Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Yên Định – Thanh Hóa
Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 7 cấp huyện năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo UBND huyện Yên Định, tỉnh Thanh Hóa; kỳ thi được diễn ra vào ngày 26 tháng 03 năm 2024; đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 7 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 26 tháng 3 năm 2024 Câu 1: (4 điểm)
1. Tính bằng cách hợp lí: 2000 4 2 4 5 20 a) A = b) B = 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 2 024 24 2024 7 24 3 4 5 2024
2. Tìm x, y biết: x 2024 2 2 6
x 3y 12 0 Câu 2: (4 điểm) y z
1. Tìm các số x, y, z biết 3x và 2 2 2
9x y 3z 60 4 5
2. Cho đa thức bậc hai: 2
f x ax bx c (x là ẩn; a, b, c là hệ số).
Biết rằng: f 0 2020, f
1 2021 , f
1 2023. Tính f 2 . Câu 3: (4 điểm)
1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: d abc chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3
a b c d cũng chia hết cho 3
2. Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là các số
nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6.
Câu 5: (6 điểm) Cho ABC c n t i , trên c nh BC l y điểm D (D không trùng với B và
C), trên tia đối c a tia CB l y điểm E sao cho BD CE, qua D k đ ờng th ng vuông g c
với BC cắt B t i M, qua E k đ ờng th ng vuông g c với BC cắt C t i N.
1. Chứng minh rằng: DM EN.
2. Chứng minh rằng đ ờng th ng BC cắt MN t i trung điểm c a MN.
3. Đ ờng th ng vuông g c với MN t i cắt tia ph n giác c a BAC t i O. 2 2 2
Chứng minh rằng OM ON MN :
OM.ON ON.MN MN.OM 2 1 1 1 1
Câu 6: (2 điểm) Chứng tỏ rằng: P 1 1 1 ... 1 3 2 3 2024 2 2 2 2
---------------Hết-----------------
Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………….SBD:…………………………….
H-íng dÉn chÊm m«n to¸n khèi 7 Biểu Câu Đáp án điểm 1. 2000 4 2 4 5 20 a) A = 2 024 24 2024 7 24 1 5 5 5 ( 1 1) 0 7 7 7 b) B = 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 3 4 5 2024 4 5 6 2025 = . . ... 3 4 5 2024 0.75 2025 = 675 3 0.25 1
2. Tìm x; y biết: x 2024 2 2 6
x 3y 12 0 (4 điểm)
2 x 62024 0 0,25 Vì: mọi x,y 2
x 3y 12 0 0,25
Nên để: x 2024 2 2 6
x 3y 12 0 thì: 2 x 6
2024 0 x 3 x 3 0,5 2 2
x 3y 12 0
x 3y 12 0 9 3y 12 0 0.5 0.5 x 3 x 3 0.5 9 3y 12 0 y 1 0.5 Vậy: ( , x y) (3; 1 ),( 3 ; 1 ) y z
1. Tìm các số x, y, z biết 3x và 2 2 2
9x y 3z 60 4 5 k x 3 y z 0.5 2
Đặt 3x k y 4k 4 5 (4 điểm) z 5k 0.75 k Mà: 2 2 2
9x y 3z 60 nên: 2 2 2
9( ) (4k) 3(5k) 60 3 0.75 Suy ra: 2
60k 60 k 1 1 1 x x 3 3
Với k 1 thì y 4 Với k -1 thì: y 4 z 5 z 5 Vậy : x y z 1 1 ; ; ( ;4;5),( ; 4 ; 5 ) 3 3
2. Cho đa thức bậc hai: 2
f x ax bx c (x là ẩn; a, b, c là hệ số).
Biết rằng: f 0 2020, f
1 2021 , f
1 2023. Tính f 2 .
