Đề thi thử môn Toán 2023 bám sát minh họa (có lời giải chi tiết)-Đề 4
Đề thi thử môn Toán 2023 bám sát minh họa có lời giải chi tiết - Đề 3. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 25 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Tài liệu liên quan:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ THPT MÔN TOÁN 2023 PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA-ĐỀ 4 Câu 1:
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5z là
A. w = 15 + 20i . B. w = 1 − 5 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
D. w = 15 − 20i . Câu 2:
Tính đạo hàm của hàm số 13x y = 13x A. y = B. 1 .13x y x − = C. 13x y = ln13 D. 13x y = ln13 1 Câu 3:
Trên khoảng (0;+ ), đạo hàm của hàm số là 3 y = x là 1 1 1 1 1 1 A. 3 y = x . B. 3 y = 3x . C. 2 y = x . D. y = . 3 3 2 3 3x 2 x 3−x 3 3 Câu 4:
Tập các số x thỏa mãn là 2 2 A. ( ;3 − . B. 1;+) . C. ( ;1 − . D. 3; +) . Câu 5:
Một cấp số nhân có u = 3
− ,u = 6. Công bội của cấp số nhân đó là 1 2 A. −3 . B. 2 . C. 9 . D. 2 − . Câu 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − z +1 = 0 . Một vec tơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P) là: A. n = (2; 1 − ;0). B. n = (2; 1 − ; ) 1 .
C. n = (2;0;− ) 1 . D. n = (2;0; ) 1 . Câu 7: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d ( , a , b ,
c d R ) có đồ thị như hình vẽ. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là A. ( 1 − ;0) . B. (2;0). C. (0;− 4) . D. (0;− 2) . 2 3 3 Câu 8: Nếu f
(x)dx =3, f
(x)dx = 4 thì f (x)dx bằng 1 1 2 A. 7. B. 12. C. 1. D. 1 − . Trang 1 Câu 9:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau? A. 3 2
y = x + 3x + 2x −1. B. 4 2
y = x − 2x −1. C. 4 2
y = − x + 2x −1. D. 4 2
y = x − x −1 .
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1;4;0) . Mặt cầu (S ) tâm I và đi qua M (1;4;− 2) có phương trình là 2 2 2 2
A. ( x − ) + ( y − ) 2 1 4 + z = 4.
B. ( x − ) + ( y − ) 2 1 4 + z = 2 . 2 2 2 2
C. ( x + ) + ( y + ) 2 1 4 + z = 4 .
D. ( x + ) + ( y + ) 2 1 4 + z = 2 .
Câu 11: Cho số phức z = 2 + 3i , khi đó phần ảo của số phức 3z bằng A. −9 . B. 9 . C. 6 . D. −6 .
Câu 12: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 2
B = 7a và chiều cao h = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: 14 14 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 14a . D. 3 7a . 2 3
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABC) và SA = a 3 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC a 3 a 3 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) x + y + ( z + )2 2 2 : 3
= 5 . Mặt cầu (S ) cắt mặt phẳng
(P):2x− y +2z +3= 0 theo một đường tròn có bán kính bằng A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 15: Tồng phần thực và phần ảo của số phức z = 3 − + 5i bằng A. 8 . B. −3 . C. 5 . D. 2 .
Câu 16: Một hình nón bán kính đáy bằng 4(cm) , góc ở đỉnh là 120 . Tính diện tích xung quanh của hình nón. 32 3 64 3 32 3 32 3 A. ( 2 cm ). B. ( 2 cm ). C. ( 2 cm ). D. ( 2 cm ). 3 3 9 2 x = 3 + t
Câu 17: Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y = 2 − 2t đi qua điểm nào dưới đây? z =1−3t
A. Điểm A(3;2; ) 1 .
B. Điểm B(1; 2 − ;− )
3 . C. Điểm C (1;2;− )
3 . D. Điểm D(1;2; ) 3 .
Câu 18: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: Trang 2
Đồ thị hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu là A. (0; 2). B. (3;− 4). C. x = 3. D. y = 4 − . CT CT 2x − 3
Câu 19: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = tương ứng có phương x + 1 trình là
A. x = 2 và y = 1. B. x = 1
− và y = 2. C. x =1 và y = 3
− . D. x = 1 và y = 2.
Câu 20: Giải bất phương trình log (x −1) 5. 2
A. x 33.
B. x 33.
C. x 11.
D. x 11.
Câu 21: Cho tập A = 1;2;...;9;1
0 . Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là A. 2!. B. 2 A . C. 10! . D. 2 C . 10 10
Câu 22: Hàm số F (x ) = ln x + x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên (0;+ ¥ )?
A. f (x ) = x ln x + x . B. f (x ) = x (ln x - ) 1 . 2 x
C. f (x ) = x ln x + + x . D. f (x ) 1 = + 1 . 2 x 3 3 Câu 23: Nếu 3 f
(x)−1 dx = 2 thì f ( x)dx bằng 1 1 4 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. . 3
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x là A. 3 x + cos x + . C
B. 6x + cos x + . C C. 3 x − cos x + . C
D. 6x − cos x + . C
Câu 25: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Khoảng đồng biến của hàm số là A. ( ) ;1 − . B. ( ;0 − ). C. (0 ) ;1 . D. ( 1 − ;+). Câu 26: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c ( , a ,
b c R ) có đồ thị là đường
cong trong hình bên dưới. Trang 3
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 0 . B. 1 − . C. −3 . D. 2 . Câu 27: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + , c ( , a , b c
) có đồ thị là đường cong như hình bên. Giá trị cực đại
của hàm số đã cho bằng? A. 0 . B. 1 − . C. −3 . D. 2 .
