Đề thi thử TN THPT Toán 2023 bám sát minh họa (có lời giải chi tiết) - Đề 6
Đề thi thử TN THPT Toán 2023 bám sát minh họa có lời giải chi tiết - Đề 6. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 27 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Tài liệu liên quan:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ THPT MÔN TOÁN 2023 PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA-ĐỀ 6 Câu 1:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm N (5; 3
− ) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. z = 3 − 5i . B. z = 5 − + 3i .
C. z = 5 − 3i . D. z = 3 − + 5i . 2 3 4 1 Câu 2: Đạo hàm của hàm số 2023x y = là A. 1 .2023x x − .
B. 2023x . C. 2023 . x ln x . D. 2023 . x ln 2023 . 3 Câu 3:
Tìm đạo hàm của hàm số: 2 2 y = (x +1) 1 3 1 3 − 1 1 3 A. 2 (2x) B. 4 x C. 2 2 3x(x +1) D. 2 2 (x +1) 2 4 2 x+2 1 Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình 9 là 3 A. 0;+) . B. 4; − +). C. (− ; 4 − . D. ( ; − 4. Câu 5:
Cho cấp số nhân (u có u = 2 và u = 16 . Số hạng thứ 10 của cấp số nhân bằng n ) 3 6 A. 512 . B. 256 . C. 256 − . D. 1024 . Câu 6:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; 1
− ;3) và mặt phẳng (P):3x −2y + z +1= 0 . Phương
trình mặt phẳng đi qua M và song song với ( P) là
A. 3x − 2y + z +11 = 0 . B. 2x − y + 3z −14 = 0.
C. 3x − 2y + z −11 = 0 . D. 2x − y + 3z +14 = 0 . Câu 7: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau A. (0; 2 − ). B. (0; )1 − . C. ( 1 − ;0) . D. (1;0) . 2 3 3
f (x)dx = 5
f (x)dx = 2 − f (x)dx Câu 8: Nếu 1 và 2 thì 1 bằng A. 3 B. 7 C. 10 − D. −7 Câu 9:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới? Trang 1 A. 3 2
y = x − 3x . B. 4 y = −x + 4 . C. 4 2
y = x − 2x +1. D. 4 2
y = x − 4x (S) I (0;0;− ) 3 M (4;0;0)
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . (S) Phương trình của là
A. x + y + ( z + )2 2 2 3 = 25.
B. x + y + ( z + )2 2 2 3 = 5 .
C. x + y + ( z − )2 2 2 3 = 25.
D. x + y + ( z − )2 2 2 3 = 5 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm 1 A(1;1;− ) 1 , B ( 1 − ;1; )
1 và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc biết cos = . 3
A. (P) : x + y + z −1 = 0 hoặc (P) : x − y − z −1 = 0 .
B. (P) : x − y + z −1= 0 hoặc (P) : x − y + z +1 = 0 .
C. (P) : x + y + z +1 = 0 hoặc (P) : x − y + z +1 = 0 .
D. (P) : x + y + z −1 = 0 hoặc (P) : x − y + z +1 = 0 .
Câu 12: Cho số phức z thoả điều kiện (1+ i)z −1− 3i = 0 . Tích của phần thực và phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. 2 − . C. −2i . D. 2i .
Câu 13: Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc 60 . Khi
đó thể tích khối hộp là 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 3 2a 3 2a 3 2a A. 3 V = 2a . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2
(P) : 2x + 2 y + z - m - 3m = 0 và 2 2 2
mặt cầu (S) : ( x − ) 1 + ( y + ) 1 + (z − ) 1
= 9 . Tìm tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với (S) . Trang 2 m = 2 m = −2 A. .
B. m = 2 . C. m = 5 − . D. . m = −5 m = 5
Câu 16: Cho số phức z thoả mãn (2 − 3i) z = 22 − 7i . Phần ảo của z bằng A. −5 . B. 4 − . C. 5 . D. 4 .
Câu 17: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a , ABC = 60 . Diện tích xung
quanh của hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC bằng A. 3 18 3 a . B. 2 18 a . C. 2 9 3 a D. 2 36a
Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x + 3y + 6z + 6 = 0. Điểm nào sau đây
không thuộc mặt phẳng ( ) ? A. M ( 3 − ;0;0). B. N (1; 1 − ;0) . C. P (0; 2 − ;0). D. Q(0;0;− ) 1 .
Câu 19: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình dưới đây.
Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 2 .
B. y = 2 . C. y = 2 − . D. x = 0 . x −1
Câu 20: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm x − m
cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5. A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 5 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình log 5 − 2x log 9 là 0.3 ( ) 3 10 5 5 A. 0; . B. (−;− 2) . C. 2; − . D. ( 2; − + ) . 2 2
Câu 22: Một câu lạc bộ có 30 thành viên. Có bao nhiêu cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1
phó chủ tịch và 1 thư kí? A. 3 A . B. 3 C . C. 30! . D. 3!. 30 30
Câu 23: Hàm số F (x ) = ln x + x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên (0;+ ¥ )?
