TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN, ĐHQG-HCM MÃ LƯU TRỮ (do Phòng KT-ĐBCL ghi)
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học kỳ I – Năm học: 2019-2020 Tên học phần: VI TÍCH PHÂN 1B Mã HP: MTH00003 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: . . . . . . . . . . . . Họ và tên sinh viên:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MSSV: . . . . . . . . . . . . . .
Ghi chú: Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu khi làm bài.
ĐỀ THI CÓ 4 CÂU, gồm 2 trang:
Câu 1 (2.5 điểm). p.x 1/2
a) Cho hàm số f định bởi f .x/ D
khi x ¤ 1; f .1/ D 2. Hàm số f có liên tục không, tại x 1
sao? Phác họa đồ thị của f .
b) Chứng minh phương trình ln x D e x có ít nhất một nghiệm thực.
c) Ký hiệu Œt là số nguyên lớn nhất nhưng không lớn hơn t. Xét hàm số f cho bởi f .x/ D 2 cos x. 2
Hãy phác họa đồ thị của f trên đoạn Œ
; 2 và cho biết hàm f gián đoạn tại những điểm nào (không 3 cần chứng minh).
Câu 2 (2.5 điểm).
a) Cho đường cong .C / W y2 tan x C ln y D y. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm . ; 1/. 4
b) Một vỏ cầu bằng thép có độ dày vỏ là 1mm. Giả sử chu vi vòng ngoài của vỏ cầu là 3 mét. Hãy dùng
vi phân để ước tính lượng thép làm vỏ cầu, biết thể tích hình cầu đường kính d được cho bởi công thức V D d 3 (đơn vị thể tích). 6
c) Một máy đo nhịp tim cho một bệnh nhân, đếm số nhịp đập n (nhịp) theo thời gian t (phút) và cho kết
quả được ghi lại trong bảng sau t (phút) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 n (nhịp) 35 75 120 170 215 250
Giả sử người ta lập mô hình n là một hàm số theo t . Hãy ước tính độ dốc của đồ thị hàm n tại 1
bằng cách lấy trung bình cộng của hai độ dốc trong hai khoảng Œ0; 5I 1 và Œ1I 1; 5. Trong các thời điểm
t 2 f1I 1; 5I 2I 2; 5g, ở thời điểm nào tốc độ đập của tim là nhanh nhất?
Câu 3 (2.5 điểm).
a) Cho hàm số f liên tục trên R. Biết một số thông tin giá trị hàm f như bảng x 0 1 3 5 7 9 10 f .x/ 2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 Z 9
(i) Tìm xấp xỉ tích phân
f .x/dx bằng cách phân hoạch Œ1; 9 thành 4 đoạn với điểm mẫu là điểm 1
bên trái của mỗi đoạn con. Z x2 (ii) Xét hàm g.x/ WD f .t C 1/dt: Tính g0.2/: 0
b) Tính tích phân suy rộng
Người ra đề/MSCB: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Người duyệt đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chữ ký: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chữ ký: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z 1 ln x Z 1 1 (i) I1 D dx; (ii) I2 D dx: 1 x3 . 0 x C 1/px
Câu 4 (2.5 điểm). 1 . X 1/n.x C 1/n
a) Cho chuỗi lũy thừa
. Chuỗi này chắc chắn hội tụ trên khoảng mở .a; b/ nào đó và 2n nD0
phân kỳ bên ngoài đoạn Œa; b. Hãy tìm a; b. Chuỗi này có hội tụ khi x D a và x D b hay không? Vì sao?
b) Xét hàm số f cho bởi f .x/ D .sin x/2. Hãy tìm khai triển Taylor của f đến bậc 3 (gọi là T3.x/) xung quanh điểm a D
. Sau đó tính gần đúng f .91ı/ từ khai triển này và cho biết sai số của f .91ı/ 2
so với giá trị gần đúng không quá bao nhiêu? ĐÁP ÁN Câu Lời giải Điểm p.x 1/2 jx 1j 8x ¤ 1; D , do đó x 1 x 1 8 1 nếux < 1 ˆ < 1a f .x/ D 1 nếu x > 1 ˆ :2 nếu x D 1
Ta thấy lim f .x/ D 1 ¤ 1 D lim f .x/ D 1 nên hàm số f gián đoạn tại 1. x!1 x!1C
Xét hàm số f cho bởi f .x/ D ln x
e x, là hàm sơ cấp liên tục trên Œ1; e. Hơn nữa 1b
