Đề cương Toán 12 HK2 năm học 2017 – 2018 trường THPT Phan Đăng Lưu – TP. HCM

Đề cương Toán 12 HK2 năm học 2017 – 2018 trường THPT Phan Đăng Lưu – TP. HCM được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

109 55 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK2 Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

53 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO
TRÖÔØNG THPT PHAN ÑAÊNG LÖU
TOÅ TOAÙN

HOÏC KYØ II
NAÊM HOÏC 2017 – 2018
Họ và tên học sinh: .................................
Lớp: .........................................................
Löu Haønh Noäi Boä
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
1
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Dạng 1. Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
1. Cho hàm số

2
sin 2017.Fx x x
Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của

2sin cos
f
xx xx x
trên R.
2. Chứng minh

ln sinFx x C
là nguyên hàm của

cot
f
xx
(0 < x <
),với C
là hằng số.
Dạng 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) ( hay tìm

fxdx
).
1.
53
23
Ixxxdx
2.
32
111




Idx
xxx
3.
3
2
21
x
x
Idx
x




4.

2
sin cosIxxdx
5.
4
11
Idx
x
x




6.
25
xx
Idx
7.
I
dx
x
1
31
8.
2
tanIxdx
9.
2
sin
2
x
Idx
10.
3
3
4




Ixx dx
x
11.
2
1
sin
x
x
e
Ie dx
x




12.
2
cotIxdx
13.
2
sin cos
22
xx
Idx




14.
x
I
edx
2
15.
32
435
1
x
xx
I
x

16.
2
5
45
x
Idx
xx

17.
2
5
44
x
Idx
xx

Dạng 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa điều kiện F(x
0
) = k.
1) (THPTQG 2017). Cho ()Fx là một nguyên hàm của hàm số () 2
x
xe x thỏa mãn
3
(0)
2
F
.
Tìm
()Fx
.
2) (THPTQG 2017).
Tìm nguyên hàm
()Fx
của hàm số
() sin cos
f
xxx
thỏa mãn
2
2
F



.
3) Tìm F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số

1
fx
x
1
và
F(2) 1.
4) Tìm F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số

2
f
xsinx và nguyên hàm này bằng
8
khi
x
.
4
Dạng 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Bài 1. (THPTQG 2017). Cho ()Fx là nguyên hàm của hàm số
ln
()
x
fx
x
. Tính

1Fe F .
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau:
1)
ln x
Idx
x
2)
2
I
sin x.cos xdx
.
3)
2
3
x
Idx
x
1
4)
21Ixdx
5)
3
2
1
x
I
dx
x
6)
5
sin
cos
x
Idx
x
7)
cos
1sin
x
Idx
x
8)
2
.
x
Ixedx
9)
2
1Ixxdx
10)
1ln
x
Idx
x
11)
2
3
32
21
x
Idx
xx

12)
2
1
x
Idx
x
13)
1
x
I
edx
x
14)
sin
12cos
x
I
dx
x
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
2
15)
632
12 .Ixxdx
16)
2
2
13
x
x
e
I
dx
e
17)
323
5.Ixxdx
18)
2
tan
cos
x
Idx
x
19)
3
2
2
1
x
Idx
x
20)

1
1
Idx
x
x
21)
1
xx
Idx
ee
22)
cos sin
sin cos
xx
Idx
x
x
23)
3
sin
cos
x
Idx
x
Dạng 5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Bài 1. (THPTQG 2017). Cho
2
()Fx x
là một nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f
xe
. Tìm nguyên
hàm của hàm số
2
()
x
f
xe
.
Bài 2. Tìm các họ nguyên hàm sau:
1)
x
Ixedx
2)
Ixcosxdx
.
3)
Ixsinxdx
4)
Ixlnxdx
5)
2x
Ixedx
6)
Ixsin2x1dx
7)
I 1 x cos xdx
8)
x
Ixedx
9)
sin
2
x
Ix dx



10)

3
ln 2Ix xdx
11)
cos 2Ixxdx
BÀI 2. TÍCH PHÂN
Dạng 1. Tính tích phân bằng định nghĩa và các phép biến đổi cơ bản
Bài 1. Tính tích phân sau:
1)

2
32
1
0
32Ixxdx
.
2)

1
2
2
2
0
1Ixxdx
.
3)
4
3
2
1
11
Ix dx
x
x




4)
16
4
1
1
Idx
x
x
5)
1
6
0
x
Iedx
6)

ln 2
2
7
0
1
xx
Ieedx
7)
2
8
0
sin 2cos
2
x
Ix dx




Bài 2. (THPTQG 2017). Cho
2
1
() 2fxdx
và
2
1
() 1gxdx

. Tính

2
1
2() 3()Ixfxgxdx

.
Bài 3. (THPTQG 2017).
Cho
2
0
() 5fxdx
. Tính

2
0
() 2sin
I
fx xdx

.
Bài 4. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Biết
2
1
d
(1) 1
x
abc
xxxx


với
,,abc
là các số nguyên
dương. Tính
P
abc
.
Dạng 2. Tính tích phân các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

b
a
If
xdx
.
Tính các tích phân sau:
1)
2
1
0
1Ixdx
2)
2
2
2
0
Ixxdx
3)
0
3
1
1
x
Idx
x
4)
3
4
2
3
x
Idx
x
Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Bài 1. (THPTQG 2017). Cho
6
0
() 12fxdx
. Tính
2
0
(3 )
I
fxdx
.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
3
Bài 2. Cho hàm số
()
f
x
liên tục trên và thoả mãn
() ( ) 2 2cos2, .fx f x x x
Tính
3
2
3
2
()d.Ifxx
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1
0
sin cosIxxdx
b)
0
2
2
1
1Ixxdx

c)
1
2010
3
0
(1)Ixx
dx.
d)
4
1
23ln
e
x
Idx
x
. e)
1
5
2
0
1
1
Idx
x
f)
8
2
2
0
16Ixdx
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1
1
2
0
1
x
Idx
x




1
2
2
2
0
21
1
x
Idx
xx

1
3
2
0
1
x
Idx
x
1
2
4
0
1Ixxdx
3
52
5
0
1Ixxdx

4
tan 2
16
0
1tan
x
Ie xdx

1
3
7
0
.1Ix xdx
8
1
ln
e
x
Idx
x
9
1
ln
1ln
e
x
Idx
x
x
4
10
2
4
1tan
cos
x
Idx
x
Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Tính các tích phân
2
1
0
cosIxxdx
4
2
0
.sinIxxdx
1
3
0
.
x
Ixedx

1
2
4
0
1
x
Ixedx
5
1
ln
e
Ixdx

2
6
1
1lnIx xdx
2
7
5
1
ln
x
Idx
x
Dạng 5.
Ứng dụng tích phân trong các bài toán vật lý.
Bài 1. (THPTQG 2017_ Mđ 101). Một vật chuyển động
trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t
(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là
một phần của đường parabol có đỉnh
(2;9)I
và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại
đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết
quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A.
23,25 (km)s
B.
21,58 (km)s
C.
15,50 (km)s
D.
13,83 (km)s
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
4
Bài 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) 5t 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di
chuyển bao nhiêu mét ?
A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m.
BÀI 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường:
a)
2
2
y
x
và
yx
. b)
2
4
y
xx
và
yx
.
c)
3
12yx x
và
2
yx
. d)
32
31yx x
và
1y
.
Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh
trục
Ox:
a)
2
4yx , 0y . b)
2
2yxx, 0y . c)

2
1
y
xx
, 0y .
d)
42
2
y
xx
,
0y
. e)
2
4yx x
,
0y
.
Bài 3.
(THPTQG 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 2cosyx , trục hoành
và các đường thẳng
0,
2
xx
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể
tích V bằng bao nhiêu ?
Bài 4. ( Đề Tham Khảo Năm 2018)
Cho hình
()H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
3
y
x ,
cung tròn có phương trình
2
4yx (với
02x
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Tính diện tích của
()H
.
Bài 5. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh
trục
Ox:
a)
3
1yx
,
0y
,
0x
,
1
x
. b)
32
3
y
xx
,
0y
,
0x
,
4x
.
c)
2
1
y
x
, Ox,
2x
,
4x
. d)
cosyx
,
0y
,
0x
và
2
x
.
ÔN TẬP CHƯƠNG III
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017.
THPTQG 2017- Đề 101.
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số
cos3
f
xx
A.cos3 3sin3
x
dx x C
.B.
sin 3
cos3
3
x
x
dx C
.C.
sin3
cos3
3
x
x
dx C
.D. cos3 sin 3
x
dx x C
.
Câu 2. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
2cos
y
x
, trục hoành và các đường
thẳng
0,
2
xx

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao
nhiêu ?
A.
1V

B.
(1)V

C.
(1)V

D.
1V

Câu 3. Cho
6
0
() 12fxdx
. Tính
2
0
(3 )Ifxdx
.
A.
6I
B.
36I
C. 2
I
D. 4
I
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
5
Câu 4. Cho hàm số
()
f
x
thỏa mãn
() 3 5sin
f
xx

và
(0) 10f
. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A.
() 3 5cos 5fx x x
B.
() 3 5cos 2fx x x
C.
() 3 5cos 2fx x x
D.
() 3 5cos 15fx x x
Câu 5. Cho
2
()
F
xx
là một nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f
xe
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f
xe
.
A.
22
() 2
x
f
xe dx x x C

B.
22
()
x
f
xe dx x x C

C.
22
() 2 2
x
f
xe dx x x C

D.
22
() 2 2
x
f
xe dx x x C

Câu 6.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h)
phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình
bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh
(2;9)I
và trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song
song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng
phần trăm).
A.
23, 25 (km)s
B.
21,58 (km)s
C.
15,50 (km)s
D.
13,83 (km)s
Câu 7.
Cho hàm số
()yfx
. Đồ thị của hàm số
()yfx
như
hình bên. Đặt
2
() 2 ()hx f x x
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A.
(4) ( 2) (2)hh h
B.
(4) ( 2) (2)hh h
C.
(2) (4) ( 2)hhh
D.
(2) ( 2) (4)hh h
THPTQG 2017- Đề 102.
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số

1
52
fx
x
A.
1
ln 5 2
525
dx
x
C
x

. B.
1
ln(5 2)
52 2
dx
x
C
x

.
C. 5ln 5 2
52
dx
x
C
x

. D. ln 5 2
52
dx
x
C
x

.
Câu 9. Cho
2
1
() 2fxdx
và
2
1
() 1gxdx

. Tính

2
1
2() 3()Ixfxgxdx

A.
5
2
I
B.
7
2
I
C.
17
2
I
D.
11
2
I
Câu 10. Cho
()Fx
là nguyên hàm của hàm số
ln
()
x
fx
x
. Tính
() (1)Fe F
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
6
A.
Ie
. B.
1
I
e
. C.
1
2
I
. D. 1I .
Câu 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
2sinyx , trục hoành và các đường
thẳng 0,xx
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao
nhiêu?
A.
2( 1)V

B.
2( 1)V

C.
2
2V
D.
2V
Câu 12.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là
một phần của đường parabol có đỉnh
(2;9)I
và
trục đối xứng song song với trục tung như hình
bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được
trong 3 giờ đó.
A.
24,25 (km)s
B.
26,75 (km)s
C.
24,75 (km)s
D.
25, 25 (km)s
Câu 13. Cho
() ( 1)
x
Fx x e là một nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f
xe . Tìm nguyên hàm của hàm
số
2
()
x
f
xe
.
A.
2
() d (4 2)
xx
f
xe x xe C

B.
2
2
() d
2
xx
x
f
xe x e C

C.
2
() d (2 )
xx
f
xe x xe C

D.
2
() d ( 2)
xx
f
xe x x e C

Câu 14.
Cho hàm số
()yfx
. Đồ thị của hàm số
()yfx
như hình bên. Đặt
2
() 2 () ( 1)gx f x x
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A.
(3) (3) (1)
g
gg
B.
(1) ( 3) (3)
g
gg
C.
(3) ( 3) (1)
g
gg
D.
(1) (3) ( 3)gg g
THPTQG 2017- Đề 103.
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số () 2sin
f
xx
A.
2sin 2cos
x
dx x C
. B.
2
2sin sin
x
dx x C
C.
2sin sin 2
x
dx x C
D. 2sin 2cos
x
dx x C
Câu 16. Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
() 2
x
xe x
thỏa mãn
3
(0)
2
F
. Tìm
()Fx
.
A.
2
3
()
2
x
Fx e x B.
2
1
() 2
2
x
Fx e x
C.
2
5
()
2
x
Fx e x
D.
2
1
()
2
x
Fx e x
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
7
Câu 17. Cho
1
0
11
ln 2 ln 3
12
dx a b
xx





với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
2ab
. B.
20ab
. C.
2ab
. D.
20ab
.
Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
x
ye , trục hoành và các đường thẳng
0, 1
x
x
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A.
2
2
e
V
B.
2
(1)
2
e
V
C.
2
1
2
e
V
D.
2
(1)
2
e
V
Câu 19.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận
tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3
giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó
là một phần của đường parabol có đỉnh
(2;9)I
với trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hoành. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó
A.
26,5 (km) B. 28,5 (km)
C.
27 (km) D. 24 (km)
Câu 20. Cho
2
1
()
3
Fx
x
 là một nguyên hàm của hàm số
()
f
x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
()ln
f
xx
.
A.
35
ln 1
()ln
5
x
f
xxdx C
x
x

B.
35
ln 1
()ln
5
x
f
xxdx C
x
x

C.
33
ln 1
()ln
3
x
f
xxdx C
x
x

D.
33
ln 1
()ln
3
x
f
xxdx C
x
x

Câu 21.
Cho hàm số ()yfx . Đồ thị của hàm số ()yfx
như hình
bên. Đặt
22
() 2 ()
g
xfxx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
(3) ( 3) (1)
g
gg
B.
(1) (3) ( 3)ggg
C.
(1) ( 3) (3)
g
gg
D.
(3) (3) (1)
g
gg
THPTQG 2017- Đề 104.
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số
() 7
x
fx
.
A.
77ln7
xx
dx C
B.
7
7
ln 7
x
x
dx C
C.
1
77
xx
dx C

D.
1
7
7
1
x
x
dx C
x

Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
8
Câu 23. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
2
1yx
, trục hoành và các đường
thẳng
0, 1
x
x
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao
nhiêu ?
A.
4
3
V
B.
2V
C.
4
3
V
D.
2V
Câu 24. Cho
2
0
() 5fxdx
. Tính

2
0
() 2sinI
f
xxdx

.
A.
7I
B. 5
2
I
 C.
3I
D.
5I

Câu 25. Tìm nguyên hàm
()Fx
của hàm số
() sin cos
f
xxx
thỏa mãn
2
2
F



.
A.
() cos sin 3Fx x x
B.
() cos sin 3Fx x x
C.
() cos sin 1
F
xxx
D.
() cos sin 1
F
xxx
Câu 26.
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v
(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một
phần của đường parabol với đỉnh
1
;8
2
I



và
trục đối xứng song song với trục tung như hình
bên. Tính quãng đường s người đó chạy được
trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt
đầu chạy.
A.
4,0 (km)s
B.
2,3 (km)s
C.
4,5 (km)s
D.
5,3 (km)s
Câu 27.
Cho hàm số
()yfx
. Đồ thị của hàm số
'( )
yf
x
như hình bên. Đặt
2
() 2 () ( 1)gx f x x. Mệnh đề nào
dưới đây đúng ?
A.
(1) (3) ( 3)gg g
B.
(1) ( 3) (3)
gg g

C.
(3) ( 3) (1)
gg g

D.
(3) ( 3) (1)
gg g

Câu 28. Cho
2
1
()
2
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số
()
f
x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
()ln
f
xx
.
A.
22
ln 1
()ln
2
x
f
xxdx C
xx




B.
22
ln 1
()ln
x
f
xxdx C
x
x

C.
22
ln 1
()ln
x
f
xxdx C
xx




D.
22
ln 1
()ln
2
x
f
xxdx C
x
x

Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
9
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 29. Tìm nguyên hàm của hàm số

f
x2x1.
A.
 
2
f
xdx 2x 1 2x 1 C.
3

B.
 
1
f
xdx 2x 1 2x 1 C.
3

C.

1
f
xdx 2x 1 C.
3

D.

1
f
xdx 2x 1 C.
2

Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số

f
xcos2x.
A.

1
f
x dx s in2x C
2

B.

1
f
xdx sin2x C
2

C.

f
x dx 2 sin2x C
D.

f
x dx 2 s in2x C
Câu 31.
Biết

Fx là một nguyên hàm của hàm số

1
fx
x
1
và

F2 1 . Tính

F3
A.

F3 ln2 1
B.

F3 ln2 1
C.

1
F3
2
D.

7
F3
4
Câu 32.
Cho

4
0
f
xdx 16
. Tính

2
0
If2xdx.
A.
I
32 B .
I
8 C.
I
16 D.
I
4
Câu 33.
Biết
4
2
3
dx
aln2 bln3 cln5
xx

, với
a,b,c
là các số nguyên. Tính
S abc
A.
S6
B.
S2
C.
S2
D.
S0
Câu 34.
Cho hàm số

f
x
có đạo hàm trên đoạn
1; 2
,

f
11
và

f
22
. Tính

2
1
If'xdx
A.
I1
B.
I1
C.
I3
D.
7
I
2
Câu 35.
Tính tích phân
3
0
I cos x.sin xdx.
A.
4
1
I.
4
 B.
4
I
.
 C.
I
0. D.
1
I.
4

Câu 36.
Tính tích phân
e
1
Ix.lnxdx.
A.
1
I.
2
B.
2
e2
I.
2
C.
2
e1
I.
4
D.
2
e1
I.
4
Câu 37.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx xvà đồ thị hàm số
2
yxx.
A.
37
.
12
B.
9
.
4
C.
81
.
12
D. 13.
Câu 38.
Kí hiệu

H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x
y2x1e, trục tung và trục
hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

H
xung quanh trục Ox.
A.
V42e. B.

V42e.
 C.
2
Ve 5. D.

2
Ve5.

Câu 39.
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới
hạn bởi đồ thị hàm số

yfx
, trục Ox và hai đường thẳng

x
a,x b a b
, xung quanh trục Ox.
A.

b
2
a
Vfxdx.
B.

b
2
a
Vfxdx.
C.

b
a
Vfxdx.
D.

b
a
Vfxdx.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
10
Câu 40. Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường
x
ye
,
y0
,
x
0
và
x
ln4
. Đường
thẳng
x
k

0kln4 chia (H) thành 2 phần có diện tích là
1
S và
2
S như hình vẽ bên.
Tìm
k để
12
S2S
A.
2
kln4
3
B. kln2
C.
8
kln
3
D. kln3
Câu 41.
Cho

Fx
là một nguyên hàm của
2
31fx x. Khi đó hiệu số
31FF
bằng:
A. 28 B. 32 C. 30 D. 2
Câu 42.
Cho hàm số

5
sinfx x
x

. Khi đó:
A.
cos 5ln
f
xdx x x C
B.

cos 5ln
f
xdx x x C
C.

2
5
cos
f
xdx x C
x

D.

2
5
cos
f
xdx x C
x

Câu 43.
Xét các mệnh đề:
(I)
2
tan
cos
dx
x
C
x

(II)
54
2
43
431 1
23
3
xx
dx x x C
xx


Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (I) đúng,(II) sai B. (I) sai, (II) đúng
C. Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai
Câu 44.
Tìm nguyên hàm của
cos 2
f
xx
.
A.
sin 2
f
xdx x C
B.
2sin2
f
xdx x C
C.

1
sin 2
2
f
xdx x C
D.

1
sin 2
2
f
xdx x C
Câu 45.
Cho hàm số

2
1
9
fx
x
. Khi đó:
A.

3
ln
3
x
f
xdx C
x

B.

3
ln
3
x
f
xdx C
x

C.

13
ln
63
x
f
xdx C
x

D.

13
ln
63
x
f
xdx C
x

Câu 46.

2
ln 1Fx x x
là một nguyên hàm của hàm số:
A.

2
2
1
x
fx
x
B.

2
1
x
fx
x
C.

2
1
1
fx
x
D.

2
1
1
f
xC
x

Câu 47.
Cho
 
f
xdx F x C
. Khi đó, với
0a
, ta có:
A.
f
ax b dx F ax b C
B.
 
1
f
ax b dx F ax b C
a

C.
f
ax b dx aF ax b C
D.
 
1
2
f
ax b dx F ax b C
a

Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
11
Câu 48. Xét các mệnh đề:
(I)
sin 2 cos 2
44
x
dx x C

 

 
 
(II)


11
10
51
1
51
511
x
x
dx C

(III)
12 1 12 1xx
edxe C


Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Chỉ (II)
Câu 49.

ln
x
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số:
A.


2
11
ln
ln
fx
x
x

B.


2
11
ln
ln
f
xC
x
x

C.


2
11
ln
ln
fx
x
x

D.


2
11
ln
ln
fx
x
x

Câu 50.
Cho
2
cot
f
xx
. Khi đó

f
xdx
bằng:
A. cot
x
xC B. cot
x
xC C. cot
x
xC D. cot
x
xC
Câu 51.
Tìm nguyên hàm
Fx
của hàm số

2
1
sin
fx
x

biết
22
F




.
A.
Fx x
B.

sin 1
2
Fx x

C.

cotFx x
D.

cot
2
Fx x

Câu 52.
Cho
 
201
x
fx a x a . Khi đó
f
xdx
bằng:
A.
2
2ln
3
x
xx
aa C
B.
22
ln 3
x
axx
C
a

C.
23
ln 2
x
axx
C
a

D.
22
ln 3
x
axx
C
a

Câu 53.
Cho

1
x
x
f
xe e

. Khi đó

f
xdx
bằng:
A.
x
exC

B.
x
exC
C.
x
exC

D.
x
exC
Câu 54.
Cho

1
x
f
xxe . Khi đó
f
xdx
bằng:
A.
x
x
eC
B .
1
x
x
eC C.
1
x
x
eC
D.
2
x
x
eC
Câu 55.
Cho

cos 6 .cos 2
f
xxx
. Khi đó

f
xdx
bằng:
A. 4sin8 2sin4
x
xC
B.
11
sin8 sin 4
16 8
x
xC
C.
4sin8 2sin4
x
xC D.
11
sin8 sin 4
16 8
x
xC
Câu 56.
Cho

cos5 .sin 3
f
xxx
. Khi đó

f
xdx
bằng:
A.
11
cos 2 cos8
416
x
xC
B.
11
cos 2 cos8
416
x
xC
C.
2cos2 8cos8
x
xC
D.
2cos2 8cos8
x
xC
Câu 57.
Tìm hàm số

f
x
biết

4
f
xxx
 và
40f
.
A.
44fx x x
B.

2
840
323
xx x
fx
C.

2
840
323
xx x
fx
D.

2
88
323
xx x
fx
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
12
Câu 58. Tìm nguyên hàm
Fx
của hàm số

2
1
2fx x
x

biết
12F
.
A.

2
13
2
22
x
Fx x
x

B.

2
1
2Fx x
x

C.

2
13
2
22
x
Fx x
x

D.

2
11
2
22
x
Fx x
x

Câu 59. Cho

.sin
2
x
fx x
. Khi đó
f
xdx
bằng:
A.
2cos 4sin
22
xx
x
C
B.
2cos 4sin
22
xx
x
C
C.
2cos sin
22
xx
x
C
D.
1
cos sin
222
xx
x
C
Câu 60.
Cho
abc
,

5
b
a
fxdx
,

2
b
c
fxdx
. Tính

c
a
f
xdx
.
A.

2
c
a
fxdx
B.

3
c
a
fxdx
C.

7
c
a
fxdx
D.

0
c
a
fxdx
Câu 61.
Biết rằng
f
x
là hàm liên tục trên R và

9
0
9fxdx
, tính

3
0
3
f
xdx
.
A.

3
0
31
f
xdx
B.

3
0
32fxdx
C.

3
0
33fxdx
D.

3
0
34fxdx
Câu 62.
Giá trị của
4
2
0
cos
dx
x
là:
A.
1
B.
4
C.
1
2
D.
2
Câu 63.
Giá trị của
2
0
cos
2
x
dx
bằng:
A.
2
2
B.
2
4
C.
2
D.
22
Câu 64.
Nếu
1
0
1
ln
212
dx
a
x
thì giá trị của a bằng:
A. 9 B. 3 C. 2 D.
1
2
Câu 65.
Giá trị của
1
0
x
x
edx
bằng:
A.
2
1
e
B.
2
1
e
C.
1
2
e
D.
1
2
e
Câu 66.
Giá trị của
2
5
1
ln
x
xdx
bằng:
A.
32
ln 2
3
B.
32 7
ln 2
34
C.
32 7
ln 2
34
D.
7
ln 2
4
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
13
Câu 67. Kết quả của tích phân
2
2
0
sin cos
x
xdx
là:
A. 1 B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
Câu 68.
Tính tích phân
2
2
1
4
x
dx
e
.
A.
24
ee

B.
24
2( )ee

C.
24
ee

D.
24
2( )ee

Câu 69.
Tính tích phân
0
cos
x
dx
.
A. 0 B. 1 C. 2 D.
Câu 70.
Cho

x
f
xxe . Khi đó

2
0
f
xdx

bằng:
A.
2
3e
B.
2
31e
C.
2
31e
D.
2
2e
Câu 71.
Giá trị của tích phân
12
2
10
21
2
x
dx
xx

bằng:
A.
ln12 ln10
B.
ln 77 ln 54
C.
ln 24 ln 20
D.
2ln77 ln54
Câu 72.
Cho
0
11
ln13
31 3
m
dx
x
. Tìm m, biết
0m
.
A.
1m
B.
2m
C.
3m
D.
4m
Câu 73.
Tính tích phân
2
3
0
sin cos
x
xdx
. Đáp số nào sau đây đúng?
A. 1 B.
1
3
C.
1
4
D.
4
16
Câu 74.
Giá trị của tích phân

1
3
2
0
1
x
dx
x
bằng:
A.
5
16
B.
3
16
C.
1
16
D. 1
Câu 75.
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
yx
và
2yx
.
A.
9S
(đvdt) B.
9
4
S
(đvdt) C.
9
2
S
(đvdt) D.
9
8
S
(đvdt)
Câu 76.
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (C):
3
yx
, trục hoành và hai đường
1, 2xx
.
A.
17
2
S
(đvdt) B.
15
4
S
(đvdt) C.
17
8
S
(đvdt) D.
17S
(đvdt)
Câu 77.
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3
yx x
,
5yx
và các đường
1, 1
x
x
.
A.
7S
(đvdt) B.
7
8
S
(đvdt) C.
7
4
S
(đvdt) D.
7
2
S
(đvdt)
Câu 78.
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (C):
2
lnyx x
, trục Ox và hai đường
1
3
1,
x
xe
.
A.
1
4
S
(đvdt) B.
1
6
S
(đvdt) C.
1
9
S
(đvdt) D.
1
8
S
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
14
Câu 79. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):
4
2
y
x
, trục hoành và hai đường
2, 1
x
x
.
A.
2ln2
(đvdt) B.
4ln2
(đvdt) C.
6ln2
(đvdt) D.
8ln2
(đvdt)
Câu 80.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):
3
3
x
y
x
, tiệm cận ngang của (C) và
hai đường
0, 2xx
.
A.
ln 3
(đvdt) B.
9ln3
(đvdt) C.
9ln3
(đvdt) D.
9
ln 3
2
(đvdt)
Câu 81.
Gọi S là số đo của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
231yx x
và parabol
2
2yx x
. Tính
cos
S



.
A.
cos 0
S



B.
2
cos
2S




C.
2
cos
2S



D.
3
cos
2S



Câu 82.
Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường:
sinyx x
, trục hoành và hai đường
thẳng
0,xx
. Khẳng định nào sai ?
A.
sin 1
2
S



B.
cos 2S 1
C.
tan 1
4
S



D.
sin 1S
Câu 83.
Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
3
y
x
,
0y
,
1, 8xx
xung quanh trục Ox.
A.
2
V 
B.
9
4
V
C.
18,6V
D.
93
5
V
Câu 84.
Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
tan
y
x
,
0y
,
0,
4
xx

xung quanh trục Ox.
A.
4
V
B.
2
4
V
C.
4
V
D.
ln 2
2
V
Câu 85.
Tìm thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
đường

4
y
xx
và trục hoành.
A.
32
3
(đvtt) B.
32
3
(đvtt) C.
16
3
(đvtt) D.
16
3
(đvtt)
Câu 86.
Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
2
4
y
x
,
0y
xung quanh trục Ox.
A.
2V 
B.
71
82
V
C.
512
15
V
D.
2
8
3
V
Câu 87.
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
y
x
và
5yx
quay quanh trục Ox.
A.
21
(đvtt) B.
12
(đvtt) C.
33
(đvtt) D.
8
(đvtt)
---------------------------------------------------------------------
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
15
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
Vấn đề 1. Các tính chất của số phức.
Bài 1. Tìm phần thực , phần ảo, mô đun và số phức liên hợp của các số phức:
a/ z = 2 – ei b/ z =
43
c/ z = -5i d/
7zi
Bài 2.
Tìm x, y ñeå hai soá phöùc z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i baèng nhau.
Bài 3.
Bieåu dieãn hình hoïc cuûa caùc soá phöùc: 4 + 2i, 3 - i, -2i, 3i, 2, -4.
Bài 4.
Treân maët phaúng toïa ñoä, tìm taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn cuûa soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän phaàn
aûo baèng -2 vaø phaàn thöïc thuoäc khoaûng (-3; 3).
Bài 5.
ĐH KHỐI B 2010: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
(1 )zi iz
Bài 6.
Tìm phần thực , phần ảo, môđun của các số phức:
a/ z = 2 – ei b/ z =
43
c/ z = -5i d/
7
-i
Bài 7.
Tìm các số thực x, y thỏa mãn :
a/ (2x +3y -5) + (-x +2y +1)i = (3x + y – 2) + (4x – y – 1)i
b/ (2- 3x) - i
5
= 2 + (1- 5y)i
c/ x + 2y +
3
+ ( 2 x – y)i = 2x + y - (x +
3
y)i
Bài 8.
( THPTQG 2017). Tìm tất cả các số thực x, y sao cho
2
112
x
yi i
.
Bài 9.
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện :
a/ Phần thực của z bằng (-3).
b/ Phần ảo của z bằng (-2).
c/ Phần thực của z thuộc khoảng (-3;2).
d/ Phần thực và phần ảo thuộc đoạn [-3;3].
e/
z
= 2
f/
z
1 và phần ảo thuộc
22
;
33



g/
23z
h/ phần thực bằng phần ảo.
l/ Phần ảo bằng 3 lần phần thực .
m/ Tổng bình phương phần thực và phần ảo bằng 1, phần thực của z không âm.
n/
2z
và
Bài 10.
Tìm số phức z và
z
biết :
a/
z
= 2 và z là số thuần ảo.
b/
z
= 5 và phần thực bằng 2 lần phần ảo.
Vấn đề 2. Các phép toán trên số phức.
Bài 1. Tính:
1)
(2 3 )(1 2 )
34
12
ii
i
i


