Mã đ 0121 Trang 1/4
S GD&ĐT THANH HÓA
TRƯNG THPT TRIU SƠN 3
CHÍNH THC)
MÃ Đ: 0121
ĐỀ KHO SÁT CHT LƯNG HC SINH LP 12
LN 6 NĂM HC 2024 – 2025
MÔN: TOÁN 12
Thi gian làm bài: 90 phút;
gm có 22 câu; 04 trang)
H tên TS…………………………….Lp……….SBD……………; Ch kí ca CBCT:……………
PHN I. Câu trc nghim nhiu phương án la chn. Thí sinh tr lời t câu 1 đến câu 12. Mi câu
hi thí sinh ch chn một phương án.
Câu 1. Nghim của phương trình
( )
4
log 1 3
x
−=
A.
65
x
=
. B.
66x =
. C.
68
x =
. D.
63
x =
.
Câu 2. Nguyên hàm ca hàm s
( ) 1 cosfx x= +
A.
1 sin xC−+
. B.
. C.
sinx xC++
. D.
1 sin
xC++
.
Câu 3. Cho hàm s
( )
y fx=
có bng biến thiên như sau
Tng s đường tiệm cận ngang và đường tiệm cn đứng của đồ th m s đã cho là
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 4. Cho tứ din
ABCD
. Gi
,MN
ln lượt là trung điểm ca
,AB CD
G
trung điểm ca
.MN
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.
GA GB GC GD++ =
   
. B.
0GA GB GC GD+++ =
   
.
C.
0GM GN
+=
 
. D.
4MA MB MC MD MG+++ =
    
.
Câu 5. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nht và
SA
vuông góc vi
()ABCD
.
Khi đó, mặt phẳng
()
SCD
vuông góc vi mặt phẳng
A.
()ABCD
. B.
()SBC
. C.
( )
.SAD
D.
()SAC
.
Câu 6. Cho cp s cng
( )
n
u
biết
5 10
5, 15uu= =
. S hạng thứ by ca cp s cộng đã cho là
A.
7
9.u =
B.
7
7.u =
C.
7
8.u =
D.
7
12.u =
Câu 7. Cho hàm s
( )
y fx=
có bng biến thiên như sau
Mã đ 0121 Trang 2/4
Hàm s đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2; . +∞
B.
( )
2;3 .
C.
(
)
3; .
+∞
D.
( )
; 2.−∞
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:2 1 0P xy+ −=
có một vectơ pháp tuyến là
A.
. B.
( )
2
2;1; 1n =
. C.
( )
3
1; 2; 0n =
. D.
( )
1
2; 1;1 .n =−−
Câu 9. Cho hai mu s liu ghép nhóm
A
B
có bảng tần s ghép nhóm như sau:
Nhóm
A
[1, 6;1, 8)
[1, 8; 2, 0)
[2, 0;2, 2)
[2, 2;2,4)
[2, 4;2,6)
Tn s 12 25 18 10 2
Nhóm
B
[2, 0;2, 2)
[2, 2;2,4)
[2, 4;2,6)
[2, 6;2,8)
[2,8; 3, 0)
Tn s 24 50 36 20 4
Gi
2
A
S
2
B
S
ln lưt pơng sai ca mu s liu ghép nhóm
A
B
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
22
4
BA
SS=
. B.
22
AB
SS=
. C.
22
0,16
AB
SS=
. D.
22
2
BA
SS=
.
Câu 10. Tp nghim ca bất phương trình
1
11
24
x



A.
[
)
3; +∞
. B.
( )
3; +∞
. C.
(
]
;3−∞
. D.
(
]
1; 3
.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 2;1)
I
(1; 2;3)A
. Phương trình mặt cầu tâm
I
và đi qua
A
A.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 20xy z ++ +− =
. B.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 5xy z+ + ++ =
.
C.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 5
xy z
++ +− =
. D.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 20xy z
+ + ++ =
.
Câu 12. Diện tích hình phẳng gii hn bởi hai đường
2
1yx=
1yx=
bng
A.
13
.
6
π
B.
6
π
. C.
1
6
. D.
13
6
.
PHN II. Câu trc nghim đúng sai. Thí sinh tr lời t câu 1 đến câu 4. Trong mi ý a), b), c), d)
mi câu, thí sinh chn đúng hoc sai.
Câu 1. Cho hàm s
( ) ( )
ln 2 1fx x x=−+
có tập xác định là
D
.
a) Hàm s nghch biến trên khoảng
1
0;
2



.
b)
1
2
x =
là điểm cực tiểu ca hàm s.
c) Đạo hàm ca hàm s
( )
fx
( )
11
1, ;
21 2
f' x x
x

= +∞

+

.
d)
.
Câu 2. Một nhà máy thực hin khảo sát toàn bộ công nhân về s hài lòng ca h v điều kin làm vic
tại phân xưởng (gồm 2 phân xưởng I và II). Kết qu khảo sát như sau:
Khảo sát công nhân
Kết quả khảo sát
Hài lòng
Không hài lòng
S công nhân phân xưởng I 23 12
Mã đ 0121 Trang 3/4
S công nhân phân xưởng II
25 15
Gp ngu nhiên một công nhân của nhà máy. Gi
A
là biến c "Công nhân đó làm việc tại phân xưởng
I" và
B
là biến c "Công nhân đó hài lòng với điu kin làm việc tại phân xưởng".
a) Biết công nhân đó hài lòng với điều kin làm vic tại phân xưởng. Xác sut gặp được công nhân
thuộc phân xưởng II là
13
25
.
b) Biết công nhân đó thuộc phân xưởng I. Xác sut gặp được công nhân không hài lòng với điu kin
làm việc tại phân xưởng là
12
35
.
c) Xác suất của biến c
A
7
15
.
d) Xác suất của biến c
B
13
20
.
Câu 3. Mt chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với
vn tc
()vt
(đơn vị:
/ms
) là hàm s ph thuc thi gian
t
(đơn vị: giây) có đồ th như hình vẽ bên.
a) Ti thời điểm
15t =
giây, vận tốc ca cht đim bng
16 /
ms
.
b) Quãng đường cht đim đi được t lúc xuất phát đến
khi dng li bng 228 mét.
c) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời
gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 48m.
d) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ th
ca
()vt
là một phần của đường parabol. Khi đó
2
( ) 30 209( / )vt t t m s=−+
.
Câu 4. Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, đơn vị độ dài trên
mi trục 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được
đặt v trí
(3; 2;5)I
trên một ngôi làng ven biển và được thiết kế vi
bán kính phủ sóng là 6 km.
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh gii bên ngoài ca vùng ph
sóng trong không gian là
2 22
( 3) ( 2) ( 5) 36xyz+++−=
.
b) Mt ngưi đi tàu đến v trí có ta đ
( 2;5;3)M
thì ti v trí này
vẫn có thể s dng dch v của trạm thu phát sóng.
c) Mt hòn đo nh có dng hình tam giác vi các đỉnh có toạ độ
(5;7; 2), ( 6; 2;3)AB
,
. Hòn đo đó nm trên mt phng cách trm thu phát sóng một khoảng
bng
5,89 km
(kết qu làm tròn đến hàng phn trăm).
d) T v trí
55
2;1;
49
N



trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyn vi vectơ vn tc
(2; 3; 0).v =
Sau na giờ, người đó chưa thể s dụng được dch v của trạm thu phát sóng.
PHN III. Câu trc nghim tr lời ngn. Thí sinh tr lời t câu 1 đến câu 6. Kết qu một s
tối đa 4 ký tự, bao gm c du tr (-) và dấu phy (,).
Câu 1. Bạn An làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất An làm đúng bài thứ nhất là 0,9. Nếu An làm đúng bài
th nht thì kh năng làm đúng bài thứ hai 80%; nhưng nếu An làm sai bài th nht thì kh năng làm
đúng bài thứ hai là 30%. Xác sut đ An làm đúng bài thứ nht biết rằng An đã làm đúng bài thứ hai bng
m
n
, vi
,mn
( , ) 1.mn =
Tính
22
.mn
+
Mã đ 0121 Trang 4/4
Câu 2. Cho mnh giấy màu hình bán nguyệt đường kính đoạn thẳng
AB
độ dài bng 2. Trên
cung
AB
ly một điểm
P
. Gp mnh giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng
AP
sao cho hai phn giấy khít
lên nhau. Khi
PAB
θ
=
(vi
0
4
π
θ
<<
), gi
()S
θ
là din tích phần giy b chng lên nhau.
Gi s
()S
θ
đạt giá tr ln nht ti
.
θα
=
Hi giá tr ca
cos
α
bao nhiêu? (làm tròn kết qu đến hàng
phần trăm)
Câu 3. Ông Bình cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 triệu VNĐ vi lãi sut
0,5%
/ tháng. Hi sau ít
nhất bao nhiêu tháng thì ông Bình đủ tiền tiết kiệm đ mua được mt chiếc xe ô tr giá 450 triệu
VNĐ?
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng
.'' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Gi
E
là trung điểm
.AB
Cho biết
2AB =
,
13BC =
,
'4CC =
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
'AB
CE
(làm
tròn đến hàng phn trăm).
Câu 5. Cho miền hình phẳng
()H
được gii hn bi các cnh
,BC CD
của hình chữ nhật các cung phần tư của đường elip
()E
đường
tròn
()C
(phn gch chéo hình bên). Biết
()C
bán kính bằng 12
cm vi tâm là trung đim ca cnh
AD
()
E
là elip có hai tiêu điểm
H
K
cách nhau
6 7 cm
. Mt vt trang trí có dng một khối tròn
xoay được tạo thành khi miền
()H
quay quanh trục
BC
. Tính thể tích
ca vt th này theo đơn vị
3
cm
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 6. Trong không gian vi h trc to độ
Oxyz
, đơn vị độ dài trên
mi trc là 1 mét, một công ty xây dựng đang triển khai h thng cp
nước thông minh trong một khu công nghiệp. tả đ
lắp đặt như sau:
* Bn cha nưc
A
được đt trên tng cao ca nhà máy, có
tọa độ
(5;0;6)A
.
* Máy lọc nước
B
nm mt v trí trong khu xử lý, có tọa
độ
(3; 5; 0)B
.
Do địa hình phức tạp, đường ống nước phi đưc lp đt gp
khúc gồm 3 đoạn:
* Đường ống từ bn
A
đi qua trục
Oz
tại một điểm
.M
* T
M
ni ống đến trục
Oy
tại một điểm
.N
* Cui cùng ni tiếp đến điểm
B
(đường ống đi theo gấp khúc
AM N B →→
).
Khi đó, chiều dài tối thiểu của đường ống là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).
----HT---
Mã đ 0122 Trang 1/4
S GD&ĐT THANH HÓA
TRƯNG THPT TRIU SƠN 3
CHÍNH THC)
MÃ Đ: 0122
ĐỀ KHO SÁT CHT LƯNG HC SINH LP 12
LN 6 NĂM HC 2024 – 2025
MÔN: TOÁN 12
Thi gian làm bài: 90 phút;
gm có 22 câu; 04 trang)
H tên TS…………………………….Lp……….SBD……………; Ch kí ca CBCT:……………
PHN I. Câu trc nghim nhiu phương án la chn. Thí sinh tr lời t câu 1 đến câu 12. Mi câu
hi thí sinh ch chn một phương án.
Câu 1. Cho hàm s
( )
y fx=
có bng biến thiên như sau
S đường tim cn ngang ca đồ th m s đã cho là
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 2. Nguyên hàm của hàm s
( ) 1 cosfx x=
A.
1 sin
xC−+
. B.
sinx xC−+
. C.
1 sin xC++
. D.
sin
x xC++
.
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nht và
SA
vuông góc với
()ABCD
.
Khi đó, mặt phng
()SBC
vuông góc với mt phng
A.
()SAB
. B.
()SAC
. C.
( )
.SAC
D.
()ABCD
.
Câu 4. Cho cp s cng
( )
n
u
biết
5 10
5, 15uu= =
. S hng th tám ca cp s cộng đã cho là
A.
8
11.u
=
B.
8
12.u =
C.
8
9.u =
D.
8
10.u
=
Câu 5. Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm
A
B
có bng tn s ghép nhóm như sau:
Nhóm
A
[1, 6;1, 8)
[1, 8; 2, 0)
[2, 0;2, 2)
[2, 2;2,4)
[2, 4;2,6)
Tn s 12 25 18 10 2
Nhóm
B
[2, 0;2, 2)
[2, 2;2,4)
[2, 4;2,6)
[2, 6;2,8)
[2,8; 3, 0)
Tn s 24 50 36 20 4
Gi
2
A
S
2
B
S
lần lưt phương sai ca mu s liệu ghép nhóm
A
B
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
22
2
BA
SS=
. B.
22
0,16
AB
SS=
. C.
22
4
BA
SS=
. D.
22
AB
SS=
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 2;3)I
(1; 2;1)A
. Phương trình mặt cầu có tâm
I
đi qua
A
Mã đ 0122 Trang 2/4
A.
2 22
( 1) ( 2) ( 3) 20xy z+++++=
. B.
2 22
( 1) ( 2) ( 3) 20xy z+−+−=
.
C.
2 22
(1)( 2)(3)5xy z+−+−=
. D.
2 22
(1)( 2)(3)5xy z+++++=
.
Câu 7. Din tích hình phng gii hn bởi hai đường
2
3=yx
3=yx
bng
A.
6
π
. B.
1
6
. C.
125
6
. D.
125
6
π
.
Câu 8. Tp nghim ca bất phương trình
1
11
24
x