Câu 28: Với mọi số thực a dương, ( 2 lg 10a ) bằng A. 2 1+ lg a .
B. 2lg a −1.
C. 2lg a +1.
D. lg a − 2.
Câu 29: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = x − 4x + 4 , đường thẳng y = 4x −12 và trục
hoành. Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H ) quanh trục hoành bằng
a ( ,ab là các số nguyên dương và a là phân số tối giản). giá trị của a +b bằng b b A. 31. B. 5 . C. 36 . D. 37 .
Câu 30: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a , tan của góc giữa mặt phẳng (A B
¢ C) và mặt đáy (ABC) bằng 2 2 A. . B. . 3 3 3 3 C. . D. . 2 2
Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên \ 1
− , liên tục trên mỗi khoảng
xác định và có bảng biến thiên như hình sau:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f ( x) = m có đúng ba nghiệm thực phân biệt. A. ( 4 − ;2. B. ( 4 − ;2) . C. 4 − ;2) . D. ( ; − 2.
Câu 32: Cho hàm số bậc bốn ( ) 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + e có
đồ thị hàm số y = f (x) là đường cong như hình vẽ sau.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng (0 ) ;1 . Trang 4
B. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (− ; − ) 1 .
C. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1 − ; ) 1 .
D. Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng (0;4) .
Câu 33: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên
bi. Xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là 1 2 1 C C C 1 3 2 C C C 1 2 1 C C C 1 2 1 C C C A. 4 5 6 P = . B. 4 5 6 P = . C. 4 5 6 P = . D. 4 5 6 P = . 4 C 2 C 2 C 2 C 15 15 15 15
Câu 34: Gọi x , x với ( x x là hai nghiệm của phương trình 4.9x 13.6x 9.4x − + = 0. Tính giá trị của 1 2 ) 1 2
biểu thức T = 2022x + 5x 1 2
A. T = 2022.
B. T = 5.
C. T = 4044 D. T = 10
Câu 35: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1+ i) z − 5 + i = 2 là một đường
tròn tâm I và bán kính R lần lượt là A. I (2; 3 − ), R = 2 . B. I (2;− ) 3 , R = 2 . C. I ( 2
− ;3), R = 2 . D. I ( 2 − ; ) 3 , R = 2 .
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; 1 − ; ) 3 và mặt phẳng
(P):2x−3y + z −1= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) . x − 2 y +1 z − 3 x + 2 y −1 z + 3 A. d : = = . B. d : = = . 2 3 − 1 2 3 − 1 x − 2 y + 3 z −1 x − 2 y −1 z − 3 C. d : = = . D. d : = = . 2 1 − 3 2 1 − 3 x = 6 − 4t
Câu 37: Cho điểm A(1;1; )
1 và đường thẳng d : y = 2
− − t . Hình chiếu của A trên d có toạ độ là z = 1 − + 2t A. (2; 3 − ;− ) 1 . B. (2;3; ) 1 . C. ( 2 − ;3; ) 1 . D. (2; 3 − ; ) 1 .
Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng
cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a . a 2 2a 5 a 3 a 5 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 3 3 2 2 +
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x x 2
x thoả mãn (4 − 5.2
+ 64) 2−log(4x) 0 ? A. 22 . B. 25 . C. 23 . D. 24 . 2
Câu 40: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 và thoả mãn f (2) = 16,
f (x)dx = 4 . 0 1 Tính tích phân I = . x f ( 2x)dx . 0 A. I =12 . B. I = 7 . C. I = 13 . D. I = 20 . 3
Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = ( x − ) 2 x +( − m) 2 1 1 3
x + 2m − 2m , x . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [ 5
− ;5] để hàm số g (x) = f ( x + m) có tối thiểu 3 cực trị. A. 8. B. 9. C. 10. D. 11.
Câu 42: Trong tất cả các số phức z = a + bi , , a b
thỏa mãn hệ thức z − 2 + 5i = z − i . Biết rằng
z +1− i nhỏ nhất. Tính P = . a b . Trang 5 13 23 5 9 A. . B. − . C. − . D. . 100 100 16 25
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy là hình vuông, BD = 4a , góc giữa hai mặt
phẳng ( A' BD) và ( ABCD) bằng 60 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 16 3a 3 16 3a A. 3 48 3a . B. 3 16 3a . C. . D. . 3 9 1
Câu 44: Cho đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x) 3 2
= ax + bx + x + c và đường thẳng y = g (x) có đồ thị 3 như hình vẽ sau:
Biết AB = 5, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai
đường thẳng x =1, x = 2 bằng 17 19 5 7 A. . B. . C. . D. . 11 12 12 11
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z + 2mz − m +12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn 1 2
z + z = 2 z − z ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 1
− ;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa trục
oz . Khoảng cách từ điểm M ( 3
− ;1;4) đến (P) bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 3 2 .
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn log ( 2 2
x + y +12 y) + log ( 2 2
x + y ) log y + log ( 2 2
x + y + 24 y ? 4 3 4 3 ) A. 14. B. 13. C. 12. D. 15.