2)[(3-2i) – (3+ 4i)]
3
3)
2
1
12
i
i



4)
3
7
21 1
4
i
i
ii



Bài 2.
Thực hiện các phép tính
1)

45 79ii
2)

615 2ii
3)

23.12ii
4)

3.3ii
5)

2
45 .54ii
6)

22
1.1 2iii
7)
12
3
i
i
8)
3
1 i
i



9)

2017
1 i
Bài 3. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức :
1) z = (1- i) – (3- 2i) + (5 + 6i) 2) z = (3 + 2i)(7 – 4i)
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
16
3)
6
25
i
z
i
4) z = (3 – 2i)
2
– ( 4 – i)
2
Bài 4. Cho z = 5 – 3i , tìm :
1) z
2
2)
1
z
3)
z
4)z + z
2
+ z
3
Bài 5.
Giải phương trình sau trên tập các số phức.
1)

1230iz i
2)
3221iz z i
3)

2
12 812.iizi iz
4)

2
12 812.iizi iz
Bài 6.
Giải phương trình sau trên tập các số phức.
1)
2
312zz i
2)
2
23 4 13 .iz iz i
3)



211 11 22.zizii
Bài 7.
Giải phương trình sau trên tập các số phức.
1)(2- 3i)z = (1-i)(4 +2i) 2) 2(1 +4i)z – 5 = 6i – 7i(i – 1)z
3)
32
153
ii
z
ii


4)
335zz i
Bài 8.
( THPTQG 2017). Cho số phức
zabi
(, )ab
thỏa mãn
13 0zizi
. Tính
3Sa b
.
Bài 9.
( THPTQG 2017). Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
35zi
và
4
z
z
là số thuần ảo ?
Bài 10.
( Đề Tham Khảo Năm 2018) Cho số phức
zabi
(, )ab thoả mãn 2||(1)0zizi
và
||1z . Tính
P
ab.
Bài 11.
( Đề Tham Khảo Năm 2018) Xét các số phức
aabi
(, )ab
thỏa mãn
|43|5zi
.
Tính
P
ab
khi
|13||1|zizi
đạt giá trị lớn nhất.
Vấn đề 3. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Bài 1. Tìm các căn bậc hai của các số thực sau: 5;9;1;0; 1; 2; 3; 4; 27; 49.
Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1)
2
3210zz 2)
2
7320zz 3)
2
98100zz
4) 3z
2
+5z = 0 5) 5z
2
+ 9 = 0 6)
42
60zz
7)
42
7100zz 8) z
4
+ z
2
– 12 = 0 9) z
4
+ 9z
2
+ 14 = 0
Bài 3. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4430zz
.
Tính giá trị của biểu thức
12
||||zz .
Bài 4.
( THPTQG 2017). Kí hiệu
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
310zz
. Tính
12
P
zz.
Bài 5.
( THPTQG 2017). Kí hiệu
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
40z 
. Gọi M,
N lần lượt là các điểm biểu diễn của
12
,zz
trên mặt phẳng tọa độ. Tính
TOMON
với O là
gốc tọa độ.
Bài 6.
Tìm phương trình nhận hai số phức
12i
và
12i
làm nghiệm.
Bài 7.
Cho a,b,c
R, a
0, z
1
, z
2
là 2 nghiệm của phương trình az
2
+ bz +c = 0.
Tính z
1
+z
2
và z
1
.z
2
theo a, b, c.
Bài 8.
Cho số phức z = a +bi, hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và
z
làm nghiệm. Áp dụng : Cho z = 3-2i , tìm phương trình bậc hai nhận z và
z
làm nghiệm.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
17
ÔN TẬP CHƯƠNG IV.
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017.
THPTQG 2017- Đề 101.
Câu 1. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.
23zi
. B.
3zi
. C.
2z 
. D.
3zi
.
Câu 2. Cho hai số phức
1
74zi
và
2
23zi
. Tìm số phức
12
zz z
.
A. 74zi B. 25zi C. 25zi D. 310zi
Câu 3. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
12i
và
12i
là nghiệm ?
A.
2
230zz
B.
2
230zz
C.
2
230zz
D.
2
230zz
Câu 4. Cho số phức
12zi . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức wiz trên mặt
phẳng tọa độ ?
A.
(1; 2)Q
B.
(2;1)N
C.
(1; 2)M
D.
(2;1)P
Câu 5. Cho số phức
zabi
(, )ab
thỏa mãn
13 0zizi
. Tính
3Sa b
A.
7
3
S
B.
5S 
C.
5S
D.
7
3
S 
Câu 6. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
35zi
và
4
z
z
là số thuần ảo ?
A.
0
B. Vô số C.
1
D.
2
THPTQG 2017- Đề 102.
Câu 7.
Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa
độ là điểm M như hình bên ?
A.
4
2zi
B.
2
12zi
C.
3
2zt
D.
1
12zt
Câu 8. Cho hai số phức
1
43zi và
2
73zi. Tìm số phức
12
zz z
A. 11z . B.
36zi
C.
110zi
D.
36zi
Câu 9. Kí hiệu
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
310zz. Tính
12
P
zz
A.
3
3
P
. B.
23
3
P
C.
2
3
P
. D.
14
3
P
.
Câu 10. Cho số phức
3
1zii . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
A. 0, 1ab B. 2, 1ab C. 1, 0ab D. 1, 2ab
Câu 11. Cho số phức
( , )zabiab thoả mãn 2ziz . Tính 4Sab.
A. 4S B. 2S C. 2S  D. 4S 
Câu 12. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |2|22zi và
2
(1)z là số thuần ảo.
A. 0 B.
4
C. 3 D.
2
THPTQG 2017- Đề 103.
Câu 13. Cho hai số phức
1
13zi và
2
25zi . Tìm phần ảo b của số phức
12
zz z.
A.
2b 
B.
2b
C.
3b
D.
3b 
Câu 14. Cho số phức
23zi. Tìm phần thực a của z.
A.
2a
B.
3a
C.
3a 
D.
2a 
Câu 15. Tìm tất cả các số thực x, y sao cho
2
112
x
yi i
A. 2, 2xy B.
2, 2xy C. 0, 2xy
D.
2, 2xy
Câu 16. Kí hiệu
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
60zz
. Tính
12
11
P
zz

Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
18
A.
1
6
P
. B.
1
12
P
C.
1
6
P 
. D.
6P
.
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn
35z  và 222ziz i. Tính z .
A.
17z
B.
17z
C.
10z
D.
10z
Câu 18. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
313zi
và
2
z
z
là số thuần ảo ?
A. Vô số B.
2
C.
0
D.
1
THPTQG 2017- Đề 104.
Câu 19. Cho số phức 2zi. Tính z .
A. 3z B. 5z C. 2z D.
5z
Câu 20. Tìm số phức z thỏa mãn
23 32zii 
A.
15zi
B.
1zi
C.
55zi
D.
1zi
Câu 21. Cho số phức
12
12, 3ziz i . Tìm điểm biểu diễn của số phức
12
zz z trên mặt
phẳng tọa độ.
A.
(4; 3)N
B.
(2; 5)M
C.
(2;1)P 
D.
(1;7)Q
Câu 22. Kí hiệu
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
40z 
. Gọi M, N lần lượt là các
điểm biểu diễn của
12
,zz
trên mặt phẳng tọa độ. Tính
TOMON
với O là gốc tọa độ.
A.
22T
. B.
2T
C.
8T
. D.
4T
.
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn
5z và 3310zz i . Tìm số phức
43wz i
.
A.
38wi
B.
13wi
C.
17wi
D.
48zi
Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z
thỏa mãn
.1zz
và
3zim
. Tìm số phần tử của S.
A.
2
B.
4
C. 1 D. 3.
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 25. Cho số phức z25i . Tìm số phức
wizz
.
A. w73i. B. w33i. C. w37i. D. w73i.
Câu 26.
Kí hiệu
1234
z,z,z,z là 4 nghiệm phức của phương trình
42
z z 12 0.
Tính tổng
1234
Tz z z z.
A.
T4.
B. T23. C. T423. D. T223.
Câu 27.
Cho các số phức z thỏa mãn
z4.
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w34i.zi là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A.
r4. B. r5. C. r20. D. r 22.
Câu 28.
Cho số phức z thỏa mãn (1 i)z 3 i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm
M, N, P, Q ở hình bên?
A. Điểm
P. B. Điểm Q.
C. Điểm
M. D. Điểm N.
Câu 29.
Cho số phức z32i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2i. B. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2.
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.
Câu 30.
Cho hai số phức
1
z1i và
2
z23i. Tính mô đun của số phức
12
zz.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
19
A.
12
zz 13.
B.
12
zz 5.
C.
12
zz 1.
D.
12
zz 5.
Câu 31.
Tìm số phức liên hợp của số phức

zi3i1.
A. z3i B.z3i C.z3i D.z3i
Câu 32.
Tính môđun của số phức z thỏa mãn

z2 i l3i 1
A.|z| 34 B.|z| 34 C.
534
|z|
3
D .
34
|z|
3
Câu 33.
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần
thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là
−4
i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là
−4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3
i.
x
y
-4
3
O
M
Câu 34.
Kí hiệu
0
z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
4z 16z 17 0
. Trên mặt
phẳng có tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
0
wiz ?
A.
1
1
M
;2 .
2



B.
2
1
M
;2 .
2



C.
3
1
M
;1 .
4



D.
4
1
M
;1 .
4



Câu 35.
Cho số phức zabi

a,b
thỏa mãn

1iz 2z 32i. Tính Pab
A.
1
P
2
B. P1 . C. P1 D.
1
P
2

Câu 36.
Xét số phức z thỏa mãn

10
12iz 2i
z

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
z2
2

. B. z2 C.
1
z
2
. D.
13
z
22

.
Câu 37.
Số nào trong các số phức sau là số thực?
A.

23 23ii B.
5252ii C.

11ii
D.
32 32ii
Câu 38.
Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?
A.
33ii
B.
10 10ii C.
53 53ii
D.
33ii
Câu 39.
Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn:
 
22 2 2
x
yxyixyxyi .
A.
0xy
B.
12
;
33
xy

C.
1
2
xy

D.
12
;
33
xy
 
Câu 40.
Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn:

2112 2 23
x
yi x yi .
A.
51
;
33
xy
B.
13
;
35
xy

C.
15
;
33
xy
D.
13
;
35
xy
Câu 41.
Cho
1
1
i
z
i
. Chọn đáp số đúng.
A.
1zi
B.
zi
C.
zi
D.
1zi
Câu 42.
Cho

25
323
2zi i i . Chọn đáp số đúng.
A.
4zi
B.
34zi
C.
14zi
D.
4zi
Câu 43.
Cho
w34i
. Tìm nghich đảo của w.
A.
34
55
i
B.
34
25 25
i
C.
34
25 25
i
D.
34
55
i
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
20
Câu 44. Cho
12 12
12 12
ii
z
ii



. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A. z là số thực. C. z có thành phần thực và ảo đều khác 0.
B. z là số thuần ảo. D.
1z .
Câu 45.
Cho
 
212 212
22
ii ii
z
ii



. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A. z là số thực. C. z có thành phần thực và ảo đều khác 0
B. z là số thuần ảo.. D.
22
.
5
zz
.
Câu 46.
Tìm căn bậc hai của số phức
34zi
.
A.
2 i
B.
1
1
2
i




C.
2 i
D .
1 i
Câu 47.
Giải phương trình sau:
213
12
ii
z
ii


. Chọn đáp số đúng.
A.
22 4
55
zi

B.
22 4
55
zi

C.
22 4
25 25
zi

D.
22 4
25 25
zi

Câu 48.
Tìm z biết:
224zz i
.
A.
2
4
3
zi

B.
2
4
3
zi

C.
2
4
3
zi

D.
2
4
3
zi

Câu 49.
Tìm nghiệm phức của phương trình:
2
330xx.
A.
33
22
zi

B.
33
22
zi

C.
33zi
D.
33zi
Câu 50.
Tập hợp các điểm biểu diễn hình học số phức thỏa mãn
12zi zi 
là đường thẳng có
phương trình
A.
6430xy
B.
4630xy
C.
2310xy
D.
1
23 0
2
xy

Câu 51.
Tập hợp các điểm biểu diễn hình học số phức thỏa mãn
21zi z
là đường tròn có
phương trình nào sau đây?
A.

22
212xy
B.

22
124xy
C.

22
124xy
D.

22
212xy
Bài tập tự luận.
Bài 1: Tìm môđun của số phức
3
14 1zii
Bài 2: Cho hai số phức:
1
35zi
;
2
3zi
. Tính
1
2
z
z
và
1
2
z
z
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z =

2013
(3 4 )(1 2 )
(4 3 ) 1
12


ii
ii
i
Bài 4: Tìm số phức z biết
2
)31()4()32( izizi
Bài 5: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm
2
zz
z
Bài 6: Giải phương trình sau (ẩn z):

2
215zz i
Bài 7: Tìm số phức liên hợp với bình phương của chính nó.
Bài 8: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R). Tìm phần thực và phần ảo của các số phức:
a) z
2
– 2z + 4i b)
1
zi
iz
Bài 9: Giải các phương trình sau (ẩn z) :
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
21
a)
213
12
ii
z
ii


b)


1
23 0
2
iz i iz
i




.
Bài 10:
a) Chứng minh:
21 2
(1)., ; (1), .
kk kk
iikNikN

b) Giả sử
221
,
kk
k
zi i kN

. Tính tổng z
k
+ z
k+1
.
Bài 11: Thực hiện các phép tính :
a)
22 3 3
22 33
3(12)(1)(2)(2)
;) ;) ;
(1 )(1 2 ) (3 2 ) (2 ) (2 ) (2 )
iiiii
bc
ii i i i i


d) (2 – i)
6
Bài 12: Cho hai số phức z = a + bi và z
’
= a
’
+ b
’
i
a) Với điều kiện nào giữa a, b, a
’
, b
’
thì tổng của chúng là số thực ? số ảo?
b) Cũng câu hỏi trên đối với hiệu z – z
’
..
Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện

34 2zi
.
Bài 14: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
22zi zz i 
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
52 2zi
.
Bài 16 : Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a)
,zaaiaR
b)
1
zi
là số ảo
Bài 17 : Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z
2
là số thực âm b)
29zi zi
.
Bài 18: Giải các phương trình trong tập số phức:
a) z
2
+ 81 = 0 b) z
2
– z + 2 = 0
c) (z – i)(z
2
+ 1) = 0 d) (z
2
+ z)
2
+ 4 (z
2
+ z) – 12 = 0
MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP, TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG.
1/ TNPT 2009: Gỉải phương trình : 8z
2
– 4z + 1 = 0 trên tập số phức.
2/ TNPT 2010: Cho 2 số phức z
1
= 1 + 2i và z
2
= 2 – 3i. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
z
1
– 2z
2
.
3/ TNPT 2011: Giải phương trình (1- i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức.
4/ TNPT 2012: Tìm các số phức 2z +
z
và
25i
z
, biết z = 3 – 4i.
5/ TNPT 2013: Cho số phức z thỏa mãn (1 +i)z – 2 – 4i = 0. Tìm số phức liên hợp của z.
6/ ĐH KHỐI D 2009: Trong mpOxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
(3 4 ) 2zi
7/ ĐH KHỐI B 2009:Tìm số phức z thỏa :
(2 ) 10zi
và
.zz
=25.
8/ ĐH KHỐI A 2009:Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình : z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị
của biểu thức A =
22
12
zz
9/ CĐ 2009:Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)
2
(2-i)z = 8 + i + (1+2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z.
10/ ĐH KHỐI D 2010:Tìm số phức z thỏa mãn
42
7100zz
,
2z
và z
2
là số thuần ảo.
11/ ĐH KHỐI B 2010: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
(1 )zi iz
12/ ĐH KHỐI A 2010: Tìm phần ảo của số phức z biết
2
(2 )(1 2)zii
13/ CĐ 2010: Cho số phức z thỏa
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )iz iz i
. Tìm phần thực và phần ảo của z.
14/ ĐH KHỐI D 2012: Cho số phức z thỏa mãn
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
iz i
i

.
Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
22
15/ CĐ 2012:Cho số phức z thoả mãn
2
(1 2 ) (3 )
1
i
iz iz
i

. Tìm toạ độ điểm biểu diễn của z trong
mp tọa độ Oxy.
16/ ĐH KHỐI D 2013: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
(1 + i)(z – i) +2z = 2i. Tính môđun của số phức
2
21zz
w
z

17/ CĐ 2013:Cho số phức z thỏa mãn (3 +2i)z + (2 – i)
2
= 4 + i. Tìm phần thực, phần ảo của số phức
(1 )wzz
.
18/ ĐH KHỐI B 2014: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
23(1)19zizi
. Tính môđun của z.
19/ ĐH KHỐI A 2014: Cho số phức z thoả điều kiện
(2 ) 3 5ziz i
. Tìm phần thực và phần ảo của
z.
20/ THPTQG 2015: Cho số phức z thỏa mãn
42
7100zz
. Tìm phần thực và phần ảo của z.
21/ THPTQG 2016: Cho số phức
12zi
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
2.wzz
.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
23
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M và tính OM

biết:
a.
OM 5i 2j 7k

b.
OM 3k

c.
OM i 3j

Bài 2: Tìm tọa độ điểm M và tính OM

biết:
a.
MA 2MB
 
với A(2;1;0), B(-2;0;1)
b.
21
MA MB
32


với A(2;1;0), B(-2;0;1)
Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ
a.
a 2;1;4 , b 6;0;3

b.
a 0;0;1 , b 2;0;2

Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1).
a. Tính góc giữa hai vectơ
AB, AC
 
b. Tính góc giữa hai vectơ
AB, BC
 
Bài 5: Cho
a m;6;5, b m;m;1

. Tìm m để ab

.
Bài 6: Cho
a m;3;2, b m;m;1

. Tìm m để ab

.
Bài 7: Xét sự cùng phương của các vectơ sau:
a.
a 1;1;1 , b 2;2;2

; b.
a 2;4;6 , b 2;4;0

; c.
a 1;2;0 , b 2;4;0

.
Bài 8: Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng:
a.
1;3; 2 , 2;2;3 , 0; 4;1AB C
b.
2; 1; 0 , 1; 3; 2 , 0; 5; 4AB C
Bài 9: Chứng minh rằng ba điểm sau không thẳng hàng:
a. A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2)
b. A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4)
Bài 10:
a. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn
đỉnh một tứ diện.
b. Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không
đồng phẳng.
Bài 11:
a. Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5), D(1; 0; -1). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng
phẳng.
b. Cho ba điểm A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(2;-2; 3). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng
phẳng.
Bài 12: Cho ba điểm A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3).
a. Tìm tọa độ điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm A, B, C trên các trục tọa
độ Ox, Oy, Oz.
b. Tìm tọa độ điểm A’’, B’’, C’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm A, B, C trên các mặt
phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Bài 13: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.
b. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
24
Bài 14. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC;
b. Chứng minh A, B, D không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABD.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Cho 3 vectơ
2;3;1 , 5;7; 0 , 3; 2; 4ab c

.
a. Tìm tọa độ của vectơ :
23dabc

.
b. Tìm tọa độ vectơ
x
thỏa mãn
25
x
abc

.
c. Tìm
y, z để
3; ;myz

cùng phương a
.
d. Chứng minh rằng:
,,abc

không đồng phẳng.
e. Biểu diễn vectơ
d
theo 3 vectơ ,,abc

.
2. Tìm m để:
a. Ba điểm
0;3; 2 , 1; 2;3 , 2; ; 4ABCm
thẳng hàng.
b.
2;3; 4a 
cùng phương
;6;8bm
.
c.

1; ; 2am
vuông góc với
;3; 4bm
.
3. Tìm vectơ b
cùng phương với

22;1;4a 
biết 10b
.
4. Tìm vectơ b
cùng phương với

8; 10;13a 
biết 37b
và b
tạo với Oz một góc nhọn.
5. Tìm điểm M biết:
a. M thuộc trục
Ox và cách đều hai điểm A, B với
2; 4;5 , 3;2; 7AB
.
b. M là giao điểm của đường thẳng AB và mp(
Oxy).
c. M thuộc trục
Oz và cách đều hai điểm
2; 4;1 , 3;2;5CD
.
d. M thuộc mp(
Oxy) và cách đều ba điểm
1; 1;5 , 3; 4; 4 , 4;6;1ABC
.
6. Cho 4 điểm
2; 3;8 , 2;1;7 , 1; 4;5 , 7; 4; 7ABCD 
. Chứng minh rằng: ABCD là hình thang.
7. Cho 3 điểm
2; 0; 6 , 5; 3;3 , 3; 6; 8ABC
. Tìm tọa độ điểm D thuộc mp(Oxz) để ABCD là hình
thang có 2 đáy là
AB và CD.
8. Cho tam giác ABC có
4; 1; 2 , 3;5; 10AB . Tìm tọa độ đỉnh C biết rằng trung điểm của các
cạnh
AC, BC lần lượt là M, N và M thuộc trục Oy, N thuộc mp(Oxz).
9. Trong không gian cho vectơ
8;4;1 , 2; 2;1IA IB

. Tìm tọa độ vectơ IC

thỏa mãn 3 điều kiện
sau đây:
a.
I
CIA
 
b.
IC IB
 
c.
,,IA IB IC

đồng phẳng.
10. Trong không gian cho 2 vectơ
3; 0; 4 , 5; 2;24OA OB

. Tìm vectơ OE

thỏa mãn 3 điều kiện
sau đây:
a.
2OE

b.
,,OA OB OE

đồng phẳng c. OE

nằm trên mp(Oyz).
11. Cho 3 điểm
3; 2; 3 , 5;1; 1 , 1; 2;1ABC
.
a. Tính góc trong A của tam giác ABC.
b. Tìm vectơ
a
cùng phương với
A
B

và có aAC
.
12. Tìm vectơ
x
vuông góc với hai vectơ

3; 2; 2 , 18; 22; 5ab

; tạo với Oy một góc tù và có
14x
.
13. Tìm vectơ
x
cùng phương với
2;1; 1a 
biết .3xa

.
14. Cho 3 vectơ

3; 2;4, 5;1;6, 3;0;2abc

. Tìm
x
sao cho
. 4; . 3,5; . 0ax bx cx
 
.
15. Cho
1;1;1 , 2;0;1ab

. Tìm
x
đồng phẳng với
,ab

; vuông góc với b
và .7xa

.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
25
16. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm

1; 3; 4 , 5; 0; 5 , 1; 2; 1 , 1; 1; 2ABCD .
a. Chứng tỏ 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 3 điểm A, B, D không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ G là trọng tâm tam giác ABD.
c. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm

5;7; 2, 3;1; 1, 9;4; 4, 1;5;0ABCD
.
d. Chứng tỏ A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng.
e. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AC và BD.
17. Trong không gian cho tứ diện ABCD. Biêt
1; 2;1 , 2;4;1 , 1; 4; 2 , 1;0;1ABC D.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD).
b. Tính độ dài đường cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD.
18. Trong không gian cho tam giác ABC. Biết
1;0; 2 , 2;1;1 , 1; 3; 2AB C
. D và E là hai điểm trên
AB, BC sao cho
2; 2DA DB EB EC

.
a. Tìm tọa độ của điểm D và E.
b. Tính
ˆ
cos DAE
.
19. Cho bốn điểm
1; 0;1 , 1; 1; 2 , 1; 1; 0 , 2; 1; 2 .AB C D
a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.
c. Tính góc
ˆ
CBD
.
d. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD và từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.
e. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
20. Cho bốn điểm
3; 0; 4 , 3;6;2 , 0;4; 1 , 0; 2;1ABC D
.
a. Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng.
b. Tính thể tích hình chóp O.ABCD và độ dài đường cao OH vẽ từ O của hình chóp O.ABCD.
c. Tìm tọa độ điểm M sao cho MC vuông góc với mp( BCD ) và
211MC
.
21. Cho ba điểm
1; 1; 1 , 5; 1; 2 , 7; 9; 1AB C
.
a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác ABC xuất phát từ A.
c. Tìm điểm M trên trục Ox cách đều A và B.
d. Tìm điểm N trên mp( Oxz ) cách đều A, B, C.
BÀI TẬP MẶT CẦU
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) sau:
a.

222
x
1y2z34; b.

22
2
x
y3 z3 36 ; c.
222
x
yz3.
Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) sau:
a.

222
xyz2x4y6z20
; b.

222
xyz4x2y4z20
;
c.

222
xyzxyz0
; d.
222
333681530xyzxyz.
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3.
b. Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A và
bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC.
Bài 4:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1).
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9);
c. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ.
Bài 5:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1);
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1);
c. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2).
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
26
Bài 6:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng
:2 2 1 0Pxyz;
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng
:2 2 3 0Pxyz
.
Bài 7:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;1), O(0;0;0).
b. Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-
2;1;-1).
Bài 8 :
a. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng
(P): x+y+z-3=0.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0.
c. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng
(Oxy).
d. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.
e. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A, B, C thỏa:
32OA i j

;
2OB i j k

;
OC j k

.
Xét các mệnh đề:
(I)
4;0;1AB 

(II)
3; 1; 1AC 

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (I) đúng, (II) sai B. (I) sai, (II) đúng
C. Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai
Câu 2: Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị
,,ijk

, cho vectơ
2;7; 1a 
. Khi đó tọa độ
vectơ
bka

là:
A.
1; 7;1
B.
2; 6;1
C.
2; 7; 2
D.
2; 7;1
Câu 3: Cho tam giác ABC với
3; 2; 7A 
,
2; 2; 3B
,
3; 6; 2C 
. Điểm nào sau đây là trọng tâm
của tam giác ABC.
A.
410
;;4
33
G




B.
4;10; 12G 
C.
410
;;4
33
G



D.
4; 10;12G
Câu 4: Cho
1; 2; 3a
,

2;2; 1b 
,
4;0; 4c 
. Tìm tọa độ vectơ
x
sao cho
2
x
ab c

.
A.
7;0;4x 
B.
7;0; 4x 
C.
7;4;0x
D.
7;0;4x
Câu 5: Cho
5; 7; 2a
,
3; 0; 4b
,
6;1; 1c 
. Tìm tọa độ vectơ
32abc

.
A.
3; 22; 3
B.
3; 22; 3
C.
3; 22; 3
D.
3; 22; 3
Câu 6: Cho vectơ
1; 3; 4a 
. Tìm y, z để
2; ;byz
cùng phương với
a
.
A.
6; 8yz
B.
6; 8yz
C.
6; 8yz
D.
6; 8yz 
Câu 7: Cho
1; 1; 3A
,
2;3;5B
. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ
A
B

?
A.
68 4ijk

B.
68 4ijk

C.
68 4ijk

D.
68 4ijk

Câu 8: Cho ba điểm
2; 1;5A
,
5; 5;7B
và
;;1
M
xy
. Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng?
A.
4; 7xy
B.
4; 7xy
C.
4; 7xy 
D.
4; 7xy
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
27
Câu 9: Cho
1;1;1A ,
4;3;1B ,
9;5;1C . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
CA CB

B. 2CA CB

C. 3CA CB

D. 4CA CB

Câu 10: Cho
3; 4; 7A ,
5;3; 2B ,
1; 2; 3C . Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
A.

9;5;6D B.
9;5; 6D C.
9;5;6D D.
9; 5;6D
Câu 11: Cho
1; 3; 2M ,
3; 4; 0N ,
0; 1;3P . Tìm điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành.
A.
4; 2; 5Q  B.
4; 2;5Q C.
4; 2;5Q  D.

4; 2;5Q
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD biết
3;1; 2A ,
0; 1; 1B  ,
1;1; 0C . Khi đó độ dài đường chéo
BD bằng:
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Câu 13: Cho tứ diện ABCD với
3; 0;1A
,
1; 4;1B
,
6;7;3C
,
1; 5; 5D
. Gọi G là trọng tâm tam
giác BCD. Khi đó độ dài AG bằng:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 14: Cho hai vectơ
2;1; 4a
và 2ba
j


với
0;1;0j
. Tích vô hướng của hai vectơ
a
và
b
là:
A. 15 B. 19 C. 21 D. 17
Câu 15: Cho
1; 2; 3A 
,

0;3;1B
,
4; 2; 2C
. Khi đó tích vô hướng của hai vectơ
A
B

và
A
C

.
A. 25 B. 27 C. 29 D. 31
Câu 16: Tính cosin của góc giữa hai vectơ
a
và
b
biết
8; 4;1a
và
2; 2;1b 
.
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
2
D.
1
3
Câu 17: Cho
1; 2;1a
và
2; 1;0b 
. Tính cosin của góc giữa các vectơ
ab

và
ab

.
A.
1
11
B.
2
11
C.
1
7
D.
2
7
Câu 18: Cho tam giác ABC với
4; 2; 0A 
,

1; 2; 4B 
,
3; 2;1C
. Xác định góc BAC.
A.
135
B.
90
C.
60
D.
45
Câu 19: Cho tứ diện ABCD với
1; 0; 0A
,
0;1;0B
,
0;0;1C
,

2;1; 1D 
. Tìm góc hợp bởi cặp cạnh
đối AB và CD.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 20: Tìm trên trục tung những điểm cách đều hai điểm
1; 3; 7A
và
5; 7; 5B
.
A.
0; 2;0M
B.
0; 2; 0M
C.
0; 2;0M
,
0; 2; 0N
D.
0;1;0M
,
0; 2;0N
Câu 21: Xác định vectơ
a
cùng phương với vectơ
2;1; 1b 
và
.12ab

.
A.
4; 2; 2a 
B.
6;3; 3a 
C.

2; 1;1a 
D.
4; 2; 2a 
Câu 22: Cho ba vectơ

2;3; 1a 
,

1; 2; 3b 
,

2; 1;1c 
. Hãy xác định vectơ
x
biết
x
vuông góc
với
a
,
b
và
.6xc

.
A.
3; 0; 0x 
B.
0;3; 3x 
C.

0;6; 0x
D.
3; 3;3x 
Câu 23: Cho các vectơ

3; 1; 5a 
,
1; 2; 3b 
. Hãy xác định vectơ
c
vuông góc với trục Ox và thỏa
điều kiện
.9ca

,
.4cb

.
A.
0; 2;1c
B.
0;1; 2c
C.
0;1; 2c 
D.
0; 1; 2c 
Câu 24: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình:
222
426z130xyz xy
A.
2; 1; 3I 
, 1
R
B.
2;1;3I
,
14R
C.
2; 1; 3I 
,
14R
D.
2;1;3I
, 1
R
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
28
Câu 25: Phương trình mặt cầu tâm

1; 2; 3I và đi qua điểm
2;1;1A là:
A.

