TailieuVNU.com
Đề thi Kết thúc môn học, Hè 2018
Môn: Đại số tuyến tính
Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. (2 điểm) Xét hệ phương trình tuyến tính với tham số m: 
x − y − z = 1  
2x − y − 2z = 1 
(m + 1)x − y − 3z = 2
(a) Giải hệ phương trình trên với m = 2.
(b) Biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên theo m.  0  √
Bài 2. (2 điểm) (a) Cho ma trận A = và  2/2 √ 
I3 là ma trận đơn vị cấp 3. 2/2 Tính (I T T
3 − 2AA )2 và xác định nghịch đảo của ma trận I3 − 2AA .    2 1 1 2  
(b) Tính định thức −2 4 3 6   .  1 3 2 4    2 4 1 3
Bài 3. (2 điểm) Cho P2 là không gian các đa thức theo biến x, với bậc nhỏ hơn hay bằng
2. Xét ánh xạ tuyến tính T : P2 −→ P2 cho bởi
T( f ) = x f 0(x), với mọi f = f (x) ∈ P2.
(a) Tìm ma trận của ánh xạ T đối với cơ sở B := {1, x, x2} của P2.
(b) Tìm một cơ sở của không gian ảnh Im(T) của T. Tính số chiều của Im(T).
Bài 4. (2 điểm) Cho V là không gian con của R4 sinh bởi hai vector v1 = (1, 1, 1, 1) và
v2 = (1, 2, 1, 2). Ta xét không gian R4 cùng với tích vô hướng thông thường.
(a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con V.
(b) Tìm hình chiếu vuông góc của vector v = (1, 2, 3, 4) lên không gian con V. 0 2 2
Bài 5. (2 điểm) Cho A = 2 0 2 .  2 2 0
(a) Tìm tất cả các giá trị riêng và các không gian riêng tương ứng của A.
(b) Tìm một ma trận trực giao P sao cho P−1AP là một ma trận đường chéo. Viết
ma trận đường chéo nhận được.
Không sử dụng tài liệu, máy tính bảng, điện thoại thông minh. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1 TailieuVNU.com Đáp án: Đề số 2
Bài 1. (a) Khi m = 2, hệ phương trình đã cho là
 x − y − z = 1  
2x − y − 2z = 1 
 3x − y − 3z = 2 Ta có  1 −1 −1 1   1 −1 −1 1   1 −1 −1 1   2 −1 −2 1  →  0 1 0 −1  →  0 1 0 −1  . 3 −1 −3 2 0 2 0 −1 0 0 0 1 Do vậy hệ vô nghiệm.
(b) Biện luận số nghiệm của phương trình trên theo tham số m:
Định thức ma trận hệ số là m − 2. Với m 6= 2 thì định thức của ma trận hệ số khác
không. Do vậy hệ có nghiệm duy nhất.
Khi m = 2 thì hệ vô nghiệm (câu (a)) 1 0 0  Bài 2. (a) (I T T T
3 − 2AA )2 = I3 và do đó (I3 − 2AA )−1 = I3 − 2AA = 0 0 −1 .  0 −1 0    2 1 1 2   (b) −2 4 3 6   = −5.  1 3 2 4    2 4 1 3
Bài 3. (a) Ma trận của T đối với cơ sở đã cho là 0 0 0 A = 0 1 0 . 0 0 2
(b) Im(T) = {bx + cx2|b, c ∈ R.}
Một cơ sở của Im(T) là {x, x2}. dim(Im(T)) = 2.
Bài 4. Vì hai vector v1 và v2 là độc lập tuyến tính nên chúng lập thành một cơ sở của không gian V.
Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cơ sở {v1, v2}, ta nhận được: v w 2· w1
1 := v1 = (1, 1, 1, 1) và w2 = v2 −
w1 = (−1/2, 1/2, −1/2, 1/2). w1· w1
Chuẩn hóa hai vector w1 và w2, ta nhận được: 1 1 1 1 1 1 1 1
{u1, u2} = {( , , , ), (− , , − , )}. 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó, ta có: proj )
V v = (v· u1)u1 + (v· u2)u2 = (2, 3, 2, 3 . TailieuVNU.com Bài 5. (a)  λ   −2 −2  (1) |λI   3 − A| = −2 λ −2  = (λ + 2)2(λ − 4)   −2 −2 λ 
Vậy A có 2 giá trị riêng là λ1 = −2 (bội 2),λ2 = 4 (bội 1). Với λ1 = −2: Xét hệ
−2 −2 −2 x    1 0 (2) = 0 −2 −2 −2 x2   −2 −2 −2 x3 0
Giải hệ (2) ta được không gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ1 = −2 có  −1  −1  −1 −1 dạng {s  1 + 
t  0 } = span{ 1  ,  0 }. 0 1 0 1
Với λ2 = 4: Xét hệ phương trình  4 −2 −2 x    1 0 (3) x = −2 4 −2  2 0 −2 −2 4 x3 0
Giải hệ (3) ta được không gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ2 = 4 có  1 dạng span{1}. 1 −1 −1  (b) Chọn v1 = .
 1  , v2 =  0  0 1
Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt: −1
w1 = v1 =  1  . 0  −1 2
w2 = v2 − v2.w1 w w w w 1 = v2 − 1 1 = − 1  1. 1 2 2 1 − 1 √   − 1 √  2 6 p 1 1 = w1 =  √  = − 1 √ . || , p w 2 = w2 1||  2  ||w2||  6  0 2 √6 1 Lấy v3 = . 1  1  1  √3 Chuẩn hóa:   p 1 √ 3 = v3 = ||v   3|| 3  1  √3   − 1 √ − 1 √ 1 √   2 6 3 −2 0 0 Đặt P =  1 √ 1 √   − 1 √ . Khi đó PT AP = 0 −2 0 . 2 6 3      0 2 √ 1 √ 0 0 4 6 3