Đề cương học kỳ 2 Toán 12 năm 2023 – 2024 trường THPT Yên Hòa – Hà Nội

Đề cương học kỳ 2 Toán 12 năm 2023 – 2024 trường THPT Yên Hòa – Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Đề HK2 Toán 12 491 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
56 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Đề cương học kỳ 2 Toán 12 năm 2023 – 2024 trường THPT Yên Hòa – Hà Nội

Đề cương học kỳ 2 Toán 12 năm 2023 – 2024 trường THPT Yên Hòa – Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

57 29 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Đề HK2 Toán 12 491 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

56 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
TRƯỜNG THPT YÊN HÒA
BỘ MÔN: TOÁN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN - KHỐI 12
PHẦN
TT KIẾN THỨC CÁC DẠNG TOÁN Trang
GIẢI
TÍCH
1
NGUYÊN HÀM
Câu hỏi lý thuyết nguyên hàm 2
Nguyên hàm của hàm số đa thức 2
Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ 3
Nguyên hàm của hàm số chứa căn thức 5
Nguyên hàm của hàm số lượng giác 6
Nguyên hàm của hàm số mũ và logarit 8
Nguyên hàm tổng hợp 10
Các bài toán nguyên hàm có điều kiện 12
Nguyên hàm của hàm ẩn 14
2
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu hỏi lý thuyết tích phân 16
Tích phân hàm đa thức 17
Tích phân hàm số hữu tỉ 17
Tích phân hàm chứa căn thức 18
Tích phân hàm lượng giác 19
Tích phân của hàm số mũ và logarit 20
Tích phân tổng hợp 21
Tích phân dùng tính chất 22
Ứng dụng tích phân tính diện tích thể tích
25
Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tế 29
3
SỐ PHỨC
Câu hỏi lý thuyết về số phức 32
Các phép toán số phức 32
Phương trình trong tập số phức 34
Bài toán có module, số phức liên hợp 35
Điểm biểu diễn của số phức 36
Vận dụng hình học để giải toán số phức 38
HÌNH
HỌC
4
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
Hệ trục tọa độ trong không gian 40
Phương trình mặt phẳng 42
Phương trình mặt cầu 45
Phương trình đường thẳng 48
Tọa độ hóa bài toán hình học không gian. 55
2
PHẦN I. GIẢI TÍCH
A. NGUYÊN HÀM.
Vấn đề 1. Các câu hỏi lý thuyết.
Câu 1. Giả sử hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
trên
K
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một hằng số
C
sao cho hàm số
( )
y F x C
là một nguyên hàm của hàm
f
trên
.
K
B. Với mỗi nguyên hàm
G
của
f
trên
K
, tồn tại một hằng số
C
sao cho
( ) ( )
G x F x C
với
x K
.
C. Có duy nhất hàm số
( )
y F x
là nguyên hàm của
f
trên
.
K
D. Với mỗi nguyên hàm
G
của
f
trên
K
thì
( ) ( )
G x F x C
với mọi
x K
và
C
bất kỳ.
Câu 2. Cho hàm số
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
. Mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( ) .
f x dx F x C
B.
( ) ( ).
f x dx f x
C.
( ) ( ).
f x dx f x
D.
( ) ( )
f x dx F x
Câu 3. Cho hai hàm số
( ), ( )
f x g x
là hàm số liên tục có
( ), ( )
F x G x
lần lượt là nguyên hàm của
( ), ( ).
f x g x
Xét các mệnh đề sau:
(I).
( ) ( )
F x G x
là một nguyên hàm của
( ) ( ).
f x g x
(II).
. ( )
k F x
là một nguyên hàm của
( )
với k
.
(III).
( ). ( )
F x G x
là một nguyên hàm của
( ). ( ).
f x g x
Các mệnh đúng là
A. (I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).
Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
.
B. Nếu
( )
F x
và
( )
G x
đều là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thì
( ) ( )
F x G x C
là hằng số.
C.
( )
F x x
là một nguyên hàm của
( ) 2 .
f x x
D.
2
( )
F x x
là một nguyên hàm của
( ) 2 .
f x x
Câu 5. Trong các khẳng định sau khẳng định nào SAI?
A.
0d
x C
(
C
là hằng số). B.
1
1
d
1
x x x C
(
C
là hằng số).
C.
1
d ln
x x C
x
(
C
là hằng số). D.
d
x x C
(
C
là hằng số).
Vấn đề 2. Nguyên hàm của hàm số đa thức.
Câu 6. Nếu
3 2
d 4
f x x x x C
thì hàm số
f x
bằng
A.
3
4
3
x
f x x Cx
. B.
2
12 2
f x x x C
. C.
2
12 2
f x x x
. D.
3
4
3
x
f x x
.
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số
3 2
f x x x
là
A.
4 3
1 1
4 3
x x C
B.
2
3 2
x x C
C.
3 2
x x C
D.
4 3
x x C
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số
( )
f x
3 2
1
2 2019
3
x x x
là
3
A.
2
4 3
1 2
12 3 2
x
x x C
. B.
2
4 3
1 2
2019
9 3 2
x
x x x C
.
C.
2
4 3
1 2
2019
12 3 2
x
x x x C
. D.
2
4 3
1 2
2019
9 3 2
x
x x x C
.
Câu 9. Tìm nguyên
F x
của hàm số
1 2 3 ?
f x x x x
A.
4
3 2
11
6 6
4 2
x
F x x x x C
. B.
4 3 2
6 11 6
F x x x x x C
.
C.
4
3 2
11
2 6
4 2
x
F x x x x C
. D.
3 2 2
6 11 6
F x x x x x C
.
Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số
5
2 3
f x x
là
A.
6
2 3
12
x
F x C
. B.
6
2 3
6
x
F x C
.
C.
4
10 2 3
F x x C
. D.
4
5 2 3
F x x C
.
Câu 11. Tìm nguyên hàm
15
2
7 dx
x x
?
A.
16
2
1
7
2
x C
B.
16
2
1
7
32
x C
C.
16
2
1
7
16
x C
D.
16
2
1
7
32
x C
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số
2021
3 2
1f x x x
là
A.
2023 2022
2 2
1 1
1
2 2023 2022
x x
. B.
2023 2022
2 2
1 1
2021 2020
x x
.
C.
2023 2022
2 2
1 1
2023 2022
x x
C
. D.
2023 2022
2 2
1 1
1
2 2023 2022
x x
C
.
Câu 13. Biết rằng hàm số
3 2
3 4 3
F x mx m n x x
là một nguyên hàm của hàm số
2
3 10 4
f x x x
. Tính m.n.
A.
. 1
m n
. B.
. 2
m n
. C.
. 0
m n
. D.
. 3
m n
.
Vấn đề 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
5 2
f x
x
.
A.
d 1
ln 5 2
5 2 5
x
x C
x
B.
d
ln 5 2
5 2
x
x C
x
C.
d 1
ln 5 2
5 2 2
x
x C
x
D.
d
5 ln 5 2
5 2
x
x C
x
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
1 2
f x
x
trên
1
;
2
.
A.
ln 2 1
x C
. B.
1
ln 1 2
2
x C
. C.
1
ln 2 1
2
x C
. D.
1
ln 2 1
2
x C
.
4
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
2
f x x
x
.
A.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. B.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
C.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. D.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
Câu 17. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 2
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
A.
2
3ln 2
2
x C
x
B.
2
3ln 2
2
x C
x
C.
4
3ln 2
2
x C
x
D.
4
3ln 2
2
x C
x
.
Câu 18. Cho biết
2 13
ln 1 ln 2
1 2
x
dx a x b x C
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 8
a b
. B.
8
a b
. C.
2 8
a b
. D.
8
a b
.
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số
2
1
2
f x
x x
trên khoảng
2;
là
A.
ln 2 ln
2
x x
C
. B.
ln ln 2
2
x x
C
.
C.
ln 2 ln
2
x x
C
. D.
ln 2 ln
x x C
.
Câu 20. Cho biết
3
1
ln 1 1 ln
dx a x x b x C
x x
. Tính giá trị biểu thức: 2
P a b
.
A. 0. B. -1. C.
1
2
. D. 1.
Câu 21. Đổi biến
1
t x
thì
4
d
( 1)
x
x
x
trở thành
A.
4
1
d .
t
t
t
B.
4
( 1)
d .
t
t
t
C.
4
1
d .
t
t
t
D.
1
d .
t
t
t
Câu 22. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số
9 5
1
3x
f x
x
A.
4
4 4
1 1
x ln
3x 36 3
x
f x d C
x
B.
4
4 4
1 1
x ln
12x 36 3
x
f x d C
x
C.
4
4 4
1 1
x ln
3x 36 3
x
f x d C
x
D.
4
4 4
1 1
x ln
12x 36 3
x
f x d C
x
Câu 23. Biết
2022
2024
1
1 1
. , 1
1
1
b
x
x
dx C x
a x
x
với
,a b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
a b
. B.
2
b a
. C.
2018
a b
. D.
2018
b a
.
Câu 24. Cho
3 2
1
1
I dx
x x
2
2
ln 2 ln 1
a
b x c x C
x
. Khi đó
S a b c
bằng
A.
1
4
. B.
3
4
. C.
7
4
. D.
2
.
5
Vấn đề 4. Nguyên hàm của hàm số chứa căn thức.
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số
2 1.
f x x
A.
2
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
B.
1
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
C.
1
2 1 .
3
f x dx x C
D.
1
2 1 .
2
f x dx x C
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số
3
3 1
f x x
là
A.
3
d 3 1 3 1
f x x x x C
. B.
3
d 3 1
f x x x C
.
C.
3
1
d 3 1
3
f x x x C
. D.
3
1
d 3 1 3 1
4
f x x x x C
.
Câu 27. Nguyên hàm của hàm số
1
2 2 1
f x
x
là
A.
1
d 2 1
2
f x x x C
. B.
d 2 1
f x x x C
.
C.
d 2 2 1
f x x x C
. D.
1
d
2 1 2 1
f x x C
x x
.
Câu 28. Biết
2
2 2
dx
a x b x C
x x x x
với a, b là các số nguyên dương và C là hằng số
thực. Giá trị của biểu thức
P a b
là:
A.
2
P
B.
8
P
C.
46
P
D.
22
P
Câu 29. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;
. Khi đó
'f x
dx
x
bằng
A.
1
2
f x C
B.
f x C
C.
2
f x C
D.
2
f x C
Câu 30. Khi tính nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
, bằng cách đặt
1
u x
ta được nguyên hàm nào?
A.
2
2 4 d
u u
. B.
2
4 d
u u
. C.
2
3 d
u u
. D.
2
2 4 d
u u u
.
Câu 31. Nguyên hàm
3 2
. 1
P x x dx
là
A.
32 2
3
1 1
8
P x x C
B.
2 2
3
1 1
8
P x x C
C.
3 2
3
1
8
P x C
D.
32 2
3
1 1
4
P x x C
Câu 32. Nguyên hàm
1
1
R dx
x x
là
A.
1 1 1
ln
2
1 1
x
R C
x
B.
1 1 1
ln
2
1 1
x
R C
x
C.
1 1
ln
1 1
x
R C
x
D.
1 1
ln
1 1
x
R C
x
6
Câu 33. Nguyên hàm
3 2
9
S x x dx
là
A.
2
2 2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
B.
4
2 2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
C.
2 2
2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
D.
2
2 2
2
9 9
3 9
5
x x
S x C
Câu 34. Nguyên hàm
3
2
1
1
I dx
x
là
A.
2
2
3
1
x C
B.
2
1
x
C
x
C.
3
2
1
x
C
x
D.
2
1 x
C
x
Câu 35. Cho
3
2
1
x
I dx
x
. Bằng phép đổi biến
2
1
u x
, khẳng định nào sau đây sai?
A.
2 2
1
x u
B.
xdx udu
C.
2
1 .
I u udu
D.
3
3
u
I u C
Câu 36. Nguyên hàm
2 2
9
dx
I
x x
là
A.
2
9
9
x
I C
x
B.
2
9
9
x
I C
x
C.
2
2
9
9
x
I C
x
D.
2
2
9
9
x
I C
x
Câu 37. Nguyên hàm
3
2
1
x
I dx
x
là
A.
2 2
1
2 1
3
I x x C
B.
2 2
1
2 1
3
I x x C
C.
2 2
1
2 1
3
I x x C
D.
2 2
1
2 1
3
I x x C
Vấn đề 5. Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số
2sin
f x x
.
A.
2sin 2 cos
xdx x C
B.
2sin 2cos
xdx x C
C.
2
2sin sin
xdx x C
D.
2sin sin 2
xdx x C
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số
cos 3
6
y x
là
A.
1
sin 3
3 6
f x dx x C
B.
1
sin 3
3 6
f x dx x C
C.
1
sin 3
6 6
f x dx x C
D.
sin 3
6
f x dx x C
Câu 40. Phát biểu nào sau đây đúng?
A.
cos 2
sin 2 ,
2
x
xdx C C
B.
sin 2 cos 2 ,xdx x C C
C.
sin 2 2cos 2 ,xdx x C C
D.
cos 2
sin 2 ,
2
x
xdx C C
7
Câu 41. Biết
d 3 cos 2 5
f x x x x C
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
3 d 3 cos 6 5
f x x x x C
B.
3 d 9 cos 6 5
f x x x x C
C.
3 d 9 cos 2 5
f x x x x C
D.
3 d 3 cos 2 5
f x x x x C
Câu 42. Biết
2
sin 2 cos 2 cos4
a
x x dx x x C
b
, với a, b là các số nguyên dương,
a
b
là phân số tối
giản và
C . Giá trị của
a b
bằng
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 43. Nguyên hàm
F x
của hàm số
cos3 cos
f x x x
, biết đồ thị
y F x
đi qua gốc tọa độ là
A.
sin 4 sin 2
4 2
x x
F x
B.
sin 4 sin 2
8 4
x x
F x
C.
cos 4 cos 2
8 4
x x
F x D.
sin8 sin 4
8 4
x x
F x
Câu 44. Biết
5
2 2
cos
cos sin sin4
m
nx
x x xdx C
p
, với
, ,m n p
và C là hằng số thực. Giá trị của
biểu thức
T m n p
là
A.
9
T
B.
14
T
C.
16
T
D.
18
T
Câu 45. Nguyên hàm
2sin
1 3cos
x
M dx
x
là
A.
1
ln 1 3 cos
3
M x C
B.
2
ln 1 3cos
3
M x C
C.
2
ln 1 3cos
3
M x C
D.
1
ln 1 3cos
3
M x C
Câu 46. Nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3sin . cos
f x x x
là
A.
3
sin
x C
. B.
3
sin
x C
. C.
3
cos
x C
. D.
3
cos
x C
.
Câu 47. Tìm nguyên hàm của hàm số
sin
( )
1 3 cos
x
f x
x
.
A.
1
( ) d ln 1 3cos
3
f x x x C
. B.
( )d ln 1 3cos
f x x x C
.
C.
( ) d 3ln 1 3cos
f x x x C
. D.
1
( ) d ln 1 3 cos
3
f x x x C
.
Câu 48. Tìm các hàm số
( )
f x
biết
'
2
cos
( )
(2 sin )
x
f x
x
.
A.
2
sin
( )
(2 sin )
x
f x C
x
. B.
1
( )
(2 cos )
f x C
x
.
C.
1
( )
2 sin
f x C
x
. D.
sin
( )
2 sin
x
f x C
x
.
Câu 49. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
5
tan
f x x
.
A.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
8
B.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
C.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
D.
4 2
1 1
d tan tan ln cos
4 2
f x x x x x C
.
Câu 50. Cho nguyên hàm
4 4
sin 2
cos sin
x
I dx
x x
. Nếu
cos2
u x
đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
1
1
I du
u
B.
2
1
2 1
I du
u
C.
2
1 1
2 1
I du
u
D.
2
2
1
I du
u
Câu 51. Cho
3
sin cos 1
cos2
sin cos 2 sin cos 2
m
n
x x
x
dx C
x x x x
, với
,m n
và C là hằng số thực. Giá trị
của biểu thức
A m n
là
A.
5
A
B.
2
A
C.
3
A
D.
4
A
Vấn đề 6. Nguyên hàm của hàm số chứa hàm số mũ, hàm số logarit.
Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số
7
x
f x
.
A.
7
7 d
ln7
x
x
x C
B.
1
7 d 7
x x
x C
C.
1
7
7 d
1
x
x
x C
x
D.
7 d 7 ln 7
x x
x C
Câu 53. Cho hàm số
( ) 2 .
x
f x e x
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
( ) .
x
f x dx e x C
B.
( ) .
x
f x dx e C
C.
2
( ) .
x
f x dx e x C
D.
2
( ) 2 .
x
f x dx e x C
Câu 54. Nguyên hàm của hàm số
2 1
e
x
y
là
A.
2 1
2e
x
C
. B.
2 1
e
x
C
. C.
2 1
1
e
2
x
C
. D.
1
e
2
x
C
.
Câu 55. Tính
2
( )
F x e dx
, trong đó e
là hằng số và
2, 718
e
.
A.
2 2
( )
2
e x
F x C
. B.
3
( )
3
e
F x C
. C.
2
( )
F x e x C
. D.
( ) 2
F x ex C
.
Câu 56. Hàm số
2
x
F x e
là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
A.
2
( ) 2
x
f x xe
. B.
2
2
( ) 1
x
f x x e
. C.
2
( )
x
f x e
. D.
2
( )
2
x
e
f x
x
.
Câu 57. Nguyên hàm của hàm số
2 2 5
x x
f x
là
A.
2
5
ln 2
x
x C
. B.
5.2 ln 2
x
x C
.
C.
2 2
5
ln 2 ln 2
x x
x x C
. D.
2
1 5
ln 2
x
C
.
Câu 58. Cho
F x
là một nguyên hàm của
1
2 3
x
f x
e
thỏa mãn
0 10
F
. Hàm số
F x
là
9
A.
1 ln 5
ln 2 3 10
3 3
x
x e
B.
1
10 ln 2 3
3
x
x e
C.
1 3
ln 2 ln5 ln2
3 2
x
x e
D.
1 ln 5 ln 2
ln 2 3 10
3 3
x
x e
Câu 59. Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và:
2
2e 1,
x
f x
, 0 2
x f
. Hàm
f x
là
A.
2e 2
x
y x
. B.
2e 2
x
y
. C.
2
e 2
x
y x
. D.
2
e 1
x
y x
.
Câu 60. Nguyên hàm của hàm số
ln
x
f x
x
là
A.
2
ln
2
x
C
B.
2
1 ln x
C
x
C.
ln
2
x
C
D.
2
ln
x C
Câu 61. Nguyên hàm
1
ln 1
T dx
x x
là
A.
1
2 ln 1
T C
x
B.
2 ln 1
T x C
C.
2
ln 1 ln 1
3
T x x C
D.
ln 1
T x C
Câu 62. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
2 1
.e
x
f x x
.
A.
3
3
1
d .e
3
x
x
f x x C
. B.
3
1
d 3e
x
f x x C
.
C.
3
1
d e
x
f x x C
. D.
3
1
1
d e
3
x
f x x C
.
Câu 63.
Nguyên hàm của
2
sin
sin 2 .
x
f x x e
là
A.
2
2 sin 1
sin .
x
xe C
. B.
2
sin 1
2
sin 1
x
e
C
x
. C.
2
sin x
e C
. D.
2
sin 1
2
sin 1
x
e
C
x
.
Câu 64. Nguyên hàm của hàm số
2
ln 1
f x x x
là
A.
2 2
ln 1 1
F x x x x x C
. B.
2 2
ln 1 1
F x x x x x C
.
C.
2
ln 1
F x x x x C
. D.
2 2
ln 1
F x x x x C
.
Câu 65. Xét nguyên hàm
2
ln
1 ln 1
x
V dx
x x
. Đặt
1 1 ln
u x
, khẳng định nào sau đây sai?
A.
2 2
dx
u du
x
B.
2
2
2
. 2 2
u u
V u du
u
C.
5 4 3 2
2 5 16
4
5 2 3
V u u u u C
D.
5 4
3 2
16
4
5 2 3
u u
V u u C
Câu 66. Cho hàm số
3
2 2 2
2 2
x x
f x x e xe
, ta có
3
2 2 2
d
x x x
f x x me nxe pe C
. Giá trị của biểu
thức
m n p
bằng
A.
1
3
B.
2
C.
13
6
D.
7
6
10
Câu 67. Biết
2
2 d sin ln
f x x x x
. Tìm nguyên hàm
d
f x x
.
A.
2
d sin ln
2
x
f x x x C
. B.
2
d 2 sin 2 ln
2
x
f x x x C
.
C.
2
d 2sin 2 ln ln 2
f x x x x C
. D.
2
d 2sin 2 2ln ln 2
f x x x x C
.
Vấn đề 7. Nguyên hàm tổng hợp.
Câu 68. Họ nguyên hàm của hàm số
x
f x e x
là
A.
1
x
e C
B.
2
x
e x C
C.
2
1
2
x
e x C
D.
2
1 1
1 2
x
e x C
x
Câu 69. Tính
sin 2 d
x x x
.
A.
2
sin
2
x
x C
. B.
2
cos2
2
x
x C
. C.
2
cos 2
2
x
x C
. D.
2
cos2
2 2
x x
C
.
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
1
3
x
y x
x
.
A.
3
2
3 1
,
3 ln 3
x
x
C C
x
. B.
3
2
1
3 ,
3
x
x
C C
x
.
C.
3
3
ln ,
3 ln3
x
x
x C C
. D.
3
3
ln ,
3 ln3
x
x
x C C
.
Câu 71. Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 sin
f x x x
là
A.
3
cos
x x C
. B. 6 cos
x x C
. C.
3
cos
x x C
. D. 6 cos
x x C
.
Câu 72. Công thức nào sau đây là sai?
A.
1
ln d
x x C
x
. B.
2
1
d tan
cos
x x C
x
.
C.
sin d cos
x x x C
. D.
e d e
x x
x C
.
Câu 73. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1
cos 2 sin 2
2
d
x x x C
. B.
e
e
1
1
d
e
x
x x C
.
C.
1
lnd
x x C
x
. D.
1
e
1
e
d
x
x
x C
x
.
Câu 74. Họ nguyên hàm của hàm số
1
sin
f x x
x
là
A.
ln cos
x x C
. B.
2
1
cos
x C
x
. C. ln cos
x x C
. D. ln cos
x x C
.
Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số
5
2023
2022
x
x
e
f x e
x
.
A.
4
2023
d 2022
x
f x x e C
x
. B.
4
2023
d 2022
x
f x x e C
x
.
C.
4
2023
d 2022
4
x
f x x e C
x
. D.
4
2023
d 2022
4
x
f x x e C
x
.
11
Câu 76. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
y e
x
là
A. 2 tan
x
e x C
B. 2 tan
x
e x C
C.
1
2
cos
x
e C
x
D.
1
2
cos
x
e C
x
Câu 77. Hàm số
2
ln sin cos
F x x x x
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
2
.
sin cos
x
f x
x x
B.
2
cos sin
2 ln sin cos
sin cos
x x x
f x x x x
x x
.
C.
2
sin cos
sin cos
x x x
f x
x x
. D.
2
2 ln sin cos
sin cos
x
f x x x x
x x
.
Câu 78. Cho hàm số
ln2
2 .
x
f x
x
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
f x
?
A.
2
x
F x C
B.
2 2 1
x
F x C
C.
2 2 1
x
F x C
D.
1
2
x
F x C
Câu 79. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
2 1
x
f x x e
A.
3
2 1
d 3
x
f x x x e C
. B.
3
1
d 3
x
f x x e C
.
C.
3
1
1
d
3
x
f x x e C
. D.
3
3
1
d
3
x
x
f x x e C
.
Câu 80. Biết
cos 2 d sin 2 cos 2
x x x ax x b x C
với
a
,
b
là các số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab . B.
1
4
ab . C.
1
8
ab . D.
1
4
ab .
Câu 81. Họ nguyên hàm của hàm số
4 1 ln
f x x x
là
A.
2 2
2 ln 3
x x x
. B.
2 2
2 ln
x x x
. C.
2 2
2 ln 3
x x x C
. D.
2 2
2 ln
x x x C
.
Câu 82. Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) .
x
f x x e
là
A.
2
1 1
( )
2 2
x
F x e x C
B.
2
1
( ) 2
2
x
F x e x C
C.
2
( ) 2 2
x
F x e x C
D.
2
1
( ) 2
2
x
F x e x C
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số
( ) 2 (1 )
x
f x x e
là
A.
2
2 1
x
x e x
. B.
2
2 1
x
x e x
. C.
2
2 2
x
x e x
. D.
2
2 2
x
x e x
.
Câu 84. Họ nguyên hàm của
ln
f x x x
là kết quả nào sau đây?
A.
2 2
1 1
ln
2 2
F x x x x C
. B.
2 2
1 1
ln
2 4
F x x x x C
.
C.
2 2
1 1
ln
2 4
F x x x x C
. D.
2
1 1
ln
2 4
F x x x x C
.
Câu 85. Tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
là
A.
cot ln sin
x x x C
. B. cot ln sin
x x x C
.
C.
cot ln sin
x x x C
. D.
cot ln sin
x x x C
.
12
Câu 86. Họ nguyên hàm của hàm số
2
ln2
1
x
x
x
x
y
là
A.
2
2
1 ln
2
x
x x x C
x
. B.
2
2
1 ln
2
x
x x x C
x
.
C.
2
2
1 ln
2
x
x x x C
x
. D.
2
2
1 ln
2
x
x x x C
x
.
Câu 87. Biết
cos3
1
sin3 2023
x a x
F x x
b c
là một nguyên hàm của hàm số
2 sin3
f x x x
(với
a
,
b
,
c ). Giá trị của
ab c
bằng
A.
14
. B.
15
. C.
10
. D.
18
.
Câu 88. Cho hàm số
3
2 2 2
2 2
x x
f x x e xe
, ta có
3
2 2 2
d
x x x
f x x me nxe pe C
. Giá trị của biểu
thức
m n p
bằng
A.
1
3
B.
2
C.
13
6
D.
7
6
Câu 89. Cho hàm số
( )
F x
là một nguyên hàm của
2 2
( ) 2025 4 3 2 .
x
f x x x x
Khi đó số điểm cực
trị của hàm số là
A.
5.
B.
4.
C.
3.
D.
2.
Câu 90. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
3
4
x
f x e x x
. Hàm số
2
F x x
có bao nhiêu
điểm cực trị?
( )
F x
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
4
.
Vấn đề 8. Các bài toán nguyên hàm có điều kiện.
Câu 91. Nếu
1
2 1
F x
x
và
1 1
F
thì giá trị của
4
F
bằng
A.
ln7.
B.
1
1 ln 7.
2
C.
ln3.
D.
1 ln7.
Câu 92. Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1
R
thỏa mãn
1
1
f x
x
,
0 2022
f
,
2 2023
f
.
Tính
3 1
S f f
.
A.
ln 4035
S
. B.
4
S
. C.
ln 2
S
. D.
1
S
.
Câu 93. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
3
b
f x ax
x
,
1 3
f
,
1 2
f
,
1 1
2 12
f
. Khi đó 2
a b
bằng
A.
3
2
. B.
0
. C.
5
. D.
3
2
.
Câu 94. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x e
và
0 0
F
. Giá trị của
ln3
F
bằng
A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.
Câu 95. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
x
f x xe
và
0 2
f
.Tính
1
f
.
A.
1 3
f
. B.
1
f e
. C.
1 5
f e
. D.
1 8 2
f e
.
13
Câu 96. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
e
x
f x x
. Tính
F x
biết
0 1
F
.
A.
1 e 2
x
F x x
. B.
1 e 1
x
F x x
.
C.
1 e 2
x
F x x
. D.
1 e 1
x
F x x
.
Câu 97. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x
, thỏa mãn
1
0
ln 2
F
. Tính giá trị biểu thức
0 1 ... 2022 2023
T F F F F
.
A.
2023
2 1
1009.
ln2
T
. B.
2022.2023
2
T
. C.
2022
2 1
ln2
T
. D.
2024
2 1
ln2
T
.
Câu 98. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm
cos3
f x x
và
2
2 3
F
. Tính
9
F
.
A.
3 2
9 6
F
B.
3 2
9 6
F
C.
3 6
9 6
F
D.
3 6
9 6
F
Câu 99. Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
sin cos
f x x x
thoả mãn
2
2
F
.
A.
cos sin 3
F x x x
B.
cos sin 1
F x x x
C.
cos sin 1
F x x x
D.
cos sin 3
F x x x
Câu 100. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
cos
f x
x
. Biết
4
F k k
với mọi
.
k
Tính
0 ... 10
F F F F
.
A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.
Câu 101. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
3
sin .cos
f x x x
và
0F
. Tính
2
F
.
A.
2
F
. B.
2
F
. C.
1
2 4
F
. D.
1
2 4
F
.
Câu 102. Gọi
F x
là nguyên hàm của hàm số
2 3
sin 2 .cos 2
f x x x
thỏa
0
4
F
. Giá trị
2023
F
là
A.
1
2022
15
F
B.
2022 0
F
C.
2
2022
15
F
D.
1
2022
15
F
Câu 103. Biết
F x
là một nguyên hàm
sin 2 cos
1 sin
x x
f x
x
và
0 2
F
. Giá trị của
2
F
là
A.
2 2 8
3
B.
2 2 8
3
C.
4 2 8
3
D.
4 2 8
3
Câu 104. Cho
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x
trên khoảng
0;
thỏa mãn
1
1
2
F
. Giá trị của biểu thức
1 2 3 2023
S F F F F 
bằng
14
A.
2022
2023
. B.
2021.2023
2022
. C.
1
2022
2023
. D.
2022
2023
.
Câu 105. Giả sử
F x
là một nguyên hàm của
2
ln 3
x
f x
x
sao cho
2 1 0
F F
. Giá trị của
1 2
F F
bằng
A.
10 5
ln 2 ln 5
3 6
. B.
0
. C.
7
ln 2
3
. D.
2 3
ln 2 ln 5
3 6
.
Câu 106. Gọi
g x
là một nguyên hàm của hàm số
ln 1
f x x
. Cho biết
2 1
g
và
3 ln
g a b
trong đó
,
a b
là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của
2 2
3
T a b
A.
8
T
. B.
17
T
. C.
2
T
. D.
13
T
.
Vấn đề 9. Nguyên hàm của hàm ẩn
Câu 107. Hàm số
F x
nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