A. f (x ) = x ln x + x . B. f (x ) = x (ln x - ) 1 . 2 x
C. f (x ) = x ln x + + x . D. f (x ) 1 = + 1 . 2 x 2 2 f (x)dx =8 3 f
(x)+2dx Câu 24: Nếu 1 − thì tích phân 1 − bằng Trang 3 A. 10. B. 22. C. 26. D. 30. ( 2020 x x + e )dx Câu 25: Kết quả bằng 2020 x e 2020 x e 2 2020 x x e 2020 x e A. 2 x + + C . B. 3 x + + C . C. + + C . D. x + + C . 2020 2020 2 2020 2020
Câu 26: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1 − ; ) 1 . B. (0;+). C. (0 ) ;1 . D. (1;+) . 4 2
Câu 27: Cho hàm số y = ax + bx + c (a, ,
b c có đồ thị là đường cong hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 4. B. 1. C. -1. D. 2.
Câu 28: Cho các số thực dương a, b với a 1. log ab bằng 2 ( ) a 1 1 1 1 A. log b .
B. 2 + 2 log b . C. + log b . D. + log b . 2 a a 2 a 2 2 a
Câu 29: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x − 2 , trục hoành và đường thẳng x = 9 .
Khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng: 5 7 11π 13π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 6 6 6
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = 3 .a Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Giá trị tan là 3 6 3 A. 3 . B. . C. . D. . 3 2 2
Câu 31: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ bên dưới Trang 4
Tất cả các giá trị thực m để phương trình f ( x) +1 = m có ba nghiệm phân biệt là
A. 1 m 5. B. 1
− m 4 .
C. 0 m 4 .
D. 0 m 5 .
Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
và có đồ thị hàm số y = f ( x) là đường cong trong
hình vẽ, hàm số y = f ( x) đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0;2) . B. (− ; − ) 1 . C. ( 4 − ;0) . D. (2;+) .
Câu 33: Một hộp chứa 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên đồng
thời từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu được lấy có các số ghi trên đó lập thành một cấp số cộng. 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 4060 58 29 580
Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình 2
log x − log (9x) − 4 = 0 bằng 3 3 A. −6 . B. −3 . C. 3 . D. 27 .
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ i = z + 2 . Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z
A. là đường thẳng 3x − y −1 = 0 .
B. là đường thẳng 3x − y +1 = 0 .
C. là đường thẳng 3x + y +1 = 0.
D. là đường thẳng 3x + y −1 = 0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;3;− 2) và (P) :x − 2y + 4z +1 = 0 . Đường thẳng đi qua
M và vuông góc với ( P) có phương trình là x +1 y + 3 z + 2 x y − 5 z + 6 A. = = . B. = = . 1 2 − 4 1 2 − 4 x − 2 y −1 z + 2 x −1 y − 3 z − 2 C. = = . D. = = . 1 2 − 4 1 2 − 4 Trang 5
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi A là điểm đối xứng của điểm A(2; 1 − ;− ) 1 qua mặt
phẳng ( ) : x − y − z − 7 = 0 . Tọa độ điểm A là A. (8; 5 − ; 5 − ) . B. (3; 2 − ; 2 − ). C. (5; 3 − ; 3 − ). D. (4; 3 − ; 3 − ) .
Câu 38: Cho hình lập phương ABC . D A B C D
có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A B D) bằng a 3 a 2 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3
Câu 39: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ( 2
log 60x +120x +10m −10) − 3log ( x + )
1 1 có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của
biến x . Số phần tử của S là A. 11. B. 10 . C. 9 . D. 12 . f ( x)
F ( x),G( x) f ( x) Câu 40: Cho hàm số liên tục trên R . Gọi là hai nguyên hàm của trên R thỏa F (8) + G(8) =17 F (0) + G(0) =1 2 mãn và . Khi đó sin .
x f (8cos x) dx bằng 0 A. 1 − . B. 1. C. 8 . D. −8 .
Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ 2
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f (( x − ) 1 + m) có 3
điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là A. 2. B. 4. C. 8. D. 10.
Câu 42: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z = 4, w = 2 . Khi z + w + 5 +12i đạt giá trị lớn nhất, phần
thực của z + iw bằng 30 4 44 58 A. . B. − . C. . D. . 13 13 13 13
Câu 43: Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (A B
C) và ( ABC) là 30, tam giác A B
C đều và diện tích bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ AB . C A B C bằng 3 3 3 A. 2 3 . B. 6 . C. . D. . 4 4 Câu 44: Cho hàm số ( ) 3x 2 = e + e x + ex f x a b
với a , b là các số thự C. Biết hàm số
g ( x) = f ( x) + f ( x) có hai giá trị cực trị là 2 và 5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = g ( x) và (− ( ) + ( ) 3 + ) 2 5 2e x f x f x g ( x) bằng 117 A. 21. B. 7 . C. 107 . D. . 3
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z − 2mz + 8m −12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z + z = 4 ? 1 2 1 2 Trang 6 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 1 − ; 2
− ) và đường thẳng (d ) có phương x −1 y −1 z −1 trình = =
P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng 1 1 − . Gọi ( ) 1
(d ) và khoảng cách từ d tới mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. x − y − 6 = 0 .
B. x + 3y + 2z +10 = 0 .
C. x − 2y − 3z −1 = 0.
D. 3x + z + 2 = 0 . 2x −1
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ;
x y) thỏa mãn 0 y 2020 và log = +1− 2x y ? 3 y A. 2019 . B. 11. C. 2020 . D. 4 .
Câu 48: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh S và tạo với trục của ( N ) một góc bằng 30° , ta
được thiết diện là tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 2
4a . Chiều cao của hình nón bằng A. a 2 . B. a 3 . C. 2a 2 . D. 2a 3 .
