Đề thi cuối HKI học phần Đại số tuyến tính năm 2024 - 2025 | Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Học kỳ I, năm học 2023-2024
BỘ MÔN TOÁN – LÝ Ngày thi: 18/01/2024
Thời gian làm bài: 90 phút
Không được sử dụng tài liệu
Câu 1. (2,0 điểm) 
2x − 3x + x − x + x = 0  3 6 5 2 1  
Trên 6 cho tập hợp W = (x ; x ; x ; x ; x ; x ) x + 2x − 3x − x + 2x = 0 1 2 3 4 5 6 4 6 3 1 2  
2x − 2x + x + x = 0  4 6 1 5 
Hãy tìm hệ sinh, cơ sở và xác định số chiều cho W .
Câu 2. (3,0 điểm)
Trên 3 cho tập hợp a = {u = (1; 1 − ; 2 − ),u = ( 1
− ;2;3),u = (1;1;1)} và 1 2 3
tập hợp b = {v = (3;0; 2 − ),v = (4;1; 3 − ),v = ( 6 − ; 1 − ;4)} . 1 2 3
a/ Chứng tỏ rằng a và b là cơ sở của 3 . b/ Cho vector 3 w = ( 1 − ;1;0)
. Hãy tìm tọa độ của w theo cơ sở b . c/ Gọi  = {e = ), 0 , 0 , 1 ( e = ), 0 , 1 , 0 ( e = )} 1 , 0 , 0 (
là cơ sở chính tắc của 3 . 0 1 2 3
Hãy tìm các ma trận chuyển cơ sở: P = P = =  → ; Q P ; và T P . a  b → b→a 0 0
Câu 3. (2,5 điểm)  5 6 
Cho ma trận thực A =   .  2 − 3 − 
Hãy chéo hóa A , rồi sau đó tìm m
A , với mọi m nguyên; m  0 .
Câu 4. (1,0 điểm) Trên không gian Euclide 3 Eu = (V = ,  | )  ,
 x   y  1 1     với   |  = x y
= x y + x y + x y 2 2 1 1 2 2 3 3         x y  3   3 
là một tích vô hướng tiêu chuẩn trên 3 .
Hãy trực chuẩn hóa tập hợp S = {u = (4; 4 − ; 2 − ),u = ( 2 − ; 4 − ;4),u = (4;2;4)}. 1 2 3
Câu 5. (1,5 điểm) Cho dạng toàn phương 3 3 f :  → ,
và  = {e = (1;0;0), e = (0;1;0), e = (0;0;1)} là cơ sở chính tắc của 3 sao cho: 0 1 2 3  x1   
X  3 , ta có [ X ] =  = − + + +   x , và 2 2 2 f (X )
f (X , X ) 3x 12x x 10x 4x x 2x . 2  0 1 1 2 2 2 3 3    x3 
a/ Hãy chính tắc hóa dạng toàn phương f .
b/ Chỉ ra một cơ sở  ứng với dạng chính tắc ở câu a/.
------------------------------------ Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cán bộ ra đề thi Trưởng BM Toán - Lý
LÊ HOÀNG TUẤN CAO THANH TÌNH