Đề ôn thi TN THPT 2021 Toán chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 11 (có lời giải chi tiết và đáp án)

Đề ôn thi TN THPT 2021 Toán chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 11 có lời giải chi tiết và đáp án. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 25 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2021

Môn: Toán

Thông tin:

25 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
TRÚC ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 11
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp
3
học sinh vào một bàn dài có
5
chỗ ngồi ?
A.
3
5
3.A
. B.
3
5
C
. C.
3
5
A
. D.
.
Câu 2. Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
1
2u =
và
4
8u =
. Giá trị của
5
u
bằng
A.
12
. B.
10
. C.
9
. D.
11
.
Câu 3. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;0−
. B.
( )
1; +
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1;0−
.
Câu 4. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A.
0x =
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
5x =
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên , có bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
Hàm số
( )
y f x=
có bao nhiêu cực trị?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 6. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
32
4
x
y
x
−
=
+
là:
A.
4y =−
. B.
3y =−
. C.
4y =
. D.
3y =
.
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên?
x
y
2
1
Trang 2
A.
42
22y x x= − +
. B.
32
32y x x= − + +
. C.
42
22y x x= − + +
. D.
32
32y x x= − +
.
Câu 8. Số giao điểm của đồ thị của hàm số
32
2y x x x= − − −
với trục hoành?
A. 3 B. 1. C. 2. D. 0
Câu 9. Cho
b
là số thực dương khác
1
. Tính
2
1
3
2
log .
b
P b b

=


.
A.
4
7
P =
. B.
7P =
. C.
7
4
P =
. D.
7
2
P =
.
Câu 10. Đạo hàm của hàm số
21
3
x
y
−
=
là:
A.
21
2.3 ln3
x
y
−
=
. B.
21
3
x
y
−
=
. C.
21
3
2.3
ln
x
y
−
=
. D.
21
.3
x
yx
−
=
.
Câu 11. Rút gọn biểu thức
1
4
3
.P x x=
, với
x
là số thực dương.
A.
1
12
Px=
. B.
7
12
Px=
. C.
2
3
Px=
. D.
2
7
Px=
.
Câu 12. Phương trình
2
2 5 4
24
xx++
=
có tổng tất cả các nghiệm bằng
A.
1
. B.
1−
. C.
5
2
. D.
5
2
−
.
Câu 13. Tập nghiệm
S
của phương trình
( )
3
log 2 3 1x+=
.
A.
3S =
. B.
1S =−
. C.
0S =
. D.
1S =
.
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số
2
1
3y x x
x
= − +
là
A.
32
3
ln
32
xx
xC− − +
. B.
32
2
31
32
xx
C
x
− + +
.
C.
32
3
ln
32
xx
xC− + +
. D.
32
3
ln
32
xx
xC− + +
.
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
sin3f x x=
là
A.
1
cos3
3
xC−+
. B.
1
cos3
3
xC+
. C.
3cos3xC+
. D.
3cos3xC−+
.
Câu 16. Nếu
( )
1
0
d2f x x =
và
( )
1
0
d3g x x =
thì
( ) ( )
1
0
3 2 df x g x x−


bằng
A.
1−
. B.
5
. C.
5−
. D.
0
.
Câu 17. Tính tích phân
2
1
1
d
21
Ix
x
=
−
A.
ln3 1I =−
. B.
ln 3I =
. C.
ln2 1I =+
. D.
ln2 1I =−
.
Câu 18. Số phức
34zi=−
có môđun bằng
A.
25.
B.
5.
C.
5.
D.
7.
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn
( )
1 2 2 4z i z i+ − = −
. Môđun số phức z bằng bao nhiêu?
A.
3z =
. B.
5z =
. C.
5z =
. D.
3z =
.
Câu 20. Trong các số phức
z
thỏa mãn
( )
1 3 .i z i+ = −
Điểm biểu diễn số phức
z
là điểm nào trong các
điểm
, , ,M N P Q
ở hình bên?
Trang 3
A. Điểm
.P
B. Điểm
.Q
C. Điểm
.M
D. Điểm
.N
Câu 21. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
2AD a=
,
SA
vuông góc
với
( )
ABCD
,
3SA a=
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
3
3
a
. B.
3
23a
. C.
3
3a
. D.
3
23
3
a
.
Câu 22. Cho hình hộp đứng
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông, cạnh bên
3AA a
=
và đường chéo
5AC a
=
. Tính thể tích
V
của khối khối hộp
.ABCD A B C D
theo
a
.
A.
3
Va=
. B.
3
24Va=
. C.
3
8Va=
. D.
3
4Va=
.
Câu 23. Cho khối trụ có bán kính đáy
3a
và chiều cao
23a
. Thể tích của nó là
A.
3
42a
. B.
3
93a
. C.
2
63a
. D.
3
63a
.
Câu 24. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12.
A.
90
. B.
65
. C.
60
. D.
65
.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;3;2A
,
( )
3; 1;4B −
. Tìm tọa độ trung điểm
I
của
.AB
A.
( )
2; 4;2I −
. B.
( )
2; 1; 3I − − −
. C.
( )
4;2;6I
. D.
( )
2;1;3I
.
Câu 26. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 1 9S x y z− + + + − =
. Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của
( )
S
là
A.
( )
2;1; 1I −−
,
3R =
. B.
( )
2;1; 1I −−
,
9R =
.
C.
( )
2; 1;1I −
,
3R =
. D.
( )
2; 1;1I −
,
9R =
.
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
( )
chứa trục
Ox
và đi
qua điểm
( )
2; 1;3M −
.
A.
( )
: 3 0yz
− + =
. B.
( )
: 2 3 0x y z
+ + − =
.
C.
( )
:2 1 0xz
− + =
. D.
( )
:3 0yz
+=
.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
22
1 2 3
x y z−+
==
−
và đi qua điểm
( )
3; 4;5A −
là
A.
3 4 5 26 0x y z− + − − =
. B.
2 3 26 0x y z− + + =
.
C.
3 4 5 26 0x y z− + − =
. D.
2 3 26 0x y z− + − + =
.
Câu 29. Một hộp đựng
9
thẻ được đánh số
1
,
2
,
3
,
4
, ,
9
. Rút ngẫu nhiên đồng thời
2
thẻ và nhân
hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
A.
1
6
. B.
5
18
. C.
8
9
. D.
8
9
.
Trang 4
Câu 30. Số giá trị nguyên của tham số thực
m
để hàm số
2
2
mx
y
xm
−
=
−+
nghịch biến trên khoảng
1
;
2

+


là
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
2
.
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
42
12 1f x x x= − + +
trên đoạn
1;2−
bằng
A.
1
. B.
37
. C.
33
. D.
12
.
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình
2
9 17 11 7 5
11
22
x x x− + −
là
A.
2
;
3

+


. B.
2
3



. C.
2
;
3

−


. D.
2
\
3



.
Câu 33. Cho
( )
1
0
d2f x x =−
và
( )
( )
5
1
2 d 6f x x =
khi đó
( )
5
0
df x x
bằng:
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Câu 34. Mô đun của số phức
( )
6
5 2 1ii+ − +
bằng
A.
55
. B.
53
. C.
33
. D.
35
.
Câu 35. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Tính góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
BDD B

A.
60
. B.
90
. C.
45
. D.
30
.
Câu 36. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Khoảng cách từ
A
đến
( )
BCD
bằng
A.
6
2
a
. B.
6
3
a
. C.
3
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;0;0A −
,
( )
0;0;2B
,
( )
0; 3;0C −
. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
là
A.
14
3
. B.
14
4
. C.
14
2
. D.
14
.
Câu 38. Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( )
3;1;2A −
,
( )
1; 1;0B −
là
A.
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
. B.
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
==
−
.
C.
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
==
−
. D.
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
.
Câu 39. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
( )
( )
2 3 2
11
4 3 8
33
g x f x x x x x= − + − + +
trên đoạn
1;3
.
A. 15. B.
25
3
. C.
19
3
. D. 12.
Trang 5
Câu 40. Cho
,ab
là các số thực thỏa mãn
4 2 0ab+
và
( )
22
1
log 4 2 1
ab
ab
++
+
. Gọi
,Mm
lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
34P a b=+
. Tính
Mm+
.
A.
25
. B.
22
. C.
21
. D.
Câu 41. Cho hàm số
( )
3
2
40
20
x khi x
fx
x khi x
−
=
+
. Tích phân
( )
0
2cos 1 sinf x xdx
−
−
bằng
A.
45
8
. B.
45
8
−
. C.
45
4
. D.
45
4
−
.
Câu 42. Cho số phức
( , )z a bi a b R= +
thỏa mãn:
1
1
z
zi
−
=
−
và
3
1
zi
zi
−
=
+
. Tính
2ab+
.
A.
1
. B.
1−
. C.
0
. D.
3
.
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
,AC a=
biết
SA
vuông
góc với mặt phẳng
( )
ABC
và
SB
hợp với
( )
ABC
một góc
60
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
6
48
a
. B.
3
6
24
a
. C.
3
6
8
a
. D.
3
3
24
a
.
Câu 44.
Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao
nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính
25cm
khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là
40cm
. Giá
mạ vàng
2
1m
là
470.000
đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó.
Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây.
A.
512.000
đồng. B.
664.000
đồng. C.
612.000
đồng. D.
564.000
đồng.
Câu 45. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3;3; 3A −−
thuộc mặt phẳng
( )
2 – 2 1: 50x y z
+ + =
và
mặt cầu
( )
2 2 2
:(x 2) (y 3) (z 5) 100S − + − + − =
. Đường thẳng
qua
A
, nằm trên mặt phẳng
( )
cắt
()S
tại
A
,
B
. Để độ dài
AB
lớn nhất thì phương trình đường thẳng
là
A.
3 3 3
1 4 6
x y z+ − +
==
. B.
3 3 3
16 11 10
x y z+ − +
==
−
.
Trang 6
C.
35
3
38
xt
y
zt
= − +
=
= − +
. D.
3 3 3
1 1 3
x y z+ − +
==
.
Câu 46. Cho hàm số
( )
y f x=
có
( 2) 0f −=
và đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình
sau
Hàm số
( )
( )
4 2 6 2
15 2 2 10 30g x f x x x x= − + − − +
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 47. Cho phương trình
( )
3 2 3 2
3 1 3 1 2
32
81 3
32
1
2 .log 3 1 2 2 .log 0
3 1 2
m m x x
xx
mm
− − + − − + −


