Đề thi Giải tích 2 | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017 - 2018 -------------------- -------------------- Đề thi số 1 Môn thi: Giải tích II. Số tín chỉ: 4. Hệ: Chính quy.
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1. (1.5 điểm) Cho hàm 2 biến  ,  y y f x y  . x 2 2   Chứng tỏ rằng: 2 f 2 f x  y 2 2 x  y  x
Câu 2. (2 điểm) Tính tích phân 2 lớp y e dxdy 
với D là miền phẳng nằm bên D
trên trục hoành y=0, giới hạn bởi parabol y2=x và 2 đường thẳng x=0,y=1.
Câu 3. (1.5 điểm) Tính thể tích khối vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid 2 2
z  1 x  y và mặt phẳng z=0
Câu 4. (2 điểm). Tính tích phân đường loại 2 trên một đường cong kín
xy  ydx  xydy 
, với C là đường tròn 2 2
x  y  1, chiều C ngược chiều đồng C hồ.
Câu 5. (1.5 điểm). Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần: 3   2 3 1 ln  x x y dx  2 y dy  0   , với y>0  y 
Câu 6. (1.5 điểm). Giải phương trình vi phân " x
y  y  xe -------
Sinh viên không sử dụng tài liệu 2 2 3 1  f  f 3 Câu 1. 2 2 2 2 x  y  y x 2 2 x  y  4 1 Câu 2. 2  Câu 3. 2 Câu 4.  Câu 5. 3 x   y  2 1 ln
 y  C với C là hằng số tùy ý    1 x x e
Câu 6. C cos x  C sin  1 2 x 2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 - 2019 -------------------- -------------------- Đề thi số 1 Môn thi: Giải tích II. Số tín chỉ: 4. Hệ: Chính quy.
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1. (1.5 điểm) Cho hàm số: 2 2
z  x  2y . Chứng minh các đạo hàm riêng
z x, y và z  x, y không liên tục tại (0,0) y  x 
Câu 2. (2 điểm) Xác định các cực trị của hàm 2 biến f  ,
x y  xy 3  x  y 1 1  
Câu 3. (1.5 điểm) Đổi thứ tự lấy tích phân để tính tích phân 2 lớp 2 1 x  e dx dy     0  y 
Câu 4. (2 điểm) Dùng phép đổi biến cầu để tính tích phân 3 lớp dxdydz  với V là khối cầu 2 2 2
x  y  z  x 2 2 2 V
x  y  z
Câu 5. (1.5 điểm) Cho tích phân đường I  sin x  y dx  
 ye xdy L
a. Tính I nếu L là đoạn thẳng nối từ điểm A(1,1) đến điểm B(1,-1)
b. Sử dụng câu 5a và công thức Green, tính I nếu L là nửa đường tròn C   2 2 ( ) x  y  2 ; x x  
1 . Chiều của C là ngược chiều kim đồng hồ. 2
Câu 6. (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân ' y y   x  3 1 với điều kiện x 1 y0  0 -------
Sinh viên không sử dụng tài liệu lim z x  x  ,0 1   Câu 1. x0 
. Vậy không tồn tại lim z x, y và do đó z x, y không liên tục tại (0,0) x  x  lim z x    x 0 x  ,0 1  y0 x0
Câu 2. M 1,1 là cực đại địa phương. 4   e 1 Câu 3. 2  Câu 4. 3 1 1
Câu 5. a. e  2  ; b.  e  2 e e 2  x  Câu 6.  x  x     2 1 2  
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2019 - 2020 -------------------- -------------------- Đề thi số 1 Môn thi: Giải tích II. Số tín chỉ: 4. Hệ: Chính quy.
Thời gian làm bài: 120 phút. 3
 f  f (u ) u 2  f
Câu 1. (1.5 điểm) Cho hàm số hợp  . Tính 2 u   2 x xy  e  x  y 
Câu 2. (2 điểm) Xác định các cực trị của hàm 2 biến f  x, y  xy ln x  2y 
với điều kiện x  0, y  0.
Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân 2 lớp dxdy 
với D là miền phẳng giới hạn 2 2  D x y 2 2
2x  x  y  6x
bởi 2 đường tròn và 1 đường thẳng  (D) y  x
Câu 4. (3 điểm) Cho mặt nón 2 2
z  x  y (S) và mặt phẳng z=2 (P) dxdydz
a. Tính tích phân 3 lớp 
với V là khối nón giới hạn bởi (S) và (P) 2 2 V x  y 2 x
b. Tính tích phân mặt loại một dS 
với  là phần mặt nón (S) nằm dưới (P). 3 z 
Câu 5. (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân " 4 ' 3 x y y y e    với điều kiện
y   y  3 0 1, 1  . 2e -------
Sinh viên không sử dụng tài liệu 2  Câu 1.
f  u u  x 2 6 4 x y  e  xy  1 1  Câu 2. M , 
 là cực tiểu địa phương.  2 e 4 e  Câu 3. 4  2 2
Câu 4. a. 4 ; b. 2 2  x 
Câu 5. y  1 x  e    2 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019 - 2020 -------------------- -------------------- Đề thi số 1 Môn thi: Giải tích II. Số tín chỉ: 4. Hệ: Chính quy.
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1. (1.5 điểm) Cho hàm số z(x,y) xác định từ phương trình   y  2 x xe
yz  ze  0 . Hãy tính các đạo hàm riêng z , z x  y 
Câu 2. (1.5 điểm) Xác định các cực trị của hàm 2 biến f  x y 2 4 ,  xy   với x y
điều kiện x  0, y  0 .
Câu 3. (1.5 điểm) Tính thể tích khối giới hạn bởi paraboloid 2 2
z  1 2x  2y ,
mặt phẳng z=9 và nằm trong góc phần tám thứ nhất (x>0,y>0,z>0)
Câu 4. (2 điểm) Tính tích phân đường 2 y dx  xydy 
với C là biên kín định C
hướng dương của nửa hình khuyên bên trên trục Ox và nằm giữa 2 đường tròn 2 2
x  y  1 và 2 2 x  y  2 .
Câu 5. (2 điểm) Đổi thứ tự lấy tích phân để tính tích phân lặp 1 2 x 2      cos 2 y   y  dy dx  2 0  1   
Câu 6. (1.5 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2 " 6 ' 9  25 x y y y e x . -------
Sinh viên không sử dụng tài liệu y x y z e  ze z xe  2 Câu 1.   ; z   x x e  2 x y y e  2 y
Câu 2. M(1,2) là cực tiểu địa phương. Câu 3. 4 2 4  2 Câu 4. 3 3 Câu 5. sin 2 sin 2  x    x 2 Câu 6. 3 3 2x    1 C e C2 xe  x  e  5 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019 - 2020 -------------------- -------------------- Đề thi số 2 Môn thi: Giải tích II. Số tín chỉ: 4. Hệ: Chính quy.
Thời gian làm bài: 120 phút. 2 2 2 2 x y  2 
Câu 1. (1.5 điểm) Chứng minh hàm  ,  yx x f x y  không có giới
x   y  4 4 1 hạn tại điểm (0,-1)
Câu 2. (1.5 điểm) Xác định các cực trị của hàm 2 biến f  x y 3 2 2 2 ,
 3x  xy  5x  y với điều kiện x<0,y<0.
Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân 2 2  x  y e dxdy 
trong đó D giới hạn bởi D 2 2 1 x x  y  4 ,  y  x 3 3  x xz    
Câu 4. (2 điểm) Tính tích phân lặp 2 
   x cos ydy  dz dx   . 0  0  0  
Câu 5. (1.5 điểm) Tính tích phân mặt loại một dS
 với  là phần mặt nón  2 2 z
  x  y 
nằm giữa các mặt phẳng z=1 và z=3 1    z  3 y y
Câu 6. (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân 2 x  ycos  y' xcos . x x -------
Sinh viên không sử dụng tài liệu
Câu 1. Vì tồn tại các giá trị giới hạn khác nhau khi x ,y   0, 
1 nên hàm số không có giới hạn tại điểm (0,-1)
Câu 2. M(-1,-1) không là cực trị. 3  e 1 Câu 3. 4 12 e  Câu 4. 2 Câu 5. 8 2
Câu 6.  sin y x C x
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KỲ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021
Mã lớp học phần: MAT1042 1,2,3,7,8. Tên học phần: Giải tích 2
Đề thi gồm 5 câu, 1 trang. Hình thức thi: Tự luận
Thời gian làm bài: 120 phút, thời gian làm bài từng câu ghi rõ trong đề
Sinh viên được phép sử dụng tài liệu.