A.
[
)
3; +∞
. B.
( )
3; +∞
. C.
(
]
;3−∞
. D.
(
]
1; 3
.
Câu 9. Nghim của phương trình
( )
4
log 1 3
x
+=
A.
68x =
. B.
65x =
. C.
63x =
. D.
66x =
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, mặt phng
(
)
: 2 10
Px y
+ −=
có một vectơ pháp tuyến là
A.
( )
2
1; 2; 1n
=
. B.
( )
3
1; 2; 0n =
. C.
( )
4
2;1; 0n =
. D.
( )
1
1; 2;1n
=−−
.
Câu 11. Cho t din
ABCD
. Gi
,
MN
lần lưt trung đim ca
,AB CD
G
trung điểm ca
.MN
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.
GA GB GC GD++ =
   
. B.
4MA MB MC MD MG+++ =
    
.
C.
0GA GB GC GD
+++ =
   
. D.
0GM GN+=
 
.
Câu 12. Cho hàm s
( )
y fx=
có bng biến thiên như sau
Hàm s đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(
)
2; . +∞
B.
( )
;3 .−∞
C.
( )
3; .
+∞
D.
( )
2;3 .
PHN II. Câu trc nghim đúng sai. Thí sinh trả lời t câu 1 đến câu 4. Trong mi ý a), b), c), d)
mi câu, thí sinh chn đúng hoc sai.
Câu 1. Trong không gian với h trc ta đ
Oxyz
, đơn vị độ dài trên
mi trục 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoi di động được
đặt v trí
(3; 2;5)I
trên một ngôi làng ven biển được thiết kế vi
bán kính phủ sóng là 6 km.
a) T v trí
55
2;1;
49
N



trên hòn đảo, một người chèo thuyền di
chuyển vi vectơ vn tc
(2; 3; 0)v =
. Sau nửa giờ, người đó th s
dụng được dch v ca trạm thu phát sóng.
b) Một người đi tàu đến v trí có ta đ
( 2;5;3)M
thì ti v trí này
không thể s dng dch v ca trạm thu phát sóng.
c) Phương trình mặt cầu tả ranh gii bên ngoài ca vùng ph sóng trong không gian
2 22
( 3) ( 2) ( 5) 36xyz+ + ++ =
.
d) Một hòn đảo nh có dạng hình tam giác với các đnh có to độ
(5;7; 2), ( 6; 2;3)AB
,
(2; 5; 3).C −−
Hòn đảo đó nằm trên mt phng cách trạm thu phát sóng một khong bng
5,98 km
(kết qu làm tròn đến
hàng phần trăm).
Mã đ 0122 Trang 3/4
Câu 2. Một nhà máy thực hin khảo sát toàn bộ công nhân về s hài lòng của h v điều kiện làm việc ti
phân xưởng (gm 2 phân xưởng I và II). Kết quả khảo sát như sau:
Khảo sát công nhân
Kết quả khảo sát
Hài lòng Không hài lòng
S công nhân phân xưởng I 23 12
S công nhân phân xưởng II
25
15
Gp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi
A
biến c "Công nhân đó làm việc tại phân xưởng
I" và
B
là biến c "Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng".
a) Xác sut ca biến c
A
22
75
.
b) Biết công nhân đó thuộc phân xưởng I. Xác suất gp được công nhân không hài lòng với điều kiện
làm việc tại phân xưởng là
12
35
.
c) Biết công nhân đó hài lòng với điều kiện làm vic tại phân xưởng. Xác suất gặp được công nhân
thuộc phân xưởng II là
13
24
.
d) Xác sut ca biến c
B
16
25
.
Câu 3. Cho hàm s
( ) ( )
ln 2 1fx x x=−+
có tập xác định là
D
.
a)
1
;
2
D

