Đề ôn thi TNTHPT môn Toán 2021 chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 15 (có lời giải chi tiết và đáp án)

Đề ôn thi TNTHPT môn Toán 2021 chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 15 có lời giải chi tiết và đáp án. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 49 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

30 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2021

Môn: Toán

Thông tin:

49 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
TRÚC ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 15
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong
hình bên ?
A.
32
31y x x= − +
. B.
32
31y x x= − + +
.
C.
42
21y x x= − + +
. D.
42
21y x x= − +
.
Câu 2: Nghiệm của phương trình
1
39
x−
=
là
A.
2x =−
. B.
3x =
. C.
2x =
. D.
3x =−
.
Câu 3: Cho hàm
()fx
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
3
. B.
5−
. C.
0
. D.
2
.
Câu 4: Cho hàm số
()fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
( )
;1− −
. B.
( )
0;1
. C.
( )
1;1−
. D.
( )
1;0−
Câu 5: Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước
3;4;5
. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A.
10
. B.
20
. C.
12
. D.
60
.
Câu 6: Số phức liên hợp của số phức
35zi= − +
là
A.
35zi= − −
. B.
35zi=+
. C.
35zi= − +
. D.
35zi=−
.
Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy
8r =
và độ dài đường sinh
3l =
. Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng
A.
24
. B.
192
. C.
48
. D.
64
.
Câu 8: Cho khối cầu có bán kính
4r =
. Thể tích của khối cầu đã cho bằng
Trang 2
A.
256
3
. B.
64
. C.
64
3
. D.
256
.
Câu 9: Với
,ab
là các số thực dương tùy ý và
1a
,
5
log
a
b
bằng
A.
5log
a
b
. B.
1
log
5
a
b+
. C.
5 log
a
b+
. D.
1
log
5
a
b
.
Câu 10: Trong không gian
,Oxyz
cho mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 2 9S x y z+ + + =
. Bán kính của
( )
S
bằng
A.
6
. B.
18
. C.
9
. D.
3
.
Câu 11: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
41
1
x
y
x
+
=
−
là
A.
1
4
y =
. B.
4y =
. C.
1y =
. D.
1y =−
.
Câu 12: Cho khối nón có bán kính đáy
5r =
và chiều cao
2h =
. Thể tích khối nón đã cho bằng
A.
10
3
. B.
10
. C.
50
3
. D.
50
.
Câu 13: Nghiệm của phương trình
( )
3
log 1 2x −=
là
A.
8x =
. B.
9x =
. C.
7x =
. D.
10x =
.
Câu 14:
2
dxx
bằng
A.
2xC+
. B.
3
1
3
xC+
. C.
3
xC+
. D.
3
3xC+
Câu 15: Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc ?
A.
36
. B.
720
. C.
6
. D.
1
.
Câu 16: Cho hàm số bậc ba
()y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình
bên. Số nghiệm thực của phương trình
( ) 1fx=−
là
A.
3
. B.
1
.
C.
0
. D.
2
.
Câu 17: Trong không gian
,Oxyz
hình chiếu vuông góc của điểm
( )
3;2;1A
trên trục
Ox
có tọa độ là
A.
( )
0;2;1
. B.
( )
3;0;0
. C.
( )
0;0;1
. D.
( )
0;2;0
.
Câu 18: Cho khối chóp có diện tích đáy
6B =
và chiều cao
2h =
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
6
. B.
3
. C.
4
. D.
12
.
Câu 19: Trong không gian
,Oxyz
cho đường thẳng
3 4 1
:
2 5 3
x y z
d
− − +
==
−
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ chỉ phương của
d
?
A.
( )
2
2;4; 1u =−
. B.
( )
1
2; 5;3u =−
. C.
( )
3
2;5;3u =
. D.
( )
4
3;4;1u =
.
Câu 20: Trong không gian
,Oxyz
cho ba điểm
( )
3;0;0A
,
( )
0;1;0B
và
( )
0;0; 2C −
. Mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình là
Trang 3
A.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
. B.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
. C.
1
3 1 2
x y z
+ + =
. D.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
.
Câu 21: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
3u =
và công bội
2q =
. Giá trị của
2
u
bằng
A.
8
. B.
9
. C.
6
. D.
3
2
.
Câu 22: Cho hai số phức
1
32zi=−
và
2
2zi=+
. Số phức
12
zz+
bằng
A.
5 i+
. B.
5 i−+
. C.
5 i−
. D.
5 i−−
.
Câu 23: Biết
3
1
( )d 3f x x =
. Giá trị của
3
1
2 ( )df x x
bằng
A.
5
. B.
9
. C.
6
. D.
3
2
.
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, biết
( )
3;1M −
là điểm biểu diễn số phức
.z
Phần thực của
z
bằng
A.
1
. B.
3−
. C.
1−
. D.
3
.
Câu 25: Tập xác định của hàm số
5
logyx=
là
A.
)
0;+
. B.
( )
;0−
. C.
( )
0;+
. D.
( )
;− +
.
Câu 26: Số giao điểm của đồ thị hàm số
32
3y x x=+
và đồ thị hàm số
2
33y x x=+
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Câu 27: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
, 2 ;AB a BC a==
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
15SA a=
(tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy
bằng
A.
45
. B.
30
.
C.
60
. D.
90
.
C
A
B
S
Câu 28: Biết
2
()F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên . Giá trị của
2
1
2 ( ) df x x+
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
13
3
. D.
7
3
.
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
4yx=−
và
24yx=−
bằng
A.
36
. B.
4
3
. C.
4
3
. D.
36
.
Câu 30: Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
( )
2; 2;3M −
và đường thẳng
d
:
1 2 3
3 2 1
x y z− + −
==
−
. Mặt
phẳng đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
d
có phương trình là
A.
3 2 1 0x y z+ − + =
. B.
2 2 3 17 0x y z− + − =
.
C.
3 2 1 0x y z+ − − =
. D.
2 2 3 17 0x y z− + + =
.
Câu 31: Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
6 13 0zz+ + =
. Trên mặt phẳng
tọa độ, điểm biểu diễn số phức
0
1 z−
là
Trang 4
A.
( )
2;2N −
. B.
( )
4;2M
. C.
( )
4; 2P −
. D.
( )
2; 2Q −
.
Câu 32: Trong không gian
,Oxyz
cho ba điểm
( )
1;0;1A
,
( )
1;1;0B
và
( )
3;4; 1C −
. Đường thẳng đi
qua
A
và song song với
BC
có phương trình là
A.
11
4 5 1
x y z−−
==
−
. B.
11
2 3 1
x y z++
==
−
. C.
11
2 3 1
x y z−−
==
−
. D.
11
4 5 1
x y z++
==
−
.
Câu 33: Cho hàm số
()fx
liên tục trên
¡
và có bảng xét dấu của
()fx
như sau:
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình
2
13
3 27
x −
là
A.
( )
4;+
. B.
( )
4;4−
. C.
( )
;4−
. D.
( )
0;4
.
Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
2
và góc ở đỉnh bằng
60
. Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A.
8
. B.
16 3
3
. C.
83
3
. D.
16
.
Câu 36: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
( ) 24f x x x=−
trên đoạn
2;19
bằng
A.
32 2
. B.
40−
. C.
32 2−
. D.
45−
.
Câu 1: Cho hai số phức
12zi=+
và
w3i=+
. Môđun của số phức
.zw
bằng
A.
52
. B.
26
. C.
26
. D.
50
.
Câu 2: Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
( )
2
2
log
3
43
ab
a=
. Giá trị của
2
ab
bằng
A.
3
. B.
6
. C.
12
. D.
2
.
Câu 3: Cho hàm số
( )
2
2
x
fx
x
=
+
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) ( ) ( )
1.g x x f x
=+
là
A.
2
2
22
22
xx
C
x
+−
+
+
. B.
2
2
2
x
C
x
−
+
+
. C.
2
2
2
2
xx
C
x
++
+
+
. D.
2
2
22
x
C
x
+
+
+
.
Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
4x
y
xm
+
=
+
đồng biến trên khoảng
( )
;7− −
là
A.
)
4;7
. B.
(
4;7
. C.
( )
4;7
. D.
( )
4;+
.
Câu 41: Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh
A
là
600 ha
. Giả sử diện tích rừng trồng
mới của tỉnh
A
mỗi năm tiếp theo đều tăng
6%
so với diện tích rừng trồng mới của năm liền
trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh
A
có diện tích rừng trồng
mới trong năm đó đạt trên
1000 ha
?
A. Năm 2028. B. Năm 2047. C. Năm 2027. D. Năm 2046.
Câu 42: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
4a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc
giữa mặt phẳng
( )
SBC
và mặt phẳng đáy bằng
60
. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
bằng
Trang 5
A.
2
172
3
a
. B.
2
76
3
a
. C.
2
84 a
. D.
2
172
9
a
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
.
Gọi
M
là trung điểm của
CC
(tham khảo hình bên). Khoảng cách
từ
M
đến mặt phẳng
( )
A BC
bằng
A.
21
14
a
. B.
2
2
a
.
C.
21
7
a
. D.
2
4
a
.
Câu 44: Cho hàm số bậc bốn
()fx
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2
4
1g x x f x=+


là
A.
11
. B.
9
. C.
7
. D.
5
.
Câu 45: Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
( )
, , ,a b c d Î ¡
có đồ thị là
đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số
a
,
b
,
c
,
d
?
A.
4
. B.
1
.
C.
2
. D.
3
.
Câu 46: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
1,2,3,4,5,6,7,8,9
. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
S
, xác suất để số đó không có hai chữ số
liên tiếp nào cùng chẵn bằng
A.
25
42
. B.
5
21
. C.
65
126
. D.
55
126
.
Câu 47: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2a
và
O
là tâm của đáy.
Gọi
M
,
N
,
P
,
Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
O
qua trọng tâm của các tam giác
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
và
'S
là điểm đối xứng với
S
qua
O
. Thể tích của khối chóp
'.S MNPQ
bằng
A.
3
20 14
81
a
. B.
3
40 14
81
a
. C.
3
10 14
81
a
. D.
3
2 14
9
a
.
Câu 48: Xét các số thực không âm
x
và
y
thỏa mãn
1
2 .4 3
xy
xy
+−
+
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
46P x y x y= + + +
bằng
A.
33
4
. B.
65
8
. C.
49
8
. D.
57
8
.
Trang 6
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi
x
có không quá
728
số nguyên
y
thỏa mãn
( )
2
43
log log ( )x y x y+ +
?
A.
59
. B.
58
. C.
116
. D.
115
.
Câu 50: Cho hàm số bậc ba
()y f x=
có đồ thị là đường
cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt
của phương trình
( )
3
( ) 1 0f x f x +=
là
A.
8
. B.
5
.
C.
6
. D.
4
.
Trang 7
BẢNG ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
C
B
B
D
D
A
C
A
D
D
B
C
D
B
B
A
B
C
B
B
C
C
C
B
C
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A
C
A
B
A
C
C
C
B
A
C
A
A
B
B
A
A
A
B
C
A
A
B
C
C
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A.
32
31y x x= − +
. B.
32
31y x x= − + +
.
C.
42
21y x x= − + +
. D.
42
21y x x= − +
.
Lời giải
Chọn C .
Từ hình có đây là hình dạng của đồ thị hàm bậc 4.
( ) ( )
lim lim 0
xx
f x f x a
→− →+
= = −
Câu 2: Nghiệm của phương trình
1
39
x−
=
là:
A.
2x =−
. B.
3x =
. C.
2x =
. D.
3x =−
.
Lời giải
Chọn B .
1
3
3 9 1 log 9 1 2 3
x
x x x
−
= − = − = =
Câu 3: Cho hàm
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
3
. B.
5−
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Trang 8
Chọn B .
Từ BBT ta có hàm số đạt giá trị cực tiểu
( )
35f =−
tại
3x =
Câu 4: Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1− −
. B.
( )
0;1
. C.
( )
1;1−
. D.
( )
1;0−
Lời giải
Chọn D.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
1;0−
và
( )
1; +
Câu 5: Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước
3;4;5
. Thể tích của khối hộp đã cho bằng?
A.
10
. B.
20
. C.
12
. D.
60
.
Lời giải
Chọn D.
Thể tích của khối hộp đã cho bằng
3.4.5 60V ==
Câu 6: Số phức liên hợp của số phức
35zi= − +
là:
A.
35zi= − −
. B.
35zi=+
. C.
35zi= − +
. D.
35zi=−
.
Lời giải
Chọn A .
Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy
8R =
và độ dài đường sinh
3l =
. Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng:
A.
24
. B.
192
. C.
48
. D.
64
.
Lời giải
Chọn C.
Diện tích xung quanh của hình trụ
2 48
xq
S rl

==
Câu 8: Cho khối cầu có bán kính
4r =
. Thể tích của khối cầu đã cho bằng:
A.
256
3
. B.
64
. C.
64
3
. D.
256
.
Lời giải
Chọn A.
Thể tích của khối cầu
3
4 256
33
Vr
==
Câu 9: Với
,ab
là các số thực dương tùy ý và
1a
,
5
log
a
b
bằng:
A.
5log
a
b
. B.
1
log
5
a
b+
. C.
5 log
a
b+
. D.
1
log
5
a
b
.
Lời giải
Trang 9
Chọn D.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 2 9S x y z+ + + =
. Bán kính của
( )
S
bằng
A.
6
. B.
18
. C.
9
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D.
Câu 11: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
41
1
x
y
x
+
=
−
là
A.
1
4
y =
. B.
4y =
. C.
1y =
. D.
1y =−
.
Lời giải
Chọn B.
Tiệm cận ngang
4
lim lim 4
1
xx
yy
→+ →−
= = =
Câu 12: Cho khối nón có bán kính đáy
5r =
và chiều cao
2h =
. Thể tích khối nón đã cho bằng:
A.
10
3
. B.
10
. C.
50
3
. D.
50
.
Lời giải
Chọn C.
Thể tích khối nón
2
1 50
33
V r h
==
Câu 13: Nghiệm của phương trình
( )
3
log 1 2x−=
là
A.
8x =
. B.
9x =
. C.
7x =
. D.
10x =
.
Lời giải
Chọn D.
TXĐ:
( )
1;D = +
( )
2
3
log 1 2 1 3 10x x x− = − = =
Câu 14:
2
x dx
bằng
A.
2xC+
. B.
3
1
3
xC+
. C.
3
xC+
. D.
3
3xC+
Lời giải
Chọn B.
Câu 15: Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A.
36
. B.
720
. C.
6
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B.
Có
6! 720=
cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc
Câu 16: Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của
phương trình
( )
1fx=−
là:
Trang 10
A.
3
. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A.
Số nghiệm thực của phương trình
( )
1fx=−
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
1y =−
.
Từ hình vẽ suy ra
3
nghiệm.
Câu 17: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
3;2;1A
trên trục
Ox
có tọa độ là:
A.
( )
0;2;1
. B.
( )
3;0;0
. C.
( )
0;0;1
. D.
( )
0;2;0
.
Lời giải
Chọn B .
Câu 18: Cho khối chóp có diện tích đáy
6B =
và chiều cao
2h =
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A.
6
. B.
3
. C.
4
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C.
Thể tích của khối chóp
1
4
3
V Bh==
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
3 4 1
:
2 5 3
x y z
d
− − +
==
−
. Vecto nào dưới đây là một
vecto chỉ phương của
d
?
A.
( )
2
2;4; 1u −
. B.
( )
1
2; 5;3u −
. C.
( )
3
2;5;3u
. D.
( )
4
3;4;1u
.
Lời giải
Chọn B.
Trang 11
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
3;0;0A
,
( )
0;1;0B
và
( )
0;0; 2C −
. Mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình là:
A.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
. B.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
.
C.
1
3 1 2
x y z
+ + =
. D.
1
3 1 2
x y z
+ + =
−
.
Lời giải
Chọn B.
( )
:1
x y z
ABC
a b c
+ + =
hay
( )
:1
3 1 2
x y z
ABC + + =
−
.
Câu 21: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
3u =
và công bội
2q =
. Giá trị của
2
u
bằng
A.
8
. B.
9
. C.
6
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
21
. 3.2 6u u q= = =
.
Câu 22: Cho hai số phức
1
32zi=−
và
2
2zi=+
. Số phức
12
zz+
bằng
A.
5 i+
. B.
5 i−+
. C.
5 i−
. D.
5 i−−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
12
3 2 2 5z z i i i+ = − + + = −
.
Câu 23: Biết
( )
3
1
d3f x x =
. Giá trị của
( )
3
1
2df x x
bằng
A.
5
. B.
9
. C.
6
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
33
11
2 d 2 d 2.3 6f x x f x x= = =

.
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, biết
( )
3;1M −
là điểm biểu diễn số phức
z
. Phần thực của
z
bằng
A.
1
. B.
3−
. C.
1−
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Điểm
( )
3;1M −
là điểm biểu diễn số phức
z
, suy ra
3zi= − +
.
Vậy phần thực của
z
bằng
3−
.
Câu 25: Tập xác định của hàm số
5
logyx=
là
A.
)
0;+
. B.
( )
;0−
. C.
( )
0;+
. D.
( )
;− +
.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
0x
.
Trang 12
Tập xác định:
( )
0;D = +
.
Câu 26: Số giao điểm của đồ thị hàm số
32
3y x x=+
và đồ thị hàm số
2
33y x x=+
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
( )
3 2 2 3 2
0
3 3 3 3 0 3 0 3
3
x
x x x x x x x x x
x
=
+ = + − = − = =
=−
.
Hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm.
Câu 27: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
AB a=
,
2BC a=
,
SA
vuông
góc với mặt phẳng đáy và
15SA a=
(tham khảo hình bên).
C
A
B
S
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Lời giải
Chọn C
Do
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy nên
AC
là hình chiếu vuông góc của
SC
lên mặt phẳng
đáy. Từ đó suy ra:
( )
·
( )
·
( )
·
;;SC ABC SC AC SCA==
.
Trong tam giác
ABC
vuông tại
B
có:
2 2 2 2
45AC AB BC a a a= + = + =
.
Trong tam giác
SAC
vuông tại
A
có:
·
15
tan 3
5
SA a
SCA
AC
a
= = =
·
60SCAÞ = °
.
Vậy
( )
·
( )
; 60SC ABC =°
.
Câu 28: Biết
( )
2
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên . Giá trị của
( )
2
1
2df x x+


bằng
A.
5
. B.
3
. C.
13
3
. D.
7
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( )
2
2
1
2
2 d 2 8 3 5
1
f x x x x+ = + = − =


