lOMoAR cPSD| 20899013
NỘI DUNG ÔN TẬP GIỮA KÌ HỌC PHẦN
XÁC SUẤT THỐNG KÊ A. Lý thuyết:
Chƣơng 1: Biến cố và xác suất
Dạng toán chính ở chương này là tính xác suất của các biến cố. Ở mức độ cơ bản, để
tính xác suất của các biến cố ta có các cách sau:
- Dùng định nghĩa (cổ điển,…)
- Dùng công thức cộng và công thức nhân xác suất.
- Dùng công thức đầy đủ và công thức Bayes.
- Dùng công thức Bernoulli.
Có bài toán dùng được vài cách, có bài toán chỉ dùng được một cách nào đó.
1.1. Dùng định nghĩa cổ điển.
Giả sử  là không gian mẫu của một phép thử có số kết quả hữu hạn và đồng khả năng
và A là một biến cố bất kỳ. Khi đó xác suất của biến cố A được ký hiệu và xác định như sau:
Số phần tử của A A P( A)  
 Số phần tử của không gian mẫu
Lƣu ý: - Cần xác định phép thử trong bài toán là gì (một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện)
- Số cách của phép thử là bao nhiêu.
- Số cách của biến cố A là bao nhiêu.
1.2. Dùng công thức cộng và công thức nhân xác suất.
* Công thức cộng xác suất:
- Nếu A, B, C là các biến cố bất kì thì: P(A𝖴B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) lOMoAR cPSD| 20899013
P(A𝖴B𝖴C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A ∩C)-P(B ∩C)+P(A ∩B ∩C)
- Nếu A, B, C là các biến cố xung khắc thì: P(A𝖴B)=P(A)+P(B) P(A𝖴B𝖴C)=P(A)+P(B)+P(C)
* Công thức nhân xác suất:
- Nếu A, B, C là các biến cố bất kì thì:
P(A∩B)= P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
P(A∩B ∩C)= P(A).P(B/A).P(C/AB)
- Nếu A, B, C là các biến cố độc lập thì: P(A∩B)=P(A).P(B) P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) * Lƣu ý:
a) Thông thường bài toán sẽ có 2 loại biến cố: biến cố bài toán đã cho và biến cố cần tính xác suất.
Bước 1: Đặt tên cho các biến cố đã cho để dùng.
Bước 2: Biểu diễn biến cố cần tính xác suất qua các biến cố đã cho.
Khi biểu diễn biến cố cần tính xác suất mà trong lời dùng chữ “hoặc” thì nghĩ đến
công thức cộng, mà dùng chữ “và” thì nghĩ đến công thức nhân.
Bước 3: Nhận xét (kiểm tra) tính độc lập hay xung khắc của các biến cố dùng để biểu
diễn và áp dụng công thức cộng hoặc nhân.
b) Cách biểu diễn một số biến cố thường gặp:
Gọi A: “Hiện tượng 1 xảy ra”
B: “Hiện tượng 2 xảy ra”
C: “Hiện tượng 3 xảy ra” Khi đó:
Cả 3 hiện tượng xảy ra: ABC
Cả 3 hiện tượng không xảy ra: ̅ ̅ ̅ lOMoAR cPSD| 20899013
Có ít nhất 1 hiện tượng xảy ra: ABC
Có đúng 1 hiện tượng xảy ra:
̅𝐶̅ ̅ 𝐶̅ ̅ ̅𝐶
Có ít nhất 2 hiện tượng xảy ra: ABBCAC
Có ít nhất 2 hiện tượng không xảy ra: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅𝐶̅ ̅𝐶
1.3. Dùng công thức đầy đủ và công thức Bayes.
Giả sử A1, A2, …, An là hệ đầy đủ các biến cố và A là một biến cố bất kỳ của cùng một phép thử.
