Đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2014 – 2015 phòng GD&ĐT Nho Quan – Ninh Bình

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2014 – 2015 phòng GD&ĐT Nho Quan – Ninh Bình; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

75 38 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

4 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
1
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 7
Thời gian làm bài:120 phút
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1: (5,0 điểm)
1. Thực hiện các phép tính:
a)
.
4
9
9
5
3
2
:
4
3
b)
123 4 5 3031
. . . . ... .
4681012 6264
2. Cho
43
yx
;
65
zy
và
2 3 4 372xyz
. Tính A = 345
x
yz
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tính giá trị của các biểu thức:
a) B = 9x
2
– 10x + 1, biết rằng
2
1
x
.
b) C = x
3
+ xy
3
– x
3
y + y
3
; tại x, y thỏa mãn:
4
(1)x
+ (y + 1)
4
= 0
2. Tìm x biết:
1 2 3 ... 9 14
x
xx x x
Câu 3: (3,5 điểm)
1. Tìm các số a, b, c không âm, thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: a + 3c = 2014;
a + 2b = 2015; tổng ( a + b+c ) đạt giá trị lớn nhất.
2. Trên bảng viết 99 số: 1, 2, 3, 4, ...,99. Cứ mỗi lần người ta xóa đi hai số bất kì ,
rồi lại viết giá trị của tổng hai số vừa xóa vào bảng. Cuối cùng trên bảng chỉ còn lại
một số, giả sử đó là số k. Hãy tìm k và chứng tỏ k không phải là s
ố chính phương.
Câu 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có
0
120BAC, phân giác AD
(D BC)
. Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc với AC tại F. Lấy điểm K
trên cạnh AC sao cho AK = AD.
1. Chứng minh rằng:
A
ED AFD
và tam giác DEF là tam giác đều;
2. Chứng minh rằng: K là trung điểm của AC, từ đó suy ra AD =
1
2
AC;
3. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở T. Đặt CT = a; CF = b.
Chứng minh rằng:
4
3
a
b
.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho m, n, p là các số nguyên dương thỏa mãn: m
2
= n
2
+ p
2
.
Chứng minh rằng: tích m.n.p chia hết cho 15.
..................................... Hết .....................................
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm gồm 03 trang
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(5,0 điểm)
1.a ( 1,5 điểm)
4
9
9
1
:
4
3
4
9
9
5
3
2
:
4
3
=
9
4
36
4
9
1
9
.
4
3
0,75
0,75
1.b ( 1,5 điểm)
6
12345 3031
....... .
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 2
=
30 6
1.2.3.4...30.31
1.2.3.4...30.31.2 .2
=
36
1
2
0,5
0,5
0,5
2. ( 2,0 điểm)
201543
yxyx
;
242065
zyzy
242015
zyx
(1)
(1)
234234372
2
30 60 96 30 60 96 186
xyzxyz


Từ
234
2; 2; 2
30 60 96
xyz

,suy ra
30; 40; 48xyz
Vậy A =
345
x
yz= 490
0,5
0,75
0,75
Câu 2
(4,0 điểm)
1.a ( 1,5 điểm)
Ta có
2
11
x
x hoặc x = - 1
Với x = 1 thì B = 9.1
2
– 10. 1 + 1 = 0
Với x = - 1 thì B = 9.(- 1)
2
– 10.(-1) + 1 = 20
Vậy x = 1 thì B = 0
x = - 1 thì B = 20
0,5
0,75
0,25
1.b ( 1,5 điểm)
1) Do
4
(1)x
≥ 0; (y + 1)
4
≥ 0
4
(1)x
+ (y + 1)
4
≥ 0 với
mọi x, y.
Kết hợp
4
(1)x
+ (y + 1)
4
= 0 suy ra
4
(1)x
= 0 và (y + 1)
4
= 0
x = 1; y = - 1.
Thay vào tính được giá trị của biểu thức C = 0
0,5
0,75
0,25
2. ( 1,0 điểm)
Nhận xét: Vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó vế phải
cũn
g
luôn lớn hơn hoặc bằn
g
0.
3
Suy ra 14x 0 hay x 0.
Với x
0 ta có:
1 2 3 ... 9 14
x
xx x x
1 2 3 ... 9 14
x
xx x x
94514
x
9
x

( TM)
Vậ
y
9
x
0,25
0,25
0,5
Câu 3
(3,5 điểm)
1. ( 2,0 điểm)
Từ a + 3c = 2014 , a + 2b = 2015 suy ra 2a + 2b + 3c = 4029
Do đó 2( a + b + c ) + c = 4029
Để (a + b + c) đạt giá trị lớn nhất thì c phải có giá trị nhỏ
nhất. Mà c ≥ 0 nên c = 0.
Khi đó a = 2014; b =
1
2
; c = 0
GTLN của (a + b + c) là
4029
2
0,25
0,25
0,75
0,75
2. ( 1,5 điểm)
Nhận xét: Số k còn lại trên bảng chính là tổng của các số ban
đầu:
Do đó số cuối cùng còn lại trên bảng có giá trị là
k =
99.100
1 2 3 ... 99 4950
2

