Đề ôn thi THPTQG môn Toán năm 2024 phát triển từ đề minh họa - Đề 5 (có đáp án)

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 3: Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Tìm tọa độ điểm sao cho là hình bình hành.

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho hàm sốcó bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ sau?

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Tập xác định của hàm số là

A. B. C. D.

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm và . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

A. B. C. D.

Câu 9: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức . Khi đó số phức là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua điểm .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 11: Với và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 bằng

A. B. C. D.

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Trong không gian , cho ba điểm: . Phương trình mặt phẳng là

A. B. C. D.

Câu 17: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Nếu và thì bằng

A. B. C. D.

Câu 19: Nếu và thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng , . Thể tích khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Cho số phức . Tìm số phức

A. B. C. D.

Câu 22: Cắt hình nón có chiều cao bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân. Biết diện tích xung quanh của hình nón là . Thể tích của khối nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Một phòng có 12 người. Cần lập một tổ đi công tác gồm 3 người, một người là tổ trưởng, một người làm tổ phó và một người làm thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập?

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

1. Câu 25: Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là
2. 

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Cho khối trụ có bán kính đường tròn đáy và thể tích Diện tích xung quanh của khối trụ đã cho bằng

A. B. C. D.

Câu 27: Cho cấp số nhân với số hạng đầu và công bội . Hỏi số là số hạng thứ mấy?

A. B. C. D.

Câu 28: Cho hai số phức và . Phần ảo của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho số phức thỏa mãn . Phần thực của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Cho khối lăng trụ đều có , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D.

Câu 33: Một hộp đựng 13 quả cầu gồm: 7 quả cầu màu vàng đánh số từ 1 đến 7, 6 quả cầu màu đỏ đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên hai quả, tính xác suất để hai quả đó khác màu và khác số.

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Cho hàm số xác định và liên tục trên , thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Trên khoảng , hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

A. B. C. D.

Câu 36: Cho các số thực dương với . bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm , , , . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng song song với đi qua và cắt đường thẳng có phương trình là

A. B.

C. D.

Câu 39: Cho các số thực dương thỏa mãn và tích . Giá trị của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 41: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng . Người ta muốn trồng cỏ ở hai đầu của mảnh đất hai hình bằng nhau giới hạn bởi hai đường Parabol có hai đỉnh cách nhau . Phần còn lại của mảnh đất người ta lát gạch với chi phí là . Tính tổng số tiền để lát gạch

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Câu 42: Cho hai số phức thoả mãn: , . Hãy tính giá trị biểu thức

A. B. . C. . D. .

Câu 43: Cho khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều. Biết . Các mặt bên và cùng hợp với đáy 1 góc . Thể tích khối lăng trụ bằng?

A. . B. . C. . D.

Câu 44: Trong không gian cho mặt cầu Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón đỉnh là tâm của và đáy là đường tròn có thể tích lớn nhất. Biết rằng khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Một người thợ mộc có một khối gỗ dạng khối nón có đỉnh I, tâm đáy là , bán kính đáy khối gỗ bằng , chiều cao bằng . Người thợ đó bắt đầu tiện phần đáy bằng cách lấy làm đỉnh để tạo thêm một đầu khối nón và dừng lại khi bán kính đáy của phần khối nón mới bằng bán kính của khối gỗ ban đầu.

Thể tích phần gỗ bị tiện bỏ đi gần bằng với giá trị nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 46: Xét các số thực dương thỏa mãn: . Khi biểu thức đạt lớn nhất, tính giá trị của biểu thức

A. . B. C. . D. .

Câu 47: Cho và là hai trong số các số phức thỏa mãn là số thuần ảo và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Câu 48: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại là một hình tam giác vuông cong với , và cạnh cong nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí là trung điểm của thì tường cong có độ cao . Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Cho hàm số bậc bốn có đạo hàm liên tục trên , hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực tiểu. Tổng các phần tử của bằng

A. 18. B. 11. C. 2. D. 13.

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và mạt phẳng . Lấy điểm di động trên và điểm di động trên sao cho cùng phương . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn .

A. B. C. 2+ D. .

---------- HẾT ----------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta có điểm cực đại của hàm số là

Câu 2: Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Theo giả thiết nên .

Vậy

Câu 3: Nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Điều kiện phương trình: .

.

Ta có

Vậy nghiệm phương trình là .

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Tìm tọa độ điểm sao cho là hình bình hành.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi . Để là hình bình hành

.

