21 trang 5 lượt tải

Đề KSCL ôn thi tốt nghiệp THPT lần 1 năm 2025-2026 | Toán 12

9

Đề KSCL ôn thi tốt nghiệp THPT lần 1 năm 2025-2026 | Toán 12

Chủ đề: Đề khảo sát Toán 12 50 tài liệu

Môn: Toán 12 4.5 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Nhật Nguyễn

2 ngày trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/21
Mã đề 1201 Trang 1/4
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
Mã Đề: 1201.
ĐỀ KSCL ÔN THI TN THPT LẦN 1 NĂM 2025-
2026
MÔN: Toán 12
Thời gian: 90 Phút
-------------------------
Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
(xem hình dưới). Đường thẳng
BC

song song với mặt phẳng nào sau
đây?
A.
( )
ABC
. B.
( )
AB C

. C.
( )
B BC
. D.
.
Câu 2. Cho hàm số
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −
+
có đồ thị như hình vẽ:
Tiệm cận ngang của đồ thị àm số đã cho có phương trình là
A.
1y =
B.
1y =−
C.
1x =−
D.
1x =
Câu 3. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) 2sin
x
f x e x=+
thỏa mãn
( )
0 20F =
là
A.
( )
2cos 23
x
F x e x= − − +
. B.
( )
2sin 19
x
F x e x= + +
.
C.
( )
2cos 21
x
F x e x= − +
. D.
( )
2cos 17
x
F x e x= + +
.
Câu 4. Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố Huế
với thang điểm 100 được cho ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa
trung vị là.
A.
1
8
.
B.
19
60
.
C.
5
12
.
D.
17
60
.
Câu 5. Nghiệm của phương trình
1
cos
2
x =
là
A.
2 , 2 ( )
33
x k x k k


−
= + = +
. B.
22
2 , 2 ( )
33
x k x k k


−
= + = +
.
C.
2
2 , 2 ( )
33
x k x k k


= + = +
. D.
, ( )
33
x k x k k


−
= + = +
.
Câu 6. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA
vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị
diện
,,B SA D
.
A.
0
30
.
B.
0
45
.
C.
0
90
.
D.
0
60
.
Mã đề 1201 Trang 2/4
Câu 7. Trong không gian
,Oxyz
cho hai điểm
( )
1;3;2A
và
( )
4;5;6 .B
Gọi
là góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
.Oxy
Giá trị của
cos
bằng
A.
13
29
B.
16
29
C.
377
29
D.
4 29
29
Câu 8. Cho
( )
y F x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 4 2f x x x= − + +
và
( )
12F =
. Tính
( )
1F −
.
A.
( )
14F −=
. B.
( )
32
1 2 2F x x x C− = − + + +
.
C.
( )
32
1 2 2 1F x x x− = − + + −
. D.
( )
10F −=
.
Câu 9. : Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
1;2;3a =
,
( )
2;2; 1b =−
. Tọa độ của vectơ
2ab−

là
A.
( )
3; 2;5−−
. B.
( )
1;0;4−
. C.
( )
3;2;5
. D.
( )
3; 2;1−−
.
Câu 10. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của
AB CC
+

A.
2
.
B. 2
.
C.
3
.
D. 1
.
Câu 11. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
2u =
và công sai
3d =
. Giá trị của
7
u
bằng
A. 20. B. 15. C. 12. D. 14.
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình
23
1
8
2
x+



là.
A.
)
3; +
. B.
(
; 3− −
. C.
)
3; +−
. D.
( )
3; +−
.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 1. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm
thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua
thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi
ml
sữa chua) tại thời điểm
t
(giờ) được ký hiệu là
( )
Nt
. Ban đầu (
0=t
giờ), mật độ vi khuẩn đo được là
( )
0 10=N
triệu tế bào/
ml
. Do sự thay đổi về nguồn
dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn
( )
Nt
(đơn
vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
( )
2
22 3
=−N t t t
(triệu tế bào/
ml
/giờ) với
t
là thời gian tính bằng giờ (
0 10t
).
a)
( )
1 19
=N
triệu tế bào/
ml
/giờ.
b) Tốc độ vi khuẩn tăng khi
22
0
3
t
.
c)
( )
3
d 11
=−
N t t t t
.
d) Tại thời điểm
10=t
giờ, mật độ vi khuẩn trong 1
ml
sữa chua là 100 triệu tế bào/
ml
.
Câu 2. Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật
..ABCD EFGH
Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật
PEHQ
và
PFGQ
, biết tam giác
EFP
là tam giác cân tại
P
. Gọi
T
là trung điểm của cạnh
DC
. Các kích thước của nhà lần lượt là
6AB =
m,
5AE =
m,
8AD =
m,
7QT =
m. Xét hệ trục toạ độ
Oxyz
sao cho gốc toạ độ là điểm
O
thuộc đoạn
AD
sao
cho
2OA =
m và các trục toạ độ tương ứng là các trục
,,Ox Oy Oz
. Khi đó:
Mã đề 1201 Trang 3/4
a) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của
FG
và đầu nguồn điện đặt tại vị trí
O
. Bác
ấy thiết kế đường dây điện nối từ
O
đến
K
sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu
bằng
( )
5 2 10 m+
.
b) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt , giá tiền mỗi viên ngói là 11000 đồng và để lợp
được
2
1m
diện tích mái cần 22viên ngói . Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là 13960000 đồng (không
kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
c) Véc tơ
AC

có toạ độ là
( )
6;6;0
.
d) Toạ độ điểm
A
là
( )
2;0;0
.
Câu 3. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí
và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là
6
12
A
.
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là
6 6 6 6
12 7 8 9
A C C C
.
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
666
7 8 9
CCC
.
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là
115
132
.
Câu 4. Cho hàm số
( )
2sin 3f x x x=+
.
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là
( )
2cos 3f x x
= − +
.
b)
( ) ( )
0 0, 3ff

==
.
c) Một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
fx
là
( )
2
3
2cos 2026
2
F x x x= − + +
d) Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
fx
trên đoạn
0;
bằng
53
1
6
+
.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều
thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai
người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Câu 2. Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử dụng
thêm hai loại thực phẩm khác nhau là
X
và
.Y
Mỗi gói thực phẩm
X
chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và
10 đơn vị vitamin
;B
mỗi gói thực phẩm
Y
chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin
B
. Yêu
cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị
vitamin
B
. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Biết 1 gói thực phẩm loại
X
giá 20000 đồng, 1
gói thực phẩm loại
Y
giá 25000 đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại
X
và thực phẩm loại
Y
mỗi ngày bà
Hòa cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
,
4AB a=
và
120BAD =
. Gọi
H
là
trung điểm của
AO
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
3SH a=
. Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là
trung điểm của ba cạnh
,CD BC
và
SA
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
PN
và
SM
bằng
2am
n
. Tính
mn−
.
Câu 4. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều
dài
25 m,
chiều rộng
15,5 m
và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính
10 m.
Trong một lần bể bơi
vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng
AC
rồi bơi tiếp đoạn thẳng
,CM
với
M
là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm
D
dọc bờ của
hồ bơi để quay lại vị trí
A
và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).
Mã đề 1201 Trang 4/4
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là
2,4 km/h,
vận tốc đi bộ là
4,8 km/h
và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay
đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết
quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện
một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
( )
1000; 600;14M
đến điểm
N
trong 30 phút. Nếu đến
N
máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10
phút tiếp theo là
( )
1400; 800;16Q
. Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm
( )
100;150; 9,5E
được bắn ra với
vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí
N
. Sau bao nhiêu phút kể từ
khi máy bay bay từ
M
thì người điều khiển pháo phải bắn?
Câu 6. Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Singapore ở sân vận động Mỹ Đình có sức chứa
60 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình đến sân xem
bóng đá là 24 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng,
sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là
lớn nhất với đơn vị tính giá vé là nghìn đồng?
----HẾT---
Mã đề 1202 Trang 1/4
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
Mã Đề: 1202.
ĐỀ KSCL ÔN THI TN THPT LẦN 1 NĂM 2025-2026
MÔN: Toán 12
Thời gian: 90 Phút
-------------------------
Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho
( )
y F x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 4 2f x x x= − + +
và
( )
12F =
. Tính
( )
1F −
.
A.
( )
14F −=
. B.
( )
32
1 2 2 1F x x x− = − + + −
.
C.
( )
32
1 2 2F x x x C− = − + + +
. D.
( )
10F −=
.
Câu 2. Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố Huế
với thang điểm 100 được cho ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa
trung vị là.
A.
1
8
.
B.
19
60
.
C.
17
60
.
D.
5
12
.
Câu 3. : Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
1;2;3a =
,
( )
2;2; 1b =−
. Tọa độ của vectơ
2ab−

là
A.
( )
3;2;5
. B.
( )
1;0;4−
. C.
( )
3; 2;1−−
. D.
( )
3; 2;5−−
.
Câu 4. Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
(xem hình dưới). Đường thẳng
BC

song song với mặt phẳng nào sau
đây?
A.
( )
ABC
. B.
( )
ABC
. C.
( )
B BC
. D.
( )
AB C