* Công thức đầy đủ:
Khi đó, xác suất của biến cố A được tính như sau:
P ( A )  P ( A 1 ) P ( A / A )  P ( A
) P ( A / A ) 1
2 ) P ( A / A )   P ( A 2 n n  * Công thức Bayes: 
P ( A ) P ( A / A )
P ( A / A )  i i
;  i  1, 2 , ..., n i P ( A ) *Lƣu ý:
Khi tính XS bằng công thức đầy đủ, Bayes, quan trọng là phải nhận được mô hình bài
toán và chỉ ra được nhóm đầy đủ các biến cố. Ta thường gặp 2 dạng sau:
- Nếu bài toán có phép thử gồm 2 bước hay 2 giai đoạn: Sau khi thực hiện giai đoạn thứ
nhất ta được nhóm đầy đủ các biến cố. Tiếp tục thực hiện giai đoạn 2 ta được biến cố cần
tính xác suất. Khi đó, để tính xác suất của biến cố ở giai đoạn 2 ta áp dụng công thức đầy
đủ với nhóm các biến cố đầy đủ ở giai đoạn 1.
- Nếu bài toán có tập hợp gồm n nhóm phần tử: Mỗi nhóm phần tử có có tỷ lệ phần tử có
tính chất P nào đó. Lấy ngẫu nhiên 1 phần tử từ tập hợp. Gọi Ai là biến cố chọn được
phần tử thuộc nhóm i. Khi đó, xác suất của biến cố chọn được phần tử có tính chất P sẽ
được tính theo công thức đầy đủ với nhóm các biến cố đầy đủ là Ai.
1.4. Dùng công thức Bernoulli.
Cho dãy gồm n phép thử Bernoulli. Trong mỗi phép thử, xuất hiện biến cố A với xác suất
p hoặc biến cố ̅ với xác suất 1-p. Khi đó, xác suất biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử Bernoulli là: Pk= 𝑛
𝐶k 𝑝k(1 − 𝑝)𝑛−k lOMoAR cPSD| 20899013
* Lƣu ý: Dãy phép thử Bernoulli thường “lặn” trong các bài toán, do vậy để sử dụng
công thức Bernoulli cần phải phát hiện ra dãy phép thử Bernoulli. Muốn vậy phải hiểu
được định nghĩa dãy Bernoulli. Đó là n phép thử lặp, độc lập và trong mỗi phép thử xuất
hiện biến cố A hoặc ̅.
CHƢƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.1. Biến ngẫu nhiên
2.1.1. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Ở mức độ đơn giản, biến ngẫu nhiên (BNN) được phân thành 02 loại chính: BNN rời rạc
và BNN liên tục. Để mô tả BNN rời rạc, ta dùng bảng phân phối xác suất. Đó là bảng với
hai thông tin: Các giá trị mà BNN nhận được và xác suất của BNN nhận được các giá trị
đó tương ứng. Hay có dạng: X x0 x1 x2 ….xn pi p0 p1 p2 ….pn
* Lƣu ý: Dạng toán đầu tiên gặp trong chương này là lập bảng phân phối xác suất của
BNN rời rạc. Để làm được việc đó, trước tiên phải chỉ ra các giá trị mà BNN có thể nhận,
sau đó đi tính các xác suất tương ứng với từng giá trị.
2.1.2. Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục
Để mô tả BNN liên tục ta không thể dùng bảng phân phối xác suất được mà phải dùng
khái niệm hàm mật độ xác suất.
Cho X là BNN liên tục, hàm f(x), x  được gọi là hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa mãn hai điều kiện: ƒ(𝑥) ≥ 0, 𝑥 { +∞ ∫ ƒ(𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞ 𝑏
Khi đó, P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b) = P(a < X < b)= ∫ ƒ(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
* Lƣu ý: Dạng toán ở đây là cho hàm số f(x), xác định điều kiện hoặc tìm tham số để f(x)
là hàm mật độ của BNN liên tục nào đó và tính xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong một khoảng nào đó.
2.1.3. Hàm phân phối xác suất lOMoAR cPSD| 20899013
Hàm phân phối xác suất của BNN X, kí hiệu F(x), là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn
x, nghĩa là: 𝑥 , 𝐹(𝑥) = ( 𝑥)
- Nếu X là BNN rời rạc với xác suất P(X = xi) = pi thì
F (x)   pi x  i x
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) thì x
F(x)   f (t)dt  
* Một số tính chất của hàm phân phối xác suất: i) 0≤F(x)≤1
ii) lim𝑥→−∞ 𝐹(𝑥) = 0, lim𝑥→+∞ 𝐹(𝑥) = 1, lim𝑥→𝑥− 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥0),  𝑥0 0 𝑏
iii) P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b) = P(a < X < b)=F(b)-F(a)= ∫ ƒ(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
* Mối liên hệ giữa hàm phân phối và hàm mật độ: ƒ(𝑥) = 𝐹′(𝑥) 𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ ƒ(𝑡)𝑑𝑡 −∞
* Lƣu ý: Các dạng toán trong phần này là:
- Tìm hàm phân phối xác suất của BNN rời rạc. (dùng định nghĩa)
- Tìm hàm phân phối xác suất của BNN liên tục khi biết hàm mật độ xác suất.