Câu 49: Trong không gian với hệ trụcOxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z = 1 và hai điểm
A (3; 0; 0);B (- 1;1; 0). Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S ). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 3MB . A. 2 34 B. 26 C. 5 D. 34
y = f ( x) f ( ) 1 = 0.
y = f ( x)
Câu 50: Cho hàm số bậc bốn và Biết hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. x x Hàm số g ( x) 2 = f 1− −
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 8 A. (− ; 4 − ). B. (4;+). C. (2;4). D. ( 3 − ;− ) 1 .
---------- HẾT ---------- BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B 13.D 14.D 15.A 16.B 17.B 18.B 19.D 20.C 21.C 22.A 23.D 24.D 25.C 26.D 27.D 28.D 29.C 30 31.A 32.B 33.B 34.C 35.B 36.B 37.D 38.D 39.A 40.B 41.A 42.C 43.C 44.D 45.A 46.D 47.B 48.B 49.C 50.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm N (5; 3
− ) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? Trang 7
A. z = 3 − 5i . B. z = 5 − + 3i .
C. z = 5 − 3i . D. z = 3 − + 5i . 2 3 4 1 Lời giải N (5; 3
− ) là điểm biểu diễn của số phức z = 5− 3i 4 Câu 2: Đạo hàm của hàm số 2023x y = là A. 1 .2023x x − .
B. 2023x . C. 2023 . x ln x . D. 2023 . x ln 2023 . Lời giải Đạo hàm của hàm số x
y = a với a 0, a 1 là: x
y = a .ln a . Do đó đạo hàm của 2023x y = là 2023 . x y = ln 2023 . 3 2 2 = + Câu 3:
Tìm đạo hàm của hàm số: y (x 1) 1 3 1 3 − 1 1 3 A. 2 (2x) B. 4 x C. 2 2 3x(x +1) D. 2 2 (x +1) 2 4 2 Lời giải ' '
Áp dụng công thức đạo hàm hợp hàm số lũy thừa : ( u x ) 1 ( ) .u − = .u(x) ' 3 1 1 3 Ta có : 2 2 2 2 2 2
y ' = (x +1) = .2 x.(x +1) = 3x.(x +1) 2 x+2 1 Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình 9 là 3 A. 0;+) . B. 4; − +). C. (− ; 4 − . D. ( ; − 4. Lời giải x+2 1 −x−2 2 9 3
3 −x − 2 2 x 4 − . 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (− ; − 4 Câu 5:
Cho cấp số nhân (u có u = 2 và u = 16 . Số hạng thứ 10 của cấp số nhân bằng n ) 3 6 A. 512 . B. 256 . C. 256 − . D. 1024 . Lời giải 2 u = 2 u .q = 2 1 3 1 ( ) Ta có 5 u = 16 = 6 u .q 16 2 1 ( ) Thay vào ta đượ 1 c 3 3
2.q = 16 q = 8 q = 2 . Từ đó suy ra u = . 1 2 Số hạng thứ 10 là 9
u = u .q = 256 . 10 1 Câu 6:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; 1
− ;3) và mặt phẳng (P):3x −2y + z +1= 0 . Phương
trình mặt phẳng đi qua M và song song với ( P) là
A. 3x − 2y + z +11 = 0 . B. 2x − y + 3z −14 = 0.
C. 3x − 2y + z −11 = 0 . D. 2x − y + 3z +14 = 0 . Lời giải
(P) nhận n =(3; 2 − ; ) 1 làm vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng đã cho song song với ( P) nên cũng nhận nhận n = (3; 2 − ; ) 1 làm vectơ pháp tuyến Trang 8
Vậy mặt phẳng đi qua M và song song với ( P) có phương trình là
3( x − 2) − 2( y + ) 1 + ( z − )
3 = 0 3x − 2y + z −11= 0 Câu 7: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau A. (0; 2 − ). B. (0; )1 − . C. ( 1 − ;0) . D. (1;0) . Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (1;0) . 2 3 3
f (x)dx = 5
f (x)dx = 2 − f (x)dx Câu 8: Nếu 1 và 2 thì 1 bằng A. 3 B. 7 C. 10 − D. −7 Lời giải Chọn A c b b Áp dụng công thức f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx
(a c b) , ta có a c a 3 2 3 f (x)dx = f (x)dx +
f (x)dx = 5 + ( 2) − = 3 1 1 2 Câu 9:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới? A. 3 2
y = x − 3x . B. 4 y = −x + 4 . C. 4 2
y = x − 2x +1. D. 4 2
y = x − 4x Trang 9 Lời giải Chọn D
Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số a 0 .
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O hàm số cần tìm là 4 2
y = x − 4x . (S) I (0;0;− ) 3 M (4;0;0)
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . (S) Phương trình của là
A. x + y + ( z + )2 2 2 3 = 25.
B. x + y + ( z + )2 2 2 3 = 5 .
C. x + y + ( z − )2 2 2 3 = 25.
D. x + y + ( z − )2 2 2 3 = 5 . Lời giải
Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (0;0;− )
3 và bán kính R là: x + y + ( z + )2 2 2 2 3 = R .
Ta có: M (S ) + + ( + )2 2 2 2 2 4 0 0 3 = R R = 25.