− + + + =

− + +

Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị
m
nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn
[6;8]
. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập
S
.
A.
20S =
. B.
28S =
. C.
14S =
. D.
10S =
.
Câu 48. Số thực dương
a
thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm
22
6
23
1
x ax a
y
a
++
=
+
và
2
6
1
a ax
y
a
−
=
+
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ
thị trên với trục hoành,
0, 1xx==
là
A.
15
3
. B.
26
3
. C.
32
3
. D.
10
3
.
Câu 49. Biết rằng hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
3 4i 1z − − =
và
2
1
3 4i
2
z − − =
. Số phức
z
có phần
thực là
a
và phần ảo là
b
thỏa mãn
3 2 12ab−=
. Giá trị nhỏ nhất của
12
22P z z z z= − + − +
bằng:
A.
min
9945
11
P =
. B.
min
5 2 3P =−
. C.
min
9945
13
P =
. D.
min
5 2 5P =+
.
Câu 50. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ):( 1) ( 1) ( 1) 6S x y z− + + + − =
tâm I. Gọi
()
là mặt
phẳng vuông góc với đường thẳng
13
:
1 4 1
x y z
d
+−
==
−
và cắt mặt cầu
()S
theo đường tròn
()C
sao cho khối nón có đỉnh
I
, đáy là đường tròn
()C
có thể tích lớn nhất. Biết
()
không đi
qua gốc tọa độ, gọi
( , , )
H H H
H x y z
là tâm của đường tròn
()C
. Giá trị của biểu thức
H H H
T x y z= + +
bằng
A.
1
3
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
1
2
−
.
Trang 7
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.B
3.C
4.B
5.D
6.D
7.C
8.B
9.C
10.A
11.B
12.D
13.C
14.D
15.A
16.D
17.B
18.B
19.B
20.B
21.D
22.B
23.D
24.B
25.D
26.C
27.D
28.D
29.D
30.B
31.C
32.B
33.A
34.A
35.D
36.B
37.C
38.D
39.D
40.D
41.B
42.D
43.B
44.B
45.A
46.C
47.B
48.B
49.C
50.A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp
3
học sinh vào một bàn dài có
5
chỗ ngồi ?
A.
3
5
3.A
. B.
3
5
C
. C.
3
5
A
. D.
.
Lời giải
Chọn C
Chọn ra 3 học sinh từ 5 học sinh và sắp xếp vào 5 vị trí ta được
3
5
A
cách xếp.
Câu 2. Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
1
2u =
và
4
8u =
. Giá trị của
5
u
bằng
A.
12
. B.
10
. C.
9
. D.
11
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết
1
2u =
và
41
3 8 2u u d d= + = =
Vậy
51
4 2 4.2 10u u d= + = + =
.
Câu 3. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;0−
. B.
( )
1; +
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1;0−
.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
( )
0;1
.
Câu 4. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A.
0x =
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
5x =
.
Lời giải
Trang 8
Chọn B
Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có
y
đổi dấu từ âm sang dương qua
2x =
nên hàm số đạt
cực tiểu tại
2x =
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên , có bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
Hàm số
( )
y f x=
có bao nhiêu cực trị?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Vì hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và
( )
fx
đổi dấu 4 lần nên hàm số
( )
y f x=
có 4 cực trị.
Câu 6. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
32
4
x
y
x
−
=
+
là:
A.
4y =−
. B.
3y =−
. C.
4y =
. D.
3y =
.
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số
32
4
x
y
x
−
=
+
có tiệm cận ngang
3y =
vì
32
lim 3
4
x
x
x
→
−
=
+
.
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên?
x
y
2
1
A.
42
22y x x= − +
. B.
32
32y x x= − + +
. C.
42
22y x x= − + +
. D.
32
32y x x= − +
.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị và các phương án lựa chọn ta thấy, hình dạng trên là dạng đồ thị hàm trùng phương
có hệ số
0a
. Do đó chỉ có phương án C thỏa mãn.
Câu 8. Số giao điểm của đồ thị của hàm số
32
2y x x x= − − −
với trục hoành?
A. 3 B. 1. C. 2. D. 0
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành
32
2 0 2x x x x− − − = =
.
Có
1
giao điểm với trục
Ox
.
Câu 9. Cho
b
là số thực dương khác
1
. Tính
2
1
3
2
log .
b
P b b

=


.
Trang 9
A.
4
7
P =
. B.
7P =
. C.
7
4
P =
. D.
7
2
P =
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
1
3
2
log .
b
P b b

=


2
7
2
log
b
b=
7
log
4
b
b=
7
4
=
.
Câu 10. Đạo hàm của hàm số
21
3
x
y
−
=
là:
A.
21
2.3 ln3
x
y
−
=
. B.
21
3
x
y
−
=
. C.
21
3
2.3
ln
x
y
−
=
. D.
21
.3
x
yx
−
=
.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức
. ln
uu
y a y u a a

= =
.
Nên
2 1 2 1
3 2.3 ln3
xx
yy
−−
= =
.
Câu 11. Rút gọn biểu thức
1
4
3
.P x x=
, với
x
là số thực dương.
A.
1
12
Px=
. B.
7
12
Px=
. C.
2
3
Px=
. D.
2
7
Px=
.
Lời giải
Chọn B
11
17
4
33
4 12
..P x x x x x= = =
.
Câu 12. Phương trình
2
2 5 4
24
xx++
=
có tổng tất cả các nghiệm bằng
A.
1
. B.
1−
. C.
5
2
. D.
5
2
−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2 5 4 2 2
2
2 4 2 5 4 2 2 5 2 0
1
2
xx
x
x x x x
x
++
=−
= + + = + + =
=−
.
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng
5
2
−
.
Câu 13. Tập nghiệm
S
của phương trình
( )
3
log 2 3 1x+=
.
A.
3S =
. B.
1S =−
. C.
0S =
. D.
1S =
.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
2 3 0x +
3
2
x −
.
( )
3
log 2 3 1x+=
2 3 3x + =
0x=
.
Vậy
0S =
.
Trang 10
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số
2
1
3y x x
x
= − +
là
A.
32
3
ln
32
xx
xC− − +
. B.
32
2
31
32
xx
C
x
− + +
.
C.
32
3
ln
32
xx
xC− + +
. D.
32
3
ln
32
xx
xC− + +
.
Lời giải
Chọn D
Áp dụng công thức nguyên hàm ta có
32
2
13
3 d ln
32
xx
x x x x C
x

− + = − + +


.
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
sin3f x x=
là
A.
1
cos3
3
xC−+
. B.
1
cos3
3
xC+
. C.
3cos3xC+
. D.
3cos3xC−+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
11
sin3 d sin3 d 3 cos3
33
x x x x x C= = − +

.
Câu 16. Nếu
( )
1
0
d2f x x =
và
( )
1
0
d3g x x =
thì
( ) ( )
1
0
3 2 df x g x x−


bằng
A.
1−
. B.
5
. C.
5−
. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
3 2 d 3 d 2 d 3.2 2.3 0f x g x x f x x g x x− = − = − =


.
Câu 17. Tính tích phân
2
1
1
d
21
Ix
x
=
−
A.
ln3 1I =−
. B.
ln 3I =
. C.
ln2 1I =+
. D.
ln2 1I =−
.
Lời giải
Chọn B
( )
2
2
1
1
1 1 1
d ln 2 1 ln3 ln1 ln 3
2 1 2 2
I x x
x
= = − = − =
−
.
Câu 18. Số phức
34zi=−
có môđun bằng
A.
25.
B.
5.
C.
5.
D.
7.
Lời giải
Chọn B
( )
2
2
3 4 5z = + − =
.
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn
( )
1 2 2 4z i z i+ − = −
. Môđun số phức z bằng bao nhiêu?
Trang 11
A.
3z =
. B.
5z =
. C.
5z =
. D.
3z =
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
( )
,z a bi a b= +
là số phức cần tìm.
Ta có:
( ) ( ) ( )( )
1 2 2 4 1 2 2 4z i z i a bi i a bi i+ − = − + + − − = −
.
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 4
2 4 1
a b a
a b ai i
ab
− = =

− − = −

− = − =

.
Vậy
22
2 2 1 5z i z= + = + =
.
Câu 20. Trong các số phức
z
thỏa mãn
( )
1 3 .i z i+ = −
Điểm biểu diễn số phức
z
là điểm nào trong các
điểm
, , ,M N P Q
ở hình bên?
A. Điểm
.P
B. Điểm
.Q
C. Điểm
.M
D. Điểm
.N
Lời giải
Chọn B
Từ phương trình
( )
3
1 3 1 2 .
1
i
i z i z i
i
−
+ = − = = −
+
Suy ra điểm biểu diễn của số phức
z
là
( )
1; 2 .−
Vậy dựa vào hình vẽ chọn điểm
.Q
Câu 21. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
2AD a=
,
SA
vuông góc
với
( )
ABCD
,
3SA a=
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
3
3
a
. B.
3
23a
. C.
3
3a
. D.
3
23
3
a
.
Lời giải
Chọn D
Diện tích mặt đáy là
2
.2
ABCD
S AB AD a==
.
Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là
1
.
3
ABCD
V SA S=
2
1
3.2
3
aa=
3
23
3
a
=
.
Trang 12
Câu 22. Cho hình hộp đứng
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông, cạnh bên
3AA a
=
và đường chéo
5AC a
=
. Tính thể tích
V
của khối khối hộp
.ABCD A B C D
theo
a
.
A.
3
Va=
. B.
3
24Va=
. C.
3
8Va=
. D.
3
4Va=
.
Lời giải
Chọn B
D
C
B
A
D'
C'
B'
A'
Ta có
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2 2 2
2 5 3 16 2 2AB AD AA AC AB AC AA a a a AB a
+ + = = − = − = =
.
Vậy thể tích khối hộp
.ABCD A B C D
là
( )
2
3
. 3 . 2 2 24 .
ABCD
V AA S a a a
= = =
Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là
1
.
3
ABCD
V SA S=
2
1
3.2
3
aa=
3
23
3
a
=
.
Câu 23. Cho khối trụ có bán kính đáy
3a
và chiều cao
23a
. Thể tích của nó là
A.
3
42a
. B.
3
93a
. C.
2
63a
. D.
3
63a
.
Lời giải
Chọn D
( )
2
23
3 .2 3 6 3V R h a a a
= = =
.
Câu 24. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12.
A.
90
. B.
65
. C.
60
. D.
65
.
Lời giải
Chọn B
Độ dài đường sinh của hình nón:
2 2 2 2
12 5 13l h r= + = + =
.
Vậy diện tích xung quanh của một hình nón là:
.13.5 65
xq
S rl
= = =
.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;3;2A
,
( )
3; 1;4B −
. Tìm tọa độ trung điểm
I
của
.AB
A.
( )
2; 4;2I −
. B.
( )
2; 1; 3I − − −
. C.
( )
4;2;6I
. D.
( )
2;1;3I
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
2
2
1 2;1;3
2
3
2
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
yI
zz
z
+
==
+
= =
+
==
.
Trang 13
Câu 26. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 1 9S x y z− + + + − =
. Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của
( )
S
là
A.
( )
2;1; 1I −−
,
3R =
. B.
( )
2;1; 1I −−
,
9R =
.
C.
( )
2; 1;1I −
,
3R =
. D.
( )
2; 1;1I −
,
9R =
.
Lời giải
Chọn C
Từ phương trình của mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2; 1;1I −
và bán kính
93R ==
.
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
( )
chứa trục
Ox
và đi
qua điểm
( )
2; 1;3M −
.
A.
( )
: 3 0yz
− + =
. B.
( )
: 2 3 0x y z
+ + − =
.
C.
( )
:2 1 0xz
− + =
. D.
( )
:3 0yz
+=
.
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Ta có
( )
( )
1;0;0
2; 1;3
i
OM
=
=−
( )
, 0; 3; 1i OM