Câu 48: Cho khối nón xoay đỉnh S có thể tích bằng 96 . Một mặt phẳng ( ) đi qua đỉnh hình nón và
cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 10 . Khoảng cách từ tâm của
đường tròn đáy đến mặt phẳng ( ) có thể bằng kết quả nào dưới đây? 8 33 6 13 5 A. 8 . B. . C. . D. . 15 5 24
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) , cho hai điểm A(2; 1 − ;− ) 3 , B (0;1; 2 − ) và mặt phẳng
(P):2x + y −2z −4 = 0. Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AMB lớn nhất thì giá trị của sin AMB bằng Trang 6 5 12 12 5 A. − B. − . C. . D. . 13 13 13 13 Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a 3 − 0;3 0 để hàm số 4 2
y = x − x + (a − 3) 2
x + 9 − a nghịch biến trên khoảng (1; 2) ? A. 26 . B. 34 . C. 27 . D. 25 .
---------- HẾT ---------- BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.A 11.A 12.C 13.C 14.B 15.D 16.A 17.A 18.B 19.B 20.A 21.D 22.D 23.D 24.C 25.B 26.B 27.B 28.C 29.A 30.B 31.B 32.C 33.A 34.D 35.A 36.A 37.D 38.A 39.D 40.B 41.D 42.B 43.B 44.B 45.C 46.B 47.B 48.B 49.A 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5z là
A. w = 15 + 20i . B. w = 1 − 5 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
D. w = 15 − 20i . Lời giải
Số phức w = 5z = 5(3+ 4i) =15 + 20i Câu 2:
Tính đạo hàm của hàm số 13x y = 13x A. y = B. 1 .13x y x − = C. 13x y = ln13 D. 13x y = ln13 Lời giải Chọn C Ta có: 13x y = ln13 . 1 Câu 3:
Trên khoảng (0;+ ), đạo hàm của hàm số là 3 y = x là 1 1 1 1 1 1 A. 3 y = x . B. 3 y = 3x . C. 2 y = x . D. y = . 3 3 2 3 3x Lời giải Chọn D 1 1 2 1 1 − 1 − 1 Ta có 3 3 3
y = x = .x = .x = . 2 3 3 3 3.x 2 x 3−x 3 3 Câu 4:
Tập các số x thỏa mãn là 2 2 A. ( ;3 − . B. 1;+) . C. ( ;1 − . D. 3; +) . Trang 7 Lời giải Chọn C 2 x 3−x 3 3 Ta có
2x 3− x 3x 3 x 1 . 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (− ;1 . Câu 5:
Một cấp số nhân có u = 3
− ,u = 6. Công bội của cấp số nhân đó là 1 2 A. −3 . B. 2 . C. 9 . D. 2 − . Lời giải Chọn D u 6
Công bội của cấp số nhân là 2 q = = = 2. − u 3 − 1 Câu 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − z +1 = 0 . Một vec tơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P) là: A. n = (2; 1 − ;0). B. n = (2; 1 − ; ) 1 .
C. n = (2;0;− ) 1 . D. n = (2;0; ) 1 . Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( P) có VTPT là n = (2;0;− ) 1 . Câu 7: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d ( , a , b ,
c d R ) có đồ thị như hình vẽ. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là A. ( 1 − ;0) . B. (2;0). C. (0;− 4) . D. (0;− 2) . Lời giải Chọn D
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; 2 − ) . 2 3 3 f
(x)dx =3, f (x)dx = 4 f ( x)dx Câu 8: Nếu 1 1 thì 2 bằng A. 7. B. 12. C. 1. D. 1 − . Lời giải 3 1 3 Ta có f
(x)dx = f
(x)dx+ f (x)dx = 3 − + 4 =1. 2 2 1 Câu 9:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau? Trang 8 A. 3 2
y = x + 3x + 2x −1. B. 4 2
y = x − 2x −1. C. 4 2
y = − x + 2x −1. D. 4 2
y = x − x −1 . Lời giải
Đường cong trong hình không phải đồ thị hàm đa thức bậc 3 nên loại đáp án A ;
Từ đồ thị ta thấy lim y = + a 0 nên loại đáp án C ; x→ Thay tọa độ điểm (1; 2 − ) vào hàm số 4 2
y = x − x −1 ta có 4 2 2
− =1 −1 −1 mệnh đề sai nên loại đáp án D ;
Vậy đường cong trong hình là đồ thị của hàm số 4 2
y = x − 2x −1
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1;4;0) . Mặt cầu (S ) tâm I và đi qua M (1;4;− 2) có phương trình là 2 2 2 2
A. ( x − ) + ( y − ) 2 1 4 + z = 4.
B. ( x − ) + ( y − ) 2 1 4 + z = 2 . 2 2 2 2
C. ( x + ) + ( y + ) 2 1 4 + z = 4 .
D. ( x + ) + ( y + ) 2 1 4 + z = 2 . Lời giải
Mặt cầu (S ) có tâm I (1;4;0) , bán kính bằng IM = 2 nên phương trình của mặt cầu (S ) là
(x − )2 +( y − )2 2 1 4 + z = 4.
Câu 11: Cho số phức z = 2 + 3i , khi đó phần ảo của số phức 3z bằng A. −9 . B. 9 . C. 6 . D. −6 . Lời giải
Ta có z = 2 − 3i 3z = 6 − 9i .