Vậy phương trình cần tìm là: x + y + ( z + )2 2 2 3 = 25.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm 1 A(1;1;− ) 1 , B ( 1 − ;1; )
1 và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc biết cos = . 3
A. (P) : x + y + z −1 = 0 hoặc (P) : x − y − z −1 = 0 .
B. (P) : x − y + z −1= 0 hoặc (P) : x − y + z +1 = 0 .
C. (P) : x + y + z +1 = 0 hoặc (P) : x − y + z +1 = 0 .
D. (P) : x + y + z −1 = 0 hoặc (P) : x − y + z +1 = 0 . Lời giải Gọi n = ( ; a ;
b c) là vectơ pháp tuyến của ( P) .
Khi đó phương trình (P): a x +by + cz + d = 0. A (1;1;− ) 1 ( P)
a + b − c + d = 0 Ta có . B ( 1 − ;1 ) ;1 ( P)
−a + b + c + d = 0 a = c Từ đó ta có nên n = ( ; a ; b a) . d = −b 1 a 1 Theo giả thiết cos = = a = b . 2 2 2 2 2 2 3
a + b + a . 0 + 0 +1 3
Với a = b nên ta chọn a = 1 ta có a = b = c = 1; d = 1 − .
Với a = −b nên ta chọn a = 1 ta có a = 1 ; b = 1
− ; c =1; d =1.
Khi đó (P) : x + y + z −1 = 0 hoặc (P): x − y + z +1= 0 .
Câu 12: Cho số phức z thoả điều kiện (1+ i)z −1− 3i = 0 . Tích của phần thực và phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. 2 − . C. −2i . D. 2i . Lời giải
Đặt z = x + yi
Ta có: (1+ i)z −1− 3i = 0 Trang 10
(1+ i)(x − yi) −1− 3i = 0
x − yi + ix + y −1− 3i = 0
(x + y −1) + i(x − y − 3) = 0
x + y −1 = 0
x− y−3=0 x = 2 y = 1− Suy ra . x y = 2 − .
Câu 13: Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc 60 . Khi
đó thể tích khối hộp là 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2 Lời giải
Ta có chiều cao h = 3a . 2 2 a 3 a 3
Hình thoi cạnh a và có một góc 60 có diện tích S = 2. = 4 2 3 3a 3
Thể tích khối hộp là V = S.h = . 2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 3 2a 3 2a 3 2a A. 3 V = 2a . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3 Lời giải 3 1 1 a 2 2 V = S . A S = a 2.a = . S.ABCD 3 ABCD 3 3
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2
(P) : 2x + 2 y + z - m - 3m = 0 và 2 2 2
mặt cầu (S) : ( x − ) 1 + ( y + ) 1 + (z − ) 1
= 9 . Tìm tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với (S) . m = 2 m = −2 A. .
B. m = 2 . C. m = 5 − . D. . m = −5 m = 5 Lời giải
Ta có (S) có tâm I (1; 1 − ; ) 1 và bán kính R = 3 Trang 11 2 2 1− m − 3m
m + 3m −10 = 0 m = 2
Để (P) tiếp xúc với (S) thì d (I;(P)) = R = 3 2 3
m + 3m + 8 = 0 m = 5 −
Câu 16: Cho số phức z thoả mãn (2 − 3i) z = 22 − 7i . Phần ảo của z bằng A. −5 . B. 4 − . C. 5 . D. 4 . Lời giải − i Ta có ( − i) 22 7
2 3 z = 22 − 7i z =
z = 5 + 4i . 2 − 3i
Suy ra z = 5 − 4i . Phần ảo của z bằng 4 − .
Câu 17: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a , ABC = 60 . Diện tích xung
quanh của hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC bằng A. 3 18 3 a . B. 2 18 a . C. 2 9 3 a D. 2 36a Lời giải C 60° B A AB 3a Ta có BC = = = 6a . cos 60 1 2
Diện tích xung quanh của hình nón là 2 S = .A . B BC = .3 .
a 6a =18 a . xq
Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x + 3y + 6z + 6 = 0. Điểm nào sau đây
không thuộc mặt phẳng ( ) ? A. M ( 3 − ;0;0). B. N (1; 1 − ;0) . C. P (0; 2 − ;0). D. Q(0;0;− ) 1 . Lời giải Xét điểm N (1; 1 − ;0) ta có: 2.1+3.( 1 − ) +6.0+6 = 5 0.
vậy điểm N không thược mặt phẳng ( ) .
Câu 19: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình dưới đây. Trang 12
Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 2 .