= − −

.
Do đó
( )
qua điểm
O
và có 1 véc tơ pháp tuyến là
( )
0;3;1n =
.
Vậy phương trình mặt phẳng
( )
là
( ) ( )
3 0 0 0yz− + − =
hay
30yz+=
.
Vậy chọn phương án D.
Cách 2 (Trắc nghiệm)
Mặt phẳng
( )
chứa
Ox
nên loại B và C.
Thay toạ độ điểm
M
vào phương trình ở phương án A và D. Suy ra chọn phương án D.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
22
1 2 3
x y z−+
==
−
và đi qua điểm
( )
3; 4;5A −
là
A.
3 4 5 26 0x y z− + − − =
. B.
2 3 26 0x y z− + + =
.
C.
3 4 5 26 0x y z− + − =
. D.
2 3 26 0x y z− + − + =
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
( )
P
là mặt phẳng cần tìm.
( )
P
qua
( )
3; 4;5A −
và có VTPT
( )
1; 2;3
d
nu=−
(do
( )
Pd⊥
).
Vậy
( )
P
có phương trình:
( ) ( ) ( )
1 3 2 4 3 5 0xyz− − + + − =
2 3 26 0x y z − + − =
.
Câu 29. Một hộp đựng
9
thẻ được đánh số
1
,
2
,
3
,
4
, ,
9
. Rút ngẫu nhiên đồng thời
2
thẻ và nhân
hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
A.
1
6
. B.
5
18
. C.
8
9
. D.
8
9
.
Lời giải
Trang 14
Chọn D
Có bốn thẻ chẵn
2;4;6;8
và 5 thẻ lẻ
1;3;5;7;9
.
Rút ngẫu nhiên hai thẻ, số phần tử của không gian mẫu là
( )
2
9
36nC = =
Gọi
A
là biến cố “tích nhận được là số chẵn”, số phần tử của biến cố
A
là
( )
2 1 1
4 4 5
. 26n A C C C= + =
Xác suất của biến cố
A
là
( )
( )
( )
26 13
36 18
nA
PA
n
= = =
.
Câu 30. Số giá trị nguyên của tham số thực
m
để hàm số
2
2
mx
y
xm
−
=
−+
nghịch biến trên khoảng
1
;
2

+


là
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Hàm số
2
2
mx
y
xm
−
=
−+
có tập xác định là
;;
22
mm
D
= − +
Ta có:
( )
2
2
4
,
2
2
mm
yx
xm
−
=
−+
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;
2

+


2
40
22
21
1
1
22
m
m
m
m
m
−
−
−

mà
m
nên
1;0;1m−
.
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
42
12 1f x x x= − + +
trên đoạn
1;2−
bằng
A.
1
. B.
37
. C.
33
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
3
4 24f x x x
= − +
.
( )
3
0 1;2
0 4 24 0 6 1;2
6 1;2
x
f x x x x
x
= −
= − + = = −
= − −
( ) ( ) ( )
1 12, 2 33, 0 1f f f− = = =
Vậy
( ) ( )
1;2
max 2 33f x f
−
==
.
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình
2
9 17 11 7 5
11
22
x x x− + −
là
A.
2
;
3

+


. B.
2
3



. C.
2
;
3

−


. D.
2
\
3



.
Lời giải
Trang 15
Chọn B
Ta có:
2
9 17 11 7 5
22
11
9 17 11 7 5 9 12 4 0
22
x x x
x x x x x
− + −
− + − − +
( )
2
2
3 2 0
3
xx − =
.
Câu 33. Cho
( )
1
0
d2f x x =−
và
( )
( )
5
1
2 d 6f x x =
khi đó
( )
5
0
df x x
bằng:
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
( )
55
11
2 d 6 d 3f x x f x x= =

( ) ( ) ( )
5 1 5
0 0 1
d d d 2 3 1f x x f x x f x x= + = − + =
Câu 34. Mô đun của số phức
( )
6
5 2 1ii+ − +
bằng
A.
55
. B.
53
. C.
33
. D.
35
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
6
5 2 1ii+ − +
( )
3
2
5 2 1ii

= + − +

( )
3
5 2 2ii= + −
5 2 8 5 10i i i= + + = +
( )
6
22
5 2 1 5 10 5 10 5 5i i i + − + = + = + =
.
Câu 35. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Tính góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
BDD B

A.
60
. B.
90
. C.
45
. D.
30
.
Lời giải
Chọn D
O
D'
B'
A'
C'
C
B
A
D
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
khi đó ta có
AO BD⊥
(1).
Mặt khác ta lại có
.ABCD A B C D
là hình lập phương nên
( )
BB ABCD
⊥
BB AO
⊥
(2).
Từ (1) và (2) ta có
( )
AO BDD B

⊥
( )
( )
( )
,,AB ABCD AB B O AB O
= =
.
Xét tam giác vuông
AB O
có
1
sin
2
AO
AB O
AB
==
30AB O
=
.
Vậy
( )
( )
, 30AB ABCD
=
.
Trang 16
Câu 36. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Khoảng cách từ
A
đến
( )
BCD
bằng
A.
6
2
a
. B.
6
3
a
. C.
3
6
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
Chọn B
H
I
B
D
C
A
Gọi
H
là trọng tâm tam giác
BCD
2
2 2 2
2 3 6
( ;( ))
3 2 3
aa
d A BCD AH AD AH a

= = − = − =



Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;0;0A −
,
( )
0;0;2B
,
( )
0; 3;0C −
. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
là
A.
14
3
. B.
14
4
. C.
14
2
. D.
14
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Tìm tọa độ tâm mặt cầu suy ra bán kính.
Gọi
( )
;;I x y z
và
R
lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
Ta có:
IO IA IB IC R= = = =
22
22
22
IO IA
IO IB
IO IC
=
=
=
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1
2
3
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
+ + = + + +
+ + = + + −
+ + = + + +
1
2
3
2
1
x
y
z
=−
= −
=
.
13
; ;1
22
I

−−


14
2
R IO = =
.
Cách 2: Tìm phương trình mặt cầu suy ra bán kính.
Gọi phương trình mặt cầu
( )
S
ngoại tiếp tứ diện
OABC
là:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + =
.
Trang 17
Do
( )
S
đi qua bốn điểm
, , ,A B C O
nên ta có:
1 2 0
4 4 0
9 6 0
0
ad
cd
bd
d
+ + =
− + =
+ + =
=
1
2
3
2
1
0
a
b
c
d
=−
=−
=
=
.
bán kính của
( )
S
là:
2 2 2
14
2
R a b c d= + + − =
.
Cách 3: Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện vuông.
Do tứ diện
OABC
có ba cạnh
,,OA OB OC
đôi một vuông góc nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện
OABC
là
2 2 2
1
2
R OA OB OC= + +
1 14
1 4 9
22
= + + =
.
Câu 38. Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( )
3;1;2A −
,
( )
1; 1;0B −
là
A.
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
. B.
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
==
−
.
C.
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
==
−
. D.
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
4; 2; 2AB = − −
nên phương trình đường thẳng
AB
nhận vecto
( )
1
2; 1; 1
2
n AB= = − −
làm vecto chỉ phương.
Vì
B AB
nên ta suy ra phương trình đường thẳng
AB
là:
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
.
Câu 39. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
( )
( )
2 3 2
11
4 3 8
33
g x f x x x x x= − + − + +
trên đoạn
1;3
.
A. 15. B.
25
3
. C.
19
3
. D. 12.
Lời giải
Chọn D
( ) ( )
( )
22
4 2 4 6 8g x x f x x x x

= − − + − +
( )
( )
2
2 2 4 4x f x x x

= − − + −

.
Với
1;3x
thì
40x−
;
2
3 4 4xx −
nên
( )
2
40f x x
−
.
Suy ra
( )
2
2 4 4 0f x x x
− + −
,
1;3x
.
Bảng biến thiên
Trang 18
Suy ra
( ) ( )
1;3
max 2g x g=
( )
4 7 12f= + =
.
Câu 40. Cho
,ab
là các số thực thỏa mãn
4 2 0ab+
và
( )
22
1
log 4 2 1
ab
ab
++
+
. Gọi
,Mm
lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
34P a b=+
. Tính
Mm+
.
A.
25
. B.
22
. C.
21
. D.
Lời giải
Chọn D
Nhận xét:
22
1 1, ,a b a b+ +
+ Ta có
( )
22
22
1
log 4 2 1 4 2 1
ab
a b a b a b
++
+ + + +
(1)
.
Cách 1.
+ Ta có
3
34
4
Pa
P a b b
−
= + =
.
(2)
+ Thay (2) vào (1) ta được
2
2
33
4 2 1
44
P a P a
aa
−−

+ + +


.
22
25 2 (3 20) 8 16 0a a P P P − + + − +
.
(3)
Để bài toán đã cho tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
thì bất phương
trình
(3)
có nghiệm hay
'0
2
' 16 320 0 0 20P P P = − +
.
Suy ra
20; 0Mm==
hay
20Mm+=
.
Cách 2
( ) ( ) ( )
22
1 2 1 4ab − + −
.
Suy ra
( )
;M a b
là các điểm thuộc hình tròn
( )
C
tâm
( )
2;1I
, bán kính
2R =
.
Gọi
là đường thẳng có phương trình:
3 4 0xy+=
. Khi đó
( )
34
;
55
a b P
dM
+
= =
.
Mặt khác
( )
3.2 4.1
;2
5
dI
+
= =
nên
tiếp xúc với đường tròn
( )
C
.
Đường thẳng
qua
I
và vuông góc với
, cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm
1
M
,
2
M
(như
hình vẽ).
Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Khi
1
MM
,
( )
min ; 0dM=
min 0P=
0m=
.
Trang 19
Khi
2
MM
,
( )
max ; 2 4d M R = =
max 20P=
20M=
.
Vậy
20Mm+=
.
Cách 3
+ Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
22
22
22
1
log 4 2 1 4 2 1 2 1 4 1
ab
a b a b a b a b
++
+ + + + − + −
+ Mặt khác
( ) ( )
3 4 3 2 4 1 10P a b a b= + = − + − +
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
22
10 3 2 4 1 3 4 2 1 25.4 100P a b a b

− = − + − + − + − =



Khi đó
10 10 10 0 20PP− −
Vậy
min 0mP==
khi và chỉ khi
( ) ( )
22
21
0
34
2 1 4
ab
ab
−−
=
− + − =
(hệ có
1
nghiệm duy nhất)
max 20MP==
khi và chỉ khi
( ) ( )
22
21
0
34
2 1 4
ab
ab
−−
=
− + − =
(hệ có
1
nghiệm duy nhất)
Câu 41. Cho hàm số
( )
3
2
40
20
x khi x
fx
x khi x
−
=
+
. Tích phân
( )
0
2cos 1 sinf x xdx
−
−
bằng
A.
45
8
. B.
45
8
−
. C.
45
4
. D.
45
4
−
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2cos 1 2sint x dt xdx= − = −
.
Đổi cận
3; 0 1x t x t
= − = − = =
.
Tích phân trở thành:
( ) ( ) ( )
1 0 1
3 3 0
11
22
I f t dt f t dt f t dt
−−