= +∞


.
b) m s nghch biến trên khong
1
;2
2



.
c) Đạo hàm ca hàm s
( )
fx
( )
2
1,
21
f' x x D
x
= ∀∈
+
.
d)
1
2
x =
là điểm cực đại ca hàm s.
Câu 4. Mt cht điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với
vn tc
()vt
(đơn vị:
/ms
) là hàm s ph thuc thi gian
t
(đơn vị: giây) có đồ th như hình vẽ bên.
a) Ti thời điểm
13t =
giây, vận tc ca chất điểm bng
16 /ms
.
b) Quãng đường cht đim đi đưc trong khong thi gian
t 4 giây đến 13 giây bằng 108m.
c) Quãng đường cht đim đi đưc trong khong thi gian
t 4 giây đến khi dừng lại bằng 180 mét.
d) Trong khong thi gian t 13 giây đến 19 giây, đồ th
ca
()vt
mt phn của đường parabol. Khi đó
2
( ) 30 209( / )vt t t m s=−+
.
PHN III. Câu trc nghim tr lời ngn. Thí sinh tr lời t câu 1 đến câu 6. Kết qu là một s
tối đa 4 ký tự, bao gm c du tr (-) và dấu phy (,).
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng
.'' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Gi
E
là trung điểm
AB
. Cho biết
4AB =
,
2 13BC =
,
'8CC =
. Tính khoảng cách giữa hai đường thng
'AB
CE
(làm
tròn đến hàng phn trăm).
Mã đ 0122 Trang 4/4
Câu 2. Trong không gian với h trc toạn độ
Oxyz
, đơn
v độ dài trên mi trc là 1 mét, một công ty xây dựng đang
trin khai h thng cp ớc tng minh trong một khu
công nghiệp. Mô tả sơ đ lắp đặt như sau:
* Bn chứa nước
A
được đt trên tng cao ca nhà máy,
có tọa độ
(5;0;6)A
.
* Máy lọc nưc
B
nm mt v trí trong khu xử lý, có ta
độ
(3; 4; 0)B
.
Do đa hình phc tạp, đưng ống nước phải được lắp đặt
gấp khúc gồm 3 đoạn:
* Đường ng t bn
A
đi qua trục
Oz
ti một điểm
.M
* T
M
ni ống đến trc
Oy
ti một điểm
.
N
* Cuối cùng ni tiếp đến điểm
B
(đường ống đi theo gấp khúc
AM N B
→→
).
Khi đó, chiều dài tối thiểu của đường ống là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 3. Cho mnh giấy màu hình bán nguyệt đường kính đoạn thng
AB
có đ dài bng 2. Trên cung
AB
lấy mt đim
P
. Gp mnh giy theo nếp gp đon thng
AP
sao cho hai phn giấy khít lên nhau.
Khi
PAB
θ
=
(vi
0
4
π
θ
<<
), gi
()S
θ
là din tích phn giấy bị chồng lên nhau.
Gi s
()S
θ
đạt giá tr lớn nht ti
.
θα
=
Hi giá tr ca
sin
α
là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng
phần trăm)
Câu 4. Cho min hình phng
()H
được gii hn bi các cnh
,BC CD
ca hình ch nhật và các cung phần tư của đường elip
()E
đường tròn
()C
(phn gch chéo hình bên). Biết
()C
bán
kính bng 12 cm vi tâm là trung đim ca cnh
AD
()
E
là elip
hai tiêu điểm
H
K
cách nhau
6 7 cm
. Mt vt trang trí có
dng mt khối tròn xoay được to thành khi min
()H
quay quanh
trc
BC
. Tính th tích ca vt th này theo đơn vị lít (làm tròn kết
quả đến hàng phn trăm).
Câu 5. Bạn Bình làm hai bài tập liên tiếp. Xác sut Bình làm đúng bài thứ nhất là 0,8. Nếu Bình làm đúng
bài th nht thì kh năng làm đúng bài thứ hai là 90%; nhưng nếu Bình làm sai bài th nht thì kh năng
làm đúng bài thứ hai là 30%. Xác sut đ Bình làm đúng bài thứ nht biết rằng Bình đã làm đúng bài th
hai bng
m
n
, với
,mn
( , ) 1.mn =
Tính
33
.mn+
Câu 6. Ông Bình c đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 triệu VNĐ vi lãi sut
0,5%
/ tháng. Hỏi sau ít
nhất bao nhiêu tháng thì ông Bình đủ tin tiết kim đ mua được mt chiếc xe ô trị giá 480 triu
VNĐ?
----HT---
S GD&ĐT THANH HÓA
TRƯNG THPT TRIU SƠN 3
(ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC)
KHO SÁT CHT LƯNG HC SINH LP 12
LN 6 NĂM HỌC 2024 – 2025
MÔN: TOÁN 12
PHN I: ĐÁP ÁN CHUNG Đ CHẤM
Mã 0121
Mã 0122
Mã 0123
Mã 0124
Phn I: Gm có 12 câu, s đim: 0,25đ/câu = 3,0 đim
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
1
A
1
A
1
B
1
C
2
C
2
B
2
A
2
D
3
B
3
A
3
C
3
D
4
A
4
A
4
B
4
A
5
C
5
D
5
D
5
C
6
A
6
B
6
D
6
B
7
B
7
B
7
D
7
A
8
A
8
A
8
B
8
D
9
B
9
C
9
C
9
B
10
C
10
B
10
B
10
A
11
A
11
A
11
D
11
C
12
C
12
C
12
B
12
C
Phn II: Gm có 4 câu, s đim: 1,0 đ/câu = 4,0 đim (chn đúng 1 ý đưc 0,1đ; chn
đúng 2 ý đưc 0,25đ; chn đúng 3 ý đưc 0,5đ; chn đúng 4 ý đưc 1,0đ)
1
ĐĐSS
1
ĐĐSS
1
ĐSĐS
1
SĐĐĐ
2
SĐĐS
2
SĐSĐ
2
SĐĐS
2
ĐĐSS
3
ĐSSĐ
3
ĐSĐS
3
ĐĐSS
3
SSĐĐ
4
ĐSĐS
4
SĐĐĐ
4
SĐSĐ
4
ĐSSĐ
Phn III: Gm có 6 câu, s đim: 0,5 đ/câu = 3,0 đim.
1 1201 1 1,71 1 50 1 3925
2 0,91 2 12,7 2 0,91 2 12,7
3 50 3 0,42 3 0,86 3 0,42
4 0,86 4 7,36 4 7357 4 53
5 7357 5 3925 5 1201 5 1,71
6 13,5 6 53 6 13,5 6 7,36
PHN II: ĐÁP ÁN CHI TIT GC 0121
PHẦN I. Câu trắc nghim nhiều phương án lựa chn. Thí sinh tr lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hi thí sinh ch chn một phương án.
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số
( ) 1 cosfx x= +
A.
1 sin xC−+
. B.
1 sin xC++
. C.
sinx xC−+
. D.
sinx xC++
.
Lời giải
Chn D
(1 cos ) sinx dx x x C+ =++
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chn D
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là: .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là .
Câu 3: Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm
A
B
có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm
A
[1, 6;1, 8)
[1, 8; 2, 0)
[2, 0;2, 2)
[2, 2;2,4)
[2, 4;2,6)
Tần số
12
25
18
10
2
Nhóm
B
[2, 0;2, 2)
[2, 2;2,4)
[2, 4;2,6)
[2, 6;2,8)
[2,8;3, 0)
Tần số
24
50
36
20
4
Gi
2
A
S
2
B
S
lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
A
B
. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A.
22
AB
SS=
. B.
22
4
BA
SS=
. C.
22
2
BA
SS=
. D.
22
0,16
AB
SS=
.
Lời giải
Chn A
Áp dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta có
22
AB
SS=
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 2;1)I
(1; 2;3)A
. Phương trình mặt cầu tâm
I
và đi qua
A
A.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 20xy z ++ +− =
. B.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 5xy z+ + ++ =
.
C.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 20xy z+ + ++ =
. D.
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 5xy z ++ +− =
.
Lời giải
Chn A
Ta có
2 22
(1 1) [2 ( 2)] (3 1) 2 5R IA= = +− +− =
.
Phương trình mặt cầu có tâm
I
và đi qua
A
2 22
( 1) ( 2) ( 1) 20xy z ++ +− =
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau
2
1yx=
1yx=
6
π
13
6
13
6
π
1
6
22
0
11 0
1
x
x x xx
x
=
−= −⇔ =
=
1
2
0
1
d
6
x xx−=
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tim cận đứng của đồ th hàm số đã cho là
A.
3
B.
2
C.
4
D.
1
Lời giải
Chn A
Từ bảng biến thiên ta có:
1
lim
x
y
= +∞
nên đường thẳng
1x =
là đường tiệm cận đứng của đồ th hàm số
lim 2, lim 5
xx
yy
−∞ +∞
= =
nên đường thẳng
2y =
5y =
là các đường tiệm cận ngang của đồ
th hàm số
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ th hàm số đã cho là 3
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình
1
11
24
x



A.
(
]
;3−∞
. B.
(
)
3; +∞
. C.
[
)
3;
+∞
. D.
(
]
1; 3
.
Lời giải
Chn A
1 12
1 11 1
12 3
2 42 2
xx
xx
−−
  
−≤
  
  
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:2 1 0
P xy+ −=
có một vectơ pháp tuyến là
A.
( )
4
2;1; 0n =
. B.
( )
3
1; 2; 0n
=
. C.
( )
2
2;1; 1
n =
. D.
( )
1
2; 1;1n =−−
.
Lời giải
Chn A
Mặt phẳng
( )
:2 1 0P xy
+ −=
có một vectơ pháp tuyến là
(
)
4
2;1; 0n =
.
Câu 8: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật và
SA
vuông góc với
()ABCD
.
Khi đó, mặt phẳng
()SCD
vuông góc với mặt phẳng
A.
()
SBC
. B.
()SAC
. C.
( )
.SAD
D.
()ABCD
.
Lời giải
Chn C
Ta có
()()()
CD SA
CD SAD SCD SAD
CD AD
⇒⊥
.
Câu 9: Nghiệm của phương trình
( )
4
log 1 3x −=
A.
66x =
. B.
68x =
. C.
65x =
. D.
63x =
.
Lời giải
Chn C
Ta có
( )
3
4
log 1 3 1 4 65xxx = −= =
.
Câu 10: Cho cấp số cộng
( )
n
u
biết
5 10
5, 15uu= =
. S hạng thứ bảy của cấp s cộng đã cho là
A.
7
12.u =
B.
7
8.
u =
C.
7
7.u =
D.
7
9.
u =
Lời giải
Chn D
Ta có:
10 5
52uu dd
= + ⇒=
.
Vậy
75
29uu d
=+=
.
Câu 11: Cho tứ diện
ABCD
. Gi
,MN
lần lượt trung đim ca
,AB CD
G
trung điểm ca
.
MN
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.
4MA MB MC MD MG+++ =
    
. B.
GA GB GC GD++ =
   
.
C.
0
GA GB GC GD+++ =
   
. D.
0
GM GN+=
 
.
Lời giải
Chn B
+ Ta có:
24MA MB MC MD MN MG+++ = =
     
. Suy ra A đúng.
+ Gi sử đẳng thức
GA GB GC GD++ =
   
đúng.
Suy ra
2 2 222 0GM GC GD GD GM GN GD GD G D+ + = + = =⇒≡
       
vô lí.
Vậy B sai.
+ Ta có:
220
GA GB GC GD GM GN+++ = + =
     
. Vậy C đúng.
+ Do
G
là trung điểm ca
MN
nên
0GM GN+=
 
. Vậy D đúng.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx
=
có bảng biến thiên như sau
Hàm s đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;3
B.
( )
3; +∞
C.
( )
;2−∞
D.
( )
2; +∞
Lời giải
Chn A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời t câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d)
mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số
( ) ( )
ln 2 1fx x x=−+
có tập xác định là
D
.
a)
( )
0;D = +∞
.
b) Đạo hàm của hàm số
( )
fx
( )
11
1, ;
21 2
f' x x
x

= +∞

+

.
c)
1
2
x =
là điểm cực tiểu của hàm số.
d) m s nghịch biến trên khoảng
1
0;
2



.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
21
2
ln 2 1 1 1
21 21
x'
f x x x f' x
xx
+
= +⇒ = =
++
a) Sai. Đúng là
1
;
2
D

= +∞


b) Ta có
( )
2
'1
21
fx
x
=
+
. Do đó ý b) sai
c) Ta có
( )
21
'1 0
21 2
fx x
x
= =⇔=
+
Ta có bảng xét dấu của
'( )fx
:
x
1
2
1
2
+∞
'( )fx
0
+
Từ bảng biến thiên, ta thấy
1
2
x =
là điểm cực tiểu của hàm số. Do đó ý c) đúng
d) Quan sát bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
11
;
22



nên hàm số nghịch biến trên khoảng
1
0;
2



. Do đó ý d) đúng
Câu 2: Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của h v điều kin làm
việc tại phân xưởng (gồm 2 phân xưởng I và II). Kết quả khảo sát như sau:
Khảo sát công nhân
Kết quả khảo sát
Hài lòng
Không hài lòng
S công nhân phân xưởng I
23
12
S công nhân phân xưởng II
25
15
Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi
A
biến cố "Công nhân đó làm vic ti
phân xưởng I"
B
biến cố "Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân
xưởng".
a) Xác sut của biến cố
A
7
15
.
b) Xác sut của biến cố
B
13
20
.
c) Biết công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng. Xác suất gặp được công
nhân thuộc phân xưởng II là
13
25
.
d) Biết công nhân đó thuộc phân xưởng I. Xác suất gp được công nhân không hài lòng với
điều kiện làm việc tại phân xưởng là
12
35
.
Lời giải
Tổng số công nhân là 75 nên
( ) 75n Ω=
.
a) Ta có
35 7
( ) 23 12 35 ( )
75 15
nA PA=+= = =
. Do đó a) Đúng.
b) Ta có
48 16
( ) 23 25 48 ( )
75 25
nB PB=+=⇒ = =
. Do đó b) Sai.
c) Ta có
25 1
()25 ()
75 3
n AB P AB=⇒==
. Suy ra
( ) 25
()
( ) 48
P AB
PA B
PB
= =
.Do đó c) Sai.
d) Ta có
12 4
()12 ()
75 25
n BA P BA=⇒==
. Suy ra
( ) 12
()
( ) 35
P BA
PB A
PA
= =
.Do đó d) Đúng.
Câu 3: Mt chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với vận tốc
()vt
(đơn vị:
/ms
) là hàm s
phụ thuộc thời gian
t
(đơn vị: giây) có đồ th như hình vẽ.
a) Tại thi đim
15
t =
giây, vận tốc của chất điểm bằng
16 /ms
.
b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 48m.
c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ th của
()vt
mt phần của đường
parabol. Khi đó
2
( ) 30 209( / )vt t t m s=−+
.
d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng 228 mét.
Lời giải:
a) Quan sát đ th của hàm s vận tốc theo t, tại thời điểm
15t =
giây, vận tốc ca chất điểm
bằng
16 /ms
. Do đó ý a) Đúng
b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian t 0 giây đến 4 giây bằng diện
tích tam giác vuông
1
S
. Ta có
1
1
4 12 24
2
S = ⋅⋅ =
. Do đó ý b) Sai
c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ th của
()vt
mt phần của đường
parabol
2
y ax bx c= ++
.
Parabol qua các đim
(13;12),(15;16),(19;0)
ta h phương trình n
,,abc
:
169 13 12 1
225 15 16 30
361 19 0 209
a bc a
a bc b
a bc c
+ += =