Xét x = 0: f (0) 2020 c 2020 0.5 Xét x = 1:
f (1) 2021 a b c 2021 a b 1 (1) 0.5 Xét x = -1: f ( 1
) 2023 a b c 2023 a b 3 (2)
Cộng vế (1) và (2) suy ra a 2
Thay a 2 vào (1) tìm đ ợc: b -1 0.5
Từ đ tìm đ ợc f x 2 2x x 2020 Suy ra: ( ) 0.5
1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: d
abc chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3
a b c d cũng chia hết cho 3 Vì d
abc chia hết cho 3 nên a b c d 3 0.5 Nên ta đi chứng minh: 3 3 3 3
a b c d 3 Xét 3 2
a a a(a 1) a(a 1)(a 1) 3 0.5 3 b b 3 T ơng tự: 3 c c 3 3 d d 3 0.5 3 Nên 3 3 3 3
(a b c d ) (a b c d) 3
(4 điểm) Mà a bc d 3 nên 3 3 3 3
a b c d 3 0.5
Ta đ ợc điều phải chứng minh.
2. Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là
các số nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6.
. Vì a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên là các số l và không chia 0,25 hết cho 3:
a + b - a = b là số chẵn nên chia hết cho 2 (1) 0,5
Mặt khác a; a+b; a+2b không chia hết cho 3 nên khi chia 3 số đ cho 3 sẽ d 1 0.25 hoặc 2
Suy ra khi chia 3 số đ cho 3 sẽ c 2 sô cùng d : 0.25
+ Nếu a và a+b cùng d khi chia cho 3 thì a+b - a b chia hết cho 3
+ Nếu a và a+2b cùng d khi chia cho 3 thì a+2b - a 2b chia hết cho 3 suy ra b
chia hết cho 3 ( Vì (2,3) 1)
+ Nếu a+b và a+2b cùng d khi chia cho 3 thì (a+2b) - (a+b) b chia hết cho 3 0,5
Cả 3 tr ờng hợp ta đều c b chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2 ) ta c b chia hết cho 6 ( Vì (2 0,25 ,3) =1) A M 1 I 1 C B E 2 D H N O 1. Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ 0.5 Nên ̂ ̂
Xét hai tam giác MBD và tam giác NCE ta có : 0.75 4 BD=CE; ̂ ̂; ̂ ̂ (6 điểm) 0.75 Suy ra: M DB N
ECg. .cg DM EN (cặp c nh t ơng ứng) 2. 0
MDI vuông t i D: DMI MID 90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) N EI vuông t i E: 0
ENI NIE 90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà MID NIE (đối đỉnh) nên DMI ENI 0.75 M DI N EI(g. .
c g) IM IN (cặp c nh t ơng ứng) 0.75 0.5
Vậy BC cắt MN t i điểm I là trung điểm c a MN
3. Đ ng th ng vu ng g c với MN t i I c t tia ph n giác c a BAC t i O 2 2 2
Chứng minh rằng OM ON MN :
OM.ON ON.MN MN.OM 2 A
Ta có :3 c nh OM, ON, MN t o thành O MN 0.25 Đặt OM a, ON b, MN c 2 2 2
Bài toán trở thành a b c 0.25 :
ab bc ca M 2 2
a b c a ab ac 1 I 1 C 0.75 Theo BĐT tam giác ta c E : 2
b a c b ab bc B 2 D H 2
c a b c ac bc 0.5 Từ đ ta c 2 2 2
a b c 2(ab bc ca) O N 2 2 2
a b c 0.25 Suy ra
ab bc ca 2 1 1 1 1
Chứng tỏ rằng: P 1 1 1 ... 1 3 2 3 2024 2 2 2 2
Ta có 2n 2n 2(n N) 0.25 1 1 1 1 1 1 2n 2n 2 2n 2n 2 1 2n 1 1 0.5 Câu 6 2n 2(2n 2) (2 điểm)
Áp dụng vào P ta đ ợc : 1 1 1 1 P = 1 1 1 ..... 1 2 3 2024 2 2 2 2 2 3 4 2024 3 2 1 2 1 2 1 2 1 0.75 . . . .... 2 3 2023
2 2(2 1) 2(2 1) 2(2 1) 2(2 1) 2024 2024 3 2 1 2 1 3 . 3. 3 3 2023 2024 2024 2 2 2 2 0.25