PHÒNG GD – ĐT QUẬN CẦU GIẤY
ĐỀ KHẢO SÁT TOÁN 9
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN Năm học 2022 - 2023 (Đề gồm 01 trang) Ngày kiểm tra: 27/05/2023
Thời gian làm bài: 120 phút(Không kể thời gian phát đề)
Bài I. (2,0 điểm) Cho các biểu thức: x 1 1 x − P = − + và 2 Q =
với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9 x − 4 2 − x x + 2 x − 3
1) Tính giá trị biểu thức Q khi x = 64 . 2) Chứng minh x P = ⋅ x − 2
3) Cho biểu thức K = .
Q (P −1) .Tìm số tự nhiên m nhỏ nhất để phương trình K = m +1 có nghiệm.
Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
1) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng
một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên
lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.
2) Một thùng đựng sơn hình trụ có đường kính đáy là
16cm và chiều cao là 24cm. Tính diện tích vật liệu để tạo
nên một vỏ thùng đựng sơn đó (cho biết phần mép nối không
đáng kể và lấy π ≈ 3,14)
Bài III (2,5 điểm)
1) Giải phương trình x( x − 3) + 2 = 5 − x
2) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx + 3
a) Tìm các điểm nằm trên parabol (P) có tung độ bằng 4.
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho S = AOB 6 ( đvdt).
Bài IV (3,0 điểm). Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao BN và CM cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
2) Chứng minh BM BA +CN CA = 2 . . BC .
3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai K (K khác A). Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp A ∆ MN và ba
điểm K, H, I thẳng hàng.
Bài V. (0,5 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = 7a + 9 + 7b + 9 + 7c + 9 .
--------- Hết ---------
PHÒNG GD – ĐT QUẬN CẦU GIẤY
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT TOÁN 9
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN LẦN Năm học 2022 - 2023 (Đề gồm 01 trang) Ngày kiểm tra: 27/05/2023
Thời gian làm bài: 90 phút(Không kể thời gian phát đề) Bài Ý Nội dung Điểm x − 2
Q = x −3 1.
(0,5 Thay x = 64 (tmđk): 64 2 Q − = 0,25 điểm) 64 − 3 6 Q = 0,25 5 x 1 1 P = − + x − 4 2 − x x + 2 x 1 1 P = ( + + x − 2)( x + 2) x − 2 x + 2 2. 0,25 (1,0
x + x + 2 + x − 2 P = điểm)
( x −2)( x +2) x x x ( x + + 2 2 ) x Bài I P = = = 0,5 (2,0
( x −2)( x +2) ( x −2)( x +2) x −2 điêm) 2 K = .
Q (P −1) = x −3 2 K = m +1 ⇔
= m +1 ⇔ (m +1) x = 3m + 5 x − 3 0,25 m = -1 (L) 3. + m ≠ 1 − 3m 5 ⇒ x = (0,5 m +1 điểm)
Để phương trình có nghiệm thì 3m + 5 ≥ 0  m+1 m > 1 −  3m 5  +  5  ≠ 2 − ⇔   m ≤ 0,25 m +1    3 3m + 5 m ≠ 3 ≠ 3 −  m+1
Mà m là số tự nhiên nhỏ nhất nên m = 0 (TM) Bài
1. Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x ( km/h). Điều kiện: x > 2. 0,25 II
(1,5 Vận tốc lúc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x + 2; x – 2 (km/h). 0,25
(2,0 điểm) điêm
Thời gian khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là 48 (giờ) và x + 2 0,25 60 (giờ) . x − 2
Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình: 60 48 − = 1 0,25 x − 2 x + 2
⇒ 60(x + 2) − 48(x − 2) = (x − 2)(x + 2) 2
⇔ 60x +120 − 48x + 96 = x − 4 0,25 2
⇔ x −12x − 220 = 0
⇔ x = 22 T / m ; x = 10 − L 1 ( ) 2 ( )
Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 ( km/h). 0,25
Diện tích vật liệu để tạo nên vỏ thùng đựng sơn là diện tích toàn phần của thùng sơn.
Bán kính đáy của thùng sơn là: r = 16 : 2 = 8 (cm) 0,25
Diện tích xung quanh của thùng sơn là : S = π 2 .h = π 2 .24 = π 48 ( 2 cm 1 ) 2.