222
1236xy z B.

222
12336xy z
C.

222
12336xy z D.

222
1236xy z
Câu 26: Phương trình mặt cầu đường kính AB với
4; 3; 7A ,

2;1;3B là:
A.

222
3159xyz B.

222
3159xyz
C.

222
31535xyz D.

222
31535xyz
Câu 27: Phương trình mặt cầu đường kính AB với
9;1;3A ,

1; 5; 5B là:
A.
222
10 6 8 29 0xyz xyz 
B.
222
10 6 8 29 0xyz xyz
C.
222
10 6 8 29 0xyz xyz
D.
222
10 6 8 29 0xyz xyz 
Câu 28: Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm
3; 0; 0A ,
0; 4;0B ,
0;0; 2C và
0;0; 0O là:
A.
222
684 0xyz xyz B.
222
3420xyz xyz
C.
222
6840xyz xyz
D.
222
3420xyz xyz
Câu 29: Cho tam giác ABC với
0;1;1A ,
1; 0; 2B ,
1; 1; 0C . Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:
A.
6
2
(đvdt) B.
6
(đvdt) C.
6
4
(đvdt) D.
3
2
(đvdt)
Câu 30: Cho tam giác ABC với
7;3; 4A
,

1; 0; 6B
,
4;5; 2C
. Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:
A.
49
(đvdt) B.
49
2
(đvdt) C.
47
(đvdt) D.
47
2
(đvdt)
Câu 31: Cho tam giác ABC với
1; 0; 0A ,
0; 2;0B ,
2;1;3C . Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:
A.
36
(đvdt) B.
66
(đvdt) C.
36
2
(đvdt) D.
36
4
(đvdt)
Câu 32: Cho tứ diện ABCD với

2;3;1A
,
4;1; 2B
,
6;3;7C
,
1; 2; 2D
. Thể tích của tứ diện
ABCD là:
A. 140 (đvdt) B. 70 (đvdt) C.
70
3
(đvdt) D.
70
6
(đvdt)
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua B và vuông góc với AC.
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua C và vuông góc với AB.
Bài 2: Cho hai điểm A(1;2;1), B(0;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại A.
Bài 3. a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và song song với giá của mỗi vectơ
a
= (2; 1; 2) và
b
= (3; 2; –1).
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;0) và chứa giá của hai vectơ
a
= (-1;2;0) và
b
= (0;-2;3).
Bài 4.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) có pt:
34 10
x
yz.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1;-2;-3) và song song với mặt phẳng (Q) có pt:
3310
x
y
.
c. Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;1;1) và song song mp(
Oxy).
Bài 5:
a. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
29
b. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1). Viết pt mp(ABC).
c. Cho hai điểm A(1;0;1), B(0;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
d. Cho hai điểm M(1;0;0), N(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (OMN).
Bài 6:
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x-y-z-1=0.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x-y-1=0.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x-3y-2z-1=0.
Bài 7: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và song song với đường thẳng BD.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 8:
a. Cho bốn điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5), D(1; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường
thẳng AC và BD.
b. Cho bốn điểm A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(2;-2; 3). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường
thẳng AC và BD.
Bài 9:
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz.
Bài 10:
a. Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
b. Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
c. Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 11:
a. Viết pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng
2310,20xy z x yz 
.
b. (P) đi qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mp (β): 2x – y + 3z – 1 = 0.
c. (P) đi qua M(1; 0; –2) và vuông góc với hai mp (α): 2x + y – z – 2 = 0, (β): x – y – z – 3 = 0.
Bài 12:
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết
a. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1).
b. (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4).
Bài 13:
Cho mặt cầu (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5 và hai điểm A(0;2;3), B(0;2;-1).
a. Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
b. Viết phương trình mp(Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.
Bài 14:
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết
a. (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0.
b. (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0.
Bài 15:
Cho mặt cầu (S) : (x + 2)
2
+ (y – 1)
2
+ z
2
= 26 và mp (P): 2x – y + 2z – 9 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng tiếp diện (Q) của mặt cầu (S) biết mp(Q) song song với mp(P).
Bài 16:
Cho mặt cầu(S) có phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z = 0 và mp(P): 2x – y – 2z + 1 = 0.
Viết phương trình mp(Q), biết mp(Q) song song với mp(P) và tiếp xúc với (S).
Bài 17.
Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng sau:
a. (P): 2x + 3y – 2z + 5 = 0 và (Q): 3x + 4y – 8z – 5 = 0.
b. (P): x – y – 2z + 1 = 0 và (Q): 4x – 4y – 8z + 9 = 0.
Bài 18.
Định m, n để hai mặt phẳng sau song song
a. (P): x + my – 2z + 2 = 0 và (Q): 2x + 4y + 4nz – 3 = 0.
b. (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 và (Q): 4mx – 3y – 3nz – 2 = 0.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
30
Bài 19. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau
a. (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0.
b. (P): x + my – z + 2 = 0 và (Q): mx + 2y – mz – 12 = 0.
Bài 20.
Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0. Chứng minh
(P) và (Q) song song.
Bài 21.
Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0. Chứng minh (P) song
song (Q).
Bài 22.
Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a. 2x-2y-z-10=0 b. -2x-2y+10=0 c. x-2y-2z=0
d. 3x-2y-z+2=0 e. x-y-1=0 f. 2x-3z=0.
Bài 23.
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0.
Bài 24.
Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0, với A(1;0;2),B(-1;2;4).
Bài 25.
Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3; -9; 27) và mặt phẳng (P): 2x - 2y - z = 0.
Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 26.
Cho mặt cầu ( S ) có phương trình:
222
2460xyz xyz
.
a. Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu;
b. Tùy theo giá trị của m, hãy xét vị trí tương đối của mặt cầu ( S ) và mp ( P ) với ( P ):
0
x
yzm
.
Bài 27. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C) được tạo bởi mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt
nhau, biết:
a. (S):
222
xyz6x4y2z110 và (P):
2x 2y z 1 0
.
b. (S):

222
x 1 y 5 z 4 324
và (P):
4x 3z 17 0
.
Bài 28. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Trong không gian Ox
y
z , cho điểm (1;1; 2)M . Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng
()P đi qua
M
và cắt các trục ,,
x
Ox
y
O
y
zOz

lần lượt tại các điểm ,,
A
BC sao cho
0OA OB OC
?
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) nếu
a. (P) đi qua điểm M(3; 1; 1) và có một vectơ pháp tuyến
n
= (1; –1; 2)
b. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 1), B(2; –1; 3)
c. (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và song song với mỗi giá của hai vectơ
a
= (2; 1; 2),
b
=(3; 2; –1)
d. (P) đi qua M(–1; 1; 0) và song song với mặt phẳng (β): x – 2y + z – 10 = 0
e. (P) đi qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt phẳng (β):
2x – y + 3z – 1 = 0.
f. (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3).
g. (P) đi qua điểm A(2; –4; 0) và vuông góc với đoạn thẳng BC, có B(5; 1; 7) và C(3; 1; 5).
h. (P) đi qua M(1; 0; –2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α): 2x + y – z – 2 = 0,
(β): x – y – z – 3 = 0.
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng sau:
a. (P): 2x + 3y – 2z + 5 = 0 và (Q): 3x + 4y – 8z – 5 = 0.
b. (P): x – y – 2z + 1 = 0 và (Q): 4x – 4y – 8z + 9 = 0.
Bài 3. Định m, n để hai mặt phẳng sau song song
a. (P): x + my – 2z + 2 = 0 và (Q): 2x + 4y + 4nz – 3 = 0.
b. (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 và (Q): 4mx – 3y – 3nz – 2 = 0.
Bài 4. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau
a. (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0
b. (P): x + my – z + 2 = 0 và (Q): mx + 2y – mz – 12 = 0.
Bài 5. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P).
Bài 6. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0.
a. Chứng minh (P) và (Q) song song.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
31
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 7. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0.
Chứng minh (P) song song (Q)
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm
A(2; –1; 4) một đoạn bằng 4.
Bài 9. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (Q): y – z = 0.
Bài 10. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) biết
a. I(1; 5; 2) và (P): 2x + y + 3z + 1 = 0
b. I(1; 1; 2) và (P): x + 2y + 2z + 5 = 0
Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết
a. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1).
b. (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4).
Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết
a. (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0
b. (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0
Bài 13. Tính bán kính đường tròn (C) được tạo bởi mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau, biết:
a. (S):
222
xyz6x4y2z110
và (P):
2x 2y z 1 0
.
b. (S):

222
x 1 y 5 z 4 324 và (P): 4x 3z 17 0.
Bài 14. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)
a. Viết phương trình các mặt của tứ diện ABCD.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song CD.
c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
d. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của cạnh AB.
e. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
f. Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1: Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương
3; 2;1a
và
3; 0;1b 
. Vectơ nào sau đây là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A.
2;6; 6n
B.
2; 6;6n 
C.
1; 3; 2n 
D.

1; 3; 2n 
Câu 2:
Cho mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm

4; 1;0A
,

3;1; 1B
và song song với trục Ox. Vectơ nào
sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A.
0;1; 2n
B.
0; 2;1n
C.
0; 1; 2n 
D.
0; 2;1n 
Câu 3: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
5; 3; 4A
,
2; 4;1B
,
4;1; 6C 
. Vectơ nào sau đây là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A.
22; 3; 21n 
B.
22; 3;21n 
C.
22;3; 21n 
D.
22;3;21n 
Câu 4: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
1; 0; 0A
,
0; 2; 0B
,
0;0;3C
là:
A.
63260xyz
B.
63260xyz
C.
63260xyz
D.
63260xyz
Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

1;1; 1A
và có cặp vectơ chỉ phương
2;1; 2a
,
1; 0; 3b
. Đáp số nào sau đây đúng?
A.
30xyz
B.
34 80xyz 
C.
420xyz D. 34 20xyz
Câu 6: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
3; 4;1A
,

1; 2; 5B 
,
1; 7; 1C
là:
A.
32670xyz
B.
326230xyz
C.
326230xyz
D.
32650xyz
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
32
Câu 7: Cho
0;1;3A ,
2;0; 1B ,
1; 1; 0C . Tìm mối liên hệ giữa x, y, z để

;;
M
xyz thuộc mặt phẳng
(
ABC).
A.
32 50xyz
B.
32 50xyz
C.
32 50xyz
D.
32 50xyz
Câu 8: Cho 2 điểm
1; 3; 4A
,
1; 2; 2B
và gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Vectơ nào
sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A.
6;3; 18n 
B.
2; 1; 6n 
C.
2;1;3n
D.
2; 1;3n 
Câu 9: Cho
1; 3; 4A ,
1; 2; 2B . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A.
4212170xy z
B.
4 2 12 17 0xy z
C.
4 2 12 17 0xy z
D.
4212170xy z
Câu 10: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
2; 1; 4A ,
3; 2; 1B và vuông góc với mặt phẳng
(Q):
230xy z
là:
A.
11 7 2 21 0xyz
B.
11 7 2 21 0xyz
C.
11 7 2 21 0xyz D. 11 7 2 21 0xyz
Câu 11: Gọi (P) là mặt phẳng cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm
8;0; 0A
,
0; 2; 0B
,
0;0; 4C
. Phương
trình của (P) là:
A.
0
824
xyz

B.
420xyz
C.
1
412
x
yz

D.
4280xyz
Câu 12: Mặt phẳng (P) đi qua
1; 3; 2M
và vuông góc với trục Oy có phương trình là:
A.
10x 
B.
30y 
C.
20z 
D.
250xz
Câu 13: Mặt phẳng (P) đi qua
3; 5; 7A
và vuông góc với trục Oz có phương trình là:
A.
30x 
B. 50y  C.
70z 
D.
35340xz
Câu 14: Cho
0; 2; 3A
,
1; 4; 1B
. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua
1; 3; 2M
và vuông góc với
AB là:
A.
64250xyz
B.
20xyz
C.
340xyz
D.
6170xy
Câu 15: Xác định giá trị của m, n để hai mặt phẳng sau đây song song:
2230xny z
và
2470mx y z
.
A.
4; 1mn  B. 4; 1mn C. 4; 1mn D. 4; 1mn
Câu 16: Xác định giá trị của m để hai mặt phẳng sau đây vuông góc: 2290xmy mz và
6100xyz
.
A.
4m 
B.
2m
C.
2m 
D.
4m
Câu 17: Viết phương trình mặt phẳng đi qua OA và vuông góc với mặt phẳng (P) biết

0; 2;0A
và
(P):
23420xyz
.
A.
20xy
B.
20xy
C.
20xz
D.
20xz
Câu 18: Mặt phẳng đi qua hai điểm

3;1; 1A
,

2; 1; 4B
và vuông góc với mặt phẳng:
2340xy z  có phương trình là:
A.
23420xyz
B.
13 5 21 0xyz
C.
13 5 21 0xyz
D.
13 5 5 0xyz
Câu 19: Cho hai mặt phẳng

:23130xyz
;

:2 z 3 0xy
và điểm

1; 1; 2A
. Mặt
phẳng chứa giao tuyến của

,
và đi qua A có phương trình là:
A.
34100xy z
B.
360xy z
C.
250xyz D. 3440xy z 
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
33
Câu 20: Cho hai mặt phẳng

:30xyz
;
:z50xy
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

và
là:
A. 3 B. 5 C. 8 D.
8
3
Câu 21: Cho mặt phẳng

:2 3 0xy
. Khoảng cách từ trục Oz đến mặt phẳng

là
A.
3
5
B.
35
C.
3
D.
3
2
Câu 22: Cho mặt phẳng
:22z60xy
và các điểm
1; 1; 0A ,
2;0;1B ,
5; 0;1C . Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. Chỉ
,,dA dB
B. Chỉ
,,dA dC
C. Chỉ
,,dB dC
D.
,,,dA dB dC
Câu 23: Tìm góc giữa hai mặt phẳng
:20xy 
và
:2 2z 1 0xy
A.
30
B. 45
C. 60
D. 90
Câu 24: Cho mặt phẳng (P). Biết hình chiếu của gốc tọa độ O trên (P) là điểm
2; 1;1M . Viết
phương trình mặt phẳng (P):
A.
20xyz
B.
260xyz
C.
240xyz
D.
360xyz
Câu 25: Phương trình mặt cầu tâm
2;1; 0I
và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
25250xy z
là:
A.

22
2
21 25xyz
B.

22
2
2130xyz
C.

22
22
21 25xyz
D.

22
22
2130xyz
Câu 26: Cho mặt cầu (S):

222
1119xyz
và mặt phẳng
:2360xyz
. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
và (S) không có điểm chung. B.
tiếp xúc với (S).
C.
cắt (S) theo một đường tròn và không đi qua tâm của (S). D.
đi qua tâm của (S).
Câu 27: Cho mặt cầu (S):
222
246z50xyz xy
và mặt phẳng
:0xyz
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
và (S) không có điểm chung. B.
tiếp xúc với (S).
C.
cắt (S) theo một đường tròn và không đi qua tâm của (S). D.
đi qua tâm của (S).
Câu 28: Cho mặt cầu (S):

222
12325xy z
và mặt phẳng
:2 2 0xy zm
. Tìm m
để
và (S) không có điểm chung.
A.
9m 
hoặc
21m
B.
9m 
hoặc
21m
C.
921m
D.
921m
Câu 29: Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
:20xyz
với các trục Ox, Oy,
Oz. Diện tích của tam giác MNP là:
A.
3
4
(đvdt) B.
3
2
(đvdt) C. 3 (đvdt) D. 23(đvdt)
Câu 30: Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
:3260xyz
với các trục Ox, Oy,
Oz. Thể tích của tứ diện OABC là:
A. 6 (đvtt) B. 36 (đvtt) C. 18 (đvtt) D. 12 (đvtt)
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
34
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1.
a. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua M(1; 2; –3) và có vectơ chỉ
phương
a
= (1; –3; 2).
b. Viết phương trình các trục tọa độ.
Bài 2. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1).
Bài 3. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1).
Bài 4. Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’:
x1t
y23t
z34t



.
Bài 7. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng
d’:
x12 y23 z
134


.
Bài 8. Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và
song song với đường thẳng BC.
Bài 9.
a. Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục
Ox.
b. Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục
Oy.
c. Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục
Oz.
Bài 10. Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x - 2y - z - 1= 0.
Bài 11. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc
mp(ABC).
Bài 12.
a. Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).
b. Vết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(
Oxz).
c. Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(
Oyz).
Bài 13. Tìm giao điểm của đường thẳng d:
x1t
y1t
z2t



và mp(P):x+y-2z-4=0.
Bài 14. Tìm giao điểm của đường thẳng d:
x1 y1 z
112


và mp(P):x+y-2z-4=0.
Bài 15. Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB
và mp(P).
Bài 16.
a. Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc
của A lên (P).
b. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1;-1;2 ) trên mặt phẳng
(P):
22120
x
yz
.
c. Tìm tọa độ điểm M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(1;-1;2 ) trên các mặt phẳng
tọa độ.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
35
Bài 17. Cho đường thẳng d:
x3 y4 z1
231


và mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 6 = 0.
a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
b. Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Bài 18. Viết phương trình d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ:
x2 y2 z1
341


lên mp
(P): x + 2y + 3z + 4 = 0.
Bài 19.
a. Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A
qua (P).
b. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của điểm A(1;-1;2 ) qua mặt phẳng
(P):
22120
x
yz
.
c. Tìm tọa độ điểm M’, N’, P’ lần lượt là điểm đối xứng của điểm A(1;-1;2 ) qua các mặt phẳng tọa độ.
Bài 20. Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:
x12t
y1t
zt



. Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc
của A lên d.
Bài 21. Cho đường thẳng
316
:
31 1
x
yz
d


và A(2;1;-1 ). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên đường thẳng d.
Bài 22. Tìm tọa độ điểm M, N, P lầ lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1 ) trên các trục tọa
độ.
Bài 23. Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:
x12t
y1t
zt



. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A qua d.
Bài 24. Cho đường thẳng
316
:
31 1
x
yz
d


và A(2;1;-1 ). Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối
xứng của A qua d.
Bài 25. Tìm tọa độ điểm M’, N’, P’ lần lượt là điểm đối xứng của điểm A(2;1;-1 ) qua các trục tọa độ.
Bài 26. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a.
32
:64
4
x
t
dy t
zt



và
2'
': 1 '
52'
x
t
dy t
zt



; b.
1
:2
3
x
t
dy t
zt


và
22'
': 3 4 '
52'
x
t
dy t
zt



;
c.
3
:4
52
x
t
dy t
zt



và
23'
': 5 3 '
36'
x
t
dy t
zt



; d.
12
:13
5
x
t
dy t
zt



và
13'
': 2 2 '
12'
x
t
dy t
zt



.
Bài 27. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
a. d:
1
3
2
x
t
yt
zt



và mp(P): 2x+y+2z=0. b . d:
12 4
93
1
x
t
yt
zt



và mp(P): 3x+5y-z-2=0.
c. d:
2
12
2
x
t
yt
zt



và mp(P): x+2y-2z-9=0.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
36
Bài 28. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
a. d:
313
211
xy
z

và mp(P): x+2y-z+5=0. b. d:
23
122
xyz

và mp(P): 2x+y-z-5=0.
c. d:
211
23 5
x
yz

và mp(P): 2x+y+z-8=0.
Bài 29. Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 30. Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 31. Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 32. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Bài 33. Chứng minh hai đường thẳng d:
1
23
3
x
t
yt
zt



và d’:
22'
22'
14'
x
t
yt
zt



vuông góc với nhau.
Bài 34. Chứng minh hai đường thẳng d:
5
32
4
x
t
yt
zt


và d’:
92'
13 3 '
1'
x
t
yt
zt



vuông góc với nhau.
Bài 35. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:
a. d:
12
2
13
x
t
yt
zt



và d’:
2'
12'
1'
x
t
yt
zt



b. d:
124
21 3
xy z

và d’:
1'
'
23'
x
t
yt
zt



.
c. d:
0
1
1
x
y
zt

và d’:
22'
1
0
x
t
y
z

d. d:
211
121
xy
z

và d’:
12'
2'
13'
x
t
yt
zt



.
Bài 36.
a. Chứng minh hai đường thẳng d:
3
1
22
x
t
yt
zt



và d’:
'
23'
2'
xt
yt
zt


chéo nhau.
b. Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau:
1. d:
2
53
4
x
t
yt
z


và d’:
12
221
x
yz


2. d:
1
22
3
x
t
yt
zt


và d’:
1'
32'
1
x
t
yt
z


.
Bài 37. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0.
a. Chứng minh (P) và (Q) song song.
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 38. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0.
a. Chứng minh (P) và (Q) song song.
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 39. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d):
x2 y1 z
121


. Tính khoảng cách từ A đến (d).
Bài 40. Cho điểm

2;3;1A
và hai đường thẳng:
53'
': 2 '
'
x
t
dy t
zt


.Tính khoảng cách từ A đến d’.
Bài 41. Cho hai đường thẳng d
1
:
x2 y1 z
322


và d
2
:
xy1z1
12 4


.
a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
37
Bài 42. Cho hai đường thẳng d:
12
211
x
yz

và d’:
2'
53'
4'
xt
yt
zt



.
a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’.
Bài 43. Tính góc giữa hai đường thẳng sau:
a. d:
12
2
13
x
t
yt
zt



và d’:
2'
12'
1'
x
t
yt
zt



; b. d:
124
21 3
xy z

và d’:
1'
'
23'
x
t
yt
zt



;
c. d:
0
1
1
x
y
zt

và d’:
22'
1
0
x
t
y
z

; d. d:
211
121
x
yz

và d’:
12'
2'
13'
x
t
yt
zt



.
Bài 44. Tính góc giữa hai mặt phẳng sau:
a. (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 b. (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0.
c. (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0.
Bài 45. Cho đường thẳng d:
x1 y1 x3
123


và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0. Tính góc tạo
bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng d biết
a. (d) đi qua M(1; 2; –3) và có vectơ chỉ phương
a
= (1; –3; 2).
b. (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
c. (d) đi qua điểm A(3; 2; –4) và song song với Ox.
d. (d) đi qua điểm A(4; –2; 2) và song song với đường thẳng Δ:
x2 y5 z2
423


.
e. (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4 = 0.
f. (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0.
g. (d) đi qua điểm A(1; 0; 5) và vuông góc với hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) biết
(d
1
):
x1 y3 z1
221


và (d
2
):
x1 y2 z3
11 3



.
h. (d) đi qua điểm A(1; 2; –2), vuông góc và cắt đường thẳng Δ:
xy1z
112

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng d biết :
a. (d) nằm trong mặt phẳng (P): x + 2z = 0; cắt đường thẳng d
1
:
x1 y z
114

và d
2
:
x2t
y42t
z1


b. (d) song song với Δ:
xy1z1
212


, cắt đường thẳng d
1
:
x1 y z1
12 1


và cắt đường thẳng d
2
:
x2 y1 z1
32 1


c. (d) là đường thẳng vuông góc chung của d
1
:
x2 y1 z3
21 1


và d
2
:
x1 y3 z1
112


d. (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ:
x2 y2 z1
341


lên mp(P):
x + 2y + 3z + 4 = 0.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
38
e. (d) đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d
1
:
x1 y2 z
311


và cắt d
2
:
x1
yt
z1t


Bài 3. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
a. Viết phương trình đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD).
b. Viết phương trình đường thẳng qua A và qua trọng tâm tam giác BCD.
Bài 4. Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2; 5); phương trình của hai đường trung tuyến lần lượt là
d
1
:
x3 y6 z3
22 1


và d
2
:
x4 y2 z2
.
141


a. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC.
b. Viết phương trình đường phân giác trong của góc BAC.
Bài 5. Cho tam giác ABC có A(3; –1; –1), B(1; 2; –7), C(–5; 14; –3).
a. Viết phương trình đường trung tuyến AM.
b. Viết phương trình đường cao BH.
c. Viết phương trình đường phân giác trong của góc ABC.
d. Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC.
Bài 6. Cho bốn điểm S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5).
a. Chứng minh S.ABC là một tứ diện đều.
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của SA, SB lên mặt phẳng (ABC).
Bài 7. Cho 4 điểm S(1; 2; –1), A(3; 4; –1), B(1; 4; 1), C(3; 2; 1).
a. Chứng minh SABC là một tứ diện.
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của SA, BC.
c. Viết phương trình đường cao hạ từ S của tứ diện SABC.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng với điểm, mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1. Cho điểm A(1; 0; 1) và đường thẳng d:
xyz
211

a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d.
Bài 2. Cho đường thẳng d:
x3 y4 z1
231


và mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 6 = 0.
a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
b. Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Bài 3. Cho đường thẳng d:
x2 y1 z1
212


và điểm I(4; 2; –1). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I
và tiếp xúc với (d).
Bài 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (S)
biết (d) đi qua A(0; 0; 5) thuộc (S) và (d) song song với mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 3 = 0.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). Viết phương trình mặt cầu
(S) tiếp xúc với các cạnh của tứ diện ABCD.
Khoảng cách và góc.
Bài 1. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d):
x2 y1 z
121


. Tính khoảng cách từ A đến (d).
Bài 2. Cho hai đường thẳng d
1
:
x2 y1 z
322


và d
2
:
xy1z1
12 4


a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Bài 3. Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 3 = 0 và (Q):
4x – 3y + 4z + 2 = 0.
a. Chứng minh rằng (d) song song với mặt phẳng (α): 2x – y – 2z – 2 = 0.
b. Tính khoảng cách giữa (d) và (P).
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
39
Bài 4. Tính góc giữa hai đường thẳng d
1
:
x1 y2 z4
212


và d
2
:
x2 y3 z4
36 2


Bài 5. Cho đường thẳng d:
x1 y1 x3
123


và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0. Tính góc tạo bởi
đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).
a. Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).
b. Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.
c. Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 7. Cho tứ diện SABC có đỉnh S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).
a. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC).
b. Tính góc tạo bởi SC và AB.
c. Tính khoảng cách từ C đến (SAB).
d. Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB và khoảng cách giữa SA, BC.
Quan hệ nhiều yếu tố, hình chiếu và đối xứng.
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A(1; 4; –3) và đường thẳng d:
x2 y1 z1
12 3



.
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng song song d
1
:
x1 y3 z2
234


và d
2
:
x2 y1 z4
234


.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d
1
:
xy1z3
321


và d
2
:
x1 y z4
111


Bài 4. Cho đường thẳng d
1
:
x2 y1 z
322


và đường thẳng d
2
:
xy1z1
12 4


. Viết phương trình
mặt phẳng chứa d
1
và song song với d
2
.
Bài 5. Cho điểm M(2; 3; 1) và đường thẳng d:
x1 y2 z1
21 2


.
a. Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M lên (d).
b. Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Bài 6. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P) và điểm M’ đối xứng với M qua
mặt phẳng (P)
a) Biết (P): 2x – y + 2z – 6 = 0, M(2; –3; 5).
b) Biết (P): x – y + z – 4 = 0, M(2; 1; –1).
Bài 7. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d:
x1 y2 z2
322


.
a. Chứng minh đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng.
b. Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3).
a. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng 2x + 3y – z = 0.
c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại K, M, N
sao cho thể tích OKMN nhỏ nhất.
d. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.
e. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (α
1
): 2x – 3y – z + 2 = 0 sao cho EA + EB nhỏ nhất.
f. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (α
2
):
x + 3y – z = 0.
g. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
h. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A, B, C.
i. Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng
(α
3
): x + 2y – 3z = 0.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
40
BÀI TẬP NÂNG CAO.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;0) và cắt hai đường thẳng
12
x1t x=0
d: y t , d:y=0
z0 z=2+t'







Đáp số:
xt
d: y t
z0
.
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(-4;5;3) và cắt 2 đt
12
x 1 3t x=2+2t'
d : y 3 2t, d : y=-1+3t'
z2t z=1-5t'








Đáp số: d:
x46t
y56t
z32t



.
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;1;0) cắt và vuông góc với đường thẳng d’:
x12t
y1t
zt



.
Đáp số:d:
x2t
y14t
z2t



.
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;-3) cắt và vuông góc với đường thẳng d’:
x12t
y2t
z23t



.
Đáp số: d :
x126t
y2t
z 3 17t



.
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1: Cho
1; 3; 4A
,
2;1; 5B
. Đường thẳng qua 2 điểm A, B có vectơ chỉ phương là:
A.
4;8;4a 
B.

1; 3; 4a 
C.
2;1; 5a 
D.
3; 4; 9a 
Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:
1
23
3
x
t
yt
zt



và mp(Oyz).
A.
1; 2; 3
B.
0;5;2
C.
0;2;3
D.
0; 1;4
Câu 3: Cho điểm
1; 4; 7A
và mặt phẳng (P):
2250xyz
. Phương trình đường thẳng đi qua A
và vuông góc với (P) là:
A.
147
12 2
xy z

B.
147
12 2
xy z

C.
147
12 7
xy z

D.
147
122
xy z

Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
41
Câu 4: Tìm hình chiếu của điểm
2; 1;3A trên đường thẳng d:
3
75
22
xt
yt
zt


.
A.
0; 7; 2
B.
3; 2; 4
C.
3; 12; 0
D.
6;3;6
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau:
173
:
214
x
yz
d


và
122
:
12 1
xy z
d


.
Tìm khoảng cách giữa d và d’:
A.
1
14
B.
5
14
C.
2
14
D.
3
14
Câu 6: Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau d:
1
12
x
mt
yt
zt


và d’:
1
22
3
x
t
yt
zt



A.
1m
B.
0m
C.
1m 
D. Không tồn tại
Câu 7: Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương
3; 2;1a
và
3; 0;1n 
. Vectơ nào sau đây là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A.
2;6; 6n
B.
2; 6;6n 
C.
1; 3; 2n 
D.

1; 3; 2n 
Câu 8: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
1; 2; 3A và song song với mặt phẳng (P):
230xyz
là:
A.
2340xyz B. 2370xyz
C.
2340xyz
D.
2370xyz
Câu 9: Cho ba điểm
3; 4; 0A
,

1; 5; 3B
,
2; 3;1C
. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có
phương trình là:
A.
82350xyz
B.
270xy z
C.
220xyz
D.
82290xyz
Câu 10: Cho ba mặt phẳng (P):
210xy z
; (Q):
20xyz
; (R):
50xy
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
P
Q
B.
QR
C.
//
P
Q
D.
P
R
Câu 11: Mặt phẳng đi qua

2; 1; 2M
, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
23z40xy 
có phương trình là:
A.
40xz
B.
23100xz
C.
3220xz
D.
32100xz
Câu 12: Cho 4 điểm
2;0; 0A
,
0;1;0B
,
0;0;3C
,
1; 2;Da
. Tìm a để 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc
một mặt phẳng.
A.
2a
B.
9a
C.
9
2
a
D.
9
2
a

Câu 13: Phương trình mặt cầu tâm
2;1; 1I
và tiếp xúc với mặt phẳng
:2 2z 1 0xy
là:
A.
222
422z20xyz xy
B.
222
422z40xyz xy
C.
222
422z20xyz xy
D.
222
42220xyz xyz
Câu 14: Cho đường thẳng d:
12
3
34
x
t
yt
zt


, d có vectơ chỉ phương là:
A.
2; 3;4a 
B.
1; 0; 3a
C.
4; 6;8a 
D.
2;3;4a 
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
42
Câu 15: Mặt phẳng đi qua điểm
2;1;3A và vuông góc với đường thẳng d:
3
12
57
x
t
yt
zt



có phương trình là:
A.
27250xyz
B.
27170xyz
C.
27210xyz
D.
27210xyz
Câu 16: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:
11
124
x
yz

và mặt phẳng
:3 2 1 0xyz.
A.