Trang 13
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
4yx=−
và
24yx=−
bằng
A.
36
. B.
4
3
. C.
4
3
. D.
36
.
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
22
0
4 2 4 2 0
2
x
x x x x
x
=
− = − − =
=
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là:
( )
( )
( )
2 2 2
3
2 2 2 2
0 0 0
2
4
4 2 4 d 2 d 2 d
0
33
x
S x x x x x x x x x x

= − − − = − = − = − =


.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 2;3M −
và đường thẳng
d
:
1 2 3
3 2 1
x y z− + −
==
−
. Mặt
phẳng đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
d
có phương trình là
A.
3 2 1 0x y z+ − + =
. B.
2 2 3 17 0x y z− + − =
.
C.
3 2 1 0x y z+ − − =
. D.
2 2 3 17 0x y z− + + =
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
M
và vuông góc với đường thẳng
d
.
Ta có:
( )
3;2; 1
Pd
nu= = −
là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
P
.
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là:
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 1 3 0 3 2 1 0x y z x y z− + + − − = + − + =
.
Câu 31: Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
6 13 0zz+ + =
. Trên mặt phẳng
tọa độ, điểm biểu diễn số phức
0
1 z−
là
A.
( )
2;2N −
. B.
( )
4;2M
. C.
( )
4; 2P −
. D.
( )
2; 2Q −
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
32
6 13 0
32
zi
zz
zi
= − +
+ + =
= − −
.
Do
0
z
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên
0
32zi= − +
.
Từ đó suy ra điểm biểu diễn số phức
0
1 4 2zi− = −
là điểm
( )
4; 2P −
.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1;0;1A
,
( )
1;1;0B
và
( )
3;4; 1C −
. Đường thẳng đi
qua
A
và song song với
BC
có phương trình là
A.
11
4 5 1
x y z−−
==
−
. B.
11
2 3 1
x y z++
==
−
. C.
11
2 3 1
x y z−−
==
−
. D.
11
4 5 1
x y z++
==
−
.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
d
đi qua
A
và song song với
BC
nhận
( )
2;3; 1BC =−
làm một véc tơ chỉ
phương.
Phương trình của đường thẳng
d
:
11
2 3 1
x y z−−
==
−
.
Trang 14
Câu 33: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
¡
và có bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Do hàm số
( )
fx
liên tục trên
¡
,
( )
10f
−=
,
( )
1f
không xác định nhưng do hàm số liên tục trên
¡
nên tồn tại
( )
1f
và
( )
fx
đổi dấu từ
""+
sang
""−
khi đi qua các điểm
1x =−
,
1x =
nên hàm số đã cho đạt
cực đại tại 2 điểm này.
Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2.
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình
2
13
3 27
x −
là
A.
( )
4;+
. B.
( )
4;4−
. C.
( )
;4−
. D.
( )
0;4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
22
13 13 3 2 2
3 27 3 3 13 3 16 4 4 4
xx
x x x x
−−
− −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
( )
4;4S =−
.
Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
2
và góc ở đỉnh bằng
60
. Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A.
8
. B.
16 3
3
. C.
83
3
. D.
16
.
Lời giải
Chọn A
60
°
B
S
A
Gọi
S
là đỉnh của hình nón và
AB
là một đường kính của đáy.
Theo bài ra, ta có tam giác
SAB
là tam giác đều
24l SA AB r= = = =
.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là
8
xq
S rl

==
.
Câu 36: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
3
24f x x x=−
trên đoạn
2;19
bằng
A.
32 2
. B.
40−
. C.
32 2−
. D.
45−
.
Trang 15
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( )
2
2 2 2;19
3 24 0 .
2 2 2;19
x
f x x
x
=
= − =
= −
( )
3
2 2 24.2 40f = − = −
;
( ) ( )
3
2 2 2 2 24.2 2 32 2f = − = −
;
( )
3
19 19 24.19 6403f = − =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
3
24f x x x=−
trên đoạn
2;19
bằng
32 2−
.
Câu 37: Cho hai số phức
12zi=+
và
w3i=+
. Môđun của số phức
.wz
bằng
A.
52
. B.
26
. C.
26
. D.
50
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
22
.w . w . w 1 2 . 3 1 5 2.z z z= = = + + =
Câu 38: Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
( )
2
2
log
3
43
ab
a=
. Giá trị của
2
ab
bằng
A.
3
. B.
6
. C.
12
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
( ) ( )
( )
22
22
2
2
log log
3 3 2 3 4 2 3 2
4 3 2 3 3 3 3.
a b a b
a a a b a a b a ab

= = = = =


Câu 39: Cho hàm số
( )
2
2
x
fx
x
=
+
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) ( ) ( )
1.g x x f x
=+
là
A.
2
2
22
22
xx
C
x
+−
+
+
. B.
2
2
2
x
C
x
−
+
+
. C.
2
2
2
2
xx
C
x
++
+
+
. D.
2
2
22
x
C
x
+
+
+
.
Lời giải
Chọn B.
Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 d 1 1 d d
2
xx
g x x f x x x f x x f x x f x x
x
+
= + = + − + = −
+
2
22
d
22
x x x
x
xx
+
=−
++
2
2
22
2
2.
22
x x x
x C C
xx
+−
= − + + = +
++
Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
4x
y
xm
+
=
+
đồng biến trên khoảng
( )
;7− −
là
A.
)
4;7
. B.
(
4;7
. C.
( )
4;7
. D.
( )
4;+
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định:
{ }
\Dm=-¡
.
Ta có:
( )
2
4m
y
xm
−
=
+
.
Trang 16
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
;7− −
0y

,
( )
;7x − −
( )
40
;7
m
m
−
− − −
44
47
77
mm
m
mm



− −

.
Câu 41: Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh
A
là
600 ha
. Giả sử diện tích rừng trồng
mới của tỉnh
A
mỗi năm tiếp theo đều tăng
6%
so với diện tích rừng trồng mới của năm liền
trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh
A
có diện tích rừng trồng
mới trong năm đó đạt trên
1000 ha
?
A. Năm 2028. B. Năm 2047. C. Năm 2027. D. Năm 2046.
Lời giải
Chọn A.
Diện tích rừng trồng mới của năm
2019 1+
là
( )
1
600 1 6%+
.
Diện tích rừng trồng mới của năm
2019 2+
là
( )
2
600 1 6%+
.
Diện tích rừng trồng mới của năm
2019 n+
là
( )
600 1 6%
n
+
.
Ta có
( ) ( )
( )
1 6%
55
600 1 6% 1000 1 6% log 8,76
33
nn
n
+
+ +
Như vậy kể từ năm 2019 thì năm 2028 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng mới đạt trên
1000 ha
.
Câu 42: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
4a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc
giữa mặt phẳng
( )
SBC
và mặt phẳng đáy bằng
60
. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
bằng
A.
2
172
3
a
. B.
2
76
3
a
. C.
2
84 a
. D.
2
172
9
a
Lời giải
Chọn A.
Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao (ba đường trung tuyến) của tam giác đều
ABC
nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là
3 4 3
4.
33
a
ra==
.
Đường cao
AH
của tam giác đều
ABC
là
4 . 3
23
2
a
AH a==
.
Trang 17
Góc giữa mặt phẳng
( )
SBC
và mặt phẳng đáy bằng
60
suy ra
60SHA =
.
Suy ra
tan 3 6
23
SA SA
SHA SA a
AH
a
= = = =
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
2
2 2 2
16 129
9
2 3 3
mc
SA
R r a a a

= + = + =


.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp
.S ABC
là
2
2
2
129 172
44
33
mc
a
S R a


= = =



.
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Gọi
M
là trung điểm của
CC
(tham khảo hình bên). Khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
( )
A BC
bằng
A.
21
14
a
. B.
2
2
a
. C.
21
7
a
. D.
2
4
a
.
Lời giải
Chọn A.
( )
C M A BC C

=
, suy ra
( )
( )
( )
( )
,
1
2
,
d M A BC
CM
CC
d C A BC
==

.
Ta có
23
..
1 1 1 3 3
. . . .
3 3 3 4 12
C A BC ABC A B C ABC
aa
V V C C S a
= = = =
.
Lại có
2A B a
=
,
CB a=
,
2A C a
=
2
7
4
A BC
a
S
=
.
Trang 18
Suy ra
( )
( )
3
.
2
3
3.
3
21
12
,
7
7
4
C A BC
A BC
a
V
a
d C A BC
S
a


= = =
.
Vậy
( )
( )
( )
( )
1 1 21 21
, , .
2 2 7 14
aa
d M A BC d C A BC
= = =
.
Câu 44: Cho hàm số bậc bốn
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2
4
1g x x f x=+


là
A.
11
. B.
9
. C.
7
. D.
5
.
Lời giải
Chọn B.
Ta chọn hàm
( )
42
5 10 3f x x x= − +
.
Đạo hàm
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 4 3
4 1 2 1 1 2 1 2 1 1g x x f x x f x f x x f x f x xf x
= + + + + = + + + +
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3
0
2 1 0
0 1 0
2 1 1 0
2 1 1 0
x
x f x
g x f x
f x xf x
f x xf x
=
+=
= + =
+ + + =
+ + + =
.
+)
( )
10fx+=
( )
*
( ) ( )
4
5 1 10 1 3 0xx+ − + + =
1 1,278
1 0,606
1 0,606
1 1,278
x
x
x
x
+
+
+ −
+ −
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác
0
.
+)
( ) ( )
( )
( )
( )
1
4 2 3
2 1 1 0 2 5 10 3 1 20 20 0
tx
f x xf x t t t t t
=+
+ + + = − + + − − =
432
30 20 40 20 6 0t t t t − − + + =
1,199
0,731
0,218
1,045
t
t
t
t
−
−
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác
0
và khác các nghiệm của phương trình
( )
*
.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
( )
gx
là
9
.
Câu 45: Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
( )
, , ,a b c d
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có
bao nhiêu số dương trong các số
a
,
b
,
c
,
d
?
Trang 19
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
lim
x
y
→+
= +
0a
.
Gọi
1
x
,
2
x
là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra
1
x
,
2
x
nghiệm phương trình
2
3 2 0y ax bx c
= + + =
nên theo định lý Viet:
+) Tổng hai nghiệm
12
2
0
3
b
xx
a
+ = −
0
b
a
0b
.
+) Tích hai nghiệm
12
0
3
c
xx
a
=
0c
.
Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên
0d
.
Vậy có
2
số dương trong các số
a
,
b
,
c
,
d
.
Câu 46: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
1,2,3,4,5,6,7,8,9
. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc
S
, xác suất để số đó không có hai chữ số
liên tiếp nào cùng chẵn bằng
A.
25
42
. B.
5
21
. C.
65
126
. D.
55
126
.
Lời giải
Chọn A
Có
4
9
A
cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ
1,2,3,4,5,6,7,8,9X =
.
4
9
A 3024S = =
.
3024 =
.
Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc
S
, xác suất để số đó không có hai chữ số liên
tiếp nào cùng chẵn”.
Nhận thấy không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số
chẵn nằm cạnh nhau.
Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ.
Chọn 4 số lẻ từ
X
và xếp thứ tự có
4
5
A
số.
Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn.
Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ
X
và xếp thứ tự có
31
54
C .C .4!
số.
Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.
Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ
X
có
22
54
C .C
cách.
Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách.
Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp
thứ tự có 3! cách.
Trang 20
trường hợp này có
22
54
C .C .2!.3!
số.
Vậy
( )
4 3 1 2 2
5 5 4 5 4
A C .C .4! C .C .2!.3!
25
3024 42
A
PA
++
= = =
.
Câu 47: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2a
và
O
là tâm của đáy.
Gọi
M
,
N
,
P
,
Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
O
qua trọng tâm của các tam giác
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
và
'S
là điểm đối xứng với
S
qua
O
. Thể tích của khối chóp
'.S MNPQ
bằng
A.
3
20 14
81
a
. B.
3
40 14
81
a
. C.
3
10 14
81
a
. D.
3
2 14
9
a
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
1 2 3 4
, , ,G G G G
lần lượt là trọng tâm
, , ,SAB SBC SCD SDA
.
, , ,E F G H
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , ,AB BC CD DA
.
Ta có
1 2 3 4
2
4 4 1 8
4 4. 4. . .
9 9 2 9
MNPQ G G G G EFGH
a
S S S EG HF= = = =
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3 4
, , ,
, 2 ,
2
,,
3
5 5 14
,
36
d S MNPQ d S ABCD d O MNPQ
d S ABCD d O G G G G
d S ABCD d S ABCD
a
d S ABCD

=+
=+
=+
==
Vậy
23
.
1 5 14 8 20 14
3 6 9 81
S MNPQ
a a a
V
= =
.
Trang 21
Câu 48: Xét các số thực không âm
x
và
y
thỏa mãn
1
2 .4 3
xy
xy
+−
+
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
46P x y x y= + + +
bằng
A.
33
4
. B.
65
8
. C.
49
8
. D.
57
8
.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Nhận xét: Giá trị của
,xy
thỏa mãn phương trình
( )
1
2 4 3 1
xy
xy
+−
+ =
sẽ làm cho biểu thức
P
nhỏ nhất. Đặt
a x y=+
, từ
( )
1
ta được phương trình
1
23
4 . 2 0
a
a
yy
−
+ − − =
.
Nhận thấy
1
23
4 . 2
a
ya
yy
−
= + − −
là hàm số đồng biến theo biến
a
, nên phương trình trên có
nghiệm duy nhất
33
22
a x y= + =
.
Ta viết lại biểu thức
( ) ( )
2
1 1 65
42
4 8 8
P x y x y y

= + + + + − − =


. Vậy
min
65
8
P =
.
Cách 2:
Với mọi
,xy
không âm ta có
33
1
22
33
2 .4 3 .4 . 4 1 0
22
x y x y
xy
x y x y x y y
+ − + −
+−


+ + + − + −




(1)
Nếu
3
0
2
xy+ −
thì
( )
3
0
2
3
. 4 1 0 . 4 1 0
2
xy
x y y y
+−


+ − + − + − =




(vô lí)
Vậy
3
2
xy+
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được
( ) ( )
22
22
4 6 3 2 13P x y x y x y= + + + = + + + −
( )
2
2
1 1 3 65
5 13 5 13
2 2 2 8
xy

+ + − + − =


Đẳng thức xảy ra khi
5
3
4
2
1
32
4
y
xy
xy
x
=
+=



+ = +
=
.
Vậy
65
min
8
P =
.
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi
x
có không quá
728
số nguyên
y
thỏa mãn
( )
2
43
log log ( )x y x y+ +
?
A.
59
. B.
58
. C.
116
. D.
115
.
Lời giải
Chọn C.
Với mọi
x
ta có
2
xx
.
Trang 22
Xét hàm số
( )
2
34
( ) log ( ) logf y x y x y= + − +
.
Tập xác định
D ( ; )x= − +
(do
2
y x y x − −
).
( )
2
11
'( ) 0,
( )ln3
ln4
f y x D
xy
xy
= −
+
+
(do
2
0x y x y+ +
,
ln4 ln3
)
f
tăng trên
D
.
Ta có
( )
2
34
( 1) log ( 1) log 1 0f x x x x x− + = − + − − +
.
Có không quá 728 số nguyên
y
thỏa mãn
( )
0fy
( )
2
34
( 729) 0 log 729 log 729 0f x x x − + − − +
26
729 4 0xx − + −
2
3367 0xx− −
57,5 58,5x−
Mà
x
nên
57, 56,...,58x − −
.
Vậy có
58 ( 57) 1 116− − + =
số nguyên
x
thỏa.
Câu 50: Cho hàm số bậc ba
()y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt
của phương trình
( )
3
( ) 1 0f x f x +=
là
A.
8
. B.
5
. C.
6
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C.
( ) ( )
3
3 3 3
3
3
3
0
( ) 0
( ) 0
( ) 1 0 ( ) 1 ( ) 0
( ) (do 0)
( ) 0
( ) (do 0)
x
fx
x f x
a
f x f x f x f x x f x a
f x x
x
x f x b
b
f x x
x
=
=
=
+ = = − =
=
=
=
•
( ) 0fx=
có một nghiệm dương
xc=
.
Trang 23
• Xét phương trình
3
()
k
fx
x
=
với
0, 0xk
.
Đặt
3
( ) ( )
k
g x f x
x
=−
.
4
3
( ) '( )
k
g x f x
x
=+
.
Với
xc
, nhìn hình ta ta thấy
( ) 0fx
4
3
( ) ( ) 0
k
g x f x
x

= +
( ) 0gx=
có tối đa một nghiệm.
Mặt khác
( ) 0
lim ( )
x
gc
gx
→+
= +
và
()gx
liên tục trên
( )
;c +
( ) 0gx=
có duy nhất nghiệm trên
( )
;c +
.
Với
0 xc
thì
3
( ) 0
k
fx
x

( ) 0gx=
vô nghiệm.
Với
0x
, nhìn hình ta ta thấy
( ) 0fx
4
3
( ) ( ) 0
k
g x f x
x

