Đề thi Olympic Toán sinh viên 2016-2017 môn Toán cao cấp | Trường Đại học Thủy Lợi

Nội dung thi Olympic Toán học Cấp Trường
1) Hàm số: giới hạn, liên tục, cực trị, các định lý về giá trị trung bình.
2) Tích phân: Tính tích phân, bất đẳng thức tích phân.
3) Phương trình, hệ phương trình.
4) Đa thức, dãy số, giải tích tổ hợp.
5) Bài toán áp dụng thực tế, suy luận logic.
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2016-2017 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu 1 (a) Sử dụng phép đổi biến x = a − y với a thích hợp để tính tích phân sau 4 ln(9 − x) I = dx ∫
ln(9 − x) + ln(x + 3) 2
(b) Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện P(1) = P − (0) . 1 1
Chứng minh rằng P′ (x)x(x−1)dx = 2 P(x)dx ∫ ∫ 0 0  1 
Câu 2 Cho dãy số {u } =  
n xác định bởi công thức u ln 1 n −  với n = 2,3,4,... 2   n  1
Rút gọn tổng S = u2 + 3
u +...+ un . Từ đó chứng minh lim S = ln . n→∞ 2
Câu 3 Giải hệ phương trình:  1 2 3   1
 x  y y  z z  x   1 2 3    1 x  y y  z z  x   1 2 3    1  x  y y  z z  x
Câu 4 Tìm hàm số f (x) x 
có giá trị lớn hơn 1 và xác định với mọi 0, biết rằng 2  f (x) +1 x +1 +1     =
 f (x)−1 x +1−1 .
Câu 5 (a) Trong mặt phẳng, một tập hợp gồm 8 đường thẳng song song cắt một
tập hợp gồm n đường thẳng song song theo phương khác, tạo thành 420
hình bình hành (nhiều hình có thể phủ hình kia). Hãy tính n.
(b) Có 4 người đàn ông A, B, C, D cần đi qua một
chiếc cầu rất yếu trong đêm tối. Không may là chỉ có
một cây đuốc, không có đuốc thì không thể qua cầu
được. Thời gian qua cầu của , A ,
B C, D lần lượt là: 1
phút, 2 phút, 7 phút và 10 phút. Mỗi lượt đi chỉ được
nhiều nhất 2 người và theo thời gian của người đi
nhiều hơn. Hỏi thời gian ngắn nhất để 4 người đàn ông Ảnh minh họa. qua cầu là bao lâu?
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2017-2018 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 150 phút. dx
Câu 1 (a) Tìm nguyên hàm I   . x 2 x e  e
(b) Cho hàm số f (x) khả vi và f (0)  0. Sử dụng định nghĩa đạo hàm,
f (x)  f (2x)  f (3x)  ...  f (nx) n(n 1) chứng minh rằng lim  f (  0) x0 x 2
Câu 2 Cho dãy số n x thỏa mãn  1 x  2017  x  . Tìm giới hạn 1 lim n . 1 x 2 x x 
 ... n  (n  2018)   x n x 1 n  1 2 n  n
Câu 3 Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn
x  by  cz 
 y  ax  cz , với x  y  z  0 và , a , b c  1  .
z  ax  by  1 1 1 Chứng minh rằng    2 .
a 1 b 1 c 1 2
x  4  x  2
Câu 4 Cho hàm số f (x) 
. Chứng tỏ rằng f (x) là hàm lẻ. 2
x  4  x  2
Câu 5 (a) Cho đa thức P(x) thỏa mãn 2
P(3x) − P(x) =16x −10x . Tìm các hệ số , a , b c để hàm số 2
f (x) = P(x) − (ax + bx + c) thỏa mãn
f (3x) = f (x) với mọi x ∈ ℝ .
(b) Cho mạng lưới giao thông một
chiều như hình vẽ, với 1 x , 2 x , 3 x , 4 x
là lưu lượng xe đi trên các con
đường. Số xe đi vào nút A là 500 và
đi ra nút B, C lần lượt là 400, 100.
Tại mỗi nút của mạng lưới, luôn có
tổng lưu lượng xe đi vào bằng xe đi
ra. Ngoài ra lưu lượng trên đường
AB gấp 4 lần lưu lượng trên đường
CD. Tìm lưu lượng xe đi trên mỗi con đường.
