 2 4 2
x i y i i
. Tính giá trị biểu thức
2
S x y
.
A.
1
S
. B.
2
S
. C.
2
S
. D.
1
S
.
Câu 44. Cho số phức
z
thoả
1 3
z i
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
3 4
w i z
là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó.
A.
7; 1
I
. B.
7;1
I
. C.
7;1
I . D.
7; 1
I
.
Câu 45. Cho các số phức
1
2 3
z i
và
2
3
z i
. Tính môđun của số phức
1 2
z z z
A.
29
z . B.
21
z . C.
41
z . D.
23
z .
Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Biết rằng
1; 3; 4
AB

;
2; 3; 5
AD

và
' 1;1;1
AC

. Tính thể tích khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
25
A.
. ' ' ' '
6
ABCD A B C D
V
. B.
. ' ' ' '
12
ABCD A B C D
V
. C.
. ' ' ' '
1
ABCD A B C D
V
. D.
. ' ' ' '
3
ABCD A B C D
V
Câu 47. Cho phương trình
2 2 2
2 2( 2) 2 24 0
x y z mx m y m
(*). Trong không gian với hệ trục toạ
độ
Oxyz
, (*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi m thoả:
A.
2 5.
m
B.
5
.
2
m
m
C.
2
.
5
m
m
D.
5 2.
m
Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 0
S x y z x y
và
mặt phẳng
: 3 2 5 2019 0
P x y z
. Các tiếp diện với mặt cầu
S
song song với mặt phẳng
P
tiếp xúc với
S
tại hai điểm
A
và
B
. Phương trình đường thẳng
AB
là:
A.
4 3
: 4 2
5 5
x t
AB y t
z t
. B.
1
: 2 2
0
x t
AB y t
z
.
C.
3
: 2 2
5
x t
AB y t
z
. D.
1 3
: 2 2
5
x t
AB y t
z t
.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
2; 3;1
M
. Gọi
; ;
N P Q
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của
M
xuống các trục toạ độ
x' Ox; y' Oy; z' Oz
. Phương trình mặt phẳng
NPQ
là:
A.
: 2 3 6 0
NPQ x y z
. B.
: 3 2 6 6 0
NPQ x y z
.
C.
: 3 2 6 6 0
NPQ x y z
. D.
: 2 3 6 0
NPQ x y z
.
Câu 50. Gọi
1 2
;
z z
là các nghiệm phức của phương trình
2
6 21 0
z z
. Tính
1 2
1 1
P
z z
.
A.
7
2
P
. B.
2
7
P
. C.
2
7
P
. D.
7
2
P
.
ĐỀ 3 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2019-2020 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)
Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
phương trình của trục tung
'
y Oy
viết là:
A.
0
0
x
y t
z
. B.
0
x t
y t
z
. C.
0
x
y t
z t
. D.
0
x t
y
z t
.
Câu 2. Cho các số thực x,y thoả
2
3 5 2 4 2
x i y i i
. Tính giá trị biểu thức
2
S x y
.
A.
2
S
. B.
1
S
. C.
1
S
. D.
2
S
.
Câu 3. Biết
3
1
( ) 8
f x dx
. Khi đó kết quả của phép tính tích phân
3
1
2 ( ) 3
I f x dx
bằng
A. 9. B. 10. C. 13. D. 16.
Câu 4. Cho các số phức
1 2
;
z z
thoả
1
2
z
;
2
7
z
;
1 2
5
z z
. Tính
1 2
z z
A.
1 2
17
z z . B.
1 2
3 2
z z . C.
1 2
19
z z . D.
1 2
2 2
z z .
Câu 5. Cho phương trình
2 2 2
2 2( 2) 2 24 0
x y z mx m y m
(*). Trong không gian với hệ trục toạ
độ
Oxyz
, (*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi m thoả:
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
26
A.
2
.
5
m
m
. B.
2 5.
m
. C.
5
.
2
m
m
. D.
5 2.
m
.
Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
2; 3; 4
A . Mặt cầu tâm
A
tiếp xúc với trục
toạ độ
'
x Ox
có bán kính
R
bằng
A.
4
R
. B.
5
R
. C.
2
R
. D.
3
R
.
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
2; 3;1
M
. Gọi
; ;
N P Q
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của
M
xuống các trục toạ độ
x' Ox; y' Oy; z' Oz
. Phương trình mặt phẳng
NPQ
là:
A.
: 2 3 6 0
NPQ x y z
. B.
: 2 3 6 0
NPQ x y z
.
C.
: 3 2 6 6 0
NPQ x y z
. D.
: 3 2 6 6 0
NPQ x y z
.
Câu 8. Cho số phức
z
thoả
1 3
z i
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
3 4
w i z
là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó.
A.
7;1
I . B.
7; 1
I
. C.
7;1
I
. D.
7; 1
I
.
Câu 9. Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
x y
3; 2
; trục hoành và trục tung. Thể tích khối
tròn xoay sinh bởi
H
quay quanh trục hoành bằng
A.
V
18
. B.
V
12
. C.
V
24
. D.
V
36
.
Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho các điểm
1; 1; 3
A
;
2; 2;1
B
và
1;2;1
C
. Mặt phẳng
ABC
có một vec tơ pháp tuyến là:
A.
8; 6; 1
n
. B.
8; 6;1
n
. C.
8; 6;1
n
. D.
8; 6;1
n
.
Câu 11. Cho các số phức
1
2 3
z i
và
2
3
z i
. Tính môđun của số phức
1 2
z z z
A.
23
z
. B.
21
z
. C.
41
z
. D.
29
z
.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
viết phương trình mặt phẳng
P
chứa điểm
2;2;1
M
và trục hoành.
A.
: 2 2 0
P x y z
B.
: 1 0
P x y z
.
C.
: 2 4 0
P y z
. D.
: 2 0
P y z
.
Câu 13. Trong mặt phẳng phức gọi
, ,
A B C
lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
1
3 14
z i ;
2
7 10
z i và
3
3 14
z i . Hãy chọn khẳng định đúng
A. Tam giác
ABC
là tam giác vuông tại
B
. B. Tam giác
ABC
là tam giác vuông tại
C
.
C. Tam giác
ABC
là tam giác đều. D. Tam giác
ABC
là tam giác vuông tại
A
.
Câu 14. Biết
f x dx
3
0
6
và
f x dx
10
0
10
.Tính
I f x dx
10
3
A. 16. B. 6. C. 4. D. -4.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hai mặt phẳng
( ) : 2 3 6 0
P x y z
và mặt phẳng
( ) : 2 4 0
Q x y z
. Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho là
A.
1
: 1
1 2
x t
y t
z t
. B.
1 2
: 1 3
1
x t
y t
z t
. C.
6 5
: 2 3
x t
y t
z t
. D.
6 5
: 2 3
x t
y t
z t
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
27
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục và
f x dx
2
0
12
. Tính
I f x dx
1
0
2
A. 24. B. 18. C. 12. D. 6.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho các vec tơ
3; 2; 5
AB

và
1; 4; 1
AC

.
Độ dài trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
là:
A.
6
AM
. B.
3
AM
. C.
3 2
AM
. D.
6 2
AM
.
Câu 18. Cho hàm số liên tục
y f x
có đồ thị hàm số
'
y f x
như hình bên cạnh. Biết rằng đồ thị hàm số
'
y f x
cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ theo thứ
tự là a,b,c. Hãy chọn khẳng định đúng
A.
f c f a f b
. B.
f a f c f b
.
C.
f a f b f c
. D.
f c f b f a
.
Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 3 9
S x y z
và đường thẳng
2 1 2
:
1 2 3
x y z
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
tiếp xúc với mặt cầu
S
?
A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1.
Câu 20. Gọi m,n là các số nguyên thoả
2
1
2 1
.ln
e
m
e
x xdx
n
. Hãy chọn kết quả đúng
A.
m n
6
. B.
m n
6
. C.
n m
6
. D.
m n
. 6
.
Câu 21. Cho các số phức
1 1 1
z a b i
và
2 2 2
z a b i
. Số phức
1 2
.
z z z
là số thực thì
A.
1 2 1 2
0
a b b a
. B.
1 2 1 2
0
a a b b
. C.
1 2 1 2
0
a b b a
. D.
1 2 1 2
0
a a b b
.
Câu 22. Hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số
f x
x x
2
1
2 1
?
A.
x
F x
x
2
1
. B.
2 3
1
x
F x
x
.
C.
x
F x
x
1
. D.
x
F x
x
1
1
.
Câu 23. Gọi
1 2 3
; ;
z z z
là các nghiệm của phương trình
3
1 0
z
. Tính giá trị của biểu thức
2019 2019 2019
1 2 3
P z z z
.
A.
3
P
. B.
3
P i
. C.
3
P i
. D.
3
P
.
Câu 24. Biết rằng
f
2 3
; hàm số
f x
'
liên tục và
f x dx
5
2
' 1
thì giá trị của
f
5
là:
A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
28
Câu 25. Cho các số phức
4 3
z i
và
2019
12 5
.
13 13
w z i
. Hãy chọn khẳng định đúng
A.
w
là số thực. B.
w
là số thuần ảo.
C.
5
w
. D.
5
w
.
Câu 26. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
y f x
x
1
2018
. Biết rằng
F F
2020 2015 ln 6
. Tính
S F F
2022 2016
.
A.
S
ln 36
. B.
S
ln72
. C.
S
ln 48
. D.
S
ln 24
.
Câu 27. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Biết rằng
1; 3; 4
AB

;
2; 3; 5
AD

và
' 1;1;1
AC

. Tính thể tích khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
.
A.
. ' ' ' '
6
ABCD A B C D
V
. B.
. ' ' ' '
12
ABCD A B C D
V
.
C.
. ' ' ' '
1
ABCD A B C D
V
. D.
. ' ' ' '
3
ABCD A B C D
V
.
Câu 28. Số phức
z
nào thoả phương trình
z
z
z i
?
A.
1
z i
. B.
1
z i
. C.
1
z i
. D.
1
z i
.
Câu 29. Hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số
f x
x
1
2 7
?
A.
1 7
ln
2 2
F x x C
. B.
F x x C
2 ln 2 7
.
C.
7
2 ln
2
F x x C
. D.
F x x C
ln 2 7
.
Câu 30. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt phẳng
: 3 4 5 0
P x y z
và điểm
2; 1; 3
A
. Phương trình mặt phẳng
Q
đối xứng với mặt phẳng
P
qua điểm
A
là:
A.
: 3 4 23 0
Q x y z
. B.
: 3 4 23 0
Q x y z
.
C.
: 3 4 31 0
Q x y z
. D.