.
Câu 5. Cho hàm số
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −
+
có đồ thị như hình vẽ:
Tiệm cận ngang của đồ thị àm số đã cho có phương trình là
A.
1x =
B.
1y =
C.
1x =−
D.
1y =−
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình
23
1
8
2
x+



là.
Mã đề 1202 Trang 2/4
A.
)
3; +
. B.
)
3; +−
. C.
( )
3; +−
. D.
(
; 3− −
.
Câu 7. Nghiệm của phương trình
1
cos
2
x =
là
A.
2
2 , 2 ( )
33
x k x k k


= + = +
. B.
, ( )
33
x k x k k


−
= + = +
.
C.
2 , 2 ( )
33
x k x k k


−
= + = +
. D.
22
2 , 2 ( )
33
x k x k k


−
= + = +
.
Câu 8. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA
vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị
diện
,,B SA D
.
A.
0
90
.
B.
0
60
.
C.
0
30
.
D.
0
45
.
Câu 9. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
2u =
và công sai
3d =
. Giá trị của
7
u
bằng
A. 14. B. 12. C. 15. D. 20.
Câu 10. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) 2sin
x
f x e x=+
thỏa mãn
( )
0 20F =
là
A.
( )
2sin 19
x
F x e x= + +
. B.
( )
2cos 17
x
F x e x= + +
.
C.
( )
2cos 21
x
F x e x= − +
. D.
( )
2cos 23
x
F x e x= − − +
.
Câu 11. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của
AB CC
+

A. 1
.
B.
2
.
C. 2
.
D.
3
.
Câu 12. Trong không gian
,Oxyz
cho hai điểm
( )
1;3;2A
và
( )
4;5;6 .B
Gọi
là góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
.Oxy
Giá trị của
cos
bằng
A.
377
29
B.
16
29
C.
4 29
29
D.
13
29
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 1. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm
thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua
thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi
ml
sữa chua) tại thời điểm
t
(giờ) được ký hiệu là
( )
Nt
. Ban đầu (
0=t
giờ), mật độ vi khuẩn đo được là
( )
0 10=N
triệu tế bào/
ml
. Do sự thay đổi về nguồn
dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn
( )
Nt
(đơn
vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
( )
2
22 3
=−N t t t
(triệu tế bào/
ml
/giờ) với
t
là thời gian tính bằng giờ (
0 10t
).
a) Tốc độ vi khuẩn tăng khi
22
0
3
t
.
b)
( )
1 19
=N
triệu tế bào/
ml
/giờ.
c)
( )
3
d 11
=−
N t t t t
.
d) Tại thời điểm
10=t
giờ, mật độ vi khuẩn trong 1
ml
sữa chua là 100 triệu tế bào/
ml
.
Câu 2. Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật
..ABCD EFGH
Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật
PEHQ
và
PFGQ
, biết tam giác
EFP
là tam giác cân tại
P
. Gọi
T
là trung điểm của cạnh
DC
. Các kích thước của nhà lần lượt là
6AB =
m,
5AE =
m,
8AD =
m,
7QT =
m. Xét hệ trục toạ độ
Oxyz
sao cho gốc toạ độ là điểm
O
thuộc đoạn
AD
sao
cho
2OA =
m và các trục toạ độ tương ứng là các trục
,,Ox Oy Oz
. Khi đó:
Mã đề 1202 Trang 3/4
a) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của
FG
và đầu nguồn điện đặt tại vị trí
O
. Bác
ấy thiết kế đường dây điện nối từ
O
đến
K
sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu
bằng
( )
5 2 10 m+
.
b) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt , giá tiền mỗi viên ngói là 11000 đồng và để lợp
được
2
1m
diện tích mái cần 22viên ngói . Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là 13960000 đồng (không
kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
c) Véc tơ
AC

có toạ độ là
( )
6;6;0
.
d) Toạ độ điểm
A
là
( )
2;0;0
.
Câu 3. Cho hàm số
( )
2sin 3f x x x=+
.
a)
( ) ( )
0 0, 3ff

==
.
b) Một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
fx
là
( )
2
3
2cos 2026
2
F x x x= − + +
c) Đạo hàm của hàm số đã cho là
( )
2cos 3f x x
= − +
.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
fx
trên đoạn
0;
bằng
53
1
6
+
.
Câu 4. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí
và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là
6 6 6 6
12 7 8 9
A C C C
.
b) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là
115
132
.
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là
6
12
A
.
d) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
666
7 8 9
CCC
.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều
dài
25 m,
chiều rộng
15,5 m
và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính
10 m.
Trong một lần bể bơi
vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng
AC
rồi bơi tiếp đoạn thẳng
,CM
với
M
là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm
D
dọc bờ của
hồ bơi để quay lại vị trí
A
và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).
Mã đề 1202 Trang 4/4
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là
2,4 km/h,
vận tốc đi bộ là
4,8 km/h
và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay
đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết
quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 2. Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Singapore ở sân vận động Mỹ Đình có sức chứa
60 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình đến sân xem
bóng đá là 24 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng,
sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là
lớn nhất với đơn vị tính giá vé là nghìn đồng?
Câu 3. Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử dụng
thêm hai loại thực phẩm khác nhau là
X
và
.Y
Mỗi gói thực phẩm
X
chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và
10 đơn vị vitamin
;B
mỗi gói thực phẩm
Y
chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin
B
. Yêu
cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị
vitamin
B
. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Biết 1 gói thực phẩm loại
X
giá 20000 đồng, 1
gói thực phẩm loại
Y
giá 25000 đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại
X
và thực phẩm loại
Y
mỗi ngày bà
Hòa cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện
một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
( )
1000; 600;14M
đến điểm
N
trong 30 phút. Nếu đến
N
máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10
phút tiếp theo là
( )
1400; 800;16Q
. Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm
( )
100;150; 9,5E
được bắn ra với
vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí
N
. Sau bao nhiêu phút kể từ
khi máy bay bay từ
M
thì người điều khiển pháo phải bắn?
Câu 5. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều
thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai
người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Câu 6. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
,
4AB a=
và
120BAD =
. Gọi
H
là
trung điểm của
AO
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
3SH a=
. Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là
trung điểm của ba cạnh
,CD BC
và
SA
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
PN
và
SM
bằng
2am
n
. Tính
mn−
.
----HẾT---
1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208
1
A D B A C C B B
2
A A A C C C C C
3
C D B C A D A C
4
A B D C A D D C
5
A B B C D B A B
6
C B A C B B B D
7
C C B B A C A A
8
D A C C A D B B
9
A D C A B C C D
10
A C A C B D B C
11
A B B A D A D A
12
C A A C D B C B
13
ĐSSS SĐSS ĐĐĐS SSĐĐ ĐSSS ĐSĐĐ SSĐĐ SSĐS
14
ĐSSĐ ĐSSĐ ĐSSS SSĐS ĐSĐĐ SĐĐS ĐĐĐS SĐĐS
15
ĐSĐĐ ĐĐSĐ SSĐĐ SĐĐĐ ĐĐĐS SĐĐĐ ĐĐĐS SĐĐĐ
16
SĐĐĐ SĐĐĐ ĐSĐĐ ĐSĐĐ SSĐĐ SSSĐ SĐSS ĐSĐĐ
17
0,36 1,4 1,4 1,4 0,36 26 0,36 90
18
12 90 90 0,36 1,4 0,36 1,4 26
19
26 12 0,36 26 90 12 12 1,4
20
1,4 24 12 24 26 90 26 12
21
24 0,36 26 12 24 1,4 24 24
22
90 26 24 90 12 24 90 0,36
Câu hỏi
Mã đề thi
Trang 1/12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
(Đề thi có …. trang)
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: ............................................................................
Số báo danh: .................................................................................
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
2u =
và công sai
3d =
. Giá trị của
7
u
bằng
A.
14
. B.
20
.
C.
15
. D.
12
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
71
6 2 6.3 20u u d= + = + =
Câu 2. Cho
( )
y F x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 4 2f x x x= − + +
và
( )
12F =
. Tính
( )
1F −
.
A.
( )
10F −=
. B.
( )
14F −=
.
C.
( )
32
1 2 2 1F x x x− = − + + −
. D.
( )
32
1 2 2F x x x C− = − + + +
.
Lời giải
Chọn A
( ) ( )
( )
2 3 2
d 3 4 2 d 2 2F x f x x x x x x x x C= = − + + = − + + +

