Đề thi giữa kỳ Đại số - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Đề thi giữa kỳ Đại số - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

18 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số (MAT1093)

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

3 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ
Môn: Đại Số Tuyến Tính
Trường Đại Học Công Nghệ - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Thời gian: 120 phút.
Không được trao đổi, không được sử dụng tài liệu hoặc các thiết bị điện tử ngoài máy tính bỏ túi.
Bài 1. (2.5đ) a. Hãy cho biết ngày sinh và tháng sinh của bạn.
b. Hãy viết lại ma trận và hệ phương trình sau với là ngày sinh, là tháng sinh của bạn:α β
A =
1 3 1 1
2 1 1 2
1 1 0 α
2 2 1 β
(
B)
x x x x
1
+ 2
2
+
3
+ 2
4
= −1
3x
1
+ +x
2
x
3
+ 2x
4
= 0
x x x
1
+
2
+
4
= −4
x x
1
+ 2
2
+ αx βx
3
+
4
= 2
c. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (nếu có).A
d. Hãy viết ma trận mở rộng tương ứng với hệ phương trình ở trên và đưa nó về dạng bậc(B)
thang thu gọn.
e. Giải hệ phương trình trên bằng thuật toán Gauss - Jordan.
f. Giải hệ phương trình trên sử dụng ma trận nghịch đảo (nếu có) tìm được ở câu c.
Bài 2. (1đ) Với α là ngày sinh, là tháng sinh của bạn, hãy viết lại hệ phương trình sau và tìm tất cả các giáβ
trị của sao cho hệ có nhiều hơn một nghiệmλ
( 2λ + 2)x
1
− x
2
+ αx
3
= 0
−2x
1
+ (λ − 1)x
2
+ βx
3
= 0
x x
1
+ 2
2
+ λx .
3
= 0
Bài 3. (1đ) Với α là ngày sinh, là tháng sinh của bạn, tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 sao cho bình phươngβ
của nó bằng ma trận
α 0
0
β
.
Bài 4. (1đ) Với α là ngày sinh, là tháng sinh của bạn, hãy tínhβ
1
5
α
1 0 1−
0 1 0
0 0 1
−5α
+
1
7
β
1
2
−
1
2
0
0 1 0
0 0
1
2
−7β
.
Bài 5. (1đ) Cho A, B là các ma trận vuông cấp thoả mãn: .n A
2
= A + B + BA
a. Chứng minh rằng .AB = BA
b. Chứng minh rằng A A
α
B B
β
=
β α
, với là ngày sinh, là tháng sinh của bạn.α β
Bài 6.(1đ) Cho ma trận
A =
1 + x
1
1 1 1
1 1 + x
2
1 1
1 1 1 + 1x
3
1 1 1 1 + x
4
.
Giả sử là các nghiệm của đa thức . Tính .x
1
, x , x , x
2 3 4
f(x) = x
4
− x + 1 det A
Gợi ý: Áp dụng định lý Vi-ét.
1
Bài 7.(1đ) Cho hai ma trận thực vuông cùng cấp A và vàB. Giả sử det(A + B) = 0 det(A − B) = 0. Đặt
M
=
A B
B A
. Chứng minh det M = 0.
Bài 8.(1đ) Ứng dụng của ma trận trong giao thông
Trong một thành phố nọ có một hệ thống đường một chiều như trong dưới đây, trong đó A, B, C,
D, E, F là các giao lộ, là các lối vào hoặc ra khỏi hệ thống đó, mũi tên chỉA
0
, B , C , D , D , E , F
0 0 0 1 0 0
chiều của đường. Người ta đếm số lượng xe vào và ra khỏi hệ thống này trong một ngày và thấy:
Có 800 xe vào lối , 400 xe ra khỏi hệ thống qua lối , 600 xe ra lối , 1600 xe vào lốiA
0
B
0
C
0
D
0
và
400 xe ra lối , 400 xe ra lối và 600 xe ra lối . Người ta cũng quan sát thấy số lượt xe đi trênD
1
E
0
F
0
đoạn đường AB nhiều gấp đôi số lượt xe đi trên đoạn EF; số lượt xe đi trên đoạn đường DE nhiều
gấp rưỡi số lượt xe đi trên đoạn đường BC. Giả sử các xe vào hệ thống đều ra khỏi hệ thống trong
thời gian đó. Hỏi trong ngày hôm đó đã có bao nhiêu lượt xe đi qua các đoạn đường AB, BC, CD,
EB và AF?