Sinh viên làm bài: Trên giấy
Các yêu cầu khác: Yêu cầu sinh viên viết rõ ràng, hạn chế tẩy xóa, chụp ảnh bài thi rõ. m x y  2 2 x  y 
Câu 1. (2 điểm, 20 phút) Cho hàm số f x, y  với x>0,m>0 1 cos 2 2 x  y  a. Tính lim
f x, y khi m>1
x,y  0  ,  0 b. Tính lim
f x ,y  khi m≤1  
x, y 0 ,0 
Câu 2. (2 điểm, 25 phút) Xác định các cực trị của hàm 2 biến   yx f x y  e  2 2 , y  2x . 2 2 2   
Câu 3. (2 điểm, 25 phút) Cho D là hình viên phân x y a 
với a>0. Hãy xác định
x  y  a  a biết rằng x y 1 dxdy   3 D
Câu 4. (2 điểm, 30 phút) Cho V là khối giới hạn bởi: 2 2 2
0  z  a  x  y với a>0. dxdydz 8 Chứng minh rằng  dxdydz   . 2 2 x  y 3a V V 2
Câu 5. (2 điểm, 20 phút) Giải phương trình vi phân ' y xy  y  thỏa mãn điều kiện 2 x y  1  1
Câu 1. Khi m>1 thì giới hạn =0
Khi 0  m  1 thì hàm không có giới hạn  2 4 
Câu 2. Điểm  0, 
0 - điểm cực tiểu; Điểm ,  - không phải cực trị. 3 3    Câu 3. a=1 3 4 Câu 4. a 3 Câu 5. 2 y  x
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KỲ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021
Mã lớp học phần: MAT1042 4,5,6,9,12. Tên học phần: Giải tích 2
Đề thi gồm 5 câu, 1 trang. Hình thức thi: Tự luận
Thời gian làm bài: 120 phút, thời gian làm bài từng câu ghi rõ trong đề
Sinh viên được phép sử dụng tài liệu.
Sinh viên làm bài: Trên giấy
Các yêu cầu khác: Yêu cầu sinh viên viết rõ ràng, hạn chế tẩy xóa, chụp ảnh bài thi rõ. m x sin 2 y
Câu 1. (2 điểm, 20 phút) Cho hàm số f , x y với x>0, m>0 2 2 x 2 y a. Tính lim f , x y khi m>1 x, y 0 ,0 b. Tính lim f x, y khi m≤1 x, y 0 ,0
Câu 2. (2 điểm, 25 phút) Xác định các cực trị của hàm 2 biến 2 2 4 3 f , x y 2 x y 2 y x y .
Câu 3. (2 điểm, 25 phút) Cho D là hình tròn 2 2 x y
2ax với a>0. Hãy xác định a biết rằng dxdy 4 2 2 D x y
Câu 4. (2 điểm, 30 phút) Cho V là khối nón: 2 2 x y
z a với a>0. Chứng minh 2 rằng a dxdydz 2 2 x y dxdydz . 2 2 6 V x y V y
Câu 5. (2 điểm, 20 phút) Giải phương trình vi phân 'y x thỏa mãn điều kiện x 1 y 0 0
Câu 1. Khi m>1 thì giới hạn =0
Khi 0 m 1 thì hàm không có giới hạn 1 1
Câu 2. 0,0 - không là cực trị; , - Điểm cực tiểu.; 2 2 2, 2 - Điểm cực tiểu. Câu 3. a 1 . 4 Câu 4. a 6 1 Câu 5. 3 2 y 2 x 3 x 6 x 6
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KỲ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021
Mã lớp học phần: MAT1042 10,11,13,14,15. Tên học phần: Giải tích 2
Đề thi gồm 5 câu, 1 trang. Hình thức thi: Tự luận
Thời gian làm bài: 120 phút, thời gian làm bài từng câu ghi rõ trong đề
Sinh viên được phép sử dụng tài liệu.
Sinh viên làm bài: Trên giấy
Các yêu cầu khác: Yêu cầu sinh viên viết rõ ràng, hạn chế tẩy xóa, chụp ảnh bài thi rõ. m
Câu 1. (2 điểm, 20 phút) Cho hàm số , x y f x y với x>0, m>0 2 2 2x y a. Tính lim f , x y khi m>1 x, y 0 ,0 b. Tính lim f x, y khi m≤1 , 0 ,0 x y
Câu 2. (2 điểm, 25 phút) Xác định các cực trị của hàm 2 biến 2 2 , y x f x y x y e . 1 1
Câu 3. (2 điểm, 25 phút) Hãy tìm m≠0 sao cho 2 sin mx dxdy 0 0 y
Câu 4. (2 điểm, 30 phút) Cho C là đường tròn kín 2 2 x y
2ax với a>0, định hướng
dương. Hãy tính tích phân đường 3 3 2xy x dx
x y dy theo 2 cách: tính trực tiếp C
và sử dụng công thức Green.