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2018-2019 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 150 phút. x 3 3 2 x e  e a
Câu 1 (a) Tính tích phân I  dx 
. (gợi ý: đổi biến t  , với a thích hợp) x x 2
(b) Một nhà máy lọc dầu đặt tại điểm A trên đường cao tốc thẳng và một
kho dầu đặt tại điểm B trên cánh đồng rộng. Từ A theo đường cao tốc 8 km
tới điểm C, sau đó đi tiếp 12 km vuông góc với đường cao tốc sẽ đến B.
Một ống dẫn dầu được xây dựng từ A dọc theo đường cao tốc đến điểm D
và nối thẳng đến B. Tiền xây dựng mỗi km đoạn qua cánh đồng nhiều gấp
2,6 lần so với đoạn dọc theo đường cao tốc. Tìm vị trí điểm D sao cho tiền
xây dựng đường ống dẫn dầu là ít nhất.  1 x  1 
Câu 2 Cho dãy số  2 n x  thỏa mãn  . n x  n x 1   x   2 n 1
(a) Chứng minh rằng  n
x  là dãy đơn điệu tăng và lim  0 . n n x  x x x  (b) Tìm giới hạn 1 2 lim    ... n   . n x  2 3 x xn 1   2 1x + 2 x + 3 x +⋯+ 1 x 009 = 2
 1x+2 2x+ 3x+⋯+ 1x009 =4 
Câu 3 Giải hệ phương trình  1 x + 2 x + 2 3 x +⋯+ 1 x 009 = 6 ⋯
 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
 1x+ 2x+ 3x+⋯+2 1x009=2018
Câu 4 Cho đa thức P(x) thỏa mãn P(0)  P(1)  0, P(2)  2 và P (  x)  0 x   ℝ. 1 1 1 2017 Chứng minh rằng:   ...   . P(2) P(3) P(2018) 2018
Câu 5 (a) Một gara ôtô hình vuông gồm 10 10 ô, mỗi ô
có thể đỗ được một ôtô hoặc làm lối đi. Gara có
tường bao bọc xung quanh, chỉ để một cửa ra vào ở
góc trên bên trái vị trí ô A1. Người chủ gara muốn
sắp xếp ôtô để một chiếc xe bất kỳ có thể ra vào
gara mà không bị chắn bởi các xe khác. Trên hình là
một phương án cho 54 chỗ đỗ xe. Chắc chắn
phương án này chưa phải là tối ưu vì còn quá nhiều
chỗ trống. Hãy đề xuất một phương án có ít nhất 60 chỗ đỗ xe.
(b) Cho một mảng hình vuông gồm 4  4 ô vuông. Tại mỗi ô, người ta
điền ngẫu nhiên một trong ba số: −1, 0 hoặc 1. Tính tổng tất cả các ô theo
hàng, theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai
tổng có giá trị bằng nhau.
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2019-2020 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 150 phút. +
ℝ = x ∈ ℝ | x > 0 * { }
Câu 1. a) Ký hiệu
. Hãy xác định hàm nhận giá trị dương + +
f (x) với tập xác định ℝ f (x) ∈ ℝ x + ∈ ℝ * (tức là * với mọi * ) biết rằng: 2   x + 1 + 1
 f (x) + 1 + 1 =       x + 1 − 1
 f(x) + 1 −1 . 3 b) Cho hàm số x
f (x) liên tục trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn 2 3
f (x)  12x f (x )  . x 1 1
Hãy tính tích phân I  f (x)dx  . 0
Câu 2. Cho dãy số {x ∞ xác định bởi: n }n 1 = x =1 1   n 1  2n 2n − . x =
x + x +....+ x = x , ∑ ∀n ≥ 2  n 2 ( 1 2 n 1 − ) 2  (n−1) (n−1) i  i 1 = 2 a) (n +1)(n +1)
Chứng minh rằng : x =
x với mọi n ≥1. n 1 + 3 n n
b) Chứng minh rằng: x ≤ 4(n−1) n ≥ n với mọi 2.
xy  x  y  15
Câu 3. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: yz  y  z  3 . Tính 2 2 2
S  x  y  z .
zx  z  x  24 
Câu 4. Biết rằng đa thức Px chia cho x  2 dư 5 và chia cho x 3 dư 7. Tìm
phần dư của đa thức Px khi chia cho x  2x  3.