+ += =


+ += =
Vậy
2
( ) 30 209vt t t=−+
(
/ms
).
Do đó ý c) Đúng
d) Quãng đường chất điểm đi được t lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng
( )
19
2
123
13
24 (13 4) 12 30 209 204( ).S S S t t dt m+ + = + + −+ =
Do đó ý d) Sai
Câu 4: Trong không gian với h trục tọa đ
Oxyz
, đơn vị độ dài trên mi trc là 1 kilômét, mt trm
thu phát sóng điện thoại di động được đt v trí
(3; 2; 5)I
trên một ngôi làng ven biển
được thiết kế với bán kính phủ sóng là 6 km.
a) Phương trình mặt cầu tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian
2 22
( 3) ( 2) ( 5) 36xyz+++−=
.
b) Một người đi tàu đến v trí ta đ
( 2;5;3)M
thì ti v trí này vẫn có th sử dụng dịch
v của trạm thu phát sóng.
c) Một hòn đảo nhỏ dạng hình tam giác với các đỉnh toạ độ
(5;7; 2), ( 6; 2;3)
AB
,
(2; 5; 3)C −−
. Hòn đảo đó nằm trên mặt phẳng cách trạm thu phát sóng một khoảng bằng
5,89 km
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Từ v trí
55
2;1;
49
N



trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyển vi vectơ vận tốc
(2; 3; 0)v =
. Sau nửa giờ, người đó chưa thể sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng.
Lời giải
a) Mặt cầu tâm
(3; 2; 5)I
, bán kính 6 có phương trình là
2 22
( 3) ( 2) ( 5) 36
xyz
+++−=
. Do đó ý a) đúng
b) Ta
222
( 2 3) (5 2) (3 5) 78 6
IM = −− + + + = >
nên người đó không thể sử dụng
dịch vụ của trạm thu phát sóng. Do đó ý b) sai
c) Gi
()P
là mặt phẳng đi qua ba điểm
(5;7; 2), ( 6; 2;3), (2; 5; 3)AB C −−
.
Khi đó ta có:
(11;5;1), (3;12;5)AB AC= =−−
 
.
Do đó
()P
có một vectơ pháp tuyến là
[ , ] (37; 58;117)n AB AC= =
 
.
Phương trình mặt phẳng
()P
là:
37 58 117 13 0xy z + −=
.
Vậy khoảng cách từ trạm thu phát sóng đến mặt phẳng
()P
2 22
| 37 3 58 ( 2) 117 5 13|
( ,( )) 5,89( )
37 ( 58) 117
d I P km
⋅− +
=
+− +
Do đó ý c) đúng
d) Từ v trí
55
2;1;
49
N



trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyển với vectơ
vận tốc
(2; 3; 0)
v =
. Phương trình tham s của đường thẳng
()d
đi qua điểm
55
2;1;
49
N



có vectơ ch phương
(2; 3; 0)
v
=
22
13
55
49
xt
yt
z
= +
= +
=
Sau nửa giờ (tức là khi
1
2
t =
), người đó đến vị trí
5 55
3; ;
2 49
N



.
Ta có:
22
2
5 55
(3 3) 2 5 5,94 6
2 49
IN

= ++ + <


.
Vậy người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng này.
Do đó ý d) sai
PHẦN III. Câu trắc nghim tr lời ngn. Thí sinh tr lời từ câu 1 đến câu 6. Kết qu là một s
tối đa 4 ký tự, bao gồm c dấu tr (-) và dấu phy (,).
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng
.'' 'ABC A B C
đáy
ABC
tam giác vuông tại
A
. Gi
E
trung
điểm
AB
. Cho biết
2AB
=
,
13BC
=
,
'4CC =
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
AB
CE
(làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp số: 0,86
Gi
F
là trung điểm
AA '
thì
'/ / BA'EF
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
'/ / ( ', ) '; , ,BA EFC d BA CE d BA EFC d B EFC d A EFC ⇒= = =
Dựng
,AI EC AH FI⊥⊥
khi đó
( ) (
)
( )
,AH EFC d A EFC AH⊥⇒ =
Do
ABC
vuông tại
A
nên
3AC a=
,
2 2 22
1 1 1 10 3
9
10
a
AI
AI AE AC a
= + = ⇒=
AIF
vuông tại
A
, có đường cao
AH
nên
22 2 2
1 1 1 49 6
36 7
a
AH
AH AI AF a
=+ = ⇒=
( )
( )
6
';
7
a
d BA EFC =
. Thay
1a =
suy ra
6
( ', ) 0,86
7
d BA CE =
Câu 2: Ông Bình cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 triệu VNĐ vi lãi sut
0,5%
/ tháng. Hỏi sau
ít nhất bao nhiêu tháng thì ông Bình có đủ tin tiết kim đ mua được một chiếc xe ô tr
giá 450 triệu VNĐ?
F
E
A'
C'
B
A
C
B'
I
H
Lời giải
Đáp số: 50
Đặt
8T
=
triệu.
S tiền Ông Bình thu được sau tháng thứ nhất, thứ 2, thứ 3,., thứ
n
lần lượt là
123
, , ,...,
n
TTT T
Ta có:
( )
1
1TT r= +
[ ]
( ) ( ) ( )
2
21
11 1TTT rTrTr= + += + + +
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
32
32
11 1 1TTT rTrTrTr=+ +=+++++
….
(
) ( ) ( ) ( )
( )
1
11
1 1 ... 1 1
n
nn
n
r
TTrTr TrTr
r
+−
=+++ +++=+×
Theo bài ra ta có:
( )
( )
11
450 1 450
n
n
r
T Tr
r
+−
= =
( )
1.005
343 343
1 log 49,47
268 268
n
rn+ = ⇔=
50n⇒=
.
Vậy sau 50 tháng thầy giáo sẽ mua được một chiếc xe ô tô trị giá 450 VNĐ.
Câu 3: Trong không gian với h trc to độ
Oxyz
, đơn vị độ dài trên mi trc là 1 mét, một công ty
xây dựng đang triển khai hệ thống cấp nước thông minh trong một khu công nghiệp. tả
sơ đ lắp đặt như sau:
* Bồn chứa nước
A
được đặt trên tầng cao của nhà máy, có tọa đ
(5;0;6)A
.
* Máy lọc nưc
B
nằm một vị trí trong khu xử lý, có tọa độ
(3; 5; 0)B
.
Do địa hình phức tạp, đường ống nước phải được lắp đặt gấp khúc gồm 3 đoạn:
* Đường ống từ bồn
A
đi qua trục
Oz
tại một điểm
.M
* Từ
M
nối ống đến trục
Oy
tại một điểm
.N
* Cuối cùng nối tiếp đến điểm
B
(đường ống đi theo gấp khúc
AM N B →→
).
Khi đó, chiều dài tối thiểu của đường ống là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Đáp số: 13,5
Để tìm đ dài ngắn nhất của đường gấp khúc
AMNB
ta s "tri" các đim
,AB
v cùng 1
mặt phẳng
()Oyz
vi các đim
,MN
thoả mãn đoạn thẳng mới bng vi đon thẳng ban
đầu (tức
;AM A M BM BM
′′
= =
) và đoạn gấp khúc ngắn nhất khi 4 điểm trên thẳng hàng.
Ta quay vuông góc mặt phẳng chứa điểm
(5;0;6)A
(tc mặt phẳng màu xanh) xuống mặt
phẳng
()Oyz
ta được điểm
(0; 5;6)A
.
Gi sử điểm
(0;0; )M z Oz
.
22
22
5 ( 6)
( 5) ( 6)
AM z
AM A M
AM z
= +−
⇒=
= +−
Tương tự, ta quay vuông góc mặt phẳng chứa điểm
(3; 5; 0)B
(tc mặt phẳng màu hồng)
xuống mặt phẳng
()Oyz
ta được điểm
(0;5; 3)B
.
Gi sử điểm
(0; ;0)N y Oy
.
Suy ra được
BN BN
=
.
Ta có độ dài đường gấp khúc
AMNB AM MN NB A M MN NB
′′
=++= ++
.
Suy ra
( )
Min AM MN N B
′′
++
xảy ra khi
, ,,AMNB
′′
thẳng hàng bằng đường thẳng
AB
′′
. Và có độ dài là
22
(5 5) ( 3 6) 181 13,5AB
′′
= + +− =
Câu 4: Cho mảnh giấy màu hình bán nguyệt có đường kính đoạn thẳng
AB
đ dài bằng 2.
Trên cung
AB
lấy một điểm
P
. Gấp mảnh giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng
AP
sao cho hai
phần giấy khít lên nhau. Khi
PAB
θ
=
(vi
0
4
π
θ
<<
), gi
()S
θ
diện tích phần giấy bị
chồng lên nhau.
Gi sử
()S
θ
đạt giá trị lớn nhất tại
.
θα
=
Hỏi giá trị của
cos
α
là bao nhiêu? (làm tròn kết
quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Đáp số: 0,91
Gọi điểm
I
là điểm đè lên nhau của cung
AP
vi
AB
. K
IQ AP
(
Q AP
) xem hình
sau:
Từ đó ta dễ thấy được diện tích tô màu vàng bằng diện tích
()S
θ
.
Gi
O
là trung điểm
AB
, được
2; 4
QAO AQO QOB AOQ
θ πθ
= = = =
Ta có diện tích tam giác
11
.1.1.sin( 4 ) sin 4
22
AQO
πθ θ
= −=
Ta có diện tích hình quạt tròn
QPB
có tâm
O
(tô màu đỏ) là:
2
1
.1 .4 2
2
θθ
=
Diện tích của tam giác
1 sin 2
.1.1sin( 2 )
22
AOP
θ
πθ
= −=
Diện tích hình quạt tròn
PB
tâm
O
là:
2
1
.1 .2
2
θθ
=
Vậy diện tích
1 1 11
( ) (2 sin 4 ) ( sin 2 ) sin 4 sin 2
2 2 22
S
θθθθθθθθ
= + −+ =+
( )
2
2cos 4 cos 2 1 4cos 2 cos 2 1S
θ θθ θθ
= −+= −−
Xét
1 17
( ) 0 cos 2
8
S
θθ
±
′= =
(vi
0
4
π
θ
<<
) thì
1 17
( ) 0 cos 2
8
S
θθ
+
′= =
Lập bảng biến thiên cho hàm số
()S
θ
.
Ta suy ra được
()S
θ
đạt giá trị lớn nhất khi
1 17 1 cos2
cos2 cos 0,91
82
θ
θθ
++
= ⇒=
Câu 5: Bạn An làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất An làm đúng bài thứ nhất là 0,9. Nếu An làm đúng
bài th nhất thì kh năng làm đúng bài thứ hai là 80%; nhưng nếu An làm sai bài th nhất thì
khả năng làm đúng bài thứ hai là 30%. Xác suất để An làm đúng bài thứ nhất biết rằng An đã
làm đúng bài thứ hai bằng
m
n
, vi
,mn
( , ) 1.mn =
Tính
22
.mn+
Lời giải
Tr lời: 1201
Gọi A là biến cố: "An làm đúng bài thứ nhất", theo đề bài ta có
( ) 0,9PA=
.
Gọi B là biến cố: "An làm đúng bài thứ hai", theo đề bài ta có
( | ) 0,8; ( | ) 0,3PB A PB A= =
.
Theo công thức xác suất toàn phần
( ) ( ). ( | ) ( ). ( | ) 0,9 0,8 0,1 0,3 0,75PB PA PB A PA PB A= + = × =
Theo công thức Bayes
22
( | ) ( ) 0,9 0,8
( | ) 24, 25 1201
() 0
5
,75
24
2
PB A PA
PAB m n m n
PB
⋅⋅
= = = ⇒= = + =
.
Câu 6: Cho miền hình phẳng
()H
được giới hạn bởi các cạnh
,BC CD
của hình chữ nhật các
cung phần tư của đường elip
()E
đường tròn
()C
(phần gạch chéo hình bên dưới). Biết
()C
bán kính bằng 12 cm với tâm trung điểm ca cạnh
AD
()E
là elip có hai tiêu
điểm
H
K
cách nhau
6 7 cm
. Mt vt trang trí dng một khối tròn xoay được to
thành khi miền
()H
quay quanh trục
BC
. Tính thể tích ca vt th này theo đơn vị
3
cm
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Đáp số: 7357
Tiến hành gắn hệ trục tọa độ
Oxy
vào hình vuông, với gốc
O
trùng với trung điểm của cạnh
BC
, trục
Ox
hướng theo vectơ
BC