1; 1; 0
B.

1; 0;1
C.

1; 0; 1
D.

1; 1; 0
Câu 17: Cho đường thẳng d:

12
0
32
xy z
m
m


và mặt phẳng

:3640xyz
. Tìm m để
d song song với
.
A.
3m 
B.
3m
C.
1m 
D.
1m
Câu 18: Cho hai đường thẳng
1
:14
66
xt
dy t
zt


và
2
12
:
21 5
xy z
d


. Gọi
là đường thẳng đi qua
1; 3; 5M
, vuông góc với cả
1
d
và
2
d
.
có vectơ chỉ phương là:
A.
14;17;9a
B.
14; 17;9a 
C.

14;17; 9a 
D.
14;17;9a 
ÔN TẬP TRẰC NGHIỆM HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1 : Cho (S) là mặt cầu tâm I(2; 1; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình:
2
x
–
2
y
–
z
+ 3 = 0. Khi đó, bán kính của (
S
) là:
A.
1
3
B.
4
3
C. 3
D. 2
Câu 2 : Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oxz) là:
A.
222
x + y + z - 2x - 4y - 6z + 10 = 0
B.
222
x + y + z - 2x - 4y + 6z + 10 = 0
C.
222
x + y + z + 2x + 4y + 6z - 10 = 0
D.
222
x + y + z + 2x + 4y + 6z - 10 = 0
Câu 3 : Gọi
()
là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại 3 điểm M (8; 0; 0), N(0; -2; 0) ,
P(0; 0; 4). Phương trình của mặt phẳng
()
là:
A.
0
824
xyz

B.
1
412
x
yz

C. x – 4y + 2z = 0 D. x – 4y + 2z – 8 = 0
Câu 4 :
Cho đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương
(4; 6;2)a
. Phương trình
tham số của đườn
g
thẳn
g
d là:
A.
24
6
12
x
t
y
t
zt



B.
22
3
1
x
t
y
t
zt



C.
42
63
2
x
t
y
t
zt



D.
22
3
1
x
t
y
t
zt



Câu 5 : Cho 3 điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phươn
g
t
r
ình
m
ặt phẳn
g
(ABC) là:
A. 2x
–
3
y
–
4z + 2 = 0
B. 4x + 6
y
–
8z + 2 = 0
C. 2x + 3y
–
4z
–
2 = 0
D. 2x
–
3y
–
4z + 1 = 0
Câu 6 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-
1=0. Gọi C là điểm t
r
ên (P) để tam giác ABC đều khi đó tọa độ điểm C là:
A.
221
(;;)
333
C

B.
13 1
(;;)
222
C

C.
(3;1;2)C
D.
(1; 2; 1)C
Câu 7 : Cho thì tứ giác ABCD là hình:
A. Thoi
B. Bình hành
C. Chữ nhậ
t
D. Vuôn
g
Câu 8 : Phương t
r
ình
m
ặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x-3y+2z-1=0 và (Q): 2x+y-
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
43
3z+1=0 và son
g
son
g
với trục Ox là
A. x-3=0 B. 7y-7z+1=0 C. y-2z+1=0 D. 7x+y+1=0
Câu 9 :
Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 0; 1) trên


x
1yz2
121
.
A. M’(1; 0; 2) B. M’ (2; 2; 3) C. M’(0; -2; 1) D. M’(-1; -4; 0)
Câu 10 : Cho bốn điểm A(1,1,-1) , B(2,0,0) , C(1,0,1) , D (0,1,0). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào đún
g
?
A. ABCD là hình thoi
B. ABCD là hình chữ nhật
C. ABCD là hình bình hành
D. ABCD là hình vuông
Câu 11 : Cho
m
ặt phẳn
g
(P) x-2
y
-3z+14=0. Tìm
t
ọa độ M’ đối xứn
g
với M(1;-1;1) qua (P).
A. M’(1;-3;7) B. M’(-1;3;7) C. M’(2;-3;-2) D. M’(2;-1;1)
Câu 13 : Tìm phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;-1) có vectơ chỉ phương
(4; 6;2)a 
A.
21
231
x
yz

B.
21
231
x
yz

C.
21
462
x
yz

D.
462
231
xyz

Câu 14:
Cho 2 đường thẳng
tz
ty
tx
d
43
32
21
:
1
và
tz
ty
tx
d
87
65
43
:
2
.
Tron
g
các
m
ệnh đề sau, mệnh đề nào đún
g
?
A.
21
dd
B.
21
// dd
C.
21
dd
D.
21
, dd
chéo nhau
Câu 15 :
Cho hai điểm A(2,0,3) , B(2,-2,-3) và đường thẳng :
21
123
x
yz

.
Trong các
m
ệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
và AB là hai đường thẳng chéo
nhau
B.
A , B và
cùng nằm trong một mặt phẳng
C. Tam giác MAB cân tại M với M
(2,1,0)
D.
A và B cùng thuộc đường thẳng
Câu 16 :
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết
A
B C(3;0;0), (0;3;0), (0;0;3)
. Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.
A.
S(9;9;9)
hoặc
S(7;7;7)
B.
S(9;9;9)
hoặc
S(7;7;7)
C.
S(9;9;9)
hoặc
S(7;7;7)
D.
S(9;9;9)
hoặc
S(7;7;7)
Câu 17 : Mặt phẳn
g
nào sau đâ
y
chứa trục O
y
?
A. -2x
–
y
= 0 B. -2x + z =0 C.
–
y
+ z = 0 D. -2x
–
y
+ z =0
Câu 18 : Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x-
2y+2z+7=0 và (R): 5x-4y+3z+1=0
A. 2x+
y
-2z+15=0 B. 2x+
y
-2z-15=0 C. x+
y
+z-7=0 D. x+2
y
+3z+2=0
Câu 19 : Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (α): x+y+z+1=0 ,
(β) : 2x-y+3z-4=0 sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng
26
A. 0
B. 2
C.
1
D. Vô số
Câu 20 : Tron
g
Ox
y
z cho A(3;4;-1), B(2;0;3), C(-3;5;4). Diện tích tam
g
iác ABC là:
A.
7
B.
1562
2
C.
379
2
D.
29
2
Câu 22 :
Mặt phẳng
()
đi qua M (0; 0; -1) và song song với giá của hai vectơ
(1; 2; 3) và (3; 0; 5)ab

.
Phương trình của mặt phẳng
()
là:
A. 5
x
–
2
y
–
3
z
-21 = 0
B. 5
x
–
2
y
–
3
z
+ 21 = 0
C. 10x
–
4y
–
6z + 21 = 0
D. -5x + 2y + 3z + 3 = 0
Câu 23 : Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
44
M(7; -1; 5) có phươn
g
t
r
ình là:
A. 6x+2y+3z-55=0 B.
6x+2y+3z+55=
0
C.
3x+y+z-
22=0
D. 3x+y+z+22=0
Câu 24 : Cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng

01734: zyx
. Phương trình tham số của d là:
A.
tz
ty
tx
73
32
31
B.
tz
ty
tx
143
62
81
C.
14
23
37
x
t
y
t
zt



D.
tz
ty
tx
73
32
41
Câu 25 : Cho 4 điềm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1; 1; 2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với
m
ặt phẳng (BCD) có phương t
r
ình là:
A.
222
(3)(2)(2) 14xyz
B.
222
(3)(2)(2)14xyz
C.
222
(3)(2)(2) 14xyz
D.
222
(3)(2)(2)14xyz
Câu 26 :
Hai mặt phẳng
)(
: 3x + 2y – z + 1 = 0 và
)'(
: 3x + y + 11z – 1 = 0
A. Trùn
g
nhau B. Vuôn
g
g
óc với nhau.
C. Son
g
son
g
với nhau D. Cắt nhau nhưn
g
khôn
g
vuôn
g
g
óc với nhau;
Câu 27 : Cho các điểm A(1; -2; 1), B(2; 1; 3) và mặt phẳng (P) : x – y + 2z – 3 = 0. Đường thẳng AB
cắt mặt phẳn
g
(P) tại điểm có tọa độ:
A.
(0; 5;1)
B.
(0;5;1)
C.
(0;5;1)
D.
(0;5; 1)
Câu 28 : Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 11 = 0. mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 1) và tiếp xúc với (P)
t
ại H. tọa độ tiếp điểm H là.
A. H(2;3;-1) B. H(5;4;3) C. H(1;2;3) D. H(3;1;2).
Câu 29 :
Cho điểm M(2;3;-1) và đường thẳng
415
:
122
xyz
d
---
==
-
tọa độ hình chiếu vuông góc
của
M
trên (d)
A. H(4;1;5) B. H(2;3;-1) C. H(1;-2;2) D.

2;5;1H
Câu 30 : Cho các điểm
)2;4;3(,)0;2;1( BA
. Tìm tọa độ điểm I trên trục Ox cách đều hai điểm A, B và
viết phương t
r
ình
m
ặt cầu tâm I , đi qua hai điểm A, B.
A.
222
(1)(3)(1)20xyz
B.
222
(1)( 3)(1)11/4xyz
C.
222
(3) 20xyz
D.
20)3(
222
zyx
Câu 31 : Cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+x-1=0. Phương trình chính tắc đường
thẳn
g
g
iao tu
y
ến của hai mặt phẳn
g
(P) và (Q) là:
A.
121
231
x
yz

B.
121
231
x
yz


C.
21
231
x
yz

D.
21
23 1
x
yz


Câu 32 : Cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm
trên (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
A. M(-1;3;2)
B. M(1;-1;3)
C. M(-1;1;5)
D. M(2;1;-5)
Câu 33 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; -1; -1) đến mặt phẳng (P) : 16x – 12y – 15z – 4 = 0.
Tính độ dài của đoạn thẳng AH.
A.
11
25
B.
22
5
C.
22
25
D.
11
5
Câu 34 : Cho mặt cầu (S) x
2
+y
2
+z
2
-2x-4y-6z = 0. Trong ba điểm (0;0;0); (1;2;3) và (2;-1;-1) thì có
b
ao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 35 : Cho (P) : 2x – y + 2z – 1 = 0 và A(1; 3; -2). Hình chiếu của A trên (P) là
H(a; b; c). Giá t
r
ị của a
–
b
+ c là :
A.
2
3
.
B.
3
2
.
C.
2
3
D.
3
2
.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
45
Câu 36 :
Cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) :
222
246110yxxyzz 
.
Bán kính đường t
r
òn giao tuyến là:
A. 3 B. 5 C. 2 D. 4
Câu 37 :
Cho điểm
A
(2; 1;1)
. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một
khoản
g
lớn nhất là
A. 2x+y-z+6=0 B.
26
x
yz
C.
260
x
yz
D.
x
yz260
Câu 39 :
Cho điểm I(3,4,0) và đường thẳng
121
:.
11 4
xy z


Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm I và cắt
tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam
g
iác IAB bằn
g
12
A.
222
(3)(4) 5xyz
B.
222
( 3) ( 4) 25xyz
C.
222
( 3) ( 4) 25xyz
D.
222
(3)(4) 5xyz
Câu 41 :
Cho mặt cầu

222
S:x y z 2x 2z 0
và mặt phẳng (P): 4x+3y+1=0. Tìm mệnh đề
đún
g
tron
g
các
m
ệnh đề sau:
A. (P) cắt (S) theo một đườn
g
t
r
òn B. (S) tiếp xúc với (P)
C. (S) không có điểm chung với (P) D. (P) đi qua tâm của (S)
Câu 42 :
Cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z – 4 = 0 và đường thẳng
12
:.
213
xyz
d


Phương trình
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là:
A.
111
512
x
yz

B.
111
523
x
yz

C.
111
513
x
yz


D.
131
513
x
yz

Câu 43 : Cho bốn điểm A(-1,1,1), B(5,1,-1) C(2,5,2) , D(0,-3,1). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh
đề sau:
A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng
B. A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
C. A, B, C, D là hình than
g
D. Ba điểm B, C, D thẳn
g
hàn
g
.
Câu 44 :
Cho mặt cầu
222
: ( 1) ( 3) ( 2) 49 Sx y z
phương trình nào sau đây là phương trình
của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

S
?
A. 6x+2
y
+3z-55=0 B. 2x+3
y
+6z-5=0 C. 6x+2
y
+3z=0 D. x+2
y
+2z-7=0
Câu 45 :
Cho mặt cầu (S) có phương trình
222
3330xyz xyzvà mặt phẳng (P) : x+y+z-6=0
Nhận xét nào sau đây là đúng
A. Tâm mặt cầu (S) là I(3,3,3)
B.
(P) cắt mặt cầu (S) theo đườn
g
t
r
òn (C)
C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P)
D.
Mặt cầu (S) và (P) không có điểm chung
Câu 46 : Cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;-2;3),C(1;1;1). Tìm phương trình mặt phẳng (P) chứa
A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) bằng
2
3
.
A. x+y+2z-1=0 hoặc -2x+3y+7z+23=0
B. x+2y+z-1=0 hoặc -2x+3y+6z+13=0
C. x+y+z-1=0 hoặc -
23x+37
y
+17z+23=0
D. 2x+3y+z-1=0 hoặc 3x+y+7z+6=0
Câu 47 :
Cho

A
1; 2; 3 , B 0;1; 3
. Gọi
M
là điểm sao cho
A
M2BA

. Tìm tọa độ điểm
M
.
A.
B.
C.
D.
Câu 48 : Cho hai điểm A(-3; 1; 2) và B(1; 0; 4). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng
AB có phươn
g
t
r
ình là:
A. 4x +
y
+ 2z + 7 =0 B. 4x
–
y
+ 2z + 9 =0
C. 4x
–
y
+ 2z
–
9 = 0 D. 4x
–
y
–
2z + 17 =0
Câu 49 : Cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D-5;-4;-8). Độ dài đường cao kẻ từ D
của tứ diện là
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
46
A.
65
5
B.
5
5
C.
45
7
D.
43
3
Câu 50 :
Cho mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z - 1 = 0 và đường thẳng d :
23
123
xyz

. Phương trình
m
ặt phẳn
g
chứa d và vuôn
g
g
óc với (P) là
A. 5x +
y
+ 8z + 14 = 0 B. x + 8
y
+ 5z + 31 = 0
C. x + 8y + 5z +13 = 0 D. 5x + y + 8z = 0
Câu 51 : Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y
–
z =0?
A.
n = (1; 2; 0)
B.
n = (-2; 1; 1)
C.
n = (2; 1; -1)
D.
n = (0; 1; 2)
Câu 52 :
Cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi là
mặt phẳng chứa d và song song với
. Khoảng cách giữa và là:
A.
B.
C.
D.
Câu 53 :
Cho mặt cầu
222
():( 1) ( 2) ( 3) 9Sx y zvà đường thẳng
622
:
32 2
xyz

.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với
m
ặt cầu (S)
A. x-2
y
+2z-1=0
B. 2x+
y
-2z-10=0
C. 2x+
y
+2z-19=0
D. 2x+
y
-2z-12=0
Câu 54 :
Nếu mặt phẳng
(α)
qua ba điểm M(0; -1; 1), N(1; -1; 0), và P(1; 0; -2) thì nó có một vectơ
p
háp tuyến là:
A.
n = (1; 2; 1)
B.
n = (-1; 2; -1)
C.
n = (2; 1; 1)
D.
n = (1; 1; 2)
Câu 55 : Mặt cầu tâm I(1; -2; 3) tiếp xúc với mặt phẳn
g
(P) : 2x
–
y
+ 2z
–
1 = 0 có phươn
g
t
r
ình :
A.
222
(2)(()313) yxz
B.
222
(2)(()313) yxz
C.
222
(2)(()913) yxz
D.
222
(2)(()913) yxz
Câu 56 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ y+z+1=0.
Viết phươn
g
t
r
ình
m
ặt cầu có tâm I(1;1;0) và tiếp xúc với mp(P).
A.
22
2
11 3xyz
B.

22
2
11 3xyz
C.

22
2
11 3xyz
D.

22
2
11 3xyz
Câu 57 :
Tọa độ giao điểm M của
12 9 1
:
431
x
yz
d


và mặt phẳng
(
P
): 3
x
+ 5
y
–
z
–
2 = 0 là:
A. (1; 1; 6) B. (12; 9; 1)
C. (1; 0; 1) D. (0; 0; -2)
Câu 59 : Cho A(1; -1; 0) và B(-2; 0; 1). Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB
là:
A. -6x + 2
y
+ 2z
–
3=0 B. -3x +
y
+ z +3 =0
C. -6x + 2
y
+ 2z + 3=0 D. -3x +
y
+ z -3 =0
Câu 60 :
Cho mặt phẳng

:2x y 3z 1 0

và đường thẳng d có phương trình tham số:
1
22
3
z
ty
tx
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
d cắt
()
B.

//d
C.

d
D.

d
Câu 61 :
Cho hai điểm A(5,3,-4) và điểm B(1,3,4) . Tìm tọa độ điểm
(Ox )C
y
sao cho tam giác ABC
cân tại C và có diện tích bằng
85. Chọn câu trả lời đúng nhất
A. C(-3-7,0) và C(-3,-1,0)
B. C(3,7,0) và C(3,-1,0)
C. C(3,7,0) và C(3,1,0)
D. C(-3,-7,0) và C(3,-1,0)
Câu 64 : Cho điểm M(3; 1; 2). Phương trình của mặt phẳng đi qua hình chiếu của M trên các trục tọa
độ là:
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
47
A. 3x +
y
+ 2z = 0 B. 2x + 6
y
+ 3z
–
6 =0
C. -3x
–
y
–
2z =0 D. -2x
–
6y
–
3z
–
6 =0
Câu 65 : Cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp
xúc với mặt phẳn
g
(P) là:
A. (x
–
+2)
2
+ (
y
–
1)
2
+ (z
–
1)
2
= 9 B. : (x
–
2)
2
+ (
y
–
1)
2
+ (z
–
1)
2
= 5
C. : (x
–
2)
2
+ (y
–
1)
2
+ (z
–
1)
2
= 4 D. : (x
–
2)
2
+ (y
–
1)
2
+ (z
–
1)
2
= 3
Câu 66 : Cho hai điểm A(1; 0; -3) và B(3; 2; 1). Phươn
g
t
r
ình
m
ặt cầu đườn
g
kính AB là:
A.
222
x + y + z - 4x - 2y + 2z = 0
B.
222
x + y + z - 2x - y + z - 6= 0
C.
222
x + y + z + 4x - 2y + 2z = 0
D.
222
x + y + z - 4x - 2y + 2z + 6 = 0
Câu 67 : Cho ba điểm A(2;1;-1); B(-1;0;4);C(0;-2-1). Phương trình mặt phẳng nào đi qua A và
vuôn
g
g
óc BC
A. 2x-y+5z-5=0 B. x-2y-5z-5=0 C. x-3y+5z+1=0 D. 2x+y+z+7=0
Câu 68 :
Cho điểm M(2;3;-1) và đường thẳng
415
:
122
xyz
d
---
==
-
Phương trình mp (P) qua M và
vuôn
g
g
óc với đườn
g
thẳn
g
d là.
A. x-2
y
+2z-16=0 B. x-2
y
+2z=0 C. x-2
y
+2z+16=0 D. x-2
y
+2z+6=0
Câu 69 : Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm G(1; 2; 1) làm t
r
ọng tâm?
A. 2x + 2
y
+ z
–
6=0 B. 2x +
y
+ 2z
–
6 =0
C. x + 2
y
+ 2z -6 =0 D. 2x + 2
y
+ 6z
–
6 =0
Câu 70 : Cho ba điểm A(3; 2; -2) , B(1; 0; 1) và C(2; -1; 3). Phương trình mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với BC là:
A.
250xy z
B.
230xy z
C
230xy z
D.
210xy z
Câu 71 : Cho
A
(
2,1,-1
)
và (P):
x
+
2
y
−
2
z
+
3
=
0
. (d) là đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
(P).
Tìm tọa độ M thuộc (d) sao cho OM =
A. (1;-1;-1) ; (5/3; 1/3; 1/3) B. (1;-1;-1) ; (5/3; -1/3; 1/3)
C. (1;1;-1) ; (5/3; 1/3; -1/3) D. (1;-1;1) ; (5/3; 1/3; -1/3)
Câu 72 : Cho hình hộp
A
B
CD.A’
B’C’D’ biết: A(1;0;1), B(2;1;2), D’(1;-1;1), C(4;5;-5). Thể tích
khối
hộp là:
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Câu 73 : C
ho đường thẳng
x
yz
d
12
:
212


và điểm
A
(2;5;3)
. Phương trình mặt phẳng (P) chứa d
sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất là
A.
x
yz430
B.
430
x
yz
C.
430
x
yz
D.
20
x
yz
Câu 74 :
Cho hai điểm
M
(0; 1;2)
và
N
(1;1;3)
. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho
khoảng cách từ điểm
K(0;0;2)
đến mặt phẳng (P) là lớn nhất là
A.
 370
x
yz
B.
x
yz–30
C.
 230
x
yz
D.
 3– 3 0
x
yz
Câu 75 :
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M
(1; 2; 3)
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho
biểu thức
OA OB OC
222
111
 có giá trị nhỏ nhất.
A.
(): 2 3 4 0Px y z
B.
(): 2 3 14 0Px y z
C.
 (): 3 12 0Pxy z
D.
Px y z(): 2 3 14 0
Câu 76 :
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M
(9;1;1)
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho
thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
A. 1
933
xyz
B.
1
27 9 3
x
yz
C.
x
yz
1
27 3 3

D.
10
27 3 3
xyz
Câu 77 :
Cho các điểm
(
)
(
)
(
)
1; 1; 2 , 2; 1; 1 , 0; 1; 3ABC-
. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt
phẳng (ABC) sao cho d cắt và vuông góc với trục Ox.
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
48
A.
2
:
0
x
dyt
z
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
B.
3
:
0
xt
dyt
z
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
C.
3
:
0
x
dyt
z
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
D.
0
:
3
x
dyt
z
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
Câu 78 : Cho
d :
x 1
2
y 1
1
z 2
1
. Tìm phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d
trên (Oxy).
A.
x 0
y 1 t
z 0
B.
x 1 2t
y 1 t
z 0
C.
x 1 2t
y 1 t
z 0
D.
x 1 2t
y 1 t
z 0
Câu 79 :
Cho bốn điểm

1; 0; 0 , 0; 1; 0 , 0; 0;1 , 1;1;1ABCD
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A.Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện B.Tam giác BCD đều
C.
A
BCD
D.Tam giác BCD vuông cân
Câu 80 : Cho hai mặt phẳng

:x 2y z 1 0
và
:3x y z 0
. Xác định giá trị của m để
x1 y2 z
d:
m1 m1 2m



vuông góc với giao tuyến của
và
.
A.
19
m
8
B.
15
m
2
C.
9
m
8
D.Không có giá trị của m
Câu 81 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
A2,5,1 ,
B0, 1,2 ,

C1,0,3. Có bao nhiêu mặt
phẳng đi qua gốc tọa độ O và cách đều ba điểm A, B, C.
A.1 B.3 C. 4 D.Vô số
Câu 82 : Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm
A
BC(0;1;1),(1;0;3),(1;2;3)
và mặt cầu (S) có phương
trình:
xyz xz
222
2220. Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn
nhất.
A.

D 1; 0; 1
B. D
741
;;
333




C.




D
14 5
;;
333
D.(1; - 1; 0)
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017.
ĐỀ 101.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(): 2 5 0Px yz
. Điểm nào dưới đây
thuộc
()P
?
A.
(2; 1;5)Q
B.
(0;0; 5)P
C.
( 5;0;0)N
D.
(1;1; 6)M
Câu 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
()Oxy
?
A.
(1;0;0)i
B. (0;0;1)k
C.
( 5;0;0)j
D.
(1;1;1)m
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
qua điểm
(3; 1;1)M
và vuông góc với đường thẳng
123
:
321
xy z

?
A.
32 120xyz
B.
32 80xyz
C.
32 120xyz
D.
2330xyz
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua điểm
(2;3;0)A
và vuông góc với mặt phẳng
(): 3 5 0Px yz
?
A.
13
3
1
x
t
yt
zt


. B.
1
3
1
x
t
yt
zt


. C.
1
13
1
x
t
yt
zt



D.
13
3
1
x
t
yt
zt


Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(1; 2; 3)M
. Gọi I là hình
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
49
chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I, bán
kính IM ?
A.
222
(1) 13xyz
B.
222
(1) 13xyz
C.
222
(1) 13xyz
D.
222
(1) 17xyz
Câu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(1;1;3)M
và hai đường thẳng
131
:
321
x
yz
d


,
1
:
132
x
yz

. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi
qua M, vuông góc với
và
.
A.
1
1
13
x
t
yt
zt



B.
1
3
x
t
yt
zt



C.
1
1
3
x
t
yt
zt



D.
1
1
3
x
t
yt
zt



Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
13
:2
2
x
t
dy t
z


,
2
12
:
212
x
yz
d


và mặt phẳng
():2 2 3 0Pxyz
. Phương trình nào dưới đây là phương trình
mặt phẳng đi qua giao điểm của
1
d
và (P), đồng thời vuông góc với
2
d
.
A.
22220xy z
B.
22130xy z
C.
22130xy z
D.
22220xy z
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
222
(): 9Sx y z
, điểm
(1;1; 2)M
và mặt
phẳng
(): 4 0Pxyz
. Gọi
là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao
cho AB nhỏ nhất. Biết rằng
có một vectơ chỉ phương là
(1; ; )uab
. Tính tab
A.
2T 
B.
1T
C.
1T 
D.
0T
ĐỀ 102
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2;2;1)A . Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A.
3OA
B.
9OA
C.
5OA
D.
5OA
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng
()Oyz
?
A.
0y
B.
0x
C.
0yz
D.
0z
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị m để phương trình
222
224 0xyz xyzm là phương trình của một mặt cầu.
A.
6m
B.
6m
C.
6m
. D.
6m
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (0; 1;3)A , (1; 0;1)B , (1;1;2)C . Phương
trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng
BC ?
A.
2
1
3
x
t
yt
zt



B. 20xyz C.
13
21 1
x
yz

D.
11
21 1
x
yz

Câu 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(4;0;1)A
và
(2;2;3)B
. Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
A
B
?
A.
30xyz
B.
360xyz
C. 310xyz D. 62210xyz
Câu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
22 2
():( 1) ( 1) ( 2) 2Sx y z và hai
đường thẳng
21
:
12 1
x
yz
d


,
1
:
11 1
x
yz

. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một
mặt phẳng tiếp xúc với
()S , song song với d và ?
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
50
A. 10xz B. 10xy C. 30yz D. 10xz
Câu 7.
Trong không gian với hệ toạ độ
O
x
yz
, cho điểm
(1; 2; 3)A
và hai mặt phẳng
(): 1 0Pxyz
,
(): 2 0Qxyz
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi
qua
A
, song song với
()
P
và
()Q
?
A.
1
2
3
x
t
y
zt


B.
1
2
32
x
y
zt


C.
12
2
32
x
t
y
zt



D.
1
2
3
x
t
y
zt



Câu 8.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (4;6;2)A và (2; 2;0)B và mặt phẳng
(): 0Pxyz
. Xét đường thẳng
d
thay đổi thuộc
()
P
và đi qua
B
, gọi
H
là hình chiếu vuông góc
của
A
trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính
R
của
đường tròn đó.
A. 6R B.
2R
C.
1R
D. 3R
ĐỀ 103
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
22 2
():( 5) ( 1) ( 2) 9Sx y z. Tính bán
kính R của (S).
A. 3R B .
18R
C.
9R
D.
6R
Câu 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;2;3), (1;4;1)AB
và đường thẳng
223
:
112
xyz
d


. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm
đoạn thẳng AB và song song với d.
A.
11
11 2
x
yz

B.
22
112
xy z

C.
11
112
x
yz

D.
111
112
x
yz

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (3; 1; 2)M 
và mặt phẳng
():3 2 4 0xy z
 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song
với
()
?
A. 32140xy z
B. 3260xy z 
C. 3260xy z  D. 3260xy z 
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ (2;1;0)a
và (1;0;2)b 
. Tính
cos ,ab
.
A.

2
cos ,
25
ab
B.

2
cos ,
5
ab

C.

2
cos ,
25
ab

D.

