Đề cương môn giải tích 3- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Đề cương bài tập Môn Giải tích 3 I. Chuỗi
1. Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có: (—1)n—1 1 1 a) Σ + ) 2n —1 b) Σ( n n n =1 n =1 2 3 2n — 1 c) Σ d) Σqn sin na (| q |< 1) n =1 2n n =1 (—1)n
e) Σqn cos na (| q |< 1) f) Σ n 2 — 1 n =1 n =1
2. Xét tính hội tụ của chuỗi: 1000n (n !)2 Σ a) Σ n ! b) (2n)! n =1 n =1 2nn ! n ! c) Σ d) Σ n n n n =1 n =1 n 3nn ! (n !)2 e) Σ f) n Σ n =1 n n =1 2n2 n 2 nn +1/n g) Σ h) Σ 1 n =1 1 (2 + )n
n =1 (n + )n n n 1 nn —1 Σ j) Σ i)
(2n2 + n + 1)n+1/2 n =1 n =1 n — 1 n5 k) Σ l) Σ( )n(n —1) + n + 1 n =1 2n 3n n =1 1 m) Σ n) Σ(nn2 +1 — 1) n =1 n =1
v /n sin3 x 1 dx Σ o) Σ 1 + x p) ln n ! n =1 n =1 0 1 1 Σ r) Σ q) np lnq n n =1 n =1 enn ! 1 s) Σ
t) Σ (e — (1 + )n )p n n =1 nn n =1 n — 1 1 Σ u) Σ( — n )p ln n + 1 x) (ln ln n)lnn n =1 n =1 1 1 Σ y) Σ z)
n(ln n)p(ln ln n)q n =1 (ln n)ln ln n n =1
3. Xét tính hội tụ của chuỗi sau:
(—1)n(n —1)/2 2n + 100 a) Σ b) Σ(—1)n( )n 3n + 1 n =1 2n n =1 (—1)n (—1)n c) Σ d) Σ n + 100 n =1 n =1 n + (—1)n Σ (—1)n e)
f) Σ sin(v n2 + k 2 ) n =1 n =1 vn2 ln100 n vn 1 g) Σ cos i) Σ sin n + 1 n 4 n =1 ln2 n n =1
4. Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: (—1)n—1 (—1)n—1 a) Σ b) p Σ n =1 n np +1/n n =1 (—1)n (—1)n c) Σln(1 + ) d) Σ p x + n n =1 n n =1 (—1)n (—1)n —1 Σ f) Σ e)
(n + (—1)n )p n =1 n =1 n — 1 1 (—1)n g) Σ (—1)n h) Σ n + 1 100 n =1 n n =1 (—1)n i) Σsin n2 k) Σ ln n n =1 n =1
5. Xác định miền hội tụ và miền hội tụ tuyệt đối của các chuỗi hàm sau:
(—1)n 1 — x n a) Σ b) Σ ( )n n =1 xn 2n — 1 1 + x n =1 c) Σ n x n32n ( )n d) Σ
xn(1 — x)n n + 1 2x + 1 2n n =1 n =1 (—1)n
l x(x + n)hn e) Σ f) Σ ı + y n ı n =1 (x n)p n =1 xn — g) Σ h) 1 + x Σ 2n ne nx n =1 n =1
(n + x)n i) Σ nn +x n =1
6. Xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm sau:
a) Σ xn trên tập | x |< q < 1
b) Σ xn trên tập | x |< 1 n =1 n =1 xn xn
c) Σ trên tập | x | 1 d) Σ trên (0; ) n 2 n ! n =1 n =1 1 e) Σ (x + trên 0 < x <
n)(x + n + 1) n =1 1 x f) Σ 2 2 trên g) Σ trên [0; ) x + n 1 + n4x 2 n =1 n =1 2x
h) Σ x 2e—nx trên [0; ) i) Σarctan trên n =1 n =1 x 2 + n2 sin nx sin nx j) Σ trên [ ;2v — ] k) Σ trên [0;2v] n n n =1 n =1 Σ (—1)n 1 l) trên (0; ) m) Σ2n sin trên (0; ) x + n n =1 n =1 3n x
7. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa + (—2)n xn 3n a) Σ b) Σ (x + 1)n n n =1 np n =1 2 c) Σ(n !) xn
d) Σ (1 + 1)n2 xn (2n)! n n =1 n =1 xn n ! e) Σ (a,b > 0) f) Σ xn (a > 1)
n =1 an + bn n =1 an2 n g) Σ x (a > 0)
h) Σ (1 + 1)—n2 e—nx n n =1 a n =1 33n (n !)3 xn i) Σ j) Σ 2 2n (3n)! tann x n =1 n =1 8. Tính tổng x 2n +1
(—1)n x 2n +1 a) Σ , | x |< 1 b) Σ , | x |< 1 2n + 1 2n + 1 n =1 n =1 x 2n xn Σ d) Σ , | x |< 1 c) (2n)! n(n + 1) n =0 n =1
e) Σnxn , | x |< 1
f) Σ(—1)n—1n2xn , | x |< 1 n =1 n =1
g) Σn(n + 1)xn , | x |< 1 n =1
9. Phân tích thành chuỗi lũy thừa các hàm số sau: a) e—x2 b) cos2 x x10 x c) d) 1 — x 1 — 2x 1 1 + x e) ln f) 1 + x + x 2 1 g) h) * arctan x
1 + x + x 2 + x 3 i) * arcsin x
k) * ln(x + 1 + x 2 )
(* HD: sử dụng đạo hàm)
10. Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau trên các đoạn đã cho: a) f (x) = A,
0 < x < l trên (0,2l )
t0, l < x < 2l
b) f (x) = x trên (—v, v)
c) f (x) = x trên (—v, v) ax, f (x) =
— v < x < 0 trên (—v, v) d)
tbx, 0 < x < v
e) f (x) = x trên (a,a + 2l)
f) f (x) = x sin x trên (—v, v)