Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang được biên soạn theo dạng đề thi trắc nghiệm kết hợp với tự luận, phần trắc nghiệm gồm 40 câu, chiếm 14 điểm, phần tự luận gồm 03 câu, chiếm 06 điểm, thời gian làm bài 120 phút.
Preview text:
NHÓM TOÁN VD – VDC SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN N
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) H Ó
Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm M . TO Á N
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy góc 30 . Thể VD
tích khối chóp S.ABC bằng – 3 3 3 3 V a 3 a 3 a 3 a 3 . . . . D A. B. C. D. 48 24 36 72 C
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 3 y x m 2 x 2 m m 2 2 1 2 2
4 x 2m 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Câu 3. Cho hàm số 3 y x 3mx 1
1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
1 . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I 1 ;0 bán
kính R 3 tại hai điểm phân biệt ,
A B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và thỏa mãn điều kiện f 2 x f 8 2x 3x .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 4 . A. y 3 x 15. B. y 3x 15. C. y 3 x 9 . D. y 3x 9 . N H
Câu 5. Cho cấp số cộng u có u u 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng n 3 13 Ó M A. 600 . B. 630 . C. 800 . D. 570 . T
Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất O
0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là ÁN
10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá VD
trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? – A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . VD c c C
Câu 7. Cho các số thực a,b, c thoả mãn c b a 1và 2 2 6log b log c log 2log 1. Đặt a b a b b b
T log c 2log b . Mệnh đề nào sau đây đúng? b a A. T 2;5 . B. T 3 ; 1 . C. T 5;10 . D. T 1 ;2 . Câu 8. Cho hàm số 3 2 2
y x 3mx 4m 2
1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 có hai điểm cực trị A. 1 m 1. B. m 1 . C. m 1. D. m 0 . Câu 9. Cho phương trình x 2 x 1 m 2 m x 3 8 .2 2
1 .2 m m 0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham
số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là ; a b . Tính . a b bằng? 2 3 4 3 A. a.b . B. . a b . C. . a b . D. . a b . 3 2 3 4 Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình 3
x 3x m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có hai nghiệm dương? A. 1 m 1 . B. 2 m 1. C. 0 m 1. D. 1 m 1. N H
Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác Ó
suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. M 2045 409 409 409 T A. . B. . C. . D. . O 13608 11250 90000 3402 Á 2 N 1 3 2 n
Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển f x x x 1 x 2 thành đa thức, V D 4 –
với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 3 n2 A C 14n . n n VD A. 9 10 2 C . B. 5 10 2 C . C. 6 10 2 C . D. 5 10 10 2 C x . C 19 19 19 19
Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 2
6 a . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 3 a 2 3 3 a 2 A. 3 V a . B. V . C. 3 V 3 a . D. V . 4 4 3x 2 Câu 14. Cho hàm số y
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 3 trên đoạn 2 ; 1 . Khi đó M m là 1 15 15 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y
có đồ thị C . Gọi M a;b là điểm trên C có khoảng cách đến đường x 2
thẳng d : y 3x 6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a b 2 . B. a b 2 . C. a b 2 . D. a b 2 . N
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a . H Ó
Mặt phẳng BCC ' B ' vuông góc với mặt đáy và
B ' BC 30 . Thể tích khối chóp . A CC ' B là: M 3 3 3 3 T a 3 a 3 a 3 a 3 O A. . B. . C. . D. . Á 12 6 2 3 N
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn VD
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? – R V A. h R 2 . B. h . C. h 2R . D. h R . D 2 C
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S, , A B, E có bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 1
Câu 19. Cho hàm số f x 3 2
x ax bx ca, ,
b c thỏa mãn điều kiện f 0 f 1 f 2. 6
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g x f f 2
x 2 nghịch biến trên khoảng 0; 1 là A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC . a Biết SA a và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chóp S.AEF bằng N 3 3 3 3 H a a a a Ó A. . B. . C. . D. . M 18 24 36 12 x x xx T
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2 2 2 2 2 3 là O Á A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . N Câu 22. Cho hàm số 3 2
y f (x) ax bx cx d (a, , b ,
c d ) có bảng biến thiên như sau: VD – VDC
Phương trình f (x) m (m ) có bốn nghiệm phân biệt x , x , x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 3 4 1 x x x x khi: 1 2 3 4 2 1 1 A. m 1. B. 0 m 1. C. 0 m 1. D. m 1. 2 2
Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số ,
m m 50;50 sao cho bất phương trình 4
mx 2x m 0 nghiệm đúng với mọi x . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . N
Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số H 4 2
y g(x) x 4x m trên đoạn 2;
1 bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . Ó M A. 4 . B. 5 . C. 2020 . D. 0 . TO
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số ÁN 2x 1 y
tại hai điểm phân biệt A, B và AB 4 . V x 1 D – A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. V 2 D 2 3 4x 3x C
Câu 26. Tập xác định của hàm số y là: 2 2x 3x 1 4 1 4 A. D 1; . B. D 1 ; 0; . 3 2 3 1 4 1 4 C. D 1; 0; .
D. D \ 1; ;0; . 2 3 2 3 Câu 27. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d
có bao nhiêu giá trị dương? y O x Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc
phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm N
trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên H Ó
gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến M hai chữ số thập phân) TOÁN VD – VDC A. V 22,10 . B. V 22,27 . C. V 20,64 . D. V 22,30 .
Câu 29. Cho khối lăng trụ ABCD.AB C D
có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O .
Thể tích khối chóp A .BCO bằng A. 3 . B. 1. C. 2. D. 4 .