.
( )
1 2 3 2 1F C C= + = = −
.
Vậy
( )
1 1 2 2 1 0F − = + − − =
.
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA
vuông góc với đáy. Tính số đo
góc nhị diện
,,B SA D
.
A.
0
60
.
B.
0
90
.
C.
0
30
.
D.
0
45
.
Lời giải
Chọn B
( )
,SA ABCD SA AB SA AD⊥ ⊥ ⊥
;
AB AD A SA =
Do đó góc nhị diện
,,B SA D
là góc
BAD
bằng
0
90
.
Câu 4. : Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
1;2;3a =
,
( )
2;2; 1b =−
. Tọa độ của vectơ
2ab−

là
A.
( )
1;0;4−
. B.
( )
3; 2;5−−
. C.
( )
3; 2;1−−
. D.
( )
3;2;5
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2 4; 4;2b− = − −
.
Mã đề: 0000
Trang 2/12
Suy ra
( ) ( )
2 1 4;2 4;3 2 3; 2;5ab− = − − + = − −

.
Câu 5: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có độ dài mỗi cạnh bằng
1
. Tính độ dài của
AB CC
+

A.
2
.
B.
3
.
C.
1
.
D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
AB CC AB BB AB
+ = + =

Xét hình vuông
ABB A

có cạnh bằng 1 ta có:
2AB
=
2AB CC
+ =

.
Câu 6: Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của
120
học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố
Huế với thang điểm
100
được cho ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ
120
học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc
nhóm chứa trung vị là.
A.
1
8
.
B.
19
60
.
C.
17
60
.
D.
5
12
.
Lời giải
Trung vị là
60 61
2
e
xx
M
+
=
nên nhóm chứa trung vị là nhóm
)
40;60
, nhọn ngẫu nhiên một học
sinh từ
120
học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là
15 1
120 8
=
.
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình
23
1
8
2
x+



là.
A.
)
3; +
. B.
(
; 3− −
. C.
)
3; +−
. D.
( )
3; +−
.
Lời giải
Chọn C
23
1
8 2 3 3 3
2
x
xx
+

+ − −


.
Câu 8: Cho hàm số
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −
+
có đồ thị như hình vẽ:
Trang 3/12
Tiệm cận ngang của đồ thị àm số đã cho có phương trình là
A.
1y =
B.
1y =−
C.
1x =
D.
1x =−
Lời giải
Chọn A
Câu 9: Nghiệm của phương trình
1
cos
2
x =
là
A.
22
2 , 2 ( )
33
x k x k k


−
= + = +
. B.
2 , 2 ( )
33
x k x k k


−
= + = +
.
C.
2
2 , 2 ( )
33
x k x k k


= + = +
. D.
, ( )
33
x k x k k


−
= + = +
.
Lời giải
Chọn B
2
1
3
cos cos cos
23
2
3
xk
xx
xk
=+
= =
−
=+
( )
k
.
Câu 10: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
(xem hình dưới). Đường thẳng
BC

song song với mặt phẳng
nào sau đây?
A.
( )
ABC
. B.
( )
ABC
. C.
( )
AB C

.
D.
( )
B BC
.
Lời giải
Chọn A
Do
.ABC A B C
là lăng trụ nên tứ giác
BCC B

là hình bình hành, nên ta có
( )
( )
( )
B C BC
BC ABC B C ABC
B ABC



.
Trang 4/12
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai điểm
( )
1;3;2A
và
( )
4;5;6 .B
Gọi
là góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
.Oxy
Giá trị của
cos
bằng
A.
4 29
29
B.
16
29
C.
377
29
D.
13
29
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
Oxy
là:
( )
( )
0;0;1
Oxy
n =

Vectơ chỉ phương của đường thẳng
AB
là:
( )
3;2;4AB =

Ta có:
( )
( )
.
44
sin cos , 0
1. 9 4 16 29
.
n AB
AB xy
n AB
= = = =
++


suy ra
2
377
cos 1 sin
29

= − =
.
Câu 12: Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) 2sin
x
f x e x=+
thỏa mãn
( )
0 20F =
là
A.
( )
2cos 23
x
F x e x= − − +
. B.
( )
2cos 21
x
F x e x= − +
.
C.
( )
2cos 17
x
F x e x= + +
. D.
( )
2sin 19
x
F x e x= + +
.
Lời giải
Chọn B
( )
( )
2sin 2cos
xx
F x e x dx e x C= + = − +
.
( )
0 20 1 2 20 21F C C= − + = =
.
Vậy:
( )
2cos 21
x
F x e x= − +
.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 1: Cho hàm số
( )
2sin 3f x x x=+
.
a)
( ) ( )
0 0, 3ff

==
.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là
( )
2cos 3f x x
= − +
.
c) Một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
fx
là
( )
2
3
2cos 2026
2
F x x x= − + +
d) Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
fx
trên đoạn
0;
bằng
53
1
6
+
.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
( )
2cos 3f x x
=+
.
c) Đúng
( )
( )
2
3
2sin 3 2cos
2
F x x x dx x x C= + = − + +
Cho
2026C =
ta được một nguyên hàm là
( )
2
3
2cos 2026
2
F x x x= − + +
d) Đúng
Ta có:
( ) ( )
0 0, 3ff

==
và
5 5 3
1
66
f


=+


.
Trang 5/12
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
( )
fx
trên đoạn
0;
bằng
53
1
6
+
.
Câu 2: Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật
..ABCD EFGH
Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật
PEHQ
và
PFGQ
, biết tam
giác
EFP
là tam giác cân tại
P
. Gọi
T
là trung điểm của cạnh
DC
. Các kích thước của nhà
lần lượt là
6AB =
m,
5AE =
m,
8AD =
m,
7QT =
m. Xét hệ trục toạ độ
Oxyz
sao cho gốc toạ độ
là điểm
O
thuộc đoạn
AD
sao cho
2OA =
m và các trục toạ độ tương ứng là các trục
,,Ox Oy Oz
. Khi đó:
a) Toạ độ điểm
A
là
( )
2;0;0
.
b) Véc tơ
AC

có toạ độ là
( )
6;6;0
.
c) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của
FG
và đầu nguồn điện đặt tại
vị trí
O
. Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ
O
đến
K
sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài
đoạn dây điện nối tối thiểu bằng
( )
5 2 10 m+
.
d) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt , giá tiền mỗi viên ngói là
11000
đồng
và để lợp được
2
1m
diện tích mái cần
22
viên ngói . Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà
là
13960000
đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến
hàng nghìn).
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Trang 6/12
a)Đúng. Do
2;0;0A
.
b) Sai. Do
2;0;0A
,
6;6;0C
Nên
8;6;0AC 

