Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2023 phòng GD&ĐT Hai Bà Trưng – Hà Nội

UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023 -2024 Ngày khảo sát: /5/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: ( 2,0 điểm). x + 2  x + 2 x − 2 16  7 x − 2
Cho hai biểu thức A = và B =  − + .  
với x  0; x  4 . 2 x +1 x − 2 x + 2 4 − x 8  
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 . 7 x − 2 2) Chứng minh B = . x + 2
3) Tìm x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị là số nguyên dương.
Bài 2: ( 2,0 điểm).
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Sân vận động Morodok Techo ở thủ đô PhnomPenh của Campuchia
có sức chứa 60.000 chỗ ngồi là nơi phục vụ cho SEA Games 32. Một đơn
vị được giao nhiệm vụ in vé vào sân. Thực tế mỗi ngày đơn vị đó đã in
được nhiều hơn 2000 tấm vé so với kế hoạch. Vì thế đơn vị sản xuất đã
hoàn thành sớm công việc trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày
đơn vị đó phải in bao nhiêu tấm vé? (Giả sử số tấm vé mỗi ngày đơn vị
sản xuất đó in là như nhau)
2) Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là 2 65 cm . Tính thể tích của hình nón đó .
Bài 3: ( 2,5 điểm).
 x −3 + 4.( y − )2 1 = 5
1) Giải hệ phương trình  . 2
 2 x −3 − y + 2y = 2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng (d ) 2
: y = 4x + m .
a) Chứng minh (d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm các giá trị của m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x thỏa mãn 1 2 x 1− 2x
+ x 1− 2x = 4m + 3. 1 ( 2 ) 2 ( 1 )
Bài 4: ( 3,0 điểm).
Cho một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O) với A
là tiếp điểm. Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn (O) tại điểm C
khác A . Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại B , K là trung điểm dây cung BC .
1) Chứng minh tứ giác OMAK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh 2 MA = M .
B MC và tam giác ABK vuông tại A .
3) Kẻ đường kính AE của đường tròn (O) . Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác EMO .
Bài 5: (0,5 điểm). Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3a +1 + 3b +1 + 3c +1
Họ và tên thí sinh: ................................................................................. SBD: ............................ UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG
HD CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2023 – 2024 MÔN: TOÁN 9 Bài Nội dung Điểm x + 2  x + 2 x − 2 16  7 x − 2
Cho hai biểu thức A = và B =  − + .   I 2 x +1 x − 2 x + 2 4 − x 8   2,0
với x  0; x  4 .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 . 0,5
Thay x = 16 (TMĐK) vào biểu thức A 0,25 16 + 2 4 + 2 6 2 0,25 Tính được A = = = = . 2 16 +1 2.4 +1 9 3 7 x − 2 1,0
2) Chứng minh B = . x + 2   (  x + )2 ( x − )2 2 2 16  7 x − 2 B = 0,25  ( − −  
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) . 8   
( x + )2 −( x − )2 2 2 −16 7 x − 2 B = ( 0,25 x − 2)( x + 2) . 8
(x+4 x +4)−(x−4 x +4)−16 7 x −2 B = ( 0,25 x − 2)( x + 2) . 8 8 − x − x − ( x 2 8 16 7 2
) 7 x −2 7 x −2 B = ( = = . 0,25
x − 2)( x + 2) .
( x −2)( x +2). 8 8 x + 2
3) Tìm x để biểu thức P = .