(0,5 Diện tích hai đáy của thùng sơn là: S = π 2 2. .r = π 2. .64 = π 128 ( 2 cm 2 )
điểm) Diện tích vật liệu để tạo nên một vỏ thùng đựng sơn là:
S = S + S = π 48 + π 128 = π 176 1 2 0,25 S ≈ 552,64( 2 cm )
Vậy diện tích vật liệu để tạo nên một vỏ thùng đựng sơn xấp xỉ 552,64 cm2
x( x − 3) + 2 = 5 − x
⇔ x − 2 x = 3 Đk: …
⇔ x − 2 x − 3 = 0 0,5 1. ⇔ ( x + ) 1 ( x −3) = 0 (1,0  x +1= 0  x = 1( − L)
Bài điểm) ⇔  ⇔  0,25 III  x −3 = 0  x = 3 (2,5
⇔ x = 9 (tmdk) điêm Vậy pt có nghiệm x = 9 0,25
( Thiếu ĐKXĐ hoặc không đối chiếu nghiệm trừ 0,25đ) x = M 2
2a. Điểm M (x
∈ P ⇔ x = ⇔ M ;4) 2 ( ) M 4  0,25 x = −  M 2 (0,5
điểm) Vậy hai điểm cần tìm là ( 2; − 4) và (2;4) 0,25
2b. Ta có phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là 0,25 (1,0 2 2 x = 2 x
m + 3 ⇔ x − 2 x m - 3= 0
điểm) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B
⇔ PT có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 Tính 2 ∆ ' = m + 3 2
⇔ m + 3 > 0 (Đúng với mọi m) 0,25 Theo hệ thức Viet có:
x + x = 2m 1 2  x x = 3 − <  0 1 2
Ta có x1;x2 trái dấu nên A(xA;yA) và B(xB;yB) nằm về hai phía so với trục tung 0,25
Giao điểm của d và Oy là E (0;3), H và K lần lượt là hình chiếu của của A và B trên Oy S 1 1 1
AOB = SAOE +SEOB= OE.AH + OE.BK = .3.( x + x = 6 1 2 ) 2 2 2
x + x = 4 ⇔ x + x
− 2x x + 2 x x =16 1 2 ( 1 2)2 Ta có: 1 2 1 2 2 2 ⇔ 4m − 2( 3 − ) + 2 3
− = 16 ⇔ m =1 ⇔ m = 1 ± 0,25 A K N O 0,25 M H 1. (1,0 C
Bài điểm) B E I IV (3,0 Vẽ hình đúng ý 1 điêm
Có BN, CM là các đường cao của tam giác ABC
⇒ BN ⊥ AC tại N, CM ⊥ AB tại M 0,25 ⇒ BNC  0 =CMB = 90 0,25
⇒ N và M cùng nhìn BC dưới một góc vuông
⇒ Bốn điểm M, N, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
 Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp (dhnb) 0,25
Gọi giao điểm AH với BC là E. Ta có H là trực tâm của tam giác ABC 2.
Chứng minh AE ⊥ BC 0,25
(1,0 Chứng minh B
∆ MC đồng dạng B
∆ EA Suy ra BM. BA = BE.BC 0,25
điểm) Chứng minh tương tự CN.CA = CE.CB Suy ra 2
BM.BA + CN.CA = BC 0,5
Đường tròn ngoại tiếp A
∆ MN chính là đường tròn đường kính AH
Xét đường tròn đường kính AH có   MKH = MAH Mà  
MCI = MAH (cùng phụ  ABC ) 0,5    MKH  MCI  
 MKH  IMH  MI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp A ∆ MN
Chứng minh MKIC nội tiếp 3. (1,0 Vì  0
ANH = 90 ⇒ N thuộc đường tròn đường kính AH điểm)   0
⇒ AKM + ANM = 180    0
⇒ MKC +CKA + ANM = 180 0,25   0
⇒ MKC + 2ABC = 180 Mà     0
MIC = 2ABC ⇒ MKC + MIC = 180 Suy ra MKIC nội tiếp    
⇒ MKI = MCI ⇒ MKI = MKH 0,25 Suy ra K, H, I thẳng hàng
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = 7a + 9 + 7b + 9 + 7c + 9 . a(a − ) 2 1 ≤ 0 a ≤ a   0,25
Do a,b,c ≥ 0;a + b + c =1⇒ b  (b − ) 2 1 ≤ 0 ⇒ b  ≤ b Bài V   2 (0,5 c  (c − ) 1 ≤ 0 c ≤ c  điêm 2
7a + 9 ≥ a + 6a + 9 ⇒ 7a + 9 ≥ a + 3
P ≥ a + 3+ b + 3+ c + 3 P ≥10 0,25
Pnn =10 ⇔ trong 3 số a,b,c có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1