2
cos ,
5
ab
Câu 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (1; 2; 3)I và mặt phẳng ():2 2 4 0Pxyz.
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H. Tìm tọa độ H
?
A. ( 1;4;4)H B. (3;0;2)H 
C.
(3;0;2)H D. (1; 1; 0)H
Câu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
23
:3
42
x
t
dy t
zt



và
41
:
312
x
yz
d


. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa
d và d
, đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
A.
322
31 2
xyz

B.
322
31 2
xyz

C.
322
31 2
xyz

D.
322
31 2
xyz

Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
51
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3; 2;6), (0;1;0)AB và mặt cầu
222
():( 1) ( 2) ( 3) 25Sx y z
. Mặt phẳng
(): 2 0Paxbycz
đi qua A, B và cắt (S) theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính
Tabc.
A.
3T
B. 5T C.
2T
D.
4T
ĐỀ 104
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
222
(): ( 2) ( 2) 8Sx y z
. Tính bán
kính R của (S).
A.
8R
. B.
4
R
. C.
22R
. D.
64R
.
Câu 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;1; 0)A
và
(0;1;2)B
. Vectơ nào dưới đây là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?
A.
(1;0;2)b 
. B.
(1;2;2)c
. C.
(1;1;2)d 
. D.
(1;0;2)a 
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
(2;3; 1), ( 1;1;1)MN
và (1; 1; 2)Pm . Tìm m
để tam giác MNP vuông tại N.
A. 6m  . B. 0m . C. 4m  . D. 2m .
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1; 2; 3)M . Gọi
12
,
M
M
lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M trên các trục tọa Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng
12
M
M
?
A.
2
(1; 2; 0)u
. B.
3
(1;0;0)u
. C.
4
(1;2;0)u 
D.
1
(0;2;0)u
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
qua điểm
(1; 2; 3)M
và có một vectơ pháp tuyến
(1; 2; 3)n 
?
A.
23120xyz
B.
2360xyz
C.
23120xyz
D.
2360xyz
Câu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ
Ox
y
z
, cho hai điểm
(1; 1; 2), ( 1; 2; 3)AB
và đường thẳng
121
:
112
x
yz
d


. Tìm điểm
(;;)
M
abc
thuộc d sao cho
22
28MA MB
biết 0c .
A. (1;0;3)M  B. (2;3;3)M C.
17 2
;;
66 3
M



D.
172
;;
663
M




Câu 7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi
qua ba điểm
(2;3;3), (2; 1; 1), ( 2; 1;3)MN P
và có tâm thuộc mặt phẳng
():2 3 2 0xyz