A B nhận giá trị là số nguyên dương. 0,5 7 + − − − (2 x + − x x x x )1 11 2 7 2 7 2 14 4 11 P = . A B = . =  2.P = = = 7 − 2 x +1 x + 2 2 x +1 2 x +1 2 x +1 2 x +1 7 0,25
Với x  0  x  0  2P  7  P  . 2
Để P nhận giá trị nguyên dương suy ra P 1;2;  3 7 x − 2 3 9 +) Với P = 1 
=1  x =  x = (tm) 2 x +1 5 25 7 x − 2 4 16 +) Với P = 2 
= 2  x =  x = (tm) 0,25 2 x +1 3 9 7 x − 2  9 16  +) Với P = 3 
= 3  x = 5  x = 25(tm) . Vậy x ; ;25 2 x +1 25 9 
Sân vận động Morodok Techo ở thủ đô PhnomPenh của Campuchia có 1,5 II
sức chứa 60.000 chỗ ngồi là nơi phục vụ cho SEA Games 32. Một đơn vị
được giao nhiệm vụ in vé vào sân. Thực tế mỗi ngày đơn vị đó đã in được
nhiều hơn 2000 tấm vé so với dự định. Vì thế đơn vị sản xuất đã hoàn
thành sớm công việc trước 1 ngày so với kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch, mỗi
ngày đơn vị đó phải in bao nhiêu tấm vé? (Giả sử số vé mỗi ngày đơn vị
sản xuất đó in là như nhau)
Gọi số vé đơn vị sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là x vé ( x  0) 0,25 60000 0,25
Thời gian dự kiến in xong 60.000 tấm vé là (ngày) x
Thực tế mỗi ngày đơn vị sản xuất in được số tấm vé là x + 2000 (vé) 60000
Thời gian thực tế mà đơn vị đó in xong 60000 tấm vé là (ngày) x + 2000 1) 60000 60000 0,25
Do làm vượt kế hoạch trước 1 ngày ta có phương trình: − =1 x x + 2000
x = 10000  0(tm) 0,5 2
 x + 2000x −120000000 = 0 Giải phương trình ta được  x = 12000 −  0  (l)
Đối chiếu với điều kiện và thử lại 0,25
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đơn vị sản xuất phải in được 10.000 tấm vé
Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh là 2) 0,5 2
65 cm . Tính thể tích của hình nón đó .
Gọi h,l lần lượt là chiều cao và đường sinh của hình nón đó. Theo bài cho diện 0,25 tích xung quanh là 2
65 cm ta có : S = . .
R l = 65  5 l = 65  l = 13 cm . xq ( ) 2 2 2 2
Độ dài chiều cao hình nón là : h = l − R = 13 − 5 = 12(cm) 1 1 0,25
Thể tích của hình nón đó là : 2 2 V
=  R .h = .5 .12 =100 cm . non ( 3) 3 3
Vậy thể tích hình nón là 3 100 cm
 x −3 + 4.( y − )2 1 = 5
III Giải hệ phương trình  . 1,0 2
 2 x −3 − y + 2y = 2 ĐKXĐ: x  3 0,25  2  2 
x − 3 + 4.( y − )2 1 = 5
 x − 3 + 4.( y − ) 1 = 5
2 x − 3 + 8.( y − ) 1 =10      2  2 2
2 x − 3 − y + 2 y = 2  2 x − 3 −  ( y − ) 1 =1  2 x − 3 −  ( y − ) 1 =1  2
2 x − 3 + 8.( y − )2 1 =10
2 x −3 +8.( y − )1 =10  x −3 =1 0,25        2 9  ( y − )2 1 = 9  ( y − ) 1 =1 (  y −  )2 1 = 1 1)  x − 3 =1   − =  − = 0,25  x 3 1 x 3 1 (    hoặc   y −  )2 1 =1  y −1 =1 y −1 = 1 − x = 4  =  x 4 0,25  hoặc  . y = 2 y = 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ;
x y) là (4; 2) và (4;0)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng 1.5 2) (d ) 2
: y = 4x + m .
