KHOA TOAÙN-TIN HOÏC
ÑEÀ THI VI TÍCH PHAÂN 1B, NAÊM HOÏC 2016-2017
BOÄ MOÂN GIAÛI TÍCH
Thôøi gian 90 phuùt. Khoâng söû duïng Multimedia, taøi lieäu
Baøi 1. [Chuoãi soá] Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa chuoãi ôû caâu 1 vaø 2; tìm mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa ôû caâu 3 3 n n 1) n n 1 10 (x 1) (0,5ñ) ( 1)n 2) 3) n 2 (1ñ) (1ñ) n 0 n 2 ( n n 1) n 1 n
Baøi 2. [Ñaïo haøm]
1) (1ñ) Cho haøm soá f ñònh bôûi 3 f ( ) x
x . Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm, haõy chöùng 1 minh f ( ) x
vôùi moïi x khaùc 0. 3 2 3 x
2) (1ñ) Cho ñöôøng cong (C) coù phöông trình 2 2 1 x sin(x y ) . Haõy vieát 2 2 3
phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ( A ; ). 2 3 2 3
3) (1ñ) Moät maùng nöôùc daøi 10 ft maø hai ñaàu laø tam giaùc caân coù caïnh beân 3 ft, chieàu
cao 1 ft. Maùng ñöôïc bôm nöôùc vôùi coâng suaát 12 ft3/phuùt. Hoûi raèng vaøo luùc möïc
nöôùc cao 6 in thì toác ñoä daâng cao cuûa möïc nöôùc laø bao nhieâu? Bieát raèng 1 ft baèng 12 in. 1 ft h (in)
Baøi 3. [Khai trieån Taylor]
1) (0,5ñ) Haõy vieát ña thöùc Taylor cuûa moät haøm f (coù ñaïo haøm voâ haïn) xung quanh
ñieåm a 1ñeán baäc n vaø daïng phaàn dö Lagrange vôùi chuù thích ñaày ñuû.
2) (0,5ñ) Cuï theå hoùa caâu treân vôùi haøm f cho bôûi f ( ) x ln . x
3) (0,5ñ) Haõy xaáp xæ giaù trò cuûa ln 0, 9 vôùi sai soá khoâng quaù 4 10 .
Baøi 4. [Tích phaân suy roäng] Caùc tích phaân sau coù hoäi tuï khoâng? Neáu coù, haõy tính giaù trò cuûa chuùng. x e 1 ln x 1) (1ñ) dx 2) (1ñ) dx 2 0 x e 3 0 x
Baøi 5. (1ñ) Taïi thôøi ñieåm t0, moät xe hôi coù vaän toác 20 m/s vaø gia toác 2 m/s2. Duøng ña
thöùc Taylor baäc 2, haõy öôùc tính quaõng ñöôøng xe ñi ñöôïc trong giaây tieáp theo. Coù hôïp
lyù khoâng khi duøng xaáp xæ naøy ñeå xaáp xæ quaõng ñöôøng trong moät phuùt tieáp theo? Giaûi thích roõ? HEÁT ÑAÙP AÙN
Baøi 1. [Chuoãi soá] 1) n
(0,5ñ) Soá haïng toång quaùt cuûa chuoãi laø a ( 1)n . Ta thaáy n n 2 n lim a lim
1, do ñoù khoâng theå coù lim a
0, nghóa laø ñieàu kieän caàn n n n n 2 n n
ñeå chuoãi hoäi tuï khoâng thoûa. Vaäy chuoãi phaân kyø. 3 2) n 1
(1ñ) Soá haïng toång quaùt cuûa chuoãi laø a
0 , vôùi n 2. Xeùt chuoãi n ( n n 1) Dirichlet 1 b vôùi b
, laø chuoãi hoäi tuï vì coù muõ laø 7 1. Ta coù n n 7/6 n 6 7/6 3 3/2 3 a n ( n 1) n (1 1 / n) lim n lim lim
1 (0; ). Theo tieâu chuaån so n b n n 3/2 n ( n n 1) n (1 1 / n)
saùnh daïng lim thì chuoãi ñeà baøi cho
a laø hoäi tuï gioáng nhö chuoãi b . n n 10n(x 1)n n
3) (1ñ) Chuoãi luõy thöøa coù heä soá 10 c . Ta coù n n 1 n n n 1 cn 1 10 n lim lim
10, suy ra baùn kính hoäi tuï laø 1 R . c n 1 10n n n 10 n * Taïi 1 11 x 1 , chuoãi trôû thaønh
1 , laø chuoãi Dirichlet phaân kyø, vì coù 10 10 n muõ 1 1. 2 * Taïi 1 9 x 1 , chuoãi trôû thaønh ( 1)n a vôùi 1 a
. Daõy (a ) laø daõy 10 10 n n n n
döông giaûm hoäi tuï veà 0, neân chuoãi ñang xeùt laø chuoãi ñan daáu daïng Leibnitz, do ñoù hoäi tuï.