= +
( ) 0gx=
có tối đa một nghiệm.
Mặt khác
0
lim ( ) 0
lim ( )
x
x
gx
gx
−
→
→−
= −
và
()gx
liên tục trên
( )
;0−
.
( ) 0gx=
có duy nhất nghiệm trên
( )
;0−
.
Tóm lại
( ) 0gx=
có đúng hai nghiệm trên
\0
.
Suy ra hai phương trình
3
()
a
fx
x
=
,
3
()
b
fx
x
=
có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác
c
.
Vậy phương trình
( )
3
( ) 1 0f x f x +=
có đúng 6 nghiệm.
Trang 24
ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 2021
ĐỀ 2
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + − =
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của
( )
P
?
A.
( )
3
1;2; 1n =−
. B.
( )
4
1;2;3n =
. C.
( )
1
1;3; 1n =−
. D.
( )
2
2;3; 1n =−
.
Câu 2. Với
a
là số thực dương tùy,
2
5
log a
bằng
A.
5
2log a
. B.
5
2 log a+
. C.
5
1
log
2
a+
. D.
5
1
log
2
a
.
Câu 3. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;0−
. B.
( )
2;+
. C.
( )
0;2
. D.
( )
0;+
.
Câu 4. Nghiệm phương trình
21
3 27
x−
=
là
A.
5x =
. B.
1x =
. C.
2x =
. D.
4x =
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
3u =
và
2
9u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.
6−
. B.
3
. C.
12
. D.
6
.
Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên
A.
32
33y x x= − +
. B.
32
33y x x= − + +
. C.
42
23y x x= − +
. D.
42
23y x x= − + +
.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
2 1 3
:
1 2 1
x y z
d
− − +
==
−
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ chỉ phương của d?
A.
( )
2
2;1;1 .u =
uur
. B.
( )
4
1;2; 3 .u =−
uur
. C.
( )
3
1;2;1 .u =−
ur
. D.
( )
1
2;1; 3 .u =−
ur
.
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là
A.
2
1
.
3
rh
. B.
2
.rh
. C.
2
4
.
3
rh
. D.
2
2.rh
.
Câu 9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A.
7
2
. B.
2
7
A
. C.
2
7
C
. D.
2
7
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
2;1; 1M −
trên trục
Oz
có tọa độ là
Trang 25
A.
( )
2;1;0
. B.
( )
0;0; 1−
. C.
( )
2;0;0
. D.
( )
0;1;0
.
Câu 11. Biết
( )
1
0
2f x dx =−
và
( )
1
0
3,g x dx =
khi đó
( ) ( )
1
0
f x g x dx−


bằng
A.
5.−
. B.
5.
. C.
1.−
. D.
1.
.
Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
B
và chiều cao
h
là
A.
3.Bh
. B.
.Bh
. C.
4
.
3
Bh
. D.
1
.
3
Bh
.
Câu 13. Số phức liên hợp của số phức
34i−
là
A.
34i−−
. B.
34i−+
. C.
34i+
. D.
43i−+
.
Câu 14. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.
2x =
. B.
1x =
. C.
1x =−
. D.
3x =−
.
Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
25=+f x x
là
A.
2
5.++x x C
. B.
2
2 5 .++x x C
. C.
2
2.+xC
. D.
2
.+xC
.
Câu 16. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
( )
2 3 0−=fx
là
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 17. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
,
2SA a=
, tam giác
ABC
vuông tại
B
,
3AB a=
và
BC a=
(minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
Trang 26
A.
90
. B.
45
. C.
30
. D.
60
.
Câu 18. Gọi
12
,zz
là hai nghiệm phức phương trình
2
6 10 0zz− + =
. Giá trị
22
12
zz+
bằng
A. 16. B. 56. C. 20. D. 26.
Câu 19. Cho hàm số
2
3
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
3
(2 3).2 .ln2
xx
x
−
−
. B.
2
3
2 .ln2
xx−
. C.
2
3
(2 3).2
xx
x
−
−
. D.
2
2 3 1
( 3 ).2
xx
xx
−−
−
.
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số
3
( ) 3 2f x x x= − +
trên đoạn
[ 3;3]−
bằng
A.
16−
. B.
20
. C.
0
. D.
4
.
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 2 7 0S x y z x z+ + + − − =
. bán kính của mặt cầu
đã cho bằng
A.
7
. B.
9
. C.
3
. D.
15
.
Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
và
'3AA a=
(hình minh
họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
a
.
Câu 23. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
2
'2f x x x=+
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 24. Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
4
16ab=
. Giá trị của
22
4log logab+
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
16
. D.
8
.
Câu 25. Cho hai số phức
1
1zi=−
và
2
12zi=+
. Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
, điểm biểu diễn số phức
12
3zz+
có toạ độ là
A.
( )
41;−
. B.
( )
14;−
. C.
( )
41;
. D.
( )
14;
.
Câu 26. Nghiệm của phương trình
( ) ( )
33
log 1 1 log 4 1xx+ + = +
là
A.
3x =
. B.
3x =−
. C.
4x =
. D.
2x =
.
Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m
và
1,2m
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng
tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào
dưới đây?
A.
1,8 .m
. B.
1,4 .m
. C.
2,2 .m
. D.
1,6 .m
.
Câu 28. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Trang 27
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.
4.
. B.
1.
. C.
3.
. D.
2.
.
Câu 29. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
, 0, 1y f x y x= = = −
và
4x =
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
= − +

. B.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
=−

.
C.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
=+

. D.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
= − −

.
Câu 30. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;3;0A
và
( )
5;1; 2B −
. Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng
AB
có phương trình là
A.
2 5 0x y z− − + =
. B.
2 5 0x y z− − − =
. C.
2 3 0x y z+ + − =
. D.
3 2 14 0x y z+ − − =
.
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
21
1
x
fx
x
−
=
+
trên khoảng
( )
1;− +
là
A.
( )
2
2ln 1
1
xC
x
+ + +
+
. B.
( )
3
2ln 1
1
xC
x
+ + +
+
. C.
( )
2
2ln 1
1
xC
x
+ − +
+
. D.
( )
3
2ln 1
1
xC
x
+ − +
+
.
Câu 32. Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
2cos 1xxf =
+
,
x
, khi đó
( )
4
0
f x dx
bằng
A.
2
4
16
+
. B.
2
14
16

+
. C.
2
16 4
16

++
. D.
2
16 16
16

++
.
Câu 33. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
1;2;0A
,
( )
2;0;2B
,
( )
2; 1;3C −
và
( )
1;1;3D
. Đường
thẳng đi qua
C
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABD
có phương trình là
A.
24
23
2
xt
yt
zt
= − −
= − −
=−
. B.
24
13
3
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
. C.
24
43
2
xt
yt
zt
= − +
= − +
=+
. D.
42
3
13
xt
yt
zt
=+
=−
=+
.
Câu 34. Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
3 2 3 10z i i z i+ − − = +
. Mô đun của
z
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Trang 28
Câu 35. Cho hàm số
( )
fx
, bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
x
−
3−
1−
1
+
( )
fx
−
0
+
0
−
0
+
Hàm số
( )
32=−y f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
4;+
. B.
( )
2;1−
. C.
( )
2;4
. D.
( )
1;2
.
Câu 36. Cho hàm số
( )
fx
, hàm số
( )
=y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình
( )
+f x x m
(
m
là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
( )
0;2x
khi và chỉ khi
A.
( )
22−mf
. B.
( )
0mf
. C.
( )
22−mf
. D.
( )
0mf
.
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được hai số có tổng là một số chẵn bằng
A.
1
2
. B.
13
25
. C.
12
25
. D.
313
625
.
Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng
53
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng
A.
10 3
. B.
5 39
. C.
20 3
. D.
10 39
.
Câu 39. Cho phương trình
( )
2
9 3 3
log log 3 1 logx x m− − = −
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của
m
để phương trình đã cho có nghiệm
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D. Vô số.
Câu 40. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBD
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
7
a
. C.
2
2
a
. D.
21
28
a
.
Câu 41. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên . Biết
( )
41f =
và
( )
1
0
41dxxf x =
, khi đó
( )
4
2
0
dxxxf
bằng
A.
31
2
. B.
16−
. C.
8
. D.
14
.
Câu 42. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;4; 3A −
. Xét đường thẳng
d
thay đổi, song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ
A
đến
d
nhỏ nhất,
d
đi qua điểm nào
dưới đây?
A.
( )
3;0; 3P −−
. B.
( )
0; 3; 5M −−
. C.
( )
0;3; 5N −
. D.
( )
0;5; 3Q −
.
Trang 29
Câu 43. Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình
( )
3
4
3
3
f x x−=
là
A.
3
. B.
8
. C.
7
. D.
4
.
Câu 44. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2z =
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn của
các số phức
4
w
1
iz
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
34.
. B.
26.
. C.
34.
. D.
26.
.
Câu 45. Cho đường thẳng
yx=
và Parabol
2
1
2
y x a=+
(
a
là tham số thực dương). Gọi
1
S
và
2
S
lần
lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
12
SS=
thì
a
thuộc khoảng
nào sau đây?
A.
31
;
72



. B.
1
0;
3



. C.
12
;
35



. D.
23
;
57



.
Câu 46. Cho hàm số
( )
fx
, bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
như sau
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
2y f x x=−
là
A.
9
. B.
3
. C.
7
. D.
5
.
Câu 47. Cho lăng trụ
' ' 'ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là tam giác đều cạnh bằng
6
. Gọi
,MN
và
P
lần lượt là tâm của các mặt bên
''ABB A
,
''ACC A
và
''BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có
các đỉnh là các điểm
, , , , ,A B C M N P
bằng:
A.
27 3
. B.
21 3
. C.
30 3
. D.
36 3
.
Trang 30
Câu 48. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
( )
2
22
: 2 3S x y z+ + + =
. Có tất cả bao nhiêu điểm
( )
;;A a b c
(
,,abc
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của
( )
S
đi qua
A
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A.
12
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Câu 49. Cho hai hàm số
3 2 1
2 1 1
x x x x
y
x x x x
− − −
= + + +
− − +
và
2y x x m= + − +
(
m
là tham số thực) có đồ
thị lần lượt là
( )
1
C
và
( )
2
C
. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để
( )
1
C
và
( )
2
C
cắt nhau tại
4
điểm
phân biệt là
A.
(
;2−
. B.
)
2;+
. C.
( )
;2−
. D.
( )
2;+
.
Câu 50. Cho phương trình
( )
2
22
4log log 5 7 0
x
x x m+ − − =
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên dương của
m
để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A.
49
. B.
47
. C. Vô số. D.
48
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.A
7.C
8.A
9.C
10.B
11.A
12.B
13.C
14.C
15.A
16.C
17.B
18.A
19.A
20.B
21.C
22.A
23.D
24.A
25.A
26.D
27.D
28.D
29.B
30.B
31.B
32.C
33.C
34.C
35.B
36.B
37.C
38.C
39.A
40.B
41.B
42.C
43.B
44.A
45.C
46.C
47.A
48.A
49.B
50.B
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + − =
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của
( )
P
?
A.
( )
3
1;2; 1n =−
. B.
( )
4
1;2;3n =
. C.
( )
1
1;3; 1n =−
. D.
( )
2
2;3; 1n =−
.
Lời giải
Đáp án B
Từ phương trình mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + − =
ta có vectơ pháp tuyến của
( )
P
là
( )
4
1;2;3n =
.
Câu 2. Với
a
là số thực dương tùy,
2
5
log a
bằng
A.
5
2log a
. B.
5
2 log a+
. C.
5
1
log
2
a+
. D.
5
1
log
2
a
.
Lời giải
Đáp án A
Ta có
2
55
log 2logaa=
.
Câu 3. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Trang 31
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;0−
. B.
( )
2;+
. C.
( )
0;2
. D.
( )
0;+
.
Lời giải
Đáp án C
Ta có
( ) ( ) ( )
0 0;2f x x f x
nghịch biến trên khoảng
( )
0;2
.
Câu 4. Nghiệm phương trình
21
3 27
x−
=
là
A.
5x =
. B.
1x =
. C.
2x =
. D.
4x =
.
Lời giải
Đáp án C
Ta có
2 1 2 1 3
3 27 3 3 2 1 3 2
xx
xx
−−
= = − = =
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
3u =
và
2
9u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.
6−
. B.
3
. C.
12
. D.
6
.
Lời giải
Đáp án D
Ta có:
21
9 3 6u u d d d= + = + =
Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên
A.
32
33y x x= − +
. B.
32
33y x x= − + +
. C.
42
23y x x= − +
. D.
42
23y x x= − + +
.
Lời giải
Đáp án A
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại C và D.
Khi
x → −
thì
y →−
nên hệ số
0a
. Vậy chọn A.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
2 1 3
:
1 2 1
x y z
d
− − +
==
−
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ chỉ phương của d?
A.
( )
2
2;1;1 .u =
uur
B.
( )
4
1;2; 3 .u =−
uur
C.
( )
3
1;2;1 .u =−
ur
D.
( )
1
2;1; 3 .u =−
ur
Lời giải
Đáp án C
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là
Trang 32
A.
2
1
.
3
rh
B.
2
.rh
C.
2
4
.
3
rh
D.
2
2.rh
Lời giải
Đáp án A
Câu 9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A.
7
2
. B.
2
7
A
. C.
2
7
C
. D.
2
7
.
Lời giải
Đáp án C
Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
2
7
C
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
2;1; 1M −
trên trục
Oz
có tọa độ là
A.
( )
2;1;0
. B.
( )
0;0; 1−
. C.
( )
2;0;0
. D.
( )
0;1;0
.
Lời giải
Đáp án B
Hình chiếu vuông góc của điểm
( )
2;1; 1M −
trên trục
Oz
có tọa độ là
( )
0;0; 1−
.
Câu 11. Biết
( )
1
0
2f x dx =−
và
( )
1
0
3,g x dx =
khi đó
( ) ( )
1
0
f x g x dx−


bằng
A.
5.−
B.
5.
C.
1.−
D.
1.
Lời giải
Đáp án A
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
2 3 5.f x g x dx f x dx g x dx− = − = − − = −


Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
B
và chiều cao
h
là
A.
3.Bh
B.
.Bh
C.
4
.
3
Bh
D.
1
.
3
Bh
Lời giải
Đáp án B
Câu 13. Số phức liên hợp của số phức
34i−
là
A.
34i−−
. B.
34i−+
. C.
34i+
. D.
43i−+
.
Lời giải
Đáp án C
3 4 3 4z i z i= − = +
.
Câu 14. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.
2x =
. B.
1x =
. C.
1x =−
. D.
3x =−
.
Trang 33
Lời giải
Đáp án C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
1x =−
.
Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
25=+f x x
là
A.
2
5.++x x C
B.
2
2 5 .++x x C
C.
2
2.+xC
D.
2
.+xC
Lời giải
Đáp án A
Ta có
( ) ( )
2
2 5 5 .dd= + = + +

f x x x x x x C
Câu 16. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
( )
2 3 0−=fx
là
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Lời giải
Đáp án C
Ta có
( ) ( )
3
2 3 0 .
2
− = =f x f x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số
( )
=y f x
cắt đường thẳng
3
2
=y
tại bốn điểm
phân biệt. Do đó phương trình
( )
2 3 0−=fx
có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 17. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
,
2SA a=
, tam giác
ABC
vuông tại
B
,
3AB a=
và
BC a=
(minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt
phẳng
( )
ABC
bằng
A.
90
. B.
45
. C.
30
. D.
60
.
Lời giải
Đáp án B
Trang 34
Ta thấy hình chiếu vuông góc của
SC
lên
( )
ABC
là
AC
nên
( )
(
)
,SC ABC SCA=
.
Mà
22
2AC AB BC a= + =
nên
tan 1
SA
SCA
AC
==
.
Vậy góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
45
.
Câu 18. Gọi
12
,zz
là hai nghiệm phức phương trình
2
6 10 0zz− + =
. Giá trị
22
12
zz+
bằng
A. 16. B. 56. C. 20. D. 26.
Lời giải
Đáp án A
Theo định lý Vi-ét ta có
1 2 1 2
6, . 10z z z z+ = =
.
Suy ra
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 6 20 16z z z z z z+ = + − = − =
.
Câu 19. Cho hàm số
2
3
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
3
(2 3).2 .ln2
xx
x
−
−
. B.
2
3
2 .ln2
xx−
. C.
2
3
(2 3).2
xx
x
−
−
. D.
2
2 3 1
( 3 ).2
xx
xx
−−
−
.
Lời giải
Đáp án A
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số
3
( ) 3 2f x x x= − +
trên đoạn
[ 3;3]−
bằng
A.
16−
. B.
20
. C.
0
. D.
4
.
Lời giải
Đáp án B
Ta có:
( ) ( )
32
3 2 3 3f x x x xfx= − + = −
Có:
( )
2
1
0 3 3 0
1
x
x
x
fx
=
= − =
=−
Mặt khác :
( ) ( ) ( ) ( )
3 16, 1 4, 1 0, 3 20f f f f− = − − = = =
.
Vậy
( )
3;3
max 20fx
−
=
.
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 2 7 0S x y z x z+ + + − − =
. bán kính của mặt cầu
đã cho bằng
A.
7
. B.
9
. C.
3
. D.
15
.
Lời giải
Đáp án C
Trang 35
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ): 2 2 7 0 1 1 9 1 1 3S x y z x z x y z x y z+ + + − − = + + + − = + + + − =
Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng
3R =
.
Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
và
'3AA a=
(hình minh
họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
a
.
Lời giải
Đáp án A
Ta có:
ABC
là tam giác đều cạnh
a
nên
2
3
4
ABC
a
S
=
.
Ta lại có
. ' ' 'ABC A B C
là khối lăng trụ đứng nên
'3AA a=
là đường cao của khối lăng trụ.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
23
. ' ' '
33
'. 3.
44
ABC A B C ABC
aa
V AA S a
= = =
.
Câu 23. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
2
'2f x x x=+
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho
là
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Đáp án D
Xét
( ) ( )
2
'2f x x x=+
. Ta có
( ) ( )
2
0
' 0 2 0
2
x
f x x x
x
=
= + =
=−
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị.
Câu 24. Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
4
16ab=
. Giá trị của
22
4log logab+
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
16
. D.
8
.
Lời giải
Đáp án A
Ta có
44
2 2 2 2 2 2
4log log log log log log 16 4a b a b a b+ = + = = =
.
Trang 36
Câu 25. Cho hai số phức
1
1zi=−
và
2
12zi=+
. Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
, điểm biểu diễn số phức
12
3zz+
có toạ độ là
A.
( )
41;−
. B.
( )
14;−
. C.
( )
41;
. D.
( )
14;
.
Lời giải
Đáp án A
•
( ) ( )
12
3 3 1 1 2 4z z i i i+ = − + + = −
.
• Vậy số phức
12
z3zz=+
được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
là
( )
41M;−
.
Câu 26. Nghiệm của phương trình
( ) ( )
33
log 1 1 log 4 1xx+ + = +
là
A.
3x =
. B.
3x =−
. C.
4x =
. D.
2x =
.
Lời giải
Đáp án D
•
( ) ( )
33
log 1 1 log 4 1xx+ + = +
( )
1
•
( )
1
( ) ( )
33
log 3 1 log 4 1. x x + = +