Câu 5. a) Một nhóm gia đình đi dã ngoại bằng tàu. Mỗi vé tàu sử dụng được cho 5
người lớn. Một trẻ em sử dụng vé bằng 1 vé người lớn. Mỗi người lớn được 2
mang theo một chú chó miễn phí và từ chú chó thứ 2 thì tính bằng 1 vé người lớn. 3
Biết rằng họ đã sử dụng hết 4 vé và số chó gấp 3 lần số người và trong nhóm luôn
có người lớn. Hỏi tối thiểu sẽ có bao nhiêu con chó được lên tàu cũng nhóm gia đình đó?
b) Nhân dịp niệm 60 năm thành lập Trường Đại học Thủy Lợi, Hội sinh viên tổ
chức cắm trại và phần thi được mong chờ nhất là gói và rán bánh chưng. Mỗi đội
phải rán chín 12 miếng bánh chưng, miếng bánh chưng được coi là chín khi rán
chín 2 mặt to nhất, (trung bình 5 phút rán chín 1 mặt). Biết rằng các đội chỉ được
sử dụng chảo “phi 28” do ban tổ chức cấp và chảo loại này chỉ xếp được tối đa 8
miếng bánh chưng cùng một lúc. Coi như trình độ rán bánh của các đội như nhau
và chiến thắng thuộc về đội rán xong nhanh nhất. Hỏi đội chiến thắng sẽ mất bao
nhiêu phút để hoàn thành việc rán bánh?
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2021-2022 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 120 phút.  /2 dx
Câu 1. a) Tính tích phân sau: I   . 1 tan x 0
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:   5 5 2 
f (x)  sin x  cos x, x  0;  . 3    4n
Câu 2. Cho dãy số u  với u 
, n  1,2,3,... Đặt S  u  u  ...  u . n n 1  n 4 2 n  2n  9 n 1 2 n 1
a) Chứng minh rằng: u  f (n 1)  f (n 1), n
  1 với f (x)  . n 2 x  2 b) Tìm lim S . n n
Câu 3. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z  
 x  y  z.
2y  2z  2022
2x  2z  2022
2x  2y  4044 1
a) Chứng minh rằng nếu x, y, z khác 0 thì x  y  z  . 4
b) Tìm ba số x, y, z .
Câu 4. Cho f là hàm số liên tục thỏa mãn: f (0)  0 và
f (x) − f (y) ≤ sin x − sin y , ∀x,y ∈ . ℝ
a) Chứng minh rằng: (f x )2
( ) − f (x) ≤ sin x . sin x + 1 , x ∈ . ℝ  2 
b) Chứng tỏ rằng:  f (x)2  f (x)dx  1. 4 0
Câu 5. a) Một ô bàn cờ hình vuông kích thước 88 bị mất hai ô ở hai góc đối đối diện
của bàn cờ. Liệu có thể dùng các đôminô kích thước 1 2 để phủ kín bàn cờ đó được hay không. a a a a 11 12 13 14  a a a a  b) Trong bảng số sau 21 22 23 24   a a a a  31 32 33 34   a a a a  41 42 3 4 44 
với a {1;0;1};i {1,2,3,4}; j {1,2,3,4}. Tính tổng các phần tử trong mỗi hàng, tính ij
tổng các phần tử trong mỗi cột, và tính tổng các phần tử theo mỗi đường chéo (có hai
đường chéo gồm các phần tử màu đỏ hoặc màu xanh). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất
hai tổng có giá trị bằng nhau.
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2022-2023 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 120 phút. 2
x  4  x  2
Câu 1. Cho hàm số f (x)  . 2
x  4  x  2 x
a) Chứng minh rằng: f (x)  2 x  4  2 2 2
x  4  x  2
b) Tính tích phân xác định: I  d . x  2 2
x  4  x  2  1 
Câu 2. Cho dãy số {u } =  − 
n xác định bởi công thức u ln 1 n  , với n = 2,3,... 2   n  n −1 n
a) Chứng minh rằng: u = ln −ln , với n = 2,3,... n n n +1 1
b) Đặt S = u +...+ u . Chứng minh rằng: S > ln , với n = 2,3,... n 2 n n 2 2 2 2 x y z Câu 3. Cho    2022. x  y y  z z  x 2 2 2 x y z xy  yz zx
a) Chứng minh rằng:     
  x  y  z . x  y y  z z  x x  y y  z z  x 2 2 2 y z x b) Đặt S = + +
+1. Chứng minh rằng: S = 2023. x + y y + z z + x
Câu 4. Cho đa thức bậc bốn P(x) thỏa mãn các điều kiện sau: P( 1
− ) = 0 và P(x)− P(x 1
− ) = x(x +1)(2x 1 − ), x ∀ ∈ . ℝ
a) Chứng minh rằng: P(x) nhận x = 2 − ; x = 1
− ; x = 0 là các nghiệm.
