Đề thi cuối kì 1 - Đề 6 môn Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 1 - HỌC KÌ 2024.1 Nhóm ngành 2
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số f (x) = arccot x + arccos x.
a) Tìm tập xác định X của hàm số f (x).
b) Tìm tập giá trị Y của hàm số f (x). π 11
Câu 2 (1 điểm). Điểm x =
là điểm gián đoạn loại gì của hàm số f (x) = ? 2 1 − 17cot x
Câu 3 (2 điểm). Tính các giới hạn sau: 1 ln(1 + ex) a) lim(sin x) arctan b) lim x→0 x x→+∞ ex
Câu 4 (1 điểm). Tìm hệ số của x2024 trong khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = sin 2x. ˆ 4x dx
Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân I = (x2 + 2)(x2 + 3)
Câu 6 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = x(ln x+1),
y = 0, x = 1/e và x = e quanh trục Oy một vòng. ˆ +∞ x − cos(2024x)
Câu 7 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: I = √ dx 4 2024 x13 Å 1 + eu ã
Câu 8 (1 điểm). Chứng minh rằng: ln
< |u − v| với mọi u, v ∈ R, u ̸= v. 1 + ev ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN
LỜI GIẢI CHI TIẾT MÔN GIẢI TÍCH 1 NHÓM NGÀNH 2 - Đề 6
Thực hiện bởi team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập
Câu 1. Cho hàm số f (x) = arccot x + arccos x.
a) Tìm tập xác định X của hàm số f (x).
b) Tìm tập giá trị Y của hàm số f (x). [Hướng dẫn giải]
a) Ta xét điều kiện xác định của từng thành phần:
• Hàm arccot x xác định với mọi x ∈ R.
• Hàm arccos x xác định khi và chỉ khi −1 ≤ x ≤ 1.
Do đó tập xác định của hàm số f (x) là X = [−1, 1].
b) Trên đoạn [−1, 1], hàm số f (x) liên tục nên đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Ta tính đạo hàm: 1 1
f ′(x) = (arccot x)′ + (arccos x)′ = − − √ 1 + x2 1 − x2
Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có f ′(x) < 0
suy ra hàm số f (x) nghịch biến trên [−1, 1].  3π 7π
 max f (x) = f (−1) = arccot(−1) + arccos(−1) = + π =  4 4 Do đó: [−1,1] π π
 min f (x) = f (1) = arccot(1) + arccos(1) = + 0 =  [−1,1] 4 4 ï π 7π ò
Vậy tập giá trị của hàm số là Y = , . 4 4 π 11
Câu 2. Điểm x =
là điểm gián đoạn loại gì của hàm số f (x) = ? 2 1 − 17cot x [Hướng dẫn giải] cos x 0 Ta có lim cot x = lim = = 0 x→(π/2)+ x→(π/2)+ sin x 1 Khi đó, ta có lim 1 − 17cot x = 1 − 170 = 0 x→(π/2)+ π + Khi x →
thì cot x < 0, nên 17cot x < 1 =⇒ 1 − 17cot x > 0 2 11 Do đó lim f (x) = lim = +∞. x→(π/2)+ x→(π/2)+ 1 − 17cot x π Kết luận: Điểm x =
là điểm gián đoạn loại II của hàm số f (x) 2 ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN
Câu 3. Tính các giới hạn sau: Tính các giới hạn sau: 1 ln(1 + ex) a) lim(sin x) arctan b) lim x→0 x x→+∞ ex [Hướng dẫn giải] 1
a) Tính I1 = lim(sin x) arctan x→0 x
Khi x → 0, ta có vô cùng bé tương đương: sin x ∼ x. Do đó: 1 I ∼ x arctan khi x → 0 x Ta có 1 π 0 ≤ arctan ≤ x 2 1 πx ⇒ 0 ≤ x arctan ≤ x 2 πx Mà lim
= 0. Theo nguyên lý kẹp, ta suy ra: x→0 2 Å 1 ã lim x arctan = 0 x→0 x 1 Vậy I1 = lim(sin x) arctan = 0 x→0 x ln(1 + ex) b) Tính I2 = lim x→+∞ ex ∞
Khi x → +∞, giới hạn có dạng vô định
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital, ta lấy đạo hàm tử số và mẫu số: ∞ [ln(1 + ex)]′ I2 = lim x→+∞ (ex)′ ex = lim 1+ex x→+∞ ex 1 = lim x→+∞ 1 + ex
Vì khi x → +∞ thì 1 + ex → +∞, do đó: I2 = 0 ln(1 + ex) Vậy I2 = lim = 0. x→+∞ ex
Câu 4. Tìm hệ số của x2024 trong khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = sin 2x. [Hướng dẫn giải] ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN
Áp dụng khai triển Maclaurin cho hàm số sin t: t3 t5 t2021 t2023 t2025 sin t = t − + − · · · + − + + o(t2025) 3! 5! 2021! 2023! 2025! (2x)3 (2x)5 (2x)2021 (2x)2023 (2x)2025 =⇒ sin 2x = 2x − + − · · · + − + + o (2x)2025 3! 5! 2021! 2023! 2025!