B. y = 2 . C. y = 2 − . D. x = 0 . Lời giải
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 . x −1
Câu 20: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm x − m
cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5. A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 5 . Lời giải − Xét hàm nhất biến x 1 y =
có tiệm cận đứng x = m và tiệm cận ngang y = 1. x − m
Để hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 m = 5
khi và chỉ khi: m .1 = 5 . m = 5 −
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn và tổng chúng bằng 0 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình log 5 − 2x log 9 là 0.3 ( ) 3 10 5 5 A. 0; . B. (−;− 2) . C. 2; − . D. ( 2; − + ) . 2 2 Lời giải 5 5 − 2x 0 x 5 log
5 − 2x log 9 2 2 − x . 0.3 ( ) 3 5 − 2x 9 2 10 x 2 − 5
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = 2; − . 2
Câu 22: Một câu lạc bộ có 30 thành viên. Có bao nhiêu cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1
phó chủ tịch và 1 thư kí? A. 3 A . B. 3 C . C. 30! . D. 3!. 30 30 Lời giải. Chọn A
Mỗi cách chọn 3 người ở 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 30 thành viên. Vậy số cách chọn là: 3 A . 30
Câu 23: Hàm số F (x ) = ln x + x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên (0;+ ¥ )? Trang 13
A. f (x ) = x ln x + x . B. f (x ) = x (ln x - ) 1 . 2 x
C. f (x ) = x ln x + + x . D. f (x ) 1 = + 1 . 2 x Lời giải ¢ Ta có F (
¢ x )= ( x + x + ) 1 ln 1 = + x . x
Do vậy F (x ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x = + x trên (0;+ ¥ ). x 2 2 f (x)dx = 8 3 f
(x)+ 2dx Câu 24: Nếu 1 − thì tích phân 1 − bằng A. 10. B. 22. C. 26. D. 30. Lời giải 2 2 2 2 Ta có 3 f
(x)+ 2dx = 3 f
(x)dx + 2dx = 3.8+ 2x = 24+ (4+ 2) = 30. 1 − 1 − 1 − 1 − ( 2020 x x + e )dx Câu 25: Kết quả bằng 2020 x e 2020 x e 2 2020 x x e 2020 x e A. 2 x + + C . B. 3 x + + C . C. + + C . D. x + + C . 2020 2020 2 2020 2020 Lời giải x x e Ta có ( x x + e ) 2 2020 2020 dx = + + C . 2 2020
Câu 26: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1 − ; ) 1 . B. (0;+). C. (0 ) ;1 . D. (1;+) . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy : Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+) 4 2
Câu 27: Cho hàm số y = ax + bx + c (a, ,
b c có đồ thị là đường cong hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng Trang 14 A. 4. B. 1. C. -1. D. 2. Lời giải
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 2 .
Câu 28: Cho các số thực dương a,b với a 1. log ab bằng 2 ( ) a 1 1 1 1 A. log b .
B. 2 + 2 log b . C. + log b . D. + log b . 2 a a 2 a 2 2 a Lời giải 1 1 1 log ab = log ab = + log b . 2 ( ) a ( ) 2 2 2 a a
Câu 29: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x − 2 , trục hoành và đường thẳng x = 9 .
Khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng: 5 7 11π 13π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 6 6 6 Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm x − 2 = 0 x = 4 .
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là
V = ( x − ) x = (x − x + ) 9 9 9 2 2 x 8 11 π 2 d π 4 4 dx = π − x x + 4x = . 2 3 6 4 4 4
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = 3 .a Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Giá trị tan là 3 6 3 A. 3 . B. . C. . D. . 3 2 2 Lời giải Chọn A Trang 15 S 3a a D A B C Ta có
(SBC)(ABCD) = BC
SB (SBC ), SB ⊥ BC
(SBC),( ABCD) = SB, AB = SBA
AB ( ABCD), AB ⊥ BC SA 3a tan = tan SBA = = = 3 AB a
Câu 31: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ bên dưới
Tất cả các giá trị thực m để phương trình f ( x) +1 = m có ba nghiệm phân biệt là
A. 1 m 5. B. 1
− m 4 .
C. 0 m 4 .
D. 0 m 5 . Lời giải
f ( x) +1 = m f ( x) = m −1.
Phương trình có ba nghiệm phân biệt 0 m −1 4 1 m 5 .
Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
và có đồ thị hàm số y = f ( x) là đường cong trong
hình vẽ, hàm số y = f ( x) đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 16 A. (0;2) . B. (− ; − ) 1 . C. ( 4 − ;0) . D. (2;+) . Lời giải
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên D khi f ( x) 0 x D .
Theo đồ thị y = f (x) đã cho, f (x) 0 x (− ; − ) 1 .
Câu 33: Một hộp chứa 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên đồng
thời từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu được lấy có các số ghi trên đó lập thành một cấp số cộng. 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 4060 58 29 580 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n() 3 = C = 4060 . 30
Gọi A là biến cố cần tìm. + Gọi a c
a , b , c là ba số tự nhiên theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, do đó b = . 2
Suy ra a và c cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ và hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị. Số cách chọn bộ ( , a ,
b c) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng bằng số cách chọn cặp ( , a c)
cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên số cách chọn là 2
2.C . Suy ra n( A) 2 = 2.C = 210. 15 15 n A
Vậy xác suất cần tìm là p( A) ( ) 210 3 = = = . n () 4060 58
Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình 2
log x − log (9x) − 4 = 0 bằng 3 3 A. −6 . B. −3 . C. 3 . D. 27 . Lời giải
Điều kiện: x 0 2
log x − log (9x) − 4 = 0 3 3 2
log x − log 9 − log x − 4 = 0 3 3 3 2
log x − log x − 6 = 0 3 3 x = 27 log x = 3 3 1 log x = 2 − x = . 3 9 1 Tích các nghiệm là: 27. = 3 9
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ i = z + 2 . Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z
A. là đường thẳng 3x − y −1 = 0 .
B. là đường thẳng 3x − y +1 = 0 .
C. là đường thẳng 3x + y +1 = 0.
D. là đường thẳng 3x + y −1 = 0 . Lời giải
Gọi z = x + yi ( , x y ) . 2 2 2
Ta có z −1+ i = z + 2 ( x − ) + ( y + ) = ( x + ) 2 1 1 2
+ y 3x − y +1= 0 .