= − = − +


( ) ( )
01
23
30
1
24
2
t dt t dt
−

= − + + −



1 15 45
15
2 4 8

= − − = −


.
Câu 42. Cho số phức
( , )z a bi a b R= +
thỏa mãn:
1
1
z
zi
−
=
−
và
3
1
zi
zi
−
=
+
. Tính
2ab+
.
A.
1
. B.
1−
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Giả sử
z a bi=+
,
( )
,ab
.
1
11
z
z z i
zi
−
= − = −
−
( ) ( )
11a bi a b i− + = + −
hay
( ) ( )
22
22
11a b a b− + = + −
tức
ab=
Lại có:
3
1
zi
zi
−
=
+
( ) ( )
3 3 1z i z i a b i a b i − = + + − = + +
hay
( ) ( )
22
22
3 1 1 1a b a b b a+ − = + + = =
Vậy số phức
1zi=+
suy ra
1; 1 2 3a b a b= = + =
Trang 20
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
,AC a=
biết
SA
vuông
góc với mặt phẳng
( )
ABC
và
SB
hợp với
( )
ABC
một góc
60
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
6
48
a
. B.
3
6
24
a
. C.
3
6
8
a
. D.
3
3
24
a
.
Lời giải
Chọn B
ABC
vuông cân tại
B
có
2
a
AC a BC BA= = =
Mà
SAB
vuông tại
A
có
60SBA =
6
.tan tan60
2
2
aa
SA AB SBA = = =
3
1 1 1 1 6 1 6
. . . . . . .
3 3 2 3 2 2 24
22
ABC
a a a a
V SA S SA BC BA= = = =
Câu 44.
Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao
nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính
25cm
khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là
40cm
. Giá
mạ vàng
2
1m
là
470.000
đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó.
Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây.
A.
512.000
đồng. B.
664.000
đồng. C.
612.000
đồng. D.
564.000
đồng.
Lời giải
Chọn B
(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu)
Trang 21
Gọi h là chiều cao của chỏm cầu. Ta có
2 2.25 40
5
22
Rd
h cm
−−
= = =
(
d
là khoảng cách giữa hai tâm)
Diện tích xung quanh của chỏm cầu là:
2
xq
S Rh
=
Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.
xq
S
khối trang sức
2
xq
S=
khối cầu
2
xq
S−
chỏm cầu.
Khối trang sức có
2 2 2 2
2.4 2.2 2.4 .25 2.2 .25.5 4500 0.45
xq
S R Rh cm m
= − = − = =
Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là
470.000.0,45 664.000
đồng.
Câu 45. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3;3; 3A −−
thuộc mặt phẳng
( )
2 – 2 1: 50x y z
+ + =
và
mặt cầu
( )
2 2 2
:(x 2) (y 3) (z 5) 100S − + − + − =
. Đường thẳng
qua
A
, nằm trên mặt phẳng
( )
cắt
()S
tại
A
,
B
. Để độ dài
AB
lớn nhất thì phương trình đường thẳng
là
A.
3 3 3
1 4 6
x y z+ − +
==
. B.
3 3 3
16 11 10
x y z+ − +
==
−
.
C.
35
3
38
xt
y
zt
= − +
=
= − +
. D.
3 3 3
1 1 3
x y z+ − +
==
.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2;3;5I
, bán kính
10R =
. Do
(I,( )) Rd
nên
luôn cắt
( )
S
tại
A
,
B
.
Khi đó
( )
2
2
(I, )AB R d= −
. Do đó,
AB
lớn nhất thì
( )
( )
,dI
nhỏ nhất nên
qua
H
, với
H
là hình chiếu vuông góc của I lên
( )
. Phương trình
x 2 2t
y3
5
: 2
zt
B tH
=+
=−
=+
( ) ( )
( ) 2 2 2 2 3– 2 5 15 0H t t t
+ − + + + =
( )
2; 7;t2 3H − = −
.
Do vậy
AH (1;4;6)=
là véc tơ chỉ phương của
. Phương trình của
3 3 3
1 4 6
x y z+ − +
==
.
Câu 46. Cho hàm số
( )
y f x=
có
( 2) 0f −=
và đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình
sau
Hàm số
( )
( )
4 2 6 2
15 2 2 10 30g x f x x x x= − + − − +
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
( )
( )
4 2 6 2
15 2 2 10 30h x f x x x x= − + − − +
Ta có
( )
( ) ( )
3 4 2 5
' 15 4 4 . 2 2 60 60h x x x f x x x x
= − + − + − − +
( )
( ) ( )
2 4 2 2
' 60 1 2 2 1h x x x f x x x

= − − − + − + +

.
Trang 22
Mà
( )
2
4 2 2
2 2 1 1 1,x x x x− + − = − − − −
nên dựa vào bảng xét dấu của
( )
fx
ta suy ra
( )
42
2 2 0f x x
− + −
.
Suy ra
( )
4 2 2
2 2 1 0,f x x x x
− + − + +
.
Do đó dấu của
( )
'hx
cùng dấu với
( )
( )
2
60 1u x x x= − −
, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm
1; 0; 1x x x= − = =
.
Vậy hàm số
( )
hx
có 3 điểm cực trị.
Ta có
(0) 15 ( 2) 0hf= − =
nên đồ thị hàm số
()y h x=
tiếp xúc
Ox
tại
O
và cắt trục
Ox
tại
3
điểm phân biệt.
Vậy
()y g x=
có
5
cực trị.
Câu 47. Cho phương trình
( )
3 2 3 2
3 1 3 1 2
32
81 3
32
1
2 .log 3 1 2 2 .log 0
3 1 2
m m x x
xx
mm
− − + − − + −


− + + + =

− + +

Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị
m
nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn
[6;8]
. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập
S
.
A.
20S =
. B.
28S =
. C.
14S =
. D.
10S =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
3 2 3 2
3 1 3 1 2
32
81 3
32
1
2 .log 3 1 2 2 .log 0
3 1 2
m m x x
xx
mm
− − + − − + −


− + + + =

− + +

( ) ( )
3 2 3 2
3 1 2 3 1 2
3 2 3 2
33
2 .log 3 1 2 2 .log 3 1 2
x x m m
x x m m
− + + − + +
− + + = − + +
.
Xét hàm số
( )
3
2.log
t
f t t=
với
2t
; Ta có
( )
3
1
2 ln2.log 2. 0 2
ln3
tt
f t t t
t
= +
.
Suy ra hàm số
( )
ft
đồng biến trên
( )
2;+
.
Do đó phương trình tương đương với
( )
3 2 3 2
3 1 3 1 1m m x x− + = − +
.
Vẽ đồ thị hàm số
( )
32
31g x x x= − +
từ đó suy ra đồ thị
( )
gx
và đồ thị của
( )
gx
như
hình vẽ.
Từ đồ thị suy ra
( )
1
có
6,7,8
nghiệm
( )
03gm
.
Trang 23
suy ra các giá trị nguyên của
m
là
3, 2, 1,0,1,2,3− − −
.
Vậy
28S =
.
Câu 48. Số thực dương
a
thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm
22
6
23
1
x ax a
y
a
++
=
+
và
2
6
1
a ax
y
a
−
=
+
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ
thị trên với trục hoành,
0, 1xx==
là
A.
15
3
. B.
26
3
. C.
32
3
. D.
10
3
.
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
( )( )
2 2 2
22
66
23
3 2 0 2 0
2
11
xa
x ax a a ax
x ax a x a x a
xa
aa
=−
+ + −
= + + = + + =
=−
++
Nếu
0a =
thì diện tích hình phẳng
0S =
.
+ Nếu
0a
thì
2 2 2 2 3
6 6 6
22
3 2 3 2 1
d d .
1 1 6 1
aa
aa
x ax a x ax a a
S x x
a a a
−−
−−
+ + + +
= = − =
+ + +

.
+ Nếu
0a
thì
22
2 2 2 2 3
6 6 6
3 2 3 2 1
d d .
1 1 6 1
aa
aa
x ax a x ax a a
S x x
a a a
−−
−−
+ + + +
= = − = −
+ + +

.
Do đó, với
0a
thì
33
63
1 1 1
..
6 6 12
12
aa
S
aa
= =
+
.
Dấu
""=
xảy ra khi và chỉ khi
3
11aa= =
. Vì
0a
nên
1a =
.
Khi đó
1
2
1
0
2 3 13
d,
26
xx
Sx
++
==
1
2
0
11
d
24
x
Sx
−
==
Suy ra
1
2
26
3
S
S
=
.
Câu 49. Biết rằng hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
3 4i 1z − − =
và
2
1
3 4i
2
z − − =
. Số phức
z
có phần
thực là
a
và phần ảo là
b
thỏa mãn
3 2 12ab−=
. Giá trị nhỏ nhất của
12
22P z z z z= − + − +
bằng:
A.
min
9945
11
P =
. B.
min
5 2 3P =−
. C.
min
9945
13
P =
. D.
min
5 2 5P =+
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
1
M
,
2
M
,
M
lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức
1
z
,
2
2z
,
z
trên hệ trục tọa độ
Oxy
.
Khi đó quỹ tích của điểm
1
M
là đường tròn
( )
1
C
tâm
( )
3;4I
, bán kính
1R =
;
quỹ tích của điểm
2
M
là đường
( )
2
C
tròn tâm
( )
6;8I
, bán kính
1R =
;
quỹ tích của điểm
M
là đường thẳng
:3 2 12 0d x y− − =
.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của
12
2MM MM++
.
Trang 24
I
3
I
2
I
1
M
8
6
4
3
O
y
x
B
A
Gọi
( )
3
C
có tâm
3
138 64
;
13 13
I



,
1R =
là đường tròn đối xứng với
( )
2
C
qua
d
. Khi đó
( ) ( )
1 2 1 3
min 2 min 2MM MM MM MM+ + = + +
với
( )
33
MC
.
Gọi
A
,
B
lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng
13
II
với
( )
1
C
,
( )
3
C
. Khi đó với mọi điểm
( )
11
MC
,
( )
33
MC
,
Md
ta có
13
22MM MM AB+ + +
, dấu "=" xảy ra khi
13
,M A M B
.
Do đó
min 1 3
2 2 2P AB I I= + = − +
13
9945
13
II==
.
Câu 50. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ):( 1) ( 1) ( 1) 6S x y z− + + + − =
tâm I. Gọi
()
là mặt
phẳng vuông góc với đường thẳng
13
:
1 4 1
x y z
d
+−
==
−
và cắt mặt cầu
()S
theo đường tròn
()C
sao cho khối nón có đỉnh
I
, đáy là đường tròn
()C
có thể tích lớn nhất. Biết
()
không đi
qua gốc tọa độ, gọi
( , , )
H H H
H x y z
là tâm của đường tròn
()C
. Giá trị của biểu thức
H H H
T x y z= + +
bằng
A.
1
3
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
1
2
−
.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
()S
có tâm
(1; 1;1)I −
, bán kính
6R =
.
Gọi
x
là khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
()
,
06x
. Khi đó, thể tích khối nón đỉnh
I
, đáy là đường tròn
()C
là:
( )
3
2
1
62
33
x
V x x x= − = − +
Xét hàm số
3
( ) 2 ,
3
x
f x x= − +
với
06x
2
'( ) 2; '( ) 0 2f x x f x x= − + = =
Hàm số
()y f x=
liên tục trên
0; 6