Từ khai triển của y = sin 2x ta thấy không xuất hiện hạng tử chứa x2024
Vậy hệ số của x2024 trong khai triển y = sin 2x là 0 ˆ 4x dx
Câu 5. Tính tích phân I = (x2 + 2)(x2 + 3) [Hướng dẫn giải]
+) Đặt t = x2 =⇒ dt = 2x dx =⇒ 4x dx = 2 dt.
+) Thay vào biểu thức tích phân, ta có: ˆ ˆ 2 dt Å 1 1 ã I = I = 2 − dt. (t + 2)(t + 3) t + 2 t + 3
+) Tính nguyên hàm từng biểu thức, ta được: t + 2 Å x2 + 2 ã
I = 2 (ln |t + 2| − ln |t + 3|) + C = 2 ln + C = 2 ln + C. t + 3 x2 + 3 Å x2 + 2 ã +) Vậy I = 2 ln + C. x2 + 3
Câu 6. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = x(ln x + 1),
y = 0, x = 1/e và x = e quanh trục Oy một vòng. [Hướng dẫn giải] ï 1 ò
Ta xét hình phẳng giới hạn bởi y = f (x) = x(ln x + 1) và trục hoành trên đoạn , e e ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN y y = x(ln x + 1) x 1 e O e
Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng nói trên quanh trục Oy là ˆ e V = 2π x |f (x)| dx 1/e ˆ ˆ e e Khi đó, ta có: V = 2π x · x(ln x + 1) dx = 2π x2(ln x + 1) dx 1/e 1/e ˆ ˆ ˆ e Ç e e å = 2π x2(ln x + 1) dx = 2π x2 ln x dx + x2 dx 1/e 1/e 1/e   dx  du =  u = ln x  Đặt , x x3  dv = x2dx   v = 3 ˆ e ˆ ˆ e e x3 e e x3 dx x3 1 Ta có: x2 ln x dx = ln x − · = ln x − x2 dx 3 3 x 3 3 1/e 1/e 1/e 1/e 1/e Ç e å Ç e å e x3 1 x3 Å x3 x3 ã = ln x − = ln x − 3 3 3 3 9 1/e 1/e 1/e 2e3 4 = + 9 9e3 ˆ e e x3 e3 1 Lại có: x2 dx = = − 3 3 3e3 1/e 1/e ïÅ 2e3 4 ã Å e3 1 ãò 2π Suy ra: V = 2π · + + − = 5e3 + e−3 9 9e3 3 3e3 9 2π
Kết luận: Thể tích khối tròn xoay là V = 5e3 + e−3 (đvtt). 9 ˆ +∞ x − cos(2024x)
Câu 7. Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: I = √ dx 4 2024 x13 [Hướng dẫn giải] ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN
Ta tách tích phân thành tổng của hai tích phân: ˆ ˆ +∞ x +∞ − cos(2024x) I = √ dx + √ dx = I 4 4 1 + I2 2024 x13 2024 x13 Xét I1: ˆ ˆ +∞ x +∞ 1 I1 = dx = dx x13/4 x9/4 2024 2024 Vì α = 9 > 1, do đó I 4 1 hội tụ. − cos(2024x) Xét I2: Đặt f (x) = √ . Khi x → +∞, ta có: 4 x13 − cos(2024x) 1 1 0 ≤ |f (x)| = √ √ ≤ = 4 4 x13 x13 x13/4 ˆ ˆ +∞ 1 +∞ Xét tích phân
dx với α = 13 > 1, nên hội tụ. Theo tiêu chuẩn so sánh, tích phân |f (x)|dx x13/4 4 2024 2024
hội tụ. =⇒ I2 hội tụ tuyệt đối, do đó I2 hội tụ.
Vì cả I1 và I2 đều hội tụ, nên tích phân I = I1 + I2 hội tụ. Å 1 + eu ã
Câu 8. Chứng minh rằng: ln
< |u − v| với mọi u, v ∈ R, u ̸= v. 1 + ev [Hướng dẫn giải]
+) Xét hàm số f (x) = ln(1 + ex) xác định và có đạo hàm liên tục trên R và: ex f ′(x) = 1 + ex +) Ta có: Å 1 + eu ã ln
= ln(1 + eu) − ln(1 + ev) = f (u) − f (v) 1 + ev
+) Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại số c ∈ (u, v) sao cho:
f (u) − f (v) = f′(c) =⇒ |f(u) − f(v)| = |f′(c)| · |u − v| u − v
+) Với mọi x ∈ R, ta thấy ex > 0, do đó: ex 0 <
< 1 =⇒ 0 < f ′(x) < 1 =⇒ |f ′(c)| < 1. 1 + ex ĐỀ 6 KHOA TOÁN-TIN
+) Vì |f ′(c)| < 1 và u ̸= v, ta có: Å 1 + eu ã
|f (u) − f (v)| < 1 · |u − v| =⇒ ln < |u − v| (đpcm) 1 + ev