Suy ra phần ảo của số phức 3z bằng −9 .
Câu 12: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 2
B = 7a và chiều cao h = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: 14 14 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 14a . D. 3 7a . 2 3 Lời giải
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 2 3 V = .
B h = 7a .2a =14a .
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABC) và SA = a 3 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC a 3 a 3 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 Lời giải 2 3 3a 1 a Ta có: S = V = S . A S = ABC S. 4 ABC 3 ABC 4 Trang 9
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) x + y + ( z + )2 2 2 : 3
= 5 . Mặt cầu (S ) cắt mặt phẳng
(P):2x− y +2z +3= 0 theo một đường tròn có bán kính bằng A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải
Mặt cầu (S ) x + y + ( z + )2 2 2 : 3
= 5 có tâm I (0;0; 3
− ), bán kính R = 5 . 2.0 − 0 + 2. 3 − + 3
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P) : h = d(I,( P) ( ) ) = =1. 2 + (− )2 1 + (2)2 2
Vậy mặt cầu (S ) cắt mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z + 3 = 0 theo một đường tròn có bán kính r là: 2 2
r = R − h = 5 −1 = 2 .
Câu 15: Tồng phần thực và phần ảo của số phức z = 3 − + 5i bằng A. 8 . B. −3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải Sồ phức z = 3
− + 5i có phần thực bằng −3 và phần ảo 5 bằng nên tổng phần thực và phần ảo bằng 2 .
Câu 16: Một hình nón bán kính đáy bằng 4(cm) , góc ở đỉnh là 120 . Tính diện tích xung quanh của hình nón. 32 3 64 3 32 3 32 3 A. ( 2 cm ). B. ( 2 cm ). C. ( 2 cm ). D. ( 2 cm ). 3 3 9 2 Lời giải S h l B O r A Độ 4 8
dài đường sinh l = = . sin 60 3 8 32 3
Diện tích xung quanh S = rl = .4. = . xq 3 3 x = 3 + t
Câu 17: Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y = 2 − 2t đi qua điểm nào dưới đây? z =1−3t
A. Điểm A(3;2; ) 1 .
B. Điểm B(1; 2 − ;− )
3 . C. Điểm C (1;2;− )
3 . D. Điểm D(1;2; ) 3 . Lời giải
Đường thẳng d đi qua điểm A(3;2; ) 1 ứng với t = 0 .
Câu 18: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: Trang 10
Đồ thị hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu là A. (0; 2). B. (3;− 4). C. x = 3. D. y = 4 − . CT CT Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực tiểu là (3;− 4) . 2x − 3
Câu 19: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = tương ứng có phương x + 1 trình là
A. x = 2 và y = 1. B. x = 1
− và y = 2. C. x =1 và y = 3
− . D. x = 1 và y = 2. Lời giải Chọn B
Ta có: lim y = 2 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2 . x→ lim y = − + x→(− )1
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1 − . lim y = + − x→ (− )1
Câu 20: Giải bất phương trình log (x −1) 5. 2
A. x 33.
B. x 33.
C. x 11.
D. x 11. Lời giải x −1 0 x 1
Ta có: log (x −1) 5 x 33. 2 log (x −1) 5 x −1 32 2
Câu 21: Cho tập A = 1;2;...;9;1
0 . Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là A. 2!. B. 2 A . C. 10! . D. 2 C . 10 10 Lời giải
Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là 2 C . 10
Câu 22: Hàm số F (x ) = ln x + x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên (0;+ ¥ )?
A. f (x ) = x ln x + x . B. f (x ) = x (ln x - ) 1 . 2 x
C. f (x ) = x ln x + + x . D. f (x ) 1 = + 1 . 2 x Lời giải ¢ Ta có F (
¢ x )= ( x + x + ) 1 ln 1 = + x . x
Do vậy F (x ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x = + x trên (0;+ ¥ ). x 3 3
Câu 23: Nếu 3 f
(x)−1 dx = 2 thì f ( x)dx bằng 1 1 Trang 11 4 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. . 3 Lời giải 3 3 3 3 3 f
(x)−1 dx = 2 3 f
(x)dx− dx = 2 3 f (x) 3 dx − x = 2 1 1 1 1 1 3 3
f ( x) x − = f ( x) 4 3 d 2 2 dx = . 3 1 1
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x là A. 3 x + cos x + . C
B. 6x + cos x + . C C. 3 x − cos x + . C
D. 6x − cos x + . C Lời giải Ta có : ( 2 x + x) 3 3 sin
dx = x − cos x + C.
Câu 25: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Khoảng đồng biến của hàm số là A. ( ) ;1 − . B. ( ;0 − ). C. (0 ) ;1 . D. ( 1 − ;+). Lời giải
Nhìn bảng biến thiên ta có kết quả. Câu 26: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c ( , a ,
b c R ) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 0 . B. 1 − . C. −3 . D. 2 . Lời giải
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên giá trị cực đại của hàm số là f (0) = 1 − . Câu 27: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + , c ( , a , b c
) có đồ thị là đường cong như hình bên. Giá trị cực đại
của hàm số đã cho bằng? Trang 12 A. 0 . B. 1 − . C. −3 . D. 2 . Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số có giá trị cực đại y = 1 − .