: 3 4 31 0
Q x y z
.
Câu 31. Cho các số phức
1
3
z a bi
và
2
2
z b ai
. Tìm a và b sao cho
1 2
6
z z i
A.
4
1
a
b
. B.
4
1
a
b
. C.
4
1
a
b
. D.
4
1
a
b
.
Câu 32. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 0
S x y z x y
và
mặt phẳng
: 3 2 5 2019 0
P x y z
. Các tiếp diện với mặt cầu
S
song song với mặt phẳng
P
tiếp xúc với
S
tại hai điểm
A
và
B
. Phương trình đường thẳng
AB
là:
A.
1 3
: 2 2
5
x t
AB y t
z t
. B.
4 3
: 4 2
5 5
x t
AB y t
z t
. C.
1
: 2 2
0
x t
AB y t
z
.D.
3
: 2 2
5
x t
AB y t
z
.
Câu 33. Kết quả của phép tính tích phân
1
0
5
x
I dx
bằng
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
29
A.
4
ln 5
I . B.
4 ln 5
I
. C.
5 ln 5
I
. D.
5
ln 5
I .
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y x
cos
và các đường thẳng
y
0
;
x
0
;
x
bằng
A. 2
. B. 1. C. 2. D.
.
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân
2
4 3
1
( 4 )
x
I x x e dx
bằng
A.
2
16
e e
. B.
2
16 1
e
. C.
2
16
e e
. D.
(16 1)
e e
.
Câu 36. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 2 7 0
P x y z
và điểm
2; 1;1
I
. Phương trình mặt cầu
S
có tâm
I
tiếp xúc với mặt phẳng
P
là:
A.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
. B.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
.
C.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
. D.
2 2 2
: 4 2 2 2 0
S x y z x y z
.
Câu 37. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho mặt phẳng
: 5 14 0
P x y z
và điểm
1; 4; 2
M
. Toạ độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
lên mặt phẳng
P
là:
A.
4; 0;2
H . B.
2;2;2
H . C.
2; 3;3
H
. D.
1; 6; 12 .
H
Câu 38. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
6; 3;4
A . Mặt cầu tâm
A
tiếp xúc với mặt
phẳng toạ độ
yOz
có bán kính
R
bằng
A.
5
R
. B.
6
R
. C.
3
R
. D.
4
R
.
Câu 39. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho đường thẳng
có phương trình
1 2 3
:
2 3 4
x y z
. Đường thẳng
đi qua điểm
M
nào bên dưới?
A.
5; 4; 7
M
. B.
5; 4;7
M
. C.
5;11; 15
M
. D.
5; 7; 12
M
.
Câu 40. Kết quả của phép tính tích phân
2 3
2
2
3
3
I dx
x x
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
6
.
Câu 41. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
1 2 3
:
2 3 4
x y z
và
2
4 3 5
:
1 2 2
x y z
. Toạ độ giao điểm
M
của hai đường thẳng đã cho là:
A.
3; 5; 7
M . B.
0; 1; 1
M
. C.
5;1; 3
M . D.
2; 3; 7
M .
Câu 42. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho điểm
1; 2; 3
M
. Phương trình mặt phẳng đi qua
điểm
M
cắt các trục toạ độ
x' Ox; y' Oy; z' Oz
lần lượt tại các điểm
; ;
A B C
sao cho
M
là trực tâm tam giác
ABC
là:
A.
: 2 3 12 0
ABC x y z
. B.
: 2 3 14 0
ABC x y z
.
C.
: 2 3 14 0
ABC x y z
. D.
: 2 3 12 0
ABC x y z
.
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
30
Câu 43. Kết quả phép tính tích phân
1
0
1 1
1 2
I dx
x x
được viết dưới dạng
ln ln
I a b c
với a,b,c là các số dương. Tính giá trị biểu thức
6
S ab c
.
A.
4
S
. B.
6
S
. C.
3
S
. D.
1
S
.
Câu 44. Cho các số phức
1
3 2
z i
và
2
6 5
z i
. Tìm số phức liên hợp của số phức
1 2
2 3
z z z
.
A.
12 11
z i
. B.
12 11
z i
. C.
11 12
z i
. D.
11 12
z i
.
Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho vec tơ
5 3 2 3 2 3 2
MO i j j k k i

. Toạ độ điểm
M
là:
A.
14;1; 7
M
. B.
14; 1; 7
M
. C.
14; 1;7
M
. D.
14; 1; 7
M
.
Câu 46. Gọi
1 2
;
z z
là các nghiệm phức của phương trình
2
6 21 0
z z
. Tính
1 2
1 1
P
z z
.
A.
2
7
P
. B.
7
2
P
. C.
7
2
P
. D.
2
7
P
.
Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho hai vec tơ
2;1; 3
a
và
3; 2;1
b
. Góc giữa
các vec tơ
a
và
b
bằng
A. 120
0
.
B. 30
0
. C. 45
0
. D. 60
0
.
Câu 48. Cho hàm số
y f x
thoả
' 2 3 sin
f x x
và
0 10
f
. Hãy chọn khẳng định đúng
A.
2 3 cos 7
f x x x
. B.
2 3 sin 7
f x x x
.
C.
2 3 sin 11
f x x x
. D.
2 3 cos 11
f x x x
.
Câu 49. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
f x
x
và
1 5
F
. Tính
4
F
A.
4 8
F
. B.
4 5
F
. C.
4 6
F
. D.
4 7
F
.
Câu 50. Khi tính tích phân
2
2
1
2 1
I x x dx
bằng cách đặt
2
1
u x
ta được tích phân nào bên dưới?
A.
3
0
1
2
I udu
. B.
2
1
I udu
. C.
3
0
I udu
. D.
3
0
2
I udu
.
====== Hết ======
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
PHẦN 1. ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ
CHỦ ĐỀ I. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ;
a b]. Hiệu số F(b)  F(a) b
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ;
a b] của hàm số f (x), kí hiệu là f (x)d . x a b
Ta dùng kí hiệu F(x) b  F(b)  F(a) để chỉ hiệu số F(b)  F(a) . Vậy f (x)dx  F(x) b  F(b)  F(a) .  a a a
2. Tính chất của tích phân a b a 1. f (x)dx  0 2. f x dx   f x dx  ( ) ( )   a a b b c c b b
3. f (x)dx  f (x)dx  f (x)dx (   )
4. k. f (x)dx  k. f (x)dx (k  )    a b c    a b a a a b b b
5. [ f (x)  g(x)]dx  f (x)dx  g(x)dx .    a a a
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số b
Phương pháp 1: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  ;
a b . Để tính f  xdx 
, đôi khi ta chọn hàm số a
u  u x làm biến số mới, trong đó trên đoạn  ;
a b , ux có đạo hàm liên tục và u x;  .
Giả sử có thể viết f  x  g uxu 'x, xa;b, với g u liên tục trên đoạn ;  . Khi đó b ub f  xdx  g  udu . a ua
Phương pháp 2: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ;
a b . Giả sử hàm số x   t có đạo hàm liên tục trên
đoạn ; * sao cho     a,    b và a  t  b với t ; . Khi đó b  f  xdx  f
 t'tdt . a 
(*) Nếu    thì ta xét đoạn ; .
2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x và v  v x có đạo hàm liên tục trên  ; a b thì b b u  x b
v ' xdx  u xv x  u '  xvxdx a a a Hay b b b udv  uv  vdu.   a a a
II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn  ;
a b , trục hoành và hai
đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức 1
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , y  f x liên tục trên đoạn  ; a b và hai 2   1  
đường thẳng x  a , x  b được tính bởi công thức y  f x 1       H  y f x 2   :  x  a x   b Chú ý b b
- Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: f (x) dx  f (x)dx   . a a
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a. Thể tích vật thể
Cắt một vật thể V  bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a , x  b a  b.
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x a  x  b cắt V  theo thiết diện có diện tích S(x) (hình
vẽ). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; a b] .
Khi đó, thể tích V của vật thể V  được tính bởi công thức
b. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f (x) , trục hoành và
hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) (  C): y  f (x) (   Ox) : y  0 b  V   f x dx x a  2 ( ) O b x x   a a x  b
Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f (x) , y  g(x) 2
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b 2 2 V   f (x)  g (x) dx  a B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Câu 1. 3x 1 e  dx  bằng 1 A. 1  5 2 1 1 e  e  . B. 5 2 e  e . C. 5 2 e  e . D.  5 2 e  e  . 3 3 3 5 5 Câu 2. Biết f
 xdx  4. Giá trị của 3 f xdx  bằng 1 1 A. 7. B. 4 . C. 64 . D. 12. 3 6 2 Câu 3. Cho f (x)dx  12  . Tính I  f (3x)dx  . 0 0 A. I  6 B. I  36 C. I  2 D. I  4 2 Câu 4. Biết   3
F x  x là một nguyên hàm của hàm số f x trên  . Giá trị của 2 f (x)dx bằng 1 A. 23 . B. 7. C. 9. D. 15 . 4 4   Câu 5. Biết 1 4 (1 x) cos 2xdx    . Giá trị của . a b là 0 a b A. 32 B. 12 C. 24 D. 2 e Câu 6. Biết 2ln x 1 dx a . b e    
, với a,b  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 x 1 A. a  b  6 . B. a  b  6 . C. a  b  3. D. a  b  3 . 55 dx Câu 7. Cho 
 a ln 2  b ln 5  c ln11, với a, ,
b c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 16 x x  9 A. a  b  c . B. a  b  c . C. a  b  3c . D. a  b  3c .