, trục
Oy
hướng theo vectơ
BA

, đơn vị dài trên mỗi trc
bằng 1 cm.

Preview text:

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
LẦN 6 NĂM HỌC 2024 – 2025 MÔN: TOÁN 12 (ĐỀ CHÍNH THỨC)
Thời gian làm bài: 90 phút; MÃ ĐỀ: 0121
(Đề gồm có 22 câu; 04 trang)
Họ tên TS…………………………….Lớp……….SBD……………; Chữ kí của CBCT:……………
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu

hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Nghiệm của phương trình log x −1 = 3 là 4 ( ) A. x = 65 . B. x = 66 . C. x = 68 . D. x = 63.
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f (x) =1+ cos x
A. 1−sin x + C .
B. x −sin x + C .
C. x + sin x + C .
D. 1+ sin x + C .
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD G là trung điểm của MN.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
   
    
A. GA + GB + GC = GD .
B. GA + GB + GC + GD = 0 .
  
    
C. GM + GN = 0 .
D. MA + MB + MC + MD = 4MG .
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với (ABCD) .
Khi đó, mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng A. (ABCD) . B. (SBC) . C. (SAD). D. (SAC) .
Câu 6. Cho cấp số cộng (u biết u = 5,u =15 . Số hạng thứ bảy của cấp số cộng đã cho là n ) 5 10 A. u = 9. B. u = 7. C. u = 8. D. u =12. 7 7 7 7
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau Mã đề 0121 Trang 1/4
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2; − + ∞). B. ( 2; − 3). C. (3;+ ∞). D. ( ; −∞ − 2).
Câu 8. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : 2x + y −1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
A. n = 2;1;0 .
B. n = 2;1; 1 − .
C. n = 1;2;0 . D. n = 2 − ; 1; − 1 . 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 ( )
Câu 9. Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm A B có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm A [1,6;1,8) [1,8;2,0) [2,0;2,2) [2,2;2,4) [2,4;2,6) Tần số 12 25 18 10 2
Nhóm B [2,0;2,2) [2,2;2,4) [2,4;2,6) [2,6;2,8) [2,8;3,0) Tần số 24 50 36 20 4 Gọi 2 S S
A và 2B lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm A B . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 S = S S = S S = S S = S B 4 A . B. 2 2 A B . C. 2 2 A B 0,16 . D. 2 2 B 2 A . x 1 −
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình  1  1 ≥  là 2    4 A. [3;+∞) . B. (3;+∞) . C. ( ; −∞ ] 3 . D. (1; ] 3 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I(1; 2 − ;1) và (
A 1;2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A A. 2 2 2
(x −1) + (y + 2) + (z −1) = 20 . B. 2 2 2
(x +1) + (y − 2) + (z +1) = 5 . C. 2 2 2
(x −1) + (y + 2) + (z −1) = 5 . D. 2 2 2
(x +1) + (y − 2) + (z +1) = 20.
Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −1 và y = x −1 bằng π π A. 13 . B. . C. 1 . D.13 . 6 6 6 6
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở
mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = x − ln(2x + )
1 có tập xác định là D .
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 0;   . 2    b) 1
x = là điểm cực tiểu của hàm số. 2
c) Đạo hàm của hàm số f (x) là f ' (x) 1  1 1 , x  ;  = − ∀ ∈ − +∞ . 2x 1 2  +  
d) D = (0;+∞) .
Câu 2. Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm việc
tại phân xưởng (gồm 2 phân xưởng I và II). Kết quả khảo sát như sau: Kết quả khảo sát Khảo sát công nhân Hài lòng Không hài lòng
Số công nhân phân xưởng I 23 12 Mã đề 0121 Trang 2/4
Số công nhân phân xưởng II 25 15
Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi A là biến cố "Công nhân đó làm việc tại phân xưởng
I" và B là biến cố "Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng".
a) Biết công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng. Xác suất gặp được công nhân
thuộc phân xưởng II là 13 . 25
b) Biết công nhân đó thuộc phân xưởng I. Xác suất gặp được công nhân không hài lòng với điều kiện
làm việc tại phân xưởng là 12 . 35
c) Xác suất của biến cố A là 7 . 15
d) Xác suất của biến cố B là 13 . 20
Câu 3. Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với
vận tốc v(t) (đơn vị: m / s ) là hàm số phụ thuộc thời gian t
(đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ bên.
a) Tại thời điểm t =15 giây, vận tốc của chất điểm bằng 16 m / s .
b) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến
khi dừng lại bằng 228 mét.
c) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời
gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 48m.
d) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị
của v(t) là một phần của đường parabol. Khi đó 2 v(t) = t − + 30t − 209( m / s) .
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đơn vị độ dài trên
mỗi trục là 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được
đặt ở vị trí I(3; 2
− ;5) trên một ngôi làng ven biển và được thiết kế với
bán kính phủ sóng là 6 km.
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là 2 2 2
(x − 3) + (y + 2) + (z − 5) = 36 .
b) Một người đi tàu đến vị trí có tọa độ M ( 2;
− 5;3) thì tại vị trí này
vẫn có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
c) Một hòn đảo nhỏ có dạng hình tam giác với các đỉnh có toạ độ là ( A 5;7;2), B( 6; − 2;3) , C(2; 5 − ; 3)
− . Hòn đảo đó nằm trên mặt phẳng cách trạm thu phát sóng một khoảng
bằng 5,89 km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). d) Từ vị trí 55 N  2;1;   
trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyển với vectơ vận tốc v = (2;3;0). 49   
Sau nửa giờ, người đó chưa thể sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Kết quả là một số có

tối đa 4 ký tự, bao gồm cả dấu trừ (-) và dấu phẩy (,).
Câu 1. Bạn An làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất An làm đúng bài thứ nhất là 0,9. Nếu An làm đúng bài
thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 80%; nhưng nếu An làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm
đúng bài thứ hai là 30%. Xác suất để An làm đúng bài thứ nhất biết rằng An đã làm đúng bài thứ hai bằng
m , với ,mn∈ và ( ,mn) =1. Tính 2 2 m + n . n Mã đề 0121 Trang 3/4
Câu 2. Cho mảnh giấy màu hình bán nguyệt có đường kính là đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2. Trên
cung AB lấy một điểm P . Gấp mảnh giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng AP sao cho hai phần giấy khít π lên nhau. Khi 
PAB = θ (với 0 < θ < ), gọi S(θ ) là diện tích phần giấy bị chồng lên nhau. 4
Giả sử S(θ ) đạt giá trị lớn nhất tại θ = α. Hỏi giá trị của cosα là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 3. Ông Bình cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 triệu VNĐ với lãi suất 0,5% / tháng. Hỏi sau ít
nhất bao nhiêu tháng thì ông Bình có đủ tiền tiết kiệm để mua được một chiếc xe ô tô trị giá 450 triệu VNĐ?
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Gọi E là trung điểm A .
B Cho biết AB = 2 , BC = 13 ,CC ' = 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B CE (làm
tròn đến hàng phần trăm).
Câu 5. Cho miền hình phẳng (H) được giới hạn bởi các cạnh BC,CD
của hình chữ nhật và các cung phần tư của đường elip (E) và đường
tròn (C) (phần gạch chéo ở hình bên). Biết (C) có bán kính bằng 12
cm với tâm là trung điểm của cạnh AD và (E) là elip có hai tiêu điểm
H K cách nhau 6 7 cm . Một vật trang trí có dạng một khối tròn
xoay được tạo thành khi miền (H) quay quanh trục BC . Tính thể tích
của vật thể này theo đơn vị 3
cm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 6.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , đơn vị độ dài trên
mỗi trục là 1 mét, một công ty xây dựng đang triển khai hệ thống cấp
nước thông minh trong một khu công nghiệp. Mô tả sơ đồ lắp đặt như sau:
* Bồn chứa nước A được đặt trên tầng cao của nhà máy, có tọa độ ( A 5;0;6) .
* Máy lọc nước B nằm ở một vị trí trong khu xử lý, có tọa độ B(3;5;0) .
Do địa hình phức tạp, đường ống nước phải được lắp đặt gấp khúc gồm 3 đoạn:
* Đường ống từ bồn A đi qua trục Oz tại một điểm M.
* Từ M nối ống đến trục Oy tại một điểm N.
* Cuối cùng nối tiếp đến điểm B (đường ống đi theo gấp khúc A M N B ).
Khi đó, chiều dài tối thiểu của đường ống là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười). ----HẾT--- Mã đề 0121 Trang 4/4 SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
LẦN 6 NĂM HỌC 2024 – 2025 MÔN: TOÁN 12 (ĐỀ CHÍNH THỨC)
Thời gian làm bài: 90 phút; MÃ ĐỀ: 0122
(Đề gồm có 22 câu; 04 trang)
Họ tên TS…………………………….Lớp……….SBD……………; Chữ kí của CBCT:……………
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu

hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f (x) =1− cos x
A. 1− sin x + C .
B. x − sin x + C .
C. 1+ sin x + C .
D. x + sin x + C .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với (ABCD) .
Khi đó, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng A. (SAB) . B. (SAC) . C. (SAC). D. (ABCD) .
Câu 4. Cho cấp số cộng (u biết = =
. Số hạng thứ tám của cấp số cộng đã cho là n ) u 5,u 15 5 10 A. u =11. B. u =12. C. u = 9. D. u =10. 8 8 8 8
Câu 5. Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm A B có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm A [1,6;1,8) [1,8;2,0) [2,0;2,2) [2,2;2,4) [2,4;2,6) Tần số 12 25 18 10 2
Nhóm B [2,0;2,2) [2,2;2,4) [2,4;2,6) [2,6;2,8) [2,8;3,0) Tần số 24 50 36 20 4 Gọi 2 S và 2
S lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm A B . Khẳng định nào sau đây đúng? A B A. 2 2 S = S . B. 2 2 S = S − . C. 2 2 S = S . D. 2 2 S = S . B 4 A B 0,16 B 2 A A A B
Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I(1;2;3) và ( A 1; 2
− ;1) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là Mã đề 0122 Trang 1/4 A. 2 2 2
(x +1) + (y + 2) + (z + 3) = 20 . B. 2 2 2
(x −1) + (y − 2) + (z − 3) = 20 . C. 2 2 2
(x −1) + (y − 2) + (z − 3) = 5 . D. 2 2 2
(x +1) + (y + 2) + (z + 3) = 5 .
Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −3 và y = x −3 bằng π π A. . B. 1 . C. 125 . D. 125 . 6 6 6 6 x 1 −
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình  1  1 ≤  là 2    4 A. [3;+∞) . B. (3;+∞) . C. ( ; −∞ ] 3 . D. (1; ] 3 .
Câu 9. Nghiệm của phương trình log x +1 = 3 là 4 ( ) A. x = 68 . B. x = 65 . C. x = 63. D. x = 66 .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): x + 2y −1= 0 có một vectơ pháp tuyến là
A. n = 1;2; 1 − .
B. n = 1;2;0 .
C. n = 2;1;0 . D. n = 1; − 2 − ;1 . 1 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( )
Câu 11. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD G là trung điểm của MN.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
   
    
A. GA + GB + GC = GD .
B. MA + MB + MC + MD = 4MG .
    
  
C. GA + GB + GC + GD = 0 .
D. GM + GN = 0 .
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2; − + ∞). B. ( ; −∞ 3). C. (3;+ ∞). D. ( 2; − 3).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở

mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đơn vị độ dài trên
mỗi trục là 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được
đặt ở vị trí I(3; 2
− ;5) trên một ngôi làng ven biển và được thiết kế với
bán kính phủ sóng là 6 km. a) Từ vị trí 55 N  2;1;  
trên hòn đảo, một người chèo thuyền di 49   
chuyển với vectơ vận tốc v = (2;3;0) . Sau nửa giờ, người đó có thể sử
dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng.
b) Một người đi tàu đến vị trí có tọa độ M ( 2;
− 5;3) thì tại vị trí này
không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
c) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là 2 2 2
(x + 3) + (y − 2) + (z + 5) = 36 .
d) Một hòn đảo nhỏ có dạng hình tam giác với các đỉnh có toạ độ là ( A 5;7;2), B( 6; − 2;3) , C(2; 5 − ; 3) − .
Hòn đảo đó nằm trên mặt phẳng cách trạm thu phát sóng một khoảng bằng 5,98 km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Mã đề 0122 Trang 2/4
Câu 2. Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm việc tại
phân xưởng (gồm 2 phân xưởng I và II). Kết quả khảo sát như sau: Kết quả khảo sát Khảo sát công nhân Hài lòng Không hài lòng
Số công nhân phân xưởng I 23 12
Số công nhân phân xưởng II 25 15
Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi A là biến cố "Công nhân đó làm việc tại phân xưởng
I" và B là biến cố "Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng".
a) Xác suất của biến cố A là 22 . 75
b) Biết công nhân đó thuộc phân xưởng I. Xác suất gặp được công nhân không hài lòng với điều kiện
làm việc tại phân xưởng là 12 . 35
c) Biết công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng. Xác suất gặp được công nhân
thuộc phân xưởng II là 13 . 24
d) Xác suất của biến cố B là 16 . 25
Câu 3. Cho hàm số f (x) = x − ln(2x + )
1 có tập xác định là D . a) 1 D  ;  = − +∞  . 2   
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 ;2  . 2   
c) Đạo hàm của hàm số f (x) là f ' (x) 2 = 1− , x ∀ ∈ D . 2x +1 d) 1
x = là điểm cực đại của hàm số. 2
Câu 4. Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với
vận tốc v(t) (đơn vị: m / s ) là hàm số phụ thuộc thời gian t
(đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ bên.
a) Tại thời điểm t =13 giây, vận tốc của chất điểm bằng 16 m / s .
b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian
từ 4 giây đến 13 giây bằng 108m.
c) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian
từ 4 giây đến khi dừng lại bằng 180 mét.
d) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị
của v(t) là một phần của đường parabol. Khi đó 2 v(t) = t − + 30t − 209( m / s) .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Kết quả là một số có