Toùm laïi, mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi laø nöûa khoaûng 9 11 [ ; ). 10 10
Baøi 2. [Ñaïo haøm]
1) (1ñ) Theo ñònh nghóa ñaïo haøm thì 3 3 f ( ) t f ( ) x t x t x f ( ) x lim lim lim t x t x t x t x t x 3 2 3 3 2 (t )( x t tx x ) 1 1 1 lim , vôùi x 0. t x 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 t tx x x x x 3 x
2) (1ñ) Neáu xem moät khoaûng cong ngaén cuûa 2 2 1 ( )
C : x sin(x y ) coù chöùa 2 2 3 ñieåm ( A ;
) laø ñoà thò cuûa haøm soá y f ( )
x , f laø aån haøm, thì ta coù phöông 2 3 2 3 trình 2 2 x sin[x f ( ) x ] 1 (1) 2
Laáy ñaïo haøm ôû hai veá cuûa (1) theo bieán x, ta ñöôïc 2 2 1 2[x f ( ) x f ( ) x ]cos[x f ( ) x ] 0 (2) Thay x
vaøo (2) vaø löu yù f ( ) , ta ñöôïc 2 3 2 3 2 3 2 1 2 f ( )( ) cos 0 1 1 f ( ) 0 f ( ) 1 . 2 3 2 3 2 3 6 2 2 3 2 3
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi A laø y f ( )(x ), thay keát quaû 2 3 2 3 2 3 treân vaøo, ta ñöôïc 2 y (1 )(x ). 2 3 2 3
3) (1ñ) Theo ñònh lyù Pythagore, ñoä daøi caïnh ñaùy cuûa tam giaùc caân (beà roäng cuûa mieäng maùng) laø 2 2 a 2 3 1
4 2 (ft). Goïi h (ft) laø chieàu cao möïc nöôùc daâng
theo thôøi gian t (phuùt), töông öùng laø beà roäng maët nöôùc trong maùng laø x (ft), thì do
tính chaát ñoàng daïng cuûa hai tam giaùc, ta coù x h x a .
h Theå tích nöôùc trong a 1 maùng laø 1 2 2 V 10( x ) h 5ah
20h 2. Theo giaû thieát thì 2 dV 3 d 2 dh 3 12 (ft /phuùt) 20 2 (h ) 12 h . dt dt dt 10 2 Vaøo luùc h 6 (in) 0,5 (ft) thì ta coù dh 3 dh 3 0,5 . dt dt luùc h 0,5 10 2 luùc h 0,5 5 2
Vaäy toác ñoä daâng cuûa möïc nöôùc (theo thôøi gian) vaøo luùc möïc nöôùc ñaït ñoä cao 6 in laø 3 ft/phuùt. 5 2
Baøi 3. [Khai trieån Taylor]
1) (0,5ñ) Ña thöùc Taylor baäc n cuûa haøm soá f xung quanh ñieåm a laø n ( ) k ( ) f ( ) a f ( ) n k a f ( ) a T ( ) x (x ) a f ( ) a (x ) a (x )n a , n k! 1! n! k 0 trong ñoù (k)
f laø ñaïo haøm baäc k cuûa f. Phaàn dö soá Lagrange laø (n 1) f ( ) n 1 R ( ) x f ( ) x T ( ) x (x ) a
, trong ñoù  laø moät soá naèm giöõa a vaø x. n n (n 1)!
2) (0,5ñ) Vôùi haøm soá f cho bôûi f ( ) x ln x thì ( ) k k 1 1, ( ) ( 1) ( 1)! k k f x k x , suy ( ) k k 1 n 1 ra f (1) ( 1) 1 ( 1) k 1, vaø ta coù T ( ) x (x 1) (x 1) (x 1)n. k! k n 2 n ( 1)n Phaàn dö Lagrange laø n 1 R ( ) x (x 1)
, trong ñoù  laø soá naèm giöõa 1 vaø n n 1 (n 1) x.