.
A.
222
222100xyz xyz
B.
222
42620xyz xyz
C.
222
42620xyz xyz
D.
222
22220xyz xyz
Câu 8.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
(2;0;0), (0;2;0)AB
và
(0;0; 2)C
. Gọi D là
điểm khác 0 sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và
(;;)I abc
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD. Tính
Sabc
.
A.
4S 
B.
1S 
C.
2S 
D.
3S 
| 1/53
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO
TRÖÔØNG THPT PHAN ÑAÊNG LÖU TOÅ TOAÙN  HOÏC KYØ II
NAÊM HOÏC 2017 – 2018
Họ và tên học sinh: .................................
Lớp: ......................................................... Löu Haønh Noäi Boä
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Dạng 1. Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
1. Cho hàm số F x 2
x sin x  2017. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của
f x  x2sin x x cos x trên R.
2. Chứng minh F x  lnsin x  C là nguyên hàm của f x  cot x (0 < x <  ),với C là hằng số.
Dạng 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) ( hay tìm f xdx).
1. I   5 3
2x x  3xdx 1 2 7. I   dx x x 13. I  sin  cos dx     1 1 1  3x 1  2 2  2. I     dx 3 2   x x x 8. 2 I  tan xdx
14.   2x I e dx    x 3 2 x 2 x 3. I  2 1    dx 9. 2 I  sin dx
4x  3x  5x  3 Ix  2 15. x 1  3  x  5
4. I    x x2 sin cos dx 10. 3 I x  4 x    dx I dxx 16. 2 x  4x  5  1 1   x x  5 5. I   dx    ex 17. I dx 4  xx 11. I e 1    dx 2  2  sin x x  4x  4 6.  2x5x I dx 12. 2 I  cot xdx
Dạng 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa điều kiện F(x0) = k. 3
1) (THPTQG 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x e  2x thỏa mãn F(0)  . 2 Tìm F(x) .  
2) (THPTQG 2017). Tìm nguyên hàm 
F(x) của hàm số f (x)  sin x  cos x thỏa mãn F  2   .  2 
3) Tìm F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số   1 f x
và F( 2 ) 1. x 1
4) Tìm F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số   2
f x sin x và nguyên hàm này bằng khi 8x . 4
Dạng 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. ln x
Bài 1. (THPTQG 2017). Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 
. Tính F e  F   1 . x
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau: ln x sin x 2  1) I dx  6) I dx  11) 3x 2 I dxx 5 cos x 3 x  2x 1 2) 2
I sin x.cos xdx  . 7) cos x I dxx 1 sin x 12) I dxx 2 1 x 3) I dx  8) 2  . x I x e dxx 1 3 2 x 1 13) I e dxx 4) I  2x 1dx  9) 2 I x 1 x dx  sin x 3  x  14) I dx  5) I dx  10) 1 ln x I dx  1 2cos x 2 1 x x 1
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 15) 6 3 2 3 I  1 2x .x dx  2x cos x  sin x 19) I dx  22) I dx  2 x 1 sin x  cos x 2x e 16) I dx  1 sin x 2 1 3 x e 20) I    dx 23) I dx  1 xx 3 cos x 17) 2 3 3 I x x  5.dx  21) 1 I dxx x  18) tan x e eI dx  2 cos x
Dạng 5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Bài 1. (THPTQG 2017). Cho 2
F(x)  x là một nguyên hàm của hàm số 2 (  ) x f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 (  ) x f x e .
Bài 2. Tìm các họ nguyên hàm sau: 1) x I  xe dx  6) I  x sin 2x   1dx 10) 3 I x ln  2xdx 2) I  x cos xdx  .
7) I  1 xcosxdx 11) I x cos 2xdx  3) I  x sin xdx  8) x I xe dx  4) I  x ln xdx   x 9)  I x sin dx    5) 2 x I  x e dx   2  BÀI 2. TÍCH PHÂN
Dạng 1. Tính tích phân bằng định nghĩa và các phép biến đổi cơ bản
Bài 1. Tính tích phân sau: 2 16  1) 1  x I   3 2
x  3x  2 dx . 4) I dx 7) 2 I  sin x  2cos dx 1  4    x x 8  2  0 1 0 1 1 2) I x  1 x 2 2 dx . 5) x I e dx  2 6 0 0 4 ln 2 2 3)  1 1  I x   dx 6) x  1 x I e e dx 7    3  2   x x 1  0 2 2 2
Bài 2. (THPTQG 2017). Cho f (x)dx  2 
và g(x)dx  1  
. Tính I  x  2 f (x)  3g(x)dx. 1  1  1    2 2
Bài 3. (THPTQG 2017). Cho f (x)dx  5 
. Tính I   f (x)  2sin xdx . 0 0 2
Bài 4. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Biết dx
a b c
với a,b,c là các số nguyên
(x 1) x x x 1 1
dương. Tính P a b c .
Dạng 2. Tính tích phân các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b I f
  xdx . a Tính các tích phân sau: 2 0 1) x I  1 x dx 3) I dx 1  3  1 x 0 1  2 3 x 2) 2
I x x dx 4) I dx 2  4  x3 0 2 
Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. 6 2
Bài 1. (THPTQG 2017). Cho f (x)dx  12 
. Tính I f (3x)dx  . 0 0 2
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Bài 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên  và thoả mãn f (x)  f (x)  2  2cos 2x, x  .  Tính 3 2 I f (x)d . x  3  2
Bài 3. Tính các tích phân sau:  2 0 1 a) 2
I  sin x cos xdx b) 2
I x x 1dx c) 2010
I x(x 1)  dx. 1 2 3 0 1  0 e 2  3ln x 1 1 8 d) I dx I dx 2 I  16  x dx 4  . e) f) x 5 2 1 x 2 1 0 0
Bài 4. Tính các tích phân sau: 1  x  1 2x 1 1 x I dx I dx I dx 1   2   x 1 2 2 3 2 2 0
0  x x   1 0 x 1  1 3 4 2
I x x 1dx 5 2 I x x 1dx tan x 2 I e 1 tan x dx 4  5  16    0 0 0 1 e ln x e ln x 3
I x . 1 xdx I dx I dx 7  8  x 9 x 1 ln x 0 1 1  4 1 tan x I dx 10  2  cos x  4
Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Tính các tích phân   2 4 1
I x cos xdx I  .s x in xdx  . x I x e dx 1 2  3  0 0 0 e 1 2      2 1 x I x e dx I  ln xdx 5  I
x 1 ln xdx 6   4 1 0 1 2 ln x I dx 7 5 x 1
Dạng 5. Ứng dụng tích phân trong các bài toán vật lý.
Bài 1. (THPTQG 2017_ Mđ 101). Một vật chuyển động
trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t
(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là
một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại
đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết
quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. s  23, 25 (km) B. s  21,58 (km) C. s  15,50 (km) D. s  13,83 (km) 3
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Bài 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)   5t  10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m.
BÀI 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: a) 2
y  2  x và y  x . b) 2
y  x  4x và y x . c) 3
y x 12x và 2 y x . d) 3 2
y  x  3x 1 và y  1.
Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox: a) 2
y  4  x , y  0 . b) 2
y  2x x , y  0 .
c) y x  x2 1 , y  0 . d) 4 2
y x  2x , y  0 . e) 2
y x 4  x , y  0 .
Bài 3. (THPTQG 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành 
và các đường thẳng x  0, x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể 2
tích V bằng bao nhiêu ?
Bài 4. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Cho hình (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y  3x ,
cung tròn có phương trình 2
y  4  x (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Tính diện tích của (H ) .
Bài 5. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox: a) 3
y x 1, y  0 , x  0 , x  1. b) 3 2
y x  3x , y  0 , x  0 , x  4 .  c) 2 y
, Ox, x  2 , x  4 . d) y  cos x , y  0 , x  0 và x  . x 1 2
ÔN TẬP CHƯƠNG III
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017.
THPTQG 2017- Đề 101.
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos3x sin 3x sin 3x
A. cos3xdx  3sin 3x C  .B. cos3xdx   C
.C. cos3xdx    C
.D. cos3xdx  sin 3x C. 3 3
Câu 2. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường 
thẳng x  0, x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 2 nhiêu ?
A. V   1
B. V  ( 1)
C. V  ( 1)
D. V   1 6 2
Câu 3. Cho f (x)dx  12 
. Tính I f (3x)dx  . 0 0
A. I  6
B. I  36
C. I  2
D. I  4 4
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 4. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x)  3  5sin x và f (0)  10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (x)  3x  5cos x  5
B. f (x)  3x  5cos x  2
C. f (x)  3x  5cos x  2 D. f (x)  3x  5cos x 15 Câu 5. Cho 2
F (x)  x là một nguyên hàm của hàm số 2 (  ) x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 (  ) x f x e . A. 2 x 2 f (
x)e dx  x  2x C  B. 2 2 (  ) x
f x e dx  x x C  C. 2x 2 f (
x)e dx  2x  2x C  D. 2x 2 f (  x)e dx  2
x  2x C  Câu 6.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h)
phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình
bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song
song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. s  23, 25 (km) B. s  21,58 (km) C. s  15,50 (km) D. s  13,83 (km) Câu 7.
Cho hàm số y f (x) . Đồ thị của hàm số y f (x) như hình bên. Đặt 2
h(x)  2 f (x)  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. h(4)  h(2)  h(2)
B. h(4)  h(2)  h(2)
C. h(2)  h(4)  h(2)
D. h(2)  h(2)  h(4)
THPTQG 2017- Đề 102.
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 1  5x  2 dx 1 dx 1 A.
 ln 5x  2  C  . B.
  ln(5x  2)  C  . 5x  2 5 5x  2 2 C. dx dx
5ln 5x  2  C  . D.
 ln 5x  2  C. 5x  2 5x  2 2 2 2
Câu 9. Cho f (x)dx  2 
và g(x)dx  1  
. Tính I  x  2 f (x) 3g(x)dx 1  1  1  A. 5 I B. 7 I C. 17 I D. 11 I 2 2 2 2
Câu 10. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số ln x f (x) 
. Tính F(e)  F(1) x 5
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
A. I e . B. 1 I  . C. 1 I  . D. I  1. e 2
Câu 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường
thẳng x  0, x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V  2( 1) B. V  2 ( 1) C. 2
V  2 D. V  2 Câu 12.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là
một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và
trục đối xứng song song với trục tung như hình
bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s  24,25 (km)
B. s  26,75 (km)
C. s  24,75 (km)
D. s  25,25 (km)
Câu 13. Cho ( )  ( 1) x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 (  ) x f x e . A.  2 x x 2 (
 ) xd  (4  2 ) x f x e x x e C B. 2 f (  x)e d x x e C 2 C. 2 (
 ) xd  (2  ) x f x e x x e C D. 2 (
 ) xd  (  2) x f x e x x e C  Câu 14.
Cho hàm số y f (x) . Đồ thị của hàm số y f (
x) như hình bên. Đặt 2
g(x)  2 f (x)  (x  1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. g(3)  g(3)  g(1)
B. g(1)  g(3)  g(3)
C. g(3)  g(3)  g(1)
D. g(1)  g(3)  g(3)
THPTQG 2017- Đề 103.
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  2sin x
A. 2sin xdx  2cos x C  . B. 2
2sin xdx  sin x C
C. 2sin xdx  sin 2x C
D. 2sin xdx  2  cos x C
Câu 16. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x e  2x thỏa mãn 3
F(0)  . Tìm F(x) . 2 A. x 1 x 3 2
F(x)  e x B. 2
F(x)  2e x  2 2 C. x 1 x 5 2
F(x)  e x D. 2
F(x)  e x  2 2 6
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 1 Câu 17. Cho  1 1  
dx a ln 2  b ln 3  
với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
x 1 x  2  0 đúng?
A. a b  2 .
B. a  2b  0 .
C. a b  2 .
D. a  2b  0 .
Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong x
y e , trục hoành và các đường thẳng
x  0, x  1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 2  2  2 2  A. e (e 1) e 1 (e 1) V B. V C. V D. V  2 2 2 2 Câu 19.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận
tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3
giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó
là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9)
với trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hoành. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó A. 26,5 (km) B. 28,5 (km) C. 27 (km) D. 24 (km) Câu 20. Cho 1 f x F (x)  
là một nguyên hàm của hàm số ( ) . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 3x x f (  x)ln x . A. ln x 1 ln x 1 f (  x)ln xdx    C
B. f (x)ln xdx    C  3 5 x 5x 3 5 x 5x C. ln x 1 ln x 1 f (  x)ln xdx    C
D. f (x)ln xdx     C  3 3 x 3x 3 3 x 3x Câu 21.
Cho hàm số y f (x). Đồ thị của hàm số y f (x) như hình bên. Đặt 2 2
g(x)  2 f (x)  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. g(3)  g( 3  )  g(1)
B. g(1)  g(3)  g( 3  )
C. g(1)  g( 3  )  g(3) D. g( 3
 )  g(3)  g(1)
THPTQG 2017- Đề 104.
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7x f x  . x A. 7x  7x dx ln 7  C B. x 7 7 dx   C ln 7 x 1  C. x 7 x x 1 7 dx 7    C D. 7 dx   C x  1 7
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 23. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 2
y x  1 , trục hoành và các đường
thẳng x  0, x  1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu ?  A. 4 V B. V   C. 4 V V  3 2 3 D. 2   2 2
Câu 24. Cho f (x)dx  5 
. Tính I   f (x)  2sin xdx. 0 0 
A. I  7
B. I  5 
C. I  3
D. I  5   2 Câu 25. Tìm nguyên hàm   
F(x) của hàm số f (x)  sin x  cos x thỏa mãn F  2   .  2 
A. F(x)  cos x  sin x  3
B. F(x)  cos x  sin x  3
C. F(x)  cos x  sin x 1 D. F(x)  cos x  sin x 1 Câu 26.
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v
(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một
phần của đường parabol với đỉnh  1  I ;8   và  2 
trục đối xứng song song với trục tung như hình
bên. Tính quãng đường s người đó chạy được
trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
A. s  4,0 (km)
B. s  2,3 (km)
C. s  4,5 (km)
D. s  5,3 (km) Câu 27.
Cho hàm số y f (x) . Đồ thị của hàm số y f '(x) như hình bên. Đặt 2
g(x)  2 f (x)  (x 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. g(1)  g(3)  g( 3  )
B. g(1)  g( 3  )  g(3)
C. g(3)  g( 3  )  g(1)
D. g(3)  g( 3  )  g(1) Câu 28. Cho 1 f x F (x) 
là một nguyên hàm của hàm số ( ) . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 2x x f (  x)ln x . A.  ln x 1  ln x 1 f (
x)ln xdx     C  
B. f (x)ln xdx    C 2 2   x 2x  2 2 x x C.  ln x 1  ln x 1 f (  ) x ln xdx     C  
D. f (x)ln xdx    C 2 2   x x  2 2 x 2x 8
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 29. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. 2 1 A. f
 xdx  2x 12x 1 C. B. f
 xdx  2x 12x 1 C. 3 3 C.    1 f x dx  
2x 1 C. D.    1 f x dx
2x 1 C. 3 2
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos 2x. A.    1
f x dx s in2x C B.    1
f x dx   sin2x C 2 2 C. f
 xdx 2sin2x C D. f
 xdx 2
sin2x C
Câu 31. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số   1 f x
và F 2  1. Tính F 3x 1
A. F 3  ln 2 1
B. F 3  ln 2 1 C.   1
F 3  D.   7 F 3 2 4 4 2 Câu 32. Cho f
 xdx 16 . Tính I f  2xdx. 0 0 A. I 32 B. I 8
C. I 16 D. I 4 4 dx Câu 33. Biết
aln 2 bln3 cln5
, với a,b,c là các số nguyên. Tính S a b c 2 x x 3 A. S 6 B. S 2 C. S 2  D. S 0 2
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1;2, f 1  1 và f 2  2 . Tính I f '  xdx 1 7 A. I 1 B. I 1
C. I 3 D. I 2  Câu 35. Tính tích phân 3
I cos x.sin xdx.0 1 1 A. 4
I    . B. 4 I    .
C. I 0. D. I   . 4 4 e
Câu 36. Tính tích phân I x.ln xdx.1 1 2 e 2 2 e 1 2 e 1
A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 4 4
Câu 37. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x x và đồ thị hàm số 2
y x x . 37 9 81 A. . B. . C. . D. 13. 12 4 12
Câu 38. Kí hiệu H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số     x
y 2 x 1 e , trục tung và trục
hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H  xung quanh trục Ox.
A. V 4 2e.
B. V  4 2e . C. 2
V e 5. D.   2 V
e 5 .
Câu 39. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới
hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a,x ba b, xung quanh trục Ox. b b b b A. 2 V   f
 xdx. B. 2 V f  xdx. C. V   f
 xdx. D. V   f  xdx. a a a a 9
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 40. Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường x
y e , y 0 , x 0 và x ln4 . Đường
thẳng x k 0 k ln4 chia (H) thành 2 phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. 1 2
Tìm k để S 2S 1 2 2
A. k ln 4 B. k ln 2 3 8
C. k ln D. k ln3 3
Câu 41. Cho F x là một nguyên hàm của f x 2
 3x 1. Khi đó hiệu số F 3  F   1 bằng: A. 28 B. 32 C. 30 D. 2
Câu 42. Cho hàm số f x 5
 sin x  . Khi đó: x A. f
 xdx  cos x  5ln x C B. f
 xdx  cos x  5ln x C C. 5 f  x 5 dx  cos x   C D. f
 xdx  cos x  C 2 x 2 x
Câu 43. Xét các mệnh đề: (I)
dx  tan x C  2 cos x 5 4 4x  3x 1 1 (II) 2
dx  2x  3x   C  4 3 x 3x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (I) đúng,(II) sai B. (I) sai, (II) đúng
C. Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai
Câu 44. Tìm nguyên hàm của f x  cos 2x . A. f
 xdx  sin2xC B. f
 xdx  2sin2x C C. f  x 1
dx  sin 2x C D. f  x 1
dx   sin 2x C 2 2 1
Câu 45. Cho hàm số f x  . Khi đó: 2 x  9   A. x f  xx 3 dx  ln  C B. f  x 3 dx  ln  C x  3 x  3   C. x f  x 1 x 3 dx  ln  C D. f  x 1 3 dx  ln  C 6 x  3 6 x  3
Câu 46. F x 2
 ln x  1 x là một nguyên hàm của hàm số: 2x x 1 1 A. f x 
B. f x 
C. f x 
D. f x   C 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x Câu 47. Cho f
 xdx F x C . Khi đó, với a  0, ta có: 1 A. f
 ax bdx F ax b C B. f
 axbdx F axbC a 1 C. f
 ax bdx aF ax b C D. f
 axbdx FaxbC 2a 10
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 48. Xét các mệnh đề:      (I)  sin 2x
dx   cos 2x   C       4   4  x  (II) 5x   1  11 10 5 1 1 dx   C 5 11 (III) 12x 1  12 x 1 e dx e    C
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Chỉ (II) Câu 49.   x F x
là một nguyên hàm của hàm số: ln x A. 1 1 f x 1 1  
B. f x    C ln x ln x2 ln x ln x2 C. 1 1 f x 1 1  
D. f x    ln x ln x2 ln x ln x2
Câu 50. Cho f x 2
 cot x . Khi đó f xdx  bằng:
A. cot x x C B. cot x x C C. cot x x C D. cot x x C     Câu 51. Tìm nguyên hàm 1
F x của hàm số f x   biết F  . 2   sin x  2  2  
A. F x  x B. F x  sin x  1 C. F x  cot x D. F x  cot x  2 2
Câu 52. Cho    2 x f x
a x 0  a  
1 . Khi đó f xdx  bằng: x x 2x x 2a 2x x A. 2a ln a   C B.   C 3 ln a 3 2 x a 3x x 2 x a 2x x C.   C D.   C ln a 2 ln a 3 Câu 53. Cho   x 1 x f x e e  
. Khi đó f xdx  bằng: A. x
e x C B. x
e x C C. x
e x C D. x
e x C
Câu 54. Cho       1 x f x x
e . Khi đó f xdx  bằng: A. x
xe C B.    1 x x
e C C.    1 x x e C x   D.  x 2e C
Câu 55. Cho f x  cos6 .
x cos 2x . Khi đó f xdx  bằng: 1 1
A. 4sin8x  2sin 4x C B. sin8x  sin 4x C 16 8 1 1
C. 4sin8x  2sin 4x C D.
sin 8x  sin 4x C 16 8
Câu 56. Cho f x  cos5 .
x sin 3x . Khi đó f xdx  bằng: 1 1 1 1 A. cos 2x
cos8x C B. cos 2x  cos8x C 4 16 4 16
C. 2cos 2x  8cos8x C D. 2cos 2x 8cos8x C
Câu 57. Tìm hàm số f x biết f x  4 x x và f 4  0 . 2 A. 8x x x 40
f x  4 x x  4 B. f x    3 2 3 2 2 C. 8x x x 8
f x 8x x x 40   
D. f x    3 2 3 3 2 3 11
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 58. Tìm nguyên hàm 1
F x của hàm số f x  x   2 biết F   1  2 . 2 x 2 A. 1
F xx 1 3 
  2x  B. F x  x   2 2 x 2 2 x 2 2 C. x 1 1
F xx 1 3 
  2x  D. F x    2x  2 x 2 2 x 2 Câu 59. Cho   x f x  .s
x in . Khi đó f xdx  bằng: 2 x x x x A. 2
x cos  4sin  C B. 2xcos  4sin  C 2 2 2 2 x x 1 x x C. 2
xcos  sin  C D.  xcos  sin  C 2 2 2 2 2 b b c
Câu 60. Cho a b c , f
 xdx  5, f
 xdx  2. Tính f xdx  . a c a c c c c
A. f xdx  2   B. f
 xdx  3 C. f
 xdx  7 D. f
 xdx  0 a a a a 9 3
Câu 61. Biết rằng f x là hàm liên tục trên R và f
 xdx  9, tính f 3xdx  . 0 0 3 3 3 3 A. f
 3xdx 1 B. f
 3xdx  2 C. f
 3xdx  3 D. f
 3xdx  4 0 0 0 0  4 dx Câu 62. Giá trị của  là: 2 cos x 0   A. 1 B. C. 1 D. 4 2 2  2 x
Câu 63. Giá trị của cos dx  bằng: 2 0 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 2 2 4 1 Câu 64. Nếu dx 1  ln a
thì giá trị của a bằng: 2x 1 2 0 A. 9 B. 3 C. 2 D. 1 2 1 Câu 65. Giá trị của x xe dx  bằng: 0 A. 2 1 B. 2 1 C. 1 2  D. 1 2  e e e e 2 Câu 66. Giá trị của 5 x ln xdx  bằng: 1 A. 32 ln 2 B. 32 7 ln 2  C. 32 7 ln 2  D. 7 ln 2  3 3 4 3 4 4 12
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018  2
Câu 67. Kết quả của tích phân 2 sin x cos xdx  là: 0 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 3 2 2 Câu 68. Tính tích phân 4 dx  . 2 x e 1 A. 2  4 e e  B. 2  4 2(e e  ) C. 2  4 e e  D. 2  4 2(e e  ) 
Câu 69. Tính tích phân cos x dx  . 0 A. 0 B. 1 C. 2 D.  2 Câu 70. Cho   x
f x xe . Khi đó f 
 xdx bằng: 0 A. 2 3e B. 2 3e 1 C. 2 3e 1 D. 2 e  2 12 
Câu 71. Giá trị của tích phân 2x 1 dx  bằng: 2 x x  2 10
A. ln12  ln10 B. ln 77  ln 54 C. ln 24  ln 20 D. 2ln 77  ln54 m Câu 72. Cho 1 1 dx  ln13 
. Tìm m, biết m  0 . 3x 1 3 0 A. m  1 B. m  2 C. m  3 D. m  4  2 Câu 73. Tính tích phân 3 sin x cos xdx
. Đáp số nào sau đây đúng? 0 1 1 4  A. 1 B. C. D. 3 4 16 1
Câu 74. Giá trị của tích phân xdx   bằng: x  3 2 0 1 5 3 1 A. B. C. D. 1 16 16 16
Câu 75. Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x và y x  2 . 9 9 9
A. S  9 (đvdt) B. S  (đvdt) C. S  (đvdt) D. S  (đvdt) 4 2 8
Câu 76. Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (C): 3
y x , trục hoành và hai đường x  1,  x  2 . 17 15 17 A. S  (đvdt) B. S  (đvdt) C. S
(đvdt) D. S  17 (đvdt) 2 4 8
Câu 77. Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3
y x x , y  5x và các đường x  1,  x 1. 7 7 7
A. S  7 (đvdt) B. S  (đvdt) C. S  (đvdt) D. S  (đvdt) 8 4 2
Câu 78. Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (C): 2
y x ln x , trục Ox và hai đường 1 3
x  1, x e . 1 1 1 1 A. S  (đvdt)
B. S  (đvdt) C. S  (đvdt) D. S 4 6 9 8 13
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 4
Câu 79. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y
, trục hoành và hai đường x  2,  x 1. 2  x
A. 2ln 2 (đvdt) B. 4ln 2 (đvdt) C. 6 ln 2 (đvdt) D. 8ln 2 (đvdt) 3x
Câu 80. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y
, tiệm cận ngang của (C) và x  3
hai đường x  0, x  2. 9
A. ln 3 (đvdt) B. 9 ln 3 (đvdt) C. 9 ln 3 (đvdt) D. ln3(đvdt) 2
Câu 81. Gọi S là số đo của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  2x  3x 1 và parabol   2 
y x x  2 . Tính cos  .  S        2    2    3 A. cos  0   B. cos   C. cos  D. cos   S         S  2  S  2  S  2
Câu 82. Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường: y xsin x , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x   . Khẳng định nào sai ?  S   S  A. sin 1   B. cos 2S 1 C. tan 1   D. sin S 1  2   4 
Câu 83. Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường 3 y x ,
y  0 , x 1, x  8 xung quanh trục Ox. 9 93 A. 2
V   B. V
C. V 18,6 D. V  4 5
Câu 84. Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường 
y  tan x , y  0 , x  0, x  xung quanh trục Ox. 4  2   ln 2
A. V  B. V  C. V  D. V  4 4 4 2
Câu 85. Tìm thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
đường y x4  x và trục hoành. 32 32 16 16 A. (đvtt) B. (đvtt) C. (đvtt) D. (đvtt) 3 3 3 3
Câu 86. Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường 2
y  4  x , y  0 xung quanh trục Ox. 71 512 2 8
A. V  2 B. V  C. V  D. V 82 15 3 4
Câu 87. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  và x
y  x  5 quay quanh trục Ox.
A. 21 (đvtt) B. 12 (đvtt) C. 33 (đvtt) D. 8 (đvtt)
--------------------------------------------------------------------- 14
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
Vấn đề 1. Các tính chất của số phức.
Bài 1. Tìm phần thực , phần ảo, mô đun và số phức liên hợp của các số phức:
a/ z = 2 – ei b/ z = 4 3 c/ z = -5i d/ z  7  i
Bài 2. Tìm x, y ñeå hai soá phöùc z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i baèng nhau.
Bài 3. Bieåu dieãn hình hoïc cuûa caùc soá phöùc: 4 + 2i, 3 - i, -2i, 3i, 2, -4.
Bài 4. Treân maët phaúng toïa ñoä, tìm taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn cuûa soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän phaàn
aûo baèng -2 vaø phaàn thöïc thuoäc khoaûng (-3; 3).
Bài 5. ĐH KHỐI B 2010: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i  (1 i)z
Bài 6. Tìm phần thực , phần ảo, môđun của các số phức:
a/ z = 2 – ei b/ z = 4 3 c/ z = -5i d/ 7 -i
Bài 7. Tìm các số thực x, y thỏa mãn :
a/ (2x +3y -5) + (-x +2y +1)i = (3x + y – 2) + (4x – y – 1)i
b/ (2- 3x) - i 5 = 2 + (1- 5y)i
c/ x + 2y + 3 + ( 2 x – y)i = 2x + y - (x + 3 y)i
Bài 8. ( THPTQG 2017). Tìm tất cả các số thực x, y sao cho 2
x 1 yi  1   2i .
Bài 9. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện :
a/ Phần thực của z bằng (-3).
b/ Phần ảo của z bằng (-2).
c/ Phần thực của z thuộc khoảng (-3;2).
d/ Phần thực và phần ảo thuộc đoạn [-3;3]. e/ z = 2  2 2
f/ z  1 và phần ảo thuộc  ;  3 3   g/ 2  z  3
h/ phần thực bằng phần ảo.
l/ Phần ảo bằng 3 lần phần thực .
m/ Tổng bình phương phần thực và phần ảo bằng 1, phần thực của z không âm. n/ z  2 và Bài 10.
Tìm số phức z và z biết :
a/ z = 2 và z là số thuần ảo.
b/ z = 5 và phần thực bằng 2 lần phần ảo.
Vấn đề 2. Các phép toán trên số phức. Bài 1. Tính:  
1) (2 3i)(1 2i)  3  4i 2)[(3-2i) – (3+ 4i)]3 1 2i 2   2i 1 1  3) 1 i    4) 3 i    1 2i  7 4i i
Bài 2. Thực hiện các phép tính
1) 4  5i  7  9i5)   i2 4 5 .5  4i 3 1 i 8)
2) 6 15i  2  i  
6)   i2   i2 1 . 1 2  i  i
3) 2  3i.1 2i 1 2i 9)   2017 1 i 7)
4)  3  i. 3  i 3  i
Bài 3. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức :
1) z = (1- i) – (3- 2i) + (5 + 6i) 2) z = (3 + 2i)(7 – 4i) 15
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 3) 6  i z
4) z = (3 – 2i)2 – ( 4 – i)2 2  5i
Bài 4. Cho z = 5 – 3i , tìm : 1) z2 2) 1 3) z 4)z + z2 + z3 z
Bài 5. Giải phương trình sau trên tập các số phức.
1) 1 iz  2i  3  0
2) 3 iz  2z  2i 1
3)   i 2 1
2  i z  8  i  1  2i z.
4)   i 2 1
2  i z  8  i  1  2i z.
Bài 6. Giải phương trình sau trên tập các số phức.
1) z z    i2 3 1 2
2)   i z    i z     i 2 2 3 4 1 3 . 3) 2z  
1 1 i  z  
1 1 i  2  2 .i
Bài 7. Giải phương trình sau trên tập các số phức. 1)(2- 3i)z = (1-i)(4 +2i)
2) 2(1 +4i)z – 5 = 6i – 7i(i – 1)z 3) 3  i 2  i z
4) z 3z  35i 1  i 5  3i
Bài 8. ( THPTQG 2017). Cho số phức z a bi (a,b  ) thỏa mãn z 1 3i z i  0 . Tính
S a  3b .
Bài 9. ( THPTQG 2017). Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z
z  3i  5 và là số thuần ảo ? z  4
Bài 10. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Cho số phức z a bi (a,b  ) thoả mãn z  2  i | z | (1 i)  0
và | z |1. Tính P a b .
Bài 11. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Xét các số phức a a bi (a,b  ) thỏa mãn | z  4  3i | 5 .
Tính P a b khi | z 1 3i |  | z 1 i | đạt giá trị lớn nhất.
Vấn đề 3. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Bài 1. Tìm các căn bậc hai của các số thực sau: 5;9;1;0; 1  ; 2;  3  ; 4;  2  7; 4  9.
Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 2
3z  2z 1  0 2) 2
7z  3z  2  0 3) 2
9z  8z 10  0
4) 3z2 +5z = 0 5) 5z2 + 9 = 0 6) 4 2
z z  6  0 7) 4 2
z  7z 10  0 8) z4 + z2 – 12 = 0 9) z4 + 9z2 + 14 = 0
Bài 3. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
4z  4z  3  0 . 1 2
Tính giá trị của biểu thức | z |  | z | . 1 2
Bài 4. ( THPTQG 2017). Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z z 1  0 . Tính 1 2
P z z . 1 2
Bài 5. ( THPTQG 2017). Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4  0 . Gọi M, 1 2
N lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON với O là 1 2 gốc tọa độ.
Bài 6. Tìm phương trình nhận hai số phức 1 2i và 1  2i làm nghiệm.
Bài 7. Cho a,b,c R, a  0, z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz +c = 0.
Tính z1+z2 và z1.z2 theo a, b, c.
Bài 8. Cho số phức z = a +bi, hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z
làm nghiệm. Áp dụng : Cho z = 3-2i , tìm phương trình bậc hai nhận z và z làm nghiệm. 16
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
ÔN TẬP CHƯƠNG IV.
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017.
THPTQG 2017- Đề 101.
Câu 1. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2   3i .
B. z  3i . C. z  2  .
D. z  3  i .
Câu 2. Cho hai số phức z  7  4i và z  2  3i . Tìm số phức z z z . 1 2 1 2
A. z  7  4i
B. z  2  5i C. z  2   5i
D. z  3 10i
Câu 3. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1  2i là nghiệm ? A. 2
z  2z  3  0 B. 2
z  2z  3  0 C. 2
z  2z  3  0 D. 2
z  2z  3  0
Câu 4. Cho số phức z 1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz trên mặt phẳng tọa độ ?
A. Q(1;2)
B. N (2;1)
C. M (1;2)
D. P(2;1)
Câu 5. Cho số phức z a bi (a,b  ) thỏa mãn z 1 3i z i  0. Tính S a  3b A. 7 S  B. S  5  C. S  5 D. 7 S   3 3
Câu 6. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z
z  3i  5 và là số thuần ảo ? z  4 A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2
THPTQG 2017- Đề 102. Câu 7.
Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa
độ là điểm M như hình bên ?
A. z  2  i
B. z  1 2i 4 2 C. z  2   t
D. z  1 2t 3 1
Câu 8. Cho hai số phức z  4  3i và z  7  3i . Tìm số phức z z z 1 2 1 2 A. z  11.
B. z  3  6i
C. z  110i
D. z  3  6i
Câu 9. Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z z 1  0 . Tính P z z 1 2 1 2 A. 3 P  . B. 2 3 P C. 2 P  . D. 14 P  . 3 3 3 3 Câu 10. Cho số phức 3
z  1 i i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
A. a  0,b 1 B. a  2,  b 1
C. a 1,b  0
D. a 1,b  2 
Câu 11. Cho số phức z a bi (a,b  ) thoả mãn z  2  i z . Tính S  4a b .
A. S  4
B. S  2 C. S  2  D. S  4 
Câu 12. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z  2  i | 2 2 và 2
(z 1) là số thuần ảo. A. 0 B. 4 C. 3 D. 2
THPTQG 2017- Đề 103.
Câu 13. Cho hai số phức z  1 3i và z  2
  5i . Tìm phần ảo b của số phức z z z . 1 2 1 2 A. b  2 
B. b  2
C. b  3 D. b  3 
Câu 14. Cho số phức z  2  3i . Tìm phần thực a của z.
A. a  2
B. a  3
C. a  3
D. a  2
Câu 15. Tìm tất cả các số thực x, y sao cho 2
x 1 yi  1   2i
A. x   2, y  2
B. x  2, y  2 C. x  0, y  2
D. x  2, y  2  Câu 16. Kí hiệu 1 1
z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z z  6  0 . Tính P   1 2 z z 1 2 17
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 A. 1 P  . B. 1 P C. 1 P   . D. P  6 . 6 12 6
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2i z  2  2i . Tính z .
A. z  17
B. z  17
C. z  10
D. z  10
Câu 18. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z
z  3i  13 và là số thuần ảo ? z  2 A. Vô số B. 2 C. 0 D. 1
THPTQG 2017- Đề 104.
Câu 19. Cho số phức z  2  i . Tính z . A. z  3 B. z  5 C. z  2 D. z  5
Câu 20. Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i
A. z  1  5i
B. z  1  i
C. z  5  5i
D. z  1  i
Câu 21. Cho số phức z  1 2i, z  3
  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z z z trên mặt 1 2 1 2 phẳng tọa độ. A. N(4;3) B. M (2; 5  ) C. P( 2  ; 1  ) D. Q( 1  ;7)
Câu 22. Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4  0 . Gọi M, N lần lượt là các 1 2
điểm biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T  2 2 . B. T  2 C. T  8 . D. T  4 .
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3 10i . Tìm số phức w z  4  3i . A. w  3   8i
B. w  1 3i C. w  1   7i D. z  4   8i
Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn .
z z  1 và z  3  i m . Tìm số phần tử của S. A. 2 B. 4 C. 1 D. 3.
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 25. Cho số phức z 2 5i . Tìm số phức w iz z .
A. w 7 3i. B. w 3
  3i. C. w 3 7i. D. w 7 3i.
Câu 26. Kí hiệu z ,z ,z ,z là 4 nghiệm phức của phương trình 4 2
z z 12 0.Tính tổng 1 2 3 4
T z z z z . 1 2 3 4
A. T 4. B. T 2 3. C. T 4 2 3. D. T 2 2 3.
Câu 27. Cho các số phức z thỏa mãn z 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w  3 4i.z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r 4. B. r 5. C. r 20. D. r 22.
Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn (1  i)z  3  i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm
M, N, P, Q ở hình bên?
A. Điểm P. B. Điểm Q.
C. Điểm M. D. Điểm N.
Câu 29. Cho số phức z 3 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2i. B. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2.
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.
Câu 30. Cho hai số phức z 1 i và z 2 3i . Tính mô đun của số phức z z . 1 2 1 2 18
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
A. z z 13. B. z z 5. C. z z 1. D. z z 5. 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 31. Tìm số phức liên hợp của số phức z i 3i 1.
A. z 3 i B. z 3
  i C. z 3 i D. z 3   i
Câu 32. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z 2 i  l3i 1 5 34 34
A.| z |34 B.| z |34 C.| z | D.| z |3 3
Câu 33. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần
thực và phần ảo của số phức z. y
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3. 3
B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i. O x
C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i. -4 M
Câu 34. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
4z 16 z 17 0 . Trên mặt 0
phẳng có tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz ? 01   1   1   1  A. M
;2 . B. M ;2 . C. M ;1 . D. M ;1 . 1          2 2 2 3 4 4 4
Câu 35. Cho số phức z a bi a,b    thỏa mãn 1iz 2z 3 2i . Tính P a b 1 1
A. P  B. P 1. C. P 1  D. P   2 2
Câu 36. Xét số phức z thỏa mãn    10 1 2i z
2 i . Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3
A.  z 2 . B. z 2 C. z  . D.  z  . 2 2 2 2
Câu 37. Số nào trong các số phức sau là số thực?
A.  2 3i 2 3i B. 5i 2 5i 2 C. 1i  1
  i D. 3 2i 3 2i
Câu 38. Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?
A.  3  i   3 i B. 10i 10 i C. 5i 3  5
  i 3 D. 3i  3   i
Câu 39. Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: x  2y  2x yi  2x y   x  2yi . 1 2 1 1 2
A. x y  0 B. x  ; y  C. x y  D. x   ; y   3 3 2 3 3
Câu 40. Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: 2x 1 1 2yi  2  x 2 3yi . 5 1 1 3  1 5 1 3
A. x  ; y  B. x  ; y
C. x   ; y  D. x  ; y  3 3 3 5 3 3 3 5 1 i Câu 41. Cho z  . Chọn đáp số đúng. 1 i
A. z  1 i B. z i C. z i
 D. z  1 i Câu 42. Cho 3
z i   i  25 23
 2i . Chọn đáp số đúng.
A. z  4i B. z  3  4i C. z  1 4i D. z  4i
Câu 43. Cho w  3 4i . Tìm nghich đảo của w. 3 4 3 4 3 4 3 4 A.  i B.  i C.  i D.  i 5 5 25 25 25 25 5 5 19
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 1 2i 1 2i Câu 44. Cho z  
. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? 1 2i 1 2i
A. z là số thực. C. z có thành phần thực và ảo đều khác 0.
B. z là số thuần ảo. D. z 1.
2i12i 2i1 2i Câu 45. Cho z  
. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? 2  i 2  i
A. z là số thực. C. z có thành phần thực và ảo đều khác 0 22
B. z là số thuần ảo.. D. . z z  . 5
Câu 46. Tìm căn bậc hai của số phức z  3  4i . A.    2  i        B. 1 1 i
 C. 2 i D.  1 i  2  2  i 1   3i
Câu 47. Giải phương trình sau: z  . Chọn đáp số đúng. 1 i 2  i 22 4 22 4 22 4 22 4 A. z   i B. z   i C. z   i D. z   i 5 5 5 5 25 25 25 25
Câu 48. Tìm z biết: z  2z  2  4i . A. 2
z    4i B. 2
z    4i C. 2
z   4i D. 2 z   4i 3 3 3 3
Câu 49. Tìm nghiệm phức của phương trình: 2
x  3x  3  0 . A. 3 3 z   i B. 3 3 z    i
C. z  3 i 3 D. z  3   i 3 2 2 2 2
Câu 50. Tập hợp các điểm biểu diễn hình học số phức thỏa mãn z i 1  z i  2 là đường thẳng có phương trình
A. 6x  4y  3  0 B. 4x  6y  3  0 C. 2x  3y 1  0 D. 1
2x  3y   0 2
Câu 51. Tập hợp các điểm biểu diễn hình học số phức thỏa mãn 2 z i z 1 là đường tròn có
phương trình nào sau đây?
A.  x  2   y  2 2
1  2 B.  x  2   y  2 1 2  4
C.  x  2   y  2 1 2  4 2 2     D.  x 2  y 1 2
Bài tập tự luận.
Bài 1: Tìm môđun của số phức z   i    i3 1 4 1 z
Bài 2: Cho hai số phức: z
z  3  5i ; z  3  i . Tính 1 và 1 1 2 z z 2 2  i
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (3 4 )(1 2i)  (4  3i)  1 i2013 1 2i
Bài 4: Tìm số phức z biết 2
(2  3i)z  (4  i)z   1 (  3i) 2 
Bài 5: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm z z z
Bài 6: Giải phương trình sau (ẩn z): z z    i2 2 1 5
Bài 7: Tìm số phức liên hợp với bình phương của chính nó.
Bài 8: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R). Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: 
a) z2 – 2z + 4i b) z i iz 1
Bài 9: Giải các phương trình sau (ẩn z) : 20
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018    a) 2 i 1 3i   z
b)  iz   i 1 2 3 iz   0   . 1 i 2  i  2i Bài 10:
a) Chứng minh: 2k 1 k 2  ( 1
 ) . ,  ; k  ( 1  )k i i k N i , k N. b) Giả sử 2k 2k 1 z i i   
, k N . Tính tổng z k k + zk+1.
Bài 11: Thực hiện các phép tính : 2 2 3 3 3  i
(1 2i)  (1 i)
(2  i)  (2  i) a) ;b) ;c) ; d) (2 – i)6 2 2 3 3
(1 i)(1 2i)
(3  2i)  (2  i)
(2  i)  (2  i)
Bài 12: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
a) Với điều kiện nào giữa a, b, a’, b’ thì tổng của chúng là số thực ? số ảo?
b) Cũng câu hỏi trên đối với hiệu z – z’ ..
Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  3 4i  2.
Bài 14: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i z z  2i
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z  5i  2  2 .
Bài 16 : Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z a ai, a R b) 1 là số ảo z i
Bài 17 : Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z2 là số thực âm b) z i  2  z i  9 .