Câu 28: Với mọi số thực a dương, ( 2 lg 10a ) bằng A. 2 1+ lg a .
B. 2lg a −1.
C. 2lg a +1.
D. lg a − 2. Lời giải Ta có ( 2a) 2 lg 10
= lg10 + lg a =1+ 2lg a .
Câu 29: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = x − 4x + 4 , đường thẳng y = 4x −12 và trục
hoành. Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H ) quanh trục hoành bằng
a ( ,ab là các số nguyên dương và a là phân số tối giản). giá trị của a +b bằng b b A. 31. B. 5 . C. 36 . D. 37 . Lời giải
⬥ Xét các phương trình hoành độ giao điểm của 2
y = x − 4x + 4 , y = 4x −12 và trục hoành.
x − x + = x − x − x + = (x − )2 2 2 4 4 4 12 8 16 0 4 = 0 x = 4 . 2
x − 4x + 4 = 0 x = 2 .
4x −12 = 0 x = 3
⬥ Khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích 4
V = (x − 4x + 4) 4
2 dx − (4x−12)2 2 dx 2 3 4 4
= (x−2)4 dx−(4x−12)2 dx 2 3 (x − 2) 4 (4x −12) 4 5 3 32 16 16 = − = − = . 5 12 5 3 15 2 3 Trang 13 a =16 ⬥ Suy ra
. Vậy a + b = 31. b =15
Câu 30: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a , tan của góc giữa mặt phẳng (A B ¢ C) và
mặt đáy (ABC) bằng 2 2 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Lời giải a 3
Gọi M là trung điểm của BC , khi đó AM ^ BC và AM = . 2
Ta có BC ^ AM và BC ^ AA¢ nên BC ^ (A A
¢ M ). Suy ra BC ^ A M ¢ . Vì (A B
¢ C)Ç(ABC) = BC , A M
¢ ^ BC , AM ^ BC nên góc giữa hai mặt phẳng (A B ¢ C) và
(ABC) là góc giữa A M
¢ và AM , nghĩa là là góc A M ¢ A. · A A ¢ a 2 DA A
¢ M vuông ở A Þ tan A M ¢ A = = = . AM a 3 3 2
Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên \ 1
− , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau: Trang 14
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f ( x) = m có đúng ba nghiệm thực phân biệt. A. ( 4 − ;2. B. ( 4 − ;2) . C. 4 − ;2) . D. ( ; − 2. Lời giải
Số nghiệm của phương trình f ( x) = m bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f ( x) và
y = m. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm thực phân biệt thì m( 4 − ;2)
Câu 32: Cho hàm số bậc bốn ( ) 4 3 2
f x = ax + bx + cx + dx + e có đồ thị hàm số y = f ( x) là đường cong như hình vẽ sau.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng (0 ) ;1 .
B. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (− ; − ) 1 .
C. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1 − ; ) 1 .
D. Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng (0;4) . Lời giải x −
Từ đồ thị ta thấy f ( x) 1 0 1 x 4 − f ( x) 1 x 1 0 x 4
Do đó hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng ( 1 − ; ) 1 .
Câu 33: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên
bi. Xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là 1 2 1 C C C 1 3 2 C C C 1 2 1 C C C 1 2 1 C C C A. 4 5 6 P = . B. 4 5 6 P = . C. 4 5 6 P = . D. 4 5 6 P = . 4 C 2 C 2 C 2 C 15 15 15 15 Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n() 4 = C . 15
Gọi A là biến cố cần tìm. Khi đó: n( ) 1 2 1
A = C .C .C 4 5 6 Trang 15 1 2 1 n A C .C .C
Xác suất của biến cố A là P ( A) ( ) 4 5 6 = = . n () 4 C15
Câu 34: Gọi x , x với ( x x là hai nghiệm của phương trình 4.9x 13.6x 9.4x − + = 0. Tính giá trị của 1 2 ) 1 2
biểu thức T = 2022x + 5x 1 2
A. T = 2022.
B. T = 5.
C. T = 4044 D. T = 10 Lời giải 2 x x x 3 x x x 3 3 4.9 −13.6 + 9.4 = 0 4. −13 + 9 = 0, đặt t = 0 . 2 2 2 t = 1 x = 0 Phương trình trở thành: 2
4t −13t + 9 = 0 9 t = x = 2 4
Khi đó vì x x nên x = 0, x = 2 . 2 1 2
Vậy T = 2022x + 5x = 10. 1 2
Câu 35: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1+ i) z − 5 + i = 2 là một đường
tròn tâm I và bán kính R lần lượt là A. I (2; 3 − ), R = 2 . B. I (2;− ) 3 , R = 2 . C. I ( 2
− ;3), R = 2 . D. I ( 2 − ; ) 3 , R = 2 . Lời giải
Gọi z = x + yi,( x, y ) . Ta có:
(1+i) z −5+i = 2 (1+i)(x + yi)−5+i = 2 (x − y −5)+(x + y + ) 1 i = 2
(x − y − )2 + (x + y + )2 5 1 = 4 2 2
2x + 2y −8x +12y + 22 = 0 2 2
x + y − 4x + 6y +11 = 0 .
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I (2;− ) 3 và R = 2 .