b) Tìm đa thức P(x). Câu 5.
a) Một chàng trai hỏi ngày sinh nhật của một cô gái mới quen. Cô gái trả lời:
" Hai ngày trước em 17 tuổi, nhưng năm tới em sẽ 20 tuổi". Bạn hãy giúp chàng
trai đoán ngày sinh nhật của cô gái.
b) Bài toán cắt bánh của Martin Gardner.
Với một nhát cắt, bạn có thể chia một chiếc bánh thành
hai phần. Cắt thêm một nhát nữa, chiếc bánh sẽ được chia thành
4 phần. Đến nhát cắt thứ ba, bạn có thể chia chiếc bánh thành
tối đa 7 phần. Vậy với 6 nhát cắt, bạn có thể chia chiếc bánh
thành tối đa bao nhiêu phần?
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2023-2024 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 120 phút.
Câu 1. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  2  ;6 thỏa mãn:   
 f   x 2 x f x 3 4  .
2  x  6  x 6 6 a) Tính f  2
  và f 6. Chứng minh rằng: f
 4 xdx  f
 xd .x 2  2  6 2  x 6 b) Tính A  dx 
và từ đó tính giá trị của I  xf '
 xd .x
2  x  6  x 2 2  x  10 1 
Câu 2. Cho dãy số x thỏa mãn 2 . n  x  5x n n x   n 1   5
a) Chứng minh rằng x là dãy đơn điệu tăng và lim x   . n n n  x x x  b) Tìm giới hạn 1 2 L  lim    ... n   . n x x x  2 3 n 1   
a  b  c  2 
Câu 3. Cho a, ,
b c là các số khác không và x, y, z thỏa mãn 2 2 2
a  b  c  4.  x y z     a b c
Hãy tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2
S  x  y  z  (x  y  z) .
Câu 4. a) Cho đa thức 3 2
P(x)  3x  ax  bx  .
c Tìm P(x) biết rằng P(x) chia hết cho
x  2 và khi chia P(x) cho 2
x 1 thì được dư là x .
b) Cho hàm số f : ℝ  ℝ thỏa mãn:
f (x  y)  f (x  y)  2 f (x) f (y)  ,
x y ℝ và f (x)  0 x   ℝ .
Chứng minh rằng f (0)  1 và f (x) là hàm số chẵn. Câu 5.
a) Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36
chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại
xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?
b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
x y  x  3y  4.
TRƯỜNG ĐH THUỶ LỢI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2024-2025 Bộ môn Toán học
Thời gian làm bài : 120 phút.
Câu 1. Tính giới hạn sau: 2 2 2
3.1  3.11 3.2  3.2 1
3n  3n 1 L  lim   ...   . 3 3 3 3 3 3  n 1 .(11) 2 .(2 1) n (n 1)  
Câu 2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0,2 và thỏa mãn: 3
 f (2)  f (0)  5 2  (x 1) f (  x)dx  3.  0 2
Tính tích phân I  f (x)dx  . 0 1 1 1 1    
Câu 3. Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn: a b c 2  . a b c b a c 1        b c b a c a 2
Hãy tính giá trị biểu thức: S  a  b  c  2024 .
Câu 4. Cho đa thức P(x) thỏa mãn P(1)  3 và P(3)  7 . Lấy P(x) chia cho đa thức 2
x  4x  3 sẽ xuất hiện đa thức dư. Hãy tìm đa thức dư đó.
Câu 5. Trên mặt phẳng cho hai điểm phân biệt P và Q . Xét 10 đường thẳng nằm
trên mặt phẳng đó và thỏa mãn hai tính chất sau:
i) Không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau.
ii) Mỗi đường thẳng đều đi qua P hoặc Q , không có đường nào đi qua cả P và Q .
Hỏi 10 đường thẳng đó có thể chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền ? Hãy
giải thích kết quả đó.