Đề thi Olympic Toán 7 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Hoàng Mai – Nghệ An

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 7
(Đề thi gồm 01 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút,
không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau. 12 12 10 10 a) 2 .13  2 .65 3 .11  3 .5 A   10 9 2 .104 3 .16 2          b) 1 1 1 64 4 2       4  B 1      :               2  49 49 (7 7)   2 7   7 343   c) 1 3 1 5 3 5 3 C        3 7 2.7 2.13 13.4 4.21 21.6
Câu 2. (3,5 điểm)
a) Tìm x biết: x  4 x  3 x  2 x  1    . 2020 2021 2022 2023 2   b) Tìm x, y biết: 1 2  x 
   3y  12  0  .  6 c) Tìm số nguyên x để x  1 P  là một số nguyên. x  3
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Ông Ba gửi ngân hàng 100 triệu, lãi suất 8% trên 1 năm. Hỏi sau 36 tháng số
tiền cả gốc và lãi ông Ba thu được là bao nhiêu ? (Biết nếu tiền lãi không rút ra thì
tiền lãi đó sẽ nhập vạ̀o vốn để tính lãi cho các kì hạn tiếp theo).
b) Biết x  1 và 2x  1 đồng thời là các số chính phương. Chứng minh x 12.
c) Cho hai đa thức: f(x)  (x 1)(x  3) và 3 2
g(x)  x ax  b  3 . Xác định hệ
số a, b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f(x)cũng là nghiệm của đa thứcg(x).
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B có  0
C  60 , kẻ đường cao BK (K  AC ). Vẽ
đường thẳng d là trung trực của AB cắt cạnh AB tại N , cắt cạnh AC tại M , cắt tia
BK của tam giác ABC tại E . a) Chứng minh ANM   B
 NM và M là trung điểm của AC .
b) Chứng minh điểm E cách đều MB và BC .
c) Vẽ điểm D thuộc đoạn BE sao cho 1
ED  EB , gọi I là trung điểm của ME 3
. Chứng minh ba điểm C , D , I thẳng hàng.
Câu 5. (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M  7x – 5y  2z – 3x  xy  yz  zx  2000 . --- Hết ---
(Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: ………… 2 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023-2024
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Môn: Toán 7 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4,5 điểm) 12 10 2 .78 3 .16 1.0 a A   10 9 2 .104 3 .16  3  3  6 0,5 1 1 1 1    1 1 1 2 1    49 49 2 3 (7 7) 7 7 7 0.5 B   2   8 4 4 4 64 4 2   4         2 3      2 7 7 7 b 2 7 7 343 1 1 1 1    2 3 7 1 7 7   1.0  1 1 1  4 4. 1         2 3  7 7 7  1 3 1 5 3 5 3 P        3 7 2.7 2.13 13.4 4.21 21.6  1 3 1 5 3 5 3  0.5  4          
3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 21.24
4 3 7 4 8 7 13 8 16 13 21 16 24 21        c  4            3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 21.24  0.5  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   4 
               
3 4 4 7 7 8 8 13 13 16 16 21 21 24 1 1    21 7  4    4.  0.5  3 24 3.24 6 Câu 2 (3,5 điểm) x  4 x  3 x  2 x  1    2020 2021 2022 2023 x  4 x  3 x  2 x  1   1   1   1   1 0.5 2020 2021 2022 2023 x  2024 x  2024 x  2024 x  2024      0 a 2020 2021 2022 2023  1 1 1 1  0.5  (x  2024)        0
2020 2021 2022 2023  