Baøi 4. (0,5ñ) Laáy keát quaû caâu 2, ta xaáp xæ f (0, 9) T (0, 9) , nghóa laø n n 1 1 ( 1) n n 1 2 ln 0, 9 (0, 9 1) (0, 9 1) (0, 9 1) 2 k n k 1 10 k
Vôùi ñoä lôùn sai soá laø ( 1)n n 1 1 R (0, 9) (0, 9 1) , trong ñoù 0, 9 1 . n n 1 n 1 (n 1) 9 (n 1)
Ñeå ñoä lôùn sai soá khoâng quaù 4
10 , ta choïn giaù trò cuûa n sao cho 1 4 10 , ví n 1 9 (n 1) duï n
3, thì ta coù xaáp xæ theo ñuùng yeâu caàu: 1 1 1 79 ln 0, 9 , hoaêc laø ln 0,9 0,1053 . 2 3 10 2.10 3.10 750
Baøi 5. [Tích phaân suy roäng]
1) (1ñ) Tìm nguyeân haøm baèng caùch ñoåi bieán x e
3 tan u , laáy vi phaân theo bieán x ôû 2 veá ta ñöôïc x 2 e dx 3(1 tan ) u du vaø 2x 2 e 3 3(1 tan ) u . Suy ra x e du 1 1 x e dx u arctan . 2x e 3 3 3 3 3 Ta xeùt giôùi haïn t t x e 1 x e lim dx lim arctan . 2 0 x t e 3 t 3 3 2 3 6 3 3 3 0 x e Vaäy tích phaân
dx hoäi tuï vaø coù giaù trò baèng . 2 0 x e 3 3 3
2) (1ñ) Tìm nguyeân haøm baèng caùch ñaët u 2 x , dx du vaø v ln x , dx dv roài x x
laáy nguyeân haøm töøng phaàn ln x 2 x dx vdu uv udv 2 x ln x dx
2 x ln x 4 x . x x Ta xeùt giôùi haïn 1 1 ln x lim dx
lim 2 x ln x 4 x lim
4 2 t ln t 4 t 4 2 lim t ln t t 0 t t 0 t t 0 t 0 x s 4 2 lim (ñaët s ln ) t s/2 s e 1 4 2 lim (quy taéc Loâ-pi-tan) s 1 s/2 e 2 4. 1 ln x Vaäy tích phaân
dx hoäi tuï vaø coù giaù trò baèng 4 . 0 x
Baøi 6. (1ñ) Giaû söû phöông trình chuyeån ñoäng thaúng cuûa xe laø s ( s ) t , nghóa laø taïi
moãi thôøi ñieåm t, xe caùch moác (heä quy chieáu) moät ñoä dôøi laø s (meùt). Tính töø thôøi
ñieåm t0, moät giaây tieáp theo xe seõ ñi ñöôïc quaõng ñöôøng laø ( s t 1) ( s t ). Neáu ta xaáp 0 0
xæ s(t) bôûi ña thöùc Taylor xung quanh ñieåm t0 ñeán baäc 2, s (t ) s (t ) 0 0 2 ( s ) t ( s t ) (t t )
(t t ) , roài thay t t 1 , ta öôùc tính quaõng 0 0 0 1! 2! 0 s (t ) s (t ) ñöôøng caàn tính laø 0 0 ( s t 1) ( s t ) 20 1 21 (meùt), trong ñoù vaän 0 0 1! 2!
toác vaø gia toác töùc thôøi taïi thôøi ñieåm t0 laàn löôït laø s (t ) 20 (m/s) vaø 0 (3) s ( ) 2 s (t )
2 (m/s ). Pheùp xaáp xæ coù ñoä lôùn sai soá laø R (t 1) , trong ñoù 0 2 0 3! t t
1. Trong thöïc teá, toác ñoä bieán thieân gia toác (3)
s ( ) cuûa xe khoâng lôùn (xe 0 0
khoâng ñoät ngoät thay ñoåi gia toác quaù lôùn trong thôøi gian ngaén 1 giaây), do ñoù sai soá
naøy laø nhoû so vôùi quaõng ñöôøng 21 meùt, ta chaáp nhaän ñöôïc.
Neáu duøng pheùp xaáp xæ treân ñeå öôùc tính quaõng ñöôøng trong 1 phuùt tieáp theo, (3) s ( ) nghóa laø thay t t
60 thì ñoä lôùn sai soá laø (3) R (t 60) 60 10 s ( , 0 2 0 3!
coù theå mang giaù trò lôùn hôn nhieàu so vôùi sai soá tröôùc, khoâng hôïp lyù. HEÁT