Số k = 4950 = 2.3
2
.5
2
.11, không phải là số chính phương.
0,5
0,75
0,25
Câu 4
(6,5 điểm)
Vẽ được hình
ý
1) ,
g
hi GT- KL: 0,5 điểm
1. ( 2,0 điểm)
Ta có
A
ED AFD
( Cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra DE = DF (1)
0,75
0,25
C B
A
E F
D
K
T
.
4
Vì AD là tia phân giác của góc A nên
0
60EAD FAD
Từ đó suy ra
0
60EDF
(2)
Từ (1) và (2) su
y
ra
EDF
là tam
g
iác đều.
0,75
0,25
2. ( 2,5 điểm)
Ta có
0
60DAK
( chứng minh trên) và AD= AK
Do đó ADK là tam giác đều.
Suy ra AK = DK (*)
Lại có trong tam giác vuông ADC suy ra
0
30KCD
(3)
0
90ADK KDC
mà
0
60ADK
Suy ra
0
30KDC
(4)
Từ (3), (4) suy ra tam giác KCD cân tại K
KC = KD (**)
Từ (*) và (**) suy ra AK = KC hay K là trung điểm của AC
Từ đó suy ra AD =
1
2
AC
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
3. ( 1,5 điểm)
Chứng minh được CTA là tam giác đều ( có hai góc 60
0
)
Suy ra AC = CT = a
AF = AC- CF = a- b
Tam giác vuông ADF có
0
30ADF
nên AD = 2(a- b) (5)
Lại có AD =
1
2
AC=
2
a
(6)
Từ (5) và (6), suy ra: a = 4(a - b) hay
4
3
a
b
( Sử dụn
g
k
ế
t quả của câu t
r
ên)
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 5
(1,0 điểm)
Nếu m, n, p không chia hết cho 3 thì m
2
, n
2
, p
2
chia 3
dư 1. Suy ra m
2
= n
2
+ p
2
( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít
nhất một số chia hết cho 3, nên tích mnp chia hết cho 3.
Nếu m, n, p không chia hết cho 5 thì m
2
, n
2
, p
2
chia 5
dư 1 hoặc 4 .Suy ra n
2
+ p
2
chia 5 dư 0, 2 hoặc 3, nên m
2
= n
2
+ p
2
( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít nhất một số chia hết cho
5, nên tích mnp chia hết cho 5.
Mà (3;5) = 1. Vậy tích mnp luôn chia hết cho 15.
0,25
0,5
0,25
Lưu ý:
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Câu hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm toàn câu.
- Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