3 3 4 1 0xx + = +
2x=
.
• Vậy
( )
1
có một nghiệm
2x =
.
Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m
và
1,2m
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể
tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất
với kết quả nào dưới đây?
A.
1,8 .m
B.
1,4 .m
C.
2,2 .m
D.
1,6 .m
Lời giải
Đáp án D
Ta có:
2
11
V R h h

==
và
2
22
36
.
25
V R h h
==
Theo đề bài ta lại có:
Trang 37
2
1 2 1
36 61
.
25 25
V V V V h h h R h


= + = = + = =
2
61
1,56
25
RR = =
(
,VR
lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính)
Câu 28. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.
4.
B.
1.
C.
3.
D.
2.
Lời giải
Đáp án D
Dựa vào bản biến thiên ta có
0
lim 0
x
yx
+
→
= + =
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim 2 2
x
yy
→−
= =
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2
Câu 29. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
, 0, 1y f x y x= = = −
và
4x =
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
= − +

. B.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
=−

.
C.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
=+

. D.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
= − −

.
Lời giải
Đáp án B
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 1 4 1 4
1 1 1 1 1
S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
− − −
= = + = −
Câu 30. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;3;0A
và
( )
5;1; 2B −
. Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng
AB
có phuowbg trình là
A.
2 5 0x y z− − + =
. B.
2 5 0x y z− − − =
. C.
2 3 0x y z+ + − =
. D.
3 2 14 0x y z+ − − =
.
Lời giải
Đáp án B
Trang 38
Ta có tọa độ trung điểm
I
của
AB
là
( )
3;2; 1I −
và
( )
4; 2; 2AB = − −
.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua
I
và có vectơ pháp tuyến
n AB=
nên có
phương trình là
( ) ( ) ( )
4 3 2 2 2 1 0 2 5 0x y z x y z− − − − + = − − − =
.
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
21
1
x
fx
x
−
=
+
trên khoảng
( )
1;− +
là
A.
( )
2
2ln 1
1
xC
x
+ + +
+
. B.
( )
3
2ln 1
1
xC
x
+ + +
+
.
C.
( )
2
2ln 1
1
xC
x
+ − +
+
. D.
( )
3
2ln 1
1
xC
x
+ − +
+
.
Lời giải
Đáp án B
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 1 3
2 1 d d 3
d d d 2 3 2ln 1
11
1 1 1
x
x x x
f x x x x x C
xx
x x x
+−
−
= = = − = + + +
++
+ + +
.
Vì
( )
1;x − +
nên
( ) ( )
3
2ln 1
1
f x dx x C
x
= + + +
+
Câu 32. Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
2cos 1xxf =
+
,
x
, khi đó
( )
4
0
f x dx
bằng
A.
2
4
16
+
. B.
2
14
16

+
. C.
2
16 4
16

++
. D.
2
16 16
16

++
.
Lời giải
Đáp án C
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
2
1
2cos 1 2 cos2 2 sin2
2
f x f x dx x dx x dx x x C
= = + = + = + +
.
Theo bài:
( )
1
0 4 2.0 .sin0 4 4
2
f C C= + + = =
. Suy ra
( )
1
2 sin 2 4
2
f xxx += +
.
Vậy:
( )
22
44
4
2
00
0
1 cos2 1 16 4
2 sin 2 4 4
2 4 16 4 16
x
f x dx x x dx x x


++
= + + = − + = + − − =



.
Câu 33. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
1;2;0A
,
( )
2;0;2B
,
( )
2; 1;3C −
và
( )
1;1;3D
.
Đường thẳng đi qua
C
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABD
có phương trình là
A.
24
23
2
xt
yt
zt
= − −
= − −
=−
. B.
24
13
3
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
. C.
24
43
2
xt
yt
zt
= − +
= − +
=+
. D.
42
3
13
xt
yt
zt
=+
=−
=+
.
Lời giải
Đáp án C
Ta có
( )
1; 2;2AB =−
,
( )
0; 1;3AD =−
( )
, 4; 3; 1AB AD

= − − −

.
Đường thẳng đi qua
C
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABD
có phương trình là
Trang 39
24
43
2
xt
yt
zt
= − +
= − +
=+
.
Câu 34. Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
3 2 3 10z i i z i+ − − = +
. Mô đun của
z
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Đáp án C
Gọi
z x yi=+
( )
,xy
z x yi = −
.
Ta có
( )
( )
3 2 3 10z i i z i+ − − = +
( ) ( )( )
3 2 3 7x yi i x yi i − − − + = +
( )
5 3 7x y x y i i − + − = +
3
57
xy
xy
−=
−=
2
1
x
y
=
=−
.
Suy ra
2zi=−
.
Vậy
5z =
.
Câu 35. Cho hàm số
( )
fx
, bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
x
−
3−
1−
1
+
( )
fx
−
0
+
0
−
0
+
Hàm số
( )
32=−y f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
4;+
. B.
( )
2;1−
. C.
( )
2;4
. D.
( )
1;2
.
Lời giải
Đáp án B
Ta có
( ) ( )
3 3 2 1 3 2
2 3 2 0 3 2 0
3 2 1 1
− − −

= − − −

−

xx
y f x f x
xx
.
Vì hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−
nên nghịch biến trên
( )
2;1−
.
Câu 36. Cho hàm số
( )
fx
, hàm số
( )
=y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình
( )
+f x x m
(
m
là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
( )
0;2x
khi và chỉ
khi
A.
( )
22−mf
. B.
( )
0mf
. C.
( )
22−mf
. D.
( )
0mf
.
Lời giải
Trang 40
Đáp án B
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
, 0;2 , 0;2 * + − f x x m x m f x x x
.
Dựa vào đồ thị của hàm số
( )
=y f x
ta có với
( )
0;2x
thì
( )
1
fx
.
Xét hàm số
( ) ( )
=−g x f x x
trên khoảng
( )
0;2
.
( ) ( ) ( )
1 0, 0;2

= − g x f x x
.
Suy ra hàm số
( )
gx
nghịch biến trên khoảng
( )
0;2
.
Do đó
( ) ( ) ( )
* 0 0 =m g f
.
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được hai số có tổng là một số chẵn bằng
A.
1
2
. B.
13
25
. C.
12
25
. D.
313
625
.
Lời giải
Đáp án C
( )
2
25
300nC = =
.
Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 13 số lẻ và 12 số chẵn
Gọi
A
là biến cố chọn được hai số có tổng là 1 số chẵn.
Chọn 2 số lẻ trong 13 số lẻ hoặc chọn 2 số chẵn trong 12 số chẵn
( )
22
13 12
144n A C C= + =
.
Vậy
( )
( )
( )
144 12
.
300 25
nA
pA
n
= = =
Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng
53
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh
của hình trụ đã cho bằng
A.
10 3
. B.
5 39
. C.
20 3
. D.
10 39
.
Lời giải
Đáp án C
Goi hình trụ có hai đáy là
,OO
và bán kính
R
.
Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu được là hình chữ nhật
ABCD
với
AB
là chiều cao khi đó
53AB CD==
suy ra
30
23
53
AD BC= = =
.
Gọi
H
là trung điểm của
AD
ta có
1OH =
suy ra
( )
2
2
2
23
12
44
AD
R OH= + = + =
.
Trang 41
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là
2 2 .2.5 3 20 3
xq
S Rh
= = =
.
Câu 39. Cho phương trình
( )
2
9 3 3
log log 3 1 logx x m− − = −
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của
m
để phương trình đã cho có nghiệm
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D. Vô số.
Lời giải
Đáp án A
Điều kiện:
1
3
x
Phương trình tương đương với:
( ) ( )
3 3 3 3 3
3 1 3 1
log log 3 1 log log log
xx
x x m m m f x
xx
−−
− − = − = = =
Xét
( )
3 1 1
;;
3
x
f x x
x
−

= +


;
( )
2
11
0; ;
3
f x x
x

= +


Bảng biến thiên
Để phương trình có nghiệm thì
( )
0;3m
, suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn
Câu 40. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBD
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
7
a
. C.
2
2
a
. D.
21
28
a
.
Lời giải
Đáp án B
Gọi
H
là trung điểm
AB
. Suy ra
( )
SH ABCD⊥
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
1
, 2 ,
2
,
d H SBD
BH
d A SBD d H SBD
BA
d A SBD
= = =
.
Gọi
I
là trung điểm
OB
, suy ra
||HI OA
(với
O
là tâm của đáy hình vuông).
Trang 42
Suy ra
12
24
a
HI OA==
. Lại có
( )
BD HI
BD SHI
BD SH
⊥
⊥
⊥
.
Vẽ
( )
HK SI HK SBD⊥ ⊥
. Ta có
2 2 2
1 1 1 21
14
a
HK
HK SH HI
= + =
.
Suy ra
( )
( )
( )
( )
21
, 2 , 2
7
a
d A SBD d H SBD HK= = =
.
Câu 41. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên . Biết
( )
41f =
và
( )
1
0
41dxxf x =
, khi đó
( )
4
2
0
dxxxf
bằng
A.
31
2
. B.
16−
. C.
8
. D.
14
.
Lời giải
Đáp án B
Đặt
4tx=
ddt 4 x=
Khi đó:
( )
( )
14
00
.
4 dt 1
16
dx
t f t
xf x ==

( )
4
0
16dx xfx=
Xét:
( )
4
2
0
dxx f x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4
4
22
0
0 0 0
2 . 16. 4 2 . 16 2.16d d d 16xxx f x x f x x f x f x f x x
= − = − = − = −
Câu 42. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;4; 3A −
. Xét đường thẳng
d
thay đổi, song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ
A
đến
d
nhỏ nhất,
d
đi qua điểm
nào dưới đây?
A.
( )
3;0; 3P −−
. B.
( )
0; 3; 5M −−
. C.
( )
0;3; 5N −
. D.
( )
0;5; 3Q −
.
Lời giải
Đáp án C
Ta có mô hình minh họa cho bài toán sau:
Trang 43
Ta có
( ) ( ) ( )
min
; ; ; 1d A d d A Oz d d Oz= − =
.
Khi đó đường thẳng
d
đi qua điểm cố định
( )
0;3;0
và do
( )
/ / 0;0;1
d
d Oz u k = =
làm vectơ
chỉ phương của
d
0
3
x
dy
zt
=
=
=
. Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp án C.
( )
0;3; 5N −
.
Câu 43. Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình
( )
3
4
3
3
f x x−=
là
A.
3
. B.
8
. C.
7
. D.
4
.
Lời giải
Đáp án B
Xét phương trình:
( )
3
4
3
3
f x x−=
( )
1
.
Đặt
3
3t x x=−
, ta có:
2
33tx
=−
;
01tx
= =
.
Bảng biến thiên:
Phương trình
( )
1
trở thành
( )
4
3
ft=
với
t
.
Trang 44
Từ đồ thị hàm số
( )
y f x=
ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số
( )
y f t=
như sau:
Suy ra phương trình
( )
4
3
ft=
có các nghiệm
1 2 3 4
22t t t t −
.
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:
+)
3
1
3x x t−=
có 1 nghiệm
1
x
.
+)
3
4
3x x t−=
có 1 nghiệm
2
x
.
+)
3
2
3x x t−=
có 3 nghiệm
335
,,xxx
.
+)
3
3
3x x t−=
có 3 nghiệm
6 7 8
,,x x x
.
Vậy phương trình
( )
3
4
3
3
f x x−=
có 8 nghiệm.
Câu 44. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2z =
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn của
các số phức
4
w
1
iz
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
34.
B.
26.
C.
34.
D.
26.
Lời giải
Đáp án A
Ta có
( )
4
w(1 ) 4 w 4 w
1
iz
w z iz z i
z
+
= + = + − = −
+
2 w 4 wi − = −
Đặt
( )
w,x yi x y= +
Ta có
( ) ( )
22
22
2. 1 4x y x y+ − = − +
( )
2 2 2 2
2 2 1 8 16x y y x x y + − + = − + +
( ) ( )
22
22
8 4 14 0 4 2 34x y x y x y + + − − = + + − =
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức
w
là đường tròn có bán kính bằng
34
Câu 45. Cho đường thẳng
yx=
và Parabol
2
1
2
y x a=+
(
a
là tham số thực dương). Gọi
1
S
và
2
S
lần
lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
12
SS=
thì
a
thuộc
khoảng nào sau đây?
Trang 45
A.
31
;
72



. B.
1
0;
3



. C.
12
;
35



. D.
23
;
57



Lời giải
Đáp án C
Xét phương trình tương giao:
2
1
2
x a x+=
2
2 2 0x x a − + =
1
1
1 1 2
1 1 2
xa
xa
= − −
= + −
, với điều kiện
1
2
a
.
Đặt
( )
1 2 , 0t a t= −
2
1
2
t
a
−
=
.
Xét
( )
2
g x x x a= − +
và
( ) ( )
g x dx G x C=+
.
Theo giả thiết ta có
( ) ( ) ( )
1
11
0
0
x
S g x dx G x G= = −
.
( ) ( ) ( )
2
1
2 1 2
x
x
S g x dx G x G x= − = −
.
Do
12
SS=
( ) ( )
2
0G x G=
32
2 2 2
11
0
62
x x ax − + =
2
22
3 6 0x x a − + =
( ) ( )
2
2
1
1 3 1 6 0
2
t
tt

−
+ − + + =


2
2 1 0tt− − + =
1
2
t=
và
1t =−
(loại).
Khi
13
28
ta= =
.
Câu 46. Cho hàm số
( )
fx
, bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
như sau
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
2y f x x=−
là
A.
9
. B.
3
. C.
7
. D.
5
.
Lời giải
Đáp án C
Cách 1
Trang 46
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
( )
0fx
=
có các nghiệm tương ứng
là
( )
( )
( )
( )
, ; 1
, 1;0
,c 0;1
, 1;
x a a
x b b
xc
x d d
= − −
= −
=
= +
.
Xét hàm số
( )
( )
( )
22
2 2 1 2y f x x y x f x x

= − = − −
.
Giải phương trình
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
22
2
2
2
1
2 1
10
0 2 1 2 0 2 2
20
2 3
2 4
x
x x a
x
y x f x x x x b
f x x
x x c
x x d
=
−=
−=

= − − = − =
−=
−=
−=
.
Xét hàm số
( )
2
2h x x x=−
ta có
( ) ( )
2
2
2 1 1 1,h x x x x x= − = − + − −
do đó
Phương trình
( )
2
2 , 1x x a a− = −
vô nghiệm.
Phương trình
( )
2
2 , 1 0x x b b− = −
có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
không trùng với nghiệm
của phương trình
( )
1
.
Phương trình
( )
2
2 , 0 1x x c c− =
có hai nghiệm phân biệt
34
;xx
không trùng với nghiệm
của phương trình
( )
1
và phương trình
( )
2
.
Phương trình
( )
2
2 , 1x x d d− =
có hai nghiệm phân biệt
56
;xx
không trùng với nghiệm của
phương trình
( )
1
và phương trình
( )
2
và phương trình
( )
3
.
Vậy phương trình
0
=y
có
7
nghiệm phân biệt nên hàm số
( )
2
2y f x x=−
có
7
điểm cực
trị.
Cách 2
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
( )
0fx
=
có các nghiệm tương ứng
là
( )
( )
( )
( )
, ; 1
, 1;0
,c 0;1
, 1;
x a a
x b b
xc
x d d
= − −
= −
=
= +
Xét hàm số
( )
( )
( )
22
2 2 1 2y f x x y x f x x

= − = − −
.
Trang 47
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
22
2
2
2
1
2 1
10
0 2 1 2 0 2 2
20
2 3
2 4
x
x x a
x
y x f x x x x b
f x x
x x c
x x d
=
−=
−=