Bài 9.(1đ) Ứng dụng của ma trận trong bảo mật:
Mật mã là một thông điệp được viết theo một mã bí mật. Trước hết, ta gán một số cho mỗi chữ cái
trong bảng chữ cái (với 0 được gán cho một khoảng trắng), như sau:
0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 =_ A B C D E F G 8 = H
9 = I 10 = 11 = 12 = 13 = 14 = 15 = 16 = 17 =J K L M N O P Q
18 = 19 = 20 = 21 = 22 = 23 = 24 = 25 = 26 =R S T U V W X Y Z
Tiếp đến, ta chuyển đổi một đoạn thông điệp sang dạng số và được chia thành các ma trận hàng.
Cụ thể ta xem ví dụ sau với ma trận hàng :1 × 3
E A S Y _ G A M E
[5 1 19] [25 0 7] [1 13 5]
Để mã hóa đoạn thông điệp này, chọn một ma trận nghịch đảo, nhân ma trận hàng tương ứngA
với A từ bên trái. Ví dụ, mã hóa thông điệp trên bằng ma trận
A
=
1 −2 2
−1 1 3
1 −1 −4
.
2
Ta có
5 1 19
1 −2 2
−1 1 3
1 −1 −4
=
23 28− −63
25 0 7
1 −2 2
−1 1 3
1 −1 −4
=
32 −57 22
1 13 5
1 −2 2
−1 1 3
1 −1 −4
=
−7 6 21
Từ đó ta có đoạn mã
[23 −28 −63] [32 −57 22] [ 7 6 21]−
và sau khi bỏ đi dấu ma trận, đoạn mã hóa thông điệp EASY GAME sẽ là:
23 -28 -63 32 -57 22 -7 6 21
a. Dùng ma trận A ở trên để mã hóa thông điệp GOOD GAME WELL PLAYED
b. Giải mã đoạn mã hóa sau:
13 -26 21 33 -53 -12 18 -23 -42 5 -20 56 -24 23 77
Bài 10.(0.5đ) Tính định thức của ma trận cấp 2022 như sau
A =
1 1 1 ... 1
2 2 2 ... 2
3 3 3 ... 3
... ... ... ... ...
2022 2022 2022 2022...
.
————————————————
CHÚC CÁC EM MAY MẮN
3
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ
Môn: Đại Số Tuyến Tính
Trường Đại Học Công Nghệ - Đại Học Quốc Gia Hà Nội Thời gian: 120 phút.
Không được trao đổi, không được sử dụng tài liệu hoặc các thiết bị điện tử ngoài máy tính bỏ túi. Bài 1. (2.5đ)
a. Hãy cho biết ngày sinh và tháng sinh của bạn.
b. Hãy viết lại ma trận và hệ phương trình sau với α là ngày sinh, β là tháng sinh của bạn:  1 3 1 1 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −1   2 1 1 2  3x x x A =   1 + 2 + 3 + 2x4 = 0  (B) 1 1 0 α   x1 + x2 + x  4 = −4 2 2 1 β   x1 + 2x2 + αx3 + βx4 = 2
c. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có).
d. Hãy viết ma trận mở rộng tương ứng với hệ phương trình (B) ở trên và đưa nó về dạng bậc thang thu gọn.
e. Giải hệ phương trình trên bằng thuật toán Gauss - Jordan.
f. Giải hệ phương trình trên sử dụng ma trận nghịch đảo (nếu có) tìm được ở câu c.
Bài 2. (1đ) Với α là ngày sinh, β là tháng sinh của bạn, hãy viết lại hệ phương trình sau và tìm tất cả các giá
trị của λ sao cho hệ có nhiều hơn một nghiệm (λ + 2)x1 − 2x  2 + αx3 = 0 
−2x1 + (λ − 1)x2 + βx3 = 0  x1 + 2x2 + λx3 = 0.