tối đa 4 ký tự, bao gồm cả dấu trừ (-) và dấu phẩy (,).
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Gọi E là trung điểm
AB . Cho biết AB = 4 , BC = 2 13 ,CC ' = 8 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B CE (làm
tròn đến hàng phần trăm). Mã đề 0122 Trang 3/4
Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạn độ Oxyz , đơn
vị độ dài trên mỗi trục là 1 mét, một công ty xây dựng đang
triển khai hệ thống cấp nước thông minh trong một khu
công nghiệp. Mô tả sơ đồ lắp đặt như sau:
* Bồn chứa nước A được đặt trên tầng cao của nhà máy, có tọa độ ( A 5;0;6) .
* Máy lọc nước B nằm ở một vị trí trong khu xử lý, có tọa độ B(3;4;0) .
Do địa hình phức tạp, đường ống nước phải được lắp đặt gấp khúc gồm 3 đoạn:
* Đường ống từ bồn A đi qua trục Oz tại một điểm M.
* Từ M nối ống đến trục Oy tại một điểm N.
* Cuối cùng nối tiếp đến điểm B (đường ống đi theo gấp khúc A M N B ).
Khi đó, chiều dài tối thiểu của đường ống là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 3. Cho mảnh giấy màu hình bán nguyệt có đường kính là đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2. Trên cung
AB lấy một điểm P . Gấp mảnh giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng AP sao cho hai phần giấy khít lên nhau. Khi  π
PAB = θ (với 0 < θ < ), gọi S(θ ) là diện tích phần giấy bị chồng lên nhau. 4
Giả sử S(θ) đạt giá trị lớn nhất tại θ = α. Hỏi giá trị của sinα là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 4. Cho miền hình phẳng (H) được giới hạn bởi các cạnh
BC,CD của hình chữ nhật và các cung phần tư của đường elip (E)
và đường tròn (C) (phần gạch chéo ở hình bên). Biết (C) có bán
kính bằng 12 cm với tâm là trung điểm của cạnh AD và (E) là elip
có hai tiêu điểm H K cách nhau 6 7 cm . Một vật trang trí có
dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi miền (H) quay quanh
trục BC . Tính thể tích của vật thể này theo đơn vị lít (làm tròn kết
quả đến hàng phần trăm).
Câu 5. Bạn Bình làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất Bình làm đúng bài thứ nhất là 0,8. Nếu Bình làm đúng
bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 90%; nhưng nếu Bình làm sai bài thứ nhất thì khả năng
làm đúng bài thứ hai là 30%. Xác suất để Bình làm đúng bài thứ nhất biết rằng Bình đã làm đúng bài thứ hai bằng m , với , m n∈ và ( , m n) =1. Tính 3 3 m + n . n
Câu 6. Ông Bình cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 triệu VNĐ với lãi suất 0,5% / tháng. Hỏi sau ít
nhất bao nhiêu tháng thì ông Bình có đủ tiền tiết kiệm để mua được một chiếc xe ô tô trị giá 480 triệu VNĐ? ----HẾT--- Mã đề 0122 Trang 4/4 SỞ GD&ĐT THANH HÓA
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
LẦN 6 NĂM HỌC 2024 – 2025 MÔN: TOÁN 12
(ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC) PHẦN I: ĐÁP ÁN CHUNG ĐỂ CHẤM Mã 0121 Mã 0122 Mã 0123 Mã 0124
Phần I: Gồm có 12 câu, số điểm: 0,25đ/câu = 3,0 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 A 1 A 1 B 1 C 2 C 2 B 2 A 2 D 3 B 3 A 3 C 3 D 4 A 4 A 4 B 4 A 5 C 5 D 5 D 5 C 6 A 6 B 6 D 6 B 7 B 7 B 7 D 7 A 8 A 8 A 8 B 8 D 9 B 9 C 9 C 9 B 10 C 10 B 10 B 10 A 11 A 11 A 11 D 11 C 12 C 12 C 12 B 12 C
Phần II: Gồm có 4 câu, số điểm: 1,0 đ/câu = 4,0 điểm (chọn đúng 1 ý được 0,1đ; chọn
đúng 2 ý được 0,25đ; chọn đúng 3 ý được 0,5đ; chọn đúng 4 ý được 1,0đ) 1 ĐĐSS 1 ĐĐSS 1 ĐSĐS 1 SĐĐĐ 2 SĐĐS 2 SĐSĐ 2 SĐĐS 2 ĐĐSS 3 ĐSSĐ 3 ĐSĐS 3 ĐĐSS 3 SSĐĐ 4 ĐSĐS 4 SĐĐĐ 4 SĐSĐ 4 ĐSSĐ
Phần III: Gồm có 6 câu, số điểm: 0,5 đ/câu = 3,0 điểm. 1 1201 1 1,71 1 50 1 3925 2 0,91 2 12,7 2 0,91 2 12,7 3 50 3 0,42 3 0,86 3 0,42 4 0,86 4 7,36 4 7357 4 53 5 7357 5 3925 5 1201 5 1,71 6 13,5 6 53 6 13,5 6 7,36
PHẦN II: ĐÁP ÁN CHI TIẾT MÃ GỐC 0121
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f (x) =1+ cos x
A. 1−sin x + C .
B. 1+ sin x + C .
C. x −sin x + C .
D. x + sin x + C . Lời giải Chọn D
(1+ cosx) dx = x + sin x + C
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −1 và y = x −1 π π A. . B. 13 . C. 13 . D. 1 . 6 6 6 6 Lời giải Chọn D x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là: 2 2
x −1 = x −1 ⇔ x x = 0 ⇔  . x = 1 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là 2 1
x x dx = . ∫ 6 0
Câu 3: Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm A B có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm A [1,6;1,8) [1,8;2,0) [2,0;2,2) [2,2;2,4) [2,4;2,6) Tần số 12 25 18 10 2
Nhóm B [2,0;2,2) [2,2;2,4) [2,4;2,6) [2,6;2,8) [2,8;3,0) Tần số 24 50 36 20 4 Gọi 2 S và 2
S lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm A B . Khẳng định nào A B sau đây đúng? A. 2 2 S = S . B. 2 2 S = S . C. 2 2 S = S . D. 2 2 S = S − . A B 0,16 B 2 B 4 A B A A Lời giải Chọn A
Áp dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta có 2 2 S = S . A B
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I(1; 2 − ;1) và (
A 1;2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm
I và đi qua A A. 2 2 2
(x −1) + (y + 2) + (z −1) = 20 . B. 2 2 2
(x +1) + (y − 2) + (z +1) = 5 . C. 2 2 2
(x +1) + (y − 2) + (z +1) = 20. D. 2 2 2
(x −1) + (y + 2) + (z −1) = 5 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2
R = IA = (1−1) +[2 − ( 2 − )] + (3−1) = 2 5 .
Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là 2 2 2
(x −1) + (y + 2) + (z −1) = 20 .
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên ta có:
lim y = +∞ nên đường thẳng x =1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1− →
lim y = 2, lim y = 5 nên đường thẳng y = 2 và y = 5 là các đường tiệm cận ngang của đồ x→−∞ x→+∞ thị hàm số
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3 x 1 −
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình  1  1 ≥  là 2    4 A. ( ; −∞ ] 3 . B. (3;+∞) . C. [3;+∞) . D. (1; ] 3 . Lời giải Chọn A x 1 − x 1 − 2  1  1  1   1  ≥ ⇔ ≥
x −1≤ 2 ⇔ x ≤       3  2  4  2   2 
Câu 7: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): 2x + y −1= 0 có một vectơ pháp tuyến là
A. n = 2;1;0 .
B. n = 1;2;0 . C. n = 2;1; 1 − . D. n = 2 − ; 1; − 1 . 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) Lời giải Chọn A
Mặt phẳng (P) : 2x + y −1= 0 có một vectơ pháp tuyến là n = 2;1;0 . 4 ( )
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với (ABCD) .
Khi đó, mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng A. (SBC).
B. (SAC) .
C. (SAD).
D. (ABCD) . Lời giải
Chọn C CDSA Ta có 
CD ⊥ (SAD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD) . CD AD
Câu 9: Nghiệm của phương trình log x −1 = 3 là 4 ( )
A. x = 66 .
B. x = 68 .
C. x = 65 . D. x = 63. Lời giải Chọn C Ta có log (x − ) 3
1 = 3 ⇔ x −1 = 4 ⇔ x = 65 . 4
Câu 10: Cho cấp số cộng (u biết u = 5,u =15 . Số hạng thứ bảy của cấp số cộng đã cho là n ) 5 10
A. u =12.
B. u = 8.
C. u = 7. D. u = 9. 7 7 7 7 Lời giải Chọn D
Ta có: u = u + 5d d = 2 . 10 5
Vậy u = u + 2d = 9. 7 5
Câu 11: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD G là trung điểm của
MN.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
    
   
A. MA + MB + MC + MD = 4MG .
B. GA + GB + GC = GD .
    
  
C. GA + GB + GC + GD = 0 .
D. GM + GN = 0 . Lời giải
Chọn B      
+ Ta có: MA + MB + MC + MD = 2MN = 4MG . Suy ra A đúng.
   
+ Giả sử đẳng thức GA + GB + GC = GD đúng.
        
Suy ra 2GM + GC + GD = 2GD ⇒ 2GM + 2GN = 2GD GD = 0 ⇒ G D ⇒ vô lí. Vậy B sai.
      
+ Ta có: GA + GB + GC + GD = 2GM + 2GN = 0 . Vậy C đúng.
  