f .1/ D e 1 < 0 và f .e/ D 1 e e > 1 e0 D 0. Theo định lý giá trị trung gian của
hàm liên tục thì tồn tại số c 2 .1; e/ sao cho f .c/ D 0, nghĩa là ln c D e c, suy ra đpcm. 2 3 Ta có 1 cos x < 0 khi x < hoặc < x < ; 3 2 2 2 h i h3 0 cos x < 1 khi x 2 ; [ ; 2 n f0g; 2 2 2
cos x D 1 khi x D 0 hoặc x D 2. Do đó 8 2 3 1c ˆ 2 khi x < hoặc < x < ˆ ˆ 3 2 2 2 < f .x/ D 2 cos x D h i h3 0 khi x 2 ; [ ; 2 n f0g ˆ 2 2 2 ˆ ˆ :2 khi x D 0 hoặc x D 2 3
Các điểm gián đoạn của f là ˙ , , 0 và 2. 2 2
Một khoảng cong của .C / W y2 tan x C ln y D y chứa điểm . I 1/ được xem là đồ thị 4
của một ẩn hàm y D f .x/. Phương trình tiếp tuyến của .C / tại là 4 y D 1 C f 0. /.x / (1) 4 4
Lấy đạo hàm theo x ở hai vế của phương trình của .C /, ta được 2a y2 y0 C 2yy0 tan x C D y0 cos2 x y Thay x D
và y D 1 vào phương trình trên, ta được 2 C 2f 0. / C f 0. / D f 0. /, 4 4 4 4
suy ra f 0. / D 1, thế vào (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm y D 1 .x /. 4 4 1
Đường kính ngoài của quả cầu là d0 D 3 (mét). Đường kính trong là d (mét), trong đó
d D d d0 D 0; 002 (mét). Thể tích hình cầu đường kính d được cho bởi công thức V .d/ D
d 3 (m3). Thể tích của vỏ thép làm nên hình cầu là 6 2b 9 V .3/ V .d/ D V dV D V 0.3/d D 32 0; 002 D .m3/ 2 1000 1 75 35 120 75 Ước tính n0.1/ D C
D 85 (nhịp/phút). Tốc độ đập của nhịp tim 2 1 0; 5 1; 5 1
tại từng thời điểm cũng là độ dốc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm n, được ước tính như sau 1 120 75 170 120 n0.1; 5/ D C D 95 (nhịp/phút) 2 1; 5 1 2 1; 5 2c 1 170 120 215 170 n0.2/ D C D 95 (nhịp/phút) 2 2 1; 5 2; 5 2 1 215 170 250 215 n0.2; 5/ D C D 80 (nhịp/phút) 2 2; 5 2 3 2; 5
Vậy ở hai thời điểm t D 1; 5 và t D 2 thì tim đập nhanh nhất. Z 9 (i)
f .x/dx L4 D 2f .1/Cf .3/Cf .5/Cf .7/ D 2.0; 5C1C1; 5C2/ D 10. 1 Z u
(ii) Với u D x2 thì g.x/ D f .t C 1/dt. Khi đó 3a 0 dg du g0.x/ D D f .u C 1/ 2x D 2xf .x2 C 1/: du dx
Vậy g0.2/ D 2 2 f .5/ D 4 1; 5 D 6. 2 1 1
(i) Trước hết ta tìm nguyên hàm bằng cách đặt u D ln x và dv D dx, chọn v D . x3 2x2 Khi đó Z ln x Z Z 1 Z 1 ln x 1 dx D udv D uv vdu D uv C dx D x3 2 x3 2x3 4x2 Vậy Z 1 ln x Z t ln x ln x 1 t dx D lim dx D lim 1 x3 t !1 1 x3 t !1 2x3 4x2 1 ln t 1 1 1 D lim C D (quy tắc L’Hospital) 3b t !1 2t 3 4t 2 4 4 p
(ii) Trước hết ta tìm nguyên hàm bằng cách đặt u D x, x D u2, dx D 2udu. Khi đó Z 1 Z 2du p dx x/: . D D 2 arctan u D 2 arctan. x C 1/px u2 C 1 Vậy Z 1 1 Z 1 1 p ˇ1 dx D lim dx D 2 lim arctan. x/ˇˇ 0 .x C 1/px t !0C t .x C 1/px t !0C t p D 2 lim arctan 1 arctan. t/ D t !0C 2 . 1/n
Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là cn D . Ta có 2n ˇ cn ˇ 2n 1 L D C1 lim ˇ ˇ D lim D n!1 ˇ c ˇ n n!1 2nC1 2 4a 1
và bán kính hội tụ của chuỗi là R D
D 2. Khi jx C 1j < 2, nghĩa là x 2 . 3; 1/, thì L
chuỗi hội tụ. Khi x 62 Œ 3; 1 thì chuỗi phân kỳ.
Với x D 3 hay x D 1 thì số hạng tổng quát an của chuỗi thỏa janj D 1, do đó dãy .an/
không thể có giới hạn bằng 0, suy ra chuỗi phân kỳ. 3 1 1 Ta có f .x/ D .sin x/2 D
cos 2x, f .k/.x/ D 2k 1 cos 2x C k . Suy ra 2 2 2 f .k/. / D 2k 1 cos.k /; 8k 1 2 2
f . / D 1I f 0. / D 0I f 00. / D 2I f 000. / D 0 2 2 2 2 3 X 1 T k 2 3.x/ D f .k/ x D 1 x 4b k! 2 2 2 kD0 2 Ta có 91ı D C (rad). sin 91ı T3. C / D 1 . Sai số là 2 180 2 180 1802 ˇ ˇ ˇ f .4/. / 23 4 3ˇ ˇR ˇ ˇ ˇ 3. / D ; ˇ 2 ˇ ˇ 4! 180 ˇ 4! 1804
trong đó ta dùng bất đẳng thức ˇf .k/. ˇ x/ˇˇ 2k 1. 4