Câu 8. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y  e , y  0, x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. 2  π e x S dx . B.   ex S dx . C.  π ex S dx . D. 2   e x S dx . 0 0 0 0
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x,
y  0, x  1 và x  5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 5 1 5 A. S  f  xdx  f  xdx. B. S  f  xdx  f  xdx . 1 1 1 1 1 5 1 5 C. S   f  xdx f  xdx . D. S   f  xdx f  xdx . 1 1 1 1
Câu 10. Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x  0, x   , y  0 và y  sin . x Thể tích V của
khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức 3
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021     A. V   sin xd . x  B. 2 V   sin xd . x  C. 2 V  sin xd . x 
D. V   sin xdx . 0 0 0 0 2 3 x dx Câu 11. Biết
 a 5  b 2  c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính    .  P a b c 2 1 x 1 1 5 A. P   7 . B. P  5 . C. P  . D. P  2 . 2 2 2 2 2x 1 1 Câu 12. Cho dx  ln a  ln b  c  , với , a ,
b c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  b 10c bằng 2   4x  4x 1 2 1 A. 15. B. 1  5. C. 14. D. 9 .  2 12 Câu 13. Cho f (2 tan3x) f (x)dx  4  . Tính tích phân I  d . x  2 cos 3x 0 0 A. 1 I  . B. 2 I  . C. 8 I  . D. 4 I  . 3 3 3 3 2 2
Câu 14. Cho hàm số f x thỏa mãn (x  3) f '(x)dx  50 
và 5 f 2  3 f 0  60 . Tính. f (x)dx  0 0 A. I  12 . B. I  8 . C. I 10 . D. I  12 . 2 1 Câu 15. Biết rằng 1 f
 xdx  2016 . Tính tích phân J  f   3x1dx 3x 1 1 0 A. J  2016. B. J 1008 . C. J 1344. D. J  3024. ln 6 Câu 16. Biết dx I   3ln a  ln b 
với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a . b x e  2 x e  3 ln 3 A. P  1  0 . B. P 15 . C. P  20 . D. P 10 . 3
Câu 17. Biết ln xdx  a ln 3  b ln 2 1;a,b 
 . Khi đó, giá trị của a  b là 2 A. 5 B. 5 C. 1 D. 6
Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng  x  0, x 
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? 2 A. V   1 B. V  ( 1) C. V  (  1) D. V   1
Câu 19. Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 11 luật v t 2  t 
t m/s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ 180 18
trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A , nhưng chậm
hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a  2
m/s  ( a là hằng số) . Sau khi B xuất phát được 10 giây thì
đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 22 m/s . B. 15 m/s. C. 10 m/s . D. 7 m/s .
Câu 20. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   2
2   , f  x  x  f   x 2 2  x R , f   3
1  . Giá trị f (1) bằng: 9    2 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15 1
Câu 21. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  . Biết f 5 1 và xf  5xdx 1, khi đó 0 5 2 x f   xdx bằng 0 4
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 123 A. 15 . B. 23. C. . D. 25 . 5
Câu 22. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , 1
A , B , B như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là 2 1 2 200.000 đồng/ 2
m và phần còn lại là 100.000 đồng/ 2 m . Hỏi
số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây,
biết A A  8 m , B B  6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ 1 2 1 2 nhật có MQ  3 m ?
A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng.
C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng. 3 1
Câu 23. Cho đường thẳng y  x và parbol 2 y  x  a ( a là 4 2
tham số thực dương). Gọi S , S lần lượt là diện tích của hai hình 1 2
phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
Khi S  S thì a thuộc khoảng nào dưới đây? 1 2  1 9   3 7  A. ;   . B. ;   .  4 32  16 32   3   7 1  C. 0;   . D. ;   .  16   32 4  1 Câu 24. Cho hai hàm số f  x 3 2  ax  bx  cx  và 2 g  x 2  dx  ex 1 a, ,
b c, d, e   . Biết rằng đồ thị của hàm số
y  f x và y  g  x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 3
 ; 1;1 (tham khảo hình vẽ) .
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 9 A. . B. 8 . 2 C. 4 . D. 5 .
Câu 25. Cho hàm số y  f (x) . Đồ thị của hàm số y  f (  x) như hình bên. Đặt 2
h(x)  2 f (x)  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. h(4)  h(2)  h(2) B. h(4)  h(2)  h(2) C. h(2)  h(4)  h(2) D. h(2)  h(2)  h(4) CHỦ ĐỀ II. SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa số phức
 Mỗi biểu thức dạng z  a  bi , trong đó a,b , 2i  1
 được gọi là một số phức.
 i được gọi là đơn vị ảo. 5
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
 Đối với số phức z  a  bi , ta nói a là phần thực và b là phần ảo của z .
 Tập hợp các số phức kí hiệu là  . Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a  c a  bi  c  di   . b  d
Chú ý:  Mỗi số thực a được coi là số phức với phần ảo bằng 0 và viết là a  a  0 .i Ta có    .
 Số phức 0  bi được gọi là số ảo và viết đơn giản là bi .
Biểu diễn hình học số phức Điểm M  ;
a b trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được
gọi là điểm biểu diễn số phức z  a  bi . Môđun của số phức
Giả sử số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M  ; a b trên mặt 
phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số
phức z và kí hiệu là z . 2 2 a  bi  a  b Số phức liên hợp
 Cho số phức z  a  bi . Ta gọi a  bi là số phức liên hợp của z
và kí hiệu là z  a  bi .
 Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox .
 Nhận xét. z  z, z  z .
Phép cộng và phép trừ số phức
a bic  di  a c b  di ;
a bic  di  a cb  di . Phép nhân số phức
a bic  di  ac bdad bci .
Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Cho số phức z  a  bi . Ta có
z  z  a  bi  a  bi  2 . a
z z  a  bia  bi 2 2 2 .  a  b  z .
Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực. Phép chia hai số phức a  bi
a  bic  di ac  bd ad bc    . c  di c  dic  di i 2 2 2 2 c  d c  d
Căn bậc hai của số thực âm
Các căn bậc hai của số thực a  0 là i a . 6
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai 2
ax  bx  c  0 với a,b,c   , a  0 . Xét biệt số 2
  b  4ac của phương trình. Ta thấy b
 Khi   0 , phương trình có một nghiệm thực x   ; 2a    b
 Khi   0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức x  ; 2a
 Khi   0 , phương trình không có nghiệm thực. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức được xác định b  i  bởi công thức x  . 2a
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt). B. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z  1   2i ? A. N . B. P . C. M . D. Q .
Câu 2. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2  3i . B. z  3i . C. z  2 . D. z  3  i .
Câu 3. Cho hai số phức z  7  4i và z  2  3i . Tìm số phức z  z  z . 1 2 1 2 A. z  5  i . B. z  9  7i . C. z  5  7i . D. z  9  i .
Câu 4. Cho hai số phức z  3 2i và z  2  i . Số phức z  z bằng 1 2 1 2 A. 5  i . B. 5  i . C. 5  i . D. 5  i .
Câu 5. Số phức liên hợp của số phức 2  5i là A. z  2  5i . B. z  2  5i . C. z  2   5i . D. z  2  5i .
Câu 6. Cho số phức z  2  i . Tính z . A. z  3 . B. z  5 . C. z  2 . D. z  5 .
Câu 7. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và B là điểm biểu diễn của số phức z '  2  3i .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x .
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O .
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung.
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
Câu 8. Cho số phức z 1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ? A. Q(1;2) . B. N(2;1) . C. M (1; 2  ) . D. P( 2  ;1) .
Câu 9. Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i . A. z 1 5i . B. z 1 i . C. z  5  5i . D. z 1 i .
Câu 10. Cho số phức z 1 2i, z  3
  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z  z  z trên mặt phẳng tọa độ. 1 2 1 2 A. N(4; 3  ) . B. M (2; 5  ) . C. P(2; 1  ) . D. Q(1;7) .
Câu 11. Cho hai số phức z  2  2i và w  2  i . Mô đun của số phức zw A. 40 . B. 8 . C. 2 2 . D. 2 10 .
Câu 12. Cho số phức z  a  bi (a,b  ) thỏa mãn z 1 3i  z i  0 . Tính S  a  3b A. 7 S  . B. S  5 . C. S  5 . D. 7 S   . 3 3 Câu 13. Gọi z z  z 
 . Trên mặt phẳng tọa độ
0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2 6 13 0
Oxy , điểm biểu diễn số phức 1 z là 0 A. M  2  ;2 . B. Q4; 2   . C. N 4;2 . D. P 2  ; 2   . 7
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 14. Gọi z , z là hai nghiệm phức phương trình 2
z  6z 10  0 . Giá trị 2 2 z  z bằng 1 2 1 2 A. 16 . B. 56 . C. 20 . D. 26 .
Câu 15. Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4  0 . Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu 1 2
diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T  2 2 . B. T  2 C. T  8. D. T  4 .
Câu 16. Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  3z  5  0 . Giá trị của z  z là 1 2 1 2 A. 2 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 . 2
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3 10i . Tìm số phức w  z  4  3i . A. w  3   8i B. w 1 3i C. w  1   7i D. z  4   8i
Câu 18. Xét các số phức z thỏa mãn z  i z  2 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 1. B. 5 . C. 5 . D. 3 . 4 2 2
Câu 19. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z  4  i  2i  5  i z ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 10 .
Câu 20. Xét các số phức z thỏa mãn z  3iz 3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 9 . B. 3 2 . C. 3 . D. 3 2 . 2 2
Câu 21. Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số  phức 3 iz w 
là một đường tròn có bán kính bằng 1 z A. 2 3. B. 12. C. 20. D. 2 5.
Câu 22. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z  2 z  z  4 và z 1 i  z  3  3i ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z 1
và z  3  i  m . Tìm số phần tử của S . A. 2. B. 4. C. 1. D. 3 .
Câu 24.Cho số phức z thỏa 10 (1 2i) z 
 2  i .Mệnh đề nào sau đây đúng? z A. 3  z  2 . B. z  2 . C. 1 z  . D. 1 3  z  . 2 2 2 2
Câu 25. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z  3i  5 và là số thuần ảo ? z  4 A. 0 . B. Vô số. C. 1. D. 2 .
CHỦ ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm và của vectơ
a. Tọa độ của một điểm    
Trong không gian Oxyz cho một điểm M tùy ý. Ta có OM  xi  y j  zk , ta gọi  ;
x y; z là tọa độ của
điểm M và viết M   ; x y; z hoặc M  ; x y; z. b. Tọa độ của vectơ      
Trong không gian Oxyz cho vectơ a . Ta có a  a i  a j  a k , ta gọi a ;a ;a là tọa độ của vectơ a và 1 2 3  1 2 3  
viết a  a ;a ;a hoặc aa ;a ;a . 1 2 3  1 2 3  8
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ  
Định lý. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  a ;a ;a và b  b ;b ;b . Ta có 1 2 3  1 2 3     
 a  b  a  b ;a  b ;a  b ,  a b  a  b ;a b ;a  b , 1 1 2 2 3 3  1 1 2 2 3 3  
 ka  k a ;a ;a  ka ;ka ;ka với k là một số thực. 1 2 3   1 2 3 Hệ quả.   a  b 1 1   
 Cho hai vectơ a  a ;a ;a và b  b ;b ;b . Ta có a  b  a  b . 1 2 3  1 2 3  2 2 a  b  3 3 
 Vectơ 0 có tọa độ là 0;0;0 .     a  kb 1 1 
 Với b  0 thì hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho a  kb . 2 2 a  kb  3 3
 Trong không gian Oxyz , nếu cho hai điểm A  x ; y ; z và B   x ; y ; z thì B B B  A A A  
AB   x  x ; y  y ; z  z . B A B A B A  3. Tích vô hướng
a. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:  
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  a ;a ;a và b  b ;b ;b . Ta có 1 2 3  1 2 3   . a b  a b  a b  a b . 1 1 2 2 3 3 b. Ứng dụng  
 Độ dài của một vectơ. Cho vectơ a  a ;a ;a . Khi đó 2 2 2 a  a  a  a . 1 2 3  1 2 3
 Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz , nếu cho hai điểm A  x ; y ; z và A A A 
B   x ; y ; z thì AB   x  x  y  y  z  z . B A 2  B A2  B A2 B B B   
 Góc giữa hai vectơ. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a  a ;a ;a và b  b ;b ;b . Ta có 1 2 3  1 2 3      a b a b  a b  a b cosa,b . 1 1 2 2 3 3     . 2 2 2 2 2 2 a . b a  a  a . b  b  b 1 2 3 1 2 3     Đặc biệt, a  b  .
a b  0  a b  a b  a b  0 . 1 1 2 2 3 3
4. Phương trình mặt cầu
Định lý. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S có tâm I a; ;
b c và bán kính R có phương trình là
  2   2    2 2 x a y b z c  R .