+ Do G là trung điểm của MN nên GM + GN = 0 . Vậy D đúng.
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2; − 3) B. (3;+ ∞) C. ( ; −∞ − 2) D. ( 2; − + ∞) Lời giải Chọn A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d)
ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số f (x) = x − ln(2x + )
1 có tập xác định là D .
a) D = (0;+∞) .
b) Đạo hàm của hàm số f (x) là f ' (x) 1  1 1 , x  ;  = − ∀ ∈ − +∞ . 2x 1 2  +   c) 1
x = là điểm cực tiểu của hàm số. 2
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 0;   . 2   Lời giải 2x +1 '
Ta có f (x) = x − ( x + ) ⇒ f ' (x) ( ) 2 ln 2 1 =1− ( = − x + ) 1 2 1 2x +1 a) Sai. Đúng là 1 D  ;  = − +∞  2   
b) Ta có f (x) 2 ' =1− . Do đó ý b) sai 2x +1
c) Ta có f (x) 2 1 ' =1− = 0 ⇔ x = 2x +1 2
Ta có bảng xét dấu của f '(x) : x 1 − 1 +∞ 2 2 f '(x) − 0 + 1
Từ bảng biến thiên, ta thấy x = là điểm cực tiểu của hàm số. Do đó ý c) đúng 2
d) Quan sát bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng  1 1 ;  −  2 2   
nên hàm số nghịch biến trên khoảng  1 0;   . Do đó ý d) đúng 2   
Câu 2: Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm
việc tại phân xưởng (gồm 2 phân xưởng I và II). Kết quả khảo sát như sau: Khảo sát công nhân Kết quả khảo sát Hài lòng Không hài lòng
Số công nhân phân xưởng I 23 12
Số công nhân phân xưởng II 25 15
Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi A là biến cố "Công nhân đó làm việc tại
phân xưởng I" và B là biến cố "Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng".
a)
Xác suất của biến cố A là 7 . 15
b) Xác suất của biến cố B là 13 . 20
c) Biết công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng. Xác suất gặp được công
nhân thuộc phân xưởng II là 13 . 25
d) Biết công nhân đó thuộc phân xưởng I. Xác suất gặp được công nhân không hài lòng với
điều kiện làm việc tại phân xưởng là 12 . 35 Lời giải
Tổng số công nhân là 75 nên n(Ω) = 75. a) Ta có 35 7 n( )
A = 23+12 = 35 ⇒ P( ) A = = . Do đó a) Đúng. 75 15 b) Ta có 48 16
n(B) = 23+ 25 = 48 ⇒ P(B) = = . Do đó b) Sai. 75 25 c) Ta có 25 1
n(AB) = 25 ⇒ P(AB) = = . Suy ra P(AB) 25 P(A B ∣ ) = = .Do đó c) Sai. 75 3 P(B) 48 d) Ta có 12 4 n(B )
A =12 ⇒ P(B ) A = = . Suy ra P(B ) A 12 P(B∣ ) A = = .Do đó d) Đúng. 75 25 P( ) A 35
Câu 3: Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với vận tốc v(t) (đơn vị: m / s ) là hàm số
phụ thuộc thời gian t (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ.
a) Tại thời điểm t =15 giây, vận tốc của chất điểm bằng 16 m / s .
b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 48m.
c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của v(t) là một phần của đường parabol. Khi đó 2 v(t) = t − + 30t − 209( m / s) .
d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng 228 mét. Lời giải:
a) Quan sát đồ thị của hàm số vận tốc theo t, tại thời điểm t =15 giây, vận tốc của chất điểm bằng 16
m / s . Do đó ý a) Đúng
b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng diện tích tam giác vuông 1
S . Ta có S = ⋅4⋅12 = 24 . Do đó ý b) Sai 1 1 2
c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của v(t) là một phần của đường parabol 2
y = ax + bx + c .
Parabol qua các điểm (13;12),(15;16),(19;0) ta có hệ phương trình ẩn a,b,c : 169 
a +13b + c =12 a = 1 −  225a 15b c 16 b  + + = ⇒  = 30 361  a 19b c 0  + + = c = 209 −   Vậy 2 v(t) = t
− + 30t − 209 ( m / s ). Do đó ý c) Đúng
d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng 19
S + S + S = 24 + (13− 4)⋅12 + ∫ ( 2t
− + 30t − 209 dt = 204( m). 1 2 3 ) 13 Do đó ý d) Sai
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 kilômét, một trạm
thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(3; 2
− ;5) trên một ngôi làng ven biển và
được thiết kế với bán kính phủ sóng là 6 km.
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là 2 2 2
(x − 3) + (y + 2) + (z − 5) = 36 .
b) Một người đi tàu đến vị trí có tọa độ M ( 2;
− 5;3) thì tại vị trí này vẫn có thể sử dụng dịch
vụ của trạm thu phát sóng.
c) Một hòn đảo nhỏ có dạng hình tam giác với các đỉnh có toạ độ là ( A 5;7;2), B( 6; − 2;3) , C(2; 5 − ; 3)
− . Hòn đảo đó nằm trên mặt phẳng cách trạm thu phát sóng một khoảng bằng
5,89 km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). d) Từ vị trí 55 N  2;1;  
trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyển với vectơ vận tốc 49   
v = (2;3;0) . Sau nửa giờ, người đó chưa thể sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng. Lời giải
a) Mặt cầu tâm I(3; 2
− ;5) , bán kính 6 có phương trình là 2 2 2
(x − 3) + (y + 2) + (z − 5) = 36 . Do đó ý a) đúng b) Ta có 2 2 2 IM = ( 2
− − 3) + (5 + 2) + (3− 5) = 78 > 6 nên người đó không thể sử dụng
dịch vụ của trạm thu phát sóng. Do đó ý b) sai
c) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm ( A 5;7;2), B( 6; − 2;3),C(2; 5 − ; 3) − .  
Khi đó ta có: AB = ( 1 − 1; 5 − ;1), AC = ( 3 − ; 1 − 2; 5 − ) .   
Do đó (P) có một vectơ pháp tuyến là n = [AB, AC] = (37; 58 − ;117) .
Phương trình mặt phẳng (P) là: 37x − 58y +117z −13 = 0 .
Vậy khoảng cách từ trạm thu phát sóng đến mặt phẳng (P) là | 37⋅3− 58⋅( 2) − +117⋅5 −13|
d(I,(P)) = ≈ 5,89( km) 2 2 2 37 + ( 58 − ) +117 Do đó ý c) đúng d) Từ vị trí 55 N  2;1;  
trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyển với vectơ 49   
vận tốc v = (2;3;0) . Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm 55 N  2;1;   và 49     x = 2 + 2t
có vectơ chỉ phương v = (2;3;0) là y =1+ 3t  55 z =  49
Sau nửa giờ (tức là khi 1
t = ), người đó đến vị trí 5 55 N′ 3; ;  . 2 2 49    2 2 Ta có: 2  5   55 IN′ (3 3) 2 5 = − + + + − ≈ 5,94 <     6 .  2   49 
Vậy người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng này. Do đó ý d) sai
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Kết quả là một số có
tối đa 4 ký tự, bao gồm cả dấu trừ (-) và dấu phẩy (,).
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Gọi E là trung
điểm AB . Cho biết AB = 2 , BC = 13 ,CC ' = 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
A'B CE (làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: 0,86 B C I E A H F B' C' A'
Gọi F là trung điểm AA 'thì EF '/ / BA'
BA'/ / (EFC) ⇒ d(BA',CE) = d (BA';(EFC)) = d (B,(EFC)) = d ( , A (EFC))
Dựng AI EC, AH FI khi đó AH ⊥ (EFC) ⇒ d ( ,
A (EFC)) = AH Do ABC vuông tại 1 1 1 10 3
A nên AC = 3a , a = + = ⇒ AI = 2 2 2 2 AI AE AC 9a 10 A 1 1 1 49 6a
IF vuông tại A , có đường cao AH nên = + = ⇒ AH = 2 2 2 2 AH AI AF 36a 7 ( ( )) 6 '; a d BA EFC = . Thay a =1 suy ra 6
d(BA',CE) = ≈ 0,86 7 7
Câu 2: Ông Bình cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng 8 triệu VNĐ với lãi suất 0,5% / tháng. Hỏi sau
ít nhất bao nhiêu tháng thì ông Bình có đủ tiền tiết kiệm để mua được một chiếc xe ô tô trị giá 450 triệu VNĐ? Lời giải Đáp số: 50 Đặt T = 8 triệu.
Số tiền Ông Bình thu được sau tháng thứ nhất, thứ 2, thứ 3,., thứ n lần lượt là T , T , ,..., T T 1 2 3 n Ta có:
T = T 1+ r 1 ( )
T = [T +T ](1+ r) = T (1+ r)2 +T 1+ r 2 1 ( )
T = [T +T ](1+ r) = T (1+ r)3 +T (1+ r)2 +T 1+ r 3 2 ( ) …. n − + r
T = T + r +T + r
+ +T + r = T + r × n ( )n ( )n 1 ( ) ( ) (1 ) 1 1 1 ... 1 1 r 1 n + r −1
Theo bài ra ta có: T = ⇔ T + r × = n 450 (1 ) ( ) 450 r ⇔ ( + r)n 343 343 1 = ⇔ n = log ≈ 49,47 . 1.005 ⇒ n = 50 268 268
Vậy sau 50 tháng thầy giáo sẽ mua được một chiếc xe ô tô trị giá 450 VNĐ.
Câu 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 mét, một công ty
xây dựng đang triển khai hệ thống cấp nước thông minh trong một khu công nghiệp. Mô tả
sơ đồ lắp đặt như sau:
* Bồn chứa nước A được đặt trên tầng cao của nhà máy, có tọa độ ( A 5;0;6) .
* Máy lọc nước B nằm ở một vị trí trong khu xử lý, có tọa độ B(3;5;0) .
Do địa hình phức tạp, đường ống nước phải được lắp đặt gấp khúc gồm 3 đoạn:
* Đường ống từ bồn A đi qua trục Oz tại một điểm M.
* Từ M nối ống đến trục Oy tại một điểm N.
* Cuối cùng nối tiếp đến điểm B (đường ống đi theo gấp khúc A M N B ).
Khi đó, chiều dài tối thiểu của đường ống là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười). Lời giải Đáp số: 13,5
Để tìm độ dài ngắn nhất của đường gấp khúc AMNB ta sẽ "trải" các điểm , A B về cùng 1
mặt phẳng (Oyz) với các điểm M , N và thoả mãn đoạn thẳng mới bằng với đoạn thẳng ban
đầu (tức AM AM ; BM BM ′ = =
) và đoạn gấp khúc ngắn nhất khi 4 điểm trên thẳng hàng.
Ta quay vuông góc mặt phẳng chứa điểm (
A 5;0;6) (tức mặt phẳng màu xanh) xuống mặt
phẳng (Oyz) ta được điểm A′(0; 5; − 6) .  2 2
AM = 5 + (z − 6)
Giả sử điểm M (0;0; z)∈Oz . ⇒ 
AM = AM ′ 2 2 A M = ( 5) − + (z − 6)
Tương tự, ta quay vuông góc mặt phẳng chứa điểm B(3;5;0) (tức mặt phẳng màu hồng)
xuống mặt phẳng (Oyz) ta được điểm B′(0;5; 3) − .
Giả sử điểm N(0; y;0)∈Oy .
Suy ra được BN BN′ = .
Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB AM MN NB AM MN NB′ = + + = + + .
Suy ra Min ( AM MN N′ +
+ B) xảy ra khi A′,M , N, B′ thẳng hàng và bằng đường thẳng
AB′ . Và có độ dài là ′ ′ 2 2 A B = (5 + 5) + ( 3 − − 6) = 181 ≈13,5
Câu 4: Cho mảnh giấy màu hình bán nguyệt có đường kính là đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2.
Trên cung AB lấy một điểm P . Gấp mảnh giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng AP sao cho hai π
phần giấy khít lên nhau. Khi 
PAB = θ (với 0 < θ < ), gọi S(θ) là diện tích phần giấy bị 4 chồng lên nhau.
Giả sử S(θ) đạt giá trị lớn nhất tại θ = α. Hỏi giá trị của cosα là bao nhiêu? (làm tròn kết
quả đến hàng phần trăm) Lời giải Đáp số: 0,91
Gọi điểm I là điểm đè lên nhau của cung 
AP với AB . Kẻ IQ AP ( ∈  Q AP ) xem hình sau:
Từ đó ta dễ thấy được diện tích tô màu vàng bằng diện tích S(θ) .
Gọi O là trung điểm AB , được  =  =  = θ 
QAO AQO QOB 2 ; AOQ = π − 4θ Ta có diện tích tam giác 1 1
AQO = .1.1.sin(π − 4θ ) = sin 4θ 2 2
Ta có diện tích hình quạt tròn  1
QPB có tâm O (tô màu đỏ) là: 2 .1 .4θ = 2θ 2 θ Diện tích của tam giác 1 sin 2
AOP = .1.1sin(π − 2θ ) = 2 2
Diện tích hình quạt tròn 
PB tâm O là: 1 2 .1 .2θ = θ 2 Vậy diện tích 1 1 1 1
S(θ ) = (2θ + sin 4θ ) − (θ + sin 2θ ) = θ + sin 4θ − sin 2θ 2 2 2 2 Có S′(θ ) 2
= 2cos 4θ − cos 2θ +1 = 4cos 2θ − cos 2θ −1 π Xét 1 17 S (θ ) 0 cos 2θ ± ′ = ⇔ = (với 0 < θ < ) thì 1 17 S (θ ) 0 cos 2θ + ′ = ⇔ = 8 4 8
Lập bảng biến thiên cho hàm số S(θ) . + + θ
Ta suy ra được S(θ) đạt giá trị lớn nhất khi 1 17 1 cos 2 cos 2θ = ⇒ cosθ = ≈ 0,91 8 2
Câu 5: Bạn An làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất An làm đúng bài thứ nhất là 0,9. Nếu An làm đúng
bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 80%; nhưng nếu An làm sai bài thứ nhất thì
khả năng làm đúng bài thứ hai là 30%. Xác suất để An làm đúng bài thứ nhất biết rằng An đã
làm đúng bài thứ hai bằng m , với , m n∈ và ( , m n) =1. Tính 2 2 m + n . n Lời giải Trả lời: 1201
Gọi A là biến cố: "An làm đúng bài thứ nhất", theo đề bài ta có P( ) A = 0,9 .
Gọi B là biến cố: "An làm đúng bài thứ hai", theo đề bài ta có P(B | )
A = 0,8; P(B | A) = 0,3 .
Theo công thức xác suất toàn phần
P(B) = P( )
A .P(B | ) A + P( )
A .P(B | )
A = 0,9× 0,8 + 0,1×0,3 = 0,75 Theo công thức Bayes ⋅ ⋅ P(B | ) A P( ) A 0,9 0,8 24 2 2
P(A | B) = = =
m = 24,n = 25 ⇒ m + n =1201. P(B) 0,75 5 2
Câu 6: Cho miền hình phẳng (H) được giới hạn bởi các cạnh BC,CD của hình chữ nhật và các
cung phần tư của đường elip (E) và đường tròn (C) (phần gạch chéo ở hình bên dưới). Biết
(C) có bán kính bằng 12 cm với tâm là trung điểm của cạnh AD và (E) là elip có hai tiêu
điểm H K cách nhau 6 7 cm . Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo
thành khi miền (H ) quay quanh trục BC . Tính thể tích của vật thể này theo đơn vị 3 cm
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp số: 7357
Tiến hành gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình vuông, với gốc O trùng với trung điểm của cạnh  
BC , trục Ox hướng theo vectơ BC , trục Oy hướng theo vectơ BA , đơn vị dài trên mỗi trục bằng 1 cm.