.
f x g x
, biết
1 3
F
,
1
d
f x x x C
và
2
2
d
g x x x C
.
A.
2
1
F x x
B.
2
3
F x x
C.
2
2
F x x
D.
2
4
F x x
Câu 108. Cho
3
0
d 4 2
f x x x x C
. Tính
2
d
xf x
I x
.
A.
6 2
2
I x x C
. B.
10 6
10 6
x x
I C
. C.
6 2
4 2
I x x C
. D.
2
12 2
I x
Câu 109. Hàm số
y
f x
liên tục thỏa mãn
0, 0; 0; , 2 4
f x f x x f
và
2
2
1
f x x f x
. Khi đó giá trị
1
f
bằng
A.
9
16
. B.
1
16
. C.
0
. D.
3
4
.
Câu 110. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
4 2
' .
f x f x x x
. Biết
0 2
f
. Tính
2
2
f
.
A.
2
313
2
15
f
. B.
2
332
2
15
f
. C.
2
324
2
15
f
. D.
2
323
2
15
f
.
Câu 111. Cho hai hàm số
,
F x G x
xác định và có đạo hàm lần lượt là
,
f x g x
trên
. Biết rằng
2 2
. ln 1
F x G x x x
và
3
2
2
. .
1
x
F x g x
x
Họ nguyên hàm của
.
f x G x
là
A.
2 2 2
1 ln 1 2 .
x x x C
B.
2 2 2
1 ln 1 2 .
x x x C
C.
2 2 2
1 ln 1 .
x x x C
D.
2 2 2
1 ln 1 .
x x x C
Câu 112. Cho hàm số
f
liên tục và có đạo hàm trên
,
1 , 0 0
f x x f
và thoả mãn
2
1 2 1
f x x x f x
. Tính
3
f
.
A. 9. B. 7. C. 3. D. 0.
Câu 113. Cho hàm số
( )
f x
xác định trên đoạn
1;2
thỏa mãn
(0) 1
f
và
2 2
( ). ( ) 1 2 3
f x f x x x
.
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
( )
f x
trên
1;2
là
15
A.
3
3
1;2
1;2
min ( ) 2 ;max ( ) 43
f x f x . B.
3
3
1;2
1;2
min ( ) 2 ;max ( ) 40
f x f x
C.
3
3
1;2
1;2
min ( ) 2 ;max ( ) 43
f x f x . D.
3
3
1;2
1;2
min ( ) 2 ;max ( ) 40
f x f x .
Câu 114. Cho hàm số
f x
liên tục trên
,
0
f x
với mọi
x
và thỏa mãn
1
1
2
f
,
2
2 1x ff
x
x
.Biết
1 2 ... 2022 1
a
f f f
b
với
, , , 1
a b a b
.Khẳng định nào sau
đây sai?
A.
2022
b a
. B.
2019
ab
. C.
2 2022
a b
. D.
2020
b
.
Câu 115. Cho hàm số
f x
liên tục trên
R
thỏa mãn các điều kiện:
0 2 2,
f
0,
f x
x
và
2
. 2 1 1 ,
f x f x x f x
x
. Khi đó giá trị
1
f
bằng
A.
26
. B.
24
. C.
15
. D.
23
.
Câu 116. Cho
y f x
liên tục trên
0;
thỏa mãn
2
2 ' 3
xf x f x x x
;
1
1
2
f
. Tính
4
f
?
A.
24
. B.
14
. C.
4
. D.
16
.
Câu 117. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
3
' . '' 2
f x f x f x x x
,
x
và
0 ' 0 1
f f
.
Tính giá trị của
2
2
T f
.
A.
43
30
. B.
16
15
. C.
43
15
. D.
2 6
1 5
.
16
B. TÍCH PHÂN.
Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 1. Cho
f x
là hàm số liên tục trên
;a b
(với a b ) và
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
;a b
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 3 d 2 3
b
b
a
a
f x x F x
.
B.
. d
b
a
k f x x k F b F a
.
C.
d
a
b
f x x F b F a
.
D. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
,x a x b
, đồ thị hàm số
y f x
và
trục hoành được tính theo công thức
S F b F a
.
Câu 2. Hàm số
y f x
liên tục trên
2; 9
.
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
2; 9
và
2 5; 9 4F F
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
9
2
1f x dx
. B.
9
2
1f x dx
. C.
9
2
20f x dx
. D.
9
2
1f x dx
.
Câu 3. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
4
2
d 2.f x x
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
3
3
1 d 2f x x
. B.
2
1
2 d 1f x x
. C.
2
1
2 d 2f x x
. D.
6
0
1
2 d 1
2
f x x
.
Câu 4. Cho hai hàm số
,y f x y g x
, số thực k
là các hàm số khả tích trên
;a b
và
;c a b
Khi đó biểu thức nào sau đây là biểu thức sai.
A.
.g d d . d
b b b
a a a
f x x x f x x g x x
. B.
. dx dx
b b
a a
k f x k f x
.
C.
0, ;f x x a b
thì
d 0
b
a
f x x
. D.
d d
b c b
a a c
f x x f x f x x
.
Câu 5. Cho hàm số
( )y f x
có đồ thị hàm số
'( )y f x
trên đoạn
2;3
cho bởi hình vẽ bên. Giá trị
của biểu thức
(3) ( 2)H f f
là
A. 15.H B. 10.H C. 16.H D. 8.H
17
Vấn đề 2. Tích phân hàm đa thức
Câu 6. Tính tích phân
0
1
2 1
I x dx
.
A.
0
I
. B.
1
I
. C.
2
I
. D.
1
2
I
.
Câu 7. Tích phân
1
0
3 1 3 d
x x x
bằng
A.
12
. B.
9
. C.
5
. D.
6
.
Câu 8. Với
,
a b
là các tham số thực. Giá trị tích phân
2
0
3 2 1 d
b
x ax x
bằng
A.
3 2
b b a b
. B.
3 2
b b a b
. C.
3 2
b ba b
. D.
2
3 2 1
b ab
.
Câu 9. Biết rằng hàm số
f x mx n
thỏa mãn
1
0
d 3
f x x
,
2
0
d 8
f x x
. Khẳng định nào dưới đây
là đúng ?
A.
4
m n
. B.
4
m n
. C.
2
m n
. D.
2
m n
.
Câu 10. Cho
2
0
3 2 1 d 6
m
x x x
. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây ?
A.
1;2
. B.
;0
. C.
0;4
. D.
3;1
.
Câu 11. Cho n
là số nguyên dương khác 0, hãy tính tích phân
1
2
0
1 d
n
I x x x
theo n.
A.
1
2 2
I
n
. B.
1
2
I
n
. C.
1
2 1
I
n
. D.
1
2 1
I
n
.
Vấn đề 3. Tích phân hàm số hữu tỉ.
Câu 12.
2
1
2 3
dx
x
bằng
A.
1
ln 35
2
B.
7
ln
5
C.
1 7
ln
2 5
D.
7
2ln
5
Câu 13. Biết
3
1
2
ln ,
x
dx a b c
x
với
, , , 9.
a b c c
Tính tổng
.
S a b c
A.
7
S
. B.
5
S
. C.
8
S
. D.
6
S
.
Câu 14. Tính tích phân
2
1
1 1
e
I dx
x x
A.
1
I
e
B.
1
1
I
e
C.
1
I
D.
I e
Câu 15. Biết
2
1
d
ln 2 ln 3 ln 5
1 2 1
x
a b c
x x
. Khi đó giá trị
a b c
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 16. Biết
0
2
1
3 5 1 2
ln , ,
2 3
x x
I dx a b a b
x
. Khi đó giá trị của
4
a b
bằng
A.
50
B.
60
C.
59
D.
40
18
Câu 17. Biết
1
2
2
0
2 3 3
ln
2 1
x x
dx a b
x x
với
,
a b
là các số nguyên dương. Tính
2 2
P a b
.
A.
13
. B.
5
. C.
4
. D.
10
.
Câu 18. Cho tích phân
1
7
5
2
0
d
1
x
I x
x
, giả sử đặt
2
1
t x
. Tìm mệnh đề đúng.
A.
3
2
5
1
1
1
d
2
t
I t
t
. B.
3
3
5
1
1
d
t
I t
t
. C.
3
2
4
1
1
1
d
2
t
I t
t
. D.
3
4
4
1
1
3
d
2
t
I t
t
.
Câu 19. Có bao nhiêu số thực
a
để
1
2
0
1
x
dx
a x
.
A.
2
B.
1
C.
0
D.
3
Vấn đề 4. Tích phân hàm vô tỉ.
Câu 20. Tính tích phân
2
2
1
2 1
I x x dx
bằng cách đặt
2
1
u x
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
0
I udu
B.
2
1
1
2
I udu
C.
3
0
2
I udu
D.
2
1
I udu
Câu 21. Cho
21
5
ln 3 ln 5 ln 7
4
dx
a b c
x x
, với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
a b c
B.
2
a b c
C.
a b c
D.
a b c
Câu 22. Tích phân
1
0
d
3 1
x
x
bằng
A.
4
3
. B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 23. Biết
2
1
( 1) 1
dx
dx a b c
x x x x
với
, ,
a b c
là các số nguyên dương. Tính
P a b c
A.
18
P
B.
46
P
C.
24
P
D.
12
P
Câu 24. Cho tích phân
2 2
2
0
16 d
I x x
và
4sin
x t
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
4
0
8 1 cos 2 d
I t t
. B.
4
2
0
16 sin d
I t t
. C.
4
0
8 1 cos 2 d
I t t
. D.
4
2
0
16 cos d
I t t
.
Câu 25. Biết
5
1
1
ln 3 ln5
1 3 1
dx a b c
x
( , , )
a b c Q
. Giá trị của
a b c
bằng
A.
7
3
. B.
5
3
. C.
8
3
. D.
4
3
.
Câu 26. Tính
3
2
0
d
1
a
x x
I x
x
.
A.
2 2
1 1 1
I a a
. B.
2 2
1
1 1 1
3
I a a
.
19
C.
2 2
1
1 1 1
3
I a a
. D.
2 2
1 1 1
I a a
.
Câu 27. Giá trị của tích phân
1
2
0
d
1
x
x
x
bằng tích phân nào dưới đây?
A.
4
2
0
2 sin dy
y
. B.
1
2
2
0
sin
d
cos
x
x
x
. C.
2
4
0
sin
dy
cosy
y
. D.
2
2
0
2 sin dy
y
.
Câu 28. Cho tích phân
1
2
0
d
4
x
I
x
nếu đổi biến số
2sin , ;
2 2
x t t
thì ta được.
A.
3
0
d
I t
. B.
6
0
d
I t
. C.
4
0
d
I t t
. D.
6
0
d
t
I
t
.
Câu 29. Biết
1
3
2
0
15
1
x a b c
dx
x x
với a,b,c
là các số nguyên và
0
b
. Tính
2
P a b c
.
A.
3
P
. B.
7
P
. C.
7
P
. D.
5
P
.
Câu 30. Biết
2
2
1
d 2 35
3 9 1
x
x a b c
x x
, a, b, c là các số hữu tỷ, tính
2 7
P a b c
A.
1
9
. B.
8 6
2 7
. C.
2
. D.
6 7
2 7
.
Vấn đề 5. Tích phân hàm lượng giác.
Câu 31. Cho hàm số
f x
. Biết
0 4
f
và
2
' 2sin 1, f x x x
, khi đó
4
0
d
f x x
bằng
A.
2
16 4
.
16
B.
2
4
.
16
C.
2
15
.
16
D.
2
16 16
.
16
Câu 32. Cho hàm số
( )
f x
.Biết
(0) 4
f
và
2
( ) 2cos 3,f x x x
, khi đó
4
0
( )
f x dx
bằng?
A.
2
8 8
8
. B.
2
8 2
8
. C.
2
6 8
8
. D.
2
2
8
.
Câu 33. Giá trị của
2
0
sin
xdx
bằng
A. 0. B. 1. C. -1. D.
2
.
Câu 34. Biết
2
0
3sin cos 11
ln 2 ln 3 ,
2 sin 3 cos 3
x x
dx b c b c Q
x x
. Tính
b
c
?
A.
2 2
3
. B.
22
3
. C.
22
3
. D.
22
13
.
20
Câu 35. Tính tích phân
3
0
cos .sin d
I x x x
.
A.
1
4
I
B.
4
1
4
I
C.
4
I
D.
0
I
Câu 36. Cho tích phân
2
0
2 cos .sin d
I x x x
. Nếu đặt
2 cos
t x
thì kết quả nào sau đây đúng?
A.
2
3
d
I t t
. B.
3
2
d
I t t
. C.
2
3
2 d
I t t
. D.
2
0
d
I t t
.
Câu 37. Tính tích phân
2
4
4
0
sin
d
cos
x
I x
x
bằng cách đặt
tan
u x
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
4
2
0
d
I u u
. B.
2
2
0
1
d
I u
u
. C.
1
2
0
d
I u u
. D.
1
2
0
d
I u u
.
Câu 38. Có bao nhiêu số
0;20
a
sao cho
5
0
2
sin sin 2 d
7
a
x x x
.
A. 10.
B.
9.
C.
20.
D.
19.
Câu 39. Biết
6
0
d 3
1 sin
x a b
x c
, với
, ,a b c
và
, ,
a b c
là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của
tổng
a b c
bằng
A.
5
. B.
12
. C.
7
. D.
1
.
Câu 40. Cho tích phân số
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
x a b
x
với
,a b
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 0.
a b
B.
2 0.
a b
C.
2 0.
a b
. D.
2 0.
a b
.
Câu 41. Cho
2
2
0
sin 4
d ln
cos 5cos 6
x
x a b
c
x x
, với
a
,
b
là các số hữu tỉ,
0
c
. Tính tổng m.
A.
3
S
. B.
0
S
. C.
1
S
. D.
4
S
.
Vấn đề 6. Tích phân hàm mũ và logarit.
Câu 42. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
ln
x
f x
x
. Tính:
1
I F e F
?
A.
1
2
I
B.
1
I
e
C.
1
I
D.
I e
Câu 43.
1
3 1
0
d
x
e x
bằng
A.
4
1
3
e e
B.
3
e e
C.
4
1
3
e e
D.
4
e e
Câu 44. Cho
2
3 1
1
d
x p q
e x m e e
với
m
,
p
,
q
và là các phân số tối giản. Giá trị
m p q
bằng
A.
10
. B.
6
. C.
2 2
3
. D.
8
.
21
Câu 45. Biết tích phân
ln6
0
e
d ln 2 ln 3
1 e 3
x
x
x a b c
, với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
T a b c
A.
1
T
. B.
0
T
. C.
2
T
. D.
1
T
.
Câu 46. Biết
1
ln
2
1 ln
e
x
dx a b
x x
với
,
a b
là các số hữu tỷ. Tính
S a b
.
A.
1
S
. B.
1
2
S
. C.
3
4
S
. D.
2
3
S
.
Câu 47. Cho tích phân
e
1
3ln 1
d
x
I x
x
. Nếu đặt
ln
t x
thì
A.
1
0
3 1
d
e
t
t
I t
. B.
e
1
3 1
d
t
I t
t
. C.
e
1
3 1 d
I t t
. D.
1
0
3 1 d
I t t
.
Câu 48. Cho
2
1
ln
ln 3 ln 2
3
ln 2
e
x c
I dx a b
x x
, với
, ,a b c
. Khẳng định nào sau đâu đúng.
A.
2 2 2
1
a b c
. B.
2 2 2
11
a b c
. C.
2 2 2
9
a b c
. D.
2 2 2
3
a b c
.
Câu 49. Biết
ln 2
0
d 1
ln ln ln
4
e 3e
x x
x
I a b c
c
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương.
Tính 2
P a b c
.
A.
3
P
. B.
1
P
. C.
4
P
. D.
3
P
Vấn đề 7. Tích phân tổng hợp.
Câu 50. Biết rằng
2
1
2
0
d
2
x b c
a
xe x e e
với
, ,a b c
. Giá trị của
a b c
bằng
A.
4
. B.
7
. C.
5
. D.
6
.
Câu 51. Biết
2
1
1
ln
ln
e
x
dx ae b
x x x
với
,
a b
là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
2 2
.
T a ab b
A. 3. B. 1. C. 0. D. 8.
Câu 52. Biết
2
1
1
2
1
p
x
q
x
x e dx me n
, trong đó
, , ,
m n p q
là các số nguyên dương và
p
q
là phân số tối
giản. Tính
T m n p q
.
A.
11
T
. B.
10
T
. C.
7
T
. D.
8
T
.
Câu 53. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
đồng thời thỏa mãn
0 1 5
f f
. Tính tích phân
1
0
d
f x
I f x e x
.
A.
10
I
B.
5
I
C.
0
I
D.
5
I
Câu 54. Biết
4
2
0
ln 9 d ln5 ln 3
I x x x a b c
trong đó
, ,
a b c
là các số thực. Giá trị của biểu thức
T a b c
là:
A.
11.
T
B.
9.
T
C.
10.
T
D.
8.
T
22
Câu 55. Cho
3 2
3
1
e
3 1 ln 3 1
d . .ln 1
1 l
e e
n
x x x
x a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số nguyên và ln
e
1
. Tính
2 2 2
P a b c
.
A.
9
P
. B.
14
P
. C.
10
P
. D.
3
P
.
Vấn đề 8. Tích phân dùng tính chất.
Câu 56. Biết
2
1
d 2
f x x
và
2
1
d 6
g x x
, khi đó
2
1
d
f x g x x
bằng
A.
8
. B.
4
. C.
4
. D.
8
.
Câu 57. Biết tích phân
1
0
3
f x dx
và
1
0
4
g x dx
. Khi đó
1
0
f x g x dx
bằng
A.
7
. B.
7
. C.
1
. D.
1
.
Câu 58. Cho.
2
2
d 1
f x x
,
4
2
d 4
f t t
. Tính
4
2
d
f y y
.
A.
5
I
. B.
3
I
. C.
3
I
. D.
5
I
.
Câu 59. Cho
2
0
3
f x dx
và
2
0
7
xg dx
, khi đó
2
0
3
f x g x dx
bằng
A.
16
. B.
18
. C.
24
. D.
10
.
Câu 60. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thoả mãn
8
1
d 9
f x x
,
12
4
d 3
f x x
,
8
4
d 5
f x x
. Tính
12
1
d
I f x x
.
A.
17
I
. B.
1
I
. C.
11
I
. D.
7
I
.
Câu 61. Cho
f
,
g
là hai hàm liên tục trên đoạn
1;3
thoả mãn
3
1
3 d 10
f x g x x
,
3
1
2 d 6
f x g x x
. Tính
3
1
d
f x g x x
.
A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.
Câu 62. Cho
2
0
d 5
f x x
. Tính
2
0
2 sin d 5
I f x x x
.
A.
7
I
B.
5
2
I
C.
3
I
D. 5I
Câu 63. Cho
2
1
d 2
f x x
và
2
1
d 1
g x x
. Tính
2
1
2 3 d
I x f x g x x
.
A.
17
2
I
B.
5
2
I
C.
7
2
I
D.
11
2
I
Câu 64. Số điểm cực trị của hàm số
2
2
2
2 d
1
x
x
t t
f x
t
là
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
Câu 65. Cho
y f x
là hàm số chẵn, liên tục trên
6;6
. Biết rằng
2
1
d 8
f x x
;
3
1
2 d 3
f x x
.
Giá trị của
6
1
d
I f x x
là
23
A.
5
I
. B.
2
I
. C.
14
I
. D.
11
I
.
Câu 66. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
2
0
d 2018
f x x
, tính
2
0
d .
I xf x x
A.
1008
I
. B.
2019
I
. C.
2017
I
. D.
1009
I
.
Câu 67. Cho
2
1
d 2
f x x
. Khi đó
4
1
d
f x
x
x
bằng
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Câu 68. Cho
2
2
1
1 d 2
f x x x
. Khi đó
5
2
d
I f x x
bằng
A.2 B. 1 C. 4 D. -1
Câu 69. Cho
f x
liên tục trên R thỏa mãn
10
f x f x
và
7
3
d 4
f x x
. Tính
7
3
d
I xf x x
A. 80. B. 60. C. 40. D. 20.
Câu 70. Cho
1
0
d 9
f x x
. Tính
6
0
sin 3 cos 3 d
I f x x x
.
A.
5
I
. B.
9
I
. C.
3
I
. D.
2
I
.
Câu 71. Cho hàm số
2 2
3 ; 1
5 ; 1
x x x
y f x
x x
. Tính
1
2
0 0
2 sin cos 3
d d
3 2
I f x x x f x x
.
A.
71
6
I
. B.
31
I
. C.
32
I
. D.
32
3
I
.
Câu 72. Cho
2
1
d 2
I f x x
. Giá trị của
2
0
sin 3cos 1
d
3cos 1
xf x
x
x
bằng
A. 2 B.
4
3
. C.
4
3
. D. -2
Câu 73. Biết
4
1
5
f x dx
và
5
4
20
f x dx
. Tính
2 ln 2
2 2
1 0
4 3
x x
f x dx f e e dx
.
A.
15
4
I
. B.
15
I
. C.
5
2
I
. D.
25
I
.
Câu 74. Cho
( )
f x
là hàm số liên tục trên
thỏa mãn
2
( ) (2 ) . ,
x
f x f x x e x
. Tính tích phân
2
0
( )
I f x dx
.
A.
4
1
4
e
I
. B.
2 1
2
e
I
. C.
4
2
I e
. D.
4
1
I e
.
Câu 75. Cho
4
2
0
tan d
10.
cos
f x x
x
Tính
1
0
d ?
f x x
A.
6
. B.
3
. C.
5
. D.
10
.
24
Câu 76. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
4
0
tan d 3
f x x
và
2
1
2
0
d 1.
1
x f x
x
x
Tính
1
0
d .
I f x x
s
A.
2
I
. B.
6
I
. C.
3
I
. D.
4
I
.
Câu 77. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
16
2
2
1
4
cot . sin d d 1
f x
x f x x x
x
. Tính tích
phân
1
1
8
4
d
f x
x
x
.
A.
3
I
. B.
3
2
I
. C.
2
I
. D.
5
2
I
.
Câu 78. Cho hàm số
f x
thỏa
0 5 1
f f
. Biết
5
5
0
e ' d e
x
f x f x x a b
,
,a b
. Tính
biểu thức
2022 2022
Q a b
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 79. Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
1;4
và thỏa mãn
2 1
ln
f x
x
f x
x
x
. Tính tích phân
4
3
d
I f x x
.
A.
2
3 2 ln 2
I
. B.
2
2 ln 2
I
. C.
2
ln 2
I
. D.
2ln2
I
.
25
C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
Câu 80. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
3
2
( ) ( ) d
f x g x x
. B.
3
2
( ) ( )
g x f x dx
.
C.
0 3
2 0
( ) ( ) d g( ) ( ) d
f x g x x x f x x
. D.
0 3
2 0
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x dx f x g x dx
.
Câu 81. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
3
2
1
4 3 d
x x x
. B.
3
2
1
2 11 d
x x x
. C.
3
2
1
2 11 d
x x x
. D.
3
2
1
4 3 d
x x x
.
Câu 82. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
1
3 2
1
2
2 3 1 d
x x x
. B.
1
3 2
1
2
2 2 3 d
x x x x
.
C.
1
3 2
1
2
2 3 1 d
x x x
. D.
1
3 2
1
2
2 2 3 d
x x x x
.
Câu 83. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
26
A.
3
3 2
1
5 9 7 dx x x x
.
B.
3
3 2
1
5 9 7 dx x x x
.
C.
3
3 2
1
9 9 dx x x x
.
D.
3
3 2
1
9 9 dx x x x
.
Câu 84. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn
bởi hai đồ thị hàm số
; 2f x x g x x
và trục hoành là:
A.
7
3
S
. B.
10
3
S
.
C.
11
3
S
. D.
13
3
S
.
Câu 85. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục
,Ox Oy
và đường thẳng 2x
Tính diện tích S hình phẳng trên.
A. . B. . C. . D. .
Câu 86. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
ln x
y
x
,
0y
, 1x ,
ex
. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
e
2
1
ln
d
x
S x
x
. B.
e
2
1
ln
d
x
S x
x
. C.
2
e
2
1
ln
d
x
S x
x
. D.
2
e
2
1
ln
d
x
S x
x
.
Câu 87. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường
sin 2 ; cosy x y x
và
0;
2
x x
là
A.
B.
C.
D.
Câu 88. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; là:
A. B. C. D.
Câu 89. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; và là:
A. B. C. D.
Câu 90. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4y x x
và trục Ox
A.
11
. B.
34
3
. C.
31
3
. D.
32
3
.
Câu 91. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
3
11 6y x x
và
2
6y x
là
A. 52. B.
14
. C.
1
4
. D.
1
2
.
2
x
y e
4
1
e
4
1
1
2
e
4
1
2
e
4
1
1
2
e
1
4
.
1
6
.
3
2
.
1
2
.
2 1
y x
6
y
x
3
x
4 6ln 6.
2
4 6 ln .
3
443
.
24
25
.
6
x
y e
1
y
1
x
2.
e
.
e
1.
e
1 .
e
O
x
4
2
2
y
27
Câu 92. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
:
1
x
H y
x
và các trục tọa độ. Khi
đó giá trị của
S
bằng
A.
2 ln 2 1
S
. B.
ln 2 1
S
. C.
ln 2 1
S
. D.
2ln 2 1
S
.
Câu 93. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
2
1
: y 8 7
3
P x x
,
7
:
3
x
H y
x
.
A.
3, 455
. B.
9 8ln2
. C.
3 ln 4
. D.
161
4 ln 3 8 ln 2
9
.
Câu 94. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và là:
A. B. C. D.
Câu 95. Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền
A
và
B
có diện tích lần lượt là 4 ;
1 .
Tính
2
2
1
4 .
I x f x dx
A.
6
I
. B.
10
I
. C.
8
I
. D.
12
I
.
Câu 96. Biết rằng parabol
2
: 2
P y x
chia đường tròn
2 2
: 8
C x y
thành hai phần lần lượt có diện
tích là
1
S
,
2
S
(như hình vẽ). Khi đó
2 1
b
S S a
c
với
, ,
a b c
nguyên dương và
b
c
là phân số tối giản.
Tính
S a b c
.
A.
13
S
. B.
16
S
. C.
15
S
D.
14
S
.
Câu 97. Cho
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
3
y x
và nửa đường tròn tâm
H
bán kính bằng
2 nằm phía trên trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của
H
được tính theo công thức
nào dưới đây?
2
4 3
y x x
3
y x
55
.
6
205
.
6
109
.
6
126
.
5
S
1
x
y
S
2
O
28
A.
1
2 2
0
2 3
S x x dx
. B.
1
2 2
0
2. 4 3
S x x dx
.
C.
1
2 2
0
3 4
S x x dx
. D.
1
2 2
0
4 3
S x x dx
.
Câu 98. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; bằng . Khi đó
là:
A. B. C. D.
Câu 99. Cho Parabol
2
: 1
P y x
và đường thẳng
: 2
d y mx
với m là tham số. Gọi
0
m
là giá trị của
m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi
P
và
d
là nhỏ nhất. Hỏi
0
m
nằm trong khoảng nào?
A.
1
( 2; )
2
. B.
0;1 .
C.
1
( 1; )
2
. D.
1
( ;3)
2
.
Câu 100. Gọi
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4
y x x
và trục hoành. Hai đường thẳng
y m
và
y n
chia
( )
H
thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức
3 3
(4 ) (4 )
T m n
bằng
A.
320
9
T
. B.
512
15
T
. C. . D. .
Câu 101. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; ; ; . Quay xung quanh
trục ta được khối tròn xoay có thể tích là
A. . B. . C. . D. .
Câu 102. Gọi
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
.ln ,
y x x
trục
, 1, .
Ox x x e
Tính thể tích
khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
( )
H
quanh trục
.
Ox
A. . B. . C. . D. .
Câu 103. Thể tích của khối tròn xuay được giới hạn bởi
2
cos sin ; 0; 0; ,
2
y x x x y x x
là
A.
(3 4
4
B.
(5 4)
4
C.
(3 4)
4
D.
(3 4)
5
Câu 104. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi , trục và đường thẳng
quay xung quanh trục .
A. . B. . C. . D. .
cos
y mx x
Ox
0;x x
3
m
3.
m
3.
m
4.
m
3.
m
405
T
75
2
T
H
sin
y x
Ox
0
x
x
H
Ox
2
2
2
2
2
1
4
e
1
3
e
1
3
e
2
1
4
e
ln
y x
Ox
2
x
Ox
2ln2 1
2 ln 2
2 ln 2
2ln2 1
29
Câu 105. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng
quay quanh trục bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 106. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường
có giá trị bằng trong đó a, b là hai số thực nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 107. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường
y x
và
2
.
y x
Thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục Ox bằng
A.
3
10
B.
3
10
C.
9
70
D.
9
70
Câu 108. Thể tích khối tròn xoay khi cho Elip quay quanh trục Ox bằng
A. B. C. D.
Vấn đề 2. Ứng dụng tích phân để giải quyết bài toán thực tế
Câu 109. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc m/s thì người lái tàu đạp phanh ; từ thời điểm đó, tàu
chuyển động chậm dần đều với vận tốc m/s. Trong đó khoảng thời gian tính bằng giây,
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được
A. B. C. D.
Câu 110. (Đề thi thử đánh giá năng lực 2022-ĐH Bách Khoa Hà Nội) Một ô tô đang chạy thì người ta
đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
8 (m/s)
v t a t
trong đó t (giây)
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh và a là một hằng số dương. Biết rằng từ lúc đạp phanh
đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được 36m. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A.
18,21
a
. B.
25,28
a
. C.
15,18
a
. D.
23,25
a
Câu 111. Hai người , đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển
theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di
chuyển tiếp với vận tốc
1
( ) 6 3
v t t
mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc
2
( ) 12 4
v t t
mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn.
A. mét. B. mét. C. mét. D. mét.
Câu 112. Một vật chuyển động trong giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị
vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần
của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ
thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong giờ đó.
2
:
P y x
: 2
d y x
Ox
2 2
2 4
0 0
4
x dx x dx
2
2
2
0
2
x x dx
2 2
2 4
0 0
4
x dx x dx
2
2
0
2
x x dx
exyxxy
,0,ln
3
b.e 2
a
a 27,b 5.
a 24,b 6.
a 27,b 6.
a 24,b 5.
2 2
2 2
1
x y
a b
2
4
.
3
a b
2
4
.
3
ab
2
2
.
3
a b
2
2
.
3
ab
200
200 20
v t t
t
1000 m.
500 m.
1500 m.
2000 m.
A
B
25
22
20
24
3
v
km / h
t
h
1
2;5
I
3
30
A. . B. . C. . D. .