Nhận xét. Phương trình dạng 2 2 2
x  y  z  2Ax  2By  2Cz  D  0 với điều kiện 2 2 2 A  B  C  D  0 là
phương trình của mặt cầu tâm I  ; A  ; B C   có bán kính 2 2 2 R  A  B  C  D .
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   
Cho mặt phẳng   . Nếu vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng   thì n được gọi là vectơ
pháp tuyến của   . Chú ý:  
● Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn với k  0 , cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
2. Tích có hướng của hai vectơ    
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a  a ;a ;a và b  b ;b ;b . Tích có hướng của hai vectơ a và b 1 2 3  1 2 3       
, kí hiệu là a  b hoặc a,b 
 , là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b , có tọa độ được tính bởi công thức  
a,b  a b  a b ;a b  a b ;a b  a b . 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1   
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 9
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Định nghĩa. Phương trình có dạng Ax  By  Cz  D  0 trong đó ,
A B,C không đồng thời bằng 0 được gọi
là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét.
 Nếu mặt phẳng  có phương trình tổng quát là Ax  By  Cz  D  0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là n  ;AB;C.  
 Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M x ; y ; z nhận vectơ n   ;
A B;C  khác 0 làm vectơ pháp 0  0 0 0  tuyến là
A x  x  B y  y  C z  z  0 . 0   0   0  Các trường hợp riêng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: Ax  By  Cz  0 .
+ Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox : By  Cz  D  0 .
Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy : Ax  Cz  D  0 .
Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz : Ax  By  D  0 .
+ Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy : Cz  D  0 .
Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxz : By  D  0 .
Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oyz : Ax  D  0 .
+ Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm  ; a 0;0, 0; ; b 0, 0;0;c (với x y z abc  0 ):    1 . a b c
4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, cắt nhau, vuông góc
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  và  có phương trình 2  1 
 : A x  B y  C z  D  0 , 1  1 1 1 1
 : A x  B y  C z  D  0 . 2  2 2 2 2
Khi đó  và  có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là 2  1   n  A ; B ;C , 1  1 1 1  n  A ; B ;C . 2  2 2 2   n  kn   A ;B ;C  k A ;B ;C 1 1 1   2 2 2   //  1 2   . 2  1    D  kD  D  kD 1 2  1 2   n  kn   A ;B ;C  k A ;B ;C 1 1 1   2 2 2     1 2   . 2  1    D  kD  D  kD 1 2  1 2  
  cắt   n  kn   A ;B ;C  k A ;B ;C . 1 1 1   2 2 2 2  1  1 2  
     n .n  0  A A  B B  C C  0 . 2  1  1 2 1 2 1 2 1 2
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   có phương trình Ax  By  Cz  D  0 và điểm M x ; y ; z . 0  0 0 0 
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  , kí hiệu là d M ,  , được tính bởi công thức 0   0  Ax  By  Cz  D d M , 0 0 0  . 0 2 2 2 A  B  C
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa. Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0  0 0 0 
a a ;a ;a là phương trình có dạng 1 2 3  x  x  ta 0 1  y  y  ta 1 0 2   , z  z  ta  0 3 10
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 trong đó t là tham số.
● Nếu a ;a ;a đều khác 0 thì người ta còn có thể viêt phương trình của đường thẳng  dưới dạng chính tắc 1 2 3 như sau x  x y  y z  z 0 0 0   . a a a 1 2 3
2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
a. Điều kiện để hai đường thẳng song song  
d song song với d ' khi và chỉ khi chúng không có điểm chung và hai vectơ a,a' cùng phương   a  ka' 
Ta có d song song với d ' khi và chỉ khi M d . M d '    a  ka' 
Đặc biệt d trùng với d ' khi và chỉ khi M d . M d ' 
b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Gọi phương trình tham số của hai đường thẳng d vàới d ' lần lượt là x  x  ta ' ' x  x  t 'a 0 1 0 1   d : y  y  ta và ' ' d ': y  y  t 'a 0 2 0 2 z  z ta   ' '   0 3 z z t 'a  0 3
Hai đường thẳng d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t,t 'sau ' ' x  ta  x  t 'a 0 1 0 1  ' ' y  ta  y  t 'a I 0 2 0 2    ' ' z  ta  z  t 'a  0 3 0 3 có đúng một nghiệm.
Chú ý. Giả sử hệ (I) có nghiệm  '
t ;t , để tìm giao điểm M của d và d ' t vào phương trình 0 0  0 ta có thể thay 0
tham số d hoặc thay 't vào phương trình tham số d '. 0
c. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau  
Hai đường thẳng d và d ' chéo nhau khi và chỉ khi a và a' không cùng phương và hệ phương trình ẩn t,t ' sau ' ' x  ta  x  t 'a 0 1 0 1  ' '  y  ta  y  t 'a I 0 2 0 2    ' ' z  ta  z  t 'a  0 3 0 3
vô nghiệm ( d và d ' có phương trình như ở mục 2).
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. x  x  ta 0 1 Trong không gian 
Oxyz , cho mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d : y  y  ta . 0 2 z  z ta  0 3
Xét phương trình Ax  ta  B y  ta  C z  ta  D  0 ( t là ẩn). (1) 0 1   0 2   0 3 
+ Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và   không có điểm chung, vậy d //  
+ Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t  t thì d cắt   tại điểm M x  t a ; y  t a ; z  t a 0 0 1 0 0 2 0 0 3  0
+ Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d chứa trong   . 4. Góc
a. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 11
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 x  x  ta ' ' x  x  t 'a 0 1 0 1   d : y  y  ta và ' ' d ': y  y  t 'a 0 2 0 2 z  z ta   ' '   0 3 z z t 'a  0 3  
Ta có d có vectơ chỉ phương u  a ;a ;a , d ' có vectơ chỉ phương v   ' ' ' a ;a ;a 1 2 3  1 2 3      u v a a  a a  a a
cosd,d '  cosu,v ' ' ' . 1 1 2 2 3 3     . 2 2 2 '2 '2 '2 u . v a  a  a . a  a  a 1 2 3 1 2 3
b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng x  x  ta 0 1 Trong không gian 
Oxyz , cho mặt phẳng P : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d : y  y  ta . 0 2 z  z ta  0 3   
P có vectơ pháp tuyến n   ;
A B;C  , d có vectơ chỉ phương u  a ;a ;a . 1 2 3 
Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P . Khi đó     u n a A  a B  a C sin  cosu,n . 1 2 3     . 2 2 2 2 2 2 u . n a  a  a . A  B  C 1 2 3 5. Khoảng cách.
a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 
Cho đường thẳng d đi qua M , có VTCP u và điểm M . Tính khoảng cách từ M đến d . 0  Cách 1:  
Gọi U là điểm sao cho M U  u (hình vẽ). 0
Nếu điểm M d thì diện tích S của hình bình hành có hai cạnh M M và M U là 0 0
   
S  M M , M U   M M ,u . 0 0 0    
Vì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là chiều cao của   M M ,u
hình bình hành nói trên nên ta có   d M ,d  0   u
Nếu M d thì hiển nhiên d M ,d   0 và công thức nói trên đúng.
 Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng P đi qua M vuông góc với d . Tìm giao điểm H của P với d .
Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d , biết d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u ; d đi qua điểm 1 2 1 1 1 2 
M và có vectơ chỉ phương u . Tính khoảng cách giữa d và d . 2 2 1 2  Cách 1: 12
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
   
Lấy các điểm U và U sao cho M U  u ; M U  u . Xét 1 2 1 1 1 2 2 2
hình hộp có ba cạnh là M U , M U , M M . Ta biết rằng thể 1 1 2 2 1 2
tích V của hình hộp đó là
  
  
V  M U , M U .M M  u ,u .M M . 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2    
Nếu ta xem M M là cạnh bên của hình hộp đó thì diện tích 1 2  
đáy của hình hộp là S  u ,u  . Khi đó chiều cao của hình 1 2  
hộp chính là khoảng cách giữa d và d . Vậy ta có 1 2
   u ,u .M M   d d ,d  1 2 1 2  1 2   u ,u  1 2  
 Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm. B. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A2; 4
 ;3 và B2;2;7 . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là A. 1;3;2 . B. 2;6;4 . C. 2; 1  ;5 . D. 4; 2  ;10 .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (2;3; 1  ), N ( 1
 ;1;1) và P(1;m 1;2) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N. A. m  6 . B. m  0 . C. m  4 . D. m  2 .
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  x  y  z  2 2 2 :
2  16 . Bán kính của mặt cầu S  bằng A. 4 . B. 32 . C. 16 . D. 8 .
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  2 2 2
: x  y  z  2x  2z  7  0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7 . B. 9 . C. 3 . D. 15 .
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x  2y  3z 1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ?     A. n  1;2;1 . B. n  1; 2;3 . C. n  1;3;1 . D. n  2;3; 1  . 2   1   4   3  
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua  điểm M (1; 2; 3
 ) và có một vectơ pháp tuyến n  (1; 2  ;3) ?
A. x  2y  3z 12  0. B. x  2y  3z  6  0 .
C. x  2y  3z 12  0 . D. x  2y  3z  6  0.
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;3;0 và B 5;1;2 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. 2x  y  z  5  0 .