= − − = − =
−=
−=
−=
.
Vẽ đồ thị hàm số
( )
2
2h x x x=−
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình
( )
1
vô nghiệm. Các phương trình
( ) ( ) ( )
2 ; 3 ; 4
mỗi
phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.
Vậy phương trình
0
=y
có
7
nghiệm phân biệt nên hàm số
( )
2
2y f x x=−
có
7
điểm cực
trị.
Câu 47. Cho lăng trụ
' ' 'ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là tam giác đều cạnh bằng
6
. Gọi
,MN
và
P
lần lượt là tâm của các mặt bên
''ABB A
,
''ACC A
và
''BCC B
. Thể tích của khối
đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,A B C M N P
bằng:
A.
27 3
. B.
21 3
. C.
30 3
. D.
36 3
.
Lời giải
Đáp án A
Gọi
1 1 1
,,A B C
lần lượt là trung điểm của các cạnh
', ', 'AA BB CC
.
Khối lăng trụ
1 1 1
.ABC A BC
có chiều cao là
4
là tam giác đều cạnh
6
.
Ba khối chóp
1
.A A MN
,
1
BB MP
,
1
CC NP
đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh
3
Ta có:
( )
1 1 1 1 1 1
. . . . .ABC MNP ABC A B C A A MN B B MP C C NP
V V V V V= − + +
2
6 3 1 9 3
4 3 4 27 3
4 3 4
= − =
Câu 48. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
( )
2
22
: 2 3S x y z+ + + =
. Có tất cả bao nhiêu điểm
( )
;;A a b c
(
,,abc
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến
của
( )
S
đi qua
A
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A.
12
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Trang 48
Lời giải
Đáp án A
Do
( )
;;A a b c
thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
nên
( )
; ;0A a b
.
Nhận xét: Nếu từ
A
kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi
2 2 2 2
2 3 2 6 1 4R IA R a b a b£ £ Û £ + + £ Û £ + £
.
Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong
mặt phẳng
( )
Oxy
, tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm
( )
0;0;0O
bán kính lần lượt là
1
và
2
.
Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49. Cho hai hàm số
3 2 1
2 1 1
x x x x
y
x x x x
− − −
= + + +
− − +
và
2y x x m= + − +
(
m
là tham số thực) có đồ
thị lần lượt là
( )
1
C
và
( )
2
C
. Tập hợp tất cả các giá trị của
m
để
( )
1
C
và
( )
2
C
cắt nhau tại
4
điểm phân biệt là
A.
(
;2−
. B.
)
2;+
. C.
( )
;2−
. D.
( )
2;+
.
Lời giải
Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
:
3 2 1
2
2 1 1
x x x x
x x m
x x x x
− − −
+ + + = + − +
− − +
3 2 1
20
2 1 1
x x x x
x x m
x x x x
− − −
+ + + − + + − =
− − +
(1).
Đặt
( )
3 2 1
2
2 1 1
x x x x
f x x x m
x x x x
− − −
= + + + − + + −
− − +
.
Tập xác định
\ 1;0;1;2D =−
.
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 2
1
2
2 1 1
x
fx
x
x
x x x
+
= + + + − +
+
− − +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
1 1 1 1
2
2 1 1
xx
x
x
x x x
+ − +
= + + + +
+
− − +
( )
0, , 2f x x D x
−
.
Bảng biến thiên
Trang 49
Yêu cầu bài toán
(1) có 4 nghiệm phân biệt
2 0 2mm −
.
Câu 50. Cho phương trình
( )
2
22
4log log 5 7 0
x
x x m+ − − =
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu
giá trị nguyên dương của
m
để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A.
49
. B.
47
. C. Vô số. D.
48
.
Lời giải
Đáp án B
Điều kiện:
7
0
log
x
xm
Với
1m =
, phương trình trở thành
( )
2
22
4log log 5 7 1 0
x
xx+ − − =
2
2
22
2
log 1
4log log 5 0
5
log
4
7 1 0
0 ( )
x
x
xx
x
x loai
=
+ − =
= −
−=
=
.
Phương trình này có hai nghiệm (thỏa)
Với
2m
, điều kiện phương trình là
7
logxm
Pt
2
2
5
22
4
2
2
log 1
4log log 5 0
5
log 2
4
70
7
7
x
x
x
x
x
xx
xx
m
m
m
−
=
=
+ − =
= − =
−=
=
=
Do
5
4
2 2,26x
−
=
không là số nguyên, nên phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi
2
3
7
m
m
(nghiệm
5
4
2x
−
=
không thỏa điều kiện và nghiệm
2x =
thỏa điều kiện và khác
7
log m
)
Vậy
3;4;5;...;48m
. Suy ra có
46
giá trị của
m
.
Do đó có tất cả
47
giá trị của
m
| 1/49
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021
TRÚC ĐỀ THAM KHẢO Bài thi: TOÁN ĐỀ 15
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: ……………………………………………………. Câu 1:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên ? A. 3 2
y = x − 3x +1 . B. 3 2
y = −x + 3x +1. C. 4 2
y = −x + 2x +1. D. 4 2
y = x − 2x +1 . − Câu 2:
Nghiệm của phương trình x 1 3 = 9 là A. x = 2 − . B. x = 3 . C. x = 2 . D. x = 3 − . Câu 3:
Cho hàm f (x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. −5 . C. 0 . D. 2 . Câu 4:
Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (− ;  − ) 1 . B. (0 ) ;1 . C. ( 1 − ; ) 1 . D. ( 1 − ;0) Câu 5:
Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3;4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng A. 10 . B. 20 . C. 12 . D. 60 . Câu 6:
Số phức liên hợp của số phức z = 3 − + 5i là A. z = 3 − −5i .
B. z = 3 + 5i . C. z = 3 − + 5i .
D. z = 3 − 5i . Câu 7:
Cho hình trụ có bán kính đáy r = 8 và độ dài đường sinh l = 3 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24 . B. 192 . C. 48 . D. 64 . Câu 8:
Cho khối cầu có bán kính r = 4. Thể tích của khối cầu đã cho bằng Trang 1 256 64 A. . B. 64 . C. . D. 256 . 3 3 Câu 9:
Với a,b là các số thực dương tùy ý và a 1, log b bằng 5 a 1 1 A. 5log b . B. + log b . C. 5 + log b . D. log b . a 5 a a 5 a
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) x + y + ( z + )2 2 2 : 2
= 9 . Bán kính của (S ) bằng A. 6 . B. 18 . C. 9 . D. 3 . x +
Câu 11: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4 1 y = là x −1 1 A. y = . B. y = 4 . C. y =1. D. y = 1 − . 4
Câu 12: Cho khối nón có bán kính đáy r = 5 và chiều cao h = 2 . Thể tích khối nón đã cho bằng 10 50 A. . B. 10 . C. . D. 50 . 3 3
Câu 13: Nghiệm của phương trình log x −1 = 2 là 3 ( ) A. x = 8 . B. x = 9 . C. x = 7 . D. x = 10 . Câu 14: 2 x dx  bằng 1
A. 2x + C . B. 3 x + C . C. 3 x + C . D. 3 3x + C 3
Câu 15: Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc ? A. 36 . B. 720 . C. 6 . D. 1.
Câu 16: Cho hàm số bậc ba y = f ( )
x có đồ thị là đường cong trong hình
bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( ) x = 1 − là A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 .
Câu 17: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3;2; )
1 trên trục Ox có tọa độ là A. (0; 2 ) ;1 . B. (3;0;0). C. (0;0 ) ;1 . D. (0;2;0) .
Câu 18: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 2 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 12 . x − 3 y − 4 z +1
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = 2 5 −
. Vectơ nào dưới đây là một 3
vectơ chỉ phương của d ? A. u = 2; 4; 1 − . B. u = 2; 5 − ;3 . C. u = 2;5;3 . D. u = 3; 4;1 . 4 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( )
Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0) , B(0;1;0) và C (0;0; 2
− ) . Mặt phẳng ( ABC) có phương trình là Trang 2 x y z x y z x y z x y z A. + + =1. B. + + =1. C. + + =1. D. + + =1. 3 1 − 2 3 1 2 − 3 1 2 3 − 1 2
Câu 21: Cho cấp số nhân (u với u = 3 và công bội q = 2 . Giá trị của u bằng n ) 1 2 3 A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. . 2
Câu 22: Cho hai số phức z = 3 − 2i và z = 2 + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 5 + i . B. 5 − + i . C. 5 − i . D. 5 − − i . 3 3 Câu 23: Biết
f (x)dx = 3 
. Giá trị của 2 f (x)dx  bằng 1 1 3 A. 5 . B. 9 . C. 6 . D. . 2
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( 3 − ; )
1 là điểm biểu diễn số phức z. Phần thực của z bằng A. 1. B. −3 . C. 1 − . D. 3 .
Câu 25: Tập xác định của hàm số y = log x là 5 A. 0;+ ) . B. (−;0) . C. (0;+ ) . D. (−;+ ).
Câu 26: Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x và đồ thị hàm số 2
y = 3x + 3x là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . S
Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = , a BC = 2 ;
a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 15a
(tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45. B. 30 . C A C. 60 . D. 90 . B 2 Câu 28: Biết 2
F (x) = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên
. Giá trị của 2+ f (x)dx bằng 1 13 7 A. 5 . B. 3 . C. . D. . 3 3
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x − 4 và y = 2x − 4 bằng 4 4 A. 36 . B. . C. . D. 36 . 3 3 x −1 y + 2 z − 3
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (2;− 2; ) = = . Mặt
3 và đường thẳng d : 3 2 1 −
phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
A. 3x + 2y − z +1 = 0 .
B. 2x − 2y + 3z −17 = 0 .
C. 3x + 2y − z −1 = 0 .
D. 2x − 2y + 3z +17 = 0 .
Câu 31: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 6z +13 = 0 . Trên mặt phẳng 0
tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1− z là 0 Trang 3 A. N ( 2 − ;2) . B. M (4;2).
C. P (4;− 2) . D. Q(2;− 2) .
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0; )
1 , B(1;1;0) và C (3;4; − ) 1 . Đường thẳng đi
qua A và song song với BC có phương trình là x −1 y z −1 x +1 y z +1 x −1 y z −1 x +1 y z +1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 4 5 1 − 2 3 1 − 2 3 1 − 4 5 1 −
Câu 33: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f (  ) x như sau:
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . −
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 13 3  27 là A. (4;+ ) . B. ( 4 − ;4). C. (−;4) . D. (0; 4) .
Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 16 3 8 3 A. 8 . B. . C. . D. 16 . 3 3
Câu 36: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
f (x) = x − 24x trên đoạn 2;1  9 bằng A. 32 2 . B. 40 − . C. 3 − 2 2 . D. 45 − . Câu 1:
Cho hai số phức z = 1+ 2i và w = 3 + i . Môđun của số phức . z w bằng A. 5 2 . B. 26 . C. 26 . D. 50 . log ( 2 a b 2 ) Câu 2:
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3 4
= 3a . Giá trị của 2 ab bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 2 . x Câu 3:
Cho hàm số f ( x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g (x) = (x + )
1 . f ( x) là 2 x + 2 2 x + 2x − 2 x − 2 2 x + x + 2 x + 2 A. + C . B. + C . C. + C . D. + C . 2 2 x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 2 x + 2 x +
Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 y =
đồng biến trên khoảng x + m (−;−7) là A. 4;7) . B. (4;7 . C. (4;7) . D. (4;+ ) .
Câu 41: Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 600 ha . Giả sử diện tích rừng trồng
mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền
trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng
mới trong năm đó đạt trên 1000 ha ? A. Năm 2028. B. Năm 2047. C. Năm 2027. D. Năm 2046.
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc
giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng Trang 4 2 172 a 2 76 a 2 172 a A. . B. . C. 2 84a . D. 3 3 9
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có tất cả các cạnh bằng a .
Gọi M là trung điểm của CC (tham khảo hình bên). Khoảng cách
từ M đến mặt phẳng ( A BC) bằng 21a 2a A. . B. . 14 2 21a 2a C. . D. . 7 4
Câu 44: Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g (x) = x f (x + ) 2 4 1    là A. 11. B. 9 . C. 7 . D. 5 . Câu 45: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d ( , a , b ,
c d Î ¡ ) có đồ thị là
đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số
a , b , c , d ? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 46: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập 1,2,3,4,5,6,7,8, 
9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số
liên tiếp nào cùng chẵn bằng 25 5 65 55 A. . B. . C. . D. . 42 21 126 126
Câu 47: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy.
Gọi M , N , P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB ,
SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O . Thể tích của khối chóp S '.MNPQ bằng 3 20 14a 3 40 14a 3 10 14a 3 2 14a A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9 + −
Câu 48: Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x y 1 2x + . y 4
 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = x + y + 4x + 6 y bằng 33 65 49 57 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 8 Trang 5
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn log ( 2
x + y  log (x + y) ? 4 ) 3 A. 59 . B. 58 . C. 116 . D. 115 .
Câu 50: Cho hàm số bậc ba y = f ( )
x có đồ thị là đường
cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt
của phương trình f ( 3
x f (x)) + 1 = 0 là A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Trang 6 BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C B B D D A C A D D B C D B B A B C B B C C C B C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A C A B A C C C B A C A A B B A A A B C A A B C C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3 2
y = x − 3x +1 . B. 3 2
y = −x + 3x +1. C. 4 2
y = −x + 2x +1. D. 4 2
y = x − 2x +1 . Lời giải Chọn C .
Từ hình có đây là hình dạng của đồ thị hàm bậc 4.
lim f ( x) = lim f ( x) = −  a  0 x→− x→+ − Câu 2:
Nghiệm của phương trình x 1 3 = 9 là: A. x = 2 − . B. x = 3 . C. x = 2 . D. x = 3 − . Lời giải Chọn B . x 1
3 − = 9  x −1 = log 9  x −1 = 2  x = 3 3 Câu 3:
Cho hàm f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. −5 . C. 0 . D. 2 . Lời giải Trang 7 Chọn B .
Từ BBT ta có hàm số đạt giá trị cực tiểu f (3) = 5 − tại x = 3 Câu 4:
Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (− ;  − ) 1 . B. (0 ) ;1 . C. ( 1 − ; ) 1 . D. ( 1 − ;0) Lời giải Chọn D.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 1 − ;0) và (1;+) Câu 5:
Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3;4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng? A. 10 . B. 20 . C. 12 . D. 60 . Lời giải Chọn D.
Thể tích của khối hộp đã cho bằng V = 3.4.5 = 60 Câu 6:
Số phức liên hợp của số phức z = 3 − + 5i là: A. z = 3 − −5i .
B. z = 3 + 5i . C. z = 3 − + 5i .
D. z = 3 − 5i . Lời giải Chọn A . Câu 7:
Cho hình trụ có bán kính đáy R = 8 và độ dài đường sinh l = 3 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng: A. 24 . B. 192 . C. 48 . D. 64 . Lời giải Chọn C.
Diện tích xung quanh của hình trụ S = 2 rl = 48 xq Câu 8:
Cho khối cầu có bán kính r = 4. Thể tích của khối cầu đã cho bằng: 256 64 A. . B. 64 . C. . D. 256 . 3 3 Lời giải Chọn A. 4 256
Thể tích của khối cầu 3 V = r = 3 3 Câu 9:
Với a,b là các số thực dương tùy ý và a 1, log b bằng: 5 a 1 1 A. 5log b . B. + log b . C. 5 + log b . D. log b . a 5 a a 5 a Lời giải Trang 8 Chọn D.
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + y + ( z + )2 2 2 : 2
= 9 . Bán kính của (S ) bằng A. 6 . B. 18 . C. 9 . D. 3 . Lời giải Chọn D. x +
Câu 11: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4 1 y = là x −1 1 A. y = . B. y = 4 . C. y =1. D. y = 1 − . 4 Lời giải Chọn B. Tiệm cận ngang 4 lim y = lim y = = 4 x→+ x→− 1
Câu 12: Cho khối nón có bán kính đáy r = 5 và chiều cao h = 2 . Thể tích khối nón đã cho bằng: 10 50 A. . B. 10 . C. . D. 50 . 3 3 Lời giải Chọn C. 1 50 Thể tích khối nón 2 V =  r h = 3 3
Câu 13: Nghiệm của phương trình log x −1 = 2 là 3 ( ) A. x = 8 . B. x = 9 . C. x = 7 . D. x = 10 . Lời giải Chọn D. TXĐ: D = (1;+) log ( x − ) 2
1 = 2  x −1 = 3  x = 10 3 Câu 14: 2 x dx  bằng 1
A. 2x + C . B. 3 x + C . C. 3 x + C . D. 3 3x + C 3 Lời giải Chọn B.
Câu 15: Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc? A. 36 . B. 720 . C. 6 . D. 1. Lời giải Chọn B.
Có 6! = 720 cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc
Câu 16: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của
phương trình f (x) = 1 − là: Trang 9 A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn A.
Số nghiệm thực của phương trình f (x) = 1
− chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ( x) và đường thẳng y = 1 − .
Từ hình vẽ suy ra 3 nghiệm.
Câu 17: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(3;2; )
1 trên trục Ox có tọa độ là: A. (0; 2 ) ;1 . B. (3;0;0). C. (0;0 ) ;1 . D. (0;2;0) . Lời giải Chọn B .
Câu 18: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 2 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 12 . Lời giải Chọn C. 1