Câu 5. (2 điểm, 20 phút) Giải phương trình vi phân ' x y
y e thỏa mãn điều kiện y 1 0
Câu 1. Khi m>1 thì giới hạn =0
Khi 0 m 1 thì hàm không có giới hạn 1 Câu 2. , 1 là điểm cực đại. 2 Câu 3. m 2k , k \ 0 Câu 4. 3 2 2 a a Câu 5. x y e x 1 .
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KỲ THI PHỤ KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021
Mã lớp học phần: MAT1042 3,4,5,10,11,13. Tên học phần: Giải tích 2
Đề thi gồm 5 câu, 1 trang. Hình thức thi: Tự luận
Thời gian làm bài: 120 phút, thời gian làm bài từng câu ghi rõ trong đề
Sinh viên được phép sử dụng tài liệu.
Sinh viên làm bài: Trên giấy
Các yêu cầu khác: Yêu cầu sinh viên viết rõ ràng, hạn chế tẩy xóa, chụp ảnh bài thi rõ. m
Câu 1. (2 điểm, 20 phút) Cho hàm số  ,  x f x y  với x>0, m>0 2 2 x  2 y a. Tính lim
f x, y khi m>1
x,y  0  ,  0 b. Tính lim
f x ,y  khi m≤1  
x, y 0 ,0 
Câu 2. (2 điểm, 25 phút) Xác định các cực trị của hàm 2 biến f x y  2 2 3 2 ,
 6x y  24xy  6x  24x  4y 15y  36y 1.
Câu 3. (2 điểm, 25 phút) Cho D là hình giới hạn bởi  2 2 y  ; x y  2 ; x y  a  x với a>0.
Hãy xác định a biết rằng diện tích của D bằng 1/2 (dvdt)
Câu 4. (2 điểm, 30 phút) Cho C là chu tuyến định hướng dương của tam giác ABC với
A(0,0); B(a,a); C(0,2a) và a>0. Hãy tính tích phân đường   3
xy  x dx   3 2
x  y  dy  C
theo 2 cách: tính trực tiếp và sử dụng công thức Green. 1
Câu 5. (2 điểm, 20 phút) Giải phương trình vi phân y 'tan x  y  thỏa mãn điều cos x   kiện π π y   2    2
Câu 1. Khi m>1, giới hạn hàm số bằng 0
Khi 0  m  1 , giới hạn hàm số bằng 
Khi m  1 thì không có giới hạn
Câu 2.Điểm 2,2 - cực tiểu.
Điểm  2,0.5 - cực đại. Điểm  3  ,1 - không là cực trị
Điểm 1,1 - không là cực trị Câu 3. a=1 3 Câu 4. 2 2 a a  3 Câu 5. x y  . sin x
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
HỌC KỲ II NĂM HỌC 2021 - 2022 -------------------- -------------------- Đề thi số 1 Môn thi: Giải tích II. Số tín chỉ: 4. Hệ: Chính quy.
Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1. (2 điểm) ln y x e
a. Chứng minh rằng, không tồn tại lim (x,y) (0,0) 2 2 x y 2 2 ln y x e b. Tính giới hạn lim ( , x ) y (0,0) 2 2 x y
Câu 2. (2 điểm) Xác định các cực trị địa phương của hàm 2 biến 4 4 f , x y x y 36 xy .
Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân 3 lớp
zdxdydz trong đó V là khối nón cụt V 2 2 z x y 1 z 3
Câu 4. (2 điểm) Tính tích phân đường 4 4 x 1 y dx y 1 x e x dy C
với C là biên kín tam giác, đi từ (0,0) đến (1,1), đến (2,0) và trở về (0,0).
Câu 5. (2 điểm) Tìm nghiệm của phương trình vi phân x y 2 x y 3 'y 0 -------
Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu 1. b. 0
Câu 2. M1(0,0), M2(3,3), M3(-3,-3)
M1 không là cực trị. M2 là cực tiểu địa phương. M3 là cực tiểu địa phương. Câu 3. 20 (dvtt) Câu 4. 2-e2 2 2 x y Câu 5. y 2 x
3y C với C là hằng số tùy ý 2 2