B. 2x  y  z  5  0 .
C. x  y  2z  3  0 .
D. 3x  2 y  z 14  0 .
Câu 8. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A2; 1
 ;2 và song song với mặt phẳng
P:2x  y 3z  2  0 có phương trình là
A. 2x  y  3z  9  0 .
B. 2x  y  3z 11  0 .
C. 2x  y 3z 11  0 . D. 2x  y  3z 11  0 .
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba
điểm M (2;3;3), N(2;1; 1), P(2;1;3) và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2x  3y  z  2  0 . A. 2 2 2
x  y  z  2x  2y  2z 10  0 . B. 2 2 2
x  y  z  4x  2y  6z  2  0 . C. 2 2 2
x  y  z  4x  2y  6z  2  0. D. 2 2 2
x  y  z  2x  2y  2z  2  0 .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A2;0;0 , B0; 1
 ;0 , C0;0;3 . Mặt phẳng  ABC có phương trình là x y z x y z x y z x y z A.   1. B.   1. C.    1. D.   1. 2  1 3 2 1 3  2 1 3 2 1  3 13
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 x  4 y  2 z  3
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  
. Vectơ nào dưới đây là một 3 1  2 
vectơ chỉ phương của d ?     A. u  4; 2  ;3 . B. u  4;2;3 . C. u  3; 1  ;2 . D. u  3;1;2 . 1   3   4   2  
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (
A 1;1;0) và B(0;1; 2) . Vectơ nào dưới đây là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?     A. b  ( 1  ;0;2) . B. c  (1;2;2) . C. d  ( 1  ;1;2) . D. a  ( 1  ;0; 2  ) .
Câu 13. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm (
A 8;1;2) trên trục Ox có tọa độ là A. (0;1;0) . B. (8;0;0) . C. (0;1;2) . D. (0;0;2) .
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2;3) . Gọi M , M lần lượt là hình chiếu vuông 1 2
góc của M trên các trục tọa Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng M M ? 1 2     A. u  (1; 2;0) . B. u  (1;0;0) . C. u  ( 1  ;2;0) D. u  (0;2;0) 2 3 4 1 x  3 y 1 z 1
Câu 15. Trong gian gian Oxyz, cho điểm M 3; 2
 ;2 và đường thẳng d :   . Mặt phẳng 1 2 2 
đi qua M và vuông góc với d có phương trình là
A. x  2y  2z  5  0 .
B. 3x  2y  2z 17  0 . C. 3x  2y  2z 17  0 . D. x  2y  2z  5  0 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;1;0, B1;0; 
1 ,C 3;1;0. Đường thẳng đi qua A và song
song với BC có phương trình là: x 1 y 1 z x 1 y 1 z x 1 y 1 z x 1 y 1 z A.   . B.   . C.   . D.   . 2 1 1 2 1 1 2 1 1  4 1 1
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A1;2;0 , B2;0;2 , C 2;1;3 và D1;1;3 . Đường
thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng  ABD có phương trình là x  2   4t x  2  4t x  2  4t x  4  2t     A. y  2   3t . B. y  1   3t . C. y  4   3t . D. y  3  t . z  2t     z  3  t  z  2  t  z  1 3t  x  3 y 1 z  7
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho điểm A1;2;3 và đường thẳng d :   . Đường thẳng 2 1 2 
đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình là x  1   2t x 1 t x  1   2t x 1 2t     A. y  2t . B. y  2  2t . C. y  2t . D. y  2  2t . z  3t     z  3  2t  z  t  z  3  3t 
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( A 1; 1  ;2), B( 1
 ;2;3) và đường thẳng x 1 y  2 z 1 d :   . Tìm điểm M ( ; a ; b c) thuộc d sao cho 2 2
MA  MB  28 biết c  0 . 1 1 2  1 7 2  1 7 2 A.   M ( 1  ;0; 3  ) . B. M (2;3;3) . C. M ; ;    . D. M  ;  ;    .  6 6 3   6 6 3 
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  x  2   y  2   z  2 : 1 1
1  9 và điểm A2;3;  1 . Xét
các điểm M thuộc S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S  . M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 6x  8y 11  0 . B. 3x  4y  2  0 . C. 3x  4y  2  0. D. 6x  8y 11  0 .
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho điểm A0;4; 3
  . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz
và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P  3  ;0; 3  . B. M 0; 3  ; 5   . C. N 0;3; 5  . D. Q0;5; 3   . 14
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  x  y  z  2 2 2 :
2  3 . Có tất cả bao nhiêu điểm Aa; ; b c ( a, ,
b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S  đi
qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12 . B. 8. C. 16 . D. 4 .
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I  2
 ;1;2 và đi qua điểm A1; 2  ;  1 . Xét các điểm ,
B C, D thuộc S  sao cho A ,
B AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD
có giá trị lớn nhất bằng A. 72 . B. 216 . C. 108 . D. 36. x  1 3t 
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  1 4t . Gọi  là đường thẳng qua A1;1;  1 và z 1 
có vectơ chỉ phương u  (1; 2; 2) . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là x  1 7t x  1 2t x  1 2t x  1 3t     A.  y  1 t . B.  y  10 11t . C.  y  10 11t . D.  y  1 4t . z 1 5t     z  6  5t  z  6  5t  z  1 5t 
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (
A 2;0;0), B(0; 2;0) và C(0;0; 2  ). Gọi D là
điểm khác 0 sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I ( ; a ;
b c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD. Tính S  a  b  c . A. S  4  . B. S  1  . C. S  2  . D. S  3  .
PHẦN 2. ĐỀ ÔN TẬP THAM KHẢO
ĐỀ 1 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2017-2018 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)
Câu 1. Giả sử hàm số f (x) xác định trên  và có một nguyên hàm là F(x) . Cho các mệnh đề sau :
 Nếu f (x)dx  F(x)  C  thì f (t)dx  F(t)  C  /   f (x)dx  f (x)    f (x)dx  f '(x)  C 
Trong số các mệnh đề trên , số mệnh đề sai là A.0. B. 1. C. 2. D. 3 .
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f  x 2 3  x   2 x là x 3 x 4 3 x 4 A. 3  3ln x  x  C . B. 3  3ln x  x . 3 3 3 3 3 x 4 3 x 4 C. 3  3lnx x  C . D. 3  3ln x  x  C . 3 3 3 3
Câu 3. Hàm số F  x  ln x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ( 0 ; +∞) ? 1 A.   1 f x  . B.   1 f x   .
C. f  x  x ln x  x  C . D. f  x   . x x 2 x
Câu 4. Giá trị tham số m để hàm số F x 3  mx   m   2 3
2 x  4x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x 2  3x 10x  4 là
A. Không có giá trị m . B. m  0 . C. m  1. D. m  2 .
Câu 5. Biết F  x là một nguyên hàm của f  x  2x  3ln x và F  
1  0 . Khi đó phương trình F  x 2 2
 x  6x  5  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 . B. 4 . C. 3. D. 2. 15
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 x
Câu 6. Cho F  x là một nguyên hàm của f  x 
thỏa F 0  0 . Tính F   . 2 cos x A. F    1 . B. F    1 . C. F    0 . D. F   1  . 2  π  a 29 Câu 7. Cho a  0;   . Tính J  x d  theo a .  2  2 cos x 0 1 A. J  tan a . B. J  29cot a . C. J  29 tan a . D. J  2  9tan a . 29 1 Câu 8. Tính 2  d  x I e x . 0 1 2 e 1 A. e  . B. e 1. C. 2 e 1. D. . 2 2 2 2 x  4x
Câu 9. Tính tích phân I  dx  . x 1 2  9 29 1  1 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. . 2 2 2 2  2 Câu 10. Tính 6 I  sin x cos d x x.  0 1 1 1 1 A. . B. I   . C. I   . D. I  . 7 7 6 6 e 2ln x Câu 11. Biết 1 dx  a  . b e 
, với a,b   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 x 1 A. a  b  3. B. a  b  6. C. a  b  3  D. a  b  6  . 5 5 4 1 4 Câu 12. Cho f (x) dx  5  , f (t) dt  2   và g(u)du   . Tính ( f (x)  g(x)) dx  bằng 3 1 4 1 1 8 10 22 20 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 5 dx
Câu 13. Tính tích phân: I  
được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là. x 3x 1 1 A. 1. B. 1. C. 3 . D. 2 .
Câu 14. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x ( liên tục trên a;b ) ,
trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a , x = b. Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây ? b b b b A. S = f (x)dx  . B. S = f (x)dx  . C. S = f (x) dx  . D. S = 2  f (x)dx  . a a a a
Câu 15. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  . Khi cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f x , y  0 , x   , x  e , quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V. Khi đó V được
xác định bằng công thức nào sau đây ?  e   A.V   f (x)dx  . B. 2 V   f (x)dx  . C.V  f (x) dx  . D. 2 V   f (x)dx  . e  e e
Câu 16. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số 3 2 y  2  x  x  x  5 và 2 y  x  x  5 bằng 1 A. S  0 . B. S  1 . C. S   . D. S  . 2 16
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 4
Câu 17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  , trục x
hoành, và các đường thẳng x  1 , x  4 quanh Ox . A. V  ln 256 . B. V  12 . C. 2 V  12 . D. V  6 .
Câu 18. Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v t 2  3t  6t ( m/s).
Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t  0 đến t  4 (s). 1 2 1536 A. 16m. B. m . C. 96m . D. 24m . 5
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn (2  i) 1 (  i)  z  4  i 2 . Tính mô đun của z A. z  2 2 . B. z  3 2 . C. z  3 . D. z  10 .
Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 − 2𝑖)𝑧 + 3(1 + 𝑖)𝑧̅ = 2 + 7𝑖. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z.
A. Phần thực của z là -3, phần ảo của z là 2 . B. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là -2.
C. Phần thực của z là -3, phần ảo của z là -2. D. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là 2.
Câu 21. Tìm số phức z sao cho |z – 4| = |z| và (𝑧 + 4) (𝑧̅ + 2𝑖) là số thực A. z  2  3i . B. z  2  3i . C. z  2  3i . D. z  2  3i .
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  i   z   1 1 i
A.  x  2   y  2 2 1  4 .
B.  x  2   y  2 2 1  4 .
C.  x  2   y  2 2 1  4 .
D.  x  2   y  2 2 1  4 .
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1 là
A.Một đường thẳng . B.Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng . D.Một hình vuông.
Câu 24. Tìm số phức z biết z  2 5 và phần thực gấp đôi phần ảo
A. z  4  2i; z  4  2i .
B. z  4  2i; z  4  2i . 1 2 1 2 C. z  2  4i; z  2   4i . D. z  4  2i; z  4   2i . 1 2 1 2
Câu 25. Cho x, y là các số thực. Hai số phức z  3  i và z  x  2 y  yi bằng nhau khi 1 A. x  5; y  1. B. x  1; y  1. C. x  3; y  0 . D. x  2; y  1.