Thể tích của khối chóp V = Bh = 4 3 x − 3 y − 4 z +1
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Vecto nào dưới đây là một 2 5 − 3
vecto chỉ phương của d ? A. u 2; 4; 1 − . B. u 2; 5 − ;3 . C. u 2;5;3 . D. u 3; 4;1 . 4 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) Lời giải Chọn B. Trang 10
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(3;0;0) , B(0;1;0) và C (0;0; 2
− ) . Mặt phẳng ( ABC) có phương trình là: x y z x y z A. + + =1. B. + + =1. 3 1 − 2 3 1 2 − x y z x y z C. + + =1. D. + + =1. 3 1 2 3 − 1 2 Lời giải Chọn B. x y z x y z
( ABC) : + + = 1 hay ( ABC) : + + =1 . a b c 3 1 2 −
Câu 21: Cho cấp số nhân (u với u = 3 và công bội q = 2 . Giá trị của u bằng n ) 1 2 3 A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. . 2 Lời giải Chọn C
Ta có: u = u .q = 3.2 = 6 . 2 1
Câu 22: Cho hai số phức z = 3 − 2i và z = 2 + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 5 + i . B. 5 − + i . C. 5 − i . D. 5 − − i . Lời giải Chọn C
Ta có: z + z = 3 − 2i + 2 + i = 5 − i . 1 2 3 3 Câu 23: Biết f
 (x)dx = 3. Giá trị của 2 f (x)dx  bằng 1 1 3 A. 5 . B. 9 . C. 6 . D. . 2 Lời giải Chọn C 3 3 Ta có: 2 f
 (x)dx = 2 f
 (x)dx = 2.3 = 6. 1 1
Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( 3 − ; )
1 là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng A. 1. B. −3 . C. 1 − . D. 3 . Lời giải Chọn B Điểm M ( 3 − ; )
1 là điểm biểu diễn số phức z , suy ra z = 3 − + i .
Vậy phần thực của z bằng −3 .
Câu 25: Tập xác định của hàm số y = log x là 5 A. 0;+ ) . B. (−;0) . C. (0;+ ) . D. (−;+ ). Lời giải Chọn C
Điều kiện: x  0 . Trang 11
Tập xác định: D = (0;+ ).
Câu 26: Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x và đồ thị hàm số 2
y = 3x + 3x là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: x = 0  3 2 2 3
x + 3x = 3x + 3x x − 3x = 0  x ( 2
x − 3) = 0  x = 3  . x = − 3 
Hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm.
Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC = 2a , SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA = 15a (tham khảo hình bên). S C A B
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45. B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C
Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng đáy. Từ đó suy ra: · (SC (ABC)) · = (SC AC) · ; ; = SCA .
Trong tam giác ABC vuông tại B có: 2 2 2 2 AC =
AB + BC = a + 4a = 5a . · SA 15a ·
Trong tam giác SAC vuông tại A có: tan SCA = = = 3 Þ SCA = 60° . AC 5a Vậy ·
(SC;(ABC))= 60°. 2 Câu 28: Biết ( ) 2
F x = x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên
. Giá trị của 2 + f  (x)dx  bằng 1 13 7 A. 5 . B. 3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: 2 + f  (x)dx =  ( 2
2x + x ) = 8 − 3 = 5 1 1 Trang 12
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x − 4 và y = 2x − 4 bằng 4 4 A. 36 . B. . C. . D. 36 . 3 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: x = 0 2 2
x − 4 = 2x − 4  x − 2x = 0   . x = 2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là: 2 =  (  x S x − 4) 2 2
− (2x − 4) dx = x − 2x dx =  (2x− x ) 3 2 4 2 2 2 2 dx =  x −  = .  3 0  3 0 0 0 x −1 y + 2 z − 3
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2;− 2; )
3 và đường thẳng d : = = . Mặt 3 2 1 −
phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
A. 3x + 2y − z +1 = 0 .
B. 2x − 2y + 3z −17 = 0 .
C. 3x + 2y − z −1 = 0 .
D. 2x − 2y + 3z +17 = 0 . Lời giải Chọn A
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d .
Ta có: n = u = (3;2;− )
1 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) . P d
Phương trình mặt phẳng (P) là: 3(x − 2) + 2( y + 2) − ( 1 z − )
3 = 0  3x + 2y − z +1 = 0 .
Câu 31: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 6z +13 = 0 . Trên mặt phẳng 0
tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1− z là 0 A. N ( 2 − ;2) . B. M (4;2).
C. P (4;− 2) . D. Q(2;− 2) . Lời giải Chọn C z = 3 − + 2i Ta có: 2
z + 6z +13 = 0   . z = 3 − − 2i
Do z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên z = 3 − + 2i . 0 0
Từ đó suy ra điểm biểu diễn số phức 1− z = 4 − 2i là điểm P(4;− 2) . 0
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;0; )
1 , B(1;1;0) và C (3;4; − ) 1 . Đường thẳng đi
qua A và song song với BC có phương trình là x −1 y z −1 x +1 y z +1 x −1 y z −1 x +1 y z +1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 4 5 1 − 2 3 1 − 2 3 1 − 4 5 1 − Lời giải Chọn C
Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận BC = (2;3;− ) 1 làm một véc tơ chỉ phương. − −
Phương trình của đường thẳng x 1 y z 1 d : = = . 2 3 1 − Trang 13
Câu 33: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f ( x) như sau:
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Do hàm số f (x) liên tục trên ¡ , f (− ) 1 = 0 , f ( )
1 không xác định nhưng do hàm số liên tục trên ¡ nên tồn tại f ( ) 1
và f ( x) đổi dấu từ "+ " sang "−" khi đi qua các điểm x = 1
− , x =1 nên hàm số đã cho đạt
cực đại tại 2 điểm này.
Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2. −
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 13 3  27 là A. (4;+ ) . B. ( 4 − ;4). C. (−;4) . D. (0; 4) . Lời giải Chọn B 2 2 Ta có: x 1 − 3 x 1 − 3 3 2 2 3  27  3
 3  x −13  3  x 16  x  4  4 −  x  4 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 4 − ;4).
Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 16 3 8 3 A. 8 . B. . C. . D. 16 . 3 3 Lời giải Chọn A S 60° A B
Gọi S là đỉnh của hình nón và AB là một đường kính của đáy.
Theo bài ra, ta có tam giác SAB là tam giác đều  l = SA = AB = 2r = 4 .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là S =  rl = 8 . xq
Câu 36: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x − 24x trên đoạn 2;1  9 bằng A. 32 2 . B. 40 − . C. 3 − 2 2 . D. 45 − . Trang 14 Lời giải Chọn C.
x = 2 2 2;19 Ta có f ( x) 2 = 3x − 24 = 0   x = −    . 2 2 2;19 f ( ) 3 2 = 2 − 24.2 = 4 − 0 ; f ( )=( )3 2 2 2 2 − 24.2 2 = 3 − 2 2 ; f ( ) 3
19 =19 − 24.19 = 6403 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x − 24x trên đoạn 2;1  9 bằng 3 − 2 2 .
Câu 37: Cho hai số phức z = 1+ 2i và w = 3 + i . Môđun của số phức .w z bằng A. 5 2 . B. 26 . C. 26 . D. 50 . Lời giải Chọn A. Ta có 2 2 .
z w = z . w = z . w = 1+ 2 . 3 +1 = 5 2. log ( 2 a b 2 )
Câu 38: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3 4
= 3a . Giá trị của 2 ab bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 2 . Lời giải Chọn A. log ( 2 2 a b) log 3  ( 2ab 2  2 2 ) Ta có 3 = a    = a  ( 2 a b) 3 4 2 3 2 4 3 2 3
= 3a a b = 3a ab = 3.   x
Câu 39: Cho hàm số f ( x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g (x) = (x + )
1 . f ( x) là 2 x + 2 2 x + 2x − 2 x − 2 2 x + x + 2 x + 2 A. + C . B. + C . C. + C . D. + C . 2 2 x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 2 x + 2 Lời giải Chọn B. 2 x + x
Tính g ( x) = (x + )
1 f ( x) dx = ( x + )
1 f ( x) − (x + )
1 f ( x) dx = − f  (x)dx 2 x + 2 2 x + x x 2 + − = − x x x 2 dx  2 = − x + 2 + C = + C. 2 2 x + 2 x + 2 2 2 x + 2 x + 2 x +
Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 y =
đồng biến trên khoảng x + m (−;−7) là A. 4;7) . B. (4;7 . C. (4;7) . D. (4;+ ) . Lời giải Chọn B
Tập xác định: D = ¡ \ {- } m . m − 4 Ta có: y = ( . x + m)2 Trang 15
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−;− 7)  y  0 , x  (−;−7) m − 4  0       m 4 m 4       4  m  7 . −m   (−;− 7) −m  7 − m  7
Câu 41: Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 600 ha . Giả sử diện tích rừng trồng
mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền
trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng
mới trong năm đó đạt trên 1000 ha ? A. Năm 2028. B. Năm 2047. C. Năm 2027. D. Năm 2046. Lời giải Chọn A.
Diện tích rừng trồng mới của năm 2019 +1 là ( + )1 600 1 6% .
Diện tích rừng trồng mới của năm 2019 + 2 là ( + )2 600 1 6% .
Diện tích rừng trồng mới của năm n
2019 + n là 600 (1+ 6%) . n n 5 5
Ta có 600(1+ 6%) 1000  (1+ 6%)   n  log(  8,76 1+6%) 3 3
Như vậy kể từ năm 2019 thì năm 2028 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng mới đạt trên 1000 ha .
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc
giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 2 172 a 2 76 a 2 172 a A. . B. . C. 2 84a . D. 3 3 9 Lời giải Chọn A.
Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao (ba đường trung tuyến) của tam giác đều a
ABC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là 3 4 3 r = 4 . a = . 3 3 Đường cao 4 . a 3
AH của tam giác đều ABC là AH = = 2 3a . 2 Trang 16
Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60 suy ra SHA = 60 . SA SA Suy ra tan SHA = =
= 3  SA = 6a . AH 2 3a 2  SA  16 129
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp 2 2 2 R = + r = 9a + a = a . mc    2  3 3 2 2   
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp 129 172 a S.ABC là 2 S = 4 R = 4  a  = . mc   3 3  
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CC
(tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A BC) bằng 21a 2a 21a 2a A. . B. . C. . D. . 14 2 7 4 Lời giải Chọn A.
d (M ,( ABC )) C M  1 C M  ( A B
C) = C , suy ra = =
d (C ,( A . BC )) C C  2 2 3 1 1 1 a 3 a 3 Ta có V = =  = =   V    .C . C S . . a . C .A BC ABC.  3 A B C 3 ABC 3 4 12 2 Lại có a 7 A B
 = a 2 , CB = a, A C  = a 2  S = . A BC 4 Trang 17 3 a 3 3. 3V   a 21
Suy ra d (C ( A BC)) C . A BC 12 , = = = . 2 S  a A BC 7 7 4
Vậy d (M ( A BC)) 1
= d (C ( A B
C)) 1 a 21 a 21 , , = . = . 2 2 7 14
Câu 44: Cho hàm số bậc bốn f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g (x) = x f (x + ) 2 4 1    là A. 11. B. 9 . C. 7 . D. 5 . Lời giải Chọn B.
Ta chọn hàm f (x) 4 2
= 5x −10x + 3 . Đạo hàm
g( x) = x f ( x + ) 2 3 4
 + x f (x + ) f (x + ) 3 4 1 2 1 1 = 2x f ( x + ) 1 2 f ( x + ) 1 + xf (x + ) 1      . x = 0 3 2x f (x + ) 1 = 0 
Ta có g( x) = 0  
  f (x + ) = .  f
(x + )+ xf (x + ) 1 0 2 1 1 = 0 2 f  (x + )
1 + xf ( x + ) 1 = 0 x +1  1, 278  +  4 x 1 0, 606 +) f ( x + ) 1 = 0 ( ) *  5( x + ) 1 −10 ( x + ) 1 + 3 = 0   x +1  0 − ,606  x +1  1 − , 278
 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 . t =x 1 +
+) f ( x + ) + xf ( x + ) =  ( 4 2 t −
t + ) + (t − )( 3 2 1 1 0 2 5 10 3
1 20t − 20t ) = 0 t  1,199 t  0,731 4 3 2
 30t −20t −40t + 20t +6 = 0   t  0 − , 218  t  1 − ,045
 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình ( ) * .
Vậy số điểm cực trị của hàm số g (x) là 9 . Câu 45: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d ( , a , b , c d
) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có
bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ? Trang 18 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C.
Ta có lim y = +  a  0 . x→+
Gọi x , x là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra x , x nghiệm phương trình 1 2 1 2 2
y = 3ax + 2bx + c = 0 nên theo định lý Viet: +) Tổng hai nghiệm 2b b x + x = −  0   0  b  0. 1 2 3a a +) Tích hai nghiệm c x x =  0  c  0 . 1 2 3a
Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d  0 .
Vậy có 2 số dương trong các số a , b , c , d .
Câu 46: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập 1,2,3,4,5,6,7,8, 
9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số
liên tiếp nào cùng chẵn bằng 25 5 65 55 A. . B. . C. . D. . 42 21 126 126 Lời giải Chọn A Có 4
A cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ X = 1,2,3,4,5,6,7,8,  9 . 9 4  S = A = 3024. 9   = 3024.
Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
Nhận thấy không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số
chẵn nằm cạnh nhau.
Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ.
Chọn 4 số lẻ từ X và xếp thứ tự có 4 A số. 5
Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn.
Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ X và xếp thứ tự có 3 1 C .C .4! số. 5 4
Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.
Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ X có 2 2 C .C cách. 5 4
Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách.
Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp thứ tự có 3! cách. Trang 19
 trường hợp này có 2 2 C .C .2!.3! số. 5 4  + + A A C .C .4! C .C .2!.3! 25 Vậy P( A) 4 3 1 2 2 5 5 4 5 4 = = = .  3024 42
Câu 47: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy.
Gọi M , N , P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB ,
SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O . Thể tích của khối chóp S '.MNPQ bằng 3 20 14a 3 40 14a 3 10 14a 3 2 14a A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9 Lời giải Chọn A.
Gọi G ,G ,G ,G lần lượt là trọng tâm SA , B SB , C SC , D SDA. 1 2 3 4 , E F, ,
G H lần lượt là trung điểm của các cạnh A , B B , C C , D DA . 2 4 4 1 8a Ta có S = 4S = 4. S = 4. . . EG HF = . MNPQ 1 G 2 G 3 G 4 G 9 EFGH 9 2 9
d (S ,(MNPQ)) = d (S ,( ABCD)) + d (O,(MNPQ))
= d (S,( ABCD)) + 2d (O,(G G G G 1 2 3 4 )) =
d (S ( ABCD)) 2 ,
+ d (S,( ABCD)) 3 5
= d (S ( ABCD)) 5a 14 , = 3 6 2 3 1 5a 14 8a 20a 14 Vậy V =   = . S .  MNPQ 3 6 9 81 Trang 20
Câu 48: Xét các số thực không âm + −
x và y thỏa mãn x y 1 2x + . y 4
 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = x + y + 4x + 6 y bằng 33 65 49 57 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 8 Lời giải Chọn B. Cách 1:
Nhận xét: Giá trị của ,
x y thỏa mãn phương trình x+ y 1 2x y 4 − +  = 3( )
1 sẽ làm cho biểu thức P
nhỏ nhất. Đặt a = x + y , từ ( ) 1 ta được phương trình a− 2 3 1 4 + .a − 2 − = 0 . y y Nhận thấy a− 2 3 1 y = 4
+ .a − 2 − là hàm số đồng biến theo biến a , nên phương trình trên có y y nghiệm duy nhất 3 3 a =  x + y = . 2 2   Ta viết lại biểu thức 65
P = ( x + y)2 + ( x + y) 1 1 65 4 + 2 y − − =   . Vậy P = .  4  8 8 min 8 Cách 2: Với mọi , x y không âm ta có 3 3 x+ y−     + − 3 3 x+ y− x y 1 2 2 2x + . y 4  3  x + . y 4
  x + y − + . y    4 −1  0 (1) 2  2    3    + −  Nếu 3 3 x y x + y −
 0 thì x + y − + . y    4 −1  0 + .y( 0 2 4 − ) 1 = 0 (vô lí) 2  2    Vậy 3 x + y  . 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được
P = x + y + x + y = ( x + )2 + ( y + )2 2 2 4 6 3 2 −13 2 1 2 1  3  65 
(x + y + 5) −13  + 5 −13 =   2 2  2  8  5  3 y = x + y =  Đẳng thức xảy ra khi 4  2   . 1
x + 3 = y + 2 x =  4 Vậy 65 min P = . 8
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn log ( 2
x + y  log (x + y) ? 4 ) 3 A. 59 . B. 58 . C. 116 . D. 115 . Lời giải Chọn C.
Với mọi x ta có 2 x x . Trang 21
Xét hàm số f ( y) = log (x + y) − log ( 2 x + y . 3 4 ) Tập xác định D = (− ; x + )  (do 2
y  −x y  −x ). 1 1 f '( y) = −  x   D (do 2
x + y x + y  0 , ln 4  ln 3 ) (x + y) ln 3 ( 0, 2 x + y)ln 4
f tăng trên D .
Ta có f (−x +1) = log (x − x +1) − log ( 2
x − x + 1  0 . 3 4 )
Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn f ( y)  0
f (−x + 729)  0  log 729 − log ( 2
x − x + 729  0 3 4 ) 2 6
x − x + 729− 4  0  2
x − x − 3367  0  5 − 7,5  x  58,5
Mà x  nên x  5 − 7,−56,...,5  8 . Vậy có 58− ( 5
− 7) +1=116 số nguyên x thỏa.
Câu 50: Cho hàm số bậc ba y = f ( )
x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt
của phương trình f ( 3
x f (x)) + 1 = 0 là A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn C. x = 0  3 f (x) = 0 x f (x) = 0  (   3 ( )) + 1 = 0  ( 3 ( )) 3 = 1 −  ( ) =  0 a f x f x f x f x x f x a   f (x) = (do x  0)  3  x 3
x f (x) = b  0    b f (x) = (do x  0)  3  x • f ( )
x = 0 có một nghiệm dương x = c . Trang 22 • k
Xét phương trình f (x) =
với x  0, k  0 . 3 x Đặt k
g(x) = f (x) − . 3 x 3k g (
x) = f '(x) + . 4 x 3k
Với x c , nhìn hình ta ta thấy f (  ) x  0  g (
x) = f (x) +  0 4 xg( )
x = 0 có tối đa một nghiệm. g(c)  0  Mặt khác  và g( )
x liên tục trên ( ; c +) lim g(x) = + x→+  g( )