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; 1 − ; ) 3 và mặt phẳng
(P):2x−3y + z −1= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) . x − 2 y +1 z − 3 x + 2 y −1 z + 3 A. d : = = . B. d : = = . 2 3 − 1 2 3 − 1 x − 2 y + 3 z −1 x − 2 y −1 z − 3 C. d : = = . D. d : = = . 2 1 − 3 2 1 − 3 Lời giải
Do d vuông góc với ( P) nên VTPT của ( P) cũng là VTCP của d VTCP u = (2; 3 − ; ) 1 . d − + − Đườ x 2 y 1 z 3
ng thẳng d đi qua A và vuông góc với ( P) có phương trình là: = = . 2 3 − 1 x = 6 − 4t
Câu 37: Cho điểm A(1;1; )
1 và đường thẳng d : y = 2
− − t . Hình chiếu của A trên d có toạ độ là z = 1 − + 2t A. (2; 3 − ;− ) 1 . B. (2;3; ) 1 . C. ( 2 − ;3; ) 1 . D. (2; 3 − ; ) 1 . Lời giải
Gọi hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là M (6 − 4t;− 2 −t;−1+ 2t) .
Ta có: AM = (5 − 4t ; − 3 − t ; − 2 + 2t ) . Trang 16 Ta có u = ( 4 − ; 1 − ;2). d AM .u = 0 4 − (5− 4t) + ( 3 − − t)(− ) 1 + ( 2 − + 2t).2 = 0 d 2
− 0 +16t + 3+ t − 4 + 4t = 0 21t = 21 t =1.
Vậy hình chiếu của điểm A trên d là M (2;−3; ) 1 .
Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng
cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a . a 2 2a 5 a 3 a 5 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 3 3 2 2 Lời giải
Gọi M là hình chiếu của O lên CD , H là hình chiếu của O lên SM. Suy ra đoạn OH là
khoảng cách từ O đến mp (SCD) a .a 2 OM .OS a 2 Vậy 2 d = OH = = = 2 2 2 + 3 OM OS a 2 + 2a 4 +
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x x 2
x thoả mãn (4 − 5.2
+ 64) 2−log(4x) 0 ? A. 22 . B. 25 . C. 23 . D. 24 . Lời giải Chọn D
2 − log(4x) 0
Điều kiện xác định: 0 x 25 . x 0 Bpt tương đương 2x 4 x 2 x x+ − + ( x)2 2 4 5.2 64 0 2 − 20.2x + 64 0
2x 16 x 4 . 2 − log (4x) = 0 4x =100 x = 25 x = 25 0 x 2
Kết hợp với điều kiện xác định ta được: . 4 x 25
Vậy có 24 giá trị nguyên của x thoả mãn yêu cầu bài toán. 2
Câu 40: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 và thoả mãn f (2) = 16,
f (x)dx = 4 . 0 1 Tính tích phân I = . x f ( 2x)dx . 0 Trang 17 A. I =12 . B. I = 7 . C. I = 13 . D. I = 20 . Lời giải Chọn B
Đặt t = 2x dt = 2dx . Đổi cận: x = 0 t = 0 và x =1 t = 2 . 2 1 Vậy I = t f ( t)dt . 0 4 u = t d u = dt Đặt ,
dv = f (t)dt v = f (t) khi đó 2 2 2
4I = [tf (t)] − f (t)dt = 2 f (2) −
f (x)dx = 32 − 4 = 28 I = 7 . 0 0 0 3
Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = ( x − ) 2 x +( − m) 2 1 1 3
x + 2m − 2m , x . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [ 5
− ;5] để hàm số g (x) = f ( x + m) có tối thiểu 3 cực trị. A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Lời giải 3
Xét f ( x) = ( x − ) 2 x +( − m) 2 0 1 1 3
x + 2m − 2m = 0 ( = x − )3 x 1 1 = 0 x = 2m . 2 x + (1−3m) 2
x + 2m − 2m = 0 x = m −1
g ( x) có tối thiểu 3 điểm cực trị h( x) = f ( x + m) có tối thiểu 1 điểm cực trị dương.
h(x) = f (x + m) = 0 có tối thiểu 1 nghiệm bội lẻ dương. x + m =1 x =1− m
Xét f ( x + m) = 0 x + m = 2m x = m .
x + m = m −1 x = 1 − Ta thấy m 5 − ; 4 − ; 3 − ;...;
5 thì f ( x + m) = 0 luôn có tối thiểu 1 nghiệm bội lẻ dương.
Vậy có 11 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 42: Trong tất cả các số phức z = a + bi , , a b
thỏa mãn hệ thức z − 2 + 5i = z − i . Biết rằng
z +1− i nhỏ nhất. Tính P = . a b . 13 23 5 9 A. . B. − . C. − . D. . 100 100 16 25 Lời giải
Ta có: z − 2 + 5i = z − i a − 2 + (b + 5)i = a + (b − ) 1 i
(a − )2 + (b + )2 = a + (b − )2 2 2 5 1
4a =12b + 28 a = 3b + 7 .