Câu 26. Cho x, y là các số thực. Số phức z  1 xi  y  2i bằng 0 khi A. x  2; y  1. B. x  2  ; y  1  . C. x  2  ; y  1. D. x  2; y  1.
Câu 27. Có bao nhiêu số phức z thỏa 2 z  z  0 ? A.0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
z  1 i  z  3  2i
A. Đường thẳng. B. Elip. C. Đoạn thẳng . D. Đường tròn.
Cây 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình 2
z  4z 13  0 . Diện tích tam giác OAB bằng A.16. B. 8. C. 6. D. 2.
Câu 30. Phần thực và phần ảo của số phức z    i2018 1 bằng
A.Phần thực bằng 0, phần ảo bằng 1009 2 .
B. Phần thực bằng 0, phần ảo bằng 1009 2  . C. Phần thực bằng 1009 2 , phần ảo bằng 0. D. Phần thực bằng 1009 2  , phần ảo bằng 0. 17
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 x  3 y 1 z  2
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :   và điểm 4 3 1
M 0;0;2. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  .
A. 4x  3y  z  7  0 .
B. 4x  3y  z  2  0 .
C. 3x  y  2z 13  0 . D. 3x  y  2z  4  0 .
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P song song với hai đường thẳng x  2  t x  2 y 1 z   : 
 ,  : y  3 2t . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của P ? 1 2 3 4 2 z 1t      A. n   5  ;6; 7   . B. n   5  ; 6  ;7 . C. n  5; 6  ;7 . D. n   5  ;6;7 .
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 2;1;3 . Gọi M , M , M lần lượt là hình 1 2 3
chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M , M , M có 1 2 3 phương trình A. P : 3
 x 6 y 2z  0 . B. P : 6x 3y  2z  0. C.P : 3
 x  6y  2z  6 . D. P : 6x 3y  2z  6. x 1 y 1 z  3
Câu 34. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  
. Vectơ chỉ phương của đường 2 1 2 thẳng d là     A. u 2;1;2 . B. u 1; 1  ; 3   . C. u  2  ; 1  ; 2   . D.u 2  ;1; 2   .
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1;3;2, B 2;0;5, C 0;2;  1 .
Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC . x 1 y  3 z  2 x  2 y  4 z 1 A. AM :   . B. AM :   . 2 4  1 1 1  3 x 1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 C. AM :   . D. AM :   . 2  4 1  2 4  1
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d là đường thẳng đi qua A1; 2
 ;3 và vuông góc với
mặt phẳng P : 3x  4y  5z 1  0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d . x 1  y2 z3 x 1 y  2 z 3 x 1 y  2 z 3 x 1 y  2 z 3 A.   . B.   . C.   . D.   3  4 5  3 4 5 3 4  5  3 4  5 
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 1
 ;3 và hai đường thẳng x  4 y  2 z 1 x  2 y 1 z 1 d :   , d :  
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm , A 1 1 4 2  2 1 1  1
vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d . 1 2 x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 A. d :   . B. d :   . 2 1 3 2 2 3 x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 C. d :   . D. d :   . 4 1 4 2 1 1
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2  ;1;  1 và B 0;1;  1 . Viết phương trình
mặt cầu đường kính A . B
A.  x  2  y   z  2 2 1 1  2 .
B.  x  2  y   z  2 2 1 1  8 .
C.  x  2  y   z  2 2 1 1  2 .
D.  x  2  y   z  2 2 1 1  8 .
Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x  y  z  4x  2y  6z  2  0 . Mặt
cầu (S ) có tâm I và bán kính R là. 18
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 A. I ( 2  ;1;3), R  2 3 . B. I (2; 1  ; 3  ), R  12 .
C. I (2;1; 3), R  4 . D. I (2;1;3), R  4 .
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Mặt cầu S  có tâm I 1;2; 
1 và tiếp xúc với mặt phẳng
P: x  2y  2z  2  0 có phương trình
A.  x  2   y  2   z  2 1 2 1  3 .
B.  x  2   y  2   z  2 1 2 1  9 .
C.  x  2   y  2   z  2 1 2 1  3.
D.  x  2   y  2   z  2 1 2 1  9 .
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A2; 1  ;5, B5; 5
 ;7 và M  x; y;1. Với giá
trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng ? A. x  4; y  7 . B. x  4; y  7 . C. x  4; y  7 . D. x  4; y  7 .
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ; a 1; 6 , B 3  ; 1;   4 , C 5; 1; 0 và D1; 2; 
1 . Nếu bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng thì giá trị của a là. A. a  17 B. a  32 . C. a  1 . D. a  2 .  
Câu 43. Tìm giá trị m để góc giữa hai vectơ u  1;log 5;log 2 , v  3;log 3;4 là góc nhọn. 5  3 m  1 1 1 A. 0  m  . B. m  1
0  m  . C. m  , m  1. D. m  1. 2 hoặc 2 2 x  2  3t 
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y  3  t và z  4  2t  x  4 y 1 z d ' :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng  thuộc mặt phẳng chứa 3 1 2
d và d ' , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x  3 y  2 z  2 x  3 y  2 z  2 A.   . B.   . 3 1 2 3 1 2 x  3 y  2 z  2 x  3 y  2 z  2 C.   . D.   . 3 1 2 3 1 2  x 1 y  2 z  3
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :   và 1 1 2 1 x  1 kt  d : y  t
.Tìm giá trị của k để d cắt d . 2 1 2 z  1   2t  1 A. k  1. B. k  1  . C. k   . D. k  0 . 2
Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình
lần lượt là 2x  y  z  2017  0 và x  y  z  5  0. Tính số đo độ góc giữa đường thẳng d và trục O . z A. O 45 . B. O 0 . C. O 30 . D. O 60 .
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x  4y  2z  4  0 và hai điểm
A1;  2; 3, B1;1; 2. Gọi d , d lần lượt là khoảng cách từ điểm A P . Trong các 1 2
và B đến mặt phẳng  
khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. d  2d . B. d  3d . C. d  d . D. d  4d . 2 1 2 1 2 1 2 1 19
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x  y  z  2x  4y  6z  2  0 .
Viết phương trình mặt phẳng   chứa Oy cắt mặt cầuS theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8.
A.   : x  3z  0 .
B.   : 3x  z  2  0 . C.  : 3x  z  0.
D.   : 3x  z  0.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2x  2y  z  4  0 và đường x  2 y  2 z  2 thẳng d :   . Tam giác ABC A  , các điểm B , C  và trọng 1 2 1 có ( 1;2;1) nằm trên  
tâm G nằm trên đường thẳng d . Tọa độ trung điểm M của BC là. A. M (0;1; 2  ) . B. M (2;1;2) . C. M (1; 1  ; 4  ). D. M (2; 1  ; 2  ) .
Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  x  2 y  2 z  3
: x  y  z  3  0 đồng thời đi qua điểm M 1;2;0 và cắt đường thẳng d :   . Một 2 1 1
vectơ chỉ phương của  là     A. u  1;1; 2   . B. u  1;0;  1 . C. u  1;2;  1 . D. u  1;2;  1 .
ĐỀ 2 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2018-2019 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) 2 2 2
Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y   1 z 3  9 x 2 y 1 z 2 và đường thẳng  :  
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa  tiếp xúc với mặt cầu S? 1 2 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x  3y  4z 5  0 và điểm
A2;1; 3. Phương trình mặt phẳng Q đối xứng với mặt phẳng P qua điểm A là:
A. Q : x  3y  4z  23  0.
B. Q : x  3y  4z 23  0.
C. Q : x  3y  4z  31  0.
D. Q : x  3y  4z  31  0 .  
Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vec tơ a  2;1;3 và b  3;2;  1 . Góc giữa   các vec tơ a và b bằng A. 600. B. 1200. C. 300. D. 450. 2019 12 5 
Câu 4. Cho các số phức z  4  3i và w  z.  i 
. Hãy chọn khẳng định đúng 13 13  A. w là số thuần ảo. B. w  5. C. w  5 . D. w là số thực. 1
Câu 5. Hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f x   ? x2  x 2  1 x  A. F x 2 3  . B.   x F x   . x 1 x  1 1  2 C.   x F x   . D.   x F x  . x  1 x  1 20
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x và các đường thẳng y  0 ; x  0; x   bằng A. 1. B. 2. C.  . D. 2  .
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2
 ; 3. Phương trình mặt phẳng đi qua
điểm M cắt các trục toạ độ x' Ox; y' Oy; z' Oz lần lượt tại các điểm ;
A B;C sao cho M là trực tâm tam giác ABC là:
A. ABC : x  2y  3z 12  0.
B. ABC  : x 2y  3z 14  0 .
C. ABC : x  2y  3z 12  0 .
D. ABC  : x 2y  3z 14  0. x 1 y 2 z  3
Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng  :   và 1  2 3 4  x  4 y  3 z  5  :  
. Toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng đã cho là: 2  1 2 2 A. M 2;3;7. B. M 3;5;7. C. M 0; 1  ; 1. D. M 5;1;3. 2 3 3
Câu 9. Kết quả của phép tính tích phân I  dx  bằng 2 2 x x  3     A. . B. . C. . D. . 2 6 4 3
Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A1;1;3; B 2; 2
 ; 1 và C 1;2; 1.
Mặt phẳng ABC  có một vec tơ pháp tuyến là:     A. n  8;6;  1 . B. n  8;6;  1 . C. n  8;6;  1 . D. n  8;6;  1 .
Câu 11. Cho các số phức z  3  2i và z  6  5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z  2z  3z . 1 2 1 2 A. z  1  2 11i . B. z  1  112i . C. z  11 12i . D. z  12 11i . 1  1 1 
Câu 12. Kết quả phép tính tích phân I      dx  
được viết dưới dạng I  a lnb  lnc x 1 x  2 0
với a,b,c là các số dương. Tính giá trị biểu thức S  ab  6c . A. S  1. B. S  4 . C. S  6 . D. S  3 . 2
Câu 13. Khi tính tích phân 2 I  2x x 1dx  bằng cách đặt 2
u  x 1ta được tích phân nào bên dưới? 1 3 1 2 3 3 A. I  udu I  udu I  udu I  2 udu 2  . B.  . C.  . D.  . 0 1 0 0
Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : 2x y 2z 7  0và điểm
I 2;1; 1. Phương trình mặt cầu S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P là: A. S 2 2 2
: x  y  z  4x  2y 2z  2  0. B. S 2 2 2
: x  y  z  4x  2y 2z 2  0 . C. S 2 2 2
: x  y  z  4x 2y  2z 2  0. D. S 2 2 2
: x y  z  4x 2y  2z  2  0.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : 2x  3y  z  6  0 và mặt phẳng
(Q) : x  y  2z  4  0 . Phương trình giao tuyến  của hai mặt phẳng đã cho là 21
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 x 1 t x 1 2t x  6  5t x  6  5t     A.  : y 1 t . B.  : y 1 3t . C.  : y  2   3t . D.  : y  2   3t . z 1 2t     z 1 t  z  t   z  t 
Câu 16. Cho các số phức z ;z thoả z  2 ; z  7 ; z  z  5 . Tính z  z 1 2 1 2 1 2 1 2 A. z  z  17 . B. z  z  3 2 . C. z  z  19 . D. z  z  2 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho vec tơ       
MO  53i  j23j 2k3k 2i. Toạ độ điểm M là: A. M 14;1; 7  . B. M  1  4; 1  ;7. C. M 14;1;7. D. M 14;1;7.  
Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các vec tơ AB  3;2;  5 và AC  1;4; 1.
Độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC là: A. AM  3 2 . B. AM  6 2 . C. AM  6. D. AM  3. 5
Câu 19. Biết rằng f  
2  3; hàm số f 'xliên tục và f '
 xdx  1 thì giá trị của f  5 là: 2 A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A2;3;4. Mặt cầu tâm A tiếp xúc với trục
toạ độ x 'Ox có bán kính R bằng A. R  4 . B. R  5 . C. R  2. D. R  3 . z
Câu 21. Số phức z nào thoả phương trình z  ? z  i A. z  1  i . B. z  1  i . C. z  1  i . D. z  1 i .
Câu 22. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường x  3;y  2 ; trục hoành và trục tung. Thể tích
khối tròn xoay sinh bởi H  quay quanh trục hoành bằng A. V  12 . B. V  24 . C. V  36 . D. V  18 .
Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm M 2;2;  1 và trục hoành.
A. P : 2x y 2z  0
B. P : x y  z 1  0.
C. P : y  2z  4  0. D. P : y 2z  0. 1
Câu 24. Kết quả của phép tính tích phân  5x I dx  bằng 0 5 4 A. I  4 ln 5 . B. I  5 ln 5 . C. I  . D. I  . ln 5 ln 5
Câu 25. Cho hàm số y  f x thoả f 'x  2  3sinx và f 0  10. Hãy chọn khẳng định đúng
A. f x  2x  3cosx 11.
B. f x  2x  3cosx  7 .
C. f x  2x  3sinx  7 .
D. f x  2x  3sinx 11. 22
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 26. Cho hàm số liên tục y  f x có đồ thị hàm số y  f 'x
như hình bên cạnh. Biết rằng đồ thị hàm số y  f 'x cắt trục
hoành tại các điểm có hoành độ theo thứ tự là a,b,c. Hãy chọn khẳng định đúng
A. f c  f a  f b.
B. f a  f c  f b
C. f a  f b  f c.
D. f c  f b  f a 3 10 10 Câu 27. Biết f  xdx  6 và f
 xdx  10.Tính I  f  xdx 0 0 3 A. 6. B. -4. C. 16. D. 4. 2 1
Câu 28. Cho hàm số y  f x liên tục và f
 xdx  12. Tính I  f   x2dx 0 0 A. 24. B. 18. C. 12. D. 6.
Câu 29. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số   1 f x  và F   1  5. Tính F 4 x A. F 4  6. B. F 4  7 . C. F 4  8 . D. F 4  5.
Câu 30. Cho các số phức z  a b i và z  a b i . Số phức z  z .z là số thực thì 1 1 1 2 2 2 1 2 A. a b b a  0. B. a a b b  0 . C. a b b a  0 . D. a a b b  0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz phương trình của trục tung y 'Oy viết là: x   0     x   t  x   0  x   t  A. y   t     . B. y   0  . C. y   t  . D. y   t  . z   t     z   t  z   0  z   0 
Câu 32. Cho các số phức z  a  3bi và z  2b ai . Tìm a và b sao cho z  z  6 i 1 2 1 2 a   4  a   4 a   4 a   4  A.     b   1 . B.  . C.  . D.  .  b   1  b   1  b   1 
Câu 33. Gọi z ;z ;z là các nghiệm của phương trình 3
z 1  0. Tính giá trị của biểu thức 1 2 3 2019 2019 2019 P  z  z  z . 1 2 3 A. P  3i . B. P  3 . C. P  3 . D. P  3i .
Câu 34. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A6;3;4. Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt
phẳng toạ độ yOz có bán kính R bằng A. R  5 . B. R  3 . C. R  4 . D. R  6 .
Câu 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y  5z 14  0 và điểm M 1; 4
 ; 2. Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng P là: A. H 2;2;  2 . B. H 1;6; 1  2. C. H 4;0;2. D. H 2;3;3. 23
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 36. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng  có phương trình x 1 y 2 z  3  :  
. Đường thẳng  đi qua điểm M nào bên dưới? 2 3 4 A. M 5;4;7. B. M  5  ;7;1 2. C. M 5;4;7. D. M 5;11;15. 3 3 Câu 37. Biết f (x)dx  8 
. Khi đó kết quả của phép tính tích phân I  2 f (x)   3dx bằng 1 1 A. 9. B. 13. C. 16. D. 10. 1
Câu 38. Hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x  ? x 2  7 A. F x  ln x 2  7 C . B. F x 1 7  ln x  C . 2 2 C. F x  2ln x 2  7 C . D. F x 7  2ln x  C . 2 e 2 m e 1
Câu 39. Gọi m,n là các số nguyên thoả 2 x .ln xdx  
. Hãy chọn kết quả đúng n 1 A. m n  6. B. m  n  6 . C. n  m  6 . D. m n .  6. 1
Câu 40. Gọi F xlà một nguyên hàm của hàm số y  f x  . Biết rằng x  2018
F 2020  F 2015  ln6 . Tính S  F 2022 F 2016. A. S  ln72 . B. S  ln 24 . C. S  ln 36 . D. S  ln 48 . 2
Câu 41. Kết quả của phép tính tích phân 4 3  (  4 ) x I x x e dx  bằng 1 A. e(16e 1) . B. 2 16e 1. C. 2 e 16e . D. 2 16e  e .
Câu 42. Trong mặt phẳng phức gọi ,
A B,C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z  3 i 14 ; 1
z   7  i 10 và z   3 i 14 . Hãy chọn khẳng định đúng 2 3
A. Tam giác ABC là tam giác đều.
B. Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
C. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B .
D. Tam giác ABC là tam giác vuông tại C .
Câu 43. Cho các số thực x,y thoả x   iy  i2 3 5 2
 4 2i . Tính giá trị biểu thức S  2x y . A. S  1  . B. S  2  . C. S  2 . D. S  1.
Câu 44. Cho số phức z thoả z 1  i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  4iz
là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó. A. I  7  ; 1. B. I 7;  1 . C. I 7;  1 . D. I 7;  1 .
Câu 45. Cho các số phức z  2  3i và z  3  i . Tính môđun của số phức z  z  z 1 2 1 2 A. z  29 . B. z  21 . C. z  41 . D. z  23 .
Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình hộp ABC . D A'B 'C 'D '. Biết rằng   
AB  1;3;4; AD  2;3; 
5 và AC '  1;1; 1. Tính thể tích khối hộp ABC . D A'B 'C 'D '. 24
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 A. V  6. B. V  12. C. V  1. D. V  3 ABCD.A' B 'C 'D ' ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD.A'B 'C 'D ' Câu 47. Cho phương trình 2 2 2
x  y  z  2mx  2(m  2)y  2m  24  0 (*). Trong không gian với hệ trục toạ
độ Oxyz , (*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi m thoả: m  5  m  2  A. 2   m  5. B. .  C. .  D. 5   m  2. m  2 m  5
Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z 2x  4y  0 và
mặt phẳng P : 3x 2y  5z 2019  0. Các tiếp diện với mặt cầu S song song với mặt phẳng P
tiếp xúc với S tại hai điểm A và B . Phương trình đường thẳng AB là: x   4 3t   x   1  t  A. AB : y   42t   . B. AB : y   2  2t  . z   5 5t   z   0  x   3t   x   1   3t  C. AB : y   22t   . D. AB : y   2 2t  . z   5   z   5t 
Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 2; 3
 ; 1. Gọi N;P;Q lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M xuống các trục toạ độ x' Ox; y' Oy; z' Oz . Phương trình mặt phẳng NPQ là:
A. NPQ : 2x  3y  z 6  0.
B. NPQ : 3x 2y  6z 6  0.
C. NPQ : 3x 2y  6z  6  0.
D. NPQ : 2x  3y  z  6  0. 1 1
Câu 50. Gọi z ;z là các nghiệm phức của phương trình z  6z  21  0. Tính P   . 1 2 2 z z 1 2 7 2 2 7 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 2 7 7 2
ĐỀ 3 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2019-2020 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)
Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz phương trình của trục tung y 'Oy viết là: x   0     x   t  x   0  x   t  A. y   t     . B. y   t  . C. y   t  . D. y   0  . z   0     z   0  z   t  z   t 
Câu 2. Cho các số thực x,y thoả x   iy  i2 3 5 2
 4 2i . Tính giá trị biểu thức S  2x y . A. S  2 . B. S  1. C. S  1  . D. S  2  . 3 3 Câu 3. Biết f (x)dx  8 
. Khi đó kết quả của phép tính tích phân I  2 f (x)   3dx bằng 1 1 A. 9. B. 10. C. 13. D. 16.
Câu 4. Cho các số phức z ;z thoả z  2 ; z  7 ; z  z  5 . Tính z  z 1 2 1 2 1 2 1 2 A. z  z  17 . B. z  z  3 2 . C. z  z  19 . D. z  z  2 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 5. Cho phương trình 2 2 2
x  y  z  2mx  2(m  2) y  2m  24  0 (*). Trong không gian với hệ trục toạ
độ Oxyz , (*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi m thoả: 25
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 m  2  m  5  A. .  . B. 2   m  5.. C. .  . D. 5   m  2.. m  5 m  2
Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A2;3;4. Mặt cầu tâm A tiếp xúc với trục
toạ độ x 'Ox có bán kính R bằng A. R  4 . B. R  5 . C. R  2. D. R  3 .
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 2; 3
 ; 1. Gọi N;P;Q lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M xuống các trục toạ độ x' Ox; y' Oy; z' Oz . Phương trình mặt phẳng NPQ là:
A. NPQ : 2x  3y  z  6  0 .
B. NPQ : 2x  3y  z 6  0.
C. NPQ : 3x 2y  6z 6  0.
D. NPQ : 3x 2y  6z  6  0.
Câu 8. Cho số phức z thoả z 1  i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  4iz
là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó. A. I 7;  1 . B. I  7  ; 1. C. I 7;  1 . D. I 7;  1 .
