ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Học kỳ I, năm học 2023-2024
BỘ MÔN TOÁN – LÝ Ngày thi: 18/01/2024
Thời gian làm bài: 90 phút
Không được sử dụng tài liệu
Câu 1. (2,0 điểm) 
2x − 3x + x − x + x = 0  3 6 5 2 1  
Trên 6 cho tập hợp W = (x ; x ; x ; x ; x ; x ) x + 2x − 3x − x + 2x = 0 1 2 3 4 5 6 4 6 3 1 2  
2x − 2x + x + x = 0  4 6 1 5 
Hãy tìm hệ sinh, cơ sở và xác định số chiều cho W .
Câu 2. (3,0 điểm)
Trên 3 cho tập hợp a = {u = (1; 1 − ; 2 − ),u = ( 1
− ;2;3),u = (1;1;1)} và 1 2 3
tập hợp b = {v = (3;0; 2 − ),v = (4;1; 3 − ),v = ( 6 − ; 1 − ;4)} . 1 2 3
a/ Chứng tỏ rằng a và b là cơ sở của 3 . b/ Cho vector 3 w = ( 1 − ;1;0)
. Hãy tìm tọa độ của w theo cơ sở b . c/ Gọi  = {e = ), 0 , 0 , 1 ( e = ), 0 , 1 , 0 ( e = )} 1 , 0 , 0 (
là cơ sở chính tắc của 3 . 0 1 2 3
Hãy tìm các ma trận chuyển cơ sở: P = P = =  → ; Q P ; và T P . a  b → b→a 0 0
Câu 3. (2,5 điểm)  5 6 
Cho ma trận thực A =   .  2 − 3 − 
Hãy chéo hóa A , rồi sau đó tìm m
A , với mọi m nguyên; m  0 .
Câu 4. (1,0 điểm) Trên không gian Euclide 3 Eu = (V = ,  | )  ,
 x   y  1 1     với   |  = x y
= x y + x y + x y 2 2 1 1 2 2 3 3         x y  3   3 
là một tích vô hướng tiêu chuẩn trên 3 .
Hãy trực chuẩn hóa tập hợp S = {u = (4; 4 − ; 2 − ),u = ( 2 − ; 4 − ;4),u = (4;2;4)}. 1 2 3
Câu 5. (1,5 điểm) Cho dạng toàn phương 3 3 f :  → ,
và  = {e = (1;0;0), e = (0;1;0), e = (0;0;1)} là cơ sở chính tắc của 3 sao cho: 0 1 2 3  x1   
X  3 , ta có [ X ] =  = − + + +   x , và 2 2 2 f (X )
f (X , X ) 3x 12x x 10x 4x x 2x . 2  0 1 1 2 2 2 3 3    x3 
a/ Hãy chính tắc hóa dạng toàn phương f .
b/ Chỉ ra một cơ sở  ứng với dạng chính tắc ở câu a/.
------------------------------------ Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cán bộ ra đề thi Trưởng BM Toán - Lý
LÊ HOÀNG TUẤN CAO THANH TÌNH