Bài 18: Giải các phương trình trong tập số phức: a) z2 + 81 = 0 b) z2 – z + 2 = 0 c) (z – i)(z2 + 1) = 0
d) (z2 + z)2 + 4 (z2 + z) – 12 = 0
MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP, TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG.
1/ TNPT 2009: Gỉải phương trình : 8z2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức.
2/ TNPT 2010: Cho 2 số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 – 3i. Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1 – 2z2.
3/ TNPT 2011: Giải phương trình (1- i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức.
4/ TNPT 2012: Tìm các số phức 2z + z 25i và , biết z = 3 – 4i. z
5/ TNPT 2013: Cho số phức z thỏa mãn (1 +i)z – 2 – 4i = 0. Tìm số phức liên hợp của z.
6/ ĐH KHỐI D 2009: Trong mpOxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z  (3  4i)  2
7/ ĐH KHỐI B 2009:Tìm số phức z thỏa : z  (2  i)  10 và z.z =25.
8/ ĐH KHỐI A 2009:Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình : z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = 2 2 z z 1 2
9/ CĐ 2009:Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)2(2-i)z = 8 + i + (1+2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z. 4 2   
10/ ĐH KHỐI D 2010:Tìm số phức z thỏa mãn z 7z
10 0 , z  2 và z2 là số thuần ảo.   
11/ ĐH KHỐI B 2010: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i (1 i)z 2   
12/ ĐH KHỐI A 2010: Tìm phần ảo của số phức z biết z ( 2 i) (1 2i) 2      
13/ CĐ 2010: Cho số phức z thỏa (2 3i)z (4 i)z
(1 3i) . Tìm phần thực và phần ảo của z. 2(1 2i)    
14/ ĐH KHỐI D 2012: Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 7 8i 1 i .
Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. 21
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 2  i    
15/ CĐ 2012:Cho số phức z thoả mãn (1 2i)z (3 i)z 1 i
. Tìm toạ độ điểm biểu diễn của z trong mp tọa độ Oxy.
16/ ĐH KHỐI D 2013: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2z 1 
(1 + i)(z – i) +2z = 2i. Tính môđun của số phức w 2 z
17/ CĐ 2013:Cho số phức z thỏa mãn (3 +2i)z + (2 – i)2 = 4 + i. Tìm phần thực, phần ảo của số phức
w  (1 z)z .    
18/ ĐH KHỐI B 2014: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z 3(1 i)z 1 9i . Tính môđun của z.    
19/ ĐH KHỐI A 2014: Cho số phức z thoả điều kiện z (2 i)z 3 5i . Tìm phần thực và phần ảo của z.
20/ THPTQG 2015: Cho số phức z thỏa mãn 4 2    z 7z
10 0 . Tìm phần thực và phần ảo của z.
21/ THPTQG 2016: Cho số phức z  1 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  2z z. . 22
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M và tính OM biết:     a. OM  5i  2j  7k   b. OM  3  k    c. OM  i  3j 
Bài 2: Tìm tọa độ điểm M và tính OM biết:  
a. MA  2MB với A(2;1;0), B(-2;0;1) 2  1 
b. MA   MB với A(2;1;0), B(-2;0;1) 3 2
Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ  
a. a  2;1;4, b   6  ;0;3   b. a  0;0;  1 , b  2;0;2
Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1).  
a. Tính góc giữa hai vectơ AB, AC  
b. Tính góc giữa hai vectơ AB, BC    
Bài 5: Cho a  m;6; 5
 , b  m;m;  1 . Tìm m để a  b .    
Bài 6: Cho a  m;3; 2
 , b  m;m;  1 . Tìm m để a  b .
Bài 7: Xét sự cùng phương của các vectơ sau:       a. a  1;1 
;1 , b  2;2;2; b. a  2;4;6, b  2;4;0; c. a  1;2;0, b  2;4;0 .
Bài 8: Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng:
a. A1;3;2, B2;2;3,C 0;4;  1 b. A 2  ;1;0, B 1;  3; 2  ,C 0;5; 4  
Bài 9: Chứng minh rằng ba điểm sau không thẳng hàng:
a. A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2)
b. A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Bài 10:
a. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.
b. Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Bài 11:
a. Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5), D(1; 0; -1). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
b. Cho ba điểm A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(2;-2; 3). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Bài 12: Cho ba điểm A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3).
a. Tìm tọa độ điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
b. Tìm tọa độ điểm A’’, B’’, C’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm A, B, C trên các mặt
phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Bài 13: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.
b. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 23
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Bài 14. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC;
b. Chứng minh A, B, D không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABD.
BÀI TẬP TỔNG HỢP   
1. Cho 3 vectơ a  2;3; 
1 ,b  5;7;0,c  3; 2  ;4 .    
a. Tìm tọa độ của vectơ : d  2a  3b c .     
b. Tìm tọa độ vectơ x thỏa mãn 2x  5a b c .  
c. Tìm y, z để m   3;
y; z cùng phương a .   
d. Chứng minh rằng: a,b,c không đồng phẳng.    
e. Biểu diễn vectơ d theo 3 vectơ a, , b c .
2. Tìm m để:
a. Ba điểm A0;3;2, B1;2;3,C 2; ; m 4 thẳng hàng.   b. a  2;3; 4
  cùng phương b   ; m 6  ;8 .   c. a  1; ; m 2
  vuông góc với b   ;3 m ; 4   .   
3. Tìm vectơ b cùng phương với a  2 2; 1
 ;4 biết b 10.    
4. Tìm vectơ b cùng phương với a  8; 1
 0;13 biết b  37 và b tạo với Oz một góc nhọn.
5. Tìm điểm M biết:
a. M thuộc trục Ox và cách đều hai điểm A, B với A2; 4;  5, B 3  ;2;7.
b. M là giao điểm của đường thẳng AB và mp( Oxy).
c. M thuộc trục Oz và cách đều hai điểm C 2;4;  1 , D  3  ;2;5 .
d. M thuộc mp(Oxy) và cách đều ba điểm A1; 1
 ;5, B3;4;4,C 4;6;  1 .
6. Cho 4 điểm A 2;  3
 ;8, B2;1;7,C 1;4;5, D 7  ; 4;
 7 . Chứng minh rằng: ABCD là hình thang.
7. Cho 3 điểm A2;0;6, B5;3;3,C  3;  6
 ;8 . Tìm tọa độ điểm D thuộc mp(Oxz) để ABCD là hình
thang có 2 đáy là AB và CD.
8. Cho tam giác ABC có A 4;  1  ;2, B3;5; 1
 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết rằng trung điểm của các
cạnh AC, BC lần lượt là M, N và M thuộc trục Oy, N thuộc mp(Oxz).   
9. Trong không gian cho vectơ IA  8;4;  1 , IB  2; 2  ; 
1 . Tìm tọa độ vectơ IC thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:       
a. IC IA b. IC IB c. ,
IA IB, IC đồng phẳng.   
10. Trong không gian cho 2 vectơ OA   3
 ;0;4,OB  5; 2;
 24 . Tìm vectơ OE thỏa mãn 3 điều kiện sau đây: 
    a. OE  2 b. ,
OA OB,OE đồng phẳng c. OE nằm trên mp(Oyz).
11. Cho 3 điểm A3;2; 3
 , B5;1;  1 ,C 1; 2  ;  1 .
a. Tính góc trong A của tam giác ABC.   
b. Tìm vectơ a cùng phương với AB và có a AC .   
12. Tìm vectơ x vuông góc với hai vectơ a  3;2;2,b  18; 2
 2;5; tạo với Oy một góc tù và có  x  14 .    
13. Tìm vectơ x cùng phương với a  2;1;  1 biết . x a  3 .          
14. Cho 3 vectơ a  3; 2
 ;4,b  5;1;6,c   3
 ;0;2 . Tìm x sao cho . a x  4; . b x  3,5; . c x  0 .        
15. Cho a   1  ;1;  1 ,b  2;0; 
1 . Tìm x đồng phẳng với a,b ; vuông góc với b và . x a  7 . 24
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
16. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A 1  ;3; 4
 ,B5;0;5,C 1;2;  1 , D1; 1  ;2.
a. Chứng tỏ 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 3 điểm A, B, D không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ G là trọng tâm tam giác ABD.
c. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A5;7; 2  ,B3;1;  1 ,C 9;4; 4
 , D1;5;0 .
d. Chứng tỏ A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng.
e. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AC và BD.
17. Trong không gian cho tứ diện ABCD. Biêt A1; 2;   1 , B 2;4;  1 ,C  1  ;4;2, D 1  ;0;  1 .
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD).
b. Tính độ dài đường cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD.
18. Trong không gian cho tam giác ABC. Biết A1;0;2, B 2;  1;  1 ,C 1; 3  ; 2
  . D và E là hai điểm trên    
AB, BC sao cho DA  2DB; EB  2EC .
a. Tìm tọa độ của điểm D và E. b. Tính ˆ cos DAE .
19. Cho bốn điểm A1;0;  1 , B 1  ;1;2,C  1  ;1;0, D2; 1  ; 2  .
a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D. c. Tính góc ˆ CBD .
d. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD và từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.
e. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
20. Cho bốn điểm A 3;0;4,B3;6;2,C 0;4;  1 ,D 0;2;  1 .
a. Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng.
b. Tính thể tích hình chóp O.ABCD và độ dài đường cao OH vẽ từ O của hình chóp O.ABCD.
c. Tìm tọa độ điểm M sao cho MC vuông góc với mp( BCD ) và MC  211 .
21. Cho ba điểm A1;1; 
1 ,B 5;1;2,C 7;9;  1 .
a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác ABC xuất phát từ A.
c. Tìm điểm M trên trục Ox cách đều A và B.
d. Tìm điểm N trên mp( Oxz ) cách đều A, B, C.
BÀI TẬP MẶT CẦU
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) sau:
a.  12   y 22   z 32 x4 ; b.
   2    2 2 x y 3
z 3 36 ; c. 2 2 2
x y z 3 .
Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) sau: a. 2  2  2 x y
z  2x  4y  6z  2  0 ; b. 2  2  2 x y
z  4x  2y  4z  2  0 ; c. 2  2  2 x y
z  x  y  z  0 ; d. 2 2 2
3x  3y  3z  6x  8y 15z  3  0 .
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3.
b. Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A và
bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Bài 4:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1).
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9);
c. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ. Bài 5:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1);
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1);
c. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2). 25
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 Bài 6:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng P : 2x  2y z 1  0 ;
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng P : 2x  2y z  3  0 . Bài 7:
a. Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;1), O(0;0;0).
b. Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(- 2;1;-1). Bài 8 :
a. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0.
c. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy).
d. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.
e. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A, B, C thỏa:          
OA  3i  2 j ; OB i
  2 j k ; OC j k . Xét các mệnh đề: 
(I) AB  4;0;  1  (II) AC   3;  1  ;  1
Khẳng định nào sau đây đúng? A. (I) đúng, (II) sai B. (I) sai, (II) đúng
C. Cả (I) và (II) đều đúng
D. Cả (I) và (II) đều sai    
Câu 2: Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j,k , cho vectơ a  2;7;  1 . Khi đó tọa độ   
vectơ b k a là: A. 1;7;  1 B. 2;6;  1 C.  2;  7  ;2 D.  2;  7  ;  1
Câu 3: Cho tam giác ABC với A 3;  2; 7   , B2;2; 3  , C  3;  6; 2
  . Điểm nào sau đây là trọng tâm của tam giác ABC.  4 10   4 10  A. G  ; ; 4   
B. G 4;10;12 C. G ; ;4   D. G 4; 1  0;12  3 3   3 3         
Câu 4: Cho a  1;2;3 , b  2;2; 
1 , c  4;0;4 . Tìm tọa độ vectơ x sao cho x a b  2c .    
A. x  7;0;4
B. x  7;0;4 C. x  7;4;0 D. x  7;0;4      
Câu 5: Cho a  5;7;2 , b  3;0;4, c  6;1; 
1 . Tìm tọa độ vectơ 3a  2b c . A. 3;22; 3   B.  3;  22; 3   C. 3;22;3 D. 3; 2  2; 3     
Câu 6: Cho vectơ a  1; 3
 ;4 . Tìm y, z để b  2; y; z cùng phương với a .
A. y  6; z  8
B. y  6; z  8
C. y  6; z  8
D. y  6; z  8 
Câu 7: Cho A1; 1  ;3 , B 2;
 3;5. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ AB ?            
A. 6i  8 j  4k
B. 6i  8 j  4k
C. 6i  8 j  4k
D. 6i  8 j  4k
Câu 8: Cho ba điểm A2; 1  ;5 , B5; 5;  7 và M  ; x y; 
1 . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng?
A. x  4; y  7
B. x  4; y  7
C. x  4; y  7
D. x  4; y  7 26
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 9: Cho A1;1;  1 , B  4;  3;  1 , C  9;  5; 
1 . Khẳng định nào sau đây đúng?         A. CA CB B. CA  2CB C. CA  3CB D. CA  4CB
Câu 10: Cho A3; 4  ;7 , B 5;
 3;2 , C 1;2; 3
 . Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D9;5;6 B. D9;5; 6   C. D 9;  5;6 D. D9; 5  ;6
Câu 11: Cho M  1;
 3;2 , N 3;4;0 , P0; 1
 ;3 . Tìm điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành. A. Q 4;  2;  5   B. Q 4;  2;5 C. Q 4;  2;  5 D. Q4;2;5
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD biết A3;1;2 , B0; 1  ;  1 , C  1
 ;1;0 . Khi đó độ dài đường chéo BD bằng: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Câu 13: Cho tứ diện ABCD với A3;0;  1 , B  1  ;4; 
1 , C 6;7;3 , D1; 5
 ;5 . Gọi G là trọng tâm tam
giác BCD. Khi đó độ dài AG bằng: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4       
Câu 14: Cho hai vectơ a  2;1;4 và b a  2 j với j  0;1;0 . Tích vô hướng của hai vectơ a và b là: A. 15 B. 19 C. 21 D. 17  
Câu 15: Cho A 1  ; 2
 ;3 , B0;3; 
1 , C 4;2;2. Khi đó tích vô hướng của hai vectơ AB và AC . A. 25 B. 27 C. 29 D. 31    
Câu 16: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và b biết a  8;4; 
1 và b  2;2;  1 . 1 1 A. B. 2 C. 3 D. 2 3 2 3      
Câu 17: Cho a  1;2; 
1 và b  2;1;0 . Tính cosin của góc giữa các vectơ a b và a b . 1 2 A. B. 2 C. 1 D. 11 11 7 7
Câu 18: Cho tam giác ABC với A 4;  2  ;0 , B 1  ; 2  ;4, C 3; 2  ;  1 . Xác định góc BAC. A. 135 B. 90 C. 60 D. 45
Câu 19: Cho tứ diện ABCD với A1;0;0, B0;1;0, C 0;0;  1 , D  2;  1; 
1 . Tìm góc hợp bởi cặp cạnh đối AB và CD. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 20: Tìm trên trục tung những điểm cách đều hai điểm A1; 3
 ;7 và B5;7; 5   . A. M 0;2;0 B. M 0; 2;  0
C. M 0;2;0 , N 0; 2;
 0 D. M 0;1;0 , N 0;2;0    
Câu 21: Xác định vectơ a cùng phương với vectơ b  2;1;  1 và . a b  12 .    
A. a  4;2;2
B. a  6;3;3
C. a  2;1;  1
D. a  4;2;2     
Câu 22: Cho ba vectơ a  2;3;  1 , b  1; 2
 ;3 , c  2; 1  ; 
1 . Hãy xác định vectơ x biết x vuông góc    
với a , b và . x c  6 .    
A. x  3;0;0
B. x  0;3;3 C. x  0;6;0 D. x   3;  3;3   
Câu 23: Cho các vectơ a  3;1;5 , b  1;2; 3
 . Hãy xác định vectơ c vuông góc với trục Ox và thỏa    
điều kiện c.a  9 , c.b  4 .     A. c  0;2;  1 B. c  0;1;2 C. c  0;1; 2  
D. c  0;1;2
Câu 24: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình: 2 2 2
x y z  4x  2 y  6z 13  0 A. I 2; 1  ; 3
  , R  1 B. I 2;1;3, R  14 C. I 2; 1  ; 3
  , R  14 D. I 2;1;3, R  1 27
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 25: Phương trình mặt cầu tâm I  1
 ;2;3 và đi qua điểm A 2;  1;  1 là:
A. x  2   y  2   z  2 1 2 3  6
B. x  2   y  2   z  2 1 2 3  36
C. x  2   y  2   z  2 1 2 3  36
D. x  2   y  2   z  2 1 2 3  6
Câu 26: Phương trình mặt cầu đường kính AB với A4; 3
 ;7 , B2;1;3 là:
A.  x  2   y  2   z  2 3 1 5  9
B. x  2   y  2   z  2 3 1 5  9
C.  x  2   y  2   z  2 3 1 5  35
D.  x  2   y  2   z  2 3 1 5  35
Câu 27: Phương trình mặt cầu đường kính AB với A9;1;3 , B1;5;5 là: A. 2 2 2
x y z 10x  6 y  8z  29  0 B. 2 2 2
x y z 10x  6 y  8z  29  0 C. 2 2 2
x y z 10x  6 y  8z  29  0 D. 2 2 2
x y z 10x  6 y  8z  29  0
Câu 28: Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A3;0;0 , B0;4;0 , C 0;0; 2
  và O0;0;0 là: A. 2 2 2
x y z  6x  8y  4z  0 B. 2 2 2
x y z  3x  4 y  2z  0 C. 2 2 2
x y z  6x  8y  4z  0 D. 2 2 2
x y z  3x  4 y  2z  0
Câu 29: Cho tam giác ABC với A0;1;  1 , B  1  ;0;2 , C  1
 ;1;0 . Khi đó diện tích tam giác ABC bằng: 6 6 3 A. (đvdt) B. 6 (đvdt) C. (đvdt) D. (đvdt) 2 4 2
Câu 30: Cho tam giác ABC với A7;3;4 , B1;0;6, C 4;5; 2
 . Khi đó diện tích tam giác ABC bằng: 49 A. 49 (đvdt) B. (đvdt) C. 47 (đvdt) D. 47 (đvdt) 2 2
Câu 31: Cho tam giác ABC với A1;0;0, B0;2;0 , C 2;1;3. Khi đó diện tích tam giác ABC bằng: 3 6 3 6 A. 3 6 (đvdt) B. 6 6 (đvdt) C. (đvdt) D. (đvdt) 2 4
Câu 32: Cho tứ diện ABCD với A2;3;  1 , B 4;1; 2
 , C 6;3;7 , D1; 2
 ;2 . Thể tích của tứ diện ABCD là: A. 140 (đvdt) B. 70 (đvdt) C. 70 (đvdt) D. 70 (đvdt) 3 6
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua B và vuông góc với AC.
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua C và vuông góc với AB.
Bài 2: Cho hai điểm A(1;2;1), B(0;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại A.
Bài 3. a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và song song với giá của mỗi vectơ  
a = (2; 1; 2) và b = (3; 2; –1). 
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;0) và chứa giá của hai vectơ a = (-1;2;0) và b= (0;-2;3). Bài 4.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) có pt:
3x  4y z 1  0 .
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1;-2;-3) và song song với mặt phẳng (Q) có pt:
3x  3y 1  0 .
c. Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;1;1) và song song mp(Oxy). Bài 5:
a. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. 28
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
b. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1). Viết pt mp(ABC).
c. Cho hai điểm A(1;0;1), B(0;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
d. Cho hai điểm M(1;0;0), N(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (OMN). Bài 6:
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0.
Bài 7: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và song song với đường thẳng BD.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD. Bài 8:
a. Cho bốn điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5), D(1; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AC và BD.
b. Cho bốn điểm A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(2;-2; 3). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AC và BD. Bài 9:
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz. Bài 10:
a. Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
b. Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
c. Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 11:
a. Viết pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng 2x y  3z 1  0, x  2y z  0 .
b. (P) đi qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mp (β): 2x – y + 3z – 1 = 0.
c. (P) đi qua M(1; 0; –2) và vuông góc với hai mp (α): 2x + y – z – 2 = 0, (β): x – y – z – 3 = 0.
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết
a. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1).
b. (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4).
Bài 13: Cho mặt cầu (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5 và hai điểm A(0;2;3), B(0;2;-1).
a. Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
b. Viết phương trình mp(Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.
Bài 14: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết
a. (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0.
b. (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0.
Bài 15: Cho mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 và mp (P): 2x – y + 2z – 9 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng tiếp diện (Q) của mặt cầu (S) biết mp(Q) song song với mp(P).
Bài 16: Cho mặt cầu(S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z = 0 và mp(P): 2x – y – 2z + 1 = 0.
Viết phương trình mp(Q), biết mp(Q) song song với mp(P) và tiếp xúc với (S).
Bài 17. Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng sau:
a. (P): 2x + 3y – 2z + 5 = 0 và (Q): 3x + 4y – 8z – 5 = 0.
b. (P): x – y – 2z + 1 = 0 và (Q): 4x – 4y – 8z + 9 = 0.
Bài 18. Định m, n để hai mặt phẳng sau song song
a. (P): x + my – 2z + 2 = 0 và (Q): 2x + 4y + 4nz – 3 = 0.
b. (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 và (Q): 4mx – 3y – 3nz – 2 = 0. 29
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Bài 19. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau
a. (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0.
b. (P): x + my – z + 2 = 0 và (Q): mx + 2y – mz – 12 = 0.
Bài 20. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0. Chứng minh (P) và (Q) song song.
Bài 21. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0. Chứng minh (P) song song (Q).
Bài 22. Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a. 2x-2y-z-10=0 b. -2x-2y+10=0 c. x-2y-2z=0
d. 3x-2y-z+2=0 e. x-y-1=0 f. 2x-3z=0.
Bài 23. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0.
Bài 24. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0, với A(1;0;2),B(-1;2;4).
Bài 25. Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3; -9; 27) và mặt phẳng (P): 2x - 2y - z = 0.
Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 26. Cho mặt cầu ( S ) có phương trình: 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z  0.
a. Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu;
b. Tùy theo giá trị của m, hãy xét vị trí tương đối của mặt cầu ( S ) và mp ( P ) với ( P ):
x y z m  0 .
Bài 27. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C) được tạo bởi mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau, biết: a. (S): 2 2 2
x  y  z  6x  4y  2z 11  0 và (P): 2x  2y  z 1  0 .
b. (S):   2    2    2 x 1 y 5
z 4  324 và (P): 4x  3z 17  0 .
Bài 28. ( Đề Tham Khảo Năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;1;2) . Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x Ox  , y Oy, z O
z lần lượt tại các điểm , A B,C sao cho
OA OB OC  0 ?
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) nếu 
a. (P) đi qua điểm M(3; 1; 1) và có một vectơ pháp tuyến n = (1; –1; 2)
b. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 1), B(2; –1; 3)  
c. (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và song song với mỗi giá của hai vectơ a = (2; 1; 2), b =(3; 2; –1)
d. (P) đi qua M(–1; 1; 0) và song song với mặt phẳng (β): x – 2y + z – 10 = 0
e. (P) đi qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + 3z – 1 = 0.
f. (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3).
g. (P) đi qua điểm A(2; –4; 0) và vuông góc với đoạn thẳng BC, có B(5; 1; 7) và C(3; 1; 5).
h. (P) đi qua M(1; 0; –2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α): 2x + y – z – 2 = 0,
(β): x – y – z – 3 = 0.
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng sau:
a. (P): 2x + 3y – 2z + 5 = 0 và (Q): 3x + 4y – 8z – 5 = 0.
b. (P): x – y – 2z + 1 = 0 và (Q): 4x – 4y – 8z + 9 = 0.
Bài 3. Định m, n để hai mặt phẳng sau song song
a. (P): x + my – 2z + 2 = 0 và (Q): 2x + 4y + 4nz – 3 = 0.
b. (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 và (Q): 4mx – 3y – 3nz – 2 = 0.
Bài 4. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau
a. (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0
b. (P): x + my – z + 2 = 0 và (Q): mx + 2y – mz – 12 = 0.
Bài 5. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).
Bài 6. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0.
a. Chứng minh (P) và (Q) song song. 30
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 7. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0.
Chứng minh (P) song song (Q)
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm
A(2; –1; 4) một đoạn bằng 4.
Bài 9. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (Q): y – z = 0.
Bài 10. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) biết
a. I(1; 5; 2) và (P): 2x + y + 3z + 1 = 0
b. I(1; 1; 2) và (P): x + 2y + 2z + 5 = 0
Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết
a. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1).
b. (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4).
Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết
a. (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0
b. (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0
Bài 13. Tính bán kính đường tròn (C) được tạo bởi mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau, biết: a. (S): 2 2 2
x  y  z  6x  4y  2z 11  0 và (P): 2x  2y  z 1  0 .
b. (S):   2    2    2 x 1 y 5
z 4  324 và (P): 4x  3z 17  0 .
Bài 14. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)
a. Viết phương trình các mặt của tứ diện ABCD.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song CD.
c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
d. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của cạnh AB.
e. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
f. Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài tập trắc nghiệm.  
Câu 1: Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a  3;2;  1 và b   3;  0;  1 . Vectơ nào sau đây là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?     A. n  2;6;6
B. n  2;6;6 C. n  1; 3  ;2 D. n  1;3; 2  
Câu 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A4; 1
 ;0 , B3;1; 
1 và song song với trục Ox. Vectơ nào
sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?     A. n  0;1;2 B. n  0;2;  1
C. n  0;1;2 D. n  0;2;  1
Câu 3: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A5; 3  ;4 , B2; 4  ;  1 , C  4;  1; 6
 . Vectơ nào sau đây là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?     A. n   22  ; 3  ;2  1 B. n   22  ; 3  ;2  1
C. n  22;3;2  1
D. n  22;3;2  1
Câu 4: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A1;0;0, B0; 2;
 0, C 0;0;3 là:
A. 6x  3y  2z  6  0
B. 6x  3y  2z  6  0
C. 6x  3y  2z  6  0
D. 6x  3y  2z  6  0 
Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A1;1; 
1 và có cặp vectơ chỉ phương a  2;1;2 ,
b 1;0;3. Đáp số nào sau đây đúng?
A. x y z  3  0
B. 3x  4y z  8  0
C. x  4y z  2  0
D. 3x  4y z  2  0
Câu 6: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A3;4;  1 , B  1  ; 2
 ;5 , C 1;7;  1 là:
A. 3x  2y  6z  7  0
B. 3x  2y  6z  23  0
C. 3x  2y  6z  23  0 D. 3x  2y  6z  5  0 31
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 7: Cho A0;1;3 , B2;0; 
1 , C 1;1;0 . Tìm mối liên hệ giữa x, y, z để M  ;
x y; z thuộc mặt phẳng (ABC).
A. 3x  2y z  5  0
B. 3x  2y z  5  0
C. 3x  2 y z  5  0
D. 3x  2 y z  5  0
Câu 8: Cho 2 điểm A1;3; 4   , B 1;
 2;2 và gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Vectơ nào
sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?    
A. n  6;3;18
B. n  2;1; 6   C. n  2;1;3
D. n  2;1;3
Câu 9: Cho A1;3; 4   , B 1;
 2;2 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A. 4x  2y 12z 17  0 B. 4x  2y 12z 17  0
C. 4x  2y 12z 17  0 D. 4x  2y 12z 17  0
Câu 10: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A2; 1
 ;4 , B3;2; 
1 và vuông góc với mặt phẳng
(Q): x y  2z  3  0 là:
A. 11x  7 y  2z  21  0 B. 11x  7 y  2z  21  0
C. 11x  7 y  2z  21  0 D. 11x  7 y  2z  21  0
Câu 11: Gọi (P) là mặt phẳng cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A8;0;0 , B0; 2;
 0, C 0;0;4 . Phương trình của (P) là: A. x y z    x y z 0
B. x  4y  2z  0 C.    1
D. x  4y  2z  8  0 8 2 4 4 1 2
Câu 12: Mặt phẳng (P) đi qua M 1;3; 2
  và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. x 1  0 B. y  3  0 C. z  2  0
D. x  2z  5  0
Câu 13: Mặt phẳng (P) đi qua A3;5; 7
  và vuông góc với trục Oz có phương trình là: A. x  3  0 B. y  5  0 C. z  7  0
D. 3x  5z  34  0
Câu 14: Cho A0;2; 3   , B1; 4  ; 
1 . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M 1;3; 2   và vuông góc với AB là:
A. x  6y  4z  25  0
B. x y z  2  0
C. 3x y z  4  0
D. x  6y 17  0
Câu 15: Xác định giá trị của m, n để hai mặt phẳng sau đây song song: 2x ny  2z  3  0 và
mx  2 y  4z  7  0 .
A. m  4;n  1
B. m  4;n  1
C. m  4;n  1
D. m  4;n  1
Câu 16: Xác định giá trị của m để hai mặt phẳng sau đây vuông góc: 2x my  2mz  9  0 và
6x y z 10  0 .
A. m  4 B. m  2 C. m  2 D. m  4
Câu 17: Viết phương trình mặt phẳng đi qua OA và vuông góc với mặt phẳng (P) biết A0;2;0 và
(P): 2x  3y  4z  2  0 .
A. 2x y  0
B. 2x y  0
C. 2x z  0
D. 2x z  0
Câu 18: Mặt phẳng đi qua hai điểm A3;1;  1 , B 2; 1
 ;4 và vuông góc với mặt phẳng:
2x y  3z  4  0 có phương trình là:
A. 2x  3y  4z  2  0
B. x 13y  5z  21  0
C. x 13y  5z  21  0
D. x 13y  5z  5  0
Câu 19: Cho hai mặt phẳng  : x  2y  3z 13  0 ;  : 2x y  z  3  0 và điểm A1; 1  ;2. Mặt
phẳng chứa giao tuyến của  ,  và đi qua A có phương trình là:
A. 3x y  4z 10  0
B. x y  3z  6  0
C. 2x y z  5  0
D. 3x y  4z  4  0 32
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 20: Cho hai mặt phẳng  : x y z  3  0 ;  : x y  z  5  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng  và  là: A. 3 B. 5 C. 8 D. 83
Câu 21: Cho mặt phẳng  : 2x y  3  0 . Khoảng cách từ trục Oz đến mặt phẳng  là A. 3 B. 3 5 C. 3 D. 3 5 2
Câu 22: Cho mặt phẳng  : x  2y  2z  6  0 và các điểm A1;1;0, B2;0;  1 , C 5;0;  1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ d  ,
A   d B, B. Chỉ d  ,
A   d C,
C. Chỉ d B,  d C, D. d  ,
A   d B,  d C,
Câu 23: Tìm góc giữa hai mặt phẳng  : x y  2  0 và  : 2x y  2z 1  0 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 24: Cho mặt phẳng (P). Biết hình chiếu của gốc tọa độ O trên (P) là điểm M 2; 1  ;  1 . Viết
phương trình mặt phẳng (P):
A. x y z  2  0
B. 2x y z  6  0
C. 2x y z  4  0
D. 3x y z  6  0
Câu 25: Phương trình mặt cầu tâm I 2;1;0 và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x y  5z  25  0 là:
A.  x  2   y  2 2 2 1  z  25
B. x  2   y  2 2 2 1  z  30
C. x  2   y  2 2 2 2 1  z  25
D. x  2   y  2 2 2 2 1  z  30
Câu 26: Cho mặt cầu (S):  x  2   y  2   z  2 1 1
1  9 và mặt phẳng  : x  2 y  3z  6  0 . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.  và (S) không có điểm chung.
B.  tiếp xúc với (S).
C.  cắt (S) theo một đường tròn và không đi qua tâm của (S).
D.  đi qua tâm của (S).
Câu 27: Cho mặt cầu (S): 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z  5  0 và mặt phẳng  : x y z  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.  và (S) không có điểm chung.
B.  tiếp xúc với (S).
C.  cắt (S) theo một đường tròn và không đi qua tâm của (S).
D.  đi qua tâm của (S).
Câu 28: Cho mặt cầu (S): x  2   y  2   z  2 1 2
3  25 và mặt phẳng  : 2x y  2z m  0 . Tìm m
để  và (S) không có điểm chung.
A. m  9 hoặc m  21 B. m  9 hoặc m  21 C. 9  m  21 D. 9  m  21
Câu 29: Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  : x y z  2  0 với các trục Ox, Oy,
Oz. Diện tích của tam giác MNP là: A. 3 (đvdt)
B. 3 (đvdt) C. 3 (đvdt) D. 2 3 (đvdt) 4 2
Câu 30: Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  : x  3y  2z  6  0 với các trục Ox, Oy,
Oz. Thể tích của tứ diện OABC là: A. 6 (đvtt)
B. 36 (đvtt) C. 18 (đvtt) D. 12 (đvtt) 33
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1.
a. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua M(1; 2; –3) và có vectơ chỉ  phương a = (1; –3; 2).
b. Viết phương trình các trục tọa độ.
Bài 2. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1).
Bài 3. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1).
Bài 4. Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x  1 t  y  2  3t . z  3 4t 
Bài 7. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng x 12 y  23 z d’:   . 1 3  4
Bài 8. Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và
song song với đường thẳng BC. Bài 9.
a. Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.
b. Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.
c. Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.
Bài 10. Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x - 2y - z - 1= 0.
Bài 11. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC). Bài 12.
a. Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).
b. Vết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz).
c. Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz). x  1   t 
Bài 13. Tìm giao điểm của đường thẳng d: y  1
  t và mp(P):x+y-2z-4=0. z  2  t x1 y1 z
Bài 14. Tìm giao điểm của đường thẳng d:   và mp(P):x+y-2z-4=0. 1 1 2 
Bài 15. Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). Bài 16.
a. Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
b. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1;-1;2 ) trên mặt phẳng
(P): 2x y  2z 12  0 .
c. Tìm tọa độ điểm M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(1;-1;2 ) trên các mặt phẳng tọa độ. 34
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018   
Bài 17. Cho đường thẳng d: x 3 y 4 z 1  
và mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 6 = 0. 2 3 1
a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
b. Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).   
Bài 18. Viết phương trình d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ: x 2 y 2 z 1   lên mp 3 4 1 (P): x + 2y + 3z + 4 = 0. Bài 19.
a. Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A qua (P).
b. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của điểm A(1;-1;2 ) qua mặt phẳng
(P): 2x y  2z 12  0 .
c. Tìm tọa độ điểm M’, N’, P’ lần lượt là điểm đối xứng của điểm A(1;-1;2 ) qua các mặt phẳng tọa độ. x  1 2t 
Bài 20. Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: y  1
  t . Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc z  t  của A lên d. x  3 y 1 z  6
Bài 21. Cho đường thẳng d :  
và A(2;1;-1 ). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu 3  1 1
vuông góc của A trên đường thẳng d.
Bài 22. Tìm tọa độ điểm M, N, P lầ lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1 ) trên các trục tọa độ. x  1 2t 
Bài 23. Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: y  1
  t . Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A qua d. z  t  x  3 y 1 z  6
Bài 24. Cho đường thẳng d :  
và A(2;1;-1 ). Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối 3  1 1 xứng của A qua d.
Bài 25. Tìm tọa độ điểm M’, N’, P’ lần lượt là điểm đối xứng của điểm A(2;1;-1 ) qua các trục tọa độ.
Bài 26. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
x  3  2t
x  2  t ' x  1 t
x  2  2t '    
a. d : y  6  4t và d ': y  1 t ' ; b. d : y  2t và d ': y  3  4t ' ; z  4  t     z  5  2t '  z  3  tz  5  2t '  x  3  t
x  2  3t ' x  1 2t
x  1 3t '    
c. d : y  4  t và d ': y  5  3t '; d. d : y  1
  3t và d ': y  2   2t ' . z  5 2t     z  3  6t '  z  5  tz  1   2t ' 
Bài 27. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: x 1 t
x 12  4t  
a. d: y  3 t và mp(P): 2x+y+2z=0. b . d: y  9  3t và mp(P): 3x+5y-z-2=0. z  2t   z  1 t  x  2   t
c. d: y 1 2t và mp(P): x+2y-2z-9=0. z  2  t 35
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Bài 28. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:      a. d: x 3 y 1 z 3  
và mp(P): x+2y-z+5=0. b. d: x 2 y z 3   và mp(P): 2x+y-z-5=0. 2 1 1 1 2  2    c. d: x 2 y 1 z 1   và mp(P): 2x+y+z-8=0. 2 3 5
Bài 29. Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 30. Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 31. Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 32. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. x 1 t
x  2  2t '  
Bài 33. Chứng minh hai đường thẳng d: y  2  3t và d’: y  2
  2t ' vuông góc với nhau. z  3t   z  1 4t '  x  5  t
x  9  2t '  
Bài 34. Chứng minh hai đường thẳng d: y  3
  2t và d’: y 13 3t ' vuông góc với nhau. z  4t   z  1 t ' 
Bài 35. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’: x 1 2t
x  2  t ' x  1   t '       a. d: x y z
y  2  t và d’: y 1 2t ' b. d: 1 2 4  
và d’: y t  ' .  2  1 3 z  1 3t    z  1 t '  z  2   3t '  x  0 x  2   2t '
x 1 2t '       c. d: x y z
y 1 và d’: y 1 d. d: 2 1 1  
và d’: y  2  t ' .  1 2 1 z  1 t    z  0  z  1   3t '  Bài 36.x  3  tx t  '  
a. Chứng minh hai đường thẳng d: y 1t và d’: y  2  3t ' chéo nhau. z  2 2t   z  2t ' 
b. Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau: x  2  tx 1 tx 1 t '      1. d: x y zy  5   3t và d’: 1 2  
2. d: y  2  2t và d’: y  3 2t ' .  2 2 1 z  4    z  3tz  1 
Bài 37. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0.
a. Chứng minh (P) và (Q) song song.
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 38. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0.
a. Chứng minh (P) và (Q) song song.
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).  
Bài 39. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 
 . Tính khoảng cách từ A đến (d). 1 2 1
x  5  3t ' 
Bài 40. Cho điểm A2;3; 
1 và hai đường thẳng: d ': y  2  t ' .Tính khoảng cách từ A đến d’. z t '     
Bài 41. Cho hai đường thẳng d1: x 2 y 1 z   và d2: x y 1 z 1   . 3 2 2 1 2 4