Câu 113. Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc
/v km h
phụ thuộc vào thời gian
t h
có đồ thị
như hình dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol
có đỉnh
3;9I
và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một
đường thẳng có hệ số góc bằng
1
4
. Tính quãng đường
s
mà vật di chuyển được trong 6 giờ?
A.
130
3
km
. B.
9 km
. C.
40 km
. D.
134
3
km
.
Câu 114. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ
10 2 2 1v x x
(người/tháng). Số dân tăng thêm của thành phố trong 4 tháng tới gần nhất với kết quả
nào sau đây?
A. 77. B. 47. C. 57. D. 67.
Câu 115. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước
tại thời điểm t giây là
3
10 500 /v t t m s
. Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà máy
đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?
A. 25 triệu khối nước. B. 45 triệu khối nước. C. 35 triệu khối nước. D. 30 triệu khối nước.
Câu 116. Sau t giờ làm việc một người công nhân có thể sản xuất với tốc độ là
0,5
100
t
q t e
đơn vị
sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được
bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 9 giờ sáng và 11 giờ trưa?
A.
201, 76
đơn vị sản phẩm. B.
200, 76
đơn vị sản phẩm.
C.
202, 76
đơn vị sản phẩm. D.
203, 76
đơn vị sản phẩm đồng.
Câu 117. Một công ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên khi x sản phẩm được sản xuất là
3 2
6 40q x x x
USD/ sản phẩm. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản
xuất ra tăng từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm?
A.
180 USD
. B.
160 USD
. C.
108 USD
. D.
106 USD
.
15
km
32
3
km
12
km
35
3
km
31
Câu 118. Bạn An xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính
10m
và chia nó thành 2 phần như hình vẽ sau.
Bạn An sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên
2
1m
ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm O và
Parabol có trục đối xứng đi qua O và chứa O. Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá. Hỏi bạn An
thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết
,A B O
và 12AB m ?
A. 560. B. 650. C. 460. D. 640.
Câu 119. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao 4GH m , chiều rộng 4AB m ,
0, 9AC BD m
.Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000
đồng/m
2
, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m
2
.
Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 11445000(đồng). B. 7368000 (đồng). C. 4077000 (đồng). D. 11370000(đồng)
Câu 120. (Đề thi thử tốt nghiệp THPT sở GDĐT Hà nội – 2022). Một vật chuyển động trong
10( )s
với
vận tốc
( / )v m s
phụ thuộc vào thời gian
( )t s
có đồ thị như hình vẽ sau:
Quãng đường vật chuyển động được trong 10 giây bằng
A.
63
.
2
m
B.
67
.
2
m
C.
61
2
m
D.
65
.
2
m
32
D. SỐ PHỨC.
Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 1. Cho hai số phức
,z a bi a b
và
,z a b i a b
. Điều kiện giữa
, , ,
a b a b
để
z z
là một số ảo là
A.
0
b b
. B.
' 0
' 0
a a
b b
. C.
' 0
' 0
a a
b b
. D.
0
a a
.
Câu 2. Cho số phức
z a bi
,a b
tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mô đun của
z
là một số thực dương.
B.
2
2
z z
.
C. Số phức liên hợp của
z
có mô đun bằng mô đun của số phức
iz
.
D. Điểm
;
M a b
là điểm biểu diễn của
z
.
Câu 3. Cho số phức
z a bi
với
,
a b
là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần ảo của
z
là
bi
. B. Môđun của
2
z
bằng
2 2
a b
.
C.
z z
không phải là số thực. D. Số
z
và
z
có môđun khác nhau.
Câu 4. Cho số phức
z a bi
, , , 0
a b a b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
z z
. B.
2
2
z z
. C.
1
. 1
z z
. D.
2
.
z z z
.
Câu 5. Cho hai số phức
z
và
z
. Trong các mệnh đề sai, mệnh đề nào sai?
A.
z z z z
. B.
. .
z z z z
. C.
. .
z z z z
. D.
z z z z
.
Câu 6. Cho số phức
z a bi
,a b
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
2 2
z a b
. B.
z a bi
. C.
2
z
là số thực. D.
.
z z
là số thực.
Vấn đề 2. Các phép toán số phức.
Câu 7. Xác định phần ảo của số phức
18 12
z i
.
A.
12
. B.
18
. C.
12
. D.
12
i
.
Câu 8. Số phức liên hợp của số phức
1 2
z i
là
A.
1 2
i
B.
1 2
i
C.
2
i
D.
1 2
i
Câu 9. Tính môđun của số phức
4 3
z i
.
A.
7
z
. B.
7
z
. C.
5
z
. D.
25
z
.
Câu 10. Cho số phức
1
1
z i
và
2
2 3
z i
. Tìm số phức liên hợp của số phức
1 2
w z z
?
A.
3 2
w i
. B.
1 4
w i
. C.
1 4
w i
. D.
3 2
w i
.
Câu 11. Cho số phức
5 4
iz i
. Số phức liên hợp của
z
là
A.
4 5
z i
B.
4 5
z i
. C.
4 5
z i
D.
z=-4-5i
Câu 12. Cho hai số phức
1 2
z i
và
w 3 .
i
Môđun của số phức
w
z
bằng
A.
5 2
B.
26
C.
26
D. 50.
Câu 13. Tính môđun của số phức
1 2 2 3 2
z i i i i
.
A.
4 10
z
. B.
4 5
z
. C.
160
z
. D.
2 10
z
.
33
Câu 14. Biết
1
3 4
a bi
i
,
,a b
. Tính
ab
.
A.
12
625
. B.
12
625
. C.
12
25
. D.
12
25
.
Câu 15. Cho số phức
1
z i
. Khi đó
3
z
bằng
A.
2
. B.
2 2
. C.
4
. D.
1
.
Câu 16. Tính môđun của số phức là nghịch đảo của số phức
2
1 2
z i
.
A.
1
5
. B.
5
. C.
1
25
. D.
1
5
.
Câu 17. Cho số phức
1 3
2 2
z i
. Tìm số phức
2
1
w z z
.
A.
2 3
i
. B.
1
. C.
0
. D.
1 3
2 2
i
.
Câu 18. Tính
2022 2022
1 3 1 3
P i i
.
A.
2
P
B.
1011
2
P
C.
2023
2
P
D.
2021
2
P
Câu 19. Tính
2 2021 2022
1 ...
S i i i i
A.
S i
. B.
1
S i
. C.
1
S i
. D.
S i
.
Câu 20. Tính
2 3 2023
1012 2 3 ... 2023
S i i i i
.
A.
S 2022 2023i.
B.
2022 2023 .
i
C.
2023 1012 .
i
D.
1012 1011 .
i
Câu 21. Cho các số phức
1
z
,
2
z
,
3
z
thỏa mãn:
1
4
z
,
2
3
z
,
3
2
z
và
1 2 2 3 1 3
4 16 9 48
z z z z z z
.
Giá trị của biểu thức
1 2 3
P z z z
bằng:
A.
1
B.
8
. C.
2
D.
6
Câu 22. Cho các số phức
1
z
,
2
z
,
3
z
thỏa mãn 2 điều kiện
1 2 3
2023
z z z
và
1 2 3
0.
z z z
Tính
1 2 2 3 3 1
1 2 3
.
z z z z z z
P
z z z
A.
2023.
P
B.
1008, 5.
P
C.
2
2023 .
P
D.
6061.
P
Câu 23. Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
1
i
A
z
.
A.
5
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Câu 24. Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 31 .
P z z
A.
3 15
. B.
6 5
. C.
20
. D.
2 20
.
Câu 25. Trong các số phức
z
thỏa mãn
2 3
z i z i
. Tìm số phức
z
có môđun nhỏ nhất.
A.
27 6
5 5
z i
. B.
6 27
5 5
z i
. C.
6 27
5 5
z i
. D.
3 6
5 5
z i
.
Câu 26. Cho số phức
z
thoả mãn đồng thời hai điều kiện
3 4 5
z i
và biểu thức
2 2
2
M z z i
đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức
2
z i
bằng
A.
5
. B.
9
. C.
25
. D.
5
.
34
Câu 27.
Xét các số phức
,
z w
thỏa mãn
| | 1
z
và
| | 2
w
. Khi
| 6 8 |
z iw i
đạt giá trị nhỏ nhất,
z w
bằng
A.
221
5
. B.
5
. C. 3. D.
29
5
.
Vấn đề 3. Phương trình bậc nhất - bậc hai trong tập số phức
Câu 28. Trên tập số phức, cho phương trình:
2
0
az bz c
, , a b c
. Chọn kết luận sai.
A. Nếu
0
b
thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng
0
.
B. Nếu
2
4 0
b ac
thì phương trình có hai nghiệm mà môđun bằng nhau.
C. Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau.
D. Phương trình luôn có nghiệm.
Câu 29. Cho số phức
z
thỏa mãn
2 2 2 3
i z i
. Môđun của
z
là:
A.
5
z
. B.
5 3
3
z
. C.
5 5
3
z
. D.
5
z
.
Câu 30. Tìm mô đun của số phức
z
thoả
3 (3 i)(1 i) 2
iz
.
A.
2 2
3
z
. B.
3 2
2
z
. C.
3 3
2
z
. D.
2 3
3
z
.
Câu 31. Tính mô đun của số phức
z
biết
2
1 2 3 4
i z i
.
A.
5
z
. B.
4
5
z
. C.
2 5
z
. D.
5
z
.
Câu 32. Phương trình
2
3 9 0
z z
có hai nghiệm phức
1
z
,
2
z
. Tính
1 2 1 2
S z z z z
.
A.
6
S
. B.
6
S
. C.
12
S
. D.
12
S
.
Câu 33. Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4 4 3 0
z z
. Giá trị của biểu thức
1 2
z z
bằng
A.
3 2
. B.
2 3
. C.
3
. D.
3
.
Câu 34. Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
6 11 0
z z
. Giá trị của biểu thức
1 2
3
z z
bằng
A.
22
. B.
11
. C.
2 11
. D.
11
.
Câu 35. Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 2 0
z z
. Tính
2018 2018
1 2
T z z
A.
0
T
. B.
2019
2
T
. C.
1
T
. D.
1010
2
T
.
Câu 36.
Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
6 13 0.
z z
Trên mặt phẳng tọa độ,
điểm biểu diễn số phức
0
1
z
là
A.
2;2
N
B.
4;2
M
C.
4; 2
P
D.
2; 2
Q
Câu 37. Cho
m
là số thực, biết phương trình
2
5 0
z mz
có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm
có phần ảo là
1
. Tính tổng môđun của hai nghiệm.
A.
3
B.
5
C.
2 5
D.
4
35
Câu 38. Tìm tổng các giá trị của tham số thực
a
sao cho phương trình
2 2
3 2 0
z z a a
có nghiệm
phức
0
z
thỏa
0
2
z
.
A.
0
. B.
2
. C.
6
. D.
4
.
Vấn đề 4. Điều kiện của bài toán có chứa modul, số phức liên hợp
Câu 39. Nếu
2
số thực
x
,
y
thỏa:
3 2 1 4 1 24
x i y i i
thì
x y
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
Câu 40. Tìm số thực
m
sao cho
2
1 1
m m i
là số ảo.
A.
0
m
. B.
1
m
. C.
1
m
. D.
1
m
.
Câu 41. Có bao nhiêu số phức
z
thỏa mãn
1 2 13 2
i z i z i
?
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1 .
Câu 42. Có bao nhiêu số phức
z
thỏa mãn
1
z z z
?
A.
0
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 43. Tìm số phức
z
thỏa mãn
3 1
z z
và
2
z z i
là số thực
A.
2
z
B.
2 2
z i
C.
2 2
z i
D. không có
z
Câu 44. Cho số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
2 5 5
z i
và
. 82
z z
. Tính giá trị của
P a b
.
A.
10
B.
8
C.
35
D.
7
Câu 45. Cho số phức
z a bi
, a b
thỏa mãn
1 3 0
z i z i
. Tính
3
S a b
.
A.
7
3
S
. B.
5
S
. C.
5
S
. D.
7
3
S
.
Câu 46. Cho số phức
z a bi
,a b
thỏa mãn
2 1 0
z i z i
và
1
z
. Tính
P a b
.
A.
1
P
. B.
5
P
. C.
3
P
. D.
7
P
.
Câu 47. Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
1
z
,
2
2
z
và
1 2
3
z z
. Giá trị của
1 2
z z
là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. 3.
Câu 48. Tìm môđun của số phức
z
biết
4 1 i 4 3 i
z z z
.
A.
1
2
z
. B.
2
z
. C.
4
z
. D.
1
z
.
Câu 49. Tính môđun của số phức
z
thỏa mãn:
3 . 2017 48 2016 .
z z z z i
A.
4
z
. B.
2016
z
. C.
2017
z
. D.
2
z
.
Câu 50. Cho số phức
z
thoả mãn
1
i
z
là số thực và
2
z m
với m
. Gọi
0
m
là một giá trị của
m
để
có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
A.
0
1
0;
2
m
. B.
0
1
;1
2
m
. C.
0
3
;2
2
m
. D.
0
3
1;
2
m
.
36
Vấn đề 5. Điểm biểu diễn của số phức
Câu 51. Giả sử
,A B
theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức
1
z
,
2
z
. Khi đó độ dài đoạn
AB
bằng
A.
2 1
z z
. B.
2 1
z z
. C.
1 2
z z
. D.
1 2
z z
.
Câu 52. Trong mặt phẳng phức, gọi
M
là điểm biểu diễn cho số phức
2
z z
với z a bi
, , 0a b b
. Chọn kết luận đúng.
A.
M
thuộc tia O x . B.
M
thuộc tia
O y
.
C.
M
thuộc tia đối của tia Ox . D.
M
thuộc tia đối của tia
O y
.
Câu 53. Điểm
3; 1M
là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
A. 1 3z i B. 1 3z i C. 3z i D. 3z i
Câu 54. Trong hình vẽ dưới đây,
M
là điểm biểu diễn của số phức
z
.
Số phức
z
là
A. 2 i . B. 1 2i . C. 1 2i . D. 2 i .
Câu 55. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
1 2z i i
?
A.
P
. B.
M
. C. N . D.
Q
.
Câu 56. Cho số phức
z
thoả mãn
2 10 5i z i
. Hỏi điểm biểu diễn số phức
z
là điểm nào trong các
điểm
M
, N ,
P
,
Q
trong hình vẽ sau ?
A. Điểm
Q
. B. Điểm
M
. C. Điểm
P
. D. Điểm N .
37
Câu 57. Cho số phức . Trên mặt phẳng tọa độ , tìm điểm biểu diễn số phức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 58. Cho số phức
z
thỏa mãn 2 0iz i . Khoảng cách từ điểm biểu diễn của
z
trên mặt phẳng tọa
độ
Oxy
đến điểm
3; 4M
là
A.
2 5
. B.
13
. C.
2 10
. D.
2 2
.
Câu 59. Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 3 1 9z i z i
. Số phức
5
w
iz
có điểm biểu diễn là
điểm nào trong các điểm
, , , A B C D
ở hình vẽ sau?
A. Điểm
D
. B. Điểm C . C. Điểm
B
. D. Điểm
A
.
Câu 60. Số phức
z
được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ:
Trong các hình dưới đây, hình nào có thể là điểm biểu diễn của số phức
i
z
?
A. B.
C. D.
2
z i
Oxy
w iz
1;2
M
2; 1
M
2;1
M
1;2
M
x
O
1
1
y
x
O
1
1
y
x
O
1
1
y
x
y
1
1
O
x
O
1
1
y
z
38
Vấn đề 6. Vận dụng các tính chất hình học để giải toán về số phức
Câu 61. Cho
A
,
B
,
C
tương ứng là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số
1
1 2
z i
,
2
2 5
z i
,
3
2 4
z i
. Số phức
z
biểu diễn bởi điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành là
A.
1 7
i
. B.
5
i
. C.
1 5
i
. D.
3 5
i
.
Câu 62. Trong mặt phẳng
Oxy
, gọi
, ,
A B C
theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức
1 2 3
3 , 3 4 ,
z i z i z i
. Tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
là
A.
0;2
. B.
0; 2
. C.
1 5
;
3 3
. D.
2;0
.
Câu 63. Cho các số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
3
z
,
2
4
z
,
1 2
5
z z
. Gọi
A
,
B
lần lượt là các điểm
biểu diễn số phức
1
z
,
2
z
trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích
S
của
OAB
với
O
là gốc tọa độ.
A.
5 2
S
. B.
6
S
. C.
25
2
S
. D.
12
S
.
Câu 64. Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1 2
1
z z
. Khi đó
2 2
1 2 1 2
z z z z
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
0
.
Câu 65. Cho
A
,
B
là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
0
z
,
1
z
khác
0
và thỏa mãn đẳng
thức
2 2
0 1 0 1
z z z z
. Tam giác OAB là tam giác gì? Chọn phương án đúng nhất.
A. Đều B. Cân tại
O
C. Vuông tại
O
D. Vuông cân tại
O
Câu 66. Cho hai số phức
1 2
,
z z
thoả mãn
1 2
6, 2
z z
. Gọi
,
M N
là các điểm biểu diễn cho
1
z
và
2
iz
.
Biết
60
MON
. Tính
2 2
1 2
9
T z z
.
A.
18
T
. B.
24 3
T
. C.
36 2
T
. D.
36 3
T
.
Câu 67. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2
z i z i
. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z
là đường
thẳng có phương trình
A.
1 0
x y
. B.
1 0
x y
. C.
1 0
x
. D.
2 2 3 0
x y
.
Câu 68. Cho số phức
z x yi
,x y
thỏa mãn
2 1 0
z i z i
. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
điểm
M
là điểm biểu diễn của số phức
z
. Hỏi
M
thuộc đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A.
5 0
x y
. B.
2 0
x y
. C.
2 0
x y
. D.
1 0
x y
.
Câu 59. Trên mặt phẳng
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn
z i iz
là
A. Đường thẳng
2
y
. B. Đường thẳng
1
2
y
.
C. Đường thẳng
1
2
y
. D. Đường tròn tâm
0; 1
I
.
Câu 70. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn:
2 4
z i
là đường tròn có tâm
I
và bán kính
R
lần lượt là
A.
2; 1
I
;
4
R
. B.
2; 1
I
;
2
R
. C.
2; 1
I
;
4
R
. D.
2; 1
I
;
2
R
.
Câu 71. Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
3 4 2.
z i
Trong mặt phẳng
Oxy
tập hợp điểm biểu diễn
số phức
2 1
w z i
là hình tròn có diện tích là
A.
9
S
. B.
12
S
. C.
16
S
. D.
25
S
.
39
Câu 72. Trong mặt phẳng
Oxy
, tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn điều kiện
3
1
z
z
là
A. Đường tròn
2 2
9 9
0
4 8
x y x
. B. Đường tròn
2 2
9 9
0
4 8
x y x
.
C. Đường tròn
2 2
9 9
0
4 8
x y x
. D. Đường tròn tâm
9
0;
8
I
và
1
8
R
.
Câu 73. Cho các số phức
z
thoả mãn
5
z i
. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức
1
w iz i
là
đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
A.
9
r
. B.
22
r
. C.
4
r
. D.
5
r
.
Câu 74. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 2 10
z z
.
A. Đường tròn
2 2
2 2 100
x y
. B. Elip
2 2
1
25 4
x y
.
C. Đường tròn
2 2
2 2 10
x y
. D. Elip
2 2
1
25 21
x y
.
Câu 75. Có bao nhiêu số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2
1 2
iz i
z z i
?
A. 2. B. 0. C. Có vô số số. D. 1.
Câu 76. Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2
z
. Gọi
M
và
m
là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
z
. Tính
M m
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
.
Câu 77. Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 3
z i
. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
1 .
z i
A.
4.
B.
2 2 .
C.
2.
D.
2 .
Câu 78. Cho các số phức
z
thoả mãn
2
z
. Đặt
1 2 1 2
w i z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
w
.
A.
2
. B.
3 5
. C.
2 5
. D.
5
.
Câu 79. Cho số phức
z
thỏa mãn:
2 1
z i z i
. Trong mặt phẳng
Oxy
,
z
được biểu diễn bởi điểm
M
. Tìm
z
sao cho độ dài đoạn
MA
ngắn nhất với
1,3
A
.
A.
3
i
. B.
1 3
i
. C.
2 3
i
. D.
2 3
i
.
Câu 80. Nếu
z
là số phức thỏa
2
z z i
thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
z i z
là
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 81. Cho số phức
z
thỏa mãn
5 1 3 3 1
z i z i z i
. Tìm giá trị lớn nhất
M
của
2 3
z i
?
A.
10
3
M
B.
1 13
M
C.
4 5
M
D.
9
M
Câu 82. Cho số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
12
z
và
2
3 4i 5
z
. Giá trị nhỏ nhất của
1 2
z z
là
A.
0
. B.
2
C.
7
D.
17
Câu 83. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
z i
P
z
, với
z
là số phức khác
0
và
thỏa mãn
2
z
. Tính tỷ số
M
m
.
A.
5
M
m
B.
3
M
m
C.
3
4
M
m
D.
1
3
M
m
40
PHẦN II. HÌNH HỌC
Vấn đề 1. Hệ trục tọa độ trong không gian.
Câu 1. Cho
2 4 6
OA i j k
và
9 7 4
OB i j k
. Vectơ
A B
có tọa độ là
A.
7;3;10
. B.
7; 3; 10
. C.
11;11; 2
. D.
7; 3;10
.
Câu 2. Cho đoạn thẳng
AB
có trung điểm
I
. Biết
2;1; 1
A
,
1;2;0
I
. Khi đó điểm
B
có tọa độ là
A.
1; 1; 1
. B.
3;0; 2
. C.
0;3;1
. D.
1;1;1
.
Câu 3. Cho hình bình hành , biết , , . Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho điểm . Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là điểm
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục . Điểm đối xứng với
qua có tọa độ:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho hai điểm , . Gọi là điểm nằm trên đoạn sao cho .
Tính tọa độ điểm .
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho ba điểm
2; 1;1 ; 3; 2; 1
A B
. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng
(yOz)?
A.
5 3
; ;0
2 2
B.
0; 3; 1
C.
0;1;5
D.
0; 1; 3
Câu 8. Cho véc tơ Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
A.
B. và cùng phương. C. D. .
Câu 9. Cho sáu điểm thỏa mãn . Gọi
là trọng tâm tam giác . Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho , . Điểm thuộc trục
và cách đều hai điểm ,
có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho ba điểm . Điểm trên mặt phẳng cách đều 3
điểm . Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hai điểm , . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Cho tam giác có , , . Gọi là chân đường phân
giác trong góc của tam giác . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
ABCD
1;1;1
A
2;2;3
B
5; 2;2
C
D
2; 3;0
2;3;4
2;3;0
8; 1;4
3; 1;1
A
A
Oyz
3;0;0
M
0; 1;1
N
0; 1;0
P
0;0;1
P
1;2;3
M
H
M
Oz
M
H
0;0;3
1;2; 3
1; 2; 3
1; 2;3
(0;3;1)
B
( 3;6;4)
C
M
BC
2
MC MB
M
( 1;4; 2)
M
( 1;4;2)
M
(1; 4; 2)
M
( 1; 4;2)
M
2; 2; 4 , 1; 1;1 .
a b
3; 3; 3 .
a b
a
b
3.
b
.
a b
1;2;3 , 2; 1;1 , 3;3; 3 , , ,
A B C A B C
0
A A B B C C
; ;
G a b c
A B C
3
a b c
6
1
11
3
1; 1;0
A
3;1; 1
B
M
Oy
A
B
9
0; ;0
4
M
9
0; ;0
2
M
9
0; ;0
2
M
9
0; ;0
4
M
1;1;1 , 1;1;0 , 3;1; 1
A B C
; ;
M a b c
Oxz
, ,
A B C
3
a b c
6
1
3
1
(2;2;1)
M
8 4 8
; ;
3 3 3
N
OMN
(1;1;1)
I
(0;1;1)
I
(0; 1; 1)
I
(1;0;1)
I
ABC
1;2; 1
A
2; 1;3
B
4;7;5
C
; ;
D a b c
B
ABC
2
a b c
5
4
14
15
41
Câu 14. Cho hình hộp có , ; , với . Độ
dài đoạn thẳng là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Góc giữa hai vectơ và là
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. Cho ba điểm
1; 2;3 ; 0;3;1 ; 4;2;2
A B C
. Côsin của góc bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Cho , . Tìm có hoành độ dương trên sao cho vuông tại .
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Cho ba điểm không thẳng hàng , , . Tam giác là
A. Tam giác tù. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác nhọn.
Câu 19. Cho ba điểm , , . Tìm thì tam giác vuông tại
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Cho hai vecto khác . Kết luận nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 21. Cho , . Khi đó thì
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. Cho Trong các hệ thức liên hệ giữa dưới đây,
hệ thức nào để bốn điểm đồng phẳng?
A. B. C. D.
Câu 23. Trong không gian cho tứ diện có , , và
Tính thể tích khối tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. Cho tứ diện có . Tính độ dài đường cao của
hình chóp .
A. . B. . C. . D. .
Câu 25. Cho tứ diện có , , , và có thể tích bằng . Tính
tổng tung độ của các điểm .
A. . B. . C. . D. .
Câu 26. Cho hai điểm . Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với
các mặt phẳng . Biết các điểm đều nằm trên đoạn AB sao cho
. Giá trị của bằng
.
ABCD A B C D
0;0;0
A
;0;0
B a
0;2 ;0
D a
0;0;2
A a
0
a
AC
a
2
a
3
a
3
2
a
i
3;0;1
u
120
30
60
150
BAC
9
35
9
2 35
9
35
9
2 35
1;2;0
A
2; 1;1
B
C
Ox
ABC
C
3;0;0
C
2;0;0
C
1;0;0
C
5;0;0
C
1;2;4
A
1;1;4
B
0;0;4
C
ABC
2;3; 1
M
1;1;1
N
1; 1;3
P m
m
MNP
N
3
m
1
m
2
m
0
m
,
a b
0
,3 3 ,
a b a b
2 , 2 ,
a b a b
3 ,3 3 ,
a b a b
, . .sin ,
a b a b a b
1;1;2
u
1; ; 2
v m m
, 14
u v
11
1,
5
m m
11
1,
3
m m
1, 3
m m
1
m
(1; 2;0), (1;0; 1), (0; 1;2), ( 2; ; ).
A B C D m n
,
m n
, , ,
A B C D
2 13.
m n
2 13.
m n
2 13.
m n
2 3 10.
m n
Oxyz
ABCD
0;1;1
A
1;0;2
B
1;1;0
C
2;1; 2
D
ABCD
5
6
5
5
2
5
3
ABCD
0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1
A B C D
AH
.
A BCD
3 2
2 2
2
2
3 2
2
ABCD
2; 1;1
A
3;0; 1
B
2; 1;3
C
D Oy
5
D
6
2
7
4
9; 3;4 , ; ;
A B a b c
, ,
M N P
AB
, ,
Oxy Oxz Oyz
, ,
M N P
AM MN NP PB
ab bc ca
42
A. . B. . C. . D. .
Câu 27. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1; 2; 2)
A
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng
chứa
Ox
sao cho khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
P
lớn nhất. Phương trình mặt phẳng
( )
P
là:
A.
2 0
y z
. B.
2 0
y z
. C.
0
y z
. D.
0
y z
.
Câu 28. Cho
1; 2;3 ; 2;2;4 ; 3; 3;2
A B C
. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho:
MA MB MC
  