.
c)Đúng.
Gọi
L
là trung điểm của
FG
nên
5
K
Z OK AE
. Suy ra
0;0;5 5K OK
B
,
C
lần lượt là hình chiếu của
F
,
G
lên
Oxy
. Suy ra
2;6;5F
,
6;6;5G
.
Mà
L
là trung điểm của
FG
nên
2;6;5L
2 10KL
.
Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ
O
đến
K
sau đó nối thẳng đến chiếc đèn lồng là
5 2 10OK KL m
d)Sai. Ta có :
( ) ( )
6;3;7 , 6;6;5QG−−
Nên
13GQ m
Lại có
8FG BC m
Suy ra
2
. 8 13 .
FGQP
S FG GQ m
Diện tích ngói lợp mái nhà là
2
2 16 13
FGQP
Sm
.
Số viên ngói tối thiểu cần mua là : 1270 (Viên)
Số tiền ít nhấ cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là : 13970000(đồng).
Câu 3: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách
Vật lí và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh
mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là
6
12
A
.
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
666
7 8 9
CCC
.
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất
một cuốn là
6 6 6 6
12 7 8 9
A C C C
.
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là
115
132
.
Lời giải
Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d)Đúng
d) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là
6
12
A
.
Trang 7/12
Vậy a) đúng.
b) Vì số sách của mỗi loại đều bé hơn 6 nên không có cách nào lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại.
Do đó:
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Vật lí là
6
9
C
.
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Hóa học là
6
8
C
.
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Vật lí, Hóa học là
6
7
C
.
Suy ra: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
666
7 8 9
CCC
.
Vậy b) đúng.
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất
một cuốn bằng số cách lấy ra 6 cuốn sách có đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học.
+) Số cách lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách là:
6
12
C
.
+) Không có cách nào để lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại.
Suy ra số cách lấy ra 6 cuốn sách đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
6 6 6 6
12 7 8 9
C C C C
.
Vậy c) sai.
d)
- Số phần tử không gian mẫu:
6
12
nA
.
- Số cách lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh sao cho sau khi tặng xong mỗi loại sách Toán,
Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là
6 6 6 6
12 7 8 9
C C C C .6! 805.6!




.
Do đó: Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là
6
12
805.6! 115
A 132
.
Vậy d) đúng.
Câu 4: Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm
thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến
tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi
ml
sữa chua) tại thời điểm
t
(giờ) được ký hiệu là
( )
Nt
. Ban đầu (
0=t
giờ), mật độ vi khuẩn đo được là
( )
0 10=N
triệu
tế bào/
ml
. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng)
nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn
( )
Nt
(đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa
bởi công thức:
( )
2
22 3
=−N t t t
(triệu tế bào/
ml
/giờ) với
t
là thời gian tính bằng giờ (
0 10t
).
a)
( )
1 19
=N
triệu tế bào/
ml
/giờ.
b)
( )
3
d 11
=−
N t t t t
.
c) Tốc độ vi khuẩn tăng khi
22
0
3
t
.
d) Tại thời điểm
10=t
giờ, mật độ vi khuẩn trong
1
ml
sữa chua là
100
triệu tế bào/
ml
.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai
(a) Đúng.
Ta có công thức tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn:
( )
2
22 3
=−N t t t
Thay
1=t
vào công thức trên:
( )
2
1 22.1 3.1 19
= =−N
(triệu tế bào/
ml
/giờ).
Trang 8/12
(b) Sai.
( ) ( )
( )
2 2 3
d 22 3 d 11N t N t t t t t t t C
= = − = − +

.
(c) Sai.
Tốc độ vi khuẩn tăng khi
( )
'' 0Nt
( )
1
'' 22
11
06
1
0
33
tN ttt− =
(d) Sai.
Tính mật độ vi khuẩn tại
10=t
:
( ) ( )
( )
2 2 3
d 22 3 d 11
= = − = − +

N t N t t t t t t t C
.
Theo đề ta có
( ) ( )
23
0 10 11 10= = − +N N t t t
.
Khi đó
( )
23
10 11.10 10 10 110= − + =N
.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát
hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
( )
1000; 600;14M
đến điểm
N
trong 30 phút. Nếu đến
N
máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc
và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là
( )
1400; 800;16Q
. Biết một khẩu
pháo ở toạ độ vị trí điểm
( )
100;150; 9,5E
được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc
máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí
N
. Sau bao nhiêu phút kể từ khi máy bay bay từ
M
thì người điều khiển pháo phải bắn?
Lời giải
Đáp số:
24
Ta có
( ) ( )
2 2 2
400; 200; 2 400 200 2 2 50001 kmMQ MQ= = + + =

Thời gian máy bay bay từ
M
đến
Q
là là
30 10 40+=
(phút).
Độ lớn vận tốc máy bay là
( )
mb
2 50001 50001
km/phút
40 20
MQ
v
t
= = =
.
Từ đó suy ra độ lớn vận tốc pháo là
( )
pháo mb
50001
5 km/phút
4
vv==
Vì vận tốc máy bay không đổi nên
30
3 4 3 4 3
40
MN
MN MQ MN MQ
MQ
= = = =

( )
( )
( )
( )
4 1000 3.400
1300
4 600 3.200 750 1300; 750;15,5
15,5
4 14 3.2
N
N
NN
N
N
x
x
y y N
z
z
−=
=
− = =


=
−=
.
Suy ra
( ) ( )
2 2 2
1200; 600; 6 1200 600 6 6 50001 kmEN EN= = + + =

.
Trang 9/12
Thời gian pháo bay từ
E
đến
N
là
( )
6 50001
24 phút
50001
4
pháo
EN
v
==
.
Vậy sau 24 phút kể từ khi máy bay bay từ
M
thì người điều khiển pháo phải bắn.
Câu 2: Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử
dụng thêm hai loại thực phẩm khác nhau là
X
và
.Y
Mỗi gói thực phẩm
X
chứa
20
đơn vị
canxi,
20
đơn vị sắt và
10
đơn vị vitamin
;B
mỗi gói thực phẩm
Y
chứa
20
đơn vị canxi,
10
đơn vị sắt và
20
đơn vị vitamin
B
. Yêu cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn
uống là
240
đơn vị canxi,
160
đơn vị sắt và
140
đơn vị vitamin
B
. Mỗi ngày không được
dùng quá
12
gói mỗi loại. Biết
1
gói thực phẩm loại
X
giá
20000
đồng,
1
gói thực phẩm loại
Y
giá
25000
đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại
X
và thực phẩm loại
Y
mỗi ngày bà Hòa
cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?
Lời giải
Đáp số:
12
Gọi
,xy
( )
0 , 12; ,x y x y
lần lượt là số gói thực phẩm
X
và thực phẩm
Y
mà bà Hoà
cần dùng trong một ngày.
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
0 12
0 12
20 20 240
20 10 160
10 20 140
x
y
xy
xy
xy