a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2. 36
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 x  2  t '   
Bài 42. Cho hai đường thẳng d: x 1 y 2 z
 và d’: y  5   3t '. 2 1 1 z  4t ' 
a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’.
Bài 43. Tính góc giữa hai đường thẳng sau: x 1 2t
x  2  t ' x  1   t '       a. d: x y z
y  2  t và d’: y 1 2t ' ; b. d: 1 2 4  
và d’: y t  ' ;  2  1 3 z  1 3t    z  1 t '  z  2   3t '  x  0 x  2   2t '
x 1 2t '       c. d: x y z
y 1 và d’: y 1 ; d. d: 2 1 1  
và d’: y  2  t ' .  1 2 1 z  1 t    z  0 
z  1 3t ' 
Bài 44. Tính góc giữa hai mặt phẳng sau:
a. (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 b. (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0.
c. (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0.   
Bài 45. Cho đường thẳng d: x 1 y 1 x 3  
và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0. Tính góc tạo 1 2 3
bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng d biết 
a. (d) đi qua M(1; 2; –3) và có vectơ chỉ phương a = (1; –3; 2).
b. (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
c. (d) đi qua điểm A(3; 2; –4) và song song với Ox.   
d. (d) đi qua điểm A(4; –2; 2) và song song với đường thẳng Δ: x 2 y 5 z 2   . 4 2 3
e. (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4 = 0.
f. (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0.
g. (d) đi qua điểm A(1; 0; 5) và vuông góc với hai đường thẳng (d1) và (d2) biết x 1 y  3 z 1 x 1 y  2 z  3 (d1):   và (d2):   . 2 2  1 1  1 3  x y 1 z
h. (d) đi qua điểm A(1; 2; –2), vuông góc và cắt đường thẳng Δ:   1 1 2
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng d biết : x  2  t x 1 y z 
a. (d) nằm trong mặt phẳng (P): x + 2z = 0; cắt đường thẳng d1:
  và d2: y  4  2t 1  1 4 z 1  x y 1 z 1 x 1 y z 1 b. (d) song song với Δ:   , cắt đường thẳng d1:  
và cắt đường thẳng d2: 2 1  2 1 2 1  x  2 y 1 z 1   3 2 1       
c. (d) là đường thẳng vuông góc chung của d1: x 2 y 1 z 3   và d2: x 1 y 3 z 1   2 1 1  1 1 2   
d. (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ: x 2 y 2 z 1   lên mp(P): 3 4 1 x + 2y + 3z + 4 = 0. 37
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 x  1  x 1 y  2 z 
e. (d) đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d1:   và cắt d2: y  t 3 1 1 z 1 t 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
a. Viết phương trình đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD).
b. Viết phương trình đường thẳng qua A và qua trọng tâm tam giác BCD.
Bài 4. Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2; 5); phương trình của hai đường trung tuyến lần lượt là       d1: x 3 y 6 z 3   và d2: x 4 y 2 z 2   . 2  2 1 1 4  1
a. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC.
b. Viết phương trình đường phân giác trong của góc BAC.
Bài 5. Cho tam giác ABC có A(3; –1; –1), B(1; 2; –7), C(–5; 14; –3).
a. Viết phương trình đường trung tuyến AM.
b. Viết phương trình đường cao BH.
c. Viết phương trình đường phân giác trong của góc ABC.
d. Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC.
Bài 6. Cho bốn điểm S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5).
a. Chứng minh S.ABC là một tứ diện đều.
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của SA, SB lên mặt phẳng (ABC).
Bài 7. Cho 4 điểm S(1; 2; –1), A(3; 4; –1), B(1; 4; 1), C(3; 2; 1).
a. Chứng minh SABC là một tứ diện.
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của SA, BC.
c. Viết phương trình đường cao hạ từ S của tứ diện SABC.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng với điểm, mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1. Cho điểm A(1; 0; 1) và đường thẳng d: x y z   2 1 1
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d.   
Bài 2. Cho đường thẳng d: x 3 y 4 z 1  
và mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 6 = 0. 2 3 1
a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
b. Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).   
Bài 3. Cho đường thẳng d: x 2 y 1 z 1  
và điểm I(4; 2; –1). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I 2 1 2 và tiếp xúc với (d).
Bài 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (S)
biết (d) đi qua A(0; 0; 5) thuộc (S) và (d) song song với mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 3 = 0.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). Viết phương trình mặt cầu
(S) tiếp xúc với các cạnh của tứ diện ABCD.
Khoảng cách và góc.  
Bài 1. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 
 . Tính khoảng cách từ A đến (d). 1 2 1    
Bài 2. Cho hai đường thẳng d1: x 2 y 1 z   và d2: x y 1 z 1   3 2  2 1 2 4
a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 3. Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 3 = 0 và (Q): 4x – 3y + 4z + 2 = 0.
a. Chứng minh rằng (d) song song với mặt phẳng (α): 2x – y – 2z – 2 = 0.
b. Tính khoảng cách giữa (d) và (P). 38
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018      
Bài 4. Tính góc giữa hai đường thẳng d1: x 1 y 2 z 4   và d2: x 2 y 3 z 4   2 1  2 3 6 2    
Bài 5. Cho đường thẳng d: x 1 y 1 x 3  
và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0. Tính góc tạo bởi 1 2  3
đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).
a. Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).
b. Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.
c. Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 7. Cho tứ diện SABC có đỉnh S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).
a. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC).
b. Tính góc tạo bởi SC và AB.
c. Tính khoảng cách từ C đến (SAB).
d. Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB và khoảng cách giữa SA, BC.
Quan hệ nhiều yếu tố, hình chiếu và đối xứng.   
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A(1; 4; –3) và đường thẳng d: x 2 y 1 z 1   . 1  2 3    
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng song song d1: x 1 y 3 z 2   và d2: 2 3 4 x  2 y 1 z  4   . 2 3 4    
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1: x y 1 z 3   và d2: x 1 y z 4   3 2  1 1 1  1    
Bài 4. Cho đường thẳng d1: x 2 y 1 z 
 và đường thẳng d2: x y 1 z 1   . Viết phương trình 3 2  2 1 2 4
mặt phẳng chứa d1 và song song với d2.   
Bài 5. Cho điểm M(2; 3; 1) và đường thẳng d: x 1 y 2 z 1   . 2  1 2
a. Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M lên (d).
b. Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Bài 6. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P) và điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
a) Biết (P): 2x – y + 2z – 6 = 0, M(2; –3; 5).
b) Biết (P): x – y + z – 4 = 0, M(2; 1; –1).   
Bài 7. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d: x 1 y 2 z 2   . 3 2  2
a. Chứng minh đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng.
b. Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3).
a. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng 2x + 3y – z = 0.
c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại K, M, N
sao cho thể tích OKMN nhỏ nhất.
d. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.
e. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (α1): 2x – 3y – z + 2 = 0 sao cho EA + EB nhỏ nhất.
f. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (α2): x + 3y – z = 0.
g. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
h. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A, B, C.
i. Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng (α3): x + 2y – 3z = 0. 39
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
BÀI TẬP NÂNG CAO. x  1 t x=0
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;0) và cắt hai đường thẳng d : y t , d :   y=0 1 2 z 0   z=2+t'   x  t  Đáp số: d : y  t . z   0 x   1  3t x  =2+2t'
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(-4;5;3) và cắt 2 đt d : y   3 2t, d : y      =-1+3t' 1 2 z  2 t z    =1-5t'   x  4   6t
Đáp số: d: y  5 6t . z  32t  x  12t
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;1;0) cắt và vuông góc với đường thẳng d’: y    1  t . z   t  x  2  t
Đáp số:d: y  1 4t . z  2  t 
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;-3) cắt và vuông góc với đường thẳng d’: x  1   2t  y  2  t . z  2   3t  x  1 26t 
Đáp số: d : y  2  t . z  3  17t 
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1: Cho A1;3; 4   , B2;1; 5
  . Đường thẳng qua 2 điểm A, B có vectơ chỉ phương là:    
A. a  4;8;4 B. a  1;3; 4
  C. a  2;1;5 D. a  3;4;9 x  1 t
Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y  2  3t và mp(Oyz). z  3t  A. 1;2; 
3 B. 0;5;2 C. 0;2;3 D. 0; 1  ;4
Câu 3: Cho điểm A1;4; 7
  và mặt phẳng (P): x  2y  2z  5  0 . Phương trình đường thẳng đi qua A
và vuông góc với (P) là:       A. x 1 y 4 z 7   B. x 1 y 4 z 7   1 2 2 1 2 2       C. x 1 y 4 z 7   D. x 1 y 4 z 7   1 2 7 1 2 2 40
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 x  3t
Câu 4: Tìm hình chiếu của điểm A2; 1
 ;3 trên đường thẳng d: y  7   5t . z  2 2t  A. 0; 7  ;2 B. 3; 2  ;4 C.  3;  1  2;0 D. 6;3;6      
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau: x 1 y 7 z 3 x y z d :   và 1 2 2 d :   . 2 1 4 1 2 1
Tìm khoảng cách giữa d và d’: A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 14 14 14 14 x 1 mt
x 1 t  
Câu 6: Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau d: y t
và d’: y  2  2t z  1   2t   z  3  t 
A. m 1 B. m  0 C. m  1  D. Không tồn tại  
Câu 7: Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a  3;2;  1 và n   3;  0;  1 . Vectơ nào sau đây là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?     A. n  2;6;6
B. n  2;6;6 C. n  1; 3  ;2 D. n  1;3; 2  
Câu 8: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A1;2;3 và song song với mặt phẳng (P): x  2y  3z  0 là:
A. x  2 y  3z  4  0
B. x  2 y  3z  7  0
C. x  2 y  3z  4  0
D. x  2y  3z  7  0
Câu 9: Cho ba điểm A3;4;0 , B1;5;3 , C 2; 3  ; 
1 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có phương trình là:
A. x  8y  2z  35  0
B. x y  2z  7  0
C. 2x y z  2  0
D. x  8y  2z  29  0
Câu 10: Cho ba mặt phẳng (P): x y  2z 1  0; (Q): x y z  2  0 ; (R): x y  5  0 .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. P  Q
B. Q  R
C. P / / Q
D. P  R
Câu 11: Mặt phẳng đi qua M 2;1;2 , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
2x y  3z  4  0 có phương trình là:
A. x z  4  0
B. 2x  3z 10  0
C. 3x  2z  2  0
D. 3x  2z 10  0
Câu 12: Cho 4 điểm A2;0;0 , B0;1;0, C 0;0;3, D1;2;a . Tìm a để 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng.
A. a  2 B. a  9 C. 9 a  D. 9 a   2 2
Câu 13: Phương trình mặt cầu tâm I 2;1; 
1 và tiếp xúc với mặt phẳng  : 2x y  2z 1  0 là: A. 2 2 2
x y z  4x  2y  2z  2  0 B. 2 2 2
x y z  4x  2y  2z  4  0 C. 2 2 2
x y z  4x  2y  2z  2  0 D. 2 2 2
x y z  4x  2y  2z  2  0 x 1 2t
Câu 14: Cho đường thẳng d: y  3t
, d có vectơ chỉ phương là: z  3 4t    A. a  2; 3  ;4 B. a  1;0;3  
C. a  4;6;8 D. a   2;  3;4 41
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 x  3  t
Câu 15: Mặt phẳng đi qua điểm A2;1;3 và vuông góc với đường thẳng d: y 1 2t có phương trình là: z  5 7t
A. x  2y  7z  25  0
B. x  2y  7z 17  0
C. x  2y  7z  21  0
D. x  2y  7z  21  0  
Câu 16: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: x 1 y 1 z   và mặt phẳng 1 2 4
:3x  2y z 1 0 . A.  1  ;1;0 B.  1  ;0;  1 C. 1;0;  1  D. 1; 1  ;0  
Câu 17: Cho đường thẳng d: x 1 y 2 z  
m  0 và mặt phẳng : x 3y  6z  4  0 . Tìm m để 3 m 2
d song song với  .
A. m  3 B. m  3 C. m  1 D. m  1 x t   
Câu 18: Cho hai đường thẳng x y 1 z 2 d : y  1   4t và  
. Gọi  là đường thẳng đi qua 1 d : 2  2 1 5 z  6  6t
M 1;3;5 , vuông góc với cả d và d .  có vectơ chỉ phương là: 1 2     A. a  14;17;9
B. a  14;17;9
C. a  14;17;9 D. a  14;17;9
ÔN TẬP TRẰC NGHIỆM HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1 : Cho (S) là mặt cầu tâm I(2; 1; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình:
2x – 2y – z + 3 = 0. Khi đó, bán kính của (S) là: 1 4 A. B. C. 3 D. 2 3 3
Câu 2 : Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oxz) là: A. 2 2 2
x + y + z - 2x - 4y - 6z + 10 = 0 B. 2 2 2
x + y + z - 2x - 4y + 6z + 10 = 0 C. 2 2 2
x + y + z + 2x + 4y + 6z - 10 = 0 D. 2 2 2
x + y + z + 2x + 4y + 6z - 10 = 0
Câu 3 : Gọi () là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại 3 điểm M (8; 0; 0), N(0; -2; 0) ,
P(0; 0; 4). Phương trình của mặt phẳng () là: x y z x y z A.    0 B.
 1 C. x – 4y + 2z = 0
D. x – 4y + 2z – 8 = 0 8 2  4 4 1  2 
Câu 4 : Cho đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương a(4; 6; 2) . Phương trình
tham số của đường thẳng d là:
x  2  4t
x  2  2t
x  4  2t
x  2  2t     A. y  6t B. y  3t
C. y  6  3t y  3  t D.
z  1 2t     z  1 tz  2  tz  1   t
Câu 5 : Cho 3 điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
A. 2x – 3y – 4z + 2 = 0
B. 4x + 6y – 8z + 2 = 0
C. 2x + 3y – 4z – 2 = 0
D. 2x – 3y – 4z + 1 = 0
Câu 6 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-
1=0. Gọi C là điểm trên (P) để tam giác ABC đều khi đó tọa độ điểm C là: 2  2  1  1  3 1  A. C( ; ; ) B. C( ; ; ) C. C( 3  ;1;2) D. C(1;2; 1  ) 3 3 3 2 2 2 Câu 7 : Cho
thì tứ giác ABCD là hình: A. Thoi B. Bình hành C. Chữ nhật D. Vuông
Câu 8 : Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x-3y+2z-1=0 và (Q): 2x+y- 42
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
3z+1=0 và song song với trục Ox là A. x-3=0 B. 7y-7z+1=0 C. y-2z+1=0 D. 7x+y+1=0 Câu 9 : x 1 y z 2
Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 0; 1) trên   . 1 2 1 A. M’(1; 0; 2)
B. M’ (2; 2; 3) C. M’(0; -2; 1) D. M’(-1; -4; 0)
Câu 10 : Cho bốn điểm A(1,1,-1) , B(2,0,0) , C(1,0,1) , D (0,1,0). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ABCD là hình thoi
B. ABCD là hình chữ nhật
C. ABCD là hình bình hành
D. ABCD là hình vuông
Câu 11 : Cho mặt phẳng (P) x-2y-3z+14=0. Tìm tọa độ M’ đối xứng với M(1;-1;1) qua (P). A. M’(1;-3;7) B. M’(-1;3;7) C. M’(2;-3;-2) D. M’(2;-1;1)
Câu 13 : Tìm phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;-1) có vectơ chỉ phương a  (4;6;2) x  2 y z 1 x  2 y z 1 A.   B.   2 3  1 2 3  1 x  2 y z 1 x  4 y  6 z  2 C.   D.   4 6  2 2 3  1 Câu 14:
x  1  2t
x  3  4t Cho 2 đường thẳng   d :
và d : y  5  t 6 . 1
y  2  t 3 2 
z  3 4t
z  7  t8
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. d d
B. d // d
C. d d
D. d , d chéo nhau 1 2 1 2 1 2 1 2  
Cho hai điểm A(2,0,3) , B(2,-2,-3) và đường thẳng  : x 2 y 1 z   . Câu 15 : 1 2 3
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
 và AB là hai đường thẳng chéo A. B. nhau
A , B và  cùng nằm trong một mặt phẳng
C. Tam giác MAB cân tại M với M (2,1,0)
D. A và B cùng thuộc đường thẳng 
Câu 16 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết
A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.
A. S(9;9;9)hoặc S(7;7;7)
B. S(9;9;9)hoặc S( 7  ; 7  ; 7  )
C. S(9;9;9)hoặc S(7;7;7)
D. S(9;9;9)hoặc S( 7  ; 7  ; 7  )
Câu 17 : Mặt phẳng nào sau đây chứa trục Oy? A. -2x – y = 0 B. -2x + z =0 C. –y + z = 0 D. -2x – y + z =0
Câu 18 : Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x-
2y+2z+7=0 và (R): 5x-4y+3z+1=0
A. 2x+y-2z+15=0 B. 2x+y-2z-15=0 C. x+y+z-7=0 D. x+2y+3z+2=0
Câu 19 : Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (α): x+y+z+1=0 ,
(β) : 2x-y+3z-4=0 sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 26 A. 0 B. 2 C. 1 D. Vô số
Câu 20 : Trong Oxyz cho A(3;4;-1), B(2;0;3), C(-3;5;4). Diện tích tam giác ABC là: A. 7 B. 1562 C. 379 D. 29 2 2 2  
Câu 22 : Mặt phẳng () đi qua M (0; 0; -1) và song song với giá của hai vectơ a(1;2;3) và b(3;0;5) .
Phương trình của mặt phẳng () là:
A. 5x – 2y – 3z -21 = 0
B. 5x – 2y – 3z + 21 = 0
C. 10x – 4y – 6z + 21 = 0
D. -5x + 2y + 3z + 3 = 0
Câu 23 : Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm 43
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
M(7; -1; 5) có phương trình là: 6x+2y+3z+55= 3x+y+z- A. 6x+2y+3z-55=0 B. C. D. 3x+y+z+22=0 0 22=0
Câu 24 : Cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng
: 4x  3y  7z 1  0 . Phương trình tham số của d là: x  1  t 3
x  1  t 8 x 1 4t
x  1 t 4    
A. y  2  t 3
y  2  t
6 C. y  2  3t
y  2  t 3  B. D.
z  3  7t
z  314t z  3  7t  
z  3  t 7
Câu 25 : Cho 4 điềm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1; 1; 2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCD) có phương trình là: A. 2 2 2
(x  3)  ( y  2)  (z  2)  14 B. 2 2 2
(x  3)  ( y  2)  (z  2)  14 C. 2 2 2
(x  3)  ( y  2)  (z  2)  14 D. 2 2 2
(x  3)  ( y  2)  (z  2)  14
Câu 26 : Hai mặt phẳng () : 3x + 2y – z + 1 = 0 và (') : 3x + y + 11z – 1 = 0 A. Trùng nhau
B. Vuông góc với nhau.
C. Song song với nhau
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau;
Câu 27 : Cho các điểm A(1; -2; 1), B(2; 1; 3) và mặt phẳng (P) : x – y + 2z – 3 = 0. Đường thẳng AB
cắt mặt phẳng (P) tại điểm có tọa độ: A. (0; 5  ;1) B. (0;5;1) C. (0; 5  ; 1  ) D. (0;5; 1  )
Câu 28 : Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 11 = 0. mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 1) và tiếp xúc với (P)
tại H. tọa độ tiếp điểm H là. A. H(2;3;-1) B. H(5;4;3) C. H(1;2;3) D. H(3;1;2).
Câu 29 : Cho điểm M(2;3;-1) và đường thẳng x - 4 y-1 z-5 d : = =
tọa độ hình chiếu vuông góc 1 -2 2 của M trên (d) A. H(4;1;5) B. H(2;3;-1) C. H(1;-2;2) D. H 2;5;  1
Câu 30 : Cho các điểm A ) 0 ; 2 ; 1 ( , B( ) 2 ; 4 ; 3
. Tìm tọa độ điểm I trên trục Ox cách đều hai điểm A, B và
viết phương trình mặt cầu tâm I , đi qua hai điểm A, B. A. 2 2 2
(x 1)  ( y  3)  (z 1)  20 B. 2 2 2
(x 1)  ( y  3)  (z 1)  11 / 4 C. 2 2 2
(x  3)  y z  20 D. (x  ) 3 2 2 2
y z  20
Câu 31 : Cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+x-1=0. Phương trình chính tắc đường
thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là: x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z 1 A.   B.   2 3 1 2  3  1 x y  2 z 1 x y  2 z 1 C.   D.   2 3  1 2 3  1 
Câu 32 : Cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm
trên (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. A. M(-1;3;2) B. M(1;-1;3) C. M(-1;1;5) D. M(2;1;-5)
Câu 33 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; -1; -1) đến mặt phẳng (P) : 16x – 12y – 15z – 4 = 0.
Tính độ dài của đoạn thẳng AH. 11 22 22 11 A. B. C. D. 25 5 25 5
Câu 34 : Cho mặt cầu (S) x2+y2+z2-2x-4y-6z = 0. Trong ba điểm (0;0;0); (1;2;3) và (2;-1;-1) thì có
bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 35 : Cho (P) : 2x – y + 2z – 1 = 0 và A(1; 3; -2). Hình chiếu của A trên (P) là
H(a; b; c). Giá trị của a – b + c là : 2 3 2 3 A. . B. . C. D.  . 3 2 3 2 44
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 36 : Cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) : 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z 11  0 .
Bán kính đường tròn giao tuyến là: A. 3 B. 5 C. 2 D. 4
Câu 37 : Cho điểm A(2; 1
 ;1) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất là A. 2x+y-z+6=0
B. 2x y z  6 C. 2x y z  6  0
D. 2x y z  6  0 x 1 y  2 z 1
Cho điểm I(3,4,0) và đường thẳng  :  
. Viết phương trình mặt cầu (S) có Câu 39 : 1 1 4 
tâm I và cắt  tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12 A. 2 2 2
(x  3)  ( y  4)  z  5 B. 2 2 2
(x  3)  ( y  4)  z  25 C. 2 2 2
(x  3)  ( y  4)  z  25 D. 2 2 2
(x  3)  ( y  4)  z  5
Câu 41 : Cho mặt cầu   2 2 2
S : x y z 2x 2z 0 và mặt phẳng (P): 4x+3y+1=0. Tìm mệnh đề
đúng trong các mệnh đề sau:
A. (P) cắt (S) theo một đường tròn
B. (S) tiếp xúc với (P)
C. (S) không có điểm chung với (P)
D. (P) đi qua tâm của (S) x 1 y z  2
Cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z – 4 = 0 và đường thẳng d :   . Phương trình Câu 42 : 2 1 3
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là: x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   B.   5 1  2 5 2 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y  3 z 1 C.   D.   5 1  3  5 1  3
Câu 43 : Cho bốn điểm A(-1,1,1), B(5,1,-1) C(2,5,2) , D(0,-3,1). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng
B. A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
C. A, B, C, D là hình thang
D. Ba điểm B, C, D thẳng hàng.
Câu 44 : Cho mặt cầu S 2 2 2
: (x 1)  (y  3)  (z  2)  49 phương trình nào sau đây là phương trình
của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S ? A.
6x+2y+3z-55=0 B. 2x+3y+6z-5=0 C. 6x+2y+3z=0 D. x+2y+2z-7=0
Câu 45 : Cho mặt cầu (S) có phương trình 2 2 2
x y z  3x  3y  3z  0 và mặt phẳng (P) : x+y+z-6=0
Nhận xét nào sau đây là đúng
A. Tâm mặt cầu (S) là I(3,3,3)
B. (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C)
C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P)
D. Mặt cầu (S) và (P) không có điểm chung
Câu 46 : Cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;-2;3),C(1;1;1). Tìm phương trình mặt phẳng (P) chứa
A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) bằng 2 . 3
A. x+y+2z-1=0 hoặc -2x+3y+7z+23=0
B. x+2y+z-1=0 hoặc -2x+3y+6z+13=0 C. x+y+z-1=0 hoặc -
D. 2x+3y+z-1=0 hoặc 3x+y+7z+6=0 23x+37y+17z+23=0  
Câu 47 : Cho A1;
2;3,B0;1; 3
  . Gọi M là điểm sao cho AM 2BA . Tìm tọa độ điểm M . A. B. C. D.
Câu 48 : Cho hai điểm A(-3; 1; 2) và B(1; 0; 4). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là: A. 4x + y + 2z + 7 =0
B. 4x – y + 2z + 9 =0
C. 4x – y + 2z – 9 = 0
D. 4x – y – 2z + 17 =0
Câu 49 : Cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D-5;-4;-8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là 45
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 45 A. 6 5 B. 5 C. D. 4 3 5 5 7 3 x  2 y z  3
Cho mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z - 1 = 0 và đường thẳng d :   . Phương trình Câu 50 : 1 2  3
mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) là
A. 5x + y + 8z + 14 = 0
B. x + 8y + 5z + 31 = 0 C. x + 8y + 5z +13 = 0 D. 5x + y + 8z = 0
Câu 51 : Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y –z =0?     A. n = (1; 2; 0)
B. n = (-2; 1; 1) C. n = (2; 1; -1) D. n = (0; 1; 2)
Câu 52 : Cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi là
mặt phẳng chứa d và song song với . Khoảng cách giữa và là: A. B. C. D. x  6 y  2 z  2 Cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  9 và đường thẳng  :   . Câu 53 : 3  2 2
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) A. x-2y+2z-1=0
B. 2x+y-2z-10=0 C. 2x+y+2z-19=0 D. 2x+y-2z-12=0
Câu 54 : Nếu mặt phẳng (α) qua ba điểm M(0; -1; 1), N(1; -1; 0), và P(1; 0; -2) thì nó có một vectơ pháp tuyến là:     A. n = (1; 2; 1)
B. n = (-1; 2; -1) C. n = (2; 1; 1) D. n = (1; 1; 2)
Câu 55 : Mặt cầu tâm I(1; -2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z – 1 = 0 có phương trình : A. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  ) 3  3 B. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  ) 3  3 C. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  ) 3  9 D. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  ) 3  9
Câu 56 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ y+z+1=0.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;0) và tiếp xúc với mp(P).
A. x  2   y  2 2 1 1  z  3
B. x  2   y  2 2 1 1  z  3
C. x  2   y  2 2 1 1  z  3
D. x  2   y  2 2 1 1  z  3 Câu 57 : x 12 y  9 z 1
Tọa độ giao điểm M của d :   và mặt phẳng 4 3 1
(P): 3x + 5y – z – 2 = 0 là: A. (1; 1; 6) B. (12; 9; 1) C. (1; 0; 1) D. (0; 0; -2)
Câu 59 : Cho A(1; -1; 0) và B(-2; 0; 1). Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB là:
A. -6x + 2y + 2z – 3=0 B. -3x + y + z +3 =0 C. -6x + 2y + 2z + 3=0 D. -3x + y + z -3 =0
Cho mặt phẳng  : 2x y 3z 1 0 và đường thẳng d có phương trình tham số:
Câu 60 : x  3  t
y  2  2t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? z  1 A. d cắt () B. d  // 
C. d   
D. d   
Câu 61 : Cho hai điểm A(5,3,-4) và điểm B(1,3,4) . Tìm tọa độ điểmC (Oxy) sao cho tam giác ABC
cân tại C và có diện tích bằng 8 5 . Chọn câu trả lời đúng nhất
A. C(-3-7,0) và C(-3,-1,0)
B. C(3,7,0) và C(3,-1,0)
C. C(3,7,0) và C(3,1,0)
D. C(-3,-7,0) và C(3,-1,0)
Câu 64 : Cho điểm M(3; 1; 2). Phương trình của mặt phẳng đi qua hình chiếu của M trên các trục tọa độ là: 46
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 A. 3x + y + 2z = 0
B. 2x + 6y + 3z – 6 =0 C. -3x – y – 2z =0
D. -2x – 6y – 3z – 6 =0
Câu 65 : Cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp
xúc với mặt phẳng (P) là:
A. (x –+2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 9
B. : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 5
C. : (x – 2)2 + (y –1)2 + (z – 1)2 = 4
D. : (x – 2)2 + (y –1)2 + (z – 1)2 = 3
Câu 66 : Cho hai điểm A(1; 0; -3) và B(3; 2; 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. 2 2 2 x + y + z - 4x - 2y + 2z = 0 B. 2 2 2 x + y + z - 2x - y + z - 6= 0 C. 2 2 2 x + y + z + 4x - 2y + 2z = 0 D. 2 2 2
x + y + z - 4x - 2y + 2z + 6 = 0
Câu 67 : Cho ba điểm A(2;1;-1); B(-1;0;4);C(0;-2-1). Phương trình mặt phẳng nào đi qua A và vuông góc BC A. 2x-y+5z-5=0
B. x-2y-5z-5=0 C. x-3y+5z+1=0 D. 2x+y+z+7=0
Câu 68 : Cho điểm M(2;3;-1) và đường thẳng x - 4 y -1 z-5 d : = =
Phương trình mp (P) qua M và 1 -2 2
vuông góc với đường thẳng d là. A. x-2y+2z-16=0 B. x-2y+2z=0 C. x-2y+2z+16=0 D. x-2y+2z+6=0
Câu 69 : Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm G(1; 2; 1) làm trọng tâm? A. 2x + 2y + z – 6=0
B. 2x + y + 2z – 6 =0 C. x + 2y + 2z -6 =0
D. 2x + 2y + 6z – 6 =0
Câu 70 : Cho ba điểm A(3; 2; -2) , B(1; 0; 1) và C(2; -1; 3). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là:
A. x y  2z 5  0 B. x y  2z  3  0 C x y  2z  3  0
D. x y  2z 1  0
Câu 71 : Cho A(2,1,-1) và (P): x+2y−2z+3=0. (d) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Tìm tọa độ M thuộc (d) sao cho OM =
A. (1;-1;-1) ; (5/3; 1/3; 1/3)
B. (1;-1;-1) ; (5/3; -1/3; 1/3)
C. (1;1;-1) ; (5/3; 1/3; -1/3)
D. (1;-1;1) ; (5/3; 1/3; -1/3)
Câu 72 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1;0;1), B(2;1;2), D’(1;-1;1), C(4;5;-5). Thể tích khối hộp là: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 x y z
Câu 73 : Cho đường thẳng d 1 2 :  
và điểm A(2;5;3) . Phương trình mặt phẳng (P) chứa d 2 1 2
sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất là
A. x  4y z  3  0 B. x  4y z 3  0 C. x  4y z 3  0 D. x 2y z  0
Câu 74 : Cho hai điểm M(0; 1
 ;2) và N(1;1;3) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho
khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất là
A. x y  3z  7  0 B. x y –z  3  0 C. x y  2z  3  0 D. x 3y –z  3  0
Câu 75 : Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho 1 1 1 biểu thức   có giá trị nhỏ nhất.
OA2 OB2 OC2
A. (P) : x  2y  3z  4  0 B. (P) : x  2y  3z 14  0 C. ( )
P : x y3z12  0 D. P ( ): x y 2  z 3 14  0
Câu 76 : Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho
thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. x y z x y z x y z x y z
A.    1 B.    1 C.    1 D.   1  0 9 3 3 27 9 3 27 3 3 27 3 3
Câu 77 : Cho các điểm A(1;-1;2),B (2;1; )
1 ,C (0;1;3). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt
phẳng (ABC) sao cho d cắt và vuông góc với trục Ox. 47
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018 x ìï = 2 ì ì ì ï x ï = 3t x ï = 3 x ï = 0 ï ïï ïï ïï A.d : y
ïí = t B.d : y
ïí = t C.d : y
ïí = t D.d : y ïí = t ï ï ï ï z ïï = 0 ï ï ï ï ï = ï = ï = î z 0 ïî z 0 ïî z 3 ïî Câu 78 : Cho x 1 d :
y 1  z  2 . Tìm phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d 2 1 1 trên (Oxy). x  0
x  1 2t
x  1 2tx  1 2t    
A. y  1 t
B. y  1 t
C. y  1 t
D. y  1 t z  0     z  0  z  0  z  0 
Câu 79 : Cho bốn điểm A1;0;0, B0;1;0,C 0;0;  1 , D 1;1; 
1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A.Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện B.Tam giác BCD đều
C. AB CD D.Tam giác BCD vuông cân
Câu 80 : Cho hai mặt phẳng  : x  2y  z 1 0 và  :3x y z  0 . Xác định giá trị của m để x 1 y  2 z d :  
vuông góc với giao tuyến của  và  . m 1 m 1 2  m A. 19 m  B. 15 m  C. 9
m  D.Không có giá trị của m 8 2 8
Câu 81 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A2, 5  ,  1 , B0, 1
 ,2, C1,0,3 . Có bao nhiêu mặt
phẳng đi qua gốc tọa độ O và cách đều ba điểm A, B, C. A.1
B.3 C. 4 D.Vô số
Câu 82 : Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1),B(1;0;3),C(1;2;3) và mặt cầu (S) có phương
trình: x2  y2  z2  2x  2z  2  0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.      A. D 1;0;  1 B. D 7 4 1 ; ;   C. D 1 4 5 ; ; D.(1; - 1; 0) 3 3 3       3 3 3 
CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017. ĐỀ 101.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x  2y z  5  0 . Điểm nào dưới đây thuộc (P) ?
A. Q(2; 1;5)
B. P(0;0; 5)
C. N (5;0;0)
D. M (1;1;6)
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) ?    A. i  (1;0;0) B. k (0;0;1) C. j(5;0;0)
D. m  (1;1;1)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi    qua điểm x y z
M (3; 1;1) và vuông góc với đường thẳng 1 2 3  :   ? 3 2  1
A. 3x  2 y z 12  0
B. 3x  2 y z  8  0
C. 3x  2 y z 12  0
D. x  2y  3z  3  0
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua điểm A(2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x  3y z  5  0 ? x  1 3tx  1 tx  1 tx  1 3t    
A.y  3t .
B.y  3t .
C.y  1 3t
D.y  3tz 1 t     z  1 tz  1  tz  1  t
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2;3) . Gọi I là hình 48
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I, bán kính IM ? A. 2 2 2
(x 1)  y z  13 B. 2 2 2
(x  1)  y z  13 C. 2 2 2
(x 1)  y z  13 D. 2 2 2
(x  1)  y z  17
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;1;3) và hai đường thẳng x 1 y  3 z 1 x y z d :   , 1  :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi 3 2 1 1 3 2 
qua M, vuông góc với  và . x  1   tx t  x  1   tx  1   t A.    
y  1 t
B. y  1 t
C. y  1 t
D. y  1 t z 1 3t     z  3  tz  3  tz  3  t  x  1 3t
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : y  2   t , 1 z  2  x 1 y  2 z d : 
 và mặt phẳng (P) : 2x  2 y  3z  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình 2 2 1  2
mặt phẳng đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d . 1 2
A. 2x y  2z  22  0
B. 2x y  2z 13  0
C. 2x y  2z 13  0
D. 2x y  2z  22  0
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z  9 , điểm M (1;1; 2) và mặt
phẳng (P) : x y z  4  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao
cho AB nhỏ nhất. Biết rằng  có một vectơ chỉ phương là u(1; a;b) . Tính t a b A. T  2  B. T  1 C. T  1  D. T  0  ĐỀ 102
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2
A ;2;1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA. A. OA  3 B. OA  9 C. OA  5 D. OA  5
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz) ? A. y  0 B. x  0
C. y z  0 D. z  0
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị m để phương trình 2 2 2
x y z  2x  2y  4z m  0 là phương trình của một mặt cầu. A. m  6 B. m  6 C. m  6 . D. m  6
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (0 A ; 1
 ;3) , B(1;0;1) , C( 1  ;1;2) . Phương
trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ? x  2  tx y 1 z  3 x 1 y z 1 A. y  1   t
B. x  2y z  0 C.   D.    2  1 1 2  1 1 z  3  t
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (4 A ;0;1) và B( 2
 ;2;3) . Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ?
A. 3x y z  0
B. 3x y z  6  0
C. 3x y z 1  0
D. 6x  2y  2z 1  0
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y 1)  (z  2)  2 và hai   đường thẳng x 2 y z 1 x y z d :   , 1  :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một 1 2 1  1 1 1 
mặt phẳng tiếp xúc với (S) , song song với d và  ? 49
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
A. x z 1  0
B. x y 1  0
C. y z  3  0
D. x z 1  0
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm (1 A ; 2  ;3) và hai mặt phẳng
(P) : x y z 1  0 , (Q) : x y z  2  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi
qua A , song song với (P) và (Q) ? x  1   tx 1 x 1 2tx  1 t A.      y  2 B. y  2  C. y  2  D. y  2  z  3   t     z  3  2tz  3  2tz  3  t
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (4
A ;6;2) và B(2;  2;0) và mặt phẳng
(P) : x y z  0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.
A. R  6
B. R  2
C. R  1
D. R  3 ĐỀ 103
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x  5)  ( y 1)  (z  2)  9 . Tính bán
kính R của (S).
A. R  3 B. R 18
C. R  9
D. R  6
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(1; 4;1) và đường thẳng x  2 y  2 z  3 d :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm 1 1  2
đoạn thẳng AB và song song với d. A. x y  1 z  1          B. x y 2 z 2   C. x y 1 z 1   D. x 1 y 1 z 1   1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; 1  ; 2  ) và mặt phẳng
( ) : 3x y  2z  4  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với () ?
A. 3x y  2z 14  0
B. 3x y  2z  6  0
C. 3x y  2z  6  0
D. 3x y  2z  6  0    
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a(2;1;0) và b  ( 1  ;0; 2
 ) . Tính cosa,b .     A. a b 2 cos ,  B. a b 2 cos ,   25 5     C. a b 2 cos ,   D. a b 2 cos ,  25 5
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1;2;3) và mặt phẳng (P) : 2x  2y z  4  0 .
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H. Tìm tọa độ H ?  
A. H ( 1;4;4) B. H ( 3;0; 2  )
C. H (3;0;2) D. H (1; 1  ;0)
x  2  3t
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  d : y  3   t và
z  4  2tx  4 y 1 z d  :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa 3 1 2 
d và d  , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x  3 y  2 z  2 x  3 y  2 z  2 A.   B.   3 1 2  3 1 2        C. x 3 y 2 z 2   D. x 3 y 2 z 2   3 1 2  3 1 2  50
Tài liệu học tập môn toán học kì 2 năm 2018
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3 A ; 2
 ;6), B(0;1;0) và mặt cầu 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  25 . Mặt phẳng (P) : ax by cz  2  0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c .
A. T  3
B. T  5
C. T  2
D. T  4 ĐỀ 104
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x  (y  2)  (z  2)  8. Tính bán
kính R của (S).
A. R  8 .
B. R  4 .
C. R  2 2 .
D. R  64.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1
A ;1;0) và B(0;1; 2) . Vectơ nào dưới đây là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?     A. b  ( 1  ;0;2) .
B. c  (1;2;2) . C. d  ( 1  ;1;2) . D. a  ( 1  ;0; 2  ) .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (2;3; 1  ), N( 1
 ;1;1) và P(1;m 1;2) . Tìm m
để tam giác MNP vuông tại N. A. m  6  . B. m  0 . C. m  4  . D. m  2 .
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2;3) . Gọi M , M lần lượt là hình chiếu 1 2
vuông góc của M trên các trục tọa Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng M M ? 1 2    
A. u  (1;2;0) .
B. u  (1;0;0) . C. u  ( 1  ;2;0) D. u  (0;2;0) 2 3 4 1
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm  M (1; 2; 3
 ) và có một vectơ pháp tuyến n  (1;2;3) ?
A. x  2y  3z 12  0
B. x  2y  3z  6  0
C. x  2y  3z 12  0
D. x  2y  3z  6  0
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm (1 A ; 1  ;2), B( 1
 ;2;3) và đường thẳng x 1 y  2 z  1 d :  
. Tìm điểm M (a; ;
b c) thuộc d sao cho 2 2
MA MB  28 biết c  0 . 1 1 2 A.     M ( 1  ;0; 3  )
B. M (2;3;3) C. 1 7 2 M ; ;    D. 1 7 2 M  ;  ;     6 6 3   6 6 3 
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi
qua ba điểm M (2;3;3), N (2;1;1), P(2;1;3) và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2x  3y z  2  0 . A. 2 2 2
x y z  2x  2y  2z 10  0 B. 2 2 2
x y z  4x  2y  6z  2  0 C. 2 2 2
x y z  4x  2y  6z  2  0 D. 2 2 2
x y z  2x  2y  2z  2  0
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (
A 2;0;0), B(0; 2;0) và C(0;0; 2  ). Gọi D là
điểm khác 0 sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I (a; ;
b c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD. Tính S a b c . A. S  4  B. S  1  C. S  2  D. S  3  51