ngắn nhất?
A.
2;1;0
M
B.
2; 1;0
M
C.
0; 1;3
M
D.
2;0;3
M
Câu 29. Cho ba điểm
1;2;2 , 3; 1; 2 , 4;0;3
A B C
. Tọa độ điểm
I
trên mặt phẳng
Oxz
sao cho
biểu thức
2 3
IA IB IC
 
đạt giá trị nhỏ nhất là
A.
19 15
;0;
2 2
I
. B.
19 15
;0;
2 2
I
. C.
19 15
;0;
2 2
I
. D.
19 15
;0;
2 2
I
.
Câu 30. Cho
0;0; 1
A
,
1;1;0
B
,
1;0;1
C
. Tìm điểm
M
sao cho
2 2 2
3 2
M A M B M C
đạt giá trị
nhỏ nhất.
A.
3 1
; ; 1
4 2
M
. B.
3 3
; ; 1
4 2
M
. C.
3 1
; ; 1
4 2
M
. D.
3 1
; ;2
4 2
M
.
Câu 31. Cho các điểm
1;2;3
A
,
6; 5;8
B
và
O M a i bk
với
a
,
b
là các số thực luôn thay đổi.
Nếu
2
MA MB
 
đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của
a b
bằng
A.
25
. B.
13
. C.
0
. D.
26
.
Vấn đề 2. Phương trình mặt phẳng
Câu 32. Cho mặt phẳng
: 2 1 0
P x z
. Chọn câu đúng nhất trong các nhận xét sau:
A.
P
đi qua gốc tọa độ
O
. B.
P
song song với
Oxy
.
C.
P
vuông góc với trục
Oz
. D.
P
song song với trục
O y
.
Câu 33. Ba mặt phẳng
2 6 0
x y z
,
2 3 13 0
x y z
,
3 2 3 16 0
x y z
cắt nhau tại điểm
M
.
Tọa độ của
M
là:
A.
1;2; 3
M
. B.
1; 2;3
M
. C.
1; 2;3
M
. D.
1;2;3
M
.
Câu 34. Gọi
,
m n
là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 1 0
m
P mx y nz
và
: 2 0
m
Q x my nz
vuông góc với mặt phẳng
: 4 6 3 0
x y z
.
A.
0
m n
. B.
2
m n
. C.
1
m n
. D.
3
m n
.
Câu 35. Cho điểm
2;1;2
H
,
H
là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ
O
lên mặt phẳng
P
, số đo
góc của mặt phẳng
P
và mặt phẳng
: 11 0
Q x y
.
A.
0
6 0
. B.
0
3 0
. C.
0
4 5
. D.
0
9 0
Câu 36. Cho các điểm
2;0;0
A
,
0;3;0
B
,
0;0;6
C
,
1;1;1
D
. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi
qua 3 trong 5 điểm
O
,
A
,
B
,
C
,
D
?
A.
10
. B.
5
. C.
7
. D.
6
.
17
17
9
12
43
Câu 37. Mặt phẳng
Oxy
có phương trình là
A.
0
z
. B.
0
x
. C.
0
y
. D.
0
x y
.
Câu 38. Mặt phẳng song song với mặt phẳng
Oxz
và đi qua điểm
(1;1;1)
A
có phương trình là
A.
1 0
y
. B.
1 0
x y z
. C.
1 0
x
. D.
1 0.
z
Câu 39. Cho
1; 1;5
A
,
0;0;1
B
. Mp
P
chứa
,
A B
và song song với trục
O y
có phương trình là
A.
4 1 0
x z
. B.
4 1 0
x y z
. C.
2 5 0
x z
. D.
4 1 0
x z
.
Câu 40. Cho hai điểm
1;3; 4
A
,
1;2;2
B
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là
A.
4 2 12 17 0
x y z
. B.
4 2 12 17 0
x y z
.
C.
4 2 12 17 0
x y z
. D.
4 2 12 17 0
x y z
.
Câu 41. Trong không gian
,
Oxyz
cho ba điểm
3;0;0
A
,
0;1;0
B
và
0;0; 2 .
C
Mặt phẳng
ABC
có
phương trình là
A.
1.
3 1 2
x y z
B.
1.
3 1 2
x y z
C.
1.
3 1 2
x y z
D.
1.
3 1 2
x y z
Câu 42. Cho điểm
2;4;1 ; 1;1;3
A B
và mặt phẳng
: 3 2 5 0
P x y z
. Một mặt phẳng
Q
đi qua
hai điểm
,
A B
và vuông góc với mặt phẳng
P
có dạng
11 0
ax by cz
. Khẳng định nào sau là đúng?
A.
5
a b c
. B.
15
a b c
. C.
5
a b c
. D.
15
a b c
.
Câu 43. Cho điểm
2;0; 2
A
,
0;3; 3
B
. Gọi
P
là mặt phẳng đi qua
A
sao cho khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
P
là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng
P
bằng
A.
1
14
. B.
4
14
. C.
2
14
. D.
3
14
.
Câu 44. Mặt phẳng
đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với 2 mặt phẳng
: 7 0
P x y z
,
:3 2 12 5 0
Q x y z
có phương trình là
A.
:2 3 0
x y z
. B.
:10 15 5 2 0
x y z
.
C.
:10 15 5 2 0
x y z
. D.
: 2 3 0
x y z
.
Câu 45. Cho 2 mặt phẳng
( ) : 3 0; ( ) : 2 1 0
x y z x y z
. Viết phương trình mặt phẳng (P)
vuông góc với
( )
và
( )
và khoảng cách từ
2; 3;1
M
đến mặt phẳng (P) bằng
14
. Có hai mặt phẳng
thỏa mãn là:
A.
1
2 3 16 0
P x y z
và
2
2 3 12 0
P x y z
B.
1
2 3 16 0
P x y z
và
2
2 3 12 0
P x y z
C.
1
2 3 16 0
P x y z
và
2
2 3 12 0
P x y z
D.
1
2 3 16 0
P x y z
và
2
2 3 12 0
P x y z
Câu 46. Cho mặt phẳng (P):
2 2 10 0
x y z
. Phương trình mặt phẳng (Q) với (Q) song song với (P) và
khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
7
3
là
A.
2 2 3 0; 2 2 17 0
x y z x y z
. B.
2 2 3 0; 2 2 17 0
x y z x y z
.
C.
2 2 3 0; 2 2 17 0
x y z x y z
. D.
2 2 3 0; 2 2 17 0
x y z x y z
.
44
Câu 47. Phương trình của mp đi qua ba điểm
(1;0; 0)
A
,
(0; 1;0)
B
,
1
0;0;
2
C
là
A.
2 1 0.
x y z
B.
2 0
x y z
. C.
2 1 0.
x y z
D.
1 0.
2
z
x y
Câu 48. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;2;3
G
và cắt ba trục
, ,
O x O y O z
lần lượt tại
, ,
A B C
sao cho G là trọng tâm tam giác
ABC
.
A.
2 3 14 0.
x y z
B.
1
3 6 9
x y z
C.
1.
1 2 3
x y z
D.
1
6 3 9
x y z
Câu 49. Cho điểm
1;2;5
M
. Mặt phẳng
P
đi qua điểm
M
cắt trục tọa độ
, ,
O x O y O z
tại
, ,
A B C
sao
cho
M
là trực tâm tam giác
ABC
. Phương trình mặt phẳng
P
là
A.
8 0
x y z
. B.
2 5 30 0
x y z
. C.
0
5 2 1
x y z
. D.
1
5 2 1
x y z
.
Câu 50. Cho điểm
(1; 2; 3)
A
. Gọi
1 2 3
, ,
A A A
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên các mặt phẳng
(Oyz), (O zx ), (O )
xy
. Phương trình của mặt phẳng
1 2 3
( )
AA A
là:
A.
1
3 6 9
x y z
. B.
1
2 4 6
x y z
. C.
1
1 2 3
x y z
. D.
0
1 2 3
x y z
.
Câu 51. Cho điểm
' 4; 7; 5 , 3; 9; 10
M N
và các đường thẳng
1 2 3
, ,
d d d
cùng đi qua điểm
N
và
lần lượt song song với
, ,
O x O y O z
. Mặt phẳng
'
P
đi qua
'
M
cắt
1 2 3
, ,
d d d
lần lượt tại
', ', '
A B C
sao
cho
'
M
là trực tâm
' ' '
A B C
. Phương trình mặt phẳng
'
P
là
A.
2 5 35 0
x y z
. B.
2 5 35 0
x y z
. C.
0
4 7 5
x y z
. D.
1
4 7 5
x y z
.
Câu 52. Cho điiểm
(3; 1;1)
A
. Tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
Oxy
.
A.
1 .
B.
3.
C.
0.
D.
2.
Câu 53. Cho mặt phẳng
:16 12 15 4 0
P x y z
và điểm
2 ; 1; 1
A
. Gọi
H
là hình chiếu của
điểm
A
lên mặt phẳng
P
. Tính độ dài đoạn thẳng
AH
.
A.
5
. B.
11
5
. C.
11
25
. D.
2 2
5
.
Câu 54. Cho điểm
1;2;3
M
gọi
, ,
A B C
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
M
lên các trục
, ,
O x O y O z
. Khi đó khoảng cách từ điểm
0;0;0
O
đến mặt phẳng
ABC
có giá trị bằng
A.
1
2
. B.
6
. C.
6
7
. D.
1
14
.
Câu 55. Cho tứ diện
ABCD
với
1;2;3 , 3;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;6 .
A B C D
Tính độ dài đường cao hạ
từ đỉnh
A
của tứ diện
ABCD
.
A.
9
. B.
1
. C.
6
. D.
3
.
Câu 56. Cho hai mặt phẳng
:5 5 5 1 0
P x y z
và
: 1 0
Q x y z
. Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng
P
và
Q
bằng
A.
2 3
15
. B.
2
5
. C.
2
15
. D.
2 3
5
.
45
Câu 57. Cho
1;0;0
A
,
0; ;0
B b
,
0;0;
C c
,
0, 0
b c
và mặt phẳng
: 1 0
P y z
. Tính
S b c
biết
ABC
vuông góc với
P
và khoảng cách từ
O
đến
ABC
bằng
1
3
.
A.
1
S
. B.
2
S
. C.
0
S
. D.
3
2
S
.
Câu 58. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2; 2
A
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa trục
Ox
sao cho
khoảng cách từ
A
đến
P
lớn nhất. Phương trình của
P
là:
A.
2 0
y z
. B.
2 0
y z
. C.
0
y z
. D.
0
y z
.
Câu 59. Trong không gian Oxyz, cho điểm
3;2;5
A
và mặt phẳng
:2x 3 5z 13 0
P y
. Tìm tọa
độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
A.
' 1;8; 5
A
B.
' 2; 4;3
A
C.
' 7;6; 4
A
D.
' 0;1; 3
A
Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
:2 2 1 0
P x y z
và điểm
3;0; 1
A
. Gọi
H
hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên mặt phẳng
P
. Tọa độ của
H
là
A.
(1;1;1)
H
. B.
(1; 1;1)
H
. C.
( 1; 1; 1)
H
. D.
( 1; 1;1)
H
.
Câu 61. Cho
0;1;2
A
,
0;1;0
B
,
3;1;1
C
và mặt phẳng
: 5 0
Q x y z
. Xét điểm
M
thay đổi
thuộc
Q
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
MA MB MC
bằng
A.
12
. B.
0
. C.
8
. D.
10
.
Câu 62. Cho mặt phẳng
: 4 0
x y z
và ba điểm
1;2;1
A
,
0;1;2
B
và
0;0;3
C
. Điểm
; ;
M x y z
thuộc
sao cho
3 4
MA MB MC
  
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức
P x y z
A.
3
. B.
1
3
. C.
5
3
. D.
4
.
Câu 63. Cho hai điểm
2; 2;4 , 3;3; 1
A B
và mặt phẳng
: 2 2 8 0
P x y z
. Xét
M
là điểm
thay đổi thuộc
P
, giá trị nhỏ nhất của
2 2
2 3
MA MB
bằng:
A.
135
. B.
105
. C.
108
. D.
145
.
Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ
Ox
yz
, cho mặt phẳng
: 2 0
P x y z
và hai điểm
3;4;1 ; 7; 4; 3
A B
. Điểm
; ; 2
M a b c a
thuộc
P
sao cho tam giác
ABM
vuông tại
M
và có diện
tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức
T a b c
bằng
A.
6
T
. B.
8
T
. C.
4
T
. D.
0
T
.
Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;m;0),C(0;0;n) với m,n là các số
thực dương thoả mãn
2 2
3 4
mn m n
. Mặt phẳng qua A vuông góc với OA cắt đường thẳng qua O vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm H. Tính OH ?
A.
5
4
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
Vấn đề 3. Phương trình mặt cầu
Câu 66. Cho tam giác
ABC
. Tập hợp các điểm
M
trong không gian thỏa mãn hệ thức
0
MA MB MC a a
  
là
A.Mặt cầu bán kính
.
3
a
R
B. Đường tròn bán kính
3
a
R
C. Mặt cầu bán kính
.
R a
D. Đoạn thẳng có độ dài bằng
.
a
46
Câu 67. Cho hai điểm
2;1;0
A
,
2; 1;2
B
. Phương trình của mặt cầu có đường kính
AB
là
A.
2
2 2
1 24
x y z
. B.
2
2 2
1 6
x y z
.
C.
2
2 2
1 24
x y z
. D.
2
2 2
1 6
x y z
.
Câu 68. Phương trình mặt cầu tâm
1;2;0
I
và đi qua điểm
2; 2;0
A
là
A.
2 2
2
1 2 100.
x y z
B.
2 2
2
1 2 5.
x y z
C.
2 2
2
1 2 10.
x y z
D.
2 2
2
1 2 25.
x y z
Câu 69. Gọi
S
là mặt cầu đi qua
4
điểm
2;0;0
A
,
1;3;0
B
,
1;0;3
C
,
1;2;3
D
. Tính bán kính
R
của
S
A.
2 2
R
. B.
3
R
. C.
6
R
. D.
6
R
.
Câu 70. Cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 0
S x y z x y z
cắt các trục
, ,
O x O y O z
lần lượt tại các điểm
, ,
A B C
(
khác
)
O
. Phương trình mặt phẳng
ABC
là
A.
1
2 4 6
x y z
. B.
1
2 4 6
x y z
. C.
0
2 4 6
x y z
. D.
1
2 4 6
x y z
.
Câu 71. Trong không gian
,
Oxyz
cho mặt cầu
2 2
2
: 2 1 6.
S x y z
Đường kính của
S
bằng
A.
6.
B.
12.
C.
2 6.
D.
3.
Câu 72. Cho mặt cầu
S
:
2 2
2 2
3 2 4
x y z m
. Tập các giá trị của
m
để mặt cầu
S
tiếp
xúc với mặt phẳng
Oyz
là:
A.
5
. B.
5
. C.
0
. D.
.
Câu 73. Trong không gian
Oxyz
cho điểm
1;2;3
A
. Phương trình của mặt cầu tâm
A
và tiếp xúc với mặt
phẳng
2 2 3 0
x y z
là
A.
2 2 2
1 2 3 2
x y z
. B.
2 2 2
1 2 3 2
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 3 4
x y z
. D.
2 2 2
1 2 3 4
x y z
.
Câu 74. Cho mặt cầu
S
tâm
1;2;3
I
bán kính
3
R
và hai điểm
2;0;0
M
,
0;1;0
N
.
: 0
X x by cz d
là mặt phẳng qua MN và cắt
S
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r lớn
nhất. Tính
T b c d
.
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 75. Cho mặt cầu
2
2 2
: 2 1
S x y z
và mặt phẳng
:3 4 12 0
x z
. Khẳng định nào sau
đúng?
A. Mặt phẳng
đi qua tâm mặt cầu
S
.
B. Mặt phẳng
tiếp xúc mặt cầu
S
.
C. Mặt phẳng
cắt mặt cầu
S
theo một đường tròn.
D. Mặt phẳng
không cắt mặt cầu
S
.
47
Câu 76. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
2 2 2
2 4 2 6 0
x y z mx y z m
là phương trình
của một mặt cầu trong không gian với hệ tọa độ Oxzy.
A.
1;5
m
B.
C.
5; 1
m
D.
; 5 1;m
Câu 77. Cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 3 25.
S x y z
Mặt phẳng
Oxy
cắt mặt cầu
S
theo một
thiết diện là đường tròn
.
C
Diện tích của đường tròn
C
là
A.
8
B.
12
C.
16
D.
4
Câu 78. Cho
1;1;1
I
và mặt phẳng
:2 2 4 0
P x y z
. Mặt cầu
S
tâm
I
cắt
P
theo một đường
tròn bán kính
4
r
. Phương trình của
S
là
A.
2 2 2
1 1 1 16
x y z
. B.
2 2 2
1 1 1 5
x y z
.
C.
2 2 2
1 1 1 9
x y z
. D.
2 2 2
1 1 1 25
x y z
.
Câu 79. Cho mặt phẳng
: 2 5 0
Q x y z
và mặt cầu
2 2
2
: 1 2 15.
S x y z
P
song song
với
Q
và cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là đường tròn có chu vi
6
đi qua điểm nào sau đây?
A.
0; 1; 5
A
B.
1; 2; 0
B
C.
2; 2; 1
C
D.
2; 2; 1
D
Câu 80. Cho mặt cầu
2 2 2
: 6 4 2 5 0
S x y z x y z
. Phương trình mặt phẳng
Q
chứa trục
Ox
và cắt
S
theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng
2
là
A.
: 2 0
Q y z
. B.
:2 0
Q x z
. C.
: 2 0
Q y z
. D.
: 2 0
Q y z
.
Câu 81. Cho hai mặt phẳng song song
1
:2 2 1 0
x y z
,
2
: 2 2 5 0
x y z
và một điểm
1;1;1
A
nằm trong khoảng giữa của hai mặt phẳng đó. Gọi
S
là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với
1 2
,
. Biết rằng khi
S
thay đổi thì tâm I của nó nằm trên một đường tròn cố định
. Tính diện
tích hình tròn giới hạn bởi
.
A.
2
3
. B.
4
9
. C.
8
9
. D.
16
9
.
Câu 82. Cho
2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;2
A B C
. Có tất cả bao nhiêu điểm
M
trong không gian thỏa mãn
M
không trùng với các điểm
, ,
A B C
và
90
AMB BMC CMA
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 83. Cho hình chóp
.
S ABCD
với
1; 1;6
S
,
1;2;3
A
,
3;1;2
B
,
4;2;3
C
,
2;3;4
D
. Gọi
I
là
tâm mặt cầu
S
ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách
d
từ
I
đến mặt phẳng
SAD
.
A.
3 3
2
d
. B.
6
2
d
. C.
21
2
d
. D.
3
2
d
.
Câu 84. Cho mặt cầu
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z x y z
và điểm
2;2;0
A
. Viết phương trình mặt phẳng
OAB
, biết rằng điểm
B
thuộc mặt cầu
S
, có hoành độ dương và tam giác
OAB
đều.
A.
0
x y z
. B.
0
x y z
. C.
2 0
x y z
. D.
2 0
x y z
.
m ;1 5;
 
48
Câu 85. Cho hai điểm
3;1; 3
A
,
0; 2;3
B
và mặt cầu
2 2
2
: 1 3 1
S x y z
. Xét điểm
M
thay đổi thuộc mặt cầu
S
, giá trị lớn nhất của
2 2
2
MA MB
bằng
A.
102
. B.
78
. C.
84
. D.
52
.
Câu 86. Cho mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và mặt cầu
S
tâm
5; 3;5
I
, bán kính
2 5
R
. Từ
một điểm
A
thuộc
P
kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
S
tại
B
. Tính
OA
biết
4
AB
.
A.
11
O A
. B.
5
OA
. C.
3
OA
. D.
6
OA
.
Câu 87. Cho mặt phẳng
P
có phương trình
2
x y z
và mặt cầu
S
có phương trình
2 2 2
2
x y z
. Gọi điểm
; ;
M a b c
thuộc giao tuyến giữa
P
và
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A.
min 1;1
c
. B.
min 1;2
b
. C.
max min
a b
. D.
max 2; 2
c
.
Câu 88. Cho mặt cầu
1
S
có tâm
1
3;2;2
I
bán kính
1
2
R
, mặt cầu
2
S
có tâm
2
1;0;1
I
bán kính
2
1
R
. Phương trình mặt phẳng
P
đồng thời tiếp xúc với
1
S
và
2
S
và cắt đoạn
1 2
I I
có dạng
2 0
x by cz d
. Tính
T b c d
.
A.
5
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Vấn đề 4. Phương trình đường thẳng
Câu 89. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
3 4 1
: .
2 5 3
x y z
d
Vectơ nào sau đây là một vectơ
chỉ phương của
d
?
A.
2
3;4; 1
u
B.
1
2; 5;3
u
C.
3
2;5;3
u
D.
4
3;4;1
u
Câu 90. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm
7;2;1
A
và
5; 4; 3
B
,
Chọn khẳng định SAI?
A. AB không đi qua điểm
1, 1, 1
B. AB vuông góc với mặt phẳng:
6 3 2 10 0
x y z
C. AB song song với đthẳng
1 12
1 6
1 4
x t
y t
z t
D. AB vuông góc với đường thẳng
5
1 2
3
x
y t
z t
Câu 91. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1 1
:
1 2 3
x y z
d
. Điểm nào sau đây thuộc
d
?
A.
2;1;1
Q
. B.
1;2;3
M
. C.
2;1; 1
P
. D.
1; 2;3
N
.
49
Câu 92. Đường thẳng
1 2
: 2 3 ,
3
x t
d y t t
z t
không đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(1; 2 ; 3)
Q
. B.
(3; 1; 2)
M
. C.
(2 ; 2 ; 3)
P
. D.
( 1; 5 ; 4)
N
.
Câu 93. Cho mặt phẳng
: 2 3 0
x y z
và đường thẳng
3 1 4
:
4 1 2
x y z
d
. Mệnh đề nào đúng?
A.
d
song song với
. B.
d
vuông góc với
.
C.
d
nằm trên
. D.
d
cắt
Câu 94. Trong không gian, hai đường thẳng
1
1 1
:
2 3 1
x y z
d
;
2
1 2 7
:
1 2 3
x y z
d
có vị trí tương
đối là:
A. song song B. trùng nhau C. cắt nhau D. chéo nhau
Câu 95. Cho ba điểm
3; 1;2 , 4; 1; 1 , 2;0;2
A B C
và đường thẳng . Gọi M
là giao điểm của và mp . Độ dài đoạn OM bằng
A. B. C. D.
Câu 96. Cho ba điểm
1;2;1
A
,
2; 1;4
B
và
1;1;4
C
. Đường thẳng vuông góc với
ABC
có phương
trình là
A.
1 1 2
x y z
. B.
2 1 1
x y z
. C.
1 1 2
x y z
. D.
2 1 1
x y z
.
Câu 97. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
1;2; 3 , 2; 3;1
A B
.
A.
1
2 5
3 2
x t
y t
z t
. B.
2
3 5
1 4
x t
y t
z t
. C.
3
8 5
5 4
x t
y t
z t
. D.
1
2 5
3 4
x t
y t
z t
.
Câu 98. Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua
1;5;2
I
và song song với trục Ox.
A.
1
5 ;
2
x t
y t
z
B.
5 ;
2
x m
y m m
z m
C.
2
10 ;
4
x t
y t t
z t
D. A và C đều đúng
Câu 99. Trong không gian
,
Oxyz
cho ba điểm
1;0;1 , 1;1;0
A B
và
3;4; 1 .
C
Đường thẳng đi qua A
và song song với BC có phương trình là
A.
1 1
.
4 5 1
x y z
B.
1 1
2 3 1
x y z
C.
1 1
2 3 1
x y z
D.
1 1
4 5 1
x y z
Câu 100. Phương trình chính tắc của đường thẳng
d
đi qua điểm
(1; 2; 5)
M
và vuông góc với mặt phẳng
( ) : 4 3 2 5 0
x y z
là
A.
1 2 5
4 3 2
x y z
. B.
1 2 5
4 3 2
x y z
.
C.
1 2 5
4 3 2
x y z
. D.
1 2 5
4 3 2
x y z
.
2 3
:
1 3 1
x y z
d
d
ABC
2 2
3
6
3
50
Câu 101. Cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 3
x y z
d
và mặt phẳng
:
P
1 0
x y z
. Viết phương trình
đường thẳng đi qua
(1;1; 2)
A
, song song với mặt phẳng
( )
P
và vuông góc với đường thẳng
d
.
A.
1 1 2
:
2 5 3
x y z
B.
1 1 2
:
2 5 3
x y z
C.
1 1 2
:
2 5 3
x y z
D.
1 1 2
:
2 5 3
x y z
Câu 102. Gọi
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 3 7 0
x y z
và
: 2 2 0
x y z
.
Đường thẳng
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(2 ; 1; 3)
Q
. B.
(1; 0 ; 3)
M
. C.
( 1; 0 ; 3)
P
. D.
(1; 2;1)
N
.
Câu 103. Trong không gian
,
Oxyz
cho điểm
2; 2;3
M
và đường thẳng
1 2 3
: .
3 2 1
x y z
d
Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là
A.
3 2 1 0
x y z
B.
2 2 3 17 0
x y z
C.
3 2 1 0
x y z
D.
2 2 3 17 0
x y z
Câu 104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 1 1
:
1 1 2
x y z
d
và điểm
2;1;0
A
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d?
A.
7 4 9 0
x y z
B.
7 4 8 0
x y z
C.
6 4 9 0
x y z
D.
4 3 0
x y z
Câu 105. Trong không gian Oxyz, cho điểm
3;2; 3
A
và hai đường thẳng
1
1 2 3
:
1 1 1
x y z
d
và
2
3 1 5
:
1 2 3
x y z
d
. Phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
có dạng:
A.
5 4 16 0
x y z
B.
5 4 16 0
x y z
C.
5 4 16 0
x y z
D.
5 4 16 0
x y z
Câu 106. Trong không gian,
Oxyz
cho diểm
(2; 2;1)
M
và mặt phẳng
( ) : 2 3 1 0
P x y z
. Đường
thẳng đi qua
M
và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
có phương trình là
A.
2 2
2 3
1
x t
y t
z t
. B.
2 2
2 3
1
x t
y t
z t
. C.
2 2
2 3
1
x t
y t
z t
. D.
2 2
3 2
1
x t
y t
z t
Câu 107. Cho hai đường thẳng
1 2
3 2 3
: 1 ; : 2 2
2 1 4
x t x m
d y t d y m
z t z m
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
(P) chứa
1
d
và song song với
2
d
là:
A.
7 5 20 0
x y z
B.
2 9 5 5 0
x y z
C.
7 5 0
x y z
D.
7 5 20 0
x y z
Câu 108. Cho đường thẳng ∆ có phương trình
1 1
2 1 1
x y z
và mặt phẳng (P):
2 2 1 0
x y z
.
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất là:
A.
2 2 1 0
x y z
B.
10 7 13 3 0
x y z
C.
2 0
x y z
D.
6 4 5 0
x y z
51
Câu 109. Cho đường thẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
tọa độ . Viết phương trình đường thẳng .
A. . B. . C. . D.
Câu 110. Cho đường thẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu
vuông góc của lên mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 111. Phương trình đường thẳng
d
là hình chiếu vuông góc của
d
trên mặt phẳng
P
, biết
12 4
: 9 3
1
x t
d y t
z t
và
:3 5 2 0
P x y z
. Đường thẳng
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng nào?
A.
3 5 2 0
x y z
và
8 7 11 22 0
x y z
. B.
3 5 2 0
x y z
và
4 7 22 0
x y z
.
C.
3 5 2 0
x y z
và
11 22 0
x y z
. D.
3 5 2 0
x y z
và
8 3 2 0
x y z
.
Câu 112. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương cắt tại
điểm . Điểm thay đổi trong sao cho luôn nhìn đoạn dưới góc . Khi độ dài lớn
nhất, đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 113. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông
góc và cắt đường thẳng .
A. . B. .C. . D. .
Câu 114. Cho mặt phẳng và đường thẳng Viết phương trình
đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng
A. B. C. D.
Câu 115. Cho 2 đường thẳng ; và mp .
Đường thẳng vuông góc với , cắt và lần lượt tại . Độ dài đoạn là
2
: 3 2
1 3
x t
d y t t
z t
d
d
Oxz
d
2
0
1 3
x t
y t
z t
2
3 2
1 3
x t
y t t
z t
0
3 2
1 3
x
y t t
z t
2
3 2
0
x t
y t t
z
1 5 3
:
2 1 4
x y z
d
d
: 5 0
P x
5
7
11 4
x
y t
z t
5
7
11 4
x
y t
z t
1
5 2
3
x
y t
z t
1
5
3 4
x
y t
z t
Oxyz
1; 2; 3
A
: 2 2 9 0
P x y z
d
A
3; 4; 4
u
P
B
M
P
M
AB
0
90
MB
MB
2; 19;3
3;0;15
18; 2;41
3;20;7
Oxyz
1; 1;1
A
4 2 5
:
1 1 1
x y z
d
1 1 1
5 1 8
x y z
1 1 1
1 5 4
x y z
1 1 1
5 5 4
x y z
1 1 1
5 1 8
x y z
: 2 4 0
P x y z
1 2
: .
2 1 3
x y z
d
P
.
d
1 1 1
5 1 3
x y z
1 1 1
5 1 3
x y z
1 1 1
5 1 2
x y z
1 1 1
5 1 3
x y z
1
3 3 2
:
1 2 1
x y z
d
2
5 1 2
:
3 2 1
x y z
d
: 2 3 5 0
P x y z
P
1
d
2
d
,
A B
AB
52
A. . B. . C. . D. .
Câu 116. Cho đường thẳng
1
d
có vectơ chỉ phương
(1;0; 2)
u
và đi qua điểm
2
3 1 4
(1; 3; 2), d : .
1 2 3
x y z
M
Phương trình mặt phẳng
( )
P
cách đều hai đường thẳng
1
d
và
2
d
có
dạng
ax 11 0.
by cz
Giá trị
a 2 3
b c
bằng
A.
42
. B.
32
. C.
11
. D.
20
.
Câu 117. Cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng
. Điểm
thuộc thỏa mãn đường thẳng
vừa cắt vừa vuông góc với . Tọa
độ điểm là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 118. Cho đường thẳng và mặt phẳng lần lượt có phương trình và
2 8 0
x y z
, điểm
(2; 1;3)
A
. Phương trình đường thẳng
cắt
d
và
( )
P
lần lượt tại
M
và
N
sao
cho
A
là trung điểm của đoạn thẳng
MN
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 119. Cho mặt phẳng và hai điểm , . Viết phương trình
đường thẳng đi qua và song song với sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng đó là nhỏ
nhất.
A. . B. . C. . D. .
Câu 120. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm
1;3;0
A
và
2;1;1
B
và đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z
. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng
?
A.
2 2 2
2 13 3 521
5 10 5 100
x y z
B.
2 2 2
2 13 3 25
5 10 5 3
x y z
C.
2 2 2
2 13 3 521
5 10 5 100
x y z
D.
2 2 2
2 13 3 25
5 10 5 3
x y z
Câu 121. Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường thẳng
: 1
x t
d y
z t
và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có
phương trình
2 2 3 0
x y z
;
2 2 7 0
x y z
. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d), tiếp
xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình
A.
2 2 2
4
3 1 3
9
x y z
B.
2 2 2
4
3 1 3
9
x y z
2 3
14
5
15
1;2; 1
A
1 1 2
:
2 1 1
x y z
d
: 2 1 0
P x y z
B
P
AB
d
B
6; 7;0
3; 2; 1
3;8; 3
0;3; 2
d
P
1 2
2 1 1
x y z
1 5 5
3 4 2
x y z
2 1 3
6 1 2
x y z
5 3 5
6 1 2
x y z
5 3 5
3 4 2
x y z
: 2 2 5 0
P x y z
3;0;1
A
0; 1;3
B
d
A
P
B
3 2
1
x t
y t
z
3 2
1
x t
y t
z
3 2
1
x t
y t
z
3 2
1
x t
y t
z
53
C.
2 2 2
4
3 1 3
9
x y z
D.
2 2 2
4
3 1 3
9
x y z
Câu 122. Trong không gian Oxyz, cho điểm
1;3; 2
I
và đường thẳng
4 4 3
:
1 2 1
x y z
. Phương
trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài
bằng 4 là:
A.
2 2
2
: 1 3 9
S x y z
B.
2 2 2
: 1 3 2 9
S x y z
C.
2 2 2
: 1 3 2 9
S x y z
D.
2 2 2
: 1 3 2 9
S x y z
Câu 123. Cho , mp và mặt cầu . Gọi
là đt đi qua , nằm trong và cắt tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Phương trình của
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 124. Cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 3 0
S x y z x y z m
. Tìm
m
để
1
: 1
2
x t
d y t
z
cắt
S
tại hai
điểm phân biệt
A.
31
2
m
. B.
31
2
m
. C.
31
2
m
. D.
31
2
m
.
Câu 125. Góc giữa hai đường thẳng
1
1 1
:
1 1 2
x y z
d
và
2
1 3
:
1 1 1
x y z
d
bằng:
A. 45
o
B. 90
o
C. 60
o
D. 30
o
Câu 126. Góc giữa đường thẳng
5
: 6
2
x t
d y
z t
và mp
: 1 0
P y z
là:
A.30
0
B.60
0
C.90
0
D.45
0
Câu 127. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
3;0;1 , 6; 2;1
A B
. Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A, B và (P) tạo với
mp Oyz
góc
thỏa mãn
2
cos
7
?
A.
2 3 6 12 0
2 3 6 0
x y z
x y z
B.
2 3 6 12 0
2 3 6 1 0
x y z
x y z
C.
2 3 6 12 0
2 3 6 0
x y z
x y z
D.
2 3 6 12 0
2 3 6 1 0
x y z
x y z
Câu 128. Cho điểm A(1;1;1) và hai đường thẳng
1
2 2
: 1
2
x t
d y
z t
;
2
5 3
: 1
3
x s
d y
z s
.
Gọi B,C là các điểm lần lượt di động trên
1 2
;
d d
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =AB +BC +CA là:
A.
2 29
B.
2 985
C.
5 10 29
D.
5 10
0; 1; 5
E
: 2 2 3 0
P x y z
2 2
2
: 4 1 25
S x y z
E
P
S
11
1 2
5 26
x t
y t
z t
50
1 23
5 7
x t
y t
z t
11
1 2
5 26
x t
y t
z t
50
1 23
5 7
x t
y t
z t
54
Câu 129. Cho điểm và mặt cầu Gọi là đường tròn
giao tuyến của (S) với mp(Oxy); điểm B và C di chuyển trên (C) sao cho 𝐵𝐶 = 2
√
5 . Khi tứ diện OAB có
thể tích lớn nhất thì đường thẳng BC có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 130. Cho điểm , và mặt cầu .
Gọi là đường thẳng đi qua , nằm trong và cắt tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Biết
có một vec-tơ chỉ phương . Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 131. Cho điểm , mặt phẳng và mặt cầu
Gọi là đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và cắt mặt
cầu tại hai điểm sao cho tam giác có diện tích lớn nhất với là tâm của mặt cầu .
Phương trình của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 132. Trong mặt phẳng
Oxyz
, cho mặt cầu
2
2 2
: 1 25
S x y z
và mặt phẳng
: 2 2 15 0
P x y z
. Gọi
1 2
,
M M
là hai điểm thuộc
S
sao cho
1
;
d M P
đạt giá trị lớn nhất và
2
;
d M P
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của
1 2
; ;
T d M P d M P
là:
A.
10
. B.
5
. C.
17
3
. D.
34
3
.
Câu 133. Cho điểm và mặt cầu Đường thẳng thay đổi, đi qua điểm
cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn nhất của tam giác
A. . B. . C. . D. .
Câu 134. Cho điểm , và mặt cầu . Gọi là
mặt phẳng đi qua và cắt theo một thiết diện là đường tròn . Đường thẳng cắt tại
hai điểm . Điểm thuộc đường tròn sao cho tam giác cân tại , là đường cao ứng
với cạnh . Khi thiết diện có diện tích nhỏ nhất thì phương trình của là
A. . B. . C. . D. .
0;1;9
A
2 2 2
: 3 4 4 25.
S x y z
C
21
4
5
28
3
5
0
x t
y t
z
21 4
28 3
0
x t
y t
z
21
3
5
28
4
5
0
x t
y t
z
21
4
5
28
3
5
0
x t
y t
z
2;1;3
E
: 2 2 3 0
P x y z
2 2 2
: 3 2 5 36
S x y z
E
P
S
0 0
2018; ;
u y z
0 0
.
T z y
0
T
2018
T
2018
T
1009
T
0;1; 2
A
: 1 0
P x y z
2 2 2
: 2 4 7 0.
S x y z x y
A
P
S
,
B C
IB C
I
S
: 1
2
x t
y
z t
: 1
2
x t
y t
z
: 1
2
x t
y t
z
: 1
2
x t
y
z t
1 3
; ;0
2 2
M
2 2 2
: 8.
S x y z
d
,
M
S
, .
A B
S
.
OAB
7
S
4
S
2 7
S
2 2
S
1;1;1
A
2;2;2
B
2 2 2
: 2 2 4 10 0
S x y z x y z
P
,
A B
S
C
AB
C
,
E F
C
C
CEF
C
CH
EF
CH
1
: 1
1
x t
y
z t
1
: 1
1
x t
y t
z
1
: 1
0
x t
y t
z
1
: 1
2
x t
y
z t
55
Câu 135. Cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
d
và tạo với
mặt phẳng
:2 2 2 0
Q x y z
một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm
1;2;3
A
cách
P
một khoảng bằng
A.
3
. B.
5 3
3
. C.
7 11
11
. D.
4 3
3
.
Câu 136. Cho đường thẳng và hai điểm , . Tìm điểm M thuộc đường
thẳng
d
sao cho
MA MB
nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Câu 137. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
tâm
(9; 3;1)
I
bán kính bằng 3. Gọi
M
,
N
là hai điểm
lần lượt thuộc hai trục
Ox
,
Oz
sao cho đường thẳng
MN
tiếp xúc với
( )
S
,đồng thời mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện
OIMN
có bán kính bằng
13
2
. Gọi
A
là tiếp điểm của
MN
và
( )
S
, giá trị
.
AM AN
bằng
A.
12 3
. B. 18. C.
28 3
. D. 39.
Câu 138. Cho ba điểm không thẳng hàng Hai mặt cầu có phương trình
và cắt nhau theo đường tròn
Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa và tiếp xúc với ba đường thẳng
A. vô số B. C. D. Không có
Câu 139. Cho mặt cầu và đường thẳng . Hai mặt phẳng
chứa , tiếp xúc với tại và . Điểm là trung điểm của đoạn , giá trị của
biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
Vấn đề 5. Tọa độ hóa bài toán hình trong không gian
Câu 141. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, và
vuông góc với đáy . Tính với là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 142. . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi
M là trung điểm cạnh SD. Tính của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).
A. . B. . C. . D. .
1 2
: 1
x t
d y t
z t
1;0; 1
A
2;1;1
B
1;1;0
M
3 1
; ;0
2 2
M
5 1 1
; ;
2 2 2
M
5 2 1
; ;
3 3 3
M
3;0;0 , 0;3;0 ,
A B
0;0;3 .
C
2 2 2
1
: 2 4 6 9 0
S x y z x y z
2 2 2
2
: 8 4 8 0
S x y z x z
.
C
C
, , ?
AB BC CA
1
3
2 2
2
: 1 1 1
S x y z
2
:
x t
d y t
z t
,
P Q
d
S
T
'
T
; ;
H a b c
'
TT
T a b c
0
1
3
2
3
1
.
S ABCD
ABCD
,
AB a
3,
BC a
SA a
SA
ABCD
sin
BD
( )
SBC
2
sin
4
7
sin
8
3
sin
5
3
sin
2
2
SA a
cos
5
5
5
3
3
2
2
3
56
Câu 143. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , biết và vuông
góc với mặt đáy ABCD. Gọi M,N là trung điểm của SA, BC. Gọi
là góc giữa đường thẳng MN và mặt
phẳng (SBD). Tính cos.
A. . B. . C. . D. .
Câu 144. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với
đáy. Gọi là trung điểm và là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính thể tích khối tứ
diện .
A. . B. . C. . D. .
---- HẾT----
.
S ABCD
ABCD
a
SO a
SO
2
7
21
7
5
10
2
5
.
S ABCD
ABCD
a
SA a
SA
M
SB
N
SD
2
SN ND
ACMN
3
1
12
V a
3
1
8
V a
3
1
6
V a
3
1
36
V a
| 1/56