Câu 30. Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a 4 b 0 . Tính tổng S a 2b khi biểu thức 2 3 a 3 P log
log a đạt giá trị nhỏ nhất a 3 4b 16 a N 4 b H A. . B. . C. . D. . Ó S 10 S 11 S 12 S 8 M
Câu 31. Hàm số y log 2
x 2x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 0,5 TO A. 1; . B. 0; 1 . C. ; 1 . D. 1;2 . ÁN
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có AB 5a, BC 6a,CA 7a . Các mặt bên SAB,SBC và SCA VD
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC – V
thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . D C 3 8a 3 3 a 3 A. 3 8a 3 . B. 3 4a 3 . C. . D. . 3 2
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 y x m 2 2 1 x m 2020 đồng biến trên khoảng 3 ; 1 . A. m 10 . B. m 10 . C. m 10 . D. m 10 .
Câu 34. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ? A. 19 2 B. 19 2 1 C. 20 2 1 D. 20 2
Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
có AB AC 2a và BC 2a 3 . Tam giác A B C vuông
cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABC . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA và BC . Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC a 3 a 2 a 5 A. a 3 . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 36. Cho ba số dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y log , x y log , x y log x như hình vẽ N a b c H
dưới đây. Tìm khẳng định đúng: Ó M TOÁN VD – VDC A. c b a . B. c a b . C. a c b . D. b a c . 1 x
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng ba đường 2 x 4x m tiệm cận? A. 9. B. 7. C. 10 . D. 8. Câu 38. Hàm số 4 3
y x 4x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 3; . B. 4; . C. ; 4 . D. ; 3 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a; BC a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC a 6 . Góc N giữa mặt phẳng AB C
và mặt phẳng BCC B
bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AAB C C . H Ó 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 M A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 TO 2 2 9 x 4y 5 Á ; x y N
Câu 41. Cho hệ phương trình
(tham số m ) có nghiệm thỏa l
og 3x 2y log 3x 2y 1 m 3 VD
mãn 3x 2y 5. Khi đó giá trị lớn nhất của m là: – V A. log 3 . B. log 5 . C. 5. D. 4 . D 5 3 C 3 a
Câu 42. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là
. Tam giác SAB có diện tích là 2 2a . Tính khoảng cách 3
từ C đến mặt phẳng SAB . a 2a A. d . B. d 2a . C. a . D. d . 2 3
Câu 43. Cho hàm số f x 4 3 2
2x 8x 16x 1 m (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm
cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị a b c bằng A. 12. B. 16. C. 15. D. 13.
Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp
đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r , r , r của ba 1 2 3 bình I, II, III. Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC 1
A. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 2
B. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . N 1 2 3 H 1 Ó
C. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 M 2 T
D. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . 1 2 3 O Á
Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình N 2 2 V
log 2x x 3 log 3x x . Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là x 1. m m D – A. S 1 1;0 ;3 . B. S 1 ; 3 . V D 3 C C. S 1 1; 0 ;3 . D. S 1 ;0 1; 3 . 3
Câu 46. Cho mặt cầu S tâm O . Các điểm ,
A B,C nằm trên mặt cầu S sao cho
AB 3, AC 4, BC 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1. Thể tích của khối cầu S bằng 20 5 29 29 13 3 7 21 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 1
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC AD a 2
. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ACD bằng 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 4 N H x 2 1 Ó
Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là M 2x 3 T A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . O 0 0 Á
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB a, AC a 5, DAB CBD 90 ,
ABC 135 . Biết góc giữa hai N
mặt phẳng ABD và BCD bằng 0
30 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng. VD 3 3 3 3 – a a a a A. . B. . C. . D. . V 2 3 2 2 3 6 D C
Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình 9x 2 53x x 92x 1 0 là S ; a b ; c . Khi đó a b c bằng: A. 4 . B. 1. C. 5 . D. 3 .
____________________ HẾT ____________________ Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 N Môn thi: TOÁN H
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Ó M
Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm T O Á N BẢNG ĐÁP ÁN VD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 –
D A D A A B D D A A B B C D B B D C B C C A D A D VD
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C
B C B B D D A D B B B A D C A C D C C A B C C D D
PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy góc 30 . Thể
tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 48 24 36 72 Lời giải Chọn D S N H Ó A C M T O O M ÁN V B D –
Góc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy ABC bằng góc SMO 30 . VDC a 3 Ta có OM . 6 a
Tam giác SOM vuông tại O nên SO OM .tan 30 . 6 2 a 3 S ABC 4 2 3 1 a 3 a a 3 V . . SABC . 3 4 6 72
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 3 y x m 2 x 2 m m 2 2 1 2 2
4 x 2m 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải Chọn A
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành N 3 2 2 2 H x 2m
1 x 2m 2m 4x 2m 4 0 có 3 nghiệm phân biệt Ó M x 2 2
1 x 2mx 2m 4 0 có 3 nghiệm phân biệt TO 2 2
x 2mx 2m 4 0 có 2 nghiệm phân biệt đều khác 1 ÁN 2 2 2 2 m 2 m 2m 4 0 V 4 m 0 D
mà m m1;0; 1 2 1 7 2 m m m m m – 1 2 2 4 0 2 2 3 0 2 VD Câu 3. Cho hàm số 3 y x 3mx 1
1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi C
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
1 . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I 1 ;0 bán
kính R 3 tại hai điểm phân biệt ,
A B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2 Lời giải Chọn D y d A H 1 M B -4 -1 I O 2 x N H Ó M T Tập xác định: O Á x 0 y 1 2 N
y 3x 3m 0 3 2 V
x m y m 3m 1 D –
Với m ;0 thì đồ thị hàm số
1 luôn có hai điểm cực trị. VD + Gọi M ;
x y là điểm cố định của đường thẳng d . C Khi đó phương trình 2
m 3 x y 1 0 nghiệm đúng với mọi m 2
m x 3x y 1 0, m x 0 x 0
d luôn luôn đi qua điểm M 1;0 3 x y 1 0 y 1
Gọi H là trung điểm AB IH AB 1 2 S .IH.AB IH.AH IH 9 IAB IH . 2
Ta thấy IH IM 2 S 14 max S 14 I AB I AB . Chọn đáp án D. Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và thỏa mãn điều kiện f 2 x f 8 2x 3x .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 4 . N A. y 3 x 15. B. y 3x 15. C. y 3 x 9 . D. y 3x 9 . H Ó Lời giải M Chọn A TO
Vì f 2 x f 8 2x 3x (1) nên f '2 x 2 f '8 2x 3 (2). ÁN Thay x 2 vào 1 ;2 ta được VD f
4 f 4 6 f 4 3 – V f '
4 2 f '4 3 f ' 4 3 D C
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 4 là
y f '4.x 4 f 4 3 x 4 3 3 x 15 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 4 là y 3 x 15.