+
+
+
Tổng số tiền cần mua hai loại thực phẩm
,XY
là:
( )
, 20 25F x y x y=+
(nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ phương trình là miền ngũ giác
ABCDE
với
( )
2;12A
,
( )
12;12B
,
( )
12;1C
,
( )
10;2D
và
( )
4;8E
.
Khi đó,
( )
2;12 340F =
;
( )
12;12 540F =
,
( )
12;1 265F =
( )
10;2 250F =
và
( )
4;8 280F =
.
Do đó giá trị nhỏ nhất của
F
là
( )
10,2 250FF==
khi
10, 2xy==
.
Vậy tổng số gói thực phẩm
X
và
Y
là
12
.
Trang 10/12
Câu 3: Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ
đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất
một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Lời giải
Đáp số:
0,36
Giả sử 2 người gọi điện là
A
và
B
Xác suất để người A gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
( ) ( ) ( )
11
1 9 1 18 1
.
10 10 9 90 5
P A P A P A= + = + = =
,
Tương tự:
( ) ( ) ( )
12
1 9 1 18 1
.
10 10 9 90 5
P B P B P B= + = + = =
Xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá
hai lần
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0,36
5 5 25
P A B P A P B P A B = + − = + − =
.
Câu 4: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
,
4AB a=
và
120BAD =
. Gọi
H
là
trung điểm của
AO
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
3SH a=
.
Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm của ba cạnh
,CD BC
và
SA
. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
PN
và
SM
bằng
2am
n
. Tính
mn−
.
Lời giải
Đáp số:
26
.
Vì
120BAD =
nên suy ra
60CAD =
.
Lại có
DA DC=
nên tam giác
ACD
đều. Do đó
23AM a=
.
Gọi
AN CD F=
, Suy ra
//PN SF
Do đó
( ) ( )
( )
( )
( )
d , d , d ,PN SM PN SFD P SFD==
( )
( )
( )
( )
1 1 4
d , d ,
2 2 3
A SFD H SFD= =
2 2 2
2
33
3
2 2 2 39
2
3 3 13
27
3
4
a
a
SH HE a
SH HE a
a
= = =
+
+
.
Trang 11/12
Câu 5. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với
chiều dài
25 m,
chiều rộng
15,5 m
và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính
10 m.
Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng
AC
rồi bơi tiếp đoạn thẳng
,CM
với
M
là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn
đi bộ theo một hướng qua điểm
D
dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí
A
và kết thúc chu trình.
(tham khảo hình vẽ).
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là
2,4 km/h,
vận tốc đi bộ là
4,8 km/h
và tốc độ bơi, vận tốc đi
bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình
trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp số:
1,4
.
Đổi
24
2,4 km/h = m/s; 4,8 km/h = m/s.
33
Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là
.AC CM MD DE EA+ + + +
Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là
.
24
33
AC CM MD DE EA
T
+ + +
=+
Do
,,AC DE EA
không đổi nên
max
T
khi
33
24
24
33
CM MD
CM MD+ = +
đạt giá trị lớn nhất.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐỀ KSCL ÔN THI TN THPT LẦN 1 NĂM 2025-
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO 2026 MÔN: Toán 12 Mã Đề: 1201. Thời gian: 90 Phút
-------------------------
Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  (xem hình dưới). Đường thẳng B C
  song song với mặt phẳng nào sau đây? A. ( ABC ) . B. ( AB C  ) . C. (B BC ).
D. ( AB C  ). ax + b
Câu 2. Cho hàm số y =
(c  0,ad −bc  0) có đồ thị như hình vẽ: cx + d
Tiệm cận ngang của đồ thị àm số đã cho có phương trình là A. y = 1 B. y = 1 − C. x = 1 − D. x = 1
Câu 3. Nguyên hàm F ( x) của hàm số ( ) x
f x = e + 2sin x thỏa mãn F (0) = 20 là A. ( ) x
F x = −e − 2cos x + 23 . B. ( ) x
F x = e + 2sin x +19 . C. ( ) x
F x = e − 2cos x + 21. D. ( ) x
F x = e + 2cos x +17 .
Câu 4. Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố Huế
với thang điểm 100 được cho ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là. 1 19 5 17 A. . B. . C. . D. . 8 60 12 60 1
Câu 5. Nghiệm của phương trình cos x = là 2   − 2 −  2 A. x = + k2 , x =
+ k2 (k  ) . B. x = + k2 , x =
+ k2 (k  ) . 3 3 3 3 2    − C. x =
+ k2 , x = + k2 (k  ) . D. x = + k , x =
+ k (k  ) . 3 3 3 3
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị diện B, , SA D . A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 90 . D. 0 60 . Mã đề 1201 Trang 1/4
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;2) và B(4;5;6). Gọi  là góc giữa đường thẳng AB
và mặt phẳng (Oxy). Giá trị của cos bằng 13 16 377 4 29 A. B. C. D.  29 29 29 29
Câu 8. Cho y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= −3x + 4x + 2 và F ( ) 1 = 2 . Tính F (− ) 1 . A. F (− ) 1 = 4 . B. F (− ) 3 2
1 = −x + 2x + 2x + C . C. F (− ) 3 2
1 = −x + 2x + 2x −1. D. F (− ) 1 = 0 .   
Câu 9. : Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = (1;2;3) , b = (2;2;− )
1 . Tọa độ của vectơ a − 2b là A. ( 3 − ; 2 − ;5) . B. (−1;0;4) . C. (3;2;5) . D. ( 3 − ; 2 − ; ) 1 . 
Câu 10. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của AB + CC A. 2 . B. 2. C. 3 . D. 1.
Câu 11. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 3. Giá trị của u bằng n ) 1 7 A. 20. B. 15. C. 12. D. 14. 2x+3  1 
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình  8   là.  2  A. 3; +). B. ( ; − −  3 . C.  3 − ; +) . D. ( 3 − ; +) .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm
thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua
thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm t (giờ) được ký hiệu là
N (t) . Ban đầu (t = 0 giờ), mật độ vi khuẩn đo được là N (0) = 10 triệu tế bào/ ml . Do sự thay đổi về nguồn
dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn N(t) (đơn
vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức: N(t) 2
= 22t − 3t (triệu tế bào/ ml /giờ) với t là thời gian tính bằng giờ ( 0  t 10 ). a) N( )
1 = 19 triệu tế bào/ ml /giờ. 22
b) Tốc độ vi khuẩn tăng khi 0  t . 3 c) ( ) 3 d = 11 −  N t t t t .
d) Tại thời điểm t =10 giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 100 triệu tế bào/ ml .
Câu 2. Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật ABC .
D EFGH.Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật PEHQ và PFGQ , biết tam giác EFP
là tam giác cân tại P . Gọi T là trung điểm của cạnh DC . Các kích thước của nhà lần lượt là AB = 6m,
AE = 5m, AD = 8m, QT = 7m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ là điểm O thuộc đoạn AD sao
cho OA = 2m và các trục toạ độ tương ứng là các trục O , x O , y Oz . Khi đó: Mã đề 1201 Trang 2/4
a) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của FG và đầu nguồn điện đặt tại vị trí O . Bác
ấy thiết kế đường dây điện nối từ O đến K sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng 5 + 2 10 (m).
b) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt , giá tiền mỗi viên ngói là 11000 đồng và để lợp được 2
1m diện tích mái cần 22viên ngói . Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là 13960000 đồng (không
kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn). 
c) Véc tơ AC có toạ độ là (6;6;0) .
d) Toạ độ điểm A là (2;0;0) .
Câu 3. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí
và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là 6 A . 12
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là 6 A 6 6 6 C  C C . 12 7 8 9
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là 6 6 6 C C  C . 7 8 9 115
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là . 132
Câu 4. Cho hàm số f ( x) = 2sin x + 3x .
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ( x) = 2 − cos x + 3 .
b) f (0) = 0, f ( ) = 3 . 3
c) Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) là F ( x) 2 = 2 − cos x + x + 2026 2 5 3
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn 0;  bằng 1+ . 6
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều
thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai
người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Câu 2. Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử dụng
thêm hai loại thực phẩm khác nhau là X và Y. Mỗi gói thực phẩm X chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin ;
B mỗi gói thực phẩm Y chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin B . Yêu
cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị
vitamin B . Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Biết 1 gói thực phẩm loại X giá 20000 đồng, 1
gói thực phẩm loại Y giá 25000 đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại X và thực phẩm loại Y mỗi ngày bà
Hòa cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB = 4a và 
BAD = 120 . Gọi H là
trung điểm của AO . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và SH = a 3 . Gọi M , N , P lần lượt là 2a m
trung điểm của ba cạnh C ,
D BC và SA . Khoảng cách giữa hai đường thẳng PN và SM bằng . Tính n m − n .
Câu 4. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều
dài 25 m, chiều rộng 15,5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 10 m. Trong một lần bể bơi
vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng AC rồi bơi tiếp đoạn thẳng CM, với
M là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm D dọc bờ của
hồ bơi để quay lại vị trí A và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ). Mã đề 1201 Trang 3/4
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là 2,4 km/h, vận tốc đi bộ là 4,8 km/h và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay
đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết
quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện
một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M (1000; 600;14) đến điểm N
trong 30 phút. Nếu đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10
phút tiếp theo là Q (1400; 800;16) . Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm E (100;150; 9,5) được bắn ra với
vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí N . Sau bao nhiêu phút kể từ
khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn?
Câu 6. Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Singapore ở sân vận động Mỹ Đình có sức chứa
60 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình đến sân xem