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

TRƯỜNG THPT YÊN HÒA
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II BỘ MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN: TOÁN - KHỐI 12 PHẦN TT KIẾN THỨC CÁC DẠNG TOÁN Trang
Câu hỏi lý thuyết nguyên hàm 2
Nguyên hàm của hàm số đa thức 2
Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ 3
Nguyên hàm của hàm số chứa căn thức 5 1 NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của hàm số lượng giác 6
Nguyên hàm của hàm số mũ và logarit 8 Nguyên hàm tổng hợp 10
Các bài toán nguyên hàm có điều kiện 12 Nguyên hàm của hàm ẩn 14
Câu hỏi lý thuyết tích phân 16 Tích phân hàm đa thức 17
Tích phân hàm số hữu tỉ 17 GIẢI
Tích phân hàm chứa căn thức 18 TÍCH
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Tích phân hàm lượng giác 19 2
Tích phân của hàm số mũ và logarit 20 Tích phân tổng hợp 21
Tích phân dùng tính chất 22
Ứng dụng tích phân tính diện tích thể tích 25
Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tế 29
Câu hỏi lý thuyết về số phức 32 Các phép toán số phức 32 SỐ PHỨC
Phương trình trong tập số phức 34 3
Bài toán có module, số phức liên hợp 35
Điểm biểu diễn của số phức 36
Vận dụng hình học để giải toán số phức 38
Hệ trục tọa độ trong không gian 40 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương trình mặt phẳng 42 HÌNH 4 TRONG KHÔNG GIAN Phương trình mặt cầu 45 HỌC
Phương trình đường thẳng 48
Tọa độ hóa bài toán hình học không gian. 55 1 PHẦN I. GIẢI TÍCH A. NGUYÊN HÀM.
Vấn đề 1. Các câu hỏi lý thuyết.
Câu 1. Giả sử hàm số F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên K . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y  F (x)  C là một nguyên hàm của hàm f trên K.
B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K , tồn tại một hằng số C sao cho G(x)  F (x)  C với x  K .
C. Có duy nhất hàm số y  F (x) là nguyên hàm của f trên K.
D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G(x)  F (x)  C với mọi x  K và C bất kỳ.
Câu 2. Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Mệnh đề nào sai?  A. f (x)dx F (x)  C.  B.  f (x)dx    f (x).  C.  f (x)dx    f (x).  f(x)dx   F(x) D.
Câu 3. Cho hai hàm số f (x), g (x) là hàm số liên tục có F ( x), G ( x) lần lượt là nguyên hàm của f ( x), g ( x). Xét các mệnh đề sau:
(I). F (x)  G(x) là một nguyên hàm của f ( x)  g ( x).
(II). k.F ( x) là một nguyên hàm của kf (x) với k  .
(III). F (x).G(x) là một nguyên hàm của f ( x).g ( x). Các mệnh đúng là A. (I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).
Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.  f (x)  g(x)dx  f (x)dx  g(x)dx   .
B. Nếu F ( x ) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F (x)  G(x)  C là hằng số.
C. F(x)  x là một nguyên hàm của f ( ) x  2 x. D. 2 ( F )
x  x là một nguyên hàm của f (x)  2x.
Câu 5. Trong các khẳng định sau khẳng định nào SAI? A. 0dx  C  ( C là hằng số). B.  1  1 x dx  x  C  ( C là hằng số).  1 C. 1 dx  ln x  C  ( C là hằng số). D. dx  x  C  ( C là hằng số). x
Vấn đề 2. Nguyên hàm của hàm số đa thức. Câu 6. Nếu f  x 3 2
dx  4x  x  C thì hàm số f  x bằng 3 x 3 x A. f  x 4  x  Cx . B. f x 2
12x  2x  C . C. f x 2 12x  2x. D. f  x 4  x  . 3 3
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số   3 2 f x  x  x là 1 1 A. 4 3 x  x  C B. 2 3 x  2 x  C C. 3 2 x  x  C D. 4 3 x  x  C 4 3
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số 1 f ( x)  3 2 x  2x  x  2019 là 3 2 2 1 2 x 2 1 2 x A. 4 3 x  x  C . B. 4 3 x  x  2019xC . 12 3 2 9 3 2 2 1 2 x 2 1 2 x C. 4 3 x  x  2019xC . D. 4 3 x  x  2019xC . 12 3 2 9 3 2
Câu 9. Tìm nguyên F  x của hàm số f  x  x   1  x  2x   3 ? 4 x 11 A. F  x 3 2  6x  x 6xC . B. F  x 4 3 2
 x 6x 11x 6x C . 4 2 4 x 11 C. F  x 3 2   2x  x 6xC . D. F  x 3 2 2
 x 6x 11x 6xC . 4 2
Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x  5 2 3 là x  x  A. F  x  6 2 3   C . B. F  x  6 2 3   C . 12 6
C. F  x   x  4 10 2 3  C .
D. F  x   x  4 5 2 3  C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm x x   15 2 7 dx ? A. 1  1 1 1 x  7 16 2  C B.  x  716 2  C C. x 716 2  C D. x  716 2  C 2 32 16 32
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x x  2021 3 2 1 là  
1  x  2023  x  2022 2 2 1 1
x  2023 x  2022 2 2 1 1 A.    . B.  . 2  2023 2022    2021 2020  2023 2022  2 2  x  2023 x  2022 2 2 1 1 1  x   1 x  1 C.   C . D.     C . 2023 2022 2  2023 2022   
Câu 13. Biết rằng hàm số F x 3  mx   m  n 2 3
x  4x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x 2
 3x 10x  4. Tính m.n. A. m.n  1 . B. . m n  2 . C. . m n  0 . D. . m n  3.
Vấn đề 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x 1  . 5x  2 A. dx 1  x ln 5x  2  C  B. d  ln 5x  2  C  5x  2 5 5x  2 C. dx 1   x ln 5x  2  C  D. d  5 ln 5x  2  C  5x  2 2 5x  2  1 
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  1  trên ;  . 1  2 x  2  1 1 1 A. ln 2x 1  C .
B.  ln 1 2x  C . C.  ln 2x   1  C . D. ln2x   1  C . 2 2 2 3
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  2 2  x  . 2 x 3 x 1 3 x 2 A. f  xdx   C . B. f  xdx  C. 3 x 3 x 3 x 1 3 x 2 C. f  xdx  C. D. f  xdx   C . 3 x 3 x 3x  2
Câu 17. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng 2;   là x  22 A. x   2 3 ln 2   C B. x   2 3 ln 2   C x  2 x  2 C. x   4 3 ln 2   C D. x   4 3 ln 2   C . x  2 x  2 2x 13
Câu 18. Cho biết      
  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  x  dx aln x 1 bln x 2 C x 1 2 A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 .
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f  x 1 
trên khoảng 2;  là 2 x  2 x lnx  2 ln x ln x lnx2 A. C . B. C. 2 2 lnx  2 ln x C. C.
D. ln x 2 ln x C . 2 Câu 20. Cho biết
1 dx  aln x 1 x 1  bln x  C 
. Tính giá trị biểu thức: P  2a  b . 3    x  x A. 0. B. -1. C. 1 . D. 1. 2 x
Câu 21. Đổi biến t  x  1 thì dx  trở thành 4 (x 1  ) 4 (t 1) A. t 1 t 1 t  dt.  B. d .t  C. dt.  D. 1 dt.  4 t t 4 t t
Câu 22. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f x 1  9 5 x  3x 4 4 A.    1 1 x 1 1 x f x dx    ln  C B. f  xdx    ln  C 4 4 3x 36 x  3 4 4 12x 36 x  3 4 4 C.    1 1 x 1 1 x f x dx    ln  C D. f  xdx    ln  C 4 4 3x 36 x  3 4 4 12x 36 x  3   2022 1 1  1 b x x  Câu 23. Biết dx  .  C , x  1  a b      với ,
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x  2024 1 a  x 1 A. a  2b . B. b  2a . C. a  2018b . D. b  2018a . 1  Câu 24. Cho a I  dx    b ln x  2c ln  2
1  x  C . Khi đó S  a  b  c bằng 2  3 x  2 1 x  x A. 1  . B. 3 . C. 7 . D. 2. 4 4 4 4
Vấn đề 4. Nguyên hàm của hàm số chứa căn thức.
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  2x 1. A. 1 f  x 2 dx  2x   1 2x  1  C. B. f
 xdx  2x 1 2x 1  C. 3 3 C. f  x 1 dx   2 x 1  C. D. f  x 1 dx  2 x  1  C. 3 2
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f  x 3  3x 1 là A. f
 x x   x   3 d 3 1 3x 1  C . B. f  x 3 dx  3x 1  C . C. 1 f  x 1 3 dx  3x 1  C . D. f
 xdx  3x   3 1 3x 1  C . 3 4
Câu 27. Nguyên hàm của hàm số f  x 1  là 2 2x 1 A. f  x 1 dx  2x 1  C . B. f
 xdx  2x 1C . 2 1 C. f
 xdx  2 2x 1C . D. f  xdx    C . 2x   1 2x 1 dx Câu 28. Biết     
với a, b là các số nguyên dương và C là hằng số   x   a x b x 2 C x x 2 2 x
thực. Giá trị của biểu thức P  a  b là: A. P  2 B. P  8 C. P  46 D. P  22 f ' x
Câu 29. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;   . Khi đó dx  bằng x A. 1 f  x   C B. f  x   C C. 2 f  x   C D. 2 f  x   C 2 x 3
Câu 30. Khi tính nguyên hàm dx 
, bằng cách đặt u  x 1
 ta được nguyên hàm nào? x 1 A.   2 2 u  4d u . B.  2 u  4d u . C.   2 u  3d u . D. u   2 2 u  4d u . Câu 31. Nguyên hàm 3 2 P  x. x  1dx  là A. 3 3 P   2 x   3 2 1 x  1  C B. P   2 x  1 2 x  1  C 8 8 C. 3 3 3 2 P  x  1  C D. P   2 x   3 2 1 x 1  C 8 4 1 Câu 32. Nguyên hàm R  dx  là x x1 1 x 1 1 1 x 1 1 A. R  ln C B. R  ln C 2 x 1 1 2 x 1 1 x 11 x 11 C. R  ln C D. R  ln C x 11 x 11 5 Câu 33. Nguyên hàm 3 2 S  x x  9dx  là  4 x  92 2 2 x  9  2x  9 2 x  9 A. S   3 2 x  9 2 x  9  C B. S   3 2 x  9 2 x  9  C 5 5  2x  9 2x  9 x  92 2 2 x  9 C. S   3x  92 2 2 x  9  C D. 2 S   3 x  9  C 5 5 1 Câu 34. Nguyên hàm I  dx  là 1 x 3 2 x x 2 1 x A.   2 2 3 1 x  C B. C C.  C D. C 2 1 x   x 3 2 1 x 3 x Câu 35. Cho I  dx  . Bằng phép đổi biến 2
u  x 1 , khẳng định nào sau đây sai? 2 x 1 3 u A. 2 2 x  u 1 B. xdx  udu C. I   2 u   1.udu D. I   u  C 3 dx
Câu 36. Nguyên hàm I   là 2 2 x 9  x 2 9  x 2 9  x 2 9  x 2 9  x A. I   C B. I  C C. I  C D. I   C 9x 9x 2 9x 2 9x 3 x Câu 37. Nguyên hàm I  dx  là 2 1 x A. 1 1 I    2 x  2 2 1 x  C B. I   2 x  2 2 1 x  C 3 3 C. 1 1 I    2 x  2 2 1 x  C D. I   2 x  2 2 1  x  C 3 3
Vấn đề 5. Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  2sin x .
A. 2 sin xdx  2 cos x  C  B. 2sin xdx  2 cos x  C  C. 2 2sin xdx  sin x  C  D. 2sin xdx  sin 2x  C    
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số y  cos 3x    là  6        A. f  x 1 dx  sin 3x   C   B. f  x 1 dx   sin 3x  C   3  6  3  6        C. f  x 1 dx  sin 3x   C   D. f
 xdx sin 3x C   6  6   6 
Câu 40. Phát biểu nào sau đây đúng? A. cos 2x sin 2xdx   C,C   
B. sin 2xdx  cos 2x  C,C    2 C. 
sin 2xdx  2 cos 2x  C,C    D. cos 2x sin 2xdx   C,C    2 6 Câu 41. Biết f
 xdx  3xcos2x 5 C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f
 3xdx  3xcos6x 5C B. f
 3xdx  9xcos6x5C C. f
 3xdx  9xcos2x 5C D. f
 3xdx  3xcos2x 5C a Câu 42. Biết   2 sin 2 cos 2   cos 4   a x x dx x
x C , với a, b là các số nguyên dương, là phân số tối b b
giản và C   . Giá trị của a  b bằng A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 43. Nguyên hàm F  x của hàm số f  x  cos3xcos x , biết đồ thị y  F  x đi qua gốc tọa độ là x x x x A. F  x sin 4 sin 2   B. F  x sin 4 sin 2   4 2 8 4 x x x x C. F  x cos 4 cos 2   D. F  x sin 8 sin 4   8 4 8 4 cosm nx
Câu 44. Biết cos x sin x5 2 2 sin 4xdx  
C , với m, n, p   và C là hằng số thực. Giá trị của p
biểu thức T  m  n  p là A. T  9 B. T  14 C. T  16 D. T  18 Câu 45. Nguyên hàm 2 sin x M  dx  là 1 3cos x A. 1
M  ln 1  3 cos x   C B. 2 M  ln 1  3cos x  C 3 3 C. 2
M   ln 1  3cos x  C D. 1
M   ln 1  3 cos x  C 3 3
Câu 46. Nguyên hàm của hàm số 2 f ( ) x 3sin . x cos x là A. 3 sin x  C . B. 3 sin x  C . C. 3 cos x  C . D. 3  cos x  C .
Câu 47. Tìm nguyên hàm của hàm số sin x f ( x)  . 1  3 cos x A. 1
f (x) dx  ln 1  3cos x  C  .
B. f (x) dx  ln 1 3cos x  C  . 3
C. f (x) dx  3ln 1 3cos x  C  . D. 1
f ( x) dx   ln 1  3 cos x  C  . 3 cos x
Câu 48. Tìm các hàm số f ( x ) biết ' f (x)  . 2 (2  sin x) sin x 1 A. f (x)   C . B. f (x)   C . 2 (2  sin x) (2  cos x) 1 sin x C. f (x)    C . D. f (x)   C . 2  sin x 2  sin x
Câu 49. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x 5  tan x . A. f  x 1 1 4 2 dx 
tan x  tan x  ln cosx  C . 4 2 7 B. f  x 1 1 4 2 dx 
tan x  tan x  ln cosx  C . 4 2 C. f  x 1 1 4 2 dx  tan x  tan x  ln cosx  C . 4 2 D. f  x 1 1 4 2 dx 
tan x  tan x  ln cosx  C . 4 2 Câu 50. Cho nguyên hàm sin 2x I  dx 
. Nếu u  cos 2x đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng? 4 4 cos x  sin x  A. 1 1 1 1 2 I  du  B. I  du  C. I  du  D. I  du  2 u  1 2 2u  1 2 2 u 1 2 u  1 cos 2x sin x cos x  1m Câu 51. Cho dx    C  
, với m, n   và C là hằng số thực. Giá trị sin x  cos x  23 sin x cos x 2n
của biểu thức A  m  n là A. A  5 B. A  2 C. A  3 D. A  4
Vấn đề 6. Nguyên hàm của hàm số chứa hàm số mũ, hàm số logarit.
Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số   7x f x  . x 1  x 7 x 7x A. 7 dx  C  B. x x 1 7 dx 7    C 7 dx  C  D. 7x d  7x x ln 7  C ln7  C. x 1  Câu 53. Cho hàm số ( ) x f x e 2 .
x Khẳng định nào dưới đây đúng? A. x 2 f (x)dx  e  x  C.  B. ( ) x f x dx  e  C.  C. x 2 f (x)dx  e  x  C.  D. x 2 f (x)dx  e  2x  C. 
Câu 54. Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y   là A. 1 2 1 2e x  C . B. 2 1 e x  C . C. 2 x 1 e   C . D. 1 ex  C . 2 2 Câu 55. Tính 2 F(x)  e dx 
, trong đó e là hằng số và e  2, 718 . 2 2 e x 3 e A. F( ) x  C. B. F(x)  C . C. 2 ( F ) x e xC. D. F (x)  2ex  C . 2 3 Câu 56. Hàm số   2 x
F x  e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau 2 x 2 2 e A. ( )  2 x f x xe . B. 2 ( ) x f x  x e 1. C. 2 ( ) x f x e . D. f (x)  . 2x
Câu 57. Nguyên hàm của hàm số   2x 2 x f x    5 là x   A. 2 x  5    C . B.  5.2 x x ln 2  C .  ln 2  x x   x   C. 2 2   x  5x   C . D. 2 1 5   C . ln 2  ln 2   ln 2 
Câu 58. Cho F  x là một nguyên hàm của f x 1 
thỏa mãn F 0 10. Hàm số F x là 2 x e  3 8 A. 1    1 x x e   ln 5 ln 2 3  10  B.  10  ln 2 x x e  3 3 3 3 1    x 3 C. x  ln 2e   ln5 ln 2 1  x ln 5 ln 2   
D. x  ln 2e  3 10  3  2    3 3
Câu 59. Hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và:   2  2e x f x 1,  ,
x f 0  2 . Hàm f x là A.  2ex y 2x. B. 2ex y  2. C. 2 e x y  x2. D. 2 e x y x 1  .
Câu 60. Nguyên hàm của hàm số   ln x f x  là x 2 ln x A.  C B. 1  ln x  x C C. ln  C D. 2 ln x  C 2 2 x 2 1 Câu 61. Nguyên hàm T  dx  là x ln x 1 1 A. T  C B. T 2 lnx 1  C 2 ln x 1 C. 2
T  ln x  1 ln x  1  C D. T  ln x 1C 3
Câu 62. Tìm họ nguyên hàm của hàm số   3 2 1 .ex f x x   . 3 x A. f  x 3 x 1 dx .e   C. B.    3 1 d 3ex f x x    C . 3 C.    3 1 1 d ex f x x    C . D. f  x 3 x 1 dx  e  C . 3
Câu 63. Nguyên hàm của   2 sin  sin 2 . x f x x e là 2 sin x 1  2 sin x 1  2 e 2 e A. 2 sin 1 sin . x xe  C. B. C . C. sin x e C. D. C . 2 sin x 1 2 sin x 1
Câu 64. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 ln x  x 1 là A. F  x  x  2 x  x   2 ln 1  x 1  C . B. F  x  x  2 x  x   2 ln 1  x 1  C . C. F x  x  2 ln x  x 1C. D. F  x 2  x  2 ln x  x 1C . 2 ln x
Câu 65. Xét nguyên hàm V   
dx . Đặt u 1 1ln x , khẳng định nào sau đây sai? x 1 ln x 1 u  u2 2 2 A. dx  2u  2du B. V  .  2u  2du x u 5 4 u u 16 C. 2 5 16 5 4 3 2 V  u  u  u  4u  C D. 3 2 V    u 4u C 5 2 3 5 2 3 Câu 66. Cho hàm số   3 2 x 2 2  2  2 x f x x e xe , ta có    3 2 2 2 d x x x f x x  me
 nxe  pe  C . Giá trị của biểu thức m  n  p bằng A. 1 B. 2 C. 13 D. 7 3 6 6 9 Câu 67. Biết f   x 2
2 dx  sin x  ln x . Tìm nguyên hàm f  xdx  . A. x f  x x 2 dx  sin  ln x  C . B. f  x 2 dx  2 sin  2 ln x  C . 2 2 C. f  x 2
dx  2 sin x  2 ln x  ln 2  C . D. f  x 2
dx  2sin 2x  2 ln x  ln 2  C .
Vấn đề 7. Nguyên hàm tổng hợp.
Câu 68. Họ nguyên hàm của hàm số    x f x e  x là 1 x 1 x 1 A. x e 1 C B. x 2 e  x  C C. 2 e  x  C D. 2 e  x  C 2 x 1 2
Câu 69. Tính x sin 2xdx. 2 x 2 x cos 2x 2 x cos 2x A.  sin x  C . B.  cos 2x  C . C. 2 x   C . D.   C . 2 2 2 2 2 x 1
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 y  x  3  . x 3 3x x 1 3 x x 1 A.    C, C  . B.  3   C, C  . 2 3 ln 3 x 2 3 x 3 3x x 3 3x x C.   ln x  C, C  . D.   ln x  C, C   . 3 ln 3 3 ln 3
Câu 71. Họ nguyên hàm của hàm số f  x 2  3x  sin x là A. 3 x  cos x  C . B. 6x  cos x  C . C. 3 x  cos x  C . D. 6x  cos x  C .
Câu 72. Công thức nào sau đây là sai? 1 1 A. ln d    x x C . B. d  tan   x x C . x 2 cos x C. sin d   cos   x x x C . D. e d  e   x x x C .
Câu 73. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 e 1  A. cos 2 d  sin 2   x x x C . B. ed    x x x C . 2 e 1 1 x 1 x e  C. d  ln   x x C . D. e dx    C . x x 1
Câu 74. Họ nguyên hàm của hàm số f  x 1   sin x là x 1 A. ln x  cos x  C . B.   cos x  C . C. ln x  cos x  C . D. ln x  cos x  C . 2 x e x 2023   x 
Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  e 2022   . 5   x  2023 2023 A.  d  2022    x f x x e C . B.  d  2022    x f x x e C . 4 x 4 x 2023 2023 C.  d  2022    x f x x e C . D.  d  2022    x f x x e C . 4 4x 4 4x 10   x e 
Câu 76. Họ nguyên hàm của hàm số y  x e  2  là 2   cos x  x 1 x 1 A. 2 x e  tan x  C B. 2 x e  tan x  C C. 2e   C D. 2e   C cos x cos x Câu 77. Hàm số F x 2
 x lnsin x cos x là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 2 x 2 x cos x  sin x A. f  x  .
B. f  x  2x ln sin x  cos x    . sin x  cos x sin x  cos x 2 x sin x  cos x 2 x C. f  x    .
D. f  x  2x ln sin x  cos x  . sin x  cos x sin x  cos x
Câu 78. Cho hàm số f  x x ln 2  2 .
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f  x ? x A.    2 x F x  C B.    22 x F x  1C C.    22 x F x   1  C D. F  x x 1 2    C
Câu 79. Tìm họ nguyên hàm của hàm số   3 2 1   x f x x e A.   3 2 1 d 3     x f x x x e C . B.   3 1 d 3     x f x x e C . 1 3 x C.   3 1 d     x f x x e C . D. f  x 3 1 d  x  e   x C . 3 3 Câu 80. Biết cos 2 d  sin 2  cos 2   x x x ax x b
x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 8 4 8 4
Câu 81. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  4x1 ln x là A. 2 2 2x ln x  3x . B. 2 2 2x ln x  x . C. 2 2 2x ln x  3x  C . D. 2 2 2x ln x  x  C .
Câu 82. Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( )  . x f x x e là 1 x  1  1 A. 2 F(x)  e x     C B. 2 ( )  x F x e  x  2  C 2  2  2 x  1  C. 2 ( )  2 x F x e x  2  C D. 2 F(x)  2e x     C  2 
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số ( )  2 (1 x f x x e ) là A.  x   x 2 2 1 e  x . B.  x   x 2 2 1 e  x . C.  x   x 2 2 2 e  x . D.  x   x 2 2 2 e  x .
Câu 84. Họ nguyên hàm của f  x  xln x là kết quả nào sau đây? 1 1 1 1 A. F  x 2 2  x ln x  x  C . B. F  x 2 2  x ln x  x  C . 2 2 2 4 1 1 1 1 C. F  x 2 2  x ln x  x  C . D. F  x 2  x ln x  x  C . 2 4 2 4
Câu 85. Tất cả các nguyên hàm của hàm số    x f x
trên khoảng 0;  là 2 s in x
A. x cot x  ln sinx  C .
B. x cot x  ln sinx  C .
C. x cot x  ln sinx  C .
D. x cot x  ln sinx  C . 11  2 2x  xln x 1
Câu 86. Họ nguyên hàm của hàm số y  là x x x A.  x  x   2 2 1 ln x   x  C . B.  x  x   2 2 1 ln x   x  C . 2 2 x x C.  x  x   2 2 1 ln x   x  C . D.  x  x   2 2 1 ln x   x  C . 2 2 x  a x Câu 87. Biết F  x  cos3 1  
 sin 3x  2023 là một nguyên hàm của hàm số f x  x  2sin3x b c
(với a , b , c   ). Giá trị của ab  c bằng A. 14 . B. 15 . C. 10 . D. 18 . Câu 88. Cho hàm số   3 2 x 2 2  2  2 x f x x e xe , ta có   3 2 2 2 d       x x x f x x me nxe pe C . Giá trị của biểu thức m  n  p bằng 1 13 7 A. B. 2 C. D. 3 6 6
Câu 89. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của  x f x  2x   2 ( ) 2025
4 x  3x  2. Khi đó số điểm cực trị của hàm số là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 90. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số   2 x f x  e  3
x  4 x  . Hàm số  2 F x  x có bao nhiêu điểm cực trị? F (x) A. 6 . B. 5. C. 3. D. 4 .
Vấn đề 8. Các bài toán nguyên hàm có điều kiện. Câu 91. Nếu F x 1  và F  
1 1 thì giá trị của F 4 bằng 2x 1 A. ln 7. B. 1 1  ln 7. C. ln3. D. 1 ln 7. 2
Câu 92. Cho hàm số f  x xác định trên R \   1 thỏa mãn f x 1 
, f 0  2022 , f 2  2023. x 1 Tính S  f   3  f   1 . A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . D. S  1 .  1  1
Câu 93. Cho hàm số f  x thỏa mãn f  x b 2  ax  , f   1 3, f   1  2, f     . Khi đó 2a  b bằng 3 x  2 12 A. 3  . B. 0. C. 5. D. 3 . 2 2
Câu 94. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số   2 x
f x  e và F 0  0 . Giá trị của F ln 3 bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.
Câu 95. Cho hàm số f  x thỏa mãn   x
f x  xe và f 0  2 .Tính f   1 . A. f   1  3. B. f   1  e . C. f   1  5e . D. f   1  82e . 12
Câu 96. Gọi F  x là một nguyên hàm của hàm số   e x f x x  
. Tính F  x biết F   0 1. A.    1e x F x x      2 . B.    1e x F x x    1. C.    1e x F x x    2. D.    1e x F x x     1.
Câu 97. Gọi F  x là một nguyên hàm của hàm số   2x
f x  , thỏa mãn F   1 0 
. Tính giá trị biểu thức ln 2 T  F 0  F  
1  ...  F 2022  F 2023 . 2023 2 1 2022 2 1  2024 2 1  A. T 1009. . B. 2022.2023 T  2 . C. T  . D. T  . ln2 ln2 ln2    2   
Câu 98. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm f  x  cos3x và F    . Tính F   .  2  3  9     3  2    3  2    3  6    3  6 A. F    B. F    C. F    D. F     9  6  9  6  9  6  9  6   
Câu 99. Tìm nguyên hàm F  x của hàm số f  x  sin x  cos x thoả mãn F  2   .  2 
A. F  x  cos x sin x 3
B. F  x  cos x sin x 1
C. F x  cos x sin x 1
D. F  x  cos x sin x  3   
Câu 100. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x 1  . Biết F  k  k   với mọi k  .  2 cos x  4 
Tính F 0  F    F  
  ... F 10  . A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.   
Câu 101. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f x 3  sin .
x cos x và F 0   . Tính F   .  2          1   1 A. F      . B. F     . C. F      . D. F     .  2   2   2  4  2  4  
Câu 102. Gọi F  x là nguyên hàm của hàm số f  x 2 3  sin 2 . x cos 2x thỏa F  0   . Giá trị  4  F 2023  là A. F    1 2022   B. F 2022   0 C. F    2 2022   D. F    1 2022  15 15 15 x  x   
Câu 103. Biết F  x là một nguyên hàm f  x sin 2 cos 
và F 0  2 . Giá trị của F   là 1 sin x  2  2 2 8 2 2 8 4 2 8 4 2 8 A. B. C. D. 3 3 3 3  Câu 104. Cho 2x 1
F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng 0;   thỏa mãn 4 3 2 x  2x  x F   1 1 
. Giá trị của biểu thức S  F   1  F 2  F   3  F 202  3 bằng 2 13 A. 2022 . B. 2021.2023 . C. 1 2022 . D. 2022  . 2023 2022 2023 2023 ln x 3
Câu 105. Giả sử F  x là một nguyên hàm của f  x    sao cho F   2  F   1  0. Giá trị của 2 x F   1  F 2 bằng A. 10 5 ln 2  ln 5 . B. 0. C. 7 ln 2 . D. 2 3 ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 6
Câu 106. Gọi g  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  ln x  1 . Cho biết g   2 1 và g   3  alnb
trong đó a , b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của 2 2 T  3a  b A. T  8 . B. T  17 . C. T  2. D. T  13.
Vấn đề 9. Nguyên hàm của hàm ẩn
Câu 107. Hàm số F  x nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x.g  x , biết F   1  3, f
 xdx  x  C và g  x 2 dx  x  C . 1 2 A. F  x 2  x 1 B. F  x 2  x  3 C. F  x 2  x  2 D. F  x 2  x  4 Câu 108. Cho f  x 3
dx  4x  2x  C . Tính I  xf   2xdx. 0 10 6 x x A. 6 2 I  2 x  x  C . B. I   C . C. 6 2 I  4 x  2 x  C . D. 2 I  12 x  2 10 6
Câu 109. Hàm số y  f  x liên tục thỏa mãn f  x  0, f  x  0; x
 0;, f 2  4 và  f   x 2   x  2 1
f  x  . Khi đó giá trị f   1 bằng A. 9 . B. 1 . C. 0. D. 3 . 16 16 4
Câu 110. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  x f  x 4 2 ' .
 x  x . Biết f 0  2 . Tính 2 f 2 . A. 313 332 324 323 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . 15 15 15 15
Câu 111. Cho hai hàm số F x,G x xác định và có đạo hàm lần lượt là f x, g x trên  . Biết rằng 3 2x F  x G  x 2  x  2 . ln x  
1 và F  x.g  x  . f x .G x là 2
x  Họ nguyên hàm của     1 A.  2 x    2 x   2 1 ln 1  2x  C. B.  2 x    2 x   2 1 ln 1  2x  C. C.  2 x    2 x   2 1 ln 1  x  C. D.  2 x    2 x   2 1 ln 1  x  C.
Câu 112. Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên  , f x  1  x   ,
 f 0  0 và thoả mãn f   x  2
x  1  2 x f  x   1 . Tính f  3  . A. 9. B. 7. C. 3. D. 0.
Câu 113. Cho hàm số f ( x ) xác định trên đoạn  1
 ;2 thỏa mãn f (0)  1 và 2 2 f ( ) x .f ( ) x 12x3x .
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên  1  ;2 là 14 A. 3 3
min f (x)  2 ;max f (x)  43 . B. 3 3
min f (x)  2 ;max f (x)  40 1;2  1  ;2 1;2  1  ;2 C. 3 3 min f (x)  2  ; max f (x)  43 . D. 3 3 min f (x)  2  ;max f (x)  40 . 1;2 1;2 1;2  1  ;2
Câu 114. Cho hàm số f  x liên tục trên  , f  x  0 với mọi x và thỏa mãn f   1 1   , 2
f  x   x   2 2 1 f  x .Biết   a
f 1  f 2  ... f 2022  1 với , a b ,
  ,ab 1 .Khẳng định nào sau b đây sai? A. b  a  2022 . B. ab  2019 . C. 2a  b  2022 . D. b  2020.
Câu 115. Cho hàm số f  x liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f 0  2 2, f  x  0, x   và
f  x  f   x    x   2 . 2 1 1  f  x , x
 . Khi đó giá trị f   1 bằng A. 26. B. 24 . C. 15. D. 23.
Câu 116. Cho y  f  x liên tục trên 0; 
 thỏa mãn xf x  f x 2 2 '  3x x ; f   1 1  . Tính f 4 ? 2 A. 24. B. 14. C. 4. D. 16 .
Câu 117. Cho hàm số f  x thỏa mãn  f x2  f x f  x 3 ' . '  x  2x , x
  và f 0  f '0 1. Tính giá trị của 2 T  f   2 . A. 43. B. 16 . C. 43. D. 2 6 . 30 15 15 1 5 15 B. TÍCH PHÂN.
Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 1. Cho f  x là hàm số liên tục trên  ;
a b (với a  b ) và Fx là một nguyên hàm của f x trên
 ;ab. Mệnh đề nào dưới đây đúng? b A. f
 2x 3dx  F 2x 3b . a a b B. k. f
 xdx  k F b F a   . a a C. f
 xdx  F b F a. b
D. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x  a, x  b , đồ thị hàm số y  f  x và
trục hoành được tính theo công thức S  F b  F a .
Câu 2. Hàm số y  f  x liên tục trên2; 
9 . F x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên 2;  9 và F   2  5; F  
9  4. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 9 9 9 9 A. f xdx  1   . B. f  xdx 1. C. f  xdx  20. D. f xdx  1   . 2 2 2 2 4
Câu 3. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f
 xdx  2. Mệnh đề nào sau đây là sai? 2 3 2 2 6 1 A. f  x 1dx  2. B. f  2xdx 1. C. f  2xdx  2. D. f  x2dx 1. 2 3  1 1  0
Câu 4. Cho hai hàm số y  f x, y  g x , số thực k  là các hàm số khả tích trên  ; a b   và c   ; a  b
Khi đó biểu thức nào sau đây là biểu thức sai. b b b b b A. f  x.gxdx  f  xd .x g  xdx. B. k. f  xdx  k f  xdx . a a a a a b b c b C. f  x  0, x   ; a bthì f  xdx  0. D. f  xdx  f  x f  xdx. a a a c
Câu 5. Cho hàm số y  f (x) có đồ thị hàm số y  f '( x) trên đoạn  2  ; 
3 cho bởi hình vẽ bên. Giá trị
của biểu thức H  f (3)  f (2) là A. H  15. B. H  10. C. H  16. D. H  8. 16
Vấn đề 2. Tích phân hàm đa thức 0
Câu 6. Tính tích phân I  2x   1dx. 1  A. I  0 . B. I 1  . C. I  2 . D. 1 I   . 2 1
Câu 7. Tích phân 3x 1x  3dx bằng 0 A. 12. B. 9. C. 5. D. 6. b
Câu 8. Với a , b là các tham số thực. Giá trị tích phân  2 3x  2ax   1dx bằng 0 A. 3 2 b  b a  b . B. 3 2 b  b a  b . C. 3 2 b  ba  b . D. 2 3b  2ab  1 . 1 2
Câu 9. Biết rằng hàm số f  x  mx  n thỏa mãn f  xdx  3, f
 xdx  8. Khẳng định nào dưới đây 0 0 là đúng ? A. m  n  4 . B. m  n  4 . C. m  n  2 . D. m  n  2 . m Câu 10. Cho  2 3x  2x  
1 dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây ? 0 A.  1  ;2 . B.  ;   0 . C. 0;4 . D. 3;  1 . 1 Câu 11. Cho n n
là số nguyên dương khác 0, hãy tính tích phân I   2 1 x  d x x theo n. 0 A. 1 I  . B. 1 I  . C. 1 I  . D. 1 I  . 2n  2 2n 2n  1 2n  1
Vấn đề 3. Tích phân hàm số hữu tỉ. 2 dx Câu 12.  bằng 2x  3 1 A. 1 ln 35 B. 7 ln C. 1 7 ln D. 7 2 ln 2 5 2 5 5 3 x  2 Câu 13. Biết dx  a  b ln , c 
với a, b, c  , c  9. Tính tổng S  a  b  . c x 1 A. S  7 . B. S  5 . C. S  8 . D. S  6 . e  1 1 
Câu 14. Tính tích phân I   dx  2   x x  1 A. 1 I  B. 1 I   1 C. I 1  D. I  e e e 2 dx Câu 15. Biết
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 
. Khi đó giá trị a  b  c bằng x 1 2x 1 1    A. 3  . B. 2. C. 1. D. 0. 0 2 3x  5x 1 2 Câu 16. Biết I  dx  a ln  , b 
a,b. Khi đó giá trị của a  4b bằng x  2 3 1  A. 50 B. 60 C. 59 D. 40 17 1 2 2x  3x  3 Câu 17. Biết dx  a  ln b 
với a , b là các số nguyên dương. Tính 2 2 P  a  b . 2 x  2x 1 0 A. 13 . B. 5. C. 4. D. 10 . 1 7 x
Câu 18. Cho tích phân I    x , giả sử đặt 2
t  1  x . Tìm mệnh đề đúng. 1 x  d 5 2 0 1 t  13 2 t 13 3 1 t  13 2 3 t  13 4 A. I  dt  . B. I  dt  . C. I  dt  . D. I  dt  . 5 2 t 5 t 4 2 t 4 2 t 1 1 1 1 1 x
Câu 19. Có bao nhiêu số thực a để dx  1  . 2 a  x 0 A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Vấn đề 4. Tích phân hàm vô tỉ. 2 Câu 20. Tính tích phân 2 I  2x x 1dx  bằng cách đặt 2
u  x  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 1 3 2 A. I  udu  B. I  udu  C. I  2 udu  D. I  udu  2 0 1 0 1 21 dx Câu 21. Cho
 a ln 3  b ln 5  c ln 7 
, với a,b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? x x  4 5 A. a  b  2c B. a  b  2c C. a  b  c D. a  b  c 1 dx Câu 22. Tích phân  bằng 3x  1 0 A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . 3 2 3 3 2 dx Câu 23. Biết dx  a  b  c 
với a,b, c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c (x 1) x  x x 1 1 A. P  18 B. P  46 C. P  24 D. P  12 2 2 Câu 24. Cho tích phân 2 I  16  x dx 
và x  4sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0     4 4 4 4
A. I  81 cos2tdt . B. 2 I  16 sin tdt  .
C. I  81 cos2tdt . D. 2 I  16 cos tdt  . 0 0 0 0 5 1 Câu 25. Biết dx  a  b ln 3  c ln 5 
(a, b, c  Q) . Giá trị của a  b  c bằng 1 3x 1 1 A. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 4 . 3 3 3 3 a 3 x  x Câu 26. Tính I  dx  . 2 0 x 1 A. 1 I   2 a   2 1 a  1  1 . B. I  2 a 1 2 a 1 1     . 3   18 C. 1 I  2 a 1 2 a 1 1     . D. I   2 a   2 1 a  1  1. 3   1 2
Câu 27. Giá trị của tích phân x dx 
bằng tích phân nào dưới đây? 1 x 0  1   4 2 2 4 2 2 A. sin x sin y 2 2 sin ydy  . B. dx  . C. dy  . D. 2 2 sin ydy  . cos x cosy 0 0 0 0 1 dx    
Câu 28. Cho tích phân I  
nếu đổi biến số x  2sin t,t   ;   thì ta được. 2  2 2  0 4  x     3 6 4 6 A. dt I  dt  . B. I  dt  . C. I  tdt  . D. I   . t 0 0 0 0 1 3 Câu 29. Biết x a b  c dx  
với a,b,c là các số nguyên và b  0 . Tính 2 P  a  b  c . 2 x  1  x 15 0 A. P  3 . B. P  7 . C. P  7  . D. P  5 . 2 x Câu 30. Biết dx  a  b 2  c 35 
, a, b, c là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 2 1 3x  9x 1 A. 1  . B. 8 6 . C. 2  . D. 6 7 . 9 2 7 2 7
Vấn đề 5. Tích phân hàm lượng giác.  4
Câu 31. Cho hàm số f  x . Biết f 0  4 và f  x 2 '  2sin x 1, x  , khi đó f  xdx bằng 0 2  16  4 2   4 2  15 2  16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16  4
Câu 32. Cho hàm số f ( x) .Biết f (0)  4 và 2 f ( ) x  2cos x3, x  , khi đó f (x)dx  bằng? 0 2  8 8 2  8 2 2  6 8 2   2 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8  2
Câu 33. Giá trị của sin xdx  bằng 0  A. 0. B. 1. C. -1. D. . 2  2 Câu 34. Biết 3sin x  cos x 11 dx  ln 2  b ln 3  c  b,c  Q. Tính b ? 2 sin x  3 cos x 3 c 0   A. 2 2 . B. 22 . C. 2 2 . D. 22 . 3 3 3 13 19  Câu 35. Tính tích phân 3 I  cos . x sin xdx  . 0 A. 1 1 I   B. 4 I    C. 4 I   D. I  0 4 4  2 Câu 36. Cho tích phân I  2  cos x.sin xdx 
. Nếu đặt t  2  cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 0  2 3 2 2 A. I  tdt  . B. I  tdt  . C. I  2 tdt  . D. I  tdt  . 3 2 3 0  4 2 Câu 37. Tính tích phân sin x I  dx 
bằng cách đặt u  tan x , mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 cos x 0  4 2 1 1 1 A. 2 I  u du  . B. I  du  . C. 2 I   u du  . D. 2 I  u du  . 2 u 0 0 0 0 a 2
Câu 38. Có bao nhiêu số a 0;20  sao cho 5 sin x sin 2xdx   . 7 0 A. 10. B. 9. C. 20. D. 19.  6 Câu 39. Biết dx a 3  b   , với , a b ,  c  
 và a,b,c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của 1  sin x c 0 tổng a  b  c bằng A. 5. B. 12. C. 7. D. 1  .  2 s in Câu 40. Cho tích phân số d  ln 5  ln 2  x x a b
với a , b   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  cos x  2 3 A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0.. D. a  2b  0..  2 sin 4 Câu 41. Cho x  a   x 
b , với a, b là các số hữu tỉ, c  0 . Tính tổng m. cos x d ln 2  x  c 0 5cos 6 A. S  3 . B. S  0 . C. S  1 . D. S  4 .