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng 3x − y +1 = 0 . Trang 17
Câu 36: Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;3;− 2) và (P) :x − 2y + 4z +1 = 0 . Đường thẳng đi qua
M và vuông góc với ( P) có phương trình là x +1 y + 3 z + 2 x y − 5 z + 6 A. = = . B. = = . 1 2 − 4 1 2 − 4 x − 2 y −1 z + 2 x −1 y − 3 z − 2 C. = = . D. = = . 1 2 − 4 1 2 − 4 Lời giải
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Vì ⊥ (P) nên có vtcp u = n = − (1; 2;4 P ) ( ) x =1+ t
Phương trình tham số đường thẳng là: y = 3− 2t (t ) . z = 2 − + 4t Chọn t = 1
− ta được N (0;5;−6) . x y − 5 z + 6
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là: = = . 1 2 − 4
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi A là điểm đối xứng của điểm A(2; 1 − ;− ) 1 qua mặt
phẳng ( ) : x − y − z − 7 = 0 . Tọa độ điểm A là A. (8; 5 − ; 5 − ) . B. (3; 2 − ; 2 − ). C. (5; 3 − ; 3 − ). D. (4; 3 − ; 3 − ) . Lời giải
Gọi d là đường thẳng qua A(2; 1 − ;− )
1 và vuông góc với ( ) . d qua A(2; 1 − ;− )
1 và có vecto chỉ phương u = (1; 1 − ;− ) 1 . x = 2 + t
Phương trình tham số của đường thẳng d là: y = −1− t ,t . z = 1 − − t x = 2 + t t = 1 y = 1 − − t x = 3
Ta có H = d ( ) , tọa độ H thỏa mãn hệ: . z = 1 − − t y = 2 −
x − y − z − 7 = 0 z = 2 − H (3; 2 − ; 2
− ) là trung điểm của đoạn AA A(4; 3 − ;− ) 3 .
Câu 38: Cho hình lập phương ABC . D A B C D
có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A B D) bằng a 3 a 2 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Lời giải Trang 18 A' D' B' C' H A D O B C
Gọi O là trung điểm của BD AO ⊥ BD .
Do AA ⊥ ( ABCD) AA ⊥ BD suy ra BD ⊥ ( AA O ). Kẻ AH ⊥ A O
AH ⊥ BD . Do đó AH ⊥ ( A B D) hay d ( ; A ( A B D)) = AH . 2 Ta có AO = a . 2 1 1 1 1 1 3 a 3 Suy ra = + = + = AH = . 2 2 2 2 2 2 AH AA AO a 2 a 3 a 2 a 3
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A B D) bằng . 3
Câu 39: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ( 2
log 60x +120x +10m −10) − 3log ( x + )
1 1 có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của
biến x . Số phần tử của S là A. 11. B. 10 . C. 9 . D. 12 . Lời giải x 1 − Điều kiện ( ) * . 2
6x +12x + m −1 0
( x + x+ m− )−
(x+ ) + ( x + x+m− )− (x+ )3 2 2 log 60 120 10 10 3log 1 1 1 log 6 12 1 log 1 1
( x + x+m− ) (x+ )3 x + x+m− (x+ )3 2 2 log 6 12 1 log 1 6 12 1 1 ( ) 1 2 3 2 3 2
6x +12x + m −1 x +3x +3x +1 m− 2 x −3x −9x = f (x). Từ ( ) 1 Hệ điều kiện ( ) * trở thành: x 1 − .
Xét hàm số f ( x) 3 2
= x −3x −9x trên khoảng ( 1 − ;+ ).
Ta có: f ( x) 2
= 3x −6x −9 . = − f ( x) x 1 2
= 3x − 6x − 9 = 0 . x = 3 Bảng biến thiên: Trang 19 Để bất phương trình ( 2
log 60x +120x +10m −10) − 3log ( x + )
1 1 có miền nghiệm chứa đúng
4 giá trị nguyên của biến x khi 1
− 1 m − 2 0 9 − m 2 .
Vậy có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán. f ( x)
F ( x),G( x) f ( x) Câu 40: Cho hàm số liên tục trên R . Gọi là hai nguyên hàm của trên R thỏa F (8) + G(8) =17 F (0) + G(0) =1 2 mãn và . Khi đó sin .
x f (8cos x) dx bằng 0 A. 1 − . B. 1. C. 8 . D. −8 . Lời giải G
(8) = F (8) +C
Ta có: G ( x) = F ( x) + C G
(0) = F (0) + C
F (8) + G(8) = 8 1
2F(8) + C = 18
F (8) − F (0) = 8.
F(0) + G(0) = 2 2F(0) + C = 2 2 8 1 1 Vậy: sin . x f (8cos x)dx = f (t)dt =
(F(8) − F(0)) =1. 8 8 0 0
Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ 2
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f (( x − ) 1 + m) có 3
điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là A. 2. B. 4. C. 8. D. 10. Lời giải 2
Xét hàm số y = f (( x − ) 1 + m) , ta có
• y = 2(x − )
1 f ((x − )2 1 + m) x =1 x =1
• y = 0 (x − )2 1 + m = 1 − (x − )2 1 = 1 − − m ( x − )2 1 + m = 3 ( x − )2 1 = 3− m
Xét hàm số g ( x) = ( x − )2 1 , ta có Trang 20
• g(x) = 2(x − ) 1
• g(x) = 0 x =1 + + + y = 3− m y = 1 − −m
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì 1
− − m 0 3− m 1
− m 3 m 1 − ;0;1; 2
Vậy tổng các phần tử của S là 2 .
Câu 42: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z = 4, w = 2 . Khi z + w + 5 +12i đạt giá trị lớn nhất, phần
thực của z + iw bằng 30 4 44 58 A. . B. − . C. . D. . 13 13 13 13 Lời giải Ta có w = 2 w = 2.