Câu 5. Cho cấp số cộng u có u u 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng n 3 13 A. 600 . B. 630 . C. 800 . D. 570 . Lời giải Chọn A
Gọi công sai của cấp số cộng u là d . n 2u 14d .15 1
Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng S 15 u 7d . 15 1 2
u u 80 u 2d u 12d 80 u 7d 40. 3 13 1 1 1 N Vậy S 15.40 600 . 15 H
Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất Ó M
0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là T
10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá O Á
trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? N A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . VD Lời giải – Chọn B VD
Số tiền còn nợ sau 1 tháng là T 400. 1 0,8% 10 . 1 C
Số tiền còn nợ sau 2 tháng là T 400.1 0,8%2 10 1 0,8% 10 . 2 …
Số tiền còn nợ sau n tháng là T 400. n
1 0,8%n 101 0,8%n 1 ... 10
4001 0,8%n 10. 1
1 0,8% ... 1 0,8%n 1 n n 1 0,8% 1 400 1 0,8% 10 8 501 0,8%n 1250 0,8% T n . n n 25 0 1 0,8% 48, 4 17
Vậy sau 49 tháng thì anh Ba trả hết nợ. Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC c c
Câu 7. Cho các số thực a,b, c thoả mãn c b a 1và 2 2 6log b log c log 2log 1. Đặt a b a b b b
T log c 2log b . Mệnh đề nào sau đây đúng? b a N H A. T 2;5 . B.T 3 ; 1 . C. T 5;10 . D.T 1 ;2 . Ó M Lời giải T Chọn D O Á Đặt x log ; b y log c xy log . c Khi đó a b a N V 2 2 c c 2 2 D 6log b log c log 2log
1 6x y xy x 2y 1 1 a b a b b b – V
Và T log c 2log b y 2 . x b a D C 1 y 3x Ta có
1 6x 1 y x 1 y2 2 0 T y 2x 1. 1 y 2 x Câu 8. Cho hàm số 3 2 2
y x 3mx 4m 2
1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 có hai điểm cực trị A. 1 m 1. B. m 1 . C. m 1. D. m 0 . Lời giải Chọn D Ta có 2 y ' 3x 6mx .
Hàm số (1) có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt 2 9m 0 m 0 . Câu 9. Cho phương trình x 2 x 1 m 2 m x 3 8 .2 2
1 .2 m m 0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham
số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là ; a b . Tính . a b bằng? 2 3 4 3 A. . a b . B. . a b . C. . a b . D. . a b . 3 2 3 4 N H Lời giải Ó Chọn A M x 2 x 1 2 x 3 T Phương trình 8 . m 2 2m 1 .2 m m 0 O x 2 x 2 x 3 Á 8 2 . m 2 2m 1 .2 m m 0 (1). N V Đặt 2x t điều kiện t 0 . D 3 2 2 3 –
Khi đó phương (1) trở thành t 2mt 2m 1 t m m 0 . VD t m C t m 2 2 t mt m 1 0 . 2 2 t mt m 1 0 *
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt m 0 và phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khác m 2 2 m 4m 4 0 2 m 1 0 2 2 2 1 m m 1; . a b . m 0 3 3 3 2 m 1 0
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình 3
x 3x m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có hai nghiệm dương? A. 1 m 1 . B. 2 m 1. C. 0 m 1. D. 1 m 1. Lời giải Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn A Ta có: 3 3
x 3x m 1 0 x 3x 1 m .
Số nghiệm phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y x 3x 1 và đường N H thẳng y m . Ó M
Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị hàm số 3
y x 3x 1 cắt đường thẳng y m tại ba điểm T
phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương. O Á
Bảng biến thiên của hàm số 3 y x 3x 1. N VD – VDC
Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị của tham số m thỏa mãn là 1 m 1 .
Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác
suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. 2045 409 409 409 A. . B. . C. . D. . 13608 11250 90000 3402 Lời giải Chọn B
Gọi số cần tìm có dạng abcde 11k, k .
Số cách chọn số có 5 chữ số từ tập số tự nhiên là : n 4 9.10 .
Gọi X là biến cố : ‘‘Chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố ’’.