Câu 5: Cho hàm sốcó bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:

là một tiệm cận ngang

là một tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là.

Câu 6: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ sau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Hàm số đồng biến trên và .

Câu 7: Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm và . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn C

Ta có suy ra đường thẳng có VTCP là .

Câu 9: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức . Khi đó số phức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Điểm trong hệ tọa độ vuông góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức suy ra .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua điểm .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Mặt cầu có tâm và đi qua điểm nên có bán kính

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .

Câu 11: Với và , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có .

Câu 12: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có . Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi

Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Câu 13: Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Thể tích của khối lập phương : .

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 15: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Hàm số có nên ngịch biến trên

Hàm số có nên đồng biến trên

Câu 16: Trong không gian , cho ba điểm: . Phương trình mặt phẳng là

A. B.

C. D.

Lời giải

Phương trình mặt phẳng là :

Câu 17: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đổi dấu khi qua ; ; ; .

Do đó, hàm số đã cho có điểm cực trị.

Câu 18: Nếu và thì bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có

Vậy

Câu 19: Nếu và thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có: .

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng , . Thể tích khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

.

Câu 21: Cho số phức . Tìm số phức

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có .

Câu 22: Cắt hình nón có chiều cao bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân. Biết diện tích xung quanh của hình nón là . Thể tích của khối nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Vì thiết diện qua trục là tam giác vuông cân nên:

Mặt khác:

Theo đề:

Vậy: Thể tích khối nón bằng: .

Câu 23: Một phòng có 12 người. Cần lập một tổ đi công tác gồm 3 người, một người là tổ trưởng, một người làm tổ phó và một người làm thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Số cách chọn

Câu 24: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có nên .

1. Câu 25: Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là
2. 

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là .

Câu 26: Cho khối trụ có bán kính đường tròn đáy và thể tích Diện tích xung quanh của khối trụ đã cho bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có: .

Suy ra .

Câu 27: Cho cấp số nhân với số hạng đầu và công bội . Hỏi số là số hạng thứ mấy?

A. B. C. D.

Lời giải

Giả sử số hạng là số hạng thứ .Ta có, mà suy ra .

Câu 28: Cho hai số phức và . Phần ảo của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có: .

Suy ra, phần ảo của số phức là .

1. Câu 29: Cho số phức thỏa mãn . Phần thực của số phức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có .

Câu 30: Cho khối lăng trụ đều có , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm của cạnh , suy ra , là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng ;

Khi đó:.

Xét tam giác vuông tại ta có: .

.

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .

Câu 31: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có .

Trong , dựng . Do đó .

Trong , dựng , suy ra .

Do đó , nên .

Ta có , .

Ta có . Vậy .

Câu 32: Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Ta có:

Câu 33: Một hộp đựng 13 quả cầu gồm: 7 quả cầu màu vàng đánh số từ 1 đến 7, 6 quả cầu màu đỏ đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên hai quả, tính xác suất để hai quả đó khác màu và khác số.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là .

Vì hai quả cầu khác màu nên lấy được 1 quả cầu màu vàng và 1 quả cầu màu đỏ.

Chọn quả cầu màu đỏ có 6 cách. Vì quả cầu vàng khác số nên có 6 cách chọn quả cầu vàng.

Do đó xác suất cần tìm là .

Câu 34: Cho hàm số xác định và liên tục trên , thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

.

Câu 35: Trên khoảng , hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có: .

Bảng biến thiên:

Suy ra khi .

Câu 36: Cho các số thực dương với . bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

.

Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm , , , . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .

Điều kiện: .

Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên:

.

Ta có:

Vây: .

Câu 38: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng song song với đi qua và cắt đường thẳng có phương trình là

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

PTTS đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương là

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Vì nên

Gọi

Ta có

Vì nên

Đường thẳng đi qua và có 1 VTCP có phương trình

Câu 39: Cho các số thực dương thỏa mãn và tích . Giá trị của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đặt . Suy ra .

Ta có .

Ta có .

Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

. Để hàm số đồng biến trên khoảng thì:,.

tức là

Xét hàm số trên .

,

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để thì .

Câu 41: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng . Người ta muốn trồng cỏ ở hai đầu của mảnh đất hai hình bằng nhau giới hạn bởi hai đường Parabol có hai đỉnh cách nhau . Phần còn lại của mảnh đất người ta lát gạch với chi phí là . Tính tổng số tiền để lát gạch

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Lời giải

Chọn D

Ta có diện tích mảnh đất hình chữ nhật trên là.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ thoả mãn. .