Ta lại có z + w + 5 +12i z + w + 5 +12i z + w +13 . z = kw
Suy ra z + w + 5 +12i 19 . Dấu " = "xảy ra khi
(k,h ;k,h 0)
z + w = h(5+12i) 10 24 10 24 k = 2 w = + i w = − i 13 13 13 13 44 58 6 z + iw = + i . h = 20 48 20 48 13 13 13 z = + i z = + i 13 13 13 13 44
Vậy phần thực của z + iwbằng . 13
Câu 43: Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (A B
C) và ( ABC) là 30, tam giác A B
C đều và diện tích bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ AB . C A B C bằng 3 3 3 A. 2 3 . B. 6 . C. . D. . 4 4 Lời giải Trang 21 C' A' B' C A H B
Trong ( ABC ) vẽ AH ⊥ BC tại H .
Dễ thấy BC ⊥ ( A A
H ) BC ⊥ A H nên (( A B
C),( ABC)) = ( A H , AH ) = A H A = 30. Tam giác A B
C đều có A H
là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến. A A A A Ta có AH = = A . A 3 và A H = = 2A A . tan 30 sin 30 3 3 Diện tích 2 2 2 S = = = = BC BC 3 BC 4 BC 2 . A BC 4 4 BC 3 3 3 Mà A H = = 3 A A = ; AH = . 2 2 2 1 3 1 3 3 3
Thể tích khối lăng trụ V = = = = A . A S A . A .AH .BC . . .2 . ABC. A B C ABC 2 2 2 2 4 Câu 44: Cho hàm số ( ) 3x 2 = e + e x + ex f x a b
với a , b là các số thự C. Biết hàm số
g ( x) = f ( x) + f ( x) có hai giá trị cực trị là 2 và 5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = g ( x) và (− ( ) + ( ) 3 + ) 2 5 2e x f x f x g ( x) bằng 117 A. 21. B. 7 . C. 107 . D. . 3 Lời giải Ta có ( ) 3x 2x x = + + ( ) 3x 2x x = + + ( ) 3x 2 3e 2 e e 4e 3 e 2 e '
=12e + 6 e x + 2 ex f x a b g x a b g x a b . Ta có ( ) x = ( 2x x + + ) ( ) 2 2e 6 3 e
= 0 6e x + 3 ex g x e a b g x a
+ b = 0 , đây là một phương
trình bậc hai với ex nên có tối đa 2 nghiệm, suy ra g ( x) có tối đa 2 cực trị. g (n) = 2
Theo giả thiết ta có phương trình g( x) = 0 có hai nghiệm , m n và g (m) = 5. g ( x) = ( 3x 2 lim lim e + e x a + ex b ) = 0; g ( x) = ( 3x 2 lim lim e + e x a + ex b ) = +, mặt khác hàm x→− x→− x→+ x→+
số g ( x) có tối đa 2 cực trị có giá trị là 2 và 5 nên phương trình g ( x) = 0 vô nghiệm. Xét phương trình Trang 22
(− f (x)+5 f (x) 3 + 2e x ) 2 g ( x) 3 = g (x)
− f ( x) + 5 f ( x) 3 + 2 x e = g (x) −( 3x 2 e + e x a + ex b )+5( 3x 2 3e + 2 e x a + ex b ) 3x 3x 2 + 2e = 4e + 3 e x a + 2 ex b 3x 2 12e + 6 e x a + 2 ex b = 0 ( ) x = m
g x = 0 x = .n
Diện tích hình phẳng cần tính là n S =
(− f (x) + 5 f (x) 3 + 2e x ) 2 g ( x) 3
− g (x) dx m n 2 = g
(x)(− f (x) + 5 f (x) 3
+ 2e x − g (x))dx m n n 2 = g (x)g(x) 2 dx = g (x)dg(x) m m 1 n 1 117 3 = g (x) 3 = g (n) 3 − g (m) = . 3 m 3 3
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z − 2mz + 8m −12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z + z = 4 ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Ta có 2
= m −8m+12 . Xét hai trường hợp: m 6 +) Trường hợp 1: 2
0 m −8m +12 0 . m 2
z + z = 2m
Phương trình có hai nghiệm thực z , z và 1 2 . 1 2
z .z = 8m −12 1 2 Theo giả thiết: 2 2
z + z = 4 z + z + 2 z z =16 ( z + z
− 2z z + 2 z z =16 1 2 )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
4m − 2(8m−12)+ 2 8m−12 =16 2
4m −16m +8+ 2 8m −12 = 0 3 Với m 6 hoặc m 2 : 2 m = 2 (KTM ) 2
4m −16m + 8 + 2(8m −12) 2
= 0 4m −16 = 0 . m = 2 − (KTM ) 3 Với m : 2
m = 4 − 2 2 (TM ) 2
4m −16m +8+ 2( 8 − m +12) 2
= 0 4m − 32m + 32 = 0 . m = 4 + 2 2 (KTM ) +) Trường hợp 2: 2
0 m −8m+12 0 2 m 6.
Phương trình có hai nghiệm phức z , z và z = z z = z = z . 1 2 1 2 1 2 2
Theo giả thiết z + z = 4 2 z = 4 z = 2 . 1 2 1 1 Trang 23 Khi đó 2 2
m + i m −8m +12 = 2 2m −8m + 8 = 0 m = 2 .