Do chữ số tận cùng là số nguyên tố nên e 2;3;5; 7 . N
Suy ra k có tận cùng là 2;3;5;7 . H Ó
Ta có số cần tìm có 5 chữ số nên 10010 11k 99990 910 k 9090 . M
Xét các bộ số 910;911;...;919;920;921;...;929;...9080;9081;...;9089 . TO 9090 910 Á Số các bộ là 818 bộ. N 10 V
Mỗi bộ số sẽ có 4 số k thỏa mãn. Do đó, n X 818.4 3272 . D – 3272 409 V
Xác suất của biến cố X là P X . 4 D 9.10 11250 C 2 1
Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển 1 23 2 n f x x x x thành đa thức, 4
với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 3 n2 A C 14n . n n A. 9 10 2 C . B. 5 10 2 C . C. 6 10 2 C . D. 5 10 10 2 C x . 19 19 19 19 Lời giải Chọn B n 5 n n 1 Ta có 3 n2 A C 14n n n n n n n n n 1 2 2 14 2 5 25 0 5 2 n . 2 Mà n n 5. Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC 2 4 1 x 1 1
Xét khai triển f x x x 1 x 215 1 x 215 . x 219 .2 x19 2 . 4 2 16 16 k k k N
Ta có số hạng tổng quát của khai triển 19 2 x là 19 C 2 x . 19 H Ó 1 M
Từ đó, hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển đã cho bằng 10 9 5 10 .C .2 2 C . 19 19 16 TO
Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 2
6 a . Tính thể tích V của ÁN khối nón đã cho. V 3 a 2 3 3 a 2 D A. 3 V a . B. V . C. 3 V 3 a . D. V . – 4 4 V Lời giải D C Chọn C
Giả sử hình nón đã cho có đỉnh S , đường tròn đáy tâm O và thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S như hình vẽ. N H Từ giả thiết, suy ra
ASB 60 , do đó SAB là tam giác đều. Ó M Mặt khác 2 2 .O . B SB 6a O .
B 2OB 6a OB a 3 SO 3a . T 1 1 O
Thể tích khối nón V .OB .SO .a 32 2 3 .3a 3 a . Á 3 3 N 3x 2 V Câu 14. Cho hàm số y
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số D 2x 3 – 2 ;1 V trên đoạn . Khi đó M m là D C 1 15 15 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2 ; 1 . 5 Ta có y 0, x
2;1 nên hàm số nghịch biến trên 2 ; 1 . 2 2x 3 M y 8 2 , m y 1 1 . 7 1 Suy ra M m . 7 Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y
có đồ thị C . Gọi M a;b là điểm trên C có khoảng cách đến đường x 2
thẳng d : y 3x 6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? N H A. a b 2 . B. a b 2 . C. a b 2 . D. a b 2 . Ó Lời giải M Chọn B TO 2x 1 2 x 2 3 3 Á Ta có y 2 . N x 2 x 2 x 2 VD 3 Gọi M C M ; a 2 , a 2 . – a 2 VD
Ta có y 3x 6 3x y 6 0d . C
Ta có khoảng cách từ M đến d là 3 3a 2 6 d M d a 2 1 3 1 a a 3 2 10 , 3 4 3 2 2 . 3 2 2 10 a 2 10 a 2 5 1 a
Dấu bằng xảy ra khi a M 1 1 1;1 a b 2 . b 1
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a .
Mặt phẳng BCC ' B ' vuông góc với mặt đáy và
B ' BC 30 . Thể tích khối chóp . A CC ' B là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 Lời giải Chọn B N H Ó M TOÁN VD – VDC B ' H ABC Kẻ B ' H BC BB ' . B ' H 2a 2
Gọi I là trung điểm BC . AI BC AI CC 'B . AI B ' H Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC 1 1 2 S CC' BC.B ' H . a 2 B a a . 2 2 3 1 1 a 3 2 a 3 N V .ACC' AI. B S CC' . B a . H 3 3 2 6 Ó
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn M
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? TO R Á A. h R 2 . B. h . C. h 2R . D. h R . N 2 VD Lời giải – Chọn D V S 2S S 2S 2S . D tp xq xq ñaùy xq C 2 S 2S 2 Rh 2 xq R h R ñaùy .
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S, , A B, E có bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 Lời giải Chọn C N H Ó M T
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp EAB . O Á
Gọi là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng EAB . N V
Gọi E là trung điểm cạnh SA . D – Trong S ,
A gọi W là giao điểm của với đường trung trực cạnh SA . VD
W là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE , bán kính R WA . C 1 1 2 S A . ABE B EI a . 2 2 a 5 EA EB . 2 a 5 a 5 . . . . . . a EA EB AB EA EB AB 5 2 2 a S A BE R EAB . 4 R EAB 2 4S a 8 ABE 4. 2 5a AO . 8 2 2 a a a a 41
Tứ giác AEWO là hình chữ nhật 2 2 25 41 WA AO AE . R . 64 4 8 8 Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC 1
Câu 19. Cho hàm số f x 3 2
x ax bx ca, ,
b c thỏa mãn điều kiện f 0 f 1 f 2. 6
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g x f f 2
x 2 nghịch biến trên N H Ó khoảng 0; 1 là M A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . TO Lời giải ÁN Chọn B V D f 0 c – V 1 D Ta có f 1 a b c . C 6 f 4 2 4a 2b c 3 1 1 a b a 6 2 1 1 1 Vì f 0 f 1 f 2 f x 3 2 x x x c . 4 1 6 2 3 4a 2b b 3 3 f x 1 1 2 x x . 2 3
Ta có g x x f 2 x f f 2 2 . 2 . x 2
Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0; 1 gx 0, x 0; 1 . 3 3 2x 0 1
Nhận xét: f x 0 thì x 1 ;1 0; 1 nên x 0; 1 thì . 3 3 f 2 x 2 0 N H gx 0, x 0; 1 khi f f 2 x 2 0, x 0; 1 . Ó M 2 2 Lại có x 0;
1 x 2 2;3 f 2 f x 2 f 3. TOÁ 3 3 N f 2 1 c 1 3 3 3 3 3 3 V Suy ra 1
f 2 f 3 1 c 1 ; D 3 3 3 3 3 3 – f 3 1 c V 3 3 D min c max c 1. C
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC . a Biết SA a và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chóp S.AEF bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 Lời giải Chọn C Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC N H Ó M TOÁN V 3 D 1 a Ta có V S . A A . B BC . – S.ABC 6 6 VD
Tam giác ABC vuông cân tại B AC a 2. C 2 SF SA 1 SE 1
Tam giác SAC vuông tại A , có AF SC , . 2 SC SC 3 SB 2 3 V SE SF 1 1 a Lại có S.AEF . V V . S.AEF S. V SB SC 6 6 ABC 36 S.ABC