x = 0 có duy nhất nghiệm trên ( ; c +) . k
Với 0  x c thì f (x)  0   g( ) x = 0 vô nghiệm. 3 x 3k
Với x  0 , nhìn hình ta ta thấy f (  ) x  0  g (
x) = f (x) +  0 4 xg( )
x = 0 có tối đa một nghiệm.
lim g(x)  0 −  Mặt khác x 0 →  và g( ) x liên tục trên ( ;0 − ).
lim g(x) = − x→−  g( )
x = 0 có duy nhất nghiệm trên ( ;0 − ). Tóm lại g( )
x = 0 có đúng hai nghiệm trên \   0 . a b
Suy ra hai phương trình f (x) = , f (x) =
có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c . 3 x 3 x
Vậy phương trình f ( 3
x f (x)) + 1 = 0 có đúng 6 nghiệm. Trang 23
ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 2021 ĐỀ 2
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z −1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của (P) ? A. n = 1; 2; 1 − .
B. n = 1; 2;3 . C. n = 1;3; 1 − . D. n = 2;3; 1 − . 2 ( ) 1 ( ) 4 ( ) 3 ( )
Câu 2. Với a là số thực dương tùy, 2 log a bằng 5 1 1
A. 2 log a .
B. 2 + log a . C. + log a . D. log a . 5 5 5 2 5 2
Câu 3. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2 − ;0). B. (2;+ ) . C. (0; 2). D. (0;+ ) .
Câu 4. Nghiệm phương trình 2x 1 3 − = 27 là
A. x = 5.
B. x = 1 .
C. x = 2 .
D. x = 4 .
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 3 và u = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. −6 . B. 3 . C. 12 . D. 6 .
Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên A. 3 2
y = x − 3x + 3 . B. 3 2
y = −x + 3x + 3 . C. 4 2
y = x − 2x + 3 . D. 4 2
y = −x + 2x + 3 . x − y − z +
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 2 1 3 d : = =
. Vectơ nào dưới đây là một 1 − 2 1
vectơ chỉ phương của d? uur uur ur ur
A. u = 2;1;1 . . B. u = 1; 2; 3 − .. C. u = 1 − ;2;1 .. D. u = 2;1; 3 − . . 1 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2 ( )
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là 1 4 A. 2 r  . h . B. 2 r  . h . C. 2 r  . h . D. 2 2 r  . h . 3 3
Câu 9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 7 2 . B. 2 A . C. 2 C . D. 2 7 . 7 7
Câu 10. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1;− )
1 trên trục Oz có tọa độ là Trang 24 A. (2;1;0) . B. (0;0; − ) 1 . C. (2;0;0) . D. (0;1;0) . 1 1 1 Câu 11. Biết
f ( x) dx = 2 −  và g
 (x)dx =3, khi đó  f
 (x)− g(x)dx  bằng 0 0 0 A. 5. − . B. 5. . C. 1. − . D. 1. .
Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 A. 3 . Bh . B. . Bh . C. . Bh . D. . Bh . 3 3
Câu 13. Số phức liên hợp của số phức 3 − 4i là A. 3 − − 4i . B. 3 − + 4i .
C. 3 + 4i . D. 4 − + 3i .
Câu 14. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = 2 .
B. x = 1 . C. x = 1 − . D. x = 3 − .
Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 5 là A. 2 x + 5x + . C . B. 2 2x + 5x + . C . C. 2 2x + . C . D. 2 x + . C .
Câu 16. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) −3 = 0 là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), SA = 2a , tam giác ABC
vuông tại B , AB = a 3 và BC = a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng Trang 25 A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 .
Câu 18. Gọi z , z là hai nghiệm phức phương trình 2
z − 6z +10 = 0 . Giá trị 2 2 z + z bằng 1 2 1 2 A. 16. B. 56. C. 20. D. 26. Câu 19. Cho hàm số 2 3 2x x y − = có đạo hàm là 2 2 − 2 2 A. x 3 (2 3).2 . x x − − ln 2 . B. x 3 2 . x ln 2 . C. 3 (2 3).2x x x − − . D. 2 3 1 ( 3 ).2x x x x − − − .
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ −3;3] bằng A. 16 − . B. 20 . C. 0 . D. 4 .
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z + 2x − 2z − 7 = 0 . bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7 . B. 9 . C. 3 . D. 15 .
Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA' = 3a (hình minh
họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng 3 3a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2
Câu 23. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x + )2 ' 2 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 24. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 4
a b =16 . Giá trị của 4 log a + log b bằng 2 2 A. 4 . B. 2 . C. 16 . D. 8 .
Câu 25. Cho hai số phức z = 1− i và z = 1+ 2i . Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 1 2
3z + z có toạ độ là 1 2 (1;4) A. (4;− ) 1 . B. ( 1 − ;4) . C. (4 ) 1 ; . D. .
Câu 26. Nghiệm của phương trình log
x +1 +1 = log 4x +1 là 3 ( ) 3 ( )
A. x = 3. B. x = 3 − .
C. x = 4 .
D. x = 2 .
Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m và 1, 2m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng
tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1,8 . m . B. 1, 4 . m . C. 2, 2 . m . D. 1, 6 . m .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: Trang 26
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4. . B. 1. . C. 3. . D. 2. .
Câu 29. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x), y = 0, x = 1
− và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 4 1 4 A. S = − f
 (x)dx+ f
 (x)dx. B. S = f
 (x)dx − f
 (x)dx . 1 − 1 1 − 1 1 4 1 4 C. S = f
 (x)dx + f
 (x)dx. D. S = − f
 (x)dx− f
 (x)dx . 1 − 1 1 − 1
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3;0) và B(5;1; 2
− ) . Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là
A. 2x − y − z + 5 = 0 .
B. 2x − y − z − 5 = 0 .
C. x + y + 2z − 3 = 0 .
D. 3x + 2y − z −14 = 0. 2x −1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = − + ( trên khoảng ( 1; ) là x + )2 1 A. (x + ) 2 2ln 1 + + C . B. (x + ) 3 2ln 1 + + C . C. (x + ) 2 2ln 1 − + C . D. x +1 x +1 x +1 (x + ) 3 2ln 1 − + C . x +1  4
Câu 32. Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 = 2cos x +1, x   , khi đó f
 (x)dx bằng 0 2  + 4 2  +14 2  +16 + 4 2  +16 +16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(1;2;0) , B(2;0;2) , C (2; −1;3) và D(1;1;3) . Đường
thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng ( ABD) có phương trình là x = 2 − − 4tx = 2 + 4tx = 2 − + 4tx = 4 + 2t     A. y = 2 − − 3t . B. y = 1 − + 3t . C. y = 4 − + 3t .
D. y = 3 − t .     z = 2 − tz = 3 − tz = 2 + tz = 1+ 3t
Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn 3(z + i) − (2 − i) z = 3+10i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 . Trang 27
Câu 35. Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ( x) như sau: x − −3 1 − 1 + f ( x) − 0 + 0 − 0 +
Hàm số y = f (3− 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+ ) . B. ( 2 − ; ) 1 . C. (2;4) . D. (1; 2) .
Câu 36. Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình f (x)  x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x(0;2) khi và chỉ khi
A. m f (2) − 2 .
B. m f (0) .
C. m f (2) − 2 .
D. m f (0) .
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được hai số có tổng là một số chẵn bằng 1 13 12 313 A. . B. . C. . D. . 2 25 25 625
Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 10 3 . B. 5 39 . C. 20 3 . D. 10 39 .
Câu 39. Cho phương trình 2
log x − log 3x −1 = −log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá 9 3 ( ) 3
trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số.
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 14 7 2 28 1
Câu 41. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
. Biết f (4) =1 và xf
 (4x)dx =1, khi đó 0 4 2 x f   (x)dx bằng 0 31 A. . B. 16 − . C. 8 . D. 14 . 2
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;4; 3
− ). Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục
Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P( 3 − ;0;− ) 3 . B. M (0; 3 − ; 5 − ) . C. N (0;3; 5 − ). D. Q (0;5; 3 − ). Trang 28
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. 4
Số nghiệm thực của phương trình f ( 3 x − 3x) = là 3 A. 3 . B. 8 . C. 7 . D. 4 .
Câu 44. Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của + các số phức 4 iz w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 34. . B. 26. . C. 34. . D. 26. . 1
Câu 45. Cho đường thẳng y = x và Parabol 2 y =
x + a ( a là tham số thực dương). Gọi S và S lần 1 2 2
lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S = S thì a thuộc khoảng 1 2 nào sau đây?  3 1   1   1 2   2 3  A. ;   . B. 0;   . C. ;   . D. ;   .  7 2   3   3 5   5 7 
Câu 46. Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 2x) là A. 9 . B. 3 . C. 7 . D. 5 .
Câu 47. Cho lăng trụ ABC A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 . Gọi M , N
và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB' A' , ACC ' A' và BCC ' B '. Thể tích của khối đa diện lồi có
các đỉnh là các điểm , A , B ,
C M, N, P bằng: A. 27 3 . B. 21 3 . C. 30 3 . D. 36 3 . Trang 29
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + y + (z + )2 2 2 : 2
= 3 . Có tất cả bao nhiêu điểm A( ; a ; b c) ( , a ,
b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S )
đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12. B. 8 . C. 16 . D. 4 . x − x − x − x
Câu 49. Cho hai hàm số 3 2 1 y = + + +
và y = x + 2 − x + m ( m là tham số thực) có đồ x − 2 x −1 x x +1
thị lần lượt là (C và (C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C và (C cắt nhau tại 4 điểm 2 ) 1 ) 2 ) 1 ) phân biệt là A. ( ; − 2. B. 2;+) . C. ( ; − 2) . D. (2;+) .
Câu 50. Cho phương trình ( 2 4 log + log −5 7x x x
− m = 0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá 2 2 )
trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt A. 49 . B. 47 . C. Vô số. D. 48 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.B 11.A 12.B 13.C 14.C 15.A 16.C 17.B 18.A 19.A 20.B 21.C 22.A 23.D 24.A 25.A 26.D 27.D 28.D 29.B 30.B 31.B 32.C 33.C 34.C 35.B 36.B 37.C 38.C 39.A 40.B 41.B 42.C 43.B 44.A 45.C 46.C 47.A 48.A 49.B 50.B
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z −1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của (P) ? A. n = 1; 2; 1 − . B. n = 1; 2;3 . C. n = 1;3; 1 − . D. n = 2;3; 1 − . 2 ( ) 1 ( ) 4 ( ) 3 ( ) Lời giải Đáp án B
Từ phương trình mặt phẳng (P): x + 2y +3z −1= 0 ta có vectơ pháp tuyến của (P) là n = 1; 2;3 . 4 ( ) Câu 2.
Với a là số thực dương tùy, 2 log a bằng 5 1 1 A. 2 log a . B. 2 + log a . C. + log a . D. log a . 5 5 5 2 5 2 Lời giải Đáp án A Ta có 2
log a = 2 log a . 5 5 Câu 3.
Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: Trang 30
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2 − ;0). B. (2;+ ) . C. (0; 2). D. (0;+ ) . Lời giải Đáp án C
Ta có f ( x)  0  x
 (0;2)  f (x) nghịch biến trên khoảng (0;2). Câu 4.
Nghiệm phương trình 2x 1 3 − = 27 là A. x = 5. B. x = 1 . C. x = 2 . D. x = 4 . Lời giải Đáp án C Ta có 2x 1 − 2x 1 − 3 3 = 27  3
= 3  2x −1= 3  x = 2 . Câu 5.
Cho cấp số cộng (u với u = 3 và u = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. −6 . B. 3 . C. 12 . D. 6 . Lời giải Đáp án D
Ta có: u = u + d  9 = 3 + d d = 6 2 1 Câu 6.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên A. 3 2
y = x − 3x + 3 . B. 3 2
y = −x + 3x + 3 . C. 4 2
y = x − 2x + 3 . D. 4 2
y = −x + 2x + 3 . Lời giải Đáp án A
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại C và D.
Khi x → − thì y → − nên hệ số a  0 . Vậy chọn A. x − y − z + Câu 7.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 2 1 3 d : = =
. Vectơ nào dưới đây là một 1 − 2 1
vectơ chỉ phương của d? uur uur ur ur A. u = 2;1;1 . B. u = 1; 2; 3 − . C. u = 1 − ;2;1 . D. u = 2;1; 3 − . 1 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2 ( ) Lời giải Đáp án C Câu 8.
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là Trang 31 1 4 A. 2 r  . h B. 2 r  . h C. 2 r  . h D. 2 2 r  . h 3 3 Lời giải Đáp án A Câu 9.
Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 7 2 . B. 2 A . C. 2 C . D. 2 7 . 7 7 Lời giải Đáp án C
Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là 2 C . 7
Câu 10. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1;− )
1 trên trục Oz có tọa độ là A. (2;1;0) . B. (0;0; − ) 1 . C. (2;0;0) . D. (0;1;0) . Lời giải Đáp án B
Hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1;− )
1 trên trục Oz có tọa độ là (0;0; − ) 1 . 1 1 1 Câu 11. Biết
f ( x) dx = 2 −  và g
 (x)dx =3, khi đó  f
 (x)− g(x)dx  bằng 0 0 0 A. 5. − B. 5. C. 1. − D. 1. Lời giải Đáp án A 1 1 1 Ta có  f
 (x)− g(x)dx = f
 (x)dx− g  (x)dx = 2 − − 3 = 5 − . 0 0 0
Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 A. 3 . Bh B. . Bh C. . Bh D. . Bh 3 3 Lời giải Đáp án B
Câu 13. Số phức liên hợp của số phức 3 − 4i là A. 3 − − 4i . B. 3 − + 4i . C. 3 + 4i . D. 4 − + 3i . Lời giải Đáp án C
z = 3 − 4i z = 3 + 4i .
Câu 14. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 2 . B. x = 1 . C. x = 1 − . D. x = 3 − . Trang 32 Lời giải Đáp án C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 − .
Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 5 là A. 2 x + 5x + . C B. 2 2x + 5x + . C C. 2 2x + . C D. 2 x + . C Lời giải Đáp án A
Ta có  f (x)dx = ( x + ) 2 2
5 dx = x + 5x + C.
Câu 16. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) −3 = 0 là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải Đáp án C
Ta có f ( x) − =  f ( x) 3 2 3 0 = . 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f (x) cắt đường thẳng 3 y = tại bốn điểm 2
phân biệt. Do đó phương trình 2 f (x) −3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), SA = 2a , tam giác ABC
vuông tại B , AB = a 3 và BC = a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC) bằng A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Đáp án B Trang 33
Ta thấy hình chiếu vuông góc của SC lên ( ABC)là AC nên (SC,(ABC)) = SCA. SA Mà 2 2 AC =
AB + BC = 2a nên tan SCA = =1 . AC
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC) bằng 45 .
Câu 18. Gọi z , z là hai nghiệm phức phương trình 2
z − 6z +10 = 0 . Giá trị 2 2 z + z bằng 1 2 1 2 A. 16. B. 56. C. 20. D. 26. Lời giải Đáp án A
Theo định lý Vi-ét ta có z + z = 6, z .z = 10 . 1 2 1 2
Suy ra z + z = ( z + z )2 2 2 2
− 2z z = 6 − 20 = 16 . 1 2 1 2 1 2 Câu 19. Cho hàm số 2 3 2x x y − = có đạo hàm là 2 2 − 2 2 A. x 3 (2 3).2 . x x − − ln 2 . B. x 3 2 . x ln 2 . C. 3 (2 3).2x x x − − . D. 2 3 1 ( 3 ).2x x x x − − − . Lời giải Đáp án A
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ −3;3] bằng A. 16 − . B. 20 . C. 0 . D. 4 . Lời giải Đáp án B Ta có: f ( x) 3
= x − x +  f (x) 2 3 2 = 3x −3  x =1 Có: f ( x) 2
= 0  3x − 3 = 0   x = 1 − Mặt khác : f (− ) 3 = 1 − 6, f (− ) 1 = 4, f ( ) 1 = 0, f ( ) 3 = 20.
Vậy max f ( x) = 20 .  3 −  ;3
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z + 2x − 2z − 7 = 0 . bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7 . B. 9 . C. 3 . D. 15 . Lời giải Đáp án C Trang 34 Ta có: S
x + y + z + x − z −
=  (x + )2 + y + (z − )2 =  (x + )2 + y + (z − )2 2 2 2 2 2 2 ( ) : 2 2 7 0 1 1 9 1 1 = 3
Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng R = 3 .
Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA' = 3a (hình minh
họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng 3 3a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Lời giải Đáp án A 2 a 3
Ta có: ABC là tam giác đều cạnh a nên S = . ABC  4 Ta lại có AB .
C A' B 'C ' là khối lăng trụ đứng nên AA' = 3a là đường cao của khối lăng trụ. 2 3
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: a 3 3a V = AA'.S = a 3. = .
ABC.A' B 'C ' ABC 4 4
Câu 23. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x + )2 ' 2 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Đáp án D x =
Xét f ( x) = x ( x + )2 '
2 . Ta có f ( x) =  x ( x + )2 0 ' 0 2 = 0   . x = 2 − Bảng biến thiên
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị.
Câu 24. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 4
a b =16 . Giá trị của 4 log a + log b bằng 2 2 A. 4 . B. 2 . C. 16 . D. 8 . Lời giải Đáp án A Ta có 4 4
4 log a + log b = log a + log b = log a b = log 16 = 4 . 2 2 2 2 2 2 Trang 35