Khi đó: z + − i = (a + )2 + (b − )2 = ( b + )2 + (b − )2 2 1 1 1 3 8 1
= 10b + 46b + 65 2 23 121 11 10 = 10 b + + . 10 10 10 Trang 18 1 a = 11 10 10
Suy ra z +1− i nhỏ nhất bằng . 10 23 b = − 10 23 Vậy P = . a b = − . 100
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy là hình vuông, BD = 4a , góc giữa hai mặt
phẳng ( A' BD) và ( ABCD) bằng 60 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 16 3a 3 16 3a A. 3 48 3a . B. 3 16 3a . C. . D. . 3 9 Lời giải BD ⊥ AO
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có
BD ⊥ A'O . BD ⊥ AA'
Góc giữa hai mặt phẳng ( A' BD) và ( ABCD) là góc của hai đường thẳng A'O và AO và là
góc A'OA = 60 .
Ta có AC = BD = 4a AO = 2a A' A = AO tan 60 = 2a 3 .
Thể tích của khối hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' là: 1 1 3 V = A' . A S = A' . A
AC.BD = 2a 3. .4 .
a 4a = 16 3a . ABCD 2 2 1
Câu 44: Cho đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x) 3 2
= ax + bx + x + c và đường thẳng y = g (x) có đồ thị 3 như hình vẽ sau: Trang 19
Biết AB = 5, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai
đường thẳng x =1, x = 2 bằng 17 19 5 7 A. . B. . C. . D. . 11 12 12 11 Lời giải
Gọi g ( x) = mx (m 0) . Ta có A( 1;
− − m) ; B(2;2m). 4 m = (tm) Khi đó 2 3
AB = 9 + 9m = 5 . 4 m = − (l) 3
Ta có f ( x) = g ( x) 3 2
ax +bx − x + c = 0 . Mặt khác 3 2
ax + bx − x + c = a ( 2 x − ) 1 ( x − 2) 3 2 3 2
ax +bx − x + c = ax − 2ax −ax + 2a, Đồ 1
ng nhất hệ số ta đươc a = 1 , b = 2
− , c = 2. Vậy y = f (x) 3 2
= x − 2x + x + 2 . 3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng 2 1 19
x = 1 , x = 2 bằng 3 2 S = x − 2x + x + 2 dx = . 3 12 1
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z + 2mz − m +12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn 1 2
z + z = 2 z − z ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Phương trình đã cho có 2
= m + m−12 . m 4 − Trường hợp 1: 2
0 m + m −12 0 . m 3
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực z , z phân biệt. 1 2
Do đó, z + z = 2 z − z 1 2 1 2
( z + z ) = ( 2 z − z )2 2 1 2 1 2 2 2
z + z + 2 z z = 2( 2 2
z + z − 2z z 1 2 1 2 1 2 1 2 )
(z + z )2 − 2z z + 2 z z = 2 (z + z )2 − 4z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Trang 20
(z + z )2 − 6z z − 2 z z = 0 1 2 1 2 1 2 2 4m −6( m − +12)−2 m − +12 = 0 ( ) m = 6 − Nếu m 4
− hoặc 3 m 12 thì () 2
4m −8(−m +12) 2
= 0 m + 2m − 24 = 0 . m = 4 Nếu m 12 thì ( ) 2
m − ( m − + ) 2 4 4
12 = 0 m + m −12 = 0 . Trường hợp 2: 2
0 m + m−12 0 4 − m 3 .
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z , z là hai số phức liên hợp: 1 2 2
−m + i −m − m +12 và 2
−m −i −m − m +12 .
Do đó, z + z = 2 z − z 1 2 1 2 2 m + ( 2 −m − m + ) 2 2
12 = 2 −m − m +12 2 m − +12 = m − − m+12 m = 0 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 1
− ;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa trục
oz . Khoảng cách từ điểm M ( 3
− ;1;4) đến (P) bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 3 2 . Lời giải Chọn B Ta có A , O j = (1;1;0)
Mặt phẳng ( P) đi qua A và chứa oz suy ra n = (1;1;0 . P )
Phương trình mặt phẳng (P) : x + y = 0 x + y M M
Vậy d (M ,( P)) = = 2 . 2 2 1 +1
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn log ( 2 2
x + y +12 y) + log ( 2 2
x + y ) log y + log ( 2 2
x + y + 24 y ? 4 3 4 3 ) A. 14. B. 13. C. 12. D. 15. Lời giải Chọn B
Điều kiện: x 0 . Đặt 2 2
t = x + y 0 Ta có: log
t +12y + log t log y + log t + 24y 4 ( ) 3 ( ) 4 3 ( ) t +12y t + 24y log log 4 3 y t 24 t log 12 + m log 1+ Đặt m = (m 0) 4 ( ) 3 m y 24
log 12 + m − log 1+ 0 ( ) * 4 ( ) 3 m Trang 21 Đặ 24
t f (m) = log 12 + m − log 1+ 4 ( ) 3 m f (m) 1 24 1 ' = ( + m 12 + m) 0, 0 2 ln 4 m 24 1+ ln 3 m
Suy ra hàm số f (m) đồng biến trên khoảng (0; ) + .
Mà f (4) = 0 nên f (m) 0 f (m) f (4) 2 2 x + y 2 Từ đó suy ra: 2 0 m 4
4 x + ( y − 2) 4 . y
Đếm các cặp giá trị nguyên của ( ; x y)
Với x = ( y − )2 2 2
0 y = 2 nên có 2 cặp.
Với x = ( y − )2 1 2
3 y =1;2;3 nên có 6 cặp.
Với x = ( y − )2 0 2
4 y = 0;1;2;3;4 nên có 5 cặp.
Vậy có 13 cặp giá trị nguyên ( ;
x y) thỏa mãn đề bài.