Phương trình có dạng. . Do đi qua các điểm nên tọa độ các điểm thỏa mãn phương trình nên ta có hệ phương trình. . Vậy phương trình .

Diện tích trồng cỏ ở hai đầu là.

Vậy tổng số tiền để lát gạch là. .

Câu 42: Cho hai số phức thoả mãn: , . Hãy tính giá trị biểu thức

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Đặt

Theo đề:

Vậy

Câu 43: Cho khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều. Biết . Các mặt bên và cùng hợp với đáy 1 góc . Thể tích khối lăng trụ bằng?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh .

Vẽ đường caocủa khối lăng trụ ().

Ta được , . Theo giả thiết ta có .

Suy ra . Do đó là phân giác góc nên . Đặt .

Ta có: .

.

Từ đó suy ra .

Suy ra .

Câu 44: Trong không gian cho mặt cầu Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón đỉnh là tâm của và đáy là đường tròn có thể tích lớn nhất. Biết rằng khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Vì đi qua hai điểm nên và .

Suy ra

Đặt với ta có .

Thể tích khối nón là

khi

Khi đó, .

Vậy

Câu 45: Một người thợ mộc có một khối gỗ dạng khối nón có đỉnh I, tâm đáy là , bán kính đáy khối gỗ bằng , chiều cao bằng . Người thợ đó bắt đầu tiện phần đáy bằng cách lấy làm đỉnh để tạo thêm một đầu khối nón và dừng lại khi bán kính đáy của phần khối nón mới bằng bán kính của khối gỗ ban đầu.

Thể tích phần gỗ bị tiện bỏ đi gần bằng với giá trị nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi thêm các điểm như hình vẽ.

Gọi là thể tích phần gỗ bị tiện bỏ đi; là thể tích khối nón cụt có chiều cao là , bán kính hai đáy là ; là thể tích khối nón có chiều cao là , bán kính đáy là .

Khi đó: .

Theo bài ra: ; .

Suy ra:

Câu 46: Xét các số thực dương thỏa mãn: . Khi biểu thức đạt lớn nhất, tính giá trị của biểu thức

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Với , ta có:

Xét hàm số ta có

Do đó:

.

Khi đó,

Dấu bằng xảy ra

Cho hai số phức là nghiệm của phương trình và . Tìm giá trị lớn nhất của

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

+ Gọi số phức .

+ Ta có

.

+ Theo giả thiết ta có .

+.

+

.

Dấu xảy ra khi .

Vậy .

Câu 47: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại là một hình tam giác vuông cong với , và cạnh cong nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí là trung điểm của thì tường cong có độ cao . Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho

cạnh cong nằm trên parabol đi qua các điểm và nên

Khi đó diện tích tam giác cong có diện tích .

Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là .

Câu 48: Cho và là hai trong số các số phức thỏa mãn là số thuần ảo và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi số phức . ĐK: và .

Ta có: .

Để là số thuần ảo

Suy ra điểm biểu diễn số phức và thuộc đường tròn tâm , bán kính .

Gọi có điểm biểu diễn ; có điểm biểu diễn và có điểm biểu diễn .

Ta có: .

Xét

Gọi là trung điểm và .

Suy ra:

. Dấu xảy ra khi cùng hướng .

Câu 49: Cho hàm số bậc bốn có đạo hàm liên tục trên , hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực tiểu. Tổng các phần tử của bằng

A. 18. B. 11. C. 2. D. 13.

Lời giải

Chọn B

+) Ta có là hàm số chẵn với biến số nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm trục đối xứng.

+) Xét hàm số có .

Theo đầu bài tại các điểm .

Ta có (là các nghiệm đơn).

Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị (2 cực tiểu và 1 cực đại vì là hàm bậc 4 có hệ số ).

+) Đồ thị hàm số gồm 2 phần:

Phần 1: Đồ thị hàm số phía bên phải đường thẳng .

Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua đường thẳng .

Do đó hàm số có 3 điểm cực tiểu thì hàm số có 3 cực trị với và thỏa mãn

.

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và mạt phẳng . Lấy điểm di động trên và điểm di động trên sao cho cùng phương . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn .

A. B. C. 2+ D. .

Lời giải

+) có tâm , bán kính R = 2.

+) có VTPT , đường thẳng có VTVP .

+) Ta có , suy ra góc giữa và bằng 30⁰.

+) Gọi là hình chiếu của . trên . Ta có . Do đó khi và chỉ khi

+) Vậy