a) Chứng minh (d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và ( P) là: 0.25 2 2
x = 4x + m 2 2
 x − 4x − m = 0( ) 1 Tính được 2
 ' = 4 + m  0 với m  0.25
Chỉ ra  '  0 với m  phương trình ( )
1 luôn có 2 nghiệm phân biệt 0.25
Vậy (d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt. 0.25
b) Tìm các giá trị của m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 0.5
x , x thỏa mãn x 1− 2x + x 1− 2x = 4m + 3. 1 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 2  x + x = 4 0.25
Áp dụng hệ thức vi - et vào phương trình ( ) 1 ta có 1 2  . 2 x x = −m  1 2
Biến đổi x 1− 2x + x 1− 2x = 4m + 3  x + x − 4x x = 4m + 3 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( 1 ) Thay vào (2) ta có: 0.25 1
4 + 4m = 4m + 3  4m − 4m +1 = 0  (2m − )2 2 2 1
= 0  2m −1 = 0  m = . 2 1
Vậy m = thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
Cho một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ tiếp tuyến MA tới 1,0
đường tròn (O) với A là tiếp điểm. Qua điểm A kẻ đường thẳng song song
IV với MO cắt đường tròn (O) tại điểm C khác A . Đường thẳng MC cắt
đường tròn (O) tại B , K là trung điểm dây cung BC .
1) Chứng minh tứ giác OMAK là tứ giác nội tiếp. 0,25
Theo bài cho MA là tiếp tuyến với đường tròn (C ) tại A nên 0 MA ⊥ OA  M  AO = 90 0,25
K là trung điểm dây cung BC nên 0 OK ⊥ BC  O  KM = 90 0,25 Tứ giác OMAK có 0 O  KM = M  AO = 90 , ,
A K là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 0,25
OM . Suy ra tứ giác OMAK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh 2 MA = M .
B MC và tam giác ABK vuông tại A . 1,5 Xét hai tam giác: MC  A và M  AB có: 0,5 A  MB = C  MA( ) 1 (hay góc M chung) 1 M  AB = M
 CA = sd AB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 2 cùng chắn cung AB). Suy ra MC 
A đồng dạng với M  AB (g - g) MA MC 0,25 Suy ra: 2 =  MA = M . B MC . MB MA
Vì AC / /MO  A  CM = O
 MK (2) (so le trong) 0,25
Tứ giác nội tiếp OMAK có O  MK = O
 AK (3) (Hai góc nội tiếp chắn cung 0,25 OK) Từ ( ) 1 ,(2),(3) suy ra O  AK = M  AB và 0 0 O
 AM = 90  KA  B = 90  A  BK 0,25 vuông tại A
3) Kẻ đường kính AE của đường tròn (O) . Chứng minh tam giác ACK 0,5
đồng dạng với tam giác EMO . +) Ta có: 0 A
 CE = 90  AC ⊥ CE mà MO / / AC  MO ⊥ CE Suy ra MO đi qua 0,25
trung điểm N của CE hay M
 CE cân tại M suy ra NM  E = CM  N , Và A
 CK = CMN (so le trong) nên ta được: O  ME = A  CK ( ) * +) 0 A  KC + A  KM =180 và 0 A  OM + M  OE =180 0,25
Tứ giác OMAK là tứ giác nội tiếp nên A  KM = A  OM Suy ra A  KC = M  OE ( ) ** Từ ( )
* ,(**) suy ra hai tam giác AC  K và E
 MO đồng dạng với nhau (g - g)
Cho các số thực không âm a,b và c thỏa mãn a + b + c = 1. 0,5
V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3a+1+ 3b+1+ 3c+1
Vì a  0,b  0,c  0 ; a + b + c = 1 suy ra a  1,b  1,c  1 suy ra 2 2 2
a  a,b  , b c  c 0,25 Ta có 2 2 2 0,25
P = 3a +1 + 3b +1 + 3c +1  a + 2a +1 + b + 2b +1 + c + 2c +1
 P  (a + )2 + (b + )2 + (c + )2 1 1 1
= a +1 + b +1 + c +1 = (a + b + c) + 3 =1+ 3 = 4
Vậy GTNN của P = 4 dấu " = " xảy ra khi ; a ;
b c là hoán vị của (0;0 ) ;1