bóng đá là 24 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng,
sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là
lớn nhất với đơn vị tính giá vé là nghìn đồng? ----HẾT--- Mã đề 1201 Trang 4/4
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐỀ KSCL ÔN THI TN THPT LẦN 1 NĂM 2025-2026
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO MÔN: Toán 12 Thời gian: 90 Phút Mã Đề: 1202.
-------------------------
Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= −3x + 4x + 2 và F ( ) 1 = 2 . Tính F (− ) 1 . A. F (− ) 1 = 4 . B. F (− ) 3 2
1 = −x + 2x + 2x −1. C. F (− ) 3 2
1 = −x + 2x + 2x + C . D. F (− ) 1 = 0 .
Câu 2. Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố Huế
với thang điểm 100 được cho ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là. 1 19 17 5 A. . B. . C. . D. . 8 60 60 12   
Câu 3. : Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = (1;2;3) , b = (2;2;− )
1 . Tọa độ của vectơ a − 2b là A. (3;2;5) . B. (−1;0;4) . C. ( 3 − ; 2 − ; ) 1 . D. ( 3 − ; 2 − ;5) .
Câu 4. Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  (xem hình dưới). Đường thẳng B C
  song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. ( AB C  ). B. ( ABC ) . C. (B BC ). D. ( AB C  ) . ax + b
Câu 5. Cho hàm số y =
(c  0,ad −bc  0) có đồ thị như hình vẽ: cx + d
Tiệm cận ngang của đồ thị àm số đã cho có phương trình là A. x = 1 B. y = 1 C. x = 1 − D. y = 1 − 2x+3  1 
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình  8   là.  2  Mã đề 1202 Trang 1/4 A. 3; +). B.  3 − ; +) . C. ( 3 − ; +) . D. ( ; − −  3 . 1
Câu 7. Nghiệm của phương trình cos x = là 2 2    − A. x =
+ k2 , x = + k2 (k  ) . B. x = + k , x =
+ k (k  ) . 3 3 3 3   − 2 −  2 C. x = + k2 , x =
+ k2 (k  ) . D. x = + k2 , x =
+ k2 (k  ) . 3 3 3 3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị diện B, , SA D . A. 0 90 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 45 .
Câu 9. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 3. Giá trị của u bằng n ) 1 7 A. 14. B. 12. C. 15. D. 20.
Câu 10. Nguyên hàm F ( x) của hàm số ( ) x
f x = e + 2sin x thỏa mãn F (0) = 20 là A. ( ) x
F x = e + 2sin x +19 . B. ( ) x
F x = e + 2cos x +17 . C. ( ) x
F x = e − 2cos x + 21. D. ( ) x
F x = −e − 2cos x + 23 . 
Câu 11. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của AB + CC A. 1. B. 2 . C. 2. D. 3 .
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;2) và B(4;5;6). Gọi  là góc giữa đường thẳng AB
và mặt phẳng (Oxy). Giá trị của cos bằng 377 16 4 29 13 A. B. C. D.  29 29 29 29
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm
thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua
thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm t (giờ) được ký hiệu là
N (t) . Ban đầu (t = 0 giờ), mật độ vi khuẩn đo được là N (0) = 10 triệu tế bào/ ml . Do sự thay đổi về nguồn
dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn N(t) (đơn
vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức: N(t) 2
= 22t − 3t (triệu tế bào/ ml /giờ) với t là thời gian tính bằng giờ ( 0  t 10 ). 22
a) Tốc độ vi khuẩn tăng khi 0  t . 3 b) N( )
1 = 19 triệu tế bào/ ml /giờ. c) ( ) 3 d = 11 −  N t t t t .
d) Tại thời điểm t =10 giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 100 triệu tế bào/ ml .
Câu 2. Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật ABC .
D EFGH.Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật PEHQ và PFGQ , biết tam giác EFP
là tam giác cân tại P . Gọi T là trung điểm của cạnh DC . Các kích thước của nhà lần lượt là AB = 6m,
AE = 5m, AD = 8m, QT = 7m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ là điểm O thuộc đoạn AD sao
cho OA = 2m và các trục toạ độ tương ứng là các trục O , x O , y Oz . Khi đó: Mã đề 1202 Trang 2/4
a) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của FG và đầu nguồn điện đặt tại vị trí O . Bác
ấy thiết kế đường dây điện nối từ O đến K sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng 5 + 2 10 (m).
b) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt , giá tiền mỗi viên ngói là 11000 đồng và để lợp được 2
1m diện tích mái cần 22viên ngói . Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là 13960000 đồng (không
kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn). 
c) Véc tơ AC có toạ độ là (6;6;0) .
d) Toạ độ điểm A là (2;0;0) .
Câu 3. Cho hàm số f ( x) = 2sin x + 3x .
a) f (0) = 0, f ( ) = 3 . 3
b) Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) là F ( x) 2 = 2 − cos x + x + 2026 2
c) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ( x) = 2 − cos x + 3 . 5 3
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn 0;  bằng 1+ . 6
Câu 4. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí
và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là 6 A 6 6 6 C  C C . 12 7 8 9 115
b) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là . 132
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là 6 A . 12
d) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là 6 6 6 C C  C . 7 8 9
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều
dài 25 m, chiều rộng 15,5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 10 m. Trong một lần bể bơi
vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng AC rồi bơi tiếp đoạn thẳng CM, với
M là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm D dọc bờ của
hồ bơi để quay lại vị trí A và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ). Mã đề 1202 Trang 3/4
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là 2,4 km/h, vận tốc đi bộ là 4,8 km/h và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay
đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết
quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 2. Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Singapore ở sân vận động Mỹ Đình có sức chứa
60 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình đến sân xem
bóng đá là 24 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng,
sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là
lớn nhất với đơn vị tính giá vé là nghìn đồng?
Câu 3. Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử dụng
thêm hai loại thực phẩm khác nhau là X và Y. Mỗi gói thực phẩm X chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin ;
B mỗi gói thực phẩm Y chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin B . Yêu
cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị
vitamin B . Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Biết 1 gói thực phẩm loại X giá 20000 đồng, 1
gói thực phẩm loại Y giá 25000 đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại X và thực phẩm loại Y mỗi ngày bà
Hòa cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất?
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện
một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M (1000; 600;14) đến điểm N
trong 30 phút. Nếu đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10
phút tiếp theo là Q (1400; 800;16) . Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm E (100;150; 9,5) được bắn ra với
vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí N . Sau bao nhiêu phút kể từ
khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn?
Câu 5. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều
thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai
người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB = 4a và 
BAD = 120 . Gọi H là
trung điểm của AO . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và SH = a 3 . Gọi M , N , P lần lượt là 2a m
trung điểm của ba cạnh C ,
D BC và SA . Khoảng cách giữa hai đường thẳng PN và SM bằng . Tính n m − n . ----HẾT--- Mã đề 1202 Trang 4/4 Mã đề thi Câu hỏi 1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208 1 A D B A C C B B 2 A A A C C C C C 3 C D B C A D A C 4 A B D C A D D C 5 A B B C D B A B 6 C B A C B B B D 7 C C B B A C A A 8 D A C C A D B B 9 A D C A B C C D 10 A C A C B D B C 11 A B B A D A D A 12 C A A C D B C B 13 ĐSSS SĐSS ĐĐĐS SSĐĐ ĐSSS ĐSĐĐ SSĐĐ SSĐS 14 ĐSSĐ ĐSSĐ ĐSSS SSĐS ĐSĐĐ SĐĐS ĐĐĐS SĐĐS 15 ĐSĐĐ ĐĐSĐ SSĐĐ SĐĐĐ ĐĐĐS SĐĐĐ ĐĐĐS SĐĐĐ 16 SĐĐĐ SĐĐĐ ĐSĐĐ ĐSĐĐ SSĐĐ SSSĐ SĐSS ĐSĐĐ 17 0,36 1,4 1,4 1,4 0,36 26 0,36 90 18 12 90 90 0,36 1,4 0,36 1,4 26 19 26 12 0,36 26 90 12 12 1,4 20 1,4 24 12 24 26 90 26 12 21 24 0,36 26 12 24 1,4 24 24 22 90 26 24 90 12 24 90 0,36
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO Môn thi: TOÁN
(Đề thi có …. trang)
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: ............................................................................ Mã đề: 0000
Số báo danh: .................................................................................
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 3. Giá trị của u bằng n ) 1 7 A. 14. B. 20 . C. 15. D. 12. Lời giải Chọn B
Ta có: u = u + 6d = 2 + 6.3 = 20 7 1
Câu 2. Cho y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= −3x + 4x + 2 và F ( ) 1 = 2 . Tính F (− ) 1 . A. F (− ) 1 = 0 . B. F (− ) 1 = 4 . C. F (− ) 3 2
1 = −x + 2x + 2x −1. D. F (− ) 3 2
1 = −x + 2x + 2x + C . Lời giải Chọn A
F ( x) = f
 (x) x = ( 2 − x + x + ) 3 2 d 3 4
2 dx = −x + 2x + 2x + C . F ( )
1 = 2  C + 3 = 2  C = 1 − . Vậy F (− ) 1 = 1+ 2 − 2 −1 = 0 .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Tính số đo
góc nhị diện B, , SA D . A. 0 60 . B. 0 90 . C. 0 30 . D. 0 45 . Lời giải Chọn B
SA ⊥ ( ABCD)  SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ; AB AD = ASA
Do đó góc nhị diện B, , SA D là góc  BAD bằng 0 90 .   
Câu 4. : Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = (1;2;3) , b = (2;2;− )
1 . Tọa độ của vectơ a − 2b là
A. (−1;0;4) . B. ( 3 − ; 2 − ;5) . C. ( 3 − ; 2 − ; )
1 . D. (3;2;5) . Lời giải Chọn B  Ta có 2 − b = ( 4 − ; 4 − ;2) . Trang 1/12 
Suy ra a − 2b = (1− 4;2 − 4;3+ 2) = ( 3 − ; 2 − ;5) . 
Câu 5: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của AB + CCA. 2 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A