Vấn đề 6. Tích phân hàm mũ và logarit.
Câu 42. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số   ln x f x 
. Tính: I  F e  F   1 ? x A. 1 I  B. 1 I  C. I 1  D. I  e 2 e 1 Câu 43. 3x 1 e  dx  bằng 0 A. 1  1 4 e  e  B. 3 e  e C.  4 e  e  D. 4 e  e 3 3 2 Câu 44. Cho 3x 1  d    p q e
x m e  e  với m, p , q   và là các phân số tối giản. Giá trị m  p  q bằng 1 A. 10 . B. 6. C. 2 2 . D. 8. 3 20 ln 6 ex Câu 45. Biết tích phân dx  a  b ln 2  c ln 3 
, với a, b, c là các số nguyên. Tính T  a  b  c x 0 1  e  3 A. T  1  . B. T  0 . C. T  2. D. T  1. e ln x Câu 46. Biết dx  a  b 2 
với a , b là các số hữu tỷ. Tính S  a b . x 1 ln x 1 A. S  1 . B. 1 S  . C. 3 S  . D. 2 S  . 2 4 3 e 3ln x 1 Câu 47. Cho tích phân I  dx 
. Nếu đặt t  ln x thì x 1 1 3t 1 e 3t 1 e 1 A. I  dt  . B. I  dt  . C. I  3t   1dt . D. I  3t   1dt . et t 0 1 1 0 e Câu 48. Cho ln x c I  dx  a ln 3  b ln 2  
, với a, b, c   . Khẳng định nào sau đâu đúng. x ln x  22 3 1 A. 2 2 2 a  b  c  1 . B. 2 2 2 a  b  c  11 . C. 2 2 2 a  b  c  9 . D. 2 2 2 a  b  c  3 . Câu 49. Biết ln 2 dx 1 I   a  b  c 
với a, b, c là các số nguyên dương. x  x ln ln ln  0 e  3e  4 c Tính P  2a  b  c . A. P  3 . B. P  1  . C. P  4. D. P  3
Vấn đề 7. Tích phân tổng hợp. 1  a Câu 50. Biết rằng 2 x 2 xe dx    b c
e  e  với a,b, c   . Giá trị của a  b  c bằng 2 0 A. 4. B. 7. C. 5. D. 6. e x 1 Câu 51. Biết dx  ln ae  b 
với a , b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2   x  xln x 1 2 2 T  a  ab  b . A. 3. B. 1. C. 0. D. 8. 2 1 p p Câu 52. Biết   x  2 x 1 x q e dx  me  n , trong đó , m , n ,
p q là các số nguyên dương và là phân số tối q 1
giản. Tính T  m  n  p  q . A. T  11. B. T  10 . C. T  7 . D. T  8 .
Câu 53. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn f 0  f   1  5. Tính tích phân 1 I  f   x fx e dx . 0 A. I 10 B. I  5 C. I  0 D. I  5 4 Câu 54. Biết I  x ln
  2x 9dx  aln5bln3c trong đó a,b,c là các số thực. Giá trị của biểu thức 0 T  a  b  c là: A. T  11. B. T  9. C. T  10. D. T  8. 21 e  3 3x  1 2 ln x  3x  1 Câu 55. Cho 3 dx  a.e  b  c.ln 
e 1 với a,b,c là các số nguyên và ln e 1. Tính 1  x ln x 1 2 2 2 P  a  b  c . A. P  9 . B. P  14 . C. P  10 . D. P  3 .
Vấn đề 8. Tích phân dùng tính chất. 2 2 2 Câu 56. Biết f  xdx  2 và g
 xdx  6, khi đó  f
 x gxdx  bằng 1 1 1 A. 8. B. 4  . C. 4. D. 8  . 1 1 1 Câu 57. Biết tích phân f
 xdx  3 và gxdx  4   . Khi đó  f
  x gxdx  bằng 0 0 0 A. 7  . B. 7. C. 1  . D. 1. 2 4 4 Câu 58. Cho. f
 xdx 1, f tdt  4   . Tính f  ydy  . 2  2  2 A. I  5 . B. I  3 . C. I  3 . D. I  5 . 2 2 2 Câu 59. Cho f  xdx3 và g
 xdx7, khi đó f
  x3gx dx  bằng 0 0 0 A. 16 . B. 1  8. C. 24. D. 10 . 8 12 8
Câu 60. Cho hàm số f  x liên tục trên  thoả mãn f  xdx 9, f  xdx 3, f  xdx 5. Tính 1 4 4 12 I  f  xdx. 1 A. I 17. B. I 1  . C. I 11. D. I  7 .
Câu 61. Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;  3 thoả mãn 3 3 3  f
 x3gx dx 10  , 2 f
 x gx dx  6  . Tính  f
 x gx dx  . 1 1 1 A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.   2 2 Câu 62. Cho f
 xdx  5. Tính I   f
  x 2sin x dx  5  . 0 0  A. I  7 B. I  5  C. I  3 D. I  5  2 2 2 2 Câu 63. Cho f
 xdx  2 và gxdx  1   . Tính I  x  2 f   x3gxdx  . 1 1  1  A. 17 I  B. 5 I  C. 7 I  D. 11 I  2 2 2 2 2 x
Câu 64. Số điểm cực trị của hàm số   2tdt f x   là 2 1  t 2 x A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 3
Câu 65. Cho y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  6  ;6. Biết rằng f  xdx 8; f   2  xdx  3. 1  1 6 Giá trị của I  f  xdx là 1  22 A. I  5 . B. I  2 . C. I 14. D. I 11. 2  
Câu 66. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f
 xdx  2018 , tính I  xf   2x d .x 0 0 A. I  1008 . B. I  2019 . C. I  2017 . D. I  1009 . 2 4 f  x  Câu 67. Cho f  xdx  2. Khi đó dx  bằng x 1 1 A. 1. B. 4. C. 2. D. 8. 2 5 Câu 68. Cho f
  2x  1xdx  2 . Khi đó I  f  xdx bằng 1 2 A.2 B. 1 C. 4 D. -1 7 7
Câu 69. Cho f  x liên tục trên R thỏa mãn f x  f 10 x và f
 xdx  4. Tính I  xf  xdx 3 3 A. 80. B. 60. C. 40. D. 20.  1 6 Câu 70. Cho f
 xdx  9. Tính I  f  sin3xcos3xdx . 0 0 A. I  5 . B. I  9 . C. I  3 . D. I  2 .  2 2    2 1
Câu 71. Cho hàm số y  f x x 3x ; x 1   . Tính I  2 f  sin xcos xdx  3 f  3 2xdx . 5  x ; x  1 0 0 A. 71 I  . B. I  31. C. I  32 . D. 32 I  . 6 3  2 2 sin xf  3cos x 1 Câu 72. Cho I  f
 xdx  2. Giá trị của dx  bằng  1 3cos x 1 0 A. 2 B. 4  . C. 4 . D. -2 3 3 4 5 2 ln 2 Câu 73. Biết f  xdx 5 và f
 xdx  20. Tính 4 3     2x  2x f x dx f e e dx . 1 4 1 0 A. 15 I  . B. I 15. C. 5 I  . D. I  25 . 4 2 2
Câu 74. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn ( )  (2  )  . x f x f x x e , x  . Tính tích phân 2 I  f (x)dx  . 0 4 e 1 A. I  . B. 2e  1 I  . C. 4 I  e  2 . D. 4 I  e 1. 4 2  4 f tan x dx 1 Câu 75. Cho  10.  Tính f  xdx? 2 cos x 0 0 A. 6. B. 3. C. 5. D. 10 . 23  4 1 2 x f  x
Câu 76. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  tan xdx  3 và dx  1.  Tính 2 x  1 0 0 1 I  f  xdx.s 0 A. I  2 . B. I  6 . C. I  3 . D. I  4 .  2 16 f x 2  
Câu 77. Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn cot . x f  sin xdx  dx 1  . Tính tích  x 1 4 1 f 4x phân dx  . x 1 8 A. I  3 . B. 3 I  . C. I  2 . D. 5 I  . 2 2 5
Câu 78. Cho hàm số f  x thỏa f 0  f 5 1. Biết ex  f   x f 'x 5  dx  ae  b  , a , b   . Tính 0 biểu thức 2022 2022 Q  a b . A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. f 2 x   1 ln x
Câu 79. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1; 
4 và thỏa mãn f  x   . Tính tích phân x x 4 I  f  xdx. 3 A. 2 I  3  2 ln 2 . B. 2 I  2 ln 2 . C. 2 I  ln 2 . D. I  2ln2. 24
C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
Câu 80. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3
A.   f (x)  g(x)dx .
B.  g(x)  f (x)dx . 2 2 0 3 0 3
C.   f (x)  g(x)dx  g(x)  f (x)dx.
D.  g(x)  f (x)dx   f (x)  g(x)dx . 2 0 2 0
Câu 81. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3 3 3 A.  2
x  4x  3dx . B.  2 x  2x 1  1 dx . C.  2x  2x 1  1 dx . D.  2 x  4x  3dx . 1 1 1 1
Câu 82. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1 A.  3 2 2x  3x   1dx . B.   3 2 2x  x  2x  3dx . 1  1  2 2 1 1 C.  3 2 2x  3x   1dx . D.   3 2
2x  x  2x  3dx . 1  1  2 2
Câu 83. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 25 3 A.  3 2 x  5x  9x  7dx . 1 3 B.  3 2 x  5x 9x  7dx. 1 3 C.  3 2 x  x 9x 9dx. 1 3 D.  3 2 x  x 9x  9dx. 1 y
Câu 84. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn 2
bởi hai đồ thị hàm số f  x  x; g  x  x  2 và trục hoành là: A. 7 S  . B. 10 S  . O 2 4 x 3 3 C. 11 S  . D. 13 S  . 3 3
Câu 85. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x
y  e , trục Ox, Oy và đường thẳng x  2
Tính diện tích S hình phẳng trên. 1 1 1 A. 4 e 1 . B.  4 e   1 . C. 4 e . D.  4 e   1 . 2 2 2
Câu 86. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln x y 
, y  0 , x  1 , x  e. Mệnh 2 x
đề nào dưới đây đúng? e ln x e ln x e 2 e 2 A. S   dx  . B. S  dx  . C.  ln x  ln x S  dx S     dx 2  . D.  . x 2 x  2     x  2  x  1 1 1 1 
Câu 87. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  sin 2 x; y  cos x và x  0; x  là 2 A. 1 B. C. 3 D. 1 . 1 . . . 4 6 2 2
Câu 88. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2x  6 1; y  ; x  3 là: x 25 A. 4  2 6ln 6. B. 4  443 6 ln . C. . D. . 3 24 6
Câu 89. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y  e ; y  1 và x 1 là: A. e  2. B. . e C. e 1. D. 1 . e
Câu 90. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y  4x x và trục Ox A. 11. B. 34 . C. 31. D. 32 . 3 3 3
Câu 91. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 3 y  x 1  1x6 và 2 y6x là A. 52. B. 14. C. 1 . D. 1 . 4 2 26 
Câu 92. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số H  x 1 : y 
và các trục tọa độ. Khi x  1
đó giá trị của S bằng A. S  2 ln 2 1. B. S  ln 2 1 . C. S  ln 2 1. D. S  2 ln 2 1.
Câu 93. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  x  P  1 : y    2 x  8x  7 , H  7 : y  . 3 3  x A. 3, 455 . B. 9  8ln 2 . C. 3  ln 4 .
D. 161  4 ln 3  8 ln 2 . 9
Câu 94. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị 2
y  x  4x  3 và y  x  3 là: 55 205 109 126 A. . B. . C. . D. . 6 6 6 5
Câu 95. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 ; 1 . 2 Tính I  4x f   2xd .x 1 A. I  6 . B. I 10. C. I  8 . D. I 12.
Câu 96. Biết rằng parabol  P 2
: y  2x chia đường tròn C 2 2
: x  y  8 thành hai phần lần lượt có diện tích là S S b
1 , 2 (như hình vẽ). Khi đó S  S  a 
với a,b, c nguyên dương và b là phân số tối giản. 2 1 c c Tính S  a  b  c . y S S 2 1 x O A. S  13 . B. S  16 . C. S  15 D. S  14 .
Câu 97. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  3x và nửa đường tròn tâm H bán kính bằng
2 nằm phía trên trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của H được tính theo công thức nào dưới đây? 27 1 1 A. 2 2 S  2 x 3x     dx  2 2        . B. S 2. 4 x 3x dx   . 0 0 1 1 C. 2 2 S  3x 4 x     dx  2 2        . D. S 4 x 3x dx    . 0 0
Câu 98. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  mx cos x ; Ox ; x  0; x   bằng 3 . Khi đó m là: A. m  3  . B. m  3. C. m  4  . D. m  3  . Câu 99. Cho Parabol P 2
: y  x 1 và đường thẳng d : y  mx  2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị của
m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào? 1 A. 1 ( 2 ;  ) . B. 0;  1 . C. ( 1  ; ). D. 1 ( ;3) . 2 2 2
Câu 100. Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y  x
 4x và trục hoành. Hai đường thẳng
y  m và y  n chia (H ) thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức 3 3 T (4 ) m (4 ) n bằng A. 320 75 T  . B. 512 T  . C. T  405 . D. T  . 9 15 2
Câu 101. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  sin x ; Ox ; x  0; x   . Quay H xung quanh
trục O x ta được khối tròn xoay có thể tích là 2  A. . B.  . C. .  D. 2  . 2 2
Câu 102. Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  . x ln ,
x trục Ox, x  1, x  e. Tính thể tích
khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H ) quanh trục Ox.   2 e   1  e  1  e  1   2 e   1 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 4 
Câu 103. Thể tích của khối tròn xuay được giới hạn bởi 2
y  x cos x  sin x ; y  0; x  0; x  , là 2             A. (3 4 B. (5 4) C. (3 4) D. (3 4) 4 4 4 5
Câu 104. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y  lnx , trục Ox và đường thẳng
x 2 quay xung quanh trục Ox . A. 2ln 2 1  . B. 2 ln 2  . C. 2 ln 2 . D. 2ln 2 1  . 28
Câu 105. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol  P 2
: y  x và đường thẳng d : y  2x O x quay quanh trục bằng 2 2 2 2 2 2 A. 2 4  2 4x dx   x dx . B. 2  x  2x dx . C. 2 4  4x dx   x dx . D. 2  x  2x dx .         0 0 0 0 0 0
Câu 106. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  xln x, y  ,
0 x  e có giá trị bằng  3
b.e  2 trong đó a, b là hai số thực nào dưới đây? a A. a  27, b  5. B. a  24, b  6. C. a  27, b  6. D. a  24, b  5.
Câu 107. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường y  x và 2
y  x . Thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục Ox bằng   A. 3 B. 3 C. 9 D. 9 10 10 70 70 2 2 x y
Câu 108. Thể tích khối tròn xoay khi cho Elip 
 1 quay quanh trục Ox bằng 2 2 a b 4 4 2 2 A. 2  a . b B. 2  ab . C. 2  a . b D. 2   ab . 3 3 3 3
Vấn đề 2. Ứng dụng tích phân để giải quyết bài toán thực tế
Câu 109. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh ; từ thời điểm đó, tàu
chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt  20020t m/s. Trong đó t khoảng thời gian tính bằng giây,
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được A. 1000 m. B. 500 m. C. 1500 m. D. 2000 m.
Câu 110. (Đề thi thử đánh giá năng lực 2022-ĐH Bách Khoa Hà Nội) Một ô tô đang chạy thì người ta
đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt  a 8t (m/s) trong đó t (giây)
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh và a là một hằng số dương. Biết rằng từ lúc đạp phanh
đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được 36m. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. a 18,2  1 . B. a25,2  8 . C. a 15,18 . D. a23,25
Câu 111. Hai người A , B đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển
theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di
chuyển tiếp với vận tốc v (t)  63t v (t) 124t 1
mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc 2
mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn. A. 25 mét. B. 22 mét. C. 20 mét. D. 24 mét.
Câu 112. Một vật chuyển động trong
3 giờ với vận tốc vkm / hphụ thuộc vào thời gian t h  có đồ thị
vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian
1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần
của đường parabol có đỉnh I 2; 
5 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ
thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. 29 A. 15 km. B. 32 km. C. 12 km. D. 35 km. 3 3
Câu 113. Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc v km / h phụ thuộc vào thời gian t  h có đồ thị
như hình dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol
có đỉnh I 3;9 và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một
đường thẳng có hệ số góc bằng 1 . Tính quãng đường smà vật di chuyển được trong 6 giờ? 4 A. 130  134 km  . B. 9km . C. 40km . D. km  . 3 3
Câu 114. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ
v x 10  2 2x 1 (người/tháng). Số dân tăng thêm của thành phố trong 4 tháng tới gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 77 . B. 47. C. 57 . D. 67.
Câu 115. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước
tại thời điểm t giây là v t   t   3 10
500 m / s . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà máy
đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu? A. 25 triệu khối nước. B. 45 triệu khối nước. C. 35 triệu khối nước. D. 30 triệu khối nước.
Câu 116. Sau t giờ làm việc một người công nhân có thể sản xuất với tốc độ là   0,5 100 t q t e   đơn vị
sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được
bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 9 giờ sáng và 11 giờ trưa?
A. 201, 76 đơn vị sản phẩm.
B. 200, 76 đơn vị sản phẩm.
C. 202, 76 đơn vị sản phẩm.
D. 203, 76 đơn vị sản phẩm đồng.
Câu 117. Một công ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên khi x sản phẩm được sản xuất là qx 3 2
 x 6x  40 USD/ sản phẩm. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản
xuất ra tăng từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm? A. 180 USD . B. 160 USD . C. 108 USD . D. 106 USD . 30
Câu 118. Bạn An xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10m và chia nó thành 2 phần như hình vẽ sau.
Bạn An sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên 2
1m ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm O và
Parabol có trục đối xứng đi qua O và chứa O. Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá. Hỏi bạn An
thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết , A B  O và AB 12m ? A. 560. B. 650. C. 460. D. 640.
Câu 119. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH  4m , chiều rộng AB  4m ,
AC  BD  0, 9m .Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000
đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2.
Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 (đồng). B. 7368000 (đồng). C. 4077000 (đồng). D. 11370000 (đồng)
Câu 120. (Đề thi thử tốt nghiệp THPT sở GDĐT Hà nội – 2022). Một vật chuyển động trong 10(s) với
vận tốc v(m / s ) phụ thuộc vào thời gian t(s) có đồ thị như hình vẽ sau:
Quãng đường vật chuyển động được trong 10 giây bằng A. 63 m. B. 67 . m C. 61 m D. 65 m. 2 2 2 2 31 D. SỐ PHỨC.
Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 1. Cho hai số phức z  a  bi  ,
a b và z  ab i  ,
a b. Điều kiện giữa a, b, a , b để
z  z là một số ảo là a  a '  0 a  a '  0 A. b  b  0. B.  . C.  . D. a  a  0 . b  b '  0 b  b '  0
Câu 2. Cho số phức z  a  bi  ,
a b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mô đun của z là một số thực dương. B. 2 2 z  z .
C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của số phức iz . D. Điểm M  ;
a b là điểm biểu diễn của z .
Câu 3. Cho số phức z  a  bi với a, b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần ảo của z là bi . B. Môđun của 2 z bằng 2 2 a  b .
C. z  z không phải là số thực.
D. Số z và z có môđun khác nhau.
Câu 4. Cho số phức z  a  bi  , a b ,  ,ab  
0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z  z   . B. 2 2 z  z . C. 1 z.z  1. D. 2 z.z  z .
Câu 5. Cho hai số phức z và z . Trong các mệnh đề sai, mệnh đề nào sai?
A. z  z  z  z . B. . z z  z . z . C. z.z   z.z  .
D. z  z  z  z .
Câu 6. Cho số phức z  a  bi  ,
a b . Khẳng định nào sau đây sai? A. 2 2 z  a  b . B. z  a  bi . C. 2 z là số thực. D. z.z là số thực.
Vấn đề 2. Các phép toán số phức.
Câu 7. Xác định phần ảo của số phức z  18 12i . A. 1  2. B. 18 . C. 12. D. 12i .
Câu 8. Số phức liên hợp của số phức z 1 2i là A.1 2i B. 1 2i C. 2i D. 1 2i
Câu 9. Tính môđun của số phức z  4  3i . A. z  7. B. z  7 . C. z  5. D. z  25.
Câu 10. Cho số phức z 1i z 23i w z z 1 và 2
. Tìm số phức liên hợp của số phức 1 2 ? A. w  3  2i . B. w  1  4i . C. w   1  4i . D. w  3  2i .
Câu 11. Cho số phức iz  5  4i . Số phức liên hợp của z là A. z  4  5i B. z  4  5i . C. z  4  5i D. z=-4-5i
Câu 12. Cho hai số phức z 1 2i và w  3 .i Môđun của số phức z w bằng A. 5 2 B. 26 C. 26 D. 50.
Câu 13. Tính môđun của số phức z  1 2i 2  i  i 3 2i   . A. z  4 10 . B. z  4 5 . C. z 160 . D. z  2 10 . 32 Câu 14. Biết 1  a  bi ,  , a b . Tính ab. 3  4i A. 12 . B. 12  . C. 12  . D. 12 . 625 625 25 25
Câu 15. Cho số phức z 1i . Khi đó 3 z bằng A. 2 . B. 2 2 . C. 4. D. 1.
Câu 16. Tính môđun của số phức là nghịch đảo của số phức z    i2 1 2 . 1 A. . B. 5 . C. 1 . D. 1 . 5 25 5 1 3
Câu 17. Cho số phức z    i . Tìm số phức 2 w  1  z  z . 2 2 1 3 A. 2 3i. B. 1. C. 0. D.   i . 2 2 2022 2022 Câu 18. Tính P  1 3i  1 3i . A. P  2 B. 1011 P  2 C. 2023 P  2 D. 2021 P  2 Câu 19. Tính 2 2021 2022
S  1  i  i  ...  i  i A. S  i . B. S  1 i . C. S  1 i . D. S  i . Câu 20. Tính 2 3 2023
S  1012  i  2i  3i  ...  2023i . A. S  2022  2023i. B. 2022  2023 .i C. 2  0231012 .i D. 1012 1011 .i
Câu 21. Cho các số phức z z z z  4 z  3 z  2 4z z 16z z 9z z  48 1 , 2 , 3 thỏa mãn: , , và . 1 2 3 1 2 2 3 1 3
Giá trị của biểu thức P  z  z  z bằng: 1 2 3 A. 1 B. 8. C. 2 D. 6
Câu 22. Cho các số phức z z z    z z z 0.
1 , 2 , 3 thỏa mãn 2 điều kiện z z z 2023 và 1 2 3 1 2 3 Tính z z  z z  z z 1 2 2 3 3 1 P  . z  z  z 1 2 3 A. P  2023. B. P  1008, 5. C. 2 P  2023 . D. P  6061. 5i
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1 . z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1 z  3 1 z . A. 3 15 . B. 6 5. C. 20. D. 2 20.
Câu 25. Trong các số phức z thỏa mãn z i  z  23i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. 27 6 z   i . B. 6 27 z    i . C. 6 27 z    i . D. 3 6 z   i . 5 5 5 5 5 5 5 5
Câu 26. Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức 2 2 M  z  2  z  i
đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z  2  i bằng A. 5 . B. 9. C. 25. D. 5. 33 Câu 27. Xét các số phức ,
z w thỏa mãn | z | 1 và | w | 2 . Khi | ziw68i | đạt giá trị nhỏ nhất, zw bằng 221 29 A. . B. 5 . C. 3. D. . 5 5
Vấn đề 3. Phương trình bậc nhất - bậc hai trong tập số phức
Câu 28. Trên tập số phức, cho phương trình: 2 az  bz  c  0  , a , b c 
 . Chọn kết luận sai.
A. Nếu b  0 thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng 0. B. Nếu 2
  b  4ac  0 thì phương trình có hai nghiệm mà môđun bằng nhau.
C. Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau.
D. Phương trình luôn có nghiệm.
Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn 2i z  2  23i . Môđun của z là: 5 3 5 5 A. z  5. B. z  . C. z  . D. z  5 . 3 3
Câu 30. Tìm mô đun của số phức z thoả 3iz  (3  i)(1  i)  2 . 2 2 3 2 3 3 2 3 A. z  . B. z  . C. z  . D. z  . 3 2 2 3
Câu 31. Tính mô đun của số phức z biết   i 2 1 2 z  3 4i . A. z  5 . B. 4 z  5 . C. z  2 5 . D. z  5. Câu 32. Phương trình 2
z  3 z  9  0 có hai nghiệm phức z z S  z z z z 1 , 2 . Tính 1 2 1 2 . A. S  6 . B. S  6 . C. S  12 . D. S  12 . Câu 33. Gọi z z z  z
1 và 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2
4 z  4 z  3  0 . Giá trị của biểu thức 1 2 bằng A. 3 2 . B. 2 3. C. 3. D. 3 . Câu 34. Gọi z z 3z  z
1 và 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  6 z  11  0 . Giá trị của biểu thức 1 2 bằng A. 22. B. 11. C. 2 11 . D. 11 . Câu 35. Gọi z z  
1 , 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z  2 z  2  0 . Tính 2018 2018 T z z 1 2 A. T  0 . B. 2019 T  2 . C. T  1. D. 1010 T  2 . Câu 36.
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z  6 z  13  0. Trên mặt phẳng tọa độ,
điểm biểu diễn số phức 1 z0 là A. N 2;2 B. M 4;2 C. P4;  2 D. Q2;  2
Câu 37. Cho mlà số thực, biết phương trình 2
z  mz  5  0 có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm
có phần ảo là 1. Tính tổng môđun của hai nghiệm. A. 3 B. 5 C. 2 5 D. 4 34
Câu 38. Tìm tổng các giá trị của tham số thực a sao cho phương trình 2 2
z  3 z  a  2a  0 có nghiệm phức z z  2 0 thỏa . 0 A. 0. B. 2. C. 6. D. 4.
Vấn đề 4. Điều kiện của bài toán có chứa modul, số phức liên hợp
Câu 39. Nếu 2 số thực x, y thỏa: x3 2i  y1 4i 1 24i thì x  y bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 3  .
Câu 40. Tìm số thực m sao cho  2 m   1  m   1 i là số ảo. A. m  0. B. m  1. C. m  1. D. m  1.
Câu 41. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 i z  2  i z 13 2i ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1 .
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z 1? A. 0. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 43. Tìm số phức z thỏa mãn z 3  z 1 và  z  
2 z i là số thực A. z  2 B. z  2  2i C. z  2  2i D. không có z
Câu 44. Cho số phức z  a bi ,
a b thỏa mãn z 25i 5 và z.z  82 . Tính giá trị của P  a  b . A. 10 B. 8  C. 3  5 D. 7 
Câu 45. Cho số phức z  a  bi  , a b 
 thỏa mãn z 13i  z i  0. Tính S  a 3b. A. 7 S  . B. S  5 . C. S  5 . D. 7 S   . 3 3
Câu 46. Cho số phức z  a  bi  ,
a b thỏa mãn z  2i  z 1i  0 và z 1. Tính P  a  b . A. P  1  . B. P  5 . C. P  3 . D. P  7 . Câu 47. Cho hai số phức z z z 1 z  2 z  z  3 z  z 1 , 2 thỏa mãn , và . Giá trị của là 1 2 1 2 1 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 48. Tìm môđun của số phức z biết z  4  1 i z 4  3zi . A. 1 z  . B. z  2. C. z  4. D. z 1. 2
Câu 49. Tính môđun của số phức z thỏa mãn: 3 .
z z  2017z  z   482016 .i A. z  4. B. z  2016 . C. z  2017 . D. z  2. 
Câu 50. Cho số phức z thoả mãn 1 i là số thực và z  2  m với m   . Gọi m là một giá trị của m để z 0
có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  1   1   3   3  A. m  0; m  ;1 m  ;2 m  1; 0  . B.  . C.   . D.   .  2  0  2  0  2  0  2  35
Vấn đề 5. Điểm biểu diễn của số phức Câu 51. Giả sử ,
A B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z z
1 , 2 . Khi đó độ dài đoạn AB bằng A. z  z . B. z  z . C. z  z . D. z  z . 2 1 2 1 1 2 1 2
Câu 52. Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức   2 z z với z  a  bi  ,a b ,  b  
0 . Chọn kết luận đúng. A. M thuộc tia O x . B. M thuộc tia O y .
C. M thuộc tia đối của tia O x .
D. M thuộc tia đối của tia O y .
Câu 53. Điểm M 3; 
1 là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? A. z  1  3i B. z 13i C. z  3  i D. z  3  i
Câu 54. Trong hình vẽ dưới đây, M là điểm biểu diễn của số phức z . Số phức z là A. 2i . B. 1 2i . C. 1 2i . D. 2i .
Câu 55. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z  1 i2 i ? A. P . B. M . C. N . D. Q .
Câu 56. Cho số phức z thoả mãn 2i z 105i. Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các
điểm M , N , P , Q trong hình vẽ sau ? A. Điểm Q . B. Điểm M . C. Điểm P . D. Điểm N . 36
Câu 57. Cho số phức z  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm điểm biểu diễn số phức w  iz . A. M  1  ; 2 . B. M 2;  1 . C. M 2;  1 . D. M 1;2 .
Câu 58. Cho số phức z thỏa mãn iz  2  i  0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa
độ Oxy đến điểm M 3; 4 là A. 2 5. B. 13. C. 2 10 . D. 2 2 .
Câu 59. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  3i z 19i . Số phức 5 w 
có điểm biểu diễn là iz
điểm nào trong các điểm A, B, C, D ở hình vẽ sau? A. Điểm D . B. Điểm C . C. Điểm B . D. Điểm A .
Câu 60. Số phức z được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ: y 1 z 1 x O
Trong các hình dưới đây, hình nào có thể là điểm biểu diễn của số phức i   ? z y 1 y  1 x O 1 x O 1  A. B. y y 1 1  O O 1 x x 1  C. D. 37
Vấn đề 6. Vận dụng các tính chất hình học để giải toán về số phức
Câu 61. Cho A , B , C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số z 12i 1 , z  2  5i z 24i 2 , 3
. Số phức z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là A. 1 7i . B. 5 i . C. 1  5i . D. 3  5i .
Câu 62. Trong mặt phẳng Oxy , gọi A, B,C theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z 3 ,i z  3  4 ,i z i 1 2 3
. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là  1 5  A. 0;2 . B. 0; 2   . C. ;   . D. 2;0 .  3 3
Câu 63. Cho các số phức z z z  3 z  4 z  z  5 1 , 2 thỏa mãn , ,
. Gọi A , B lần lượt là các điểm 1 2 1 2 biểu diễn số phức z z 
1 , 2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích S của
OAB với O là gốc tọa độ. A. S  5 2 . B. S  6 . C. 25 S  . D. S  12 . 2 Câu 64. Cho hai số phức z z z  z 1 1 , 2 thỏa mãn . Khi đó 2 2    bằng 1 2 z z z z 1 2 1 2 A. 2. B. 4. C. 1. D. 0.
Câu 65. Cho A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z z
0 , 1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức 2 2 z  z  z z 0 1
0 1. Tam giác OAB là tam giác gì? Chọn phương án đúng nhất. A. Đều B. Cân tại O C. Vuông tại O D. Vuông cân tại O
Câu 66. Cho hai số phức z , z z iz 1 2 thoả mãn z  6, z  2 . Gọi và . 1 2
M , N là các điểm biểu diễn cho 1 2 Biết  MON  60 . Tính 2 2 T  z  9z . 1 2 A. T  18 . B. T 24 3 . C. T  36 2 . D. T 36 3.
Câu 67. Xét các số phức z thỏa mãn z  2i  z i . Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình A. x  y  1  0 . B. x  y 1  0 . C. x 1  0 . D. 2x  2 y  3  0 .
Câu 68. Cho số phức z  x  yi  ,
x y thỏa mãn z  2i  z 1i  0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Hỏi M thuộc đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. x  y  5  0 . B. x  y  2  0 . C. x  y  2  0 . D. x  y 1  0 .
Câu 59. Trên mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i  iz là
A. Đường thẳng y  2 . B. Đường thẳng 1 y   . 2 C. Đường thẳng 1 y  .
D. Đường tròn tâm I 0;  1 . 2
Câu 70. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2  i  4 là đường tròn có tâm I
và bán kính R lần lượt là A. I  2  ;  1 ; R  4. B. I  2  ;  1 ; R  2. C. I 2;  1 ; R  4. D. I 2;  1 ; R  2.
Câu 71. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3 4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn
số phức w  2z 1 i là hình tròn có diện tích là A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . D. S  25 . 38 z
Câu 72. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện  3 là z 1 A. Đường tròn 9 9 9 9 2 2 x  y  x   0 . B. Đường tròn 2 2 x  y  x   0 . 4 8 4 8  9  C. Đường tròn 9 9 2 2 x  y  x   0 . D. Đường tròn tâm I 0;   và 1 R  . 4 8  8  8
Câu 73. Cho các số phức z thoả mãn z i  5. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w  iz 1 i là
đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r  9 . B. r  22 . C. r  4 . D. r  5 .
Câu 74. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 . 2 2 x y
A. Đường tròn  x  2   y  2 2 2  100 . B. Elip  1. 25 4 2 2 x y
C. Đường tròn  x  2   y  2 2 2  10 . D. Elip  1. 25 21  iz  i 1  2
Câu 75. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện  ? z  1  z  2i  A. 2. B. 0. C. Có vô số số. D. 1.
Câu 76. Cho số phức z thỏa mãn z 1
  2. Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z . Tính M  m A. 3. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 77. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  3. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i. A. 4. B. 2 2 . C. 2. D. 2 .
Câu 78. Cho các số phức z thoả mãn z  2. Đặt w  1 2i z 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . A. 2. B. 3 5. C. 2 5. D. 5 .
Câu 79. Cho số phức z thỏa mãn: z  2i 1  z  i . Trong mặt phẳng Oxy , z được biểu diễn bởi điểm
M . Tìm z sao cho độ dài đoạn MA ngắn nhất với A1,  3 . A. 3 i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i .
Câu 80. Nếu z là số phức thỏa z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức z i  z  4 là A. 2. B. 3 . C. 4. D. 5.
Câu 81. Cho số phức z thỏa mãn 5 z i  z 13i 3 z 1 i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ? A. 10 M  B. M 1 13 C. M  4 5 D. M  9 3 Câu 82. Cho số phức z z z 12 z 3 4i  5 z  z 1 , 2 thỏa mãn và
. Giá trị nhỏ nhất của là 1 2 1 2 A. 0. B. 2 C. 7 D. 17 z  i
Câu 83. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P 
, với z là số phức khác 0 và z
thỏa mãn z  2. Tính tỷ số M . m A. M  M M M 5 B.  3 C. 3  D. 1  m m m 4 m 3 39 PHẦN II. HÌNH HỌC
Vấn đề 1. Hệ trục tọa độ trong không gian.         
Câu 1. Cho OA  2i 4 j 6k và OB  9i 7 j 4k . Vectơ A B có tọa độ là A. 7;3;1  0 . B.  7  ;3;10 . C. 11;11;2 . D. 7; 3;10 .
Câu 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . Biết A2;1;  1 , I 1;2; 
0 . Khi đó điểm B có tọa độ là A. 1; 1  ;  1 . B. 3;0;  2  . C. 0;3;  1 . D.  1  ;1;  1 .
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD , biết A1;1;  1 , B 2  ;2;  3 , C 5  ; 2  ;  2 . Tọa độ điểm D là A.  2  ; 3  ;  0 . B. 2;3;4. C.  2  ;3;  0 . D.  8  ; 1  ;4. Câu 4. Cho điểm A3; 1  ; 
1 . Hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm A. M 3;0;0 . B. N 0; 1  ;  1 . C. P 0; 1  ;0. D. P0;0;  1 .
Câu 5. Cho điểm M 1;2;3 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz . Điểm đối xứng với M qua H có tọa độ: A. 0;0;3 . B. 1;2; 3   . C.  1  ; 2  ; 3   . D.  1  ; 2  ;3 .
Câu 6. Cho hai điểm B(0;3;1), C( 3
 ;6;4) . Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC  2MB . Tính tọa độ điểm M . A. M ( 1  ;4;2) . B. M ( 1  ;4;2). C. M (1;4;2) . D. M ( 1  ;4;2) .
Câu 7. Cho ba điểm A2; 1  ;  1 ;B3; 2  ; 
1 . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (yOz)?  5 3  A. ; ;0   B. 0; 3  ;  1 C. 0;1;  5 D. 0; 1  ;  3  2 2   
Câu 8. Cho véc tơ a 2; 2  ;  4 ,b 1; 1  ; 
1 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?        A. a  b  3; 3  ; 
3 . B. a và b cùng phương. C. b  3. D. a  . b .
   