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn là m = 4 − 2 2 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 1 − ; 2
− ) và đường thẳng (d ) có phương x −1 y −1 z −1 trình = =
. Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng 1 1 − 1
(d ) và khoảng cách từ d tới mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. x − y − 6 = 0.
B. x + 3y + 2z +10 = 0 .
C. x − 2y − 3z −1 = 0.
D. 3x + z + 2 = 0 . Lời giải H d P A K
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Ta suy ra H (1;1; ) 1 .
Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua điểm A và ( P) song song với đường thẳng d . Gọi K là hình
chiếu của H lên mặt phẳng ( P) . Do d // (P) nên ta có d (d,(P)) = d (H,(P)) = HK .
Ta luôn có bất đẳng thức HK HA. Như vậy khoảng cách từ (d ) đến ( P) lớn nhất bằng AH . uuur
Và khi đó (P) nhận AH = ( 1
− ;2;3) làm vectơ pháp tuyến.
Do ( P) đi qua A(2; 1 − ; 2
− ) nên ta có phương trình của (P) là: x −2y −3z −10 = 0.
Do đó (P) vuông góc với mặt phẳng có phương trình: 3x + z + 2 = 0. 2x −1
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ;
x y) thỏa mãn 0 y 2020 và log = +1− 2x y ? 3 y A. 2019 . B. 11. C. 2020 . D. 4 . Lời giải Chọn B y 0 2x −1 Từ giả thiết ta có:
0 2x 1 x 0 y y 0 Ta có: PT log
2x −1 + 2x −1 = log y + y (*) 3 ( ) 3
Xét hàm số f (t ) = log t + t trên (0;+) 3
Khi đó f (t) 1 =
+1 0 do đó hàm số f (t) = log t +t đồng biến trên (0;+) t ln 3 3 Trang 24 có dạng
(2x − )1 = ( ) = 2x f f y y −1 Vì 0
2020 0 2x −1 2020 1 2x y
2021 0 x log 2021 2 ( )
0 x log 2021 2 ( )
x 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ;10 . Vậy có 11 cặp ( ; x y) thỏa mãn. x
Câu 48: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh S và tạo với trục của ( N ) một góc bằng 30° , ta
được thiết diện là tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 2
4a . Chiều cao của hình nón bằng A. a 2 . B. a 3 . C. 2a 2 . D. 2a 3 . Lời giải S H A O E B
Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S. 1
Gọi E là trung điểm AB. Khi đó SE ⊥ AB và SE = AB . 2 1 1 1 Ta có 2 S = .A . B SE = 4a 2 A . B AB = 4a S AB 2 2 2
AB = 4a SE = 2a .
Gọi H là hình chiếu của O trên SE. AB ⊥ OE Ta có
AB ⊥ (SOE) AB ⊥ OH . AB ⊥ SO
Suy ra OH ⊥ (SAB) . Do đó (S ,
O (SAB)) = (S ,
O SH ) = OSH = OSE = 30 .
Tam giác vuông SOE có SO = SE.cos OSE = a 3 .
Câu 49: Trong không gian với hệ trụcOxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z = 1 và hai điểm
A (3; 0; 0);B (- 1;1; 0). Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S ). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 3MB . A. 2 34 B. 26 C. 5 D. 34 Lời giải
Gọi M (x;y;z ) là điểm cần tìm.
Ta có : M Î (S ) 2 2 2
Þ x + y + z - 1 = 0 . Trang 25 MA =
(x - )2 + y + z MB = (x + )2 + (y - )2 2 2 2 3 ; 1 1 + z . 2 2 2
Suy ra: MA + MB = (x - ) 2 2 + y + z + (x + ) + (y - ) 2 3 3 3 1 1 + z =
(x - )2 + y + z + (x + y + z )- +
(x + )2 + (y - )2 2 2 2 2 2 2 3 8 8 3 1 1 + z 2 æ 1ö ç ÷ = 3 x ç - ÷ + y + z + 3 ç ÷ (x + )2 1 + (y - )2 2 2 2
1 + z = 3(MC + MB )³ 3BC với çè 3÷ ø 1 æ ö ç ÷ C ç ; 0; 0÷ ç ÷. çè3 ÷ø
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 3MB bằng 5 khi ìï M = BC Ç ï (S ) æ ö ï ç3 - 8 6 4 + 6 6 ÷ í uuur uuur Þ M ç ; ; 0÷ ç ÷. ï ç ÷
ïCM = k.CB (k > 0) ç 25 25 ÷ è ø ïî
y = f ( x) f ( ) 1 = 0.
y = f ( x)
Câu 50: Cho hàm số bậc bốn và Biết hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. x x Hàm số g ( x) 2 = f 1− −
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 8 A. (− ; 4 − ). B. (4;+). C. (2;4). D. ( 3 − ;− ) 1 . Lời giải 2 x x
Xét hàm số h(x) = f 1− − 2 8 x x x x Ta có h( x) 1 1 = − f 1− − = 0 − f 1− + = 0 (3) 2 2 4 2 2 2 Đặ x x t 1−
= t =1− t 2 2 t = 1 − x = 4
Khi đó (3) f (t) − (t − )
1 = 0 t = 1 x = 0 t = 3 x = 4 − Trang 26
Ta có bảng biến thiên của hàm số là 1 Dễ thấy h ( ¢ ) 2 = - ( f ( ¢ ) 0 + ) 1 < 0 2 h(0) = f ( ) 1 = 0
Từ đó ta có hàm số đồng biến trên (2;4) .
---------- HẾT ---------- Trang 27