UBND HUYỆN NHO QUAN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài:120 phút
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1: (5,0 điểm)
1. Thực hiện các phép tính: a) 3  2 5  9
:     . b) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 4  3 9  4 4 6 8 10 12 62 64 2. Cho x y  ; y z
 và 2x  3y  4z  372 . Tính A = 3x  4y  5z 3 4 5 6
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tính giá trị của các biểu thức:
a) B = 9x2 – 10x + 1, biết rằng 2 x 1.
b) C = x3 + xy3 – x3y + y3; tại x, y thỏa mãn: 4
(x 1) + (y + 1)4 = 0
2. Tìm x biết: x 1  x  2  x  3  ...  x  9 14x
Câu 3: (3,5 điểm)
1. Tìm các số a, b, c không âm, thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: a + 3c = 2014;
a + 2b = 2015; tổng ( a + b+c ) đạt giá trị lớn nhất.
2. Trên bảng viết 99 số: 1, 2, 3, 4, ...,99. Cứ mỗi lần người ta xóa đi hai số bất kì ,
rồi lại viết giá trị của tổng hai số vừa xóa vào bảng. Cuối cùng trên bảng chỉ còn lại
một số, giả sử đó là số k. Hãy tìm k và chứng tỏ k không phải là số chính phương.
Câu 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có 0 BAC  120 , phân giác AD
(D BC) . Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc với AC tại F. Lấy điểm K
trên cạnh AC sao cho AK = AD.
1. Chứng minh rằng: AED AF
D và tam giác DEF là tam giác đều;
2. Chứng minh rằng: K là trung điểm của AC, từ đó suy ra AD = 1 AC; 2
3. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở T. Đặt CT = a; CF = b.
Chứng minh rằng: a 4  . b 3
Câu 5: (1,0 điểm) Cho m, n, p là các số nguyên dương thỏa mãn: m2 = n2 + p2.
Chứng minh rằng: tích m.n.p chia hết cho 15.
..................................... Hết ..................................... 1 UBND HUYỆN NHO QUAN
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Câu Nội dung Điểm
1.a ( 1,5 điểm) 3  2 5  9 3 1 9 0,75 :      :  4  3 9  4 4 9 4 = 3 9 9 36 0,75 .    9 4 1 4 4
1.b ( 1,5 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 0,5 6 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 2 = 1.2.3.4...30.31 0,5 Câu 1 30 6 1.2.3.4...30.31.2 .2 (5,0 điểm) = 1 0,5 36 2
2. ( 2,0 điểm) x y x y    ; y z y z    x y z    (1) 0,5 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 (1) 2x 3y 4z
2x  3y  4z 372       2 0,75 30 60 96 30  60  96 186 Từ 2x 3y 4z  2;  2;
 2 ,suy ra x  30; y  40; z  48 30 60 96
Vậy A = 3x  4y  5z = 490 0,75 1.a ( 1,5 điểm) Ta có 2
x  1  x 1 hoặc x = - 1 0,5
Với x = 1 thì B = 9.12 – 10. 1 + 1 = 0
Với x = - 1 thì B = 9.(- 1)2 – 10.(-1) + 1 = 20 0,75 Vậy x = 1 thì B = 0 x = - 1 thì B = 20 0,25 Câu 2
(4,0 điểm) 1.b ( 1,5 điểm) 1) Do 4
(x 1) ≥ 0; (y + 1)4 ≥ 0  4
(x 1) + (y + 1)4 ≥ 0 với 0,5 mọi x, y. Kết hợp 4
(x 1) + (y + 1)4 = 0 suy ra 4
(x 1) = 0 và (y + 1)4 = 0  x = 1; y = - 1. 0,75
Thay vào tính được giá trị của biểu thức C = 0 0,25
2. ( 1,0 điểm)
Nhận xét: Vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó vế phải
cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0. 2 Suy ra 14x  0 hay x  0. 0,25 Với x  0 ta có:
x 1  x  2  x  3  ...  x  9 14x
x 1 x  2  x  3  ...  x  9 14x 0,25
 9x  45 14x x  9 ( TM) Vậy x  9 0,5 1. ( 2,0 điểm)
Từ a + 3c = 2014 , a + 2b = 2015 suy ra 2a + 2b + 3c = 4029 0,25
Do đó 2( a + b + c ) + c = 4029 0,25
Để (a + b + c) đạt giá trị lớn nhất thì c phải có giá trị nhỏ
nhất. Mà c ≥ 0 nên c = 0. 0,75 1
Khi đó a = 2014; b = ; c = 0 2 4029 Câu 3 GTLN của (a + b + c) là 0,75 (3,5 điểm) 2 2. ( 1,5 điểm)
Nhận xét: Số k còn lại trên bảng chính là tổng của các số ban 0,5 đầu:
Do đó số cuối cùng còn lại trên bảng có giá trị là 99.100 0,75
k =1 2  3  ...  99   4950 2
Số k = 4950 = 2.32.52.11, không phải là số chính phương. 0,25 T A Câu 4 E F (6,5 điểm) K . B C D
Vẽ được hình ý 1) , ghi GT- KL: 0,5 điểm
1. ( 2,0 điểm) Ta có AED AF
D ( Cạnh huyền- góc nhọn) 0,75 Suy ra DE = DF (1) 0,25 3
Vì AD là tia phân giác của góc A nên 0 EAD FAD  60 Từ đó suy ra 0 EDF   60 (2) 0,75
Từ (1) và (2) suy ra ED
F là tam giác đều. 0,25 2. ( 2,5 điểm) Ta có 0 DAK
 60 ( chứng minh trên) và AD= AK
Do đó ADK là tam giác đều. 0,5 Suy ra AK = DK (*) 0,25
Lại có trong tam giác vuông ADC suy ra 0 KCD  30 (3) 0 ADK KDC  90 mà 0 ADK  60 0,25 Suy ra 0 KDC  30 (4)
Từ (3), (4) suy ra tam giác KCD cân tại K 0,5  KC = KD (**) 0,25
Từ (*) và (**) suy ra AK = KC hay K là trung điểm của AC 0,5 Từ đó suy ra AD = 1 AC 2 0,25 3. ( 1,5 điểm)
Chứng minh được CT
A là tam giác đều ( có hai góc 600) 0,25 Suy ra AC = CT = a AF = AC- CF = a- b 0,25 Tam giác vuông ADF có 0 AD
F  30 nên AD = 2(a- b) (5)
Lại có AD = 1 AC= a (6) 0,5 2 2
Từ (5) và (6), suy ra: a = 4(a - b) hay a 4  0,5 b 3
( Sử dụng kết quả của câu trên)
Nếu m, n, p không chia hết cho 3 thì m2 , n2 , p2 chia 3
dư 1. Suy ra m2 = n2 + p2 ( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít
nhất một số chia hết cho 3, nên tích mnp chia hết cho 3. 0,25 Câu 5
Nếu m, n, p không chia hết cho 5 thì m2 , n2 , p2 chia 5
(1,0 điểm) dư 1 hoặc 4 .Suy ra n2 + p2 chia 5 dư 0, 2 hoặc 3, nên m2 = n2
+ p2 ( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít nhất một số chia hết cho 0,5
5, nên tích mnp chia hết cho 5.
Mà (3;5) = 1. Vậy tích mnp luôn chia hết cho 15. 0,25 Lưu ý:
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Câu hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm toàn câu.
- Tổng điểm của bài thi không làm tròn. 4