 x  2024  0 vì 1 1 1 1      0  2020 2021 2022 2023  0.5  x  2024 3 2   Vì 1 2  x     0 
; 3y  12  0 ; do đó:  6 2     1 0.5 2  x 
   3y  12  0    . Theo đề bài thì 1 2
 x    3y  12  0 .  6  6 b 2   Từ đó suy ra: 1 2  x 
   3y  12  0  Khi đó 1 2x   0 và  6 6 3y  12  0 suy ra 1 x  và y  4 0.5 12 Vậy 1 x  và y  4 12 x  1 x  3  4 4 P    1  0.5 x  3 x  3 x  3 c
Để P là số nguyên thì ( x  3 ) là ước của 4, tức là 0.5
( x  3)  1;  2;   4
Vậy giá trị x cần tìm là 1 ; 4 ; 16 ;25 ; 49 Câu 3
(4,0 điểm) 36 tháng = 3 năm
Năm đầu, ông lãi được số tiền là
100 000 000⋅8%=8 000 000 (đồng) 0.25
Năm thứ 2, ông lãi được số tiền là a
(100 000 000+8 000 000).8%=8 640 000 (đồng) 0.25
Năm thứ 3, ông lãi được số tiền là
(100 000 000+8 000 000+8 640 000).8%=9 331 200 (đồng) 0.25
Sau 36 tháng, ông Ba rút ra cả vốn cả lãi là
100 000 000 + 8 000 000 + 8 640 000 + 9 331 200=125 971 200 (đồng) 0.25
Vì 2x  1 là số chính phương lẻ nên 2x  1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2x
chia hết cho 8, nên x chia hết cho 4 (1) 0.5 Ta có
(x  1)  (2x  1)  3x  2 chia cho 3 dư 2 b 0.5
Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên x  1 và 2x  1 chia
cho 3 cùng dư 1, nên x chia hết cho 3 (2) 0.5
Từ (1), (2), (3;4)  1 nên x chia hết cho 3.4  12 0.5
HS biết tìm nghiệm của f(x)  (x 1)(x  3)  0  x  1, x  3 Nghiệm của 0.5
f (x) cũng là nghiệm của 3 2
g(x)  x ax  b  3 nên: c
Thay x  1 vào g(x) ta có: 1a b  3  0
Thay x  3 vào g(x) ta có: 27  9a  3b  3  0
Từ đó HS biến đổi và tính được: a  3, b  1 0.5 4 Câu 4 E (6,0 điểm) C D I K M B N A MA   MB c/m  ANM   B  NM (c-g-c)     1.0 MAB  MBA  c/m  
 (góc ngoài tại đỉnh M của ) a
CMB  MAB  MBA A  BM     
 CMB  MAB  MBA  2MAB  MCB . 0.5
Do đó BMC cân tại M nên MB  MC .
Mặt khác MB  MA (do ANM   B  NM ) 0.5
Suy ra MA  MC hay M là trung điểm của AC . 0.5
c/m: Tam giác BMC cân tại M , lại có  BCM 60  nên là tam giác đều. 0.5 b BC 
M là tam giác đều nên đường cao BK đồng thời là đường trung
tuyến, đường phân giác. 1.0
Do E nằm trên đường phân giác BK của 
CBM nên E cách đều MB , BC . 0.5 c/m EA 
B cân tại E . và     1   1 ABE ABM MBK MAB MBC 30 60 60        nên 2 2 EA  B đều 0.5
Do đó chân đường vuông góc K của A xuống BE cũng là trung điểm c
của cạnh BE hay BK  KE . Trong tam giác 0.5
CME , điểm D thuộc trung tuyến EK và 1 1 2
ED  EB   2EK  EK . 3 3 3
Do đó D là trọng tâm của tam giác ECM .
Do CI là đường trung tuyến của tam giác ECM nên CI đi qua D . 0.5
Do đó C , D , I thẳng hàng. Câu 5 (2,0 điểm)
Ta có 7x – 5y
0; 2z – 3x  0 và xy  yz  zx  2000 0
Nên M  7x – 5y  2z – 3x  xy  yz  zx  2000  0 0.5
Mà M  0 khi và chỉ khi
7x – 5y  2z – 3x  xy  yz  zx  2000  0 5  x y 
 7x – 5y  0  7x  5y    5 7  z x 
 2z – 3x  0  2z  3x    3 2  0.5
xy  yz  zx  2000  0  xy  yz  zx  2000   x
  20, y  28, z  30 Từ đó tìm được  0.5 x
  20, y  28, z  30  Vậy GTNN của
M  0  x, ,
y z   20;28;30
hoặc x, ,yz  20;28;30 0.5
Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa cho câu đó. ---Hết---