Câu 9. Cho sáu điểm A1;2;  3 , B2; 1  ;  1 ,C3;3; 
3 , A, B,C thỏa mãn AA B B  C C   0 . Gọi G ; a ;
b c là trọng tâm tam giác AB C
 . Giá trị 3abc bằng A. 6 . B. 1. C. 11. D. 3  . Câu 10. Cho A 1  ; 1  ;0 , B3;1; 
1 . Điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là:  9   9   9   9  A. M 0;  ;0 . B. M 0; ;0 . C. M 0;  ;0 . D. M 0; ;0 .          4   2   2   4 
Câu 11. Cho ba điểm A1;1; 
1 , B1;1;0,C3;1;  1 . Điểm M a; ;
b ctrên mặt phẳng Oxzcách đều 3 điểm , A ,
B C . Giá trị 3a b  cbằng A. 6 . B. 1. C. 3  . D. 1  .  8 4 8
Câu 12. Cho hai điểm M (2;2;1) , N  ; ;  
. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN .  3 3 3 A. I (1;1;1) . B. I (0;1;1) . C. I (0; 1  ; 1  ) . D. I (1;0;1) .
Câu 13. Cho tam giác ABC có A1;2;  1 , B2; 1  ;  3 , C  4  ;7;  5 . Gọi Da; ;
b c là chân đường phân
giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của a b2c bằng A. 5 . B. 4 . C. 14 . D. 15 . 40 Câu 14. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có A0;0;0, B ;
a 0;0 ; D0;2a;0 , A0;0;2a với a  0. Độ
dài đoạn thẳng AC là: 3 A. a . B. 2 a . C. 3 a . D. a . 2  
Câu 15. Góc giữa hai vectơ i và u   3;0;  1 là A. 120 . B. 30 . C. 60 . D. 150 . Câu 16. Cho ba điểm A 1  ; 2  ;  3 ; B0;3; 
1 ;C4;2;2 . Côsin của góc  BAC bằng 9  9 9 9  A. . B. . C. . D. . 35 2 35 35 2 35
Câu 17. Cho A1;2;0 , B2; 1  ; 
1 . Tìm C có hoành độ dương trên Ox sao cho  ABC vuông tại C . A. C 3;0;0. B. C 2;0;0 . C. C 1;0;0 . D. C 5;0;0 .
Câu 18. Cho ba điểm không thẳng hàng A 1  ;2;4 , B 1
 ;1;4, C 0;0;4. Tam giác ABC là A. Tam giác tù. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác nhọn.
Câu 19. Cho ba điểm M 2;3;  1 , N  1  ;1; 
1 , P1;m 1;3. Tìm m thì tam giác MNP vuông tại N A. m  3 . B. m  1. C. m  2 . D. m  0 .   
Câu 20. Cho hai vecto a,b khác 0 . Kết luận nào sau đây sai?        
A. a,3b  3a,b .
B. 2a,b  2 a,b .                  
C. 3a,3b  3a,b . D. a,b  a . b .sin    ,ab .        
Câu 21. Cho u 1;1;2, v  1  ; ; m m 
2 . Khi đó u,v  14 thì   11 A. m 1,m   11 . B. m  1  ,m   . C. m 1, m  3  . D. m  1  . 5 3 Câu 22. Cho ( A 1; 2  ;0), B(1;0;1), C(0; 1  ;2), D( 2  ; ;
m n). Trong các hệ thức liên hệ giữa , m n dưới đây,
hệ thức nào để bốn điểm , A B, C, D đồng phẳng? A. 2m  n  13. B. 2m  n  13. C. m  2n  13. D. 2m  3n  10.
Câu 23. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A0;1;  1 , B 1  ;0;  2 , C 1
 ;1;0 và D2;1;2
Tính thể tích khối tứ diện ABCD . 5 5 5 A. . B. 5 . C. . D. . 6 2 3
Câu 24. Cho tứ diện ABCD có A0;1;  1 ; B 1;1;2;C 1; 1  ;0;D0;0; 
1 . Tính độ dài đường cao AH của hình chóp . A BCD . 2 3 2 A. 3 2 . B. 2 2 . C. . D. . 2 2
Câu 25. Cho tứ diện ABCD có  A 2; 1
 ; 1, B3;0; 1, C2; 1  ; 
3 , D Oy và có thể tích bằng 5. Tính
tổng tung độ của các điểm D . A. 6 . B. 2 . C. 7 . D. 4  .
Câu 26. Cho hai điểm A9; 3  ;4, B ; a ;
b c . Gọi M , N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với
các mặt phẳng Oxy,Oxz,Oyz. Biết các điểm M , N, P đều nằm trên đoạn AB sao cho
AM  MN  NP  PB . Giá trị của ab  bc  ca bằng 41 A. 17 . B. 17 . C. 9  . D. 12 .
Câu 27. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 2; 2) . Gọi ( P ) là mặt phẳng
chứa O x sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P ) lớn nhất. Phương trình mặt phẳng ( P ) là:
A. 2 y  z  0 . B. 2 y  z  0 . C. y  z  0 . D. y  z  0 . Câu 28. Cho A1; 2  ;  3 ;B2;2;4;C3; 3
 ;2. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho:
  
M A  M B  M C ngắn nhất? A. M 2;1;0 B. M 2; 1  ;  0 C. M 0; 1  ;  3 D. M 2;0;  3 Câu 29. Cho ba điểm A 1
 ;2;2, B3;1;2, C 4  ;0; 
3 . Tọa độ điểm I trên mặt phẳng Oxz sao cho   
biểu thức IA  2 IB  3IC đạt giá trị nhỏ nhất là  19 15   19 15 19 15  19 15  A. I  ;0;   . B. I  ;0;  . C. I ;0;  . D. I ;0;  .  2 2   2 2   2 2   2 2  Câu 30. Cho A0;0;  1 , B 1  ;1;0, C1;0;  1 . Tìm điểm M sao cho 2 2 2
3M A  2 M B  M C đạt giá trị nhỏ nhất.  3 1   3 3   3 1   3 1  A. M ; ; 1   . B. M  ; ; 1    . C. M  ; ; 1    . D. M  ; ;2  .  4 2   4 2   4 2   4 2    
Câu 31. Cho các điểm A 1  ;2;  3 , B6; 5
 ;8 và OM  ai  bk với a, b là các số thực luôn thay đổi.  
Nếu MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của a  b bằng A. 2  5. B. 1  3. C. 0. D. 26.
Vấn đề 2. Phương trình mặt phẳng
Câu 32. Cho mặt phẳng P : x 2z 1 0. Chọn câu đúng nhất trong các nhận xét sau:
A. P đi qua gốc tọa độ O .
B. P song song với Oxy.
C. P vuông góc với trục Oz.
D. P song song với trục O y .
Câu 33. Ba mặt phẳng x  2 y  z  6  0 , 2 x  y  3z  13  0 , 3x  2 y  3z  16  0 cắt nhau tại điểm M. Tọa độ của M là: A. M  1  ;2;  3 . B. M 1; 2  ;  3 . C. M  1  ; 2  ;  3 . D. M 1;2;  3 . Câu 34. Gọi ,
m n là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng P  : mx 2y nz 1 0 và m
Q : xmynz 2  0 vuông góc với mặt phẳng :4x y 6z 3 0. m A. m  n  0 . B. m  n  2 . C. m  n 1. D. m  n  3 .
Câu 35. Cho điểm H 2;1;2 , H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng P , số đo
góc của mặt phẳng P và mặt phẳng Q : x  y 11  0. A. 0 6 0 . B. 0 3 0 . C. 0 4 5 . D. 0 9 0
Câu 36. Cho các điểm A2;0;0, B0;3;0 , C0;0;6 , D1;1; 
1 . Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi
qua 3 trong 5 điểm O , A , B , C , D ? A. 10 . B. 5. C. 7. D. 6. 42
Câu 37. Mặt phẳng Oxy có phương trình là A. z  0 . B. x  0 . C. y  0 . D. x  y  0 .
Câu 38. Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và đi qua điểm A(1;1;1) có phương trình là A. y  1  0 .
B. x  y  z  1  0 . C. x 1  0 . D. z 1  0.
Câu 39. Cho A1;1;5 , B0;0;  1 . Mp P chứa ,
A B và song song với trục O y có phương trình là A. 4x  z 1  0 .
B. 4x  y  z  1  0 . C. 2x  z  5  0 . D. x  4z 1  0 . Câu 40. Cho hai điểm  A 1;3;  4 , B  1
 ;2;2 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là
A. 4 x  2 y  12 z  17  0 .
B. 4 x  2 y  12 z  17  0 .
C. 4 x  2 y  12 z  17  0 .
D. 4 x  2 y  12 z  17  0 .
Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A3;0;0 , B0;1;  0 và C0;0; 2
 . Mặt phẳng  ABC có phương trình là A. x y z    x y z x y z x y z 1. B.    1. C.    1. D.    1. 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
Câu 42. Cho điểm A2;4;  1 ; B 1  ;1; 
3 và mặt phẳng P : x 3y  2z 5  0. Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm ,
A B và vuông góc với mặt phẳng  P có dạng ax  by  cz 11  0 . Khẳng định nào sau là đúng? A. a  b  c  5. B. a  b  c  15 . C. a  b  c  5  . D. a  b  c  1  5. Câu 43. Cho điểm A 2
 ;0; 2 , B0;3;3 . Gọi P là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ
B đến mặt phẳng P là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng P bằng 1 4 2 3 A. . B. . C. . D. . 14 14 14 14
Câu 44. Mặt phẳng   đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với 2 mặt phẳng P : x y  z 7  0,
Q:3x2y12z5 0 có phương trình là
A.  :2x 3y  z  0.
B.  :10x 15y 5z  2  0 .
C.  :10x 15y 5z 2  0 .
D.   : 2x  3y  z  0 .
Câu 45. Cho 2 mặt phẳng ( ) : x  y  z  3  0; ( ) : 2 x  y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P)
vuông góc với ( ) và ( ) và khoảng cách từ M 2; 3  ; 
1 đến mặt phẳng (P) bằng 14 . Có hai mặt phẳng thỏa mãn là:
A. P x  2y 3z 16  0 và P x  2y 3z 12  0 2  1 
B. P 2x  y 3z 16  0 vàP 2x  y 3z 12  0 2  1 
C. P 2x  y 3z 16  0 và P 2x  y 3z 12  0 2  1 
D. P x  2y 3z 16  0 và P 2x  y 3z 12  0 2  1 
Câu 46. Cho mặt phẳng (P): x  2 y  2 z  10  0 . Phương trình mặt phẳng (Q) với (Q) song song với (P) và
khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 7 là 3
A. x  2 y  2 z  3  0; x  2 y  2 z  17  0 .
B. x  2 y  2 z  3  0; x  2 y  2 z  17  0 .
C. x  2 y  2 z  3  0; x  2 y  2 z  17  0 .
D. x  2 y  2 z  3  0; x  2 y  2 z  17  0 . 43  1 
Câu 47. Phương trình của mp đi qua ba điểm A(1; 0; 0) , B(0; 1; 0) , C 0;0;   là  2  A. z x  y  2 z  1  0. B. x  y  2z  0 .
C. x  y  2 z  1  0. D. x  y  1  0. 2
Câu 48. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm G 1;2;3 và cắt ba trục O x, O y, O z lần lượt tại
A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC . A. x y z x y z x y z
x  2 y  3z  14  0. B.    1 C.    1. D.    1 3 6 9 1 2 3 6 3 9
Câu 49. Cho điểm M 1;2;5 . Mặt phẳng P đi qua điểm M cắt trục tọa độ O x, O y, O z tại A, B,C sao
cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng P là A. x y z x y z x  y  z  8  0 .
B. x  2 y  5z  30  0 . C.    0 . D.    1. 5 2 1 5 2 1
Câu 50. Cho điểm A(1; 2; 3) . Gọi A, A , A lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng 1 2 3
(O yz), (O zx ), (O xy ) . Phương trình của mặt phẳng (AA A ) 1 2 3 là: A. x y z    x y z x y z x y z 1. B.    1. C.    1. D.    0 . 3 6 9 2 4 6 1 2 3 1 2 3
Câu 51. Cho điểm M '4; 7  ; 5  , N 3; 9  ; 1
 0 và các đường thẳng d , d , d 1 2 3 cùng đi qua điểm N và
lần lượt song song với O x, O y , O z . Mặt phẳng P ' đi qua M ' cắt d , d , d 1 2
3 lần lượt tại A ', B ', C ' sao
cho M ' là trực tâm A ' B 'C ' . Phương trình mặt phẳng P ' là A. x y z x y z
x  2 y  5 z  35  0 .
B. x  2 y  5z  35  0 . C.    0 . D.    1 . 4 7 5 4 7 5
Câu 52. Cho điiểm A(3; 1;1) . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Oxy . A. 1 . B. 3. C. 0. D. 2.
Câu 53. Cho mặt phẳng  P :16x 12y 15z  4  0 và điểm A2 ; 1;  
1 . Gọi H là hình chiếu của
điểm A lên mặt phẳng P . Tính độ dài đoạn thẳng AH . A.5. B. 11 . C. 11 . D. 2 2 . 5 25 5
Câu 54. Cho điểm M 1;2; 
3 gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục
O x, O y , O z . Khi đó khoảng cách từ điểm O0;0;0 đến mặt phẳng  ABC có giá trị bằng 1 A. 1 . B. 6 . C. 6 . D. . 2 7 14
Câu 55. Cho tứ diện ABCD với A1;2;  3 , B 3  ;0;0,C0; 3
 ;0,D0;0;6. Tính độ dài đường cao hạ
từ đỉnh A của tứ diện ABCD . A. 9. B. 1. C. 6. D. 3.
Câu 56. Cho hai mặt phẳng P :5x 5y 5z 1 0vàQ : x  y  z 1 0 . Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng P và Q bằng 2 3 2 3 A. . B. 2 . C. 2 . D. . 15 5 15 5 44 Câu 57. Cho  A 1;0;  0 , B0; ;
b 0 , C0;0;c , b  0,c  0 và mặt phẳng P : y  z 1  0. Tính
S  b  c biết  ABC vuông góc với P và khoảng cách từ O đến  ABC bằng 1 . 3 A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . D. 3 S  . 2
Câu 58. Trong không gian Oxyz , cho điểm  A 1;2; 
2 . Gọi P là mặt phẳng chứa trục O x sao cho
khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Phương trình của P là: A. 2 y  z  0 . B. 2 y  z  0 . C. y  z  0 . D. y  z  0 .
Câu 59. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 3
 ;2;5 và mặt phẳng P:2x 3y 5z 13  0. Tìm tọa
độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). A. A'1;8; 5   B. A'2; 4  ;  3 C. A'7;6; 4   D. A'0;1; 3  
Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x  y  2z 1 0 và điểm A3;0; 
1 . Gọi H hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng P . Tọa độ của H là A. H (1;1;1) . B. H (1; 1;1) . C. H (1; 1; 1) . D. H (1; 1;1) .
Câu 61. Cho A0;1;2 , B0;1;0 , C 3;1; 
1 và mặt phẳng Q :x  y  z 5  0. Xét điểm M thay đổi
thuộc Q . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 M A  MB  M C bằng A.12. B. 0. C.8. D.10 .
Câu 62. Cho mặt phẳng  : x  y  z  4  0 và ba điểm A1;2; 
1 , B0;1;2 và C0;0;  3 . Điểm   
M x; y; z thuộc   sao cho MA  3MB  4MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P  x  y  z A. 3. B. 1  . C. 5 . D. 4. 3 3
Câu 63. Cho hai điểm A2; 2;4, B 3  ;3; 
1 và mặt phẳng P : 2x  y  2z 8  0. Xét M là điểm
thay đổi thuộc P , giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 M A  3M B bằng: A. 135 . B. 105 . C. 108 . D. 145 .
Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :x  y  z  2  0 và hai điểm A3;4;  1 ;B7; 4  ;  3 . Điểm M  ; a ; b ca  
2 thuộc P sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện
tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức T  a  b  c bằng A.T  6 . B.T  8 . C. T  4. D.T  0 .
Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;m;0),C(0;0;n) với m,n là các số thực dương thoả mãn 2 2
3mn  4 m  n . Mặt phẳng qua A vuông góc với OA cắt đường thẳng qua O vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm H. Tính OH ? A. 5 B. 4 C. 3 D. 4 4 5 4 3
Vấn đề 3. Phương trình mặt cầu
Câu 66. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức
  