Câu 9. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường x  3;y  2 ; trục hoành và trục tung. Thể tích khối
tròn xoay sinh bởi H  quay quanh trục hoành bằng A. V  18 . B. V  12 . C. V  24 . D. V  36 .
Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A1;1;  3 ; B 2; 2
 ; 1 và C 1;2; 1
. Mặt phẳng ABC  có một vec tơ pháp tuyến là:     A. n  8;6;  1 . B. n  8;6;  1 . C. n  8;6;  1 . D. n  8;6;  1 .
Câu 11. Cho các số phức z  2  3i và z  3  i . Tính môđun của số phức z  z  z 1 2 1 2 A. z  23 . B. z  21 . C. z  41 . D. z  29 .
Câu 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm M 2;2;  1 và trục hoành.
A. P : 2x y 2z  0
B. P : x y z 1  0.
C. P : y  2z  4  0. D. P : y 2z  0.
Câu 13. Trong mặt phẳng phức gọi , A ,
B C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z  3 i 14 ; 1
z   7  i 10 và z   3 i 14 . Hãy chọn khẳng định đúng 2 3
A. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B .
B. Tam giác ABC là tam giác vuông tại C .
C. Tam giác ABC là tam giác đều.
D. Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. 3 10 10 Câu 14. Biết f  xdx  6 và f
 xdx  10.Tính I  f  xdx 0 0 3 A. 16. B. 6. C. 4. D. -4.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : 2x  3y  z  6  0 và mặt phẳng
(Q) : x  y  2z  4  0 . Phương trình giao tuyến  của hai mặt phẳng đã cho là x 1 t x 1 2t x  6  5t x  6  5t     A.  : y 1 t . B.  : y 1 3t . C.  : y  2   3t . D.  : y  2   3t . z 1 2t     z 1 t  z  t   z  t  26
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 2 1
Câu 16. Cho hàm số y  f x liên tục và f
 xdx  12. Tính I  f   x2dx 0 0 A. 24. B. 18. C. 12. D. 6.  
Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các vec tơ AB  3;2;  5 và AC  1;4; 1.
Độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC là: A. AM  6 . B. AM  3 . C. AM  3 2 . D. AM  6 2 .
Câu 18. Cho hàm số liên tục y  f x có đồ thị hàm số
y  f 'x như hình bên cạnh. Biết rằng đồ thị hàm số
y  f 'x cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ theo thứ
tự là a,b,c. Hãy chọn khẳng định đúng
A. f c  f a  f b.
B. f a  f c  f b.
C. f a  f b  f c.
D. f c  f b  f a. 2 2 2
Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y   1 z 3  9 x 2 y 1 z 2 và đường thẳng  :  
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa  tiếp xúc với mặt cầu S 1 2 3 ? A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1. e 2 m e 1
Câu 20. Gọi m,n là các số nguyên thoả 2 x .ln xdx  
. Hãy chọn kết quả đúng n 1 A. m  n  6 . B. m n  6. C. n  m  6. D. m n .  6.
Câu 21. Cho các số phức z  a b i và z  a b i . Số phức z  z .z là số thực thì 1 1 1 2 2 2 1 2 A. a b b a  0. B. a a b b  0 . C. a b b a  0 . D. a a b b  0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Câu 22. Hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f x   ? x2  x 2  1  2 x  A.   x F x  . B. F x 2 3  . x  1 x 1 1 C.   x F x   . D.   x F x   . x  1 x  1
Câu 23. Gọi z ;z ;z là các nghiệm của phương trình 3
z 1  0. Tính giá trị của biểu thức 1 2 3 2019 2019 2019 P  z  z  z . 1 2 3 A. P  3 . B. P  3i . C. P  3i . D. P  3 . 5
Câu 24. Biết rằng f  
2  3; hàm số f 'xliên tục và f '
 xdx  1 thì giá trị của f  5 là: 2 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. 27
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 2019 12 5 
Câu 25. Cho các số phức z  4  3i và w  z.  i 
. Hãy chọn khẳng định đúng 13 13  A. w là số thực. B. w là số thuần ảo. C. w  5. D. w  5 . 1
Câu 26. Gọi F xlà một nguyên hàm của hàm số y  f x  . Biết rằng x  2018
F 2020  F 2015  ln6 . Tính S  F 2022 F 2016. A. S  ln 36 . B. S  ln72 . C. S  ln 48 . D. S  ln 24 .
Câu 27. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình hộp ABC . D A'B 'C 'D '. Biết rằng   
AB  1;3;4; AD  2;3; 
5 và AC '  1;1; 1. Tính thể tích khối hộp ABC . D A'B 'C 'D '. A. V  6. B. V  12. ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD.A'B 'C 'D ' C. V  1. D. V  3 . ABCD.A' B 'C ' D ' ABCD.A'B 'C 'D ' z
Câu 28. Số phức z nào thoả phương trình z  ? z  i A. z  1  i . B. z  1  i . C. z  1 i . D. z  1 i . 1
Câu 29. Hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x  ? x 2  7 A. F x 1 7  ln x  C . B. F x  2ln x 2  7 C . 2 2 C. F x 7  2ln x  C . D. F x  ln x 2  7 C . 2
Câu 30. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x  3y  4z 5  0 và điểm
A2;1; 3. Phương trình mặt phẳng Q đối xứng với mặt phẳng P qua điểm A là:
A. Q : x  3y  4z  23  0.
B. Q : x  3y  4z 23  0.
C. Q : x  3y  4z  31  0.
D. Q : x  3y  4z  31  0 .
Câu 31. Cho các số phức z  a  3bi và z  2b ai . Tìm a và b sao cho z  z  6 i 1 2 1 2 a   4  a   4 a   4 a   4  A.     b   1 . B.  . C.  . D.  .  b   1  b   1  b   1 
Câu 32. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z 2x  4y  0 và
mặt phẳng P : 3x 2y  5z 2019  0. Các tiếp diện với mặt cầu S song song với mặt phẳng P
tiếp xúc với S tại hai điểm A và B . Phương trình đường thẳng AB là: x   1   3t     x   4  3t  x   1  t  x   3  t  A. AB : y   22t     . B. AB : y   4  2t  . C. AB : y   2  2t  .D. AB : y   2  2t  . z   5t     z   5  5t  z   0  z   5  1
Câu 33. Kết quả của phép tính tích phân  5x I dx  bằng 0 28
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 4 5 A. I  . B. I  4 ln 5 . C. I  5 ln 5. D. I  . ln5 ln 5
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x và các đường thẳng y  0 ; x  0; x   bằng A. 2  . B. 1. C. 2. D.  . 2
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân 4 3  (  4 ) x I x x e dx  bằng 1 A. 2 16e  e . B. 2 16e 1. C. 2 e 16e . D. e(16e 1) .
Câu 36. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : 2x y 2z 7  0và điểm
I 2;1; 1. Phương trình mặt cầu S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P là: A. S 2 2 2
: x  y  z  4x  2y 2z  2  0. B. S 2 2 2
: x  y  z  4x  2y 2z 2  0 . C. S 2 2 2
: x  y  z  4x 2y  2z 2  0. D. S 2 2 2
: x y  z  4x 2y  2z  2  0.
Câu 37. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y  5z 14  0 và điểm M 1; 4
 ; 2. Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng P là: A. H 4;0;2. B. H 2;2;  2 . C. H 2;3;3. D. H 1;6;1  2 .
Câu 38. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A6;3;4. Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt
phẳng toạ độ yOz có bán kính R bằng A. R  5 . B. R  6 . C. R  3 . D. R  4 .
Câu 39. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng  có phương trình x 1 y 2 z  3  :  
. Đường thẳng  đi qua điểm M nào bên dưới? 2 3 4 A. M 5;4; 7  . B. M 5;4;7. C. M 5;11;15. D. M  5  ;7;1 2. 2 3 3
Câu 40. Kết quả của phép tính tích phân I  dx  bằng 2 2 x x  3     A. . B. . C. . D. . 2 4 3 6 x 1 y 2 z  3
Câu 41. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng  :   1  2 3 4 x  4 y  3 z  5 và  :  
. Toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng đã cho là: 2  1 2 2 A. M 3;5;7. B. M 0; 1  ; 1. C. M 5;1;3. D. M 2;3;7.
Câu 42. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2
 ; 3. Phương trình mặt phẳng đi qua
điểm M cắt các trục toạ độ x' Ox; y' Oy; z' Oz lần lượt tại các điểm ;
A B;C sao cho M là trực tâm tam giác ABC là:
A. ABC : x  2y  3z 12  0.
B. ABC  : x 2y  3z 14  0.
C. ABC : x 2y  3z 14  0 .
D. ABC  : x  2y  3z 12  0 . 29
ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021 1  1 1 
Câu 43. Kết quả phép tính tích phân I      dx  
được viết dưới dạng I  a lnb  lnc x 1 x  2 0
với a,b,c là các số dương. Tính giá trị biểu thức S  ab  6c . A. S  4 . B. S  6. C. S  3 . D. S  1.
Câu 44. Cho các số phức z  3  2i và z  6  5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z  2z  3z . 1 2 1 2 A. z  12 11i . B. z  1  2 11i . C. z  1  112i . D. z  11 12i . Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho vec tơ       
MO  53i  j23j 2k3k 2i. Toạ độ điểm M là: A. M 14;1; 7  . B. M  1  4; 1  ;7. C. M 14; 1  ;7. D. M 14; 1  ; 7  . 1 1
Câu 46. Gọi z ;z là các nghiệm phức của phương trình z  6z  21  0. Tính P   . 1 2 2 z z 1 2 2 7 7 2 A. P  . B. P  . C. P   . D. P   . 7 2 2 7  
Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vec tơ a  2;1;3 và b  3;2;  1 . Góc giữa   các vec tơ a và b bằng A. 1200. B. 300. C. 450. D. 600.
Câu 48. Cho hàm số y  f x thoả f 'x  2  3sinx và f 0  10. Hãy chọn khẳng định đúng
A. f x  2x  3cosx  7 .
B. f x  2x  3sinx  7 .
C. f x  2x  3sinx 11.
D. f x  2x  3cosx 11.
Câu 49. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số   1 f x  và F   1  5. Tính F 4 x A. F 4  8 . B. F 4  5. C. F 4  6. D. F 4  7 . 2
Câu 50. Khi tính tích phân 2 I  2x x 1dx  bằng cách đặt 2
u  x 1ta được tích phân nào bên dưới? 1 3 1 2 3 3 A. I  udu I  udu I  udu I  2 udu 2  . B.  . C.  . D.  . 0 1 0 0 ====== Hết ====== 30