, có
(0) ( 6) 0, ( 2) 2f f f= = =
,
nên
( )
0; 6
( ) 2Max f x =
, đạt được khi
2x =
.
Trang 25
Gọi
(1; 4;1)u =−
là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
d
. Vì
()IH
⊥
nên tồn tại số
thực
k
sao cho
IH ku=
, suy ra
2 1 1
| |. | |
33
18
IH k u k k= = = =
.
Với
1
:
3
k =
1 4 7 4
;;
3 3 3 3
IH u H

= −


( ): 4 6 0x y z
− + − =
(nhận vì
()O
)
Với
1
:
3
k =−
1 2 1 2
;;
3 3 3 3
IH u H

= −


( ): 4 0x y z
− + =
( loại vì
()O
).
Vậy
1
3
H H H
x y z+ + =
.
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021
TRÚC ĐỀ THAM KHẢO Bài thi: TOÁN ĐỀ 11
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: ……………………………………………………. Câu 1.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi ? A. 3 3.A . B. 3 C . C. 3 A . D. 5P . 5 5 5 3 Câu 2.
Cho cấp số cộng (u , biết u = 2 và u = 8 . Giá trị của u bằng n ) 1 4 5 A. 12 . B. 10 . C. 9 . D. 11. Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ;0 − ). B. (1;+) . C. (0 ) ;1 . D. ( 1 − ;0) . Câu 4.
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: A. x = 0 . B. x = 2 . C. x = 1 . D. x = 5 . Câu 5.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
, có bảng xét dấu của f ( x) như sau:
Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 3x − 2 Câu 6.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: x + 4 A. y = 4 − . B. y = 3 − . C. y = 4 . D. y = 3 . Câu 7.
Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên? y 2 x 1 Trang 1 A. 4 2
y = x − 2x + 2 . B. 3 2
y = −x + 3x + 2 . C. 4 2
y = −x + 2x + 2 . D. 3 2
y = x − 3x + 2 . Câu 8.
Số giao điểm của đồ thị của hàm số 3 2
y = x − x − x − 2 với trục hoành? A. 3 B. 1. C. 2. D. 0 1   Câu 9.
Cho b là số thực dương khác 1. Tính 3 2
P = log b .b  . 2 b   4 7 7 A. P = . B. P = 7 . C. P = . D. P = . 7 4 2
Câu 10. Đạo hàm của hàm số 2 1 3 x y − = là: 2 x 1 2.3 − A. 2 x 1 y 2.3 −  = ln 3 . B. 2 1 3 x y −  = . C. y = . D. 2 1 .3 x y x −  = . ln 3 1
Câu 11. Rút gọn biểu thức 3 4
P = x . x , với x là số thực dương. 1 7 2 2 A. 12 P = x . B. 12 P = x . C. 3 P = x . D. 7 P = x .
Câu 12. Phương trình 2 2 x +5x+4 2
= 4 có tổng tất cả các nghiệm bằng 5 5 A. 1. B. 1 − . C. . D. − . 2 2
Câu 13. Tập nghiệm S của phương trình log 2x + 3 =1 . 3 ( ) A. S =   3 .
B. S = −  1 . C. S =   0 . D. S =   1 . 1
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số 2
y = x − 3x + là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x 1 A. − − ln x + C . B. − + + C . 3 2 2 3 2 x 3 2 x 3x 3 2 x 3x C. − + ln x + C . D. − + ln x + C . 3 2 3 2
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3x là 1 1
A. − cos3x + C .
B. cos3x + C .
C. 3cos3x + C . D. 3 − cos3x + C . 3 3 1 1 1 Câu 16. Nếu f
 (x)dx = 2và g
 (x)dx = 3thì 3f
 (x)−2g(x)dx  bằng 0 0 0 A. 1 − . B. 5 . C. −5 . D. 0 . 2 1
Câu 17. Tính tích phân I = dx 2x −1 1
A. I = ln 3 −1.
B. I = ln 3 .
C. I = ln 2 +1.
D. I = ln 2 −1.
Câu 18. Số phức z = 3 − 4i có môđun bằng A. 25. B. 5. C. 5. D. 7.
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z + (1− 2i) z = 2 − 4i . Môđun số phức z bằng bao nhiêu?
A. z = 3 . B. z = 5 . C. z = 5 . D. z = 3 .
Câu 20. Trong các số phức z thỏa mãn (1+ i) z = 3− .i Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, , P Q ở hình bên? Trang 2 A. Điểm . P B. Điểm . Q
C. Điểm M . D. Điểm N .
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a , SA vuông góc
với ( ABCD) , SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 2a 3 A. . B. 3 2a 3 . C. 3 a 3 . D. . 3 3
Câu 22. Cho hình hộp đứng ABC . D A BCD
  có đáy là hình vuông, cạnh bên AA = 3a và đường chéo
AC = 5a . Tính thể tích V của khối khối hộp ABC . D A BCD   theo a . A. 3 V = a . B. 3 V = 24a . C. 3 V = 8a . D. 3 V = 4a .
Câu 23. Cho khối trụ có bán kính đáy a 3 và chiều cao 2a 3 . Thể tích của nó là A. 3 4 a 2 . B. 3 9a 3 . C. 2 6 a 3 . D. 3 6 a 3 .
Câu 24. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12. A. 90 . B. 65 . C. 60 . D. 65 .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;3;2) , B(3; 1
− ;4) . Tìm tọa độ trung điểm I của . AB A. I (2; 4 − ;2). B. I ( 2 − ; 1 − ; 3 − ). C. I (4;2;6) . D. I (2;1;3) . 2 2 2
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x − 2) + ( y + ) 1 + ( z − ) 1
= 9 . Tìm tọa độ tâm I
và bán kính R của (S ) là A. I ( 2 − ;1;− ) 1 , R = 3 . B. I ( 2 − ;1;− ) 1 , R = 9 . C. I (2; 1 − ; ) 1 , R = 3 . D. I (2; 1 − ; ) 1 , R = 9 .
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa trục Ox và đi qua điểm M (2; 1 − ;3).
A. ( ) : −y + 3z = 0 .
B. ( ) : x + 2y + z − 3 = 0 .
C. ( ) : 2x − z +1 = 0 .
D. ( ) : 3y + z = 0 .
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng x − 2 y + 2 z = =
và đi qua điểm A(3; 4 − ;5) là 1 2 − 3 A. 3
− x + 4y −5z − 26 = 0.
B. x − 2y + 3z + 26 = 0 .
C. 3x − 4y + 5z − 26 = 0.
D. −x + 2y −3z + 26 = 0 .
Câu 29. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2 , 3 , 4 ,
, 9 . Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân
hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn. 1 5 8 8 A. . B. . C. . D. . 6 18 9 9 Trang 3 mx − 2
Câu 30. Số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng 2 − x + m  1  ; +    là  2  A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 .
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 4 2
= −x +12x +1 trên đoạn  1 − ;  2 bằng A. 1. B. 37 . C. 33 . D. 12 . 2 9 x 1 − 7 x 1 + 1 7−5 x  1   1 
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình      là  2   2   2  2  2  2 A. ; +  . B.   . C. ; −   . D. \   .  3  3  3  3 1 5 5 Câu 33. Cho
f ( x)dx = 2 − 
và (2 f (x))dx = 6 khi đó f (x)dx  bằng: 0 1 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 .
Câu 34. Mô đun của số phức + i − ( + i)6 5 2 1 bằng A. 5 5 . B. 5 3 . C. 3 3 . D. 3 5 .
Câu 35. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BDD B  ) A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 .
Câu 36. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến ( BCD) bằng a 6 a 6 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 3
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1
− ;0;0) , B(0;0;2), C(0; 3 − ;0). Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2
Câu 38. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 3 − ;1;2) , B(1; 1 − ;0) là x −1 y +1 z x + 3 y −1 z − 2 A. = = . B. = = . 2 − 1 − 1 2 1 1 − x + 3 y −1 z − 2 x −1 y +1 z C. = = . D. = = . 2 1 − 1 2 1 − 1 −
Câu 39. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g ( x) = f ( 1 1 2 4x − x ) 3 2
+ x − 3x + 8x + trên đoạn 1;  3 . 3 3 25 19 A. 15. B. . C. . D. 12. 3 3 Trang 4
Câu 40. Cho a,b là các số thực thỏa mãn 4a + 2b  0 và log
4a + 2b 1. Gọi M, m lần lượt là 2 2 ( ) a +b 1 +
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3a + 4b . Tính M + m . A. 25 . B. 22 . C. 21. D. 20. 3
x − 4 khi x  0 0
Câu 41. Cho hàm số f ( x) =  . Tích phân f (2cos x −  ) 1 sin xdx bằng 2
x + 2 khi x  0 − 45 45 45 45 A. . B. − . C. . D. − . 8 8 4 4 z −1 z − 3i
Câu 42. Cho số phức z = a + bi( , a b ) R thỏa mãn: =1 và
=1. Tính 2a + b . z − i z + i A. 1. B. 1 − . C. 0 . D. 3 .
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = ,
a biết SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABC ) và SB hợp với ( ABC ) một góc 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 6a 3 6a 3 6a 3 3a A. . B. . C. . D. . 48 24 8 24
Câu 44. Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao
nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là 40cm . Giá mạ vàng 2
1m là 470.000 đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó.
Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây. A. 512.000 đồng. B. 664.000 đồng. C. 612.000 đồng. D. 564.000 đồng.
Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 3 − ;3;− )
3 thuộc mặt phẳng ( ) : 2x – 2y + z +15 = 0 và mặt cầu (S ) 2 2 2
: (x− 2) + (y− 3) + (z− 5) =100 . Đường thẳng  qua A , nằm trên mặt phẳng
() cắt (S) tại A, B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là x + 3 y − 3 z + 3 x + 3 y − 3 z + 3 A. = = . B. = = . 1 4 6 16 11 1 − 0 Trang 5 x = 3 − + 5tx + 3 y − 3 z + 3 C. y = 3 . D. = = .  1 1 3 z = 3 − + 8t
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) có f ( 2
− ) = 0và đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình sau
Hàm số g ( x) = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 15 2
2 −10x + 30x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.   3 2 3 2 − m −3m 1 + − x −3x 1 + −2 1
Câu 47. Cho phương trình 2 .log ( 3 2