Câu 48: Cho khối nón xoay đỉnh S có thể tích bằng 96 . Một mặt phẳng ( ) đi qua đỉnh hình nón và
cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 10 . Khoảng cách từ tâm của
đường tròn đáy đến mặt phẳng ( ) có thể bằng kết quả nào dưới đây? 8 33 6 13 5 A. 8 . B. . C. . D. . 15 5 24 Lời giải Chọn B
Gọi thiết diện mặt phẳng ( ) cắt hình nón là tam giác SAB . Do đó, S
AB đều có cạnh AB = 10 . Gọi , O ,
R h lần lượt là tâm, bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của khối nón, I , H lần
lượt là hình chiếu của O lên AB , SI . Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt
phẳng (SAB) bằng OH . 1 3V 3.96 288 Ta có: 2 2
V = R .h = 96 R = = = 3 .h .h h 288
Xét tam giác vuông SOA có: 2 2 2 2 2 2
SO + OA = SA h + R = 100 h + =100 h Trang 22 h = 8 h = 8 3
h −100h + 288 = 0 h = 2
− .(2 + 13) 0(L) h = 2.( 13 − 2) h = 2.( 13 − 2) ( ; h R) = (8;6) ( ;hR) = (2.( 13−2);4 2+ 13) TH1: ( ; h R) = (8;6) 2 2 AB 10
Xét tam giác vuông OIA có: 2 2 2 2 2
IO = OA − IA = 6 − = 6 − =11 2 2 1 1 1 1 1 75 8 33
Trong tam giác vuông SIO có: = + = + = OH = . 2 2 2 2 OH SO OI 8 11 704 15 TH2: ( ;
h R) = (2.( 13 −2);4 2+ 13 )
Xét tam giác vuông OIA có: AB
IO = OA − IA = 16.(2 + 13) 2 − =16. (2+ 13) 2 10 2 2 2 − = 7 +16 3 2 2
Trong tam giác vuông SIO có: 1 1 1 1 1 1 = + = + OH = . 2 2 2 OH SO OI ( − )2 7+16 3 1 1 2.( 13 2) + 68 + 8 13 7 +16 3
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) , cho hai điểm A(2; 1 − ;− ) 3 , B (0;1; 2 − ) và mặt phẳng
(P):2x + y −2z −4 = 0. Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AMB lớn nhất thì giá trị của sin AMB bằng 5 12 12 5 A. − B. − . C. . D. . 13 13 13 13 Lời giải Chọn A Ta có AB = ( 2 − ;2;− )
1 , AB = 3 và n = − − + + = P (2;1; 2) nên A . B n = 4 2 2 0 hay AB (P) . 5
Gọi I là trung điểm của AB I 1;0; −
. Xét mặt cầu (S ) đường kính AB . 2 Trang 23 5 21− 0 − 2 − − 4 2 3 AB 3
Do d (I,(P)) = = =1 = . + + (− )2 2 2 3 2 2 2 1 2
Nên mặt cầu (S ) sẽ cắt mặt phẳng ( P) theo một đường tròn có tâm H là hình chiếu của I 2 AB 5
trên mặt phẳng ( P) và bán kính 2 r = − d = . 4 2 Xét điể 5
m M bất kỳ thuộc mặt phẳng ( P) nằm ngoài đường tròn tâm H bán kính r = . 2
Gọi M ' là giao điểm của IM và mặt cầu (S ) , khi đó AMB AM ' B = 90 . 5
Vậy M thuộc mặt phẳng ( P) nằm trong đường tròn tâm H bán kính r = . 2 2 2 2 2
MA + MB − AB AB Ta có 2 2 2 cot AMB =
; MA + MB = 2MI + . 4S 2 AMB 2 AB 2 2MI − 2 cot AMB = . 4SAMB Do d (M AB) 1 3 , HI S S = .1.3 = , 2 2
MI HI = 1 và cot AMB 0 . AMB AHB 2 2 9 2 − Nên để 5 5
AMB lớn nhất thì M H và 2 cot AMB = = − sin AMB = − . 3 12 13 4 2 Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a 3 − 0;3 0 để hàm số 4 2
y = x − x + (a − 3) 2
x + 9 − a nghịch biến trên khoảng (1; 2) ? A. 26 . B. 34 . C. 27 . D. 25 . Lời giải Xét f ( x) 4 2
= x − x + (a − ) 2 3 x + 9 − a f ( x) 3
= 4x − 2x + a −3
Để y = f ( x) nghịch biến trên khoảng (1;2) f '
( x) 0, x (1;2) TH1: f (2) 0 a
4x − x + a −3 x ( ) a max ( 3 2 0 3 2 4 − x + x + 3 0, 1; 2 ) ( 1;2) a 3 − a 5 2 2
−a + 2a +15 0
−a + 2a +15 0 a 5
Kết hợp với điều kiện bài toán a 5;6;...;29;3 0 → 26 giá trị f '
( x) 0, x (1;2) TH2: f (2) 0 Trang 24
4x − x + a −3 0, x (1;2) a min ( 3 2 3 2 4 − x + x + 3) − ( a 25 1;2) a 2 2
−a + 2a +15 0 − + 3 − a 5 a + 2a 15 0
Vậy có 28 giá trị thoả mãn.
---------- HẾT ---------- Trang 25