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2 2 x x 2 2 2 xx 3 là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt 2 2x x t,t 0 . 4 t 1l
Phương trình đã cho trở thành 2
t 3 t 3t 4 0 . t t 4 tm x 1 Với 2 x x 2 t 4 2
4 x x 2 0 . N x 2 H Ó
Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 và x 2 . M Câu 22. Cho hàm số 3 2
y f (x) ax bx cx d (a, , b ,
c d ) có bảng biến thiên như sau: TOÁN VD – VDC
Phương trình f (x) m (m ) có bốn nghiệm phân biệt x , x , x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 3 4 1 x x x x khi: 1 2 3 4 2 1 1 A. m 1. B. 0 m 1 . C. 0 m 1. D. m 1. 2 2 Lời giải Chọn A
Để ý rằng, do tính đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba ta suy ra được tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị hàm số y f (x) là 1 1 I ; . 2 2 Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC
bảng biến thiên của hàm số y f (x) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f (x) như sau: N H Ó M TOÁN VD – VDC
Vậy, dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f (x) ta có: 1 m 1 thỏa yêu cầu bài toán. 2
Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số ,
m m 50;50 sao cho bất phương trình 4
mx 2x m 0 nghiệm đúng với mọi x . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . Lời giải Chọn D 2x Ta có: 4 mx 2x m 0, x m 4 x
1 2x,x m f (x), x . 4 x 1 2x 4 6 x 2 1 Xét hàm số f (x)
trên . Ta có: f (x) ; f ( x) 0 x . 4 x 1 x 2 4 1 4 3
Bảng biến thiên của f (x) : N H Ó M TOÁN VD – VD C 2x 4 27
Dựa vào bảng biến thiên của f (x) ta suy ra: m f (x), x m 1,13975 . 4 x 1 2 Vì m ,
m50;50 nên m2;3;4;...;4 9 . 48.51
Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số m là: S 2 3 4 ... 49 1224 . 2
Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y g(x) x 4x m trên đoạn 2;
1 bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . A. 4 . B. 5 . C. 2020 . D. 0 . Lời giải Chọn A Xét 4 2
f (x) x 4x m liên tục trên 2 ; 1 ta có: Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC
min f (x) f 2 m 4 ; max f (x) f 2 f 0 m . 2 ;1 2; 1
Suy ra: max g(x) max f (x) max m ; m 4. N 2; 1 2; 1 H
Trường hợp 1: m m 4 , (*). Ó M m 2020 T
Khi đó: max g(x) m 2020
. Kiểm tra điều kiện (*) ta được m 2020 . O 2; 1 m 2 020 ÁN
Trường hợp 2: m m 4 , (**). VD m 2024 –
Khi đó: max g(x) m 4 2020
. Kiểm tra điều kiện (**) ta được m 2016 . 2; 1 m 2016 VDC
Vậy tổng các phần tử của S là: 2020 ( 2 016) 4 .
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y
tại hai điểm phân biệt A, B và AB 4 . x 1 A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D 2x 1
Phương trình hoành độ giao điểm là x m , x 1. x 1 f x 2 x m 1 x m 1 0 . 1
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt thì phương trình * có hai
nghiệm phân biệt khác 1. 2 0 m 6m 3 0 m 3 2 3 2 . N f 1 0 3 0 m 3 2 3 H Ó
Gọi hai điểm phân biệt là A x ; x m , B x ; x m , với x , x là hai nghiệm phân biệt 2 2 1 1 M 1 2 T của phương trình * . O Á 2 2 2 N Ta có AB x x x x 2 x x 2 1 2 1 2 1 VD 2 2 – 2 x x 2x x 2 m 6m 3 1 1 1 2 . VD Mà 2 2 2
AB 4 AB 16 m 6m 3 8 m 6m 11 0. C
3 2 5 m 3 2 5 3.
Từ 2 và 3 , kết hợp m là số nguyên dương ta suy ra m 7 .
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa điều kiện bài toán. 2 2 3 4x 3x
Câu 26. Tập xác định của hàm số y là: 2 2x 3x 1 4 1 4 A. D 1; . B. D 1 ; 0; . 3 2 3 1 4 1 4 C. D 1; 0; .
D. D \ 1; ;0; . 2 3 2 3 Lời giải Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn B 2 4x 3x
Hàm số xác định khi và chỉ khi 0 . 2 2x 3x 1 N H Bảng xét dấu Ó M TOÁN VD – V D C 1 4
Vậy tập xác định là D 1 ; 0; . 2 3 Câu 27. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d
có bao nhiêu giá trị dương? y O x A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Theo hình dạng đồ thị ta suy ra a 0 .
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên a và c trái dấu, suy ra c 0 .
Đồ thị hàm số có giao điểm với trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0 . N Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của phương trình H Ó b M
y 0 6ax 2b 0 x . 3a TO b b Á
Từ đồ thị ta thấy tâm đồ thị hàm số là số dương nên
0 0 , suy ra a, b trái dấu, N 3a a VD do đó ta có b 0. –
Vậy a 0 , b 0, c 0 , d 0 . VD
Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc C
phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm
trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên
gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến hai chữ số thập phân) Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC N H Ó M TOÁN VD – VDC A. V 22,10 . B. V 22,27 . C. V 20,64 . D. V 22,30 . Lời giải Chọn B
Đặt các đỉnh như hình vẽ dưới đây N B A M B' A' C D C' D' N H Ó M TOÁN V D
Xét mặt phẳng qua trục của khối nón chứa cạnh AB, ta có hình phẳng – VDC D' C' H E F K N M A O B
Với HK là đường kính đường tròn ngoại tiếp AB C D
Ta có BC 2 2 và AC 2 3 Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC Khi đó D E D A 2 2 3 1 2 tanD A E . 2. cotD A E N A E 2 A C EF 2 3 2 2 3 1 H Ó 2 4 M MA 2E . A tan D A E 2E . A cotD A E 2 2. 2 3 1 3 1 T Suy ra O AB 3 1 5 3 Á h MA AO .tanD MA M A . N 2 2 2 VD
Như vậy thể tích cần tìm là – 2 V 2 1 3 1 4 5 3 3 D
MA 1 h AB 1 . 2 22,27 . C 3 3 3 1 2
Câu 29. Cho khối lăng trụ ABCD.AB C D
có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O .