x − 3x +1 + 2 + 2 .log   = 0 81 ) 3 3 2
m −3m +1 + 2   
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn
[6;8] . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S . A. S = 20 . B. S = 28 . C. S = 14 . D. S = 10 . 2 2
x + 2ax + 3a
Câu 48. Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm y = 6 1+ a 2 a − ax và y =
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ 6 1 + a
thị trên với trục hoành, x = 0, x =1 là 15 26 32 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 1
Câu 49. Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn z − 3 − 4i =1 và z − 3 − 4i =
. Số phức z có phần 1 2 1 2 2
thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a − 2b =12 . Giá trị nhỏ nhất của P = z − z + z − 2z + 2 1 2 bằng: 9945 9945 A. P = . B. P = 5− 2 3 . C. P = . D. P = 5+ 2 5 . min 11 min min 13 min
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x −1) + ( y +1) + (z −1) = 6 tâm I. Gọi ( ) là mặt x +1 y − 3 z
phẳng vuông góc với đường thẳng d : =
= và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn 1 4 − 1
(C) sao cho khối nón có đỉnh I , đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết ( ) không đi
qua gốc tọa độ, gọi H (x , y , z ) là tâm của đường tròn (C) . Giá trị của biểu thức H H H
T = x + y + z bằng H H H 1 4 2 1 A. . B. . C. . D. − . 3 3 3 2 Trang 6 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.A 11.B 12.D 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.B 20.B 21.D 22.B 23.D 24.B 25.D 26.C 27.D 28.D 29.D 30.B 31.C 32.B 33.A 34.A 35.D 36.B 37.C 38.D 39.D 40.D 41.B 42.D 43.B 44.B 45.A 46.C 47.B 48.B 49.C 50.A
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi ? 3 A A. 3 3.A . B. 3 C . C. 5 . D. 5P . 5 5 3 Lời giải Chọn C
Chọn ra 3 học sinh từ 5 học sinh và sắp xếp vào 5 vị trí ta được 3 A cách xếp. 5 Câu 2.
Cho cấp số cộng (u , biết u = 2 và u = 8 . Giá trị của u bằng n ) 1 4 5 A. 12 . B. 10 . C. 9 . D. 11. Lời giải Chọn B
Từ giả thiết u = 2 và u = u + 3d = 8  d = 2 1 4 1
Vậy u = u + 4d = 2 + 4.2 = 10 . 5 1 Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ;0 − ). B. (1;+) . C. (0 ) ;1 . D. ( 1 − ;0) . Lời giải Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên (0 ) ;1 . Câu 4.
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: A. x = 0 . B. x = 2 . C. x = 1 . D. x = 5 . Lời giải Trang 7 Chọn B
Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có y đổi dấu từ âm sang dương qua x = 2 nên hàm số đạt
cực tiểu tại x = 2 . Câu 5.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
, có bảng xét dấu của f ( x) như sau:
Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Vì hàm số y = f ( x) liên tục trên
và f ( x) đổi dấu 4 lần nên hàm số y = f ( x) có 4 cực trị. 3x − 2 Câu 6.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: x + 4 A. y = 4 − . B. y = 3 − . C. y = 4 . D. y = 3 . Lời giải Chọn D − − Đồ 3x 2 3x 2 thị hàm số y =
có tiệm cận ngang y = 3 vì lim = 3 . x + 4 x→ x + 4 Câu 7.
Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên? y 2 x 1 A. 4 2
y = x − 2x + 2 . B. 3 2
y = −x + 3x + 2 . C. 4 2
y = −x + 2x + 2 . D. 3 2
y = x − 3x + 2 . Lời giải Chọn C
Từ đồ thị và các phương án lựa chọn ta thấy, hình dạng trên là dạng đồ thị hàm trùng phương
có hệ số a  0 . Do đó chỉ có phương án C thỏa mãn. Câu 8.
Số giao điểm của đồ thị của hàm số 3 2
y = x − x − x − 2 với trục hoành? A. 3 B. 1. C. 2. D. 0 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành 3 2
x − x − x − 2 = 0  x = 2 .
Có 1 giao điểm với trục Ox . 1   Câu 9.
Cho b là số thực dương khác 1. Tính 3 2
P = log b .b  . 2 b   Trang 8 4 7 7 A. P = . B. P = 7 . C. P = . D. P = . 7 4 2 Lời giải Chọn C 1   7 Ta có 3 2
P = log b .b  2 = 7 log b = 7 log b = . 2 b   2 b 4 b 4
Câu 10. Đạo hàm của hàm số 2 1 3 x y − = là: 2 x 1 2.3 − A. 2 x 1 y 2.3 −  = ln 3 . B. 2 1 3 x y −  = . C. y = . D. 2 1 .3 x y x −  = . ln 3 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức u =   = . u y a y
ua ln a . Nên 2 x 1 − 2 x 1 y = 3  y = 2.3 −  ln 3. 1
Câu 11. Rút gọn biểu thức 3 4
P = x . x , với x là số thực dương. 1 7 2 2 A. 12 P = x . B. 12 P = x . C. 3 P = x . D. 7 P = x . Lời giải Chọn B 1 1 1 7 3 4 3 4 12
P = x . x = x .x = x .
Câu 12. Phương trình 2 2 x +5x+4 2
= 4 có tổng tất cả các nghiệm bằng 5 5 A. 1. B. 1 − . C. . D. − . 2 2 Lời giải Chọn D x = 2 − 2 + +  Ta có: 2x 5x 4 2 2 2
= 4  2x + 5x + 4 = 2  2x + 5x + 2 = 0  1  . x = −  2 5
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng − . 2
Câu 13. Tập nghiệm S của phương trình log 2x + 3 =1 . 3 ( ) A. S =   3 .
B. S = −  1 . C. S =   0 . D. S =   1 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: 2x + 3  3 0  x  − . 2
log 2x + 3 =1  2x + 3 = 3  x = 0 . 3 ( ) Vậy S =   0 . Trang 9 1
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số 2
y = x − 3x + là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x 1 A. − − ln x + C . B. − + + C . 3 2 2 3 2 x 3 2 x 3x 3 2 x 3x C. − + ln x + C . D. − + ln x + C . 3 2 3 2 Lời giải Chọn D 3 2  1  x 3x
Áp dụng công thức nguyên hàm ta có 2 x − 3x + dx = − + ln x + C   .  x  3 2
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3x là 1 1
A. − cos3x + C .
B. cos3x + C .
C. 3cos3x + C . D. 3 − cos3x + C . 3 3 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có sin 3 d x x = sin 3 d x  
(3x) = − cos3x +C . 3 3 1 1 1 Câu 16. Nếu f
 (x)dx = 2và g
 (x)dx = 3thì 3f
 (x)−2g(x)dx  bằng 0 0 0 A. 1 − . B. 5 . C. −5 . D. 0 . Lời giải Chọn D 1 1 1 Ta có 3 f
 (x)−2g(x)dx =3 f
 (x)dx−2 g
 (x)dx =3.2−2.3= 0. 0 0 0 2 1
Câu 17. Tính tích phân I = dx 2x −1 1
A. I = ln 3 −1.
B. I = ln 3 .
C. I = ln 2 +1.
D. I = ln 2 −1. Lời giải Chọn B 2 2 1 1 1 I = dx = ln 2x −1 =  (ln3−ln ) 1 = ln 3 . 2x −1 2 2 1 1
Câu 18. Số phức z = 3 − 4i có môđun bằng A. 25. B. 5. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn B z = + (− )2 2 3 4 = 5 .
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z + (1− 2i) z = 2 − 4i . Môđun số phức z bằng bao nhiêu? Trang 10
A. z = 3 . B. z = 5 . C. z = 5 . D. z = 3 . Lời giải Chọn B
Gọi z = a + bi ( ,
a b  ) là số phức cần tìm.
Ta có: z + (1− 2i) z = 2 − 4i  (a + bi) + (1− 2i)(a − bi) = 2 − 4i .  (  − =  = a − b) 2a 2b 2 a 2 2 2
− 2ai = 2 − 4i     .  2 − a = 4 − b  =1 Vậy 2 2
z = 2 + i z = 2 +1 = 5 .
Câu 20. Trong các số phức z thỏa mãn (1+ i) z = 3− .i Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, , P Q ở hình bên? A. Điểm . P B. Điểm . Q
C. Điểm M . D. Điểm N . Lời giải Chọn B −i
Từ phương trình ( + i) 3 1
z = 3 − i z = =1− 2 .i 1+ i
Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là (1; 2 − ).
Vậy dựa vào hình vẽ chọn điểm . Q
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a , SA vuông góc
với ( ABCD) , SA = a 3 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 2a 3 A. . B. 3 2a 3 . C. 3 a 3 . D. . 3 3 Lời giải Chọn D Diện tích mặt đáy là 2 S = . AB AD = 2a . ABCD 1 1 3 2a 3
Thể tích của khối chóp S.ABCD là V = S . A S 2 = a 3.2a = . 3 ABCD 3 3 Trang 11
Câu 22. Cho hình hộp đứng ABC . D A BCD
  có đáy là hình vuông, cạnh bên AA = 3a và đường chéo
AC = 5a . Tính thể tích V của khối khối hộp ABC . D A BCD   theo a . A. 3 V = a . B. 3 V = 24a . C. 3 V = 8a . D. 3 V = 4a . Lời giải Chọn B A' D' B' C' A D B C 2 2 Ta có 2 2 2 2 2 2 2
AB + AD + AA = AC  AB = AC − AA = ( a) − ( a) 2 2 5 3
= 16a AB = 2a 2 .
Vậy thể tích khối hộp ABC . D A BCD
  là V = AAS = a ( a )2 3 . 3 . 2 2 = 24a . ABCD 1 1 3 2a 3
Thể tích của khối chóp S.ABCD là V = S . A S 2 = a 3.2a = . 3 ABCD 3 3
Câu 23. Cho khối trụ có bán kính đáy a 3 và chiều cao 2a 3 . Thể tích của nó là A. 3 4 a 2 . B. 3 9a 3 . C. 2 6 a 3 . D. 3 6 a 3 . Lời giải Chọn D
V =  R h =  (a )2 2 3 3 .2a 3 = 6 a 3 .
Câu 24. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12. A. 90 . B. 65 . C. 60 . D. 65 . Lời giải Chọn B
Độ dài đường sinh của hình nón: 2 2 2 2
l = h + r = 12 + 5 = 13.
Vậy diện tích xung quanh của một hình nón là: S
=  rl = .13.5 = 65 . xq
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;3;2) , B(3; 1
− ;4) . Tìm tọa độ trung điểm I của . AB A. I (2; 4 − ;2). B. I ( 2 − ; 1 − ; 3 − ). C. I (4;2;6) . D. I (2;1;3) . Lời giải Chọn D x + x A B x = = 2  I 2   y + y Ta có A By = = 1 I . I (2;1;3) 2   z + z A B z = = 3  I  2 Trang 12 2 2 2
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x − 2) + ( y + ) 1 + ( z − ) 1
= 9 . Tìm tọa độ tâm I
và bán kính R của (S ) là A. I ( 2 − ;1;− ) 1 , R = 3 . B. I ( 2 − ;1;− ) 1 , R = 9 . C. I (2; 1 − ; ) 1 , R = 3 . D. I (2; 1 − ; ) 1 , R = 9 . Lời giải Chọn C