Bài 3. (1đ) Với α là ngày sinh, β là tháng sinh của bạn, tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 sao cho bình phương  
của nó bằng ma trận α 0 . 0 β
Bài 4. (1đ) Với α là ngày sinh, β là tháng sinh của bạn, hãy tính 5 7  α β 1 0 −1−  1 − 1 0− 2 2 1 0 1 0 + 1 0 1 0 . 5α   7β   0 0 1 0 0 1 2
Bài 5. (1đ) Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn: A2 = A + B + BA.
a. Chứng minh rằng AB = BA.
b. Chứng minh rằng AαBβ = BβAα, với α là ngày sinh, β là tháng sinh của bạn. Bài 6.(1đ) Cho ma trận 1 + x  1 1 1 1  1 1 + x  A = 2 1 1 .  1 1 1 +  x3 1   1 1 1 1 + x4
Giả sử x1, x2, x3, x4 là các nghiệm của đa thức f(x) = x4 − x + 1. Tính det A.
Gợi ý: Áp dụng định lý Vi-ét. 1
Bài 7.(1đ) Cho hai ma trận thực vuông cùng cấp A và B. Giả sử det(A + B) = 0 và det(A − B) = 0. Đặt A B M = . Chứng minh det M = 0. B A
Bài 8.(1đ) Ứng dụng của ma trận trong giao thông
Trong một thành phố nọ có một hệ thống đường một chiều như trong dưới đây, trong đó A, B, C,
D, E, F là các giao lộ, A0, B0, C0, D0, D1, E0, F0 là các lối vào hoặc ra khỏi hệ thống đó, mũi tên chỉ
chiều của đường. Người ta đếm số lượng xe vào và ra khỏi hệ thống này trong một ngày và thấy: Có 800 xe vào lối A và
0 , 400 xe ra khỏi hệ thống qua lối B0, 600 xe ra lối C0, 1600 xe vào lối D0
400 xe ra lối D1, 400 xe ra lối E0 và 600 xe ra lối F0. Người ta cũng quan sát thấy số lượt xe đi trên
đoạn đường AB nhiều gấp đôi số lượt xe đi trên đoạn EF; số lượt xe đi trên đoạn đường DE nhiều
gấp rưỡi số lượt xe đi trên đoạn đường BC. Giả sử các xe vào hệ thống đều ra khỏi hệ thống trong
thời gian đó. Hỏi trong ngày hôm đó đã có bao nhiêu lượt xe đi qua các đoạn đường AB, BC, CD, EB và AF?
Bài 9.(1đ) Ứng dụng của ma trận trong bảo mật:
Mật mã là một thông điệp được viết theo một mã bí mật. Trước hết, ta gán một số cho mỗi chữ cái
trong bảng chữ cái (với 0 được gán cho một khoảng trắng), như sau: 0 = _ 1 = A 2 = B 3 = C 4 = D 5 = E 6 = F 7 = G 8 = H 9 = I 10 = J 11 = K 12 = L 13 = M 14 = N 15 = O 16 = P 17 = Q 18 = R 19 = S 20 = T 21 = U 22 = V 23 = W 24 = X 25 = Y 26 = Z
Tiếp đến, ta chuyển đổi một đoạn thông điệp sang dạng số và được chia thành các ma trận hàng.
Cụ thể ta xem ví dụ sau với ma trận hàng 1 × 3: E A S Y _ G A M E [5 1 19] [25 0 7] [1 13 5]
Để mã hóa đoạn thông điệp này, chọn một ma trận A nghịch đảo, nhân ma trận hàng tương ứng
với A từ bên trái. Ví dụ, mã hóa thông điệp trên bằng ma trận  1 −2 2 A = −1 1 3   . 1 −1 −4 2 Ta có  1 −2 2  5 1 19 −1 1 3   = 23 −28 −63 1 −1 −4  1  −2 2 25 0 7 −1 1 3   = 32 −57 22 1 −1 −4  1 −2 2  1 13 5 −1 1 3   = −7 6 21 1 −1 −4 Từ đó ta có đoạn mã [23 −28 −63] [32 −57 22] [−7 6 21]
và sau khi bỏ đi dấu ma trận, đoạn mã hóa thông điệp EASY GAME sẽ là: 23 -28 -63 32 -57 22 -7 6 21
a. Dùng ma trận A ở trên để mã hóa thông điệp GOOD GAME WELL PLAYED
b. Giải mã đoạn mã hóa sau:
13 -26 21 33 -53 -12 18 -23 -42 5 -20 56 -24 23 77
Bài 10.(0.5đ) Tính định thức của ma trận cấp 2022 như sau  1 1 1 ... 1   2 2 2 ... 2    A =  3 3 3 ... 3  .    ... ... ... ... ...  2022 2022 2022 ... 2022
———————————————— CHÚC CÁC EM MAY MẮN 3