Thể tích khối chóp A .BCO bằng A. 3 . B. 1. C. 2. D. 4 . Lời giải Chọn B D' C' A' B' D C O N A B H Ó M 1 1 1 1 Ta có V d A , ABCD .S .d A , ABCD . S V 1 A .BCO BCO ABCD ABCD.A B 'C D T 3 3 . 4 12 O
Câu 30. Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a 4 b 0 . Tính tổng S a 2b khi biểu thức ÁN 2 3 V a 3 D P log
log a đạt giá trị nhỏ nhất a 3a – 4b 16 4 b VD A. S 10 . B. S 11. C. S 12. D. S 8 . C Lời giải Chọn D 3 a 4 0 4 3a 4 b 0 4 b a a 1 a 3 3 2 2 3 3 a 3 a 3 3a Ta có P log log a log log a 3 4b 16 a a 4b 16 a b 4 4 b 2 3 a 3 3 log log a a 4b 16 a b 2 2 Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC Cauchy 3 a a Lại có 3 3
b 2 2 3 4b 3a b 4 3 4b 1 1 nên 3 4b 4b 2 N 2 H Ó 3 3 a 3 1 a 3 3 M P log log a a 3 T 4b 16 a 4b 16 log log a O a 3 4 a b 4b Á N 2 V D 2 3 3 Cauchy 3 – 1 a 1 a 3 3 3 a 9 9 V P log log 3 . log . a a 3 a 2 D 2 4b 2 4b 16 a 3 64 4b 3 4 a C log a log 4b a 4b 9 Do đó min P , 4 a a 4
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi b 2 2 b 2
Vậy S a 2b 4 2.2 8 .
Câu 31. Hàm số y log 2
x 2x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 0,5 A. 1; . B. 0; 1 . C. ; 1 . D. 1;2 . Lời giải Chọn D
Tập xác định D 0;2. 2 x 2 N Ta có y . 2 H x 2xln0,5 Ó M 2 x 2
Với x 0;2 ta có y 0
0 2x 2 0 x 1. 2 T x 2xln0,5 O ÁN
Kết hợp với điều kiện, y 0 x 1;2 . V 2 D Vậy hàm số y log
x 2x đồng biến trên khoảng 1;2 . 0,5 – V
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có AB 5a, BC 6a,CA 7a . Các mặt bên SAB,SBC và SCA D C
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC
thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 8a 3 3 a 3 A. 3 8a 3 . B. 3 4a 3 . C. . D. . 3 2 Lời giải Chọn A Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC N H Ó M TOÁN VD –
Gọi O là chân đường vuông góc từ S xuống mặt phẳng ABC SO ABC . VDC
Các mặt bên SAB,SBC và SCA cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 .
O là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Gọi H , K, I lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh AB, BC,CA . SHO 60 . 5a 6a 7a Ta có p 9a ; S a a a a a a a a (đvdt) A BC 2 9 9 5 9 6 9 7 6 6 2 S 2 6
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp A BC r OH a . p 3 2a 6
Xét SHO vuông tại O , SO OH.tan 60 . 3 2a 2 . 3 1 1 2 3 V S
.SO .6 6a .2a 2 8a 3 (Đvtt). S.ABC 3 A BC 3
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 y x m 2 2 1 x m 2020 đồng N biến trên khoảng 3 ; 1 . H Ó A. m 10 . B. m 10 . C. m 10 . D. m 10 . M Lời giải TO Chọn D Á 3 N
Ta có y 4x 4m 1 x . V 4 2 D
Hàm số y x 2m
1 x m 2020 đồng biến trên khoảng 3 ; 1 – 3 3 y 0, x 3; 1 4x 4m 1 x 0, x 3; 1 m 1 x x , x 3; 1 VD 2 2 C m 1 x , x 3 ;
1 m 1 max x m 1 9 m 10 . 3; 1
Câu 34. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ? A. 19 2 B. 19 2 1 C. 20 2 1 D. 20 2 Lời giải Chọn B
Số tập con khác rỗng của tập A có 20 phần tử mà số phần tử chẵn là 2 4 6 18 20
n C C C ... C C hay ta có 0 2 4 6 18 20
n 1 C C C C ... C C . 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Xét khai triển 1 x20 0 1 2 2 18 18 19 19 20 20
C C x C x ... C x C x C x . 20 20 20 20 20 20
Cho x 1 trong khai triển trên, ta được: 20 0 1 2 18 19 20
2 C C C ... C C C 1 20 20 20 20 20 20 Cho x 1
trong khai triển trên, ta được: 0 1 2 3 18 19 20
0 C C C C ... C C C 2 20 20 20 20 20 20 20 Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC Cộng vế với vế của các đẳng thức (1) và (2) ta được: 20 2 2 0 2 4 6 18 20
C C C C ... C C 20 20 20 20 20 20 20 N 2 2n 1 H 19 Ó n 2 1 M
Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
có AB AC 2a và BC 2a 3 . Tam giác A B C vuông TO
cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABC . Tính khoảng cách giữa hai ÁN
đường thẳng AA và BC . VD a 3 a 2 a 5 A. a 3 . B. . C. . D. . – 2 2 2 VD Lời giải C Chọn B
Gọi H là trung điểm của BC , ta có AH ABC và A H
BC , mặt khác tam giác ABC cân
tại A nên AH BC . Vậy nên BC AAH AA BC . Gọi I là hình chiếu của H lên AA N
thì IH là đoạn vuông góc chung của AA và BC , do đó d AA , BC HI . H Ó 1 M