MA  MB  MC  a a  0  là A.Mặt cầu bán kính a a R  .
B. Đường tròn bán kính R  3 3
C. Mặt cầu bán kính R  . a
D. Đoạn thẳng có độ dài bằng . a 45 Câu 67. Cho hai điểm  A 2  ;1;  0 , B2; 1
 ;2 . Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là A. x  y   z  2 2 2 1  24 . B. x  y   z  2 2 2 1  6 . C. x  y   z  2 2 2 1  24 . D. x  y   z  2 2 2 1  6 .
Câu 68. Phương trình mặt cầu tâm I  1  ;2; 
0 và đi qua điểm A2; 2;0 là
A.  x  2   y  2 2 1 2  z  100.
B.  x  2   y  2 2 1 2  z  5.
C.  x  2   y  2 2 1 2  z  10.
D.  x  2   y  2 2 1 2  z  25.
Câu 69. Gọi S  là mặt cầu đi qua 4 điểm A2;0;0 , B1;3; 
0 , C 1;0;3 , D 1;2;3. Tính bán kính R của S  A. R  2 2 . B. R  3 . C. R  6 . D. R 6.
Câu 70. Cho mặt cầu S 2 2 2
:x  y  z  2x 4y 6z  0 cắt các trục O x, O y, O z lần lượt tại các điểm
A, B, C ( khác O ) . Phương trình mặt phẳng  ABC là A. x y z    x y z x y z x y z 1. B.    1. C.    0 . D.    1. 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 Câu 71. Trong không gian 2 2
Oxyz, cho mặt cầu  S  2
: x   y  2   z  
1  6. Đường kính của S  bằng A. 6. B. 12. C. 2 6. D. 3.
Câu 72. Cho mặt cầu S  :  x  2  y   z  2 2 2 3
2  m  4 . Tập các giá trị của m để mặt cầu S  tiếp
xúc với mặt phẳng Oyz là: A.  5 . B.  5. C.   0 . D.  .
Câu 73. Trong không gian Oxyz cho điểm A1;2; 
3 . Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt
phẳng x  2 y  2 z  3  0 là
A.  x  2   y  2   z  2 1 2 3  2 .
B.  x  2   y  2   z  2 1 2 3  2 .
C.  x  2   y  2   z  2 1 2 3  4 .
D.  x  2   y  2   z  2 1 2 3  4 .
Câu 74. Cho mặt cầu S  tâm I 1;2; 
3 bán kính R  3 và hai điểm M 2;0;  0 , N 0;1;0.
X : xbyczd  0 là mặt phẳng qua MN và cắt Stheo giao tuyến là đường tròn có bán kính r lớn
nhất. Tính T  b  c  d . A. 1  . B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 75. Cho mặt cầu S  x  y   z  2 2 2 :
2  1 và mặt phẳng   :3x  4z 12  0. Khẳng định nào sau đúng?
A. Mặt phẳng   đi qua tâm mặt cầu S  .
B. Mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu S  .
C. Mặt phẳng   cắt mặt cầu S  theo một đường tròn.
D. Mặt phẳng   không cắt mặt cầu S  . 46
Câu 76. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2 2
x  y z 2mx4y2z6m0 là phương trình
của một mặt cầu trong không gian với hệ tọa độ Oxzy. A. m 1;5 B. m  ;   1  5; C. m 5  ;  1 D. m ;    5  1  ;  
Câu 77. Cho mặt cầu S   x  2   y  2   z  2 : 1 2
3  25. Mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu S  theo một
thiết diện là đường tròn  
C . Diện tích của đường tròn C là A. 8 B. 12 C. 16 D. 4 Câu 78. Cho I 1;1; 
1 và mặt phẳng P : 2x  y  2z  4  0. Mặt cầu S  tâm I cắt P theo một đường
tròn bán kính r  4 . Phương trình của S  là
A.  x  2   y  2  z  2 1 1 1  16 .
B.  x  2   y  2   z  2 1 1 1  5 .
C.  x  2   y  2   z  2 1 1 1  9 .
D.  x  2   y  2  z  2 1 1 1  25.
Câu 79. Cho mặt phẳng Q : x  2y  z 5  0 và mặt cầu S   x  2  y   z  2 2 : 1 2  15.  P song song
với Q và cắt mặt cầu S  theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 6 đi qua điểm nào sau đây? A. A0; 1  ;   5 B. B1; 2;  0 C. C2; 2;  1 D. D 2  ; 2;   1
Câu 80. Cho mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z 6x  4y  2z  5  0 . Phương trình mặt phẳng Q chứa trục O x
và cắt S  theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là A. Q : 2y  z  0 . B. Q : 2x z  0. C. Q : y  2z  0 . D. Q : 2y  z  0 .
Câu 81. Cho hai mặt phẳng song song  : 2x  y  2z 1 0,  : 2x  y  2z  5  0 và một điểm 2  1  A 1  ;1; 
1 nằm trong khoảng giữa của hai mặt phẳng đó. Gọi S  là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với
 ,  . Biết rằng khi S thay đổi thì tâm I của nó nằm trên một đường tròn cố định . Tính diện 1   2 
tích hình tròn giới hạn bởi  . A. 2  . B. 4  . C. 8  . D. 16 . 3 9 9 9
Câu 82. Cho A2;0;0, B0;2;0,C 0;0;2 . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M
không trùng với các điểm A, B,C và  AMB   BMC   CMA  90 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD với S 1;1;6 , A1;2; 
3 , B3;1;2 , C4;2;  3 , D2;3;4. Gọi I là
tâm mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng SAD . 3 3 6 21 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 2 2 2 2
Câu 84. Cho mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z  2x  2y  2z  0 và điểm A2;2;0 . Viết phương trình mặt phẳng
OAB, biết rằng điểm B thuộc mặt cầu S, có hoành độ dương và tam giác OAB đều. A. x  y  z  0 . B. x  y  z  0 . C. x  y  2z  0 . D. x  y  2z  0 . 47
Câu 85. Cho hai điểm A3;1; 3   , B0; 2  ; 
3 và mặt cầu S   x  2  y  z  2 2 : 1 3  1. Xét điểm M
thay đổi thuộc mặt cầu S  , giá trị lớn nhất của 2 2 MA  2MB bằng A. 102 . B. 78. C. 84. D. 52.
Câu 86. Cho mặt phẳng  P : x  2y  2z 3  0 và mặt cầu S  tâm I 5; 3  ;  5 , bán kính R2 5. Từ
một điểm A thuộc P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S  tại B . Tính OA biết AB  4. A. O A  11 . B. OA  5 . C. OA  3. D. OA 6.
Câu 87. Cho mặt phẳng P có phương trình x  y  z  2 và mặt cầu S  có phương trình 2 2 2
x  y  z  2. Gọi điểm M  ; a ;
b c thuộc giao tuyến giữa P và S  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. min c 1  ;  1 . B. min b1;  2 . C. max a  min b . D. max c   2; 2   .
Câu 88. Cho mặt cầu S có tâm I 3;2;2 bán kính R  2 , mặt cầu S có tâm I 1;0;1 bán kính 2   2  1   1  1
R  1 . Phương trình mặt phẳng P đồng thời tiếp xúc với S và S và cắt đoạn I I có dạng 2  1  2 1 2
2x  by  cz  d  0 . Tính T  b  c  d . A. 5  . B. 1  . C. 3  . D. 2.
Vấn đề 4. Phương trình đường thẳng
Câu 89. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x  3 y  4 z  1 d :  
. Vectơ nào sau đây là một vectơ 2 5 3 chỉ phương của d ?     A. u  3;4; 1  B. u  2; 5  ;3 C. u  2;5;3 D. u  3;4;1 4   3   1   2  
Câu 90. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A7;2;  1 và B 5  ; 4  ;  3 , Chọn khẳng định SAI?
A. AB không đi qua điểm 1, 1  ,  1
B. AB vuông góc với mặt phẳng: 6 x  3 y  2 z  10  0 x 112t 
C. AB song song với đthẳng y  1  6t z  1  4t  x  5 
D. AB vuông góc với đường thẳng y  1  2t z 3t  Câu 91. Trong không gian x  y  z  O xyz , cho đường thẳng 2 1 1 d :  
. Điểm nào sau đây thuộc d ? 1 2 3 A. Q2;1;  1 . B. M 1;2;  3 . C. P2;1;  1 . D. N 1; 2;  3 . 48 x 1 2t 
Câu 92. Đường thẳng d : y  2  3t , t  không đi qua điểm nào dưới đây? z  3t  A. Q (1; 2 ; 3) . B. M (3 ; 1; 2) . C. P (2 ; 2 ; 3) . D. N (1; 5 ; 4) .   
Câu 93. Cho mặt phẳng   : x  2y  z 3  0 và đường thẳng x 3 y 1 z 4 d :   . Mệnh đề nào đúng? 4 1 2
A. d song song với   .
B. d vuông góc với   . C. d nằm trên   . D. d cắt       
Câu 94. Trong không gian, hai đường thẳng x 1 y z 1 x 1 y 2 z 7 d :   ; d :   có vị trí tương 1 2 3 1 2 1 2 3 đối là: A. song song B. trùng nhau C. cắt nhau D. chéo nhau x y  z 
Câu 95. Cho ba điểm A3; 1  ;2, B4; 1  ; 
1 , C2;0;2 và đường thẳng d  2 3 :   . Gọi M 1 3 1 
là giao điểm của d  và mp  ABC . Độ dài đoạn OM bằng A. 2 2 B. 3 C. 6 D. 3 Câu 96. Cho ba điểm A 1  ;2;  1 , B2; 1  ;4 và C1;1; 
4 . Đường thẳng vuông góc với  ABC có phương trình là A. x y z   . B. x y z   . C. x y z   . D. x y z   . 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
Câu 97. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A1;2;  3 , B2;3;  1 . x 1t x  2t x  3t x  1 t     A. y  2 5t . B. y  3  5t . C. y  8  5t . D.  y  2  5t . z  3   2t     z 1 4t  z  5 4t  z  3  4t 
Câu 98. Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua I  1
 ;5;2 và song song với trục Ox. x  t 1 x  m x  2  t    A.  y  5 ;t   B. y  5m;m
C. y 10t ;t  D. A và C đều đúng z  2    z  2m  z  4t 
Câu 99. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;0; 
1 , B1;1;0 và C3;4; 
1 . Đường thẳng đi qua A
và song song với BC có phương trình là A. x 1 y z  1         x y z x y z x y z . B. 1 1   C. 1 1   D. 1 1   4 5 1 2 3 1 2 3 1 4 5 1
Câu 100. Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; 5) và vuông góc với mặt phẳng
( ) : 4 x  3 y  2 z  5  0 là       A. x 1 y 2 z 5   . B. x 1 y 2 z 5   . 4 3 2 4 3 2 C. x  1 y  2 z  5      . D. x 1 y 2 z 5   . 4 3 2 4 3 2 49   
Câu 101. Cho đường thẳng x 1 y 1 z 2 d :  
và mặt phẳng P: x  y  z  1  0 . Viết phương trình 2 1 3
đường thẳng  đi qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d .       A. x 1 y 1 z 2  x y z :   B. 1 1 2  :   2 5 3 2 5 3 C. x  1 y  1 z  2     x y z :   D. 1 1 2  :   2 5 3 2 5 3
Câu 102. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : 2x  y  3z  7  0 và   : x  2y  z  2  0.
Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q (2 ; 1; 3) . B. M (1; 0 ; 3) . C. P (1; 0 ; 3) . D. N (1; 2;1) .    Câu 103. Trong không gian x y z Oxyz, cho điểm M 2; 2  ;  3 và đường thẳng 1 2 3 d :   . 3 2 1
Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là
A. 3x  2 y  z  1  0
B. 2 x  2 y  3z  17  0
C. 3x  2 y  z  1  0
D. 2 x  2 y  3z  17  0   
Câu 104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 2 y 1 z 1 d :   và điểm 1 1 2  A 2  ;1; 
0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d?
A. x  7 y  4 z  9  0
B. x  7 y  4 z  8  0
C. x  6 y  4 z  9  0
D. x  y  4 z  3  0   
Câu 105. Trong không gian Oxyz, cho điểm  A 3  ;2;  3 và hai đường thẳng x 1 y 2 z 3 d :   và 1 1 1 1 x  3 y 1 z  5 d :  
. Phương trình mặt phẳng chứa d 2 1 và d2 có dạng: 1 2 3
A. 5x  4 y  z 16  0
B. 5x  4 y  z  16  0
C. 5x  4 y  z  16  0
D. 5x  4 y  z  16  0
Câu 106. Trong không gian, Oxyz cho diểm M (2; 2;1) và mặt phẳng (P ) : 2 x  3 y  z  1  0 . Đường
thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình là x  2  2t x  2  2t x  2  2t x  2  2t     A.  y  2  3t . B.  y  2  3t . C.  y  2  3t . D.  y  3  2t z 1t     z  1 t  z  1 t  z  1 t  x  3 2t x  m  3  
Câu 107. Cho hai đường thẳng d : y 1 t ; d : y  2  2m 1   2
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng z 2 t     z 1 4m   (P) chứa d d 1 và song song với 2 là:
A. x  7 y  5z  20  0
B. 2 x  9 y  5z  5  0 C. x  7 y  5z  0
D. x  7 y  5z  20  0  
Câu 108. Cho đường thẳng ∆ có phương trình x 1 y z 1  
và mặt phẳng (P): 2 x  y  2z 1  0 . 2 1 1
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất là: A. 2x  y  2z 1  0
B. 10 x  7 y  13z  3  0 C. 2x  y  z  0
D.  x  6 y  4z  5  0 50 x  2  t 
Câu 109. Cho đường thẳng d :  y  3
  2t t   . Gọi d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng z 1 3t  Oxz d tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng . x  2  t x  2  t x  0 x  2  t     A.  y  0
t  . B. y  3 2t t  . C. y  3
  2t t  . D. y  3   2t t  z 13t     z  1 3t  z  1 3t  z  0  x 1 y  5 z  3
Câu 110. Cho đường thẳng d :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu 2 1  4
vuông góc của d lên mặt phẳng P : x  5  0 . x  5 x  5 x  1 x  1     A.  y  7  t . B.  y  7  t . C. y  5   2t . D. y  5  t . z 11 4t     z  11 4t  z  3  t  z  3  4t 
Câu 111. Phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P , biết x 12 4t 
d : y  93t và P :3x 5y  z  2  0. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng nào? z 1t 
A. 3x  5 y  z  2  0 và 8 x  7 y  11z  22  0 .
B. 3x  5 y  z  2  0 và 4x  7 y  z  22  0 .
C. 3x  5 y  z  2  0 và x  y  11z  22  0 .
D. 3x  5 y  z  2  0 và 8x  3 y  z  2  0 .
Câu 112. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;  3 và mặt phẳng  
P : 2x  2y  z  9  0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  3; 4;  4 cắt P tại
điểm B . Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 0 90 . Khi độ dài MB lớn
nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau ? A.  2  ; 1  9;3 . B. 3;0;15 . C. 18; 2  ;4  1 . D.  3  ;20;7 .
Câu 113. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua A1; 1  ;  1 , vuông x  4 y  2 z  5
góc và cắt đường thẳng d :   . 1  1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   . B.   .C.   . D.   . 5 1 8  1 5 4  5 5 4  5 1 8 x  y z 
Câu 114. Cho mặt phẳng  P : x  2y  z  4  1 2 0 và đường thẳng d :   . Viết phương trình 2 1 3
đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   B.   C.   D.   5 1 3 5 1 3 5 1  2 5 1 3
Câu 115. Cho 2 đường thẳng x  3 y  3 z  2    d :   ; x 5 y 1 z 2 d :  
và mp P : x  2y  3z  5  0 . 1 1 2 1 2 3 2 1
Đường thẳng vuông góc với P , cắt d và d lần lượt tại ,
A B . Độ dài đoạn AB là 1 2 51 A. 2 3 . B. 14 . C. 5. D. 15 . 
Câu 116. Cho đường thẳng d u   1 có vectơ chỉ phương (1;0; 2) và đi qua điểm x  3 y  1 z  4 M (1; 3; 2), d :  
. Phương trình mặt phẳng ( P ) cách đều hai đường thẳng d và d có 2 1 2 3 1 2
dạng ax  by  cz  11  0. Giá trị a  2b  3c bằng A. 4  2. B. 3  2. C. 11. D. 20. x 1  y 1 z 2
Câu 117. Cho điểm A1;2;  1 , đường thẳng d :   và mặt phẳng 2 1 1  P: x y2z 1
 0. Điểm B thuộc P thỏa mãn đường thẳng AB vừa cắt vừa vuông góc với d . Tọa độ điểm B là: A. 6; 7  ;  0 . B. 3; 2  ;  1 . C.  3  ;8;  3 . D. 0;3;  2  . x 1 y z  2
Câu 118. Cho đường thẳng d và mặt phẳng  P lần lượt có phương trình   và 2 1 1
x  y  2 z  8  0 , điểm A(2; 1; 3) . Phương trình đường thẳng  cắt d và ( P ) lần lượt tại M và N sao
cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN là x 1 y  5 z  5 x  y  z  A.   2 1 3 . B.   . 3 4 2 6 1 2 x  5 y  3 z  5 x  y  z  C.   5 3 5 . D.   . 6 1 2 3 4 2
Câu 119. Cho mặt phẳng P : x  2y  2z  5  0 và hai điểm A3;0; 
1 , B 0;1;3 . Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và song song với  P sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. x  3   2t x  3 2t x  3 2t x  3   2t     A.  y  t  . B.  y  t . C.  y  t  . D.  y  t . z 1     z  1  z  1  z  1 
Câu 120. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm  A 1;3;  0 và B 2  ;1;  1 và đường thẳng  x 1 y 1 z :  
. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng  ? 2 1 2 2 2 2  2   13   3  521 2 2 2  2   13   3  25 A. x   y   z         B. x   y   z          5   10   5  100  5   10   5  3 2 2 2  2   13   3  521 2 2 2  2   13   3  25 C. x   y   z         D. x   y   z          5   10   5  100  5   10   5  3 x  t 
Câu 121. Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1
 và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có  z  t 
phương trình x  2 y  2 z  3  0 ; x  2 y  2 z  7  0 . Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d), tiếp
xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình
A.  x  2   y  2   z  2 4 3 1 3 
B.  x  2   y  2  z  2 4 3 1 3  9 9 52
C.  x  2   y  2   z  2 4 3 1 3 
D.  x  2   y  2   z  2 4 3 1 3  9 9
Câu 122. Trong không gian Oxyz, cho điểm I 1;3; 2   và đường thẳng x  4 y  4 z  3  :   . Phương 1 2 1
trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 là:
A. S   x  2   y  2 2 : 1 3  z  9
B. S   x  2   y  2   z  2 : 1 3 2  9
C. S  x  2   y  2   z  2 : 1 3 2  9
D. S   x  2   y  2   z  2 : 1 3 2  9 Câu 123. Cho E 0; 1  ; 5
  , mp P : 2x  2y  z 3  0 và mặt cầu S  x  2   y  2 2 : 4 1  z  25 . Gọi
 là đt đi qua E , nằm trong P và cắt S  tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Phương trình của  là x  11t x  50t x  11t x  50t     A.  y  1 2t . B.  y  1 23t . C.  y  1   2t . D.  y  1 23t . z  5  26     t z  5  7  t z  5   26t  z  5  7  t x 1t 
Câu 124. Cho mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z  2x 4y 6z  m3  0 . Tìm m để d : y 1t cắt S  tại hai z  2  điểm phân biệt A. 31 m  . B. 31 m  . C. 31 m  . D. 31 m  . 2 2 2 2
Câu 125. Góc giữa hai đường thẳng x y 1 z 1 x  1 y z  3 d :   và d :   bằng: 1 1 1 2 2 1 1 1 A. 45o B. 90o C. 60o D. 30o x  5  t 
Câu 126. Góc giữa đường thẳng d :  y  6 và mp P : y  z 1  0 là: z  2 t  A.300 B.600 C.900 D.450
Câu 127. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A3;0;  1 , B6; 2  ; 
1 . Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A, B và (P) tạo với mp Oyz góc  thỏa mãn 2 cos   ? 7
2x  3y  6z 12  0
2x  3y  6z 12  0 A.  B.  2x  3y  6z  0 2x  3y  6z 1  0
2x  3y  6z 12  0
2x  3y  6z 12  0 C.  D.  2x  3y  6z  0 2x  3y  6z 1  0 x  2  2t x  5 3s  
Câu 128. Cho điểm A(1;1;1) và hai đường thẳng d : y 1 d : y 1 1 ; 2 . z  2   t   z  3 s 
Gọi B,C là các điểm lần lượt di động trên d ; d . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =AB +BC +CA là: 1 2 A. 2 29 B. 2 985 C. 5  10  29 D. 5  10 53
Câu 129. Cho điểm A0;1;9 và mặt cầu S   x  2   y  2   z  2 : 3 4
4  25. Gọi C là đường tròn
giao tuyến của (S) với mp(Oxy); điểm B và C di chuyển trên (C) sao cho 𝐵𝐶 = 2√5 . Khi tứ diện OAB có
thể tích lớn nhất thì đường thẳng BC có phương trình là  21  21  21 x   4  t x   3t x   4t 5    x  21 4t 5  5   28   28  28 A.  y   3t . B. y  28  3t . C.  y   4t . D.  y   3t . 5   5  5  z  0 z  0  z  0 z  0   
Câu 130. Cho điểm E 2;1;3 ,  P : 2x  2y  z  3  0 và mặt cầu S   x  2   y  2   z  2 : 3 2 5  36 .
Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong P và cắt S  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Biết  
có một vec-tơ chỉ phương u  2018; y ; z T  z  y . 0 0  . Tính 0 0 A. T  0 . B. T  2018 . C. T  2018 . D. T  1009 . Câu 131. Cho điểm A0;1; 2
  , mặt phẳng P : x  y  z 1  0 và mặt cầu S 2 2 2
: x  y  z  2x  4y  7  0. Gọi  là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng P và cắt mặt
cầu S  tại hai điểm B,C sao cho tam giác IB C có diện tích lớn nhất với I là tâm của mặt cầu S  . Phương trình của  là x  t x  t x  t x  t     A.  : y 1 . B.  : y 1 t . C.  :y 1 t . D.  :  y 1 . z  2   t     z  2   z  2   z  2  t 
Câu 132. Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt cầu S  x   y  2 2 2 :
1  z  25 và mặt phẳng
P:2x 2y  z 15  0. Gọi M,M S
d M ; P đạt giá trị lớn nhất và 1  1
2 là hai điểm thuộc   sao cho 
d M ; P đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của T  d M ; P d M ; P là: 1    2   2   A. 10 . B. 5. C. 17 . D. 34 . 3 3  1 3  Câu 133. Cho điểm M  ;
; 0 và mặt cầu S  2 2 2
: x  y  z  8. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm  2 2   
M, cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt , A .
B Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OA . B A. S  7 . B. S  4 . C. S  2 7 . D. S  2 2 .
Câu 134. Cho điểm A1;1; 
1 , B2;2;2 và mặt cầu S  2 2 2
: x  y  z  2x  2y  4z 10  0 . Gọi P là mặt phẳng đi qua ,
A B và cắt S  theo một thiết diện là đường tròn C . Đường thẳng AB cắt C tại
hai điểm E, F . Điểm C thuộc đường tròn C sao cho tam giác CEF cân tại C , CH là đường cao ứng
với cạnh EF . Khi thiết diện có diện tích nhỏ nhất thì phương trình của CH là x  1 t x  1 t x  1   t x  1 t     A.  :y 1 . B.  :y 1 t . C.  : y 1 t . D.  : y  1 . z 1t     z  1  z  0  z  2  t  54  
Câu 135. Cho đường thẳng x y 1 2 z d :  
. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với 1 2 1
mặt phẳng Q : 2x  y  2z  2  0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm  A 1;2; 
3 cách P một khoảng bằng 5 3 7 11 4 3 A. 3 . B. . C. . D. . 3 11 3 x  1 2t 
Câu 136. Cho đường thẳng d :  y 1 t và hai điểm A 1;0;  1 , B 2;1; 
1 . Tìm điểm M thuộc đường z  t 
thẳng d sao cho MA MB nhỏ nhất.  3 1   5 1 1   5 2 1  A. M 1;1;0 . B. M ; ;0   . C. M ; ;   . D. M ; ;   .  2 2   2 2 2   3 3 3 
Câu 137. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) tâm I (9; 3;1) bán kính bằng 3. Gọi M, N là hai điểm
lần lượt thuộc hai trục O x , Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với ( S ) ,đồng thời mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện OIMN có bán kính bằng 13 . Gọi A là tiếp điểm của MN và ( S ) , giá trị AM.AN bằng 2 A. 12 3 . B. 18. C. 28 3. D. 39.
Câu 138. Cho ba điểm không thẳng hàng A3;0;0, B 0;3;0, C 0;0;3. Hai mặt cầu có phương trình S  2 2 2
: x  y  z  2x  4y  6z  9  0
S : x  y  z 8x  4z 8  0 2  2 2 2 1 và
cắt nhau theo đường tròn
C. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC,CA? A. vô số B. 1 C. 3 D. Không có x  2  t 
Câu 139. Cho mặt cầu S  x   y  2   z  2 2 : 1
1  1 và đường thẳng d :  y  t . Hai mặt phẳng z  t  
P,Q chứa d , tiếp xúc với S tại T và T '. Điểm H  ;a ;bc là trung điểm của đoạn TT ', giá trị của
biểu thức T  a  b  c là 1 2 A. 0 . B. . C. . D. 1. 3 3
Vấn đề 5. Tọa độ hóa bài toán hình trong không gian
Câu 141. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, BC  a 3, SA  a và SA
vuông góc với đáy ABCD . Tính sin với  là góc tạo bởi đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) . 2 A. sin  7 . B. sin  3 . C. sin  3 . D. sin  . 4 8 5 2
Câu 142. . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  2a vuông góc với đáy. Gọi
M là trung điểm cạnh SD. Tính cos của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC). 5 5 3 2 A. . B. . C. . D. . 5 3 2 3 55
Câu 143. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , biết SO  a và SO vuông
góc với mặt đáy ABCD. Gọi M,N là trung điểm của SA, BC. Gọi  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD). Tính cos. 2 21 5 2 A. . B. . C. . D. . 7 7 10 5
Câu 144. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm SB và N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN  2ND . Tính thể tích khối tứ diện ACMN . 1 1 1 1 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  a . D. 3 V  a . 12 8 6 36 ---- HẾT---- 56