Từ phương trình của mặt cầu (S ) có tâm I (2; 1 − ; )
1 và bán kính R = 9 = 3 .
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa trục Ox và đi qua điểm M (2; 1 − ;3).
A. ( ) : −y + 3z = 0 .
B. ( ) : x + 2y + z − 3 = 0 .
C. ( ) : 2x − z +1 = 0 .
D. ( ) : 3y + z = 0 . Lời giải Chọn D i =  (1;0;0) Cách 1: Ta có 
 i ,OM  = (0; 3 − ;− ) 1   . OM  =  (2; 1 − ;3)
Do đó ( ) qua điểm O và có 1 véc tơ pháp tuyến là n = (0;3; ) 1 .
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là 3( y − 0) + ( z − 0) = 0 hay 3y + z = 0.
Vậy chọn phương án D. Cách 2 (Trắc nghiệm)
Mặt phẳng ( ) chứa Ox nên loại B và C.
Thay toạ độ điểm M vào phương trình ở phương án A và D. Suy ra chọn phương án D.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng x − 2 y + 2 z = =
và đi qua điểm A(3; 4 − ;5) là 1 2 − 3 A. 3
− x + 4y −5z − 26 = 0.
B. x − 2y + 3z + 26 = 0 .
C. 3x − 4y + 5z − 26 = 0.
D. −x + 2y −3z + 26 = 0 . Lời giải Chọn D
Gọi ( P) là mặt phẳng cần tìm. (P) qua A(3; 4
− ;5) và có VTPT n = u (1; 2
− ;3 (do (P) ⊥ d ). d )
Vậy ( P) có phương trình: ( 1 x − )
3 − 2( y + 4) + 3( z − 5) = 0  x − 2y + 3z − 26 = 0.
Câu 29. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2 , 3 , 4 ,
, 9 . Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân
hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn. 1 5 8 8 A. . B. . C. . D. . 6 18 9 9 Lời giải Trang 13 Chọn D
Có bốn thẻ chẵn 2;4;6; 
8 và 5 thẻ lẻ 1;3;5;7;  9 .
Rút ngẫu nhiên hai thẻ, số phần tử của không gian mẫu là n() 2 = C = 36 9
Gọi A là biến cố “tích nhận được là số chẵn”, số phần tử của biến cố A là n( A) 2 1 1
= C +C .C = 26 4 4 5 n A 26 13
Xác suất của biến cố A là P ( A) ( ) = = = . n() 36 18 mx − 2
Câu 30. Số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng 2 − x + m  1  ; +    là  2  A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải Chọn B mx − 2  m   m  Hàm số y =
có tập xác định là D = − ;   ; +      2 − x + m  2   2  2 m − 4 m Ta có: y =   ( x . 2 − x + m) , 2 2 2  −   m 4 0 1    2 −  m  2
Hàm số nghịch biến trên khoảng ; +         2 −  m  1 mà  m 1 2    m 1  2 2 m  nên m 1 − ;0;  1 .
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 4 2
= −x +12x +1 trên đoạn  1 − ;  2 bằng A. 1. B. 37 . C. 33 . D. 12 . Lời giải Chọn C
 Ta có f (x) 3 = 4 − x + 24x . x = 0 1 − ;2  f ( x) 3 = 0  4
− x + 24x = 0  x = 6  1 − ;2  x = − 6    1 − ;2 f (− )
1 =12, f (2) = 33, f (0) =1
Vậy max f ( x) = f (2) = 33 .  1 − ;2 2 9 x 1 − 7 x 1 + 1 7−5 x  1   1 
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình      là  2   2   2  2  2  2 A. ; +  . B.   . C. ; −   . D. \   .  3  3  3  3 Lời giải Trang 14 Chọn B 2 9 x 1 − 7x 1 + 1 7−5x      1 1 Ta có: 2 2 
 9x −17x +11 7 − 5x  9x −12x + 4  0      2   2   ( x − )2 2 3 2  0  x = . 3 1 5 5 Câu 33. Cho
f ( x)dx = 2 − 
và (2 f (x))dx = 6 khi đó f (x)dx  bằng: 0 1 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A 5 ( 5
2 f ( x))dx = 6  f  (x)dx = 3 1 1 5 1 5 f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f  (x)dx = 2 − + 3 =1 0 0 1
Câu 34. Mô đun của số phức + i − ( + i)6 5 2 1 bằng A. 5 5 . B. 5 3 . C. 3 3 . D. 3 5 . Lời giải Chọn A
Ta có + i − ( + i)6 5 2 1
= + i − ( + i) 3 2 5 2 1  
 = + i − ( i)3 5 2 2
= 5+ 2i +8i = 5+10i
 + i − ( + i)6 2 2 5 2 1
= 5 +10i = 5 +10 = 5 5 .
Câu 35. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BDD B  ) A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn D B' C' D' A' C B O A D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO ⊥ BD (1).
Mặt khác ta lại có ABC . D A BCD
  là hình lập phương nên BB ⊥ ( ABCD)  BB ⊥ AO (2).
Từ (1) và (2) ta có AO ⊥ (BDD B
 )  ( AB ,( ABCD)) = ( AB , B O  ) = AB O  . AO 1
Xét tam giác vuông AB O  có sin AB O  = =  AB O  = . AB 30 2
Vậy ( AB ,( ABCD)) = 30 . Trang 15
Câu 36. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến ( BCD) bằng a 6 a 6 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 3 Lời giải Chọn B A B D H I C
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD 2  2 a 3  a 6 2 2 2 d ( ;
A (BCD)) = AH = AD − AH = a −   =    3 2 3  
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1
− ;0;0) , B(0;0;2), C(0; 3 − ;0). Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2 Lời giải Chọn C
Cách 1: Tìm tọa độ tâm mặt cầu suy ra bán kính.
Gọi I ( x; y; z) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .  1 = − 2 x  2 2  2 2 2
x + y + z = (x + ) 2 2 IO = IA 1 + y + z 2     2  3
Ta có: IO = IA = IB = IC = R 2 2  IO = IB 2 2 2 2 2
 x + y + z = x + y + (z − 2)  y = − .   2  2 2 IO = IC
x + y + z = x + ( y + 3)2 2 2 2 2 2 + z  z =1   1 3  14 I − ; − ;1    R = IO = .  2 2  2
Cách 2: Tìm phương trình mặt cầu suy ra bán kính. Gọi phương trình mặt cầu
(S) ngoại tiếp tứ diện OABC là: 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 . Trang 16  1 a = − 1  + 2a + d = 0  2  
4 − 4c + d = 0  3
Do (S ) đi qua bốn điểm , A , B , C O nên ta có:   b = −  . 9 + 6b + d = 0  2    = d = 0 c 1  d = 0  14
bán kính của (S ) là: 2 2 2
R = a + b + c − d = . 2
Cách 3: Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện vuông.
Do tứ diện OABC có ba cạnh O , A O ,
B OC đôi một vuông góc nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp 1 tứ diện OABC là 2 2 2 R = OA + OB + 1 14 OC = 1+ 4 + 9 = . 2 2 2
Câu 38. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 3 − ;1;2) , B(1; 1 − ;0) là x −1 y +1 z x + 3 y −1 z − 2 A. = = . B. = = . 2 − 1 − 1 2 1 1 − x + 3 y −1 z − 2 x −1 y +1 z C. = = . D. = = . 2 1 − 1 2 1 − 1 − Lời giải Chọn D 1 Ta có: AB = (4; 2 − ; 2
− ) nên phương trình đường thẳng AB nhận vecto n = AB = (2; 1 − ;− ) 1 2 làm vecto chỉ phương. x −1 y +1 z
Vì BAB nên ta suy ra phương trình đường thẳng AB là: = = . 2 1 − 1 −
Câu 39. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g ( x) = f ( 1 1 2 4x − x ) 3 2
+ x − 3x + 8x + trên đoạn 1;  3 . 3 3 25 19 A. 15. B. . C. . D. 12. 3 3 Lời giải Chọn D
g( x) = ( − x) f ( 2 x − x ) 2 4 2 4
+ x − 6x + 8 = ( − x) f   ( 2 2 2
4x − x ) + 4 − x . Với x 1;  3 thì 4 − x  0 ; 2
3  4x − x  4 nên f ( 2
4x − x )  0 . Suy ra f ( 2 2
4x − x ) + 4 − x  0 , x  1;  3 . Bảng biến thiên Trang 17
Suy ra max g ( x) = g (2) = f (4) + 7 =12 . 1;  3
Câu 40. Cho a,b là các số thực thỏa mãn 4a + 2b  0 và log
4a + 2b 1. Gọi M, m lần lượt là 2 2 ( ) a +b 1 +
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3a + 4b . Tính M + m . A. 25 . B. 22 . C. 21. D. 20. Lời giải Chọn D Nhận xét: 2 2
a + b +1  1, a  ,b + Ta có 2 2 log
4a + 2b 1  4a + 2b a + b +1 (1) . 2 2 ( ) a +b 1 + Cách 1. P − 3a
+ Ta có P = 3a + 4b b = . (2) 4 2 −  −  + Thay (2) vào (1) ta đượ P 3a P 3a c 2 4a + 2  a + +1   . 4  4  2 2
 25a − 2a(3P + 20) + P −8P +16  0 . (3)
Để bài toán đã cho tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P thì bất phương
trình (3) có nghiệm hay  '  0 2  ' = 1
− 6P +320P  0  0  P  20.
Suy ra M = 20;m = 0 hay M + m = 20. Cách 2
( )  (a − )2 +(b − )2 1 2 1  4 . Suy ra M ( ;
a b) là các điểm thuộc hình tròn (C) tâm I (2; ) 1 , bán kính R = 2 . a + b P
Gọi  là đường thẳng có phương trình: 3x + 4y = 0 . Khi đó d ( M ) 3 4 ; = = . 5 5 +
Mặt khác d ( I ) 3.2 4.1 ; =
= 2 nên  tiếp xúc với đường tròn (C). 5 Đường thẳng 
 qua I và vuông góc với  , cắt đường tròn (C) tại hai điểm M , M (như 1 2 hình vẽ).
Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Khi M M , min d (M;) = 0  minP = 0  m = 0 . 1 Trang 18
Khi M M , max d (M;) = 2R = 4  maxP = 20  M = 20 . 2
Vậy M + m = 20. Cách 3 2 2 + Ta có 2 2 log
4a + 2b  1  4a + 2b a + b +1  a − 2 + b −1  4 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a +b 1 +
+ Mặt khác P = 3a + 4b = 3(a − 2) + 4(b − ) 1 +10
Do đó (P − )2 =  (a − ) + (b − ) 2   
( + )(a− )2 +(b− )2 2 2 10 3 2 4 1 3 4 2 1   25.4 = 100   Khi đó 1
− 0  P −10 10  0  P  20
a − 2 b −1 =  0 
Vậy m = min P = 0 khi và chỉ khi 3 4 
(hệ có 1 nghiệm duy nhất) (  a − 2  )2 +(b − )2 1 = 4
a − 2 b −1 =  0 
M = max P = 20 khi và chỉ khi 3 4 
(hệ có 1 nghiệm duy nhất) (  a − 2  )2 +(b − )2 1 = 4 3
x − 4 khi x  0 0
Câu 41. Cho hàm số f ( x) =  . Tích phân f (2cos x −  ) 1 sin xdx bằng 2
x + 2 khi x  0 − 45 45 45 45 A. . B. − . C. . D. − . 8 8 4 4 Lời giải Chọn B
Đặt t = 2cos x −1  dt = 2 − sin xdx . Đổi cận x =  − t = 3
− ; x = 0 t =1. Tích phân trở thành: 1 0 1 1   0 1 1   I = − f  (t) 1 dt = −  f
 (t)dt + f