Trong tam giác vuông cân A B C : AH BC a 3 2 TO Trong tam giác vuông ABH : 2 2 2 2
AH AB BH 4a 3a a ÁN AH.AH . a a 3 a 3 V
Xét tam giác vuông AAH có IH D 2 2 2 2 AH AH a 3a 2 – V a D Vậy d AA BC 3 , HI C 2
Câu 36. Cho ba số dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y log , x y log , x y log x như hình vẽ a b c
dưới đây. Tìm khẳng định đúng: A. c b a . B. c a b . C. a c b . D. b a c . Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải Chọn B N H Ó M TOÁN VD – V D C
Vẽ đường thẳng y 1 lần lượt cắt đồ thị các hàm số y log ,
x y log x, y log x tại các điểm a b c
có hoành độ lần lượt là a,b,c , ta thấy 0 c 1 a b 1 x
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng ba đường 2 x 4x m tiệm cận? A. 9. B. 7. C. 10 . D. 8. Lời giải Chọn A x 1 Điều kiện: . 2 x 4x m 0
Ta có lim y 0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y 0 . x
Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì phương trình 2
x 4x m 0 phải có hai nghiệm
phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 1. N Xét phương trình 2 2
x 4x m 0 x 4x m H Hàm số 2
y x 4x có bảng biến thiên: Ó M TOÁN VD – V
Từ BBT ta có điều kiện của m là 4 m 5 5 m 4, m m5; 4 ;...; 3 . D C
Vậy có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn. Câu 38. Hàm số 4 3
y x 4x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 3; . B. 4; . C. ; 4 . D. ; 3 . Lời giải Chọn D Tập xác định: D . Ta có: 3 2 2 y 4 x 12x 4
x x 3; y 0, x ; 3.
Nên hàm số đồng biến trên khoảng ; 3.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a; BC a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn C N H Ó M TOÁN VD – VD
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm BC, AC và S . A C
Vì SA SB SC AB AC a; BC a 2 nên SM ABC
Ta có MN // AB, NP // SC AB, SC MN, NP. a
Tam giác MNP có MN NP MP MNP đều MN, NP MNP 60. 2 Vậy AB, SC 60 .
Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC a 6 . Góc giữa mặt phẳng AB C
và mặt phẳng BCC B
bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AAB C C . 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 Lời giải Chọn A N H Ó M TOÁN VD – VDC
Gọi H là trung điểm BC ; trong B B C kẻ HK B C
. Dễ dàng chứng minh được AK B C
. Như vậy góc giữa mặt phẳng AB C
và mặt phẳng BCC B là góc A KH 60 BC a 6 a 2 Ta có AH KH AH.cot 60 2 2 2 2 2 3a a Ta có 2 2 CK CH KH a 2 2 Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC a 2 .a 6 CK KH KH.CB 2 BB a 3 CB BB CK a N H 1 3 2 3 Ó Vậy V S .BB a a V a a ABC A B C A BC 62 3 3 3 .a 3 3 . 3 3 . AA'B'C ' 4 2 C 3 2 M 2 2 T 9 x 4y 5 O
Câu 41. Cho hệ phương trình
(tham số m ) có nghiệm ; x y thỏa Á l og
3x 2ylog 3x 2y 1 m 3 N V
mãn 3x 2y 5. Khi đó giá trị lớn nhất của m là: D – A. log 3 . B. log 5 . C. 5. D. 4 . 5 3 VD Lời giải C Chọn C a 3x 2y Đặt b 3x 2y . a b 5 Ta có hệ pt l og a log b 1, 2 m 3 5
Thay b vào pt 2 , ta được pt a 5 15 log a log 1 log a log m 3 m 3 a a 15 15 log 3.log a log log 3 log m 3 3 m a a a log 3 log 15 1 m a 1 1 log 15 1 N log m m 3 a 3 H log 15 1 a Ó M
Vậy m lớn nhất khi và chỉ khi a lớn nhất, T
Suy ra a 5 thì m lớn nhất bằng 5 . O 3 Á a N
Câu 42. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là
. Tam giác SAB có diện tích là 2 2a . Tính khoảng cách 3 VD
từ C đến mặt phẳng SAB . – V a 2a D A. d . B. d 2a . C. a . D. d . C 2 3 Lời giải Chọn A 3 a 3. 3V a Ta có d C SAB S.ABC 3 , . 2 S 2a 2 S AB
Câu 43. Cho hàm số f x 4 3 2
2x 8x 16x 1 m (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm
cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị a b c bằng A. 12. B. 16. C. 15. D. 13. Lời giải Chọn C Xét hàm số g x 4 3 2 2x 8x 16x 1 m Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: g x 3 2 ' 8x 24x 32x . x 0 N g ' x 0 x 1
. Bảng biến thiên của hàm số y g x : H Ó x 4 M TOÁN VD – VDC
Trường hợp 1: 1 m 0 m 1 f x g x có 5 cực trị.
Trường hợp 2: 5 m 0 1 m 5 m 1 f x g x có 7 cực trị.
Trường hợp 3: 255 m 0 5 m 255 m 5 f x g x có 5 cực trị.
Trường hợp 4: 0 255 m m 255 f x g x có 3 cực trị. Vậy a b c 15 .
Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp
đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r , r , r của ba 1 2 3 bình I, II, III. 1
A. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 2 N
B. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . 1 2 3 H 1 Ó
C. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 M 2 T
D. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . O 1 2 3 ÁN Lời giải V Chọn C D
Gọi V ,V ,V lần lượt là lượng nước; h , h , h lần lượt là độ cao mực nước trong các bình I, II, – 1 2 3 1 2 3 V III. D C Ta có: 2 2 2
V r h , V r h , V r h 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 V V r h r h r h r h Theo giả thiết: 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 V V V * 1 2 3 2 2 2 2 V V r h r h r h r h 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 r h r 2h r 2r r 2r
Mặt khác: h 2h 4h nên * 1 1 2 1 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 r h r 2h r 2r 2 2 3 2 2 3 r 2r 2 3 1
Do đó r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 2
Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2x x 2 log 2 3 log
3x x . Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là x 1 . m m A. S 1 1;0 ;3 . B. S 1 ; 3 . 3 Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC C. S 1 1; 0 ;3 . D. S 1 ;0 1; 3 . 3 Lời giải N H Chọn A Ó Trường hợp 1: m 1 M 2 2 T log x x x x m 2 3 logm 3 O 2 Á 2x x 3 0 N 2
x 2x 3 0 x ; 1 3; 2 2 V 2x x 3 3x x D –
Trường hợp 2: 0 m 1 V 2 2 D log x x x x m 2 3 logm 3 C 2 2 3x x 0 3x x 0 1 x 1 ;0 ;3 2 2 2 2x x 3 3x x x 2x 3 0 3
Vì x 1 là một nghiệm của bất phương trình nên S 1 1;0 ;3 . 3
Câu 46. Cho mặt cầu S tâm O . Các điểm ,
A B,C nằm trên mặt cầu S sao cho
AB 3, AC 4, BC 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1. Thể tích của khối cầu S bằng 20 5 29 29 13 3 7 21 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 Lời giải Chọn B N H Ó M TOÁN VD – V D C Ta có 2 2 2
BC AB AC nên tam giác ABC vuông tại A . Mặt phẳng ABC cắt mặt cầu S BC 5
theo giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính r
. Mà khoảng cách từ O 2 2 29
đến mặt phẳng ABC là d 1 nên mặt cầu S có bán kính 2 2 R d r . 2 3 4 4 29 29 29
Vậy thể tích của khối cầu là 3 V R . 3 3 2 6 1
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC AD a 2
. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ACD bằng Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 4 Lời giải N H Chọn C Ó M TOÁN VD – VDC
Gọi H là trung điểm của AB . Do SAB là tam giác đều cạnh bằng a nên SH AB và a 3 SH
. Mà SAB ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD . 2
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên diện tích tam giác ACD được tính theo công 1 thức 2 S A . D AB . a a a . ACD 2 3 1 1 a 3 a 3
Vậy thể tích khối chóp S.ACD là 2 V S .SH a . . S.ACD 3 ACD 3 2 6 x 2 1
Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là 2x 3 N H A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Ó Lời giải M Chọn C TO 3 Á
Tập xác định: \ . N 2 VD x 2 1 x 3 1 1 +) lim lim
nên đường thẳng y là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm – x 2x 3 x 2x 3 2 2 VD số. C x 2 1 x 1 1 1 +) lim lim
nên đường thẳng y là một tiệm cận ngang của đồ thị x 2x 3 x 2x 3 2 2 hàm số. x 2 1 3 +) lim
nên đường thẳng x là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 3 2x 3 2 x 2
Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 3 đường tiệm cận.
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB a AC a DAB 0 CBD 0 , 5,
90 , ABC 135 . Biết góc giữa hai
mặt phẳng ABD và BCD bằng 0
30 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng. 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 3 6 Lời giải Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn D N H Ó M TOÁN VD – VD C Ta có 2 2 2 0 2 2 2 AC AB BC 2A .
B BC cos135 5a a BC 2 . a BC BC a 2 .
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BCD, BD và BC . Khi đó góc giữa
hai mặt phẳng ABD và BCD bằng 0
AIH 30 và BIHK là hình chữ nhật. a Do 0 ABC 0 135
ABK 45 nên AKB vuông cân tại K . Do AB a AK BK nên 2 a a 1 a 0 HI AH HI tan 30 . . 2 2 3 6 2 2 a 5a
Trong tam giác vuông AHB ta có 2 2 2 2 HB AB AH a . Khi đó 6 6 2 2 5a a a 3 2 2 BI BH HI . 6 2 3 2 2 AB a
Trong tam giác vuông ABD ta có 2 AB BI.BD BD a 3 . N BI a 3 H 3 Ó M 3 1 1 a a Vậy V AH.BC.BD . .a 2.a 3 . T ABCD 6 6 6 6 O Á x x N
Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình 9 2 x 53 92x 1 0 là S ; a b ; c . Khi đó V a b c bằng: D – A. 4 . B. 1. C. 5 . D. 3 . V Lời giải D C Chọn D
Ta có 9x 2 53x 92
1 0 3x 2 1 3x x x x 9 0 3x 2x 1 3x 2x 1 3x 9 x 2 (*) 3x 2x 1 3x 2x 1 3x 9 x 2
Xét phương trình 3x 2 1 3x x 2x 1 0 Xét hàm số f x x x f x x f x x 2 3 2 1 3 ln 3 2, 3 ln 3 0
Vậy f x 0 có nhiều nhất một nghiệm. Vậy f x 0 có nhiều hất hai nghiệm. Hay
3x 2x 1 0 có nhiều hất hai nghiệm Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC
Nhận xét: 3x 2x 1 0 có hai nghiệm x 0; x 1 x 1 N x 0 H x 2 Ó Khi đó (*) x 2 . Vậy S 0; 1 2; . M 0 x 1 0 x 1 T O x 2 ÁN
Khi đó a 0;b 1;c 2 a b c 3 . VD –
____________________ HẾT ____________________ VDC N H Ó M TOÁN VD – VDC Trang 32