TailieuVNU.com
Đề thi Kết thúc môn học, Hè 2017
Môn: Đại số tuyến tính
Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. (2 điểm) Cho hệ phương trình với tham số m mx1 − 2x2 + 3x3 = 0, −2x1 + x2 + 6x3 = 0, x1 + 2x2 + 2x3 = 0.
(a) Giải hệ phương trình trên khi m = 1.
(b) Tìm m để hệ phương trình trên có vô số nghiệm. 2 1 −2 1 4 1
Bài 2. (2 điểm) Cho A = 0 2 1 . (a) Tính det(A).
(b) A có khả nghịch không? Nếu có, hãy tìm A−1.
Bài 3. (2 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3 được xác định như sau: < u, v < u, v T(u) = 1 > v 2 > v < v 1 + 2, 1, v1 > < v2, v2 >
trong đó v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 0).
(a) Tìm ma trận của T trong các cơ sở chính tắc (chuẩn tắc) của R3.
(b) Tìm một cơ sở của không gian hạch (hạt nhân) ker(T).
Bài 4. (2 điểm) Tìm hình chiếu của vector w = (1, 2, 3, 4) lên không gian con S của
R4 sinh bởi hai vector cột v1 va v2 của ma trận A, trong đó 1 −1 1 1 A = 1 −1 1 1
Bài 5. (2 điểm) Cho ma trận 3 −2 0 −2 3 0 A = 0 0 5 .
(a) Tìm các giá trị riêng và các không gian riêng tương ứng của A.
(b) Tìm một ma trận trực giao P (nếu có) sao cho PT AP là một ma trận
đường chéo. Viết ma trận đường chéo nhận được.
Không sử dụng tài liệu và các thiết bị điện tử! Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1 TailieuVNU.com Đáp án: Đề số 2 Bài 1. Ma trận hệ số m −2 3 −2 1 6 A = 1 2 2 1 2 2 0 1 2 −→ 0 0 −2m − 7
(a) Với m = 1, det(A) 6= 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
(b) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi det(A) = −2m − 7 = 0, tức là m = −7/2. Bài 2. (a) det(A) = −1. (b) A khả nghịch và −2 5 −9 1 −2 4 A−1 = . −2 4 −7
Bài 3. (a) Cơ sở chuẩn tắc của R3 là :{u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)}. Ta có: 1 1
T(u1) = (1, 0, 0), T(u2) = T(u3) = (0,√ , 2 √ ). 2
Vậy ma trận của T trong các cơ sở chuẩn tắc của R3 là 1 0 0 0 1 1 √ √ . A = 2 2 0 1 1 √ √ 2 2
(b) Biến đổi tương đương theo hàng ta có: 1 0 0 0 1 1 (1) A . ∼ 0 0 0
Vậy không gian hạch của T là: (2)
{(x1, x2, x3) ∈ R3|x1 = 0, x2 + x3 = 0} = {(0, −p, p)|p ∈ R} = = {p(0, −1, 1)|p ∈ R}.
Vậy một cơ sở của ker(T) là B = {(0, −1, 1)}. TailieuVNU.com
Bài 4. Chuẩn hóa các vector v1 và v2, ta nhận được 1 1 1 1 1 1 1 1 {u1, u2} = {( , , , ), (− , , − , 2 2 2 2 2 2 2 )}. 2 ta có
projSv = (v · u1)u1 + (v · u2)u2 1 1 1 1 1 1 1 1
= 5( , , , ) + 2(− , , − , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 7 3 7 = ( , , , ) 2 2 2 2
Bài 5. (a) Đa thức đặc trưng của ma trận A là λ − 3 2 0 2 λ − 3 0 = (λ − 5)2(λ − 1)
(3) χA(λ) = det(λI3 − A) = det 0 0 λ − 5
Từ (3) ta thấy các giá trị riêng của A là: λ1 = 5 (bội 2), λ2 = 1 (bội 1). λ1 = 5 : Xét hệ 2 2 0 x1 0 2 2 0 x2 0 (4) . 0 0 0 x3 = 0 Giải hệ (4) ta được x1 −t −1 0 x2 t 1 0 x3 = s = t 0 + s 1 .
Do đó không gian riêng tương ứng với λ1 = 5 là −1 0 1 0 V }) 5(A) = s pan({ 0 , 1 λ2 = 1 : Xét hệ −2 2 0 x1 0 2 −2 0 x2 0 (5) . 0 0 −4 x3 = 0 Giải hệ (5) ta được x1 1 x2 1 x3 = t 0 . 1 1 }).
Do đó không gian riêng tương ứng với λ2 = 1 là: V1(A) = span({ 0 −1 0 1
0 là 2 vector riêng tương ứng với giá trị riêng (b) v1 = 0 và v2 = 1
λ1 = 5. Dễ thấy < v1, v2 >= 0. Chuẩn hóa: −1 √ v 2 p 1 1 1 = √ , = 2 ||v 0 1|| TailieuVNU.com v 0 p 2 2 = 0 = 1 . ||v2|| 1 1
là một vector riêng tương ứng với giá trị riêng λ v 2 = 1. 3 = 0 Chuẩn hóa: 1 √ v 2 p 3 1 3 = √ . = 2 ||v 0 3|| − 1√ 0 1 2 √2 1 √ 0 1 √ P = 2 2 0 1 0 Khi đó P trực giao và 5 0 0 0 5 0 PT AP = 0 0 1 .