 (t)dt = −   ( 2t +2)dt + ( 3t −4)dt 2 2 2 3 −  3− 0   3− 0  1  15  45 = − 15 − = −   . 2  4  8 z −1 z − 3i
Câu 42. Cho số phức z = a + bi( , a b ) R thỏa mãn: =1 và
=1. Tính 2a + b . z − i z + i A. 1. B. 1 − . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn D
Giả sử z = a + bi , ( , a b  ) .
z −1 =1 z −1 = z −i  (a − )1+bi = a +(b − )1i hay z − i (a − )2 2 2 1
+ b = a + (b − )2 1 tức a = b z − 3i Lại có:
=1  z − 3i = z + i a + (b −3)i = a + (b + ) 1 i hay z + i 2 a + (b − )2 2 3 = a + (b + )2 1
b =1 a =1
Vậy số phức z = 1+ i suy ra a =1;b =1 2a + b = 3 Trang 19
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = ,
a biết SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABC ) và SB hợp với ( ABC ) một góc 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 6a 3 6a 3 6a 3 3a A. . B. . C. . D. . 48 24 8 24 Lời giải Chọn B a ABC
vuông cân tại B có AC = a BC = BA = 2 Mà S
AB vuông tại A có SBA = 60 a a 6  SA = . AB tan SBA = tan 60 = 2 2 3 1 1 1 1 a 6 1 a a 6a V = S . A S = S . A BC.BA = . . . . = 3 ABC 3 2 3 2 2 2 2 24
Câu 44. Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao
nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là 40cm . Giá mạ vàng 2
1m là 470.000 đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó.
Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây. A. 512.000 đồng. B. 664.000 đồng. C. 612.000 đồng. D. 564.000 đồng. Lời giải Chọn B
(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu) Trang 20 2R − d 2.25 − 40
Gọi h là chiều cao của chỏm cầu. Ta có h = = = 5cm 2 2
( d là khoảng cách giữa hai tâm)
Diện tích xung quanh của chỏm cầu là: S = 2 Rh xq
Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.
S khối trang sức = 2S khối cầu −2S chỏm cầu. xq xq xq Khối trang sức có 2 2 2 2
S = 2.4 R − 2.2 Rh = 2.4.25 − 2.2.25.5 = 4500cm = 0.45m xq
Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là 470.000.0, 45 664.000 đồng.
Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 3 − ;3;− )
3 thuộc mặt phẳng ( ) : 2x – 2y + z +15 = 0 và mặt cầu (S ) 2 2 2
: (x− 2) + (y− 3) + (z− 5) =100 . Đường thẳng  qua A , nằm trên mặt phẳng
() cắt (S) tại A, B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là x + 3 y − 3 z + 3 x + 3 y − 3 z + 3 A. = = . B. = = . 1 4 6 16 11 1 − 0 x = 3 − + 5tx + 3 y − 3 z + 3 C. y = 3 . D. = = .  1 1 3 z = 3 − + 8tLời giải Chọn A
Mặt cầu (S ) có tâm I (2;3;5) , bán kính R = 10. Do d(I,())  R nên  luôn cắt ( ) S tại A , B .
Khi đó AB = R − (d  )2 2 (I, )
. Do đó, AB lớn nhất thì d (I,()) nhỏ nhất nên  qua H , với x = 2 + 2t 
H là hình chiếu vuông góc của I lên ( ) . Phương trình BH : y = 3 − 2t z = 5+ t 
H ()  2(2 + 2t) − 2(3 – 2t) + 5 + t +15 = 0  t = 2 −  H ( 2 − ; 7; ) 3 . x + 3 y − 3 z + 3
Do vậy AH = (1; 4; 6) là véc tơ chỉ phương của  . Phương trình của = = . 1 4 6
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) có f ( 2
− ) = 0và đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình sau
Hàm số g ( x) = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 15 2
2 −10x + 30x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn C
 Hàm số h( x) = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 15 2
2 −10x + 30x Ta có h ( x) = ( 3
− x + x) f ( 4 2 −x + x − ) 5 ' 15 4 4 . 2
2 − 60x + 60x
h (x) = − x( 2
x − )  f   ( 4 2 −x + x − ) 2 ' 60 1 2 2 + x +1 . Trang 21
Mà −x + x − = −(x − )2 4 2 2 2 2 1 −1  1 − , x
  nên dựa vào bảng xét dấu của f (x) ta suy ra f ( 4 2
−x + 2x − 2)  0 . Suy ra f ( 4 2 −x + x − ) 2 2
2 + x +1  0, x   .
 Do đó dấu của h '( x) cùng dấu với u (x) = − x( 2 60 x − )
1 , tức là đổi dấu khi đi qua các điểm x = 1
− ; x = 0; x =1.
 Vậy hàm số h( x) có 3 điểm cực trị.  Ta có ( h 0) =15 f ( 2
− ) = 0 nên đồ thị hàm số y = ( h )
x tiếp xúc Ox tại O và cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Vậy y = g( ) x có 5 cực trị.   3 2 3 2 − m −3m 1 + − x −3x 1 + −2 1
Câu 47. Cho phương trình 2 .log ( 3 2
x − 3x +1 + 2 + 2 .log   = 0 81 ) 3 3 2
m −3m +1 + 2   
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn
[6;8] . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S . A. S = 20 . B. S = 28 . C. S = 14 . D. S = 10 . Lời giải Chọn B   3 2 3 2 − − + − − + −  m 3m 1 x 3x 1 2 1 Ta có 2 .log ( 3 2
x − 3x +1 + 2 + 2 .log   = 0 81 ) 3 3 2
m −3m +1 + 2    3 2 x − x + + m − m + +  2
.log ( x − 3x +1 + 2) 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 = 2 .log ( 3 2
m − 3m +1 + 2 . 3 3 )  t t 1 Xét hàm số ( ) = 2t f t
.log t với t  2 ; Ta có f (t ) = 2 ln 2.log t + 2 .  0 t   2 . 3 3 t ln 3
Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên (2;+) .
 Do đó phương trình tương đương với 3 2 3 2
m − 3m +1 = x − 3x +1 ( ) 1 .
 Vẽ đồ thị hàm số g (x) 3 2
= x −3x +1 từ đó suy ra đồ thị g (x) và đồ thị của g ( x ) như hình vẽ.
 Từ đồ thị suy ra ( )
1 có 6,7,8 nghiệm  0  g ( m )  3 . Trang 22
suy ra các giá trị nguyên của m là 3 − , 2 − , 1 − ,0,1,2,3.  Vậy S = 28 . 2 2
x + 2ax + 3a
Câu 48. Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm y = 6 1+ a 2 a − ax và y =
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ 6 1 + a
thị trên với trục hoành, x = 0, x =1 là 15 26 32 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 2 2 2
x + 2ax + 3a a − axx = −a 2 2 =
x + 3ax + 2a = 0  x + a x + 2a = 0   6 6 ( )( ) 1+ a 1+ ax = 2 − a
 Nếu a = 0 thì diện tích hình phẳng S = 0 . −a 2 2 −a 2 2 3
x + 3ax + 2a
x + 3ax + 2a 1 a
+ Nếu a  0 thì S = dx = − dx = .   . 6 6 6 1+ a 1+ a 6 1+ a 2 − a 2 − a 2 − a 2 2 2 − a 2 2 3
x + 3ax + 2a
x + 3ax + 2a 1 a
+ Nếu a  0 thì S = dx = − dx = − .   . 6 6 6 1+ a 1+ a 6 1+ a −a −a 3 3 a a  1 1 1
Do đó, với a  0 thì S = .  . = . 6 3 6 1+ a 6 2 a 12 3
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 1  a = 1 . Vì a  0 nên a =1. 1 2 + + 1 − Khi đó x 2x 3 13 1 x 1 S = dx = ,  S = dx =  1 2 6 2 2 4 0 0  S 26 Suy ra 1 = . S 3 2 1
Câu 49. Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn z − 3 − 4i =1 và z − 3 − 4i =
. Số phức z có phần 1 2 1 2 2
thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a − 2b =12 . Giá trị nhỏ nhất của P = z − z + z − 2z + 2 1 2 bằng: 9945 9945 A. P = . B. P = 5− 2 3 . C. P = . D. P = 5+ 2 5 . min 11 min min 13 min Lời giải Chọn C
 Gọi M , M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z , 2z , z trên hệ trục tọa độ Oxy . 1 2 1 2
Khi đó quỹ tích của điểm M là đường tròn (C tâm I (3;4) , bán kính R =1; 1 ) 1
quỹ tích của điểm M là đường (C tròn tâm I (6;8) , bán kính R =1; 2 ) 2
quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x − 2y −12 = 0 .
 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM + MM + 2 . 1 2 Trang 23 y I2 8 I3 B I A 1 M 4 O 3 6 x    138 64
Gọi (C có tâm I ;
, R =1 là đường tròn đối xứng với (C qua d . Khi đó 2 ) 3 ) 3    13 13 
min (MM + MM + 2 = min MM + MM + 2 với M C . 3 ( 3) 1 2 ) ( 1 3 )
 Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với (C , (C . Khi đó với mọi điểm 3 ) 1 ) 1 3
M C , M C , M d ta có MM + MM + 2  AB + 2 , dấu "=" xảy ra khi 3 ( 3) 1 ( 1) 1 3 M  , A M B . 1 3  9945 Do đó P
= AB + 2 = I I − 2 + 2 = I I = . min 1 3 1 3 13
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x −1) + ( y +1) + (z −1) = 6 tâm I. Gọi ( ) là mặt x +1 y − 3 z
phẳng vuông góc với đường thẳng d : =
= và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn 1 4 − 1
(C) sao cho khối nón có đỉnh I , đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết ( ) không đi
qua gốc tọa độ, gọi H (x , y , z ) là tâm của đường tròn (C) . Giá trị của biểu thức H H H
T = x + y + z bằng H H H 1 4 2 1 A. . B. . C. . D. − . 3 3 3 2 Lời giải Chọn A
 Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1
− ;1) , bán kính R = 6 .
 Gọi x là khoảng cách từ I đến mặt phẳng () , 0  x  6 . Khi đó, thể tích khối nón đỉnh 1 x
I , đáy là đường tròn (C) là: V = x (6 − x ) 3 2 = − + 2x 3 3 3  x
Xét hàm số f (x) = −
+ 2x, với 0  x  6 3 2
f '(x) = −x + 2; f '(x) = 0  x =  2
 Hàm số y = f ( )
x liên tục trên 0; 6  
 , có f (0) = f ( 6) = 0, f ( 2) = 2 , nên = , đạt đượ (Max f (x) 2 c khi x = 2 . 0; 6 ) Trang 24
 Gọi u = (1; −4;1) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d . Vì IH ⊥ () nên tồn tại số 2 1 1
thực k sao cho IH = ku , suy ra IH |
= k | . u | k |= =  k =  . 18 3 3    1 1 4 7 4 Với k =
: IH = u H ; − ; 
  () : x − 4y + z −6 = 0 (nhận vì O() ) 3 3  3 3 3     1 1 2 1 2
Với k = − : IH = − u H ; ; 
  () : x −4y + z = 0 ( loại vì O() ). 3 3  3 3 3   1
Vậy x + y + z = . H H H 3 Trang 25