(dùng mối liên hệ giữa hàm phân phối và hàm mật độ và sử dụng tính chất ii))
- Tìm hàm mật độ xác suất của BNN liên tục khi biết hàm phân phối xác suất
(dùng mối liên hệ giữa hàm phân phối và hàm mật độ)
- Tính các xác suất P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b) = P(a < X < b) (dùng tính chất iii))
2.2. Các tham số đặc trƣng của BNN 2.2.1. Kì vọng
- Nếu X là BNN rời rạc với bảng phân phối xác suất: lOMoAR cPSD| 20899013 X x0 x1 x2 … pi p0 p1 p2 … thì kì vọng của X là:
E ( X )  x p  x p  x p  ... 0 0 1 1 2 2
- Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kì vọng của X thì kì vọng củ X là: 
E ( X )   xf ( x ) d x  2.2.2. Phƣơng sai
Cho X là BNN có kỳ vọng toán E(X) = a.
Phương sai của X là một số, kí hiệu là D(X) hoặc Var(X), được xác định như sau:
- Nếu X là BNN rời rạc thì: n
D (X )   ( x  a ) 2 p i i i 1
- Nếu X là BNN liên tục với hàm mật độ f(x) thì:
D ( X )   ( x  a ) 2 f ( x ) d x 
* Nhận xét: - Có thể sử dụng công thức:
D ( X )  E (X 2 ) - [ E ( X ) ] 2
- Cho BNN X có phương sai là D(X), độ lệch chuẩn của BNN X là √ ( )
2.2.3. Mod và trung vị
* Mod của BNN rời rạc X là giá trị của X nhận được mà tại đó xác suất lớn nhất.
* Mod của BNN liên tục có hàm mật độ là f(x) là giá trị của x tại đó hàm f(x) đạt giá trị lớn nhất. * Med của BNN rời rạc: ế ∑ ∑ ì ( ) = i 2 i 2 * Med của BNN liên tục: lOMoAR cPSD| 20899013 1 𝑎 1 Nếu 𝐹( ) = hoặc ∫
ƒ(𝑥)𝑑𝑥 = thì Med(X)=a 2 −∞ 2
* Lƣu ý: Dạng toán trong phần này là tính các tham số đặc trưng của BNN (cần phân biệt
BNN rời rạc hay liên tục để áp dụng công thức phù hợp). B. BÀI TẬP
* Các bài tập ôn tập chương đã đưa lên hệ thống Elearning:
Chương 1: 1.1-1.9, 1.18-1.22, 1.24-1.31, 1.39-1.46.
Chương 2: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.12, 2.15
* Các ví dụ, bài tập trong slide bài giảng.
………….HẾT…………
Document Outline

• A. Lý thuyết:
  • 1.1. Dùng định nghĩa cổ điển.
  • Số phần tử của A
  • Số phần tử của không gian mẫu
  • 1.2. Dùng công thức cộng và công thức nhân xác suất.
  • * Công thức nhân xác suất:
  • * Lƣu ý:
  • 1.3. Dùng công thức đầy đủ và công thức Bayes.
  • * Công thức đầy đủ:
  • * Công thức Bayes:
  • 1.4. Dùng công thức Bernoulli.
• CHƢƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC LUẬT PHÂN
  • 2.1. Biến ngẫu nhiên
  • 2.1.2. Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục
  • 2.1.3. Hàm phân phối xác suất
  • * Một số tính chất của hàm phân phối xác suất:
  • * Mối liên hệ giữa hàm phân phối và hàm mật độ:
  • 2.2. Các tham số đặc trƣng của BNN
  • 2.2.2. Phƣơng sai
  • 2.2.3. Mod và trung vị
• B. BÀI TẬP
  • ………….HẾT…………