Câu 25. Cho hai số phức z = 1− i và z = 1+ 2i . Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 1 2
3z + z có toạ độ là 1 2 (1;4) A. (4;− ) 1 . B. ( 1 − ;4) . C. (4 ) 1 ; . D. . Lời giải Đáp án A
• 3z + z = 3 1−i + 1+ 2i = 4 −i . 1 2 ( ) ( )
• Vậy số phức z = 3z + z được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy là M (4;− ) 1 . 1 2
Câu 26. Nghiệm của phương trình log
x +1 +1 = log 4x +1 là 3 ( ) 3 ( ) A. x = 3. B. x = 3 − . C. x = 4 . D. x = 2 . Lời giải Đáp án D
• log x +1 +1= log 4x +1 ( ) 1 3 ( ) 3 ( ) • ( )
1  log 3. x +1  = log 4x +1  x + = x +   x = 2. 3  ( ) 3 3 4 1 0 3 ( ) • Vậy ( )
1 có một nghiệm x = 2 .
Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m và 1, 2m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể
tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất
với kết quả nào dưới đây? A. 1,8 . m B. 1, 4 . m C. 2, 2 . m D. 1, 6 . m Lời giải Đáp án D Ta có: 36 2
V =  R h =  h và 2 V =  R h = . h 1 1 2 2 25 Theo đề bài ta lại có: Trang 36 36 61 2
V = V +V = V =  h + h = h =  R . h 1 2 1 25 25 61 2  R =
R =1,56 (V, R lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính) 25
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Đáp án D
Dựa vào bản biến thiên ta có
lim y = +  x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + x→0
lim y = 2  y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→−
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2
Câu 29. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x), y = 0, x = 1
− và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 4 1 4 A. S = − f
 (x)dx+ f  (x)dx. B. S = f
 (x)dx − f  (x)dx . 1 − 1 1 − 1 1 4 1 4 C. S = f
 (x)dx + f  (x)dx. D. S = − f
 (x)dx− f  (x)dx . 1 − 1 1 − 1 Lời giải Đáp án B 4 1 4 1 4 Ta có S = f
 (x) dx = f
 (x) dx + f
 (x) dx = f
 (x)dx − f  (x)dx 1 − 1 − 1 1 − 1
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3;0) và B(5;1; 2
− ) . Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phuowbg trình là
A. 2x − y − z + 5 = 0 .
B. 2x − y − z − 5 = 0 . C. x + y + 2z − 3 = 0 . D. 3x + 2y − z −14 = 0. Lời giải Đáp án B Trang 37
Ta có tọa độ trung điểm I của AB là I (3;2;− ) 1 và AB = (4; 2 − ; 2 − ) .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến n = AB nên có
phương trình là 4(x − )
3 − 2( y − 2) − 2( z + )
1 = 0  2x − y − z − 5 = 0 . 2x −1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = − + ( trên khoảng ( 1; ) là x + )2 1 A. (x + ) 2 2ln 1 + + C . B. (x + ) 3 2ln 1 + + C . x +1 x +1 C. (x + ) 2 2ln 1 − + C . D. (x + ) 3 2ln 1 − + C . x +1 x +1 Lời giải Đáp án B − + − f  (x) 2x 1 2( x ) 1 3 dx dx 3 dx = = = − = + + +  (    . x + ) dx dx 2 3 2 ln x 1 C 2 1 (x + )2 1 x +1 (x + )2 1 x +1 Vì x ( 1 − ;+) nên f
 (x)dx = (x+ ) 3 2ln 1 + + C x +1  4
Câu 32. Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 = 2cos x +1, x   , khi đó f
 (x)dx bằng 0 2  + 4 2  +14 2  +16 + 4 2  +16 +16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Đáp án C 1
Ta có: f ( x) = f   (x)dx = ( 2 2cos x + )
1 dx = (2 + cos2x)dx = 2x + sin 2x + C . 2 Theo bài: f ( ) 1
0 = 4  2.0 + .sin 0 + C = 4  C = 4 . Suy ra f ( x) 1
= 2x + sin 2x + 4. 2 2 Vậy:    4           +  + f  (x) 4 2 2 4 1 cos 2x 1 16 4 2 dx = 2x +
sin 2x + 4 dx = x − + 4x =      +   − − =   .  2   4  16    4  16 0 0 0
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(1;2;0) , B(2;0;2) , C (2; −1;3) và D(1;1;3) .
Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng ( ABD) có phương trình là x = 2 − − 4tx = 2 + 4tx = 2 − + 4tx = 4 + 2t     A. y = 2 − − 3t . B. y = 1 − + 3t . C. y = 4 − + 3t .
D. y = 3 − t .     z = 2 − tz = 3 − tz = 2 + tz = 1+ 3tLời giải Đáp án C
Ta có AB = (1; − 2; 2), AD = (0; −1;3)   A , B AD = ( 4 − ;−3;− ) 1   .
Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng ( ABD) có phương trình là Trang 38x = 2 − + 4t  y = 4 − + 3t . z = 2+t
Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn 3(z + i) −(2 − i) z = 3+10i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Đáp án C
Gọi z = x + yi ( ,
x y  )  z = x − yi .
Ta có 3(z + i) −(2 − i) z = 3+10i  3(x − yi) −(2−i)(x + yi) = 3+ 7i  − =  =  x y x 2
x − y + ( x −5y)i = 3+ 3 7i    .
x − 5y = 7  y = −1
Suy ra z = 2 − i . Vậy z = 5 .
Câu 35. Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ( x) như sau: x − −3 1 − 1 + f ( x) − 0 + 0 − 0 +
Hàm số y = f (3− 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+ ) . B. ( 2 − ; ) 1 . C. (2;4) . D. (1; 2) . Lời giải Đáp án B
−  − x  −   x
Ta có y = − f ( − x)   f ( − x) 3 3 2 1 3 2 2 3 2 0 3 2  0     . 3− 2x 1 x 1
Vì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;1
− nên nghịch biến trên ( 2 − ; ) 1 .
Câu 36. Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình f (x)  x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x(0;2) khi và chỉ khi
A. m f (2) − 2 .
B. m f (0) .
C. m f (2) − 2 .
D. m f (0) . Lời giải Trang 39 Đáp án B
Ta có f ( x)  x + ,
m x (0;2)  m f ( x) − ,
x x (0;2)( ) * .
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f (x) ta có với x(0;2) thì f (x) 1.
Xét hàm số g (x) = f (x) − x trên khoảng (0;2) .
g( x) = f ( x) −1 0,x (0;2).
Suy ra hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (0;2) . Do đó ( )
*  m g (0) = f (0) .
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được hai số có tổng là một số chẵn bằng 1 13 12 313 A. . B. . C. . D. . 2 25 25 625 Lời giải Đáp án C n() 2 = C = 300. 25
Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 13 số lẻ và 12 số chẵn
Gọi A là biến cố chọn được hai số có tổng là 1 số chẵn.
Chọn 2 số lẻ trong 13 số lẻ hoặc chọn 2 số chẵn trong 12 số chẵn  n( ) 2 2
A = C + C =144 . 13 12 n A Vậy p( A) ( ) 144 12 = = = n () . 300 25
Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh
của hình trụ đã cho bằng A. 10 3 . B. 5 39 . C. 20 3 . D. 10 39 . Lời giải Đáp án C
Goi hình trụ có hai đáy là ,
O O và bán kính R .
Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu được là hình chữ nhật 30
ABCD với AB là chiều cao khi đó AB = CD = 5 3 suy ra AD = BC = = 2 3 . 5 3 2 3 AD 2 ( )2 2
Gọi H là trung điểm của AD ta có OH =1 suy ra R = OH + = 1+ = 2 . 4 4 Trang 40
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là S = 2 Rh = 2.2.5 3 = 20 3 . xq
Câu 39. Cho phương trình 2
log x − log 3x −1 = −log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá 9 3 ( ) 3
trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số. Lời giải Đáp án A Điều kiện: 1 x  3
Phương trình tương đương với: 3x −1 3x −1
log x − log 3x −1 = − log m  log = log m m = = f x 3 3 ( ) 3 3 3 ( ) x x x −   1  1  Xét f ( x) 3 1 1 = ; x  ; +   ; f (x) =  0; x   ; +   x  3  2 x  3  Bảng biến thiên
Để phương trình có nghiệm thì m(0; )
3 , suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 14 7 2 28 Lời giải Đáp án B
Gọi H là trung điểm AB . Suy ra SH ⊥ ( ABCD) .
d ( H ,(SBD)) BH 1 Ta có = =  = . d ( d ( ,
A SBD ) 2d (H , SBD ) , A (SBD)) ( ) ( ) BA 2
Gọi I là trung điểm OB , suy ra HI || OA (với O là tâm của đáy hình vuông). Trang 41 1 a 2 BD ⊥ HI Suy ra HI = OA = . Lại có 
BD ⊥ (SHI ) . 2 4 BD ⊥ SH Vẽ 1 1 1 a 21
HK ⊥ SI HK ⊥ (SBD) . Ta có = +  HK = . 2 2 2 HK SH HI 14 a
Suy ra d ( A (SBD)) = d (H (SBD)) 21 , 2 , = 2HK = . 7 1
Câu 41. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
. Biết f (4) =1 và xf
 (4x)dx =1, khi đó 0 4 2 x f   (x)dx bằng 0 31 A. . B. 16 − . C. 8 . D. 14 . 2 Lời giải Đáp án B
Đặt t = 4x  dt = d 4 x 1 4 t. f t 4 Khi đó: xf  (4x) ( ) dx = dt = 1   xf  (x)dx =16 16 0 0 0 4 Xét: 2 x f   (x)dx 0
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: 4 4 4
x f ( x)dx = x f ( x) 4 2 2 − 2 .
x f ( x)dx =16. f (4) − 2 .
x f ( x)dx =16 − 2.16 = 16 −    0 0 0 0
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;4; 3
− ). Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục
Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P( 3 − ;0;− ) 3 . B. M (0; 3 − ; 5 − ) . C. N (0;3; 5 − ). D. Q (0;5; 3 − ). Lời giải Đáp án C
Ta có mô hình minh họa cho bài toán sau: Trang 42 Ta có d ( ; A d ) = d ( ;
A Oz ) − d (d;Oz) = 1. min
Khi đó đường thẳng d đi qua điểm cố định (0;3;0) và do d / /Oz u = k = (0;0; ) 1 làm vectơ dx = 0 
chỉ phương của d d y = 3. Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp án C. N (0;3; 5 − ). z = t
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. 4
Số nghiệm thực của phương trình f ( 3 x − 3x) = là 3 A. 3 . B. 8 . C. 7 . D. 4 . Lời giải Đáp án B
Xét phương trình: f ( 4 3 x − 3x) = ( ) 1 . 3 Đặt 3
t = x − 3x , ta có: 2
t = 3x − 3 ; t = 0  x = 1  . Bảng biến thiên: Phương trình ( )
1 trở thành f (t ) 4 = với t  . 3 Trang 43
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y = f (t) như sau:
Suy ra phương trình f (t) 4
= có các nghiệm t  2
−  t t  2  t . 3 1 2 3 4
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có: +) 3
x − 3x = t có 1 nghiệm x . 1 1 +) 3
x − 3x = t có 1 nghiệm x . 4 2 +) 3
x − 3x = t có 3 nghiệm x , x , x . 2 3 3 5 +) 3
x − 3x = t có 3 nghiệm x , x , x . 3 6 7 8
Vậy phương trình f ( 4 3
x − 3x) = có 8 nghiệm. 3
Câu 44. Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của + các số phức 4 iz w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 34. B. 26. C. 34. D. 26. Lời giải Đáp án A 4 + iz Ta có w =
 w(1+ z) = 4 + iz z (w −i) = 4 − w  2 w −i = 4 − w 1+ z
Đặt w = x + yi ( , x y  ) 2 2 Ta có 2
x + ( y − ) = ( x − ) 2 2. 1 4 + y  ( 2 2
x + y − y + ) 2 2 2 2
1 = x − 8x +16 + y
x + y + x − y −
=  (x + )2 + ( y − )2 2 2 8 4 14 0 4 2 = 34
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34 1
Câu 45. Cho đường thẳng y = x và Parabol 2 y =
x + a ( a là tham số thực dương). Gọi S và S lần 1 2 2
lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S = S thì a thuộc 1 2 khoảng nào sau đây? Trang 44  3 1   1   1 2   2 3  A. ;   . B. 0;   . C. ;   . D. ;    7 2   3   3 5   5 7  Lời giải Đáp án C
Xét phương trình tương giao: 1 2
x + a = x 2
x =1− 1− 2a 2
x −2x + 2a = 0 1   , với điều kiện 1 a  . x =1+ 1− 2a  2 1 2 − Đặt 1 t
t = 1− 2a, (t  0)  a = . 2 Xét ( ) 2
g x = x − x + a và g
 (x)dx = G(x)+C . x1
Theo giả thiết ta có S = g x dx = G x − G 0  . 1 ( ) ( 1) ( ) 0 x2
S = − g x dx = G x − G x  . 2 ( ) ( 1) ( 2) x1 1 1
Do S = S G ( x = G 0 3 2
x − x + ax = 0 2 ) ( ) 1 2 2 2 2 6 2  −t  2
x − 3x + 6a = 0  ( + t) − ( + t) 2 2 1 1 3 1 + 6  = 0 2 2  2  2  2 − t −t +1= 1 0  t = và t = 1 − (loại). 2 1 3 Khi t =  a = . 2 8
Câu 46. Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 2x) là A. 9 . B. 3 . C. 7 . D. 5 . Lời giải Đáp án C Cách 1 Trang 45
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f (x) = 0 có các nghiệm tương ứng
x = a, a ( ; − − ) 1 
x = b,b ( 1 − ;0) là  .
x = c, c  (0; ) 1 
x = d,d (1;+  )
Xét hàm số y = f ( 2
x − x)  y = ( x − ) f ( 2 2 2 1 x − 2x) . x =1  2
x − 2x = a ( ) 1 x −1 = 0 
Giải phương trình y = 0  2( x − ) 1 f ( 2
x − 2x) = 0    .  (
x − x = bf x − 2x) 2 2 2 2 ( ) = 0  2
x − 2x = c (3)  2
x − 2x = d  (4)
Xét hàm số h(x) 2
= x − 2x ta có h(x) = x − x = − + (x − )2 2 2 1 1  1 − , x   do đó Phương trình 2 x − 2x = , a (a  − ) 1 vô nghiệm. Phương trình 2 x − 2x = , b ( 1
−  b  0) có hai nghiệm phân biệt x ; x không trùng với nghiệm 1 2 của phương trình ( ) 1 . Phương trình 2 x − 2x = , c (0  c  )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; x không trùng với nghiệm 3 4 của phương trình ( ) 1 và phương trình (2) . Phương trình 2
x − 2x = d,(d  )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; x không trùng với nghiệm của 5 6 phương trình ( )
1 và phương trình (2) và phương trình (3) . Vậy phương trình 
y = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( 2
x − 2x) có 7 điểm cực trị. Cách 2
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f (x) = 0 có các nghiệm tương ứng
x = a, a ( ; − − ) 1 
x = b,b ( 1 − ;0) là 
x = c, c  (0; ) 1 
x = d,d (1;+  )
Xét hàm số y = f ( 2
x − x)  y = ( x − ) f ( 2 2 2 1 x − 2x) . Trang 46x =1  2
x − 2x = a ( ) 1 x − = 
y = 0  2 ( x − ) 1 f ( 1 0 2
x − 2x) = 0    .  (
x − x = bf x − 2x) 2 2 2 2 ( ) = 0  2
x − 2x = c (3)  2
x − 2x = d  (4)
Vẽ đồ thị hàm số h(x) 2 = x − 2x
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình (1) vô nghiệm. Các phương trình (2);(3);(4) mỗi
phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau. Vậy phương trình 
y = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( 2
x − 2x) có 7 điểm cực trị.
Câu 47. Cho lăng trụ ABC A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 . Gọi
M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB' A' , ACC ' A' và BCC ' B ' . Thể tích của khối
đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A , B ,
C M, N, P bằng: A. 27 3 . B. 21 3 . C. 30 3 . D. 36 3 . Lời giải Đáp án A
Gọi A , B ,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB',CC '. 1 1 1
Khối lăng trụ ABC.A B C có chiều cao là 4 là tam giác đều cạnh 6 . 1 1 1 Ba khối chóp .
A A MN , BB MP , CC NP đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh 1 1 1 2 6 3 1 9 3 3 Ta có: V = V − V +V +V = 4 −3  4 = 27 3 ABC.MNP ABC. 1 A 1 B 1 C
( .A 1AMN B. 1BMP C. 1CNP) 4 3 4
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + y + (z + )2 2 2 : 2
= 3 . Có tất cả bao nhiêu điểm A( ; a ; b c) ( , a ,
b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến
của (S ) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12 . B. 8 . C. 16 . D. 4 . Trang 47 Lời giải Đáp án A Do A (a; ;
b c) thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A (a; ; b 0).
Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi 2 2 2 2
R £ IA £ R 2 Û 3 £ a + b + 2 £ 6 Û 1 £ a + b £ 4.
Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong
mặt phẳng (Oxy), tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O (0;0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2 .
Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. x − x − x − x
Câu 49. Cho hai hàm số 3 2 1 y = + + +
và y = x + 2 − x + m ( m là tham số thực) có đồ x − 2 x −1 x x +1
thị lần lượt là (C và (C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C và (C cắt nhau tại 4 2 ) 1 ) 2 ) 1 ) điểm phân biệt là A. ( ; − 2. B. 2;+) . C. ( ; − 2) . D. (2;+) . Lời giải Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C và (C : 2 ) 1 ) x − 3 x − 2 x −1 x + + +
= x + 2 − x + m x − 2 x −1 x x +1 x − 3 x − 2 x −1 x  + + +
− x + 2 + x − m = 0 (1). x − 2 x −1 x x +1 − − −
Đặt ( ) x 3 x 2 x 1 x f x = + + +
− x + 2 + x − m . x − 2 x −1 x x +1 Tập xác định D = \  1 − ;0;1;  2 . + f ( x) 1 1 1 1 x 2 = + + + − + ( x − 2) 1 2 (x − )2 2 1 x (x + )2 1 x + 2 1 1 1 1
x + 2 − ( x + 2) = + + + + ( x − 2)2 (x − )2 2 1 x (x + )2 1 x + 2
f (x)  0, x   , D x  2 − . Bảng biến thiên Trang 48
Yêu cầu bài toán  (1) có 4 nghiệm phân biệt  2 − m  0  m  2 .
Câu 50. Cho phương trình ( 2 4 log + log −5 7x x x
− m = 0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu 2 2 )
giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt A. 49 . B. 47 . C. Vô số. D. 48 . Lời giải Đáp án B x  0 Điều kiện:  x  log m  7
Với m =1, phương trình trở thành( 2 4 log + log −5 7x x x −1 = 0 2 2 ) log x =1 2 2 
4log x + log x − 5 = 0 2 2 5    log x = − . 2 7x −1 = 0  4 x = 0 (loai) 
Phương trình này có hai nghiệm (thỏa)
Với m  2, điều kiện phương trình là x  log m 7 log x =1 x = 2 2   2 5
4log x + log x − 5 = 0 − 5      Pt 2 2 4 log x = −  x = 2 2
7x − m = 0  4    = x 7x m 7 = m   5 −4 Do x = 2
 2, 26 không là số nguyên, nên phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi m  3 5 −  (nghiệm 4
x = 2 không thỏa điều kiện và nghiệm x = 2 thỏa điều kiện và khác 2 m  7 log m ) 7
Vậy m3;4;5;...;4 
8 . Suy ra có 46 giá trị của m .
Do đó có tất cả 47 giá trị của m Trang 49