Ta có: AB + CC = AB + BB = AB  Xét hình vuông ABB A
  có cạnh bằng 1 ta có: AB = 2  AB + CC = 2 .
Câu 6: Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của 120 học sinh ở một trường THPT ở địa bàn thành phố
Huế với thang điểm 100 được cho ở bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là. 1 19 17 5 A. . B. . C. . D. . 8 60 60 12 Lời giải x + x Trung vị là 60 61 M =
nên nhóm chứa trung vị là nhóm 40;60) , nhọn ngẫu nhiên một học e 2
sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là 15 1 = . 120 8 2x+3  1 
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình  8   là.  2  A. 3; +). B. ( ; − −  3 . C.  3 − ; +) . D. ( 3 − ; +) . Lời giải Chọn C 2x+3  1   8  2x + 3  3 −  x  3 −   .  2  ax + b
Câu 8: Cho hàm số y =
(c  0,ad −bc  0) có đồ thị như hình vẽ: cx + d Trang 2/12
Tiệm cận ngang của đồ thị àm số đã cho có phương trình là A. y = 1 B. y = 1 − C. x = 1 D. x = 1 − Lời giải Chọn A 1
Câu 9: Nghiệm của phương trình cos x = là 2 2 −  2   − A. x = + k2 , x =
+ k2 (k  ) . B. x = + k2 , x =
+ k2 (k  ) . 3 3 3 3 2    − C. x =
+ k2 , x = + k2 (k  ) . D. x = + k , x =
+ k (k  ) . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B   x = + k2 1   3 cos x =  cos x = cos   (k  ) . 2 3  − x = + k2  3
Câu 10: Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  (xem hình dưới). Đường thẳng B C
  song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. ( ABC ) . B. ( AB C
 ). C. ( AB C  ) . D. (B BC ). Lời giải Chọn A Do AB . C A BC
  là lăng trụ nên tứ giác BCC B
  là hình bình hành, nên ta có B C    BC
BC  ( ABC)  B C   ( ABC). B  ( ABC) Trang 3/12
Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;2) và B(4;5;6). Gọi  là góc giữa đường thẳng
AB và mặt phẳng (Oxy). Giá trị của cos bằng 4 29 16 377 13 A. B. C. D.  29 29 29 29 Lời giải 
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là: n = (0;0; ) ( ) 1 Oxy 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: AB = (3;2;4)  n AB Ta có:  = (AB ( xy)) . 4 4 sin cos , 0 =  = = n . AB 1. 9 + 4 +16 29 377 suy ra 2 cos = 1− sin  = . 29
Câu 12: Nguyên hàm F ( x) của hàm số ( ) x
f x = e + 2sin x thỏa mãn F (0) = 20 là A. ( ) x
F x = −e − 2cos x + 23 . B. ( ) x
F x = e − 2cos x + 21. C. ( ) x
F x = e + 2cos x +17 . D. ( ) x
F x = e + 2sin x +19 . Lời giải Chọn B ( ) = ( x +2sin ) x F x e
x dx = e − 2 cos x + C .
F (0) = 20  1− 2 + C = 20  C = 21. Vậy: ( ) x
F x = e − 2cos x + 21.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số f ( x) = 2sin x + 3x .
a) f (0) = 0, f ( ) = 3 .
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ( x) = 2 − cos x + 3 . 3
c) Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) là F ( x) 2 = 2 − cos x + x + 2026 2 5 3
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn 0;  bằng 1+ . 6 Lời giải a) Đúng b) Sai
f ( x) = 2cos x + 3 . c) Đúng
F ( x) = (2sin x + 3x) 3 2 dx = 2 − cos x + x + C 2 3
Cho C = 2026 ta được một nguyên hàm là F ( x) 2 = 2 − cos x + x + 2026 2 d) Đúng  5  5 3
Ta có: f (0) = 0, f ( ) = 3 và f =1+   .  6  6 Trang 4/12 5 3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn 0;  bằng 1+ . 6
Câu 2: Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật ABC .
D EFGH.Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật PEHQ và PFGQ , biết tam
giác EFP là tam giác cân tại P . Gọi T là trung điểm của cạnh DC . Các kích thước của nhà
lần lượt là AB = 6m, AE = 5m, AD = 8m, QT = 7 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ
là điểm O thuộc đoạn AD sao cho OA = 2 m và các trục toạ độ tương ứng là các trục O , x O , y Oz . Khi đó:
a) Toạ độ điểm A là (2;0;0) . 
b) Véc tơ AC có toạ độ là (6;6;0) .
c) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của FG và đầu nguồn điện đặt tại
vị trí O . Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ O đến K sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài
đoạn dây điện nối tối thiểu bằng 5 + 2 10 (m).
d) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt , giá tiền mỗi viên ngói là 11000 đồng và để lợp được 2
1m diện tích mái cần 22 viên ngói . Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà
là 13960000 đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn). Lời giải a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Trang 5/12
a)Đúng. Do A2;0;0.
b) Sai. Do A2;0;0 C 6;6;0 ,  Nên AC   8;6;0 . c)Đúng.
Gọi L là trung điểm của FG nên Z O K
AE 5 . Suy ra K 0;0;  5  OK 5 K
B , C lần lượt là hình chiếu của F , G lên Oxy. Suy ra F 2;6;  5 , G 6;6;  5 .
Mà L là trung điểm của FG nên L 2;6;  5  KL 2 10 .
Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ O đến K sau đó nối thẳng đến chiếc đèn lồng là OK K L 5 2 10 m
d)Sai. Ta có : Q ( 6 − ;3;7), G( 6
− ;6;5) Nên GQ  13m Lại có FG B  C 8m Suy ra S F  G GQ  2 .
8 13 m . Diện tích ngói lợp mái nhà là 2 2S  16 13 m . FGQP FGQP  
Số viên ngói tối thiểu cần mua là : 1270 (Viên)
Số tiền ít nhấ cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là : 13970000(đồng).
Câu 3: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách
Vật lí và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh
mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là 6 A . 12
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là 6 6 6 C C  C . 7 8 9
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là 6 A 6 6 6 C  C C . 12 7 8 9 115
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là . 132 Lời giải
Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d)Đúng
d) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là 6 A . 12 Trang 6/12 Vậy a) đúng.
b) Vì số sách của mỗi loại đều bé hơn 6 nên không có cách nào lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Do đó:
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Vật lí là 6 C . 9
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Hóa học là 6 C . 8
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Vật lí, Hóa học là 6 C . 7
Suy ra: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là 6 6 6 C C  C . 7 8 9 Vậy b) đúng.
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất
một cuốn bằng số cách lấy ra 6 cuốn sách có đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học.
+) Số cách lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách là: 6 C . 12
+) Không có cách nào để lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại.
Suy ra số cách lấy ra 6 cuốn sách đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là 6 C 6 6 6 C  C C 12 7 8 9 . Vậy c) sai. d)
- Số phần tử không gian mẫu: n  6  A . 12
- Số cách lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh sao cho sau khi tặng xong mỗi loại sách Toán,
Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là 6 C   6 6 6 C  C C .6! 805.6!. 12 7 8 9 
Do đó: Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là 805.6! 115 . 6 A 132 12 Vậy d) đúng.
Câu 4: Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm
thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến
tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm
t (giờ) được ký hiệu là N (t) . Ban đầu ( t = 0 giờ), mật độ vi khuẩn đo được là N (0) =10 triệu
tế bào/ ml . Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng)
nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn N(t) (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức: N(t) 2
= 22t − 3t (triệu tế bào/ ml /giờ) với t là thời gian tính bằng giờ ( 0  t 10 ). a) N( )
1 = 19 triệu tế bào/ ml /giờ. b) ( ) 3 d = 11 −  N t t t t . 22
c) Tốc độ vi khuẩn tăng khi 0  t . 3
d) Tại thời điểm t =10 giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 100 triệu tế bào/ ml . Lời giải a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai (a) Đúng.
Ta có công thức tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn: N(t) 2 = 22t − 3t
Thay t =1 vào công thức trên: N( ) 2
1 = 22.1− 3.1 = 19 (triệu tế bào/ ml /giờ). Trang 7/12 (b) Sai.
N (t) = N  (t) t = ( 2 t − t ) 2 3 d 22 3
dt = 11t − t + C . (c) Sai.
Tốc độ vi khuẩn tăng khi N ' (t)  0 N (t) 11 11 '
= 22 − 6t  0  t   0  t 3 3 (d) Sai.
Tính mật độ vi khuẩn tại t =10 :
N (t) = N(t) t = ( 2 t − t ) 2 3 d 22 3
dt = 11t − t +   C .
Theo đề ta có N ( ) =  N (t) 2 3 0 10
= 11t − t +10 . Khi đó N ( ) 2 3 10 = 11.10 −10 +10 = 110 .
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát
hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
M (1000; 600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc
và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là Q (1400; 800;16) . Biết một khẩu
pháo ở toạ độ vị trí điểm E (100;150; 9,5) được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc
máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí N . Sau bao nhiêu phút kể từ khi máy bay bay từ M
thì người điều khiển pháo phải bắn? Lời giải Đáp số: 24  Ta có MQ = ( ) 2 2 2
400; 200; 2  MQ = 400 + 200 + 2 = 2 50001 (km)
Thời gian máy bay bay từ M đến Q là là 30 +10 = 40 (phút). MQ 2 50001 50001
Độ lớn vận tốc máy bay là v = = = km/phút . mb ( ) t 40 20 50001
Từ đó suy ra độ lớn vận tốc pháo là v = 5v = km/phút pháo mb ( ) 4 MN 30 
Vì vận tốc máy bay không đổi nên =
= 3  4MN = 3MQ  4MN = 3MQ MQ 40 4(x −1000 = N ) 3.400 x =1300 N    4( y − 600 =  y =  N . N ) 3.200 750 N (1300; 750;15,5)   4  ( z −14) = 3.2 z = 15,5  N N  Suy ra EN = ( ) 2 2 2
1200; 600; 6  EN = 1200 + 600 + 6 = 6 50001 (km) . Trang 8/12 EN 6 50001
Thời gian pháo bay từ E đến N là = = 24 (phút) . vpháo 50001 4
Vậy sau 24 phút kể từ khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn.
Câu 2: Để điều trị bệnh hiệu quả, bà Hòa được tư vấn bổ sung vào chế độ ăn hằng ngày bằng cách sử
dụng thêm hai loại thực phẩm khác nhau là X và Y. Mỗi gói thực phẩm X chứa 20 đơn vị
canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin ;
B mỗi gói thực phẩm Y chứa 20 đơn vị canxi, 10
đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin B . Yêu cầu hằng ngày tối thiểu cần bổ sung cho chế độ ăn
uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin B . Mỗi ngày không được
dùng quá 12 gói mỗi loại. Biết 1 gói thực phẩm loại X giá 20000 đồng, 1 gói thực phẩm loại
Y giá 25000 đồng. Hỏi tổng số gói thực phẩm loại X và thực phẩm loại Y mỗi ngày bà Hòa
cần dùng là bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất? Lời giải Đáp số: 12 Gọi ,
x y (0  x, y 12; x, y   ) lần lượt là số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Hoà
cần dùng trong một ngày. 0  x 12 0  y 12 
Theo giả thiết ta có hệ phương trình: 20x + 20y  240
20x +10y 160
10x+20y 140 
Tổng số tiền cần mua hai loại thực phẩm X , Y là: F ( x, y) = 20x + 25y (nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ phương trình là miền ngũ giác ABCDE với A(2;12), B(12;12) , C (12; ) 1
, D (10;2) và E (4;8) .
Khi đó, F (2;12) = 340 ; F (12;12) = 540 , F (12; )
1 = 265 F (10;2) = 250 và F (4;8) = 280 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của F là F = F (10, 2) = 250 khi x =10, y = 2 .
Vậy tổng số gói thực phẩm X và Y là 12. Trang 9/12
Câu 3: Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ
đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất
một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần. Lời giải Đáp số: 0,36
Giả sử 2 người gọi điện là A và B
Xác suất để người A gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
P ( A) = P( 1 9 1 18 1 A + P A = + . = = , 1 ) ( 1) 10 10 9 90 5 1 9 1 18 1
Tương tự: P (B) = P(B + P B = + . = = 1 ) ( 2) 10 10 9 90 5
Xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần
P ( AB) = P( A) + P(B) − P( AB) 1 1 1 = + − = 0,36 . 5 5 25
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB = 4a và 
BAD = 120 . Gọi H là
trung điểm của AO . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và SH = a 3 .
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của ba cạnh C ,
D BC và SA . Khoảng cách giữa hai đường 2a m
thẳng PN và SM bằng
. Tính m − n . n Lời giải
Đáp số: 26 . Vì 
BAD = 120 nên suy ra  CAD = 60 .
Lại có DA = DC nên tam giác  ACD đều. Do đó AM = 2a 3 .
Gọi AN CD = F , Suy ra PN //SF Do đó 1 1 4
d (PN, SM ) = d (PN,(SFD)) = d(P,(SFD)) = d( ,
A (SFD)) =  d(H,(SFD)) 2 2 3 3a 3 a 3  2 SH HE 2 2a 39 2 =  =  = . 2 2 2 3 SH + HE 3 27a 13 2 3a + 4 Trang 10/12
Câu 5. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với
chiều dài 25 m, chiều rộng 15,5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 10 m.
Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng AC
rồi bơi tiếp đoạn thẳng CM, với M là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn
đi bộ theo một hướng qua điểm D dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí A và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là 2,4 km/h, vận tốc đi bộ là 4,8 km/h và tốc độ bơi, vận tốc đi
bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình
trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Lời giải
Đáp số: 1,4 . 2 4
Đổi 2,4 km/h = m/s; 4,8 km/h = m/s. 3 3
Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là 
AC + CM + MD + DE + E . A AC + CM
MD + DE + EA
Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là T = + . 2 4 3 3  CM MD 3 3
Do AC, DE, EA không đổi nên  m T ax khi +
= CM + MD đạt giá trị lớn nhất. 2 4 2 4 3 3 Trang 11/12

Tài liệu liên quan: